Distribuciones discretas de Probabilidad
Contenidos Variables aleatorias Distribuciones discretas Valor esperado Distribución Binomial Distribución Geométrica Distribución Binomial Negativa Distribución Hipergeométrica Distribución de Poisson
Variables aleatorias Es una descripción numérica del resultado de un experimento aleatorio De acuerdo a lo anterior las podemos clasificar como discretas o continuas Las discretas son variable aleatorias con un rango finito ( o infinito contable) Las continuas son variables que pueden asumir cualquier valor en un intervalo o conjunto de intervalos Una forma de determinar si una variable es continua o discreta es imaginarse que los valores de esa variable son los puntos en una recta numérica
Distribución de probabilidad La distribución de una variable X se define como una descripción del conjunto de valores posibles de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores Para una variable aleatoria discreta la distribución de probabilidad se describe mediante una función de probabilidad, representada por f(x). Donde esta función define la probabilidad de cada valor de la variable analizada
f ( x) = P( X = x) fx( x) ≥ 0 n
∑ fx( x) = 1 i =1
Probabilidad
Las condiciones requeridas para una función son:
Cantidad discreta
Función de probabilidad uniforme discreta: es la representación más sencilla de distribución de probabilidad, se define como:
f ( x) = x / n Valor esperado de una variable aleatoria discreta es una medida de localización central de una variable aleatoria. Es un promedio ponderado de los valores que puede tener una variable en donde los factores de ponderación son las probabilidades y se expresa de acuerdo a: n
E ( x) = µ = ∑ xi f ( x) i =1
Varianza de una variable aleatoria discreta es una medida de dispersión o variabilidad y corresponde a promedio ponderado de las desviaciones de una variable aleatoria respecto a su promedio, elevadas al cuadrado n
2
Var ( x) = σ 2 = ∑ ( xi − µ ) f ( x) i =1
Ejercicio Dada la siguiente tabla de distribución de probabilidades de una variable aleatoria y.
Determine si es correcta la distribución de probabilidades Calcule E(y) Calcule Var(y) y d.s(y) y
F(y)
2 4 7 8 Total
0.20 0.30 0.40 0.10 1.00
Distribución Binomial Es una distribución discreta de probabilidad conocida por sus variadas aplicaciones que se relaciona con un experimento de etapas múltiples Un experimento binomial tiene cuatro propiedades: – – –
–
El experimento consiste en una sucesión de n intentos idénticos En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito o Fracaso La probabilidad de éxito, representado por p, no cambia de un intento a otro. En consecuencia, la probabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de un intento a otro. Supuesto de estacionariedad Los intentos son independientes
Si existen sólo las propiedades 2,3,4 se habla de un proceso Bernoulli Un ejemplo de distribución Binomial es determinar la probabilidad de que en n intentos al lanzar una moneda salga cara (éxito) y no sello (fracaso) La fórmula de combinatoria de n objetos seleccionados en un grupo proporciona la cantidad de resultados experimentales que resultan en x éxitos
Cantidad de resultados experimentales exactamente x éxitos en n intentos
con
n n! = x x !( n − x ) !
También es necesario conocer la probabilidad asociada a cada uno de los resultados experimentales el cual se puede determinar a través de la siguiente relación p x (1 − p)( n − x )
Combinado las dos expresiones obtenemos la función de distribución Binomial n x f ( x) = p (1 − p )( n − x ) x f ( x) = probabilidad de x exitos en n intentos n n! x = x !(n - x)! p = probabilidad de un exito en cualquier intento (1- p )=probabilidad de un fracaso en cualquier intento
Valor esperado de la distribución binomial de probabilidad E ( x) = µ = np
Varianza de la distribución binomial de probabilidad Var ( x) = σ 2 = np (1 − p )
Ejemplo El gerente de una gran tienda necesita determinar cual es la probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan a la tienda hagan una compra. Él sabe que la probabilidad de que un cliente compre es de 0.3 3 3! = =3 2 2!( 3 − 2 ) !
0.32 (1 − p )(3−1) = 0.063
Cantidad de resultados experimentales Probabilidad de cada resultado experimental en donde 2 de los tres clientes compran
Luego 3·0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes que ingresan a la tienda 2 compren
Distribución Geométrica En una serie de intentos independientes, con una probabilidad constante p de éxito, sea la variable X el número de ensayos realizados hasta la obtención del primer éxito. Se dice que X tiene una distribución geométrica con parámetro p cuando fx ( x; p ) = (1 − p ) x −1 p x = cantidad de intentos
La media y varianza para esta distribución son E ( X ) = 1/ p (1 − p) Var ( X ) = p2
Una característica de esta distribución es que carece de memoria, es decir, se puede empezar a contar en cualquier ensayo o intento hasta obtener el éxito
Ejemplo La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0.01. Si se supone que las muestras son independientes respecto a la presencia de la molécula. Determine cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar 125 muestras antes de detectar una molécula rara fx (125;0.01) = (1 − 0.01)125 −1 0.01 = 0.0029
Tarea: Graficar distribución
Distribución Binomial Negativa En una serie de intentos independientes con una probabilidad constante de éxito p, sea la variable aleatoria X en número de ensayos efectuados hasta que se tienen r éxitos. Se dice que X tiene una distribución Binomial negativa con parámetro p y r cuando x − 1 fx( x; p; r ) = (1 − p ) x − r p r r − 1 Una variable binomial negativa es un conteo del número de ensayos necesarios para obtener r éxitos. Es decir, el número de éxitos está predeterminado y lo aleatorio es el número de ensayos. SE puede decir que esta variable es el opuesto de una variable binomial Una variable binomial negativa es una suma de variables aleatorias geométricas E( X ) = r / p La media y varianza para esta distribución son r (1 − p ) Var ( X ) =
p2
Ejemplo Una aeronave tiene 3 computadoras idénticas. Sólo una de ellas se emplea para controlar la nave, las otras 2 son de reservas por si falla la primera. Durante una hora de operación la probabilidad de falla 0.0005. ¿Cuál es el tiempo promedio de falla de las tres computadoras? ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fallen durante un vuelo de 5 horas?
a) E ( x ) = 3 / 0.0005 = 6000h
b)
P ( x ≤ 5) = P ( X = 3) + P( X = 4) + P( X = 5) 3 4 0.00053 + 0.00053 (0.9995) + 0.00053 (0.9995) = 1.249 x10−9 2 2
Distribución Hipergeométrica Está estrechamente relacionada con la distribución de probabilidad binomial. La diferencia entre ambas está en la independencia de los intentos y en que la probabilidad de éxito cambia de uno a otro Se usa para calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria de n artículos seleccionados sin reemplazo, obtengamos x elementos identificados como éxitos, y n-x como fracasos. Para que suceda esto debemos obtener x éxitos de los r de la población, y n-x fracasos de los N-r de la población r N − r x n − x f ( x) = N n
0≤ x≤r
Ejemplo Se debe seleccionar 2 miembros de un comité, entre 5, para que asistan a una convención en Santiago. Suponga que el comité está formado por 3 mujeres y 2 hombres. Determine la probabilidad de seleccionar 2 mujeres al azar Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2 Luego el cálculo de la probabilidad es: 3 2 2 0 3 f (2) = = = 0.3 5 10 2
Distribución Poisson Es una distribución de probabilidad que muestra la probabilidad de x ocurrencias de un evento en un intervalo especificado de tiempo o e espacio Las propiedades de un experimento de Poisson son: La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos cualesquiera de igual longitud La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo
La distribución de Poisson se expresa como: (x = cantidad de ocurrencia) µ xe− µ f ( x) = x!
Se puede usar este distribución de probabilidad como una aproximación de la distribución binomial cuando p, la probabilidad éxito es pequeña y n, la cantidad de intentos, es grande. Tan sólo se iguala µ=n·p
Ejemplo Se necesita estimar la cantidad de llegadas a la ventanilla de servicio en automóviles de un banco, durante un período de 15 minutos en las mañanas de los días hábiles. Los datos históricos indican que en este período la cantidad de automóviles en promedio es 10. A la gerencia le interesa saber cual es la probabilidad exacta de que lleguen 5 automóviles en 15 minutos
105 e −10 f (5) = = 0.0378 5!
Ejercicios Se comprobó que un nuevo detergente para ropa quita bien la mugre y las manchas del 88% de las prendas lavadas. Suponga que se van a lavar 10 prendas con el nuevo detergente ¿Cuál es la probabilidad de obtener buenos resultados en las 10 prendas? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar mal lavadas al menos 2 prendas? ¿Qué tipo de distribución empleó?
Un director regional tiene la responsabilidad del desarrollo de una empresa, y le preocupa la cantidad de quiebras de empresas pequeñas. Si la cantidad promedio de quiebras de empresas pequeñas por mes es de 10, ¿cuál es la probabilidad de que quiebren exactamente 4 empresas pequeñas durante un mes?, Suponga que la probabilidad de una quiebra es igual en dos meses cualesquiera, y que la ocurrencia o no ocurrencia de una quiebra en cualquier mes es independiente de las quiebras en los demás meses
La mayoría de las personas conoce el póker con manos de 5 cartas. Con 52 cartas que incluyen 4 ases, cuál es la probabilidad de que la mano de cinco cartas contenga: Un par de ases Exactamente un as Ningún as Cuando menos 1
