Distribuciones discretas de probabilidad (binomial, hipergeometrica, poisson). Estadistica
Ing. Gregorio Camberos Aguirre
Alumno: Kiara Odalis Tapia Pardo.
Fecha: 08/10/17 Aula: D4
Hoja de respuestas
3-104
a. 86.0% b. 12.90%
c. 5.534x10-11%
3-106
a. 23.47% b. 49.21% c. Media=F(x)=(20)(0.13)=2.6
= 200.1310.13 = 2.262 Desviación estándar= = √ 2.262 = 1..5039 Varianza=
3-108
a. 1.69% b. 18.96% c.
65.05%
3-111
a. 99.91% b. 86.73% c. 98,11% 3-144
a. 0.035 b. E(x)=2 varianza=0.6284 c.
46.38%
3-145
a. 12% b. 85.24%
a.
3-149
43.1% 8.84%
b. c. 30.38%
3-162
a. 5.573x10-5% b. 5.61% c.
99.98%
d. Si porque utiliza casi el mismo procedimiento que la varianza normal
a.
b. c.
3-167
60.65% 0.67% 0.67% y 3.37% 3-173 1.05% 0.43% = 5.4 → = 0.97 = 7.2 → = 0.99
a.
b. c.
3 días 4 días
d. µ=3.152
Procedimientos Problema. 3-104
Se mutan muestras de mitocondrias rejuvenecidas (defectuoso) en el 1% de los casos. Supongamos que se estudian 15 muestras y se puede considerar que son independientes para la mutación. Determinar las siguientes probabilidades. a. No se mutan muestras.
n=15, p=0.01, q=0.99, x=0 f(0)=(15C0)(0.01)0(0.99)15=0.86=86.0% b. Como mucho, una muestra está mutada.
n=15, p=0.01, q=0.99, x=1 f(0)=(15C1)(0.01)1(0.99)15=0.1290=12.90% c.
Más de la mitad de las muestras están mutadas.
n=15, p=0.01, q=0.99, x=7,8,9,10,11,12,13,14,15 f(0)=(15C8)(0.01)8(0.99) 15=5.5344x 10-13=5.534x10-11%
La insuficiencia cardíaca se debe a los acontecimientos naturales (87%) o factores externos (13%). Los factores externos están relacionados con sustancias inducidas o objetos extraños. Los sucesos naturales son causada por bloqueo arterial, enfermedad e infección. Suponer que 20 pacientes visitarán una sala de emergencia con insuficiencia cardíaca. Suponga que las causas de la insuficiencia cardíaca de los individuos son independiente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que tres individuos tengan condiciones causado por factores externos?
n=20, p=.13, q=0.87 , x=3 f(3)=(20C3)(0.13)3(0.87) 17=0.2347=23.47% b. ¿Cuál es la probabilidad de que tres o más individuos condiciones causadas por factores externos?
F(3-15)=1-f(0)-f(1)-f(2) F(0)=(20C0)(0.13)0(0.87)20=0.0617=6.17%
c.
F(1)=(20C1)(0.13)1(0.87)19=0.1844=18.44% F(2)=(20C2)(0.13)2(0.87)18=0.2618=26.18% F(3-15)=1-0.0617-0.1844-0.2618=0.4921=49.21% ¿Cuáles son la media y la desviación estándar del número de individuos con condiciones causadas por factores externos? Media=F(x)=(20)(0.13)=2.6
= 200.1310.13 = 2.262 Desviación estándar= = √ 2.262 = 1..5039 Varianza=
Problema. 3-108
Muestras de 20 partes de un proceso de punzonado de metales se seleccionan cada hora. Por lo general, el 1% de las piezas requieren rehacer. Sea X el número de partes de la muestra de 20 que requieren retrabajos. Se sospecha un problema de proceso si X excede su media en más de 3 desviaciones estándar. a. Si el porcentaje de piezas que requieren retrabajos permanece 1%, ¿cuál es la probabilidad de que X exceda su media por más de 3 desviaciones estándar? P=.01 q=.99 n=20 E(x)=(20)(0.01)=0.2
x>1.5347
= (200.0110.01)=0.4449 +3 = 0.2+ 1.3347 = 1.3347 = 1.5347
F(2-20)=1-f(0)-f(1) F(0)=(20C0)(0.01)0(0.99)20=0.8179 F(1)=(20C1)(0.01)1(0.99)19=0.1652 F(2-20)=1-0.8179-0.1652=0.0169=1.69% b. Si el porcentaje de reelaboración aumenta al 4%, ¿cuál es el probabilidad de que X exceda 1? P=0.04 q=.96 n=20 F(2-20)=1-F(0)-F(1) F(0)=20C0(0.04)0(0.96)20=0.442 F(1)=20C1(0.04)1(0.96)19=0.3683 F(2-20)=1-0.422-0.3683=0.1896=18.96% c.
Si el porcentaje de reelaboración aumenta hasta el 4%, ¿cuál es el probabilidad de que X exceda 1 en al menos uno de los siguientes cinco horas de muestras? n=5
p=0.1896 q=0.8104
f(1-20)=1-f(0) f(0)=(5C0)(0.1896)0(0.8104)5=0.3495 F(1-20)=1-0.3495=0-6505=65.05% Problema. 3.111
Considere la duración de la estancia en un hospital de emergencia departamento en el ejercicio 3-33.( Duración real de la estancia en el departamento de urgencias del hospital en 2009 se presentan en el siguiente cuadro (redondeado al hora más cercana). La duración de la
estancia es el total de tiempos de espera y servicio. Algunas estancias más largas también se aproximan como 15 horas en esta tabla.) a. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de la estancia de exactamente una persona es menor o igual a 4 horas? X=0,1,2,3,4
= 15
.
0 = ! =3.0590x10-7 1 = !. =4.5885x10-6 2 = !. =3.4414x10-5 3 = !. =1.7207x10-4 4 = !. =6.4526x10-4 F(0)+F(1)+F(2)+F(3)+F(4)= 8.5663X10-4
≤ 4 = 1-8.5663x10-4=0.9991=99.91% b. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos personas esperen más de 4 horas?
.
= 2 = 4,5,6,7,8,9,10
4 = ! =0.0902 5 = !. =0.0360 6 = !. =0.0120 7 = !. =3.4370X10-3 8 = !. =8.5927X10-4 9 = !. =1.9094X10-4 10 = !. =3.8189X10-5 Sumatoria=0.1427
c.
F(x>4)=1-0.1427=0.8573=86.73% ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una persona esperen más de 4 horas?
4 = !. =0.01532 5 = !. =3.0656x10-3 6 = !. =5.1094x10-4 7 = !. =7.2991x10-5
= 1 = 4,5,6,7,8,9,10
8 = !. =9.1239x10-6 9 = !. =1.0137x10-6 10 = !. =1.0137x10-7 Sumatoria=0.0189 1-0.0189=0.9811=98,11% Problema. 3-144
Un lote contiene 36 células de bacterias y 12 de las células no son capaces de replicación celular. Supongamos que usted examina tres células de bacterias seleccionadas al azar sin sustitución. a. ¿Cuál es la función de masa de probabilidad del número de células en la muestra que se puede replicar? N=36 n=24 r=12 x=3 F(x)=(24C3)(36-12C24-3)/(36C24) (24C3)(24C231)/(36C24)=3.557X10-4=0.035% b. ¿Cuáles son la media y la varianza del número de células la muestra que se puede replicar? E(x)=u=3(24/36)=2 Var(x)=3(24/36)(1-24/36)(36-3/36-1)=0.6284 c.
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las células seleccionadas no se puede replicar?
Problema. 3-145
Un estudio de investigación utiliza 800 hombres menores de 55 años. Supongamos que el 30% lleva un marcador en el cromosoma masculino que indica un mayor riesgo de hipertensión arterial. a. Si se seleccionan 10 hombres al azar y se ensayan para el marcador, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 hombre tenga el marcador? N=800 r=240 n=10 F(1)=((240C1)(560C9))/(800C10)=0.12=12% b. Si se seleccionan 10 hombres al azar y se ensayan para el marcador, ¿Cuál es la probabilidad de que más de 1 tenga el marcador? X=0.1 F(2-10)=1-F(0)-F(1) F(2-10)=((240C0)(560C10))/(800C10)-0.12=0.8524=85.24% Problema. 3-149
Un conjunto cortador contiene 48 hojas. Cinco cuchillas se seleccionan al azar y se evalúan cada día para obtener nitidez. Si se encuentra una cuchilla apagada, el conjunto se reemplaza con un conjunto afilado de cuchillas.
a. Si 10 de las palas de un conjunto son opacas, ¿cuál es la probabilidad que el conjunto se sustituye el primer día que se evalúa? N=48 n=5 r=10 x=1
1 = 101384 485 = 0.431 = 43.1%
b. Si 10 de las palas de un conjunto son opacas, ¿cuál es la probabilidad de que la asamblea no sea reemplazada hasta el tercer día de evaluación? [Sugerencia: Suponga que las decisiones diarias son independiente, y utilizar la distribución geométrica.] N=48 n=15 r=10 x=1
0 = 1013814 4815 = 0.0884 = 8.84%
c. Supongamos que en el primer día de evaluación, 2 de las palas son aburridos; en el segundo día de evaluación, 6 son aburridos; y en el tercer día de evaluación, 10 son aburridos. Cuál es el probabilidad de que el ensamblaje no sea reemplazado hasta día de evaluación? [Sugerencia: Suponga que las decisiones diarias son independientes. Sin embargo, la probabilidad de reemplazo cambia todos los días.] N=48 n=5 r=2 x=0
N=48 n=5 r=6 x=0
1 = 20465 485 = 0.8005 1 = 60425 485 = 0.4967
0.8005-0.4967=0.3038=30.38%
Problema. 3-162
Datos de www.centralhudsonlabs.com determinado el número medio de fragmentos de insectos en 225 gramos de chocolate bares era de 14,4, pero tres marcas tenían más contaminación de insectos que el doble de la media. Vea la Administración de Alimentos y Fármacos de los Estados Unidos-Centro de Seguridad Alimentaria y Nutrición Aplicada para Niveles de acción de defectos para productos alimenticios. Supongamos que el número de los fragmentos (contaminantes) sigue una distribución de Poisson.
a. Si usted consume una barra de 225 gramos de una marca en la media nivel de contaminación, ¿cuál es la probabilidad de que no haya insectos contaminantes µ=14.4 x=0
− ∙ = ! −. ∙ 14.4 = 0! = 0.0056 = 0.56%
b. Suponga que usted consume una barra que es una quinta parte del tamaño probado (45 gramos) de una marca en la contaminación media nivel. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya contaminantes de insectos? µ=2.88 x=0
− ∙ = ! −. ∙ 2.8 8 = 0! = 0.0561 = 5.61%
c. Si usted consume siete barras de 28.35 gramos (una onza) esto semana de una marca en el nivel medio de contaminación, ¿cuál es la probabilidad de que usted consume uno o más fragmentos de insectos en más de una barra?
µ=1.81 x=0
n=7 p=0.8363 q=0.1637
4 = 1.81 28.35 14. 225
− ∙ = ! −. ∙ 1.8 1 = 0! = 0.1637 1 + = 0.8363
2 7 = 700.83630.1637 = 10.000003 = 0.9999 = 99.99%
d.
¿Es la probabilidad de contaminación más del doble de la media de 14.4 inusual, o puede considerarse variación típica? Explique.
Problema 3-167
El número de defectos superficiales en paneles de plástico utilizados interior de automóviles tiene una distribución de Poisson con media de 0,05 defecto por pie cuadrado de panel de plástico. Asumir que un interior de automóvil contiene 10 pies cuadrados de panel de plástico.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectos superficiales en una interior del automóvil? µ=0.5 x=0
− ∙ = ! −. ∙0.5 = 0! = 0.6065 = 60.65%
b. Si se venden 10 coches a una empresa de alquiler, ¿cuál es la probabilidad que ninguno de los 10 coches tiene defectos en la superficie? µ=5 x=0
− ∙ = ! − ∙ 5 = 0! = 0.0067 = 0.67%
c. Si se venden 10 automóviles a una empresa de alquiler, ¿cuál es la probabilidad que a lo sumo 1 coche tiene defectos en la superficie? µ=5 x=0
µ=5 x=1
f(1)+f(0)=0.0404=4.04%
− ∙ = ! − ∙ 5 = 0! = 0.0067 = 0.67% − ∙ = ! − ∙ 5 = 1! = 0.0337 = 3.37%
Problema 3-173
a. Probabilidad de más de cinco visitas en un día. µ=1.8 x=5
b.
− ∙ = ! −. ∙1.8 5 = 5! 5 = 0.0260 = 2.6% 4 = 0.0723 = 7.23% 3 = 0.1607 = 16.07% 2 = 0.2677 = 26.77% 1 = 0.2975 = 29.75% 0 = 0.1653 = 16.53% 0 5 = 0.9895 5 + = 0.0105 = 1.05%
Probabilidad de menos de cinco visitas en una semana. µ=12.6
4 = 0.0029 3 = 0.0011 2 = 0.00027 1 = 0.000043 0 = 0.0000034 0 4 = 0.0043 = 0.43%
c. Número de días que la probabilidad de al menos una visita es de 0,99. 3 días
4 días
= 5.4 → = 0.97 = 7.2 → = 0.99
d. En lugar de una media de 1,8 por día, determine la media de visitas por día, de manera que la probabilidad de más de cinco visitas un día es 0,1. µ=3.152
− ∙ = !