Distribuciones Discretas de Probabilidad

UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA CENTRO REGIONAL DE OCCIDENTE

ASIGNATURA: Estadística I TEMA: DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

DOCENTE: LIC. WALTER FRANCISCO VASQUEZ FLORES

ALUMNO: ALUMNO: HEBER ANTONIO LEMUS VILLEDA

FECHA: Santa Ana, 17 de noviembre de 2008.

INDICE

Distribuciones Discretas de Probabilidad

INTRODUCCIÓN Analizar Analizar datos recabados, recabados, puede tornarse tornarse una tarea difícil difícil en cuanto cuanto a cuales cuales pueden pueden ser los resu result ltad ados os y para para que que nece necesi sita tarí rían an la info inform rmac ació ión. n. La esta estadí díst stic ica, a, como como una una rama rama de la matemática, presenta formas prácticas de resolver estas dificultades. Una Una dist distri ribu buci ción ón de los los dato datos s en cate catego gorí rías as que que ha demo demost stra rado do ser ser útil útil al orga organi niza zarr los los procedimientos estadísticos, es la distinción entre variables discretas.

Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inheren inherente te separacio separaciones nes entre entre valores valores observabl observables es sucesivo sucesivos. s. En otras otras palabr palabras, as, se defin define e una una variab variable le discr discreta eta como como la variab variable le tal que que entre entre 2 valores cualesquiera cualesquiera observables, hay por lo menos un valor no observable. Esta distribución tiene muchas variantes, pero entre las más importantes podemos mencionar 5 y son: Distribuc Distribución ión Binomial Binomial,, la cual mideel mideel número número de éxitos

en una secuencia secuencia de “n” ensayos ensayos

indepe independi ndient entes es de Berno Bernoull ulli i ; Dist Distri ribu buci ción ón Binom Binomia iall Nega Negati tiva va,, que que estu estudi dia a el núme número ro de experimentos, independientes entre sí ; La Distribución Poisson, que expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo: La Distribución Geométrica e Hipergeométrica.

3


DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD En esta estadí díst stic ica, a,

dada dada

una una vari variab able le

alea aleato tori ria a X ,

distri ribu buci ción ón la dist

de

prob probab abil ilid idad ad de X de X

es la función F X ( x x ), ), que asigna a cada evento definido sobre X sobre X una una probabilidad, que está definida por:

y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

1.

y

2. Es con conti tinu nua a por por la der derec echa ha.. 3. Es mon monót óton ona a no decr decrec ecie ient nte. e. Para simplificar la notación, cuando no hay lugar a confusión se omite el subíndice X subíndice X , y se escribe simplemente F ( x x ). ). La función de distribución es la acumulada de la función de densidad de probabilidad f ( x x ). ). Es decir, se calcula directamente según: 

Si x Si x es es una variable aleatoria discreta



Si x Si x es es una variable aleatoria continua

4


Propiedades

Para Para

dos dos

núme número ros s

y

real reales es

cual cuales esqu quie iera ra a y b tal

que que (a < b),

los

sucesos

serán serán mutuament mutuamente e excluyente excluyentes s y su unión es el suceso suceso

, por lo

que tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F ( x x ) para todos los valores de la variable aleatoria x aleatoria x conoceremos conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable. Para realizar cálculos es más cómodo conocer las distribución de probabilidad, para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLE DISCRETA Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente separacion separaciones es entre valores observables observables sucesivos. sucesivos. En otras otras palabras, palabras, se define define una variable variable discreta discreta como la variable variable tal que entre 2 valores valores cualesquiera cualesquiera observables, observables, hay por lo menos un valor no observable. A dicha función se la llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:

5


Y, tal como corresponde a la de finición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la

suma de todas las probabilidades desde

hasta el valor x .

Distribuciones de variable discreta más importantes Existen 5 tipos de distribuciones de variable discreta que son las más importantes, y estas son: 

Distribución binomial



Distribución binomial negativa



Distribución Poisson



Distribución geométrica



Distribución hipergeométrica

Distribución Binomial Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a todo todo experi experimen mento to consis consisten tente te en una serie serie de prueba pruebas s repeti repetidas das,, caract caracteri erizad zadas as por tener tener result resultado ados s que se pueden pueden clasi clasific ficar ar en si verifi verifican can o no cierta cierta propie propiedad dad o atribu atributo, to, siendo siendo aleatorios e independientes. La distribución binomial es una generalización de la distribución de Bernoulli, a la que puede llegarse nuevamente haciendo n = 1. Su función de masa de probabilidad está dada por:

para

, siendo siendo

elementos tomados de

6

en

)


las combinacio combinaciones nes de

en

(

Por ejemplo, la distribución binomial se puede usar para calcular la probabilidad de sacar 5 caras y 7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. En realidad solo se calcula la probabilidad de sacar 5 caras, pero como es lógico si en 12 lanzamientos de una moneda sacamos 5 caras el resto deben ser cruces, 7 en este caso. Por lo tanto debemos definir la variable "X: Número de caras obtenidas en 12 lanzamientos de

moneda".

En

este

caso

se

tiene

que

y resulta:

Observese que para el caso concreto de la moneda al ser la probabilidad de éxito θ = 0,5 la función

de masa de probabilidad solo depende del número combinatorio

ya que:

x + x 0,5 x (1 − 0,5)n − x = 0,5 x 0,5n − x = 0,5n − x + = 0,5n que es constante para un n fijo.

Su media y su varianza son:

Experimento binomial La variable aleatoria binomial y su distribución están basadas en un experimento que satisface las siguientes condiciones: 

El

experimento

consiste

en

una

secuencia

antes del experimento.

7


de n ensay ensayos os,,

dond donde e n se

fija



Los ensayos se realizan bajo idénticas condiciones, y cada uno de ellos tiene unicamente dos

posibles

resultados,

que

se

denotan

a

conveniencia

por

éxito (E) o

fracaso (F) (p(E)+p(F)=1). 

Los ensayos ensayos son independ independien ientes tes,, por lo que el result resultado ado de cualqu cualquier ier ensayos ensayos en particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.



La probabilidad de éxito es idéntica para todos los ensayos.

Siguiendo estas premisas, la variable aleatoria binomial X binomial X está está definida como X = el número de E entre E entre los n intentos. Relaciones con otras variables aleatorias

Se verifi verifica ca que si

parámetro parámetro

son tales tales que cada cada una sigue sigue una distri distribuc bución ión Bernou Bernouil illi li de

, y todas ellas ellas independie independientes ntes entre entre sí, entonces entonces

aleatoria con distribución binomial de parámetros

Además, si n es grande grande y

a

resulta resulta ser una variable variable

.

es pequeño, pequeño, de modo que el producto entre ambos parámetros parámetros tiende

, entonc entonces es la distri distribuc bución ión de la variab variable le aleato aleatoria ria binomial binomial tiende tiende a una distri distribuc bución ión de

Poisson de parámetro Por último, se cumple que cuando n es muy grande (n>=30) la distribución binomial se aproxima a la distribución normal. Propiedades reproductivas

Dadas n variables aleatorias 

, tales que

todas tienen una distribución binomial

8




todas tienen el mismo parámetro



cada una tiene su propio parámetro

(es decir, decir, los n no necesariamente tienen que ser

iguales) 

son todas independientes entre sí



se toma la variable aleatoria



se toma

Entonces:

La variable aleatoria Y tiene una distribución Binomial, con parámetros

y

.

Por lo tanto, dadas n variables binomiales independientes, donde cada una tiene su propio n pero

todas tienen igual

, su suma suma es también también una variable binomial, binomial, cuyo parámetro n es la suma de

los n de las las variables variables originales, originales, y cuyo parámetro

coincide con el de las originales.

Distribución binomial negativa En estadísti estadística, ca, la distribuc distribución ión binomial binomial negativa, negativa, o distribuci distribución ón pascal, pascal, es una distribuc distribución ión de probabilidad discreta. Esta distribución de variable discreta estudia el número de experimentos, independientes entre si, realizados hasta la obteción del k-ésimo éxito. Es una variable aleatoria que tiene una distribución binomial negativa con parámetros k y k y θ. Donde k es k es el número de ensayos exitosos donde acaba el experimento y θ es la probabilidad de éxito en un ensayo (o experimento).

9


Su función masa de Probabilidad viene dada por:

Para

Siendo el combinatorio Su media y su varianza son:

si pensamos en "fracasos esperados", y

si consideramos "número de experimentos" (incluyen k -1 -1 éxitos y los fracasos)

(para ambos casos)

Por ejemplo, si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga es 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla? Sea X: Número de niños expuestos a una enfermedad contagiosa.

10


Distribución de Poisson En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson 1 expresa la probabilidad de un número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento. La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson(1781–1840) que publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des

jugements

crim crimin inel elle les s

et

en

mati matièr ère e

matières civi civile le2.

El

trabaj trabajo o estaba estaba enfoca enfocado do en ciert ciertas as variables variables aleatorias aleatorias N que cuentan, cuentan,

El eje horizontal es el índice k . La función solamente está definida en valores enteros de k . Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

entr entre e otra otras s cosa cosas, s, un núme número ro de ocurrencias discretas (muchas veces llamadas "arribos") que tienen lugar durante un intervalo de tiempo de duración determinada. Si el número esperado de ocurrencias en este intervalo es λ, entonces la probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias k ocurrencias (siendo k un k un entero no negativo, k = k = 0, 1, 2, ...) es igual a:

dónde 

e es el base del logaritmo natural (e (e = 2.71828...),



k ! es el factorial de k ,



k es k es el número de ocurrencias de un evento,



λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está

1La distribución Poisson es también llamada Poissoniana, análogamente al término Gaussiana para una distribución de Gauss o distribución normal.

2"Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles"

11


interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5. Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obte obtene nerr la prob probab abil ilid idad ad de que que 5 de 400 400 libr libros os encu encuad ader erna nado dos s en este este tall taller er teng tengan an

encuadernaciones defectuosas.

Su media y su varianza son:

Como una función de k , ésta es la función probabilidad de masa. La distribución de Poisson puede ser vista como un caso limitante de la distribución binomial, es decir, que una distribución binomial

en la que que

y

se pued puede e apro aproxi xim mar por por una una dist distri ribu buci ción ón de Pois Poisso son n de

valor Ocurrencia La distribución Poisson, Se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un periodo definido de tiempo o en una área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espaci espacio. o. Ejemp Ejemplos los de estos estos evento eventos s que pueden pueden ser modela modelados dos por la distri distribuc bución ión Poiss Poisson on incluyen: 

El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.



El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.



El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.

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

El número de servidores web accedidos por minuto.



El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.



El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.



El número de núcleos núcleos atómicos atómicos inestables inestables que decayeron decayeron en un determinado determinado periodo periodo de tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser significativamente significativamente menor que la vida media de la sustancia.



El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.



La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.



La inventiva de un inventor a través de su carrera.

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Propiedades 

El valor esperado de una variable aleatoria con distribución Poisson es igual a λ y también lo es su varianza varianza.. Los momento momentos s más altos de la distribuci distribución ón Poisson Poisson son polinomi polinomios os de Touchard ouchard en λ cuyos coeficientes coeficientes tienen tienen un sentido sentido combinato combinatorio. rio. De hecho, cuando el valor esperado de la distribución Poisson es 1, entonces la fórmula de Dobinski dice que el enésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.



Las medidas de tendencia central de una variable aleatoria de distribución Poisson con un

λ no no entero entero es igual a

(o suelo suelo de λ), el cual cual es es el número entero entero más grande grande menor menor o

igual a λ. Esto también también es expresado expresado como la función función parte entera de λ. Cuando Cuando λ es un entero positivo, las medidas de tendencia central son λ y λ − 1. 

Sumas de las variables aleatorias de distribución Poisson:

Si

sigue

una

distribución

Poisson

y X i i son son inde indepe pend ndie ient ntes es ento entonc nces es

con

tamb tambié ién n

parámetro

sigu sigue e

una una

distribución Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros del componente. 

La función generadora de momentos de la distribución Poisson con valor esperado λ es:



Todas las acumulaci acumulaciones ones de la distribución distribución Poisson Poisson son iguales al valor esperado esperado λ. El enésimo momento factorial de la distribución Poisson es λn.



La distribuciones Poisson son funciones probabilísticas infinitamente divisibles.

14




La divergencia Kullback-Leibler dirigida entre Poi(λ0) y Poi(λ) está dada por:

Distribución Geométrica En teoría teoría

de

probab probabili ilidad dad y estadí estadísti stica, ca,

la distri distribuc bución ión

geomét geométric rica a

es

cualqu cualquier iera a

de

las las

dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes: 

La distri distribuc bución ión de probab probabili ilidad dad del número número X X del del ensayo de Bernoulli Bernoulli necesaria necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o



La distribuc distribución ión de probabili probabilidad dad del número Y = Y = X − X − 1 de fallos fallos antes antes del primer primer éxito, éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Cuál de éstas es la que uno llama "la" distribución distribución geométrica, geométrica, es una cuestión cuestión de convención convención y conveniencia. Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p es p,, entonces la probabilidad de que n ensayos sean necesarios para obtener un éxito es

para n = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer éxito es

para n = 0,1, 2, 3,.... En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica. Por ejemplo, supongamos que un dado ordinario es lanzado repetidamente hasta que aparece "1" por primera vez. La distribución de probabilidad del número de veces que el dado es lanzado se encuentra en el conjunto infinito {1, 2, 3,...} y es una distribución geométrica con p=1/6. p=1/6. El valor esperado de una variable aleatoria X aleatoria X distribuida distribuida geométricamente es 1/' p p y su varianza es (1 − p − p)/ )/ p p2;

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Equivalent Equivalentement emente, e, el valor esperado esperado de una variable variable aleatoria aleatoria distribui distribuida da geométric geométricament amente e Y es Y es (1 − p − p)/ )/ p, p, y su varianza es (1 − p − p)/ )/ p p2.

La función generatriz de probabilidad de X de X y y la de Y son, Y son, respectivamente,

Como su continua análoga (la distribución exponencial), la distribución geométrica es sin memoria. Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única distribución discreta sin memoria. De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado dado μ, la distribución geométrica X geométrica X con con parámetro p parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía La distribución geométrica del número y de y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible, esto

es,

para

cualquier

entero

positivo n,

existen

variables

aleatorias

independientes Y 1,..., Y n dist distri ribu buid idas as idén idénti tica came ment nte e la suma suma de las las cual cuales es tien tiene e la mism misma a distribución que tiene Y . Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1

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Distribuciones relacionadas La distribución geométrica Y es Y es un caso especial de la distribución binomial negativa, con r = r = 1. Más generalme generalmente, nte, si Y 1,...,Y ,..., Y r r son variables variables independie independientes ntes distribuid distribuidas as geométric geométricament amente e con

parámetro p parámetro p,,

ento entonc nces es

sigu sigue e

a

una una

dist distri ribu buci ción ón

bino binomi mial al

nega negati tiva va

con con

parámetros r y r y p. p. Si Y 1,...,Y ,..., Y r r son variables independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros de éxito p éxito pm posibles ), entonces su mínimo W = W = minmY m es también geométricamente distribuido, con parámetro p parámetro p dado por

1-∏m(1-Pm)

Distribución hipergeométrica En estadística la

Distribución hipergeométrica es una distribuci distribución ón de probabili probabilidad dad discreta discreta con

tres parámetros discretos N , d y d y n cuya función de probabilidad es:

N = N = Tamaño de población. n = Tamaño de muestra. d = d = Cantidad de elementos que cumple característica deseada. x = x = Cantidad de éxitos.

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Aquí Aquí,,

se refie refiere re al coef coefic icie ient nte e bino binomi mial al,, o al númer número o de combi combina naci cion ones es posib posible les s al

seleccionar b seleccionar b elementos de un total a. Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x objetos x de de uno de los tipos, al extraer (sin reemplazo) una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, N objetos, de los cuales d son d son del tipo requerido. El valor esperado de una variable aleatoria X aleatoria X de de distribución hipergeométrica es

Y su varianza

llamando

,

q = 1 − p − p

entonces:

La distribución hipergeométrica se puede aproximar por una distribución binomial Bi (n p) ,p) si

y

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BIBLIOGRAFÍA •

Gestiopolis: http://www.gestiopolis.com/rec http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/ ursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/distripoisson.ht eco/44/distripoisson.htm m 10:00 pm - 15 /Nov/ 2008.

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Monografías: http://www.monografias.com/t http://www.monografias.com/trabajos27/probabilidadesdiscr rabajos27/probabilidadesdiscretas/probabilidadesetas/probabilidadesdiscretas.shtml - 03:15 pm - 16 /Nov/ 2008.

•

Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/D http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3 istribuci%C3%B3n_de_probabilidad n_de_probabilidad – 9:45 am – 15 /Nov/ 2008.

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Distribuciones Discretas de Probabilidad

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