DISTRIBUSI BINOMIAL DAN MULTINOMIAL
Suatu percobaan sering kali terdiri atas uji-coba ( trial) yang diulang-ulang dan masing-masing mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Setiap ulangan dari percobaan tersebut disebut uji-coba Bernoulli. Percobaan yang merupakan uji-coba Bernoulli yang bebas dinamakan percobaan binomial. Percobaan binomial adalah percobaan yang memiliki ciri-ciri berikut: 1. Percobaannya Percobaannya terdiri atas
uji-coba
2. Dalam setiap uji-coba, hasilnya dapat digolongkan sebagai sebagai sukses atau gagal 3. Peluang sukses, yang dilambangkan dengan
, untuk setiap uji-coba adalah
sama, tidak berubah-ubah. 4. Uji-coba-uji-coba itu bersifat bebas satu sama lain Misalkan sebuah percobaan binomial berupa lantunan sekeping koin
, maka banyaknya sukses dapat dipandang sebagai sebuah peubah acak yang sebanyak tiga kali, dan dikatakan “sukses” bila yang muncul sisi
mengambil nilai bulat dari 0 sampai 3. Kedelapan kemungkinan hasil berikut nilai
-nya adalah: Hasil Percobaan
AAA
0
AGA
1
AAG
1
GAA
1
AGG
2
GAG
2
GGA
2
GGG
3
Karena uji-coba satu dengan lainnya bebas dan masing-masing memiliki
peluang sukses tetap sebesar , maka
1
2
Begitu setiap kemungkinan hasil percobaan lainnya juga terjadi dengan peluang
sebesar . Dengan demikian, sebaran peluang bagi
adalah:
0 1 2 3
Atau dengan rumus
untuk .
yang menyatakan banyaknya sukses dalam uji-coba
Peubah acak
suatu percobaan binomial disebut peubah acak binomial. Distribusi peluang bagi peubah acak dikret ini disebut distribusi binomial, dan fungsi padat peluangnya dilambangkan dengan
karena nilai-nilai ini tergantung pada banyaknya
uji-coba dan peluang sukses pada suatu uji-coba. Sehingga, untuk lantunan koin sebanyak sebanyak tiga kali, distribusi peluangnya peluangnya akan dituliskan dituli skan sebagai:
untuk . Definisi. Distribusi Binomial
Bila suatu uji-coba Bernoulli mempunyai peluang sukses
dan peluang gagal
, maka distribusi peluang atau Probability Mass Function (PMF) bagi peubah acak binomial , yaitu banyaknya sukses dalam ulangan yang bebas adalah:
, untuk dan Sesuai dengan hasil untuk banyaknya sisi bila sebuah koin dilantunkan tiga kali.
Pembuktian distribusi binomial merupakan suatu PMF . Bukti.
Untuk membuktikan suatu peubah acak adalah PMF, maka harus ditunjukan: 1. 2.
∑
3
Akan ditunjukkan distribusi binomial memenuhi kedua syarat di atas: 1.
p 1 dan nilai kombinasi pasti positif maka Karena 0 p
2.
∑ Menggunakan persamaan binomial Newton pada
pasti positif.
∑ , akan diperoleh:
( ) Perhatikan bahwa bila dan , maka Contoh 1.
Tentukan peluang mendapatkan tepat tiga bilangan 2 bila sebuah dadu setimbang dilantunkan 5 kali. Jawab:
Peluang sukses setiap uji-coba yang bebas ini adalah
dan peluang gagal adalah .
Dalam hal ini munculnya bilangan 2 dianggap sukses maka:
Contoh 2.
Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya sebangsanya ternyata melatarbelakangi
peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang
bahwa tepat 2 di antara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja? Jawab:
Dengan anggapan bahwa kasus pencurian itu bersifat bebas dan
maka:
4
Distribusi binomial mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa ke
suku dalam penguraian binomial ternyata merupakan berbagai nilai dari untuk . Perhatikan bahwa: , suatu syarat yang harus karena , maka kita peroleh ∑ berlaku untuk distribusi peluang apapun.
Contoh 3.
Peluang seseorang sembuh dari suatu penyakit darah tinggi adalah orang diketahui menderita penyakit ini, berapa peluang bahwa: (a) Sekurang-kurangnya Sekurang-kurangnya 10 orang dapat sembuh? (b) Ada 3 sampai 8 orang yang sembuh? (c) Tepat 5 orang yang sembuh? Jawab:
adalah banyaknya orang yang sembuh maka: ∑ (b) (c) (a) Misalkan
. Bila 15
5
Teorema
adalah: dan
Rataan dan variansi bagi distribusi binomial
Bukti:
Misalkan hasil pada uji-coba ke- dinyatakanoleh peubah acak , yang bernilai 0
dan . Peubah acak ini disebut peubah Bernoulli atau mungkin lebih tepat peubah indicator, karena berarti gagal dan berarti sukses. Dengan demikian, dalam suatu percobaan binomial banyaknya banyaknya sukses dapat dituliskan sebagai jumlah peubah indicator yang bebas, dan 1, masing-masing dengan peluang
sehingga:
Rataan setiap adalah ( ). Maka dengan menggunakan teorema pada bab 4 kita dapatkan rataan bagi distribusi distri busi binomial, yaitu:
Variansi bagi setiap adalah: *( )+( ) Dengan demikian demikian menurut teorema, variansi variansi distribusi binomial adalah: adalah:
Seandainya dalam percobaan binomial tersebut setiap uji-coba uji -coba menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil, maka percobaan itu menjadi apa yang disebut percobaan multinomial. Pengambilan kartu dengan pemulihan juga merupakan percobaan percobaan multinomial bila yang diamati adalah keempat macam kartu yang ada.
6
Definisi. Distribusi Multinomial
Bila setiap ulangan menghasilkan salah satu dari
hasil percobaan
, maka sebaran peluang bagi peubah acak , yang menyatakan berapa kali terjadi dalam ulangan dengan peluan
yang bebas, adalah
, dan ∑ . dengan ∑ Distribusi multinomial mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa suku-suku penguraian multinomial
, berpadanan dengan semua
kemungkinan kemungkinan nilai
Contoh 4.
Bila dua dadu dilantunkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak dua kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya tiga kali? Jawab:
Kita daftarkan kejadian yang mungkin terjadi:
: terjadi jumlah bilangan yang muncul 7 atau 11 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu : kemungkinan lainnya selain dua di atas. Dalam setiap ulangan, peluang masing-masing kejadian di atas adalah
,
dan . Ketiga peluang tersebut tidak berubah dari ulangan satu ke ulangan lainnya. Dengan menggunakan distribusi multinomial denga , dan , kita mendapatkan peluang yang ditanyakan:
