Distribusi Gamma

Nunung Nurhayati

3.3 3.3

Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed

Dist Distri ribu busi si Gamm Gamma a

Pada subbab ini akan dikenalkan contoh distribusi kontinu yaitu distribusi gamma dan distribusi-distribusi yang merupakan kasus khusus dari distribusi gamma, yaitu distribusi eksponensial, distribusi khi-kuadrat, dan distribusi beta.

Penamaan gamma (Γ) pada distribusi distribusi gamma berasal dari fungsi Fungsi Gamma. Penamaan gamma yang didefinisikan sebagai ∞

Γ(α Γ(α) =



y α−1 e−y dy.

(1)

0

Pada mata kuliah kalkulus telah dibuktikan bahwa integral tersebut ada untuk α > 0. Akibatnya, nilai fungsi Γ selalu positif karena pengintegralan dilakukan untuk y untuk y > 0. 0 . Jika α = 1,

∞

Γ(1) =



e−y dy = 1

(2)

0

dan jika α jika α > 1, 1 , dapat ditunjukkan melalui teknik integral parsial bahwa ∞

Γ(α Γ(α) = (α − 1)



yα−2 e−y dy = dy = (α − 1)Γ(α 1)Γ(α − 1). 1).

0

Dari hasil ini, dapat disimpulkan bahwa khusus untuk α bilangan ”bulat positif” yang lebih besar dari 1 maka Γ(α Γ(α) = (α ( α − 1)(α 1)(α − 2) · · · (3)(2)(1) = (α (α − 1)!

(3)

Dari persamaan (2) Γ(1) = 1 dan dari persamaan (3) Γ(α Γ(α) = (α − 1)! maka cukup beralasan jika 0! didefiinisikan bernilai 1.

Distribus Distribusii Gamma Gamma Misalkan y pada fungsi Gamma di persamaan (1) merupakan

variabel yang bergantung pada variabel x dan β, yaitu y = x/β, dengan β > 0, maka persamaan (1) menjadi ∞

Γ(α Γ(α) =

α−1

   0

x β

e−x/β

 1 β

dx,

Jika masing-masing ruas dikalikan dengan 1/ 1/Γ(α Γ(α) maka persamaan tersebut akan ekivalen dengan ∞ 1 1= xα−1 e−x/β dx. α Γ(α Γ(α)β 0



Karena α > 0, 0 , β > 0, 0 , dan Γ(α Γ(α) > 0 > 0,, maka fungsi g (w) =



1 α−1 e−x/β , Γ(α Γ(α)β α x

0, 1

0 < x < ∞ x lainnya

(4)

Nunung Nurhayati


nilainya selalu nonnegatif dan total integralnya 1. Dengan kata lain fungsi tersebut memenuhi syarat-syarat sebagai pdf . Variabel acak X dengan pdf seperti pada persamaan (4) disebut variabel acak yang berdistribusi gamma dengan parameter α dan β, dinotasikan X ∼ Gamma(α, β ) atau X ∼ Γ(α, β ). Parameter α disebut juga parameter bentuk (shape parameter ), sedangkan β disebut parameter skala (scale parameter ). Beberapa bentuk distribusi gamma diilustrasikan pada Gambar 1. Dalam aplikasi, distribusi gamma dapat digunakan untuk memodelkan distribusi peluang dari waktu tunggu atau masa hidup suatu objek atau individu. Pada proses Poisson dengan intensitas λ, jika variabel acak W menyatakan waktu yang diperlukan sampai diperoleh kejadian ke-k maka W berdistribusi gamma dengan α = k dan β = 1/λ. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Akan ditentukan distribusi dari waktu tunggu W akan dicari dengan menggunakan teknik cdf . Berdasarkan definisinya, cdf dari W adalah G(w) = P (W ≤ w) = 1 − P (W > w) Tetapi, peristiwa {W > w} untuk w > 0 ekivalen dengan peristiwa bahwa pada interval waktu (t, t + w] banyaknya kejadian yang muncul kurang dari k. Artinya, jika X menyatakan banyaknya kejadian pada interval waktu (t, t + w] maka k −1



P (W > w) =

k−1

P (X = x) =

x=0

(λw)x e−λw x! x=0



karena pada proses Poisson dengan intensitas λ, banyaknya kejadian pada interval (t, t + w] dianggap berdistribusi Poisson dengan parameter λw. Dapat ditunjukkan pada Latihan 3.3.5 bahwa ∞



λw

zk−1 e−z dz = (k − 1)!

k −1

(λw)x e−λw x! x=0



Kurva distribusi Gamma (a,4)

Kurva distribusi Gamma (4,b)

0.12

0.12

0.10 0.08 ) x ( f

0.10

a=2 a=3 a=4

0.08 ) x ( f

0.06

0.06

0.04

0.04

0.02

0.02

0.00

0.00 0

5

10

15

20

25

30

b=2 b=3 b=4

35

0

x

5

10

15

20

25

30

35

x

Gambar 1: Beberapa bentuk kurva distribusi gamma dengan parameter a dan b

2

Nunung Nurhayati


sehingga ∞

G(w) = 1 − P (W > w) = 1 −



λw

z k−1 e−z dz = Γ(k)

λw

 0

z k−1 e−z dz Γ(k)

untuk w > 0 dan G(w) = 0 untuk w ≤ 0. Dengan memisalkan z = λy, maka w

G(w) =

 0

λk yk−1 eλy dy, Γ(k)

w > 0

dan G(w) = 0 untuk w ≤ 0. Jadi, pdf dari W 

g(w) = G (w) =



λk wk−1 e−λw , Γ(k)

0,

0 < w < ∞ w lainnya

Ketika k = 1, variabel acak W dapat dipandang sebagai waktu yang diperlukan sampai diperoleh kejadian pertama. Fungsi densitas peluangnya adalah g(w) =

λe−λw , 0 < w < ∞ 0, w lainnya



Selanjutnya, variabel acak W untuk kasus k = 1 dikatakan berdistribusi eksponensial dengan parameter λ, dinotasikan exp(λ). Dengan kata lain, distribusi exp(λ) ekivalen dengan distribusi Γ(1, 1/λ).  Menghitung peluang pada distribusi gamma dan eksponensial dapat dihitung secara manual berdasarkan fungsi densitasnya. Namun, akan lebih praktis jika dihitung melalui bantuan komputer. Pada program R atau S-PLUS, jika X berdistribusi Γ(a, b) maka P (X ≤ x) dapat dihitung dengan perintah pgamma(x,shape=a,scale=b) , sedangkan nilai f (x) dapat dihitung dengan perintah dgamma(x,shape=a,scale=b) . Sementara itu, jika jika X berdistribusi exp(a) maka P (X ≤ x) dapat dihitung dengan perintah pexp(x,rate=a) , sedangkan nilai f (x) dapat dihitung dengan perintah dexp(x,rate=a) .

Berikut ini akan ditentukan bentuk mgf untuk distribusi gamma. Seandainya sudah diketahui maka penentuan mean dan variansi dari distribusi gamma, dapat ditentukan dengan mudah. Fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma.

Berdasarkan definisi mgf ∞

tx

1 xα−1 e−x/β dx α Γ(α)β 0 ∞ 1 = etx xα−1 e−x(1−βt)/β dx α Γ(α)β 0

M (t) = E [e ] =

 

etx

3

Nunung Nurhayati


Melalui pemisalan y = x(1 − βt) dengan t < 1/β, maka x = βy/(1 − βt), sehingga α−1 β/(1 − βt)) βy M (t) = e−y dy α Γ(α)β 1 − βt 0 α ∞ 1 1 α−1 −y = y e dy 1 − βt Γ(α) 0 α ∞ 1 1 α−1 −y = y e dy 1 − βt Γ(α) 0 ∞

        

Karena fungsi yang ada di bawah integral adalah pdf dari distribusi gamma maka nilai integralnya adalah 1. Akibatnya, M (t) =

1 (1 − βt)α

yang berlaku untuk t < 1/β. Karena turunan pertama dari M adalah M  (t) = (−α)(1 − βt)−α−1 (−β ) dan turunan keduanya M  (t) = (−α)(−α − 1)(1 − βt)−α−2 (−β )2 maka mean dan variansi untuk distribusi gamma adalah µ = M  (0) = αβ dan σ 2 = M  (0) − µ2 = α(α + 1)β 2 − α2 β 2 = αβ 2 .

Misal waktu tunggu W berdistribusi gamma dengan α = k dan β = 1/λ. Tentukan ekspektasi waktu tunggu sampai muncul kejadian pertama. Contoh 3.3.1.

Penyelesaian. Karena α = k dan β = 1/λ maka mean dari W adalah E [W ] = k/λ.

Akibatnya untuk k = 1, nilai ekspektasinya 1/λ.

Contoh 3.3.2.



Misal momen ke-m variabel acak X adalah E [X m ] =

(m + 3)! m 3 , 3!

Tentukan distribusi dari X.

4

m = 1, 2, 3, . . .

Nunung Nurhayati


Pada Subbab 1.9 telah dibahas bahwa mgf M (t) dapat diuraikan sebagai deret MacLaurin sehingga M (t) dapat dinyatakan dalam bentuk momen-momennya, yaitu Penyelesaian.

E [X ] E [X 2 ] 2 E [X m ] m M (t) = 1 + t+ t + ...+ t +... 1! 2! m! 4!3 5!32 2 6!33 3 = 1+ t + t + t +··· 3!1! 3!2! 3!3! Tetapi, deret tersebut merupakan uraian deret Mac Laurin untuk (1 − 3t)−4 , dengan syarat −1 < 3t < 1. Karena M (t) = (1 − 3t)−4 merupakan bentuk mgf dari distribusi Γ(4, 3) maka dapat disimpulkan bahwa X berdistribusi gamma dengan parameter α = 4 dan β = 3. 

Distribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas r, dinotasikan adalah kasus khusus dari distribusi gamma dengan parameter α = r/2 dan β = 2 dengan r bilangan bulat positif. Jika X berdistribusi χ2 (r), maka pdf dari X Distribusi Khi-Kuadrat.

χ2 (r),

f (x) =



1 xr/2−1 e−x/2 , Γ(r/2)2r/2

0,

0 < x < ∞ w lainnya

dan mgf dari X

1 t< . 2 Berdasarkan rumus mean dan variansi distribusi Γ(α, β ), maka mean dari distribusi χ2 (r) adalah µ = αβ = (r/2)2 = r, M (t) = (1 − 2t)−r/2 ,

sedangkan variansinya σ2 = αβ 2 = (r/2)22 = 2r. Distribusi khi-kuadrat merupakan distribusi yang sangat penting dalam statistika dan banyak digunakan terutama dalam pengujian hipotesis.

Contoh 3.3.3. Misal X mempunyai pdf

f (x) =



1 −x/2 4 xe

0,

0 < x < ∞ x lainnya.

Tentukan mean , variansi, dan mgf dari X . Penyelesaian

Dari bentuk pdf dari X, dapat disimpulkan bahwa X berdistribusi χ2 (4)

sehingga µ = 4,

Contoh 3.3.4.

2t)

8, t

−

<

σ2 = 8,

dan M (t) = (1 − 2t)−2 , t <

1 2



Tentukan distribusi dari variabel acak X dengan mgf M (t) = (1 −

1 2.

5

Nunung Nurhayati


Karena bentuk umum mgf distribusi χ2 (r), adalah M (t) = (1−2t)−r/2 , t < 1 2 , maka X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas r = 16. 

Penyelesaian

Distribusi χ2 (r) merupakan distribusi kontinu sehingga jika X berdistribusi χ 2 (r) maka P (a < X < b) = P (a < X ≤ b)

(karena P (X = b) = 0

= P (X ≤ b) − P (X ≤ a)

(sifat cdf di Teorema 1.5.2)

Secara manual, nilai P (X ≤ b), dapat ditentukan dengan menghitung integral b

P (X ≤ b) =

 0

1 xr/2−1 e−x/2 dx r/2 Γ(r/2)2

Namun cara ini kurang praktis. Karena itu, dikenalkan tabel khi-kuadrat yang terbatas untuk derajat bebas r = 1, 2, . . . , 30 (Lampiran 1). Ketika derajat bebas yang digunakan lebih dari 30, atau b yang digunakan tidak ada di tabel, maka dapat digunakan software statistik. Untuk program R atau S-PLUS dapat digunakan perintah pchisq(b,r) untuk menghitung P (X ≤ b) atau dchisq(b,r) untuk menghitung f (b) atau nilai pdf di titik x = b. Contoh 3.3.5. Misal X berdistribusi χ2 (10). Tentukan (a) P (3, 25 ≤ X ≤ 20, 5); dan

(b) tentukan a yang memenuhi P (a < X ) = 0, 05. Penyelesaian.

(a) Dari tabel distribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas r = 10 dapat diperoleh P (X ≤ 20, 5) ≈ 0, 975 dan P (X ≤ 3, 25) ≈ 0, 025. Karena untuk kasus kontinu berlaku sifat P (a ≤ X ≤ b) = P (X ≤ b) − P (X ≤ a) maka P (3, 25 ≤ X ≤ 20, 5) = P (X ≤ 20, 5) − P (X ≤ 3, 25) = 0, 975 − 0, 025 = 0, 95. (b) Dari sifat peluang, P (a < X ) = P (X > a) = 1 − P (X ≤ a). Diketahui P (a < X ) = 0, 05 maka P (X ≤ a) = 0, 95. Dari tabel khi kuadrat dengan r = 10 dapat diperoleh bahwa a yang memenuhi adalah a = 18, 3. 

Contoh 3.3.6. Misal X berdistribusi gamma dengan α = r/2, r > 0 dan β > 0.

Tentukan pdf dari Y = 2X/β. Penyelesaian. Bentuk cdf dari Y adalah

 

2X G(y) = P (Y ≤ y) = P ≤y β βy/2

=

0

6

 

βy = P X ≤ 2



1 xr/2−1 e−x/β dx. r/2 Γ(r/2)β

Nunung Nurhayati


untuk y > 0 dan G(y) = 0 untuk y ≤ 0. Sementara itu, pdf dari X β/2 (βy/2)r/2−1 e−y/2 Γ(r/2)β r/2 1 = yr/2−1 e−y/2 . r/2 Γ(r/2)β

g(y) = G (y) =

untuk y > 0 dan g(y) = 0 untuk y ≤ 0. Jadi, Y berdistribusi χ 2 (r).  Teorema 1 Misal X berdistribusi χ2 (r). Jika k > −r/2 maka E [X k ] ada dan

2k Γ( 2r + k) E [X ] = , Γ( r2 ) k

Bukti.

k>−

r 2

Dari definisi ekspektasi, ∞

E [X k ] =

∞



xk f (x)dx =

 0

−∞

1 (r/2)+k−1 −x/2 e dx r r/2 x Γ( 2 )2

Dengan memisalkan u = x/2, maka ∞

k

E [X ] =

 0

1 (r/2)+k−1 (r/2)+k −1 −u u e du r (r/2)−1 2 Γ( 2 )2

2k = r Γ( 2 ) = dengan syarat k > −r/2.

2k

∞



u(r/2)+k−1 e−u du

0

r r Γ( 2 + Γ( 2 )

k)



Seperti distribusi binomial dan distribusi Poisson, distribusi gamma juga bersifat aditif. Sifat ini dinyatakan pada teorema berikut: Teorema 2 Diberikan variabel-variabel acak yang independen X 1 , X 2 , . . . Xn dan untuk

setiap i = 1, 2, . . . , n , distribusi dari X i adalah gamma (αi , β ). Jika Y = X 1 +X 2 + · · · +X n maka Y berdistribusi Γ(α, β ) dengan α = α1 + α2 + · · · + αn . Bukti. Misal M i (t) mgf dari X i , i = 1, 2, . . . , n . Karena X 1 , X 2 , . . . , Xn independen

maka mgf dari Y adalah M Y (t) = M 1 (t)M 2 (t) . . . Mn (t) = (1 − βt)−α1 (1 − βt)−α2 . . . (1 − βt)−αn n

= (1 − βt)

i=1 αi

.

7

Nunung Nurhayati


Karena mgf bersifat unik maka dapat disimpulkan bahwa Y berdistribusi Γ(α, β ) dengan α = α1 + α2 + · · · + αn . 

Diberikan variabel-variabel acak yang independen X 1 , X 2 , . . . Xn dan untuk setiap i = 1, 2, . . . , n , distribusi dari X i adalah χ 2 (ri ). Jika Y = X 1 + X 2 + · · · + X n maka Y berdistribusi χ2 (r) dengan r = r 1 + r2 + · · · + rn . Akibat 3.3.1.

Distribusi Beta. Misal X 1 berdistribusi Γ(α, 1) dan X 2 berdistribusi Γ(β, 1). Variabel

acak X 1 dan X 2 independen sehingga pdf gabungannya h(x1 , x2 ) =

1 xα−1 xβ2 −1 e−x1 −x2 , 0 < x1 < ∞, 0 < x2 < ∞, Γ(α)Γ(β ) 1

dan h(x1 , x2 ) = 0 untuk x 1 , x2 lainnya, dengan α > 0 dan β > 0. Jika Y 1 = X 1 + X 2 dan Y 2 = X 1 /(X 1 + X 2 ) maka pdf marjinal dari Y 1 disebut distribusi beta . Berikut ini akan ditunjukkan bahwa Y 1 , Y 2 independen dan Y 2 berdistribusi Γ(α + β, 1). Misalkan y1 = u 1 (x1 , x2 ) = x 1 + x2 x1 y2 = u 2 (x1 , x2 ) = x1 + x2 maka x 1 = y 1 y2 dan x2 = y1 (1 − y2 ) sehingga J =

 

y2 y1 1 − y2 −y1

Karena 0 < x1 < ∞ dan 0 < x2 < ∞ maka

 

= −y1  =0

DY = {(y1 , y2 ) : 0 < y1 < ∞, 0 < y2 < 1 } Berdasarkan teknik transformasi, untuk 0 < y1 < ∞, 0 < y2 < 1, pdf gabungan dari Y 1 dan Y 2 adalah g(y1 , y2 ) = |J |h(y1 y2 , y1 (1 − y2 )) 1 = (y1 ) (y1 y2 )α−1 (y1 (1 − y2 ))β −1 e−y1 Γ(α)Γ(β ) α−1 y (1 − y2 )β −1 α+β −1 −y1 = 2 y1 e Γ(α)Γ(β ) dan g(y1 , y2 ) = 0 untuk y1 , y2 lainnya. Karena g(y1 , y2 ) dapat ditulis sebagai perkalian fungsi dari y 1 dan fungsi dari y 2 maka Y 1 , Y 2 independen. Untuk 0 < y2 < 1, pdf marjinal dari Y 2 adalah y2α−1 (1 − y2 )β −1 ∞ α+β −1 −y1 g2 (y2 ) = y1 e dy1 Γ(α)Γ(β ) 0 Γ(α + β ) α−1 = y (1 − y2 )β −1 , Γ(α)Γ(β ) 2



8

(5)

Nunung Nurhayati


dan g2 (y2 ) = 0 untuk y2 lainnya. Variabel acak dengan pdf seperti pada persamaan (5) dikatakan variabel acak yang berdistribusi beta dengan parameter α dan β. Karena g(y1 , y2 ) = g(y1 )(y2 ) maka pdf dari Y 1 adalah g(y1 ) =

 

1 y1α+β −1 e−y1 , 0 < y1 < ∞ Γ(α + β ) 0, y1 lainnya.

Jadi, Y 1 berdistribusi Γ(α + β, 1.) Dapat dicoba sebagai latihan bahwa mean dan variansi dari berdistribusi beta dengan parameter α dan β adalah µ =

α αβ danσ 2 = . β (α + β + 1)(α + β )2

Pada program R atau S-PLUS, menghitung peluang pada distribusi beta dengan parameter α = a dan β = b, dapat dilakukan dengan pbeta(x,a,b) untuk P (X ≤ x) dan dbeta(x,a,b) untuk menghitung nilai fungsi densitas g (x).

Latihan

1. Jika (1 − 2t)−6 , t <

1 2

mgf dari variabel acak X, tentukan P (X < 5, 23).

2. Jika X berdistribusi χ2 (5), tentukan konstanta c dan d sehingga P (c < X < d) = 0, 95 dan P (X < c) = 0, 025. 3. Tentukan P (3, 28 < X < 25, 2) jika X berdistribusi gamma dengan α = 3 dan β = 4. Petunjuk : Peristiwa {3, 28 < X < 25, 2} ekivalen dengan peristiwa {1, 64 < Y < 12, 6} dengan Y = 2X/4 = X/2. 4. Misal X variabel acak dengan momen ke-m diberikan oleh E [X m ] = (m + 1)!2m ,

m = 1, 2, 3, . . .

Tentukan mgf dan distribusi dari X. 5. Tunjukkan bahwa ∞

 µ

1 k−1 −z z e dz = Γ(k)

k−1

 x=0

e−µ µx , x!

k = 1, 2, 3, . . .

Persamaan tersebut memperlihatkan hubungan antara cdf dari distribusi gamma dan Poisson. Petunjuk : Gunakan integral parsial sebanyak k − 1 kali atau dengan memperhatikan bahwa anti turunan dari z k−1 e−z adalah

−z k−1 e−z − (k − 1)z k−2 e−z − . . . − (k − 1)!e−z 9

Nunung Nurhayati


6. Misal X 1 , X 2 , dan X 3 variabel-variabel acak yang iid , masing-masing dengan pdf f (x) =



e−x 0 < x < ∞ 0, x lainnya.

Tentukan distribusi dari Y = min(X 1 , X 2 , X 3 ). Petunjuk : P (Y ≤ y) = 1 − P (Y > y) = 1 − P (X i > y, i = 1, 2, 3). 7. Misal X berdistribusi gamma dengan pdf f (x) =

 

1 −x/β xe 0 < x < ∞ β 2 0,

x lainnya.

Jika x = 2 modus distribusi, tentukan parameter β dan P (X < 9, 49). Petunjuk : Modus dari suatu distribusi variabel acak X adalah nilai x yang memaksimumkan fungsi densitasnya. 8. Tentukan skewness dan kurtosis dari distribusi gamma dengan parameter α dan β. 9. Misal X berdistribusi gamma dengan parameter α dan β. Tunjukkan bahwa P (X ≥ 2αβ ) ≤ (2/e)α . Petunjuk : Gunakan sifat bahwa jika X variabel acak dengan mgf M (t), −h < t < h maka P (X ≥ a) ≤ e−at M (t), 0 < t < h. 10. Gunakan program R untuk mendapatkan plot pdf dari distribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas r = 1, 2, 5, 10, 20. Berikan penjelasan dari plot pdf yang dihasilkan. 11. Gunakan program R untuk mendapatkan plot pdf dari distribusi beta dengan α = 5 dan β = 1, 2, 5, 10, 20. 12. Gunakan program R untuk mendapatkan plot cdf dari Γ(5, 4). Gunakan plot tersebut untuk menerka mediannya. Untuk memeriksa keakuratan terkaan yang diperoleh, gunakan perintah qgamma(0.5,shape=5,scale=4) . 13. Berikan definisi yang cukup beralasan dari distribusi khi-kuadrat dengan derajat bebas nol. Petunjuk : Gunakan mgf dari χ 2 (r) untuk r = 0. 14. Misal X berdistribusi Poisson dengan parameter m. Jika m nilai eksperimental dari variabel acak berdistribusi gamma dengan α = 2 dan β = 1, hitung P (X = 0, 1, 2). Petunjuk : Tentukan terlebih dahulu distribusi gabungan dari X dan m. Kemudian tentukan distribusi marjinal dari X. 15. Misal X berdistribusi dengan pdf f (x) = 1, 0 < x < 1, dan 0 untuk x lainnya. Tentukan cdf dan pdf dari Y = − log X. 16. Tentukan distribusi uniform pada interval (b, c) dengan mean dan variansi yang sama dengan distribusi χ2 (8). Dengan kata lain tentukan b dan c. 10

Nunung Nurhayati


17. Tentukan mean dan variansi dari distribusi beta. Petunjuk : Dari pdf distribusi beta, diketahui 1



y α−1 (1 − y)β −1 dy =

0

Γ(α)Γ(β ) Γ(α + β )

untuk setiap α > 0 dan β > 0 18. Tentukan konstanta c supaya fungsi f (x) =



cx(3 − x)4 , 0 < x < 3 0, x lainnya.

mendefinisikan suatu pdf . 19. Tunjukkan bahwa jika α = β, kurva distribusi beta simetris di sekitar garis vertikal yang melalui x = 12 . 20. Tunjukkan bahwa untuk k = 1, 2, . . . , n 1

 p

n! z k−1 (1 − z)n−k dz = (k − 1)!(n − k)!

k−1

  x=0

n x

px (1 − p)n−x .

Persamaan tersebut memperlihatkan hubungan antara cdf dari distribusi beta dengan distribusi binomial. 21. Misal X 1 dan X 2 dua variabel acak yang independen. Misalkan pula X 1 berdistribusi χ2 (r1 ) dan Y = X 1 + X 2 berdistribusi χ2 (r), dengan r1 < r. Tunjukkan bahwa X 2 berdistribusi χ 2 (r − r1 ). Petunjuk : Tulis M (t) = E [et(X 1 +X 2 ) ] dan gunakan sifat independen dari X 1 dan X 2 . 22. Misal X 1 berdistribusi Γ(3, 3) dan X 2 berdistribusi Γ(5, 1). (a) Tentukan mgf dari Y = 2X 1 + 6X 2 (b) Tentukan distribusi Y. 23. Misal X berdistribusi eksponensial. (a) Tunjukkan bahwa distribusi eksponensial mempunyai sifat memoryless seperti pada distribusi geometrik. Dengan kata lain, P (X > x + y|X > x) = P (X > y) (b) Misal F (y) cdf kontinu dari variabel acak Y . Asumsikan bahwa F (0) = 0 dan 0 < F (y) < 1 untuk y > 0. Jika sifat memoryless berlaku untuk Y , tunjukkan bahwa F (y) = 1 − e−λy untuk y > 0. Petunjuk : Tunjukkan bahwa g(y) = 1 − F (y) memenuhi persamaan g(y + z) = g(y)g(z). 11

Nunung Nurhayati


24. Misal variabel acak kontinu X mempunyai cdf F (x) dan pdf f (x). Hazard dari X didefinisikan sebagai P (x ≤ X < x + ∆|X ≥ x) ∆→0 ∆

r(x) = lim

rate

(6)

Kata hazard di sini dapat diartikan suatu keadaan yang berdampak buruk atau negatif seperti bahaya, bencana, kegagalan, atau kecelakaan. Pada kasus ini, X dapat menyatakan waktu kegagalan suatu individu/objek, sedangkan peluang bersyarat P (x ≤ X < x + ∆|X ≥ x)

(7)

dapat diartikan peluang terjadinya kegagalan dalam interval waktu [x, x + ∆], jika diketahui bahwa individu/objek tersebut masih bertahan sampai waktu x. Sementara itu, r(x) pada persamaan (6) dapat diinterpretasikan sebagai laju kegagalan sesaat. Sebagai contoh, dalam aktuaria (matematika asuransi), X dapat menyatakan usia seseorang, peluang bersyarat pada persamaan (7) menyatakan peluang atau resiko kematian seseorang berusia x dalam selang waktu ∆, dan r(x) pada persamaan (6) menyatakan laju kematian sesaat bagi seseorang berusia x. Fungsi ini disebut juga laju mortalitas. Terkait dengan hazard rate r(x), (a) Tunjukkan bahwa r(x) =

f (x) . 1 − F (x)

(b) Jika r(x) = k dengan k konstanta positif, tunjukkan bahwa variabel acak X berdistribusi eksponensial. (c) Jika r(x) = cx b dengan c dan b konstanta positif, tunjukkan bahwa X berdistribusi Weibull, dengan kata lain pdf dari X f (x) =



  b+1

cxb exp − cxb+1 0,

, 0 < x < ∞ x lainnya.

(d) Jika r(x) = cebx dengan c dan b konstanta positif, tunjukkan bahwa X berdistribusi Gompertz, dengan cdf F (x) =



1 − exp{ cb (1 − ebx )}, 0 < x < ∞ 0, x lainnya.

12

Nunung Nurhayati


Lampiran 1. Tabel Distribusi Khi Kuadrat

Pada tabel berikut diberikan nilai kuantil dari distribusi khi-kuadrat, yaitu nilai x yang memenuhi x 1 P (X ≤ x) = wr/2−1 e−w/2 dw r/2 0 Γ(r/2)2 untuk suatu derajat bebas r.

r 0.010 1 0.000 2 0.020 3 0.115 4 0.297 5 0.554 6 0.872 7 1.239 8 1.646 9 2.088 10 2.558 11 3.053 12 3.571 13 4.107 14 4.660 15 5.229 16 5.812 17 6.408 18 7.015 19 7.633 20 8.260 21 8.897 22 9.542 23 10.196 24 10.856 25 11.524 26 12.198 27 12.879 28 13.565 29 14.256 30 14.953

0.025 0.001 0.051 0.216 0.484 0.831 1.237 1.690 2.180 2.700 3.247 3.816 4.404 5.009 5.629 6.262 6.908 7.564 8.231 8.907 9.591 10.283 10.982 11.689 12.401 13.120 13.844 14.573 15.308 16.047 16.791



0.050 0.004 0.103 0.352 0.711 1.145 1.635 2.167 2.733 3.325 3.940 4.575 5.226 5.892 6.571 7.261 7.962 8.672 9.390 10.117 10.851 11.591 12.338 13.091 13.848 14.611 15.379 16.151 16.928 17.708 18.493

P (X ≤ x) 0.100 0.900 0.950 0.016 2.706 3.841 0.211 4.605 5.991 0.584 6.251 7.815 1.064 7.779 9.488 1.610 9.236 11.070 2.204 10.645 12.592 2.833 12.017 14.067 3.490 13.362 15.507 4.168 14.684 16.919 4.865 15.987 18.307 5.578 17.275 19.675 6.304 18.549 21.026 7.042 19.812 22.362 7.790 21.064 23.685 8.547 22.307 24.996 9.312 23.542 26.296 10.085 24.769 27.587 10.865 25.989 28.869 11.651 27.204 30.144 12.443 28.412 31.410 13.240 29.615 32.671 14.041 30.813 33.924 14.848 32.007 35.172 15.659 33.196 36.415 16.473 34.382 37.652 17.292 35.563 38.885 18.114 36.741 40.113 18.939 37.916 41.337 19.768 39.087 42.557 20.599 40.256 43.773

13

0.975 0.990 5.024 6.635 7.378 9.210 9.348 11.345 11.143 13.277 12.833 15.086 14.449 16.812 16.013 18.475 17.535 20.090 19.023 21.666 20.483 23.209 21.920 24.725 23.337 26.217 24.736 27.688 26.119 29.141 27.488 30.578 28.845 32.000 30.191 33.409 31.526 34.805 32.852 36.191 34.170 37.566 35.479 38.932 36.781 40.289 38.076 41.638 39.364 42.980 40.646 44.314 41.923 45.642 43.195 46.963 44.461 48.278 45.722 49.588 46.979 50.892

Distribusi Gamma

Recommend Documents