12/15/2010
STAT STAT ISTIKA IST IKA TERAP TERAPAN AN Materi : DISTRIBU DISTRIBUSI SI LOG NORMAL Dose osen : Dr. Eng Donny Harisuseno, ST., MT Jurusa Jurusan n Teknik Teknik Pengai Pengairan ran Univ. Brawijaya Brawijaya 2010
Pendahuluan Hidrologi
Fenomena hidrolog hidrologii Data
Misal. Data debit, data hujan, hujan, etc et c
Misal. Debit banjir rancangan, rancangan, hujan hujan rancangan, rancangan, etc
Dengan pendekatan statistika. statistika. Misal. Misal. dari series data debit 10 tahun: tahun: diperkirakan akan peluang peluang terjadinya akan diperkir suatu suatu debit dengan besaran besaran tert tertent entu u diperkirakan akan berapa berapa besar debit akan diperkir dengan dengan kala ulang tert tertent entu u Etc
Distribusi Distribusi Log Normal
2
1
12/15/2010
DISTRIBUSI LOG NORMAL Distribusi Log Normal hasil transformasi dari distribusi normal Dengan mengubah nilai variat X menjadi logaritmik variat X Variabel X terdistribusi secara Log-Normal persamaan transformasi Ln (Logaritmik Natural) sebagai berikut: Y = Ln ( X )
(1)
Persamaan dasar (seperti Distribusi Normal) : Z =
X −
µ
(2)
σ 3
Contoh Distribusi Log Normal : jika
besarnya debit musiman aliran sungai memiliki kecenderungan konstan untuk sebagian besar waktu, tetapi kadang-2 terjadi nilai debit yang sangat besar sebaran data mungkin mengikuti distribusi Log-Normal.
4
2
12/15/2010
Teori Distribusi Log Normal
X
0
Gambar 1. Distribusi Log-Normal Distribusi Log-Normal
memiliki Koefisien Kepencengan (skewness = Cs) bernilai positip 5
Teori Distribusi Log Normal Dalam Soewarno (1995), Persamaan distribusi log normal sebagai berikut:
1 P (X ) = . exp (Log X) (S)( 2π ) 2 1
Log X − X S 2
Dengan: P (X) : peluang log normal X : nilai variat pengamatan X : nilai rata-rata dari logaritmik variat X S : deviasi standar dari logaritmik variat X
6
3
12/15/2010
Apabila P (X) digambarkan pada kertas logaritmik (logarithmic probability paper ) berupa garis lurus, dengan persamaan model matematik :
X = X + k . S dengan : X = nilai logaritmik nilai X, atau Ln X X = rata-rata hitung nilai Y S = deviasi standar X k = karakteristik distribusi peluang log normal Nilai variabel gauss
7
Tabel 1. Nilai variabel Gauss
8
4
12/15/2010
APLIKASI DISTRIBUSI LOG NORMAL
Distribusi Log Normal 2 Parameter (rata2 dan st. deviasi): 1)
Cara 1 :
Log X = Log X + k . SLog X dengan : Log X= nilai variat X yang diharapkan terjadi pada peluang atau kala ulang tertentu Log X= rata-rata hitung nilai X hasil pengamatan SLog X = deviasistandar logaritmik nilai X hasil pengamatan k = karakteristikdistribusi peluang log normal Nilai variabel gauss (Tabel 1) 9
Lanjutan.. Lanjutan .. 2)
Cara 2 :
Jika tidak ingin menggunakan nilai logaritmik data : S X = X + k . S ; CV = X dengan : X = nilai logaritmik nilai X, atau Ln X X = rata-rata hitung nilai X S = deviasi standar Y k = karakteristik distribusi peluang log normal 2 parameter yang nilainya tergantung koefisien variasi (CV) Tabel 2 10
5
12/15/2010
Tabel 2 . Faktor frekuensi k untuk distribusi Log Normal 2 parameter
11
Lanjutan Lanjutan
Distribusi Log Normal 3 Parameter (rata2, st. deviasi, dan β ):
X = X + k . S ; dengan : X = X = S = k =
Cs =
∑ ( Xi − Xi)
3
(n − 1)(n − 2)S3
nilai logaritmik nilai X, atau Ln X rata-rata hitung nilai X deviasi standar Y karakteristik distribusi peluang log normal 3 parameter yang nilainya tergantung koefisien kepencengan (CS) Tabel 3 12
6
12/15/2010
Jika Cs = 0, maka distribusi log normal tidak cocok untuk analisa data
Tabel 3. Faktor frekuensi k untuk distribusi Log Normal 3 parameter 13
Contoh soal : 1)
Jika data series Q tahunan memiliki Rerata Log Qrerata= 3.508 m3/dt dan Log standar deviasi (Log Sd) = 0.362 m3/dt, dianggap memenuhi distribusi log normal, berapa besar Q5 (debit yang disamai / dilampaui rata-rata 5 th sekali) Jawab: Cara (1) Tr = 5 tahun P = 1/Tr = 0.20, karena Q disamai atau dilampaui maka nilai Z diperhitungkan untuk P= 1 – 0,20 = 0,80 Tabel. Wil. Luas dibawah Distribusi Normal 14
7
12/15/2010
Berdasarkan Tabel Distribusi Normal, Z = 0,85 Rerata Log Qrerata = 3.508 m³/dt, Log Sd = 0.362 m³/dt. Persamaan ═► z = (Q - µ)/Sd atau Q = z.Sd + µ, maka Q4 = (0.85 × 0.362) + 3.508 = 3.82 m³/dt. Dengan anti Ln, maka = e 3.82 = Q4 = 45.60 m³/dt
15
2) Melanjutkan soal no.1, Hitung berapa besar Q5 (debit yang disamai / dilampaui rata-rata 5 th sekali) dengan menggunakan: a) Log Normal 2 Parameter b) Log Normal 3 parameter Jawab: a) Log Normal 2 Parameter Tabel 1
Log Q4 = Log X + k . SLog X
= 3.508 + 0.84 . 0.362 = 3.81 m 3 / dt Q4
= 45.15 m 3 / dt 16
8
12/15/2010
Jika tidak ingin menggunakan nilai logaritmik data :
X = X + k . S
CV =
S X
Rerata Log Qrerata= 3.508 m3/dt Qrerata = 33.38 Log Sd (Log σ) = 0.362 m3/dt Sd = 1.44 m3/dt CV
S
=
=
X
1 . 44 33 . 38
m3/dt
= 0 . 043 ≈ 0 . 05
Tabel
2, untuk CV = 0.05 dan kala ulang 5 th, diperoleh k = 0.83 Tabel 2 17
Sehingga,
X = X + k . S = 33.38 + 0.83 . 1.44
= 34.58 m 3 / dt b) Log Normal 3 Parameter
X = X + k . S
Cs =
∑ ( Xi − Xi)
3
(n − 1)(n − 2)S3
Tabel
3, untuk Nila Cs dan kala ulang 5 th, diperoleh k Tabel 3 18
9
12/15/2010
Lanjutan. Lanjutan . 3) Melanjutkan soal no.1, berapa kala ulang (Tr) debit sebesar = 12.40 m3/dt. •
Jawab: Y = Ln (X) = Ln (12.40) = 2.518 Pers. (2), z = [Y – Rerata (Y)]/Simpangan baku (Y) = (2.518-3.508)/ 0.362 → z = -2.737 (di sebelah kiri sumbu 0). Tabel Distribusi Normal diperoleh luasan di sebelah kanan z = 1 – 0.0032 = 0.9968 = Probabilitas Terjadi (Pr) Tr
= 1/0.9968 = 1.003 tahun. 19
Contoh--3 Distribusi Log Normal Contoh 4) Seperti soal no.(3), berapa kala ulang (Tr) debit sebesar = 52.30 m3/dt. •
Jawab: Y = Ln (X) = Ln (52.30) = 3.957 Pers. (2.2) z = [Y – Rerata (Y)]/Simpangan baku (Y) = (3.95700-3.50810)/ 0.36186 → z = 1.2405 (di sebelah kanan sumbu 0) Tabel Distribusi Normal diperoleh luasan di seb kanan z = 1 – 0.8925 = 0.1075 = Probabilitas Terjadi (Pr) Tr = 1/0.1075 = 9.311 tahun. Tabel. Wil. Luas dibawah Distribusi Normal 20
10
12/15/2010
TUGAS : ���� ����� �������� ���� ���� �� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����
���� ����� ��� ����� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����
5) Diketahui data debit banjir seperti pada tabel disamping. Hitung besar debit banjir rancangan kala ulang 2 th dan 50 th dengan : a) Distribusi Log Normal 2 parameter b) Distribusi Log Normal 3 parameter
21
11
