Makalah Statistika Distribusi Normal
Disusun Oleh: Dwi Kartika Sari 23214297 2EB1
!akultas Ekonomi "urusan #kuntansi $ni%ersitas &una'arma
2(1)
Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa Saya juga mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya. an harapan kami semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca! "ntuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi makalah agar menjadi lebih baik lagi. Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman Saya! Saya yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini! #leh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan karya ilmiah ini. $akarta! esember %&'(
Penyusun
a)tar *si
Kata Pengantar............................................................................................................................+i a)tar *si.....................................................................................................................................+ii ,A, *. Pendahuluan......................................................................................................................' ,ab **. *si.......................................................................................................................................% **. ' Apakah *tu istribusi Normal....................................................................................% **. % Pentingnya distribusi normal dalam statistika............................................................% **. - iri/ciri distribusi normal...........................................................................................**. 0 Si)at/Si)at istribusi Normal......................................................................................**. ( iri/ciri kur1a normal.................................................................................................0 **. 2 istibusi normal standar.............................................................................................2 **. 3 Penggunaan Tabel istribusi Normal.......................................................................'& **. 4 Aplikasi distribusi normal.........................................................................................'& **. 5 ontoh Penerapan istribusi Normal.......................................................................'% ,ab ***. Penutup............................................................................................................................'a)tar Pustaka...............................................................................................................................'0
B#B * +en'ahuluan ikenalnya distribusi normal dia6ali oleh kemajuan yang pesat dalam pengukuran pada abad ke '5. Pada 6aktu itu! para ahli matematika dihadapkan pada suatu tantangan mengenai )enomena 1ariabilitas pengamat atau interna yang artinya bila seorang mengadakan pengukuran berulang/ulang maka hasilnya akan berbeda/beda. Yang menjadi pertanyaan adalah nilai manakah yang dianggap paling tepat dari semua hasil pengukuran tersebut. Maka kemudian berdasarkan kesepakatan maka nilai rata/rata dianggap paling tepat dan semua penyimpangan dari rata/rata dianggap suatu kesalahan atau error. Abraham de Moi1re adalah yang pertama kali memperkenalkan distribusi normal ini dan kemudian dipopulerkan oleh arl 7redreich 8auss. Sehingga nama lain distribusi ini adalah distribusi 8auss. 8auss mengamati hasil dari percobaan yang dlakukan berulang/ulang! dan dia menemukan hasil yang paling sering adalah nilai rata/rata. Penyimpangan baik ke kanan atau ke kiri yang jauh dari rata/rata! terjadinya semakin sedikit. Sehingga bila disusun maka akan terbentuk distribusi yang simetris.
'
B#B ** *si **,1 #-akah itu Distribusi Normal.
istribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristi6a/peristi6a yang lebih luas. istribusi normal disebut juga dengan distribusi 8auss untuk menghormati 8auss sebagai penemu persamaannya 9'333/'4((:. Menurut pandangan ahli statistik! distribusi 1ariabel pada populasi mengikuti distribusi normal.
istribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham eMoi1re 9'3--: sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Selanjutnya dikembangkan oleh Pierre Simon de ;aplace dan dikenal dengan Teorema Moi1re / ;aplace. ;aplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen.
Suatu data membentuk distribusi normal jika jumlah data di atas dan di ba6ah mean adalah sama. istribusi normal berupa kur1a berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positi) dan negati)nya.
**, 2 +entin/n0a 'istribusi normal 'alam statistika
Satu/satunya distribusi probabilitas dengan 1ariabel random kontinu adalah distribusi normal. Ada % peran yang penting dari distribusi normal < Memiliki beberapa si)at yang mungkin untuk digunakan sebagai patokan dalam mengambil suatu kesimpulan
berdasarkan hasil sampel yang diperoleh. Pengukuran sampel digunakan untuk
mena)sirkan parameter populasi. istribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris! sehingga dapat dikatakan bah6a semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena alasan inilah sehingga
distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan gra)iknya dikenal sebagai kur1a normal atau kur1a gauss. % **, 3 iriiri 'istribusi normal
•
istribusi normal mempunyai beberapa si)at dan ciri! yaitu<
•
isusun dari 1ariable random kontinu
•
Kur1a distribusi normal mempunyai satu puncak 9uni/modal:
•
Kur1a berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean! median dan modus terletak pada satu titik.
•
Kur1a normal dibentuk dengan N yang tak terhingga.
•
Peristi6a yang dimiliki tetap independen.
•
Ekor kur1a mendekati absis pada penyimpangan - S ke kanan dan ke kiri dari rata/rata dan ekor gra)ik dapat dikembangkan sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis.
**, 4 SiatSiat Distribusi Normal
'. =ata/ratanya9mean: > danstandard de1iasinya? @ %. Mode 9ma+imum: terjadidi +?> -. ,entuknyasimetrikterhadap+?> 0. Titikbeloktepatdi +?> @
(. Kur1amendekatinolsecaraasimptotissemakin+ jauhdari+?> 2. Total luasnya? '
**, ) iriiri kur%a normal
iri/ciri kur1a normal < '. ,entuk kur1a normal '. Menyerupai lonceng 9gentaBbel:. %. Merupakan suatu poligon yang dilicinkan yang mana ordinat 9sumbu tegak: merupakan )rekuensi dan absisnya 9sumbu alas: memuat n ilai 1ariabel. -. Simetris. 0. ;uas daerah merupakan nilai rata/rata 9mean:. (. ;uas daerah sebelah kiri dan kanan mendekati (&C. 2. Memiliki satu modus 9disebut juga bimodal:. %. aerah kur1a normal '. Merupakan ruangan yang dibatasi daerah kur1a dengan absisnya 9sumbu alas:. %. ;uas daerah biasanya dinyatakan dalam persen atau proporsi.
istribusi normal dipengaruhi oleh dua parameter! yaitu mean dan standar de1iasi. Mean menentukan lokasi pusat statistik dan standar de1iasi menentukan lebar dari kur1a normal.
0 =umus umum distribusi normal <
dengan
Kur1a normal menggambarkan daerah penerimaan dan penolakan Do. $ika pengujian dua arah B sisi! maka gambarnya sebagai berikut <
$ika pengujian satu arah! maka gambarnya sebagai berikut <
"ji satu arah biasanya untuk uji 7 dan uji t satu arah.
( **, Distibusi normal stan'ar
Suatu distribusi normal tidak hanya memiliki satu kur1a! tetapi merupakan kumpulan kur1a yang mempunyai ciri/ciri yang sama.sehingga harus ditentukan ' pegangan sebagai distribusi nprmal yang standar. Ada % cara untuk menentukan distribusi normal <
3, ara or'inat:
Menggunakan rumus distribusi normal berikut <
Y =
1 x e-½ (X - µ) ² σ √2 π σ
?
rata/rata
@
?
simpang baku
F
?
-!'0'2 9bilangan konstan:
e
?
%!3'4- 9bilangan konstan:
G
?
absis dengan batas /H I G I F
,ila nilai dan @ tetap maka setiap nilai + akan menghasilkan nlai y sehingga bila nilai + dimasukkan dalam perhitungan berkali/kali dengan julah tak terhingga maka akan dihasilkan suatu kur1a distribusi normal. Terdapat banyak kur1a normal dengan bentuk yang berlainan! tergantung dari besar dan kecilnya @. •
,ila @ besar! kur1a yang terbentuk mempunyai puncak yang rendah! sebalikn0a bila @ kecil akan menghasilkan puncak kur1a yang tinggi.
•
apat pula bentuk kur1a normal dengan yang berbeda atau dengan dan @ yang berbeda
2
7
0. ara luas Kur1a normal adalah kur1a yang simetris! yang berarti bah6a kur1a ini akan membagi luas kur1a menjadi % bagian yang sama.Seluruh luas kur1a ? ' atau '&&C dan rata/rata 9: membagi luas kur1a menjadi % bagian yang sama.,erarti luas tiap belahan adalah (&C. Setiap penyimpangan rata/rata dapat ditentukan presentase terhadap seluruh luas kur1a. Penyimpangan ke kanan dan ke kiri < /.penyimpangan ' S ? 24!%C dari seluruh luas kur1a. /.penyimpangan % S ? 5(!(C dari seluruh luas kur1a.
/.penyimpangan - S! ? 55!3C dari seluruh luas kur1a.
Proses standarisasi dapat dilakukan dengan trans)ormasi rumus 9kur1a normal standar: <
J?+/ @ + ? nilai 1ariable random ? rata/rata distribusi @ ? simpang baku J ? nilai standar! yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap
4 rata/rata yang
dinyatakan dari unit S.
Standarisasi penting dilakukan karena ada 1ariabel random yang memiliki satuan yang berbeda/ beda! seperti cm! kg! bulan. "ntuk memudahkan perhitungan dapat digunakan sebuah table yang menunjukkan luas area di ba6ah kur1a normal antara nilai rata/rata dan suatu nilai 1ariable random yang dinyatakan dalam unit S.
Misalnya < luas 5(C adalah '!52 S.
"ntuk trans)ormasi distribusi normal menjadi distribusi normal standar dinyatakan ? & dan @ ? '.
9 **, 7 +en//unaan 5abel Distribusi Normal
Tabel distribusi normal standar terdiri dari kolom dan baris. Kolom paling kiri menunjukkan nilai J! tertera angka & sampai - dengan satu desimal dibelakangnya. esimal berikutnya terletak pada baris paling atas dengan angka dari & sampai 5. Misalnya dari hasil perhitungan diperoleh nilai J ? '!52 •
Maka di kolom kiri kita cari nilai'!5 dan baris atas kita cari angka 2
•
ari kolom 2 bergarak ke ba6ah! hingga pertemuan titik yang menunjukkan angka &!03(&.
•
,erarti luas daerah di dalam kur1a normal antara rata/rata dengan '!52 S ke kanan adalah &!03(.
•
Karena luas kur1a ke kanan dan ke kiri sama! maka luas penyimpangan '!52 ke kanan dan ke kiri dari rata/rata adalah &!5( 95(C:.
**, 6 #-likasi 'istribusi normal
Sebagai contoh aplikasi distribusi normal! dilakukan suatu e1aluasi thd pengobatan T, menggunakan =i)ampicin dengan rata/rata kesimpulan %&& hari dan standar de1iasinya sebesar '&. ,erapakah probabilitas kesembuhan antara '5& dan %'&
$a6ab < Mula/mula dihitung nilai J ?%'& J? 9%'&/%&&:B'& ? '?&!-0'jadi probabilitas kesembuhan '5& sampai %'& ? &!-0'-L&!-0'-?&!24%2?24!%2)
'&
11 **, 9 ontoh +enera-an Distribusi Normal
Sebuah perusahaan bola lampu pijar mengetahui bah6a umur lampunya 9sebelum putus: terdistribusi secara normal dengan rata/rata umurnya 4&& jam dan standar de1iasinya 0& jam. arilah probabilitas bah6a sebuah bolam produksinya akan< a. ,erumur antara 334 jam dan 4-0 jam
b. ,erumur kurang dari 3(& jam atau lebih dari 5&& jam
$a6ab a. >? 4&& dan @ ? 0&. P9334I+I4-0: +'?334 '? 9+'/>:B@ ? 9334/4&&:B0& ? /&!(( +%?4-0 %? 9+%/>:B@? 94-0/4&&:B0& ? &!4( P9334I+I4-0: ? P9/&!((II&!4(: ? P9I&!4(:/P9I/&!((: ? &!4&%- O&!%5'% ? &!('''
b. ,erumur kurang dari 3(& jam atau lebih dari 5&& jam iketahui >? 4&& dan @?0&. P9+I 3(& atau+5&&: +'?3(& '? 9+'/>:B@ ? 93(&/4&&:B0& ? /'!%( +%?5&& %? 9+%/>:B@ ? 95&&/4&&:B0& ? %!( P9+I 3(& atau+5&&: ? P9I/'!%(: L P9%!(: ? P 9I/'!%(: L '/ P 9I%!(: ? ' L P 9I/'!%(: O P 9I%!(: ? ' L &!'&(2 / &!55-4 ? &!'''4 '%
B#B *** +enutu-
emikianlah makalah yang saya buat semoga berman)aat bagi para pembaca dan menambah 6a6asan bagi yang membaca makalah ini. an penulis mohon maa) apabila ada kesalahan dalam penulisan kata dan kalimat yang tidak jelas! mengerti! dan lugas mohon maa) sebesar/ besarnya.
Sekian penutup dari kami semoga berkenan di hati dan kami ucapkan terima kasih yang sebesar/ besarnya.
'-
Datar +ustaka http
http
'0
