Distribusi Normal
Distribus Distribusii normal, normal, disebut disebut pula distribusi distribusi Gauss, adalah distribusi distribusi probabilita probabilitass yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung dihitung melalui melalui pendekatan pendekatan dengan mengikuti distribus distribusii normal. normal. Distribus Distribusii normal banyak diguna digunakan kan dalam dalam berbaga berbagaii bidang bidang statis statistik tika, a, misalny misalnyaa distri distribus busii sampli sampling ng rata-r rata-rata ata akan akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal normal juga juga banyak banyak diguna digunakan kan dalam dalam berbaga berbagaii distri distribus busii dalam dalam statis statisti tika, ka, dan kebanya kebanyakan kan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. Sejarah Distribusi Normal
Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh braham de !oivre dalam artikelnya pada tahun "#$$ sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. %arya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh &ierre 'imon de aplace, dan dikenal sebagai teorema !oivreaplace. aplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. !etode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh egendre pada tahun "*+. 'ementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun "# dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal. stilah kurva lonceng diperkenalkan oleh /ouffret pada tahun "#0 untuk distribusi normal bivariat. 'ementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh 1harles '. &eirce, 2rancis Galton, dan 3ilhelm e4is sekitar tahun "#+. 5erminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama. Ciri Ciri Distribusi Normal
". !em !emilik ilikii para parame mete terr 6 dan dan 7 yang yang masi masing ng masi masing ng mene menent ntuk ukan an loka lokasi si dan dan bent bentuk uk distribusi 0. %urvany %urvanyaa memp mempuny unyai ai punca puncak k tungg tunggal al $. 8ata-r 8ata-rata ata terleta terletak k di tengah tengah distrib distribusi usi dan distri distribus businy inyaa simetr simetris is di sekita sekitarr garis garis tegak lurus yang ditarik melalui rata-rata . 5otal 5otal luas daerah di ba9ah ba9ah kurva normal normal adala adala " (hal ini ini berlaku berlaku untuk seluruh seluruh distrib distribusi usi probabilitas kontinu) +. %edua ekor ekor kurva memanjang memanjang tak berbatas berbatas dan pernah pernah memotong memotong sumbu sumbu hori:onta hori:ontall ;. %urvany %urvanyaa berbentu berbentuk k seperti seperti lonce lonceng ng atau atau genta genta
#. 'impangan baku atau standar deviasi 7 menentukan lebarnya kurva. !akin kecil 7 bentuk kurva semakin runcing. Gambar di ba9ah merupakan ilustrasi dari sebaran normal<
'uatu variabel acak kontinu = yang memiliki sebaran berbentuk lonceng tersebut disebut dengan variabel acak normal. Dua parameter yang menentukan sebaran peluang variabel acak normal ini adalah nilai mean (6) dan simpangan baku (7). uas di ba9ah kurva dibatasi oleh = > =" dan = > =0 sama dengan peluang bah9a variabel acak mengambil nilai antara = > =" dan = > =0. /adi untuk kurva normal &(="? = ? =0) pada gambar di ba9ah ini dinyatakan oleh luas daerah antara =" dan =0.
/ika data menyebar normal, kita dapat mentransformasikan setiap pengamatan yang berasal dari sembarang variabel acak normal = menjadi suatu nilai variabel acak normal @ dengan nilai tengah nol dan ragam >". %emudian nilai = akan kita ubah menjadi @ mengikuti transformasi berikut ini<
Bila = berada diantara = > =" dan = > =0, maka variabel acak @ akan berada diantara nilai-nilai padanannya<
Dengan demikian<
2ungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal diberikan dalam rumus berikut<
Distibusi normal standar
'uatu distribusi normal tidak hanya memiliki satu kurva, tetapi merupakan kumpulan kurva yang mempunyai ciri-ciri yang sama.sehingga harus ditentukan " pegangan sebagai distribusi nprmal yang standar. da 0 cara untuk menentukan distribusi normal < 1. cara ordinat:
!enggunakan rumus distribusi normal berikut <
6
>
rata-rata
7
>
simpang baku
A
>
$,""; (bilangan konstan)
e
>
0,#"$ (bilangan konstan)
=
>
absis dengan batas - ? = ? A
Bila nilai 6 dan 7 tetap maka setiap nilai 4 akan menghasilkan nlai y sehingga bila nilai 4 dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali dengan julah tak terhingga maka akan dihasilkan suatu kurva distribusi normal. 5erdapat banyak kurva normal dengan bentuk yang berlainan, tergantung dari besar dan kecilnya 7. •
Bila 7 besar, kurva yang terbentuk mempunyai puncak yang rendah, sebaliknya bila 7 kecil akan menghasilkan puncak kurva yang tinggi.
•
Dapat pula bentuk kurva normal dengan 6 yang berbeda atau dengan 6 dan 7 yang berbeda
2. Cara luas
%urva normal adalah kurva yang simetris, yang berarti bah9a kurva ini akan membagi luas kurva menjadi 0 bagian yang sama.'eluruh luas kurva > " atau "**C dan rata-rata (6) membagi luas kurva menjadi 0 bagian yang sama.Berarti luas tiap belahan adalah +*C. 'etiap penyimpangan rata-rata dapat ditentukan presentase terhadap seluruh luas kurva. penyimpangan ke kanan dan ke kiri < -.penyimpangan " 'D > ;,0C dari seluruh luas kurva. -.penyimpangan 0 'D > +,+C dari seluruh luas kurva. -.penyimpangan $ 'D, > ,#C dari seluruh luas kurva.
&roses standarisasi dapat dilakukan dengan transformasi rumus (kurva normal standar) < Z
x =
−
µ
σ
4 > nilai variable random 6 > rata-rata distribusi 7 > simpang baku @ > nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata yang dinyatakan dari unit 'D. 'tandarisasi penting dilakukan karena ada variabel random yang memiliki satuan yang berbeda beda, seperti cm, kg, bulan.
ntuk memudahkan perhitungan dapat digunakan sebuah table yang menunjukkan luas area di ba9ah kurva normal antara nilai rata-rata dan suatu nilai variable random yang dinyatakan dalam unit 'D. !isalnya < luas +C adalah ",; 'D. ntuk transformasi distribusi normal menjadi distribusi normal standar dinyatakan 6 > * dan 7 > ".
PENGGUNN !"E# D$S!%$"US$ N&%'#
5abel distribusi normal standar terdiri dari kolom dan baris. %olom paling kiri menunjukkan nilai @, tertera angka * sampai $ dengan satu desimal dibelakangnya. Desimal berikutnya terletak pada baris paling atas dengan angka dari * sampai . !isalnya dari hasil perhitungan diperoleh nilai @ > ",; •
!aka di kolom kiri kita cari nilai", dan baris atas kita cari angka ;
•
Dari kolom ; bergarak ke ba9ah, hingga pertemuan titik yang menunjukkan angka *,#+*.
•
Berarti luas daerah di dalam kurva normal antara rata-rata dengan ",; 'D ke kanan adalah *,#+.
•
%arena luas kurva ke kanan dan ke kiri sama, maka luas penyimpangan ",; ke kanan dan ke kiri dari rata-rata adalah *,+ (+C).
Contoh soal 1:
1ontoh kasus menggunakan rumus @ 8ata-rata produktivitas padi di ceh tahun 0** adalah ; ton per ha, dengan simpangan baku (7) *, ton. /ika luas sa9ah di ceh "**.*** ha dan produktivitas padi berdistribusi normal (data tentatif), tentukan ". berapa luas sa9ah yang produktivitasnya lebih dari ton E /a9ab< ". Fitung nilai : dari nilai 4 > ton dengan rumus Z
x
−
µ
=
σ
0. Fitung luas di ba9ah kurva normal pada : > 0,00 1aranya buka 5abel @ dan lihat sel pada perpotongan baris 0,0* dan kolom *,*0. Fasilnya adalah angka *,;# dan bila dijadikan persen menjadi ,;#C. ngka ini menunjukkan bah9a luas di ba9ah kurva normal baku dari titik 0,00 ke kiri kurva adalah sebesar ,;#C. %arena luas seluruh di ba9ah kurva normal adalah "**C, maka luas dari titik 0,00 ke kanan kurva adalah "**C ,;#C > ",$0"C (arsir 9arna hitam pada gambar). Hleh karena itu, luas sa9ah yang produktivitasnya lebih dari ton adalah ",$0"C, yaitu (",$0"I"**) 4 "**.*** ha > "$0" ha.
