DISTRIBUSI PELUANG
Distribusi peluang dibedakan atas variabel acaknya. Diketahui variabel acak (random variables) terdiri dari variabel acak diskrit dan variabel acak kontinyu. Untuk data variabel acak diskrit dikenal distribusi peluang yang terdiri dari : 1. Distribusi binomial 2. Distribusi Multinomial 3. Distribusi Hipergeometrik 4. Distribusi Poisson. Keempat distribusi peluang tersebut biasa digunakan untuk mengetahui peluang dari data atau variabel acak diskrit. Sesuai dengan tujuan perkuliahan, distribusi peluang diskrit ini tidak akan banyak dijelaskan kecuali yang berhubungan dengan penggunaannya dalam kasus dengan data variansi acak diskrit.
Variabel kontinyu adalah variabel random yang mempunyai nilai dalam suatu interval tertentu. Contoh, kecepatan kendaraan per jam, tinggi badan mahasiswa, besarnya pendapatan pekerja dll.
Suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan real yang ditentukan untuk setiap unsur dalam ruang sampel disebut variabel acak. Jika variabel x dan t menerima suatu himpunan diskrit dari nilai-nilai x1, x2,....., xn dengan peluang masing-masing p1, p2,....., pn, dimana p1 + p2 +.....+ pn =1 dikatakan suatu distribusi peluang diskrit untuk variabel acak x telah terdefinisi. Fungsi p(x) yang mempunyai nilai masing-masingp1, p2,....., pn untuk x = x1, x2,....., xn disebut fungsi peluang untuk variabel acak x, harga X = x. X yang memiliki peluang bersifat variabel dan hanya memiliki harga 0,1,2 ... disebut variabel acak diskrit.
Variabel acak yang tidak diskrit disebut variabel acak kontinue.
Jika x sebuah variabel acak konstan, maka fungsi densitas (kepadatan), f(x) dapat
menghasilkan peluang untuk harga-harga x dan berlaku :
- f xdx=1
Untuk menentukan peluang harga X = x antara a dan b adalah :
P (a < x < b) = abf xdx
DISTRIBUSI BINOMIAL
Suatu percobaan yang mempunyai 2 kemungkinan yaitu berhasil atau gagal dan dilakukan berulang-ulang dinamakan percobaan Binomial atau experiment Bernoulli, sehingga ciri-ciri percobaan Binomial adalah :
1. Percobaan terdiri atas n peristiwa
2. Dalam setiap peristiwa hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal
3. Peluang berhasil dilambangkan dengan p
4. Peristiwa-peristiwa itu bersifat bebas satu sama lain
Karakteristik dari binomial distribution :
Grafiknya discontinuous (terputus-putus)
Bentuknya ditentukan oleh nilai p dan n
Bentuknya simetris bila p = q atau p q asal n besar
Variabel x yang menyatakan banyak keberhasilan dalam n percobaan suatu percobaan binom dan distribusinya peluangnya disebut Distribusi Binomial dan nilai-nilainya dilambangkan dengan b (x; n, p).
Jika peluang keberhasilan "p" dan peluang kegagalan q = 1 – p, maka distribusi peluang untuk variabel acak binomial x yaitu banyaknya keberhasilan dalam n peristiwa yang bebas adalah :
b (x; n, p) = nxpx1-pn-x
b (x; n, p) = nx = n!x!n-x!
Keterangan :
b = distribusi binomial
x = banyaknya sukses
n = banyaknya ulangan bebas
p = peluang memperoleh sukses pada percobaan (ulangan) tunggal
Karena distribusi binomial termasuk distribusi variabel diskrit
b(x; n,p) = p (x) = P(X = x)
Parameter distribusi binomial adalah dan , dimana
= np dan
= npq = np(1-p).
Contoh 1
Di sebuah bagian kota, keperluan uang untuk membeli ganja atau sebangsanya ternyata melatarbelakangi 75% peristiwa pencurian yang terjadi. Berapa peluang bahwa tepat 2 diantara 4 kasus pencurian berikutnya dilatarbelakangi oleh keperluan uang untuk membeli ganja ?
Penyelesaian :
Diketahui p = 75 % = 0,75 q = 1 – p = 0,25
P (X = 2) = b (2; 4; 0,75) = 42= (0,75)² (0,25)² = 0,211
Jadi peluang yang ditanya adalah 0,211
DISTRIBUSI POISSON
Ciri-ciri percobaan poisson adalah :
Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu, tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah
Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut, dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luarselang waktu atau daerah tersebut.
Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah keciltersebu, dapat diabaikan Distribusi peluang bagi variabel acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama satu selang waktu atau daerah tertentu adalah
Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai pendekatan kepada distribusi binomial. N cukup besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga = Np tetap, distribusi binomial menjadi distribusi Poisson, dilakukan pendekatan N 50 sedangkan Np < 5.
Dirumuskan menjadi: dimana:
P(R)= peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah kejadian N.
R = jumlah kejadian yang diharapkan =0,1,2,…,N
= rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson.
N = jumlah kejadian.
e = 2,71828
Tabel Peluang Poisson
Seperti halnya peluang binomial, soal-soal peluang Poisson dapat diselesaikan dengan Tabel Poisson. Cara membaca dan menggunakan tabel ini tidak jauh berbeda dengan Tabel Binomial
Misal: x = 4.5 = 5.0
0 0.0111 0.0067
1 0.0500 0.0337
2 0.1125 0.0842
3 0.1687 0.1404
dst dst dst
Poisson (2; 4.5) = 0.1125
Poisson (x < 3; 4.5) = poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)
= 0.0111 + 0.0500 + 0.1125 = 0.1736
poisson(x > 2;4.5) = poisson(3; 4.5) + poisson(4; 4.5) +...+ poisson(15;4.5)
atau
= 1 - poisson(x 2)
= 1 - [poisson(0;4.5) + poisson(1; 4.5)+ poisson(2; 4.5)]
= 1 - [0.0111 + 0.0500 + 0.1125 ] = 1 - 0.1736 = 0.8264
