MAKALAH STATISTIK MATEMATIKA I “DISTRIBUSI UNIFORM (SERAGAM) KONTINU”
Makalah ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas Mata kuliah : Statistik Matematika I Dosen Pengampu : Wilujeng Rumi Prasetyo, M.Pd
Disusun oleh : Kelompok 8 / PMTK 3C 1. 2.
Elzha Anindita P Miftakhul Jannah
(1714500014) (1714500014) (1714500058)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PANCASAKTI TEGAL Jl. Halmahera Km.1 Kota Tegal telp. (0283) 351082
2015 Distribusi Uniform (Seragam) Kontinu
Distribusi uniform Seragam Kontinu merupakan distribusi peluang kontinu yang paling sederhana. Distribusi seragam kontinu adalah distribusi yang peluang setiap peubah acaknya sama. Misal variabel random kontinu X memuat nilai-nilai pada interval, katakanlah (a,b) dan mempunyai fdp konstan f(x) = c pada interval tersebut. Dari sifat fdp
= 1 maka dapat diperoleh c =
≥
− 1
(
. Jika didefinisikan f(x) = 0 di luar
)
interval (a,b) maka sifat f(x) 0 juga dipenuhi. Distribusi khusus ini dikenal dengan distribusi uniform (seragam) pada interval (a,b) dinotasikan X ~ UNIF (a,b) atau dapat ditulis U(a,b).
∞ −∞ ∞ −∞
=1
=1
=1
=1
− −
=1
=
1
(
)
Definisi: Jika variabel random X memiliki nilai (kontinu) dengan kemungkinan kemunculan yang sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinu) X mengikuti distribusi uniform dengan fungsi densitas peluang.
Fungsi kepadatan peluang (fkp) dari peubah acak uniform (seragam) kontinu X pada interval (a, b) adalah :
≤≤ − 1
; ,
,
=
0,
Dimana: a = batas bawah interval b = batas atas interval Kasus khusus: Jika a = 0 dan b = 1, maka distribusinya disebut distribusi seragam baku (standard uniform distribution), dilambangkan dengan U(0,1).
Kurva fungsi padat peluangnya :
Fungsi padat peluang membentuk persegi panjang dengan lebar ( tinggi konstan yaitu
− 1
−
. Sebagai sebuah hasil, distribusi uniform (seragam) kontinu
sering disebut distribusi persegi panjang.
− − ≤ ≥ ≤ − − − − − − − − − − − − Fungsi distribusi kumulatif (fdk) dari X ~
0,
; ,
=
(a,b) berbentuk :
<
,
<
1,
=
=
Untuk x < a, maka
( )
=
0
=
Untuk a < x < b, maka Untuk x ≥ b, maka
) dan
=
=0
0
0
1
+
+
1
=
=
1
1
1
=
=
1
(
(
)
)=1
− − − −∞∞ − − − − −− − ∞ −∞
Teorama: Jika X~ (a,b) maka mean, varians, dan fpm-nya adalah: a. Mean ( + ) = 2
b. Varians ( 2 =
)2
12
c. Fungsi Pembangkit Momen (fpm)
=
Bukti:
a. μ = E[X] =
1
=
1
=
=
b.
2
1
2
2
=
(
2
+
2
1 2
( + ) 2
2
=
2
2
=
=
1
2
2
)
=
=
− − 1
2
1
1
3
3
− − − − σ − − − − −∞∞ − =
1
(
=
=
2
3
3
+
+
3
2
2
)
3
1 3
=
=
=
2
(
+
+
2
1
2
+
4
4
)
2
1
1
2
+
2
(
+2
+
2
1
2
)
Maka, 2 =
= = =
1
2
3
1
4
12 1
2
12 1
12
(
+
2
+
4
+4 2
+4
+
2
)2
c. Mx (t) = E [etx] =
=
1
2
2
+2 3
+
2
+6
2
+3
2
=
=
− −− 1
Contoh soal: 1. Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 6 jam. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam. a. Tentukan fungsi kepadatan peluang (fkp) dari X b. Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 4 jam atau lebih Jawab: a. a = 0, b = 6
≤≤ − 1
=
fkp dari X adalah
b. P(x ≥ 4) =
61
=
4 6
6
, 0
6
0,
1
6
6
4
=
6
4
6
6
=
2 6
=
1 3
2. Variabel acak kontinu menotasikan pengukuran arus pada kawat tembaga dalam miliamper. Jika diketahui bahwa f(x) = 0,08 untuk 0 ≤ x ≤ 24 . a. Tentukan peluang pengukuran arus berada antara 5 dan 10 mA b. Tentukan rata-rata dan variansi distribusi uniform arus kawat tembaga Jawab : a. P (5 < x < 10) =
− 10
= 10
5
5 0,08 = 5 × 0,08 = 0,4
b. Rata-rata dan variansi distribusi uniform arus kawat tembaga : a = 0 , b = 24 = E (X) = 2
(0+24)
= V (X) =
−
= 12 mA
2 (24 0)2 12
= 48 mA
3. Sebuah mesin roll menghasilkan lembaran baja dengan ketebalan berkisar antara 100 ≤ y ≤ 250 mm. Jika dianggap menganut distribusi seragam kontinu, tentukan: a. Fungsi distribusi peluang b. Rata-rata c. Variansi Jawab :
− −
a. f (y) =
b.
c.
= 2
1
=
1
250 100
( + )
(100+250)
2
2
=
= V (X) =
1
=
150
= 175 mm
−
(250 100)2 12
= 1875 mm
4. Diketahui U(-5,2) a. Tentukan fkp, fdk dan fpm dari X b. Hitung mean dan varians dari X Jawab: a. a = -5, b = 2
−≤≤ − − ≤≥ − −− − − − − − − − − 1
=
fkp dari X adalah
=
fdk dari X adalah
7
,
5
2
0,
0. +5 ,
1 7
<
5 < 2
5
1,
x
2
fpm dari X adalah: tx
Mx (t) = E [e ] =
=
2
1
5 2
5
1
=
2+5
1
7
(
2
5
)
b. Mean dan variansi dari X adalah:
=
2
( + )
=
2
=
)2
(
12
2+
5
2
=
2
=
( 5)
12
3
2
=
2
=
3 2
( 2 + 5 )2 12
=
72
12
=
49 12
Daftar Pustaka
Simbolon,Hotman.2009.Statistika.Yogyakarta: Graha Ilmu http://teknoindonesia.com/2014/03/distribusi-uniform-kontinyu-seragam/
http://www.hanapert.com/2012/11/distribusi-uniform-kontinu.html http://www.rumusstatistik.com/2014/09/distribusi-seragam-kontinu.html http://the-littleengineer.blogspot.co.id/2012/06/distribusi-uniform.html