TOPICOS DE MATEMATICA
DIVISIBILIDAD
Se llama múltiplo de un número al __ ______ _________ _____ de dich dichoo númer úmeroo por
INTRODUCCIÓN La suma suma,, dife difere renc ncia ia y prod produc ucto to de dos dos números números enteros enteros resulta siempre siempre enteros. enteros. Es lo que que suel suelee llam llamar arse se a vece vecess “Con “Conju junt ntoo cerrado” cerrado” de números números enteros, enteros, refiriéndo refiriéndose se a las las oper operac acio iones nes de adic adició ión, n, sust sustra racc cció iónn y multiplicación.
____________ número natural. ¿Cuáles son los múltiplos de 8? 8 x 1 = 8 8 x 2 =
DIVISIÓN Si un número A se puede dividir exactamente exactamente entre entre otro B se dice que: que: “A es divisible por B”. Ejemplo:
8 x 8 x
= =
8 x
=
¿Entre qué números se puede divid vidir exactamente 24 aparte del 1?
24 2 24 12 0
24 3 24 8 0
24 4 24 6 0
24 8 24 3 0
24 12 24 3 0
24 24 0
24 24 0
Una característica de la matemática es su lengua lenguaje je simból simbólico ico,, lo cua cuall permit permitee resu resumi mirr con conside sidera rabbleme lemennte lo que text textua ualm lmen ente te sería sería un poco poco difí difíci cill de entender.
6 4
24 1
24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Textualmente se tiene
Notación Simbólica
“A es múltiplo de B”
A=
24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los términos divisible y múltiplo están siempre asociados.
¿Entre que números es divisible 16? 16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____ porque:
64 16
16
B
OBSERVACIÓN: OBSERVACIÓN
Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
16
NOTA: NOTA :
8
16
0 Estas cantidades se pueden expresar como: 1m x 10 1m x 100 1m x 1000 1m x 1m x
= = = = =
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
I.
10 m 100 m 1000 m
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD DIVISIBILIDAD POR 2 ∗
m m
Divisibilidad por 2 = (21) Calc Calcul ulaa el resi residu duoo de las las sigu siguie ient ntes es divisiones: 47
÷
2 = _______ resto ________ 1
TOPICOS DE MATEMATICA
24 ÷ 320 ÷
2 = _______ resto ________ 2 = _______ resto ________
¿231 25 es divisible por 4? No, porque 25 no es múltiplo de 4 25 = 4 con resto _____
Un número es divisible por 2 si termina en ____ ______ ____ ____ ____ ____ o en núm númer eroo
23125 = 4 con resto _____
_________
23125 = 4 + _____
=
Ejm: 46 es divisible por 2 46 es múltiplo de 2 46 = 2
∗
Divisibilidad por 8 =
(2 3 )
Es divisible por 8 cuando sus _________ últi última mass cifr cifras as son son ____ ______ ____ ____ ____ __ o
87 no es divisible por 2 porque resta _______________ 87 se puede dividir entre 2 con resto _______________ 87 es múltiplo de 2 con resto _______________
múltiplo de _______________ ¿ 48 ab 35 ab 128 es divisible por 8? Si, Si, porq porque ue 128 128 ÷ 8 = ____ ______ ____ ____ __,, residuo _________
87 = 2 + resto
¿36894 211 es divisible por 8? ______, porque 211 ÷ 8 = ______ _______ _
59 _______ divisible por por 2 porque porque resta
resto ________
___________ 36894211 = 8 + _______
59 = 2 +
63 ______ ________ __ divisi divisible ble por por 2 porque porque
II. DIVISIBILIDAD POR 5n
resta ____________ ∗
63 = 2 +
∗
Divisibilidad por 5 = (51) ¿En qué cifra debe terminar un número para que sea divisible por 5? Veamos: 120 ÷ 5
resto ____________
Un núme número ro es divi divisi sibl blee por por 4 si sus sus _____ últimas ________ son
241 ÷ 5 482 ÷ 5
resto ____________ resto ____________
___________ ___________.
633 ÷ 5 684 ÷ 5
resto ____________ resto ____________
905 ÷ 5
resto ____________
(2 2 )
Divisibilidad por 4 =
o
múltiplo
Ejm: ¿ abc 4 84 es divisible por 4? Si, porque: 84 es múltiplo múltiplo de 4
abc abc 484 484
=
4
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
de
Para que un número sea divisible por 5 su última _________ debe ser _________ o _____________
2
TOPICOS DE MATEMATICA
120 = 5 241 = 5 + 1
48651 es divisible por 3 48651 = 3
633 = 5 + 684 = 5 +
¿352164 es divisible por 3?
3+5+2+1+6+4=
482 = 5 + 905 = 5 +
______ múltiplo de 3
∗
Divisibilidad por 25 =
352164 __________ divisible por 3. ¿368851 es divisible por 3? No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31
( 5 2)
Un número es divisible por 25 cuando sus _______________ cifras son ________ o múltiplos de ___________. Ejem: es divisible por 25 porque sus 2 últimas cifras son ___________
31 ÷ 3 = ______ resto _____ 31 = 3 + = 368851 = 3 +
abc 00
¿48575 es divisible por 25? ________ porque 75 ________ múltiplo de 25.
¿Cuál es el resto en: 48abc28 25 + resto?
∗
Un núme númerro es divi divisi sibble por 9 si la ___ _____ ____ ____ ____ de sus sus ____ ______ ____ __ es ________ de 9. Ejm: ¿4329918 es divisible por 9? Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36 36 ÷ 9 = 4
=
4329918 = 9
Rpta.: _____________ ¿Cuá ¿Cuánd ndoo un númer númeroo será será divi divisib sible le por por 3 125 = 5 ? Rpta.: _____________
¿72652 es divisible por 9? No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22 22 ÷ 9 = ______ resto ______ 22 = 9 + = 72652 = 9 +
III. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9 ∗
Un número es divisible por 3 si la ______ de sus ________ es ___________ de 3. Ejm: ¿48651 es divisible por 3? Solución:
4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24 24 es múltiplo de 3 Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
IV. DIVISIBILIDAD POR 11 ¿84436 es divisible por 11? ¿Cómo saberlo? PASO 1.Empezando por la cifra de la derecha (6) se suman de manera intercalada las cifras. 3
TOPICOS DE MATEMATICA
1. 8 4 4 3 6
Completar en los espacios en blanco adecuadamente
6+4+8
PASO 2.A este resultado se le resta la suma de las cifras que quedaron.
2.
Si un número termina en cero o cifra par entonces será siempre divisible por _____ Si un número termina en cero o cifra 5 entonces será siempre divisible por _____
Rela Relaci cion onee amba ambass colu column mnas as:: I.
8 4 4 3 6 = (6 + 4 + 8) – (4 + 3) 3.
= 18 – 7 = 11 = 11
84436 es divisible por 11 Si el resu result ltado ado fuer fueraa cero cero tamb tambié iénn será será divisible por 11. ∴
II. 81423
(
) 2 ) 3
III. 26132
(
) 5
5 1 0 3 0 5 0 7
4.
El númer númeroo ab 46 es divi divisi sibl blee por por 4 ( ) El número abba es divisible por 11 ( ) El número número ab 25 es divi divisib sible le por por 25 ( )
Hallar “a”, si:
(7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5)
483 a
16 – 5 = 11 = 11
a) 4 d) 1
∴
(
Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
¿51030507 es divisible por 11?
4125
51030507 es divisible por 11
5.
=
25
+
8
b) 3 e) 0
c) 2
Hallar “a”, si:
a36482 a
¿Cuál es el valor de “a”? Si: 548429 = 11 + a 6. 5 4 8 4 2 9
+
Ejercicios de Aplicación
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
2
b) 1 e) 4
=
a) 0 d) 4 7.
b) 2 e) 5
=
=
a) 7 d) 8 8.
c) 3
Halla allarr el el val valoor de de “a” “a” si: si: b3a 11 y 4b 5
=
c) 2
Halla allarr el el val valoor de de “a” “a” si: si: 7 a6 3 y 4bca 5
17 – 15 = 2 2 ÷ 11 = ____ resto
+
=
(9 + 4 + 4) – (2 + 8 + 5)
548429 = 11 a=
9
a) 0 d) 3
=
b) 5 e) 0
Si: b43b 5 Calcular el residuo de dividir: 9.
c) 9
=
437 b
entre 4
TOPICOS DE MATEMATICA
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Pero el mayor es 6. ∴
9.
Si: 864 864 a 11 Calcular el residuo de dividir: 4.
=
dba 8
entre
a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
10. ¿Cuánt ¿Cuántos os múlt múltipl iplos os de de 8 hay hay en: en: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 300? a) 30 d) 37
b) 33 e) 38
a) 60 d) 90
b) 70 e) 100
Hallar el MCM de 12 y 18.
c) 34
Múltiplos
c) 80
b) 28 e) 32
b) 71 e) 74
12 , 24 24 , 36 36 , 48 48 , 60 60 , 72 72 , …
18 :
18 , 36 36 , 54 54 , 72 , …
Pero el menor es 36: c) 30
∴
36 es el mínimo común múltiplo de 12 y 18.
MCM (12, 18) = 36
13. ¿Cuánt ¿Cuántos os múlt múltipl iplos os de de 11 11 hay hay en: 4; 5; 6; 7; … ; 787? a) 70 d) 73
12 :
Múltiplos comunes de 12 y 18: 36 y 72, 72, …
12. ¿Cuánt ¿Cuántos os múlt múltipl iplos os de de 9 hay hay en: en: 21; 22; 23; … ; 287? a) 29 d) 31
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Es el menor múltiplo que tienen en común dos o más números. Ejm:
11. 11. ¿Cuá ¿Cuánt ntos os múl múlti tipl plos os de de 7 hay hay en: en: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 564?
c) 72
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
6 es el máximo común divisor de 12 y 18. MCD (12, 18) = 6
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) Es el mayor divisor que tienen en común dos o más números. Ejm:
MÉTODOS DE CÁLCULO DEL MCD Y MCM I.
Por descomposición canónica
∗
Hallar el MCD y MCM de 40 y 60.
Paso 1: 40 20 10 5 1
12 :
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
18 :
1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18
divisores comunes de 12 y 18: 1, 2, 3, 6 Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
2 2 2 5
60 30 15 5 1 = 23 x 5
Hallar el MCD de 12 y 18 Divisores
Desco scomposic sición ca canónica 2 2 3 5 = 22 x 3 x 5
40 = 23 x 5 60 = 22 x 3 x 5
Paso 2: 2:
Comparación: 5
TOPICOS DE MATEMATICA
Para el MCD
60 30 15 5
Coloco a los menores o iguales
23
>
22
22
5
=
5
5
¿Qué pasa con el 3? Como no hay con quien compararlo no se coloca
MCD (40, 60) = 22 x 5 = 20
∴
>
22
23
5
=
5
5
MCD (40, 60) = 23 x 5 x 3 = 120
AHORA TÚ: ∗
Halla el MCD y MCM de 54 y 30.
∗
Halla el MCD y MCM de 36 y 48.
La descom descompos posici ición ón simult simultáne áneaa para para el MCM llega a su fin cuando se obtienen puros unos.
AHORA TÚ:
a) b)
Paso 2: ⇒
2 2
Analizo: 15 y 21 no tienen divisor 2
Pruebo con divisor 3, luego 5, luego 7 y así sucesivamente
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
1 2
¿Pero 7 tiene divisor 7 pero 1 no? No importa se sigue dividiendo.
Se desc descoompo mpone a todo todoss a la vez vez. 60 - 84 30 - 42 15 - 21
2 2 3 5 7
2.
∗
Paso aso 1:
84 42 21 7 7 1
¿Pero 5 tiene divisor 5 pero 7 no? No importa se sigue dividiendo.
II. Por descomposición simultánea Hallar el MCD y MCM de 60 y 84
– – -
1.
∗
Para el MCM Se sigue dividiendo, no importa si solo uno tiene divisores diferentes del otro. 60 30 15 5 1 1
3
¿Qué pasa con el 3? Como no hay con quien compararlo se coloca
2 2 3
MCD (60 y 84) = 22 x 3 = 12
Coloco a los mayores o iguales
23
84 42 21 7
Como 5 y 7 son PESI entonces: La descomp descomposi osició ciónn simult simultáne áneaa para para el MCD llega a su fin.
Paso 3: Para el MCM
-
Hallar el MCD y MCM de: 45 y 35 240 y 180
CONCLUSIONES ∗
∗
Para el MCD : La desc descom ompo posi sició ciónn simu simult ltán ánea ea acab acabaa cuando se obtienen números PESI. Para el MCM M CM : La descomposición simultánea llega a su fin cuando se obtienen puros unos.
Además: 6
TOPICOS DE MATEMATICA
Para 2 números: Ejm:
a) 1 d) 4
MCM(A, B) x MCD(A, B) = A x B
MCD(40, 60) = 20 MCM(40, 60) = 120
5.
A = 40 B = 60
120 2400
6.
7.
2
Si el MCM de dos números es 2 x 3 x 5 x 7 y el producto de estos números números es 24 x 32 x 5 x 7. 7. Hallar su MCD.
Ejercicios de Aplicación
) = 14. Hallar (a + b)
9.
b) 22 x 34 e) 24 x 33
10. 10. c) 23 x 33
4
A=2 x3 B = 2n–1 x 32 x 52 b) 2 e) 5
c) 3
4. Hall Hallar ar el valo valorr de de “n” “n” si el MCD MCD de A y B tien tienee 24 divisores. A = 3n x 52n+1 x 7 B = 32n x 2 x 5n + 2
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
c) 6
b) 3 e) 6
c) 4
b) 80 e) 140
c) 100
Calcular el MCM de: i) 360 y 150 ii) 82 y 7 iii) 27 y 54
3. Hallar el el va valor de de “n “n” si si el el MC MCD de A y B tiene 15 divisores.
a) 1 d) 4
b) 5 e) 8
Si MCD ( 7 a, (2a) a ) = 6. Hallar “a”
a) 60 d) 120
A = 22 x 33 x 7 x 1110 B = 23 x 34 x 56 x 1310 a) 2 x 32 d) 22 x 33
c) 4
8. Un negoc gociante tiene 3 barriles de vino de 360 360, 480 480 y 600 600 litr litroos, dese deseaa ven vender derlos los en recipientes pequeños de modo que no sobre ni falte vino en ninguno ninguno de los barriles. barriles. ¿Cuál es la máxima máxima capacidad de los recipientes?
Hallar el MCD de A y B si:
n
4b
a) 2 d) 5
Hallar el MCD de: i) 72 y 86 ii) 135 y 90 iii) iii) 54 y 144 144
2.
Si MCD( 5 a,
b) 10 e) 18
a) 4 d) 7
Ejm:
1.
Hallar el MCD de A y B:
a) 12 d) 6
= 40 x 60 = 2400
c) 3
A = 4 x 9 x 15 B = 2 x 6 x 14
MCM(40 , 60) x MCM(40, 60) = 40 x 60 20
b) 2 e) 5
Halla allarr el el MCM MCM de A y B si: si: A = 23 x 54 x 76 B = 22 x 5 x 11 a) 23 x 54 x 76 x 11 11 b) 22 x 5 c) 23 x 11 x 76
d) 54 x 76 x 22 x e) 54 x 116 x 7
11. 11. Halla allarr el el valo valorr de de “n” “n” si el MCM MCM de de A y B, tiene 60 divisores. A = 2n + 1 x 34 x 7 B = 22n x 35 a) 0 d) 3
b) 1 e) 4
c) 2
7
TOPICOS DE MATEMATICA
12. 12. Halla allarr el el val valoor de de “n” “n” si si el el MCM MCM de A y B tiene 48 divisores (“n” es un número primo) O sea que: 16 = 121 (3)
A = nn x 23 x 112 B = n x 11 x 22 a) 1 d) 5 13.
b) 2 e) 7
Si MCM ( 9 a, a) 4 d) 9
14.
4b
c) 3
) = 90. Hallar (a + b) b) 6 e) 10
c) 8
b) 7 e) 4
c) 6
15. El MCM MCM de A y 36 36 es es 180 180 y su MC MCD es 9. 9. Hallar el valor de A. a) 45 d) 40
b) 30 e) 48
De las cifras: Las cifras cumplen las siguientes condiciones Pertenecen a Z (cifras ε Z) Son menores que la base (cifras < n) La cifra máxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1) Toma Tomann valo valore ress ente entero ross menores que la base. 22 Si la base “n”; se pueden utilizar en las cifras •
Si MCM ( 9 a, 2a ) = 196 a) 8 d) 5
Otro ejemplo: representar el número 17 en base 5
c) 35
cifra
SISTEMA DE NUMERACIÓN Concepto Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para representar y expresar a los llamados numerales
cifra significativa cifra no significativa •
11
Undecimal
12
Duodecimal
6
“Nos indica que se agrupará de “n” en “n” en dicho sistema” La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2 n ≥ 2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........}
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
7 8 9 10
Sistema de Numeración Binario o Dual Temario Cuartenario Quinario Senario y Sexanario Heptanario Octanario Nonario Deci Decima mall o Decu Decupl ploo
2 3 4 5
→
Entonces la base mínima: n= 2 Veam Veamos os en form formaa graf grafic ica: a: repr repres esen enta ta el número 16 en base 3
Principales sistemas de numeración Base
Principios: • Del Orden Toda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza de uno y se encuentra a la derecha a izquierda. • De la Base Es un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración. Ejemplo 342 n base
-
0, 1, 2, 3, 4, ............., (n – 1) 1) máxima
•
Cifras 0,1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, ........... 5 0, .......... ......, 6 0, .......... ......, 7 0, ...........; 8 0, .... .................,., 9 0, ..........., 9, (10) 0, .... .................,., 9(10), (11)
Representación Literal de Numerales: Numeral de 3 cifras de base “n” : abc (n) 8
TOPICOS DE MATEMATICA
Numeral de 4 cifras de
-
Ejemplo: Convertir 542(7) a base 10
base “n” : abcd (n ) ab
-
cifras:
:
numeral
de
2
23
Resolución 542(7) = 5 . 72 + 4 . 7 + 2
(10, 11, 12, ................ 98,
-
99)
= 245 + 28 + 2 = 275
: numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999) aaa : numeral de 3 cifras iguales: (111, 222, 333, ..........., 999) abc
-
: numer umeral al de 3
18 ab
-
cifras que empiezan en 18. (1800, 1811, 1812, .......) a( a
-
O sea que: 542(7) = 275
C.
1)( a
+
25
2) Numer
+
M. Practico: Sube y Baja Convertir 215(6) en base 10
al de tres cifras consecutivas. (123; 456; 567.....) -
CAMBIOS DE BASE EN Z: O sea que: 215(6)= 83
Caso N° 1: De base “n” a base 10 existen tres métodos: Ruffini Descomposición polinómica Practico: sube y baja A.
Convertir 542(7) en base 10
M Ruffini: Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10 Resolución O sea que: 215(6)= 83 O sea que: 215(6) = 83
24
Ejemplo Convertir 127(8) a base 10.
Caso N° 2: De la base 10 a base “n” El único método es el de divisiones sucesivas Ejemplo: Convertir 1234 a base 5
O sea que: 127(8) = 87 B.
Resolución
Descomposición Polinómica Ejemplo: Convertir 324(6) a base 10
Ejemplo: Convertir 431 a base 4
Resolución 324(6) = 3 . 62 + 2 . 61 + 4 = 108 + 12 + 4 = 124
26
O sea que: 324(6) = 124 Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
9
TOPICOS DE MATEMATICA
Ejemplo: Convertir 500 a base 9 Ejemplo N° 01: Hallar “a” Siendo: Caso N° 03: De base “n” a base “m”
abc ( 4)
=
2 pr ( 7 )
Resolución
Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeración undecimal Resolución
a>2 ∧a<4 ⇒ 2 < a < 4 →. a = 3 .
Convertir 152(7) a base
A.
10
Ejemplo N° 02: Hallar “m” si 200 (m) = 102(4) Resolución Osea 152(7) = 86
2 < m < 4 →. m = 3 . Halla el número 86 conv conver erti tirr a base base 11 a trav través és de divi divisi sion ones es sucesivas. B.
Ejemplo N° 03: Hallar “m” 144(6) = 224(m) Resolución
Ejemplo: convertir 401(6) a base 4 A)
4 < m < 6 27 ∴m = 5 PROBLEMAS APLICATIVOS 1. Convertir el desarrollo a base 5. 2 . 5 3 + 1 . 52 + 2 . 5 + 4 Resolución Analicemos:
B)
PROPIEDAD FUNDAMENTAL:
Convertir el desarrollo a base 7. 1.7 +4.7+3 2.
3
Dado: abc (n ) Si: abc pqr Si: abc pqr
=
>
<
28
pqr ( m )
n m →
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
Resolución Analicemos
10
TOPICOS DE MATEMATICA
107 908
A) C)
Convertir el desarrollo a base 3. 2 . 34 + 1 . 33 + 10 3.
B) D)
706 24
1
Resolución 3.
Hallar el valor de a + b + c
si:
abc abc ( 7 )
=
318(9) Rpta.
O sea: 4.
29
Determinar el valor de “n” Si: nn 2 (8) = 218 Rpta.
30 Convertir el desarrollo a base 8 5 . 85 + 17 4.
5.
Resolución Analicemos 5 . 85 + 17
Hallar “a + b”, si se cumple 7a 3(b ) = 586(9)
Rpta.
2 . 8 +1
6.
Luego tenemos:
Hallar “a + b ” si se cumple: ab 6(8) = 3232(4) Rpta.
Convertir el desarrollo a base 11 10 . 113 + 9 . 112 + 10 . 11 + 3
7.
5.
Resolución
Si los numerales están correctamente escritos: 210(a); 21 b ( 5) ; 1aa (b ) Hallar “a . b” Rpta.
Analicemos: 8.
Pero sabemos que: Luego: α 9 α 3(11)
α ≡
10.
Si los numerales están correctamente escritas 705(m); 8m0 (n ) ; 2n7 Hallar: m + n Rpta.
Ejercicios:
1.
Convertir a base 10, cada caso: 341(
A) 5)
C) 4)
203(
9.
100
B)
001(2) D) 8)
107(
Hall Hallar ar “m/n” “m/n”;; si los siguie siguiente ntess numera numerales les están están correctamente correctamente escritos 211(n); n 2p (m ) ; m 23 (5)
Rpta. Suma de Números Enteros
2.
Convertir a base 3, cada caso:
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
11
TOPICOS DE MATEMATICA
Concepto.- Es la operación binaria que, dados 2 enteros a y b llamados dos suman mandos, hace corresponder un tercer entero S llamado suma.
2. Indi Indica carr el el inv inver erso so adit aditivo ivo de 5: a) +5 d) 1/5
i)
S = 15 + 3 S = 18
ii)
S = 22 + 45 + 18 S = 85
b) 5 e) -1/5
Comp Comple leta ta los los casi casillller eros os vací vacíos os y dar dar como como respuesta la mayor de las cifras. 3. 3
¡¡Qué fácil! Ahora sumemos números negativos.
c) -5
8 5
7
4
9 3
7
6
2
3
1 5 2
2
+
9 Rpta.
iii) S = (-15) + (-13)
4.
PROCEDIMIENTO Se procede de la misma manera que se suman los números positivos con la única diferencia que el signo del resultado de la suma será (-).
7 3
3 6
5 7
8
9
+
3 2
1 5 3
S = - (15 + 13) = -28 Rpta. S = (-13) + (-8) S = -(13 + 8) = -21 v)
5. 3 7
S = (-15) 15) + (-6) + (-9) S = -(15 + 6 + 9) = -30
Ahora Practica Tú 1) 2) 3) 4) 5) 6)
9
6. 8
S = 15 + 6 + 12 = S = (-8 (-8)) + (-9 (-9)) + (-1 (-13) 3) = S = 42 + 48 48 + 80 = S = (-34) (-34) + (-12) (-12) + (-10) (-10) + (-8) (-8) = S = (-15 (-15)) + (-16 (-16)) + (-12) (-12) = S = -6 -6 – 7 – 13 13 – 29 29 =
2
3 6 1 8
2
3
Indic Indicar ar el elem elemen ento to neut neutro ro de la suma suma.. b) -1 e) 0
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
+
2 6
3 7
1
5 2
9
5 3
3 6
1 9 Rpta.
APLICACIÓN
a) +1 d) a
3
Rpta. +
9 3
EJERCICIOS DE 1.
9
c) –a
Comp Comple leta ta los los casi casillller eros os vací vacíos os y dar dar como como respuesta la suma de dichos casilleros. 7.
5
7 3
+ 12
TOPICOS DE MATEMATICA
4
9 5
2 3
3
3 3
a) 20 d) 31
6
9 9 9 3 3 5 8
5 3 6
9
+
a) -27 d) -15
4
b) -1 e) -16
a) 71 d) 70 3 5 2 3
2 9
7
4
2
b) 52 e) 69
c) 72
1 +
6
7 8
c) -14
15. Se tiene tienenn 51 número númeross enter enteros os conse consecut cutivo ivos. s. Si el menor es 20. Hallar el número mayor.
Rpta.
9.
c) 30
14. 14. La suma suma de 2 núme número ross ente entero ross nega negati tivo voss es -28. -28. Hallar Hallar el mayor mayor sumando sumando que que cumple cumple está condición.
Rpta. 8.
b) 21 e) N.A.
Simplificar:
16. 16. M = +12 +12 + 39 + 42 + 83 =
2
17. 17. N = 981 981 + 1293 1293 + 193 19399 =
Rpta.
18. 18. O = -491 -491 – 490 490 – 992 992 = 10. 10.
1
5
9
3
6 2 3
5 1
6 7
7 8 9 5 2
4
+
19. 19. Q = -582 -582 – 583 583 – 592 592 = 20. 20. R = -67 -6722 – 693 693 – 963 963 =
Resta de Números Enteros
Rpta. 11. Carla Carla tiene tiene $20, $20, Soni Soniaa tiene tiene $50 más más que que Carla Carla y Gloria Gloria $5 más de lo que tiene tiene Sonia. Sonia. ¿Cuánt ¿Cuántoo dinero tienen entre las 3 juntas? a) $ 75 d) 105
b) 85 e) 115
c) 95
b) 50 e) N.A.
M = S +D
Diferencia
1)
4
8
5
3
2
8
5 3
7 2
9 7
-
c) 30
13. La suma suma de 3 númer números os entero enteross consecu consecutivo tivoss es 90. Hallar el número intermedio. intermedio. Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
Minuendo
→
Sustraendo
12. Jesús tenía 20 años años cuando cuando nació nació su su hija hija Betty. Betty. Actualmente Actualmente Betty Betty tiene 20 años. ¿Cuánto ¿Cuánto suman las edades actuales de Jesús y Betty? a) 40 d) 60
M – S = D
2)
13
TOPICOS DE MATEMATICA
ii) S = +12 + (9 - 6) + (6 - 8) = +12 + (+3) + (-2) = +1 +12 + 3 – 2 = 13
¡Qué fácil! ¡Ahora práctica tú!
Todo signo de colección parecido por un signo “-” puede ser eliminado, escribiendo luego los número númeross conten contenido idoss en su interi interior or con su signo cambiado.
2.
Completa los casilleros vacíos en los siguientes ejercicios. 1)
5
2
3
4 5
3)
9
9
2
8 3
2) 4 2
9
4) 7
2 3 7 7 7
3
S = -(15 – 16 – 32 - 19) S = -15 + 16 16 + 32 + 19 S = +67 - 15 = + 52
3 2
3
2 -
i)
1
6
9 6 5
3
ii) S = -(-95 + 33 + 96 - 32) = 95 – 33 – 96 + 32 = +127 – 129 = - 2
9 2
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
5)
4 2 5
3
-
6) 9
7
1 6 9 8
7)
7
9 5
8
-
8) 6
3
2 4 3 1
4
5 5 3
7 6
2
6 3 3 3 2 1
1)
-
Completar los casilleros vacíos: 1
2) 4 2
8 2
7
3
4
1
2
3) 1 5 4 6 5 8 9 3
4) 7 3
3 2
3
6
2
9 1
6
9 6 5
3
9 2
REGLA DE SIGNOS:
Todo Todo sign signoo de colec colecci ción ón (par (parén énte tesi siss ( ); corchetes [ ]; llaves { }; precedido por un signo +; puede puede ser supr suprim imido ido,, escr escrib ibien iendo do los los núme número ross contenidos en su interior cada uno con su propio signo). 1.
i) S = + 5 + (15 + 10) 10) + (15 - 9) = + 5 + (+25) + (+6) = +5 + 25 + 6 = +36 Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
5)
4 8
9
9 -
6)
3
7 9 1 9
5 2 1 1
7)
2 2
5 1
Comp Comple leta tarr los los casi casillller eros os vací vacíos os y dar dar como como respuesta la cifra mayor. 4 4
5
14
TOPICOS DE MATEMATICA
3 1 1
2
1 8
2 9
a) 1 d) 4 8)
b) 2 e) 5
1 5
3
8
-
7
5 6
4 3
a) 5 d) 8 9)
b) 6 e) 9
9 5
3 4 3
c) 3
7
6
2
c) 7
b) c) d) e)
Dism Dismin inuy uyee 320 320 Aume Aument ntaa 140 140 Dism Dismin inuy uyee 140 140 No aume aumenta nta ni ni dismin disminuye uye
14) Si al minuend minuendoo de una sustrac sustracción ción le sumam sumamos os 53 y al sustraendo le restamos 17. ¿En cuánto varía la diferencia? a) Aumenta 70 70 b) Dism Dismin inuy uyee 70 c) Aumenta 36 36 d) Dism Dismin inuy uyee 36 e) N.A. 15) La suma suma de 11 números números enter enteros os consecu consecutivo tivoss es 99. Hallar la diferencia entre el mayor y el menor.
-
5 3
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
16) 16) M = -(15 -(15 – 16 16 – 9 + 8) = 10) 5 3 3
3
a) 5 d) 8
9
17) N = -(13 -(13 + 19 -6) -6) + (9 – 7 - 5) 5) =
2 1 3 2
18) P = -(30 -(30 + 26 - 93) 93) – (15 (15 - 16) 16) =
3 b) 6 e) 9
c) 7
20) R = -(7 -(7 + 6 - 9) 9) – (3 – 3 - 6) =
11) 11) Si los 3 térmi término noss de una una sustra sustracc cció iónn suman suman 144. Hallar el minuendo. minuendo. a) 24 d) 48
b) 36 e) 60
c) 72
12) 12) Si los 3 térm término inoss de una sustra sustracc cció iónn suma sumann 360. 360. Hallar Hallar la suma suma del sustr sustraen aendo do más la diferencia. a) 90 d) 360
b) 270 e) 135
19) Q = -(8 -(8 – 9 – 7 – 13) 13) + (15 - 9) =
c) 180
Operaciones Combinadas de Adición y Sustracción i) Efectu Efectuar: ar: (+9) (+9) + (+5) (+5) – (-6) (-6) + (-4) (-4) – (+7) (+7) + (-6) (-6) PROCEDIMIENTOS •
•
• •
13) Si al minuend minuendoo de una sustrac sustracció ciónn le sumamos sumamos 230 230 y al sustr sustrae aend ndoo le suma sumamo moss 90. ¿En ¿En cuánto varía la diferencia? a) Aume Aument ntaa 320 320 Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
Elimina los paréntesis: + 9 + 5 + 6 – 4 – 7 – 6. (siguiendo regla de signos) Agrupa Agrupa los los enteros enteros posit positivo ivos: s: +9 + 5 + 6 = +20 Agrupa los enteros negativos: -4 – 7 – 6 = -17 Reúne ambos resultados: +20 -17 = +3 Y aplica lo ya establecido.
ii) Reduci Reducir: r: (-5) (-5) + (-3) (-3) – (-7) (-7) – (+4) (+4) + (-9) (-9) 15
TOPICOS DE MATEMATICA
• • • •
Elimina los paréntesis: Positivos: Negativos: Reúne ambos resultados: ¡Qué fácil Verdad!
SIGNO DE COLECCIÓN
Se usan para realizar agrupaciones. Estos son: • Paréntesis : ( ) • Corchetes : [] • Llaves : {} i) Efectuar: E = -8 + {-2 + 5 – [-7 – (3 + 6 - 2)] - 9}
2. Calcul Calcular ar el el valor valor de las las sigu siguien ientes tes oper operaci acione oness combinadas: a) -5 – [-17 [-17 + (15 (15 -6)] + (-15 - 8) – {-1 {-1 + (8 - 9) + (7 - 10)} b) -13 – {-4 {-4 + [9 + (-5 (-5 – 6 + 12) 12) + (-2)] (-2)] - 5} c) -15 -15 + {-3 {-3 – [8 – 4 + (6 (6 - 1)] 1)] + 12 – [6 [6 – (5 11)]} d) -14 – {-9 {-9 – [15 – (16 (16 + 31)] 31)] – [-12 + (-8 - 7)]} e) –{4 –{4 – 15 – [7 – (3 (3 – 2 - 6) - 8] 8] – [-3 [-3 – (7 5)]} 3. Hall Hallar ar las las cifra cifrass que deb debem emos os escr escrib ibir ir en los los casilleros para que la operación sea correcta. Dar la suma de las cifras halladas. 7 9 2 + 3 5 6 3 2 9 8
PROCEDIMIENTOS •
•
Suprimir los signos de colección, empezando por los más internos. Para Para supr suprim imir ir paré parént ntesi esiss (o corc corchet hetes es o llaves). Efectuamos las operaciones indicadas indicadas al inte interi rior or,, tran transf sfor ormá mánd ndol olas as en un solo solo núme número ro.. Lueg Luegoo apli aplica ca lo estab estable leci cido do anteriormente.
E = -8 + {-2 + 5 – [-7 – (+7)] - 9} E = -8 + {-2 + 5 – [-7 - 7] - 9} E = -8 + {-2 + 5 – [-14] - 9} E = -8 + {-2 + 5 + 14 - 9} E = -8 + {+8} = 0
ii) Reducir: F = [-3 – 5 + 9] – (-2 – 4 – (-2 + 5 - 3) - 7) – 9 F=[ ] – (-2 – 4 – ( ) - 7) – 9 F=[ ] -( )–9 F= 1. Efec Efectu tuar ar las las sigu siguie ient ntes es oper operac acio ione nes: s: a) -38 -38 + (16 (16 - 30) 30) = b) -125 – (27 – (-26)) (-26)) + (-37 (-37 + 12) = c) 8 – 13 + (16 - 25) – (52 – 19 + 17) 17) = d) -16 + (-7) – (38 - 17) – (-15 - 19) = e) 26 – (9 (9 – 18 - 6) – (-12) (-12) – (16 - 9) – 12 = Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
a) 12 d) 9
b) 11 e) 8
c) 10
4. Calc Calcul ular ar el valo valorr de las las cifra cifrass que debe debemo moss escribir en los recuadros para que la operación sea correcta. Dar la cifra mayor. 5 8 2 7 1
+
4 9 6 3 2 8 5
a) 6 d) 5
b) 7 e) 8
c) 9
5. En la sig sigui uien ente te oper operac ació iónn ¿Cuál ¿Cuál es la la menor menor de las cifras a colocarse en los casilleros para que la diferencia sea la correcta? 7
2 2 5 3 9
a) 6 d) 2
b) 0 e) 3
9 c) 1
6. La diferencia de 2 números es 28, si al minuendo minuendo y sustraendo sustraendo le quitamos. quitamos. ¿Cuál es es la nueva diferencia? 16
TOPICOS DE MATEMATICA
a) 53 d) 3
b) 28 e) 13
c) 25
7. Jorg Jorgee compr compraa un T.V. T.V. en S/. S/. 700 700 y lo quier quieree vender vender ganand ganandoo S/. 150. 150. ¿En cuánt cuántoo debe vender el T.V.? a) S/. 550 d) 700
b) 850 e) 750
c) 150
8. Lilian Lilianaa se pone pone a dieta dieta,, el primer primer mes mes bajo bajo 900 gr.; el segundo mes bajo 200 gr. menos que el mes anterior, el tercer mes subió 250 gr. y el cuarto mes subió 300 gr. más que el mes anteri anterior. or. ¿Cuánt ¿Cuántos os gramos gramos bajó bajó Liliana Liliana al finalizar el cuarto mes? a) 1100 gr. d) 1150 gr.
b) 1400 gr. e) 800 gr.
c) 1050 gr.
9. En un un jueg juegoo un apos aposta tado dorr gana gana S/ 35 lueg luegoo pierde S/. 22, después pierde S/. 8 y por último gana S/. 21. 21. ¿Cuánto ganó o perdió? a) S/. 13 d) 26
b) 43 e) 16
c) 5
b) 130 e) 250
c) 380
11. Un buque factoría ha pescado una gran cantidad de atún y se dispone dispone a congelarlo. En su cáma cámara ra frig frigor oríf ífic icaa la temp temper erat atur uraa desc descie iend ndee a 4ºC cada cada 7 minut minutos os.. Si al princi principio pio la cámar cámaraa está a 12ºC. 12ºC. ¿Cuánt ¿Cuántoo tiempo tardará en alcanzar -16ºC? a) 21 d) 42
b) 28 e) 49
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
a) 80 km/h d) 90 km/h
b) 110 km/h e) 100 km/h
c) 130 km/h
13. 13. Un eleva elevado dorr esta estaba ba en el piso piso 18, baja baja 16 pisos, subió 11 pisos y luego luego bajo 5 pisos. ¿En qué piso se encuentra ahora? a) 5 d) 2
b) 6 e) 8
c) 12
14. 14. Un subm submar arin inoo nort nortea eamer merica icano no,, se encu encuen entra tra en el Golfo Pérsico a 350 m bajo el nivel del mar, debido a fallas, tiene que descender 77 m. Más tarde decide subir 118 m. ¿A qué profundidad se encuentra el submarino? a) 422 m d) 159 m
b) 309 m e) 359 m
c) 232 m
Multiplicación de Números Enteros
10. 10. Tuli Tulioo aper apertu tura ra una una cuen cuenta ta de ahor ahorro ro en el banco con S/. 500, deposita S/. 150, luego retira retira S/. 100; posteriorme posteriormente nte retira retira S/. 250 por el cajero automático; finalmente hace un retiro en caja del banco por un monto de S/. 170. ¿Cuánto le queda en el banco? a) S/. 230 d) 30
12. Un automovilista se desplaza por la Panamericana sur a una velocidad de 80 km/h, lueg luegoo aume aument ntaa su velo veloci cida dadd en 30 km/h km/h,, post poster erio iorm rmen entte vuel vuelve ve a aume aumenntar tar su veloc velocid idad ad en 20 km/h km/h;; luego luego dism dismin inuy uyee su velocidad velocidad en 40 km/h. km/h. ¿A qué velocidad velocidad se desplaza el automovilista?
c) 35
1. Multiplica: a) (-8) (-8) x (-7 (-7)) x (6) (6) = b) (-5) (-5) x (-2) (-2) x (-3) (-3) x (2) (2) = c) (4) (4) x (9) (9) x (-6) (-6) x (-1) (-1) = d) (3) (3) x (8) (8) x (4) (4) x (-1 (-1)) = e) (7) (7) x (-3) (-3) x (5) (5) x (2) (2) = 2. Escr Escrib ibee en el cuad cuadra rado do el núme número ro que que hace hace verdadera la igualdad y la propiedad utilizada. a) (-8) x (+12) =
x (-8)
………………………………… b) (-24) x
=
-24
………………………………… c) [(-5) [(-5) x (-4)] (-4)] x (-6) (-6) = (-5) (-5) x [ x (-6)] (-6)] ……………………………… … 17
TOPICOS DE MATEMATICA
3. La dife diferen rencia cia de de un númer númeroo y el triple triple de de -4 es -8. ¿Cuál es el número? a) -20 d) 4
b) 12 e) -4
c) -12
4. La sum sumaa de 2 núme número ross es -12 -12 y su prod produc ucto to es +35. Hallar el mayor. a) -7 d) 5
b) 7 e) N.A.
c) -5
5. El trip triple le de de un núme número ro aume aumenta ntado do en 8 es igua iguall a -10. ¿Cuál es el número? a) 6 d) -12
b) -18 e) -6
c) 18
6. El domi domingo ngo nevó nevó en la la ciuda ciudadd de Puno Puno,, se form formóó una capa de 78 cm. de nieve y si la capa de nieve disminuye en promedio 5 cm. Cada día. ¿Cuál será el espesor de la capa de nieve 6 días después? a) 48 cm. d) 58
b) 38 e) 68
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
c) 108
18
TOPICOS DE MATEMATICA
Prof. Lic. Feliciano Olarte Lima
19