01966_20110920_SK_2_pisana_predavanja_AGF_2011.pdf

UNIVERZITET U BANJOJ LUCI AR A RHIT ITE EKTONSK SKO O – GRAĐEVINSKI FAKULTET

STATIKA KONSTRUKCIJA Pisana predavanja (interna upotreba) Doc. dr Ilije M. MILIČIĆA, dipl.inž.građ.

2011

2

STA STATIKA KONSTRUKCIJA 2 Pisano predavanje 1

Pripremio: Doc. dr Ilija M. MILIČIĆ, dipl.inž.građ.

Literatura: Đurić, M., Jovanović, P.: Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977.

TEMA:

TEHNIČKA TEORIJA – SAVIJANJA PRAVOG ŠTAPA U RAVNI

PRETPOSTAVKE I OSNOVNE JEDNAČlNE – DEFORMACIJA ŠTAPA

Pod uticajem spoljašnjih sila štap se deformiše. Na slici 1.1. prikazan je prav štap ik pre i posle deformacije. Pri ravnoj deformaciji štapa njegova osa i posle deformacije leži u jednoj ravni – ravni deformacije. U toj ravni ćemo uvesti koordinatni sistem Oxy tako da se osa x poklapa sa nedeformisanom osom štapa.

Pri deformaciji osa štapa prelazi iz položaja ik u položaj i'k'. Tačke ose trpe pomeranja δ. Komponente ovih pomeranja u pravcu koordinatnih osa obeležićemo sa u i v : δ= δ(u, v). Iako pomeranja potpuno određuju deformisani oblik ose, ona ne daju neposredan uvid u njenu deformaciju, jer se u njima pored pomeranja koja potiču od deformacije sadrže i pomeranja koja nastaju od promene položaja ose kao nedeformabilne celine. Na osnovu pomeranja δc još ništa ne može da se zaključi o deformaciji ose u okolini tačke c , jer je to pomeranje rezultat deformacije ose u celini. Da bismo definisali veličine koje određuju deformaciju ose u okolini pojedinih tačaka posmatraćemo pomeranje i deformaciju jednog elementa ose cc 1 dužine dx , prikazanu na slici 1.2. Ako su pomeranja tačke c u pravcu koordinatnih osa u i v , odgovarajuća pomeranja tačke c1 su u+du i v +dv . Pri tome tačka c prelazi u položaj c ', a tačka c 1 u položaj c '1. Dužina elementa (1+ε )dx , gde je ε specifična promena dužine se menja za εdx i posle deformacije jednaka je (1+ε ili dilatacija na posmatranom mestu ose štapa. Element se obrne za ugao φ.

Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 1

1

Iz slike (1.2) sledi:

Deformacija štapa je obično tako mala da je opravdano pretpostaviti da kvadrati i viši stepeni pomeranja u i v , obrtanja φ i dilatacije ε i kvadrati i viši stepeni njihovih izvoda mogu da se zanemare. Sa ovom pretpostavkom, koju nazivamo pretpostavkom o malim pomeranjima, jednačine (1.1) su znatno prostije. Kada se zanemare kvadrati i viši stepeni ugla φ tada je:

pa je:

odnosno:

(1.2)

pri čemu je zanemaren i proizvod εφdx εφdx kao mala veličina višeg reda. Odnosno, veze 1.2 prikazane u matričnom obliku su:

gde su:

                       

(a)

,

Element cc 1 prvobitno prave ose posle deformacije štapa postaje element krive ose. Tangente, odnosno normale u tačkama c ' i c '1 zaklapaju ugao dφ, tako da je krivina ose

štapa na posmatranom mestu posle deformacije:

(1.3) Sa pretpostavkom o malim pomeranjima je:

(1.4)


2

Veličine ε i φ su čisto deformacijske veličine ose štapa, tj. veličine koje određuju deformaciju ose u okolini pojedinih tačaka ose i koje su jednake nuli u onim tačkama u čijoj se okolini osa ne deformiše. Veličina ε određuje promenu dužine a veličina φ promenu krivine ose štapa. Jednačine (1.2) 1 i (1.4) odnosno jednačine:

(1.5) predstavljaju veze između pomeranja tačaka u i v i i deformacija ε i i φ odnosno ε i i ϰ.

Odnosno, u matričnom obliku j -ne 1.5 su:

gde su:

    

,

      

(b)

Dosadašnja izlaganja odnose se na deformaciju ose štapa. Kada govorimo o deformaciji štapa kao tela osnovna pretpostavka je Bernulijeva (Bernuolli) pret postavka da se poprečni preseci ne deformišu, da i posle deformacije ostaju ravni i upravni na deformisanu osu štapa . Na osnovu ove pretpostavke dilataciju ε ( y ) u pravcu ose štapa u okolini tačke c y na odstojanju y od od ose štapa možemo da izrazimo pomoću dilatacije ε i i promene krivine ϰ u tački c ose ose štapa. Zato ćemo posmatrati zapreminski element štapa između dva beskonačno bliska poprečna preseka pre i posle deformacije (si. 1.3).

(1+ε )dx , dužine elementa na Iz slike se vidi da između dužine elementa ose štapa (1+ε [1+ε ( y )]dx )]dx , poluprečnika krivine ρ, odstojanja y i ugla d φ odstojanju y od ose [1+ε

deformisanog elementa postoje veze:


3

Iz ovih jednačina, kada se u drugu umesto ρdφ unese (1+ε (1+ε )dx , lako se dobija jednačina:

(1.6)

Iz ove jednačine se vidi da kod pravog štapa Bernulijevoj pretpostavci odgovara linearna raspodela dilatacija po visini poprečnog preseka.

SPOLJAŠNJE I UNUTRAŠNJE SILE ŠTAPA I USLOVI RAVNOTEŽE ELEMENTA ŠTAPA Spoljašnje i unutrašnje sile štapa

Spoljašnje sile štapa su zapreminske i površinske. Saglasno tehničkoj teoriji savijanja štapa deformacija i naponi u štapu zavise samo od rezultanti spoljašnjih sila koje dejstvuju na elemente štapa između beskonačno bliskih poprečnih pre seka, a ne zavise od raspodele tih sila unutar i po spoljašnjoj površi tih elemenata. Zato spoljašnje sile zamenjujemo statički ekvivalentnim silama i momentima ras podeljenim duž ose štapa. Ako je Δ redukciona rezultanta, a redukcioni moment svih spoljašnjih sila (zapreminskih i površinskih), koje dejstvuju na deo štapa ik između dva poprečna preseka na odstojanju Δ x duž ose štapa u odnosu na tačku c ose između tih preseka (si. 1.4), tada je:





nji moment u tački c onog raspodeljenog spoljašnjeg specifični raspodeljeni spoljaš nji opterećenja duž ose štapa koje je statički ekvivalentno zapreminskim i površin skim silama na posmatranom mestu. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 1

4

Veličine p i m su vektorske veličine, koje mogu da imaju proizvoljan pra vac u prostoru. Da bi deformacija ose štapa bila ravna sile p i spregovi momenata m moraju da leže u ravni deformacije. Sile p i momenti m velikog intenziteta na kratkom delu ose stana zamenjuju se redukcionom rezultantom i redukcionim momentom i tako uvode pojmovi koncentrisane sile P i i koncentrisanog koncentrisanog momenta M . i li tako mali da mogu da se zanemare, pa ćemo ćemo zato u Momenti m su često ili jednaki nuli ili





sledećem izlaganju pretpostaviti da su oni jednaki nuli i da je štap opterećen samo raspodeljenim ili koncentrisanim silama. Sile p proizvoljnog pravca u ravni obično razlažemo u komponente u pravcu ose štapa p x i i upravno na pravac ose štapa p y i uzimamo po jedinici dužine ose štapa. Međutim, za štap

proizvoljnog pravca u ravni često može da bude zgodnije da se u račun uvedu komponente specifičnog opterećenja p x , p u pravcu koordinatnih osa x i y stalnog koordinatnog sistema Oxy u ravni i po jedinici dužine tih osa, naročito kada računamo sa (sl. 1.5). komponentama opterećenja u pravcu osa si stema Oxy (sl. 

y

Ako je α ugao između koordinatnog sistema Oxy i i stalnog koordinatnog koordinatnog sistema Oxy tada između komponenti specifičnog opterećenja p x p y jedinici jedinici dužine ose štapa, komponenti specifičnog opterećenja p x p y u pravcu koordinatnih osa x , y po jedinici dužine ose 

štapa i komponenti specifičnog opterećenja p x , p y u pravcu osa

x

, y po jedinici dužine

tih osa postoje veze:


5

Spoljašnje sile koje se prenose preko poprečnih preseka na krajevima štapa redukujemo na težišta tih preseka, odnosno na krajnje tačke i i k ose štapa, i tako dobijamo sile Ri i Rk i momente M i i i i M k k . Pri ravnoj deformaciji štapa, kao i sile p i momenti m duž ose štapa, sile Ri , Rk i i momenti M i i , M k k dejstvuju dejstvuju u ravni de formacije štapa. Iz Otpornosti materijala je poznato da se unutrašnje siie koje se prenose preko zamišljenih preseka u telu definišu preko napona. Ako je ρ totalni napon u proizvoljnoj tački c ( y,z ) poprečnog preseka, tada je ρdF ρdF ukupna elementarna unutrašnja sila koja se prenosi preko elementarne površine dF u okolini te tačke (sl. 1.6a).

ρdF po čitavom preseku na težište preseka S dobijamo Redukcijom svih elementarnih sila ρdF dobijamo redukcionu rezultantu R i redukcioni moment moment M unutrašnjih sila u tom preseku:

U slučaju ravne deformacije štapa, kao i spoljašnje sile, sila R i moment M dejstvuju u ravni deformisanog štapa. Silu R razlažemo na komponentu N normalnu na poprečni presek, koju nazivamo normalnom silom, silom, i komponentu T u ravni poprečnog preseka, koju na zivamo transverzalnom silom silom u tom preseku. Moment M zove se moment savijanja štapa. Prema

tome definicije unutrašnjih sila štapa glase: Normalna sila N je je komponenta, redukcione rezultante unutrašnjih sila u odnosu na težište poprečnog preseka u pravcu ose štapa, pozitivna kada zateže deo na koji dejstvuje dejstvuje. Transverzalna sila T je kompon kom ponenta enta reduk re dukcion cionee rezult rez ultante ante unutra unu trašnj šnjih ih sila u odnosu na težište poprečnog preseka u pravcu upravnom na osu štapa, pozitivna pozit ivna kada kad a deo d eo na koji ko ji dej dejstv stvuje uje obrće u smeru kazaljke na časovniku. Moment savijanja M je je redukcio redu kcioni ni moment mome nt unutrašn unut rašnjih jih sila u odnosu odno su na n a težište te žište poprečnog preseka, pozitivan kada zateže „donju stranu" štapa, gde je „donja strana" štapa ona strana koju izaberemo za donju . Kada se totalni napon ρ u proizvoljnoj tački c ( y,z ) poprečnog preseka razloži u dve 





komponente, jednu komponentu u pravcu normale poprečnog preseka i drugu u pravcu upravnom na tu normalu, a paralelan ravni deformacije štapa, koje predstavljaju normalni napon σ i tangencijalni napon τ u toj tački, tada se sile N, T i moment M saglasno jednačinama (1.11) definišu direktno preko napona jednačinama:


6

Uslovi ravnoteže elementa štapa U Statici konstrukcija pretpostavljamo d a su pomeranja tačaka pri defor maciji postupna

tako da ubrzanja tačaka mogu da se zanemare. Pri takvoj deformaciji spoljašnje sile međusobno i sa unutrašnjim silama stoje u ravnoteži tokom čitavog procesa deformacije, što je moguće samo pod pretpostavkom da se i spoljašnje i unutrašnje sile postupno povećavaju od nule do konačnih vrednosti. Pa ipak konačna ravnoteža između spoljašnjih i unutrašniih sila uspostavlja se tek kad se deformacija završi i kad štap pređe u stanje mirovanja. Prema tome uslove ravnoteže trebalo bi posmatrati na deformisanom štapu. Kako su pomeranja tačaka u odnosu na dimenzije štapa, a deformacijske veličine u odnosu na jedinicu redovno male veličine, pomeranja napadnih tačaka spoliašnjih i unutrašnjih sila u uslovima ravnoteže često mogu da se zanemare. Time se pretpostavlja da s poljašnje sile međusobno i sa unutrašnjim silama, stoje u ravnoteži na nedeformisanom štapu .

Uslove ravnoteže sila na nedeformisanom štapu ispisaćemo za element cc 1 isečen iz štapa poprečnim presecima na odstojanju

dx (sl.

1.7).

Ovaj

element se nalazi u ravnoteži pod dx i p y dx dx , sila u preseku c : N , T i i M i i sila u preseku c 1: N+dN , dejstvom spoljašnjih sila p x dx T+dT i M+dM . Uslovi ravnoteže: ∑ X =0 , ∑Y =0 i ∑M c c 1 = 0 ovih sila, kad se zanemari dx u odnosu na tačku c 1 kao mala veličina višeg reda, glase: moment elementarne sile p y dx

Diferenciramo li poslednju od ovih jednačina i u nju unesemo dT = = - p y dx dx , ona može da se napiše u obiiku:

Jednačine (1.13) predstavljaju uslove ravnoteže elementa štapa, odnosno veze između spoljašnjih sila p x , p y i unutrašnjih sila N , T i i M . Odnosno, u matričnom obliku j – ne 1.13 su:

                    Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 1

7

VEZE IZMEĐU DEFORMACIJSKIH VELIČINA, SILA U PRESECIMA I TEMPERATURNIH PROMENA Da bi smo odredili napone i deformaciju štapa usled zadatih spoljašnjih sila i

temperaturnih promena pored veza između deformacije i pomeranja i uslova ravnoteže elementa štapa, koje smo izveli u prethodnim poglavljima, potrebne su nam i veze između deformacijskih veličina, s jedne i sila u presecima i temperaturnih promena s druge strane. Ove veze ćemo izvesti polazeći od pretpostavke da su dilatacije saglasno Hookeovom zakonu linearno proporcionalne naponima i temperaturnim promenama:

gde su ε ( y ) dilatacija, σ( y ) napon, a t°( y ) temperaturna promena u tački na odstojanju y od od koeficijent linearne temperaturne dilatacije materijala. ose štapa, E modul elastičnosti, a αt koeficijent -t 0° razliku Ako sa t° obeležimo temperaturnu promenu u osi štapa, a sa ∆t° =t u° -t temperaturne promene donjeg vlakna t u° i temperaturne temperaturne promene gornjeg t 0° i vlakna pretpostavimo da su temperaturne promene linearne po visini preseka štapa h, temperaturna promena t° ( y ) na odstojanju y od ose štapa je (sl. 1.8):

Kada u izraz za σ( y ) unesemo u jednačine (1.12) kojima su definisane sile u preseku N i i M :

uzmemo u obzir da su veličine:

konstante za određeni presek, i da je: gde je F površina,



ydF statički, a J moment inercije tog preseka, dobijamo konačno veze

F


8

između deformacijskih veličina ε i ϰ, sila u preseku N i i M i i temperaturnih promena t° i ∆t° u obliku:

ili u obliku:

Odnosno, u matričnom obliku j – ne 1.18 su:

             

Bernulijeva pretpostavka da poprečni preseci ostaju i posle deformacije ravni i upravni na

osu štapa je tačna samo za prizmatične prave štapove opterećene na čisto savijanje. Kada postavka nije tačna. Međutim, uticaj pored momenata postoje i transverzalne sile ova pret postavka transverzalnih sila na deformaciju štapa je redovno tako mali da može da se zanemari, kao što je to ovde učinjeno.

     

Na kraju, ako se uzme u obzir doprinos transverzalnih sila na ukupnu deformaciju štapa,

imamo i još jednu deformacijsku veličinu , nezavisnu od pomeranja ose štapa, odnosno deformacijskih veličina ε i ϰ. Prema tome, neophodna nam je još jedna jednačina veza sila u presecima i deformacijskih veličina. Tražena veza je: odnosno, proširujući j – ne 1.18, sa ovom poslednjom dobijamo tri jednačine koje se prikazuju u matričnom obliku, tj., veze deformacijskih veličina s jedne strane i sila u presecima i temperaturnih promena s druge strane:

gde je:

                                  

koeficijent koji zavisi od oblika poprečnog preseka štapa.


9

STATIKA KONSTRUKCIJA 2 Pisano predavanje 2 Pripremio: Doc. dr Ilija M. MILIČIĆ, dipl.inž.građ.

Literatura: Đurić, M., Jovanović, P.: Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977.

TEMA:: TEHNI TEMA TEHNIČKA ČKA TEORIJA SAVIJANJA SAVIJANJA PRAVOG PRAVOG ŠTAP ŠTAPA A U RAVNI

PREGLED JEDNAČINA Dve veze (1.2) između pomeranja u i v i i deformacija ε i φ i izraz (1.4) za krivinu:

tri uslova ravnoteže (1.13):

i dve jednačine (1.18) kojima su izražene deformacijske veličine u funkciji sila u presecima i temperaturnih promena:

predstavljaju sistem od osam jednačina sa osam nepoznatih:  

dva pomeranja: u i v, i v, jedno obrtanje: φ,

dve deformacijske veličine: ε i ϰ, i tri statičke veličine: N , T i M . Prvih šest od ovih osam jednačina su diferencijalne linearne jednačine prvog reda, dok su dve poslednje obične linearne algebarske jednačine. Ako se ove dve obične unesu u prvu, odnosno treću od diferencijalnih jednačina i tako eliminišu veličine ε i ϰ problem se svodi na šest diferencijalnih linearnih jednačina prvog reda sa šest nepoznatih: u, v, φ, N, T i M .  

Da bismo iz njih mogli da odredimo sile u presecima i pomeranja, odnosno deformaciju ), F ( x ), J ), J ( x ), ), štapa, pored pored geometrijski geometrijskih h veličina koje određuju poprečne preseke pres eke štapa: h( x ), pored fizičkih konstanti materijala: E i α t t, i spoljašnjih uticaja p, t ° i ∆t °, °, potrebno je još

šest podataka, odnosno još šest graničnih uslova iz kojih mogu da se odrede šest integracion integracionih ih konstanti u integralima ovih jednačina. O rešavanju ovih jednačina govorićemo u sledećim poglavljima. Ovde ćemo ukazati samo na osnovne karakteristike problema koji je definisan ovim jednačinama. postavkama: Sve jednačine: (1.19), (1.20) i (1.21) su linearne zahvaljujući uvedenim pret postavkama:


1

prve tri na osnovu pretpostavke o malim pomeranjima, tj. zane marenjem kvadrata i viših stepena pomeranja (obrtanja φ) i deformacijskih veličina (dilatacije ε), uslovi ravnoteže jer smo pretpostavili da sile stoje u ravnoteži na nedeformisanom štapu, a posl ednje dve jer smo pošli od pretpostavke da su dila tacije linearno proporcionalne naponima i temperaturnim promenama. Zato se ova teorija zove linearna teorija. teorija. U linearnoj teoriji važi princip superpozicije superpozicije.. Ako opterećenja p1 i p2 kada dejstvuju nezavisno jedno od o d drugog, pri istim graničnim uslovima, izazivaju uticaje uticaje veličin veličinaa Z 1 i Z i Z 2,

tada oba opterećenja dejstvujući istovremeno pri tim istim graničnim uslovima izazivaju + Z 2. uticaj veličine Z 1 + Z U linearnoj teoriji uslovi ravnoteže (1.20) predstavljaju sistem od tri diferencijalne jednačine sa tri nepoznate N, T i M , dok tri jednačine (1.19) predstav ljaju sistem od tri diferencijalne jednačine sa tri nove nepoznate u, v i i φ. Ako su tri granična uslova štapa zadati po silama, a tri po pomeranjima, sile u presecima mogu da se odrede iz uslova ravnoteže (1.20) i graničnih uslova po silama. Problem sila u presecima tada je statički određen . Kada su sile u pre secima određene, deformacijske veličine i pomeranja određuju se iz jednačina (1.21) i (1.19) i graničnih uslova po pomeranjima. Problem se raspada na dva me đusobno nezavisna sistema od po tri jednačine sa po tri nepoznate, nepoznate, koji mogu da se reše nezavisno nezavis no jedan od drugog. Kada je zadato manje od tri granična uslova po silama, problem sila u pre secima je statički neodređen i njihov proračun proračun ne može da se odvoji od proračuna deformacije štapa. Odnosno, ako se iz 1.19, 1.20 i 1.21 eliminišu sile i deformacije, problem se svodi na dve nezavisne diferencijalne jednačine. 1. diferencijalna jednačina aksijalnog naprezanja štapa u ravni         2. diferencijalna jednačina savijanja štapa u ravni         koje sa odgovarajućim konturnim uslovima na krajevima štapa jednoznačno

definišu deformacijsko – naponsko stanje štapa u ravni po linearnoj teoriji ili teoriji prvog reda.

PRORAČUN I DIJAGRAMI SILA U PRESECIMA ŠTAPA Sile u presecima

Uslovi ravnoteže elementa štapa (1.20) predstavljaju sistem od tri linearne diferencijalne jednačine prvog reda sa tri nepoznate N , T i M , Direktnom integracijom ovih uslova od kraja i do preseka c ili od preseka c do kraja k štapa (sl. 1.9) dobijamo:


2

Integrali u poslednjoj jednačini mogu da se napisu u funkciji opterećenja p y i siie T i, odnosno sile T k k. Naime, parcijalnom integracijom, uzimajući u obzir da je na osnovu (1.20) 2 dT = - p - p y dx dx , dobija se:


3

i p y jednake jednake nuli, sile u preseku c Ako štap nije opterećen duž svoje ose, tj. ako su veličine p x i p zavise samo od sila na krajevima štapa, a izrazi (1.23) tada glase:

Jednačine (1.23) predstavljaju integrale uslova ravnoteže (1.20) elementa štapa, a istovremeno i uslove ravnoteže svih sila na delu ic, ic, odnosno delu ck štapa ik . Na osnovu toga sledi: da su integrali uslova ravnoteže elementa štapa između dva poprečna preseka štapa uslovi ravnoteže dela štapa između tih preseka . Na osnovu jednaćina (1.23) možemo reći: Normalna sila N c u preseku c štapa jednaka je algebarskom zbiru komponenata svih spoljašnjih sila koje na štap dejstvuju levo ili desno od tog preseka u pravcu pra vcu ose štapa . Transverzalna sila T c u preseku c štapa jednaka je algebarskom zbiru kompo nenata svih spoljašnjih sila koje na štap dejstvuju levo ili desno od tog preseka, u pravcu upravnom na osu štapa . Moment savijanja M c u preseku c štapa jednak je algebarskom zbiru momenata svih spoljasnjih sila koje na štap dejstvuju levo ili desno od posmatranog preseka pre seka,, u odnosu na težište tog preseka . 





Prema tome iz jednačina (1.23) mogu da se izračunaju sile u proizvoljnom poprečnom preseku štapa, kada su pored opterećenja p x i p y poznate i sve sile u jednom ili drugom krajnjem poprečnom preseku preseku štapa ili bilo koje tri veličine X 1 , X 2 , X 3 iz kojih mogu da se odrede sile na krajevima štapa. Veličine X 1 , X 2 , X 3 mogu da budu ili komponente sila u određenim popreč nim presecima ili linearne homogene funkcije ovih komponenata. Pretpostavi ćemo da su one funkcije samo siia na krajevima štapa:


4

Međutim, sile na krajevima štapa: N , i, T , i, M , i, N k k , T k k , M k k , su međusobno zavisne. One moraju da zadovolje uslove ravnoteže štapa kao celine (si. 1.10):

ili

odstojanja rezultante Ry od od kraja i i kraja k . ξ R l i l i ξ R1l odstojanja Tri veze (1.25) između sila na krajevima štapa N , i, T , i, M , i, N k k , T k k , M k k i veličina X 1 , X 2 2 , X 3 i tri

uslova ravnoteže (1.26) štapa kao celine predstavljaju sistem od šest linearnih jednačina sa šest nepoznatih N , i, T , i, M , i, N k k , T k k , M k k. Kada su funkcije X 1 , X 2 , X 3 međusobno nezavisne i nezavisne od uslova ravnoteže (1.26) ovaj sistem može da se resi i sile na krajevima štapa prikažu u funkciji opterećenja i veličina X 1 , X 2 , X 3 koje se u tom slučaju zovu statički nezavisne veličine štapa ili statički neodređene veličine štapa . Ako za statički nezavisne veličine X 1 , X 2 , X 3 izaberemo momente M i i M k k i i poluzbir normalnih sila N i i N k k :

preostale četiri sile: N i, N k k , T i i T k k mogu da se izračunaju iz jednačina (1.26) i (1.27). Iz jednačine (1.27) kojom je đefinisana veličina S ik ik i uslova ravnoteže (1.26) 1 da je algebarska suma komponenti svih spoljašnjih sila u pravcu ose štapa jednaka nuli (sl. 1.10):


5

sledi:

Iz uslova ravnoteže (1.26) 2 i (1.26)3 da su sume momenata svih spoljašnjih sila u odnosu na težišta krajnjih poprečnih preseka k i i i štapa jednake nuli dobijamo:

Kada vrednosti sila N , i, N k i, T k k , T , k date jednačinama (1.29) i (1.30) unesemo u jednačine (1.23), izraze za sile u proizvoljnom preseku c dobićemo u obliku:

sile u preseku c koje potiču samo od raspoređenog opterećenja duž ose štapa. Iz analitičkih izraza (1.23), odnosno (1.31) vidi se da se oni, saglasno prin cipu superpozicije, sastoje iz dva dela: jednog koji zavisi od sila na krajevima i drugog koji

zavisi samo od raspodeljenog raspodeljenog opterećenja duž ose štapa. Dijagrami sila u presecima

Iako je izračunavanje sila u presecima na osnovu izvedenih izraza (1.23) i (1.31), kada je poznato opterećenje i kada su zadate statičke nezavisne veličine, jednostavan matematički zadatak, promenu sila u presecima duž ose štapa retko prikazujemo analitički. Tu promenu mnogo češće prikazujemo graficima promene funkcija sila u presecima koji se u Teoriji konstrukcija zovu dijagrami sila u presecima. presecima. Dijagrami sila u presecima, kao i njihovi analitički izrazi, sastoje se iz dva dela: jednog koji je funkcija sila na krajevima

štapa, i drugog koji zavisi od raspodeljenog opterećenja duž ose štapa. Na si. 1.11 ovi Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 2

6

dijagrami su nacrtani saglasno jednačinama (1.31). Iz slike 1.11 vidi se da oblici dijagrama sila u presecima zavise samo od ras podeljenog opterećenja duž ose štapa, dok od sila na )/l , koje u krajevima štapa zavisi samo položaj apscisa tih dijagrama. Veličine S ik - M i)/l ik i (M k k-M izrazima za nor malnu i transverzalnu silu zavise od sila na krajevima štapa, su konstante a površi njihovih dijagrama pravougaonici, dok je odgovarajuća veličina M i ξc + M k k ξc u izrazu za moment savijanja linearna funkcija, a površ njenog dijagrama trapez sa krajnjim ordinatama M i i M k k. Dijagrame sila u presecima crtamo superpozicijom. Prvo crtamo dijagrame onih sila koje potiču od sila na krajevima štapa, a potom dijagrame sila koje zavise od opterećenja. Pri tome linije prvih od ovih dijagrama uzimamo za apscise drugih.

Pozitivne normalne i transverzalne sile obično nanosimo na „gornju" stranu, a po zitivne momente savijanja uvek na „donju" stranu štapa. U dijagrame normalnih i transverzalnih sila redovno upisujemo znak, dok u dijagrame momenata upisivanje znaka nije potrebno, ako se strogo pridržavamo dogovora da ordinate momenata nanosimo na onu stranu na kojoj izazivaju zatezanje. zatezanje.


7

Iz jednačine (1.20)3 sledi da je dijagram transverzalnih sila grafik prvoga izvoda funkcije momenta. Prema tome na osnovu dijagrama momenata može da se nacrta dijagram transverzalnih sila izračunavanjem koeficijenata pravaca tan genti dijagrama momenata. Ukoliko je koeficijent pravca tangente dijagrama momenata veći tj. ukoliko je promena momenta savijanja na nekom mestu veća, utoliko je i transverzalna sila na tom mestu veća. Na mestima gde je ugao nagiba tangente dijagrama momenata jednak nuli, tj. na mestima na kojima momenti savijanja imaju stacionarnu vrednost, transverzalna sila je jednaka nuli. Na delu na kojem se sa porastom apscise x moment savijanja algebarski povećava, transverzalna sila je pozitivna, slika 1.12a, a na delu na kojem se sa porastom apscise x moment algebarski smanjuje transverzalna sila je negativna, slika 1.12b.

Ako je dijagram momenata nacrtan u razmeri i momenti naneseni na zategnutu stranu o znaku momenata, kao što je rečeno, ne vodimo računa, a znak trans verzalne sile određujemo iz tako prikazanog dijagrama na osnovu pravila koje sledi iz slika 1.12a i 1.12b. Transverzalna sila pozitivna je na onim mestitna na kojima osu štapa treba obrnuti u smeru kazaljke na časovniku , a negat ne gativn ivna a na onim on im me mesti stima ma na kojim ko jima a je treba obrnuti u smeru suprotnom od smera kazaljke na časovniku da bi se poklopila sa dijagramom, odnosno sa tangentom u odgovarajućoj tački dijagrama momenata sa vijanja.


8

STATIKA KONSTRUKCIJA 2 Pisano predavanje 3

Pripremio: Doc. dr Ilija M. MILIČIĆ, dipl.inž.građ.

Literatura: Literatura: Đurić, M.: Statika konstrukcija, konstrukcija, Građevinska Građevinska knjiga, Beograd, Beograd, 1979.

TEMA:: METODA SILA TEMA

USLOVI RAVNOTEŽE NOSAČA . IZRAZI ZA REAKCIJE I SILE U PRESECIMA. OSNOVNI

SISTEM STATIČKI NEODREĐENOG NOSAČA. Da bismo napisali uslove ravnoteže nosača zamislićemo da smo kruž nim presecima isekli sve čvorove i time nosač rastavili na z s nezavisnih štapova i K nezavisnih čvorova. Uticaj štapova na čvor ove i obrnuto, zamenjujemo silama i momentima na krajevima štapova. Pod uticajem spoljašnjih sila i sila u presecima sistem štapova i sistem čvorova su u ravnoteži. Iz uslova ravnoteže štapova mogu da se sračunaju sile i momenti na krajevima štapova, tj. da se prikažu u funkciji opterećenja i statički nezavisnih veličina X 1 X 2 , X 3, kao što smo to pokazali u predhodnom poglavlju . Kada za statički nezavisne veličine izaberemo momente M ik ik i M ki ki i silu S ik ik tj. poluzbir sila N ik ik i N ki ki tada iz uslova ravnoteže štapa na slici 1 sledi:

Sl. 1.

Nik =S =Sik +R +Rx/2

(1)

Nki=Ski+Rx/2

(2)

Tik =(M =(Mik -M -Mki)/lik +R +RyξR’

(3)

Tki=(Mki-Mik )/ )/ lik -R -RyξR

(4)

Jednačinama (1)-(4) su sile na krajevima štapa prikazane u funkciji momenata M ik ik , M ki ki i sile S ik ik .


1

Sl. 2.

Na slici 2 prikazan je jedan čvor nosača u kome su neki štapovi vezani kruto a neki zglav kasto. Pored sila T ik tivna spoljašnja sila P i čije su ik N ik ik i momenata M ik ik na čvor napada ak tivna komponente u pravcu koordinatnih osa P i X i P iy iy i momenat M i a u čvoru koji je oslonjen i uklješten na njega deluje još i reakcija oslonca C oioi i momenat uklještenja C uiui. Uslovi ravnoteže sila i momenata u čvoru glase: +Coi cosβi+Pix ∑Nik cosαik -∑Tik sinαik +C

∑Nik sinαik +∑T +∑Tik cosαik -+C -+Coi sinβi+Pix

(5)

∑Mik +C +Cui+Mi=0 Kada u jednačine (5) za N ik ik unesemo vrednost koja je data jednačinom (1), a za T ik ik vrednost koja je data jedna činom (3) , one mogu da se napiš u u obliku:

 M

ik

 Cui  M i  0

Uslovi (6) u kojima su sve nepoznate unutrašnje sile prikazane u funkciji statičkih nezavisnih veličina štapova su traženi uslovi ravnoteže nosača. Prva dva uslova su uslovi ravnoteže sila u čvoru, mogu da se napišu za svaki čvor i ima ih Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 3

2

ukupno 2K 2K . Treći uslov ravnoteže momenata u čvoru i može da se napiše samo za čvorove u kojima postoji bar po jedan krut ugao, tj. ukupno m. 2 K+m m. U njima je Prema tome ukupan broj uslova ravnoteže nosača jednak je 2K+ nepoznato:    

zo - reakcija oslonaca Coi, zu - momenata uklještenja Cui, zs - sila S ik , zk + + m — momenata M ik i i M ki .

Kada je broj nepoznatih veći od broja jednačina:

nosač je statički neodređen. Razlika između broja nepoznatih i broja jednačina:

je broj nepoznatih veličina koje mogu da se izaberu proizvoljno a da uslovi ravnoteže budu zadovoljeni. Te veličine nazvali smo statički nezavisnim ili statički neodređenim veličinama nosača i beležimo ih sa X 1, X 2, . . . X n. Za statički neodređene veličine mogu da budu izabrane ili neke od nepoznatih C j {C oj ili C uj ) oj ili u ), j , S ik ik , M ik ik ili neke linearne homogene

funkcije tih veličina:

moraju da Da bi veličine X definisane ovim jednačinama bile statički nezavisne, funkcije F moraju budu međusobno nezavisne i nezavisne od uslova ravnoteže (6 ). U tom slučaju n 2K + m jednačina (6) čine potpun sistem od zo + zu + zs + zk +m jednačina (8) sa 2K linearnih jednačina sa zo + zu + zs+ zk +m nepoznatih veličina C j , S ik ik , M ik ik . Slobodni članovi jednačina (6) su veličine H i, V i,i, i M i, koje zavise samo od opterećenja nosača p, a . X n, pa rešenja slobodni članovi jednačina (8) su statički neodređene veličine X 1, X 2, . . . X sistema jednačina (6) i (8 ) mogu da se prikažu kao linearne funkcije opterećenja p i veličina X 1, X 2, . . . X . X n.

označimo reakcije oslonaca, momente uklještenja i statički nezavisne veličine poje dinih štapova koje dobijamo rešenjem sistema jednačina (6) i (8) stavljajući sukcesivno da je:


3

Veličine C j 0, Sik,0 ik,0, Mik,0 ik,0 su reakcije oslonaca, momenti uklještenja i statički nezavisne veličine štapova, ravnotežnog stanja nosača kada je on opterećen opterećenjem p, a kada su sve statički neodređene veličine nosača jednake nuli. Kratko ćemo to ravnotežno stanje u sledećem zvati stanje stanje X X i = 0. Veličine C j,m, Mik,m, Sik,m, (za m = 1, 2, . . . n) su reakcije oslonaca, momenti uklještenja i statički nezavisne veličine štapova n međusobno nezavisnih ravnotežnih stanja neopterećenog nosača, tj. n međusobno nezavisnih unutrašnjih ravnotežnih stanja nosača. Pri svakom od ovih stanja je jedna od statički neodređenih veličina jednaka jedinici a sve stanje X X n =1. ostale jednake nuli. Kratko ćemo ta stanja zvati stanje X 1 =1, stanje X 2 =1) stanje Takođe i sile u proizvoljnom preseku nosača mogu da se prikažu kao linearne funkcije statički neodređenih veličina u obliku: N  N0  X 1N1  X 2 N 2  ......  X n N n , T  T0  X 1T1  X 2T2  ......  X nTn ,

(10)

M  M 0  X1M1  X 2 M 2  ......  X n M n ,

Pri čemu su: N 0 , T0 , M 0 ; N1 , T1 , M 1 ; N 2 , T2 , M 2 ;

(11)

................. N n , Tn , M n ,

sile u presecima stanja X stanja X i = 0, odnosno sile u presecima unutrašnjih ravnotežnih stanja X 1 = 1, X 2 = 1 do X n = 1. Ako umesto proizvoljnih linearnih funkcija nepoznatih C j, Sik , Mik , za statički neodređene veličine izaberemo neke od nepoznatih spoljašnjih ili unutraš njih sila, odnosno ako za statički neodređene veličine izaberemo određene kompo nente reakcija spoljašnjih ili unutrašnjih veza nosača, jednačine (9) i (10) imaju jednostavna

statička značenja, na osnovu kojih one mogu lako da se ispišu. Reakcije i sile u presecima ravnotežnog s tanja X i = 0, C j,0 j, 0, Sik,0 ik, 0, Mik,0 ik, 0, odnosno N 0, T 0, M 0, predstavljaju tada reakcije i sile u presecima koje opterećenje p izaziva u onom statički određenom nosaču koji dobijamo kada iz datog statički neodređenog nosača uklonimo veze čije smo reakcije izabrali za statički neodređene veličine, a reakcije i sile u presecima ravnotežnog stanja X m = 1, C j,m, Sik,m, Mik,m odnosno N m, T m, M m, predstavljaju reakcije i sile u presecima tog statički određenog nosača kada na njega, kao spoljašnje opterećenje, deluje samo sila X sila X m = 1. Sistem koji dobijamo kada iz statički neodređenog nosača uklonimo veze čije smo reakcije izabrali za statički neodređene veličine nazivamo osnovni sistem tog nosača no sača. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 3

4

Reakcije i sile u presecima ravnotežnog stanja X i = 0 predstavljaju uticaje u osnovnom sistemu usled opterećenja p, a reakcije i sile u presecima unutrašnjeg ravnotežnog stanja X m = 1 datog nosača predstavljaju uticaje u osnovnom sistemu kada je on opterećen samo silom X silom X m =1. Uticaji u osnovnom sistemu biće jednaki uticajima u datom statički neodređenom sistemu kada u njemu uklonjene veze zamenimo njihovim reakcijama X 1 do X n. Ovaj stav sledi iz jedna čina (9) i (10 ) i obrnuto, te jednačine mogu da se napisu polazeći od ovog stava. Uticaji u statički neodređenom nosaču na levoj strani jednačina (9) i (10) jednaki su

odgovarajućim uticajima u osnovnom sistemu na desnoj strani tih jednačina koji su, saglasno principu superpozicije, prikazani kao zbir uticaja od opterećenja p i sila X sila X 1 do X do X n. Na primer, reakcija C j statički neodređenog nosača jednaka je algebarskom zbiru reakcija osnovnog sistema: C j 0 od opterećenja i od sila X 1 do d o X n . Za formiranje osnovnog sistema stoje nam na raspoloženju četiri osnovne mogućnosti prikazane na slici 1. Prvo, da iz datog nosača uklonimo neki od njegovih oslonaca i time oslonjenom 

čvoru omogućimo pomeranje u pravcu oslonca. Statički neodređena veličina je 





tada reakcija oslonca, slika slika l a. Drugo, da iz datog nosača uklonimo neko od njegovih uklještenja i time uklještenom preseku omogućimo obrtanje. Statički neodređena veličina je tada momenat ukleštenja, slika lb. Treće, da u nekom preseku datog nosača krutu vezu zamenimo zglavkastom

vezom i time delovima levo i desno od tog preseka omogućimo relativno obrtanje. Statički neodređena veličina je tada par momenata - momenat savijanja u tom preseku nosača, slika 1c. Četvrto, da u nekom preseku datog nosača krutu vezu zamenimo klizajućim zglobom i time delovima levo i desno od tog preseka omogućimo relativno translatorno pomeranje u pravcu koji zaklapa ugao α sa osom štapa. Statički neodređena je tada par sila - komponenta rezultante unutrašnjih sila u tom preseku nosača, a u pravcu u kome je omogućeno pomeranje, slika 1d . Za α = 0 klizajući zglob prelazi u podužni zglob, a statički neodređena je normalna sila u /2 klizajući zglob postaje poprečni zglob, a posmatranom preseku, a za α = π /2 statički neoređena je transverzalna sila u tom preseku.

Pri formiranju formiranju osnovnog sistema nekog višestruko višestruko statički neodređenog nosača u jednom j ednom preseku može da se ukloni i više od jedne veze. U tom slučaju uticaj uklonjenih veza zamenjujemo odgovarajućim brojem statički neodređenih veličina. Na primer, kruta veza 2b preko koje može da se u preseku štapa na slici 2a može da se zameni ve zom na slici 2b prenese samo transverzalna sila u tom pre seku. Statički neodređene veličine na tom mestu su momenat savijanja X 1 i normalna sila X sila X 2. Ako u posmatranom preseku uklonimo

sve veze, tj. ako štap na tom mestu potpuno presečemo, statički neodređene veličine su momenat savijanja i rezultanta unutrašnjih sila u tom preseku koja je tada nepoznata i po Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 3

5

veličini i po pravcu. Ovu rezultantu zamenjujemo njenim komponentama. Obično su to komponente u pravcu ose i upravno na pravac ose, tj. normalna i transverzalna transverzalna sila u tom preseku, slika 2c 2 c. Nekada je korisno da za statički neodređene sile izaberemo i neke druge

komponente rezultante unutrašnjih sila, na primer, komponente koje dobijamo razlaganjem te sile u pravcu ose štapa i na pravac koji sa osom zaklapa ugao α , slika 2d 2d .

Uvođenjem pojma osnovnog sistema, za statički neodređene veličine usvojili smo reakcije određenih spoljašnjih i unutrašnjih veza nosača. Time je pojam statički neodređenih veličina znatno sužen u odnosu na njihovu definiciju datu jednačinama (9). I pored toga mogućnosti izbora statički neodređenih veličina su velike. Pokazaćemo to na jednom jednostavnom statički neodređenom nosaču na slici 3a. Nosač je jedanput statički neodređen, a za statički neodređenu veličinu može da bude usvojena ili reakcija na desnom kraju nosača, ili momenat uklještenja na levom kraju, ili momenat savijanja odnosno transverzalna transverzalna sila u proizvoljnom pr eseku štapa. Korespondentni Korespondentni osnovi sistemi prikazani su na slikama 3b 3 b, 3c 3 c, 3d 3d , 3e 3e .

I pored širokih mogućnosti u izboru statički neodređenih veličina, ipak one ne mogu da budu izabrane proizvoljno. Statički neodređene veličine X 1 , X 2 . . . X n ne mogu da budu sile i momenti koji mogu da se sračunaju iz uslova ravnoteže nosača, niti veličine od kojih može da se formira ma i jedna linearna forma a 1 X 1 + + a2 X 2 + . . . an X n čija vrednost može da se sračuna iz tih uslova. uslova. Lakši i očigledniji odgovor na pitanje da li n sila i momenata jednog n puta

statički neodređenog sistema mogu da budu izabrane za statički neodređene veličine tog nosača, daje osnovni sistem koji odgovara tim silama i momentima kao statički neodređenim veličinama. Za statički neodređene veličine može da bude izabran samo onaj sistem sila i momenata kome odgovara statički određen, tj. kinematicki prosto stabilan osnovni sistem. Na primer, normalna sila u nekom preseku nosača na slici 3a ne može da bude izabrana za st atički atički neodređenu tog nosača, jer ta sila može da se izračuna iz uslova ravnoteže sila na delu levo ili desno od tog preseka. Osnovni sistem koji bi odgovarao normalnoj sili kao statički neodređenoj veličini, slika 3 f , nije statički određen, tj. kinematički prosto stabilan, već sistem sa nepravilnim rasporedom elemenata. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 3

6

STA STATIKA KONSTRUKCIJA 2

Pisano predavanje 4 Pripremio: Doc. dr Ilija M. MILIČIĆ, dipl.inž.građ.

Literatura: Literatura: Đurić, M.: Statika konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1979.

TEMA:

USLOVNE JEDNAČINE ZA STATIČKI NEODREĐENE VELIČINE

Veličine X 1 do X do X n ne mogu da se odrede iz uslova ravnoteže nosača. Njih možemo odrediti iz uslova kompatibilnosti deformacije nosača. Taj direktan postupak da se ispišu uslovne jednačine i sračunaju statički neodređene veličine je u osnovi elementaran, ali je i dug i zametan. Njega koristimo u Otpornosti materijala da ispišemo uslovne jednačine za statički neodređene veličine kontinualnog nosača (Clapeyron – ove jednačine), i nekih drugih jednostavnih nosača. Za komplikovanije statički neodređene nosače on se ne koristi. Postoji više načina na koji ove jednačine mogu neposrednije da se izvedu. U sledećem ćemo pokazati dva načina kako one mogu da se izvedu. Time ćemo ujedno ukazati i na značenja koja ove jednačine imaju. Prvi način je princip virtualnih sila koji važi kako za statički određene tako i za statički neodređene nosače, o čemu je bilo reči u Statici 1. Primenom tog principa mogu da se izvedu uslovne jednačine za statički neodređene veličine statički neodređenih nosača. Napisan za unutrašnje ravnotežno stanje X i = 1 kao jedno moguće ravnotežno stanje nosača, taj princip glasi:

               

(1)



Kada u ovu jednačinu za ϰ,  i i  T T (deformacijske veličine koje se u nosaču stvarno javljaju) unesemo vrednosti date izrazima:

  EI   M

t

t

h

o

, 



N

 t t o , T  k

EF EF

T

GF

(2)

a zatim za N , T i i M , saglasno jednačinama prethodnog poglavlja, vrednosti: N N0 

n

X k 1

k

Nk ,

T T0 

n

X T k 1

k

k

,

M M 0 

n

X k 1

k

Mk

(3)

dobijamo:

  C c  ji j  M i s  

1   EI

 1 N i   EF

n   t o    M 0   X k M k    t h k 1   

n  N 0  X kN k k 1 

  k o   t  t   Ti GF  

n     T X T  0  k k  d s ,  k 1  


(4)

1

1, 2, 2, .. . n dobijamo sistem od n jednačina sa n nepoznatih X nepoznatih X 1 do X do X n. Iz ove jednačine za i = 1, Ovaj sistem jednačina predstavlja uslovne jednačine za statički neodređene veličine. Sa oznakama:


2

Uslovne jednačine za statički neodređene veličine u sledećem ćemo često pisati i u matričnom obliku:

Koeficijenti uz nepoznate u uslovnim jednačinama za statički neodređene veličine, tj. elementi matrice D dati su jednačinom (6)1. Iz ove jednačine sledi da je koeficijent δ ik u k ik u toj jednačini uz nepoznatu X i jednak koeficijentu δ kiki u i-toj jednačini uz nepoznatu X k k :


3

Za rešetkast nosač čiji štapovi primaju samo aksijalne sile, princip virtualnih sila napisana za unutrašnje ravnotežno stanje X i = 1 glasi:

i sa ranije uvedenom oznakom (7), sistem jednačina (20) prelazi u sistem (8) za koji važi sve ono što je za njega već rečeno. Izvodeći jednačine (9) ništa nismo pretpostavili o statički neodređenim veliči nama pa one, saglasno jednačinama (3), prethodnog poglavlja mogu da budu proizvoljno izabrane. Međutim, kada za statički neodređene veličine izaberemo reakcije određenih spoljašnjih ili unutrašnjih veza nosača, tj. kada u proračun statički neodređenog nosača uvedemo pojam osnovnog sistema, uslovne jednačine za statički neodređene veličine mogu da se izvedu jednostavnim geometrijskim rasuđivanjem. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 4

4

Pomeranja statički neodređenog nosača, slično kao i reakcije i sile u presecima tih nosača, mogu da se sračunaju superpozicijom odgovarajućih pomeranja u osnovnom sistemu. Ako sa δ a obeležimo pomeranje u statički neodređenom nosaču na mestu a usled zadatih spoljašnjih uticaja, a sa δ az uticaja z i i az odgovarajuće pomeranje u osnovnom sistemu usled uticaja z to: p, δ a0 a0 - usled opterećenja p, °, - usled temperaturnih promena t° i Δt °, δ at at - usled pomeranja oslonaca oslonaca ci δ az az - usled sile X k = 1, k 1, k = 1, 2, . 2, . . ., n ., n,, δ ak ak k =

Uslovne jednačine za statički neodređene veličine dobićemo iz jednačine (22), odnosno iz jednačine (23) kada uočimo da su u datom statički neodređenom nosaču generalisana pomeranja δ i (i =1, = 1, 2, . 2, . . ., n) koja odgovaraju statički neodređenim veličinama X i (i =1,2, .. 1,2, .. .n) kao generalisanim silama jednaka nuli.

Generalisana pomeranja koja odgovaraju statički neodređenim veličinama kao generalisanim silama prikazana prikazana su na slici 1.

Kada je statički neodređena reakcija nekog oslonca, odgovarajuće generalisano pomeranje 1a, a kada je je komponenta pomeranja oslonjene tačke nosača u pravcu oslonca slika 1a, statički neodređena aksijalna sila (par sila) oslonačkog štapa gene ralisano pomeranje je relativno pomeranje te tačke u odnosu na oporac, slika lb. Kada je statički neodređen momenat nekog uklještenja, odgovarajuće generalisano pomeranje je obrtanje uklještenog preseka, slika 1c, a kada je statički neodređen momenat savijanje (par momenata) u uklještenom preseku nosača, generalisano pomeranje je relativno obrtanje tog preseka u odnosu na oporac, slika 1d 1 d . Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 4

5

Kada je statički neodređen momenat savijanja u preseku, odgovarajuće genera lisano pomeranje je relativno obrtanje beskonačno bliskih preseka s jedne i druge strane preseka, slika 1e 1 e, a kada je statički neodređena komponenta rezultante unutrašnjih sila u preseku, a u pravcu koji sa osom nosača zaklapa ugao α , generalisano pomeranje je relativno translatorno pomcranje beskonačno bliskih preseka u tom pravcu, slika 1 f . U datom statički neodređenom nosaču ova pomeranja jednaka su nuli. Izuzetak bi bila samo pomeranja elastičnih oslonaca i obrtanja elastičnih uklještenja, ali njih izbegavamo time što umesto reakcija elastičnih oslonaca i uklještenja, za statički neodređene uvodimo sile oslonačkih štapova i momente savijanja u uklještenim presecima. U osnovnom sistemu datog nosača ova pomeranja različita su od nule. Pome ranja δ ko ko, δ kt kt , i, k = 1, 2, . . ., n ., n od opterećenja, temperaturnih promena, pomeranja oslonaca i sila X k δ kc kc, δ ki k , = 1, k = = 1, 2, . . . n, saglasno n, saglasno izrazima izrazima za pomeranja pomeranja koja su s u izvedena u poglavlju po glavlju 3.3.1 data i = 1, 2, . . . n, u datom nosaču jednaka nuli, su jednačinama (6). Uslovi da su po meranja δ i, i = na osnovu jednačine (29) mogu da se napisu u obliku:

Time smo došli do uslovnih jednačina za statički neodređene veličine, koje se od jednačina (8) razlikuju samo po tome što veličine X k k, δ ik ik , δ k k¤ imaju uža i konkretnija značenja.


6



Literatura: Literatura: Đurić, M., Nikolić, D.: Statika konstrukcija – uticaj pokretnog opterećenja, Građevinska knjiga, Beograd, 2000.

TEMA:

UTICAJNE LINIJE ZA STATIČKI STATIČKI NEODREĐENE VELI ČINE METODOM SILA

Iz uslovnih jednačina za statički neodređene veličine jednog n – puta statički neodređenog nosača:

u kojima su δ ik ik = δ ki ki , i = 1 , 2 . . . n , k=1,2 ...n, elementi matrice uslovnih jednačina a i = 1 , 2 . . . n , slobodni članovi u uslovnim jednačinama koji zavise od δ i0 i0 , 2 ... n, mogu se opterećenja , opšta rešenja za statički neodređene velcčine X k k , k = 1 2 napisati u funkciji slobodnih članova i elemenata β ik n, ik = β ki ki , i=1,2 ... n, k=1,2 ... n, inverzne matrice uslovnih jednačina za z a statički neodređene veličine u obliku

Kada se na nosaču nalazi samo sila P =1, = 1, slobodni članovi δ i0 i0 , i = 1 , 2 . . . n , predstavljaju generalisana pomeranja na mestima delovanja statički neodređenih veličina X i, i = i = 1,2 ... n, n, u osnovnom sistemu datog statički neodređenog nosača usled sile P= 1 . Ako se sila P= 1 pomera po nosaču , δ i0 i0 predstavlja uticajnu liniju koja je, saglasno teoremi o uzajamnosti pomeranja jednaka dijagramu pomeranja δ 0i 0i , opterećenog poteza štapova u osnovnom sistemu, u pravcu jedinične pokretne sile, pri stanju statički neodređene X i =1. Time je, zahvaljujući primeni teoreme o uzajamnosti pomeranja, problem konstrukcije uticajne linije za pomeranje sveden na poznati zadatak određivanja dijagrama pomeranja duž opterećenog poteza štapova nosača usled opterećenja osnovnog sistema generalisanom silom ( X i=1) koja odgovara traženom pomeranju. Dijagram pomeranja δ 0i 0i redovno određujemo na osnovu statičko – kinematičke analogije jednog fiktivn fiktivnog og nosača sa pravom osom koja je nosača kao dijagram fiktivnih momenata M f jednog upravna na pravac jedinič jedinične ne pokretne sile usled fiktivnog opterećenja , u kome su granič granični ni i prelazn prelaznii uslovi uslovi po fiktivni fiktivnim m silama silama jed jednaki naki graničn graničnim im i prelaznim uslovima po pomeranjima opterećenog poteza štapova datog nosača. Prema tome, dijagram pomeranja δ oi oi punih nosača usled delovanja odgovarajuće jedinične silena mestu i, koja izaziva reakcije C j i sile u presecima M , T , N , određujemo kao dijagram fiktivnih momenata M f usled opterećenja fiktivnog nosača:


1



fiktivnim raspodeljenim silama p silama p f i fiktivnim raspodeljenim momentima m f duž ose fiktivnog nosača:

gde je α ugao ugao između ose fiktivnog nosača i tangente na osu datog nosača, i 

fiktivnim koncentrisanim silama i fiktivnim koncentrisanim momentima X r f , r=1,2, r= 1,2,...n ...n f , čiji je ukupan broj jednak broju statičke neodređenosti n f fiktivnog nosača, a čije vrednosti redovno određujemo na osnovu principa virtualnih sila:



gde su M r Tr , N r sile u presecima, а C jr reakcije oslonaca i reakcije uklještenja ,

jednog mogućeg ravnotežnog stanja usled generalisane sile P r =1. Dijagram pomeranja δ os os nosača koji se sastoji od jedne ili više rešetkastih ploča usled delovanja odgovarajuće jedinične sile na mestu i, koja u datom nosaču izaziva reakcije oslonaca C j i sile u štapovima S , takođe određujemo kao dijagram fiktivnih momenata M f fiktivnog nosača usled opterećenja : elastičnim ili W –težinama –težinama koje deluju u presecima m fiktivnog nosača koji se poklapaju sa čvorovima opterećenog poteza štapova rešetkastog nosača: 

gde su S n sile u štapovima rešetkaste ploče usled ravnotežnog virtualnog opterećenja

jediničnim spregovima sila koje deluju u čvoru m i susednim čvorovima rešetkaste ploče a imaju pravac jedinične pokretne sile, i 

fiktivnim koncentrisanim silama i fiktivnim koncentrisanim momentima X r f , r=1,2, r= 1,2,...n ...n f , gde je n f broj statičke neodređenosti fiktivnog nosača, a čije vrednosti na osnovu principa virtualnih sila iznose:



gde su S r sile u štapovima a C jr reakcije oslonaca jednog mogućeg ravnotežnog stanja datog rešetkastog nosača usled generalisane sile P r =1. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 5

2

Uticajne linije za statnčki neodređene veličine X k n, dobijamo iz opšteg k , k = 1,2 ... n, rešenja (4.2), pošto su prethodno određeni svi dijagrami pomeranja δ 0i0i i = 1 , 2 . . . n , odnosno sve uticajne linije za generalisana pomeralja δ i0 obliku:: i0 i = 1 , 2 . . . n , u obliku

Međutim, uticajne linije za statički neodređene veličine mogu se odrediti neposrednije ako desnu stranu jednačine (4.3) shvatimo kao uticajnu liniju za generalisano pomeranje δ k k, koja je jednaka dijagramu pomeranja usled istovremenog delovanja svih statički neodređenih veličina čiji su intenziteti X intenziteti X i = β ik ik , i= 1 , 2 ...n , tada su uticajne linije za statički neodređene veličine H k k: Dijagram pomeranja δ k k određujemo na uobičajen način, kao dijagram fiktivnih momenata fiktivnog nosača u kome su granični i prelazni uslovi po fiktivnim silama jednaki graničnim i prelaznim uslovima po pomeranjima opterećenog poteza štapova koji odgovaraju stanju pomeranja δ k0 k0 =1 datog nosača, tj. odgovaraju onom stanju pomeranja pri kome su ostala pomeranja δ j0 =0 za j ≠ k i i pri kome su vrednosti statički neodređenih veličina Xi = β ik ik , i= 1,2 ...n ...n, jednake vrednostima elemenata inverzne matrice uslovnih jednačina.

UTICAJNE LINIJE ZA REAKCIJE I SILE U PRESECIMA

Kada su poznate uticajne linije za statički neodređene veličine X k =1,2 ... n, uticajne linije za k, k =1,2 ostale statičke uticaje Z , za reakcije oslonaca, reakcije uklještenja i sile u presecima statički neodređenih nosača, određujemo na osnovu principa superpozicije:

gde je: Z 0 uticajna linija za uticaj Z uticaj Z u osnovnom sistemu Z k vrednost uticaja Z uticaja Z u u osnovnom sistemu pri stanju X stanju X k =1,2 ... n, k vrednost k, k =1,2 X k =1,2 ... n. k, uticajna linija za statički neodređenu veličinu X k k, k =1,2   

Ako u jednačinu (4.5), za uticajnu liniju X liniju X k k unesemo izraz (4.3), ona može da se prikaže u obliku:

koji sa brojnim konstantama, glasi:

putem koga se, u slučajevima kada uticajne linije za statički neodređene veličine nisu neophodne, mogu da odrede uticajne linije za statičke uticaje Z u statnčki neodređenim nosačima. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 5

3

UTICAJNE LINIJE ZA POMERANJA

Uticajne linije za pomeranja δ u statički neodređenim nosačima mogu da se odrede na osnovu principa superpozicije, kao u poglavlju 4.2, prema izrazu:

u kome su: u osnovnom sistemu, δ 0 uticajna linija za pomeranje δ u vrednost pomeranja δ u u osnovnom sistemu pri stanju X stanju X k k=1,2,... ... n, n, δ k k vrednost k= 1 , k=1,2, X k uticajna linija za statički neodređenu veličinu X k =1,2 ... n. k uticajna k , k =1,2 ... U jednačini (4.9) pored uticajne linije za pomeranje δ 0 u osnovnom sistemu, treba posebno =1,2... n, što nije slučaj sa statičkim uticajima Z k =1,2... n, n, u sračunavati pomeranja δ k k, k =1,2...n k, k =1,2... izrazu (4.5) koji predstavljaju osnovne i neophodne veličine za određivanje koeficijenata i slobodnih članova u uslovnim jednačinama metode sila (4.1). Stoga je ovaj postupak nepogodan za određivanje uticajnih linija za pomeranja u statički neodređenim nosačima. Uticajne linije za pomeranje δ u statički neodređenim nosačima redovno određujemo na osnovu principa virtualnih sila prema postupku koji je već opisan, kada u izraze za fiktivno opterećenje (3.10), (3.11), (3.12) i (3.13) unesemo stvarne vrednosti reakcija i sila u presecima statički neodređenog nosača usled delovanja jedinične generalisane sile. Uticajna linija za pomeranje δ so jednaka je dijagram dijagramu u pomeranj pomeranja a δ os so jednaka os opterećenog poteza štapova nosača u pravcu jedini jedinične čne pokretne sile usled opterećenja nosača na mestu s jedinič jediničnom nom general generalisa isanom nom silom. silom. Time je, zahvaljujućiprimeni teoreme o uzajamnosti pomeranja, problem konstrukcije uticajne linije za pomeranje sveden na poznati zadatak određivanja dijagrama pomeranja duž opterećenog poteza štapova nosača usled opterećenja datog nosača generalisanom silom koja odgovara traženom pomeranju.   


4



Literatura: Literatura: Đurić, M., Jovanović, P.: Teorija okvirnih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd, 1977. TEMA: SIMETRIČNI NOSAČI

Nosač je simetričan ako su mu elementi simetrično raspoređeni u odnosu na jednu ili više osa simetrije i ako su mu karakteristike h, F i I simetrično položenih preseka međusobno jednake. Simetrija nosača može da se iskoristi i proračun tih nosača može znatno da se uprosti.

Posmatraćemo nosač na slici 7.l a. Nosač je simetričan, sa vertikalnom osom simetrije. Ako simetričan nosač opteretimo simetričnim opterećenjem, tj. ako je opterećenje nosača sa jedne strane ose simetrije slika u ogledalu opterećenja nosača sa druge strane te ose, slika 7.1b , tada su i uticaji u nosaču sa jedne strane ose simetrije slika u ogledalu uticaja sa druge strane te ose. Kada iz ovako opterećenog nosača isečemo deo između dva simetrično položena preseka c i c' , slika 7.2a, rezultanta spoljašnjih sila koje dejstvuju na taj deo je sila Rv čija se napadna linija poklapa sa osom simetrije. Sile u preseku c' su slika u ogledalu sila u preseku c. Normalna sila N c' c' i moment M c' c' jednaki su normalnoj sili N c i momentu M c i po veličini i po znaku, dok je transverzalna sila T c' c' po veličini jednaka transverzalnoj transverzalnoj sili T c a suprotnoga znaka. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 6

1

Zbog toga za normalne sile i momente savijanja simetričnih nosača kažemo da su simetrični uticaji, a za transverzalnu silu kažemo da je antimetričan uticaj. Ako rezultantu unutrašnjih sila u preseku c, odnosno u preseku c' , razložimo u komponente u pravcu i upravno na pravac ose simetrije, tj. u komponente H c i V c, odnosno H c' c' i V c' c' , kolinearne

komponente međusobno su jednake i simetrično položene u odnosu na osu simetrije, slika 7.2b. Iz uslova ravnoteže sila u pravcu ose simetrije sledi:

Prema tome, u simetričnom nosaču pri simetričnom opterećenju komponenta rezultante tante unutrašnjih sila u pravcu ose simetrije je statički određena i jednaka polovini rezul tante spoljašnjih sila na delu između posmatranih poprečnih preseka.

Ovaj stav važi samo pod pretpostavkom da posmatrani preseci potpuno definišu jedan nezavisan deo nosača koji se pod uticajem spoljašnjih sila i sila u ta dva preseka nalazi u ravnoteži. U preseku u osi simetrije sila V jednaka je nuli.


2

Na slici 7.2c prikazana su pomeranja tačaka c i c' i obrtanja odgovarajućih preseka. Pomeranja v u pravcu ose simetrije pri simetričnom opterećenju imaju istu veličinu i isti smer, dok pomeranja u i obrtanja φ imaju istu veličinu a suprotan smer.

Poprečni preseci u osi simetrije simetričnog nosača pri simetričnom opterećenju ne obrću se, a pomeraju se samo u pravcu ose simetrije, tako da je u ovim presecima:

Iz svega što je dosada rečeno sledi da kada poznajemo sile i pomeranja u jednoj polovini simetričnog nosača opterećenog simetričnim opterećenjem da ih tada poznajemo i u drugoj njegovoj polovini. Prema tome takav nosač može da se preseče duž ose simetrije i da se pri proračunu posmatra samo jedna polovina nosača. Pri tome posmatrani deo u osi simetrije treba osloniti tako da na tom mestu usiovi i po silama i po pomeranjima budu

isti kao u datom nosaču:

Ovi uslovi biće zadovoljeni ako posmatrani deo u osi simetrije uklještimo i oslonimo upravno na pravac ose simetrije, kao što je pokazano na slici 7.1c. Ovakvu vezu, koja se sastoji od jednog uklještenja i jednog oslonca upravnog na osu simetrije šematski prikazujemo kao što je pokazano na slici 7.1c, sa dva oslonca upravna na osu simetrije. Ova veza može da primi moment i silu upra vnu na osu simetrije, a ne može da primi silu u pravcu ose simetrije. Ona sprečava obrtanja preseka u osi simetrije i pomeranje upravno na tu osu, a dozvoljava pomeranje u pravcu ose simetrije.

Ako simetričan nosač opteretimo antimetričnim opterećenjem, tj. ako je opterećenje sa jedne strane ose simetrije slika u ogledalu opterećenja sa druge strane te ose sa promenjenim smerom, slika 7.ld, tada su i uticaji u nosaču sa jedne strane ose simetrije slika u ogledalu uticaja sa druge strane te ose sa promenjenim smerom. Kada iz ovoga nosača isečemo deo između dva simetrično položena preseka c i c' spoljašnje sile koje na taj deo dejstvuju mogu da se svedu ili na rezultantu ili na spreg sila. Na slici 7.2d spoljašnje sile svode se na rezultantu RH čija je napadna linija upravna na osu simetrije. Međutim, kada bi spoljašnje sile bile paralelne sa osom simetrije njihova rezultanta bila bi jednaka nuli, a sile bi se svele na spreg sila. Sile u preseku c' su tada antimetrična slika u ogledalu sila u preseku c, slika 7.2d. Transverzalna sila T c' c' jednaka je u ovom slučaju transverzalnoj sili T c i po veličini i po znaku, dok su normalna sila N c' c' moment savijanja M c' c' jednaki jednaki normalnoj normalnoj sili N c i momentu M c samo po veličini, a suprotnoga su znaka. Komponente H i V pri antimetričn a ntimetričnom om opterećenju opte rećenju prikazane prikaza ne su na n a slici 7.2e. 7 .2e.

Uslov ravnoteže sila u pravcu normale na osu simetrije i uslov ravnoteže momenata u odnosu na tačku S – presek ose simetrije i napadne linije sila H – glase:


3

tj. sledi da je u simetričnom nosaču pri antimetričnom opterećenju komponenta rezul tante tante polovini ni unutrašnjih sila u pravcu upravnom na osu simetrije statički određena i jednaka polovi rezultante spoljašnjih sila na delu između posmatranih poprečnih preseka. Iz usiova ravnoteže (7.5) i (7.6) za element isečen iz štapa presecima c i c' beskonačno bliskim levo i desno od ose simetrije, slika 7.2g, sledi da su u preseku preseku u osi simet simetrije rije sila H i moment mom ent M jednaki jednak i nuli. nul i. Na slici 7.2f prikazana su pomeranja tačaka c i c ' i obrtanja odgovarajućih preseka. Pomeranja u i obrtanja φ pri antimetričnom opterećenju imaju istu veličinu i smer, dok pomeranja v imaju istu veličinu a suprotan smer.

Poprečni preseci u osi simetrije simetričnog nosača pri antimetričnom opterećenju obrću se i pomeraju samo upravno na osu simetrije, a ne pomeraju se u pravcu ose simetrije, tako da je u ovim presecima:

Na osnovu ovoga što je rečeno o uticaju antimetričnog opterećenja sledi da simetričan nosač i pri antimetričnom opterećenju može da se preseče duž ose sime trije i posmatra samo jedna njegova polovina. Pri tome posmatrani deo nosača u osi simetrije treba osloniti tako da na tom mestu bude:

Ovi uslovi biće zadovoljeni ako posmatrani deo u osi simetrije oslonimo na jedan oslonac u pravcu ose simetrije, kao što je pokazano na slici 7.1e. Ovaj oslonac može da primi silu u pravcu ose simetrije, a ne može da primi silu upravnu na osu simetrije i moment savijanja. Ona sprečava pomeranja u pravcu ose simetrije, a dozvo ljava pomeranja upravno upravno na taj pravac i obrtanje preseka.

Simetrično i antimetrično opterećenje su dva osnovna oblika opterećenja simetričnog nosača, jer proizvoljno opterećenje takvog nosača uvek može da se prikaže kao zbir jednog simetričnog i jednog antimetričnog opterećenja.


4

Na slici 7.3a prikazano je proizvoljno opterećenje koje se sastoji samo od jedne koncentrisane koncentrisane sile P. Na slici 7.3b prikazano je simetrično opterećenje koje se sastoji od dve koncentrisane sile P/2 , a na slici 7.3c prikazano je antimetrično opterećenje koje se sastoji opet od dve koncentrisane koncentrisane sile istog intenziteta P/2. Očigledno je da je zbir ova dva opterećenja jednak opterećenju na slici 7.3a. Na osnovu principa superpozicije uticaj proizvoljnog opterećenja jednak je zbiru ut icaja icaja simetričnog i antimetričnog dela tog opterećenja . Proizvoljno opterećenje nosača u osi simetrije, koje se sastoji od sile P s, slika 7.4a, može da se razloži na simetrično i antimetrično opterećenje kao i u prethodnom slučaju. Ta opterećenja prikazana su na slici 7.4b i slici 7.4c. Simetrično položene sile na slici 7.4b koje dejstvuju u istoj tački, u osi simetrije, mogu da se zarnene rezultantom P sv sv koja je jednaka komponenti sile P S S u pravcu ose /2 mogu simetrije, a antimetrično položene sile P S S /2 da se zamene rezultantom P sh sh , koja je jednaka komponenti sile P s u pravcu upravnom na osu simetrije.

Prema

tome

opterećenje

simetričnog

nosača

koncentrisanom silom u osi simetrije u pravcu te ose je čisto simetrično opterećenje, a opterećenje koncentrisanom silom u osi simetrije upravno na pravac te ose je čisto antimetrično opterećenje. Opterećenje koncentrisanim momentom u osi simetrije, slika 7.5a, može da se zameni statički ekvivalentnim opterećenjem, spregom sila na slici 7.5b. Ako je krak toga sprega e

beskonačno mali ova dva opterećenja su identična. S obzirom da je opterećenje na slici 7.5b antimetrično opterećenje, to je i njemu ekvivalentno opterećenje koncentrisanim momentom u osi simetrije čisto antimetrično opterećenje. Prema tome za nosač opterećen u osi simetrije silom P s i momentom M s , slika 7.6a, simetrični deo opterećenja je sila P sv sv na slici 7.6b, a antimetrični deo je sila P sh sh i moment M s na slici 7.6c. U proračunu, kada posmatramo polovinu nosača, nosač koji odgovara simetričnoj deformaciji treba opteretiti u osi simetrije P sv sv /2 , slika 7.6d, a nosač koji odgovara antimetričnoj deformaciji treba opte retiti silom P sh /2 i momentom M s /2, /2 , slika 7.6e. sh /2 i Statička neodređenost nosača kojima zamenjujemo jedan simetričan nosač pri simetričnoj odnosno antimetričnoj deformaciji manja je od statičke neodređenosti toga nosača. S obzirom da je i u jednom i u drugom slučaju reč o jednoj polovini nosača nameće se zaključak da je i njihova statička i neodređenost jednaka polovini statičke neodređenosti datoga nosača. Međutim da li će statička neodređenost ovih nosača biti jednaka, ili će ona biti veća ili manja od jedne polovine statičke neodređenosti datoga nosača, zavisi od uslova njihovog oslanjanja u osi simetrije, odnosno od uslova po silama i pomeranjima na tim mestima. Iz uslova (7.3) vidimo da pri simetričnoj poznajemo samo jednu (V= (V=0), 0), a iz uslova deformaciji od tri statičke veličine u osi simetrije poznajemo (7.8) vidimo da pri anti metričnoj deformaciji od tri statičke veličine poznajemo dve (H =0 =0 i M =0). =0). Zbog toga je statička neodređenost neodređe nost simetričnog simetričn og nosača pri simetričnoj simetrično j deformaciji deforma ciji veća, a pri antimetričnoj deformaciji manja od jedne pol ovine statičke neodređenosti datoga nosača. nosača.


5

Na primer, nosač na slici 7.1a je 3 puta statički neodređen, dok je nosač na slici 7.1c koji odgovara simetričnoj deformaciji 2 puta statički neodređen, a nosač na slici 7.1 e koji odgovara antimetričnoj deformaciji samo 1 puta statički neodređen. Do sada smo posmatrali simetrične nosače koji nemaju štapove duž ose simetrije. Od nosača sa štapom u osi simetrije možemo da pređemo na nosač bez štapa u osi simetrije na taj način što ćemo štap u osi simetrije zameniti sa dva štapa beskonačno bliska s jedne i druge strane ose simetrije.

Da bi ovi nosači bili statički ekvivalentni, površine i momenti inercije poprečnih preseka udvojenih štapova treba da budu jednake polovini odgovarajućih karakteristika poprečnih preseka štapova u osi simetrije datoga nosača. Na primer, nosaču na slici 7.13a statički je ekvivalentan nosač na slici 7.13b. Nosač na slici 7.13b pri simetričnoj deformaciji odnosno antimetričnoj deformaciji, saglasno onom što je napred rečeno, zamenju jemo nosačem na slici 7.13c, odnosno nosačem na slici 7.13e. Pri simetričnoj deformaciji štap u osi simetrije opterećen je samo silama P sv sv u pravcu te ose i ne trpi temperaturne razlike, tj. z a taj štap je Δt°= 0. Udvojeni štapovi primaju tada u osi simetrije samo sile P sv /2. S obzirom da ovi štapovi pri simetričnoj deformaciji nisu sv opterećeni transverzalnim opterećenjem i ne trpe tem peraturne razlike Δt° , a da veze na krajevima tih štapova sprečavaju i obrtanja čvo rova, φ=0, i obrtanja štapova, ψ=0, to su momenti i transverzalne sile u njima jednaki nuli. U tim štapovima postoje samo normalne sile, pa se od nosača na slici 7.13c može da pređe na nosač na slici 7.13d. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 6

6

Pri antimetričnoj deformaciji štap u osi simetrije opterećen je samo silom P sh sh upravno na osu simetrije i koncentrisanim ili raspodeljenim momentima M s , a ne trpi temperaturnu promenu u svojoj osi, tj. za taj štap je t°=0. Udvojeni šta povi primaju tada sile P sh /2 i momente M s /2 . S obzirom da ovi štapovi pri antimetričnoj sh /2 deformaciji nisu opterećeni silama u pravcu ose i ne trpe temperaturne promene u osi štapa, a da veze na krajevima tih štapova sprečavaju pomeranja u pravcu ose štapa, tj. promenu dužine tih štapova, Δ l =0, =0, to su normalne sile u njima jednake nuli.

U tim štapovima postoje samo momenti savijanja i transverzalne sile, pa se od nosača na slici 7.13e može da pređe na nosač na slici 7.13f. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 6

7

STA STATIKA KONSTRUKCIJA 2 Pisano predavanje 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 Pripremio: Doc. dr Ilija M. MILIČIĆ, dipl.inž.građ.

Literatura: Literatura: Sekulović, M.,: Teorija linijskih nosača, Građevinska knjiga, Beograd, 2005. TEMA: METODA DEFORMACIJE – MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA Uvodne napomene Pojava računarskih programa (computer software) sa algoritamski podržanim konceptom metoda konačnih elemenata, odnosno tačna metoda deformacije putem matrične analize konstrukcija doživela je potpunu afirmaciju. Osnovna ideja postupka je da se konstrukcija može modelirati određenim brojem elemenata (štapova), međusobno vezanih u čvorovima. U svakom elementu nosača sile i pomeranja unutar elementa se mogu izraziti u funkciji od pomeranja krajnjih ta čaka elementa (6 osnovnih deformacijski nepoznatih veličina štapa). Nepoznate su komponente pomeranja čvorova nosača koje određujemo iz uslova ravnoteže čvorova. Koncept matrične analize konstrukcija u aplikacijama porodice CAA (Computer (Computer Aided Analysis) Analysis ) je prisutan i danas predstavlja osnovni alat za prora čun uticaja u inženjerskim konstrukcijama. Na slikama 1 i 2 su prikazani modeli punog i rešetkastog nosača u ravni. Brojevima su označeni čvorovi nosača, dok su brojevima u kružiću označeni elementi nosača – štapovi. p(x) P



broj elemenata 9



broj čvorova 10 Slika 1. Puni nosač

P

Slika 2. Rešetkast i nosač

Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 7,8,9,10,11,12,13,14 7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,15

1

Pojam matrice krutosti i matrice fleksibilnosti – veza pomeranja i sila Polazimo od poznatih veza između pomeranja i sila za elastično telo da bi s e definisala

sledeća dva pojma:  

matrica krutosti, i matrica fleksibilnosti (gipkosti),

koji predstavljaju osnovne pojmove matrične analize linijskih nosača. Na slici 1.3a prikazana je prosta greda koja je opterećena koncentrisanom silom P1 u tački 1 i koncentri sanim momentom P2 u tački 2. Pomeranja δ1, i δ2 u tačkama dejstva ovih sila predstavljaju ukupno vertikalno pomeranje i obrtanje preseka 1 i 2, respektivno. Za nosač pretpostavlja se da je idealno elastičan i da su pomeranja δ1 i δ2 usled zadatog opterećen ja mala.

Slika 1.3 – Geometrijsko – statičko značenje koeficijenata fleksibilnosti i koeficijenata krutosti

Veza između pomeranja δi, i=1,2 i sila Pi, i=1,2, može da se prikaže u sledećem matričnom obliku:

Koeficijenti f ijij, i,j=1,2 se nazivaju koeficijenti gipkosti ili koeficijenti fleksibilnosti ( flexibility flexibil ity coefficients coefficien ts ) nosača, koji odgovaraju silama P1 i P2 . Geometrijsko značenje koeficijenata fleksibilnosti prikazano je na slici 1.3b. Koeficijenti f 11 11 i f 21 21 predstavljaju vertikalno pomeranje u tački 1 i obrtanje u tački 2 usled dejstva sile P 1=1, dok koeficijenti f 12 12 i f 22 22 predstavljaju vertikalno pomeranje u tački 1 i obrtanje u tački 2 usled dejstva momenta P 2=1. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 7,8,9,10,11,12,13,14 7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,15

2

Umesto veza između pomeranja i sila koje su date izrazom (1.3), na sličan način mogu da se prikažu veze između sila i pomeranja:

Koeficijenti k ijij, i,j=1,2 nazivaju se koeficijenti krutosti (stiffness ( stiffness coefficients ) nosača koj i odgovaraju pomeranjima δ1 i δ2. Fizič ko znač enje ovih koeficijenata prikazano je na slici 1.1c. Sa slike je očigledno da koeficijenti k 11 11 i k 21 21 predstavljaju silu u tački 1 i momenat u tač ki 2 koji nastaju usled pomeranja δ2=1, dok je pomeranje δ1=0. Ovo značenje mož e da se dobije neposredno iz izraza (1.2) ako se pomeranjima δ1 i δ2 zadaju vrednosti δ1=1, δ2=0 odnosno δ1=0, δ2=1. Veze između pomeranja i sila odnosno sila i pomeranja, koje su prikazane izrazima (1.3) i (1.4) za jednostavan primer proste grede koja je opterećena silom i momentom, mogu da se uopšte za proizvoljan nosač na koji deluje proizvoljno zadati sistem sila. Na slici 1.4 prikazano je telo na koje deluje ravnotež ni sistem sila (aktivnih i reaktivnih). Pod dejstvom ovog sistema sila dolazi do deformacije tela.

Slika 1.4 – Fizičko znače nje koeficijenata matrice fleksibilnosti i matrice krutosti Ako se sa Ri, i=1,2,...,n, obelež i generalisana sila koja deluje u tač ki i, a sa qi, i=1,2,...,n odgovarajuće general isano pomeranje, tada se na sličan nač in kao i u prethodnom primeru, mogu da uspostave sledeće veze izmeđ u generalisanih pomeranja i generalisanih sila: Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 7,8,9,10,11,12,13,14 7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,15

3

odnosno:

gde su:

Matrica F koeficijenata f ijij, i=1,2...n naziva se matrica fleksibilnosti ili matrica gipkosti sistema (tela), koja odgovara silama R1, R 2...Rn. Ako se u izrazu (1.4) stavi R j=1, Rk =0 =0 k≠j, dobija se:

što znači da elementi j – te kolone matrice F predstavljaju generalisana pomeranja qi, i=1,2...n usled dejstva jedinične generalisane sile R j=1, slika 1.4b. Na sličan način mogu da se prikažu i obrnute zavisnosti, između sila i pomeranja, tj.:

odnosno


4

gde je:

Matrica K , koeficijenata krutosti k ijij, i,j=1,2...n naziva se matrica krutosti ( stiffness matrix ) sistema, koja odgovara pomeranjima qj, j=1,2...n. Fizičko značenje elemenata matrice K može lako da se dobije pomoću izraza (1.9). Ako se u ovom izrazu st avi qj=1, qk =0, =0, k≠j, tada se dobija:

što znači da elementi j – te kolone matrice K predstavljaju generalisane sile (reakcije oslonaca) Ri u tačkama i=1,2...n, usled jediničnog generalisanog pomeranja q j=1, dok su sva ostala generalisana pomeranja jednaka jednaka nuli, slika sli ka 1.4c. S obzirom na Maxweell – ov stav o uzajamnosti pomeranja sledi da je matrica fleksibilnosti simetrična f ijij=f jiji, odnosno F=F T, gde indeks T znači transpoziciju matrice. Pošto iz (1.6) i ( 1.10) neposredno sledi F=K -1, može se zaključiti da je i matrica krutosti

takođe simetrična.


5

REŠETKASTI NOSAČI U RAVNI– 2D PRORAČUNSKI MODELI Osnovni element rešetkastog nosača je prost štap m, koji je u čvorovima i i j zglavkasto vezan sa ostalim delovima nosa ča (sl.2). Štap je izložen aksijalnom naprezanju. Na krajevima štapa javljaju samo aksijalne sile F1, F2 i odgovarajuća pomeranja q1, q2 u pravcu ose štapa (slika 3). Dakle, štap ima dva stepen a slobode pomeranja.

Matrica krutosti štapa – direktni postupak Neka je F vektor sila na krajevima štapa , a q vektor pomeranja krajeva štapa :

Slika 3. Aksijalno napregnut štap Veza između vektora sila i pomeranja štapa može se lako izvesti polazeći od osnovnih jednačina teorije štapa. Promena dužine tetive štapa Δl je jednaka razlici komponenata pomeranja kr ajeva štapa u pravcu ose štapa:

Dilatacija ose štapa je jednaka promeni dužine po jedinici dužine, tj.

Napon, tj. normalna sila odre đuje se direktno iz dilatacije:

Slika 4.


6

Iz jednačine (4) dobijaju se sile na krajevi ma štapa F1 i F2 (Slika 4):

Ako jednačine (5) napišemo u matričnom obliku, dobija se:

tj.

gde su F i q vektor sila i vektor pomeranja krajeva štapa, dok je K matrica krutosti štapa konstantnog poprečnog preseka:

Elementi matrice krutosti k ijij imaju jasno fizičko značenje koje direktno sledi iz matri čne jednačine (8). Element k ijij predstavlja silu Fi usled jediničnog pomeranja qj. Tako, svaka j–ta vrsta matrice krutosti predstavlja sile na krajevima štapa usled pomeranja qj=1 (slika 5).

Slika 5. on trpi dodatnu dilataciju: Ako je štap izložen uticaju temperaturne promene u osi t on

gde je αt koeficijent koeficijent termi čke dilatacije materijala. Ukupna normalna sila je:


7

Uvodeći matričnu notaciju, iz jedna čine (10) dobija se vektor sila u obliku:

Drugi član desne strane jedna čine predstavlja vektor ekvivalentnog optere ćenja (Sl.6):

Sa uvedenim obeležavanjem dobija se jednačina elementa u matri čnom obliku:

Slika 6. Vektor ekvivalentnog optere ćenja Lokalni i globalni koordinatni sistem. Transformacija koordinata Jednačina elementa (13) je formulisana u lokalnom koordinatnom sistemu xOy, xOy, gde se x se x – osa podudara sa osom štapa, dok je y – osa normalna osa normalna na x i orjentisana tako da zajedno sa z – osom čini Dekartov koordinatni sistem desne orjentacije (slika 7).

Slika 7.

Da bi mogli da formulišemo jednačine sistema potrebno da sva pomeranja i sile na krajevima štapova budu izraženi u istom koordinatnom sistemu. To znač i da se mora definisati jedinstven globalni koordinatni sistem XOY , za sve štapove, koji će takođe biti desne orjentacije (slika 7). Njegov položaj u ravni može biti proizvoljan. Najbolje je, globalni sistem postaviti tako, da je lako odrediti koordinate svih tačaka sistema. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 7,8,9,10,11,12,13,14 7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,15

8

Vektor sila F tj. vektor pomeranja q krajeva štapa u lokalnom sistemu ima 2 komponente

(po jednu na svakom kraju u pravcu ose štapa), dok u globalnom koordinatnom sistemu vektor sila F* tj. vektor pomeranja q* ima četiri komponente (po 2 na svakom kraju, u pravcu osa X i Y globalnog koordinatnog sistema), slika 7.

Pošto su vektor sila, vektor pomeranja krajeva štapa i matrica krutosti štapa dati u lokalnom koordinatnom sistemu neophodno je izvršiti transformaciju koordinata i prevesti ih u globalni koordinatni sistem. Kako su lokalni i globalni sistem ortogonalni, transformacija koordinata je relativno jednostavna. Transformacija pomeranja tj. sile iz jednog sistema u drugi, se dobija direktno projektovanjem komponenata pomeranja/sile u globalnom sistemu na pravac pomeranja/sile u lokalnom sistemu (sl.8).

Slika 8. Transformacija vektora iz globalnog u lokalni koordinatni sistem

gde je α ugao koji osa štapa zaklapa sa X – osom. Ako jednačinu transformacije napišemu u matričnom obliku, za oba kraja štapa, dobija se veza između vektora pomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu:

gde je T matrica transformacije

Matrica transformacije je ortogonalna:

Na osnovu toga iz jednačine (16) dobija da je:


9

Iz jednačina (13) i (16) dobija se da je:

 daje vezu izme đu sila u lokalnom sistemu i pomeranja u globalnom sistemu: gde matrca 

t

Na osnovu činjenice da je F*= F*=T F iz jednačine (20) dobija se veza izme đu vektora sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu u obliku:

gde je K * matrica krutosti u globalnom koordinatnom sistemu

Množenjem matrica

dobija se da je:

gde je K e submatrica oblika:

Vektor ekvivalentnog optere ćenja po štapu  takođe treba transformisati iz lokalnog u

globalni koordinatni sistem. Primenom gore objašnjene transformacije, dobija se da je vektor ekvivalentnog optere ćenja po štapu u globalnom sistemu  jednak:

Nakon matričnog množenja, dobija se:


10

PUNI RAVANSKI NOSAČI – 2D PRORAČUNSKI MODELI Osnovni element punih nosača u ravni je greda, kruto vezana na oba kraja sa ostalim delovima nosača. U metodi deformacije taj element nazivamo štap tipa k . On je izložen aksijalnom naprezanju i savijanju.

Matrica krutosti štapa tipa k – direktni postupak Štap tipa k ima 6 stepeni slobode pomeranja, po tri u svakom čvoru: dva pomeranja u pravcu x i y ose i rotaciju oko z ose.

Slika 9 – Gredni element Vektor sila F i vektor pomeranja q pomeranja q krajeva štapa u lokalnom koordinatnom sistemu su:

Da bi izveli matricu krutosti grednog elementa razmatra ćemo aksijalno naprezanje i savijanje nezavisno jedno od drugog (slika 10).

Slika 10 Matrica krutosti za aksijalno napregnut element je predhodno izvedena (8).


11

Matrica krutosti štapa tipa k izloženog savijanju -   Matrica krutosti za slučaj savijanja   se može izvesti polazeći od značenja koeficijenata matrice: K ijij predstavlja silu na mestu i usled jediničnog pomeranja na mestu j.

Slika 11. Na slici 11 su prikazani elementi matrice krutosti K ijij, i=1,4, prizmati čnog štapa dobijeni usled pomeranja q j=1, j=1,4. Vrednosti elemenata matrice krutosti K ijij su određene primenom metode sila. Oni predstavljaju reakcije dva puta stati čki neodređenog nosača (sl.11) usled zadatog pomeranja oslonca.

Matrica krutosti štapa može se napisati u obliku:

Vektor ekvivalentnog optere ćenja po štapu  u lokalnom koordinatnom sistemu ima 4 komponente:

One su jednake negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostrano uklještene grede (štapa tipa k) usled zadatog opterećenja (sl.12):


12

elementi vektora ekvivalentnog opterećenja po štapu

elementi vektora ekvivalentnog opterećenja po štapu

Slika 12.

Matrica krutosti štapa tipa k Matrica krutosti elementa dobija se iz matrice krutosti prostog štapa (aksijalnog naprezanja -   ) i grede optere ćene na savijanje -   stavljanjem odgovarajućih članova matrica na odgovaraju ća mesta u matrici krutosti štapa K:


13

Uslov ravnoteže grednog elementa opterećenog proizvoljnim opterećenjem može se napisati u matričnom obliku:

Vektor ekvivalentnog optere ćenja po štapu se takođe dobija postavljanjem na odgovarajuća mesta predhodna 2 vektora:

Matrica transformacije

Slika 13. Matrica transformacije dobija se projektovanjem komponenata vektora pomeranja/sila u globalnom koordinatnom sistemu na pravac komponenata lokanog koordinatnog sistema:

Slika 14 – Vektorska transformacija generalisanih pomeranja i generalisanih sila


14

Kada se napiše u matričnom obliku, za oba kraja štapa, veza između pomeranja u lokalnom i globalnom koordinatnom sistemu glasi:

gde je T matrica transformacije:

Matrica transformacije je ortogonalna:   

pa je:

Odakle sledi da je:

    , daje vezu uzme đu sila u lokalnom koordinatnom sistemu i pomeranja u Matrica  globalnom koordinatnom sistemu. Na osnovu toga da je        dobija se veza izme đu sila i pomeranja u globalnom koordinatnom sistemu:

gde je   matrica krutosti elementa u globalnom koordinatnom sistemu:


15

GLOBALNA ANALIZA SISTEMA ŠTAPOVA Direktno f ormiranje ormiranje uslovnih jednačina – postupak kodnih brojeva

Slika 15 – Vektor pomeranja nepoveza nog i povezanog sistema štapova Matrice krutosti   nepovezanih elemenata 1 i 2 su:

Sve vrste i kolone se numerišu (kodraju) odgovarajuć im kodnim brojevima, prema tome kako su predhodno označene komponente sila, tj. pomeranja čvorova u globalnom koordinatnom sistemu, polaze ći od čvora koji je definisan kao "prvi čvor elementa". Matrica sistema povezanih štapova na slici 15, ima 6 elemenata (= 3 čvora x 2pomeranja). Ona daje vezu izme đu 6 komponenati pomeranja  ,  ,…,  i 6 komponenati sila u čvorovima        u globalnom koordinatnom sistemu.


16

Dobija se formiranjem nulte matrice reda 6. Prvo se kodiraju sve vrste i kolone te matrice. Zatim se članovi matrica krutosti pojedinih elemenata   stavljaju na odgovaraju će mesto u matrici krutosti K krutosti K *, *, prema kodnom broju. Članovi koji imaju isti kodni broj sabiraju se. Vektor ekvivalentnog optere ćenja po štapu  dobija se takođe jednostavnim sumiranjem komponenata vektora optere ćenja po štapu svakog elementa sa istim kodnim brojem:

Slika 16. Vektor ekvivale ntnih sila nepovezanog i povezanog sistema štapova

Lako se može pokazati da matrič na jednačina (40) predstavlja uslove ravnoteže sila u svim čvorovima:

gde je   vektor spoljašnjeg čvornog opterećenja. Ako uvedemo obeležavanje:

dobija se da je:


17

Jednačina (42) predstavlja sistem od N linearnih algebarskih jedna čina, gde je N broj stepeni slobode sistema. Matrica K * je matrica krutosti sistema. Ona je singularna matrica, pošto sistem jednačina (42) sadrži u sebi i veze sila i pomeranja siste ma kao krutog tela (linearno zavisne jedna čine). Jednačina (42) se može rešiti tek pošto se sistemu zadaju granič ni uslovi (uslovi oslanjanja). Ako sa  obeležimo vektor pomeranja slobodnih čvorova (nepoznata pomeranja), a sa  vektor poznatih pomeranja (pomeranja oslonaca), tada jedna činu (42) možemo napisati u obliku:

gde su   , i  , submatrice i subvektori, koje odgovaraju o dgovaraju pomeranjima , i,j=n,s. U praksi mogu nastupiti 2 slučaja:

1. Kada je vektor poznatih pomeranja (pomeranja oslonaca)    , tada iz jedna čine (43) sledi da je:

2. Kada je vektor poznatih pomeranja   , tada iz jedna čine (43) sledi:

Vektor reakcija oslonaca  dobija se iz jedna čine (43) :

Vektor sila na krajevima štapa Kada su poznata pomeranja svih čvorova, vektor sila na krajevima štapa u lokalnom sistemu određuje se za svaki element pojedina čno iz jednačine štapa:         

(47)

  matrica krutosti elementa, koja je predhodno definisana,  je vektor pomeranja gde je  krajeva štapa, a  je vektor ekvivalentnog optere ćenja po štapu.


18

OSNOVNA ILI BAZNA MATRICA KRUTOSTI

Kao što se iz prethodnih razmatranja može videti, elementi matrice kr utosti su konstante koje zavise od geometrije štapa i modula elastičnosti materijala. Ako su poznate komponente generalisanih pomeranja q, pomoću matrične jednačine R=kq, R=kq, mogu da se jednoznačno odrede komponente vektora generalisanih sila R. Međutim, rešenje obrnutog zadatka nije moguće. Nije moguće odrediti generalisana pomeranja za slučaj proizvoljno zadatih generalisanih sila na krajevima štapa. Matrica krutosti štapa k je singularna, tako da ne može da se dobije inverzna relacija q=k -1 R. R . Rang matrice k je j e manji od njenog reda za broj stepeni slobode štapa kao krutog tela. Za ravan štap sa šest stepeni slobode rang matrice krutosti je tri, pošto štap kao kruto telo ima tri stepena slobode, dve translacije i jednu rotaciju. Singularitet matrice krutosti je posledica

činjenice da su u vektoru generalisanih pomeranja, pored pomeranja usled deformacije, sadržana i pomeranja štapa kao krutog tela t ela . Zbog toga generalisane sile na krajevima štapa ne mogu da budu međusobno nezavisne. One moraju da zadovolje uslove ravnoteže kako ne bi došlo do pomeranja štapa kao krutog tela. U slučaju ravnog štapa, broj uslova ravnoteže je tri, tako da od šest generalisanih sila postoje samo tri koje su međusobno nezavisne. Na slici 3.10 prikazane su tri statički nezavisne veličin e ravnog štapa: aksijalna sila S i momenti savijanja, Mi i Mk na krajevima štapa. Ovim veličinama odgovaraju deformacijske veličine Δl , τ i i , i τ k k , koje predstavljaju promenu dužine ose štapa i deformacione uglove na krajevima štapa.

Slika 3.10 – Osnovne statičke i doformacijske veličine š tapa. Geometrijsko – statičko znače nje bazne matrice fleksibilnosti i bazne matrice krutosti.


19

Na osnovu principa superpozicije, veza između osnovnih deform acijskih i osnovnih statičkih veličina na krajevima štapa može da se prikaže u sledećem matrič nom obliku:

odnosno sažeto:

gde je δ vekt or or osnovnih deformacijskih veličina, S vektor osnovnih statičkih velič ina, a f matrica fleksibilnosti štapa čiji su elementi specifična promena dužine š tapa i deformacioni uglovi na krajevima štapa usled jediničnih momenata Mi i Mk , slika 3.10b. Matrica fleksibilnosti je regularna poš to su komponente vektora δ relativna pomeranja, tako da postoji inverzna relacija:

gde je k o:

matrica koja se naziva osnovna ili bazna matrica krutost i štapa. Bazna matrica je simetrična (αik =αki). Za štap konstantnog popreč nog preseka EI=const., p ošto je δ=l/EF, αii=αkk =l/3EI, =l/3EI, αik =α =αki=l/6EI, =l/6EI, bazna matrica krutosti je:

Bazna matrica krutosti š tapa, koja je prikazana izrazom (3.38), odnosno (3.39), je kvazidijagonalna. Nju č ine dva bloka, od kojih gornji predstavlja baznu matricu aksijalne krutosti, a donji baznu matricu transverzalne krutosti štapa, odnosno krutosti š tapa izloženog savijanju. Geometrijsko – statičko značenje elemenata bazne matrice krutosti štapa prikazano je na slici 3.1 0c.


20

Određivanje matrice krutosti štapa pomoću bazne matrice matr ice Matrica krutosti štapa može da se odredi pomoć u bazne matrice krutosti štapa. Da bi se to postiglo, potrebno je uspostaviti vezu između osnovnih deformacijskih velič ina i parametra pomeranja, kao i vezu izmeđ u generalisanih sila i osnovnih statičkih velič ina pre i posle deformacije. štapa. Na slici 3.11, p rikazan je štap i – k pre

Slika 3.11- Ravan štap pre i posle deformacije.

Uz pretpostavku da se radi o malim pomeranjima, sa slike 3.11 su očigledne sledeć e zavisnosti između osnovnih deformacijskih velič ina i parametara pomeranja:

koje mogu da se pri kaž u u slede ćem matri čnom obliku:


21

gde je:

Na sličan način, može da se uspostavi veza izmeđ u generalisanih sila i osnovnih statičkih veličina. Iz uslova ravnoteže š tapa na slici 3.10, sledi da su transverzalne sile na krajevima štapa:

Na osnovu slike 3.10 i izraza (3.43), veza izmeđ u generalisanih sila i osnovnih statičkih veličina može da se prikaže na sledeći način:

Odnosno:

gde je cT transponovana matrica matrice c, koja je data izrazom (3.42). Smenom (3.37) u (3.45), uz vođenje rač una o (3.41), dobija se:

odnosno:

gde je:

matrica krutosti štapa koja je dobijena pomoć u bazne matrice krutosti k o i matrice c koja predstavlja vezu između osnovnih deformacijskih velič ina i generalisanih pomeranja, odnosno osnovnih statičkih velič ina i generalisanih sila. Statika konstrukcija 2 | Pisano predavanje 7,8,9,10,11,12,13,14 7,8,9,10,11,12,13,14,15 ,15

22

Posle matričnog množ enja prema izrazu (3.48), matrica krutosti ravnog š tapa je:

Za slučaj štapa konstantnog popreč nog preseka (EI=const.), lako je pokazati da se iz izraza (3.49), uz vođenje rač una o (3.38) dobija se matrica krutosti koja je prethodno data izrazom (3.33).


23

01966_20110920_SK_2_pisana_predavanja_AGF_2011.pdf

Recommend Documents