Introducción al Análisis Tensorial MSc. Carlos Melchor
Sistema de Referencia Es el sistema de coordenadas que permiten imaginarnos la localización de algún objeto en nuestro universo, pudiéndose tener hasta sistemas de referencia completamente generales. Sistema de coordenadas cartesianas Ejemplos de sistemas de coordenadas utilizados
Sistema de coordenadas polares Sistema de coordenadas cilíndricas Sistema de coordenadas esféricas Coordenadas curvilíneas generales
Tensores Es la representación matemática de ciertas cantidades físicas asociadas a un medio continuo. La descripción tensorial de una de estas propiedades física existe de manera independiente a cualquier sistema coordenado. Para cumplirse esta condición, las componentes de estas cantidades físicas con respecto a un determinado sistema de referencia se deben modificar de acuerdo a ciertas reglas.
=
(,,)
′ = ′ ′
( ′ , ′ , ′ )
Notación Indicial Convención de Suma: La notación indicial se puede utilizar para representar una sumatoria de manera simplificada o compacta.
Índice falso: Cada vez que un índice se repite una vez, al cual se le denomina en la literatura como “dummy index”, se establece una sumatoria variando todos los valores enteros que representa este índice.
Se debe enfatizar que dentro de esta convención indicial ningún índice se debe repetir mas de una vez.
, = 1, 2,3
Índice libre: Son los índices que no se repiten y que determinan el orden de un determinado tensor.
Dos índices no repetidos representan a un tensor de orden 2 (por ejemplo ). Dos índices no repetidos particularizados representan a un término del tensor (por ejemplo )
Módulo de un vector:
Multiplicación de una fila de una matriz por un vector:
Cocientes:
Diferencial total de una función escalar:
Diferencial total de una función vectorial:
Orden de un Tensor Tensor de orden cero. Cantidades físicas asociadas a un medio continuo que están definidas sin tener relación con el sistema de referencia, por lo cual, estas se describen exclusivamente a través de su magnitud (cantidades escalares tales como la densidad, la masa, la temperatura, etc).
Tensor de primer orden. Cantidades físicas asociadas a un medio continuo que están referidas a cada uno de los vectores unitarios que describen al sistema de referencia adoptado (cantidades descritas vectorialmente, tales como la velocidad, el desplazamiento, la fuerza, la posición, etc).
Tensor de segundo orden. Cantidades físicas asociadas a un medio continuo que requieren para su precisa descripción que sus componentes estén asociadas con dos ejes a la vez (descripción matricial, tales como los esfuerzos, deformaciones, etc).
Tensor de tercer orden. Cantidades físicas asociadas a un medio continuo que requieren para su precisa descripción que sus componentes estén asociadas con tres ejes a la vez (Propiedades de los cristales piezoeléctricos).
Tensor de cuarto orden. Cantidades físicas asociadas a un medio continuo que requieren para su precisa descripción que sus componentes estén asociadas a dos pares de ejes a la vez (Tensor de constantes elásticas).
Operadores Tensoriales Existen dos operadores especiales que se emplean con profusión en la notación de índices. Tales son: tensor delta de Kronecker y tensor de permutación de índices
Delta de Kronecker. En el caso de tensores de orden dos (díadas) se define un operador identidad con relación a la operación producto, a éste se le denomina como Delta de Kronecker ( ), si la notación es matricial, simplemente se referirá como la matriz identidad ( ).
Productos Notables
Permutador. Este término también conocido como alternador de Levy-Civita (definido así en honor del matemático italiano Levy-Civita (1873-1941)), es un operador empleado en notación tensorial como símbolo de permutación o alternador ( o ).
Determinante:
Productos Notables
Operaciones con Tensores Adición y Sustracción. El rango de los tensores involucrados en la operación deberá ser el mismo y estas operaciones se realizan término a término. Las propiedades con respecto a estas operaciones serán las mismas que las descritas para las matrices (conmutativa y asociativa).
Multiplicación de Tensores. Esta operación es asociativa. Además, como ya antes fue mencionado no existe conmutatividad en esta operación.
Algunos Producto Ilustrativos de Tensores:
•
Producto Interno o Producto Punto
Este producto también se puede definir para tensores de mayor orden:
∶=
=
∙∙ = = Producto punto vector-díada:
Producto punto díada-vector:
•
Producto Vectorial (Producto Cruz) A través de esta operación se define un nuevo tensor del mismo rango de sus predecesores. Esta operación se le relaciona comúnmente a tensores de rango uno, de tal forma que se da lugar a un nuevo vector el cual es normal al plano definido por sus factores
•
Triple Producto Escalar
Este producto representa el producto punto de dos tensores de primer orden, donde uno de ellos es a su vez resultado de un producto vectorial. Donde el resultado representa el volumen (V) del paralelepípedo definido a través de los vectores,,
•
Triple Producto Vectorial Este producto representa el producto cruz de dos vectores, uno de los cuales es a su vez resultado de un previo producto vectorial, en este caso se cumplen las siguientes identidades:
•
Producto Tensorial El producto tensorial equivale al producto de tensores con índices diferentes (libre), de tal forma que éstos se suman incrementando el rango del tensor resultante
(Producto diádico)
En la operación definida como producto tensorial ⨂, se incrementa el rango del tensor resultante, esto es equivalente a que todos los índices sean diferentes (libres) y, por lo tanto, se acumulen.
•
Contracción o eliminación de índices falsos o repetidos
Como ya fue enunciado cuando los índices se repiten se anulan y por consecuencia se reduce el rango del tensor resultante
Productos Notables
Tensores con Características Particulares A partir del concepto general de tensor se pueden definir algunos que presentan determinadas peculiaridades, estos no necesariamente existirán para cualquier rango, y aun cuando muchos de estos tipos particulares se relacionan con las díadas (tensores de segundo orden), no necesariamente son exclusivos a éstas.
Tensor simétrico
Tensor antisimétrico
todo tensor de orden dos se puede descomponer en una componente simétrica y una parte antisimétrica
Tensor Ortogonal Se trata de aquella transformación lineal en donde los vectores o cantidades tensoriales a los cuales se les aplica la transformación Q conservan sus características físicas asociadas a determinado medio continuo. Estas diadas se caracterizan, además, en que su inversa está dada por la transpuesta del tensor:
Tensor Isotrópico Se trata de aquellos tensores cuyos componentes permanecen sin cambio con cualquier modificación en el sistema coordenado, esto es, al modificar el sistema de coordenadas todos los componentes del tensor permanecen invariables
•
El producto de un escalar por un tensor isotrópico da lugar a otro tensor isotrópico
•
La suma de tensores isotrópicos da lugar a un nuevo tensor isotrópico
•
El producto tensorial de tensores isotrópicos da como resultado un nuevo tensor isotrópico)
Componentes esférica y desviadora de los tensores simétricos de orden dos Todo tensor simétrico de segundo orden se puede descomponer en una componente esférica y desviadora del tensor. La componente esférica representa un tensor cuyo valor es igual en todas direcciones y de ahí su denominación (se trata entonces de un tensor isotrópico). Por otra parte, la componente desviadora representa un tensor cuyo componente esférico es igual a cero.
Para el caso del tensor desviador su componente esférica es igual a cero
Invariantes de un Tensor de Segundo Orden
Las invariantes asociadas al sistema deben su nombre a la propiedad que poseen estas magnitudes al no verse alteradas al modificar sistema de referencia. Estas magnitudes representan propiedades propias del estado físico cuantificado por el tensor.
Leyes de Transformación de Tensores Las propiedades asociadas a un medio continuo se pueden describir a través de un infinito número de sistemas de referencia, dando lugar a representaciones que son equivalentes en todos los casos. Por tanto para que se cumpla esta importante propiedad de los tensores es necesario considerar las reglas que definan la rotación de los sistemas de referencia de un tensor. Con este objetivo se define la matriz de transformación o rotación, la cual por definición es ortogonal y está dada por los cosenos directores de cada una de las direcciones de la base nueva con respecto a la base srcinal.
Reglas de transformación
Cálculo Diferencial e Integral Aplicado a Tensores Se estudiará el cálculo diferencial e integral aplicado a funciones tensoriales
Función tensorial:
Al derivar una función tensorial con respecto al tiempo el orden del tensor no se altera
Donde son las componentes del tensor de orden 2 y pertenecen al campo de los números reales
Derivada con respecto al tiempo Sean y tensores de orden uno,, tensores de orden dos, y y escalares, todos ellos funciones del tiempo, entonces se cumple lo siguiente:
Operador diferencial En el caso de que la derivación se efectúe con respecto a un campo vectorial, el orden del tensor resultante se verá afectado. Para el empleo del operador ∇(gradiente) es necesario considerar el tipo de operación que se va a realizar ya que esto determinará el orden del tensor al que se dé lugar. Se presentan tres operaciones al utilizar el operador∇
Gradiente, incrementa el orden del tensor en uno
tensor de cualquier orden
Divergencia, reduce el orden del tensor en uno Rotacional, da lugar a un nuevo tensor del mismo orden del srcinal
Identidades con el operador en un Sistema de Coordenadas Cartesianas Tridimensional Sea φ una función escalar: φ , , = φ
Gradiente
Laplaciano
φ =
φ φ =
∘ = ∘ =
φ
=
φ
=
+
+
Sea una función vectorial: , ,
Gradiente
=
= ⊗ =
=
=
Divergencia
∙ =
=
+
+
Rotacional
× =
=
− − −
Laplaciano
∘ = ∘ =
=
=
+ + +
+ + +
Sea una función tensorial: , ,
Gradiente
=
, , =
=
Divergencia
∘ , , =
=
Rotacional
× , , =
+ + +
=
+ + +
Teoremas Integrales para Vectores Teorema de la divergencia (Gauss) Para un campo vectorial
Para un campo tensorial (segundo orden)
Teorema de Stokes
Para un campo vectorial
Para un campo tensorial (segundo orden)
