9.3. 9.3. DOCIM DOCIMA A DE DE HIP HIPOT OTES ESIS IS Es otra forma de hacer inferencia estadística ( inductiva ) cuyo objetivo es probar una hipótesis acerca de los parámetros de una población ( esperanza, varianza, …, etc. ) o acerca de la población misma ( algún modelo probabilístico particular, . . . , etc. ). Definiendo a part partir ir de la m.a. m.a. un proc proced edim imie ient nto o o regl regla a de deci decisi sión ón que que nos nos perm permit ita a conc conclu luir ir probabilisticamente la aceptación o rechazo de tal hipótesis. 1.
HIPOTESIS ESTADISTICA Es una afirmación respecto a una población o a sus parámetros. Ejemplos: H1 : La población se distribuye como una normal H2 : La población no se distribuye como una normal Si X ∼ N ( µ , σ
2
) con σ
2
conocida
H3 : µ = 2 H4 : µ ≠ 2 H5 : µ ≤ 4 H6 : µ > 4 Si la hipótesis define completamente completamente la distribución se llama Hipótesis Simple de lo contrario será llamada Hipótesis Compuesta. Ejemplos de hipótesis simple: H 1 , H3 Ejemplos de hipótesis compuesta: H 2 , H4 , H5 , H6 1.1.
HIPOTESIS NULA ( H 0 ) Es aquella que se hace sobre el estado actual en el que está la población o los parámetros de ésta, y debe considerar la igualdad. Es la hipótesis que se pone a prueba.
1.2.
HIPOTESIS ALTERNATIVA ( H 1 ) Es aquella que se plantea en contraposición a H 0.
2.
ERRORE ERRORES S Y RIESGOS RIESGOS DE LA DOCIMA DOCIMA Puesto que se elegirá sólo una de dos hipótesis ( H 0 ó H1 ), en base a una muestra, y sólo una de ellas es verdadera; existen dos tipos de errores que pueden cometerse: Error Tipo Error Tipo
= Rechazar H0 , cuando es verdadera = Aceptar H0, cuando es falsa
Las Las prob probab abili ilidad dades es de come cometer ter errore errores s del del tipo tipo Ι
y del tipo tipo Ι Ι
pueden
considerarse como los riesgos de decisiones incorrectas, y son denotadas por: P ( Error Tipo Ι
) = α
P ( Error Tipo Ι Ι
) = β
α es llamado Nivel de Significación Significación,, generalmente se fija cercano a cero; 0,01 , 0,05 , . . . , etc. INTERPRETACION :
Por ejemplo; si α ( 100 ) = 5% , significa que de cada 100
muestras 5 de ellas nos llevaran a cometer el error tipo Ι . Para un tamaño de muestra conocido; α
y β
varían inversamente.
correcta, y sus respectivas El complemento de cada tipo de error es una decisión correcta, probabilidades son: P ( Aceptar H 0 , cuando es verdadero ) = 1 − α P ( Rechazar H 0 , cuando es falsa ) = 1 − β 3.
REGION REGION CRITIC CRITICA A O DE RECHAZ RECHAZO O Está constituida por todas las muestras X = ( X1 , X2 , . . . , X n ) ∈ Ω , que llevan a rechazar H 0 cuando es verdadera.
A. BILA BILATE TERA RAL L ( Dos Lados )
Región de Rechazo De H0
Región de Aceptación De H0
Valor Crítico Inferior
Región de Rechazo De H0
Valor Crítico Superior
UNILATERAL DERECHA
Región de Aceptación De H0
Región de Rechazo De H0
Valor Crítico Superior
B. UNILAT UNILATERA ERAL L IZQUI IZQUIERD ERDA A
Región de Rechazo
Región de Aceptación
De H0
De H0
Valor Crítico Inferior
a. PROCEDIMIENTO PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR CONSTRUIR UNA UNA DOCIMA DOCIMA DE HIPOTESIS HIPOTESIS 1º Planteamiento de las hipótesis 2º Defini Definici ción ón de la esta estadís dístic tica a de prueb prueba a con con su respe respecti ctiva va distri distribu bució ción n de probabilidades. 3º Definición de la regla de decisión: 1.- Región Crítica 2.- Puntos Críticos.- Valores teóricos, obtenidos de la estadística de prueba 3.- Verificac Verificación ión Muestral Muestral .- Valor empírico empírico ( observa observado do ) de la estadís estadística tica de prueba, bajo H 0 DOCIMA DE HIPOTESIS PARA
Caso 1.- Si σ
2
EN POBLACIONES NORMALES
es conocida
1º Planteamiento de las hipótesis. Para un problema dado, solo una de las sgtes. hipótesis será definida 1.- Bilateral H0 : µ
= µ
0
H1 : µ
≠ µ
0
2.- Unilateral Derecha H0 : µ
≤ µ
H1 : µ
> µ
0 0
3.- Unilateral Izquierda H0 : µ
≥ µ
H1 : µ
< µ
0 0
2º La Estadística de Prueba
_
X − µ
σ
∼ N ( 0, 1 )
n
3º Regla de Decisión Según la hipótesis planteada y bajo H 0 . Bilateral , se tiene: Para una hipótesis Bilateral, __
__
X − µ 0
X − µ 0
1.- R. C. = { ( x1, x2, . . ., x n ) ∈ Ω /.
< z1 ó
σ
σ
n
> z2
n
} 2.- Para un α
dado se obtienen los valores críticos; z 1 y z2 de la
tabla normal, graficamente se tiene:
α
α
2
2 x 2
x
1
__
3.- De los datos, obtener el valor observado para;
X − µ 0 σ
n
Para una hipótesis Unilateral Derecha se tiene: __
1.- R. C. = { ( X1, X2, . . . , X n ) ∈ Ω /.
X − µ 0 σ
>z }
n
2.-
Para Para un α
dado se obtiene obtiene el valor valor crítico crítico z de la tabl tabla a
normal, graficamente se tiene:
α
x
__
3.- De los datos, obtener el valor observado para;
X − µ 0 σ
n
Para una hipótesis Unilateral Izquierda se tiene:
__
X − µ 0
1.- R. C. = { ( X1, X2, . . . , X n ) ∈ Ω /.
< z }
σ
n
2.-
Para Para un α
dado se obtiene obtiene el valor valor crítico crítico z de la tabl tabla a
normal, graficamente se tiene:
α
x
__
3.- De los datos, obtener obtener el valor observado para;
X − µ 0 σ
n
Caso 2.- Si σ
2
es desconocida pero n > 30
Idem al caso anterior pero el valor de σ
2
es sustituido por el valor de
n
la varianza muestral muestral insesgada; S
2
=
∑( x
i
2
− x ) 2
i =1
n
Caso 3.- σ
__
−1
es desconocida, pero n < 30
Idem a los casos anteriore anteriores, s, solo que se se considera considera S como v.a. v.a. y la
__ __
estadística de prueba
X − µ s
∼ t (n –1)
n
DOCIMA DE HIPOTESIS PARA
2
EN POBLACIONES NORMALES
Caso 1.- Si µ
es conocida
1° Planteamiento de las hipótesis Para un problema dado, solo una de las sgtes. Hipótesis sera definida 1.- Bilateral H0 : σ
2
=σ
2
H1 : σ
2
≠ σ
2
2.- Unilateral Derecha H0 : σ
2
≤ σ
H1 : σ
2
>σ
2 2
3.- Unilateral Izquierda 2
H0 : σ
2
H1 : σ
≥ σ
2
<σ
2
2° La Estadística de Prueba ( n −1) s 2 2
∼ χ
2
σ
n
2
donde S =
∑( xi − µ )
2
i =1
n −1
3° Regla de Decisión Según la hipótesis planteada y bajo H 0. Para una hipótesis Bilateral se tiene: 1.- R. C = {( X 1, X2, ... , Xn )∈Ω /.
(n
−1) s 2 2
σ
< a ó
(n
−1) s 2 2
< b;
σ
a< b } 2.- Para un tabla χ
α
2
2
α
dado se obtienen los valores críticos; a y b de la
, graficamente se tiene:
α
2
a
0
b
3.- De los datos, obtener el valor observado para;
(n
−1) s 2 2
σ
Para una hipótesis Unilateral Derecha se tiene: 1.- R. C. = { ( X1, X2, . . . , X n ) ∈ Ω /.
( n −1) s 2
> b }
2
σ
2.- Para un α dado se obtiene el valor crítico b de la tabla χ 2, graficamente se tiene
α
b
0
3.- De los datos, obtener el valor observado para;
(n
−1) s 2 2
σ
Para una hipótesis Unilateral Izquierda se tiene: 1.- R. C. = { ( X1, X2, . . ., Xn ) ∈ Ω /.
(n
−1) s 2 2
< a }
σ
2.- Para un α dado se obtiene el valor crítico a de la tabla χ 2, graficamente se tiene:
α 0
a
3.- De los datos, obtener el valor observado para;
(n
−1) s 2 2
σ
Caso 2.- Si µ
es desconocida
Idem al caso anterior, solo que la estadística de prueba es:
( n −1) s
n
2
∼ χ
2
2
, y
2 s
σ
=
__
∑( xi − X )2 i =1
n −1
DOCIMA DE HIPOTESIS PARA
p
EN POBLACIONES BERNOULLI Y n
30
1º Planteamiento de Hipótesis Para un problema dado, solo una de las sgtes. Hipótesis será definida 1. Bila ilatera eral H0 : p = p 0 H1 : p ≠ p0 2. Unil Unilat ater eral al Dere Derech cha a H0 : p ≤ p0 H1 : p > p0 3. Unila Unilater teral al Izqui Izquierd erda a H0 : p ≥ p0 H1 : p < p0 2º La Estadística de Prueba p ˆ
− p p (1 − p )
∼ N( 0, 1 )
n
3° Regla de Decisión Según la hipótesis planteada y bajo H 0. Para una hipótesis Bilateral se tiene: 1.- R.C. = { ( X 1, X2, . . . , X n ) ∈ Ω /.
p ˆ − p0 p0 (1 − p0 ) < z1 ó n
p ˆ − p0 p0 (1 − p0 ) n
> z2 } 2.- Para un α
dado se obtienen los valores críticos; z 1 y z2 de la tabla
normal, graficamente se tiene:
α
2
α
2
z 2
z
1
p ˆ − p0 p0 (1 − p0 )
3.- De los datos datos obtener el valor observado para;
n
Derecha , se tiene Para una Hipótesis Unilateral Derecha, 1.- R. C. = { ( X1, X2, . . . , Xn ) /.
p ˆ − p0 p0 (1 − p0 )
> z }
n
2.- Para un α dado se obtiene el valor crítico z de la tabla normal, graficamente se tiene:
α z
p ˆ − p0 p0 (1 − p0 ) > z }
3.- De los datos, obtener el el valor observado para;
n
Izquierda , se tiene: Para una Hipótesis Unilateral Izquierda, p
1.- R. C. = { ( X1, X2, . . . , Xn ) ∈ Ω /.
p0
− pˆ ( 1 − p
0
)
< z }
n
2.- Para un α
dado se obtiene el valor crítico z de la tabla normal,
graficamente se tiene:
α
z
3.- De los datos, obtener el el valor observado para;
p ˆ − p0 p0 (1 − p0 ) n
