Matematicas para Administration y Economia
Matematicas para Administraciin y Economia --
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Segunda Edicion
Ernest F. Haeussler, Ire/Richard S. Paul
dl
I
The Pennsylvania State University
Lic. Alfredo Diaz Mata Focultod de Conrodur~oy Adrn~n~srrocion Unlversidod Nocionol Auranomo de Mexico (UNAM) Mexico. D.F.
Revisores Tecnicos:
Ing. Francisco Paniagua Docanegra Universidod Nocionol Autonorno d e Mexico (UNAM). Mexico. D.F.
Ing. Andres Rojas Lobato Universidod de 10s Americas (UDLA). Pueblo. Mexico.
S.A. de C.R
Nebraska 199. Cd.Ntipoles. 03810 M&co, DD.El. 523 09 44 Far 543 11 73
Version en espaiiol de la obra Introducrory Marhernutical Analysis S k l h Edirion por Ernest F. Haeusslcr, Sr. y Richard S. Paul. Edicion original en ingles publicada por Prentice-Hall, Inc., Copyright O 1990, en Estados Unidos de America. ISBN 0-13-501438-7 D . K . @ 1992 por Grupo Editorial Iberoamerica, S.A. de C.V. Ninguna parle de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma alguna o mediante algun sistema, ya sea electronico, mecanico, de fotorreproduc~i6n,de almacenamiento en memoria o cualquier otro, sin el previo y expreso permiso por escrito de Grupo Editorial Iberoamerica. ISBN 968-7270-97-7 Inloreso en Mexico Editor: Nicolas Grepe P. Produclor: Enrique Fradera T . Cubierra: Suzanne Behnke I oroyrafrir de cl~biertu:Slide Graphics of New England Inc
Gmpo Editorial .IberoamCrica S.A. de C.V. Nebraska 199, Col. Ntipoles, C.P. 03810 MCxico, D.F. Tel. 523-0994 Fax. 543- 1173 Apdo. 5-192, C.P. 06500 Reg. CNIEM 1382
Esta nueva edicion de Matematicas pnrcr Administrncih y Economia continua propol-cionando un fundamento matematico apropiado para 10s estudiantes de Administracion, Ecsnomia, y Ciencias Sociales y Biologicas. Comienza con 10s temas previos a la ciencia del Calculo, como ecuaciones, funciones, matematicas financieras, geometria analitica, algebramatricial y programacion lineal. Luego presenta 10s aspectos del Calcu- lo en una y varias variables. L,as demostraciones tecnicas, condiciones, etc., se describen en el grado suficiente, sin llegar a la sobreestimacion. Se proporcionan a veces razonamientos intuitivos informales destinados a preservar la claridad. En todo el libro se tiene abundancia y variedad de aplicaciones para 10s cursos a 10s que se dirige este texto; 10s estudiantes perciben continuamente como se utilizan las matematicas que estan aprendiendo. Tales aplicaciones son en areas tan diversas como las ciencias economico-administrativas, las ciencias de la salud (biologia,medicina, psicologia), ciencia de la Tierra, Ecologia, Arqueologia, etc. Al final de la obra figura un amplio lndice de aplicaciones. Muchas de estas aplicaciones en el mundo real se han tomado de las publicaciones de esos campos y se documentan con referencias. En algunos casos e proporciona el context0 completo a fin de estimular el interes. Sin embargo, este libro cs virtualmente autosuficiente en el sentido de que considera que no existe est udio previo de 10s conceptos sobre 10s cuales se basan las aplicaciones. Deseminadas en toda la extension de la obra se presentan a1 lector muchas indicaciones acerca de errores que se cometen por lo general, las cuales se especifican como Advertencias. Las definiciones se en-uncian y presentan con claridad. Los conceptos clave, asi como las reglas y las formulas importantes, se destacan en recuadro para patentizar su importancia. Casi 800 ejemplos y problemas reweltos se analizan en detalle. Asi mis-
, ,
rno, se incluye un abundante rrurnero de ejercicios (mas de 4000). En cada conjunto de ejercicios hay grupos de problernas que se dan en orden creciente d e dificultad; en tales grupos 10s problemas se gradlial~desde 10s de tipo basico de resolution rnecanica directa, hasta 10s de caracter mas interesante que provoca el raronarniento profundo. Se incluyen rnuchos problemas d e t ipo practico con datos reales. Asi mismo, s t ha realizad o iln esfuerzo coribiderable para lograr un equilibrio adecuado entre 10s ejercicios de simple aplicacion y 10s problemas que requieren la integracion d e 10s conceptos aprendidos. Cada capitulo (except0 el 1) contiene una seccion final titulada Repaso y que esta cornpuesta por las subsecciones "Terrninologia y sirnbolos", "Resumen" y "Problemas de repaso". Las Respuestas a 10s problet~~c-rs d e ttu'tnero itnpar aparecen al final del libro. Para muchos de 10s problemas de diferenciacion d e 10s Capiti~losI 1 y 12, las respuestas se dan en las formas no simplificada y simplificada. Esto permite que 10s estudiantes verifiquen ficilmente su trabajo. En esta edicion se han efectuado varios carnbios. En algunas secciones el material ha sido reescrito y reorganizado para lograr una mayor claridad. Algunos conjuntos de cjcrcicios se han revisado. Como temas nuevos se tienen las ecuaciones exponenciales y logaritmicas (Secc. 6.4), el teorema del valor extremo (Secc. 13.2) y el mktodo de Newton para aproxirnacion de la raiz (Secc. 14.2). Se presentan anticipadamente las nociones de intercepcibn y sirnetria respecto a 10s ejes (Cap. 4) para exponer el [ r a m de graficas sin el auxilio de la derivada. Se ha ampliado el Cap. 6 (Funciones exponenciales y logaritmicas); incluye ahora el interes compuesto, el decrecimiento radiactivo y una seccion sobre ecuaciones logaritmicas y exponenciales. Se han hecho cambios extensos a1 Cap. 10 (Limites y continuidad). En particular, la seccion sobre continuidad refleja el papel de 10s limites. El capitulo sobre diferenciacion se ha dividido en dos para tener mas flexibilidad. Como resultado, las derivadas de las funciones logaritmicas y exponenciales, junto con la diferenciacion implicita y las derivadas d e orden superior, estan en un capitulo por separado. H a sido reorganizado el Cap. 13 referente al trazo de graficas. En primer lugar se analiza la graficacion de funciones que carecen de asintotas y se concluye con la investigacion d c Cstas. Ademas, 10s valores y puntos extremos se tratan ahora en una seccion separada. E n Cap. 15 (Integracion), 10s problemas de valor inicial se introducen en una nueva seccion. Una novedad en esta edicion es la inclusion dc una Aplicucion pt-uclicu a1 final de cada capitulo. Cada aplicacion es un caso interesante, y a veces novedoso, de utilization d e 10s conceptos matematicos expuestos en el capitulo respective. R4uchas de las aplicaciones incluyen ejercicios. Como todos 10s profesores establecen el plan de su curso de acuerdo con las condicioncs dc cada grupo y el plan de estudios establecido, no se intentara proponer esbozos deplanes. Sin embargo, dependiendo d e la preparacion de 10s estudiantes, algunos profesores opten por omitir el Cap. 1 (Repaso de algebra) o el Cap. 2. (Ecuaciones). Otros podran excluir las materias de algebra matricial y programacion lineal. Ciertamente que hay otras secciones que pueden ser omitidas a discrecion del maestro. C o m o ayuda para planear uri curso, quiza sean utiles algunos comentarios. La Secc. 3.1 introduce algunos terminos de adrninistracion como ingreso total, costo fijo, costo variable y utilidades. La Secc. 5.2 introduce la nocion de las ecuaciones de oferta (o abasto) y demanda, y la Secc. 5.6 analiza el punto d e equilibrio. Algunas secciones son optativas y no causaran problemas si son omitidas. Tales son las 9.3, 9.5, 14.2, 16.1, 16.2, 17.4, 17.6, 17.9 y 17.10. La Secc. 8.9 puede omitirse si n o se trata la Secc. 8.10.
Los interesados pueden conseguir de la casa editorial el extenso Manual del Profesor, que contiene las respuestas a todos 10s problemas, y la resolucion detallada de un gran numero de ellos. Como otras ayudas didacticas tambien estan disponibles un Banco de Exa=enes Computadorizado, un Manual de Soluciones para el Estudiante, y la Edicion Anotada para Profesores, de este libro de Matematicas para Administration y Economia. Los problemas para resolver con ayuda de la calculadora electronics se indican con
R.
Expresamos nuestro agradecimiento a 10s siguientes colegas que aportaron comentarios y sugerencias de gran valor para la evolution de este libro: R. M . Alliston (Pennsylva, A . Alo (University of Houston), M. N . de Arce (University nia State U n i v e r s i ~ )R. of Puerto Rico), G . K . Bates (UTesternIllinois University), D. E. Bennett (Murray State University), C. Bernet t (Harper College), A. Bishop ( Western Illinois University), S. A. Book (California State University),A. Brink ((St.CloudState Universirv), R. Brown (York University),R. W . Brown (Utziversity of Alaska), S. D. Bulman-Fleming (Wilfrid Laurier University), D. Calvetti (National College), K. S. Chung (Kapiolani Community College), D. N. Clark (University of Georgia), E . L. Cohen (University of Ottawa), J . Dawson (Pennsylvania State University), A. Dollings (Pennsylvunia State University), G . A. Earles (St. Clo~tdState University), B. H . Edwards (University of Florida), J . R. Elliott (Wilfrid Laurier University), J . Fitzpatrick (University of Texas at El Paso), M . J . Flynn (Rhode Island Junior College), G . J . Fuentes (Lrtziversity of Maine), G . G o f f (Oklahoma State Universit-y),J . Goldman (DePaul University), L. Griff (Pennsylvania State University),F. H . Hall (PennsylvaniaState University), V. E. Hanks ( U'estern Kentucky University), J . N. Henry (California State University), W. U . Hodgson ( U'est Chester State College), B . C . Horne, Jr. ( Virginia Polytechnic Institute and State University), J . Hradnanski (Pennsylvania State University), C . H urd (Pennsylvania State University), J . A . J imenez (Pennsylvania State University), W. C . Jones ( Western Kentucky University), R. M. King (Gettysburg College), M. M. Kostreva (University of Maine), G . A. Kraus (Gannon University),M . R. Latina (Rhode Island Junior College), J . F. Longman (Villanova University), I. Marshak (Loyola University of Chicago), F. B. Mayer (Mr. Sun Antonio College), P . McDougle (University of Miami), F. Miles (California State University),E . Mohnike (Mt. Sun Antonio College),C. Monk (University of Richmond), J . G . Morris (University of Wisconsin-Madison), J .C. Moss (Paducah Community College), D. Mulling (Pennsylvania State Universifv), E. Nelson (Pennsylvanra State University),S. A. Nett (Western Illinois University),R. H . Oehmke (University of Iowa), Y .Y. Oh (Pennsylvania Stafe University), N. B . Patterson (Pennsyhlania State University),E. Pemberton ( Wilfrid Laurier University), M. Perkel ( Wright State Universify),D. B. Priest (Harding College), .I. R. Provencio (University of Texas), L. R. Pulsinelli (Western Kentucky University), M. Racine (Universifv of Ottawa), N . M . Rice (Queen's University), A . Santiago (University of Puerto Rico), W. H . Seibold, Jr. (West Chester State College), J . R. Schaefer (University of Wisconsin-Milwaukee), S. Sehgal (Ohio State University), S. Singh (Pennsylvania State University), E . Smet (Huron College), M. Stoll (University of South Carolina), B. Toole (University of Maine), J . W. Toole (University of Maine), D. H . Trahan (Naval Postgraduate School), J . P . Tull (Ohio State University),L . 0. Vauhan, Jr. (University ofAlabamain Birmingham), L. A . Vercoe (Pennsylvania State University),M. Vuilleumier (Ohio State University), B . K. Waits (Ohio State University), A . Walton ( Virginia Polytechnic Institute and State University),H. Walum (Ohio State University), A. J . Weidner (Pennsylvania
.\'rare Cirlir3ersiry).L . Weiss (Pcnlisvlvunia Srure Universiry), N . A . Weigrnann (Culifo1.nirr Srure Universily), C . R. B. Wright (Universiry of Oregon), C . W u (Universiry of U'isc.onsin-Milwuukee).
Adernas, agradecemos e n especial a 10s colegas rnencionados a continuation, sus utiles ~ m m e n t a r i o sy jugeremia\ para el mejorarniento d e esta edicicin: J o h n T . Gresser (Borl3lillg Green Slrlle Utliversil~'), R a y n ~ o n dC . Heitrnann (The Universi~voj'Texusul Ausliti), D o n Mason (Elllihursr College), Robert A. Moreland (Te.uus Tech Universily), G o r d o n Shilling (TI7r Utiiversi~yof Texus (11 Arlinglon), Laurence Small (Los Angeles Pierce College), E d w a r d T. H . W a n g (Wilfrid Luurier Universi/y),y Gloria W o o d s (Ohio Slule Clniversiry).
P o r ultimo, vaya nuestro sincero reconocirniento a J o h n M o r g a n , nuestro juperviwr editorial, por su paciencia, a y u d a experta y entusiasta colaboraci6.n. Ernest F. Haeussler, . l r . Kii,hard S. Paul
Contenido
Prologo
CAP~TULO
v
1 Repaso de algebra Proposito 1 1 Conjuntos y niirneros reales Algunas propiedades de 10s numeros reales 3 Operaciones con nlirneros reales 7 Exponentes y radicales 1I Operaciones con expresiones algebraicas 17 1.7 Factorizacion 23 1.8 Fracciones 26 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
CAPITULO
2 Ecuaciones 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Ecuaciones lineales 33 Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales 40 Ecuaciones cuadraticas 43 Cornplernento 49 Repaso 50 Aplicacion practica: Crecirniento real de una inversion
52
CAP~TULO
3 Aplicaciones de las ecuaciones y desigualdades 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
CAP~TULO
4 Funtiones y graficas 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
CAP~TULO
Funciones 81 Funciones especiales 88 Cornbinaciones de funciones 92 Graficas en coordenadas rectangulares 97 Sirnetria 107 Repaso 113 Aplicacion practica: ;Una experiencia en el pago de impuesto! 1 17
5 Rectas, parabolas y sistemas 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
CAP~TULO
Aplicaciones de las ecuaciones 55 Desigualdades lineales 62 Aplicaciones de las desigualdades 68 Valor absoluto 71 Repaso 76 Aplicacion practica: GraSacion de calidad en ,lideograbadoras 78
Rectas 121 Aplicaciones y funciones lineales 127 Funciones cuaraticas 135 Sistemas de ecuaciones lineales 141 Sisternas no lineales 151 Aplicacion de 10s sisternas de ecuaciones Repaso 163 Aplicacion practica: i U n juego de tenis?
153 167
6 Funtiones exponenciales y logaritmica 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5
Funciones exponenciales 172 Funciones logaritrnicas 18 1 Propiedades de 10s logaritrnos 188 Ecuaciones logaritrnicas y exponenciales 195 Repaso 201 Aplicacion practica: Dosificacion de medicamentos
205
CAP~TULO
7 Matematicas financieras 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5
lnteres compuesto 208 Valor actual ( o presente) 212 Anualidades 217 Amortizacion de creditos 227 Repaso 232 Aplicacion practica: L a regla de 10s 78
235
8 dlgebra de matrices
CAP~TUL~
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.9 8.10 8.11
CAP~TULO
9 Programacion lineal 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9
cnpiru~o
Matrices 240 Adicion de matrices y multiplication por un escalar 247 Multiplication de matrices 254 Metodo de reduccion 264 Metodo de reduccion (continuacion) 273 Inversas 279 Determinantes 287 Inversas utilizando la adjunta 299 Analisis de insumo-produccion (o insumo-producto) 304 Repaso 309 Aplicacion practica: Los requisites de administracicin de insulina conlo un proceso lineal 3 12
Desigualdades lineales con dos variables 3 15 Programacion lineal 321 Soluciones optiinas multiples 330 El metodo simplex 332 Degeneracion, soluciones no acotadas, solucioncs optimas multiples 345 Variables artificiales 35 1 Minimization 363 El dual 368 Repaso 376 Aplicacion practica: Terapias con farn?ucos y radiacidn 379
10 Limites y continuidad 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6
Limites 38 1 Limites (continuacion) 388 Interes compuesto en forma continua 398 Continuidad 401 Aplicacion de la continuidad a las desigualdade< 408 Repaso 413 Aplicacion practica: Deficit de presupuesto 41 7
XI I
CONTENIDO
CAPITULO
11 Diferenciation (o derivation) 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7
CAP~TULO
1 2 Temas aditionales sobre diferentiation 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6
CAPITULO
La derivada 420 Reglas para la diferenciacion 427 La derivada como tasa de variacion 435 Diferenciacion y continuidad 445 Reglas del producto y el cociente 447 La regla de la cadena y de la potencia 455 Repaso 463
Derivadas de funciones logaritmicas 468 Derivadas de funciones exponenciales 473 Diferenciacion irnplicita 478 Diferenciacion logaritmica 483 Derivadas de orden superior (o sucesivas) 486 Repaso 490
13 Trazo de turvas 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
c n ~ i r u ~1 o4
Aplitationes de la diferentiacion
14.1 14.2 14.3 14.4 14.5
cnpiru~o15
Extremos relativos o locales 493 Valores extremos 504 Concavidad 505 Prueba de la segunda derivada 5 13 Asintotas 515 Repaso 525
Aplicacion de maximos y minirnos El metodo de Newton 540 Diferenciales 545 Elasticidad de demanda 550 Repaso 555
529
Integration 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6
La integral indefinida 558 Integracion con condiciones iniciales Mas formulas de integracion 563 Tecnicas de integracion 578 Sumatoria 583 La integral definida 586
565
15.7 15.8 15.9 15.10 15.11
CAPITULO
626
16 Metodos y aplieaciones de la integraeion 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9
CAP~TULO
El Teorema fundamental del Calculo Integral 595 Area 604 Area entre curvas 610 Excedentes de consumidores y fabricantes 617 Repaso 621 Aplicacion practica: Precio de un arriculo enrregado
lntegracion por partes 629 lntegracion por fracciones parciales 633 lntegracion por medio de tablas 640 Valor promedio de una funcion 647 lntegracion aproximada 649 Ecuaciones diferenciales 654 Mas aplicaciones d e las ecuacione~d~ferenciables Integrales impropias 67 1 Repaso 675 Aplicacion practica: El regimen dretarro 680
663
1 7 COICUIO en varias variables 17.4 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 17.10 17.1 1 17.12
Funciones d e v a r i n variables 682 Derivadas parcialc\ 689 Aplicaciones d e las derivadas parciales 696 Diferenciacion parcial implicita 702 Derivadas parciales d e orden superior 705 Regla de la cadena 708 Maximos y minimos paa funciones de do\ i'ariahlcs 7 12 Multiplicadores de Lagrange 722 Lineas de regresicin 729 Un comentario sobr.e las funciones homogeneas 737 Integrales multiples 738 Repaso 743 Aplicacion practica: Analisis de daros puru n?odelul- t.1 ~nfriamienro 748
XIV
CONTENIDO
AP~NDICE
D
lnteres compuesto
AP~NDICE
E
Integrales seleccionadas
AP~NDICE
F
dreas bajo ladurva normal estandar Respuestas a problemas de nlimero impar lndice lndice de aplicaciones
Matematicas para Administracion y Economia
1
CAP~ULO
Repaso de algebra -1.1
Proposito Este capitulo esta disefiado para ofrecer un breve repaso de algunos termino, v metodos necesarios en la manipulacion matematica. Sin duda, el lector ha estado i xl:$uesto a gran parte de este material en ocasiones anteriores. Sin embargo, debido a qtie estos temas son importantes para manejar las matematicas que vienen despues, es posible que una segunda exposicion resulte benefica. Se debe dedicar a estas secciones el tiempo necesario para repasarlas.
-1.2 Conjuntos y numeros reales En tkrminos simples, un conjunto es un grupo de objetos. Por ejemplo, se puede hablar del conjunto de 10s numeros pares entre 5 y 11, que son el 6, el 8 y el 10. A un objeto que se encuentre en un conjunto se le denomina miembro o elemento de aquP:. Una forma de especificar un conjunto es listando sus miembros, en cualquier orden, dentro de llaves. Por ejemplo, el conjunto anterior es {6, 8, lo}, el cual se puede denotar mediante una literal como A . Se dice que un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si, y solo si, todos 10s elementos de A son tambikn elementos de B. Por ejemplo, si A = {6, 8, 10) 7 1 B = {6, 8, 10, 121, entonces A es un subconjunto de B. Ciertos conjuntos de numeros tienen nombres especiales. Los numeros 1, 2, 3, etc., forman el conjunto de 10s enteros positivos (o numeros naturales):
conjunto de 10s enteros positivos
= 11,
2, 3 .. . }
.
Los tres puntos significan que la lista de elementos no tiene fin, aun cuando se sabe cuales son 10s elementos. Los enteros positivos, junto con el cero y 10s enteros negatives -1, -2, -3, . . . forman el conjunto de 10s enteros:
cor~juntode 10s enteros
=
{.
. ., -3,
-2, -1, 0, 1, 2, 3,
. . .}.
El conjunto de 10s numeros racionales consiste en nurneros como 1 y 9, que se pueden escribir como una razon (cociente) de dos enteros. Es decir, un numero racional es aquel que puede escribirse como p/q, donde p y q son enteros y q # 0. (El simbolo 19 - 2 "#" se lee "es diferente dew.) N o se puede dividir entre cero. Los numeros - 20' 7 -6 2 y - son racionales. El entero 2 es racional puesto que 2 = - . De hecho, todos 10s -2 1 2 1 3 - 4 enteros son racionales. Se debe seiialar que - - - - y 0.5 representan todos el mis4' 2' 6' - 8 mo numero racional. Todos 10s numeros racionales se pueden representar mediante numeros decimales conmensurables (con un numero definido de cifras), tales como = 0.75 y # = 1.5, o mediante decimales inconmensurablesperiodicos (con un grupo de digitos que se repi2 -4 ten indefinidamente), tales como - = 0.666. . ., -= -0.3636. . . y $ = 0.1333. . . 3 11 Los numeros que se representan mediante decimales inconmensurables no periddicos se llaman numeros irracionales. Un numero irrational no se puede escribir como un entero dividido entre otro entero. Los numeros a (pi) y V? son irracionales. Juntos, 10s numeros racionales y 10s numeros irracionales forman el conjunto de 10s numeros reales. Estos numeros pueden representarse mediante puntos en una recta. esto se elige primer0 un punto de la recta para representar el cero. A este punto se le denomina origen (vease la Figura 1.1). Despues, se elige una unidad de medida de distancia, a la que se le denomina "distancia unitaria" y se marca en forma sucesiva tanto hacia la izquierda como a la derecha del origen. A cada punto sobre la recta se le asocia una distancia dirigida, o nu'mero con signo, que depende de la posicion del punto con respecto a1 origen. Las posiciones que se encuentran a la derecha del origen se las considera positivas ( + ), y a las que se e s t h a la izquierda se las considera negativas (-). Por ejemplo, a1 punto que se encuentra 1 unidad a la derecha del origln le corresponde el numero con signo J, a1 que se le denomina la coordenada de ese punto. De manera similar, la coordenada del punto que se situa a 1.5 unidades a la izquierda del origen es -1.5. Se indican las coordenadas de algunos puntos en la Figura 1 . l . La punta de flecha indica que la direccion hacia la derecha de la recta se considera positiva.
Recto de lor nrimeros reales
-
-1 5
-n
I
I
-3
-2
-
I
-1
0
-f
--
VT 1
r 2
3
Dlreccidn positlvo
Origen
FIGURA 1. I
A cada punto de la recta le corresponde un numero real unico, y a cada numero real le corresponde un punto unico en la recta. Por esta razon, se dice que existe una correspondencia de uno a uno entre 10s puntos de la recta y 10s n6meros reales. A dicha recta se la llama eje de coordenadas o recta de 10s numeros reales. Se pueden considerar 10s numeros reales como puntos en una recta numerics, y viceversa.
1.3
3
Algunos propiedodes de 10s ncmeros reoles
- EJERClClOS 1.2
En 10s Problemas 1-12, clasificar el planteamiento como verdadero o falso. Si es falso, diga cud es la razon. 1. -7 es un entero.
2.
g es racional
3. -3 es un numero natural.
4.
0 no es racional.
5. 5 es racional.
6.
6 es un
8.
T
7.
9.
4 no es un entero positivo.
n6mero racional.
es un ncmero real.
,
10. 0 es un numero natural.
es racional.
12. Todo entero es, o positivo o negativo.
11. -3 se encuentra a la derecha de -4 en la recta de 10s numeros reales.
-1.3 Algunas propiedades de 10s numeros reales Si a, b y c son numeros reales, las siguientes son algunas propiedades importantes de 10s numeros reales.
1. Propiedad transitiva de la igualdad
Si a
=
by b
=
c, entonces a
=
c.
Asi, dos numeros que son iguales a un tercero son iguales entre si. Por ejemplo, si x = y y y = 7 , entonces x = 7 .
2. Propiedades conmutativas de la adicion
a + b = b + a
y
ab=ba.
Esto significa que se pueden sumar o multiplicar dos numeros reales en cualquier orden. Por ejemplo, 3 + 4 = 4 + 3 y 7 (-4) = (-4)(7).
3. Propiedades asociativas de la adicion y la multiplicaci6n
a
+
(b
+
c)
=
(a
+
b)
+
c
y
a(bc)
=
(ab)c.
Lo anterior significa que en la adicion o la multiplication, 10s numeros se pueden agrupar en cualquier orden. Por ejemplo, 2 + ( 3 + 4) = (2 + 3) + 4. Tambien 6(Q . 5 ) = ( 6 . 9 ) . 5 ~ 2 x + ( x + y ) = ( 2 x + x ) + y .
4. Pcepiedades d+ Ies inversos
a. Para cada numero real a, existe un numero real unico, denotado por -a, tal que
a
+
(-a)
=
0.
El numero -a se denomina inverso aditivo, o el negativo, de a.
Por ejemplo, puesto que 6 + (-6) = 0, el inverso aditivo de 6 es -6. El inverso aditivo de un numero no es necesariamente un numero negativo. Por ejemplo, el inverso aditivo de -6 es 6 , puesto que (-6) + (6) = 0. Es decir, el negativo de -6 es 6.
b. Para todo numero real a, exceptuando el 0 , existe un numero real unico, denotado por a-I tal que
a . a-'
=
1.
A1 numero a-I se le denomina inverso multiplicativo de a .
Asi, todos 10s numeros except0 el 0 tienen un inverso multiplicativo. Se debe recordar 1 que a-' se puede escribir como - y tambien se le denomina reclproco de a. Por ejema
plo, el inverso multiplicativo de 3 es 3, dado que 3(5) = 1. Asi, B es el reciproco de 3. El reciproco de es 3, puesto que ($)(3)= 1 . El reciproco de 0 no esta definido.
5. Propiedades distributivas
a(b
+
c)
=
ab
+
ac
y
(b
+
c)a
=
ba
+
ca
Por ejemplo,
+ 4 ) = 2(3) + 2(4) = 6 + 8 = 14, ( 2 + 3)(4) = 2(4) + 3(4) = 8 + 12 = 20, x(z + 4 ) = x(z) + x(4) = xz + 4x. 2(3
ac
La propiedad distributiva se puede extender a la forma a(b + c + d ) = ab + + ad. De hecho, puede ampliarse a sumas que implican cualquier numero de tkrminos.
La sustraccion o resta se define formalmente mediante la propiedad del inverso aditivo: a - b significa a + (-b), en donde -b es el inverso aditivo de b. Asi 6 - 8 significa 6 + (-8). Por ello, la sustraccion se define en tdrminos de la adicion.
1.3
5 .
Algunos propiedodes de 10s nljmeros reoles
De manera similar se define la division en terminos de la multiplicacion. Si b Z n
0, entonces a + b, o - , se define como b 1 Puesto que b p ' = b'
a b
- = a(&')
a
=
Asi 2 significa 3 tantos b, en donde 4 es el inverso multiplicativo de 5. En ocasiones a se llama a a + b o - razon de a a b. Es importante destacar que como el 0 no tiene b inverso multiplicativo, la divisi6n entre 0 no esta definida. Los siguientes ejemplos muestran algunas operaciones que implican las propiedades anteriores: EJEMPLO 1
a. x ( y - 32
+ 2w) = ( y - 3: + 2w)x, por la propiedad conmutativa de la multiplicacion.
b. Por la propiedad asociativa de la multiplicacion, 3(4 . 5) = (3 . 4)5. Asi, el resultado de multiplicar 3 por el producto de 4 y 5 es igual a1 resultado de multiplicar el producto de 3 y 4 por 5. En uno u otro caso el resultado es 60.
c. Por la definicion de la resta, 2 - fl = 2 + ( - d ) . Sin embargo, mediante la =-d 2. Asi, por la propiepropiedad conmutativa de la adicion, 2 + ( dad transitiva, 2 - fi = 2. En forma mas concisa, se puede escribir
\a)
+
2 d.
(8
+ x)
- y
+
-d +
+(-a) = (8 + x) + (-y) = 8 + [x + ( - y)]
(por la propiedad asociativa)
=8+(x-y)
(por la definicion de sustraccion).
-
d
=
2
2. (por la definicion de sustraccion)
=
Asi, mediante la propiedad transitiva, (8
+ X) - y
=
8 -t (X - y).
e. Mediante la definici6n de division, ab - (ab) C
1
. - para c
f 0.
C
Pero, por la propiedad asociativa, (ab)
.I = C
a(b
+
Sin embargo, mediante la definicion de division, b
Tambikn se puede demostrar que C
-
1
b
-
= -
C
C
. En consecuencia,
EJEMPLO 2 a. Demostrar que 3(4x
+ 2y + 8) =
12x
+ 6y + 24.
Mediante la propiedad distributiva, 3(4x
+ 2y + 8) = 3(4x) + 3(2y) + 3(8).
Pero, mediante la propiedad asociativa de la multiplicacion, 3(4x) = (3 . 4)x = 12r de manera similar, 3(2y) Por tanto 3(4x
+ 2y + 8) =
12x
=
6y.
+ 6y + 24.
a + b a b. Demuestrese que si c # 0, entonces -= C
C
+ -.bC
Mediante la definicion de division y la propiedad distributiva,
Sin embargo, 1 l a b a * - +be-=-+-, C
C
C
C
Por lo que
a a Este importante resultado no significa que -= b + c b Por ejemplo,
+ a-, un error muy comun. c
Para obtener el producto de varios numeros se requiere considerar sus productos, de dos en dos. Por ejemplo, para evaluar el producto de x , y y z , se podria primer0 multiplicar x por y , y despues multiplicar ese producto por Z ; o en forma alternativa, podria multiplicarse x por el producto de y y z. La propiedad asociativa de la multiplication sefiala que ambos resultados son idknticos sin importar la forma en que se agrupen 10s numeros. Por ello no resulta ambiguo escribir xyz. Este concept0 puede ampliarse a mas de tres numeros y se aplica de igual manera a la adicion. Un comentario final antes de terminar esta seccion. No solo se debe estar consciente de 10s aspectos manipulativos de las propiedades de 10s numeros reales, sino que tambien se debe conocer y estar familiarizado con la terminologia implicada.
En 10s Problemas 1-10, clasificar el planteamiento como verdadero o falso.
q
1. Todo numero real tiene un reciproco.
2. El reciproco de $ es
3. El inverso aditivo de 5 es 3.
4. 2(3 . 4) = (2 . 3)(2 . 4).
Operociones con nirmeras reoles
1.4
En 10s Problemas 11-20, especificar que propiedades de 10s numeros reales se estan utilizando.
19. (7
+ x)y
= 7y
+ xy.
+ 41
20- ( - I ) [ - 3
= (-I)(-3)
+ (-1)(4).
En 10s Problemas 21-26, demostrar que 10s planteamientos son ciertos utilizando las propiedades de 10s numeros reales. 22. ( 2 - x) y = 2 (y - x). 21. 5a(x 3 ) = 5ar + 15a.
+
23. (x - y)(2) = 2 25. x[(2y 27.
+
+
+
1)
+
-
+ 4x.
31 = 2xy
Probar que a ( b
+ ( I + y)] = 2 [ ( y + 27) + X I . 26. (.r + l)(y + 1) = xy + x + y + 1 . + ad. [Sugerencia: b + c + d = ( b + c ) + d . ] 24. 2[27
2y.
+ c + d ) = a b + ac
-1.4 Operationes con numeros reales Enseguida se listan importantes propiedades de 10s numeros reales que deben estudiarse con cuidado. La capacidad de manipular numeros reales es esencial para tener Cxito en matematicas. A cada propiedad le sigue un ejemplo numerico. Todos 10s denominadores son diferentes de cero. Se supone que se conoce la adicion y la sustraccion de numeros reales. EJEMPLO
PROPIEDAD 1. a - b
=
a
2. a - ( - b ) 3. - a
=
4 . a(b
+ C)
+ (-b). = a + b.
(-l)(a). = ab
+ b) =
+ ac.
-a - b.
7. - ( a - b ) = -a
8. - ( - a )
=
+ b.
a.
9. a(0) = (-a)(O) = 0 .
lo. ( - a ) ( b )
=
2
+
( - 7 ) = -5.
2 - (-7) = 2
+7
= 9.
-7 = ( - 1)(7).
5. a(b - c ) = ab - ac.
6. - ( a
2 - 7
= -(ab) = a ( - b ) .
6(7 + 2 ) = 6 . 7
+6.2=
6(7 - 2) = 6 . 7 - 6 . 2 -(7
+ 2) =
-(2 - 7 ) -(-2)
=
=
54.
30.
-7 - 2 = - 9 . -2
+7
= 5.
= 2.
2(0) = ( - 2)(0) = 0 . (-2)(7)
=
-(2
7 ) = 2(-7).
11. ( - a ) ( - b ) = ab.
0 16. - = 0 cuando a # 0. a a
17. - = 1 cuando a # 0. a
1 19. a . a
=
a c 20. - . b d
= -
1 cuando u
ac bd'
. .
. .
cuando c # 0.
+ 0.
1.4
Operociones con numeros reoles
a 27. -
-
C
b -
=
-a. - b
C
C
a 3 0 b. - = a- 1 -c= - a. - d= - ad c b ' d b c bc' d
b 32. c
. c
=
=
b
a-.-1 = a bc bc'
La Propiedad 23 es, en esencia, el principio fundamental de las fracciones, que establece que multiplicar o dividir tunto el numerador como el denominador de una fraccidn por el mismo numero, exceptuando el 0 da como resultado una fraccidn que es equivalente a (es decir, tiene el mismo valor que) la fraccidn original. Por consiguiente,
Mediante las Propiedades 23 y 28 se tiene que
TambiCn puede resolverse este problerna convirtiendo 5 y en fracciones equivalentes que tengan el misrno denominador y utilizando despues la Propiedad 25. Las fraccio2 2.15 nes y & se pueden escribir con un denorninador comun igual a 5 . 15: 5 5.15 4 Y - =- ' Sin embargo, I5 es el menor de esos denominadores cornunes, y se le 15 15 . 5 ' denomina minimo comun denominador (M.C.D.) de $ y A. Por ello
-
De manera similar, (M.C.D.
=
24)
I0
I
8
REPASO DE ALGEDRA
EJERClClOS 1.4 Simplificar, si es posible, cada una de /as siguientes expresiones. 1. - 2
+
(-4).
5. 7 - (-4).
+ 4.
17. - 2 + 6. 21. 3[- 2(3)
+ 6(2)].
7
-.1
Y
X
41.
15. - 12(x - y).
16. - [ - 6
18. -2 + (-4).
19. 4 + (-2).
20. L(-6
22. ( - 2)( - 4)( - 1).
23. ( - 5)( - 5).
24. ~ ( 0 ) .
- 2).
28. O(-x).
3 10
+ x).
27. -(x
x
7~
35. ( 2 x ) ( i ) .
34. -(2~). Y 38.
- 5x -.
31.
1
1 2
2 5
- . -.
7 15
42.
+ -.73
3
43. X - -
9
-6
2 5 45. - - -. 3 8
47.
50.
0
- 2x'
36.
-.
- 15x
5
Y
-.
9
-7 -
-6
48.
2 -
-5 ' 8
52. 0 . 0.
51. -.
7
3
12 4 3 1 1 44.---+2 4 6'
0
-.
- 3y
40. - + -.
Y'
0
+ (-y)l. + 2).
3
32.
X
46. X-' Y
7 49. -.
-1.S
-2
+ -.31
39. -
x Y
- - -.
8. ( - 2)(9).
14. - 7(x).
30. -. 7
37. -
7. - 8 - (-6).
12. -(-9).
29. 8(&).
2 1 3 x
4. 7 - 2.
11. ( - 116.
26. 4(5
- -.
(-4).
10. ( - 2)( - 12).
25. 3(x - 4).
33.
+
3. 6
6. -7 - (-4).
9. 7(-9). 13. - ( - 6
+ 2.
2. - 6
0
Exponentes y taditales El product0 x x x se abrevia como x 3 . En general, para un entero positivo n, xn es la abreviatura de n veces x. A1 simbolo n de xn se le Jenomina exponente y a x se le llama base. En terminos mas especificos, si n es un entero positivo se tiene que:
1.
X"
=
X ' X ' X ' d
n factores 1
1
2. x-" = - = X"
X ' X ' X '
..:
X'
P
I
n factores 1
3. - = x". x-"
4. x0 = 1 six # 0 . 0' no esta definido.
.
-
.
A
-
.-A
-
-
- - ---
-
1.5
11
Exponentes y rodicoles
Si r n = x, en donde n es un entero positivo, entonces r es la raiz n-Csima de x. Por ejemplo, 32 = 9, y asi 3 es la raiz segunda (a la que usualmente se denomina raiz cuadrada) de 9. Puesto que (-3)2 = 9, -3 es tambien una raiz cuadrada de 9. De manera similar, -2 es una raiz cubica de -8, puesto que (-2)3 = -8. Algunos numeros no tienen raiz n-Csima que sea un numero real. Por ejemplo, puesto que el cuadrado de cualquier numero real es no negativo, no existe ningun numero real que sea raiz cuadrada de -4. La raiz n-ksirna principal de x es aquella raiz n-Csima de x que sea positiva, si x es positiva, y que sea negativa si x es negativa y n es impar. Se le denota por . Por lo tanto, ~ e s positiva { si x es positiva, negativa si x es negativa y n es impar
+
= -2 y = . Se define que = 0. Por ejemplo, fi = 3, A la expresion
<
ADVERTENCIA Aunque 2 y -2 son raices cuadradas de 4, la raiz cuadrada principal de 4 es 2 y no -2. Por consiguicnte, = 2.
Si x es positivo, la expresion .Pq. en donde p y q son enteros y q es positiva, se define como %'?. En consecuencia, X314
w; 4-
1'2
8213
=
=
$64
= 4;
=W=@ -. 4
2.
Enseguida se presentan las leyes basicas de 10s exponentes y 10s radicales.*
* Aunque algunas leyes implican restricciones, no son de irnportanc~apara este analisis.
LEY
1,
Xm
2. xO
.
Xn
=
=
EJEMPLO
2" 25 = 2' = 256;
Xm+n.
1 six # 0.
2O
=
1.
a. Por la Ley 1, x6xs =
x6+8
=
x14,
x2
. x3
=
x5,
1.5
Exponentes y rad~coles
b. Por la Ley 16,
d. (64a3)213 = 64213(a3)213 = (-l2a2
(Ley 8) (Leyes 16 y 7)
= (412a2 = 16a2.
Racionalizar el denominador de una fraccion es un procedimiento en el que una fraccian que tiene un radical en su denominador se expresa como una fraccidn equivalente sin el radical en su denominador. Se utiliza el principio fundamental de las fracciones.
IJEMPLO a Racionalizar 10s denominadores.
a * -2 = - =~ 21 1 2
2.5"2 2.5lI2 5112.5112 = - =5'-
2 b. --
2
f j q
.
= --2
116 516
3 x
-
2fi 5 2 . 3516x116 2(3'x)li6 516 116 = = 3116x5'6 3 x 3x
.
--
2v5-5 =-
3x
Los siguientes ejemplos ilustran diversas aplicaciones de las leyes de 10s exponentes y 10s radicales. EJPMPLO 4
a, Eliminar 10s exponentes negatives en
x
-2
y -1
z-*
Comparando la respuesta con la expresibn original, se puede bajar un factor del numerador a1 denominador, y viceversa, cambiando el signo del exponente. xzy7 b . Simplificar 7 . x y
c. Simplificar
(~3')~. = (X5)5(y8)5= X25Y4'3.
(X5Y8)5
d . Simplificar ( x ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ) ' ~ . =
(x519Y413)18
519 18
4 3 18
( x ) ( Y )
=
10 24
X
Y
.
ULMPLO 5 a. Eliminar 10s exponentes negativos en x -
1
-1
X
1 Y
' + y ' y simplificar. -
y + x
~ota:x-I
xy
+ y-'
#
-
b. Simpiificar x3I2 - x1I2utilizando la ley distributiva. x312
- x1/2
=
xl/2(x
c , Eliminar 10s exponentes negativos en 7x-' 7K2
-
+
1).
(7x1~~.
7 1 7 1 + (7x)-2 = x7 +---;+(74' x49x2'
d . Eliminar 10s exponentes negativos en ( x - ' - y - 1 ) - 2 .
e. Aplicar la ley distributiva a x x215( y112
+
~
'
+ ~2z6I5). ( ~ =
.r215
112
~
+2
~
~
LJLMPLB 6
a. Simplificar
m. +w3=+itn=+T4fl=2fl.
~
~
~
~
.
c . Simplificar (x5y'1'. =
(x5y8)5
=
(x5)50,8)5
x25y40.
'.
d. Simplificar ( ~ ~ ' ~ y ~ ' ~ ) ' (x519y413)18
=
(x
519 18
)
0,473 ) 18
=
x ' O ~ ~ ~ .
EJEMPLO 5
+ y ' y simplificar. Nota:x-I + y - I +
a. Eliminar 10s exponentes negativos en x - ' x-'
'
+ y-'
= -
x3I2
-
I
+ - = x. +
xy
Y
x
b. Simpiificar
-
x'I2
-.)
X + Y
utilizando la ley distributiva. x3/2
-
x1'2
1
=
X"2(X
- 1).
c . Eliminar fos exponentes negativos en 7x-'
+
d. Eliminar 10s exponentes negativos en ( x -
'-y
( 7 ~ ) ~ ~ .
-I)-'.
xZy2
0, -
x ) ~ '
+
e . Aplicar la ley distributiva a ~ " ~ ( y ' / 2z6I5). ~ X215(yl12 + h 6 1 5 )
=
X215y112 + h 8 1 5 .
EJEMPLO 6
a. Simplificar $%.
$ % = + mf /= 3 = 2+ fl. %
1.5
Exponentes y rodicoles
b. Reescribir
V ' m sin
utilizar un signo de radical.
v m
c. Racionalizar el denominador de
= (2
* , v%
+5~)"~
y simplificar.
rn
d. Simplificar -
d'
EJEMPLO 7 a . Simplificar
m.
~
=
~
~
y
=
= x2yvy.
b. Simplificar
\is .
d. Si x es un numero real, simplificar J x 2 .
si x es positiva, si x es negativa, 0, si x = 0.
x, -x,
~
.
~
.
v
LJLRClClOS 1.S En 10s Problemas 1-14, simplificar y expresar todas las respuestas en tkrminos de exponentes positivos. 1. (2"(2?).
3. w4w8.
2. x6x9.
4. x6x4x3.
En 10s Problemas 15-28, evaluar las expresiones.
1s.
a.
16.
-.
19.
a.
20.
r&. 21. ( 1 0 0 ) " ~ .
17. -2.
24. ( 2 5 )3'2.
23. 43'2.
25.
( X 2 l 5 .
la.
a.
22. (64)'13. 26. (0.09)- ' I 2
En 10s Problemas 29-40, simplificar las expresiones.
En los Problemas 41-52, escribir las expresiones solo en terminos de exponentes positivos. Evitar todos 10s Xl/2
radicales en la forma flnal. Por ejemplo, y Y I G =
SO,
-,
Y
-----.
X-~Y-"~
v-'
En 10s Prsblemas 53-58, expresar /as formas exponenciales de modo equivalente utilizando radicales. 53, (ax
fl,
&-2i5
- y)4'1
- f25)-2i5,
54. ( @ b ' ~ ' ) " ~ .
58.
SS. .r-"'.
I(X-4)ll~]llb
En l m Problemas 59-68, racionalizur Iw denominadoms.
56.
- f2y)112
1.6
* Operoc~onescon erpresiones olgebro~cos
En 10s Problemas 69-90, simplificur. Expresar toclas /us resplrestas en tkrrninos de esponentespositivos. Racionulizar el denotrrinador cuando sea necesario para evitar exponentes fraccionarios en el mismo.
-6.6
Operaciones con expresiones algebraicas Si se combinan numeros, representados con simbolos, mediante operaciones de adicion, sustraccion, multiplicacion, division o extraccion d e rakes, entonces se denomina a1 resultado una expresion algebraica. EJEMPLO 1
3
9
-
10-.r
b. 10 - 3 c.
(x
5.. - 2
+ y)j V
4
es una expresion algebraica en la variable x .
5 es una expresion algebraica en la variable y. +7 + y-
- X)I
+
2 es una expresion algebraica en las variables x y y .
L a expresion algebr.aica 5ax3 - 2bx + 3 consta de 3 terminos: + 5ax3, -2bx, del primer termino 5ax3 son 5 , a , x, x 2 , x 3 , 5ax, y ax2. Tambien, 5a es el coeficiente d e x 3 y 5 es el coeficiente numeric0 de a x 3 . Si a y b representan numeros invariables en todo el analisis, entonces a y b reciben el nombre d e y
+ 3 . Algunos de 10s factores
constantes.
A las expresiones algebraicas que constan exactamente de un termino se les denomina monomios. A las que tienen exactamente dos ttrminos se les denomina binomios y a las que constan exactamente de tres terminos se les llama trinomios. A las expresiones algebraicas que tienen mas de un termino se les denomina polinomios. Asi 2w 5 es un binomio; el polinomio 3 ~ 5 2y - 4y2 es un trinomio. Un polinomio en x es una expresion algebraica que tiene la siguiente forma*
+
en donde n es un entero no negativo y 10s coeficientes c,, c,, . . ., c, son constantes; se tiene que c, # 0. A n se le denomina grado del polinomio. Por ello, 4x3 - 5x2 + x - 2 es un polinomio en x de grado 3 y y 5 - 2 es un polinomio en y de grado 5 . Una constante diferente de 0 es un polinomio de grado 0; de mod0 que 5 es un polinomio de grado 0. Se considera que la constante 0 es un polinomio; sin embargo no se le asigna ningun grado. EJEMPLO 2
Simplificar (3x2y - 2x
+
1)
+ (4.r2v + 6x
-
3).
En primer lugar se eliminan 10s parentesis. Despues, utilizando la propiedad conmutativa de la adicion, se agrupan todos 10s tkrminos semejantes. TPrminos semejantes son aquellos que solo difieren en sus coeficientes numericos. En este caso, 3x2y y 4x2y son semejantes, a1 igual que lo son -2x y 6x, y 1 y -3. Asi,
Por la propiedad distributiva
+ 4x2y = (3 + 4 p y = 7x2y -2x + 6x = ( - 2 + 6)x = 4x.
3x2?,
Y
De donde
EJEMPLO 3
Simplificar (3x2y - 2x
+
1)
-
(4x2y
+ 6x
- 3).
Aqui se aplica la definicion de sustraccion y la propiedad distributiva: (3x2~ - 2x
+
1)
-
2x
+
1)
+ (-
= (3x'y
-
(4x2y
+ 6x
1)(4x2y
-
3)
+ 6x - 3 )
1.6
Operociones con expresiones olgebroicos
EJEMPLO 4
Simplificar 3{2x[2.r + 31
+ 5[4x2
-
(3
-
4x)I).
En primer lugar, se eliminan 1,ossimbolos de agrupamiento que se encuentran mas a1 interior (partntesis) utilizando la propiedad distributiva. DespuCs se repite este proceso hasta que se elirninan todos 10s sirnbolos de agrupacion, combinando tkrrninos semejantes cuando sea posible.
La propiedad distributiva es la herramienta clave para rnultiplicar expresiones. Por c por bx d, se puede considerar que ax + c es un ejernplo, para rnultiplicar ax solo nlirnero y despues utilizar la propiedad distributiva.
+
(ax
+
+ c)(bx + d ) = (ax +
c)bx
+ (ax + c)d.
Utilizando de nuevo la propiedad distributiva,
(ax
+
+ c)bx +
+ c)d = abx2 + cbx + a& + cd = abx' + (ad + cb)x + cd. = abxZ + (ad + cb)x + cd. En particular, si a
Asi (ax c)(bx d) c = 3 y d = -2, entonces
(ax
= 2, b = 1 ,
Enseguida se presenta una lista de productos especiales que pueden obtenerse mediante la propiedad distributiva, y que sirven para rnultiplicar expresiones algebraicas.
Produtter erpeciales to notables) 1. 10
+ z)
= IY
+ a)(t +
+ xz
(propiedad distributiva)
7.
+ b)x + (16 ( a t + c)(h,x + 6) = clb12 + (ad + t h ) ~+ cd. (n + a)' = n2 + 2ux + tr-' (cuadrado de un binomio) (cuadrado de un binomio) (1)' = r2 2ax + (1: (X + a)(x - a ) = x' a' (product0 de una suma y una diferencia) (X t ~ 1 = ) ~t 3 + 3ax2 + 3a2x + a 3 (cubo de un binomio)
8.
(X -
2-
3. 4. 5.
6.
(X
h)
(A -
+
= .I'
((1
-
-
a)?
-
u'
-
+ 3a2x
3at'
a3
-
(cubo de un binomio)
EJEMPLO 5
+ 2)(x
a. Por la Regla 2, (x
-
5)
= X' =
h. Por la Regla 3, (32
x2
-
+ 2)[x + (-5)]
+
(2
-
3x - 10.
+ 5)(7z + 4)
c. Mediante la Regla 5, ( x
[x
=
-
5)x
+
2(-5)
+ (3 . 4 + 5 . 7)z + 5 . 4 = 2 1 z 2 + 47: + 20. 412 x2 - 2(4)x + 42 =
3 . 7':
-
d. Por la Regla 6 , (
V
G
+
3 ) ( V G
-
3)
=
-
+
= cy2 = y2
-
1)
-
3'
9
8.
e. Mediante la Regla 7,
EJEMPLO 6
Multiplicar: (2t - 3)(5t2 + 3t
-
1).
Se considera a 2t - 3 como un solo numero y se aplica dos veces la propiedad distributiva. (2t
-
3)(5t2
+ 3t
-
1)
+ (2t
=
(2t - 3)5r2
=
10t3- 1 5 r 2 + 6t2
= lot"
9t'
-
llt
-
3)3t - (2t - 3)l
-
9t - 2t
+
3.
+3
1.6
21
Operociones con expresiones olgebroicos
c1+h u b En el Ejemplo 2(b) de la Seccion 1.3, se mostro qile - - - + - . De manera sic c c u - h u h milar, - - - - -. Utilizando estos resultados, se puede dividir un polinomio c <' c entre un monomio, dividiendo cada termino del polinomio entre el monomio. EJEMPLO 7
Para dividir un polinomio entre otro, ss uciliza !a que se d e n ~ m i n a"division no abreviada" cuando el grado del divisor es menor que o igual a1 grado del dividendo, como se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 0
Dividir 2 x 3 - 14x
-
5 entre x - 3 .
Aqui, 2 x 3 - 14x - 5 es el dividendo y x - 3 es el divisor. Para evitar errores, lo mejor es escribir el dividendo como 2u' + Ox2 - 14x - 5 . Observese que las potencias de x se ordenaron en orden decreciente. x
-
2r2 3)2x3 2x3
+ 6x + 4 + cociente
+ 0.x2 -
-
6x2 6x2 6x2
-
14x - 5 14x 18x 4x - 5 4x - 12
7 + residuo r. Aqui se dividio 2 x 3 (el primer t e r m i ~ odel dividendo) entre x (el primer termino del divisor) y se obtuvo 2x?. Despues se multiplico 2 x 2 por x - 3 y se obtuvo 2 x 3 - 6 x 2 . Despues de restar esta expresion de 2 x 3 + 6 x 2 se obtuvo 6 x 2 y despues se "bajo" el termino -14x. Se continuo este proceso hasta llegar a 7, el residuo. Siempre se detiene el procedimiento cuando el residuo es 0 o un polinomio cuyo grado es inferior a1 grado del divisor. La respuesta se puede escribir de la siguiente manera:
Esa es, la respuesta tienc la forma
Una forma de comprobar una division es verificar que (cociente)(ciivisor)
+
i-esiduo = dividendo
Se debe verificar el resultado del ejempio utilizando esta formula.
EJERCICIOS 1.6 Realizar las oderaciones que se indican y sirnplificar.
1. (8x - 4y + 2 )
+ (3x + 2y
3. (8t2 - 6h2) + (4s2 - 2t2 5.
7. ( 6 x 2 - lOxy 9.
(6+
+ a)
-
fly)
+ 2y
11. 3(3x
+ 6).
a) + (6+ 6
(6+
-
) .
(2z - xy
( ~ 56 +)
- 5 ) - 2(8x
-
4y
+ 2 ) + (22 - xy + 4 ) . 4. (6+ 2 6 ) + (6+ 3&). 6. (3x + 2y - 5 ) - (8x - 4y + 2 ) . 8. (v'i+ 2 v ' i ) - (6+ 3 x 4 ) . 2. (6x2 - lOxy
- 5).
+ 4).
.
10. 4(2z
+ 2).
12. ( 2 s
-
w ) - 3(w - 2z).
+ r)
3(s - 6 )
-
13.3(x2+y2)-x(y+2x)+2y(x+3y).
14.2-[3+4(s-3)].
+ 2 ) 2@' - 5)l). 17. -3{4x(x + 2 ) - 2 [ x 2 - ( 3 -- x ) ] ) . 19. + 4)(x + 5). 21. ( x + 3)(x - 2 ) . 23. (2x + 3)(5x + 2 ) . 25. ( x + 3)'.
16. 4{3(t
15. 2{3[3(x2
-
(X
27.
(X -
29. ( f l y+ 3)?.
+ 36
18. -1-2[2a 20. ( x
+ 3)(.r + 2).
22. ( z
-
- (t
-
I]
+
(6-
1)(26
+
+ 5).
3).
32. (z2 - 3w)(z2 + 3w).
33. (x'
-
34. (x
35. ( x 2
-
37. x{3(x - I)(x 39. ( x 41. (.r
-
2)
+ 2[x{x + 7)]}.
+ y + 2)(3x + 2y + 513.
-
4).
43. ( 2 ~ 313.
49. ( x 2
+ 3x
-
1) +
(X
+
53. t2 + ( t
-
55. (3x2 - 4x
42.
(X -
44.
(X
38.
+
1)(x2
213.
+ 2y)3.
+ 4 ) + (X - 4). 52. ( x 4 + 2x' + 1 ) + ( x 1). 54. (4.r2 + 6x + 1 ) + (2x - 1 ) . 56. (z3 + z2 + z) + (z' - z + 1 ) 50. ( x 2 - 5.r
3).
51. ( 3 x 3 - 2x2 + x - 3 ) + (.r
40.
+ x + 3). (2x - 1)(3x3 + 7 x 2 - 5 ) . [(2z + 1)(2z - 1)](4z2+ I ) . (.r2 + x + 1)'.
36.
3).
+ 4 [ a - 261
3).
31. (2s - 1)(2s
-
+
8).
+ 3 ) t (3x + 2 ) .
2).
I)]).
26. (2r - 1)'.
30. ( y - 3 ) ( y
+ I). 3)(x + 4 ) . 1)(2*' + 2x
+
- t).
7)(z - 3).
24. ( y - 4)(2y
28-
512.
+ 5 ) - r[l
+ 4(1
-
- a [ 2 ( b - 3)]}.
1.7
23
Factorizacion
-1.7 Factorization Si se multiplican entre si dos o mas expresiones, entonces estas reciben el nombre de factores del producto. Por tanto, si c = ab, entonces a y b son factores del producto c. El proceso por el cual se escribe una expresion como producto de sus factores se denomina factorizacion. A continuacion se enuncian las reglas de la factorizacion, la mayor parte de las cuales se obtiene a partir de 10s productos notables que se describieron en la Seccion 1.6. El segundo miembro de cada identidad es la forma factorizada del primer miembro.
Reglas de factorizacion
(factor comun). + xz = scv + z) 2. x2 + (a + b)x + ab = (x + O)(X + b). 3. abx2 + (ad + ,b)x + cd = (ax + c)(b.r + d ) . (trinomio cuadrado perfecto). 4. x2 + 2ax + a 2 = (x + a)' (trinomio cuadrado perfecto). 5. x2 - 2ax + a 2 = (x a)' 6. x 2 - a' (X + a)(x - a ) (diferencia de dos cuadrados). (suma de dos cubos). 7. x3 + a 3 = (X + a)(x2 - ax + a') 8. x' a3 = (.r - a)(.y2 + a s + a2) (diferencia de dos cubos).
1. xy
-
-
I
Cuando se factoriza un polinomio, por lo general se eligen factores que sean tambiCn polinomios. Por ejemplo, x2 - 4 = (x + 2)(x - 2). No se escribe x - 4 como (v'i + 2)(dY - 2). Siempre se debe factorizar en forma completa. Por ejemplo,
LJLMPLO 1
Factorizar en forma completa las expresiones. Dado que 3k2x2 = (3k2x)(x) y 9k3x = (3k2x)(3k),cada ttrmino de la expresion original contiene el factor comun 3k2x. De mod0 que por la Regla 1, Obstrvese que aunque 3k2xi + 9k3x = 3(k2x2 + 3k3x), no se dice que la expresion este completamente factorizada, pues todavia puede factorizarse k2x2 3k3x.
+
b. 8a5.~'y3- 6a2b3yi - 2a%4xy2z'. 8aS2y3 - 6a2b3yz - 2a4b4xy2z2
EJEMPLO 2
Factorizar conlpletamenre las expresiones.
+
Si se factoriza este trinomio en la riguiente forma x 2 - s - 6 = (x a)(x + b ) , que es el product0 de dos binomios, entonces deben determinarse 10s valores de a y b. Puesto que ( x + a)(x + bj = x? + (a t b)x + ab, entonces
+
,K'
+
(-l1.r
( - 6 ) = s'+ (a
+
b)x
+
ub.
Igualando 10s coeficientes correspondientes, entonces
+
a Si a = -3 y b
h = -1
2 , entonces se satisfacen ambas condiciones y , asi,
=
.r' h. x 2
-
7s
+
u b = -6.
y
.t-
-
6
7s
+
12
= (.I-
12. 6'
-
-
-
(.K
3)(.+ ~ 2).
-
3 ) ( s -- 4 ) .
EJEMPLO 3
Enseguida se listan expresiones completamente factorizadas. Los n~imerosen parkntesis se refieren a las reglas que se urilizaron.
+ 8.r + I6 = (,r + 4)' 9x' + 9x + 2 = (3x + 1)(3.u + 2) 6 x 3 + 3v2 - I8y = 3y(2>.2 + y 6) = 3y(2y - 3 ) ( y + 2) s' 6.r + 9 = (.Y - 3)'
a. .r2
(4).
h.
(3).
C.
d.
e.
(3).
(5).
-
_ I , ? + _5 4
f'. .r4
-
=
.\."
h. 0.r'
-1'4
'
( 1 1.
( 1 +:)
I = (.I-; + = (.Y'
g.
(1)
-
+
1)(.y2 -
I)(.r
-
5x-',.3 + 4 =
-
'I!'
+ h.y2
-
+
(.r"j
by2
(6)
1)
I)(.Y
-
I)
-
-
= (~1.r'
-
(6).
-
4)
q2) +
(2). (by'
-
+ b(.r2 - !)' == (.I-? ).')('I + b ) = (.r + Y ) ( B - ! . ) ( ( I + b ) L,(.Y'
-
-
!.')
b!.?-) (11
(1) (6 1.
1.7
Focronzocion
Observese en el Ejemplo 3(f) que x2 - 1 es factorizable, per0 x 2 En el Ejeniplo 3(hj se factorizo utilizando el agrupamiento.
Facrorizar cornplerurnente /as expresiones.
+ 4. 10\7' + 5xz.
1. 6 s
3.
5 . 8a"bc
12ah"~i + 4h4c'd'.
-
7 . .r'
-
25.
9. p'
+ 4/1 + 3.
11. 16.~' - 9.
+ 6: + 8 . 15. .I-' + 61 + 9 . 17. 3' + 12s + 16. 13.
z'
19. 3.v'
-
3.
21. 6?'
+
13).
t3. 2-i.
9 .
10s'
-
4rX3-',
+ ZV' (4.r + 2)'.
27. 2 r 3
29.
31. .r3?'
2.
+
12.7~
.,--',
+
/
-
lOx',
--
-
8s.
17.r.
+ 25s.
+ (8 -- 2 ~ ' ) . 35. + 8 v 6 + i6q') (y* + 37. .r3 + 8. 33. (x3
-
4.r)
-
(,I1'
gv4
+
-
1 )I.
39. .r" - 1 . 41.
(W
+
13. P(I
3)j(.r - 11)
+ r.) + P ( l
45.
.I-'
47.
YX -
-
16. I.
+ (X + + r)r.
3)'(5
16).
+
1 no lo es.
Utilizando el principio fundamental de las fracciones (Seccion 1.4) se pueden simplificar fracciones. Este principio permite multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador de una fraccion, entre la misma cantidad diferente de cero. La fraccion resultante equivale a la original. Se supone que las fracciones consideradas tienen denominadores diferentes de cero. EJEMPLO 1
En primer lugar, se factorizan completamente tanto el numerador como el denominador x2 - x - 6 - (X - 3)(x + 2) x2 - 7 x + 12 ( x - 3 ) ( x - 4)' Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre el factor comun x - 3, se obtiene
Normalmente, solo se escribe
1
o bien
+
+
x2 - x - 6 - (X - 3)(x 2) x 2 -x - 4' x2 - 7 x 12 (x - 3)(x - 4 )
+
El proceso que acaba de utilizarse comunmente se denomina "cancelacion".
a c Si se desea multiplicar - por - entonces b d' a- . -c = - ac h d bd'
i.8
Frocciones
a C Para dividir - entre - , en donde c # 0, se tiene que b d (1
a , c h - -. - - - =
b
d
c d
-
d b c ' u
-.
EJEMPLO 2
b.
xL4x+4 x2 2x - 3
+
X'
[(x - 2)'][6(.r + I )(x - l)] 6x2-6 2x - 8 [(x + 3)(x - I)][(s + 4)(x - 2)]
+
En ocasiones, el denominador de una fraccion tiene dos terminos e implica raices cuadradas, como 2 o bien f i d2. Se puede racionalizar el denominador multiplicando por una expresion que haga que el denominador se convierta en la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo,
~
+
4 v'3 - t / Z 4 . \ b + v 2 - f i + v 2 ' d - v 2
EJEMPLO 3 Racionalizar 10s denorninadores.
a En el Ejemplo 2(c) de la Seccion 1.3, se mostro que C
a + b + -b = . Es decir, C
C
si se sumail dos fracciones que tienen denominador comun, entonces el resultado es una fraccion cuyo denominador es dicho denominador comun. El numerador es la suma u b a - b de 10s numeradores de las fracciones originales. De manera similar, - - - = C
C
C
EJEMPLO 4
Para sumar (o restar) dos fracciones con denominadores diferentes, se debe utilizar el principio fundamental de las fracciones para expresarlas como fracciones equiva-
lentes con el mismo denominador. Despues, se procede a la adicion (o a la sustraccion), mediante el metodo antes descrito. Por ejemplo, para evaluar
2 x7.x
-
+ x(.x
3)
3 - 3)?'
se puede convertir la primera fraccion en otra equivalente multiplicando el numerador y el denominador por x - 3: 2rr - 31 Se puede transformar la segunda fraccion multiplicando su numerador y su denominador por x2: 3x' x3(x
-
3)?
Estas fracciones tienen el mismo denominador. Por tanto,
Se pudieron haber convertido las fracciones originales en fracciones equivalentes con cualquier denominador comun. Sin embargo, se decidio convertirlas en fracciones con el denominador x3(x- 3)2. Este es el minimo comun denominador (M.C.D.) de las fracciones 2/[x3(x - 3)] y 3/[x(x - 3)2]. En general, para encontrar el M.C.D. de dos o mas fracciones, primer0 se factoriza cada denominador en forma completa. El M. C. D. es el prodl~ctode cada uno de 10s factores distintos que aparecen en 10s denominadores, cada uno de ellos elevado a la nzas alta potencia que ocurra en cualquiera de 10s denonrinadores. EJEMPLO 5 t
a. Restar: -3t 2 El M.C.D. es (3t
+
+
2?(t - 1).
EJEMPLO 6
J
-
x + 2 1 - 2 3)2 2(x + 3)(x - 3) (x
+
[M.C.D. = 2(x
+
3)'(x - 3)]
EJEMPLO 7
I x + h Sitnplificar, h
1 x
.
primer0 combinernos las fracciones en el nurnerador
-
X(X
+ h)
h
-
-h X(X
+ h)h
-
1
x(x
+ h)'
TambiCn se puede simplificar la fraccion original multiplicando el numerador y el denominador por el M.C.D. de las fracciones que se encuentran en el numerador (y en el denominador), es decir, x(x + h):
-
x - (X + h) -h 1 - X(X + h)h x(x + h)h X(X + h)'
1.8
Frocciones
Or 10s Problemas 1-6 si~~ipl(fi/it.a~-
En 10s Problemas 7-48, ejecutar las operaciones y simplifcar cuanto sea posible.
31
+
I
I t -
45. -.
.t-
3
En 10s Problemas 19 denorninadores.
46.
.r 3 r
9'
3 - -
I
2r
.r --
.r2
+
1
5.t t- 6 .r
47. 48. r x + 3+r 1 + 2 50, realizar /as operaciones que se seiialan, pero no racionalizar 10s .r
-
--
I
.r i 7 -
7
3
En 10s Problemas 5 1-60 simplificnr y expresar la respiresra en forma que no aparezcan radicale~en el denominador
2
~APITULO
Ecuaciones
Aun 10s estudiantes que se inician en muchas areas de estudio, sz ven enfrentados pronto con la solucion de ecuaciones elementales. En este capitulo, se desarrollan tecnicas para llevar a cab0 tal tarea. Estos metodos se aplicaran en el siguiente capitulo a algunos casos de la practica.
-2.1
Ecuaciones lineales Una ecuacion es un planteamiento que seiiala que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que conforman una ecuacion se denominan lados o miembros. Se separan por un signo de igualdad " = ". EJEMPLO 1
Las siguientes son ecuaciones. a . x + 2 = 3 .
b. x L
+ 3x + 2
=
0.
En el Ejemplo 1, cada ecuacion contiene cuando menos una variable. Una variable es un simbolo que puede ser reemplazado por cualquiera de un conjunto de numeros diferentes. Los simbolos mas utilizados para las variables son letras de la parte final del alfabeto, tales como x , y, z , w y t . Se dice que las ecuaciones (a) y (c) son ecuaciones en las v a r i a ~ e P f ~ respectivamente. y; La ecuacion (d) se da en las variables w y z. En la.ecuaci6n.x-+2-=-3;..a..kosnumeros 2 y 3 se les denomina constantes, y son nume.rQq:;>,. ~Gos:. , ..,..,,,.;' .,;,..... ,.... !..!"";I:i2: i: .;> ~Nunqasg pe@@:qy4$,wly?f$$le;tenga un valor para el cual cualquier expresion de 1.; ecuacidn resulte indefinida. Por lo tanto, en y / @ - 5) = 7, la y no puede ser que el denominador fuera 0 . 5 puesto que esto haria ,;;<;.,!; - -;:;t, ,'. ,:;.-.?.> ;;i . ...<.
L',;.i
,
~
;t
,'
, ,
.
-1.
.-:.a' I..,
!
33
Resolver una ecuacion significa encontrar todos 10s valores de sus variables para 10s cuales la ecuacion se verifica. A estos valores se les denomina soluciones de la ecuacioii y se dice que la satisfacen. Cuando solo se maneja una variable, a una solucion tambien se le denomina raiz. A1 conjunto de todas las soluciones se le denomina conjunto solucion de la ecuacion. En ocasiones, a una letra que representa una cantidad desconocida en una ecuacion se le denomina simplemente incognita. Enseguida se ilustran estos terminos. EJEMPLO 2 a. En la ecuacion x + 2 = 3, la variable x es la incognita. El unico factor de x que satisface la ecuacion es 1. Por ello, 1 es una raiz y el conjunto de soluciones es {l}. = 7 - z es una ecuacion con dos incognitas. Una aolucion es el par de valores w = 4 y z = 3. Sin embargo, existe una cantidad infinita de soluciones. ~ P u e d eel lector pensar en otra?
b. w
c. -2 es raiz de x 2 + 3x + 2 = 0 debido a que a1 sustituir x por -2 la ecuacion se verifica: (-2)2 + 3(-2) + 2 = 0.
A1 resolver una ecuacion se desea que cualquier operacion que se haga sobre ella dC como resultado otra ecuacion que tenga exactamente las mismas soluciones que la ecuacion dada. Cuando ocurre esto, se dice que las ecuaciones son equivalentes. Existen tres operaciones que garantizan la equivalencia:
1. Sumar (o restar) el mismo polinomio* a (o de) ambos miembros de una ecuacion, cuando el polinomio tiene la misma variable de la ecuacion.
Por ejemplo, si 3x = 5 - 6x, entonces sumar 6x a ambos lados produce la ecuacion equivalente 3x + 6x = 5 - 6x + 6x, o bien 9x = 5.
2. Multiplicar (o dividir) ambos miembros de una ecuacion por la misma constante, exceptuando el cero.
Por ejemplo, si lox = 5, entonces dividir ambos lados entre 10 produce la ecuacion lox 5 1 equivalente --- = -, 0 bien x = 10 2 10 -,
3. Reemplazar cualquier miembro de e:u$cjo&ppr .. una expresion igual. ..ups ,-a* , 5
11 $ 1
C
+
r
,
3
, > a %
Por ejemplo, si x (x + 2) = 3, entonces el reemplazo del lado izqu&d6'por una expresi6n igual, x 2 + Zr, produce la &?86%!&4tbWd&~iP~+ 2&'gkl'"3., , \ J P
*
5:,r:!
.Ot4
2L)*?~t:q>jl: Sl!b.~l
:1<1~i3hV -
'j,Jp
:
Vease la Secc~on1 6 que contiene la definition de pol~nornio.
?C> L C
3
a:,r~
a L,
2
3
! '
2.1
35
Ecuociones lineoles
Repitiendo: La aplicacion de las operaciones 1 a 3 garantiza que la ecuacion resultante equivale a la dada. Sin embargo, en ocasiones, a1 resolver una ecuacion se desea utilizar operaciones diferentes a las consideradas en 10s cuadros 1 a 3. Estas operaciones pueden no necesariamente dar como resultado ecuaciones equivalentes. Dichas operaciones son:
4. Multiplicar ambos miembros de una ecuacion por una expresion que contiene a la variable;
1
5. Dividir ambos lados de una ecuacion entre una expresion que implica la variable;
I
6 . Elevar ambos lados de una ecuacion a potencias de igual exponente.
Enseguida se ilustran estas tres ultimas operaciones. Por ejemplo, por inspeccijn se observa que la unica raiz de x - 1 = 0 es 1. Multiplicando ambos lados por x (operacion 4 ) se tiene x 2 - x = 0, la cual se satisface si x es 0 o bien 1 (verifiquese esto mediante sustitucion). Pero 0 no satisface la ecuacion original. Por ello, las ecuaciones no son equivalentes. Se puede verificar que (x - 4)(x - 3) = 0 se satisface cuando x es 4 o bien 3. Dividiendo ambos miembros entre x - 4 (operacion 5 ) se obtiene x - 3 = 0, cuya unica raiz es 3. De nueva cuenta, no se tiene equivalencia porque, como en este caso, se ha "perdido" una raiz. Observese que cuando x es 4 , la divisicin entre x - 4 implica division entre 0 la cual es una operacion no valida. Para terminar, elevando a1 cuadrado ambos lados de la ecuacion x = 2 (operacion 6) se obtiene x2 = 4 , la cual se verifica si x = 2 o bien -2. Pero -2 no es una raiz de la ecuacion dada. Del analisis anterior resulta claro que cuando se llevan a cab0 las operaciones 4 a 6, se debe tener cuidado acerca de las conclusiones que se plantean para las raices de una ecuacion dada. Las operaciones 4 y 6 pueden producir una ecuacion con una mayor cantidad de raices. Por ello, se debe verificar si cada una de las "soluciones" que se obtienen de estas operaciones satisfacen la ecuacion original o no. La operacion 5 puede producir una ecuacion con menor cantidad de raices. En este caso es posible que nunca se determine alguna raiz "perdida". Por tanto, debe evitarse la operacion 5 cuando sea posible. En resumen, se puede considerar una ecuacion como un conjunto de restricciones impuestas a cualquiera de las variables de la misma. Las operaciones 4 a 6 pueden aumentar o disminuir las restricciones, produciendo soluciones diferentes a las de la ecuacion original. Sin embargo, las operaciones 1 a 3 nunca afectan a las restricciones. Ahora se mostrara en la solucion de una ecuacion lineal como utilizar 10s principios que se han presentado hasta este punto.
Una ecuacion lineal en la variable x es una ecuacion que puede escribirse en la forma M f b =0,
en donde a y b son constantes y a # 0.
(11
A las ecuaciones lineales se les denornina tarnbien ecuaciones de primer grado o ecuaciones de grado I , puesto que la mayor potencia que ocurre en la variable de la ecuacion (1) es la prirnera. Para resolver una ecuacion lineal, se llevan a cab0 operaciones hasta que se llega a una ecuacion equivalente cuyas soluciones son evidentes. Esto significa una ecuacion en la cual la variable se encuentra sola en un miernbro, corno en 10s ejernplh que se presentall enseguida. EJEMPLO 3
Se cornienza haciendo que 10s terrninos que irnplican a x se encuentren en un lado y las constantes en el otro. 5.r
5x
-
6
+
6
-
3.r,
=
( - 3.r) = 3x
+
( - 3x)
(surnando -3x a arnbos rniernbros), (sirnplificando, es decir, operacion 3),
2x-6=0 2 x - 6 + 6 = 0 + 6
(surnando 6 a arnbos lados),
2x=6
(~irn~lificado),
21 2
(dividiendo arnbos lados entre 2),
- = -
6 2
Resulta claro que 3 es la unica raiz de la ultirna ecuacion. Dado que cada ecuacion es equivalente a la que le antecede, sc concluye que 3 debe ser la unica raiz de 5x - 6 = 3x. Es decir, el conjunto solucion es {3). Se puede describir el primer paso de la solucion diciendo que se pasa un terrnino de un rniembro de la ecuacion a1 otro, a1 tiernpo que se le cambia de signo; es cornun que se denornine a esto transposicidn. Observese que corno la ecuacion original puede ponerse en la forma 2 x + (-6) = 0, es asi una ecuacion lineal.
EJEMPLO 4
Resolver 2 ( p
+ 4)
=
7p
+
2.
En primer lugar se eliminan 10s parentesis.
+ 4) 2p + 8
20,
2p -5p
+ 2. = 7p + 2
=
7p
(propiedad distributiva),
-
7p - 6
(se resta 8 de arnbos lados),
=
-6
(se resta 7p de arnbos rniernbros),
-6 P=T
(se dividen arnbos lados entre
-9,
EJEMPLO 5
En primer lugar, se eliminan las fracciones multiplicando arnbos lados por el minimo cornun denominador (M.C.D.)*, que es 4 .
4
+3
7.r
4 . -9x
-
8
-
24
(propiedad distributiva),
8)
=
24
(se simplifica),
8
=
24
(propiedad distributiva),
5?c + 14
=
24
(se sirnplifica),
5x
=
10
(se resta 14 de ambos lados),
4
2 217x
-
+ 3)
14x
-
+6
(9x
-
9x
-
+
x = 2.
(se dividen ambos miembros entre 5).
Cada una de las ecuaciones de 10s Ejernplos 3 a 5 tiene una y solo una raiz. Esto es caracteristico de todas las ecuaciones lineales en una variable. Las ecuaciones en las que algunas de las cons~antesse representan por letras se denorninan ecuaciones literales. Por ejernplo, en la ecuacijn literal x + a = 4b se conconsidera que a y b son constante: no especificadas. Las formulas, como I = Prt, que expresan una relacion entre ciertas cantidades, pueden considerarse ecuaciones literales. Si se desea expresar una letra especifica de una formula en terminos de las otras, a dicha letra se le considera la incognita.
EJEMPLO 6 a. La ecuacion I = Prt es la formula para el interes simple I que se obtiene sobre un capital P, a la tasa anual de interes r por un pertbdo de t aiios. Expresar r en terminos de I, P y t. Aqui se considera que r es la incognita. Para separar r se dividen ambos lados entre Pt. I = Prt, I Pt I Pt
- = -
-
-------
=
Prt Pt ' r
o bien
r-
=
I
-.
Pt
-
* El m i ~ i r n ocomun denominador de dos o mas fracciones es el menor n~imeroque tiene a todos 10s denominadores como factores. Es decir, el M.C.D. es el minimo comun multiplo (M.C.M.) de todos 10s denominadores.
Cuando se dividen ambos miembros entre Pt, se supone que Pt Z 0, porque no se puede dividir entre cero. En la resolucion de otras ecuaciones literales se hacen las mismas suposiciones. b. La ecuacidn S = P + Prt es la fdrmula para el valor S de una inversidn de un capital P a una tasa anual de interes simple r por u n period0 de t atios. Despejar P.
+ Prt, = P(l + rt)
S = P
S S
- -
1
+ rt
c. Despejar x en (a
+
-
(se factoriza) (se dividen ambos lados entre 1
P
c)x
+ x2 =
(x
+
rt).
+ a)*.
En primer lugar se simplifica la ecuacion y despues se colocan en un mismo lado todos 10s tCrminos que implican a la x. (a
+ c)x + x2 =
(x
cx - ax
a',
=
+ a)',
c - a
I
En 10s Problemas 1-6, determinar por sustitucion cual de 10s numeros dados satisface la ecuacion dada, si \ es que alguno lo hace. 1. 9x
-
x2 = 0;
1,o.
+ 201- 3) = 4 ; 9 , l . x(7 ,+ x) - 2(.r + 1) 3x =
3. y
5.
-
, -2;
-3.
2. 20
-
4. Zr
+ x2
6. x(s
+
9x = -x2; -
l)'(x
5, 4.
8 = 0;
2, -4.
+ 2)
0;
=
0,
-
1. 2.
En 10s Problemas 7-16 determinar que operaciones se aplicaron a la primera ecuacion para oorener la segunda. Especificar si las operaciones garantizan o no que las ecuaciones son equivalentes. No resuelva las ecuaciones.
I
7. x - 5 = 4x
9. x = 4;
+
10; x = 4x
15. ,
8. 8x - 4 = 16; x -
4
10. ax2 + 3 = x - 9; x2
x2 = 16.
11. x2 - Zr = 0; x
+
-
2 = 0.
2 s - 2
12. -+ x = x2; 2
= 2.
+ 6 = Lx -
+ *(x
18.
- 2) = x2(x - 2).
2.1
Ecuociones l~neoles
En 10s Problemas 17-46, resolver las ecuaciones. 1'.
18. 0.2.r
4.r = 10.
=
5.
En 10s Problemas 47-54, expresar el simbolo que se indica en tdrminos de 10s simbolos restantes, 47. I = Prt;
P.
50, p = -3q
+
53. S
=:
n 2-(al
48. ax 6; q.
+ a,,); a l .
+
51. S
=
54. S
=
b
49. p
0; x.
P(l
+ rt);
R[(1
+ i)"
Si se compra un articulo para utilizarlo en un negocio, a1 elaborar la declaration del impuesto sobre la renta se puede repartir su costo sobre toda su vida util. A esto se le denomina depreciacion. Un mCtodo de evaluar esta cantidad es la depreciacion en linea recta, en la cual se calcula la depreciacion anual dividiendo el costo del articulo, menos su valor estimado de desecho, entre su vida util. Supongase que el costo es C, la vida util es N (aiios) y no hay valor de desecho. Entonces, el valor V del articulo a1 final de n aiios esta dado por 55.
=
1
52. r =
r. -
=
8q - 1 ;
2mI B(n
+
1)'
q. m.
11
; R.
Supongase que se adquieren $1 600 (dolares) de muebles nuevos para oficina, que tienen una vida util de 8 aiios y que carecen de valor de desecho. iDespuCs de cuantos aiios valdran $1 OOO.?
56. Cuando se utiliza radar en una carretera para determinar la velocidad de un automovii, se envia un haz de ondas para que se refleje en el automovil que transita. La diferencia F (en ciclos por segundo) en la frecuencia entre el haz original emitido y el reflejado esta dada por
40
2
ECUACIONES
en donde v es la velocidad del automovil en millas por hora (mi/h) y J'es la frecuencia del haz radioelectric0 original (en megaciclos por segundo). Supongase que un conductor maneja en una carrelera que tiene limite de velocidad de 55 mi/h. Un policia dirige un haz de radar, cuya frecuencia es de 2 450 (megaciclos por segundoj a1 automovil, y observa que la diferencia en frecuencia es de 420 (ciclos por segundo) iPuede suponer el policia que el conductor esta rebasando el limite de velocidad? Para estudiar la relacion entre depredador y presa, se llevo a cab0 un experimento* en el cual un sujeto con 10s ojos tapados, el "depredador", permane-
cia de pie frente a una mesa de 3 pies cuadrados en la cual se habian colocado discos uniformes de lija, la "presa". Durante un minuto, el "depredador" bus& 10s discos tocando con un dedo. E n 10s casos en 10s que encontraba un disco, se eliminaba este y la busqueda continuaba. El experimento se repitio con diversas densidades (numero de discos por 9 pies cuadrados). Si y es el numero de discos encontrados en un minuto cuando se encontraban .u objetos de estos en la mesa, se estima que y = tr( l
57.
-2.2
--
by).r.
en donde a y b son constantes. Despeje y de esta ecuacion.
Ecuaciones que conducen a ecuaciones lineales Algunas ecuaciones que no son lineales carecen de solucion. En este case, se dice que el conjunto solucion es el conjunto vacio o conjunto nulo, el cual se denota mediante { j o 0 . Los siguientes ejemplos ilustran que resolver ecuaciones no lineales puede conducir a ecuaciones lineales. EJEMPLO 1
Resuelva /as siguientes ecuaciones.
A esta ecuacion se le denomina ecuacion fraccional debido a que la incognita se encuentra en el denominador. Para resolverla, primer0 se le escribe en forma que no tenga fracciones. Multiplicando ambos lados por el M.C.D., (x - 4)(x - 3), se tiene
5(.r - 3) = 6(.r - 4)
[ecuacion lineal],
En el primer paso, se multiplico cada uno de 10s lados por una expresion que implicaba la variable x. Como se menciono en la Seccion 2.1, esto significa que no se garantiza que la ultima ecuacion equivale a la ecuacion original. Por consiguiente, debe verificarse si el numero 9 satisface la ecuacion original. Si se sustituye x por 9 en esa ecuacion, el lado-izquierdo se convierte en
-
-
-
-
* C.S. Holling, "Some Characteristics of Simple Types of Predation and Parasitism", The Canadron E ~ z ~ o ~ @ / o R J s ~ , YGI, no. (1959), 385-98.
2.2
Ecuaciones que conducen o ecuociones lineales
y el lado derecho es 6 9 - 3
- = - =
6 6
1.
Dado que ambos miembros son iguales, 9 es una raiz.
Como x2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4), el M.C.D es (x ambos lados por el M.C.D., se tiene
+
2)(x
- 4).
Multiplicando
Sin embargo, la ecuacion original no esta definida para x = -2 (no se puede dividir entre 0), y por ello, no existen raices. El conjunto solucion es 0.
La unica forma en que una fraccion puede ser igual a cero es cuando el numerador es 0 y el denominador es diferente de 0. Dado que el numerador, 4, nunca puede ser cero, el conjunto solucion es 0.
EJEMPLO 2
Resolver
d
m-x
= 3.
A esta ecuacion se le denomina ecuacion radical, puesto que aparece una variable en el radicando. Para resolverla, se elevan ambos miembros a la misma potencia para eliminar el radical. Esta operacion no garantiza equivalencia y, por ello, se deben verificar cualesquiera "soluciones" resultantes. Se comienza aislando el radical en un lado.
r x
+33 = x + 3 .
+ 33 .r2 + 33 x2
24
= (x = .w2 =
(elevando al cuadrado ambos lados), + 3)' + 6x + 9 ,
6.x.
Se debe estar en posibilidades de probar, mediante sustitucion, que 4 es en realidad una raiz.
42
2
ECUACIONES
Es posible que en ocasiones sea necesario elevar ambos lados de una ecuacion radical a la misma potencia mas de una vez, como se muestra en el Ejemplo 3. EJEMPLO 3
Resolver
d
T
-
fi =
- 3.
Cuando una ecuacion tiene dos terminos que contienen radicales, en primer lugar se escribe una ecuacion de manera que, de ser posible, se encuentre un radical en cada uno de sus miembros.
.-
v n = f i - 3 , y
-3
= y -
6fi
y = 4
+
9
(elevando a1 cuadrado ambos lados),
(elevando a1 cuadrado ambos lados).
Sustituyendo 4 en el primer miembro de la ecuacion original se obtieile fi - fi, que es -1. Puesto que esto no es igual a1 segundo miembro, -3, no existe solucion. Es decir, el conjunto solucion es 0.
En 10s Problemas 1-34 resolver las ecuaciones. 1.
5 X
=
25.
4 2. ---- - 2 . x - l
2 3
Ecuacianes cuodrot~cas
=
0.
En 10s Problemas 35-38 expresar la letra que se seiiala en terminos de las restantes. XZ --.
.
r = -
1
-
dt.
n.
36.
x-cl -h - x
-
.x-b. -, a-.I
3. En cierta reserva ecologica, el n~imeroy de presas que un depredador consume en cierto interval0 Jc 5smpo esta dado por 1ox
!
cl
jonde x. es la densidad depresas (numero de pre-
m p r unidad de area). iQuk densidad permitiria a
37. r
X.
=
2mI n. B ( n + 1)'
do por la clase de camino (como concreto, asfalto, grava o alquitran); f depende tambikn de si el camino esta seco o mojado. En la tabla que aparece enseguida se proporcionan algunos valores del coeficiente f . LA 40 millas por hora, mas o menos en quC distancia clerraparia un automovil en un camino seco de concreto? Proporcione la respuesta redondeando el valor en pies.
mz *ridador sobrevivir si necesita consumir 50 presas m el period0 dado?
a. La policia ha utilizado la formula s = \/%@? d c u l a r la velocidad s (en millas por hora) de m automovil, si derrapa d pies cuando se detiene.
Mojado Seco
Concreto
Alquitran
0.4
0.5 1.O
0.8
IA cantidad f es el coeficiente de friccion determina-
!
-2.3
Ecuaciones cuadraticas Para aprender a resolver problemas mas complicados, se explicaran ahora metodos para la resolucion de ecuaciones cuadraticas.
Una ecuacion cuadratica en la variable x es una ecuacion que puede escribirse d e la siguiente forma: a.r2 + hr + c = 0, en donde a, b y c son constantes y a # 0. A una ecuacion cuadratica se le denomina tambien ecuacion d e segundo grado o ecuacion d e grado 2, puesto que la mas alta potencia de la variable que aparece es la segunda. Mientras que las ecuaciones lineales tienen solo una raiz, algunas ecuaciones cuadraticas tienen dos raices distintas. Un metodo util para resolver ecuaciones cuadraticas se basa en la factorizacion de ax2 + b x + c , como se muestra en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1 Resuelva las siguientes ecuaciones cuadraticas.
44
2
ECUACIONES
Es facil factorizar el primer miembro: (X -
3)Cr
+
4)
=
0.
+
Considerese esto con10 dos cantidades, x - 3 y x 4, cuyo producto es cero. Para que el producto de dos o mas cantidades sea cero, cuando menos una de ellas debe ser cero. Esto significa que o bien x - 3 = 0 o bien x + 4 = 0. Resolviendo Cstas se obtiene x = 3 y x = -4. Las raices son 3 y -4 y el conjunto solucion es (3, -4).
No se dividen ambos lados entre w ( m a variable) puesto que no esta garantizada la equivalencia y se puede "perder" una raiz. En cambio, se escribe la ecuacion de la siguiente manera
Factorizando queda Igualando cada uno de 10s factores a 0,
Por consiguiente, las raices son w = 0 y w = 3 . Observese que si se hubieran dividido ambos lados de 6 w 2 = 5w entre w , se habria obtenido 6w = 5, y la unica solucion seria w = 2, . Es decir, se habria perdido la raiz w = 0. Esto confirma la mencion que se hizo de la operacion 5 en la Seccion 2.1. Algunas ecuaciones que no son cuadraticas pueden-resolverse mediante factorizacion, como se muestra en el Ejemplo 2. EJEMPLO 2
Resolver las siguientes ecuaciones.
a. 4x
-
4x'
=
0.
A esta se le denomina ecuacion de tercer grado. 4x
-
4x(1 4x(1
-
.r)(l
-
4.u7
=
0,
x')
=
0.
+ x)
= 0.
Igualando a 0 cada uno de 10s factores se obtiene 4 = 0 (lo cual es imposible), x = 0, 1 - x = 0, o bien 1 + x = 0. En consecuencia, ,Y
que se puede escribir como x
=
=
0, 1 , - 1 ,
0, k1.
2.3
45
Ecuociones cuodrdtrcos
Como el factor x(x
+
2)2 es comun a ambos terminos del lado izquierdo, se tiene
x(.x Por ell\,, -2, - .$.
.
0, x
+
2 = 0, o bien 2x
4)(x
+
1)
=
+ 2l2(2,X + 7 ) = 0 . + 7 = 0, de donde se concluye que x = 0,
EJPMPLO 3
Resolver (3x
-
=
-
2.
ADVERTENCIA Se deben abordar con precaucion 10s problemas de este tipo. Si el product0 de dos cantidades es igual a -2, no es cierto que cuando menos una de las cantidades dzba ser igual a -2. i P o r que? No se debe igualar cada uno de 10s factores a -2; hacerlo no arroja soluciones para la ecuacion dada.
En primer lugar, se multiplican 10s factores del lado izquierdo: 3.r'- x - 4 = - 2 . Reescribiendo, de manera que aparezca el 0 en un lado, se tiene 3x 2 - . r - 2 = 0 Factorizando queda Por lo tanto
EJEMPLO 4 y + 1 Resolver y + 3
+ y~ - 2$ '
-
5 7 ( 2 y + 1) y 2 + y - 6
Multiplicando ambos miembros por el M.C.D. 01
+
3 ) b - 2), resulta
Como se multiplico la Ecuacion (1) por una expresion que implicaba la variable y, se debe recordar (de la Seccion 2.1) que la Ecuacion (2) no necesariamente es equivalente a la (1). Despues de simplificar la Ecuacion (2), se tiene que
Asi, $ y 2 son raices posibles de la ecuacion dada. Pero 2 no puede ser raiz de la Ecuacion (I), puesto que la sustitucion conduce a un denominador 0. Sin embargo, se debe verificar que $ satisface la ecuacion original. Por consiguiente, su unica raiz es $.
EJEMPLO 5
Resolver x2
=
3.
Esta ecuacion es equivalente a
Factorizando, se obtiene (x
-
V3)(x
+ d3)=
0.
Por lo tanto, x - 6= 0 o bien x + V3 = 0 . Las raices son + fi. Una forma mas general de la ecuacion x2 = 3 es u2 = k. De la misma maner; que antes, se puede demostrar que:
Si u 2
=
k,
entonces
u
=
+g k .
Resolver ecuaciones cuadraticas mediante factorizacion puede resultar bastant dificil, como puede verse a1 intentar aplicar este metodo a la ecuacion 0.7x2 - V%8 d = 0 . Sin embargo, existe una formula a la que se denomina formula cuadratica,: que da las raices de cualquier expresion cuadratica:
Formula cuadratica
Si ax2 + bx
+c
=
0 , en donde a, b y c son constantes y a f 0 , entonces
-b+ X =
v ' G 2a
Estos valores de x son las raices de la ecuacion cuadratica que aparece en primer tCrmino.
EJEMPLO 6
Resolver 4x2 - 17x Aqui a
*
=
4, b
=
+
15
-17 y c
= =
0 mediante la formula cuadratica. 15.
En la Secci6n 2.4 aparece, como complemento, la deduccion de la formula cuadratica.
2.3
Ecuac~onescuadraticas
17+7 24 17 - 7 Las raices son -- - = 3 y -8 8 8
-
10 8
--
5
-
4.
EJEMPLO 7
+
Resolver 2
6 d y
+
9y2
=
0 rnediante la formula cuadratica.
Observese la disposition de 10s terminos. Aqui a
+0
- 6 d Asi que y
=
-
d
- -
18
3
o bien y
=
9, b
=
6
- 6 d - 0 =
-
18
a yc
=
2.
d . Por lo tan-
--
3
d
to, la unica raiz es
3
EJEMPLO 8
Resolver z 2
+z+
1
=
Aqui a = 1, b = 1 y c
0 rnediante la formula cuadratica. =
1. Las raices son
Ahora bien, d-3 denota un numero cuyo cuadrado es -3. Sin embargo, no existe un numero real como este, puesto que el cuadrado de cualquier nurnero real es siempre no negativo. Por ello, la ecuacion no tiene raices reales.* ADVERTENCIA Es necesario asegurarse de utilizar en forma correcta la formula cuadratica.
De lo que se vio en 10s Ejemplos 6-8 puede apreciarse que una ecuacion cuadratica tiene
o dos raices reates diferentes, exactamente una raiz real, o ninguna raiz real, dependiendo de si b2 - 4ac es > 0 , = 0, o bien < 0.
Em
LOS
1- r -
Problemas 1-30, resolver mediante factorizacion. -
4.1
+4
=
-I
ginaria.
2. t2
0.
-.vT 2
+
3r
+2
=
0.
I
?
rV3
puede expresarse como
3. ?' - 7y
+
12
=
0.
-
2
,en donde i ( = t 7) se denomina la unidad ima-
48
ECUACIONES
2
4. x'
+x
7. ,r2
-
12
-
12x
5. ,r2
0.
=
3
-
=
+
8. 3w2 - 12n~
-36.
=
2x
-
0.
12
=
0.
6. x2
-
16
9. x2
-
4 = 0.
0.
=
LO. 2.2
11.
13.
14. 2z2
-
17.
18. 3y' =
19. 2p2 = 3p.
20.
+ 72 = 4. - x 2 + 3x + 10 = 0 . - r 2 - r + 12 = 0 .
+ 91 = 14. 15. y(2y + 3) = 5 .
X'
16.
22.
+ 4x = 0 . 4,K2 + 1 = 4 ~ . 8 + 2x 3,r2 = 0 . (,K
- 2)'(~
+
1)'
=
0.
23.
+ 5x2
-
4x
=
0.
26. (.r
-
8)(x - 5 )
25. 6x3
28. 3(x2 t 2x
=
0.
8z
-
12. a'
0.
=
-
6 4 ~ = 0.
+
1)'-
29. p(y
5x
312
-
-
1
=
3 ~ .
21. x(x - ] ) ( a 24. x 3
+
-
0.
4(p - 313 = 0 .
-
+ 2) = 0 .
4x2 - 5~
+ 3)(x2 x4 3x2 + 2
27. (a 30.
=
0.
-
2) = 0 .
K.
0.
=
-
En 10s Problemas 31-44, encontrar todas las raices reales utilizando la formula cuadratica. 31. x 2
+ 2s
-
34. p2
+ 2p
= 0.
37. 4
43. 2x"
=
0.
+ n2 = 0 - 2 d n , + 2 = 0.
-
40. w'
24
2n
4x
=
32. x 2
-
2x - 15 = 0.
35. p2
-
5p
3
=
5.
38. 2x2
+
K.
41. 2x2
-
3x
44. -2x2
5.
+
-
=
33. 4x2 - I2x 36. 2
0.
-
39. 6x2
=
20.
6x
+5
2~
+ .a2
=
=
+ 7x - 5
42. 0.01x2 =
+9
+ 0.L-
0.
0.
=
0.
-
0.6 = 0 .
0.
En 10s Problemas 45-66, resolver utilizando cualquier mgtodo.
67. En la pigina 354 del libro Economics, de Samuelson,* se establece que una de las raices de la ecuacion
jj = Q(Q .+. 10) 44
* De Paul A , Samue]son, ,17conomics. loa. ed. (Nueva York: McGraw-Hill Book Company, 1976).
+
es - 5 <+=. Verifique esto utilizando la formula cuadratica para despejar Q en te~minos de M. Aqui Q representa el ingreso real y M es el nivel de la oferta monetaria. 68. Un grupo de biologos estudio 10s efectos nutriciOnales que se produjeron sobre ratas a las que se aliment6 con una dieta que contenia 10% de protei-
2
4
Cornplernento
Y.La proteina estaba formada por yema de huevo 3
2-3de
-
Regla de Young: c
rnaiz. Cambiando el porcentaje P (expre-
a o decimal) de yema en la mezcla de protei- . t. p d p o calculo que el promedio de aumento de g I en gramos) de una rata en un cierto period0 ECZX dado por
=
d i ersas ~ reglas para determinar una dosis ~ 1 ; ~ ; n s i para nilios cuando se ha especificado la ;ara adultos. Dichas reglas pueden estar basaz-r.ci pejo, la estatura, o en otras cantidades. Si 4 = del nitio, d = dosis para adultos, y c = do?; ; rrar.:~l. elisten entonces dos reglas. CI).
+
LA que edad son iguales las dosis de 10s niiios bajo ambas reglas? Redondee su respuesta a1 aiio mas cercano.
70. En el analisis del precio de un articulo ofrecido por un fabricante a sus clientes, DeCaniot llega a y resuelve las dos ecuaciones cuadraticas:
1. (2n
E\::::n
-2.4
A
12 A + l Regla de Cowling: c = d. 24
ia;-a
por:entaje de yema produjo un aumento pro& de peso de 70 gramos?
A
d.
=
-
1)v'
2. nv' - (2n en donde n
-
+
2nv 1)v
+ +
1 = 0,
1 = 0,
> 0.
(a) Despejar v en la primera ecuacion. (b) Despejar v en la segunda ecuacion, si 5 2.
Cornplernento A continuacion se presenta la deduccion de la formula cuadratica. Considerese que ax2 + bx + c = 0 es una ecuacion de segundo grado. Puesto que a # 0, se puede dividir ambos lados entre a:
(&)
2
Si se suma
a ambos miembros,
(
entonces, el lado izquierdo se factoriza para convertirse en x b2 - 4ac cho se simplifica en . Por consiguiente, 4a2
* Adaptado de R. Bressani, "The Use of Yeast in HuFoods", en Single-Cell Protein, ed. R.I. Mateles y S.R. Tannenbaum, (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1968).
+
-
y el lado dere-
t S.J. DeCanio, "Delivered Pricing and Multiple Basing Point Equilibria: A Revolution", The Quarterly Journal of Economics, XCIX, num. 2 (1984), 329-49.
2
ECUACIONES
Esta ecuacion tiene la forma u 2 = k, en donde u
= x
b +yk 2a
rfr
d b ' - 4ac
=
b2 - 4ac . Por el 4a2
Ejemplo 5 de la Seccion 2.3 se tieile que
Despejando x se obtiene b
x = --
2a
rfr
V4ac
-
-
b
2a
2a
En resumen, las raices de la ecuacion ax2 formula cuadratica: - b -+ d b 2
Seccion 2.1
ecuacion miembro (lado) de la ecuacion c o n j u ~ t osoluci6n , ecuaciones equivalentes ecuacion literal
Seccion 2.2
conjunto vacio, 0
Seccion 2.3
ecuacion cuadratica (de segundo grado)
ecuacion fraccional
+
-
bx
+
c
=
0 estan dadas por la
4ac
variable raiz de la ecuacion ecuacion lineal (de primer grado)
ecuacion radical formula cuadratica
Cuando se reslielve una ecuacion se pueden aplicar reglas que producen ecuaciones equivalentes, es decir, ecuaciones que tienen exactamente las mismas soluciones que la ecuacion dada. Estas reglas incluyen sumar (o restar) el mismo numero a (de) arnbos lados, asi como multiplicar (o dividir) ambos lados por (entre) la misma constante, except0 0. Una ecuacion lineal (en x) es de primer grado y tiene la forma a x + b = 0, en donde a # 0. Toda ecuacion lineal tiene exactarnente una raiz. Para resolver una ecuacion lineal, se le aplican operaciones hasta que se obtiene una ecuacion equivalente en la que se ha aislado la incognita en un lado. Una ecuacion cuadratica (en x) es de segundo grado y tiene la forma ax' + bx + c = 0, en donde a + 0. Tiene dos raices reales diferentes, exactamente una raiz, o ninguna raiz real. Se puede resolver una ecuacion cuadratica mediante factorizacion o con la formula cuadratica:
Cuando se resuelve una ecuacion fraccional o una ecuacion radical, es frecuente aplicarle operaciones que no garantizan que la ecuacion resultante equivale a la original. Estas operaciones incluyen multiplicar ambos lados por una expresion que contenga la variable y elevar arnbos miembros a la misma potencia. En estos casos, se deben verificar todas las soluciones obtenidas a1 final de estos procedimientos sustituyendolas en la ecuacion dada.
PRODLEMAS DE REPASO &-cLier
las sinuientes ecuaciones.
Crecimiento real de una inversion* Cuando se habla del crecimiento real de una inversion, se hace referencia a1 crecimiento de su poder de compra, es decir, a1 crecimiento de la cantidad de bienes que esa inversion puede comprar. El crecimiento real depende de la influencia tanto del interes como de la inflacion. El interes aumenta el valor de la inversion, en tanto que la inflacion reduce su crecimiento, ya que suben 10s precios y, por lo tanto, disminuye el poder de compra. Por lo general, la tasa de crecimiento real no es igual a la diferencia entre la tasa de interks y la tasa de inflacion, sino que queda descrita mediante una formula diferente de la que se denomina "efecto de Fisher". Se puede comprender el efecto de Fisher examinando cuidadosamente la pregunta planteada por Edward P. Foldessy en Wall Sfreel Journal, (27 de mayo, 1986)(pag. 37): Para el aiio que termina en mayo de 1986, la tasa anual de interes fue de 11%, y la tasa ariual de inflacion, de 3.6%. En estas condiciones, jcual fue la tasa real de crecimiento anual? Se podria pensar que la respuesta se obtiene simplernente restando 10s porcentajes: 1 1 % - 3.6% = 7.4%. Sin embargo, la respuesta no es 7.4Yo. Supongase que se analiza la situacion en terminos mas especificos. Se considera como producto o mercancia fresas que se venden a $1.00 dolar la libra, y que debido a la inflacion, ese precio aumenta con la tasa de 3.6% anual. De junio de 1985 a junio de 1986, el citado precio aumento de $1.00 a
Por otro lado, considerando $100 invertidos en junio de 1985 a una tasa anual de interes de 15070, el interes obtenido en junio de 1986 fue de ($100)(0.1l), por lo que el monto acumulado es
* Adaptado de Yves Nievergelt, "Fisher's Effect: Real Growth Is Not Interest Less Inflation," Mathematics Teacher. 81 (Ocrubre 1988). 546-47. Con autorizacion de National Council of Teachers of Mathematics.
53
(Crecimiento real de uno inversion? -
I
k o r a . cornparese el poder de cornpra de $100 en junio de 1985, con el de $1 11 en junio de 1986. E- :355 se podian cornprar 100 libras de fresas con $100, a $1 .OO por libra. En 1986, las fresas costaban 5 : 00!6 por libra, por lo que el monto acumulado de $11 1 permitio cornprar 11 1/1.036 /107.14 Ib 2 . iresas (el sirnbolo = significa aproximadamente igual). ;Qui cambio ocurrio en el pdoer de compra de la inversion? aurnento de 100 lb a 107.14 Ib, o xa. un aumento de 7.14%. Es decir,
-
cantidad nueva - cantidad inicial 107.14 - 100 cantidad incial 100
=
0.0714
=
7. 14%.
Pc.r ello. 7.14% es la tasa real de crecimiento, que es inferior a la diferencia 11% - 3.6% = 7.4%.
Ez la realidad tal diferencia no tiene significado porque 10s tres porcentajes se refieren a cantidades kscnras: (a) interes (fraccion de la inversion, o sea 11% de $loo), (b) inflacion (fraccion del precio mmrario de ciertos bienes, o sea 3.6% de $1.00), y (c) la tasa de crecimiento real (porcentaje del p d c r de compra, es decir, 7.14% de la cantidad inicial de fresas). Para deducir una formula para la tasa de crecimiento real, g, sea y la tasa anual de interes (el =d~rniento), y sea i la tasa anual de inflacion. En un ario, una inversion de P (dolares) (el capital) -=?a un interes de y . P, por lo que produce un monto acumulado de P
+
y.P
=
P(l
+ y)
(factorizando)
En un ario, el precio de 10s articulos, por ejemplo ~ ( d o l a r e s por ) unidad se eleva en i . p para Ilenuevo precio de
-=a un *Iares
por unidad. El poder de compra inicial representa la cantidad inicial de articulos por dolar: cantidad inicial
=
capital - P precio inicial p
Ln afio despues, la nueva cantidad de articulos que el monto acurnulado de la inversion puede comp c i r al precio nuevo esta dada por
cantidad nueva
=
nuevo saldo precio
-
P(l + y ) ~ ( + 1 i)
En :onsecuencia, la tasa de crecimiento (o cambio relativo) del poder de compra esta dada por g =
cantidad nueva - cantidad inicial cantidad inicial
Multiplicand0 el numerador y el denominador por p / P , se obtiene
Por ello, la tasa de crecimiento real esta dada por la ecuacion literal g = -y - i
l + i La relacion representada con la Ecuacion (I) es lo que se denomina efecto de Fisher*. Para ilustrar su utilizacion, se le aplica a1 ejemplo anterior, en donde y = 11%, e i = 3.6%. Mediante la formula de Fisher se obtiene:
I. De acuerdo con Foldessy (1986), durante 1980, la tasa de interes fuede 11.4% en promedio, mientras que la inflacicon avanzo en 13.5%. a. Calcule el monto acumulado de una inversion de $100, despues de un aiio, a1 11.4%. b. Si una libra de manzanas costaba $1 en enero de 1980, ique cantidad de manzanas se podia c. Si una libra de rnanzanas costaba $1 en enero de 1989, ique cantidad de manzanas se podia comprar con $100 en 1980? d. iQue cantidad de manzanas se podia comprar con el monto acumulado (vease la parte (a)) un a80 despues?
e. Utilice 10s resultados de las partes (c) y (d) para evaluar la tasa de crecimiento real mediante la ecuacion. g =
cantidad nueva - cantidad inicial cantidad inicial
f . Verifique la respuesta dada en la parte (e) mediante la formula de Fisher. 2. Obtenga la tasa real de crecimiento dada una tasa de interis de 10% y una tasa de inflation de 5%.
* Irving Fisher, "Appreciation and Interest", Publications of the American Economic Association, Tercera Serie, I 1 (Agosto 1986), 331-442.
CAPITULO
3
Aplicaciones de las ecuaciones y las desigualdades -3.1
Aplicaciones de las etuationes En la mayor parte de 10s casos, para resolver problemas de la practica es necesario traducir las relaciones que se plantean en 10s problemas a simbolos matematicos. A esto se le denomina modelacion. Los ejemplos siguientes ilustran las ticnicas y conceptos elementales. Es necesario examinar cada uno de ellos en forma cuidadosa antes de pasar a 10s ejercicios. En el primer ejemplo, se hace referencia a algunos tirminos de administracion relacionados con las empresas industriales. Los costos fijos (o gastos generales) son la suma de todos 10s costos que son independientes del nivel de la produccion, como renta, seguros, etc. Este costo debe pagarse independientemente de que se produzca o no. Los costos variables son la suma de todos 10s costos que dependen del nivel de produccion, como mano de obra y materiales. Los costos totales son la suma de 10s costos variables y 10s fijos: costos totales
=
costos variables
+
costos fijos.
Los ingresos totales son el efectivo que el fabricante recibe por la venta de su produccion. Estan dados por:
ingresos totales
=
A
(precio por unidad) (numero de unidades vendidas).
Las utilidades son 10s ingresos totales menos 10s costos totales:
utilidades
=
ingresos totales - costos totales.
I
56
3
API.ICACIONES DE LAS ECUACIONES Y LAS DESIGUALDADES
EJEMPLO 1
Una empresa fabrica un product0 que tiene costos variables de $6 (dolares)por unidad y costos fijos de $80,000. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determine el numero de unidades que deben venderse para que la compaiiia obtenga utilidades de $60,000. Sea q el numero de unidades que deben ser vendidas. (En muchos problemas q representa una cantidad.) Entonces, 10s costos variables (en dolares) son 64. Por lo tanto, 10s costos totales para el caso son 69 + 80 000. Los ingresos totales por la venta de q unidades son 109. Y, dado que utilidades
I
=
ingresos totales - costos totales,
el modelo para el problema es
que da como resultado
60,000 = 109 - 69 - 80,000, 140,000 = 49, 35,000
=
q.
Asi que es necesario vender 35',000 unidades para obtener utilidades de $60,000.
EJEMPLO 2
Una compaiiia fabrica ropa deportiva para dama y esta planeando vender su nueva linea de pantalones a tiendas que venden a1 menudeo. Los costos para el detallista serian de $33 (dolares)por conjunto. Para conveniencia del detallista, el fabricante anexara una etiqueta de precio a cada conjunto. i QuP cantidad se debe imprimir en la etiqueta para que el comerciante pueda reducir su precio en 20% en una oferta promotional y obtener utilidades de 15% sobre 10s costos? Aqui se usa la siguiente relacion precio de venta
=
costo por conjunto
+
utilidad por conjunto.
Sea p el precio marcado en la etiqueta, por conjunto, en dolares. Durante la oferta, el detallista recibep - 0 . 2 ~Esto . debe ser igual a1 costo, 33, mas las utilidades, (0.15)(33). Por ello precio de venta = costo + utilidades.
Desde un punto de vista practice, la compafiia debe imprirnir un valor de $47.44 en la etiqueta del precio.
3.1
57
Aplicociones de 10s ecuociones
EJEMPLO 3
Se invirtio un total de $10,000 (dolares) en dos empresas, A y B. A1 final del primer aiio, A y B produjeron rendimientos de 6% y de 5 2 %, respectivamente, sobre las inversiones originales. i Como se distribuyo la cantidad original, si el total que se gano fue de $588.75? Sea x la cantidad (en dolares) que se invirtio a1 6%. Entonces 10,000 - x se invirtieron a1 52 %. El interes que se gano fue de (0.06)(x) y (0.0575)(10,000 - x), que hacen un total.de 588.75. Por tanto
De manera que se invirtieron $5,500 a1 6% y $10,000 - $5,500
=
$4500 a1 5 3 %.
EJEMPLO 4
Se acordo en el consejo de adrninistracion de una empresa amortizar parte de sus bonos en dos aiios. En ese momento, se requeririan $1,102,500. Supdngase que en elpresente se apartan $1,000,000. i A que' tasa de intere's compuesto anual tendra que invertirse esa cantidad para que su valor futuro sea suficiente para redimir 10s bonos? Sea r la tasa de interes anual que se requiere. A1 final del primer afio, la cantidad acumulada sera de $1,000,000 mas 10s intereses, $1,000,000r, lo que dara un total de 1,000,000
+
1,000,000r
=
1,000,000(1
+
r).
Con el interes compuesto, a1 final del segundo aAo la cantidad acumulada sera de 1,000,000(1 + r), mas 10s intereses sobre esta cantidad, que seran de [1,000,000(1 + r)]r. Por tanto, el valor total a1 final del segundo aAo sera de 1,000,000(1 + r) + 1,000,000(1 + r)r. Esta cantidad debe ser igual a $1,102,500: Dado que 1,000,000(1 + r) es factor comun de 10s dos terminos del lado izquierdo, se tiene que 1,000,000(1 r)(l + r) = 1,102,500,
+
58
3
e
APLICACIONES DE LAS ECUACIONESY LAS DESIGUALDADES
Por ello, r = - 1 + (21/20) = 0.05 o bien r = -1 - (21/20) = -2.05. Aunque 0.05 y -2.05 son raices de la Ecuacion (I), se rechaza -2.05, puesto que se desea que r sea positiva. De ahi que r = 0.05 y, por lo tanto, la tasa que se desea es de 5%. En ocasiones, es posible que haya mas de una forma de modelar un problema planteado en terminos verbales, tal como se muestra en el Ejemplo 5.
EJEMPLO 5
Una empresa de bienes raices es propietaria de un conjunto de departamentos que consta de 70 de ellos. Sepuede rentar cada uno de 10s depart amen to.^ en $250 (dolares) a1 mes. Sin em bargo, por cada $10 que se aumenten a la renta cada mes se tendran dos departamentos desocupados sin posibilidad de alquilarlos. La empresa desea obtener $17,980 mensuales con las rentas. i Cuanto debe cobrar por el alquiler de cada departamento? r es la renta (en dolares) que se cobrara por departamento. Con esto, el aumento sobre el nivel de $250 es r - 250. Asi que el numero de aumentos r - 250 de $10 es . Puesto que cada aumento de $10 da como resultado dos departa10 Metodo I. Supongase que
. En consecuencia, el nlimero
mentos vacios, el numero total de estos sera 2 ( r- total de departamentos rentados sera 70 - 2 renta total
=
('
. Puesto que
(renta por departamento)(numero de departamentos rentados),
se tiene que
89.900 = r[600 - r]. Asi que r'
Por la formula cuadratica
-
600r
+
89.000
=
0.
3.1
Aplicociones de 10s ecuociones
La renta de cada departamento debe ser de $310 o $290.' Metodo II. Supongase que n es el numero de aumentos de $10. Entonces, el aumento de la renta es de 10n y habra 2 n departamentos desocupados. Puesto que
renta total
=
(renta por departamento)(numero de departamentos rentados),
se tiene que
Por ello, n = 6 o bien n = 4. La renta por departamento debe ser de 250 $310 o bien 250 + 10(4) = $290.
T
i i
Una firrna industrial fabrica un producto que kariables de $2.20 (dolares) por unidad. 4 ;LY Z O S ~ O Sfijos son de $95,000 y se vende cada uni2id cn 53, icuantas unidades deben venderse para 3;jlr k Zornpaiiia obtenga utilidades de $50,000? 1.
e
;L?IIOS
ii
i 1
10(6) =
EJERClClOS 3.1 x
k
+
I . Los administradores de una compafiia desean d e r el total de unidades que deben venderse para
qcx la tirrna obtenga utilidades de $100,000. Se tiexn disponibles 10s siguientes datos: Precio unitario i k \enta, S20; costos variables por unidad, $15; cosrm fijos totales, $600,000. Deterrninense las ventas qix w requieren, en unidades.
3. Una persona desea invertir $20,000 en dos m p r s a s , de rnanera que sus ingresos totales Sean de S 1 .UO a1 afio. Una cornpafiia paga 6% anual; la otra 3 n z un inayor riesgo y ofrece 74 % anual. jCuanrz d t k invertir en cada una de ellas? 4.
L n a persona invirtio $20,000. Una parte a una
-asde interes de 6 % anual, y el resto a1 7 % anual. E :oral de intereses ganados a1 final del primer aiio fix equi\alente a una tasa anual del 62 % sobre el rmal de 10s $20,000. jCuanto se invirtio segun cada raja
d t interes?
5. El costo de un producto es de $3.40 para el ven&lor al rnenudeo. Si este desea obtener utilidades
de 20% sobre el precio de venta, ja que precio debera vender el producto? 6 . Dentro de dos aiios, una empresa requerira $1,123,600, con objeto de amortizar ciertos bonos. Si la cornpafiia invierte ahora $1,000,000 con este proposito, jque tasa de interes cornpuesto anual debe recibir sobre esta cantidad con objeto de estar en posibilidades de amortizar 10s bonos?
7. Dentro de dos afios, una cornpafiia ernprendera un prograrna de expansion. H a decidido invertir $2,000,000 en estos mornentos, para que dentro de dos aiios el valor total de la inversion sea de $2,163,200, que es ei rnonto que requerira para la expansion. jQuC tasa de interes cornpuesto anual debe utilizar la cornpaiiia para lograr su proposito? 8. En una compaiiia se sabe que si se venden q unidades de un producto, - sus ingresos totales por las ventas seran de 100 \ q . Si 10s costos variables por unidad son de $2 y 10s costos fijos son de $1200, encuentrense 10s valores de q para 10s cuales ingresos totales por venta = costos variables (es decir, una utilidad igual a cero).
+
costos Fijos
60
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIGdES Y LAS DESIGUALDADES
9. En un dormitorio estudiantil se d a albergue a 210 estudiantes. En este otofio se dispone e 76 cuartos para alumnos de nuevo ingreso. En promedio, 95% de 10s alumnos de primer ingreso que solicitan cuartos 10s obtienen. jCuantas solicitudes de habitacion deben enviar 10s estudiantes si desean obtener 76 confirmaciones? 10. Se entrevisto a un grupo de personas, y 20% de ellas, 700 en numero, estuvieron en favor de un producto nuevo, por encima de la marca con mejores ventas, L A cuantas personas se entrevisto?
Se reporto que en cierto reclusorio para mujeres las guardianas, a las que se denomina celadoras, recibieron 30% (o $200) menos, a1 mes, que sus contrapartes masculinas, 10s celadores. Calcule el salario anual de 10s guardianes masculines. Redondee la respuesta a1 dolar mas cercano. 11.
12. Hace pocos aiios, 10s conductores de camiones para el transporte de cement0 se fueron a la huelga durante 46 dias. Antes de la huelga, estos conductores ganaban $7.50 por hora y trabajaban 260 dias a1 afio, con ocho horas de trabajo a1 dia. jQue porcentaje de aumento se requiere en sus ingresos anuales para recuperar el tiempo perdido en un ailo? 13. Un fabricante de cartuchos para juegos para video vende cada uno en $19.95. El costo de manufactura de cada pieza es de $14.95. Los costos fijos mensuales son de $8,000. Durante el primer mes de ventas de un juego nuevo, jcuantos cartuchos deben venderse para que el fabricante salga "a mano" (es decir, para que 10s ingresos totales sean iguales a 10s costos totales)? 14. Una sociedad de inversiones compro en $5000 (dolares) un bono de una compafiia petrolera. El bono produce el 8% anual. Ahora, la sociedad desea comprar acciones de una compafiia que vende productos para hospitales. Las acciones se venden a $20 cada una de ellas y ofrecen dividendos de $0.50 por accion al afio. ~ C u a n t a sacciones debe adquirir la sociedad para que su inversion total en acciones y bonos produzca el 5% anual? 15. En calidad de prestacion para em~leadOs, una compafiia establecio un plan de atencion medica para la vista. Segun el plan, cada afio la compaiiia pagara 10s primeros $10 de gastos en 10s que cada empleado incurra par atencion optics, Y 80% de todos 10s gastos adicionales, hasta un pago total maximo de $60. Calcule 10s gastos totales anuales de atencion oftalmica que cubre este programa, por empleado.
16. En cierto interval0 de tiempo, una empresa fabricante de barras de caramelo encontro que el 2% de su producto es rechazado por defectos.
(a) Si se fabrican c barras de caramelo a1 afio, jcuantas de ellas puede esperar el fabricante que sean rechazadas? (b) Este afio, se proyecta que el consumo anual de esta golosina sera de 2,000,000 de barras. jApr0ximadamente cuantas tendrian que fabricarse si se toman en cuenta las que se rechazan? 17. Supongase que 10s consumidores adquiriran q unidades de un producto, si el precio es de (80 - q)/4 p o r unidad. ~ C u a n t a unidades s deben venderse para que 10s ingresos por ventas sean de $400?
18. jEn que tiempo se duplicaria una inversion con tasa de interes simple de 5% anual? [Sugerencia: Vease el Ejemplo 6(a) de la Seccion 1.1, y exprese 5% como 0.05.1 19. El inventor de un juguete nuevo ofrece a una empresa fabricarlo y venderlo mediante un solo pago de $25,000 (dolares). Despues de estimar que las posibilidades de ventas futuras a plazo mayor de un afio son practicamente inexistentes, 10s administradores de la compafiia estan ponderando la siguiente propuesta alternativa: dar un solo pago de $2000 y regalias de $0.50 por cada unidad que se venda. jCuantas unidades deben venderse durante el primer ailo para que esta alternativa le resulte a1 inventor tan economicamente atractiva como su ofrecimiento original? (Sugerencia: Determine el punto en el que 10s ingresos de ambas propuestas son iguales?) 20. El estacionamiento de una compafiia tiene 120 pie de largo de ancho. Debido a un aumento en el personal, se decide duplicar el area del estacionamiento aiiadiendo franjas de igual anchura en forma de escuadra (par, rituar a1 extremo y a un lado). Determine dicha anchura. 21. Usted es el asesor financier0 en jefe de una empresa propietaria de un complejo de oficinas que cuenta con 50 suites. Se puede rentar cada una de estas en $400 mensuales. sin embargo, por cada $20 de aumento mes habra dos de ellas desocupadas, ,.in posibilidad d e rentarlas. La compafiia desea obtener un total de $20,240 mensuales con la renta del total del complejo. Se pide determinar la renta que debe cobrarse cads suite. iCual seria su respuesta?
22. Hace seis meses, una compafiia de inversiones tenia una cartera de $3,000,000 (dolares), formada
3.1
Aplicociones de 10s ecuociones
3.x axiones AAA y acciones especulativas. Desde r:>r.;s.el valor de las inversiones AAA se ha incre--...ado - en +,I, en tanto que el valor de las acciones s ~ ~ a l a r i vha a sdisminuido en una proporcion equi.-:2. El \-alor actual de la cartera es de $3,140,000. .SA es el valor actual uc.!-s inversiones AAA?
--
cuadradas en cada esquina y se doblara en 10s lados (vkase la Figura 3.2).La caja debera contener 75 pulgadas cubicas. iCuales son las dimensiones de la hoja cuadrada de aluminio que se debe utilizar?
3. Los ingresos mensuales I de cierta compafiia, dados por I = 800p - 7 p 2 ,en donde p es el 7 c ; o en dolares del producto que fabrica. j A que je obtendrian ingresos de $10,000, si el precio ser superior a $50?
*
24. La razon deprecio a utilidad (o razon de P / U ) una compafiia, es el cociente que se obtiene divio el valor de mercado de una de sus acciones en circulaci6n entre las utilidades por accion. L la razon de P / U aumenta en lo%, y las utilidades px a x i o n aumentan en 20%, determine el aumento ; a x n r u a l en el valor de mercado por accion, para ias xciones comunes.
FIGURA 3.2.
M
25. Cuando el precio de un producto es de p dolara por unidad, supongase que un fabricante ofrece 2,p - 6 unidades del producto a1 mercado, y que la
m d a de 10s consumidores sera de 300 - 2p uni3ub.Se dice que el mercado esta en equilibrio cuan& cl valor de p hace que la oferta sea igual a la Amanda. Encuentrese el valor de p.
29. Una compafiia dulcera fabrica una golosina muy popular. La barra, que riene forma rectangular, de 10 centimetros (cm) de longitud, 5 cm de ancho y 2 cm de grueso (vease la Figura 3 . 3 ) . Debido a 10s costos crecientes, la compafiia ha decidido reducir el volumen de la barra en un 28%, lo cual es bastante drastico. El grosor sera igual, pero se reducira tanto la longitud como el ancho en cantidades iguales. jCuales seran las nuevas dimensiones de lo ancho y lo largo de la nueva barra?
Y Repitase el Problema 25 para las siguientes cond ~ 2 0 n e sa: un precio de p dolares por midad, la ofer'1E dz 3p2 - 4p y la demanda es de 24 - p 2 .
3. Por rzzones de seguridad, una compafiia res- w d a r a un area rectangular de 11,200 pies cuadraj3j que se encuentrn en la parte trasera de su planta. Ln !ado estara limitado por el edificio y 10s otros tres ~ r ; m bardados (vease la Figura 3.1 ). Si se ocupan 300 de barda, jcuales seran las dimensiones del area mxangular?
B. Cna firma industrial esta disefiando el empaqw para su producto. Parte del mismo sera una caja abiena fabricada a partir de una pieza cuadrada de Ituminio, que se cortara con orillas de tres pulgadas
30. Una compafiia dulcera fabrica una golosina con forma de rosca; vease la Figura 3.4. Debido a 10s costos crecientes, la compafiia reducira el volumen de su producto en 20%. Para hacer esto, mantendra el mismo grosor y el mismo radio exterior, per0 ampliara el radio interior. En la actualidad, el grosor es de
62
3
APLICACIONESDE LAS ECUACIONESY LAS DESIGUALDADES
nas debe colocar un comisionista para obtener % 15,400?
2 rnilirnetros (rnm), el radio interior es de 2 rnm, y el radio exterior, de 7 mnl. Halle el radio interior de la golosina con las nuevas dimensiones. (Sugerencia: El volumen D de un disco solido es rr2h,en donde r es el radio y h es el grosor.)
33. Una compaiiia fraccionadora de terrenos adquirio uno en $7,200. Se habia recuperado el costo total del terreno despues de vender la totalidad, except0 20 acres, con utilidades de $30 por acre. ~ C u a n t o s acres se vendieron?
31. Un saldo con~pensatoriose refiere a la practica mediante la cual un banco pide a quien solicita un credito mantener un deposito de cierta proporcion del credito, durante el termino de este. Por qjernplo, si una empresa obtiene un credito de $100,000 y requiere un saldo compensatorio de 20070, tendria que de.iar $20,000 de deposito y utilizar 10s $80,000 restantes. Para cubrir 10s gastos de renovacion de sus herramientas, una fabrica debe obtener un prestamo de $95,000. El banco, con el que no ha tenido tratos previos, exige un saldo cornpensatorio de 15%. Redondeando a1 rnillar de dolares mas cercano, jcukl debe ser el importe total del prestamo, para obtener 10s fondos necesarios?
El nlargen de ulilidad de una empresa son las utilidades netas divididas entre las ventas totales. El rnargen de utilidad de una compaiiia aumento en 0.02, con respecto a1 aiio pasado. En ese aiio, la firrna vendio sus productos a $3.00 (dolares) por unidad y obtuvo utilidades netas de $4,500. Este aiio, se aurnento el precio del product0 en $0.50 por unidad, se vendieron 2,000 mas y se obtuvieron utilidades netas de $7,140. La compaiiia nunca tuvo un margen de utilidad superior a10.15. jCuantos productos se vendieron el aiio pasado, y cuantos en este?
34.
32. Una compaiiia que fabrica maquinaria tiene un plan de incentivos para sus vendedores. Cada uno obtiene $20 (dolares) de cornision por cada unidad que vende. Por cada maquina vendida, por encirna de 600, se aumentara la cornision en 0.02 por cada una. Por ejemplo, la cornision sobre cada una de 602 maquinas vendidas seria de $20.04. ~Cuantasmaqui-
35. Una cornpaiiia fabrica 10s productos A y B. El costo de fabricar cada unidad de A es $2 mas que el de fabricar B. Los costos de produccion de A y B son de $1,500 y $1,000, respectivarnente, y se rnanufacturaron 25 unidades mas de A que de B. ~ C u a n t a s unidades se fabricaron de cada uno de 10s dos productos?
-3.2 Desigualdades lineales Supongase que a y b son dos puntos q u e se encuentran sobre l a recta d e 10s numeros reales. E n este caso, puede suceder q u e a y b coincidan. q u e a estk a la izquierda d e b o q u e a estk a la derecha d e b (vease la Figura 3.5).
--
4
a
a
a
b
b
a
< b , a e s menor que
b
3.2
63
Desiguoldodes lineoles
Si a y b coinciden, entonces a = b. Si u esta a la izquierda de b , se dice que a es rnenor que b , y se escribe a < b , en donde el sitnbolo de desigualdad "<", se lee corn0 "es rnenor que". Por ctrc lado, si a esta a la derecha de b , se dice que a es mayor que b y se escribe a > b. Escribir a > b es equivalente a escribir b < a. Otro sirnbolo de desigualdad es " I ", que se lee corno "es rnenor qile o igual a'' y se define corno: a r b si y solo si a < b o bien a = b. De rnanera similar, el sirnbolo " r " se define corno: a r b si y solo si a > b o bien a = b. En este caso, se dice que ' ' a es mayor que o igual a b". Se utilizaran las palabras numeros reales y puntos de rnanera indistinta, puesto que existe una correspondencia de uno a uno entre lo: nurneros reales y 10s puntos de una recta. Por ello, se puede hablar de 10s puntos -5, -2, 0, 7 y 9 y se puede escribir 7 < 9, -2 > -5, 7 I 7 y 7 r 0 (vease la Figura 3 . 6 ) . Resulta evidente que si a > 0, entonces a es positivo; si a < 0, entonces a es negativo.
FIGURA 3.6
Supongase que a < b y x se encuentra entre a y b (vease la Figura 3 . 7 ) . Entonces, no solo a < x, sin0 que x < b. Se seiiala esto escribiendo a < x < b . Por ejernplo, 0 < 7 < 9 (vease la Figura 3 . 6 ) .
FIGURA 3.7
A1 definir una desigualdad en la parte que sigue, se utilizara la relacion rnenor que (<), pero tarnbikn se aplican 10s dernas sirnbolos (>, 2 , I).
(ina desigualdad es un planreanliento que establece que un numero es menor que otro. Por supuesto, se representan las desigualdades por rnedio de sirnbolos de desigualdad. Si en dos desigualdades sus sirnbolos apuntan en la rnisrna direccion, entonces se dice que las desigualdades tienen el mismo senrido. Si no es asi, se dice que tienen sentidos opuestos, o que una tiene el sentido iriverso de la otra. Por lo tanto, a < b y c < d tienen el rnisrno sentido, pero a < b tiene sentido opuesto a c > d. Resolver una desigualdad, corno 2(x - 3 ) < 4 , significa encontrar todos 10s valores para 10s cuales la desigualdad se verifica. Esto implica utilizar ciertas reglas que se enuncian enseguida. 1. Si se suma o se restn el misrno vumero en ambos lados de unu desigrtaldad, la desigualdad resultante tiene el rnistno sentido que la original. En terrninos sirnbolicos,
si a Por ejernplo, 7
<
< b, entocces a + c < b 10 y 7
+ 3 < 10 +
3.
+
c y
a-c
-
c.
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES Y LAS DESIGUALDADES
2. Si se multiplicun o se dividen ambos lados de una desigualdad por el mismo numero positivo, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido que la desigualdad original. En terminos simbolicos, si a
< b y c > 0,
entonces ac
Por ejemplo, puesto que 3
a
< bc y
b
-
<-
C
C
< 7 y 2 > 0,
entonces 3(2) < Y(2). Tambien,
<4.
3. Si se multiplican o se dividen ambos lados de una desigualdad por el mismo numero negativo, entonces la desigualdad resultante tiene un sentido opuesto a la desigualdad original. Simbolicamente, si a
< b y c > 0, entonces a(-c) > b(-c)
Por ejemplo, 4
< 7 , pero 4(-2) > 7(-2).
a b y - > -. -C
-C
4 7 Tambien - > -. -2 -2
4. Se puede remplazar cualquier lado de una desigualdad por una expresion equivalente. Simbolicamente,
si a
Por ejemplo, si x
c, entonces c
=
<2y x
=
y
+
< b.
4, entonces y
+ 4 < 2.
5. Si ambos lados de una desigualdad son positivos o negativos, entonces sus respectivos recbrocos* son desiguales en el sentido inverso. Por ejemplo, 2 < 4, pero > .
+
a
6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tiene el mismo sentido que la desigualdad original. Por ello, si a > b > 0 y n > 0, entonces
aN>b" Por ejemplo, 9
> 4 y,
y
TG>VZ.
por lo tanto, 92 > 42 y
fi > fi
El resultado de aplicar las reglas 1-4 a una desigualdad se denomina desigualdad equivalente. Es una desigualdad cuya solucion es exactamente la misma que la desigualdad original. Se aplicaran estas reglas a desigualdades lineales.
Una desigualdad lineal en la variable x es una desigualdad que puede escribirse ert la siguiente forma ax
+ b<0
o bien
ax
+
b 5 0,
en donde a y b son constantes y a # 0.
*
El recbroco de un numero diferente de 0, a, se define como
a
3.2
Desiguoldodes lineoles
En 10s ejernplos siguientes de resolucion de desigualdades lineales, se indica en el lado derecho la propiedad que se utiliza. En cada uno de 10s pasos, se rernplazara la desigualdad dada con otra equivalente, hasta que la solucion sea evidente. EJEMPLO 1
Resolver las siguientes desigualdades. a. 2(x - 3)
< 4.
-
Todas las desigualdades son equivalentes. De rnodo que, la desigualdad original es cierta para todos 10s nurneros reales x tales que x < 5. Se escribe en forrna simple la solucion como x < 5. En terminos geometricos, se puede representar esto rnediante el segment0 de trazo mas grueso marcado en la Figura 3.8. El signo de parentesis indica que 5 no esta incluido en la solucion. x 2 - ; -
5
3 -
2
FIGURA 3.9
FIGURA 3.8
La solucion es x r - $. Esto se representa geometricamente en la Figura 3.9. El sirnbolo de corchete seiiala que - $ esta incluido en la solucihn.
EJEMPLO 2
Resolver $(s
-- 2 )
+
1>
-
2(s - 4 ) .
+ 1 > -2(s - 4 ) , 2[$(s - 2 ) + I ] > 2 [ - 2 ( s - 4 ) ] $(s - 2 )
I
3is - 2 )
+
2 > -4(s
3s - 4
> -4s
-
+
4),
16,
(2),
66
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES-I LAS DESIGUALDADES
FIGURA 3.10
Vkase la Figura 3.10.
EJEMPLO 3 Resolver las siguientes desigualdades
a. 2(x - 4) - 3 > 2 x - 1 . 2(x- - 4) 2x
-
-
3 > 2 s - 1,
8 - 3 > 21- - 1, -11 > -1.
Puesto que nunca es cierto que -1 1 >-I, no existe soluci6n alguna y el conjunto solucion es 0. b. 2 ( ~ 4) - 3 < h
-
1.
Procediendo de la misma forma que en (a), se obtiene -11 < -1. Esto se verifica para todos 10s numeros reales x. Se escribe la solucion como -a < x < (vease la Figura 3.11). Los simbolos -03 y no son numeros, sino simplemente una ayuda para sefialar que la solucion son todos 10s numeros reales.
FIGURA 3.1 1
Con frecuencia se utilizara el termino inrervalo para describir ciertos conjuntos de numeros reales. Por ejemplo, el conjunto de todos 10s numeros reales para 10s cuales a Ix r b se denomina intervalo cerrado e incluye 10s exrremos a y b. Se le denota mediante [a, b]. El conjunto de todos 10s numeros x para 10s cuales a < x < b se denomina intervalo abierto y se denota mediante (a, b). Los extremos no son parte de este conjunto (vkase la Figura 3.12).
d
b
lntewalo ceriado [ a , bl
lntewalo obierrv ( a , b )
FIGURA 3 . 1 2 .
3.2
Desiguoldodes lineoles
[ a , =I
x
2a
bx
>a
a
( a , m) -
t
a
Extendiendo estos conceptos, se tienen 10s intervalos que se muestran en la Figura 3.13, en donde 10s simbolos 03 y -mno son numeros, sino simplemente una ayuda para seiialar que el interval0 se extiende en forma indefinida en alguna direccion.
En ios problemas 1-34, resolver las desigualdades y representar las respuestas en forma geomitrica en la recta & (0s numeros reales. 1. i.r
> 12.
4. 3.r
2
7. 3 10. 5
-
2. 4r < - 2 .
3. 4.r - 13 a 7 .
0.
5. - 4 . ~ 2 2
6. 2y
5s>5.
8. 4s
-
I
< -5.
11. 2x
-
3
5
a5
-
3y.
13. 312 - 3.x) > 4(1
-
2 .
24
6 .
-
-
I)
5
4.r).
+x.
14. 8(x 17. x
+
+
1)
2<
4
+
+
+ 1 > 0.
9. 3 < 2 y + 3.
12. - 3
7 ~ .
1 < 3(2.r)
fi -
a.
+
1.
2
15. 2(3x 18.
-
8(2 2)
v2 ( x +
-
x).
> 3(2x
2)
-
I).
> v'3 ( 3
-
x).
-
68
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIONESY LAS DESIGUALDADE~'
35. nilrante cada uno de 10s meses del aiio pasado. una compafiia obtuvo utilidades que fueron supesiores a $37,000 pero inferiores a $53,000. Si S representa las utilidades torales del aiio, describir S utilizando desigualdades.
36. Utilizando desigualdades, representar mediante simbolos el siguiente enunciado: El nlimero de horas de trabajo, x, que se requieren para fabricar un producto, no es menor que 2; ni mayor que 4.
3.3 Aplicaciones de las desigualdades
-
I -
En ocasiones, resolver problemas planteados en forma verbal implica desigualdades, como se ilustra en 10s siguienres ejemplos. EJEMBLO 1
Para un fabricante de termostatos, el costo combinado de mano de obra y materiales es de $5 por unrdad. Los costos fijos (10s costos en 10s que se incurre en un lapso dado sin que importe la cantidad que se fabrique) son de $60,000 (ddlares). Si el precio de venta de un termostato es de $7, icuantos deben vendersepara que la compaiiia obtenga utilidades? Sea q el numero de termostatos que deben venderse. Entonces, su costo es 5q. Por ello, el costo total para la compafiia es asi de 5q + 60,000. Los ingresos totales por la venta de q aparatos sera 7q. Ahora bien, utilidades y se desea que las utilidades
=
ingresos totales - costos totales,
> 0. Por
lo tanto,
ingresos totales - costos totales >O.
-
Por lo tanto, se deben vender cuando menos 30,001 termostatos para que la compaiiia obtenga utilidades.
EJEMBLO 2
Un constructor debe decidir si ha de rentar o comprar una maquina excavadora. Si la rentara, tendria quepagar $600 (ddlares) a1 mes (sobre una base anual), y el costo diario (gasolina, aceites y el conductor) seria de $60 por cada dia que se utilizara. Si la comprara, su costo fijo pnual seria de $4000, y 10s costos diarios de operacidn y mantenimiento serian de $80 por dia. i Cual es el numero minimo de dias a1 afio, que tendria que utilizar la maquina para justificar el rentarla en vez de comprarla? -
Sea d el n~imerode dias que se utiliza la maquina a1 aiio. Si se renta, 10s costos anuales totales estarian formados por 10s pagos de renta, que serian de (12)(600)y 10s cargos diarios de 60d. Si se compra la maquina, el costo anual es de 4,000 + 80d. Se desea que
3.3
Aplicociones de los desiguoldodes
Por ello, el constructor debe utilizar ia maquina cuando menos 161 dias para justificar su alquiler. CJCMPLO 5 La razon de circulante en un negocio es el cociente de sus activos circulantes (corno efectivo, inventario de mercancias y cuentas por cobrar) entre sus pasivos cir,:~ilantes (corno prestamos a corto plazo e impuestos por pagar).
Despues de consultar a1 contralor, el presidente de una empresa decide solicitar un prestamo a corto plazo para aumentar el inventario. La cornpaiirh tiene activos circulantes por $350,000 y pasivos circulantes por $80,000. Cuanto es lo que puede obtener en prkstamo si se desean que su razon de circulante no sea inferior a 2.5? (Nofa: Los fondos que se recibirian se consideran como activos circulantes, y el prestamo, como pasivos circulantes.) S i x denota el monto que la compaiiia puede obtener en prestamo, entonces sus activos circulantes seran de 350,000 x y sus pasivos circulantes seran de $80,000 + x. Por consiguiente, 350,000 + activos circulantes -razon de circulante = pasivos circulantes 80.000 + x Se desea
+
'
Dado que x es positiva, tambien lo es 80,000 + x. Por ello se pucden multiplicar ambos lados de la desigualdad por 80,000 + x y el sentido de la misma no se altera. 350,000
+ x r 2.5(80.000 + x).
1 ~ 0 , 0 0 0r 1 . 5 ~ . 100.000
2
.r.
De modo que se pueden obtener hasta $100,000 poi prestamo y seguir manteniendo una razon de circulante no menor de 2.5.
CJCMPLO 4
Una compatiia editorial encuentra que el costo de publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $0.38 (de dolar). Los ingresos provenientes de 10s distribuidores solz de
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES Y LAS DESIGUALDADES
$0.35 (dolares)por copia. Los ingresospor publicidad son dp! 10% de 10s ingresos que se reciben de 10s distribuidores, para todos 10s ejemplares que se venden por encima de 10,000. i C ~ r i es l el ntimero minim0 de ejemplares que se deben vender, para que la compaiiia obtenga utilidades? Sea g el numero de ejemplares que se venden. Los ingresos que se obtienen de 10s distribuidores son 0.354, y 10s ingresos por publicidad son (0.10)[(0.35)(q - 10,000)].El cost o total de publicacion es de 0.384. Dado que utilidad = ingresos totales - costos totales, se desea q u e ingresos totales - costos totales
> 0.
P o r ello, el numero total d e ejemplares debe ser superior a 70,000. Es decir, se deben vender cuando menos 70,001 ejemplares para garantizar una utilidad.
1. Una firma industrial fabrica un producto con precio unitario de venta de $20 (dolares) y costo unitario de $15. Si 10s costos fijos son de $600,000, determine el numero minimo de unidades que se deben vender para que la compaiiia obtenga utilidades.
2. Para fabricar una unidad de un producto nuevo, una compaiiia determina que el costo de 10s materiales es de $2.50 (dolares) y el costo de la mano de obra de $4. Los gastos generales constantes, sin importar el volumen de ventas, son de $5,000. Si el precio para 10s mayoristas es de $7.40 por unidad, determinese el ndmero de unidades que debe vender la compaiiia para obtener utilidades. 3. Una administradora de negocios desea determinar la diferencia entre 10s costos de ser propietaria y de rentar un automovil. Puede rentar un auto pequeiio por $135 (dolares) a1 mes (sobre una base anual). Segun este plan, el costo por milla'(de gasolina y aceite) es de $0.05. Si comprara el automovil, el gasto fijo anual seria de $1,000, y 10s otros costos sumarian $0.10 por milla. jCual es el numero minimo de millas que tendria que conducir a1 aiio para hacer que la renta no fuera mas costosa que la compra?
4. Un fabricante de camisas produce N articulos, con un costo total de mano de obra (en dolares) de 1.2N y un costo total de materiales de 0.3N. Los gastos generales constantes para la planta son de $6,000. Si se vende cada camisa en $3, jcuantas deben venderse para que la compaiiia obtcnga utilidades?
5. El costo de publicacion de cada ejemplar de una revista es de $0.65 (dolares). Se vende a 10s distribuidores a 0.60 cada una, y el ingreso que recibe por publicidad es 10% de la cantidad que recibiria por todos 10s ejemplares que publique arriba de un tiraje de 10,000. Determine el numero minimo de ejemplares que pueden publicarse sin perdidas, es decir, tal que las utilidades sean 2 0 (Supongase que se vende todo el tiraje.) 6. Una compaiiia fabrica relojes despertadores. Durante la semana normal de trabajo, el costo de la mano de obra para producir un reloj es de $2.00 (dolares). Sin embargo, si se fabrica un reloj en el tiempo extra, el costo de mano de obra es de $3.00. Los administradores han decidido invertir no mas de un total de $25,000 a la semana en mano de obra. La compaiiia debe fabricar 11,000 relojes durante esa l la cantidad minima de relojes que , semana. ~ C u aes
3.4
Valor absoluto
deben fabricarse durante la semana normal de trabajo?
7. Una compafiia invierte un total de $30,000 (dolares) de fondos excedentes a dos tasas anuales de in~eres:5% y 6 3 %. Desea obtener un rendimiento anual no inferior a 6 J %. iCual es la cantidad minima de dinero que debe invertir a la tasa de 6 ? % ? 8. La razon de circulante de una empresa es 3.8. Si sus activos circulantes son de $570,000, jcuanto \alen sus pasivos circulantes? Para obtener fondos adicionales, jcual es la cantidad maxima que puede obtener a credito, a corto plazo, si se desea que su razon de circulante no sea inferior a 2.6? (Vease el Ejemplo 3, que contiene una explicacion de la razon de circulante.) 9. En la actualidad, un fabricante tiene 2,500 unidades de un producto en su almacen. El producto se \ ende en estos momentos a $4 (dolares) por unidad. Para el proximo mes, el precio unitario aumentara en $0.50. El fabricante desea que 10s ingresos totales que se obtengan por la venta de las 2500 unidades no sea inferior a $10,750. iCual es el numero maximo de unidades que pueden venderse este mes?
Supongase que 10s consurnidores adquiririan q 100 1 (en unidades de un producto a un precio de -4 dolares) por unidad. iCual es el ndmero de unidades que se deben vender para que 10s ingresos Sean superiores a $5,000? 10.
+
11. Con frecuencia se paga a 10s pintores por nora o a destajo. La tarifa puede afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, supongase que pueden trabajar por $8.5C por hora, o por $300 mas $3 por cada hora, por debajo de 40, si terminan el trabajo en menos de 40 horas. Supongase que un trabajo requeriria t horas. Si t r 40, resulta claro que es mejor la tarifa por hora. Si t < 40, ipara que valores de t es mejor la tarifa por hora?
12. Supongase que una compafiia le ofrece un puesto en ventas, pudiendo usted elegir uno de dos planes para determinar su sueldo anual. Segun un plan, recibiria $12,600, mas un bono de 2% de las ventas anuales. Segun el otro plan, recibiria una comision directa de 8% sobre las ventas. iPara que nivel de ventas anuales es mejor elegir el primer0 de 10s planes?
13. El secretario de asuntos estudiantiles de una universidad esta haciendo arreglos para que un grupo de musica "rock" ofrezca un concierto en las instalaciones. El grupo cobra una cuota total de $2,440 (dolares) o, por otro lado, una cuota de $1,000 mas 40% de lo que se obtenga en taquilla. Es probable que asistan 800 estudiantes. Cuando mucho, jcuanto debe cobrar el secretario por cada boleto, de manera que el segundo plan no resulte mas costoso que el de la cuota unica? Si se cobra este miximo, jcuanto dinero sobrara para pagar la publicidad, 10s guardianes y otros gastos de la funcion'?
-3.4 Valor absoluto En ocasiones resulta util considerar, sobre la recta de numeros reales, la distancia que existe entre un numero x y 0. A esta distancia se le denomina valor absoluto de x y se le denota mediante 1x1. Por ejemplo, 151 = 5 y 1-51 = 5, porque tanto 5 como -5 se encuentran a 5 unidades de 0 (vease la Figura 3.14). De manera similar, 101 = 0.
-5 unidades
5 unidades
3.4
Valor obsoluto
fabricarse durante la semana normal de *JD?
'.
Cna compaiiia invierte un total de $30,000
ddaaes) de fondos excedentes a dos tasas anuales de nrs. 5Vo y 6 f %. Desea obtener un rendimiento no Inferior a 6 %. iCual es la cantidad mini-
a
x a J e dinero que debe invertir a la tasa de 6 ': 'To?
L La razon de circulante de una empresa es 3.8. S
ai:l\os circulantes son de $570,000, jcuanto pasivos circulantes? Para obtener fondos A w n a l e s , ;cua1 es la cantidad maxima que puede ~3xcnera credito, a corto plazo, si se desea que su ru~t de arculante no sea inferior a 2.6? (Vease el Elemplo 3, que contiene una explicacion de la razon ,v,zulante.)
11. Con frecuencia se paga a 10s pintores por nora o a destajo. La tarifa puede afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, supongase que pueden trabajar por $8.5C por hora, o por $300 mas $3 por cada hora, por debajo de 40, si terminan el trabajo en menos de 40 horas. Supongase que un trabajo requeriria t horas. Si I r 40, resulta claro que es mejor la tarifa por hora. Si I < 40, ipara que valores de t es mejor la tarifa por hora?
F.S
szkz
9.
33s
En la actualidad, un fabricante tiene 2,500 uni-
ade un producto en su almackn. El producto se
12. Supongase que una compaiiia le ofrece un puesto en ventas, pudiendo usted elegir uno de dos planes para deterrninar su sueldo anual. Segun un plan, recibiria $12,600, mas un bono de 2% de las ventas anuales. Segun el otro plan, recibiria una comision directa de 8 % sobre las ventas. i P a r a que nivel de ventas anuales es rnejor elegir el primero de 10s planes?
&en estos momentos a $4 (dolares) por unidad.
h a el proximo mes, el precio unitario aumentara cs W . 9 . El fabricante desea que 10s ingresos totales c se obtengan por la venta de las 2500 unidades r rca inferior a $10,750. iCual es el nurnero maxide unidades que pueden venderse este mes?
-
lR Supdngase que 10s consumidores adquiririan 9 100
+
I (en 9 & h x s ) por unidad. iCual es el numero de unidades gp se deben vender para que 10s ingresos Sean supem r s a S5,000? mdada de un producto a un precio de
$
--
13. El secretario de asuntos estudiantiles de una universidad esta haciendo arreglos para que un grupo de musica "rock" ofrezca un concierto en las instalaciones. El grupo cobra una cuota total de $2,440 (dolares) o , por otro lado, una cuota de $1,000 mas 40% de lo que se obtenga en taquilla. Es probable que asistan 800 estudiantes. Cuando mucho, jcuanto debe cobrar el secretario por cada boleto, de manera que el segundo plan no resulte mas costoso que el de la cuota unica? Si se cobra este miximo, jcuanto dinero sobrara para pagar la publicidad, 10s guardianes y otros gastos de la funcion?
-3.4 Valor absoluto En ocasiones resulta util considerar, sobre la recta de numeros reales, la distancia que existe entre un numero x y 0. A esta distancia se le denomina valor absoluto de x y se le denota mediante 1x1. Por ejemplo, 151 = 5 y 1-51 = 5, porque tanto 5 como -5 se encuentran a 5 unidades de 0 (vease la Figura 3.14). De manera similar, 101 = 0.
-5 unidodes
5 unidodes
72
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIONESY LAS DESIGUALDADES
Si x es positiva, resulta claro que 1x1 = x. De la misma forma que 1-51 = 5 = -(-5), no debe resultar dificil para el lector convencerse de que si x es cualquier nilmero negativo, entonces 1x1 es el numero positivo -x. El signo menos indica que se ha cambiado el signo de x. Por ello, aparte de su interpretacion geometrica, el valor absoluto puede definirse de la siguiente manera:
El valor absoluto de un nunzero real x, que se denota por 1x1, es
Aplicando la definicion, se tiene que 131 = 3; 1-81 = -(-8) = 8; 1 1 = ; -121 = -2; y -1-2) = -2. Observese que 1x1 siempre es positiva o cero; es decir, 1x1 2 0. ADVERTEMCIA
7
fi
L C no es necesariamentex, per0 V.1.- = 1x1. Por ejernplo, Iv ( - 2):
= 1-21 = 2, no -2. Esto concuerda con el hecho de que v/O' = t/;i = 2. Tambien, I-xl # x y I-x - 11 # x + I. Por ejemplo, si x = -3, entonces 1-(-3)( # -3 y 1-(-3) - I ( # -3 + 1.
EJEMPLO 1
-
Despejar x en cada ecuacio'n
a. Jx - 3
=
2.
Esta ccuacion expresa que x - 3 es un numero que se encuentra a dos unidades de cero. Por ello, puede ser que . A -
3
=
2
obien
.u - 3 =
-2.
La resolucion de estos planteamientos, da x = 5 y x = 1.
b. 17
-
3x1 = 5 .
La ecuacion es cierta si 7 - 3x = 5 o si 7 - 3x = -5. Resolviendo estas ecuaciones, y x = 4. se obtiene x =
c.
.\
--
41 =
-3.
El valor absoluto de un numero nunca es negativo. Por ello, el conjunto solucion es 0. Los numeros 5 y 9 se encuentran a una disrancia de 4 unidades. Tambien,
/9 - 51
= (41 =
4.
En general, se puede interpretar ((I - bl o J h - a1 como la distancia entre a y b. Por ejemplo, la ecuacion Jx- 3) = 2 establcce que la distancia entre x y 3 es de 2 unidades. Por lo tanto, x puede ser I o bien 5 , tal como se muestra en el Ejemplo I(,a) y en la Figura 3.15.
3.4
Valor absoluto
2 unidodes 2 unidodes -A
1
I
-3
1
-
0
3
-
x<-3
-3
0
3
x>3
Ahora se volvera a las desigualdades. Si 1x1 < 3, entonces x esta a menos de 3 unidades de 0. Por ello, x debe estar entre -3 y 3. Es decir, -3 < x < 3 [vCase la Figura 3.16(a)]. Por otro lado, si 1x1 > 3, entonces x debe estar a mas de 3 unidades del 0. De mod0 que existen dos casos: x > 3 o bien x < -3 [vease la Figura 3.16(b)j. Se pueden extender estas nociones. Si 1x1 r 3, entonces -3 5 x 5 3. Si 1x1 2 3, entonces x L 3 o bien x r -3. En general, la solucion de 1x1 < d o bien 1x1 5 d, en donde d es un n6~nel.opositivo, esta formada por un intervalo, a saber: -d < x < d o bien -d 5 x 5 d. Sin embargo, cuando 1x1 > d o bien 1x1 2 d, existen dos intervalos en la solucion, x < -d y x > d, o bien x 5 -d y x 2 d.
EJEMPLO 2 Despejar x en rada una de [as desigualdades. a. Ix - 21
I
< 4.
El numero x - 2 debe estar a menos de 4 unidades del 0. Por el analisis anterior, esto significa que -4 < x - 2 < 4. Se puede establecer el procedimiento para resolver esta desigualdad de la siguiente manera: -4
+ 2 < .v < 4 + 2
(sumando 2 a cada miembro),
- 2 < x < 6. Entonces, la solucion es -2 < x < 6. Lo anterior significa que todos 10s numeros que se encuentran entre -2 y 6 satisfacen la desigualdad original (vkase la Figura 3.17). -2
<6
1 2
6
FIGURA 3 . 1 7
b. 13 - 2x1 5 5 .
-5 -5 - 3 -8
2 x 5 5.
5
3
--
5
-
2-r 5 5
5
-2xs2,
4 2 x 2 -1 -1 5 x 5 4
-
3
(restando 3 de cada miembro),
(dividiendo cada miembro entre -2j, (reordenandol.
74
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES Y LAS DESIGUALDADES
Notese que se invirtid el sentido de la desigualdad original al dividir entre un numero negativo. EJEMPLO 3
Despejar x en cada desigualdad.
a.
I X + 51 2 7. Aqui, x o bien x
+ +
5 debe estar cuando menos a 7 unidades del 0. Por ello, x + 5 5 -7 5 r 7. Esto significa que x 5 -12 o bien x 2 2 (vease la Figura 3.18).
Aqui puede ser que 3x - 4 < -1 o bien 3x - 4 > 1. Por consiguiente, 3x < 3 o bien 3x > 5. En consecuencia, x < 1 o bien x > 5. EJEMPLO 4
Utilizando la notacidn de valor absoluto, expresar simbdlicamente 10s siguientes planteamientos:
a. x esta a menos de 3 unidades de 5 . Jx -- 51 < 3.
b. x difiere de 6 en por lo menos 7. - 6) r
(X
c. x
< 3 y x > -3
7.
simultaneamente. 1x1 < 3.
d. x esta a mas de una unidad de -2.
> 1, 21 > 1.
lx - (-211 (x
+
x esta a menos de o (la letra griega "sigma") unidades de
p
(la letra griega "mi").
Enseguida se presentan tres propiedades basicas del valor absoluto:
1. lab1
=
(a( . Ibl.
3.4
75
Valor obso~uto
EJEMPLO 5
En 10s Problemas 1-10, escriba una forma equivalente sin el simbolo de valor absoluto.
11. Utilizando el simbolo de valor absoluto, exprese cada planteamiento. a. x esta a rnenos de 3 unidades de 7. b. x difiere de 2 en menos de 3. c. x esta a no mas de 5 unidades de 7. d. La distancia entre 7 y x es 4. e. x + 4 esta a menos de 2 unidadrs de 0. f. x esta entre -3 y 3 pero no es igual ni a 3 ni a -3. g. x < -6 o bien x > 6. h. x - 6 > 4 o bien x - 6 < -4. i. El numero de horas, x , que una maquina opera en forma eficiente, difiere de 105 en menos de 3.
j. El ingreso promedio mensual, x , (en dolares) de una familia difiere de 850 en menos de 100. 12. Utilice la notacion de valor absoluto para seiialar que x y k difieren en un valor no mayor de 0 .
13. Utilice la notacion de valor absoluto para indicar que 10s precios p , y p 2 , de dos productos, no pueden diferir en mas de 2 (unidades monetarias cualesquiera). 14. Encuentre todos 10s valores de x tales que (x 5 20.
En 10s Problemas 15-36, resuelva la desigualdad o la ecuacion dada.
76
3
APLICACIONES DE IAS ECUACIOHES Y LAS DESIGUALDADES
37, En analisis estadistico, la desigualdad de Tchebyscheff (o Chebyshev) establece que s i x e s una variable aleatoria, p es su media y o es su desviacion estandar , entonces hu) 5
(probabilidad de que /x -
1 2.
Determine 10s valores de x para 10s cuales ( x- pi
38. En la fabricacion de unos artefactos, la dimension promedio de una parte es de 0.01 cm. Utilizand o el simbolo de valor absoluto, exprese el hecho de que una medida individual x de una parte no difiere del promedio en mas de 0.005 cm.
> ha.
Section 3.1
costos fijos gastos generales ingresos totales utilidades
Seccidn 3.2
a
b a2 b a
Seccion 3.4
valor absoluto, 1x1
costos variables
costos totales
desigualdad desigualdad lineal
Cuando se tiene un problema exprcsado en forma verbal no se da una ecuacion. Mas bien, se le debe plantear traduciendo 10s datos verbales a una ecuacion (o desigualdad). A esto se le denomina modelacidn matematica. Es importante leer primero el problema mas de una vez para comprender claramente quC datos se proporcionan y que es lo que se pide calcular o determinar. Despues, se elige una letra para representar la cantidad desconocida que se desea hallar. Se utilizan las relaciones y 10s hechos que se dan en el problema y se les traduce a una ecuacion que incluye la letra. Finalmente se resuelve la ecuacion y se ve si la soluci6n contesta lo que se pedia. En ocasiones, la solucion de la ecuacion no es la respuesta para el problema, pero puede resultar htil para obtenerla, Algunas relaciones basicas que se utilizan para resolver problemas de administracion son: costos totales = costos variables ingresos totales
=
+ costos fijos
(precio por unidad)(ndmero de unidades vendidas)
utilidades
=
ingresos totales
- costos totales.
Los simbolos <, 5 , >, y z se utilizan para representar una desigualdad, que es una afirmacion de que un n6mero es, por ejemplo, menor que otro numero. Tres operaciones basicas que, cuando se aplican a una desigualdad, garantizan el tener otra desigualdad equivalente son:
1. Sumar (o restar) el mismo numero en ambos lados. 2.
Multiplicar (o dividir) ambos lados por el mismo numero positivo.
3. Multiplicar (o dividir) ambos lados por el mismo numero negativo, e invertir el sentido de la desigualdad. Estas operaciones sirven para resolver desigualdades lineales (aquellas que se pueden expresar en la forms a x + h < 0 o bien a x + b r 0, en donde a # 0).
3.5
Reposo
Una definicion algebraica de valor absoluto es:
Se interpreta ( a- bl o bien Ib - a1 como la distancia entre a y b . Si d > 0, entonces la soluci6n para la desigual dad 1x1 < d es el interval^ -wpresado por -d < x < d . La solucion a 1x1 > d consiste en dos intervalos, a saber h que estan dados por x < -d y x > d . Tres propiedades basicas del valor absoluto son:
PRODLEMAS DE REPASO
..
-
Ln ios Problemas 1-15 resolver la ecuacion o desigualdad.
W Caa utilidad de 40% sobre el precio de venta C izn producto, jes equivalente a que utilidad por-
djobre el costo?
Costo unitario por mano de obra y material
BT- C ~ e n odia se negociaron 1132 emisiones difeen la bolsa de valores de Nueva York. Habia
Costos fijos
I amaones que mostraban mas un aumento que disl u J n , !ninguna emision permanecio sin cambio. ,Cumas emisiones sufrieron reducciones?
La compaiiia ha decidido asignar entre las dos plantas no mas de $1 17,000 (dolares) para 10s costos totales. iCual es el numero minimo de unidades que se deben fabricar en la planta industrial A?
1 El impuesto sobre la renta en cierto estado es &Pi.Si
tiene un total de $3017.29 en compras, -endo impuestos, en el curso de un aiio, ique dl esa cantidad corresponde a1 impuesto?
I
i
Fabrica A Fabrica B
je
RL Cna compafiia fabricara un total de 10,000 uniYr dl un product0 en las fibricas A y B. Los daros Lprubks se muestran en la tabla que aparece .-
20. Una compafiia va a remplazar dos tanques cilindricos de almacenamiento de petroleo, por otro tanque nuevo. Los tanques antiguos tienen cada uno 16 pie de altura. Uno tiene un radio de 15 pie, y el otro, de 20. El tanque nuevo tendra tarnbien 16 pie de altura. Determine su radio si debe tener el mismo volumen que 10s dos tanques reemplazados juntos. (Sugerencia: El volumen V de un tanque cilindrico es V = .rrr2h,en donde r es el radio y h es la altura.)
Grabacion de calidad en video g r a b a d o r a s * ! Lo que sigue es un entretenido analisis de la grabacion con videograbadoras e ilustra 10s conceptos matema'ticos de este capitulo. Si usted es una de las millones de personas que poseen una grabadora de videocasetes (VCR, de videocassette recorder) habra presenciado cuan conveniente es grabar programas de television para verlos posteriormente. Aqui aprendera como lograr una grabacion de mejor calidad con esta maravilla para el entretenimiento casero. Si su VCR tiene un formato VHS, es muy probable que tenga la alternativa de elegir las velocidades de operacion standar (SP), larga (LP) o superlarga o extendida (SLP/ EP). La SP (Standard play) en la velocidad mayor y ofrece la mejor calidad de imagen. La LP (Lot7g play) es una velocidad menor que ofrece tambien menor calidad de grabacion, y la SLP (Super long play) que es la mas lenta, ofrece la menor calidad de inlagen. Con la videocinta comun T-120, el tiempo maximo de grabacion en SP es de 2 horas. En LP, es de 4 y en SLP, es de 6 horas. En el analisis que sigue puede suponerse que estos tiempos de grabacion son exactos y que la cantidad de cinta por utilizar cambia de manera uniforme con el tiempo de grabacion. Si se desea grabar una pelicula que no tenga mas de 2 horas de duracion, es evidente que debe utilizarse SP para lograr la mejor calidad de imagen. Sin embargo, para la grabacion de una pelicula de 3 horas en una sola cinta T-120, el utilizar solo la velocidad SP podria resultar en que se llenara la cinta una hora antes de la terminacion de la pelicula. Se puede resolver esta dificultad utilizando en SP/VE, junto con otra velocidad, para asegurarse de que se maximiza el tiempo en SP. Por ejemplo, puede comenzarse en LP, y despues, terminar la grabacion en SP/VE. Es evidente que el problema consiste en determinar cuando se debe realizar el cambio a SP. Si t representa el tiempo, en horas, en que se utiliza LP, entonces faltaria por grabar 3 - r hoi-as de pelicula. Como la rapidez de la cinta en la modalidad LP es de 1/4 de cinta por hora, y en SP es de 1/2 cinta por hora, la porcion de cinta que se utiliza en LP es t/4 y la porcion que se emplea en SP es (3 - t)/2.
* Adaptado de Gregory N. Fiore, "An Application of Linear Equations to the VCR", Mathemalics Teacher, 81 (octubre 1988). 570-72.Con autorizacion de the National Council of Teachers of Mathematics.
79
Gfobocion de calidod en video grobodoros
b a r i a ds ssras porcione5 debt dar la unidad poryue hay que usar la totalidad de la cinta. Por c
z:.I>.
ss nccesario re\ol\er una ccuacion lincal:
,'.x :!to. is debe grabar en LP durante 2 horas, y despues cambiar a VE para el tiempo restante: I- - - . = 3 - 2 = 1 hora. Esto significa que una tercera parte de la pelicula quedara registrada con ; i
rrc;er ialidad de imagen.
En isz de limitarss a una pelicula de 3 horas, puede ger~eralizarseel problema a~iteriorpara nianejar
1
uza pdicula que dure I horas, en donde ( 2 < I e 4). Esta situation da como resultado:
En forma alternativa, se podria pensar que no hay gran diferencia entre las calidades de imagen las \elocidades LP y SLP. Si se desea cornenzar en SLP y terminar con SP, se podria manejar e 6). Si se utiliza t para representar el tiempo, en horas, d u a n t e el que se utiliza SLP, entonces 3w
mra pelicula de longitud I, en donde (2 < I
Por ejernplo, con una pelicula de 3 horas, se grabaria en SLP durante t = 3/2(3) - 3 = 1 1/2 horas, !dsspues en SP durante 3 - 1 1/2 = 1 1 /2 horas. Esto indica que utilizar SLP en vez de LP produce, 1 2 horas mas de grabacion de calidad en SP. Como otro ejemplo, considerese la grabacion de una pclicula que dura 4 horas y 20 rninutos. Aqui, I
3 13 2(3)
t = -
=
-
4 113 horas, por lo que se utilizaria VSL durante
3
=
3; horas
! se utilizaria SP durante el resto de la pelicula.
Finalmente, supongase que un programa de television tiene interrupciones comerciales, pero que ie desea grabarlo eliminando 10s anuncios. Se puede rnanejar esto deteniendo la videograbadora \.CR a1 comienzo del anuncio y volviendo a arrancar cuando terrnine. Suponiendo que se estima
80
3
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES Y LAS DESIGUALDADES
que cada hora de un programa que dura I horas contiene c rninutos de inforrnacion cornercial, entonces el tiempo total de anuncios en horas, es lc/60. Asi que la longitud del prograrna continuo, sin cornerciales, en horas es
Si se cornienza grabarido en SLP y despues se cambia a SP, se tendra
en donde
i
es el tiernpo, en horas, a SLP. Resolviendo esto se obtiene,
Por ejernplo, considerese un prograrna de 3 horas que tiene 6 rninutos de cornerciales por hora; cs decir 1 = 3 y c = 6, por lo que
=
21 hora 20
-
= 1
hora y 3 rninutos
Por ejernplo, considtrese un programa de 3 horas que tiene 6 minutos de anuncios por hora; es decir, 1 = 3 y c = 6 , por lo que
1. Si se utilizan las velocidades LP y S P paragrabar una pelicula de 2% horas, ique tanto tiempo despues de cornenzar la pelicula se debe cambiar de LP a SP? 2. Si se utilizan las rnodalidades SLP y S P paragrabar un prograrna de 2!hhoras, ;cuantos minutos despues del comienzo del prograrna se debe cambiar de SLP a SP? 3. Si se utilizan las rnodalidades dc SLP y S P para grabar una pelicula que dura dos horas y 40 minutos,
ique tanto tiempo despues del principio de la pelicula se debe carnbiar de SLP a SP? 4. Se utilizan las modalidades de SLP y LP a fin de grabar una pelicula de 3 horas. ;QuC tanto tiempo despues del inicio de la pelicula se debe cambiar de SLP a SP, si el telespectador elirnina 8 minutos de cornerciales cada hora? 5. Resuelva de nuevo el Problerna 4 si se utilizan las modalidades S P y LP
L
I
4
~APITULO
.
-
Funciones y graf icas 4.4 Funciones EII el Siglo \ \ [ I , Gottfried U'ilhelm Leibniz, uno de lob inventores del Calculo, introdujo el termino filncio'n en el vocabulario matematico. El concept0 de funcion es Lino de 10s mas importantes en todas las matematicas y es esencial para el estudio del C a l c ~ ~ l o . En terminos breves, una funcion es un tipo especial de relacion de entrada y salida, o insumo y producto, que expresa como una cantidad (la salida) depende de otra cantidad (la entrada). Por ejemplo, cuando se invierte dinero a una tasa de interes, el interes I, (salida) depende del tiempo t (entrada) en que el dinero se invierte. Para expresar esta dependencia, se dice que "I es funcion de t". Relaciones funcionales como Csta se especifican normalmente por una formula que muestra que es lo que se debe hacer a la entrada para evaluar la salida. A fin de ilustrar lo anterior, supongase que $100 producen interes simple a una tasa anual del 6%. Se puede demostrar que el interes y el tiempo estan relacionados mediante la formula. 1 = lOO(0.06)t. (1) en donde I esta en unidades inorletarias y t en afios. Por ejemplo, si t
= +,
entonces
I
=
100(0.06)(;)
=
3.
Por tanto, la Formula (I) asigna a la entrada 4 , la salida 3. Se puede pensar que la Formula (1) define una regla: multiplicar t por lOO(0.06). La regla asigna a cada numero de entrada t exactamente un numero de salida I, lo cual se simboliza mediante la siguiente notacion con flecha:
r -+ I Esta regla es
Lln
0
bien
t
+
100i0.06)t.
ejemplo de una jirncion en el siguiente sentido:
Una funcion es unu regla qtfeasigna a cada numero de entrada e.xactamente un numero dr sulidu. El conjunto de todos 10s nu~nerosde entrudu a 10s c~uulesse uplicu In reglu
I'al.;i 13 t'~111ci~jn del inter& qlle he definio con la Forniula ( I ) , el numero de entl-anu puede e r negativo ya que el signo nlenos n o tiene sentido. Por tanto. el dominio cunsiste en todos 10s numeros n o negatives; es decir, toda I 2 0. De (2) cuando la entrada es 1 , la salida es 3. POI.consiguiente, 3 se encuentra en el ambito. Se ha e5tado ~ltilizandoel t e r ~ n i n ofuncirin en un sentido restringido porque, en general, las entradas o las salidas n o tienen que ser numeros. P o r ejemplo, una lista dc csrados federados y sus capitales asigna a cada estado su capital (exactamente una salida). Por lo tanto, se implica una f ~ ~ n c i oSin n . embargo, por cl momento se corisider a r i n solo lab funciones cuyos dominios y ambitos estan forniados por numeros reales. A una variable que representa numeros de entrada para una funcion se le denoniina variable independiente. Una variable que representa numeros de salida se le llama variable dependiente pues su valor depende del valor de la variable independiente. Se dice que la variablc dependien~ees funrion de la variable independiente. Es decir, la salida es funcicin de la encrada. De mod0 que, para la formula del intel-es I :100(0.06jr, la \.ariable independiente es I , la dependiente es I y entonces I es funcion de I . C o m o o [ r o ejemplo, la ecuacion (o formula) dn I
define a .v conio funcion de .x. Expresa la regla: sulnar 2 a x . Esta regla asigna a cada entrada s exactamente una salida .x + 2, que es y. En consecuencia, si x = 1, entonces -v = 3; si ,r = -4, entonces y = -2. La variable independiente es .I- y la dependiente es .v. No todas las ecuaciones en .r y .v definen a esta ultima como funcion de .x. Por ejemplo, sea .\,' = .r. Si x es 9, entonces -v2 = 9, asi que y = k 3 . Por consiguiente, a 1;1 entrada 9 no se le asigna un solo numero de salida sino c1o.s: 3 y -3. Esto infringe la definition de funcion, y pol- ello y no es funcion de .x. P o r otra parte, algunas ecuaciones en dos variables definen a cualquiera de ellas como funcion de la otra. Por ejemplo, si y = Zx,entonces para cada entrada s, existe exactamente una salida 2 , ~ Consecuentemente, . g es funcion de x. Sin embargo, despejando x en la ecuaci6n se obtiene x = y/2. P a r a cada entrada y hay exactamente una salida, y/2. Asi que x es funcion d e y. P o r lo general, se utilizan letras como f; g, h , F, G y otras, para representar reglas de funciones. Por e j e n ~ p l o ,la Ecuacion (3) anterior (y = x + 2) define y como funcion de .x, en donde la regla consiste en sumar 2 a la entrada. Supongase que se utiliza j'para representar esta regla. Entonces se dice que f es la funcion. Para indicar que f asigna a la entrada 1 la salida 3, se escribe f(1) = 3, lo cual se lee " f d e 1 igual 3". De mancra similar, f(-4) = -2. En terminos generales, si x es cualquier entrada, se obtiene la siguiente notation:
entrodo
f ( x ) , que se lee " f de .I-", significa el numero d e salida en el ambito de f que que corresponde a1 numero de entrada x en el doniinio.
Por lo tanto, la salida f ( x ) es el mismo que 1,. Pero dado que y escribir .L' = f(.v) = x + 2 , o en forma mas simple, f!x)
=
.\
= .\-
+
2. se puede
+ 2.
Por ejemplo, para encontrar f ( 3 ) . que es la salida que corresponde a la entrada 3, se reernplaza por 3 cada x en f (s)= x + 2:
De la misma manera, f(8) f(-4)
+2
=
8
=
-3
+
=
2
10. =
-2
Nurneros de salida corno f(-4) reciben el nombre de valores funcionales. Se debe tener presente que se encuentran en el arnbito de J: ADVERTENCIA f(.u) no significaj'multiplicadg 2or x. j'(.r)es la ~ a l i d aque corresponde a la entrada
\.
Con frecuencia, se definen las funciones por medio de la "notacion funcional". Por ejernplo, la ecuacion g ( x ) = x 3 + x' define la funcion g que asigna a un numero de entrada x el numero de salida s3 + .u2.
Asi que, g sum,l el cub0 y el cuadrado de un numero de entrada. Algunos valores funcionales son: g(2) g(-l) g(t)
+ 2'
=
2'
=
( - I ) ~
=
t'
=
+
12,
(-111
=
-I
+
1
=
0,
+ t',
Observese que se llego a g (x + 1) reemplazando cada .u en x' + x 2 por el numero de entrada x + 1. Cuando se hace referencia de la funcion g definida por g (s)= x 7 + x 2 , debe saberse que es posible denorninar funcion a la ecuacion misma. Por ello, se habla de la "funcion g ( x ) = x' + x'", y de manera similar, de "la funcion y = x + 2." Para ser mas especificos acerca del dominio de una funcion que esta dado por una ecuacion, a menos que se especifique lo contrario, el dominio consiste en todos 10s numeros reales para 10s que la ecuacion tiene sentido y produce valores funcionales que son nurneros reales. Por ejemplo, supongase que
Aqui se puede utilizar cualquier numero real para x , exceptuando el 6 , porque el denominador se convierte en cero cuando x es 6 (no se puede dividir entre 0). En consecuencia, se sobreentiende que el dominio de h es todos 10s numeros reales except0 el 6.
EJEMPLO 1
Ifullrrr el do~uiniode carln func.iot7.
No se puede dividir entre 0, asi que se deben obtener 10s valores de x que hagan que el denominador se convierta en 0. Estos no pueden ser rlurneros de entrada. Consecuenternenre, se iguala el denorninador a 0 y se despeja .r: (ecuacicin cuadritica),
X ? - r - 7 : 0 (x
-
2)(x
+
1) = 0
(t'actorizacion),
x = 2, - 1 .
Por lo tanto, el dominio de j'estri formado por todos 10s nurneros reales excep~ u u n d o2 y - 1 .
b. g(t)
=
\/2t
-
1.
No se puede tener ~aloresfuncionales que in~pliquennurneros irnaginarios. Para evitar las raices cuadradas de nurneros negativos, 2; - 1 debe ser mayor que o igual a 0. 2t - 1 =. 0, 21 r 1
1
t 2 -
2
1i
(dividiendo a ambos miernbros entre 2).
Por ello, el dominio esta formado por todos 10s numeros reales t tales que t r
1
EJEMPLO 2
I
Domrnio y no~aclo'nfuncional.
b
(sumando uno a ambos miembros),
4.
Sea g(x) = 3x2 - x + 5. Se puede utilizar para .v cualquier nun~eroreal y , por con siguiente, el do~niniode g es todos 10s numeros reales. Encuentrese g(z). Reernplacese la .Y por las diversas variables en g(s)
3x' - .r
+
5 por z da
Encuen t rese g(r2). Reernplacese la x por las diversas variables en g(x) = 3x' - .r
+
5 por
? ?
g(r2) F 3(rL)-- r'
+5
=
34
=
- r2
+
5.
1.'
cia
ADVERTENCIA Se deben evitar confusiones con la notacion. En el Ejemplo 2, se determino g (x + h ) reemplazando cada .u en g (.u) = 3x2 - x + 5 por la entrada x + h. No se debe escribir la funcion y despues surnar h . Es decir, g ( x + h ) # g (x) + h.
lanipoco 5e debe u t ~ l ~ r alar le) d~str~ b u t ~ \ con ' i g ( x + / I ) . Este s~mbolonoes analogo al de la rnult~plicac~on. g(x + h ) f g(x) + g(h)
EJEMPLO 3
Si ~f( x ) =
x2, detertninnr
f(,T
+
h ) -,f'(x) h
Aqui, el numerador es una diferencia de valores funcionales.
En algunos casos, el don~iniode una funcion esta restringido por razones fisicas o economicas. Por ejemplo, la anterior funcion de interes I = 100(0.06)r, tiene que r L 0 pues t representa tiempo. En el Ejemplo 4 se presenta otra ilustracion. EJEMPLO 4
Supongase que la ecuacion p = 100/q describe la relacion entre el precio por unidad, p, de cierto producto, y el numero de unidades, q , de ese producto que 10s consumidores adquiriran (es decir, la demanda) por semana, a ese precio. A esta ecuacion se le denomina ecuacion de demancla para el producto. Si q es un numero de entrada, entonces a cada valor de q se asigna exactamente un numero de salida p:
Por ejemplo,
es decir, cuando q es igual 20, entonces p es igual a 5. En consecuencia, el precio p es funcion de la cantidad que se demanda, q. Aqui, q es la variable independiente y y es la dependiente. Dado que q no puede ser 0 (la division entre cero no esta definida) y no puede ser negativa (q representa cantidad de productos), el dominio es todos 10s valores de q tales que q > 0. A esta funcion se le denomina funcicin de demanda.
Ya se ha visto que una funcion es en esencia una correspondencia mediante la cual se asigna exactamente un numero de salida en el contradominio a cada unc de 10s numeros de entrada del dominio. Para la correspondencia dada por f (x) = x', se rnuestran mediante las flechas de la Figura 4.1 algunos ejemplos de asignaciones. En el siguiente ejernplo se presenta una correspondencia funcional que no esta dada por una formula algebraica.
FIGURA 4.1
- EJEMPLO 5 La tabla que aparece en la Figura 4.2 es un programa de oferra. Seiiala la correspondencia entre el precio p de cierto product0 y la cantidad q que 10s fabricantes proveeran por semana a ese precio. A cada precio le corresponde exactamente una cantidad, y viceversa. Progromo de oferro
Prec~opor un~dodContldod ofrecldo (en dolores) por Semono
FIGURA 4.2.
S i p es la variable independiente, entonces q es funcion d e p , es decir q
=
f (p),y
De manera similar, si q es la variable independiente, entonces p es funcion de q , es decir, p = g ( q ) ,Y asi
Se llama a f y g funciones de oferta. Observese en el programa de oferta que a1 aurnentar el precio unitario, 10s fabricantes estan dispuestos a ofrecer mayor cantidad de unidades por semana.
-
EJERClClOS 4.1 En 10s Problenzas 1-12, exprese el dorninio de cada funcion.
t
-
P,roOleifras 13-24, dererrnine 10s valores funciotiules para coda funciot~.
1. J
13. -
!I
=
7
15. G l . r ~= 2
. .f(o), ~
.
-
.f(3), f ( -4).
.r2; G ( - 8 ) ,
G(u), c ( u 2 ) .
g(s
fir-
5
F-
.us
Probleinos 25-1'8, deterinine (a) f (x
-
1, - 4
>
=
7.1.:.
17. k c 7r
16. f'(.r)
= 7x;
I
H(4). H ( v ~ ) , fi(3).
- 3: ,f(s),
j'(t t I ), f(.r
+
3).
I
h).
+
h) y (0) f(x
=
+
") - -
11
(.');
simplifique las respuestas.
M. S u ~ o n g a s eq u e f (b)
+ J = 0. .r2 + j2 = 1
30. .r2
0.
32.
La formula para el area A de un circulo con rass A = ar'. ~ E els area funcion de! radio?
-. .Alnc .f
= s'
Probleinus 29-32, jes y firncion d e .u? i E s xfunrion de y?
-9. ?
31.
+
14. H(s)
= (lb2+
a2b. (a) Deter-
(a). (b) Evalue f (nb).
35. E n negocio con capital original de $10,000 tiert ingresos y gastos semanales de $2000 y $1600, res~ : r i \ amente. Si se retienen en el negocio todas las ~;:ilidades, exprese el valor V en el negocio al final dc i semanas como funcion de t. Si una rnaquina que cuesta $30,000 (dolares) se diprecia 2% de su valor original cada aiio, encuenrress una funcion f que exprese su valor V despues d i haber transcurrido r afios.
-36.
37. Si se venden a unidades de cierto ~ r o d u c t o(.a . s no negativo), la utilidad P esta dada por la ecuaJon P = 1.259. iEs P funcion de 9 ? i c u a l es la variaS1: dependiente y cual es la independiente?
38. Una cornpafiia de seguros examino 10s historiales de un grupo de personas hospitalizadas por una cierta enferrnedad. Se descubrio que la proporcion tota] de los que habia side dada de a]ta final de t dias de hospitalization esta dada por f (t), en donde ~‘(t= ) 1
-
- -
( 3 0 z
r)3.
Evaluar (a)f (0), (b) f (loo), y (c) f (300). (d) iAl final de cuantos dias se Labia dado de alta a10.999 del grupo.
39. Se llevo a cab0 un experiment0 psicofisicv para analizar la respuesta humana a choques elkctricos*. --
--
* Adaptado de H. Babkoff, "Magnitude Estimation of Short ElectrocutaneousPulses", Psychological Research, 39, num. 1 (1976), 39-49.
88
4
FUNCIONESG ~ ~ A F I C A S
Los sujetos recibieron un choque de cierta intensidad. Se les pidio asignar una magnitud de 10 a este choque especifico a1 cual se le denomino estimulo normal. Despues se les aplicaron otros choques (estimu10s) de diversas intensidades. Para cada uno de ellos, la respuesta R debia ser un numero que serialara la magnitud percibida del choque, con respecto a la del estim~llonormal. Se encontro que R era funcion de la intensidad I del choque (I esta en microamperes) y se evaluo de la siguiente manera:
h~ :-:/'(I) := 1" 2500'
-
500
5
I
5;
ta como funcion del numero n de ensayos tiene la forma 1 I ) = ( 1 - ) I, ,,?I. 2 en donde el valor estimado de c es 0.344. Encuentrese P ( 1 ) y P ( 2 ) utilizando este valor de c. 41. A la tabla adyacente se la denonlina l?rogrc~rrlcl (Ie derrianclo. Da la corre\ponden~.iacntre el PI-ecio 11tie un produclo y 13 c:inli~lacl(1 que lo\ c o n s u i ~ ~ i ~ l o I-C\ ~lemandan(ej decir, ~ , o i l ~ p r aan )tal prccio. ( a ) Si I J ./((I), enli\tc. lo+ nillnc~ojdel do~niniod c , / . I)~~le1.n1ine,/(2000) !,/(3000).(h) \ i r/ = ,r(j?),enlisle lo$ ni~mc.ro\del tlorninio de , y . E\alile ~ ( 1 0!) (17).
3500.
Evaluese (a) f (1000) y (b) f (2000). (c) Supongase que I, y 21, estan en el dominio de f.Exprksese f (2/,) en terminos f ( I d . i Q ~ i efectos : tiene sobre la respuesta duplicar la intensidad?
PRECIO UNlTARlO P
10. En un experiment0 de aprendizaje de asociacion pareatla,+ la prohabilidad de una respuegta corrrc-
-4.2
CANTIDAD SEMANAL DEMANDADA, q
910 12 17 20
3000 2900 1300 2000
Funciones especioles
-
E n esta seccion se estudiaran las funciones q u e tienen f o r m a s y representaciones especial~S . e comienza c o n la q u e es quiza el tipo m a s simple, la Jirncion constante. .-
EJEMPLO 1
. -
Sea h (x) = 2. El d o m i n i o d e h es todos 10s n u m e r o s reales. T o d o s 10s valores funcionales s o n 2. P o r ejemplo,
h(10)
=
2,
h(-387)
=
2,
h(x
+
3 ) = 2.
A h se le d e n o m i n a firncion constante. E n terminos m a s generales, se tiene la siguiente definicidn: U n a funcion d e la f o r m a h (x) mina funcion constante.
=
c, E n d o n d e c es u n a constante, se d e n o -
Las funciones conslantes pertenecen a u n a clase m a s amplia d e funciones, a las q u e se llama firnciones polinomiales. E n general, u n a funcion d e la f o r m a
D. Laming, Mathematical Psychology (Nueva York: .Academic Press, Inc., 1973).
4
2
89
F-dn~~ones espectoles
,.
e n d o n d e n es u n n u m e r o entero n o negativo y L.,,. (., , . . . c,,, s o n constantes con L-,, f 0 se d e n o m i n a funcion polinomial (en ,Y). Al nuniero n se le d e n o m i n a grado d e la funcion, y c,, es el coeficiente inicial. Asi, f ( x ) = 3s' - 8.1 + 9 ec una funcidn polinornial d e g r a d o 2 , c o n coeficiente inicial 3. De la misma m a n e r a , g ( x ) = 4 - 2.u tiene el g r a d o 1 y coeficiente inicial -2. L a s funciones polinomiales d e g r a d o 1 o bien 2 reciben el n o m b r e d e funciones lineales o cuadraticas, respectivamente. P o r ello, g (x) = 4 - 2x es lineal y f (x) = 3x2 - 8x + 9 e s cuadratica. Observese q u e u n a f u n cicin constante diferente d e 0, tal como,f(.v) 5 [qile puede escribirse conioJ(.\-) = s.\-"]. c\ ilna funcidn polinomial d c g r a d o ccro. TambiPn 5e considera q u e la funcion constante fi.\-) = 0 es una funcion polinomial pero n o se le asigna g r a d o . El dominio d e cualquier firncicin polinomial e t o d o los nilmeroh reales.
-
-
ciclite principal 1 .
h. g ( s )
=
c. J(.\-) =
2.r 2 es Lrna I'irncidn lineal con coel'iciente principal 3 3'
-
2
- ilo
x3
2.v ' y el espolicntc d e
es una I'unc,icirl polillo~llial. ('o~iicl,ti.\.)
.I-
-
no ec, un entel-o n o negatii u. vita funci6n no tiene la f o r m a a p r o p i a d a para e r polino~ i i i o .De m a n e r a similar. y(.v) .I. no e5 u n polirlon~iop o r q u e g(.v) = .\" >.
0 1 1 . otipo d c . / ~ I I I C ~ I (I~YI II C ~ I ~c11 I I ~laI Iq. i ~ c~
I ~ I C I ~ I C CI III ~lo\ I I
poli~lo~nio\.
A una funcion q u e es cociente d e funciones polillolniales se le d e n o m i n a funcion racional.
a. flxj
.x2
-
=
6x
es una funcion racional puesto q u e t a n t o el n u m e r a d o r c o m o c l
d e n o m i n a d o r son polinomios. Observese q u e esta fiincidn racional n o esta del'inida para x = - 5 .
b. ~ ( x =) 2x
+
3 es u n a funcion racional puesto q u e 2.r
+
3
=
2r
+
3
.
I
De hecho,
t o d a funcion polinomial e i tambien una funcion racional.
E n ocasiones, se req1.1iere m i s d e una ecuacion para definir u n a funcion c o m o se rnuestra en el Ejernplo 4.
-
EJEMPLO 4
Sea
A esta se le denomina funcion compuesta porque esta definida mediante mas de una ecuacion. Aqui, s es la variable independiente y el dominio de F es todas las s tales que -1 5 s 5 3 . El valor de s determina q u i ecuacion se debe utilizar.
Determinar F(0): Cado que - 1 i 0
< 1,
se tiene que F(0)
=
1.
Determinar F(2): Dado que 1 i 2 5 2, se tiene que F(2) = 0. Evaluar F8(j!):Puesto que 2
<
j! 5 3, se sustituye s por j en s - 3 .
-
EJEMPLO 5 A la funcion f ( x ) = 1x1 se le denomina funcion valor absoluto. Recuerdese que el valor absoluto o magnitud de un numero real x se denota por 1x1 y esta definido por
Por consiguiente, el dominio de f es todos 10s numeros reales. Algunos valores funcionales son: f(16) = 1161 = 16, f(-4)
f(0)
= 1-4131 = - ( - ? =
lo( =
3)
- a, 3
0.
En 10s siguientes ejemplos se utiliza la notacion factorial.
El simbolo r ! , siendo r un entero positivo, se lee "factorial r". Representa el product0 de 10s primeros r enteros positivos: r!
=
Se define que 0 ! es igual a I .
-
EJEMPLO 6
1 . 2
. 3 ... r.
2
4
Funciones e s ~ e c ~ o i e s
b. 3 ! ( 6 4! -
(..
-
5 ) ! = 3 ! . I ! = (3
4 . 3 . 2 . 1 z=
-
1
O!
. 2 . 1)(1) =
(6)(1) = 6 .
24 - = 24.
1
EJEMPLO 7
Supongase que se aparean dos cobayos ( o conejillos de indias) y se producen euactamentc cinco crias. Se puede probar que. en ciertas condiciones, la probabilidad P d e qLle exactamente r de las crias sean de color cafe y las restantes negras es funcion de 1. d i g a m o P P ( r ) , en donde
-
5 !(f)'($)5+' P(r) =
r!(5
-
r)!'
La letra P en P = P ( r ) se utiliza de dos maneras. En el lado derecho, P representa la regla de la funcion. En el lado izquierdo, P representa la variable dependiente. El dominio de P e s todos los enteros de 0 a 5 , inclusive. Encontrar la probabilidad d e que exactamente tres conejillos de indias sean de color cafe. Se desea encontrar P ( 3 ) .
En 10s Probletrras 1-4, encuentre el dominio de cada funcion.
1. H(;)
=
16.
2.
f ( i ) = 77.
En 10s ~ r o b l e m a s5-8, exprese, (a) el grado, y (6) el coeficiente inicial de la funcion polinomial dada.
5. F ( x ) = 7 x L 7. f(.r)
=
2x'
2 - 3.r4
+
+ 6.
6. .f(.\-)
2x.
8.
=
.t ,
t'(.\-)=
Y.
Eti 10s Problemas 9-14, obtenga 10s valores funcionales para cada funcion. 9. ,f(.r) = 8; f ( 2 ) . f ( t
1.
0, -I.
+ 8).
sit > 0 si t = 0: s i t < O
f ( - V-).
F ( I 0 ) . 1;(-
10. g(.')
\/'3).
F(O), F ( -
).
= -r -
31; g( 10). g ( 3 ) . gi - 3 ) .
lo, Pt.ol)lriirtic 15-20 rlc/rt.t~ritir,cl itlo lot. tle c,oc/ct c,.\/?~.r\~otr.
21. En la fabricacion de un colnponente d e uria maq r ~ i n ael , costo inicial de un troquel es de $850 (dolares) y todos 10s orros costos adicionales son d e $3 por unidad fabricada. (a) Exprese el costo total (3 (en dolar es) como funcion lineal del numero q d e unidades q u e se fabrican. (b) ~ C u a n t a sunidades se producen si el costo total es d e $1600?
Determine la probabilidad d e que exactamente dos d e los hijos tengan ojos azules. 21. En el Ejemplo 7 halle la 171-ubabilidntlde q u e la5 5 (ria, w a n cafe\. 25. Se cultivan bacterias cn un cierto experimento. El tiempo t (en horas) que se requiere para que se duplique el numero d e bacterias ( t i e a p o de generacion) es funcion d e la temperatura T(en "C) del cultivo. Si esta funcion esta dada por*
22. Si se invierte u n capilal d e P dolares a una tasa d e interes anual simple de r durante t afios, exprese el monto total acumulado de capital e intereses, como funcion de t. i E s el resultado funcihn lineal de t? 23. En ciertas condiciones, si dos padres con ojos cafCs tienen exactamente 3 hijos, la probabilidad P de que haya exactamente r hijos con ojos azules esta d a d a por la funcion P = P(r), en donde,
(a) determine el dominio d e f , y (b) encontrar f (30), f (36)- y f (39).
4 . 3 Combinaciones de funciones Existen diferentes f o r m a s d e c o m b i n a r d o s f u n c i o n e s p a r a c r e a r o t r a n u e v a . S u p o n g a s e q u e f y g s o n las f u n c i o n e s d a d a s p o r j'(.r) =x'
y
g(.r) = 3.r.
S u m a c d o f ( x ) y g (x), se o b t i e n e f(x)
+ g(x)
= x-'
+
3x.
E s t a operation d e f i n e u n a n u e v a f u n c i o n d e n o m i n a d a suma d e f y g, y q u e se d e n o t a p o r f + g. S u v a l o r f u n c i o n a l en x es f (x) g (x). Es decir,
+
(J'
+
g)(x)
= ,f(x)
+
g(a) = n 2
+
Por ejernplo, (J' -
+
g ) ( 2 ) = 22
-
* Adaptado de F.K.E. Imrie y A.J. Vliros, "Productlon of Fungal Protein from Carob", en Single-Cell Prolein 11, ed. S . R . Tannenbaum y D.I.C. Wang (Can~bridge, Mass; MIT Press, 1975).
+
3(2) = 10.
3x.
4.3
93
Combinaciones de funciones
E n genel.al, para c ~ ~ a l e s q u i e rf'uncionc\ a ,/' y g. st. define la suma j'
f
-
g, el producto fg
y el cociente f -
+
g. diferencia
-
1
:*
g
Enronses, para f ( x ) = .r2 y g ( x )
(.f
+
=
3.r. se tielie
,y)(*) = f ( x )
(,f - g)(.rj
=
+ g ( x ) = .r' +
f i x ) - g(x)
=
2
x
-
31, 3.r,
\.fp)(-r) = j'(.r) . g ( x ) = x'(3x) = 3 x'i- , .f -(x) K
=
+ g(.q
=
(3s
-
1 ) t (x'
-
=
(3x
-
1)
f'(x) = .x' g(.r) 3.x-
'
= .r -
3
.
para x
$.
0.
EJEMPLO 1
a. (f'
+
g)(.x) = f ( x )
b. (f - g X x )
=
f(x)
-
c. ( j % ) ( x ) = f'(.r)g(.x) = ( 3 x - 1 ) ( x 2 t 3 x )
(a' =
+ +
3x3
3 . ~ )=
,y2
+ 6x
3s) =
-
1 - x'.
+
8.y' - 3 x .
Tambikn se pueden combinar dos funciones aplicando priniero una funcion a un numero y aplicando despucs la otra funcion al resultado. Por ejemplo, supongase que ,f (s) = x 2 , g (s)= 3 x y x = 2 . Entonces g ( 2 ) 3 ( 2 ) = 6. Asi, g envia la entrada 2 a la salida 6:
-
2 A 6.
En seguida, se hace que la salida 6 se convierta en la entrada para f
de mod0 que f envia 6 hacia 36.
Aplicando primer0 g y despues f , se envia 2 hacia 36.
En terminos mas generales, se reemplaza al 2 por una x, que esta en el dominio de g (vease la Figura 4.3). Aplicando g a x, se obtiene el numero g (x),el cual se supone se encuentra en el dominio de f. Aplicando f a g (x),se obtiene f (g(x)),que se lee " f de g de x", y que se encuentra en el ambito o contradominio de f. Esta operacion de aplicar g y despuCs aplicar f define una funcion a la que se denomina funcion "compuesta" y se denota por f 0 g. Esta funcion asigna a1 numero de entrada x el numero de salida f (g (x))[vCase la flecha de abajo en la Figura 4.31. Por lo tanto, ( f 0 g)(x) = f (g (x)). Se puede considerar a f (g (x)) como una funcion de funcion.
Si f y g son funciones, la cornposicion de f con g es la funcion f
0
g definida por
( f Og)(x) = f(g(x)), en donde el dnrninio de f 0 g es el conjunto de todas las x que se encuenfran en el dotnivio de g tales que g(x) se halle en el dominio de f. Para f ( x ) = x 2 y g (x) = 3x, se puede obtener una forma simple para f
Por ejemplo, ( f EJEMPLO 2
Sea f(x)
=
0
g)(2)
=
~ y g (x)
9(2)'
=
x
+
=
0
g:
36, tal como se vio antes.
1. Determinar (a) (f
g),(x)Y (b) (g f)(x).
a. ( f 0 g)(x) es f (g (x))y f toma la raiz cuadrada de un numero de entrada, que es g (x) o bien s + 1. De manera que
(f " g)(.x)
= f(g(x)) =
f(x
+
1)
=
m.
El dominio de g es todos 10s numeros reales x, y el dominio de f es todos 10s numeros reales no negativos. Por tanto, el dominio de la cornposicion es todas las x para las cuales g (x) = x + 1 es no negativo. Es decir, el dominio es todas las x 2 -1.
4.2
95
Combinac~onesde funciones
b. ( g 3 A(s) es g ( f (x))y g suma 1 a un nlimero de entrada, que es f (s)o bien\ tanto, g suma 1 a 6-.
(gOf)(x= ) g(fl.X))
=
s. Por
K(6) = fi + I .
El dominio de f es todas las x r 0 y el dominio de g es todos 10s numeros reales. Consecuentemente, el dominio de la composicion es todas las x r 0 para las cuales f ( x ) = x< es real, es decir, todas las s r 0 .
ADVERTENCIA
Por lo general, f g f g f. En el Ejemplo 2, ( f g)(x) = \'.-, pero ( g f ) ( x ) = V'; + 1. Tambien, es importante no confundir, f (g(x))con el product0 f (x)g(x).En este caso, f(X(.\))
=
\/m
EJEMPLO 3
Si F @ ) = p2
+
4p - 3 y G @ ) = 2p
+
1 , determinar (a) F ( G @)) y ( b ) G ( F ( 1 ) ) .
E n Calculo es necesario en ocasiones considerar una funcion especifica como una cornposicion de dos funciones mas simples, como se muestra en el siguiente ejcmplo. EJEMPLO 4
p p
La funcion h ( x ) = (2x - 1)' puede considerarse como una cornposicion. Observese que h(.u) se obtiene determinando 2x - 1 y elevando al cubo el resultado. Supongase que se hace g(x) = 2x - 1 y f ( x ) = x 3 . Entonces
lo cual muestra que h es una cornposicion de dos funciones.
1.
e
Si ./(.Y)=
+
.i-
1
a. (f + g ) ( . r ) .
)
~ ( x=) .Y
+
4, encontrar lo siguiente.
b. (f'
+
g)(O).
c . (f' -
g. 5.
Si J'(J:) a. (,f
4. Si ,/ (.\-)
h. ( 8 " .f')(").
K)(.').
(f'o
.\-'y
:
g (.:.)
=
.u'
u, encontrar lo sigu~ente.
i
+ g)(.r).
-
.\-' -
b. ( f
1 y g (x) = 4 , encontrar lo siguiente.
+ ,g)ix).
b. (f'
a. (f'
4
6. Si ,f (u)
-
7. Si F ( r )
= I'
-
P
IU. Si f'(.\-) = s 2
Ly)(,r).
~-
y g @) =
1'
-
3
2
+
g)(&)
, encontrar i,f',q)(jl) y ( K ~ , f ) ( l ~ )
+
31 -t 1 y G ( I ) =
+
3 , hallar (,f
2 I -
I
,
encontrar ( F
@
C)(r) y
(G " F ) ( I )
~r)(..i).
E n 10s Problemus 11-16, olifener /us funciones f y g tales que
17. Un fabricante determina que el n~ivnerototal de unidades de produccion al dia, q , es funcion del nilmero de empleados, m , en donde q = f ( m ) (30m - t n 2 ) / 4 . Los ingresos totales, r , que reciben por la venta d e q unidades estan dados por la funcion g , en donde r = g(q) = 40q. Determine ( g of )(m). iQue es lo que describe esta funcion compuesta?
-
h(x)
=
f (g(x)).
18. Se han l l e ~ a d oa cab0 estudios acerca de ias relaclones estadisricas entre la posicion social, la educacion y 10s ingresos de las personas.* Si se utiliza - -
*
-
R.K. Leik y B.F. Meeker, Ma~hemaIicalSocrot'ogy (Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., 1975).
4.4
5 p r a denotar un valor numeric0 para la position icxlal con base en 10s ingresos anuales I, y se supone que para cierta poblacion S = f ( l ) = 0.45(1 - ~ooo)"~, Se considera, ademas. que 10s ingresos I de una per-
-4.4
97
Grdficos en coordenodos rectongulores
sona son funcion del numero de aiios de escolaridad E, en donde I = g(E) = 7202 0.29~'~~.
+
Evalue (f describe?
g)(E). ~ Q u ees lo que esta funcion
Graficas e n coordenadas rectangulares Un sistema de coordenadas rectangulares (o cartesianas) permite especificar y ubicar puntos en un plano. Tambien ofrece una forma geometrica de representar ecuaciones con dos variables, asi como funciones. Se trazan en UI? plano dos rectas de numeros reales, denominadas ejes coordenados, perpendiculares entre si, de manera que sus origenes coincidan, como se muestra en la Figura 4.4. A su punto de interseccion se le denomina origen del sistema coordenado. Se denomina a la recta horizontal eje x, y a la recta vertical, eje y. No es necesario que la distancia unitaria sobre el eje x sea igual a la del eje y.
eje x eje x
El plano que contiene a 10s ejes coordenados se denomina plano coordenado rectangular, o en terminos mas simples, plano x, y. Se puede identificar a cada uno de 10s puntos que se localizan sobre un plano x,y, para sefialar su position. Para identificar el punto P de la Figura 4.5(a) se trazan rectas perpendiculares desde el punto P, hacia 10s ejes x y y. Estas rectas cortan a 10s ejes en 10s puntos 4 y 2, respectivamente. Por ello, P determina dos numeros: 4 y 2. Se dice que las coordenadas rectangulares de P estan dadas por el par ordenado (4, 2). La palabra "ordenado" es importante. En la Figura 4.5(b) el punto correspondiente a (4, 2) no es el mismo que el (2, 4):
En general, si P es cualquier punto, entonces sus coordenadas rectangulares estaran dadas por un par ordenado de la forma (x, y) (vease la Figura 4.6). A x se le denomina abscisa o coordenada x de P y a y, ordenada o coordenada y de P .
FIGURA 4.6 FIGURA 4.7
Asi, a cada punto de un determinado plano coordenado se le puede asociar exactamente un par ordenado (x,y ) de numeros reales. Tambien, debe resultar evidente que a cada par ordenado (x,y ) de numeros reales puede asociarse exactamente un punto en ese plano. Dado que existe una correspondencicr de uno a uno entre 10s puntos del plano y todos 10s pares ordenados de 10s numeros reales, se puede hacer referencia a un punto P con abscisa x y ordenada y como el punto (x,y ) , o como P(x, y ) . Ademas pueden utilizarse en forma indistinta las palabras "punto" y "par ordenado". En la Figura 4.7 se sefialan las coordenadas de varios puntos. Por ejemplo, el punto (1,-4) esta ubicado a una unidad a la derecha del eje y y a cuatro unidades por debajo del eje x. El origen es (0, 0). La coordenada x de todos 10s puntos que se encuentran sobre el eje y es 0, y la coordenada y de todos 10s puntos que se encuentran sobre el eje x es 0.
Cuadtante II
Cuadtante I
Cuodronte Ill
Cuodronte IV
FIGURA 4.8
Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones a las que se denomina cuadrantes (Figura 4.8). Por ejemplo, el cuadrante I contiene todos 10s puntos (x,,y , ) con x , > 0 y y , > 0. Los puntos que se encuentran sobre 10s ejes no quedan en ning~in cuadrante. Utilizando un sistema de coordenadas rectangulares, se pueden representar en forma geometrica ecuaciones en dos variables. Por ejemplo, considerese la siguiente:
4.4
99
Graficos e n c o o r d e n o d o s rectongulores
Una solucion de esta ecuacion es un valor de x y un valor de que hacen que la ssuasion se verifique. Por ejemplo, si x = 1 , sustituyendo en la ecuacion ( 1 )
I
I
En consecuencia, x si x
=
=
-2,
1, y
=
0 es una solucion. De mod0 analogo,
entonces
-v
=
(-212
+
2(-2) - 3
=
-3,
y de esta manera, x = -2, y = -3 es tambien uila solilcion. Eligiendo otros valores para x se puede obtener mayor cantidad de soluciones [viase la Figura 4.9(a)]. Es claro que existe una cantidad infinitamente grande de soluciones. Cada solucion genera un punto (x, y). Por ejemplo, a x = 1 y y = 0 le corresponde (1, 0). La grafica de y = x 2 + 2x - 3 es la representation geornetrica de todas sus soluciones. En la Figura 4.9(b) se han trazado 10s puntos correspondientes a las soluciones que aparecen en la tabla. Dado que la ecuacion tiene una cantidad infinitamente grande de soluciones, parece imposible determinar su grafica con precision. Sin embargo, solo se requiere obtener la forma general de la grafica. Por esta razon se traza una cantidad suficiente de puntos para que pueda conjeturarse su forma especifica. Despues se unen esos puntos mediante una curva alisada, en 10s casos en que las condiciones lo permitan. Se comienza con el punto que tiene la menor coordenada s,es decir (-4, 5), y se avanza por 10s puntos que tienen coordenadas cada vez mayores de x. Se termina con el punto que tiene la mayor coordenada x, es decir, (2, 5) [vease la Figura 4.9(c)]. Por supuesto, conforme mayor numero de puntos se ubican, tanto mejor es la grafica que se obtiene. Aqui se supuso que la grafica se extiende en forma indefinida hacia arriba, lo cual se seiiala mediante flechas. Al punto (0, -3), que es donde la curva corta al eje y se 1e denomina interseccion J*. (Los puntos (-3,0) y (1,O) en donde la curva corta a1 eje)xse dsnominan intersecciones x. En general, se tiene la siguiente definition.
L a interseccion x de la gt-cjfica de una ecuacion en a, v es el punro donde la gt-ufica co~.rcr a1 eje x. L a interseccion y es el put710 en donde la gt-afica cot-(a a1 eje y. * * (N, del R . ) Se denominan por lo comun interrepciones .\ 5
.L
(a las coordenadas n o cero de lai intersecciones
.x y .v, que te llaman tamhien "abscisa en el origen" y "ordenada en el orisen". (F.P.)
Para evaluar las intersecciones x de la grafica de una ecuacion en .u,y , en primer lugar se toma y = 0 y se resuelve la ecuacion restante para evaluar x. Para contrar las intersecciones y, en primer lugar se toma x = 0 y se despeja el valor de y. Por ejemplo, para encontrar las intersecciones x de la grafica de O, = x2 + 2x - 3), haciendo y = 0 y despejando x, se obtiene
Por ello, las intersecciones x son (-3, 0) y ( 1 , 0), como se vio ante$. Si x y = 0 2 + 2(0)
-
3
=
=
0, entonces
-3.
Por lo tanto, (0, -3) es la interseccidn y. Observe que una interseccion x tiene como ordenada 0, y que una interseccion y tiene como abscisa 0. Los puntos de interseccion son utiles para situar segun en forma precisa la grafica segun 10s ejes.
UEMPCO 1 Determinar las intersecciones x y y de la grufica de y Si y = 0, entonces 0
=
2x
+
o bien
3
Por ello, la interseccion es ( - $ , 0). Si x y = 2(0)
=
+
x
=
=
2x 3 2
+
3, y rrazar la grufica.
--
'
0, entonces
3
=
3.
POTtanto, la intersecci~ny es (0,3). En la Figura 4.10 se muestra una tabla que contiene otros puntos de la grafica y su trazo.
Ademas de ecuaciones, tambien pueden representarse funciones en un plano coordenado. Si f es una funcion con variable independiente x y variable dependiente y , entonces la griifica de f es sirnplemente la grifica de la ecuacion y = f(x). Consiste en todos 10s puntos (x,y),o bien ( x f ( x ) )en , donde x se encuentra en el dorninio de f . Al eje vertical se le puede identificar cony, o bien con f(.u), y se denomina el eje de valores funcionales. A1 eje horizonrul sietnpre se le idenrificu con la variable independienre.
EJEMPLO 4
Gruficar f(s) =
6.
Viase la Figura 4.13. Se identifica el eje vertical con f ( x ) . Recuerdese que denota la raiz cuadrada principal de x. Por consiguiente, f (9) = 7V/g = 3, y no k 3 . Tampoco se pueden elegir valores negatives para x porque no se desea tener numeros imaginarios para \ix. Es decir, debe hacerse que x 2 0. Consideremos ahora las intersecciones x,y. Si f(x) = 0, entonces G=0; o hien x = 0. Tarnbien, si x = 0 , entonces f ( x ) = 0. Por ello, la interseccidn x y la interseccidn con el eje vertical son la misma, es decir ( 0 ,0 ) .
I
EJEMPLO 5
Gruficar p
=
G ( q ) = Iq( (funcion valor absoluro).
Se utiliza la variable independiente q para identificar el eje horizontal. El eje de valores funcionales puede denorninarse G(q)o bien p (vease la Figura 4.14). Observese que las intersecciones q y p son el mismo punto (0,O).
FIGURA 4 . 1 4
4 4
Gtdficos en coordenodos tectongulores
En la Figura 4.15 se muestra la grafica de una cierta funcion y = f(x). El punto (x, f(x)) implica que correspondiendo a1 numero de entrada x del eje horizontal se tiene
el numero ds salida f(x) en el vertical. Por ejemplo, correspondiendo a la entrada 4 se encuentra la salida 3, de manera que f(4) = 3. A partir de la grafica, parece razonable suponer que para cualquier valor de s existe un numero de salida, por lo que el dominio de f es todos 10s numeros reales. Observese que el conjunto de todas las coordenadas .v de 10s puntos que se encuentran sobre la grafica es el conjunto de todos 10s numeros no negativos. Por ello, el ambito o contradominio de f es todas las y r 0. Esto muestra que se puede hacer una conjetura "fundamentada" acerca del dominio y el ambito de una funcion observando su grafica. En general, el dominio considte en todos 10s valores de x que estan inciuidos en la grafica y el contradominio es todos 10s valores de y que se incl~ryen.Por ejemplo, la Figura 4.13 implica que tanto el doininio como el contradominio def(x) = d x son numeros no negativos. En la Figura 4.14 resulta claro que el dominio d e p = G(q) = Jqles todos 10s numeros reales y que el ambito es todas lasp r 0.
EJEMPLO 7 Graficar la siguiente funcidn compuesta
El dorninio de f es 0 I x I 7. La grafica esta dada en la Figura 4.17, en la que el pequerio circulo claro significa que el punto asi marcado no esta incluido en la grafica. ObsCrvese que el contradominio de f es todos 10s numeros reales y tales que 0 I y I 4.
FIGURA 4.1 7
y n o e s funcion d e x
FIGURA 4.1 8
Existe una forma sencilla de identificar si una curba es la grafica de una funcion o no. E n el diagrama del extremo izquierdo de la Figura 4.18, puede observarse que con l a x dada existen dos valores asociados de y, es decir y , y y,. Por ello la curva no es la grafica de una funcion de x. Desde otro punto de vista, se obtiene la siguiente regla general, denominada prueba de la recta vertical. Si se puede trazar una recta vertical L que corte a una curva en cuando menos dos puntos, entonces la curva no es la grafica de una funcion de x. Cuando no puede trazarse una recta vertical como esta, la curva s i e s la grafica de una funcion de x. En consecuencia, las curvas de la Figura 4.18 no representan funciones de r, pero si las de la Figura 4.19.
Funciones d e x
FIGURA 4 . 1 9
4.4
101
Grdficos en coordenodos rectongulores
EJEMPLO 2
Deterrninar las intersecciones x y y, si existen, de s
=
loo ,y trazar la grafica. t
--
Para el trazo se identifica el eje horizontal como t y el eje vertical como s (Figura 4.11). Como f no puede ser igual a 0 (la division entre cero no esta definida), no existe interseccion s. Por ello, la grafica no tiene ningun punto que corresponda a t = 0.Ademas, no existe interseccion t , porque si s = 0,entonces
no tiene soluci6n. En la Figura 4.11 se muestra la grafica. En general, la grafica de s = k / t , en donde k es una constante diferente de 0,se denomina hip'rbola.
FIGURA 4.1 1
EJEMPLO 3 r
Deterrninar las intersecciones x, y de la grafica x
=
3 y trace esta.
Se puede expresar s = 3 como una ecuacion en las variables x, y describiendo x = 3 + 0y. Aqui y puede tener cualquier valor, pero x debe ser 3. Como x = 3 cuando y = 0, la interseccion x es (3, 0 ) . No existe interseccion y porque x no puede ser cero. VPase la Figura 4.12.
FIGURA 4.12
Ademas de ecuaciones, tambien pueden representarse funciones en un plano coordenado. Si f es una funcion con variable independiente s y variable dependiente y , entonces la grafica de f es simplemente la grafica de la ecuacion y = f ( x ) . Consiste en todos 10s puntos ( x , y ) ,o bien ( x f ( x ) ) ,en donde x se encuentra en el dominio de f . Al eje vertical se le puede identificar con y , o bien con f ( x ) , y se denomina el eje de valores funcionales. A1 eje horizontal sienlpre se le identifica con la variable independiente.
EJEMPLO 4
Graficar f(s) = ~. Vease la Figura 4.13. Se identifica el eje vertical con f ( x ) . Recukrdese que 4. denota la raiz cuadrada principal de s.Por consiguiente, f (9) = ~3 = 3, y no k 3 . Tampoco se pueden elegir valores negativos para x porque no se desea tener numeros imaginarios para d7x. Es decir, debe hacerse que .u 2 0. Consideremos ahora las intersecciones x,y. Si fix) 0 , entonces J\-= 0; o hien s = 0. Tambien, si x = 0 , entonces f ( x ) = 0. Por ello, la interseccionx y la intersection con el eje vertical son la misma, es decir (0,O).
-
EJEMPLO 5
Graficar p
=
G ( q ) = 191 Cfuncion valor absolute).
Se utiliza la variable independiente q para identificar el eje horizontal. El eje de valores iuncionales puede denominarse G ( q )o bien p (vease la Figura 4.14). Obser~,eseque las intersecciones q y p son el mismo punto (0,O).
FIGURA 4.14
4.4
Groficas en coordenadas rectangulares
En la Figura 4.15 se muestra la grafica de una cierta funcion y = f(x). El punto (x,f(x)) implica que correspondiendo a1 numero de entrada x del eje horizontal se tiene el numero de salida f(s)en el vertical. Por ejemplo, correspondiendo a la entrada 4 se encuentra la salida 3, de manera quef(4) = 3. A partir de la grafica, parece razonable suponer que para cualquier valor de x existe un numero de salida, por lo que el dominio de f es todos 10s numeros reales. Observese que el conjunto de todas las coordenadas .v de 10s puntos que se encuentran sobre la grafica es el conjunto de todos 10s numeros no negativos. Por ello, el ambito o contradominio de f es todas las y r 0. Esto muestra que se puede hacer una conjetura "fundamentada" acerca del dominio y el ambito de una funcion observando su grafica. E n general, el dorninio considte en todos 10s valores de x que estan incluidos en la grafica y el contradorninio es todos 10s valores de y que se incluyen. Por ejemplo, la Figura 4.13 implica que tanto el dominio como el contrado-
minio def(x) = \Jxson numeros no negativos. En la Figura 4.14 resulta claro que el dominio d e p = G(q) = Jqles todos 10s ndmeros reales y que el ambito es todas lasp 2 0.
1 i
EJEMPLO 6 La Figura 4.16 muestra la grafica de una funcion F. Se supone que a la derecha de 4, la grafica se repite en forma indefinida. Consecuentemente, el dominio de F es todas las t 2 0. El ambito es -1 5 s s 1. Algunos valores funcionales son
DJEMPLO 7
Graficar la siguiente funcidn compuesta
El dominio de f es 0 5 x 5 7. La grafica esta dada en la Figura 4.17, en la que el pequefio circulo claro significa que el punto asi marcado no esta incluido en la grafica. Observese que el coniradominio de f es todos 10s numeros reales y tales que 0 5 y I 4.
Existe una forma sencilla de identificar si una curva es la grafica de una funcion o no. En el diagrama del extremo izquierdo de la Figura 4.18, puede observarse que con la x dada existen dos valores asociados de y, es decir y y y,. Por ello la curva no es la grafica de una funcion de x. Desde otro punto de vista, se obtiene la siguiente regla general, denominada prueba de la recta vertical. Si se puede trazar una recta vertical L que corte a una curva en cuando menos dos puntos, entonces la curva no es la grafica de una funcion de x. Cuando no puede trazarse una recta vertical como esta, la curva sies la grafica de una funcion de x. En consecuencia, las curvas de la Figura 4.18 no representan funciones de r , per0 si las de la Figura 4.19.
,
Funciones de x
FIGURA 4.19
4 4
1
105
Graficas en coordenodos recrangulares
LJLHPLO 8
Graficar x
=
2y Z.
En este caso, resulta mas sencillo elegir valores de y y despues encontrar 10s valores correspondientes de x. En la Figura 4.20 se muestra la grafica. De acuerdo con la prueba d e la recta vertical, la ecuacion x = 2y2 n o define una funcion de x.
FIGURA 4.20
L;n r:i Probler?ias 1 .v 2, ubrque e rdent~f~que codo uno de 10s punros y drga en que cuodronte esrd coda punto, P ec -1.c,?!e
-.
3. En la Figura 4.21(a) se muestra la grafica de = f crL (a) Evalue J (O), f ( 2 ) , f (4) Y J (-2). Ik ;C-zai es el dorninio de f ? (c) iCual es el amLa to antradominio) de f ? C
>
En la Figura 4.21(b) se muestra la grafica de
= -i(x). ( a ) Ei.alue f (0) y f (2).
(b) ~ C u a es l el dominio de f ? (i) ~ C u a es l el ambito de f ?
5. En la Figura 4.22(a) se rnuestra la grafica de Y = f(x).
(a) Evalue f (O), f (11, Y f (-1). (b) ~ C u a es l el dorninio de f ? (c) iCual es el ambito de f ? 6 . En la Figura 4.22(b) se rnuestra la grafica de Y = f(x). (a) Determine f (Oh f(3: Y f (4). (b) iCual es el dorninio de f ? (c) iCual es el arnbito de f ?
(a)
FIGURA 4.22
En 10s Problemas 7-20 determinar /as intersecciones x, y de la grafica de cada ecuacion y trazarla. Con bast en su grafica, jes y funcion de x? Si su respuesta es afitmativa, jcua'le~son el dominio y el ambito?
En 10s Problenlas 21-34, grqficar cadofuncidn~.~eliola~~cual e~el d o ~ ~ ~ i n idll~hito o ~ ~ eol c~ontrudo~r~inio. Drterll~iriar tatnbieri (as intersecciones -1'Y y.
En 10s Problemas35-38 grafique cada funcion compuesla y determine el dominio y el contradominio.
36. f(x) =
2x + 1, s i - 1 i x < 2 , 9 - x', six 2 2.
x
+
38. f(x) = x 39. ;Cuales de las graficas de la Figura 4.23 represenran (as funciones de x?
la)
1, s i 0 < x i 3. si3 5.
4, -
cada par de valores de cantidad y precio eligiendo el eje horizontal para las cantidades posibles. Aproxime 10s puntos que se encuentran entre 10s datos dados, conectando estos con una curva alisada. De esta rnanera, se obtiene una curva de oferta. A partir de la grafica, determine la relacion entre el precio y la oferta. (Es decir, a1 aurnentar el precio, L ~ U Csucede con la cantidad ofrecida?) ~ E els precio por unidad funcion de la cantidad de oferta? Cantidad ofrecida pot semana, q
30 100 150
190 210
40. Dado el prograrna de oferta que se rnL!estra enseguida (vCase el Ejernplo 6 de la Seccion 4.21, situe
Precio pot unidad, p
$10 20 30 40 50
41. A la siguiente tabla se le denornina programa de demanda. Senala las cantidades del product0 de
4.5
Simetrio
=-a .Y qu2 10s consurnidores dernandaran (es dezr. ,rnpraran) cada sernana, a ciertos precios por .-, 4 - i Sirue cada par de valores de cantidad y pre= cLgendo el eje vertical para 10s posibles precios. C.xe~ense 10s puntos con una curva alisada. De esta =era = obtienen puntos aproximados entre 10s dar z dados. -41 resultado se le denomina curva de de~ ~ 7 d-4u partir . de la grafica, determine la relacion z e el precio del product0 X y la cantidad que sera azzandada. (Es decir, a1 disrninuir el precio, ique ~ ~ con dla cantidad 2 que se demanda?) ~ E els pre= par un~dadfuncion de la cantidad de dernanda? I
C r d d a d demandada,
Precio por unidad,
Trace la grafica de
42.
Una funcion c c a o esta podria describir el inventario y de una cornpaiiia en el tiernpo x. 43.
En un experiment0 psicologico sobre informacion visual, un sujeto observo brevemente un conjunto de letras y despues se le pidio recordar tantas como fuera posible. Se repitio el procedimiento varias veces. Supongase que y es el nurnero prornedio de letras recordadas, a partir de conjuntos con x letras. Las graficas de 10s resultados se ajustan aproxirnadarnente a la grafica de
Grafique esta funcion.*
-4.5 Sirnetria El examen del comportamiento grafico de las ecuaciones es una parte basica en matematicas. En esta seccion se examinaran ecuaciones para determinar si sus graficas tienen sitnetria. En un capitulo posterior se vera que el Calculo es de gran ayuda al graficar, poque ayuda a determinar la forma de una grafica. Proporciona tecnicas poderosas para determinar si una curva "serpentea" entre puntos o no. Considerese la grafica de y = x2 que aparece en la Figura 4.24. La porcion que se encuentra del lado izquierdo del eje y es la reflexion ( o imagen del espejo) sobre el eje y de la porcion que se encuentra a la derecha de este, y viceversa. E n forma mas precisa, si (x,, y,,) es cualquier punto de esta grafica, entonces el punto (-x,,, y,,) debe quedar tarnbien en la grafica. Se dice que esa grafica es sir?ietrica con respecto ul eje .v.
Simetrio con respecto al eje y
*
Adaptada de G . R . Loftus y E. F. Loftus, Human The Processing of informalion (Nueva York: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., distribuido por Halsted Press. Division de John Wiley & Sons, Inc. 1976). Memory:
L1tii/gr(i/ic~ic>.s ~ i ~ n k r r -con i c ~respecto ~ nl eie J, si J. solo si (-xo, y o ) C I I I E ~ Uetl lu grCjJicu c~~iirtido ( x o , y o ) ( / i i c ~ ( I ( tici11ihict1. EJEMPLO 1 Ciii1i:ur ICI deJi'nic.icit~atlier-;or ptir-u probar que Iu grufi'c.ude ?I rc~s/~ec.io ril J..
Supongase que (x,, yo) es cualquier punto de la grafica de y yo
.u' es situetricu cot1
=
=
x 2 . En este caso
= x;.
Se debe demostrar que las coordenadas de (-x,,,
J-,,)
satisfacen .v
= .I-'.
yo = ( - . x ~ ) ~ ' ? 2 yo = xo?
Pero de lo anterior se sabe que y,, respecto al eje y .
= .Y,',.
En consecuencia la grafica es simetrica con
Al probar la simetria en el Ejemplo 2 , (x,, yo) puede ser cualquier punto de la grafica. En lo futuro, y por conveniencia, se ornitiran 10s subindices. Esto significa yue una grafica es simetrica con respecto al eje y si reemplazando a x por -x en la ecuacion resulta otra ecuacion equivalente. En la grafica de x = y2 que aparece en la Figura 4.25 se muestra otro tipo de simetria. Aqui, la porcion que se encuentra por debajo del eje x es la reflexion sobre el eje x de la porcion que se encuentra por encima de este, y viceversa. Si el punto ( x , y) esta en la grafica, entonces tambien ( x , -y) esta en ella. Se dice que esta grafica es simktrica con respecto a1 eje x .
Simetrio con respecto ol eje x.
FIGURA 4.25
C1tlrigrajir-u e.5 sirnerricu con respecto a1 eje x si y solo si /,Y, -y) esifi en la gt~ifi'cur-uundo J') iutubien lo esra.
(x,
4.5
Simetria
Por tanto, la grafica de una ecuacion en x y y tiene simetria con respecto al sjs se reemplaza y por -jl da como resultado una ecuacion equivalente. P o r ejemplo. aplicando esta prueba a la grafica de x = y' q u e se rnuestra en la figura 4.25, se obtiene
j, si
que es equivalente a la ecuacion original. Por ello, la grafica es simetrica con respecto al eje x.
Simetria con cespecro al origen
FIGURA 4.26
En la grafica de y = s' que aparece en la Figura 4.26 se ilustra un tercer tipo de simetria, la sitnetrrb con respeclo a1 origen. En 10s casos en 10s que el punto ( x jy ) queda en la grafica, entonces tambien (-x, - y ) esta en ella. C o m o resultado, el segment0 de recta que une 10s puntos (x, y ) y (-x, -y) es bisecado por el origen.
Una g r f i c a es simetrica con respecto a1 origen si y solo si (-x, -y) esra en la grafica cuando (x, y ) rambien l o esla.
Por ranro, lagrafica de zrna ecuaciori en x, y tiene simetria respecto al origen si al sustituir s por -x y y por -y se obtiene una ecuacion equivalente. Por ejemplo, aplicando esta prueba a la grafica de Y = .u7, Figura 4.26, se obtiene
que equivale a la ecuacion original. De mod0 que la grafica es simetrica respecto a1 origen. Cuando se sabe que una grafica tiene sirnetria, se la puede trazar mediante un menor numero de puntos de 10s que serian necesarios si no fuera simetrica.
Criterios de sirnetria
Reemplazar .v por -y en la ecuacion. Existe sirnetria si se obtiene una ecuacion equivalente.
Sirnetria con respecto a1 eje x -
Simetria con respecto al eje y
Sustituir x por -x en la ecuacion dada. Existe sirnetria si se obtiene una ecuacion equivalente.
Sirnetria con respecto a1 origen
Reernplazar x por -x y y por -y en la ecuacion dada. Existe sirnetria si se obtiene una ecuaci6n equivalente.
EJEMPLO 2 Probar la simetria de y =
I
- con respecto al eje y , al eje x y al origen. Despues determinar X
las intersecciones x, y y trazar la grafica. Sirnetria Eje x: Reernplazando y por -?; en y = I / x resulta
-Y
1
= X
obien
1
Y = --,
X
que n o es equivalente a la ecuacion dada. Por ello, la grafica no es sirnetrica respecto
a1 eje .u. Eje y : Reernplazando x por - x en y = I/x resulta
que no es equivalente a la ecuacion dada. Por tanto, la grafica no es sirnetrica respecto
a1 eje y. Origen: Reemplazando x por - x y y por -v en y
=
l/x da
que si es equivalente a la ecuacion dada. De mod0 que la grafica es simetrica con respecto a1 origen.
4.5
111
Simetrio
Intersecciones: Como x no puede ser 0, la grafica no tiene interseccion y . Si y es 0, entonces 0 = l/x y esta ecuacion no tiene solution. Por tanto, no existe interseccion x.
Analisis: Como no existen intersecciones x; y , la grafica no corta a ninguno de 10s ejes. Ubicando algunos puntos (x,y ) a la derecha del eje y , puede trazarse la porcion de grafica que se muestra en el primer cuadrante de la Figura 4.27. Por sirnetria, se refleja esta porcion sobre el origen para obtener la grafica completa.
--
EJLMPLO 3
-
It~vesligursi .v = f ( s ) = 1 - .tA es si~~ierricu cori respecto trl eje .Y, el eje y o el origen. Desp~resobrener 10s inre~,seccionescon 10s ejes y truzar /LI graficu. Sirnetria. Eje x: Reernplazando y por -y en y = 1 - P resulta
-v=
o bien
1 - x
y =
-
1
+ x4,
que no es equivalente a la ecuacion dada. Por lo tanto, la grafica no es sirnetrica con respecto al eje s.
Eje y: Sustituyendo x por -x en y
=
- x' da
que es equivalente a la ecuacion dada. Por consiguiente, la grafica es sirnctrica con respecto al eje y .
Origen: Reemplazando
por -x y
j1
por -y en y = I -
h4
se obtiene
que no es equivalente a la ecuacion dada. Consecuenternente, la grafica no es sirnetrica con respecto al origen. Intersecciones x y y Para ver si existen intercepciones x (o intersecciones con el eje x) debe hacerse y = 0 en y = I - x? En este caso, 1
-
x 4 = 0.
( I - x2)(1 + x2) = 0 , (I
-
x)(l
+ x)(l + x2) = 0 , x = I 0 bien x
= -
1.
Por ello, las intersecciones x son ( I , 0 ) y ( - 1 , 0 ) . Para ver si hay intersecciones j,hace .u = 0 . Entonces y = 1 , de mod0 que ( 0 , 1 ) es la unica interseccion .v. Analisis Si se marcan las intercepciones y algunos puntos ( x y y ) a la derecha del eje y , puede trazarse la grafica complefautilizando la simetria con respecto a1 eje y (Figura 4.28).
En el Ejemplo 3 se ilustro que la grafica de y = f ( x ) = 1 - 9 no riene simetria respecto a1 eje x. Con excepcion de la funcion constante f(x) = 0 , la grafica de cualquier Juncion y = f(x) nopuede tener simefriacon respecto a1 eje x porque tal simetria implica que existen dos valores y con el mismo valor de x.
EJEMPLO 4
Buscar las intersecciones con 10s ejes y la simetria de la grafica de 4x' Trazar la grafica.
+
9y'
=
36.
lntersecciones Si y = 0 , entonces 4x2 = 36, de manera que x = 3. Asi, las intercepciones x son (3, 0 ) y (-3, 0 ) . S i x = 0 , entonces 9y' = 36, en consecuencia, ), = -t 2. Por lo tanto, las intercepciones y son (0, 2) y (0, -2). Sirnetria Eje x: Reemplazando y por -y en 4x2
4x'
+ 9(-y)'
=
36
o bien
+
9y2
=
36, se obtiene
4.x2 + 9y2 = 36.
Dado que se obtiene la ecuacion original, existe simetria con respecto a1 eje x. Eje y: Reemplazando x por -x en 4x2
+
+ 9y2 = 36
4(-x)'
9p 0
=
bien
36, se obtiene 4x2
+ 9y2 = 36.
De nueva cuenta se obtiene la ecuacion original y , en consecuencia, existe tambien simetria con respecto a1 eje y. Origen: Reemplazando x por -x y y por -,v en 4x2
+
4 ( - x ) ~ 9(-y)'
=
36
+
9y2
o bien 4x2
=
36, se obtiene
+ 9y2 = 36.
113
Reposo
4.6
Debido a que esta es la ecuacion original, la grafica es tambien simetrica con respesto a1 origen. Analisis En la Figura 4.29 se marcan las intersecciones con 10s ejes y algunos, puntos en el primer cuadrante. Despues se unen 10s puntos de este cuadrante mediante una cur\ a alisada. Los puntos del cuarto cuadrante se obtienen a partir de la simetria con respecto al eje x. Despues por la simetria con respecto al eje y se determina la grafica completa. Existen otras formas de graficar la ecuacion utilizando simetria. Por ejemplo, despues de rnarcar las intersecciones y algunos puntos en el primer cuadrante, mediante la simetria con respecto a1 origen se pueden obtener 10s puntos del tercer cuadrante. Por la simetria con respecto a1 eje x ( o eje y ) puede obtenerse entonces la grafica completa.
E n el Ejernplo 4, la grafica es simetrica con respecto al eje x , el eje y y el origen. Para cualquier grafica, si existen cualesquiera dos de 10s tres tipos de simetria., entonces debe existir el tipo restante tambien.
.€r l
o Problemas 1-16, halle /as intersecciones s,.v de las graficas de las ecuaciones. Investigue tambien la s,verria con respecto a1 eje y o el origen. No trace /as graficas. 1. ? = 5.r.
2. y = f ( x ) = x2
4. .r =
5. 4x2
\3.
8. y
7. r = - 2 .
I@. >-
=
v ' z .
=
-
3. 2x2
4.
9y2 = 36.
12x1
l l . x - 4y
-
-
-
y 2 ~ 3=
8 - y,
6. y = 7 .
2.
y2
+
9 . x = -y
+ 21
=
12. x "
0.
,ly
-4
+
y2 =
0.
En 10s Problemas 17-24, halle las intercepciones x y y de las grcifcas de las ecuaciones. Tambit+ investigue s erirte simetria con respecto a1 eje x, a1 eje y o a1 origen. Despub trace las grajkas.
-
17. Lr + y' = 4.
18. x
21. x, - IyI = 0.
22. x2
19. y = f ( x ) = x 3 - 4x.
y4.
+ y2
=
23. 4.x2
16.
+
y2
=
16.
20. y = x 24. x2
-
--
x3.
y2 = 1
Repaso
-4.6
TERHINOLO~~A Y SIMDOLOS S e ~ i 6 n4 - 1
funci6n dominio contradominio (0 ambito) variable independiente valor de funcion funcion de demanda funcion de oferta variable dependiente f (x)
Secci6n 4.2
funcion constante funci6n compuesta
%ion
4.3
f
+g
f
-g
funci6n polinomial valor absoluto 1x1 fg
f/g
f
0
funcion lineal factorial, r! g
funcion cuadratica funcion racional
funcion compuesta
Section 4.4
sistema de coordenadas rectangulares ejes coordenados origen plano x, y par ordenado (x, y) coordenadas de un punto coordenada x coordenada y abscisa ordenada cuadrante interseccion y interseccion x grafica de una ecuacion grafica de una funcion eje de valores funcionales prueba de la recta vertical
Seccion 4.5
sirnetria con respecto a1 eje x sirnetria con respecto a1 eje y sirnetria con respecto a1 origen.
RESUMEM _
- - _ _ _ _ _ _ _ _
-
Una funcion f es una regla de correspondencia que asigna a cada numero de entrada x exactamente un numero de salida f (x). Por lo general, se especifican las funciones rnediante ecuaciones que seiialan que es lo que debe hacerse a la entrada x para obtener f (x). A fin de obtener un valor especifico f (a), se reernplaza por a cada valor de x en la ecuacion. El dorninio de una funcion consiste en todos 10s numeros de entrada (o de insunlo) y su contradominio o arnbito consiste en todos 10s numeros de salida (o de producto). A menos que se especifique lo contrario, el dominio de f consiste en todos 10s nu~nerosreales x para 10s cualesf(x) es tambien un numero real. Algunos tipos especiales de funciones son las funciones constantes, las funciones polinomiales y las funciones racionales. Una funcion que esta definida por mas de una ecuacion recibe el nombre de funcion compuesta. En econornia, las funciones de oferta y de demanda presentan la correspondencia entre el precio p de L:n producto y el numero de unidades q de 10s productos que 10s fabricantes (o 10s consumidores) ofreceran (o compraran) a ese precio. Se pueden combinar dos funciones, f y g, para formar una suma, una diferencia. un producto, un cociente, o una cornposicion, de la siguiente manera:
Un sistema de coordenadas rectangulares permite representar en forma geometrica ecuaciones en dus variables, asi como funciones. La grafica de una ecuacion e n x y y consiste en todos 10s puntos (x, y) que corresponden a las soluciones de la ecuacion. Se ubica un numero suficiente de puntos y se les une (en donde sea apropiado), para que resulte evidente la forma basica de la grafica. Los puntos en donde la grafica corta a 10s ejes x y y, se denominan intersecciones x y y , respectivamente. Se determina una interseccion x igualando y a 0,y despejando el valor de x; se encuentra una interseccion v igualando x a 0 y despejando el valor de y. La grafica de Llna funcion f es la grafica de la ecuacion y = f(x) y consiste en todos 10s puntos (x, f(:)). La grafica debe poner de manifiesto cuales son el dominio y el contradominio. Se puede determinar el hecho de que una grafica representa una funcion utilizando la prueba de la recta vertical. Una recta vertical no puede cortar la grafica de una funcion en mas de un punto. Cuando la grafica de una ecuacion tiene simetria, el efecto de imagen especular (0 de espejo) permite trazar la grafica utilizando un menor n~imerode puntos de 10s que se requeririan de otra manera. Las pruebas para simetria son: Se sustituye y por -y en la ecuacion dada. Simetria Es simetrica si se obtiene una ecuacion equivalente respecto a1 eje x Simetria respecto a1 eje y
Se sustituye x por -x en la ecuacion dada. Es simetrica si resulta una ecuacion equivalente
Simet ria respecto al eje
Se sustituye x por -xy y por -y en la ecuacion dada. Es simetrica si se obtiene una ecuacion equivalente
,-
4.6
115
Reposo
PRODLEMAS DE REPASO Ez ios Problemas 1-6, seiiale cual es el dominio de cada funcion.
t3 ios Problemas 7-14, determine 10s valores funcionales para la funcion dada. .r..f,-r, = 3s: - 4x
+
7 ; f(O), f ( - 3 ) ,
U p-r' = 1: ~ ( 4 1 , g(&),
g(-1561,
4 , s i x < 2.
n.+I,=
, tl-
-
- 1 y g (x) =
Zu
eJ(.TJ
gNTJ.
+
+
e l l r).
1
-.
g(.r) = x
I
-
2 . g(.r)
( f g)(5). 0
h. (g
-
1.
I
=
+ 4.
1 , evallie lo siguiente.
& h ProbLemus 19-22 evalue (f g) ( x )y (g o
a Jim
- f ( r ) , simplifique [as respuestas.
b. ( f - g)(x).
-
=
h, h
3, determine lo siguiente.
ha
&. -' pux1.
.R
+
e. ( f g ) ( l ) .
-
--
I
h), y (b)
b. ( f + g)(4)
4y~r= ) x 2 y g (x) = Zu
,
f(O), f(10).
16. f ( x ) = x 2
L -'p.rl &. j z
+
+ 4).
- 71.
!GfW = 3x
--
g(x
f(4), f(-2).
f i br Roblemas 15 y 16, evalue (a) f ( x
m-Gml= 3
f(5), f(t).
=
r3.
O ~ ) ( X ) .
i. (g " f ) ( - 4 ) .
(x). 20. f ( x ) =
s
+
1
- g(x) 4
'
22. , f ( x ) = 2 , g(.t-) = 3 .
=
4.
En 10s Prohlernas 23-24, derernline Ias inrersecciones de la grafica de cad0 ecuacidn .v pruehe si exisre sirilerriu con respecto a1 eje x, a1 eje y o 01 origen. N o [race la grcjfica.
En 10s problemas 25 y 26, determine las inrersecciones x. .v de /as grrifcas de /us ecuaciones. Pruebe runibierl si esisre simerria con respecto a1 eje x, a1 qje y o a1 origen. Desp~restrace /as grrificus
E n losproblemas 27-30 grafique cada,funcion y exprese cudles son su dominio y su contradominio. Determine tambikn las intersecciones (x, y).
31. Grafique la siguiente funci6n compuesta y determine su dominio y contradominio:
32. Las ventas anuales proyectadas S (en dolares) para un producto nuevo estan dadas por la ecuacion S = 150000 + 3000r, en donde res el tiempo en aiios a partir de 1990. A una ecuacion como esta se le denomina ecuacion de rendencia. Determine las ventas anuales proyectadas para 1995. ;Es S funcion de I?
33. En la Figura4.30 ~ Q u graficas e representan funciones de x?
la)
F~CURA4.30
(b)
(c)
iUno experientio en el pogo de impuestosl-. Es probable que haya usted escuchado el viejo dicho: "solo existen dos cosas seguras en la vida: la muerte y el pago de impuestos". Aqui se vera la forma en que se pueden aplicar las funciones a una de esas "certidumbres": 10s impuestos. Se utilizaran las tasas dk impuestos federales de 1988, en Estados Unidos, aplicables a un matrimonio que presenta una declaracion conjunta con cuatro exenciones. Supongase que se desea determinar una formula para la funcionf, tal quef(x) Sean 10s impuestos (en dolares) para un ingreso gravable x (dolares). El impuesto se basa en diversos intervalos de ingresos gravables. De acuerdo con la Tabla Y-1 de la Direccion del Impuesto Sobre la Renta (Internal Revenue Service)' (Figura 4.31), si x es $0 o menos, el impuesto es $0; si x mayor de $0, pero no mayor de $29 750, el impuesto es 15% de x; se x es superior a $29 750, pero no superior a $71 900, el impuesto es de $4 462.50 mas 28% de la cantidad que exceda de 29 750; si x es superior a $71,900, pero no superior a $149 250, el impuesto es $16 264.50 mas 33% de la cantidad que exceda de $71,900; si x"essuperior a $149 250, entonces debe utilizarse una hoja de trabajo para calcular el impuesto. Evidentemente, si x s 0, entonces f(x)
=
.o.
Si 0 < x 5 29 750, entonces i
f(x) = 0 . 1 5 ~ .
ObsCrvese que el impuesto que causa un ingreso gravable de $29 750 es
Tabla Y-1-Utilicese
si su estado civil es Casado, con declaracion conjunta, o bien Viudo(a) calificable.
SI la canlidad en la forrna 1040, linea 37, es: Pero no Superior a rupcrior a
........
149 250
An6tese en la Forma 1040, linea 38
de la cantidad excedente de
Utilice la Hoja de Trabajo que sigue para calcular sus impuestos.
Internal Revenue Service 1988 Schedule Y - I
Si (29 750 < x
5
71 900), entonces la cantidad excedente de $29 750 es x - 29 750, y
Como 4 462.50 es 15% de 29 750, para un ingreso gravable de entre $ 29 750 y $ 71 900, se grava en esencia a la tasa de 15% para 10s primeros $ 29 750 de ingresos, y a una tasa de 28% para el ingreso restante. Obskrvese que el impuesto sobre $ 71 900 es
Si (71 900 < x 5 149 250), entonces la cantidad excedente de $ 71 900 es x - 71 900, por 10 que
Como 16 264.50 es el impuesto sobre $71 900, para un ingreso gravable de entre $71 900 y $149 250, se grava a una tasa de 15% para 10s primeros $29 750 de ingresos, a la tasa de 28% para 10s siguientes $42,150 de ingresos (71 900 - 29 750 = 42 150), y a una tasa de 33% para el impuesto restante. En el extremo superior de este interval0 de ingresos, es decir, $149 ,250, el impuesto es
Para el ingreso gravable x superior a $149 250, se utiliza una hoja de trabajo (vease la figura 4.32). En ella se determina la parte menor de 5% del ingreso gravable que se encuentra por encima de $149 250, y $2 184 (esta ultima, $2 184 es una cantidad basada en el numero de exenciones, en este caso cuatro). El ingre~ogravable por encima de $149 250 es x - 149 250, y el 5% de esta cantidad es 0.05(x - 149 250). Si O.O5(x - 149,250) 5 2184, entonces 0 . 0 5 ~- 7462.50
5
2184,
119
iUno experiencio e n el p o g o d e impuestos! Hoja de trabajo (Conskrvela en su archivo) S i \u estado I . civil e\:
Si \ u cs~ado 3. civil es: 4.
5. 6.
7.
8. 9.
Soltero, anote Jefe de familia, anote Casado con declaration conjunra o un viudo(a) calificable, anore Casado con declaracion por separado, anote Anote su ingreso gravable de la Forma 1040, linea 37 . . . . . .
i
Soltero, anote Jefe de familia, anote Casado con declaracion conjunta o un viudo (a7) calificabale, anote Carado con declaracion por separado, anote Resre la linea 3 de la linea 2. Anote el resultado. (Si el resultado es cero o menor, urilice la tabla anterior para calcular sus impuertos. de acuerdo con su estado civil. No utilice esta hoja de trabajo Multiplique por 28% (.28) la cantidad de la linea 4. A!lote el resultado
. .
. . .
.
1.-.-
.
.
. 5.
2.
1
3.
j
4-
. . .
Multiplique por 5% (.05) la cantidad de la linea 4. Anote el resultado blultiplique $546 por el numero de exenciones que se indican en l a . Forma 1040, linea 6e. Si es casado y prerenta declaracion en forma separada, vea la advertencia que se anota abajo). Anote el rerultado. Compare las cantidades de lar lineas 6 y 7. Anore la menor de las dos. lmpuesto. Sumar los renglonec 1 , 5 y 8. Anote aqui el rota1 y en la forma 1040, linea 38.
,
.
6.
.
7.
.
.
. . . . . . . . 8. . . . . . . . . 9.
Hoja de Trabajo. Tabla Y - I
de manera similar, si (O.O5(x- 149 250) > 2 184,entonces x > 192 930. Por ello, la porcion menor de 0.05:~ - 149 250)y 2 184 es O.O5(x - 149 250) si 149 250 < x 5 192 930,y es 2 184 si (x > 192 930. El impuesto sobre x es la suma de $41 790,o sea 28% del ingreso gravable por encima de $149 250, y la cantidad menor de 0.05(x - 149 256) y 2 184. Asi, para 149 250 < x 5 192 930,
Si x > 192 930, entonces
Por lo tanto, la parte de ingreso gravable entre $149 250 y $192 930 se grava a la tasa de 33%, per0 cualquier suma por encima de $192 930 se grava a una tasa menor, de 28%. Resumiendo todos estos resultados, se obtiene la funcion compuesta
Por ejemplo, el impuesto por un ingreso gravable de $40 000 es (utilizando la tercera ecuacion):
Con estas formulas se puede ilustrar en forma geometrica la funcion "impuesto sobre la renta", como se ve en la Figura 4.33.
Utilice la funcion f "irnpuestos sobre la renta" que se acaba de analizar para determinar el impuesto sobre 10s siguientes ingresos gravables.
5
CAP~ULO
Rectas, parabolas y sistemas b
-5.1 Rectas Se pueden representar en forma conveniente muchas relaciones entre cantidades mediante rectas. Una caracteristica de una recta es su inclinacidn. Por ejemplo, en la Figura 5.1, la recta L esta mas inclinada respecto de la horizontal que la recta L,. En este sentido, L , tiene mayor declive. Para medir la inclinacidn de una recta, se u t i l i ~ ala nocidn de pendiente. En la Figura 5 . 2 , conforme se avanza a lo largo de la recta L desde (2, 1) hasta (4, 5), la coordenada x aurnenta de 2 a 4 y la coordenada y aumenta de 1 a 5 . La tasa promedio de variation de y con respecto a x es la razon.
,
cambio en y - carnbio vertical - 5- - 1 cambio en x cambio horizontal- 4 - 2
-
42
-
2.
Esto significa que para cada aumento unitario en x se tiene un uumenfo de 2 unidades en y . Por ello, la recta usciende de izquierda a derecha. Se dice que la pendiente de la
FlGURA 5.4
FlGURA 5.2.
recta es 2. Si (x, y y , ) y (x,, y,) son otros dos puntos diferentes en L , entonces se puede Eambio vertical , o bien -YI' 1. es tambikn 2. probar que el cociente cambio horizontal x2 - X I
Sean (x,,y , ) y (x,, y,) dospuntos sobre una recta en donde .\-I # x 2 . La pendiente de la recta es el numero dado por 2 - 3'1 m = Y-
X:,
carnbio vertical
- XI
No se define la pendiente de una recta vertical, pues dos puntos cualesquiera sobre una recta como esta tienen que x, = x, (vease la Figura 5.3). Por consiguiente, el denominador en (1) es cero. Para una recta horizontal, dos puntos cualesquiera tienen y, = y,, [vease la Figura 5.3(b)]. Por lo tanto, el numerador (1) es cero, de mod0 que m = 0.
(a1
FIGURA 5.3
EJEMPLO 1
La recta que aparece en la Figura 5.4 muestra la relacion entre el precio p de un product o y la cantidad q en (millares) que 10s consumidores comprarian a ese precio. Calcular e interpretar la pendiente.
" I
FIGURA 5.4
Aurnenro de 1 unidod Disminuci6n de
a
de unidad
-
y y1 = m(x - x,) es la forma punto-pendiente de una ecuacion de la recta cuya pendiente es nr y pasa por el punto (x,, y,).
EJEMPLO 2
Hallese la ecrrucio'n de la reclu que fiene pendiente de 2 y pasa pol* ( 1 , 3). Aqui m
=
2 y (x,, y ,) = (1, -3). Utilizando la forma punto-pendiente, se tiene que y - (-3)
=
2(x - I ) ,
lo cual se simplifica a y+3=2x-2. Es posible expresar la respuesta de la siguiente manera: 2.-y-5=0.
La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos dados puede encontrarse en forma sencilla, corno se muestra en el Ejemplo 3.
EJEMPLO 3
Obtener la ecuacion de la recta que pasa por 10s punros (-3, 8) y (4, -2). Esta recta tiene la pendiente -2
8
-
10
Eligiendo (-3, 8) como (x,, y , ) en la forma punto-pendiente, se obtiene -
8
= -Lo.
7
y-8=-'0 7y - 56 o bien
10x
=
[-r - (-3)1,
7 (X
-lox
+ 7y
+ 3).
-
30,
- 26 = 0 .
Escogiendo (4, -2) como ( x , , y , ) se hubiera obtenido el mismo resultado. Recuerdese que el punto (0, b ) en el cual una recta corta a1 eje y se denomina intercepcion y (Figura 5.7). En ocasiones, simplemente se dice que el nlimero b es la ordenada en el origen). Si se conocen la pendiente y la ordenada en el origen de una recta, la ecuacion es (utilizando la forma punto-pendiente):
5.1
Rectos
FIGURA 5.7
Despejando .v se obtiene y = n:x + b , que se denomina la for-mn pendierlre-infer.c.epc,icin \. de la ecuacion de una recta.
y = m x + b es la forrna pendiente-intercepci6n y de la ecuacion de una recta cuya pendiente es 171 y su ordenada en el origen b.
EJEMPLO 4
a. La ecuacion de una recta con pendiente 3 y ordenada en el origen -4 es y
= 3x
y = 3x
+ (-4), -
4.
b. La ecuacion y = 5(x - 3) puede escribirse como y = 5x - 15, que tiene la forma y = mx b con m = 5 y b = - 15. Consecuentemente, su grafica es una recta con pendiente 5 y ordenada en el origen de -15.
+
Si una recta vertical pasa por el punto (a, b) (vease la Figura 5.8), entonces cualquier otro punto (x, y ) queda sobre la recta si y solo si x = a. La coordenada y puede tener cualquier valor. Asi, la ecuacion de la recta es x = a. De manera similar, la ecuacion de una recta horizontal que pasa por el punto (a, b) es y = b (vease la Figura 5.9). Aqui, la coordenada x puede tener cualquier valor.
t(a, 6)
FIGURA 5.8
FIGURA 5.9
EJEMPLO 5
a. La ecuacion de la recta vertical que pasa por (-2, 3) es x recta horizontal que pasa por (-2, 3) es y = 3.
=
-2. La ecuacion de la
b. Los ejes x y y son, respectivamente, rectas horizontal y vertical. Dado que (0,O) queda en ambos ejes, la ecuacion del eje x es y = 0 y la ecuacion para el eje y es x = 0.
Del analisis anterior se puede demostrar que toda recta es la grafica de una ecuacion que tiene la forma Ax + By + C = 0,en donde A , B y C son constantes, y A y B no son nulas simultaneamente. A tal expresion se le denomina ecuacion lineal general (o ecuacion de primer grado) en las variables x y y , y se dice que x y y se relacionan linealrnente. Por ejemplo, una ecuacion lineal general para y = 7x - 2 es (-7)x + ( I ) y + (2) = 0.Por otra parte, la grafica de una ecuacion lineal general es una recta. Por ejemplo, 3x + 4y + 5 = 0 es equivalente a y = (- :)s + (- 2 ) y por consiguiente su grafica es una recta que tiene pendiente - 2 y ordenada en el origen - 2.
EJEMPLO 6 Trace la grafica de 2x
- 3y +
6
=
0.
Puesto que ista es una ecuacion lineal general, su grafica es una recta. Por lo tanto, so10 es necesario determinar dos puntos diferentes de la grafica para poder trazarla. Si x = 0,entonces y = 2. Si y = 0,entonces x = -3. Ahora, se traza la recta que pasa por 10s puntos (-3, 0)(vCase la Figura 5.10).El punto (-3, 0)es la abscisa en el origen. El punto (0,2) es una intercepci6n y , y (-3, 0) es una intercepcion x .
I
En la Tabla 5.1 se presentan las diversas formas de las ecuaciones de las rectas. TADLA 5.1 Formas de ecuaciones de rectas
Forrna punto-pendiente Forrna pendiente-intercepcion y Forrna lineal general Recta vertical Recta horizontal
y=mx+ b Ax+By+C=O x = a y = b
#,
-
's \%-,-**a
5.2
I
F
127
Aplicociones y funciones lineoles
Er !os Problen~as1-8, determinar la pendiente de la recta que pasa por 10s puntos dados.
1. 1-1. 1 1 . ( 7 . 10)
2. ( - 3 , I I ) , (2, 1).
3. (4. -2).
- 6 . 3).
4. (2, -4), (3, - 4 )
5. ~ 5 31. . ( 5 . -8)
6. (0, -6), (3, 0).
7. (5, - 2 ) . (4, - 2 ) .
8. ( 1 . -6). ( 1 , 0).
(
E.: 10s Problemas 9-24, determrne la ecuacion general lineal (Ax + By r,sdodes qlre se setialan y trace cada una de ellas.
+
C
= 0) de
la recta que trene las pro-
9. Pasa por (2, 8) y tiene pendiente 6.
10. Pasa por el origen y su pendiente es -5.
11. Pasa por (-2, 5) y tiene pendiente - f.
12.
13. Pasa por (1, 4) y (8, 7).
14. Pasa por (7, 1) y (7, -5).
15. Pasa por (3, -1) y (-2, -9).
16. Pasa por (0, 0) y (2, 3).
17. Tiene pendiente 2 y ordenada en el origen 4.
18. Tiene pendiente 7 y su intercepcion y es igual a -5.
19. Tiene pendiente - h y ordenada en el origen -3.
20. Tiene pendiente 0 y su intercepcion y es igual a-+.
21. Es horizo~~tal y pasa por (-3, -2).
22. Es vertical y pasa por (-1, 4).
'
24.
23. Pasa por (2, -3) y es vertical.
Pasa por ( + ,5) y tiene pendiente de
4.
Pasa por el origen y es horizontal.
En 10s Problemas 25-34, obtenga, si es posible, la pendiente y la ordenada en el origen de la recta determinada por la ecuacion, y trace la grafica. 3.
Y =
2x
-
1.
26. x - 1
29. s
= -5.
30. x
33. ?.
= 1.
34. 2y
-
= 5.
+ 3.
1 = 5y
27. x
+ 2y
31. y
= 3x.
-
3 = 0.
28. y
+4
32. y
-
7
=
7.
= 3(x - 4).
3 = 0.
Eli 10s Problemas 35-40, obtenga la forma lineal general y la forma pendiente-ordenada en el origen de la ecuacion dada.
35. 2x
= 5 -
3y.
36. 3x
+ 2y
=
6.
37. 4x
+ 9y
-
5 = 0.
4
Una recta pasa por ( 1 , 2 ) y (-3, 8 ) . Halle el punto que tiene como priinera coordenada 5.
42.
Una recta tiene pendiente de 2 e intercepcihn .v (0, 1). LEI punto (-1,
_
-
1) esta sobre la recta?
5.2 Aplitationes y funtiones lineales Muchas situaciones en Economia pueden describirse utilizando graficas rectilineas, como se nluestra en el Ejemplo 1.
EJEMPLO 1 Supongase que un fabricante dispone d e 100 libras d e material con el cual puede fabricar dos productos, A y B, que requieren de 4 y 2 libras d e material por unidad, respecti-
vamente. Si x y y denotan el numero de unidades de A y B que se fabrican, respectivamente, entonces todos 10s niveles de produccion estan dados por las combinaciones de x y y que satisfacen la ecuacion.
4x
+ 2y
=
100, en donde x , 1 r 0
En consecuencia, 10s niveles de produccion de A y B es:an relacionados linealmente. Despejando y, se obtiene la forma pcndiente-ordenada en el origen. y = - 2 ~ 50,
+
y por lo tanto la pendiente es -2. Este valor refleja la tasa de variation del nivel de produccion de B con respecto al nivel de produccion de A. Por ejemplo, si se fabricara una unidad mas de A,se requeririan 4 libras mas de material, lo que daria por resultado $ = 2 unidades menos de B. Por consiguiente, a1 aumentar x en 1 unidad, el correspondiente valor de y disminuye en 2 unidades. Para trazar la grafica de y = -2x + 50, puede utilizarse la intercepcion y (0, 50) y el hecho de que cuando x = 10, y = 30 (vease la Figura 5.11).
Para cada nivel de precios de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que 10s consumidores demandan (es decir, compran) en determinado periodo. Por lo general, conforme mayor es el precio, menor es la cantidad que se demanda; al reducirse el precio, aumenta la cantidad demandada. Si el precio por unidad de un producto esta dado por p y la cantidad correspondiente (en unidades) esta dada por q, entonces a la ecuacion que relaciona a p y q se le denomina ecuacidn de dernanda. A su grafica se le denomina grafica de dernanda. En la Figura 5.12(a) se muestra una grafica de demanda. De acuerdo con la practica de la mayor parte de 10s economistas, el eje horizontal es el eje q y el vertical es el eje p. Se supone que el precio por unidad esta dado en unidades monetarias (u.m.) y que el intervaIo es 1 semana. Por lo tanto, el punto (a, b) de la Figura 5.12(a) indica que a un precio d e b u.m. por unidad, 10s consumidores demandarian a unidades a la semana. Puesto que no tienen sentido 10s precios negativos o las cantidades negativas, tanto a como b deben ser no negativas. Para la mayor parte de 10s productos, un aumento en la cantidad de demanda corresponde a una disminucion en el precio. Consecuentemente, es tipico que las graficas lineales de demanda tengan pendientes negativas, tal como la de la Figura 5.12(a). En respuesta a diversos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que 10sfabricantes estan dispuestos a ofrecer en el mercado en algun periodo especifico.
5 . 2 * Aplicociones y funciones lineales P
P
Culva de otena
a
t (Cantldoo por unldod de tlempo)
I
(Contldod por unldad de tiempo)
P o r lo general, c u a n r o m a y o r es el precio unitario, t a n t o m a y o r sera la cantidad q u e 10s fabricanres estan dispucstos a ofrecer; a1 reducirse el precio, se reduce talnbien la cantidad d e oferta. Si y d e n o t a el precio por unidad, y q , la cantidad ofrecida correspondiente, entonces a la ecuacion q u e relaciona y y y se le denornina ecuacicin de oferla 9 a su grifiica se le denornina grafica de oferta. E n la Figura 5.12(b) s e prescnta una grafica d e o f r r t a . Si P esta d a d o en ~ 1 . m .y el period0 es 1 s e m a n a , entonces el p u n t o (c, d ) indica q u e a un precio d e d u.rn. p o r produeto, 10s fabricantes ofrecerLin c unidades por sernana. C o m o antes s e menciono c y d son n o negativas. 1'0s 10 general, una g r i f i c a d e oferta asciende d e izquierda a derecha, es decir, tiene pendiente positiva corno en la Figura 5.12(b). Esto indica q u e 10s t'abricanres ofreceran m a s d e u n producro a precios mas elevados. A h o r a se h a r a hincapik en curvas d e dernanda y oferta q u e son lineas I-rctas(Figus3 5.13). S e las denornina graficas lint~ulesd e dernanda y d e oferta. Tales grjficas tienen ectiaciones en las q u e p y y e s t a r ~relacionadas d e rnanera lineal. C o n l o nor!-nalmentc las cur\.as d e d e m a n d a b a j a n d e izquierda a derecha, las graficas iineales d e d e ~ n a n d a tienen pendiente negativa [Figul-a 15.13(a)J. Sin ernbargo, la pendiente d e las graficas lineales d e oferta es positiva, p o r q u e este tipo d e grdficas ascienden d e i ~ q u i e l d a de1.ec h a [Figura 5.13(b)]. P
t
Grofico de demondo lineal
i 1
Grafico de ofeno lineal
Suyonguse qur Iil dei1;undu setllui;~iiijt~i111 yt.oduclo es (it. i 00 unidrrclc~scuu,lrio r! /ll.clcio de $58 pol- unidad, 11dr 200 uniclndes, con pl.ec.io de $5 1 cucia ili70. D e i t ~ i . ~ ~ l ! Iu pc,iiucion de cle117uridu.supor~irnclo(iue t>slirlrul.
Dado que la ecuacion de demanda es lineal, la gl-afica de denlanda debe ser una recta. Se entiende que la cantidad g y el precio p tienen una relacion lineal tal que p = 58 cuando q = 100 y p = 5 1 cuando g = 200. Por ello, 10s datos proporcionados pueden
Una ecuacion de la recta (en su forma punto-pendiente) es
Simplificando, se obtiene la ecuacion de demanda
p
=
7 100
--q
+ 65.
Se acostumbra expresar en las ecuaciones de demanda (a1 igual que en las ecuaciones de oferta) p en terminos de g, definiendo de esta manera una funcion de g . Por ejcmplo, la Ecuaci6n ( I ) define a p como funcion de g y se le denomina Jirncion de demmlda para el producto.
En la Section 4.2 se describio una juncidn litre~ll.En [el-rninos mas forrnalcs, ss tiene la siguiente definicion. DEFlNlClON
Una funcidn f es una funcion lineal si, y solo si f (x) se plrede expresar en la formu f (x) = ax + b , en donde a y b son constantes y a # 0. Supongase quefr.~)= (I.\- + b es una funcion linc,al ! que ss t'ija.1, = ,fl.u). Entonces, y = a,y = b , en la ecuacion de una recta con pendiente n !. ordenada en el origen b. Por consiguiente, la grafica de una funcion lineal es rectilinea. Se dice que la funcion f(.u) = ax + b tiene pendiente a. EJEMPLO 3
Gruficar las siguientes firnciones.
Aqui f es una funcion lineal (con pendiente 2), asi que su grafica es una recta. I>iiclo q i ~ edo\ ~ ~ L I I ~de1c.l-rninan I O \ tlna linca ~'cctrc.yolo ~ c rccli~iere . ubicar clos p u ~ ~ t o s \ de~p~~ dibli,ia~. t's la linca yue 10s lrne [\case In Fi~irt-a5 . 1 4 ( ~ ) ]Obst:r\.c\t. . quc uno ~lc.10s ptln[o\ ,i[i~acloses la intcrscccion con el cjc. \el-[ic:1l - I , que oclrl-re cuanclc~ .i
--
0.
5.2
Aplicaciones y funciones lhneales
fix)
git)
Notese que
POI.lo tanto, g es una funcidn lineal [vease la Figura 5.14(b:1].Observese que, dad,) que la pendiente es . entonces al aumentar r en 3 unidades, g ( f )disn~inu!.~en 3 .
-+
EJEMPLO 4
Sirpongase qire f es una funcion lineal con pendienre 2 y que f (4) Puest0 que f es lineal, tiene la forma f a = 2:
(.Y) =
ax
f ( a ) = 2.1-
Ahora se determinara 0.Dado que f (4) y se despeja
=
+
=
8. Dererrrzinar f ( s ) .
6.La pendiente es 2, de mod0 que
+ b.
(2)
8 , se reemplaza x por 4 en la Ecuacidn (2)
6. j ' ( 3 ) = 2(1)
+ b,
8 = 8 + b .
0
=
b.
De donde f ( x ) = 2x.
EJEMPLO 5
Si y
=
f (.r) es una funciorz lineal fa1 que f (-2)
=
6 y f (1)
=
-3, hallar f (XI.
La condicidn de que f (-2) = 6 significa que cuando x = -2, y = 6. En consecuencia, ( - 7 , 6) es un punto en la grafica de .f, la cual es una recta. De manera similar. , f ' ( l ) = -3 implica que ( 1 , -3) tambien esta sobre la recta. Si ( x , . .I%,) = ( - 2 . 6 ) ! (.\ .. , I . , ) = ( 1 . - I ) , entonces la pendienre de la recta es . -
Se puede obtener la ecuacion en la forma punto-pendiente.
Ilebido a quey = f ( x ) , entoncesf(s) = si sr fija ( x , , y , )= ( 1 , - 3 ) .
-3.1.
Por supue\to. \e ob:~eneel n ~ i s m orehultado
En rnuchos estudios se recopilan datos y se grafican en sisternas coordenados. Un analisis de los resultados puede seiialar que existe una relacion funcional entre las variables implicadas. Por ejemplo, lor puntos que representan los datos pueden aproximarse por medio de puntos sobre una recta. Esto indicaria que existe una relacion funcional lineal, tal corno la que se presenta en el Ejempla 6 que aparece c.~l\c.yt~icla.
EJEMPLO 6
En pruebas de dieras e.~perirnentalespara gallinas, se derert?lrno que el peso prornedio w (en grarnos) de una gallina en pie era estadisticarnenre unu funcion lineal del nurnero d de dias posreriores a1 inicio de la diera, en donde 0 r d r 50. Supongase que el peso prornedio de una gallina a1 principio de la diera fue de 40 grarnos y de 675 grarnos a 10s 25 dias. a. Determinar w corno funcion lineal de d.
b. C'crlcular el peso prornedio de una gallina cuando d
=
10
a. Dado que w es una funcion lineal de d , su grafica es una recra. Cuando d = 0 (a1 comienro de la dicta) entonces 11' = 40. Consecuer~tementc.,(0, 40) e\ta en la pi-afica (viase la Figura 5.15). De modo semejante, ( 2 5 , 6 7 5 ) esta e n la grrilica. Si ( 2 5 , 6 7 5 ) . entoricer la pe~ldientcde la ~.cctatls ( I ) = 0 4 ) y ( I-, ) -
52
Apl~coc~ones y funaones lhneales
Utilizando la f o r m u l a punto-pendiente, se obtiene
w
-
w , = m(d
-
d,).
q u e expresa a w c o m o funcion lineal d e d .
+
+
b. C u a n d o d = 10, w = y ( 1 0 ) 40 = 254 40 = 294. P o r ello, el peso p r n m e d i o d e u n a gallina a 10s diez dias d e comenzar l a dieta es 294 gramos.
EJERClClOS 5.2 En 10s Proble~nas1-6, determine la pendiente y la interseccidn con el eje vertical de la firncion lineal, y trace ?rafica.
-iI.
1.
=
f(r)
=
4. PII = 2 ( 1
Eq
:
/ 4
k
1
O i
-
-4n. t).
2. y = f ( x ) = x 5. h(q) =
7 - Y 2.
-
-$. ,f( -i) = 4.
14. pendiente
=
0.01, f ( 0 . 1 )
Ir Suponease qae lor consumidores demandarhn O mclades de un producto cuando el precio es de
SI2 p r unidad, y de 25 unidades cuando el precio cr jt 51 6. Halle la ecuacion de demanda suponiendo s lineal. Calcule el precio por unidad cuando se -?Jan 30 unidades. silpingase que un fabricante de zapatos colo-
=a m 21 mzrcado 50 (miles de pares) cuando el Pres 35 Idolares por par) y 35 cuando su precio es & W. Ohenpa la ecuacion de oferta, suponiendo que d~ r p !~la cantidad o q tienen una relacion lineal.
n.
= 21 -
6. h(q) = 0.5q
11. pendiente
6
t
3. g ( t )
1.
4.
+ 0.25.
Proble~??as 7-14, calcuie f ( x ) s1 f es una f l t n c ~ o ni ~ n e a que l tlene /as prop~edade.~ que se lnd~can.
~ n d i e n t e= -6, .f($) = - 2 . -*-,-:,=.-I . f ( -4) = -3.
Y
+
Considerese que se requieren $40 (dolares) de ~ ~ I para Z Efabricar 10 unidades de un producto, y pac d zosro de 20 unidades es de $70. Si el costo c 61 rriacionado en forma lineal con la produccion 1-k m i n c la ecuacion lineal que relaciona c y q . Cakxk el cost0 ~ a r fabricar a 35 unidades.
=
12. ,f(l) = 1, f(2) = 2.
0.01.
18. Una persona que padece cancer va a recibir tratamientos con radiacibn y medicinas. Cada centimetro c~ibicode medicamento que va a utilizarse contiene 200 unidades curativas, y cada minuto de exposicion a radiaciones ofrece 300 unidades curativas. El paciente requiere 2400 unidades. Si se administran d centimetros cubicos del farmaco y r minutos de irradiacion, determine una ecuacion que relacione r . Grafique la ecuaci6n para r r 0; considere que d es el eje horizontal. 19. Supongase que el valor de cierta maquinaria disminuye en 10% anual con respesto a su valor original. Si este es de $8000, obtenga una ecuacion que exprese el valor v de la maquinaria despues de t aiios de haberse comprado, en donde 0 5 t 5 10. Trace la ecuacion, utilizando a t como el eje horizontal y a b como el vertical. ~ C u aes l la pendiente de la recta
resultante? A este metodo de considerar el valor del equipo se le denomina depreciacidn en Iinea recta. 20. Para el ganado ovino que se mantiene en remperaruras ambientales elevadas, la rasa respiratoria r (por minuto) aumenta a1 reducirse la longirud de la lana I (en centimetros).* Supongase que el ganado que tiene lana d e 2 centimetros d e largo tiene tambien una rasa respiratoria promedio de 160, y que en el que hay lana de 4 cenrimetros se tiene una tasa respiratoria d e 125. Supongase que r y I tienen una relacion lineal. (a) Obtenga una ecuacion que de como resultado a r en terminos d e I . (b) Halle la tasa respiratoria d e ovejas cuya lana tiene una longitud d e 1 cenrimerro. E n analisis d e produccion, una linea d e isocost o (0 de costo equivalente) es una cuyos puntos re-
(100, 100) o , en terminos mas generales, (x, y), en donde x es la calificacion anterior y y es la nueva. Halle la pendiente y utilice una forma puntopendiente. Exprese ,v en terminos de 1.1 (b) Si en la nueva escala 60 es la calificacion minima aprobatoria, ;cual era la calificacion minima d e aprobacicin en la escala original? 24. El resulrado del s ~ p e r i m e n r opsicologico d e Sternberg-: sobre recuperacidn de information e i que el rieriipo de reacc~ond s una persona, R , en milisegundos, es ssradisricanisnrs iuncion lineal del ramaf ~ od ~ conjunro ! de menioria . \ en 10s siguienres rirminos:
21.
presentan rodas las combinaciones de dos factores d s produccion que pueden adquirirse por la misma cantidad. Supongase que un granjero ha asignado $20,000 (dolares) para la adquisicion de .v toneladas de fertilizantes (que cuesran $200 por tonelada) y y acres de terreno (que cuestan $2000 por acre). Obtenga una ecuacion d e la linea d e cosro equivalenre que describa las diversas combinaciones que pueden adquirirse por $20,000. Observe que ni s ni y pueden ser negativas.
22. Un fabricante elabora 10s productos X y Y, que tienen utilidades unitarias de $4 y $6, respectivamente. Si se venden x unidades de X y y unidades d e Y, entonces la urilidad toral P esta dada por P = 4x + 6j,, en donde x, J 2 0. (a) Trace la grafica d e esra ecuacion para P = 240. A1 resultado se le puede denominar Iinea d e sout ti lid ad ( o de utllrdad equivalenre) y sus punros representan todas las combinaciones de ventas que producen utilidad de $240. (b) Determine la pendiente para P = 240. (c) Si P = 600, calcule la pendiente. (d) i S o n paralelas las lineas d e utilidad equivalente d e 10s productos X y Y'?
23. Con proposito de comparar, un profesor desea cambiar la escala de las calificaciones que se obtuvieron en un conjunro de examenes, para que la calificacion maxima siga siendo 100, pero que el promedio (media aritmetica) sea de 80 en vez d e 56. (a) Obrenga una ecuacion lineal que logre esro. [Sugerencia: Se desea que 56 se convierta en 8 d y que 100 siga siendo 100. Considere 10s puntos (56, 80) y
* Adaprado de G.E. Folk, Jr., Texbook of Env~ronrrienral P h ~ s ~ o l o g .2a ~ ,ed. (Philadelphia: Lea & Febiger,
1971).
Trace la grafica para 1 pendiente?
I .\ I
5 . ;Cua1 es la
25. En cierto experiment0 de aprendizaje que implica repetition y memoria,? se esrimo que la proporc i o n p de elementos recordad:: renia una relacion lineal con el tiempo efectivo d s estudio r (en segundos), en donde t se encuenrra enrre 5 y 9. Para un riempo efectivo de esrudio de 5 segundos la proporcion de elementos recordados puede ser de 0.32. P o r cada aumento d e 1 segundo en el riempo de esrudio, la proporcion recordada aumento en 0.059. (a) O b tenga una ecuacion que de p en terminos de t . (b) ;Que proporcion de elementos fusron recordados con 9 segundos de tiempo efecri\o de rsrudio? 26. E n pruebas de dietas experimentales para cerdos, se determino que el peso (promedio), w (en kilogramos) de un cerdo era, estadisticamente funcion lineal del numero d e dias d posteriores a1 inicio d e la dieta, en donde 0 I d 5 100. Si el peso d e u n cerd o fue d e 20 kg a1 comienzo d e la dieta y despues subid 6.6 kg cada diez dias, determine w como funcion de d y evalue el peso de un cerdo 50 dias despues de haber comenzado la dieta. 27. Los biologos han descubierto que el numero de chirridos que 10s grillos de cierra especie emiten por
G.R. Lofrus y E.F. Loftus. Hur~~an iMemory: The Processing of Infornzarion (New York: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., distribuido por Halsted Press, Division de John Wiley and Sons, Inc., 1976). 1 D.L. Hinrzman, "Reperition and Learning", en The Psjchology of Learning, Vol. 10, ed. G.H. Bower (New York: Academic Press, Inc., 1976). p. 77.
5 2
135
Funclone, cuodroticos
ez:a relacionado con la temperatura. La re:aii lineal. A 68'F 10s grillos chirrian apro- - --,.-~-~.,,sn:e I24 \eces por minuto. A 80°F, lo ha---- . ..a! ~7 m n o s 172 veces por minuto. Obtenga una
ecuacion que de la temperatura Fahrenheit i, en ~ e r minos del nlimero de chirridos c por minuto. (b) Si se contaran los chirridos durante solo 15 segundos, jc6m0 se podria estimar la temperatura rapidamente?
z l ; ; : ~
'=;:.sz
.
-5.3
Funciones cuadraticas En la Seccibn 4.2 (Ejernplo 2) se describio una funcion cuadratica corno una funcion polinornial de grado 2. En seguida se presenta una definicion formal. DEFINICION L n u funcion
\;ill
f es unu funcion cuadratica si, y solo si, sepuecie expresar f (x) en la forrna
Por ejernplo, las funciones f (x) = s2- 3x + 2 y F ( t ) = -3r2 son cuadraticas. 1 no es cuadrtitica porque no sc puede expresar en la fornia c ~ n h a r g o , (.v) =
,
.
X
(I.\.' + h . ~ + (.. La grafica de la funci6n cuadratica y = f (x) = ax2 + bx + c se denornina parabola y su forrna es corno la de las curvas de la Figura 5.16. Si a > 0, la grafica se estiende en forrna indefinida hacia arriba y se dice que la parabola abre hacia arriba Il-ip111 a S.I6(a)]. Si ir < 0,la parabola u 0 1 hrrciu ~ ~ ubujo [Figura 5.16(b)]. Las parabolas de la Figura 5.16 son simktricas con respecto a una recta vertical, denorninada eje de simetria de la parabola. Es decir, si se doblara la pagina sobre una de estas rectas, coincidirian las dos mitades de la parabola correspondiente. El eje (de ~irnetria)no forrna parte de la parabola, per0 es un auxiliar util al trazar la parabola. !! (
\-)
2, r b 3 l o y = f ( x ) = ax2
a
+ bx + c
> 0,abre hoc~aarribo (a1
a
< 0, abre hacia abajo (b)
FIGURA 5.16
E n la Figura 5.16 se muestran tambien 10s puntos a 10s que se denomina virtice, que es el punto en donde el eje corta la parabola. Si a > 0, el vertice es el punto "mas bajo" de la parabola. Esto significa que f (x) tiene un valor rninimo en ese punto. Lle\ a n d o a cab0 rnanipulaciones algebraicas sobre a x 2 + bx + c (a las que se les deno-
mina c.otny/e[ur el cuadrado), puede determinarse no solo este valor minimo, sin0 tambien en donde aparece.
h
Sumando y restando
Puesto que cuandc .x
+
' se obtiene
-
47 ,
i eJ2 x-
+
h 2u
-
-
=
este valor de x es /
2
0 y a
>
0, se sigue que f (x) tiene un valor minimo
0, es decir, cuando .r
(
e,)
--
h =
--
2tr
,
La coordenada que corresponde a
Por ello, el vertice esti dado por
Este es tambien el vertice de la parabola que abre hacia abajo (a caso
,/'( -
< O),
pe:o en este
$-) es el valor mdximo de f(x) [vease la Figura 5.16(b)]. -(I
El punto en el que la parabola y = ax2 + bx + c intercepta al eje y (es decir, el de la ordenada en el origen) ocurre cuando x = 0. La coordenada y de este punto ei ( , dc modo que la intercepcion J - es (0, c) o mejor dicho, c,. En resumen, 5e tiene lo siguiente: La grafica de la funcion cuadratica y parabola.
1. Si Si
(I
(1
=
f (x) = ax'
+
bx
+
c es una
> 0, la parabola abt-e hacia arriba. < 0, la curia abre hacia abajo.
1. EI vertice 6s
( &.t(- k)) -
3. La ordenada en el origen (intercepcion y) es c. Tambien se puede trazar en forma sencilla la grafica de una funcion cuadraiiia ubicando primer0 el vertice, la ordenada en el origen y unos pocos puntos adicionales,
138
5
RECTAS. PARADOLAS Y SISTEMAS
-
EJEMPLO 2
Graficar p
=
2q2.
Aqui p es funcion cuadratica de q , en donde a = 2 , b = 0 y c = 0. Dado que a 0 , la parabola abre hacia arriba. La coordenada q del vkrtice es
>
! la coordenada 1, e5 2(0): 0. A ~ Iel. \el rice cs (0. 9 ) . En eslc C ~ S O el ,ejc 1) es el cjc de sirnetria. Una parabola que abre hacia arriba con vertice en (0, 0 ) no puede tener ninguna otra intercepcion. Consecuentemente, para trazar una grafica razonable se determina un punto a uno y otro lado del vertice. Si q = 2 , entonces p = 8. Esto determina el punto (2, 8) y, pol sirnetria, el punto (-2. 8 ) (\ease la F~guia5.18). -
EJEMPLO 3
Graficar g(x)
= x2 - 6 x
+
7
Aqui, g es una funcion cuadratica en donde a = 1 , b hacia arriba porque a > 0. La abscisa del virtice es
= -6 y
c
=
7 . La parabola abre
+ 7 = -2. Por ello, el vertice es (3, -2). Dado que c = 7, la intersection con el eje vertical es 7. Para encontrar las intercepciones con el eje s se hace s(.Y) 0. 0 = x2 - 6s + 7.
y g ( 3 ) = 3' - 6(3)
-
No es facil factorizar el lado derecho, por lo que se utiliza la formula cuadratica a fin de encontrar 10s valores de x.
El primer modelo requiere de 4 piezas A y nueve piezas B. El segundo requiere de 5 piezas A y 14 piezas B. La fabrica recibe 335 piezas A y 850 piezas B de sus proveedores cada dia. ;Cuantos productos de cada modelo debe planearse fabricar cada dia, de manera que se utilicen todas las piezas A y las piezas B? Resulta conveniente formar una tabla en la que se resuman 10s datos importantes. En la Tabla 5.2 se muestra el numero de piezas A y piezas B que se requieren para cada modelo, asi como el numero total disponible. TADLA 5.2
Piezas A Fiezas B
-
Primer modelo
Segundo modelo
Total disoonible
4
5 14
335 850
9
Supongase que s es el numero de lo5 primeros rnodelos que se fabrican cada dia, y g , el numero de 10s segundos modelos. Se requiere entonces un total de 4x + 5p piezas A y 9x + 14y piezas B. Puesto que se dispone de 335 piezas A y 850 piezas B, se tiene que (1 1 4 x + 5\ = 335. (9.1-
+
1 4 = ~ 850.
(2)
A este srupo de ecuaciones se le denomina sistema de dos ecuaciones lineales en las variables (o incognitas) x y y. El problema consiste en encontrar valores de x y y para 10s cuales ambas ecuaciones se verifiquen en forma simultanea. A dichos valores se les denomina soluciones del sistema. Debido a que las Ecuaciones (1) y (2) son lineales, sus graficas son rectas; se les identifica como L , y L,. Ahora bien, las coordenadas de cualquier punto que se encuentren en una recta satisfacen su ecuacion; es decir, hacen que la ecuacion resulte cierta. Por ello, las coordenadas de cualquier punto de interseccion de L , y L 2 satisfaran ambas ecuaciones. Esto significa que un punto de interseccion contiene la solucion del sistema. Si se trazan L , y L , en el mismo plano, se presentaran tres casos. 1. L , y L , pueden cortarse exactamente en un punto, por ejemplo, (x,, yo) (vease la Figura 5.22). Si esto es asi, el sistema tiene la solucion x = x o y y = yo.
2. L , y L , pueden ser paralelas y no tener ningun punto comun (vease la Figura 5.23). En este caso no existe ninguna solucion.
3. L , y L , pueden ser la misma recta (vease la Figura 5.24). Por lo tanto, las coordenadas de cualquier punto que se encuentre sobre la recta seran una solucion del sistema. En consecuencia, existe una cantidad infinita de soluciones. Lo que resulta de principal irnportancia aqui, son 10s rnetodos algebraicos utilizados para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En esencia, se reemplaza el sistema en forma sucesiva por otros sistemas que tienen la misma solucion (es decir, por sistemas equivalentes), per0 cuyas ecuaciones tengan una forma cada vez mas deseable para determinar la solucion. En terminos mas precisos, se busca un sistema equivalente que
F/GURA 5.22
F/GURA 5-33
FIGURA 5.24
ontenga una ecuacion en la cual una de las variables no aparezca (es decir, se elimina na de las variables). En seguida se ilustra este procedimiento. En el problema planteado originalmente,
+ 5.Y = 335, OX- + 1 4 ~ = 850.
i
4s
(3) (.4)
obtiene un sistema equivalente en el que no aparece x en una de las ecuaciones. Priero, se halla un sistema equivalente en el que 10s coeficientes d e 10s terminos en x cada ecuacion sean iguales, except0 por el signo. Multiplicando por 9 la Ecuacion [es decir, multiplicando ambos lados de la Ecuacion (3) por 91 y multiplicando por 4 la Ecuacion (4), resulta
{
-
3 6 . ~+ 45y
=
36.r
=
-
56y
-
3015.
(5)
3400.
(6)
os dos miembros d e la Ecuacion (6) son iguales, de mod0 que puede sumarse cada no de ellos a1 lado correspondiente d e la Ecuacion (5). Se obtiene asi - 11y = -385.
ue tiene una sola variable, tal como se planeaba. La resolucion d a J
=
35.
si que resulta el sistema e.q~.~ivalente
35,
1. -
- 36.r - 56). = - 3400.
leemplazando y por 35 en la Ecuacion (8), resulta
-36s - 56(35) -36.~ - 1960
= - 3400, =
-36.~= .r
=
-3100. -
1440.
40.
or consiguiente, el sistema original equivalente a
144
5
RECTAS, PARABOLAS Y SIS'TEMAS
Se puede verificar la respuesta sustituyendo x = 40 y y = 35 en las dos ecuaciones originales. En la Ecuacion (3) se tiene 4(40) + 5(35) = 335, o bien 335 = 335. En la Ecuacion (4), 9(40) + 14(35) = 850, o bien 850 = 850. Consecuentemente, la solucion es
El director debe planear la fabricacion de 40 unidades diarias del primer modelo y 35 del segundo. El procedimiento que se utilizo se denomina elimination por adicion. Aunque se decidio eliminar x en primer lugar, pudo haberse hecho lo mismo cony mediante un procedimiento similar.
EJIMPLO 4
-
Utilizar la elirr~inucionpor adicion para resolver el sistema
.4lineando por conveniencia 10s terminos en x y y, da
i
3s
-
4y
=
13,
(9)
3.
(10)
Zr+ 3y=
Para eliminar y se multiplica por 3 la Ecuacion (9) y por 4 la Ecuacion (10): j9x
-
12)) = 39,
(1 1)
(81
+
12y = 12.
(12)
Sumando la Ecuacion (1 1) a la Ecuacion (12), resulta 17x obriene asi el sistema equivalente 9.x
-
12y = 39, x =
3.
Keempla.zando x por 3 en la Ecuacion (13) queda 9(3)
-
12y = 39, 12y = 12,
=
51, de donde x = 3. Se
5.4
Sisternos de ecuociones lineoles
de manera que el sistema original es equivalente a
La solucion es x
=
3yy
=
-1. En la Figura 5.25 se presenta una grafica del sistcr;:a
Existe otra forrna de resolver el sisterna del Ejernplo 1:
En primer lugar, se elige una de las ecuaciones, por ejernplo, la Ecuacion (15) y se despeja una de las incognitas en terrninos de la otra, por ejernplo, x en terminos de y. Asi, la Ecuacion (15) es equivalente a 3x = 4y + 13, o bien
y se obtiene
Sustituyendo el valor de x de la Ecuacion (17) en la Ecuacion (1 8), da, para la Ecuacion (18),
De esta manera, se elirnina la x. Resolviendo la Ecuacion (19) se tiene
8~
+
26
+
9y = 9 (eliminacion de las fracciones), 17y = - 17,
y = -1. Reeml~lazandopor -1 y en la Ecuacion (17) resulta x = 3, y el sisterna original equivale a
al igual que antes. A este metodo se le denornina eliminacion por sustitucion. EJEMPLO 2
--
Utilizar la eliminacion por sustitucion para resolver el siguiente sistema: x + 2 v - 8 = 0 , 2x+4y+4=0.
146
5
9 t C T A S PARACOLAS Y Si5TEMAS
Es t'icil despejar x en la primera ecuacion. Esto da el sistema equivalente
-2y+
Sustituyendo .u por -24.
+
8,
8 en la Ecuacion (21) se obtiene 2(-2y -4y
Lo anterior se simplifica a 20
-
+ 8) + 4y + + 16 + 44. + 0. .Y
-
-2y
+
4
=
0,
4
=
0.
8.
20 = 0. Corno la Ecuacion (23) nunca se verifica, no existe solucion para el sistema original. La r a ~ 6 nresulta evidente si se observa que las ecuaciones originales pueden escribirse c n la I'ornla 17endientc-01-dcnadaen cl origcn. dc la siyuiente nlanel-n:
1 . - ' 1 [ ; 1 ~ ccuacio~~es c ~ ,~: - c ~ I ~ ~ I JI ~I . ,C ;!~.. :~: ~ -! .:OII : p ~ , n d i c n t cigual a -1 , pero con clit'cl.eri~c. ordenadas en el origen. 4 y -1. Esto es. deterrninan rectas paralelas diferentes (vease la Figura 5.26).
-
EJEMPLO 3
Resolver. el sistema
hlultiplicando por -2 La Ecuacion (25), se obtiene
-
5.4
Sisternos de ecuociones lineoles
Ljchido a quc la Ecuacion ( 2 9 ) .slcllrrprr se verifica. cualquier soluciorl dc la E : i ~ l , : , . ; t ' : . (28) lo cs tamhi611 del sistenla. < on\idcr;?ndolo disde otro puntci de \isla, c \ p r e \ , l ~ ! ~ l ~ , las tcuaciones (21) v (25) la I'olma nendienre-01-deli& en el orieen se ricnc el . I . I L , ~
en el quc. amba5 ccuaciorlc\ r-ei;i.e\c~lranla n1is:na rcclu. POI-10 tanto, 1 ; i I.CCI;I\ C O I II I , tlcn (\base In 1.igur.a 5.27) y las Ezuaiionc.\ (21) ! (25) so11 cqui\al:nrc\. 1 :I \oluL~ic~r~ ;II sisrc~naconsis~een la\ coor~lcnacla\de c ~ ~ a l q u i cpunco r que sc cncuenlr-e C I I \:I l i . i l : ~ . i 5 2, ,! por c o n s i g ~ ~ i e ne\iis(c r ~ , una cn111idad infinita de solucio~rcs.I'ol- c.i;,~ ] , . 0 !' j' :- . e\ una \ol~rc.itit~ --
Y
VX L l , L2
L,; x + 5 y --2
L2: + x + Z y = l
Una ecuaci6n de la forma A s + By + Cz = D, en donde A , B, C y D son constantes y A , B y C no son todas nulas a1 mismo tiempo, se denomina ecuacion lineal 4 se muestra la forma de resolver un general en las variables x, y. z . En el E-iemplo . . sistema de tres ecuaciones conlo i.t?tas. EJPMPLO 4
Resolver el sisternu r
Esre 3islcnia consta de 11.csecuaciones lineales en ~ r c s\al.iables. Dc la Ecuacitiil ( 12). j. t 3: - 6. S ~ \ r i l ~ ~ > e.\.~en l d las o Ecuaciones (30) ! (3 I ) , da
.\.
-
148
s
RECTAS. PARABOLASY SISTEMAS
Simplificando, se obtiene [3!
+
7;
=
15,
O b ~ c ~ - \ilue ~ \ c\ 110 aparccc en las Ecuaciones (33) y (33). Puesto que cualquicr ecuaiicil~dc.1 \i\tcni;~original dcbe satisfacer las ecuaciones (33) y (34), se considera la resolucion de cslas C I I primer lugar:
L)L~ la Ecuacitin ( 3 4 , .I. :- 5 . Esto significa que se puede reempla~arla Ecuacicin (33) pol 3i: - 5) + 7 : -- 15 o bien ,: = 3. Dado que ,:es 3, se puede sustituir la Ecua1 1 ( 4 )o r I = 2 . E l i consecuencia, el sistelna dado es equi\!alente a -
El sistema original se convierte en
I de donde x = 1. La solucion es x
2
=
=
3.
1, y
=
-2 y
z
3, lo cual se puede verificar.
-
EJEMPLO 5
Resolver el sistema
=
I
~ r + y + i =- 2 ,
(36)
Dado que es posible expresar la Ecuac~on(37) como x - 2y + Oz = 9 ,pueden considerarse las Ecuaciones (36) a (38) como un sistema de tres ecuaciones lineales en las variables s,y 4 .: De la Ecuacion (37), ,v = 2y + Y .Sustituyendo .u en las Ecuaciones (36) 5 (38) 4 simplificando, se tiene que
o. en terminos mas simples,
p + z = -15,
Rc\ol\~c.ndoc.1 sictenla forlnado por ids i 5 c ~ a L ; (?!?) ~ ~ ~;s* 1 ).
-
rcsulta quc. -1% = -3 y ; 0. Sustitulendo c'stos ~a10rc.sel1 la Ec~~acicin (10)t l u c t l ; ~ 4 , .L, =~ -3 1, ;- 0. v ', . Asi que la solucicin al sistema original e\ .\-
-
EJEMPLO 6 L'IIN e117/)resu~[ahricun/e de prodirclos y u i ~ ? ~ i c odeseu s slrrrir 1117 /)ediclo de 500 lilt.o., d l . a1 25% (t,s[o significa yue 25070 (/el vollri71enes dcido). Si sr /iellL>ll t l ~ \ / ~ o ~ l i hen l e sel a l i ~ ~ c ~ csol~iciones en UI 3OT;o ul 18v0, ~ c . u i t ~ [ litros o s de cwrlu 11t111 (10 ~.llo\sc dehen inr;clar paru cu117plir c.oll el requisilo (/el /)editlo? I ~ I ~soluc-ion N dcida
Sean x y y , respectivamente, el numero de litros de las soluciones a1 30% y a1 18% que deben mezclarse. Entonces
Observese la Figura 5.28. En 500 litros de una solucion a1 25% habra 0.25(500) = 125 litros de acido. Este acido proviene de dos fuentes: 0 . 3 0 ~litros de la solucion a1 30%, y 0 . 1 8 ~litros de la solucion a1 18%. Consecuentemente
L as Ecuaciones (42) y (43) forman un sistema de dos ecuaclones lincales con do, incognltas. Despeiando x en la Ecuacion (42), resulta .y = 500 - r'. Sustituyendo esto en 11; Ecuacion (13), da
Encontrando el valor de y en la Ecuacion (44), se halla qne :500 - 2084 = 2919 litros.
.I-
1 ;:;;1
=
es dcido
3096 solucion
FIGURA 5.28
18% soiucion
25% solucion
2 0 8 i lirros. Pol- cllo.
EJERCICIOS 5.4 En 10s Problrrnas 1-16, resuPlvanse en forma algebraica 10s .sisretnas.
no seiialo que 16% de las personas entrevistadas no dieron respuesta. ~ C u a n t a spersonas entrevistadas gustaban del producto? LA cuantas no les gustaba? ~ C u a n t a spersonas no dieron respuesta?
17. IJn fabricante de productos quimicos desea surtir un pedido de 700 galones de una solucion acida a1 29%. Se tienen disponibles soluciones al 20% y al 30% ;CuBntos galones de cada solucion se deben mezclar para surtir el pedido?
21. Una compaiiia fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton y Whyton. En la planta de Exton, 10s costos fijos son de $7000 a1 mes y el costo de fabricar cada calculadora es $7.50. En la planta de Whyton, 10s costos fijos son de $8800 mensuales y se requieren $6.00 para fabricar cada unidad. El siguientes mes, la compaiiia debe fabricar 1500 calculadoras. ~Cuantasdeben fabricarse en cada planta para que sean iguales 10s costos totales en cada una?
Una compaiiia tiene ingresos gravables por $312,000 (dolares). Los impuestos federales son el 25% de la porcion que quede despues de haber pagad0 10s impuestos estatales. Los impuestos estatales son el 10% de la porcion que quede despues de haber pagado 10s impuestos federales. Halle el valor de ambos impuestos federal y estatal. 18.
19. Un fabricante de muebles para comedor produce dos estilos, norteamericano clasico y contemporaneo. De experiencias pasadas, 10s administradores han determinado que se puede vender 20% mas del estilo norteamericano clasico que del estilo contemporkneo. Se ob~ienenutilidades de $250 sobre cada conjunto de estilo norteamericano clasico que se venda y de $350 sobre cada uno de 10s contemporaneos. Si, para el aiio siguiente, 10s administradores deseae obtener utilidades totales de $130,000, jcuantas unida'des de cada estilo deben vender? 20. Audaernpresadeencuestas seleotorgo llncontrato pafa llevar a cab0 un trabajo de evaluation de producto para una firma. Se entrevisto a un total de 250 personas. La enlpresa reporto que la gente a la que le gustaba el producto era 62.5% mas que aqueIla a la que no le gustaba. Sin embargo, el reporte
22. Un vendedor mayorista de cafe mezcla tres tipos de producto que se venden en $2.20 (dolares), $2.30 y $2.60 por libra para obtener 100 libras de cafe que cuesta $2.40 la libra. Si el vendedor utiliza la misma cantidad de 10s dos cafis de mayor precio, i q u i cantidad debe utilizar de cada tipo en la rnezcla?
'
23. Una compaiiia paga a sus vendedores con base en cierto porcentaje de 10s primeros $100,000 de ventas, mas otro porcentaje sobre el excedente de 10s $100,000 de ventas. Si un vendedor gan6 $8,500 en ventas de $175,000 otro vendedor, l14,800 en ventas de $280,000, determine lo$ dos porcentajes. 24. En algunos reportes noticiosos, se comparan las utilidades de alguna compafiia durante este aiio ( T )
5 5
Sisremas no lhneales
x r , lo5 dsl aiio pasado (L ), pero no siempre se pro-
~d..r
16. Una persona realizo dos inversiones y el porcentaje de rendimiento anual que recibio sobre cada una de ellas fue igual. De la cantidad total invertida de slla mas $600 se invirtieron en una emp- esa de ris-sgo. a1 final del primer aiio la persona recibi6 un rendimiento de $384. Si el rendimiento general despues del primer aiio fue de $1 120, halle la cantidad :otal invertida.
+
27. Una compafiia fabrica tres tipos de muebles para jardin: sillas, mecedoras y sillones. Cada uno requiere de madera, plastico y aluminio, como se muestra en ia tabla que aparece enseguida. La compaiiia tiene en almacen 400 unidades de madera, 600 de plastico y 1500 de aluminio. Para su corrida de produccion
Silla \lecedora Sillon
Madera
Piastico
Aiuminio
1 unidad 1 unidad 1 unidad
1 unidad 1 unidad 2 unidades
2 unidades 3 unidades 5 unidades
de final de la temporada, la compaiiia de,iCl L ~ g , x ~ todas las sxistencias. Para lograrlo, jcuanra* .11':,. mecedoras y sillonss debe fabricar? 28. Se invirtio un total de $35,000 a trt.5 [asas dr. interes: 7, 8 y 9%. El interes para el prirner aiio fus de $2,830, que no se reinvirtio. En ei scgurldo atio la cantidad originalmente invertida al 'SIJb obruvo no ese porcentaje, sino el 10V0, y las dc~nastasas permanecieron igual. El interis total para el segundo aiio fue de $2,960. ~ C u a n t ose invirti3 a cada una de las tasas?
29. Una compafiia paga $8 (dolares) por hora a sus trabajadores calificados de su departamento de ensamble. A 10s trabajadores semicalificados de ese departamento se les pagan $4 por hora. A 10s empleados del departamento de envios se les paga $5 por hora. Debido a un aumento en 10s pedidos, la compafiia necesita tener un total de 70 trabajadores en 10s departamentos de ensamble y de envios. Pagara un total de $370 por hora a estos empleados. Debido a una clausula del contrato de trabajo, debe haber el doble de trabajadores semicalificados, en comparacion con 10s calificados. ~ C u a n t o strabajadores calificados, semicalificados y empleados del departamento de envios debe contratar la compafiia?
30. Se va a llenar un carro tanque de ferrocarril con capacidad de 10,000 galones con un solvente proveniente de dos tanques de almacenamiento, el A y el B. El solvente del tanque A se bombea a un ritmo de 20 galones por minuto. El solvente del tanque B se bombea a 30 galones por minuto:Por lo general, las dos bombas operan a1 rnismo tiempo. Sin ernbargo, debido a un fusible fundido de la bomba A , se ocasion6 en Csta una dernora de 10 minutos. iCuantos galones de cada uno de 10s tanques de almacenamiento se utilizaran para llenar el carro tanque?
5.5 Sistemas no lineales Un sistema de ecuaciones en el cual cuando menos una de sus ecuaciones no es lineal se denomina sistema no lineal. Con frecuencia es posible encontrar las soluciones de este tipo de sistemas en forma algebraica, por medio de sustitucion, tal como se hizo con 10s sistemas lineales. Se ilustra lo anterior en 10s siguientes ejemplos. EJEMPLO 1
Kesol\~et.el sister?iu
Despejando y en la Ecuacion (2) se obtiene
Sustiiuyendo en la Ecuacion (I) y simplificando, se tiene
De la Ecuacion (3), si x = -3, entonces y = -8; si x = 2, entonces y = 7. Se debe verificar que ambos pares de valores satisfacen el sistema dado. Asi, las soluciones son x = -3, y = -8 y x = 2, y = 7. Estas soluciones se pueden observar en forma geometrica en la grafica del sistema que aparece en la Figura 5.29. Observese que la grafica de la Ecuacion (1) es una parabola y la de la Ecuacion (2) es una recta. La soluciones corresponden a 10s puntos de interseccion (-3, -8) y (2, 7).
I
EJEMPLO 2 lZc,olr~cv.cl
\i\rcliircc
Despejando y en la segunda ecuacion resulta y
=
4
-
x.
5.6
Aplicociones de 10s sisternos de evoluociones
Sustituyendo en la prirnera ecuacion
16
-
.\-? -
+ .r' = .r + 2 + 14 = 0,
8.19.i.
(elevando arnbos rniernbros a1 cuadrado),
En consecuencia, x = 2 o bien x = 7. De la Ecuacion (4), si x = 2, y = 2; y si x = 7, y = -3. Aunque x = 2 y Y = 2 satisfacen las ecuaciones originales, no es el caso para .u = 7 y y = -3. Por lo tanto, la solucion es x = 2 y y = 2.
Resuelva 10s siguientes sistemas no linrales.
-5.6
Aplicaciones de los sistemas de ecuacionesRecuerdese de la Seccion 5.2 que una ecuacion que relaciona el precio unitario con la cantidad de demanda (u oferta) se denornina ecuacion de demanda (o ecuacion de oferra). Supongase que la ecuacion lineal de dernanda para el product0 Z es
y que su ecuacion lineal de oferta es
en donde q, p 2 0. Las curvas de dernanda y de oferta definidas por las Ecuaciones ( I ) y (2) se presentan en las Figura\ 5.30 5 5.31. Al analir~trla Fipura 5.30 \c. ob\cr\a
I
500
1 1000
*q
I
1500
{Unidodes po, semona; Lo ecuoc~onde dernondo es : p = - - I q 12 180
+
FIGURA 5.30
I
I
I
500
1000
1500
-
9
(Unidodes poi sernona) Lo ecuoclor, d e oferro E', : p = - ~ L1-q8 300
FIGURA 5.31
yue los consuniidores adquiririan 540 unidades semanales si el prccio i'uel-a de $9 por unidad; 1,080 unidades con precio de $6, etcetera. En la Figura 5.31 se muestra que cuando el precio cs de $9 por unidad, 10s fabricantes colocarian en el mel-cado 309 unidades por semana; en $10 ofrecerian 600 unidades, p asi sucesivamenre. Cuando se representan en el mismo plano coordenado tanto la curva de oferta como la de demanda para un producto, el punto (m,n) en el que se intersecan las dos curvas se denomina punto de equilibrio (vease la Figura 5.32). A1 precio n, se le denomina precio de equilibrio, y es el precio a1 cual 10s consumidores adquiririan la misma cantidad del producto que 10s fabricantes estarian dispuestos a vender a ese precio. En otros terminos, n es el precio en el cual ocurre la estabilidad en la relacion entre fabricantes j7 consumidores. A la cantidad m se le denomina cantidad de equilibrio.
Grafico de oferro
Canridad de equilibrio = tn
FIGURA 5.32
Para determinar en forma precisa el punto de equilibrio, se resuelve el sistema formado por las ecuaciones de oferta y demanda. Enseguida se hace esto para 10s datos presentados antes, es decir, el sistema
(ecuacion de oferta).
5.6
Aplicociones de 10s sisternos de evoluociones
1
Sustituyendo p por -q 300
+
8 en la ecuacion de dernanda,
Por tanto
=
9.50
(precio de equilibria),
y el punto de equilibrio es (450, 9.50). Por consiguiente, a1 precio de $9.50 por unidad, 10s fabricantes elaboraran exactamente la cantidad (450) de unidades por sernana que 10s consurnidores adquiriran a ese precio (vCase la Figura 5.33).
EJEMPLO 1
Sea p = & q + 50 la ecuacion de oferta para czerto fabricante, y supongase que la ecuacion de demanda para su producto es - j&cl + 65.
a. Si se carga un impuesto de $ 1 .SO por unidad a/ fabricante, jcdmo se vera afectado el precio original de equilibrio si la demanda permanece igual? Y
b. Determinar los ingresos totales que obtiene el fabricante en el punto de equilibrio, tanto antes como despues del impuesto.
a. Antes de 10s impuestos, el precio de equilibrio se obtiene resolviendo el sistema
Mediante sustitucion,
Consecuentemente, $58 es el precio original de equilibrio. Antes de 10s impuestos, el fabricante dio una oferta de q unidades a un precio d e p = & q + 50 por unidad. DespuCs de 10s impuestos, venderia las mismas q unidades con sobrecargo de $1.50 por unidad. El precio por unidad seria de ( &q + 50) + 1.50 y la nueva ecuacion cle oferta es p = & q + 51.50. Resolviendo el sistema
rcsulta el nuevo precio de equilibrio:
El impuesto de $1.50 por unidad aumenta el precio de equilibrio en $0.70 (Figura 5.34). Obskrvese tambien que se presenta una disrninui55n en la cantidad de equilibrio de q = 100 a q = 90, debido a1 cambio en el precio de equilibrio. (En 10s ejercicios se pide hallar el efecto que tiene un subsidio para un fabricante, y que ocasiona una reduccion en el precio del producto.)
b. Si se venden q unidades del producto a un precio de p dolares cada uno de ellas,
entonces 10s ingresos totales, que se denotaran mediante y
Antes de 10s impuestos, 10s ingresos en (100, 58) son
,,,estan dados por
5.6
Aplicociones d e 10s sisternos d e evoluociones P
58'70'
Grdfica de ofetro despues de impuestos Gtofico de oferro onres de lmpuestos
Grofico de demanda
Despues de 10s impuestos son y,
=
(58.70)(90)= 5283,
lo cual es una reduccion. EJEMPLO 2
Encontrar el punto de equilibrio si las ecuaciones de ofert.1y demanda de un producto 4 40
+
800@, respectivan~ente. 10yp = 4 Aqui, la ecuacion de demanda no es lineal. Resolviendo el sistema
sonp
= -
mediante sustitucion, se tiene
+ 10, 320,000 = q2 + 4009, ~OOo 9 - - q
40
+ 4009 - 320,000 = 0 , ( q + 800)(q 400) = 0 ,
q2
-
q = -800
o bien
q
=
400.
(Multiplicando ambos lados por 409)
No sc tonla en consideracion q = -800 porque q representa cantidad. Eligiendo q = 400, se tiene que p = (8000/400) = 20 y el punto que se requiere es (400, 20) (vease la Figura 5.35).
Supongase que un fabricante elabora el producto A y lo vende en $8,00 por unidad. Entonces, 10s ingresos totales, y, que recibe a1 vender q unidades son (ingresos totales).
f i ~ = 8q
La diferencia entre 10s ingresos totales que se reciben por q unidades y 10s costos totales de las mismas unidades representan las .utilidades (o perdidas, si la diferencia es negativa) para el fabricante:
utilidad (o perdida)
=
ingresos totales - costos totales.
,
1 os ~ ' 0 4 1 0 . 91otale4. .I*,(, $on la suma dc 10s cos~osLariable, totales, j., y 10s costos Iljos 101;1Ics \I,(
Los costos fijos son 10s costos que en condiciones normales no dependen del nivel de produccion; es decir, durante cierto interval0 de tiempo permanecen constantes a cualquier nivel de produccion (algunos ejemplos son la renta, 10s salarios de 10s funcionarios y el mantenimiento normal). Los costos variables son 10s que varian con el nivel ~ l produccion e (talc4 co~rloel costo de nlateriales, de mano d e obra, el mantenimiento debido a desgaste y descompostura, etc.). Supongase que para q unidades del producto A =
5000 22
Y
!'rTc
=
Tq
(costos fijos) (costos variables).
Entonces
yTc
=
22 -q 9
+
5000
(costos totales).
En la Figura 5.36 aparecen las graficas de 10s costos fijos, 10s costos totales y 10s ingresos totales. El eje horizontal representa el nivel de produccion q, y el eje vertical replcsclita cl \alor total (en unicladts nronetatias) d e 10s ingre5os o cos~os.El punto dc
.
-
5 6
Aplicociones d e 10s sisternos d e evoluociones
Y
,,~.!i':'c.
yTC =
q
+ 5000
5000
500
:Y
I000
FIGURA 5.36
quilibrio es el punto en el cual ingresos totales = costos totales ( T R = T o . Ocurre
uando 10s niveles de produccion y de ventas dan corno resultado que no hay pkrdidas ni utilidades para el fabricante. En el diagrarna, que se denornina grrifica de punto de equilibrio, es el punto ( m , n ) en el cual se intersecan las graficas de JTR = 84 y !.Tc = + 5000. St, denomina a 111 cantidad de pullto de cquilibrio, y a 11,ingreaoa dc punto de equilibrio. Cuando 10s costos variable 4- 10s inpt-eso c l i n relacionado\ :n forma lineal con la produccion, como en el ejemplo, para cualquier nivel dc produc-ion mayor que 1~1,los ingresos totales son mayores quc 10s costos rorales, lo que da .om0 resultado utilidades. Sin embargo, a cualquier nivel inferior / ? I unidades, 10s ingrcos totales son menores que 10s costos totales, dando corno resultado una perdida. Con roduccidn de I?? unidades. la utilidad es cero. En el siguientc ejernplo sc esaminan 10s latos con mayor detallc. :JEMPLO 3
jn fabricante vende un product0 a $8 por unidad, y vende todo lo yue fabrica. Los ostos fijos son de $5,000 y 10s costos variables por unidad, de %$ (dolares). Determior lo siguiente:
. Produccidn e ingresos totales en el punto de equilibrio. . Utilidades cuando se fabrican 1,800 unidades. . PPrdidas cuando se fabrican 450 unidades. . Produccion rcquerida para obtener utilidade~de $10,000. . Con un nivel de produccion de q unidades, 10s costos variables son de >.:-,, . j i,l\
III:_.I
c\o\
.'.>
= ?= (1,
~oralc.. ) . 7 ~ = !tq. Por ello, > l I x
=
89,
+ yFc
-
YTR =
>'Tc,
22 --q 5000. 9 En el punto de equilibrio, ingresos totales = costos totales. Asi, se resuelve el sistema forrnado por las ecuaciones anteriores. Dado que j7-(. = yvc-
+
,.*.-.
- .
se tiene
En consecuencia, la produccion que se desea es 900 unidades y da como resultado ingresos totales (en dolares) de ~ T R = 8(900) = 7200. b. Dado que utilidades = ingresos totales - costos totales, cuanda q = 1800 se tiene que
=
5000.
Las utilidades que se obtienen a1 fabricar y vender 1,800 unidades son $5,000.
c. Cuando q = 450,
Se presenta una perdida de $2,500 cuando el nivel de produccion es de 450 unidades. d. Con el objeto de obtener utilidades por $10,000, se tiene
utilidades
=
ingresos totales - costos totales.
q = 2700.
I'a1.a ello sc debcn I'abrical. 2,700 unidades.
EJEMPLO 4 Llc~~eriiiitrur ILI c~i171idt1rl de p ~ r n l ode er/lrilil)rio de Lrntr eiilpi'esn, d ~ l d o s10s s i g ~ r i r i i ~ e(1~1s 10s: c*o.r/os,/~ j o slo/trlt.s, S 1,200; r80s/os\,uriuble.r poi. ~rnidutl,SZ; i1igreso.s 1olo1v.rpol. Itr \,eiirtr de (1 unidades, YTR = 1 0 0 g q .
Para q unidades de produccion, YTR = 1 0 0 6 , y,
=
29
+
1200
Igualando 10s ingresos totales a 10s costos totales, 100\
=
+
2q
50\ y = y
+
1200.
600.
(di\idiendo ambos lados entrr. 2 )
Elevando al cuadrado ambos lados,
Mediante la fdrmllla cuadratica
q = 400
o bien
q = 900.
Aunque tanto y = 400 = como q = 900 son cantidades de punto de equilibrio, obser\ ese en la Figura 5.37 que cuando q > 900, el costo total es mayor que el ingreso total, por lo que siempre habra perdida. Ocurre esto porque aqui el ingreso total no esta linealnlenle relacionado con la produccidn. Por lo tanro, tabr~carmas i~nidadesque la cantidad de punto de equilibrio no necesariamente garantiza obtener utilidades.
En 10s Problemas 1-8, IQprimera ecuacion es una ecuacion de oferfa, y /a segunda, una ecuacion de denianda para un producfo defermin~do.S i p represenfa el precio por unidad y q represenfa el numero de unidades por unidad de fien~po,enconfrar el punfo de equilibrio. En 10s Problemas 1 y 2 graficar el sisfema.
162
5
RECTAS, PARABOLAS Y SISTEMAS
En 10s Problemus 9-14, YrR representa 10s ingresos torales y y7, representa 10s costos tota/es para un fabricante. Si q representa tanto el numero de unidades que se fabrican como el numero de unidades que se venden, ha/le la cantidad de punto de equilibrio. Trace la grufica de punto de equilibrio en 10s Problemas 9 y 10.
15. Las ecuaciones de oferta 5 demanda para cierto product0 son 3q - 200p + 1800 = 0 y 39 + lOOp 1800 = 0, respectivamente, en donde p representa el precio por unidad y q representa el nurnero de unicladcs por interlalo.
19. Un fabricante de artefactos esta en equilibrio (no obtiene ni perdidas ni utilidades) con un volumen de ventas de $200,000. Los costos fijos son de $40,000 y cada unidad se vende en $5. Determinar el costo variable por unidad.
a. Obtenga en forma algebraica el precio de equilibrio y deduzcalo graficarnente. b. Determine el precio de equilibrio cuando se carga a1 proveedor un irnpuesto de 27 centavos por unidad.
20. Una empresa fabrica sandalias que tienen costo de rnateriales de $0.80 (dolares) por par y costo de mano de obra de $0.90. Los costos variables adicionales suman $0.30 por par. Los costos fijos son de $70,000. Si se vende cada par en $2.50, jcuantos pares deben venderse para que la cornpaiiia no gane ni pierda?
16. El fabricante de un producto vende todo lo que produce. Los ingresos totales estan dados por y , = 7q, y 10s costos totales, por y = 6 q + 800, en donde q representa el nurnero de unidades que se fabrican y venden. a. Halle el nivel de produccion en el punto de equilibrio y trace la grlifica correspondiente.
,.
b. Calcule el nivel de production en el punto de equi-
librio si 10s costos totales aurnentan en 5%. 17. Un fabricante vende un producto en $8.35 por unidad, y vende todo lo que produce. Los costos fijos son de $2,116, y 10s variables, de $7.20 por unidad. LA que nivel de produccion obtendra utilidades de $4,600? que nivel de producci6n habra perdidas de $1,150? LA que nivel de produccion ocurre el punto de equilibrio?
El punto de equilibrio de mercado para un producto ocurre cuando se fabrican 13,500 unidades a un precio de $4.50 por unidad. El fabricante no hace oferta de unidades con precio de $1 y 10s consumidores no dernandan unidades a $20. Obtenga las ecuaciones de oferta y dernanda si arnbas son lineales. 18.
21. Encuentre el punto de equilibrio para una cornpaiiia que vende todo lo que fabrica, si sus costos variables por unidad son de $2, 10s costos fijos son de $1,050 y y = 5 0 ~ 5 en , donde q es el nurnero de unidades de produccion.
,,
22. L'na compaiiia ha determinado que la ecuacion de demanda para su product0 es p = 1000/q, en dond e p es el precio por unidad para q unidades en cierto periodo. Determine la cantidad de demanda cuando el precio por unidad es: (a) $4; (b) $2 y (c) $0.50. Para cada uno de estos precios, evalue 10s ingresos totales que recibira la compaiiia. jCual sera el ingreso sin irnportai el precio? (Sugerencia: Calcule 10s ingresos cuando el precio es p . ) 23. Utilizando 10s datos del Ejernplo 1 , determine la forma en que se vera afectado el precio original de equilibria si la cornpaaia recibe un subsidio gubernarnental de $1.50 por unidad. 24. La Monroe Forging Company vende un producto de acero corrugado a la Standard Manufacturing
5.7
Reposo
Company y complte en la vent? de este producto con 10s demas proveedores de la Standard. El vicepresidente de ventas de la Monroe considera que reduciendo el precio del producto se podria obtener un aumento del40% en el volumen de unidades que se venden a la Standard. A1 gerente del departamento de costos y analisis se Le ha pedido analizar la proposicion del vicepresidente para que formule recomendaciones con respecto a si es financieramente benefic0 este plan para la Monroe Forging Company. De mod0 especifico se solicita determinar lo siguiente. (1) Perdidas o utilidades netas con base en la propuesta de precio.
(2) Volumen de ventas que se requiere, con el precio propuesto, para obtener la mismas utilidades de $40,000 que se obtienen ahora con el precio y el volumen de ventas actuales.
Propuesta del O~Q~OC~O~ v iQc S ~pr~sid~nt~ actuales de ventas
Precio unitario Volumen de ventas Costos variables Total Por unidad Costos fijos Utilidades
$2.00
200,000 uniJades
280,000 unidades
$350,000 $1.75 $1 10,000 $40,000
$1.75 $1 10,000 ?
de demanda son
q~ = 8 Y
Utilice en el analisis 10s datos de la tabla.
$2.50
96 = 26
PB
+ PA - P n ,
y las ecuaciones de oferta son
q~ Supongase que 10s productos A y B tienen ecuaciones de oferta y demanda relacionadas entre si. Si q , y q , son cantidades de A y B, respectivamente, y p, y p, son sus precios respectivos, las ecuaciones 25.
--
PA +
-
Y
=
-2
+ SPA
q~ = - 4 - P A
-
+
PB ~ P B .
Elimine q , y q , para obtener 10s precios de equilibrio.
5.7 Repaso
Seccihn 5.1
pendiente la recta forma punto-pendiente forma pendiente-ordenada en el origen ecuacion lineal general en s y v, relacion lineal
scccitin 5.2
ecuacion de dernanda grafica de demanda grafica de oferta funcion lineal
hcccihn 5.3
t'uncion cuadratica
5eccihn 5.4
sistema de ecuaciones sistemas equivalentes elirninacion por adicion ecuacion senera1 lineal en .Y, : elirninacidn por 5ustitucion
parabola
ecuacion de oferta
ejes de sirnetria
\,ertice
$,!
Sereion 5.5
sistema no lineal
Seccion 5 . 6
punto de equilibrio precio de equilibrio costos fijos utilidades costos totales punto de equilibrio cantidad de equilibrio
cantidad de equilibrio costos variables ingresos de equilibria
RESUMEN -
-
La orientation de una r c t a que no es vertical se caracteriza por su pendiente m: m = - Y z - )1 X2 - XI
en donde ( x , , y , ) y (x,, y,) son dos puntos diferentes que se encuentran sobre la recta. La pendiente de una a \ la pendielite de una recta horizontal rs ccro. Las formas basicas de lar ecuaciones I-ecta~erticalno r ~ t del'inida de rectas son: (forrna punto-pendiente), - ?.I = m(x - I,)
,.
(forrna pendiente-ordenada en el origen),
y=rrm+b
A.r
t
B?.
.Y
= a
(recta vertical),
\.
=
h
(recta horizontal),
+C
=
0.
(general).
1-a funcion liiieal ,f (s)= u.r + O (u f 0) tiene corno grafica una recta. En Economia, las funciones dc oferta v las funciones de demanda tienen la forrnap = f (q) y desempeiiar~un papel muy impor [ante. C'ada una de ellas proporciona la correspondencia entre el precio p de un producto !. el numero dc unidades (/ drl rnisrno que 10s fabricantes (o 10s consumidores) ofreceran (o compraran) en el rncrcado a ese p~ccioen algin period0 dado. Una Sunci6n cuadriitica tiene la siguiente forrna:
Su grafica es una parabola que abre hacia arriba si u > 0, y que abre hacia abajo si a < 0. El vertice esta dado por
c . El eje de simetria asi corno las intersecciones con el eje .u y el eje y son ~itiles par a trazar la grafica. Se puede resolves un sisterna de ecuaciones lineales con 10s metodos de elimination por adicion o por rustirucion. L.a sustitucion es tambien util para resolver sisternas no lineales. Resolver un sisterna formado por ecuaciones de oferta y de dernanda de un producto proporciona el punto de equilibrio, el cual sefiala el precio a1 cual 10s consurnidores adquiririan la misrna cantidad del producto que 10s fabricantes estarian dipuestos a vender a ese precio. Las utilidades son ingresos totales - costos totales, en donde 10s costos totales son la surna de 10s costos fijos y 10s variables. El punto de equilibrio es el punto en el que ingresus totales = costos totales. y la ordenada en el origen es
PRODLEMAS DE REPASO
--
p p p p p
1.
La pendiente de la recta que pasa poi- (2, 5) y (3, k ) es 4. Determine k .
2.
La pcnd~rntede la recta que pasa por (2, 3) y ( k , 3) es 0. Halle k .
-p
t'n 10.r /'l.oh/~'tli(i~ 2-7, detrrtn!tie la forma pendienre-ordenadu en el origen y una fortna lineal general d e una ec,i~uc,iun(/e lo t.cJctuque riene las propiedades que se seiialan. 3.
Pasa por (3, -2) y tiene ordenada en el origen 1.
-1.
Pasa por (-1, - I ) y es paralela a ta recta y
5.
Pasa por (10, 4) y tiene pendiente
h.
lhsa por (3, 5) y es vertical.
-
3.u - 4.
i.
7 . P a w por (-2, 4) y es horizontal.
8.
Determine si el punto (0, -7) esta sobre la recta que pasa por (1, -3) y (4, 9).
5.7
165
Reposo
En 10s Probleinas 13-22, grajique cada funcion. Para /as que sean lineales, indique tambiPn la pendiente y la inlnsrccicirr con el eje vertical. Para /as que sean cuadraticas, seiiale todas las inlersecciories y el vPrtice.
33. Suponga que a y b tienen relacion lineal, de ma2, y a = 2 cuando nera que a = 1 cuando b b = 1. Halle una forma lineal general de la ecuacion que relaciona a y b. Obtener tambien a cuando b = 3. 34. Cuando se reduce la temperatura T (en grados Celsius) de un gato, su ritmo cardiaco r (en latidos por minuto) disminuye. En condiciones de laboratorio, un gat0 a temperatura de 37OC tiene un ritmo cardiaco de 220 y a una temperatura de 32°C su ritmo es de 150. Si r se relaciona linealmente con T, en donde T se encuentra entre 26 y 38, (a) halle una ecuacion para r en terminos de T y (b) determine el ritmo cardiaco a una temperatura de 28°C. 35. Suponga que f es una funci6n lineal tal que f (1) = 5, y f (x) disminuye en 4 unidades por cada 3 unidades de aumento en x. Evalue f (1.). 36. Si f es una funcion lineal tal que f (-1) f (2) = 5, halle f (x).
=
8y
37. La funcion de demanda para el producto de un
fabricante es p = f ( q ) = 200 - 29, en donde p es el precio (en dolares) por unidad cuando existe una demanda de q unidades. Obtenga el nivel de produccion que maximiza 10s ingresos totales del fabricante y determine estos ingresos. 38. La diferencia en precio para dos articulos antes de aplicar un impuesto del 5% sobre ventas es de $4. La diferencia en precio despuks del impuesto sobre ventas es de $4.20. Halle el precio de cada uno de 10s articulos antes del impuesto. 39. Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son 125p - q - 250 = 0 y lOOp + q 1100 = 0, respectivamente, obtenga el precio de rquilibrio. 40. El fabricante de cierto producto vende todo lo que produce. Determine el punto de equilibrio si el producto se vende a $16 por unidad, 10s costcis fijos son de $10,000 y 10s costos variables e s t h dados por
166
5
RECTAS. PARABOLAS Y SISTEMAS
,
y = 8q, en donde q es el numero de unidades que se fabrican (se expresa todo en dolares). 41. En Psicologia el termino ineinoria seinantica se refiere al conocimiento que las personas tienen del significado y las relaciones entre palabras, asi corno con respecto a 10s significados a traves de 10s cuales almacenarnos y recordamos esa information.* En un rnodelo de redes de memoria semantica, existe una jerarquia de niveles en 10s cuales se almacena la inforrnacion. En un experiment0 llevado a cab0 por Collins y Quillian, con base en un modelo de redes, se obtuvieron datos sobre el tiempo de reaccion (de respuesta) a preguntas simples acerca de sustantivos. La
grafica de 10s resultados muestra que, en promedio, el punto de reaccion R (en milisegundos) es una fun:ion lineal del nivel L a1 cual se almacena la propiedad caracteristica del sustantivo. A un nivel de 0, el punto de reaccion es 1,310; a1 nivel2 el punto de reaccion es 1,460. (a) Determine la funcion lineal. (b) Calcule el tiempo de reaccion a1 nivel de l . (c) Obtenga la pendiente y determine su significado. La temperatura Celsius C es funcion lineal de la ternperatura Fahrenheit, F. Utilice 10s hechos de que 32OF equivale a O°C y que 212OF equivale a 100°C para encontrar esa funcion. Tambien, determine C cuando F = 50.
42.
dun juego do tenis? E. >5:5le que en alguna ocasion haya hecho usted una cita para ver a alguien o para realizar algo, i r Y e ;ara tencr yue esperar un gran rato. Por ejernplo, las personas que tienen citas se quejan con
L - -
*:--sxia de las largas esperas necesarias para ver a medicos o para hacer que reparen su autornovil. k sr; i o dcportes, ~ existen quejas con respecto a las esperas. Es posible que 10s jugadores de tenis : quc csperar hasta las 10:OO para cornenzar un juego prograrnado a las 9:OO. Y pasa lo rnismo AT ;>- jugadores de golf y otros. Parece que la prograrnacion es la parte fundamental de todos 5,- yrohlcrnas. Aqui, se aprendera una forrna de diseiiar un prograrna de tiempo para llevar a Izepoi en torneos de tenis*. SilNngase que existen disponibles 1 1 carnpos para un torneo de tenis que comienza a las 8 de La =&am. Utilizando un tiernpo prornedio por juego de una hora y treinta rninutos, lo cornun seria 4 1 ti director del torneo programara 1 1 partidos a las 8:00, 1 1 partidos a las 9:30, I 1 juegos a & : 1 :Kl. !asi sucesivarnente. Sin embargo, la durac~onreal de 10s juegos varia. Algunos terrninan - 7 ~ 2 3 dc 30 rninutos; otros se llevan mas de 2 horas. Debido a esto, 10s juegos prograrnados hacia . e : ~ ~dsl a ltorneo pueden sufrir retrasos de varias horas. Es posible que un rnejor rnktodo de progra-.
-
* .
\;2;;a3;, dc Brian Gal-man, "Applying a Linear Function to Schedule Tennis h l a t ~ h e s , " Tlieilloilieit~uilcsTeoc,hr~.. - Ocrukrs 19R4). 544-47. C o n autorizacion d e National Council of Teachers of Machematics.
169
(Un juego de [ems?
un periodo dado. Como se deben programar I 1 juegos para el periodo 1, !cl ultimo j~isgo.el octogesimoquinto, se debe programar para el periodo 23, es razonable elegir como linea "predictors" la que pasa por 10s puntos (1, I I) y (23,85).comn se muestra en la Figura 3.38. La pendiente 111 esta dada por
85 - 1 1 - 7 4 = 23-1 31
m
=
37 11'
Una forma de punto y pendiente de una ecuaci6n de la recta es
,.- 1 1
= 37(.Y
-
I),
II
que puede reescribirse como \.
-
37 I1
- 1 ) t 11.
= -(*
158 = 14.36. No tienen sentido, 11 ~raccionesde juego, y re debe refinar la funcion de la Ecuacion ( I ). Un rnetodo consiste en redondeal los \alores de J, en ( I ) enteroc, utilizando una funcion que se denornina firncron 111ujorentero, ! que re denota por [.\'I. La notacion [.u] rigniiica el mayor entero menor que o igual a .\-.Por ejcrnplo.
Por ejemplo si x = 2, entonces la Ec. ( 1 ) da y =
-
Si se suma 0.5 a cualquier n~imerodado y despues se encuentra el mayor enterode la suma, el resultado -era el niirnero dado redondeado al entero mas proximo. Por ejcrnplo, (3.1 0.51 = [1.6]= 3, due er 4.1 redondeado al entero mas cercano [5.9 + 0.51 = 16.41 = 6. que es 5.9 redondeado al entero mas proximo. La funcion refinada, por ejemplo f , yue pronostica el numero total de juegos hasta e incluyendo el periodo s esta dada por 7
En particular si x = 2 entonces
m),
para )- [14.86] = 14. Por ello, f ( 2 ) = 14. En la T'sbla 4.4 se dan 10s totales pronosticados, x = 1 , 2 , 3, ..., 23, a1 igual que 10s totales reales. ObsCrvese que f es un predictor muy aceptable d i 10s totales citados, Sin embargo, f pronostica mas juegos para 10s periodos 2 y 3 que lo ob~er\.ado q u n la e-iperiencia. Existen discrepancias menores para otros periodoc. Como una apropiada programacion a1 principio del torneo es de enorme importancia, se puede ajustar los totales pronosticados para que muestren 12 juegos en el periodo 2 y 16 en el periodo 3 . Tarnbien se muestran en la Tabla 4 4 loi totales ajustados. Re5ulta que un programa basado en 10s totales ajustados es razonable. La iuncion, por cjemplo P, que describe este programa esta dada entonces por
12, s i x x i
[
- 1
=:
2,
+
1I
]
otra
cn Jonde F(.r)es el numero total de juegor programador harta el period0 \-. Asi, el numero delucgo\ A i a quc se asigna el ticmpo de inicio del periodo ier fir) - f(.r - I ) , en donde r > I.
HORA
TOTAL REAL
TOTAL PRONOSTICADO f(x)
TOTAL AJUSTADO FCU)
8:OO 8:30 9:OO 9.30 1O:OO 10:30 1 1 :oo 11:30 12:OO 12:30 1 :oo 1:30 2:OO 2:30 3:OO 3:30 4:OO 4:30 5:OO 5:30 6:OO 6:30 7:OO
11 12 16 21 25 28 31 34 37 40 44 48 51 55 58 60 63 67 71 74 78 82 85
11 14 18 21 24 28 31 35 38 41 45 48 51 55 58 61 65 68 72 75 78 82 85
11 12 16 2I 24 28 31
PERIOD0 x
I 1 b
3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
3 -5 38 41 45 48 51 55 58 61 65 68 72 75 78 82 85
Por supuesto, no todos 10s torneos de tenis irnplican 85 juegos en I 1 carnpos. Adernas, el tiernpo promedio de 10s juegos varia y depende, por ejemplo, de la clase de jugadores o del tip0 de cancha. Por ello, para manejar estas situaciones, supongase que se generaliza la funcion de programacidn anterior para un torneo que implica n juegos en c campos, con base en un tiernpo promedio de juego de h horas y t minutos. En primer lugar, es necesario deterrninar el nurnero de period0 de 30 rninutos que el problerna implica. Supongase que el torneo debe comenzar en el tiempo T = 0 y que E es el tiempo promedio (en minutos) que se utiliza una cancha durante el dia. Entonces,
El ultimo juego terrninaria aproxirnadarnente en el tiernpo T = E, por lo que comenzaria aproximadarnente a la hora o tiernpo ( T = E - (60h + r). El nurnero de intervalos de 30 rninutos, desde T = 0 hasta el tiernpo de inicio del ultimo juego es
171
cUn juego d e t e n ~ s ?
Esrc. nurnero no inclu!e el periodo final. El nuniero de period05 que se deben proprarnar er el \alor I edondeado cle (111
- c.1 (6011 .30 L
+
1)
+
(2)
Supongase que el numero total de juegos, y , programados hasta el periodo .u es funcicin lineal clc .Y. Como se programan c juegos para el periodo 1 , y hacia el periodo :se programa un ro[al clc 117 juegos, 10s puntos (1, c ) y (2, m ) caen en la grafica de esta funcion. La pendientc c.s
por lo que una forma punto-pendiente de una ecuaci6n de la recta es
Simplificando, se obtiene
Sr: debe refinar esta funcion para que 10s valores d e y se redondeen a enteros. Ademas, la experiencia \enala que para 10s periodos 2 y 3, el numero total de juegos asignados debe reflejar las rnismas proporciones que en 10s datos originales basados en 1 1 canchas. Es decir, para el periodo 2, debe haber un total de [ S c + 0.51 0.51 juegos asignados, y para el periodo 3, debe haber [ B c + 0.51. La funcion, por ejemplo F, que describe este programa, es
cn donde F(.(.u)es el numero total de juegos programados hasta el periodo s;111 es el nurnero de juegos del torneo; c es el numero de canchas, y ;es le numero de periodos, en donde ;esta dada por la Ecuacion (2). Esta funcion describe el sistema de programacicin de tenis conocido colno el "Sistcma Gartnan", que ahora se utiliza en muchor torneos tenisticos de campeonato.
En 10s siguientes Problemas, utilice el sistema Garman de programacion para un torneo de tenis que implica 16 juegos, con un tiempo promedio de una hora y 45 minutos por juego, y con 4 campos. 1. Determine (a) el valor de z, el numero de peiiodos de 30 minutos, (b) F(x), y (c) 10s valores de F(x) para x = 1, 2, 3, ... z.
2. Si el torneo comenzara a las 10:OO A.M., indi-
que para cada period0 la hora de inicio y el nlimero de juegos que se deben llevar a cab0 durante el mismo.
6
CAP~ULO
Funciones exponenciales y logaritmicas -6.1
Funciones exponenciales Existe una funcion que juega un papel importante no solo en lashlatematicas sino tambiCn en Administration, Economia y otras areas. Implica una constante elevada a un exponente variable, tal corno f(x) = zX. A funciones como esta se les denornina firnciones expor7enciales.
A la funcion f, definida por f(x) = b",
en donde b > 0,b # 1 , y el exponente x es cualquier numero real, se le denomina funcion exponencial, con base b *. No se debe confundir la funcion exponencial y = 2" con la funcion polencia y = x 2 , que tiene base variable y exponente constante. Dado que el exponente de bx puede ser cualquier numero real, resulta interesante preguntarse como se ha de asignar valor a algo como 2" , en donl;: el exponente es un numero irracional positive. En terminos simples, se usan aproximaciones. En primer lugar, 2"' es aproximadarnenre igual a 2 ' = 2' ' = 'v2', que si estci definido. Otras etchera. De esta forrna. aproximaciones aun mejores son 21.41= 2 ~ 4 1 ~-1 ~
m,
se aclara el significado de 2" Cuando se trabaja con funciones exponenciales, puede ser necesario aplicar las reglas de 10s exponentes. Estas reglas son las que aparecen enseguida, en donde m y n son numeros reales, y a y b son positives. -.
....
- - . - .. Si b
*
.
- .
= 1,
entonces f (x) cion exponencial.
= 1' =
1 . Esta funcion tiene tan poco interes que no se le considera fun-
,.
=
2. a'li -
U t f l + 18.
=
a'"".
(111
3. (a"')n = a""'. j.
"(1"
3. (ah)"
lil
a"b.
6. a' = a .
= -
b"
=
'
8.
7. u" = 1.
(l-"
=
1 -
(1"'
Algunas funciones que no parecen tener la forma exponencial br pueden ponerse en tal forrna aplicando las reglas anteriores. Por ejemplo, 2-' = lI(2') = ($)" y 3 2 ~= (32).r = gr, En la Figura 6.1 se rnuestran las graficas de algunas funciones exponenciales. Se debe observar lo siguiente: 1. El dominio de una funcion exponencial son todos 10s numeros reales.
2. El arnbito (o contradominio) son todos 10s numeros reales positivos.
3. Puesto que bo = 1, para toda base b, cada una de las graficas tiene como interseccion con el eje y a (0, 1). No existe intersection con el eje x .
Tarnbien se observa en la Figura 6.1 que y diendo de si b > I o bien 0 < b < 1 .
=
br tiene dos forrnas basicas, depen-
4. Si b > I , entonces la grafica de y = b', asciende de izquierda a derecha; es decir, a1 aumentar x tambikn se incrementa y. Pero y tarnbien puede tomar valores mu!
6 .I
173
Funciones exponenciales
I 1.
aman
=
2. a"' - = a'"".
ant+n,
I
c/l1
3.
=
alnu,
5. ( E ) "
=
p.
4. (ah)" = a U b .
a"
6. a'
8.
7. a" = I .
(/-"
=
a.
=
1
-
ci"
Algunas funciones que no parecen tener la forma exporlencial b' pueden ponerse en tal forma aplicando las reglas anteriores. Por ejemplo, 2-' = 11(2') = (+)' y 3 2 ~= (32)' = y. En la Figura 6.1 se muestran las graficas de algunas funciones exponenciales. Se debe observar lo siguiente: 1. El dominio de una funcion exponencial son todos 10s n~imerosreales.
2. El ambito (o contradominio) son todos 10s numeros reales positivos. 3. Puesto que b0 = 1, para toda base b, cada una de las graficas tiene como interseccion con el eje y a (0,1 ) . No existe interseccion con el eje x .
Tambien se observa en la Figura 6.1 que y diendo de si b > 1 o bien 0 < b < 1 .
=
b' tiene dos formas basicas, depen-
4. Si b > 1, entonces la grafica de y = b y , asciende de izquierda a derecha; es decir, a1 aumentar x tambien se incrernenta y. Pero y tambien puede tornar valores mu)-
174
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
cercanos a cero. (Vease el cuadrante 11.) Notese tambien que en el cuadrante I, conforme mayor es el valor de b, con mayor rapidez asciende la giafica. (Comparense las graficas de ?. = 2' y de y = 3'.)
5. Si 0 < b < 1, entonces la grafica de y la grafica de .I. canos a 0.
=
= 6-' desciende de izquierda a derecha. [Vease ] A1 aumentar x, entonces y disminuye y toma \.alores cerca-
(4)'.
Se encuentran funciones exponenciales en el inter& compuesto, en el cual el interes que percibe una suma de dinero invertida (capital o monto especial) se reinvierte, de manera que este interes tambien gana interes. Es decir, el interes se compone o convierte en capital y, por ello, hay "interes sobre interesesH.* Por ejemplo, supongase que se invierten $100 (dolares a cualquier otra unidad nionetaria) a la tasa de 5% compuesto anualmente. Al final del primer afio, el valor de la inxrsion es el capital original ($100) mas el interes generado por este [100(0.05)]:
Esta es la cantidad sobre la cual se genera interes para el segundo afio. A1 final del segundo period0 anual, el valor de la inversion es el capital que se tenia al final del priiner aiio, ($105) mas el interes producido por esa cantidad [105(0.05)]:
Asi, el capital se incrementa en 5% cada afio. Los $1 10.25 representan el capital original, mas todo el interes acumulado; se le denomina monto acumulado o monto compuesto. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original se denomiona interes compuesto. Asi, el interes compuesto aqui es 100.25 - 100 = $10.25. En terminos mas generales, si se invierte un capital P a una tasa de 100r por ciento compuesto anualmente (por ejemplo, a1 5%, r es (0.05), el monto compuesto despues de 1 afio sera P + P r o bien P(l + r). A1 final del segundo afio, el monto compuesto es = =
P(l P(l P(l
+ + +
r) + [P(1 + r)]r r) + [l + r] r)2.
factorizando
Esta operacion continua. Despues de tres afios, el monto compuesto es P(l + r)'. En general, el monto compuesto S d e un capital P a l final d e n aiios, a la tasa de rcompuesta anualmente, esta dado por
En el Apendice D se proporcionan algunos valores aproximados de (1 + r)". Observese en la Ecuacion ( I ) que para un capital y una tasa dados, S es funcion de n . De hecho, S incluye una funcion exponencial con base 1 + I-.
( 3 . del T.) E n !vle\ico se expieta por lo cowlin, cn forma 16gica q u s re <'c~l)!lol!s~ cl inter$,; n o o b v a n ~ cse habla I;~mbien Je u o m p o ~ ~ c i oyn tar[! c o ~ ! ~ p ~ ! e s t o .
6.1
175
Funciones exponencioles
EJEMPLO 1
Siipongase que se invierten $1000 durante 10 urios a1 6 % anlial (o sea, collipi,esro uniial~?rente). a. Calcular el monto conipuesto.
Se usa la Ec. ( I ) con P = 1000, r = 0.06 y n = 10. S
=
1000(1
+ 0.06)"' =
1000(1.06)'"
En el apindice D se obtiene (1 .06)1° = 1.790848. Asi, S
-
lOOO(1.790848) ;= $1790.85.
b. Evaluar el interes compuesto.
Utilizando el resultado obtenido en la parte (a), se tiene interes compuesto
=
S - P
=
1790.85
=
$790.85.
-
1000
Supongase que el capital de $1000 del Ejemplo I, se in~iertedurante 10 afios igual yLie antes, pero en esta ocasion, la capitulizacio~i(o composicion) tiene lugar cada tres
meses (es decir, triniestrr~llliente)a la tasa del 1 1/2% por triniestre. Existen, entonces cuatro periodos de interes o periodos de capitalizacion por aiio, y en 10 afios existen lO(4) = 40 periodos de interes. Asi, el monto conipuesto para I . = 0.015 es ahora
-
1000(1.015)~" lOOO(1.814018) = $1814.02, y cl interis (compuesto) es $814.02. Por lo general, la tasa de interes por periodo de capitalizacion se plantea como tasa anual. En este caso, se hablaria de una tasa anual de 6% compuesto trimestralmente, de manera que la tasa por periodo de interes, o tasa periodica o tasa por periodo, es 6%/4 = 1.540. A esta tasa anual partida, de 6%, se Ic denomina tasa nominal o tasa anual (T.A.). A rnenos que se exprese de otra manera, se supone que todas las tasas de interes son tasas nominales anuales. Por ello, a una tasa de 1 5q0 compuesto anualniente lecorresponde una tasa por periodo de 15%/ 12 = 1.2540. Con base en este analisis, se puedt. generalizar la Ecuacion ( I ) . La formula
S = P(1
+
r)"
(2)
da el monto acumulado S de un capital P al final de n periodos de interes, a la tasa periodica de r . Ya se ha visto que para un capital de $1000 a una tasa nominal de 6Fo durantc un periodo de 10 aiios, la capitalizacion anual da como resultado u n interes compu:G:o
J e 5790.85, ,! cot1 capi~;~li/aciOn trimc5tral. el interis compuc3co es S8 14.02. Es c o ~ i i i ~ ~ l que, para una l a w no~nirlalclada, cuanto mas frccuencc sea la capitali~acicin.ranto Inayor sera el inter& c o ~ i i p u e ~Sin ~ o en1 . bargo, al aumentar el numero de pcriodos dc irlce1.25, el efccto tiende a $el' meno5 importance. Por ejemplo. con capitalizacicin 5cmanal. el inter25 conipucsco c.
y con capitalizacion diaria es
En este caso, la diferencia no es muy significativa.
Una tasa nominal de 6% anual no necesariamente significa que una inversion aumenta de valor en 6% en el lapso de un aiio. En ocasiones, ,e utiliza la frare "valor del dinero" para expresar una taja anual de interer. Asi, decir que el dinero vale 6% compuesto trimestralmente, re rcfiere a una casa anual (nominal) de 6070 compuesto trimestralmente.
ESEMPLO 2 Se coloca la canridad de $3000 en una cuenla de uhorros. Si el dlriero vale 6% colnpuesfo se~neslralmenre,jcua'l es el saldo de la cuenra desplres de 7 aiios? (Suponguse ylre no re hace ningun orro deposiro ni I-er~ro.) Aqui, P = 3000. Con do5 period05 de interer al afio, se tiene n = 7(2) la tasa por period0 I- er 0.06/2 = 0.03. De acuerdo con la Ecuaci6n (21,
=
14,
S = 3000(1.03)'J = 3000(1.512590) = $4537.77
En el Capitulo 6 se presenta un analisis mas detallado del interes compuesto y las matematicas financieras. Uno d e 10s numeros que son mas utiles como base para las funciones exponenciales es cierto numero irrational denotado por la letra e en honor del matematico suizo Leonardo Euler (1707-1 783):
e es aproximadamente igual a 2.71828. A la funcion exponencial con base e se le denomina la funcion exponencial natural. Aunque pudiera parecer que e es una base extrafia para una funcion exponencial, surge en forrna natural en el Calculo (como severa posteriormente). Tambitn se presenta
en analisis economico y en problemas que implican crecimiento o decrecimiento, como en estudios de poblacion, interes compuesto y desintegracion radiactiba. En el Apendice B 5e presenta una tabla de valores (aproximados) de e' y de ec.' Tambien se puederi obtener estos valores con muchas calculadoras. En la Figura 6.2 se muestra la grafica de 1 = f?.
EJEMPLO 3 1.0 poblacion prq~ectadaP de una ciudad esra dada por
en dorlde r es e/n~irl~et-o de atios despues de 1985. Pror~osricarlapoblacion para el atio 20 10.
El numero de atios que van de 1985 a 2005 es 20, de manera que p = 100 OOOe"
"'1201
=
r
=
20. Entonceq
'
100 000e = 100 000e.
Dado que e = 2.71828, P = 100 OOO(2.71828) = 271 828. hluchos pronosticos economicos se basan en estudios de poblacior~.
Lo5 elementos radiactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con reipecto a1 tiempo. Se dice que el elernento decrece o decae. Si N es la cantidad a1 tiempn I , entonces se puede demostrar que
en donde N(,y A (la letra griega lambda minuscula) son constantes positivas. Obser\e>s que N implica una funcion esponencial de r. Se dice que N sigue una ley esponencial de decrecimiento. Si I = 0 , entonces N N , , e A"'' = N,,eu = N o . 1 = N,,. Asi. la constante N,, representa la cantidad del elemento que esta presente a1 tiempo 1 = 0 ! se le denomina cantidad inicial. La constante A depcndc del elemento particular in~plicad o y se llama constante de decrecimiento (o de decaimiento). Como N disminuye a1 transcurrir el tiempo, supongase, designese por T e l t i s r ; ~
-
178
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR~TMICAS
necesario para que el elemento radiactivo se reduzca a la mitad de su cantidad inicial. En este caso, al tiempo t = T , se tiene N = N,,/2. La Ecuacion (3) implica que
Se puede ahora utilizar este hecho para mostrar que un intervalo T , se reduce a la mitad la cantidad del elemento. Considerese el intervalo de tiempo de t a t + T , cuya magnitud cs T . A1 tiempo t , la cantidad del elemento es N , , e ", y en el tiempo t + T es
que es la mitad de la cantidad en el tiempo t . Esto significa que si la cantidad inicial presente N,, fuera de 1 g (gramo), entonces a1 tiempo T se tendria solo 0.5 g; al tiempo 2T, se tendria 0.25 g , y asi sucesivamente. A T se le denomina semi-vida* del elemento radiactivo. En la Figura 5.3 se muestra una grafica del decrecimiento radiactiva.
Decrecimiento rodioctivo
FIGURA 6 . 3
EJEMPLO 4
Un elemento radiactivo decrece o decae de manera que despues de t dias, el numero de n~iligramos(mg) presente, N, esta dado por
a. Cuantos rniligrarnoL~habia inicialmente?
Esta ecuacion tiene la misma forma que la (3); N = N,,e-", en donde N,, = 100 y A = 0.062; N,, es la cantidad inicial y corresponde a t = 0. Por ello, habia inicialmente 100 mg. *(\.
del
R) Ec le
llama ~alnbiene r r o n c ; ~ n ~ e n"kids ~c mcdln"
6.1
Funciones exponencioles
b. iCuantos miligramos hay despues de I0 dias? Cuando t
=
10, N
= 100e-".Oh"lO'
-
-
,00e0.61
lOO(0.53794) = 53.8.
Asi, a 10s 10 dias habra aproximadamente 53.8 mg.
En Estadistica, se utiliza una importante funcion como modelo para describir fenomenos que ocurren en la naturaleza, y es la funcion de distribucion de Poisson:
El simbolo p la letra griega mi o mu. En ciertos casos, F(x) da la probabilidad de que ocurran exactamente x eventos en un intervalo. La constante p es la media, o numero promedio, de ocurrencias en el intervalo. En el siguiente ejemplo se ilustra la distribucion de Poisson. EJEMPLO 5
Un hemacitometro es una camara de conteo dividida en cuadrados y se utiliza para estudiar el numero de estructuras microscopicas de un liquido. En un conocido experimento *, se diluyeron celulas de yema de huevo y se mezclaron en forma completa en un liquido; la mezcla se coloco luego en un hemacitometro. Con un microscopio, se contd el numero de celulas que habia en cada cuadrado. Se encontro que la probabilidad de que hubiera exactamente x celulas en un cuadrado del hemacitometro se ajustaba a una distribucion de Poisson con p = 1.8. Evaluar la probabilidad de que haya exactamente cuatro celulas por cuadrado. Se utiliza la funcion de distribucion de Poisson, con
En la tabla del Apkndice B se encuentra que e-'.'
. r
p =
1.8 y x = 4.
0.16530, por lo que
Esto significa que en 400 cuadrados, se esperaria encontrar 400(0.072) = 29 cuadrados con exactamente cuatro cklulas. (En el experimento el numero real observado fue de 30.)
* R.R. Sokal y F.J. Rohlf, Inrroduction lo Biosrari~rics(San Francisco: W . H . Freeman and Cornpar.!. Publishers, 1973).
En 10s Problemas 1-10 grafique cada funcion.
En 10s Problemas 11-18, calcule (a) el monro y (6) el inreres compuesro para la inversion y la rasa anual dadas. 11. $4000 durante 7 afios al 6% compuesto anualmente 12. $5000 durante 20 afios al 5% compuesto anualmente 13. $700 durante 15 afios al 7% compuesto semestralmente 14. $4000 durante 12 atios al 6% compuesto semestralmente 15. $10 000 durante 8 % anos al 8% compuesto trimestralmente 16. $900 durante l l atios al 10% compuesto trimestralmente 17. 35000 durante 2'? an04 al 9% compuesto mensualmente 18. $1000 durante 33 4 afio4 al 6u10 compuesto mengualmente
En 10sproblemas 19-22 urilice calculadora para dererminar el monro compuesro para la inversion dada. 19. 20. 21. 22.
$4000 durante 15 ah05 al 8 1/2% compuesto tr~mestralmente $500 durante 5 afios al 11To compuesto semestralmente $8800 durante 3 afios al 6 1/4% compuesto diar~amente.(Supongase que ek15ten 365 d1a5 en un ano.) $1000 durante 2 atios al 12% compuesto cada hora. (Supongase que exlsten 365 d ~ a sen un atio.)
23. Se adquiere un certificado de deposit0 por $6000 y se conserva durante 7 afios. Si el certificado gana 8% compuesto trimestralmente, jcual es su valor a1 final de ese periodo? 24. Supongase que se colocan $1000 en una cuenta deahorrosquegana interes a la tasade 15% compust o semestralmente. (a) jcual es el valor del ahorro al final de 4 aiios'? (b) Si la cuenta hubiera ganado interes a la tasa d e 5% compuesto anualmente, jcual seria el valor despues d e 4 atios? En 10sProblemas 25-28, utilice la rabla del Apendice B para obrener el valor aproxi~nadode cada e.ipresion.
29. La poblacion proyectada P d e una ciudad esta dada por P = 125 OOO(1.12)' "', en donde r es el numero de atios despues d e 1990. iCual es la magnitud d e la poblacion proyectada para 2010? 30.
Para cierta ciudad, la poblacion Pcrece a razon
de 2% anual. La formula P = 1 000 OOO(1.02)' proporciona el valor d e la poblacion t afios despues de 1990. Determine la poblacion en (a) 1991 y (b) 1992. 31. L a probabilidad P de que una operadora de telkfono reciba exactamente x llamadab durante cierto periodo esta dada por
Obtener la probabilidad d e que la operadora reciba exactamente tres llamadas. Proporcione su respuesta con cuatro cifras decimales. 32. E n un experimento sicologico sobre aprendizaje,* se pidio a 10s sujetos dar respuestas especificas despues de someterlos a ciertos estimulos. Cada estimulo consistia en un par d e letras, y cada respuesta era el numero 1 o el nlimero 2. Despues d e cada contestacion se decia al sujeto la respuesta correcta. E n este experimento d e aprendizaje, a1 que se denomina
* D. Laming, Mathematical Psychology (Nueva York: Academic Press, Inc., 1973).
6.2
181
Funciones logoritmicos
de asociacion en pares, la probabilidad teorica P de que un sujeto proporcione una respuesta correcta en el n-esimo ensayo esta dada por p
2
1 -$(I
-(.)"-I
.
jCuantos miligramos habra despues de 20 arios?Proporcionar la respuesta redondeando a miligramos. 37. Si una sustancia radiactiva tiene una semivida de 8 aiios, jcuanto tardara I g. d e la sustancia en reducirse a 1 / 16 de gramo?
n2l,O
Evalue P cuando n = I . 33. una importante funcion que se utiliza en decisiones econbmicas de negocios es la funcion densi. dad de la disrriburidn nor,,,al, que en su forma estandar es
I Ge --x2'2 f(x, = -Evaluar f (O), f (-I) y f (I), utilizando
1 -
G
=
0.399.
Proporcione las respuestas con tres cifras decimales. 34.
39. Suponga que el numero de pacientes que se admiten en la sala de emergencias 3e un hospitai l u rante cierta hora del dia tiene una distribucion de Poisson con media igual a 4. Evaluar la probabilidad de que durante esa hora haya exactamente dos pacientes en la sala de emergencias. Proporcione la respuesta con cuatro cifras decimales.
Exprese ek' en la forma b'.
35. Un elemento radiactivo es de tales caracteristicasque restan Ngramos despues de r horas, en donde N =
~O~-O.OZBI
( a ) i,Cuanto\ m~ligramose\tan presentes in~cialmenre? redondeando a decimos, jcuantos gramos se conservan despues d e (b) 10 horas? (c) 50 horas? (d) Con base en su respuesta a la parte (c), jcual es su estimacion d e la vida media d e este elemento? 36. En cierto momento, existen 100 miligramos de una sustancia radioactiva. Declina de manera que despues de t aiios el numero de miligramos A , que se encuentran presentes, esta dado por .4 = 100e-""O"'.
38. L a ecuacion de demanda para un nuevo juguete eS Q = lO.OOO(0.95 123)''. Se desea e ~ a l u a (1 r cuand o p = 10. P a r a convertir la ecuacion a una forma mas deseable para efectos de calculo, utilice el p e n dice B para mostrar que Q = 10,OOOe-O"i~J. Despues. realice la evaluation y proporcione la respuesta redondeando a enteros. (Sugerencia: Obtenga un numero x tal que 0.95123 = e - ' . )
40. Una compaiiia que trabaja con base en pedidos por correo se anuncia en uila revista de alcance nacional. L a compafiia encuentra que de todas las poblaciones pequeiias, el porcentaje (dado como decimal) en las que exactamente x personas responden a1 anuncio se ajusta a una distribucion de Poisson con fi = 0.5. i E n que porcentaje de poblaciones pequeiias puede la compania esperar exactamente que respondan dos personas? Proporcione la respuesta con cuatro cifras decimales.
-6.2 Funciones logaritmicas La siguiente funcion que interesa examinar en este capitulo es la funcion logaritmica, que tiene relacion con la exponencial. E n la Figura 6.3(a) se muestra la grafica de la funcion exponencial s = f (t) = 2'. En este caso, f envia un ncmero de entrada t a un numero de salida positivo s: f:
t -+ s
donde s = 2'.
Por ejemplo, f envia 2 a 4. Observando la misma grafica de la Figura 6.4(b),se puede ver por las flechas prqueiias, que a cada numero positivo s que se encuentra en el eje vertical se puede asociar exactamente un valor de t. A s = 4 se le asocia t = 2. Considerando a s como entrada (o insumo) y a t como salida (o producto), se obtiene una funcion que eniia ]as s hacia las t. Se denotara esta funcion mediante f ' (que se lee "f inversa"):* f -
+
-
-
-
:
s --, t,
-
El -1 de f - I no es un exponente, y por ello, f
donde s = 2'
' n o significa
I
-
182
6
8
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR~TMICAS
(a)
FIGURA 6.4
Por tanto, f-'(s) = t. El dominio de f - I es el ambito o contradominio de f (todos 10s numeros reales positivos), y su ambito es el dominio de f (todos 10s numeros reales). Las funciones f y f - I estan relacionadas entre si. En la Figura 6.4 se muestra que f - I invierte la accion de f, y viceversa. Por ejemplo, f envia 2 a 4
y
f-I
envia 4 a 2.
En terminos mas generales, f (t) = s y f-'(s) = t. En terminos de cornposicion, cuando se aplica f-' f o bien f f - ' a un numero de entrada, tal numero se obtiene como de salida debido a 10s efectos de inversion d e f y f-'. Es decir,
Se le da un nombre especial a f I , que es el de funcion logaritmica con base 2 y se expresa como log, [que se lee "logaritmo base 2"]. Por consiguiente, f-'(4) = log, 4 = 2, y se dice que el logaritmo base 2 de 4 es 2. En resumen, si
s =
2', entonces
t =
log, s.
(1)
Enseguida, se generalizara este analisis a otras bases. En la Ecuacion (I), remplazando 2 por b, s por x y t por y, se obtiene la siguiente definicion.
Bt
f (2) o bien 4
I FIGURA 6.5
o bien f -'(41
6.2
Funciones logaritmicas
La firncion logaritmica de base b, eti donde b > 0 y b # 1 , se denofa mediante log y se define corno: y = logb x
si y solo si
by
=
x.
El dominio de logb es todos 10s numeros reales positives y su ambito es todos 10s numeros reales. Funcion logaritmica invierte la accion de la funcion, y viceversa. A toda funcion logaritmica se le denomina inversa de su correspondiente funcion exponencial, y esa funcion exponencial es la inversa de su correspondiente funcion logaritmica. Se debe tener presente que cuando se dice que el logaritmo base b de x es y, ello significa tambien que b clevada a1 exponente y es x.
y = log, x significa h?
= x.
En este sentido, el logaritmo de un numero i s un exponente. Es el de la potencia a la que se debe elevar la base para obtener el numero. Por ejemplo, logz 8 = 3 porque 23 = 8. Se dice que log, 8 = 3 es la forma logaritmica de la forma exponencial 23
EJEMPLO 1 FORMA LOGARITMICA
FORMA EXPONENCIAL a. Dado que
52 = 25,
entonces
log, 25
=
2.
b. Dado que
34 = 81,
entonces
log, 81
=
4.
entonces
loglo 1 = 0.
10' = 1,
c. Dado que
EJEMPLO 2 FORMA LOGAR~TMICA a. loglo 1000 = 3
1
b. log, 8 = 2 1
c . log* - = - 4 16
FORMA EXPONENCIAL significa significa significa
lo3 =
1000.
@'I2 = 8.
2-'
=
1 16'
=
8.
184
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR/TMICAS
EJEMPLO 3
Puede resultar molesto introducir valores de x y despues encontrar 10s correspondientes valores de y. Por eje~nplo,si s = 3, entonces y = log, 3, lo cual no es facil determinar. Una forma mas sensilla para situar puntos es usar la forma exponential equivalente, x = 2-'. Se eligen valores de y y se encuentran 10s correspondientes valores de x. Por ejemplo, si y = 0, entonces x = 1 . Esto da el punto ( I . 0). En la Figura 6.5 se muestran otros puntos. A partir de esa grafica, puede observarse que el dominio es todos 10s numeros reales positivos.
Por tanto, 10s numeros negativos y el 0 no tienen logaritmos. El ambito (o contradominio) son todos 10s numeros reales. Los numeros entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos, y conforme mas cercano es el numero a 0, tanto mas negativo es su logaritmo. El logaritmo de 1 es 0, que corresponde a la interseccion con el eje x (1, 0). N o existe o r d e ~ z d a en el origen. Esta grsfica es tipica para las funciones iogaritmicas en las que t. > ! A 10s logaritmos que tienen a1 10 como base se les denomina logaritmos comunes. Antes de la era de las calculadoras se les utilizaba con frecuencia con fines operacionales de calculo. Por lo general se omite el subindice 10 en la notacion:
1
log x
significa
log,, s.
Lo5 logaritmos debase e son importante5 en Calculo, ! ce le. d e n o m ~ n alogaritrnoc Se i~tilizala notacion "In" para tales logaritmoq:
naturales.
In x
significa
log,
X.
El ~ i n ~ b oIn l o.vsuele leerst. como "ele-ene d e . ~ " .En el .4pendice C se presenta una tabla de \-alores aproximados para 10s logaritmos naturales, e incluye instrusciones sobl.r. como
6 2
Furlcmones logoiitmicos
ntilizarla. Por ejemplo, se puede \.er que In 2 = 0.69315. Esto significa que e"""':-= -. ' EII la Figul-a 6.7
Determinar cada uno de 10s siguienres logariftnos. a. log 100. Aqui, la base es 10. Por tanto, log 100 es el rxponente de la potencia a la que se debe elevar 10 para obtener 100. P ~ l e s t oque l o 2 = 100. log 100 = 2. b. In 1.
.4qui, la base es e. Puesto que e0
c . log 0.1. Dadoque0.1
=
A, =
=
1 , In 1
=
0.
l o - ' , l o g 0 . 1 = -1.
d. In e - ' .
Dado que In e-' es el exponente de la potencia a la que se debe elevar e para obtener e-I, resulta claro que In e-I = -1. e. log,, 6. Como 36'
' ( o bien \%)
es 6, log
EJEMPLO 5
,, 6 = $ ,
-
Despejar en cada ecliacion el valor de
.Y.
a. log, x = 4. En forma exponencial, 2" = x, por lo que x = 16.
+ 1) = 7. La forma exponencial es e7 = x
b. In (x
+
I. Por tanto s = e 7 - 1.
c. log, 49 = 2. E n forma exponencial, s 2 = 49, y asi s = 7. Se rechara x = -7 a1 resol\er .v49 porque un n ~ i m e r onegativo no puede ser base de una funcior; logaritmiia. d . e'-\ = 4. En forma logaritmica, In 4
=
Sx. Por ello,
.Y
=
In 4 5
-
186
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
Del analisis que se hizo del decrecimiento de un elemento radiactivo en la Secc. 6.1, se sabe que la cantidad del elemento que esta presente a1 tiempo t esta dada por
en donde no es la cantidad inicial (la cantidad a1 tiempo t = 0) y X es la constante de decrecimiento. Se procede ahora a determinar la semi-vida Tdel elemento. En el tiempo T existe la mitad de la cantidad inicial. Es decir, cuanto t = T, entonces N = N,,/2. Por ello, de la Ecuacion (2),
Despejando T se obtiene
2 = e AT
XT
=
ln 2
(tomando reciprocos en ambos lados). (forma logaritmica)
Resumiendo, se tiene lo siguiente.
Si un elemento radiactivo tiene una constante de decrecimiento X entonces la semivida T del elemento esta dada por T
=
In 2 X
(3)
EJEMPLO 6
Una muestra de 10 mg (miligramos) de polonio radiactivo 2 10 ("OPo) decrece de acuerd o con la ecuacion N = 10e-0.m5011
en donde N es el numero de miligramos presentes despub de t dhs. Determine la semivida del 2'0Po. Aqui, la constante de decrecimiento I vale 0.00501. Mediante la Ecuacion (3) la semi-vida T esta dada por T
In2 X
= ---=--
0.69315 0.00501
- 138.4 dias.
6.2
187
Funciones logaritmicas
En 10s Problemas 1-8, exprese en forma exponencial las logaritmicas y en forma logarrimrco i s exponenciales.
..
1. lo4 = 10,000.
2. 2 = logl2 144.
3. log? 64 = 6 .
5. e2 = 7.3891.
6. eO33647 = 1.4.
7. In 3 = 1.09861.
En los Problemas 9 y 10, graficar /as funciones.
10.
9. y = f(x) = log3 x. En 10s Problemas 11-22, evalua;
4. 8-' = 1
.
8. log 5 = il 6 s ;
= f(X) = log, 2 x.
11. log, 36.
12. log? 32.
13. log, 27.
14. log,, 4
15. log7 7.
16. log 10,000.
17. log 0.01.
18. log2 v'Z
19. log, 1 .
20. log, &.
21. logz +.
22. log, 3 3
En
/OS
Problemas 23-40, encontrar x.
23. log3 x = 2.
24. logz .r = 4.
25. log, x = 3.
26. log, .r = 0.
27. log x = - 1.
28. In x = 1.
29. In .r = 2.
30. log, 100
31. log, 8 = 3.
32. log, 3 = 4.
33. log, Q =
- 1.
34. log.,? = 1.
35. log3 x = - 4.
36. logX(2.r - 3) = 1.
37. log,(6
.r) = 2 .
38. log, 64
39. 2
+
l o g 2 4 = 3x - 1. 40. log3(x
+ 2)
=
-
=
=
2.
.r - 1.
-2.
En 10s Problemas 41-44, obtener x y expresar la respuesta en terminos de logaritmos.
En 10s Problemas 45-48, urilice el Apindice C para encontrar el valor aproximado de coda expresion.
49. El costo c de un producto, para una empresa que fabrica q unidades, esta dado por la ecuacion de costos c = (24 In q) + 20. Eval~ieel costo cuando q = 6. (Plantee la respuesta con dos cifras decimales.) 50. La ecuacion de oferta de un fabricarlte es p = log(10
:).
+
en donde q es el numero de unidades ofrecidas a un precio 7r por unidad. ~ A q u e p r e c i oofreceria el fabricantr 1980 unidades?
51. La magnitud M de un rerremoto I. su energia E, estan relacionadas mediante la ecuacion*
15M
= log(
rencia de Richter de 1958 y E esta en ergs. Despeje E de esra ecuacion.
52. Para cierta poblacion de celulas, el ndmero N de celulas en el tiempo t esta dado por N = N,(2"9, en donde N , es el numero de celulas en t = 0 y k es una constante positiva. (a) Halle hi cuando t = k . (b) ;Cual es la significancia de k? (c) Demuestre que el tiempo que se requiere para que se crezca hasta una poblacion N , puede escribirse como I =
k log,
X
.v,,
53. En un andisis de un bien determinado, Persky f resuelve una ecuaci6n de la forma
E 2.5
Ri
-.
7
10"
'
u , ~= A In(x,)
XI
+2
Aqui, .M esta dada en terminos de la cscala de prefe.-
- --
* K.E. Bullen, Anlnrroducrion rorhe TheoryofSejsmology (Canbridge at the University Press. 1963).
+ A.L. Persky, "An Inferior Good and a Novel Indifference Map", The American Economisr, XXIX, ndm. 1 (Primavera 1985).
55. Una muestra de 100 mg. de actinio radiacti~o 227 (227Ac) decrece de acuerdo con la ecuacion /V = IOO~-I~(IIIVA ,Ien donde N es el numtro de miligramos presentes despues de 1 afios Determine la \em]-vida del 12-Ac redondeando a decimos de a h .
para evaluar x , , en donde x , y x , son cantidades de dos productos, u , es una medida de utilidad y A es una constante positiva. Determine x , . Una muestra de 1 g. de plomo radiactiko 21 1 ( " ' P b ) degenera de acuerdo con la ecuacion N = e-0.0'9201, en donde N es el nlimero de gramos existentes despues de t minutos. Calcule la semivida del 2 1 1 P bredondeando , a decimos de minuto. 54.
6.3 Propiedades de lor logaritmos
-
La funcion logaritmica tiene muchas propiedades importantes. Por ejemplo, el logaritmo del producto de dos numeros es la suma de sus logaritmos. En simbolos, log,(mn) = log, m + log, n. Para demostrar esto, Sean x = log, m y y = log, n. Entonces b X = m , b y = n, y mn = b"lr" = b"+?. Por tanto, mn = b"'. En forma logaritmica, esto significa que log,(mn) Por lo tanto, log,(mn) = log, m + log, n.
rI
1. logdmn)
=
log, m
+
=
x
+ y.
log, n.
-
El logaritmo de un producto es una suma de logaritmos.
No se demostraran las dos propiedades siguientes, puesto que seria similar a la utilizada para la Propiedad 1.
tn 2. log,n
=
log, m
-
log, n.
El logaritmo de un cociente es una diferencia de logaritmos. 3. log, mr = r log, m. El logaritmo de la potencia de un numero es igual a1 exporiente multiplicando a un logaritmo.
ADVERTENCIA Es necesario asegurarse de comprender bien las Propiedades 1 a 3. No se aplican a1 logaritmo de una suma [log, (tn + n)],a1 logaritrno de una diferencia, [logb(m - n)],o a un cociente de lo-
garitrnos
[%, -J . or
ejemplo,
+
n)
+
log,(m -
rl)
+ lop, rn
logdm
logb m -t log, n , -
logh n ,
6.3
Propiedodes de 10s logorirmos
?n la Tabla 6.1 se dan valores de algunos logaritmos comunes. La mayor partc de las anotaciones son aproximadas. Por ejemplo, log 4 = 0.6021, lo cual significa qut 10°.60*1= 4. En 10s ejemplos y ejercicios que aparecen enseguida se utiliza esta tabla TABLA 6.1 Logaritmos comunes
EJEMPLO 1
Evaluar 10s logaritmos siguientes.
a. log 56.
El valor de log 56 no esta en la Tabla 6.1, pero se puede escribir 56 como el product( 8 . 7. Por tanto, mediante la Propiedad I, log 56
=
log(8 7)
=
log 8
+ log 7 = 0.9031 + 0.8451
=
1.7482.
b. log q. Mediante la Propiedad 2, log
=
log 9 - log 2 = 0.9542 - 0.3010
=
0.6532.
c . log 64.
Dado que 64 = g2, mediante la Propiedad 3, log 64
=
log g2 = 2 log 8 = 2(0.9031)
=
1.8062.
d. log v 3 . l o g f i = log 5'12
=
3 log 5
= i(0.6990) = 0.3495.
16 21
e. log -.
16 log 21
=
-
log 16 - log 21
= 2 log 4
-
=
log(4*) - log(3 . 7)
+ log 71 [0.4771 + 0.84511
[log 3
2(0.6021) -
= -0.1180.
Obskrvese el uso de corchetes en la segunda linea. No es correct0 escribir 2 log 1 . log 3 log 7.
+
190
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
EJEMPLO 2
Expresar lo siguiente en tkrminos de log x. 1
a. log 7. X
log
, 1
= log
x-2
=
- 2 log x
(Propiedad 3).
X
1 b. log -. .v
Mediante la Propiedad 3,
1 log - = log x X
-
'=
- 1 log x
Del Ejemplo 2(b), se observa que log ( l / x ) la siguiente propiedad:
=
= -log x.
-log x. Generalizando, se obtiene
1
4. logb - = - logb rn. m
El logarittno del reclbroco de un nlilnero es lnenos el loga~.it~lio del numero. 2 3 Por ejemplo, log - = -log --. 3 2
EJEMPLO 3 X
a. Escribir In - en tkrminos de In x , In z y In w . ZW
X
In - = In x - ln(zw) ZW
=
In x - (In z
= lnx
b. Expresar In
d
- lnz
+ In w)
(Propiedad 2) (Propiedad 1)
- In w.
x5(x - 2)s en tkrminos de In x, In(x - 2), y ln(x - 3). x - ~
6.3
Propiedodes de los logoritmos
EJEMPLO 4
Escribir como un solo logaritmo.
a. In x
- ln(x
+ 3). In x
b. In 3
+ In 7
- In
2
-
-
In 3
=
In 3
= ln(3 =
+ In7 + In 7 + In 7 . 7)
In 21
-
21 32
= In-
Dado que b0 = 1 y b' siguientes propiedades: 5. log, 1
=
0.
6. log, b
=
1.
+ 3)
=
ln-
x + 3
(Propiedad 2).
2 In 4.
In3 =
ln(x
- In2 - 21n4 - In 2 - ln(42) -
[In 2
- ln(2
- 42)
+
(Propiedad 3)
111(4~)] (Propiedad 1).
In 32 (Propiedad 2).
=
b, convirtiendo a formas logaritmicas, se obtienen las
Por la Propiedad 3, log, b r = r log, b. Pero mediante la Propiedad 6 , log, b = 1. Por tanto, se tiene la siguiente propiedad.
7. log, b' = r.
192
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
EJEMPLO 5
Evaluar 10s siguientes logarit/?zos. a. In e3'. Por la Propiedad 7 , con h las Propiedades 3 ) 6.
e. 3e tiene In e'*. E n I'arrna alter-nati~a.mediante
=
In e"
=
3.r In e
Por la PI-opiedad 5 , log 1
-
0. Asi yue,
+
o+
b. log I
+ log 1000. log I
log 1000
=
Xi-( 1 )
=
log 10"
= 0 + 3 =
3.1..
=
(Propiedad 7 , con h
=
10)
3.
c. l o g 7 W . =
lop7
log7 7">
=
"
0.
d. log,(%).
e. In e
+ log &. Ine
+
log&
=
ltne
=
1
+ log
lo-'
(-1)
=
+
0.
. tiene que No se debe confundir In x 2 con (In x ) ~ Se In s' pero
=
ln(x . .r),
(In ..O' = (In x)(ln x),
lo cual se puede escribir como In2 x. Por tanto, en In x 2 , se eleva x a1 cuadrado; en (In x)', o bien In2 x, se eleva a1 cuadrado In x. La siguiente propiedad es:
8.
~ I O E ~ I ~I
-
m y, en particular, 10'"' '
=
x y e'" '
= x.
La Propiedad 8 se verifica poryue establece, en fortna logaritmica, yue log,, 111 EJEMPLO 6
a. Evaluar eln ' ? .
=
log,, 1 1 1 .
6.3
Porpiedodes de 10s logoritmos
Por la Propiedad 8 , eln "' =
2
.
b. Encontrar el valor de x en 10log = 25. =
l o l o g x'
25,
x 2 = 25 y ,
=
(Propiedad 8),
*5.
EJEMPLO 7
Evaluar. log, 2 . No se dispone de tablas de logaritrnos de base 5. Por ella, se procede a convertir el planteamiento a una base mas cornun. En primer lugar, sea x = log, 2. Entonces. 5 , = 2 . Corno se tiene disponible una tabla de logaritmos comunes (Tabla 6. I ) , tomando logaritrnos cornunes en ambos lados de 5' = 2, se obtiene. log 5"
=
log 2 ,
x log 5 = log 2 ,
log 2 log 5
x=---=
- 0.3010
0.4306
0.6990
Si se hubieran tornado logaritmos naturales de ambos miembros, el resultado hubiera sido x = (In 2)/(ln 5) = 0.69315/1.60944 = 0.43068. Esto difiere del resultado anterior debido a la precision de las tablas que se utilizaron. Generalizando el metodo que se utilizo en el Ejemplo 7, se tiene que:
9. logb m =
log, m log, b '
A la Propiedad 9 se le denomina formula del cambio de base. Permite la conversion de 10s logaritmos de una base (a) a otra (b). EJEMPLO 8
Expresar log x en terminos de logaritmos naturales. Se debe transformar de base 10 a base e . Por ello, se usa !a formula del cambio de base (Propiedad lo), con b = 10, m = x y a = e . In x log x = In 10'
194
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR~TMICAS
EJERClClOS 6.3 En 10s Problemas 1-18, obtener el valor de lo que se indica. Donde sea necesario, utilizar la Tabla 6.1.
9.
4. log 6.
1. log 15.
2. log 16.
3. log
5. log 36.
6. log 0.0001.
7. log 2000.
9. log, 748. 13. logz 3 . 17. log 10
+ In e 3 .
10. 1 0 ~ , ( 5 d ) ~ .
11. In e5 'I.
14. In e .
15. ln
8. log 900. 12. log, 4.
1
-.
16. log, 4.
e
18. eln 6 .
En 10s Problemus 19-30, escriba la expresion en tkrminos de In x, In(x 19. ;n[x(x + l),].
20. Inx
+
v5
+
+
l), y/o ln(x 21. In-
1'
2).
x
(X
+
113'
En 10s Problemas 31-38, exprese cada una de las formas dadas como un solo logaritmo. 31. log 7
+ log 4.
34. 2 log x 37. 2
+
-
log(x
10 log 1.05.
32. log3 10 -
2).
-
log3 5.
33. log2(2x) - 10g2(x
+ 5 log 23. 215 + 8 log 6
35. 9 log 7 38. ;(log
1).
+ log y
-
2 log 2).
42. e3 '" "
=
8.
36. 3 (log x -
+
3 log 121).
En 10s Problemas 39-42, determine x. 39.
pln'L"
-
5.
40. 4I0e4x + log4 Z
-
3.
41. lo1uex2
=
4.
En 10s Problemas 43-46, escriba cada una de las expresiones en tkrminos de logaritmos naturales. 43. log(.r + 8).
44. log, x .
47. En Estadistica, se reduce la ecuacion de regresion muestral y = abx a una forma lineal tomando logaritmos de ambos lados. Evaltie logy en terminos de x, log a y log b .
45. log3(x2+ 1).
46. i0g5(9 - xZ).
ciones fiscales y el salario basico) y las prestaciones educativas E. Por lo tanto, C = B + E . Brown establece que
+
l n =~ I ~ B ln(1 48. En un estudio de reclutamiento militar, Brown* considera a la compensacion militar total C como la suma de la compensacion militar b8sica.B (que incluye el valor de la asignacijn para gastos, las exen-
* C. Brown, "Military Enlistments: What Can We Learn from Geographic Variation?" The American Economic Review, 75, nlim. 1 (1985), 228-34.
+
E).
verifique esto. 49. De acuerdo con Richtert la magnitud M de un terremoto que ocurre a 100 km de distancia de cierto
+ C.F. Richter, Elementary Seismology (San Francisco: W. H. Freeman and Company, Publishers, 1958).
Ecuocion logoritmico y exponencioles
6.4
tipo de sismometro esta dada por M = log(A) + 3, en donde A es la amplitud de la traza registrada (en milimetros) del temblor. (a) Obtenga la magnitud de un terremoto que registra una amplitud de traza
de 1 mm. (b) Si un sismo en particular tiene una amplitud A Y una magnitud M , , determine la magnitud de un sismo con amplitud lOOA . Exprese la respuesta de (b) en terminos de M , .
,
,
-6.4 Ecuacion Logaritmica y exponenciales En lo que sigue se resolveran ecuaciones logarr'tmicas y exponenciales. Una ecuacion logaritmica es una que implica el logaritmo de una expresion que contiene una incognita, Por ejemplo, 2 In(x + 4) = 5 es una ecuacion logaritmica. Por otro lado, en una ecuacion exponential, la inc6gnita aparece en un exponente, tal como en 2'' = 7. Para resolver algunas ecuaciones logaritmicas, se utiliza una propiedad de 10s logaritmos que se procede ahora para desarrollar. Para muchas funciones f, sif(m) = f(n), esto no implica que m = n. Por ejemplo, si f(x) = x2, entonces f(2) = f(-2), pero 2 f -2. No es este el caso para las ecuaciones logaritmicas. En la Fig. 6.8 resulta evidente que si x , y x, son diferentes, entonces sus logaritmos (valores de y) sor diferentes. Esto significa que si log, m = log, n , entonces m = n. Generalizando a la base b, se tiene la siguiente propiedad: r
Si log, m
=
log, n , entonces m = n .
Existe una propiedad similar para las exponenciales: Si bm = bn,entonces m = n .
___J
EJEMPLO 1 Se realizo un experiment0 con un dererminado tipo de animalpequeiio. * Se determino el logarifmo de la cantidad de oxigeno consumido por hora para varios de 10s animales
* R . W Poole, An Inrroducrion to Quonrirorrve Ecology (New York: M c G r a ~ - H ~Book ll Cornpan). i9-41
196
6 J
FUNClONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
se grafico contra 10s logaritmos de sus correspondientes pesos. Se enc-ontroque log y
=
+ 0.885 log x,
log 5.934
en donde y fue el numero de microlitros de oxigeno por hora, y x fue el peso del animal (en gramos). Determinar y. En primer lugar, se combinan 10s terminos del lado derecho en un solo logaritmo. log y
log y
=
+ 0.885 log x log 5.934 + log x"
(Propiedad 3 de la Secc. 6.3).
=
log(5.934x08R5)
(Propiedad 1 de la Secc. 6.3).
=
log 5.934
X85
De acuerdo con la anterior propiedad de la igualdad de 10s logaritmos se tiene y = 5 . 9 3 4 ~ ~ ~ ~ ~ .
EJEMPLO 2
Evaluar x si (25)" + 2 = Como 25
= S2,
53x
4 .
se pueden expresar ambos lados de la ecuacion como potencias de 5. (25)" + 2
=
(52)~ t2 =
5"
-4,
5 3 ~4
52r + 4 - 53" 4
De acuerdo con la propiedad de la igualdad de las exponenciales vista antes, 2r+4=3x-4, x
=
8.
Es posible resolver algunas ecuaciones exponenciales tomando logaritmos en ambos lados despuis de haber puesto la ecuacion en forma deseable. Se ilustra esto en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 3
Resuelva 5
+ (34'-'
=
12.
En primer lugar, se afsla la expresion exponencial 4'-', en un lado de la ecuacion. 5
+ (3)4*-'
=
12,
(3)4*-' = 7,
6.4
Ecuocion logaritmico y exponencioles
Ahora, se sacan 10s logaritmos naturales de ambos lados.
Simplificando, se obtiene
En el Ejemplo 3 se utilizaron logaritmos naturales para resolver la ecuacioil dada. Sin embargo, se pueden utilizar logaritmos con cualquier base. Por lo general, se utilizan 10s logaritmos naturales o 10s comunes si se desea que la solucion tenga forma decimal. Esto se debe a que las tablas de esos logaritmos son facilmente accesibles y muchas calculadoras tienen teclas para obtener logaritmos naturales y comunes. Si se utilizaran logaritmos comunes para resolver la Ecuacion del Ejemplo 3 se obtendria x = - log
5
log 4
+ 1 =
log 7 - log 3 log 4
+
1
EJEMPLO 4
---
Una ecuacion de demanda para un p r o d u c t ~es p = 12' - ~ " . ' u . Utilizando logarirmos comunes, expresar q en rkrminos de p.
Tomando logaritmos comunes en ambos lados de p = 1 2 ' 0 . ' 4 ,se obtiene log p = 1og(12'-O.'q), log p = (1 - 0.lq) log 12, log P - 1 - 0.19, log 12
--
0.lq = 1
-
(
log P log 12'
q=10 1 -
)
log 3logp + log 4 '
198
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR~TMICAS
Para resolver algunas ecuaciones exponenciales que implican la base e o la base 10, tales como 102." = 3, en vez de sacar 10s logaritmos de ambos lados, puede resultar mas sencillo transformar en primer lugar la ecuacion a una forma logaritmica equivalente. lo2'
=
3,
2x
=
log 3
(forma logaritmica).
EJEMPLO 5
En un articulo sobre depredadores y presas, Holling* hace referencia a una ecuacion de la forma y = K(l - e-m),
en donde x es la densidad de la poblacidn de presas, y es el numero de presas atacadas, y K y a son constantes. Verificar la afirmacion de que In-
K K-p
=
ax.
Para encontrar ax, en primer lugar se aisla e-" en la ecuacion dada. y = K(l - e-"),
Ahora, se convierte a forma logaritmica
K In -= ax K-p
(Propiedad 4 de la Secc. 6.3),
que era lo que se trataba de demostrar. Algunas ecuaciones logaritmicas pueden resolverse reescribidndolas en forma exponencial.
* C . S. HOLLI\ICI, "Some Characreritrics of Simple T!.pes of Predation and Parasirism." The Cunudia~rE ~ ? r o ~ ~ ~ o l o g ~ s t 91, num. 7 (1959), 385-98.
199
Ecuocion logoritmico y exponencioles
6.4
Resolver log, x
=
5 - log2(x + 4).
En primer lugar, se colocan todos 10s logaritmos a un lado, de manera que puedan combinarse.
En forma exponencial se tiene que X(X+ 4)
=
z5,
+ 4x
=
32,
32
=
0
x2 x2 (X
x
+ 4x
-
- 4)(x =
(ecuacion cuadratica)
+ 8) = 0,
4 o bien x
-8.
=
Como la ecuacion original no esta definida para un valor negativo de x, -8 no es una solucion. Sin embargo, 4 satisface la ecuacion original, como se puede facilmente verificar, Por ello solo 4 es una solucion.
En 10s Problemas 1-34 encuentrex. Proporcione las respuestas con tres cifras decirnales.
+ 1) = log(x + 6).
1. log(&
4. log2 x
L
+ 3 log2 2 = log2 -.X
22. 5(3" - 6) 25. log(x - 3)
28. log4(& 30. log x
= =
+ 4)
+ log(x
32. log(x + 21,
=
2. log x
+ log 3 = log 5.
5. e" . e5x
6. (e5"
=
10.
23. (4)S3-" - 7
=
3.
26. l0g2(x + 1 )
=
-
3 = log, 3.
29. log(3x
15) = 2.
31. log3(&
2, en dondex > 0. 33. log,
-
4.
1) - log(x
=
3
+
I)'
log(x =
-
-
-
1) = log 4.
=
2
+
I:,
e
8 24. - = 4. 3" 27. log4(3x - 4)
2.
+ 3) = A
(t)
3. log x
3) = 2.
log3(x + 6).
log2x.
34. l n x
=
ln(3x
-1
200
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
6
35. En un esrudio sobre las plantas arraigadas en cierta region geografica, * se determino que en lotes de ramaiio A (en metros cuadrados), el numero prornedio de especies que se presentaban era S. Cuando se grafico log S como funcion de log A , el resultado file una linea recta .dads por log S
=
log 12.4
+ 0.26 log A
Determinar S. 36. En un ar:iculo, Taagepera y Hayes hacen refencia a una ecuaci6n de la forma log T
=
1.7
+ 0.2068 log P
-
0.1334 log2 P
Aqui, Tes el porcentaje del producto nacional bruto (PNB) de un pais que corresponde a1 comercio exterior (exportaciones mas importaciones), y P es la poblacion del pais (en unidades de 100,000).i Verifique la afirmacion de que = 50P(0 2068 - 0
Se puede suponer que log 50
1114
=
A una ecuacion como Csta se le denomina ecuacion de aprendizajee indica que a1 paso del tiempo aumenta la produccion por dia. Esto puede deberse a1 aumento en la capacidad de 10s trabajadores para realizar su trabajo. Determine a la unidad completa mas cer:aria, la produccion en (a) el primer dia y (b) el decimo dia despues del inicio de la corrida de produccion. (c) LDespues de cuantos dias se alcanzara una corrida de produccion diaria de 400 unidades? Proporcione su respuesta a1 dia mas cercano.
40. En un analisis de la penetracion de mercado con nuevos productos, Hurter y Rubenstein* hacen referencia a la funcicin
en dondep, q y C son constantes. Los autores afirmas que si F(0) = 0, entonces
log PI
1.7.
37. El numero Q de miligramos de una substancia r.adi:lctiva que restan despues de r aiios esta dado por
(a) ~ C u a n t o miligramos s quedan despuCs de 0 aiios? u Ccuantos S aiios habra 20 mg? Propor(b) ~ D ~ s ~ de cione su respuesta a1 aAo mas cercano. 38. En la superficie de un portaobjetos de vidrio se tiene una cuadricula que divide la superficie en 225 cuadros iguales. Supongase que se distribuye en el portaobjetos una muestra de sangre que contiene N celulas rojas, y que las celulas se distribuyen en forma aleatoria. Entonces, el numero de cuadros que no colirienen celulas esta dado (aproximadamente) por 2 2 5 ~ '"'. SI 100 de 10s cuadros no contienen celulas, estime el numero de celulas que contenia la muestm de sangre. 39. Supongase que la produccion diaria de unidades q, de un producto nuevo en el t-esimo dia de una corrida de produccion, esta dada por
R . W . Poolr. A n Inrrodrictio~ilo Q~iantilali~'e E<,ologv(Nc\\ Yorh: \lc(;rau-HIII Book Company. 1974). + K , raagepera ). .I. P. Haye\, "How Tradt./(;NP Ratio Decrcnrc\ n i l l ? C o u n t n S i x . Soci111Scie~zc~e Re~+-r~rc,h. h (1977), I O X - 1 2
Pruebe que su afirmacion es cierta. 41. La poblacion P, de una ciudad crece a una tasa de 2% anual. La ecuacion P = 1000000(1.02)r da la poblacion t aiios despues de 1990. Calcule el valor de p para el que la poblacion es 1 500 000. 42. La ecuacion A = P (1.1)' da el valor A ai final de t aiios de una inversion P compuesta anualmente, a una tasa anual de interes de 10%. ~ C u a n t o saiios se requeriran para que una inversion se duplique? Proporcione su respuesta a1 a80 mas cercano. 43. La ecuacion de demanda para cierto producto es q = 80 - 2 p . Despeje p y exprese la respuesta en terminos de logaritmos comunes, como se hizo en el Ejemplo 11. Evalue p a dos cifras decimales cuando q = 60. 44. Despues de t afios, el numero de unidades, q, que se venden anualmente de un producto esta dado por q = 1000($)~.~'.Una ecuacibn como Csta recibe el nombre de ecuacion de Gompertz y describe el
'A. P . Hurter,Jr.,A. H . Rubensrein, et al.,"Market Penerration by New Innovations: The Technological Literature," Technologird Forecas!ing and Social Change. 11 (1978). 197-221.
45. Un material translucidc iiene la propiedad de que, aunque la luz pasa a tra\es del mismo, su intensidad se reduce. Un plastic0 translucido riene la propiedad de que una hoja de 1 mml de grosor reduce la intensidad de la luz en 10%. ~ C u a n t a sde esas 1aminas se requieren para reducir la intensidad de un rayo de luz a aproximadamente el 50% de su \alor original?
crecimiento natural en muchas areas de estudio. Despeje r en esta ecuacion, de la misma manera que en el Ejemplo 11, y demuestre que log q log 2 (3 log 2) - I '
log t
Seccidn 6.1
=
3
-
funcion exponencial, b x tasa periodica
interes compuesto
e
tasa nominal
ley exponencial de decrecimiento
capital
mcnto compuesto
funcion exponencial natural
monto inicial
constante de decrecimiento
semi-vida
x
Section 6.2
funcion logaritmica, log,
Seccion 6.3
formula del cambio de base
Section 6.4
logaritmo com~in,log x
ecuacion logaritmica
logaritmo natural, In x
ecuacion exponencial
RESUMEN Una funcion exponencial tiene la forma f(x) mula del interes compuesto.
=
b;. Una funcion de este tip0 esta implicita en la for-
S = P(1
+ r)",
en donde Ses el monto compuesto de un capital Pal final de n periodos de interes, a la tasa periodica r. Una base que se utiliza con frecuencia en las funciones exponenciales es el numero irrational e, en donde e = 2.71828. Esta base se presenta en analisis economico y en muchas situaciones que implican crecimiento o decrecimiento, como en estudios de poblacion y el decrecimiento radiactivo. Los elementos radiactivos siguen la ley exponencial de decrecimiento.
en donde N es la cantidad existente a1 tiempo t ; No es la cantidad inicial y X es la constante de decrecimiento. A1 tiempo requerido para que se reduzca a la mitad la cantidad inicial del elemento se le denomina semi-vida. La funcion logaritmica es la funcion inversa de la exponencial, y \:iceversa. La funcion logaritmica con base b se denota por log,), y y = log,,.^ si y solo si 6'' = x. A 10s logaritmos con base e se les denomina logaritmos naturales y se denotan por In; a 10s que tienen la base 10 se les denomina logaritmos y comunes y se les simboliza por log. La semivida (o "vida media") T de un elemento radiactivo puede expresarse en terminos de un logaritmo natural y la constante de decaimiento: T = (In 2)/A. Algunas propiedades importantes de 10s logaritmos son: log,(mn) m log,, -
=
log, m
+ log, 1 1 .
=
lop,, m
-
log,, n .
202
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR~TMICAS
6
log, rn' = r log, rn, 1
logb - = m
- logh m ,
logb 1 = 0 , log, b log, b' b'oebm
=
1,
=
r,
'
= ,,
log, m =
1%" m log, b '
-
Ademas, si log, rn = log, n , entonces rn = n . De manera similar, si b = b", entonces rn = n . Muchas de estas propiedades se utilizan para resolver ecuaciones exponenciales y logaritmicas.
PRODLEMAS DE REPASO En 10s problemas 1-6, escriba cada forma exponencial en terminos logaritmicos y cada forma logaritmica de manera 2xponencial. 1. 3'
=
243.
2. log, 343
5. e4
=
54.598.
6. log, 9
=
=
3. log,, 2
3.
=
4. 16
f.
l00,0oo.
=
1.
En 10s Problemas 7-12, determine el valor. 7. log, 125.
9. log, &.
8. log, 16.
10. logll34.
11.
12. log4 2.
9.
En 10s Problemas 13-18, evalue x. 13. log, 125
=
14. log,$
x.
=
15. log x
-3.
I 16. In -
= - 2.
e
=
x.
En 10s Problemas 19 y 20, utilice la Tabla 6.1 de la Secc. 6.3 para obtener 10s valores. 20. log
19. log 2500.
15
v'2
En 10s Problemas 21-26, escriba cada expresion como un solo logaritmo. 21. 2 log 5 24. log, 2 26. 3 log x
-
22. 6 In x
3 log 3.
log, 4
-
2 log, 3.
+ log y
-
2(log :
-
25.
+ 4 In y.
+ log, x + 2 log2(.r2)
23. 2 In x -
+ In y
- 3 In z.
3 log2(x + 1) - 4 log2(.r + 2).
+ log w ) .
En 10s Problemas 27-32, escriba la expresion en terminos de In x, In y e In
1.
33. Exprese log,(x naturales.
+ 5) en terrninos de logaritrnos 38.
34. Exprese log5(2x' rnos naturales.
+
I) en terrninos de iogarit-
35. Suponga que log, 19 = 4.2479 y log, 5 = 2.3219. Calcule log, 19. 36. Aplique logaritrnos naturales para determinar el valor de log, 5. 37. Si log 3 = x y log 4 en terrninos de x y y.
=
y, exprese log (16d\/)
Exprese log
x2v'x+l
en terminos de log x?
V7TT
log(x
+
39.
Sirnplifique
40.
Sirnplifique log lo2
I), y log(x2
+
eln "
2).
+
In e'
+
+ In
1.
log 1000 - 5.
x2 + 2, determinar y.
41.
Si In y
42.
Trace las graficas de y = 3* y y = log, x.
=
En 10s Problemas 43-48, determine x. 43. Iog(4.r
+
I)
=
log(.i
+
2).
44. log .r
+
log 2
=
I.
47. log .r
+
log(l0.r)
=
45. 34L= 9'+1
3
En 10s Problemas 49-54, evalue x. De sus respuestas con tres cifras decimales. 49. e3' = 2. 52. 74)'-'
-
2
=
1.
50. lo3x1z= 5 .
51. 3 ( 1 v + ~ - 3) = 9.
53. 4"3
54.
=
7.
55. Si se invierten $2,600 durante 6.5 aiios al 6 % cornpuesto trimestralrnente, obtenga (a) el monto cornpuesto y (b) el interes cornpuesto. 56. Halle la tasa nominal que corresponde a una tasa periodica de 11/6% rnensual 57. Problemupara culculudora. Determine el rnonto cornpuesto de una inversion de $4,000 durante 5 aiios a la tasa de 11% cornpuesto mensualmente. 58. Debidoa una publicidad poco efectiva, una firma cornercial encuentra que sus ingresos anuales se han reducido en forrna notable. Adernas, 10s ingresos anuales R a1 final de t aiios de negocios satisfacen la ecuacion R = 200,000e-0.2'.Halle 10s ingresos anuales a1 final de 2 aiios y al terrnino de 3 aiios. 59.
Una sustancia radiactiva decrece de acuerdo con
en donde N es el n6rnero de rniligramos presentes despues de t horas. (a) Determine la cantidad inicial. (d) Al decirno de hora determine la sernivida de la presente despues de 2 horas. Despues de 10 horas. (d) A1 decirno de hora determine la semi-vida de la
(c)
s2' =
2.
sustancia y (e) el numero de horas que se requiere para que quede solo 1 rng. 60. Si una sustancia radiactiva tiene una sernivida de 10 dias, jen cuantos dias restara 1/8 de la cantidad inicial? 61. Una cornpaiiia de investigacion de rnercados necesita deterrninar la forrna en que las personas se adaptan a1 sabor de una nueva pastilla para la tos. En un experirnento, se le dio a una persona una pastilla medicinal para la tos y se le pidio periodicarnente asignar un nurnero, en una escala de 0 a 10, al sabor que percibia. A este numero se le denornino magnitud de respuesta. Se asigno el numero 10 a1 sabor inicial. Despues de llevar a cab0 varias veses sl experimento, la cornpaiiia estirno que la rnagnitud 3: respuesta, R , esta dada por
en donde t es el nurnero de segundos despuis 3 e 4 ~ 2 la persona recibe la pastilla para la tos. (a) O b t e n g ; i rnagnitud de respuesta a 10s 20 segundos. De h r s s TZpuesta al entero mas cercano. (b) ~ D e s p u Js tos segundos tiene una persona una 7-72 x
204
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS
respuesta de 5? Proporcione la respuesta redondeando a1 segundo. 62. El agua de un lago de rnedio oeste en Estados Unidos contiene sedimentos, y la presencia de estos reduce la transmision de la luz a traves del agua. Algunos experimentos indican que la intensidad de la luz se reduce a1 10% a1 pasar a traves de 20 cm. de agua. Supongase que el lago es uniforrne con respecto a la cantidad de sedimentos que contiene el agua. Un instrumento de rnedicion puede detectar la luz a una intensidad de 0.17% del brillo total del Sol. Este instrumento se surnerge en el lago. L A que profundidad dejara inicialmente de registrar la presencia de luz? De su respuesta redondeando a 10s 10 crn.
63. En un analisis de la tasa de enfriarniento de porciones aisladas del cuerpo hurnano cuando se les expone a ternperaturas bajas, se presenta la siguiente ecuacion: *
TI - T , = (T, - T,),e-"I, en donde 7,es la temperatura de una porcion en el tiempo t , es la ternperatura amliiental, el subindice o se refiere a la diferencia inicial de temperatura, y a es una constante. Demuestre que
r
* R . W . Stacy y cols.. Essentials ofBiologicaland Medical Physics (Nueva York: McGraw-Hill Book Company, 1955).
Dosificacion de Medicamentos* Determinar y recetar dosis de farmacos son aspectos sumamente importantes de la profesion medica. Con frecuencia se debe tener precaucion debido a1 lado posiblemente adverso o a 10s efectos toxicos de las medicinas (o drogas). Muchos medicamentos son utilizados por el cuerpo humano de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminucion. Es decir, si N es la cantidad de farmaco presente en el cuerpo a1 tiempo t , entonces
en donde k es una constante positiva y No es la cantidad presente al tiempo t = 0. Si H es la semivida de tal medicamento, entonces H = (In 2)/k, o de manera equivalente, H = (In 2)/H. Supongase que se desea analizar el caso en que se administren a un paciente dosis iguales de un farmaco como ese, cada I unidades de tiempo, hasta que se logre un cierto nivel terapeutico. La razon de administrar dosis reducidas de mantenimiento se relaciona con frecuencia con 10s efectos toxicos de 10s farmacos. En particular, supongase que existen d dosis de P unidades cada una, que se aplican dosis en 10s tiempos t = 0, I , 21, ..., y (d - 1)1, y que el nivel terapeutico T, se alcanza en t = dI, lo cual se presenta un interval0 despues de que se administra la ultima dosis. Se vera ahora como determinar una formula que de el nivel terapeutico. En el tiempo t = 0, el paciente recibe las primeras P unidades, de manera que la cantidad de medicamento en el cuerpo es P. A1 tiempo I = I, la cantidad presente que proviene de la primera dosis es [de la Ecuacion (I)] Pe-kl.Ademas, a t = I se administran las segundas P unidades. Por ello, la cantidad total de farmaco presente es
'Adap~adodeGeraldM . Armstrong and Calvin P. Midgley, "The Exponenrial-Decay Law Applied
lo X l e d ~ ~La)lL \ \ J ~ c . . ' '
T.-c
'.!-
-:
-
Teocher, 80. No. 3 (Febrero 1987), 110-13. Con permiso del National Counsil of Teacher5 ol hlathema[ic,.
205
206
6
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR~TMICAS
Al tiempo r = 21, la cantidad que permanece, y que proviene de la primera dosis es Pe-?"', de la segunda dosis, que ha estado en el sistema durante solo un intervalo, la cantidad presente es Pe-A1. Tarnbien, a1 tiempo t = 21 se administra la tercera dosis de P unidades, de manera que la cantidad total de farrnaco presente es
Continuando de esta manera, la cantidad de farmaco presente en el sistema al tiempo d l , un intervalo de tiempo despues de que se administra la ultima dosis, esta dada por
Se puede expresar el lado derecho de la Ec. ( 2 )en forma distinta. En primer lugar, se multiplican ambos lados de la ( 2 ) por
Restando 10s lados de la Ec. ( 3 ) de 10s correspondientes de la Ec. ( 2 ) , se tiene
Simplificando y despejando P,
La Ecuacion ( 5 )permite determinar el nivel terapeutico Ten terminos de la dosis P, 10s intervalos I , el numero de dosis d , y la semivida H, del medicamento [puesto que k = (In 2 ) / H ] . Entre otras posibilidades, puede determinarse la dosis P si se conocen T, H, I y d . El objetivo ahora es mantener el nivel terapeutico en el sistema del paciente. Para lograr esto, se administra una dosis reducida R , a 10s tiempos t = d l , ( d + 1)I, ( d + 2 ) I , y asi sucesivamente. Puede determinarse una formula para R de la siguiente manera. En el tiempo t = ( d + 1)I, pero antes de adrninistrar la segunda dosis reducida, la cantidad de farmaco en el sistema, proveniente de la primera dosis reducida es Re-k1,y la cantidad que permanece, proveniente del nivel terapeutico, es Te@l. Supongase que se requiere que la suma de esas cantidades sea el nivel terapeutico, T. Es decir, Despejando R,
Dosificocion de medicomentos
Reemplazando T por el lado derecho de la Ec. (4) se obtiene
o en terminos mas simples,
Continuando con las dosis reducidas a intervalos I se asegura que el nivel de farmaco en el sistema nunca caiga por debajo de T. Ademas, se debe observar que como - d k I < 0, entonces 0 < e-(lA1 < 1 . En consecuencia, el factor 1 - e-"" de la Ec. (6) se encuentra entre 0 y 1 . Esto asegura qu-: R sea menor que P, de donde R es en realidad una dosis reducida. Es interesante observar que Armstrong y Midgley afirman que "la cantidad terapeutica Tdebe ser elegida de entre una gama de valores determinados en forma empirica. Se requieren discrecion y experiencia medicas para seleccionar 10s intervalos y las duraciones o tiempos apropiados para administrar el farmaco. Incluso es posible que varie la semi-vida de in farmaco entre pacientes distintos. Hay muchos otros factores que tienen incidencia, como 10s niveles de absorcion de 10s medicamentos, su distri.bucion en el sistema, las interacciones entre medicamentos, la edad de 10s pacientes, su salud en general y la salud de organos vitales, como el higado y 10s rifiones.
1. Resuelva la Ec. (5) anterior para determinar (a) P Y (b) d.
2. Si I es la sernivida del farmaco, pruebe que la Ec. (5) se puede escribir como
ble, que no fuma. Supongase que un paciente como este logra el nivel terapeutico deseado de este farmaco en 12 horas, cuando se administran 100 mg cada 4 horas. Aqui, d = 3 . Debido a su toxicidad, debe reducirse la dosis despues. A1 miligrarno mas proximo, determine (a) el nivel terapeutico y (b) la dosis reducida. 4.
Observese que 0 < I - (li2") < 1 para d > 0. Por tanto, esta ecuacion implica que cuando se administran dosis de T unidades a intervalos iguales a la semivida del farmaco, entonces a un interval0 despues de que se adrninistre cualquier dosis, pero antes de adrninistrar la siguiente, el nivel total del farrnaco en el sisterna del paciente es menor que P.
3. La teofilina es un farrnaco que se utiliza para tratar asrna bronquial y tiene una semi-vida de 8 horas en el sisterna de un paciente relativarnente saluda-
Un componente principal de la horrnona tiroidea es la tiroxina, que se denota corno 7,.Se dice que una persona con deficiencia tiroidea padece de hipotiroidismo o rnixedema. Suponga que a una persona en estas condiciones se le debe aurnentar su nivel T, en 500 mg. Medicamente se recomienda que el aumento ocurra en forma lenta. Para lograr esto, se administra una dosis diaria de P rnicrogramos de T, durante 28 dias (d = 28). y que despues se reduce la dosis a R micrograrnos por dia. Supongase que la semivida de T, es 9 dias. Determine P y R al micrograrno mas proximo.
7 Matematicas f inancieras -7.1
Interes tompuesto En este capitulo se revisan algunos temas seleccionados de modelos en finanzas que se refieren a1 valor del dinero en diferentes tiempos, tales como inversiones, prestamos, etc. En capitulos posteriores, cuando se disponga de mayores instrumentos matematicos, se revisan y amplian ciertos temas. Se comienza con algunos problemas que tratan sobre el interes compuesto. Recuerdese que se vio en la Secc. 5.1 que el monto compuesto, S, de un capital P, al final de n periodos de interes y a la tasa r por periodo, esta dado por la formula S
=
P(l
+ r)".
(1)
EJEMPLO 1
~ Q u Ptiernpo se requiere para que $600 se conviertan en $900 a una tasa anual de 8% cornpuesto trirnestralrnente? La tasa por periodo es r = 0.08/4 = 0.02. Si n es el numero de periodos de interes que se requiere para que un capital P = 600 se convierta en un monto S = 900, de la Ecuaci6n (2), 900 = 600(1.02)",
Para encontrar el valor de n, primer0 se obtienen 10s logaritmos naturales de ambos lados.
n 111 1.02
=
In 1.5
(ya que In m' = r In m),
7 I
22 9
lnteres compuesro
El numero de aiios que corresponde a 20.478 periodos trimtstralts d ? .::ere;20.47814 = 5.1 195,que es un poco mas de 5 aiios 1. 1 mes. En realidad. ? i ;a;.:: I-.: alcanza 10s $900 sino hasta que transcurran 5 f afios, debido a que el interes s f
P
; 4 q ~ r erasa norninal de inreres co~npuesroa17ual se d~rylicael dinero en 8 arios?
Si r es la tasa que se desea, a la cual un capital P se duplica en 8 afios, entonces el monto es 2P. Por ello
+ rlY = 2P. ( 1 + 1.)8 = 1. 1 + r = $3.
P(l
1.
1-
=
-
r
;=
1.0905 - 1
=
0.0905.
La tasa que se busca es 9.05%.
EJEMPLO 3
P
Supongase que $500 se convirrieron en $588.38 en una cuenra de ahorros, despues de 3 aiios. Si el interks se capitalizo semestralmente, enconrrar la rasa nominal de inrere? capitalizable semesrralmente, a la cual se invirtio el dinero. Sea r la tasa semestral. Existen seis periodos de interes. Por lo tanto,
Entonces, la tasa semestral fue de 2.75%, de mod0 que la tasa nominal fue de 5 compuesto semestralmente.
f ro
Si se invierte $ 1 a una tasa nominal de 8% compuesto trimestralmente d u r z : ? 1 aiio, esa suma obtendra mas del 8% en el afio. El interes compuesto ej S - P = l(l.02)4- 1 = 1.082432 - 1 = $0.082432,lo cual es aproximadamente 8 . 2 - I r ~ 3t .r suma original. Es decir, 8.24% es la tasa de interes compuesro anualmenre. que e r rtr-
lidad se obtiene, y se le denomina tasa efectiva. Siguiendo este procedimiento, se puede probar que la tasa efectiva que es equivalente a una tasa nominal r compuesta n veces a! aiio esta dada por
tasa efectiva
=
(
1
+
11'
-
-
1.
EJEMPLO 4
i Que tasa efectiva es equivalente a una tasa nominirl del6% compuesto (a) setnestralmente y (6) trimestralmente? a. De la Ecuacion (3) la tasa efectiva es
b. La tasa efectiva es
1
=
(1.015)~- 1
;=
0.061364
o sea 6.14%.
I'a1.a Llna tasa nominal dada I-, el Ejen~plo4 ilustra que la tasa efectiva crece a medida yLle lo hace el numero de periodos de interes por afio ( n ) .Sin embargo, en la Secc. 10.3 i;c demuestra independierltemente del valor de n , la tasa efectiva maxima que se puede obtener es e' - I .
EJEMPLO 5
i E n que monto se convertiran $12,000 en 15 afios si se invierten a zina tasa efectiva de 5%? Puesto que la tasa efectiva es la tasa real compuesta anualmente, se tiene
EJEMPLO 6 i Cuantos afios deben transcurrir para que el dinero se duplique a la tasa efectiva de r?
Sea n el numero de afios que deben transcurrir para que el capital P se duplique. Entonces, el monto es 2P. De aqui 2P = P ( l + r)",
2 = (1 In 2
=
+
r)",
n ln(l + r)
(tomando logaritmos en ambos lados).
.
-- -.-
-.-.-<----
.
--
- - -. -- ... --
De donde I1
=
In 2 lnc 1 -
= 1.1
0.69.315 lnc 1 - 1.)'
Por ejemplo. si r = 0.06, el numero de aiios que se requiere para duplicar el capital es aprosimadamente 0.69.:15 --(1 69315 -In 1 06 (1.05S2-
11.3 aiios.
Se debe destacar que las tasas efectil-as se utilizan para comparar diferenres tasas de inreres a fin de dererminar cual ?s ''mcjnr''. PC: ejemplo, si st: iu\ iera ia aiternatil-a de in\.ertir dinero a1 6ro capitalizable diariamente o al 6 4 'j-0 capitalizable semestralmente, icual es la mejor seleccion? Las respectivas tasas efectil as equil-alentes son
Resulta evidente que es mejor la segunda seleccion, aunque a primera \-ista resulta mas arracti1.a la capitalizacion diaria.
En 10s Probletnas 1 - 2 , calcirle (a}el ttlonro y fb) el inreres cottzplresro para la it11,ersidnj. la rasa anlral dadas. 1.
$6000 durante 8 afios a una tasa efecti1.a de gro.
1. 3750 durante 12 rncses a una rasa rfectiva d r 1oro.
3.
840 cornpuesto trirnestralrnente.
4.
l2ro compuesto rnensualmente.
5.
8ro cornpuesto diariarnente.
6.
1zro compuesto diariamente.
9. Se adquiere en $6000 un certificado d e deposito la misrna canridad !. se conserva duranre 7 afios. Si el certificado obtiene el 80-0 cornpuesto trirnestralrnente, ;cua1 es su valor a1 final de ese period~? 10. ;Cuantos aiios se requieren para que el dinero se triplique a la tasa efectiva de r?
11. Supongase que 10s costos dcl atio es;c:zr 1981-1985 para un estudiante residentr qur as:s:: 2 una uni\,ersidad prilada. que ofrece cursos i: : - 2 tro atios, son de $9000. Esto incluyc cole;!z::rr. -.:bitacion !. alirnentos. Suponiendo una :as? -it.: .: de inflation del 6'j-o para estos cosros. ?:.::::sd --z~ sera el \-alor de estos cor:os cciu;ari-. 2s tr : 'L r t - colar 1997-1998.
I I. K r p ~ ~ d t'l\ r 'Problrrtin I 1 par ~ ~ I CnI L ~a dc 1111 Id ~ : < >dcl n 6 ' J o ~ o m p u r \ t o\cnrt.\t~,llrncnte. C{
13. Una compaiiia irnportante que ofrece tarjetas de credit0 tiene un cargo financier0 de 1 4 VOrnensual sobre saldos insolutos. (a) jCuaI es la tasa nominal cornpuesta rnensualrnente? (b) jCual es la tasa efectiva? 14. iQue tiernpo debe transcurrir para que un capitai de P se duplique si el dinero vale 12% cornpuesto rnensualmente? Proporcione la respuesta hasta el rnes mas cercano.
15. ~ C u a lsera el monto de $2000, despues de 8 aiios, si se invierten a una tasa efectiva de 6% durante 10s primeros 4 afios y del6Vo compuesto selnestralmente en 10s restantes'?
16. j ~ u tienlpo e debe transcurrir para que $500 se conviertan en $700, si se invierten a1 8 % compuesto trirnestralmente?
17. Un inversionista puede invertir dinero a1 8 % cornpuesto anualrnente, o al 7.8% cornpuesto sernestralmente. jCual de las dos tasas es mejor? j Q ~ tasa e nominal de inter& cornpuesto trirnestralrnente corresponde a una tasa efectiva del 4%?
18.
19. Un banco anuncia que paga interes sobre cuentas de ahorros a razon del 5 i % compuesto diariarnente. Halle la tasa efectiva si el banco supone que
-7.2
el aiio tiene (a) 360 dias o (b) 365 dias para deterrninar la rasa diarra. Supongase que la capitalization ocurre 365 veces al aiio, y proporcione la respuesta con cuatro cifras decimales. 20. Considere que $700 se convirtieron en $801.06 en una cuenta de ahorros, despues de dos afios. Si el interes se caoitalizo trimestralrnente, encontrar la tasa nominal de interes cornpuesto trirnestralrnente que se gano con el dinero. Corno proteccion contra la inflacion, un inversionista adquirio una pintura en 1976 en $100,000. La vendio en 1986 en $300,000. LA que tasa efectiva aurnento el valor de la pintura?
21.
l!@l
22. s i la tasa de inflation de ciertos articulos es de 7: 070 cornpuesto diariamente, jcuantos afios transcurriran hasta que el precio prornedio de esos articulos Se duplique?
23. Un bono de cupon cero es aquel que se vende en una cantidad inferior a su valor nominal (es decir, se le descuenra) y no tiene pagos periodicos de interes. Mas bien el valor se redirne a su valor norninal a1 vencirniento. En consecuencia, en este sentido, el interes se paga a1 vencirniento. Supongase que un bono de cupon cero se vende en $220 y~. que . puede amortizarse despues de 14 afios a su valor nominal de $1000. jA que tasa nominal cornpuesta sernestralmente gana interes el bono?
Valor actual (o presente) Supongase que se depositan $100 en una cuenta de ahorros que paga el 6% anualmente. Despues, a1 final de dos afios, el valor de la cuenta es 100(1.06)2 = $1 12.36. Para describir esto, se dice que el monto (compuesto) de $112.36 es el valor futuro de 10s $100 y que estos $100 son el valor actual de 10s $1 12.36. En general, hay ocasiones en las que se sabe el valor futuro de una inversion y se desea encontrar su valor actual. Para obtener una formula para esto, se despeja P e n la ecuacion S = P ( l + r)". Esto da P = S/(1 + r)". Consecuentemente
arroja el capital P que debe invertirse a la tasa por periodo r durante n periodos de interis para que el monto sea S. A P se le denomina el valor actual de S. En el Apendice D se proporcionan valores aproximados de (1 + r).". EJEMPLO 1 Encontrur el valor actual de $1000 que vencen despues de tres arios, si la tasa de inter& es del 9% compuesto fnensualmente.
7.2
213
Valor actual (o presente:
Se utiliza la Ecuacion (l), con S P
=
=
1000, r
=
0.09/12
=
0.0075 y n
=
3(12)
=
36.
1000(1.0075)-~~ = lOOO(0.764149)
= $764.15.
Si la tasa de interes del Ejemplo 1 fuera del 10% compuesto rnensualmente, el valor actual seria
que es una cantidad rnenor que la otra. Siernpre resulta que el valor actual disrninuye a1 aurnentar la tasa de interes por period0 de conversion. EJEMPLO 2
Se esta formando un fideicomiso para la education de un niiio, mediante un solo pago, de manera que a1final de 15 aiios hava $24,000. Si el fo;zdo gana intereses a razon del 7% compuesto semestralmente, jcua'l debe ser el deposit0 inicial en el fondo? Se desea el valor actual de $24,000 que vencen en 15 aiios. De la Ecuacion (1) con S = 24,000, r = 0.07/2 -= 0.035 y n = 15(2) = 30, se tiene P
=
2 4 , 0 0 0 ( 1 . 0 3 5 ) ~= ~ ~24,000(0.356278) )
= $8550.67.
Supongase que el sefior Herrera le debe a1 sefior Gornez dos surnas de dinero: $1000 a pagar en 2 afios y $600 a pagar en 5 afios. Si el sefior Herrera desea pagar el total de la deuda en estos rnornentos con un solo pago, jcuanto debe pagar? Supongase una tasa de inter& del 8% cornpuesto trirnestralrnente. El pago unico, x , a realizar hoy, debe ser por una cantidad que pudiera crecer y pagar las deudas en su vencirniento. Es decir, debe ser igual a la surna de 10s valores actuales de 10s pagos futuros. Corno se rnuestra en la Figura 7.1, se tiene
8 periodor 1000 ( 1.021
I
12 petiodos
-
?
7000 1.02," 20 periodos
FIGURA 7.2
x ' 1, 0 2 5 ~
Asi. el pago unico a realizar hoy es de 51257.27. Enseguida, se analiza la situacion con ma!.or detalle. Esisten dos formas de pagar la deuda: un solo pago ahora, o dos pagos en el fuiuro. Observese que la Ecuacion (2) indica que el valor actual de todos 10s pagos bajo un metodo debe ser igual a1 valor actual de todos 10s pagos segun el otro metodo. En general. esro es cierto no solo para el ~ n o ~ n e n actual to sino para cualquier nto~nento. Por ejemplo, si se mulriplican ambos lados de la Ecuacion (2) por (1.02)'@, se obtiene .Y(
1.07 1'"
=
1000t 1.02)"
- 600.
(3)
El lado izquierdo de la Ecuacion (3) arroja el valor del pago unico despues de 5 aiios (vease la Figura - . 2 ) ? en ranto que el lado derecho da el valor dentro de cinco aiios de rodos 10s pagos bajo el orro metodo. Despejando s e n la Ecuacion (3) se obtiene el mismo resultado s = 51257.27. .A las Ecuaciones (2) !. (3) se les denomina ecuaciones de \-alores equivalentes. Ilustran que cuando se consideran dos metodos de pago de una t o valor de todos 10s pagos segun deuda (u oIra transaccion). en cualquier ~ n o ~ n e n el un metodo debe ser igual a1 l a l o r de todos 10s pagos segun el otro metodo. E n ciertas situaciones, puede que sea mas conveniente utilizar una ecuacion de 1-alor equil-alente, en comparacion con otra, tal como se iIustra en el Ejemplo 3. EJEMPLO 3
L'lia delrda de 53000, que \'elice de~ltrode 6 ailos se 1.a a pagar ~nediantetres abo~los: 5500 ahora, 51 500 en 3 afios j' un pago final a1 tkr~ninode 5 afios. ;De cuanto debe ser este pago si se supone una tasa de interes del 6Vo co~npuestoanual~nente? S e a s el pago final que vence a 10s 5 aiios. Por conveniencia para 10s calculos, se elabora una ecuacion de valores equivalentes que represente la situacion dentro de 5 aiios, porque de esta manera el coeficiente de s sera 1, como se ve en la Figura 7.3. Observese
7.2
215
Valor actual (o presente)
que a 10s 5 afios, se calculan 10s valores futuros de $500 y $1500 y el valor actual de $3000. La ecuacion de valores equivalentes es
Cuando se considera una eleccion entre dos inversiones, se debe hacer una comparacion de 10s valores de cada una de ellas en cierto momento, tal como se muestra en el Ejemplo 4. EJEMPLO 4
Supongase que se tiene la oportunidad de invertir $4000 en un negocio que haria que el valor de la inversion fuera de $5300 a 10s 5 afios. Por otro lado, se podrian colocar 10s $4000 en una cuenta de ahorros que paga el 6% semestralmente. i Que inversion es mejor? Se considera el valor de cada una de las dos inversiones a1 final de 5 afios. En ese momento la inversion en el negocio tendra un valor de $5300, en tanto que la cuenta de ahorros valdra 4000(1.03) lo = $5375.66. Resulta evidente que la mejor alternativa es colocar el dinero en la cuenta de ahorros.
Si una inversion inicial produce pagos en momentos futuros, a 10s pagos se les denomina flujos de efectivo. El valor actual neto, denotado por VAN, del flujo de efectivo, se define como la suma de 10s valores actuales de 10s flujos de efectivo menos la inversion inicial. Si V A N > 0, entonces la inversion es redituable; si VAN< 0, entonces la inversion no es redituable. EJEMPLO 5
Supdngase que se pueden invertir $20,000 en un negocio que garantiza 10s siguientes flujos de efectivo a1 final de 10s afios sefialados: Aiio
Flujo de efectivo
2 3 5
$10,000 8,000 6,000
Supongase una tasa de inter& de 7% compuesto anual y encuentrese el valor acrual neto de 10s flujos de efectivo. Restando la inversi6n inicial de la suma de 10s valores actuales de 10s flujos de efecti\ o se obtiene VAN
=
1 0 , 0 0 0 ( 1 . 0 7 ) ~+~ 8000(1.07)-%
= 10,000(0.873439)
+
6 0 0 0 ( 1 . 0 7 ) - 20.006
8000(0.816298)
+ 6000(0.712986) - 2 0 . 0
0bseri.ese que, d a d o que V A N < 0 , el negocio n o es redituable, si se considera el valor del dinero e n el tiempo. Seria mejor iniertir 10s $20,000 e n un banco que pague 7 r 0 , puesto q u e el negccio es equiialente a iniertir solo 20,000 - 137.31 = $19,542.69.
En 10s Problenlas 1-8, halle el valor actual del pago fururo que se seriala, a la rasa de inreres especficada. 1. 86000 que vencen en 20 aiios, a1 5ro cornpuesto anualrnente. 3. $4000 que vencen en 12 atios, a1 7wo cornpuesto sernestralrnente. 5 . $2000 que vencen en 2 1 aiios, a1 9Vo cornpuesto rnensualrnente. 7 . $8000 que vencen en 7 4 aiios, al6Wo cornpuesto trirnestralrnente.
2.
$3500 que vencen en 8 aiios al 6qo efectivo.
$2500 que vencen en 15 rneses, a1 8Vo cornpuesto trirnestralrnente. 6. $750 que vencen en 3 aiios, al 18% cornpuesto 4.
rnensualmente. 8. $6000 qile vencen en 6 1 aRos, a1 10070cornpuesto sernestralrnente.
En 10s Probletnas 9-12, utilice una calculadora para obtener el valor actual del pago fururo dado, a la rasa de interes que se especifica. 9. $8000 que vencen en 5 aiios, al 10% cornpuesto rnensualrnente.
10. $500 que vencen en 3 afios, a1 8 3 % cornpuesto trirnestralrnente.
11. $10.000 que \encen en 4 aiios, a1 9 puesto diario.
"o corn-
12. $1250 que vencen en 1 4 aiios, a1 13 4 Vo cornpuesto sernanalrnente.
13. Se va a forrnar un fideicorniso para un niiio de 10 atios, rnediante un solo pago, de manera que cuando el nino tenga 21 aiios reciba $27,000. Deterrninar de cuanto debe ser el pago si se supone una tasa de interes del 6Vo compuesto semestralmente.
$2000 dentro de 2 afios, un pago de $4000 dentro de 4 aiios y un pago final a1 terrnino de 6 afios. Si la tasa de interes es del 7070 compuesto anualrnente, ;de cuanto debe ser el pago final?
14. Lna deuda de $550 vence dentro de 4 aiios y otra ds $50 vence en 5 aiios y se deben pagar mediante un solo pago en estos rnomentos. Halle de cuanto debe ser el pago si se supone una tasa de interes del I Ovo compuesto trirnestralmente. 15. Lna deuda de $600 vence en tres aiios y otra de $800 \ence en 4 aiios. Se deben pagar rnediante un solo abono, dentro de 2 arios. Si la tasa de interes es del 8ro cornpuesto sernestralrnente, ~ d cuanto e debe ser el pago? 16. Una deuda de $5000 que vence en 5 aiios se va a pagar rnediante un abono de $2000 en estos rnornentos y un segundo pago a1 final de 6 aiios. ;De cuanto debe ser el segundo pago si la tasa de interes es del 6% cornpuesto trimesrralrnentr? 17. Deudas por $5000 dentro de 5 aiios y $5000 dentro de 10 ados se van a pagar rnediante un pago de
18. Una deuda de $2000 que vence en 3 aiios y otra de 83000 que vence en 7 aiios se van a pagar rnediante un solo abono de $1000 realizado en estos rnornentos y otros dos pagos iguales que se haran dentro de 1 aiio y dentro de 4 aiios. Si la tasa de interes es del 6% compuesto anualmente, ;de cuanto debe ser cada uno de 10s dos pagos iguales?
19. Una inversion inicial de 525,000 en un negocio garantiza 10s siguientes flujos de efectivo.
Supongase una tasa de interes del 5To cornpuesto sernestralrnente. a. Halle el valor actual net0 de 10s flujos de efectivo. b. ~ E redituable s la inversion?
7 3
Anuolidoder
$1000 son el lalor total d s :r.i::T,:er.:? is L: keno de cupon cero (vease el Problema li 3e: E r-... - 1 , . que la tienda adquiere a un preiio rsj:;:?~. 5: el bono gana interes a razon del I l . i F t ;?-;;errs trimestralmente y vence a 10s 20 aiios. ; i u z r c I- ~ i 3 ta el bono a la tienda?
20. Resuelva de nuevo el Problema 19 para una tasa de interes del 6070 compuesto semestralmente. 21. Supongase que una persona tiene las siguientes alrernativas para invertir $10,000: a. Colocar el capital en una cuenta de ahorros que paga el 6% compuesto semestralmente;
24. Deterrtiine el \-alor actual de $3000 q i : isr.;::. en 2 arios, a una tasa bancaria del8Vo compues:o dizriamente. Supongase que el banco utiliza 360 d!a; pzra determinar la tasa diaria y que el afio tiene 365 d:as. es decir, la capitalizacion ocurre 365 veces a1 aiio.
b. In\.ertir esa cantidad en un negocio que ofrece un
\alor de la inversion d e $16,000 a 10s 8 ailos. ~ C u a es l la mejor alternativa? 22. A le debe a B dos sumas de dinero: $1000 mas intereses al 7 % compuesto anualmente, que vence en 5 aAos, y $2000 mas intereses a1 8% compuesto semestralmente, con vencimiento a 7 ailos. Si se van a pagar ambas deudas mediante un solo pago al finai de 6 afios, obtener la cantidad que debe pagarse si el dinero vale 6% compuesto trimestralmente.
25. Un pagure es una declaration escrita en la qus se acuerda pagar cierta cantidad de dinero, ya sea a solicitud o en determinada fecha futura. Cuando se compra un pagarea su valor actual, a determinada tasa de inreres, se dice que se descuenru el pagare )- a la tasa de interes se le denomina tasu de descuenro. Supongase que se \,ende a una institucidn financiera, en $4,700 un pagare de $10,000, que \ence dentro de 8 arlos. ~ C u a es l la tasa nominal de descuento, con capitalizacion trimestral?
B-
23. Una joyeria anuncia que por cada $1000 que se Pasren en joyeria de diamanres, el comprador recibe un bono por $1000 sin costo alguno. En realidad 10s
- 7.3
Anualidades En Matematicas se utiliza la palabra sucesion o progresion para describir una lista de nurneros dispuestos en un orden definido. Por ejernplo, la lista
es una sucesion o progresion (finita). El primer termino es 2; el segundo, 4 y asi sucesivamente. En la sucesion
cada uno de 10s terrninos, despues del primero, puede obtenerse multiplicando el termino anterior por 2: 6 = 3(2).
I:!
= 6(2j.
! asi
sucesi\-arnente.
Esto significa que la razon de cada par de terrninos consecuti\.os es 2: 6- 3
7
-
12 6
- = 3
y asi sucesi\,amente. -'
A esta progresion se le denornina sucesidn geomPrrica (o progresion geometrica) con razdn comun 2. Observese que puede escribirse de la siguiente rnanera
3, 3Q). 3 ( 2 ) ( 1 ) 3(2)(2)(2). . 3(2~(2)(2)(2)
o de esta otra forma: 3. 3(2). 3(2'). 3(2'). 3(z4)
-
218
7
MATEMATICASFINANCIERAS
En terminos mas generales, si una progresion geometrica tiene n terminos, de manera que el primer0 de ellos es a y la razon comun es la constante r, entonce's la progresion tiene la forma a, ar, ar2,ar3, . . . ,
I
Observese que el n-esimo termino de la sucesion es a r " - ' . DEFIN~C~ON
La sucesion de n numeros a, ar, ar 2 , . . . , or"-', en donde a # 0,* se denomina progresion geomttrica con primer tkrmino a y razon comun r. EJEMPLO 1
a. La progresion geometrica de a = 3, raz6n comun & y n
=
5 es
3, 3(i), 3($l2. 3(1)', 3(i)4, obien 3 2 1 4 , 38 , 2". 16
"
b. Los numeros
1, 0.1, 0.01, 0.001 forman una progresion geometrica con a = 1, r = 0.1 y n
=
4.
EJEMPLO 2
Si se invierten $100 a una tasa de 6% compuesto anualmente, entonces la sucesion de montos compuestos a1 final de cada uno de 10s 8 afios es
Esta es una progresion geometrica con razon comun 1.06. A la suma de 10s terminos de la progresion geometrica a, ar, ar2, ..., urn-' se le denomina serie geomktrica:
Por ejemplo,
es una serie geometrica con a = 1, razon comun r = 4 y n = 7 . Enseguida, se calcula la suma s de la serie geometrica de (1):
* Si a
= 0,
la progresion es 0. 0, 0, . . . , 0. Este caso no se considera de interts
Se puede expresar s en forma mas compacta. Multiplicand0 arnbos lados por r, se obtiene =
1.5
(11.
-
(/r-
4-
(,I'
-
,
,
.
(31
~11.".
Resrando 10s miembros correspondientes de la Ecuacion (3) de 10s de la (2) se obtiene s s( 1
- 1 3
= Cl - 0 1 . " .
- I.)
=
cr( 1
- 1.")
(facrorizando).
Di\.idiendo ambos miembros entre 1 - r, se tiene
que sefiala la suma s de una serie geometrica* de wterminos con primer termino a razon comun r.
>-
EJEMPLO 5
Evaluar la suma de la serie geomerrica: 1 -iL(f)'L... Aqui a
=
1, r
=
d
(i16.
y n = 7 (no 6). De la Ecuacion (4) se tiene
EJEMPLO 4
Hallar la suma de la serie geomerrica: 35 + 36 + 37 + . . . + 3:1 Aqui a
=
35, r = 3 y n = 7. De la Ecuacion (4),
La nocion de serie geometrica es la base de 10s modelos matematicos de anualidades. Basicamente, una anualidad es una sucesion de pagos realizados en periodos fijos durante un interval0 de tiempo dado. A1 periodo fijo se le denomina periodo de pago y el inter~alode tiempo es el plazo de la anualidad. Un ejemplo de anualidad consists en depositar SlOO en una cuenta de ahorros cada 3 meses durante un aiio. El valor actual (o presente) de una anualidad es la suma de 10s valores acruales de todos 10s pagos. Representa la cantidad que debe invertirse en este momento pa.2 comprar 10s pagos que vencen en el futuro. Si no se especifica otra cosa, se supone ~ L Z cada pago se hace a1$nu1 del periodo de pago; a estas se les denomina anualiddes \acidas. Tambiin se supone que el interis se calcula a1 final de cada periodo cie pagz * En esla formula se supone que r Z 1. Sin embargo, si r = I , enlonim :=
-
;
;-
- L = Y
220
7
MATEMATICASFINANCIERAS
Periodo
Se considera una anualidad de n pagos de valor R cada uno, en donde la tasa de interes por periodo es r (vkase la Figura 7.4) y el primer pago vence dentro de un periodo. El valor actual A de la anualidad esta dado por Esto es una serie geometrica de n ttrminos, con primer termino R (1 comun (1 + r ) - ' . Por lo tanto de la Ecuacion (4) se obtiene
+ r)-I y raz6n
En consecuencia la formula
da el valor actual A de una anualidad R por periodo de pago, durante n periodos a la tasa de r por periodo. La expresion [l - (1 + r)-"I/r se denota por a , ~y, [hacienda R = 1 en la Ecuacion (91 representa el valor actual de una anualidad de $1 por periodo. El simbolo a,, se lee "a a n y a r". En el Apendice L, SL ~roporcionanvalores seleccionados de a,,, (la mayoria de 10s cuales son aproximados). Por consiguiente, la Ecuacion (5) se puede escribir de la siguiente manera A = Ra,,..
(6)
EJEMPLO 9
Encontrar el valor actual de una anualidad de $100 rnensuales durante 3 tasa de interes del 6% cornpuesto rnensualrnente.
+ aiios a una
En general, la formula
arroja el pago periodic0 R de una anualidad cuyo valor actual es A EJEMPLO 8
Las primas de una pdliza de seguros son de $50 rrimestrales, pagaderas a1 principio de cada [rimesfre. Si el asegurado desea pagar por adelan rado las primas de un aiio, i cuanro debe pagar, suponiendo que el interes es del 4ro co~?~puesro rrir?~estralr?~enre? Se desea obtener el valor actual de una anualidad de $50 por periodo durante cuatro periodos a una tasa de 1% por periodo. Sin embargo, 10s pagos deben realizarse alprincipio de 10s periodos. A estas anualidades se les denomina anualidades anticipadas. Estas sumas pueden considerarse como un pago inicial de $50, seguidos de una anualidad vencida de $50 durante tres periodos. Consecuentemente el valor actual es
50 + 50aqool = 50
+
50(2.910985) = S197.05.
Es necesario setialar que la formula general para el valor actual de una anualidad anticipada es A = R + R r i , n ,- o bien
El monto (o valor futuro) de una anualidad es el valor, a1 final del plazo, de todos 10s pagos. Es decir, es la suma de 10s montos compuestos de todos 10s pagos. Si se considera una anualidad vencida de n pagos de valor R cada uno, en donde la tasa de interes por periodo es r. El monto compuesto del ultimo pago es R , puesto que ocurre a1 final del ultimo periodo de interis y, por ello, no produce intereses (vease la Figura 7.6). El (n - 1)-esimo pago obtiene interes durante un periodo y, de la misma manera, el primer pago gana interes durante n - 1 periodos. Por lo tanto, el valor futuro de la anualidad es R + R ( 1 + r.) iR ( l + 1.)' i. . . + Rtl r.)'!-'.
7.3
223
Anuolidodes
Esta es una serie geometrica de n terminos con primer termino R y razon comun 1 En consecuencia, su suma es S [utilizando la Ecuacion (4)]: S
=
R[l 1
-
(1 (1
,+ r ) " ]
+ r)
=
R
1
-
(1
+
+
r.
r)"
-r
4si, la formula
S = R
(I
+ r)"
- 1
(7)
i'
da el monto S de una anualidad R por periodo de pago, durante n periodos a la tasa de r por periodo. La expresion [ ( l + r)" - 1]/r se abrevia mediante el simbolo s, y en el Apendice D se dan valores aproximados de s, . Consecuentemente,
s
(8)
= RS,,.
EJEMPLO 9
Obtener el monto de una anualidad que consiste en pagos de $50 alfinal de cada 3 meses, durante 3 aiios, a la tasa del6Vo compuesto trimestralmente. Determinar tambien el interes compuesto. Para hallar el monto de la anualidad se utiliza la Ecuacion (8) con R 12 y r = 0.06/4 = 0.015:
=
50, n
=
4(3) =
El interes compuesto es la diferencia entre.el monto de la snualidad y la suma de 10s pagos, es decir
EJEMPLO 10
Se depositan $50 a1 principio de cada trimestre en una cuenta de ahorros que paga el 6% compuesto trimestralmente. Determinar el saldo de la cuenta a1 final de 3 aiios. Puesto que 10s depositos se realizan a1 principio de 10s periodos de pago, se desea el monto de una anualidad anticipada, tal como se definio en el Ejemplo 8 (vease la Figura 7.7). Se puede pensar la anualidad dada como una anualidad vencida de $50 durante trece periodos, menos el pago final de $50. Por ello, el monto es
La formula para el valor futuro de una anualidad anticipada es, S
=
RI,
-R
o b:ez
Periodo
0 1 2 / 50 50 50
...
11
12
1
1 periodor
EJEMPLO 11 Un fondo de amortizacidn es un fondo en el que se acumulars pagos peribdicos coil el objeto de satisfacer una obligacidn futura. Supdngase que una maquina que cuesta $7000 (dolares) se va a reemplazar a1final de 8 arlos, en cuyo momento tendra un valor de desecho de $700. Se forma un fondo de amortizacion con el objeto de tener dinero en ese momento para comprar una maquina nueva que cuesta la misma cantidad. El monto del fondo en ese tiempo sera la diferencia entre el costo de reemplazo y el valor de desecho. Si se depositan pagos iguales en el fondo a1final de cada trimestre y el fondo gana 8% compuesto trimestralmente, i d e cuanto debe ser cada pago? La cantidad que se necesita despues de 8 aiios es 7000 - 700 = $6300. Sea R el pago trimestral. Los pagos que se hacen a1 fondo de amortizacion forman una anualidad con n = 4(8) = 32, r = 0.08/4 = 0.02 y S = 6300. Por lo tanto, en la Ecuacion (8) se tiene
En general, la formula
arroja el pago periodic0 R de una anualidad, con montos de S.
EJEMPLO 12 Una empresa arrendadora estima que si se adquiere una cierta maquina producira un rendimiento neto anual de $1000 durante 6 aiios, despub de 10s cuales la maquina careceria de valor. i Cuanto debe pagar la empresa por esa ma'quina si desea obtener el 7 %
7.3
225
Anuolidodes
de rendimiento sobre su inversion y desea tarnbien forrnar un fondo de amorti,-acion para reernplazar el precio de cornpra? Supongase para el fondo pagos anuales y una tasa del 5% cornpuesto anualrnente. Sea x el precio de compra. Cada aiio el rendimiento sobre la inversion es 0 . 0 7 ~Puesto . que la maquina produce un rendimiento de $1000 a1 aiio, la cantidad que puede colocarse en el fondo cada aiio es 1000 - 0 . 0 7 ~ .Estos pagos deben acumularse hasta por x. Por lo tanto
Enseguida se presenta otra forma de plantear el problema. Cada aiio, 10s $1000 deben .Y
proporcionar un rendimiento de 0 . 0 7 ~y tambien un pago de ---- para el fondo de amortizacion. Por consiguiente, 1OOO resuelto.
=
0 . 0 7 ~+
Jijo 0 5
X
, arroja el misrno resultado a1 ser
-
sijo
05
EJERClClOS 7.3 En 10s Problemas 1- 4, escriba la sucesion geornetrica que satisface las condiciones dadas. Simplifcar 10s tertninos.
1. a = 64. r =
3. a
=
100,r
b,
=
2. a = 2 . r = - 3 . n
n = 5.
1.02,n
4.
= 3.
'1 =
81, r
=
4.
= 3 ' ,n =
4.
En 10s Problemas 5-8, determine la suma de la serie geornetrica dada utilizando la Ecuacion (4) de esta seccidn.
5.
f
7. 1
+
(z)'
+ . . . + (g15.
+ 0. I +
(0.1)'
+
6. I
. ..
+ (0.1)~.
+i+
8. ( 1 . 1 ) - '
(+j2
+
.
+ (1.1)-:
+ (+l5. + . . . + (1.1)-'.
..
E n 10s Probletnas 9-12, utilice el Apendice D y calcule el valor de la expresion dada.
9.
qsrlr!04
10.
a q O 07
11.
s,q 0 0075
En 10s Problemas 13-16, halle el valor actual de la anualidad vencida dada.
13.
$500 anuales durante 5 k o s , a1 7% cornpuesto anualrnente.
14.
$1000 cada 6 rneses durante 4 afios, al 10% cornpuesto sernestralrnente.
15.
$2000 a1 trirnestre, durante 4 $ aiios, al 8% cornpuesto trirnestralrnente.
16.
$1500 rnensuales durante 15 rneses, al 9% cornpuesto rnensualrnente.
12.
"iq 0 005
En 10s Problemas 17 y 18, obtenga el valor actual de la anualidad anticipada que se plantea. 17. $800 pagaderos a1 principio de cada periodo de 6 rneses, durante 6 afios, a1 7% cornpuesto sernestralrnente.
18. $100 pagaderos a1 principio de cada trirnestre, durante 5 aiios, a1 6% compuesto trirnestralrnente.
En 10s Problemas 19-22, determine el valor futuro de la anualidad vencida dada. 19.
$2000 rnensuales durante 3 atios a1 15% cornpuesto rnensualrnente.
20.
$600 trirnestrales durante 4 atios a1 8% cornpuesto trirnestralrnente.
21.
$5000 anuales durante 20 aiios a1 7% cornpuesto anualmente.
22.
$2000 cada 6 rneses durante 10 aiios, a1 6% cornpuesto sernestralrnente.
En 10s Probletnas 23 y 24, encontrar el valor futuro de la anualidad anticipada dada. 23.
$1200 anuales durante 12 aiios a1 8% compuesto anualmente.
24.
$500 trirnestrales durante 5
anos a1 5% cornpuesto trimestralrnente.
25. Para una tasa de interes del6qo cornpuesto rnensualrnente, halle el valor actual de una anualidad de $50 a1 final de cada mes, durante 6 meses y $75 a partir de aqui a1 final de cada rnes, durante 2 aiios. 26. Una compaiiia desea alquilar en forrna ternporal espacio de oficinas por un periodo de seis meses. La renta es de $500 mensuales, pagaderos por anticipado. Supongase que la compaiiia desea hacer un solo pago, a1 principio del periodo de la renta, para cubrir la totalidad de esta durante el periodo de 6 rneses. Si el dinero vale 9% cornpuesto rnensualmente, i d e cuanto debe ser el pago? 27. Una anualidad forrnada por pagos iguales a1 final de cada trimestre durante 3 aiios se va a adquirir en $5000. Si la tasa de interes es del 6% compuesto trirnestralmente, i d e cuanto es cada pago?
28. Se compra una rnaquina con $3000 de enganche y abonos de $250 a1 final de cada 6 rneses, durante 6 aiios. Si el inter& es del 8% cornpuesto sernestralmente, obtenga el precio correspondiente en efectivo para la rnaquina. 29. Supongase que se colocan $50 en una cuenta de ahorros, a1 final de cada mes, durante 4 aiios. Si no se hacen mas depositos, (a) jcuantc, dinero hay en la cuenta despues de 6 aiios y (b) ique tanto de esa cantidad corresponde a intereses cornpuestos? Sup6ngase que la cuenta de ahorros paga el 6% compuesto rnensualmente. 30. El beneficiario de una poliza de seguros tiene la opcion de recibir un pago unico de $35,001)o bien 10 pagos arruales iguales, venciendo el primer0 de
ellos en este mornento. Si el interks es del 4% cornpuesto anualrnente, determine el pago anual.
31. Dentro de 10 aiios, una maquina que ahora cuesta $40,000 (dolares) tendra un valor de desecho de $4000. Se espera que en ese tiernpo, una rnaquina nueva cueste $52,000. Con el objeto de contar con fondos para pagar la diferencia entre el costo de reemplazo y el valor de desecho, se forrna un fondo de arnortizacion en el que se colocan pagos iguales a1 final de cada aiio. Si el fondo gana el 7% compuesto anualmente, i d e cuanto debe ser cada pago? 32. Una cornpaiiia papelera esta considerando adquirir un bosque que estirna que producira un rendimiento anual de $50,000 durante 10 aiios, despues de 10s cuales el bosque carecera de valor. La cornpaiiia desea obtener el 8% de rendimiento sobre su inversion y tambikn desea acumular un fondo de arnortizacion para reemplazar el precio de cornpra. Si se coloca dinero en el fondo a1 final de cada aiio y se gana el 6% cornpuesto anualrnente, encontrar el precio que la cornpaiiia debe pagar por el bosque. Proporcionese la respuesta hasta el centenar de dolares mas cercano. 33. Con el objeto de reernplazar una rnaquina en el futuro, una compaiiia va a colocar pagos iguales en un fondo de arnortizacion a1 final de cada aiio, de rnanera que dentro de 10 aiios el monto del fondo sea de $25,000. El fondo gana el 6% compuesto anualmente. Despues de 6 aiios la tasa de interes aumenta de manera que el fondo paga el 7% compuesto anualmente. Debido a la mayor tasa de interes, la cornpaiiia disrninuye el valor de 10s pagos
7.4
227
Amortizocion de creditos
restantes. Halle este valor para 10s nuevos pagos. Proporcionese la respuesta hasta el dolar mas cercano.
34' A le debe a la de $5000 pagarle $1000 a1 final de cada uno de 10s siguientes 5 aiios v un ultimo . aaao - a1 terrnino del sexto aiio. i D e cuanto debe ser el pago final si el interes es de 8 % compuesto anualmente? En 10s Problemas 35-41, utilizar lus siguientes formulas.
(1 Svr
=
+ r)"
A R=-=
1
tr,,
R 35.
P P
=
-
1
r
S
J,
-
Ar (1
+ r)-"
-
Arc1
+ r)"
( I + r)"
-
1'
Sr
=
(I
+ r)'-
Evalue sq,,
1'
con cinco cifras decimales.
aq,, o,3 con cinco 'ifras decimales.
36. 37.
Evalue 7 0 0 a ~ j 0 0con 1 ~dos cifras decirnales.
38.
Evalue 1000.~qo con dos cifras decimales.
-7.4
ti@
39. Se van a depositar pagos iguales en una cusrta de ahorro a1 final de cada trimestre durante 5 aiios. para que a1 final de ese tiempo haya $3000. Si el inter& es del 54% cornpuesto trimestralmente, dererrninar el pago trirnestral, 40. Supongase que se utiliza el product0 de ur, scguro ($25,000) para adquirir una anualidad de pagos iguales a1 final de cada rnes, durante 5 aiios. Si la tasa de inter& es del 10% cornpuesto mensualrnente, encontrar el valor de cada pago. 41. Una persona gana la loteria estatal, con valor de $1,000,000 y va a recibir un cheque por $50,000 en este mornento y uno similar durante cada aiio en 10s proximos 19 aiios. Para realizar 10s 20 pagos, la Comision Estatal de Loteria adquiere una anualidad anticipada con tasa de interes del 12% compuesto anualmente. ~ C u a n t ole cuesta a la Cornision la anualidad? 42. Supongase que un empleado de una compafiia esta por retirarse y tiene oportunidad de elegir entre dos opciones segun el plan de pensiones de la empresa. La opcion A consiste en un pago de $450 (dolares), garantizado, a1 final de cada mes, durante 10 aiios. Par otro lado, mediante la option B el emplead o reclbe un solo pago igual a1 valor actual de 10s pagos descritos en la opcion A. a. Calcule la surna de los pages de la opci6n A , b. Calculeel pago unico, correspondiente a la opcion B, si se decide utilizar una tasa de interis de 6% capitalizable mensualmente. Redondee su respuesra a valores enreros de dolar.
Amortizacion de creditos Supongase que un banco le hace un prCstamo por $1,500 (dolares). Esta cantidad, mas 10s intereses, debe cubrirse mediante pagos iguales de valor R a1 final de cada mes, durante tres meses. Ademas, supongase que el banco cobra inter& a una tasa nominal del 12% compuesto mensualmente. En esencia, el banco esta comprando en $1,500 una anuafidad de tres pagos de importe R cada uno. UtiYizando la formula del Ejemplo 7 de la seccion precedente se ve que el pago mensual R esta dado por
El banco puede considerar que cada pago consta de dos partes: (1) el interes sobre el saldo insoluto y (2) el pago de parte del prCstamo. A esto se le denomina amortiru. Se amortiza un credit0 cuando parte de cada pago se utiliza para cubrir interl; k parte restante se emplea para reducir el capital insoluto. Dado que cada pago r&x.=
TADLA 7.1 Tabla de amortizacion
Periodo 1
>
Capital insoluto ai principio dei perlodo
lnterf s pot period0
Pago al final dei period0
Capitai pagado ai tlnai dei period0
S15 10.05 5.05 30.10
5 510.03 510.03 510.03 1530.09
S 495.03 199.98 503.98 1199.99
S 1500 1.004.97 503.99
Tnral
el capital insoluto, la porcion de intereses de cada pago disminuye conforme avanza el tiempo. Enseguida se analiza el credito que se describio antes. A1 final del primer mes, se pagan $510.03.El inter& a pagar sobre el capital insoluto es 0.01 (1500)= $15. El saldo del pago, 510.03 - 15 = $495.03,se aplica despues a reducir el capital. .4si, el capital insoluto ahora es 1500 - 495.03 = $1004.97.A1 final del segundo mes, el interes es O.Ol(1004.97) $10.05.Por ello, la cantidad pagada del credito es 5 10.03 - 10.05 = $499.98y el saldo insoluto es 1004.97- 499.98 = $504.99. El interes que debe pagarse a1 final del tercer y ultimo mes es O.Ol(504.99) = $5.05, por lo que la cantidad que se paga del credito es 510.03 - 5.05 = $504.98.Por lo tanto, el saldo insoluto es 504.99 - 504.98 = $0.01.En realidad, la deuda debe de estar pagada en este momento y el s a 3 o de $0.01 se debe a1 redondeo. Con frecuencia, 10s bancos cambian el valor del ultimo pago para compensar estas discrepancias. En el caso anterior, el pago final seria de $510.04.En las tablas a las que se denomina tablas de anlortizacion se puede presentar el analisis de la forma en que se maneja cada uno de 10s , pagos de un credito (\ease la Tabla 7 . 1 ) . .A 10s intereses totales que se pagan (530.10 c.n este caso) se les denonlina coil frecuencia cargo financiero. Como se conlent6 antes. cl total de las entradas de la iilrinla columna serian iguales a1 capital original. a no ser pnr los errore3 de redondeo. Cuando se esta amortizando un credito, a1 principio de cualquier periodo el capital insoluto es el valor actual de 10s pagos restantes. Utilizando este hecho, junto con el analisis anterior, se obtienen las formulas que se listan en la Tabla 7.2 y que describen la amortizacion de un credito de valor A , que cobra intereses a razon de r por per i o d ~ y, que se liquida mediante n pagos iguales de valor R cada uno, y de manera que
-
TABLA 7.2 Formulos de Amortizocion
1. Pago periodico:
R
A
= -=
I'
4
+
I.)-'' 2. Capital insoluto a1 principio del k-esimo periodo: a,,
' 1
-
(1
3 . lnteres en el k-esimo pago: R r a ; ; _ m ,
4. Capital contenido en el k-Csimo pago: R [ I - I-u,] 5 . Total de intereses pagados: R(II - u s , ) o bier, I I R - .4
.ci pago- 5s hacen al final de cada periodo. Observese en lo que sigue que la formula 11 , lo cual, como debe recordarse se define como - (1 r)-fi]/r.
?a:; el pago periodic0 R implica
-
EJEMPLO 1
C
Lna persona an~ortizaun credito de $30,000 que obtuvo para una casa nueva, mediunre una hipoteca a 20 atios a una tasa del9% compuesro mensualmente. Determinar (a) el pago merzsual, (b) 10s cargos totales por interes y (c) el capital insoluto despues de 5 afios. a. El numero de periodos de pago es n = 12(20) = 240, la tasa de interes por periodo es r = 0.09/12 = 0.0075 y A = 30,000. De la Formula 1 de la Tabla 7.2, el pago mensual R es 30,000,~1m,,,,,,;~. Puesto que a 1 7 T l , , ,-< no aparece en el Apendice D, se utiliza la siguiente formula equivalente y una calculadora.
b. De la Formula 5 se tiene que el cargo total por interes es
240(269.92) - 30.000 = 64.780.80 =
--
30.000
S.31.780.80.
Esto es superior al prestamo mismo.
c. Despues de 5 aiios, se esta a1 comienzo periodo 61. Utilizando la Formula 2, con n - k + 1 = 240 - 61 + 1 = 180, se ve que el capital insoluto es
En una epoca, un ~ i p omuy comun de prestamo pagadero en plazos implicaba el "metodo global" para calcular el cargo financiero. Con cste mitodo, el cargo financiero se encuentra aplicando una tasa anual nominal de interis (bajo interes simple, es decir, no a interis compuesto) a la cantidad obtenida corn0 prkstamo. Despues, este cargo se suma a1 capital y el total se divide entre el numero de meses de credito para determinar el pago mensual. En 10s prestamos de este tipo, el dsudor no puede darse cuenta en forma inmediata de que la tasa anual verdadera es cons~derablementesuperior a la tasa nominal, como se muestra en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 2
-.
Se obriene utz prkstamo de $1,000 durante un atio, a1 9% de interb, con el metodo de suma. Estimar la verdadera tasa anual de interes si se supone composition mensuul.
El cargo financier0 por $1000 a1 9% de interes simple durante 1 aiio es 0.09(1000) = $90. Sumando esto a.1 prestamo, se obtiene 1000 + 90 = 1090. .Par consiguiente, el pago mensual es de 1090/12 .= $90.83. De esta manera, se tiene un prdstamo de $1000 s iguales de $90.83. Con la Formula 1, de la Tabla 7.2, se tiene que
alcular a n , = 11.009578 para evaluar la tasa mensual r no es tan sencillo. Para haerlo, se examina el ApCndice D, en los renglones que corresponden a n = 12 y se halla 11.079312 y a 4 o.o,s el valor 11.009578 queda entre 10s registros a m o,zr 10.907505. En consecuencia, r queda entre 0.0125 y 0.015, que corresponden a tasas anuales de 12(0.0125) = 0.15 y 12(0.015) = 0.18. Consecuentemente, la verdadera tasa anual esta entre 15 y 18% (y es en realidad 16.22%). Ciertos reglamentos referentes a leyes que se ocupan de 10s creditos han hecho que 10s prestamos de suma resulten virtualmente absoletos. La formula de la anualidad
+ r)-" r puede despejarse para encontrar n que representa el numero de periodos de un presta-, r mo. Multiplicando ambos miembros por - , se obtiene A = R
1 - (1
R
- n ln(1
+ r ) = In
i" R
Ar)
(tomando logaritmos en ambos miembros),
Utilizando las propiedades de 10s logaritmos, se elimina el signo de menos invirtiendo el cociente en el numerador.
7.4
231
Amortizocion de crediros
EJEMPLO 3
Una persona adquiere un equipo estereofdnico en $1500 (dolares) y acuerda pagarlo mediante pagos mensuales iguales de $75. Si la tienda cobra intereses a razon del 12% compuesto mensualmente, jcuantos meses se requeriran para pagar la deuda? De l a Ecuacion ( I ) , 1475 I1 =
-
-
l500(0.01) 75
I
ln(l.O1) ln(1.25) ln(1.01)
z=
0.22314
------
0.00995
- 22.4
meses.
E n realidad, h a b r a 23 pagos; sin embargo, el p a g o final sera inferior a $75.
1. Una persona obtiene un credit0 de $2000 en un banco y acuerda liauidarlo mediante pagos iguales a1 final de cada mes durante 3 aiios. Si el interes es del 15% compuesto mensualmente, jde cuanto es cad-a pago? 2. Una persona desea obtener un prestamo a tres aiios y puede hacer pagos de $50 a1 final de cada mes. Si el interes es del 12% compuesto mensualmente, jcuanto es lo que la persona puede obtener a crCdit3? 3. Determine el cargo financiero que se haria sobre un pristamo de $8000, a 36 meses, para comprar un automovil, si se hacen pagos mensuales y la tasa de i ~ t e r k ses del 12% compuesto mensualmente. 4.
Para un prestamo de un aiio de $500 y tasa de
15% compuesto mensualmente, evalue (a) el pago mensual y (b) el cargo financiero.
5. Una persona va a amortizar un pristamo de $7500 que obtuvo para adquirir un automovil, con una tasa de interes del 12% compuesto mensualmente. Si el plazo es de 36 meses, encontrar (a) el pago mensual, (b) el interes en el primer mes y (c) el capital cubierto en el primer pago. 6 . Una persona esta amortizando un prCstamo a 48 meses de $10,000 para la compra de un terreno habitacional. Si el interks es a razon del9% compuesto mensualmente calcule (a) el pago mensual, (b) el interks contenido en el primer pago y (c) el capital cubierto en ese primer pago.
En 10s Problemas 7-10, construir una tabla de amortizacidn para las deudas planteadas. 7. $5000 que se liquidan mediante 4 pagos anuales iguales, ion inter& del7% compuesto anualmente.
compuesto trimestralmente, jcuantos pagos completos se haran?
8. $8,000 que se liquidan mediante 6 pagos semestrales iguales, con inter& del 8% compuesto semestralmente.
12. Se esta amortizando en 48 meses un prestamo de $2000 con tasa de interes del 12% compuesto mensualmente. Determine: a. el pago mensual; b . el capital insoluto a1 principio del 36" mes; c . el inter& en el 36" pago; d . el capital en el 36" pago; e . el interks total que se paga.
9. $900 que se liquidan mediante 5 pagos trimestrales iguales, con inter& del 10% compuesto trimestralmente.
10. $10,000 que se liquidan mediante 5 pagos mensuales iguales, con intereses a1 9% compuesto mensualmente. 11. Un credit0 de $1000 se esta pagando mediante abonos trimestrales de $100. Si el interks es del 8%
13. Se esta pagando una deuda de $IO.OCD 1 2 ~ : r res) mediante 10 abonos semestrales iguale. i::::: el primer pago dentro de 6 meses. El i n r s : ~-; 2 r:zon del 8% compuesto semestralmenrc. 5: sr:z-
go, despuis de 2 aiios, la tasa de interis aumenta al 10% compuesto semestralmente. Si la deuda se debe pagar en la fecha originalmente acordada, encontrar el nuevo pago anual. Proporcionar la respuesta hasta el dolar mas ce:cano.
P
14. Una persona obtiene $2000 y los va a pagar mediante pagos iguales al final de cada mes durance 5 aiios. Si el interes es a razon del 16.8% compuesto mensualmente, ide cuanto debe ser cada pago? 15. Se obtiene una hipoteca de $45,000 durante 25 aiios para una casa nueva, con el 10.2% compuesto mensualmente. Calcule (a) el pago mensual, (b) el inleres en el primer pago, (c) el capital pagado en el primer abono y (d) el cargo financiero. -
~
16. Un prestamo de $8,500 parh: la compra de un automovil se va a amortizar en 48 meses con tasa de interes de 13.2% compuesto mensualmente. Halle (a) el pago mensual y (b) el cargo financiero.
compuesto mensualmente, jcuantos pagos compleros habra?
P P
18. Obtenga el pago mensual de un prestamo de $7000 a 5 afios si la tasa de interes es el 12.12% compuesto mensualmente. 19. Un matrimonio desea comprar una casa nueva y considera que pueden hacer pagos de hipoteca por $600 a1 mes. Pueden obtener m a hipoteca a 30 aiios con el 12.6% compuesto mensualmente, pero deben pagar un enganche del25Vo del costo de la casa. Suponiendo que tienen ahorros suficientes para pagar el enganche, jcual es el valor maximo que pueden pagar por una casa? Proporcionese la respuesta al dolar mas cercano. 20. Supongase que se puede elegir entre obtener una hipoteca de $80,000 a1 1240 compuesto mensualmente durante 15 aBos, o hacerlo a 30 aiios. jCuanto se ahorra en terminos del cargo financiero si se elige la hipoteca a 15 aiios?
En un prestamo de $25,000 a 5 arios, ide cuanto menos seria el pago mensual si el prestamo fuera al 12% compuesto mensualmente, en vez de serlo al 15% compuesto mensualmente?
21.
P
17. Una persona adquiere muebles por $2000 y acuerda pagar esa cantidad mediante abonos mensuales de $100. Si el interes se cobra a raz6n de 18%
TERMINOLOGIA Y SIMDOLOS
I
~
Seccion 7.1
tasa efectiva
Section 7.2
valor actual (o presente) valor futuro flujos de efectivo valor actual neto
Seccion 7.3
sucesion (o progresion) geometrica serie geometrica anualidad anualidad vencida anualidad anticipada razon com~in monto de una anualidad, 5 4 , valor actual de una anualidad, a,;,
Seccion 7.4
amortizacion
tabla de arnortizacion
RESUMEN .
ecuacion de valores equivalentes
cargo financiero
-
-
.
El concept0 del interes compuesto es la base de cualquier analisis que se refiera al valor del dinero en el tiempo; es decir, el valor actual del dinero que vence en el futuro o el valor futuro del dinero que se invierte en el presente. En el interes compuesto, el interes se convierte en capital y tambien gana interis. Las f6rmulas basicas del interes compuesto son: S
=
P(l
P = S(1 en donde
+ r)"
(valor futuro),
+
(valor actual),
r) -"
S
=
monto compuesto (valor futuro),
P
=
capital (valor actual),
7.5
Reposo
r
=
tz =
tasa por periodo, numero de periodos de coniersion.
Por lo general, las tasa de interes se plantean como tasas anuales a las que se denomina tasas nominales. La tasa por periodo se obtiene dividiendo la tasa nominal entre el numero as periodos de conversion por aiio. La tasa efectiva es la tasa de interes anual simple que es equivalente a una tasa nominal de r compuesta n veces a1 aiio, y esta dada por
(I +
ij'
-
I
(tasa efectiva).
Las tasas efectivas se utilizan para comparar diferentes tasas de interes. Una anualidad es una sucesion de pagos realizados en periodos fijos de tiempo durante'cierto interval0 de tiempo. La base matematica de las formulas que se refieren a las anualidades es la nocion de la suma de una serie geomktrica: ni 1 - I.") J = (qun~ade una serie geornitrica), I - r en donde
.F =
suma,
ri
= primer termino,
r n
= =
razon comun, numero de terminos.
Una anualidad ordinaria o vencida es la que se cubre alfinal del periodo de pago, en tanto que las anualidades anticipadas son las que se cubren a1 principio de 10s periodos. Las formulas basicas para el manejo de anualidades vencidas son: 1 - ( I + r)-" A = R = 1 (valor actual), I'
en donde A
- valor actual de la anualidad,
.r =
monto (valor futuro) de la anualidad,
R
valor de cada pago,
=
11 =
numero de periodos de pago,
r = tasa por periodo, Para las anualidades anticipadas, las formulas correspondientes son: A = RI I
+ (I,-,.)
, ,
-
(valor actual), 1)
(valor futuro).
Un prestamo, tal como una hipoteca, se amortiza cuando parte de 10s pagos ljeriodicos se utilizan para pagar intereses y la parte restante se utiliza para reducir el capital. En las tablas de amortizacion se presentan analisis completos de cada pago. Las siguientes formulas se utilizan para manejar amortizacion de creditos de valor A , con tasa por periodo r , mediante n pagos iguales de importe R cada uno, y de rnanera que lo5 pdgos se hacen a1 final de cada periodo. A Pago por periodo: R = 1
=
A
r 1
-
(
I
+ r)
.
''.
Capital insoluto a1 principio del k-bimo periodo:
Interes en el k-bimo pago: Rrn,.
Capital contenido en el k-Csimo pago: Intereses totales pagados: R(n
PROOLEMAS DE RLPASO
-
R11 uq,) o tien nR
--
1. Determine la suma de la siguiente serie geornetrica
2
+4+Q +
...
+ 2(4)'.
2. Obtenga la tasa efectiva que corresponde a urra tasa nominal del 6% compuesto trimestralrnente.
3. Un inversionista puede invertir una surna de dinero al 8.5% compuesto anualmente o al 8.2Vo compuesto sernestralmente. ;Cual de las dos alternativas es rnejor? 4. Halle el valor actual net0 de 10s siguientes flujos de efectivo, que pueden adquirirse mediante una inversion iniciai de $7000. Supongase que el interes es del 7% compuesto semestralrnente.
Airo
Flujo de of ectivo
5. Una deuda de $1200 vence a 10s 4 aiios Y otra de $looO vence a los aiios. Si se van a pagar mediante un abono de $1000 en mornentos Y un segundo pago a1 final de dos afios, i d e w a n t o ser el segundo pago si el inter& es del8% cornpuesto semestralmente? 6. Halle el valor actual de una anualidad de $250 a1 final de cada mes durante 4 aiios, si el inter& es del 6% compuesto mensualrnente.
7. Para una anualidad de $200 al final de cada 6 meses durante 6 afios, obtenga (a) e] valor actual y (b) el valor futuro a una tasa del 8% compuesto semestralmente.
+
-
r r l , T -
,I.
A.
--
el interes es del 7% cornpuesto semestralrnente, ;cuanto hay en la cuenta a1 final de cuatro aiios? 10. Una cuen:a de ahorros paga intereses a razon del5% compuesto semestralmente. iQue cantidad se debe depositar ahora para que se puedan retirar $250 a1 final de cada 6 rneses durante 10s proximos 10 aiios? 11. Una compafiia obtiene $5000 a credito sobre 10s cuales debe pagar intereses a1 final de cada aiio a razon del 11% anual. Ademas, se forma un fondo de arnortizacion para que sea posible pagar el credito a1 final de 5 aiios. Se colocan pagos iguales en el fondo a1 final de cada aiio, y el fondo obtiene interes a una tasa efectiva del6Vo. Encontrar el pago anual que se debe colocar en el fondo de arnortizacion. 12. Un deudor debe arnortizar un prkstamo de $7000 que obtuvo para la compra de un autom6vi1, haciendo pagos iguales a1 final de cada mes durante 36 meses. Si el inter& es del 12% compuesto mensualmente, halle (a) el valor de cada pago y (b) el cargo financiero.
13. Una persona adeuda $500 que ha de pagar en tres aiios con interis del 5% cornpuesto anualmente $500 que vence en 4 aaos con interks d e l 6 % compuesto semestralmente. El deudor desea saldar arnbas prkstarnos haciendo dos abonos. El primer0 ahora y el segundo, que debera ser del doble del primere, a1 final del tercer aiio. Si el dinero vale 7% compuesto anualmente, ide cuanto es el primer pago?
Elabore una tabla de amortizaci6n para un prCstarno de $2000 que se cubrira mediante tres pages mensuales con inter& a1 12% compuesto mensualmente. 14.
Elabore una tabla de amortization para un credito de $15,000 que se cubrira mediante 5 pagos mensuales, con interes del9% compuesto rnensualmente. 15.
8. Determinar el monto de una anualidad antici- @ 16. Obtenga el valor actual de una anualidad venpada que consta de 10 pagos anuales de $100 supocida de $540 durante cada mes en 7 aiios, a la tasa niendo una tasa de interes del 6% compuesto del 10% compuesto mensualmente. anualmente. 17. Determine el cargo financiero para un presta9. Sup6ngase qlJe Se C O ~ O inicialmente C ~ ~ $100 en mo a 48 meses para la compra de un autombvil, de una cuenta de ahorros Y que se depositan $100 a1 fi$1 1,000 con pagos mensuales a razon del 13.5% cornnal de cada 6 rneses durante 10s siguientes 4 aiios. Si puesto nlensualmente.
Si se consigue un prestamo y se decide pagarlo en su totalidad antes del vencimiento del ultimo pago, seguramente se esperaria que el prestador o prestamista reembolse o acredite una porcion del cargo financiero total. Un metodo contable que el acreedor puede utilizar para determinar esa rebaja se conoce como "regla de 10s 78", o metodo de la "suma de digitos". Basicamente, este metodo exige pagar gran parte del cargo financiero total a1 principio del periodo del credito, siendo el razonamiento que se dispone de mas dinero a1 principio del periodo que a1 final. Para ilustrar esto, supongase que se obtiene un prestamo a saldar con 12 pagos mensuales iguales. De acuerdo con la regla de 10s 78, se suman 10s digitos del 1 a1 12 (porque el numero de meses en el periodo del prestamo es 12). Esto da como resultado
(de aqui el "78" en el nombre de la regla). En el primer mes se utiliza el 12/12 del dinero prestado, por lo que la regla permite a1 acreedor tomar 12/78 del cargo financiero total como la porcion de interes del primer pago. En el segundo rnes se considera que se utiliza 1 1 / I 2 del dinero, por lo que el acreedor tiene derecho a1 11/78 del cargo financiero. En el tercer mes, el acreedor obtiene el 10/78 del cargo, y asi sucesivamente. Asi, la regla de 10s 78 es una forma de asignar el cargo financiero total, sobre una base mensual. Por ejemplo, supongase que se va a liquidar el prestamo a la mitad de su periodo (a 10s 6 meses). Para determinar la rebaja sobre 10s intereses, se encuentra que la fraccion del cargo financiero total que ya se ha pagado es
Asi, la rebaja es 21/78 = 26.9% del cargo financiero total. A d a p ~ a d ode ?Ion70 F. John\on. "The Rulc 01'78: .\ Rule Tlla Ourl~\cd119 U\slul Life. IVRR). 450.53. Con aulori~a
"Tilc
7<. , .
\l~ii!i~~iii,i;,,
.
-. -
236
7
MATEMATICAS FINANCIERAS
TADLA 7.3 M e t o d o octuoriol para u n credit0 d e $3,000, o tres meses, ol 11.96% onuol
ME5
I 2 3 Total
CANTIDAD QUE SE DEDE AL PRlNClPlO DEL MES
IN'TERES CARGADO AL FINAL DEL MES
PAGO AL FINAL DEL MES
$3000.00 2009.90 1009.93
$29.90 20.03 10.07 60.00
$1020 1320 1020 3060
CAPITAL QUE SE PAGA AL FINAL DEL IC\ES $
990.10 999.97 1009.93 3000.00
La regla de 10s 78 se aplica no solo a 10s prestamos a 12 meses. En general, la regla establece que, para un prestamo con n pagos mensuales iguales, la porcion del interes total que gana el acreedor durante el k-esimo mes es:
Como ejemplo especifico, supongase que se acude a un banco y que se obtiene un prestamo de $3,000 (dolares), a un plazo de 3 meses con tasa anual de 11.96%. De la formula de las anualidades (\ease la Secc. 7.4). r R = A (1) 1 - (1 + r)-''
-
con A = 3000, r = 01 196/12 0.0099667, y n = 3, el pago mensual, R, es $1020. En la Tabla 7.3 se presenta el correspondiente programa de amortizacion, en el que -como se sabe- el interes se calcula sobre el saldo insoluto. Por ejemplo, el cargo por interes es, para el primer mes, $29.90. Es decir,
A este mod0 de amortizar un prestamo se le conoce como metodo actuarial. Observese que el cargo total por interes es de $60. Ahora supongase que se desea pagar el prestamo despucs de un mes. En este caso, ademas del pago mensual, la cantidad correcta del pago total, con base en el metodo actuarial, es $2.009.90. Es decir,
Pero si, por otro lado, el banco utiliza la regla de 10s 78, ;cual es el pas9 que salda la deuda? Se procede a elaborar la correspondiente tabla de amortizacion para ver como se rnaneja el cargo total de interes de $60. Como se tiene un prestarno a 3 rneses, se deben sumar 10s enteros del I a1 3: 1 + 2 + 3 = 6. Asi, al final del primer rnes, el banco tiene derecho a 3/6 de 10s $60, o 530 (que se rebtan del pago). Al final del segundo mes, el banco gana 2/6 . 60 = $20, y asi sucesivarnente. Se rnuestra esto en la Tabla 7.4. Este prograrna muestra que el pago que salda totalrnente la deuda despues de un rnes es
clue es $0.10 mayor que el pago calculado con el metodo actuarial. Notese tarnbien que la diferencia en las asignaciones de interes entre 10s dos metodos a1 final de 10s meses segundo y tercero es de solo $0.03 y $0.07, respectivamente. Es cierto que, para este caso, la regla de 10s 78 da una estimacion razonable de las asignaciones de interes con el metodo actuarial. De hecho, esta regla puede dar
TADLA 7.4 Regla d e 10s 7 8 para u n prestamo d e 63.000, a tres meses. con interes total d e $ 6 0 INTERES CARGADO AL FINAL DEL ME5
PAGO AL FINAL DEL ME5
ME5
CANTIDAD QUE SE DEDE AL PRlNClPlO D ~ ."ES L
CAPITAL QUE SE PAGA AL FINAL DEL MES
1 2 3
$3000 2010 1010
$30 20 10 60.00
$1020 1020 1020 3060
$ 990
Tot a1
1000 1010 3000
estirnaciones razonables para otros prestamos a corto plazo (por supuesto, el termino "razonable" es subjetivo). Sin embargo, en algunas situaciones la tasa de interes y la duracion o vigencia del prestamo pueden ser tales que asignar el interes mediante la regla de 10s 78 ipuede dar corno resultado un cargo por interes que es mayor que el pago rnensual mismo! Por cjeml~lo,supongasc yue sc obticrlc un prestarno para rnejorarniento inrn@iliario dc Sl5,000,con pago5 mensualcs durante 15 afios ( 1 80 meses) a una tasa nominal o anual dc 150:o. Lltilizando la Ecuacion ( 1 ) se encuentra que el pago rnensual es de 5209.94. Duranteel plazo de este prestarno, el cargo total por interes es clc
180(209.94) - 15,000 = $22,789,20. De acuerdo con la regla de 10s 78, el interes que se carga en el primer rnes es
180
1 + 2
+ ... +
180
(22,789.20)= $251.81,
que es superior a1 pago en $41.87(y que corresponde a una tasa anual de 20.14?0)*. Asi, la cantidad necesaria para saldar totalmente el adeudo despues de un rnes es
15,000 - (200.94 - 251.81)
=
$15,041.87.
que es superior a1 monto del adeudo. El principio de la tabla de arnortizacion tiene una cantidad n e g a t i u , corno se rnuestra en la Tabla 7.5. Por otro lado, a1 final de un mes, el cargo correct0 por interes es, calculado rnediante el rnetodo actuarial.
15,COO
(~lii) -
= $187.50
TADLA 7.5 Reglo de'los 7 8 para un prestamo d e $15.000, a 1 8 0 meses, al 1 5 % anuol
-.
INTERES CARGADO AL FINAL DEL MES
PAGO AL FINAL DEL ME5
MES
CANTIDAD QUE SE DEDE AL PRlNClPlO DEL ME5
1
$ 1 5,000
$251.81
$209.94
CAPITAL QUE SE PAGA AL FINAL DEL ME5 -S41.8'
TADLA 7.6 Pogo soldante Mes
Reglo de 10s 78's
Castigo o sancion Col.1 - Col. 2
Actuarial
por lo que el pago saldatorio o que salda la deuda es
La diferencia entre el pago saldante mediante la regla de los 78 y mediante el metodo actuarial, es decir
I
puede considerarse como una sancion o castigo por liquidar el prestamo despues de un rnes. En la Tabla 7.6 se presentan diversos pagos finales y sus correspondientes sanciones, para diversos meses y para un prestamo como el que se analiza. En la Fig. 7.8 se ilustran mediante curvas 10s datos de la Tabla 7.6. Se puede observar en la curva de la parte superior que, con la regla de 10s 78, el pago final aumenta cada mes durante 30 meses, y que el pago final para 60 meses es mayor que 10s $15,000 obtenidos como prestamo. Habien-
TADLA 7.7 Costigo maximo por pogo onticipodo segun lo reglo de 10s 78 en un credit0 de $10,000 (el mes en el que ocurre oporece entre porentesis) VlGENClA DEL PRESTAMO (EN AROS)
1 2 3 4 5 7 10 12 15 20
12% $
4(4) 15 ( 8) 34 (12) 60 (17) 94 (21) 186 (29) 384 (43) 555 (52) 871 (66) 1548 (90)
14% $
5(4) 21 ( 8) 46 (12) 82 (17) 129 (21) 255 (30) 525 (43) 758 (52) 1187 (67) 2094 (91)
16% $
7(4) 27 ( 8) 61 (12) I08 (17) 169 (21) 334 (30) 688 (44) 993 (53) 1549 (68) 2708 (93)
18% $
9(4) 35 ( 8) 77 (12) 137 (17) 215 (21) 424 (30) 872 (44) 1256 (54) 1951 (69) 3381 (94)
20% $
11(4) 43 ( 8) 95 (13) 170 (17) 266 (21) 526 (30) 1077 (44) 1548 (54) 2392 (69) 4105 (95)
Meses
d o avanzado aproximadarnente un tercio del plazo del prestarno (67 rneses) se paga el castigo maxirno d t 52.043. Este lapso para el castigo maxirno (a un tercio del plazo) es caracteristico en la regla de 10s 78. En la Tabla 7.7 se presentan otros castigos rnaximos por pagos anticipados cuando se aplica la regla de 10s 78 a un prestarno de $10,000, con diferentes tasas d e interes y para diversos plazos del credito. Los nurneros en parentesis e refieren al nurnero d e rneses transcurridos hasta que ocurre el sastigo maxirno. Por ejernplo. en un prestarno de $10,000, a1 16% y a 10 afios, el castigo maxirno 2.; 5688 y se presenta si se liquida el prestamo despues de 43 rneses. Aumentar la tasa d e interes o sl plazo de un credito aumenta la sancion maxima. Vale la pena seiialar que, corno la regla de 10s 78 perrnite a1 acreedor obtener la mayor parte de 10s intereses al principio del plazo del prestarno, le conviene hacer que el consurnidor refinancie sl prestarno despues de que se ha realizado varios pagos. De acuerdo con Jonhson, "The National Consumer Law Center, Inc., ha estirnado que la regla d e 10s 78 ha costado a 10s consurnidores varios cicntos de rnillones de dolares al afio con respecto a lo que les hubiera costado el interes actuarial. .-\udiencias en el Senado d e 10s Estados Unidos en 1980, 144)". Jonhson menciona tambien q u e "en alguna kpoca, todos 10s estados except0 Arkansas, permitian o exigian el uso de la regla d e 10s 78 para asignar intereses al pago de un prestamo. A partir dc. 1970, cuando rnenos dieciskis estados han prornulgado leyes que lirnitan su utilizacicin. De estog dieciseis, Iowa ha prohibido su uso".
1. Supongase que es $150 el cargo total de interes para un prestalno que se debe liquidar rnediante 12 abonos rnensuales. Si se utiliza la regla de 10s 78, ique interes ha sido cargado por el acreedor durante 10s prirneros cuatro rneses.?
3.
2. Supongase c;ue el cargo financier0 sobre un prestarno pagadero en 24 mensualidades es de $775. Calcule el irnporte de interes que carga el acreedor durante 10s primeros dos rneses, si se utiliza la regla de 10s 78.
4.
Una persona obtiene un prestarno de 47,500 ( c sea, presta esa cantidad), pagadsro en 36 mensualidades, a una tasa anual del 1 2 % . Si desea liquida-:c a 10s dos rneses, determine la cantidad saldacar: el acreedor la calcula utilizando la regla ds 13. - -
-
Una persona obtiene un prestarnn ds 5 IC'.!:*:*:. pagadero rnediante 5 mensualidadei. a1 Y'r r x - ~ Calcule el castigo por pago anticipado ir. r r , i ; z - pues, si el acreedor utiliza la rssla d- i?. -;.:-- -- -terminar la surna qus liquida :i 2,s-1.
8
CAP~TULO
~ l g e b r ade matrices
El analisis de muchas situaciones en Matematicas y Economia conduce a1 estudio de disposiciones o arreglos rectangulares de numeros. Considerese, por ejernplo, el sistema de ecuaciones lineales
Las particularidades que caracterizan a este sistema son 10s coeficientes numericos en las ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razon, el sisterna puede describirse mediante el arreglo rectangular
que se denornina matriz. Se considera que arreglos rectangulares corno este son objetos en si mismos y se acostumbra simbolizarlos encerrados en corchetes. Tambiense usan a veces parentesis. A1 representar matrices en forma simbolica, se usaran letras mayusculas de tip0 negro, corno A , B, C, etcetera.
ADVERTENCIA No se deben emplear barras verticales. ( significado diferente.
en vez de corchetes o parkntesis, porquc tienen u n
En Econornia con frecuencia resulta conveniente utilizar matrices para plantear problemas y mostrar datos. Por ejemplo, un fabricante que elabora 10s productos A, B y C podria representar las unidades de mano de obra y de materiales implicadas en
TABLA 8.1
A
Manodeobra Illatesiale~
10 5
D 12 9
C
16 7
la produccion de una semana, en la forma mostrada en la Tabla 8.1. Mas simplemente, esos datos pueden representarse mediante la matriz
Los renglones o filas hbrizontales de una matriz se numeran en forma consecutiva de arriba a abajo y las columnas o hileras verticales se numeran de izquierda a derecha. Para la matriz A se tiene columna 1 .
columna 2
columna 3
renglon 1
12
16
renglon 2
9
7
]=A.
Puesto que A tiene dos renglones y tres columnas, se dice que A es de orden 2 x 3 (lease "2 por 3'7, en donde el numero de renglones se especifica en primer termino. De mod0 semejante, las matrices
tienen ordenes 3 x 3 y 4 x 2, respectivamente. A 10s numeros que constituyen la matriz se les denornina ekmentos. Para denotar elementos arbitrarios en una matriz, por ejemplo de orden 2 x 3, existen dos metodos. En primer lugar, se pueden utilizar letras diferentes:
E ~ scgundo, I puede utilizarw una ioia I-,~ra,-por t'jcmplo, a- junto con subindice, dobles apropiados para seiialar la posicion:
Para el elemento a,, (lease "a sub uno-dos"), el primer subindice 1, especifica el renglon, y el segundo, 2, la columna en la que aparece dicho elemento. De rnanera similar. el elemento a,, (lease "a sub dos-tres") es el que corresponde a1 segundo renglon ? la
242
a
0
ALGEDRA DE MATRICES
tercera columna. En terminos generales, se dice que el simbolo a , denotz el elemento en L'I I-esimo renglon y la i-esima colurnna. El propirhito de este capitulo es la manipulacidn y aplicacion de diversos tipos de matrices. %;a dar una vision cornpleta, enseguida se proporciona una definition formal d~ matriz.
A un arr~glo~*ectangulm de numeros que consra de m renglones y n colurnnas,
se le denomina matriz m x n, o matriz de orden m x n. En el sitnbolo de elemenlo a,], i es el subindice qut. cori.,~.;wde a/ renglon, y j, el que indica IG colurnna. En general, las matrices t?r x n tlenen mn elementos. Por brevedad, una matriz de m x n se puede deriotar rnediantc el s~mbolo[a,]], .,,, o en forma mas simple, [u,,], en donde se sobreentiende que el orden es el apropiado para el context0 dado. Esta notacion indica el tip0 de simbolo qcle se utilirs para denotar un elernento general. ADVERTENCIA No debe confuridirse el elemento gerlcrai a,, con la nlatriz [a,,].
Una matriz que tiene exactamente
ill1
renglon, como
se denomina matriz renglon. Aqui A es de orden 1 x 4. De forma analoga, una matriz que consta de una sola colurnna, como la matriz 5 x 1
se denomina matriz colurnna.
Las matrices
A
=
[I
2
01,
B
=
[i -11,
C
=
[7],
1
6
3
-2
-1
1
1
son de orden 1 x 3, 3 x 2, 1 x 1 y 3 x 5 , respectivamente.
EJEMPLO 2
a. Formar una matriz columna de tres elementos tal que a,, = 6 y a,, = 0 en 10s dermis casos. La matriz es
b. Si A = [ a j j ]es de orden 3 x 4, y aG = i
+ j,
determinar A.
1 , 2 , 3 y j = 1 , 2, 3, 4; A tiene asi (3)(4) = 12 elementos. Puesto que se obtiene sumando 10s nli~ncrosi y ,I. Pol- tanta, o , I .l I - 2 , ' / I ? 1 - 3 ~ , c I , , , - I . 3 -1 y asi hucesi~arncrrtc., 4 5 1
Aqui i aQ = i
=
+ j, el elemento en el renglon i y la columna j 1 + 1 2 + 1 3
1 + 2 2 t 2 3 + 2
1 + 3 2 + 3 3 + 3
I=[:
1 + 4 2 + 4 3 + 4
4
: : a].
5
6
7
La matriz es
Dos matrices son iguales si, y sdlo si, tienen el mismo orden y sus elementos correspondienfes son iguales. Por ejemplo,
244
6
ALGEBRA DE MATRICES
Mediante la definicioil de igualdad, para que la ecuacion matricial
sea uri planteamicrito valido. debe ser eqdivalen:e a1 sisrema
Resolviendo, se obtiene x = 2, y = 6, i: = 2 y w1 = % .Es un hecho inlportante el que una ecuacion matriciai puede definir un sistema de ecuaciones lineales, como se vio antes. Ciertos tipoc de matrices desempeiian papeles importantes en la teoria de matrices. Enseguida se consideran tres de ellos. Una matriz m x n cuyas entradas son todas 0 st. denomina matriz cero ;?I x n y se denota por O , , , , , ,o , en forma mas simple, 0. En consecuencia. la matriz cero 2 x 3 es
y, en general
ADVERTENCIA No se debe confundir la matriz 0 con el numero real 0.
L;nh rnatriz que tieae el mismo numero de c:olumnas que de rellg!ones, por ejemplo renglones 5' ti :olumnas, se dcnomina marriz cuadrada de orden n. Fs decir, una matriz n~ x n es cuadrada si. shlo si, m = n. Por lo tanto !(
son matrices cuadradas de orden 3 y 1, respectivamente. I I: L I I I ~ I1 1 l ~ 1l.i/ t C L I ~ I;~(I;I ~ I i l k ' O I LIL'II I / . I<)\e l ~ i l l ~ ! l L/ t ~I I\ , 11 .. L/ ?,, . . . u,,,, ~ L I ~C L I C ~ I ; I I I 211 !:t ~ . l i i ~ ~ o~ L~I ~L \c ,: t lL,\!~L,I~LIL, LIL, lit L , \ ~ ! I I ~ I ; : I \ ~ I \ ~ c I ~. ~ / C< I L) III -L ~ ~ ;I~ : ILL I c,-q~iii;i i t ~ l ' t it)!. *~
,..
.
la diagona! prinsipal sonsiste en a , , = 1 , a?, = 5 y a,, = 9. Se dice que una matriz cuadrada es una matriz triangular superior ( o inferior) si tod.os los elementos que estan por debajo (o por encima) de la diagonal principal son ceros. Consecuentementc
son matrices triangulares superior e inferior, respectivanlerite.
EJERClClOS 8.1 1.
a.
-
-
Dadas las matrices
Exprese el orden d e cada matriz.
c. Que matriccs son trizngulares superiores?, o bien ltriangulares inferiores'? e.
i Q u e matrices son cuadradas?
d.
i c u a l e s son matrices renglor~?
iCuales son matrices columna?
L8 2.
b.
2
0
0A
i C u a l es el orden d e A?
Detervzinur 10s ~iguienteseletnentos.
9. ~ C u a l e s son 10s elementos d e la diagonal principal? 10. Escriba la matriz triangular superior de orden 5 , suponiendo que todos 10s elementos que n o se requiere que sean 0 sean iguales a 1.
11.
Esprese A
=
[aid si A es 3 x 1 ! a
-
1. -
3;.
12. Exprese B - [ b , ] si B ss 2 t - l ) l + ~ ( i L+ ;?,
.
1
: :
=
246
8
.
ALGEORA DE MATRICES
13. Si A = [ a , , ]es 12 x 10, jcuantos elementos tiene A? Si o i j = I para i nar a , : . a ; , . Y a , ?,,,,.
,,,,,,,
14.
Enuncie la diagonal principal de
15.
Enuncie la matriz cero de orden (a) 4; (b) 6.
20. Un corredor de bolsa vendio a un cliente 200 acciones de la empresa A, 300 acciones de la B, 500 acciones de la C y 300 acciones de la D. Fnrme una matriz renglon que proporcione el numero de acciones que se vendieron de cada empresa. Si las acciones se venden en $20, $30, $45 y $100 por accion, respectivamente, exprese esta informacion como matriz columna. Una compaiiia tiene sus reportes mensuales de ventas de sus productos expresados como matrices cuyos renglones, en orden, representan el numero de modelos regular, de lujo y de superlujo que se vendieron; y las columnas, tambien en orden, indican el numero de unidades rojas, blancas, azules y moradas que se vendieron. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son 21.
(a) iCuantos modelos blancos de superlujo se vendieron en enero? (b) iCuantos modelos azules de lujo se vendieron en febrero? (c) i E n que mes se vendieron mas modelos regulares morados? (d) iDe que modelo y color se vendio el r.~ismonumero de unidades en ambos meses? (el i E n que mes se vendio mayor cantidad de modelos de lujo? ( f ) i E n que mes se vendieron mas articulos rojos? (g) iCuantos articulos se vendieron en enero?
=jy
a,,
=
0 para i # J , determi-
22. Las matrices de insumo y produccion, desarrolladas por W.W. Leontief, seilalan las interrelaciones que existen entre 10s diversos sectores de una economia durante cierto periodo. En la matriz M que aparece enseguida se presenta Iln ejemplo hipotetico de una economia simplificada. Los sectores de consumo son 10s mismos que 10s sectores productivos; y pueden considerarse como fabricantes, gobierno. siderurgia, agricultura, hogares, etcetera. En cada renglon se muestra la forma en que 10s cuatro sectores consumen la produccion de un sector dado. Por ejemplo, de la produccion total de la industria A, 50 unidades se quedaron en la misma industria A, 70 pasaron a 6,200 a C y 360 a las demas. La suma de 10s elementos del renglbn I , a saber 680, d a la produccion total de A para el periodo considerado. Cada columna proporciona la produccibn de cada sector que es consumida por un sector determinado. Por ejemplo, en la fabrication de 680 unidades, la industria A consumi6 50 unidades de las sLyas propias, 90 de B, 120 de C y 420 de todos 10s demas fabricantes. Encuentre la suma de 10s elementos para cada columna. Haga lo mismo para cada renglon. iQue se observa al comparar estos totales? Supongase que el sector A aumenta su produccion en 20%. es decir, 136 unidades. Suponiendo estos resultados como un aumento uniforme de 20% de todos sus insumos, jen cuantas unidades tendri que aumentar el sector B su produccion? Responda la misma pregunta para C y para todos 10s otros fabricantes.
6 2
k c c c - o e morrlces y mulriplicocion por un escalo!
CONSUMIDORES 7
FABRICANTES
1 M
=
Industria A
lnduslria B
lndustria C
70 30
200 270
140 370
I 00 (440
'0 Industria A Industria B Jndustria C i?O Todos 10s demas 4[. fabricantes
Todos 10s dernas consurnidores 320 1.050 1.960
8.2 Adicion de matrices y multiplication por un escalar-.
-
Considerese un distribuidor de vehiculos para nieve que vende dos modelos, cl de lujo p el de superlujo. Cada uno l e ellos esta dispvnible en dos colores, rojo y azul. Supongase que las ventas para enero y febrero estan representadas mediante las siguientes matrices De De lujo superlujo
Cada uno de 10s rengiones de E y F da el numero de unidades vendidas de cada modelo para un color determinado. Cada columna seiiala el numero que se vendio de cada color para un modelo dado. Puede obtenerse una rnatriz que represente las ventas totales c!c cacl:~ mociclo ! colul.. para a n i b o \ inescs, surnanclo lo? clcn~e~irc:.s cnrrc~po~lilic~l dc- I-:! F: :L\
bsta situation motiva a presentar la operacibn de adicion de matrices para dos matrices dei mismo orden.
Sr A y B son ambas matrices m x n, enronces A + B es la marriz m x n que se obtienr a1 sumar 10s correspondientes elemenros de A y B.
Por ello, si
, . ~ ~ ~ ~ ) r iA c . cL\ H so11 dcl mislno ordcti ( 2
y
3) j
248
8
ALGEDRA DE MATRICES
PJPMPLO 1
b.
[: :] + I:[
no esti defmida, ya que las matrices no son de igual orden.
Si A, B, C y 0 tienen el mismo orden, resultan validas las siguientes propiedades para la adicion de matrices:
l . A + B = B + A
2. A
+ (B + C)
= (A
(propiedad conmutativa),
+ B) + C
3 . A + O = O + A = A
(propiedad asociativa), (propiedad de identidad).
Estas propiedades se ilustran en el siguiente ejemplo.
PJPMPLO i Sean
Asi, la mat riz cero desempeiia el mismo papel en la adici6n de matrices que el numero cero en la adicibn de numeros reales.
8 2
Ad,c,or, de morflces y mu~t~pl~cac'on po: un escolor
249
C'olviendo a1 distribuidzn de vehiculos para nieve, recuerdese que las ventas dc febrero estaban dadas por la matriz
Si en marzo el distribuidor duplica las ventas de fcbrero para cada modelo y color, la matriz de ventas M para marzo podria obtenerse rnultiplicando por 2 cada elemento de F:
Parece razonable escribir esta operacion de la siguiente manera:
que es la multiplication de una matriz por un nlimero real. Se tiene la siguiente ~ICI,I~ILIOI~.
Si A es una matriz m x n y k es un numero real (tambien denominado escalar), entonces se utiliza kA para denofar la matriz m x n qur se obfiene a1 mulfiplicarpor k cadtr Ir. i l ~ (~I ( ,o 1 0 s ( ~ / ( J I I I o / ~ ~(10 o \ 4 . :l e\/u o l ) ~ ~ / ~ / ~ . \ /pt /c i / i/ / ( I I I I I I i ) ~ ~ ~ l f i l ) l i c ( i c i O 1 )toi i . 1111 L ~ ~ c ~ I I ( ~ I En consecuencia, si
EJEMPLO 3
Sean
250
0
ALGEDRA DE MATRICES
d. OA.
Si A, B y 0 son del mismo orden, entonces para cualesquiera escalares k , k , y k , , se tienen las siguientes propiedades dc la multiplication por un escalar:
1. k(A
+ 13)
2. (k,
+ k,)A
-
kA
=
+
k,A
kB,
+
k,A,
3. k,(k2A) = (k,A,)A, 4. OA
=
0,
5. kO
=
0.
Las Propiedades 4 y 5 se ilustraron en el Ejernplo 3(d) y (e); las otras se ilustraran en 10s ejercicios. Se debe recordar que 0 # 0 , porque 0 es un escalar y 0 e.s la rntitriz cero. Para el caso en el que k = -1, entonces kA = (-1)A, lo cual se denota sirnplemente escribiendo -A, que se denomina negativo de A . Por lo tanto, si
entonces
Observese que --A es la rnatriz que se obtiene a1 multiplicar cada uno de 10s elementos de A por -1. Ahora ya se puede definir la sustraccion de matrices.
DEFINICI~N
Si A y B rienen el mismo orden, entonces A - B quiere decir A EJEMPLO 4
+
(-B).
r ,-
Es decir, para deterrninar A - B se resta cada elemento de B del elernento correspondiente de A .
6 - 2 - l - 4 2 - 1
-4+3 6 - 2 -1-0
7 - 3 0 - 1 3 + 1
1 + 4
4 -1 -5 4 1 - 1
4 -1
I:]
4
5
EJEMPLO 5 Resolver
Por la igualdad de matrices, debe tenerse que Zu, - 3 = 25, 2 . 4 = -2Orewlta.\-, = -8.
10
cual da w 2
= 14:
de
254
a
ALGEBRA DE MATRICES
35. Supongase que el precio de 10s productos A , B y C estan dados, en ese orden por la matriz de precios
p
= [PI
P2
Si se aumentaran 10s precios en lo%, se puede obtener la matriz de nuevos precios multiplicando P ipor quC escalar?
~ 3 1 .
8.3 Multiplication do mattices
-
Ademas de las operaciones de adicion dc matrices y de multiplicacion por un escalar, puede defii~irseel producto AB de matrices A y B bajo ciertas condiciones, las cuales son que el numero de columnas de A sea igual a1 numero de renglones de B.
Sea A unn mctriz m x n y B una matriz n x p. Entonces, el producto A B es la mutriz m x p, C, cuyo elemento c,, del i-esimo renglon y la j-bima columna se obtiene de la siguicnte manera: sumar 10s productos formados a1 multiplictrr, en orden, cada elemento (es decir, el primero, el segundo, etc.) del i-Psi~norenglcin de A por el elemento "correspondiente" (rs decir, el primero, el segundo, etc.) de la j-esima columna de B. Se deben comprender en forma cabal tres puntos acerca de la definicion de AB. En primer lugar, la condicion de que A sea m x n y que B sea n x p equivale a decir que el n~imerode columnas de A debe ser igual a1 nlimero de renglones de 8. En segundo termino, el producto sera una matriz de orden In x p; tendra el mismo numero de renglones que A y el mismo numero de columnas que B. En tercer lugar, la definicion se refiere a1 producto AB, en ese orden; A es el factor del lado izquierdo y B es el factor del lado derecho. Para AB, se dice que B esta premultiplicada por A, o que A es posmultiplicada por B. Para aplicar la definicion, evaluese lo siguiente:
L I numcro tlc colun1na5 dc A eq igual a1 nurnero de rcnglones dc B, ~ ~ o t l u c cjca r o ~lcl'inido.Ell ~ i r t u dde que A es 2 x 3 c.1 171 ncluc~oC \cr3 dc orden 2 x 3 (nr x p ) :
(111
y dc c\tc modo el x n ) y B er 3 x 3 ( 1 1 x 1 ) ) .
El elenentd.c,, se obtiene sumando 10s productos de cada uno de 10s elementos del renglon 1 de A por 10s elementos "correspondientes" de la colurnna 1 de B. Es decir, elementos del renglon 1 de A
elementos de la columna 1 de B
De igual manera, para c -. * , se utilizan 10s elementos del renglon 2 de A y 10s de la columns 1 d e B: elementos del renglon 2 de A
1
J
c.1,
=
'L
I
+ ( 2 . ) -22 ) L
( ] ) ( I ) + (-3)(0)
=
-3.
elementos de ia columna 1 de B
~ 1 3=
(I)( -3)
t
(-3)(2)
+
(2)(1)
=
-7
Por ello,
Si se invierte el orden de 10s factores? entonces
Este producto no estii definido puesto que el nlimero de columnas de B no es igual a1 numero de renglones de A . Esto muestra que la multiplication de rrlatriccs no es corimutariva. Es decir, para cualesquiera matrices A y B, es c o n ~ u nque AB # BA (aun cuando ambos productos esten definidos).
EJEMPLO 1
Deterrninar
Puesto que A es 2 x 3 y B es 3 x 2, 21 producto AB esta definido y sera de orden 2. x 2. Si simultaneamente se hace pasar el dedo indice de la mano izquierda a lo largo de 10s renglones de A y el dedo indice de la mano derecha a lo largo de las columnas de B, se pueden obtener mentalmente 10s elementos del producto.
Cvaluar cada uno de los siguientes productos.
El producto es de orden 1 x 1: [l
2
3][:]
=
,321.
El producto es de orden 3 x 2:
Se tiene que
Allnqtle tanto AB como BA estan definidos, AB # BA.
La multiplicacion de matrices satisface las siguientes propiedades si se supone que todas las sumas y productos estan definidos:
8.3
257
Multiplicocion de matrices
1
1. A(BC)
=
(AB)C
2. A(B + C) = AB (A + B)C = AC
+ AC, + BC
EJEMPLO 4
determinar ABC de dos maneras.
EJEMPLO 5
Verificar gue A(B
+
C) = AB
+
AC si
(
propiedad ahociati~a )
(
propiedades distributivah)
258
8
ALGEDRA DE MATRICES
Asi, A(B
+ C)
=
AB
+
AC.
Otra propiedad se refiere a las multiplicaciones entre escalares y matrices. Si k es un escalar y el producto AB esta definido, entonces
El producto k(AB)se escribe simplemente kAB. Asi, kAB ejemplo,
=
k(AB) = (kA)B = A(kB).POI
Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1 y todos 10s demas son 0 se denomina matriz identidad de orden n. Se denota por I. Por ejemplo, las matrices identidad de ordenes 3 y 4, respectivamente, son
Si A es una matriz cuadrada y tanto A como I son del mismo orden, entonces
En consecuencia, la matriz identidad desempeiia el mismo papel en la multiplicacion de matrices que el numero 1 en la rnultiplicacion de numeros reales. Por ejemplo,
EJEMPLO 6
Si
ejecutar cada una de las siguientes operaciones.
=- -
:3
CC: C ^
ce
-o!i~ceS
c . AO.
d. AB.
Se pueden representar sistemas de ecuaciones lineales utilizando la multiplication de matrices. Considerese el primer miembro de la siguiente ecuacion matricial
El product0 del lado izquierdo es de orden 2 x 1 y, por lo tanto, es una matriz columna:
Por la igualdad de matrices, se debe cumplir que
Por consiguiente, un sistema de ecuaciones lineales puede definirse mediante una ecuacion matricial. A menudo se describe la Ecuacion (1) diciendo que tiene la forma
EJEMPLO 7 Represenfar el sisfema
en rernz ;nos de nt ultiplicacion de matrices.
260
8
ALGEBRA DE MATRICES
entonces el sistema dado es equivalente a o bien
EJEMPLO 8
Supongase que 10s precios (en unidades monetarias por unidad) para 10s productos A, B y C estan representados por la siguiente matriz de precios Precio de A B C P = [2 3 41. Si las cantidades (en unidades) de A, B y C que se adquieren estan dadas por la matriz columna: unidades de A unidades de B unidades de C , entonces el costo total (en unidades monetarias) de las compras esta dado por el elemento de PQ: =
[(2.7)
+ (3 . 5 ) +
( 4 . ll)]
=
[73].
EJEMPLO 9
Supongase que un contratista de construccion ha aceptado pedidos por cinco casas de estilo ranchero, siete casas de estilo campero y 12 casas de estilo colonial. En este caso, 10s pedidos pueden representarse mediante la siguiente matriz renglon
Ademas, supongase que las materias primas y laborales que se utilizan en cada uno de 10s tipos de edificacion son acero, madera, vidrio, pintura y mano de obra. Los elementos de la matriz R que aparecen enseguida presentan el numero de unidades de cada uno de 10s materiales que se invierten en cada uno de 10s tipos de casas. (Los elementos no son necesariamente iealistas, sino que se escogieron por conveniencia.) Ranchero Camper0 Colonial
Acero 5
[
Madera 20 18 25
Vidrio 16 12 8
Pintura 7 9 5
Mano de obra
13
8.3
261
Multiplicocion de matrices
Cada renglon seiiala la cantidad de cada material de construccion que se requiere para la clase de casa determinada; cada columna indica la cantidad de materia necesaria para cada tipo de edificacion. Supongase ahora que el contratista desea calcular la cantidad de cada una de las materias que necesita para cumplir 10s contratos. En este caso, tal informacion esta dada por QR:
Consecuentemente, el contratista debe ordenar 146 unidades de acero, 526 de madera, 260 de vidrio, etcktera. A1 contratista le interesan tambien 10s costos en 10s que habra de incurrir a1 comprar esos elementos. Supongase que el acero cuesta $1500 por unidad, la madera $800 por unidad, y el vidrio, la pintura y la mano de obra, $500, $100 y $1000 por unidad, respectivamente. Estos datos pueden expresarse mediante la matriz columna de costos que aparece enseguida:
Entonces RC da el costo de cada tipo de casa:
Por ello, el costo de materiales y obra para la casa de estilo ranchero es $49,200; para la casa de tip0 campero, $52,800; y para la casa colonial, $46,500. El costo total de construccion para todas las casas esta dado por
QRC = Q(RC)
=
[5 7
[:::I
121 52,800
= [1,173,600].
De mod0 que el costo total es de $1,173,600.
EJEMPLO 10 En el Ejemplo 6 de la Section 8.2, supongase que el precio del carb6n es dc SlCd.iil:v por unidad, el precio de la electricidad, de $20,000 por unidad, \- el p r m o L2-.
262
8
ALGEBRA DE MATRICES
de S40,000 por unidad. Estos precios pueden representarse por la matriz (columns) de precios
Considerese la industria del acero. Vende un total de 30 unidades de acero a S40,000 por unidad y 10s ingresos totales son, por lo tanto, $1,200,000. Sus costos para 10s diversos articulos que consume estan dados por la matriz product0
Asi que la utilidad para la industria acerera es S1,200,000 - S400,OOO
=
S800,OOO.
S i A e s 2 x 3 , B es 3 x 1: C e s 2 x 5 , D e s 4 x 3 , E e s 3 x 2 j ~ F e s 2x 3, i n d i c a t ~ e l o r d e n ~ e l n ~ i t n e r de eletnenros en cada uno de 10s sigziienres casos: 7. A E .
8 . DE.
12. B A .
13. E A .
9. E C . 14. E ( A E ) .
10. DB.
11. FB.
1.'. E(FB).
16. (F
Esprese la tnarriz idenridad que riene el siguienre orden. 17. 4 .
18. 6 .
En 10s Probletnas 19-36, Ile\,e a cab0 /as operaciones que se seiialan.
+
A)B.
8.3
263
Multiplicacion de matrices
En 10s Problemas 37-51, calcule las matrices que se requieren, si
0
37. AB. 40. FE
-
3B.
4
0
0
1
38. BD.
39. CF.
41. DG.
42. D' ( = DD).
44. GC.
43. EC. 46. B(D
0
+ G).
47. 3A
-
2BC.
En 10s Problemas 52-55, represente el sistema dado utilizando rnultiplicacion de matrices.
56. Un corredor de bolsa vendi6 a un cliente 200 acciones de la empresa A, 300 acciones de la empresa B, 500 acciones de la empresa C y 250 acciones de la empresa D. Los precios por accion de A , B, C y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente. Elabore una matriz rengl6n que represente el numero de acciones que el cliente compro de cada una de
las empresas. Presente una matriz columna que indlque el precio por accion de cada una de ellas. Lrilizando rnultiplicacion de matrices, obtenga 21 a s : ? total de las acciones.
57, En el Ejemplo 9 su@ngase que c] ;>LL-LC~ va a construir siete casas de estfio ra:h<:.
--- 2
264
8
ALGEBRA DE MATRICES
iiale el precio total de cornpra y cuyo segundo elemento presente el costo total de transporte.
estilo camper0 y cinco coloniales. Calcule, utilizand o multiplication de matrices, el costo total de materiales y obra.
58. En el Ejemplo 9 supongase que el contratista desea tomar en consideracion el costo de transportar las materias a1 lugar de la construction asi como el costo de compra. Supongase que 10s costos estan dados en la matriz que aparece enseguida. Precio de compra
C
Transporte 45 Acero
=
Pintura Mano de obra
a.
Calculando RC, determine una matriz cuyos elementos indiquen 10s costos de compra y de transporte de 10s materiales para cada tip0 de casa.
b.
Evalue la matriz QRC cuyo primer elemento se-
c.
Sea Z
=
[]
y; a continuacidn calcule QRCZ,
que da el costo total de materiales y de transporte para todas las casas por construir.
59. Lleve a cab0 10s siguientes calculos para el Ejemplo 10: a.
Evalue la cantidad que tiene que pagar cada industria y cada consumidor por 10s bienes que reciben.
b.
Determine las utilidades obtenidas por cada industria.
c.
Hallar la cantidad total de dinero que pagan todas las industrias y 10s consumidores.
d.
Obtenga la proporcion de la cantidad total de dinero determinada en (c) y que es pagada por las industrias. Calcule la proporcion de la cantidad total de dinero determinada en (c) que es pagada por 10s consumidores.
-8.4 Metodo de reduccion En esta seccion se ilustrara un metodo que permite utilizar matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales: el rnetodo de reduccion. A1 introducir este metodo, se resolvera primer0 un sistema en la forma usual. Despues se obtendra la misma solucion utilizando matrices. Considerese el siguiente sisteina
que consiste en dos ecuaciones lineales con dos incognitas, x y y. Aunque se puede solucionar este sistema mediante diversos metodos algebraicos, se le resolvera aqui por un metodo que esta bien adaptado a las operaciones matriciales. Por razones que seran evidentes un poco mas adelante, se comienza reemplazando la Ecuacion ( I ) por la Ecuacion (2) y la Ecuacion (2) por la Ecuacion ( I ) , obteniendo el siguiente sistema equivalente
En x + 2y = 5 , multiplicando ambos lados por -3 se obtiene -3x - 6y = -15. Sumando 10s lados izquierdo y derecho de esta ecuacion a 10s lados correspondientes de la Ecuacion (4), se origina el sistema equivalente:
8.4
Metodo de reduccion
Multiplicand0 arnbos lados de la Ecuacion (6) rn- - $
resulta el sisterna equivalente:
De la Ecuacion (8), y = 2 y en consecuencia -2y = -4. Surnando 10s dos rniernbros de -2y = -4 a 10s correspondientes de la Ecuacion (7), se obtiene el sistema equivalente
Por lo tanto, x = 1 y y = 2, y el sisterna original queda resuelto. Antes de rnostrar un rnetodo para resolver
rnediante matrices, se definen en primer lugar algunos terminos. Se dice que la matriz
es la matriz de coeficientes de este sistema. Los elernentos de la prirnera colurnna corresponden a 10s coeficientes de las x en las ecuaciones. Por ejernplo, el elemento del primer renglon y la prirnera colurnna corresponde a1 coeficiente de x en la primera ecuacion; el elemento del segundo renglon y prirnera columna corresponde a1 coeficiente de x en la segunda ecuacion. Del misrno rnodo, 10s elementos de la segunda columna corresponden a 10s coeficientes de las y. Otra rnatriz asociada a este sistema es la que se denornina matriz de coeficientes aumentada, que es
La prirnera y la segunda colurnnas son, respectivarnente, la prirnera y la segunda columnas de la rnatriz de coeficientes. Los elementos de la tercera colurnna corresponden a 10s terrninos constantes del sisterna: el elernento del primer renglon de esta columna es el terrnino constante de la prirnera ecuacion, en tanto que el elemento del segundo renglon es el terrnino constante de la segunda ecuacion. Aunque no es necesario incluir la raya punteada que aparece en la matriz de coeficientes aumentada, sirve como recordatorio de que el 1 y el 5 son 10s tirrninos constantes que aparecen en el lado derecho de las ecuaciones. Esta rnatriz aumentada describe en forrna completa el sistema de ecuaciones. El procedimiento que se utilizo para resolver el sistema original irnplicaba di\ ersos sistemas equivalentes. A cada uno de tales sisternas se le puede asociar una rna:rz de coeficientes aumentada. Enseguida se enuncian 10s sistemas implicados. !un:z -2:
266
8
ALGEBRA DE MATRICES
sus correspondientes matrices aumentadas, a las que se ha identificado como A, B, C, D y E.
A continuacion se expone la forma en que estan relacionadas tales matrices. B puede obtenerse de A intercambiando 10s renglones primer0 y segundo de A. Esta operacion corresponde a1 intercambio de las dos ecuaciones en el sistema original. C puede obtenerse de B sumando a cada elemento del segundo renglon de B, el correspondiente elemento del primer renglon de B multiplicado por -3.
Esta operacion se describe como la suma del primer renglon de B, multiplicado por -3 y sumado a1 segundo renglon de B. D se obtiene de C multiplicando por - 3 cada uno de 10s elementos del segundo renglon de C. A esta operacion se la designa como multiplicar el segundo renglon de C por - 3 . E se obtiene de D sumando el segundo renglon de D, multiplicado por -2, a1 primer renglon de D. Observese que E, que en esencia da la solucion, se puede obtener a partir de A por una serie de operaciones que incluyen:
1. intercambiar dos renglones de una matriz; 2. sumar el multiplo de un renglon de una matriz a otro de sus renglones;
3. multiplicar un renglon de una matriz por un escalar diferente de cero.
A estas operaciones se las denomina operaciones elementales sobre renglones. Cuando
una matriz se puede obtener de otra mediante dichas operaciones elementales, sc dice
8.4
267
Metodo de reduccion
que las matrices son equi\.alentes. Por tanto, A es equii.alente a E, !. esto i f 2.-r r: .4 - E. Con lo anterior ya se puede describir un procedimiento matricial para resolier sistemas de ecuaciones lineales. E n primer lugar, se forma la matriz de coeficientes aumentada del sistema; despuks, mediante operaciones elementales sobre renglones, se determina una rnatriz equivalente que sefiale con claridad cual es la solution. Enseguida se especificara que significa dicha matriz: es una a la que se denomina matriz reducida, tal que
1. el primer elemento diferente de cero de cada renglon es 1 y son ceros todos 10s demas elementos de la columna donde aparece dicho 1 ,
2. el primer elernento distinto de cero de cada renglon se encuentra a la derecha del primer elemento diferente de cero de cada renglon precedente, 3. todo renglon que solo contiene ceros se encuentra abajo del renglon que contiene un elemento diferente de cero.*
En otras palabras, para resolver un sistema se debe tener primer0 una matriz reducida que sea equivalente a la matriz de coeficientes aumentada. Notese que la rnatriz E anterior,
es una matriz reducida.
EJEMPLO 1
Para cada una de ias sigzrietltes matrices, determitzar si es reducida o no.
a. No es reducida porque el primer elemento diferente de cero del segundo renglon no es 1. b. Matriz reducida. Tornado de Paul C. Shields, Elementary Linear Algebra, 2a. ed. ( N u e ~ aY o r l : Wor:t Inc., 1973), p. 7. ..
...
"-
. . .
...
.
.
.
P;:..i-5-.
268
8
ALGEBRA DE MATRICES
c . No es reducida porque el primer elemento distinto de cero del segundo renglon no esta a la derecha del primer elemento diferente de cero del primer renglon. d. Matriz reducida.
e. No es reducida ya que el segundo renglon, que esta formado solo por ceros, no se halla ab+jo de cada renglon que tiene elementos diferentes de cero.
f. Matriz reducida. El metodo de reduccion que se acaba de describir para el problema original se puede generalizar a sistemas de m ecuaciones !ineales con n incognitas. Para resolver un sistema como
se debe 1. determinar la matriz de coeficientes aumentada correspondiente a1 sistema:
2. determinar una matriz reducida que sea equivalente a la matriz aumentada. Con frecuencia se denomina a1 paso 2 reduccion de la matriz de coeficientes aumentada.
EJEMPLO 2 Utilizando la reduccion de matrices, resolver el sistema
La matriz aumentada del sistema es
Metodo de reduccion
8.4
Reduciendo esta matriz se tiene
1
: (intercambiando 10s renglones primero y tercero)
1
: (sumando a1 segundo renglon el primero multiplicado
(sumando a1 tercer renglon el primcro multiplicado por -2)
I
1
I
(multiplicando por -1 el segundo renglon) I
(sumando a1 primer renglon el segundo multiplicado por -1)
0
0
0
(sumando a1 tercer renglon el segundo multiplicado por -1).
La ultima matriz es una matriz reducida y corresponde a1 sistema
Puesto que el sistema original es equivalente a iste, tiene una solucion unica, que es
ti!- la
Se seiiala quc no es unica la secuencia de pasos que han \id0 u~ilizadospara I-etlumatriz.
EJEMPLO 3 Utilizando la reduccion de matrices, resolver lo siguiente:
Reescribiendo el sistema de rnanera que las variables esten alineadas y 10s terminos constantes aparezcan en el lado derecho de las ecuaciones, se tiene
Reduciendo la rnatriz de coeficientes aurnentada, resulta
0
-1
-2
:-5
0
0
0
:-2
0
0
O
i
(surnando a1 tercer renglon el primcro multiplicado por -1) (sumando a1 primer renglon el segundo multiplicado por -2, y surnando el segundo renglon a1 tercero)
(multiplicando el tercer renglon por - 4 )
0
0
0
l
1
(sumando a1 segundo renglon el tercero multiplicado por -3).
La ultima rnatriz es reducida y corresponde a
Corno 0 # 1 no existen valores de x, y y z para 10s cuales se satisfagan sirnultanearnente todas las ecuaciones. Por consiguiente, el sistema original no tiene solucion.
EJEMPLO 4
Mediante reduccion de matrices, resolver
Reduciendo la rnariz aumentada, queda
1
4
1
3
0 - 3
1
$ 1
(multiplicando el primer renglon por d )
-
1 2 -6
--
1
0
-
2
6 3 1 -3
$
:
0
1
I
1
0
0
4
9
'1
(sumando a1 tercer renglon el primero multiplicad0 por -3)
-6
1
(sumando a1 primer renglon el segundo multiplicad0 por - 2 y sumando a1 tercer renglon el segundo rnultiplicado por )
;
0 0
1
1
'j
(multiplicar el tercer renglon por Q )
1 1
(sumando a1 primer renglon el tercero multiplicad0 por 2 y surnando a1 segundo el tercero multiplicado por -2).
La ultima matriz es reducida y corresponde a1 sistema
I
.r,
x;
+ +
$x4
=
4,
x*
=
0,
;x4
=
1.
(9) (10) ill)
(12) Si 1, es cualquier numero real, entonces las Ecuaciones (9)-(12)determinan una \oi:~cion especifica para el sistema original. Por ejemplo, si x, = 0, entonces una solucion espec~yicaesx,= 4 , x 2 = 0 , x 3 = 1 y x , = 0. S i x , = 2,entoncesx, = - 1 , s . = 0, x, = 0 y x, = 2 es una solucion especifica. La variable x, de la cual dependen s y x, se denomina parametro. Resulta claro que existe un numero infinito de solucicnes para el sistema, correspondiendo cada uno de ellos a cada lalor del p a r z ' ~ ~ : : : i r dice que la solucion general del sistema original esta dada por las Ecuacionei (914::
272
8
ALGEBRA DE MATRICES
EJERClClOS 8.4 En cada uno de 10s Problemas 1-6, determinar si la matriz es reducida o no.
En cada uno de 10s Problemas 7-12 reducir la matriz dada.
Resolver 10s Problemas 13-26 mediante el metodo de reduction. 14.
{
x - 3y = -11, 4x+3y= 9.
XI XI
x, Xl
IS.
+ X2 - X3 + x', + x2 + x3 - x4 - X2
+ x2
-
{
3x 1 2
= 0, = 0,
X3
+
X4 =
X3
-
X4
0,
= 0.
+
y = 4, = 2.
+ 4y
8.5
273
El merodo de reduccion (continuocion)
Resolver 10s Probl~rnas27-31 utilizando Iu reduccion de tnatrices. 27. Una cornpafiia tiene ingresos gravables de $312,000. Los irnpuestos federales son el 25% de la portion que quede despues de haber pagado el irnpuesto estatal. El irnpuesto estatal es el 10070 de la porcion que quede despues de pagar el irnpuesto federal. Evalue 10s irnpuestos federal y estatal. 28. Un fabricante elabora dos productos, A 5' B. Par cada una de las unidades de A que se vendan se obtiene una utilidad de $8, y de $1 I por cada unidad vendida de B. Par experiencias pasadas, se sabe que puede venderse 2507" mas de A que de B, para el siguiente aiio el fabricante desea obtener utilidades totales de $42,000. iCuantas unidades de cads producto se deben vender? , BY 29. Un fabricante elabora tres ~ i o d u c t o s A, C . Las utilidades por cada unidad que se vende de A, B y C son de $1, $2 y $3, respectivarnente. Los costos fijos son de $17,000 por aiio y 10s costos de fabricacion de cada unidad de A, B y C son de $4, $5 y $7, respectivarnente. Para el siguiente aiio, debera fabricarse y venderse un total de 11,000 unidades de 10s tres productos y se debe obtener una utilidad total de $25,000. Si 10s costos totales deben ser de $80,000, jcuantas unidades de cada uno de 10s productos se tienen que fabricar el aiio siguiente?
30. Una ernpresa tiene plantas para fabricar escritorios en la costa este y en la costa oeste de un pais.
En su planta de la costa oriental, 10s costos fijos son de $16,000 anuales y 10s costos de fabricacion de cada escritorio son de $90. En la planta de la costa occidental, 10s costos fijos son de $20,000 anuales, y 10s costos de fabricacion de cada escritorio, de $80. Para el siguiente aiio la cornpaiiia desea fabricar un total de 800 escritorios. Deterrninar las ordenes de producci6n de cada planta para el aiio siguiente, de rnanera que 10s costos totales de cada factoria sean iguales. 31. Un medico ordena a un ~ a c i e n t etomar 10 unidades de vitarnina A, 9 unidades de vitamina D, y 19 unidades de vitarnina E, cada dia. El paciente puede elegir entre tres rnarcas de pastillas de vitarninas. La rnarca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 unidades de D y 5 unidades de E; la rnarca Y tiene 1, 3 y 4 unidades, respectivarnente; y la marca Z tiene 1 Unidad de vitamins A, ninguna de vitarnina D y 1 de vitarnina E.
a. Determine todas las combinaciones posibles de pastillas que proporcionarian exactarnente las cantidades requeridas de vitarninas. Fastilla, la S; la rnarca x cuesta un centavo Y, 6 centavos, y la Z, tres centavos, jexisten cualesquiera cornbinaciones de la parte (a) que cuesten exactarnente 15 centavos diarios? c.
jCual es la cornbinacion rnenos costosa de la parte (a)? jY la mas costosa?
-8.5 El metodo de reduccion (continuation)* Tal como se vio en la Seccion 8.4, un sistema de ecuaciones lineales puede tener una sola solucion, ninguna solucion o una cantidad infinita de ellas. En este ultimo caso la solucion general se expresa en terminos de cuando menos un parametro. Por ejemplo, la solucion general en el Ejemplo 4, se dio en terminos del parametro x,:
En ocasiones se requiere mas de un paramcr:;i, tal como se muestra en el siguiente ejemplo.
274
B
ALGEBRA DE MATRICES
EJEMPLO 1
Utilizando reduccidn de matrices, resolver
La rnatriz de coeficientes aumentada es
que equivale a la rnatriz reducida:
De donde
Por ello, la solucion general esta dada por
X3
= X;,
XJ = XJ.
en donde se requieren 10s parametros x 3 y x,. Asignando valores especificos a x 3 y x , se obtienen soluciones tambien especificas. Por ejemplo, si x , = 1 y x , = 2 , entonces la solucion especifica correspondiente es x , = -6, x , = -6, x , = 1 y x , = 2 .
Se acostumbra clasificar 10s sistemas de ecuaciones lineales colno homogineos o rzo homogeneos. La clasificacion apropiada depende de 10s terminos constantes, como se seiiala en la siguiente definition.
El sistema
8.5
275
El metodo de reduccion (continuocibn)
es un sistema homogeneo si c , = c 2 = . . . cuando rnenos una de /as c no es igual a 0.
C,
= 0. El sisterna es no homogeneo si
EJEMPLO 2 El sistema
es no homogeneo debido a1 4 que aparece en la primera ecuacion. El sistema
es homogeneo. Si el sistema homogeneo
se resolviera mediante el metodo de reduccion, la matriz aumentada se escribiria de la siguiente manera
Debe observarse que la ultima columna tiene solo ceros. Esto es caracteristico de la matriz aumentada de coeficientes de cualquier sistema homogeneo. En este caso se reduciria esta matriz utilizando operaciones elementales sobre renglones:
La ultima columna de la matriz reducida tambien esta formada solo de ceros. Esto no ocurre a1 azar. Cuando se lleva a cab0 cualquier operacion elemental sobre renglones en una matriz que tiene una columna formada solo por ceros la correspondiente columna de la matriz resultante estara formada tambikn unicamente por ceros. Por con\eniencia, normalmente se eliminara la ultima columna de un sistema homogeneo cuancio se utilice la reduccion de matrices para resolver un sistema de este tipo. Es decir. rs ~.cducir,icl sistenia n solamente la ii~~/tri,de coeficietires. Para el s i s r c ~ n n.II::,e tendria
-.Aqui, la matriz reducida, a la que se denomina rnatriz de coeficienres red:r;.;;. ::--ponde a x oy = 0 , ox+ y = o .
+
por lo que la solucion es x
=
0yy
=
0.
8
ALGEBRA DE MATRICES
Ahora se considerara la cantidad de soluciones del sistema homogeneo
Siempre aparece una solucion cuando x, = 0, x, = 0, . . . y x, = 0 ya que con estos valores cada una de las ecuaciones se satisface. Esta solucion, a la que se denomina solucion trivial, es una solucion de todo sistema homogeneo. Existe un teorema que permite determinar si un sistema homogeneo tiene una solucion unica (exclusivamente la solucicjn trivial) o una cantidad infinita de soluciones. El teorema se basa en el numero de renglones diferentes de cero que aparecen en la matriz de coeficientes del sistema es del orden m x n. Asi, si m < n y k es el numero de su totalidad por ceros. 7i~oi.c~l1rti.
Sea A la ma[l-i/ dc coeficientes redi~cidude un sistema honiogenco dc 111 ccuacioncs linealei en 11 incognitas. Si A tiene exactamentt. k 1.englo1ic.3dilerentcs de cero, eritonces k I n . Aden?as, a.
si k
b.
si k
< 1 1 , el sistema tiene una cantidad infiilitaniente grande de soluciones; =
n , el sistema tiene una solucion unica (la solucion trivial).
Si un sistema homogeneo consta de m ecuaciones en n incognitas, entonces la matriz de coeficientes del sistema es del orden m x n. Asi, si m < n y k es el numero de renglones diferentes de cero en la matriz reducida, entonces k I m y, por lo tanto, k < n. Por el teorema, el sistema puede tener una cantidad infinita de soluciones. En consecuencia, se tiene el siguiente.
Corolario. Un sistema homogeneo de ecuaciones lineales con menor cantidad de ecuaciones que de incognitas tiene una cantidad infinita de soluciones. EJEMPLO S
Determinar si el sistema x + y-2z=o, 2x+2y-4:=0 tiene solucion unica o una cantidad inji'nita de soluciones. Existen dos ecuaciones $n este sistema homogeneo y este numero es inferior a1 de incognitas (tres). Por consiguiente, por el corolario anterior, el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones. ADVERTENCIA El teorema y el corolario anteriores se aplican solo a sistemas homogeneos de ecuaciones li~ieale\. Por ejemplo, considerese el sistema
8.5
El rnetodo de reduccion (continuocion)
que consta de dos ecuaciones lineales y tres incognitas. No se puede concluir que el mismo tiene una cantidad infinita de soluciones debido a que no es homogeneo. El lector debe verificar que no tiene ninguna solucion.
EJEMPLO 4
Determinar si 10s siguientes sistemas homogeneos tienen solucion unica o una cantidad infinita de soluciones; despuks, resolver el sistema.
Reduciendo la matriz de coeficientes, se tiene
El numero de renglones diferentes de cero (2) de la matriz reducida es inferior al numero de incognitas (3) en el sistema. Por el teorema anterior, existe una cantidad infinitamente grande de soluciones. Dado que la matriz de coeficientes reducida corresponde a
la solucion puede estar dada por x =
Z
en donde
z
=
-32.
Z,
es cualquier numero real.
Reduciendo la matriz de coeficientes,
El numero de renglones diferentes de cero (2) en la matriz reducida equi\.ale a1 numero de incognitas en el sistema. Por el teorema, el sistema debe tener solusion unica, es decir, la solucion trivial x = 0, y = 0.
278
8
ALGEDRA DE MATRICES
En lox Problemas 1-8, resuelva 10s sistemas utilizando reduccidn de matrices.
Para cada uno de 10s Problemas 9-14, determine si el sistema tiene una cantidird infinira de soluciones o si riene solo la solucidn trivial. No resuelva 10s sisternos.
Rr.suelva cada uno de 10s siguientes sistemas:
-8.6
lnversas Ya se ha visto la utilidad del metodo de reduccion para efectuar la resolucion de sistemas de ecuaciones lineales. Pero de ninguna manera es el unico procedimiento que utiliza matrices. En esta seccion se analizara un metodo diferente que es aplicable a muchos sistemas de n ecuaciones lineales con n incognitas. Para introducir la tecnica general. se considera el siguiente sistema:
Se sabe por la Seccion 8.3 que tal sistema puede representarse mediante la siguiente ecuacion matricial:
ObsCrvese que la matriz 2 x 2 de la Ecuacion (I), que se denotara mediante A, es la matriz de coeficientes del sistema. Supongase que existe una matriz B, de 2 x 2,
tal que B multiplicada por A es la matriz identidad:
Si se premultiplican por B, ambos lados de la Ecuacion (1) se tiene
Por tanto, x , = pc, + qc,, x, = re, + SC,, y el sistema queda resuelto. Resumiendo este procedimiento, en primer lugar se expresa el sistema corno una ecuacion matricial de la forma AX = C. -
280
8
ALGEBRA D E MATRICES
Luego, considerando que existe una matriz B tal que BA lados de la Ecuacion (2) por B:
BAX
=
=
I, se premultiplican ambos
BC.
Simplificando,
IX X
=
=
BC, BC.
Asi, la solucion esta dada por X = BC. Este procedimiento se basa en la suposicion de que existe una matriz B tal que BA = I. Cuando existe una matriz como estas se dice que es la matriz inversa de A .
Si A y B son matrices n x n, entonces B es la matriz inxersa de A ( o bien B es la matriz inversa de A) si, y solo si, BA = I. EJEMPLO 1
B es matriz inversa de A . Si se puede probar que'B es matriz inversa de A, elltonces la inversa es unica. En consecuencia, en el Ejemplo 1 , B es la unica matriz que riene la propiedad de que BA = I. De acuerdo con la practica usual, se denota la inversa de la matriz A por A-'. Por lo tanto B = A-I y
Ahora se p u ~ d eescribir la Ecuacion (3) de la siguiente manera:
Tambien resulta cierto que A-'A = AA-'. Cuando A-I existe se dice que A es invertible (o no singular). No todas las matrices son invertibles. Por ejemplo, si
entonces
Por consiguiente, no existe matriz alguna que, cuando se multiplique por A, produzca la matriz identidad. Consecuentemente, A es no invertible. Antes de analizar un pro cedi mien:^ para obtener la inversa de una matriz invertible, se introduce el concept0 de matrices elementales. Una matriz elemental n x n es una que se obtiene a partir de la matriz identidad I n x n , mediante una operacion elemental sobre renglones. Por ello existen tres tipos basicos de matrices elementales:
Matrices elementales
1. la que se obtiene intercambiando dos renglones de I;
2. la que se obtiene multiplicando un renglon de I por un escalar diferente de cero; y
3. la que se obtiene sumando a otro renglon un multiplo del renglon I.
EJEMPLO 2 Las matrices
son elementales. E , se obtiene de la matriz identidad 3 x 3 intercambiando el segund o y el tercer renglones. E, se obtiene de la matriz identidad 2 x 2 multiplicando el primer. renglon pot. -4. E, se obtiene de la matriz identidad 2 8 2 sumando al stguntlo renglon el primero multiplicado por 3 . Suponiendo que E es una matriz elemental n x n , obtenida de I mediante cierta operacion elemental sobre 10s renglones, y que A es una matriz n x n , entonces puede demostrarse que el product0 EA es igual a la matriz que se obtiene de A nplicando a A la misma operacion elemental sobre renglones. Por ejemplo, sean
E , , E, y E, son matrices elementales. E, resulta intercambiando el primero y el segund o rengloner de I. Asimismo,
es la matriz que proviene de A intercambiando sus renglones primero y segundo. El se tiene multiplicando el segundo renglon de I por 2. De la misma manera, el producrc
282
8
ALGEBRA DE MATRICES
es la matriz que se obtiene rnultiplicando el segundo renglon de A por 2. E3 se obtiene sumando a1 primer renglon el segundo renglon de I multiplicado por -2. El producto
es la matriz que resulta de A por la misrna operacion elemental sobre 10s renglones. Si se deseara reducir la rnatriz
se podria proceder con la siguiente sucesion de etapas:
-
[A ;]
(surnando a1 segundo renglon el prirnero rnultiplicado por -2) (rnultiplicando el segundo renglon por un
4).
Corno esto irnplica operaciones elernentales con renglones, es natural utilizar matrices elernentales para reducir A . Si se prernultiplica a A por la rnatriz elemental E , =
L2
O , entonces EIA es la rnatriz que proviene de A surnandole a1 segundo ren11 glon el primero multiplicado por -2:
Premultiplicando EIA por la matriz elemental E2 se llega multiplicando por
4
el
=
['
01
se tiene la rnatriz a la que
segundo renglon de E,A:
Por tanto, se ha reducido A multiplicandola por un producto de matrices elementales. Dado que (E2E,)A = E2(ElA) = I, el producto E2El es A-'. Sin embargo, A-I = E2El = (E2E,)1 = E2(E11). De rnodo que se puede obtener A-I aplicando las mismas operaciones elernentales sobre renglones, comenzando con I, tal corno se hizo para reducir A a I.
(sumando al segundo renglon el primero multiplicado por -2)
-
[ i]
(multiplicando el segundo renglon por j).
-
Se puede verificar el resultado probando que A - ' A = I:
En resumen, para hallar A-' se aplican las mismas operaciones elementales a 10s renglones, comenzando con I, y avanzando en el mismo orden, tal como se hizo para reducir A a I. Es posible determinar en forma conveniente A-I mediante esta tecnica utili-ando el siguiente formato. En primer lugar, se escribe la siguiente matriz:
Desputs, se aplican operaciones elementales sobre renglones hasta que [A I] sea equivalente a una matriz que tenga I como sus primeras dos columnas. Las ultimas dos columnas de esta matriz seran A - ' . Asi,
Obstrvese que las dos primeras columnas de [I I A-'1 forman una matriz reducida. Puede extenderse este procedimiento para encontrar la inversa de cualquier matriz invertible n x n. Si M es una matriz de este tipo, primero se debe formar la matriz [M 1 I] de n x ( 2 n ) . Despues, deben llevarse a cab0 operaciones elementales en 10s renglones hasta que las primeras n columnas formen una matriz reducida igual a I. Las ultimas n columnas seran M-'.
Si la matriz M no se reduce a I, entonces no existe M-'.
284
8
ALGEBRA DE MATRICES
EJEMPLO 3
[i -; -:I.
Deterrninar A-' si A es invertible.
a. A =
-
10
Las primeras tres columnas de la ultima matriz forman I. Por consiguiente, A es invertible y
Las primeras dos columnas de la ultima matriz forman una matriz reducida diferente de I. Consecuentemente, A no es invertible. Ahora se resolvera un sistema utilizando la matriz inversa.
E,IEMPLO 4
Resolver cada uno de 10s sisternas hallando la inversa de la rnatriz de coeficientes.
El sistema puede expresarse en forma de ecuaci6n matricial como AX = C, en donde A es la matriz de coeficientes del sistema.
8.6
285
Inversos
Puesto que AX = C, entonces A-'AX = A-'C, de forma que la solucion -:a dada
X
=
A-~'c,
que, como se recordara, es la Ecuacion (4). Por tanto, es necesario encontrar A-'.
Por lo tanto, x ,
=
-2 y x,
=
1
La matriz de coefici~ntesdel sistema es
Del Ejemplo 3(a),
Asi, la solucion esta dada por X
En consecuencia, x ,
=
=
A-'C:
-7, x, = -17 y x 3 = -4.
Se puede demostrar que un sisterna de n ecuaciones lineales con n incognitas tiene una solucion unica si, y solo si, la rnatriz de coeficientes es invertible. De hecho, en las dos partes del ultimo ejemplo las matrices de coeficientes eran invertibles y existieron realmente soluciones unicas. Cuando la rnatriz de coeficientes no es invertible. el sisterna no tiene solucion o tiene una cantidad infinita de ellas.
286
8
ALGEBRA DE MATRICES
-
EJEMPLO 5
Resolver el sistema
La rnatriz de coeficientes es
Dado que
la rnatriz de coeficientes no es invertible. En consecuencia, no esposible resolver el sistema rnediante inversas. Debe utilizarse otro mitodo. En el Ejernplo 4(a) de la Seccion 8.5, se encontro que la solucion es x = -32, y = -z, z = z .
EJERClClOS 8.6 En cada uno de 10s Problemas 1-18, si la matriz es invertible, halle su inversa.
8.7
287
Determinontes
Para cada uno de 10s problemas 19-32, si la rnatriz de coeficientes del sistema es invertible, resuelva el sisretrla utifizando la inversa. Si no lo es, resuelva el sistema mediante el metodo de reduccidn.
En 10s Problelnas 33 y 34, evaluar ( I
-
A ) ' para la 11inrriz A dada.
35. Efectue la resolution de 10s siguientes proble-
se puede fabricar cada hora si se utilizan todas las horas disponibles de mano de obra?
mas utilizando la inversa de la matriz irnplicada. a.
Una fabrica de autornoviles produce dos rnode10s. El prirnero requiere una hora de rnano de obra para la pintura y media hora de rnano de obra para el pulido; el segundo requiere de una hora de mano de obra para cada uno de 10s dos procesos. Durante cada una de las horas que labora la linea de ensarnble, existen 100 horas de rnano de obra disponibles para pintura, y 80 horas, para pulido. iQuk cantidad de cada rnodelo
b.
Supongase que cada uno de 10s automoviles del primer tip0 requiere de 10 dispositivos y 14 rnecanismos, y que cada autornovil del segundo tip0 requiere de 7 dispositivos y 16 rnecanisrnos. La fabrica puede obtener 800 dispositivos y 1130 rnecanisrnos por hora. iCuantos autornoviles de cada rnodelo se pueden fabricar utilizando todas las partes disponibles?
8.7 Determinantes
-
Ahora se presenta una nueva funcion, la funcion deternzinante. Aqui, las entradas seran matrices cuadradds, per0 las salidas seran nurneros reales. Si A es una rnatriz cuadrada, entonces la funcion deterrninante asocia a A exactamente un nurnero real, a1 que se denonlina dererminanfe de A . Denotando el deterrninante de A por A (es dscir. utilizando barras verticales), se puede considerar la funcion determinante como Jlla correspondencia:
A
+
matriz cuadrada
IAI numero - deterrninante real de A
1
288
8
ALGEBRA DE MATRICES
En una parte posterior se analizara el uso de determinantes para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Volviendo a la forma en que se asigna un numero real a una matriz cuadrada, en primer lugar se consideran 10s casos especiales de matrices de ordenes 1 y 2. Despues se extendera la definicion a matrices de orden n.
Es decir, la funcion determinante asigna a una matriz con un solo elemento, [ a , , ]el numero a , , . Por lo tanto, si A = [ 6 ] ,entonces IAI = 6 .
Si A
=
1::
es una matriz cuadrada de orden 2, enronces
Es decir, el determinante de una matriz 2 x 2 se obtiene con el producto de 10s elementos de la diagonal principal y restandole a este el producto de 10s elementos de la otra diagonal. Se habla del determinante de una matriz 2 x 2, en tkrminos de un determinante de orden 2. EJEMPLO 1
Obtener IAl si A
=
Se tiene que
El determinante de una matriz cuadrada A de orden n(n > 2) se define de la siguiente manera. A un determinado elemento de A se le asocia la matriz cuadrada de orden n - 1 que se obtiene eliminando 10s elementos del renglon y la columna en 10s que esta el elemento dado. Por ejemplo, dada la matriz
8.7
Deterrninantes
con el elemento a,, se eliminan 10s elementos del renglon 2 y de la columna 1,
quedando la matriz de orden 2,
A1 determinante de esta matriz se le denomina menor de a,, . De forma analoga, el menor de a,, es
y para a,, es
TambiCn, a cada elemento ai, se asocia un numero determinado por el subindice del elemento:
en donde i + J es la suma del numero de renglon i y el numero de columna J en 10s cuales se encuentra el elemento. A a,, se le asocia (-I),+ = -1 , a a,, le corresponde el numero (-I),+, = 1, y a se le asocia el numero (-I),+, = -1 . El cofactor cu del elemento a!, es el product0 de (-l)'+.j y el menor de ao. Por ejemplo, el cofactor de a,, es
La unica diferencia entre un cofactor y un menor es el factor (-l)'+.j. Para encontrar el determinante de cualquier matriz cuadrada A de orden n(n > 2), se elige cualquier renglon (o columna) de A y se multiplica cada elemento de ese renglon (o columna) por su cufactor. Se define que la suma de estos productos es el determinante de A y se le denomina determinante de orden n. Enseguida se halla el deterininante de
290
8
ALGEDRA DE MATRICES
aplicando la regla anterior al primer renglon (procedimiento a1 que a veces se denomina "desarrollo sobre el primer reng16n9'). Para a,, resulta (2)(- I ) ' + '
;1
=
a12re obtiene ( - I)(- l ) l i 2 / ;
/
a,, se obtiene (3)(-
(2)(1)(5) = 10,
-;1
= ( - I)(- 1)(13) = 13,
O / = 3(1)(3)
=
9.
De donde
Si se hubiera hecho el desarrollo sobre la segunda columna, entonces
=
13
+0+
19 = 32
igual que antes
Se puede probar que el determinante de una matriz es unico y no depende del renglon o la columna que se elija para su evaluacion. En el problema anterior, es preferible el stgundo desarrollo puesto que el 0 de la columna 2 no contribuyo en nada a la suma y, por consiguiente, se simplifican 10s calculus. EJEMPLO 2 El-crhrcrr (A1 si
Desarrollando sobre el primer renglon, resulta
8.7
Determinontes
Desarrollando, por conveniencia, sobre la columna 1, se tiene
EJEMPLO 3
Evaluar
Se ha expresado ahora IA( en tCrminos de determinantes de orden 3. Desarrollando cada uno de estos sobre el primer renglon, se tiene
Con frecuencia se simplifica la evaluation de determinantes utilizando diversas propiedades, algunas de las cuales se enuncian enseguida. En todos 10s casos A denota una matriz cuadrada. 1. Si son cero todos 10s elementos de un renglon (o columna) de A , entonces IAl Consecuentemente,
=
0.
2. Si dos renglones (o columnas) de A son idknticas, J A J= 0. Por ello,
1
2 6 2 3
1
=
O.
ya que columna I = columna 3 .
3. Si A es triangular superior (o inferior) entonces I A I es igual al product0 de 10s elemea10s de la diagonal principal.
8
ALGEBRA DE MATRICES
Asi,
A partir de esta propiedad se concluye que el determinante de una matriz identidad es 1.
1. Si H es la ~iiarrizquc sc ob~icncsomando a un renglGn ( o colurnna) de A el mirlliplo dc ofro rcngltin (o columns), cnlooces JHJ J A J . En consecuencia, si
-
y B es la matriz que se obtiene de A sumandole a1 renglon 1 el renglon 3 multiplicado por -2, entonces
De acuerdo con la propiedad I, (Bj
=
0 y, por lo tanto, ( A ( = 0.
5. Si B es la matriz que se obtiene intercambiando dos renglones (o columnas) de A , entonces JAl = -1BI. Por consiguiente, si
y B se obtiene de A intercambiando 10s renglones 2 y 4, entonces
I'or la Propitdad 3, /BI
=
4, y asi, IA
=
-4.
6. Si B es la matriz que se obtiene multiplicando cada uno de 10s elementos de un renglon (o columna) de A por el mismo numero k, entonces 161 = klAl. Por ello,
En esencia, puede factorizarse cualquier numero en un renglon o una columna.
8.7
__1PJ
Detetminontes
7. El determinante del producto de dos matrices de orden n es el producto de sui d e w minantes. Es decir, lABl = IA(IB1. En consecuencia, si
entonces
EJEMPLO 4
Evaluar
Se expresa A en forma triangular superior (se dice que "se triangula"), y luego, mediante la propiedad 3, se toma el producto de la diagonal principal. 1 1 0 5 1 2 1 0 = 1 0 2 1 3 0 0 - 4
-
1 0 0 0
0 1 1 2 1 -3 0
1 1 0 1 O O 0 0
1 1 0 1 0 0 0 0
1
0 1
-19
3
-5 I -34
0 1
-5
-
-1
Eualuar 10s determinantes de los Problemas 1-6.
-5
0
(sumando a1 renglon 2 el renglon 1 multiplicado por - 1; sumando a1 renglon 4 el rengl6n 1 multiplicado por -3)
(sumando a1 renglbn 3 el rengldn 2 multiplicado por -2; sumando a1 renglon 4 el renglon 2 multiplicado par 3)
5 11 -1
(sumando a1 renglon 4 el renglon 3 multiplicado par 3)
7. El determinante del producto de dos matrices de orden n es el producto de sur determinantes. EP decir, JAB/ = J A J J B J . En consecuencia, si
entonces
EJEMPLO 4
Evaluar
Se expresa A en forma triangular superior (se dice que "se triangula"), y luego, mediante la propiedad 3, se toma el producto de la diagonal principal.
5 1 1 0 1 1 2 1 0 -- 0 0 2 1 1 0 3 0 0 - 4 0 1 -- 0 0 0
-
1
0 1 1 2 1 -3 0
" C
-5 -19
1 1 0 0
1 - 5 -1 I 3 -34
1 1 0 1 0 o 0 0
0 5 1 -5 - 1 11 0 - I
0
EJERClClOS 8.7 Evaluar 10s deierminanies de 10s Problemas 1-6.
(sumando a1 renglon 2 el renglon 1 multiplicado por - 1; sumando a1 renglon 4 el renglon 1 rnultiplicado por -3) (sumando a1 renglon 3 el renglOn 2 multiplicado por -2; sumando a1 renglon 4 el rengldn 2 rnultiplicado por 3)
(sumando a1 renglon 4 el renglon 3 multiplicado por 3)
294
8 ALGEBRA DE MATRICES
E n 10s Problen~as7 y 8, evaluar /as expresiones dadas.
En 10s problemas 10-13, si A
10.
El menor de a , , .
14. Si A
-
[:
11.
4
n I1
5
6 , determine cada expresion.
El menor de a,,.
[u,J e j 50 x 50, p el Inenol de a,,
Eli 10s Probletnas 15- 18, d e c ~ d e-upresidn c~
15. El menor de a,,.
I*! -4
28.
a
$ 4
4
-2 11
16.
12.
El cofactor de a,,.
,. e5 igual a 20, ;cuBnto
1; u3 I
El menor de a,.
a12 a13
El cofactor de a,,.
bale el cofactor de a,, ,,'!
u14
2:
a33 a::
a241 a34 '
a42
a43
ad4
17.
13.
El cofactor de a , , .
18.
El cofactor de a,,.
8.8
Reglo de Cromer
37. Si A es de orden 4 x 4 y [A( = 12, jcuPl
es el valor del determinante que se obtiene multiplicand~cada uno de 10s elementos de A por 2?
-8.8 Regla de Cramer Se pueden aplicar 10s determinantes para resolver sistemas de n ecuaciones lineales con n incognitas. De hecho, el estudio de 10s determinantes se origin6 en el analisis de sistemas de este tipo. Aunque el mCtodo de reduccion es mas practico para sistemas que implican cantidades grandes de incognitas, el metodo de solucion por determinantes es lo suficientemente interesante para justificar cierta atencion, y tambien permite despejar una incognita sin tener que hallar las demas. En primer lugar se considera un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas. Despues se extienden 10s resultados para incluir casos mas generales. Resolver el sistema
: ; : 1 ::1
Para encontrar una formula explicita para x, se considera
(propiedad 6 de la Seccion 8.7) (sumando a la columna 1 la columna 2 multiplicada por y) [de la Ecuacibn (I)]. Por tanto,
por lo que
296
a
ALGEDRA DE MATRICES
A fin de hallar una f6rrnula para y , se considera y
/a21 az2/.
(propiedad 6 de la Seccion 8.7)
(sumando a la colurnna 2 la colurnna 1 multiplicada por x) [de la Ecuacion (I)]. Por lo tanto
y asi
Obsirvese que en las Ecuaciones (2) y (3) 10s denorninadores son iguales, y son el determinante de la matriz de coeficientes del sistema dado. Para evaluar x, el numerador de la Ecuacion (2) es el deterrninante de la matriz que se obtiene reemplazando la "colurnna de x" (es decir, la colurnna 1) de la matriz de coeficientes, por la colurnna de constantes c,. De rnanera similar, el numerador de la Ecuacion (3) es el determinante de la matriz que se obtiene a partir de la matriz de coeficientes cuando se reemplaza la "columna de y" (es decir, colurnna 2) por c , . Dado que el determinante de la rnatriz de coeficientes no es cero, el sistema original tendra una solucion unica. Sin embargo, si este determinante es cero, el procedimiento no es aplicable y el sistema puede tener o ninguna solucion o una cantidad infinita de ellas. En estos casos se deben utilizar 10s mitodos analizados antes para resolver el sistema. Se ilustraran 10s resultados anteriores resolviendo el siguiente sistema:
En primer lugar, se escribe en forma apropiada el sistema:
El determillante A de la matriz de coeficientes es
8.8
297
Reglo de Cromer
Como A # 0 , exlste una solucion unica. Despejando el valor de x , se tiene
Obteniendo el valor de y,
Y =
A
- -
5
'
Por lo tanto, la solucion es x = - 9 y y = Y . Se puede extender el metodo antes descrito a sistemas de n ecuaciones lineales con n incognitas, y se le denomina regla de Cramer.
Regla de Cramer Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas
Si el determinante A de la matriz de coeficientes A es diferente de 0 , entonces el sistema tiene una solucion ~inica.Ademas, la solucion esta dada por
en donde A,, el numerador de x k , es el determinante de la matriz que se obtiene reemplazando la k-esima columna de A por la colurnna de constantes. EJEMPLO 1
Resolver el siguiente sistema tnediante la regla de Cramer.
El determinante de la matriz de coeficientes es
298
8
ALGEBRA DE MATRICES
En virtud de que A # 0, existe una solucion unica. Despcjando x, r e s ~ ~ l t a
De mod0 semejante, 2 0 4 2 2 0 Y =
1 2 -3
-
A
-16 - 2, -8
Lasolucionesx = - 4 , y = 2 y z = -1. EJEMPLO 2 Resolvh el siguiente sistema para obtene;. el valor de
z, mediante la regla de Cramer.
Se tiene que 1 1 A = 0 3
1 2 2 0
1 0 -5 1 0 -- 0 0 1 1 0 0 - 4
1 1 0 0
-0 5 1 - 5 = 1. -1 11 0 - 1
Aqui, se llevo la matriz original a una forma triangular superior y se determino el producto de 10s elementos de la diagonal principal (Seccion 8.7, Ejemplo 4). Analogamente
Por consiguiente z = A,/A.=
-98/1 = -98.
Resuelva cada uno de 10s siguientes sistemas. Si es posible, utilice la regla de Cramer.
8.9
16.
[
lnversos utilizondo :a odjunto
299
x - z = 14, y z = 21, x - y + z = -10.
+
En 10s Problemas 17 y 18, utilice la regla de Cramer para despejar las incognitas que se seiialan.
19. Demuestre que la regla de Cramer no es aplicable a
pero que, por consideraciones geometricas, no existe ninguna solucion.
8.9 lnversas utilizando la adjunta
-
Se pueden utilizar determinantes y cofactores para obtener la inversa de una matriz, si existe. Para comenzar, se requiere de la nocion de trunspuesto de ulia m a ~ r i ~ .
La transpuesta de una matriz A m x n, que se denota por AT, es la matriz n x m cuyo i-Psimo renglon es la i-Psima columna de A.
EJEMPLO 1
La columna 1 de A se convierte en el renglon 1 de AT, la columna 2 se con\;lpne en el renglon 2, y la colurnna 3 se convierte en el renglon 3. Por consiguiente.
300
8
ALGEDRA DE MATRICES
La adjunta de una matriz cuadrada A, denotada por adj A, es la transpuesta de la matriz que se obtiene reemplazando cada elemento a,, de A, por su cofactor cV Es decir, es la transpuesta de la matriz de cofactores [c;,].
EJEMPLO 2
En prjmer lugar, se obtiene el cofactor cU de cada uno de 10s elementos a,, de A.
-5/ 1
=
(1)(5)
Consecuentemente, la matriz de cofactores [cV]es
=
5.
8.9
lnversos utilizando lo adjunto
La adjunta es
Se puede demostrar que si 1.41 Z 0, entonces A - ' existe y
r
EJEMPLO 3
si A =
[I i i], -
-
determine A-I.
Se encuentra que
Por ello, existe A-'. TambiCn, del Ejemplo 2,
5 adj A = Asi,
A-'
Debe verificarse que A-'A
EJEMPLO 4
Determine A-' si A
=
=
1
= - adj
IAl
I.
[{ -: -:dl.
A
4
I:
En primer lugar se obtienen 10s cofactores de A.
Dado que la inversa de A implica ( A ( ,se calcula ; A / .Ya se tienen 10s cofactores, de modo que se halla ( A ( ,desarrollando sobre el primer renglbn. La matriz de cofactores es
y la adjunta, [cijIT:
En consecuencia
8.9
303
lnversos utilizondo lo oojunto
TambiCn en el Ejemplo 3(a) de la Seccion 8.6, se obtuvo este mismo resultado mediante el procedimiento de reduccion. EJEMPLO 5
Deterrninar A - ' si A
=
-ra
'
Dado que (A( = (*)(%I - (-$I( - A) = ?% f 0 , A - existe. Los cofactores son (las barras verticales denotan determinantes y no valor absoluto): I
I
C2,
= ( - 1131-
- I3
213
- 1
$1
=
5,
A
-
3
= ( - 1 1 ~ 1 - lo - ii3,
C22
= ( - 1)~141= Q .
La matriz de cofactores es
y la adjunta es
[x 11. 13
adj A = lcJT
I
C12
=
Por lo tanto,
En 10s Problemas 1-12. utilice las adjuntas para obtener las inversas.
----
-
I$98
-
304
-
8
ALGEBRA DE MATRICES
8.10 Analisis de insumo-production (O insumo-producto) Las matrices de insumo-produccion o insumo-producto, desarrolladas por Wassily W. Leontief* de Harvard, sefialan las interrelaciones de oferta y demanda que existen entre 10s diversos sectores de una economia durante cierto periodo. Se utiliza la frase "insumo-produccion" porque las matrices muestran 10s valores de la produccion de cada industria que se vende como insumo a cada una de las industrias de la economia y para uso final por parte de 10s consumidores. En la matriz de insumo-produccion que aparece enseguida se muestra un ejemplo hipotetico de una economia simplificada. en la que solo participan dos industrias. Antes de explicar la matriz, es necesario decir que se puede considerar que 10s sectores industriales son manufacturas, siderurgia (acero), agricultura, mineria (carbon), etc. El sector de otros factores de produccion esta formado por 10s costos en 10s que incurren las industrias respectivas, tales como mano de obra, utilidades, etc. El sector demanda final podria ser el consumo en 10s hogares, el gobierno, etcetera.
i
Consumidores (insumos)
b Fabricantes (produccion) : Industria A Industria B Otros factores de produccion
Totales
Industria Industria Demanda B final A ,-, , , ,.
[ii:
i:
1200 1500
- _ - - - - - - - - - - J
600 1200
800 1500
Totales
-
Cada una de las industrias aparece en un renglon y en una columna. En el renglon se muestran las compras que cada sector industrial hace de la produccion de cada industria y las compras que hacen 10s consumidores para uso final (de aqui el terminc "demanda final"). Los registros representan el valor de 10s productos y pueden estar dados en unidades de millones de unidades monetarias de producto. Por ejemplo, del total de la produccion de la industria A, 240 unidades sirvieron de insumo a la mismr industria A (para su uso interno), 500 pasaron a la industria B, y 460 llegaron en forma directa al sector de demanda final. La produccion total de A es la suma de la demanda industrial y de la demanda final (240 + 500 + 460 = 1200). Cada columna de industria da el valor de lo que esa industria adquirio para insumo de cada una de las otras, y tambien lo que se invirtio en otros costos. Por ejemplo, con el objeto de fabricar 1200 unidades, A adquirio 240 unidades de produccion, 360 unidades de la produccion de B, e incurrio en otros costos, como mano de obra, por 600 unidades. * Leontief recibio en 1973 el Premio Nobel de Economia por el desarrollo del metodo de "insumo-produccion" y sus aplicaciones a problemas economicos.
8.10
305
Andlisis de insumo-produccion (o insumo-pfoducto)
ObsCrvese que para cada industria, la suma de 10s registros o anotaciones en su renglon es igual a la suma de las anotaciones en su columna. Es decir, el valor total de la produccion de A es igual a1 valor de 10s insumos totales de A. El analisis de insumo-produccion permite estimar la produccion total de cada sector industrial si existe un cambio en la demanda final, todo esto en el caso de que la estructura basica de la economiapermanezca igual. Esta importante suposicion significa que, para cada industria, debe permanecer fija la cantidad invertida en cada uno de 10s insumos por cada unidad monetaria invertida. Por ejemplo, a1 fabricar productos por 1200 unidades, la industria A adquiere 240 de sus propias unidades, 360 unidades de la industria B, e invierte 600 unidades en otros costos. Por consiguiente, por cada unidad monetaria de produccion, la industria A invierte = 4 ( = $0.20) en si misma, = & ( = $0.30) en B y %& = 4 ( = $0.50) en otros costos. Combinando estas proporciones fijas de la industria A con las de la industria B, se pueden obtener 10s requisitos de insumo, por unidad monetaria de produccion para cada industria.
a
Los elementos de la matriz se denominan coeficientes de insumo-produccidn. La suma de cada columna es 1. Ahora bien, supongase que el valor final de la demanda cambia de 460 a 500 para la industria A, y de 940 a 1200 para la industria B. Se desearia estimar el valor de la produccion total que deben producir A y B para que ambas industrias y la demanda final satisfagan esta meta, suponiendo que la estructura de la matriz precedente permanece igual. Sean X , y X,, 10s nuevos valores de las producciones totales de las industrias A y B, respectivamente. Puesto que valor total de la produccion de A
=
se tiene que De manera similar, En notacion matricial,
Sean
valor de valor de lo consumido + lo consumido por A por B
XA = &XA+
aB+ 500.
xB= &aA 4- &aB + 1200.
valor de lo
+ consumido por la demanda final
306
8
ALGEBRA DE MATRICES
A X se le denomina matriz de producci6n, a A, matriz de coeficientes; y a C, matriz
de demanda final. De la Ecuacion (I),
X
=
AX
+ C,
X - AX = C. Si I es la matriz identidad 2
x 2, entonces IX - AX = C,
(I
-
A)X
=
C.
Si existe (I - A ) - ' , entonces
A la matriz I - A se le denomina rnatriz de Leontief. Ahora bien,
Del Ejemplo 5 de la Seccion 8.9,
Consecuentemente, la matriz de produccion es
Por ello, para alcanzar la meta la industria A debe fabricar 1404.49 unidades de valor y la industria B debe fabricar 1870.79. Si interesara el valor de 10s otros factores de produccion para A , por ejemplo PA, entonces
EJEMPLO 1
Dada la matriz de insurno-produccidn que aparece enseguida, supongase que la dernanda final cambia a 77 para A, a 154 para B y a 231 para C. Deterrninar la rnatriz de produccidn para la econornia. (Las anotaciones e,stdn en rnillones de unidades rnonetarias).
8.1 0
Analisis de insumo-ptoduccion (o insumo-ptoducto)
Industria A
B
~~~~~d~
c
final
En forma separada se anotan 10s datos de 10s primeros tres renglones. El valor total de la produccion para las industrias A, B y C, es 600, 360 y 480, respectivamente. Para obtener la matriz de coeficientes se dividen 10s datos que aparecen en cada una de las columnas de industria entre el valor total de la produccion de esa industria.
[[:: M Z] 144
A = m &3 0 0 & = & 120 72 600 360 %
[ 4 $1, 5
5
10
De modo que, si I es la matriz identidad de 3 x 3,
Se evalua (I - A ) ~ utilizando ~' la adjunta. Calculando 10s cofactores, se tiene que
En este punto puede evaluarse ) I - A1 sobre el renglon 1 utilizando cofactores.
Luego se obtiene
En consecuencia,
De donde
1. Dada la matriz de insumo-producci6n que aparece enseguida, determine la matriz de produccion si la demanda final cambia a 600 para A y a 805 para B. Obtenga el valor total de 10s otros costos de produccj6n que ello implica.
3. Dada la matriz de insumo-produccion 4-s m rece enseguida, halle la matriz de produccior. i . -i jcmanda final cambia a (a) 50 para A, 40 para 5 3 para C ; (b) 10 para A, 10 para B Y 24 p a r i Industria A
Industria A B
~~~~~d~ final
2- Dada la matriz de insumo-~roduccionque aParece enseguida, determine la matriz de producci6n si la demanda final cambia a (a) 200 para A y 300 para B; (b) 64 para A y 64 para B.
4. Dada la matriz de insumo-produccion q-.r rece enseguida, obtenga la rnatriz de produ;,-Jm demands final cambia a 300 para A , 20C, ;kl 400 para C. Industria
-lndustria A
Demands final
A Industria: A
Otros
Demands final
r100
400
240
D~~~~ fini
:
26il
-
I
Demands
Industria
B
A
c
final
En f o r n ~ aseparada se anotan 10s datos de 10s primeros tres renglones. El valor total de la produccion para las industrias A, B y C, es 600, 360 y 480, respectivamente. Para obtener la matriz de coeficientes se dividen 10s datos que aparecen en cada una de las columnas de industria entre el valor total de la produccion de esa industria.
De mod0 que, si 1 es la matriz identidad de 3 x 3,
Se evalua (1 - A)--' utilizando la adjunta. Calculando 10s cofactores, se tiene que
En este punto puede evaluarse J I - A ( sobre el renglon I utilizando cofactores. 11 - A = 2%) - ( ) A ( - 77 10 50) - m. Luego se obtiene q1= ( - I ) * + ]
I-; I -2
-10
I-; - t i
c23 = ( - 1)2+3
5
-2
=
51 100.
11 - - 50'
308
8
ALGEBRA DE MATRICES
En consecuencia,
D e donde
1. Dada la matriz de insumo-produccion que aparece enseguida, determine la matriz de produccion si la demanda final cambia a 600 para A y a 805 para B. Obtenga el valor total de 10s otros costos de produccion que ello implica.
3. Dada la matriz de insumo-producci6n que aparece enseguida, halle la matriz de produccion si la demanda final cambia a (a) 50 para A, 40 para B y 30 para C ; (b) 10 Para A, 10 Para B Y 24 Para C .
lndustria
Demands final
A Industria A B Industria: A B Otros
200 [400
500 200
------600
~~~~~d~ final
:
500
1
]
18 30 1 7 30 54 40
45 60 60
20
15
Otros
9
1
,
15
2i
]
-
800
2. Dada la matriz de insumo-produccion que sparece enseguida, determine la matriz de producci6n si la demanda final cambia a (a) 200 para A y 300 para B; (b) 64 para A y 64 para B. Industria Demands A
Industria: A B C
final
4. Dada la matriz de insumo-produccion que aparece enseguida, obtenga la matriz de producci6n si , la demanda final cambia a 300 para A, 200 para
400 para C .
Industria A
B
C
Demanda final
Seccion 8.1
matriz orden matriz columna matriz cuadrada
Seccion 8.2
multiplicacion por un escalar
Seccion 8.3
multiplicacion de matrices
Seccion 8.4
matriz de coeficientes matriz de coeficientes aumentada operacion elemental sobre renglones matrices equivalentes matriz reducida parametro
Seccion 8.5
sistema homogeneo
Seccion 8.6
matriz inversa
Seccion 8.7
determinante de una matriz
Seccion 8.8
regla de Cramer
Seccion 8.9
transpuesta de una matriz, A T
Seccion 8.10
matriz de insumo.-production
RESUMEN
e!emento a,. [au] rnatrizrenglon igualdad de matricLs matriz cero, 0 diagonal principal matriz triangular superior (inferior) adicion y sustraccion de matrices matriz identidad, I
sistema no hornogeneo matriz invertible (no singular)
solucion trivial matriz elemental
menor de un elemento
cofactor de un elemento
adjunta de una matriz, adj A
.
- -, -
-.
Una matriz es un arreglo rectangular de numeros puesto entre corchetes. Tres tipos especiales de matrices son la matriz 0,la matriz cuadrada y la matriz identidad I. Ademas de la operaci6n bisica de multiplicacion por un escalar, existen las operaciones de adicion y sustraccion de matrices que se aplican a matrices que tienen el misrno orden. El product0 AB esta definido cuando el numero de columnas de A es igual a1 nlimero de renglones de B. Aun cuando la adicion de matrices es conmutativa, la multiplicacion no lo es. Utilizando multiplication de matrices, se puede expresar un sistema de ecuaciones lineales en forma de la ecuaci6n matricial AX = C. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solucion unica, ninguna solucion, o una cantidad infinita de ellas- Tres metodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales son: (1) Mediante las tres operaciones elementales sobre renglones, (2) por medio de la matriz inversa y (3) por determinantes. El primer metodo requiere aplicar operaciones elementales sobre renglones a la matriz de coeficientes aumentada del sistema hasta obtener una matriz reducida equivalente. La matriz reducida representa de manera evidente la solucion (o soluciones) para el sistema (suponiendo que existen soluciones). Si existe una cantidad infinita de soluciones, la solucion general implica cuando menos un parametro. El segundo metodo para resolver sistemas de ecuaciones lineales implica la utilization de inversas. La inversa (si existe) de una matriz cuadrada A es la matriz A-I, tal que A-'A = I. Si A es invertible, se puede obtener A-I aumentando A con I y aplicando operaciones elementales sobre renglones hasta que A se reduce a I. E! resultado de aplicar las mismas operaciones elementales sobre renglones a I es A-'. Es posible utilizar la inversa de una matriz para resolver un sistema de n ecuaciones con n incognitas, dado que AX = C, suponiendo que la matriz de coeficientes A es invertible. La solucion unica esta dada por X = A-'C. Si A no es invertible, el sistema no tiene ninguna solucion o tiene una cantidad infinita de ellas. El tercer metodo para resolver sistemas de ecuaciones lineales implica la utilizaci6n de determinantes y se conoce como la regla de Cramer. Se aplica a sistemas de n ecuaciones con n incognitas cuando el determinante de la matriz de coeficientes es diferente de cero. Se emplean deterrninantes y adjuntas para obtener la inversa de la matriz. Si (A # 0,entonces existe -4.: y 1 A-' = adj A.
31 0
8
ALGEDRA DE MATRICES
La aplicacion final de las matrices se refirio a las relaciones que existen entre 10s diversos sectores de una economia y se conoce como analisis de inscmo-produccihn.
PRODLEMAS DE REPASO
-
Si;nplifique en 10s Problemas 1-6.
Eti 10s Problemas 7 y 8, determine 10s valores de x y y.
En 10s Problemas 9-12, reduzca las matrices dadas.
En 10s Problemas 13-16, resuelva cada uno de 10s sistemas mediante el metodo de reduccidn.
~n 10s Problemas 17-20, determine /as inversas de /as matrices mediante reduccidn.
En 10s Problemas 21 y 22, resuelva 10s sistemas dados obteniendo la inversa de la matriz de coeficientes.
8.1 1
.
Reposo
En 10s Problemas 23-28, evalue 10s determinantes.
Resuelva 10s sistemas de 10s Problemas 29 y 30 utilizando la regla de Cramer.
En 10s Problemas 31 y 32, utilice la adjunta para hallar la inversa de cada matriz.
33. Dada la matriz de insurno-production que aparece enseguida, obtenga la rnatriz de produccion si la demanda final cambia a 2 para A y a 2 para B. (Los datos estan en decenas de millares de millones de dolares.) Industria A
Industria: A
I3 Otros
B
0 2 - - - - -o2
~~~~~d~ final
2
1 -
1
_I
3 -
]
Los requisitos de administration de insulina como un proceso lineal* Un albergue u hotel ubicado en las montaiias del estado de Washington (en Estados Unidos) tiene una muy merecida fama de atender las necesidades especiales de cuidado de la salud de sus huespedes. El gerente del hotel espera cuatro hukspedes para la semana proxima; 10s cuatro padecen diabetes y dependen de la insulina. Estos huespedes tienen planes para permanecer en el hotel 7, 14, 21 y 28 dias respectivamente. El hotel esta un tanto lejos de la farmacia mas cercana, por lo que el administrador planea obtener toda la insulina necesaria antes de la llegada de 10s huespedes. Se requieren tres tipos de insulina: lenta, semilenta y ultralenta. El administrador almacerara la insulina y el personal del hotel proporcionara las dosis diarias de 10s tres tipos de insulina a cada uno de 10s huespedes. Los requisitos diarios pars cada huesped son: HuCsped 1:
20 unidades (u.) de insulina semilenta, 30 (u.) de lenta y 10 (u.) de ultralenta;
HuCsped 2:
40 (u.) de insulina semilenta, 0 (u.) de lenta y 0 (u.) de ultralenta;
Huesped 3:
30 (u.) de insulina semilenta, 10 (u.) de lenta y 30 (u.) de ultralenta;
Huesped 4:
10 (u.) de insulina semilenta, 10 (u.) de lenta y 50 (u.) de ultralenta.
Esta informacion se representa mediante la siguiente matriz A de "requisitos":
A
=
[a,,],
,
HuCsped 1 insulina semilenta insulina lenta insulina ultralenta
en donde A esta dada por HuCsped 2
Huesped 3
HuCsped 4
Los requisiros de odminisrrocion. .
31 3
..
Recuerdese que el Huesped 1 perrnanecera 7 dias; el huesped 2, 14 dias, el Huesped 3. 21 diai: ! el Huesped 4, 28 dias. Se puede utilizar la siguiente matriz colurnna T para representar el tiernpn.
en dias, que cada huesped perrnanecera en el hotel:
Para determinar 10s montos totales de 10s diferentes tipos de insulina que 10s cuatro huespedes requieren se calcula la matriz product0 AT.
La rnatriz B (o AT) indica que se requieren, para 10s cuatro un total de 1,610 unidades (u.) de insulina sernilenta, 700 (u.) de insulina lenta y 2,100 (u.) de ultralenta. Ahora se carnbiara un poco el problerna. Supongase que cada huesped decide duplicar la duracion original de su estancia. La matriz resultante que da la cantidad total de insulina sernilenta, lenta y ultralenta es A(2T) = 2(AT)
=
2B =
De hecho, si cada huesped tuviera intencion de quedarse en el hotel durante un rn~iltiplok(k r 0) del tiernpo original (es decir, que el Huesped 1 pensara quedarse k . 7 dias; el Huesped 2, k . 14 dias, etcetera), entonces 10s requisitos de insulina serian A.(kT) = k(AT) = kB =
i: 3 k.700
.
De manera similar, si 10s huespedes decidieran afiadir 1 , 3 , 4 y 6 dias a 10s tiempos originalrnente planeados, entonces las cantidades de insulina que se requeririan serian
Con base en 10s resultados obtenidos hasta aqui, resulta evidente que la ecuacion rnatricial siguiente es una generalizacibn del caso.
31 4
8
ALGEBRA DE MATRICES
o bien
que representa al sistema de ecuaciones lineales 20x1 + 40x2
30x3 + lox4 = b , , 10x3 + lox4 = b2, 30x3 + 50x4 = b3,
+ +
+
en donde x, es el numero de dias que el Huesped i permanecera en el hotel y b , , b2,6, d a n , respectivamente, el numero total d e unidades de insulina semilenta, lenta y ultralenta que cada uno de 10s hubpedes necesita para todo su tiempo d e estancia. Finalmente, supongase d e nuevo que la matriz T representa el numero d e dias que cada huesped planeaba quedarse en el albergue originalmente. Supongase, ademas, que la matriz C d a el costo (en centavos de dolar, d ) por unidad d e cada uno de 10s tres tipos d e insulina, en donde C =
[,!I
=
matriz. d e costos
Es decir, una unidad de semilenta cuesta 9 d, una unidad de lenta cuesta 8 d , y una unidad de ultralenta, 10 d . Entonces, la cantidad total que el hotel paga por toda la insulina que 10s cuatro huespedes requieren es
C ~ ( A T )= C ~ B= [9 8
101
es decir, 41,090 d, o sea $410.90.
I . Supongase que el Huesped 1 perrnanecera en el hotel 7 dias; el Huesped 2, 10 dias; el Huesped 3 , 7 dias, y el Huesped 3, 5 dias. Supongase tambien que 10s requisites diarios y la matriz de costos son 10s mismos que antes. Determine la cantidad total (en dolares) que debe pagar el hotel por toda la insulina que requieren 10s huespedes.
2. Supongase ademas que el Huesped 1 estara en el hotel 4 dias; el Huesped 2, durante 7 dias, y el Huesped 3 durante 10dias. El Huesped 4 cambia de planes y no se hospedara en el hotel. Supongase que 10s requisitos diarios de 10s tres huispedes y la matriz de costos son 10s mismos que antes. Determine la cantidad total (en d6lares) que el hotel debe pagar por toda la insulina que requieren 10s huespedes.
t
CAPITULO
9
1
'
,
,
;:'<
Proqramdcin lineal ,
"
J'
I
, I
1
,
I
7 L ,
t
*%
.
' ,
' I
+
-9.1 Desigualdades lineales con dos variables Supongase que un consumidor obtiene ingresos fijos de $60 por semana y 10s utiliza en su totalidad para adquirir 10s productos A y B. Si x kilogramos de A cuestan $2 por kilogramo y y kilogramos de B cuestan $3 por kilogramo, entonces las posibles combinaciones de A y B que se pueden adquirir deben satisfacer la ecuacion presupuestal del consumidor 2.1. + 3~ = 60, en don& .Y, y 2 0. La solucion se representa mediante la linea depresupuesto de la Figura 9.1. Por ejemplo, si se compran 15 kilogramos de A con un costo total de $30, entonces se deben adquirir 10 kilogramos de B, a un costo total de $30. Por ello, (15, 10) queda sobre la recta. Por otro lado, supongase que el consumidor no desea invertir necesariamente la totalidad de sus ingresos. En este caso, las posibles combinaciones quedan descritas mediante la siguiente desigualdad:
2.u
+
31
5
60, en donde
I. y 2
0.
(1)
A1 analizar las desigualdades con una variable en el Capitulo 3, se representaron sus soluciones en forma geometrica mediante intervalos sobre la recta de 10s numeros reales. Sin embargo, para una desigualdad con dos variables, tal como la desigualdad
(x, y)
FIGURA 9.1
2x
+ 3 y = 60
(x, y
2 0)
(I), es comun representar la solucion mediante una regidn del plano coordenado. Se procedera a determinar la region que corresponde a la desigualdad (1) despues de considerar ese tipo de desigualdades en general.
Una desigualdad lineal en las variables x y y es una desigualdad que puede escribirse de la siguiente forma ax
+
bv
+ c<0
( o bien
5
0,
2
0, > O),
en donde a, b y c son constantes y a y b no son cero. En terminos geometricos, la solucion de una desigualdad lineal en x y y consiste en todos 10s puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad. En particular, la grafica de una recta y = mx + b no vertical divide el plano en tres partes distintas (vease la Figura 9.2):
FlGUfU 9.2
1. la recta misma, que consiste en todos 10s puntos (x, y) cuyas coordenadas satisfacen, y = mx + b;
2. la region que se encuentra por encima de la recta, y que consiste en todos 10s puntos (x, y) que satisfacen y > mx + b;
3. la region que se encuentra por debajo de la recta, y que consta de todos 10s puntos (x, y) que satisfacen y < mx + b . Para una recta vertical x = a, se habla de las regiones que se encuentran a su derecha (x > a) o a su izquierda (x < a) (vease la Figura 9.3).
FlGUfU 9.3
9.1
31 7
Desigualdades lineales con dos variables
Para aplicar estos datos, se resolvera 2x + y < 5. En primer lugar, se traza la recta correspondiente 2x + y = 5, marcando dos puntos de ella, por ejemplo las intersecciones con 10s ejes ( $ , 0) y (0,5), Figura 9.4. Escribiendo la desigualdad en la forma equivalente y < 5 - 2 , se concluye del punto (3) anterior que la solucion consiste en todos 10s puntos que se encuentran por debajo de la recta. Una parte de esta region aparece sombreada en el diagrama. Por consiguiente, si (xo, yo) es cualquier punto de esta region, entonces su ordenada y o es menor que el numero 5 - 2x, (Figura 9.5). Por ejemplo, (-2, -1) se encuentra en esa region y se cumple que -1 < 5 - 2(-2). Si se hubiera requerido que y I 5 - 2x, la recta y = 5 - 2x hubiera sido incluida tambien en la solucion, como se indica mediante la recta continua de la Figura 9.6. En lo sucesivo, se adoptan las convenciones de que las rectas de trazo lleno se incluyen en la solucion y las rectas punteadas no se incluyen.
FIGURA 9.5
FIGURA 9.4
FIGURA 9.6
EJEMPLO 1 a. Determinar la region descrita por y I 5.
Puesto que x no aparece, se supone que la desigualdad es cierta para cualquier valor de x. La solucion consiste en la recta y = 5 y la region que se encuentra por debajo de ella (vease la Figura 9.7), debido a que la coordenada y de cada uno de 10s puntos de esa region es inferior a 5.
FIGURA 9.7
b. Resolver 2(2x - y)
< 2(x + y) - 4.
La desigualdad es equivalente a
En el ultimo paso se dividieron ambos miembros entre -4 y se invirtio el sentido de la desigualdad. Ahora se traza la recta y = (x/2) + 1, observando que sus intersecciones con 10s ejes son (0, 1) y (-2, 0). Despues se sombrea la region que esta por encima de ella (vCase la Figura 9.8). Cada uno de 10s puntos de esta region es una solucion.
La solucion de un sistema de desigualdades consiste en todos 10s puntos cuyas coordenadas satisfacen simultaneamente todas las desigualdades dadas. En terminos geometricos, es la region comun a todas las regiones determinadas por cada una de las desigualdades. Por ejemplo, resuklvase el siguiente sistema:
Este sistema es equivalente a
ObsCrvese que se ha escrito cada desigualdad de manera que y queda despejada. En consecuencia, las regiones apropiadas con respecto a las rectas correspondientes resultaran evidentes. En primer lugar se trazan las rectas y = -2x + 3 , y = x y y = 1 y despuks se sombrea la region que se encuentra simultaneamente por encima de la primera recta, sobre o por debajo de la segunda de ellas y por encima de la tercera (vCase la Figura 9.9). Esta region es la solucion. A1 trazar las rectas, lo mejor es usar linea punteada en todos 10s casos hasta que resulte evidente quC porciones de ellas se deben incluir en la solucion.
9.1
Desigualdades lineoles con dos variables
FIGURA 9.9
EJEMPLO 2
Resolver el sistema - 2 x t 10, La solucion consiste en todos 10s puntos que se encuentran a1 mismo tiempo sobre o por encima de la recta y = -2x t 10 y sobre o por encima de la recta y = x - 2. Esta es la region sombreada en la Figura 9.10.
EJEMPLO 3
Hallar la region descrita por
Este sistema relaciona la desigualdad (1) del analisis de las lineas de presupuesto que se present6 a1 principio de esta seccion. Las 6ltimas dos desigualdades restringen la soluci6n a los puntos que estan sobre o a la derecha del eje y, asi como tarnbien sobre
o por encima del eje x . La region que se desea es la que aparece sombreada en la Figura 9.11.
En 10s Problemas 1-24, eshoce la region descrita por las desigualdades.
Si un consumidor no desea gastar mas de P unidades monetarias (u.m.) en la compra de cantidades x y y de dos productos que tienen precios p y p u. m. por unidad, respectivamente, entonces p ,x + p IP en donde x, y 2 0. En 10s Problemas 25 y 26, obtenga geomktricarnente las posibles combinaciones de compras, determinando la solucion de este sisteina para 10s valores dados de p p , y P.
, ,
,
27. Si un fabricante desea cornprar un total de no mas de 100 libras del product0 Z de 10s proveedores A y B, plantear un sistema de desigualdades que des-
criba las combinaciones posibles de las cantidades que se pueden cornprar con cada proveedor. Grafique la solucion en un plano.
9.2
321
Progromocion lineal
-9.2 Programacion lineal En ocasiones se desea rnaxirnizar o rninimizar una funcion sujeta a ciertas restrict-ror;c.s. Por ejernplo, un fabricante quiza desee rnaxirnizar una funcion de utilidad sujeta a r z i tricciones de production irnpuestas por lirnitaciones en el uso de la rnaquinaria y la mano de obra. Ahora se considerara la forrna en que pueden resolverse problernas de este tipn cuando es lineal la funcion que se desea rnaxirnizar o rninirnizar. Una funcion lineal en x y y tiene la forrna
en donde a y b son constantes. Tarnbien se requerira que las restricciones correspondientes esten rcpresentadas mediante un sisterna de desigualdades lineales (que irnplican " I" o bien " L ") o ecuaciones lineales en x y y, y que todas las variables Sean no negativas. A un problema en el que intervienen todas estas condiciones se le denornina problema de prograrnacion lii~eal. La prograrnacion lineal fue desarrollada por George 8 . Danzig a fines de la decada de 1940 y se utilizo prirnero en la Fuerza ACrea de Estados Unidos corno auxiliar en la torna de decisiones. En la actualidad tiene arnplia aplicacion en el analisis industrial y econornico. En un problerna de prograrnacion lineal a la funcion que se desea rnaxirnizar o rninimizar se le denomina funcion objelivo. Aunque por lo general existe una cantidad infinitarnente grande de soluciones para el sisterna de restricciones (a las que se denornina soluciones factibles o puntos factibles), el objetivo consiste en encontrar una de esas soluciones que represente una solucion optima (es decir, una solucion que de el valor rnaximo o rninirno de la funcion objetivo). Enseguida, se presenta un analisis geometric0 de la prograrnacion lineal. En la Seccion 9.4 se revisa un rnetodo rnatricial que perrnite trabajar con mas de dos variables y , por lo tanto, con una gama mas arnplia de problernas. Supongase que una cornpafiia fabrica dos tipos de artefactos, manuales y elictricns. Cada uno de ellos requiere en su fabricacion el uso de tres rnaquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del ernpleo de la rnaquina A durante 2 horas, de 1 hora en ia rnaquina B y de 1 hora en la maquina C. Un artefacto electric0 requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y I hora en C. Supongase, adernas, que el numero rnaxirno de horas disponible por mes para el uso de las tres rnaquinas es 180, 160 y 100, respectivarnente. La utilidad que se obtiene con 10s artefactos manuales es de $4 y de $6 para 10s electricos. (Vease la Tabla 9.1 que contiene un resurnen de 10s datos.) Si la cornpaAia vende todos 10s artefactos que fabrica, jcuantos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maxirnizar la utilidad rnensual?
Manual Electrico Horas disponibles
A
D
C
2h l h 180
l h 2 h 160
l h l h 100
Utilidad/ Unidad
$4 6
Para r e s p o ~ ~ d esta c r pregunta 5e utilizan .v !. .I. que denotan 10s numeros dc artefactos rnanualej electricos, respecti\.amcnte, quc sc fabrican en el mes. Como el nilmero de artefactos fabricados no puede ser negntiio, se tiene que X ~ O ,y20. Para la miquina A , el tiempo que se requiere para trabajar en x artefactos manuolcs es 2 s horas, y el rienipo necesario para trabajar en y artefactos electricos es I?! horaa. La suma de estos tiernpoj no puedc scr superior a 180, por lo que
De forma a ~ ~ a l o g las a , rcatricciones para las miquinas B y C dan x
+2y5
160
La ~rtilitlad( o gananci;~)/' ea I'uncicin de v !. P
x
Y
=
4x
+y5
j.,). esta
+
100.
dada por la futicicin de ~irilidud:
6y.
Resumiendo, se desea maximizar la funcion objetivo:
sujeta a la condition de que.v y
deben ser una solucion para el sistema de restricciones
Conwcucntcmentc, se tienc un problcrna de prograniacion lineal. A las restriccioncs (2) ( 3 ) se Icj denomina condicione\ de no negatbidad. La region que satisface de modo simultaneo las restricciones ( 2 ) a (6) es la que aparece sombreada en la Figura 9.12. Cada uno de 10s puntos de esta region representa una solucion posible, y a tal region se le denomina region factible. Aunque existe una cantidad infinita de soluciones, se debe hallar la que maximice la funcion de utilidad. )'a que P
-
4.v t 6 y ea equi\alcnte a
define lo que se denomitla como una "familia" de rectas paralelas, cada una dc la5 cuales tiene pendicnte -213 e interccpcion y (0, P / 6 ) . Por ejemplo, si P = 600, entonces sc obtienc la recta j1 = --$,v + 100 quc sc muestra en la Figura 9.13. Esta recta, a la que se denomina recta de isbutilidad, proporciona todas las combinaciones posiblcs de s y y que arl-ojan la misnia utilidad de 5600. Observese que esta recta dc igual utilidad no tiene ning~inpunto comun toll la region factiblc, en tanto que la recta dc igual utilidad para P = 300 tiene u i l n cnntidad infinita de puntos en comun. A h o r a , ae procede a buscar cl miernbro dc la familia q ~ contenga ~ e Lln punto factible y cuho \ A o r de P sea nliximo. .Yer~i10 r e c f Cli.\'(/ ~ ~ O/.(/~tl~dl/ a1 oriiyen se mcuellt~'elo ~ n d ulqjrrs
9.2
Progromocion lineal
(I<-' ~ . $ I P110 ( . I / ( / / ~ C I I Iel~ ~ ~ r l o~ r~ i r i de ~ iP)~-Y~yue ~ otengu cilando menos iin pirrito coln~incon la r~gionfactible. No es dificil observar que esa recta contendra iin ~~ertice A . C'ualquier recta de ipual utilidad yue represente mayores ~ltilidadesno contienc puntos que formen parte dc la regicin factible. De la Figura 9.12, A queda tanto en la recta x + y = 100 como en la recta x + 2y = 160. P o r ello, se pueden determinar sus coordenadas resolviendo el siguiente sistema:
(ill
Esto resulia en x = 40 y y = 60. Sustituyendo estos valores en P = 4x + by, se encuentra que la maxima ~ltilidadsujeta a las restricciones e5 $520, que se obtiene al fabricar 40 artefactos manuales y 60 electricos cada me>. Si se puede abarcar una region factible con un circulo, como la region de la Figura 9.13, se le denomina regi6n factible a c o t a d a . Si no cs posible hacerlo, entonces es no a c o t a d a . Cuando una region factible contiene cuando menos un punto, se dice yue es no vacia. Si no fuera asi, entonces se le considera vacia. Asi, la region de la Figura 9.13 es una region factible acotada y no vacia. Se puede PI-obarque:
Una funcibn lineal definida sobre ~ l n aregion factible acotada y no vacia tiene un valor maximo (o minimo) y se puede encontrar este valor en u n verrice. Eqta afirmacion permite hallar soluciones optimas sin tener que trazar rectas de isouri-
324
9
PROGRAMACION LINEAL
lidad. corno se hizo antes. Se podria evaluar la funci6n objetivo en cada uno de 10s \.ertices de la region factible y despues elegir aquel en el que la funcion resulte optima. Por ejernplo, en la Figura 9.13 10s vertices son A , B, C, D y E. Ya se obtuvo antes que ,4 es (40, 60). Para determinar B, se observa en la Figura 9.12 que deben resolverse al rnisnlo tiempo 2x + y = 180 y x + y = 100. Haciendo esto se encuentra el punto B = (80, 20). De la misrna manera, se obtienen las coordenadas de todos 10s vertices: A=(40,60), B=(80,20), C=(90,0), E = (0, 80). D = (0, O), .Ahora se evaluara la funcion objetivo P = 4x + 6y en cada punro:
+ 6(0) = 0 , P(E) = 4(0) + 6(80) = 480.
P(D) = 4(0)
Por consiguiente, P tiene un valor maxirno de 520 en A , en donde x = 40 y y = 60. La solucion optima para 10s problemas de prograrnacion lineal esta dada por el punto en el que aparece el valor dptimo de la funcion objetivo. Se incluye tambien el valor optimo de la funcion objetivo. EJLMPLO 1
Maximizar /a funcion 6bjetivo Z = 3x Zrf
Zr
+ y sujeta a /as restricciones yr-8,
+ 3y 5 12, x r 0,
y r O.
9.2
Programacion lineal
En la Figura 9.14 se puede ver que la region factible es no ~ a c i ay acotada. Por lo tanto, Z es maxima en uno de 10s cuatro vertices. Las coordenadas de A , B y D son evidentes. Para encontrar C se resuelven las ecuaciones 2 x + j. = 8 y 2.u + 3y = 12 simultanearnente, lo que da corno resultado s = 3 , y = 2 . En consecuencia,
A = (0, O),
B
=
(4, O),
C = (3, 2),
D = (0, 4).
Evaluando Z en estos puntos, se obtiene
+ 0 = 0, Z(B) = 3(4) + 0 = 12, Z(C) = 3(3) + 2 = 11, Z(D) = 3(0) + 4 = 4. Z(A) = 3(0)
Consecuentemente, el valor maximo de Z, sujeto a las restricciones, es 12 y se presenta cuando x = 4 y y = 0.
EJEMPLO 2
Minilnizar la funcion objetivo Z
= 8x
-x
-
+
3y con sujecion a /as restricciones
3y
=
21,
Observese que la primera restriccidn, --s + 3y = 21 es una igualdad. Las porciones de las rectas -x + 3y = 21 y x + y = 5 para las cuales x r 0 y y 2 0 se rnuestran en la Figura 9.15. Se les conservara corno rectas punteadas hasta determinar si se les ha de incluir o no en la region factible. Un punto factible ( x , y) debe cumplir que x 2 0,y r 0, y quedar tanto en la recta punteada superior corno sobre o por dehajo de la recta punteada inferior. Sin embargo, no existe ningun punto que cumpla e\=
9
PROGRAMACION LINEAL
FlGURA 9.15 condiciones. Por ello, la region factible es vacia y por consiguiente el problema n o tiene solucion optima.
El rcjultado drl Ejcrnplo 2 puedc plantearae en terminos m i s generales: Siel-npre que la region factible dc un problerna de programacion lineal sea
Supongaje quc. una rcgion factiblc csta definida por
Esta l.t'gio11e j
1;1
porcion dc la recta horizontal
.L> =
2 que se indica en la Figura 9.16.
FIGURA 9.1 6 Puesto que la region no puede delirr~itarseen un circulo, es no i~cofadu.Considerese la maximization de z = x + y con sujecion a las restricciones anteriores. En virtud de que y = 2, entonces Z = + 2. Es claro que conforme x aumenta sin ningun limite, igualmente lo hace Z. Consecuentemente, n i n g h punto factible maximiza Z y, de esta manera, no existe ninguna solucion optima. En este caso se dice que la solucion es "no acotada". Por otro lado, supongase que se desea minimizar Z = x + y en la rnisma region. Dado que Z = x + 2,
x
9.2
Programocion lineal
entonces Z es minima cuando x es lo mas reducida posible; es decir, cuando .v = . Esto proporciona un valor minimo de Z = x + y = 0 + 2 = 2, y la solucion 0pr:rr.i es el vkrtice (0, 2). En gc11~'1~;11, se puede deniostrar que:
Si Llna region factible es no acotada, y si la funcion objetivo tiene un \alor niiximo (o niinimo), entonces ese valor aparece en un vertice.
EJEMPLO 3
Un granjero va a comprar jertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos A, B y C. Las necesidades tninimas son 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C. Existen en el tnercado dos rnarcas populares de jertilizante. El llamado "Crecirniento Rapido " cuesta $4 el costal y contiene 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C. El denorninado "Crecirniento Normal", cuesta $3 el costal y contiene 2 unidades de cada ingredienfe. Si el granjero desen minimizar el costo a1 tiempo que mantiene el minimo de 10s ingredientes nutritivos que se requieren, icuantos costales de cada marca debe comprar? La informacidn se resume de la siguiente manera:
"Crecirniento Rapido" "Crecirnienro Normal" Unidades que se requieren
5 unidades 2 unidades
3 unidades 2 unidadc5 160
1 unidad 2 unidadej
$4 3
80
200
Sean x el numero de costales que se compran de "Crecimiento Rapido" y y el nunrcro d e costales de "Crecimiento Normal". En este caso, se desea tninirnizar la funcion de cost0
C
= 4x
+ 3y
(7)
sujeta a las restricciones x r 0,
y
2
0,
+ 2y 2 160, sx + 2~ r 200. ,X + 2y r 80. 3x
La region factible que satisface las restricciones (8) a (12) es la que se nluestra sombrcada en la Figura 9.17, junto con rectasde igual costo para C = 200 y C = 300. La repitin factiblc es no acotada. El miembro de la familia de rectas C = 4x + 3y que ofrece el costo minimo, sujeto a las restricciones, corta a la region factible en el \.ertice B. .\qui. se elige la recta de igual costo cuya ordenada en el origen esta mas cercana a ?ste ul:i;r.?
y
Crecimiento Normol
lZOi.
Crecimiento Rdpido
1. que tiene cuando menos un punto comun con la region factible. Las coordenadas de B se hallan resolviendo el sistema
Por ello, .Y = 30 1,). = 20, y esto da el costo minimo de 5220. El granjero debe comprar 40 costales de "Crecimiento Rapido" y 20 costales de "Crecimiento Normal". En el Ejemplo 3 se encontro que la funcion C = 4 s + 3y tiene un \,alor minimo en un \-ertice de la region factible que es no acotada. Por otro lado, supongase que se desea ~llusiliii:ur C para esa region y se procede evaluando todos 10s vertices de C. Estos puntos son C = (20, 50), B = (40, 20), D = (0, loo), A = (80, O), de donde
Una conclusion apresurada seria que el valor maximo de C es 320. Pero iesto esfulso! "Vo esiste \,alor maximo, ya que existen rectas de isocosto arbitrariamente grandes que cortan la region factible. ADVERTENCIA Cuando se trabaja con una region factible no acotada, no debe concluirse simplemente que evista una solucion optima en un \ertice debido a que puede no existir tal solucion.
9.2
1. Maxirnizar P = 10s sujeta a x .I.
+ y - 2q .u, y
Progromacion lineal
+
4 2 2
2. Maxirnizar P = 5x + 6y sujeta a
12y
60, 0, 0.
x
3.u 2x
4. Minirnizar
z
7.u
=
+
y 5 80, 2y s 220, 3y s 210, x , ?. r 0 .
1. 5
+
+ +
9. Minirnizar
10. Minimizar
11. Maxirnizar z = lox + 2 ~ . sujeta a x + 21. r 4 , ,J.x,.,.: x - 2y 2 0 , .u, y r O .
C = 2s + 2y sujeta a s 2). 2 80, 3.u + 2y 2 ! 6 0 , 5x 2q 2 200, x , j. r 0 .
+ +
13. Un fabricante de juguetes que esta preparando un prograrna de produccion para dos nuevos articulos, "Maravilla" y "Fantastico", debe utilizar la inforrnacion respecto a sus tiernpos de construccion que se proporciona en la tabla que aparece enseguida. Por ejernplo, cada juguete "Maravilla" requiere de 2 horas en la maquina A. Las horas de trabajo disponiMaauina A -
"Maravilla" "Fantastico"
C = ~ X + J sujeta a 3x + q r 3 , 4.u .t 3~ r 6 , x + 2yr2, x, q 2 0 .
+
.
--
12. Minimizar I
,,
.
Maauino D
14. Un fabricante produce dos tipos de parrillas para asar carne, Tipo I y Tipo 11. Durante el proceso de produccion las parrillas requieren del us0 de dos rnaquinas, A y B. El nurnero de horas que se requie-
I
-
z = y - s sujeta a .X r 3 . x + 3 ~ 2 6 , x - 3~ r - 6 , x, y r 0 .
bles de 10s ernpleados, por sernana, son: para la rnaquina A, 70 horas; para la B, 40; para terrninado, 90 horas. Si las utilidades de cada juguete "Maravilla" y cada juguete "Fantastico" son de $4 y $6, respectivarnente, jcuantas unidades de cada uno deben fabricarse por sernana con el objeto de rnaximizar las utilidades? iCual seria la utilidad maxima?
--
2h l h
-.
6 . Minirnizar z = 201- 3 b . sujeta a 21 y s 10, 1 3x + 4)) s 23. 8x 7). r 56, x , ). 2 0 .
=
Z = 0.5.u - 0 . 3 ~ sujeta a x - y 2 -2, 2x - q 5 4. L- y = 8 , X . J. r O .
+
= I? - ?-.
3x - J. s 3 . x + y r 5 . x , J. 2 0 .
8. Maxiniizar 3y
sujeta a 3x - ~r - 2 . s y 5 9. x - y = -1, x \. r O . !
+ + +
4s - 1oy sujeta a T. - 4~ 2 4 , 2.u - >. s 2 , s. Y 2 0 .
+ +
z
z
sujeta a
5. Maxirnizar
z = x + y sujeta a x q r o , 3,u 3 ~ 5 212. 9x 11y s 99, s 4 8. .I., J r O.
7. Minirnizar
3. Maximizar
-
l h l h
Terminado -
-
l h 3h
ren en cada una se seiialan en la tabla que aparece a continuacion. Si puede utilizarse cada una de las rnaquinas 24 horas a1 dia, y las utilidades para la Tipo I y la Tipo I1 son de $4 y $6, respectivarnente. ~ q u ?
330
9
PROGRAMACION LINEAL
costal, contiene 2 unidades de A, 6 de B, y 4 de C. La rnarca I1 cuesta $5 el costal y contiene 2 unidades de A , 2 de B y 12 de C. jCuantos costales de cada rnarca debe cornprar el granjero cada sernana para rninirnizar 10s costos y satisfacer 10s requisitos nutritivos?
cantidad de cada tip0 se debe fabricar diariarnente para rnaxirnizar las utilidades? jCual es la utilidad maxima?
Tipo I Tipv I1
Maauina A
Maauina D
2h 4 h
4h 2h
17. Una cornpaiiia extrae rninerales de rnenas. El nurnero de libras de 10s rninerales A y B que se pueden extraer de cada tonelada de las rnenas I y I1 se presentan en la tabla que aparece enseguida, junto con 10s costos por tonelada de estas. Si la cornpaiiia debe fabricar cuando rnenos 3000 libras de A y 2500 de B, jcuantas toneladas de cada rnena se deben procesar para rninimizar 10s cos~os?jCual es el costo rninirno?
15. Una dieta debe contener cuando rnenos 16 unidades de carbohidratos y 20 unidades de proteina. El alirnento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteina; el B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteina. Si el alirnento A cuesta $1.20 por unidad y B cuesta $ 0 . 8 0 ~ 0unidad, ~ jcuantas unidades de cada alirnento deben adquirirse para minimizar 10s costos? jCual es el costo mlnirno?
16. Un granjero va a cornprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos: A, B y C . Los requisitos minimos sernanales son de 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C . Existen dos rnarcas usuales de fertilizante en el rnercado. La rnarca I cuesta $4 el
-
Mona l Mena ll Mineral A 100 Ib Mineral B 200 Ib Costo por tonelada $50
200 lb 50 Ib $60
9.3 Soluciones optimas multiples* E n oca5iones, una funcion objetivo alcanra su valor optlmo en mi5 de un punto lactible, en cuyo caso se dice que existen soluciones optimas multiples. En el Ejernplo 1 se ilustra esto.
-
EJEMPLO 1
iLfuxirnizar Z
=
2x
+
4y sujetu a las restricciorles
x
-
4 y 5 -8,
x
+ 2y 5
16,
XIO, y I 0 . La region factible aparece en la Figura 9.18. Dado que la region es no vacia y acotada, Z tiene un ~ a l o maximo r en algun vertice. Los vertices son
Evaluando la funcidn objetivo en A , B y C se obtiene
Z(A)
=
2(0)
+ 4(2) = 8 ,
+ 4(4) = 32, Z(C) = 2(0) + 4(8) = 32. Z(B)
* Se puede omitir esta seccion.
=
2(8)
9.3
Soluciones optimas multiples
Asi, el \,alor maxitno de Z para esta region es 32 !-ss pressnra en (10s iertices, B 1, C. De hecho este valor masimo aparece tarnbien en roclvs 10s puntos que se encuentran sobre el segrnento d e recta que une a B y C, por la siguisnts razon. Cada uno de 10s miembros de la farnilia de rectas Z = 2s + 4~. tiene psndisnte -4 . Ademas, la linea de rcstriccion x- + 21. = 16, q ~ r econtiene tanto a B corno a C. tiene tarnbien pendiente -;y, en consecucncia, es paralela a cada uno de 10s miernbros de Z = 2.u + 4.v. En la Figura 9.18 se ~nuestrani-ectas para Z = 20 ! Z = 10.Por lo tanto, el miembro
cie la familia que maximiza Z contiene no solo a B ! a C , sino tarnbien a todos 10s puntos que estan sobre el segment0 de recta BC. Por consiguiente, posee una cantidad infinitamente grande d e puntos en comun con la region factible. De mod0 que este problema de programacion lineal tiene una cantidad infinitamente grande de soluciones o p t i n a s . De hecho, se puede probar que: Si (.yI, jl,) y ( x 2 j,,) , son dos \ erticeb en 10s que una funcion objetivo es o p tima, entonces la funcion sera optima tambien en todos 10s puntos (x-, .v). en 10s que x
=
( 1 - t)x,
E n el ejemplo, si (x-,,y , ) = B = (8, 4 ) y en cualquier punto (.u, .v) en donde x = (1
-
t)8
(.Y:,
+ tx,,
y2) = C
=
+ t . 0 = 8(1
(0, 8), entonces Z ea maxima
-
t),
Estas ecuaciones dan las coordenadas de cualquier punto que se encuentre sobre sl i s ? mento dc recta BC. E n particular, si t = 0 , entonces x = 8 y y = 4, lo cual da el \ i r t i < : B = (8, 4). Si t = 1 , se obtiene el vkrtice C = (0, 8). El valor t = 4 da el pun:o ( 3 , 6 ) . Obskrvese que en (4, 6 ) , Z = 2(4) + 4(6) = 32, que es el valor m a l i m o J? Z.
332
9
PROGRAMACION LINEAL
1. Minimizar
+ 9y sujeta a y 2 -$x + 6, Y r -4x + 9, z
=
3x
y ' x - 3, x, y 2 0 .
-9.4
2. Maximizar Z = 3x
3. Maximizar
+ 6y
Z = 18x
sujeta a x
-
y'
-3,
2x - y s 4 , x
+ 2y x, y
+ 9y
sujeta a 2x + 3y = 1 2 , 2x+ y s 8 ,
= 12,
x, y
'0.
2
0.
El metodo simplex Hasta ahora se han resuelto problemas de programacion lineal a traves de un metodo geometrico. Este metodo no resulta practico cuando el numero de variables se aumenta a tres, y con mas variables resulta imposible de utilizar. Ahora se examinara una tecnica diferente, el metodo simplex, cuyo nombre esta asociado en analisis mas avanzados a un objeto geometrico a1 que se denomina simplex. El metodo simplex comienza con una solucion factible y prueba si es o no optima. Si no lo es, el metodo sigue a unz rfiejor solucion. Se dice "mejor" en el sentido de que la nueva solucion se acerca mas a la optimizacion de la funcion objetivo.* Si esta nueva solucion no es optima, entonces se repite el procedimiento. En algun momento el metodo simplex conduce a una solucion optima, si es que existe. Ademas de ser eficiente, dicho mitodo tiene otras ventajas. Es completamente mecanico (se utilizan matrices, operaciones elementales sobre renglones y aritmetica basica). Asimismo, no implica el uso de geometria. Esto permite resolver problemas de programacion lineal que tienen cualquier numero de restricciones y variables. En esta seccion se consideran solo 10s problemas normales de programacion lineal, que pueden estar dados en la forma: maximizar Z
= c,xl
+ c2x2 + . . + c&,
tal que
en donde x , , x,, . . ., x, y b , , b,, . . ., b,,, son no negativos. Observese que una solucion factible para un problema normal de programacion lineal es siempre x , = 0, x , = 0 , . . . , x, = 0. En las Secciones 9.6 y 9.7 se analizan otros tipos de problemas de programacion lineal. Ahora se aplicara el mttodo simplex a1 problema que se present6 en el Ejemplo 1 de la Seccion 9.2, y que tiene la forma: maximizar Z = 3x1
+ x2
* Esto es cierto en la mayoria de 10s casos. Sin embargo, en ciertos casos la nueva soluci6n puede simplemente ser tan buena como la anterior. Se ilustra esto en el Ejemplo 2.
9.3
Soluciones optimos mljlriples
sujeta a las restricciones
2rl
+
X, 5
8
en donde x , r 0 y x , r 0 . Este problerna esti en forrna normal. Se cornienza exp1.esando las restricciones (2) y (3) en forma de ecuaciones. En la (2), 2 x , + ,v2 seria igiial a 8 si se afiadt. algun numero no negativo s, a 2 x , + x,:
+ X2 +
SI =
8, en donde s, r 0.
A s , se le denornina variable de holgura puesto que absorbe la "holgura" o falta de consistencia que existe en el lado i7quierdo de (2), de rnanera que se convierta en una igualdad. De rnodo similar, la desigualdad (3) puede escribirse en forrna de ecuacion utililando la variable de holgura s,:
2rl
+ 3 x 2 + s2
= 12,
en donde s2 2 0.
A las variables x , y sz se les denomina variables estructurales
Ahora puede replantearse el problema en tkrminos de ecuaciones: maximizar Z = 3x1 tal que 2nl
+
~2
+ x2
+ s1 =
8
en donde x , , x,, s , y s, son no negativas. De la Seccion 9.2 se sabe que la solucion optima aparece en un vkrtice de la region factible de la Figura 9.19. En cada uno de estos vertices cuando rnenos dos de las variables x , , .u,, s , y s, son 0. 1. En A , se tiene x , = 0 y x , = 0 .
2. En B, x l = 4 y x, = 0. Pero de la Ecuaeion ( 5 ) , 2(4) s , = 0.
+0+
s , = 8. Por ello,
334
9
PROGRAMACION LINEAL
3. En C , .u, = 3 y X, = 2. De la Ecuacion ( 5 ) , 2(3) t 2 t s , = 8 . Asi, s , = 0. De la Ecuacicin (6), 2(3) + 3(2) + s , = 12. En consecuencia, s z = 0. 4. En D , .v, = 0 y sl s , = 0.
-
4. De la Ecuacion (6), 2(0)
+
3(4)
+ s, =
12. Por lo tanto,
Tambien se puede demostrar que cualquier solucion para las Ecuaciones ( 5 ) y (6), tal que cuando inellos dos de las cuatro variables x , ,x2,s , y sz sean cero, corresponde a un ~ e r t i c e Cualquier . solucion como estas, en la que cuando menos dos de las variables \ean cero, b e denomina solucion factible basica, o , en forma abreviada S.F.B. Este ~ ~ u r n e r o2,, se determina mediante la expresion n - m , en donde ti1 es el numero de restricciones (excluyendo las condiciones de no negatividad) y n es el numero de variables que aparecen despues de convertir estas restricciones a ecuaciones. En el caso que \e a n a l i ~ a n, = 4 y rn = 2. Para cualquier S.F.R., las dos variables que son iguales a cero se denominan variables no basicas, en tanto que a las otras se les denomina variables hasicas para la S.F.B. P o r consiguiente, para la S.F.B. que corl-esponde a la c ~ ~ e s t i o(3) n anterior, s, y s, son variables no basicas, per0 para la S.F.B., que corresponde a (3) las variables no basicas son s , y s2. Se desea encontrar en algun momento la S.F.B. que maximiza Z. E n primer lugar se halla una S.F.B. inicial y despues se determina si el valor coI-respondientede Z podria ser mayor por una S.F.B. diferente. En virtud de que x , = 0 y x , = 0, es una solucion factible para esre problema normal de programacion lineal, inicialmente se obtiene una S.F.B., en la que las variables estructurales x, y x2 sean no basicas. Es decir, se elige x , = 0 y x 2 = 0 y se encuentran 10s valores correspondientes a s,,.s, y Z.1.a mejor forma de hacer esto es a travcs dc ticnicas matriciales que se basan en 10s metodos desarrollados en el Capitulo 8. Si se escribe la Ecuacion (4) como -3.r, - x 2 + Z = 0, entonces las Ecuaciones ( 5 ) , (6) y (4) forman el sistema
En tirminos de una matriz de coeficientes aumentada (a la que tambien se denomina tabla simplex), se tiene
Los primeros dos renglones corresponden a las restricciones, y el ultimo renglon corresponde a la ecuacion objetivo; de ahi la linea punteada horizontal que las separa. Observese que si x , = 0 y x, = 0, entonces se puede leer directamente en 10s renglones 1, 2 y 3 10s valores de s , ,s, y Z;s, = 8, s, = 12 y Z = 0. Esa es la raz6n por la cual se colocaron las letras s,,s, y Z del lado izquierdo de 10s renglones. (Es necesario recordar quc s l y s, son las variables basicas.) Consecuentemente, la soluci6n factible basica inicial es
9.4
335
El metodo simplex
-
,! en ella, Z 0.Ahora se euaniina si puede hallarse una S.F.B. que de un valor mayor de Z. Las variables x , y .x, son no basicas en la S.F.B. anterior. Ahora, se busca una S.F.B. en la qile una de e t a s variables sea basica al lniimo tismpo que I? otra siga siend o no bisica. ;CuBl se debe elegir como variable basics'? E n prin1c.r lugar, se examinan las posibilidades. Del renglon Z de la rnatriz anterior. Z = 3.v. - .v.. Si se permite que .v, se con\,icrta en basica, entonces ,v, sigue siendo O ! Z = 3.v : por ello, por cada a u ~ n e n t ode una unidad en .v,, Z aumenta en tres unidaiir.>. Por otro lado. si se permite qile .\.) se convierta en basica, entonces x , sigue sienao i ~ u a 3! 0 ! Z = .v,. Asi, por cada unidad dc. aumento en .Y,. Z se increments s n una uni2;id. E n conisiuencia, se obticns un aurnento ~lia-vol.en el valor de Z si ingresa a la cats2sr:a d? Lariabls basica x , , y no x,. En est? caso, se denornina a x , variable entrante. Por 19 tanro, en terminos de la tabla simplex que aparece enseguida (que es la mirrna q u s la rnatriz anterior esccpto por 10s ssfialamisntos adicionales que contien?) it ;u:J: ::I;onrrar la \ ariablc. quc cntra buscando el "numero mas negative" dc. 105 qu: =--.;1;
.:
xz
Xl
2 2
SI
1
3
s,
Sl
1 0
0 1
z I-,
C
l
5' iI1
indicadol-c:
t variable entrante Kcumiendo la inforrnacion que puede obtsntrr: ;is 5\13 tabla, se observa que prearnta una S.F.B., en dortde s, y s 2 son las \aria'cl:k ? ~ \ i c a .! .v, y x, son no basicas. L.a S.F.B. es s , = 8 ( = cl lado derecho del rtnglsn i I . s. = 12 ( = el lado derecho del renglon s,), .v, = O y x2 = O. El -3 dc Is. < ~ l : i ! i l . i ? j . d s .v, y del rengldn Z seiiala qiic si .v, se n~anticneen 0, entonces Z a u n z n t a ?r. Lrei unidadss por cada ailmento de una unidad en x , . El -1 de la colurnna d e .v. ! dsl r?n;lon Z ssiiala que si x , permancL.Cen 0 , entonces Z aumenta ilna unidad por ;ads , i ~ r n c . ~de ~ t ouna unidad tambicn en .v,. L.n colurnna en la que se encuentra el indicador ma, nsgativo, -3, setiala la \.ariablc entrante s,; es decir, la variable q u s 5s d t b s con\srtir en basica en la siguiente S.F.B. En la nueva S.F.B., conforme ma!-or .sa sl a u ~ n s n t oen x , (a partir de s, = O ) , mayor es el aumento en Z. Ahora, jcuanto .i. pusdc aumentar .u,'? Ya que x, sc sigue manteniendo cn 0, de 10s renglonss 1 \ 2 dc. la tabla sirnplex anterior se observa que
I'ucsto quc s , 4
\,
5o1: no ncgatilob.
45
[~tliie
De la primera desigualdad, x , 5 j = 4; de la segunda, .u, 5 y = 6. Por consiguiente, s ,debe ser menor o igual que el menor de 10s cocientes 8 y y , que es 4 . Consecuentemente, x , puede aumentar cuando mucho en 4; sin embargo, en una S.F.B. dos variables deben ser iguales a 0. Ya se tiene x, = 0. Debido a que s , = 8 - 2.v,, s , debe ser 0 para que x , = 4. Por ello, se obtiene una nueva S.F.B. reemplazando s , con una x , como iariable basica. Es decir, s, abandonar-a la categoria de variable basica que tenia en la S.F.B. anterior y se convertira en una no basica en la nueva. Se dice que s, es la variable saliente para la S.F.B. anterior. En resumen, para la nueva S.F.B. se desea que x , y s, Sean variables basicas, con x , = 4, y x , y s , como variables no basicas ( x , = 0, s , = 0). .Antes de continuar, se actualiza la tabla. Al lado derecho de la tabla que aparece enseguida se sefialan 10s cocientes $ y y.Se obtienen dividiendo cada uno de 10s eleinentos de 10s primeros dos renglones de la colurnna b entre el elemento que se encuentra en el renglon correspondiente de la colurnna de la variable que entra. Observese que 2. la variable que sale se encuentra en el renglon del tnenor cociente, 8
-
variable saliente
xl '
x2
SI
j
~2
Z
b
Cocientes 8 + 2 = 4 . 12 t 2 = 6.
t variable entrante Debido a que x , y s , seran variables basicas en la nueva S.F.B. seria conveniente cambiar la tabla anterior mediante operaciones elementales sobre 10s renglones para darle una forma en la que se puedan leer con facilidad 10s valores de x , , sz y Z (de la misma manera en que fue posible hacerlo con la solucion que correspondia a x , = 0 y x , = 0). Para hacer esto, se encuentra una matriz equivalente a la tabla anterior, pero que tiene la siguiente forma
en donde 10s signos de interrogacion representan 10s numeros que habran de determinarse. Observese aqui que si x , = 0 y s , = 0 , entonces x , es igual al numero que aparece en la ultima colurnna del renglon 1, s 2 es igual a1 numero que aparece en la ultima colurnna del renglon 2, y Z es el numero del renglon 3 . Asi, se debe transformar la tabla
t variable entrante
9.4
337
El metodo simplex
en una matriz equivalente que tenga un 1 en donde aparece el circulo y 0 en las demas posiciones de la columna x , . Al elemento sefialado con el circulo se le denomina elemento pivote; se encuentra en la columna de la variable entrante y en el renglon de la variable saliente. Mediante operaciones elementales sobre renglones, se tiene
1 1 2 3 0 ............. -3 -1 0
1
0 0 : 4 1 0 1 1 2 ....... 0 l : o
0
(multiplicando el primer renglon por b )
(sumando al segundo renglon el primero multiplicado por -2, y sumando al tercer renglon el primero multiplicado por 3).
1 :12
En consecuencia, se tiene una nueva tabla simplex: Xl
x2
S1
32
z
8
0
1:12
indicadores
Para x , = 0 y s , = 0, entonces, del primer renglon se tiene que x , = 4; del segundo, s, = 4. Estos valores representan la nueva S.F.B. Observese que se reemplazo el s, que se encontraba a la izquierda de la tabla inicial en (7) por x , en la nueva tabla (8); por lo tanto, s , salio y x , entro. Del renglon 3 para x, = 0 y s, = 0, se obtiene Z = 12, que es un valor mayor al que se tenia antes (y que era Z = 0). En la S.F.B. actual, x, y s, son variables no basicas (x, = 0, s, = 0). Supongase que se busca otra S.F.B. que dk un valor de Z aun mayor y tal que x2 o s, sea basica. La ecuacion correspondiente al renglon Z esta dada por 4x2 + $st + Z = 12 o bien Si x, se convierte en basica y, por consiguiente, s , sigue siendo no basica, entonces
Z = 1 2 - i ~ ~ (dadoques, = 0 ) . Aqui, cada aumento de una unidad en x, hace que Z disminuya en un 1/2 de unidad. Consecuentemente, cualquier aumento en x2 haria que Z se redujera. Por otro lado, si s , se vuelve basica y x, permanece siendo no basica, entonces de la Ecuacion ( 9 ) ,
Z = 12
-
2sl
(de donde s2 = 0).
Aqui, cada aumento de una unidad en s, disminuye a Z en if unidades. Por ello, cualquier aumento en s , haria que Z se redujera. No es posible pasar a una S.F.B. que sea
mejor. En pocas palabras, ninguna S.F.B. arroja un valor mayor de Z que la S.F.R. dc s , 4, s, 4, x l = 0, s, = 0 (que hace que Z = 12). I>e hccho, puesto que x , r 0 y s , r 0 y los coeficientes de x 2 y s , en la Ecuacicin (9) son negativos, entonces Z es maxima cuando x , = 0 y s , = 0. Es decir, en (ti), lnler lodos 10s incftcndores no negalivos signifit*a qlre se riene unn solucidti dptirna. En terminos del problema original, si -
-
tal que
entonces Z es maxima cuando A,, = 4 y x2 = 0 y el valor maximo de Z cs 12 (y esto confirma el resultado que se obtuvo en el Ejemplo 1 de la Seccion 9.2). Observese que los valores de s , y s z no tienen que aparecer aqui. Enseguida se esboza el ~ n i t o d osimplex para un problema de programacibn lineal normal con tres variables estructurales y cuatro restricciones, sin contar las condiciones de no negatividad. Se hace esto para seiialar la forma en que trabaja el inetodo simplex para cualquier nurnero de variables estructurales y restricciones.
METODO SIMPLEX maximizar Z = c , x ,
+ c2x2 + c3x3
tal que
en donde x,,x,, x, y b ! , b Z ,b 3 ,b4 son no negativas.
1. Elaborar la tabla simplex inicial. XI
1 2
~3
SI
$2
53
~4
Z
:b
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - - - - L
I
indicadores Existen cuatro variables de holgura, s ! , s 2 , s, y s,; una para cada restriccion.
2. Si todos los indicadores del ultimo renglon son no negativos, entonces Z tiene un maximo cuando x , = 0, x, = 0 y x, = 0. El valor maximo es 0.
9.4
339
El metodo simplex
Si existen indicadores negativos, localizar la columna en la que aparezca sl indicaicr mas negativo. Esta columna seiiala la variable entrante.
3. Dividir cada uno de 10s elementos de la columna de b que se encuentran por encima de la recta punteada entre el correspondiente elemento de la columna de la variable entrante. Se debe realizar esta division solo en 10s casos en 10s que el elemento de la variable que entra sea positive.* 4. Encerrar en un circulo el elemento de la columna de la variable entrante que corresponde al menor cociente del paso 3. Este es el elemento pivote. La variable saliente es la que se encuentra a1 lado izquierdo del renglon del elemento pivote. 5. Utilizar operaciones elementales sobre renglones para transformar la tabla en otra tabla equivalente que tenga un 1 en donde se encuentra el elemento pivote y 0 en las demas posiciones de esa colurnna. 6. La variable entrante debe reemplazar a la variable saliente en el lado izquierdo de esta nueva tabla. 7. Si todos 10s indicadores de la tabla nueva son no negativos, ya se tiene una solucion optima. El valor maximo de Z es el elemento del ultimo renglon y la ultima columna. Ocurre esto cuando las variables que se encuentran del lado izquierdo de la tabla son iguales a 10s elementos correspondientes de la ultima columna. Todas las demas variables son 0. Si cuando menos uno de 10s indicadores es negativo, se debe repetir el mismo proceso con la nueva tabla, comenzando con el paso 2.
Para comprender mejor el metodo simplex, se debe estar en posibilidades de intcrpretar ciertos elementos de la tabla. Supongase que se obtiene una tabla en la que el liltinlo renglon es el que se sefiala.
Por ejemplo, puede interpretarse el elernento b de la siguiente manera. Si x, es no ba\ica y fuera a convertirse en bisica, entonces, para cada aumento de una unihad en s,,
< 0, Z b > 0, Z
si b
uui17enru en lbl unidades;
si
distninlrye en b unidades;
si b = 0, no hay cambio en Z.
EJEMPLO 1
.22rrsit77i;ar Z
= Sx,
+
4x2 slrjero a
Se analizara esta afirmacion despues del Ejemplo 1.
y x , 1 0,
0. Este problema de programacion lineal se ajusta a la forma normal. La tabla simplex inicial es xi xz sl s2 sg Z b Cocienres 1 1 0 0 0:20 20 + 1 = 20. 35+2=Y. saliente no existe cociente puesto que -3 no es positive. X2
2
indicadores variable entrante El indicador mas negative, -5, aparece en la columna x,. Por ello, x , es la variable entrante. El menor cociente es Y ,de mod0 que, s, es la variable saliente. El elemento pivote es 2. Utilizando operaciones elementales sobre 10s renglones para obtener un 1 en la posicion del pivote y 0 en las demiis posiciones de esa columna, se tienen
1 1 -3
t 0
3
1
0
0
0 0120 0 0 Y 1 0 1 1 2
1
1
0
:
........................
i
-5
-4
0
0
0
1 : 0
0
f
1 0 0
-
3
0 0
$
1
0 0 0
0
1 ; J p
1
0
: 3 : 13"
I
I
- _ - _ - _ _ _ _ - _ _ - - _ - _ - _ - I - - -
-
0
-
0
$
La nueva tabla es variable saliente
+
indicadores
variable entrante
(multiplicando el renglon 2 por un
3)
(sumando a1 renglon uno el renglon 2 multiplicado por -1; sumando a1 renglon tres el renglon 2 multiplicado por 3; sumando a1 renglon cuatro el renglon dos multiplicado por 5).
9.4
34 1
El rnetodo simplex
Obskrvese que en el lado izquierdo, x , reemplazo a s,. Ya que - $ es el indicador mar negativo se debe continuar con el proceso. La variable entrante es ahora x 2 . El menor cociente es 5. De rnodo que s , es la variable saliente y el elernento pivote. Utilizando operaciones elementales sobre renglones, se tiene
-
["
+, 0 0
1
-4
-1
1 4
-5
0 0 1
0 0 0
8
;
15 52
I
95
1
........................
O
O
I 0
O 2 -1
-1
1
0 0
I
:
(sumando a1 renglon dos el renglon uno rnultiplicado por -1; surnando al renglon tres el renglon uno rnultiplicado por -5; sumando a1 renglon cuatro el renglon uno multiplicado por 3 )
0 1 5 0115
(muliplicanclo el renglon uno por 2).
0
0
3
1 0 1 : 9 5
La nueva tabla es XI
32
~2
-0 1 0
1 0 0
2 -1 -5
-1 1 4
0
0
3
1
Z b 0 0 1 50 0115 1 0 1 5 2
0
1195-
indicadores en donde x , reernplazo a s , en el lado izquierdo. Como todos 10s indicadores son no negativos, el valor maxirno de Z es 95 y aparece cuando x 2 = 5 y x , = 15 (y s, = 52, s, = 0 y S , = 0). Resulta jnteresante observar que 10s valores de Z "mejoraron" progresivarncnte en las sucesivas tablas del Ejemplo 1. Esos valores son 10s elementos del ultimo renglon y la ultima colurnna de cada tabla. En la tabla inicial se tenia que Z = 0. A partir de aqui se obtuvieron Z = = 87 4 despues Z = 95, el maxirno. En el Ejemplo 1 podria el lector preguntarse por que no se consider6 el cociente del terccr renglon de la tabla inicial. La S.F.B. para esta tabla es
reflejan que para la siguiente en donde x , es la variable que entra. Los cocientes 20 y S.F.B. se tiene x , 5 20 y x , 5 y . Puesto que el tercer renglon representa la ecuacion s, = 12 + 3x, - x 2 y x , = 0, entonces s, = 12 + 3x,. Pero s, 2 0 de rnanera que, 12 + 3x, 2 0, lo cual irnplica x , r - = -4 . E n consecuencia, se tiene
342
9
PROGRAMACION LINEAL
Por lo tanto, he puede aumentar x,cuando mucho cn 9. La condieion s , r -4 no tiene illfluencia en la deterrninacion del aumento maximo en s,. Esta es la ra/o11 polla cual el cociente 12/(-3) = -4 no se considera en el renylon tres. En general. no .SL> considem ning~it? cocietire yaru 1/11 renglon si el elei~let~ro de et7ri.onle es negalivo (0, por supuesro, 0).
/IN
c~o111111nu de /(I v~t.iahlc
Aunque el procedimiento simplex que se present0 en esta seccion sc aplica solo a problemas de programacion lineal que se encuentran en forma normal, se puedcn adaptar a esta otras distintas formas. Supongase que una restricci6n es en donde b > 0. Aqui, el simbolo de desigualdad es " r " y la constante del lado derccho es negurivu. Por consiguiente, la restriccion no esta en su forma normal. Sin embargo, multiplicando ambos lados por -1 resulta
la cual riene la forma apropiada. Consecuentemente, antes de aplicar el metodo sin]plex es posible que sea necesario replantear alguna restriccion. En la tabla simplex es posible que haya varios indicadores que coinciden en ser 10s mas negativos. En este caso se elige cualquiera de ellos para encontrar la columna de la variable entrante. De la misma manera, es posible que haya varios cocientes que coinciden en ser 10s menores. Se puede elegir cualquiera de esos cocientes para encontrar la variable saliente y el elemento pivote. En el Ejemplo 2 se ilustra esto. Cuando existe un empate para el menor cociente, entonces, junto con las variables no basicas, una S.F.B. tendria una variable basica igual a 0. En este caso se dice que la S.F.B. es degenerada, o que el problema de programacion lineal es degenerado. En la Seccion 9.5 se abunda en este punto. EJEMPLO 2
La restriccion (10) no se ajilsta a la forma normal. Sin embargo, multiplicando ambos lados de (10) por -1 resulta que sitiene la forma apropiada. Consecuentemente, la tabla simplex inicial es la Tabla 1. TABLA SIMPLEX I variable saliente
x l
i
2
X,
X?
31
32
Q 2
0
1
0
Z
b
-------------
0 indicadores
T variable entrante
0
l l 0
Cocienres
9.4
343
El metodo simplex
Ida variable entrante es x,. Dado que existe un ernpate en el mcnor cocien~e,se puedc elegil- cualquiera dc 10s dos, s , o s,, corno la cariable saliente. Se escogc s ! . Se encierra en un circulo el pivote. Utilizando operaciones elementales sobre renglones. sc obticne la Tabla 11. TABLA SIMPLEX I [
variable saliente
xl
x2
x3
4
1
0
1
0
0
s1
-1
0
Z 0
b 5
1
0
0
s2
I
Cvcier~res no hay cociente puesto que 0 no es positive. 0+1;0.
- - - - - - - - - - ; . -
2 0, 1 2 0
/ indicadores variable entrante
La Tabla I1 corresponde a una S.F.B. en la que una variable basica s , es cero. Por ello, la S.F.B. es degenerada. Ya que existen indicadores negativos, se continua el proceso. La variable entrante es ahora .u,, la variable saliente es s, y el pivote se encuentra encerrado er un circulo. Utilizando operaciones elementales sobre renglones, se obtiene la Tabla : 11. TABLA SIMPLEX 111 X,
x3
~2
Z b 0 0 ; 5 1 0 1 0
s2
$1
4 -1
indicadores En virtud de que todos 10s indicadores son no negativos, Z es maxima cuando x, = 5 y x , = 0, y x , = s , = s, = 0. El rnaximo valor es Z = 20. ObsCrvese que este valor es iglial al valor de Z correspondiente a la Tabla 11. En problemas con degeneracion es posible llegar a1 mismo valor de Z en varias etapas del proceso simplex. En 10s Ejercicios 9.4, se pide resolver este ejernplo utilizando s2 corno la variable saliente en la tabla inicial. Debido a su naturaleza mecanica, el procedimiento simplex se adapta con facilidad a las cornputadoras, y permite resolver problemas de programacion lineal que irnplican rnuchas variables y rnuchas restricciones.
L1tilice el mt;lodo sirrrplex para resolver 10s siguientes prob1en:as.
1. Maximizar Z =
Xl
+ 2x2
sujeta a 2x1 2x1
+ +
. ~ 25 8 , 3x2 5 12,
. x , . .rz 2 0.
2. Maximizar
3. Maximizar
Z=2x1 + x 2 sujeta a -XI xz 5 4 ,
+
XI
+ ~ 2 5 6, X I , X2 2
0.
Z = -x,
sujeta a .rl -XI
+ 3.r:
+
X.
+
X- 5
.x:.
6. 1. .x: 2 0 5
4. Maxirnizar
z = 3x1 +
5. Maximizar
z
8x2
sujeta a XI XI
+
2x2
5
8,
+ 6x2 5 12, XI, X2
7. Resolver el problerna del Ejernplo 2 utilizando s2 corno la variable saliente en la Tabla I.
z
+
X2 5
Xl
-
X2
1, 1, X l - X2 2 -2, .X, 5 2, x,. .r2 2 0.
= Xl
X,
-
12x2
+ +
16. Maxirnizar = 4X1 sujeta a
z
x,
+
Xl
+
X,
loxz - 6x3
+ Xj
+
~2
x, - x2
+
+
12 5
+
w
X,
-
+
+ 5 6, + x3 5 10, ~3
~2
+
X2 X3
2x3
+ + +
x3 r -2, X, 5 4, 2x3 5 6, X2, X j 2 0.
15. Maxirnizar Z = 60x1 + 0x2 sujeta a X l - 2x2 XI
X3
X2 -
XI,
- X3
-
Xz
5 1, 2x2 - x 3 1 -2, X,, X2, X j 2 0.
XI
x2 - x3 5 4, xl, x2, .r3r 0.
-
x,
+
+
4, .r254, + 5x2 5 40, + ~2 5 6, X l , X2 2 0. -
9. Maxirnizar Z = 2x1 sujeta a s, + X2
12. Maxirnizar W = 2x, sujeta a - 2r, + x2 X I - X,
X2
14. Maxirnizar = 4X1 + 0x2 sujeta a
+ 4X3
sujeta a 4x1 + 3x2 - ~3 5 1, s, x2 - x 3 1 -2, -xl x2 x3 r -1, xl, x2, x3 10.
-
=
-xl 8.rl 2x1
5
13. Maxirnizar
XI
+
sujeta a
XI
31
Z = 2x1 - x2 + x3 sujeta a 2x1 x: - X j 5 4, x, + x: + x3 5 2 , X,, X2, X3 2 0.
z
sujeta a
w
8. Maxirnizar
11. Maxirnizar
+ 2x2
= -XI
+
+
1 0
10. Maximizar
6. Maxirnizar Z = 2x1 - 6 . ~ ~ sujeta a ,XI - ~2 1 4 , I ,X2 5 4 , XI + ~2 5 6! x,, X2 2 0.
+
8x1 2x2 sujeta a XI - x 2 5 1, XI + 2x2 5 8, .XI x2 5 5, X l , X2 2 0. =
+
X3 -
+
90x3 5
5 X,'
5
2x4 5
XI, X2, X3, X', 2
+ 0.X4
2, 5, 4, 7, 0.
- X4
51, 52, X2 - X3 X4 5 4, XI, x2, x3, x4 1 0. X2
- X4
+ +
X4
17. Una cornpailia de carga rnaneja envios para dos cornpafiias, A y B, que se encuentran en la rnisrna ciudad. La empresa A envia cajas que pesan 3 libras cada una y tienen un volurnen de 2 pie3; la B envia cajas de 1 pie3 con peso de 5 libras cada una. Tanto A corno B hacen envios a 10s rnisrnos destinos. El costo de transporte para cada caja de A es $0.75, y B es $0.50. La cornpafiia transportadora tiene un camion con espacio de carga para 2400 pie3 Y capacidad m h i m a de 9200 libras. En un viaje,
jcuantas cajas de cada ernpresa debe transportar el carnion para que la cornpafiia de transportes obtenga el rnaxirno de ingresos? jCual es este maxirno? 18. Una cornpailia fabrica tres productos: X, Y y Z. Cada product0 requiere de 10s tiernpos de rnaquin a y tiernpos de terrninado que se presentan en la tabla que aparece enseguida. Los ndrneros de horas de tiempo de rnaquinas y de tiernpo de terminado disponibles por mes son 900 y 5000, respectivamente.
9.5
Degeneracion, soluciones no acotadas, soluciones optimos multiples
glin se seiiala en la tabla que aparece enseguida. La compaiiia dispone de 400 unidades de madera, 500 de plhstico y 1450 de aluminio. Cada silla, mecedora y sofa se vende en $7, $8 y $12, respectivamente. Suponiendo que pueden venderse todos 10s muebles, determine un programa de production que permita maximizar 10s ingresos totales. ~Cualesson 10s ingresos miximos?
La utilidad por unidad X, Y y Z es $3, $4 y $6, respectivamente. i C d l es la utilidad mixima a1 mes que puede obtenerse? Tiempo de miquina
X Y Z
Tiempo de termlnado
l h 2h 3h
345
3h 4h 8h
Madera
19. Una compaiiia fabrica tres tipos de muebles para jardin: sillas, mecedoras y sofas. Cada uno de estos articulos requiere madera, plastic0 y aluminio, se-
Silla Mecedora Sofa
1 unidad 1 unidad 1 unidad
Piastico
Aiuminio
1 unidad I unidad 2 unidades
2 unidades 3 unidades 5 unidades
9.5 Degeneracion, soluciones no acotadas, soluciones optimas multiples*
-
En la seccion anterior se sefialo que una solucion factible basica es degenerada si, junto con una de las variables no basicas, una de las que si son basicas es 0. Supongase que x , , x 2 , x , y x , son las variables de una S.F.B. degenerada, en donde x , y x , son basicas y x , = 0 y x , y x , son no basicas, x , es la variable entrante. La tabla simplex correspondiente tiene la siguiente forma: variable saliente
XI
x4 Z a14 O a24 0
x2
indicadores
'\
:
b
1
O 0 + a13 = 0 . a
'variable entrante
Asi, la S.F.B. es
Supongase que a , , > 0. Entonces, el menor cociente es 0 y se puede elegir a,, como el elemento pivote. En consecuencia, x , es la variable saliente. Aplicando operaciones elementales sobre renglones se obtiene la siguiente tabla, en donde 10s signos de interrogacion representan numeros que deben determinarse.
* Puede omitirse esta seccion.
B.F.S.,, Z = d
Para la S.F.B. correspondiente a csta tabla, x , y x 2 son variables basicas y x , y s, son no basicas. La S.F.B. es x3 = 0 , x2 = a, x, = 0 , s4 = 0 , que es la misma S.F.B. anterior. En realidad, por lo general se les considera distintas S.F.B. en donde la unica diferencia es que x , es basica en la primera y es no basica en la scgunda. El valor de Z para ambas S.F.B. es el mismo, d,. Por lo tanto, no se obtiene ningtin "mejoramiento" en Z. En una situacion con degeneracion pueden presentarse problemas en el procedimiento simplex. Es posible obtener una secuencia de tablas que corresponda a S.F.B. que tengan el mismo valor de Z. Ademas, es posible que en algunos c ~ s o el s procedirniento implique volver a la primera tabla de la secuencia. En la Figura 9.20 se llcga a la S.F.B.,, se pasa a la S.F.B.,, a la S.F.B., y finalmente se vuelve a la S.F.B. ,. A esto se le denomina ciclos. Cuando se presentan ciclos es posible que nunca se obtenga el valor optirno de 2. Esta situacion se presenta en raras ocasiones en 10s problemas practicos dc programaci6n lineal. Sin embargo, existen tecnicas (que no se consideran en este texto) para eliminar este tipo de dificultades. Se presenta una S.F.B. cuando dos cocientes de una tabla simplex estan empatados, teniendo el menor valor. Por ejernplo, considkrese la siguiente tabla (partial):
x3
Cocientes
Aqui, x , y x, son variables basicas. Supongase que x , es no basica y es la variable entrante y que p , / q , y p 2 / q , son iguales y tambikn son 10s menores cocientes implicados. Eligiendo q , como el elemento pivote, mediar~teoperaciones elementales sobre renglones se obtiene
Puesto que p , / q , = p , / q , , entonces p 2 - q 2 ( p , / q , )= 0. Por consiguiente, la S.F.B. que corresponde a esta tabla tiene x, = 0, lo cual arroja una S.F.B. con degeneracidn.
9.5
Degenerocion, soluciones no ocorodos, soluciones optimos mljltiples
347
Aunque una S.F.B. corno esta puede irnplicar la introduccion en un ciclo en este libro no se hallaran situaciones corno estas. Se consideran ahora "10s problernas no acotados". En la Seccion 9.2 se vio que u n problenia de programacion lineal puede no tsnsr lalor masimo debido a yue la region factible tiene tal forrna que la region objetivo puede llegar a ser, dentro de ella, arbitrariarnente grande. En este caso, se dice que el problerna tiene una solucion no acolada. Esra es una fol.tiia de decir espscifi~arnentsqus no exists jolucibn optima. Se pre\enta esta situacion cuando no ha!. sosisntss pohible, sn la tabla simple\ para una variable que entra. Por ejernplo, considerese la siguiente tabla:
indicadores \ ariable entrante
Aqui, s 2es la variable entrante y, para cada aumento de una unidad en x?,Z aurnenta en 5 . Puesto que no hay elernentos positives en 10s primeros dos renglones de la columna s,,no evisten cocientes. De 10s renglones 1 y 2 se obtiene
x, = 1
Y
-
4x,.
En la S.F.B. para esta tabla, x, = 0. Por ello, x , = 5 + 3x2 y x, = 1. Como, x i r 0, entonces x 2 r - 5 . Por ello, no existe limite superior para x,. De ahi que, Z puede tomar valores arbitrariamente grandes y se tiene una solucion no acotada. En general:
I
Si no evisten cocientes en una tabla simplex, entonces el problema de prograniacion lineal tiene una solucion no acotada.
EJEMPLO 1 Musimrzut~Z
=
s
, + 4x2
-
x, sujetu u
~ 5 x 1+ 6x2
-
2x3 5 30,
La tabla simples inicial es x,
xz
x,
s,
.s2
saliente
T
indicadores
variable eiiirante
Z
b
Cocientes
La segunda tabla es XI
~2
-3
0
t
S~
~2
Z
-2
2
1 0
0 0
9
0
~g
- 14
4
b
;
6 4
I
no existe cociente. no existe cociente.
1 : 1 6
indicadores
variable entrante Aqui, la variable entrante es x , . Puesto que 10s elementos de 10s primeros dos renglones de la columna de x , son negativos, no existen cocientes. Asi, el problema tiene una solucion no acotada.
Se concluye esta seccion con un analisis de "soluciones optimas multiples". Supongase que x1 = a l , x2 = a 2 , . . . , x, = a,
son dos S.F.B. diferentes para las cuales Lln problema de programacion lineal es optimo. Por "diferentes S.F.B." se quiere decir que a, # 6 , para alguna i, en donde 1 5 i 5 n. Puede demostrarse que 10s valores x, = (1 - t)a,
para cualquicr
f
+ tb,,
en donde 0
5 t
1,
tambikn dan una solucion optima (aunque puede no necesariarnente ser una S.F.B.). En consecuencia, existen soluciones (optimas) multiples para el problema. Es posible dererminar la posibilidad de obtener soluciones optimas multiples a partir de una tabla simplex que tenga una solucion optima, tal como la tabla (parcial) que aparece enseguida:
Z
~
O 0 a 0, indicadores
1 : r l
Aqui, a debe ser no negativa. La correspondiente S.F.B. es Xl
= PI,
x2
=
q,,
Xl
=
0,
x4 = 0,
y el valor maximo de Z es r. Si se convirtiera x , en basica, el indicador 0 de la columna de x, significa que para cada aumento de una unidad en x, no se produce ningun
9.5
349
Degenerocion, soluciones no ocotodos, soluciones 6p:imos multiples
cambio en Z. Por lo tanto, se puede encontrar una S.F.B. en la que x , sea basica y el correspondiente valor de Z sea el mismo que antes. Se hace esto considerando a x, como la variable que entra en la tabla anterior. Si, por ejemplo, x , es la variable saliente, la nueva S.F.B. tiene la forma
Si esta S.F.B. es diferente de la anterior, existen soluciones multiples. De hecho, de las Ecuaciones ( 1 ) una solucion optima esta dada por cualesquiera valores de s,,x z , x 3 y x,, tal que Xl
= (1 - t)p,
en donde
+
t . 0 = (1 - t ) p , ,
0 5 t 5 1.
Observese que cuando r = 0 se obtiene la primera S.F.B. optima; cuando t = 1 se obtiene la segunda. Por supuesto, es posible repetir el procedimiento utilizando la tabla correspondiente a la ultima S.F.B. y obtener mas soluciones optimas utilizando las Ecuaciones (1). En general: En una tabla que contiene una solucion optima, un indicador cero para una variable no basica sugiere la posibilidad de que existan soluciones optimas multiples.
EJEMPLO 2 Maximizar Z = - x ,
+ 4x2 + 6x3 sujeta a
La tabla simplex inicial es xl
x2
x3
s 1 s2 Z
b
Cocientes
6 + 3 = 2 . 10 + 1 = 10.
7 variable entrante
indicadores
350
9
PROGRAMACION LINEAL
Dado que existe un indicador negativo, se continua. XI
3
x2
x3
@
1
Z 0 0
h2
S,
0 1
-3
:
b 2
,
81
Cociet~les 2 t 3 - 3. no existe cociente
/ indicadores variable entrante Todos 10s indicadores son no negativos y , por consiguiente, se tiene una solucidn optima para esta S.F.B. ~3 = 2, s2 = 8, X, = 0 , X? = 0, S , = 0, y el ~ a l o rnaximo r d e Z es 12. Sin embargo, ya que x, es una variable no basica y su indicador es 0, se verifica la existencia de soluciones m~iltiples.Considerando a x , como
variable entrante, se obtiene la siguiente tabla:
.x,
xz
~3
SI
S?
b
Z
I
I
La S.F.B. es aqui (para la cual Z = 12, igual que antes) y es diferente de la anterior. Consecuenternente. esisten soluciones n~ultiples.Dado que solo interesan los valores de las variables estructurales, se tiene una solucion optima x, = ( 1 - t ) . O t . 0 = 0,
+
para cada valor de t , en donde 0 5 r 5 1. (Por ejemplo, si t 0, x , = 4 y x3 = 1 es una solucion optima.)
=
8,
entonces x ,
-
E n la ultirna S.F.B. x, es no basica y su indicador es 0. Sin embargo, si se repitiera el proceso para deterrninar otras soluciones optirnas, se volveria a la segunda tabla. P o r ello, el procedimiento no ofrece otras soluciones optimas.
Eli 105 P~.obIe~??as 1 y 2, irlproblema de progra~nacionlineal asociado ( I la tabla que se presenra produce cleger~~~rcrcrdrr? SI rr as( i p o r q~re?
1.
-1-2
1
S,
1
indicadores
5:
z
I 0 ; 3
indicadores
9.6
Variables artificiales
4. Maximizar
3. h l a i i ~ n i z a ~
z = 2x1 + 7x2 4, 5 6, 5
X2
Xl XI
X? -
- 6x2 XI,
Z = 6x1 sujeta a 2x1 -4xI -
x3
2
+
J C ~5
X2,
X3
2
-4, 8,
0.
+ 2x2 + . ~ 3
+ X2 + X j 5 7, 1 2
Xl,
4,
I, X2, 2
0.
X2
X2
7. Maximizar
z = 5x1 + 6.r2 +
xz,
X3
r -6, 2 0.
8. Maximizar
z
+ +
P = 4x1 sujeta a X,
+
3x2
+
2x3
+
= 2Xl X2 - 4x3 sujeta a 6,x1 + 3x2 - 3x3 110,
.Y3
sujeta a 9x1 3.r2 - 2 y 3 5 5. 4rl 2~~- . r 3 1 2 , XI - 4 x 2 + X 3 5 3 . .TI, XI, -1-3 2 0.
+
,Tj
15,
- X2
x2
-
XI
-
x,, 11. Una compaiiia fabrica tres tipos de muebles para jardin: sillas, mecedoras y sofas. Cada mueble requiere madera, plastico y aluminio segun se seiiala en la tabla que aparece enseguida. La compaiiia dispone de 400 unidades de madera, 600 de plastico y 1500 de aluminio. Cada silla, mecedora y sofa se vende en $6, $8 y $12, respectivamente. Suponiendo que se pueden vender todos 10s muebles, jcuAl es el mkximo de ingresos totales que puede obtenerse? Determine
-9.6
= 3x1 - 3x2 sujeta a x, - X2 5 4, -x, + X2 5 4, X I + 1 2 5 6, XI, X2 2 0.
+ 5 4. 8xl + 5x2 5 40, xl + x? 1 6 ,
10. Maximizar
9. Maximizar
z
5
Xl -
+ x2 + 2,x3 + 4.r3 5 6,
Z = 4x1 sujeta a x, - xz
5. Maximizar
+ X2
-XI
1 8, 2 0.
5x1
6. Maximiz-ar
= Xl
sujeta a
wjeta a 4x1 - 3x2 3x1 - ,YZ x,,
z
x3 2x3
+
2. 54. 2 0. 5
X.,
X2, X3, X',
10s posibles programas de produccion que generarian estos ingresos.
Silla Mecedora Sofa
Madera
Plastico
Aluminio
1 unidad unidad 1 unidad
1 unidad
2 unidades
1 midad
3 unidades 5 unidades
2 unidades
Variables artificiales Para iniciar el metodo simplex se requiere una solucion factible basica. Para un problema normal de programacion lineal se comienza con la S.F.B. en la que todas las variables estructurales son cero. Sin embargo, en el caso de un problema de maxirnizacion que no se encuentra en la forma normal es posible que no exista una S.F.B con esa caracteristica. En esta seccion se revisa la forma en la que se utiliza el metodo simplex en este tip0 de situaciones. Considerese el siguiente problema: maximizar Z
= .K,
sujeta a x,
+ x2
5
9,
+ 2s2
y x , , x, r 0. Dado que la restriccion (2) no puede escribirse corno a , x , + u p , 5 b, en donde b es una constante no negativa, este problerna no puede plantearse en su forma normal. ObsCrvese que (0, 0) no es un punto factible. Para resolver este problema se comienza escribiendo las restricciones (1) y (2) en farma de ecuaciones. La restriccion (1) se convierte en
en donde s , es una variable de holgura y s, 2 0. Para la restriccion (2), x, - x, sera igual a 1 si se resta una variable de holgura no negativa s2de x , - x,. ES decir, restando s, se compensa el "excedente" del lado izquierdo de (2) de manera que se convierta en igualdad. Asi, X1 - X2 - S2 = 1, (4) en donde s, r 0. Ahora se puede replantear el problerna: maximizar Z = x, sujeta a x,
+ X2 + S,
X1 - X2
-
+ 2x2
=
9,
S2 =
1,
(5)
(7)
Y x , , X,, S , , S2 2 0.
Debido a que (0, 0) no se encuentra en la regi6n factible, no se tiene una S.F.B. en la que x, = X, = 0. De hecho, si se sustituyen x, = 0 y x, = 0 en la Ecuacion (7), entonces 0 - 0 - s, = 1, lo cual da s, = -1. Pero esto contradice la condicion de que s 2 r 0. Para iniciar el metodo simplex se necesita una S.F.B. Aunque no existe ninguna que sea evidente, hay un ingenioso metodo para llegar a una en forma artificial. Se requiere considerar un problerna de programaci6n lineal relacionado al que se denornina problema artificial. En primer lugar, se forma una nueva ecuacion sumando a1 lado izquierdo de la ecuacion en la que el coeficiente de la variable de holgura-es -1, una variable no negativa t. A tal variable t se le denornina variable artificial. En este caso se reernplaza la Ecuacion (7) por x , - x 2 - s2 + t = 1. En consecuencia, las Ecuaciones (6) y (7) se convierten en
en donde x , , x,, s , , s,, t r 0. Se encuentra una solucion evidente a las Ecuaciones (8) y (9) igualando x , , x2 y s, a 0. Esto da ObsCrvese que estos valores no satisfacen las Ecuaciones (6) y (7). Sin embargo, es evidente que cualquier solucion de las Ecuaciones (8) y (9) para la cual t = 0 arroja una solucion para las Ecuaciones (6) y (7), y vicerversa. Se puede obligar a r a ser igual a 0 si se altera la funcion objetiva original. Se define la funcion objetiva artificial corno
W = Z - Mt = xl
+ 2x2 - Mt,
(10)
9.6
353
Variables artificiales
en donde la constante M es un numero positivo grande. No es de preocupar el valor cspecifico de M, ya que no es necesario determinarlo, y se procede a maximizar W mediante el metodo simplex. Puesto que existen m = 2 restricciones (excluyendo las condiciones de no negatividad) y n = 5 variables en las Ecuaciones (8) y (9), cualquier S.F.B. debe tener cuando menos n - m = 3 variables iguales a cero. Se comienza con la siguiente S.F.B.: En esta S.F.B. inicial las variables no basicas son las variables estructurales y la variable de holgura que tiene coeficiente -1 en las Ecuaciones (8) y (9). El valor correspondiente de Wes W = x , + 2x, - Mt = -M, que es "extremadamente" negativa. Ocurrira un mejoramiento significative en W si se puede hallar una S.F.B. para la cual r = 0. Dado que el metodo simplex busca valores de W que sean mejores en cada etapa sucesiva, se aplica hasta llegar a una S.F.B., que sea mejor si es posible. Tal solucion ,era una S.F.B. inicial para el problema original. A fin de aplicar el metodo simplex a1 problerna artificial, primer0 se escribe la Ecuacion (10) como -xl - 2x2 Mt W = 0. (12)
+
+
La matriz l e coeficientes aumentada de las Ecuaciones (8), (9) y (12) es
La Ecuacion (1 1) ofrece una S.F.B. inicial. Obskrvese en el renglon 1 que cuando x , = x , = s, = 0, se puede leer directamente el valor de s , , a saber s, = 9. Del renglon 2 se tiene t = 1. Del renglon 3, MT + W = 0. Puesto que t = 1, entonces W = -M. Pero en una tabla simplex se desea que el valor de W aparezca en la ultima
columna y el ultimo renglon. No es el caso en (13), y por eso se modifica la matriz. Para hacer esto se transforma (13) en una matriz equivalente cuyo liltimo renglon tiene la forma x , X2 S 1 S? t W Es decir, la M de la columna de t se reemplaza por un 0. Como resultado, si x , = = s, = 0, entonces W es igual a1 ultimo elemento. Procediendo a obtener esta matriz, resulta
.w,
x2
1 -1-M
-2+M
s,
sz
t
W (sumando a1 renglon 3 el renglon 2
1
0
M
0
1
:-M
multiplicado por - M )
Enjeguida je re\isali lo9 sucesos. Si .v, = 0, s, = 0 y s2 = 0, enronces dcl religldn I je obtie~ies , = 9; del renglon 2, I = 1 ; y del rengldn 3, U = -,%I. Por lo tanto, ahora se tiene la tabla simplex inicial I . TABLA SIMPLEX I XI
X2
1
variable saliente
sl 1
sz 0
t
U'
0
0 1 9
Cocien tes 9 + 1 = 9 . l i l = l .
indicadores variable entrante A partir de este punto se puede utilizar el procedimiento de la Seccidn 9.4. Como M es un numero positivo grande, el indicador mas negativo es -1 - M. Por consiguiente, la variable entrante es x , . De 10s cocientes, se elige t como la variable saliente. Se encierra en un circulo el elemento pivote. Utilizando operaciones elernentales sobre renglones para hacer que la posicicin del pivote se convierta en un 1 p se conviertan en 0 las posiciones restantes de esa columna, Ee obtiene la Tabla 11. TABLA SIMPLEX I1 XI
variable saliente
-+
s,
X2
SI
S2
-
1 0
1 -1
0
-1
0
W [ I0
1
-3
7
r
W
M+l
1
Cocierites
I
1
8 + 2 = 4 . (no existe cociente, puesto que -1 no es ~ositivo).
indicadores
variable entrante De la Tabla 11, se tiene la siguiente S.F.B.:
Dado que t = 0, 10s valores s , = 8, x , = 1, x, = 0 y s, = 0 forrnan una S.F.B. inicial para el problerna original. La variable artificial ha cumplido su cometido. Para las tablas sucesivas se elimina la columna de t (ya que se desea resolver el problema original) y se cambian las W por tirminos Z (puesto que W = Z para t = 0). En la Tabla I1 la variable entrante es x,, la que sale es s , y se encierra en un circulo el elemento pivote. Utilizando operaciones elernentales sobre renglones (omitiendo la colurnna de t ) se obtiene la Tabla I11 TABLA SIMPLEX 111
indicadores
9.6
355
Variables artificiales
Como todos 10s indicadores son no negativos, el valor maximo de Z es 13. Osurrs ;uanl;lo 5 y s , = 4. Vale la pena repasar las etapas que se realizaron pard resolver el problema:
.Y, =
sujeta a
y x , > 0,
X,
2 0.
x,
+ x2 5 9,
x,
-
(14)
x2'1,
Se escribe (14) como
Como (1 5) implica el simbolo _> y la constante del lado derecho es no negativa, se escribe (15) en una fornia que tiene tanto una variable de holgura (con coeficiente -1) y una variable artificial.
La ecuacion objetiva artificial que se debe considerar es W inanera equivalente,
=
x,
+
2x, - M t , o de
La matriz aumentada de coeficientes del sistema formada por las ecuaciones (16)-(18) es
Enseguida se elimina la M de la columna de la variable artificial y se le reemplaza por 0 utilizando operaciones elementales sobre renglones. La tabla simplex I resultante, corresponde a la S.F.B inicial para el problema artificial, en el que las variables estructurales x i , x2 y la variable de holgura s2 (la que esta asociada con la restriccibn que implica el simbolo r ) son cada una igual a 0. TABLA SIMPLEX I
Las variables basicas s , y t que se encuentran al lado izquierdo de la tabla corresponden a las variables no estructurales de las Ecuaciones (16) y (17) que tienen coeficientes positivos. En este punto, se aplica el mktodo simplex hasta obtener una S.F.B. en la que la variable artificial t sea igual a 0. Despues se puede eliminar la columna de la variable artificial, cambiar las W a Zy continuar el procedimiento hasta obtener el valor maximo de 2.
-
EJEMPLO 1
L1tilizar el metodo si1tlp1e.u para maxirni;ar Z
-v x ,
+
2x,
=
x 2 sujeta a
0' X 2 2 0. Las ecuaciones para (19)-(21) implicaran un total de tres variables de holgura: s , , s2 y s!. Dado que (21) contiene el simbolo r y la constante del lado derecho es no negativa, su ecuacion implicara tambien una variable artificial t y el coeficiente de su \ariable de holgura s, sera - 1 . 2
Se considera M' = Z - Mt de manera equivalente,
=
2.u,
+ x,
-2x, . r 2
- Mt como la ecuacion objetiva artificial, o ,
+ Mt + W
=
0,
(25)
cn donde M es un numero positivo grande. Ahora se construye la matriz aumentada de coeficientes de las Ecuaciones (22)-(25).
Para obtener la tabla simplex 1, se reernplaza la M que se encuentra en la columna dt la variable artificial por cero sumando a1 renglon 4 el renglon 3 multiplicado por -M. TABLA SIMP,LEX I X1
1
X2
sl
s2
1 2
1 0 0
0 1 0
a
variable;)'[-: saliente
t W 0 0 0 ; 1 2 0 0 0 1 2 0 0 :
s3
- - _ - - - _ - _ _ - _ - _ - _ - - - - - - - - - - - - - I - - - -
W -2+M
-
-
?
0
0
indicadores
M
0
11-2M
I
Cocien tes 12 + 1 = 12. 20 + 2 = 10. 2 + 1 = 2 .
variable entrante Las variables s,, s, y t que se encuentran del lado izquierdo de la tabla I son las variables no estructurales con coeficientes positivos de las Ecuaciones (22)-(24). Como ,W es un numero positivo grande, -1 - M es el indicador mas negative. La variable en-
9.6
357
Voriobles ortificioles
trante es x,, la variable saliente es I y se encie~ra en un circulo el elemento pi\ ore. Continuando, se obtiene la Tabla 11. TABLA SIMPLEX I1 XI
variable saliente
0
x2 0
t
s1 1
s2 0
s3
t 1 - 1
W
Cocieri res 10 t 2 = 5 . 16 t 3 = 59.
indicadores
variable entrante La S.F.B. que corresponde a la tabla I1 tiene t = 0. Consecuentemente, se elimina la columna de t y se cambian las Wpor Z en las tablas siguientes. Continuando, se obtiene la tabla 111. TABLA SIMPLEX I11
-
indicadores Todos 10s indicadores son no negativos. Por ello, el valor maximo de Z es 17. Se presenta cuando x , = 5 y x, = 7 .
Cuando una restriccion de igualdud de la forma
alxl
+ az.r2 +
...
+ a,x,
= b,
en donde b r 0,
se presenta en un problema de programacion lineal, se utilizan variables artificiales en el metodo simplex. Para ilustrar esto, se considera el siguiente problema: maximizar Z
=
s,
+ 3.rz
-
2.r3
y x,,x,, x, 2 0. La restriccion (26) ya esta expresada en forma de ecuacion, de modo que no se requiere variable de holgura. Puesto que x , = x, = x, = 0 no es una solucion factible, no se tiene un punto inicial evidente para el procedimiento simplex. Dr manera que se crea un problema artificial aiiadiendo en prlmer termino una \,ariabie artificial t a1 lado izquierdo de la Ecuacion (26):
-
9
PROGRAMACION LINEAL
Aqui, una S.F.B. evidente es x ,
= .I-? =
.r,
=
0, r = 6. La funcion objetiva artificial es
en donde ,Mes un numero positivo grande. Se aplica a este problema artificial el procedimiento simplex hasta que se obtiene una S.F.B. en la que t = 0. Esta solucion ofrecera una S.F.B. inicial para el problema original y, en este caso, se puede proceder igual que antes. En general, pvede utilizarse el metodo simplex para maximirar Z = clxl
amlxI
+ c2x2 + . . - + c,.r,
+ am2.x2+ . . . +
( 5 ,2 ,
:I
= ) b,,
en donde x , , x,, . . . , x,, y b ,, b,, . . . , b,,, son no negativas. Los simbolos { s, r , = } significan que existe una de las relaciones " 5 ", " 2 " o bien " = " para una restriccion. Si todas las restricciones implican " 5 " el problema esta en su forma normal y se aplican las tecnicas simplex que se vieron en las seccio.nes precedentes. Si cualesquicra restricciones implican " r "o bien " = ", se comienza con un problenla artificial, que se obtiene d e la siguiente manera. Cada restriccion que contenga "5" se escribe en forrna de ecuacion incluyendo una variable de holgura s, con coeficiente + 1:
Cada restriccion que contenga " r " se escribe en forma de ecuacion incluyendo una variable de holgura s, con coeficiente -1 y una variable artificial t,:
ajlxl
+ ai2x2 + . . +
- s,
'
+
tj = b,.
Se inserta en cada restriccion de igualdad una variable artificial no negatlva t,:
Si, por ejemplo, las variables artificiales de este problema fueran, r ,, r ? , r 3 , entonces la funcion objetivo artificial es
W = Z - Mtl
-
Mtz
-
Mt;,
en donde M es un numero positivo grande. Se presenta una S.F.B. inicial cuando x , = .r, = . . . .r, = 0 y cada una de las variables de holgura que tienen coeficiente de - 1 son iguales a 0. Despues de obtener una tabla simplex inic~al,se aplica el procedimicnto simplex hasta llegar a la tabla que corresponda a una S.F.B. en la que todas las cariables artific~alessean 0. .4qui se eliminan las columnas de las variables artificiales. se cambian las W a Z y se continua el procedimiento segun se vio en las secciones precedentes.
9.6
359
Voriobles ortificioles
EJEMPLO 2
-
L1rili:~n-el 171Prodosilllples para ~l~a.vit)~i;ar Z = x, -.Y,
-
-I1 -
LI-? - Lr3 = .\-1
-
+ -
3s-
-
2 x , slrjera a
6,
(28)
.ri 5 - 2 ,
(29)
y x , , . v 2 , x q2 0 .
[_as restricciones (28) y (29) tendran las iorrnas que se indican en (27) [es decir, las b seran positivas] si se rnultiplican arnbos lados de cada restriccion por - 1 :
Corno las restricciones (30) y (31) irnplican " = k- 2 ", se requieren dos variables artificiales f , y r,. Las ecuaciones para sl problsma artificial son: "
"
Aqui, el subindice 2 d e s , refleja el orden d e la5 ecuaciones. La funcion objetivo artificial es W = Z - M t - M f , o , lo q u s s y s q u i ~ a l s n r e .
,
en donde M er un nilmero positivo grand?. La rcarriz aurnentada d e coeficientes de las Ecuaciones (32)-(34)es
Ahora, se utilizan operaciones elemenralss sobrs renglones para elirninar las M de ro. das las colurnnas de variables artificiales. Surnando a1 renglon 3 el 1 multiplicado por - M y surnando a1 renglon 3 el 2 multiplicado por -.L! se obtiene la tabla simplex inicial I. TABLA SI\IPLEN I XI
variable saliente
, t2
X2
S?
2
7
-
0
- - - - - - - - - - - - - - - - -- -1 - - -
-3-3M
2-iM
indicadores variable entrante
s2 f, f 2 W Cocienres 0 1 0 0 6 6+2=3. 2+1=2. -- - -1- - 0- - 1- - -0 - -; - -2- - ,\I 0 0 , 1 - 8 ~
:
I
30V
9
PROGRAMACION LINEAL
Continuando se obtienen las tablas simplex I t y 111 TABLA SIMPLEX 11 Variable saliente
XI
x2
-1
0
x3
@ -
/
1
S2
t1
t2
W
2
1 0
-2 1
0
-
1
Cocienr es 2 t 4 = 4 .
I
indicadores
variable entrante TABLA SIMPLEX -- --. - 111 -
variable saliente
XI
X2
x3
- -
A A
f2
tl
-2
f
4
indicadores
1
W
Cocienres . 1 1
1
2 7 % -
0 1 2
I
variable entrante Para la S.F.B. que corresponde a la tabla 111, las dos variables artificiales t , y t , son 0. Ahora se pueder, eliminar las columnas de r , y t , y cambiar las W por Z. Continuahdo se obtiene la tabla sinlplex IV. TABLA SIMPLEX 1V
indicadores Ya que todos 10s indicadores son no negativos, se ha llegado a la tabla final. El valor maxim0 de Z es 9 y aparece cuando x, = 0, x , = 3 y x , = 0.
Es posible que el procedimiento simplex termine y no todas las variables artificiales Sean 0. Se puede probar que, en esta situation, la region factible delproblema original es vacia y, en consecuencia, no existe solucion optima. Se ilustra esto en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3
Utilizar el merodo simplex para maximizar Z
-x, XI
y
x , , x-, 2 0-
=
2x,
+ n2 2 2, + 1, X 2 5
+
x , sujeta a
(35)
9.6
36 1
Variables ortificioles
Como la restriccion (35) de la forma a , , x , + a12x22 b ,, en donde b , r 0, se requiere de una variable artificial. Las ecuaciones que deben considerarse son
en donde s , y s , son variables de holgura y t , es artificial. La funcion objetivo artificial es U' = Z - M t , o , de manera equivalents.
La matriz d e coeficientes aumentada d e las Ecuasionss (36)-(38) es x1
X2
S1
1
-1
S?
f;
0
1
1t-
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-2
-1
0
0
1
.V
0
Las tablas simplex se presentan enseguida. TABLA S I M P L E S I X1
s,
X2
1 variable saliente
-
1
s2
t:
It'
0
1
0
o
0,
Cocientes 2 + 1 = 2 . l t l = l .
+ s2
-
-
-
7 indicadores
1
-2,
variable entrante TABLA SIMPLEX I1 x1
x2
S1
0 1
-1 0
S2
-1
11
W
1
0
;
1
1
indicadores Dcbido a que M es un n ~ i m e r opositivo grande, 10s indicadores de la tabla simpIev 11 son no negatives, es momento de terminar con el procedimiento simplex. El valor de la variable artificiaI t , es 1 . Por lo tanto, tal como se planteo antes, la region factiblc X2
del problema original es vacia y , por consiguiente, no existe solucion. Se puede obtener
este resultado en forma geomktrica. E n la Figura 9.21 se muestran las graficas de + x, = 1 para x,, x, r 0. Como no existe ningun punto (x,, x,) que quede simultaneamente por encima d e -x, + x, = 2 y por debajo de xl + x, = 1 tal que x,,x, r 0, la region factible es vacia y, consecuentemente, no existe solucion.
-xl + x, = 2 y x,
En la siguiente seccidn se utiliza el metodo simplex en problemas de minimizacidn.
Gri1ic.e el i~ielodos i ~ i i p l epara ~ ~ resolver 10s sig~iieniesprobletna.~.
1. Maxirnizar
2. Maximizar
z = 2 X 1 + X2
sujeta a X,
z=
+ x2 5 6, + x2 2 4, x2
2
x,, x2
sujeta a X,
+
X2
X,
-
2x2
X2
+ 4x3
+ X 3 5 9, + .x3 2 6, X2, X3 2
X,,
=
XI
- 10x2
-
0.
X 2 5
1,
+ 2x2 5 8, I , + x2 2 5. XI
I, nz, 2
z=
XI
X,
+ X,
XI
+
.Xi
- X,
0.
X,
+ 4x2
'0.
- 53
sujeta a 2X2 5 8, 6x2 2 12, S2 2 2 , XI. X? r O .
z
+
X2
-
x,
XI
-
X,
= -3x1 X,
-.
9. Maxirnizar Z = 3 x 1 - 2X2 sujeta a Xl
'
+
+ 2 x 2 + 3x3
x2 - 2 x 3 2 5, ~3 = 8, x,, x2, x3 r O.
x,
5, 3. x i = 7, X3 0.
+ +
+ .XZ +
XI
+ X3 5
+
sujeta a
z = X l + 4x2
Xl
X3
sujeta a
- X3 2
X I , X,.
10. I\.laxiniirar
+ XI +
x3 = 4,
XI, X2, X3
11. Maximizar
XI
+
sujeta a
sujeta a xi
x2
8. Maxirnizar
7. hlaxirnizar
z
-
6 . Maximizar Z =
-
2x2 X3 5 5, x2 X 3 2 1. x,. 12, X 3 2 0.
2 (!
z = 4X1 + X2 + 2x3 sujeta a 2xl + X2 + 3x3 5 10, XI
+ +
x,
-xl
5. Maxirnizar -
Xi
2x2 5 8,
+ 6x2 112,
0.
4. htlaxirnizar Z =
+
XI XI
+ x2
Z = 2x1 sujeta a
sujeta a
-XI
Xl,
3. Maximizar
+ 4x2
3X1
x,,
+ X3 +
X3
X,
~3
X3
+ X3
1, 1 2 , 5 - 6, 2 0.
5
12. Maxiniizar 2x2
z
=
XI
- 5x2
sujeta a 4, x2 = 4, .XI 2 6. xz 2 0.
- Xz 5
+ XI.
13. Una compafiia fabrica dos rnodelos de mesas para cocina: Contemporaneas y Tradicionales. Cada modelo requiere 10s tiernpos de ensamble y terminado que se dan en la tabla que aparece enseguida. Tambien se indica la utilidad sobre cada mesa. El numero de horas disponible a la semana en el departarnento
xl - 2rz 2 - 13,
-.r, X,
+ +
x 2 r 3, x 2 r 11, x,, x2 2 0 .
de ensarnble es 400 y en el departamento de terminado es 510. Debido a un contrato sindical, se le garantizan a1 departamento de terminado cuando menos 240 horas de trabajo a la semana. ~Cuantasmesas de cada rnodelo debe fabricar la cornpaiiia cada semana para rnaxirnizar las utilidades?
=
14. Una compafiia fabrica tres productos: X, Y y Z. Cada product0 requiere el uso de tiempo de maquina, en las maquinas A y B, segun se muestra en la tabla que aparece enseguida. El ndmero de horas a la semana que estan disponibles A y B para produccion son 40 y 30, respectivamente. La utilidad por unidad de X, Y y Z es $50, $60 y $75, respectivamente. Se deben fabricar para la siguiente semana cuando menos 5 unidades de Z . LCual debe ser el programa de produccion para ese period0 si se debe alcanzar la utilidad maxima? ~ C u a es l esta utilidad maxima?
Maquina A l h 2h 2h
Producto X Producto Y Producto Z
-
15. El anuncio de un fondo de inversion establece que todo el dinero se invierte en bonos con calificacion A, A A y AAA; no se invierte mas del 30% del total en 10s bonos A y AA, y se invierte cuando menos el 50% en A A y AAA. Los bonos A, AA y AAA producen rendimientos de 8%, 7%, y 6% anual, respectivamente. Determine 10s porcentajes de la inversion total que se deben comprometer en cada tipo de bono para que el fondo maximice su rendimiento anual. ;Cual es este rendimiento?
Maquina D l h I h 2h
Hasta este punto se ha utilizado el metodo simplex solo para ~nasimi,-arfunciones objetivo. En general, para ~ninimizaruna funcion ss suficiente maximizar el negativo de la misma. Para comprender por que considerese la funcion f (.u) = x' - 4. En la Figura 9.22(a) se observa que el valor minim0 ds f es -4 !. aparece cuando .u = 0. En la Figura 9.22(b) se muestra la grafica de g (x) = -f (x) = -(x2 - 4). Esta grafica es la reflexion de la grafica f sobre el eje de las x . Observese que el valor rnaximo de g es 4 y se presenta cuando x = 0. Entonces, el minimo valor de x 2 - 4 es el negativo del valor maxirno de -(x2 - 4). Es decir, rnin f = -mix(-f).
(a)
FIGURA 9.22
EJEMPLO 1
-
Utilizur el rnbtodo sin~plexpara lninimizar Z
-2J, -x, >.
r,.s- L 0 .
=
x,
+
2x2 sujetct a
1 1 ,
(1)
4- X2 1 2,
(2)
4- x2
366
PROGRAMACION LINEAL
9
en donde M PS un n~irneropositivo grande. La rnatriz aumentada de coeficientes de las Ecuaciones (9)-(11) es
Despues de deterrninar la tabla simplex inicial, se continua y se obtiene (despues de tres tablas adicionales) la tabla final: XI
X2
-C 0 0
S2
x3
6
0
$
1
1
: :
1,500,000 1,000,000 -575,000
indicadores Notese que se reemplaza W por -C cuando t , = 0. El valor maxirno de -C es -575,000 y aparece cuando x , = 1,000,000, x 2 = 1,500,000 y x , = 0. Por lo tanto, el costo anual mkimo de control de emisiones es -(-575,000) = $575,000. Se debe instalar el dispositivo A en 10s hornos que fabrican 1,000,000 de costales de cement0 anualmente y el dispositivo B se debe instalar en 10s hornos que fabrican 1,500,000 costales a1 afio.
U~iliceel tnelodo simplex para resolver 10s siguienles problemus.
I. hlinimizar
+ 6x2
Z = 3.rl
sujeta a -x, 1
,
.
2
sujeta a
~3
24,
XZ, x3 2
XI,
x2 2
5. Minimizar Z = Zr, sujeta a
+
X,
0.
1 2
+
=
8. Minimizar - x2 -
x,
3x3
+ 2x2 + + x2
XI
+
X3 X3
= 4, = 1, 1 6,
X2
XI,
= x,
sujeta a
sujeta a x,
z
X2, X j
2
0.
x] -
2r1
+
x2
X, x3
0.
+
4x1
-4, 5 5,
- 2x3
x3
5
4,
+ x2 +
2r3
sujeta a
5
- 3x3 2 6 , x, - X2 - 2r3 = 2, XI, x2, X j 2 0. ~2
6. Minimizar Z = 4x1
+ x2
-
XI
XI,
9. Minirnizar Z = XI
5 3,
14, 1,
XI
XZ,
+
sujeta a -XI
X 3
+ xj
+ Xl + xj 2
x,
x3 r 0.
+ X2
9,
I,,xz, x3 2 0.
+ xj 1 6 , -
XI
+ Zr2 + X3
X] - x2 - x3 2
+ 3x2 + x3
x,, x,
7. Minimizar
Z = 4x1
sujeta a
3x2 2 2,
x2
z
1 2 ~ ~
2 x 2 2 1,
XI,
z = x , + x2 + Zr3
+ 2r, -
+ +
2r,
10, 0.
4. hilinirnizar
XI
+
Z = 8x1
3. Minimizar
sujeta a
+ x2 2 6, + X? 2
.XI
2. Minimizar
+ +
xz
8x2
+
0. 5x3
+ x3 2 8,
2x2 + XI,
x3 2
x3 2
X2, X3
2
2? 0.
9.7
10. Vinimizai.
Minimizocion
+
Z = 4x1 4x7 + 6x3 ujeta a x, - xz - x, 5 3, x, - xz + X3 2 3, XI, xz, x, 2 0.
11. Una fabrica de cemento produce 3,300,000 costales o sacos de cemento a1 aiio. El horno emite dos libras de polvo por cada costal que fabrica. La planta debe reducir sus emisiones de polvo a no mas de 1,000,000 de libras por aiio. Hay dos dispositivos, A y B, para control de emisiones. El dispositivo A reduce las emisiones a 4 libra por sac0 y el costo es de $0.25 por costal de cemento que se fabrica. Para el dispositivo B, las emisiones se reducen a un 4 de libra por saco y el costo es de $0.40 por costal de cemento que se fabrica. Determine el curso de accion mas economico para la fabrica, de manera que conserve su produccion anual de exactamente 3,300,000 barriles de cemento. 12. Debido a un aumento en 10s negocios, una empresa que entrega alimentos a domicilio descubre que debe rentar dos camiones adicionales para hacer entregas. Las necesidades minimas son de 12 unidades de espacio refrigerado y no refrigerado, para un total de 24. En el mercado de arrendamiento de camiones hay dos tipos estandares de vehiculos. El tipo A tiene 2 unidades de espacio refrigerado y 1 unidad de espacio no refrigerado. El tip0 B tiene 2 unidades de espacio refrigerado y 3 unidades de espacio no refrigerado. Los costos por milla son de $0.40 para A y $0.60 para B. ~ C u a n t o scamiones de cada tipo se deben rentar para minimizar el costo total por miIla? ~ C u a es l el costo minimo total por milla?
13. Una empresa con ventas a1 menudeo tiene ventas en Exton y Whyton, y pose: almacenes A y B en otras dos ciudades. Cada tienda requiere que se le entreguen exactamente 30 refrigeradores. En el almacen A hay 50 refrigeradores y 20 en el B. Los costos de transporte para enviar refrigerzdores de 10s almacenes a las tiendas se presentan en la tabla que aparece enseguida. Por ejemplo, el costo de enviar un refrigerador de A a la tienda de Exton es de $15. LDe que manera debe la empresa ordenar 10s refrigeradores para satisfacer 10s requerimientos de las tiendas y minimizar 10s costos totales de transporte? ~ C u a es l el costo minimo de transporte?
Almacen A Almacen B
S15 11
S13 12
14. Un fabricante de automoviles adquiere baterias de dos proveedores, X y Y. El fabricante tiene dos plantas, A y B y requiere que se le entreguen exactamente 6000 baterias en la planta X y 4000 en la B. El proveedor X cobra 530 y $32 por bateria (incluyendo 10s costos de transporte) hacia .4 y B, respectivamente. Con estos precios, X requiere que el fabricante de automo\iles ordene cuando menos 2000 baterias. Sin embargo, X no puede proveer mas que 4000 baterias. El proveedor Y cobra $34 y $28 por bateria que envia hacia A y B respectivamente, y requiere se le pidan cuando menos 6000 baterias. Determine la forma en que el fabricante de automoviles debe ordenar las baterias necesarias para minimizar su costo total. ~ C u aes l este costo minimo? 15. Una compaiiia papelera vende su papel adornado para envolturas en rollos de 48 pulgadas de ancho, a 10s que se denomina rollos estandares, y corta esos rollos en anchuras menores, dependiendo de 10s pedidos de 10s clientes. Supongase que se recibe un pedido de 50 rollos de papel de I5 pulgadas de ancho y de 60 rollos de 10 pulgadas de ancho. De un rollo estandar la compaiiia puede cortar tres rollos de 15 pulgadas de anchura y uno de 3 pulgadas de ancho (vkase la Figura 9.23). Como el rollo de 3 pulgadas no se puede utilizar en ese pedido, a las 3 pulgadas se les considera como desperdicio de ese rollo. Anfilogamente, de un rollo estandar se pueden
cortar dos rollos de 15 pulgadas, 1 de 10 y uno de 8. Aqui, el desperdicio seria de 8 pulgadas. En la tabla que aparece enseguida se seAala el numero de rollos de 15 y 10 pulgadas, junto con el desperdicio, que se puede cortar de un rollo estandar. (a) Completar las ultimas dos columnas de la tabla. (b) Supongase que la compaiiia tiene cantidades suficientes de rollos estandar para satisfacer el pedido y que se cortaran cztando menos 50 rollos de 15 pulgadas y 60 de 10 pulgadas. Six,,x 2 , x , y x, son 10s numeros de rollos
-9.8
estandar que se cortan de la manera descrita en las columnas 1-4 de la tabla, respectivamente, determinense 10s valores de x que minimizan 10s desperdicios totales. (c) iCual es la cantidad minima de dcsperdicio total?
Desperdicio
3
8
-
-
El dual EGste un principio fundamental que se denomina de dualidad, que permite resolver problemas de maximizacion resolviendo un problema de minimization relacionado con aquel. Enseguida se ilustra esto. Supongase que una compaiiia fabrica dos tipos de arlefactos, manuales y electricos, y que cada uno de ellos requiere del uso de las maquinas A y R en su produccion. En la Tabla 9.2 se sefiala que un artefact0 manual requiere de 1 hora en la maquina A y 1 hora en la maquina B. Un dispositivo electric0 requiere de 2 horas en A y 4 horas en B . El numero maximo de horas disponibles a1 mes para las maquinas A y B son 120 y 180, respectivamente. Las utilidades para 10s artefactos manuales son de $10 y para 10s electricos so11 de $24. Suponiendo que la compafiia puede vender todos 10s artefactos que pueda fabricar, se determina la utilidad maxima mensual. Si x , y x 2 son 10s numeros de artefactos manuales y electricos que se fabrican a1 mes, respectivamente, entonces se desea maximizar la funcion mensual de utilidad sujeta a
4. s,, x 2 2 0. Escribiendo las restricciones (1) y (2) en forma de ecuaciones, se tiene
en donde s, y s, son variables de holgura. En la Ecuacion (3) x, + 2 x 2 es el numero de horas que se utiliza la maquina A . En virlud de que hay disponibles 120 horas de esta maquina, entonces s , es el numero de horas disponibles en A que n o se utilizan para produccion. Es decir, s , representa la capacidad no utilizada (en horas) para A. TADLA 9.2
Maquina A
Manuales Electricos Horas disponibles
l h 2h 120
Mdquina D l h 4h
180
UtilidadIUnidad
$10 $24
9.8
369
EI dual
Dc Inanera similar. s, reprcsenta la capacidad no urili~adade B. Resolviendo este problemci medianre el mn-itodo simplex, se encuentra que la tabla final es X1
X2
S,
8
S>
2
P
,
111320
indicadores Por consiguiente, la utilidad maxima a1 mes e i de 51320, y sc presenta cuando .\-, = 60 y .\-, = 30. ~ h o r ase , considera la situaci6n desde un punto dc vista diferente. Sup6ngase que la compaiiia desea rentar las maquinas A y B. ~ C u a es l la tarifa mensual minima que le deberian cobrar? Ciertamente, si la tarifa fuera demasiado elevada, nadie rentaria las maquinas. P o r otro lado, si la tarifa fusra dsniaiiado baja, puede que n o le resultara conveniente a la cornpafiia rentarlas. E\idsntemr.nts. la renia minima debe ser dc S1320. Es decir, lo minimo que la compaiiia dsbisra cohrar ss la utilidad que podria obtener utilizando ella misrna las maquinas. Ss pusds llsgar a esta cuota minima de rcnta en forrna directa resolviendo un problema 3 s programacion lineal. Sea R la cuota mensual total de renta. Para dsrfrminar R. supongase que la conipaliia asigna valores monetarios a cada hora de capacidad d s las maquinas A y B. Sean = 0. Entonces. el \.alor menJ y y , esos valores, respectivamente, en dond? . l . , . sual de la maquina A es 120y, y el de B c.s 180~. .. Ds aijui.
,
El valor total del tiempo de maquina para fabricar un artefacto manual es l y , t l.v,. Este debe ser cuando menos igual a 10s 510 de utilidad que la compafiia puede obtener fabricando ese artefacto. Si n o lo lopra, la compaiiia obter~driamas dinero utilizando el tismpo de maquina para fabricar un artefacto manual. Consecuentemente
De mod0 semejante, el valor total del tiempo de maquina que se requiere para fabricar un artefacto electric0 debe ser de cuando menos $24;
Por lo tanto, la conipaiiia desea minimizar R = 120yl
+
180y2
sujeta a
Y .v,, Y 2
'0.
Para rninimizar R , se maximiza -R. Puesto que las restricciones (5) y (6) tienen la forma a , y , + a,y2 > b, en donde b r 0, se considera un problema artificial. Si I-, y I-? son variables de holgura, y I , y t 2 son variables artificiales, entonces se desea maximizar U' = ( - R ) - M t , - MI,, en donde M es un ntimero positivo grande, tal
que y , + y, - r , + t , = 10, 2y, + 4y2 - r, + t , = 24, y las y, las r y las t son no negativas. La tabla simplex final para este problema (habiendo eliminado las columnas de las variables artificiales y habiendo cambiado las Urpor -R) es
indicadores Debido a que el valor maximo de -R es -1320, el valor minimo de R es -(-1320) = $1320 (tal como se anticipaba). Aparece cuando y , = 8 y y, = 2. Por consiguiente, ya se ha determinado el valor 6ptimo del problema de programacion lineal (maximizacion de utilidades) encontrando el valor optimo de otro problema (minimizacion de la tarifa de renta). Los valores y l = 8 y y , = 2 se hubieran podido anticipar a partir de la tabla final del problema de maximizacion. En (4) el indicador 8 de la colurnna de s l significa que, a1 nivel optimo de produccion, si s, aumenta en 1 unidad, entonces la utilidad P disminuye tambien en 8. Es decir, 1 hora no usada de capacidad para A disminuye la utilidad maxima en $8. Consecuentemente, 1 hora de capacidad de A vale $8. Se dice que el precio contable de una hora de capacidad de A es $8. Ahora, recordando que y , en el problema de la renta es el valor de una hora de capacidad de la maquina A. Por ello, y , debe ser igual a 8 en la solucion optima para ese problema. De manera similar, como el indicador de la colurnna de s, es 2, el precio contable de una hora de capacidad de B es $2, que es el valor de y , en la solucion optima del problema de la renta. Enseguida, se analiza la estructura de 10s dos problemas de programacion lineal: Maximizar
1
Minimizar
sujeta a
I
sujeta a
Observese que en (7) todas las desigualdades son Iper0 en (8) todas son r . Los coeficientes de la funcion objetivo en el problema de minimizacion son 10s ttrminos constantes de (7). Los tCrminos constantes de (8) son 10s coeficientes de la funcion objetivo del problema de maximizacion. Los coeficientes de las y , en (8) son 10s coeficientes de x, y x , en la primera restriccibn de (7); 10s coeficientes de las y, de (8) son 10s coeficientes de x , y x, en la segunda restriccion de (7). A1 problema de minirnizacion se le denomina dual del problema de maximizacion, y viceversa. En general, dado cualquier problema de programacion lineal, se le puede asociar otro problema de programacion lineal al que se le denomina su dual. Al problema dado se le denomina problerna original. Si el original es un problema de maximizacion, entonces su dual es de minimizacion. Analogamente, si el original es de minimizacion, entonces el dual es de maximizacion.
TABLA 9.4 Dual (Original)
TADLA 9.3 Original (Dual) Maximizar Z = clxl
+ clx2 +. . . +
cnxn
Minimizar
sujeta a
W
=
biyl
+ b,v2 + . . . + b,v,,
sujeta a
Cualquier problema de maximization pusde escribirse en la forma que se sefiala en la Tabla 9.3. Observese que no existen resrricciones para las b.* El problema dual correspondiente de minimizacidn se puede escribir en la forma que se seiiala en la Tabla 9.4. De forma semejante, cualquier problema de minimizacibn se puede expresar en la forma de la Tabla 9.4 y su dual es el problema de maximizacidn de la Tabla 9.3. Ahora, se cornparan el problema original !. su dual en las Tablas 9.3 y 9.4. Por conveniencia, cuando se hace referencia a resrricciones se quiere indicar las de (9) o (10); no se incluyen las condiciones de no negati\idad. Observese que, si todas las restricciones del problema original implican I ( r), enronces todas las restricciones de su dual implican r (I ). Los coeficientes de la funcion 0bjstii.o del dual son 10s terminos constantes de las restricciones del original. De mod0 similar, 10s terminos constantes de las restricciones del dual son 10s coeficientes de la iuncion objetivo del original. La matriz de coeficientes de 10s lados izquierdos de las resrricciones del dual es la rrunspuesra de la matriz de coeficientes de 10s lados izquierdos de las restricciones del original. Es decir, por ejemplo, T
Si el original implica n variables estructurales y m variables de holgura, entonces el dual implica m variables estructurales y n variables de holgura. Se debe observar que el dual del dual es el original. Existe una importante relacion entre el original y su dual: Si el original tiene solucion optima, tambien la tiene el dual, y el valor optimo de la funcion objetivo del original es la nlisma que la de su dual.
-
* Si una restriccion de desigualdad irnplica r , rnultiplicando arnbos lados por -1 se produce una gualdad que irnplica 5 . Si una restriccion es igualdad, se le puede escribir en terrninos de dos desigualdades: una que irnplique 5 y otra r .
Adema., si sc sul>onc que la funcicin o b j e t i ~ ode la original es Z = . . . cnx,,.
(.,,I-,
+
(,,.Y,- -
+
Si s , es la variable de holgura asociada con la i-esima restriccion del dual, eiitonces el indicador de la columna de s , de la tabla simple.; final del dual es el valor dc .u, de la solucion optima dcl original.
Ayi, se puedc resolver el problerna original simplemente resolviendo su dual. En ocasio-
nes esto resulta mas con\,eniente que resolver en forma directa el original. EJEMPLO 1 .
Ellcontrur el dual del siguienrr problema: n~uximizarZ = 3x1
2x1
+
2x2
+
+ 4x2 + 2x3
x 3 5 10,
y x , , x,, .u, 2 0.
El original es de la forrna de la Tabla 9.3. En consecuencia, el dual es minimizar W = 10yl
+
10y2
sujeta
YI
+ 2 ~ 22 3 ,
2y1
+ 2 ~ 22 4 ,
0 ~ 1+ Y2 Y Y , ,Y ,
2
'2 ,
0.
EJEMPLO 2
E'ncontl-ar el dual del siguiente problema: ~ninimizarZ
=
4x1
+ 3x2
sujeta a
3x1 - x*
L
2,
Como el original es un problema de rninirnizacion, se desea que las restricciones (12) y (13) impliquen 2 (vease la Tabla 9.4). Multiplicand0 ambos lados de (12) y (13) por
9.8
373
El dual
- 1 , se obtiene -1,- .\-: ( 1 3) se convierten en
2
-I
y J.u, - x , r -3. Por. lo tanto, la5 restriccioncb ( I 1)-
3x1 -
.U2 2
4xl -
.r2
2,
r -3.
El dual es rnaxirnizar W = 24'1 sujeta a
3y1 -
)'2
+
41;
-
5
3!.?
4.
EJEMPLO 3 Urilizm- el dual y el ~ l ~ e r o ds ion ~ p l e . ~ p u Ir Uu~ . Y I I I ~ I ;Z~ I = . 4.vI
Y
.r,,x2,xj 2
- .Y,
- . Y , sujeta a
0.
El dual es minimizar W = 4y,
+ 2y,
sujeta a
y y , , y 2 2 0. Para utilizar el metodo simplex se deben obtener consta;ites no negativas en (15) y (16). Multiplicando am'sos lados de (15) y (16) por - 1 , resulta
- y2 5 1. (18) Dado que (14) implica r , se requiere una variable artificial. Las ecuaciones correspondientes de (14), (17) y (18) son, respectivamente. J J ,
en donde r , es una variable artificial p s,,s, y s3 son variables de holgura. Para minimizar U'se maximiza - W . La funci6n objetivo artificial es U = (- W ) - Mt, en dclnde
M es un numero positivo grande. Despues de realizar 10s calculos se descubre que la tabla simplex final es -Y,
o
0 1
Y2 S , 1 -+ 0 0 - +
-w 9; a
S2
S3 --
1 o
-f
o
5
0 0 1 I
f
1
3
- - - - - - - - - - - - - - - - -I - - - - - - - .
0
0
4
0
1 , - 11 7 I
indicadores El alor rnaximo de - Wes - q, de mod0 que el valor minimo de W es y . Consecuentemente, el valor maximo de Z es tambien Y . Observese que 10s indicadores de las columnas s , , s, y s, son 3, 0 y 4, respectivamente. Por consiguiente, el valor maximo de Z aparece cuando x , = 3, x , = 0 y x , = +. En el Ejemplo 1 de la Seccion 9.7 se utilizo el metodo simplex para minimizar + 2x,, de manera que -2x, X2 2 1 ,
Z = x,
+
y x , , x , r 0. La tabla simplex inicial tenia 24 elementos e implicaba dos variables artificiales. La tabla del dual tiene solo 18 elementos y ninguna variable art~'ji'cialy es mas facil de manejar, como se muestra en el Ejemplo 4. Por ello, puede que se presente una ventaja considerable al resolver el dual para detcrminar la solucion del original.
EJEMPLO 4 Utilizar el dual y el tnetodo sin~plexpula rrlini171izur Z
-x, j,
s,,x , r 0.
+
=
x,
+
2x, sujetu a
2,
X.2 2
El dual es
+ 2y2
maximizar W = y, sujeta a
- 2 y , - y2 Y1
5
1,
+ Y2 5
2,
y y ,, y 2 2 0. La tabla simplex inicial es la tabla I.
)'I
variable saliente
_, wL;1
TABLA SIMPLEX I y2 s1 s2 W -1 1 0 0 ; 1
-2
0
0
/' indicadores variable entrante
I
:o]
Cocientes
9.8
El dual
Continuando resulta la tabla I1 TABLA SIMPLEX I1
indicadores Puesto que todos 10s indicadores de la tabla I1 son no negativos, el valor maximo dl W es 4. Asi, el valor minirno de Z es tambien 4. Los indicadores 0 y 2 de las columna s, y s, de la tabla I1 significan que el valor minirno de Z se presenta cuando x , = ( y x , = 2.
En 10s Problemas 1-8, ob enga 10s duales. No 10s resuelva.
1. Maximizar sujeta a XI
z = bl +
6,
XI
4, 2 0.
-XI
5
X 2 5
XI, X2
+ +
x2
X3 5
+ k25 13, + 2 3, s, + '11,
xi
-
~2
XI
X 2
Xl, X2
2
+
= XI XI
-xi
8x2
+ .x, + + 2x2 +
7. Minimizar
+ 4x3
+
Z = 4.rl
4. Minimizar
+ 5x3
Z = 8x1
sujeta a 2
~3
X3 2
XI, X2, X3
sujeta a
-xl
-XI
2
x2, X3
Z = xl - x2
sujeta a
I, 2. 0.
5
+
2x2 XI,
- X?
XI
z
sujeta a
6. Maximizar
5. Maximizar Z =
3. Maximizar X2 - X3
sujeta a
+ ~2
+
-XI
2. Maximizar
+ 3x2
z=
8, 2, 0.
'
+
~3
2
Xl, X2, *3
2
2x2
8. Minimizar Z = 6xi sujeta a
XI
- ~2
+
s,,X2.
2
X 3
2 0.
+ 3x2
+
3,
~3
'0.
-3x1 4x2 2 13x1 - 8x2 a 8
xl - .r2 - x3 5 3,
6, 0.
1,
2x2'
XI, X 2
+ 4x2 + 6x3
12r;
+ 3x2 2 2,
Xl
sujeta a x2 + x3 5 9,
+
2xl
+
x,,
x2 2
0.
En Ios Problemas 9-14, lleve a cab0 la resolucidn utilizando duales y el mdtodo simplex. 9. Minimizar Z = 4x, sujeta a x, -I,
+ 4.r2 + 6x3 + X3 2
X2
+ x, + X,,
x:,
X3 2 X 3
1, 2, 0.
'
10. Minimizar
+ x, sujeta a x, + 4x2 2 28, z
=.XI
2rl - X2 - 3 . ~ ~ 8x2
+
Z = 2x1
+ 6.~2
sujeta a 3.t1 + .x;
13. Minimizar Z = 6x1
2
X 2 2
XI,
12. Maximizar
'2,
+ 4x2
sujeta a .T2
5
12,
.r: 5 8. X . 2
2
0.
-x, x,
+ +
11. Maximizar Z = 3x1
+
8x2
sujeta a XI
+ 5 8, + 6x2 5 12, 2x2
XI
16:
2
XI, *2
0.
0.
14. Minimizar
+
X 2
X2
+
Z = x,
+ 2x3
sujeta a X2 X2
-XI, X 2
1, 3, 2 0. 5
2
x, -
-XI
.X,.
X 2
2
1. 2.
Xl. .X3 2
0.
+
Xj 5 X3
(
15. Una empresa esta comparando 10s costos de publicidad en dos medios de comunicacion: periodicos y radio. Por cada dolar de publicidad, la tabla que aparece enseguida presenta el numero de personas, por grupo de ingresos, que cada uno de esos medios de comunicacion alcanza. La empresa desea llegar a cuando menos 8000 personas de las que tienen ingresos de menos de $20,000 y a cuando menos 6000 de las que ganan mas de $20,000. Utilizar el dual y el metodo simplex para hallar las cantidades que debe invertir la empresa en publicidad en periodicos y en radio, para llegar a ese numero de personas, con un l el costo total minimo costo total rninimo. ~ C u a es de publicidad?
Periodicos Radio
Menos de $20,000
Mas de $20,000
40 50
100 25
16. Utilice el dual y el metodo simplex para determinar el costo total minimo por milla del Problema 12 del Ejercicio 9.7.
17. Una compafiia les paga a sus trabajadores calificados y semicalificados de su departamento de ensamble, $7 y $4 por hora, respectivamente. En el departamento de envios, a 10s empleados se les pagan $5 por hora y a 10s aprendices se les paga $2 por hora. La compafiia requiere de cuando menos 90 empleados en el departamento de ensamble y de cuando menos 60 en el de envios. Debido a acuerdos sindicales, se deben contratar cuando menos el doble de trabajadores semicalificados en comparacion de 10s calificados. Tambien, se deben contratar a cuando menos el doble de empleados de envios en comparacion con aprendices. Utilizar el dual y el metodo simplex para encontrar el numero de cada clase de trabajadores que la compafiia debe contratar para que el total de salarios por hora que se les paguen sea minimo. iCual es el total de 10s salarios por hora que es minimo?
Section 9.1
desigualdad lineal
Seccion 9.2
restricciones funcion lineal en x jr y problema de programacion lineal funcion objetivo solucion factible condiciones de no negatividad region factible linea de igual utilidad vertice region factible acotada region factible no acotada region factible no vacia region factible vacia linea de isocostos solucion no acotada
Seccion 9.3
solucion optima multiple
Secci6n 9.4
problema normal de programacion lineal variable de holgura variable estructural solucion factible basica variable no basica variable basica tabla simplex variable entrante indicador elemento pivote metodo simplex degeneracion variable saliente
Seccion 9.6
problema artificial
Seccion 9.8
precios contatiles
RESUMEN
sistema de desigualdades
variable artificial dual
funcion objetivo artificial
original
. -
La solucion de un sistema de desigualdades lineales consiste en todos 10s puntos cuyas coordenadas satisfacen simultaneamente todas las desigualdades. Geometricamente, para dos variables, es la region que es comun a todas las regiones determinadas por las desigualdades. La programacion lineal implica maximizar o minimizar una funcion lineal (la funcion objetivo) sujeta a un sistema de restricciones, que son desigualdades o ecuaciones lineales. Se present6 un metodo para encontrar la solucion optima de una region factible no vacia, y fue el metodo de 10s vertices. Se evaluo la funcion objetivo en cada uno de 10s vertices de la region factible y se eligio el vertice en el que la funcion objetivo es optima.
Para un problema que implica mas de dos variables, el metodo de Los vertices es o impractico o imposible. En cambio, se utiliza un metodo matricial denominado metodo simplex, que es eficiente y completamente mecanico.
PRODLEMAS DE REPASO
-
----
En 10s Problernas 1-10 resuelva la desigualdad o el sistema de desigualdades que se dun. 1. -3x
+ 2y>
-6.
2. .x
-
2))
+ 620.
3.
?y
5
4. -x < 2.
-3.
En 10s Problemas 11-18, no utilice el metodo simples. 11. Maximizar Z = x -- 2y sujeta a v-x52. .r y 5 4, ~ 5 3 , x, y 2 0.
12. Maximizar Z = 4s + 2). sujeta a x + 2?; 5 10, x 5 4, y 2 1. x, y 2 0.
13. Minimizar Z=2x-y sujeta a .r - y ? -2, x + j t 2 1, x - 2) 5 2. x, 4" 0.
15. Minimizar Z = 4.r - 3)) sujeta a x + q53, 2r + 3 ? ; 5 12, 5x + 8) 2 40. x, v 2 0.
*16. Minimizar Z = 2x + 2y sujeta a .r + y 2 4 , -x + 3 x 5 18, .r 5 6, x, ?. 2 0.
* 17. Maximizar Z = 9x 6y sujeta a x 2 ~ 5 8 , 3.r t Z y 5 12. 0. x, y
+
+
+
'
14. Minimizar
Z = .r t !. sujeta a .x 3 y 5 15. 3x + 2 ~ 3 517. .r - 5\ 5 0. X,\! 20.
+
18. Maximizar Z = 4.1 sujeta a .r + '2). 31 + 2y x, y
+\ 2 2 2
En 10s Problemas 19-28, ernplee el metodo simplex. 19. Maximizar Z = 4xl + 5x2 sujeta a 11 + 6x2 5 12. .ri + 2xz 5 8, x , , .r2 2 0.
20. Maximizar Z = 18x1 t 2 0 . ~ ~ sujeta a 2.rl + 3x2 5 18. 4.r 3x2 5 24. .r2 5 5, x,,.xz 2 0.
21. Minimizar Z = 2x, + 3a2 + x, sujeta a .rl + Lrz + 3.r3 2 6, .r,. X Z , x3 2 0 .
22. Minimizar Z = .rl + .r2
23. Maximizar Z = I, + 2x2 sujeta a 11 + .r2 5 12, xl + .r2 "5 5: .r I % 10, s,,.r> 0.
24. Minimizar Z = 2.rl + .r2 sujeta a I , + 2.r2 5 6, x, + .r2 2 1, x l , x z 2 0.
sujeta a i r , + 4.r2 2 24, -. .I-? 2 3, .x,. -1~: 2 0.
+
'
8, 12. 0.
378
PROGRAMACION LINEAL
9
25. Minimizar x,
-
+
X? -
3.x2
~
3
+ k3=
x,, X?, X)
+ 3.r2 + 2x3 sujeta a x, + x z + 4x3 2 6, 2xl + + 3x3 5 4, Z =
sujeta a 6x1
t27. Maximiza~
26. Maximizar
+ 2x2 + x3
Z = xl
- 15,
12, 1 0.
Z = x, sujeta a
.Y,
4.x, -loxl
X?
x,,
X2, X) 2
0.
+ 4x2 + 2x3 5
- X?
2,
+ X? + XI,
3 x 3 5 1, x,, x3 r O.
128. Minimizar Z = x 1 +sz
sujeta a x,
+ x2 + XI,
2x3 5 4 , x3 2 1, X?. X3 2 0 .
En 10s Problemas 29 y 30, resuelva usando duales y el metodo simplex.
29. Minimizar Z = 2x1
+
7x2
+
30. Maximizar
z
8x3
x, x,
+ 2x, + 3x, + +
= XI - 2x2
sujeta a
sujeta a
2 2
~2
~3
XI, X2,
X3 2
35, 25,
Y
-
+ 4x1 + Xl
0.
2 5 3, 2x2 5 4,
31. Una compafiia fabrica tres productos: X, Y y Z. Cada product0 requiere del uso de tiempo de maquina en las maquinas A y B, como se muestra en la tabla que aparece enseguida. El ndmero de horas a la semana que estan disponibles las maquinas A y B son de 40 y 34, respectivamente. iCual debe ser la produccion semanal, para que se maximicen las utilidades? ~ C d l e sson las utilidades maximas? 32. Repita el Problema 31 si la compaiiia debe fabricar cuando menos un total de 24 unidades a la semana.
M6qulna A Producto X Producto Y Producto Z
I h 2h 2h
Miiquina D l h l h
2h
2,
X2
x,, x2.
2
0.
33. Una compafiia petrolera tiene instalaciones de almacenamiento para combustible en las ciudades A, B, C y D cada una de las ciudades C y D necesita exactamente 500,000 galones de combustible. La compafiia determina que tanto A como B pueden sacrificar cuando mucho 600,000 galones para satisfacer las necesidades de C y D. E n la tabla que aparece enseguida se presenta el costopor galon, implicado en el transporte de combustible con el objeto de minimizar el costo total de transporte? iCual es el costo minimo de transporte?
Desde
Hacla A B
C $0.01 $0.02
D $0.02 $0.04
Terapias con farmacos y radiacion* Con frecuencia existen formas alternativas de tratamiento para pacientes a 10s que se les diagnostica un complejo especifico de padecimientos. Es posible que, para cada tratamiento, existan no solo efectos positivos, sino tambien negativos, tales como toxicidad o molestias. Un medico debe hacer la mejor seleccion entre esos tratamientos, o combinacion de tratamientos. Tal seleccion depende no solo de 10s efectos curativos sino tambien de 10s efectos negativos y o malestares. Supongase que usted es medico, que tiene bajo su cuidado a un enfermo de cancer y que existen disponibles dos posibles tratamientos: administracion de farmacos y terapia con irradiacion. Supongase que se expresa la eficacia de 10s tratamientos en unidades comunes, unidades curativas, por ejemplo. El medicamento contiene 1000 unidades curativas por onza, y la radiacion ofrece 1000unidades curativas por minuto. Los analisis seiialan que el paciente debe recibir cuando menos 3000 unidades curativas. Sin embargo, cada tratamiento tiene asociado un cierto grado de toxicidad. Supongase que se miden 10s efectos toxicos de cada tratamiento en una unidad comun de toxicidaad, unidad toxica, por ejemplo. El medicamento contiene 400 unidades toxicas por onza y la raaiacion induce 1000 unidades toxicas por minuto. Con base en sus estudios, considera que el paciente no debe recibir mas de 2000 unidades toxicas. Ademas, cada tratamiento implica cierto grado de incomodidad para el paciente. La medicina es tres veces mas molesta por onza que lo que la radiacion es por minuto. En la Tabla 9.5 se resumen 10s datos. El problema que se plantea es determinar las dosis medicamentosas y de radiacion que satisfacen 10s requisitos curativos y de toxicidad, y que -a1 mismo tiempo- minimizan las molestias para el paciente. Sea x , el numero de onzas del farmaco y sea xz el numero de minutos de radiacion que se van a administrar. Entonces, se desea minimizar el grado de molestias, D, que esta dado por
.
!
.
A:r;:r;:. A: R . 5 Lsdls! ! 1.B. Luslsd, "hledlcal Diagnusis and Modern Decision klaLing.'' Pro<'rrdinp.s o . f . Y ~ , r i l ~ o! !iI~ ilpil ~ . i \ / I - ~ / u i / l e l l l ~ i l ~Protl/r!rls 'u/ ill / h e Riolopicul S<.ic.!r<,c\(American Mathematical Society, 1962).
; :
380
9
PROGRAMACION LINEAL
TADLA 9.5
xz
A LlNlDADES UNIDADES MOLESTIAS CURATIVAS TOXICAS RELKTIVAS Medicamelito (por onza) Radiacion (por minuto) Requerimientos
1000 1000 1 3000
400
3 II
1
\\<
3, 2..
1000xl+ 1 0 0 0 ~ = 3000 ~
... \
\\
L ..
52000
400x,+ 1000x,=ZOO
( Z , $1 3
5
-
sujeto a la condicion curativa y a l a condician toxica
400x,
+
lOOOx, 5 2000,
en donde x, r 0 y x, r 0. Se debe estar en posibilidades de reconocer aqui un problema de programacion lineal. A1 graficar, se obtiene la region factible que se indica en la Fig. 9.24. Los puntos de las esquinas son (3, O), (5, 0) y (5/3, 4/3). Evaluando D en donde cada esquina se obtiene
Como D es minimo en (5/3, 4/3), se debe prescribir un tratamiento de 5/3 de onza de farmaco y 4/3 minutos de irradiacion. Asi, resolviendo un problema de programacion lineal se determina el "mejor" tratamiento para el paciente.
1. Supdngase que existen disponibles dos tratamientos para un paciente: con medicamentos y con radiacion. Cada onza de medicamento contiene 500 unidades curativas y 400 unidades toxicas. Cada minuto de radiacion produce 1000 unidades curativas y 600 unidades toxicas. El paciente requiere de cuando menos 2000 unidades curativas y no puede tolerar mas de 1400 unidades toxicas. Si las molestias que ocasionan 10s rnedicarnentos son iguales a las de la radiacion, determine las dosis de farrnaco y de radiacion, de rnanera que se rninimicen las molestias para el paciente.
2. Supongase que el medicamento A, el medicamento B y la terapia radiational son 10s tratamientos dis-
ponibles para un paciente. Cada onza de A contiene 600 unidades curativas y 500 unidades toxicas. Cada onza de B contiene 500 unidades curativas y 100unidades toxicas. Cada rninuto de irradiacion proporciona 1000 unidades curativas y 100 unidades toxicas. El paciente requiere de cuando menos 3000 unidades curativas y no puede tolerar mas de 2000 unidades toxicas. Si cada onza del medicamento A y cada minuto de radiacion son igualmente molestos, y cada onza del medicamento B es doblemente molesta que una del A, determine las dosis de farmaco y de radiacion, de mod0 que se reduzcan a1 minimo las molestias para el paciente.
x1
CAPITULO
10
Limites y continuidad -
10.1 Limites Es posible que en alguna ocasion, en un estacionamiento, haya tenido que acercarse a1 maximo a1 automovil de enfrente, per0 sin desear golpearlo, o ni siquiera tocarlo. Esta nocion de "acercarse cada vez mas a algo, per0 sin tocarlo", es muy irnportante en matematicas y tiene que ver con el concept0 de Iimire, que es fundamental para el Calculo. Basicamente, se considera que una variable "se acerca al maximo" a un valor especifico, y se examina el efecto que esto tiene sobre 10s valores de la funcion. P o r ejemplo, considerese la funcion
Aunque no esta definida en x = 1, puede interesar la determinacion de que sucede con lo valores de la funcion conforme x se acerca mucho a 1 . En la Tabla 10.1 se presentan algunos valores de x que son ligeramente inferiores a 1, y otros que son ligeramente superiores a la unidad, con 10s correspondientes valores de la funcion. Observese que 10s valores estan cercanos a un numero, el 3. De hecho, conforme x torna valores mas cercanos a 1, sin importar si x se aproxima a 1 desde IL izquiercla ( x < l ) , o desde la derecha ( x > l), 10s correspondientes valores de f ( x ) se vuelven cada vez mas cercanos a 3. Esto es tambien evidente en la grafica d e f que aparece en la Figura 10.1. Observese
10
I-~MITES Y CONTINUIDAD
que, aunque la funcion no esta definida en x = 1 (como se seiiala niediante el pequefio circu:~),los valores de la funcion se aproximan cada vez mas a 3 conforme x "se acerca cada vez mas" a 1 (o tiende hacia 1). Para expresar esto se dice que el limite de f(x) conforme x se acerca a 1, es 3, y se escribe n3 - 1 lim -= 3. X -
r-1
l
Se puede hacer que f(x) este tan cerca de 3 como se desee, haciendo que x se aproxime lo suficiente a 1 , pero sin llegar a ser igual. Tambien puede considerarse el limite de una funcion conforme x tiende a algun numero del dominio. Por ejemplo, se examina el limite de f(x) = x t 3 conforme x se aproxima (o tiende) a 2 (x 2): +
lim (.r
+
3).
r-2
Evidentemente, si x esta cerca de 2 (pero no es igual a 2), entonces x + 3 esta cerca de 5. Esto resulta tambien obvio en la tabla y en la grafica que aparecen en la Figura 10.2. Por ello,
I
FIGURA 10.2
383
Limites
10.1
En general, para cualquier funcion f , se tiene la siguiente definicion de limite. DEFINICION:
El limite de f(x) cuando x tiende a a es el numero L, y ello se escribe
si f(x) esta arbitrariamente cerca de L para toda x suficientrmente cercana a, pero no igual a a. Es importante recordar que cuando se determina un limite, lo importante no es lo que le sucede a f(x) cuando x es igual a a, sino solo lo que ocurre cuando x esta cerca de a . Se destaca en que el lirnite es independiente del sentido en que x se aproxma a a . Es decir, el lirnite debe ser el mismo independientemente de six tiende a a desde la izquierda o desde la derecha (para x < a o x > a, respectivamente). Paradeterminar limites no siempre es deseablecalcular valores de la funcion o trazar una grafica. De manera alternativa, existen diversas propiedades de 10s limites que es posible utilizar. Enseguida se enuncian algunas propiedades de 10s limites que pueden parecerle muy razonables.
1. Si f(x)
=
c es una funcion constante, entonces lim f(x) .I
2. lirn X .\
-
=
-
=
0
lim c I
-
=
c.
ti
a", para cualquier entero positivo n.
a
EJEMPLO 1
a. l i m 7
= 7.
c. lirn t4
lim 7 = 7. <
x-2
b. lim x 2
=
=
(-214
=
16.
--2
62 = 36.
x-6
Algunas otras propiedades de 10s limites se presentan a continuacion.
Si lirn f(x) = L , y lirn g(x) = L,, en donde L, y L, son numeros reales,
I
\
entonces
-
0
3. lim Lf(x) -+ g(x)]
I =
lim f(x) -+ lim g(x) = L , -+ L,
x+a
r-a
I-a
Es decir, el lirnite de una suma o diferencia es la suma o dlferencia, respectivamente, de 10s limites. 4. lirn If(.u) . g(x)] = liin f(x) . lirn g(x) r+ a
x+a
=
L , . L,
384
10
L~MITESY CONTINUIDAD
I
I
Es decir, el Iiniite d e un producro es el producro de 105 lrini~es
5. lim [cf(x)]
=
c.lim f(x)
=
cL1, en donde c es una constante
X+O
Es decir, el limite de una constante que muitiplica a una funcion, es la constante multiplicada por el limite de la funcion.
EJEMPLO 2
a. lim (.r2 + x)
=
i+2
lim x 2
+ lim x
r+ 2
(Propiedad 3)
.x-2
= 2 * + 2 = 6
(Propiedad 2).
b. Es posible ampliar la Propiedad 3 a1 limite de un numero finito de sumas y diferencias.
Por ejemplo, lim (q'
-
+
q
I)
=
c. lirn [(x
+
I)(.r
3)1
-
=
,+2
(X
+
[lim x
+
lirn
.r+ 2
d. lim 3.r" -
lirn x.'i
3
2
lim q
-
,+2
y-
-
-
lirn I ] . [lim x
3) -
r-2
x+2
+
P -1
I) . lim (x
k+2
=
.p+
lirn q' P-'
lim 1
v-'
[Propiedad 41 lirn 31 r+2
(Propiedad 5)
2
EJEMPLO 3
Sea f(x) = c,,~" + c,,- , x u - ' caso, lim f(x) ,-a
=
lim ( c g n
+ +
...
+
C,X+
c0 una funcion polinomial f. En este
+
+
c ~ - ~ x ~. .- . ~ clx
+ c,)
x+a
= c,
. lim x" x+u
+ c n - I . lim x n - ' + . . . + c l .r+ a
lin? x x-a
+
lim c, x-a
Por lo tanto, si f es una funcion polinomial, entonces lirn f(x) = f(a). x+a
Es decir, el limite de una funcion polinomial, euando x tiende a a, es simplemente el valor de la funeion en a.
El resultado del Ejemplo 3 permite encontrar muchos limites conforme s plemente sustituyendo a por x . Por ejemplo,
lirn [2(h - l ) ] = 2(3 k
-
-
a sim-
1 ) = 4.
3
Las dos propiedades finales de 10s limites se refieren a cocientes y radicales.
Si lirn f ( x ) entonces
=
L, y lirn g(x)
L,, en donde L , y L, son numeros reales,
=
x-U
lim f(x) f(x) r-a L, 6. lirn - = -- -, x - t a g(x) lirn g(x) L2
L. # 0.
Sl
x-n
Es decir, el Ii'mite de un coclenre es el cocrenre de 10s Irinlres, srempre y cuatzdo el denomrnador no tenga Iinzlre 0. 7. lim
= "Ilim f(x) =
r-n
vx-a
c.*
EJEMPLO 4
2x2 + x - 3 a. lirn -1 x3 + 4
,lirn , (2x2 + x lim (.r3 x-
b. lirn
3)
2 + l - 3 -- -0= 0. 1 + 4 5
-
+ 4)
1
d G = d l i m (? +
I-4
-
1)
=
~'37.
1-4
c . lim
$"G = V l i m (x2 +
-3
7) =
+'T6
=
=
2fl.
1-3
EJEMPLO 5
HaNar limy-.
x2 - 1
Cuando x -+ -1, tanto el numerador como el denominador se aproximan a cero. Debid o a que el limite del denominador es 0, no se puede utilizar la Propiedad 6. Sin embargo, puesto que lo que sucede a1 cociente cuando x es igual a -1 no es de interes, se puede suponer x f -1 y escribir
Si n es par se requiere que lim /(.u) sea positivo. .r-0
386
10
LIMITES Y CONTINUIDAD
x2 -
Esta rnanipulacion algebraica de la funcion original ---- produce una nueva funx + l
cion x - 1 , que es la rnisrna que la funcion original para x # -1. Por consiguiente
Notese que, aunque no esta definida la funcion original en -1, sitiene un lirnite cuando -1.
x
-+
En el Ejemplo 5 el rnetodo para hallar el lirnite rnediante sustitucion directa no funciona. Reernplazando x por -1 se obtiene 0 / 0 , lo cual no tiene significado. Cuando surge la forrna 0 / 0 , que no tiene sentido, la rnanipulacion algebraica (tal corno se hizo en el Ejernplo 5) puede dar corno resultado una forma para la cual sepueda deterrninar el lirnite. De hecho rnuchos limites importantes no pueden evaluarse rnediante sustitucion. Al principio de la seccion se evaluo x3 - 1
lirn X - 1
1-1
exarninando una tabla de valores de la funcion de f(x) = (x3- I ) / ( x - 1) y analizando tambien la grafica de f . Ahora se procede a deterrninar este lirnite utilizando la tecnica que se describio en el Ejemplo 5. EJEMPLO 6 x3
Determinar lirn -.
- 1
X -
x+,
1
Corno x + 1, tanto el nurnerador como el denorninador tienden a 0. Por ello se intentara expresar el cociente en forma distinta para x # 1. Factorizando se tiene x-3 -- 1 (xx - 1
+
1)(x2 + x x - 1
1)
= x 2 + x + l
(De rnanera alternativa, la division larga hubiera dado el rnisrno resultado). Por lo tanto,
tal corno se vio antes.
EJEMPLO 7
Si f ( x )
= x2
+
1, enconfrar lirn h
lirn h-+O
f(x
- f(x)
h
0
f ( x + h) - f(x)
h
+ h)
=
lirn b 0
[(x
+
h)'
+
11
h
- (x2
+
1)
387
Limites
10.1
Aqui se trata a x como una constante, porque la que esta cambiando es h y no x. Cuando h = 0, tailto el numerador como el denominador tienden a 0. Consecuentemente, se tratara de expresar el cociente en una forma distinta para h f 0. [(x
lirn k
+ h)* +
11 - (x2
+
1)
h
0
=
=
k
lirn
+ h2 =
2xh
2xh
+ h2 +
k
11 - x' - 1
h
0
lirn
h
k O
+
[x'
lim
+ h)
h(2x
11
0
=
+ h) =
Iim (2x
2x.
h+O
En 10s Prohle/nas 1-26, halle 10s l h ~ i r e s .
2. lim 2x 1-
5. lim (.r3
+
3x2 - 2.r
-
r - ~I
x'
,-..2
1'
+
21
t
-
2t
16. lim -
m. limp..x2
-
r-o
R
n.Obtenga
21. lim
+ h12
(x
28. Determine Ijm
- I'
11
Ir.0
2(x
+
h)'
+
5(x
+ 2x +2 + 2.r
x2
-rZ
-
t 1
t'
18. lim -. ,+I r
.
+ 20
9x 3x
.r.
+
-
x + l
+ h)
-
f (x + 11)
-
r'
22. lim -.
4
,-z
x
-
I
I -
5)
1 - 2 t 5'
----
7. lim
+
,--3
15. lim
.r' - x
-
2
x - 2
- 2
x - 3
19. Iim 7 -3
2x 2
-
112
23. lim
x
-
3x2
,+z x
9'
- X -
+ 5.1 -
10 14'
2'- 5x
30. f ( 1 ) = 2x
-
considerando a x como una constante.
f (x)
h
l++o
-
i-
.r + 1 14. lim , , .II
'
h
10s Proble1?7as 29-32, halle lim
9. f ( r ) = 4
4. lim (3t
5
considerando a x como constante.
+o
L p -
x'
-
X-4
lim
x
17. lim
2x
-
4r - 3 6. lim ,., II
I)
1-9
rP.o
r-
13. lim -
12. lim
linl ( t 2 - 5 ) .
3.
1
+
3.
31. f ( x ) = .r2
-
3.
32. f ( * )
=
,r2
+x +
1
33. Shonle* sefiala que la maxima eficiencia teorica, E , para una planta elictrica esta dada por E = -
Th
-
Tr
Th ' r dc7r.de T ! T - son las temperaturas absolutas respectivas de las reservas mas caliente y mas fria. Encon173: 12) I!? E ! ~ b lim ) E. T:-.,
T:- T*
J I . Z?.?rlc. E ~ ) r r o n m e n t u.-lpplicorions l o j General Physics (Reading, Mass.: Addison-\!'esley
CLT:d:).
In:.
13-5,.
Pu bliihing
388
10
L~MITESY CONTINUIDAD
- 10.2 Limites (continuation) En la Figura 10.3 se muestra la grafica de una funcion f. Observese que f ( x ) no esta definida cuando x = 0. Cuando x tiende a 0 desde el lado derecho, f (x) tiende a 1 . Se escribe esto como lim f ( x ) x-0
=
1.
+
Por otro lado, cuando x tiende a 0 desde la izquierda, f (x) tiende a - 1 , y se escribe lirn f ( x ) = - 1 . x-+o
-
A estos limites se les denomina limites unilaterales. De la ultima seccion se sabe que el'limite de una funcion cuando x a es independiente de la forma en que x tiende +
a a. Por ello, el limite existe si, y solo si, ambos limites unilaterales existen y son iguales. Asi, se concluye que lirn f (x) no existe. I;-0 -T
Como otro ejemplo de un limite unilateral, considkrese f ( x ) = V x - 3 cuando x tiende a 3 (vkase la Figura 10.4). Como f esta definida solo cuando x 2 3, se puede hablar del limite cuando x tiende a 3 desde la derecha. Si x es ligeramente mayor que 3, entonces x - 3 es un numero positivo cercano a 0 y, en consecuencia, esta proximo a 0. Por lo tanto
.\/
Este limite tambien resulta evidente en la Figura 10.4. Considerese ahora y = f ( x ) = l / x 2 en las cercanias de x = 0. Si x esta cercana a 0, entonces x 2 es positiva y esta tambikn proxima a 0 y, por consiguiente su reciproco, l / x 2 es muy grande. En la Figura 10.5 se muestra una tabla de valores de f (x) cuando x esta cercana a 0, junto con la grafica de la funcion. Observese que cuando x 0, f (x)aumenta sin limite tanto por la izquierda como por la derecha. Consecuentemente, +
FIGURA 10.3
f (xi
X
I
t1
I
FIGURA 10.5
1
10.2
389
Limites (continuocion)
no existe limite en 0. Se dice que cuando x y, en simbolos, se escribe
+
0, f (x) se vuelve positivamente infinita
1 lim 7 = x-0
x
X
ADVERTENCIA El uso del signo de "igualdad" en esta situation no significa que exista el limite. Por el contrario, aqui el sirnbolo (co) es una forrna de decir en tt~rninosespecificos que no existe lirnite e indica por qu6 no existe.
Considerese ahora la grafica de y = f (x) = l / x para x # 0 (vease la Figura 10.6). Cuando x tiende a 0 por la derecha, l / x se vuelve posi?ivamente infinito; cuando x tiende a 0 por la izquierda, l / x se vuelve negativamenre infinito. En simbolos, se escribe 1 1 = cr, y lim r40+ x - 0 S Cualquiera de estas conclusiones implica que I lim - no exisre.
lim
-
,I-0
= -x.
X
Ahora se examina esta funcion cuando x se vuelve infinita, primer0 en el sentido positivo y despues en el sentido negativo. En la Tabla 10.2 se puede observar que a1 aumentar xsin limite en 10s valores positivos, 10s valores de f(x) tienden a 0. De la misma manera, a1 disminuir x sin limite en 10s valores regativos, 10s valores f(x) tambien tienden a 0. Estas observaciones son tambien evidentes en la grafica de la Figura 10.6. Ahi, conforme se avanza hacia la derecha de la curva, sobre 10s valores positivos de x, 10s correspondientese valores de y tienden a 0. De manera similar, conforme se avanza hacia la izquierda
de la curva, sobre 10s valores negativos de x, 10s correspondientes valores de y tienden a 0. En sirnbolos se escribe 1 1 lim - = 0 y lirn - = 0. r-= x x+-x X EJEMPLO 1
Encontrar el liiiiire (si exisre).
a.
2
lirn x--,+
X
+
1
Cuando x tiende a -1 por la derecha, (considerense valores de x tales corno -0.9, -0.99, etc.), x + 1 tiende a 0, pero es siernpre positive. Corno se esta dividiendo el 2 entre nurneros positivos que tienden a 0,los resultados 2/(x + l), son nurneros positivos que se vuelven arbitrariarnenre grandes. Por ello 2 lirn -- =, x--,x + 1 y el lirnite no existe.
x + 2 5. lirn x-2 X 2 - 4' Cuando x-+ 2 el nurnerador tiende a 4 y el denominador a 0. Asi, se estan dividiendo numeros cercanos a 4 entre nurneros cercanos a 0. Los resultados son numeros que se vuelven de magnitud arbitrariarnente grande. En este punto se puede escribir x + 2 lirn 7 y el lirnite no existe. X - 4
.r-2
Sin embargo, enseguida se revisa la forrna en que se puede utilizar el sirnbolo w o el sirnbolo -W para ser mas especificos con respecto a "no existe". Observese que x + 2 lirn 7 = lirn ,2x - 4 ,2(x
+
1 lirn --
Y
+2
x
z
2)(x - 2)
1 lim ,IX - 2'
Dado que r-2+
X
-
r.
2
x + 2 entonces lirn -no es ni x+2 x 2 - 4
w
1 lirn -1-2X - 2
-x,
ni -w.
t - 2 c. lirn ,-,-2 r - 4' Cuando t 2 tanro el nurnerador corno el denorninador tienden a 0 (forrna 0/0). En consecuencia prirnero se sirnplifica la fraction, corno se hizo en la Seccion 10.1. +
t - 2 Iirn -= lim ,+2 tZ - 4 1-2 (t
t
-
+ 2)(t
2 -
1 =lim-- 1 - 2) 1-92 t + 2 4'
Observese que este problerna asurnio la forma 0/0, mientras que en la parte (b) la forrna fue 410, que se trato de rnodo diferente.
10.2
391
Limires (continuocion)
Encontrar el limite (si existe). a. lirn ,r-x
4
(,r
7.
-
5)-
Cuando x se hace muy grande, se hace tambikn muy grande x - 5. Puesto que el cub0 de un numero grande es tambien grande, (x - 5)' -,rn. Dividir 4 entre n ~ i meros muy grandes da corno resultado numeros cercanos a 0.Por lo tanto 4
lirn ,-*x
b. lirn
1
(.I- -
5)-
0.
=
V G .
1--7-
Conforme x se vuelve negativamente infinita, 4 - x se vuelve positivamente infinita. Como las raices cuadradas de numeros grandes son ni~merosgrndes, se concluye que lirn v4
.,-
-x
-
.r
=
J,
En el analisis que sigue se requerira de cierto limite, en especifico, lim l/xl', en donde p > 0. Cuando x se hace muy grande, se hace tambien grande x p . Dividir 1 entre numeros muy grandes da como resultado numeros cercanos a 0.Por consiguiente, lirn 1/xP = 0. En general, X""
1-0)
en donde p > 0: Por ejemplo, lirn x+r+,i
1 --
=
lirn
1
-I'3 r-x,~
= 0.
Se determinara ahora el limite de la funcion racional.
cuando x - rn. (Recuerdese de la Secc. 4.2 que una funcion racional es un cociente de polinomios.) Conforme x se vuelve cada vez mayor, tanto el numerador como el denominador de f(x) se vuelven infinitos. Sin embargo, se puede cambiar la forma del cociente de manera que se pueda extraer una conclusion con respecto a si tiene o no un limite. Para hacer esto, se divide tanto el numerador como el denominador entre la mayor
* Para lirn I / x P , se supone que p es tal que I / x P esth definida x :-
< 0.
392
lo
L~MITESY CONTINUIDAD
potencia de x que se presente en el denominador, en este caso es x3. Haciendo esto resulta.
4x" lim ,z2r3
+
x 3
1
=
.x -
lim .r-.x2x3+ 3
= lirn
Z .x f 2
x+x2x3
3 1
=
Como lirn I /x"
= 0
para p
4+7 lim -= -
lim 4
+
I-x
1 lim 7 r+x
.Y
> 0,
x-3:
4x3+x - 4 + 0 4 = lirn ,jx2x3+ 3 2 3(0) 2
+
=
2,
De igual forma, el limite cuando x -m es 2. Para la funcion anterior existe una forma mas facil de encontrar iim f(x). Para +
\ - - m
valores grandes de x el termino que implica la mayor potencia de x en el numerador, es decir 4x3,domina la suma 4x3 + X , y el termino dominante en el denominador 2x3 + 3 , es 2x3. Para determinar el limite de f(x), es suficiente determinar el limite de (4x3)/(2x3). ES decir 4x3 X 4x3 lim = lim 7= lim 2 = 2, x+r 2~~+ 3 .,+ 2~ .r+x
+
como se vio antes. En general, se tiene lo siguiente:
1
Si f ( x ) es una funcion racional y anxny b,,,xfl'son 10s terminos del numerador y del denominador, respectivamente, con las mayores potencias de x , entonces a,xn lirn f ( x ) = lim 7 .+x .,+= bmx y
I"
lim - " f(x)
=
a x" lim "--. .rx b, x -
Por ejemplo, lim ,,-x
x4 - 3x x4 -- lim ---- - lim 5 - 2x -2x I+-% ,--I
( - i i 3 )
= x,
10.2
393
Limites (continuacion)
(Observese que en ;a penultima etapa, a1 volverse x muy negativa, tambien lo hace x 3 ; ademas, la multiplicacion de - $ por un numero muy negativo es muy positivo.) De mod0 analogo,
A partir de esto se concluye que cuando el grado del numerador de uria funcion rucio~zales mayor que el grado del denominador, la funcion no tien? limite cuanclo x 0 o cuando x -03. +
-+
EJEMPLO 3
-.
Hallar el limite (si existe)
a. lirn I,,
x2 - 1 7 - 2x 8x2'
+
3
x' - 1
lim .,+x 7 - 2s
+ 8s-
, - llm .,+x
x7
=
8.x-
1 1 lim - = ,+= 8 8
X
b. lirn -- 2. I,-= (3x - 1)-
(
lim
3
x - 1
=
x lim , x = lim ,-x9~2 ,-+-=9~--6x+l
Como el grado del ilumerador es mayor que el del denominador, no existe limite. En terminos mas precisos, lim .c--tx
x5 x4
-
x4
-
X
+2
x3
5
= lim 7 = lim x = ,+=
x
X .
,,x
ADVERTENCIA x2 - 1 no se determina el limite de x2/(8.y')porque .u no tiende a Para obtener lim .r-o 7 - 2r 8x" o bien - 0 3 . Se tiene que
+
,+o 7
-
+
2x
8x2
7 - 0
+0
Considerese ahora el limite de la funcion polinomial f ( x ) .v + x :
lirn (8x2 - 2 x ) . X-
=
=
8.x2 - 2.x cuando
03
10.2
.
393
Limires (continuocion)
(Observese que en ;a penultima etapa, a1 volverse x rnuy negativa, tambien lo hace x 3 ; ademas, la multiplication de - 1 por un n~imerornuy negatico es muy positivo.) De rnodo analogo,
A partir de esto se concluye que cuanrfo el grado del nunlerador de una funcidn rucional es rnayor que el grado del denominador, la funcion 1 2 0 tien? limite cuando x -, 0 o cuando x + -a.
-
EJEMPLO 5
Hallar el lilnire (si exisre)
a. lim .r+r
x2 - 1
7 - 2x
+
8xz x2 - 1
lirn
7 - 2~
.,--r
+
3
(3x
A+-*
7 .
- 1)-
x
lirn
3
-
=
- 1
X
lim
9x2
,-+-%
=
x5
x
-
6x
-
+
9x
9
x+-*
x
lim -
=
1
. 1 = -. 1 lirn -1 Ilm I-+-*
,-2
1
A
b. lim
c . lirn
1
.I.-
,
, = I~rn--;= [ Im ' - = -. 8s- .,,x 8.r. , z 8 8
9x2
=
x
1 -(0) = 0, 9
x4
- s3
+
2
Como el grado del llumerador es mayor que el del denorninador, no existe limite. En terrninos mas precisos, lim
*-xx
ADVERTENCIA Para obtener lim .r-0
o bien
-03.
,2
7
-
-
2x
Se tiene q u e
,.x5 -
- x4
x3
+
2
x5 = lim 7 = lirn x = x. ,
*
, , ,
1
+
8x2'
lim ,+07
no se determina el limite de x 2 / ( 8 x ' ) porque
-
23;+ 8 x 2 - 7 - 0
+
0
,y
no ticnde a
- -7'
Considerese ahora el lirnite de la funcion polinornial f ( x ) = 8 r 2 - 2x cuando lirn (8x" r-
*
21).
a
Como una polinomial es una funcion racional con denominador 1 , se tiene lim (8x2 - 2x)
=
lim
8x2 - 2x
8x2 = lim 7= lim 8x2.
Es decir, el limite de 8x2 - 2x cuando x oo es el mismo que el limite del termino que contiene la mayor potencia de x, es decir, 8x2. Conforme x se vuelve rnuy grande, tambien 8x2 se vuelve rnuy grande. Por ello +
lim ( 8 2 - 2x) = lim 8x2 = x-a
X+
m.
=
En general, se tiene lo siguiente.
(o bien x - m ) , el limite de una funcion polinomial es el Cuando x mismo limite de su termino con la mayor potencia de x. +
+
EJEMPLO 4
a. lirn (x3 - x? \
-.
-
+
x - 2)
=
lirn x'. Conforme x se vuelve rnuy negativa, tambitn x3 v-
m
-
m
se vuelve rnuy negativa. Por ello,
+
b. Iim ( - 2 x ' .z+
-=
9x) =
lim - 2x"
m,
porque - 2 multiplicado por un numero
x+-7-
rnuy negativo da un numero rnuy positivo.
La tecnica que consiste en concentrarse en 10s terminos dominantes para evaluar limites como x + a o x + - a es valida para funciones racionales, per0 no es necesariamente valida para otros tipos de funciones. Considerese, por ejemplo,
Observese que
dx2 + x - x no es una funcion racional. Es incorrect0 inferir que, como
x2 domina en x2
+
x, el limite de ( I ) es el mismo que el limite de lirn ,y-c
lirn .I+
I
(Jx'- x):
I--m
(G- x ) = lirn (x - xj = lirn 0 = 0. t ' l
.,-l
Se puede demostrar (vease el Problema 58) que el limite de (1) no es 0 sino EJEMPLO 5
a. lim f(x). .r+ I +
-
i.
Limires (continuocion)
10.2
Aqui, x tiende a 1 desde la derecha. Para x > 1, f ( x ) lirn f(.r) ,-I
+
lirn i.r2
=
+
1-1
lirn t'(.r)
+
lirn (.r2
=
+
-
1-1
+
1. Por ello,
1).
+
+
Si x es mayor que 1 , pero rnuy cercano a I , entonces x-' \-I
= x'
1)
=
1 esta cerca de 2. Por lo tanto,
2.
lirn f (x)
b.
-
,-I
Aqui x se aproxima a 1 por la izquierda. para x < I , f(.r) lirn f'(.r) ,-I
lirn 3
=
-
I-+
=
=
3. Por ello,
3.
I-
c. lirn J'(x). 1
Y-
De las partes (b) y (c) lirn f ( . t )
-
,-I
I-
I-
lim f(.r) i-
lirn j'(.\). Por ello,
F
no existe.
I
d. lirn f ( x ) .l+X
Para valores m u y grandes de .r, f'(.r) lim f'(.r)
=
,- x e.
=
lirn (.r'
.r'
+
+
1 ) = lirn s'
1 . Por ello,
1-7.
= x
1-7.
lirn ,f(x). .r+
-Z
Para valores rnuy pequefios (es decir, rnuy negativos) de x, f(x) lirn f'(x) 1'-X
=
lirn 3
,+-
=
=
3. Por ello,
3.
7.
Todos 10s lirnites de las partes (a) hasta (e) deben resultar evidentes en la grafica de f que aparece en la Figura 10.7.
396
10
L~MITESY CONTINUIDAD
Se concluye esta seccion con una nota respecto a uno de 10s limites mas importantes, a saber lirn (1
+ x)""
x-0
En la Figura 10.8 se muestra la grafica de f ( x ) = (1 + x)l Cuando x - + 0 resulta evidente que existe el limite de (1 + x)lix.Es aproximadamente 2.71828 y se le denota por la letra e. Tal numero, si se recuerda, es la base del sistema de 10s logaritmos naturales. Se puede considerar que el limite I .
lirn (1
+ x)""
=
e
x-0
es la definicion de e. f tx!
1. Para la funcion f dada en la Figura 10.9(a), encontrar 10s siguientes limites. Si no existe el limite, hagase este sefialamiento o utilicense 10s simbolos a o - a cuando sea apropiado.
a. lirn f ( x ) .
b. lirn f ( x ) ,
e.
lirn f ( x ) ,
f.
x--2-
i.
lirn f ( x ) , x--1-
c. lim f ( x ) ,
x-l+
r-1-
j.
lirn f ( x ) ,
x--?+
lirn f ( x ) , 1--1+
x-1
I-m
8. lim f ( x ) , 1--t -
k.
2
lim f ( x ) x--I
d. lim f ( x ) ,
h. lim f ( x ) , x+-m
10.2
2. 2
397
Limires (continuocion)
Para la funcion f dada en la Figura 10.9(b), halle 10s siguientes limites. Si no existe el limite, mencionarlo nrilizar el simbolo oo p - oo cuando sea apropiado. b.
a. lirn f(x),
lirn f(x),
lirn f(x),
C.
f.
e. lirn f(x),
g.
lirn f(x),
lirn f(x), "--
SC
h. lirn f(x).
lirn f(x), .r-2-
1-2-
r-I
d.
x +o
1-O+
,-0-
x-;C
En coda uno de 10s Problemas 3-50, obtenga el limite. Si no existe, mencionarlo o utilizar 10s simbolos bien - rn, cuando sea apropiado.
3. lirn (X - 2). :-3
4.
-
6x 7. lirn 7 .
c-0-
19. lirn :-=
12. lirn
4
)
-
1-2
3
\5
r-
+
* 3 31. lirn . + I .r2 - 9 '
-
d m .
1-==
3
13. lirn -. X
17. lim r-
+
10. lirn (t - I ) ~
- 7-
r-5
+
\'l
14. lim 2'12
5
-
32.
+
- %
18. iim 1'2
10
,+ -
7-
1
2r lirn 4 - x2'
x3
4~
-
-
,-, 5x3 - 8x 2w2 - 3w. 5w2 7w
33. lim
r--2+
40. I--s lirn
3
29. lim
(41 - I ) ~ '
[ +]
.
3x.
-
x
,,x
t2 + 2t - 8 36. lim ,-2 2t2 - St + 2'
--
-
r-0
2r - 1 22. lirn -. 3 - 2\
2r2 9x - 5 . x 2 + 5x
39. 11m I .. :
J-Oi
3 20. lirn r-= 2 4
-
31. I~rn
-I
x-
16. lim ( x m ) .
.
6. lirn 3 .
lim 5x.
9. lirn x'
- 1'
X
h-5
-
5
28. lim
,-i
5.
.r2).
-
x-0
d.
1 1 . lim
:-I
-
1-
8. lirn
X
r-0
I . 1
(I
lim 1--1-
o
+
r , ,
+
2
4 i . I.-o* inl- x 45. lirn r-0
48. lirn
49.
r-0
1
-
+
,+I
1 44. lirn r-1r2 2r - I
+ 4.
x 2 - 3x + 1 x2 I .
37. lim
2r2 + 1 x - 4 .
2.2 1'
+
+
lim r--r-r
+ x2'
(-:I. x + 1 -. x
7 - 2r 30. 1-7_9 lim - 3x4
-
+
x4 2x2-
4 - 3x3 34. lim 7 ,-I x - 1 3x3 - x 2 38. lim r--~ 2r + 1 .
42. lim x-7-
46. lim ,-o 50. lim r-
(.+ t)
(q) [: A] -
.rL - I
Er! !o_cProbletnas 51-54, trazar las graficas de las funciones y encontrar 10s limites que se indican. Si no existe : :!mire. mencionarlo o utilizar 10s simbolos o - m, cuando sea upropiado. 51. j - 1 . ~ )=
51. i1.r I =
2, s i x i 2 , 1, s i x > 2' x.
7,
si x
i
a. lim f b ) , x-2'
b. lim f(x), x-2
c. lirn f(x), x-2
d. lirn f(x),
e.
1 a.
limf(x).
X-I
+
b. X -limf(x), I-
C.
limf(x). I
V-
d. Il- xi m f .
lim .frs~. I-
1-5C
e.
--I
53. p(x) 54. g(.r)
=
.r, -x,
= fx2'
[x,
si x < 0. si .r > 0'
0' li
a. lirn a.
1 I;-o
g(x),
x
b. r-Olirn g ( x ) .
c. lirn g(.r),
b. i n )
.
.t-o-
+
55. Si c es el costo total en dolares en el que se incurre para fabricar q unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad F para una produccion de q unidades esta dado por 2 = c/q. Por ello, si la ecuacion de costos totales es c = 5000 69, entonces F = (5000/q) + 6. Por ejemplo, el costo total de una produccion de 5 unidades es $5030 y el costo promedio por unidad a este nivel de produccion es $1006. Hallando lirn ?, muestre que el cos-
d
.X+O
I
.r+O
(
I
.r-+ zr
( x )
d. ~ i mg(.x).
r
.x-z
e. e.
lirn g(.u).
.r+
-
x
\im g(x), , - - X
(G
- x) = 1. Suge58. Mostrar que lim rencia: Racionalizar el nurnerador multiplicando V7-G - x por _I
+
'I+=
to promedio tiende a un nivel de estabilidad si el fabricante aumenta en forma continua la production. jCual es el valor limitante del costo promedio? Trace la grafica de la funcion de costos promedio.
56. Repitael Problema 51 considerando que el costo fiio es de $12000 y~. que 10s costos variables estan dados por la funcion c, = 74. 57. Se pronostica que la poblacion N de cierta ciudad pequeiia dentro de t aiios, sera
De~puesexpresar el denominador en forma tal que x sea un factor.
59. Se determino para una relacion especifica entre anfitrion y parasito que cuando la densidad de 10s anfitriones(numero de anfitriones por unidad de area) es x, entonces el numero de anfitriones con parasitos en un cierto periodo es y, en donde V
/
=
900x 10+45x
Si aumentara sin limite la densidad de 10s anfitriones, ja que valor tenderia y?
Determine la poblacion a largo p l a z ~ es ; decir, obtenga lim N. ,-+zc
En 10s Problemas 60 y 61, evalue la funcion dada cuando x = I, 0.5, 0.2, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001. A partir de 10s resultados, planteese una conclusion con respecto a lirn f ( x ) . x
-
-o+
10.3 lnteres compuesto en forma continua Si se invierte un capital P y el interes se capitaliza k veces a1 aiio a una tasa anual r, entonces la tasa de conversion por periodo es r/k. E n r afios existen k t periodos. De lo visto en el Capitulo 7, el monto acumulado, S a1 final de t afios es
Si k -, el nurnero de periodos de conversion aumenta en forma indefinida y la longitud de cada periodo tiende a 0. En este caso, se dice que el inter& se capitaliza continuarnente, es decir, en cada instante. El monto total es
10.3
Interes compuesto en forma continua
lo cual puede escribirse corno
Haciendo x = r / k , entonces cuando k -+ a,se tiene que x 0. Asi, el limits pusiro entre 10s corchetes tiene la forrna lirn (1 + x)"", la cual, como se vio en la Ssicijn x-0 10.2 es e. Por lo tanto, +
S = Per'
es el rnonto total de un capital de P dolares despues de r afios, a una 1asa anual de interes r cornpuesta continuarnente.
EJEMPLO 1
Si se invierfen $100 a una rasa anual del5% cotnpuesro conrinuamente, calcular el lnonro acumulado a1 final de (a) 1 aiio y (6) 5 aiios. a. Aqui, P
=
100, r
s
=
=
0.05 y
pert
=
r
1. 10oe(O05K11 = lOO(1.0513) =
=
$105.13.
Se puede cornparar este valor con el valor despues de un afio, para una inversion de $100, a una tasa anual de 5% compuesto sernestralrnente; es decir, 100(1.025)2 = $105.06. La diferencia no es significativa.
Se puede deeerrninar una expresion que de la tasa efectiva que corresponde a una tasa anual de r cornpuesta continuarnente. (Del capitulo 6, la tasa efectiva es la tasa equivalente capitalizable anualrnente). Si i es la tasa efectiva correspondiente, entonces despues de un afio, un capital P se convierte en P(1 + i). Esta cantidad debe ser igual a la cantidad que se acurnula por interes continuo, Pe'. En consecuencia, P(l + I ) = Pel o bien 1 + i = el, por lo que i = el - 1. Por consiguiente,
er
-
1
es la tasa efectiva correspondiente a una tasa anual de r cornpuesta continuarnente.
EJEMPLO 2
Enconrrar la rasa efecriva que corresponde a la rasa anual del 5 % capiralizable conrinua~~~enre.
400
io
L~MI'IESY CONTINUIDAD
La tasa efectiva es
/
o sea 5 . 1 3 % .
Si se despeja P e n S = Per', se obtiene P = S/er'. Aqui P es el capital que se debe invertir ahoia a una tasa anual r capitalizable continuamente, de manera que al final de t aiios el monto compuesto sea S. A P se le denomina valor actual(o presente) de S. Asi
d a el valor actual de S que vence a1 final de r aiios a una tasa anual r capitalizable continuamente.
EJEMPLO 3
Se va a constituir un fideicomiso mediante un solo depcisito, de manera qlre se tengan $25,000 dcilares en el fondo alfinal de 20 arios. Si el inter& se capifaliza continuarnente a una tasa anual de 7010, jcua'nto dinero se debe colocar inicialmente en el fondo? Se desea el valo'r actual de $25,000 que vencen en 20 aiios. P = s e - r ( = 25,000~-(007)(20)
Consecuentemente, el deposit0 inicial debe ser de $6165.
En 10s Probletnas 1-2, deternnine la tasa efectiva de interes que corresponde a la tasa anual dada capitalizable con tinuamen te. 1. 58%.
2. 9%.
En 10s Problemas 3 y 4 , obtenga el valor actual de $2,500 a 10s 8 aiios si el interes se capitaliza continuamente a la tasa atlual dada.
3. 62%.
4. 8%.
En 10s Problemas 5-8, determine la tusa efectiva de interes que corresponde a la tasa anual dada cupiralizable continuamente.
9. Si se depositan $100 en una cuenta de ahorros que gana intereses a una tasa anual del 5 a% compuesto continuamente, jcucil es el valor de la cuenta a1 final de 2 aiios?
10. Si se invierten $1000 a una tasa anual del 6%
capitalizable continuamente, encontrar el monto total a1 final de 8 aAos.
10.4
'*I
Continuidod
El valor actual de una anualidad continua durante t afios es
11. El consejo de administracion de una compafiia acuerda redimir parte de sus hcciones preferentes redmibles en 5 afios. En ese momento se requeriran 51,000,000. Si la compafiia puede invertir dinero a una tasa anual de interes del 8% capitalizable continuamente, jcuanto se debe invertir en el momento actual para que el valor futuro sea suficiente para redimir las acciones?
en donde r es la tasa anual de interes compuesro sontinuamente. Obtenga el valor actual de una anualidad continua de $100 a1 afio, durante 20 aiios !a1 9% compuesto continuamente. Proporcione la respuesta redondeando a unidades.
U. Se va a constituir un fideicomiso mediante un solo deposito, de manera que a1 final de 30 afios se tengan $50,000 en el fondo. Si el interes se capitaliza continuamente a unatasa anual del9070, jcuanto dinero se debe colocar en el fondo al principio?
16. Supongase que un negocio tiene utilidades anuales de $40,000 durante 10s 5 afios siguientes y que las utilidades se obtienen en forma continua a lo largo de cada afio. En este caso, se pueden considerar las utilidades como una anualidad continua ( v h e el Problema 15). Si el dinero vale 5% en capitalizacion continia, halle el valor actual de las utilidades.
U. jQue tasa anual compuesta continuamente es equivalente a una tasa efectiva del 5%? 14. jQue tasa anual r-compuesta continuamente equivale a una tasa nominal del 6% compuesta semestralmente? [Sugerencia: En primer lugar, mostrar que r = 2 In (1.03).]
17. Si el interes es capitalizab1,econtinuamente a una tasa anual de 0.07, jcuantos afios se requieren para que un capital P se tripliqhe? Proporcione la respuesta a1 aiio mas cercano.
15. Una imposicion anual o anualidad en la que se nlocan R dolares cada afio mediante entregas uniformes que son pagaderas continuamente se denomina anualidad continua o flujo continuo de ingresos.
- 10.4
18. Si el interes se capitaliza continuamente, ja que tasa anuai se duplicara en 10 afi6s un capital P ? De la respuesta a1 porcentaje entero mas cercano.
Continuidad Muchas funciones tienen la propiedad de que no existe niaguna interruption o "quiebre" en sus graficas. Por ejemplo, compare las funciones
f(x)
= x
y
g(x) =
s i x f 1, 2, s i x = 1.
x,
cuyas graficas aparecen en las Figuras 10.10 y 10.1 1, respectivamente. Cuando x = 1, la grafica de la funcion f no tiene interrupciones, pero la grafica de g si las tiene. Planteado de otra forma, si se pidiera trazar ambas graficas con un lapiz, se tendria que
FlGURA 10.10
FlGURA 10.1I
levantar el lapiz al trazar la grafica g cuando x = I , pero no se tendria que hacerlo con la grafica de f . Se pueden expresar estos casos mediante limites. Conforme x se aproxima a 1 , comparese a1 limite de cada funcion con el valor de la funcion en x = 1 lirn f ( x )
=
=f(l),
1
l
x-
lirn g(x) = 1 # g(1)
en tanto que
=
2
1
x-
El limite de f cuando x 1 es el misrno que el de f ( l ) , pero el limite de g cuando x 1 no es el mismo que el de g(1). Por estas razones se dice que f es continua en x = 1 y que g es discontinua en x = 1 . +
-*
Una funcion f es continua en el punto x condiciones: 1. f ( x ) esrd definida en x
=
=
a si y solo si se satisfacen las siguienres lres
a, es decir, a se encuentra en el dominio de f.
Si f no es continua en un punto, se dice que es discontinua ahr'. EJEMPLO 1
a. Muesrrese que f ( x )
=
5 es continua en x
7.
=
Se debe verificar que se satisfacen las tres condiciones. En primer lugar, f esta definida en x = 7 ; es decir, f(7) = 5 . E n segundo lugar, lim f ( x ) X-7
Asi, f tiene un limite cuando x
=
lirn 5
+
Por lo tanto, f ( x )
=
b. Muestrese que g(x)
7
5 es continua en x
= x'
-
5.
7 . En tercer lugar,
lirn f ( x ) = 5 r-
=
7
.T+
=
-
f(7).
7
3 es continua en x
=
-4
La funcion g esta definida en x = -4: g ( - 4 ) = 13. Tambien,
Por lo tanto, g(x) = x2
-
3 es continua en x --
=
-4.
10.4
403
Continuidad
Se dice que una funcion es continua en un intervalo si es continua en todos 10s puntos del rnisrno. En un caso como este, la funcion tiene una grafica que es conexa para todo ir-tei valo. Por ejemplo, f(x) = .u? es continua en el i n t e r ~ a l o[2,5]. De hecho, en el Ejemplo 3 de la Secc. 10.1 que para cualquierfuncion polinomial f, lirn f(x) = f(a). 0 Por ello, \
-
Una funcion polinomial es continua en todos 10s puntos,
y, por lo tanto, en el intervalo. Se dice que las funciones polinomiales son continuas en todas partes o , en tirminos mas simples, que son continuas.
EJEMPLO 2 Las funciones f(x) = 7 y g(x) = .u-'- 9:, + 9:. + 3 son funciones polinomiales. Son por tanto continuas, P o r ejemplo, son continuas en x = 3.
Si una funcion no esta dcfinida en a , automaticamente es discontinua ahi. Si esta definida en a , entonces es discontinua en a si 1. no tiene limite cuando entra x+ a, 0
bien
2. tiene un limite que es diferente de f(a) cuando .r a.
En la Figura 10.12 se pueden encontrar puntos de discontinuidad mediante inspeccion.
Esta definida en o
Esta definida en o pero no tiene limite cuondo x + o
No esta definida en o.
y tiene limite
cuando x + o, pero el limite no es f(0).
Discontinuidodes en o
EJEMPLO 3 a. Seafix) = l/x(vkase la Figura 10.13). Como f no esta definida en x = 0, es discontinua ahi. Ademas, lirn f(x) = oo y lirn f(x) = - a. Se dice que una funcion tiene .r
-
0
r
-0
una discontinuidad infinita en x = a en 10s casos en 10s que cuando menos uno de 10s limitcs de un lado son oo o bien - oo cuandox a. Por ello, f tiene una disconrinuid a d infinita en x = 0. +
404
10
L~MITES Y CONTINUIDAD
FIGURA 10.14
1, si.r>O. 0, si x = 0. (vease la Figura 10.14). Aunque f esta definida en - 1 , s i x < 0. x = 0, lim f(x) no existe. Por ello, f es discontinua en .a--to
x
= 0.
se puede mostrar que
una funcion racional es discontinua en 10s puntos en 10s que el denominador es 0 y continua en 10s demas puntos.
EJEMPLO 4
Encuentrense todos 10spuntos de discontinuidadpara cada una de las siguientesjunciones.
Esta funci6n racional ticne denominador que es 0 cuando x y 2.
=
- 4 o bien x = 2. Por ello, f es discontinua solo en - 4
Para esta funcion racional, el denominador n o es nunca 0 ( siemprc es positivo). Por ello, h n o tiene discontinuidad. EJEMPLO 5
Encuentre todos losp~lntosde discontinuidadpara cada una de /as siguiente: funciones.
Continuidad
10.4
a. f(x)
=
.r
+ 6, x',
si x 2 3, s i x < 3.
El unico problema posible puede ocurrir cuando x = 3 porque este es el unico lugar en el que podria ser inconexa la grafica de f . Se sabe que f(3) = 3 + 6 = 9. Cuando x 3 + ,entonces f(x) 3 + 6 = 9. Cuando x +3 -, entonces f(.u) 3? = 9. Por ello, lim f(x) = 9 = f(3), por lo que la funcion es continua en x- = 3, al igual que +
+
+
r--t3
en todos 10s demas valores dex. Se puede llegar a la misma conclusion inspeccionando la grafica de f (Figura 10.15).
Como f no esta definida en x todos 10s demas valores de x.
=
2, es discontinua en ese punto. Es continua para
EJEMPLO 6
La "funcion del servicio postal" (de Fstados Unidos)
da el costo c (en centavos de dolar) del envio por correo de un paquete que pesax (onzas),
L~MITESY CONTINUIDAD
10
0
I4,
en enero de 1990. Resulta evidente en la grafica de la Figura 10.16 que
f tiene discontinuidades en 1 , 2 y 3, y que es constante para 10s valores de x que se encuentran entre discontinuidades sucesivas. A una funcion como ksta se la denomina funcion en escalones debido a1 aspect0 de su grafica.
Existe otra manera de expresar la continuidad, aparte de la que se plantea en la definicion. Si con el planteamiento lim f(x) = f(a) 1+(1
se reemplaza x por a + h, entonces, cuando x+a se tiene que h-0 Por ello el planteamiento lim f(a h
0
+
(Figura 10.17).
h ) = f(a)
define la continuidad en a.
v
f(a)
t
i
= f(k)
as x + a, then h + 0
A menudo conviene describir una situation mediante una funcion continua. Por ejemplo, el programa de demanda de la Tabla 10.13 sefiala el n~imerode unidades que 10s consumidores demandarian de un product0 especifico cada semana a diversos precios. Se puede proporcionar esta information en forma grafica, como en la Figura 10.15(a) trazando cada par de cantidad y precio como un punto. Resulta claro que esa TADLA 10.3 Proqromo de demando
-
PrecioIUnidad, P
Cantidad por semana, q
10.4
Continuidod
grafica no representa una funcion continua. Ademas, no ofrece informacijn con respecto al precio al que, por ejemplo, habria una demanda de 32 unidades. Sin embargo, si se unen 10s puntos de la Figura 10.18(a) mediante una curva alisada [vease la Figura 10.18(b)], se obtiene lo que se denornina una curva de demanda. '2 partir de esta se podria er,timar que a un precio de mas o menos $2.50 por unidad habria una demanda de 35 u,lidades. Con frecuencia es posible y util describir una grafica, tal como la de la Figura 10.18(b), por una ecuacion que defina una funcion continua f . E,sa funcion no solo presenta la ecuacion de demanda, p s f (q), que permite anticipar precios y cantidades demandadas correspondientes, sino que tambien permite realizar analisis matematicos convenientes de la naturaleza y las propiedades Sasicas de la demanda. Por supuesto, se debe tener cuidado a1 trabajar con ecuaciones como p = f (q). Matematicamente, f puede estar definida cuando q = V?37 pero, desde un punto de vista practico, una demanda de ~3unidades podria carecer de sentido en una situacion particular. Por ejemplo, si la unidad es un huevo, entonces una demanda de V% huevos no tiene sentido. E n general, sera deseable contcmplar situaciones practicas en terminos de funciones continuas cuando sea posible hacerlo y cuando permitan realizar mejores analisis de su naturaleza.
Ep. !'ox Problemas 1-6, use la definition de continuidad para demostrar que la funelon dada es continua en Z-
p!1t110~ndicado.
Er !or Problemas 7-12 determine si la funcion es continua en 10s puntos dados.
7:-
-
p p -
408 10. h(x)
10
=
L~MITESY CONTINUIDAD
3 '
x2
+ 4'
2, -2.
11. F(x)
=
x
+
2, s i x z 2 . 2, 0. x', si x < 2'
12. f(x)
=
- six#O
; 0, - 1 .
0, si x = 0
En 10s Problemas 1 g 1 6 , seiiale una razdn por la cual la funcion es continua en todas partes.
13. f(x)
=
2r2 - 3.
x 14. f(x) = -.
+2 5
I
15. f(x) =
x - 1 x2 + 4'
-
16. f(x) = x(l
-
x).
En 10s Problemas 17-34, hall? todos 10s puntos de discontinuidad.
29. f(x)
=
1, s i x z 0 , - 1. six < 0.
32. f(x)
=
34. f(x)
=
x - 3, six 3 - 2x, si x
2r
-
5. I,
> 2, < 2.
six m 3 , six < 3.
35. Supongase que la tarifa de larga distancia para una llamada telefonica de Hazleton, Pennsylvania a Los Angeles, California es de $0.29 (dolares) por el primer minuto y $0.20 por cada minuto adicional o fraccion. Si y f ( t )es una funcion que indica el cargo total y por una llamada de t minutos de duration, trazar la grafica de f para 0 < t 5 4 1. Utilizar la grafica para determinar 10s valores de t, en donde 0 < t 5 4 , en 10s cuales ocurre discontinuidad.
ejemplo, [3] = 3, [1.999] = 1, [ 4 1 = 0 y [-4.51 = -5. Trace la grafica de esta funcion para -3.5 5 x 5 3.5. Utilice la grafica para deterrninar 10s valo-
La funcion mayor entero, f (x) = [ x ] ,se define corno el mayor numero entero que es menor que o igual a x, en donde x es cualquier numero real. Por
Una funcion corno esta podria describir el inventario y de una compafiia en el tiempo x. ~ Ef scontinua en 2? iEn 5? iEn lo?
36.
- 10.5
res de x en 10s que ocurren discontinuidades.
37. Trace la grafica de y=f(x)=
i
-1OOx + 600, s i 0 5 x < 5 , -1OOx+ 1100, s i 5 s x < 1 0 , - lO0x + 1600, si 10 5 x < 15.
Aplicacion de la continuidad a las desigualdades E n esta seccion se estudia la forma en que se puede aplicar la continuidad para resolver desigualdades corno x 2 + 3x - 4 > 0. Pero, en primer lugar, se debe considerar una estructura sobre la cual basar la tecnica. Se llama la atencion del lector hacia la relacion que existe entre las intercepciones x d e la grafica d e una funci6n g (es decir, 10s puntos e n 10s que la grafica corta a1 eje X) y las raices de la ecuaci6n g(x) = 0. Si la grafica de g tiene una interseccion (r, 0)
10.5
Aplicacion de la continuidad a las desigualdades
FlGURA 1 0 . 1 9
con el eje x, entonces g (r) = 0 , de mod0 que r es una raiz de la ecuacion g (x) = 0 . Por ello, de la grafica de y = g(x) en la Figura 10.19, se concluye que r , , r2 y r, son raices de g (x) = 0 . Por otro lado, si r es cualquier raiz real de la ecuacion g ( x ) = 0 , entonces g (r) = 0 y, asi, ( r , 0 ) queda en la grafica de g. Esto significa que todas las raices reales de la ecuacion g (x) = 0 pueden representarse mediante puntos en 10s que la grafica de g corta a1 eje x. Observese tambien en la Figura 10.19 que estos puntos determinan cuatro intervalos abiertos en el eje x:
x2
+
En este punto ya se puede pasar a la solucidn de desigualdades. Volviendo a 3x - 4 > 0 , se hace
Puesto quef es una funcion polinomial, es continua en todas partes. Las raices def(x) = 0 son -4 y 1 ; en consecuencia, la grafica de f tiene intersecciones con el eje x en (-4, 0 ) y ( 1 , 0 ) (vkase la Figura 10.20. Las raices, o para ser mas precisos las intercepciones, determinan tres intervalos en el eje x:
Considerese el intervalo (-a, -4). Como f es continua en este intervalo, se afirma que f (x) > 0 o bien f ( x ) < 0 en todo 21 intervalo. Supongase que f ( x ) en realidad cambiara de signo ahi. Entonces, por la continuidad de f , habria un punto en el que la grafica interceptara a1 eje x , por ejemplo en (x,,,0 ) (vease la Figura 10.21). Pero entonces x , seria una raiz de la ecuacion f ( x ) = 0 . Esto no puede ser, puesto que no existe raiz de x2 + 3x - 4 = 0 que sea menor que -4. Por lo tanto, f ( x ) debe ser estrictamente positiva o estrictamente negativa en (-w,-4) a1 igual que en 10s otros intervalos.
FIGURA 10.21 FlGURA 1 0 . 2 0
41 0
10
LIMITES Y CONTINUIDAD
FIGURA 10.22
Para deterrninar el signo de f ( x ) en cualquiera de estos intervalos, es suficiente deterrninar su signo en cualquier punto del intervalo. Por ejernplo, -5 se encuentra en ( - a , -4) y f (-5) = 6 > 0 . Por lo tanto, f ( x ) > 0 en ( - a , -4). Dado que 0 se encuentra en (-4, l ) , y f ( 0 ) = -4 < 0, entonces f ( x ) < 0 en (-4, 1 ) . De igual forrna, 3 se encuentra en (1, a )y f ( 3 ) = 14 > 0 ; por consiguiente, f (x)> 0 se halla en ( 1 , m) (vease la Figura 10.22). Por lo tanto, x2 + 3x - 4 > 0 para x < -4 y para x > 1 , consecuenternente, se ha resuelto la desigualdad. Estos resultados son evidentes en la gr6fica que aparece en la Figura 10.20.
EJEMPLO 1 Resolver x2 - 3x - 10 < 0 . Si f ( x ) = x' - 3.r - 10. entonces f es continua en todas partes. Para encontrar las raices de f ( x ) = 0 , se tiene
En la Figura 10.23 se muestran las raices-2 y 5 , las cuales deterrninan tres intervalos:
Corno -- 3 se encuentra en ( - x , el de f ' ( - 3 ) . Corno (X
+
f(-3) =
(-
j'(x) =
( - 2 , 5 ) , and
2
-
-
(5,x).
2 ) , el signo de f ( x ) en ( - cr-, - 2) es el misrno que
2)(x - 5)
[forma factorizada de f ( x ) J ,
se tiene 3
+
2)(-3 - 5)
= (-)(-)
=
+.
FIGURA 10.23
[Notese la conveniencia de hallar el signo de f(-3) utilizando 10s signos de 10s facores d e f ( x ) ] .Por tanto, f ( x ) > 0 en (- 03, -2). Para 10s otros intervalos se encuentra que
por lo que f(x) < 0 en ( - 2 , 5 ) . y j'(6) = ( 6
+
2)(6
-
5)
=
(+)(+I =
+,
10.5
41 1
Aplicocion de lo continuidod o los desiguoldodes
Asi f ( x ) > en ( 5 , a ) .En la grafica de signos de la Figura 10.24 se presenta un rcsumen de 10s resultados. De mod0 que x? x 3x - 10 < 0 , para -2 < x < 5.
_ A I _
\I
-2
5
FlGURA 10.24
EJEMPLO 2 -
Resolver x (x - 1)(x + 4 )
_(
0.
Si f ( x ) = X ( X - 1)(x + 4 ) , entonces f es continua en todas partes. Las raices de f ( x ) = 0 son 0 , 1 y -4, lo cual se muestra en la Figura 10.20. Estas raices determinan cuatro intervalos:
Ahora se encuentra el signo de f ( x ) en un punto de cada intervalo: f(F.5) = (-)(-I(-) f(
--
2 ) = ( - )( -- )( + )
f(f) and
=
(+)(-I(+)
, por lo que f ( x ) < 0 en (- w , -4);
=
-
=
+ , por
=
- , por lo que f ( x ) < 0 en ( 0 , 1);
lo que f ( x ) > 0 en (-4, 0 ) ;
j ' ( 2 ) = = ( + ) ( + ) ( + ) =+ , p o r l o q u e f ( x ) > O e n ( l , w ) .
En la Figura 10.26 se presenta una grafica de signos. Asi, x(x 1 ) (.Y + 4 ) 5 0 para - 4 y para 0 5 x 5 1 . Observese quc -4, 0 y 1 se incluyen en la solucibn pues estas raices satisfacen la parte de igualdad ( = ) de la desigualdad (r).
x r
FIGURA 10.25
FIGURA 10.26
EJEMPLO 3 X?
- 6x
Resolver Sea f ( x )
+ 5 -
X
=
x2
-
6x X
+
r 0.
5 - -( x - l ) ( x - 5 ). Para un cociente se resuelve la desigual.t
dad considerando que 10s intervalos estan determinados por las raices de f (x) = 0 , a saber, 1 y 5 , y 10s puntos en donde f es discontinua. La funcion es discontinua en x = 0 y continua en las demas partes. En la Figura 10.27 se coloca un circulo hueco
t0
L~MITESY CONTINUIDAD
en 0 para seiialar que f no esta definida ahi. Se consideran 10s intervalos ( - x , 01, (0, 11, (1, 51, Y
(5, x ) .
Determinando el signo de f ( x ) en un punto de cada intervalo, se encuentra que f ( - 1) = ----) -
(-1,
por lo que f (x) < 0 se encuentra sobre
(-1 )
Y
) - +
)
f(2)
( + I ( - > = (-), = -----(+)
f(6)
=
<-+(>+(I+ I
- (
+
por lo que f ( x )
> 0 se encuentra
(-m,
0);
sobre (0, I);
por lo que f (x) < 0 se encuentra sobrc (1, 5); por lo que f (x) > 0 se encuentra sobre ( 5 ,
m).
La grafica de signos se encuentra en la Figura 10.28. Por lo tanto, f ( x ) r 0 para 0 < x r 1 y para x r 5 (vease la Figura 10.29) ~ P o que r se incluyen 1 y 5 y se excluye el O?
FlGURA 10.28
FlGURA 10.29
Resumiendo: f ( x ) puede cambiar de signo solo alrededor de 10s puntos en 10s que f ( x ) = 0 o en 10s puntos en que f tiene una discontinuidad. EJEMPLO 4
Resolver las siguientes desigualdades. La ecuacion x 2 + 1 = 0 no tiene raices reales. Por consiguiente, la grafica de f (x) = x 2 + 1 no tiene intersecciones con el eje x. Tambien, f es continua en todas
partes. Consecuentemente, f ( x ) es siempre positiva o siempre negativa. Pero x' es siempre positiva o bien 0 , de mod0 que, x 2 + 1 es siempre positiva. Asi, la SOIL!cion de x2 + 1 > 0 es -m < s < m.
De la parte (a), x i + 1 es siempre positiva, de manera que, la desigualdad s' 1 < 0 no tiene solution.
+
EJERClClOS 10.5 Mediante la tecnica que se analizd en esta seccidn, resuelva /as siguientes desigualdades.
+
15 > 0.
3.r
-
4 > 0.
2. xL
8x
4. 14 - 5.r
-
.r2 5 0.
5. 2.r'
+ 1lx
+
8. 21'
-
.r
2
5
0.
5)(x
+
4) > 0.
1. x2
7. x2 10.
(X
13. x3
-
+ 4 < 0. - 5)(x
-
2)(x
+ 3) 2 0.
+ 4.r r 0.
11.
-X(X
14. (x
-
-
+ 212(x'
27. Supongase que 10s consumidores adquiririan q unidades de un product0 cuando el precio de cada
unidad fuera de 20 - 0.19 dolares. ~Cuantasunidacks se deben vender para que 10s ingresos por ventas m sean inferiores a $750?
a. Una cornpafiia rnaderera es propietaria de un W u e que tiene forrna rectangular y dirnensiones de 1 milla x 2 millas. La compaiiia desea cortar una fhanja uniforrne de arboles a lo largo de las orillas cneriores del bosque. Cuando mucho, 'ique tan anh a puede ser la franja si la cornpaiiia desea conserb a r f de milla cuadrada de bosque? 2). Un fabricante de envases desea fabricar una caja
abiena conando un cuadrado de 4 pulgadas de lado cn cads una de las esquinas de una hoja cuadrada
- 10.6
Repaso TERM~MOLOG~A Y S~MDOLOS .
WII 10.1
lim f (x)
i-,i
=
L
14 < 0.
-
I ) < 0.
3, .r2 - 5x 6. .r2
-
+ 6 5 0.
4 < 0.
9. (X + 2)(r
-
3)(x
+ 6) 5 0
+ 2)' > 0. 15. .r3 + 2x' 3.r > 0. 12. (.r
-
de aluminio y doblando despues 10s lados. La caja debe contener cuando rnenos 324 plg3. Obtenga las dirnensiones de la hoja de aluminio mas pequefia que se puede utilizar.
30. La Imperial Education Services (I.E.S.) esta ofreciendo un taller sobre procesarniento de datos a cierto personal de la Zeta Corporation. El precio por persona es de $50 y la Zeta Corporation garantiza que asistiran cuando menos 50 personas. Supongase que la I.E.S. ofrece reducir la cuota para todas /as personas en $0.50 por cada persona, por encima de las 50 que asistan. iDe que manera debe la I.E.S. lirnitar el tamaiio del grupo para que 10s ingresos totales que reciba nunca Sean inferiores a 10s que se reciben por 50 personas?
Seccion 10.2
lirn f (x)
limites unilaterales
=
lirn f (x)
L
=
lim f (x)
L
r+u+
r-iir
limf(x)=L
= m
r+0
limf(x)=L I-L
X
Seccion 10.3
capitalizacion continua
Seccion 10.4
continua
discontinua
continua en un interval0
continua en todas partes
RESUMEN _ La nocion del limite es la base del Calculo. Decir que lirn f (x)
=
L significa que es posible hacer que 10s valores
1-0
de f (.u) Sean tan cercanos a1 numero L como se desee haciendo que x se aproxime lo suficiente a a . Si lirn f ( s ) .r+a y lim g (x) esisten ). si c es una constante, entonces r+n
1. lirn c
2. lim x"
= c.
'I-<,
3. lim Lfc-r) I g ( ~ - ) ]= lim ,f'(x)
l -c,
lim g(x),
=
. g(x)]
4. L-G lim V(x!
,-<.'
I -
I-ii
5. lim [cf(.r)]
a"
=
1-0
=
lim f(x) . lim I-a g(x)>
I-u
lim f(x) fix) I-', - = - si ,-, gi*) lim g ( r )
c . lim f(x),
6 . lim
7-0
8.
lim g(x)
,-,,
+ 0.
Si f es una funcion polinomial, entonces lim
La Propiedad 8 significa que se puede encontrar el limite de una funci6n polinomial simplemente sustituyendo x p o r a . Sin embargo, con otras funciones la sustitucion puede conducir a la forma 0/0, que carece de sentido. En estos casos, la manipulation algebraica, tal como la factorizacion, puede dar como resultado una forma a partir de la cual puedan determinarse 10s limites. Si f (x)tiende a L cuando x tiende a a por la derecha, entonces se escribe lim f (x). De manera similar, ++a si f (x) tiende a L cuando x tiende a a por la izquierda, entonces se tiene limf(x). A estos limites se les denornina x-n limites unilaterales. -
El simbolo del infinito m , que no representa un numero, se utiliza para describir limites. El planteamiento lirn f(.r) = L .I+=
significa que cuando x aumenta indefinidamente, 10s valores de f (x) tienden a1 numero L. Se aplica un planteamiento similar cuando x -m , lo cual significa que x disminuye indefinidamente. En general, s i p > 0, entonces +
1 lim xP
=
y
0
lim x-
r-r
Si f (x) aumenta indefinidamente cuando x
+
-r
1 xP
=
0.
a , entonces se escribe lim f(x)
= m.
De modo analogo,
r+a
si f(x) disminuye indefinidamente, se tiene lim f ( x )
=
-w. Decir que el limite de una funcion es m(o -w)
x+a
no significa que esista ese limite. Mas bien es una forma de decir que el limite no existe y ademis se dice por q u e no existe. Existe una regla para evaluar el limite de una funcion racional (cociente de polinomios) cuando x m o bien - m . Si f (x) es una funcion racional y a n x " y b m x mson 10s terminos del numerador y del denominador, respectivamente, que tienen las mayores potencias de x, entonces +
lim f(x)
=
x +=
Y
lim f(x) x-
-z
lim .r-1
=
lim r+-=
arx--
bdm
a,,~" b, ,w
10.6
.
41 5
Reposo
En particular, cuando s o bien - rn el limite de un polinomio es el mismo que el Iiniite del termino que contiene la mayor potencia de x. Esto significa que, un polinomio que no contiene sonstantes, el limite cuando o bien - w . s -* o bien - w es Una funci6n f es continua en x = a si y solo si, +
1. f(x) esta definida en x = a.
2. Existe lirn f(x) x - u
3. lirn f(x)
= f(a).
x-CI
En termirios geometricos, csto significa que la grafica d e f n o se interr~lmpecuando x = o. Si una funcioli es continua en un punlo. e dice que es disconrinua ahi. Las f u n c i o n e ~polinomiales son continuas en todas parreh, y las funciones racionales solo son discontinuas en 10s puntos en donde el denominador ea cerv. Cuando el interis se capitaliza en cada instante, se dice que se cornpone continuarnente. Bajo capitalizacion continua a la tasa anual r durante r afios, la formula S = Per' arroja el monto total S d e un capital P . La fbrmula P = Se-r' d a el valor actual P de S unidades rnonetarias. La tasa efectiva correspondicnte a una tasa anual r capitalizable continuarnente es er - 1. Para resolver la drsigualdad,f'(.v) > 0 ( o bienJ'(v) < 0). primer0 se enc'uenlran 10s valores de .v para la\ illale\ /(.I-) = 0, y 10s \.alorcs de .v para lo\ cuale\,/'c\ Ji\c'ontinua. Fstos l a l o r 0 dslerlninan inlervalor, rIi ~.atl:t inlervalo, /'(.Y) es sielnpre posi~i\.ao sicmpre negaliva. Para hallar el sign0 ell cualquiera de eslos i n ~ c r ~ a lo\, c\ slll'icien~eobtener el jigno de,/'(.v) cn c'tlalquiel. p u l ~ t o .L)esplle\ de tlelern~iria~los sipnos para todo\ 10s il~tcrvalosresul~asencillo dar la soluci611 tle ,/'(.v) > 0 ( n bizn ,/'(.v) < 0). 110
PRODLEHAS DE REPASO -
-
En 10s Problernas 1-26, encontrar l o s l i ~ ~ i i t esis ,e x i s ~ e r Si ~ . no existen Irirrites, 111ericio17cr1.esto o ~rtilizare l s ~ ' i ~ ~ h o l o rn o -m, l o que .sea apropiado.
4.
x + l lim 7-,
- 2
r+-2X
+ 2u x' + 1 lim ---7 .
,--4
10.
4x'
x"
7. lirn
s2
,-3
2r r
-
3
r'
x + 3 x" 9.
22. lim d
,- 5 '
20. lirn , -2
2
-
1
+ .t
.\-?
-
18. lirn --. I .r- I
+ 2):'
- .\-
.\- -
+
s 3 1 - .u
,+-%
,-*,. (3.t
,-I-
.I
15. lini -.
3
17. lirn 19, lim
lim 7 . ,--x
-
I
12.
x-
,+=
13. lini
- 8'
21. lim
2
~
1
2
%
1-1
T
25. Si f ( s ) = 8.r
-
2. evaluar lirn //-/I
flr
+
11)
I1
-
f(r)
41 6
10
26. Si f ( x )
=
2.~'
L~MITES Y CONTINUIDAD
-
f(x
3, evaluar lim'
+
h)
-
f(x)
11
I,-,,
27. Se determino, para una relacion especifica entre anfitrion y parasito, que, cuando la densidad de anfitrion (numero de anfitriones por unidad de area) es x, entonces el numero de anfitriones con parasitacion, en un period0 determinado, es y, en donde
28. Se determino, para una determinada relacion entre depredador y presa, que el numero de presas que consume un solo depredador en un cierto tiempo es funcion de la densidad de presas ~ ( n u m e r ode presas por unidad de area). Supongase que
Si aumentara ilimitadamente la densidad de 10s anfitriones, ja que valor tenderia?
Si aumenta ilimitadamente la densidad de presas, ja que valor tenderia?
29.
Para una tasa anual de interes del 7% capita!izable continuamente, halle:
a. el monto total de $2,500 a 10s 14 afios. 30.
el valor actual de $2,500 que vencen en 14 aiios.
b.
Para una tasa anual de interes del 6% compuesto continuamente, halle b. el valor actual de $800 que vencen en 9 aiios.
a. el monto compuesto de $800 despues de 9 aiios. 31.
Obtenga la tasa efectiva equivalente a una tasa anual del 6% compuesto continuamente.
32.
Determine la tasa efectiva equivalente a una tasa anual del 1% compuesto continuamente.
33. Utilizando la definicion de continuidad, demuestre que f(x) = x 34. Empleando la definicion de continuidad, demuestre que f(x)
=
+
5 es continua en x = 7.
x-3 es continua en x
=
3.
2 + 4
35.
Determine si f (x)
=
x i 4 es continua en todas partes. Mencione alguna razon para la respuesta.
36.
Establezca si f (x)
=
x2 - 2 es continua en todas partes. Proporcione una razon para la respuesta.
En 10s Problemas 37-44, obtenga 10s puntos d e discontinuidad (si existen) para cada funcion.
44. f(x)
=
si x < 1 , 1, s i x 2 1.
llx,
En 10s Problemas 45-52, resuelva las desigualdades dadas. 45.
X'
+
4~ - 12 > O .
+450.
46. 2x'
-
6~
x(x
+
5)(x
so.
3
+
8)
< o.
48. x 3
47. x3 r 2x2. 51.
+
x2 3x x2+2x-8
2
0.
52.
+
8x2
+
15x r 0.
x2 - 4 r x2+2x+1
o
Deficit de Presupuesto La rnagnitud del deficit presupuestario de Estados Unidos preocupa en gran rnedida a rnuchos estadounidenses y es un terna frecuente en las noticias. El deficit en el aiio fiscal de 1988 fue de 155,000 rnillones de dolares*. La rnagnitud del deficit afecta la confianza de 10s inversionistas, tanto nacionales corno extranjeros, tienen en la econornia de Estados Unidos. Afecta, asirnisrno, la confianza de 10s funcionarios de cornpaiiias privadas y la de 10s lideres politicos. Segun el Wall Street Journal*, el deficit presupuestal propuesto por el presidente Reagan para el aiio fiscal de 1990, fue de 92,500 rnillones de dolares. Aunque esto significa una considerable reduccion con respecto a la cifra de 1988, rnuchas personas consideran que sigue siendo dernasiado grande y que habra que lograr rnayores reducciones en el futuro, incluso hasta lograr el equilibrio del presupuesto. Existen quienes creen que para reducir el presupuesto, se deben hacer recortes en 10s gastos del gobierno, lo cual podria afectar 10s prograrnas gubernarnentales o que, por otro lado, debe darse un aumento en 10s ingresos, posiblernente a travts de incrernentos en 10s irnpuestos. Otros preferirian que el presidente fijara una cantidad que no fuera posible rebasar (un line-item veto). Supongase que se reduce el deficit Do en el tiernpo t = 0 a una tasa anual r. Supongase, ademas, que existen k periodos de igual duracion en un aiio. A1 final del primer lapso, el deficit original a una cierta surna, se estaria restando del deficit en cada rnornento. Vease ahora corno se puede elaborar un rnodelo de esta situacion. Supongase que se reduce el deficit Do en el tiernpo t = 0 a una tasa anual r. Supongase, ademas, que existen k periodos de igual duracion en un aiio. A1 final del primer lapso, el deficit original se reduce en D,
*
(i) ,
de rnanera que el nuevo deficit es
Wall Street Journal, 10 de enero, 1989, Sez. A, pp. 1, 12
( ;);
A1 final del segundo periodo, este deficit se reduce en Do 1 cit es
~
~
-
(
i)1-
Do(l -
:): =
Do(] - (
1 -
-
-, de mod0 que el nuevo dkfi
i)
=
(
Do(l -
:)2
;I3
El proceso continua. Al final del tercer periodo, el deficit es Do 1 - - , y asi sucesivamente. A1
(
final de t aAos, el numero de periodos es kt y el deficit es Do 1 en cada instante, entonces k
+
m.
Si se va a reducir el deficit -
Por esto se desea evaluar
i) kl
lim Do( 1 k-+s
-
,
que puede ser replanteado como
[&%( L- ) ~ ~ ' ~ ] - ~ ~ .
Do lim
1
-
Si se fijax = - r / k , entonces la condicion k m implica quex+ 0. Por ello, el limite que se encuentra dentro de 10s corchetes tiene la forma lim (1 + x)"" que, como es bien sabido, es e. Asi, si se reduce !-0 continuamente el deficit Do en el tiempo t = 0 , a una tasa anual r,. entonces el deficit D, a 10s r aiios esta dado por +
Por ejemplo, suponiendo que el deficit de 1990 haya sido de 92,500 millones y que se haya dado una tasa continua de reduccion del 6% anual, entonces el deficit t afios despuis esta dado por
Esto significa que en el aiio 2000 ( t = lo), el deficit sera de 92.5e-Oh -- 50,800 millones. En la F'igura 10.30 se tienen las graficas de D = 92.W" para diversas tasas r. Por supuesto, cuanto mayor sea
Deficit de presupuesto
41 9
el valor de r, tanto mas rapida sera la reduccion del deficit. Observese que para r = 0.06, el deficit a1 final de 30 afios sigue siendo considerable (aproximadamente 15,300 millones de dolares). Resulta interesante observar que 10s elementos radiactivos que decrecen tambiin siguen el modelo de la reduccion continua del deficit, D = Doe-"
En 10s siguientes problemas, suponga un dgicit en el presupuesto de 1990 igual a 92,500 mi/lones de dolares. 1. La propuesta Reagan indica un deficit de 66,800 millones de dolares para 1991.* ~ Q u Ctasa anual de reduccion continua del deficit se requeriria para lograr esto?
2. Para una reduccion continua del deficit a una tasa anual del6%, determine el numero de aAos que se requiere, despuks de 1990, a fin de que el deficit se reduzca a la mitad. Proporcionese la respuesta al aiio mas cercano.
CAPITU LO
11
Diferenciacion (o derivacion) En este punto comienza propiamente el estudio del Calculo. Las ideas que intervienen en el Calculo son muy distintas de las del Algebra y la Geometria. El poder y la importancia de estas ideas y sus aplicaciones resultaran eviderltes en una parte mas avanzada del texto. El objetivo de este capitulo es no solo explicar que es lo que se denomina "derivada" de una funcion, sino tambien enseiiar las tecnicas para obtener derivadas aplicando en forma apropiada ciertas reglas.
-
11.1 La derivada Uno de 10s principales problemas de 10s que se ocupa el Calculo consiste en determinar la pendiente de la recta tatigente a un punto sobre una curva. En Geometria suele pensarse en una recta tangente, como la tangente a un circulo, como la recta que toca a dicha figura exactamente en un punto (Figura 11.1). Por desgrakia, esta idea de tangente no es muy util para otra clase de curvas. Por ejemplo, en la Figura 11.2 (a) las rectas L , y L,, cortan a la curva exactamente en un punto. Aunque no se pensaria que L 2 es tangentexen este punto, ea evidente que L , si lo es. En la Figura l l .2(b) se consideraria que L , es tangente a1 punto P aun cuando L , corta a la curva en otros puntos. De estos ejemplos puede observarse que es necesario eliminar la idea de que una tangente es simplemente una recta que
Rectos tongentes
FIGURA II.I
420
II. I
La derivodo
FIGURA 11.3
toca a una curva en un solo punto. Para desarrollar una definicion apropiada de recta tangente, se utiliza el concept0 de limite. Observese la grafica de la funcion y = f ( x ) de la Figura 11.3. Aqui, P y Q son dos puntos diferentes sobre la curva. A la recta PQ que pasa por ellos se le denomina recta secante. Si Q. se mueve a lo largo de la curva y se aproxima a P por la derecha, PQ', PQ", y sucesivamente, son rectas secantes tipicas, como se muestra en la Figura 11.4. Conforme se aproxima Q a P por la izquierda, las rectas son P Q , , PQ,, etcetera. En arnbos casos /as reclas secanles se aproximan a la misma posicion limitanre. A esta posicion comun de las rectas secantes se le define como la recta tangente de la curva en P. Esta definicion parece ser razonable y evita las dificultades que se mencionaron a1 principio de esta seccion, Una curva no necesariamente tiene una tangente en cada uno de sus puntos. Por ejemplo, la curva y = 1x1 tiene tangente en (0, 0 ) por la siguiente razon. En la Figura 11.5 una recta secante que una 60,O) con un punto cercano a su derecha debe siempre ser la recta y = x y con un punto cercano a su izquierda es la recta y = -x. Por ello, la posicion limitante de las rectas secantes que pasan por (0, 0) y 10s puntos de la curva que se encuentran del lado derecho de (0,O)es la recta y = x, pero la posicion limitante de las rectas secantes que pasan por (0, 0 ) y 10s puntos a su izquierda es la recta y = -x. Como no existe posicion limitante comun, no existe tangente. Ahora que se tiene una definicion apropiada de tangente a una curva en un punto, puede definirse la pendienre de una curva en un punto.
Poslc~onl~mironte (tongenre en P)
FlGURA 11.5
II. I
Lo derivodo
FIGURA 11.3
toea a una curva en un solo punto. Para desarrollar una definicion apropiada de recta tangente, se utiliza el concept0 de limite. Observese la grafica de la funcion y = f ( x ) de la Figura 11.3. Aqui, P y Q son dos puntos diferentes sobre la curva. A la recta PQ que pasa por ellos se le denomina recta secante. Si Q. se mueve a lo largo de la curva y se aproxima a P por la derecha, PQ', PQ", y sucesivamente, son rectas secantes tipicas, como se muestra en la Figura 11.4. Conforme se aproxima Q a P por la izquierda, las rectas son PQ , PQ,, etcetera. En atnbos casos /as rectas secantes se aproximan a la misma posicion limitanre. A esta posicion comun de las rectas secantes se le define como la recta tangente de la curva en P. Esta definicion parece ser razonable y evita las dificultades que se mencionaron al principio de esta seccion. Una curva no necesariamente tiene una tangente en cada uno de sus puntos. Por ejemplo, la curva y = 1x1 tiene tangente en (0, 0 ) por la siguiente razon. En la Figura 11.5 una recta secante que una 60,O) con un punto cercano a su derecha debe siempre ser la recta y = x y con un punto cercano a su izquierda es la recta y = -x. Por ello, la posicion limitante de las rectas secantes que pasan por (0, 0) y 10s puntos de la curva que se encuentran del lado derecho de (0, 0) es la recta y = x, pero la posicion limitante de las rectas secantes que pasan por (0, 0 ) y 10s puntos a su izquierda es la recta y = -x. Como no existe posicion limitante comlin, no existe tangente. Ahora que se tiene una definicion apropiada de tangente a una curva en un punto, puede definirse la pendiente de una curva en un punto.
,
Posicion limirante (tangente en P )
FIGURA 11.5
1 LI pendienfe de frnn cur.\~rcti u n p ~ l t i l oP es lo petidietilc cle ar re~.tu~ r ~ t i g c t i tcri e P.
P~lestoque la tangente en P e5 una po5icidn Illnitante dc la, recta5 jecantcs PC). la pcndientc de la tangente es el valor limite de las pcndiente5 de las recta5 sccantcj, con t'ormc Q 5e aprovima a P. Se encontrara una expresidn para la pendiente dc la cul \ a y = f (x) en el punto P = (x,, f (x,)) que se muestra en la Figura 11.6. Si Q = (x,, f (x,)), la pendiente de la recta secante PQ es
Si 5c dcnomina I1 a la dit'erencia x , - x , entonces se puede escribir .u, corno .u, -t 11. A q u i . 5c. rie~~c. que 11 Z 0, porque si 17 = 0, entonces .r2 = x I y no existe recta secante' E n consccuencia,
Conforme Q se niue\e a lo largo de la curva hacia P, entonces .u, se aproxima a . Y , . E5to 5ignifica que h tiende a cero. El valor limitante de las pendientes de las rectas secantes [que es la pendiente de la recta tangente en (x,, f (x,)) es el siguiente limite:
m,,,
=
lim h-0
--
f(x1 + h) - f(x1) h
EJEMPLO 1 Obtetier lo pendiente de l a curva y = f (x) = x' en el punto ( I , 1 ) . L a pendiente es el limite de la Ecuacion ( I ) , con f ( x ) = x 2 y x , = I
lim h-+O
f ( 1 + h) - f ( 1 ) h
=
lirn 1,-O
(1
+ h12 h
(I)?
I I .I
Lo derivodo
I+2h+h2-I h
= lim h--0
+
h(2
= lirn
h)
h
h-0
=
lirn ( 2
=
lim
2h
0
+ h) =
+ h2 h 2.
h-0
Por lo tanto, la recta tangente a y = x 2 en ( 1 , 1) tiene pendiente 2 (Figura 11.7). Se puede generalizar la Ecuacion (1) para que sea aplicable a cualquier punto ( x , f (x))de una curva. Reemplazando x , por x se obtiene una funcion, a la que se denomina derivada de f , cuyo dato de entrada es x y cuyo dato de salida es la pendiente de la recta tangente a la curva en ( x ,f (x)).Por consiguiente, se tiene la siguiente definicion que forma la base del Calculo diferencial.
La derivada de una funcidn f es la funcion que se denota por f ' (y se lee ' f p r i m a " ) que esta definida por
. f f ( x )= lirn
+ h)
f(x
-
f(x)
fsuponiendo que existe este limite). Si se puede evaluar f ' (x),se dice que f es diferenciable y a f'( x ) se le denornina derivada de f en x o la derivada de f con respecto a s. A1 proceso de determinar la derivada se le denornina diferenciacidn. EJEMPLO 2 Si f ( x ) = x2, hallar la derivada de f. .Aplicando la definicion anterior,
f'(x)
=
lirn
+ h) - f ( x )
f(x
h
h -0
=
lirn
(x
+
h-c
=
lim 0
2rh
h)' - x 2 h
+ h2 =
h
=
lim h -0
lirn
x2
+ 2xh + h2 - x' h
h -0
h(2x
+ h
h)
=
lim (2x
+
h ) = 2x.
h+O
Obsenese que a1 obtener el limite se consider0 a x como constante porque la que varia-
ba era h, y no x. Observese tambikn que f ' ( x ) = 2x define una funcion de x , que se puede interpretar que da la pendiente de la recta tangente a la grafica de f en ( x ,f (x)). Por ejemplo, si x = 1 , entonces la pendiente es f ' ( 1 ) = 2(1) = 2, lo cual confirma el resultado del Ejemplo 1 . Ademas de f ' (x), otras notaciones para la derivada de y dx
y' D,y Dllf(x)]
=
f (x) en x son:
(que re lee "de y en de x"),
( y prima),
(de respecto a x de y), [de respecto a x de f ( x ) ] .
ADVERTENCIA
9 no se considera corno una fraccidn sino corno un simple sirnbolo para una derivada. Todavia dr no se asignan significados a 10s sirnbolos dy y dx.
Si se puede evaluar la derivada de y = f (x)en x = x , , a1 numero resultante f ' ( x,) se le denomina derivada de f en x , y se dice que f es diferenciable en x , . Como f ' da la pendiente de la recta tangente,
f ' ( x ,) es la pendiente de la tangente a y f ( x ) en ( x , ,f ( x,)). Otras notaciones para f ' ( x , ) son
EJEMPLO 3
Si f (x) = 2x2 + 2x + 3 , determinar f ' ( 1 ) . DespuPs hallar una ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en ( 1 , 7 ) . En primer lugar, se obtiene f ' ( x ) y se le evalua en x f f ( x ) = lim h-0
= lim
f(x
lim
h) - f ( x ) h [2(x h)2 2(x
+
+
+ h) + 31
- (2x2
+ 2x + 3)
h
2x2
+ 4xh + 2hZ + 2x + 2h + 3 - 2xZ - 2x
4xh
+ 2h2 + 2h
h-0
= lim
1.
+
h-0
=
=
h =
lim(4x
+ 2h + 2).
-
3
1 i .i
La derivoda
Consecuentemente, la tangente a la grafica en (1, 7) tiene pendiente igual a 6. Una forma de punto-pendiente de la recta tangente es y - 7 = 6 ( x - 1). Simplificando, resulta y = 6 x + 1. ADVERTENCIA En el Ejemplo 3, no es correct0 decir que como la derivada es 4x 2 , la recta tangente en (1, 7) es y - 7 = (4x 2)(x - 1 ) . La derivada debe evaluarse en el punto de tangencia para determinar la pendiente de la recta tangente.
+
+
EJEMPLO 4 Encontrar la pendiente de la curva y = 2x Haciendo y = f (x) = 2w
9=
lim f ( x
dx
h-0
lirn
=
h-0
d
Corno -(2x dr
+ 3) =
+ +
2h h
=
3 en el pltnro en donde x
=
6.
3, se tiene h) - f(x)
h -
+
=
lim
[2(x
+
h)
+
31
-
(2r
+
3)
h
h-0
lirn 2 = 2 h-0
2 , la pendiente cuando x = 6, o de hecho en cualquier punto,
es 2 . ObsCrvese que la curva es una recta y, por ello, tiene la misma pendiente en cualquier punto. EJEMPLO 5
Si f(.r) =
G,entonces d
-
-(
dx
=
lim
f(x
h-0
+
h)
-
f(x)
h
=
lim
v'-
-
\I;
h
h-0
Cuando h 0, tanto el numerador como el denominador tienden a cero. Se puede evitar esto racionalizando el numerador.
d
-(+) dr
=
lirn
1
h - O V F F T + G
-
1
--1
G+G-2G'
Obsir\ese que la funcion original q x , esta definida para s r 0. Pero la derivada 1 1 2 \ i t . esra definida solo cuando x > 0 . De la grafica de y = x< que aparece en
la Figura 11.8, resulta evidente que cuando x la cual la pendiente no esta definida.
=
0 la tangente es una recta vertical, para
Si una variable, por ejemplo p, es funcion de alguna otra variable, por ejemplo q , entonces se habla de la derivada de p con respecto a q , y se escribe dp/dq.
EJEMPLO 6
1
Si p = f ( q ) ,= --, determ jnar
2q
i~= K(L) dq
=
dq 2q/
+
ljm f ( q h-0
= lim h-+o
= lim h--.O
dp
-.
d~
h) h
1
-
i ( q )=
]jm h -0
1
-
Y - (q
+ h)
29 = lim 2q(q + h ) h-0 h
2(q + h ) h
-h 9 - (9 + h) = li* h-+o h[2q(q + h)l h[29(9 + h)l -
2q(q
Observese que cuando q
=
1
+ h)
1 - --
2q2'
0 no existe ni la funcion ni su derivada.
Como nota final se debe sefialar que la derivada de y que el siguiente limite: lim
f(s
+
=
f ( x ) en x no es otra cosa
h) - f(x)
Aunque se puede interpretitr la derivada como una funcion que d a la pendiente de la recta tangente a la curva y = f ( x )en el punto ( x ,f ( x ) ) ,esta interpretation es solo una conveniencia geometrica que facilita la comprension. El limite anterior puede existir independientemente de cualquier consideration geometrica. Como se vera mas adelante, existen otras interpretaciones utiles.
EJERClClOS 11.1 En 10s Problernas 1-16, utilice la definicion de derivada para encontrai cada lina de /as siguientes. dv I.f 1 ( x ) si f ( x ) = x . 2. f l ( x ) si f ( x ) = 4 x - 1 . 3. si y = 3 x + 7.
dx
1 1.2
I-.
Reglos poro lo diferenciocion
Hdlle la pe~~dientt. de la curva y
19. Determine la pendiente de la curva y 5 cuando x = 0.
L.-
+
= .\-2
=
1 en el punto ( - 2 , X I
4x2 -
20. Determine la pendiente de la curva cuando x = 1.
=
\5
ProDlei~ius21-26, kulle unu ec~iucicinde Iu rec.ra ratr~etiieu Icr c ~ u t ~ell ( r el plrnro duclo.
?l.?
=
3-?
= 3.r' t 3.x - 4;
.v t 4;
(3,7). (-1,
-4).
T. -\lgunas ecuaciones pueden implicar derivadas Lnaones. En un articulo acerca de la disminu=KT. k reglamentaciones sobre tasas de interis, Chris2 : I. .\gapes* resuelven la ecuacion X
- 11.2
22. y
=
2x2 - 5 ; ( - 2 , 3 ) .
24. y
= (x -
I)':
(0. I ) .
para determinar 7 (la letra griega eta). Aqui, r es la tasa de deposito que jagan 10s bancos comerciales, r , es la tasa que ganan 10s bancos comerciales, C es el costo administrativo implicado en transformar depositos en activos que pagan rendimientos, D es el nivel de 10s depositos de ahorro y 7 es la elasticidad de 10s depositos con respecto a la tasa de deposito. Obtenga 7.
Reglas para la diferenciacion E.< probable que el lector este de acuerdo en que dircrenciar una funcion mcdianre el uso directo d c la definicion de derivada puede ser un trabajo tedioso. Por Fortuna, eiisren replas que ofrecen procedimientos eficientes y completamente mecanicos para Ile\ a r a cabo la diferenciacion. Evitan tambien el uso directo d e limites. En esta secciOn, se observan algunas reglas. Para comenzar, recuerdese que la grafica de la funcion constanre f'(.v) = c e s una resra horizontal (Figura 11.9), que tiene pendiente cero en todas partcs. lzsto ignifica q u e - f ' (.v) = 0, la cual es la primera regla. Enseguida sc prcscnta una prueba fol.mal.
Regla 1
Si c es una consfrmfe, enf0nce.s d = 0. dr Esto es, la derivada de una funcion constante es cero. -(c)
Den?osfracion.Si f ( x ) = c, aplicando la definicion de derivada resulta f'(x)
=
lirn
f(x
+
h-0
= lirn h-0
0
h
=
C-c h) - f(x) = lirn h /I-0 h
lim 0
=
0
h-0
EJEMPLO 1 a. 0 , ( 3 ) = 0 porque 3 es una funcion constante.
d, entonces g ' ( x ) = 0 porque g es una funcion constante. Por ejemplo, la derivada de g cuando x = 4 es g ' (4) = 0.
b. Si g ( x ) =
c. Si s ( t )
=
(1,938,623)m7.4,entonces ds/dt = 0.
Para demostrar la siguiente regla se debe desarrollar un binomio. Recuerdese que (.x y
(X
+ h)' = x 2 + 2xh + h2 + h13 = .x3 + 3x7h + 3xh2 + h3.
En ambos desarrollos, 10s exponentcs de x disminuyen de izquierda a derecha, en tanto que 10s de h aumentan. Esto es cierto para el caso general ( x + h)", en donde n es un entero positivo. Se puede probar que
en donde los nurneros faltantcs en 10s parkntesis son ciertas constantes. Se utiliza csta formula para demostrar la siguiente regla, que implica la derivada de x elevada a un exponente constante.
I 1.2
429
Reglos poro lo diferenciocion
Regla 2 Si n es c~~alquiel* nulnero real, entonces
d
-(.rl') = dx
11.v" - I .
Suponiendo que . x nesta definida. Es decir, la derivada de una potencia de s con exponente consranre es igual a1 esponente multiplicado por x a una texponerlte igual a1 dado.
Dernostracidn. Enseguida se presenta una prueba para el caso en el que n es un entero positivo. Si f (x) = xn,aplicando la definicion de derivada se obtiene f l ( x ) = lim
f(s + h ) - f(.\.)
=
lim
(.v
Del analisis anterior con respecto a1 desarrollo de (.v
+
- x1I
I?)",
)X'i-'h2 + . . . + h"
+ t1r7-'+ (
f l ( x ) = lim
+
-
S"
1,-o h En el numerador es cero la suma de 10s terminos primero y ultimo. Dividiendo entre h cada uno de 10s terrninos restantes,
fl(x) = lim [nxn-' h-0
+
(
)xn-'h
+ ..* +
h"-']
Cada uno de 10s terminos que aparecen despues del primero tiene a h como factor y debe tender a 0 cuando h + 0. En consecuencia, f ' ( x ) = nx"-'.
EJEMPLO 2 d a. Por la regla 2 , - ( x 2 ) dx
=
7 2-1 --Y
=
b.
b. Si F ( x ) = x = X I , entonces F ' ( x ) = 1 . x"= da de x con respecto a x es 1.
c. Para diferenciar y .I-". Asi,
d. Sea h (x) =
s-'
=
fi,se escribe G
I x0
= 1. Por lo tanto, la deriva-
como x"', de manera que tiene la forma
1 Para aplicar la Regla dos, se debe escribir h ( x ) como h ( x ) = x G . --
', para que tenga la forma x".
ADVERTENCIA
No se debe escribir
.tVX
como
1 7
y
despues diferenciar siniplenienle el clenorninadot., es decir,
La siguiente regla se refiere a una constante que multiplica a una funcion
Es det-it; Iu derivuda de unu conslanre tnulriplicada por unu funcbion es iglral lu corls/unfe tnulfiplicuda por la derivuda de l a fineion.
LI
Den7osit'ucion. Si g (s)= cf ( x ) , aplicando la definicion de la derivada d e g resulta
a l ( x ) = lim
Pero, lim
f(x
h--0
+
g(x
+
h)
-
g(x)
=
lim
cf ( x
+ h)
- cf ( x )
h) - f(x) es f ' ( x ) , y por consiguiente, g ' ( x ) h
= cf'
(x).
EJEMPLO 3 Diferet~ciur /us siguienres futiciones. a. g(x) = 5 x 3 .
Aqui, g es una constante (5) multiplicada por una funcion ( x 3 ) .
=
Como
13q 5
--- =
5(3x3-')
=
13 -q, f es una constante 5
15.x'
(Regla 2).
(y)
multiplicada por una FunciOn (y).
1 1.2
Reglos poro lo diferenciocion
Observese que se puede considerar que y es una constante multiplicada por una funcion.
ADVERTENCIA Si f (.u) = ( 4 ~ )se~ podria , pensar en escribir f ' (.v) = 3(4x)'. ;Esto es incorrecto! La raz6n es que la Regla 2 se aplica a la potencia d e la variable .v, y no a la potencia de una expresion que implica a x, tal como 4x. Para aplicar las reglas se debe obtener una forma apropiada p a r a f ( s ) . Se puede escribir (4x)' como 4'x' o bien 64.v'. Consecuentemente,
La siguiente regla irnplica derivadas de sumas y diferencias de funciones.
Regla 4
Si f y g son funciones diferenciables, entonces d -Lf(x) + g(x)l = f'(x) dx y
d $(x)
-
g(x)l
=
+ g'(x)
ff(x) - gf(-4.
Es decir, la derivada de la suma ( o la diferencia) de dos funciones es la suma (O la diferencia) de sus derivadas.
Demostracion. Para el caso de una suma, si F(x) nicion de la derivada de F se obtiene Ff(x)
=
lim h-0
= iim
F(x
+ h)
lim h-0
+ g (x), aplicando la defi-
- F(x)
h If(x + h)
+ g(x + h)l
-
Lf(x> + g(x)l
h
h-0
=
= f (x)
Lf(x + h)
-
f(x>l
+ h
[g(x
+
h)
-
g(x)] (reagrupando)
Puesto que el limite de una suma es la suma de 10s limites,
F t ( x ) = lim
f(x + h) - f(x)
+
+
lim g(x
h ) - g(x)
Pero estos dos limites son f ' ( x ) y g ' ( x ) . Por ello,
Ff(x) = ff(x)
+ gl(x).
La prueba para la derivada de la diferencia de dos funciones es similar a esta. La Regla 4 se puede extender a la derivada de cualquier numero de sumas y diferencias de funciones. Por ejemplo, d - [ f ( x ) - g ( x ) + h ( x ) + k(x)] = f r ( x ) - g t ( x ) + h t ( x ) k f ( x ) . dx
+
EJEMPLO 4
Diferenciar las siguientes funciones.
a. F ( x )
=
3x5
+ vX.
Aqui, t; es la suma de dos funciones, 3x5 y d d Ff(x) = -(3x5) -(xl!') dx dx
G. Asi,
+
=
3(5x4)
1 + -x-'I2 2
=
Observese que se puede escribir f ( z ) de dos funciones,
=
15x4
(Regla 4 )
I +2v5
(Regla 2 ) .
4 z 4 - 52-'I3. Dado que f es la diferencia
1 1.2
433
Reglas para lo diferenciacion
EJEMPLO S
Hallar la derivada de f (x)
=
2x(x2 - 5x
+
2) cuando x = 2.
Se rnultiplica y despues se diferencia cada tkrrnino.
+ 4x. f r ( x ) = 2(3x2) - lO(2.x) + 4 ( 1 ) = 6x2 - 20x + 4 . f ( x ) = 2r3 - lox2
f ' ( 2 ) = 6(2)2 - 20(2)
+4
= -
12.
EJEMPLO 6
Determinar una ecuacion de la recta tangente a la curvu
cuando x
=
1
Escribiendo y como diferencia de dos funciones, se tiene.
En consecuencia,
La pendiente de la recta tangente a la curva cuando x
=
1 es
Para encontrar la coordenada y del punto de la curva en donde x valor de x en la ecuacion de la curva. Esto da
=
1, se sustituye este
Por lo tanto, el punto (1, 1) quecia tanto en la curva como en la recta tangente. Por consiguiente, una ecuacion de la recta tangente es y - 1 = 5(x
EJERCICIOS 11.2 En 10s Problernas 1-54, diferencie /as funciones.
I . f(x1 = 5 .
2. f(x) = (+4)4'5.
J.
5. f ( ~ = ) gx4.
.RX,
= 0.3.~
-
l),
t2 -
43. g(r) = 2
46. f ( x )
=
2 -
?'
d ( 5 - 6x
+
3%).
44. f ( x )
= x d .
47. v(.r)
=
Y 2 l 3 ( x + 5).
45. f(x)
=
x3(3x)2.
48. f ( x )
=
X ~ ' ~ ( X ' 7x t I).
+
Para cada una de /as curvas de 10s Problemas 55-58, determine /as pendientes en 10s puntos que se seiialan. 55. y = 3x2 + 4x - 8 ; (0, - 8 ) , ( 2 , 1 2 ) , ( - 3 , 7 ) .
56. y = 5 - 6x - 2 x 3 ; ( 0 , 5 ) , (2, - y ) , ( - 3 , 77). 57. y
=
4;
cuando x =
-4 , r
=
7 , x = 22,
58. y = 2x - 3 f i ; cuando x = 1 , x = 1 6 , x = 25. En 10s Problemas 59 y 60, halle una ecuacion de la recta rungente a la curva en el punto que se ind~ca. 60. y = ( 1 - x2)/5; ( 4 . - 3 ) . 59. y = 4 x 2 + 5x + 2 ; ( 1 , 11). 61.
62.
Obtenga una ecuacion de la recta tangente a la curva y = 3 + Y G ( 2 - x2) cuando x Repita el Probletna 61 para la curva y = X
-
-
5x2
4.
+ xQuando
x
=
0.
11.3
435
Lo derivoda como taso de voriocion
63.
Determine todos los puntos de la curva .v = $ x 3 - x 2 en 10s que la recla tangente es horizonlal.
64.
Encuentre todos los puntos de la curva .v
=
.r' - 5.r
3 en los qile la pendicnte es 1.
ocasional esta dada por
65. Eswaran y Kotwal* analizan economias agrarias en las que existen dos tipos de trabaj~dores,permanentes y ocasionales. A 10s trabajadores permanentes se les da empleo con contratos a largo plaza y pueden obtener prestaciones coma dias de asueto y ayuda en emergencias. A 10s trabajadores ocasionales se les contrata por dia y llevan a cab0 trabajos rutinarios y menores como deshierbar, cosechar y desgranar. La diferencia z en el-costo o valor actual de la contratacion de un trabajador permanente con respecto a1 cost0 de contratar a un trabajador
-
+
+
:= ( I
h)w,
-
bw,.,
en donde w p 5. w c son los salaries para mano de Permanente !.mano de obra ocasional, respecfuncion tivamente, b es una constante Y w p es ,de W r . Eswaran 5. Kotwal afirman Clue d: dl,.,
=(I
-
b I + b '
d~r, bl[z--]
Verificar lo anterior
11.3 La derivada como tasa de variacion
_
_
Historicamente, una aplicacion importante de la derivada implica el movimiento rectilineo. Esta aplicacion ofrece una forma conveniente de interpretar la derivada como tasa de variacidn o razdn de cambio. Para denotar cl cambio en una variable como x, es comun que se utilice el simbolo Ax (que se lee "delta x"). P o r ejemplo, si x varia de 1 a 3, entonces el cambio en x es Ax = 3 - 1 = 2. El nuevo valor de x(= 3 ) cs el valor ir~icialmas el cambio, es decir 1 + Ax. De igual forma, si t aumenta en At, el nuevo valor es t + At. E n el analisis que sigue se utiliza la notacion con A. Supongase que una particula se mueve a lo largo d e la recta numerica que se presenta en la Figura 1 1 . l o , de acuerdo con la ecuacion s = f(t) = t2,
en donde s es la posicion de la particula en el tiempo t. A esta ecuacion se le denomina eciracion de tnovimiento. Supongase que t esta en segundos y s, en metros. En t = 1 la posicion es s = f ( I ) = 1 = 1 , y en t = 3 la posicion es s = f ( 3 ) = 3' = 9. En este intervalo d e tiempo d e 2 segundos la particula tiene un cambic en posicion desplaz ~ l n i e n t oy la velocidad media (vmed)d e la particula se define como
'
'med
* M. Eswaran y A. Kotwal, "A Theory of Two-Tier Labor Markets in Agrarian Economies", The American Economic Review, 75, num. 1 (1985), 162-77.
=
desplazamiento intervalo de tiempo
Decir que la velocidad media es de 4 m/s, de t = 1 a t = 3, significa que, en promedio, laposicion de laparticula cambio 4 m hacia la derecha, en cada segundo de ese intervalo. Denotando 10s cambios en 10s valores des y t mediante As y At, respectivamente, entonces la velocidad media esta dada por 'med
As = -= 4d s At
(para el interval0 t = 1 a t = 3 ) .
A1 cociente &/At sz le denomina tambien la tasa media de variacion de s con respecto a t sobre el intervalo de t = 1 a t = 3.* Fijese ahora la duracion del intervalo de tiempo en solo un segundo [es decir, At = I]. Entonces, para el intervalo mas corto de t = 1 a t = 1 + At = 2 , se tiene f ( 2 ) = 2? = 4, por lo que
En terminos mas generales, para el intervalo de t = 1 a t = 1 + At, la particula se mueve de la posicion f ( 1 ) a la posicion f ( l + At). Por ello, el desplazamiento es f ( l + At) - f ( 1 ) : As
+
= f(l
At)
-
f(1).
Como el intervalo de tiempo dado es At, entonces la velocidad media de la particula esta dada por Vmed =
As At
--
f(l
+ At)
-
f(1)
At
Si At se reduce cada vez mas, la velocidad media o promedio sobre el intervalo de t a t + At se aproxima a lo qile se puede denominar velocidad instuntaneu en el tiempo t = 1 ; es decir, la velocidad es un punto en el tiempo ( t = 1 ) en contraposicion a la velocidad sobre un interval0 de tiempo. Para algunos valores tipicos de At entre 0.1 y 0.001, se obtienen las velocidades medias que aparecen en la Tabla 11.1 y que el lector puede verificar. Los datos de la tabla indican que, conforme la magnitud del intervalo se aproxima a1 valor de 2 m/s. En otras palabras, cuando At tiende a 0, entonces &/At tiende a TABLA 11.1 MAGNITUD DEL INTERVAL0 DE TIEMPO ~t
INTERVAL0 DE DE TIEMPO
VELOCIDAD MEDIA As - f I l + At1 - fIl1
-
t = i o t = i t ~ t at
~t
'(N. del R.) Una tasa de variacion (respecto a1 tiempo) se llama rapidez de variacion. (F.P.)
I I .3
437
Lo derivodo como toso de voriocion
2 m/s. Se define que el limite de la velocidad media, cuando At+ 0, es la velocidad instantanea (0, simplemente, la velocidad), v , en el tiempo t = 1. Tambien se la denomina la tasa instantanea de variacion de s con respecto a t (o rapidez de variacion) en t = 1: v
=
'3s lim vmed = lim Ar-0 11-0 At
=
f ( l + At) lim At
-
f(l)
AWO
El limite del lado derecho es simplemente la derivada de s con respecto a t en t = 1. Por ello, la velocidad instantanea de la particula en t = 1 es simplemente ds/dt en t = 1. Como s = t2 y
la velocidad en t = 1 es
lo cual confirma la conclusion anterior. En resumen, para una ecuacion de movimiento rectilineo de la forma s velocidad v en el tiempo t esta dada por
v
=
lim
f 0 + At)
- f(t) - ffs
At
dt'
A h 0
=
f(t), la
EJEMPLO 1
Supongase gue la ecuacion de movimiento de una particula gue se mueve a lo largo 3t2
de una recta numerica esta dada por. s= --- Encontrar la velocidad cuando t +
4
=
10.
'
La velocidad en cualquier tiempo t esta dada por
Cuando t
=
10,
El analisis de la tasa de variacion o razon de cambio de s con respecto a t se aplica de igual manera a cualguier funcion y = f(x). Esto significa lo siguiente.
Si y
=
f (x), entonces
-AY-- S(x + Ax
Ax) Ax
- f(x)
tasa media de variacion de y con respecto a x sobre el intervalo de x a x + Ax
tasa instantanea de variacion de con respecto a x.
(2)
Como la tasa de variacion instantanea de y = f(x) en un punto es una derivada, es tambien lapendientede la recta tangente a la grafica de y = f(x), en ese punto. Por conveniencia, comi~nmentese hace referencia a la tasa de variacion instantanea simplemente como tasa d2 variacidn (o razon de cambio). De la Ecuacion (2), si LLY (un cambio en x ) se acerca a 0 , entonces Ay/Ax se acerca a dy/dx. Es decir, Ay dy =Ax
d.r
'
Por lo tanto,
Es decir, si x cambia en Ax, entonces el carnbio en y , Ay, es aproximadamente igual a dy/d.u multiplicada por el carnbio en x . En particular, si x cambia en 1 , una estimacion del carnbio en y es dy/d.u. EJEMPLO 2
Si y
=
f(x), f(3)
Se tiene dyidx
=
=
5, y
8 y Ax
dv
dx =
Se destaca que f(3.5) = f(3)
=
8, estiv~arla variacidn en y si x cambia de 3 a 3.5
3.5 - 3
+
=
0.5. El carnbio en y esta dado por A!
Ay y que puede estimarse mediante 5
+
4
=
9.
EJEMPLO 3
Evaluar la fasa de variacidn cle y cuando .u = 2 y clrando x = -1.
=
x' con respecto a .u. Evaluar la razon de cambio
La razon de variacion o carnbio es dy/d.u:
Cuando x = 2, d y / d x = 4(2)3 = 32. Eso significa que si x aumenta en una cantidad pequeiia, entonces y aumenta aproximadamente en 32 veces el aumento en x. E n terminos simples, se dice que y aumenta a un ritmo 32 veces superior a1 de x. Cuando x = -1, entonces dq'/dx = 4(-l)! = -4. La importancia del signo menos en -4 es que seAala que y disrninuye a un ritmo 4 veces superior al del aumento en x . La interpretacion de la derivada como tasa o razon de carnbio tiene aplicaciones en Administration y Economia, asi como en otras areas.
13.1
501
Extremos relativos o locales
EJEMPLO 4
Trazar la grafica de y
=
f (x)
= 2x2 'x 4 .
lntersecciones Si x = 0 , entonces y = 0. Si y = 0, entonces
y por ello, x = 0, + ~
2Las. intersecciones con 10s ejes son (0, O), ( d0), y ( - ~,
0).
Sirnetria Investigando la simetria sobre el eje y, se tiene
y = 2(-x12
-
(-x)~
o bien
p = 2x2 - x 4
Ya quz esta es la ecuacion original, existe simetria con respecto a1 eje y. Como y es una funcion ( y no la funcion O), no existe simetria con respecto a1 eje x , y por lo tanto, tampoco existe simetria con respecto a1 origen. Prueba de la primera derivada
2. Si y'
= 0 se obtienen 10s valores criticos x = 0, - t l . Los puntos criticos son (-1, l ) , (0, 0) y (1, 1 ) . Las coordenadas y de estos puntos se hallan sustituyendo x = 0, +1 en la ecuacion original: y = 2x2 - x4.
3. Se deben considerar cuatro intervalos en la Figura 13.15:
< -1, entonces I.' = 4(-)(-)( + ) = + y f es creciente; si - 1 < x < 0, entonces y' = 4(-)( + )(+ ) = - y f es decreciente; si 0 < x < 1, entonces y' = 4 ( + ) ( + )(+ ) = + y f es creciente; si x > 1, entonces y ' = 4( +)( + )(-) = - y f es decreciente (Figura si x
13.6).
4. Ocurren maximos relativos en (-1, 1) y (1, 1 ) ; ocurre un minirno relativo en (0, 0).
Analisis En la Figura 13.17(a) se trazaron las tangentes horizontales en 10s puntos maximos y minimos relativos. Se sabe que la curva sube desde la izquierda. tiene un maxim0
M6x. rel.
+-+
,-+
Mdx. (el.
l t
502
13
TRAZO DE CURVAS
relativo; despues baja, tiene un minimo relativo; despues sube a un maximo relativo y baja a partir de este. Se muestra un esbozo en la Figura 13.17(b).
En el Ejemplo 4 ocurren maximos relativos, asi como maximos absolutos en
=
k 1 [vease la Figura 13.17 (b)]. No existe minimo absoluto.
Eti 10s PI-oblel?~as 1-28, deren?line cuando la funciori es crecier~teo clecrecienre y halle cuando ocurren 1naxin7os o ~niriitnosrelari\.os. \o rrace lu grafica. 2 . ) . = X' + 4.y 3. 3. !. = .X - X' 2. 1 . J = X' 2.
-
+
+
EII10s Problen~as29-40, detert~~ine: rnrervalos en 10s cuules Its funciones seat^ crecienres o decrecien res; maxin~os y ~n~'nirnos t~elutivos;simetri7.r /as tntercepciones que se puedan obtener con facilidad. DespuPs truce 10s graficas.
Trace la grafica de una funcion continua f tal que f ( I ) = 2, f(3) = 1 , f ' (I) = .f ( 3 ) = 0, f(1) > 0 para x < I , f(x) < 0 para 1 < s < 3 , > considerando que f tiene un minim0 relativo cuando x = 3.
41.
Trace la grafica de una funcion continua f tal quef(l) = 2, f(4) = 5 , f ' ( 1 ) = O,f'(.u) r 0 para x < 4, considere quef tiene un maximo relativo cuando .u = 4 y existe una tangente verticalcuandox = 4.
42.
Si c / = 25,000 es una funcion de cost0 fijo, demuestre que la funci6n de costo fijo promedio, r/ = c/iq es una funcion decreciente para q > 0. Por lo tanto, a1 aumentar la produccion q, se reduce la porci6n unitaria de costo fijo.
43.
Si c = 49 - g 2 ' + 29' es una funcion de costos, jcuando es creciente el costo marginal? 44.
13.1
Extremos relotivos o locales
Dada la funcion de demandap = 400 - 2q,diga cuando es creciente el ingreso marginal.
45.
Para la funcion de costo c = gq, demuestre que 10s costos promedio y marginal son siempre decrecientes para q > 0 .
46.
47.
Para un product0 de un fabricante, la funcidn de ingreso esta dada por r = 2409 + 579' - 9 ' . Determine la production para ~l ingreso mkximo.
48. Eswaran y Kotwal* consideran economias agrarias en las que existen dos tipos de trabajadores, permanentes y temporales. A 10s permanentes se les contrata a largo plazo y pueden recibir prestaciones como dias de asueto y ayuda en emergencias. A 10s trabajadores temporales se les contrata por dia y llevan a cab0 tareas menores y rutinarias, como desyerbar, cosechar y desgranar. La diferencia z en el costo a valor actual d e contratar a un trabajador permanente con respecto a la contratacion de un trabajador 'temporal esta dada por z = (1
+ b)~$
-
bw,,
en donde w p y wc son Ics salarios para mano de obra permanente y mano de obra temporal, respectivamente, b es una constante positiva y w p es funcion de wc. (a) Demuestre que
(b) Si dwp/dwc< b / ( l + h ) , pruebe que funcion decreciente de wc.
z
es una
49. En el analisis que hace Shonleide la contarninacion termica, la eficiencia E de una planta de energia esta dada por
en donde T y T , son las temperaturas absolutas respectivas de 10s recipientes mas caliente y mas frio. Supongase que Tc es una constante positiva y que T , es positiva. Utilizando Calculo, demuestre que a1 crecer T , aumenta la eficiencia. En un analisis que hace Renshaw* de la fijacion de precios para el servicio telefonico local determina que el ingreso total r esta dado por
50.
en donde p es un precio, indexado por llamada, y a, b, F son constantes. Determine el valor de p que maximiza 10s ingresos.
51. E n su modelo para 10s wstos de almacenamiento y envio de materiales para un proceso manufacturero, Lancasteri deduce la siguiente funcion de costo:
en donde C (k) es el costo total (en dolares) de almacenamiento y transporte para 100 dias de operacion si se mueve una carga de k toneladas de material cada k dias. (a) Halle C (1). (b) iPara que valor de k C (k) tiene un minimo? (c) iCual es el valor minimo?
52. Cuando un buzo de aguas profundas experimenta descompresion, o un piloto se eleva a grandes altitudes, el nitrogen0 puede burbujear en la sangre, ocasionando lo que por lo comun se conoce con el nombrede aeroernbolia. Supongase que el porcentaje P de genre que sufre 10s efectos de este trastorno a una altitud de h miles de pies esta dado p o r t
~ E Ps una funcion creciente de h?
\I. Esaaran y A. Kotwal, "A Theory of Two-Tier
Labor \larkers in Agrarian Economies", T h e American ?. Num. 1 (1985), 162-77.
Economic Reviru-.
E I I Y ~ m n ~ a / A p p / i c a ~ i O m of Genera/ J,]. Physda (Reading, Man.:Addison-Wesley Publishing Com-
pany, Inc. 1975.
* E. Renshaw, "A Note of Equity and Efficiency in the Pricing of Local Telephone Services", T h e American Economic Review, 75, num. 3 (1985), 515-18. t P. Lancaster, Mathemarics: ~+fodels of rhe Real World (EngIewood CIiffs, N. J. : Prentice-Hall, Inc., 1976). i Adaptado de G.E. Folk, Jr., Te.vrbook of EnvironmenialPhysology, 2a ed. (Philadelphia:Lfa& Ffb~ger.I - 2 1
504
13
TRAZO DE CURVAS
-1 3.2 Valores extremos Si una funcion f es continua en un intervalo cerrado [a, b], puede demostrarse que existe un valor maxirno (absoluto) y un valor minimo (absoluto), entre todos 10s valores de la funcion f(x) para las x que estan en [a, b]. A estos dos valores se les denomina valores extremes de f en ese intervalo. A esta importante propiedad de las funciones continuas se la denomina teorema del valor extremo.
1-
reorema d1 . valor extrerno
Si una funcion es continua en un intervalo cerrado, entonces la funcion tiene tanto un valor maximo como un valor minimo en ese intervalo.
Por ejemplo, las funciones que aparecen en la Figura 13.18 son continuas en el intervalo [I, 31. GeomPtricamente, el teorema del valor extrerno asegura que cada grafica tiene un punto superior mas alto, y un inferior (o punto mas bajo) en ese intervalo. Si el dominio en una funcion es un intervalo que contiene un punto de extremidad, para dsterminar 10s extremos absolutos, se debe examinar no solo si la funcion tiene extremos relativos, sino que se deben tomar en consideracion tambien 10s valores de f (s)en 10s puntos de extremidad o finales. Aunque no se consideran tales puntos cuando se buccan maximos o minimcs relativos, si pueden resultar ser rnaximos o minimos absolutes. Se ilustra esto en el Ejemplo 1.
Punto mdximo
EJEMPLO 1 Encontrar cuando ocurren extremos (relativos y absolutos) para v + 5 en e l inren,alo cerrado 11, 41.
=
f (x) = x2 - 4x
Se observa que, f es continua, f(x) debe asumir valores maximo y minirno absolutos en [I, 41. 1 f ' ( x ) = 2x - 4 = 2(x - 2). 2. Fijando fl(x) = 0 se obticne el valor critico x = 2. 3. Los intervalos que hay que considerar son cuando x < 2 y cuando x > 2. Si x < 2, entonces f'(x)< 0 y f es decreciente; si x> 2, entonces f ' ( x ) > 0 y f esta creciendo.
13.2
Valores extremos
1
AbslrtL
;
y minimo
relativo X
1
2
4
4. Asi, existe un minimo relativo cuando x = 2. Se presenta en la grafica en el punto (2,l)(vease la Figura 13.19). 5. Como f es decreciente para x < 2, es posible que ocurra un maximo absoluto en el punto de extremo del lado izquierdo del dominio de f,es decir, cuando x = 1. De manera similar, como f es creciente para x > 2, e s p o s i b l e que ocurra un maximo absoluto en el punto de extremidad del lado derecho, es decir, cuando x = 4. Proband o 10s puntos de extremidad, se tiene f(1) = 2 y f(4) = 5. Observando que f(4) > f(l),se concluye que ocurre un maximo absoluto cuando x = 4. Cuando x = 2, se tiene un minimo absoluto, que tambien es relativo.
EJERCICIOS 13.2 En 10s Problemas 1-8, encontrar cuando ocurren rntiwimos y r7rinimos absolufos para la juncidn dada, en el interval0 dado. 1.f(x)=x2-2x+3,
2. j ( x ) = -2x2 3. j ( x )
=
4. f(x)
= +x4 -
$r3
- 13.3
-
6x
- .7? -
[-l,2].
+ 5, 3.7 +
[ - 2 , 31. 1,
[ 0 , 21.
4x2, [O, I ] .
5 . fix)
= 4x3
6 . fix)
=
+ 3.r2
=
18x
+ 3.
[i,31.
x4". [ - 8 , 81.
7 . f(x) = -3.r' 8. f(x)
-
x2
+
+ 5x3, 1:
[ - 2 , 01.
10, 21.
Coneavidad Ya se ha visto que la primera derivada ofrece una buena informacion para el trazado de curvas. Se utiliza para determinar cuando una funcion es creciente o decreciente y para ubicar maximos y minimos relativos. Sin embargo, para asegurarse de conocer la forma verdadera de una curva puede requerirse una mayor cantidad de informacion. Por ejemplo, considerese la curva y = f (.x)= x2.Como f' (x)= 2x, entonces x = 0 es un valor critico. Si x < 0,entonces f' (x)< 0 y f es decreciente; si x > 0,entonces f'(x)> 0 y f es creciente. Por consiguiente, existe un minimo relativo cuando x = 0. En la Figura 13.20 ambas curvas satisfacen las condiciones anteriores. Pero, ;cud de ellas describe en realidad la curva? Se puede resolver con facilidad esta cuestion utilizando la segunda derivada y la nocion de concavidad.
506
13
TRAZO DE CURVAS
En la Figura 13.21 observese que cada curva y = f(x) "se dobla" (o se abre) hacia arriba. Esto significa que si se trazan rectas tangentes a cada curva, las curvas quedaran por encima de ellas. Ademas, las pendientes de h s rectas tangentes aumentan de valor a1 aumentar .u. En la parte (a) las pendientes van de valores positivos pequeiios a valores mas grandes; en la parte (b) son negativos y tienden a cero (consecuentemente aumentan); en la parte (c) pasan de valores negativos a valores positivos. Dado que f '(x) da la pendiente en un punto, una pendiente creciente significa que f ' debe ser una funcion creciente. Para descubrir esto se dice que cada curva (o funcion f ) es concava hacia arriba. En la Figura 13.22 puede observarse que cada curva esta por debajo de las rectas tangentes y las curvas se doblan hacia abajo. A1 crecer x, las pendientes de las rectas tangentes son decrecientes. Por ello, f ' debe ser una funcion decreciente en estos casos, y se dice que f es concava hacia abajo.
'a'
FIGURA 1 3 . 2 1
Sea f diferenciable en el interval0 (a, b). Entonces, se dice que f es concava hacia arriba (O bien concava hacia abajo) en (a, b) si f ' es creciente ( o blen decreciente) en (a, b).
13.3
507
Concovidod
ADVERTENCIA
La concavidad se refiere a si f" , y nof'. es creciente o decreciente. En la Figura 13.2l(b)observese que f es c6ncava hacia arriba y decreciente, pero en la Figura 13.22(a)f'es concava hacia abajo y decreciente.
Recwerdese: Si f es concava hacia arriba en un intervalo I , entonces geometricamente su grafica se dobla hacia arriba en ese intervalo. Si f es concava hacia abajo, entonces su grafica se dobla hacia abajo. Debido a que f ' es creciente cuando su derivada f "(x) es positiva y f ' es decreciente cuando f " ( x ) es negativa, se puede establecer la siguiente regla:
Sea f' diferenciable en el inrervulo (a, b ) . Si j ' ( x ) > 0 para roda x en (a, b), entonces f es concava hacia arriba en (a, b). Si f " ( x )< 0 para roda .u en (a, b), entonces f es concava hacia abajo en (a, b).
Se dice tambien que una funcion f es concava hacia arriba en un punto x, si existe un intervalo abierto alrededor de x, en el cual f sea concava hacia arriba. De hecho, para las funciones que se consideran, si f"(.\-,,) > 0. entonces f es concava hacia arriba en x,. De mod0 semejante, f es concava hacia abajo en x, si f "(x,) < 0. EJEMPLO 1
In vesrigacion de la concavidad.
Para aplicar la Regla 4 se deben examinar 10s signos de y ". Ahora, y ' = 3(x por lo que y " = 6(x - 1). Asi que f es concava hacia arriba cuando 6(x - 1) > 0 ; es decir, cuando x > 1. Y f es concava hacia abajo cuando 6(.u - 1) < 0; es decir, cuando x < 1 (vease la Figura 13.23).
vw
Se tiene y' = 2x y y" = 2. Como y" es siempre positiva, la grafica de y = x2 debe
Concava hacia
Concava hacia
508
TRAZO DE CURVAS
13
ser siempre concava hacia arriba, como en la Figura 13.20(a). La grafica no puede tener la forma de la Figura 13.20(b) porque esa curva es en ocasiones concava hacia abajo. Un punto de una grafica como (I, 1) de la Figura 13.23, en el que la concavidad cambia de ser hacia abajo a ser hacia arriba, o viceversa, se denominapunto de inflexion. Alrededor de ese punto el signo de f"(x) debe pasar de -a + 0 de + a -. En terminos mas precisos:
Una funcion f tiene un punto de inflexion cuando x xo y f carnbia de concavidad en .yo.
= s , sir.
solo si f es continua en
Para investigar la concavidad y 10s puntos de inflexion de una funcion, en primer lugar se obtienen 10s valores de x en 10s que f "(x) es 0 o indefinida. Estos valores de x son posibles ubicaciones de puntos de inflexion y determinan intervalos. Sefialan en cada interval0 si f "(x) > 0 Cfes concava hacia arriba) o bien f " < 0 Cfes concava hacia abajo). Si f "(x) es 0 o no esta definida en x = x,, y f es continua en .vo, entonces f tiene un punto de inflexion en x = x,, suponiendo que la concavidad cambia alrededor de x,.
EJEMPLB 2
Investigar la concavidad y 10s puntos de inflexion de y Se tiene que y'
=
24x3
-
=
6 s 4 - 8x3 + 1.
24x2, por lo que
y"
=
72x2
-
48x
=
24s(3x
-
7,
Para encontrar cuando y " = 0, se igualan a 0 10s dos factores de y ". Esto da x = 0, $. Como y " nunca es indefinida, deben considerarse tres intervalos (Figura 13.24):
< 0, entonces y " = 24(-)(-) = +, por lo que la curva es concava hacia arriba; si 0 < x < % ,entonces y = 24(+ )(-) = -, por lo que la curva es concava hacia abajo; si x > 5 , entonces y" = 24(+)(+) = +, por lo que la curva es concava hacia arriba
si x
"
(vease la Figura 13.25).
FlGURA 13.24
Cdncovo hocio orribo ,
Concovo hocio Concovo obojo , hocio otribo
13.3
Cancavidad Y
--
ri
-
=
I
ax3+
1
de inflexion
C
I
'v -
Concovo Concavo Concovo hocio hacia hocia arriba obajo orriba
FIGLIRA 13.26
Ya que la concavidad cambia en x = 0 y x = 213, y f es continua ocurren aqui puntos de inflexion (Figura 13.26). En resumen, la curva es concava hacia arriba en (- m, 0) y (2/3, m) y es concava hacia abajo en (0, 2/3). Se tienen puntos de inflexion cuando x = 0 o bien x = 2/3. E s t o ~puntos son (0, 1) y (2/3, -5/27.)
Si f "(x,) = 0, o f " no esta definida en xo, esto no prueba que la grafica de f tiene un punto de inflexion cuando (x) = .u,,. Por ejemplo, si f(x) = x, entonces f8'(x) = 12x2 y f "(0) = 0. Pero x < 0 implica que f "(x) > 0 y x 1 0 implica f "(x) > 0. En consecuencia, la concavidad no cambia y n o existcn puntos de inflexion (Figura 13.27).
Ax I y
=
flx)=x4
r
FlGURA 13.27
EJEMPLO 3
Trazar la grafica de y = 2x3 - 9x2
+
12x.
Si x = 0 entonces y = 0. Si y = 0 se obtiene 0 = ~ ( 2 x 2 9x + 12). Resulta claro que x = 0 y utilizando la formula cuadratica para 2x2- 9x + 12 = 0 resulta que no existen raices reales. Por lo tanto, la dnica interception es (0, 0). lntersecciones
Simetria Ninguna. MIximor y minimor
Tomando y
=
f (x),se tiene
51 0
r3
TRAZO DE CURVAS
Los valores criticos son x
=
1, 2 (vease la Figura 13.28).
< 1, entonces f'(x) = 6(-)(-) = + , por lo que, j' es creciente; 1 < x < 2, entonces f ' (x) = 6(+)(-) = -, por lo que, f es decreciente;
Si s
si
si .u> 2, entonces f ' (.u) = 6( + )(+ ) six
=
+ , por ello, f es creciente (vease la Figura 13.29).
> 2, entonces f'(x) = 6 ( + ) ( + )
+,
=
Creciente ,Decreciente Creciente
2
1
FIGURA 13.28
FIGURA 13.29
Existe un maximo relativo cuando x
=
I y un rninimo relativo cuando .u
Concavidad j'"(s)
.=
12.r
-
18
-
6(2s
--
=
2.
3).
Tornando f "(.u) = 0 se obtiene un posible punto de inflexion en x = 3. Cuando x < $, f " ( x )> 0 y f es concava hacia abajo. Cuanclo x > 2 , entonces f "(x) > 0 y f es c6nca2 . va hacia arriba (vease la Figura 13.30). Puesto que cambia la concavidad, existe un punto de inflexion cuando .v =
2.
Ahora se hallaran las coordenadas de 10s puntos importantes de la grafica (y cualesquiera otros puntos si es que existe duda con respecto a1 comportalniento de la curva).
Analisis
A1 aumentar
x,la funcion es prirnero concava hacia arriba y crece hasta un maximo relativo en ( 1 , 5); despuks decrece hasta ( 3, j ); luego, se vuelve concava hacia arriba pero continua decreciendo hasta que llega a un minimo relativo en (2, 4); de alli en adelante crece y continua siendo concava hacia arriba (vkase la Figura 13.31).
Concava hocio abojo
Concovo hocio orribo 3 2
13.3
51 1
Concovidod
E n 10s Probletnas 1-14, determine la concavidad y 10s valores de x en donde oclriren p:,n:or de ,?.Tc..u~on. .\o trace /as praficas.
1. y = -2s"
4.r.
2. y = 3 x 2 - 6 x
+ 5.
3.
y
= 4.v-: -
..LT--
-
12~.
E n 10s Problernas 15-42, trace cada curva. Determine: intervalos sobre 10s cuales la funcion es crecienre, decreciente, concnva hacia arriba, cdncava hacia abajo; mcirimos y minirnos relativos; puntos de inflexion; sirnetria; /as inrersecciones con 10s ejes que se puedan obrener con facilidad.
43. Trace la grifica de una funcion continua f tal que f ( 2 ) = 4, J"(2) = 0, f '(x) < 0 si .u < 2 y f "(.u) > O s i x > 2.
47. Demuestre que la grafica de la ecuacion de demandap = 100/(q + 2 ) es decreciente y concava hacia arriba para q > 0.
44. Trace la grafica de una funcion continua f tal que f ( 3 ) = 2, f ' ( 3 ) = 0 , f " ( x ) > 0 para x > 3, y f " ( x ) < 0 para x > 3.
48. Para la funcion de costo c = 3q2 + Sq + 6 , demuestre que la grafica de la funcion de costo promedio t siempre es concava hacia arriba para q > 0.
45. Trace la grafica de una funcion continua f tal que f ( l ) = I , f '(1) = 0, y f " ( x ) < 0 para toda x . 46. Trace la grafica de una funcion continua f tal que f(3) = 4, tanto f ' ( x ) > 0 como f " ( x ) > 0 para .I-< 3 y tanto f ' ( x ) < 0 como f "(x) > 0 para x > 3.
49. El n~imerode especies de plantas de un terreno puede depender del tamafio de este. Por ejemplo, en la Figura 13.32 se observa que en lotes de 1 m' existen tres especies (A, B y C en el lote del lado izquierdo; A, B y D en el lote del lado derecho), y
512
13
TRAZO DE CURVAS
respuestas de 10s sujetos por medio de un aparato de rastreo que mide la reaccidn galvlnica de la piel. Se determino la respuesta promedio a cada estimulo (sin descargas) y 10s resultados se graficaron en un plano coordenado en donde 10s ejes x y y representan 10s estimulos (0, 1, L, 3) y las respuestas galvanicas promedio, respectivamente. Se estableci6 que 10s puntos se ajustan a una curva que es aproximada por la grlfica de y = 12.5 5.8(0.42)X. Demuestre que esta funcidn es decreciente y concava hacia arriba.
+
en un terreno de 2 m' esisten cuatro especies (A, B, c Y Dl. E n un estudio de plantas arraigadas en cierta region geografica.' se determino que el numero promedio de especies 5. que aparece en terrenos de tamaiio A(en metros cuadrados) esta dado por
Trace la grafica de f . (.\bra: La grafica debe ser ascendente ! sonca\a hacia abajo. Por eilo, el numero de especiea es cresiente con respecto al area, pero a una rasa decreciente.)
50. En un anallsls de un articulo de calidad inferior Per,l!" cons:dera una funcion de la forma p,,l
=
eL.4i
et ' ( L Z )
en donde x es la cantidad de un articulo, U,es una constante qus rtFrcscnra utilidad y A es una constante positiva. Pcrsk!- aiirma que la grafica de g es conca\-a hacia abajo psra .v < y concava hacia arriba para .v > \ 3. i'srifique esto.
\,;z
51. En un experimento psicologico concerniente a la respuesta condicionada , ciertos sujetos escucharon 4 tonos, denonlinados 0, 1, 2 y 3. E n un principio se condiciono a 10s sujetos al tono 0 al recibir una pequeiia descarga cada vez que se oia este tono. Posteriormente cuando cada uno de 10s cuatro tonos (estimulos) se escucho sin sacudidas, se grabaron las
* Adaptado de R.U'. Poole. .-ln Introduction to Quantitative Ecology (Nueva York: \lcGraw-Hill Book Company, 1974). * * A.L. Persky, "An inferior Good and a Novel Indifference Map", The American Economist, XXIX,nlim. 1 (1985). 67-69. I Adaptado de C.I. Hovland, "The Generalization of Conditioned Responses: I. The Sensory Generalization of Conditioned Responses with Varying Frequencies of Tone", Journal of General Psychology, 17 (1937), 125-48.
52. E n un estudio sobre 10s efectos de la privacion de alimentot, se aliment6 a un insecto hasta que se satisfizo por completo su apetito. DespuCs se le privo de alimento durante t horas (periodo de privacion). A1 final de dicho periodo se volvio a dar de comer a1 insecto hasta que de nuevo se satisfizo su apetito. Se descubri6 estadisticamente que el peso H (en gramos) del alimento que se consumio en esta ocasion era una funcion de t , en donde
-4qui H es una medida del hambre. Demuestre que H e s creciente con respecto a t , y su grhfica, concava hacia abajo. 53. En un experimento sobre la dispersion de cierto insecto9, se coloc6 a gran numero de estos en un punto de liberacion en un campo abierto. Rodeando este lugar habia trampas que estabail situadas en una disposition circular concCntrica a distancias de 1 m, 2 m, 3 m , etc., a partir del punto mencionado. Despues de 24 horas de que fueron liberados 10s insectos se conto el n~imerode ellos que estaban en cada trampa. Se establecid que a una distancia de r metros del lugar de liberacion el numero promedio de insectos detenidos en una trampa era n, en donde
(a) Compruebe que la grafica defsiempre desciende y es concava hacia arriba. (b) Trace la grafica de f. (c) Cuando r = 5, ja que tasa disminuye el numero promedio de insectos en una trampa con respecto a la distancia?
i C.S. Holllng, "The Functional Response of Invertebrate Predators to Prey Density", Memoirs of the Entomological Society of Canada, num. 48 (1966). 5 Adaptado de R.W. Poole, An Introduction to Quantitative Ecology (New York: .McGraw-Hill Book Company, 1974).
13.4
Pruebo de ia segunda derivodo
513
1 -1 3.4 Prueba de la segunda derivada
I
Se puede utilizar la segunda derivada para probar ciertos valores criticos para extremos relativos. Obskrvese en la Figura 13.33 que cuando x = x, existe una tangente horizontal; es decir, f '(x,) = 0. Ademas, alrededor de x, la grafica esta por encima de la recta tangente [es decir f "(x,) > 01. Esto conduce a la conclusion de que existe un minimo relativo en x,,. Por otro lado, alrededor de x, la grafica esta por debajo de la recta tangente [es decir, f t ' ( x , ) < 01. Como la recta tangente es horizontal en x , , se concluye que existe un maximo relativo ahi. A esta tecnica que consiste en examinar la segunda derivada en puntos en 10s que la primera derivada es 0 se le denomina prueba de la segunda derivada para extremos relativos.
Prueba de la segunda derivada para extremos relativos
Supongase que f ' (x,) = 0. Si f "(x,)
I
si f "(x,)
< 0, entonces f tiene un maximo relativo en x,; > 0, entonces f tiene un minimo relativo en x,.
I
Se debe resaltar que la prueba de la segunda derivada no se aplica cuando = 0 y f" (x,) = 0. En estas condiciones, en x o puede haber un maximo relativo, un minimo relativo, o ninguno de ellos. En tales casos debe utilizarse la prueba de la primera derivada para analizar lo que esta sucediendo en x,.
f' (x,)
EJEMPLO 1
Investigar en lo sigztiente si hay maximos y minimos relativos. Utilizar, si es posible, la prueba de la segunda derivada.
A1 despejar y ' = G se obtienen 10s valores criticos x = k3. Si x = 3, entonces r.' = -4(3) = -12 < 0. De mod0 que, existe un maximo relativo cuando x = 3. Si s = -3, entonces y " = -4(-3) = 12 > 0, por lo que existe un minimo relarho
cuando s
=
-3 (\.ease la Figura 13.5).
514
13
TRAZO DE CURVAS
Despejando y " = 0 resultan 10s valores criticos x = 0, 1. Si x = 1, entonces y " > 0, de manera que existe un rninimo relativo cuando x = 1. Si x = 0, entonces y " = 0 y la prueba de la segunda derivada no se aplica. Ahora se utiliza la prueba de la prirnera derivada para analizar lo que esta sucediendo en 0. Si x < 0, entonces y ' < 0; si 0 < x < 1, entonces y ' < 0. Por consiguiente, no existen rnaximo o rninimo relativo cuando x = 0 (Vease la Figura 13.26).
Si se despeja y ' = 0 se obtiene el valor critico x = 0. Si x = 0, entonces y " = 0 y no se aplica la prueba de la segunda derivada. Corno y ' < 0 para x < 0, y y ' > 0 para x > 0, con la prueba de la primera derivada puede verse que existe un rninimo relativo cuando x = 0 (vease la Figura 13.27). Si una funcion continua tiene exactamente un extrerno relativo en un intervalo, puede dernostrarse que el extremo relativo debe tambien ser un extrerno absoluto en el intervalo. Para ilustrar esto, en el Ejemplo l(c), y = x4 tiene un rninirno relativo cuando x = 0 y no existe ningun otro extrerno relativo. Corno y = xd es continua, este rninimo relativo es tarnbiCn un rninimo absoluto para la funcion. EJEMPLO 2 Si y = f(x) = x3 - 3x2 - 9~ el intervalo (0, w).
+ 5 , determinar cuando ocurren e.urremos absolutos en
Se tiene f'(x)
=
3x2 - 6x - 5 = 3 ( 2 - 2x - 3)
= 3(x
+
l)(x - 3).
El unico valor critico en el intervalo (0, la segunda derivada se obtiene
m)
es 3. Aplicando a este punto la prueba de
f "(x) = 6x - 6
Por ello, existe un minirno relativo cuando x = 3. Corno este es el unico extremo relativo en (0, a)y f es continuaen este intervalo, se concluye, de acuerdo con el analisis anterior, que existe un rninirno absoluto x = 3.
13.5
515
Asintotas
EJERCICIOS 15.4 En 10s Problemas 1-10, investigue si existen mciximos y mr'nimos relativos. Utilice si es posible la prueba de /a segunda derivada. En 10s Problemas 1-4, establezcu si 10s extremos relativos son tan~bitfnextremos absoluros. 1. y = x 2 - 5x
+ 6.
2. y = -2x2
3. y
2r - 8.
4. y
= -4x2,+
5. y = x 3 - 27x
7. y 9. y
-
= -x3 =
2x"
+
6.
1.
+ 3x2 +
1.
8. y
2.
10. y
+
6x
+
12.
+ 6. = x 3 - 12x + 1. = x4 - 2x2 + 4. =
3.r2
-
5x
= -x7.
13.5 Asintotas En esta seccion se concluye el arialisis de las tkcnicas que se utilizan para trazar curvas investigando las funciones que tienen asinrotas. Basicamente, una asintota es una recta a la que la curva se aproxima cada vez mas en forma arbitraria. Por ejemplo, en todas las secciones de la Figura 13.34, la linea punteada x = a es una asintota. Pero, para hablar con precision, es necesario hacer uso de 10s limites infinitos. ObsCrvese en la Figura 13.34(a) que cuando x -, a + , f(x) se vuelve infinitamente positiva. lim f(x) = X-0
a.
+
En la Figura 13.34(b), cuando x -, a t , f(x) se vuelve infinitamente negativa: lim ,f(x) = r-0
-a.
+
En la Figura 13.34(c) y (d), se tiene que
En tCrminos generales, puede decirse que todas las graficas de la Figura 13.34 tienen una "explosion" alrededor de la recta vertical x = a, en el sentido de que un limite de f(x) en a es o - 03. A la recta x = a se la denomina una asintota vertical para la grafica. Una asintota vertical no es parte de la curva per0 es un auxiliar importante para trazarla porque parte de la grafica se aproxima a la asintota. La explosi6n alrededor de x = a ocasiona que la funcion sea discontinua en a.
13
TRAZO DE CURVAS
La recta x = a es una asintota vertical para la grrifica de la funcion f si y solo cuando menos uno de 10s siguientes planteamientos es cierto: lirn f ( x )
= x
(or
= x
(or - x).
-x)
r"a+
0
bien
lim f (.r) *+a-
Para determinar las asintotas verticales, se deben obtener valores de x alrededor de 10s cuales f(x) crezca o disminuya sin lirnite. Para una funcion racional (un cociente de dos polinomios), estos valores de x son precisamente aquellos para 10s cuales el denominador es cero, per0 el numerador es diferente de cero. Por ejemplo, considerese la funcion racional
Cuandoxes 2 , el denominador es 0 per0 el numerador no es 0. Sixes ligeramente superior a 2, entonces x - 2 es, a1 mismo tiempo positivo y esta cercano a 0, y 3 x - 5 esta cercano a 1 . Por ello, ( 3 x - 5)/(.y - 2 ) es muy grande, por lo que lim r+2+
3.y
5 2
----- X -
x.
Este limite es suficiente para concluir que la recta x = 2 es una asintota vertical. Como el interes primordial radica en el comportamiento de la funcion alrededor de una asintota vertical, vale la pena examinar lo que sucede con esta funcion cuando x tiende a 2 por la izquierda. Si x es ligeramente inferior a 2, entonces x - 2 esta muy cerca de 0 pero es negativo, y 3x - 5 esta cerca de 1. Por ello ( 3 x - 5)1(x - 2) es "muy negativo", de manera que 3x - 5 lirn -- -x. 1-2.r - 2
-
Se concluye que la funcion crece sin limite cuando x + 2 + y disminuye sin limite cuando s 2 . La grafica se presenta en la Fig. 13.35. En resumen, se tiene una regla para ias asintotas verticales.
13.5
51 7
Asintotas
REGLA DE LA5 AS~NTOTASVERTICALES PARA FUNClONES RACIONALES Supongase que f(x) = P(x)/Q(x),donde P y Q son funciones polinomiales. La recta x = a es una asintota vertical para la grafica de f si, y so10 si, Q(a) = 0 y P(a) P 0.
EJEMPLO 1 Determinar las asintotas verticales para la grafica de
Como f es una funcion racional se puede aplicar la regla de la asintota vertical. Se tiene
por lo que el denominador es 0 cuando x es 3 o 1 . Ninguno de estos valores hace que el numerador se convierta en 1. Por ello, las rectas x = 3 y x = 1 son asintotas verticales (vkase la Figura 13.36).
Una curva y = f ( x ) puede tener otra clase de asintotas. En la Figura 13.37(a), cuando x aumenta sin limite (x DJ), la grafica se aproxima a la linea horizontal y = b. Es decir, -+
lim f ( s )
=
b.
1 - > i
En la Figura 13.37(b),conforme x se vuelve negativamente infinita, la grafica se aprosima a la recta horizontal y = b. Es decir, lim f ( x ) 'I
-
x
= 6.
-
518
13
TRAZO DE CURVAS
En ambos casos, a la recta punteada y = b se le denomina asintota horizontal para la grafica. Es una recta horizontal alrededor de la cual se "estabiliza" la grafica, cuando .r --, x o bien cuando x -+ - m. Aunque la grafica de una recta horizontal se estabiliza alrededor de si misma cuando x -+ x o cuando x -+ - m , no se considera que las rectas tengan asintotas. En resumen, se tiene la siguiente definicion. Definition
Sea f una funcion no lineal. La recta y = b es una asintota horizontal para la grafica de f si y solo cuando menos uno de 10s siguientes planteamientos es cierto: lim f ( x )
=
b o bien
I-+=
lim f(x)
=
b.
*+-30
Para evaluar si existen asintotas horizontales, se deben encontrar 10s limites de f ( x ) cuando x -, a y cuando x - a.Para ilustrar esto, considerese de nuevo -+
Como esta funcion es racional, pueden utilizarse las tecnicas que se revisaron en la Secc. 10.2 para encontrar 10s limites. Como el termino dominante en el numerador es 3x, y el termino dominante en el denominador es x , se tiene
Por ello, la recta y TambiCn,
= 3
es una asintota horizontal (revisese de nuevo la Figura 13.35).
3x - 5 3x lim -- lim - = lim 3 r+-m
x
-
2
-
X.
De mod0 que la grafica se estabiliza cerca de la recta y x-+
I
-=.
EJEMPLO 2
Obtener las asintotas horizontales para la grafica de f (.X) =
=
3.
,j-m
x2 - 4x x2 - 4x 3'
+
= 3
cuando x
-+
y cuando
13.5
Asintotas
Se tiene lim *+mX
,xL- 4-x 4x+ 3
=
xL lim 7 = lim 1
=
1
X+o;X
Por ello, la recta y = 1 es una asintota horizontal. Se obtiene el mismo resultado cuando x -, -a, I (revisese de nuevo la Figura 13.36).
De la Seccion 10.2, cuando el numerador de una funcion racional tiene un grado superior al del denominador, no existe limite cuando x a o bien x -a . De esto se concluye que en 10s casos en 10s que el grado del numerador de una funcion racional sea mayor que el grado del denominador, lagrifica de lafuncion no puede tener asinfofas horizon tales. +
+
EJEMPLO 3
Hallar las asintotas verticales y horizonr~lesde la grafica de y
=
f (x)
=
x3
+
2x.
Se comienza con las asintotas verticales. Esta es una funcion racional con denominador 1, que nunca es cero. Por la regla de la asintota vertical, no existen asintotas verticales. Como el grado del numerador (3) es mayor que el grado del denominador (0), no existen asintotas horizontales. Sin embargo, en seguida se examina el comportamiento de la yx -a. grafica cuando x +
+
lim (x3 + 2r) x+a
y
=
lim x3
= w
+ :m
lirn ( x 3 + 2 r ) = l i m x 3 = - m . I+--"
x+-Jj
Por consiguiente, cuando x + a la grafica se debe extender indefinidamente hacia arriba, -a , la grafica debe extenderse en forma indefinida hacia abajo (vease y cuando x la Figura 13.38). +
Los resultados obtenidos en el Ejemplo 3 se pueden generalizar a cualquier funcion polinomial.
Una funcion polinomial no tiene asintotas horizontal ni vertical.
13
TRAZO DE CURVAS
EJEMPLO 4
Encontrar Ins asri7totas horizontal y vertical para In grcifica de y lnvestigando si existen asintotas horizontales, se hace x limitacion, consecuentemente, lirn ( e x - 1)
-
=
ex - 1 .
m.Entonces
e-"aumenta sin
= x.
.I--)"
De mod0 que, la grafica no se estabiliza cuando x + entonces e." 0 y, asi,
m.
Sin embargo, cuando x +
-a,
+
lirn (ex - 1) = lirn $ - lim 1 *+-" x+ 5
X
+
=
0
-
1 = - 1.
X
Por lo tanto, la recta y = -1 es una asintota horizontal. La grafica no tiene asintota vertical, puesto que e l - 1 no aumenta ni disminuye sin limitacion con respecto a ningun valor fijo de x (vkase Ia Figura 13.39).
EJEMPLO 5
Trazar
_
grrifica
lntercepciones Cuando x = 0,entonces y = j. Si .I = 0 , entonces 0 = 1/(4 - x2), que no tiene solucion. Por consiguiente, ( 0 . f ) ss la unica interseccion. Sirnetria
Existe simetria solo con respecto a1 ejs J.: resmplazarldo x por -x se obtiene 1 1 v = o bien ?. = 4 - x2' 4 - (-s)'
que es la misma ecuacion original. Asintotas
lnvestigando si existen asintotas horizontales, se tiene I 1 I lirn -= lirn - = - lim --r = 0 . x + r 4 - x2 .,-,: -.I-s1-J;
De igual manera,
1 lim , - 0. 4 - s-
.,--,
13.5
521
Asintotos
Consecuentemente, y = 0 (el eje x) es una asintota horizontal. En virtud de que el denominador de 1/(4 - x2)es 0 cuando x = 2 2 , y el numerador no es 0 para estos valores de x, las rectas x = 2 y x = -2 son asintotas verticales. Maximor y minimos Dado que y = (4 -
x2)-',
Se observa que y ' es 0 cuando x = 0 y y ' es indefinida cuando x = +2. Sin embargo, sol0 0 es un valor critico. Si x < -2, entonces y ' < 0; si -2 < x < 0, entonces j. < 0; si 0 < x < 2, entonces y ' > 0; si x > 2, entonces y ' > 0. La funcion es decreciente en (- w, -2) y (-2, 0) y creciente en (0, 2) y (2,W) (vease la Figura 13.40). Existe un minimo relativo cuando x = 0. Decreciente Decreciente Crecienre
Creciente
Concavidad
Haciendo y = 0, no se tienen raices reales. Sin embargo, y " es indefinida cuando x = +2. Por ello, la concavidad puede cambiar alrededor de estos valores. Si x < -2, entonces y < 0; si -2 < x < 2,entonces y" > 0; si x > 2, entonces y < 0. La grafica es concava hacia arriba en (-2,2) y concava hacia abajo en (-w, -2) y e n (2,0 3 ) (vease la Figura 13.41). Aunque la concavidad cambia alrededor de x = + 2,estos valores de x no se encuentran en el dominio de la funcion original y, en consecuencia, no proporcionan puntos de inflexion. "
"
"
v Concova hocio obajo
Concovo hocio orribo
-2
, 2
~oncovo hocio obojo
I
A
I
CClncovo hocio orribo
C6ncova hocio arriba decreciente
i c~eciente I
I
I
; , I
FIGURP. 13.41
i
=
1
4 - 2
*x ! I
I
!
! I
1
Concovo hocio obojo 1 decreciente f '
Concovo hocia obojo creciente
522
-
1
3
TRAZO DE CURVAS
Analisis Situando 10s puntos que aparecen en la tabla de la Figura 13.42, algunos de ellos escogidos arbitrariamente, y utilizando la informacion anterior, se obtiene la grafica que aparece aqui. Por sirnetria la tabla solo tiene x r 0.
" ms
I
EJEMPLO 6
Trazar la grafica de j2 =
4x
x 2 + 1'
Intersecciones Cuando x = 0 , entonces y que (0, 0 ) es la unica interseccion.
=
0; cuando y = 0 , entonces x = 0. Asi
Existe simetria solo con respecto a1 origen: reemplazando x por -x y y por -y se obtiene 4( - x) 4.y o bien \'=-Y = ( - x ) ~ 1 s' + 1'
Simetria
" m
I
+
que es la misma ecuacion original. Asintotas Investigando si existen asintotas horizontales, se tiene que
y, analogamente
"
lirn
m
I
I-+-=
Por lo tanto, y = 0 (el eje x) es una asintota holizontal. Comv el denominador de 4 x / ( x 2 + 1 ) nunca es 0 , no existe asintota vertical. Maximor y minimor Si y = .ft
-
"
I
4x - 0. x2 + 1
(x>=
(x'
+
f (x) se tiene que
4 - 4x2 1)(4) - 4x(2x) = - 4 1 + x)(I - x ) (x' 1)2 (x' + 1 ) 2 ( . r 2 + 112 .
+
De f ' (x), 10s valorcs criticos son x = f l . por lo que es necesario considerar tres intervalos. Si x < - 1 , entonces f ' ( x ) = 4 ( - ) ( + ) = (-) y f es decreciente;
,(+I
si -1 < x < I , entonces f 1 ( x ) = 4(+)(+)
(+I
si x
> 1 , entonces f ' (x) = ('
Decreciente Creciente
+
=
( + ) y f e s creciente;
)( - ) = (-) y f es decreciente (viare la Figura 13.43).
(+I
Decreciente
-
m
I
Existe un rninimo relativo cuando x Concavidad Ya que f t ( x ) =
=
-1 y un maxirno relativo cuando x = 1.
4 - 4x2 (x' 112'
+
13.5
Asintotos
Si f " ( x ) = 0 , se observa que 10s posibles puntos de inflexion se tienen cuando x lfi,0. Es necesario considerar cuatro intervalos. Si x < - *,entonces
f"(x) = '( -)(
si - fl< x < 0 , entonces f " ( x ) = *( si 0 < x < ~, si x
entonces f n ( x ) = '(
> fl,entonces f ( x )
- )(-
(+I
=
'(
-
+
(+I
) = ( - ) y f es cdncava hacia abajo;
-
= (
+ I ( + )(-I = (+>
+ )( + )( + )
= ?
= (
(+)
+)
y f es cdncava hacia arriba;
( - ) y f es cdncava hacia abajo;
+ ) y f es concava hacia arriba (vease
la Figura 13.44). Concova C6ncava Concova Concavo hacio hacio hacio hocia abojo arribo obajo orriba
-
0
"5
Ocurren puntos de inflexion cuando x
=
0, 2 fl
Analisis Despues de considerar toda la informacidn anterior, en la Figura 13.45 se pre1 ) junto con una tabla de 10s puntos importantes. senta la grafica de y = 4 x / ( x 2
+
FIGURA 1 3 . 4 5
524
13
TRAZO DE CURVAS
En 10s Problemas 1-20, obtenga las asintotas verticales y horizontales para las grrifcas de las funciones, No trace las graficas.
En losproblemas 21-34, trace cada curva. Determine: intervalos en 10s que la funcidn es creciente, decreciente, cdncava hacia arriba, cdncava hacia abajo; mrivimos y minimos re1ativos;puntos de infle.vidn; simetria; asintotas verticales y horizontales; las intercepciones con 10s ejes que se puedan obtener de manera sencilla.
27. y
I
= x2 - 1.
28. y
=
1
7. .r + I
35. Trazar la grafica de una funcion f tal que f(O), s\iste una asintota horizontal y = I, para x + 2 e \ ~ s t suna asintota vertical x = 2, tantof'(.v) < 0 como f -(.v) < 0 para x < 2 y tanto f ' ( s )< 0 como .f'(.v) > 0 para x > 2. Trazar la grafica de una funcion f tal quef(0) ?\is[? una asintota horizontal y = 2 para x + r m . e\is!s una asintota vertical x = -I, tanto f '(x) > 0 ~ o m .f'r.v) o > 0 para x < - I y tanto f '(x) > 0 ~ o mf o '(XI < 0 para .Y > - 1.
tal y = 0 para x k m, existen asintotas verticales x = -2 y x = 1 , f "(.v) < 0 para .v < -2 y f '(x) > O p a r a - 2 < x < I y 1 < x < 3. +
39. En un analisis del patron de tiempos en cornpras, Mantell y Sing* utilizan la curva
36.
V =
= 0.
X
---
a
+
bx
corno modelo rnaternatico. Afirrnan que y una asintota. Verifique esto.
=
I / b es
Trace las graficas de y = 6 - 3e." y y = 6 + 3e.". Dernuestre que son asintoticas con respecto a
37. Trazz: 13 graflca de una funcion f tal que f(0) = 0, exists una ai~n;orahorizonral y = 0 para x t m, sxisrsn as~n:o:ai \ s ~ r i ~ a l .ve s= - I y x = 2, f '(x) < 0 para .v < - 1 ! - I < .v < 2 como f "(x) < 0 para x > 2 .
40.
38. Trazar la grafisa ds una tun~i6n.f'ralyuef(-1) = 0, f(0) = 1 , f ( 3 ) = 0, e\isre una asinrora horizon-
Decisions (Nueva York: McGraw.Hill Book Company,
+
la rnisrna recta. i C u i l es la ecuacion de esta linea? ---
* L.H. Mantell y F.P. Sing, Economics for Business 1972). p. 107.
13.6
525
Reposo
Para un product0 nuevo, el nurnero de rnillares de paquetes vendidos por aiio y despuks de t aiios de su introduction se pronostica mediante
41.
p
= ,f(t) =
150 - 76e-'.
Dernuestre que y = 150 es una asintota horizontal para la g?afica. Esto prueba que despues de que el producto se establece entre 10s consumidores, el mercado tiende a ser constante.
Secci611 13.1
funcion creciente funcion decreciente extrerno relativo extremo absoluto prueba d e la primera derivada
Seccion 13.2
teorerna del valor extremo
Seccion 13.3
concava hacia arriba
Seccion 13.4
prueba d e la segunda deritada
Seccion 13.5
asintota vertical asintota horizontal regla de la asintora tsrrica! para funciones rationales
maxirno relativo rninirno relativo valor critico punto critico
concava hacia abajo
punto d e inflexion
RESUMEN El calculo es un gran auxiliar para :razar la grafica de una funcion. Se utiliza la primera derivada para determinar c u i n d o una funcion es cl-scisnrs o dccrcciente y para ubicar maximos y minimos relativos. S i f ' ( x ) es poritiva en un intervalo, entonccsj'es crscisnrs sn ese intervalo y su grafica asciende (de izquierda a derecha). Si f ' ( x ) es negativa en un intervalo, sntonc:s .t ss decreciente en ese intervalo y su grafica desciende. Un punto (x,, y J d e una grafica en el q u e f ' (-7) es 0 o bien no esta definida es candidato a ser un extrem o local o relativo, y a x , se le denornina valor cririco. Para que ocurra u n extrerno relativo en x,, la prirnera derivada debe carnbiar d e signo alrededor d s s;. El siguiente procedimiento es la prueba de la primera derivad a para 10s extremos relativos d e y = f (H): Prueba de la primera derivada para extremos relatlvos 1. Obtener f ' (x). 2. Hallar todos 10s valores de u . en donde f (s)= 0 o bien f ' (.u) no este definida.
3. E n 10s intervalos sugeridos por 10s valores que se obtienen en el paso 2, determinar si f es creciente ( f ' (x) > 0) o decreciente ( f ' ( x ) < 0 ) . 4. Para cada valor critico xu, en el q u e f es continua, detern~inarsi f ' ( x ) cambia de signo a medida que x crece pasando por w,. Existe un masimo rslarito cuando .K = .yo si f ' ( x ) cambia de t a -, I, un rniriimo relativo si f ' ( x ) cambia de - a . Si ,f (.Y) n o cambia de signo, n o existe extremo relativo cuando x = x,.
-
Bajo ciertas condiciones es seguro que una funcidn tenga extremos absolutos. El teorema del valor extrerno zsrablece que si f e s continua en un intervalo cerrado, entonces f tiene un valor maximo absoluto y un valor rninimo absoluto en ese intervalo. Si el dominio def es un intervalo cerrado, entonces para localizar extrernos absolutos no solo se considera sn ddnde ocurren extremos relativos, sino que tarnbien se examina f ( x ) en 10s puntos finales del intervalo.
526
i
1 3 TRAZO DE CURVAS
Se utiliza la segunda derivada para determinar si existe concavidad y para identificar 10s puntos de inflexion. Si f"(x)> 0 en un intervalo, entonces f es concava hacia arriba en ese intervalo y su grafica se curva hacia arriba. Si f "(x)< 0 en un intervalo, entonces f es concava hacia abajo en dicho intervalo y su grafica se curva hacia abajo. Un punto de una grafica en donde cambia la concavidad se denomina punto de inflexion. El punto (x,, yo) de la grafica es un posible punto de inflexion si f"(x,) es 0 o no esta definida. La segunda derivada tambiin proporciona un medio de investigar en busca de valores criticos para extremos relativos. Prueba de la segunda derivada para extremos relativos
Supongase que f ' (x,)
=
0.
Si f "(x,)
< 0, entonces f
si f "(x,)
> 0, entonces f tiene un
tiene un maximo relativo en x,; minimo relativo en x,.
Las asintotas son tambien litiles para trazar curvas. Las graficas se "disparan" cerca de asintotas verticales y se "estabilizan" cerca de asintotas horizontales. La recta x = a es una asintora vertical para la grafica de una funcion f si lim f (x = 03 o bien -03 cuando x tiende a a por la derecha (x a ') o por la izquierda (x -. a - ) . Para el caso de las funciones rationales, f (x) = P ( x / Q (x),se pueden determinar asintotas verticales sin evaluar limites. Si Q (a) = 0 per0 P (a) # 0, entonces la recta x = a es una asintota vertical. La recta y = b es una asintota horizontal para la grafica de una funcion f si cuando menos uno de 10s siguientes plantearnientos es cierto: lim f(x) = b 2-
o bien
'X
lim f(x) = b .
x 4 - s
En particular, una funci6n polinomial no tiene asintotas horizontales ni verricales. Ademas, una funcion racional cuyo numerador es de mayor grado que el del denominador no tiene asintota horizontal.
PRODLEMAS DE REPASO ____ En 10s Problemas 1 y 2, halle las asintotas horizontales y verticales.
En 10s Problemas 3 y 4, obtenga 10s valores criticos.
.
x-
- ,
.
En 10s Problemas 5 y 6, determine intervalos sobre 10s cuales la funcion es creclente o decrecienre. 5. f ( x ) = - x 3 = "
+ 6 x 2 - 9x
I2
6. f ( x ) =
. En
10s ~ r o b l e m a 7i y 8, determine intervalos sobre 10s cuales la funcidn es cdncava hacia arriba o cdncava hacia abajo.
7. f ( x )
= x4
-
x' - 14.
8. f ( x )
.r
= -.
+
x - 1
I
13.6
Reposo
En 10s Problemas 9 y 10, investigue si existen extremos relativos.
En 10s Problemas 11 y 12, obtenga 10s valores de x en donde ocurren puntos de inflexion.
En 10s Problemas 13 y 14, investigar si existen extremos absolutos en el interval0 dado. 13. y
= 3.r"
4x3,
[O. 21.
14. y
=
2 x 7 - 15.1'
+ 36.r. 10, 31
En 10s Problemas 15-24, trace las grrificas de /as funciones. Zndique 10s intervalos sobre 10s cuales la funcion es creciente, decreciente, concava hacia arriba o concava hacia abajo; indique 10s puntos tnaximos relativos, 10s puntos minimos relativos, 10s puntos de inflexion, las asintotas horizontales, las asintotas verticales, la simetria y las intersecciones que se puedan obtener de manera facil.
25. Trace la grafica de la funcion de densidad normal
Incluya 10s extremos relativos y 10s puntos de inflexion.
26. En un modelo del efecto de 10s anticonceptivos sobre la tasa de natalidad*. la ecuacion
da la reduccion proporcional R en la tasa de nacimientos como funci6n de la eficiencia x del metodo anticonceptivo. Una eficiencia de 0.2 (o sea 20%) significa que la probabilidad de que haya embarazo es del 80% de la probabilidad de exista fecundation sin el anticonceptivo. Evalue la reduccion
R.K. Leik y B.F. Meeker, Mathematical Sociology (Engleuood Cliffs, N.J.:Prentice-Hall, Inc., 1975).
(como porcentaje) cuando la eficiencia es (a) 0, (b) 0.5 y (c) 1. Obtenga d R / d x y d 2 ~ / d xyZtrace la grafica de la ecuacion.
27. Si se pidiera enumerar 10s miembros de una categoria, como animales cuadrupedos, es probable que las palabras que se pronunciaran aparecieran en "grupos" con pausas claras entre ellos. Por ejemplo, se podria mencionar lo siguiente para la categoria de animales cuadrupedos: perro, gato, raton, rata, (pausa) caballo, burro, mula, (paus4 vaca, puerco, chivo, borrego etc. Las pausas pueden presentarse debido a que es posible que la persona tenga que buscar mentalmente subcategorias (animales dombticos, bestias de carga, animales de granja, etc.). El tiempo que transcurre entre el inicio de palabras sucesivas se denomina tiempo enrre
528
13
TRAZO DE CURVAS
respuestas. Se ha utilizado una funcion para analizar la longitud del tiempo de las pausas y el tamaiio de 10s grupos (numero de palabras de un grupo).T Esta fnncion f es de tal forma que el numero promedio de palabras que aparecen en s u c e s i o ~con tiempos entre respuestas inferivres a t.
Matematicamente, P es un punto critic0 que es tambikn un punto de inflexion. Suponganse estas dos condiciones y pruebese que (a) to = -B/(3A) y (b) B 2 = 3AC. 28. En un modelo que describe la penetracion de mercado de un nuevo producto, las ventas S del producto en el tiempo t estin dadas por*
en donde p , q y rn son constantes diferentes de cero. a.
Demuestre que
b.
El pur,to P tiene significado especial. Es tal que el valor t o separa 10s tiempos entre respuesta dentro de grupos de 10s tiempos entre respuestas entre grupos.
Determine el valor de t para el cual ocurren las ventas m k i m a s . Se puede suponer que S alcanza un miximo cuando dS/dt = 0.
't A. Graesser y G. Mandler, "Limited Processing Capacity Constrains the Storage of Unrelated Sets of Words and Retrieval from Natural Categories", Human Learning and Memory, 4 , num. 1 (1978), 86-100.
* A.P. Hurter, Jr., A.H. Rubenstein, y cols. "Market Penetration by New Innovations: The Technological Literature", Technological Forecasting and Social Change, vol. 11 (1978). 197-221.
La grafica def tiene una forma similar a lade la Fipura 13.46 y la mejor forma de ajustarla es mediante un polinomio de tercer grado, como f(t) = A ?
+~
t ' +Ct
+ I).
CAPITULO
14
Aplicaciones d e la dif erenciacion - 14.1
Aplicacion de maximos y minimos Usando las tecnicas que se vieron en el capitulo anterior es posible resolver problemas que implican la mawimizacion o la minirnizacion de una cantidad. Por ejemplo, se pueden mawimizar utilidades o minirnizar costos. La parte crucial consiste en expre-I sar la cantidad que se desea maximizar o minimizar como funcion de alguna variable implicada en el problema. Despues, se diferencia y se prueban 10s valores criticos resultantes. Para hacer esto puede utilizarse la prueba de la primera o de la segunda derivadas, aunque puede resulrar evidente, por la naturaleza del problema, si un valor critico representa una respuesta apropiada o no. Debido a que el interes se centra en el mhximo o el minimo absoluros, en ocasiones deben examinarse 10s puntos extremos del dorninio de la funcion. EJEMPLO 1
La ecuucion de detnanda para el producto de un fabricante es, p = (80 - q)/4, en donde q es el nunlero de irt~idades!p es el precio por unidad. ;A yuP valor de q lzabrd un ingreso ~naxitno?;Clral es el ingreso maxinlo? Sea r el ingreso total. Enronces ingresos
en donde q r 0. Fijando dr dq
=
=
(precio)(cantidad). Por ello,
0:
Asi, 40es un valor critico. Ahora se determinara si estevalor es un maxirno. Examinando la primera derivada para 0 5 q < 40, se tiene que dr/dq > 0 de forma que r es crecienr?.
529
Si q > 40, entonces dr / dq > 0 , por lo que r es decreciente. Debido a que a la izquierda de 40 r es creciente y a la derecha r es decreciente, se concluye que q = 40 d a el ingreso maximo absoluto. Este ingreso es de [80(40)- (40)2]/4= 400.
EJEMPLO 2 q2 + 3q + 400, en don4 de q es el nu~nerode unidades que se fabrican. LA que nirel de produccion 10s costos prolnedio por unidad seran lninimos? i Cual es este ~ n i n r ~ t ~ o ?
La funcion del costo total de un fabricante esta dada por c
= -
La cantidad que se debe minimizar es el costo promedio c. La funcion de costo promedio es
Aqui, q debe ser positiva. Para minimizar c, se diferencia.
Para obtener 10s valores criticos se resuelve D,i;
I
I
=
0.
q2 - 1600 = 0 ,
(q
-
40)(q + 40) = 0 , q = 40
(dado que q
> 0).
Para determinar si este nivel de produccion da un minimo relativo se emplea la prueba de la segunda derivada. d2f - 800 dq2 q3 ' que es positivo para q = 40. Consecuentemente, i; tiene un minimo relativo cuando q = 40. Se observa que i; es continua para q > 0. En \ irtud de que q = 40 es el unico extremo relativo, se concluye que este minimo relati\ o es en verdad un minimo absoluto. Sustituyendo q = 40 en la Ecuacion ( I ) se evalua el costo promedio minimo, C = 23.
I
I
i
EJEMPLO 3
Una enzima es una proteina que puede actuar como catalizador para aumentar el ritmo a1 que se desarrolla una reaccidn en las celulas. En una reaccidn determinada, una enzima se convierte en otra enzima denominada producto. Este ultimo actua como catalizador para ju propia formacidn. La tasa R a la que se forma el product0 (con respecto a1 tiempo) esta dada por R = kp(1 - p),
14.1
531
Aplicacion de mdximos y minimos
en donde I es la cantidad inicial total de ambas enzimas, p es la cantidad de la en::!?:; producto y k es una constante posiriva. iPara que' valor de p sera mrix-ima R? Se puede escribir R
=
k@l
-
p2). Fijando d R / d p
= 0
y despejan'do p se obtienc
Ahora, dZR/dp2 = -2k. Como k > 0 , la segunda derivada es siempre negativa. Por ello, p = 1/2 da un maximo relativo. Ademas, como R es funcion continua de p, se concluye que -de hecho- se tiene un maxirno absoluto cuando p = 1/2.
Puede aplicarse el Calculo a decisiones de inventario, como se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 4
Una compaiiia fabrica y vende anualmente 10,000 unidades de un producto. Las ventas se distribuyen de mcinera uniforme en todo el aiio. La compariia desea determinar el numero de unidades que debe fabricar en cada corrida de produccidn con el objeto de minimizar 10s costos anuales totales de preparacidn y 10s costos de inventario. En cada corrida se fabrican el mismo numero de unidades. A este numero se le denomina tamaiio econdmico del lote o cantidad economica de pedido. El costo de produccion de cada unidad es $20 y 10s costos de inventario (seguros, intereses, almacenamiento, etc.) se estiman en 10% del valor del inventario promedio. Los costos de preparacidn por corrida de produccidn son de $40 (ddlares). Calcular el ramaiio economico del lote. Sea q el numero de unidades de una corrida de produccion. Puesto que las ventas se distribuyen a una tasa uniforme, se supone que 10s inventarios varian de manera uniforme de q a 0 entre corridas de produccion. En consecuencia, se considera que el inventario promedio es q / 2 unidades. Los costos de produccion son de $20 por unidad por lo cual el valor promedio del inventario es 20(q/2). Los costos respectivos son 10% de este valor:
El numero de corridas de produccion por aiio es 10,00O/q. Por lo tanto, 10s costos totales de produccion son
Por ello, la C total de 10s costos anuales de inventario y de preparacion esta dada por
dC
-
-
dq
Haciendo dC/dq
Como q
> 0,
=
400,000
q2 - 400,000
q-
q2
0 se obtiene
se elige =
=
200vm
-
632.5
Para determinar si este valor de q minimiza C se examina la primera derivada. Si 0 < q< \ entonces dC/dq < 0. Si q > d m 0 ,entonces dC/dq > 0. Se concluye que existe un minimo absoiuto en q = 632.5. El numero de corridas de produccidn es 10,000/632.5 = 15.8. Para fines practicos habria 16 lotes, cada uno de ellos con un tamaiio economico de 625 unidades. EJEMPLO 5
La Vista TV Cable Co. tiene en estos rnomentos 3,500 suscriprores quepagan una cuota nlensual de $8. Unrr encuesta revela que habra 50 suscriprores nzas por cada $0.10 que se disminuyan en la cuota. i A quP tarlfa se lograran ingresos rnaximos y cuuntos suscriptores habra a ese nivel? Seaxel numero de disminuciones de SO. 10. La tarifa mensual es, entonces, de 8 - 0.10x, en donde 0 5 x 5 80 (la tarifa no puede ser negativa), y el numero de suscriptores nuevoses Sox. Por tanto, el numero total de suscriptores es 3500 50.v. Se desea maximizar 10s ingresos r, que estan dados por
-
r
=
(numero de suscriptores) (tarifa por suscriptor)
=
(3500
+ 50x)(8
-
0.10.~)
Fijando r' = O y despejando x, se obtiene
r'
=
lOO(0.5 - 0 . 1 . ~ = 1 0. .I-
=
>.
Si 0 r x < 5, entonces r' > 0; si 5 < x 5 80, entonces r' < 0. Se concluye yue se maximizan 10s ingresos cuando se dan cinco disminusiones de $0.10, es decir, cuando la tarifa mensual es de $7.50. El numero de suscriptores con esa tarifa es 3500 + 50(5) = 3750. -
--
p
p
EJEMPLO 6
En un articuio publicado en una revista de sociologiu se planteaba que, si se iniciara un prograrna especlpco a la salud para personas de edad, entonces t aAos despuPs de su inicio, recihirian beneficios directos n rnillares de ancianos, en donde t3 n = - -
3
6r2 + 331.
0
5
t
5
12.
1
14. I
Aplicocion de moximos y minimos
iPara que valor de t recibe beneficios el nurnero nzaxiilzo de personus? Fijando dn/dt = 0 se tiene
Ahora d2n/dt2 = 2t - 12, que es negativa para t = 4 y positiva para f = 8. Por ello, existe un maximo relativo cuando t = 4. Esto da n = 53 i. Para determinar si estc es un maximo absoluto, se debe hallar n en 10s puntos extremos del dominio. Si t = 0, erltonces n = 0. Si ! = 12, entonces n = 96. Asi, se presenta un nlaximo absoluto cuando t = 12. En la Figura 14.1 se ofrece una grafica de esta funcion.
ADVERTENCIA E n el Ejemplo 6 se ilustra que n o be deben omitir 10s puntos extremos cuando se buscan valores extremos absolutos en un inter\aln cerrado.
Para propositos de seguridad un fabricante planeu colocar una barda en una area rectangular de almacenamiento de 10,800 pie2 adyacente a un edificio, utilizando a gste como uno de 10s lados del area que se debe cuhrir (vkase la Figura 14.2). Ida reja que corre paralela a1 edificio queda frente a una carretera y costara $3 (dolares) por cada pie instalado, en tanto que la reja para 10s otros dos lados cuesta $2 por pie instalado. Encontrar la cantidad de cada tipo de reja para que 10s costos totales sean minimos. i C ~ a es l el costo minimo? En la Figura 14.2 se identifica la longitud del lado paralelo al edificio como x y las longitudes de 10s otros dos lados como y, en donde x y y estan en pies. El costo (en dolares) de la reja que va sobre la carretera es 3x y el de la que va sobre cada uno de 10s otros dos lados es 2y. En consecuencia, el costo total C de la reja es
Edificio
Corretero
Se desea rninimizar C. Con objeto de diferenciar se expresa prirnero C en terrninos de una sola variable. Para esto se encuentra una relacion entre x y y. Como el area de alrnacenarniento s y debe ser 10,800, . ~ y= 10,800
v
o bien
10,800 -.
=
X
Por sustitucion, se tiene C = 3x en donde x
> 0 . Para
+4
(
43,200 ) = 3 x + -,
y
X
rninirnizar C se fija dC/dx
dC d.r
- --
3=-
43,200
3
-
X
-
7
=
0 y se despeja x :
= 0,
43,200 x2
'
de donde
s = 120
(puesto que x
> 0).
.Ahora, d2C/dx2 = 86,400/s" 0 para x = 120, y se concluye que x = 120 da ciertarnenre el valor minirno de C. Cuando x = 120. entonces y = 10,800/120 = 90. Por lo ranto, se requieren 120 pie de la reja de $3 y 180 pie de la de $2. Esto da un costo de 5720. En el siguiente ejemplo se emplea la palabra rnonopolista. En una situacion de monopolio existe solo un proveedor de un producto para el cual no existen sustitutos similares y el proveedor, es decir, el monopolista controla el mercado. Considerando la ecuacion de demanda para el producto, el monopolista puede fijar el precio (o volumen de produccion) para alcanzar utilidades maximas. EJEMPLO 8
Suporlgase qlre la ecliacion de dernanda para el producfo de un r~lonopolistaes p
+
=
400 - 29 J. qlre la f~rnciovde cosfos pronledio es i; = 0.29 4 + (400/q), en dor:de q es el nlimei.o de unidades, J fanro p coino i. esfan expresadas en dolares por unidad.
14.1
a.
Aplicocion de moximos y minimos
Drter~uinarel nivel de produccion en donde se /~~~.\.i/lii:~/ri !'JJ u:iiidades.
b. Deterlninar el precio a1 cual ocurren las utilidades ~nd.\.il?:i:'.
c. Drterniinar las u f ilidades ~naxirnos.
:dr:!dird d . Si, conlo dispositivo regulador el gobierno lnarca Irn inlpuesro de S22 a1 ~nonopolista,jcual es el nuevo precio para la maximitacion cle !rii.;;i;dz? Utilidades
=
ingresos totales - costos totales.
Dado que 10s ingresos totales r = pq = 400q - 2q' y 10s costoj totales c 0.2q2 + 4q + 400, las utilidades P son P = r P en donde q
=
-
c = 400q - 2q2 - (0.2q2
qC
=
+ 4q + 400).
396q - 2.2q2 - 400,
(2)
> 0.
a. Tomando dP/dq
=
0 , se tiene
Ya que d2P/dq2= -4.4 < 0 , se concluye que q b. Fijando q
=
=
=
90 da las utilidades maximas.
90 en la ecuacion de demanda se obtiene p
c. Reemplazando q por 90 en ( 2 ) resulta P
=
=
400 - 2(90)
=
220.
17,420.
d. El irnpuesto de $22 por unidad significa que para q unidades el costo total aumenta
en 22q. La nueva funcion de costo es c , PI esta dada par
Haciendo dP,/dq
=
=
0.24'
+ 44 +
400
+
22q, y la utilidad
0 se obtiene
Zomo d 2 P , / d q 2 = -4.4 < 0 , se concluye que para maximizar la utilidad el monopolista debe restringir la produccion a 85 unidades con un precio mayor de p , = 400 - 2(85) = 230. Debido a que esre precio es superior en solo $10 a1 anterior, solo se ha traspasado al consumidor parte del impuesto y el monopolista debe absorber el costo de lo restante. La utilidad es ahora de $15,495, que es inferior a la anterior. Se concluye esta seccion aplicando el Calculo para desarrollar un principio que es importante en Economia. Sup6ngase que p = f ( q ) es la funci6n de demanda para
el product0 de una empresa, en donde p es el precio por unidad y q es el numero de unidades que se fabrican y venden. En este caso, 10s ingresos totales r = qp = q f ( q ) son funcion de q . Sea r el costo total de fabricar q unidades y que esti dado por la funcion de costo c = g ( q ) . Por consiguiente, la utilidad total P, que esta dada por ingreso total - costo total, es tambien funcion de q:
Considerese cual es la production mas redituable para la empresa. Omitiendo casos especiales se sabe que la utilidad se maximi7a cuando d P / d q = 0 y d2P/dq? < 0. Se tiene que dP - d dr dc -(,. - C) = - - - = 0. d4 dq dq dq Consecuentemente dP/dq = 0 cuando
Es decir, a1 nivel de las utilidades maximas, la pendiente de la tangente a la curva de ingresos totales debe ser igual a la pendiente de la tangente a la curva de costos totales (Figura 14.3). per0 dr;dq son 10s ingresos marginales, IM, y d c / d q son costos marginales, CM. Por ello, en condiciones tipicas, para maximizar las utilidades es necesario que IM
=
CM
Para que esto corresponda en realidad a un maximo es necesario que d2P/dq" d'p - -
ds2
d2
- (
d4
r - )
=
d'r
d2c
7 - 7
q
dq-
< 0 o bien
f
0.
~1%.
;jy' < 7 dq-
Es decir, cuando IM = CM, para asegurar que se tienen las utilidades maximas, la pendiente de la curva de ingresos marginales dcbc ser menor que la pendiente de la curva de costos marginales. La condicion de que d"/dq" 0 cuando dP/dq = 0 se puede considerar desde otro punto de vista. De manera equivalente, para hacer que IM = CM corresponda a
FIGURA 14.3
FIGURA 1 4 . 4
14.1
Aplicacion de moximos y minimos
537
u n m a x i m o d P / d q d e b e pasar de + a -; es decir, d e d r l d q - d c d q > 0 a d r l d q d c / d q < 0. Asi, c o n f o r m e a u m e n t a la produccion, se debe tener I.V > C.\f y entonces IM < CM. E s t o significa q u e en el p u n t o q , d e utilidades m a \ i m a i i c l Licr:.d de corror ~narginalesdebe cortar la curva d e ingresos marginales por a b a ~ o(Figura 14.4). P a r a la produccion hasta q ,, 10s ingresos de la produccion adicional serian iup IM y c a d a u n i d a d d e produccion aiiadiria u n a ma! or ;an:!d a d a 10s costos totales q u e a 10s ingresos totales. E n consecuencia, las utilidadsi rcr3les se reducirian.
En cads uno de 10s siguienres proble~nasp es el precio por unidad (en ddlares) y q es la produccidn por uniclucl eft. rietl~po.Los cosros j'ijos se rej'ieren a 10s cosros que permanecen consranles a c~ralqzriernivel de producciotl 21: lrlr
period0 deter~ninado.(Un eje~nploes la renra.)
1. Un fabricante descubre que el costo total c para elaborar un producto esta dado por la funcion d s :osto c = 0.05q2 5q + 500. LA que nivel de :roduccion 10s costos promedio por unidad seran xnimos?
+
2 . El costo por hora C (en dolares) para operar un auiomovil esta dado por
s es la velocidad en inillas por hora. LA j a s islocidad es minimo el costo por hora? c r donde
3. La ecuacion de demanda para el producto de .a monopolista es p = -5q + 30. LA que precio se s a u m i z a n 10s ingresos? 4.
Para el producto de un monopolista la funcion dtmanda es q = 10,000e-~.~:P. Calcule el valor de :para el que se obtienen ingresos miximos. I. Un grupo de biologos estudio 10s efectos nutri:\as que sc observaron en ratas a las que se alimenro de acuerdo con una dieta que contenia con 10% de proteins.* La proteina estaba formada por yema 3s hue\ o y harina de semillas de algodon. Variando E wrcentajep de yema en la mezcla de proteinas, el s ~ p descubrio o que el aumento de peso (promedio r, gramos) de una rata en un period0 era
Encontrar (a) el aumento miximo de peso y (b) el m e n t o minimo de peso. Adaptado de R. Bressani, "The Use of Yeast in Hu~k Foods", ., en Single-Cell Protein, ed. R.I. Mateles y S.R. Tjsnsnbaum (Cambridge, Mass.: MIT Press, 1968).
6. La intensidad R de la reaccion del cuerpo humano a una dosis inicial D de un farmaco esta dada por l'
en donde la constante C denota la cantidad maxima de la medicina que se puede administrar. Demuestre que R tiene una tasa maxima de variacidn cuando D = C/2
7. Para el producto de un monopolista la funcion de demanda es p = 72 - 0.04q y la funcion de costo es c = 500 + 30q. LA que nivel de produccion se maximizan las utilidades? LA que precio ocurre esto y cuales son las utilidades? 8. Para un monopolista el costo unitario de fabricar un producto es $3 y la ecuacion de demanda es p = 10lflqq.~ Q u precio e dar5 ias mayores utilidades? 9. Para el producto de un monopolista la ecuacion de demanda es p = 42 - 49 p la funcion de costo promedio es C = 2 + (80/q). Halle el precio que maximiza las utilidades.
10. Para el producto de un_monopolista la funcion de demanda es p = 50/\:q y la funcion de cost0 promedio es f = 0.50 + (1000/q). Determine el precio que maximiza las utilidades y la produccion. A este nivel, demuestre que el ingreso marginal es igual a1 costo marginal.
t R.M. Thrall, J.A. Mortimer, K.R. Rebman, y R.F. Baum, eds., Some Mathematrcal Models in Btolog!, ed. re\ .. Reporte num. 40241-R-7. Preparado en la Uni\ersit! ot \!Ichigan, 1967.
11. Para la XYZ Manufacturing Co., 10s costos fijos totales son $1200,los costos cornbinados de materiales y de rnano de obra son $2 por unidad, y la ecuacion de dernanda es p = 100/gq. ~ Q u Cnivel de produccion rnaxirniza las utilidades? Dernuestre que ocurre esto cuando 10s ingresos rnarginales son iguales a 10s costos rnarginales. iCual es el precio cuando se rnaximizan las utilidades? 12. Una ernpresa de bienes raices es propietaria de 1000 departarnentos de tip0 jardin. Se puede rentar cada departarnento en $400 rnensua~esTSin ernbargo, por cada $10 de aumento en la renta a1 rnes, habra dos departarnentos vacantes sin posibilidad de ocuparlos. ~ Q u Crenta por departarnento rnaxirnizara 10s ingresos mensuales?
pos de arbustos. El terreno se dividira en cuatro lotes iguales con tres.bardas paralelas a1 rnisrno par de lados corno se rnuestra en la Figura 14.5. iCual es el nurnero rninirno de pies de cerca que se necesitan? 19. Un fabricante de recipientes esta diseiiando una caja rectangular abierta en la parte superior y con una base cuadrada que debe tener un volurnen de 32 pie3. Para que la caja requiera la cantidad minima de material jcuales deben ser sus dirnensiones? Vease la Figura 14.6. 20. Una caja descubierta por la parte superior y de base cuadrada debe construirse con 192 pie2 de material. ~ C u a l e sdeben ser las dimensiones de la caja l el volupara que el volurnen sea rnaxirno? ~ C u a es men que se busca? Vease la Figura 14.6.
13. Una cornpaiiia de television por cable tiene 1000 suscriptores, de 10s cuales cada uno paga $5 a1 rnes. Puede obtener 100 suscriptores mas por cada $0.10 que disrninuya la cuota rnensual. ~ Q u C cuota produciria ingresos rnaxirnos y cuales serian esos ingresos? 14. El fabricante de un producto descubre que para las prirneras 500 unidades que se elaboren y vendan se logran utilidades de $50 por unidad. La utilidad que se obtiene sobre las unidades que se fabrican por encima de 500 disrninuye en $0.10 rnultiplicado por el nurnero de unidades adicionales producidas. Por ejernplo, las utilidades totales cuando se fabrican y venden 502 unidades es 500(50) + 2(49.80). LA quC nivel de produccion se rnaxirnizan las utilidades? 15. Halle dos nurneros cuya surna sea 40 y cuyo producto sea maxirno. 16. Obtenga dos nurneros no negativos cuya surna sea 20 tales que sea rnkirno el producto del doble del prirnero y el cuadrado del otro nurnero. 17. Una cornpaiiia ha apartado $3000 para instalar una reja en una porcion rectangular de terreno adyacente a una corriente de agua, utilizando la corriente corno un lado del area cubierta. El costo de la reja paralela a la corriente es de $5 por pie instalado y la reja para 10s dos lados restantes es $3 por pie instalado. Determine las dirnensiones del Area mixima que se puede cubrir. 18. Un propietario desea cercar 1000 de terreno rectangular que sera utilizado para diferentes ti-
FIGURA 1 4 . 6
21. Se va a fabricar una caja abierta recortando cuadrados iguales en cada una de las esquinas de una hoja de carton de 12 plg2 para despues doblar hacia arriba 10s lados. Calcule la longitud del lado del cuadrad o que se debe recortar para que se rnaxirnice el volurnen de la caja. ~ C u a es l el volurnen rnaxirno? Vease la Figura 14.7.
FIGURA 1 4 . 7
22. Un anuncio rectangular en cartulina debe tener 150 plg2 para su irnpresion. Requiere un rnargen ds 3 plg en la parte superior y en la inferior y un margen de 2 plg en cada uno de 10s lados. Evalue las dirnensiones del anuncio para rninirnizar la cantidad d;i cartulina que se emplee (vease la Figura 14.8). (Sugerencia: En primer lugar encuentre 10s valores de .r
14.1
Aplicocion de maximos y minimos
26. Use 10s datos originales del Problema 25 y suponga que el gobierno impone una cuota por licencia de $100 a1 fabricante. El gravamen anterior es fijo, independientemente de cual sea la produccion. Demuestre que el precio y la produccion que maximizan las utilidades permanecen iguales. Verifique. sin embargo, que habra menores utilidades.
FIGURA 14.8
y y en la Figura 14.8 que minimicen la cantidad de cartulina.) 23. Una lata cilindrica abierta en la pane superior debe tener un volumen fijo K. Demuestre que si se usa la cantidad minima de material, entonces tanto el radio como la altura seran iguales a <,% (\ease la Figura 14.9). Volumen = n r 2 h ~reo de lo superficie = 2nrh
+ rrr2
Abierto en lo porre superior
FIGURA 14.9
Una lata cilindrica abierta en la parte superior se va a fabricar con una cantidad fija de material K. Si el volurnen va a ser maximo pruebe que tanto el (vease radio como la altura son iguales a la Figura 14.9). 24.
~'m
25. La ecuacion de demanda para el producto de un monopolista e s p = 600 - 29 y la funcion de costo total es c = 0.2q2 289 200. Calcule la produccion y el precio que maximizan Ias utilidades y determine las utilidades correspondientes. Si el gobierno gravara con un impuesto de $22 por unidad a1 fabricante, jcuales serian la nueva produccion y el nuevo precio que maximizarian las utilidades? jcuales son las utilidades en este caso?
+
+
27. Un fabricante debe elaborar anualmenre 1000 unidades de un producto que se vende a una tasa uniforme durante el aiio. El costo de produccion de cad a unidad es de $10 y 10s costos de invenrario (seguros, intereses, almacenamiento, etc.) se esriman en 12.8% del valor del inventario promedio. Los costos de preparacion por corrida de produccion son $40. Halle el tamaiio economico del lote. 28. Para el producto de un monopolista la funcion de costo es c = 0.004q3 + 209 5000 y la funcion de demanda es p = 450 - 49. Obtenga la produccion que maximiza las utilidades.
+
29. Un tecnologico esta considerando ofrecer un taller de asignacion de recursos a personal clave de una empresa. Para hacer que la oferta sea economicamente factible, considera que deben asistir cuando menos 30 personas a un costo de $50 cada una. Ademas, estara de acuerdo en reducir la cuota para todas /as personas en $1.25 por cada persona que asista por encima de 30. ;Cuantas personas debe haber en el grupo para que el tecnologico maximice sus ingresos? Supongase que el numero maximo permisible es de 40.. 30. Una ernpresa planea rentar un motor electric0 para utilizarlo por 90,000 caballos-hora a1 aiio en su proceso de manufactura. Un caballo-hora es el trabajo que realiza en una hora un motor de un caballo de potencia. El costo anual de rentar un motor apropiado es de $150 mas $0.60 por caballo de potencia. El costo de operacion del motor por caballo-hora es $0.006/N, en donde N es caballaje. ;De que capacidad en caballos debe ser el motor, que es necesario rentar con objeto de minirniza: ios costos? 31. El costo de operar un camion de carga en una carretera (excluyendo el salario del conductor) es ds 0.1 1 (s/300) dolares por milla, en donde s es la velocidad (constante) del camion en millas por hoi-a. El salario del conductor es de $12 por hora. ;.Iqus velocidad debe operar el conductor el carnion F~L-r hacer que un viaje de 700 millas sea lo r n k t i o n c z l co posible?
+
32. Para un fabricante el costo de elaborz usa :tfaccion es de $3 por unidad de mano ds ~ 5 % ) 5:
por unidad de materiales; 10s gastos generales son de $2000 por semana. Si se fabrican cada semana mas de 5000 unidades, la mano de obra es de $4.50 por unidad para las unidades en exceso de 5000. LA que nivel de produccion sera minimo el costo promedio por unidad?
presenta dimension lineal y V es una velocidad constante de avance. Supongase que P es minima cuando dP/dj = 0. Pruebe que cuando ocurre esto, entonces
33. Todos 10s dias una empresa fabrica x toneladas de un producto quimico A (x 5 4) y y toneladas del producto quimico B con y = (24 - 6x)/(5 - x). Las utilidades para el producto quimico A son $2000 por tonelada y de $1000 para el producto B. ~ C u a n t ose debe fabricar del producto A por dia para maximizar las utilidades? Responda a la misma pregunta si las utilidades de A son P por tonelada y las de B son de P / 2 por tonelada.
Como coment~rioa1 margen, Smith sefiala que: ". . .en la velocidad maxima j es cero para un elefante, 0.3 para un caballo y 1 para un galgo, aproximadamente".
34. Para construir un edificio de oficinas se tienen costos fijos de $250,000 que incluyen terreno, honorarios del constructor, cirnientos, estructura, etc. Si se construyen xpisos, 10s costos (excluyendo 10s costos fijos) son de c = (x/2)[100,000 + 5000(x - I)]. Los ingresos mensuales sor? de $5000 por piso. Calcule el numero de pisos que producirian una tasa maxima de rendimiento sobre la inversion (tasa de rendimiento = ingresos totales/costos totales).
35. En un modelo de Smith* para la produccion de energia P de un animal a una velocidad dada, como funcion de su.movimiento, o marcha j , se deduce la siguiente relacion:
PG)
L4
= Aj-
v3L2 v + B- I + ; '
Aqui A y B son constantes, j es una medida de lo "agitado" de la marcha, L es una constante que re-
36. En un modelo para el flujo de trafico en un carril de una autopista, el numero N de automoviles que pueden circular por el carril por unidad de tieinpo esta dado port
en donde a es la aceleracion de un automovil cuando frena (a < O), t , , es el tiempo de reaccibn para comenzar a frenar, v es la velocidad promedio de 10s automoviles y 1es la longitud del automovil. Supongase que a , t,, y 1son constantes. Para hallar el max i m ~de automoviles que pueden circular en un carril se desea evaluar la velocidad v que maximiza N. Para maximizar N resulta suficiente minimizar el denominador - k t , + v - (2al/v). (a) Determine el valor de v que minimiza el denominador. (b) Evalue la respuesta de (a) cuando a = -19.6(~ie/s'), 1 = 2O(pie) y t r = 0.5(s). La respuesta debe estar en pies por segundo. (c) Calcule el valor correspondiente de Ncon una cifra decimal. La respuesta debe expresarse en automoviles por segundo. Convierta la respuesta a automoviles por hora.
14.2 El Metodo de Newton Es muy sencillo resolver ecuaciones de la forma f(x) = 0 cuando f es una funcion lineal o cuadratica. Por ejemplo, puede resolverse x2 + 3x - 2 = 0 mediante la formula cuadratica. Sin embargo, si f(x) es de grado mayor que 2 (o no es un polinomio), puede resultar dificil, o incluso imposible, encontrar soluciones (o raices) de f(x) = 0 mediante 10s metodos comunes. Por esta razon es posible que se acepten soluciones aproximadas, las cuales pueden obtenerse mediante diversas tecnicas eficientes. En esta seccion se aprendera la forma en que se puede utilizar la derivada para aproximar las raices reales de
* J . M . Smith, Mathematical Ideas in Biology (London: Cambridge University Press, 1968).
t J.I. Shonle, Environmental Applications of general Physics (Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1975).
14.2
541
El Metodo de Newton
la ecuacion f(x) = 0 (suponiendo que f es diferenciable). El procedimiento que se revisa, y que se denomina MPfodo de Newton, es apropiado para calculadoras o computadoras. Una manera de ubicar una raiz de f(.u)
=
0 consiste en trazar primer0 su r a f i c a
y en hacer una estimacicon a partir de esta. Un punto de la grafica en donde y = 0 es la intercepcion x y el valor de x en ese punto es una raiz de f(x) = 0. Otra forma
de localizar una raiz se basa en el siguiente hecho:
Si f es continua en el interval0 [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces la ecuacion f(.u) = 0 tiene cuando menos una raiz real entre a y b.
FIGURA 14.10
En la Figura 14.10 se ilustra ejta situation. La intercepcion x entre a y b corresponde a una raiz de f(x) = 0, y se pu~tdcurilizar a o b para aproximar esa raiz. Suponiendo que se tiene una aproximacion de una raiz, se procede a revisar una manera de mejorar esa aprozima:ion. En la Figura 14.11 puede verse que f(r) = 0, par lo que r es una raiz de la ecuasion f ( s ) = 0. Supdngase que x , es una aproxirnacion inicial de r (y que esta cercana a r ) . ObsPri~eseque la recta tangenre a la curva en (x,, f(x,)) corta a1 eje x en el punto (s..0).y que s,es una mejor aproxirnacion de r que x , .
FIGURA 14.1 1
Se puede encontrar x, a partir de la ecuacion de la recta tangente. La pendiente , lo que una forma punto-pendiente de esta recta es de la tangente es f ' ( x , ) por
Como (x,, 0 ) se encuentra sobre la tangente, sus coordenadas deben satisfacer la Ec. ( 1 ) . Esto d a
0 - f(x1)
=
f 1 ( ~ 1 ) ( . ~ 2- X I ) ,
Por lo que
Para obtener una mejor aproximacion de r, se aplica de nueva cuenta el procedimiento descrito antes, pero esta vez se utiliza x, como punto de partida. Esto da la aproximacion x, en donde
Continuando de esta manera se espera obtener una mejor aprosimacion en el sentido de que la secuencia de valores
se aproximara a r. En la practica termina el proceso cuando se llega al grzdo de precision que se desea. Si se analizan las Ecs. (2) y ( 3 ) , puede observarse como se obtiene x, a partir de x , , y como se obtiene x, a partir de x,. En general, xn _ resulta de x,, por medio de la formula general siguiente, a la que se denomina metodo de Newton:
,
A una formula como la Ec. (4),que indica como se obtiene un numero de una secuencia a partir del que le precede se le denomina f6rmula de recursi6n. EJEMPLO 1
Aproximar la raiz de x' - 4x + 1 = 0 que se encuentra entre 0 y 1 . Continuar elprocedimiento de aproximacion hasta que dos aproximaciones sucesivas difieran en rnenos de 0.0001. Haciendo f(x)
=
x4 - 4x
+
1 , se tien;
14.2
543
El Metodo de Newton
(Observese el cambio de signo). Como f(0) esta mas cerca de 0 que f(l), se eli,-e 0 como la primera aproximacion, s,.Ahora, J"(.x)
=
4x3
-
4,
por lo que
f (x,,)
=
x:
-
4x,,
+
1
y
Y(x,,)
=
3
4x;, - 4.
Substituyendo en la Ec. (4) se obtiene la formula de recursion
Como x,
=
0, haciendo n
=
I en la Ec. (5) se obtiene
Haciendo n
=
2 en la Ec. (5) se obtiene
Haciendo n
=
3 en la Ec. (5) se obtiene
Los datos obtenidos hasta aqui se muestran en la Tabla 14.1
Como 10s valores de x, y x, difieren en menos de 0.0001, se puede considerar que la raiz es 0.25099 (es dec-ir, s,).
EJEMPLO 2 Aproximar la raiz de x3 = 3x -1 que se encuentra entre -1 y -2. Continuar el procedimiento de aproximacion hasta que dos aproximaciones sucesivas difieran en menos de 0.0001.
Haciendo f(x)
=
x'
-
3x
+
1 (se requiere la forma f(x)
=
0), se encuentra que
(Notense 10s cambios de signo). Como f(-2) esta mas cercana de 0 que f ( l ) , se elige -2 como la primera aproximacion, x,. Ahora,
por lo que J(x,,)
=
x:
-
34,
+
I
y
2
f " ( x , , ) = 3x,, - 3.
Substituyendo en la Ec. (4) se obtiene la formula de recurrencia
Como x l
=
-2, haciendo n
=
1 en la Ec. (6) se obtiene
Continuando con el procedimiento se obtiene la Tabla 14.2. TADLA 14.2
Como 10s valores de x, y x, difieren en 0.00006, que es menor que 0.0001, se considera que la raiz es - 1.87939 (es decir, x,).
En caso de que el valor que se elija como aproximacion inicial, x , , de a la derivada un valor de cero, se debe elegir una aproximacion diferente. Una grafica de f pudiera resultar util en una situacion como esta. Finalmente, se desea destacar que hay ocasiones en las que la secuencia de aproximaciones no se acerca a la raiz. El analisis de estas situaciones esta fuera del alcance de este libro.
'd . 3
545
Diferenciobles
C ! I ~ I : ~elI I l.i i e ~ o d orle ~Veewlonpara aproxii?~urla rat'; que se sen'alopara 111 e c ~ r o r ~ oct ~ i ~ i :C.fa-: i. 1r:lriiio cle apro.viinucion hrrsirr que Iu di'feretlcia etltre dos aproxir~~uciones s i r c r s ~ ~
+
1.
.t' -
2.
+
2 .
4.r
3.
.
-
.
4.
.
--
9x
5. \ ' +
-
-
t
- 14.3
I
I
+6
=
I
=
=
0; 0:
raiz entre 0
11
1.
6.
raiz entre 0 y 1 .
0; raiz entre 1 y 2.
=
0;
rair entre 2 y 3.
+ 16 = 0 , raiz entre -3 y -2.
.4'=
2.t
i. ?rozedi-8-
'1.
Critjl.
5 : raizentrs 2 ) 5 .
t-
7. x1
-
8.
.t4
+
4.1 - I =- 0. raiz entre -2
9.
.tl
-
2.t'
.
-
.r'
10
;.:
3.r - !: rair entre 0 ! I .
.x'
t
+
.t -
-
3 = 0:
2 = 0:
!
-:
raiz enrrs 1 ! 1. raiz entre I !-2 .
Diferenciales En breve se proporcionara una razon para emplear el simbolo dy/dx para denotar la derivada de y con respecto a x . Para hacer esto se introduce la nocion del (o de la) dijerencia/ de una funcion. DEFINICIOU
Sea y = f (x) una.funcion dijerenciable de x y sea Ax la forma de denotar un cambio en x, en donde Ax puede ser cualquier numero real. Entonces el diferencial de y, que se denota dy, o bien d [f ( x ) ], esta dado por r f ~= t"(.v) l v . Notese que dy es una funcion de dos variables, a saber x y Ax.
EJEMPLO 1 Hallar el diferencial de y = x 3 - Lu2
+
3x - 4 y evaluarlo cuando x = 1 y Ax = 0.04.
El diferencial es
d~
d
7
=
-(x. d-r
=
(3x2 - 4~
-
2x2
+
+
3x
-
4)Ar,
3)Ar.
Cuando x = 1 y ilx = 0.04, entonces d y = [ 3 ( 1 )-~ 4(1)
+ 3](0.04)= 0.08.
Si y = x , entonces d y = d ( x ) = 1Ax = Ax. En consecuencia, el diferencial de x es Ax. Se abrevia d (x) con dx. Asi, dx = Ax. De aqui en adelante sera practica en este texto escribir dx en vez de Ax cuando se busque un diferencial. Por ejernplo, d(x2 + 5 ) = D,(x'
+
5 ) d.v
=
2.r d . ~ .
Resumiendo, si y = f (x) define una funcion diferenciable de x, entonces dy = f l ( x )dx, -.
-
en donde dx es cualquier nlimero real. Siempre que dx # 0,se dividen ambos lados entre dx:
Es decir, dy/dx puede considerarse ya como el cociente de dos diferenciales, por ejemplo dy dividido entre dx, ya como un simbolo para la derivada de f en x. Es por esta razon que se introdujo el simbolo dy/'dx para denotar la derivada.
EJEMPLO 2
G, entonces
a. Si f (XI
=
h. Si u
(x2 + 3)5, entonces du
f(x
=
=
5(x2 + 3)4(2x) d~ = 10.~-(.r' + 3)4 dx.
+ dx) -
La diferencial puede interpretarse geometricamente. E n la Figura 14.12, el punto P(x, f (x)) esta sobre la curva y = f (x). Sup6ngase que x cambia en dx, un numero real, a1 nuevo valor x + dx. Entonces, el nuevo valor funcional es f (x dx), y el punto correspondiente sobre la curva es Q (x + dx, f (x dx)). Por P y Q pasan una recta horizontal y una vertical, respectivarnente, que se cortan en S. Una recta L tangente a la curva en P corta a1 segment0 QS en R, formando el triangulo PRS. Observese que en P. La pendiente de L es la grafica de f cerca de P se aproxima a la recta -tangente f ' (x) o, de m o d ~equivalente, esta dada por SR:PS:
+
Dado que dy = f ' (x) dx, y d x =
s,
+
547
Diferenciables
14.3
Por lo tanto, si dx es un carnbio de x en P, entonces d~ es el corrsspondiente carnbio vertical sobre la recta tangente en P. Notese que para el mismo d\-I: carnbio Lsrtical sobre la curva es Ay = = f ( x + dx) - f ( x ) . No se debe sonfundir 1).con d ~ . Sin . embargo, resulta evidente de la Figura 14.12 que cuando dx esta cercano a 0, d), es una aproximacion a
Por consiguiente, Ay = dy. Este hecho resulta util para estimar Ay, un cambio sn J.. como se muestra en el Ejemplo 3 . EJEMPLO 3
Una ag~nciasanitaria gubernamental examino 10s registros de un grupo de persorlus qlre fueron hospitalizadas con una enfermedad especrjcica. Se descubrio que la proporcion total P de 10s que fireron dados de alta a1 final de t dlbs de hospitalizacidn crrci dada por
Urilizar dijerenciales para aproximar el carnbio en la proporcion de 10s dados de alta si r cambia de 300 a 305. El carnbio en t de 300 a 305 es At = dt = 305 - 300 P (305) - P (300). Se aproxima AP mediante dP.
Cuando t
=
300 y dt
=
=
5 . El carnbio en P es AP
=
5,
Para efectos de comparacion, el valor real de AP metodo de Newton Se dijo que si y
=
-
f ( x ) , entonces Ay = dy si dx es pequeRa. Consecuentemente,
Ay
=
f(x
+ dx) - f ( . ~ )
dy
o bien
f(x
+ dx)
-
f(x)
+ dy.
i1 )
Esta formula ofrece una forma de estimar un valor, f ( x + dx). Por ejemplo, supongase que se estima ln(1.06). Haciendo y = f (x) = In x, se requiere hallar f (1.06). Ya que d(ln x ) = ( l / x ) dx, de ( 1 ) se tiene
f(x + dx)
-
f ( x ) + dy ,
ln(x
+ dx) = In x + -x1 dx.
Se conoce el valor exacto de In I , de mod0 que se toman x + d x = 1.06 y d x es pequefia.
=
I y dx
=
0.06. Entonces
x
ln(1.06) = 0 t 0.06
=
0.06.
El valor real dc ln(1.06) con cinco cifras decimales es 0.05827.
EJEMPLO 4
La jiiticion de detliando prrra un producto esta clacla por p = f(q) = 20 - \I;, en doncle p es el pt.ecio por uniducl, en do'lat.es, para q unidc~des.C1tili:ando &fereticialer, aprosirl~arel precio c.lrando se tiene llna detnandu de 99 ~rnidudes. Se desea aproximar f (99). De acuerdo con ( l ) , f(q
+
d q ) = .f(q)
dl,
= --
+
dl,,
en donde
Se eligen q = 100 y clq = -1 porque q f ( l 0 0 ) - 20 - v m = 10.
1 2fidY.
+
dq
=
99, d q es pequeiia y es facil calcular
Por ello, el precio por unidad cuando existe una demanda de 99 unidades es aproximadamente de $10.05. La ecuacion y = s b 4.v + 5 define a y como funcion dt: .v. Sin embargo, tambien define en forma implicita a .u como funcion de y . De manera que puede considerarse la derivada de x con respecto a y? d x / d y . Como se puede considerar que d x / d y es un cociente de diferenciales, existen motivos para escribir (y es cierto en I-ealidad)que
Pero d y / d x es la derivada de y con respecto a x y resulta igual a 3 s cuencia,
+
4. En conse-
54;
Diferenciobles
14.3
EJEMPLO 5
d w . = (2500 - p') ' ', entonces
Encontrtlr dp/& si q =
Como q
De donde
En 10s Probleinas 1 1-14, obtenga 3.v .v d v para 10s ~ ~ a l o r edodos s de s . I , dv.
11. y
=
4
13. y
=
d s ;x
14. y
=
(31
7 x ; .r = 3 , dx = 0.02.
-
+
?12;
=
3, dx
x = -I,&
=
12. y
- 3.x
= 4,'
-0.1. !Useelhecho d e q i w
+
10: .r
=
-
1 , & = 0.25
\/m= 4.073.)
= -0.03.
En 10s Probienias 15-22, upinxime coda Ltna de /as e.\-yre~io~ies iiiili;undo ri(feret7cioles.
15.
vTX.
19. In 0.97.
16- ~ 3 % .
17.
< 3,
18.
W,
20- In 1.01.
21.
e"l.
22.
e-".Ol,
Eti 10s Proble~r~us 23-28, dererlrline d.v r i j , o 6 i o 1 rip dq.
23. y
=
a
26. 4
=
vp+5.
-
1.
24.
= 5,'
27.
q = -.
- 31
+ 2.
25. q = ( p 2 + 5)3
1
28.
P
-
e 5 - ~ ,
En 10s Problen7as 29 y 30, calcule la tusa de \.ariacidti de q con respecto a p para el valor de y yue se seiiala.
29. p
=
-.
q
500
+
2'
q
=
Sup6ngase que las utilidades P (en dolares) a1 fabricar q unidades de un product0 es
31.
P
=
396q
30. p
18.
-
2.24' - 400.
Usando diferenciales, evalue el cambio aproximado
=
50 -
6; 7' =
100.
En las utilidades, si el nivel de produccion cambia
q
=
80 a q
=
81. Evalue el cambio real.
32. Dada la funcion de ingresos r = 250q
+ 457'
- q'.
ds
aplique diferenciales para obtener el carnbio aproxirnado en ingresos si el nurnero de unidades aurnenta de q = 40 a q = 41. Halle el carnbio real. 33. La ecuacion de dernanda para el producto de un rnonopolista es p = 1 0 1 6 . Ernpleando diferenciales, aproxirne el precio cuando se tiene una dernanda de 24 unidades. 34. Responda la rnisrna pregunta del Problerna 33 si se tiene una dernanda de 101 unidades. 35. Si y = f (x), entonces el cambio proporcional en y esta definido corno Ayly, que se puede aproximar con diferenciales rnedianre dy/y. Use esta ultima forrna para aproxirnar el carnbio proporcional en la funcion de costos c = f (q) = ( q 4 / 2 )- 3q + 400 cuando q = 10 y dq = 2. Dar la respuesra con una cifra decimal.
36. Supongase que S es un valor nurnerico de posicion social con base en 10s ingresos anuales I (en rniles de d6lares) de una persona. Para cierta poblacion supongase que S = 2OV?. Utilice diferenciales pa-
-14.4
ra aproxirnar S para una persona que tiene ingresos anuales de $15,000, es decir, I = 15. 37.
El volurnen V de una celula esferica esta dado por V = 3.rrr3,en donde r es el radio. Estirne el carnbio en -yolumen cuando el radio cambia de 6.5 x crn a 6.6 x crn.
38. A la ecuacion ( P + a)(v + b) = k se la denornina "ecuacion fundamental de la contraccion rnuscular".* Aqui P es la carga que se irnpone a1 rnlisculo, v es la velocidad de contraccion de las fibras rnusculares y a, b, k son constantes positivas. Halle v en terrninos de P y despues aplique la diferencial para aproxirnar el carnbio en v que se debe a un carnbio pequeiio en P. 39. En un estudio de las plantas arraigadas en cierta region, t se determino que el nurnero prornedio de especies S que se presentan en terrenos de area A (en metros cuadrados) esta dado por S = 1 2 ~ , 0 5 A 1900.
Ernplee diferenciales para aproxirnar el nurnero prornedio de especies en un terreno de 80 rn2.
Elasticidad de demanda La elusricidud de dek?zundu es un medio que perrnite a 10s economistas medir la forma en que un carnbio en el precio de un producto afecta la cantidad que se dernanda. Es decir, se refiere a la respuesta de 10s consumidores a carnbios en 10s precios. Hablando sin mucho rigor la elasticidad de dernanda es el cociente del carnbio porcentual en la cantidad de demanda que resulta, dividido entre el carnbio porcentual en precio: carnbio ~orcentualen cantidad carnbio porcentual en precio Por ejemplo, si para un aurnento de precio de 5% la cantidad de dernanda disminuyera en 2Y0, en terrninos poco rigurosos se diria que la elasticidad de dernanda es -2/5. En terminos mas generales, supongase que p = f ( q ) es la funcion de demanda para un producto. Los consurnidores demandarian q unidades a un precio de f ( q ) por unidad, y demandarian q + h unidades a un precio de f ( q + h ) por unidad (Figura 14.13). El carnbio porcentual en la cantidad de demanda de q a q + h es ('
+
h, 4
. 100 =
h- . 100.El carnbio porcentual correspondiente en el precio por 4
* R.W. Stacy y cols., Essenliuls of Biological und Medicul Physics (Nueva York: McGraw-Hill Book Company, "35).
t R.W. Poole, An Introduction to Quunlitulive Ecology (Nueva York: McGraw-Hill Book Company, 1974).
14.4
Elosticidod de demondo
unidad es f(q
+
h,
-
f(4)
!lq'
. 100. El cosiente de estos cambios porcentualei ei
Si f es diferenciable, entonces cuando h -- 0 el limite de [ f ( q dp/dq. Por lo tanto, el limite de ( 1) es
+ h ) - , f ( q ) ] / hes f
' ( 4 )=
que se denomina elasticidad plrt~ro(c7 pi,t~i!ra!'~
S i p = f ( q )es una funcion de demanda diferenciable, la elasticidad punto de demanda, denotada por la letra griega 7 (eta), en (q, p) esra dada por
Para ilustrar lo anterior enseguida se determina la elasticidad punto de demanda para la funcibn de demanda p = 1200 - q'.
Por ejemplo, si q = 10, entonces 17 = -[(600i10L) - $ 1 = -5 4. Esto significa que si se aumentara el precio en 1% cuando q = 10, la cantidad de demanda disminuiria en aprosimadarnente 5; '3%. De mod0 analogo, aumentar el precio en +% da como resultado una disminucion en la denianda de aproximadanlente 2.75%. Observese quc cuando se evalua la elasticidad no se asignan unidades, pues no es otra cosa que un numero real. Para el comportamiento normal de la d-emanda un aumento ( o disminucion) en 10s precios corresponde a una disminucion (o un aumento) en la cantidad. Por consiguiente, dp/dq siempre sera negati\.a o bien 0, y 17 (cuando este definida) sera siempre negativa o bien 0. Algunos economistas no toman en consideracion el signo menos; en la situation anterior considerarian que la elasticidad es 5 i . No se adopta aqui esta practica. Existen tres categorias de elasticidad: 1. Cuando
IoJ >
2. Cuando
Irl (
3. Cuando
III( < 1, la demanda es ineldstica.
=
1. la demanda es elasrica.
1, la demanda tiene elasticidad uniraria.
En la Ecuacion (2), puesto que lV( = 5d cuando q = 10, la demanda es elastica. Si q = 20, entonces Irll = 1-[(600/202) - $111 = 1, de forma que la demanda tiene elasti= I -$/ y la demanda es inelastica. cidad unitaria. Si q = 25, entonces Hablando de nueva cuenta en terminos poco rigu:osos, para un determinado cambio porcentual en el precio existe un mayor cambio porcentual en la cantidad de demanda si la denianda es elastica, un nienor cambio porcentual si la demanda es inelastica y un cambio pol-cent~~al equivalente si la demanda tiene elasticidad unitaria. EJEMPLO 1
Defennina~.la elasticidad punro de 10s siguienfes ecllaciones de cle~nandapara q a.
p =
k -
9
en donde k
> 0.
> 0.
" k
Consecuentemente, la denianda tiene elasticidad unitaria para toda q > 0. La grhfica de p = k / q se denornina hiperbola equilareral y con frecuencia se encuentra en textos de Economia en analisis relacionados con la elasticidad. Vease en la Figura 13.11 una grafica de una curva de este tipo.
14.4
553
Elosticidod de demondo
Esta ecuacion define implicitamente a p como funcion de q . De la Seccion 14.3,
"
$- -1
Por lo tanto, d p / d q
=
3' C~P
1 ( 2 -~40) Y
Por ejemplo, s i p = 15. enIon:s> nlanda es elastics.
r;
=
25: por ello q
La elasticidad punto para c:;; :;.cci~n pongase que la ecuacion es ;is Is '?::::A
VPase la Figura 14.14. Se supone qus q > demanda es
ili. demanda
11:
7)
[Is(-10)]/25
=
-6 y la dc-
liner11es muy interesaiitc. SLI-
ali quc p < b. La elasticidad punto de
Considerando dq/dp, se demuestra enseguida que Por la regla del cocients,
1
=
r
t s una funcion decreciente de p.
> 1 , elasrico i 77 /
=
1, elosticidod unltorlo
9
Dado que b > 0 y ( p - 6)' > 0, entonces (117 clE, < 0, de modo que, es una funcion decreciente de p; al aumentar p , q debe disminuir. Sin embargo. p varia entre 0 v h, y el Dunto medio de este interval0 es b;2,
En consecuencia. si p < b/Z, entonces 77 > - I ; si p > 6/2, entonces y < - 1 . Como se debe tener 7 5 0 pueden plantearse estos datob de otra forrna. Cuando p < b / 2 , 177) < I y la dernanda es inelbtica; cuando p = b / 2 , (71 = 1 y la demanda tiene elasticidad unitaria; cuando p > b/2, (71> 1 y la demanda es elastica. Esto prueba que la pendiente de una curva de demanda no es una medida de elasticidad. La pendiente de la recta en la Figura I ? . 14 es t n en todas partes pero la elasticidad varia con el punto de la recta. \.ol\iendo a una situation d~ferente.qe puede relacionar la forrna en la que la elasticidad de la demanda afecta 10s cambios en 10, ingresos (ingresos rnarginales). S i p = f ( 4 )es la funcion de demanda de un fabricante, 10s ingresos totales r estan dados por
" = yy. Para hallar el ingreso marginal dr/dq se difercncia r utilizando la regla del producto.
Factorizando el lado derecho de la Ecuacion (3), se tiene
Pero
Entonces
1 Si la demanda es elastica, entonces y < - I y 1 - > 0. Si la dernanda es inelastica, r) 1 entonces 77 > -1 y 1 + - < 0. Supongase q u e p > 0. De la Ecuaci6n (4) puede concluir-
+
7)
se que dr/dq > 0 en 10s intervalos para 10s cuales la demanda es elastica; por consiguiente, 10s ingresos totales r son crecientes en ese intervalo. Por otro lado, 10s ingresos marginales son negativos en 10s intervalos para 10s cuales la demanda es inelastica; consecuentemente, 10s ingresos totales son decrecientes en esos intervalos. De manera que, se concluye de la argumentacibn anterior, que conforme se venden mas unidades 10s ingresos totales de un fabricante crecen si la demanda es elastica pero decrecen si es inelastica. Es decir, si la demanda es elastica, un menor precio aurnentara 10s ingresos. Esto significa que un precio menor ocasionara un incrementn en la demanda lo suficientemente grande para aumentar en realidad 10s ingresos. Si la dernanda es inelastica, un precio menor abatira 10s ingresos. Para la elasticidad unitaria un precio rnenor no ocasiona cambios en 10s ingresos totales.
El7 10s Proble1~7as1-14, calcule la elasticidad punro de /as ec~iacionesde de~nandapara 10s valores que se .seiialrrn de q o p, y delertnine si la delnanda es elasis.rica, inelasrica o si se trata de elasricidad unitaria.
15. Para la ecuacion de demanda lineal p = 13 0.05q, verifique que la demanda es elastica cuando p = 10, inelastica cuandop = 3 , y de elasticidad unitaria cuando p = 6.50. 16. iPara quC valor (o valores) de q tienen elasticidad unitaria las siguientes ecuaciones de demanda? a. p = 26 - 0.10q. b.
17.
j'
=
1200 - q2.
La ecuacion de demanda para un producto es
en donde p es el precio por unidad (en dolares) y q es la cantidad de unidades que se demandan (en miIlares). Evallie la elasticidad punto de demanda cuando p = 15. Si se aumenta este precio de 15 en 1 Yo, jcual es el cambio aproximado en la demanda? 18.
La ecuacion de demanda de un producto es q =
ViKq?.
Encontrar la elasticidad punto de demanda cuando p = 30. Si disrninuye el precio de 30 en $ %, jcual es el carnbio aproximado en la demanda?
-
19. Para la ecuacion de demanda p = 500 - 2q, verifique que la demanda es elastica y qbe 10s ingresos totales son crecientes para 0 < q < 125. Compruebe que la demanda es inelastica y que 10s ingresos totales son decrecientes para 125 < q < 250.
14.5 Repaso TEUMINOLOG~AY S~MDOLOS
Seccion 14.1
tamafio economico de lotc
Seccion 14.2
Metodo de Newton
21.
Repita el Problema 20 para p
1000
=
q'
+
22. S e a p = mq b una ecuacion de demanda lineal, en donde m f 0 y b > 0 . a.
Demuestre que lim q
= -a.
,"h
b.
Pruebe que q
=
0 cuando p
=
0.
23. Dada la ecuacion de demandap = 1000 - q 2 , en donde 5 s q s 30, ipara quC valor de q es I?) un m h i m o ? . ;Para que valor es minimo? 24.
Repita el PrOblerna 23 para p que q 95.
=
200/(q + 5 ,
Seccion 14.4
ela
RESUMEN L n u n jvntido pl.actico la 1~1a)orlitilidad del Calsulo es que permite niaximira~.o mininlizar- canlidadti. Por cjeniplo, en el dl-ea de Economia se pueden maximizar utilidades o mininiirar costos. ,4lpunaq relaciones iniporr;tnre. que se emplean en problemas economicos son: costo promedio por unidad =
costo total cantidad
'
Metodo d e Newton es el nombre qu: se d a a la formula siguiente, la cual se usa para aproximar las raices de ia ecuacion f ( s ) = 0, suponiendo que es diferenciable:
S I >.
=
,I(.\-)c\ una funcion diferenciable d e s,se define la diferencial (I?/ niecliante dy = f r ( r )dx,
en donde dx ( o A\-)es Lln cambio en x y puede ser cualquicr nilmero real. Si d . esta ~ sercana a cero, entonets dy es una aproximacion a A!, un cambio en y:
Adernas, puede utilizarse r1.v para estimar el valor de una funcion. Se emplea la relacion
Aqui, f (x + dx) es el valor que se desea estimar; se eligen x y dx para q u e sea facil calcular f ( x ) d e manera que d , ~sea pequetia. Si una ecuacion define a y como funcion de x, entonces la derivada de .u con respecto a y esta dada por dr
.
dy
df -
- = -
dyIdr#O.
dx
La elasticidad punto de denianda es un numero que mide la forma en que los cambios en los precios afecran la dernanda de los consumidores. Esta dada por ~ ' 9
7 7 = - dpldq ' en dondr p es el precio por unidad al cual se tiene una demanda d e q unidades. Las tres categorias de elasticidad \on: (TI 1 1. la demanda es elastics
1 1=I 1 ~ <1 1 ,
la dernanda es de elasticidad unitaria la dernanda es inelas~ica.
14.5
557
Reposo
E \ p ~ c \ a n d oen terminos simples para un detertninado cambio porcenrual en el precio euiste un mayor catrrbio por.centu;~len la cantidad de dernanda si isla es elastics. un menor cambio porcentual si es inel6stic.a y un igual cambio porccntual si la demanda tienc elasticidad unitaria.
PRODLEMAS DE REPASO 1. Un fabricante deterrnina que m ernpleados de cierta linea de produccion fabricaran unidades por rnes, en donde q = 80m' - 0.1~1'. Para lograr la maxima produccion rnensual, jcuant os ernpleados se deben asignar a la linea de produccion? 2. La funcion de dernanda para el producto de un , = 1 0 0 e - ~ . ' ~para . que fabricante esta dada por : valor de q se rnaxirnizan 10s ingresos totales del fabricante?
3. La funcion de dernanda -- para el producto de En rnonopolista es p 1'600 - y . Si desea fabricar cuando rnenos 100 unidades per0 no mas de 300, ~ c u a n t a unidades s debe producir para rnaxirnizar 10s ingresos totales?
-
4. Si c = 0.01g2 + 59 + 100 es una funcion de costo, halle la funcion de costo prornedio. ;A q u i nivel de produccion g se dan 10s costos prornedios rninirnos?
5. La funcion de dernanda para el producto de un monopolista es p = 400 - 2q y el costo promedio For unidad en la elaboracion de q unidades es ;= g + 160 + (2000/g), en donde p y ? estan dados en dolares por unidad. Obtenga las utilidades rnasimas que puede lograr el rnonopolista. 6 . Se debe fabricar una caja rectangular rsxrrando cuadrados iguales en cada una de las esquinas de m a hoja de cartulina de 10 x 16 plg para despues doblar hacia arriba 10s lados. iCual debe ser la long:ud del lado del cuadrado que se recorre para maxirnizar el volurnen de la caja? Se va a encerrar con una cerca un rerreno rec:angular y se le va a dividir en tres partes iguales medianre dos cercas paralelas a un par de lados. Si se \ a a utilizar un total de 800 pie de cerca, evalue las h e n s i o n e s del terreno si se desea rnaxirnizar su area. 7.
8. Un anuncio rectangular con area de 500 plg' \ a a rener un rnargen de 4 plg en cada lado y en la Farre de abajo y un rnargen de 6 plg en la parte supe-2r. La porcion restante del anuncio es para material :_:?rsso. Calcule las dirnensiones del anuncio de rnarera que se rnaxiinice el area del material irnpreso. 9
Fn
11n
I ~ h n r ~ t n r ap i n a n l i r a irn a o p n t p a n t i h a r .
teriano experimental a una poblacion de 100 bacter i a ~ Los . datos sefialan que el nurnero N d e bacterias r horas despuCs de introducido el agente esta dado por
+ 120t + 100t' .141 + t' para que valor de t se presenta el nurnero rnaxirno de bacterias en la poblacion? jCual es dicho nurnero rnasimo? A1
=
14,400
10. La ecuacion r3- 2.v - 2 = 0 tiene una raiz enr1.e I > 3. Ltilice el mitodo de Newton para estimar la raiz. Concinut el procedimiento de aproximacion has13 qur la diierencia enrre dos aproximaciones sucesi\ a \ iss rnsnor de 0.0001. Redondee la respuesta a 2ua:ro citrar driimales.
Ell 1 0 5 ProPlrtt!o_c1 1 .! 12, detertriit7r 10s clifc~t.i~t~ciales dt. la-. ili17ciotiei et7 r4r,i;itlo.c cle .Y ?' c1.v. 11.
~I,II
- 51.
= x-
12, ~ . ( . I Y ) =
!~I.Y
.I? .
t 5 -
7
13. La rernperarura Fahrenheit F y la Celsius C esran relacionadas por F = :C + 32. Utilizando diferenciales, calcule cuanto carnbiaria F debido a un carnbio de .$= en C. 14. Si p = g 2 + 89, utilice diferenciales para estimar Ap si g cambia de 4 a 4.02.
En 10s Probletnas 15 y 16, aproximar las expresiones urilizando diferenciales. 16. V m .
15. e-OU1.
17. Si .u = 4 ~ + ' 7 ~ -. 3. halle dy/dx.
Pnru Ins ec~rucionesde detnanda en los Probletiras 18-20, determinesi la detrlunda es elusticu, inelcisrico o cot1 elasricidad unitariapcrru el valet. it~diccrclorle q. lg. I,
=
500
-; Y
19. 11 = 900
=
-
q';
20,1,
q
-
2 O . p = 18 - 0.024; q
10. =
600.
cnpiruro
15
Integration
Los Capitulos 1 1 a 14 se ocuparon del Calculo Diferenc~al.Se diferencio una funcion se obtuvo otra, su derivada. El Calculo Integral se refiere al proceso inverso. Se da la derivada de una funcion y se debe encontrar la funcion original. La necesidad de hacer esto surge de manera natural. Por ejemplo, se puede tener uila funcion de ingresos marginales y desear obtener la funcion de ingresos a partir de ella. El Calculo Integral implica tambien un concept0 de limite que permite obtener el limite de una clase especial de suma cuando el numero de terminos de la misma se vuelve infinite. iEsta es la capacidad real del Calculo lntegral! Con esta nocion puede calcularse el area de una region que no es posible obtener mediante ningun otro metodo conveniente.
15.1 La integral indefinida
-
Dada una funcion f , si F es una funcion tal que
F r( x )
= j.(.x),
(1)
entonces a F se le denomina antiderivada de f . Por ello, una antiderivada de f es simplemente una funcion cuya derivada es f . Multiplicand0 ambos lados de la Ecuacion (1) por la diferencial d x se obtiene F' ( x ) d x = f ( x ) dx. Sin embargo, como F' (x)d x es la diferencial de F se tiene que dF = f ( x ) dx. De mod0 que, se puede considerar a una antiderivada de f como una funcion cuya diferencial es f (XI dx. DEFINI~ION
Una antiderivada de una funcidn- f cs una funcidn F tal que F1(x) = f i x ) ,
o, de manera equivalente, en notacidn de diferenciales, dF
=
f ( x ) dx.
15.1
559
Lo integral indefinido
Por ejemplo, debido a que la derivada de x' es 2x, s' es una antideri\ada de 2s. Sin embargo, no es la unica antiderivada de 2x. Puesto que
+
1 como x 2 - 5 son tambikn antiderivadas de 2x. Se puede probar que cualquier antiderivada de 2x debe tener la forma x 2 C, en donde C es una constante. En consecuencia, cuulesq~rierados antiderivadas de 2x difieren solo en unu constante
tanto x 2
+
La mas general antideri\.ada de 2x se denota por
I
2x d.x, que se lee "integrul
indefinida de 2x con respecto a .I-". Ya que todas las antiderivadas 'de 2x tienen la forma x' C, se escribe
+
A1 rimbolo
/
se le denomina sirnbolo de integral. 2x es el integrando y C es la constan-
te de integracion. La d - es ~ parte de la notacion de integral y sefiala la variable implicada. Aqui x es la variable de integracion. En tkrminos mas generales, la integral indefinida de cualquier funcion f con respecto a x se escribe J+i.r,d r y denota una antiderivada arbitraria de f. Se puede demostrar que todas las antiderivadas de f difieren solo en una constante. Por lo tanto, si F es cualquier antideri\-ada de f , entonces
jfnl
dr
=
Fl-vl
Integrar f significa determinar
+
C.
en donde C es una constante.
J)l.r., ci.r En resumen,
I f'(.r)t i t - = F1.1-I
-C
si y solo si
F'l.,
,=
jj.1-1.
EJEMPLO 1
En primer lugar, se debe hallar (una palabra mejor seria "adivinar") una funcion cuya derivada es 5 . Dado que la derivada de 5.1-ts i. 5.1.55 una antiderivada de 5 . Por con,iguiente, siguiente,
I
5 d.1- = 5.v - C.
ADVERTENCIA Es incorrect0 escribir
5 dx
=
N o debe olvidarse la constante de integracion.
5.r
Utilizando las formulas de diferenciacion de 10s Capitulos 11 y 12, se ha formado una lista de formulas basicas de integracion que se presenta en la Tabla 15.1. Es facil verificar estas formulas. Por ejemplo, la Formula 2 es cierta porque la derivada de xli - ' / ( N + 1) es x" para n # -1. Se debe tener n # - 1 porque el denominador es 0 cuando -1.
11 =
La Formula 2 establece que la integral indefinida de una potencia de x (exceptuando s - l ) se obtiene incrementando el exponente de x en uno, dividiendo entre el nuevo exponente y sumando la constante de integracion. El caso de x-' se analiza en la Seccion 15 .?. TADLA 15.1 Formulas basicas de integracion
I
1
kh
=
4r
+
C.
,i -
l
I es una constante
+ c,
17 #
-1.
d.x, k es una constante
Para comprobar la formula 4 debe demostrarse que la derivada de k
I
Como la dericada dc k ,f(x) dx es k veces la derivada de
I
I
f ( x ) d.r es k j ( x ) .
,f'(x)(IY,la cual es fix),
se verifica la citada Formula4. El lector debe comprobar las otras formulas. La Formula 5 puede ser extendida a cualquier n~imerode sumas o diferencias.
EJEMPLO 2 Evaluar las siguientes integrales indefinidas.
a.
jI
'1-r.
Por la Formula 1 con k
A menudo, se escribe b.
1x5
=
1,
I
1 dx como
I
dr.
Mediante la Formula 2 , con n
=
5,
dx. Consecuentemente
I
dx
=
x
+
C.
15.1
La integral indefinida
EJEMPLO 3
E\valuar- /as siguientes integrales indefinidas.
Mediante la Formula 4 con k = 7 y f ( x ) = x ,
I
I
7.x dx = 7 x dx.
En virtud de que x es x ' , por la Formula 2, se tiene
en donde C , es la constante de integracion. Por lo tanto,
Como 7 C , es solo una comtante arblrrdr:3. por sencillez, se rccrnplaza la constante 7C, por C. De rnodo qur
-
f
No es necesario escribir todas las etapas inrermedias cuando se integra. En forma mas simple, se escribe
3
= --e'
5
+
C
(Formula 3).
So10 un factor constante del integrando Puede "saltar" enfrente de un signo de integral. Como x no es una constante
EJEMPLO 4
dx
=
(7x)(x + C )
=
7.r'
+
7C.r
Aqui t es la variabIe de integracion. Se reescribe el integrando para que se puedi utilizar una formula basica. Debido a que llV? = t - l i Z . aplicaado la Formula 2 re sulta
I
- dt =
t ( - 1,2)+ 1
I
t - '12 dt =
-3
+
1
1 I2
+ C = T + C = 2 q t + $ . T
EJEMPLO 5
Determinar las siguientes integrales indefinidas. a.
J (x' + 2x1 dx. Mediante la Formula 5,
I
(x'
Ahora,
+ 2x) dx
=
Por elIo,
ReempIazando C ,
+
C, por C, se tiene
Omitiendo las etapas intermedias, simplemente se escribe
15.1
I
La integral indefinida
En ocasiones, para aplicar las formulas basicas de integration es necesario, en primer lugar, llevar a cab0 algunas manipulaciones algebraicas sobre el integrando, como se muestra en el Ejcmplo 6. EJEMPLO 6
Hallar las siguientes integrales indefinidas.
I
Multiplicando el integrando, se obtiene
Factorizando iy multiplicando 10s binomios, se produce
En el Ejemplo 6(a) primero se multiplicaron 10s factores del in!egrando. Es neccsario seiialar q u s
En terminos mas generales,
EJERClClOS 15.1 0 1
10s ProDleinas 1-50,evulde las integrules indefiiiidus.
35.
IT I($
40.
I(+; &)
33.
5. 5
3 .
d~-.
-
5 )d
6.
I$
14.
/ (7
19.
j(4 $') -
(1.r .
-
5
dr.
t 1) du.
dz.
-
Zu. - 2ii.') dn.
15. j(3f2 - 4f - 5 ) df.
17. I ( 7 + r l d . ~ .
2;
-
dr.
r
I
IS. ( 5 20.
-
2
f($
')
dr.
- t.L-4)
d.r.
42.
!
4!.
IV<(x
48.
/
r"x3 t 3.r' i- 7 ) d,r.
+
[6ru - u
3 ) ~1.r.
+
f
44. (z
I)] d u .
+
212 dz.
15.2
I
565
Inteqrocion con condiciones inicioles
-1 5.2 lntegracion con condiciones iniciales Si se conoce la tasa de variacion f ' de la funcion-f, entonces la propia funcion f es la antiderivada d e f '. Por supuesto, existen muchas antiderivadas d e f ', y a la mas general de ellas se le denota mediante la integral indefinida. P o r ejemplo, si t"(.t-)= Lt-. entonces
Es dec.ir, la derivada de cualqlriel- iuncion de la forma .Ax) = x2 + C es igual a 3 s . Obsdrvese que no se conoce.f(.\-J t>pssifisamente, debido a la constante q e integracion. Sin embargo, si f debe tomar un dsrtrminado valor de la funcion para un valor especifico de x , entonces se puede determinar sl \alor de C, y por lo mismo puede-determinarse f(s)especificamente. Por ejemplo. si , i l l ) = 4 , entonces, de la Ec. ( I ) ,
C
=
3.
Por lo tanto
Es decir, ahora se conocs la tuncion e s ~ e c i f i c af ( x ) para la cual,f l ( x ) = 2x y f ( 1 ) = 4. A la condicion . f ( l ) = 4. que le d a un valor a la funcion para un valor especifico iti~cinl( o vulor. en la frorr/era). de .u, se le denomina c~~nci/c.ron EJEMPLO 1
Si .v es urra furicion cie .v rul que ). = 8.u - 4 y y(2) = 5 , encorr/rur y. (Notu: y ( 2 ) 5 significa que J = 5 ilr~tldo.I. = ( 2 ) . Obtener tarnbier! y (4). Aqui, y(2) = 5 es la sondicion inisial. C o m o y '
=
8x - 4 , y e s una antiderivada de 8x - 4.
Puede determinarse el valor de C urilizando la condicion inicial. C o m o y .u = 2, se tiene, d e la Ec. ( 2 ) .
C
Reemplazando C por
-
=
=
5 cuando
-3.
3 en la Es. ( 3 ) se obtiene la funcion que se busca: Y =
Para encontrar y ( 4 ) , se fija .u
=
1s' - 4x
-
3.
(3)
1 en la Ec. ( 3 ) :
y(4) = 4(4)' - 4(4)
-
3
=
=
64 - 16
-
3
=
45.
EJEHPLO 2
Doclo yue
1 ;
= v1 -
6.
d Puesto que y " = --(y') d-r
C o m o .r" (0)
=
(0)
I
-
2,
I
= x2 - 6 , y '
2 significa que .r.'
=
I(])
-
-I.
ohrenery
es u n a antiderivada d e x 2 - 6. P o r consiguiente
2 cuando
.\-
=
(0). d c la Ec.(4) se ticne
De ahi que C , = 2 y
y = -x33
6.x
+
2.v
+ C,.
9.
Por integracion, se puedc evaluar .r::
y =
Ya q u e y
= -1
cuando .v
Por lo tanto, Cz
= - i$
=-
x1 -
12
- 3x1
+
I, de la Ecuacibli (-I) re,ulta
Y
La integracion con condiciones iniciales es util en muchaj aplicaciones, como lo ilustran 10s siguientes ejemplos. EJEMPLO 3
Para un grupo urbano especgico algunos sociologos esrudiaron 10s ingresos anuales promedio en esos momentos, y (en dolares) que una persona puede esperar recibir con x aiios de educacidn antes de buscar empleo regular. Estimaron que la tasa a la cual el ingreso varia con respecto a la educacidn esta dado por
en donde y
=
5872 cuando x = 9. Determinar y.
15.2
Integrocion con condiciones inicioles
E n cste caso, .ll cs una antidcrivada dc 10s'
'. .A\i que
La condicion inicial es que j = 5872 cuando .v Ec. (6) puede determinarse el valor de C:
=
3 . Sustituyendo estos i alores en la
= 4(2431 - C.
5872 = 972
-
C.
Por lo tanto, C = 4900 y J-
= 4.r5:
-
4900,
EJEMPLO 4
Si la funcion de ingreso rnarginal para el producro de un fabricante es
hallar la funcion de demanda. Como dr/clq es la derivada de 10s ingresos totales r,
Se supone que cllutido uo re ~-e~lcle tiingunu unidud soti ce1.o; es decir,
1.
=
0 cuando
q = 0. Esta es la conilic~oniniiial. Sustituycndo estos valores en la Ecuacion (7) da
0 = 2000(0)
-
10(0)~- 0"
c.
Consecuentemente C = 0 5 r = 2000q - 1oy2 - q3
Para determinar la funcion de demanda se utiliza este resultado junto con la relacion general de que r = pq, en donde p es el precio por unidad. Despejando p en r = pq y sustituyendo r, se obtiene la funcion de demanda:
EJEMPLO 5
En la fabricacion de un producto 10s costos fijos por semana son $4000. Los costos fijos son costos como renta y seguros que permanecen constantes con cualquier nivel de produccion en un periodo dado. Si la funcion de costos marginales dc/dq es
en donde c es el costo total (en dolares) de fabricar q Iibras de un producto por semana, calcular el costo de fabricar 10,000 libras en una semana. Debido a que dc/dq es la derivada del costo total c ,
Los costos fijos son constantes sin importar el nivel de pr-oduccion. Por lo tanto, cuando = 0, c = 4000, que es la coridicion inicial. Por sustitu~ionse encuentra que c = 4000, por lo que
q
De la Ecuacion (8) cuando q = 10,000, c = 54162 libras del producto en una semana es $5416.67.
El co5to total de fabricar 10,000
2.
En 10s Problemas 1 y 2 evaluar y, sujeta a 10s condiciones d a d a . ~
1. d,I&
= 3x - 4 ;
y ( - 1) =
9.
2. dyldx
x2
-
x:
~ ( 3= ) 4.
E n 10s Proble177as3 y 4 si y satisjbce /as condicione~dadus, e ~ ~ u l ~~! a( rspara ) cl valor d a d o de s
3. y' = 4 / G , y(4) = 10; x = 9.
4, y' = -.r2
+
2x, v(2) = I; x = 1.
En 10s PI-nblemas 5-8 evalue y segutl 10s concliciones dadrls. 5. y" = - x z
-
21; y ' ( l )
-
0, y ( l )
=
6. y" = .r t 1; y ' ( 0 ) = 0, y(0) = 5 .
1.
7. y " ' = 2x; y " ( - I ) = 3 , y ' ( 3 ) = 10,,(0) = 2 .
8. y " ' =
ex t
1 ; y"(0) = l , y ' ( O ) = 2 , y ( 0 ) = 3 .
E n 10s Probletilus 9-1 2, d r / e q es unu funcion de ingreso 117ur~ginal. OOrengn la Jitncion cle (Ielerr~ar~cla
10. drldq
9. drldq = 0.7. 11. drldq = 275
-
q
-
0.3qZ.
= 15
-
Aq.
12. d r l d q = 10,000
-
2(2q t y').
15.3
569
Mas formulos de integrocion
En 10s Proble~rias13-16 &/dy es L I ~ jUu t ~ c . ~ dde t l c,oslo / l l r / / . g t t l ~ l105 ) ' L.OS/(IJ f i o ~se t~rlresrronenrre lloves. Para 10s Problet~los13 .v 14 , de~ert)tinan/[I .f~~/ic.idn cle ~,osfo ~ o t o l .Pr,,o lo3 Prohle117rts 15 )' 16 calc~~rle el costo rota1 para el valor que se setialu de q.
13. dcldq = 1.35; {200}. 14. dcldq
=
2q
+
15. dcldq
=
0 . 0 9 ~-~ 1.2q
+
4.5;
(7700): q = 10.
50; {1000}.
del cuerpo, puede considerarse que el tubo consiste en tubos concentricos de radio r , en donde 0 5 r 5 R. La velocidad ~ d e fluido l es funcion de r y esta dada por $
17. Un grupo de biblogos estudio 10s efectos nutricionales observados en ratas a las que se aliment6 con una dieta que contenia el 10% de proteinas.* La proteina estaba formada por yema de huevo y harina de maiz. Durante cierto tiempo el grupo descubrio que la tasa de cambio (aproximada) en el aumento promedio en peso G (en gramos) de una rata con respecto a1 porcentaje P de yema que contenia la mezcla de proteinas es
Si G
=
en donde P, y P , son las presiones en 10s extremos del tubo, 7 (la letra griega "eta") es la viscosidad del fluido y I es la longitud del tubo. Si v = 0 cuando r = R, demuestre que
38 cuando P = 10, eval6e G .
18. En Nueva Escocia se hizo un estudio acerca de la polilla de invierno.? Las preninfas de la polilla caen a1 suelo desprendiendose de 10s arboles anfitriones. Se descubri6 que la tasa (aproximada) a la cual cambia la densidad y de las preninfas (numero de preninfas por pie cuadrado de terrrno), con respecto a la distancia x (en pies) de la base de los arboles anfitriones es
El fabricante unico de un producto ha determinado que la funcion de ingreso marginal es dr/dq = 100 - 34:. Calcule la elasticidad punto de la demand a para el producto cuando q = 5. (Sugerencia: HaIle primer0 la funcion de demanda.)
$0.
Un fabricante ha decidido que la funcion de costo marginal es dc/dq = 0 . 0 0 3 ~ ' - 0.44 + 40, en donde es el n6merb de unidades que se fabrican. Si el costo marginal es $27.50 cuando q = 50 y 10s costos fijos son $5000, jcual es el costo promedio de elaborar 100 unidades? 2 1.
Si y
= 57.3
cuando x
=
q
1, determine y.
19. En el estudiodel flujoen un tubo deradio cons[ante R, como el de la sangre en algunas porciones
15.3 Mas f6rmulos d e integroci6n La formula 11
x n dx =
'l
- + C, s i n n + l
# -1,
q u e se aplica a u n a potencia d e x , puede generalizarse p a r a manejar la potencia d e una daptado de R. Bressani, "The Use of Yeast in Hxman Foods", in Single-Cell Protein, ed. R.I. Mateles y 5 . R Tannenbaurn (Cambridge,Mass.: MIT Fress, 1968). daprado de D.G. Embree, "The Population D..-&nicr of rhe winter 'Llorh in Nova Scotia, 1954-
:%2". .tferoin 0.f :he En:omological Socier? of Canada,
--
i R.W. Stacy y cols., Essentials of Bloloprcal MedicalPhysics (Nueva York: 3lcGrau-Hill. 1955). nurn. 46 (1965).
dni?
funcion de x. Sea u una funcion diferenciable de s. Por la regla de la potencia para la diferenciacion si n # - 1 entonces
Asi,
A esta se le denomina regla d e la yorencia parn la integracion. Dado que u ' (x) d x es la diferencial de u , es decir du. Para abreviar se reemplaza u(x) por u y u'(x) d x p o r du:
Regla d e la potencia para la integracion Si u es diferenciable, entonces un+'
U1l
d u = -+ C , n + 1
sin#-1.
-
Es esencial darse cuenta de la diferencia que existe entre la regla de la potencia para
I
la integracion y la formula para /.xn dr funcion, mientras que en
I
En la regla de la potencia, e representa una
xn d . ~ , es una variable.
EJEMPLO 1 Utilizar la regla d e la polencia p a r a la inlegracion p a r a obtener las siguienles.
E n virtud d e que el integrando es una potencia de la funcicin .u i- +
I . Entonrer, d u = d x y
I
+
1 , se fija
11 =
(x + 1)'O d x tiene la forma Irr2" du. Por la regla de
la potencia para la integracion,
Notese que se da la respuesta n o en tkrminos de u sino que se proporciona explicitamente en tkrminos de x.
Sea u = x 3 + 7. Entonces d u = 3 x 2 dx. Por fortuna, 3x2 aparece como factor el integrando y se le puede utilizar como parte d e du.
eIi
15.3
Mas formulos de integrocion
= u4- + c = (x" 4
7)4
4
+c
EJEMPLO 2
EvaYe
1
x
d
G d-r.
Se pocde escribir csto corno.
/
I
v
-
-
I . O b r c ~i c w q ~ i cel iillcgrnlldo c o l l l i c ~ ~ c
una potencia de la f ~ ~ n c i o.\-I n - 5 . K i 11 = .\.' + 5 . clllonccs ( 1 / ~ ~- 2.1- (1.1 Ya que el factor constante 2 de du no aparece en el integrando, esta integral no tiene
la forma r u n du. Sin embargo. re le puede expresar en esta forma primer0 multiplicando y dividiendo el integrando por 2 . Esto no cambia su valor. En consecuencia,
Pasando el factor constante
i enirenre
del signo de integral, se tiene
Volviendo a x , resulra
En el Ejemplo 2 se nesesito colocar el factor 2 en el integrando. En la Ecuacion ( I ) se insert6 y en forma simultanea se multiplico la integral por . En terminos mas generales, si c es una constante diferente de cero, entonces
En efecto, se puede multiplicar el integrando por una constante c distinto de cero, siempre y cuando se compense esto multiplicando la totalidad de la integral por I l c . Esta manipulation no puede hacerse con factores variables. ADVERTENCIA
Cuando se utiliza la forma
( u n du, no re debe despreciar du. Por ejemplo
J
(4.r
+ 3
1) '
+ C.
La Sorma apropiada de resolver este problema es c o m o sigue. lgualando d ~ i= 4 dx. ?or lo tanto,
11 =
4.1.
+
1. se tiene
EJEMPLO 3
Determinar las siguientes integrales indefinidas.
El integrando es (6y)If3.Intentese utilizar la regla de la potsncia para la integracion. Si se fija u = 6y, entonces du = 6 dy. Puesto que el factor 6 no aparece en el integrando, se inserta un factor 6 y se le ajusta con un factor de I 6 enfrente de la integral.
I
[xxi + 3x2 + 7)-a(2s'
+
3x'
Se puede escribir esto como
-
+
3x) dx. Tratese de aplicar
la regla de la potencia para la integracion. Si u = .r' + 3x2 + 7 , cntonces du = (4x3 + 6x) dx, que es dos veces la cantidad (2x3 + 3s) d,u de la integral. Por consiguiente, se inserta un factor de 2 y se le ajusta con un factor de % enfrente de la integral.
/(x4
+
7 ) - ' i 2 ~ ' + 3.1.) dx
=
ij(,y4+
3 ~ '+ 7)-'[2(2,~' + 3x1 d r ]
=
1 -j(x4 2
3r2
2
+
+ 7)-'~(4r' + 6x) d r ]
Cuando se utiliza la regla de la potencia para integracion se debe tener cuidado a1 decidir quC u utilizar. En el Ejemplo 3(b) no habria sido posible llegar muy lejos si, por ejemplo, se hubiera fijado u = 2x3 + 3x. En ocasiones puede que sea necesario
573
Mos formulos de integrocion
15.3
intentar muchas alternativas distintas. De mod0 que no se debe contemplar solo la integral, sino intentar algo, aunque sea erroneo, porque ello podra arrojar alguna luz sobre lo que si podria funcionar. La habilidad en la integracion solo se produce despues de muchas horas de practica y de estudio concienzudo. EJEMPLO 4 Evaluar
i
4x2(x4
+
+
dx.
Si se fija u = x 4 + 1 , entonces du = 4x3 dx. Para calocar du en la integral se requiere un factor adicional de la variable x. Sin embargo, solo se pueden hacer ajustes para factores constantes. Consecuentemente, es posible emplear la regla de la potencia. Para hallar la integral en primer lugar se expande ( x 4 +
Se vuelve ahora la atencion a la integracion de funciones exponenciales. Si una funcion diferenciable de x , entonces
11
e5
l a integracicin a esta formula de diferenciacion le corresponde la siguiente f o r ~ ~ i u de
du Pero - dx es el diferencial de u , es decir du. Por ello, dx
i
e" du
=
e"
+
C.
(2)
EJEMPLO 5 Obtener las siguientes integrales.
a.
1
2.verl lh.
Sea u
= x2.
Entonces du
=
2x dx y por la Ecuacion ( 2 ) ,
/2xer2 d.r
=
i
et'[2x dx]
=
i
e" du
Si u = x 3 + 3x, entonces du = (3x" 3) dx = 3(x2 + 1) dx. Si en el integrando hubiera un factor 3, la integral tendria la forma Se" du. En consecuencia, se escribe
ADVERTENCIA No se debe aplicar la formula de la regla de la potencia para -l
+
\ - I
e" did. Por ejemplo,
C.
Como re sabe, en la formula de la regla de la potenciaj a'' se supone que n # -1. Para evaluar cordar que
I du Idx J ci.r
Iu'
du =
iiil =
'
n
+
1)
+
C
,/!du, en primer lugar se debe re11
du = In u + C. Sin embargo, el logaritmo de u estd u definido si y solo si, u es positivo. Si u < 0, entonces In u no esta definido. Asi,
Pareceria que
1:
du
-u
> 0 y In(-u)
=
In u
-
+
C siempre y cuando u
!/
du = In u
U
casos, se tiene
> 0.
Por otro lado, si u
< 0,
entonces
esta definido. Ademas,
En este caso (u < 0). ces
=
1,
+
II
dlr
- dx = u d.x
C; si u
11
u
du = In(-u)
< 0, entonces
It
-
du
+ C. En resumen, si u > 0, enton=
In(-u)
+ C. Combinando estos
15.3
Mas formulos de integrocion
En particular, si u
=
x, entonces du
=
dx y
EJEMPLO 6 Evaluar /as siguienres inregi.ules.
a.
17 ilr. .I-
De la Ecuacion (4),
=
7j;ci.r = 7 ln 1.r
+c
Utilizando las propiedades dc 10s logaritmos, se puede escribir esta respuesta de otra forma: - (1.r = In i.1-71 + C. - .r
1
Sea u
=
x2
+
5. Entonccs du = I v d . ~ De . la Ecuacion (3),
Dado que .u' + 5 siemprc. ;;.-?.:::-, . absoluto
2.
.L
-u?i?n i.i?,irir la. ba~-rri\q u e \tilaIan el \slot-
EJEMPLO 7 Evaluc~r/as siguien res rtlle?r~~:'t.\
+ 3.u' + 7, ent0n~i.tc:'ii = [ i x " + 6x.) (I.\., q u c c4 C I O ~ \ C C C \ CI nurneraclol-. Para aplicar la Ec.(3) se inbcrra u n ~ ' a c l o rd e 2 y sc le aju\r:r con iln I'actol. d c l/z.
Si u = x'
En la ultima linea la primera integral tiene la forma forma
I:
J
u-=du, y la segunda tiene la
- dv. Por lo tanto
Para conveniencia de 10s lectores se lista en la Tabla 15.2 las formulas basicas de integracion que se han analizado hasta aqui. Se supone q u e u es funcion de x. TABLA 15.2 Formulas basicas de lo integrocion
1.
I
6
IwX)
k du = ku
+ C,
k es u n a constante.
* g(x)l h* = j f ( x ) h* s
h*.
EJERClClOS 15.3 En 10s Probletnas 1-76 evallie /as integrales indefinidas.
1.
3.
1
(..
- 5 1 - dl-.
- 3)' dr.
2. j1qX + 21J h*.
5.
I(b2+
6.
I
( - 12z2
ay)($ -
12z
+ 3y2 +
+
l)%'dy.
I ) ( - 4 z 3 - 6z2
+ z)I8 dz.
15.3
9.
JVTO
Mas formulas de integrocion
dx.
11. J(7-r - 6)4 dx. 13.
1
15.
J
x(x2
+ 3)'* dx.
x4(27
+ r5)"' dr.
lo.
I-Q== dr.
x I- 2
12. J2r2(3x3 + 713 d x .
14. 16.
+ 6x dx.
x'
50. j ( &
-
23.
31.
+
/
(3
1;
54. ( 5
i
dx.
24. !.rde--' dr, 26.
lx" +
2
1
3x2 -
30.
1
1
32.
j&
40.
1
dr.
"
- 1 -x2+x3
( 8 y - 3))
3
36.
+
I ) - ' dr.
8
+
dx.
2x)" dx.
-
1)ef2+'dt.
6e-" dx.
+ e",
j x ~dx. x 53. JX(212
19. i ( 2 t
e-'
-
1-
(
-
)
-
+ 4w)-*
4 d
dn.
h 5 ) ( x 3 - xh)-I" dx.
- 2)e2-4'f'' dv.
56.
(
57.
1 , ~ r +?
.r,(x4
+ x2) dx. fl
dx.
dy .
4x3
7r
-
-
1
dy .
5t2 - 6
jL3
-
2r
dt.
63.
j x f i - dx.~
64. i e - ' 1 4 dx.
65.
iz.
66.
dx
;1
dx.
dx.
1-
1
68. i [ x ( x 2 - 1612 - 2 x + 5 69.
7 71.
h.
J[--I-x 2 + 1 + ( - r h + ]I2 ] dx. x5
[ 11.r
1
-
1
+ (X -1 1)
1
3.r - 5
-
dx.
( X I - 2x5)(x3- .rh)-'"
I
dl.
En 10s Problemas 77-80, determine ysegun las condiciones dadas.
En un estudio de la difusion de oxigeno en vasos capilares,* se utilizaron cilindros conckntricos de radio r como modelo de vaso capilar. La concentracion C de oxigeno en 10s vasos capilares esta dada por 81.
c
=
en donde R es la rapidez constante a la cual el oxigeno se difunde desde el vaso, y K y B , son constantes. Calcule C. (Exprese la constante de integracion corno B, .)
/ ( E + 3 ) dr. 2K
r
15.4 Tecnicas de integracion Ahora que se tiene cierta practica en la determinacion de integrales indefinidas, supongase que se consideran algunos problemas con mayor grado de dificultad. Cuando se integran fracciones se requiere a veces una division preliminar para llegar a formas de integracion mas familiares, como se muestra en el ejemplo siguiente.
EJEMPLO 1
No resulta evidente ninguna f ~ r m afamiliar de integracion. Sin embargo, se puede dividir el integrando en tres fracciones dividiendo cada uno de 10s ttrminos del numerador entre el denominador.
Aqui el integrando es un cociente de pvlinomios en el cual el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, y el denominador tiene mas de un tCrmino. -
A -
* W . Simon, .Marhemarical Techniques for Physiology and Medicine (Nueva York: Academic Press, r
1071)
15.4
579
Tecnicos de integrocian
En situaciones como estas para integrar se utiliza primer0 la division larga hasta que el grado del residuo sea menor que el del divisor.
EJEMPLO 2 Determinar las siguientes in~egrale_cinde-finidas. r
lapotenciapara laintepra:ior.;>:-. .,
Si u = In x, entonces du
Si
11 =
I =
-
.Y
In w , entonces du
= \ :
-
2 Enroncs,. ~ l r r = ;+d.~ -V.r
y
dl- y
=
I
- rl1t..
11'
Ap~icandola regla para la integration, se tiere
-
- 10
7
u
+
C
=
10 --
(In
M?)"~
+ C.
En la Secc. 15.3 se integro una funcion exponencial con base en e: Jelldu =
el1
+ C.
Se considera ahora la integral de una funcion exponencial con base diferente de e:
Para evaluar esta integral, en primer lugar se convierte a" en una funcion exponencial con base e utilizando la Propiedad 8 de la Secc. 5.3: a = eln a .
(1
El Ejemplo 3 lo ilustrard. EJEMPLO 3
Obtener
J
2 3 - x dx.
Aqui se desea integrar una funcion exponencial con base 2. Para efectuarlo, se convierte la base 2 a la base e utilizando la Ec. (1) para expresar 2 en terminos de e . Como 2 = el" I, se tiene
El integrando de la ultima integral es de la forrna el', en donde u = (In 2)(3 - A-).Como = -1 n 2 dx, se tiene
dii
I
,(In
2)(3 - I )
dX =
'I
e(ln 2"' - x )
In 2
[( - ln 2) di]
(forma: f e u du)
Por ello,
Obser\ ese que se ha expresado la respuesta en terminos de una funcion exponencial con base 2, la base del integrando original.
15.4
581
Tecnicos de integrocian
EJEMPLO 4
En cierto pais la propension marginal a1 consumo esta dada por
en donde el consumo C es funcion del ingreso nacional I. Aqui, I esta expresada en miles de millones de unidades monetarias ( a m . ) (50 u.m. = $0.01). Determinar la funcidn de consumo para el pais si se sabe que el consumo es de 10 miles de millones de u.m. (C = 10) cuando I = 12. Debido a que la propension marginal a1 consumo es la derivada de C , se tiene
Si se fija u
=
31, entonces du = 3dI y C
Cuando I
=
(f) i l ( 3 I )
=
4I -
-
3 1 (30"~ - I - -+ C,. 4 6 4
-
'j2[3 dr]
12, entonces C = 10, de mod0 que,
10 = 9 - 2 Por consiguiente, C,
=
+ C,.
3 y la funcion de consumo es
E n 10s Problemas 1-42, determine las integrales indefinidas.
y4+
7. /47x dx.
;t3
- x2
dx.
9. J L ( 7 - ex'") dx.
-
En 10s Problemas 43 y 44, dr/dq es una funcion de ingreso marginal. Calcule la funcion de demanda.
-
I
En 10s Problemus 45 y 46, dc/dq es una funcion de costo marginal. Evalue la funcion de costo total si el costo fijo en cada caso es de 2000. dc 20 45. - = -dq q+5'
d c = ?em""? 46. dq -
En 10s Problemas 47-49 dC/dl representa la propension marginal a1 consumo. Obtenga la funcidn de consurno sujeta a la condicidn dada.
15.5
583
Sumatoria
-1 5.5 Sumatoria Como preparacion para otras aplicaciones de la integracion es necesario analizar ciertas sumas. Considerese la suma S de 10s primeros n enteros positivos:
Escribiendo el lado derecho de la Ecuacion (1) en orden inverso, se tiene
Sumando 10s lados correspondientes de las Ecuaciones (1) y (2), se produce
En el lado derecho de la ultima ecuacion el termino ( n + 1) aparece n veces. Consecuentemente, 2 s = n(n 1 ), !n(t1 1) S = (la suma de 10s primeros n enteros positivos). (3) 2
-
-
Por ejemplo, la suma de 10s primeros 100 enteros positivos corresponde a n = 100 y es lOO(100 + 1)/2 o bien 5050. Por conveniencia con el objeto de seaalar una suma se introduce la notacidn con sigma denominada asi porque se utiliza la letra griega L (sigma madscula). Por ejemplo,
denota la suma de 10s numeros que se obtienen de la espresion 2k primer0 k por 1, despues por 2 y finalmente por 3 . Por ello,
t
5, reemplazando
A la letra k se le denomina indice de la surnatoria; 10s numeros 1 y 3 son 10s lirnites de la surnatoria (el 1 es el lirnite inferior y 3 es el limire superior). Los valores del indice comienzan en el limite inferior y avanzan sobrc 10s ~ a l o r e senteros hasta el limite superior. El simbolo que se utiliza para el indice es un simbolo "artificial" en el sentido de que no afecta la suma de 10s terminos. Se puede utilizar cualquier otra letra. Por ejemplo,
EJEMPLO 1
Evaluar cada una de /as siguientes
Aqui, la suma comienza con k = 4.
Para expresar la suma de 10s primeros n enteros positivos en notacion de sumatoria, se puede escribir n
De la Ecuacion (3),
2k
Adviertase en la Ecuacion (4) que
es funcion solo de n y no de k.
k= 1
EJEMPLO 2
Evaluar cada una de las siguientes.
Aqui se debe calcular la suma de 10s primeros sesenta enteros positivos. Por la Ecuacion (4) con n = 60,
En este caso hay que sumar 10s primeros n - 1 enteros positivos. Reemplazando n por n - 1 en la Ecuacion (4), se obtiene
15.5
585
Sumataria
Otra formula util es la de la surna de 10s cuadrados de 10s prirneros n enteros positivos. Se le utilizara posteriorrnente en la Seccion 14.5.
EJEMPLO 3
Evaluar 1
+4+9+
16
+
25
+
36. 6
Esta surna puede escribirse corno
C k'.
Mediante la Ecuacion (5) con n
=
6,
k= l
Se concluye con una propiedad de la surnatoria. Si x , , x,, . . . , x , son nurneros reales y c es una constante, entonces
C cx, =
CXI
+ cx2 +
... +
C.Y,,
I l,
Asi
Esto significa que un factor constante puede "saltar" y aparecer antes del sirnbolo de surnatoria. Por ejernplo,
Por la Ecuacion ( 9 , se tiene
ADVERTENCIA Aunque 10s factores constantes pueden "saltar" a la parte anterior de la sigma, ninguna otra expresion puede hacerlo.
En 10s Problemas 1-10, evalue la suma dada.
En 10s Problemas 11-16, exprese las sumas dadas en notacion de sumatoria.
En 10s Problemas 17-22, evalue las sumas utilizando las Ecuaciones ( 4 ) y ( 5 ) .
Una cornpaiiia tiene un activo cuyo valor original es $3200 y no tiene valor de desecho. El costo de mantenirniento es $100 anuales y aumenta en $100 cada aiio. Dernuestre que el costo total anual prornedio C cn un periodo de n aiios es 23.
-
c = 3200 - +
50in
+
I).
Obtenga el valor de n que minirniza C. iCual es el costo anual prornedio a este valor de n?
15.6 La integral definida En la Figura 15.1 se rnuestra la region limitada por las rectas y = f (x) = 2x, y = 0 (el eje x) y x = 1. Es simplemente un triangulo rectangulo. Si b y h son las longitudes de la base y de la altura, respectivamente, entonces, de lo que se conoce de geometria se sabe que el area A del triangulo es A = B bh = $(1)(2) = 1 unidades cuadradas. Ahora se halla esta area rnediante otro metodo que, como se vera posteriormente, se aplica a regiones mas complejas. Este mCtodo implica la sumatoria de areas de rectangulos. Se divide el interval0 [0, 11 del eje x en cuatro subintervalos de igual longitud por x, = 9 , medio de puntos separados entre si en distancias iguales x, = 0, x, = x, = $, y x, = ;4i - 1 (vkase la Figura 15.2). Cada subintervalo tiene longitud Ax = Estos subintervalos determinan cuatro subregiones: R , R ,, R y R,, tal corno se sefiala. A cada subregion se le puede asociar un rectangulo suprainscrifo (Figura 15.3); es decir, un rectangulo cuya base es el subintervalo correspondiente y cuya altura es el valor maximo de f(x) en ese subintervalo. Puesto que f es una funcion creciente, el valor miximo de f(x) en cada subintervalo ocurre cuando x es el punto final del lado derecho. En consecuencia, las areas de 10s rectangulos suprainscritos asociados a las gf(i),y respectivamente. El area de regiones R ,, R2, R 3 y R 4 son
a,
,
a.
&a),
u(i),
v($):
15.6
587
La integral definido
FIGURA 15.3
FIGURA 15.2
cada rectangulo es una aproximacion a1 area de su correspondiente subregion. Por lo tanto, la suma de las areas de esos rectangulos, denotada por 3,. (que se lee " S sub 4 con raya" o "la cuarta suma superior"), aproxima el area A del triangulo.
-1
Se puede verificar que es posible escribir -
3-
como
3,
f(.x-,)
=
1~ El. hecho de que
1=1
S4 sea mayor que el area real del triangulo podria haberse anticipado debido a que S, incluye areas de las regiones sombreadas que no son partes del triangulo (vease la Figura 15.3). Por otro lado, a cada subregion se le puede asociar tambien un rectangulo infrainscrito (vtase la Figura 15.4): es decir, un rectangulo cuya base es el subinterval0 corres-
FIGURA 15.4
pondiente pero cuya altura es el valor minimo de f(x) en ese subintervalo. Como f e: una funcion creciente, el valor minimo de f(x) en cada subintervalo ocurre cuando a es el punto final del lado izquierdo. Por consiguiente, las areas de 10s cuatro rectangu. 10s inscritos asociados con R , R,,R y R q son U(O),$((f), y respectiva. mente. Su suma, la que se denota por S4 (que se lee "S sub 4 con raya" o "la cuart; suma inferior") es tambikn una aproximacion a1 area A del triangulo.
v($),v($),
,
3
Utilizando notacion de sumatoria, se puede escribir
S4 =
f(si)Ar.Obsirvese que S: i=O
es inferior a1 area del triangulo porque 10s rectangulos no tornan en consideracion la porcion del triangulo que no esta sombreada en la Figura 15.4. Dado que 3 = S4 5 A 5 S4 = $, se dice que S4 es una aproximacion a A desde abajo y que 3, es una aproximacion a A desde arriba. Si se divide [0, 1.1 en cuatro subintervalos mas, se esperarian mejores aproximaciones a A . Para probar esta afirmacion enseguida se utilizan seis subintervalos de igual longitud Ax = &. En este caso, 56, el area total de seis rectangulos suprainscritos (viase la Figura 15.5 y S,, el area total de seis rectangulos infrainscritos (vease la Figura 15.6) son
Notese que
S6 5 A
5
$6 y,
con identificaciones apropiadas, tanto S6 como
S6 serian
15.6
Lo inregrol definido
n
FlGURA 15.7
FlGURA 15.8
de la forma Cf (x) Ax. Empleando seis subintervalos se obtuvo una mejor aproximaci6n a1 Area que cuando se consideraron cuatro subintervalos, lo cual era de esperarse. En terminos mas generales, si se divide [0, I ] en n subintervalos de igual longitud Ax, entonces Ax = l / n y 10s puntos finales de 10s subintervalos son x = 0, l/n, 2/n, . . . , (n - I)/n, y n/n = 1 (vease la Figura 14.7). El area total d e n rectangulos suprainscritos es
2 t1-
+ 2 + . . .
+
n]
2 (factorizando- en cada terrnino II
De la Seccion 15.4, la suma de 10s primeros n cnteros positives er cuentemente,
t~(n
+
1) ,
Collbe-
2,
Para n rectangulos infrainscritos el area total determinada por 10s subintervalos (vease la Figura 15.8) es
Sumando 10s primeros n - 1 enteros positivos, ccmo se hizo en el Ejemplo 2(b) de la Seccion 15.4, se obtiene
De las Ecuaciones (1) y (2) se observa de nueva cuentq que tanto
2 (i)
S,, corno S,,son sumas
, , I
i)
3, t , i r . es decir i,,= f . l r y $,, = f [ At h Por la naturaleza de s,,y S,,, parece razonable y es en realidad cierto que
de la forma
1
-
L=[l
-
S,, 5 A
S,,
5
Conforme n se hace mayor, S,, y S,, se vuelven mejores aproximaciones a A . De hecho, si se obtienen 10s limites de S,, y S,,cuando n tiende a m a travks de valores enteros positi\.os.
-
lim I,--97
Ya que
S,.y S,,
s,,= ,lim
n + l ---
n
=
-
lim ( I ,,
+
-I-
:)
=
1
tienen el mismo limite comun, es decir,
-
-
lim S,,
,,
7 .
=
lim J,, = 1 : 1, --I.
! somo
S,, 5 A
-
5
S,,.
se sonsidera que este limite es el area del triangulo. Por ello, A = 1 unidad cuadrada, lo cual concuerda con lo que se habia averiguado antes. Se define el limite comun de 3,,y S,,. es decir 1 , corno la integral definida de .i(.~ = ) 2 x en el intervalo que va de x = 0 a x = 1, y se le denota escribiendo
6'2.r d.r
=
1.
(4)
La razon para utilizar el termino "integral definida" y 10s simbolos de la Ecuacion (4) sera el idente en la siguiente seccion. Los numeros 0 y 1 que aparecen asociados a1 signo de integral ,f de la Ecuacion (4) se denominan 10s limites de la integracion; 0 es el limite inferior 5.' 1 es el limite superior. En general, para una funcion f definida en un intervalo de x = a a x = b, en donde ( I 5 h. se pueden formar las sumas S,,y S,,, que se obtienen considerando 10s valores miximo y minimo, respectivamente, sobre cada uno de n subintervalos de igual longitud lu.*Cada suma es de la forma Cf (x) Ax. El limite com6n de S,, y Z,, cuando n m, si existe, se denomina integral definida de f sobre [a, b] y se escribe +
-.
*
~
Aqui, se supone que existen valores tanto maximo corno minimo.
15.6
591
La integtal definida
El simbolo x es la variable de integration y f(x) es el integrando. En tCrminos de un proceso de limites, se tiene
-
zf,.~-, 1.1-
f ( . ~ )d r . 1
Se deben hacer dos sefialamientos con respecto a la integral definida. En primer lugar, la integral definida es el limite de una suma de la forrna C f (x) Ax. De hecho, el simbolo de integral es una "S" alargada, la primera letra de "Suma". En segundo lugar, para una funcion arbitraria f definida en un intervalo, se puede estar en posibilidades de calcular sumas S,, yS,,, y determinar ju limite comun, si existe. Sin embargo, algunos tirminos de las sumas pueden ser negatives si Ax) es negativa en algunos puntos del intervalo. Estos terminos no son areas ds rectangulos (un area nunca es negativa) y, de manera que el lirnite comun puede no representar area. Asi que, la integral definida no es otra cosa que un numero rsal: puede o no representar un area. Como se vio en la Ecuacion (3), lim 5 fi igual a llm 7, Para una funci6n arbi,I
-
-
traria esto no siempre es cierto. Sin embargo. pa-a 1% 5-~ncionesque se consideraran aqui estos limites seran iguales y la integral d e i i d a ilerr.;lr? eustira. Para ahorrar tiempo solo se utiliza el punto extremo del lado derecbo 3s calla subinten a10 para calcular la suma. Para las funciones de esta seccidn a csra s u m r? le dsnotara por S,, y correspondera a S,, o bien a s,,. EJEMPLO 1
Calcular el area de la region del prirner c l i o d r ~ r : ?deiimirada por = 0 y y = 0.
J
=
f (x) = 4 -
x2 y /as rectas x
En la Figura 15.9 aparece un croquis de era r:gic.n. El intervalo sobre el cual varia ~ c re: puede dividir en n subintervalos de igual longitud Ax. Puesto que la 1ong::ud 2: [0. 21 es 2, se toma Ax = 2/n. Los puntos finales de 10s subinter\ alor rcr. := 0. 2 n. 2(2/n), . . . , (n - 1)(2/n) y n(Z/n) = 2 (lease la Figura 1 5 . ; i l l .
x en tal region es, como puede verse. [0.21.
FIGURA 1 5 . 9
FIGURA 15.10
Utilizando 10s puntos finales del lado derecho,
En virtud de que el numero 4 aparece n veces en la suma, se puede simplificar
n
De la Seccidn 15.5,
k2
=
k= 1
n(n
+
1)(2n + 1 ) , por lo que 6
Finalmente, se toma el limite de S,, cuando n -. x .
De ahi a que el area de la region es 1; unidades cuadradas. r2
Ya que 1,'(4 - r 2 )dx
=
llim S,, , de la parte (a) se concluye que It'X
15.6
593
Lo integral definido
EJEMPLO 2
Zntegrar f (x)
=
x - 5 de x = 0 a x = 3; es decir, evaluar
En la Figura 15.11 aparece un croquis de f (x) = x - 5 sobre [O, 31. Se divide [O, 31 en n subintervalos de igual longitud Ax = 3 / n . Los puntos extremos son x = 0, 3 / n , 2(3/n), . . . , (n - 1)(3/n)y n(3/n) = 3. Adviertase que f ( x ) es negativa en cada punto final. Se forma la suma
Debido a que todos 10s terrninos son negativos, no representan areas de rectangulos; de hecho, son 10s valores negativos de areas de rectangulos. Simplificando, resulta
Tomando el limite, da
En consecuencia, [(x
FIGLIRA 15.1 I
- 5 ) dx =
21 2
594
I5
INTEGRACION
La integral definida no es el area de la region limitada por f ( x ) 0 y x = 3 . Representa el valor negativo de esa area.
=
x - 5, y
=
0, x
I
En el Ejemplo 2 se demostro que la integral definida no necesariamente represe ta areas. De hecho, en ese caso la integral definida fue negativa. Sin embargo, si f continua y f ( x ) r 0 en [ a , 61, entoncess,, -1 0 para toda n . Por lo tanto, lim S,, r 0 de esto se desprende que la region lirrlitada por
J
1P
,J(,K)
=
rl,r 2
f(x),y
=
0. Ademas, esta integral definida da el area 0, x =
N
y
,V
= / I ( ~ r ' 13 a ~figura
15.12).
Aunque la forma en que se abordo aqui el analisis de la integral definida es ciente para 10s propositos del libro, no es de ninguna manera una forma rigurosa. L importante que debe recordarse acerca de la integral definida es que es el limite de un suma .
FIGURA 1 5 . 1 2
En 10s Problemas 1-4 esquematice la region en el primer cuadrante limitada por /as curvas dadas. Aproxime el area de la region medianre la suma que se seriala. Utiliceel punto extremo del lado derecho de cada subintervalo.
En 10s Problemas 5-10, defina la region en el primer cuadrante limirada por !as curvas dadas. Determine el area exacta de la region considerando el limite de 5,.cuando n m. Utilice el punto extremo del lado derech de cada subintervalo. +
5.
La region que se describio en el Problema 1.
7. La region que se describio en el Problema 3 .
6.
La region que se describio en el Problema 2
8 . La region que se describio en el Problema 4
Para cada uno de 10s siguientes problemas evalue la integral definida dada obteniendo el limite de S,,.Utilice el punto extremo del lado derecho de cada subintervalo. Trace la grafica, sobre el interval0 dado, de la funcion que se integra.
14. I ( 2 x
-
9 ) dr.
15.7
-
595
El teorema fundamental del colculo integral
15.7 El teorema fundamental del Calculo Integral Hasta ahora se han consider'ado en forma separada 10s procesos de limites tanto de la derivada como de la integral definida. En este punto se reunen estas ideas fundamentales y se desarrolla la importante relacion que existe entre ellas. Como resultado pueden evaluarse las integrales definidas en fonna m i s eficiente. En la Figura 15.13 se presenta la grafica de una funcion f. Supongase que f es continua en el interval0 [a, b] y que su grafica no queda por debajo del eje x. Es decir, f (x) r 0. De la ultima seccion se sabe que el area de la region por debajo de la grafica y por encima del eje x, de x
=
a a x = b esra dada por
i,"
f ( x ) dx. Ahora se considera
otra forma para determinar esta area. Supongase que existe una funcion A = -4 (s). a la cual se hara referencia como una funcion "de area", que expresa el irea de la region que se encuentra por debajo de la grafica d e f y por encima del eje x. de o a s. en donde o 5 x 5 b. Esta region aparece sombreada en la Figura 15.14. \ o i? s::2 :>nfundir 4 (1). que es un area, con f (x), que es la altura de la grafica en x. De su definicion pueden enunciarse en iorma inmediara dos propiedades de A :
1.
A (a) = 0 puesto que no exisre Qrea de o a u:
2.
A (b) es el area desde a hasta b: es d ~ 5 r
FIGURA 15.14
FlGURA 15.1 3
Si se aumenta xen h unidades. enronces .4(s + h) es el area de la region sombreada de la Figura 15.15. Por consiguienr?. . 4 ( s - h ) - ,4(x) es la diferencia de las areas de las Figuras 15.15 y 15.14: a saber. ?I area de la region sombreada de la Figura 15.16. Para una h que este lo suficienremen~?cersana a 0 el area de esta region es la misma que el area de un rectangulo (Figura 15. I-) cuya base es h y cuya altura es algtin valor y que esta entre f (x) y f (x + h ) . Aqui ), es funcion de h. Asi que el area del rectangulo es, por un lado, A(x + h ) - A(s), por el orro es, h y:
o bien A(x
+
h ) - A(.x) = h
-
\'
(dividiendo entre h).
,
I
x +h A(x
x + h
+ h)
Cuando h
A(x
+
FIGURA 1 5.1 7
+ h J- A ( x )
0, entonces j se aproxirna a1 n6rnero f ( x ) , de rnodo que lim
A(x
+ h ) - A(x) = f ( x ) . h
h-D
Pero el lado izquierdo es sirnplernente la derivada de A . Consecuenternente, la Ecuacion (1) se convierte en A1(x)= f(x).
Se concluye que la funcion de area A tiene la propiedad adicional de que su derivada A' es f. Es decir, A es una antiderivada de f. Ahora, supdngase que Fes cualquier antiderivada de f. Corno tanto A corno F son antiderivadas de la rnisma funcion, difieren cuando rnucho en una constante C: A(x)
=
F(x)
+ C.
(2)
Se debe recordar que A ( a ) = 0. Evaluando arnbos lados de la Ecuaci6n (2) cuando x = a ,
o bien C
=
-F(a)
Por ello, la Ecuacion (2) se convierte en A(x) = F(.x) - F ( a ) .
Si x = b, entonces de la Ecuacion (3) A(b) = F ( b ) - F ( a ) .
Pero debe recordarse que A(b) =
) f(x) dx. 0
De las Ecuaciones (4) y (5) resulta lf(,x) d r = F ( b ) - F ( a ) .
597
El teorema fundamental del calculo integral
15.7
Asi que es evidente una relacion entre una integral definida y la antidiferenciafb
cion. Para determinar
i
f(x) d.r resulta suficiente encontrar una antiderivada de f , por
ejemplo F, y restar el valor de F e n el lirnite inferior a de su valor en el limite superior b . Aqui se supuso que f era continua y que f ( x )r 0 , de manera que fue posible apoyarse en el concept0 de "area". Sin embargo, el resultado es cierto para cualquier funcion continua* y se conoce como el Teorema Fundamental del Calculo Integral.
I
.
ieorerna Fundamental d d C6kulo Integral
Si f es continua en el inten-a10 [a. b] y F es cualquier antiderivada de f ahi, entonces
I
Es importante comprender la diierencia entre una integral definida y una indefirb nida. La integral definida f(.r) dr 6 un numero definido como el limite de una suma.
1.
El Teorema Fundamental establece que la integral indefinida Sf ( x ) dx (una antiderivada de f ), que es una funcion de x y esta reladonada con el proceso de diferenciacion, se puede utilizar para determinar esre lirnire. Sup6ngase que se aplica el Teorema Fundamenral para evaluar [ ( 4 - x2) dr. Aqui f ( x ) = 4 - x 2 , a = 0 y b F ( x ) = 4x - ( x 3 / 3 ) ,entonces l(4
-
=
2 . Dado que una antiderivada de 4 - x2 es
x') dx = F ( 2 ) - F f i : =
(5
-
8
1
,
-
(0)=
16 3
-,
Esto confirma el resultado que se obru\ 2 t- t: Elemplo 11b1 d? la Seccion 15.5. Si se hubiera elegido F ( x ) para 4x - ( x 3 /3 ) - C . enronces F ( 2 ) - F ( 0 ) = [(8 - 4) + C] [0 + C] = 9, a1 igual que antes. En \ i n u d de que la elexion del \alor de C no es de importancia, por conveniencia siempre se ehge ua \ alor de 0. como se hizo originalmente. Por lo general, F ( b ) - F ( a ) se a b r e \ ~ aexr~biendo
En consecuencia,
* Si y e s continua en [a, b ] , re puede dernostrar que
dx eriste en realidad.
Para
/
b
f ( x ) dr, re ha supueslo que o < h Ahora se del'inen 10s casos en lor que
+a
a > b o a = b.Sia>b,
Es decir, intercambiando 10s limites de integracion se cambia el signo de la integral. Por ejemplo,
Si 10s limites de la integracion son iguales, se tienz
Mereceri atenci6n algunas propiedades de la integral definida. La primera propiedad plantea de manera mas formal el comentario que se hizo en la seccidn anterior con respecto a1 area.
1. Si f es continua y f (x) > 0 en [a, b], entonces puede interpretarse a [ f ( x ) dx como el Area de la regi6n lirnitada por la curva y
= f (x), el
eje x y
las rectas x = a y x = b.
r
2. l , b k f ( x )dx = k f ( x ) d r , en donde k es una constante. b
3. [ V ( x )
* g ( x ) ] dr = (f ( x ) dx ?
l
b
gi.r r dr.
Las Propiedades 2 y 3 son similares a las reglas para las integrales indefinidas porque una integral definida puede evaluarse mediante el Teorema Fundamental en terminos de una antiderivada. Otras dos propiedades de las integrales definidas son: h
4 . l f ( x ) dx =
If(,) b
dl.
La variable de integracion es una "iariable ficticia" en el scntido de que cualquier otra variable produce el mismo resultado, es decir, el mismo numero. Poi ejemplo, para ilustrar la propiedad 4, pucdc verificarse que
15.7
599
El teorema fundamental del calculo integral
5. Si f es continua en un interval0 I y a, b, c se encuentran en I, entonces
La Propiedad 5 significa que es po~ii?Iss\prssarla integral definida sobl-eun intcrvalo en terminos de integrales definidax robrs ~ubintervalos.Por ello,
E n este punto se examinan algunos ejemplos de integracion definida y en la siguiente seccion se calcularan algunas areas. EJEMPLO 1
Evaluar cada una de las siguienres inregruies dejinidas. a. 1Y,t3r2 - r
+ 6) d-V.
Para encontrar una antideriiada I.;: para la integracion
::::;:ando.
.;s aplica la regla de la potencia
ADVERTENCIA x4)'" en el lirnite inferior 0 es i(1)'''. En la parte (b) el valor de la antiderivada Q(1 No se suponga que una evaluation en el lirnite 0 da el valor 0.
+
I
EJEMPLO 2
Evahtar cada una de /as siguiente.~integrales definidas.
EJEMPLO b
La razon por la cual el resultado es negativo resulta evidente de la grafica de y = x3 en el intervalo [-2, 1 J (vCase la Figura 15.18). Para -2 5 x < 0,f (x) es negativa. Ya que una integral definida es el limite de una surna de la forma C f (x) Ax, entonces ro -2
r 3 dr no s61o es un mimero negativo, sino que es tambiCn el negativo del Area de
la region sombreada en el tercer cuadrante. Por otra parte,
I
rl
I
x3 dx es el area de la
region sombreada en el primer cuadrante. Sin embargo, la integral definida sobre la totalidad del intervalo [-2, 11 es la suma algebraica de estos numeros, puesto que
15.7
El teoremo fundamental del calculo integral
Por consiguiente,
1
.v3 dl no reprsenra el area entre la curva y el eje .r.
go, si lo que se desea e j el ar:2.
ADVERTENCIA
Se debe recordar q u t
>t 7u:ile
Sin embar-
obrener mediante
--
1
.-
;;.I
it sr sl lirnite de una surna. En algunos casos este lirnite representa
una area. En otros caaos no ss aii. Cuando j'(x) 0 en [a, b], entonces representa el area que s 3s s = a hasta x = b. se encuentra entrs .t ! si s ~ .\-.
Como una funcion .: :j una antiderivada de J", por el Teorema Fundamental se tiene que
Pero f' (x)es la tasa de \-ariacion de f con respecto a x . Consecuentemente, si se conoce la tasa de cambio de f y se desea hallar la diferencia entre 10s valores funcionales rb
f ( b ) - / ( a ) . basta evaluar
f f ( x )dx.
EJEMPLO 4
La funcidn de costo marginal de un fabricante es
Si la produccidn es actualmente igual a q = 80 unidades por semana, ique' tanto mas costaria incrementar la produccidn a 100 unidades por semana?
La funcion de costo total es c = c ( q ) , y se desea calcular la diferencia c(100) c(80). La tasa de cambio de c es d c / d q de mod0 que por la Ecuacion (6),
Si c esta en dolares entonces el costo por aumentar la produccion de 80 a 100 unidades es $1120.
En 10s Problemas 1-38, evalue la integral definida.
7.
2y
) I z -
+
I ) dy.
10. c d t .
8. 12(21 - t 2 )d f . 11.
13.
1: v7
16.
(
i2 I,,
9. 2 3 r 2 12.
- 4 t C 4 dt.
32
14.
d.~.
-
19. [ 2 x 2 ( x 3
-
2) dx.
(x2 + x
+
17.
+
1 ) dx.
15.
1). dx.
31. 34.
1q
d mdq.
1' + I-':
.r3
1
.r
+
1
dr.
rcrn
+
dx.
4
dx.
x
21.
1;
27.
/IIVw
4
dy.
33. [(ez
-
e-") dx.
-7
j(
4 In
dx.
38.
dp.
1 dx.
+ n y ) dy.
35. I ( . x - ]
I-rl dx.
37. 1 3 ( x + 1,er""
x2V7x3
32.
I ) dr.
-
1
2s"
ox'
112
-
18. 1 8 ( x 1 1 3 xP1l3)dx.
I ) dz. ~
1 dx x t l
28.
i2$
u
I
edx.
+
.-I
- x - ~ dx. )
36. j,-(6&
1 -
d*.
15.7
39. En un analisis de la seguridad en el transit0 Shonle* considera que tanta aceleracion puede tolerar una persona en un accidente sin que reciba lesiones considerables. El indice de severidad se define de la siguiente manera:
indice de severidad
=
[a'
' dr.
en donde a (la letra griega "alfa") se considera una constante irnplicada en la aceleracion prornrdio ponderada y T es la duracion de la colision. Calcule el indice de severidad. 40. En Estadistica la media p (la letra griega "mi") de la funcion densidad de probabilidad continuaJdefinida en el interval0 [a, b] es
y la variancia u 2 (a es la letra griega "si-ma")
Evalue p y despues u2 i a
= 0,
En Biologia a rnenudo surgen problemas que irnplican la transferencia de ur.a justaniia entre distintos cornpartimentos. Un ejernplo x n a la transferencia de la corriente sanguinea a 10s rejidos. Evalde la siguiente integral que ocurre en un problerna de difusion entre dos compartimentos:$ 44.
en donde tantes.
T
(la letra griega "tau") y a y ;7 son cons-
45. Para cierta poblacion supongase que I es una funcion tal que I (x) es el numero de personas que alcanzan la edad de x en cualquier mornento del aiio. A esta funcion se le denornina funcion de la tabla de vida. En condiciones apropiadas la integral
es
b = 1 ) f(.v) = 1 .
41. El economista Pareto7 ha establecido una ley que ernpirica para la distribucion de ingesos ele~-ados d a el nurnero N d e personas que reciben s o mas unidades monetarias. Si d N / d x = -.4sB, sn donde A y B son constantes, establezca una integral definida que de el numero de personas que riensn ingresos entre a y b, en donde a < b. 42. En un analisis de la rnutacion de genesL + ocurre la siguiente integral:
Evaluela. 43. El valor actual de un flujo continuo de ingresos de $2000 a1 aiio durante 5 aiios a1 6% compuesto continuamente esta dado por [ 2 0 0 0 e - ~dt. ~~
Calcule el valor actual redondeando a unidades
da el nurnero ~ s p e r a d ode personas en la poblacion entre las edades exactas de x y x + n, inclusive. Si I (x) = 1 0 , 0 0 0 ~determine ~ , el nlirnero de personas entre las edades exactas de 36 y 64 anos, inclusive. Proporcione la respuesta a1 entero mas cercano, dado que respuestas fraccionarias no tienen sentido. 46. Si c, es el consumo anual de un mineral en el tiernpo t = 0, entonces con un consumo continuo la cantidad total de mineral que se utiliza en el intervalo [O, t , ] es coek' dt,
en donde k es la tasa de consumo. Para un mineral de 10s llamados tierras raras se ha determinado que c, = 3000 unidades y k = 0.05. Evalue la integral anterior para estos datos. 47. La funcion de costo marginal de un fabricante es d c / d q = 0.2q 3. Si c esta en dolares, determine el costo implicado en un aumento de la produccion de 60 a 70 unidades.
+
48. Repita el Problema 47 si d c / d q = 0.003q2 0.6q 40 y la produccion aumenta de 100 a 200 unidades.
+
49. ..
603
El teorema fundamental del cdlculo ~nregral
La funcion de ingreso marginal de un fabricante
p p
* J.I. Shonle, Environmental Applications of General Physics (Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1975). t G. Tintner, Methodology of Mathematical Economics and Econometrics (Chicago: University of Chicago Press, 1967), p. 16.
i W.J. Ewens, Population Generics (Londres: Methuen & Company Ltd., 1969). S W. Simon, Mathematical Techniques for Physiology and Medicine (Nueva York: Academic Press, Inc., 1972).
es d r / d q = 1 0 0 0 1 ~ Si ~ r. esti en dblares, obtenga el cambio que se produce en 10s ingresos totales del fabricante si se aumenta la production de 400 a 900 unidades.
50. Repita el Problema 49 si d r / d q = 250 + 9 0 4 - 3qZ y la produccion aumenta de 10 a 20 unidades. 51. Una sociologa esta estudiando la tasa de criminalidad en cierta ciudad. Estima que t meses despues del comienzo del aiio proximo, el numero total de delitos cometidos aumentara a la tasa de 8t + 10 crimenes por mes. Determine el numero total de crimenes que puede esperarse se cometan el aiio entrante. ~ C u a n t o sdelitos se puede esperar que se cometan durante 10s ultimos seis meses de ese aiio? 52.
Supongase que la tasa a la que se d a de alta a un grupo de personas hospitalizadas esta dada por
81
X
10"
en donde f ( 0es la proportion de miembros del grupo que es dada de alta, por dia, a1 final de 1 dias. LA que proporcion se ha dado de alta a1 final de 700 dias? lmagine un pais "unidimensional" de longitud 2R (vease la Figura 15.19).Supongase quela produccion de bienes para este pais se distribuye en forma 53.
continua de frontera a frontera. Si la cantidad que se fabrica cada ano por unidad de distancia esf(x), entonces la produccion anual del pais esta dada por rR
G Evalue G si f (x)
=
j
=
-R
f ( x ) dr.
i, en donde i es constante.
Para el pais "unidimensional" del Problema 53, en ciertas condiciones, la cantidad E de sus exportaciones esta dada por
54.
IRR
+ e - k ( R + x )dx,] en donde i y k son constantes ( k + 0). Evalue E. E
=
:LC-
itR-r)
55. En un analisis del precio de un articulo entregad0 de la fibrica a1 cliente, ~ e c a n i o ' a f i r m a que el precio promedio A del articulo que 10s consumidores pagan esta dado por
A =
JO
l:Il
- (m + r ) l m
'
en donde rn es el precio en la fabrica, x es la distancia y R es la distancia m h i m a hasta el punto de venta. DeCanio determina que
Pois unidimensionol
-R
rn * 0
I
-
I
IR
!
I
Frontero
Frontero
+x
Verifique esto.
I
FIGURA 15.19
En la Seccion 15.6 se vio que es posible determinar el area de una region evaluando el limite 3e una suma de la forma C f (x) Ax, en donde j ' ( x ) LY representa el area de un rectangulo. De la Seccion 15.7 se sabe que este limite es un caso especial de una integral definida, de mod0 que se le puede hallar con facilidad utilizando el Teorema Fundamental. Cuando se utiliza la integral definida para determinar areas debe hacerse un esbozo de la region implicada. ConsidCrese ahora el area de la region limitada por y = f ( x ) y el eje x de x a a x = b, como se muestra en la Figura 15.20. Para establecer la
-
* R. Taagepera, "Why the Trade/GNP Ratio Decreases with Country Size", Social Science Research, 5 (1976), 385-404.
# S.J. DeCanio, "Delivered Pricing and Multiple Basing Point Equilibria: 4 Reevaluation ," The Quarterly Journal of Economics, X C I X , num. 2 (1984), 329-49.
FIGURA 15.20
integral debe incluirse un rectangulo, a manera de ejemplo, en la grafica, porque el area de la region es un limite de sumas de areas de rectangulos. Esto no solo ayuda a comprender el proceso de integracion sino que tambien ayuda a obtener areas de regiones mas complicadas. .4 un rectangulo corno ese (vease la Figura 15.20) se Is denornina elemento vertical de area (o franja vertical). En el diagrama la anchura del elemento vertical es Ax. Su longitud es el valor de y para la curva. Por ello, el rectangulo tiene una area y Ay o bien f (x) Ax. El area de la region total se determina sumando las areas de todos esos elementos entre x = a y x = b y calculando el limite de esta suma, que es la integral definida. Simbolicamente, se tiene
~fixfo
+
lf(x;o dx
=
area.
Se ilustra esto en el Ejemplo 1. EJEMPLO 1
Calcular el area de la region limitada por la curva y
=
6-x-x2
y el eje x .
En primer lugar debe trazarse la curva para que sea posible visualizar la region. Como y = -(x2 + x - 6) = -(x - 2)(x 3), las intersecciones con el eje x son (2, 0) y (-3, 0). Utilizando las tecnicas de graficacion que se analizaron antes, se obtiene la grhfica que se muestra en la Figura 15.21. Con esta region resulta de gran importancia haber
+
FIGURA 15.21
encontrado las intersecciones de la curva con el ejexporque deterrninan el interval0 sobre el cual deben surnarse las areas de 10s elernentos. Es decir, esos valores de .\- scn 10s lirnites de la integration. El elernento vertical que se muestra tiene anchura A x y altura y . Asi, el area del elernento es YAY.Sumando las areas de estos elernentos de s = -3 a x = 2 , y hallando el lirnite por rnedio de la integral definida, resulta el area
Para evaluar la integral debe expresarse el integrando en terminos de la variable de integracion, s. En virtud de que y = 6 - x - x 2 ,
- 27) = 125
4
2
3
unidades cuadradas.
EJEMPLO 2
Evaluar el area de la region lirnitada por y = x 2 x = -2yx=
+
2x
+
2, el eje x y las rectas
1.
E n la Figura 15.22 se muestra una grafica de la region.
=
6 unidades cuadradas.
EJEMPLO 3
Calcular el area que esta entre y = e x y el eje x, de x
=
1 a x = 2.
En la Figura 15.23 se presenta un diagrarna de la region. Area =
j]l"
dx
=
[ex dx = erl' = e2 - e = e(e - I ) unidades cuadradas. ( 1
FIGURA 15.23
i
I
I
EJEMPLO 4
Determinar el area de la region limitada por las curvas y (el eje x ) de x = -2 a x = 2.
=
x2 - x - 2 y y
=
0
E n la Figura 15.24 se presenta una grafica tlc e \ a region N6tc4c q i ~ clas interscccione4 con el eje x son (-1, 0) y ( 2 , 0).
FIGURA I5.24 ADVERTENCIA
No es correcto apresurarse a escribir que el area es
I:?.
v dx por la siguienre raz6n. Para el rec-
lingulodel lado izquiedo laaltura esy. Sin embargo, parael recrangulo dc. la deri.iha\vt.snegati~a, por lo que su altura es el numero positivo -.v. Se debe recordar qur una area nunca es negariva. Esro setiala la importancia de trazar un diagrama de la region.
En el interval0 [-2, -11, el a r e a del elemento es 1, L v
=
(2-
-
2) l v .
En [-I, 21 es - J,
Av
= - (.x2
- .I- -
2)
11-,
En consecuencia, (x2 - x - 2) dx
+
-(.I-'
- .Y
-
2) d . ~
I
3
2
+
I)'
19 unidades cuadradas.
=
En el siguiente ejemplo se ilustra el uso del area como probabilidad en Estadistica.
EJEMPLO 5 En Estadistica, una funcion densidad de probabilidad f de una variable x, en donde x toma todos 10s valores del interval0 [a, b], tiene las siguientes propiedades:
3. La probabilidad que x tome un valor entre c y d , que se escribe P ( c I x I d), en donde a I c I d I b , se representa mediante el area de la region limitada por la grafica d e f y el eje x, entre x = c y x = d . Por lo tanto (viase la Figura 15.25)
Para la funcion densidad f (x)
=
( a ) P(0
5
6(x - x2), en donde 0 x 5 $)
y
I
(b) P(x r
x
I
1. hallar
4).
a. Aqui [a, b] es [0, 11, c es 0 y d es 4. Por la Propiedad 3, se tiene
b. Ya que el dominio de f es 0 Por consiguiente,
Ix
r 1, decir que x 2
+ significa que $
Is 5
1.
E n 10s Problemas 1-34, utilice una integral definida para calcular el area de la region limiroda por la curva dada, el eje x y las rectas dadas. En cada caso esquematice primer0 la region. Tenguse c~ridudocon /us areus que esrdn por ubujv ~le1PJP .\..
35.
37. Supongase que f (x) = x/8, en donde 0 I x I 4. Si f es una funcion densidad (vease el Ejernplo 5), obtenga (a) P ( 0 I x I I), (b) P ( 2 5 x 5 4) y (c) P ( x 2 3).
Dada f(x, =
16
-
3x2, si 0 5 x 5 2, 2x, s i x z 2 ,
evalue el area de la region lirnitada por la grafica de y = f (x), el eje x y la recta x = 3. Incluya una grafica de la regi6n.
38. Considkrese que f (x) = 3(1 - x ) ~ ,en donde 0 I x 5 1. Si f es una funcion densidad (vease el Ejernplo 5 ) , determine (a) P ( 4 5 x 5 I), (b) P ( k s x I ) ). (c) P (x I f ). (d) Utilice el resultado de la parte (c) para deterrninar P(x f 1.
+
36. En condiciones de distribution uniforrne continua, un tema de Estadistica, la proporci6n de personas que tienen ingresos entre a y t , en donde a I t 5 b, es el area de la region entre la curva y = 1/(b - a) y el ejex, de x = a a x = t. Trace la grafica de la curva y determine el area de la region dada.
- 15.9
39. Supongase que f (x) = l/x, en donde e Ix I e 2 . Si f es una funcion densidad (vease el Ejernplo 5), halle (a) p (3 5 x 5 S ) , (b) P (x 5 4) y (c) P (x r 3). (d) Verifique que P (e 5 x I eZ) = 1.
~ r e entre a curvos Ahora se considerara la forma de calcular el area de una region circundada por varias curvas. A1 igual que antes el procedimiento consiste en dibujar un elemento de muestra del area y emplear la integral definida para "sumar" las areas de todos esos elementos. Por ejernplo, considerese el area de la region d e la Figura 15.26 que esta lirnitada por arriba y por abajo por la, curvas Y = / (x) y .F = g ( . ~ ) y, que eit6 acotada por 10s lados por las rectas x = a y x = b. La anchura del elernento que se seiiala es Ax, y su altura es el valor de j. y para la curva superior, menos el valor de .v para la curva inferior, lo cual se representa mediante .v,,,~, - Y , , , , . Por ello, el area del elernento es
b,,,,
- .y,,,, 1 Ar
o bien
surnando las rireas de todos 10s elcmentos corno ese, de s la integral definida, se obtiene el area de la region:
= N
hasta s
b
5' U
FIGURA 15.26
W X ) - g(x)] Ax -+
W(X) - g(x)l dr
=
area
=
h rnediante
15.9
--
61 1
~reo entre curvos
EJEMPLO 1
Obtener el irea de la region limitada por [as curvas y
=
6yy
=
x.
la Figura 15.26 aparece un croquis de esa region. Para deterniinar 10s puntos donde las curvas se intersecan. se rts\uel\'e el ristema formado por la., ecuaciones J. = J.v !. v = x. Eliminando y por hu>titucion, ye produce Eli
--
,'
=
(elevando ambos lados al cuadrado),
Y-
0 = .v2
-
.r = 0
o bien x = 1 .
.r = x(x - 1).
Si x = 0, entonces y = 0; si s = 1. entonces y = 1. Consecuentemente, las curvas se tortan en (0, 0) !-( 1 . I J. La anchura 3t1 elemento del area que se sefiala es Ax. La longitud es el talor dc ?' para la cur\a superior menos el valor de la curva inferior:
.v) Ax. Sumando las arta, de todos 10s elementos Por ello, el area del elemento es (&comoese, de.u = 0, a x = 1 mediante la integral definida. seobtieneel areade la region total.
6 1
irea =
=
( ~ -5X)
( ) -
1 - (0 - 0) = - unidad cuadrada.
6
Debe resultar evidente a1 lector que 10s puntos de intersection son importantes para determinar 10s limites de integracion.
EJEMPLO 2
Encontrar el area de la region limitada por las curvas y
= 4x - x 2
+ 8 y y = x 2 - 2x.
En la Figura 15.28 aparece una grafica de la regi6n. Para determinar 10s puntos en donde se intersectan las curvas se resuelve el sistema de ecuaciones y = 4x - x 2 + 8 y y = x2 - ZY.
x = -1
o bien .r = 4
Cuando s = -1, y = 3; cuando u = 4, y = 8; asi, las curvas se inter5ecan en (- 1 , 3) y (4, 8). La anchura del elemento que se ind~caes l u . Su longitud ( o altura) es el \alor de y sobre la curva superior menos el valor de y sobre la curbs ~nterior: y ,,,,,,
-
,,,,
jr
=
(3x -
.k-'
+ 8) -
(x' - 2.u)
En consecuencia, el area del elemento es [(4x
-
x'
+
8)
-
Sumando todas las areas de x area
=
I:,
(.x2 - 2x:1] AT = (-2x2
=
+
6x
+ 8) Ax.
-1 a x = 4 se tiene
(-2x2 t-6x
+ 8) d.x
= 41$ unidades cuadradas.
EJEMPLO 3
Evaluar el urea de lu regidn que se encuentl-u entre /as cu~.vus.y 1, desde x = 0 hasta s = 3.
=
9 - .v:
La region se ilustra en la Figura 15.29. Las curvas se intersecan cuando
J
y
= .v:
+
15.9
~ r e entre o cu~os
Cuando x = + 2 , entonces y = 5 , por lo que lo- punros de interseccion son 10s de coordenadas ( + 2 , 5 ) . Como lo que interesa es regidn enrrs .u = 0 y .u = 3, el punto de intersection que interesa es ( 2 , 5 ) . Observese en la Figura 15.29 que, para un elemento de la region a la izquierda del punto de interseccion ( 2 . 5 1.
pero, para un elemento de la region que se encuenrrs a la drrcclrli 3s ( 2 , 5), la situation es la inversa; es decir,
Por tanto, de x
=
0ax
Cv,",.
= 2,
el area de un elemento ei
- Y ,,,I.,) Ax = [(9
-
2
x )
- (.r- - 1 I ] 1 1
= (8 - 2x2) l r .
pero, desde x
+
2 hasta x = 3, es
Cv ,,,, - y,,,,.)Ax
= [(x2
= (2x2
+ -
1)
-
(9
- .I.')]
Ax
8) AT.
Por lo tanto, para determinar el area de la totalidad de la resion, es necesario definir dos integrales:
area =
P
(8 - 2x2) dx
+
46 - unidades cuadradas 3
En ocasiones puede resultar mas facil determinar el area sumando areas de elementos horizontales en vez de hacerlo con elementos verticales. En el ejemplo siguiente se cncuentra el area mediante ambos metodos. En cada caso el elemento del area determina la forma de la integral. EJEMPLO 4
Hallar el area de la region limitada por la curva y 2 (el eje y ) .
=
4x y las rectas y
=
3y x = C
La regi6n se trazo en la Figura 15.30. Cuando las curvas Y = 3 ), j*'= 3.v se intersectan, 9 = 4x, de mod0 que, x =$. ?or lo tanto, el punto de interseccion es ( $, 3). Dado que la anchura de la franja vertical es Ax, se integra con respecto a la variable x. Por consiguiente, y,,,,, y y,,,~, se deben expresar corno funciones de x. Para la curva y' = 4x, se tiene y = 2 6Pero para la porcion de esta curva que limita la region, y r 0, de forrna que se utiliza y = 2 J T . ~ s ila , longitud de la franja es y ,,,,,- y ,,,, = 3 x 2Jx. Consecuenternente, esa franja tiene una area de (3 - 2 d x ) AX, y se desea surnar todas esas areas, de x = 0 a x = 9/4.
=
-
F3 (a) 27
-
!(!) [ (]
312]
-
- (o)
3 4
4
9
'I2
=
27 7
:(i)
4 3 3 -
=
g9 unidades cuadradas.
1 5.9
~ r e entre o curvas
Enseguida se aborda este probiema desde el punto de vista de un elemento horizontal de area (o franja horizontall ;i.z-.o - 2 niuestra en la Figura 15.31. La anchura del elemento es Ay. La longitud del elernento es el valor de x en la curva del lado derecho menos el valor de x en la c u n a del lado izquierdo. Por ello, el area del elemento es (s,c,, - x,,~,) Ay. Se de;t3 i u x a : : d a i esas areas, de y = 0 a y = 3:
Ya que la variable de ir.:sgra:!on zs J., se deben expresar xdCly x,,~,, como funciones de y . La curva de la ders:? si .:I = 4.u o , de rnanera equivalente, x = y 2 / 4 . La curva de la izquierda ei .\- = cl. E n consecuencia, area =
(
(-1 - 2
-
s,,,, ) d y
,
I ($
- .!I
-
3 3 -
0 ) dy
=
= 0
9 -
unidades cuadradas.
4
Observese que para esta region las franjas horizontales hacen que la integral definida sea mas facil de evaluar (y de construir) que una integral con franjas verticales. En cualquier caso se debe recordar que 10s limites de integracibn son 10s lirnites para la variable de integracibn.
EJEMPLO 5
Calcular el area de la regidn limitada por y 2 = x y x - y = 2. En la Figura 15.32 aparece un diagrama de la region. Las curvas se intersecan cuando y 2 - y = 2. Por lo tanto, y2 - y - 2 = 0, o bien, de manera equivalente O, + 1) O, - 2) = 0, de donde y = -1 o bien y = 2. Los puntos de interseccion son (1, -1) y (4, 2). Considerando elementos verticales de area [vCase la Figura 15.32(a)]. Despejando y en y 2 = X, d a y = -+ g x . Como se observa en la Figura 15.32(a), a la izquierda de x = 1 el extremo superior del elemento queda en y = g x y el extremo inferior queda en y = - v';Z.A la derecha de x = 1 la curva superior es y = 6y la curva inferior x - y = 2 (o bien y = x - 2). Por consiguiente, con franjas verticales se requieren dos integrales para evaluar el area.
ConsidCrense ahora franjas horizontales para ver si es posible simplificar el trabajo. En la Figura 15.32(b) la anchura de la franja es Ay. La curva de la derecha siempre es x - y = 2 (o bien x = y + 2) y la curva de la izquierda siempre es y 2 = x (0 bien x = y 2 ) . Consecuentemente, el area de la franja horizontal es [O, + 2) - y2] Ay y el area total es area =
r2
I-
1
(y
+2-
dy =
9 unidades cuadradas. 2
-
Resulta evidente que el uso de franjas horizontales es la forma mas deseable de abordar el problema.
En 10s Problernas 1-22, calcule el urea de la regidn limi/adapor /as grdficas de las ecuaciones dadas. Cercidrese de enconlrar cualesquiera puntos de inlerseccion necesarios. Considere si el uso de lasfranjas horizontales hace a la infegral mas sencilla que u/ilizandofranjas verticales.
z = -
9. y = 4
- x'.
y
= -3x.
10- x =
>.' +
2.
.I =
6.
t 5.10
61 7
Excedentes de consumidores y fobricontes
Obtengael rirea de la region que seencuentra entre las curvas y = x - 1 4' J' = 5 - Zx, y desde .\. = O hasta x = 4. 23.
24. Obtenga el area de la region que se encuentra entre las curvas -v = x' - 4x + 4 y y = 10 - .", y desde x = 2 hasta .x = 4.
25. La curva de Lorentz se utiliza en el estudio de la distribucion del ingreso. Si x es el porcentaje acumulado de receptores de ingresos, ordenados de
10s mas pobres a 10s mas ricos. y s s: wrc-.r.:aj-. acumulado de ingresos, entoncss la i p - i & t it :r distribution de ingresos esta dada por l a : c r -. = x .= 2,. que aparece en la Figura 15.33, en dc:: . presan en decimales. Por ejemplo, 1OVc LC1% Frsnas reciben el 10% de 10s ingresos tota:?~. :.:'I :s las personas reciben el 20% de 10s ingresos. 2 : ; 5-pongase que la distribucion real esta dada F: L curva de Lorentz que se define por y = 3 . r - - ; : Adviertase, por ejemplo, que el 30070 de !as rcrsonas reciben solo el 10% de 10s ingresos totals- E: grado de desviacion con respecto a la igua:;:: s mide rnediante el coeficiente de desipuo!?;:' x - i una curva de Lorentz. Tal coeficienre silt ; ' : . a : corno el area que se encuentra entre la curva y la diagonal dividida entre el area que se encuentra bajo la diagonal: area entre la curva y la diagonal area bajo la diagonal
.
FlGllRA 15.33
Por ejemplo, cuando todos 10s ingresos son iguales, el coeficiente de desigualdad es cero. Evalue el coeficiente de desigualdad para la curva de Lorentz definida antes. 26. Obtenga el coeficiente de desigualdad al igual que en el Problema 25 para la curva de Lorentz definida por g = + i$x.
- 15.10
Excedentes de consumidores y fabricantes -
Porcentoje acumulodo de receptores de ingresos
s.x2
La deterrninacion de areas de regiones tiene aplicaciones en Econornia. En la Figura 15.34 se muestran las curvas de oferta y demanda para un producto. lndica el precio p por unidad a1 cual el fabricante vende (u ofrece) q unidades. Tarnbien se muestra en la Figura 15.34 la curva de demanda para el producto. Indica el precio J por unidad al cual 10s consumidores adquieren (o demandan) q unidades. El punto (yo,p , ) en donde estas curvas se intersecan se denomina punto de equilibrio. Aqui, pi,es el precio por unidad al cual 10s consumidores adquiriran la misma cantidad q,, de un proilu2:o que 10s fabricantes desean vender a ese precio. En terminos breves, p,,ec el p r i ' ; i ~ JI cual ocurre la estabilidad en la relacion entre fabricante y consurnidor. Suponiendo que el mercado se encuentra en equilibrio y que el precio por unidad del producto es p,, d e acuerdo con la curva d e demanda, existen consumidores que estarian dispuestos a pagar mas que p,. P o r ejemplo, a1 precio de p : po: unidad 10s consumidores comprarian q , unidades. Estos consumidores se esrarian beneficiando del menor precio de equilibrio p,,.
G . Stigler, The Theory of Price, 3a. ed., (Nueva York: The Macmil!an Company, 1966), pp. 293-94.
FlGURA 15.34
La franja vertical de la Figura 15.33 tiene una area d e p Aq. Esta expresion puede pensarse tambien como la cantidad total de dinero que 10s consumidores gastarian comprando Aq unidades del producto si el precio por unidad fuera p. Debido a que el precio es en realidad p,,, dichos consumidores gastan solo p, Aq en estas Aq unidades y , por ello, se benefician en la cantidad p Aq - p,, Aq. Esto puede escribirse como ( p - po) Aq, que es el area de un rectangulo con anchura Aq y longitud p - p,, (vease la Figura 15.35). Sumando las areas de todos esos rectangulos de q = 0 a q = q,, mediante integracion definida, se tiene
%"
(p - po) dq. Esta integral, en ciertas condicio-
nes, representa la ganancia total para 10s consumidores que estan dispuestos a pagar un precio superior a1 de equilibrio. A esta ganancia total se le denomina excedente de 10s consumidores que se abrevia como EC. Si la funcion de demanda esta dada por p = f ( q ) ,entonces
En terminos geometricos (vease la Figura 15.36), el excedente de 10s consumidores esta representado por el area que se encuentra entre la rectap = p,, y la curva de demanda P = f ( q ) , de q = 0 a q = q , . Algunos de 10s fabricantes tambien obtienen beneficios por el precio de equilibrio, ya que estan dispuestos a ofrecer el producto a precios inferiores ap,,. En ciertas
P
Cuwo de
Curva de oferro de ndo
I
--I
I
Aq
9o
I
FIGURA 15.35
FlGURA 15.36
15.10
Excedentes de consumidores y fobricontes
condiciones la ganancia total para 10s fabricantes esta representada en terminc.; ,-+I z . 5 tricos en la Figura 15.37 por el area que esta entre la recta p = p, y la curia L, :-ri p = g ( q ) de q = 0 a q = q,. Esta ganancia, a la que se denomina excedente de k: fabricantes y que se abrevia como EF, esta dada por
EJEMPLO 1
La Jitncion de de~unndaput.rr un yrocll/c.lo es
en donde p es el prvcio por unidad (en dolares) de q unidrrdes. La.funcion de oferru es
Dererminur el e.rcedenre de 10s consuniidores y el esceclmte (Ie 1os.frrhricun~e.~ cliundo el n7ercado e s ~ uen equilibrio. En primer lugar, se debe hallar el punto de equilibrio resolviendo el sistema formado por p = 100 - 0.054 y p = 10 + 0.14.
Cuando q = 600, entonces p = 10 excedente de 10s consumidores es
+
0.1(600) = 70. Asi, q , = 600 y p, = 70. El 600
EC = %(IUly) - p , ] i l q
=
(100
-
0.OSy - 70)dq
r~~~ r170
El excedente de 10s fabricantes es
EF
=
-
g(q)l dq
=
-
(10
+ o.lq)l dq
En consecuencia, el excedente de 10s consurnidores es $9000 y el de 10s fabricantes $18000. EJEMPLO 2
La ecuacion de demanda para un product0 es q = f @) = (90/p) - 2 y la ecuacion de oferta es q = g @) = p - 1. Calcular el excedente de 10s consumidores y el excedente de 10s fabricantes cuando se ha establecido el equilibrio del mercado. Determinando el punto de equilibrio, se tiene
Por lo tanto, p , = 9 y q , = 9 - 1 = 8 (vease la Figura 15.38). Se debe observar que la ecuacion de demanda expresa a q como funcion de p. Puesto que el excedente de 10s consumidores puede considerarse como una area, es posible evaluar esta area a traves de franjas horizontales de anchura Ap y longitud q = f 01). Se suman estas franjas d e p = 9 a p = 45.
Utilizando f r a n j a s horizontales p a r a el excedente d e 10s fabricances. ie c?br:ece
En 10s Problemas 1-6, la primera ecuacion es una ecuacion de demanda y la segunda es una ecuacion de qter;; para un producto. E n cada caso, determine el escedenre de 10s consumidores y el excedente de 10s fabricanre_r en condiciones de equilibria del mercado.
Seccion 15.1
antiderivada integrando
integrai indeiinida variable de integracion
simbolo de integral constante de integracion
Seccion 15.2
condicion inicial
Seccion 15.3
regla de la potencia para la integracion
Seccion 15.5
indice de sumatoria limites de la sumatoria integral definida l..fl.rl d r limite inferior de integracion - .. P
Secci6n 15.6
limite superior de la integracion
l
Seccion 15.7
Teorema Fundamental del Calculo Integral
Seccion 15.8
elemento vertical de area
Seccion 15.9
elemento horizontal de area
Seccion 15.10
excedente de 10s consumidores
RESUMEN
F(s)
I
excedente de 10s fabricantes --
La antiderivada de una funcion f e s otra funcion F tal que F ' ( x ) = f ( x ) . Cualquesquiera dos antiderivadas de .f difieren cuando mucho en una constante. La antiderivada d e f m a s general se denomina integral indefinida de f y se la denota por
dx. Por consiguiente,
en donde C se denomina constante de integracion. Algunas formulas basicas de integracion son:
I
k d.r
= kx
+
C,
C,
es una constante
J y(-r) dx = k J f ( x )dr,
i. es una constante
Otra formula es la regla de la potencia para la integracion:
Aqui, u representa una funcion diferenciable de x y du es su diferencial. Cuando se aplica la regla de la potencia a una integral determinada es importante asegurarse de que la integral esta escrita en forma tal que se ajuste con precision a la regla de la potencia. Otras formulas de integracion son
Ademas, si se sabe que f satisface una condition inicial, es posible, entonces, evaluar la antiderivada especifica. Si se conoce la tasa de variation de una funcion f , es decir, se conoce f ', entonces f es una antiderivada de f '. Por ejemplo, si se proporciona la funcion de costos marginales dc/dq, entonces se puede hallar la forma mas general de c mediante integracion. Esa forma implica una constante de integracion. Sin embargo, si tambien se proporcionan algunos costos fijos determinados (es decir, 10s costos implicados cuando q = O), entonces se puededeterminar el valor de la constante de integracion y, consecuentemente, es posiblecalcular la funcion especifica de costos c. Analogamente, si se proporciona una funcion de ingresos marginales d r / d q , entonces puede determinarse la fu: :ion especifica de ingresos r a traves de integracion y utilizando el hecho de que r = 0 cuando q = 0. Una vez que se conoce r , es posible encontrar la correspondiente ecuacion de demanda empleando la ecuacion p = r / q . La notacion de sumatoria es conveniente para representar sumas. Esta notacion es util en especial para determinadas areas. Para hallar el area de la region limitada por d = f ( x ) [en donde j'(x) > 0 y f es continua] y el eje x , de x = a a x = b se divide el interval0 [a, b] en n subintervalos de igual longitud Ax. Si x i es el extrem o del lado derecho de un subinterval0 arbitrario, entonces el product0 f (x,) Axes el area de un rectangulo. Denotando 12 suma de todas esas areas de rectiingulos para 10s n subintervalos mediante Sn,entonces el limite de Sn cuando n -, es el area de la region total.
lim S, = lim -2
m z
r=l
f(xi) Ax = k e a .
15.1 1
623
Reposo
Si se omite la restriction de que f (x) r 0, el limite asi definido arriba se expresa coma de f sobre [a, b ] .
12
dscnlda
:n:cg:il
En vez de evaluar integrales definidas utilizando limites puede emplearse el Teorema Fundarr.c:r~ :s. Calculo Integral:
en donde F es cualquier antiderivada de f. Algunas propiedades de la integral definida son:
II I Y ) -P
[ k j ( . \ - ~d1 = k
d.x. k es una constante,
.,a
-1,
[[f[.i-)
2
g(.~-)] LY .,
=
jij'(~-) d~
?
lhg(.r)d.r,
Si se conoce la tasa de variation de una funcion./', entonces resulta f6cil obtener 10s cambios en de funcion de .f rnediante la formula
10.5
\alorr\
Si f (x) r 0 y continua en [a, b ] , entonces se puede usar la integral definida para calcular el area de la region limitada por y = f (x) y el eje x de x = a a x = b . Puede emplearse tambien la integral definida para encontrar areas de regiones mas cornplicadas. En estas situaciones debe dibujarse en la region un elemento de area. Esto permite estructurar la integral definida apropiada. En algunas situaciones deben considerarse elementos verticales, en tanto que en otras, resultan mas ventajosos 10s elementos horizontales. Una aplicacion de la determinacion de areas se refiere a1 excedente de 10s consumidores y el excedente de 10s fabricantes. Supongase que el mercado para un product0 esta en equilibrio y que (q,, p,) es el Ipunro de equilibrio. (El punto de inrerseccion de la cul.\,as de ul'erra !, tle delnanda para cl ~ ~ r o d u c ~ o ) . El excedente de 10s consumidores, EC corresponde al area de q = 0 a q = q,, limitada arriba por la curia de demanda y abajo por la recta p = p,,. Pot- ello,
en donde f es la funci6n de demanda. El excedente de 10s fabricantes, EF, corresponde a1 area de q q = q,, limitada arriba por la recta p = p , y abajo por la curva de oferta. Asi,
en donde g es la funcion de oferta.
PRODLEMAS DE REPASO En 10s Problemas 1-32, deferminar /as integrales.
= 0 2
9.
12.
l+m dt
lIO--'
dx.
dx. 25.
1:
i
7
. d ~ ~.
~ 26.
~
l(h+
1)(x2 + x)' dx.
27.
[L'
-
(.r
I d x .
+ 1)2!3
En 10s Problcmas 33 y 34, encontrar y, sujeta a Ius condiciones dadas.
En 10s Problemas 35-42, calcular el area de la region lirnitadu por la curva, el eje x y las rectas que se especifican.
35. y
= x2
36. y
= 4ek,
-
1, x = 2 x
=
39. y = 5x - x2.
(y20).
0, x = 3.
40. y
=
fh,
x = 1,
x = 16.
En 10s Problemas 43-50 hallar el area de la region limirada por las Ir'neas dadas.
x
=
0, y = 2.
2x2, x
=
0,
43. y 2 = 4x, 44. y
=
45. y
= x2
46. y
= 2x2.
+ 4x
-
5,
y = 2
y = 0.
y =x2 +9.
47. y (x
2
0).
= x'
-
21,
y = 12
-
x'.
48.y=~;. r=O, y=3. 49.y=Inx, r = 0 , 5O.y-1-x,
y=0.
y = x - 2 ,
v
=
y=O,
1. j = 1
Si lo\ i n ~ r c \ o1iiargin:ilc5 \ e5tan darlo\ por/)l. / I ( / I00 - (3/2) J fi:obteriy la ecuaci0n rlc clcrn:inrl;t c,ol-re\pondic~i~c. 5 1.
(1' Si el costa marginal esta dado pol- ( I ( . c / r / + 6, y lo5 costos fijo5 $011 2500. e\aluc cl io\lO lotal de fabricar 6 unidades. Supongase que 10s coitos estan dados en dolares.
52. t
-
7(/
53. La Funci6n de ingresos marginale\ dc u n I'ah~I cante c\ dr/clq = 275 - q - 0.3 $. Si 1. c\\a C I I JolaI - c ~halle . el allmento en 105 in!l-e\o\ ~olalc. JL,I I'abricante i la produt-cion 5e aurnenla dl: 10 .I 3 1 ~~nidades.
-
1.a l'uncion de cost05 marginale\ de un I J ~ :..III: ,.-(/(./(I(/ 500/\/2q + 1 5 . Si c.e\r;i ell Llolurc-J C ~~.l.rnine el co51o cn el qlle 5e incurre al ;iuliicnrlir 1.1 ~produccion de 100 a 300 ~ ~ ~ i i d a c l e \ .
54.
I L , ~ \
55. Para un product0 la ecuacion de demanda es p = 0.01q2 - 1.19 30 y su ecuacion de oferta es p = 0.01q2 + 8. Halle el excedente de 10s sonsumidores y el excedente de 10s fabricantes cuando se ha establecido el equilibria en el mercado.
+
56. Los gastos totales (en dolares) de un negocio para 10s proximos 5 aiios estan dados por
Ebalue 10s gastos. 57. Obtenga el area de la region que se encuentra eritre las curvas y = 9 - 2 s 5 r. = .v. !. desde .v = 0 hasta x = 4.
58. Evalue el area de la region que je encuenlra entre las curvas y = x' y .\. = 4 - 3.v. > debde .v = - 1 hasta x = 2. 59. Para un grupo de individuos hospitalizados supongase que la tasa de 10s que se dan de alta esta dada por f (t) = 0.008e-0.008', en donde f (t) es la proporcion de 10s que se dan de alta por dia a1 final de t dias de hospitalizacion. LAque proporcion del grupo se da de alta a1 final de 100 dias? 60. En un analisis de mutacion de genes,* aparece la siguiente ecuacion:
,,-.. 2t g s z s . :as en donde u y v son tasas de rnu:a-..q son frecuencias de genes y n es el r.zr=sr; i-t , - r e raciones. Supongase que todas las is:= :~:~:: constantes except0 q y t . Integrar am'ms :ri>r 1 ispues utilizar eI resuItado para probar 4 - t '
A1 estudiar el flujo de un fluido en un ~ u :: h radio constante R, como el flujo de sangre en algxrlas porciones del cuerpo, se puede pensar que e; ::bo esta formado por tubos c o n c e n t r i c ~de~ radio r . en donde 0 5 r 5 R. La velocidad v del fluido es funcion de r y esti dada porf 61.
en donde P I y P2son las presiones en 10s extremos del tubo, 7 (la letra griega "eta") es la viscosidad del iluido y /es la longitud del tubo. El flujo en volurne~i, Q, a traves del tubo, esta dado por
Q Demuestre que Q
=
6277rv dr. rR4(pI
-
P,)
Observese que 8 ~ 1 R aparece como factor a la cuarta potencia. En consecuencia, duplicar el radio del tubo tiene el efecto de aumentar el flujo en un factor de 16. La formula que se derivo para el flujo en vc!unien se denornina ley de Poiseuille, en honor del fisiologo t'rances Jean Poiseuille. =
62. En un analisis de inventarios Barbosa y Friedman$ se refieren a la funcion I I '1 g(x) = brdu,
en donde k y r son constantes, k > 0, r 0. Verifique la afiimacion de que
> -2
yx
>
(Sugerencia: Considerense dos casos: cuando r # - 1, y cuando r = -1 .)
+ R.W. Stacy y cols., Essenrials of Biological and Medical Physics (Nueva York: McGraw-Hill Book Com-
--
* W.B. Mather, Principles of Quantiiative Generics (Minneapolis, Minn.: Burgess Publishing Company, 1964).
pany, 1955). $ L.C. Barbosa y M. Friedman. "Deterministic Inventory Lot Size Models-A General Root Law", Management Science, 24, n~im.8 (1978), 819-26.
TICA
Pretio de un articulo entregado Suponga que es el fabricante de un producto cuyas ventas se realizan a no mas de R kilometros de distancia de su fabrica. Suponga tambien que se cobra a 10s clientes el flete segun la tasa de s, en dolares por kilometro, por cada unidad deproducto vendida. Si m es el precio unitario (en dolares) en la fabrica, entonces el precio unitario para el cliente en la entrega, y a x kilometros de distancia de la fabrica, es el precio en esta, mas el cargo por envio, s . ~ : p
= 117
+
sx,
O s x s R .
(1
El problema consiste en determinar ei precio rnedio de los articulos vendidos y entregados. Puede pensarse que la respuesta es el promedio de la funcion p en el intervalo de x = 0 hasta x = R. Pero no es este necesariamente el caso porque el valor medio de p no toma en consideracion el numero de unidades vendidas. Considere que existe una funcion f tal que f(t) r 0 en el intervalo [0, R ] y tal que el area bajo la grafica d e f y por encima del eje x , d e t = 0 a t = x, representa el numero total de unidades Q que se venden a los clientes a .u kilometros d e distancia de la fabrica. Vease Figura 15.39(a). Puede hacerse referencia a f como la distribution d e la demanda. Como Q es funcion de .Y y esta representada por el area. Q(x)
=
[f(,) dl.
En particular, el numero total de unidades vendidas dentro del area de mercado es
[Figura 15.39(b)]. Por ejemplo, si f(t) = 10 y R = 100, entoncec el numero total de unidades vendidas dentro del area de rnercado es
i,
100
Q(loo, =
10 d*
-
I
101
100
=
1000 - 0 = 1000.
Precio de dn orticulo entregado tIrl
1
Nbmero d e unidodes vendidos dentro d e x kil61netros
Numero total de unidodes
1
vendidos denrro del area de mercodo
Ibl
(a1
FIGURA 15.39
El precio promedio entregado .-1 e\ra dado por A = -
ingreso total numero total de unidades \endidas
Como el denominador es Q(R), es posible determinar A una \ez que se ha evaluado el ingreso total. Para calcular 10s ingresos totaies, en prinizi. lugar se considera el numero de unidades vendidas en un intervalo. Si r , < r, [vease la Figura 15.40(a)], entonces el area bajo la grafica d e f y por encirna del eje x de r = 0 a r = I , , representa el numero de unidades vendidas a no mas de I , kilornetros de la fabrica. De manera similar el area bajo la grafica d e f y por encima del eje x de I = 0 a r = r,, representa el nlimero de unidades vendidas a no mas de r, kilometros de distancia de la fibrica: Por ello, en tkrminos geometricos, la diferencia entre estas dos areas es el area sombreada en la Figura 15.40(a), y representa el numero de unidades vendidas a entre r , y r, kilometros de la fabrica, o sea Q(r,) - Q(r,). Por ello
Por ejemplo, si f(r) = 10, entonces el numero de unidades vendidas a clientes ubicados a entre 1 ! 6 kilometros de la fabrica es
E s posible aproximar el area de la region sombreada de la Figura 15.40(a) mediante el area de un rectangulo [Figura 15.40(b)] cuya altura es f ( f ) y cuya anchura es Ar, en donde Ar = r, - r . Por ello, el nlimero unidades de vendidas en el intervalo de longitud Af es aproximadamente . f ( ~11 ).
la!
Ib!
FIGURA 15.40
628
15
INTEGRACION
Como el precio de estas unidades es [por la Ec. ( 1 )] apro\imadamenre pcrcibe es aproximadamente
La wma de todos 10s productos como este, de t = 0 a r totales. La integracion definida da
2 ( m + stlf(i) At Por lo que ingreso total =
[(m
-+
I
(m
=
+
171
+
st,
el ingreso que se
R , es una apro\imacion de 10s ingresos
~ t ) f ( tdt. )
+ st)f(t) dt.
En consecuencia, el precio promedio de entrega A esta dado por r ( m
+
st)f(t) dt
o de manera equivalente,
Por ejemplo, si f(f)
=
10,
171 =
200, s
=
0.25, y R = 100, entonces
De lo anterior,
Asi, el precio promedio entregado es 212,500/1000 = $212.50.
= 50 - 21, determine el numero de unidades vendidas a clientes u bicados a no mas de cinco kilometros de la fabrica. Entre 10 y 15 kilometros.
1. Si f(t)
1. S i j i t ) = 20, m = 50, s = 0.20, y R = 80, determine (a) el ingreso total, (b) el numero total de
unidades vendidas p (c) el precio promedio por articulo entregado. 3. Si f(t) = 60 - 2t, nl = 100, s = 1 , y R = 30, determine (a) el ingreso total, (b) el numero, total de unidades vendidas y (c) el precio medio por articulo entregado.
16
cnpi~uro
u
Metodos y aplicaciones de la integracion - 16.f
lntegracion por partes* No es posible encontrar rnuchas inregrales por rnedio de 10s metodos antes seiialados. Sin embargo, existen rnaneras de sarnbiar ciertas integrales a forrnas que Sean mas faciles de integrar. De estos rnirodos se analizan dos: integracion por partes y (en la Seccion 16.2) el de in regrocid11por -iracciones parciales. Si u y v son funciones diferenciables de x, por la regla del product0 se tiene que
Reordenando, se obtiene
Integrando arnbos lados con respecto a x,
i
uv)' dx
-
1
I I
vu' dx.
(1)
Se debe encontrar para (uv)'dx una funcion cuya derivada con respecto a x sea (uv)'. Es claro que una de tales funciones es uv. Por ello, (uv)' dx cion (1) se convierte en
J
uv' dx
=
uv
+ C, -
J
Incorporando C , en la constante de inregracion para
=
uv
C , y la Ecua-
vu' d x .
J vu'dx
y reernplazando v' dx por
dv y u' dx por du, se tiene la formula de integracion por partes:
* Se puede omitir sin perder continuidad
+
Formula de integracion por partes
I I
udx. = ux7 -
I
vdu.
(2)
Esta formula expresa una integral, u dt: en terminos de otra,
I
v du, que puede resul-
tar mas facil de evaluar. Para aplicar la formula a
i
f (x) dx, se debe escribir f (x) dx como el product0
de dos factores (o partes) eligiendo una funcion u y una diferencial dv tales que f (x) dx = u dv. Para que la formula resulte util debe haber posibilidades de integrar la parte elegida para dv. Para ilustrar esto considerese
No puede determinarse psta integral por las formulas de integracion vistas antes. Se puede escribir xeX dx en la forma u dv, tomando u = x
dv
y
= e.' d . ~ .
Para aplicar la formula de integracion por partes, se debe evaluar du y v: y drt = d . ~
Y
tJ =
1e'd.y =
P'
+ C,
Por lo tanto
= x e r - e ' + C = e Y ( x - 1)
-
I
+ C.
La primera constante C , no aparece en la respuesta final. Esta es una caracteristica de la integracion por partes y, a partir de este momento, no se escribe esta constante cuando se determina v a partir de dv. Cuando se emplea la formula de integracion por partes, en ocasiones puede no ser evidente la "mejor selecci6n" para u y dv. En algunos casos una alternativa puede ser tan buena como otra y, en otros, es posible que solo sea apropiada una de las alternativas. El conocimiento de cual es la mejor alternativa (si es que existe alguna) se obtiene solo con la practica y, por supuesto, mediante tanteos.
EJEMPLO 1 Eraluar
-
vx d-x mediante integracion por partes.
16.1
Integtocion por portes
Se ensaya Entonces
De donde
EJEMPLO 2
Sean u
= x y
dr = In
.I- d . ~ Entonces .
du = dx, per0 v =
f
In x dx no es evidente me-
diante inspeccion. En sonsecuencia, se hace una seleccion diferente para u y dv. Sean
Entonces
De donde
632
16
METODOSY APLICACIONES DE LA INTEGRACION
LJLMPLO 5
Determinar Sean u
=
1
In y dy.
In y y dv
=
d y . Entonces, du
=
(l/y)dy y v
=
y.
EJEMPLO 4
'I
xe" dx = - ex2(2.rdx) 2 =
1 - l e u du 2
( en donde a = r2)
ADVERTENCIA
No deben olvidarse las formas basicas de integracion. ;No se requiere aqui la integracion por partes! En ocasiones puede utilizarse la integracion por parres mas de una vez, como se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5
Determinar Sean u
=
i
x2e2T+'d.x.
x 2 y dv = e2" +
J
I
dx. Entonces du
=
2x dx y v
=
e2"
+
'/2.
Para evaluar xe2"+l dx se utiliza de nueva cuenta la integracion por partes. Aqui, Sean u = x y dv
=
e2"
+
dx. Entonces du
=
dx y v
=
e2" + l / 2 .
16.2
Integrocion por frocciones porcioles
Por lo tanto
I
ZeZr + 1
dx
.r
-1
+
I
-7
-
21.
Halle el area de la region limitada For el e:s .v. la
curbs
22.
Determine el area de la region limitada 3 1 r sl sje
.Y
- 16.2
,21
+-
= -- -
+1
4
+
(en donde C
C
= - --
y = In x y la recta x = e 3 .
y la curva y = xe-', entre x =
0y x
= 4.
lntegrocion por fracciones partiales* Ahora se considerara la integral de una funcion racional (el cociente de dos polinomios). Sin perder generalidad. puede suponerse que el nurnerador N(x) y el denominador D(x) no tienen un factor polinomial comun y que el grado de N(x) es inferior a1 grado de D(x) [es decir, N(x)/Dl.\-) deiine una funcion racional propia]. Si el numerador no fuera de menor grado, se podria utilizar la division no abreviada para dividir N(x) entre D(x): PLYJ
DI.\-I
--- : por lo que N(x) - - P(x) ).\',.I t
D(x)
+
R(x) D(x)
P(x) seria un polinomio (facil de integrar) y R(x), un polinomio de rnenor grado que D(x). Por lo tanto, R(s)/D(x) definiria una funcion racional propia. Por ejemplo,
=.rl+,r+ -
* Se puede omitir sin perder continuidad.
I
4.r' -- 14x - 6 - 3 d.~ s - - 2x' - 3.r
Por consiguiente, se considera
Observese que el denominador del integrando esta formado solo por factorc neales distintos, y que cada factor aparece solamente una vez. Se puede probar q cada uno de esos factores x - a le corresponde una fraccidn parcial de la form2 -
A
( A es una constante)
x - a
tal que el integrando es la suma de las fracciones parciales. Si existen n de tales factc lineales distintos, habra n fracciones parciales como esas, cada una de las cuales se I de integrar con facilidad. Aplicando estos datos, puede escribirse
Para determinar las constantes A , B y C , en primer lugar se combinan 10s ter nos del lado derecho:
Corno 10s denominadores de ambos lados son iguales, pueden igualarse sus numerador
Aunque la Ecuacion (1) no esta definida para x = 0, x = -1 y x = 3 se desea encont valores para A , B y C que hagan que la Ecuaci6n (2) resulte cierta para todos 10s va tes de x. Es decir, que sea una identidad. Haciendo en forma sucesiva en la Ecuaci (2) a x igual a cualesquiera tres numeros diferentes, se puede obtener un sistema de eci ciones que pueda resolverse para hallar A , B y C . En particular, puede simplifica el trabajo igualando x a las raices de D(x) = 0, en nuestro caso, x = 0, x = -1. x = 3. Utilizando la Ecuacion ( 2 ) , si x = 0,
Consecuentemente, la Ecuacion (1) se convierte en 14x - 6 2 + -----3 1 - - ---x(x+l)(x-3) x x + 1 x - 3 4x2
De donde
-
Por consiguiente, se considera
ObsCrvese que el denominador del integrando esta formado solo por factores lineales distintos, y que cada factor aparece solamente una vez. Se puede probar que a cada uno de esos factores x - a le corresponde una fraccidn parcial de la forma A X
( A es una constante)
- U
tal que el integrando es la suma de las fracciones parciales. Si existen n de tales factores lineales distintos, habra n fracciones parciales como esas, cada una de las cuales se puede integrar con facilidad. Aplicando estos datos, puede escribirse
Para determinar las constantes A , B y C , en primer lugar se combinan 10s tkrminos del lado derecho:
Como 10s denominadores de ambos lados son iguales, pueden igualarse sus numeradores: Aunque la Ecuacion (1) no esta definida para x = 0, x = -1 y x = 3 se desea encontrar valores para A , B y C que hagan que la Ecuacion (2) resulte cierta para todos 10s valores de x. Es decir, que sea una identidad. Haciendo en forma sucesiva en la Ecuacion ( 2 ) a x igual a cualesquiera tres numeros diferentes, se puede obtener un sistema de ecuaciones que pueda resolverse para hallar A , B y C. En particular, puede simplificarse el trabajo igualando x a las raices de D(x) = 0, en nuestro caso, x = 0, x = -1, y x = 3. Utilizando la Ecuacion ( 2 ) , si x = 0,
S i x = 3,
Consecuentemente, la Ecuacion (1) se convierte en 4.x' - 14x - 6 2 3 - - + - - X(X+ 1)(x - 3) x x + 1 De donde
1 x
-
3
j
16.2
Inregrocion por fracciones parcioles
=
In
1
.,
x't.1~ + 1)' j
1
x - 3
+C
(aplicando las propiedades de Ins logari~rnos).
Se establece ahora para la integral original
Existe un metodo alternati~opara determinar A , B y C. Implica desarrollar el segundo miembro de la Ecuacion ( 2 ) y combinar terminos semejantes: 4.x' - 14.x
-
+ B ( X -~ 3x) + c(sZ+ I ) = A\-' L4v - 3A + BX' 3Bx + CX' + C.x. 6 = ( A - B - c)x2+ (-2A - 3B + C)X + (-3A). 6
= ,4(.r2 -
2r - 3)
-
4x2 - 14x
-
-
Para esta identidad 10s coeficientes de potencias correspondientes de x en 10s lados derecho e izquierdo de la ecuacion deben ser iguales a
4=,4tB+C, -14 -
Resolviendo, se obtiene A
=
=
-2.4 - 3B
+
C,
- 6 = -3.4. 2 , B = 3 y C = - 1 , a1 igual que antes.
EJEMPLO 1
f
2x+ 1 d.1.. 3x' - 27 Ya que el grado de N(x) es menor que el grado de D(x) no se necesita la division no abreviada. La integral se puede escribir de la siguiente manera
Determinar
Expresando (2x
+
l)/(x2 - 9) como una suma de fracciones parciales,
Combinando terminos e igualando 10s numeradores,
Si x = 3, entonces 7
si x
=
-3, entonces
Y
-5 = -6A
5 A=--.
6
De donde
Si el denominador de N ( x ) / D ( x ) contiene solo factores lineales, algunos de 10s cuales se repiten, entonces para cada factor ( x - a ) k , en donde k es el numero mhximo de veces que se presenta x - a como factor, le correspondera la siguiente suma de k fracciones parciales:
EJEMPLO 2
En virtud de quc el grado /V(.Y), o sea 2, es menor que el de D(x),o sea 3, no es necesaria la division larga. D(x) el factor lineal .u 2 ocurre una vez, y el factor lineal x + I , dos veces. Sera necesario hallar tres fracciones parciales y tres constantes.
+
Se eligen x = -2, x = -1 y, por conveniencia, x = 0. Para x
=
Si x
-1, entonces
-2, 4 = A.
=
- 1 = C. 0, entonces 6=A+2B+2C=4+2B-2=ZAB, 4 = 2B, 2 = B. Por ello,
Si x
=
16.2
637
Integrocion por frocciones porcioles
Supongase que se presenta en D ( X I un fac:oi 2uadra:lco r- - b s - c y que este no puede expresarse corno el produsro d t dcs facro::s llneales con zotficientes reales. A este factor se le denornina irreducrrble robrr "or nunleros reales. A cada factor cuadratico irreductible que ocurre exacramenre una \ez en D ( s ) le corresponde una fraccion parcial de la forrna
EJEMPLO 3
Dado que x 3 + x 2 + x = .X~.Y: - s - 1 ), se tiene el factor lineal x y el factor cuadratic0 x 2 + x + 1 que por simple inspeccidn no parece ser factorizable. Si lo fuera ( x - r , ) ( x - r,), en donde r . y r , son reales, entonces estos valores r , y r2 serian raices de la ecuacion x' - .Y - 1 = 0. blediante la formula cuadratica, las raices son
Como no existen raices reales se concluye que x 2 + x + 1 es irreductible. Asi, sera necesario deterrninar dos iracciones parciales y tres constantes:
+ .r + 1) + (Bx + C).u AX^ + A.r + A + BX' + Cx.
- 2 r - 4 = A(X' =
Igualando 10s coeficientes de potencias sirnilares de x,
Resolviendo, se obtiene A = -4, B = 4 y C = 2. En consecuencia,
1:
Arnbas integrales tienen la forma -, por lo que,
Supdngase que D(x) contiene factores de la forma (r' + bx + c)" en donde k es el numero rnaximo de veces que ocurre el factor irreductible x2 + bx + c. Entonces, a cada uno de esos factores le correspondera una suma de k fracciones parciales de la forrna
EJEMPLO 4
Puesto que N(,Y)es de grado 5 y D(x) lo es de 4, en primer lugar se divide N(.u) entre D(x).
+
El factor cuadratico x 2 + 4 del denorninador de (8x3 + 16x)/(x2 4)? es irreductible y aparece dos veces corno factor. Por lo tanto, a (x2 + 4)' le corresponden dos fracciones parciales y cuatro coeficientes que es necesario deterrninar.
8,r3
+
16x = (Ax
+ B)(x' + 4 ) +- C'x + D .
Igualando potencias sirnilares de x, 8 = A ,
0
=
B,
16 = 4 4
Resolviendo, se obtiene A
=
8, B
+ C,
O=4B+D. = 0, C = -16 y D
= 0.
Por consiguicnte,
16.2
639
Integrocion pot frocciones porcioles
1-a segunda integral de la ultima linea tiene la forma
y la tercera es df :a iorrna
A partir de 10s ejemplos el lector puede haber deducido que el nurnero de consrartes que se necesitan para esprecar .\.(.v)iD(x) mediante fracciones parciales es igual h; grado de D(x), si se supone que .\.(.v):(D(x) define una funcion racional propia. EI:G es exactamente lo que sucede. Debe ariadirse que es unica la representacion de una funcion racional propia por fracciones parciales; es decir, solo hay una forma de elegir las conscantes. Ademas, sin importar la complejidad del polinomio D(x), siempre se le puede expresar (en teoria) corno un product0 de factores cuadraticos lineales e irreductibles con coeficientes reales. EJEMPLO 5
1
Esta integral es de la forma i -
tl11
-
. Consecuentemente,
'(
ADVERTENCIA No se deben olvidar la5 forma basicas de integracion.
En 10s Problernas 1-22, cleferrnine las integrales.
17.1
-
12
d.\- . -
x4
-
3x3 - 5.r2 + 8.r .r - 2r2 - 8.y
-3x3 + 2x - 3 dr . .r2(x2- 1 )
-
1
.,-
-
r'
+
8
+
4.r
x
d.1..
13.
.I-
dx.
-x3
+ 8 x 2 - 9x + 2
(x2
18.
+
+
l h 3 + 20x2 28s ( x 2 + 2x 3)(.r2
+
+
+4
3x3
d.r .
+x
22.
Evallie el area lirnitada por y
+
3x' - 8r 4 dx . - 4x2 4s - 6
+
1)
dr . 23.
+ 9 x 2 + 8 dx .
2x4
1)(x - 3):
j2(X + 3 ) ( x +' 2 ) dr.
= (x2
2x2
+
I
+
I)/(x
+ 2 ) 2 y el eje x desde x
= 0
hasta x
=
1.
16.3 Integration por medio de tablas Ocurren frecuentemente ciertas formas de integrales que pueden evaluarse en tablas de formulas de integration.* En el ApCndice E aparece una tabla breve, y en tal seccion se ilustra la forma en que se utiliza. Es posible que sea necesario reemplazar una integral dada por una forma equivalente antes de que se ajuste a algunas de las formulas de la tabla. La forma equivalente debe ajustarse de manera exacta a la formula. En consecuencia, las modificaciones que se lleven a cab0 no deben realizarse en forma mental. jEscribalas! El no hacer lo anterior puede conducir facilmente a resultados incorrectos. Antes de realizar 10s ejercicios el lector debe asegurarse de que comprende plenamente 10s ejemplos ilustrativos. En 10s siguientes ejemplos 10s numeros de formula se refieren a la Tabla de Integrales Seleccionadas que se presenta en el ApCndice E.
LJLMPLO 1
Resolver
I(2
xdr 3xj2.
+
Explorando en las tablas, puede identificarse el integrando con la Formula 7:
Ahora se observa si es posible asociar en forma exacta el integrando dado con el de la formula. Si se reemplaza x por u, 2 por a y 3 por b, entonces du = dx y , mediante sustitucion, se tiene
Volviendo a la variable x y reemplazando a por 2 y b por 3, resulta
Vease, por ejemplo, S. M. Selby, Standard Mathematical Tables, 2Za ed. (Cleveland, Ohio: Chemical Rubber Company, 1974).
16.3
64 1
Integrocion por medio de toblos
EJEMPLO 2 Evaluar
I x 2 ddx . ~
Esta integral se identifica con la F61.mula 24:
En ksta ultima, si se utiliza el signo inferior del simbolo dual "?" en el lado izquierdc. entonces debe utilizarse tambien el signo de la parte inferior de 10s simbolos duales 3e: lado derecho. En la integral original se fijan q = x y a = 1. Entonces, du = d\-) . por sustitucion, la integral se convierte en
Como u = x y a = i ,
EJEMPLO 3 Resolver
1X d G T Z . dr
Puede identificarse el integiando con la Formula 28:
Si u = 4x y a = ~ 3entonces , du = 4 dx. Observese cuidadosamente la forma en que insertando cuatros en el numerador y en el denominador, se transforma la integral dada en una forma equivalente que se ajusta a la Formula 28.
Obskrvese que ia respuesta debe darse en terrninos dex, la variablgojyg&& ... . . ,
..- .
.
- ... .
EJEMPLO 4 Determinar
..
,
c
Wb
J
n~tgra::>: -_ _
-
- -
.
Este integrando se identifica con la Formula 21:
Haciendo u = \OX y a 2 = 2, se tiene du = t.3 dx. Por ello, insertando dos factores de Q \ tanto en el numerador como en el denominador de la integral original, se tiene
EJEMPLO 5
Evaluar
I
7x2 ln(4x) dx.
Esta es similar a la Formula 42, con n = 2:
Si u
=
4x, entonces du
=
4 dx. De aqui que
/7.r2 ln(4.y) d r =
( 4 ~ ) 'ln(4x) (4 dx)
A primera vista no se identifica el integrando aon ninguna farma de la tabla. Quiza el resoribir la integral resulte util. Sea u = 7 + eh; en este caso, du = 2eLXdx
16.3
Integtocion por medio de toblos
-j 1 7 + e h 2 7+e"
e" dr 1 (2eh dr) -- = 2 u
1 In 2
= -
lul
+ C
De manera que solo se requirio utilizar el conocimiento que ya se tenia de las form= basicas de integracion. En realidzd, esta forma aparece como Formula 2 en las [ a h l a .
EJEMPLO 7
Evaluar
dr
Se utiliza en primer lugar la Formula 32 para obtener la integral indefinida:
Si u
=
2x y a2
=
2 entonces du = 2 dx. Asi
En vez de volver a sustituir la x y evaluar a partir de x = 1 hasta x = 4, es posible determinar 10s correspondientes lirnites de integracion con respecto a u y despuks evaluar la ultima expresion entre esos limites. Ya que u = 2x cuando x = 1, entonces u = 2; cuando x = 4, se tiene que u = 8. En consecuencia
ADVERTENCIA Cuando se cambia la variable de integracion x a la variable de integracion u debe asegurarse i e que se carnbian 10s lirnites de integraci6n para que concuerden con u. Es decir,
Las tablas son utiles cuando se manejan integrales relacionadas con anualidads. Supongase que se deben pagar $100 a1 final de cada aiio en 10s proximos dos aiior. Recukrdese del Capitulo 7 que a una serie de pagos realizados en un perlodo. tal =mc el que se plantea aqui, se le denomina anualidad. Si en vez de hacerlo como x ~ i a r : ~ fuera a liquidarse en este momento la deuda, se pagaria el valor presente dc :aS : X que vencen a1 final del primer aiio mas el valor actual de 10s 5100 que \A del segundo aflo. (Se analiza en la Secci6n 7.3 el valor actual de una a n.& h 1
*,,
suma de estos valores presentes es el valor actual de la anualidad. Ahora, se consider; el valor actual de pagos realizados en forma continua en el intervalo de tiempo que trans curre de t = 0 a t = T, en donde t esta en aiios, cuando el interes se capitaliza continua mente a una tasa anual de r. Supongase que se hace un pago en el tiempo t de manera que segun una base anua este pago es f(t). Si se divide el intervalo [0, T ] en subintervalos [t,-,, t,] de amplituc p t (en donde At es pequefia), entonces el rnonto total de todos 10s pagos en ese subinter
'
I*
J
, I
- -
-
- -
. -
valo,es aprqximadamente f(t,)At. [Por ejemplo, si f(t) = 2000 y At fueran un dia, en tonces el monto'total de 10s pagos seria 2000(:&).] El valor actual de 10s pagos e apro~imada-nientee-~~~f(t,) At (vease la Secci6n 10.3). En el intervalo [0, T I , el tota de todos esos valores actuales es
-
-
.
.-
--
X e - r7y-(t,)~t.
Esta suma se aproxima a1 valor presente A de la anualidad. Conforme mas pequefic es At tanto mejor es la aproximacion. Es decir, cuando At-. 0, el limite de la suma e. ' : & 3Aldr actual. Sin h b a r g o , este limite es tambien una integral definida. Es decir,
I
,
-
, -1
J
)
*
I
,
JO
donde A es el valor actual do una anualidad continua a una tasa anual r(compuesta continuamente) durante T aiios si un pago en el tiempo t es la tasa de f(t) a1 aAo.
Eb oiasiones se'dic; que la Ecuacion (1) proporciona el valor actual de un flujc 'contin~6'd"eih~resod:Tambien se puede utilizar la Ecuaci6n (1) para calcular el valo actua~deias'unidadesfiituras de un negocio. En tal caso, f(t) es la tasa anual de utilidade en el tiempo f. Tambien puede considerarse el valor futuro de una anualidad en vez de su valo actual. Si se hace un pago en el tiempo t , entonces tiene cierto valor a1final del period1 de la anualidad, es decir, T - t aAos despuis. Este valor es
,I
I
I
,
I
'
L
(
irqporte del ;ago
) ( +
interes sobre este pago durante T - t aiios
Si S es el total de estos valores para todos 10s pagos, entonces a:S seJe denomina el montc acumukads dr: una' ansatidad continua y esta dado por la siguiente formula ,
r'
..
. .~.
. : ; ;
.
.
..
.?... .i
.
.
,;
......
. ,
.,;;
-
.
en d o n d e ~ S ~ ~ e l ~ ~ m acumulado dnto de una anualidad continua a1 final de T afios, a una tasa anual r (capitalizable continuamente) cuando un pago .,::;&k:tiem,p~ . .. rt. &-;$$ it&~if(~l)pOr~ afi0.i t,'
!;;
,
:';. :.,, ,;:..;
$
:,;,
: \ ,:; "t.,',,
. ."
.
.
Ev.&@rLel.$ab~@tw+#reQGod~ad.o a urudadesl de una anualidqd continua a una ras . . : m u a l ~ . d ~ ! ~ ~ d d r r y t ~ t e : f Ow : agf oi @en, ~el~moment@f ~.el es segun latasa de t 2 un i':,;~~s'-m~setarirasaliar?o.. : . . . . ,. . .
c. ./;; ..L.
.,
..;:.
. ..
..
:
:
-;,ii !:,>!;
i. J . \ : .
..
,,,,
2 L Z
;,;
16 3
.ah
Integration pot rnedio de tablas
El valor actual esta dado por
Se usa la Formula 39,
que se denomina fdrmula de reduccion porque transiorma una integral a una expresi6n que es mas facil de deterrninai. Si u = t , n = 2 y a = -0.08, entonces du = dr y se tiene
En la nueva integral el exponente r se ha redbcido a 1. Se puede asociar esta integral '. a la Formula 38,
haciendo u
=
ty a
=
-0.08. En este caso, du t2e - 0 OX,
dr = --0.08
lo
Lo
=
2 - -
dt y e-O
081
-0.08[( -0.08)-
.(-0.081 - 1)
11,"
El valor actual es $185.
En tos Problemas 1-34, evalue las integrales utilizando la tabla del Apkndice E.
17.
dr.
18.
j2x 2 ( ldx+ x)' I
dr.
dr
27.
I
+
>\'I
3x dr.
28.
I
x 2 ln .r d r .
En 10s Problemas 35-52, resuelva las integrales por cualquier me'todo. 37.
43.
J
I-
r\/2r2 +
l dr.
38.
4x2 -
6
dx
X
16. l l n x dx.
xe2' dx.
48.
12.1-~mj1d""m ' dx.
4
o
53. En un analisis referente a la frecuencia de genes,* se presenta la siguiente integral:
en donde las q representan las frecuencias de genes. Evalue esta integral. el nurnero 11 de gcliela51. Ln ciertaj coi~dicio~lej que se requieren para cambiar la I'recucncia tle un gene dc 0 . 3 a 0. I esra dado pol. 5
('alculc
11
(a1 entrro mas ccl.cano).
Obtenga el talor ~iclual(redondeando a unidadej) de una anualidad continua a una tasa anual de I' tlurante r a i ~ o j si , el pago en el mornento I e j a la ta\a al~ual,/(I), dado que
55.
a. r = 0.06, b. r = 0.05,
-
T T
= =
10, f(t) = 5000, 8, f(t) = 200t.
5 0 . Si,/'(t) li. en donde k es Lina constanre posirita, demuestre que el talor de la in~egralen la Ecuacidn ( 1 ) de e5ta seccidn es
57. Calcule el monto acumulado, redondeando a unidades, de una anualidad continua a una tasa anual r durante T afios, si el pago en el momento t es a la tasa anual f ( t ) , dado que a. r 0.06, T = 10, f(t) = 400, b. r =: 0.04. T = 5. f(t) = 401.
-
58. Durante lo5 5 P I - h i m o sanos las utilidades de un negocio en el tlempo t \e estiman ell 20,0001 dolare\ por ;iilo. El ncgo~,iu\c va a tender a un precio cquiialente al talor actual de esas utilidadej futuras. Si el inrerti\ \c'capirali/a conrinuamente a la tasa nnual dcl IOflh. iiual debc set. el precio al que se venda dic+o negoilo, redondeado a decenas de dolare\?
5 E.O. W~lsony W.H. Bossert, A Primer oJ Population Biology (Stamford, Conn.: Sinauer Associates, Inc.. 1971).
16.4
- 16.4
647
Valor prornedio de una froccion
Valor promedio de una funtion Si se dan 10s numeros 1, 2 y 9 , entonces su valor promedio, o media, es su suma dividida entre 3. Si se denomina 7a este valor promedio, se tiene que
De mod0 semejante, supongase que se tiene una funcion f definida en el intervalo [a, b] y que 10s puntos x , , x 2 , . . . . s r estan en el intervalo. Entonces, el valor promedio de 10s n valores funcionales correspondientes f ( x , ) ,f (x,), . . . , f (x,) es 11
Es posible avanzar un paso mi&. Dividase el intenalo [a,b] en n subintervalos de igual amplitud. Se decide que x , este en el primer subintendo, x, en el segundo, etcetera. b - o Como [a, b] es de amplitud b - a, cada subinterval0 es de amplitud ---, a la que 1;
se identifica como Ax. En consecuencia, ( 1 ) se puede escribir como
Ya que Ax = -b - ,ct entonces n Ax = b - a, por lo que la expresion tI
1
puede reemplazarse por --.
tl
L h
de la Ec. (2)
I
Ademas, cuando n
0-a
+
aurnenta el n~irnerode valo-
res funcionales que se utilizan para calcular y y se obtiene lo que se denornina el valor
prornedio de la funcion f, denotado por
f:
1
~ ( x A Jx] = -lirn b - an,,
n
2 f ( x , ) Ax.
,=I
Pero el limite del lado derecho es exactamente la integral definida temente, se tiene la siguiente definicion
El valor promedio (o media) de una funcion y por ( o bien y) y esfa dado por
=
7
-
f
.I
=-
1
dr. Consecuen-
f(x) sobre el inrenulo [a, b] se denola
fb
h.
b - a EJEMPLO 1
Calcular el valor promedio de la funcion f(x) -
f
=-
1
=
x 2 en el infervalo 11, 21.
En el Ejemplo 1 se encontro que el valor promedio de y = f(x) = x2 en el intervalo [ l , 21 es 3. Se puede interpretar tal valor en forma geometrica. En virtud de que
resolviendo la integral se tiene
Sin embargo, esta integral da el area de la region lirnitada por f ( s ) = x? y el eje x desde I hastax = 2 (vkase la Figura 16.1).De la ecuacion anterior, esta area es (7/3)(2 - l ) , la cual es el area de un rectangulo cuya altura es el i.alor prornedio f = 7/3 y cuya anchura es b - a = 2 - 1 = 1 .
x- =
Y
LJLMPLO 2 Supdngase que el flujo sanguine0 en el tiempo t en un sistema organic0 esta dado por
en donde F , y a (la letra griega "alfa") son constantes. * Determinar el flujo promedio F en el interval0 [0, T I . W. Simon, Mathematical Techniques for Physiology and Medicine (Nueva York: Academic Press. Inc., 1972).
16.5
Integracian opraximoda
-
'j
FI
T o (1
+
+ at)-
dt)
En 10s Problemas 1-8, halle el valor promedio de la Juncion sobre el interval0 dado. 1. f ( x ) = x';
2. f(x)
(0,41.
4 - f ( x ) = x 2 + , + 1 ; [1,3].
9.
=
3.r - I : [I.21.
5 . f ( 1 ) = 3 t 3 : [-2.21.
1-a utilidad P de un negocio e\ta_dada pol
P = P ( q ) = 396q
-
2.1q2- 400,
c11donde q es el n"mero de unidades que se \ enden de lln producto, ~ ~ la ,,tilidad ~ lpromedio " ~ inrcrtalo que va de y = 0 a y = 100.
+
1oq
=
100
=
3x2; [-I,21.
iV'TC;
10, 41.
12. Supongase qUe Se inyecta cierto tipo de tinte en el flujo sanguine0 a una tasa constante K.* Sea C ( I ) la concentration de tinte en el tiernpo I en una ubicacion distante (distal) del puntode inyeccion, en dolidt.
R C(t) = F(t)
+ 0.1q2.
C'alcule el costo promedio en el inter\.alo de q ;I (/ = 500.
6. f ( i )
-
de t aiios su valor S esta dado por S = 3000e0 lo'. Obtenga el valor promedio de una inversi6n a 2 ailos.
10. Supongase que el costo r. de fabricar y unidades de un producto esta dado por
c = 4000
3 - f ( x )= 2
y F ( t ) esta dada en el Ejemplo 2. Demuestre que la concentraci6n promedio C en [O, TI es
l I . Una inversion de $3000 gana interes a una tasa anual del 10% compuesto continuamente. Dehpues
- 16.5
lntegracion aproximada Cuando se utiliza el Teorema Fundamental para evaluar
1."
f (x) dxes posible que resui-
te muy dificil, o quiza imposible, encontrar una antiderivada de f,aun utilizando :ak!zPor fortuna, exist en metodos numericos que pueden utilizarse para cstimar ulia :-- -,L definida. Tales procedimientos emplean valores de f (s)en divcrsos pun!o; ! .?:. :.?-mente apropiados para computadoras o calculadoras. Aqui se considsrarz: L.1. - r . d o ~la: regla trapecial y la regla de Sitvzpson. En ambos casos sc
A
Y = fix)
+ Xz
xg
X3
X"
-
=a
I
1
X"
=
b
FIGURA 16.3
FIGURA 16.2
A1 desarrollar la regla trapecial se supondra tambien, por conveniencia, que f(x) r 0 en [a, b], de manera que se pueda pensar en terminos de area. Basicamente, esta regla implica la aproximacion de la grafica de f por medio de segmentos de recta. En la Figura 15.2 el interval0 [a, b] esta dividido en n subintervalos de igual amplitud, por 10s puntos a = x,, x , , x,, . . . , y x , = b. Debido a que la amplitud de [a, b] es b - a, la longitud de cada subinterval0 es (b - a ) / n , a la cual se denominara h. Resulta claro que x , = a + h , x , = a + 2h, . . . , x, = a + nh = b. A cada int e r v a l ~sc le puede abociar un trapecio (con dos lados paralelos). El area A de la region acorada por la curva, el cje .v 4 las reclas .Y
=
(1
y .v
=
h es
f ( x ) d . y~ puede aproui-
marse mediante la suma de las areas de 10s trapecios dererminados por 10s subintervalos. Considkrese el primer trapecio, que se muestra aparte en la Figura 15.3. Puesto que el area de un trapecio es igual a la mitad de la base multiplicada por la suma de las longitudes de 10s lados paralelos, esta figura tiene como area
Analogamente, el segundo trapecio tiene por area
$h[f(a + h)
+ f(cz +
2h)l
El area A bajo la curva se aproxima medianre la suma de las areas dc A
-- $hlf(a) + f ( a
Dado que A =
+ h ) ] + $h[f(a + h ) + f ( a +
2h)l
11
trapecios:
+
P
f ( x ) dx, simplificando lo anterior se obtiene la regla trapecial:
Regla trapecial
(
en donde h
=
(b - a)/n.
I
FIGURA 16.2
FIGURA 16.3
A1 desarrollar la regla trapecial se supondra tambien, por conveniencia, que f(x) r 0 en [a, b], de manera que se pueda pensar en terminos de area. Basicamente, esta regla implica la aproximaci6n de la grafica de f por medio de segmentos de recta. En la Figura 15.2 el interval0 [ a , b] esta dividido en n subintervalos de igual amplitud, por 10s puntos a = x,, x , , x 2 , . . . , y x , = b. Debido a que la amplitud de [a, b] es b - a , la longitud de cada subinterval0 es ( b - a ) / n , a la cual se denominara h. Resulta claro que x , = a + h , x , = a + 2h, . . . , x, = a + nh = b. A cada int e r v a l ~se le puede asociar un trapecio (con dos lados paralelos). El area A de la region acotada por la cut-va, el cje .Y y las recta
.I- = (I
y .r = b es
f(.r) r l . ~ !. puede aproui-
marse mediante la suma de las areas de 10s tl-apecios determinados por los wbintervalos. Considkrese el primer trapecio, que se muestra aparte en la Figura 15.3. Puesto clue el area de un trapecio es igual a la mitad de la base multiplicada por la suma de las longitudes de 10s lados paralelos, esta figura tiene como area
Analogamente, el segundo trapecio tiene por area
El 3rea A bajo la curva se aproxinia niediante la suma de las area\: de
+ h)] + t h [ f ( n + h ) + f(a + 2h)l + $hlf(u + 2h) + f ( n + 3h)J + . . . + ihLf(a + ( n -
ti
trapecios:
A--$hlf(a) + f ( a
Dado que A =
I"
+ f(b)].
f ( x ) d x , simplificando lo anterior se obtiene la regla trapecial:
Regla trapecial
1
1)h)
en donde h = ( b
-
a)ln.
16.5
65 1
Integrocion oproximodo
La disposition de 10s coeficientes que se encuentran dentro de lo. ~or;nrt:?. i: 1 . 2 . 2 . . . ., 2, 1 . Por lo general, conforme mayor es el n~irnerode subinter\ aioi :12:2 n?,-lor es la aprosimacion. En el desarrollo anterior se supuso por con\enirtnc:a - 1 I 2 0 en [u, O]. Sin embargo, la regla trapecial es valida sin esta restriction.
,-:
4.
EJEMPLO 1
Utilizar la regla trapecial para estirnar el valor de
con n = 5. Calcular cad0 termino hasta cuatro cifras decimales y redondear la respuesta a tres. Aqui f(x)
=
1/(1
+
x2),n
=
5, a
=
h=- b - a n
0, y b
-
1. De rnodo que,
=
1-0 5
-
1 - 0.2. 5
Los tCrminos que deben sumarse son
f(a)=
+ h) = 2f(a + 2h) = 2f(a + 3h) = 2f(a + 4h) = 2f(a
f(b)=
f(0)
=
1.0000
2f(0.2) = 1.9231 2f(0.4) = 1.7241 2f(0.6)
=
1.4706
2f(0.8) = 1.2195 f(1) = 0.5000 7.8373 =
Sums
Por tanto, la estimation del valor de la integral es
El valor real es aproximadamente 0.785. La regla de Simpson proporciona otro metodo para estirnar
1,"
f(x)ds y que irn-
plica la aproximacion de la grafica de f mediante segmentos parabolicos. Se ornite la deduccion
r/(,x) dx
-
h -u(a) + 4f(a 3
+ h) + ...
2f(a
+ 2/11+
+ 4f[n + (n
-
l)h]
.t'~bl
en donde h = (b - a)/n y se tiene que n es par. El patron de 10s coeficientes que se encuentran dentro de 10s corcheres
fi
1. 2. l.1.
2, . . . , 2, 4, 1 y esto exige que n sea par. Ahora, se empleara esta regla para la integral del Ejemplo 1 . EJEMPLO 2
Usar la regla de Simpson para estimar el valor de
1 +' L
A- empleando n = 4. Calx2 cular cada uno de 10s terminos con cuatro cifras decirnales y redondear la respuesta a tres. 0 1
Aqui,f ( x ) = 1/(1 + x 2 ) ,n = 4, a = 0 y b Los terminos que deben sumarse son f(a) = f(0)
f(b) =
=
f(1)
1 . Asi, h = (b - a)/n = 1/4 = 0.25.
=
1 .0000
=
0.5000 9.4247 = suma.
Por lo tanto, mediante la Regla de Simpson,
Esta es una mejor aproximacion que la que se obtuvo en el Ejemplo 1 con la regla trapecial. Tanto la regla de Simpson como la trapecial pueden utilizarse si se conocen solo f (a),f (a + h), etcetera; no se requiere conocer la propia f. Se ilustra esto en e! Ejemplo 3.
EJEMPLO S
Una funcion que se emplea con frecuencia en Demografia (el estudio de nacimien!os, rnatrimonios, mortalidad, ctc., en una poblacidn) es la funcion de la tabla de vida, denotada por I. En una poblacidn que tiene 100,000 nacimientos en cualquier afio, I(x) representa el nurnero de personas que llegan a la edad x en cualquier aiio. Por ejemplo, si l(20) = 95,961, entonces el nu'rnero de personas que llegan a la edad de 20 afios en cualquier afio es 95,961. Supongase que se aplica la funcion I a todas las personas que nacieron en un interval0 amplio de tiempo. Puedeprobarse que, en cualquier momento, el nurnero esperado de personas de la poblacion que tienen exactamente edades entre x y x + m, inclusive, esta dado por
1+
m,(f)
dt.
En la siguiente tabla se presentan valores de I(x), para hombres y mujeres de cierta poblacion. * Obtener aproximadamente el nurnero de rnujeres que se encuenrran en el grupo de edades de 20-35. Aplicando la regla trapecial, con n = 3 . Fuente: Adaptado de Population: Facts and Methods of Demography de Nathan Keyfitz y William Flieger, W. H. Freeman and Company. Copyright 01971.
16.5
Integrocior, oproximodo
Tabla de tiempo de vida Edad x
Hombres
Mujeres
0
100,000
100.000
Ldad x 45
Hombres
Mujems
89,489
93.66-
Se desea estirnar
Se tiene h
b - a n
= --
35-20 3
=
5 , . Los terrninos que deben surnarse son
(35)
=
95,844 579,568
sums.
=
Mediante la regla trapecial , dl = ~(579.568)= 1,448,920.
Existen farmuias que sirven para dderminar la precision de las respuestas que ss obtienen utilizando la regla trapecial o la regla de Simpson. Estas formulas se puedsn encontrar en textos de analisis numerico.
En cada problenza calcule coda uno de 10s termlnos con cuatro c~frasdeclmales y redondee la resplr<_c:;; -= +
I
"
-
En 10s Problemus 1-6, urltice la reglu trupeczal o la regla de Simpsoh fsegu'n seieiiala) j el ~ a l o r~ E T;;;' n para estirnar la integral. (por el Ttwemu Far::-=En 10s Prablemys 1-4, halle tgrnb~enla rqspueslp rned~anteant1diji?renc~(cu5~ del Calculo Integral). 1.
'
,
regla trapccial, n
=
5.
2.
11%'
d l . regla dc E::.xz
-
=
-
:-;
3. ;
-
I
5.
regla de Simpson.
I?*+ ox
d*
1'
tl
regla trapecial. n = 6.
4. ;
= 6
regla de Simpson, n
regla trapecial. n = 4.
=
4.
En 10s Problemas 7 y 8, emplee la tabla de vida del Ejemplo 3 para estimar mediante la regla trapecial las integrales dados.
7.
Pr)
55
dr, hombres. n
,I5
= 5.
8.
fir) dr, rnujeres, n = 4.
En 10s Problemas 9 y 10, supongase que la grafica de una funcion continua f, en donde f (x) 2 0, contiene lox puntos dados. Aplique la regla de Simpson y todos 10s puntos para aproximar el area que se encuentra entre la grafica y el eje x en el interval0 dado.
lo. (2, 01, ( 2 . 5 , 3.6), (3, lo), ( 3 . 5 , 19.9), (4, 34); [ 2 , 41. 11. Empleando toda la informacion que se presenta de la Figura 15.4, estime de Simpson.
( x ) dx mediante la regla
V
EII10s Proble/iias 12 y 13, utilizurselu reglu hdicadu del valor dudo 11 puru esrr/?rui.lo itlregrul.
I
12. tal
1 .
1
- - ; rTG
regla de Simpson, ti
= 4.
Tambien, evalue la intcg:-ai rnedianteel Teorema Fundamen-
del Calculo Integral.
7
;regla de Simpson, n
= 4.
- 16.6 Ecuotiones diferencioles
-
-
I
E n ocasiones puede resultar necesario resolver u n a ecuacion q u e implica l a derivada d e u n a funcion desconocida. A esas ecuaciones se les denomina ecuaciones diferenciales. U n ejemplo es
y' = x y 2 .
(1)
16.6
655
Ecuociones diferencioles
-
En terminos mas precisos, la Ecuacion (1) es una ecuac~ondi i s r z r : s 2 r -2- r,-2-polque contiene una derivada de primer orden y ninguna de 2-25- i-TIT 1u ~ 1 3 ~ cion para la Ecuacion ( I ) es una funcion y = f (x) que cs:t : : ' : a rr ira ~ ' I Y I y que satisfaga la ecuacion para toda x en el intenalo. Para resolver y' = xy2 o, de manera equivalente.
se considera que dy/dx es un cociente de diferenciales y "en forma aigf?rr~;i e eparan" variables, replanteando la ecuacion de manera que cada uno de 12: .L: :? r -:.1 tenga solo una variable y que no se encuentre una diferencial en ningun d:r.:-.-.I: I-
Integrando ambos lados y combinando las constantes de integracion,
Corno 2C, es una constant< arbitraria, se l e pucclc recrnpla/ar pol- C'.
L>e$pejando en la Ec. (3), resulta
Puede verificarse por sustitucion que y es una solucion para la Ecuacion diferencisl (2):
Se debe observar en la Ecuacibn (4) que para cada valor de C se obtiene una solucion diferente. A la Ecuacion (4) se le denomim sdnciciu gemern! de la ecuacion diferencial. El m h d o que se e m p l ~ opara hallark se demomina separacibn de variables. Ea d e j a p l o anterior supbngast que se fija la condicidn de que y = - cuando x = 1; es d e c i ~y(1) = -%. Entonces, la funcidn particular que sarisface la Ectiacidn
(2) y tal c~ndicionse puede encontrar sustituyendo 10s valores x la Ecuacion (4) y despejando C:
Por lo tanto, la solucion de dy/dx
= xy2,
Y = -=.
tal que y(1) =
-5
=
1yy
=
-$ en
es
2
A la Ecuacion (5) se le denornina solucion particular de la ecuacion diferencial.
EJEMPLO 1 Resolver y'
l'
=
-' si I'
x,
> 0.
Escribiendo y' como dy/dx, separando variables e integrando, resulta
1; -1: dy
=
.T
dx,
En virtud de que s,y > 0 , se pueden omitir las barras de ~ a l o rabsolute: In y
=
La forrna exponencial de la Ec. (6) es y por lo que
\'
=
e'le-l"
C, - In x. =
e' -
-
eCI
--
el''
Reemplazando e" por C, en donde C > 0 y e 'I'
"
' I 1 l,
"
por x se obtiene
En la Seccion 10.3 se analizo el interes cornpuesto continuarnente. Ahora se abor da este terna de rnanera diferente. Supongase que se invierten P dolares a una tasa anua r cornpuesta n veces a1 afio. Supongase que la funcion S = S ( t ) da el rnonto cornpuestc S lo el rnonto total) a 10s tafios de la fecha de la inversion inicial. En este caso, el capi tal inicial es S (0) = *P.Ademas, como-existen n periodos de interes por afio, cada unc ,es de langiiud l/n afios, lo que se denota por At. A1 final del primer periodo el interet acurnulado se suma a1 capital, y la suma actua en calidad.de capital para el segundc periodo, y asi sucesivarnente. Consectrerltemknte, si el cornienzo cte un pe~iodode inte
16.6
657
Ecuaciones diferenciales
rCs ocurre en cl ~icmpot , cntonccs cI aumenro en cl monro al final dcl pel-iodo 1 i i.. .S(t t 1 1 ) - S ( t ) , quc se e\c.~ihccomo AS. Este inel-c~~~cnto, 1 . S . c\ [o~nbiC~i cl inrcr~.,
q t ~ ckc gana en el pcl.iodo. Ilc 1.01-macqui\,alente, el inter& es el capital m~~ltiplicacln 1201- la tasa y niul~iplicadotambiin por el riempo:
iS
=
S .
I-.
At.
Dividiendo ambos lados entre At, se obtiene
+
0, entonces n
1
+ w )-.en consecuencia el interes se capitaliza contiAt nuamente; es decir, el capital esperimenta un crecimiento continuo en cada instante. Sin embargo, cuando At + 0, AS A! + dS dr. y la Ecuacion (7) toma la forma
Cuando At
= -
Esta ecuacion diferencial signiiiia que cuando se capita1i;a conrinuamente el inter& la rapidez de cambio de la canridad de dinero que se tiene en el momento t esproporcional a la cantidad que se tiene en el tiernpo t . La constante de proporcionalidad es r. Para determinar la funcion real S se resuelve la ecuacion diferencial (8) mediante el metodo de separacion de variables. dS - = r-S, dl dS -
S
Puesto que puede suponerse que S
= r-
dl,
> 0 entonces In (Sl=
In S. Por ello,
Se puede despejar S convirtiendo la forma exponencial siguiente. S = e"+C, - e lC e " .I Por sencillez puede reemplazarse eC', por C , para tener S = Cer'.
Debido a la condicion de que S(0) Asi, C
=
=
P, es posible calcular el valor de C:
Py
La Ecuacion (9) da el valor total despuks de t afios de una inversion inicial P compuesta conrinuamente a una tasa anual r (vease la Figura 15.5). En el analisis del interes compuesto se vio de la Ecuacion (8) que la rapidez de cambio en el monto presente era proporcional a su misma magnitud. Existen muchas
cantidades naturales como la poblacion, cuya tasa de crecimiento o de disminucion, en cualquier momento se considera proporcional a1 valor inicial que se tiene. Si N denota la magnitud de esa cantidad en un tiempo t , entonces la tasa de crecimiento significa que
en donde k es una constante. Si se separan las variables y se despeja N,tal como se hizo para la Ecuacion (8) se obtiene
en donde No es una constante. Debido a la forma de la Ecuacion (10) se dice que la cantidad sigue una ley exponencial de crecimiento si k es positiva y un decrecimiento exponencial si k es negativa.
EJEMPLO 2
En cierta ciudad la tasa a la cual crece su poblacidn en cualquier momento es praporcional a1 tamaiio de esta ultima. Si la poblacion era de 125,000 en 1960 de 140,000 en 1980, j cual es la poblacion esperada para el aiio 2000? Sea N el tamafio de la poblacion en el tiempo t . Como se aplica la ley del crecimiento exponencial,
N
=
~ ~ e ~ ' .
Para determinar la poblacion en el afio 2000, debe encontrarse primero la ley de crecimiento especifica e implicita, determinando 10s valores de N,, y k . Si se hace que el afio 1960 corresponda a t = 0, entonces t = 20 en 1980 y t = 40 en 2000. Para evaluar N,, se i~tilizael hecho de que n = 125 000 cuando r = 0.
16.6
Ecuociones diferencioles
De donde N o = 125,000 y Para deterrninar k se utiliza el hecho de que N
=
140 000 cuando t
=
20:
Por consiguiente,
20k = In( I . I2 I
(
forma logaritmica),
De manera que la le!. de crecimlen:~t i ,25.,j(&,
:: : .;
. ,*
Haciendo r
-
40 e obtiene la poblacion esperada en el afio 7000:
N
=
125,000(1.12)~= 156,800.
Se destaca que puede escribirse la Ecuacion ( 1 I ) en forrna distinta a la que tiene la Ecuacion (12) puesto que In 1.12 = 0.1 1333, se tiene k = 0.1 1333120 = 0.0057. Por ello, N ---- 125, 0 0 0 e ~ . " ~ ~ ~ ' . En el capitulo 5 ce analizo el decaimiento radiactivo. Aqui se considera este mismo terna desde la perspectiva de una ecuacion diferencial. La tasa a la cual decrece un elernento radiactivo encualquier momento es proportional a lacantidad presente de ese elemento. Si N e s la cantidad de sustancia radiactiva en el tiernpo f, entonces la tasa de decrecirniento esta dada por
A la constante positiva X (la letra griega lambda) se le denornina constante de decrecimiento y el signo negativo sefiala que N disminuye cuando 1 aumenta. Asi, se tiene una disrninucion exponential. De la Ecuacion (lo), la solucion de esta ecuacion diferencial es
= 0 entonces N = N o . 1 = N o de mod0 que N o representa la cantidad de sustancia radiactiva cuando t = 0. Al tiempo que transcurre hasta que se tiene la rnitad de la sustancia se le llama semivida (o "vida media") de la sustancia. En la Seccion 5.2 se rnostro que la semivida esta dada por In 2 0.69315 Semivida = --- --A A Observese que la sernivida depende de X. En la Figura 5.3 del capitulo 5 se rnuestra la grafica del decaimiento radiactivo.
Si t
-
EJEMPLO 3
Si despuks de 50 dias se tiene el 60% de una sustancia radioactiva, determinar la constante de decrecimiento y la semivida de la sustancia. De la Ecuacion (14), N = Nor
"I.
en donde No es la cantidad del elemento cuando r
-
50A
En consecuencia N = N(,r ximadamente
=
ln(0.6)
=
0. Cuando t
=
50, N
=
0.6N0 y
(forma logaritmica ).
"""". La semivida, a partir de la Ecuacion (15), vale apro-
0.69315 A
-
0.69315 = 67.82 dias. 0.01022
-
La radiactividad sirve para fijar la edad de cosas como restos de plantas fosiles y restos arqueologicos formados de material organico. Las plantas y otros organisnios
i~ivoscontiene una pequefia cantidad de carbono 14 (C1') radiactivo, ademas del carb o n ~ordinario (C 12).Los atomos de C l 2 son estables, pero 10s de C l 4 decrecen en forma exponencial. Sin embargo, el C14 se forma en la atmosfera debido a1 efecto de 10s rayos cosmicos. Finalmente, este C14 es absorbido por las plantas durante la fotosintesis y reemplaza lo que se ha perdido. Como resultado, el cociente de atomos de C l 4 con respecto a 10s atomos de C12 se considera constante para un period0 largo. Cuando una planta muere deja de absorber C l 4 y decrecen 10s atomos restantes de C 14.Comparando la proporcion de C l 4 a C l2 en una planta fosil con respecto a las plantas que existen en la actualidad, es posible estimar la edad del fosil. La semivida del C l 4 es aproximadamente 5600 aiios. De mod0 que, por ejemplo, si se averigua que un fosil tiene un cociente de C14 a C12 que es la mitad del de una sustancia similar que existe en la actualidad, se estimaria que el fosil tiene 5600 aiios de antigiiedad. EJEMPLO 4
Se descubre que una herramienta de madera encontrada en una excavacidn en el Medio Oriente tiene una razon de C l 4 a C l 2 de 0.6 de la razdn correspondiente en un arb01 actual. Estimar la antiguedad de la herramienta redondeando a1 centenar de aiios.
Sea N la cantidad presente de C l 4 en la madera t aiios despues de que re iabr!co la herramienta. En este caso, N = N,ecA1',en donde N o es la cantidad dc C ' cuando r = 0. En virtud de que la razon de C l 4 a C I * es 0.6 de la razon corrcspondien~ea ur. arbol actual ello significa que se desea hallar el valor de t para el cual .V = ~:l.h.\ .
t =
1 --
A
ln(0.6).
De la Ecuacion (15) la semivida es (aproximadamente) 0.69315/A, que es igual a i60il. por lo que A = 0.69315/5600. Por lo tanro
= 4100 aiios.
EJERClClOS 16.6 En 10s Problemas 1-8, resuelva las ecuaciones diferenciales.
En 10s Problemas 9-14, resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales segun las condiciones dadas.
I
9. y ' = -: y
11.
6,'~'
-.r2
y
> 0. j q 2 )
=
13. (4n' i3)'?'
0; -
v
=
=
2.
0cuando.r
10. v'
-
0.
4xY2 = 0; ~ ( 0 = ) .$.
15. En cierto pueblo la poblacion en cualquier ins[ante cambia a una tasa que es proporcional al ~ a l o r de la poblaciorl. Si 10s habitantrs eran 20,000 en 1975 ! 24,000 en 1985, obtenga una ecuacion para la poblacion en el tiempo t , cn donde t es el numero de afios despues de 1975. Escriba la respuesta en dos formas, una incluyendo e. Se puede suponer In 1.2 = 0.18. ;CuaI es la poblacion esperada en 1995?
= el-';
12. .r2y'
~ ( 0 =) 0 . (Sugerencia: e-'--' = r' r
1 + y7 = 0;
14. y ' t .r2\ = 0:
y(1) \
=
> 0,
2. =
1 cuando .r = 0
mero N actual de personas. Si la poblacion tr. t: tiempo t = 0 es 10,000, halle dos expresionsr F ~ T la poblacion N,a 10s t aiios despues, si la po'cla:::: se duplica cada 50 aiios. Suponga que In 2 = ? 54 Calcule tambien N para r = 100.
--
17. Supbnga\c q ~ i elu p ~ ) b l a i i :;-r: ~. -. -.-I ::I mil milloner el: 1930 ! 3c. 2 ml;.:;:.:-.:> Z - : se supone que rlgc. la It! 2-1 :-?;.-.:I.: - . i ~ I-:_ ... - -.- ,. -;cuaI es la pobla~ibn:\;,;'-:;; :; : porci~rl*.? la rf.;-f,:z :-I=-- - 1 . - . % .:
16. La poblacibn de un lugar aumenta con crecimiento natural a una tasa que es proporcional a1 nu-
.)
18. Si se supone crecimiento exponencial, ;en aproxi~nadamentscuantos aiios se triplicara la poblacion si se duplica cada 50 aiios? (Sugerenc,iu: Considersie que la poblacion cuando 1 = 0 es N,,.)
des? Proporcione la respuesta con una cifra decimal. [Sugerencia: En la Ecuacion (14), sea N la actividad dentro de t horas, y N o la actividad ahora.]
19. Si despuis de 100 segundos se tiene el 30% de la cantidad inicial de una rnuestra radioactiva, evahie la constante de decrecimiento y la semivida del elemento.
26. Se va a irnplantar en forrna temporal una sustancia radioactiva que tiene una semivida de 8 dias a un paciente de hospital hasta que se tengan tres quintos de la cantidad originalmente presente. LQue tanto tiernpo debe permanecer la sustancia irnplantada en el paciente?
20. Si despues de 100 segundos se ha desintegrado el 30% de la cantidad inicial de una rnuestra radioactiva, calcule la constante de decrecirniento y la sernivida de la sustancia. 21. Se descubrio que un pergarnino egipcio tiene una raz6n de C1' a C" igual a 0.7 de la razon correspondiente en material actual semejante. Estirne la antipuedad del pergarnino a1 centenar de arios.
27. En un bo*que natural se crea basura, corno la hojas ) rarnah que caen, anirnales muertos, etc." Ernpleando .A = .-I( I ) para denotar la cantidad de basura presente en el tiernpo I , en donde A (I) se expresa en grarnos por metro cuadrado y r en aiios, y suponiendo que no existe basura en t = 0, entonces A(0) = 0. Supongase que
22. Un especirnen arqueologico recien descubierto tiene una razon de CIJ a C1' que es 0.2 de la razor1 correspondiente a un material organic0 actual. Estime la antigiiedad del especirnen al centenar de arios.
1) La bajura sae en forma continua a una tasa constante de 200 gramos por metro cuadrado y por aiio.
23. Supongase que una poblacion sigue un crecimiento exponencial dado por dN/dl = kN para I r I,, y de N = N , cuando [ = I,. Calcule N, la magnitud de la poblacion en el tiernpo r. 24. El radbn tiene una semivida de 3.82 dias. (a) Obtenga la constante de decrecimiento en terminos de In 2. (b) LQue fraccion de la cantidad original se tiens despues de 2(3.82) = 7.64 dias?
25. En el diagnostic0 medico se utilizan isotopos radioactivos como rastreadores para determinar anormalidades que puedan existir en un organo. Por ejemplo, si se ingiere yodo radioactivo, despues de cierto tiempo es absorbido por la glandula tiroides. Con el uso de un detector puede medirse la tasa a la cual es absorbido y deterrninar si la absorcion es normal o no. Supongase que se va a utilizar en un rastreo cerebral tecnesio-99m, que tiene una semivida de 6 horas, y se le va a detectar dentro de 2 horas. ~ C u adebe l ser su actividad ahora para que la actividad a1 mornento de su utilization sea de 10 unida-
2) La basura acumulada se descornpone en forrna continua a una tasa que es el 50% de la cantidad presente por afio (que es 0.050A). La diferencia enrre las dos tasas es la rapidez de carnbio de la cant~dadde basura presente con respecto al tiernpo (variation): r a p i d s ~de basura presente rapidez del
rapidez de
Despeje A. Redondeando a unidades, calcule la cantidad d r basura por metro cuadrado despues de 1 aiio.
* R. W. Poole, An Introduction to Quantitative Ecology (Nueva York: McGraw-Hill Book Company, 1974).
16.7
- 16.7
Mas oplicociones de 10s ecuociones difererciobles
Mas aplicaciones de las ecuationes diferentiales Supongase que el numero .\r de personas de una poblacidn en el tiempo I ~g;: szi if>de crecimiento exponencial. De lo visto en la seccion anterior, N = .\-;,ea', d ~ n i : k > 0 y N o es la poblacion cuando t = 0. Por esta ley se supone que en el tirmpo r. la tasa de crecimiento, dAV/dt,de la poblacion, es proporcional a1 nurnero dr persacas que integran la poblacion. Es decir, d N / d t = kN. Con crecimiento exponencial una poblacion creceria en forma indefinida a1 a \ anzar el tiempo. Sin embargo, en realidad, cuando la poblacion crece lo suficiente exisrrn factores del medio ambiente que reducen la tasa de crecimiento. Algunos ejemplos son disponibilidad de alimentos, depredadores, hacinamiento, etc. Estos factores ocasionan que a1 final d N / d t disminuya. Es razonable suponer que el tamaiio de la poblacion esta limitado a sierto numero maximo M, en donde 0 < N < M, cuando N + M, entonces d N / d t 0 y el tamaiio de la poblacidn tiende a ser estable. En resumen, se desea obtener un modelo de poblaci6n que tenga inicialmente un crecimiento exponencial pero que tambikn incluya 10s efectos de la resistencia del medio a un crecimiento grande de la poblacion. Se obtiene un modelo como estos multiplicando el lado clerecho de d N / d t = kN por el factor (M - N)/M +
M - N
dN
dt AdviCrtase que si N es pequeiia, entonces (M - N ) / M es cercano a 1 y se tiene un crecimiento aproximadaaente exponencial. Cuando N M, entonces M - N 0 y clN/cll -- 0, como se deseaba en el modelo. Como k / M es una constante, se la puede r-cemplazar por K. Por tanto +
+
dN = KN(M
- N). dt Esto establece que la tasa de crecimiento es proporcional a1 product0 del tamaiio de la poblacion y a la diferencia entre el tamaiio maximo y el tamaiio de la misma. Se puede despejar N en la ecuacion diferencial (1) mediante el rnetodo de separation de variables. dh' N(M - N)
=
K dt,
Es posible evaluar la integral del lado izquierdo usando la Formula 5 de la tabla de integrales. Por ello, la Ecuacion (2) se convierte en
In
- = Mkt
I M y NI
+ MC.
Dado que N
> 0 y M - N > 0, puede
escribirse
N In -----M - N
=
Mkt
+ MC
En forma exponential,
Reemplazando por A la constante positiva eMCse tiene,
Dividiendo el numerador y el denominador entre AeMK',se tiene
Sustituyendo 1 / A por b y MK por c da
A la Ecuacion (3) se le denomina funcion logistica o bien funcion logistica Verhulst-Pearl. Su grafica, que recibe el nombre de curva logistica, tiene forma de
Curva logistico
FIGURA 16.6
16.7
665
Mas oplicociones de los ecuociones diferenc~obles
unii S y 5e muestra en la Figura 16.6. ObsPrvesc en la s r a f i ~ a4::~\ I~o~.irontal; es decir, M M lim = M. 1 1 + b e ' 1 + h(0)
= \! 2 .
..nsa.!ntota
Ademas, de la Ecuacion (1) la tasa de crecimiento es la cual puede considrrar5e conlo I'~1nci0ntli. .'I.Para encuntrar iurinil~] m g i m a de crecimiento. se despeja M en d
i7..
.
.
.
.:.
cljh
Asi, N = M / 2 . La tasa de crecimiento aumenta hasta que el tamaiio de la poblacion es M / 2 y a partir de aqui disminuye. La tasa maxima de crecimiento aparece cuando N = M/2 y corresponde a un punto de inflexion en la grafica de N. Para calcular el valor de t para lo cual ocurre esto, se sustituye N por M / 2 en la Ecuacion (3) y se despeja t. M M - 2 1 +be-''"
(.I =
In h (forma logaritmica),
En consecuencia, la tasa maxima de crecimiento se presenta en el punto [In b ] / c ,.CI 2 . Se debe seiialar que en la Ecuacion (3) puede reemplazarse e" por C y entoncei la funcion logistica tiene la forma
EJEMPLO 1
Supongase que el numero maximo de miembros de un nuevo club campesrre srri ;c 800 personas debido a limitaciones de las instalaciones. Hace un aAo el n ~ i t ? i ~ z,: ro miembros era 50 y ahora existen 200. Suponiendo que las inscripciones siguen id^; .-:,-cion logistica, jcuantos miembros habra dentro de tres afios? Sea N e l numero de miembros que se inscriben t afios despues de la formacizr. if.; - : En este caso
Aqui, M
=
800, y, cuando t
=
0 se tiene N = 50.
Por lo tanto,
Cuando t = 1 entonces N = 200.
= In 5. En vez de sustituir este valor de c en la Ecuacion De mod0 que, c = -In (4), es mas conveniente sustituir el valor de e-'.
Dentro de tres aiios t
=
4. Consecuentemente,
Ahora se considera un modelo simplificado de la forma en que se difunde un rumor en una poblacion de tamaiio M. Una situacidn semejante seria la difusion de una epidemia o una nueva moda. Sea N = N(t) el numero de personas que estan enteradas de un rumor en el tiempo t. Se supondra que quienes saben el rumor lo difunden en forma aleatoria en la poblacion y que las personas que lo escuchan se convierten en sus difusores. Ademas, se supondra que cada persona que lo conoce refiere el rumor a k individuos por unidad de tiempo. (Es posible que algunas de estas k personas ya tengan noticias.) Se desea encontrar una expresi6n para la tasa de aumento del numero de personas que estan informadas del rumor. Por unidad de tiempo, cada una de aproximadamente Npersonas contara el rumor a k personas. Por ello, el numero total de personas a las que se les comunica el rumor por unidad de tiempo es Nk (aproximadamente). Sin embargo, lo que interesa son so10 las personas nuevas que acaban de enterarse. La proporcion de la poblacion que lo desconoce es ( M - N)/M. Asi, el numero total de personas nuevas que tienen noticias del rumor es
16.7
Mos oplicociones de 10s ecuociones diferenciobles
que se puede escribir como ( k / M ) N ( M- N). Por lo tanto,
=
k'.v(.M - N), en donde K =
k
-.
M
Esta ecuacion diferencial tiene la forma de la Ecuacion ( l ) , de manera que la solucion de la Ecuacion (3), es una funcion logistics:
-
EJEMPLO 2
En una universidad grande de 45.000 esrsdi~nresuna persona que se esta graduando en Sociologrb invesriga la difusion de un nuel o rumor en las instalaciones universitarias. Cuando comienza con su invesripacion, dererrnina que 300 esrudiantes estan enterados del rumor. Despues de una semana descubre que son 900las personas que lo saben. Estimar el numero de personas que lo conocen despues de cuatro semanas de haber comenzado la investigacion, suponiendo un crecimiento logistico. Proporcionese la respuesta a1 mioar mas cercano. Sea A' el nurnero de estudiantes que tienen noticias del rumor despues de de haber cornenzado la investigacion. Entonces,
Aqui, M , el tamaiio de la poblacion es 45,000 y cuando t
Por ello,
Cuando t
=
1, entonces N
Por lo tanto, e - '
- %,
=
900.
de mod0 que
=
r sernanas,
0, se tiene N
=
300.
668
.CIMETODOS
Y APLICACIOI.ii5
DE LA INTEGRACION
Cuando r = 4,
DespuCs de 4 semanas conocen el rumor 16,000 estudiantes aproximadamente. Se concluye esta Seccion con una interesante aplicacion a una ecuacion dil'erericial. Si se cornete un hornicidio la ternperatura del cuerpo de la victirna disrninuye en forma gradual desde 37 " C (la temperatura normal del cuerpo) hasta la lernperatura del lugar (la del arnbiente). En general, la temperatura d e un cuerpo que se enfria cambia a una tnia que es proportional a la diferencia entre la temperatura dcl cuerpo y la ternperatura ;rlilhiente. Este plantc.amicnro se conoce corno la leg de Newlon del enfriamiento. Asi, T ( I )e la ternperatura dcl cuerpo en el t i e n ~ p o/ y u es la ternperatura arnbiente, entonce5
en donde k es la constante de proporcionalidad. Por lo tanto, la ecuacion de ent'riarniento de Newton e5 una ecuacion diferencial. Se la puecle aplicar para deterrninar el tiernpo cn que se comctio u11 honlicidio, conlo 5e mucjtra cn el ejenlplo siguiente. -
EJEMPLO 3
Se encontro' asesinado en su hogar a un rico industrial. La policia llegd a1 lugar del crimen a las 11:00 P.M. En ese momento la temperatura del cuerpo era de 31"C, y una hora despuk err/ de 30°C. La temperatura del cuarto en el que se encontro el cuerpo era de 22°C. Determinar la hora en que ocurrio el asesinato. Sea t el numero d e horas despuCs d e las cuales se descubrio el cuerpo, y T(t)la ternperatura (en grados Celsius) del cuerpo en el tiempo t. Se desea calcular el valor d e r para el cual T = 37 (la temperatura normal del cuerpo). Por supuesto, este valor d e t sera negativo. De acuerdo con la ley d e Newton del enfriamiento,
en donde k es una constante y a (la temperatura arnbiente) es 22. E n consecuencia
Separando variables, se tiene
Como T - 22 > 0.
16.7
Mas oplicociones de 10s ecuociones diferenciobles
Cuando t
=
0, T
=
31. Por lo tanto, ln(31 - 22)
=
k . 0
+
C.
+
In 9 ,
C = 1119.
De donde In(T - 2 2 ) In(T
22)
-
=
kt
In 9 = kt.
T - 22 - = kt. 9
In Cuando t
-
=
-
1 , entonces T = 30, por lo que
k
=
8 In - = --0.11778.
9
Asi,
Ahora, se evalua t cuando T
=
37:
Por consiguiente. el homicidio ocurrio aproximadamente 4.34 horas antes de la hors en que se descubrio (1 1:00 P.M.). Puesto que 4.34 horas es (aproximadamente) 3 horas 20 minutos, el industrial fue asesinado aproximadamente a las 6:40 P.M.
1. 1.a poblacion de una ciudad time un crecimien~o lo:!~\tico e \ r i limitadaa 40.000 persona\. Si la pobla(id11 era de 20,000 en 1984 ! d e 25,000 en 1989, ; c u d \cr:i la poblacitin en 1994'? Proporcione la re5pur5ra a1 centenar mas cercano.
2. Llna compafiia considera que la I'abricaiion dc su producto en las in\talaciones actuale, 5eguir;i un creciniienlo iogistico. En chtos momentos se fabrican 200 unidades d i a r i a !-13 produzcion a u m e n ~ a r a 300 i1nidade5 diarias en un afio. Si la nroduccion cbta limitada a 500 unidades al dia, ~ c u a es l la produccidn diaria quc se anricipa para dtnrro d e 2 afios'? Pro1701-ciont.la re5puesta a la unidad mas cercana.
3 . EII u 1 1 p a i \ ~ ~ o n 3 . 0 0 0 , 0 0 0 d c h ; r b i r ; 1 n : . ~ -- ~ -- . ministro ~ u f r i bun ataque al corazoll. q~ii.c. =.- : no no da a conocer en l'or~napi~bliia A : 7 50 miernbros del personal gubernarnen:;: L-:- L: araque y difunden esa inforrnaiion I I J . 2.::; z -.-. del rumor. Suponiendo crecirnienrQ I,:. - - - - :.. -- . mint. el nurnero d s p e r a m que ~2:::--.- - I. - - . :: rumor d r p u e s de 2 >enlanai. D;. -5-r- - - - z z Ilar mas eel-cano. ~
: '
a:.i 1. Una nue\a m ~ d -s
2.'-r-c-ir -. . .
dida en una u n ~er.i&: \ G* J. . .&.a. pubIi
.:
f- gi7 nc
5 LA-, 5
-.--L.~:r-
e -z
5: dl&
ra quc {us lectores estarian interesados eri una serie clc articulos sobre esa moda. Se ahigna un reportel-o
a esta labor cuando el numero de personas que ha11 adoptado la moda es 400. Una semana despues son 1200 las personas que la han adoptado. Suponiendo un crecirnie.1to logistico, obtenga una formula para cl numero .Y ile adoptantes de la moda 1 semanas despui.5 dc. la asianacion del reportcro. 5. En una ciudad con poblacion de 100,000 personas se prcsenta un brote de influenza. Cuando el departamento sanitario de la ciudad comienza su rcgistro dc casos eiisten 500 personas afectadas. Una semana de\pues, son 1000 las penonas. Suponiendo crecirniento logistico, estime el nurnero d e personas con el padeciniiento 2 senianas despues de que se comenzo a llevar registro.
La cur\a logistica para la poblacion de E\tados Unidos, de 1'90 a 1910, se estirna en"
6.
en donde .1es la poblacion en millone5 y 1 esta en a i ~ o contados s a partir d e 1800. Si esta funcion logistics l'uera valida para 10s afios posteriores a 1910, ;en que aiio ocurriria el punto d e inflexion? Proporcionc la respucsta con una cifra decimal. Supo~lgaseque In 35.6 3.5723. -
7 . En un experimentot se colocaron cinco Purutnec,iu en un tubo de ensayo que contenia un medio nutrltivo. El numero N d e individuos del genero Puratilecia que se encontraban en el tubo al final de I dias rsta d a d o aproximadamente por
(a) Demuestre que esto se puede expresar de la siguiente forma: 375 N = 1 l81.27eCW
+
5 por una funcion logistica. (b) Determinar lim N. r+
1
8. E n un estudio del crccimiento d e una colonia de o~.garlismos unicelulare\ $ se obtu\,o la sigi~icnte ec.~~acidn:
en donde N es el area estimada del crecimiento en Lentimetros cuadrados y s es la edad de la colonia cn dias despues d e la primera observaci6n. (a) Exprese esta ecuaci6n en la forma d e una funci6n logistica. (b) Determine el area cuando la edad de la colonia es 0. 9. Se cometio un asesinato en un muelle y la policia encontro el cuerpo d e la victima a las 3 : I \ \ I . En ese momento la temperatura del cuerpo era 32°C. Una hora despues la temperatura del cuerpo era 30°C. Despues d e verificar con la oficina meteorologica se determino que la temperatura en el muelle era de IO"C d e las 10:OO r J . \ l . a la\ 5:00 \ . > I , iAproximadamenre a que hora ocurrio el asesinato? 10. Una enzima es una proteina que actua conio catalizador para aumentar el ritmo d e ulla reaccibn quimica que ocurre en celulas. E n cierta reaccion ulla enzima A se convierte en olra enzima B. La B actua corno catalizador para su propia formation. Sea p la cantidad d e enzima B que existe en el tiempo I y sea I la cantidad total de ambas enzimas cuando t = 0. Supongase que la tasa d e formation de B es proporcional a p (I - p). Sin utilizar Calsulo directamente determine el valor d e p para el cual la tasa d e formacion sera maxima. 1 I . Un pueblo pequetio decide llevar a cabo un 1110virniento para recoleccion de fondos destinados a adquirir una nueva bomba contra incendios cuyo costo es $70,000. La cantidad inicial que se tiene en el fond o es $10,000. Con base en experiencias pasadas, se determinn que t meses despues d e cornenzar la campatia la tasa cl.v;dt a la cual se contribuye a la formacion del fondo es proportional a la diferencia cntre la meta deseada de $70.000 y la caritidad total x que se tiene en el fondo en ese momento. Despues de un mes se tiene un monto total de $40,000. ~ C u a n t ohabra en el fondo despues d e 3 meses?
12. En un analisis d e ias propiedades inesperadas d e 10s modelos matematicos sobre la poblacion, Bailey* considera el caso en el cual la tasa d e natali-
-
5 . Keyfirz, fntroduction to the Mathematics of
Popularion (Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Cornpan!-. Inc., 1%8). - G.F. Gause, The Srruggle for Existence (Nueva Ycrii. Hafner Publishing Co., 1964).
A.J. Lotka, Elements of Mathematical Biology (Nueva York: Dover Publica~ions,Inc. 1956). * N.T.J. Bailey, The Mathematical Approach to Biology and Medicine (Nueva York: John ~ i l e y& Sons, Inc., 1967). $
16.8
lntegrales impropias
Ernplee este reaultado para prob':r
dad por it~divirlltoes proporcional al rarnafio de 1,1 poblaci6n N en el tiernpo I . Ya que la 1a.a dr. L I C L I 1 dN miento por individuo es - -esto significa d u e N dl
en donde k
> 0.
- 16.8
lim N
como r
--*
Esto significa que sobre un interval0 finiro ds :is-: po existe un crecirniento infinito. Este rnodelo p a i r . ; ser util solo para un crecirniento rapido en u n :n:srLalo b r e w de tiernpo. 13. Supongase que la tasa de crecirniento de una FLIblacion es proporcional a la diferencia entre algun ra~ n a i i ornaximo My el nurnero N de personas que tirnr la poblacion en el tiernpo 1. Supongase que cuand~x I = 0 el tamaiio de la poblacion es N,,. Halle u n a formula para N .
Dernuestre que
lntegrales impropias
=
.-L
*
Supongase que Js)es no negativa para a 5 x <
(vease la Figura 16.7). Entonces,
rr
la integral r
-, 00, se
J. , f ( sd) . es~ el area entre la curva b el eje x, de x = a a x
=
r. Cuando
puede pensar que
es el area de la region no acotada que aparece sombreada en la Figura 16.7. Este limirs ,e abre\ ia mediante 111
a la que se denomina integral impropia. Si existe este limite re dice que
I --
---l;t.i~
,;-
ei
convergente o que converge a dicho limite. En este caso la region no acorada se
dx. Si el limite no esijre se d i ~ eque
la integral es divergente y la region no tiene una area finita.
+ Se puede omitir si no se ha estudiado algun material
de iariables uleuiorras conrinuas.
Se puede eliminar la restriction de que f(x) r 0. En general, la integral irnpropia i : f l r ) dx esti definida por
Otros tipos de integrales impropias son
En cada uno de 10s tres tipos de integralc.5 impropias [ ( I ) , (2) y (3)], el interval0 sobre el cual se evalua la integral e5 de lonpitud infinita. La integral impropia de ( 2 ) esta definida por b b
1-
/(r) d~ = 1 irn
1
T - - t - ~ ~
r
f(x) dx.
b
f(x) dx ei convergente. Si no es asi, sera divergente.
Si existe este lirnite re dice que J-x
Se definira la integral impropia de (3) despues del siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1
Deterrninar si las siguientes integrales impropias son convergentes o divergentes. Si son convergentes, determinar el valor de la integral.
Consecuentemente,
dx converge a
1 2'
-
0
b.
dx. 0
1 0
j _ x e ' d~ = lirn r--t - z
= lirn (1 T--t
-
-
x
converge a I .
-
T--*
-
x
er) = 1 - 0
=
1
x
(Aqui, se aplico el hecho de que cuando r eje r , por lo que e' 0). Por ello, 0
e' d,y = lirn e'
+
a,la
grafica de y
=
el se aproxima a1
16.8
c.
Integroles irnpropios
JI
" 1
d*.
Por lo tanto, la integral impropia es divergente. f(.r) d r re define en terminos de integrales impropiai 2:
La integral impropia las formas (1) y (2):
1;.
f(.r) d.r =
,
I:x
f(.r) d.r
+
[f(X)
d.x
Si las dos integrales del lado derecho de la Ecuacion (4) son convergentes, se dice que f(x) dx es convergente; si no sucede asi, entonces es divergente. EJEMPLO 2 e" dx es convergente o divergente.
Del Ejemplo l(b), [e'
I:=
8 dx = 1. Por otro lado,
dx = lim r+
7.
1
e l d r = lirn ex r+ x
Debido a que r e , ' dx es divergente, LLe' dx tambikn lo
A.
EJEMPLO b
En Estadistica, a una funcion f se le denomina funcion densidad si f (x) 1 0 p
Supongase que f'(x> =
es una funcidn densidad. Evaluar k .
ke-', p a r a x r 0 . 0 , en 10s demas casos
Se escribe l a ecuacion
,:I
f(x) dx = 1 de la siguiente manera
1.. 0
Comof(x) =
0 para x < 0,
, f(x) d.x = O . ~ s i ,
lim ( - k e - '
+ k)
=
1.
I-=
En 10s Problemas 1-12, determine las integrales, si existen. Sefiale cuales son divergen~es.
13.
La l'uncion der~jidadpara la r ida en horas .\.de
14.
Dada la luncion densidad
u n components electroliico de una calculadora e,ra
para x 2 0. 0 , en los dernis casos,
ke-"'.
dada por
.f(x) =
,,
para x
0,
para.r<800.
2
obtenpa I\-
800.
(a) Si k satisface la condition de que
I:,
f(x) d,r =
1 , halle el valor de k. (b) La probabilidad de que el componente dure cuando menos 1200 horas esta dada pur
Ix
.1?00
fir) d x . Evallie esta integral.
15. En icna empresa el Lalor actual de toda, las utilidade\ t'uturas, a una rasa anual de inreres 1. capitalirada continuamenre, esta dada pur rx
-
en donde p ( t )es la utilidad por afio en dolares en el 240,000 y = 0.06, e\alilt. la intiempo I . S i p ( 1 ) t c g a l anterior.
Reposo
16.9
1 1 i '.:.:~t 18. . \ I ; I I I ; I ~ ~ L I I
16. En un modelo psicologico para la drteccion de sefiales,* la probabilidad CK (la lerra griega alfa) de reportar una sefial cuando no hay ninguna seiial presrnte esta dada por
1,
V
=
-PI
.-
dr.
rx
=
e-'dx,
,t 2
0.
en donde a,,, H (la lerra griega rera), y p (la lerra gr;fea ro) son constantes. Demuestre que I' = n 1,1 0) \I H < p .
La probabilidad /3 (la letra griega "beta") de determinar una seiial cuando esta la misrna presente es
p
=
j
r a
C ~ I I ambit\ intcgrnlei . \ , f..\>11~1e rt h ,3 ,i k = A.
c>
1111 \ ~ I c ) I .
0 . L a t a u dc crccinliento plono\ticnda por n i i ~ Ll ;. I;I lpublacib~ld e cit.1-raciudad pcquena e t a dada pol^ 10.000 ( i + 2 ) : . en dondc i c.5 rl ni~nier-ode anot ,I pallis dt. al~ora.A laspo plaro (c< tlecir, c ~ ~ a ~ lid c i r );cual c j el cn~nbiocjpel-ado en la poblacicin con ! ;\I)Ci:i) al ni\el aclual'?
o,
dc
~ l i r i " ! ~ '! : I < \
-
17. ('alcul' el ~ I . L , L I de la r q i d n qllc .t. eli~uc11:: .i ;.;: el primer cuaclrnntc 1 < \ t i liniitada pol- Iri L L I I\.I r-'" 1 el ejc . \ . -
Section 16.1
integracion por partes
Seccicin 16.2
funcion racional propia
Seccion 16.3
valor actual de una anualidad continua
Seccion 16.4
valor promedio de una funcion
Seccicin 16.5
regla trapecial
Seccion 16.6
ecuacion diferencial de primer orden separacion de variables crecirniento exponencial decrecimiento exponencial constante de decrecimienro semivida ("vida media")
Seccion 16.7
funci6n logistics
Seccian 16.8
integral impropia,
RESUMEN
fracciones parciales rnonto acurnulado de una anualidad continua
regla de Simpson
ley de Newton del enfriamiento dr, -- --
f ( r ) dx,
-
--
I-*=
f(x) d r ,
- - - --
En ocasiones puede determinarse facilmente una integral cuya forma es
-
-.
- -
I
- --
-
-- -. --- --
u d l ~ en , donde u y v son funciones.
aplicando la formula de integracion por partes:
A menudo tambien se puede integrar una funcion racional propia aplicando la tecnica de la5 fracciazs parciales. En este caso se expresa la funcion racional corno una surna de fracciones, cada una de 1% :-is es facil de integrar.
* D. Laming, Mathematical Psychology (Nueva York: Academic Press, Inc., 1973).
: G . Stigler, The Theon. 0.f h - r . li c; \ s . z York: Macmillan Publ~sh~ng Corrpz;. : S : I d
Para determinar una integral que no tiene una forma bien conocida, podria ser posibie asociarla con una formula de alguna tabla de integrales. Sin embargo, tambiin puede resultar necesario transformar la iniegral dada a otra forma equivalente antes de poder efectuar la asociacion. Una anualidad es una serie de pagos hechos en un determinado lapso de tiempo. Supongase que 10s pagos se hacen en forma continua durante T aiios de rnanera que un pago en el tiernpo T se da a una tasa de f (f) por aiio. Si la tasa de interes es r capitalizable continuamente, entonces el valor actual A de la anualidad continua lo proporciona
A =
lTf(t)e-r' dl,
y el monto acumulado S resulta ser
El valor promedio f de una funcj6n f sobre el interval0 [a,b] esta dado por
Existen formulas que permiten aproximar el valor de una integral definida. Una de ellas es la regla trapecial Regla trapecial
h = (b
-
nVn.
Otra formula es la regla de Simpson: Regla de Simpson h . f c =+
3
/r
==
+
1
+h +
V((i 1 Y h )
i.
..+
4f[a +
(tt -
I)h] - t f ( h ) } . en donde
( b - trhn y n es par.
Una ecuacion que implica la derivada de una funcion desconocida se denornina ecuacion diferencial. Si el orden mas elevado de la derivada que se presenta es el primero, a la ecuacion se le llama ecuacion diferencial de primer orden. Algunas ecuaciones diferenciales de primer orden se pueden resolver mediante el rnktodo de separacion de variables. Por tal mitodo, al considerar que la derivada es un cociente de diferenciales, se reescribe la ecuacion de manera que cada lado contenga solo una variable y no se encuentre ninguna diferericihl en algun denominador. Integrando ambos lados de la ecuacion resultante se obtiene la solucion. Esta solucion implica una constante de integracion y se conoce con el nombre de solucion general de la ecuacion diferencial. Si la funcion desconocida debe satisfacer la condicion de tener un valor especifico para un valor dado de la variable independiente, entonces se puede hallar una solucion especifica. Se presentan ecuaciones diferenciales cuando se conoce una relacion que implica la tasa de cambio de una funcion. Por ejemplo, si una cantidad N en el tiempo f tiene la caracteristica de que varia segun una tasa proporcional a la cantidad presente, entonces clN - = 1 , dr La solucion de esta ecuacion diferencial es
1%'
en donde k es una constante.
-
Y,,P"'.
en donde N o es la cantidad presente en t = 0. El valor de k puede determinarse cuando se conocz s; .L : de N para un valor dado de t (diferente de t = 0). Si k es positiva, entonces N sigue una ley exponznzia: t: crecimiento; si k es negativa, N sigue una ley exponencial de decrecimiento. Cuando N represenra una asrz cantidad de un elemento radioactivo, entonces
dN -
dt
=
en donde A es una constante positiva.
-
En consecuencia, N sigue una ley exponencial de decrecimiento y, por lo tanto
.v
A:
=
La constante A recibe el nombre de constante de decrecimiento. El tiempo necesario para que disminuya a la mitad la cantidad original del elemento es su semivida (o period0 medial) y
Una cantidad N puede tener una tasa de crecimiento dada por d,V - =
ril
KMM
--
N).
en donde K y M son constantes.
Resolviendo esta ecuacion diferencial se obtiene una funcion de la forma en donde b y c son constantes, a la que se denomina funcion logistica. Pueden describirse poblaciones de muchos tamaiios por medio de la funcion Iogistica. En este caso M representa el limite del tamaiio de la poblacion. Se utiliza tambien una funcion logistica cuando se analiza la propagacion de un rumor. La ley del enfriamiento de Newton establece que la temperatura T d e un cuerpo que se enfria en el tiempo t varia segun una tasa proporcional a la diferencia T - a, en donde a es la temperatura ambiente. Por consiguiente,
dT dt
=
k(T
-
u),
en donde k es una constante.
Es posible emplear la solucion de esta ecuacion diferencial para calcular, por ejemplo, la hora en la que se cometi6 un homicidio. Una integral de la forma
se llama integral impropia. Las primeras dos integrales se definen de la siguiente manera:
es un numero finito, se dice que la integral es convergenre; de io :crrxr'
rio, er divergent.. La integral impropia
-
-
f (x)dx esti definida por 7.
frx) dx
Pf
= J -7
(x)
dl
+
(,xf(.v I dl-
Si arnbas integrales del lado derecho de la ecuacion son convergentes, se dice entonces que \ ~ x , / ~ I . v I d i e s convergente; en caso contrario sera divergente.
PRODLEMAS DE REPASO En 10s Problemas 1-18, determine las integrales.
1. 1s I n . dl-.
19.
Obtenga el valor promedio de f ( x )
20.
Halle el valor promedio de f ( t )
= 3x2
= tr"
+
2x sobre el intervalo [2. 11.
en el intervalo [2, 51.
E n 10s Problernas 21 y 22, aplique (a) la regla trapecial y (b) la regla de Simpson para e ~ ' a l u ala r integral. Utilizar el valor dado de n y yroporcione la respuesta con tres cifras decimales.
En 10s Problemas 23 y 24, resuelva 10s ecuaciones difcrenciales.
E n 10s Problemas 25-28, determine /as integrales impropias, si existen. * Seiiale cuales son divergenres.
29. En 1965 la poblaciori de una ciudad era de 100,000, 4. en 1980, de 120,000. Suponiendo CI-ecimiento ezponencial, pl.o!.ecte la poblacion a 1995. 30. La poblacion dc una ciudad se duplica cada 10 anos debido a un crecimiento ezponencial. En cierto momento la poblacion es de 10,000. Obtenpa una expresion para el nlimero de personas h',en el tiempo I afios despuis. Supbnsase In 2 = 0.69. 31. Si despues de 100 afio5 queda el 95Oi0 de una rustancia radioactiva, calcule la constante de decrecimiento y, a1 porcentaje mas cercano, exprese el por-
centaje de la cantidad original presente despues de 200 aiios.
32. Supongaw que q es la cantidad de penicilina q ~ ~ e se encuentra en el cuerpo en el tiernpo I ! sea q,, la cantidad n ! I = 0. Supongase que la tasa de iariacion de con respecto a I es proporcional a q 1 . q (1~di5rni~ nuye cuando I aunienta. Entonces se tiene, clqldr = - k q , en donde k > 0. Despeje q i.que porcentaje de la cantidad original que estaba presente se con5eria cuando t = 2 / k ?
16.9
Reposo
33. Inicialmcnrc. sc. colt~candos orpanirmor en un medio y se comicn/an a mulfiplicar. El nirmer-LJ\ J c cllos que \e cncucnrrari presentch dc\puc, J. ! ci:;~, se registra en una grafica, en la que al eje horizontal se le identifica con t y a1 vertical con ,V. Se observa que 10s puntos se ajustan a una cur1.a logistica. El n ~ i m e r o de organismos que estan presences despues d e 6 dias es 300 y despuPs de 10 dias el numero tiende a un limite de 450. Obtenga la ecuasion logistica. 34. En una unibel-5idad se considers que 1s. :!:.,rl;ciones tienc.11 un ci-ecirniento lopijrico. El a?.? p L ~ . - i d o \a5 inscripcio:ies I'usl-on 1000 ! ex:;. ail<>I I 1 I ( I 5i lo misirno quc p ~ ~ e recibir de la uni\sr\id.ru ~(II)O estudianres, i c ~ ~ ie5i l la in\cr'ipcion q c i ;:l. ...p ria para el siguicnre ario? PI-oporcioric.13 r,-.;..-.:.i , I \ Lentenar ~ n i scercano.
.I
..I::
35. Se le asigna 3 un oficial de ;.c::,!a .::I .a\o d c que la hornicitlio. L l e g a las 6:00 I, \ , ! .l;..:::bri. temperatura de la vicrirna es ? E C . L !:2 horci i l ~ r p ~ S \ la tcrnperatura del c u t . ~ - l er ~ o 34 C . L d :;.mpei-atul-3 del cuarto es 25°C. ;Apro\irn,?ilar.::c:c. J q u ~hora ' se cornetid el crin~en?( S ~ r p d n ~ a quc. q s Id rcrnper-atura normal del cuerpo es 3' C.1 r~,loi:il;.;inJ~~ a uliida36. Calcule el \ a l o ~ acrl!;il. des, de una anualidad continua 11 x n a :a.n antla1 del 5% durante 10 aiios, si el pago en el tiempo t es a la tasa ariual de f ( t ) = 40t. 37. Para un grupo de psrrona. h o , p r t a l ~ ~ a d a ssu, pongase que la proporcron d e la. qus han j ~ d odadas d e alta al frnal d e / draq s.ta dada pol
f(l1 111.
"38. Supoliparc clue .A (11 c, I:! ;J:.:.L;-. i1~1croque se son\urnt. cn el ticmpo ; :. -... . . la ley exponential de crecimiento. Si r .. < :.- ! sz t ricmpo i. la cantidad consurnida. A(/.). c x .. .:. dc la canlida~l c o n s ~ ~ m i den a el ticrnpo i . .-. .A(/, ) , erilonccs a I , / sc It: denomir:~[ J ~ I - I , J :.; , ~luplicacibn.E:n u n anilisis sobl-e crecimic.~irl~ ;\ ,;.. nc~icialStionlet establecc. que con nn c r e c i r n i t . ~ ~ : e\ta clasc. ". . . la cantidad de un p ~ - o d u i t cq11: ~ -. iallsumc durante un periodo de duplication c, isi:.: a1 total utilirado duranle rodo el tiernpo ha\[a el 21. mienyo del periodo de duplicacidn de que se rr,irc.' I'ar-a jujtificar ~ L al'i~.macidn I e n ~ g ~ r i d\e z t rep~-a~lt \u arpumcnro. 1.2 canridad del pruducto clue ,c u!!l~ /;r l i a \ ~ cel~ rielnl~o/ , e \ r i tlada por
,
-
L::
en doride A ,, e la
J, I
Si el intervalo entOrleC5
[I
,, /,I
rh
~
~ = ~~
un periodo de dupli~n:i,~r: J
~~
~
'
~
2~
I
.
Pruebe que esto implica que ek"x '1' = 2 . Sustitu! 2 lo anterior en (1); su resultado debe ser igual al rora utilizado durante todo el tiempo hasta r , , es d e ~ (~~/k)e"~.
t J . I . Shonle, Environmental Applrcarions o!. Gene-;,
Physics (Reading, Mass.: Addison-Wesle! PubLrb~zgC o n pany, Inc., 1975).
El regimen dietario Existe en la actualidad una gran preocupacion por las dietas y la disminuciijn de peso. Algi~naspersonas desean perder peso para "verse bien". Otras lo rebajan para estar bien iijicamente o por razones de salud. De hecho, algunas personas reducen su peso por presiones de sus arnijtades. Con frecuencia aparecen anuncios de prograinas de control de peso en la television ! en psriodicos y revistas. En muchas librerias se dedican secciones enteras a1 regimen de dietas > a1 2onrrol de peso. Supbngase que se desea determinar un modelo matematico para el peso de una persona que se encuentra bajo una dieta de contenido calorico restringido*. El psso d.: una persona depende tanto de la tasa diaria de ingestion energetica, digamos C calorias dietiticas (Cal) por dia, como de la tasa diaria de consumo de energia, que se encuentra tipicaments sntrs 15 4 20 Cal por dia por cada libra de peso. El consumo depende de la edad, el sexo, la tasa de merabolismo, ere. Para un valor de 17.5 Cal por libra y por dia, una persona que pesa rr. libras gasta 1 7 . 5 ~Cal por dia. Si C = 17.5w, entonces su peso permanece constante; por otro lado. se presenra una ganancia o perdida de peso segun C sea mayor o menor que 17.5" (Se tiene que una Ib = 0.454 kg). i c o n que rapidez se presenta la ganancia o pirdida de peso? La suposicion fisiologica mas probable es que dw/dt es proporcional a1 exceso (o deficiencia) neto C - 1 7 . 5 ~en . el nlimero de calorias por dia. Es decir,
en donde K es una constante. El lado izquierdo de la ecuacion tiene como unidad la libra por dia, , C - 17.5~ tiene con10 unidad la caloria por dia. Por ello, K esta en libras por caloria. Por lo tanto, se necesita saber cuantas libras pone o quita cada exceso o deficiencia de una caloria. El factor de conversion dietetica que com~inmentese utiliza es que 3500 Cal son equivalentes a una libra. Por tanto, K = 1/3500 libras por caloria.
El regimen dierario
A h o r a , la ecuacion difsrsn;:ai q u ? mod?la la SananLla
L)
rfrJlLj:
p?\o
Ji'
I d i l - -( C - 17.51t.r tit
s~ C e \ constantc, la ecuacion
2,
3500
\cparabl: \ su ~oliic.ionc.5
I esta en dias. Obseruese q u e , a largo p l a t o . el peso dc cq~iilihl-lo I\;, es el p t s o iniiial (es decir, el peso c u a n d o r -,w es rc. = C/17.5. P o r ejemplo. .;i alguien que pesea inicialmente 180 Ib adopra una dicta d c 7500 C'al pol. clia. entonces hjL4= 7500 17.5 = 143 Ib y la funcion d c peso es
en d o n d e
Ll
En la Figura 16.8 se muestra lagrafica w(r). O b s e r \ e s e c u a n t o tiempo sc requiere p a r a apenas acercar5e al peso d e equilibrio d e 143 lb. L a semivida del proceso ea (In 2)/0.005 = 138.6 dias o , aproxirnadalnente 20 senianas. (Se requeriria aproximadamente 584 dias, u 83 semanas, para Ilegar a 145 libra\.) Es quiza por esto qrle niuchas personas q u e se someten a dietas las a b a n d o n a n frustrado5.
I . Si una persona que pesa 200 Ib adopta una dieta de 2000 Cal por dia, determine -redondeando a entel-os-, el peso de equilibrio rvcL,. Redon-
deando a dias. ;,de\pue
conteriido cal6rico re5tringido t.318dado, al tiem-
po I ; por rc7(r) [\ease la Ec. (2)] 1.a dil'erencia c.11trc este peso y el peso de equilibrio n,LLle\ I!-(!) - \ I , < , ~ . Supbngase que se requieven (1 dia\ par,! que la per;ona pierda la mitad de eita dit'c.!~!:~..: de prso. Entowe\ \V(I
+ (1) =
\i,(l] -
5
111
(11 -
I$..
I)eipcjando (1 en esta ecuacicin. de!n:::--. . tl
=
In 2 -.
O,I)I )j
CAPITULO
17
Calculo e n varias
variables 17.1 Funciones de vatias variables Supongase que un fabricante produce dos articulos, X y Y. En este caso, el costo total dtpende de 10s niveles de produccion tnnro de X cottio de Y . La Tabla 17.1 sefiala cua1 es el costo total a diversos niveles. Por ejemplo, cuando se fabrican 5 unidades de X y 6 dc Y , el costo total c es 17. En esta situation parece natural asociar el numero 17 a1 par ordenado (5, 6 ) : El primer elemento del par ordenado, 5, representa el numero de unidades de X que se producen, en tanto que el segundo elemento, 6 , representa el numero de unidades de Y que se fabrican. Correspondiendo a las otras situaciones de produccion, se tiene
Puede considerarse que esta correspondencia es una relacion de entrada-salida, en donde las entradas son pares ordenados. A cada entrada se asocia exactamente una salida. Por ello la correspondencia define una funcion f en la que el dominio esta formado por ( 5 , 6 ) , ( 5 , 7), ( 6 , 6 ) , ( 6 , 7), y cl contradomiliio o ambito consiste en 17, 19, It?, 20. TABLA 17.1
Cant. de unids. de X fabricadas, x
Cant. de unids. de Y fabricadas, y
Costa total de produccion, c
1
17.1
Funciones de varias variables
En notacion funcional,
.f(5. 6'1 = 17.
f(5, 7)
=
19.
Se dice que el programa d s costos totales puede describirse medianre ; = es una funcion de las dos ~ a r i a b l e sindependientes x y y . La letra c ss la l.::.z:.* diente. Pasando a orra funcion de dos variables, se observa que la eccac;c.: .r
z
como funcion de
.Y
:-c .
:z:e:.-
1
- -
define a
.:.. . .. :.
+
!,
!:! 1 =
fi.\-.
!.)
=
2
, .,.+ y2'
El dominio de f es rodos 10s pares ordenados de numeros reales (x,y ) para los xi::+ la ecuacion tiene significado suando se sustituyen el primer0 y el segundo e1emsri:ci de (x,y) en lugar d t .I- y ?.. respecri\ amente, en la ecuacion. Asi, el dominio de .f 2 s todos 10s pares ordsnados csscpro (0, 0). Para hallar f (2, 3), por ejernplo, se susriru!? x = 2 y y = 3 en 2 ,.vz - j2). De aqui que f ( 2 , 3 ) = 2 / ( 2 2 + 3 2 ) = 2/13.
!.
-
2
2s una iuncion d e dos variables. Como el denorninador es 0 cuan2 do y = 2, el dominio de f es todos 10s (x,y) tales que y # 2. Algunos valorss ds la funcion son
a. ,/(A. ?.)
=
\, -
Observese que f ( 0 , 3 ) # f ( 3 , 0 ) .
b. h (x,y )
= 4sdefine a h como funcion de x y y . El dominio es todos 10s pares ordtnzdos de nurneros reales. Algunos valores de funcion son
h(2. 5 ) = 4(2) = 8,
Obscr\ese clue 10s \.alores de la funcion son independientes de la !yue sr. slige.
+
x2 + y 2 , x = 3 y y = 4 entonces z 2 = 32 4 2 = 25. En consecusr;::. . Por lo tanto, no es posible asocial a1 par ordenado (3, 4) exa:!zrr,r:t z = un numero de salida. Por consiguiente, z no es una funcion de .u y j..
c. Si
z2 =
T5
EJEMPLO 2 -
En 10s dias humedos y calientes muchaspersonas tienden a sentirse rncor7:ocs ;:- - d o de incomodidad esta nunzericamente dado yor e/ indice de tetnperu::ip; .. 7, -;;s;: ITH, que es funcion de dos variables, t , y t,,: ITH
=
f(r,;, z,,)
=
15
O.4lr. -
i
684
17
CALCULO E N V A R I A S VARIABLES
en donde r d es la ternperatura de bulbo seco (en grados Fahrenheit) y t , es la ternperatura de bulbo hutnedo (en grados Fahrenheit) del aire. Evaluar el ITH cuando t d = 90 y t , = 80. Se desea encontrar f (90, 80). Cuando el ITH es mayor que 75 la mayor parte de las personas se sienten incomodas. De hecho alguna vez se denomino a1 ITH "indice de incornodidad". Muchas cornpaiiias siguen de cerca este indice para que les permita anticipar la demanda de aire acondicionado sobre sus sistemas.
Si y = f (x) es funcion de una variable, el dorninio de f se puede representar geometricarnente mediante puntos en la recta de 10s nurnercs reales. La funcion misma puede representarse rnediante su grafica en un plano coordenado, a1 que en ocasiones se denornina sistema coordenado bidimensional. Sin embargo, para una funcion de dos variables, z = f (x, y), su dominio (que consiste en pares ordenados de numeros reales) se puede representar en forma geornktrica mediante una region del plano. La funcion misma puede representarse geometricamente en un sistema coordenado tridimensional. Un sistema corno este se forma con tres rectas de numeros reales perpendiculares entre si en el espacio que se intersecan en el origen de cada recta, corno se muestra en la Figura 17.1. A las tres rectas se les denomina ejes x, y, z, y su punto de interseccion recibe el nombre de origen del sisterna. A cada punto P del espacio se le puede asignar una triada ordenada y unica de nurneros que se conocen corno coordenadas de P. Para hacer esto [vease la Figura 17.2(a)],a partir de P se traza una recta perpendicular al plano .v, .r., es decir, al plano determinado por 10s ejes x y y. Aqui, Q es el punto en donde la recta corta este plano. A partir de Q se trazan rectas perpendiculares a 10s ejes x y y . Estas rectas intersecan a 10s ejes x y y en x o y yo, respectivamente. A partir de P se lleva una perpendicular a1 eje que la corta en 2,. Consecuenternente a P se le asigna la triada ordenada (x,, yo, z o ) Debe resultar evidente que a cada triada ordenada de numeros se le puede asignar un punto unico en el espacio. Debido a esta correspondencia de uno a uno entre 10s puntos del espacio y las triadas ordenadas, a una triada ordenada puede denominar-
L-7
I
(a)
FIGURA " I 7.1
FIGURA 17.2
P(x,,, Y o , zol /
,yo =
Y
17.1
Funciones d e vorios variables
685
sele punto. En la Figura 17.2(b)se muestran 10s puntos (2, 0, O), (2, 3, 0) y (2, 3 , 4). Adviertase que el origen corresponde a (0, 0, 0). Es posible representar geometricamente una funcion de dos variables, 2 = f ( x , y). A cada par ordenado (x, .v) del dominio f se le asigna el punto (x, y , f (x, y)). El conjunto de todos estos puntos recibe el nombre de grafiica de f. Una grafica como bsta aparece en la Fiyura 1'.3. Pucdc ion\itfc.sarse yuc: = ,f (.v, .\') represenfa una supcsl'icie en el cspacio."
En el Capitulo 10 se analizo la continuidad de una funcion dc una variable. Si ,\. = es continua en .u = x,,, entonces 10s valores dc funcion de 10s puntos que estan ~ u c de a x;, estaran cercanos a .f'(.v,,). Arnpliando este concepro a una funcicin con do4 variables, se dice que la funcicin z = ,/'(,Y,.v) es continua en (.\;,, .L~,,) cuando 10s valorc> de funcion de 10s puntos cercanos a (.u,,,y,,) cstan cercauos a , f ' ( . ~ ,J,~, , , ) Interpretando . csto libremente y sin profundizar mucho en el concepto, se puede decir que una funci6n con dos variables es contin~laen su dorninio (es decir, continua en todos lo.; punto> de su dominio) si su grafica es una "superficie ininterrurnpida". Hasta ahora se han considerado funciones de una o dos variables. En general, una funcion de n variables es aquella cuyo dominio esta formado por n-adas ordenadas ( x , , x,, . . . , x,). Por ejemplo, f (x, y, z) = Zu + 3y + 42 es una funcion c!e tres variables y su dominio esta formado por triadas ordenadas. La funcion g ( x , , x 2 , x 3 , x 4 ) = s , .\-:.Y?x,es ~ l n afuncion de cuatro variables y su dorninio esta formado por rctradas ordenadas. Aunque las funciones de varias variables son muy importantes y litiles, no es posible representar geometricamente funciones con mas de dos variables. Enseguida se presenta un breve analisis de la graficacion de superficies en el espacio. Se comienza con planos que son paralelos a un plano coordenado. Por "plano coordenado" se quiere sefialar un plano que tiene dos ejes coordenados. Por ejemplo. t1 plano determinado por 10s ejes x y y es el plano x, y. De manera similar se habla dsl plano x, z y el plano 4: z. Los planos coordenados dividen el espacio en ocho parrei. denominadas octantes. En particular, la parte que contiene a todos 10s puntos (s.? . en donde x , .v )- ;son positivas, ~ c llama . primer octante.
,/'(.\-)
:I
* Se hara uso en forma libre del termino "superficie" en el sentido intuirilo.
686
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
Supongase que S es un plano paralelo al plano .v, !. ! que pasa por el punto (0, 0, 5 ) [vease la Figura 17.4(a)]. En este caso, el punto (.v. >,, :) queda en S si y solo si z = 5; es decir, x y y pueden ser cualesquiera numeroi realts, pero z debe ser igual a 5. Por esta razon, se dice que z = 5 es una ecuacion de S. De modo semejante, una ecuacion del plano paralelo a1 plano x,zy que pasa poi el punto (0,2, 0) es y = 2 [Figura 17.4(b)]. La ecuacion = 3 es una ecuacion del plano que pasa por (3, 0, 0) y es paralelo a1 plano ?;, z [Figura 17.4(c)]. Ahora, se consideraran 10s planos en general. En el espacio, la grafica de una ecuacion de la forma \
en donde D es una constante y A , B y C son constantes todas ellas diferentes de cero, es un plano. Como tres puntos distintos (no todos 10s cuales quedan en la misma recta) determinan un plano, una forma conveniente de trazar un plano consiste primero en encontrar 10s puntos, si es que existen, en donde ese plano corta a 10s cjes x, y o 2. A estos puntos se les conoce como intersecciones con 10s ejes. EJEMPLO 3
Trazar el plano 2x
+ ?y + z
=
6.
El plano corta el eje xcuando y = 0 y z = 0. Por ello, 2x = 6, que da x = 3. Analogamente, s i x = z = 0, entonces y = 2; s i x = y = 0, entonces ,- = 6. Asi, las intercepcio-
17.1
Funciones de vorios voriobles
687
nes son (3, 0, 0), (0, 2, 0) y (0. 0, 6). Despues de trarar esro. p~.~!::.~.. ~ r:.I.:' (1:; p13110 a traves de ellos. La porcion del plano del primer octante esra tli :J F : g ~ rI - . ? r r : .In embargo, es importante darse cuenta de que el plano se estisndr' i ~ ~ ? - i r - ~ ; : 7 1 : :;-!: ::?
el espacio.
Se puede esquematizar una superficie con auxilio de sus trazas. E x a i s'r :-i intersecciones de la superficie con 10s planos coordenados. Para el plano 2~ - 5; - :6 del Ejemplo 3, la traza en el plano x, y se obtiene haciendo z = 0. E?:? 2 2x + 3y = 6, qile es una ecuacion de una recta del plano x, y. De manera s!;r.:;tr. tomando x = O se obtiene la traza en el plano y, z: la recta 3y + z = 6. La t r z j . 2: : = h [ \ s a w la Figura I?.j(b)]. .t-, :es la recta 2s -
-
Trazar la superficie LY -
;= 4.
Esta ecuacion tiene la forma de un plano. Las intersecciones con 10s ejes x y z son (2,0, 0) y (0, 0, 4), y no esiste interseccion c o n y puesto que x y z no pueden ser ambas 0. Tomando y = 0 ss obtiene la traza en x, z , 2x + z = 4, que es una recta del plano x, z. De hecho, la interssccion de la superficie con cualquier plano y = k es tambien 2 s + z = 4. En son.ssusnc.ia, el plano es como el que aparece en la Figura 17.6.
Los ejemplos finales se refieren a superficies que no son planos per0 cuyas graiicas se pueden obtener con facilidad.
EJEMPLO 5
Trazar la superficie z
=
x2.
La traza en x, z es la curva z = x2, que es una parabola. De hecho. para
W b
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
FIGURA 17.7
EJEMPLO 6
Trazar la superficie x 2
+ y2 + z
=
25.
Haciendo z = 0 resulta la traza en x, y, x2 + y 2 = 25, que es una circunferencia de radio 5. De manera similar, las trazas en y, z y en x, z son las circunferencias y 2 + z 2 = 25 y x2 + z2 = 25, respectivamente. Se debe observar tambien que como x2 + y = 25 - z 2 , la interseccion de la superficie con el plano z = k , en donde -5 5 k 5 5, es una circunferencia. Por ejemplo, si z = 3 , la interseccion es la circunferencia x2 + y 2 = 16. Si z = 4, la interseccion es x 2 + y 2 = 9. Es decir, las secciones de la superficie que son paralelar al piano x, y son circunferencias. En la Figura 17.8 aparece una porcion de la superficie. La superficie completa e\ una esfera.
FIGURA 17.8
EJERCICIOS 17.1 En 10s Problemas 1-12, esfablezca 10s valores funcionale~que se indican para las funciones dadas.
17.2
Derivadas parciales
13. Un rnetodo de rnuestreo ecologico para deterrninar las poblaciones anirnales en una area dada irnplica en primer lugar rnarcar a todos 10s anirnales obtenidos en una muestra de R anirnales del area, y despues liberarlos para que se puedan rnezclar con 10s anirnales no rnarcados. En una fecha posterior se obtiene una rnuestra de M anirnales y se anota el nlirnero de estos que estan marcados con S . Con base en R , M y S , una estimacion de la poblacion total de anirnales, N, en el area rnuestreada esta dada por
Hallar f (400, 400, 80). Esrc mT,ers=z rt-re : rr-.bre de procedimiento de marc; .. rc;;;r, -: '
14. En ciertas condiciones, si do- pi::> -:r r; castaiios tienen exactarnente k nifios. iz ::Y::.-X: P = P ( r , k ) de que haya exacrarnsnre r:;:i r I -. ojos azules esta dada por
P(r, k) =
k!(+)r(j)k -r
r=0,1.2..
r!(k - r ) ! '
...
Evaluar la probabilidad de que de un total de cua::? niiios haya exactarnente tres con ojos azules.
En 10s Problemas 15-18, halle ecuaciones de 10s plcnos que satisfagan las condiciones dadas.
z plano y, z
15. Paralelo a1 plano x ,
y pasa por el punto (0, - 4 , 0).
16. Paralelo al
y pasa por el punto (8, 0 , 0 ) .
17.
Paralelo a1 plano x , y y pasa por el punto ( 2 , 7, 6).
18. Paralelo al plano y,
z
y pasa por el punto (-4, -2, 7).
En 10s Problemas 19-28, trace las superficies dadas.
+ p + 2z
20. 2r 22. x
+
24. y
+z
26. y
= x'.
28. x 2
2y
+
3z
=
6.
=
4.
= 1.
+ y2 =
1.
17.2 Derivadas parciales E.n la Figura 17.9 se muestra la superfic;? z = f ( x , y ) y un plano que es paralelo al plann x, z y que pasa por el punto (x,, yo, f (xo, yo)) de la superficie. Una ecuacion de este plano es y = y o . Consecuentemente, cualquier punto de la curva que es interseccion de la superficie con el plano debe tener la forma (x, yo, f (x, y o ) ) .?or consiguiente, la curva puede describirse mediante z = f (x, y o ) . Ya que y o es una constante, se puede considerar que z = f (x, yo) es una funcion de una variable x. Cuando se evalua la derivada de esta funcion en xo, se obtiene la pendiente de la recta tangente a esta curva en (x,, y,,, f(.u,,, y,)) (vease la Figura 17.9). A esta pendiente se le da el nonbr: de derivada parcial de f con respecto a x en (xo,yo) y se le denota por f,(.uo, r.,,). En tkrminos de limites, f(x0 + h, Y o ) - f(x0, Y O ) Iro h
f,(x,, Y O ) = lim
-
* E.P. Odum, Ecology and Winston, 1966).
(Nue\a Y o r i .
H2.1.Kzerr-
690
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
Por otro lado, en la Figura 17.10 el plano s = . ~ qes par-alclo al plano .\,. :y cor ta la superficie = f ( x , y ) de una curva dada por z = f (x,, ,v), que es funcion de y. Cuando se evalua la derivada de esta funcion en yo, se origina la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (x,, yo, f ( x o , yo)). A esta pendiente se le llama la z
4
Recto tangente
17.2
69
Derivadas parciales
derivada parrial de f con respecto a y en (x,, yo) y se le denora por .f',r.t-. .; minos de limites,
I.
Er. :e:
En ocasiones se dice que f,(x,, yo) es la pendiente de la recta tangente a ii g r f ca de f en (x,, y o , f (x,, yo)) en la direccidn de x ; de igual mod0 fy(x,, y o ) 25 ;1 Z T diente de la recta tangente en la direccidn de y. Para generalizar, reeinplazando x , y y o en las Ecuaciones (1) y (2) por s !'j . r:i pectivamente, se obtiene la siguiente definicion.
Si z = f ( x , y ) la derivada parcial de f con respecto a x, denotada por f,, es la funcior dada por .fr(.r, y ) = lim
f(x
+
- f(x,y)
h,.)
9
h
1,-0
suponiendo que existe este limite. La derittada parcial de f con respecto a y, que se denota por f , es la funcion dada po, f ( x j Y + h ) - f ( x , y) f,,(x, y) = lim -h /,--to
9
suponiendo que existe este limite.
A partir de la definicion se advierte que para encontrar f , se considera a y coml constante y se diferencia f con respecto a x en la forma usual. Analogamente, para ha llar f ,, se considera a x como una constante y se diferencia f con respecto a y.
EJEMPLO 1
Si f ( x ,y ) = xy2 + x2y, obtener f,(x, y) y f,(x, y). Determinar tambien f,(3, 4) y fy(3, 4:
Para calcular f,(x, y ) , se considera a y como constante y se diferencia f con respect1 a x: fx(x, 4.) = (l)$ Para evaluar f,(.u,
+
(2.x)y = y2
+ 2e.
y), se toma a x como constante y se diferencia x con respecto a ?.
Notese que tanto f,(x, y) como f,,(x, y ) son funciones de dos variables, x y J . Para er, contrar f,(3, 4), se evalua f,(x, y ) cuando x = 3 y y = 4.
De la misma manera,
f,.(3, 4 )
=
2(3)(4) + 3' = 33
692
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
TADLA 17.2 Derivada parcial de f, bien z) respecto a x
Derivada parciai de f, (o bien z) respecto a y
f,@. ?.I
L ( x . J)
(O
En la Tabla 17.2 se muestran diferentes notaciones para las derivadas parciales dt
17 = f (.r,y ) . En IaTabla 17.3 se incluyen notaciones para las derivadas parciales evaluada!
en (.u,,,Y,,). TADLA 17.3 Derivada parcial de f bien z) respecto a x evaluada en b,. y o )
(O
Derivada parciai de f o bien (z)respecto a y evaiuada en bar ye)
EJEMPLO 2
Para obtener & / a x se diferencia z con respecto a x a1 tiempo que se considera a y como constante:
Evaluando en (1, 0), se genera
Para determinar az/ay se diferencia z con respecto a y a1 tiempo que se toma a como constante:
A
17.2
Derivodos porcioles
De donde
b. Si w = x2e2X+3J, calcular dw/dx y dw/dy.
Para evaluar dw/dx, se considera y como constante y se diferencia con res3;:: r x. Dado que x2eLY+)-\' es un product0 de dos funciones, cada una de las cuale- :-plica a x, se usa la regla del p r o d u c t ~ .
Para encontrar dw/dr., se toma a x como constante y se diferencia con respecto a 1..
Se ha visto que para una funcion de dos variables pueden considerarse dos derivadas parciales. En realidad el concept0 de derivadas parciales puede extenderse a funciones con mas de dos \.ariables. Por ejemplo, con w = f (x,y, z ) , se tienen tres derivadas parciales:
z), awlax, etc.; la parcial con respecto a y, que se denota por f,(x, y, z), dw/dy, etc.; y la parcia1 con respecto a z, que se denota por f,(x, Y , z), aw/az, etc.
la parcial con respecto a x, que se denota por f,Jx, y,
Para determinar drr'/dx, se toman a y y z como constantes y se diferencia w con respecto ax. Para dw/dy, se consideran a x y z como constantes y se diferencia con respecto a y. Para dw/dz, se considera a x y y como constantes y se diferencia con respecto a z. Con una funcion de n variables se tienen n derivadas parciales, que se establecen en una forma que debe resultar evidente. EJEMPLO 3
a. S i f ( x , y , z )
=
x' + y2z + z3, hallarfX(x,y,z ) , f J ( x ,y,
Para obtener f.Jx, y, pecto a x.
z), se toman a y y z como constantes y f,~(x,> I .
Considerando a x y
z
i) =
Z) y
f2(x,y, z).
se diferencia f con res-
?x.
como constantes y diferenciando con respecto a y , resulra
A.(x, y , z )
=
2~'z.
Considertindo a x y y como constantes y diferenciando con respecro a z . se :i-: L(x, y , z ) = y'
+
32'.
rsu
b. Si p = g ( r , s, l , u ) =
rt?
+ s't'
ap ap cu,cu/ur y as at
31
,,I.,,,,,,
Para evaluar ap/as, en primer lugar se observa que p es el cociente de dos funciones, cada una de las cuales irnplica a la variable s. Por ello, se aplica la regla del cociente y se toman a r , I y u corno constantes.
(rt2
an
+ s2t) -a( m u )
-
a.7
-
(rt'
-
rsu
a
-
(rt2
a.~
+ s2t)
+ s2t)(ru) - (rsu)(2st) (rt' + s2t12
Simplificando,
Para encontrar ap/at, es posible primero escribir p de la siguiente forma
Enseguida se emplea la regla de la potencia y se consideran a r , s y u corno constantes.
Tornando r
= 0,
s
=
1, t
=
1y u
=
1 , se tiene que
EJERClClOS 17.2 EII cad0 lino de 10s Proble~~ias 1-26, se da ltna firnc*icin de (10s o cor? respecto a coda ltna de 1a.s variables. I . ,f'(.v, .v) = 4.v' + 3.v' - 6 .
/TIUS
variables. Encontrar 11, del-ivado parcirrl
2. ,f (.v, .v)
=
2.v'
+ 3.v.v
17.2
Derivodos porcioles
En 10s Problemas 27-32, evalue /as deriradas parciales dadas.
33. En un analisis de la teoria ds in~snrariode la dernanda de dinero, Swanson* conjidera la funcion
dF y determina que = dC rivada parcial.
bT -, -. L-erifique esta de-
35. En un analisis de la publicidad y de la redituabilidad, ~ w a l e s considera i la funcion f dada por
L
1
C-
2
34. En un analisis de 10s prscios de acciones de un siclo de dividendos, Palrnon !. Yaari' consideran la funcion f dada por
en donde u es la tasa instantanea de aurnento en el precio de venta, I . PS ilna tasa de rendimiento anual de oportunidad, z es la fraccion de un ciclo de dividendos durante la cual un \,endedor a rnedio ciclo conserva una accion de capltal y r es la tasa efectiva de irnpuesto sobre ganancias del capital. Afirman que
en donde R es la tasa de utilidades ajustada, r es la tasa de utilidades contable, a es una rnedida de 10s gastos de publicidad y n es el nurnero de aiios en 10s que se deprecia totalrnente la publicidad. En el analisis Swales determina dRidn. Halle esta derivada parcial.
36. En un articulo sobre la disminucion de la reglarnentacion sobre tasas de interes, Christofi y Agaposg llegan a la ecuacion
en dondz r es el tipo de interes que pagan 10s banco. cornerciales sobre 10s depositos que reciben, r , es la tasa que ganan 10s bancos cornerciales, C es el cor:c adrninistrativo en el que se incurre a1 transformar d--
Verifique esto. --
*
-
P.E. Swanson, "Integer Constaints on the Inventory Theory of Money Demand", Quarterly Journalof Business and Economics, 23, num. 1 (1984), 32-37. D. Palmon y U. Yaari, "Taxation of Capital Gains and the Behavior of Stock Prices over the Dividend Cycle", The American Economist, XXVII, num. 1 (1983). 13-22.
i: J.K. Swales, "Advertising as an Inrar.:.'r:f Xi>?Profitability and Entry Barriers: A Commen; c.r li=.t c.: Bhoyrub", AppliedEconon~ics,17. n ~ i m2. \ 135: . ?::-.5 A. Christofi y A. Agapos. "Inrere: Rr:t 3.;-+g-~~ tion: An Empirical J u s ~ i f i c a ~ ~ o nR"2.1 i a ~:;B;: -ST :.r Economic Research, XY (19El I . .:325
696
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
positos en activos que rinden intereses y D es el nivel de 10s depositos de ahorro. Christofi y Agapos establecen que
en donde 7 es la elasticidad de 10s depositos con respecto a la tasa de interes y esta dada por 7 = F'D
Exprese la Ecuacion (3) en terminos de 7 para
i~t.~dD
i4)
verificar la Ecuacion (4).
17.3 Aplitaciones do las derivadas partiales Supongase que un fabricante elabora x unidades del product0 X y y unidades del producto Y. En este caso, el costo total c de estas unidades es funcion de x y y y se le conoce como funcion de costos conjuntos. Si esa funcion es c = f ( x , y), entonces W a x recibe el nombre de costo marginal (parcial) con respecto a x. Es la tasa de variacion de c con respecto a x , cuando se mantiene a y fija. De rnanera similar, W a y es el costo marginal (parcial) con respecto a y . Es la tasa de variacion de c con respecto a y cuando se mantiene a x fija. Por ejernplo, si c se expresa en dolares y ac/dy = 2, entonces el costo de fabricar una unidad extra de Y cuando el nivel de produccion de X es fijo es de aproxi~nadamente de dos dolares. Si un fabricante elabora n productos, la funcion de costos conjuntos es una funcion de n variables y existen n funciones de costos marginales (parciales). EJEMPLO 1
Una compaiiia fabrica dos tipos de esquies, 10s nlodelos Relampago y Alpino. Supongase que la funcion de costos conjuntos de fabricar x pares del rnodelo Relampago y y pares del rnodelo Alpino a la semana es
en donde c se expresa en dolares. Calcular 10s costos rnarginales ac/axy W a y cuando x = 100 y y = 50 e interpretar 10s resultados. Los costos rnarginales son
Asi,
La Ecuacion (1) significa que aumentando la produccion del modelo Relampago de 100 a 101 a1 tiempo que se mantiene en 50 la produccion del rnodelo Alpino, produce un aumento en costos de aproximadamente $77. La Ecuacion (2) significa que aumentar
I7 . 3
697
Aplicociones d e 10s derivodos porcioles
.
la produccion del modelo Alpino de 50 a 51 1. niantc.nicn3o :-. ;I 0 ' . : n& . -, --.-:>; Jsl --modelo Relampago produce un aumento de cost05 de apro\imair-:r - 2 : : 3; -?:?!,. --. \ : dado que a c / a y es una funcion constante, el c o s t ~rnarpinai :L>:-. r?.:t,-. a cualquier ni\.el de produccion.
:.
EJEMPLO 2
En un dia gklido, una persona puede sentir tnas frio cuando hay vienro q:.? no lo hay, porque la tasa de pkrdida de calor es funcion tanto de la [ernperair~r;:de la velocidad del viento. La ecuacion
,A;';.
--
:
seriala la tasa de perdida de calor H (en kilocalorias por metro cuadrado y por horz cuando b tetnperatura del aire es t (en grados Celsius) y la velocidad del aire es /c;r: metrospr segundo). Para H = 2000, la carne a1 descubierto se congelaria en un minuro. ' \$
a. Evauar H cuando t
=
4 y io = 4.
b. Ev~luardH/aw y aH/dt cuando t = 0 y w = 4, e interpretar 10s resultados.
c. Cuando t = 0 y w = 4, i q u e ocasiona un mayor efecto sobre H: un carnbio en la lelocidad del viento de 1 m/s, o un carnbio en la letnperatura de 1 "C? a.Cuando t
=
0 y w
=
4, entonces
Esto significa que cuando 1 = 0 y w = 3 , entonces aumentar w en una cantidad pequefia, a1 tiernpo que se rnantiene t fija, hace que H crezca en aproxiinadanente 49.5 veces la rnagnitud en el aurnento de w. Incrernentando t en una cantidad pequefia, a1 tiernpo que se rnantiene w fija, hace que H disminuya aproxirnadamente en 26.45 veces el incrernento en t.
s. Corno la derivada parcial de H con respecto a w es de mayor rnagnitud que la deri\ a d a parcial con respecto a I cuando t = 0 y w = 4, un carnbio en la velocidad d:: viento de 1 rn/s tiene un mayor efecto sobre H . La elaboracion de un articulo depende de muchos factores dc produc~ior: E - - - estos se encuentra mano de obra, capital, terreno, maquinaria, etcitera. Z Z _ - - , ~ - . por sencillez, que la produccion depende solo dc la mano de obra ! LIC! .LT.-: funcion P = .f'(l,k ) da la produccion P cuando el fabricants utiliza I uni2;:r. :;- dc obra y k unidades de capital, entonces a esta funcion se Is iisnfimin: iuncion & p:* G.E. Folk, Jr., Textbook o f E n v i r o n m e n t a l P h ~ i o l o g 2a ~ . ed. ~P::.i;?~:x
.
~-
---
-52 I: r ~ -
duccitin. Se dei'ine la produclividad marginal con respeclo a I como dP/dl. ~ s r es a la dc variation cle P con respccto a 1 cuando se conserva k fija. De la misrna manera, la productividad marginal con rcspecto a k cs d P / d k . ~ s t ea la rasa dc \.i~~-iacicin clc P con respecto a k cuarido I \t' mantiene I'ija. EJEMPLO 3 -
El fabricante de un juguete popular ha establecido que su funcion de produccion es P = v% , en donde I es el numero de horas de mano de obra a la semana y k es el capital (expresado en centenares de dolares a la semanu) que se requieren para la produccion setnunal de Pgr~resusdelj~iguete( ~ l n gruesason a 144 rinidudes). Hullur IusJirnc~iones de yr-oducrividadmar-ginuly evuluarlas cwundo I = 4 0 0 k~ =~ 16.Interpt.rrar 10s rt.su/rudos. Ya que P
=
(lk)'I2,
Evaluando cuando I = 400 y k
=
16, se obtiene
En consecuencia, si I = 400 y k = 16, aurnentar l a 401 y mantener k en16 origina un aumento en la produccion de alrededor +G de gruesa. Pero si k se aurr:nta a 17, a1 tiempo que se mantiene I en 400, la produccion aumenta en aproximadanente 3 de gruesa. En ocasiones puede existir una relacion entre dos productos de maneraque 10s carnbios en el precio de uno de ellos afecten la demanda del otro. Un ejemplc tipic0 es el de la margarina y la mantequilla. Si existe una relacion como estas entre 16 productos A y B, entonces la demanda de cada product0 depende de 10s precios de anbos. Supongase que q , y q B son las cantidades de demanda para A y B, y que p , y J, son sus precios respectivos. Entonces, tanto q , como q , son funciones de p , y p B q, = f( p A ,pB). funcion de demanda para A q~ = g(p,,. pB). funcion de demanda para B.
Es posible encontrar cuatro derivadas parciales:
%.
la demunda marginal de A con respecto a p,;
[Jq* -
la demanda marginal de A con r-espccto a p,;
81) 4
it/)8
17.3
Aplicacianes de las derivadas parcioles
~J(/H
;I/)\
. la demand~marginal para B con respec;o J .."A:
. la demanda marginal para B con respecro I, iIp,>,
--
,P =
En condiciones tipicas, si el precio de B es fijo y el precio de .\ aurr.s::r. 5:::::;: -. disminuye la cantidad de A que se demanda. Por lo tanto, i ~ _/, ; # ; , % :;-i: modo, i)i/,,';lpi; '-(‘1 Sin embargo, ik/ y iJc/H.'fj/<, pueden ser posiritas 0 r.?~:::.. 5 - .
entonces se dice que A y B son productos competitivos o sustitutos. En esta sirua;::: un aumento en el precio de B ocasiona un aumento en la demanda de A, si ss sup;: que el precio de A no cambia. De la rnisma manera, un aumento en el precio d s .\ c 2 siona un aumento en la demanda de B cuando el precio de B se mantiene fijo. La rr.2-garina y la mantequilla son ejemplos de sustitutos. Siguiendo con una situation diferente, se dice que si
entonces A y B son productos complernentarios. En este caso un aumento en el precio de B ocasiona una disminucion en la demanda de A, si el precio de A no cambia. Analogamente, un aumento en el precio de A ocasiona una disminucion en la demanda de B, cuando se mantiene fijo el precio de B. Por ejemplo, las camaras y la pelicula forografica son productos complernentarios. Un aumento en el precio de la pelicula hace qus resulte mas costoso tomar fotografias. Por consiguiente, disminuye la demanda de camaras. EJEMPLO 4
Las funciones de denzanda de 10s productos A y B dependen de sus precios y es~alldodas por
respectivamente. Hallar /as cuatro funciones de demanda marginal y deterrn~nur!J,> bien si A y B son productos competitivos, complernentarios, o no :ienen nrngunlr ;, esas relaciones. 13 I 3 Expresando q, 50p4 p~ y yn = 7 5 1 7 ~ -1 ),~se tiene
-
2 ;
Puesto q u e p , y p , representan precios, ambos son positivos. Consecuentemente, i)qA!i)pn> 0 y dqB!dpA3 0. Se concluye q u e A y B son productos competitivos.
EJERClClOS 17.3 Para las funciones de costos conjuntos en 10s Problernas 1-3, obtenga el costo marginal que se sefiala a1 nivel de produccion dado.
Para las funciones de produccion de 10s Problemas 4 y 5, determine las funciones de produccion marginal dP/dky dPidl.
6 . Una funcion de produccion Cobb-Douglas es una de la forma P = A/"@, en donde A , a y P son constan= 1. Para una funcion como esta, demuestre que tes y a +
a. dPldl
= aYII. b. dPldk = PPIk. ap ap c. I+ k - = P. Esto significa que sumar 10s productos de la productividad marginal de cada fatdl dk tor y la cantidad de ese factor da como resultado el producto total P.
En 10s Problernas 7-9, q A y q , son funciones de demanda para 10s productos A y B, respectivamente. En cada caso determine i ) q ~ / ddqAli)PB. ~ ~ , aqB/dpA,i)qB/d~By A y B son competitivos, complementaries, o de ninguna de las dos clases.
10. La funcion de produccion para las industrias canadienses de manufactura en 1927 se estirno en* P = 3 3 . 0 1 ~ . ~ ~ k "en . " , donde P es producto, I es mano de obra y k es capital. Calcule las productividades marginales para la mano de obra y el capital >- evaluelas cuando I = 1 y k = 1.
er. donde P es producto, A es terreno, B es mano de obra, C es mejoramientos, D es activos liquidos, E es activos de trabajo y F es gastos de operacion en efectivo. Halle las productividades marginales para la mano de obra y 10s niejoramientos.
11. Una estimation de la funcion de produccion para 10s productos lacteos en Iowa (1939) esta dada
* P. Daly y P. Douglas. "The Production Function for Canadian Manufactures", Journal offheAmerican Statistical Association, 38 (1943), 178-86. ? G. Tintner y O.H. Brownlee. "Production Functions Derived from Farm Records", American Journal of Agricultural Economics, 26 (1944), 566-71.
p
= ,4u
? 7 B ~( I I ~ (Ol l D o
z ? ~ 0 ~9 ~I 0 . 2 7 ,
17.3
8
Aplicociones de 10s derivados port
12. Se considera que el slatus general de una persona, S , es funcion del status atribuible a la educacion, S, y del status atribuible al ingreso, S,, en donde S , Se y Si se representan numericamente. Si % =
a:determine .
7% Sp
=
125 y S,
=
SS,/BS, y dS,/?S, cuando 100, e interprete 10s resu1tados.t
13. En un estudio del exit0 de 10s graduados en la lnaestria en administration de empresas (M.B.A.), se estimo que para el personal de nivel medio (que incluye contadores, analistas, etc.) la compensacijn actual anual en dolares, z , estaba dada por
en donde x y y son el numero de arios de experiencia de trabajo antes y despues de recibir el grado de maestria, respectivamente.§ Obtenga ir;/il.v e interprete 10s resultados.
- -
Determine .?R 5:: y 5R :r I.! ;Q;z 2 x s "fa,-ii" de leer: un articulo para s: ; - 2 = j c = c. o uno para el cual 1%. = .L - I . i = ; '
16. Considerese la siguisnrs s;:,r::- -5 I:-:;;. r c de vehiculos. En una carrersra sr : ;-t ti..i:t: 1:s carriles en el mismo sentido, hay 27. :..:-;:t :r.--: : - tenimiento que bloquea el carril de: : .:;-:e::: (\ease la Figura 17.1 1). En el carril L: 2: I:-<.-. hay dos vehiculos (el delantero )i el iras;-: . :e: L-5dos una cierta distancia. El vehiculo shy;': ;-:::::cidir pasarse o no pasarse a ese espacio. T i : :::~:~ 1se puede basar no solo en la distancia .Y q ~ stt :-r:tra en el diagrama, sino tambien en otros facrcrs :Imo la velocidad del vehiculo trasero). Para ar.i::;zeste tip0 de decisiones se ha utilizado un indii-; IF espacio g.ll!: Conforme mayor es el valor dz g . x2yor es la propension para que el vehiculo sujeio sc;pe el espacio. Supongase
14. El estudio de la frecuencia de las vibraciones de una cuerda tirante es util al considerar cosas como la voz de una persona. Supongase que
en donde w (la letra griega "omega") es la frecuencia, b es el diametro, L es la longitud, p (la letra griega "ro") es densidad y T (la letra griega "tau") es ten. y aw/d~. sion.* Halle awlah. a w l a ~ dw/ap 15. En ocasiones st: desea evaluar el grado de legibilidad de algun esclito. Rudolf Flescht desarrollo una funcion de dos variables para esto:
en donde x (en pies) es la distancia indicada, I, es la velocidad del vehiculo trasero (en pies por segundo) y Vs es la velocidad del vehiculo sujeto (en pies por segundo). En el diagrama pareceria razonable que si tanto V Fcomo Vs son fijas y x aumenta, enronces deberia aumentar g. Probar que esto es cierto apilcando el Calculo a la funcion g dada antes. Supongas: que x, V F , Y V , son positivas. Vehiculo sujeto
0 k.4
en donde a R se le denomina calificacion d e facilidad d e lectura, w es el nuinero de promedio de palabras por oracion en muestras de 100 palabras y s es el n u m r o promedio de silabas en esas muestras. Flesch dice que un articulo para el cual R = 0 es "practicamente ilegible", pero uno con R = 100 es "facil para cualquier persona que sepa leer". (a)
Adaptado de R.K. Leik y B.F. Meeker, Mathematical Sociology (Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, Inc., 1975). p A.G. Weinstein y V. Srinivasen. "Predicting Managerial Success of Master of Business Administration (M.B.A.) Graduates", Journal of Applied Psychology, 59, n~im.2 (1974), 207-12. * R.M. Thrall, J.A. Mortimer, K.R. Rebman, y R.F. Baum, eds., Some Mathematical Models in Biology, ed. rev., Reporte num. 40241-R-7. Preparado en la University of Michigan, 1967.
0 Vehiculo trosero
Vehiculo d e montenimiento
0
0
Cord izquie,oc
Corni d e e e c c
Vehiculo delontero
FIGURA 17.1 1 17. Para las elecciones del Congreso sn 19-: s. 2;- centaje republican~,R de 10s voros reps~;:;: :.
-
'.
-I. R. Flesch, The Ari of Readob!r X 7 : .-: ..- ' York: Harper & Row Publishers. Ir.: . :+; ll P.M. Hurst, K . Per;hor.o; E L +r-: c,cle Kinematics and Gap A;ce;:ar.:-.". .'r --Ir - l . - ~ r . r r Psychology, 52, num. 4 (1965,. I:-:I - , 2 T K. Perchonok ) P \ l H--+: E--5 . Closure Signals upor. Dr..er &:-.i,TT \IA-= m c -11-=~ -Flow", Journal q'.ir.p.':~? .i+;,:-.:..:.r; - :-357 ' .-,., 410-13.
democratas en un distrito esta dado (aproximadamentej porg
b.
I? =. i'tl,..,L,,. !!, I<,,!V) =
15,4725
4-
?.5945E, O.:)XC~E,!
--
2..3648&,
Sea f una funcion de dernanda para un producto A y q A = f ( p ,, p B ) , en donde q , es la cantidad de A que se dernanda cuando el precio por unidad de A es p, y el precio por unidad del producto B es p,. L a elasticidad parcial de la demanda de A con respecto a p , que SO derlota porv,,,. se define como q r 4 = ( p 4 1 q ,)(d(I,l/i,l),I. La elasticidad parcial de la demanda de A con respecto a p B , denotada por v,,,,, se define como i p , , / c 1 4 ) ~ i 1 c l,/dpB, Hahlando en terrninos no rnuy estrictos, q,,, es la razon de un carnbio porcentual en la cant~dadde A demandada con respecto a un carnbio porcentual en elprecio de A, cuand o el precio de B es fijo. Del rnismo modo, se puede interpretar ,,, de manera no muy estr~ctacorno la razon de un carnbio porcentual en la cant~dadde A demandada con respecto a un cambio porcentual en el precio de B cuando el precio de A es f i j o . En 10s Problemas 18-24 evalue 71r,, y q,,, para 10s valores dados de p,.
0.09 [?it -
0 . 0 0 8 7 ~ : ,t .! ) ( > I 41; O.X09hl,, i 0.008 I / , ,
+
-
0.0277C,/,
+
Aqui, E r y E,, son 10s gastos de campaAa, (en unidades de $10,000) realizados por lob republicanos y 10s democratas, respectivamente; Ir y I, son el numero de periodos en 10s que se ha estado en el Congreso mas uno, para 10s candidatos republicanos jr democratas, respectivamente; y N es el porcentaje del voto presidential de 10s dos partidos que Richard Nixon recibio en el distrito en 1968. La variable N da una medida de la fortaleza de 10s republicanos en el distrito. a.
En la Ley de las Campafias para Elecciones Federales de 1974, el Congreso fijo un limite de $188,000 para 10s gasros de campafia. AnalizandodRldE,, ile hubiera usted aconsejado a un candidato republican0 que habia ocupad o un escaiio en el Congreso durante nueve periodos que gastara $188,000 en su campaiia?
- 17.4
Calcule el porcentaje por encima del cual el voto de Nixon hubiera t :nido un efecto negativo en R; es decir, determine el punto en el que ijR'i)N i 0 . Proporcione la respuesta al porcentaje mas cercano.
1000
18- 4 ,
-
sop, r-
19- (1,
= 100/iIli\vp");
20. q,
=
20 - p ,
-
+ ?F)B:
p 4 = 3 , 1 1 , ~= 10.
p, = 1. p~
+,;
PA
=
4.
= 2 . p ~ = 2.
Diferentiation partial implitita* Para la ecuacion si x = 1 y y = 1, entonces z 2 - 1 - I = 0, por lo que z = ? >'\. Por ello, la Ecuacion (1) no define a z como funcion de x y y. Sin embargo, despejando z en la Ecuacion (I), se obtiene i
=
w'
o bien
i =
-dm,
cada una de las cuales define a z como funcion de x y y. A u n q u e la Ecuacion (1) no expresa a z explicitamente como funcion de x y y, se puede considerar que expresa a 2 implicitamente como una de dos funciones diferentes de s y y. Observese que la ecua-
8 J. Silberman y G. Yochum. "The Role of Money in Determining Election Outcomes", Social Science Quarrer!v. 58, num. 4 (1978), 671-82.
* Se puede omitir sin perder continuidad
17.4
703
Diferenciocion porciol implicit0
-
ci011 :' - .\-' - .is.! 0 t'\ dc la f o 1 . m ~f(.\.,.L,, ): = 0, t.11 cic)~i,:, 1 :-.. \al.iablt.>. Pucclc pcllsal-\c clue cualcjuier ccuaciti~rdt' 12 t'cl: I);.: t a :i~nplicir:r~nclrtc.ic~rtc collli) (111 co~rJulr(r> clc t'unciollc\ po\ihlc. .I, Para hallar az/ax, en donde
..
.
.
..-
.
., - .
en primer lugar se diferencian ambos lados de la Ecuacion (2) con r e s p t c : ~r .:. . x. :. - - po que se considera a z como funcion de x y y ; tratando a y como si f u z z ;:ri:rz:t.
Despejando &/ax,
Para encontrar dz/ay, se diferencian ambos lados de la Ecuacion (2) con respecto a j.. a1 tiempo que se considera a z como funcion de x y y , y se trata a x como constante.
Asi, dz
y
1 i 1'
2
- - -
A1 mitodo que se utilizo para obtener az/as y az/ay se le da el nombre de difereni:ccion (partial) irnplicita. EJEMPLO 1 a. Si
.* -
+y
+ Yz
-
.\-
=
0, evaluar a d a x cuando x
=
-1, y
=
2yz
=
2.
Se considera a z como funcion de x y y y se diferencian ambos lados df Is ?:-;->;. r con respecto a x.
Usando la regla del cociente para el primer termino del lado izquierdo, se tiene
a
Empleando la regla del ~ r o d u c t opara - (IZ') se tiene
a.~
Despejando &/ax,
En consecuencia,
EJEMPLO 2 Si se1'+"'
-
u 1n(t2
+
l ) , determinar at/au.
Se considera a t como funcion de r , s y u. Diferenciando ambos lados con respecto a u , a1 tiempo que se tratan a r y s como constantes, resulta
a
2suer2+u2= u - [ln(? au 2SUer2
+ u2
=
2t
+
at 1du
--
?+
I)]
+ ln(? +
+ ln(t2 +
d du
(regla del producto),
1):(1i)
I).
Por lo tanto, at au
(r2
+
1 ) [ 2 s ~ e ' ~ +-" ~1n(t2
+
l)]
2ur
En 10s Problemas 1-11, obtenga mediante el metodo de diferenciacion parcial implicita Ins derivadas parciales que se sefialan. I . x2
+ y2 +
z2 = 9;
az/ax.
2. z2 - 3 ~ '
+ y2
= 0;
aziax.
17.5 -~-
I = -
3. 2;'
-
x2 - 4y' = 0 ;
5. x 2
-
2~
7. er
+
e'
9. In(=) 11. (z2
+z
e' -
= 10; A?)
= 1;
+ 6~>+)d=
J.
aziay.
+ X2y~2=
-
+
705
Derivodos porcioles de orden superior
20;
6.
aziax.
3s- + Z3 - X;
dzld~.
8. l?z,
az1d.v.
10. I n u.
= 2:
+
).-
-
- ).
'f =
=
; . .
--
2y2.y
-
I' =
+ I n J.
-
I n :=
:-:-.
-
.
.
-. :::.
,:I.
t-
.
-: - .
d-id)..
En 10s Problemas 12-18, evalue para 10s valores dados de /as variables /as derivadas parciales qur se 12. xz
+ xyz
- 5 = 0;
a:idr..t- = 1 . ) - =
4,:
.r:.::-
= 1.
A
A
A
= -
I
13. x z ' +
-
vz - 12 = 0 ;
d;,d.r..u = 2 . ) . = - 2 . 2
= 3.
17.5 Derivadas parciales d e orden superior Si z = f (x,y ) , entonces z es no solo funcion de x y y , sino que tambien f , Y f , sol. cada una funciones de x y y . Por consiguiente, pueden diferenciarse f x y f y para obtener derivadas parciales de segundo orden de f. Simbolicamente,
f,, significa (f,),, fXr
significa (f,),,
f,
significa (f,),,
f,, significa (f,), .
En terminos de la notacion con a,
Debe advertirse que para determinar fxy en primer lugar se diferencia f con rerp::: a x. Para a2z/axay, se diferencia primer0 con respecto a y . Puede ampliarse la notacion para abarcar 10s casos de derivadas parciais 2s 2:den superior al segundo. Por ejemplo, f,,, (o bien d3zidxdYds) es una d e r i ~ a d s=L-:-.L de tercer orden de f . Es la derivada parcial de fxy (o bien d': dy3s1 con rsis.:: r : En este punto debe ser evidente una generalizaciin referente a deri~ada;~Z-LS-; 2 orden superior en relacion con funciones de mas de dos 1-ariables.
706
I7
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
EJEMPLO 1 Hallar /as cuarro derivadas parciales de segundo orden de f (x,y ) = x2y
Como
I
,f;.(.r, y )
=
2xy
+
+
x2y2.
2.1?.',
se tiene que
Dado que
entonces
A las derivadas f;?,y f,, se les conoce como derivadas parciales mixtas. Notese en el Ejemplo 1 que f,,(x, J') = ]i:,(.r, 4.1. En condiciones apropiadas las derivadas parciales mixtas de una funcion son iguales; es decir, no importa el orden de la diferenciacion. Puede suponerse que Cste es el caso para todas las funciones que se consideran.
EJEMPLO 2
d3w
--
- 3 6 . 4 = 144.
aza~~ax
Consecuentemente,
17.5
71
Derivodos porcioles de orden superior
EJLMPLO J*
Deferminar it2::ir.\-' si 1'
= sy
Mediante diferenciacion implicita se determina primer0 dz1d.r:
Diferenciando ambos lados con respecto a x ,
Sustituyendo az/ax por y / ( 2 z ) , se tiene
En 10s Problemas 1-10, determine las derivadas parciales que se indican.
9. z
=
d m ;
nz
a'~ ar"
- -
ar'
10.2 =
11.
Si f ( x , y , z )
=
7 , hallar f,,,(4, 3, - 2 ) .
12.
Si f (x, y, z )
=
z 2 ( 3 x 2- 4 x y 3 ) , calcular f,,,(l, 2 , 3).
13.
Si f ( I , k )
5I3k6 - lk7, encontrar hL,(2,I).
=
1n(x2 i 5 ) I .
'
a2z
--
ax'
a,,a.~
+ y2ex +
14.
Si f ( x , y ) = 2x2y
xy2 - x 2 y 2 ,evaluar f,,,.(O,
15.
Si f ( x , y ) =
ln(xy), determinar f,,,.(l. I ) .
16. Si f ( x , y )
=
x 3 - 3xy2
17.
Para f ( x , y )
= 8x3
18.
Paraf ( x , Y )
=
x 2 - y 3 , encontrar &,(I> - 1 ) .
2 x 2 y 2 + 5 y 4 , probar que f,.(.r, y) = ,f,,(.t-, J.).
x 4 y 4 + 3 x 3 y 2- 7 x + 4 , probar que f,,,(x,
*20. Si 2 z 2 - x 2 - 4y
- 17.6
+
+
1).
a 2:
-
0, obtener -.
d.T -
Regla de la cadena
*21.
J.)
= f,,T(.r, !!).
Si z 2 - 3x2
+
d2z y2
= 0,
hallar -7. dy
*
Supongase que el fabricante de dos productos relacionados A y B tiene una funcion de costos conjuntos dada por
en donde c es el costo total de fabricar las cantidades q, y q, de A y B, respectivamente. Ademas, supongase que las funciones de demanda para 10s productos son
en donde p, y p, son 10s precios por unidad de A y B, respectivamente. Puesto que c es funcion de q, y q,, y como tanto q, como q, son en si mismas funciones de p, y p,, entonces se puede considerar a c como funcion de p , y p,. (A las variables q, y q, se les denomina, apropiadamente, variables intermedias de c.) En consecuencia, se debe estar en posibilidades de determinar ac/ap,, la tasa de variacion del costo total con respecto a1 precio de A. Una forma de hacer esto es sustituir las expresiones q A Y q B par g ( p A , p B ) Y h (P,, pB), respectivamente, en c = f (q,, 4,). Entonces, c es funcion de p, y p,, y es posible diferenciar c con respecto a p, en forma directa. Este metodo tiene algunas desventajas, en especial cuando f,g o h estan dadas por una expresion complicada. Otra forma de abordar el problema seria utilizar la regla de la cadena (en realidad una regla de la cadena) que se establece enseguida, sin demostracion. Regla de la Cadena
Sea z = f (x, y), en donde tanto x como y son funciones de r y s, dadas por x = x (r, s) y y = y (r, s). Si f, x y y tienen derivadas parciales continuas, entonces z es funcion de r y s, y - -
az
az ax -
dr
x r
az ay +dy d r
I7 . 6
709
Reglo de lo codeno
Adviertase que en la regla de la cadena el numero ds \ ariablss ir,r:rrn:dias ds : . .JS. (dos) es el mismo que el numero de terminos que componen tanto a 5 ; 3.7 :>r;? a ; Volviendo a la situacion original en relacion con el fabricant?. i: 2 % : ~ 2
-EJEMPLO 1
Para un fabricante de camaras fotograficas y pelicula el costo total camaras y q , unidades de pelicula, esta dado por
(I
de fabricor
<-
Las funciones de dernanda para /as camaras y para la pelicula estan dadas por
en donde p c es el precio por camara y p , es el precio por unidad de pelicula. Encontrar la tasa de variacidn del costo total con respecto a1 precio de la camara cuando pc = 5 0 y p F = 2. En primer lugar se debe determinar ac/dpc. Mediante la regla de la cadena,
Cuando p , = 50 y p , = 2, entonces q , = 90v'2 y q , valores en ac/apc y simplificando, resulta =
-
123.2
=
1150. Sustituyendo estos
(aproximadamente).
Se puede extender la regla de la cadena. Por ejemplo, supongase que z = f (v, w, x, y ) y que v , w, x y y son todas funciones de r, s y t. Entonces, si se suponen ciertas condiciones de continuidad, z es funcion de r, s y t , y
Observese que el numero de variables intermedias de :(cuarrol + 1: r_ls=; mero de terminos que forman tanto a Bz'irr. 6: 6:. coma ;:-:
;ir I--
Ahora, se considera la situation en la que z este caso,
=
f ( x ,y ) y x
=
x ( t ), y
=
y ( t ). En
Aqui, se utiliza el simbolo d z / d t , en vez de az/at porque puede considerarse que z es funcion de una variable, t. De la misma manera, se emplean 10s simbolos dx/dt y dy/dt, en vez de a x / & y ay/at. Como se ha visto, el numero de terminos que forman a dz/dt es igual a1 numero de variables intermedias de z. Otras situaciones se abordarian de mod0 analogo.
EJEMPLO 2 a. Si w = f ( x , y , z ) = 3x2y
+ xyz
- 4y2z3,en donde
x = 2r-3s,y= 6 r + s y z = r-s, determinar a ~ ~ / .Ya ar w/as. Ya que s,y y :son funcion-s de r y s, entonces, mediante la regla de la cadena,
Tambien,
b. S i z
1-
+ e?'. en donde x
En virtud de que x y y son funciones de r, s y t (notese que es posible escribir y 9 + rt + 0 . s), por la regla de la cadena,
=
j'
-2,s
Si r
=
=
5 yt
-2, s
=
=
=
ser' y y
+
=
--
rs
+
rt, evaluar az/as cuando r
=
=
9
4.
5 y t = 4, entonces y = 1. Por ello
Mediante la regla de la cadena,
h. Dados
z
= eXy, x =
Debido a que x
=
r - 4s y y
=
r - s, hallar az/ar e n ierminos d e r y s.
r - 4s y y = r -
S,
En 10s Problemas 1-12, obtenga las derivadas que se seiialan aplicando la regla de la cadena.
6. w
=
1n(.r2
+ ).'+ z 2 ) , x
= 2 - 3t,y= t'+
3,z = 4 - 1 ;
dwidt.
712
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
13. S i z = (4x t 3 y ) 3 ,en donde x = r's y y = r - 2s, evalue W a r cuando r = 0 y s = 1 .
--
14. Si z = ~ ' 5 . r + 2,. , en donde x = + 7YY = t 2 - 3t + 4 , determine d z / d t cuando t = 1. 15. Si w = e'-'-.'.(xL + 4z3), en don& x = rs, y = 2s - r y z = r + s, determine iI~r./r?scuando r = 1 v s = -1.
16. Si y = x / ( x - 5 ) , en donde x determine ;!.y)..ii)t cuando r = 0 , s
= 2 t 2 - 3rs - r 2 t , = 2 , y t = -1.
17. Considerando una funcion de produccion P
f (I, k ) en dondr I es insurno de rnano de obra
=
y k
es insumo de capital, Fon, Boulier y Goldfarb* suponen que I esta dada por I = Lg(h), en donde L es el numero de trabajadores, h es el nurnero de horas diarias por trabajador y g ( h )es una funcion de eficacia de la rnano de obra. Al maximizar la productividad p dada por
p = U P - whL, en donde a es el precio por unidad de produccion y w es el salario por hora para 10s trabajadores, Fon, Boulier y Goldfarb determinan JplaL y dpldh. Supongase que k es independiente de L y de h y deterestas parciales.
17.7 Maximos y minimos para funciones de dos variables Ahora se amplia a funciones de dos variables la nocion de maximos y minimos relativos (0 extremos relativos).
Se dice que una funcion z = f (x, y) tiene un niriximo relativo en el punto (xo, yo), es decir, cuando x = xo y y = y o si para todos 10s puntos (x, y) del plano que estan lo suficientemente cercanos a (xo, yo) se tiene que Para un minimo relativo, en (A), se reemplaza r por
I
I
Decir que z = f (x, y) tiene un maximo relativo en (x,, yo) significa geometricamente que el punto (x,, yo, z,) de la grafica de f esta en una posicion superior que (o esta a la misma altura que) todos 10s demas puntos de la superficie que se encuentran "cerca" de (x,, yo, 2,). En la Figura 16.12(a) f tiene un maximo relativo en (x,, y,). De la misma forma, la funcion f de la Figura 16.12(b) tiene un minimo relativo cuando x = y = 0, que corresponde a un punto hajo en la superficie. Se debe recordar que a1 ubicar extremos para una funcion y = f (x) de una variable, se examinaron 10s valores de x pertenecientes a1 dominio de f para 10s cuales f ' (x) = 0 o bien f' (x) no existe. Para funciones de dos (o mas) variables, se sigue un procedimiento semejante. Sin embargo, para las funciones que son de interts aqui no ocurren extremos en 10s casos en donde no existen derivadas y se excluye la consideracion de esta clase de situaciones. Supongase que z = f (x, y) tiene un maximo relativo en (x0, yo), como se sefiala en la Figura 17.13(a). En este caso, la curva en la que el plano y = y o corta la superficie debe tener un maximo relativo cuando x = x,. Asi, la pendiente de la recta tan-
* V. Fon. B.L. Boulier y R.S. Goldfarb, "The Firm's Demand for Daily Hours of Work: Some Implications", Atlantic Economic Journal, XIII, ndm. 1 (1985), 36-42.
f7.7
Mtutimos y minimos poro funciones de dos voriobles
gente a la superficie en la direccion de x debe ser 0 en (x,, y o ) . De manera equivalente, f,(x, y ) = 0 en (x,, y o ) . De mod0 analogo, en la curva en la que el plano x = x , corta a la superficie [Figura 17.13(b)], debe haber un maximo relativo cuando y = yo. E n consecuencia, en la direecion de y la pendiente de la tangente a la superficie debe ser 0 en (x,, y o ) . E n forma equivalente, f,(s,).! = 0 en (x,, y o ) . Puesto que es posible realizar u n analisis similar para un minimo relativo, pueden combinarse estos resultados como se explica a continuacion. Regla 1
Si ;= f(x, y ) tiene un maximo o un minimo relativo en (.I.,,, v,,). y si tanto .f; como j; estan definidas para todos 10s puntos cercanos a (x,,,y,,),es necesario que (x,,,y,,) sea una solucidn del sistema. x, V ) =
Tongente Superficie
I
Plono y = yo Y
I /I I X
4 X o . Yo,
0) X
0.
714
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
Un punto (x,, y o ) para el cual f.Jx, y ) = f ,.(x, y ) = 0 recibe el nombre de punto critico d e f . Por lo tanto, a partir de la Regla 1 s e infiere que para localizar extremos relativos de una funcion deben examinarse sus puntos criticos. ADVERTENCIA La Kegla 1 no implica que debe haber un extrerno en un punto critico. De la misma forrna que en el caso de funciones de una variable, un punto critico puede representar un rnaxirno relalivo, un minirno relativo o ninguno de 10s dos.
Dos comentarios adicionales: En primer lugar, la Regla 1 al igual que la nocion de un punto critico, puede ampliarse a funciones de mas de dos variables. Por consiguiente, para ubicar 10s extremos posibles de w = f (x, y , z), se examinarian 10s puntos para 10s cuales w , = w, = w, = 0. En segundo termino, para una funcion cuyo dominio esta restringido, una blisqueda completa de extremos relativos incluiria la consideracion de 10s puntos limites. EJEMPLO 1
Localizar 10s puntos criticos de las siguientes funciones,
Como fy(x, y) = 4.y - 2y
Esto da como resultado x punto critico. b. f(1, k) = I' + k3 - Ik.
+
5 y f,,(.r, y)
i
4x - 2y
=
+
2y - 2x - 3, se resuelve el sistema
5 = 0,
+
-21 2y - 3 = 0. y = 4. Consecuentemente, (-1,
= -1 y
$ ) es el unico
De la Ecuacion (2), k = 312. Sustituyendo k en la Ecuacion ( 3 ) se obtiene 0 = 2714 - I = 1(2713- 1 ) . Por ello, I = 0 o bien I = 4. Si I = 0, entonces k = 0; , entonces k = i . Asi, 10s puntos criticos son (0, 0) y (4, 9). si I = c. f(x. y , z ) = 2 x 2 + xy + v 2 + 100 - z ( x + y - 100). Resolviendo el sistema
se tiene el punto critico (25, 75, 175), como el lector puede verificar. EJEMPLO 2 Ubic~~ 10s r punros crr'ricos de
17.7
Maximos y minimos para funciones de dos variable<
da el punto critico ( 2 , - 1 ) . Debe advertirse que la funcion dada puede escribiris dc la siguiente manera f(r,y)
=
+ 4 + 2(!' + 2 ~ +. - 2j1 + 2(! + 1)l + I .
x 2 - 4.r
= (.Y
1)
+
1
y f ( 2 , - 1 ) = 1 . Resulta claro que si ( x , y ) f ( 2 , - I ) , entonces f ( x , y ) > 1, en consecusr.cia, ocurre un minimo relativo en (2, - 1 ) . Ademas, existe un minimo absolrrro s n ( 2 , - I ) , dado que f (x, y ) > f ( 2 , - 1 ) para fodas las ( x , y ) 2 ( 2 , - 1 ) .
Aunque en el Ejemplo 2 fue posible probar que el punto critico seiialaba un estremo relativo, en muchos casos esto no es facil de hacer. Existe, sin embargo, una prueba con segundas derivadas que da las condiciones en las cuales un punto critico se identifica como un maximo o un minimo relativo. Se le establece zqui, omitiendo la demostracion.
7
Regla 2
PRL-EBA D E LA Sk:GUNL)A 1)ERIVAl)A P . 4 H . 4 FL-NCIONES DE U O S VARIABI.F:S
\uponsaw que ,- = f(s, - v ) tieile derivada\ pal-ciales continuas ,f;,, .f;, , !, / c.11 todos 10s punto$ (.v, -v) cercanoh al punto cl.itico (.\-,,, .v,,).Sea D la funci61l cltl'illida por D ( x , y ) = .f',, (.v, .v) f,, (.v, .v)
-
U;,(.\-, !)I2.
Entonces, a. si D ( x l l ,y,,) > 0 y , f , , (.vli,y,,) < 0, ,f'ticllc L b.
hi
I maximo ~
~.clativoen (.v,,. .I.
D ( x , , ,y o ) > 0 yf',, (x;,,y,,) > O.,f'tier~cu n maximo I-clati\oen
(.I:,. 1 . 1:
c . si D(x,,,y , , ) < 0 , f no tienc ni maximo relativo ni mininio I-ela~i\o en
d. si D(.v,,,y,,)
-
):
(.\
.
0 , 110 sc pucde obtcncl- ninpuna conclusion acerca Jr
1 0 s extremos en (.v,,,.\;,), v sc ~.eyuierc> u n aniilisis nilis detallado.
EJEMPLO 3
+
Examinar f ( x , y ) = x 3 y 3 - xy para ver si liene tnuui/uos o tur:p~i/jla$ r2.2: . . : : : cando la prueba de la segunda derivadu.
En primer lugar, se hallan 10s puntos criticos. f i ( x , ! ) = 31'
--
j..
f , ~ I .) =
3
-
i
i
716
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
De la misma forma que se hizo en el Ejemplo l ( b ) , resolviendo f,(x, y ) se producen 10s puntos criticos (0, 0 ) y (4,4).
=
f,(.r, y) = 0
Ahora, .f,,(-x,
y)
=
6x.
f
. 1)
=
-
1.
f.?(.x, y)
6y.
=
De donde
D(x, y) = (6.u)(6y) - ( - 1)2 Como D ( 0 , 0 )
=
=
36xy
-
1.
< 0 , no existen extremos relativos en (0, 0). 36(!i)(+)- 1 = 3 > 0 y f,,(+, i) = 6(4) = 2 > 0 , existe un
36(0)(0)- 1
=
-1
Debido a que D(4, 8) = minimo relativo en (i,f). El valor de la funcion en este punto es
EJEMPLO 4
Examinar f ( x , y) = Y 2 - x 2 para ver si tiene extrernos relativos Resolviendo fy(x, y) = - 2x = 0 y f.(x, y) 2y = 0 , se origina c l punto critico ( 0 ,0 ) . Ahora se aplica la prueba de la segunda derivada. En (0. 0) y , de hecho, en cualquier punto,
-
fx,(x, y)
=
-2,
f,,.(x, Y ) =
2
1
f,(x, p )
=
0.
Corno D (0,O) = (-2) ( 2 )- (0)' = - 4 < 0 y no existen extrernos relativos en (0, 0 ) . En la Figura 17.14 aparece un esbozo de ;= f'(.u, .v) = y' - .v2. Notesc que para la superficie curva cortada por el plano y = 0 existe un maximo en (0);pero para la superficie curva cortada por el plano x = 0 existe un minimo en (0, 0). Por consiguiente, n o puede existir un extremo relativo en la superficie, en el origen, aunque (0, 0 ) es un punto critico. Alrededor del origen la curva tiene forma de silla de montar y a (0,O)se le llama punto de silla de f .
EJEMPLO 5
Examinar f (x, y )
=
x4
+
(X -
y)4y ver si tiene extremos relativos.
17.7
717
Moximos y minimos para funciones de dos variables
Si se establece que fy(x, y)
=
4x3
+ 4(x
(4)
- ?.)? = 0
entonces, de la Ecuacion (9,se tiene x - y = 0, o bien x = y. Sustituyendo la E:ua<:or! (4) resulta 4x3 = 0, o bien w = 0. Consecuentemente, x = y = 0 y (0. 0) ts : ~ n i c o punto critico. En (0. 0).
Por ello, D (0. 0) = 0 y la prueba de la segunda derivada no proporciona informaciilri. Sin embargo. para todos 10s (.r, y) # (0, 0), se tiene que.f'(x, y ) > 0, en tanto que,t (0. 0) = 0. Asi, t n (0, 0). la grafica de ,f' tiene un punto bajo y se concluye que , f ' tienr. Lln rninirno rslati\o (I, absoluto) en ( 0 , 0). En rnuchos casoi que irnplican funciones de dos ~ariables,y en especial en sus aplicaciones, la naturaleza del problema es un indicador de si un punto critico es de hecho un maximo relativo (o absoluto) o un minimo relativo (o absoluto). En estos casos no es necesaria la prueba de la segunda derivada. Con frecuencia, en estudios matematicos en areas de aplicacion se supone que las condiciones pertinentes de segundo orden se cumplen.
EJEMPLO 6
Sea P una funcion de produccidn dada por P = ,f(l, k) = 0.541'
-
0.021'
+
1.89P
-
0.09k3,
en donde 1 y k son las cantidades de mano de obra y capital, respectivamente, y P es la cantidad de productos que se fabrican. Calcular 10s valores de 1 y k que maximi:an P.
I
=
0.061(18 - 1)
=
0, I
=
=
0.
18.
k
=
0.27k(14
=
0, k
=
-
k)
=
0
14.
Existen cuatro puntos criticos: (0, O), (0, 14), (18, 0) y (18, 14). Ahora se aplica la prueba de la segunda derivada a cada uno de 10s punto. Pll=1.08-0.121,
Pkk=3.78-0.54k,
De donde D(l, k)
=
P,lP,,
-
[plkI2
= (1.08 - 0.121)(3.78 - 0.54X-5
Pli=O
.- - -
Dado que D(O, 0 ) > 0 y Pi,
I I
=
> 0 , existe
1.08
un minimo relativo en ( 0 , 0).
En (0, 141,
D(0, 14)
=
1.08(- 3.78) < 0 .
Como D ( 0 , 14) < 0 , no existe extremo relativo en (0, 14). En (18, O),
D(18, 0 )
= (-
1.08)(3.78)< 0.
En virtud de que D(18, 0 ) < 0 , no existe extremo relativo en (18, 0). En (18, 14),
D(18, 14)
= (-
1.08)(- 3.78) > 0 .
Ya que D (18, 14) > 0 y P,, = -1.08 < P existe un maximo relativo en (18, 14). Se obtiene la produccion maxima cuando 1 = 18 y k = 14. EJEMPLO 7 Un.fubricu~ilede u l i ~ ~ i e ~ produce ilos 2 lipos de golosinus, A y B, cuyos costos pronirdio rleproduccidn son conslunlesy de $ 2 $3~ (dolares) por libra, respec/ivurnen/e. Lus can/;d(ic1es q ,, q,, (en librus de A y B que pueden venderse coda semanu esrdn dudus por 1~1s f ~ ~ n c i o n ede s deniunda conjunrus
en donde p, y p,, son 10s precios de venra (en dolures p o r libra) de A y B , respecrivanlenle. Delerrninar 10s precios de venta que rnaxirnizan las urilidades P del fabricanre.
La utilidad total, P esta dada por
P
=
u por libra
r
) ( +
vendidas Para A y B, las utilidades por libra son P ,
d:~1: por libral
)( ) a
vendidas -
2 y PI, - 3 Kcspecti\~a~ilen~e. Asi,
ObsCrvese que P esta expresada como funcion de dos variable5, P , y PI,. Para maximiLar P se igualan sus derivadas parciales a cero:
17.7
Moximos y minirnos para funciones de dos variables
\ i ~ ~ i l ~ l i I ' i c ; ~las~ ~d~oIscecuaciones > anrcriore\ \c obriciic
cu!a ~ o l u c i u r ic. I > ,
i.5 y P,,
-
6 . /\der~13\,
P o r cllo, D(5.5. 6) = (-800) (-1600) - (800): > 0 . C o m o il'P/d/)-',< 0, ,z ricn.. .:. hecho, un m a \ i m o . El t'abricantt. d c h c \ c ~ l i l c ila golosina A LI 55.50 lola la^^,\) pc>r i : ; ~ - . y la B a $6.00 ( d o l a r e \ ) pol- libra.
EJEMPLO 8.
Supongase que un monopolista practica la discriminacion de precios vendiendo el mismo product0 en dos mercados distintos a precios diferentes. Sea q, el numero de unidades que se venden en el mercado A, en donde la funcion de demanda es p , = f (q,), y sea q , el numero de unidades que se venden en el mercado B, en donde la funcion de demanda es p , = g (q,). En este caso, las funciones de ingresos para 10s dos mercados son r~
==
qAf(q.4)
Y
r~ = q ~ g ( q ~ ) .
Supongase que todas las unidades se fabrican en una sola planta y sea la funcion de costos por fabricar q ( = q, + q,) unidades, c = c (q). Se debe tener presente que r , es funcion de q, y que r B es funcion de q,. La utilidad P del monopolista es P = r,
+
rn
-
(,.
Para rnaxirnizar P con respecto a las producciones q, y q , se igualan sus derivadas parciales a 0. Para comenzar con,
- dr, - -dc dq = 0 -
dqA
Debido a que
se tiene
dq dq,
(regla de la cadena).
720
CALCULO EN VARlAS VARIABLES
17
De manera semejante
De las Ecuaciones (6) y ( 7 ) , se obtiene drA dcl~
-
dc
- -dr,
dq
dqB' Pero dr,Jdq, y drB/dqBson ingresos marginales y dc/dq es costo marginal. Por consiguiente, para maximizar las utilidades es necesario cobrar precios (y distribuir la produccion) de manera que 10s ingresos marginales en ambos mercados Sean iguales y , ha-
blando en terminos no muy estrictos, que sean iguales a1 costo de la ultima unidad fabricada en la planta.
En 10s Problemas 1-6, ubique 10s puntos criticos de las funciones.
En 10s Problemas 7-1 8, localice 10s puntos criticos de lasfunciones. Determine, mediante la prueba de la segunda derivada, si cada punto corresponde a un maxim0 relalivo, a un minim0 relalivo, o a ninguno de ellos, o si la prueba no da ninguna informacidn. 7.f(.x, y) = x' + 3?' + 4.r - 9g + 3 . 8 . f ( x , y ) = - 2 u 2 + 8, - 3 j 2 + 24y + 7. 9. f ( x , y)
=
y
-
?' -
3x - 6x2.
10. f ( x , g ) = x 2 + y 2
+ xy
- 9x
+
1.
En 10s Problemas 19-26, a menos que se indique lo contrario, las variables p , y p , denotan precios de venta de losproductos A y B, respectivamente. En forma analoga, q, y q , denotan las cantidades de A y B que se fabrican y venden durante cierto periodo. En todos 10s casos se supone que las variables que se utilizan son unidades de produccidn, insumos, dinero, etc. 19.
Suponga que
P =
J ( ( ,k )
=
1 .0812 -
0.031' + 1.68k'
-
0.0gk3
s . una iuncion dc produccior~para una empresa. Enconrrar las cantidades d e insumos I y k que rnaximizan la produciion P.
20. En cierto proceso autornatizado de manufactura, sc utilizan las maquinas M y h durante 111 y ri horas, respectivarnente, ~i la production diaria Q es funciolr de 177 y n , es decir, Q
=
3.51n
+
5n - 0.511i' - n - 0.251rln,
halle 10s valores de
1r1
y n quc rnaximizan Q.
17.7
Maximos y minimos pora funciones de do5 voriobles
72
21. Una cornpafiia dulcera fabrica dos clases de dulces, A y B, para 10s cuales 10s costos promedio constantes de produccion son 60 y 70 (centavos de dolar por libra), respectivamente. Las funciones de dernanda para A y B estan respectivarnente dadas por q, = 5 b B - p,) y q B = 500 + 5 0 , - 2p ) Ob'! ' tenga 10s precios de venta p , y p, que rnaxlrnizan las utilidades de la cornpaiiia.
1
I
22. Repita el Problerna 21 si 10s costos constantes de produccion de A y B son a y b (centavos por libra), respectivamente.
1
23. Supongase que un monopolista practica la discrirninacion de precios en la venta de un producto a1 cobrar precios diferentes en dos rnercados distintos. En el mercado A , la funcion de demar~daes p, = 100 - q , y en el rnercado B es p B = 84 - q B , en donde q, y q, son las cantidades que se venden a la semana en A y B, y p , y p , son 10s respectivos precios por unidad. Si la funcion de costos del rnonopolista es c = 600 + 4(q, + q,), jcuanto se debe vender en cada rnercado para rnaxirnizar las utilidades? ~ Q u eprecios de venta producen esta utilidad maxima? Calcule la utilidad maxima. Un monopolista vende dos productos que compiten entre si, A y B, para 10s cuales las funciones de dernanda son q, = 1 - 2p, + 4pR y q B = 11 + 2p, - 6pR. Si el costo prornedio constante de fabricar una unidad de A es 4 y de 1 para B, jcuantas unidades de A y B se deben vender para rnaxirnizar las utilidades del rnonopolista? 24.
pie' de materiales es $3 (dolares) para la bas?. S: para el frente y la parte de atras y $0.50 para lor s r r - i dos lados. Establezca las dirnensiones de la caja 4-c rninirnizan 10s costos de 10s materiales (vease la F:gura 17.15).
28. Supongase que A y B son las dos ~inicasernpresas que en un rnercado venden el rnisrno producto (se dice que son duopolistas). La funcibn de demanda de la industria para el producto es p = 92 - q , q, en donde q, y q R denotan la produccion que se fabrica y vende de A y B, respectivarnente. Para X la funcion de costos es c, = 10q,; y para B es c, = 0.54;. Supongase que las ernpresas deciden acordar niveles de produccion y control de precios a1 actuar en forrna conjunta corno rnonopolio. En este caso se dice que se coluden. Demuestre que la funcion de utilidades para el monopolio esta dada por
25.
Para 10s productos A y B la funcion de costos conjuntos para un fabricante es c = 1.5q2, + 4.5q2, y las funciones de dernanda son p, = 36 q2, y p , = 30 - q2,. Evalue el nivel de produccio~i que maxirniza las utilidades.
1
I 1
Exprese P corno funcion de q, y q, y determine la forrna en que se debe asignar la produccion para maximizar las utilidades del rnonopolio.
26. Para 10s productos de un rnonopolista A y B, la funcion de costos conjuntos es c = (q, + q,)' y las funciones de dernanda son q, = 26 - p, y q , = 10 - 0 . 2 5 ~ ~ Determine . 10s valores de p, y pB,que rnaxirnizan las utilidades. ~ C u a l e sson las cantidades de A y B que corresponden a estos precios? iCual es la utilidad total?
29. Supongase f (x, y) = -2x2 + 5y2 + 7, en donde x y y deben satisfacer la ecuacion 3x - 21. = -. Halle 10s extrernos relativos de f sujetos a las condiciones dadas para x y y, despejando en primer lugar y en la segunda ecuacion. Sustituya el resultado de J en la ecuacion dada. Consecuenternente, f queda e l presada corno funcion de una variable para la zua: es posible hallar extrernos en la forrna usual.
27. Una caja rectangular descubierta en la parte superior debe tener un volurnen de 6 pie3. El costo por
30. Repita el Problema 29 si f (A-, F) = X I 4yZ -t 6 sujeto a la condicion de que Lu - 8j- = 3:'
- 17.8
Multiplitadores de Lagrange Ahora, se hallaran maximos y minimos relativos para una funcion sobre la cual se irnponen ciertas restricciones. Podria presentarse esta situacion en el caso de que un fabricante deseara minimizar el costo total de 10s factores de insumo y, al mismo tiempo, lograr un determinado nivel de produccion. Supongase que se desea localizar 10s extremos relativos de
sujeto a la restriccion de que x, y y z deben satisfacer x-y+2:=6. Puede transformarse w, que es funcion de tres variables, en una funcion de dos variables de forma que la nueva funcion refleje la restriccion (2). Despejando x en la Ecuacion (2) se obtiene
expresion que cuando es sustituida en lugar de x en la Ecuacion (I), produce
Como ahora w esta expresada como funcion de dos variables, para hallar 10s extremos relativos se sigue el procedimiento usual de igualar a 0 sus derivadas parciales:
Resolviendo simultaneamente las Ecuaciones (5) y ( 6 ) se obtiene y = -1 y z = 2. Sustituyendo esto en la Ecuacion (3), resulta x = 1. Por ello, el unico punto critic0 de (I), sujeto a la restriccion (2) es (1, -1, 2). Aplicando en (4) la prueba de la segunda derivada cuando y = -1 y z = 2,
a ? ~
8 'MI
-=4,
d
= l o ,
ay2
- -4, d~t~?. - -
az-
D ( - I , 2)
=
4(10) - (-4)'
=
24 > 0.
Asi w, sujeta a la restriccion, tiene un minimo relati~oen (1, -1, 2). Se descubrio esta soluci6n empleando la restriccion para expresar una de las variables de la funcion original en terminos de las otras. Con frecuencia esto no es practico, pero existe otra tecnica, a la que se denomina metodo de 10s multiplirad~resde Lagrange*, que evita este paso y permite, no obstante, obtener 10s puntos criticos. Este metodo es como sigue. Supongase que se tiene una funcion f (x, y, z) sujeta a la restriccion g (x, y, z ) = 0. Se elabora una nueva funcion F de cuatro variables definida por lo siguiente (en donde A es la letra griega lambda): F ( x , y.
*
Z,
A)
=
f(x, y,
2)
- Ag(s, I,, z).
Por el nombre del matematico frances Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).
17.8
723
Multiplicodores d e Logronge
Es posible dernostrar que si (x,, y o , 2 , ) es un punto critico de f sujeto a la restriccion g (x, y , z) = 0, existe un valor de A, por ejemplo A,, tal que (.I-,,x:!. z -.L.1 ts un punto critico de F. A1 nurnero A , se le conoce corno multiplicador de ~ a ~ i a n iTarnbin. e. si (x,, yo, z , , A,) es un punto critico de F, entonces (x,, yo, z , ) es un pun?? ~ 5 : : : cde f sujeto a la restriccion. En consecuencia, para ubicar puntos criticos d 2 -i s ~ : e : ~Li g (x,y , z ) = 0, se localizan mas bien puntos criticos de F. Estos se obtienen rscl\:tr.i,> las ecuaciones sirnultaneas
En ocasiones debe utilizarse el ingenio para realizar esto. Una vez que se deterrnina un punto critico (x,, yo, z , , A,) de F, puede concluirse que (x,, yo, z,) es un punto critico de f sujeto a la restriccion g (x,y , z ) = 0. Aunque f y g son funciones de tres variables, el metodo de 10s multiplicadores de Lagrange se puede extender a n variables. Enseguida se ilustra el metodo de 10s multiplicadores de Lagrange para la situacion original: f(.r,p,z)=x2+y'+z2
sujetoa
x - x + 2 z = 6 .
En primer lugar, se escribe la restriccion corno g (,Y, y , z ) segundo lugar se forrna la funcion
=
x -y
+
2~ -- 6 = 0. En
Enseguida, se iguala cada una de las derivadas parciales de F a 0. Por conveniencia se expresa F,(.r, y , 2 , A) corno F,, etc.
De las Ecuaciones (7)-(9) se ve inrnediatarnente que
Sustituyendo estos valores en la Ecuacion (lo), resulta
Por lo tanto, de la Ecuacion ( l l ) , x = 1 y = -1 y z = 2. Por consiguiez::. t -.-.~'1punto critico de f sujeto a la restriccion es ( I , -1, 2) en el que puede e.ue -z =xzx
relativo, un minimo relativo o ninguno de ellos. El metodo de 10s multiplicadores de Lagrange no seiiala en forma directa cual de estas posibilidades ocurre, aunque de lo expuesto antes se puede ver que es en realidad un minimo relativo. En 10s problemas de aplicacion la naturaleza del problema mismo puede dar una clave con respecto a la forma en que se debe considerar a un punto critico. A menudo se supone la existencia de un minimo relativo o un maximo relativo, y a1 punto critico se le considera de acuerdo con esto. En realidad, hay suficientes condiciones de segundo orden para 10s extremos relativos, per0 no se les considera aqui. EJEMPLO 1
Hallar 10s puntos criticos para z y* = 4.
=
f (x,y)
Se escribe la restriccion como g ( x , y )
F(x, y, A) Haciendo F ,
=
F,
=
f(x,
=
V) -
=
=
x2
+
6 sujeto a la restriccion x 2
+ y2 - 4
= 0 y se forma la funcion
3x - y
+- 6
Ag(x, J )
=
3x
3
-
2rA
=
+4
= 0.
-
J
-
~
(
+xy 2 ~
-
+
4).
F, = 0:
1-x2
- J 2
0,
De las Ecuaciones (12) y (13),
x
3 2X
= -
Y
Y =
1 -g
Sustituyendo en la Ecuacion (14),
Si
X
=
m l 4 , entonces
De igual modo, si
X
= -m l 4 ,
Por lo tanto, 10s puntos criticos de f sujetos a la restriccion son ( 3 f i 1 5 , - m i . 5 ) y ( - 3 a 1 5 . f i 1 5 ) . Notese que 10s valores de X no aparecen en la respuesta. Son simplemente medios para encontrarla.
17.8
725
Multiplicodores de Logronge
EJEMPLO 2
Hallar 10s puntos criticos para f (x,y, z) x + 2) i-32 = 36. Se hace
F(s.
J.,
=
xyz, en donde xyz Z 0 , su/ero a la resrriccidn
z . A) = xyz - A(x
+
2y
+
3z
-
36)
Entonces
Ahora, puede escribirse el sistema como
29 + 3z - 36 = 0. (1s) Dividiendo cada uno de 10s lados de la Ecuacion (15) entre el correspondiente lado de la Ecuacion (16), se obtiene [r
yz -
+
A 2A
- -
xz
o bien
.r 2
?: = -.
Esta division es valida puesto que xyz Z 0. Analogamente de las Ecuaciones (15) y (17) resulta X
Sustituyendo en la Ecuacion (18),
x = 12.
Por consiguiente, y = 6 y z = 4. Consecuentemente, (12, 6, 4) es el unico punro c r ~ r i ~ que satisface las condiciones dadas.
EJEMPLO 3
Supongase que una ernpresa ha recibido un pedido de 200 unrdades de FA ~%-AT: I desea distriburr su rnanufacturu entre dos de sus fabricas, la planra 1 j 2 *-G--.- 2 S utilizan q I y q 2 para denotar las producciones de 1 y 2, respcrri arcrr*. -*~ ~ que la funcion de costos totales esta dada por c = icy qI = 2;- - -- - I - E 200. ~ C O se~debe O distribuir la producc~onpara rninrrnrxr -05 ,~~-r.lr' -4
+ q2 = - A(ql + q2 -
Se debe minimizar c = f ( q , , q 2 ) sujeto a la restriccion q ,
F(ql, q?, A ) = 2qf + qlq2 + qf
+
200
200.
200).
Resolviendo simultaneamente las Ecuaciones (19) y (20) para encontrar q , y q 2 , se obtiene
Sustituyendo estos valores en la Ecuacion (21) se obtiene X = 350. Por ello, q , = 50 y q , = 150. Se deben fabricar 50 unidades en la planta 1 y 150 en la 2, para minimizar 10s costos. Es posible hacer una observacion interesante con respecto a1 Ejernplo 3. De la Ecuacion (19), A = 4 q , + q 2 = aclaq,, el costo marginal de la planta 1 . De la Ecuacion (20)A = q , + 2q2 = ac/aqz,el costo marginal para la planta 2. Asi, dciaq, = aclaq?,y se concluye que para minimizar 10s costos es necesario que 10s costos marginales de cada planta Sean iguales entre si. EJEMPLO 4
*
Supdngase que una empresa dehe fabricar una cantidad dada Po de produccidn en la forma mas econdmica posible. Si existen dos factores de insumos I y k y sus precios por unidad son fijos en p , y p,, respectivamente, analizar la importancia econdmica de combinar 10s insumos para alcanzar un costo minimo. Es decir, describir la combination de insumos de costos minimos. Sea P
=f
(I, k ) la funcion de produccion. Entonces debe minimizarse la funcion de costos
sujeta a Se establece
De mod0 que
aF ak =
a n-
A ~ [ f ( lk ), ] = 0 ,
17.8
Mulriplicodores de Logronge
De las Ecuaciones (22) y (23),
Por tanto
Se concluye que cuando se utiliza la combinacibn de factores que tienen 10s rnenorzs costos, la razon de 10s productos marginales con respecto a 10s factores de insumos debt ser igual a la razon de sus correspondientes precios. El rnetodo de 10s multiplicadores de Lagrange no esta de ninguna manera limitado a problemas que implican una sola restriccion. Por ejemplo, supongase que f (x, y , z, w) estuviera sujeta a las restricciones g, (x, y , z, w ) = 0 y g 2 (x, y , z, w ) = 0.Entonces, habria dos lambdas, X , y X , (una para cada restriccion), v se establece la funcibn F = f - X , g , - X2g,. Luego se resolveria el sistema F, = F,, = F, = F , = F A , = F A >= 0.
EJEMPLO 5
Encontrar 10s puntos criticos para f (x, y , z) = xy x2 + y 2 = 8 y y z = 8.
+ yz,
sujeto a las restricciones
Se hace que F(x, y , z, X , , A2) =
xy
+ yz
-
Xl(x2
8
=
Entonces
[ F * ~= y z
Puede describirse el sisterna corno
+
0.
+ y'
- 8) - Xz(yz - 8).
Sustituyendo X 2 = 1 de la Ecuacion (27) en la Ecuacion (26) y simplificando, se obtiene la ecuacion x - 2yX, = 0, por lo que
Sustituyendo en la Ecuacion (25),
-+
Sustituyendo en la Ecuacion (28) da x 2 tonces de la Ecuacion (30) se tiene y k2.
x 2 = 8, de lo cual x = k 2 . Si x = 2 , enAnalogamente, si x = -2, entonces y =
? 2.
En consecuencia, si x = 2 y y = 2, de la Ecuacion (29) se determina z nuando de esta rnanera, se obtienen cuatro puntos criticos:
=
4. Conti-
En 10s Problemas 1-12 halle, mediante el merodo de 10s rnultiplicadores de Lagrange, 10s puntos crilicos de las funciones sujetas a las restricciones dadas.
13. Parasurtir un pedido de 100 unidades de su producto, unaempresa desea distribuir la produccion enIre sus d o s planras, la 1 y la 2. La Kuncibn de costos totales esta dada por C.
=
. / ' ( q , ,q ? ) = O.lqi
+
7q,
+
154,
+
1000,
en donde q , y q , son el numero de unidndcs fabricadas en las plantas I y 2, rerpectivarnente. i,Como se debe distribuir la produccion con el objeto de rninirni~ a 10s r costos? 14. Repita el Problema 1 3 si la funcion d e costos es C. = 3qj q , q , + 2q: ). se debt.11 fabricar 200 unidades en total.
-
15.
1.a funcibn de producion para una empresa es , / ' ( I , k ) t- 121
+
20k
-
I' -2X'.
El cusro para la cornpania e5 de 4 y 8, por unidad de 1 y k , respectivarnente. Si la ernpre(ade5ea que el co$to total d e 10s insurnos sea 88, calc.ule la maxima produccibn posible, sujeta a esta restriccion presupuestal. 16.
Repita el Problema 15, dado yire , f ' ( / , X ) = 601 t 30k
21
-
3k2
y la restriction presupuestal es 21
t
3k = 30.
-
17.9
Lineos de regresion
Los Problemas 17-20 se refieren a la siguiente definition. Unafuncion de utilidad es una qlre osocio una tnedida a la satisfaccion o utilidad que un consumidor obtiene por el consurno de ciertos prodircroz por irnidad de tiempo. Supongase que U = f ( x ,y) es una funcion de estas, en donde x y y son /as canridade_cdz do! productos, X y Y. La utilidad marginal de X es d b ' i1.r .v representa aproximadamente el canzbio en I;' :,:::;dud rorol que se produce por un cambio unitario en el consumo delproducto X p o r unidad de tiempo. Se e t : . ; r :',- rtrilidad marginal de Y de manera semejante. Si 10s precios de X y Y son p r y p y , respectivamenre, J e. :or::;, rvidor tiene un ingreso o un presupuesto de I para sus gastos, entonces la restriccion presupuesro!' * \ .vp y p y = I. En 10s Problemas 17-19, halle /as canridades de cada product0 que el consumidor debt. ~ l ; ~ * : r r z r . sujeto a1 presupuesto y que le permitiran obrener ur7a satisfaccion m h i m a . Es decir, en 10s Problet~i~s 17 .; 18 determine 10s valores de x y y que mo.uimi:an U = f ( x , y ) sujeta a xp.v + ypy = I. El Probletno 19 rr resuelve del mismo modo. Supongase que esisre un maximo.
20. Sea U = f ( x ,y ) una funcion ds utilidad sujrra a la restriccion presupuestal .up, + > p , = I. en donde p;, p , e I son constantes. Demuestrr que para maximizar la satisfaction es necesario que X
f,.(x, y ) / p , es la utilidad marginal de un dolar de X . Por lo tanto, la satisfaccion maxima se logra cuando el consumidor asigna el presupuesto de manera que la utilidad marginal de un dolar de X sea igual a la utilidad marginal por dolar de Y. Llevando a cab0 el mismo procedimiento que se utilizo antes, verificar que esto es cierto para U = f ( x , y, z, w) sujeto a la correspondiente ecuacion de presupuestos. En cada caso, a A se le denon~inala ~itilidadt ~ i o r ~ i r&I ~ul ir~~reso.
f,(.x. y) f,(-r. 1 ) - ---
:
l'?
i'!
en donde f-r(x,y ) y f,(x, y ) son las utilidades marginales de X y Y , re~~ectivamente. Dedurca que
-
37.9 Lineas de regresion* Para estudiar la influencia de la publicidad sobre las ventas una empresa recopilo 10s datos que aparecen en la Tabla 17.4. La variable x denota gastos de publicidad en cientos de dolares y la variable y denota 10s ingresos resultantes por ventas, en millares de dolares. Si se ubica cada par (x, y), a1 resultado se le denomina diagrarna de dispersion [Figura 17.16(a)]. TABLA 17.4 Gastos, x
2
3
4.5
5.5
7
Ingresos, y
3
6
8
10
11
Observando la distribucion de 10s puntos, es razonable suponer que ezisre ~~2 relacion entre x y y que es aproximadamente lineal. Sobre esta base se puede a j ~ i r z "a ojo" una recta que se aproxime a 10s datos dados [Figura 17.16(b). !-a par:: t: esta linea pronosticar un valor de y para un valor dado de x. Esta recta parex 3: :- z gruente con la tendencia de 10s datos, aunque se podrian trazar rarnbiin c?rr= r - 3 ..
-. .
* Se puede omitir sin perder continuidad.
17
CALCULO EN VARlAS VARIABLES
Por desgracia, determinar una recta "a ojo" no resulta muy objetivo. Se desea aplicar el criterio a1 especificar lo que se denominara una linea de "mejor ajuste". Una tCcnica que se utiliza con frecuencia es la que se denomina el mCtodo de minimos cuadrados. Para aplicar el metodo de minimos cuadrados a 10s datos de la Tabla 17.4, en primer lugar se supone que x y y tienen una relacion aproximadamente lineal y que es posible ajustar una linea recta: que se aproxim_e a 10s puntos dados mediante una seleccion objetiva apropiada de las constantes 6 y b (que se leen "a con circunflejo" y "b con circunflejo", respectivamente). Para un valor dado de x en la Ecuacion (I), 9 es el valor pronosticado correspondiente de y y (x, 9) estara sobre la recta. El objetivo es que 9 estC cerca de y. Cuando x = 2 el valor observado de y es 3. El valor pronosticado de y se determina sustituyendo x = 2 en la Ecuacibn (I), lo cual da 9 = 6 26. El error de estimacion, o desviacion vertical del punto (2, 3) con respecto a la recta, es 9 - y, o bien
+
Esta desviacion vertical se seiiala (aunque exagerada para hacerla mas clara) en la Figura 17.17. Igualmente, la desviacion vertical de (3, 6) con respecto a la recta es ci + 3b - 6 , que se ilustra tambien. Para evitar algunas posibles dificultades relacionadas con las desviaciones negativas y positivas, se consideran 10s cuadrados de las desviaciones y se forma la suma S de todos esos cuadrados para 10s datos.
+
(4 + 5 . G - 10)' (6 + 76 - Ill2. El metodo de 10s minimos cuadrados requiere que se elija como la recta de "mejor ajuste" aquella que se obtenga seleccionando 6 y b de manera que S resulte minima. Se puede minimizar S con respecto a 6 y 6 resolviendo el sistema
17.9
Lineos de regresion
Y
Se tiene asi
que, simplificado da
Despejando 2 y
b, se obtiene
Se puede demostrar que estos valores de 6 y b conducen a un valor minimo de S . Por lo tanto, en el sentido de 10s minimos cuadrados, la linea de mejor ajuste j = a - b.\- es
Esta es, de hecho, la recta seiialada en la Figura 16.16(b). Se le denomina linea de mimimos cuadrados de y sobre x, o bien linna de regresion de y sobre x. Las cocsrs:r-; I y 6 reciben el nombre de coeficientes de regresion lineal. Con la Ecuaci6r r 21 e ;--r:: ticaria que cuando x = 5, el valor correspondiente de J es = 0.65 - i CC 5 = i ' 5 #
.-
732
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
En terminos mas generales, supongase que se dan 10s siguientes n pares de observaciones: (x,. y,). is,,
r2)..
. . , (.\-,,.
J,,).
Si se supone que x y y tienen una relacion aproximadarnente lineal y que puede ajustarse una recta j = ci + bx que se aproxime a 10s datos, la suma de 10s cuadrados de 10s errores j - y es S = (6
+
b.rl
-
vI)' +
(6
1;.t2
t-
Como se debe minimizar S con respecto a ci y
as
-
dB
=
2(6
+ bxl
-
yl)
+
2(6
+
- !?)'
...
+
(6 t &,,
-
J.,,)'.
b,
+ bx2 - ?>) + . . . + 2(6 + bx,
-
y,J = 0 ,
Dividiendo entre 2 ambas ecuaciones y utilizando notacion de sumatoria, se tiene f
rr
n
De manera equivalente se tiene el sistema de las llamadas ecuaciones normales:
Para despejar h, en primer lugar se multiplica la Ecuacion (3) por (4) por n:
Restando la Ecuacion (5) de la (6) se obtiene
xi y la Ecuacibn i= 1
17.9
Lineos de regresion
De donde
Despejando ci en las Ecuaciones (3) y (4), resulta I
Se puede demostrar que estos valores de ci y b minimizan S. Calculando 10s coeficientes 2 y 6 de regresion lineal por las formulas de las Ecuaciones (7) y (8) se obtiene la recta de regresion de y sobre x, es decir, p = ci + bx, que puede emplearse para estimar y para un valor dado de x. En el siguiente ejemplo, a1 igual que en 10s ejercicios, se encontraran wumeros indices. Estos se usan para relacionar una variable en un periodo con la misma variable en otro periodo, y a este ultimo se le denomina periodo base. Un numero indice es un numero relativo que describe datos que varian en el tiempo. A tal tip0 de datos se les denomina series de tiernpo. Por ejemplo, considerense 10s datos de series de tiempo de una ciel-ta produccion total en Estados Unidos durante 1985-1989, que se presentan en la Tabla 17.5. Si 5c elige 1986 como el ario base y se le asigna el numero indice 100, entonces 10s otros numeros indices se calculan dividiendo la produccion de cada ano entre la produccion de 900 unidades en 1989 y multiplicando el resultado por 100. Por ejem plo, se puede interpretar el indice de 106 para 1986 serialando que significa yue la produccion para ese aiio iue del 106W0 de la produccion en 1986. TADLA 17.5
Aiio 1985 1986 1987 1988 1989
Produccion ten millares) 828 900 936 89 1 954
lndice (1983 100) 92 100 104 99 106
En analisis de series de tiempo, es evidente que 10s numeros indices son d: g : ~ : utilidad si 10s datos que se manejan implican numeros de magnitud grand:. P?::. ilr
importar la magnitud de 10s datos, 10s numeros indices simplifican la tarea de comparar cambios en 10s datos con respecto a intervalos de tiempo. EJEMPLO 1 .2.irc~c/iunfe /(I r ( > c . tcle ~ ~t~r,yt.c.ridti,r e p ~ . ( . \ o ~/ (~I //cl~c/ollc*ir~ o (It./ /~lr/ic.e c/(. P ~ ~ ) r / / i c ~Itlc/la,irj~l 1982 ( I 1987 (1982 = 100).
/ ~ I L I /d e
Se utiliza x para denotar tiempo, y para denotar el indice, y se considera a y como una I'uncion lineal de .u. Tambien re designa a 1982 con .y = 1, 1983 con \ = 2. a\l \uce\ivamente. Existen n = 6 pares de observaciones. Para determinar 10s coeficientes de regresion lineal utilizando las Ecuaciones (7) y (8), en primer lugar se realizan 10s calcu10s aritmkticos:
Aiio 19x2 1983 1984 1985 1986 1987 Total
X,
Y,
1 -7 3 1 5 -h 21
1 00
100
103 1O X
'OX
Ill 111 114 648
<>
h
X
Y
X;
314 444 555 3 4 1315 i,
I 4 9 I6 25 36 91 h
De donde, por la Ecuacion (8),
y, de la Ecuacion (7), h
=
6(2315) - 21(648) - 282 = 2.69 (aproximadamente) 6 ( 9 l ) - (21)' 105
Por consiguiente, la linea de regresion de y sobre x es f = 98.6
+ 2.69.~.
cuya grafica, a1 igual que un diagrama de dispersion, se presentan en la Figura 17.18.
17.9
Uneos de reqtesion
EJERCICIOS 17.9 En 10s Problemas 1-4, obtenga una ecuacion de la linea de regresion o de minitnos cuadrados de r. sobre x para 10s dafos que se proporcionan, y trace tanto la recta como 10s datos. Pronostique +I valor de y que corresponde a x = 3 . 5 . x ?. 3 1.5 5.5 7
410
7
3.
:4
I
,.-...-p-pp.
y i i
5. Una empresa descubre que cuando el precio de su product0 es de p dolares por unidad, el numero de unidades que se venden es q , como se indica enseguida. Halle la ecuacion de la linea de regresion de q sobre p .
PRECI0,p
(
I0
30
40
50
60
70
DEMANDA, q
I
70
68
hi
50
46
32
6. En una granja un agronomo encuentra que la canridad de agua que se aplica (en pulgadas) y el renAmiento correspondiente de cierto cultivo (en tone:adas por acre) estan dados como se sefiala enseguida. Determine una ecuacion de la recta de regresion i t J sobre x. Pronostique y cuando x = 12.
5
8
0
11
7. A un conejo se le inyecto un virus, y x horas despues de la inyeccion se le midio la temperatura y (en grados Fahrenheit).* Los datos se presentan enseguida. Obtenga una ecuacion de la recta de regresion de y sobre x y estime la temperztura del conejo 40 horas despues de la inyeccion. TIEMPO TU~~CURR~DO, TEMPERATURAp Y
1
24
1
101.8
32
104.5
48
56
106.5
107.0
8. En un experiment0 psicologico se somerio a cuatro personas a un estimulo. Se midi6 a cada scjero la presion sanguinea sistolica (en milimetros de mer--
-
* R.R. Sokal y F.J. Rohlf, Inrroductron ro B:ozioi,rrics (San Francisco: W.H. Freeman Br Cornpan!. P;bl;rk-.. 1973).
736
17
CALCULO EN VARIAS VARIADLES
curio) ranto antes como despues del estimulo. Los daros se presentan enseguida. Halle una ecuacion de la linea de regresion de y sobre x, en donde x y y son lo que se define en la tabla siguiente.
-
PRESION SAMGUINEA 130 132 136 140
ANTES DEL ESTIMULO, x DESPUES DEL ESTIMULO, y
1
139
140
144
146
Para las series de tiempo de 10s Problemas 9 y 10, cljuste una linea de regresion medianre rninimos cuadrados; es decir, halle una ecuacion de la ljnea de regresion de y sobre x. En ambos casos hagase que el primer ario de la tabla corresponda a x = 1. Fabrication del Producto A, 1985-1989 (en millares de unidades)
9.
Airo
b.
Produccion
Para 10s daros de la parte (a), considerese a 1985 como el ano s = -2, 1986 corno el afi0.v = -1, 1987 cornoel a n o . \ = 0, etck5
xi = 0 . Ajuste una
tera. En este caso, r=l
recta de minimos cuadrados y observese la forma en que se simplifican 10s calculos.
10. .\- =
En lo que sigue hagase que 1975 correymnda a = 3, erc6rera.
1, 1977 corresponda a s
indice de Produccion Industrial Maquinaria Electrica [ I 9 7 7 = 1001 YEAR
Indice de Precios al Consumidor-Atencion Medica 1983-1987 (1967 = 100)
INDEX
-
1975 1977 1979 1981
77 100 126 134 (
~li~ll/~ ? :~ ~ 0 1 1 ~ K 1 p1/ )1O~F l1 ~ 1/71, f ~ f ' \ i ( / l ~ i l /1988. ,
P r i n l ~ n gOfficc, Washington, I).('.,
11. a.
0,s.
( j l l \ ~lll l l l ~ l l l
1988
Obtenga una ecuacion de la recta de minimos cuadrados de y sobre x para 10s siguienres dato5. Considerese n 1985 como el atio .u = 1, etcetera,
Envios de computadoras que hizo la Acme Computer Company al Extranjero (en millares). -
Airo
12. Para la siguiente serie de tiempo, determine una ecuacion de la recta de regresion que mejor se ajuste a 10s dates, Considkrese a 1983 coma a"o .\- = - 2, 1984 corno atio .I- = - 1 , etcetera.
Cantidad
Airo
lndice
1983 1984 1985 1986 1987
357 380 403 434 462
t i i c , i ~ i c :~ l ~ o l l o iK~ c~/ i~l v~r( <~ / ' l l ~ Pc , r w c l c , ~ r ~ I9XK. . I!.\. 1'1in1insOtl'iic. \\'a\Iiinglon. I).C'., 1988.
(i11\i'1 I ~ I ~ ~ C I ~ I
17.10
737
Un comentorio sobre los funciones homogeneos
17.10 Un tomentario sobre las funtiones homogeneas*--Muchas de las funciones que son utiles en el analisis econornico cornparten la propiedad de ser hornogeneas.
Se dice que una funcion z = f (s, y ) es homogknea de grado n (en donde n es una constante) si, para todos 10s valores reales positives de A,
Verbalmente, si tanto x corno y se multiplican por el mismo nurnero real positivo, entonces el valor resultante de la funcion es una potencia del nurnero multiplicado por el valor funcional f ( x , y ) . Por ejemplo, si
.t'(.,Y. ?.)
= .v3 -
2.yY2,
entonces
Consecuenternente, f es hornogenea de grado tres. Una funcion hornogenea que es de irnportancia en Econornia es la funcion de produccion de Cobb-Douglas:
P
f(1, k )
=
A I " ~ ' ~ " ( a y A son constantes).
f(h1, hk)
=
A ( A I ) ~ ( A ~=) ~~ h ~ p h ~ - ~ k l - a
=
Se tiene que
Por tanto f es hornogenea de grado I . Por ejernplo, f (I, k) = 21°.3k0.' es una funcion hornogenea de grado 1. Las funciones de produccion hornogeneas de grado 1 tienen una propiedad interesante. Si f es una de tales funciones, entonces
f(A1, Ak)
=
Af(1, k).
Asi, si se duplican todos 10s insurnos, entonces,
j121, 2k)
=
2f(l, k ) .
y se duplica la produccion. De manera similar, si se triplican todos 10s insurnos, se triplica la produccion, etc. En resurnen, el mismo carnbio proportional en cada uno de 10s factores de 10s insumos de produccion da corno resultado el mismo cambio proporcional en la produccion. Considerando las derivadas parciales de una funcion hornogenea puede obtenerse un resultado irnportante. Sea f ( I , k) una funcion homogenea de produccion de grad$ n. Entonces se tiene la identidad
f(A1. Ak)
=
h"f(1. k ) .
11,
Considkrese el lado izquierdo de la Ecuacion (1). Si r cion (1) se convierte en f(r.
-
A1 y s
=
Ak, entonces la Ecua-
= Allf(1, k).
(2) Ahora se obtiene la derivada parcial con respecto a A en ambos miembros. Para el lado izquierdo, f (r, s), por la regla de la cadena se tiene a a ar- a as -[f(r, s)l = -[f(r. s)l- .t-[f(r, s)] ah ar ax as ax S)
Para el lado derecho de :a Ecuacion (2),
a
ax -[A"fl,
k)]
=
nAn-tf(1, k).
ii
il
Utilizando las Ecs. ( 3 ) y (4), se iguala -If'(,-,
s ) J a -IA'~f(l, k ) ] : Oh
ilh
a
l%[f(r, s)] En particular, si A
=
+
a
k-[ f(r, s)] as
1, entonces r
a
=
1y s
a
=
=
nhn-y(1, k).
k; por lo tanto, f (r, s)
a
=
f (1, k). En
a
f(r, s)] = -[ f(1, k ) ] Por consiguiente, consecuencia,-[ f(r. s)] = [ . f ( l . k)] y rlr dk se tiene lo que se llama Teorema de Euler para funciones homogeneas:
Ahora, si f es homogenea de grado 1, como la funcion de Cobb-Douglas, entonces n = 1 y la Ecuacion (5) se convierte en
a
1
f
I
+f
a
I
= f(l, k).
Consecuentemente, si se multiplica el producto marginal de cada insumo por la cantidad del mismo, la suma es igual a1 producto total.
17.1 1 lntegrales multiples Se debe recordar que la integral definida de una funcion de una variable se refiere a la integracion sobre un intervalo. Existen tambien integrales definidas de funciones de dos variables, a las que se les da el nombre de integrales dobles (definidas). st as implican la integracion sobre una region de un plano. Por ejemplo, el simbolo sy d.r d x ,
o , de manera equivalente,
-0
[l . ] 4. dr
17.1 1
739
lntegroles multiples
es la integral doble de t'(.v, = .\:I' sobre una region determinada [pol-10s I ~ n ~ i r i .d. , integracion. Esta region esta formada por todos los puntos (.\-, ,v) del p!ano .\-, .\,, talt. 2 lo cual se muestra en la Figura 17.19. En esencia. una que 3 5 .v 5 4 y 0 5 y integral doble es el limite de una sunla de la forma St'(.\-,J) 1).A s , en la que en el cab0 actual, 10s puntos (.v, y ) se encuentran en la region sombreada. Mas adelante se presenta una interpretacidn geomktrica d e las integrales dobles. Para evaluar )I)
se emplean integraciones sucesilah cornenzando con la integral que se encuentra mas hacia la parte interior. En primer lugar se e \ a l i ~ a
,I.
conlo con4tanlt. r integl-ando co11 I-eipecto a .\. entre 10s li~iiites3 y 3.
Introduciendo los limites para la \,ariable .\., se tiene
Ahora se integra este resultado con respecto a
De donde
Ahora, considCrese la doble integral
.Y
entre los limites 0 y 2 .
740
17
CALCULO EN VARIAS VARIABLES
>* y despui.5 con rc\l?ec'to a .v. 1.a rcgion sobrc la que tiene lugar la integracion es todos lo, puntos (.v, .v) en dondc .v: i >. i .I-' j, 0 5 .\- 5 I (Figurn 17.20) S e e \ i ~ l i ~ esta a doblc integral ti-atando prirnern a.1-comoconstante e integrando s' con rre\pccto ~1 jl. entl-e .I-' y .I-:. llcspui.\, \c i~~tcgr-a cl I-e\ultado con rcspecto a .v, entl-c. 0 y I . A q ~ i se i integ1.a primero c o ~ lrespeclo a
-
.\:\I
EJEMPLO 1
Evaluar
IIL'
'(2.1- + I ) [I).
dt-.
Aqui se integra primero con respecto a y.
17.1 1
Inregroles mulriples
EJEMPLO 2
Primero se integra c o n respecto a x:
Puede interpretarse u n a integral doble en t6rniincls del \ o l u m e n d e u n a region entre el plano x, v y una superficie z = f(.u, y) si z 2 0. E n la Figura 17.21 se presenta una r e ~ i b ncuyo volumen desea consicierarse. El elemento d e \ o l u m e n para esta region cs uria coiumna vertical. S u a l t ~ ~ es r a aproximadamentc := / ( . Y , .v) y ei i r e a d e SLI base L'S A,v ax. P o r ello, su volumzn es tambien aproximadamenre ,/'(.v, y ) Ay Ax. Es posible : deterniinar el \:olumen d e la region completa s u m a n d o 10s volurnenes d e todos esos elementos para u 5 .u 5 b y c 5 y 5 d por medio d e u n a integral doble. Asi, volumen =
[I:
f ( x , Y) dy d-r.
742
CALCULO EN VARIAS VARIADLES
17
Las integrales triples se manejan evaluando sucesivamente tres integrales, corno se muestra en el ejernplo siguiente. EJEMPLO 3
EJERClClOS 17.1 1 En 10s Problemas 1-22, evalue las integrales multiples.
i:% 12[ Y,
4.
7.
.?
dy d.1..
5.
.v2 d!. d.r .
lil(r +
10. i 2 j j '
i ) (I!
(,v
I!
7
j'j;,~~ -
8. b ' j , ' ( I ~
(I.*.
13.
6'1,
-
!-
1
14. l , ' j , '
(1.) .I,..
17.
16. ~ ~ , ' ~~1.v ~ "(1,. . v 19. J ' I
j2 \'6.\;\,':.' - 1-1
+
11. . \'l:Zi2T (I
([I.
--
.\1
3.
2. ]1-1j -I x d , d , ~ .
11:.
20.
)2)
dy d.r.
dl. dl-.
', (11-( I ) , .
,11'11' (0.. 1,1,1, (6 '
I
(1.v (1)
dx dy.
,
\
(/I
I
1 11:
ri\.
1,'l.\?
(ir dy.
6. j ; , r ( . y 2 - 21.),
dy d.v.
jhj7'd ~ ,
9. o o
d.x.
.i
12.
jy?.\-,
15.
ji
18.
1:4
(1,. d.v.
I
l
'I1(,1
l
'(.Y
Y)
(n(I!,
d), (1.~.
Reposo
17.12
23. En Estadistica, se representa una funcion densidad conjunta z = f (x, y), definida en una region del plano xy, mediante una superficie en el espacio. La probabilidad de
esta dada por P((i
5.
1
: :11,
(
:5
;1
5
(1) =
25. En el Problema 23 sea f (x, y) = x/8, en donde Orxr2yOsys4.ObtengaP(xr l,yr2).
la represcnta el volurnen ubicado cnri-c la gral~';~tic , / y una region rectangular dada por y
(1
5 .v 5 11
yc
5 J. 5
26. En el Problema 23 sea f la funcion densidad uniforme f (x, y) = 1 definida sobre el cuadrado uni-
d
dad 0 Ix r 1, y 0 y r 1. Determine la probabilidad de que 0 s x r y r y s 3.
/ ( v) ' ' I es una I'~incidnden\idad L u n l u n ra, en donde .I- 2 0 y J' 2 0. halle I
+
+
Seccion 17.1
funcion de n variables sistema coordenado tridimensional f (x,, x 2 , . . . , x n ) plano x,z plano y,z octante trazas plano x,y
Seccion 17.2
derivada parcial
dz
-
ftCx0,
ax
(LO
Yo)
iol
Seccion 17.3
funcion de costos conjuntos funcion de produccion productividad marginal productos complernentarios productos que compiten entre si
Seccion 17.4
diferenciacion parcial implicita
Seccion 17.5
d ?z -
Seccion 17.6
regla de la cadena
Seccibn 17.7
maximos y minimos relativos (o locales) punto critico prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables
Seccion 17.8
eliminar 10s multiplicadores de Lagrange
Seccion 17.9
diagrama de dispersion mitodo de minimos cuadrados linea de regresion de y sobre x n6meros indices
Seccion 17.10
funcion homogenea de grado n
Seccion 17.11
integral doble
a!
dl
7z,. ax ;r?:
a'2 dx'
a'2 ay
fn.
f,
Y
tt.1
f Y Y
variable intermedia
integral triple
RESUMIN Es posible ampliar el concept0 de una f'uncion de una variable a funciones de varias variable L:i 2::s 2s e n ~ r a d apara funciones de n variables son n-adas. En general, la grafica de una f u n c i x z e i ~ 7 5~ariablsses
una superficie en un sistema coordenado tridimensional. Las funciones con mas de dos variables no se pueden representar geometricamente. Para una funcion de n variables se consideran n derivadas parciales. Por ejemplo, si w = f (x, y , z), se tienen las derivadas parciales def con respecto a x, con respecto a y y con respecto a z, que se denotan por f ; , j; y t i , o bien por dfldx-, iffldy y 6f;'d:, respectivamente. Para evaluar f ; ( x . y, -1, se consideran a y y a z como constantes y se diferencia f con respecto a x en la forma usual. Las otras derivadas parciales se encuentran de mod0 semejante. Puede interpretarse f,(.r. y , z)como el carnbio aproximado en w que se produce por un cambio unitario en x cuando se mantienen fijas y y Z . Existen interpretaciones similares para las otras derivadas parciales. Se puede definir en forma implicita a una funcion de varias variables. En este caso, se obtienen sus derivadas parciales mediante diferenciacion (parcial) irnplicita. Ocurren con frecuencia funciones de varias variables en el analisis economico y de negocios, asi como en otras areas de estudio. Si un fabricante elabora x unidades del producto X y y unidades del producto Y, entonces el costo total c de estas unidades es funcion de x y y , y se le denomina funcion de costos conjuntos. A las derivadas parciales dcldx y A c ~ i ,se~ les conoce como costos marginales con respecto a x y y, respectivamente. Por ejemplo, puede interpretarse a dc. ds como el costo aproximado de fabricar una unidad extra de X a1 tiempo que se mantiene fijo el nivel de produccion de Y. Si se utilizan I unidades de mano de obra y k unidades de capital para fabricar P unidades de un producto, entonces a la funci6n P = f (I, k ) se le denomina funcion de produccion. A las derivadas parciales de P se les llama funciones de productividad marginal. Supongase que para dos productos A y B la cantidad de demanda de cada uno de ellos depende de 10s precios de ambos. Si q, y q , son las cantidades de A y B que se demandan cuando sus precios son p , y p,, respectivamente, entonces q A y q , son cada una funciones de p , y p,. Cuando dqA/dpB> 0 y dqB/dpA> 0, entonces A y B reciben el nombre de productos que compiten entre si (o sustitatos). Cuando i1yAlapB< 0 y dqBldpA< 0, entonces A y B se llaman productos complernentarios. Si z = f (x, y) en donde x = x (r, s) y y = y (r, s), entonces puede considerarse a z como funci6n de r y s. Para hallar, por ejemplo, dzidr, es posible usar la regla de la cadena:
Una derivada parcial de una funcion de n variables es tambikn funcion de n variables. Obteniendo en forma sucesiva derivadas parciales de derivadas parciales, se tienen las derivadas parciales de orden superior. Por ejemplo, si f es funcion de x y y, entonces f, denota la derivada parcial de j; con respecto a y; a .f,, se le denomina segunda derivada parcial de f , primero con respecto a x y despues con respecto a y. Si la funcion f (x, y) tiene un extremo relativo en (x,, y J , entonces (x,, y o ) debe ser una solucion del sistema.
Cualquier solucicinge este sistema recibe el nombre de punto critico de f . Asi, 10s puntos criticos son aquellos en 10s que pueden ocurrir extremos relatives. La prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables da las condiciones en las cuaies un punto critico corresponde a un maximo o a un minimo relativo. Establece que si (x,, y o ) es un punto critico d e f y
entonces 1.
si D(x,, y o ) > 0 y f,.,(-ro,yo) < 0, f tiene un maximo relativo en (x,, y o ) ;
2.
si D (x,, y o ) > 0 y f , , ( ~ o , ?',I)
3.
si D (x,, y o ) < 0, f no tiene ni maximo relativo ni minimo relativo en (x,, y o ) ;
> 0, f tiene
un minimo relativo en (x,, y o ) ;
4. si D (x,, y o ) = 0 , no se puede obtener ninguna conclusion con respecto a extremos en (x,, y o ) y se requiere un analisis mas detallado.
17.12
Reposo
Para localizar puntos criticos de una funcion de varias variables sujeta a una restriccion, ss pusde 2;::;: el metodo de 10s multiplicadores de Lagrange. Por ejemplo, para obtener 10s puntos criticos de f (s.?.. 1 1 .5;;sto a la restriccion g ( x , y , z) = 0, en primer lugar se forma la funcion F ( . r , ~ , :,, A ) = f [ x . ),. 1)
-
Ax(x.
J.,
11
Resolviendo el sistema
resultan 10s puntos criticos de F. Si (x,, y o , z,, A,) es uno de esos puntos criticos, entonces (x,, yo, z , ) es un punto critic0 de f sujeto a la restriccion. Es importante escribir la restriccibn en la forma g ( x , y, z ) = 0. Por ejemplo, si la restriccion es 2x 3y - z = 4, entonces g ( x , y , z ) = Zu + 3y - z - 4 [o bien g ( x , y , z ) = 4 - 2x - 3y + z ] . Si f ( x , y , z ) esta sujeta a dos restricciones, g , ( x , y , z ) = 0 y g,(x, y , z ) = 0 , entonces se formaria la funcion F = f - X ,g: - Xlg, y se resolveria el sistema
+
En ocasiones dos variables, por ejemplo s )' J, pueden estar relacionadas de tal forma que su relacion sea aproximadamente lineal. Cuando se dan puntos I . I , , ) , en donde i = 1, 2 , 3 , . . . , n, se puede ajustar una linea recta que se aproxime a ellos. Tal recta es la linea de regresion (o linea de minimos cuadrados) de = 2 + br, en donde y sobre x , y esta dada por
Pueden utilizarse 10s valores de j para pronosticar valores de y dados ciertos valores de x. Cuando se trabaja con funciones de varias variables pueden considerarse sus integrales mliltiples. se determinan mediante integraciones sucesivas. Por ejemplo, la integral doble
st as
+
se determina primero considerando a y como constante e integrando x y con respecto a x. Despues de evaluar entre 10s limites 0 y y se integra el resultado con respecto a y , de x = I a x = 2 . En consecuencia
Las integrales triples implican funciones de tres variables y se evallian tambien mediante integration susesii a .
PRODLEMAS DE REPASO En 10s Problemas 1-4, esquematice las superJicies dadas.
1
En 10s Problemas 5-16, determine /as derivadas parciales que se setialan. 5. .f(-r7?.) = 2r' t 3.9' t ?.'
I
I
11.
3
..
H' = eA-";
I;
-
f,(.t-.
y), j;(.r, j).
~ , , C I . p, z ) .
15. n' = xa" In
2:
-+17. Si w = x 2
+
6. P = 1.'
12. ,fix, y)
iJ,t,/iJy,d'w/iJ,rdz.
16. P
=
+
=
k3 - Ik; apjal,
1
apjak,
I
x.v Inixj): f , ( x , y).
1
1001""k" "'; d2~ji)k(j/.
I
*18. Si
1
I
z
2xy + 3y2, x
= In(x/y)
+
"19. Si x 2
+
*20. Si
- cZ+ In
z2
2xy - 22'
z
=
e-" - xy, x
+ xz + =
=
er, y y
=
In(r
r2s2, y y = r
+ +
El costo en que incurre un fabricante a1 elaborar x unidades del product0 X y y unidades del producto Y esta dado por c = Sx + 0.03xy + 7y + 200. Calcule el costo marginal (partial) con respecto a x cuando x = 100 y y = 200. 22.
23. S i q , = 200- 3p, + p , y q , = S O - 5 p B + p,, en donde q, y q, son el nimero de unidades de demanda de 10s productos A y B, respectivamente, y p, y p, son sus respectivos precios por unidad, determine si A y B son productos complementaries o que compiten entre si.
I
I
I
exL = 0,calcule aziay.
Si la funcion de produccion de un fabricante esta definida por P = 201° 'kO3 , determine las funciones de productividad marginal.
I
s , obtenga azias.
2 = 0,determine d:IJx.
21.
I
s ) , halle awlar y d)v/ds.
Existe Lln modelo para la industria que describc la tasa (Y (la I ~ I I : I griega alTa) a la cual una innovaciolr susrituye a Lln proceso establecido. Esta dada por~?
+
25. Examine f (x,y) = x2 2y2 - 2xy - 4y y diga si tiene extremos relativos.
Examine f (w, z) = 2w" 2z3 - 6wz diga si tiene extremos relativos.
26.
+3
+
7y
27. Una caja rectangular de carton, sin tapa, debe tener un volumen de 32 pies cubicos. Halle las dimensiones de la caja que hagan que se minimice la cantidad de carton por utilizar.
28. =
Localice todos 10s puntos criticos deJ(x, y, :)
xy: sujeto a la condicion 3.v t 2y t 4, - 120
=
0 (.\-vz f 0).
24.
a =Z
+ 0 . 5 3 0 ~- 0.027S,
en donde Z es una constante que depende de la industria especifica, P es un indice de redituabilidad de 1; innovacion y S es un indice de la medida de la inversion necesaria para aprovechar la innovaci6n. Obtenga oaidP y dalilS.
I ' Ke ReTierasc a la Secci6n 17.6 ' RL. Refierase a la Secc. 17.4 o a la 17.6 t A.P. Hurter, Jr., A.H. Rubenstein y cols. "Market Penetration by New Innovations: The Technological Literature", Technological tbrecasting and Social Change, 1 1 (1978). 197-221. ;
I
29.
x2
z
+
=
Halle todos 10s puntos criticos de f (x,y, z) = y2 + z 2 sujeto a la restriccion 3x + 2y +
14.
En un experimento'r se inyecto a un grupo de peces bacterias vivas. De 10s peces que se mantuvieron a 28OC, el porcentajep de 10s que sobrevivieron a la infeccion durante t horas despuis de la inyeccion esta dado en la tabla que aparece enseguida. Halle la linea de regresion de p sobre t . 30.
::
18
20
48
78
78
64
t J.B.Covert y W.W. Reynolds, "SurvivaI Value of Fever in Fish", Nature, 267, n~im.5606 (1977), 43-45.
17.12
Reposo
Determine la linea de regresi6n o de ~ninirnos cuadrados de y sobre x para 10s datos que se presenran t . n \ e g ~ ~ ~Con5idere da. el afio 1984 con10 el aiio \ I . etcetera. 31.
Gastos e n equipos de l a Allied Computer Company, 1984-1989 (en millones de dolares)
-
Aiios
En 10s Problemas 32-35, evalue las integrales dobles.
Gastos
Analisis de datos para modelar el enfriamiento* E n cl Capitulo 16 se trabajo con la Icy del enfriamiento ideada por Newton, la cual se puede u~ilizar U I I cucrpo que se enfria con respecto al tiempo. Aqui se deterrninara la ~relaciond e rnanera ernpirica, m e d i a n ~ eel analisis de datos. Esto ilustrara la forrna en que sediseiian modelos matematicos en muchos cahos del mundo I-eal. Supongase que se desea crear un modelo matematico para representar el enfriamiento de ti. caliente, dcspuks de que se introduce a un refrigerador. Para ello se coloca en el refrigerador el recipiente quc. contiene esa bebida caliente con un termornetro puesto en ella, y periodicamente se lee y registra la ttmperatura del te. En IaTabla 17.6 se presentan 10s datos recopilados, en donde T e s temperatura en grados Fahrenheit, a los t minutos despues de que se puso el tk dentro del refigerador. Inicialmente, pn1.n dcscribir la temperatura de
TAOLA 17.6 TlEMPO t
TEMPERATURA
TIEMPO
TEMPERATURA
7
I
7-
0 min 5 10 16
124 " F 118 114 109
20
106
35
97 89 82 74
I28 mln 144 178 208 244 209 33 1 39 1 toda 13 noche
50 65 85
64 " F
62 59 55 51 50 49 47 45
' ,Adap~adodc C;I(>II.I I%as!~.Il. 1)oI Uci)Ic, ). U;I!I I-eaguc." l ~ $ i n gU a l a A n a l y \ ~ \: I ) I'rci.ala~lu\Itr bloclcl ('oolillg". /~l!~~Mo~lrei~lc~ii~..s Tc~~c,ho-. 81, no. 8 ( h ~ icmhre n IVSS). 680-S4. ( on alllot i / . ~ i8 1 \ 1 1 ilc NA[IOII:I~ ( 1 ' 1 1 1 1 ~ 1 10 1 1 C ~ I L . I I C I \ 0 1 h l d ~ l i ~ r i l d ~ ~ ~ \ .
Analisis de doros poro modelor el enftiomiento
es decir, en r = 0, la temperatura cs 124 "F; cuando I = 391, entonces T = 1 7 "F. I ) e s p ~ ~ & dc l ~ a b e restado en el refrigerador durante toda la noche, la temperatu~-at.5 de 35 . ' I - . E n la Fi2u1a 17.22 se presenta una prai'ica de 10s puntos de datos (I. 7 l para ( I :0) hasta I = 391. La disposition de esos puntos indica en gran medida que ca5i estari en la gr:'.tica dc una 1'uniic)ri esponencial decreciente, corno la que se muestra en la Figura 17.32. En particular, cor~iola tc'iiil~c~ ;IILI1.a desputis de haber tsanscurrido la noche es 45 "F, esta funcion exponencial debc tenel- a T -12 como asintota llorizontal. U I I t'llncicin ~ como C t a ticne la forma
cn donde f d a el pronbstico dc la ternperatura en el tieinpo 1, y C y (1 son constantes con ( I < ( 1 . (ObsPrvese clue. conlo u < 0, entonces cuando r m, se tienc Cc." + 0, por lo qlrc C r t " + 45 -- -15). Ahora el problema consisle en encontras valorcs de C y (I dt. rnanera q ~ la~ curLa e tlada en 1:1 Fc. ( I ) 5c ajuste de la mejor manera a los datos. Escribiendo la ecuacion ( I ) (:orno +
\
despues tomando los logaritmos n ~ u r a l e sen am1705 lados, si. obtienc una fornia lincal
I ~ (T 45)
-
In(Ce'").
1 n ( 7 -- 45) = in In(7' Fijando ?,
=
In
(f -
--
45)
=
c
In C'
+ I t 1 rs"'.
+
ut.
45). la Ec. (2) se con\ierte en
T, =
trt
+
I" C.
Como (I y In C 5on constantes, la Ec. ( 3 ) es iina ecuacion lineal en j 1- I . E t o I . - - . . - - - - ._ E.. - - _ . 10s datos originales, si se trazan 10s puntos [I, In(T- l j ) ] , deben caer ca\i CII i l r i J r..:.. 5e rnuestran en la Figura 17.23, en docde 7,represenra l n ( T - 45). ;\\i. ~ Y I T , I !L: -;--L - - - _ - . . . -. Ec. (3) y que pronostica T,, puede suponerse que es la recta dc' rilg:\~cr. ::--: :. - -~ - .- . . . . . . decir, u y In C son los coeficientes de regsesion lineal. L'tili~andc13- :or.-.-.:-
y u n a calculadora puede determinarse que
C o m o In C = 4.260074, entonces C
=
eJ'h""'' = 70.82. P o r ello, d e la Ec. ( I ) ,
T = 70.82e-"~"~'
+ 45,
q u e es un modelo q u e pronostica la temperatura del tk en enfriamiento. L a grafica d e esta funcion es la curva q u e se muestra en la Figura 17.22.
I . Para 10s datos siguientes, ubique 10s puntos de datos en un plano coordenado .u,y. Supongase que
tales puntos caen cerca de la grafica de una funcion exponencial decreciente con asintota horizontal I. = 5. Utilice la tecnica descrita en esta Aplicacion Practica para determinar tal funcion.
2. Supongase que ciertos datos observados siguen una relacion dada por y = C / x r ,en donde x, y, C > 0. Tomando el logaritmo natural en ambos lados, probar que In x y In y estan relacionados linealmente. Por ello, 10s puntos (In x, In y) caen en una linea recta. 3. Utilice la ley del enfriamiento de Newton (vease la Secc. 17.7) y 10s puntos de datos (0, 124) y (128, 64) para determinar la temperatura T del te mencionado, al tiempo t . Supongase que la temperatura ambiente es de 45 "F.
Apendice
A
Potencias, raices y reciprocos
752
APENDICE A
POTENCIAS, R A ~ C E S Y REC~PROCOS
Apendice A
Potencies, roices y teciprocos
753
Apendice
D
Valores de exy e-x
Apendice B
Volores d e ex y e x
Apendice
C
Logaritmos naturales
En el cuerpo de la tabla, 10s primeros dos digitos (y el punto decimal) de la mayor parte de 10s elementos se acarrean del elemento precedente de la primera columna. Por ejemplo, In 3.32 1.19996. Sin embargo, un asterisco (*) seiiala que 10s primeros dos digitos son 10s del elemento siguiente de la primera columna. Por ejemplo, In 3.33 1.20297. Para extender esta tabla a un numero inferior a 1.0 o mayor que 10.09, escribase el numero en la forma x = y . 10" en donde 1.0 r y < 10 y utilicese el hecho de que In x = In y + n ln 10. Algunos valores de n In 10 son
-
-
1 In 10 = 2.30259,
6 In 10 = 13.81551,
2 In 10 = 4.60517,
7 In 10 = 16.11810,
3 In 10 = 6.90776,
8 In 10 = 18.42068,
4 In 10
9 In 10 = 20.72327,
-
9.21034,
5 In 10 = 11.51293,
10 ln 10 = 23.02585.
Por ejemplo, In 332 = ln[(3.32)(102)] = In 3.32 = 1.19996
y
+ 4.60517
In 0.0332 = In [(3.32)(10-')I
=
+ 2 In 10
= 5.80513
In 3.32 - 2 In 10
= 1.19996 - 4.60517 = -3.40521.
Se pueden utilizar las propiedades de 10s logaritmos para encontrar el logaritmo de un numero tal como i: In
8
=
In 3 - In 8 = 1.09861 - 2.07944
=
-0.98083.
Apend~ceC
Logoritmos noturoles
Apendice
D
lnteres compuesto
Apendice D
lnreres compuesto
Apendice D
lnteres compuesto
r = 0.0125
.
[1
ii
9
+ r)"
1.0251 56 1.037971
0.975461 0.963418
1.963115 2.926534
1 . 1 18292
0.905398 0.894221
6.662726 7.568124 8.462345
2.012500 3.037656 4.075627 5.126572
8.358888 9.463374 10.581666
1 .I 32271
10
0.861509 0.850873 0.840368 0.829993
1.175264
1.266210 1.282037
20
i
1 j
0.789759 0 780009
1 1 07931 2 1 1.930185 12.770553 13.600546
16.819308 17.599316
21.296769 22.562979
29.135435 1.381245 1.398511 1.415992 1.433692 1.451613
1
32 ( 33 1 34 ' 35 +--~-
1
'1 /
36
39 40
--
i
41 42 43 44
1
47
/
'
1
1.469759 1.488131 1.506732 1.525566 1.544636 1.563944 1.583493 1.603287 1.623328 1.6436l9
0.680384 0.671984 0.663688 OI55494 0.647402 --
1
/
i 1
1.664165 1.684967 I706029 1727354 1.748946
0.600902 0.593484 0.586157 0.578920 0.571773
1.770808 1.792943 1.815355 1.838047 1.861022
0.564714 0.557742 0.550856 0,544056 0.537339
/
11 1 ,
1 '
.
1
1
25.569290 26.241 274 26.904962 27.560456 28.207858
1
~
0.439409 0.63151 5 0.623719
I
.-t.
:
50
31.880873
I 1
1
37.580682 39.050441 40.53857l 42.045303 43,570870
45.115505 46.679449 48.262942 49.866229
34.822882 35.380624 35.931481 36.475537 37.012876
61.664637 63.435445 65.228388 67.043743 68.881790
11 I
1
11
28.847267 29.478783 30.102501 j 30.718520 / 31.326933 1 . . .b 31.927835 32.52131 9 ' 33.07475 33.686395 34.258168
53.133177 54.797341 56.482208 58.188337
'
764
APENDICE D
INTERESCOMPUESTO
Apendice D
lnteres compuesto
766
APENDICE D
INTERES COMPUESTO
Apendice D
lnterej compuesto
768
APENDICE D
INTERES COMPUESTO
Apendice D
Interes compuesto
APENDICE D
INTERES COMPUESTO
A p e ~ d ~ cDe
In!eres compuesto
APENDICE D
INTERES COMPUESTO
Apend~ceD
lnteres compuesto
E
Apendice
Integrales seleccionadas
Formcrs rocionales que contienen [a
6.
1
7.
j-
~r'(a + bu)
au
u' du +b
u -b'
dtr
!e2(u
+
-
be)'
+
bul
+
+-a + bu ) + c .
a2a - -In b3 b3(a bu)
a
- -
a
bu]
a-
u du - ~ ( l nla (a + bu)' b2
a
10.
-
+
+
2bu +b
+
2b -1n a
Ja + bui
+
1 1 a
+
bu
C.
-+C 11
Apendlce E
12.
/
(a
+
Integroles selecc~onodos
u du bu)(c
+ ku)
-
-
bc
Formas que tontienen J a
+
+ kuI
In Ic
bu
Formas quo contienen v'a2 - u2
du
-
v a 2 -
7
-
a'u
u2
+
C
~
Formas que tontienen v'u2
a2
a - -
b
In (a
+
61,
I
- C
776
--_ ...- -. '-. -1 I
\-E5R4_ES SELECCIONADAS
Formas racionales que contienen a2 - u2 y u2 - a2
Formas exponenciales y logaritmicas
Apendice E
lntegroles selecc~onadas
38. / u f l ' i du =
43.
Iun
I n m u du
-(UU
e"" a-
- I)
=
-
1i1
+
n + l
Formas diversas
+
C.
Inm u
- -
n + l
U~~ l n m - 1
u du,
m, n f - 1 .
Apendice
F
breas bajo la curva normal estandar
Apeqd~ceF
Areas bajo lo cuwo riormal esrandar
Respuestas a 10s problemas de numero impar
EJERCICIOS 1.2
1. 7.
3.
Verdadero 4 Falso; 2
=
Falso; 10s n~irnerosnaturales son 1, 2. 3, etcetera.
2, un entero positive.
9.
11.
Verdadero.
5.
Verdadero
Verdadero
LJERCICIOS 1.3 1. 13.
3.
Falso.
5.
Falso. 15.
Asociativa.
7.
Verdadero.
Definition de sustraccion.
17.
Conmutativa.
9.
Verdadero.
11.
Falso. 19.
Distributiva.
Distributiva.
EJERCICIOS 1.4 1. 15.
43.
-6. -
3.
I&
+
11.
7.
-2.
12.v (o bien 1 2 ~ - 12~).
.r - y -.
5.
2.
45.
9
1 24
47.
-r. 6y
w".
5.
-x8p
-.
9.
17.
49.
-63.
1 -3'
11.
19.
-6.
-2.
21.
No esta definida.
51.
13.
6-1.
18.
23.
25.
25.
3x-12
No esta definida
EJERCICIOS 1.5 1.
2'(=32).
17.
-2.
33.
4x'.
3. 1
19.2' 35.
21.
10.
-2~'3+4Qj.
10
7. 23.8.
37.
32'.
$
9.
8 1
25.4' 39.
9:I -.
4
~
~11. ~ x 6 ~
27.41.
1
32. x3
3
29. 43.
13. .
4 d . 2
-
.x4'
15.
x . 31. 45.
5,
.r@. 1
9r"
47.
7' 's'
'
78 1
Respuestos a problemos de numero impor
EJERClClOS 1.6
EJERClClOS 1.7
EJERClClOS 1.8
EJERClClOS 2.1 10
3. -. 3
1.
0.
9.
Se elevan a1 cuadrado ambos lados; la equi~alenciaI I O esra garanrizada.
5.
No satisface la ecuacion.
7.
Se suman 5 en ambos lados: se garar.::ir ;1
2;-
- 2 i-.
z
782
RESPUESTAS A PRODLEMASDE NUMERO IMPAR
11.
Se dividen ambos lados entre s;no sc garanriza la equi\alenzia.
13.
Se multiplican ambos lados por .r
15.
Se multiplican ambos lados por (.r - 5 ) / s ; 110 re garantiza la equibalencia.
21.
1.
"1
I.=--.
a .
I2
23.-. 5
S - P PI
25.
53.
27.3.
-1.
2s
a,=-
1 ; no se zarantiza la equixalencia.
-
-- IICI,,
.
29.-
55.
I0 3'
31.
90.
?. =
--I + n11.r
57.
3.
17.
II
33.
8.
5 -
19.
.
35.
-
0 26 9'
-
(I.\
EJERClClOS 2.2
EJERClClOS 2.3
3 2
33.
35.
5 2 \ 1 3
, . ----
-
37.
No ha> raices reales.
39.
1 5 -2' 3'
11.
-
4.
-: 43. i
.-
-2
I\
--7
I1 '
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 2)
33.
35.
10.
No hay solucion
37.
5.
39.
41.
4. 8 .
Id) 98 I 5 lb:
(el
10.
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 2) 1.
I
1
I . :
b
I
:
C )
100 I :
- ~ -I
S>(,
EJERClClOS 3.1 1. 181.150. 3. 54000 a! 6 4 . ~ 1 ' 6 . 0 0 0 7 1 4 . 5. $4.25. 7. 15. 9. 80. 11. 58000. 15. S72.50. 17. 40 19. 46,000 unidades. 21. $440 o bien $460. 23. 5100. 25. 27. 80 pie por 140 pie. 29. 9 crn de largo, 4 crn de ancho 31. 5 1 12.OUO. 33. 60. 35. 125 unidades de A s 100 unidade. de B. o bien 150 unidades de .A 125 unidades de B.
,.
13. 77.
1600.
Respuesros o problemas d e numero Impor
EJERClClOS 3.2
EJERClClOS 3.3 Cuando menos 120,001.
1.
3.
12,400.
5.
60.000.
7.
$25,714.29.
9.
1000.
11.
r > 36.5.
$4.50, $1160.
13.
EJERClClOS 3.4 13.
1. (c)
IX
-
3.
71
5
5,
6. 5. 5. 7. - 3 < . r < 3 . id) Ix - 71 = 4. (e) 1.r + 4 < 2.
Q)x-8501<100.
35.
x
5
0.1
2
16 3
-.
9. d - 2 . 11. ( a ) I n - - 7 < 3 . ( b ) 1 . 1 - 2 < 3 . ( f ) 1x1 < 3, (g) 1x1 > 6. (h) lx - 6 > 4, (i) Ix - 105 < 3. 2 I 57. 17. t 6 . 19. - 3 , 1 3 . 21. -. 23. 7 3 . 5
13.
lpl-pz152.
37.
x < p - h a , s > p + ha
15.
-
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 3)
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 3)
EJERClClOS 4.1 1.
Todos 10s numeros reales except0 0.
7.
Todos 10s numeros reales excepto
11.
5 2
Todos 10s numeros reales excepto 4 y
I
-
-.2
:
l ado\ lo\ ~iu~ilel-o\ ~ e a l c \r 7 .
9.
Todos 10s numeros reales excepto 0 y 1 . 13.
0 , 15,
- 20.
5.
Todos 10s numeros reale-
21.
3 1 5 0 . - 7 = (31)- + 4
27.
( a ) r'
31.
y es funcion de x ; x no es funcion de y.
39.
( a ) 4: ( b ) 8
41.
(a) 3000. 2900. 2300, 2000: 12. 10:
+
3 r - 5 ( ~ + h ) - 59r' + 4' (r + h)' 4 x'
+
+
2h.r
+
h'
22 -k 2h:
(b) 2r
x + h - 5 2xh + h'
+
+h+
2.
29.
25.
16
+ 4h
( a ) 4.r
5:
-
(b)4
v es funcion de .u; .r es funcion de y.
Si.
33.
1 0. 256, -.
23.
+4 35.
V = .f(rl
( r ) L)~~l>liialldn la i ~ l ~ c ~ l \ ~\ ci l ;!ii;~ i~I lii I . < \ ~ L I L , \ I J
-
10.000
+
Si; P: y
37.
4001.
I1lc~ol2
i l l ,111
( b ) 10. 12. 17. 20: 300C). 2300.
EJERClClOS 4.2 1.
Todos 10s numeros reales.
11.
1 . - 1 , 0.
23.
64. -
9
-
13.
1.
i
.
+ 8;
+ 8.
15. f ( ; ) =
17.
720.
(b) 8:
=
5.
( a ) 3:
19.
2.
7.
(b) 7
21.
5.
( a ) 4:
(a) C
=
(b)
-
3.
8. 8. 8.
9.
850
+
3y:
(b) 250.
,r
+
8:
(h)
17 33 (b) 4. - 4' 4
,
3. (a) 2x'
(g) (.r2 + \ I 2
15.
( a ) Todas las T tal que 30 s T 5 39;
25.
EJERClClOS 4.3 1. (a) 2.r
3. Todos 10s numeros reales.
8. 3. 3. 1 .
.ra
+
2r'
(c)
+ x:
-2; (b)
+ .r2.
3;., ? ( I ) = x-+3-l .
(d)
17.
+
1 ic) -. 2'
-x:
(h) xJ
x2
+ x2;
8x
+
15:
(d) i'
(i)
90.
.r
( e ) 3;
+ x': 5.
(e)
6;
-
(f) .r .r -
+; 3
+5 -=
.x-+r
7.
32.
(g)
x i l
(for.>#OI;
4
1
I
1
I :
if) 2
6
-+ -+ I;--
I I;
I'
+
31
400m - IOm2; 10s ingresos totales que se reciben cuando se vende la
production total de rn trabajadores.
EJERClClOS 4.4 3.
(a) 1, 2, 3 , O ; (b) Todos 10s numeros reales; (c) Todos 10s nurneros reales.
5.
(a), 0, -1, -1; (b) Todos 10s numeros reales; (cJ Todos 10s reales no positivos.
Cuodr. I
Cuodr. Ill
7.
1
(8. 3 ) Cuodr. IV
(0. 0); Funcion; todos 10s numeros real reales; todos 10s numeros reales.
9.
(0, 5 ) . (?, 0). Funcion; todos 10s numeros reales; todos 10s nurneros reales.
5
Respuesros o problemas de nurnero impor
11. Funcion; todos 10s numeros reales; todos 10s numeros reales no negativos.
13. IOLIO\10, ~ L I I ~ I ,c,;., I, \ohti. L,ICJC L J U o c\ I I I I ~ ~ I L I I
786
RESPUESTASA PRODLEMASDE NUMEROIMPAR
33. No ha! in~ercelxiol~c\ L Y ~ I I lo\ eje.: lodo\ lo\ nillncro\ rcalc\ (liiic1c11dc ~ c r i i .1 c i c 1 c h !
35. Todos 10s reales no negatives; todos 10s reales x en donde 0 5 x 5 2.
37. Todos 10s nurneros reales; todos 10s rcales no negativos. g(x)
t
Conforme el precio disminuye. lo contidod oumento: p es funcion de q.
1.
(0. 0): rinlc~riarccpeclo :rl oripcn
5.
(
9.
\imetria respectO
17.
1 3 . 0 ) : \i~nc.rriarespcclo
ejc .\-
3.
1I.
(
-
I,
a1 clriscl~ 0 .0 ,
I
( 2 . 0). (0. 2 2 ) : yi111clria~ - e s p c c;II~ tcjc ~ Y
i 1-2. 0). ( 0 . 8 ) : \inletria respecto al eje ?.
al cjc .x. nl tic
.\-
-
7.
71, ( 0 . 3 ) .
( - 2.
0 ) : \imclria rc5peclo al ~ , j c.\-
13. 19.
silnc~riarc\peclo al ~ r i s e ~ ~15. (0. I ) . ( t2 . 0). ( 0 . 0 ) : \ili~c~t-ia re\pccIci LII oi-ipen Y
787
Respuesros o prnblemos d e numero impor
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 4) 1.
Todos 10s numeros reales except0 1 y 2.
5.
Todos 10s reales no negativos excepto I .
15.
(a) 3
(g) 3i2.r
29.
+
-
7x
3)
-
-
711; (b) - 7 .
1 = 6x
+
17. (a) 5.r
8 ; (h) 38; (i)2i3x
(0, - i); todas las t # 4; todos 10s numeros reales diferentes de cero. s(t)
A
APLICAC~OMPAC~ICA(CAP. 4)
3.
Todos 10s numeros reales.
+ 2: -
I)
(b) 22; (c) x - 4 : (d) 61.'
+3
=
6.r
+
1.
19.
+
7.r
I I x - l .r
-
3 ; ( e ) 10; (f j
-. - -
I=-.
31. Todos 10s numeros reales; todos. 10s reales 2 1 . v
1 - x r
3.r 1 Zr + 3' -
EJERClClOS 5.1 1. 13.
1 5. 2' 3.r-7~+25=0. 3.
3.
--
Indefinido. 15.
7.
0.
9.
=O.
6.7 - ? - 4
11. .r
+ 4y
-
18 = O .
17.
81-5,-29=0.
2.r-~+3=0. 19.x+2y+6=0. 1 3 21. \ + 2 = 0 . 23. x - 2 = 0 . 25. 2 ; - 1 . 27. 2' 2' 29. La pendiente no esta definida; no existe interseccion con el eje y. 31. 3 : 0.
EJERClClOS 5.2
9. f(x) = -2x
7. f(x) = 4 x . 17.
c = 34
+
10; $115.
19.
+
11. f(.x) =
4.
v = -8001
+
1
- 3
2
+
-.15 4
13. f(.r) = x
+
1.
15. p = --q2 5
8000; pendiente = -800.
v
21. 27.
.I
+
(a)
1
10, = 100.
I = -c 4
+
37:
23.
(a) g =
5 I1
+ -MX) ; 11
-.I
(b) 12.
25.
(a) p = 0.0591
(b) sumar 37 a1 numero de sonidos en 15 segundos.
EJERClClOS 5.3 (a) (I, 1 I); (b) Mas alto. 11. 13. Vertice: (3, -4); intersecciones:
9.
(a) -8;
(b) - 4 , 2;
( I . 0 ) . ( 5 . 0 ) . ( 0 , 5): con~radolllinio~~lli~~i~~ ("rango"): roda .L. 2 -4.
(3. -4)
(c) ( - I, -9).
+ 0.025;
(b) 0.556
+ 28:$16.
Respuesras a problemas d e numero impor
15. ~ e r t i c e : ( - i .
i)
17. Vtrtice: (-1, 0); intcrsccciones: (-1, O), (0, 1); ambito o contradorninio: roda s 2 0.
; interseccioner:
9 2
( 0 . 0). ( 7 . 0); c t ~ ~ i ~ r ; ~ c l o ~ o ~ d~ ai.v ~5~ i-.i j : ~
5
A
Vertice: (2, - 1 ) ; intersection: (0. -9); c o r ~ ~ r a d o ~ ~ ~ ~ ~ ~ i o : t o d a y 5 -1.
19.
23.
I.
Minimo; 24.
.r =
-1.y
=
25.
I.
3.
27.
Maximo; -10.
x =
3 , y = -1.
5.
y = 2GO; r = $120,000.
v = 0. w = 18.
29.
70 gramos.
7. No riene soluci6n.
9.
.r = 12.
= -
15.
I I I I 13. x = - \. = -. Las coordenadas de cualquier punto que se encuentre sobre la recta q = --p t -. 2 2'3 2 x. = l , v = l , z = I . 17. 420 galonec d e la solucion al 20% y 280 galones de la solucion a1 30%.
19.
240 unidades de norteamericano clasico y 200 unidades de contemporaneo.
21.
800 calculadoras de la planta Exton y 700 de la planta Whyton.
23.
4% sobre 10s primeros $100,000 y 6% sobre lo restante.
25.
60 unidades de Argon 1, 40 unidades de Argon 11.
29.
40 trabajadores semicalificados, 20 calificados y 10 empleados de envios.
11.
27.
100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofas.
;=
I?.
I
-.
4
11.
No se puede estar ell el punto de equilibrio en ning~innivel de production. ( 0 ) $12.18
5840 unidades; 840 unidades; 1840 unidades.
17.
15.
( a ) $12:
21.
El costo total siempre supera a 10s costos totales; no existe punto de equilibrio.
23.
Disminuye en $0.70.
25.
p , = 5; p , = lo.
13.
10 unidades o 40 unidades. 19.
%4
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 5)
31.
~ = - 3 , y = - 4 ; x = 2 , y = l .
37.
50
onidades; $5000.
41. ( a ) K = 7 5 1 + l j i l ~ .,I,; I.'?! ;il \ i ~ u i e n [ ee\ 7 1 ( m j ) .
39.
33.
a+h--3=0;0.
4 19 35. f l . r ) = - - . r + - . 3 3
6.
::?!!ikc-1t11l~lo\( ~ n j )(:c ) I;! pc1idic111cC Y - 5 . el ~ i ~ ~ l i I~L,L,L,\:IIIO llio
I~;II:I
\I;I);I~
LICL I I ~ t i i \ c l
Respuestos o problemos d e numeto imp01
A P L ~ C A C ~ OPRACI'ICA N (CAP 5.) 4, I.
(a) 12:
\i .I
2
--
(h) F(.r) =
[S(.r
- I)
+ 4.51
Cll
lo\ L I C I I I ~L.;l\o\: ~~
EJERClClOS 6.1
11.
(a) $6014.52:
(b) $2014.52.
13.
(a) $1964.76; (h) $1264.76.
17.
(a)$6256.36;
(b)$125636.
19.
$14,124.86.
27.
0.67032. (c) 2.5:
29.
140,000.
(d) 25 hora\
31. 37.
0.2241.
21.
33.
32 silo\
39.
15. (a) $19.606.76;
$9649.69.
23.
0.399: 0.242: 0.242.
(h) 9606.76.
$10,446.14.
25.
4.4817
(a) 10; (h) 7.6:
35.
0.1466.
EJERClClOS 6.2 1. log 10.000
=
4.
3.
2%
64.
5.
In 7.3891
2.
=
7,
= 3.
e' "''hl
9.
11. 2.
Y
t
13.3. 33. 49.
15.1.
17.-2.
19.0.
I 6. 35. 37. 2. 39. 81' 41.50. 51. E = 2.5 x 10""
21.-3.
5
41.
-.
3
'.
23.9.
In 2
-
43.
3 .. ~ 3 .
-
.
( X ~ ~ I I A
27.- I 10'
25.125.
-
5+In3 45. 2 . 55. 21.7 anos
1.60944.
29. 47.
e'.
:
31.
2.00013.
EJERClClOS 6.S 1. 19.
1.1761. In x
+
3. 2 In(x
0.4260.
+ I).
5. 21.
1.5564. 2 In x
-
7. 3 In(.r
3.3010.
+
I).
9. 23.
48.
311n .r
11. -
In(x
+
5.01.
13.
111.
E.
1.58% in .r
-
15. !m c - i
-: -
I-. 3:
-
L
1
27.
-21 In .r
35.
1o~[7*(23)~]. 37.
47.
lop y = log a i.I log b.
-
+
2 In(r
I)
-
3 In(.r
'5 In .r 7
+ 2).
29.
-
39.
i.
(b) 2
+ M,.
log[lOOll05)~].
I 5
+
41.
22.
9.
0.805.
- In(.r
1)
-
+
I
In(.r
(a) 3:
31.
+
8)
2.r lop, r I'
33.
log 28.
. In 10
43.
b
49.
2).
+
ln(.y2 + I ) In 3
45.
.-
EJERClClOS 6.4 1.
3.
5.000.
1.333.
5.
.
2.000.
8
3
17.
2.322.
19.
3.183.
21.
0.483.
23.
31.
3.000.
33.
0.500.
35.
S = 12.4~"~.
41.
20.48.
43.
p = 1og(80-q):4.32. lop 2
25.
2.496. 37.
45.
11.
13.
0.203. 27.
1003.000.
39.
(a) 100: (b) 46.
15.
5.140. 29.
6.667.
-0.073.
3.082.
(a) 91: ( b ) 432:
(c) 8.
7
P R O D L E M A S D E R E P A S O (CAP. 6 )
b I:,
1. 17.
41.
3.
logi243=5. 3.
19.
1
-
43.
55.
45. 3' (a)$3829.05: (b)$1229.05.
61.
( a ) 6: (b) 28.
7.
In54.598=4.
25 log-. 27
21.
3.3980.
y = rrZ+'.
5.
16'.'=2.
25.
In?.
log? (.I
47.
3.
13.
11. -2.
+
I ) j ( . ~+ 21.''
-3.322.
27.
+
2 In r
53.
15.
In
10.
49.
0.231
51.
$6915.66.
59.
( a ) l0nig:
( b ) 4 . 4 : (c) 1.7: (d) 1.7; ( e ) 5 . 6
1.
57.
-4. Y ?
.I--\'
23.
9.
3.
-
-
I 00'
3 In r.
1.596.
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 6) 1.
~ (a) P = .I
( - eI ) ~ -,,U.
-
(b) d =
I
P
-
kI
T ( ~ W- I ) .
3.
(a) 156; (b) 65.
EJERClClOS 7.1 1.
3.
(a) $11,105.58; (b) $5105.58.
11.
$16.117.63.
13.
19.
(a)5.47%; (b)5.39%.
5.
8.244.
21.
23.
11.61%.
8.32776%.
15.
(a) 1870; (b) 19.56%.
7. 17.
$3198.54.
9.
9.0 years.
$10,282.94
8% compuesto anualmente.
11.114.
EJERClClOS 7.2 1.
$2261.33.
13.
$14.091.11.
23.
$103.56.
3. 15. 25.
$1751.83. $1238.58.
5.
$1598.37. 17.
7.
$5118.10. 19.
$1963.28.
9.
$4862.31.
(a) $5 15.63: (h) redituable.
11.
$6838.95. 21.
Cuenta de ahorros.
9.559.
EJERClClOS 7.5 1.
3.
64, 32, 16, 8, 4.
100, 102, 104.04.
13.
$2050.10.
15.
$29,984.06.
25.
$1937.14.
27.
5458.40.
35.
102.91305.
37.
55.360.30.
17. 29. 39.
422 -. 243 $8001.24.
7.
5.
(a) $3048.85; $131.34.
19.
1.11 1 1 1 . $90,231.01.
(h) $648.85. 41.
31.
$418.288.84.
9. 21.
18.664613. $204.977.46.
$3474 12.
33.
11.
8.213180. 23.
S1725.
$24.594.36.
Respuestas a problemas de numero impor
1. $69.33.
3.
7.
Periodo
9.
Period0
11.
13.
$1273.
15.
Capital pagado al final del period0
lnteres Pago al final por periodo del period0
22.50 18.12 13.83 9.33 4.73 68.61
900.00 728.78 553.28 373.39 189.00
1
$38.64.
Interes Pago al final por period0 del periodo
Capital insoluto al principio del periodo
5 11.
(a) $249.1 1: (b) S75: (c) $174.1 1
Capital insoluto al principio del period0
1 2 3
21.
5.
$1565.56.
193.72 193.72 193.72 193.72 193.72 968.60
Capital pagado al final del period0
171.22 175.50 179.89 184.39 188.99 899.99
(a) $415.78: (b) 4382.50; (c) $32.78; (d) $79,584.
17.
23.
19.
$74,417.
9.
$:036.85
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 7) 1.
63
3. 16' 11. $886.98.
8.5% cornpuesto anualrnente. 13.
5.
5586.60.
7.
(a) $1997.13; (b) $3325.37.
$314.00. -
15.
Capital insoluto al principio Period0 del periodo 1 2 3 4 5
17.
15,000.00 12,044.66 9,067.15 6,067.31 3,044.97
InterQs por periodo
Pago al final del periodo
112.50 90.33 68.00 45.50 22 84 339.17
3067.84 3067.84 3067.84 3067.84 3067.84 15,339.20
$3296.32.
APL~CACIONPRACTICA (CAP. 7 )
Capital pagado al final del periodo
2955.34 2977.51 2999.84 3022.34 3045.00 15.000.03
794
RESPUESTAS A PRODLEMAS DE NUMEROIMPAR
EJERClClOS 8.1 1.
(a)2x3,3X3,3x2,2X2,4X4,1
X 2 , 3 X 1 , 3 x 3 , 1 x 1: (b) B , D , E , H , J ; (d) F, J; (e) G , J. 3. 2 . 5. 4. 7.
(c) H , J triangular superior; D. J triangular inferior;
9.
7,2, 1,o. 5 7 9
rooooooi
I
11 14 13 1 6 . 15 18
8 10 12
6.
13.
I2Oelernentos,I,0.1,0.
15.
0 0 0 0 0 0 ' 0 0 0 0 0 0
(a)
0 0 0 0 0 0
2 7 17. x = 6 . y = - , z = 19. x = 0, y = 0. 3 2' (e) febrero; (f) febrero; (g) 35.
L
21.
(a) 7; (b) 3;
J
(c) febrero; (d) azul de lujo;
EJERClClOS 8.2
EJERClClOS 8.5 1.
-12.
3.
19.
5. 7.
7.
2X2,4.
9.
3x5,15.
11. 2 ~ 1 . 2 .
59. (a) $180,000, $520,000, $400,000, $270,000, $380,000, $640,000: 110 129 (b) 5390,000. 5100.000, 5800,000; (c) $2,390,000; (d) -, 239 239 57.
5735,300.
13.
3x3,9.
Respuestas o problemas d e numero impor
EJERCICIOS 8.4 1.
3.
Noreducida.
19. 25. 29. 3 de
5.
Reducida.
7.
Nnredueida
LO -
[Ay].
9.
-
1
2 3 0 0 0 0
Notienesolucion. 21. . I = - 3 . ~ = 1 . : = 0 . 23. . I = ? . \ . = - 5 . ; = -1. .r1 = 0, .rl = - . I - ~ , .r3 = - .r->. .v4 = -.I-- , .I-- = x 27. Federal, $72,000; estatal, $24,000. A. 2000: B. 4000: C, 5000. 31. (a) 3 de X, 4 de Z; 2 de X , I de Y , 5 de Z; I de X , 2 de Y, 6 de Z; Y, 7 de Z. (b) 3 de X , 4 de Z. (c) 3 de X, 4 de Z; 3 de Y , 7 de Z .
..
EJERCICIOS 8.5 1. w = - Y - 3 : + 2 , . r = -21.f:-3.\.=\.:=;. 5. 1Y = -2\. + ; - 2,X = -\. 4 , \.. = .\ . : = r. 7. xl = - 2 ~ 3 + . I - ~ - 2r5 + 1. .r? = - . v ~ t .ri
3.
+
11. Trivial. 21.
.r = z , y
13. =
-21.
Infini~a.
15.
.I- =
= :.
23.
M. =
7
0.
J =
-21.
.\
+
0. =
\,.=
4. .r3 =
9; .v,
17. .r
=
>
2.:
-32.
=
- -- , .r = - 3 \ . - 4 : + 2 . \ . .= =
.rl.
.t5
=
t5.
6 8 \. = -7. := :. 5- . I5 = I.
9.
.;', 1 = 1.
Infinita. 19. .r
=
EJERClClOS 8.6 1
35.
[ a].
3.
Noinver~ible.
5.
[i
-
.
7.
Noinvertible.
(a) 40 del primer modelo, 60 del segundo modelo; (b) 45 del primer modelo, 50 del segundo modelo.
EJERClClOS 8.7
EJERClClOS 8.8
0.
J =
0.
796 9.
RESPUESTASA PRODLEMAS DE NUMEROIMPAR
x=4,y=2,z=O.
15. x = l . y = 3 . 2 = 5 . aplica. Pero las ecuaciones
2 11. . r = - v = 3' 17.
--
28 z = 15'
26 15
1.
19.
y = 6 , w =
x+?,=2, .x + ). = - 3
13. x
= 3 - z, y = 0 ,
Con10 A =
I
=
z = z.
0,la regla de Cramer no se
representan rectas paralelas distintas y. por ello, no existe solucion.
EJERClClOS 8.9
EJERClClOS 8.10
P R O D L E M A S D E R E P A S O (CAP. 8)
21.
x = 0 , y = l , ; = O .
23.
18,
25. 3.
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 8)
EJERClClOS 9.1
27.
rico.
29.
x l y - 2 .
31.
[-I
-
1
p
-
i].
Respuestos o problemos d e numero impor
9.
11.
Y
13.
Y
x: y:
IS.
Y
r
numero d e libras d e A numero d e libras d e B
EJERClClOS 9.2 3.
1. P = 640 cuando x = 40, y = 20. (la region factible es vacia). 7.
Z
=
3 cuando x = 0, y
=
1.
9.
C
Z
-10 cuando x = 2, y
=
3.
5.
No existe solucion optima
3 6 11. No existe solucion optima (no acotado). 5 5 4 unidades del alimento A, 4 unidades del alimento B; $8.
2.4 cuando x
=
=
15.
13.
15 "Maravilla", 25 "Fantastico"; $210.
17.
10 ton del mineral I. I0 ton del mineral 11; $1100.
= -, y = -.
EJERClClOS 9.3 1. 3.
Z = 33 cuando s = ( 1 - t ) ( 2 ) + 5r = 2 + 3 t . ?. = ( I - t K 3 ) + 2 t = 3 - t. y 0 5 t 5 1. Z=72cuandor=(I-t)(3)+4t=3+r.?.=(I -t)(2)+0t=2-2t, y Ostz1.
EJERClClOS 9.4 1.
%=8cuandor,=O..r~=4.
7.
Z = 2 0 cuando xI 16 Z = -cuando.r,
=
3.
Z=14cuando.rl=I..r,=5.
0 , x2 = 5 , r, = 0 . 2
9.
Z = 2 cuando
.A, =
5.
Z = 2 X c u a n d 0 \ ~ = . ; . ~= :
1. r, = 0. r: = 0.
14 11. = 3, X? = -. 13. W = 13 cuando . A , = I . .r, = O. .I-: = 3 . 3 3 15. Z = 600 cuando x, = 4 , .r? = 1, .r, = 4, .I, = 0 . 17. 400 de A . 1600 de B: S I IiKl
19.
0 sillas. 300 rnecedoras. 100 sofas; $3600.
798
RESPUESTAS A PROBLEMAS DE NUMERO IMPAR
EJERClClOS 9.5 1. 3. 5.
7.
6
3
Si; para la tabla, x 2 es la variable que entra y 10s cocientes - y - estan empatados siendo 10s menores. 2 1 No exisre solucion optima (no acotada). Z = 1 2 c u a n d o x l = ( I - l ) ~ 4 + 5 l = 4 + l , x 2 = ( 1 - r ) ~ O + 1 ~ r = r , y O ~ r I . 3 3 3 9. Z = 13 cuando .r, = ( I - I)01 = - - -t. .r- = 2 2 1 -
+
No existe solucion optima (no acotada).
11. .I, =
$3800. Si x , , x 2 y x 3 denotan el numero de sillas, mecedoras y sofas que se fabrican, respectivamente, entonces (I - !)I00 01 = 100 - 1001,a? = ( 1 - [)I00 + 2501 = 100 + 150t,x3 = ( I - 1)200 + 1501 =
+
200 - 501, y
0
5
r
5
I.
EJERClClOS 9.6 1.
14
-
3'
Z
=
7 cuando x , = I , xz = 5.
r
=
2 =
es vacia).
O
.
11.
Z
7. =
Z
3.
= 4
cuando x , = 1, x 2
Z=-17cuandoxI = 3 , x 2 = 2 .
2 cuando .r, = 6. .v?
=
10.
13.
=
2, x ,
5. Z
0.
=
=
58 cuando .rl 3
=
No existe solucion optima (la region factible
9.
255 mesas contemporaneas y 0 tradicionales.
30% en A, 0 % en AA, 70% en AAA; 6.6%.
15.
EJERClClOS 9.7 Z = 54 cuando x , = 2, x2 = 8. 3. Z = 36 cuando x i = 9. .r: = 0. .r, = 0 . 5. Z = 4 cuando .r, = 0 , 7. Z = 0 cuando .rl = 3, .I, = 0 . .r3 = 1 . 0 , .t, = 4. 9. Z = 28 cuando .r, = 3, .r, = 0. .r, = 5. 11. Instalar dispositivo A en 10s hornos que fabrican 700,000 costales anuales )- el dispositivo B en 10s hornos que fabrican 2,600,000 costales anuales. 1.
.I,
13.
=
A Exton, 10 de A y 20 de B; a Whyton, 30 de A; $760. = 0 , .r, = 20. .r, = 0. (c) 90 plg.
15.
(a) Columna 3: 1, 3, 3; colurnna 4: 0, 4, 8.
(b) .x-I = 10. .r?
EJERCICIOS 9.8 1.
Minimizar W = 6y1 + 4y2 sujeta a yi - y1 2 2,
+ ?': yl. yz
3.
'3,
Maximizar U' = 8,v1 + 2y2 sujeta a y, - \ 2 5 I, 2y, 5 8.
+
'0 .
?,
+
!',,
5.
7.
Minimizar W = 13y1 - 3y2 - 1 1x3 sujeta a -y, + ?2 - y3 1. 2v1 - Y2 - .v,. 2 - 1, yl. y:. y3 2 0 .
yz55, 1.2 2 0.
Slaximizar W = -3y1 sujeta a -yI Y,
yI
+
5
4.
-
.Y,. 5
4.
13.
Z
=
I1 cuando .rl
=
0 , X,
Z = 14 cuando .rl = I , x,
= =
2,I
.\.3
2.
=
3
2.
11. 15.
Z
=
3x2
+ y2 5 6. !'I.
9.
+
y2 2 0 .
26 cuando .r, = 6, .r, = 1
$25 en publicidad en periodicos, $140 en publicidad de radio; $165.
17. 20 aprendices de empleados de envio, 40 empleados de envio, 90 trabajadores semicalificados, 0 trabajadores calificados; $600.
Respuestos o problemos de numero impor
PRODLEMAS DL REPASO (CAP. 9 )
Z = 3 cuando x = 3, y = 0. 13. Z = -2 cuando x = 0 , y = 2. 15. No existe solucion optima (la region factible es vacia). 117. Z = 36 cuando x = ( 1 - t)(2) + 4t = 2 + 2t, y = (1 - t)(3) + Ot = 3 - 31 y 0 5 t 5 1 19. Z = 32 cuando x l = 8, x 2 = 0. 21. Z = 2 c u a n d o x , = 0 , x 2 = 0, x 3 = 2.
11.
7
5
I . .rl
23.
Z
27.
No existe solucion optima (no acotada).
31.
0 unidades de X, 6 unidades de Y, 14 unidades de Z; $398.
33.
500,000 gal de A a D, 100,000 gal de A a C, 400,MO gal de B a C; $19,000.
=
24 cuando x l
= 0, x 2 =
12.
25.
Z
= -
29.
cuando .r, =
=
0.
1; =
Z = 70 cuando x l = 35, x 2
-
9 -. 1
0 , x, = 0
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 9 )
EJERClClOS 10.1
EJERClClOS 10.2 5. - X , 1. (a) 2; (b) 3: (c) no existe; (d) -=; (e) x ; (0x : (g) x : (h) 0 : (i) I ; U) I: (k) 1. 3. I . 7. -=. 9. m. 11. 0 , 13. N0existe.x 15. 0 . 17. x . 19. 0 . 21. 1. 23. 0 . 25. x 2 2 11 I 27. 0 . 29. -31. x . 33. -. 35. -. 37. 39. z. 41. =. 43. NO exisre. 45. - x 2' 5' 5 5 47. 0 . 49. 1 . 51. (a) I ; (b) 2; (c) no existe; (d) I ; (e) 2. 53. (a) 0 ; ( b ) 0 ; (c) 0: (d) - x : 0c1 - -r 55.
-
57.
c
4 lim
F=6
20,000.
59.
20.
61.
1,0.5,0.525.0.631,0.912,0.986,0.598: se concluye que el limire es I .
EJERClClOS 10.3
EJERClClOS 10.4 7.
Continua en -2 y 0.
13.
f es una
21. Ninguna. 35.
Discontinua en +3.
9.
.
11. Continuous at 2 and 0.
7.
None.
19. .r
=
4
=
2.
funcion polinomial. 23.
Discontinuities at
.r
=
t =
15. f es una funci6n racional y el denominador nunca es cero. -5. 3. 25. x = 0, & 1 . 27. Ninguna. 29. .r = 0. 31. Ninguna. 33.
1. 2. 3. 4.
37.
r
Yea. no. no.
0.89 0.69 0.29
5 10 15
1. x < - l . . ~ > 4 .
3.
25x53.
11. x < - 4 , O < x < 5 . 27.
5.
13. x 2 0 .
Entre 50 y 150, inclusive.
29.
7
-- 1. 17. . r < - l , O < x < 1. 19. x > I .
17 plg por 17 plg.
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 10) 8 3' 27. 1 1 .
3 11. 13. Noexiste. 15. -1. 5' (a) $6661.25; (b) $938.28. 31. 6.18%.
1.-5.
3.2.
5 . x .
21.
x.
23.
25.
35.
Continila en todas partes; f es una funcion polinomial.
1.
7.-8.
43. . r = - 2 .
45. x < - 6 , x > 2 .
51. x < -4. - 3
5
.r
5
EJERClClOS 11.2
29.
47. r > 2 , x = 0 .
0, x > 2.
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 10)
EJERClClOS 11 .I
9. 0.
37. x
= - 3.
39. Ninguna. 41.
49. . r < - 5 , - I < , r < l .
17.
g.I
x
-4. 1.
=
19.
-x.
801
Respuestas a problemas de numero impar
EJERCICIOS 11.3 1.
(a) 4
9.
0.27.
III:
3.
( b ) 5 mis.
11.
dcidq
=
( a ) 8 m;
13.
10; 10.
5.
( b ) 6 ms. dcjdq = 0.64
+
( a ) 7 m:
( b ) 9 mis.
15. cfcldq
2; 3.8.
=
7.
ci~1d.r = 10,~": 270.
2q
+ 50; 80, 82, 84.
17. d c l d y = 0 . 0 2 q + 5 ; 6 , 7 . 19. d c 1 d q = 0 . 0 0 0 0 6 ~ ~ - 0 . 0 2 q + 6 ; 4 . 6 , 1 1 . 21. d r l d q = 0 . 7 ; 0 . 7 . 0 . 7 . 0 7 . 23. drldq = 250 + 90q - 3q2: 625. 850. 625. 25. d c ~ d q= 6.750 - 0.000656q; 3.47.
( e ) l . l .
33.
(a)6.r; (b)-. r2
3 ( c ) - 3 ; ( d ) - = -0.429: 7 0.432 (c) 9%. 31.
2.t
+
2'
( c j 12:
37.
(el -42.9"i
2 ( d ) - = 0.667; (e) 66.7%. 3 3.2; 21.3%.
t
EJERCICIOS 11.5
37.
l(.r+ Z ) ( . r - 4 ) ] ( 1 ) - ( . ~ - 5 ) ( 2 r - 2 ) [(r + 2)(x - 4)12
-
- ( . r 2 - 10.1-+ 18) [ ( x 2)(.r - 4)12 '
+
39.
( a ) drldq
35. =
30
( a ) - 3 ~ ~( b; ) -
0.6q;
-x
8 - xj7 4 (b) - = 0.089; 45
d-g';9+ 20
61.
(a) -
65.
dc - 5q(q2 + 6) dq - (q2 -
(b)
-
9
1 0 0 v ' G - g2 - 20'
67. 48nl10)-'*.
+
PROBLEMAS DE REPASO (CAP. 11)
69. (a)
(c)1001000 -
'
- .
63.
v m '
dCX)
- 125; (b)
1 128
-325.
803
Respuesros o ptoblemos de numero impor
17. (8
+
2.r)(4)(.\' + 1)'(2r)
+
(.r'
+
1 ) ~ ( 7=) ?(.r2 + 1)'(9.v2 + ~ L +c 1).
1-:
19.
- ;,,> - :8
47. drldq
= 450 - q.
49.
+
dcidq = 0.125
51.
0.00878q: 0.7396.
84.
.
--- - .-
4
-
.I--
-. ..
--,-
,
-
1
53. (a) -:
(b) -.
24
3
E J E R C l C l O S 12.1
13.
(In ( 2 .
I
-
or
:t) -
2 log r
7
IS.
. 2r - I
(in :)(I)
-
--
I
-
In-.
3(2v
--, .
17.
.$
+ 4)
+ 4.r +
+ 2) + 4.r + 5
6(.r
-
5
.r'
E J E R C l C l O S 12.2
EJERClClOS 12.3
17. 29.
1
-
6xX3
1 + 9.r2,?' dy d~
=
19.
~3. 40
xr' -
.x(ln.r
31.
-
, .re')
21.
e3 --
1.5EIn loor-.1.5E log r
.re1 + I
23.
3
-5'
3
25. , = - ; . r r i .
5
27.
4
- = --1
dj7
EJERClClOS 12.4
EJERClClOS 12.5
PRODLEMAS DE REPASO (CAP, 12)
EJERClClOS 15.1 1.
Decreciente en
(-m,
0); crecienre en ( 0 , m); minirno rclativo cuando .u
: decrecienle en
=
0.
(j, ): rnirirno rrlativo cuando r r
=
-1 2
805
Rerpi~estasa problemas de numero imp01
5. Decreciente en (-m. -5) y ( I , m); creciente en (-5, 1); minimo relativo cuando .r cuando u =: 1.
=
-5: rriaximo relatilo
7. llecreciente en (-m, -I) y (0, 1); creciente en (-1, 0) y ( I , m); maximo relativo cuando cuando x = -1. 9.
Crecier~teen (-m, 1 ) y (3, m); decreciente en (1, 3); maximo relativo cuando x
=
t- =
1; rninimo rs!a~i:a :'123;i~.Y
11. Creciente en (-m; -1) y ( I , m); decreciente en (-1, 0) y (0, 1); maximo relativo cuando x cuando .r = I.
13. Decreciente en (-m, -4) y (0, m); creciente en (-4, 0); minimo relativo cuando x cuando r = 0. 15.
Decreciente en ( - a , 1) y (1, m); ni maximo ni minimo relativo
17.
Decreciente en (0, m); ni maximo ni minimo relativo.
=
~
21. Creciente en (-m, -2). relativo cuando .Y = 5.
(-2.
+),
-
- I : m:n:m? ::lari:
=
23.
Decreciente en (-m, m); ni maximo ni minimo relativo.
25.
Decreciente en (0, 1); creciente en (1, m); minimo relativo cuando x
27.
Decreciente en ( - a , 0); creciente en (0, 03); minimo relativo cuando x
29.
Decreciente en (-m, 3); creciente en ( 3 , m); minimo relativo cuando x = 3; intersecciones: ( I , 0). (-I, O), (0, -7).
31.
=
c.
=
il -: 5
minimo
1. =
0.
Decreciente en (-m, --I) y (1, m); creciente en (-1, I); minim0 relativo cuando x = -1; maximo relativo cuando x = 1; sirnetriason respecto a1 origen; intersecciones: ( 2\ 3. 0 ) . (0, 0).
Y v
33.
Creciente en (-m, 1) y (2, m); decreciente en (1, 2); maximo relativo cuando x = I; minimo relativo cuando x = 2; intersecciones: (0, 0). V
35.
3.
0; maximo relativo
: mdximo relativo cuando x
y (5, m); decreciente en
=
-4; maximo r e l a t ~ ~ o
19. Decreciente en (-m, 0) y (2, m); creciente en (0, 1) y (1, 2); minirno relativo cuando x cuando x = 2. ~
0 : m:nirno re!a:i\o
Creciente en (-2, -1) y (0, m); decrecicnte en (-m, -2) y (-1, 0); maximo relativo cuando x = -1; minimo relativo cuando x = -2, 0; intersecciones (0, O), (-2, 0).
806 37.
RESPUESTAS A PRODLEMASDE NUMERO IMPAR
Decrecienleen (-w, -2) y
(- y, 1
1);crecienteen ( - 2 ,
y (1, 03); minimo relativo cuando
m a \ i n ~ orelaribo cuand0.i- = - -2 lo\ cjc\ ( I . O ) , (-2. 0 ) . (0. 4). --
-IS, N u n a l .
47.
40.
51.
-
i)
3 .
(a) 25,300;
-
flecien~cen ( 0 . I): ma\inlo I : inrrr\rccionc\ con lo\ ejc\
w);
( ( 1 . 0 ) (4, 0).
2. I ; inrer\ecc~o~le\ coi~ .\-
Uecl-?cienre en ( I , rclali\o cuando .\-
= -
Y
t
(b) 4: (c) 17.200
EJERCICIOS 13.2 I. Maximo absoluro cuando .\- = -I; ab minimo absoluro cuando .\. = 1. ab\oluto cuando .i- = 2. 5. Maximo absoluto cuando .\- = 3: ab minimo absolulo cuando .\- = I. nbsoluto cuando .Y = -1.
3. M a \ i n ~ oabsolulo cuando .\-
=
0 : ab minilno
7. Irla\irno a b r o l u ~ ocuando .\-
=
-2; nb lninimo
EJERCICIOS 13.3 3.
Concava hacia abajo (-m, -1); concsva hacia arriba (-1, w); punto de
1.
Concava hacia abajo (-w, 00).
5. 7. 9.
inflexion cuando x = -1. C6ncava hacia arriba (-m, -I), (1, w); concava hacia abajo (-1, 1); punto de inflexion cuando s = ? I . Concava hacia abajo (-m, 1); concava hacia arriba (1, a ) . Concava hacia abajo ( - x . - 1 1 ~ ~( I3/ \), ?.. x ) : concava hacia arriba ( - 1 \,5. 1 \.?I: punto de inflexion cuando
-
.I = 2
1 \ 3.
11.
Concava hacia arriba (-m, m).
13.
Concava hacia abajo (-m, -2); concava hacia arriba (-2, m); punto de inflexion cuando .u
IS.
lntersecciones con 10s ejes (-3, 0). (-1, O), (0, 3); decreciente (-m, -2); creciente (-2, m); minimo relarivo cuando x = -2; concava hacia arriba (-my w).
17.
=
-2
lntersecciones con 10s ejes (0, O), (4, 0); creciente (-m, 2); decrecienfe (2, m); maximo relativo cuando x = 2; concava hacia abajo (-m, a).
807
Respuestos a problemos de numero impoi
19.
23.
lntersecciones con 10s ejes (0, -19); creciente (-03, 2), (4, 03); decreciente (2, 4); maximo relatixo cuando x = 2; minimo relativo cuando x = 4; concava hacia abajo (-m. 3); ccincava hacia arriba (3, 03); punto de inflexion cuando x = 3.
21.
lntersecciones con 10s ejes (0, -3); creciente (-m, l ) , (1, m); ni maximo ni minimo relativo; concava hacia abajo (-m, 1); concava hacia arriba ( I , m); puntos de inflexion cuando x = 1.
25.
Intersecciones con 10s ejes (0, O), (4 3. 01. creciente (-m, 0). (0, 1); decreciente ( 1 . = maxim0 relativo cuando x = I; c o n c a ~ a ha. r arriba (0, 2/3); concava hacla abajo ( - a . 0). (2/3, m); puntos d e inflexion cuando x = 0. x = 2/3. Y 1.
Y
lntersecciones con 10s ejes (0, -2); decreciente ( - a , -2), ( 2 , a ) ; creciente (-2.2); minirno relativo cuando x = -2; maximo relativo cuando x = 2; concava hacia arriba (-00, 0); concava hacia abajo (0, m); puntos de inflexion cuando x = 0.
~:,:
; ;-
4
27.
-
-- --.. -:. ~. ln~ers?:<;~r?s-:: t . 5 crecienrs I-=. -:. .1. . :e--$:-c-:z .-1.I . ma?iimo r,-!a:;:= :-:-.;: : = -' -. - - . -. .~..cuando .y = :. ;?-..:i. - . ~ ; t1r.2 : - L : c o n c a ~ ahaiia arr:?c :. = . ;-::: : : - - - * I :cuando s = 0: sir.?:.; :r -~:err 1 - - :=--
29.
lntersecciones con 10s ejes (0, -6); creciente ( - a . 2 1 . (2, m); concava hacia abajo (-m, 2); concava hacia arriba (2, m); puntos de inflexion cuando x = 2.
Y
4
31.
lntersecciones con 10s ejes (0. 0). ( t
Y
33.
b
Intersecciones con 10s ejes (0, I), (1, 0); decreciente (-03, O), (0, 1); creciente (1, a ) ; minimo relativo cuando x = 1; concava hacia arriba (-m, 0), (21'3, m); concava hacia abajo (0, 2/3); puntos de inflexion cuando x = 0 , x = 2/3.
808
RESPUESTAS A PRODLEMAS DE NUMERO IMPAR
35. Inrc.r,eccione> - con lo\ ejcr (0. 01, ( k 2 , 0);-..c~.c'cic'~i~c' .( - m . - \ 2 ), (0, \ 2 ); decrccie~itcI- \ 2. 0). (1 2.
37.
Ilirer\tccio~ie\dc lob CJC'I ( 0 . 0 ) . (8, 0): C ~ ~ C ~ C C I -0. 0 ) .( 0 ,2); crscielile (2, a); 111i111nlo rclali\o iu; do .\ = 2; ~cincavaliacia nrriba ( - m . 4 ) . (0, c CC'III~:I\~ liacia nh:~.io(-4.0); p t ~ ~ i (Ic [ c \i~iUlc\i<>~i (11: J \ -4, . 0.
-
(-
=): m a \ i m o relativo cuando .r 0: conca\a tiacia abajo(-a. - \ 2/'3 ), ( \ 213, m); CC~I~C;II;I Ii;~ciaarriba -( - \ 2:3, v 2 / 3 ) ; p u n t o de i n f l e ~ i c ic~ui ~ r ~ i t.r l o =- i 1 5 %sirnetria con rc\pccto al cjt' ,I..
30.
l ~ i t c r ~ c c c i o ~( 0i c.0). \ ( - 4 , 0 ) :c l c c r e c i c ~ ~( ~ -m c , - I ): tl-cciente (-. (I), (0,m); niiniino rclarivo cuando .v - I;concava hacia arriba (-m, 0) (2, m ) ; coni.a\ a liacia abajo (0.2) p u n l o de infle\icin cuando .v = O., .r = 2.
-
I ) . (0. m); t l t ' e l c c i c ~ l ~ c ' ( -01: I . ~ i i i ~ i l l iri sol i ~ l i CII~III
!o
Respuestos o problemas d e numero impor
EJERClClOS 13.4 1. 5. 7. 9.
5 1 3. M k i r n o relativo cuando x = -; rnixirno a Minirno rtlativo cuando x = -. rninirno dbsoluto. 2' 4 M b i m o relativo cuando x =* -3, rninirno relativo cuando x = 3. Minirno relativo cuando x = 0, rnikirno relativo cuando x = 2. La prueba falla, cuando x = 0 existe un rninimo relativo de acuerdo a la prueba de la primera derivada.
EJERClClOS 13.5 1. y = 1 , x
21.
=
1
.
1
3
3. y = - , x = - -2 . 2
5. y = o , x = o .
Decreciente (-m, 0), (0, m); concava hacia abajo (-03, 0); concava hacia arriba (0, -); sirnetria con respecto al origen; asintotas x = 0, y = 0.
25. Decreciente. (-m, -I), (0, I); creciente (-1, 0), ( I , m); rniilirno relativo cuandox = 21; concava hacia arriba (-m, 0), (0, m); sirnctria con respecto a1 eje y , asintota x = 0.
23.
.7.
y=O.x=l,.t=-1.
9.
P
lnterseccionesconlosejes (0.0); creciente ((-, m); concava hacia arriba (-a. -1); ~ o r ~ ( cia abajo (-1, m); asintotas x = 1, x = 0; sirnetria con respecto al eje y.
27. lntersecciones con 10s ejes (0, -I); crecienl -I), (-1, 0); decreciente (0, 1) ( 1 , m); rel. c hacia abajox = 0; (-m, -I), (1, m); concav abajo(-1, l);asintotasx= l , x = -1,y = ( tria con respecto al eje y.
81 0
RESPUESTASA PRODLEMAS DE NUMERO IMPAR 31.
IIIIL~I ~ e ~ ~ l oL.L>II l-l CI<>\ ~ e;c\ ( ~ l0 ). . I I , 01: ~ ~ l ~ c L ~ -~ 3 (I), , ( 0 . \ ' 3 ); ~ l c c r c ~ ~ i(-a, c-.t ~ ~-c ,/jj. ( d : X I : ~iici\inlo~ . ~ , l i ~-. cl iu\ a o n d o . ~ J3; ~niliilno~ c l a l o c l l a ~ l d o.I. = - \: 3; ccillca\a hacia a h a j o (-m, L ' ~ ) , I o . 1.6 conca\a ) ; hacia arriha (- ~'6.0). (di m): p11111o de int'lexicin cunlido .I- - . r Jh; ahinlot: I = I).I = 0: \ i i i ~ ~ial lcon r c \ p s ~ , ~ alo oripen.
(
33. 1nterseccionescon losejes(0, 1); creciente(-*, -2), (0, 03); decreciente (-2, -I), (-1,O); rnaximo relativo cuando x = -2; rninimo rela~ivocuando x = 0, concava haciaarriba(-m, -1); concava hacia arriba (-1, m); asinfola x = - 1.
-
Respuestos o p r o b l e m o s de n u m e r o I m p o r
PRODLLMAS DE REPASO (CAP. 13)
7. C.Gnca\a hacia arriba en 9. k4irlilno rslalivo ell .v = 15.
(-05.
- 1.
0 ) ! ( $, x ); ~OIIC.'I\~I Ilitcia abajo en (0, i). II. E l l .Y = 7 . 13. \ I i \ i m o absoluro en
Intersecciones con los t j e \ (-4,0). (6. 01. (0. -7.?\: creciente(1, m); decrecien~e( - m y I ) : inininlo r c l n ~ i \ o cuando .v = I: ccinca\a hacia al- rib;^ (-m. = ) .
17.
I ~ l l c r \ c ~ ~ c i o con l l e r l o \ tic.\ ( 0 .0): ~~uc.~.1c11lc I-m. m): ccinca\a hacia abajo (-m. 0); conca\a liacia arulba (0. m ) ; p u n f o r dc irll'le\ici~lcciando \ 0 . .it1121ri~.i1 c o n respecto a1 orisen.
= 3: nllnllli,> ab.,\,.;;~> cr!
I l l ~ r r \ c c c i o l l e rcon lo\ 'is\ ( 0 . 1 ) : c r c c i ~ n ~( 0c . a). clccrccie~~te (-a, 0); 111i111mo r e l a ~ ioi enalldo.\- 0: cdnca\ 3 hacia arriba (-". "); sirne~ricacot1 rerpcc. 111 a1 r j e J.
= I
Inlerseccione\ con 10s cje. ( 1 1 . lul: ::?;,sr.:: I-=. -7). ( 2 . m); decreciente(-2.2): r n a \ ~ r n c r ~.LA:>:~~ do.\ = -2; rni~lilllolrelati\o illand(> Y :. L:.:,.: hacia arriba (0, m); c o n c a l a h a ~ ~ ba 3 j . i- 1 .,.I: p u n t o \ de inllexidn cuando .\ = 0.
2 .
I ~ l l e r s e c c i o l l c ~on lo\ cir., ( - 5 . 0); c'uc'ilc'lllc ( 1 0 . 0 ) ;decrecic111c (-m. -101. ( 0 . w); I I I ~ I ~ ~l IcIl~i ~~~ i c u a n d o . ~= -10; c b n c a i a Ilacia arriba ( - I i . 01. (0. m): cdncava hacia ahajo (-m. - 15): p u n l o \ dc int'lc\id11 cuando .\- = -15; atilltola a\inlola ~ e r ~ i c .I.u l= 0.
23.
i
-
i
I .
.\
-
25.
-
1101 i/on!al
, \ l i \ i ~ i i oI c1~11ii (I CLI~LIICIO I (1: ~LIIIL~I, cuando v = -.I.
1.
:
0.
LIL,IIII'~C\ILIII
EJERCICIOS 14.1 1. 100. 3. 515. 5. (a) 110 g; (b) 51hg. 7. 535. 551. S10.525. 9. 5 1 1 11. t.1: L 13. $3, $9000. 15. 20 y 20. 17. 300 pie p o r 250 pie. 19. 4 pie p o r 4 pie p o r 7 pie. 21. 2 plg; 128 plg3. 25. 130, p = 330, P = 36.980: 125, p = 350. P = 33.175. 27. 250 ,T- ;o:e r J :c,:s 29. 35. 31. 6 0 rniih. 33. 5 ton, 5 - x.3 ton.
d
81 2
RESPUESTAS A PROBLEMAS DE NUMEROIMPAR
EJERClClOS 14.2 1.
0.25410.
3.
5.
1.32172.
-2.iX709.
7.
0.33767.
7.
r
1.9(1785
9.
EJERClClOS 14.5 1.
3.
3Li.
1,
---==,Lr. \'I'
+
5.
i
2
2
t
.
.r
I
2.t d
r
9.
.
1~,'-'(1.i-+3.~+l)dr.
t 7
3
11. A!.=
- ( i . 1 4 . 4 \ , = --0.14. 13. A ~ = 0 . 0 7 3 . d y = - = 0 . 0 7 5 .
15.
40
17.
1005.
3
19.
.
-0.03.
EJERClClOS 14.4 1. 9.
3.
-3, elastics.
- I , elasticidad unitaria. 9 - 1 , elasticidad unitaria. 11. -- inelastica. 32'
3 - cuando p 10
=
3.
3 , lpl = I cuando p = 6.50.
17.
5.
-1.02 elastics. 1 13. - - inelastica. 2
7. 15.
'
Disminucion de -1.2, 0.6%.
-(150e1
-
-
l).elastica.
10 - cuando p = 10, IT/ 3
23.
=
5 , 30.
P R O D L E M A S b E R E P A S O (CAP. 15) 1.
20.
3.
300.
+
2x ln(r
5.
+
$2800.
I
5) dr.
7.
13.
200 pie por 100 pie.
(i)'
IS.
0.99.
9.
17.
EJERClClOS 1 5 . 1
EJERCICIOS 15.2
21.
12; 105.
YhO. (dcidq = 27.50 cuando q = 50 no es relevante para el problema.)
I Inelbstica. -8.1. +
'
19.
Elastics.
81 3
Respuestas a problen~asde numero impar
EJERClClOS 1 5 . 3 I.
+
(.1
+
-
8 (7.r
-
615
1.r'
3 39.
-2''+ 10
4 In.
C.
+.
+
3
5.
.
?
3)13
3
23.
-3p
33.
I - lnis' 3
d T 7 + C.
"
+
+
5
1 >d.l
41.
( ,;
+
In/.,
:
I
.
17.
In.'
2 ? r , + C'.
--
3
I
+ C.
..
II -
-
-
(,I'
-
29.
;
45.
.
6
4 5 . i ) " + C' 15
37. I - - - ,1
5
+
"
+
2c'
-
-
19.
(-
C
+- . i J
211 - 101'-
9.
.
;r-
-
-
5
-
C.
EJERClClOS 1 5 . 4
I
19. - In' ( r 3
+
I)
+
21.
C.
en"
"?
+
23.
C'.
In In
+
1.1
3 ) ~+ C'.
I
27.
.i2-
33.
V
Z
8.r; +
-
6 In 1.r:
C
.
-
5 + .r;-
29.
C. (r '
35.
+ 3
61'
I
-
3
t
+.
3
37.
3
-
I -
+
1
C.
+ 3
r
36\ 2
25 31. .r
+
I '
1
+
In
-
/.\
39.
.
I -- (In 4j.1
I!
-
t
3
+ C
C'. -
7
<:-,
\
\:
+ c..
EJERClClOS 1 5 . 5
EJERClClOS 1 5 . 6 1.
f3 unidad cuadrada.
9.
16 unidades cuadradas. 3
3.
14
-
27
11.
5.
unidad cuadrada.
6.
13.
-
18.
;
unidad cuadrada.
15.
5 6'
-
7.
1
-
3
*
2
=
-
- C
:.
,
7
7 --In 5
43.
I .
7.
C'.
.r5)"
5l + C'.
$-
35.
C.
C.
t
20
25.
C.
+
15. -(?7
26
+
i)' '
3F
t
Y'
13. -I C.
35
21.
3)('
6
11. -+ C. I
+
(.J?
3. -+
c'.
unidad cuadrndr.
i
-
1;
(
EJERCICIOS 15.7
EJERClClOS 15.8 En 10s Probiernos 1-33 se supone que las respueslas esfan expresadas en unidades cuadradas.
33.
1.
35.
19 unidades cuadradas.
37.
a
1
3 4
7
- b - c 16
16
39.
5 3
(a) In -: (b) lni3) - I ; (c) 2 - In 3
En 10s Problemas 1-21 se supone que las respuesfas esran expresadas en unidades cuadradas.
EJERClClOS 15.10
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 15)
En 10s Problemas 35-49, se supone que las respuesfas esfan expresadas en unidades cuadradas.
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 15) 1. 225. 125.
3. (a) %99.000; (b) 900; (c) $1 10
Respuestos o problemos de numero imp01
EJERClClOS 16.1 1
'
I
2r -(.r + 3 1 11. -e'(3e' 4
7.
17.
e'(.r'
+
4 -(I 15
-
I)"?
I).
--
-
+ C.
I)
2v
+
3.
+
+C
I)"
13.
+ 2) + C.
=
I
2(1 - e 19.
I
7
A x 15
+
C.
5.
.![ln(-L!~- I ]
1)j2(3r -- 2)
+
C.
-C -7 3
9.
,-
-t-'-
In1 v )
7
).laspartesnosenecesitan.
.r3 - + 2e-'(x3
+
-h
1)
- --
2
+
C.
15. 21.
-.
. -
Y'
+
-
.-
-
-
-(9\3 3
2e'
-
-
- Ill\.:
1 unidades cuadradri
EJERClClOS 16.2
3.
+ 3 I n I x - 11 + C = I n x 2 ( x - I ) ' + C. - 3 In /x + 11 + 4 In 1r. - 21 + C = In I(.\- - 2)'/(.r +
9.
I - ln1rh + 2x"
21.
18 In (4)
1.
2ln.1-1
.r2 - 2
2
-
+
1)j( + C ,
C, no se requieren fracciones parciales.
10 In (5) - 8 In (3).
23.
II -6
2
+ 4 In -3 unidades cuadradas.
EJERClClOS 16.3
27.
4(9x - 2)(1 135
+ 3 . ~ ) "+~ C.
29.
I - Inl2r 2
+1 -v'
+ C..
31.
I -[2.r2 ln(2.r) 4
-
.r']
+ C.
81 6 47. 55.
RESPUESTAS A PRODLEMAS DE NUMEROIMPAR
2 -(9\,3 - 10~"). 49. 3 (a) $37 599; (b) $4924.
2(2\/Z
57.
7 5 . -1 2 (a) $5481; (b) $535. -
\I?).
2
-
3 4
-
53.
In
EJERClClOS 16.4
EJERClClOS 16.5
3.
1. 0.340:0.333.
5.
1.388;1.386.
7.
0.883.
2,361,375.
11.
2.967.
9.
8 3'
-
13. 0.771.
EJERClClOS 16.6
3. • 4x' + 3 , 13. y = 715. N = 2 0 , 0 0 0 ~ " " ~N~ '= ; 20.000( 1.2)'"': 28,800. 2(*- +- I ) ' 3 millares ' ' ~ ~ de millones. 19. 0.01204; 57.57 s. 21. 2900 aiios. 23. N = ~ " e " '"". 1
a'
11.
y = In----~
17. 25.
~ 2
+
77.
12.6 unidades.
A = 100(1 - e " ) :
157 g.
EJERClClOS 16.7
EJERClClOS 16.8
17.
I
;unidad
cuadrada.
19.
Aumento de 5000.
L
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 16) 1.
7.
-
I
-[2 ln(x) 4
-
2
.
2
(,it
13. p ( 7 . r 49
-
1)
I]
+ C.
3.
5
+
9 - In 3. 4
+
!.\-+Z;
15.
C.
(a) 1.405: (b) 1.388.
31.
0.0005; 90%.
In ( 3 + s( - 2 In 12
33. N
+ 3.~1)+ C .
3
9.r
I - In Jln '7.v 2
23. y =
=
+
3
C.
~e'""
450 I + 224e..
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 16) 114; 69.
1
-(9 21
V'G-72 4
21.
1.
5.
02,.
,
17. x C > 0.
35.
-
- In 13 2
25.
+
I -
4: 16 P , M .
2x1
+
27.
C. Div.
19.
34.
29.
144,000.
2ti)
Respuestas a problemas de nrjmero impar
27.
CJCRClClOS 17.2
e3
21. fr(r, s) =
-e3-'
ln(7
-
s); f,(r, s)
= -.
-
r
s-7
La superficie es una esfera (se muestra el hemisferio superior).
Respuertas a problemas de numero impar
EJERClClOS 17.1
27.
e3 - r
21. f,(r, S )
=
-e3-' ln(7
EJERClClOS 17.3
-
s ) ; f,(r, s )
=
s - 7
La superficie es una esfera (se muestra el hemisferio superior).
81 8
RESPUESTASA PROBLEMAS DE NUMEROIMPAR
13. 1120; si un funcionario adrninistrativo con maestria en adrninistracion de ernpresas riene un afio adicional de experiencia de trabajo antes de obtener el grado, recibiria $1120 por afio en cornpensacion adicional. 15. ( a ) - 1.015: - 0.846. ( b ) aquel para el cual w = wo y s = so. 1 17. ( a ) no; ( b ) 70%. 19. qpA= - 1. qpg = -2'
EJERCICIOS 17.4
EJERCICIOS -17.5
EJERCICIOS 17.6 a2 az 1. - = 13; - = 9 . ar as
7. 15.
[
3.
21
+ - e"'.
5(2xz2 + yz)
5.
+ 2(xz + z2) -
3(x2 + ~ y ~ ) ~+( 2yZx + l r y ) . 9. -2s(2x.+ yz) + r(xz + 3y2z2)- 5(xy a ap ap ap - 1. 17. - = u-g(h) - wh; - = u-Lg'(h) - wL. a~ a! ah a/ -
(2x2z + xy
+ 2j3z).
11
+
2yz)
2
-
13.
7
324
EJERClClOS 17.7 3
( 2 %5 2 , - 6 ,
').
9.
(-i4' 2
(4,
i).
11.
rnlxirno relativo.
minimo relative;
:i .
0, -
-
1 5 - I
(1, I ) , minimo relativo. ;
( 4 , O), ninguno.
19.
1 = 24, k = 14.
21. p, = 80, pB = 85.
25.
q,
27.
=
3, q~
=
2.
5.
- 6
15. 23.
1 pie por 2 pie por 3 ple.
(50, 150, 350).
(f,
a),
( i)
7.
- 2.
13.
ninguno.
(122. 127). mlximo relativo.
17.
rninirno relativo
( 0 , 0). r n k i m o relativo; (-
1.
-
1 ) . minirno relativo
q, = 48, qB = 40, p, = 52, pB = 44, utilidad = 3304. 29.
(y;, :3, -
-
minim0 relative.
EJERCICIOS 17.8
13. Planta 1 , 40 unidades; planta 2 , 60 unidades. 19. x = 10, y = 20,
s =
5.
15.
74 unidades (cuando I
=
8, k
=
7).
17. x
=
12. y
=
8
81 9
Respuestos o pcoblemos de numero impor
EJERClClOS 17.9 1. .? 9.
=
9
+ 0.611; 3.12. 3. L: = 0.057 + 1.67.r; 5 . 9 0 . 5. 4 = + 2 . 5 ~ . 11. (a) 9 = 35.9 - 2 . 5 ~ ; (b) i. = 28.4 - 2.51.
0.98
= 8.5
82.6
-
0.641p.
7. i. = 100
EJERClClOS 17.11
PRODLEMAS DE REPASO (CAP. 17)
9.
23. 29.
:
-
x2
y2.
11
z
Z
Competitivos. ( 3 , 2 , 1).
31.
(
25.
9
=
+ x2yz.
13. 2
+)
(2, 2) rninirno relative.
12.87
+
3.231.
33.
=
9,50e-022'99r + 5 ,
3.
T
=
79e-0011131
+ 45.
e'i
2;
- + ye" in z Z
27. 8.
A P L ~ C A C ~ OPRACTICA N (CAP. 17) 1.
IS. xzeyz In
4 pie por 4 pie por 2 pie. 1 210'
35. -
= e"
+ 0.131: 105.:
!Ihc.isn, 97 4dici6n de expresiones alsebraic.a\, IS de l'raccior~es,28-29 dc riiatriccj, 247.248 de nurneros reales. ; climinacion por, 144 Adjunta, 299-303 Algebra, rcpaso de, 1-31 c o r ~ j u l l ~ o s1-2 , cuponentes, 10-16 I'ac~rorizacio~l, 13-25 iiun~ero\reale\. 2-10 radicalcs, 10-16 C'onrradolninio ( o irnbiro) dc I ' ~ I I C I O I52.103 I~\, aponenciale\. 173 losat-itrnicas, 182 iI111ol.tizaci6n dc crCdito\. l'el/sc Cr;di;o\, :1111orri/ac,io11(lc. l'ondo de, 224-225 tabla tle. 228 .411alihir geornerrico drr la progra111aci611lil~cal. I.2usc Programacinn lineal. i111dIisi5g c o ~ ~ i i t r i c t > . Antidericadas. 5.58-559, 596-597 Al~llalidadcs,217224 anriiipada\, 223-223 \.alor ac111al (0 prc\cntc) dc. 210. 221, 644-645.
\31or ~ U I L I ~dc. O 222. 644 \cncidas. 219 p r c n d i r a j e , e c ~ l a ~ i c idc., n 200 . 4 p r o i m a d a , inregracior~,649-653 Alra5 dc rectangulos, \umaloliu dc. 587.594 .\rca, clernenro \.errical ( o I,!-;inja \ c~ric;il)dc. 605 .Irl~ficiale\,\ariablc\. 35 1-361 dual !. 370. 373.374 problelna de minin1i/.a~,i6n!. 763-365 - \ s ~ n t o l a \ ,464, 515-524 \erlica!e\, 5 16-523 A\osiati\a\. propiedade\. 3
Ha\c. 110 B,'d\lca\. ' . \ariablc\ del'inicicin de, 374 en problerna\ riormale\ tle pl.o:ralnacitin lirlcal. 334-342 I3d\icci\, \ al.iahle\ ( C ' o r r t ~ t r i i l / c . i t j ~ i ) \ O ~ U ~ ~ O I iI ' Ia.c~~ ~ b l eba,ica\ \ defenerada< !. 315-346 joluciol~ecoptima\ ~ n ~ ' ~ l t i p,l e \3 4 9 - 3 0 \arlablc\ aririt'icialc\ , 352-361 B i ~ ~ o m i o 18. \ . 20
( . ~ d s n . ~ ~. c s l adc la, 455-45'.
-OX--1 l
