Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária.. CAPITULO 1 RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA
5. Uma das reclama reclamaç7es ç7es mais (re89en (re89entes tes na r+aniaç r+aniação ão Mundial Mundial do Com#rcio! Com#rcio! # a adoção! por parte de al+uns países! de políticas de subsídio : a+ricultura. ;o entanto! entanto! essa política! política! al#m de propiciar propiciar (rutos no com#rcio com#rcio internaci internacional! onal! modi(i modi(ica ca as possib possibili ilidad dades es de consum consumoo da popula população ção..
1. Reconh Reconhece ecendo ndo a situação situação de pobrea pobrea de parte parte de sua popula população ção!! um país da "m#rica do $ul decide adotar políticas sociais. %&'se! então! (rente a duas possibilidades. )or um lado! pode reduir os preços dos alimentos* por outro! pode aplicar um pro+rama de renda mínima. ,esenhe a restrição orçament-ria de um pobre nessa economia! comparando a sua situação inicial e (inal em cada uma das duas políticas.
Solução
Solução
$ubsídios : a+ricultura.
pção 1/ Redução preço dos alimentos 0)a2)a3
outros R sem subsídio : a+ricultura
outros
R com subsídio
')a4)o m4)a
m4)a "limentos
)a=>)a01's3
')a=4)o )rodutos a+rícolas
pção 5/ Incremento Incremento na renda. renda. 0m6m3 outros m4)o
m4)o
m4)a m4)a
?. %isan %isando do atrair atrair possívei possíveiss client clientes! es! um superm supermerc ercado ado decide decide vender vender (ralda (raldass @ohnsonn=s 8ue normalmente custam RA B!! por apenas RA D! por pacote. imita! no entanto! a compra de dois pacotes por cliente. $uponha 8ue duas (amíli (amílias as de mesmo mesmo orçame orçamento nto!! m > RA !! !! decidam decidam compra comprarr nesse nesse supermerca supermercado. do. " (amília (amília A se (a representar apenas por seu che(e! ,ona Clementina! en8uanto a (amília B decide (aer as compras representada pelo pai e pela mãe. "presente "presente +ra(icamente +ra(icamente a restrição restrição orçament-ria orçament-ria dessas duas (amílias! sabendo 8ue a (amília B pode comprar o dobro de (raldas da (amília A! passando uma pessoa de cada ve no caixa 0pense a exist&ncia de (raldas e
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária.. cestas com composição de todos os outros bens3. Esses conGuntos orçament-rios são convexosH
x5> m4p5 014?3x1 Estatística 0x53
Solução
Família " u utros
Família utros
D ?
1 ? ?
5
Fraldas
D
D. Marta Marta # uma estudante estudante do curso curso de Economia Economia da UFR@ UFR@ 8ue est- se prepara preparando ndo para as provas de Estatística e Microeconomia. Ela disp7e de tempo para ler D p-+inas do livro de Estatística e ? p-+inas do livro de Micro. Com o mesmo tempo! ela conse+ue ler ? p-+inas de Estatística e B p-+inas de Micro.
b3
Kual o nLmero de de pp-+inas do do lilivro de de Mi Microeconomia 8u 8ue Ma Marta poderia ler se ela decidisse usar todo o seu tempo para estudar MicroH 0dica/ voc& disp7e de dois pontos da reta orçament-ria de Marta! e assim # possível determinar a e8uação da reta3. b3 Kuantas p-+inas ela conse+uiria ler se dedicasse todo o seu tempo para estudar EstatísticaH
Solução
)rimeiro! calcula'se a e8uação da reta orçament-ria* p1 ∆ x5 − 1 1 = =− x5> m4p5 0p14p53 x1 − = ? p5 ∆ x1 ?
1
micro 0x13
s interceptos/ Fraldas
Inclinação inicial/ D4)o 0comprando at# 5 pacotes3 Inclinação (inal/ B4)o 0comprando J de 5 pacotes3
a3
B
a3 $e sN estuda Micro não dedica tempo a estatística.
m4p1 0?3 x5* onde m4p1 > x1 J 0?3x5 substituindo m4p1 > ? J 0?3 D > 1 b3 $e sN estuda Estatística não dedica tempo a Micro. m4p5 14? x1* onde m4p5 > x5 J 14? x1 substituindo m4p5 > D J 14?0?3 > . $e um estudant estudantee +astar +astar toda a sua bolsa bolsa de estudos estudos ele ele pode comprar comprar O livros livros e O caixas de doces* ou ainda 1 livros e D caixas de doces por semana. preço do livro # A!.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária.. cestas com composição de todos os outros bens3. Esses conGuntos orçament-rios são convexosH
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Solução
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D
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Kual o nLmero de de pp-+inas do do lilivro de de Mi Microeconomia 8u 8ue Ma Marta poderia ler se ela decidisse usar todo o seu tempo para estudar MicroH 0dica/ voc& disp7e de dois pontos da reta orçament-ria de Marta! e assim # possível determinar a e8uação da reta3. b3 Kuantas p-+inas ela conse+uiria ler se dedicasse todo o seu tempo para estudar EstatísticaH
Solução
)rimeiro! calcula'se a e8uação da reta orçament-ria* p1 ∆ x5 − 1 1 = =− x5> m4p5 0p14p53 x1 − = ? p5 ∆ x1 ?
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Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária.. Solução
Solução
,oces 0x53
)14p5 > B4?>5* m4p5>B e m4p1>? a3 Q5> m4p5 0p14p53.Q1 Q5> B 5.Q1 b3 m4p5>B* p5> m4B> ?4B>
O
D
D
5 O
p1> ! p14p5 > D45> 5
. 0%ar 0%arian3. ian3. " princíp princípio! io! o consumidor consumidor de(ronta'se de(ronta'se com a reta orçament-r orçament-ria ia p1x1 J p5x5 > m. ,epois! o preço do bem 1 dobra! o do bem 5 passa a ser O vees maior maior e a renda renda 8uadru 8uadrupli plica. ca. Escrev Escrevaa uma uma e8uaçã e8uaçãoo para para a nova nova renda renda orçament-ria com relação aos preços e : renda ori+inais.
1
livros 0x13
Solução
p5> !45 > !5
5 p1 x1
x5> m4p5 0p14p53.x1
O.
D>m4 !5 0!4!53.1
m> B.
+ O p5 x5 = Dm
0%ar 0%arian3. ian3. 8ue ocorre ocorre com com a renda orçamen orçament-ria t-ria se o preço preço do bem 5 aumentar aumentar mas a renda e o preço do bem 1 permanecerem constantesH
Solução
B. 0";)EC 0";)EC 1PP?3 " (i+ura (i+ura se+uinte se+uinte apresenta apresenta a linha linha de orçamento orçamento 0"3 0"3 de um consumidor 8ue possui uma renda de A ?. em 5 B
intercepto vertical 0eixo de x53 diminuir-! e o intercepto horiontal 0eixo de x13 permanecer- constante. " reta orçament-ria tornar'se'-! pois mais mais plana. P. 0%ar 0%arian3. ian3. $e o preço preço do bem 1 duplicar duplicar e a do bem 5 triplicar triplicar!! como (icar(icar- a reta orçament-ria/ mais ou menos inclinadaH Solução
"
Menos inclinada. 1. 0%arian3. 0%arian3. Kual a de(inição de um bem numer-rioH numer-rioH ?
em 1
a3 Kual a expressão al+#brica da restrição orçament-ria 0"3H b3 Kual o preço nominal do bem 5H
Solução
"8uele cuGo preço ou valor monet-rio # 1. Exemplo/ o dinheiro.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária.. 11. 0%arian3. Ima+inemos 8ue o +overno baixe um imposto de !1 A sobre o +alão de +asolina e depois resolva criar um subsídio para a +asolina a uma taxa de . Apor +alão. Essa combinação e8uivale a 8ue taxa lí8uidaH
,e acordo com o visto na 8uestão 1! os pro+ramas de rendas mínimas ampliam mais o conGunto orçament-rio. 1. Comente as se+uintes a(irmaç7es* 0i3 conGunto de possibilidades de consumo consiste em todas as cestas 8ue o consumidor deseGa ad8uirir! aos preços de mercado e dada a sua renda.
Solução
Cestas "limento0"3 %estu-rio0%3 ,espesa0,3
Consulte as soluç7es no varian
C1
D
RAO
C5
5
?
RAO
C?
D
5
RAO
Solução
CD
B
1
RAO
Consulte nas soluç7es do %arian
C
O
RAO
15. 0%arian3. $uponhamos 8ue a e8uação orçament-ria seGa dada por p1x1 J p5x5 > m. +overno decide impor um imposto de montante (ixo de u! um imposto t sobre a 8uantidade do bem 1 e um subsídio s sobre a 8uantidade para o bem 5. Kual ser- a (Nrmula da nova restrição orçament-riaH
1?. 0%arian3. $e! ao mesmo tempo! a renda de um consumidor aumentar e um dos preços diminuir! estar- ele necessariamente tão prNspero 8uanto antesH Solução
$im. s dois movimentos levam a aumentar o conGunto orçament-rio! pelo 8ual ele ser- mais prNspero. 1D. +overno de um município decide destinar uma 8uantidade K de recursos para a população com rendimentos in(eriores a dois sal-rios mínimos! composta de 1 (amílias com características muito parecidas em m#dia 8uatro pessoas! com desvio padrão bastante baixo. Essas (amílias consomem basicamente dois produtos/ alimentos e habitação. " pre(eitura pode destinar os recursos por interm#dio de um pro+rama de renda mínima ou um pro+rama de cesta b-sica de alimentos com preços subsidiados. Em 8ue situação a população carente seria mais bene(iciadaH Solução
0ii3 " linha orçament-ria obtida com base nas in(ormaç7es da tabela acima apresenta o orçamento associado a uma renda de RAO! ! um preço de alimentação de RA1! por unidade e um preço de vestu-rio de RA5! por unidade. " inclinação da linha orçament-ria #! portanto! '145. 0iii3 "umentos no preço do vestu-rio 0tudo mais constante3 (aem com 8ue a linha orçament-ria (i8ue mais inclinada. " medida 8ue aumentamos o preço dos alimentos 0tudo mais constante3! 8ue a linha orçament-ria (icar- menos inclinada. 0iv3 Mudanças na renda do consumidor 0mantidos os preços dos bens constantes3 deslocam a linha orçament-ria paralelamente. Contudo! o conGunto dos bens 8ue são (actíveis para o consumidor não se altera. Solução
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 1. Restrição orçamentária.. 0i3 conGunto de possibilidades de consumo consiste em todas as cestas 8ue o consumidor ),E ad8uirir! não o 8ue deseGa. Cestas deseGadas podem não estar dentro do conGunto de possibilidades de consumo. 0ii3 Correta. )or hipNtese! o 8ue o consumidor +asta # o total da sua renda por8ue não h- poupança. o+o m > O> ,espesa 0,3. )or outro lado! sobre os preços se tem 8ue/ C1* 1 J D5 > O C5* 51 J ?5 >O C?* D1 J55 > O CD* B1 J 15 > O C* O1 J 5 > O o+o para os preços dados a inclinação # 145. 0iii3 " primeira (rase # verdadeira se o vesti-rio estiver no eixo horiontal! mas a se+unda # (alsa sob a mesma consideração. 0iv3 " primeira (rase # verdadeira! mas a se+unda # (alsa dado 8ue as possibilidades de consumo se alteram para 8ual8uer alteração da restrição orçament-ria.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 2. Preferências. mundo por parte de empresas transnacionais. Isso coloca uma 8uestão bastante interessante para os países em desenvolvimento 8ue apresentam uma relação de troca entre os bene(ícios do investimento em termos de produto e empre+o e os male(ícios da poluição. ,esenhe curvas de indi(erença 8ue expressem essa relação de troca.
CAPITULO 2 PREFERÊNCIAS
1.
)rove 8ue um conGunto de pre(er&ncias monNtono implica curvas de indi(erença ne+ativamente inclinadas.
Solução
Solução
•0S1S53
∆ Invest.
•0x1x53 ∆ poluição
•0153 Monotonicidade/ 0x1x53 0S1S53 com S1>x1 e S5>x5 * então 0S1S53> 0x1x53 0x1x53 0153 com 1 0153
s paises em desenvolvimento estão dispostos a aceitar aumento de poluição se esse ocasionar aumento dos investimentos. ,o contr-rio o bem estar das economias pioraria. .
5.
)or 8ue curvas de indi(erença não podem se cruarH
Solução
)or8ue se elas se cruam! estaria'se contradiendo o axioma da transitividade a cerca do comportamento racional do consumidor. ?.
Curvas de indi(erença de um indivíduo saciado violam 8ue axioma0s3 colocado0s3 com re(er&ncia ao consumidor bem comportadoH
Solução
da monotonicidade* mais # melhor. D.
Um dos temas mais colocados pela literatura de meio ambiente # a exist&ncia de investimentos diretos de plantas poluentes em países do terceiro
Em al+uns processos de produção da siderur+ia! uma empresa deve misturar em 8uantidades (ixas carvão e (erro! com o obGetivo de obter aço! numa raão de 1 para D. Expresse as pre(er&ncias dessa empresa com re(er&ncia ao carvão e ao (erro.
Solução Ferro
O D Carvão
1 5 $ão complementares na proporção de 1 para D! ou seGa! a cada 1 unidade de carvão e D de (erro! ser- produida uma unidade de aço.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 2. Preferências. B.
)rove +ra(icamente 8ue uma taxa mar+inal de substituição positiva viola o axioma da monotonicidade.
a3 0!5D3 0!53
Solução
0x1x53
0x1J∆x1!x5J∆x53
c3
∆ x1 ∆ x5
01!1B3
0!30B!3 m > P. p1 J O p5 m > D.p1 J 15 p5 ' ''''''''''''''''''''''''''''' > p1 Dp5* p1 > Dp5*
p1 4p5 > D4
$e ∆x54∆x1> então ∆x5> e ∆x1> o 8ue si+ni(ica 8ue 8uanto mais # indi(erente e não T8uanto mais melhor como (ormula a hipNtese da monotonicidade. "ssim! não pode acontecer 8ue dadas as cestas 0x 1x53 e 0x1J∆x1!x5J∆x53! então 0x1J∆x1!x5J∆x53 6 0x1x53 mas 0x1J∆x1!x5J∆x53V 0x1x53.
d3 $im. )or8ue 8ual8uer se+mento traçado entre duas cestas dentro da mesma curva
.
O.
uciano consome apenas ca(# e caramelo. " sua cesta de consumo re(erente ao consumo de x unidades de xícaras de ca(# e S unidades de caramelo por semana # representada pelo par 0x!S3. conGunto de cestas de consumo 0x!S3 para o 8ual uciano # indi(erente entre 0x!S3 e 01!1B3 # o conGunto de cestas tal 8ue S > 5 ' D x. conGunto de cestas 0x!S3 para o 8ual ele # indi(erente em relação a 0B!3 # tal 8ue S > 5D ' D x. a3
de indi(erença! são pontos tão bons 8uanto as cestas da curva de indi(erença. "s pre(er&ncias são convexas! embora não estritamente convexas.
Marina +osta de +astar parte do seu tempo estudando e a outra parte na academia de +in-stica. ;a verdade! as curvas de indi(erença traçadas entre Thoras por semana +astas com estudo e Thoras por semana +astas com +in-stica são circun(er&ncias conc&ntricas em torno da sua combinação (avorita/ 5 horas de estudo e 1 horas de +in-stica por semana. Kuanto mais prNxima ela est- da sua combinação (avorita! mais satis(eita ela est-* isto # as suas pre(er&ncias obedecem : relação de saciedade. $uponha 8ue Marina esteGa atualmente estudando 5 horas por semana e (aendo +in-stica ? horas por semana. $er- 8ue ela pre(eriria estar estudando ? horas por semana e (aendo +in-stica O horas por semanaH 0dica/ embre'se da (Nrmula para o c-lculo da distWncia entre dois pontos3.
Solução
Solução
0x!S3 > 0ca(#!caramelo3 S > 5 ' Dx conGunto de cestas indi(erentes a 01!1B3 S > 5D ' Dx conGunto de cestas indi(erentes a 0B!3
,istWncia entre 05!?3 e 05!13/ h5>01'?35J05'535>1DDJ5>1BP h>
1
embre'se dos recursos de C-lculo para determinar a inclinação de uma curva.
1BP
>1?
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 2. Preferências. ,istWncia entre 0?!O3 e 05!13/ X5>01'O35J0?'535>DPJ1>1DP h> 1DP . Esta # uma distWncia menor !lo+o ?hs4semana de estudo e Ohs4semana de +in-stica a deixarão mais satis(eita. Xoras de Yin-stica
1
descartar a nota mais baixa (a com 8ue 8uanto maiores o valores da nota tirada numa prova! melhor a @oice estar-. ;ota do 5Z teste
saciedade (20,15)
(30,8)
P.
5 Xoras de Estudo
" nota (inal do curso de Microeconomia # calculada com base na maior das notas dos dois testes realiados durante o semestre. @oSce # uma aluna deste curso! e deseGa maximiar a sua nota (inal. Considere x 1 como sendo a nota no primeiro teste e x5 a nota do se+undo teste.
a3 Kual das duas se+uintes combinaç7es # a melhor para @oSce/ x1 > 5 e x5 > * ou x1 > B e x 5 > H 5 e x5>* ou x1> B e x5 > H @oSce possui pre(er&ncias convexasH Solução
a3 x1>5* x5> # a combinação pre(erida! dado 8ue sua nota (inal ser- . Curvas de di(erença no +r-(ico abaixo. "s pre(er&ncias de @oice não são convexas. Isto si+ni(ica 8ue as notas extremas são pre(eríveis a tirar notas m#dias! ou seGa!
0B!3
5
(25,3)
5
05!3
B
O ?
5
B
;ota 1Zteste
b3 ,escartando a maior nota a melhor combinação # 0B!3. ;este caso as pre(er&ncias são convexas. Combinaç7es 8ue se correspondem com valores m#dios deixariam a @oice mais satis(eita.
1.
Mauro! um estudante de Economia! +osta de almoçar :s 15/hs.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 2. Preferências. b3
utros bens
a3 b3
0!13
c3 d3
"lmoço
a3 "lmoçando ao meio'dia x5>1'>1 "lmoçando :s 1D/h x5>1'0't3>1Jt>15 b3 15 11 1
1 11 15 1? 1D 11.
arrS considera mar+arina e mantei+a como sendo substitutos per(eitos. $er- 8ue tais curvas de indi(erença seriam convexasH )or 8ueH
Solução
"s pre(er&ncias entre bens substitutos per(eitos são convexas! embora não estritamente convexas. 15. 0";)EC3 " teoria ordinal do consumidor baseia'se nas suposiç7es principais de 8ue/ 0i3 o consumidor sempre pre(ere mais do 8ue menos de uma mercadoria* e! 0ii3 as ordenaç7es das cestas de bens são transitivas. Com a suposição adicional de indi(erença entre certas cestas! # possível
construir curvas de indi(erença. Com base nestas suposiç7es! mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es/ ,uas cestas em 8ue uma tenha mais de cada mercadoria do 8ue a outra podem ser representadas pela mesma curva de indi(erença. Uma cesta 8ual8uer de uma das curvas de indi(erença ser- pre(erível não sN a outra 8ue tenha 8uantidades menores de cada mercadoria! mas tamb#m a cada cesta 8ue seGa indi(erente : cesta de menores 8uantidades. cruamento de duas curvas de indi(erença # consistente com as suposiç7es 013 e 053 acima. Com a suposição adicional de concavidade! a curva de indi(erença! pela sua inclinação! mostra a 8ueda do valor atribuído a uma mercadoria 8uando aumenta o seu consumo pelo indivíduo.
Solução
a3 Falso. " cesta com maior mercadoria dever- melhorar 0ser melhor3 o nível de satis(ação do consumidor considerando 8ue não atin+iu o estado de saciedade. b3 %erdadeiro. c3Falso.%iola o axioma sobre transitividade. d3 " curva de indi(erença c[ncava tamb#m tem inclinação ne+ativa. Como valos não est- associado com preço no estudo das pre(er&ncias! o valor atribuído a um bem # medido pela 8uantidade de bens aos 8uais se est- disposto a renunciar para aumentar o consumo de outro. ;este sentido! concavidade envolve relação ne+ativa. 1?.
0";)EC3 Mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es. Com relação : teoria do consumidor! pode'se a(irmar 8ue/ a3 " hipNtese de taxa mar+inal de substituição decrescente corresponde : hipNtese de 8ue as curvas de indi(erença são estritamente convexas em relação : ori+em. b3 " hipNtese de taxa mar+inal de substituição decrescente si+ni(ica admitir 8ue o consumidor pre(ere diversi(icação : especialiação no consumo de bens. Solução
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 2. Preferências. a3
x5 x1
〈C Inclinação ne+ativa e
;eutros
Formato convexo com solução de canto
Males
5
x5 5
x1
〉C
b3 S
Falso. Isto si+ni(ica 8ue o consumidor # neutro em relação ao consumo de x.
estrictamente convexas 0convexas curvadas3. b3 " hipNteses de convexidade envolve 8ue cestas com valores m#dios se correspondem com níveis de satis(ação maiores. " a(irmativa # verdadeira . 1D.
0";)EC3 Mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es. $obre a
a3
Falso. "s soluç7es de canto são pre(eríveis de acordo com o pressuposto de concavidade! convexidade não estrita 0substitutos per(eitos3! neutros e males! e a determinadas (ormas 8ue podem ad8uirir curvas de indi(erença convexas como no exemplo abaixo. 0o ponto +rosso indica escolha Ntima3.
c3x5
1.
x
%erdadeiro.
x1
% ou F! Gusti(icando suas opç7es. $obre a
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 2. Preferências. e3 )re(er&ncias Tbem comportadas são monot[nicas 0si+ni(ica 8ue mais # melhor3 e convexas 0si+ni(ica 8ue a inclinação da curva de indi(erença # ne+ativa3. Solução
a3 Errada. " premissa # de 8ue as pessoas se comportam de modo racional. b3 Correta. c3 Errado pre(er&ncias não leva preço em consideração. d3 Errado."sse+ura sim. e3 Errada. Convexidade implica 8ue o consumidor pre(ere as m#dias aos extremos. 1B.
0";)EC3 Mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es. $obre a
Solução
a3 b3 c3 d3 e3
Errada. "s 8uantidades podem ser di(erentes. Errada! # necessariamente constante. Errada. Corresponde a maior. Correta. Errado. Kuando ocorre uma
1.
0";)EC3 Mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es. $obre a
a3 Falso. " UMY com respeito ao bem 1 # a derivada da (unção de utilidade com respeito a esse bem e sua interpretação # o 8uanto a utilidade do consumidor com esse bem muda em (unção de mudanças na 8uantidade desse bem. b3 %erdadeiro. ;o e8uilíbrio )14)5! ou seGa! a observação dos preços relativos da in(ormação sobre as pre(er&ncias dos consumidores. c3 Falso. Uma
Mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es. $obre a
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. CAPÍTULO 2. Preferências. 0iv3
;o caso de bens per(eitos complementares as curvas de indi(erença são caracteriadas por uma
Solução
0i3 0ii3 0iii3 0iv3
Falso. "
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a.
CAPITULOS 3-4 UTILIDADE E ESCOLHA 1. " (unção utilidade de )edro # de(inida por U!"#$ % !2 & 2!# &# 2' a3 Calcule a sua taxa mar+inal de substituição 0subtendendo'se 8ue pS3. d3 u0x1!x53 e v0x1!x53 representam as mesmas pre(er&ncias H )or 8ueH Solução
U)*(
=
a3 U)*x
5 x + 5 ( 5 x + 5 (
Solução
a3 )ara pre(er&ncias bem comportadas e (unç7es di(erenci-veis! são condiç7es necess-rias para o e8uilíbrio. Px
P( 013*
Q )x J \ )S > m ?
U)*x U)*(
x
= D . " relação entre as 8uantidades e(etivamente 1 ? 4 D −? 4 D x ( D
ad8uiridas # ? =1
−1 4 D
14 D
(
( x
.
b3 $e o consumidor estiver maximiando! então ?
( x
>
Px P(
.?
( B
> 054B53! onde ?4D
U)*(
=
1
b3 U)*x 1 P
c3 P 1
S > !OBD. nível de utilidade alcançado # U0B! !OBD3 >1 Q \14D > 1 B ?4D !OBD14D. nível de despendio # m > Q )x J \)S > B5 J !OBDB5 =1
. ;ão existem di(erenças.
)1>)5 1 . $im os a+entes estão maximiando! por8ue a
5
se i+uala : relação de preços e # i+ual a 1 d3 Representam as mesmas pre(er&ncias p8 a (unção de utilidade de )edro # uma trans(ormação monot[nica da (n de utilidade de uis. v0x! S3 > S J x* u0x! S3 > 0SJx35 5. ,ada uma (unção utilidade U>1 Q ?4D \14D ! onde U # a utilidade obtida! e Q e \ as 8uantidades dos dois bens ad8uiridos. $endo dados px e pS os preços dos bens/ a3 ,etermine a relação entre as 8uantidades dos dois bens 8ue serão e(etivamente ad8uiridos. b3 ,etermine tamb#m o nível de utilidade alcançado e o disp&ndio total do consumidor 8uando Q >B! sendo e pS > B5 e px>5.
?. "dmita 8ue a (unção utilidade de um consumidor pode ser expressa na (orma U > Q\! onde Q e \ são as 8uantidades consumidas dos respectivos bens. a3 $upondo 8ue os preços dos bens são respectivamente px > 1 e pS > 5! di+a 8uanto ser- ad8uirido de cada bem e 8ual ser- o +asto total do consumidor! supondo 8ue no nível de maximiação U > 1O. b3 Considere um aumento do preço do bem Q para px > 5. $upondo 8ue o preço de S não se alterou e 8ue o mesmo volume de +astos (oi realiado! identi(i8ue as novas 8uantidades 8ue serão ad8uiridas dos dois bens e o novo nível de utilidade atin+ido. Solução
a3
( x
> 01453 \ > . Q
U > Q\ > 1O! lo+o Q. Q > 1O! onde Q > B e \ > ?! sendo estas as 8uantidades consumidas por cada bem para este nível de utilidade. b3 Como o consumidor +asta toda sua renda 0não h- poupança3! então o nível de +asto com os preços antes da subida de preços #/
1?
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a.
m > Q )x J \)S > B1 J ?5 > 15 Com o aumento de preços!
( x
> 05453
\ > 1Q
m > Q )x J \pS* ou seGa! como o nível de renda 0e de +asto3 não se altera entre períodos! então*
U
15 > 5Q J 01Q3. 5! onde Q > ? e! substituindo \ > ?.
%
bserve 8ue! como as pre(er&ncias são Cobb',ou+las! as 8uantidades consumidas do bem \ não se alteram. D. Um determinado consumidor disp7e de ? unidades monet-rias para despender em dois bens " e . s preços destes bens! as 8uantidades ad8uiridas dos mesmos e a avaliação sobre a utilidade proporcionada pelo consumo destes bens são apresentados na tabela abaixo/ )rodu' to "
)reço por unidade A ! A !
Kuantidade ad8uirida 0unidades3 ? 1O
Utilidade
Utilidade Mar+inal Lltima unidade ad8uirida 0utils3 ? 5
Considerando estas in(ormaç7es! di+a se o consumidor em 8uestão estmaximiando a utilidade proporcionada pelo consumo! dada a restrição de renda! e Gusti(i8ue sua resposta. $e ele não estiver maximiando a utilidade! expli8ue o 8ue o consumidor deve (aer para tornar esta maximiação possível.
" . Um consumidor pode ad8uirir dois bens a ou b no intuito de maximiar sua utilidade! sendo 8ue! na situação retratada/ Um+ 0a3 > ?* pa > A1* Um+ 0b3 > B* pb > AD. consumidor est- e(etivamente ad8uirindo combinaç7es de a e b 8ue maximiam sua utilidadeH $e não estiver! o 8ue ela deveria (aerH Solução U)*A Pa U)*B = P+ *
?4B 6 14D. Como no caso anterior! o consumidor
deveria aumentar as 8uantidades de " para che+ar ao ponto de maximiação onde a
Solução U)*A
Pa
"s duas condiç7es de e8uilíbrio são U)*B = P+ 013 e " )a J )b > m 053. " partir de 013 utilidade. Como
? 5
>
? 5
F
=
.R .F
! não # verdadeiro. consumidor não maximia a
145
14D
a
! o consumidor deve aumentar a 8uantidade de "! desde 8ue
pre(er&ncias seGam convexas. consumidor est- numa situação como a 8ue indica o ponto U! onde a tan+ente da curva de indi(erencia 0
B. Um consumidor apresenta a (unção de utilidade U > xS e uma receita orçament-ria i+ual a 5x JDS > 15. Kuais os consumos Ntimos de x e S H Solução
( x
> 054D3
5\ > Q 1D
5Q J D\ > 15* e Q > 5\ > ?
5 05\3 J D\ > 15*
\ > 1
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. unidade de bem x para ad8uirir uma unidade de bem S! o 8ue sN acontece 8uando os bens são substitutos per(eitos.
. $upondo'se um mapa de curvas de indi(erença dado por Q > !5\5 ' \ J U! onde/ Q e \ são dois produtos 8uais8uer e U # o nível de utilidade do consumidor )x > 5 e )S > 1 são os preços dos respectivos bens* R > .! onde R # a renda do indivíduo! determine as 8uantidades dos bens Q e \ 8ue o consumidor ire(etivamente ad8uirir.
1. $uponha 8ue a (unção utilidade para cada consumidor individual # dada por U > 181 J 8 5 J8 185. Cada um deles tem uma renda (ixa de 1 dNlares. $uponha 8ue o preço de K5 seGa D dNlares. a3 Kual a taxa mar+inal de substituição do bem 1 pelo bem 5H b3 $e p1 > A5! 8ual ser- a 8uantidade do bem 1 demandada pelo consumidorH
Solução
Solução
U > ' .5\ 5 J \ J Q # a (unção de utilidade 08uase linear3.
a3 ,ois caminhos. Caminho 1/ colocar U>1( J( 5 J8 8 5 em (unção de 8 5 e derivar em relação a ( ! obtendo a
U)*A U)*B
=
1
− 50!5, 3 + F
=
5F 1F
! onde '1\ J 15 > 1! \ > 11.
Como a (unção de utilidade # 8uase'linear as escolhas não dependem da renda. "ssim! a 8uantidade demandada de produto Q ser-/
1
Caminho 5/
Solução U)*x U)*( =
( x
>
1B 5
> O.
P. )ara um indivíduo com uma (unção de utilidade U0x!S3 > x J S! os dois bens x e S são substitutos per(eitosH )or 8ueH Solução
>
b3
1 + -5 F + -1
>
5 D
1 + - 5 F + -1
! onde 85 > 0'1J81345
$ubsituindo na restrição orçament-ria* 1 > 581 J D _0'1J81345`! onde 81 > ?5! e 85 > O!. 11. " (unção de utilidade de F-bio # U0x!S3 > max x! 5S. 1. Faça o mesmo para 5S > 1. a3 $e x > 1 e 5S < 1! determine U0x!S3 b3 $e x< 1 e 5S > 1! determine U0x!S3 c3 1. F-bio possui pre(er&ncias convexas H Solução
$uponha U0x!S3 > ^! ou seGa! uma curva de indi(erença tal 8ue x JS > ^ ⇒ y = k – x. "
U)* 1 U)* 5
resultado de ambos dever- ser
. > 111 J 5 Q! donde se obt#m 8ue Q > 1?D O. " (unção utilidade de um consumidor # dada por u > xS! onde u # o nível de utilidade! e S e x representam as 8uantidades dos dois bens ad8uiridos pelo consumidor. Calcule a taxa mar+inal de substituição do bem S pelo bem x 8uando as 8uantidades consumidas (orem i+uais a x > 5 e S > 1B .
1
( x
> '1 para 8ual8uer valor de ^! ou seGa! para 8ual8uer nível de
satis(ação. "
)ara desenhar a curva de indi(erença (ixo o valo de U0x! S3 > ^! por exemplo ^ > 1. "ssim/ ' $e Q > 1 e \ > 1
max 01! 513 > 1
1
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. ' $e Q > 1 e \ >5
max 01! 553 > 1 \ "s cestas contidas no se+mento traçado entre duas cestas 8ue se encontram na mesma curva de indi(erença de reta! são cestas melhores 0estão em níveis de utilidade maiores3! cumprindo'se a hipNteses de pre(er&ncia pela diversi(icação 0convexidade3.
? 5 1
' $e Q > 1 e \ > ? max 01! 5?3 > 1
1
Q
Faendo o mesmo para 5S > 1 teríamos a mesma curva de indi(erença! dado 8ue se 5S > 1 então S tem 8ue ser (ixo em e se obteria a linha vertical com valores de Q entre 1 e 1.
c3 %erdadeiro. Como os bens são complementares per(eitos! o aumento da 8uantidade de um bem! sem aumento de outro! não leva a aumento de utilidade. d3 Falso. consumidor escolhe as 8uantidades onde Qa > Qb! 8ue # o ponto de maximiação! o 8ue não necessariamente envolve escolher apenas 8uantidades de ! mesmo sendo )a 6 )b.
a3 U0x! S3 > max _1! 5S21` > 1 b3 U0x!S3 > max _x21! 1` > 1 c3 Fabio não possui pre(er&ncias convexas. Como visto anteriormente! suas pre(er&ncias são c[ncavas. 15. 0";)EC3 $eGa U > min Qa ! Q b! a (unção de utilidade de um consumidor! R a renda! e )a e ) b os preços respectivos de " e . Mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es. a3 "s curvas de indi(erença não são convexas em relação a ori+em. b3 " utilidade mar+inal de um dos bens # sempre i+ual a ero. c3 )ara 8ual8uer R 6 ! se ) a 6 ) b! o consumidor escolhe apenas o bem . Solução
'5
"
1?. Ricardo +osta de promover (estas em sua casa! sendo o nLmero de homens i+ual ao de mulheres. "s suas pre(er&ncias podem ser representadas pela (unção de utilidade U0x!S3 > min 5x ' S! 5S ' x sendo x o nLmero de mulheres e S o nLmero de homens na (esta. a3 5S ' x! o nLmero de homens # maior do 8ue o nLmero de mulheres! ou o contr-rio H Solução a3 S
a3
I
ConGunto de cestas )re(eríveis a Q
1D 15 1B
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a.
1
m
1 11 15 5x ' S > 1 ⇒ S > 5x 1 5S x ≥ 1 ⇒ S ≥ J x45 x 1 11 15
S > 1 15 1D
≥ 1 1! 11
b3 5S x ≤ 5x ' S ⇒ ?S ≤ ?x ⇒ S ≤ x 1D. 0";)EC3. "dmita 8ue a (unção de utilidade de ,ona Maria pode ser representada por U > K "K%! onde U # sua utilidade! K" # a 8uantidade de alimentos 8ue ela consome e K % # a 8uantidade de peças de vestu-rio. $uponha 8ue a sua renda mensal de de mil reais # +asta inte+ralmente com os dois bens. preço unit-rio dos alimentos # 8uinhentos reais e do vestu-rio mil reais. " (im de maximiar o seu nível de satis(ação mensal! 8uantas unidades ela consumir- de cada um dos bensH Solução
1B. 0";)EC3 Um consumidor tem suas pre(er&ncias apresentadas pela (unção utilidade U0a!v3 > aαvβ onde a > 8uantidade de alimento e v > 8uantidade de vestu-rio! e os parWmetros α > e β > . Mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es/ a3 $e o preço do alimento (or maior 8ue o preço do vestu-rio! então o consumidor ir- demandar uma 8uantidade maior de vestu-rio do 8ue a de alimento. b3 $e α > β! os disp&ndios do consumidor com os dois tipos de bens são i+uais! para 8uais8uer níveis de preços não nulos. c3 $e α J β > 1! a (unção de utilidade # convexa! implicando 8ue inexiste solução de m-xima utilidade do consumidor. d3 $e α J β > 1! as utilidades mar+inais dos dois bens são crescentes. Solução
;as (unç7es de utilidade Cobb',ou+las! os parWmetros α e β indicam a proporção de +asto destinada : consumir cada produto sempre 8ue α J β > 1. ;o ponto de maximiação/ U)*a U)*/
./ .a
1. 0";)EC3 Um consumidor tem renda de B unidades monet-rias e ad8uire as 8uantidades x1>1 e x5> 8uando os preços dos dois bens são p 1>? e p5>B. $uponha 8ue haGa apenas dois bens! e 8ue a (unção de utilidade do consumidor seGa U0x1!x53 > min {x1!5x5}. $e p1 sobe para ! 8ual o acr#scimo de renda 8ue o (ar- (icar indi(erente entre a nova cesta demandada e a anti+a cesta P i.e.! x1 > 1 e x5 > 3 H Solução m
Maximiação ocorre 8uando x1 > 5 x5 e P 5
−
5 P 1 P 5
. x 5
=
α / β a
=
Pa P/
$e )a 6 )b! então αv 6 βa! o 8ue não necesariamente si+ni(ica 8ue v 6 a. consumidor demanda mais vesti-rio se α>β. b3 Falso. $N +astaria o mesmo se α J β >1. c3 Falso. " convexidade não envolve inexist&ncia de solução m-xima. d3 %erdadeiro. a3
> 0)a4)b3 > 0413 > 145
"ssim! 5Kv > Ka * 1 > Ka J 1 0145Ka3* Ka > 1 e Kv > .
m
m
x5 > P 5 + 5 P 1 e x1 > P 5 + 5 P 1 . Kuando x5 > e )1 > ? e )5 > B ⇒ m > O e ∆m > 5
x5
>
P 5
−
P 1 P 5
. x1
⇒ x5
>
1. 0";)EC3 Considere um consumidor residente em Reci(e! com pre(er&ncias estritamente convexas. " renda total desse consumidor # constituída por um sal-rio mensal de AD! sendo 8ue o mesmo consome 1 unidades do bem " e 5 unidades do bem ! por m&s! com ) " > A5 e ) > A1! o 8ue lhe (ornece um nível de utilidade de U > D. " empresa onde ele trabalha pretende trans(eri'lo para $ão )aulo! onde )" > A1 e ) > A5. Caso isso ocorresse! ele passaria a consumir 5 unidades do bem " e 1 unidades do bem ! o 8ue lhe propiciaria um nível de utilidade de U > 5. Mar8ue % ou F! Gusti(icando suas opç7es/ a3 ;ão se pode a(irmar 8ue ele # maximiador de utilidade! pois aos novos preços a sua escolha implica em redução de utilidade. 1
b3 ,ado 8ue em Reci(e U > D e em $ão )aulo U > 5! pode 'se a(irmar 8ue a sua situação em Reci(e # duas vees melhor do 8ue a8uela 8ue obteria em $ão )aulo. c3 consumidor estaria disposto a se mudar desde 8ue ele obtivesse um aumento de sal-rio de A1. d3 consumidor não estaria disposto a se mudar por um aumento de sal-rio menor 8ue A1.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. c3 $e ui tivesse somente 1DD m5 de Gardim! 8uantas unidades de cravos ele plantaria H d3 )ara 8ue ui plante cravos e be+[nias Guntos! 8ual deve ser a -rea mínima do GardimH Solução
<$M >
Solução
a3 Falso.
U)0c U)0+
= 01 5c341 > )C 4 ) b > D
1 5c > D ⇒ c > PB45 > DO. " restrição # Dc J 1b > * b > 'Dc ⇒ b > D DO ⇒ b > 1P5 > ?O b3 1. Cravos não variam com m5 a partir de 1P5. c3 1DD4D > ?B
Q D
d3 > 1P5 m5
5 1 1
5
D
Q"
c3 %erdadeiro. Com mais A1 a cesta inicial 01!53 custar- aos preços (inais 11 J 5 5 > ! o 8ue si+ni(ica 8ue estar- disponível. $eD o consumidor escolher outra cesta! estar- )*lo +*,o .ão /*+ 0u,.o antes. d3 Falso. Existe um conGunto de cestas 8ue o consumidor pode consumir e 8ue não estava disponível antes. ;ada se pode a(irmar. 1O. " (unção de utilidade de ui # U0b!c3 > b J 1c ' c 5! sendo b o nLmero de be+[nias 8ue ele planta no seu Gardim! e c # o nLmero de cravos. Ele possui uma -rea de m 5 para alocar entre plantaç7es de be+[nias e cravos! sendo 8ue cada be+[nia necessita de 1 m5 e cada cravo de D m5. a3 )ara maximiar sua utilidade! dado o tamanho do Gardim! 8uantas be+[nias e cravos ui deve plantarH b3 $e ele ad8uire uma -rea extra de 1 m5 para o seu Gardim! 8uantas unidades adicionais de be+[nias ele deveria plantarH E 8uantas unidades de cravosH
1P. )ablo considera +uaran- tão bom 8uanto suco de laranGa. $uponha 8ue ele tenha disponível a 8uantia de A? para +astar entre os dois bens! e 8ue o preço do re(ri+erante seGa de A! e o do suco seGa de A1. a3 " estes preços! 8ual das duas bebidas ele ir- pre(erirH u ser- 8ue ele consome um pouco de cada H b3 $uponha 8ue o preço do suco de laranGa permaneça em A1 e 8ue o preço do +uaran- seGa reduido para A!. Ele consumir- mais re(ri+erante H c3 $e o preço +uaran- (or reduido para A!D ! 8uantas +arra(as de re(ri+erante )ablo iria consumirH d3 $e o preço do copo de suco de laranGa permanecer em A1! e admitindo 8ue )ablo consuma um pouco das duas bebidas! 8ual # o preço do +uaran-H Solução
$e considera um bem tão bom 8uanto o outro se trata de substitutos per(eitos. a3 Consome o mais barato e somente o mais barato. 0embre das soluç7es de canto3. b3 $im. 0;ovamente solução de canto3. c3 ?4!D > . d3 A 1!. 0Escolhe al+uma 8uantidade ao lon+o da reta orçament-ria3 5. Carlos tem a se+uinte (unção de utilidade U0x!S3 > ?x J S sendo x o nLmero de revistas e S o nLmero de in+ressos para um sho de roc^. $e o custo total de x unidades de revistas # x5! pS > B e m>1! 8uantas revistas ele l& H 1O
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. u0x1!x53> x1Jx5* u05*53>5J5>D em 1PP e u0?*3>?J>O em 1PPB. $im podemos dier 8ue a utilidade em 1PPB # o dobro de 1PP.
Solução U)*x U)*(
= ? > )x4)S! "ssim )x > ?B > 1O
Como se trata de substitutos per(eitos! e o preço das revistas # maior! ele não consumir- revistas. 51. ,etermine se as se+uintes trans(ormaç7es (uncionais são monNtonas/ 0i3 (0u3 > ln u* 0ii3 (0u3 > 14u* (0u3 > 5u* (0u3 > u* (0u3 > '14u.
5?. $uponha 8ue um aluno deriva satis(ação com os estudos desde 8ue cada hora de aula assistida seGa acompanhada de duas horas de estudos em casa. Caso contr-rio! sua satis(ação não se altera. Construa uma (unção utilidade hipot#tica para esse estudante. Solução
Solução
1
u # a (unção de utilidade u > u0x1!x53! e (0u3 # a trans(ormação monot[nica.
∆ f f 0" 53 − f 0"13 = ! onde u # a (unção de utilidade. )ara 8ue (0u3 seGa uma " 5 − "1 ∆"
trans(ormação monot[nica! o numerador e o denominador deverão ter o mesmo sinal. "ssim! a taxa de variação da trans(ormação monot[nica tem 8ue ser positiva 0derivada3. (0u3>ln u * (0u3>
1 "
(=0u3>
*
(=0u3>'
1 "
1 "5
6
⇒ # monot[nica.
! ⇒ não # monot[nica.
(0u3>5u*
(=0u3>56 ⇒ monot[nica.
(0u3>u*
(=0u3>16* não # monotNnica 1 (=0u3> 5 ⇒ monot[nica. "
(0u3>
−1 "
*
U0x1*x53>min_x1* 5 x5` 1 1 U01*13>_1*
5
`>
U01*53>_1*1`>1 U05*13>_5*
1 5
5
`>
5
1
1
5
145 1
5
5D. Calcule a taxa mar+inal de substituição para as (unç7es u0x1! x53 > x1x5 e h0x1! x53 > ln x1 J ln x5. Solução 1
-
U)*x1 U)*x5
%TMS TMSu%-
x 5 x1
TMS%
x1 1
%-
x5 x1
x 5
55. $uponha uma (unção utilidade de substitutos per(eitos! u0x 1! x 53 > x1 J x5. $eria correto a(irmar! de acordo com a teoria da utilidade ordinal 8ue um consumidor 8ue estivesse consumindo 5 unidades do bem 1 e 5 unidades do bem 5! no ano de 1PP! e ? unidades do bem 1 e unidades do bem 5! no ano de 1PPB! dobrou sua satis(açãoH
5. "
Solução
Solução
1P
%erdadeiro. como visto no exemplo anterior! elas deverão ser i+uais. 8ue não seri+ual # a utilidade mar+inal! dado 8ue as (unç7es de utilidade são di(erentes! embora se manter- a monotonicidade. 0%er no livro a relação entre utilidade mar+inal e
"prendemos 8ue o comportamento de escolha revela apenas in(ormaç7es de como o consumidor hierar8uia di(erentes cestas de bens. " utilidade mar+inal depende da (unção de utilidade especí(ica 8ue utiliamos para representar o ordenamento das pre(er&ncias e sua +randea não tem nenhuma importWncia especial. 5. )or 8ue dadas pre(er&ncias convexas! a taxa mar+inal de substituição! em mNdulo! dever- ser decrescenteH Solução
"
'
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. UM+x1> 5x1J 5x5 e UM+x5> 5x1J 5x5* '
05x1 + 5x 5 3 05x1 + 5x 5 3
>'1
ii3 u0x1!x53> x1145 Jx5 1
1
5 x
5 x1
1 Um+x1> ! UM+x5>1* iii3 u0x1!x53>x1J5x5
UM+x1>1* UM+x5>5*
'
1 5
5P. " melhor cesta 8ue determinado consumidor conse+ue consumir ser- sempre a8uela em 8ue a taxa mar+inal de substituição i+uala a inclinação da restrição orçament-ria! no caso em 8ue a escolha Ntima envolver o consumo de um pouco de ambos os bens. %erdadeiro ou Falso. @usti(i8ue sua resposta. Solução
%erdadeira. ;esse ponto a reta de restrição orçament-ria tan+encia a curva de indi(erença! ou seGa! atin+e a Lltima curva de indi(erença 8ue o consumidor poderia atin+ir dada sua restrição orçament-ria! maximiando sua satis(ação. ?. ,ois tipos de caneta são substitutos per(eitos. Kual ser- a cesta consumida se a renda do consumidor destinada : compra de canetas (or RA 5!. ,emonstre 8ue! sempre a
8uando p12 p5 ⇒ 8ual8uer nLmero entre e
⇒ '1* 8uando p16p5 ⇒
5 p1
8uando p1 > p5
8uando a relação de troca # de 1x1.
U)* 1 U)* 5
i3 u0x1*x53> x15J5x1x5Jx55
?1. Um consumidor tem pre(er&ncias 8uase'lineares 8ue podem ser expressas por 14 5 " 0 x1 ! x 5 3 = x1 + x 5 . $endo o preço do bem 1 i+ual a RA ?!! o preço do bem 5! RA 1!! e a renda do consumidor! RA ?!* 5
a3 Kual a 8uantidade consumida de cada bem. $uponha 8ue os bens são per(eitamente divisíveis. b3 8ue ocorrer- com o consumo do bem 1 se o seu preço (or reduido para RA 1!. Solução
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. Solução min_5d!e`>u0d!e3 5d>e m>p1dJp5e* ?>BdJ? 05d3! onde d>5! e >
1 5 x1
a3 " x1 = " x 5
1
=
1
5 x1
p 5 5 p1
x1
=
=
p1
! suGeito a m>x1 p1Jx5 p5
p 5
=
5 p 5 5 D p1
x1
=
1!F
5
=
D.P
5!5F ?B
= !B5F
)5>1! 5
)ara x5/ m = p1. m−
x5
=
p55 D p1 m p5
p5
D p15
−
p5
x5
D p1
x1
=
p5
D p15
5
!
m
x 5 =
5
b3
+ p5 x5
= p5 x5
x1
=
1!F
D.1
=
5!5F D
5 x1
< ! a taxa mar+inal de
Solução/
p5 > 5p1 ! ! ;o caso de 8uase lineares essa # a (unção de demanda para x1! 8ue independe da renda. )1>?
5 x5
substituição nunca se i+ualar- : relação de preços relativos. %erdadeiro ou (also.
x1
x1
??. $endo as curvas de indi(erença c[ncavas! ou seGa!
=
m p5 ? 1!F
=.
− −
p55 D p1
+ p5 x5
p55
Falso. ;a estimação da escolha Ntima a taxa mar+inal de substituição se i+uala aos preços relativos mas não no ponto de tan+&ncia interior. " escolha Ntima # sempre um Ntimo de (ronteira. ;esse tipo de curva de indi(erença! o consumidor não +osta de consumir os bens x1 e x 5 Guntos e sempre vai +astar sua renda comprando tudo de um bem ou de outro. ?D. $upondo 8ue todos os a+entes da economia tenham curvas de indi(erença estritamente convexas e 8ue acessem os produtos sempre aos mesmos preços. Então! a taxa mar+inal de substituição de e8uilíbrio para todos os a+entes dever- sempre ser a mesma. %erdadeiro ou (also. Comente.
D p1 p5
Solução
1!F
%erdadeiro. ;o ponto de e8uilíbrio )14)5. $e )1 e p5 são os mesmos para todos os a+entes! então a taxa mar+inal de substituição de e8uilíbrio ser- a mesma.
15
= 1P!OF
= !FB5F
?5. Um aluno considera 8ue diversão e estudos são complementos per(eitos! de maneira 8ue sua utilidade # expressa em "0 ! e3 = min[ 5 ! e] . $abendo 8ue durante os (inais de semana! o seu tempo disponível para diversão e estudos (ica restrito a ? horas e 8ue cada unidade de diversão custa B horas e cada unidade de estudos custa ? horas! 8ual ser- a cesta escolhida pelo aluno.
?. ;a 8uestão acima! as 8uantidades consumidas serão tamb#m as mesmas. %erdadeiro ou (also. Comente. Solução
;ão necessariamente! pois as 8uantidades consumidas não dependem sN das pre(er&ncias e da relação de preços! dependem dos níveis de renda. Como as pre(er&ncias são as mesmas 0mesma
51
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. R../ 1 A + ?2 = 15 013
?B. $uponha um consumidor suGeito a saciedade! mas com pre(er&ncias estritamente convexas. 8ue ocorrer- 8uando a taxa mar+inal de substituição se i+ualar aos preços relativosH
%estu-rio
Solução
$e as pre(er&ncias são convexas! 8uando a T)1 = −
p1 p 5
m
o consumidor estar- em
p /
=D
seu ponto de escolha Ntima! ou seGa! estar- maximiando sua utilidade. m
?. Curvas de indi(erença de substitutos per(eitos sempre +eram soluç7es de canto. %erdadeiro ou (also. Solução
?O. " utilidade 8ue @oão obt#m a trav#s do consumo de alimentos 0"3 e vestu-rio 0%3 pode ser expressa como/ u 0"! %3 > ".% a3 $uponha 8ue alimentação custa RA 1 por item! 8ue vestu-rio custa AR ? e 8ue @oão disp7e de RA 15 para +astar em estes dois bens. ,esenhe a linha do orçamento com a 8ual se de(onta @oão. b3 Kual a escolha entre alimentação e vestu-rio 8ue maximia a utilidade de @oão. c3 Kual a
=1
p /
=?
m > 15
= 15
"limentação
b. T)1 =
" situação de saciedade +eralmente +era solução de (ronteira! mas se os preços dos bens x1 e x5 (orem i+uais numa relação de troca 1x1! as curvas de indi(erença de substitutos per(eitos podem passar por toda a restrição orçament-ria! nesse caso haver- todo um se+mento de escolhas todas as 8uantidades dos bens 1 e 5 8ue satis(aem a restrição orçament-ria serão uma escolha Ntima.
Solução a.
p a
U)*a U)*/
=
2 A
* T)1 =
p a 2 * p / A
=
p a 2 * p / A
=
1 ?
* A = ?2 053
$ubstituindo 053 em 013/ ?% J ?% > 15* B% > 15* % > 5 " > ?053* " > B 0"! %3 > 0B! 53 c. Maximiação da utilidade/ T)1 =
T)1
d3 1>
p a p /
=
=
1 ?
U)*a U)*/
=
2 A
=
? ?
=1
1 ?
?P. Kuando 0)x! )S3 > 01! ?3 um consumidor compra 0x! S3 > 01! 3. Como são compradas 1 unidades de x e 5 de S! isto si+ni(ica 8ue o consumidor deve estar disposto a trocar 5 unidades de de x por 1 de S e permanecer indi(erente. ,ados os preços! ? unidades de x podem ser substituídas para cada unidade de S ao lon+o da reta orçament-ria. )or tanto! o consumidor não est- maximiando sua utilidade. % o F. @usti(i8ue. 55
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. Solução
T)1
%erdadeira. $e o consumidor est- disposto a renunciar 5 unidades de x para obter 1 de S e o mercado troca ? unidades de x por uma de S! o consumidor não estarmaximiando sua utilidade nessa situação. D. $eGa u 0x! S3 x.S J x ?S a (unção de utilidade de Maria! onde x e S são os dois Lnicos bens existentes nessa economia. s preços destes bens são! respectivamente! 0)x! )S3 > 0! 53. " renda mensal de Maria # de RA. a3 Kual a escolha Ntima da MariaH b3 $uponha a+ora 8ue o +overno! necessitando de dinheiro! decidiu taxar o bem x em 1 RA. Kual a nova escolha Ntima da Maria por estes dois bensH c3 $uponha 8ue! ao inv#s de taxar p bem x! o +overno decidiu taxar diretamente a renda dos consumidores. Ele 8uer arrecadar de cada consumidor o mesmo montante 8ue arrecadaria caso taxasse o produto x 0como item anterior3. Kual a nova escolha Ntima da MariaH d3 Mudou al+uma coisa na escolha Ntima da MariaH Kual das duas opç7es de taxação seria melhor para MariaH Solução
R../ x J 5S > 013 Escolha Ntima/ T) =
a3
T)1 (
=
=
U)*x U)*(
F x − 1 5
=
( + 1 x − ?
p x p (
* T)1
=
p x
( + 1
* p ( x − ?
=
p x
( + 1
* p ( x − ?
=
5
*5 ( + 5 = F x − 1
F x − 1 = F*F x + F x − 1 = F*1 x = F1* x = F1! 5 F0F1!3 − 1 5FO!F − 1 ( = = = 15!F b3 px > J1 > B R../ Bx J 5S > 0?3
=
( + 1 x − ?
* T)1
=
p x ( + 1 * p ( x − ?
=
p x ( + 1 * p ( x − ?
=
B 5
( = ?x − 1 0D3 $ubstituindo 0D3 em 0?3/ B x + 50? x − 13 = F*B x + B x − 5 = F*15 x = F5* x = D?!?? ( = ?0D?!??3 − 1 = 11P!PP 0 x! (3 = 0D?!??*11P!PP3 c3 p x x + p ( ( = m 0 p x + t 3 x + p ( ( = m
Kual8uer 8ue seGa o caso! sabemos 8ue a escolha Ntima! 0x!S3! tem de satis(aer a restrição orçament-ria/ 0 p x + t 3 x + p ( ( = m . " receita arrecadada por esse imposto ser- R > tx bs./ x da restrição orçament-ria com imposto 0letra b3. Um imposto sobre a renda 8ue arrecade a mesma 8uantidade de receita! ter- uma restrição orçament-ria da se+uinte (orma/ p x x + p ( ( = m − R p x x + p ( (
F
$ubstituindo 053 em 013/
5 5 0 x! (3 = 0F1!*15!F3
U)*x U)*(
o"!
053
F x + 5
=
= m − tx F x + 5 ( = F − 10D?!??3
03
$ubstituindo! 053 em 03/
F x − 1 = F − 10D?!??3 5 F x + F x − 1 = DFB!B 1 x = DFB!B + 1 x = D!? F0 D!?3 − 1 ( = = 1P!P5 F x + 5
5 0 x! (3 = 0 D!?*1P!P53
d3
" escolha Ntima de Maria mudou/ 5?
'
com 0 x! (3
'
imposto
sobre
a
8uantidade/
= 0 D?!??*11P!PP3
com imposto de renda/
0 x! (3
= 0DR!?R*1P!P53
= x( + x − ? ( " 0 D?!??*11P!PP3 = DOO5!F? " 0 DR!?R*1P!P53 = DP5D!F5 " 0 D?!??*11P!PP3 < " 0 DR!?R*1P!P53 " 0 x! ( 3
b.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a.
T)1
=
U)*m U)*r
=
1 4 5m −1 4 5 .r 1 4 5 1 4 5r −1 4 5 .m1 4 5
=
r m
* T)1
=
p m p r
*
r m
=
p m p r
*
r m
=
1 5!F
m = 5!Fr 053 $ubstituindo 053 em 013/
5!Fr + 5!Fr = 1*Fr = 1* r = 5
m
= 5!F0 53 = F = 0F*53
0 m! r 3
" melhor opção de taxação para Maria # a do imposto de renda! uma ve 8ue ela se encontrar- melhor do 8ue numa situação com o imposto sobre a 8uantidade! ou seGa ! a utilidade total obtida com a cesta Ntima do primeiro tipo de taxação # maior do 8ue a obtida com a do se+undo tipo. D1. $eGa u0mr3 > m . r a (unção utilidade de um consumidor onde m # mar+arina e r re8ueiGão. Este consumidor tem uma renda mensal de RA 1 e os preços destes dois bens são! respectivamente! RA 1 e RA 5!. a. ,esenhe a restrição orçament-ria com a 8ual esse consumidor se de(ronta. b. Kual a sua escolha Ntima por esses dois bensH c. Kual a proporção de sua renda 8ue +asta com cada um desses bensH d. $e esse consumidor considerasse esses dois bens como sendo per(eitos substitutos! 8ual seria a nova escolha Ntima destes dois bensH Solução
a.
R../ m J5!r > 1
013
Re8ueiGão ) pr ) pm
=
=
1 5!F
1 1
= D
= 1 Mar+arina
c.
)roporção da renda +asta com cada bem/ 145M com mantei+a 145M com re8ueiGão
d.
$e os dois bens (ossem substitutos! e para uma '1! o consumidor iria +astar toda a sua renda com o bem mais barato! e no caso exposto seria a mar+arina! então a escolha Ntima seria/
m =
1
= 1 1 0 m! r 3 = 01*3 D5. Responda %erdadeiro ou Falso. 0i3 " (unção utilidade associa nLmeros :s cestas de bens de tal (orma 8ue a ordenação num#rica +erada pela (unção utilidade representa a ordenação ordinal das cestas do consumidor. 0ii3 ;a teoria ordinal! o valor 8ue uma (unção de utilidade atribui a uma cesta pode ter um si+ni(icado intrínseco na medida em 8ue uma trans(ormação monot[nica preserva a ordenação das cestas do consumidor. 0iii3 Uma trans(ormação monot[nica # uma (orma de trans(ormar um conGunto de nLmeros num outro conGunto de nLmeros. " preservação da ordenação dos mesmos! no entanto! se d- nos casos em 8ue a (unção utilidade # linear. 0iv3 Uma trans(ormação monot[nica de uma (unção de utilidade representa a mesma (unção utilidade ori+inal e as mesmas pre(er&ncias. 0v3 Uma trans(ormação monot[nica na (unção utilidade a(eta a
5D
0i3 Correta. 0ii3 Errada. ;ão tem nada a ver uma coisa com a outra. 0iii3 Errada. Uma trans(ormação monot[nica sempre preserva a ordenação. 0iv3 .Errada. Uma trans(ormação monot[nica +era uma nova (unção de utilidade. 0v3 Errada. ;ão a(eta a
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. 0iii3 Falso. " (unção u0x! S3 não representa pre(er&ncias 8uase'lineares. 0iv3 Falso. " primeira # uma (unção de 8uase'linear e a se+unda de substitutos per(eitos. 0v3
%erdadeiro.
T)1 "
=
U)*x U)*(
=
5 x 1
= 5 x(
(
D?. Responda %erdadeiro ou Falso 0i3 $eGa u0x!S3>0xJS35. " (unção 0x!S3>x5J5xS'S5 # uma trans(ormação monot[nica da (unção u0x!S3. 0ii3 $eGa u0x!S3> xSJx J5S. " (unção 0x!S3> 145x J145S # Uma trans(ormação monot[nica da (unção u0x!S3. 0iii3 " (unção u0x!S3> ln0x3Jln0S3 representa pre(er&ncias 8uase lineares e a (unção 0x!S3>x.S # uma trans(ormação monot[nica de u0x!S3. 0iv3 "s (unç7es de u0x!S3>x145JS e 0x!S3>145xJ145S representam as mesmas pre(erencias. 0v3 " (unção u0x!S3> x5Jln0S3 representa pre(er&ncias 8uase' lineares e a (unção 0x!S3>xDJ5x5ln0S3Jln0S35 # uma trans(ormação monot[nica de u0x!S3. Solução
0i3
Falso. T)1 " = T)1 "
=
T)1 "
≠
U)*x U)*(
U)*x U)*( T)1 3
=
=
50 x + ( 3 50 x + ( 3
5 x + 5 ( 5 x − 5 (
=
>1
50 x + ( 3 50 x − ( 3
⇒ 0x!S3 não # uma trans(ormação monot[nica
de u0x! S3. 0ii3
Falso.
T)1 "
T)1 "
=
T)1 "
≠
de u0x! S3.
=
U)*x U)*(
U)*x U)*( T)1 3
=
=
14 5 14 5
( + 1 x + 5
=1
⇒ 0x!S3 não # uma trans(ormação monot[nica
T)1 "
=
U)*x U)*(
=
D x 5 x
(
?
+ D x ln0 ( 3
5
+
50ln0 ( 33
(
=
D x x 5
(
5
+ 10ln0 (33
5
+ 0ln0 ( 33
x
= 5 x(
= T)1 3 ⇒ 0x!S3 # uma trans(ormação monot[nica de u0x! S3. 0x!S3 > u0x!S35
T)1 "
DD. Responda %erdadeiro ou Falso. 0i3 consumidor maximia sua utilidade respeitando sua restrição orçament-ria. " solução Ntima desse problema 08uantidades Ntimas dos dois bens a serem consumidas3 pode estar situada sobre a restrição orçament-ria desse consumidor. 0ii3 " solução Ntima do problema de maximiação de utilidade do consumidor re8uer 8ue a inclinação da restrição orçament-ria seGa sempre tan+ente a inclinação da curva de indi(erença. ;a solução Ntima do problema de maximiação de utilidade do consumidor a tan+&ncia entre a inclinação da restrição orçament-ria e a inclinação da curva de indi(erença passa a ser uma condição necess-ria 8uando nos limitamos a soluç7es interiores. 0iii3 $e a curva de indi(erença (or convexa e a solução do problema interior! então! a tan+encia entre a restrição orçament-ria e a curva de indi(erença passa a ser uma condição necess-ria e su(iciente para obtermos uma solução Lnica para o problema. 0iv3 $e a curva de indi(erença (or convexa e a solução do problema interior! então! a tan+encia entre a restrição orçament-ria e a curva de indi(erença passa a ser uma condição necess-ria e su(iciente. Solução
0i3 0ii3 0iii3 0iv3 0v3
)ode não! ela esta situada na R. Errado. $e a curva de indi(erença tiver 8uina ou tivermos uma solução de canto h- solução Ntima mas não h- tan+&ncia. Errado. $e a curva tiver uma 8uina não h- tan+encia. Errada. )ode haver in(initas soluç7es. Correta. 5
D. Responda %erdadeiro ou Falso. 0i3 Mesmo 8uando a
0i3
%erdadeiro. %eGamos o caso de substitutos per(eitos! a C.I. não # estritamente convexa! em 8ue p 12p5 ! em 8ue o ponto Ntimo ocorra no ponto em 8ue o consumo de x5 seGa ero! as inclinaç7es da C.I. 0
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. 0i3 $eGa a (unção utilidade u0x!S3>xJ5S5. $eGam px>5 ! pS>D e m>. " cesta 8ue maximia a utilidade desse consumidor # 0x!S3>05*5!3. 0ii3 $eGa a (unção utilidade u0x!S3>x.S5. $eGam px>5 ! pS>D e m>B. . " cesta 8ue maximia a utilidade desse consumidor # 0x!S3>01!513. 0iii3 $eGa a (unção utilidade u0x!S3>xJ5S. $eGam px>5 ! pS>D e m>. " cesta 8ue maximia a utilidade desse consumidor # 0x!S3>05*5!3. Solução
0i3
R./ 5x JDS > T)1
=
U)* x U)* (
%erdadeiro.
013
=
F D (
* T)1
=
p x U)* x * p ( U)* (
=
p x p (
*
F D (
=
5 D
*1 = D (
( = 5!F 053 $ubstituindo 053 em 013/
5 x + D05!F3
= F*5 x = F − 1* x = 5
0 x! (3 = 05*5!F3
0ii3
R./ 5x JDS > B T)1
=
U)* x U)* (
Falso.
013
=
( 5 5 x(
=
( 5 ( −1 5 x
=
( 5 x
* T)1
( = x 053 $ubstituindo 053 em 013/ 5 x + D0 x3
=
p x p (
*
U)* x U)* (
=
p x p (
*
( 5 x
= B*B x = B
= 1 ( = 1
x
0 x! (3 = 01!13
0ii3 Falso. %ai depender da relação entre os preços. 0iii3 Falso. $e ela (or decrescente estamos no caso de curvas convexas. Xaveria especialiação se a taxa (osse crescente ' curvas c[ncavas. 0iv3 Falso. 0v3 %erdadeiro ' capítulo 0.B3.
0iii3 Falso. R./ 5x JDS > 013
DB. Responda %erdadeiro ou Falso.
s dois bens são substitutos per(eitos! o consumidor ir- consumir o bem com menor preço! levando tamb#m em consideração a
T)1 =
U)* x U)* (
=
F 5
* T)1
>
p x p (
*
F 5
>
5 D
5B
=
5 D
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os$%&. Uti#iae e esco#'a. x
=
m p x
=
F 5
= 5F
0 x! (3 = 0 5F*3
5
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 4. 5emana 6ni/i"a#. CAPITULO ' DEMANDA INDI(IDUAL
1. Cl-udio consome biscoito e mate. $ua (unção de demanda por biscoito # 8 > m ' ?p J 5pM! sendo m a renda! pM o preço do copo de mate! p o preço do pacote de biscoito e 8 a 8uantidade consumida de pacotes de biscoito. a3 Mate e biscoito são bens complementares ou substitutosH b3 ,etermine a e8uação de demanda para o biscoito! considerando m>1 e pM > 1. c3 ,etermine a e8uação da demanda inversa por biscoitos. )ara 8ue preço Cl-udio consumiria ? pacotes de biscoitoH
a3 K b>m ?pbJ5pm dpm
>56 ! sendo assim! são substitutos.
∆ x1 6. ∆ p 5
b3 K b>m ?pbJ5pm K b> 1 ?pbJ5013 K b> 15 ?pb c3 K b> 15 ?pb ?pb>15 ' K b pb>
15 ?
pb> D '
>
−
? ?
5 p+ +
S
1 >
!F +
5
m > 0pb J >
.013
1 5
pc3
5C 1! 5F
> 1B
5
D 5 p+ + 1
E
F
Y
> D ' 1> ?
Ele consome 5 biscoitos com 1 ca(#! sendo assim! a 8uantidade de biscoito consumida # duas vees a 8uantidade de ca(# consumida 0>5C3 a3 b>5c! ou seGa! c > b45* m>5* pc>1* pb>!
5 5 1
.pc
?. 0";)EC3 +r-(ico a se+uir mostra posiç7es de e8uilíbrio alternativas de um consumidor. Mar8ue % ou F Gusti(icando suas opç7es. a3 " mudança de linha de orçamento C para Y resulta de uma diminuição apenas do preço do bem S. b3 " mudança da linha de orçamento C para XE resulta da diminuição apenas do preço do bem S. c3 " curva de En+el para o bem x! 8ue relaciona a 8uantidade de e8uilíbrio deste bem com a renda monet-ria! est- representada no +r-(ico. d3 " linha preço'consumo # representada por "F
?
Solução
>
1
5 > 1B ! J C1! onde C > O
Kb
5. "lex +osta de consumir ca(# e biscoito Guntos! e em proporç7es (ixas! na raão de duas unidades de biscoito para uma unidade de ca(#. Ele possui uma renda de A5* pc > A1* e! p b > A!. a3 ;esta situação! 8uantas unidades de ca(# e biscoito ele consumiriaH b3 ,etermine a (unção de demanda por biscoitoH
m > .pb J
m 1 pb + pc 5
b3 >
Solução dK b
m > .pb J C.pc
C "
X
x
Solução
a3 b3 c3 d3
%erdadeiro. Falso. Falso. %erdadeiro. 5O
D. Carlos possui a se+uinte (unção de utilidade U 0Qa! Q b3 > QaDQ b! sendo Qa a 8uantidade de amoras Q b a 8uantidade de bananas. $eGa p a o preço das amoras! p b o preço das bananas! e m a sua renda. Kual a e8uação de demanda por amorasH Solução
c c
+
m . * onde Tc seria o expoente de Q- 0amoras3 e Td representaria o p1
expoente de Q b 0bananas3. "ssim a (unção por demanda de amoras seria Q a > D
.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 4. 5emana 6ni/i"a#. Mesmo procedimento para Q/ m Q> 1 px + pS 5
F pa
\
B *
Q
Um+Q b
U0Qa!Q b3> QaD.Q b Q aD DQ ?a .Q b
>
Um+Q a
Qa DQ b
>
pb pa
>
pa
Qa>
Dm
m pa
−
Qa DQ b
.Q b *
pb
Qa> pa − pa .Q b *
m> Qa pa JQ b pb Qa>
Dm F pa
. $eGa x o nLmero de livros e S o nLmero de discos. $e @oão tem a se+uinte (unção de utilidade U0x!S3 > min x ! 5x J 1S! e considerando px > 5 e p S > O! 8ual a raão entre as demandas por discos e livrosH Solução
m 05 px
+ pS3
m> 5\px J \pS* >
m D + O
=
m 15
5
U0a!b3> a5J1!ab J?b pa>1 pb>1 5a
+ 1!F b 1 = * 5 a J1!b > 1!a J?* !a > ? 1!b + ? 1
1!Fa
a ?
m
pb a m > a.pa. J b.pb* a > pa − pa .b * a> m 1 05 ' 3
a ?
* a>
?m 5
− ? *
m>
a>
m>5
a>
m>B
a>
m>?
a>
m>D
a>
x > 5x J 1S* x > 1S* x > 5S m> Qpx J \pS*
1
Solução
a>m 5 J
m
DQa> pa − Q a *
m
?
pb
*
= 15 = B
1!b > ? ' !b* b > 5 '
Uma outra (orma de comprovar 8ue esta # a (unção de demanda e a trav#s da resolução do problema de escolha Ntima.
\>
m
m
B. Fl-via tem a se+uinte (unção de utilidade U0a!b3 > a5 J 1! ab J ?b. $endo pa > 1e p b > 1! desenhe a curva de En+el para níveis de renda entre 5 e B.
Um+ >
m
=
m> \05px J pS3 B D
?0F3 5 B
5
− ? = DF
− ? =
?0B3 5 ?0?3 5 ?0 D3 5
− ? = ? − ? = 1F − ? = ?
curva de En+el
5P
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 4. 5emana 6ni/i"a#.
? 5
1 ? D B
p 5
x1
p1
$uponha 8ue um aluno de +raduação de ,ireito cuGo obGetivo # completar seu curso e conse+uir uma va+a de )rocurador )Lblico por interm#dio de um concurso não enviesado. Esse aluno avança em seu conhecimento! e! por conse89&ncia! na probabilidade de passar no concurso na medida em 8ue estuda em casa e assiste aulas de direito! em uma relação constante de 5 para 1. Faça +ra(icamente o caminho de expansão da renda 0horas disponíveis para estudo e aula3 e a curva de En+el para esse aluno! especi(icando as inclinaç7es. Solução
curva de renda consumo
Estudo B
m
Curva de En+el
p1
p1J x5 p5
p1
m>p5J x5 p5 m
p 5
x5> p5 − p5 x1 P.$uponha uma (unção utilidade " 0 x1 ! x5 3 = 0 x1 + 130 x5 + 13 . Encontre a taxa mar+inal de substituição dessa (unção e determine a 8uantidade a ser consumida de cada um dos bens. ,epois! encontre a curva de En+el e a curva de demanda para o bem 1. Esse bem # in(erior! necess-rio ou de luxoH
U0x1x53 > x1x5Jx1Jx5J1
5
m>x1 p1Jx5 p5
+ 1 p 1 Um+1 = x 1 p 5 Um+ 5 > 1 + * resolvendo (ica 8ue x5 > x5
1 5 ?
"ula
"ulas
Inclinação curva de En+el> 0paJ5pe3* E>5 " m > "pa J Epe* m > "pa J 5"pe* m > "0paJ5pe3 O. $uponha uma (unção utilidade "0 x1 ! x5 3 = ln x1 + x 5 . Encontre a curva de En+el e a curva de demanda para o bem 1. Solução
x1 >
p 5
Solução
D
Um+>
m>
1 x1
P 1 0 x1 P 5
+ 13
− 1
$ubstituindo x5 na restrição orçament-ria/ m > p1 x1 J p5 0 bem 1/ x1 >
P 1 0 x1
+ 13
P 5
m − p1 + p 5 5 p1
− 13! e operando! resulta a (unção de demanda para o
.
m
=
p1 p 5
m
Curva de En+el
Curva de En+el
p 5 p1
m>x1 p1Jx5 p5 ?
x1
∂ x1 " inclinação da curva de En+el #/ > ∂m
1 5 p1
. Como p1 # um valor positivo! a
inclinação # tamb#m positiva! lo+o se trata de um bem normal. " inclinação maior ou menor depende dos valores de p1. " inclinação da (unção de demanda #
∂ x1 − 1 − p5 > 5 5 ! e como p1 e p5 são ∂ p1 p1 5 p1
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 4. 5emana 6ni/i"a#. 15. )rove 8ue! em um conGunto de n bens! pelo menos um entre eles não poder- ser bem de Yi((en. Solução em de Yi((en # a8uele 8ue 8uando o preço diminui a demanda tamb#m diminui. $e todos os n bens (orem bens de Yi((en! 8uando o preço diminuir vai diminuir a demanda e o consumidor não encontraria bens onde +astar toda a sua renda na escolha Ntima. $endo assim! um dos n bens não pode ser bem de Yi((en para compor a demanda do consumidor 8ue não # (ormada pelo bem Yi((en.
valores positivos! a derivada # ne+ativa! lo+o são bens comuns 0não Yi((en3. 1?. $uponha um consumidor com a se+uinte (unção de demanda
x
= 1
m1 4 5 p
.
1. 8ue voc& entende por bem de Yi((enH "presente o caminho de expansão da renda e a curva preço consumo de um bem de Yi((en.
$endo o preço do bem i+ual a 1! pode'se a(irmar 8ue se trata de um bem de luxo. %erdadeiro ou (also. @usti(i8ue sua resposta.
Solução
Solução
em de Yi((en # um caso especial de bens in(eriores em 8ue variaç7es de preço levam a variaç7es de demanda na mesma diereção.
;o caso dos bens de luxo! 8uando a renda aumenta o consumo aumenta numa proporção maior 8ue a renda. )ara isto! observamos os valores da derivada/
x5
)ara )>1! a (unção de demanda (ica x = 1. m1 4 5 .
curva de renda consumo
Curva de preço consumo
)rimeira derivada
x1
x1
11. Em determinado país! a construção de piscinas pLblicas +erou um aumento de utiliação de piscinas para a população. Com isso se veri(icou um aumento na demanda dos calç7es de banho. )ode'se portanto a(irmar 8ue calç7es de banho e piscinas são bens substitutosH Solução
Falso! o aumento da 8uantidade de piscinas levou a um aumento da 8uantidade de calç7es de banho! o 8ue caracteria os bens como complementares. $e (ossem substitutos um aumentaria e outro diminuiria.
∂ x = ∂m
F m1 4 5
e se+unda derivada
F ∂ 5 x = − ? 4 5 # ne+ativa 5 ∂ m 5m
para 8ual8uer valor de m com m 6. Isto si+ni(ica 8ue as 8uantidades demandadas variam positivamente com a renda! mas a taxas decrescentes. "ssim! o incremento de renda levar- a um incremento das 8uantidades demandadas! sim! mas este aumento ser- proporcionalmente menor. 1D. ,esenhe o caminho de expansão e a curva de En+el para pre(er&ncias c[ncavas e homot#ticas. Solução
)re(er&ncias Xomot#ticas Q5 m renda'consumo x1
curva de En+el
x1
)re(er&ncias c[ncavas ?1
Q5
m
curva de En+el
∆m> ∆x1
Renda consumo
Q1
x1
1.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 4. 5emana 6ni/i"a#. 1. $obre a teoria da demanda podemos a(irmar 8ue/ a3 " curva de ," inversa mede o preço ao 8ual ser- demandada uma certa 8uantidade. b3 " (unção demanda por um bem de um consumidor! em +eral! depende apenas dos preços dos bens em 8uestão. c3 Um bem normal # a8uele para o 8ual a demanda aumenta 8uando o preço diminui. Um bem in(erior e a8uele para o 8ual a demanda aumenta 8uando a renda aumenta. d3 Um bem de Yi((en # a8uele para o 8ual a demanda aumenta 8uando seu preço diminui. e3 " curva de En+el # o +r-(ico da demanda por um dos bens como (unção do seu preço! com todos os demais preços mantidos constantes.
em in(erior # a8uele 8ue v& diminuir sua demanda 8uando a renda aumenta. em de Yi((en # um tipo especí(ico de bem in(erior! onde! por causa do e(eito renda 8ue tem lu+ar nas variaç7es de preços! uma diminuição dos preços levar- a diminuiç7es da demanda. $endo assim! todo bem de Yi((en # um bem in(erior! mas nem todo bem in(erior # um bem de Yi((en. Em 8ual8uer caso! os bens são in(eriores ou Yi((en de acordo com o comportamento do consumidor. Ex/ [nibus # um bem in(erior e não # um bem de Yi((en! 8uando o preço da passa+em diminui a demanda não diminui.
Solução
1B. ,etermine se dois bens são substitutos ou complementares para indivíduos com (unç7es utilidade " 0 x1 ! x 5 3 = x1 x 5 .
∆ x1
a3 %erdadeiro. b3 Falso. ,epende tamb#m da renda/ x1 > 0p1! p5! m3. c3 Falso. em normal/ a demanda pelo bem aumenta 8uando a renda aumenta.
∆ x1 m
em in(erior/ a demanda pelo bem diminui 8uando a renda aumenta. m
Solução
Um+ > x1 m
Q5> p 5
−
=
m
p1 p 5
p1 p 5
.x 1
x1>
p1
−
m
x5 > p 5
x1 x5
−
* x1> 5 p1 x5 x1
*
d3 Falso. em de Yi((en/ a demanda pelo bem diminui 8uando seu preço diminui. e3 Falso. Curva de En+el/ +r-(ico da demanda de um dos bens como (unção da renda! com os preços constantes.
0i3 m
.x 1
<
1O. $obre a teoria da demanda podemos a(irmar 8ue/
m
.x 5
>
x5> 5 p 5
" 8uantidade do bem 5 não depende do preço do bem 1 e vice'versa! sendo assim são bens independentes.
" demanda de um consumidor por um bem pode ser obtida simplesmente a partir de in(ormaç7es sobre suas pre(er&ncias pelos bens existentes e a partir de sua restrição orçament-ria. 0ii3 ,ois bens são substitutos 8uando uma redução no preço de um deles ocasiona uma maGoração na 8uantidade demandada do outro. Solução
0i3
Correta. $empre 8ue as hipNteses relativas ao comportamento maximiador (orem cumpridas. ?5
0ii3
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 4. 5emana 6ni/i"a#. 0b3 s dois bens são normais ou in(erioresH
Errada. ,ois bem são substitutos 8uando a demanda de um dos bens subir 8uando o preço do outro aumentar.
∆ x1 p5
Solução
≥
0a3
uma trans(ormação monot[nica = x + ( ! 8ue # uma (unção de bens substitutos. Errado. " curva de En+el ser- uma linha reta somente em casos de pre(er&ncias homot#ticas a cesta demandada aumentar- ou diminuir- na mesma proporção do aumento4diminuição da renda! ou seGa! se duplicarmos a renda duplicaremos tamb#m a demanda de cada bem! o 8ue implica 8ue as curvas de En+el seGam tamb#m linhas retas. Um bem poder ser normal e não necessariamente apresentar uma linha reta como curva de En+el! exemplo bem de luxo 0sua demanda aumenta 8uando a renda aumenta! mais o aumento na 8uantidade demandada # maior proporcionalmente do 8ue o aumento da renda3. Errado. Convexidade/ diversi(icação se consome os dois bens Guntos. Correto. Correto. em de Yi((en/ 8uando o preço do bem diminui a 8uantidade demandada por ele tamb#m diminui. de
0b3
0c3 0d3 0e3
" 0 x! ( 3
=
x
+ ( =
0 x
+
013 +1 = x + 5
U)*x
(
U)*(
Escolha Ntima/ T)1 ( =
=
p x ( + 1 * p ( x + 5
=
p x ( x + 5) − p ( p (
p x p (
* p ( ( ( + 1)
= p x ( x + 5) * p ( ( + p ( = p x ( x + 5) *
053
$ubstituindo 053 em 013/
p x ( x + 5) − p ( = m p ( p x x + p x ( x + 5) − p ( = m p x x + p x x + 5 p x − p ( = m 5 p x x + 5 p x = m + p ( m + p ( − 5 p x x = p x x + p (
Solução
Correto.
=
T)1
1P. $obre a teoria do consumidor pode se dier 8ue/ 0a3 )ara um indivíduo com (unção de utilidade u0x!S3> x + ( ! os dois bens são substitutos. 0b3 " curva de En+el de um bem normal # sempre uma linha reta. 0c3 $e as curvas de indi(erença (ossem convexas em relação a ori+em! o consumidor compraria apenas uns dos dois bens. 0d3 "s Curvas de En+el descrevem a relação entre a 8uantidade consumida de uma mercadoria e a renda dos consumidores. 0e3 Um caso pouco comum mas interessante # a8uele onde a 8uantidade demandada varia na mesma direção da variação do preço 0bem de Yi((en3. Isto ocasiona uma inclinação crescente e depois decrescente na curva de demanda individual.
0a3
R./ pxx JpSS >m
( 31 4 5 #
30 x! ( 3
5 p x
∆ x = ∆ p (
1 5 p x
>
s dois bens são substitutos! visto 8ue 8uando pS aumenta x tamb#m aumenta . 0b3
∆ x = ∆m
1 5 p x
> → x # um bem normal! a demanda por x varia no mesmo
sentido da renda! 8uando a renda aumenta a 8uantidade demandada por x tamb#m aumenta.
5. " (unção de utilidade de um consumidor # " 0 x! ( 3 = x( + x + 5 ( . $abendo'se 8ue px e pS são os preços dos bens 1 e 5 respectivamente! ambos positivos! per+unta' se/ 0a3 s dois bens são complementares ou substitutosH ??
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 4. 5emana 6ni/i"a#.
(
=
m + p ( − 5 p x + 5 − p ( 5 p x
p x
p (
m + p ( + 5 p x − p ( 5 ( = p (
(
=
m + p (
+ 5 p x − 5 p ( p (
∆ ( 1 = > → S # um bem normal. ∆m p (
?D
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa. CAPITULO 5' PREFERÊNCIA RE(ELADA
"
C
013
O
1. $uponha 8ue a cesta 0x1! x53 tenha sido escolhida com preços 0p1! p53 e renda
053
BO
B
m! sendo p1 x1 + p 5 x5 ≥ p1 (1 + p5 ( 5 . $uponha ainda 8ue a cesta 0S1! S53 tenha sido escolhida 8uando os preços eram 081!853! sendo
0?3
B?
B
B
-1 8 1
+ - 5 8 5 ≤ -1 (1 + - 5 ( 5 ! mas
p1 x1
+ p 5 x5 < p1 8 1 + p 5 8 5 . )elo
axioma (raco da pre(er&ncia revelada pode'se a(irmar 8ue a cesta 0x1! x53 (oi revelada pre(erível : cesta 01! 53. %erdadeiro ou (also. @ usti(i8ue sua resposta.
Mar8ue % ou F! Gusti(icando sua resposta/ a3 T" # diretamente revelada como pre(erida : TC. b3 T" # diretamente revelada como pre(erida : T. c3 " cesta T" # a melhor de todas.
Solução
d3 T e TC nunca devem ser compradas.
Falso. Com as in(ormaç7es acima! temos 8ue 0x1!x53 # diretamente revelada como pre(erida : 0S 1!S53! e 0S1!S53 # diretamente revelada como pre(erida : 0 1!53. o+o! a cesta 0x1!x53 # indiretamente revelada como pre(erida : cesta 01!53. "xioma Fraco se re(ere apenas :s cestas diretamente reveladas como pre(eridas. $omente o princípio da transitividade! considerado pelo "xioma Forte da )re(er&ncia Revelada! nos +arante 8ue 0x1!x53 # 0indiretamente3 revelada como pre(erida : 0 1!53.
e3 ,e acordo com a tabela! duas cestas são diretamente reveladas como pre(eridas e uma # indiretamente revelada como pre(erida. (3 Caso o consumidor (i8ue rico! ao sistema de preços tal 8ue a cesta TC seGa a mais cara! ele deveria comprar esta cesta. Solução
013 " * 053 C e " C* 0?3 as cestas não podem ser comparadas.
•Q •\ • f 5. Considerando as se+uintes in(ormaç7es/ Kuando o sistema 013 de preços vi+ora! a cesta T" # escolhida* Kuando o sistema 053 de preços vi+ora! a cesta T # escolhida* Kuando o sistema 0?3 de preços vi+ora! a cesta TC # escolhida. E considerando a tabela abaixo onde constam as rendas necess-rias para comprar cada cesta!
a3 F 08uando a cesta T" (oi escolhida! TC não estava disponível3. b3 % 08uando T" (oi escolhida! T poderia ter sido escolhida3. c3 F 0sN podemos dier 8ue ela # pre(erível! não melhor3. d3 Falso. "penas se a cesta T" tamb#m estiver disponível. ,ependendo do orçamento e dos preços! elas podem ser escolhidas! sempre 8ue a cesta " não esteGa disponível3. e3 %erdadeiro. T" # diretamente revelada pre(erida : T! T # diretamente revelada pre(. : TC e T" # indiretamente revelada pre(erida : TC. (3 Falso. Como visto no item acima! a cesta T" (oi indiretamente revelada como pre(erida : cesta TC. "ssim! 8uando ambas estiverem disponíveis! a cesta T" dever- ser a cesta escolhida. $endo a cesta TC a mais cara de todas! as tr&s cestas estarão disponíveis! lo+o T" dever- ser ad8uirida3. ?. Kuando os preços são 0p1*p53 > 0?*3! um consumidor demanda 0Q 1*Q53 > 01*53. Kuando os preços são 081*853 > 0*?3! este mesmo consumidor demanda ?
0\1*\53 > 05*13. Esse comportamento # consistente com o modelo de comportamento maximiadorH )or 8ueH Solução
Kuando 0x1!x53 # escolhida! ou seGa! com os preços 0)1! )53! temos/ )1Q1J)5Q5 > ?1 J 5 > 1D )1\1J)5\5 > ?5 J 1 > 1? Então a cesta 0x1!x53 # diretamente revelada pre(erida : cesta 0S1!S53! dado 8ue Q (oi escolhida 8uando as duas cestas estavam disponíveis.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa. B. ,ado tr&s cestas de bens e serviços Q→! \→ e f→. Um consumidor racional poderia +astar sua renda Tm! revelando Q→ 6\→! \→ 6f → e f→ 6Q → H Ilustre em um +r-(ico com dois bens. Solução
;ão. ;ão h- nenhuma curva de indi(erença 8ue passe por f 8ue seGa superior a a8uela 8ue passa por Q! para 8ual8uer conGunto de preços. E se houver! ela cortaria :s CI anteriores! rompendo hipNteses sobre o comportamento maximiador expresso a trav#s de CI. em 1
Kuando 0S1!S53 # escolhida! ou seGa! com os preços 0K1! K53! temos/ K1Q1JK5Q5 > 1 J ?5 > 1? K1\1JK5\5 > 5 J ?1 > 1D Então a cesta \ (oi escolhida 8uando Q estava disponível! lo+o 0S 1!S53 # diretamente revelada como pre(erível : 0x 1!x53. Esse comportamento não pode ser consistente com o modelo de comportamento maximiador. Ele não obedece ao "Fr)R.
Q \
D. Kuais das relaç7es abaixo podem ser utiliadas apenas para indicar 8ue a cesta Q→ # diretamente revelada como pre(erida : cesta \→ H i3 )→ \→ > )→ Q → ii3 )→ Q→ g )→ \→
iii3 )→ \→ 6 )→ Q→ iv3 )→ \→ 2 )→ Q→
Solução
)→\→ > ) →Q → 0(racamente pre(erida3* )→Q→ g )→\→ e )→Q→
)→\→ 2
. "dmita a+ora 8ue existe uma outra cesta f→ > 0 1 ! 5 ! ? ! . . . ! n 3! 8ue por sua ve possa ser diretamente revelada como pre(erida : \ → > 0 S1 ! S5 ! S? ! . . . ! Sn 3. ;este caso! pode'se estabelecer al+uma relação entre as cestas Q→ e f→ H Solução
$im. )elo princípio da transitividade! se Q # diretamente revelada como pre(erida : \ e \ # diretamente revelada como pre(erida : \! Q est- sendo indiretamente revelada como pre(erida : cesta f.
f em 5 . Considere Q e \ como representaç7es das 8uantidades de dois bens 8ue estão na cesta de pre(er&ncias de um consumidor individual. Kual dos +r-(icos abaixo pode ser utiliado para explicar o "xioma Fraco da )re(er&ncia ReveladaH "dmita 8ue os pontos T" e T representem cestas 8ue tenham sido diretamente reveladas como pre(eridas :s demais cestas disponíveis. \
\
"
"
Yra(. 1
C Q
Q ?B
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa. Solução
+r-(ico 1 permite comparar cestas! revelando comportamento não maximiador. +r-(ico 5 permite comparar cestas revelando o cumprimento do "FR)R. O. %"RI";. Kuando os preços são 0p1!p53 > 01!53! um consumidor demanda 0x1!x53 > 01!53. Kuando os preços são 08 1!853 > 05!13! o consumidor demanda 0S 1!S53 > 05!13. Esse comportamento # consistente com o modelo de comportamento maximiadorH )or 8ueH Solução
Kuando 0x1!x53 # escolhida! temos/ )1Q1J)5Q5 > )1\1J)5\5 > D Então a cesta 0x1!x53 # diretamente revelada pre(erida : cesta 0S1!S53! dado 8ue Q (oi escolhida 8uando as duas cestas estavam disponíveis.
Kuando 0S1!S53 # escolhida! temos/ K1Q1JK5Q5 > K1\1JK5\5 > D Então a cesta \ (oi escolhida 8uando Q não estava disponível. Esse comportamento # coerente com o modelo de comportamento maximiador! embora não # possível tirar conclus7es sobre )R pela impossibilidade de comparar cestas. 1. %"RI";. ;o exercício anterior! 8ual cesta # pre(erida pelo consumidor! a cesta Q ou a cesta \H Solução
;ão podemos saber. "s observaç7es não permitem comparaç7es entre as cestas! pois no momento 8ue uma era escolhida! a outra não estava disponível.
Kuando 0S1!S53 # escolhida! temos/ K1Q1JK5Q5 > D K1\1JK5\5 > Então a cesta \ (oi escolhida 8uando Q estava disponível! lo+o 0S 1!S53 # diretamente revelada como pre(erível : 0x 1!x53.
11. %"RI";. %imos 8ue o aGustamento da )revid&ncia $ocial para as variaç7es de preços tipicamente (ariam com 8ue os bene(ici-rios (icassem pelo menos tão bem 8uanto estavam no ano'base. Kue tipo de variaç7es de preços deixaria os bene(ici-rios exatamente na mesma situação! independentemente de suas pre(er&nciasH
Esse comportamento não pode ser consistente com o modelo de comportamento maximiador. Ele viola o "Fr)R.
Solução
P. %"RI";. Kuando os preços são 0p1!p53 > 05!13! um consumidor demanda 0x1!x53 > 01!53. Kuando os preços são 08 1!853 > 01!53! o consumidor demanda 0S 1!S53 > 05!13. Esse comportamento # consistente com o modelo de comportamento maximiadorH )or 8ueH
%ariaç7es nos preços onde os preços relativos do período atual coincidam 0ou seGam proporcionais3 com os preços do período base da indexação. 15. %"RI";. ;o mesmo contexto da 8uestão anterior! 8ue tipo de pre(er&ncias deixaria o consumidor exatamente como no ano'base! para todas as variaç7es de preçosH
Solução
Solução
Kuando 0x1! x53 # escolhida! temos/ )1Q1J)5Q5 > D )1\1J)5\5 > Então a cesta 0x1!x53! mas a cesta 0S1!S53 não estava disponível.
)re(er&ncias aplicadas : bens complementares per(eitos! pois para 8ual8uer nível de preços relativos! ou seGa! para 8ual8uer inclinação da restrição orçament-ria! o consumidor não ir- alterar seu nível de satis(ação.
?
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa. b3 $im. "s cestas " e são reveladas como pre(eridas :s cestas C! , e E. Kuando " # escolhida! não est- disponível e! 8uando # escolhida! " não estdisponível. " cesta C # revelada como pre(erida :s cestas , e E! mas 8uando C # escolhida! " e não estão disponíveis e! 8uando , e E são escolhidas! C não estdisponível. Kuando , ou E são escolhidas! nenhuma outra cesta est- disponível. Então esse comportamento # consistente com o "Fr)R.
em 1
em 5 1?. $e+ue abaixo a tabela de preços e demandas de um consumidor cuGo comportamento (oi observado em cinco di(erentes situaç7es/ $ituação " C , E
p1 1 1 1 ? 1
p5 1 5 1 1 5
x1 ? 1 1
x5 ? 1 1 1 1
a3
a3
1D. $uponha 8ue @oSce e Ricardo +astem cada um A5D por semana com entretenimentos de vídeo e cinema. Kuando os preços de vídeo e cinema estão em AD! @oSce e Ricardo alu+am ambos ? vídeos e compram cada um ? entradas de cinema. "pNs al+um tempo! o preço do vídeo cai para A5 e a entrada de cinema sobe para AB. @oSce passa então a alu+ar seis vídeos e comprar duas entradas de cinema por semana. Ricardo! entretanto! passa a comprar uma entrada de cinema e alu+ar nove vídeos por semana. a3 @oSce estaria em uma situação pior ou melhor apNs a modi(icação nos preços H b3 Ricardo estaria em uma situação pior ou melhor apNs a modi(icação nos preços H Solução6
P*78o9o T T&1 T T&1
P: 4 5 4 5
P; 4 2 4 2
: 3 2 3 1
; 3 5 3 >
-
Kuando 0ct! vt3 # escolhida! ou seGa! com os preços 0p ct! pvt3! temos/ pct ct J pvt vt > D'? J D? > 5D pct ctJ1 J pvt vtJ1 > D'5 J DB > ?5 " cesta 0ct! vt3 (oi escolhida 8uando 0ctJ1! vtJ13 não estava disponível. Kuando 0ctJ1! vtJ13 # escolhida! ou seGa! com os preços 0pctJ1! pvtJ13! temos/ pctJ1 ctJ1 J pvtJ1 vtJ1 > B5 J5B > 5D pctJ1 ct J pvtJ1 vt > B? J5? > 5D Então a cesta 0c tJ1! v tJ13 0c t! v t3 # diretamente revelada pre(erida : cesta 0c t! v t3! dado 8ue 0ctJ1! vtJ13 (oi escolhida 8uando as duas cestas estavam disponíveis. a3 @oSce estaria numa situação melhor. Com a mudança de preços! ela se situa numa curva de indi(erença mais deslocada : direita. ?O
'
R=:79o6
Kuando 0ct! vt3 # escolhida! ou seGa! com os preços 0pct! pvt3! temos/ pct ct J pvt vt > D'? J D? > 5D pct ctJ1 J pvt vtJ1 > D'1J DP > D " cesta 0ct! vt3 (oi escolhida 8uando 0ctJ1! vtJ13 não estava disponível. Kuando 0ctJ1! vtJ13 # escolhida! ou seGa! com os preços 0pctJ1! pvtJ13! temos/ pctJ1 ctJ1 J pvtJ1 vtJ1 > B1 J5P > 5D pctJ1 ct J pvtJ1 vt > B? J5? > 5D Então a cesta 0ctJ1! vtJ13 0ct! vt3 # diretamente revelada pre(erida : cesta 0ct! vt3! dado 8ue 0ctJ1! vtJ13 (oi escolhida 8uando as duas cestas estavam disponíveis. b3 mesmo ocorre com Ricardo.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa. a3 Kuando a cesta Q # escolhida! ele +asta ) Q=>1DJ?5>1 para sua a8uisição. ;o mesmo momento! a cesta Q1 custaria )Q1=>1?J?1>B. "ssim! dado 8ue Q1 tamb#m estava disponível! podemos concluir 8ue Q (oi revelada como pre(erida a Q1. )or#m! 8uando ele escolhe a cesta Q1! ele +asta )1Q1=>??J1>1D e o custo da cesta Q seria de )1Q=>?DJ5>55. o+o! ele não viola o "FR)R! mas nada pode se dier sobre suas pre(er&ncias. b3 $e+uindo o mesmo raciocínio do item anterior! 8uando Q # escolhida! )Q>11JB> D e )Q1>1OJBD>?5! lo+o ele revela 8ue Q Q1! dado 8ue ambas poderiam ter sido compradas. Kuando ele ad8uiriu a cesta Q1! )1Q1=>?OJD>DD e )1Q=>?1J>! lo+o a cesta ad8uirida antes não estava disponível. "ssim! ele não viola o "FR)R! mas nada pode se dier sobre suas pre(er&ncias. c3 Kuando a cesta Q (oi comprada! )Q>1?J51> e )Q1>11J55>! ou seGa! ambas estavam disponíveis. "ssim! o consumidor nos revelou 8ue Q Q1. ;o momento 1! )1Q>5?J51>O e )1Q1>51J55>B! e mais uma ve a cesta Q não estava disponível 8uando Q 1 # escolhida! assim não podemos a(irmar 8ue o consumidor viole o "FR)R! mas nada pode se dier sobre suas pre(er&ncias
1.
0@ehle e )enS3 consumidor compra cestas xi aos preços pi! i > !1. Em cada um dos casos abaixo! veri(i8ue se as escolhas realiadas satis(aem o "xioma Fraco da )re(er&ncia Revelada. a3 p > 01!?3! x > 0D!53* p1 > 0?!3! x1 > 0?!13 b3 p > 01!B3! x > 01!3* p1 > 0?!3! x1 > 0O!D3 c3 p > 01!53! x > 0?!13* p1 > 05!53! x1 > 01!53 d3 p > 05!B3! x > 05!13* p1 > 0?!3! x1 > 01O!D3
Solução
d3 ;o momento ! )Q>55JB1>1 e )Q1> 51OJBD>B! portanto ambas as cestas estão disponíveis e podemos concluir 8ue Q Q1! dado 8ue ele poderia ter ad8uirido a cesta Q1! mas não o (e. @- no momento 1! ele +astou )1Q1>?1OJD>D para ad8uirir a cesta Q1 e a cesta Q teria custado )1Q>?5J1>11. Mais uma ve apenas a cesta Q1 estava disponível! lo+o não h- violação do "xioma Fraco da )re(er&ncia Revelada! mas nada pode se dier sobre suas pre(er&ncias. 1B. 0@ehle e )enS3 consumidor compra cestas xi aos preços pi! i > !1!5 ! onde/ 15 F 1 1 1 5R 1 1 5 5 p = 1 x = 1P p = 1 x = 15 p = 5 x = 11 55 P 1 5 1 5 a3
Mostre 8ue esses dados satis(aem o "xioma Fraco da )re(er&ncia Revelada. b3 "che a intransitividade nas pre(er&ncias reveladas. Solução
?P
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa.
1 5
preços
cestas
1 1 5 1 1 1 1 5 1
P 1 15 15 55 5 11 5
%alor das Cestas C C1 C5 DO BO D5 ?1 DB D D O 1
a3 "s escolhas (oram xi ao )i! ou seGa! em ) 1 escolheu Q1! em )5 escolheu Q5 e em )? escolheu Q?. C C5 * C1 C * C1 C5* C5 C . b3 Intrasitividade/ $e C5 C e C1
C !
então C1
C!
lo+o h- transitividade.
1. ";)EC PD. "trav#s da observação direta veri(icou'se 8ue um consumidor (e as se+uintes escolhas/ 0i3 Kuando os preços 0p1!p53 prevaleciam! o consumidor escolhia a cesta x1. 0ii3 Kuando os preços 081!853 prevaleciam! o consumidor escolhia a cesta x5. "s retas orçament-rias " e C, embutem os preços 8ue prevaleciam nas situaç7es 0i3 e 0ii3! respectivamente. $obre o comportamento observado podemos dier 8ue/ a3 )or não ter acesso : (unção de utilidade do consumidor! nada se pode a(irmar sobre a consist&ncia das escolhas (eitas. b3 )ode'se a(irmar 8ue o consumidor teria (eito escolhas consistentes se as curvas de indi(erença (ossem c[ncavas em relação : ori+em. c3 $abe'se 8ue o custo da cesta x5 aos preços 0p1!p53 # maior 8ue o custo da mesma cesta aos preços 081!853. d3 Uma situação como esta não # usual posto 8ue as linhas orçament-rias! em +eral! não se cruam.
d3 Falso. ;ão h- nada 8ue impeça 8ue as linhas orçament-rias se cruarem! ao contr-rio das curvas de indi(erença. 1O. ";)EC PD.
Como o comit& considera as alternativas duas a duas! suas escolhas são/ 6"! "6C e C6.
"
a3 %erdadeiro. possível compar-'las duas a duas. b3 %erdadeiro. "6 e C6! então "6! mas de acordo com a escolha 6" c3 Falso. )ois não respeita a transitividade! violando o "F)R. d3 %erdadeiro. $e 6" e C6! então "2! e por tanto "22C! tal e como (oi a escolha do comit&.
x5 x1
Solução
b3 Falso. $e as pre(er&ncias (ossem c[ncavas! teríamos soluç7es de canto! dado 8ue estas são as cestas maximiadoras. c3 Falso. ;ão se pode saber. Embora aos preços 08 1! 8 53! a cesta Q5 esteGa dentro de seu conGunto orçament-rio e aos preços 0p 1! p53 esteGa sobre o conGunto orçament-rio! o valor do orçamento # relativo aos preços vi+entes.
Solução
em 5
C
a3 Falso. ;ão # necess-ria a (unção de utilidade do consumidor para in(erirmos a respeito da escolha do consumidor. )elo +r-(ico! claramente ele viola o "(r)r! ou seGa! suas pre(er&ncias são inconsistentes com o comportamento de um consumidor maximiador.
,
em 1 D
1P. " tabela abaixo apresenta os preços em 1O?! 1O! 1OP e 1P1? para cereais! cereais! carne! leite e batatas na $u#cia! coletados por Yunnar MSrdal da Universidade de Estocolmo. Estas 8uatro mercadorias representaram 54? do orçamento sueco para alimentação.
Cereais Carne eite 0l3 atatas
)reço em + 4 coroa 1O? 1O !1D !1D !5O !?D ! !O !?5 !DD
1OP !1B !BB !1 !1
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa. Solução
Cereais carne leite batatas
1P1? ! 1 P ! O !1 ? ! B D
Cereais carne leite batatas
" tabela abaixo apresenta as cestas de consumo típicas da classe trabalhadora em 1O e 1OP. Kuantidades em + por ano 1O 1O 1OP Cereais 1B 55 Carne 55 D5 eite 0l4a3 15 1O atatas 5 5
Cereais carne leite batatas
a3 Complete a tabela abaixo! 8ue relata o custo anual das cestas de 1O e 1OP aos v-rios preços dos anos considerados. Custo Custo a )reços de 1O? Custo a )reços de 1O Custo a )reços de 1OP Custos a )reço de 1P1?
Cesta de 1O DD!1
Cesta de 1OP B1!B
b3 " cesta de 1OP # pre(erida : cesta de 1OH )or 8ueH c3 Calcule o índice de 8uantidade de aspeSres da cesta de consumo de 1OP! considerando o ano de 1O como base. d3 Idem para o índice de 8uantidade de )aasche e3 Calcule o índice de preços aspeSres para 1OP! considerando o ano base de 1O.
)reços 1 O ? !1D !5O ! !?5
a3
1 O !1D !?D !O !DD
1 O P !1B !BB !1 !1
1 P 1? !1P !O !1? !BD
%alor da cesta 1O aos preços de 1O ? 1 O 1 OP 5?!1 5?!1 5B!D B!1B !DO 1D!5 O!D P!B 15 B!D O!O 1!5 DD!1 DP! B?!1 %alor da cesta 1OP aos preços de 1O ? 1 O 1 OP ?!O ?!O ?!5 11!B 1D!5O 5!5 15!B 1D!D 1O B!D O!O 1!5 B1!B BO!? P1!1
Kuantidades 1 O 1 OP 1 B 5 5 55 D5 1 5 1O 5 5
1 P1 ? ?1!? 1O! 1!B 15!O O! 1 P1 ? D1!O ?! 5?!D 15!O 11?!
$umatNrios ou valores a+re+ados das cestas Custo )reço 1O? )reço 1O )reço 1OP )reço 1P1?
Cesta de 1O DD!1 DO!PO B?!15 O!D
Cesta de 1OP B1!B BO!? P1!1 11?!
b3 " cesta de 1OP # melhor por8ue aos mesmos preços 0independentemente de 8ual seGa o ano escolhido3 tem um valor maior! ou seGa! em 1OP poderia ter sido escolhida a cesta de 1O. Mas a escolhida (oi a de 1OP.
D1
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa. c3 M > )tKt 4 )bKb > B 4 D > 1!D d3 p > )tKb 4 )bKb > DDO 4 D > 1!5 e3 )8 > )tKt 4 )tKb > B 4 DDO > 1!5 (3 $endo )8 6 1 e )tKt6)tKb! então ele poderia ter escolhido a mesma cesta do período base! mas não escolheu! lo+o! ele est- numa situação melhor no período atual.
c3
d3
51. Consid Considere ere a matri matri de 8uanti 8uantidad dades es e preços preços observad observados os em dois dois períod períodos os consecutivos para uma cesta de mercadorias compostas nos se+uintes itens/
e3
)ERj, )ERj, I;ICI" I;ICI"
5. Considere as se+uintes observaç7es observaç7es (eitas em dois períodos consecutivos consecutivos sobre o comportamento de um indivíduo 8ue +asta sua renda com uma cesta de mercadorias/ ,espesa 8ue teve no período inicial ,espesa 8ue teve no período (inal ,espesa ,espesa 8ue teria com com as 8uantid 8uantidades ades inicia iniciais is aos preços preços (inais (inais ,espesa ,espesa 8ue teria com com as 8uantid 8uantidades ades (inais (inais aos preços preços iniciai iniciaiss
A D ! A B ! A DDO! DDO! A B! B!
a3 Kual o índice de preços de )aascheH b3 Kual o índice de 8uantidades de aspeSresH aspeSresH c3 Kual o índice de variação nominal da despesa do consumidorH d3 Kual o índice de preços de aspeSresH e3 Kual o índice de 8uantidades de )aascheH (3 8ue se pode dier sobre o nível de bem'estar do indivíduo de um período para outroH 0expli8ue em um +r-(ico com curvas de indi(erença e o índice de 8uantum de )aasche 3 Solução
)b x Kb > D. )t x Kt > .B )t x Kb > D.DO )b x Kt > .B a3 )p > )tKt 4 )bKt > B 4 B > 1 b3 8 > )bKt 4 )bKb > B 4 D > 1!D
ens e serviços "limentação
a3 b3 c3 d3 e3 (3
)o 5! ! ?! D! 5! 1!
Ko 1! D! 5! ?! ?! 1!
)ERj )ERj, , FI;" FI;" )t 5! D! D! ! 5! 5!
Kt O! B! 1! 5! ?! 1!
Kual Kual o índice índice de de preços preços de de )aasch )aascheH eH Kual o índice de 8uantidades de aspeSresH aspeSresH Kual o índice índice de variaçã variaçãoo nominal nominal da despesa despesa do consumid consumidorH orH Kual o índice índice de preços preços de de aspeS aspeSresH resH Kual o índice índice de 8uantid 8uantidades ades de )aasche )aascheHH 8ue se pode dier dier sobre sobre o nível nível de bem'esta bem'estarr dos indivíd indivíduos uos de um período para outroH 0expli8ue em um +r-(ico com curvas de indi(erença e o índice de 8uantidades de aspeSres3.
Solução
kp8 > kp81 > kp18 > kp181 >
B! ! 5! 5!
a3 )p > 5 4 ! > 1!5 b3 8 > ! 4 B > 1!B c3 M > 5 4 B > 1! D5
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 7. Preferência Re/e#aa.
d3 p > 5! 4 B > 1!O e3 )8 > 5 4 5! > !PP (3 ;o período base! a cesta consumida tinha valor in(erior : do período atual! ou seGa! a cesta do período atual não estava disponível. ,esse modo! não podemos a(irmar nada sobre o nível de bem'estar dos indivíduos de um período para o outro! dado 8ue as cestas não são compar-veis.
IK > B!
∑ ∑
P .t
P .o
> 1!B*
∑
P .t
6
∑
P .t
* ou seGa seGa!! ! ! 6
• Kt 0valor da cesta > !3 • Ko 0valor da cesta > B!3
) ou preços do ano base
D?
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os :e ;. Tecno#o*ia e )aximi8ação e #"cros CAPITULOS ? E @ TECNOLOIA E MABIMIAÇÃO DE LUCRO
01−α 3 L
α
)roduto m#dio do (ator > A<
<
1. ,i+a como se comportam o (ormato e a posição das curvas de iso8uantas envolvendo dois (atores nas se+uintes situaç7es/ a3 (atores per(eitamente substitutos* b3 (atores combinados em proporç7es (ixas! dado o estado da t#cnica* c3 exist&ncia de retornas constantes! crescentes ou decrescentes de escala. Solução
a3 (0x1!x53 > x1Jx5 b3 (0x1!x53 > Min_ x1!x5` c3 retornos constantes* a J b > 1 5(0x1!x53>(05x1!5x53 Retornos crescentes>aJb61 t(0x1!x532 (0tx1!tx53 Retornos decrescentes>aJb21 t(0x1!x536 (0tx1!tx53
x5 ? 5 5
x5
?
x1 x1
L
Solução
J1' > 1! lo+o trata'se de (unção de produção com rendimentos constantes de escala. )MY^ >"01'α3 '1 )MY>" 01'31''1 > " 01'3' )MY^ / como '12! o valor de '1 est- no denominador. "ssim! 8uando aumenta! seu produto mar+inal decresce 0mantendo constante 3. )MY/ como 2 ! o valor de (ica no denominador. )or tanto! 8uando aumenta! seu produto mar+inal decresce 0mantendo constante 3.
= A< α L−α
;ovamente! observa'se pelo sinal do α associado a e nos seus produtos m#dios! 8ue 8uando estes aumentam! tanto como decresce. Uma outra (orma de demonstrar isto # calculando as suas derivadas 0se+unda ordem para produto mar+inal e derivada do produto m#dio3 8ue deverão ser ne+ativas. ?.
a3 )m+1>
1 5 x1
1
.x 5D
S > 1 > x1145. x514D 5. ,etermine o produto mar+inal e o produto m#dio da (unção \ > " α01'α3 conhecida como (unção Cobb',ou+las! sendo 2 α 2 1. ,emonstre 8ue as (unç7es associadas aos mesmos são decrescentes.
01−α 3 L
α
)roduto m#dio do (ator > A<
= A< α −1 L01−α 3
x5 >
1 5
x1
x5 1
14D
1 5 x1 )ara valores especí(icos de x1 são obtidos os valores de x5. Experimente. b3 )MY1 > 5 S > 1 > 5x1Jx5 x1>' x545 para x1> x5 > x1> x5 >1 x1>1 x1>5
x5 > O x5 > B
x5 1 O B
DD
1 5 x1 c3 produto mar+inal do (ator 1 (ator # ero! dado 8ue 8ual8uer aumento da 8uantidade de (ator 1 não levaria a incrementos de produção se o outro (ator permanecer constante. x5 D \0x1*x53 > Min_x1!5x5` \0*D3 > Min_*O`> 5! \01*5!3 > Min_1*`> \0*5!3 > Min_*`> 1 x1 D. "(irme se # verdadeiro ou (also! Gusti(icando sua resposta. ;a (unção de produção 14 5 5 4 ? ( = x1 x5 / a3 o (ator 1 tem produto mar+inal decrescente* b3 o (ator 5 tem produto mar+inal crescente* c3 os retornos de escala são decrescentes.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os :e ;. Tecno#o*ia e )aximi8ação e #"cros 5
( 5
x1
> 054?3. 0'14?3 0x53
'D4? .
0x13145 2 para 8ual8uer valor de x16! o 8ue
demonstra 8ue o )MY do (ator 5 # decrescente. c3 Falso. 1 5
+
5 ?
=
R B
61 a soma dos coe(icientes # maior do 8ue 1! por tanto! a (irma opera
com rendimentos crescentes a escala. . " (unção de produção ( = x1a x5+ ! sendo a e b6! tem 8ue produtos mar+inaisH ,etermine a taxa mar+inal de substituição t#cnicaH Em al+um momento o produto mar+inal de al+um dos (atores se torna ne+ativoH )ara 8ue valores de a e b a (unção de produção ter- retornos constantes de escalaH )rove 8ue as iso8uantas dela provenientes são convexas em relação : ori+em. Solução
Solução
)m+1>ax1a'1x5 b )m+5>bx1ax5 b'1
a3 %erdadeiro. )MY 1 >
1 5
0 x1 3 −1 4 5 . x 5
54?
> para 8ual8uer valor de x16
" condição de se+unda ordem de convexidade # 8ue a derivada se+unda 0do produto mar+inal3 deve ser 2 . 5 ( 5 x1
ax 1a '1 x b5
=
ax 5
. produto mar+inal de x 1 se torna ne+ativo 8uando a2 bx 1 bx x ou b2! o 8ue não pode acontecer nunca por8ue são parWmetros positivos. a 1
b −1 5
)ara a J b > 1 a (unção ter- retornos constantes de escala. > 03. 0'1453 0x13 '?45 0x 5354?2 para 8ual8uer valor de x16! o 8ue demonstra
8ue o )MY do (ator 1 # decrescente. b3 Falso. )MY 5 >
5 ?
0 x5 3 −1 4 ? .0 x1 31 4 5
> para 8ual8uer valor de x16
" condição de se+unda ordem de convexidade # 8ue a derivada se+unda 0do produto mar+inal3 deve ser 2
] medida 8ue aumentamos a 8uantidade do (ator 1 e aGustamos o (ator 5 para permanecermos na mesma iso8uanta! a taxa mar+inal de substituição t#cnica diminui! ou seGa! a diminuição da
D
B. )ara uma (irma com uma (unção de produção K0x!S3 > x J S! os dois (atores x e S são substitutos per(eitos H )or 8ueH Solução
$im! pois a 8uantidade total produida depende apenas da soma entre x e S. Mantendo constante o produto! se altero um (ator tenho 8ue alterar o outro numa proporção constante! 8ue neste caso # 1 . . Kue ra7es podem ser alinhadas para explicar 8ue! no lon+o prao! os rendimentos de escala não seriam constantesH Solução
' s rendimentos não seriam constantes no caso em 8ue uma empresa tornar'se tão +rande 8ue não poderia operar de maneira e(etiva! isso si+ni(ica dier 8ue a empresa não tem rendimentos constantes de escala em todos os níveis de produção! dado 8ue! devido a problemas de coordenação! ela pode entrar numa re+ião de rendimentos decrescentes de escala* ' a empresa poderia tornar'se tão +rande 8ue dominaria totalmente o mercado de seu produto e pararia de a+ir competitivamente* ' na verdade as (irmas sN podem obter retornos constantes de escala no lon+o prao. $e a (irma obtiver rendimentos a escala para uma tecnolo+ia dada! esta seria imitada! a produção da indLstria iria aumentar o 8ue levaria a uma redução de lucros 8ue acabaria com os lucros. " ∝ x1 b . 01'∝3 x5 b ' v 4 b ! onde S # o nível de produção e x1 e x5 são as dotaç7es dos (atores! se o parWmetro Tv # maior do 8ue 1 os rendimentos de escala são crescentes. Solução Kuando multiplicamos a produção por t 0para t 613/ tS0x1!x53>t " ∝ x1 b . 01'∝3 x5 b ' v 4 b >tS "o multiplicarmos todos os insumos por t! teremos/ S0tx1!tx53>" ∝ 0tx13 b . 01'∝3 0tx53 b ' v 4 b S 0tx1!tx53>" ∝ t b 0x13 b . 01'∝3 t b 0x53 b ' v 4 b
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os :e ;. Tecno#o*ia e )aximi8ação e #"cros S0tx1!tx53>" ∝ t 5 b 0x13 b . 01'∝3 0x53 b ' v 4 b S0tx1!tx53>t 5 b0'v4b3 " ∝ 0x13 b . 01'∝3 0x53 b ' v 4 b S0tx1!tx53>t5v " ∝ 0x13 b . 01'∝3 0x53 b ' v 4 b S0tx1!tx53>t5v S Rendimentos constantes de escala/ S0tx 1!tx53>tS0x1!x53 Rendimentos crescentes de escala/ S0tx 1!tx53 6 tS0x1!x53 Rendimentos decrescentes de escala/ S0tx 1!tx53 2 tS0x1!x53 )ara v 6!/ t5vS 6 tS 0rendimentos crescentes de escala3 o+o se v 61! os rendimentos de escala são crescentes. P. )or 8ue no curto prao al+umas (irmas poderão operar com preGuíoH Solução
)or8ue no curto prao al+uns (atores tem de ser utiliados em 8uantidades predeterminadas! sendo assim mesmo 8ue a produção seGa ero ! vão existir custos (ixos. 1. 8ue distin+ue os (atores 8uase'(ixos dos (atores (ixosH Solução
s (atores 8uase (ixos são (atores de produção 8ue t&m uma 8uantidade (ixa! independente do nível de produção da empresa! desde 8ue a produção seGa positiva. @- os (atores (ixos existem mesmo se a produção da empresa (or ero. 11. " (unção de produção de uma (irma # dada por K > onde K # o nível de produção! e e representam as 8uantidades dos dois (atores ad8uiridos para viabiliar a produção. Calcule a taxa mar+inal de substituição t#cnica entre os (atores 8uando as 8uantidades contratadas de (atores (orem i+uais a > 5 e > 1B. ;estas condiç7es! se o preço do (ator trabalho (or p> 1! 8ual ser- o preço do (ator capitalH
DB
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os :e ;. Tecno#o*ia e )aximi8ação e #"cros Solução
b3 \ > 15* )MY> Pm* L Pm* <
=
< L
=
1B
c3 )MY > 8uando um variação no insumo não causar uma variação no produto. u seGa! 8uando x1 varia de para O.
5
>1B >5 >1 )m+.p> )m+^ .p>r .p> .p>r 1Bp>1 p>
5.
1C
r>
1B
1C 1B 5
d3 )MY > )ME > 5 para S > O
>r
1B
15. $upondo uma (unção de produção representada pela tabela abaixo! responda aos itens 8ue se se+uem/
∆ ( 15 − PF > =R ∆ x1 B−F
Mão'de'bra 0(ator vari-vel3 1 5 ? D B O P 1
)rodução
a3 Kual a produtividade m#dia da mão de obra 8uando a produção (or BH b3 Kual a produtividade mar+inal da mão de obra 8uando a produção (or 15H c3 Kuando a produtividade mar+inal da mão de obra ser- i+ual a eroH d3 Kual o nível de produção para o 8ual a produtividade m#dia i+uala a mar+inalH
1?. $uponha uma situação em 8ue os mercados de produto e de (atores são competitivos. preço do bem produido pela empresa # RA D! os preços do insumo vari-vel e (ixo são RA 1!. " 8uantidade do insumo (ixo # 5. " (unção de produção # ( = x11 4 5 x 5 . Calcule a 8uantidade de insumo utiliada! a 8uantidade de produto vendido e o nível de lucros obtidos. ;o exercício acima! o 8ue ocorreria se o preço do insumo 1 (osse elevado para RA 5!H ,emonstre +ra(icamente. Solução
)MY1>
1 5 x1
x1 > D5 >1B S >x1145x5 >
. x 5 * p.)MY1 > 1*
1B .5
1 5 x1
. x 5 .p > 1*
1 5 x1
.5.D
=1
=O
π = S p . − x 1 p . x1 − x 5 p x 5 π = O.D −1B.1 − 5.1 = ?5 − 1O = 1D $e 1>5*
1 5 x1
. x 5 .p > 1*
1 5 x1
.5 .D > 5* x1 > 55 > D
x1Jx5 > D J 5 > B S > D .5 = D
π = D.D − D.5 − 5 = B
intercepto >
π
p
+
p x 5 x 5 p
* intercepto 1>
1D D
+
5 D
B
5
D
D
= D * Intercepto 5 > +
=5
Solução
a3 Kuando S > B x1>? )ME >
( x1
=
B ?
= 5
S O
inclinação>145 S>(0x1!x53>O D
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os :e ;. Tecno#o*ia e )aximi8ação e #"cros Solução
D 5 Q1 1D. Uma importante (-brica de latas de cerveGa de alumínio produ uma determinada 8uantidade do produto 8ue pode ser de(inida por K > 1.!! onde representa a 8uantidade de horas de trabalho. $uponha 8ue a empresa opera em um ambiente competitivo e o preço unit-rio de cada lata # de RA !1. ;a hipNtese do sal-rio dos trabalhadores ser i+ual a RA 5!4hora! 8ual # o nLmero de horas de trabalho 8ue a empresa contratar-H Solução
)MY > 1.
1 5 L
* p. )MY > *
.
FCCC L
.C!C1 = 5
* >55 > B5 horas
1. Expli8ue sinteticamente o si+ni(icado dos se+uintes conceitos/ a3 "xioma Fraco da Maximiação do ucro* b3 )rodutividade mar+inal de um (ator* c3 Tei dos rendimentos decrescentes. Solução
a3 s lucros 8ue a empresa obt#m aos preços do período t t&m de ser maiores do 8ue se ela utilia'se o plano do período s e vice'versa. $e 8ual8uer uma dessas desi+ualdades (osse violada a empresa não poderia ter sido maximiadora de lucros. " satis(ação dessas duas desi+ualdades constitui o axioma (raco de maximiação de lucro. b3 8uanto vai variar a produção se aumentar a 8uantidade de um dos insumos em uma unidade. c3 produto mar+inal de um (ator diminui a medida 8ue aumentamos mais e mais desse (ator. Isso # chamado ei do produto mar+inal decrescente. 1B. ,iscuta as condiç7es +en#ricas 8ue devem ser satis(eitas para 8ue ocorra a maximiação do lucro da (irma.
valor do produto mar+inal de cada (ator 8ue # livre para variar tem de ser i+ual ao preço do (ator. " lN+ica da maximiação de lucros implica 8ue a (unção o(erta da empresa competitiva tem de ser uma (unção crescente do preço do produto e a (unção demanda de cada (ator tem de ser uma (unção decrescente de seu preço. Em síntese maximiar lucros si+ni(ica maximiar receita e minimiar custos. 1. $uponha 8ue a (unção de produção estimada do produto Q # a se+uinte/ K > 5 05 3 5 ,e(ina a taxa O!D* > 113 e 0 > ?* > D3. Solução
)MY > P)0 L
5 D
=
L5
L5
− 5 L5 < 5 + 5 L< ?
=
T)1T < ! L
< 0D L − ? < 3
D
L
=
P)0 < P)0 L
=
5
=
5 < 0− L + < 3 ?
L
< 0D L − ? < 3 5
L
?
x
L 5
5 < 0− L + < 3
=
L0D L − ? < 3 5 < 0− L + < 3
)ara > O!D e > 11/ T)1T O < ! L
=
L0 D L − ? < 3 5 < 0− L + < 3
=
B!B FB!1
= !15
)ara > ? e > D/ T)1T O < ! L
=
L0D L − ? < 3 5 < 0− L + < 3
=
O
=
1O. "s (unç7es de produção relacionadas a se+uir apresentam rendimentos decrescentes! constantes ou crescentes de escalaH a3 K > ! b3 K > 5 J ? c3 \ > ? d3 \ > 5 14D 145 e3 \ > ! 145 ?4D DO
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os :e ;. Tecno#o*ia e )aximi8ação e #"cros
( 0!3 > 0J35 ( 0!3 > 5 5 J ?5 ( 0!3 > 03 ! (0!3 > ?4 J 5 (0!3 > '145
(3 +3 h3 i3 G3
?
< 5
L. L
<4>4=−
0t 5
− t 3
01 − t 3
Solução
a3 !0^3 0^3 > ! . ^ 5 6 K^ > 0! 3. ^ para todo ^ 6 ! ou seGa! h- rendimentos crescentes a escala. b3 5^ J ?^ > ^ 05 J ?3 > ^ K! ou seGa! h- rendimentos constantes a escala. c3 ?0^3 0^3 > ? ^ 5 6 ^K > ? . ^ para todo ^ 6 ! ou seGa! hrendimentos crescentes a escala. d3 5 0^314D 0^3145 > 5 14D 145 ^ J > K ^ 2 ^K! lo+o ha rendimentos decrescentes a escala. e3 5 0^314D 0^3?4D > 5 14D ?4D ^ 4D > K ^ 4D 6 ^ K! lo+o h- rendimentos crescentes a escala. (3 5 ^ 5 J 5 0^ 53 J ^ 5 > 0J35 ^ 5 > K ^ 5 6 K^! lo+o h- rendimentos crescentes a escala. +3 55^ 5 J ?5^ 5 > 05 5 J ?53 ^ 5 > K ^ 5 6 K^! lo+o h- rendimentos crescentes a escala. h3 > 03 ! > ! ^ ! ! ^ ! > 03 ! ^ > K^! lo+o h- rendimentos constantes a escala. i3 f 0t< ! tL 3
=?
t<
+ 0tL3 5 = ?
tL < tf 0 < ! L 3 = ?t + t# 5 L
f 0t< ! tL 3 − tf 0 < ! L 3
=
< ? − ?t + t 5 L5 L L
=?
<
< L
5
5
01 − t 3 + L 0t
= > * L
=?
< L
+ t 5 L5
?
? ?
< ?
L
< ?
L
< ?
L
>−
=− <−
5
0t
− t 3
01 − t 3
0t 5
− t 3
01 − t 3 0t 5
− t 3
01 − t 3
→ Retornos
crescentes
→ Retornos constantes → Retornos decrescentes
;este caso! h- di(erentes tipos de rendimentos de escala se+undo o nível de produção.
= t
Então/ < L
+ t L
5 5
< − ?t + tL5 L
5
− tL < 4 > 4 =
− t 3 + < 1 4 5 0t − t 1 4 5 3 > → Rendimentos crescentes
1P. )or 8ue a hipNtese de produto mar+inal decrescente não pode ser aplicada ao lon+o praoH Solução
− t 3 < 4 > 4 =
)or8ue no lon+o prao todos os (atores de produção são vari-veis. $endo assim! a lei de rendimentos mar+inais decrescentes não acontece.
> * 01 − t 3 < 0#em+re − se → t > 13* 0t 5 − t 3 > DP
5. $uponha 8ue um (abricante de bicicletas esteGa produindo no C) e 8ue o e8uipamento seGa permanente. (abricante sabe 8ue : medida 8ue o nLmero de (uncion-rios utiliados no processo produtivo aumenta de 1 para ! o nLmero de bicicletas produidas varia da se+uinte (orma/ 1! 1! 55! 5! 5B! 5! 5?. a3 Calcule o produto mar+inal e o produto m#dio da mão de obra para esta (unção de produção. b3 Esta (unção de produção apresenta rendimentos crescentes! decrescentes ou constantes de escalaH Expli8ue o por8ue c3 Expli8ue! de (orma intuitiva! 8ual poderia ser a raão de o produto mar+inal se tornar ne+ativo. Solução
a3 Mão-de-obra Produção Tota 1 10 2 1# 3 22 $ 25 5 2% % 25 # 23
PM! 10 # 5 3 1 -1 -2
P"e 10 8,5 #,33 %,25 5,2 $,1# 3,2&
b3
Rendimentos de escala ocorrem 8uando aumentamos a 8uantidade de todos os insumos da (unção de produção! e o caso em 8uestão re(ere'se ao curto prao! em 8ue h- al+um (ator (ixo! o e8uipamento! lo+o não se pode (alar em rendimentos de escala. c3 "o aumentar o n de (uncion-rios mantendo (ixo o e8uipamento! um (uncion-rio a mais di(icultar- o trabalho dos demais! proporcionando um )M+ ne+ativo.
51. $obre a teoria da (irma podemos a(irmar 8ue/ a3 Uma (orma de descrever as restriç7es tecnolN+icas da (irma # a trav#s das iso8uantas. b3 Yeralmente! assume'se 8ue as iso8uantas são c[ncavas e monot[nicas. c3 "
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os :e ;. Tecno#o*ia e )aximi8ação e #"cros d3 $e uma (irma apresenta retornos constantes de escala! então! no lon+o prao! seu lucro ser- positivo. e3 $e p)MY 6 ! então a (irma aumentar- seus lucros diminuindo a 8uantidade utiliada de insumo. Solução
a3 %erdadeiro. b3 Falso. " monotonicidade 0se aumentarmos a 8uantidade de pelo menos um dos insumos! dever- ser possível produir pelo menos a mesma 8uantidade produida ori+inalmente3 e a convexidade 0se tivermos duas (ormas de produir S unidades de produto! 0x1!x53 e 01!53! a m#dia ponderada dessas duas (ormas produir-! pelo menos! S unidades do produto3 são propriedades das iso8uantas. c3 Falso. " inclinação de uma iso8uanta tem de diminuir em valor absoluto : medida 8ue h- um movimento ao lon+o da iso8uanta na direção do aumento do x pressuposto a
a3 Uma (unção 8ue relaciona insumos com produto. b3 ;o lon+o prao todos os insumos são vari-veis. ;ão existem mais rendimentos mar+inais decrescentes e a (irma se de(ronta com produção crescente! constante ou decrescente a escala. c3 Uma (unção 8ue representa as in(initas (ormas em 8ue podem combinar'se os insumos para obter um determinado nível de produção. d3 Kuando um (ator # (ixo! o incremento de uso do (ator vari-vel levar- a incrementos de produção cada ve menores! podendo ser inclusive ne+ativos 0a produção pode reduir'se se! a partir de um determinado nível de produção! continua'se aumentando o insumo vari-vel3.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#os :e ;. Tecno#o*ia e )aximi8ação e #"cros 5?. Uma (irma utilia dois insumos no seu processo de produção/ x e S. $e a taxa mar+inal de substituição t#cnica entre os dois insumos # 5 e a (irma deseGa produir o mesmo montante de produto mas com menos do insumo x! 8ual a mudança 8ue deve (aer na 8uantidade do insumo SH Solução T)1Tx ! (
( = ∆ = −5 ∆ x
)ara continuar a produir o mesmo montante! para cada unidade a menos do insumo x! ser- necess-rio duas a mais do insumo S. 5D. $obre a teoria da produção podemos a(irmar 8ue/ 0a3 " (unção de produção descreve a produção m-xima 8ue uma (irma pode obter para cada combinação de insumos e custo. 0b3 " iso8uanta # uma curva 8ue representa as combinaç7es de insumos 8ue representam o mesmo custo de produção. 0c3 ,e acordo com a Tei dos rendimentos decrescentes! 8uando um ou mais insumos são (ixos! o insumo vari-vel! provavelmente! apresentar- um produto mar+inal crescente a medida 8ue o nível de produção aumentar. 0d3 " (unção de produção de uma (irma pode ser representada por uma s#rie de iso8uantas associadas a di(erentes níveis de produção. Solução
a3 %erdadeiro. b3 Falso. $ão combinaç7es de insumos 8ue representam o mesmo nível de produção. c3 Falso. insumo vari-vel apresentar- um produto mar+inal decrescente : medida 8ue a produção aumentar. d3 %erdadeiro. ;o caso de dois insumos vari-veis.
1
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o >. )inimi8ação e c"stos CAPITULO > MINIMIAÇÃO DE CUSTOS
1. Um bem pode ser produido utiliando'se o insumo a ou o insumo b! sendo 8ue! na situação retratada/ )m+ 0a3 > ?* pa > A1* )m+ 0b3 > B* pb > AD. " (irma estutiliando as combinaç7es de a e b 8ue minimiam custosH $e não estiver! o 8ue ela deveria (aerH
1 L
=
1 <
15
>D $ubstituindo em S>1
?
1> 10D3 D 5>1 > 5F > >D03>5 C>5.?J.15>15 Curto )rao* >5 1>1 1>1053 > C>.?J15.5>1D Como a+ora o produtor sN pode variar um dos (atores de produção! ele vai ter custos maiores para o mesmo nível de produção.
Solução
)m+0a3>?* pa>1* )m+0b3>B* p b>D
∆x b )m+ a p a = = ∆x a )m+ b p b
? B
≠
)rocedimento /
1
\>1 r>15 >? S>1
D
;ão esta minimiando custo! para minimiar custos seria preciso aumentar a 8uantidade do insumo a e diminuir a 8uantidade do insumo b! para (icar no mesmo nível de produção na proporção de
1 D
.
5. " (unção de produção de um determinado produto # dada pela expressão \ > 1 . $endo o custo do capital A 15 por dia e o da mão'de'obra A? por dia! di+a 8ual ser- o custo mínimo de produção para 1. unidades de produto! especi(icando como ele se reparte na a8uisição dos dois (atores. Em se+uida! considere 8ue! no curto prao! a 8uantidade utiliada do (ator capital # dada 0constante3 e i+ual a 5. Identi(i8ue o custo total nesta nova situação! especi(icando como ele se reparte entre os dois (atores e compare o resultado com o da situação anterior.
1>1 > C>J dC dE
C>
1 E
= ? −
1 i
dC d
=
1 E
>
1 i
C>?J15'1
.r
15 5
E
= ?5>15 5>D >5
.J .r C>? '1J15
−? 5
C>.J.r
+ 15 = 15 5>? 5>5 >
C>5.?J.15>15
Solução
Curto )rao >5
)rocedimento "/ i+uala as produtividades mar+inais a relação de preço dos (atores. )rocedimento / minimio a (unção de custos com relação a restrição da (unção de produção.
>
)rocedimento "/ S> 1 r> 15 >? S>1. C> J r
?. Uma (irma tem (unção de produção dada por f 0 x1! x53 > x1 J 5 x5 . $e o preço do (ator 1 # 3 1 > 1 e do (ator 5 # 35 > ?! 8ual ser- a combinação de x1 e x5 capa de minimiar o custo de produção para 8ue a 8uantidade de produto seGa f 0 x1! x53 > 5H
)m+ )m+ E
=
r
)m+ >1 )m+>1
1 i
>
1 5
= F C>.J.r
C>.?J5.15>1D
Solução
5
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o >. )inimi8ação e c"stos Como os dois (atores são substitutos per(eitos a empresa utiliar- o (ator mais barato! mas <<$ > '145! ou seGa x5 >145x1 ' $e sN utiliar o (ator x 1 na produção! então/ S > x1* S >5* x1 > 5 ' $e sN utiliar o (ator x5 na produção! então/ S > 5x5* S >5* x5 > 1 c01!5!S3 > min._1! 1455`S c01*?*53 > min._1! 1!`5 > min._5! ?`>5 " combinação 8ue minimiar- o custo # 0x1!x53 > 05*3. D. " (unção de produção de uma empresa # dada por K > 5 !!! onde K # o nível de produção e e são as 8uantidades de dois insumos. O e > 5! respectivamente para e . Calcule a 8uantidade de 8ue minimia os custos de se produir K>BD.
)rocedimento "/ i+uala as produtividades mar+inais a relação de preço dos (atores. )rocedimento / minimio a (unção de custos com relação a restrição da (unção de produção. )rocedimento "/ K>5 !! )m+ > 5.
)m+ E E
=
O 5
C>5J
15D E
1
E!F
5
=
)m+> 5.
r
)m+
)m+ E
>D >
E
!F
D
.E
−!F !F E−!F ! F
BD>5.
!F
5
r>O
>5 K>BD
S?>x1x5 x1>
1? x5 ?
S
S? x5
dC
?
dx 5
C>x11Jx55 C> x 5 1Jx55
S
= S ? . 1
=
E
>
r
?
x5 > x 1
x 5
S
=
( ? 31 35
>BD
C
?
C> x11J x 1 5
x15.1>S?.5
=−
S? x5
x1>
( ? 35 31
x1
x1>S
(
. 1 + 5
= (
x 5
= 31 −
5
=
(31 35
?
x1
5
.35
=
(35 31
C> x11Jx55 C>1 S
)rocedimento / K>5 !!
!F
.E
1
! F
E
E
1
.i
E
K>5 !!
! F
E BD>5 D
=
1 5
dE
Solução
x 5 . 5
>5 K>BD
C>.J.r
15D = 5 − O. 5 > 55>O.15D E
dC
.O
E
. Uma (irma possui a se+uinte (unção de produção (0x1!x53 > x 114? x 514?. $e a (irma vai produir S unidades de produto ao menor custo possível! 8uais as express7es 8ue representam as 8uantidades dos insumo x1 e x5 utiliadas H Kual a expressão 8ue representa o custo 8ue a (irma possui ao produir S unidades do produto aos preços dos (atores 1 e 5H
5
r>O
15D
15D>. >
5>DPB >BD
(0x1!x53> x
Solução
)m+
?5>5 !!
C>5S
(35 31
J5.S
(31 35
C>S
(35 31
5
.315
+ (
(31 .35 35
(31 35
?
B. $eGa a (unção de produção ( 0x3 > x5! onde x # a 8uantidade do insumo utiliado. Esta (unção apresenta retornos crescentes! decrescentes ou constantes de escalaH $e o preço do insumo # por unidade! 8ual # o custo de se produir S unidades com esta tecnolo+iaH Kual # o custo m#dioH Kual # a relação existente entre retornos de escala da (unção produção e o custo m#dioH
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o >. )inimi8ação e c"stos 1>
?
?
1
1
1Fi F $ubstituindo temos/ 1> i F D
EF F
>11!? e substituindo em >
1Fi
temos >DD.
D
Solução
)rocedimento / minimio a (unção de custos com relação a restrição da (unção de produção.
(0x3>x5. Retornos crescentes de escala! se varia x de 5 para D o S vai variar de D para 1B! o insumo (oi dobrado e o produto mais 8ue dobrou.
S>1 K>
Custo total >x* custo m#dio>
x
>
S
F
. Uma empresa sub'contratada do setor automobilístico deve produir 1 unidades de um determinado componente a cada m&s! tendo suas possibilidades de produção de(inidas pela (unção* % L 3 1' sal-rio pa+o aos trabalhadores # de RA D por hora e o custo do (ator capital # de RA por hora. Com base nestas in(ormaç7es! identi(i8ue o tipo de (unção de produção 0em termos de rendimentos de escala3 e a relação entre e 8ue serão e(etivamente ad8uiridos. Em se+uida! identi(i8ue o valor de e 8ue ser- utiliado de maneira a minimiar o custo total da produção de 1 unidades do componente.
E
)rocedimento "/ i+uala as produtividades mar+inais a relação de preço dos (atores. 1
>D r>
Rendimentos de escala> −5
1
)m+> ? E F F F
E ?i
=
F D
>
? F
+
1 F
=
D F ?
< 1 rendimentos decrescentes. −D
)m+
)m+ > 1 EF F
)m+E
F
1Fi D
S>1 K>
?
=
r
S
?
r
DD>1013
S? 1
C>Jr
dC dE
1F013
= D−
F
=
D
E
F > D 1F013 = DD!FB
D
F
F
C>Jr C>
S? 1
Jr
? ?
EF F
>D r>
? F
E
D
Solução
>
?
C>.J
?
1
F
S
nde os retornos de escala da (unção produção são crescentes o custo m#dio # decrescente! onde são constantes o custo m#dio # constante! e onde são decrescentes o custo m#dio # decrescente.
S>1 K>
?
EF F
F
D
013 ?
= F ?
dC d
=
−D ?
013 ? D
+F
? BD 5
013
F
= 15F D > D
BD013
F
5.15F
= 11!?DO
O. ,ada uma (unção de produção \ > 1 ^ 14D ?4D ! onde \ # a 8uantidade do produto obtido! e e as 8uantidades dos (atores capital e mão de obra. $endo dados r e ! respectivamente! os preços dos (atores capital e trabalho! determine a relação entre as 8uantidades dos dois (atores 8ue serão e(etivamente ad8uiridos. ,etermine tamb#m o nível de produção a ser realiado e o custo total de lon+o prao 8uando >P! sendo r > 5 e > 5B. Solução
1
EF F
)rocedimento "/ i+uala as produtividades mar+inais a relação de preço dos (atores/
D
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o >. )inimi8ação e c"stos S>1
1
?
D
ED
−?
1 )m+
D
=
)m+ E
=
?
=
r
>
>P
?
E .E.
?ir
\D>1D
?r
5FB
= 15
\>1.P D
O1
>
?
5FB
C>rJ>
E
r>5 1
E ?r
?r
\D>1D
)rocedimento / minimio a (unção de custos com relação a restrição da (unção de produção. D
S>1
1
SD>013D? >
< D L D
C>Jr \D>
?
( D
dC
D
?
013 L
D
D
L 013 3 ?r
dE
>
#%1 D
( D 013 D L?
− ?S D r D
D
013 E
( ?
>
D
D
= D>
)m+ E
= =
r
?S r 013 D
3 ?r
E
1
1
5 E5
=
C> J r C>JD 1B>OJ5.D
r
−1
1
5 E 5
D>
r
)m+>
1
−1
5 E 5
r>D>D.1>D
>1
0a3 Este processo de produção indica rendimentos de escala crescentes! decrescentes ou constantesH Expli8ue sua resposta. 0b3 $e (or 1 o nLmero de velhas piadas utiliadas! escreva a expressão do produto mar+inal do trabalho dos cartunistas como uma (unção de L 0c3 produto mar+inal do trabalho # crescente ou decrescente : medida 8ue a 8uantidade de trabalho aumentaH Solução
0a3 = t !1 ? 1 4 5 L? 4 D 14 5 ?4 D .0tL! t? 3 = !10t? 3 0tL3 = t F 4 D. F4 D t . > t. → Rendimentos de escala crescentes! se dobrarmos a 8uantidade dos insumos! a produção mais 8ue duplicar- 0t > 5! 54DK 6 5K ! 5!?OK65K3. t.
0b3
= !10131 4 5 . L? 4 D ?4 D f 0 L!13 = L f 0 L!13
P)* L
Solução
)m+ >
1
013 ? < ?
P. Uma (irma tem a se+uinte (unção de produção K0!3 > 503 145 e est- utiliando O unidades de trabalho 03 e 5 unidades de capital 03. $e esta # a composição Ntima dos insumos e o custo total # i+ual a RA 1B! 8uais são os preços do trabalho e do capital H
K0!3>5
)m+E
1. !1 ? 145 L?4D! onde ? # o nLmero utiliado de velhas piadas! L o nLmero de horas de trabalho dos cartunistas! sendo ? e L os insumos e o nLmero produido de revistas em 8uadrinhos.
D
E
.5 + P.5FB = ?5
P
)m+ )m+
D E D
E D \>1. ?r .ED
−1
1
D
>5B
?r
D
?
D E D
1.?
G>1 D
)m+> 1.? D E D
D
−?
−1
1
?
)m+ > 1 D E D
=
? D
−1 4 D L
>O >5 C>1B
0c3
∂ 5. 1 ? −F 4 D ? = − = − L−F 4 D < → )M+ # decrescente. L D D 1B ∂ L5
11.
P)* ?
=
P)* L
=
T)1T
=
!1 −1 4 5 ? 4 D ? L 5 ? !1 L−1 4 D ? 1 4 5 D P)* L P)* ?
=
? !1 L−1 4 D ? 1 4 5 D !1 −1 4 5 ? 4 D ? L 5
?
=
!5 L
Minimiação de custos/ T)1T
=
31 P)* L * 35 P)* ?
=
31 ? ? * 35 5 L
=
)ara a produção de uma revista 0K > 13/
5 1
* L
= ? ?
?
=
? ? 5 L
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o >. )inimi8ação e c"stos = !1 ? 1 4 5 L? 4 D 1 = !1 ? 1 4 5 0? ? 3? 4 D 1 = !1 ? 1 4 5 .?? 4 D 0 ? 3? 4 D 1 = !1 ?? 4 D ? 4 D F4 D
?
1
=
?4 D
!1 ?
? = ?!5B E = P!O b3 c3
c01!5!S3 > @1 J 5 c05*1*13 >?!5B5 J P!O1> 1B!? (0t!t3 > t 4DK t>5 (05!53 > 5 4DK >5!?O K Resp./ 5!?O
15. "ssuma 8ue uma (irma produ P unidades de determinado produto utiliando P unidades do (ator e P unidades do (ator . "s possibilidades tecnolN+icas da produção podem ser expressas pela (unção de produção % 1 145 12 . " partir destas in(ormaç7es! responda aos se+uintes itens/ a3 $e o preço de # A O e o preço de # 1B! a combinação de P unidades de com P unidades de # a maneira mais e(iciente de produir P unidades de produtoH @usti(i8ue sua resposta. b3 Kual # a combinação dos preço de (atores 8ue torna a combinação de insumos anteriormente mencionada uma combinação e(icienteH c3 "ssumindo 8ue o preço de # A 1 e 8ue o preço de # A5! identi(i8ue o menor custo de produção associado : produção de D unidades de produto. d3 Identi(i8ue uma expressão para o custo total 0C< > (0K33 a partir dos dados do problema. Solução
S>P >P >P K>1 a3)m+ > )m+ E )m+
−1
1
5 E5
=
E
=
1
1
E5 5
)m+>
P
r
P
≠
1
−1
5 E 5 O
1B
nao # e(iciente.
B
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o >. )inimi8ação e c"stos b3
P P
=
c3>1 r>5 S>D K0!3>1 )m+ E )m+
= 1* x 5 = x 5 c = 31 x1 + 35 x 5 14 5 14 ? ( = x1 x 5 14 5 14 ? ( = x1 x 5 14 5 ( = x1 .11 4 ?
x 5
>r
r
=
r
E
=
1
1
1
5 E5
>5
5
$ubstituindo na (unção produção/ D>5
<
e3 K>1
1
>
1
5
r 1$ 5
5
x1 = (
D
>
K5
K
>
5
.
5 5
013 <
C
Jr
<
=−
3.
5 5
1$ i
5 013 <
+ r =
=
( 5 na (unção de custos/
;o lon+o prao/
>
1
r
,enominador elevado ao 8uadrado na derivada
C<>.
. 1
r 3
Jr.
.
3
1
r
C<>
.
r
= 31 x1 + 35 x 5 14 5 14 ? ( = x1 x 5 31 = ?* 35 = 5
1
3
. 1
5 r3
?
x 5
C<>
. F
= 31 x1 + 35 x 5 14 5 14 ? ( = x1 x 5 31 = ? 35 = 5 ;o curto prao/
? ( ( = 1 4 5 = ?4 5 x1 x1
r3
1?. Uma (irma tem (unção de produção f 0 x1 ! x5 3 = x11 4 5 x15 4 ? . s preços unit-rios dos insumos são 31 = ? e 35 = 5 . "char as (unç7es de custos de lon+o e curtos praos 0se x1 ou x 5 são constantes e i+uais a 13. c
# o mínimo do (ator x1 para produir cada unidade de produto! para
c
K
Repetindo o mesmo procedimento para achamos >
Solução
→ este
5
5
01 35
C<>(083
5
x5 > 1. $ubstituindo x1 c = 31 x1 + 35 x 5 5 c = ? ( + 5
5
1 E
C>
'K 5
>
5
K >013
E5 5
C>Jr 5
D>1
5 <
$ubstituindo x5 na (unção de custos/
( ? x ? 4 5 1 ( ? = ? x + 5 ( ? x1−? 4 5 = c = ? x1 + 5 x ? 4 5 1 1 c = 31 x1 + 35
Minimiação de custos/
∂c ∂c = * = ? − ? ( ? x ∂ x1 ∂ x1 B4F x1 = ( x 5
=
( x1
?
?4 5
=
(
−F 4 5 1
= b3
?
( ( B 4 F ) ? 4 5
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o >. )inimi8ação e c"stos r p. P)* < 0 < ! L3 = r → (unção de demanda do (ator * < = 105 < 3 = r 5
=
( (
?
P4F
= (
π
= p( − < r − 3 L
π
= p01 < 5 + L
π
= 101
B4F
$ubstituindo x1 e x5 na (unção de custos! temos/ c = 31 x1 + 35 x 5 31 = ? )ara/ B4 F B4F B4 F 35 = 5 c = ? ( + 5 ( = F(
π
π
1D. "dmita 8ue uma (unção de produção de determinada (irma pode ser representada por K > . $uponha 8ue o custo total associado : contratação dos dois (atores # de de mil reais mensais. preço unit-rio do (ator trabalho # 8uinhentos reais e o do (ator capital mil reais. " (im de maximiar os seus resultados! 8uantas unidades ela contratar- de cada (atorH
π
= 1 =
5
D 5
D
r
−
3 − < r − 3 L
+ L
D
r
r
=−
c3
r 5
5
5
5
3−
+ L − r 5 5
r 5
r 5 5
r − 3 L
− 3 L
5
+ L − 3 L
5
D
+ L0 L − 33
r ∂π −5r = =− 5 ∂r D
Solução
K>. C>1 1>J1 5>J5 5>5J5
>
)m+ E )m+
>
=
r>1
r
E
=
1 5
>5
>1
1. $eGa a (unção de produção (0!3 > 1 5 J 5! onde # um insumo (ixo. preço do produto (oi normaliado em 1! e o preço do capital 03 # r. a3 "che a (unção de demanda por (ator! maximiando o lucro dessa (irma. b3 btenha a (unção lucro. c3 Mostre 8ue ao derivar a (unção lucro encontrada no item b com respeito a r! obtemos a (unção de demanda pelo insumo obtida no item a.
1B' $uponha a se+uinte (unção de produção/ K > 1 . $endo o custo do capital RA 15! por dia! e o da mão'de'obra de RA ?! por dia! 8ual # o custo mínimo de produção para 1. unidades de produtoH Solução
)rocedimento "/ S> 1 r> 15 >? S>1 C> J r )m+ )m+E 1E 1
= =
r 15 ?
)m+ >1 )m+>1 >D $ubstituindo em S>1
Solução
1> 10D3 D 5>1 > >D0 5!F 3>B!?5 C>15 5!F J?D 5!F >5D
a3
)rocedimento /
5!F
>1!O
5!F
>?P!5
O
\>1 r>15 >? S>1 1>1 > C>J C
1 L
= ? −
L 1
C>
=
L
>
1 <
C>?J15'1
.r
15 5
L
= ?5>15 5>D >B!?5
.J .r C>? '1J15
< C −?
<
1
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o >. )inimi8ação e c"stos
<
5
+ 15 = 15 5>? 5>5! >1!O
C>.J.r C>151!OJ?B!?5>?P!5
P
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 1@. C"r/as e c"sto Solução
CAPITULO 1' CUR(AS DE CUSTO
1.
Uma (irma tem a (unção de custo total C 0 (3 > 1 J 1 (. e8uaç7es para suas v-rias curvas de custo. Solução
a3 b3 c3 d3
C0S3> c\ ! onde/ C013> 1c C053> 5c C0S3> \c CMe> \c > c \ e3 Em c. (3 CM+> C=0\3> c +3
"char as
C0S3> 1 J 1S CM+> C=0S3> 1 Cme> 1 J 1S > 1 J 1 \ S CFMe> 1 \ CF> 1 C%> 1\ C%Me>1>CM+
5.
CMe CM+
5
$r. tto Carr! dono da ttoqs "utos! vende carros. tto compra carros por U$A c cada um e não tem 8uais8uer outros custos. 0a3 Kual # o seu custo total 8uando ele vende 1 carrosH 0b3 E se ele vende 5 carrosH 0c3 Enuncie a e8uação dos custos totais da ttoqs! admitindo 8ue o $r. tto venda ( carros. 0d3 Kual # a (unção de custo m#dio da ttoqs H. 0e3 )ara cada carro adicional 8ue o $r. tto vende! de 8uanto aumenta seu custoH 0(3 Enuncie a (unção de custo mar+inal da ttos 0+3 ;o +r-(ico abaixo trace as curvas de custo m#dio e mar+inal da ttoqs se c > 5.
C) ! C)*
D
\
?. $uponha 8ue o $r. tto tenha 8ue pa+ar U$A + por terríveis comerciais de televisão. 0a3 Kual a nova curva de custo total da ttoqs 0b3 Kual a nova curva de custo m#dio 0c3 Kual a nova curva de custo mar+inal 0d3 $e + > U$A 1! utilie tinta vermelha para traçar a curva de custo m#dio da ttoqs no +r-(ico acima. Solução
a3 b3 c3 d3
? 5
CMe>CM+
C0\3> \c J b Cme> c J b4S CM+> c Cme013>?* Cme053>5*Cme0?3>5?* Cme0D3>55.
1 \ B
0a3 2%
0b3
25
0c3 0d3 0e3
e 2$ m C 23
22 21 20 21 22 23 2$ 25 2% 2# 28 2& 30 31 32 33 3$ 35 3% 3# 38 3& $0 Y
D. irmão do $r. tto! ,ent Carr! est- no ne+Ncio de mecWnica de automNveis. ,ent! recentemente! parou para calcular suas condiç7es de custo. Che+ou : conclusão 8ue o custo total de conserto de s caros # CT 0 s3 > 5 s5 J 1. "cabou! por#m! não terminando seu trabalho e # aí 8ue voc& entra em cena. )or (avor! complete o se+uinte/ 0a3 Custos %ari-veis
Solução
a3
C%<0s3> 5s² CF<0s3>1 C%Me0s3>5s
d3 e3
CFMe0s3> 14s CM+0s3> Ds
. Um terceiro irmão! Rex Carr! possui um (erro velho. Rex pode usar apenas dois m#todos para destruir carros. primeiro implica a a8uisição de um esma+ador hidr-ulico de carros 8ue custa U$A 5 por ano na compra e! depois! U$A 1 por cada carro esma+ado at# o desaparecimento. @- o se+undo m#todo implica a a8uisição de uma p- 8ue ter- a duração de um ano e custa U$A 1! al#m de pa+ar ao Lltimo dos irmãos Carr! de nome $coop! para enterrar os carros a um custo de U$A cada um.
M#todo 1/ C<0S3 > \ J 5 M#todo 5/ C<0S3> \ J 1
b3 CMe1/ 1 J 54\ CMe5/ J 14\
CM+1/ 1 CM+5/
c3 CMe10D3> 1J 54D> B CMe50D3> J 14D> .5 ! lo+o o m#todo 5 # pre(erido. d3 e3
Cme103> 1 J 54> Cme503> J 14> .5! lo+o o m#todo 1 # pre(erido. I+uala as (unç7es CMe1>CMe5 1 J 54\ > J14\ DS 6 1P S6 D!
Solução
a3 b3 c3
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 1@. C"r/as e c"sto Escreva as (unç7es de custo total para os dois m#todos! onde ( # a produção por ano 0CT 1 0 (3* CT 2 0 (33. Calcule a (unção de custo m#dio e a (unção de custo mar+inal para o primeiro e para o se+undo m#todo respectivamente. $e Rex arrebenta D carros por ano! 8ual m#todo deveria usarH $e Rex arrebenta carros por ano! 8ual m#todo deveria usarH Kual # o nLmero mínimo de carros por ano a partir do 8ual vale a pena ele ad8uirir o esma+ador hidr-ulicoH
B.
MarS Ma+nolia 8uer abrir uma loGa de (lores! com o nome de (5 4 por m&s. 0a3 $e ela tiver 5 p#s 8uadrados de espaço comercial! escreva sua (unção de custo mar+inal e sua (unção de custo m#dio. 0b3 Kual # a 8uantidade de produto 8ue minimia o seu custo m#dioH 0c3 E! com este nível de produção! de 8uanto # o custo m#dio de MarS Ma+noliaH B1
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 1@. C"r/as e c"sto CM+0S3 > C=0S3> 5S41> S4 Solução
Cme0S3> \41 J 14S>
C<> \45 J 5
a3
b3 Cme0S3> S²45 J 54\> S45 J54\ \ \> 5 u8u&s. c3 5
(
.
$e MarS Ma+nolia tiver p#s 8uadrados de espaço comercial! escreva sua (unção de custo mar+inal e sua (unção de custo m#dio. 0a3 Kual # a 8uantidade de produto 8ue minimia o seu custo m#dioH 0b3 Com este nível de produção! de 8uanto # o custo m#dio de MarS Ma+noliaH
C<> \4 J CM+0S3 > C=0S3> 5S4> S45 ( 5 + F 5 Cme0S3> \4 J 4S> F (
a3 Cm+0S3 >Cme0S3 5F
(
b3
=
( 5 + 1 5 1 (
Cme013>5 Use tinta vermelha para indicar a curva de custo m#dio de MarS e sua curva de custo mar+inal caso ela tenha 5 p#s 8uadrados de espaço comercial. Use tinta aul para indicar a curva de custo m#dio de MarS e sua curva de custo mar+inal caso ela tenha p#s 8uadrados de espaço comercial. E use tinta preta para indicar a curva de custo m#dio de MarS e sua curva de custo mar+inal caso ela tenha 1 p#s 8uadrados de espaço comercial. Chame de C) estas curvas de custo m#dio e de C)* as de custo mar+inal.
Solução
Solução
(
1 (
= 1
b3 P.
+ 15
Cm+0S3 >Cme0S3 ( F
a3 CM+0S3 > C=0S3> 5 S > S41 5
( 5
=
(
5
CM*
2
+ F5 F (
= F Cme03>5
O.
$e ela tiver 1 p#s 8uadrados de espaço comercial! escreva sua (unção de custo mar+inal e sua (unção de custo m#dio. 0a3 Kual # a 8uantidade de produto 8ue minimia o seu custo m#dioH 0b3 Com este nível de produção! de 8uanto # o custo m#dio de MarS Ma+noliaH
2
1
#
Use um marcador amarelo para mostrar a curva de custo m#dio de lon+o prao de MarS e sua curva de custo mar+inal de lon+o prao no +r-(ico. Chame estas curvas de C)LP e C )*LP. )ara tamanhos discretos de planta! a curva de custos m#dios de lon+o prao # a envolvente para cada tamanho discreto de planta.
Solução
C<> \41 J 1 B5
0b3 0c3 0d3 0e3
CM*
2
Solução G
1.
0a3
0b3 0c3 0d3
irascível +erente do ne+Ncio de .1@. $uponha 8ue! no curto prao!
Solução
a3 CP → .
= !1 1 L? 4 D = L? 4 D * Re sp / L = . D 4 ? b3 CT 0.3 = p. − L3 − ?r D4? − 1 CT 0.3 = . − . c3 C)* 0. 3 = 1 − d3
C)e 0. 3
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 1@. C"r/as e c"sto Kual # a (unção de custo mar+inalH Kual o nível de produção 8ue +era o menor custo m#dio de produçãoH Kual # a (unção de custo vari-vel m#dioH Em 8ue nível de produção o custo vari-vel m#dio # i+ual ao custo mar+inalH
=
? D
.
− 1
= 1 − .1 4 ? −
C)e0 ( 3
= D ( +
b3 c3
C)* 0 (3
= O(
C)e0 (3 D ( + (
1B (
1B
(
= C)* 0 (3 = O (
* C2)e0 (3 =
D( *
=5
C2)e0 ( 3
= C)* 0 (3
= O ( =
D ( (
15. ,esenhe o +r-(ico das se+uintes (unç7es de curto'prao/ custo total! custo vari-vel! custo (ixo! custo m#dio total! custo vari-vel m#dio e custo mar+inal da (unção de produção K > ?! onde # (ixo! i+ual a 5 unidades e representa a 8uantidade de capital! r > ? e > 5! com r indicando a remuneração do capital e o custo do trabalho. Solução
> 5! então K > B! > K4B 013
CT 0. 3 = 3L + r< CT 0.3 = 5L + B 053 Como c0 3! r ! .3 ! então substituiremos 013 em 053/
.1 4 ?
. − .D4?
a3
1
.
11. Considere a (unção de custo c0 (3 > D (5 J 1B. 0a3 Kual # (unção de custo m#dioH B?
. +B= +B B ? . * C 0. 3 = B ? . +B 1 B ?
CT 0.3 = 5 C2 0.3 =
.
C)e0.3 = C)* 0.3
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 1@. C"r/as e c"sto 1?. ,ada a (unção de produção S > 1 . x1!5 . x5 !5 . x? ! e conhecendo'se os preços dos (atores como 1 > 5 e 5 > ? > D ! admitindo 8ue o (ator x? seGa (ixo em P! determine as express7es das (unç7es de custo abaixo ! em relação ao nível de produção 0S3. a3 Custo total b3 Custo M#dio c3 Custo Unit-rio %ari-vel d3 Custo Mar+inal
= +
.
=
?
.
.
=
? .
=
1 ?
1
Solução
?
=P ! 5F ! 5F ( = 1 x1 x 5 0P 3 ! F ! 5F ! 5F ( = ? x1 x 5
x ?
8
, e # M V % C , e 5 M G C M $ , F C 3 C , V 2 C , 1 T C
D
x5
= 31 x1 + 35 x 5 + 3? x? c = 5 x1 + D x 5 + D0P3 c
D
c
0 0
'T
K 1 5 ? D
( = !5F ? x1
'(
C< B! B!?? B!B ! !??
1 ')
C% ! !?? !B 1! 1!??
2
3
'"e
'(Me
CF B! B! B! B! B!
Cme ' B!?? ?!?? 5!?? 1!O?
$
Q
'M!
C%Me !?? !?? !?? !?? !??
CM+ !?? !?? !?? !?? !??
= 5 x1 + D (! 5F + ?B ? x1
1D. Mar8ue % ou F! Gusti(icando sua opção. Com relação :s curvas de custo sabe'se 8ue/ a3 " curva de custo mar+inal sempre (ica por baixo da curva de custo m#dio b3 " -rea abaixo da curva de custo mar+inal # i+ual aos custos vari-veis c3 Custo mar+inal de curto prao i+uala'se ao custo mar+inal de lon+o prao apenas no ponto em 8ue o custo m#dio de curto prao # mínimo d3 Custo mar+inal i+uala'se ao custo m#dio no ponto em 8ue o custo m#dio # mínimo. e3 " curva de custo m#dio de lon+o prao # o envelope dos pontos de mínimo do custo m#dio de curto prao. Solução
BD
a3F. " curva de custo mar+inal tem de sirtuar'se abaixo da curva de custo vari-vel m#dio! : es8uerda do seu ponto de mínimo e acima dele ! : direita. 3%. Uma ve 8ue o custo mar+inal mede o custo de produir cada unidade adicional de um bem! ao somarmos o custo de produir cada unidade adicional de um bem! obteremos o custo total da produção ' com exceção dos custos (ixos. C3%. custo m#dio de curto prao # mínimo no ponto em 8ue a 8uantidade do (ator (ixo # Ntima! ou seGa ! # i+ual : 8uantidade re8uerida para produir S no lon+o prao 0todos os (atores são vari-veis3! visto 8ue o custo mar+inal # i+ual ao custo m#dio no seu ponto de mínimo. d3%. " curva de custo mar+inal localia'se abaixo da curva de custo m#dio! 8uando os custos m#dios diminuem e! acima! 8uando crescem. o+o! os custos mar+inais t&m de ser i+uais aos custos m#dios no ponto de custo m#dio mínimo. E3F. " curva de custo m#dio de lon+o prao # a envoltNria in(erior das curvas de custo m#dio de curto prao. 1. Considerando a (unção custo C0S3 > 5S5 J 1! ache as express7es correspondentes para/ 1. custo vari-vel* 5. custo (ixo* ?. custo vari-vel m#dio* D. custo (ixo m#dio* . custo m#dio* B. custo mar+inal. Represente +ra(icamente as curvas de custo.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 1@. C"r/as e c"sto c# 0 -3 ≤ c c 0- 3 F- + 1 ≤ - 5 c f
≥ F- + 1 − - 5
1. Considere a (unção custo C0S3 > DS 5 J 1B. a3 "che as (unção custo m#dio e custo mar+inal. b3 Kual # o nível de produção 8ue minimia o custo m#dioH c3 "che a (unção custo vari-vel. d3 " 8ue nível de produção o custo vari-vel m#dio se i+uala ao custo mar+inal. Solução
a3 b3
D ( C2 0 ( 3
?.
C2)e 0 ( 3
= =
D (
5 ( 5
(
D. .
C)e0 ( 3
= 5 ( +
B.
C)* 0 ( 3
= D(
(
= 5(
1
C)e0 ( 3
+
D ( 5
= 5(5 C 0 ( 3 = 1
(
1
(
1B. s custos de lon+o e curto praos de uma (irma são c# 0-3 = F- + 1 e cc 0- 3 = - 5 + c f respectivamente. "char o custo (ixo de curto prao c f . Solução " empresa tem de conse+uir sair'se pelo menos tão bem aGustando o tamanho da (-brica 8uanto mantendo'o (ixo. "ssim/
D ( 5
C)e0 ( 3
=
C)* 0 ( 3
= O (
+ 1B
(
= D ( +
1B
(
Custo m#dio mínimo/ C)e0 ( 3
Solução
1. 5.
+ c f
5
=
1B (
= C)* 0 (3 = O (
+ 1B = O ( 5 = 1B 5
c3
C2 0 ( 3
C)e( D C)* (
= D(5
= O ( =
D ( (
1O. $e o custo mar+inal da produção estiver aumentando! o custo vari-vel m#dio estaria aumentando ou diminuindoH Expli8ue. Solução
B
,epende. ] es8uerda do ponto de mínimo do C%Me! um aumento do CM+ permitir- 8ue o C%Me continue diminuindo! por#m a taxas decrescentes.! G- : direita do ponto de C%Me mínimo! o aumento do CM+ ser- consistente com aumento no C%Me.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 1@. C"r/as e c"sto 5.
" (unção custo total de lon+o'prao de uma (irma # dada por C< > K? ' DK J D?K! onde K representa a 8uantidade produida por semana* 5
a) 8ual o (ormato curva de custo totalH
1P. ;a tabela abaixo são apresentados al+uns dados sobre os custos da empresa ". )reencha o restante das in(ormaç7es* Kuantidade
C<
5D
CF
C%
CME
CM%
CMF
de produto a (unção custo m#dio atin+e o ponto mínimoH Kual # o valor do custo m#dio no seu ponto de mínimoH c) mostre a (unção custo mar+inal. Mostre 8ue a curva de custo mar+inal intercepta
a curva de custo m#dio no seu ponto mínimo*
1
1B
5 ?
CMY
b) calcule a (unção do custo m#dio para este produto. Kual # o (ormatoH " 8ue nível
d) (aça o +r-(ico das curvas de custo m#dio e de custo mar+inal.
Solução
1O
D
5
?P!5
B
0sem resolver3 51.
D
$obre a teoria de Custos podemos a(irmar 8ue/
a3
053
5D
1B
5
03
D
5D
?
5
15
?D
CME # composto do CM% mais o CMF.
?
1O
5D
OD
?B
5O
O
?D
Solução
D
1B
5D
1?B
D
?D
B
5
55
5D
1PB
DD
?P!5
D!O
B
B
5O5
5D
5O
D
D?
D
B5
Solução Kuantidade
C<
CF
C%
CME
CM%
CMF
CMY
5D
5D013
1
D
0?3
0D3
D
1B
03
0B3
5D
1B
013 C<03 > CF* 053 C<013 > 0C<03JCMY341* CF > # o mesmo p4 todos os níveis de produção* 0?3CM%013 > CMY* 0D3 CME013>C<41*03 CM%013 >C%01341* 0B3 CMF013>CF41* 03C<053 > CF053JC%053. Faer o mesmo para os demais níveis de produto.
a3 b3
c3
Errado. Kuando aumentamos a 8uantidade produida o CMF cai! o CM% poder- at# decrescer no início! mas aumentarão uma ve 8ue os (atores (ixos presentes acabarão por restrin+ir o processo de produção. Errado. Retornos crescentes de escala implicam CME decrescentes : medida 8ue o produto aumentar! os custos m#dios de produção tenderão a cair. Retornos decrescentes de escala implicam CME crescentes os CME crescerão : medida 8ue o produto cresce. Correto. " curva de CM+ mede o custo de produir cada unidade adicional de um bem! se somarmos o custo de produir cada unidade adicional de um bem! obteremos o custo total da produção com exceção dos CF. BB
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 1@. C"r/as e c"sto 5?. Considere a se+uinte (unção custo/ C0S3 > 0SJ?35 BS . btenha/ a3 Custo vari-vel b3 Custo (ixo c3 Custo vari-vel m#dio d3 Custo (ixo m#dio e3 Custo m#dio (3 Custo mar+inal +3 Represente +ra(icamente as curvas de custo mar+inal! custo m#dio e custo vari-vel m#dio.
" curva de Cm+ # uma linha reta com inclinação de 5. CM+! CMe!C%Me CM+
CMe C%Me
y
Solução
" (unção de custos #/ C0S3> 5S5 J BS J P ' BS > 5S5 J 5 a3 C2 0 (3 = ( 5 b3 C 0 ( 3 = 5 c3 C2)e0 ( 3 =
( 5 (
=
(
5
d3 C)e0 ( 3 = ( ( 5 + 5 = ( + e3 C)e0 (3 = (
(3
C)* 0 ( 3
+3
5
(
= 5 (
= C2)e0 ( 3 = (* !? ( = * ! ( =
C)* 0 ( 3 5 (
" curva de CMe alcança seu mínimo 8uando o CMe se i+uala ao Cm+/ C)e0 ( 3 = C)* 0 ( 3 5 ( m!n = 5 * C)e0 5 3 = 5 5 ( + = 5 ( ( C)* 0 5 3 = 5 5 ( = 5 ≅ 1!D1 " curva de C%Me # uma linha reta com inclinação de 1. B
CAPITULO 11' A OFERTA DA FIRMA E!*+)lo/
•
Uma (irma tem a (unção de custo de lon+o prao c0 (3 > 5 (5 J 5 para ( 6 e c 03 > . Kual sua curva de o(erta de lon+o prao. custo mar+inal da (irma 8uando sua produção # ( # C)* 0 (3 > D (. $e colocarmos a produção no eixo horiontal de um +r-(ico e os dNlares no eixo vertical! encontraremos 8ue a curva de custo mar+inal de lon+o prao # uma linha reta inclinada para cima 8ue passa pela ori+em com a inclinação D. " curva de o(erta de lon+o prao # a porção desta curva situada acima da curva de custo m#dio de lon+o prao. Kuando a produção # (! os custos m#dios de lon+o prao desta (irma são dados por C) 0 (3 > 5 ( J 54 (.
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma. 1' %oc& se lembra do irmão de tto Carr! ,ent! 8ue est- no ne+Ncio de o(icina mecWnicaH )ois ,ent concluiu 8ue o custo total de conserto de s carros # c 0 s3 > 5 s5 J 1. 0a3 Isto implica 8ue o custo m#dio de ,ent # i+ual a ! seu custo vari-vel m#dio # i+ual a e seu custo mar+inal a . ,esenhe as curvas acima e tamb#m a curva de o(erta de ,ent. 0b3 $e o preço de mercado # U$A 5! 8uantos carros ,ent estar- disposto a consertarH . E se o preço (or U$A D! 8uantos carros serãoH . 0c3 $uponha 8ue o preço de mercado seGa U$A D e 8ue ,ent maximie os seus lucros. Indi8ue no +r-(ico os custos totais!a receita total e os lucros totais. Solução
a3 C0s3 > 5s5 J 1 CME 0s3 > 5s J 014s3* C%ME0s3 > 5s* CMY 0s3 > Ds Min CME > 5 01s 53 > * s ≈ ou CME > CMY 5s J 014s3 > Ds* s ≈
• Em 8uais circunstWncias # 8ue C) 0 (3 2 C)* 0 (3 # v-lidaH D ( para S 6 1. $e nNs 8uisermos encontrar a 8uantidade o(ertada como uma (unção do preço! devemos resolver esta expressão para ( como (unção de p.
120 100 80
CMe
%0
•
$uponha 8ue p 2 D. )or exemplo! se p > 5! 8ual 8uantidade a (irma o(ertar-H "o preço de 5! se a (irma produ no ponto em 8ue o preço i+uala o custo mar+inal de lon+o prao! estar- produindo > 54D unidades de produto. Kuando a (irma produ apenas unidades! seus custos m#dios são 5 x J 54 > . Kuando o preço # 5! portanto! o melhor 8ue a (irma pode (aer se ela produ uma 8uantidade positiva # produir unidades. Mas! neste caso! ter- custos totais de x > 5 e receita total de x 5 > 1. Estar- perdendo dinheiro. Estaria melhor se não produisse 8uantidade al+uma. ,e (ato! para 8ual8uer preço p 2 D! a (irma escolher- o nível ero de produção.
CM+
$0
C%Me
20 0 0 1
2 3
$ 5
% #
8 & 10 11 12 13 1$ 15 1% 1# 18 1& 20
y
a3 ) > 5* ) > CMY 5 > Ds* s> CM% 03 > 5 > 1. Com um preço i+ual a 5 ele cobre os custos m#dios vari-veis. Ele produ para este preço carros. a3
) > D* ) > CMY BO
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma.
D > Ds* s> 1 rea sombreada com listas > receita total.
0(3 " (irma ter- o(erta i+ual a ero se o preço (or menor do 8ue . 0+3 " menor 8uantidade 0positiva3 8ue a (irma em al+um momento o(ertar- a 8ual8uer preço # " 8ue preço a (irma o(erecer- exatamente B unidades do produtoH
120 100
CM+
80 %0 $0
Solução
CMe
a3
CMY 0S3 > ?S5 1BS J ?
C%Me
b3
CME 0S3 > S5 OS J ? J 04S3
20
c3
0 0
1
2
3
$
5
%
#
8
& 1 0 11 12 13 1$ 15 1% 1# 18 1& 20
y
100 80 V e M %0 C , g $0 m C 20
Custos CMeS Receita total > )S ucros totais > R< 'C<
0
0d3 custo vari-vel m#dio cai : medida 8ue a produção aumenta se esta (or menor do 8ue e aumenta 8uando a produção aumenta para um nível de produção superior a . 0e3 custo mar+inal # i+ual ao custo vari-vel m#dio 8uando a produção #/
1
2
3
$
5
%
#
8
y
d3
CM% > S5 OS J ? Min CM% > 5S O > * S > D. )or tanto! o custo vari-vel m#dio cai a medida 8ue a produção aumenta se esta (or menor do 8ue D e aumenta para um nível de produção superior a D.
e3
CM% > CMY na primeira unidade produida e no ponto mínimo de custos m#dios vari-veis. "ssim/ S5 OS J ? > ?S5 1BS J ?! onde S > e S > D! onde est- o ponto mínimo de CM%.
(3
) > CMY > CM% CM% 0D3 > 1D. " (irma produir- ero 0S>3 se o )21D.
0b3 " (unção de custo m#dio da (irma # C) 0 (3 > . ,ica/ bserve 8ue os custos vari-veis totais são i+uais a c 0 (3 ' c 03. 0c3
'M(
0
2' Uma (irma competitiva tem a se+uinte (unção de custo de curto prao/ c 0 (3 > ($ ' O (2 J ? ( J .
0a3 " (unção de custo mar+inal da (irma # C)* 0 (3 > .
'M!
BP
+3
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma. x > S5 4 1 C< 0x3 > x . )x > 0S5 4 13 . 1 > S5 4 1 > C< 0S3 C< 013 > 1 u de outra maneira* S > 1 x * 1 > 1 x * x > 1! e como C< 0x3 > x.)x > 1 1 > 1.
" 8uantidade positiva 8ue a (irma o(ertar- a 8ual8uer preço # D 0no curto prao3 por8ue para 8uantidades in(eriores a D não cobre CM%. " curva de o(erta da (irma # a curva de CMY para )61D e S 6 D. )ara S >B* )0B3 > ?0B35 1B 0B3 J ? > D5
3' "nt[nio possui uma -rea de acres 0;.<. ' Um acre # uma medida de super(ície e8uivalente a !D hectare.3 plantada com repolho. Ele (orça sua mulher! Maria! e seu (ilho! @os#! a trabalhar no cultivo do repolho sem +anhar sal-rio. "dmita! por ora! 8ue a terra não possa ser usada para outra cultura 8ue não a do repolho e! tamb#m! 8ue Maria e @os# não encontrem 8ual8uer outra alternativa de empre+o. Lnico insumo pelo 8ual o "nt[nio tem 8ue pa+ar # o (ertiliante. $e ele usar x sacos de (ertiliante! a 8uantidade de repolhos 8ue colhe # 1 x. (ertiliante custa U$A 1 por saco.
0a3 Kual # o custo total do (ertiliante necess-rio para produir 1 repolhosH Kual # o custo total da 8uantidade de (ertiliantes necess-rias para produir ( repolhosH
b3
CMY > 5S41
c3
)S > 5 )S > CMY 0S3* 5S41 > 5* S > 1 )ara S > 1* x > S5 4 1 > 15 4 1 > 1 Π > 5 . 1 1 > 1
d3
)x > 1 e )S > 5* C<0S3 > x > 0S5 4 13 J ?
e3
)S > CMY 0S3* 5S41 > 5*
S > 1
Π > 5 . 1 01J?3 > '5 "nt[nio cultiva repolho se Π 0S3 6 Π 0o3! e como 5 não # maior 8ue ?
0b3 $e o Lnico modo 8ue "nt[nio tem para variar sua produção # pela variação na 8uantidade de (ertiliante aplicada : sua -rea de repolhos! enuncie a expressão do seu custo mar+inal como uma (unção de (. C)* 0 (3 > .
ele não cultivar-.
0c3 $e o preço do repolho # U$A 5 cada! 8uantos repolhos "nt[nio produir-H . Kuantos sacos de (ertiliante comprar- neste casoH . Kual ser- o seu lucroH .
4' $everino! o cultivador de plantas medicinais! # (amoso por seus produtos. $ua (unção de custo total # c 0 (3 > (5 J 1 para ( 6 e c 03 > . 0u seGa! seu custo de produção de ero unidades de produto # ero.3
0d3 $uponha 8ue os preços dos (ertiliantes e dos repolhos permaneçam como antes! mas "nt[nio percebe 8ue pode arranGar empre+os no verão para Maria e @os# numa lanchonete local. @untos! Maria e @os# +anhariam U$A ? pelo verão todo! soma 8ue "nt[nio poderia embolsar! mas eles (icariam sem tempo para trabalhar no cultivo do repolho. $em a sua mão'de'obra! "nt[nio não colhe repolho al+um. Kual # a+ora o custo total do $r. McYre+or de produção de ( repolhosH
0a3 Kual # a sua (unção de custo mar+inalH E 8ual a sua (unção de custo m#dioH
0e3 Ele deveria continuar a cultivar repolhos ou simplesmente colocar Maria e @os# para trabalhar na lanchoneteH Solução
a3
0b3 Com 8ual 8uantidade o seu custo mar+inal se i+uala ao seu custo m#dioH E 8ual 8uantidade minimia o seu custo m#dioH. 0c3 ;um mercado competitivo! 8ual # o menor preço ao 8ual ele o(erecer- uma 8uantidade positiva em um e8uilíbrio de lon+o praoH . E se o preço (or este! 8ual 8uantidade dos seus produtos ele o(erecer-H . Solução
a3 S > 1 )x > 1A
x
CMY 0S3 > 5S se S6 CMY 03 > se S > CME 0S3 > S J 014S3 se S6 CME 03 > se S >
b3
c3
CMY 0S3 > CME 0S3 5S > S J 014S3 se S6 5S5 > S5 J 1 ! onde S > 1C o nível de produção onde CME > CMY. u tamb#m* Min de CME 0S3 > 1 014S53 > ! onde S > 1C menor preço ao 8ual ele o(erecer- num e8uilíbrio competitivo de lon+o prao ser- o e8uivalente ao ponto mínimo de custos m#dios. CME 0 1C 3 > 5 1C > ) )ara este preço a 8uantidade produida # S > 1C
' )eter vende limonada em Filad#l(ia. $ua (unção de produção # f 0 x1! x53 > x114? x514?! onde x1 # o nLmero de libras de limão 8ue ele utilia 0;.<. ' Uma libra e8uivale a !DD 8uilo+ramas3 e x5 o nLmero de horas 8ue despende! espremendo'as. Como voc& G- deve ter percebido! sua (unção de custo # c031! 35! (3 > 531145 35145 (?45! onde ( # o nLmero de unidades produidas de limonada.
0a3 ,e um modo +eral! o custo mar+inal de Earl depende do preço dos lim7es e da taxa de sal-rios. "os preços 31 para os lim7es e 35 para o trabalho! seu custo mar+inal! 8uando ele produ ( unidades de limonada! # C)* 0 31! 35! (3 > . " 8uantidade 8ue Earl estar- o(ertando depende das tr&s vari-veis/ p! 31! 35! Como (unção dessas tr&s vari-veis! a o(erta de Earl # 0 p! 31! 353 > . 0b3 $e os lim7es custam U$A 1 por libra! a taxa de sal-rios # U$A 1 por hora e o preço da limonada # p! a (unção de custo mar+inal de Earl # C)* 0 (3 > e sua (unção de o(erta # 0 p3 > . Caso os lim7es custem U$A D por libra e a taxa de sal-rios seGa U$A P por hora! sua (unção de o(erta passa a ser 0 p3 > . Solução
0a3 CM+0S3 > ?11455145S145 p > Cm+0S3 $0p3 > p540P153 0b3 Cm+0S3 > ?S145 $0p3 > p54P 5' Como voc& pode bem lembrar do capítulo sobre as (unç7es de custo! a produção de peças de artesanato de Irma (orma uma (unção de produção
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma. f 0 x1! x53 > min _ x1! 5 x5 `145! onde x1 # a 8uantidade utiliada de pl-stico! x5 a 8uantidade de trabalho empre+ada e f 0 x1! x53 # o nLmero de ornamentos de Gardim produidos. $eGa 31 o preço da unidade de pl-stico e 35 o sal-rio por unidade de trabalho. 0a3 " (unção de custo de Irma # c 0 31! 35! (3 > . 0b3 $e 31 > 35 > 1! então! para Irma! o custo mar+inal de produção de ( unidades de produto # C)* 0 (3 > . nLmero de unidades de produto 8ue ela o(ereceria ao preço p # 0 p3 > . Com esses preços de (atores! seu custo m#dio por unidade de produto seria C) 0 (3 > . 0c3 $e o preço competitivo de ornamentos de Gardim 8ue ela vende (or p > DO e 31 > 35 > 1! 8uantas unidades ela produir-H . E 8ual ser- o seu lucroH 0d3 ,e modo mais +en#rico! aos preços de (atores 31 e 35! o custo mar+inal de Irma # uma (unção C)* 0 31! 35! (3 > . Com esses preços de (atores e um preço p para o seu produto! o nLmero de unidades de produção 8ue ela decidiro(ertar # dado por 0 p! 31! 353 > . Solução
0S35 > min_x1! 5x5`1455 S5 > min_x1! 5x5`* S5 > x1 * S5 > 5x5 C01! 5! S3 > x11J x55 > S51J 0S54535 C01! 5! S3 > 01J5453S5 b3 CM+0S3 >? S* p >?S* $0p3 > p4? CMe0S3 > 0?453S a3
c3
$0DO3 > DO4? >1B Π > DO1B'0?45301B35 > ?OD
d3
CM+01! 5! S3 > ?S01J5453 $0p3 > p4?01J5453
?' )ro(essor )ardal conse+ue extrair san+ue de pedra. $e ele tiver x pedras! o nLmero de bolsas de san+ue 8ue obt#m delas # f 0 x3 > 5 x14?. "s pedras custam para o )ro(essor U$A 3 cada uma e ele conse+ue vender cada bolsa de san+ue por U$A p.
a3 ,e 8uantas pedras o )ro(essor )ardal precisa para obter ( bolsas de san+ueH b3 Kual # o custo de obtenção de ( bolsas de san+ueH 1
c3 Kual # a (unção de o(erta do )ro(essor )ardal 8uando as pedras custam! cada uma! U$A OH E 8uando custam U$A 3 cadaH d3 $e o )ro(essor )ardal tiver 1P parentes com a mesma capacidade de extrair san+ue de pedra! 8ual # a (unção de o(erta a+re+ada de bolsas de san+ue 8uando as pedras custam! cada uma! U$A 3H Solução
a3 S > ( 0x3 > x 14?! de onde x > 0S453? b3 C< 0x3 > .x > . 0S453? c3 C< 0>O3 > S? CMY 0>O3 > ?S5 * ) >?S5 # a (unção de o(erta e S > 0p4?3145 # a (unção de o(erta inversa. C< 0>3 > . 0S453? CMY 0>3 > 0?4O3 . S5 > ) # a (unção de o(erta e S > 0Op4?3 145 # a (unção de o(erta inversa n
d3 (erta inversa* $0p3 >
1i0 p3 * $0p3 > 5 0Op4?3 ∑ =
145
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma. 0e3 $e a Re(inaria não puder mais obter os primeiros barris de petrNleo cru ao preço de U$A ! mas! ao inv#s! tiver 8ue pa+ar U$A 1 por todo petrNleo cru 8ue ad8uirir! de 8uanto variaria a sua 8uantidade produidaH 0(3 $uponha a+ora 8ue # introduido um pro+rama o(icial 8ue permite -s re(inarias comprarem a U$A cada 8ual8uer barril de petrNleo cru pelo 8ual antes pa+ariam U$A 1. Kual ser- a+ora a curva de o(erta da Re(inaria Miss MannersH "dmita 8ue possa tamb#m comprar (raç7es de barril. Mar8ue esta nova curva de o(erta no +r-(ico com tinta preta. $e a curva de demanda # horiontal a U$A ? o barril! 8ual 8uantidade de +asolina a Miss Manners passar- a o(ertar a+oraH Solução
a3 CMY 0S! p3 > S J p b3
≤ F3 = ( 4 5 + F (* C)* 0 ( ≤ F3 = ( + F 5 CT 0 ( > F3 = ( 4 5 + 1F (* C)* 0 ( > F3 = ( + 1F CT 0 (
5
i 1
@' " Re(inaria Miss Manners! em ,rS Roc^! ^lahoma! converte petrNleo cru em +asolina. )ara cada barril de +asolina produido! # necess-rio 1 barril de petrNleo cru. "l#m do custo do petrNleo! h- outros custos envolvidos no re(ino da +asolina. s custos totais de produção de ( barris de +asolina são descritos pela (unção de custo c 0 (3 > (545 J p@ (! onde p@ # o preço do barril de petrNleo cru.
0a3 Enuncie a expressão do custo mar+inal de produção de +asolina como uma (unção de p@ e de (.
c3
= C)* = C)* 0 ( ≤ F3 1 0 p3 = p − F p = C)* 0 ( > F3 1 0 p3 = p − 1F p p
0b3 "dmita 8ue a re(inaria possa comprar barris de petrNleo cru a U$A o barril! mas 8ue deva pa+ar U$A 1 por barril adicional 8ue comprar al#m desses . " curva de custo mar+inal da +asolina ser- at# barris de +asolina e a partir daí. 0b3
5
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma. p
$0)3
100 &0 80
0a3 $e o preço do milho (or U$A por bushel! de 8uanto ser- a produção de milho deste (aendeiroH
#0 %0 50 $0 30
0b3 Kual # a curva de o(erta de milho do (aendeiro como uma (unção do preço do milhoH 0c3 +overno decide a+ora introduir um pro+rama de )a+amento em Esp#cie 0)E$3. $e o (aendeiro decidir produir ( bushels de milho! receber-! dos esto8ues do +overno! 0D (345 bushels. Enuncie a expressão dos lucros do (aendeiro como (unção de sua produção e do preço de mercado do milho! levando em consideração o valor do pa+amento em esp#cie recebido.
,"
20 10 0 0
5 10 15 20 25 30 35 $0 $5 50 55 %0 %5 #0 #5 80 y
d3 ) > CMY ? > S J * e3 ) >CMY ? > S J 1* ∆S > 1'5 > '1
0d3 "o preço de mercado p! 8ual ser- a produção de milho do (aendeiro 8ue maximia o seu lucroH 5
0e3 $e p > U$A 5! 8uantos bushels de milho ele produir-H E 8uantos bushels ele obter- dos esto8ues do +overnoH
S > 1
(3 " nova curva de o(erta não seria mais descontínua em S > sendo uma (unção contínua ) > S J 0linha descontínua no +r-(ico3 e a 8uantidade de +asolina o(ertada para )>? # 5. + &0 80
$0)3
#0 %0 50 $0 30 20
,"
0(3 $e p > U$A ! 8ual a produção de milho 8ue ser- o(ertadaH E 8uantos bushels de milho o (aendeiro obter- dos esto8ues do +overno! admitindo 8ue ele decida por inscrever'se no pro+rama )E$H 0+3 Enuncie a (Nrmula para o tamanho do pa+amento do pro+rama )E$ para 8ual8uer preço entre p > U$A 5 e p > U$A . 0h3 Kual # a 8uantidade de milho 8ue o (aendeiro o(ertar- ao mercado 0contando tanto com a sua produção como com o pa+amento do pro+rama )E$3 como uma (unção do preço de mercado pH 0i3
10 0 0
5
10 1 5 2 0 25 30 3 5 $0 $5 50 5 5 %0 %5 #0 # 5 8 0 *
>' $uponha 8ue um (aendeiro tenha uma (unção de custo de produção de ( bushels de milho 0;.<. Um bushel # uma medida de capacidade prNxima a ? litros.3! dada pela expressão c 0 (3 > 0 (5453 J (.
a3
CMY 0S3 > 0S413 J1 ) > CMY > 0S413 J 1* onde S > D
b3
) > 0S413 J1 ?
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma.
$0p3 > 1p 1 c3 d3
Π > p S J 0D'S345 p ' 0S545 J S3 Π (
> p '145 p S41 ' 1 >
S > p ' 1 # a 8uantidade 8ue maximia os lucros do produtor. 1' Considere uma (unção Custo 1S5 J B e responda/ i3 Kual a e8uação da curva de o(ertaH ii3 " 8ue nível de produção o custo m#dio total ser- minimiadoH iii3 Kual o nível de produção a ser realiado 8uando ) > H iv3 Kual a variação dos lucros 8uando S se eleva de D para H Solução
e3
)ara ) > 5 ele produ bushels de milho. Ele receber- do +overno 0D' 345! ou seGa! 5 bushels de milho 8ue para um preço i+ual a 5 dNlares ser- na sua receita D dNlares.
(3
)ara ) > ele produir- 1 bushels de milho. Ele receber- do +overno 0D'1345! ou seGa 15! bushels de milho 8ue a dNlares ser- um total de B5! dNlares.
+3
)a+amento > 0D ' p J13455> 05 5! p 3p
h3 1 Tota# 0 p 3
= F p − 1 +
( D − ( ) = 1 p − 1 + D − 0F p − 13 5
= F p − 1 + 5F − 5!F p 1 Tota# 0 p 3 = 5!F p + 1F 1 Tota# 0 p 3
i3
5
i3 ii3 iii3 iv3 v3
) > ? S CME > 1 S J B4S Min CME > 1 B4S5 > ! onde S >5 > ? S! onde S > 5?!? Π 0D3 > D 1D5 J B > 51.D Π 03 > 15 J B > 5O.5 vi3 variação de lucros > B.O 11' Considerando 8ue a receita total de uma (irma # dada pela e8uação/ R< > B8 ' 585 e 8ue seu custo total # dado por C< > 8? ' B85! identi(i8ue as 8uantidades relativas a/ i3 E(ici&ncia m-xima 0mínimo custo3* ii3 Receita total m-xima* iii3 ucro m-ximo. Solução
a3 CME > 85 B8 Min CME * 58 B > ! onde 8>?. s custos m#dios são os mínimos 8uando a (irma produ ? b3 R< > B8 585 D
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma. S > 1 x1 145 . x?145 > 1 )MY1 > 0x?4x13145 )MY? > 0x14x?3145
Max R<* B D8 > ! onde 8 > 1. " receita # m-xima 8uando a (irma produ 1. c3 Π > B8 585 8? J B85 Π > B D8 ?85 J 158 > ! onde 8 > B
'
-
12' ,emonstre o se+uinte teorema sobre a (unção de custo vari-vel m#dio/ T ponto de mínimo do Custo %ari-vel M#dio # i+ual ao custo mar+inal! sendo este crescente.
P)01 P)0?
13' ,emonstre analiticamente 8ue a elasticidade do Custo
=
CT -
/
CT .
=
CT -
.
. CT
=
CT CT
.
a
>
1 5
* onde 5x? > x1
b3 (
( ( x1
=
1 D
(
*
x 5
x1
(
=
1 D
*
x 5
( x?
=
1 5
x?
1' Em continuação da 8uestão anterior admita 8ue o (ator x? >1DD seGa (ixo nessa 8uantidade e determine abaixo as express7es de custo de curto prao/
a3 Custo C0S3 b3 Custo Fixo/ CF > c3 Custo M#dio/ CMe > C0S3 4 S d3 Custo Unit-rio %ari-vel/ CU% > C%0S3 4 S d3 Custo Mar+inal/ CM+ > dC0S3 4 dS Solução
14. ,ada a (unção de produção S > 1 x1!5 x5 !5 x? ! e conhecendo'se os preços dos (atores como 1 > 5 >5 e ?>D ! respectivamente para x1 ! x5 e x?/ a3,etermine a posição de e8uilíbrio da (irma! com as 8uantidades dos (atores 0x 1! x5 e x?3 para uma produção S > 1. b3Calcule as elasticidades do produto 0S3 em relação aos (atores de produção 0x 1! x 5 e x?3.
a3 S > 1x1 14D. x5 14D .x? 145 > 1 1 > 5 > 5 e ? > D! lo+o!
x1
! sendo esta Lltima expressão a
elasticidade do Custo
Solução
x?
S > 1. 5145 . x?145 . x?145 > 1! de onde x? > 145
Solução
;a re+ião em 8ue os custos vari-veis m#dios esteGam aumentando! os custos mar+inais terão de ser maiores 8ue os custos vari-veis m#dios são os custos mar+inais maiores 8ue empurram a m#dia para cima! ou seGa a curva de custo mar+inal tem de situar'se abaixo da curva de vari-vel m#dio! : es8uerda do seu ponto de mínimo e acima dele! : direita! o 8ue implica 8ue a curva de custo mar+inal tem de cortar a curva de custo vari-vel m#dio em seu ponto de mínimo.
=−
= 1x 1 14D .x 5 14D x ? 145 14D ( = 1x 1 x 5 14D 1DD145 14D S = 15x 1 x 5 14D S
D
( 15 x 1 4 D 1 C = 31 x1 + 3 5 x 5 + 3? x? C = 5 x1 + 5 x 5 + D01DD3
a3 x = 5
$ubstituindo x5 na (unção de custos! temos/
Caderno de Exercícios de Microeconomia I. Universidade Federal Fluminense. Cap!t"#o 11. A oferta a firma.
( + FRB 15 = =D 5
D
( 15 x 1 4 D + D01DD3 1 D 5 ( C = 5 x1 + + FRB x1 15
C = 5 x1 + 5
C)e0 ( 3 C)e0 ( 3
x 1
= 5−
( = 5 x1 15
C)* 0 ( 3
D
( D x1 = 15
14 5
5
5
D
( = 14 5 ( 15C 15C
D
5 ( = 15C
$ubstituindo x1 e x5 na (unção de custos! temos/ C = 5 x1
+ 5 x 5 + FRB
( + 5 ( + FRB C 0 ( 3 = 5 15 15 ( + FRB C 0 ( 3 = D 15 5
5
b3 C = FRB c3
+
15 (
+
FRB (
FRB (
=
C2 0 ( 3 (
=D
( 15
5
=
O( 15 5
Solução
$ubstituindo x1 em x5! temos/ x 5
15 5
5
15' )or 8ue no curto prao al+umas (irmas poderão operar com preGuíoH
( = 15
( = 14 D ( 15C 15C
(
(
( 5
e3
( 5= 5 x1 15 5
(
=D
CU2 0 ( 3
D
5
C 0 ( 3
d3
Minimiação de Custos/ C
=
D
5
Elas operarão com preGuío na medida em 8ue seGam capaes de cobrir seus custos vari-veis m#dios. ;este sentido! a medida do preGuío 8ue # possível para uma (irma suportar no curto prao # seu custo (ixo! ser- melhor para a empresa encerrar suas atividades 8uando/
− > p( − C2 0 ( 3 − C2)e0 ( 3
=
C2 0 ( 3 (
> p
u seGa! se os custos vari-veis m#dios (orem maiores do 8ue p! a empresa (icarmelhor se (abricar ero unidade de produto. 0'F são os lucros de (abricar ero unidade de um produto3 1?. Em 8ual das se+uintes situaç7es a (irma competitiva (a lucro eroH/
"3 $e o preço de mercado (or i+ual ao mínimo custo vari-vel m#dio de produção* 3 $e o preço de mercado (or menor 8ue o mínimo custo vari-vel m#dio de produção* C3 $e o preço de mercado (or i+ual ao mínimo custo m#dio de produção* "3 $e a receita mar+inal (or maior 8ue o custo mar+inal. B
