CÁLCULO DE ÁREAS SOMBREADAS.docx

CÁLCULO DE ÁREAS SOMBREADAS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 1) En la figura se tiene un cuadrado de lado ℓ = 4 cm. En las esquinas se tiene 4 cuadrados de lado ℓ/3. Calcular el área de la región sombreada

Solución: a) Cálculo del área del cuadrado de ℓ = 4 cm : A

= ℓ2 = 4cm!2 = "# cm2

b) Cálculo del área del cuadrado de lado ℓ/3: 2  4 cm  = "# cm 2 = "&$% cm 2  ÷     3 ' A = c) Cálculo del área de la región sombreada (rea )ombreada = A * 4A = "# (rea )ombreada

 = "#

cm

2

− $&"2

cm

2

cm

2

= %&%%

− 4 ×"&$% cm

cm

2

!

2

) Calcular el área de la región sombreada

Solución: a) Cálculo del área del c+rculo 2 2 2 2 2  AΟ = π r  ⇒  AΟ = π   4cm! = π  ×"#cm = 3&"4 ×"#cm = ,-&24 cm b) Cálculo del área del cuadrado )i el radio de la circunferencia es 4cm& entonces el lado del cuadrado es % cm& es decir& )i r Ο  = 4 cm ⇒ ℓ = %cm Entonces el área del cuadrado es: A

= ℓ2 = %cm!2 = #4 cm2

c) Cálculo del área de la región sombreada

)e obtiene al restar el área del c+rculo de la del cuadrado −

"

"   3 =     ÷  2$ cm  el θ !) Calcular el área de la región sombreada sector circular! en donde r 

tiene un tercio de 3#--

Solución: a) Cálculo del radio r: −

  "

  r  =  ÷    2$ )i

"

" 3

cm

 2$  3

"

=  ÷ = ( 2$) 3 = 3   "   ⇒ r 

2$

=3

cm

b) Cálculo del ángulo θ: θ  =

" 3

×3#-

-

= "2-

-

c) Cálculo del área del sector circular:

") Calcular el área de la región sombreada corona circular! en donde r 2

Solución: a) Cálculo del radio sub dos: )i

r 2 =

4

2

4 cm ⇒ r 2

=4

2 4 cm

b) Cálculo del radio sub uno:

=4

" 2 cm

= 2 4" cm = 2

cm

=

4

4 2 cm.

)i

r "

= 2r 2 ⇒ r " = 2 ×2

cm

→ r " = 4

cm

c) Cálculo del área del c+rculo de radio sub dos: 2 2 2  AΟ = π r  ⇒  Aο 2 = 3&"4 × 2 cm! = 3&"4 ×4 cm = "2&,#

cm

2

#) Cálculo del área del c+rculo de radio sub uno: $) Cálculo del área de la corona circular 

−

%) Calcular el área de la región sombreada traecio circular! en donde

Solución: a) Cálculo del radio sub uno: −

"

"

"   2  "#  2 " =   r " =    ÷  ÷    "# "  2 )i cm ⇒ cm = ("#) cm = ⇒ r "  = 4 cm r "

b) Cálculo del radio sub uno: r " 4 cm = 2 cm r 2 = r 2 = 2 2 )i ⇒ c) Cálculo del sector circular de radio sub uno:

#) Cálculo del sector circular de radio sub dos:

$) Cálculo del área del traecio circular:

2

"#" cm

r "

" 2

"   =     ÷  "# cm .

−

"

2 &) 0e una i11a se a comido #4  como indica la figura:

a i11a cabe eactamente en una ca5a cuadrada que tiene el área  la longitud del arco de la arte comida.

Solución'( Pi*$a +o*a: a) Cálculo del lado de la ca5a cuadrada =

)i el er+metro es  P  = 4 ⇒

 P 

=



4

 ⇒

⇒  Diámetro  D! = 4-

cm

"#- cm = 44

cm

b) Cálculo del radio de la i11a )i



= 4-

 D

)i

= 4-

cm

cm

⇒ radio r ! =

 D

2

⇒ r  =

4-

cm

2

= 2-

cm

c) Cálculo del área total de la i11a #) Cálculo del área de la arte comida " −

Como la arte comida es Entonces:

#4

" 2

= #4

" 2

=2

$) Cálculo del er+metro de la i11a  P Ο = 2π r  ⇒  P  = 2 ×3&"4 ×2-cm = "2,&#

" " = #4" %

cm

de la i11a&

"#- cm de er+metro. Calcular 

+) Cálculo de la longitud del arco de la arte comida 

a =

"



 P Ο ⇒ a =

%

" %

×"2,&#cm = ",&$ cm

Solución'( S$,un#a +o*a: a) Cálculo del lado de la ca5a cuadrada  P 

=

= 4 ⇒

 P 



4

 ⇒

⇒  Diámetro  D! = 4-

cm

)i el er+metro es

=

"#- cm = 44

cm

b) Cálculo del radio de la i11a )i



= 4-

 D

)i

= 4-

cm

cm

⇒ radio r ! =

 D

2

⇒ r  =

4-

cm

2

= 2-

cm

c) Cálculo del ángulo θ 3#- 3#- ⇒ θ  = = 4, θ  = % n #) Cálculo del área de la arte comida

$) Cálculo de la longitud del arco de la arte comida 2π r θ  2 ×3&"4 ×2- cm ×4,  ⇒ a6 = = ",&$ cm a = 3#- 3#- -o.a: 7ecuerde que tanto en 8atemática como en la 9ida diaria el mismo roblema tiene 9arias formas de solución. En este conteto& la 8atemática cumle un rol estratgico& a que esta ciencia ermite 9er soluciones en donde otros no obser9an.

/) Calcular el área de la región sombreada en donde cm.

−

"

  2  ÷  2   #4 "-d= cm  b = "

  "

Solución: a) Cálculo de la diagonal: "

" 2 )i d = "-- 2 cm ⇒ d  = "-- cm = "-

cm

b) Cálculo de la base: −

  "

"

"

 #4  2

"   b= = ( #4) 2 = 2 #4" = %   ÷  ÷   "   )i b = #4 cm ⇒ 2

cm

c) Cálculo de la altura alicando el ;eorema de
2

= a2 + b2 ⇒ a =

a =

"-

cm!

2

d 

2

− % cm!

− b2

2

"--

=

cm

2

− #4 cm

2

=

3#

cm

2

=

#

cm

#) Cálculo del área de la región intada& la misma que es un triángulo:

×

b a

=

 = 2

A

%

cm

×#

cm

2

4%

=

cm

2

2

= 24

cm

2

"

0) )i d = # ×2  cm. Calcular el área de la región sombreada 2

Solución: a) Cálculo de la diagonal " 2

2 " )i d = # ×2  cm ⇒ d  = # × 2

cm

⇒ d  = # 2

cm

b) Cálculo del lado del cuadrado d 

2


=

(#

2

cm

2

)

2

2

2

2

=  +  ⇒ d  = 2 ⇒  =

2

=

3# ×2 2

cm

2

=

3#

cm

2

d 

=#

2

2 cm

c) Cálculo del área del cuadrado

#) Cálculo del área del triángulo sin sombrear 

$) Cálculo del área sombreada

EJERCICIOS DE REUER2O "! El área de un rectángulo equilátero cua diagonal mide 2 cm es> a! 2 cm2 b!4 cm2 c! " cm2

d! 3 cm2 a!

2! El área de la figura es:

a! "- cm2

b! "2 cm2

c! "4 cm2

d! "# cm2  b!

3! En la figura se tiene un cuadrado de lado 2a. En las esquinas se tiene 4 cuadrados de lado a/2& entonces el área sombreada es:

a! 2 a2

b! 3 a2

c! # a2

d! % a2  b!

4! El centro de un cuadrado de 2 cm de lado coincide en el 9rtice de otro cuadrado congruente. Cuál es el área en cm2& de la arte com?n de estos dos cuadrados>

a! " cm2

b! "&, cm2

c! 2 cm2

d! 2&, cm2 a!

,! Calcular el área sombreada de la siguiente figura

a! "3/2 cm2

b! "3 cm2

c! ",/2 cm2

d! $&, cm2 a!

#! El lado del cuadrado es # cm. Calcular el área de la región sombreada

a! 3#*@! cm2

b! 44*@! cm2

c! 4'*@! cm2

d! 3#*4@! cm2 a! $! El radio de la circunferencia es 2cm. Calcular el área de la región sombreada

a! 3#*@! cm2

b! 44*@! cm2

c! 44*@! cm2

%! )i r=4 cm. Calcular el área de la región sombreada

d! ,*4@! cm2 c!

a! 4#@ cm2

b! 44@ cm2

c! 4-@ cm2

d! 32@ cm2 d!

'! El lado del cuadrado es 4 cm. Calcular el área de la región sombreada

a! 4 cm2

b! # cm2

c! % cm2

d! "# cm2 c!

"-! Calcular el área de la región sombreada

a! "% cm2

 b! 3# cm2

c! "# cm2

d! 4' cm2  b!

""! Calcular el área de la región sombreada

a! #4@ cm2

b! 32@ cm2

c! "#@ cm2

d! %@ cm2  b!

"2! El área de la región sombrea es:

a! 4 cm2

b! # cm2

c! % cm2

d! "- cm2

c! "3! Con #2, baldosas cuadradas de 2-cm de lado se desea embaldosar una sala cuadrada. Cuál es largo de la sala> a! 2, m b! , m c! 4 m d! "- m  b! "4! )e desea recortar un ese5o de forma circular de radio 3- cm a artir de un cuadrado. Cuál es el área del menor cuadrado>

a! 3#-- cm2

b! 24- cm2

c! '-- cm2

d! "--- cm2 a!

c! "#,*@! cm2

d! 2#4*@! cm2 a!

",! Calcular el área de la región sombreada

a! "#4*@! cm2

b! 4"#*@! cm2

"#! Calcular el área de la región sombreada corona circular! en donde

r 

2

=2

cm

a! "2@ cm2

b! "#@ cm2

c! ,@ cm2

d! 4@ cm2 a!

"$! Calcular el área de la región sombreada traecio circular! en donde r "= 4 cm

a! 2@ cm2

b! 4@ cm2

c! 3@ cm2

d! #@ cm2 c!

"%! )i el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreada

a! 44*@! cm2

b! 4@*"! cm2

c! 4,*@! cm2

d! 4@*2! cm2 a!

"'! )i el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreada

a! "#@*"! cm2

b! 4@ cm2

c! 3@ cm2

d! %@*2! cm2 d!

2-! )i el lado del cuadrado mide 4 cm. Calcular el área de la región sombreada

a! "#@*2! cm2

b! %@*2! cm2

c! 4@*2! cm2

d! 2@*4 cm2  b!

2"! Calcular el área de la región sombreada en donde d ="- cm  b =% cm.

a! 24 cm2

b! 44 cm2

c! 4% cm2

d! "2 cm2 a!

22! El diámetro de la circunferencia es 4 cm. Calcular el área de la región sombreada

a! % cm2

b! "# cm2

c! 32 cm2

d! #4 cm2 a!

23! En la figura& el er+metro del cuadrado es

4 2

. El área sombreada es:

a! 4@*2

b! 3@*2

c! 2@*"

d! @*2 d!

REERE-CIAS BIBLIO3RÁICAS AAA& B7A0B& 2--#!& 8atemática 7ecreati9a& 8 D  F7(GHC. Hbarra& Ecuador  )I(7EJ& 8A7HB KEAC(JA7& 8arco& 2--2!& Inidades ara