Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Mecánica Departamento de Tecnología de Producción Producción 1
7-1 Inferencia estadística
El campo de la inferencia estadística esta formado por los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener concusiones sobre una población. Estos métodos utilizan la información contenida en una muestra de la población para para obtener conc1usiones. conc1usiones. La figura 6-1 indica la relación que existe entre una población y una muestra
7-1 Inferencia estadística
El campo de la inferencia estadística esta formado por los métodos utilizados para tomar decisiones o para obtener concusiones sobre una población. Estos métodos utilizan la información contenida en una muestra de la población para para obtener conc1usiones. conc1usiones. La figura 6-1 indica la relación que existe entre una población y una muestra
7-1 Inferencia estadística
La inferencia estadística puede dividirse en dos grandes aéreas: •
Estimación de parámetros
•
Prueba de hipótesis.
7-1 Inferencia estadística Estimación de parámetros: Como ejemplo, supóngase que un ingeniero de estructuras analiza la resistencia a la tensión de un componente empleado en la carrocería de un automóvil. Puesto que la variabilidad existe de manera natural en la resistencia a la tensión entre distintos componentes, componentes, debido a diferencias en los lotes de materia prima, en el proceso de fabricación y en los procedimientos de medición (por ejemplo), el ingeniero esta interesado en estimar la resistencia a la tensión promedio de los componentes.
El conocimiento de las propiedades de muestreo estadísticas del estimador utilizado, permite al ingeniero establecer la precisión del valor estimado. estimado.
7-1 Inferencia estadística La prueba estadística de hipótesis es un marco de referencia para resolver problemas donde se establecen conjeturas sobre resultados posibles cuando se analizan dos valores diferentes de la variable a evaluar Considérese una situación donde pueden emplearse dos temperaturas de reacción diferentes en un proceso, químico, t 1 y t 2 . El ingeniero establece la conjetura de que la temperatura t 1 dará como resultado rendimientos mayores que t 2 .
En este caso, la hipótesis es que el rendimiento promedio con la temperatura t 1 es mayor que el que el rendimientos promedio con la temperatura t 2 Nótese que no se hace hincapié en la estimación de los rendimientos; en su lugar, la atención se centra en obtener conclusiones sobre la hipótesis planteada.
7-2 Muestreo Aleatorio En muchos problemas estadísticos, es necesario utilizar una muestra de observaciones tomadas de la población de interés con objeto de obtener conclusiones sobre ella. Una POBLACION está formada por la totalidad de las observaciones en las cuales se tiene interés.
Una MUESTRA es un subconjunto de observaciones de una población.
7-2 Muestreo Aleatorio En cualquier problema particular, la población puede ser pequeña, grande pero finita o infinita. El número de observaciones en la población recibe el nombre de tamaño de la población. Por ejemplo, el ingreso de los habitantes a un país, y el número de botellas con un contenido menor de bebida en un día de producción, son poblaciones de tamaño finito. Las observaciones obtenidas al medir todos los días el nivel de monóxido de carbono, es una población de tamaño infinito. Por otra parte, un ingeniero de estructuras puede considerar que la población de resistencias a la tensión tiene una distribución normal con media µ y varianza 2 .Puede hacerse referencia a este hecho diciendo que es una población normal o que es una población normalmente distribuida
7-2 Muestreo Aleatorio En muchos problemas de inferencia estadística, es imposible o poco practico observar toda la población. Por ejemplo, no es posible probar la resistencia a la tensión de todos los elementos estructurales de las carrocerías, ya que esto se lleva mucho tiempo y tiene un costo alto. Por otra parte, algunos (quizás muchos) de los elementos estructurales todavía no existen en el momento en que tiene que tomarse una decisión, así que, en gran medida, la población debe verse como algo conceptual. En consecuencia, se depende de un subconjunto de las observaciones provenientes de la población que sean de ayuda para tomar decisiones sobre esta.
7-2 Muestreo Aleatorio Para que las inferencias sean validas, la muestra debe ser representativa de la población. A menudo resulta atractivo seleccionar las observaciones mas convenientes como muestra o ejercitar el juicio en la selección de la muestra. Es frecuente que estos procedimientos introduzcan un sesgo en la muestra, lo que trae como consecuencia que el parámetro de interés sea subestimado (o sobrestimado) por la muestra. Por otra parte, no es posible describir de manera estadística el comportamiento de una muestra de este tipo. Para evitar estas dificultades, es deseable seleccionar una muestra aleatoria como el resultado de un mecanismo aleatorio. En consecuencia, la selección de una muestra es un experimento aleatorio, y cada observación de la muestra es el valor observado de una variable aleatoria. Las observaciones en la población determinan la distribución de probabilidad de la variable aleatoria.
7-2 Muestreo Aleatorio Para definir una muestra aleatoria, sea X la variable aleatoria que representa el resultado de tomar una observación de la población. Sea f(x) la función de densidad de probabilidad de X. Supóngase que cada observación en la muestra se obtiene de manera independiente, bajo las mismas condiciones. Esto es, las observaciones de la muestra se obtienen al observar X de manera independiente bajo condiciones que no cambian, digamos, n veces.
Sea X la variable aleatoria que representa la i-esima réplica. Entonces X 1 ,X 2 , ••• , X n constituyen una muestra aleatoria, donde los valores numéricos obtenidos son x1 ,x2 , ••• , xn .
7-2 Muestreo Aleatorio Las variables aleatorias en una muestra aleatoria son independientes, con la misma distribución de probabilidad f(x) debido a que cada observación se obtiene bajo las mismas condiciones. Esto es, las funciones de densidad de probabilidad marginal de X 1 ,X 2 , ••• , X n son f(x1), f(x2 ), ••• ,f{xn ), respectivamente, y por independencia, la función de densidad de probabilidad conjunta de la muestra aleatoria es fx1 x2 ••• X n (x1 ,x2 , ••• , xn ) = f(x1) f(x2 ) ••• f{ xn )
Las variables aleatorias (X 1 ,X 2 , ••• , X n ) constituyen una muestra aleatoria de tamaño n, si a) las X; son variables aleatorias independientes , y b) todas las X tienen la misma distribución de probabilidad.
7-2 Muestreo Aleatorio EI propósito principal de la toma de una muestra aleatoria es obtener información sobre los parámetros no conocidos de la población.
Supóngase, por ejemplo, que se desea alcanzar una conclusión acerca de la población de habitantes de un País que prefieren una marca particular de refresco. Sea p el valor no conocido de esta proporción. Resulta poco practico interrogar a cada persona de la población para determinar el verdadero valor de p. Para hacer una inferencia con respecto a la proporción verdadera p, un procedimiento mas razonable consiste en seleccionar una muestra aleatoria (de un tamaño apropiado) y utilizar la proporción observada р̂ de personas en la muestra que prefieren cierta marca de refresco.
7-2 Muestreo Aleatorio La proporción de la muestra, р̂ , se calcula dividiendo el número de personas de la muestra que prefieren una marca particular de refresco entre el temario total de la muestra, n. Por tanto , р̂ es una función de los valores observados en la muestra aleatoria. Puesto que es posible obtener muchas muestras aleatorias de una población, el valor de р̂ cambiara de una a otra. Esto es р̂ es una variable aleatoria. Esta variable aleatoria se conoce como estadística.
Una estadística es cualquier función de las observaciones contenidas en una muestra aleatoria
7-2 Muestreo Aleatorio Hasta el momento, se han considerado varias estadísticas. Por ejemplo, si X 1 ,X 2 , ••• , X n , es una muestra aleatoria de tamaño n, 2 entonces la media muestral X ̅ , la varianza muestral S , y la desviación estándar muestral S , son estadísticas. El proceso de obtener conclusiones sobre poblaciones con base en datos contenidos en una muestra, hace un uso considerable de estas estadísticas. Puesto que una estadística es una variable aleatoria, esta tiene una distribución de probabilidad. Se conoce como distribución de muestreo a la distribución de probabilidad de una estadística.
7-2 Muestreo Aleatorio Una aplicación muy importante de la estadística es obtener estimaciones puntuales de parámetros tales como la media y la varianza de la población. Cuando se estudian problemas de inferencia, es conveniente tener un símbolo general para representar el parámetro de interés; para ello se hará uso de la letra griega θ (theta). El objetivo de la estimación puntual es seleccionar un número, con base en los datos de la muestra, que sea el valor mas plausible de θ. El valor numérico de alguna estadística de la muestra es el que será utilizado como estimación puntual.
7-2 Muestreo Aleatorio En general, si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), caracterizada por el parámetro no conocido θ, y si X 1 ,X 2 , ••• , X n , es una muestra aleatoria de X de tamaño n, entonces la estadística Θ =h(X 1 ,X 2 , ••• , X n ) recibe el nombre de estimador puntual de θ. Nótese que Θ es una variable aleatoria, ya que es una función de variables aleatorias. Después de que se ha seleccionado la muestra, Θ toma un valor numérico particular θ̑ denominado estimación puntual de θ.
7-2 Muestreo Aleatorio
7-2 Muestreo Aleatorio
7-2 Muestreo Aleatorio
7-4 Distribuciones de muestreo La media muestral es una estadística; esto es, una variable aleatoria que depende de los resultados obtenidos en cada muestra particular.
Dado que una estadística es una variable aleatoria, entonces tiene una distribución de probabilidad. Por ejemplo, la distribución de probabilidad de ¯ X ̅ se conoce como distribución de muestreo de la media. La distribución de muestreo de una estadística depende de la distribución de la población, del tamaño de la muestra y del método utilizado para seleccionar esta.
7-4 Distribuciones de muestreo
7-4 Distribuciones de muestreo
7-2: Teorama de Límite Central
Si X 1 ,X 2 , ••• , X n , es una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población (finita o infinita) con media µ y varianza finita ² y si X ̅ , es la media muestral, entonces la forma límite de la distribución de
Cuando n
œ
es la distribución normal estándar
7-4 Distribuciones de muestreo 7-2: Teorama de Límite Central
Aunque en muchos casos, el teorema del límite central funciona bien para muestras pequeñas (n=4, 5), en particular donde la población es continua, unimodal y simétrica, en otras situaciones se requieren muestras grandes, dependiendo de la forma que tenga la población. En muchos casos de interés práctico, si n > 30, la aproximación normal será satisfactoria sin importar cual sea la forma de la población. Si n < 30, el teorema del límite central funciona si la distribuciónde la población no está alejada a una distribución normal. (D. Montgomery 1996)
7-4 Distribución de muestreo de medias
Figure 6-5 Distribución de puntajes promedio provenientes de un experimento de lanzamiento de dados [Adapted with permission from Box, Hunter, and Hunter (1978).]
Lanzamientos de un dado
Lanzamientos de dos dados
Lanzamientos de tres dados
Lanzamientos de cinco dados
Lanzamientos de diez dados
Ejemplo 7-13
Example 7-13 Por tanto
Error Estándar El error estándar de una estadística es la desviación estándar de su distribución de muestreo. Si el error estándar involucra parámetros desconocidos cuyos valores pueden estimarse, la sustitución de estas estimaciones en el error estándar da como resultado un error estándar estimado.
El error estándar da alguna idea sobre la precisión de la estimación. Por ej. Si la media muestral X ̅ se utiliza como estimador puntual de la media poblacional μ , el error estándar de X ̅ mide cuan precisamente X ̅ estima a μ.
Error Estándar Supóngase que se muestrea una distribución normal con media μ y varianza σ 2 . Ahora la distribución X ̅ es normal con media μ y varianza σ 2 /n, de modo que el error estándar de X ̅ es
σ X ̅
=
σ n
Si no se sabe el valor de σ pero se estima con la desviación muestral s , sustituyendo en la ecuación tenemos
σ X ̅
=
S n
7-6 DISTRIBUCION Ji CUADRADO La distribución ji-cuadrada Ji 2 es la distribución muestral de la varianza muestral S 2. Es decir, que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas. Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2.
La distribución Ji2 está asociada a un parámetro conocido como grado de libertad. La forma de la distribución depende del valor de este parámetro. La media y la varianza de la distribución χ ²k son µ=k
y
² = 2k
7-6 DISTRIBUCION Ji CUADRADO Teorema
7-6 DISTRIBUCION Ji CUADRADO
Nótese que la variable aleatoria ji-cuadrada es positiva, y que la distribución de probabilidad tiene un sesgo hacia la derecha. Sin embargo, a medida que k aumenta, la distribución se vuelve mas simétrica. Conforme k œ, la forma límite de la distribución jicuadrada es la distribución normal
Funciónes de densidad de Probabilidad de variasdistribuciones 2
7-6 DISTRIBUCION Ji CUADRADO
Se define χ ²α k como el punto o valor crítico de la variable aleatoria Ji-cuadrada con k grados de libertad tal que la probabilidad de que X sea mayor que este valor es α . Esto es
Los puntos críticos de la distribución χ ²k están dados en la tabla III.
Ej., el valor de χ ² con 10 grados de libertad que tiene un área (probabilidad) de 0.05 ala derecha es: χ ²0.05, 10 = 18.31.
Este valor recibe el nombre de punto crítico superior del 5% de la distribución Ji-cuadrada con diez grados de libertad. Todo esto puede escribirse como una proposición de probabilidad, de la siguiente manera: P(X > χ ² ) = P(X > 18.31 ) = 0.05 0.05, 10
Ejemplo. La varianza muestral del peso en mg 2. de un lote de 11 pernos es 0,286. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la varianza de todos los pernos que distribuye la compañía, suponga una población normal.
² = (n-1)S 2 / X 2
1²
= (10)* 0,286 / 3,94 = 0,726
2²
= (10)* 0,286 / 18,31 = 0,156
Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría: Con un nivel de confianza del 90% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los pernos está entre 0.156 y 0.726 mg 2.
7-7 DISTRIBUCION t En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Este modelo teórico se deriva del modelo de distribución normal para muestras pequeñas (n < 30) Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media µ y varianza ². Si X ̅ es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución de Z= ( X ̅ -µ)/ ( /( √n) es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población ² es desconocida. Que sucede con la distribución de esta estadística si se remplaza proporciona la respuesta a esta pregunta.
por S? La distribución t
7-7 DISTRIBUCION t Teorema
7-7 DISTRIBUCION t Sea t α k el valor de la variable aleatoria T con k grados de libertad para el que se tiene un área (o probabilidad) α . Por tanto, t α k es un punto critico en la cola superior de la distribución t con k grados de libertad,
La tabla IV proporciona los puntos críticos de la distribución t .
Para ilustrar el uso de la tabla, nótese que el valor t con 10 grados de libertad que tiene un área de 0,05 a la derecha es χ ²0.05, 10 = 1.812. Esto es:
P(T 10 > t 0.05, 10 ) = P(T 10 > 1.812 ) = 0.05 Puesto que la distribución ( es simétrica con respecto a cero, se tiene que t 1 – α = - t α ; esto es, el valor t que corresponde a un área de 1- α a la derecha (y, por tanto, un área α a la izquierda) es igual al negativo del valor t que tiene el área α en la cola derecha de la distribución. En consecuencia, t 0.95, 10 ) = - t 0.05, 10 = -1.812.
Ejemplo: Al fabricante de un agente propulsor utilizado en sistemas de escape de emergencia de aeronaves, le gustaría afirmar que su producto tiene una tasa promedio de combusti6n de 40 in por minuto. Para investigar esta afirmación, el fabricante prueba 25 granos de propulsor seleccionados al azar, y si el valor calculado de T a partir de la ecuación cae entre -t 0.05,24 y
t 005,24, entonces queda satisfecho.
A que conclusión debe llegar el fabricante si tiene una muestra con una media de x ̅ = 42.5 in/min y una desviación estándar s = 0.75 in/min?
Supóngase que la tasa de combustión tiene una distribución normal. De la tabla IV, se tiene que t 0,05,24 = 1.711, de modo que si el valor cae entre -1.711 y 1.711, el fabricante quedara satisfecho con su afirmación. Para la muestra obtenida, si µ = 40, entonces
t
que es un valor que excede por mucho a 1.711. De hecho, si µ = 40, entonces la probabilidad de obtener un valor de t mayor que éste es considerablemente menor que 0.05. El valor de t obtenido es un indicador de que la tasa promedio de combustión es mayor que 40 in/min. Este es un ejemplo del uso de la distribución (para probar una hipótesis (una afirmación sobre el valor de la tasa promedio de combustión).
