Pruebas de hipótesis. INFERENCIA ESTADÍSTICA Instituto IACC
INSTRUCCIONES Sobre la base de las lecturas y de los contenidos revisados en la semana (hipótesis, nivel de significancia, descripción de una prueba de hipótesis, método para realizar una prueba de hipótesis, errores en la decisión de una prueba de hipótesis, pruebas de hipótesis sobre la media, varianza conocida y desconocida, pruebas de hipótesis sobre una proporción de una población, valor P, potencia de un test). Resuelva paso a paso los siguientes problemas planteados, realizando la aplicación (desarrollo) y análisis de acuerdo a lo trabajado en la semana, incorpore, además, las interpretaciones correspondientes: Un vinicultor sostiene que la proporción de clientes que no saben distinguir su producto del zumo de uva congelada es como máximo de 0,10. Decide contrastar esta hipótesis nula frente a la alternativa de que la verdadera proporción es de más de 0,10. La regla de decisión adoptada es rechazar la hipótesis nula si la proporción muestral que no sabe distinguir entre los dos sabores es de más de 0,14.
De acuerdo a la información proporcionada, responda:
a) Si se elige una muestra aleatoria de 100 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que se cometa un error de tipo I utilizando esta regla de decisión? Fundamente. El error tipo I rechaza una hipótesis nula verdadera. Se debe encontrar el nivel de significancia estadística para el cual se rechaza la hipótesis nula sobre la proporción de clientes que no distinguen entre el zumo de fruta y un determinado vino. La Hipótesis se rechaza si la proporción es superior a 0,14. La hipótesis nula es H0 ≤ 0,10 La hipótesis alternativa es H1 > 0,10 .n = 100 (tamaño muestra) .P = 0,14 (proporción muestral) Debemos calcular Z para una posible proporción muestral de 0,14.
𝑍=
𝑝𝑥 − 𝑝0 𝑝 (1−𝑝0 ) √ 0 𝑛
> Zα
Interpretación: La probabilidad de que se cometa un error de Tipo I para un test de hipótesis realizado sobre una muestra de 100 encuestadores es de 18,35%.
b) Si se elige una muestra aleatoria de 400 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que se cometa un error de tipo I utilizando esta regla de decisión? Explique y grafique por qué su respuesta es diferente de la respuesta de la parte a) (si es así el caso). Para una muestra de tamaño de 400 encuestadores y un punto de rechazo de la hipótesis de 0,14 del total de la muestra. Tenemos: n = 400
P = 0,14
Po = 0,1 𝑍=
𝑝𝑥 − 𝑝0 √𝑝0 (1 − 𝑝0 ) 𝑛
Por lo tanto para los niveles de significación inferiores a 0,758%, esto es α = 0,758%, Ho se rechazara.
Los niveles de significancia bajan con la cantidad de encuestados, es decir con el tamaño de la muestra, cuando una muestra de tamaño mayor se asocia a un nivel de certeza superior, por lo tanto una probabilidad de error de tipo I es menor.
c) Suponga que la verdadera proporción de clientes que no saben distinguir entre estos sabores es de 0,20. Si se elige una muestra aleatoria de 100 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que se cometa un error de tipo II? Fundamente. .n = 100 (tamaño muestra) ¨Proporción Muestral = 0,14 Proporción Poblacional = 0,2 ,
Interpretación: La probabilidad que se cometa un error de Tipo II para un Test de hipótesis realizado sobre una muestra de 100 encuestados. Dado que la potencia de una prueba es 1 menos la probabilidad de cometer un error tipo II, se tiene que la potencia = 1 – ß = 1 – 0,9332 = 0.0668.-
d) Suponga que, en lugar de utilizar la regla de decisión dada, se decide rechazar la hipótesis nula si la proporción muestral de clientes que no saben distinguir entre los dos sabores es de más de 0,16. Se selecciona una muestra aleatoria de 100 clientes:
i. Indique sin realizar los cálculos si la probabilidad de cometer un error de tipo I será mayor, menor o igual que en la parte a).
La probabilidad de rechazar una muestra cuando se rechaza una hipótesis Nula que es cierta. Es equivalente a encontrar un resultado falso positivo porque se llega a la conclusión de que existe una diferencia entre la hipótesis cuando en realidad no existe. Para una proporción menor o igual al 10%, presente una proporción superior a la medida de rechazo determinado. La probabilidad de ocurrencia de este error es idéntica al nivel de significancia (α). Se debe tener en cuenta que hay que tomar para α un valor relativamente pequeño cuando el costo o riesgo de descartar erróneamente una hipótesis nula cierta sea demasiado elevada.
ii. Si la verdadera proporción es 0,20, ¿será la probabilidad de cometer un error de tipo II mayor, menor o igual que en la parte c)? Argumente.
Al tener una muestra de proporción mayor que la aceptada, al aumentar el parámetro de cola superior, disminuirá la probabilidad de cometer un error de Tipo II. Siendo el error de Tipo II cuando se acepta una hipótesis Nula que es falsa.
Bibliografía IACC. (2013). Test de hipótesis I. Inferencia estadística. Semana 6.. 07/03/2017, de IACC Sitio web: http://online.iacc.cl/pluginfile.php/2909105/mod_resource/content/0/inferencias_estadisticas/_co nt/06_inferencia_estadistica.pdf
Recursos adicionales de la semana 6: Guía de aplicación de la semana 6. Cápsulas de apoyo pedagógico. Autoevaluación.