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Convolución Gráfica PST84-1 Lilian J. Certuche Alzate Inves In vestig tigador adora a - Docen Docente te
Convolución Gráfica •
•
El calculo de la convolución de las señales x(t) y h(t) cuando las 2 señales son continuas se realiza con una integr gra al ordinaria. Sin embargo, cuando alguna de las dos señales o las dos son continuas por tramos, el calculo de la convolución lo podemos hacer por medio de la INTER INTERPRET PRETACI ACIÓN ÓN GRÁFI GRÁFICA CA.
Pasos •
Existen pasos para realizar la convolución, esta se sebe hacer por intervalos al cual llamamos i-1 ≤ t ≤ ti , donde el intervalo [t i-1 i-1 , t i i ] se t i-1
escoge de forma tal que el producto
x (τ ) h (t − τ ) se pueda describir mediante una expresión matemá emátic tica en dicho cho int interv ervalo. alo.
De la expresión original se cambia la variable t por τ , donde τ es ahora la variable y t constante (con valor arbitrario es decir, puede toma omar cua cualqui quier valor lor cons onstante). e).
•
Paso 1: Para t un valor arbitrario fijo en el intervalo [ti-1, ti ] se dibujan x(τ), h(t-τ) y el producto resultante g(t,τ)=x(τ)h(t-τ) como funci nciones ones de τ (3 gr grá áfic ficas). as).
Del paso anterior, anterior, se debe derivar derivar la expresión matemática para ese intervalo especifico.
•
Paso 2: Integrar el producto g(t,τ) resultante como unci n e τ as e resu ta o que a en términos de t).
•
Ejemplo 1: Considerar las señales τ x(t ) = Ae − t h(t ) =
t T
x(t)
0 ≤ t < ∞ 0 ≤ t < T h(t)
1
A
t
T
t
x (τ ) = Ae −
τ
Cambiamos variables
h(τ ) =
A
τ
T
-T
0 ≤ τ < T
, graficamos x(τ) y h(- τ), todavía no le damos valor a t
1 x( τ )
h(-τ )
0 ≤ τ < ∞
τ
Ahora tomaremos en cuenta el valor de t
x (τ ) = Ae −
τ
Forma general
h(t − τ ) =
t − τ T
0 ≤ τ < ∞ 0 ≤ t − τ < T
Siguiendo los paso asos numerados anteriormente graficamos x(τ) y h(t- τ), esto lo haremos para varios interva rvalos t i-1 i-1 ≤ t ≤ t i i
Iniciamos con t<0 Recuerden t es un valor constante pero arbitrario
A
1
Debe De ben n obse observ rvar ar que, que, h(t-τ) se mueve o traslada según los valores o intervalos que le demos mos a t. A los interceptos de h() se le debe agregar o sumar el traslado que se hac hace (val (valor or de t) sobre el eje τ. •
•
x( τ )
h(t-τ )
t-T
t
Para
T
t < 0
x(t ) ∗ h(t ) = 0
τ
De la gráfica, como no hay solapamiento solapamient o (no se tocan), podemos decir que la convolución entre las dos señales para un t<0 es 0
•
Para 0 ≤ t < T
En este caso, las señales se solapan en el interv intervalo alo 0 ≤ τ < t por lo tanto
1 A x( τ )
h(t-τ )
t-T
t T
τ
∞
x t ∗ h t
x τ h t −τ d τ
=
−∞
t
t t −τ A = Ae ∫ 0 T d τ = T ∫ 0 (e (t −τ ))d τ −τ
Integral por partes u
= τ →
dv = e −
τ
∫ (e
−τ
du
=1
→
v = −e −
= τ
∫
= −τ e
−τ
'
(
= − τ e = −e
−τ
−
−τ
t
(e T ∫
−τ
−τ
t − e
))d τ =
τ
0
)d τ =uv − u vd τ
τ
A
−τ
∫
=
−e
−e
−τ
(τ + 1)
−τ
)
=
=
A T A T A T
(− t (e (− te
−τ
−t
(t + e
t
t
∫ (e t )d τ − ∫ (e T 0 0 −τ
) / 0 + e (τ + 1) / 0 ) = t
−t
)
−1
t
−τ
+ t + te
−t
A
−t
+e
)
−1
A T
(t (−e
−t
−τ
0
+e
)d τ
τ
) + (e (t + 1) − e (0 + 1))) −t
0
•
Finalmente t > T
Las señales se solapan en el interv intervalo alo t-T ≤ τ ≤ t
1 x( τ ) h(t-τ )
∞
x(t ) ∗ h(t ) = t-T
T
t
∫ x( )h(t − τ
−∞
t
= t T
τ
−
−τ
)d τ
τ
t −τ T
Siguiendo los mismos pasos de la integral anterior tenemos: ∞
x(t ) ∗ h(t ) = =
∫ x( )h(t − τ
−∞
A T
(e
−t
)d τ
τ
( −t +T )
+e
(T −1))
=
A
t
T t −T
−τ
−
La salida total del sistema es: y (t ) =
t < 0
0
(t + e
T A (e T
− t
−t
+e
)
0 ≤ t ≤ T
−1
( −t +T )
(T − 1))
t > T
•
Ejemplo 2: Calcular la convolución de las siguientes señales.