UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD ALBERT EINSTEIN. Materia: Matemáticas II Catedrática: Lic. Nuria de Pacheco. “Calculo diferencial e integral.” Áreas y volúmenes de un sólido de revolución.
Presentan: Arce Chavarría, Isabel Arce. AC-10003 Avilés Claramount, Sergio José.AC-10001 Jacobo Valladares, Alejandro Rodrigo.JV-10001 Saget Echeverría, Ana Sofía.SE-10001 Vásquez Maravilla, Saúl Ernesto.VM-10001
Antiguo Cuscatlán, Noviembre 2010.
Contenido Contenido Conten ido........ ................ ............... ............... ................ ............... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ............... ........... ........ .... 2 Objetivos ....... ............... ................ ............... ............... ................ ............... ............... ................ ................ ............... ............... ............ ........ ........ ........ ......3 Objetivo general:....................... .................................................. ................................................... ................................... ................... ........ 3 Objetivos específicos:....................... .................................................. ........................................... ............................ .................... ........ 3 Introducción......................................................... .................................................................................................... ........................................... .... 4 Áreas de una región entre entr e dos curvas........ ................ ............... ............... ................ ............... ............... ................ ........... ... 6 Área de una región entre dos curvas que se cortan......... cortan. ................ ............... ............... ............... ........... ......9 Área de una región determinada por dos gráficos que se cortan...................... 10 Curvas que se cortan en más de dos puntos.................................... puntos. ............................................... ................ .... 11 VOLÚMEN VOLÚME N DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN REVOLU CIÓN........ ................ ............... ............... ................ ............... ........... ........ ......13 Método de los discos........ ............... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ............... ............... ............ ........ ......13 Método de las arandel arandelas as....... ............... ................ ............... ............... ................ ................ ............... ........... ........ ........ ........ ....... ... 16 Método de las capas....... ............... ............... ............... ................ ................ ............... ............. .......... ........ ........ ........ ........ ........ ....... ... 19 CONCLUSIONES: CONCLUS IONES: ........ ................ ............... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ............... ............... .............. .......... ......21 BIBLIOGRAFIA BIBLIOG RAFIA Y REFERE REFERENCIAS NCIAS....... ............... ................ ............... ............... ................ ............... ............ ......... ........ ........ ........ .... 22 ANEXO 1........ ................ ............... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ............... ............... ................ ................ ............ ....... ... 23 ANEXO 2........ ................ ............... ............... ................ ................ ............... ............... ................ ............... ............... ................ ................ ............ ....... ... 25
Objetivos Objetivo general: Entender correctamente los principios básicos del Cálculo diferencial e integral desarrollando la capacidad de análisis para obtener nuevos conocimientos y criterios Objetivos específicos: -Tener la capacidad de aplicar los principios del cálculo eficientemente en situaciones rutinarias como la resolución de problemas. -Poder explicar y desarrollar claramente los problemas de cálculo -Saber demostrar el claro entendimiento de los temas -Aplicar el teorema fundamental del cálculo -valerse de recursos tecnológicos al momento de la explicación -Conocer y desarrollar áreas y volúmenes de sólidos de revolución
Introducción En el presente documento nos basaremos en el teorema fundamental del cálculo de forma que podamos explicar problemas de áreas y volúmenes de sólidos de revolución. El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la integral de su derivada es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominado análisis matemático o cálculo. Primer teorema del cálculo diferencial: Dada una función f integrable sobre el intervalo [a,b], definimos F sobre [a,b] por F'(c) = f(c) .
. Si f es continua en
, entonces F es derivable en c y
Segundo teorema del cálculo diferencial: También se le llama regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow o regla de Newton Leibniz. Dada una función f continua en el intervalo [a,b] y sea g cualquier función primitiva de f , es decir g'(x)=f(x) para todo , entonces:
Se denomina sólido de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, la cual puede o no intersecar a la región. Dicha recta se denomina eje de revolución. Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b].Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.
Áreas de un sólido de revolución
Áreas de una región entre dos curvas El cálculo del área de una región bajo una curva mediante integrales definidas se extiende sin esfuerzo a regiones comprendidas entre dos curvas. Sean F y G dos funciones continuas en el intervalo [a,b]. Si, como sucede en la figura siguiente:
Área de la región región Entre f y g g
=
Área de la región
-
bajo f
De esta manera es como sacaremos las áreas de una región entre 2 curvas
Área de la bajo
El mismo intervalo [f(x)-g(x)] sirve cuando f y g son continuas y g(x)≤ f(x) en el intervalo [a,b].
Los rectángulos representativos se utilizan en varias aplicaciones a lo largo de este trabajo grupal. Un rectángulo vertical (de anchura Δx) implica integración con respecto a X, mientras un rectángulo horizontal de (de anchura Δy) implica integración con respecto aY
Teorema: Área de una región entre 2 curvas si F y G son continuas en [a,b] y g(x) ≤F(x) para todo x en [a,b], el área de la región acotada por las graficas de F y G entre las rectas verticales x=a y x=b es:
Ejemplo 1: Área de una región entre curvas Calcular el área de la región acotada por las graficas de y=x² + 3, y= -x, x=0 y x=2 g(x)= -x y f(x)= x²+3 g(x)≤f(x) para todo x en [0,2] El área del rectángulo es: ΔA=[f(x)-g(x)] Δx =[(x²+3)-8-x)]Δx A=
=
= +3X+ = +6+2=
Entonces el área de la región entre estas dos curvas es 10.66 U² y
6
5
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
−1
−2
2
3
4
5
Área de una región entre dos curvas que se cortan. Para encontrar el área de dos curvas que se cortan, se procede de la misma forma que en el ejemplo anterior, así: Ejemplo2: Calcular el área de la región comprendida entre las graficas f(x)=3-x² y g(x)=2x La grafica que obtendremos de este problemas es tendrá 2 puntos de intersección, para determinar esos puntos hacemos f(x)=g(x) y despejamos x 3-x²=2x -X²-2x+3=0 -(x+3)(x-1)
X=-3 o x=1
Asi pues a=-3 y b=1 ΔA=[f(x)-g(x)Δx=[3-x²)-2x]Δx = 3x-
- x²
=3- -1=
El área que se corta en dos puntos de la curva es:
y
5
4
3
2
1 x
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1 −1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
2
3
4
5
6
7
8
Área de una región determinada por dos gráficos que se cortan Las funciones tales como Seno y Coseno se cortan infinita cantidad de veces, encerrando regiones de áreas iguales.
Senx = Cos x
=1 Tg x= 1
X= o
0
Por lo tanto, a= y b= . Puesto que Sen x Cosx en el intervalo { , }, el área de la región es
Curvas que se cortan en más de dos puntos. Si dos curvas se cortan en dos puntos en más de dos puntos, hay que localizar los puntos de intersección y averiguar, en cada uno de los intervalos delimitados por esos puntos, cuál de las graficas está por encima de la otra.
Ver anexo 1.
Volumen de un sólido de revolución.
VOLÚMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN Método de los discos Un sólido de revolución es el resultado de girar una figura plana alrededor de una recta, esta recta toma el nombre de “eje de revolución” o “eje de giro”. El ejemplo más simple de esto, sería un cilindro o disco, generado al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, el cual usaremos como base para la solución de problemas en este método; siendo el volumen de este disco: V
h
Donde r es el radio y h es la altura del disco o en este caso, la anchura Consideremos el sólido de revolución de la siguiente figura:
Éste sólido es el resultado de haber girado una curva alrededor del eje x. Aquí observamos que haciendo la sumatoria del volumen de n cilindros que forman una aproximación del sólido, podríamos encontrar el volumen aproximado del sólido, lo que nos hace pensar que entre más delgado sean los cilindros, el volumen que obtengamos, será más exacto.
ΔV=
Δx
Así, el Volumen del Sólido =
(R(xi))²Δx
= Cuando Δ tiende a cero, la aproximación se hace aún más exacta:
=
dx
Podemos entonces definir una fórmula para usarla cuando el eje de giro es en y; así: =
dy
Es recomendable seguir una serie de pasos ordenados para obtener el volumen de un sólido de revolución: •
Identificar R, que será la superficie cerrada por las funciones, curvas o líneas rectas
•
Identificar el eje de giro, X ó Y
•
Dibujar el reflejo de R al otro lado del eje de giro
•
Identificar el radio y la altura del cilindro típico (disco)
•
•
Expresar el volumen del cilindro en función del radio y la altura del disco encontrado Integrar el volumen del cilindro para encontrar el volumen de todo el sólido
Ejemplo: Encontrar el volumen del sólido que resulta al girar la región R en X, formada por las curvas Y=√x; X=1 y Y=0.
Gráfica de la función
y
3
2
1
x
−3
−2
−1
1
2
3
−1
−2
−3
Solución: r = radio = y h= altura = dx Volumen del cilindro: Entonces:
Como estamos derivando en X (dx) debemos escribir la Y en términos de X:
y²=x y=√x
Sustituyendo: Vcilín:
El volumen del sólido será el resultado de integrar el volumen del cilindro. Vsól:
=
│¹ ̥
=
-0
= = 1.57 Entonces el volumen del sólido es de 1.57U³
Método de las arandelas Si en lugar de un disco, utilizamos una arandela, podemos extender nuestra fórmula de volumen y encontrar volúmenes de sólidos huecos. El disco nos sirve para encontrar el volumen de un sólido no hueco, pero ¿qué pasa cuando tenemos ecuaciones que resultan formar un sólido hueco? Simplemente se sustituye el disco por una arandela, de la cual el radio1 será el interior, y el radio2 el exterior. Cuando encontramos el volumen de la arandela, restando el volumen1 del volumen2, podemos integrar y encontrar el volumen del sólido formado por las ecuaciones; entonces:
ARANDELA
R2
R1
Ejemplo: Encontrar el volumen del sólido que se forma al girar en el eje X, la región R formada por las curvas Y=X y Y=X²
Gráfica de la función y
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
h=dx r1 = Y1 = X porque genera el radio 1 r2 = Y2 = X² porque genera el radio 2
Varandela:
ARANDEL
R1
R2
Pero, r1=Y1 y r2=Y2
Entonces:
(x)² - (x²)²)
El volumen del sólido será:
Como h = dx:
= = (
- )│¹ ̥ –
= ( - ) = ( ) = =0.4188 El volumen del sólido es de 0.4188 U³
Método de las capas Este es un método alternativo para encontrar el volumen de un sólido de revolución, en el cual usaremos capas cilíndricas para determinar el volumen; consideraremos un rectángulo de anchura w, altura h y la distancia del centro rectángulo al eje de revolución es p:
Si giramos este rectángulo alrededor de su eje de revolución, se forma un tubo de espesor w, para calcular el volumen de este tubo (capa) consideraremos dos cilindros, el del radio1, que será el interior, y la del radio2 que será el exterior. Como se sabe que p es el radio medio de la capa, podemos decir que el r1 es p(w/2); y el r2 es p+ (w/2) Radio Interior:
p-( )
Radio Exterior:
p+( )
Volumen de la capa
= (volumen del cilindro) – (volumen del hueco) =
-
=
-
=
Podemos utilizar esta fórmula para encontrar el volumen de un sólido de revolución, consideremos la siguiente figura, si la región plana gira alrededor de una recta paralela al eje x, entonces se forma una capa representativa del volumen del sólido, el rectángulo tiene una anchura ∆y. ∆V=
∆y
Podemos aproximar el volumen del sólido por n detalles de tales capas de espesor ∆y, altura h (y) y radio medio p (yi). Volumen del sólido: ∆y
=
Cuando ∆ se acerca más a cero, la aproximación se hace aun más exacta:
=
dy
Ejemplo: Calcular el volumen del solido de revolución generado al girar, en torno al eje x, la región acotada por la grafica de x = y el eje y (0≤y≤1). Solución: puesto que el eje de revolución es horizontal, tomamos un rectángulo representativo horizontal. La anchura ∆y indica que la variable de integración es y. La distancia del centro del rectángulo es h(y)= . Como “y” varia entre 0 y 1, el volumen del solido es = = = = 1.986
)
CONCLUSIONES: •
•
•
•
Aunque muchas veces no se puede apreciar a las integrales estas aparecen en muchas situaciones prácticas y su aplicación puede verse en la economía, pedagogía, finanzas, física, mecánica etc. Para poder integrar con éxito no solo es necesario aplicar bien las propiedades de la derivación, sino también saber usar los tres métodos de integración, el de sustitución, integración por partes y fracciones parciales.
Con la elaboración de un documento de esta índole se permite la exploración de diferentes situaciones facilitándole la comprensión de conceptos y la solución de ejercicios. La utilización y conocimiento de El Cálculo integral y diferencial es una herramienta de suma importancia ya que tiene una gran cantidad de aplicaciones en la vida laboral.
BIBLIOGRAFIA Y REFERENCIAS •
El Calculo con geometría analítica de Louis Leithold
•
Calculo y Geometría Analítica Vol. 1 Larson Hostetler Edwards
•
Calculo de Robert T. Smith & Roland B. Minton
•
http://magician-of-the-dark.blogspot.es/
•
•
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/cursoelsie/aplicacionesintegral/html/aplicaciones-integral.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_de_revoluci%C3%B3n
ANEXO 1 Calcular el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
2 −
−2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3
4
5
6
F(x)= 4x3 – 2x2 – 10x
G(x)= - 2x2 + 4x
F(x) = G(x) 4x3 – 2x2 – 10x = - 2x 2 + 4x 4x3 – 2x2 – 10x + 2x2 - 4x = 0 4x3 – 14x = 0 4x( x2 – 7/2) = 0 X2 – 7/2 = 0 X =±
A=
A= A= A= A= A= -(12.22 – 24.47) + ( - 12.22 + 24.47) A= -12.22 + 24.47 – 12.22 + 24.47 A= 24.5 u 2
ANEXO 2 Volumen del solido que se forma al girar R en “y” delimitada por: y=x³ x=0 y
8
7
6
5
4
3
2
1 x
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1 −1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
2
3
4
5
6
7
8
9
y=8
.
r=x
h = dy
Vcilindro = r²h Vcil = x³ = y x= ³ Vcil =
y⅓ y⅓)² dy
Vsolido
y⅓)² dy
y⅓)² dy ) dy
V= 60.31cm³
= 60.31cm³
