DINAMICA DE SISTEMAS Ir en i o L L u i s C Ch ag u a A d u v i r i
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Contenido del libro 1.
Introducció Introducción n ................ ........................ ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ................ ................. ................. ............ .... 1
1.1. 1.2. 1.3. 2.
Generalidades..................... Generalidades ........................................... ........................................... .......................................... ........................................ ................... 1 Sistemas Sistemas........ ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. .............. ...... 3 Modelos Modelos de Sistemas Sistemas ................. ......................... ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ......... 7 Elementos y Estructura de de un Modelo ........................................ ................... ..................... ..................... .... 11
2.1. Diagramas Diagramas Causales Causales ................ ......................... ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ........ 11 2.2. 2.2. Bucle de Realimentació Realimentaciónn ................ ........................ ................. ................. ................. ................. ................ ................. ................. .......... 14 2.2.1. Realimentac Realimentación ión Positiva Positiva ................. ......................... ................ ................. ................. ................ ................. ................. .......... 15 2.2.2. Realimentac Realimentación ión Negativa Negativa ................ ........................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ........ 15 2.2.3. Demoras........................................ Demoras................... .......................................... .......................................... .......................................... ..................... 16 2.3. Tipos de Variables....................................... Variables.................. .......................................... ........................................... ................................... ............. 17 2.3.1. Variables Variables de Nivel...................... Nivel............................... ................. ................ ................. ................. ................. ................. ............. ..... 18 2.3.2. Variables Variables de Flujo.................. Flujo.......................... ................ ................. ................. ................. ................. ................ ................. ............. 18 2.3.3. Variables Variables Auxiliares............ Auxiliares..................... ................. ................ ................. ................. ................. ................. ................ ............ .... 18 2.3.4. Constantes Constantes......... ................. ................. ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............... ....... 18 2.4. 2.4. Comportam Comportamiento iento de un diagrama diagrama causal causal ................ ........................ ................. ................. ................. ............... ...... 19 2.4.1. Diagramas Diagramas de Forrester Forrester ................ ........................ ................. ................. ................. ................. ................ ................. ............. 21 2.4.2. Elementos Elementos de los diagramas de Forrester Forrester ................. .......................... ................. ................ ............. ..... 21 2.4.3. Dimensiones Dimensiones de las Variables Variables........ ................ ................ ................. ................. ................ ................. ................. .......... 24 2.4.4. Ecuaciones Ecuaciones Funcionales............. Funcionales...................... ................. ................ ................. ................. ................. ................. ............. ..... 26 3.
Arquetipos Sistémicos...................... Sistémicos........................................... ..................... ..................... ...................... ....... 32
3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 4.
Compensació Compensaciónn entre Proceso Proceso y Demora Demora ................. ......................... ................ ................. ................. ................ ........ 32 Límites Límites del crecimiento crecimiento........ ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ................ ................. ............. 33 Desplazamiento de la Carga................................. Carga........... ........................................... .......................................... ........................ ... 34 Erosión de Metas....................... Metas.. ........................................... ........................................... .......................................... ............................... .......... 35 Escalada..................... Escalada .......................................... .......................................... .......................................... ........................................... ............................ ...... 36 Éxito para quien tiene éxito........ éxito ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ................ ............ .... 37 Tragedia Tragedia del Terreno Común Común ................. ......................... ................ ................. ................. ................ ................. ................. .......... 38 Soluciones rápidas que fallan.................... fallan ......................................... .......................................... ................................... .............. 40 Crecimiento y subinversión.............................. subinversión......... .......................................... .......................................... ............................ ....... 41 Formulación de Modelos Modelos de Dinámica de Sistemas........................................ Sistemas.................... ...................... .. 42
4.1. 4.2.
Modelos Modelos de Sistemas Sistemas ................. ......................... ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............... ....... 42 Proceso Proceso de Modelado Modelado ................. ......................... ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ............. ..... 42
4.2.1. Identificación y Definición del problema..................................... problema................ ................................ ........... 43 4.2.2. Conceptualiz Conceptualización ación del modelo modelo........ ................. ................. ................ ................. ................. ................. ............... ...... 43 4.2.3. Formulación Formulación del Modelo........................ Modelo................................ ................. ................. ................ ................. ................. .......... 43 4.2.4. Comportam Comportamiento iento del modelo modelo ................ ........................ ................. ................. ................ ................. ................. .......... 43 4.2.5. Evaluación Evaluación del modelo modelo ................. ......................... ................. ................. ................. ................. ................ ................. ............. 43 4.2.6. Uso del modelo................................ modelo.......... ........................................... .......................................... ...................................... ................. 44 4.3. Análisis de sensibilidad de un Modelo...................... Modelo ........................................... ...................................... ................. 44 4.4. Uso del Modelo Modelo ................. .......................... ................. ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................ ............... ....... 46 5.
Referencias Referencias ................. ......................... ................ ................. ................. ................ ................. ................. ................. ................. ................ ................. ............ ... 48
1. Introducción
1.1. Generalidades La dinámica de sistemas surgió de la búsqueda de una mejor comprensión de la administración y su aplicación se ha extendido ahora al cambio medio ambiental, la política, la conducta económica, la medicina y la ingeniería, así como a otros campos. La dinámica de sistemas muestra cómo van cambiando las cosas a través del tiempo, así, un proyecto de dinámica de sistemas comienza con un problema que hay que resolver en un comportamiento indeseable que hay que corregir o evitar. La Dinámica de Sistemas es el método de construcción de modelos de sistemas complejos, que mediante una simulación se obtiene el comportamiento del sistema1. El término de dinámica lo utilizaremos como por oposición a estática y con el término de dinámica se quiere expresar el carácter cambiante de alguna de las partes como la trayectoria de una magnitud. Asimismo, con dinámica de un sistema nos referimos a que las distintas variables que se puede asociar a sus partes sufren cambios a lo largo del tiempo, como consecuencia de las interacciones que se producen entre ellas. Su comportamiento será el conjunto de las trayectorias de todas las variables y la información que se obtenga es de tipo cualitativo como tendencias al crecimiento o decrecimiento, al equilibrio o la fluctuación y, especialmente, si cabe esperar y de qué pueden depender modificaciones radicales de estas tendencias. A lo largo de los años cincuenta comenzó a formarse en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT) una destacada metodología de sistemas, la Dinámica de Sistemas. Jay W. Forrester, ingeniero electrónico, había pasado del Laboratorio de Servomecanismos, donde inventó las memorias magnéticas de núcleos de ferrita, a coordinar un gran proyecto de defensa, el sistema SAGE (Semi-Automatic Ground Equipment). En la realización de
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Dinámica de Sistemas introducida por Jay Forrester en el MIT, 1961
Dinámica de Sistemas
este sistema de alerta en tiempo real se percató de la importancia del enfoque sistémico para concebir y controlar entidades complejas como las que surgen de la interacción de hombres y máquinas. Tras esta experiencia, Forrester pasaría como profesor a la Sloan School of Management del MIT, donde observó que en las empresas se producían fenómenos de realimentación que podían ser causa de oscilaciones, igual que sucede en los servomecanismos. De esta forma ideó la Dinámica Industrial, una metodología que permitía construir modelos cibernéticos de los procesos industriales. La peculiaridad de estos modelos residía en la posibilidad de simular su evolución temporal con la ayuda del ordenador. Posteriormente aplicaría su metodología a problemas de planificación urbana y la generalizaría para cualquier tipo de sistema continuo, cambiando su denominación por la de Dinámica de Sistemas [Forrester, 1971]. La Dinámica de Sistemas alcanzó gran difusión durante dura nte los años setenta, al servir de base para los estudios encargados enca rgados por el Club de Roma a Forrester y su equipo para valorar el efecto del crecimiento de la población y de la actividad humana en un mundo de recursos limitados. El propio Forrester dirigió la confección de un modelo inicial del mundo a partir del cual se realizaría más tarde el informe definitivo, dirigido por D.L. Meadows y financiado por la Fundación Volkswagen. Un segundo informe, también utilizando Dinámica de Sistemas, sería encargado posteriormente a Mesarovic y Pestel. La Dinámica de Sistemas es una metodología para la construcción de modelos de simulación para sistemas complejos, como los que son estudiados por las ciencias sociales, la economía o la ecología. En Dinámica de Sistemas la simulación permite obtener trayectorias para las variables incluidas en cualquier modelo mediante la aplicación a plicación de técnicas de integración numérica. Sin embargo, estas trayectorias nunca se interpretan como predicciones, sino como proyecciones o tendencias. El objeto de los modelos de Dinámica de Sistemas es, como ocurre en todas las metodologías de sistemas blandos, llegar a comprender cómo la estructura
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Introducción
del sistema es responsable de su comportamiento. Esta comprensión normalmente debe generar un marco favorable para la determinación de las acciones que puedan mejorar el funcionamiento del sistema o resolver los problemas observados. La ventaja de la Dinámica de Sistemas consiste en que estas acciones pueden ser simuladas a bajo coste, con lo que es posible valorar sus resultados sin necesidad de ponerlas en práctica sobre el sistema real.
1.2. Sistemas Al hablar de sistema nos referimos a la complejidad de un objeto formado por partes coordinadas hacia una meta común, de modo que el conjunto posee una cierta unidad y éste es el uso del término sistema que vamos a adoptar. Un sistema podemos especificar claramente las partes que lo forman y las relaciones entre estas partes mediante las que se articulan en la unidad. La descripción elemental de este sistema es enunciar el conjunto de partes y establecer un esbozo de cómo las partes son influenciados entre sí. El concepto de sistemas ha sido utilizado por dos líneas de pensamiento diferente, la primera es la teoría general de sistemas, corriente iniciada por Bertalanffy y continuada por Boulding y otros que qu e buscaba llegar a la integración de las ciencias. La segunda es más práctica y se conoce como Ingeniería de Sistemas y fue iniciado por Investigación de operaciones, seguido por Ciencias de la Administración y el Análisis de Sistemas. La teoría general de sistemas, descrita por Ludwig Von Bertalanffy (1976), extendió el pensamiento sistémico a todos los campos de la ciencia. A pesar de que Bertalanffy era biólogo y enfatizó la necesidad de formular una teoría matemática, la teoría general de sistemas es especialmente filosófica (Aracil, 1986). Dicha teoría se generó por la necesidad de resolver problemas de organización y orden y establecer principios universales aplicables a los sistemas en general. La teoría general de sistemas define como sistema a un complejo de elementos interactuantes y pretende establecer principios generales para
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Dinámica de Sistemas
todos los sistemas, independientemente de su naturaleza física, biológica o sociológica. Bertalanffy clasifica a los sistemas en abiertos o cerrados. cerrad os. Los cerrados son sistemas físicos aislados, proceden espontáneamente en la dirección de un creciente desorden o entropía, y la energía que se disipa es irrecuperable. Los abiertos, en cambio, necesitan un constante flujo de materia y energía proveniente del entorno a la vez que decrece la entropía. Dentro de este segundo grupo se habla de "sistemas dinámicos", que son todos aquellos cuyo comportamiento puede describirse mediante leyes que dependen del tiempo. Todo organismo viviente es ante todo un sistema abierto, y se mantiene en continua incorporación y eliminación de materia, alcanzando un estado uniforme diferente del estado de equilibrio químico y termodinámico. La Ingeniería de Sistemas es un método de resolución re solución de problemas complejos donde está presente la tecnología, sin estar limitado a ella, e lla, en el contexto de los entornos físicos, sociales, económicos y culturales en lo que estos problemas existen; para esto se usan metodologías de utilidad actual y potencial en el proceso de toma de decisiones en las empresa, instituciones ya sean públicos y/o privados. Puesto que la ingeniería trata más explícitamente con los sistemas, debemos tratar los nuevos puntos centrales y utilizar nuevos medios apropiados para el desarrollo y análisis de modelos. Para explicar el detalle de un sistema integral es necesario tener en cuenta las cinco consideraciones básicas que propone Churchman (1995) cuando se razone acerca del significado de un sistema: los Objetivos del sistema considerado como un todo y más específicamente las medidas de actuación del sistema completo, el Entorno del sistema con las restricciones fijas, los Recursos del sistema, los Componentes del sistema con sus actividades, metas y medidas de actuación y la Administración del sistema. Para definir los objetivos del sistema total, a veces se pueden cometer errores en razonamientos posteriores sobre el sistema, cuando se ignora los verdaderos objetivos del todo. La prueba sobre el objetivo es la determinación de si el sistema con pleno conocimiento sacrificará otras
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Introducción
metas para poder lograr el objetivo indicado. Un error común al señalar objetivos es el recalcar lo que es obvio, para esto es necesario cambiar a alguna medida precisa y específica de actuación del sistema general. La medida de actuación de un sistema es un marcador, que diga qué tan bien opera el sistema; entre más elevada sea la anotación, mejor será la actuación. Por ejemplo el objetivo establecido de un alumno de clase es aprender, pero su verdadera medida de actuación es la calificación. El Entorno ó medio ambiente del sistema es lo que está "fuera" del sistema. Esto no quiere decir qué se encuentra dentro ó fuera de él. Cuando observamos un automóvil en general se dice que lo que qu e está más allá de la pintura pertenece a la naturaleza del auto, pero no es así debido a que los proveedores de la pintura están dentro del sistema; así como en un sistema, la persona individual, el teléfono es parte del sistema. El pensar acerca del entorno del sistema debe ser útil y sutil que la sola observación de las fronteras. Cuando se dice que algo está "fuera" "fue ra" del sistema, se quiere decir que el sistema no puede hacer nada respecto a sus características ó su comportamiento. El entorno del sistema es algo que determina cómo opera el sistema, es decir influye en los objetivos centrales del sistema. El entorno ó medio ambiente del sistema no es el aire que respiramos, el grupo social al que pertenecemos, ó la casa en la cual vivimos. Los Recursos del sistema se encuentran dentro del sistema y son los medios que utiliza el sistema para realizar sus trabajos como dinero, horas-hombre y equipos. Los recursos, a diferencia del entorno, son las cosas que el sistema puede cambiar y utilizar para su propio beneficio. El sistema puede decidir cuáles de su personal deben trabajar, en cada trabajo, ó cómo debe asignarse el presupuesto a diversas actividades, ó cuáles son los límites de tiempo sobre los diversos tipos de actividades. En la identificación de los componentes de los sistemas se debe ignorar las líneas tradicionales de división y se debe considerar como "misiones", "tareas" ó "actividades" básicas. Las organizaciones frecuentemente se dividen en departamentos, divisiones, oficinas y grupos de personas, pero éstos no son los verdaderos componentes del sistema aun cuando lleven
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Dinámica de Sistemas
símbolos que indiquen que sí lo son. Es importante hablar de misiones y no de departamentos porque se puede estimar el valor de una actividad para el sistema total, además, es necesario saber si la actividad del componente de un sistema es mejor que otra. Pero si la actividad de un departamento pertenece a varias misiones más grandes, pudiera ser imposible distinguir su verdadera contribución. La única razón de separar el sistema en componentes es para proporcionar al analista el tipo de información que necesita para poder decir si el sistema está operando adecuadamente y lo que se debe hacer a continuación. Para saber si el componente está contribuyendo verdaderamente a la actuación del sistema es necesario identificar su medida de actuación y que estén relacionados con la medida de actuación del sistema en general. Al aumentar la medida de actuación de un componente, igualmente deberá aumentar la medida de actuación del sistema total. Si alguna otra parte del sistema, debido, digamos, a las mejoras en tecnologías, entonces puede resultar necesario cambiar la medida de actuación de un determinado componente. La administración de un sistema está referido a la generación de los planes para el sistema y garantizar que éstos planes se lleven a cabo de acuerdo con las ideas originales, ó sea, a la consideración de las metas generales, el entorno, la utilización de recursos y los componentes. A éstas actividades frecuentemente se le llama "control". La administración establece las metas de los componentes, asigna los recursos y controla la actuación del de l sistema. Muchos procedimientos de control operan por excepción, de tal manera que la administración no interviene en las operaciones de un componente, excepto cuando el componente muestra una desviación del plan. Sin embargo, el control no significa solamente comprobar que los planes se estén llevando de modo correcto, también implica una evaluación de los planes pla nes y en consecuencia un cambio de los mismos. La función de control de administración ha sido comparada por Norbert Wiener con el timonel de un barco. El capitán del buque tiene la responsabilidad de asegurarse que el barco llegue a su destino dentro del
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Introducción
límite de tiempo establecido en su programa. Ésta es una versión del objetivo general de un barco. El "entorno" de un buque es un conjunto de condiciones externas que debe afrontar: el clima, la dirección en que sopla el viento, el movimiento de las olas, etc. Desde el punto de vista del capitán, el entorno también incluye las características de actuación de maquinaria y hombres, puesto que éstos son "constantes" en cualquier viaje. Los recursos del barco son sus hombres y maquinaria, puesto que éstos pueden ser empleados de diversas maneras. Los componentes del barco son la misión del cuarto de máquinas, la misión de mantenimiento, la misión de galera, etc. El capitán como administrador, genera los planes para la operación del barco y se asegura que se lleven a cabo sus planes. Instituye varias clases de sistemas de información a través del barco, que le informen cuando haya ocurrido una desviación del plan, y su trabajo es determinar por qué esta desviación se ha presentado, evaluar la actuación del barco y, por último, si fuere necesario, cambiar sus planes si la información señala recomendable hacerlo. Esto puede llamarse "curva cibernética" de la función fu nción administrativa, debido a qué es lo que supone debe lograr el timonel del barco. Un aspecto bastante crítico de la curva cibernética es la información de qué tan rápido debe transmitirse. Cualquiera que haya tratado de conducir una lancha en aguas turbulentas, habrá de reconocer que, si uno responde muy rápido ó demasiado lento al comportamiento de las olas, estará en verdadero peligro. Lo que se requiere es una realimentación de la información, que le permita a uno reaccionar con el movimiento del viento y de las olas de forma óptima.
1.3. Modelos de Sistemas El aspecto importante del enfoque sistémico es la construcción de modelos. Un modelo es una abstracción de la realidad que obtiene la esencia funcional del sistema, con el detalle suficiente como para ser utilizados en la investigación y la experimentación en vez del sistema real, con menor riesgo, tiempo y coste. En la medida en que un modelo particular es una representación apropiada del sistema, puede ser una ayuda muy valiosa
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Dinámica de Sistemas
para el análisis de políticas, la toma de decisiones y la resolución de problemas. En la ingeniería de sistemas aplicada, se utilizan tres formas complementarias de construcción de modelos: verbal, gráfica y matemática. Los modelos verbales tienden a ser descripciones escritas e scritas ó expresiones orales que reflejan las ideas idea s implícitas de un modelo mental, y constituyen un medio esencial para mejorarlo. Los modelos gráficos están formados por diagramas que proporcionan una relación entre los modelos matemáticos y verbales. Los modelos matemáticos son "simbólicos", ya que para describir un sistema emplean normalmente notaciones matemáticas en forma de ecuaciones. A menudo estas ecuaciones matemáticas tienen representaciones gráficas análogas. Este modelo tiene tres características que los hacen útiles: son precisos, concisos y manejables. Estas características de los modelos matemáticos no son apreciadas en general por los políticos que no comprender la simbología ó las reglas de uso. Esta barrera en la comunicación entre autores de los modelos y sus usuarios son adoptados gracias al uso de modelos verbales ó gráficos. Con el advenimiento de la Era de los Sistemas han aparecido varias tendencias metodológicas basadas en procedimientos, herramientas y técnicas diferenciadas como la programación lineal, la econometría, el análisis de entradas y salidas, la simulación estocástica y la dinámica de sistemas. Todas estas tendencias existentes para el desarrollo desa rrollo de modelos tienen en común varios conceptos relativos a las propiedades de los sistemas del mundo real, el proceso de desarrollo de modelos, el uso del ordenador y el papel de los modelos en el proceso de toma de decisiones. Hay tres tendencias en el desarrollo de los modelos en una metodología de sistemas. La primera se tiene un tipo de modelo matemático como la programación lineal y los modelos de entradas y salidas. La segunda es que los datos lo son todo, limitándose a obtener curvas que se ajusten a justen a los datos como la econometría. La tercera tendencia busca la realidad a través de un proceso interactivo entre la experiencia y la información, entre la mente y los
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Introducción
datos. La dinámica de sistemas forma parte de esta última ú ltima tendencia. Estas tres tendencias del desarrollo de modelos se describen en: a) orientadas hacia la optimización; b) casuales; y c) causales. Además se cree que los modelos causales tienen la máxima aplicación en la ingeniería de sistemas Los modelos se representan mediante unos diagramas dia gramas conocidos como diagramas de flujo en la dinámica de sistemas. Un diagrama de flujo es una descripción gráfica del sistema en estudio construida de acuerdo a unas determinadas reglas. La claridad de estos diagramas en cuanto cua nto representación de la estructura global del sistema y de las relaciones entre las variables que lo constituyen es tan sorprendente sorprenden te que los modelos pueden ser presentados a no especialistas y ser se r inmediatamente entendidos. Ello hace posible su crítica y una confianza o desconfianza en los modelos modelos fundamentada en un conocimiento completo de las hipótesis utilizadas en su construcción, estos problemas complejos son vistas mediante un lenguaje que aporta nuevas formas de entender. Para que la Dinámica de Sistemas decida ocuparse de un problema, se requiere que, aún cuando no se conozcan leyes precisas que lo describan, los elementos que integran el sistema posean atributos cuantificables y puedan llegar a ser establecidas relaciones funcionales fu ncionales de naturaleza cuantitativa entre los atributos mencionados. mencionados. De tal forma que, con esta esta técnica, se han realizado aportaciones de interés en disciplinas tan diversos como biología, economía, gestión empresarial, urbanismo, psicología y muchos otros. Un modelo de Dinámica de Sistemas se construye para ver el el comportamiento sobre el que desearíamos actuar o comprender, en el cual se define el propósito del modelo y la frontera del d el mismo. La tarea más importante de un modelador es definir con precisión el e l problema que pretende ser abordado por el modelo. Tal como lo dice Forrester: "La habilidad de la persona que decide usar un modelo se manifiesta inmediatamente. inmediatamente. Su primera decisión es hacer preguntas pertinentes que tengan respuestas de interés. Las preguntas triviales no pueden menos que conducir a respuestas triviales. Las preguntas que son demasiado generales generales no sirven sirven para centrar el el problema. Las preguntas que son demasiado restrictivas restrictivas pueden pueden confinar la investigación investigación en
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Dinámica de Sistemas
regiones que no contienen ninguna respuesta. Las preguntas que son imposibles de contestar solo pueden conducir a desencanto".
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Elementos y Estructura de un Modelo
2. Elementos y Estructura de un Modelo
2.1. Diagramas Causales Para desarrollar modelos es pensar en función de relaciones causa-efecto. Para mostrar interacciones de este tipo de relaciones entre las variables claves durante el desarrollo de un sistema dinámico es el diagrama causal. El diagrama causal nos permite identificar la estructura de un sistema, para esto es necesario manejar un lenguaje le nguaje para modelar la percepción si queremos ver interrelaciones sistémicas, además necesitamos un lenguaje de interrelaciones, un lenguaje constituido por círculos. Supongamos un sistema muy simple, el de llenar un vaso de agua. En la Figura 2.1 se muestra una ilustración gráfica de ese proceso. Su descripción, en lenguaje ordinario, es muy simple: el que llena el vaso de agua, mediante la observación del nivel alcanzado en el vaso, actúa sobre el grifo, de modo que lo va cerrando según se alcanza el nivel que estima oportuno. El proceso que tiene lugar lo describiríamos como sigue: el agente agen te (el que llena el vaso) compara el nivel alcanzado en el vaso con el nivel deseado, si existe e xiste discrepancia actúa sobre el grifo, con lo que se influye sobre el nivel alcanzado, que es de nuevo comparado (en realidad se trata de un proceso continuo) con el nivel deseado; según disminuya la discrepancia, se irá cerrando el grifo, hasta que al anularse esta, se cierre definitivamente.
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Dinámica de Sistemas
FIGURA 2.1:
Proceso de Llenar un Vaso.
El proceso así descrito se puede representar repre sentar de forma más sintética mediante un diagrama como el que se muestra en la Figura 2.2a. En este diagrama se indican los hitos más importantes que intervienen en el proceso, de acuerdo con la descripción anterior, y que son son el nivel alcanzado en el vaso, vaso, la discrepancia entre ese nivel y el e l deseado, y el flujo de agua a gua que modifica aquel nivel. Estos elementos básicos del proceso están unidos entre en tre sí mediante flechas que indican las influencias que se establecen establecen entre ellos. Por ejemplo, el nivel alcanzado depende del flujo de agua ó el flujo de agua influye sobre el nivel alcanzado, lo que se indica, en el diagrama, mediante una flecha que va desde "flujo de agua" a "nivel" alcanzado. Esta relación de influencia se escribe: Flujo de Agua
Nivel
De forma análoga, la "discrepancia" se determina a partir del "nivel deseado" y del "nivel" alcanzado (en realidad r ealidad es la diferencia entre e ntre ambas). Por último, la "discrepancia" determina el el "flujo de agua". Articulando todas las relaciones de influencia se tiene el diagrama de la Figura 2.2a. En esta figura se observa que las flechas que unen la discrepancia con el flujo de agua, éste con el nivel alcanzado, para acabar de nuevo en la 12
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Elementos y Estructura de un Modelo
discrepancia, forman una cadena circular o cerrada de influencias. Es lo que se conoce como un bucle de realimentación, que es un elemento básico en la estructura del sistema.
+
Nivel deseado
Flujo Flujo d e Agua
+ Discrepancia -
Nive
(b) (a) FIGURA 2.2:
Proceso de Llenar un Vaso. a) Grafo orientado, b) Grafo signado.
Para desarrollar un diagrama causal es necesario identificar la variable clave que describe la situación del problema, y registrar el modo de funcionamiento del sistema que está siendo analizado. Las relaciones causa– efecto entre pares de variables se representan re presentan por medio de flechas ó denominado como influencias ó afectaciones. Por ejemplo, una fuerza aplicada a un objeto puede causar su aceleración, y la relación causal se representa como: Fu er z a
Ac eler ac i ó n
Fu m ar
S al u d
Donde la flecha entre las dos variables puede ser interpretada como "causa". Luego, en cada enlace o fle flecha cha se le asigna un signo direccional, más (+) ó signo menos (–). Ejemplos:
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Un aumento de la tierra cultivable resulta en un aumento de las cosechas + Producción Producción d e Cosecha
Tierra cultivable
El aumento en el uso de los cinturones de seguridad disminuirá el número de muertos en la carretera. -
Uso de Cinturones de seguridad
Muertos
Cuando se tiene más ingresos económicos se tiene un u n mayor ahorro. In g r es o
+
Ah o r r o
2.2. Bucle de Realimentación Un bucle de retroalimentación será una disposición circular de elementos conectados causalmente, en la que una causa inicial se propaga alrededor de los eslabones sucesivos del bucle, de forma que cada elemento ele mento tiene un efecto sobre el siguiente, retornando al inicio del proceso. El input o entrada está afectado por tanto por el output o salida y se produce una interacción entre procesos de realimentación negativa y positiva que añaden complejidad al patrón anteriormente descrito. Las relaciones causales entre variables a veces se cierran sobre sí mismas y forman bucles de realimentación, como en la Figura 2.2b al a l proceso de llenar el vaso de agua. Dentro de un bucle de realimentación, un cambio en una variable se transmite a través de la cadena de variables que forman el bucle, hasta que la causa inicial i nicial produce un efecto indirecto sobre sí mismas. En forma dinámica una influencia positiva tiende a producir situaciones de crecimiento o decrecimiento ilimitado, mientras que una influencia negativa ne gativa tiende a producir equilibrio. Desde el punto de vista de la causalidad un modelo está siempre estructurado como un conjunto de influencias positivas y negativas interconectados entre sí. El comportamiento dinámico del 14
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Elementos y Estructura de un Modelo
mismo dependerá de cómo se vaya produciendo entre la tendencia a crecer o decrecer de los unos y las tendencias al equilibrio de los otros.
2.2.1. Realimentación Realimentación Positiva Las influencias de las variables varia bles son positivas, es decir un signo positivo indica su polaridad si el bucle actúa para reforzar los cambios de variables en la misma dirección que el cambio inicial, con lo que se contribuye al crecimiento ó disminución de las variables del bucle, la otra posibilidad de obtener un bucle de realimentación positiva es teniendo número de enlaces negativos pares. En la Figura 2.3 representa un proceso en el que un estado determina una acción, que a su vez refuerza este estado, y así indefinidamente. En este caso el estado es una población, y la acción su crecimiento neto. En tal caso, cuanto mayor sea la población, mayor es su nacimiento, n acimiento, por lo que a su vez mayor es la población, y así sucesivamente. Se tiene, por tanto, un crecimiento explosivo de la población.
Nacimientos + +
+ Población -
Defunciones -
Esperanza de Vida
Tasa de Natalidad
FIGURA 2.3:
+
Diagrama Causal de la Población
2.2.2. Realimentación Realimentación Negativa Las influencias de las variables vari ables son al menos un enlace negativo ó el número de enlaces negativos es impar, es decir un signo menos indica si el bucle actúa para resistirse u oponerse a los cambios de variables, y de este modo produce una tendencia contraria al cambio inicial.
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+ Temperatura
- + Discrepancia
Calefactor
Temperatura deseada
+
FIGURA 2.4:
Bucle de Realimentación Realimentación negativa.
Un diagrama de esta naturaleza se puede aplicar tanto al sencillo acto de coger un lápiz, detectando mediante la vista la discrepancia entre las posiciones de la mano y del lápiz; al proceso de regulación de la temperatura en una habitación, en el que la discrepancia entre la temperatura deseada y la considerada confortable determina la actuación de un calefactor (si estamos en invierno, aunque en la región Puno todo el año se tiene frío) para corregir esa discrepancia (ver Figura 2.4); y tantos otros procesos de naturaleza semejante como las defunciones de poblaciones de la Figura 2.3 indicando que la influencia de la variable defunciones disminuirá a la variable población. El diagrama de un bucle de realimentación negativa aporta el esquema básico de todo comportamiento orientado a un objetivo. Son bucles que estabilizan los sistemas.
2.2.3. Demoras Hemos visto como la información sobre las relaciones de influencia podía enriquecerse con la adición de un signo. En algunos casos interesa, además, distinguir entre influencias que se producen pr oducen de forma más o menos instantánea e influencias que tardan un cierto tiempo en manifestarse. Cuando el efecto de una variable sobre otra lleva lle va tiempo provoca demoras.
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Elementos y Estructura de un Modelo +
Temperatura
Calefactor
+
Temperatura deseada
Discrepancia
+
FIGURA 2.5:
Temperatura deseada con demoras
En el diagrama de influencias Figura 2.5, aquí hay una demora significativa entre el momento en que el calefactor empieza a funcionar y el momento en que vemos un cambio en la temperatura. Las dos líneas transversales representan la demora, esto no indica cuántos segundo se gundo (ó años) durará la demora. Cuando seguimos una relación de influencia con una demora, se añade la palabra "finalmente" a la historia que se narra. "Moví el grifo, el cual finalmente cambió el flujo del agua." O bien "Comencé un nuevo proyecto de construcción, y finalmente las casas se terminaron". Las demoras pueden tener una enorme influencia influen cia en el comportamiento de un sistema. En los bucles de realimentación positiva determinan que el crecimiento no se produzca de forma tan rápida como se debería esperar. En los de realimentación negativa su efecto es más patente. Su presencia puede determinar que ante la lentitud de los resultados se tomen decisiones drásticas que conduzcan a una oscilación del sistema.
2.3. Tipos de Variables Una variable es una cantidad que puede cambiar en función del tiempo, puede ser una variable de decisión ó una cantidad que se ve afectada por dichas decisiones. En un bucle de realimentación es empleado las variables de nivel, variables de flujo y variables varia bles auxiliares.
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2.3.1. Variables de Nivel Las variables de nivel son los más importantes e indican el estado del sistema, suponen la acumulación en el tiempo de una cierta magnitud. Los valores que toman determinan la situación en la que se encuentra el sistema. Estas variables de nivel cambian en función de las variables de flujo y en algunas ocasiones por variables auxiliares.
2.3.2. Variables de Flujo Una variable de flujo produce cambios en las variables de nivel a lo largo del tiempo. Una ó más variables de flujo están asociadas a las variables de nivel. Estas variables de flujo son las que hacen ha cen que una variable de nivel aumente ó disminuya su valor.
2.3.3. Variables Auxiliares Las variables auxiliares son variables de ayuda en el modelo. Su papel auxiliar consiste en colaborar en la definición de finición de las variables de flujo y en documentar el modelo haciéndolo más comprensible. Las variables auxiliares se introducen al modelo para dar da r una mayor claridad de los pasos que se llevan a cabo para realizar cálculos que dan como resultado cambios en las variables de nivel. En muchas ocasiones las variables auxiliares determinan de terminan el valor de una variable de flujo y la variable de flujo es la que determina como se comporta una variable de nivel. De vez en cuando, las variables auxiliares llevan a cabo cálculos que determinan directamente el comportamiento de un nivel.
2.3.4. Constantes Las constantes son valores numéricos del modelo que no se modifican a través del tiempo. Las constantes no se ven afectadas a fectadas por los cambios que presentan otras variables del sistema.
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Elementos y Estructura de un Modelo
2.4. Comportamiento de un diagrama causal Toda variable de nivel va unida a una o más variables de flujo, las cuales son responsables de la variación de la variable de nivel. De hecho, una variable de nivel sólo cambia en cuanto se llena o vacía por las variables de flujo que le afectan. Veamos un ejemplo2. Consideremos el proceso de difusión de una infección en una población inicialmente sana. Esta población sufre el efecto de una epidemia, de modo que, mediante una tasa de contagio, la enfermedad se va propagando hasta infectar a toda la población. La descripción del proceso, en lenguaje ordinario, se puede reducir a los cuatro enunciados siguientes:
R1: Cuanto más grande es la tasa de contagio, mayor es la población infectada.
R2: A su vez, cuanto cuan to mayor es la población infectada más grande será la tasa de contagio (la infección se difundirá a mayor velocidad).
R3: Por otra parte, cuanto mayor es la población infectada menor será ser á la población aún vulnerable. y
R4: Cuanto mayor sea la población vulnerable a la epidemia, mayor será la tasa de contagio.
Estos enunciados, que constituyen la descripción básica del proceso, se pueden convertir en relaciones de influencia entre las diferentes variables con las que se puede describir el proceso. Estas variables son: la población infectada PI, la tasa de contagio TC y la población vulnerable a la enfermedad PV. Entre estas variables, de acuerdo con los anteriores a nteriores enunciados, se pueden establecer las relaciones de influencia: R1 R2 R3
:
TC
: :
PI PI
+ PI + TC PV
2
Ejemplo tomado de [Javier Aracil, 1995].
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Dinámica de Sistemas +
R4
:
PV
TC
El conjunto de estas relaciones conduce al diagrama integrado que se muestra en la Figura 2.6. En este e ste diagrama se pone de manifiesto que el proceso posee una estructura con dos bucles de realimentación, rea limentación, uno positivo y otro negativo. Sin embargo, lo que interesa es resaltar cómo los enunciados básicos del proceso han conducido a un diagrama causal. Estos enunciados básicos, en un caso real de modelado, corresponderían al conocimiento disponible con relación al proceso que se trata de modelar, y normalmente será facilitado por los especialistas en ese tipo de procesos. +
Población Infectada
Población total
Tasa Tasa d e contagio
Población vulnerable
+
+
+
FIGURA 2.6:
Diagrama causal de la difusión de una epidemia
Para identificar los tres tipos de variables, en este e ste caso es fácil ver que existe una única variable de nivel que corresponde a la población infectada PI. La tasa de contagio es una variable de flujo, ya que su significado es precisamente el de la variación de la población infectada con respecto al tiempo, asimismo, población vulnerable es una variable de flujo. Es decir la influencia de Tasa de contagio en la Población Infectada. La variable auxiliar en este diagrama es población total, infecciones por contagio y tasa normal de contagio. +
Tasa de contagio
Población Infectada Infectada
En forma análoga del diagrama causal de la población de la Figura 2.3 se puede identificar como variables de nivel a la población, como variables de
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Elementos y Estructura de un Modelo
flujo a nacimientos y defunciones, y como variables auxiliares a tasa de natalidad y esperanza de vida.
2.4.1. Diagramas de Forrester Los diagramas de Forrester son representaciones gráficas a partir de los diagramas causales para especificar con mayor detalle de talle los tipos de variables y las relaciones que se presentan. En los diagramas de Forrester, a las variables de nivel y de flujo se asocian unos iconos (gráficos) como los que se indican en la Figura 2.7 en la que a una variable de nivel se asocia un rectángulo y a una variable de flujo un icono que recuerda una válvula, cuya apertura se regula precisamente mediante el flujo que representa esta variable.
Variable de Nivel Variable de Flujo
Variable Variable Auxil iar
FIGURA 2.7:
Representación Representación gráfica de las variables de nivel y de flujo del diagrama de Forrester
Las variables auxiliares se representan mediante círculos. El diagrama que se obtiene a partir de un diagrama causal, cau sal, clasificando sus nodos en variables de nivel, flujo o auxiliares y asociando a esos nodos los iconos correspondientes recibe la denominación de diagrama de Forrester o diagrama de flujos-niveles.
2.4.2. Elementos de los diagramas de Forrester Los símbolos utilizados en los diagramas de Forrester en VenSim se presentan en el siguiente cuadro: Elemento
Símbolo
Variable de Nivel: Indicar el estado del sistema. Irenio Luis Chagua Aduviri
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Nivel
Dinámica de Sistemas
Variable de Flujo: produce cambios en las variables de nivel a lo largo del tiempo.
Flujo
Variable Auxiliar: Cantidad con un significado físico Constante: Elemento que no cambia de valor Sumidero (nube): Representa una fuente ó un sumidero (inagotable) Canal de Información: Transmisión de cierta información Demora: Demora en la transmisión de información
Aux Au x i l i a r Constante
Estos elementos presentados están disponibles para un diagrama de Forrester en VenSim, las formas de presentar las gráficas para representar un diagrama de Forrester varía en cuanto al uso de determinados paquetes y toman diversas formas, pero que guardan relación sobre sí mimas. En la Figura 2.8 se tiene el diagrama de Forrester del proceso de difusión de una enfermedad. Este diagrama se ha obtenido particularizando los elementos que aparecen en el de la Figura 2.6, convirtiendo cada uno de ellos en una variable de estado, de flujo o auxiliar. Asimismo, en la misma Figura, aparece, en el extremo superior izquierdo, una nube que representa una fuente, o un sumidero, que no es relevante para la descripción del sistema. Se podría prescindir de él pero se incluye para dar mayor coherencia al diagrama. Población Infectada
Tasa Tasa de de contagio Infecciones por contagio
Población Total Total
Tasa Tasa norm al de contagio
Población vulnerable
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Irenio Luis Chagua Aduviri
Elementos y Estructura de un Modelo FIGURA 2.8:
Diagrama de Forrester del proceso de propagación de una epidemia
En todo sistema dinámico, la variación de sus estados depende de los valores en que se encuentran los estados mencionados, del cual tiene la siguiente organización:
Las líneas de información tienen siempre sie mpre como punto de partida inicial las variables de nivel o las variables auxiliares (parámetros) y como punto de destino final las variables de flujo. Es decir, las variables de flujo son función de las variables de nivel y de las variables auxiliares (parámetros).
Las variables auxiliares forman parte de los caminos de información, usualmente aparecerán variables auxiliares entre la información que inicia en las variables de nivel y como destino final las variables de flujo. f lujo. Estas variables configuran la función que define a una variable de flujo, de manera que documentan en forma comprensible cada paso en el tratamiento de la información que determina la definición de la variable de flujo.
Según lo indicado en lo anterior, no tiene sentido construir un bucle cerrado únicamente con variables auxiliares. En todo bucle de realimentación debe de aparecer una variable de nivel y, en consecuencia, al menos una variable de flujo.
Cuando existan variables exógenas influyendo en el comportamiento del sistema, una o más líneas de información podrán evidentemente, y excepcionalmente, tener su origen en una variable auxiliar. Si así no fuera, la variable exógena no podría influir de ninguna manera en el modelo.
Las ideas comentadas se puede ilustrar en la Figura 2.9, del cual el diagrama (a) es correcto. En el diagrama (b) la información se genera en la variable de flujo para terminar en la variable de nivel, lo cual es incorrecto, asimismo, una variable de nivel solo se ve afectado por la entrada o salida en el mismo de una variable de flujo real de una magnitud que le hace aumentar o disminuir según el caso. En el diagrama (c) también es incorrecto ya que una Irenio Luis Chagua Aduviri
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Dinámica de Sistemas
variable de flujo está aumentando en una variable auxiliar. En el diagrama (d) supone un ciclo de realimentación que sólo es posible cuando se verifique la igualdad entre todas las variables.
Nivel Flujo
Nivel Flujo
Au x i l i ar Parámetro 1
Parámetro Parámetro 2
(b)
(a)
Aux i l i ar 2 Nivel Flujo 1
Aux Au x i l i ar
Aux i l i ar 1
Flujo 2
Aux i l i ar 3
(c) FIGURA 2.9:
(d)
Diagramas de Forrester
2.4.3. Dimensiones de las Variables En un modelo de dinámica de sistemas, se tiene el diagrama causal y el diagrama de Forrester, para realizar la simulación es necesario atribuir dimensiones a cada una de las variables de manera que todas se midan en una determinada unidad de medida. Si las variable de nivel se mide en una cierta unidad, sus variables variables de flujo asociados deberán medirse en esas mismas unidades que de la variable de nivel por la unidad de tiempo establecido. Las unidades de medida de las variables auxiliares y de los parámetros deben definirse de tal manera que en la ecuación quede la unidad de medida establecida.
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Elementos y Estructura de un Modelo
Para ver un ejemplo, veamos la Figura 2.10 de la Población Infectada, del que como unidad de medida para la variable de nivel es personas, y la única variable de flujo está expresado en e n la misma unidad de la variable de nivel personas, pero por unidad de tiempo, es decir la unidad que tiene es de personas/meses personas/meses, ya que la simulación se ha establecido determinar la tasa de contagio en meses. Las unidades de medida para las variables auxiliares y parámetros se ha determinado en función a las variables de nivel y de acuerdo a las variables de flujo, es decir, para población total y población vulnerable está expresado en personas, tasa normal de contagio se ha expresado en 1/personas y el parámetro infecciones por contagio se ha expresado en 1/meses. De tal manera que al realizar la operación de la ecuación de la variable de flujo al realizar las simplificaciones nos debe quedar en la unidad de la variable de flujo, en este caso es personas/meses personas/meses. (personas/meses)
(personas) Población Infectada
Tasa de contagio (1/meses) Infecciones por contagio
Población Total Tasa normal de contagio
Población vulnerable
(1/personas)
(personas)
(personas)
FIGURA 2.10: Unidades de medida para el diagrama de Forrester del
proceso de propagación de una epidemia
De la misma forma para el caso del diagrama causal de la población se tiene las unidades de medida para las variables como se muestra en la Figura 2.11, para la variable de nivel se tiene como unidad de medida personas y las dos variables de flujo nacimientos y defunciones se tiene la misma unidad que la variable de nivel que es personas por la unidad de tiempo, es decir se tiene como unidad de medida personas/años, la variable auxiliar ó parámetro Irenio Luis Chagua Aduviri
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Dinámica de Sistemas
esperanza de vida está expresado en años ya que es la condición limitadora y que opera en la variable de flujo, y para el parámetro tasa de natalidad tenemos definido como unidad de medida 1/años ya que la variable de flujo debe estar expresado en el tiempo, esto como decir en cada año el nacimiento de personas es de 2 por ciento de la población total.
(personas/años)
Nacimientos
(personas)
(personas/años)
Poblacion Defunciones
Esperanza de vida
Tasa de Natalidad (1/años)
(años)
FIGURA 2.11: Unidades de medida para el diagrama Forrester del proceso
población
2.4.4. Ecuaciones Funcionales Una vez que se tiene el diagrama de Forrester las relaciones entre las variables deben ser cuantificadas mediante las ecuaciones e cuaciones funcionales y matemáticas. La forma más frecuente de establecer la relación entre dos variables es mediante mediante una expresión analítica que proporciona la función que relaciona ambas variables. Poco más puede decirse en abstracto acerca de las ecuaciones por cuanto dependerán depen derán muy específicamente de cada situación particular. Las ecuaciones de variables auxiliares pueden adoptar cualquier forma analítica si bien, por su propia naturaleza de variables añadidas para simplificar la descripción, no tienen porque ser se r expresiones complicadas. Muchas veces no conoceremos la relación algebraica precisa pero podremos tener un conocimiento expresable mediante una gráfica. Esta gráfica se traducirá en una tabla en el momento de su implementación. Esta forma de 26
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Elementos y Estructura de un Modelo
establecer dependencias es muy útil cuando nuestro conocimiento de la relación entre dos variables auxiliares tiene un carácter experimental y, también, cuando desconociendo la naturaleza exacta de la relación deseamos introducir hipótesis plausibles para la misma. Las ecuaciones más problemáticas de decidir siempre son las correspondientes a las variables de flujos. En particular pa rticular a aquellos que definen las políticas del sistema. Téngase en cuenta que los cambios en el estado del sistema corresponden a las variables de flujo. Por ello, las variables de flujo son los puntos del modelo donde se plasman las decisiones importantes. Cuál va a ser la política de contratación, cuál la de incremento de la inversión, de que dependen los contagios, son ejemplos de variables de flujo típicos. Una buena parte del esfuerzo de construcción del modelo deberá dedicarse a la determinación de estas variables de flujo. Las ecuaciones correspondientes a las variables de nivel son siempre iguales. Una variable de nivel es siempre y por definición la integración de todas las variables de flujo que le afectan. Tal es así, que estas ecuaciones pueden ser escritas automáticamente por la máquina si se dispone del compilador adecuado. De esta manera, una vez establecidas todas las relaciones, si especificamos los valores que inicialmente tienen las variables de nivel y atribuimos valores a los parámetros dispondremos de un conjunto de ecuaciones que el ordenador integrará numéricamente para proporcionarnos la evolución temporal de las variables. Dicho conjunto de ecuaciones es el modelo matemático propiamente dicho. Existen compiladores de simulación específicos de Dinámica de Sistemas, del cual el que qu e empleamos para la presente simulación es Ventana System (VenSim). Veamos la definición de las ecuaciones funcionales para el caso del diagrama de Forrester de la propagación de una epidemia. Consideremos la relación entre tasa de contagio y la población infectada, la evolución de esta población viene dada por: Población Infectada = Tasa de Contagio
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Dinámica de Sistemas
Que indica que la población infectada será la tasa de contagio en un periodo de tiempo que se ha determinado durante la simulación. La ecuación de la población infectada recibe la denominación de ecuación de nivel o de estado, e indica cómo evoluciona la variable de estado estado Población Infectada PI en función de la variable de flujo Tasa T asa de Contagio TC que determina su variación. La ecuación funcional para la variable de flujo Tasa de contagio será por todas las variables que le influyen, en este caso será la multiplicación de las variables auxiliares que le afectan: Tasa de Contagio = ( Infecciones por contagio * Tasa normal de contagio * Población Infectada * Población vulnerable )
Que establece que esa tasa de contagio se obtiene multiplicando las infecciones por contagio IPC, la tasa normal de contagio TNC, la población infectada PI y la población vulnerable PV. Esta ecuación es una muestra de lo que se conoce como una ecuación de d e flujo. Las ecuaciones de este tipo permiten determinar una variable de flujo a partir de determinados parámetros del modelo (en este caso IPC y TNC), de variables auxiliares (como PV) y/o de variables de estado (como PI). Los parámetros IPC y TNC toman valores constantes para cada simulación del modelo. En el modelo aparece también la variable auxiliar población vulnerable PV, que viene dada por: Población Vulnerable = +Población Total – Población Infectada
Es decir, como diferencia entre la población vulnerable PV y la población infectada PI, indicando que la población sana va disminuyendo cuando existe una infección. Conviene observar que en el modelo además de la variable de estado PI, el flujo TC y la variable auxiliar PT también han aparecido unos parámetros IPC y TNC y una variable exógena PV. A los parámetros hay que darles un 28
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Elementos y Estructura de un Modelo
valor numérico para que el modelo se refiera refier a a una situación concreta. Ello se hace habitualmente de una de las dos formas siguientes:
Bien se atiende al significado concreto de esos parámetros, y se dispone de información numérica suficiente para conocer sus valores (tablas estadísticas, censos, estudios, etc.). En este caso, se requeriría el conocimiento del número de infecciones por contagio, que nos daría el parámetro IPC, y de la tasa normal de contagio TNC. Esta información será suministrada por los correspondientes especialistas.
O bien, en los casos en e n los que no se disponga de información sobre los valores de los parámetros, pero sin embargo se disponga de datos con relación a la evolución de las magnitudes significativas del sistema en un período de tiempo determinado, se puede emplear técnicas de ajuste de los parámetros. Estas técnicas consisten, esencialmente, en determinar los valores numéricos de los parámetros que minimizan algún índice que mida la discrepancia discrepa ncia entre los datos históricos de evolución del proceso y los generados por el sistema dinámico.
En la actualidad se dispone de entornos de simulación muy flexibles que permiten construir un modelo de forma gráfica, empleando iconos, de modo que, combinando éstos, se llega al diagrama de Forrester de forma directa. Estos entornos, una vez se ha construido este diagrama, generan automáticamente las ecuaciones. Una vez programado se generan las trayectorias del sistema, que muestran la evolución de las variables correspondientes, especialmente de las variables de nivel como se muestra en la Figura 2.12. Por lo que respecta a nuestro modelo, se observa que la población infectada PI muestra un crecimiento sigmoidal. En efecto, vimos cómo un sistema cuya estructura presentase dos bucles de realimentación, uno positivo y otro negativo, mostraba un comportamiento comportamiento de crecimiento sigmoidal. En la fase inicial del proceso, cuando las personas que han padecido la enfermedad son pocas, se produce un proceso de crecimiento exponencial de difusión de la enfermedad. El bucle de realimentación positiva domina sobre el negativo. En la medida en que la población total va disminuyendo, se invierte la Irenio Luis Chagua Aduviri
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Dinámica de Sistemas
dominación de bucles. Entonces es el negativo el que empieza a dominar, limitando el crecimiento por el efecto que representa el agotamiento de la población vulnerable. Lo que aquí se ha dicho con respecto a la difusión de una enfermedad, puede decirse con respecto a la introducción de un nuevo producto en un mercado, la difusión de una innovación inn ovación tecnológica u otros procesos de naturaleza similar. En todos ellos se tiene una estructura con dos bucles de realimentación, y se llega a una formalización análoga a la anterior, que conduce a un crecimiento logístico, como acabamos de ver.
FIGURA 2.12: Trayectorias del Modelo de la propagación de epidemia
De la misma forma para las unidades unida des de medida para el modelo de crecimiento de la población de la Figura 2.11 2 .11 se tiene como variable de nivel Población a la suma de la variable de flujo f lujo nacimientos y la disminución de la variable de flujo defunciones. Poblacion = + Nacimientos Nacimiento s – Defunciones
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Elementos y Estructura de un Modelo
Las variables de flujo nacimientos y defunciones también estarán en función de las variables auxiliares y los parámetros, pa rámetros, en este caso estará dado por la siguiente ecuación: Nacimiento Nacim ientos s = Poblacion * Tasa de Natalidad Defunciones = Poblacion / Esperanza de vida
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Dinámica de Sistemas
3. Arquetipos Sistémicos Arquetipos Sistémicos ó Estructuras Genéricas son subyacentes en un sistema y permite aplicar el apalancamiento para enfrentar desaf desafíos íos dificultosos, constituidos por: procesos reforzadores (realimentación positiva), procesos compensadores (realimentación negativa) y demoras.
3.1. Compensación entre Proceso y Demora En la estructura de Compensación entre Proceso y Demora se presenta un proceso compensador. Una persona, un grupo ó una organización, actuando con miras a una meta, adaptan su conducta en respuesta a la realimentación demorada. Si no son consecuentes de la demora, realizan realiza n más acciones correctivas de las necesarias ó a veces desisten porque no ven ningún progreso, ver Figura 3.1a. Un ejemplo de este arquetipo a rquetipo son las modalidades de evasión y/o elusión tributaria en la SUNAT3, que se muestra en la Figura 3.1b. Otro ejemplo, Los agentes de bienes raíces siguen construyendo nuevas propiedades hasta saturar el mercado, pero para entonces hay más propiedades en construcción de las que el mercado necesita. Condiciones Reales
Modali dades de Evasión Evasión Tributaria y/o Elusión Tributaria
Estrategias en la Planificación de la Fiscalización Fiscalización Tributaria
Acc i ón Correc Corr ectiti va
(a)
(b)
3
Trabajo realizado en el curso de Sistemas y Tecnologías de la Información en la Maestría de Ingeniería de Sistemas, Mención Gerencia en Tecnologías de la Información, UNSA – Arequipa por Irenio L. Chagua A. y W. Alexander Medina E.
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Arquetipos Sistémicos
a). Estructura genérica de Compensación Compensación entre Proceso y Demora. b). Modalidades de Evasión y/o Elusión Tributaria.
FIGURA 3.1:
3.2. Límites del crecimiento Un proceso reforzador se pone en marcha para producir un resultado deseado. Crea un espiral de éxito pero también genera efectos secundarios inadvertidos que eventualmente atentan contra el éxito. En los casos de límites del crecimiento, hay un proceso reforzador de crecimiento ó perfeccionamiento que opera por sí mismo durante un tiempo. Luego se topa con un proceso compensador, que opera para limitar el crecimiento. Cuando eso ocurre, la tasa de perfeccionamiento disminuye e incluso se detiene, tal como se puede apreciar en la Figura 3.2. Condición Limitativa Acci Acc i ón Creci Crec i ente en te
FIGURA 3.2:
Condición
Acci Acc i ón Decreciente
Estructura genérica de los límites del crecimiento.
La Figura 2.3 llevado al arquetipo sistémico se puede apreciar en la Figura 3.3 el límite del crecimiento como proceso reforzador a los nacimientos y como proceso compensador a las defunciones de la población.
Nacimientos
Población
Tasa de Natalidad
Irenio Luis Chagua Aduviri
Defunciones Esperanza de Vida
33
Dinámica de Sistemas FIGURA 3.3: Diagrama Causal de la Población en arquetipo sistémico.
En la Figura 3.4 se puede apreciar el gráfico de la creciente de la población cuando existen más nacimientos.
FIGURA 3.4: Gráfico de la Población y Nacimientos.
3.3. Desplazamiento de la Carga Un Problema subyacente genera problemas que reclaman atención. Pero el problema subyacente es difícil abordar, porque es engorroso ó porque es costoso afrontarlo. La estructura de desplazamiento de la carga está compuesta por dos procesos compensadores. Ambos tratan de ajustar ó corregir el mismo síntoma problemático, pero sólo en forma temporal. En la Figura 3.5a se puede apreciar en el círculo superior como la intervención contra el síntoma, la "solución rápida". Resuelve pronto el síntoma problemático, pero solo en forma temporal. El círculo inferior tiene una demora. Representa una respuesta más fundamental fu ndamental ante el problema. Sin embargo, la solución fundamental funciona con mayor eficacia.
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Arquetipos Sistémicos
En estas estructuras hay también un proceso reforzador creado por "efectos laterales" de la solución del síntoma. Cuando esto ocurre, los efectos ef ectos laterales dificultan aún más la implementación de la solución fundamental. funda mental.
Solución del Síntoma
Síntoma Problemático
Alco Al coho ho l
Efecto Lateral
Reduce la carga laboral
Solución Fundamental
(a) FIGURA 3.5:
Salud
Estrés
(b)
a). Estructura de Desplazamiento de la Carga. b). Estructura de Desplazamiento para bebidas alcohólicas
Como ejemplo del desplazamiento de la carga se tiene a la bebida alcohólica, ver Figura 3.5b, que elimina las tensiones, al a l menos por un tiempo. Alivia el síntoma con la sensación de haber resuelto el problema ante la carga laboral. Si no se adopta una medida, la carga laboral puede aumentar más con el tiempo, el estrés vuelve y la presión para beber aumenta.
3.4. Erosión de Metas Esta estructura presenta dos procesos compensadores. Una estructura de desplazamiento de la carga donde la solución de corto plazo significa el deterioro de una meta fundamental de largo plazo, se puede ver en la Figura 3.6a. Ejemplo: Una fábrica de alta tecnología pierde participación en el mercado, a pesar de un producto magnífico y continuas mejoras. Pero la firma, orientada hacia sus genios del diseño, diseñ o, nunca tiene los planes de producción bajo control. Un investigador externo descubrió que los clientes estaban cada vez más insatisfechos con los retrasos, y compraban productos de la Irenio Luis Chagua Aduviri
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Dinámica de Sistemas
competencia. La compañía se mantuvo en su trece: "Hemos mantenido un éxito de 90 por ciento en satisfacer el tiempo de entrega prometido al cliente". Por lo tanto, buscó el problema en otra parte. Sin embargo, cada vez que la compañía sufría retrasos en la entrega, reaccionaba alargando el tiempo prometido. El tiempo de entrega prometido se volvía cada vez más largo, ver la Figura 3.6b.
Meta
continuas mejoras del producto
Presion Presion es para ajustar ajustar la meta
Participación en el mercado
Brecha Acci Acc i ones on es par p ara a mejorar condiciones
Condición
Clientes Insatisfechos por retrasos
(a) FIGURA 3.6:
Producción bajo control
Tiempo de entrega prometido
(b)
a). Estructura de Erosión de Metas. b). Erosión de Metas de una Fábrica.
3.5. Escalada Dos personas u organizaciones entienden que su bienestar depende de una ventaja relativa de una sobre la otra. Cuando una se adelanta, la otra se siente amenazada y actúa con mayor agresividad para recobrar su ventaja, lo cual amenaza a la primera, aumentando a umentando su agresividad, y así sucesivamente. A menudo cada parte ve su conducta agresiva como una reacción defensiva ante la agresión de la otra; pero la "defensa" de cada parte deriva en una escalada que escapa a la voluntad de ambas, véase la Figura 3.7.
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Arquetipos Sistémicos Resultados de B
Resultados de A
Resultad Resultad os de A en Relación con B Acti Ac tivi vi dad da d de B
Acti Act i vi da d de A
FIGURA 3.7:
Estructura de Escalada
Ejemplo: Una compañía desarrolló un ingenioso diseño para un cochecito que llevaba tres bebés al mismo tiempo pero era liviano y cómodo para los viajes. Fue un éxito inmediato entre familias con varios hijos. h ijos. Casi simultáneamente, surgió un competidor con un producto similar. Al cabo de varios años, envidiando la participación en el mercado de otra compañía, la primera redujo el precio en 20 por ciento. La segunda compañía notó una merma en las ventas y también rebajó los precios. La primera compañía, todavía interesada en recobrar su parte en el e l mercado, bajó los precios aún más. La segunda compañía la imitó a regañadientes, aunque a unque sus ganancias empezaban a ser afectadas. Varios años después, ambas compañías apenas lograban mantenerse a flote, y la supervivencia del cochecito triple era dudosa. Otros ejemplos: Guerra de publicidad, la batalla para ser escuchado por el presidente de una compañía.
3.6. Éxito para quien tiene éxito Dos actividades compiten por recursos limitados. A mayor éxito, mayor respaldo, con lo cual la otra se queda qu eda sin recursos, véase Figura 3.8a. Ejemplo. Un manager tiene dos protegidos y desea que ambos a mbos progresen en la empresa. Sin embargo, uno empieza a recibir trato preferencial cuando el otro falta una semana por razones de salud. Cuando el segundo protegido regresa al trabajo, el manager se siente culpable y elude a esa persona, dando así aún más oportunidades al primer protegido. El primer protegido, Irenio Luis Chagua Aduviri
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Dinámica de Sistemas
intuyendo cierta aprobación, prospera, y así recibe más oportunidades. El segundo protegido, sintiéndose inseguro, realiza una labor menos efectiva y recibe aún menos oportunidades, aunque ambas personas tenían aptitudes similares al comienzo. Finalmente, el segundo protegido se va de la empresa, esto se representa mediante la Figura 3.8b. Otros ejemplos: Equilibrio entre la vida familiar y laboral, donde alguien dedica horas excesivas al trabajo y las relaciones familiares se deterioran, con lo cual se vuelve más "doloroso" regresar a casa, lo cual aumenta las posibilidades de seguir descuidando la vida familiar. fa miliar.
Recursos para A
Éxito de A
Se sien sien te inseguro
+
labor efectiva
Falta al trabajo y es eludi do +
-
Asig na ci ón pa ra A y no pa ra B
Trato Trato Preferencial + +
Recursos Prosperidad para B +
Éxito de B
Real iza su trabajo + Oportunidades
(a) FIGURA 3.8:
(b)
a). Estructura de Éxito para quien tiene éxito. b). Manager y sus dos protegidos
3.7. Tragedia del Terreno Común Los individuos utilizan un recurso común pero limitado reparando únicamente en las necesidades individuales. Al principio son recompensados, pero eventualmente hay una disminución en las ganancias, ganan cias,
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Arquetipos Sistémicos
lo cual les induce a intensificar los esfuerzos. Al final agotan ó erosionan el recurso, lo que describe en la Figura 3.9.
Ganancias netas para A Acti Act i vi da d individual de A
Ganancia por actividad individual
Acti Act i vi da d Total
Límite de recursos
Acti Act i vi da d individual de B
Ganancias netas para B
FIGURA 3.9:
Estructura de Tragedia del terreno común.
Ejemplo. Varias divisiones de una compañía acordaron compartir una fuerza fue rza de ventas al minorista. Cada gerente de distrito temía que la fuerza compartida no prestara suficiente atención a su área á rea y el volumen declinara. Un gerente muy agresivo aconsejó a sus gerentes de cuentas que fijaran objetivos de venta más elevados de lo necesario, de modo que los vendedores les dieran al menos el respaldo mínimo. Las otras divisiones notaron esa presión y decidieron emplear la misma estrategia, Los gerentes de la nueva fuerza de ventas querían satisfacer a todos sus "clientes", así que continuaron aceptando los requerimientos de las divisiones. Esto creó sobrecarga laboral, desempeño inferior e incremento de renuncias. Unirse a esa fuerza de ventas pronto fue tan popular como unirse a la Legión
Irenio Luis Chagua Aduviri
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Dinámica de Sistemas
Extranjera, y cada división tuvo que volver a mantener una fuerza de ventas propia.
3.8. Soluciones rápidas que fallan Una solución eficaz en el corto plazo plaz o tiene consecuencias de largo plazo imprevistas que requieren más uso de la misma solución, véase la Figura 3.10a. Ejemplo. Una compañía manufacturera lanzó un nuevo conjunto de componentes de alto desempeño, que al principio tuvieron gran éxito. Sin embargo, el directivo estaba empeñado en reducir sus gastos, así que postergó la adquisición de nuevas y costosas máquinas de producción. La calidad de manufacturación se resintió, lo cual creó una reputación de mala calidad. La demanda cayó abruptamente el año siguiente, lo cual redujo las ganancias y dejó al directivo con menos ganas de invertir en un nuevo equipo de producción.
Solución
Problema
Consecuencias no buscadas
Otros préstamos
Interés de Préstamo
Deuda
(a)
(b)
FIGURA 3.10: a). Estructura de Soluciones rápidas que fallan. b).
Préstamos para pagar intereses de otros préstamos.
Otros ejemplos. Personas y organizaciones que piden préstamos para pagar el interés de otros préstamos, con lo cual tendrán que pagar más intereses más tarde, véase la Figura 3.10b.
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Arquetipos Sistémicos
3.9. Crecimiento y subinversión El crecimiento se aproxima a un límite que se s e puede eliminar ó desplazar hacia el futuro si la empresa ó individuo invierte en "capacidad" adicional. Pero la inversión debe ser intensa y rápida para impedir la reducción del crecimiento, pues de lo contrario no se hará nunca. A menudo las metas decisivas ó las pautas de desempeño se rebajan para justificar la subinversión. Cuando esto ocurre, hay una profecía autopredectiva donde las metas más bajas conducen a expectativas más bajas, que luego se traducen en un mal desempeño causado por la subinversión, véase la Figura 3.11.
Demanda
Desempeño Pauta de desempeño
Acc i ón Creciente Capacidad
Necesidad percibida de invertir
Inversión en capacidad
Subinversión. FIGURA 3.11: Estructura de Crecimiento y Subinversión.
Ejemplos. Compañías que dejan decaer la calidad de los servicios ó los productos, culpando a la competencia ó la gerencia de ventas por no empeñarse en mantener las ventas. Personas con magníficas visiones que no evalúan de modo realista el tiempo y el esfuerzo esfu erzo que deben dedicar al logro de la visión.
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4.Formulación de Modelos de Dinámica de Sistemas
4.1. Modelos de Sistemas A una descripción de un sistema con su estructura y su organización mediante un lenguaje se le conoce como un modelo del sistema. El término modelo tiene múltiples acepciones en el lenguaje ordinario. Se dice que la persona a la que un pintor pinta (representa) es su modelo; y que una maqueta es el modelo a escala (lo que representa) de un edificio o un vehículo. A nosotros nos interesa este segundo uso, como representación re presentación de un cierto aspecto de la realidad. Del mismo modo que al usuario de un plano lo que le interesan son exclusivamente las relaciones espaciales, al especialista en sistemas lo que le interesa i nteresa de un sistema es cómo su estructura determina la evolución a lo largo del tiempo de las magnitudes que considera relevantes para describirlo. Las ecuaciones funcionales que nos hemos planteado en la sección anterior, es un modelo informático del proceso. Con este modelo podemos experimentar con el comportamiento del sistema. Ante un determinado comportamiento problemático, el sistemista pretende determinar cómo éste emerge de la estructura de un comportamiento real del sistema. Para resolver ese problema debe desarrollar una descripción cuya estructura permita generar ese comportamiento con la finalidad de experimentar su comportamiento.
4.2. Proceso de Modelado El proceso de modelado consiste en el conjunto de operaciones mediante el cual, tras el oportuno estudio y análisis, se construye el modelo del aspecto de la realidad que nos n os resulta problemático. Este proceso, consiste en analizar la información disponible con relación al proceso, depurar hasta
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reducir a sus aspectos esenciales, y reelaborar de modo que pueda ser transcrita al lenguaje sistémico que estamos viendo. En el proceso de modelado se pueden distinguir las siguientes fases: fa ses:
4.2.1. Identificación y Definición del problema En esta primera fase se trata de definir claramente el problema. Se analizan los elementos que conforman el sistema y se define el límite del sistema y las variables exógenas, de las cuales es e s determinar la variación a lo largo del tiempo.
4.2.2. Conceptualización Conceptualización del modelo Una vez definido el problema, es necesario la adecuación del lenguaje sistémico elemental para estudiar el problema, en esta segunda fase se trata de acometer dicho estudio, definiendo los distintos elementos que integran la descripción, así como las influencias que se producen entre ellos. El resultado de esta fase es el establecimiento del diagrama causal del sistema.
4.2.3. Formulación del Modelo En esta fase se pretende pre tende convertir el diagrama causal del modelo, definido en la fase anterior, en el diagrama de Forrester. A partir de este diagrama se pueden escribir las ecuaciones del modelo. Al final de la fase se dispone de un modelo del sistema programado en un computador con el uso de un lenguaje de simulación dinámica.
4.2.4. Comportamiento Comportamiento del modelo Esta cuarta fase consiste en la ejecución de la simulación del modelo mediante un lenguaje para determinar las trayectorias que genera cada variable del modelo.
4.2.5. Evaluación del modelo En esta fase se somete el modelo a una serie de pruebas y análisis para evaluar su validez y calidad. Estos análisis son muy variados y comprenden desde la comprobación de la consistencia lógica de las hipótesis que incorpora hasta el estudio del ajuste entre e ntre las trayectorias generadas por el modelo y las registradas en la realidad. reali dad. Asimismo, se debe evaluar las Irenio Luis Chagua Aduviri
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variables del sistema con valores distintos con la finalidad de evaluar el comportamiento del sistema.
4.2.6. Uso del modelo En esta última fase el modelo es la aplicación del modelo en el sistema con las mejores opciones propuestas por la especificación de las variables que mejor resuelven el problema. El modelo también se emplea para analizar a nalizar políticas alternativas que pueden aplicarse al sistema que qu e se está estudiando. Estas políticas alternativas se definen normalmente mediante escenarios que representan las situaciones a las que debe enfrentarse el usuario del modelo.
4.3. Análisis de sensibilidad de un Modelo Los problemas a los que se aplica habitualmente la dinámica de sistemas incluyen relaciones y parámetros de los que se dispone de pocos datos empíricos. En un modelo de dinámica de sistemas se produce pr oduce una integración de información de tipo cualitativo con información de tipo cuantitativo. Esta mezcla de tipo de información puede producir problemas. El hecho de que asignemos un valor numérico concreto a un parámetro, o una forma funcional determinada a la expresión que relaciona dos variables, nos obliga a preguntarnos que sucedería si el valor de ese parámetro o de esa función, fuesen otros, aunque esos valores sean aproximados a aquel que hemos adoptado. El análisis de sensibilidad pretende precisamente pre cisamente abordar este problema. Otra razón para realizar el análisis de sensibilidad es que los modelos, debido a su complejidad, pueden resultar difíciles de comprender. Este análisis aporta un instrumento para alcanzar una mejor comprensión sobre cuáles son los puntos de actuación en los que se pueden producir efectos más considerables. El análisis de sensibilidad consiste en un estudio sistemático de cómo afectan a las conclusiones de un modelo las posibles variaciones en los valores de los parámetros y en las relaciones funcionales que incluye. La forma más simple de realizar el análisis anális is consiste en modificar los valores 44
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numéricos de cada uno de sus parámetros. p arámetros. Para ello se incrementa el valor del parámetro cuya sensibilidad se quiere estudiar e studiar en un cierto porcentaje y se analiza en qué medida esta variación afecta a las conclusiones del modelo (a las trayectorias que genera). Realizándolo de forma sistemática para todos los parámetros, con incrementos y decrementos previamente establecidos, se puede tener una evaluación de los efectos de esas modificaciones sobre las conclusiones del modelo. Diremos que el modelo es insensible insen sible a las variaciones de los parámetros, si variaciones razonables de ellos no afectan sensiblemente a las conclusiones que se extraen del mismo. El problema que presenta la realización del análisis como se acaba de describir, es que al modificar cada uno un o de los parámetros separadamente se prescinde de los posibles efectos de variaciones conjuntas de varios de ellos. En el análisis de sensibilidad s ensibilidad no sólo se considera los valores de los parámetros, sino las propias relaciones funcionales. El estudio e studio sistemático de las modificaciones de esas relaciones es más complejo que el de los valores numéricos de los parámetros. No existe un método general para abordar este problema, pero en cada caso concreto es posible encontrar una solución, ya que, en último extremo, toda relación funcional incorpora un cierto número de parámetros. El análisis de sensibilidad de un modelo constituye uno de los elementos esenciales para evaluación. Nos permite dar respuesta a dos tipos de cuestiones: por una parte, en qué medida el modelo es insensible a variaciones en su estructura y, por tanto, resulta robusto; y, por otra, cuáles son los puntos de máxima sensibilidad del modelo que sugieren cuales son las actuaciones sobre el proceso real que serán más efectivas. Existen otras formas de abordar el problema del análisis de sensibilidad. Una forma especialmente interesante está basada en la aplicación de los resultados de la teoría cualitativa de los sistemas dinámicos a un modelo de dinámica de sistemas. De este modo conceptos como el de estabilidad estructural pueden aplicarse a un modelo de dinámica de sistemas.
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4.4. Uso del Modelo Todo modelo se construye con la finalidad de ayudar a resolver un problema concreto. En consecuencia, el uso del modelo consistirá precisamente en valerse de él para resolver ese problema. Sin embargo, este uso del modelo puede tomar formas variadas. En algunos casos, el modelo permite hacer predicciones. Es decir, alcanza un nivel de precisión tan elevado que nos permite emplearlo para predecir con exactitud qué valores tomarán algunas magnitudes en un instante de tiempo determinado del futuro. Estos modelos predictivos presuponen que el modelo tenga una gran precisión, tanto por lo que respecta a los valores de los parámetros, como a las relaciones funcionales que incluye. Este grado de precisión se alcanza normalmente en las ciencias físicas, por lo que es en este ámbito donde se dan con mayor frecuencia este tipo de modelos. Ello no excluye que en determinados problemas de las ciencias sociales puedan hacerse también predicciones, pero estas no suelen tener el grado de aceptación de las que se logran en las ciencias físicas. Otra de las posibles utilizaciones de los modelos, especialmente cuando cua ndo incorporan una cierta imprecisión, consiste en emplearlos no tanto para hacer predicciones concretas de valores numéricos precisos para determinadas magnitudes, sino para analizar las tendencias de evolución de esas magnitudes. Así, se trata de establecer si una magnitud tiende a crecer, a decrecer, a oscilar, o a permanecer invariable. Se tratan de predicciones más laxas que las consideradas en el párrafo anterior. En realidad, en este caso estamos más próximos a hacer previsiones que propiamente predicciones. Y el tercer uso posible de los modelos consiste en emplearlos como instrumentos para analizar los distintos modos de comportamiento que puede mostrar ése sistema. De acuerdo con este uso, los modelos no tratan de ayudarnos a anticipar el porvenir, sino de suministrarnos elementos para una reflexión disciplinada sobre los posibles modos de desenvolverse desen volverse el sistema que estamos estudiando. Este uso se encuentra en la actualidad muy
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generalizado y consiste en emplearlos como bancos de prueba para el aprendizaje.
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