DISTRIBUCION DE LA PROBABILIDAD.
Como ya dijimos en la Sección 2.12 !na "a#ia$le alea%o#ia es !na &!nción de "alo# #eal de'nida so$#e !n es(acio m!es%#al. Po# %an%o !na "a#ia$le alea%o#ia se (!ede !sa# (a#a iden%i& ca# e"en%os n!m)#icos *!e son de in%e#)s en !n e+(e#imen%o. Po# ejem(lo el e"en%o de in%e#)s en !n sondeo de o(inión con #es(ec%o a las (#e&e#encias de "o%an%es no s!ele se# la (e#sona (a#%ic!la# m!es%#eada o el o#den en el *!e se o$%!"ie#on las (#e&e#encias sino Y , el número de "o%an%es *!e es%-n a &a"o# de cie#%o candida%o o %ema. El "alo# o$se#"ado de es%a "a#ia$le 86 Wc a p 0 3 . i n d d8 62 62 7/ 7 / 0 90 2: 0 1: 5 4
alea%o#ia de$e se# ce#o o !n en%e#o en%#e 1 y el %amao m!es%#al. En%onces es%a "a#ia$le alea%o#ia (!ede %oma# sólo !n n/me#o & ni%o de "alo#es con (#o$a$ilidad di&e#en%e de ce#o. Se dice *!e !na "a#ia$le alea%o#ia de es%e es %e %i(o es disc#e%a.
LA DISTRIBUCI0N DE PROBABILIDAD P ROBABILIDAD BINOIAL.
Algunos experimentos consisten en la observación de una secuencia de intentos idénticos e independientes, cada uno de los cuales puede resultar en una de dos salidas. Cada artículo que sale de la línea de producción de manufacturas es defectuoso o no defectuoso. Cada disparo en una secuencia de tiros a un blanco puede resultar en un acierto o en no acierto y cada una de W-cap-!.indd " #$%$%& #'"'() las n personas entrevistadas antes de una elección local est* a favor del candidato +ones o no lo est*. n esta sección estamos interesados en experimentos, conocidos como experimentos binomiales, que presentan las siguientes características.
n experimento binomial presenta las siguientes propiedades' ". Consiste en un nmero fi/o, n, de pruebas idénticas. #. Cada prueba resulta en uno de dos resultados' éxito, S, o fracaso, F . !. 0a probabilidad de éxito en una sola prueba es igual a algn valor p y es el mismo de una prueba a la otra. 0a probabilidad de fracaso es igual a q 1 2" 3 p4. 5. 0as pruebas son independientes. (.0a variable aleatoria de interés es Y , el nmero de éxitos observado durante las n pruebas.
EJEMPLOS APLICADOS.
6e supone que el voluminoso lote de fusibles eléctricos del /emplo !.$ contiene sólo (7 de defectuosos. 6i n 1 # fusibles se muestrean al a8ar de este lote, encuentre la probabilidad de que se observen al menos cuatro defectuosos. 6i se denota con Y el nmero de defectuosos de la muestra, suponemos el modelo binomial para Y , con p 1 .(. ntonces, P 2Y 9 54 1 " 3 P 2Y : !4, y usando la ;abla ", Apéndice ! , obtenemos ?2@ : !4 1! y1 p2y4 1 .&)5. l valor .&)5 se encuentra en la tabla marcada n 1 # en la ;abla ", Apéndice !. specíf camente, aparece en la columna marcada p 1 .( y en la f la marcada a 1 !. 6e deduce que ?2@ 9 54 1 " .&)5 1 ."B. sta probabilidad es muy pequea. 6i en realidad observamos m*s de tres defectuosos de entre # fusibles, podríamos sospecDar que el porcenta/e reportado de (7 es erróneo. Solución
EJEMPLOS.
1. Un &a$#ican%e de ce#a (a#a (isos a c#eado dos n!e"as ma#cas A y B *!e desea some%e# a e"al!ación de (#o(ie%a#ios de casas (a#a de%e#mina# c!-l de las dos es s!(e#io#. Am$as ce#as A y B se a(lican a s!(e#& cies de (isos en cada !na de 13 casas. S!(on4a *!e en #ealidad no ay di&e#encia en la calidad de las ma#cas. 5C!-l es la (#o$a$ilidad de *!e die6 o m-s (#o(ie%a#ios de casas e+(#esen (#e&e#encia (o# a la ma#ca A7 b ya sea la ma#ca A o la ma#ca B7
2. Una em(#esa de e+(lo#ación (e%#ole#a se &o#ma con s!& cien%e ca(i%al (a#a & nancia# die6 e+(lo#aciones. La (#o$a$ilidad de *!e !na e+(lo#ación (a#%ic!la# sea e+i%osa es .1. S!(on4a *!e las e+(lo#aciones son inde(endien%es. Enc!en%#e la media y la "a#ian6a del n/me#o de e+(lo#aciones e+i%osas.
8. De los donado#es "ol!n%a#ios de san4#e en !na cl9nica :;< (#esen%an &ac%o# Res!s =R> en s! san4#e. a Si cinco "ol!n%a#ios se seleccionan al a6a# 5c!-l es la (#o$a$ilidad de *!e al menos !no no (#esen%e el &ac%o# R7 b Si cinco "ol!n%a#ios se seleccionan al a6a# 5c!-l es la (#o$a$ilidad de *!e a lo s!mo c!a%#o (#esen%en el &ac%o# R7 c 5C!-l es el n/me#o m-s (e*!eo de "ol!n%a#ios *!e de$en selecciona#se si deseamos %ene# ce#%e6a de al menos ?;< de o$%ene# al menos cinco donado#es con &ac%o# R7
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD GEOMÉTRICA.
La "a#ia$le alea%o#ia con dis%#i$!ción de (#o$a$ilidad 4eom)%#ica es%- asociada con !n e+(e#imen%o *!e com(a#%e al4!nas de las ca#ac%e#9s%icas de !n e+(e#imen%o $inomial. Es%e e+(e#imen%o %am$i)n com(#ende (#!e$as id)n%icas e inde(endien%es cada !na de las c!ales (!ede a##oja# !no de dos #es!l%ados@ )+i%o o &#acaso. La (#o$a$ilidad de )+i%o es i4!al a p y es cons%an%e de !na (#!e$a a o%#a. No o$s%an%e en l!4a# del n/me#o de )+i%os *!e se (#esen%an en n (#!e$as la "a#ia$le alea%o#ia 4eom)%#ica Y es el n/me#o de (#!e$a en la *!e oc!##e el (#ime# )+i%o. En%onces el e+(e#imen%o consis%e en !na se#ie de (#!e$as *!e concl!ye con el (#ime# )+i%o. En consec!encia el e+(e#imen%o (od#9a %e#mina# con la (#ime#a (#!e$a si se o$se#"a !n )+i%o en la misma o el e+(e#imen%o (od#9a con%in!a# de mane#a inde'nida.
EJEMPLOS APLICADOS.
1.
2.
EJEMPLOS. 1. S!(on4a *!e 8;< de los solici%an%es (a#a cie#%o %#a$ajo ind!s%#ial (osee ca(aci%ación a"an6ada en (#o4#amación
com(!%acional. Los candida%os son ele4idos alea%o#iamen%e en%#e la (o$lación y en%#e"is%ados en &o#ma s!cesi"a. Enc!en%#e la (#o$a$ilidad de *!e el (#ime# solici%an%e con ca(aci%ación a"an6ada en (#o4#amación se enc!en%#e en la *!in%a en%#e"is%a
2. Dado *!e ya emos lan6ado al ai#e !na moneda $alanceada die6 "eces y no o$%!"imos ca#as 5c!-l es la
(#o$a$ilidad de *!e de$emos lan6a#la al menos dos "eces m-s (a#a o$%ene# la (#ime#a ca#a7 3. Dos (e#sonas (o# %!#nos %i#an !n dado im(a#cial as%a *!e !na de ellas lan6a !n . La (e#sona A %i#ó
(#ime#o la B en se4!ndo A en %e#ce#o y as9 s!cesi"amen%e. En "is%a de *!e la (e#sona B %i#ó el (#ime# 5c!-l es la (#o$a$ilidad de *!e B o$%en4a el (#ime# en s! se4!ndo %i#o =es deci# en el c!a#%o %i#o %o%al>7
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL NEGATIVA. Una "a#ia$le alea%o#ia con dis%#i$!ción $inomial ne4a%i"a se o#i4ina de !n con%e+%o semejan%e al *!e da la dis%#i$!ción 4eom)%#ica. De n!e"o nos concen%#amos en in%en%os inde(endien%es e id)n%icos cada !no de los c!ales cond!ce a !no de dos #es!l%ados@ )+i%o o &#acaso. La (#o$a$ilidad p de )+i%o si4!e siendo i4!al de !n in%en%o a o%#o. La dis%#i$!ción 4eom)%#ica maneja el caso donde es%amos in%e#esados en el n/me#o de in%en%o en el *!e oc!##e el (#ime# )+i%o. 5!) (asa si es%amos in%e#esados en conoce# el n/me#o de in%en%o en el *!e oc!##e el )+i%o se4!ndo %e#ce#o o c!a#%o7 La dis%#i$!ción *!e se a(lica a la "a#ia$le alea%o#ia Y i4!al al n/me#o del in%en%o en el *!e oc!##e el r )simo )+i%o =r , 2 8 e%c.> es la dis%#i$!ción $inomial ne4a%i"a. Los (asos si4!ien%es se asemejan es%#ecamen%e a los de la sección an%e#io#. Seleccionemos "alo#es & jos (a#a r y y y conside#emos los e"en%os A y B donde A , los (#ime#os = y 1> in%en%os con%ienen =r 1> )+i%osF y B , el in%en%o y #es!l%a en !n )+i%oF
EJEMPLOS APLICADOS.
EJEMPLOS.
1. Las l9neas %ele&ónicas *!e dan se#"icio a la o& cina de #ese#"aciones de !na ae#ol9nea es%-n %odas oc!(adas al#ededo# de ;< del %iem(o. a Si !na (e#sona llama a es%a o& cina 5c!-l es la (#o$a$ilidad de *!e com(le%e s! llamada en el (#ime# in%en%o7 5En el se4!ndo in%en%o7 5En el %e#ce#o7 b Si !s%ed y !n ami4o de$en am$os com(le%a# llamadas a es%a o& cina 5c!-l es la (#o$a$ilidad de *!e !n %o%al de c!a%#o in%en%os sean necesa#ios (a#a *!e los dos %e#minen s! com!nicación7
2. Cons!l%e el Eje#cicio 8.?2. 5C!-l es la (#o$a$ilidad de *!e el %e#ce# mo%o# no de&ec%!oso sea allado a en el *!in%o in%en%o7 b en el *!in%o in%en%o o an%es7 8. Die6 (o# cien%o de los mo%o#es &a$#icados en !na l9nea de ensam$le son de&ec%!osos. Si los mo%o#es se seleccionan al a6a# !no a la "e6 y se (#!e$an 5c!-l es la (#o$a$ilidad de *!e el (#ime# mo%o# no de&ec%!oso sea allado en el se4!ndo in%en%o7
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA. La dis%#i$!ción de (#o$a$ilidad i(e#4eom)%#ica se (!ede o$%ene# !sando los %eo#emas com$ina%o#ios dados en la Sección 2. y el m)%odo de (!n%o m!es%#al. Un (!n%o m!es%#al del es(acio m!es%#al S co##es(onde#- a !na selección /nica de n elemen%os al4!nos #ojos y el #es%o ne4#os. Al i4!al *!e en el e+(e#imen%o $inomial cada (!n%o m!es%#al (!ede se# ca#ac%e #i6ado (o# !n n a##e4lo c!yos elemen%os co##es(ondan a !na selección de n elemen%os del %o%al de N. Si cada elemen%o de la (o$lación &!e#a a se# n!me#ado de 1 a N el (!n%o m!es%#al *!e indi*!e la selección de a#%9c!los 3 G : 1GH :G a(a#ece#9a como n a##e4lo. = 3 G : 1G . . . :G n (osiciones>.
El n/me#o %o%al de (!n%os m!es%#ales en S (o# %an%o se#- i4!al al n/me#o de &o#mas de selecciona# !n s!$conj!n%o de n elemen%os de en%#e !na (o$lación de N o sea nN . Como la selección alea%o#ia im(lica *!e %odos los (!n%os m!es%#ales sean i4!almen%e (#o$a$les la (#o$a$ilidad de !n (!n%o m!es%#al en S es
EJEMPLOS APLICADOS.
1.
2.1. Un (#od!c%o ind!s%#ial (a#%ic!la# se en"9a en lo%es de 2;. ace# (#!e$as (a#a de%e#mina# si !n a#%9c!lo es de&ec%!oso o cos%osoJ (o# %an%o el &a$#ican%e m!es%#ea la (#od!cción en l!4a# de !sa# !n (lan de ins(ección del 1;;<. Un (lan de m!es%#eo cons%#!ido (a#a #ed!ci# al m9nimo el n/me#o de (ie6as de&ec%!osas en"iadas a los clien%es e+i4e m!es%#ea# cinco a#%9c!los de en%#e cada lo%e y #eca6a# el lo%e si se o$se#"a m-s de !na (ie6a de&ec%!osa. =Si el lo%e es #eca6ado cada a#%9c!lo del lo%e se (#!e$a en%onces.> Si !n lo%e con%iene c!a%#o de&ec%!osos 5c!-l es la (#o$a$ilidad de *!e sea ace(%ado7 Soluc!" Sea x el n/me#o de de&ec%!osos en la m!es%#a. En%onces N 2; M =N M> 1 y n 3. El lo%e se#- #eca6ado si x 2 8 o . En%onces
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON. S!(on4a *!e deseamos alla# la dis%#i$!ción de (#o$a$ilidad del n/me#o de acciden%es a!%omo"il9s%icos oc!##idos en !n c#!ce#o (a#%ic!la# d!#an%e !n (e#iodo de !na semana. A (#ime#a "is%a es%a "a#ia$le alea%o#ia el n/me#o de acciden%es no (a#ece es%a# ni #emo%amen%e #elacionada con !na "a#ia$le alea%o#ia $inomial (e#o "e#emos *!e e+is%e !na #elación in%e#esan%e. Conside#e el (e#iodo !na semana en es%e ejem(lo como di"idido en%#e n s!$in%e#"alos cada uno de los cuales es tan pequeño que a lo sumo un accidente podría ocurrir en él con
probabilidad diferente de cero. Deno%ando con p la (#o$a$ilidad de !n acciden%e en c!al*!ie#
s!$in%e#"alo %enemos (a#a %odos los & nes (#-c%icos =no oc!##en acciden%es en !n s!$in%e#"alo> , 1 p =oc!##e !n acciden%e en !n s!$in%e#"alo> , p =oc!##e m-s de !n acciden%e en !n s!$in%e#"alo> , ;. En%onces el n/me#o %o%al de acciden%es en la semana es (#ecisamen%e el n/me#o %o%al de s!$in%e#"alos *!e con%ienen !n acciden%e. Si la oc!##encia de acciden%es (!ede se# conside#ada como inde(endien%e de !n in%e#"alo a o%#o el n/me#o %o%al de acciden%es %iene !na dis%#i$!ción $inomial.
EJEMPLOS APLICADOS. 1.
S!(on4a *!e se disea !n sis%ema alea%o#io de (a%#!lla de (olic9a (a#a *!e !n o& cial de (a%#!lla (!eda es%a# en !n l!4a# de s! #!%a Y , ; 1 2 8 . . . "eces (o# (e#iodo de media o#a con cada l!4a# "isi%ado !n (#omedio de !na "e6 (o# (e#iodo. S!(on4a *!e Y (osee a(#o+imadamen%e !na dis%#i$!ción de (#o$a$ilidad de Poisson. Calc!le la (#o$a$ilidad de *!e el o& cial de (a%#!lla no lle4!e a !n l!4a# de%e#minado d!#an%e !n (e#iodo de media o#a. 5C!-l es la (#o$a$ilidad de *!e el l!4a# sea "isi%ado !na "e67 5Dos "eces7 5Al menos !na "e67 Pa#a es%e ejem(lo el (e#iodo es media o#a y el n/me#o medio de "isi%as (o# in%e#"alo de media o#a es l , 1. En%onces
#. Cie#%o %i(o de -#$ol %iene (lan%as *!e an c#ecido de semillas dis(e#sas al a6a# en !na s!(e#& cie 4#ande con la densidad media de (lan%as siendo a(#o+imadamen%e de cinco (o# ya#da c!ad#ada. Si esa 6ona !n 4!a#da$os*!es locali6a al a6a# die6 #e4iones de m!es%#eo de 1 ya#da c!ad#ada enc!en%#e la (#o$a$ilidad de *!e nin4!na de las #e4iones con%en4a (lan%as *!e ayan c#ecido de semillas. Soluc!" Si las (lan%as #ealmen%e es%-n dis(e#sas al a6a# el n/me#o de (lan%as (o# #e4ión Y se (!ede modela# como !na "a#ia$le alea%o#ia de Poisson con l , 3. =La densidad (#omedio es de cinco (o# ya#da c!ad#ada.> En%onces
La (#o$a$ilidad de *!e Y , ; en die6 #e4iones seleccionadas de mane#a inde(endien%e es =e3>1; (o#*!e la (#o$a$ilidad de la in%e#sección de e"en%os inde(endien%es es i4!al al (#od!c%o de las (#o$a$ilidades #es(ec%i"as. La (#o$a$ilidad #es!l%an%e es en e+%#emo (e*!ea. En%onces si es%e e"en%o oc!##ie#a en #ealidad c!es%iona#9a se#iamen%e la s!(osición de alea%o#iedad la densidad (#omedio de (lan%as e+(#esada o am$os.
EJEMPLOS. #. El n/me#o de e##o#es mecano4#-& cos ecos (o# !na sec#e%a#ia %iene !na dis%#i$!ción de Poisson con !n (#omedio de c!a%#o e##o#es (o# (-4ina. Si en !na (-4ina se dan m-s de c!a%#o e##o#es la sec#e%a#ia de$e "ol"e# a esc#i$i# %oda la (-4ina. 5C!-l es la (#o$a$ilidad de *!e !na (-4ina seleccionada al a6a# no %en4a *!e "ol"e# a se# esc#i%a7
$. Lle4an a!%os a !na case%a de (a4o de (eaje de ac!e#do con !n (#oceso de Poisson con media de :; a!%os (o# o#a. Si el em(leado ace !na llamada %ele&ónica de 1 min!%o 5c!-l es la (#o$a$ilidad de *!e al menos 1 a!%o lle4!e d!#an%e la llamada7
%. El n/me#o de n!dos en !n %i(o (a#%ic!la# de made#a %iene !na dis%#i$!ción de Poisson con !n (#omedio de 1.3 n!dos en 1; (ies c/$icos de made#a. Enc!en%#e la (#o$a$ilidad de *!e !n $lo*!e de 1; (ies c/K $icos de made#a %en4a a lo s!mo 1 n!do.
LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD UNI&ORME. S!(on4a *!e !n a!%o$/s lle4a siem(#e a !na (a#ada (a#%ic!la# en%#e las :@;; y las :@1; a.m. y *!e la (#o$a$ilidad de *!e lle4!e en c!al*!ie# s!$in%e#"alo dado es (#o(o#cional sólo a la d!#ación del s!$in%e#"alo. Es%o es es i4!al de (#o$a$le *!e lle4!e en%#e las :@;; y :@;2 a *!e lle4!e en%#e las :@; y las :@;:. Deno%e con Y el %iem(o *!e !na (e#sona de$a es(e#a# (a#a *!e lle4!e el a!%o$/s si lle4ó a la (a#ada e+ac%amen%e a las :@;;. Si con c!idado medimos en min!%os c!-n%o %iem(o des(!)s de las :@;; lle4ó el a!%o$/s en "a#ias maanas (od#9amos desa##olla# !n is%o4#ama de &#ec!encia #ela%i"a (a#a los da%os. A (a#%i# de la desc#i(ción *!e aca$amos de da# de$e se# e"iden%e *!e la &#ec!encia #ela%i"a con la c!al o$se#"amos !n "alo# de Y en%#e ; y 2 se#9a a(#o+imadamen%e la misma *!e la &#ec!encia #ela%i"a con la c!al o$se#"amos !n "alo# de Y en%#e y :. Un modelo #a6ona$le (a#a la &!nción de densidad de Y se m!es%#a en la i4!#a .?. Como las -#eas $ajo las c!#"as #e(#esen%an (#o$a$ilidades (a#a "a#ia$les alea%o#ias con%in!as y A1 , A2 =(o# ins(ección> se ded!ce *!e =; M Y M 2> , = M Y M :> como se desea. La "a#ia$le alea%o#ia Y *!e aca$amos de e+amina# es !n ejem(lo de !na "a#ia$le alea%o#ia *!e %iene !na dis%#i$!ción !ni&o#me. La &o#ma 4ene#al (a#a la &!nción de densidad de !na "a#ia$le alea%o#ia con !na dis%#i$!ción !ni&o#me es como si4!e.
EJEMPLOS APLICADOS. #. La lle4ada de clien%es a !na caja en !n es%a$lecimien%o si4!e !na dis%#i$!ción de Poisson. Se sa$e *!e d!#an%e !n (e#iodo de%e#minado de 8; min!%os !n clien%e lle4a a la caja. Enc!en%#e la (#o$a$ilidad de *!e el clien%e lle4!e d!#an%e los /l%imos 3 min!%os del (e#iodo de 8; min!%os. Como aca$amos de ci%a# el %iem(o #eal de lle4ada si4!e !na dis%#i$!ción !ni&o#me en el in %e#"alo de =; 8;>. Si Y deno%a el %iem(o de lle4ada en%onces
La (#o$a$ilidad de *!e la lle4ada oc!##a en c!al*!ie# o%#o in%e#"alo de 3 min!%os %am$i)n es 1.
EJEMPLOS. #. Al es%!dia# $ajas co%i6aciones (a#a con%#a%os de em$a#*!es !na em(#esa &a$#ican%e de mic#ocom(! %ado#as enc!en%#a *!e los con%#a%os in%e#es%a%ales %ienen $ajas co%i6aciones *!e es%-n !ni&o#memen%e
dis%#i$!idas en%#e 2; y 23 en !nidades de miles de dóla#es. Enc!en%#e la (#o$a$ilidad de *!e la $aja co%i6ación en el si4!ien%e con%#a%o in%e#es%a%al a es%) (o# de$ajo de 22;;;. b sea de m-s de 2;;; $. Una llamada %ele&ónica lle4a a !n conm!%ado# al a6a# en !n in%e#"alo de no m-s de !n min!%o. El conm!%ado# es%!"o %o%almen%e oc!(ado d!#an%e 13 se4!ndos en es%e (e#iodo de !n min!%o. 5C!-l es la (#o$a$ilidad de *!e la llamada lle4a#a c!ando el conm!%ado# no !$ie#a es%ado %o%almen%e oc!(ado7 8. Em(e6ando a las 12@;; de la noce !n cen%#o de com(!%ado#as &!nciona d!#an%e !na o#a y deja de o(e#a# dos o#as en !n ciclo #e4!la#. Una (e#sona *!e desconoce es%e o#a#io ma#ca al cen%#o en !na o#a al a6a# en%#e las 12@;; de la noce y las 3@;; a.m. 5C!-l es la (#o$a$ilidad de *!e el cen%#o es%) &!ncionando c!ando en%#e la llamada de la (e#sona7
