EJERCICIOS DE CONTROL DE LA CALIDAD
13) Si un proceso tiene un Cps = 1.3, estime las PPM fuera de especificaciones (apóyese en la tabla 5.2). PPM = 96.231 14) La especificación del peso de una preforma en un proceso de inyección de plástico es de 60 ± 1 g. Para hacer una primera valoración de la capacidad del proceso se obtiene una muestra aleatoria de n = 40 piezas, y resulta que X= 59.88 y S = 0.25. a) Estime con un intervalo de confianza a 95% los índices Cp, Cpk y Cpm, e intérprete cada uno de ellos.
Cp=
ES−EI 6Ѳ
Cp=
61−59 6 ( 0.25 )
Cp=
2 1.5
Cp=1.33 R De acuerdo a este intervalo se puede decir que el proceso tiene una capacidad potencial intermedia, debido a que en el intervalo se incluye a 1.33.
Cpk=minimo
[
μ−EI ES−μ , 3o 3o
]
]
Cpk=
[
59.88−59 61−59.88 , 3(0.25) 3(0.25)
Cpk=
[
0.88 1.12 , 0.75 0.75
]
Cpk=1.17 , 1.49 R De acuerdo al intervalo se puede concluir que existe incertidumbre sobre la capacidad real del proceso
Cpm=
ES−EI 6r
r= √ σ ² +( µ−N )² r= √ (0.25)²+(59.88−40)² 0.0625+395.21 ¿ r=√ ¿ r= √ 395.27 r=19.88 R Tal como se muestra el intervalo se concluye que el proceso tiene una capacidad intermedia. b) Hay seguridad de que la capacidad del proceso sea satisfactoria No hay seguridad ya que el proceso no está estable y existe incertidumbre sobre la capacidad real por que el tamaño de la muestra es pequeño y esto demuestra y se sugiere a seguir monitoreando el proceso hasta tener un tamaño de la muestra mayor. c) Por que fue necesario estimar por intervalo Para tener una mayor certidumbre acerca del valor verdadero de la capacidad del proceso. 15) Conteste los primeros incisos del problema anterior, pero ahora suponga que el tamaño de la muestra fue de n = 140. .Las conclusiones serían las mismas No serían las mismas conclusiones, debido a que el tamaño real de la muestra es un número más elevado y esto haría que el proceso esté en un una capacidad estable. 16) Realice el problema 14 con de n = 40 piezas, X= 59.88y S = 0.15.
Cp=
ES−EI 6Ѳ
Cp=
61−59 6(0.15)
Cp=
2 0.9
Cp=2.22/¿
μ−EI ES−μ , 3o 3o
]
59.88−59 61−59.88 , 3(0.15) 3(0.15)
]
Cpk=minimo
[
Cpk=
[
Cpk=
0.88 1.12 , 0.45 0.45
Cpk=1.96 , 2.49 //
Cpm=
ES−EI 6r
r= √ σ ² +( µ−N )² r= √ (0.15)²+(59.88−40)² r= √ 0.0225+395.21 r= √ 395.23 r=19.88 //
21. Explique la métrica Seis Sigma (el estadístico Z) Es la métrica de capacidad de procesos de mayor uso en Seis Sigma. Se obtiene calculando la distancia entre la media y las especificaciones, y esta distancia se divide entre la desviación estándar. 22. De un ejemplo donde se apliquen las siguiente métricas: DPU, DPO, DPMO, e interprételas. En la EPN se matriculan a Nivelación 1000 estudiantes en cada período académico, al
realizar el proceso de actualizacón de datos se revisa y actualiza lo siguiente : 1. Nombres 2. Procedencia 3. Fecha de nacimiento 4. Título de colegio 5. Colegio del que proviene Se tiene los siguientes errores en le proceso de actualización de datos: 1. Errores en los nombres 2. Errores en la fecha de nacimiento 3. Errores en el colegio En un período académico se encuentra que existen 210 errores DPU = d/U DPU = 210/1000 DPU = 0,21 En promedio cada actualización de datos tiene 0,21 errores DPO = d/U*O DPO = 210/(1000*5) DPO = 0,042 De 5000 ingresos de datos se cometen 210 errores DPMO = 1000.000 * DPO De un millon de ingresos de datos se espera tener 42000 errores DPMO = 42000
23. Si una característica de calidad tiene una especificación de 35 1, y de acuerdo con datos históricos se tiene que μ = 35.1, y una desviación estándar de corto plazo igual a 0.31, y de largo plazo igual a 0.40, resuelva lo siguiente: a) Obtenga Zc y ZL, y diga por qué difieren de manera importante. Zc difiere de ZL porque la desviación estándar de corto plazo solamente toma en cuenta a una muestra pequeña del proceso en un periodo de tiempo corto donde no influyen factores externos como mano de obra, maquinaría, materiales, turnos,etc. b) ¿Cuál es el nivel de sigmas del proceso? El nivel de sigmas del proceso se obtiene a través de Zc. Por lo tanto el nivel de sigmas es de 2.90 sigmas. c) Obtenga los índices Pp y Ppk e interprete. El valor de es menor que 1 y mayor a 0.67 por lo tanto es de clase 3 y no es adecuado para el trabajo. El valor de especificación. Es menor que 1 por lo tanto no cumple con al menos una d) Obtenga los índices Cp y Cpk e interprete.
El valor de es mayor que 1 y menor que 1.33 por lo tanto es de clase 2 y es parcialmente adecuado y requiere un control estricto. El valor de especificación. Es menor que 1 por lo tanto no cumple con al menos una e) ¿Con cuántas PPM trabaja este proceso? En 2 procesos. 24. Considere que los datos del ejercicio 15 del capítulo 2 se obtuvieron con 28 muestras de tamaño 4 cada una, y los datos están ordenados por renglón (cada renglón representa dos muestras). Resuelva lo siguiente:
a) Obtenga la desviacion estandar de corto y largo plazo. b) Calcule Zc y ZL, e interprete. c) .Cual es el nivel de sigmas del proceso? d) Obtenga Pp y Ppk. e) Con cuantas PPM trabaja este proceso? 27,72 27,88 27,89 27,93 28,02 28,19 28,21 28,39 27,91 27,94 27,95 27,96 27,97 28,04 28,05 28,06 27,74 27,81 27,91 27,93 27,95 27,98 28,07 28,13 27,8227,7027,7627,7627,8827,7527,8827,7527,6327,8427,87 DATOS N= EI= ES= µ= ơ= a. 27,87 27,84 27,84 27,81 27,89 27,75 28,05 27,78 27,74 27,85 27,90 27,87 27,86 27,87 27,84 27,96 27,82 28,08 27,89 27,84 27,88 27,94 27,90 27,98 27,90 27,85 28,04 27,85 28,11 27,94 27,91 27,97 27,97 27,91 27,99 27,94 27,93 28,08 27,98 28,11 28,04 27,93 28,00 28,01 27,94 28,00 28,07 27,94 28,08 28,02 28,13 28,05 28,10 28,01 28,13 28,16 28,02 28,10 27,95 28,19 28,09 28,14 28,10 28,14 28,1028,16 28,23 28,13 28,26 27,96 28,22 28,27 28,16 28,19 28,21 28,12 28,16 28,00 27,50 28,50 27,98 0,14 DESVIACION ESTANDAR CORTO PLAZO DESVIACION ESTANDAR LARGO PLAZO ơl= 0,14 0,39 /2,326 ơc= 0,17 b. Zc y Zl ��−µ Zs=28,5−27,98 Zs=3,13 Zi Zi=Zc
Zs=0,17 Zs=Zi Zs Zs=µ−�� Zi=27,98−27,50 = 0,17 Zi=2,84 Zc=2,84 Min[�� , ��] Zi=Zl ��−µ =28,5−27,98 =0,14 =3,65 µ−�� =27,98−27,50 =0,14 3,31 Zl=3,31 Min[�� , ��] Zm �� Zm=�l] =-0,47 c. Nivel de sigmas del proceso Zc=2,84 d. Pp y Ppk Pp ES−EI 6ơ Pp=28,50−27,50 =6 0,14 Pp=Ẋ−EI ��−Ẋ,]3ơL3ơL Ppk Ppk=6,96
Min[Ppk=27,98−27,50 28,50−27 98,] 3 0,14 1,10 e. PPML PPML exp=Zc PPML=exp PPML=91528,26 25. A partir de los datos de la tabla 5.5 del ejemplo 5.7 obtenga lo siguiente: Son 36 muestras con 5 datos cada uno: d2=2.326 (según apéndice A1) µ=552,5 ES=558 EI=542 a) Obtenga desviación estándar de corto y largo plazo. Desviación estándar de corto plazo R 4,6 σc=Rd2 σc=4,6(2,326) σc=1,98 Desviación estándar de largo plazo σL=S σL=1,96 b) Calcule Zc y ZL, e interprete. Zc Zs=ZL Es - µ Zs=σ Zs=Es - µσ 558 - 552,5 Zs=1.98 558 - 552,5 1.96 Zs=2.78 Zs=2.81
Zi=µ - EI Zi=µ - EIσ Zi=σ 552,5 - 542 Zi=1.98 Zi=Zc=1.96 5.31 Zi=mínimo [Zs,Z1] Zc=552,5 - 542 5.36 ZL= mínimo [Zs,Z1] 2.78 ZL=2.81 Zm = Zc - ZL Zm =-0.03 Si Zm es menor a 1,5 el proceso tiene un mejor control que el promedio de los procesos con control pobre c) ¿Cuál es el nivel de sigmas del proceso? Zc=2,78 sigmas d) Obtenga Pp y Ppk. Pp Pp=ES - EI 6σL Pp=ES - EI 6σL Pp =1,36 Ppk =0,94 d) ¿Con cuántas PPM trabaja este proceso? PPML= 29,37 (Zc 0,8409 2) = 2,221 PPML= 29,37 (2,78 0,8409) 2 =2,221 101802= PPM
26. De 2000 tarjetas electrónicas producidas se detectaron 1000 defectos. Cada tarjeta tiene 50 componentes. a. Calcule los índices DPU y DPMO e interprete Unidades inspeccionadas U Defectos d Oportunidades de error por unida O DPU = d/U DPU = 1000/2000 DPU = 0,5 DPO = d/U*O 2000 1000 50 En promedio cada tarjeta producida tiene 50 % de defectos DPO = 1000/(2000*50) DPO = 0,01 De un millón de tarjetas producidas se fabricaron 1000 con defectos DPMO = 1000.000 * DPO DPMO = 10000 De un millón de tarjetas producidas se fabricaron 10.000 con defectos b. Estime el nivel de sigmas de este proceso Sigmas y=e ^-DPU (2,7183) ^-0,5 0,6065 P(ZZy)= 1-Y P(Z>Zy)= 1-0,6065 P(Z>Zy)= 0,2703 Suponiendo un desplazamiento de 1,5 sigmas Zc= Zy +1,5 Zc =0,2703+1,5 Zc =1,7703 27. Se examinaron cuatro características críticas en una muestra de 500 órdenes de compra. En 25 de las órdenes fueron encontrados 50 errores de diferentes tipos. a) Obtenga el DPU y el DPMO. b) Estime el nivel de sigmas de este proceso. Rendimiento:
−0 1 La probabilidad de que una unidad este libre de defectos es de 90.48% El nivel de sigmas de largo plazo es de 1.84 El número de sigmas del proceso es de 3.34 28. Un proceso tiene cinco defectos codifi cados con las letras A, B, C, D, E. Los siguientes datos fueron colectados en cierto periodo de tiempo, registrando (D) defectos, unidades (U) y oportunidades (O). a) Con base en los datos de la tabla, obtenga el DPU, el DPO y el DPMO para
cada tipo de defecto, asi como para el total. b) Obtenga una estimacion de la probabilidad de que el producto no tenga ese defecto, Y = e−DPU, y con ello el nivel de sigmas de largo y corto plazo para el defecto correspondiente. c) Considere todos los defectos y determine cual es el nivel de sigmas del proceso. CARACTERISTICA D U O DPU DPO DPMO
Y = e−DPU ZL ZC TIPO A 20 450 10 0,044 0,004 4444,44 0,96 1,71 3,21 TIPO B 15 350 15 0,043 0,003 2857,14
0,96 1,73 3,23 TIPO C 6 200 25 0,030 0,001 1200,00 0,97 1,89 3,39 TIPO D 25 350 12 0,071 0,006 5952,38 0,93 1,48 2,98 TIPO E 30 400 15 0,075 0,005 5000,00 0,93 1,46 2,96 TOTAL 96 1750 77 0,05 0,00 3890,79 0,95 1,65 3,15 134750
En promedio cada proceso tiene 0,05 defectos (DPU) En total de 134750 procesados 96 tuvieron defecto De un millón de procesados se espera tener 3890, por lo que no habría un proceso seis sigma, ya que el objetivo es de 3,4 La probabilidad de que una unidad esté libre de defecto es del 95% El nivel de sigmas a largo plazo es de 1,65 El número de sigmas des proceso es de 3,15, cercano a 66807, está muy lejos de tener un proceso seis sigma 29. Se proyecta la producción de una nueva pieza y se requiere establecer sus especificaciones. Para ello, a partir de una producción preliminar se obtiene una muestra pequeña de n = 35 piezas, se mide y se obtiene X = 26.3 y S = 0.3. Con base en esto obtenga los límites de tolerancia natural, considerando confianzas de γ = 90% y 95% y coberturas dadas por α = 0.10 y 0.05. Explique los cuatro intervalos obtenidos. γ=90% α=0,10 Límite de tolerancia K= X K ( , ) S=90,00% 1,998 X K (90,0,10 ) S =26,3 ± 0,60= (25,7 , 26,9) γ=95% α=0,05 Límite de tolerancia K=2,49 X K ( , ) S=95,00% X K ( 95 , 0 , 05 ) S=26,3 ± 0,75= (25,55 , 27,05) 30. Si en el problema anterior las especificaciones deseadas, de manera preliminar y de acuerdo con los requerimientos de diseño son 26 +- 1, obtenga el Cp,
que se tendría en cada uno de los casos indicados arriba. (Nota: recuerde que el Cp es una razón entre la amplitud de las tolerancias deseadas y la amplitud de la variación del proceso, lo cual se calculó en el inciso anterior) Ẋ ± K(ϒ ,α) S=26 ± 1=��−�� Cp=[25 , 27] 6ơ Cp=27−25 6 0,3
Cp= 27,234−25,366 6 0,3 Cp= 27,047−25,553 6 0,3 Cp= 1,11 0,66 =0,83 31. Si en el punto anterior los Cp obtenidos son malos, ¿Qué alternativas hay? Los Cp obtenidos en el ejercicio 30 corresponden a la clase 3 y se los considera malos. Para esto es necesario aumentar el número de la muestra a 40, la confianza a 99% y el límite de confianza en un 99% para obtener un índice K de 6.518. Con este índice se tiene los siguientes Cps. 99,0 01 De esta manera el proceso puede ser considerado como de clase mundial. 32. Con respecto al problema 29: a) Resuelva dicho problema considerando que se obtuvieron los mismos datos (X= 26.3 y S = 0.3), pero ahora suponga que se utilizó un tamaño de muestra de n = 110. X=26,3 S=0,3 n=100
γ=90% α=0,10 Límite de tolerancia 90,00%=1,998 K=(1-α /2)*100= 95 Límite de tolerancia 95% (1-α /2)*100= 97,5 Límite de tolerancias 97,5% K = 1,988 S*K = 0,5964 26,3 ± 0,5964 Ẋ ± K(90,0,1) S= Ẋ ± K (ϒ ,α) S=26 ± 1 K = 2,49 S*K =[25,7036 ,26,8964] = 27−25 6 *0,3 =1,11 Cp=27,234−25,366 6*0,3 =0,66 = 27,047−25,553 6 0,3 =0,747 26,3 ± 0,747 Ẋ ± K(90,0,05) S=[25 , 27] Cp=95% 0,05 Cp=95,00% 2,49 cp=0,83 b) Compare los intervalos anteriores con los obtenidos en el problema 29. ¿Por qué tienen distinta amplitud? 33. Supongamos que la longitud de un ensamble final, y está dado por la siguiente combinación lineal de tres componentes individuales: y = x1 + 3x2 + x3. Para la longitud final se tiene una tolerancia de 180 ± 2.5. Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuyen normal con media y varianza conocida:
x1 ∼ N(39.8, 0.23), x2 ∼ N(60.1, 0.59) y x3 ~ N(79.9, 0.92). Todas las longitudes están dadas en milímetros, y pueden suponerse independientes, ya que son producidas en máquinas diferentes. Encuentre el porcentaje de ensambles finales que cumplen con las especificaciones. y = x1 + 3x2 + x3 Especificaciones de diseño= 180 ± 2.5 x1 ∼N(39.8, 0.23) x2 ∼ N(60.1, 0.59) x3 ~ N(79.9, 0.92) y = x1 + 3x2 + x3 Distribución Normal con media: µ y=39,8 + 3*60,1 + 79,9 µ y=300 Varianza: σ²y=(0,23)^2 + (3*0,59)^2 + (0,92)^2 σ²y=4,03 Desv. estandar =2,01 Porcentaje de ensambles que caen dentro de las especificaciones: [177,5 , 182,5] P(177,5 ≤ y ≤ 182,5)= P(y≤182,5) - P( y ≤ 177,5) Φ *(182,5 - 300)/√4.03+ Φ(-58,53) - Φ *(175,5 - 300)/√4.03+ - Φ(-62,02) 34. La longitud de un ensamble final , y , está dado por la siguiente combinación lineal de cuatro componentes individuales : y=x1+3x2+x3+x4. Para la longitud final se tiene una tolerancia de 107 + - 1,5. Las longitudes de cada uno de los componentes se distribuye normal con media y varianza conocida: x1 N(19,8, 0,15), X2 N(10, 0,9), X3 N(25,02, 0,3), X4 N(32, 0,23). Todas las longitudes están dadas en milímetros, y pueden suponerse independientes porque son producidas en maquinarias diferentes.
a. ¿Qué porcentaje de ensambles finales cumplen con especificaciones? [105,5 , 108,5] x1 ~ N(19,8, 0,15) X2 ~ N(10, 0,9) X3 ~ N(25,02, 0,3) X4 ~ N(32, 0,23) y=x1+3x2+x3+x4 Distribución normal con media µy =19,8+3*10+25,02+32 106,82 Varianza ơ ^2y =(0,15^2)+((3^2)*(0,9^2))+(0,3^2)+(0,23^2) ơ ^2y =7,4554 La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza Desv.estandar = 2,73 Porcentaje que cae dentro de las especificaciones P(105,5 ≤ y ≤ 108,5)= P(y≤108,5) - P( y ≤ 105,5) 108,5−106,82 7,54 - Ø(=Ø(108,5−106,82 7,54 1,68 2,73 =Ø(105,5−106,82 7,54 105,5−106,82 7,54 −1,32 2,73 Distr.Norma(X, media, desv.estandar,Acum) - (Distr.Norma(X, media, desv.estandar,Acum) 0,73081556 De los productos ensamblados caen dentro de los límites de 41,64% especificación 35. Se diseñan las tolerancias de un ensamble lineal de tres piezas, de forma que la longitud final está dada por y =x1 + x2 + x3. Las especificaciones para el ensamble final son de 32.00 0.7. La longitud de cada componente,x1, x2 y x3, son independientes y se distribuye normal con medias μ1 = 12, μ2 = 8, μ3= 12,
respectivamente. Se desea definir los límites de tolerancias para los ensambles individuales de tal forma que al menos 99.73% de los ensambles finales esté dentro de especificaciones. Realice lo anterior suponiendo que la variación de los componentes individuales es proporcional a su longitud (véase ejemplo 5.10). 1 2, 3, 1, 2 y coincide con el valor nominal 3, por coincidir con los límites de la especificación, por lo tanto: 07, 3, los límites naturales del proceso estarán dentro de especificaciones y el porcentaje de ensambles dentro de especificaciones será de por lo menos 99.73% 2, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2. Debido a que la variación de los componentes individuales es proporcional a la longitud se tiene: 1 2 3; 2 2 2 2; 1; 32 1 2 3 ; 2 2 2; 0; 05429 32 3 2 de donde se obtiene: por lo tanto se sabe que: 222 Límites de especificación para cada componente x1, x2, x3 36. Resuelva el problema anterior pero ahora suponga una especificación para el ensamble final de 32.00 ± 0.9, y analice los cambios en las especificaciones de los componentes individuales DATOS µ1 =12,00 µ2=8,00 µ3 =12,00 3ơ =0,90 N=10,00 µy = µ1 + µ2 + µ3 µy = 12 + 8 + 12 µy= 32,00 Cp= 1 σ� σ �2 σ1 2 σ2 2 σ3 2 σ �2
σ1 2 σ2 2 σ3 2 � 〖σ_1〗^2 =0,024 〖σ_2〗^2 =0,016 〖σ_2〗^2 =0,024 X1=+12,46; -11,54 X2=+12,38; -11,62 X3=+12,46; -11,54 37. Dos partes son ensambladas como se muestra en la figura 5.10. La distribución de x1 y x2 es normal con μ1 = 19.9, σ1 = 0.28, y μ2 = 19.45, σ2 = 0.42. La especificación para el claro entre las dos piezas es 0.50 ± 0.38. El claro u holgura del ensamblaje es y= x1-x2 Varianza ơ ^2y =0,28^2 + 0,42^2 ơ ^2y =0,25 Desv.estandar = µ y=0,50 19,9 - 19,45 µ y=0,45 EI=0,12 ES=0,88 a) ¿Qué porcentajes de los ensambles cumplen con la especificación del claro? P(EI< y < ES)= ((−µ�)/ơ�
29. Se proyecta la producción de una nueva pieza y se requiere establecer sus especificaciones. Para ello, a partir de una producción preliminar se obtiene una muestra pequeña de n = 35 piezas, se mide y se obtiene X = 26.3 y S = 0.3. Con base en esto obtenga los límites de tolerancia natural, considerando confianzas de γ = 90% y 95% y coberturas dadas por α = 0.10 y 0.05. Explique los cuatro intervalos obtenidos. ES−EI CP= 6o
CP=
26.6−26 6(0.3)
CP=0.33
Cr=
6o ES−EI
Cr=
6(0.3) 26.6−26
Cr=3
30. Si en el problema anterior las especificaciones deseadas, de manera preliminar y de acuerdo con los requerimientos de diseño son: 26 ±1, obtenga el Cp que se tendría en cada uno de los casos indicados arriba. (Nota: recuerde que el Cp es una razón entre la amplitud de las tolerancias deseadas y la amplitud de la variación del proceso, lo cual se calculo en el inciso anterior.) ES−EI CP= 6o
CP=
27−25 6(0.30)
CP=1.11
31. Si en el punto anterior los Cp obtenidos son malos, .que alternativas hay? 32. Con respecto al problema 29:
a) Resuelva dicho problema considerando que se obtuvieron los mismos datos (X = 26.3 y S = 0.3), pero ahora suponga que se utilizo un tamaño de muestra de n = 110. b) Compare los intervalos anteriores con los obtenidos en el problema
