Ejercicios de Inferencia Estadistica

1 ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 100403- Inferencia Estadística Guía de ejercicios – Prueba de Hipótesis 2014

Pruebas de hipótesis

Resumen Una de las temáticas que se aborda desde el curso Inferencia Estadística es el de pruebas de hipótesis, por lo cual se presenta una miscelánea de problemas resueltos correspondientes a contrastes unilaterales y bilaterales cuando lo que se quiere estimar en una población es, un promedio poblacional ; una proporción ; y en el caso de dos poblaciones, una diferencia de medias o una diferencia de proporciones Diana Milena Caliman Jeammy Julieth Sierra Hernández

Miscelánea de problemas

1.

Una muestra aleatoria de zapatos (n = 40) usados por los soldados en

campaña en un desierto revela una vida media de 1.08 años, con una desviación estándar de 0.5 años.

Se sabe que en condiciones normales dichos zapatos

tienen una vida media de 1.28 años. Al nivel de significación del 5%, ¿Hay razón para sostener que la disminución de la vida media de los zapatos se debe a su uso en el desierto? Tabla de datos: Media poblacional Varianza poblacional Tamaño de muestra Media Muestral

̅

Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra Hernández Tutor: Diana Caliman


= 32,5 < 1.28 Paso 2: Nivel de significancia

̅ √

√

Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la normal, ubicando la probabilidad 1-  = 0,95; como no se encuentra el número



exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números 0.9494 y 0,9505, por eso

Otra

manera

es

que es el valor intermedio de 1,64 y 1,65.

usar

la

fórmula

de

la

normal

en

excel:

=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,05). Lo que arroja como resultado -1.645

Rechazamos que

. Si hay razón para sostener que la disminución de la

vida media de los zapatos se debe a su uso en el desierto, al nivel del 5%.

2. Un proceso está programado para empacar la cantidad, media, de una libra (16 onzas) de café. Se toma una muestra aleatoria de 36 paquetes; resulta una media de 14.2 onzas y desviación típica de 5.3 onzas. Al nivel del 5%, ¿Se podrá afirmar que no se está cumpliendo con lo indicado en el empaque? Tabla de datos: Media poblacional Varianza poblacional Tamaño de muestra Media Muestral

̅



= 16

 16 Paso 2: Nivel de significancia

Z

x   14.2  16   2.03 s 5.3 n 36

Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la normal, ubicando la probabilidad 1-  2  0.975 ; como no se encuentra el número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los



números 0,97441194 y 0,97500211, por eso

que es el valor intermedio de

1,95 y 1,96. Normal 0,9 1

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83147239 0,83397675 0,848495 0,85083005 0,85314094

0,8554277 0,85769035

1,1

0,84134475 0,84375236 0,84613577

0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806

0,8769756 0,87899952

1,2

0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145

1,3

0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,91465655

1,4

0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149

0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,92921912

1,5

0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,94179244

1,6

0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,95254032

1,7

0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96784323 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96855724 0,96925809 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082

1,8 1,9

Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.

Al nivel del 5% si se podrá afirmar que no se está cumpliendo con lo indicado por la fabrica. Se puede ver que -2.03 se ubica en la región critica, por lo tanto se estará rechazando la hipótesis nula, y aceptando la hipótesis alternativa.

3.

Un inspector de calidad investiga las acusaciones contra una embotelladora

por su deficiente llenado que debe ser, en promedio, de 32,5 onzas. Para ello toma una muestra de 60 botellas, encontrando que el contenido medio es de 31,9 onzas de líquido. Se sabe que la maquina embotelladora debe producir un llenado con una desviación típica de 3,6 onzas. ¿puede el inspector llegar a la conclusión, a nivel de significación del 5%, que se están llenando las botellas por debajo de su especificación del contenido?



Tabla de datos: Media poblacional Desviación poblacional Tamaño de muestra Media Muestral

̅

Paso 1: Planteamiento de hipótesis = 32,5 < 32,5 Paso 2: Nivel de significancia

Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado) ̅ √

√

Paso 4: Estadístico teórico (o tabulado) y regla de decisión



Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la normal, ubicando la probabilidad 1-  = 0,95; como no se encuentra el número exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números 0.9494 y 0,9505, por eso

Otra

manera

es


usar

la

fórmula

de

la

normal

en

excel:


Paso 5: Tomar la Decisión Como el estadístico de prueba Z = -1.29 se sitúa en la zona de aceptación, es válida la hipótesis nula, lo cual significa que el inspector no debe llegar a la conclusión de que se está llenando y vendiendo un producto por debajo de su especificación, al nivel del 5%. 4. La verdadera media del peso de un costal de harina debe ser de 50 kg. Se pesan 36 costales obteniendo una media de 49.5 kg con una desviación de 1.2 kg. Haga una prueba de hipótesis, con el 95% de confianza, para verificar si el contenido de los costales es diferente a 50 kg. Tabla de datos: Media poblacional Desviación muestral Tamaño de muestra Media Muestral

̅



Paso 1: Planteamiento de hipótesis = 50

 50 Paso 2: Nivel de significancia

Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado)

Z

x   49.5  50   2.5 s 1.2 n 36




Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la normal, ubicando la probabilidad 1-  2  0.975 ; como no se encuentra el número exacto de 0,975 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números 0,97441194 y 0,97500211, por eso


1,95 y 1,96. Normal 0,9 1

0

0,01

0,02

0,06 0,07 0,83147239 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83397675 0,84134475 0,84375236 0,84613577

0,03

0,04

0,05

0,848495 0,85083005 0,85314094

0,8554277 0,85769035

1,1

0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806

0,8769756 0,87899952

1,2

0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145

1,3

0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,91465655

1,4

0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149

0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,92921912

1,5

0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,94179244

1,6

0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,95254032

1,7

0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96784323 0,96855724 0,96925809 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082

1,8 1,9

Otra manera es usar la fórmula de la normal en excel: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996. Paso 5: Tomar la Decisión Como el estadístico de prueba Z = -2.5 se sitúa en la zona de aceptación, es válida la hipótesis nula, se puede Concluir. Si hay diferencia, con este nivel de confianza, en el llenado de los costales respecto de la especificación de 50 kg.

5.

Una muestra de 200 artículos por una maquina, que debe tener como

especificación un diámetro de 3,6 cm, revela un diámetro promedio de 3,62 cm, con desviación estándar de 0,21cm. ¿Podría afirmarse que el anterior resultado se ajusta a las especificaciones de producción?



Tabla de datos: Media poblacional Desviación estándar muestral Tamaño de muestra ̅

Media Muestral

Paso 1: Planteamiento de hipótesis = 3,6 3,6 Paso 2: Nivel de significancia


√






1,95 y 1,96. Normal 0,9 1

0

0,01

0,02

0,06 0,07 0,83147239 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83397675 0,84134475 0,84375236 0,84613577

0,03

0,04

0,05

0,848495 0,85083005 0,85314094

0,8554277 0,85769035

1,1

0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806

0,8769756 0,87899952

1,2

0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145

1,3

0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,91465655

1,4

0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149

0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,92921912

1,5

0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,94179244

1,6

0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,95254032

1,7

0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96784323 0,96855724 0,96925809 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082

1,8 1,9


Paso 5: Tomar la Decisión Como el estadístico de prueba Z = 1,35 se ubica en la zona de aceptación, por lo tanto se puede afirmar que el resultado de la muestra se ajusta a las especificaciones de producción al nivel del 5%.

6.

Un test de psicología tenía una puntuación media de 78 puntos y una

desviación de 6. En un grupo de 16 estudiantes, la puntuación fue de 74. ¿Puede afirmarse a nivel del 1% que este grupo fue inferior?



Tabla de datos: Media poblacional Desviación poblacional Tamaño de muestra ̅

Media Muestral

Paso 1: Planteamiento de hipótesis = 78 78 Paso 2: Nivel de significancia


√




Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla de la normal, ubicando la probabilidad 1-  = 0,99; como no se encuentra el número exacto de 0,95 la probabilidad más cercana en la tabla está entre los números 0.9898 y 0,9900, por eso Normal 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4

Otra

0 0,86433394 0,88493033 0,90319952 0,91924334 0,9331928 0,94520071 0,95543454 0,96406968 0,97128344 0,97724987 0,98213558 0,98609655 0,98927589 0,99180246

manera

es

que es el valor intermedio de 2,32 y 2,33. 0,01 0,86650049 0,88686055 0,90490208 0,92073016 0,93447829 0,94630107 0,95636706 0,96485211 0,97193339 0,97778441 0,98257082 0,98644742 0,98955592 0,99202374

usar

la

0,02 0,86864312 0,88876756 0,90658249 0,92219616 0,93574451 0,94738386 0,95728378 0,9656205 0,97257105 0,97830831 0,98299698 0,98679062 0,98982956 0,99223975

fórmula

0,03 0,87076189 0,89065145 0,90824086 0,92364149 0,93699164 0,94844925 0,95818486 0,96637503 0,97319658 0,97882173 0,98341419 0,98712628 0,99009692 0,99245059

de

0,04 0,87285685 0,8925123 0,90987733 0,9250663 0,93821982 0,94949742 0,95907049 0,96711588 0,97381016 0,97932484 0,98382262 0,98745454 0,99035813 0,99265637

la

0,05 0,87492806 0,89435023 0,91149201 0,92647074 0,93942924 0,95052853 0,95994084 0,96784323 0,97441194 0,97981779 0,98422239 0,98777553 0,99061329 0,99285719

normal

en

excel:


Paso 5: Tomar la Decisión Como el estadístico de prueba Z = -2,67, lo cual se puede afirmar que este grupo fue inferior, ya que rechazamos la hipótesis nula, al nivel del 1%.

Prueba de hipótesis para estimar una proporción (siempre con muestras grandes n>30) 7.

Una empresa al seleccionar su personal lo somete a un curso de

entrenamiento. Por experiencia el 76% de los aspirantes aprueban el curso. Se efectúan ciertos cambios en el programa, para el cual se inscribe 40 y 24 lo



aprueban. ¿Podría afirmarse que los cambios introducidos reducen la selección? (1%) Tabla de datos: ̂

̂

H 0 : p  0.76 H A : p  0.76

Paso 2: Nivel de significancia

z

pˆ  p 0.60  0.76   2.07 pˆ qˆ (0.6)(0.4) n 40




Otra

0 0,86433394 0,88493033 0,90319952 0,91924334 0,9331928 0,94520071 0,95543454 0,96406968 0,97128344 0,97724987 0,98213558 0,98609655 0,98927589 0,99180246

manera


0,01 0,86650049 0,88686055 0,90490208 0,92073016 0,93447829 0,94630107 0,95636706 0,96485211 0,97193339 0,97778441 0,98257082 0,98644742 0,98955592 0,99202374

es

0,02 0,86864312 0,88876756 0,90658249 0,92219616 0,93574451 0,94738386 0,95728378 0,9656205 0,97257105 0,97830831 0,98299698 0,98679062 0,98982956 0,99223975

usar

la

0,03 0,87076189 0,89065145 0,90824086 0,92364149 0,93699164 0,94844925 0,95818486 0,96637503 0,97319658 0,97882173 0,98341419 0,98712628 0,99009692 0,99245059

fórmula

0,04 0,87285685 0,8925123 0,90987733 0,9250663 0,93821982 0,94949742 0,95907049 0,96711588 0,97381016 0,97932484 0,98382262 0,98745454 0,99035813 0,99265637

de

la

0,05 0,87492806 0,89435023 0,91149201 0,92647074 0,93942924 0,95052853 0,95994084 0,96784323 0,97441194 0,97981779 0,98422239 0,98777553 0,99061329 0,99285719

normal

en

excel:

=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 2.33

Como -2.07 cae en la región de aceptación, no reducen la selección los cambios introducidos, al nivel del 1%



8.

Un fabricante dice que su producto tiene el 65% del mercado. Un estudio,

muestra que de 300 productos 180 son del fabricante. Con un 95% de confianza pruebe la hipótesis del fabricante.

Tabla de datos: Proporción muestral Proporción poblacional Tamaño de muestra

Paso 1: Planteamiento de hipótesis

H 0 : p  0.65 H A : p  0.65 Paso 2: Nivel de significancia


z

pˆ  p  pˆ qˆ n

180 300 0.65  (0.6)(1  0.6) 300

 0.05  1.77 0.02828






1,95 y 1,96.

Normal 0,9 1

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83147239 0,83397675 0,848495 0,85083005 0,85314094

0,8554277 0,85769035

1,1

0,84134475 0,84375236 0,84613577

0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806

0,8769756 0,87899952

1,2

0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145

1,3

0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,91465655

1,4

0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149

0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,92921912

1,5

0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,94179244

1,6

0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,95254032

1,7

0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96784323 0,96855724 0,96925809 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082

1,8 1,9




Paso 5: Tomar la Decisión Por cualquiera de las dos comparaciones, se observa, para el nivel de confianza establecido, que no hay suficiente evidencia estadística para rechazar H0. Se concluye que el fabricante tiene razón

Prueba de hipótesis para estimar la diferencia de medias 9.

Una prueba de resistencia al esfuerzo de dos tipos diferentes de cables,

que presentan desviaciones típicas de 35 y 45 respectivamente, se llevo a cabo, seleccionando dos muestras de tamaño 32 y 40, con medias de 905 y 925. ¿proporcionan estos resultados, al nivel del 1%, suficiente evidencia de que la resistencia de B es superior a la de A. Tabla de datos: Media poblacional Varianza poblacional Tamaño de muestra Media Muestral

̅

̅

H o : 1   2  0 H 1 : 1   2  0




z

x

1



 x 2  1   2 

 12 n1

z



 22 n2

905  925  0 2

(35) (45)  32 40

2

 2.12





Normal 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

Otra

0,05 0,70884031 0,74215389 0,77337265 0,80233746 0,82894387 0,85314094 0,87492806 0,89435023 0,91149201 0,92647074 0,93942924 0,95052853 0,95994084 0,96784323

manera

0,06 0,71226028 0,74537309 0,77637271 0,80510548 0,83147239 0,8554277 0,8769756 0,89616532 0,91308504 0,92785496 0,94062006 0,95154277 0,9607961 0,96855724

es

0,07 0,71566115 0,74857111 0,77935005 0,8078498 0,83397675 0,85769035 0,87899952 0,89795769 0,91465655 0,92921912 0,94179244 0,95254032 0,96163643 0,96925809

usar

la

0,08 0,71904269 0,75174777 0,78230456 0,81057035 0,83645694 0,85992891 0,88099989 0,89972743 0,91620668 0,93056338 0,94294657 0,95352134 0,96246202 0,96994596

fórmula

0,09 0,72240468 0,75490291 0,78523612 0,81326706 0,83891294 0,86214343 0,8829768 0,90147467 0,91773556 0,93188788 0,9440826 0,95448602 0,96327304 0,97062102

de

la

normal

en

excel:

=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 1,28

La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor “p” es 0.0005 menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula). Al nivel del 10%, si permite llegar a la conclusión de que la resistencia al esfuerzo del cable B es superior a la del cable A. 10.

Una firma que tiene dos fabricas ubicadas en dos regiones del país desea

establecer el promedio de antigüedad que tienen sus trabajadores, a fin de establecer un programa para sus pensionados. Se toma de la primera fabrica una muestra de 60 obreros, la cual reflejo un promedio de trabajo de 16,4 años con desviación estándar de 5 años, mientras que en la segunda fabrica una muestra de 40, fue de 15,8 años, con desviación estándar de 4,2 años ¿Al nivel del 5% se podrá afirmar que hay una diferencia significativa en cuanto a la antigüedad en la empresa?



Tabla de datos: Media poblacional Varianza poblacional Tamaño de muestra ̅

Media Muestral

̅

H o : 1   2  0 H1 : 1   2 Paso 2: Nivel de significancia

z

x

1



 x 2  1   2 

 12 n1

z



 22 n2

16,4  15,8  0  0,65 (5) 2 (4,2) 2  60 40





1,95 y 1,96.

Normal 0,9 1

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83147239 0,83397675 0,848495 0,85083005 0,85314094

0,8554277 0,85769035

1,1

0,84134475 0,84375236 0,84613577

0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806

0,8769756 0,87899952

1,2

0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145

1,3

0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,91465655

1,4

0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149

0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,92921912

1,5

0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,94179244

1,6

0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,95254032

1,7

0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96784323 0,96855724 0,96925809 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082

1,8 1,9



Otra

manera

es

usar

la

fórmula

de

la

normal

en

excel:

=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,025). Lo que arroja como resultado -1.95996.

La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor “p” es 0.0005 menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula). Se puede concluir que no hay diferencia significativa, al nivel del 5%.

11.

Se tienen dos tipos de concretos. Se toma una muestra de tamaño 42 de

cada uno y se obtiene un promedio muestral de la conductividad térmica para el primero de 0.486 con una desviación estándar de 0.187 y un promedio de 0.359 de conductividad térmica con una desviación estándar de 0.158 para el segundo. Esta información sugiere que el promedio verdadero de conductividad térmica del primer concreto es mayor que la del segundo, con   0.01 . Tabla de datos: Media poblacional Medias muestrales

̅

̅

Desviación muestral Tamaño de muestra


H o : 1   2  0 H 1 : 1   2  0 Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra Hernández Tutor: Diana Caliman




z

x

1



 x 2  1   2 

 12 n1

z



 22 n2

0.486  0.359  0 (0.187) 2 (0.158) 2  42 42

 3.3





Otra

0 0,86433394 0,88493033 0,90319952 0,91924334 0,9331928 0,94520071 0,95543454 0,96406968 0,97128344 0,97724987 0,98213558 0,98609655 0,98927589 0,99180246

manera


0,01 0,86650049 0,88686055 0,90490208 0,92073016 0,93447829 0,94630107 0,95636706 0,96485211 0,97193339 0,97778441 0,98257082 0,98644742 0,98955592 0,99202374

es

0,02 0,86864312 0,88876756 0,90658249 0,92219616 0,93574451 0,94738386 0,95728378 0,9656205 0,97257105 0,97830831 0,98299698 0,98679062 0,98982956 0,99223975

usar

la

0,03 0,87076189 0,89065145 0,90824086 0,92364149 0,93699164 0,94844925 0,95818486 0,96637503 0,97319658 0,97882173 0,98341419 0,98712628 0,99009692 0,99245059

fórmula

0,04 0,87285685 0,8925123 0,90987733 0,9250663 0,93821982 0,94949742 0,95907049 0,96711588 0,97381016 0,97932484 0,98382262 0,98745454 0,99035813 0,99265637

de

la

0,05 0,87492806 0,89435023 0,91149201 0,92647074 0,93942924 0,95052853 0,95994084 0,96784323 0,97441194 0,97981779 0,98422239 0,98777553 0,99061329 0,99285719

normal

en

excel:

=DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,01). Lo que arroja como resultado 2.33

Paso 5: Tomar la Decisión La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor “p” es 0.0005 menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula). Se puede concluir que el primer acero tiene una conductividad térmica mayor. .



Prueba de diferencia de proporciones 12.

Un gerente de una compañía realiza dos muestras de tamaño de 120

empleados, una en cada fábrica, con el fin de determinar el porcentaje de accidentes de trabajo en el trimestre. En la primera fabrica durante el trimestre de observación se presentaron 12 casos, mientras que en la segunda, 16. ¿Al nivel del 5% se podrá afirmar que los accidentes de trabajo son iguales en las dos fábricas?

Tabla de datos:

Proporciones

pˆ 1

Proporciones

Tamaño de muestra

H o : p1  p2  0 H 1 : p1  p2  0 Paso 2: Nivel de significancia

z

 pˆ1  pˆ 2    p1  p2  pˆ 1qˆ1 pˆ qˆ  n1 n2


pˆ 2


z

0.10  0.13  0 (0.1)(0.9) (0.13)(0.87)  120 120

 0.73



1,95 y 1,96.



Normal 0,9 1

0

0,01

0,02

0,06 0,07 0,83147239 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83397675 0,84134475 0,84375236 0,84613577

0,03

0,04

0,05

0,848495 0,85083005 0,85314094

0,8554277 0,85769035

1,1

0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806

0,8769756 0,87899952

1,2

0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145

1,3

0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,91465655

1,4

0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149

0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,92921912

1,5

0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,94179244

1,6

0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,95254032

1,7

0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96784323 0,96855724 0,96925809 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082

1,8 1,9


La accidentalidad en el trabajo es igual en las dos fábricas, al nivel del 5% 13.

De 300 residentes de la ciudad 63 están a favor de un aumento en la

velocidad permitida en las carreteras, mientras que de 180 residentes del campo 75 están a favor del cambio. La información indica que la percepción es diferente en los dos grupos. Tabla de datos: población A

población B

Proporción

Proporción

̂ ̂

Tamaño de muestra




H o : p1  p2  0 H 1 : p1  p2  0



z

z

 pˆ 1  pˆ 2    p1  p2  pˆ 1qˆ1 pˆ qˆ  n1 n2

0.21  0.29  0 (0.21)(1  0.21) (0.29)(1  0.29)  300 180

 1.94






1,95 y 1,96.

Normal 0,9 1

0

0,01

0,02

0,06 0,07 0,83147239 0,81593988 0,81858875 0,82121362 0,82381446 0,82639122 0,82894387 0,83397675 0,84134475 0,84375236 0,84613577

0,03

0,04

0,05

0,848495 0,85083005 0,85314094

0,8554277 0,85769035

1,1

0,86433394 0,86650049 0,86864312 0,87076189 0,87285685 0,87492806

0,8769756 0,87899952

1,2

0,88493033 0,88686055 0,88876756 0,89065145

1,3

0,90319952 0,90490208 0,90658249 0,90824086 0,90987733 0,91149201 0,91308504 0,91465655

1,4

0,91924334 0,92073016 0,92219616 0,92364149

0,8925123 0,89435023 0,89616532 0,89795769 0,9250663 0,92647074 0,92785496 0,92921912

1,5

0,9331928 0,93447829 0,93574451 0,93699164 0,93821982 0,93942924 0,94062006 0,94179244

1,6

0,94520071 0,94630107 0,94738386 0,94844925 0,94949742 0,95052853 0,95154277 0,95254032

1,7

0,95543454 0,95636706 0,95728378 0,95818486 0,95907049 0,95994084 0,9607961 0,96163643 0,96406968 0,96485211 0,9656205 0,96637503 0,96711588 0,96784323 0,96855724 0,96925809 0,97128344 0,97193339 0,97257105 0,97319658 0,97381016 0,97441194 0,97500211 0,97558082

1,8 1,9


Paso 5: Tomar la Decisión Comparando los valores de z de prueba y de significancia, z de prueba es menor, (valor p = 0.2499, mayor que alfa) por lo que no hay evidencia para rechazar la hipótesis nula.



14.

Dos grupos A y B de 100 personas cada uno tienen determinada

enfermedad. Un suero es dado al grupo A, pero no al B. por otra parte, los grupos son tratados idénticamente. Si encontramos que en el grupo A, 75 personas se recobran de la enfermedad y en el B, 65, pruebe la hipótesis de que el suero cura la enfermedad.

Tabla de datos: Proporciones Tamaño de las muestras


H o : p1  p 2 H 1 : p1  p 2 Paso 2: Nivel de significancia


√

√(

)(

)

(

)(

)





Otra

manera

es


usar

la

fórmula

de

la

normal

en



excel:


Paso 5: Tomar la Decisión Como el estadístico de prueba Z = 1.56 se sitúa en la zona de aceptación, es válida la hipótesis nula. Al nivel de investigación del 5%, no podemos aceptar que el suero cure la enfermedad.

Pruebas de hipótesis para estimar la media y la diferencia de medias (muestras pequeñas n< = 30) 15. Un jefe de personal está dispuesto a contratar una secretaria para ocupar un puesto a menos que ella cometa más de una equivocación por página mecanografiada.

Se elige una muestra aleatoria de cinco páginas

de las

escritas por los aspirantes. Las equivocaciones por paginas son: 3, 3, 4, 0, 1. Utilizando nivel de significancia de 5%, ¿Qué decisión se debe tomar? Tabla de datos: Media poblacional Varianza poblacional Tamaño de muestra Media muestral

̅

Grado de libertad

=2 2




̅

= 1.63 √

√

Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student, ubicando  = 0,1, para un grado de libertad de 4; y nos da como resultado 2,132. DISTR.T

0,05

0,1

0,15

31,821 25,452 12,706

6,314

4,165

2,920

2,282

4,177

4,303 3,182

2,353

1,924

3,747

3,495

2,776

2,132

1,778

3,365

3,163

2,571

2,015

1,699

0,001

0,005

0,01

0,02

0,025

1

636,619

127,321

63,657

2

31,599

14,089

9,925

6,965

6,205

3

7,453

5,841

4,541

4

12,924 8,610

5,598

4,604

5

6,869

4,773

4,032



Se acepta la hipótesis nula, puede contratar a la aspirante al nivel del 5%

16.

Una muestra de 10 vigas de acero tiene una resistencia media a la

comprensión de 57.498 libras por pulgadas cuadradas (I.p.c) con una desviación típica de 539 I.p.c. Docimar la hipótesis de que la verdadera resistencia media a la comprensión de las vigas de acero de las que se extrajo la muestra es Utilizar la alternativa bilateral y un nivel de significado del 1%. Tabla de datos: Media poblacional Desviación poblacional Tamaño de muestra Media muestral

̅

Grado de libertad

= 57000  57000



.


̅

( ) √

√

Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student, ubicando  = 0,01, para un grado de libertad de 15; y nos da como resultado 3.250 . DISTR.T 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,001 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965

0,005 3,690 3,581 3,497 3,428 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222

0,01 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898

0,02 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567

0,025 2,685 2,634 2,593 2,560 2,533 2,510 2,490 2,473 2,458


0,05 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110

0,1 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740

0,15 1,574 1,559 1,548 1,538 1,530 1,523 1,517 1,512 1,508


Aceptamos que

= 57000, es decir, que es la verdadera resistencia media a la

comprensión de las vigas de acero, con un nivel de significancia del 1%.

17.

Se toma como muestra de 6 mujeres y 10 hombres fumadores. Se requiere

saber si el numero de cigarrillos que consumen los hombres diariamente es superior al de las mujeres, los datos fueron en promedio 8 cigarrillos en el grupo de mujeres y 11 en los hombres; las desviaciones típicas son 2,1 y 1,8 respectivamente. Al nivel del 5% ¿Se puede llegar a la conclusión de que los hombres fuman más que las mujeres? Tabla de datos: Media poblacional Varianza poblacional Tamaño de muestra Media Muestral

̅

̅

Grado de libertad




t

x

1



 x 2  1   2 

(n1  1) s  (n2  1) s n1  n2  2 2 1

2 2



1 1  n1 n2

8  11 (6  1)2,1  (10  1)1,82 2

6  10  2

 3,04 1 1  6 10

Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student, ubicando  = 0,1, para un grado de libertad de 14; y nos da como resultado 1,761. DISTR.T 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0,001 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819

0,005 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 3,135

0,01 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831

0,02 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518

0,025 2,533 2,510 2,490 2,473 2,458 2,445 2,433 2,423 2,414


0,05 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080

0,1 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721

0,15 1,530 1,523 1,517 1,512 1,508 1,504 1,500 1,497 1,494


Se ubica en la región crítica. Al nivel del 5%, se acepta aceptar la conclusión de que los hombres fuman más que las mujeres. 18.

Supongamos que una persona quiere tener desconectado su teléfono, si el

promedio de llamadas que hace al día es menor de 2. Elige aleatoriamente 5 días y anotas el número de llamadas así: 0, 2, 1, 1, 2. Utilizando retirar al teléfono? Tabla de datos: Media poblacional Varianza poblacional Tamaño de muestra ̅

Media muestral Grado de libertad

Paso 1: Planteamiento de hipótesis =2 2


Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado) ̅

= -2,1318 √

√


, ¿Debería



Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student, ubicando  = 0,1, para un grado de libertad de 4; y nos da como resultado 2,132. DISTR.T

0,05

0,1

0,15

31,821 25,452 12,706

6,314

4,165

2,920

2,282

4,177

4,303 3,182

2,353

1,924

3,747

3,495

2,776

2,132

1,778

3,365

3,163

2,571

2,015

1,699

0,001

0,005

0,01

0,02

0,025

1

636,619

127,321

63,657

2

31,599

14,089

9,925

6,965

6,205

3

7,453

5,841

4,541

4

12,924 8,610

5,598

4,604

5

6,869

4,773

4,032

Paso 5: Tomar la Decisión Se ubica -2,1318 en la zona de aceptación, por lo tanto al nivel del 5%, no debería desconectar el teléfono. También por la cercanía al punto crítico (-2,1318) se podría no tomar ninguna decisión, es decir, omitir juicio.



19.

Un pescador decide que necesita un sedal que resista más de 10 libras si

ha de capturar el tamaño de pescado que desea. Prueba 16 piezas de sedal de la marca G y halla una media muestral de 10,4. Si en la muestra se obtiene que la desviación típica es de 0,5 libras, ¿Qué conclusión se puede sacar de la marca G? (Nivel de significancia del 5%) Tabla de datos: Media poblacional Desviación muestral Tamaño de muestra ̅

Media muestral Grado de libertad

Paso 1: Planteamiento de hipótesis = 10 > 10 Paso 2: Nivel de significancia

Paso 3: Estadístico de prueba (o calculado) ̅

√ √

(

)

√




Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student, ubicando  = 0,1, para un grado de libertad de 15; y nos da como resultado 1,753. . DISTR.T 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,001 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965

0,005 3,690 3,581 3,497 3,428 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222

0,01 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898

0,02 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567

0,025 2,685 2,634 2,593 2,560 2,533 2,510 2,490 2,473 2,458

0,05 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110

0,1 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740

0,15 1,574 1,559 1,548 1,538 1,530 1,523 1,517 1,512 1,508

Paso 5: Tomar la Decisión Se ubica 3,10 en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, se puede concluir que el sedal de la marca G ofrece garantía de resistencia superior a 10 libras.



Pruebas de hipótesis para estimar la proporcion y la diferencia de proporciones (muestras pequeñas n< = 30) 20.

En una muestra probabilística de 12 amas de casa, el 20% indico

preferencias por la marca A de margarina. Con posterioridad a una campaña intensiva de radio y televisión, se selecciono una nueva muestra entre amas de casa del mismo tamaño y clase social. En esta muestra el 22% indico preferencia por la marca A. De acuerdo con estos resultados y a un nivel del 5%, ¿Podría rechazarse la hipótesis de que la campaña de publicidad no fue efectiva?

Proporciones pˆ 1

Proporciones pˆ 2

Tamaño de muestra Grado de libertad

= <




 pˆ 1  pˆ 2    p1  p2  pˆ 1 qˆ1 pˆ qˆ  2 2 n1  1 n2  1



0,2  0,22 (0,2)(0,8) (0,22)(0,78)  12  1 12  1


 0,12


Para calcular el estadístico teórico (o tabulado) se puede usar la tabla T-student, ubicando  = 0, 1, para un grado de libertad de 22; y nos da como resultado 1,717.

DISTR.T 18 19 20 21 22 23 24 25 26

0,001 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,768 3,745 3,725 3,707

0,005 3,197 3,174 3,153 3,135 3,119 3,104 3,091 3,078 3,067

0,01 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779

0,02 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479

0,025 2,445 2,433 2,423 2,414 2,405 2,398 2,391 2,385 2,379

0,05 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056

0,1 DISTR.T 1,734 18 1,729 19 1,725 20 1,721 21 1,717 22 1,714 23 1,711 24 1,708 25 1,706 26

Se ubica -0,12 en la zona de aceptación. Al nivel del 5%, se puede rechazar que la campaña publicitaria no fue efectiva. Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra Hernández Tutor: Diana Caliman


21.

El distribuidor de una maquina afirma que el máximo de elementos

defectuosos por hora que presenta su funcionamiento es del 3%. En una determinada hora, se toman como muestra 20 artículos producidos, los que a su vez son sometidos a control, encontrando un artículo defectuoso. ¿al nivel del 5% se podrá decir que él % de defectuosos es superior

al señalado por el

distribuidor? Proporciones Tamaño de las muestras Grado de libertad

Paso 1: Planteamiento de hipótesis = 0,03 > 0,03



√

√

(

)





0,001 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819

0,005 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 3,135

0,01 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831

0,02 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518

0,025 2,533 2,510 2,490 2,473 2,458 2,445 2,433 2,423 2,414

0,05 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080

0,1 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721

0,15 1,530 1,523 1,517 1,512 1,508 1,504 1,500 1,497 1,494

Paso 5: Tomar la Decisión No se puede concluir que el porcentaje de defectuosos sea superior al señalado por el distribuidor, al nivel del 5%.



22.

Se dice con frecuencia que la proporción de funcionamiento públicos que

tienen el hábito de fumar en horas de trabajo, es de 42%.

La oficina

gubernamental de salud desea realizar una campaña a fin de disminuir este porcentaje; para ello debe comprobar ese porcentaje, asi que decide realizar una investigación por muestreo a 25 funcionarios encontrado que 13 de ellos fuman. ¿Al nivel del 1% la oficina puede aceptar el porcentaje del 42% como indicador? Proporciones Tamaño de las muestras Grado de libertad

Paso 1: Planteamiento de hipótesis = 0,42  0,42



√

√

(

)





0,001 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,768 3,745 3,725 3,707

0,005 3,197 3,174 3,153 3,135 3,119 3,104 3,091 3,078 3,067

0,01 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779

0,02 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479

0,025 2,445 2,433 2,423 2,414 2,405 2,398 2,391 2,385 2,379

0,05 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056

0,1 DISTR.T 1,734 18 1,729 19 1,725 20 1,721 21 1,717 22 1,714 23 1,711 24 1,708 25 1,706 26

Paso 5: Tomar la Decisión Si hay razón para aceptar el % de 42, como indicador de fumadores en horas de trabajo, al nivel del 1%. Director Nacional de Curso: Jeammy Julieth Sierra Hernández Tutor: Diana Caliman

Ejercicios de Inferencia Estadistica

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