GUÍA DE ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA I
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Problema 1
Ejercicios propuestos para la semana 1
Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Si fueran falsas, indique la expresión correcta:
a) En cierta fábrica que produce engranajes para automóviles se toma cada media hora 5 de ellos y se les examina. En base a los resultados se toma una decisión acerca de la calidad de los engranajes producidos. Quiere decir entonces que esta fábrica para controlar sus productos utiliza solamente estadística descriptiva. b) Con el fin de aplicar medidas de reactivación reactivación del sector industrial en el rubro de calzado para Lima metropolitana, se está realizando un censo de todas las fábricas de calzado en Lima Metropolitana. Al evaluar esta información obtendremos resultados que serán útiles para realizar inferencias estadísticas. c) El tipo de variable que permite conocer si una unidad estadística estadística pertenece al grupo A, B ó C se denomina: Cualitativa discreta. d) Una variable cuantitativa cuantitativa continua puede ser expresada como una variable cualitativa cualitativa ordinal. (si su respuesta es verdadera, dé un ejemplo).
Problema 2 Determine la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones, si es falsa indique la afirmación correcta: a) Los colores de pinturas producidas por “Tekno” representa una variable cualitativa nominal. b) Al profesor de la clase de Matemática I le pidieron elegir 5 alumnos para representar al salón en cierta presentación, el profesor eligió a los que tenían notas más altas; entonces esa es una muestra probabilística. c) Luego del Censo Nacional el INEI determinó que en el departamento de Junín el 85% del área cultivable estaba adecuadamente abonada, este valor representa una Inferencia Estadística. d) Cuando una empresa de sondeo de opinión determina el porcentaje de aceptación de un candidato, lo que está haciendo es determinar con exactitud los valores del parámetro de interés. e) En una encuesta realizada por Apoyo en Lima Metropolitana Metropolitana se encontró que el 80% de las 300 personas entrevistadas consideran posible la clasificación al Mundial de Fútbol, entonces este porcentaje representa una Inferencia Estadística.
Problema 3 Para los siguientes enunciados Identifique: población, muestra, unidad elemental, variable, tipo tipo de variable, estadístico o parámetro adecuado y dé un ejemplo de observación para cada variable: La Municipalidad de Lima desea saber si los ciudadanos están de acuerdo o no con continuar los trabajos del tren eléctrico. Un editor de periódico desea conocer las opiniones del público sobre la cobertura de las noticias internacionales que publica. En SEDAPAL se necesita estimar el consumo trimestral de agua por familia para un distrito de Lima. Un empresario desea conocer el número de veces al mes que salen a comer a un restaurante, los habitantes de una zona de la ciudad.
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Problema 1
Ejercicios propuestos para la semana 1
Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Si fueran falsas, indique la expresión correcta:
a) En cierta fábrica que produce engranajes para automóviles se toma cada media hora 5 de ellos y se les examina. En base a los resultados se toma una decisión acerca de la calidad de los engranajes producidos. Quiere decir entonces que esta fábrica para controlar sus productos utiliza solamente estadística descriptiva. b) Con el fin de aplicar medidas de reactivación reactivación del sector industrial en el rubro de calzado para Lima metropolitana, se está realizando un censo de todas las fábricas de calzado en Lima Metropolitana. Al evaluar esta información obtendremos resultados que serán útiles para realizar inferencias estadísticas. c) El tipo de variable que permite conocer si una unidad estadística estadística pertenece al grupo A, B ó C se denomina: Cualitativa discreta. d) Una variable cuantitativa cuantitativa continua puede ser expresada como una variable cualitativa cualitativa ordinal. (si su respuesta es verdadera, dé un ejemplo).
Problema 2 Determine la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones, si es falsa indique la afirmación correcta: a) Los colores de pinturas producidas por “Tekno” representa una variable cualitativa nominal. b) Al profesor de la clase de Matemática I le pidieron elegir 5 alumnos para representar al salón en cierta presentación, el profesor eligió a los que tenían notas más altas; entonces esa es una muestra probabilística. c) Luego del Censo Nacional el INEI determinó que en el departamento de Junín el 85% del área cultivable estaba adecuadamente abonada, este valor representa una Inferencia Estadística. d) Cuando una empresa de sondeo de opinión determina el porcentaje de aceptación de un candidato, lo que está haciendo es determinar con exactitud los valores del parámetro de interés. e) En una encuesta realizada por Apoyo en Lima Metropolitana Metropolitana se encontró que el 80% de las 300 personas entrevistadas consideran posible la clasificación al Mundial de Fútbol, entonces este porcentaje representa una Inferencia Estadística.
Problema 3 Para los siguientes enunciados Identifique: población, muestra, unidad elemental, variable, tipo tipo de variable, estadístico o parámetro adecuado y dé un ejemplo de observación para cada variable: La Municipalidad de Lima desea saber si los ciudadanos están de acuerdo o no con continuar los trabajos del tren eléctrico. Un editor de periódico desea conocer las opiniones del público sobre la cobertura de las noticias internacionales que publica. En SEDAPAL se necesita estimar el consumo trimestral de agua por familia para un distrito de Lima. Un empresario desea conocer el número de veces al mes que salen a comer a un restaurante, los habitantes de una zona de la ciudad.
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Problema 4 Suponga que lo acaban de nombrar ejecutivo principal de mercadotecnia para Fun Enterprise (F.E), compañía que se especializa en diseñar y construir parques de diversiones cerca de grandes ciudades. F.E se interesa principalmente en un sitio al Sur de Lima. Para conocer el perfil de sus potenciales clientes, selecciona una muestra de 55 personas de su público objetivo. Algunas de las características características evaluadas y resultados se presentan a continuación. Opinión acerca de la posible instalación del parque de diversiones (A favor, en Contra). Si su respuesta es: está a favor de la instalación del parque parque de diversiones:
Precio que estaría dispuesto a pagar en cada visita Frecuencia de visitas al mes que realizaría al parque de diversiones.
Además se obtuvieron los siguientes resultados: Precio promedio dispuesto a pagar: S/. 7.8 El 90% de los entrevistados declararon estar a favor de la instalación del parque.
De acuerdo a lo expuesto anteriormente. a) Defina claramente: Población, Muestra, Variables y Tipos. b) Identifique si fuera posible: Valor Estadístico o Parámetro y de un ejemplo de Observación para cada variable.
Problema 5 Con la finalidad de estudiar algunos indicadores socioeconómicos, una empresa de investigación de mercados extrae una muestra representativa de 850 personas mayores de 20 años repartida en los diferentes estratos socioeconómicos de la ciudad de Arequipa. Algunos de los resultados publicados fueron: fueron: El 35% se opone a la ejecución del proyecto “Nueva Arequipa”. El tiempo promedio que se encuentra sin trabajo trabajo es 12 años. instrucción superior, 30% instrucción secundaria El 35% tiene instrucción primaria, 25% instrucción y el resto ninguna. El 92% no posee auto. a) Identifique: Población, Muestra, Variables y tipos de variables. b) Determine (si existieran) los estadígrafos y/ó parámetros a partir del enunciado propuesto.
Problema 6 Con la finalidad de realizar un mejor control para otorgar licencias de funcionamiento de cabinas de internet, en el distrito de Lince, se desea realizar un estudio con respecto a las condiciones bajo las cuales dichas cabinas ofrecen sus servicios. Se decide elegir un grupo de 30 cabinas y se averigua acerca de: Número de computadoras para el servicio, ingreso diario por concepto de alquiler, tipo de usuario (adolescente, joven o adulto) y si el local es propio o alquilado. a) Defina en forma clara la población, la muestra, la unidad elemental, variables, tipos de variables, además defina los posibles parámetros y estadísticos de interés. b) Considerando el problema planteado determine si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos; si es falso indique el enunciado correcto. 3
b.1) Para determinar qué porcentaje de las cabinas de internet que funcionan en Lince lo hacen en local alquilado es necesario solamente usar Estadística descriptiva. b.2) De las 30 cabinas elegidas para el estudio se encontró que solo 21 de ellas (el 70%) tenían su licencia de funcionamiento en regla. Entonces ese porcentaje representa un Parámetro. b.3) Los resultados obtenidos en las cabinas elegidas, fueron informados a un experto en estadística el cual concluyó que en el Distrito de Lince una cabina de Internet tiene un ingreso, por día, de S/.350, este valor representa un Parámetro.
Problema 7 La gerencia del hotel CONFORT desea evaluar la calidad de mil cajas de jabones BUBSA que intenta comprar (cada caja contiene 24 unidades); el gerente dispone revisar al azar 80 cajas y evaluar la calidad de los jabones en estas cajas. El supervisor encargado le
informa: “En el 65% de las cajas no se encontró jabones malogrados, en el 20% se encontró un jabón malogrado, en el 10% de cajas se encontraron dos jabones malogrados y en el resto de cajas se encontraron tres jabones malogr ados”. ados”. Se pide identificar: a) La población objetivo. c) La variable estudiada. b) La muestra. d) La tabla de frecuencias.
Problema 8 La gerencia general del hotel ESTRELLA, preocupada por la calidad del servicio que están recibiendo los 95 clientes atendidos actualmente, dispone que se consulte la opinión sobre la calidad del servicio a una muestra de 20 clientes hospedados. La Oficina de Imagen Institucional del hotel realizó esta consulta y le entrega la base de datos siguiente: Cliente Nacionalidad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
a) b) c) d) e)
Peruana Peruana Peruana Americana Americana Peruana Americana Americana Argentina Argentina Europea Americana Europea Americana Americana Peruana Europea Americana Europea Americana
Edad
Sexo
Número de atenciones en el año
Nivel de Educación
Opinión sobre el servicio recibido en la última atención
25 23 50 48 28 28 36 35 25 23 39 43 55 28 41 33 48 50 36 42
Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Masculino Femenino Femenino Masculino Masculino Femenino Masculino Femenino Femenino Femenino
2 3 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 1 2 2
Superior Superior Superior Secundaria Secundaria Secundaria Superior Superior Superior Superior Secundaria Superior Secundaria Superior Superior Secundaria Superior Superior Secundaria Superior
Buena Buena Buena Mala Mala Regular Regular Regular Buena Buena Regular Buena Mala Regular Buena Buena Regular Regular Buena Mala
Con respecto al conjunto de datos. d atos. Identifique: la Población, muestra, unidad elemental Identifique las variables y establezca su naturaleza. naturaleza. ¿Cuál es la observación observación para la variable edad del cliente 7 de esta base de datos?. ¿Cuál es el parámetro que corresponde para la edad de los clientes?. ¿Cuál es el estadístico que corresponde para la edad de los clientes?. 4
f) ¿Cuál es parámetro que corresponde a la nacionalidad de los clientes?. g) Elabore los siguientes cuadros de resumen considerando las estructuras porcentuales respectivas: h) Número de clientes según su opinión del servicio por nacionalidad del cliente i) Número de clientes según su opinión del servicio por sexo del cliente j) Número de clientes según su opinión por el número de atenciones recibidas de hotel k) En base a las estructuras porcentuales de los cuadros elabore los gráficos descriptivos siguientes: l) Porcentaje de clientes según su opinión sobre la atención recibida. m) Porcentaje de clientes según nacionalidad del cliente.
Problema 9 Para estudiar las principales características descriptivas de los 850 clientes que está atendiendo el gimnasio SAMOA se elige una muestra de 25 clientes y a cada cliente elegido se le solicita la información siguiente: Nacionalidad, sexo, edad (años), peso (kg), días que trabajó la semana anterior, número de veces que vino al gimnasio en el mes anterior y si está haciendo dieta. Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nacionalidad Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Colombiana Colombiana Colombiana Colombiana Colombiana Ecuatoriana Ecuatoriana Ecuatoriana
Sexo Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Masculino Masculino Femenino
Edad 18 19 17 19 30 41 20 18 18 18 59 17 49 20 21 20 18 38 39 20 21 20 48 18 20
Peso 54.3 63.2 62.5 53.3 66.8 74.5 52.2 53.6 61.5 55.8 74.3 63.2 72.5 73.3 56.8 54.5 52.2 63.6 71.5 65.8 52.2 43.6 71.5 65.8 54.3
Días 6 5 6 6 7 6 6 6 4 6 6 5 4 6 7 6 6 6 4 6 5 6 4 7 6
Veces 5 25 10 20 15 15 15 5 25 10 20 15 15 15 15 15 15 15 15 20 20 10 10 25 5
Dieta No No No No No No Si Si Si Si No No No No No Si Si No No No Si Si No No No
a) Determine la unidad de análisis, la población y la muestra en esta investigación. b) Establezca la naturaleza de cada variable incluida en la investigación. c) Elabore un cuadro de resumen sobre el número de clientes según nacionalidad, por sexo que incluya la estructura porcentual y haga un gráfico para mostrar la estructura porcentual respecto al sexo de los clientes. d) Elabore un cuadro de resumen sobre el número de clientes según nacionalidad que incluya la estructura porcentual y haga un gráfico para mostrar la estructura porcentual de la nacionalidad.
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Problema 10 La gerencia general de la agencia de viajes VIASA está interesada en conocer el comportamiento de las ventas efectuadas por su representante de ventas en la ciudad de Iquitos TURSA, por tanto dispone evaluar al número de ventas mensuales realizadas durante los 25 meses que viene trabajando. El número ventas por mes que efectuaron en este período es: 3 4 1 2 1 2 2 5 2 1 2 3 0 1 0 3 3 2 0 2 1 3 4 1 2 Construya una tabla de frecuencia y en base a esta tabla responda a las siguientes preguntas: a) ¿Cuántos meses TURSA realizó entre 2 y 4 ventas? b) ¿Cuántos meses TURSA realizó menos de 3 ventas? c) ¿Qué porcentaje de los meses realizó a lo más 2 ventas? d) ¿Qué porcentaje de los meses realizó más de 2 ventas?
Problema 11 En un negocio de ventas de frutas del país, se examinó un lote de 33 cajas de manzanas, cada una conteniendo 48 manzanas. El número de manzanas en mal estado en cada caja fue de: 3 4 1 2 1 2 2 5 2 1 2 3 0 1 0 3 3 2 0 2 1 3 4 1 2 0 1 2 2 1 4 1 0 Construir una tabla de frecuencias con la información anterior y responde las siguientes preguntas: a) ¿Cuántas cajas contienen menos de tres manzanas en mal estado?. b) ¿Cuántas cajas contienen entre 2 y 4 manzanas en mal estado?. c) ¿Qué porcentaje de cajas contienen a lo más 2 manzanas en mal estado?. d) ¿Cuál es el porcentaje de cajas que contienen no más de 3 manzanas en mal estado?
Problema 12 El siguiente gráfico muestra los resultados de una encuesta que se ha realizado en Lima a 420 personas entre 20 y 50 años, a las que se preguntó: ¿Qué marca de auto tiene? Marca de auto D 19%
C 12%
A 29%
B 40%
a) Determine el cuadro de distribución de frecuencias indicando las frecuencias que correspondan y construya un diagrama de barras con las frecuencias absolutas. b) Describa: población, muestra, variable y tipo. c) Sugiera una inferencia a partir de ésta encuesta.
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Ejercicios propuestos para la semana 2 Problema 1 El gerente general de la empresa “Azúcar S.A” dedicada a la producción y venta de azúcar, realiza un estudio de la cantidad vendida por semana en el departamento de lima, se tomó una muestra de 40 semanas del año 2013, obteniéndose los siguientes resultados (en toneladas). 2.20 2.21 2.25 2.25 2.25 2.25 2.29 2.32 2.33 2.36 2.37 2.39 2.39 2.40 2.40 2.41 2.42 2.42 2.43 2.45 2.45 2.52 2.52 2.54 2.56 2.57 2.60 2.60 2.63 2.67 2.69 2.70 2.70 2.72 2.72 2.81 2.84 2.84 2.90 2.90 a) Construya una tabla de distribución de frecuencias. b) Interprete los valores de f 3+f 4 , F3, h 5 y 1- F2 c) Luego de construir la tabla de frecuencias, estime el porcentaje de semanas en la muestra en que se ha vendido una cantidad de azúcar inferior a 2.30 toneladas o superior a 2.80 toneladas. d) ¿Hasta qué cantidad de azúcar se puede vender en una semana, como máximo, para que la venta semanal pertenezca al 30% de las semanas con peores ventas?
Problema 2 El Director General de una manufacturera, preocupado por la eficiencia de sus trabajadores en la fabricación de sus productos, dispone evaluarlos. Para ello la oficina de recursos humanos de la manufacturera realiza el estudio con una muestra de 30 trabajadores y con la muestra construye un Histogra ma para la variable “Edad”, utilizando el programa Minitab: Observe el histograma y realice lo siguiente: a) Construya la tabla de frecuencias identificando el número de intervalos. b) Interprete f 3, F4, h2, H5 c) ¿Cuál es el número de trabajadores cuya edad se encuentra entre 32.5 y 45.5? d) ¿Cuál es la edad a partir del cual se encuentra el tercio superior de los trabajadores con mayor edad? Histogram of Edad 12
12
10
a i c n e u q e r F
8
6
6
6
4
4
2
2
0 19
27
35
43
Edad
7
51
59
Problema 3 La empresa industrial “REFRASA” cuenta con una planta donde se ensambla cierto producto, en cuya venta es el líder del mercado local. Con la finalidad de realizar un estudio de tiempos se decide evaluar a los operarios tomando el tiempo que demoran en ensamblar una pieza, medido en minutos. Luego de la evaluación, debido a un descuido del asistente se perdió alguna información, teniendo solamente la información parcial en el siguiente cuadro de frecuencias cuya amplitud de clase es constante: Intervalos [16 > [ > [ > [ > [32; > [ >
f i
hi 0.10
36
Fi
Hi
51 0.28
21
0.96
a) Completar la tabla de frecuencias. b) Para poder tener éxito frente a una empresa competidora que se está instalando, se capacitará a los operarios. La gerencia decide que si el tiempo de ensamblaje de un operario es mayor a media hora será asignado a un curso de capacitación INTENSIVO, si el tiempo de ensamblaje es menor a 25 minutos serán asignado a un curso de capacitación NORMAL y el resto a un curso SEMI-INTENSIVO. Determine el porcentaje de operarios que serán asignado a cada uno de los tres niveles del curso de capacitación.
Problema 4 En la industria de la confección de prendas de vestir existe en Lima una empresa que tiene registrado en los últimos 27 meses la demanda de pantalones (expresada en cientos de unidades). El gerente utilizará esta información para predecir las ventas de los próximos 3 meses. Los datos recopilados son los siguientes: 08.32 9.25
15.26 16.20 17.10 17.25 17.55 18.35 19.20
08.35 10.08 15.28 16.30 17.05 17.32 17.59 18.34 20.54 08.57 15.86 16.32 16.34 17.08 17.51 18.24 18.37 22.56 a) Identifique la Población, muestra, variable(s) y tipo(s). b) Construya la tabla de frecuencias según el procedimiento desarrollado en clase. c) Interprete adecuadamente la frecuencia absoluta simple del tercer intervalo, la frecuencia relativa acumulada del cuarto y F2. d) Determine en cuantos meses la demanda de pantalones fue por lo menos 1635 y a lo más 1950.
Problema 5 Se tiene una distribución de frecuencias con 7 intervalos de amplitud constante en la que las frecuencias acumuladas del 1°, 2° y 4° intervalo son 1, 16 y 70 respectivamente; la suma de las tres últimas frecuencias relativas simple = 4/11, las marcas de clase del 3° y 6° intervalo son 55 y 85 respectivamente y f 1 = f 7, f 2 = f 6, f 3 = f 5. Se pide: a) Construya la tabla de frecuencias. b) Estime el número de datos menores que 63. 8
c) Si los intervalos de clase corresponden a jornales semanales en soles, y existen dos propuestas de aumento de sueldo: Propuesta A: Aumento del 30% de los sueldos menos S/.700 a los que ganan más de 55. Propuesta B: Aumento del 12% de los sueldos más S/.500 a los que ganan menos de 85. ¿Qué porcentaje de trabajadores están comprendidos en la propuesta A y B?
Problema 6
En la primera práctica calificada de Estadística para Ingeniería I del ciclo anterior, las notas de los 50 alumnos fueron: 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 9.5 10.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 10.5 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 13.5 14.0 14.5 17.5 a) Construya la tabla de frecuencias correspondiente, histograma y polígono de frecuencia clasificando estos datos en 6 intervalos (considere un mínimo de 1 y un máximo de 19). b) Realice una repr esentación “tallo - hoja” para los calificaciones registradas.
En base la tabla de frecuencia construida: c) ¿Cuál es la calificación que corresponde al tercio superior en las notas registradas? d) ¿Qué porcentaje de alumnos está comprendido entre las notas 9.5 y menos de 13.5?
Problema 7 La representación tallo hoja del tiempo (en minutos y con un decimal) requerido por los estudiantes para responder cierta pregunta de razonamiento matemático es:
Nº
Tallo Hoja
17
1
00012233334444444
44
1
555556666666667777888899999
76
2
00000011111111222222222222333333
106
2
555556666666666666777778889999
(29)
3
00000000011111111222233333344
90
3
55566666667788888899999999
64
4
0001111112222222333444
42
4
55555667778888
28
5
000001111122233444
10
5
5567899
3
6
04
1
7
0 9
(La suma de los tiempos registrados es: 713.3 minutos) Construya una tabla de frecuencias para los datos observados. a) Considerando 5 intervalos. b) Aplicando la regla Sturges (muestre sólo frecuencias absolutas). Utilizando la tabla de frecuencia que incluye 5 intervalos determine: c) ¿Qué porcentaje de alumnos utilizó entre 3 y menos de 5 minutos para responder? d) ¿Cuál es el tiempo que comprende al tercio de alumnos que demoró menos? e) Responda las preguntas c y d a través de la representación tallo hoja.
Problema 8 El Último Refugio” es un Operador Turístico, que desarrolla sus actividades en la reserva nacional del Manu, este Operador Turístico realizará una campaña muy agresiva de promoción que será iniciada en la Feria de Ofertas de paquetes Turísticos, en la ciudad de Lima.
Por este motivo, El Último Refugio ha decidido solicitar a la fábrica textil “Tanguis”, la elaboración de camisetas promocionales. “Tanguis”, decide hacer camisetas de tres tallas: S, L, XL. Dado que todas las camisetas serán bastante anchas, lo que hará optar
por una talla u otra será la altura. Para ello, “Tanguis”, realiza un estudio pertinente y toma una muestra de 30 posibles compradores potenciales y mide sus alturas (cm) obteniéndose la siguiente información: 151.1 161.1 169.4
151.4 161.4 171.4
153.4 161.5 171.6
154.5 162.1 173.3
156.2 163.4 175.4
158.6 163.8 176.7
159.4 163.8 176.8
160.0 165.5 179.4
160.3 165.8 180.8
160.4 169.2 185.9
a) Elabore la tabla de distribución de frecuencias siguiendo la regla de Sturges. Interprete de acuerdo al contexto f 2, h5, F3, H4 b) Grafique el polígono de frecuencias relativas. c) Supongamos que la fábrica “Tanguis” ya tiene los patrones hechos, y recomienda la talla S hasta 160 cm., talla L hasta 180 cm. y talla XL para alturas superiores. Bajo estas condiciones, ¿Qué proporción de camisetas de cada tipo es razonable que se fabriquen? d) Supongamos ahora, que por razones de mercado, la empresa “Tanguis” cree conveniente fabricar el 10% de camisetas de la talla S, el 65% de la talla L y el 25% restante de la talla XL. ¿Cuáles serán los límites de alturas con que se tendría que diseñar cada talla?
Problema 9 Se tiene una distribución de frecuencias con cuatro intervalos de clase de igual amplitud y los siguientes datos: X1 = 10, X4 = 22, h 1 = 0.3, h4 = 17.5%, H 2 = 0.45 y n = 120. Construya la tabla de frecuencias correspondiente.
Problema 10 Los siguientes datos representan los resultados de una prueba, en puntos, que mide el coeficiente intelectual de las personas:
10
Coeficiente intelectual [85 – 95>
Nº de estudiantes 5
[95 – 105>
13
[105 – 115>
16
[115 – 125>
10
[125 – 135>
6
Total
50
a) Calcule el porcentaje de estudiantes con un coeficiente intelectual superior a los 118 puntos. b) Si el 60% central de los estudiantes son considerados con una inteligencia normal. Calcule los límites para que un estudiante sea considerado con esta denominación (inteligencia normal).
(Asuma que la puntuación obtenida en la prueba es igual al coeficiente intelectual)
Problema 11 La siguiente tabla muestra la distribución de los gastos alimenticios diarios, en soles, de una muestra aleatoria de 35 familias de la zona A de una ciudad: Gastos xi f i [30.0 – 48.4> 39.2 2 [48.4 – 66.8> 57.6 8 [66.8 – 85.2> 76.0 10 [85.2 – 103.6> 94.4 7 [103.6 – 122.0> 112.8 5 [122.0 – 140.4] 131.2 3 Total 35 a) ¿Qué porcentaje de familias tuvieron gastos alimenticios diarios entre 72.6 soles y 114.8 soles? b) ¿Cuál es el gasto mínimo del 12% de familias que tienen los mayores gastos alimenticios diarios?
Problema 1
Ejercicios propuestos para las semanas 3 y 4
La gerencia del hotel PARAISO ha dispuesto efectuar un mayor control sobre el tiempo de las llamadas internacionales que utiliza el personal del área de promoción; por tal motivo, el gerente solicita la información sobre los tiempos utilizados durante las últimas 50 llamadas internacionales que realizó el personal de promoción. Estos tiempos tienen la distribución siguiente:
11
Número de llamadas internacionales según el tiempo utilizado Tiempo en minutos Número de llamadas De 1 a menos de 3 2 De 3 a menos de 5 13 De 5 a menos de 7 24 De 7 a menos de 9 7 De 9 a 11 4 Determine el tiempo promedio, modal y mediano de las llamadas realizadas.
Problema 2 Dada la siguiente tabla de frecuencias: Intervalos 16-32 32-48 48-64 64-80 80-96
fi 6 k 8 3k 3
Se pide calcular el valor de “k” sabiendo que la moda es 60 y pertenece al tercer intervalo.
Problema 3 Los ingresos (en soles) que ofrece una empresa hotelera a sus practicantes se presentan en la siguiente tabla de frecuencias: Ingresos [600, 650> [650, 700> [700, 750> [750, 800> [800, 850>
Nº practicantes 3 7 10 3 2
Se desea conocer: a) ¿Qué porcentaje de practicantes tienen un ingreso superior al promedio? b) Si se aplica una bonificación a los practicantes cuyos ingresos se localizan en el quinto inferior ¿Cuál es el ingreso máximo para recibir esta gratificación? c) Si se aplica un impuesto a los practicantes cuyos ingresos se localizan en el quinto superior ¿Cuál es el ingreso mínimo para recibir este impuesto? d) ¿Es cierto que el ingreso mediano es mayor al ingreso de la mayoría de los practicantes?
Problema 4 En la curva de frecuencias de las calificaciones de la primera práctica de Estadística General, obtenidas en uno de los bloques, en que rindieron la práctica 30 estudiantes, se observa que:
x 13.5,
Me 14
y
Mo 14.8
Responder si las siguientes afirmaciones son verdadera s o falsas: 12
a) La calificación más obtenida fue 14.8 y por lo menos el 50% obtuvo una calificación menor a este valor. Justifique. b) La suma de las calificaciones del 50% de estudiantes que obtuvieron menor puntaje es mayor a 210 puntos. Justifique. c) La suma total de las calificaciones es menor a 400 puntos. Justifique.
Problema 5 Cuatro fábricas A, B, C y D producen un mismo objeto. La fábrica B produce el doble de la fábrica C, la fábrica D produce 10% menos que la fábrica C y la fábrica A produce 60% menos que la fábrica B. Los costos de producción (en dólares) por unidad de estas fábricas son respectivamente 0.2, 0.3, 0.2 y 0.5. Calcular el precio medio de venta si se quiere ganar el 20% por unidad.
Problema 6 Parece ser que una máquina automática que llena recipientes, está trabajando de manera errática. Una verificación de los pesos del contenido de un cierto número de latas reveló lo siguiente: Peso (gr) 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 Número de latas 2 8 20 15 9 7 3 2
a) Estime la media aritmética del peso del contenido de una lata e interprete. b) Encuentre la mediana y moda e interprete el resultado.
Problema 7 Considere que X é Y representan dos variables cuantitativas continuas y que los promedios de ambas son 1425 y 1860 respectivamente. Si a la primera variable se le incrementa el 2.5% y se le resta 620, mientras que a la segunda variable se de descuenta el 0.75%, determine: a) Los nuevos promedios de las variables. b) Sabiendo que se hicieron 85 mediciones de la primera variable y 97 mediciones de la segunda, determine el promedio de las 182 mediciones después de los cambios.
Problema 8 En el mes de Julio del año 2010 la empresa “EXPOR” tenía un grupo de trabajadores cuyo sueldo promedio era de S/.1250. Debido a la gran demanda de su producto esta empresa incorpora a su planilla un nuevo grupo de trabajadores que entran ganando un
sueldo promedio que es el 85% de lo que ganan los trabajadores “antiguos” y este nuevo equipo es el 20% de los que habían anteriormente, un mes después se incorpora un 2do grupo de trabajadores con un sueldo promedio de S/.995 y en un número igual al 10% de los que habían en el mes de Julio. Posteriormente a estas incorporaciones de nuevos trabajadores la empresa decide incrementar los sueldos en un 15% más una bonificación adicional de S/.120. Determine cuál es el sueldo promedio de estos trabajadores luego del incremento de salarios.
Problema 9 Se tienen tres máquinas A, B y C que producen el 30% el 60% y el 10%, respectivamente, de la producción total. La primera máquina tiene un costo promedio de producción por unidad de $3.5, la segunda máquina tiene un costo promedio por unidad de $3. El costo promedio de producción por unidad de toda la producción es de $3.25. 13
a) Determine el costo promedio de producción de la máquina C. b) Luego de realizar algunos reajustes en las máquinas se observó que el costo promedio en la máquina A disminuye en $0.5; el costo promedio en la máquina B disminuye en un 10% y el costo promedio en la máquina C disminuye en $a. Si el costo promedio de toda la producción es ahora de $2.82 por unidad. ¿En cuánto disminuyó o aumento el costo promedio de la máquina C?
Problema 10 Las remuneraciones de los empleados de los hoteles LUX y ASTORIA que pertenecen a la empresa hotelera HOTESA se presentan en las tablas de frecuencia siguientes:
a) b) c) d)
Hotel LUX Hotel ASTORIA Sueldo Número de Sueldo (soles) Número de (soles) empleados empleados 400-800 60 500-1000 10 800-1200 35 1000-1500 30 1200-1600 5 1500-2000 10 Total 100 Total 50 Determine el sueldo promedio de los empleados en la empresa HOTESA. Se acuerda aumentar los sueldos del hotel LUX un 5% más una gratificación de S/ 100, para el hotel ASTORIA, acordó en aumento de 10%. Determine los nuevos sueldos promedios para cada hotel Determine los nuevo sueldos promedio de los empleados en la empresa HOTESA ¿En cuál de los hoteles es menos variable el sueldo, antes y después del aumento?
Problema 11 La siguiente tabla muestra la distribución del coeficiente intelectual (CI) de 120 alumnos:
CI 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 n 2 3 25 46 35 5 3 1 Si se consideran bien dotados aquellos alumnos cuya puntuación esté sobre el P90. ¿A partir de qué CI se considera bien dotado a un alumno?
Problema 12 En una fábrica el personal de planta está dividido del siguiente modo: 10% son supervisores, 60% son operarios calificados y el resto son asistentes. El salario promedio del personal de planta es de S/.603 por semana. a) Si el salario promedio de los supervisores es de S/.750 por semana y el de los operarios calificados es de S/.680. ¿Cuál es el salario promedio de los asistentes? b) Se decide aumentar los salarios de los supervisores en un 20%, a los operarios calificados se les aumenta el 15% de sus salarios más S/.45 por movilidad y finalmente a los asistentes se les incrementa S/.50. Calcular el nuevo salario pr omedio del personal de planta en esta fábrica.
Problema 13 Parece ser que una máquina automática que llena recipientes, está trabajando de manera errática. Una verificación de los pesos del contenido de un cierto número de latas reveló lo siguiente: Peso (gr) 130-140 140-150 150-160 160-170 170-180 180-190 190-200 200-210 Número de latas 2 8 20 15 9 7 3 2 14
a) Estime la media aritmética del peso del contenido de una lata e interprete. b) Encuentre la mediana y moda e interprete el resultado. c) El Gerente de producción indica que sólo el 60% central de las latas observadas tienen un peso dentro de las especificaciones. ¿Cuáles son las especificaciones? (Se entiende por especificaciones a los pesos que deberían tener las latas para ser considerados buenos productos)
Problema 14 Al aplicar una prueba de aptitud académica a un grupo de 120 estudiantes, se obtuvo: puntajes Nº alumnos [00, 10> 3 [10, 20> 6 [20, 30> 13 [30, 40> 26 [40, 50> 30 [50, 60> 12 [60, 70> 15 [70, 80> 8 [80, 90> 5 [90, 100> 2 a) ¿Cuál es el puntaje mínimo para que un estudiante pertenezca al quinto superior? b) Si un estudiante dice estar en el quinto inferior ¿Cuál es su puntaje máximo?
Problema 15 A continuación se presenta una distribución simétrica, referente a las mediciones (en pulgadas) de ciertos tubos de acero, y en el que se conoce: H6 – H2 = 0.88
H5 – H3 = 0.60
H4 + H6 = 1.68 P90 – P10 = C x (k - 4)
P10 + X2 = 11.1
P90 - X2 = 0.7
Xmín = 5.2
a) Construir la tabla de frecuencias. b) Calcular la medida promedio. c) ¿Cuál es la medición que supera al 15% inferior?
Problema 16 Las notas de práctica (sin decimales) del aula A de Matemáticas son:
Unidad de hoja: 0.1 Tallo Hoja
1 5 10 (4) 7 4 1
9 10 11 12 13 15 16
0 0000 00000 0000 000 000 0
Determine: a) La nota promedio, mediana y modal del aula A. b) ¿A partir de qué nota está el tercio superior (alumnos con las notas mayores) del aula A? 15
c) Si el profesor agregara 2 puntos a cada estudiante del salón A: ¿Cuál sería la nueva nota promedio, mediana y moda del aula A? d) Si por error los datos omitieron al calificativo de Alex quien obtuvo 20: ¿Cuál será la nota promedio, mediana y moda del aula A incluyendo la nota de Alex y sin aumentar los 2 puntos?
Problema 17 El histograma adjunto muestra la distribución del tiempo que demoran 32 personas para leer el periódico. a) Calcule e interprete la media, mediana y moda b) Encuentre cual es el tiempo máximo para pertenecer al 30% de los lectores más rápidos
Problema 1
Ejercicios propuestos para la semana 5
El cuadro de pagos en dos fábricas para el mes pasado fue así: Medidas de resumen FABRICA A FABRICA B Sueldo promedio
1500
1650
Desviación estándar
200
250
a) ¿En cuál de las dos fábricas los sueldos son más homogéneos? b) Si en la fábrica A, los sueldos se incrementan en 250 nuevos soles, calcule el nuevo coeficiente de variación. c) Si en la fábrica B, los sueldos se incrementan en 25%, calcule el nuevo coeficiente de variación.
Problema 2 Los pagos semanales de 50 trabajadores de una empresa se muestran a continuación: Sueldos (en nuevos soles) Empleados
600-700
700-800
800-900
900-1000
16
14
12
8
Se plantean dos alternativas de aumento: la primera consiste en un aumento general de 50 nuevos soles y la segunda consiste en un aumento general del 30% del pago más una bonificación de 10 nuevos soles. ¿Cuál de las dos propuestas conviene a los trabajadores a) si el interés es subir la media de los pagos? 16
b) si el interés es bajar la dispersión de los pagos?
Problema 3 Un agente de compras puso a prueba dos muestras de 10 y 28 baterías para calculadoras de bolsillo de dos fabricantes. Cada batería se probó en una calculadora que estaba programada para llevar a cabo repetidas veces cálculos ordinarios; el tiempo en horas que cada batería tardó en agotarse se presenta en los siguientes diagramas de tallo y hoja:
Fabricante E
Fabricante S
Stem-and-leaf of Fabrican N = 10 Stem-and-leaf of Fabrican N = 28 Leaf Unit = 0.010 Leaf Unit = 0.010 1 118 0 2 119 89 1 118 5 120 234 2 119 1 12 120 5688899 3 119 5 14 121 44 (4) 120 0234 (2) 121 89 3 120 7 12 122 00113 2 121 3 7 122 567 1 121 4 123 34 1 122 0 2 123 2 124 2 124 56
Además : Fabricante E : Fabricante S :
x 120.15 x x 340.65 x
2
2
1443.72 4144.82
a) Calcule e interprete la media, la mediana y la moda para cada grupo. b) ¿Qué indica la relación entre la media, la mediana y la moda, acerca de la distribución para cada grupo? Interprete cada uno de estos indicadores. c) ¿Cuál fábrica presenta mayor variabilidad en el tiempo de duración de las baterías? d) Interprete detalladamente el diagrama de cajas que representa a ambos conjuntos de datos.
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Problema 4 Los siguientes datos se refieren a la utilidad diaria (en nuevos soles) de tres tiendas dedicadas a la venta de artículos de ferretería; esta información se tomó durante los últimos diez días: 10
Tienda A:
i 1
10
xi 4000 ;
10
2
x i 1625000
Tienda B:
i 1
CV = 6.7%;
x
i
6000
i 1
Tienda C: Varianza = 2025; x 770 a) ¿Cuál de las tiendas tiene mejor nivel de ventas diarias? Justifique su respuesta. b) ¿Cuál de las tiendas es más estable en el nivel de ventas diarias?
Problema 5 Los jornales (en soles) que reciben 100 obreros tienen una distribución de frecuencias cuyas características son: Simétrica perfecta y mesocùrtica perfecta. El coeficiente de variación de la distribución es 10% La mediana de los jornales es 15 y el jornal mínimo es 8. El jornal mínimo que corresponde al 10% de los obreros "mejor pagados" es 20. El jornal máximo del 10% de los obreros "peor pagados" es 10. Determine:
a) El jornal máximo del 25% de los obreros "peor pagados" y el jornal mínimo del 25% de b) c) d) e)
los obreros "mejor pagados". Verifique si es verdad que "el jornal máximo de la empresa es 25 nuevos soles". Verifique si es verdad que "85% de los obreros tiene jornales entre 10 y 20 nuevos soles". Verifique si es verdad que "la varianza de la distribución de los jornales 2.25 nuevos soles2" Verifique si es verdad que "el jornal más frecuente de los obreros es 15 nuevos soles"
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Problema 6 En los diagramas de cajas siguientes se representan las edades de dos grupos de personas A y B: Boxplot of A, B 100 90 80 70 a t a D
60 50 40 30 20 10 A
B
EDADES GRUPO A EDADES GRUPO B
a) ¿De cuál de los dos grupos seleccionaría adolescentes (hasta 18 años) para formar un grupo de baile? Explique. b) Se sabe que ambos grupos están formados por 20 personas, ¿qué edad tienen los cinco más jóvenes en el grupo A? Explique. c) ¿Hay más personas dentro del rango intercuartílico del grupo B, que en el rango intercuartílico del grupo A? Explique. d) ¿Es posible que la media del grupo A sea 25 años? Explique.
Problema 7 Las calificaciones de dos grupos de empleados A y B, en un curso de capacitación, se muestran por medio de los siguientes diagramas de cajas:
a) ¿Sería posible que la calificación media del grupo A sea mayor que 73 puntos? Explique. b) Calcule los rangos intercuartílicos para ambos grupos e interprete sus resultados. c) Considerando a la mediana, ¿cuál de los dos grupos tiene una calificación mayor a la del otro? d) ¿Por qué el bigote superior es más largo que el bigote inferior en el grupo B?
Problema 8 Un corredor está entrenando para una carrera de 100 metros, desde hace 10 días corre diariamente varias veces y su entrenador tomó los tiempos que demoró en correr; los cuales, son representados mediante diagramas de caja (uno para cada día). 19
Basado en dichos diagramas haga un diagnóstico del estado en que se encuentra el corredor respecto a su entrenamiento.
Problema 9 Para estudiar las principales características descriptivas de los 850 clientes que está atendiendo el gimnasio SAMOA se elige una muestra aleatoria de 25 clientes y a cada cliente elegido se le solicita la siguiente información: Nacionalidad, sexo, edad (años), peso (kg), días que trabajó la semana anterior, número de veces que vino al gimnasio en el mes anterior y si está haciendo dieta. Los resultados obtenidos son los siguientes: Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nacionalidad Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Peruana Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Panameña Colombiana Colombiana Colombiana Colombiana Colombiana Ecuatoriana Ecuatoriana Ecuatoriana
Sexo Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Femenino Masculino Masculino Masculino Femenino Femenino Masculino Masculino Femenino
Edad 18 19 17 19 30 41 20 18 18 18 59 17 49 20 21 20 18 38 39 20 21 20 48 18 20
Peso 54.3 63.2 62.5 53.3 66.8 74.5 52.2 53.6 61.5 55.8 74.3 63.2 72.5 73.3 56.8 54.5 52.2 63.6 71.5 65.8 52.2 43.6 71.5 65.8 54.3
Días 6 5 6 6 7 6 6 6 4 6 6 5 4 6 7 6 6 6 4 6 5 6 4 7 6
Veces 5 25 10 20 15 15 15 5 25 10 20 15 15 15 15 15 15 15 15 20 20 10 10 25 5
Dieta No No No No No No Si Si Si Si No No No No No Si Si No No No Si Si No No No
a) Calcule las medidas de tendencia central para las variables: Edad y Peso. b) Calcule los cuartiles para las variables: Edad y Peso. c) ¿En cuál de los dos conjuntos de datos (Edad y Peso) existe menor variabilidad? 20
Ejercicios propuestos para la semana 6 Problema 1 Los artículos provenientes de una línea de producción se clasifican como defectuosos (D) o no defectuosos (N). Se observan los artículos uno a uno y se anota su condición. Este proceso se continúa hasta que se produzcan dos artículos defectuosos consecutivos o se hayan verificado cuatro artículos. a) Defina el árbol de probabilidades que corresponde a este experimento b) Determine el espacio muestral que corresponde a este experimento aleatorio.
Problema 2 Una caja contiene 8 focos de luz eléctrica, 3 de los cuales son defectuosos. De la caja se selecciona al azar un foco y se prueba, repitiéndose la operación hasta que aparezca un defectuoso. Construya el espacio muestral.
Problema 3 Sean A, B y C tres eventos asociados a un experimento aleatorio. Exprese las siguientes proposiciones verbales en notación de conjuntos. a) Al menos uno de los sucesos ocurre. b) Exactamente uno de los eventos ocurre. c) Exactamente dos de los sucesos ocurren. d) Ninguno de los sucesos ocurren.
Problema 4 En un puesto de revistas ubicado en una plaza pública se recibe todos los días 30 ejemplares de un diario. En un cierto día, no se sabe cuántos va a vender. Defina el espacio muestral y defina (indicando su composición) cada uno de los siguientes eventos: a) Se venden por lo menos 8 diarios. b) Se venden a lo más 8 diarios. c) Se venden exactamente 8 diarios.
Problema 5 Supongamos que se lanzan dos dados de modo que cada uno de los 36 posibles resultados tienen la misma probabilidad de ocurrencia, y se definen los eventos: A = Primer dado muestra la cara igual a 5 B = La suma de las caras mostradas por los dos dados es igual a 8 C = La suma de las caras mostradas por los dos dados es igual a 7 a) Construir el espacio muestral y dar la composición de cada uno de los eventos definidos. b) ¿Cuál de los dos eventos, B o C, tiene mayor probabilidad de ocurrencia?
Problema 6 El 30% de los habitantes de la ciudad de Trujillo sintoniza el noticiero de televisión de la mañana; el 40% ve el noticiero de la noche y el 10% sintoniza ambos
21
noticieros. Se escoge al azar una persona de esta ciudad; halle la probabilidad de que: a) Vea el noticiero de la mañana ó de la noche. b) No presencie ninguno de los dos. c) Presencie sólo el de la mañana o sólo el de la noche.
Problema 7 Dados los eventos A y B definidos en el mismo espacio de probabilidad, para los cuales se sabe: P (A) = 0.2, P (B c)= 0.4 y P ( A B ) 0.3 . Calcular las siguientes probabilidades: C
a) b) c) d)
P ( A
B )
P ( A
B )
P ( A
B )
P ( A
C
C
C
B )
Problema 8 Dos vendedores trabajan en una librería. La probabilidad de que el vendedor más viejo llegue tarde cierto día es 0.20, de que el vendedor más joven llegue tarde cierto día es 0.15 y que ambos lleguen tarde es 0.09, calcule la probabilidad de que: a) Cuando menos un vendedor llegue tarde al trabajo cierto día. b) Sólo un vendedor llegue tarde cierto día.
Problema 9 En una industria se considera tres tipos de defectos A, B y C. La probabilidad de que un producto tenga el defecto C es 0.19, que tenga el defecto B es 0.28, que tenga el defecto A y B es 0.14, que tenga los defectos B y C pero no A es igual a 0.05, que tenga los defectos A y C pero no B es igual a 0.01, que tenga el defecto A pero no C es igual a 0.12 y que tengan los defectos A, B y C es 0.06. Si se selecciona un producto al azar cual es la probabilidad de: a) Tenga el defecto A b) No tenga ningún defecto. c) Tenga el defecto A o C pero no el defecto B.
Problema 10 En una industria se considera tres tipos de errores A, B y C. La probabilidad de que un producto tenga el error A es 0.19, que tenga el error B es 0.28, que tenga el error C y B es 0.14, que tenga los errores B y A pero no C es igual a 0.05, que tenga los errores A y C pero no B es igual a 0.01, que tenga el errores C pero no A es igual a 0.12 y que tengan los errores A, B y C es 0.06. Si se selecciona un producto al azar cual es la probabilidad de: a) Presente el error C b) Presente al menos un error 22
c) Presente el error el error B o C
Problema 11 Para realizar el control de calidad se eligen en forma independiente 200 artículos producidos y se encuentra que 10 artículos tienen falla tipo A; 10 tienen falla tipo B; 12 tiene falla tipo C; 2 tienen fallas tipo A y B pero no C; 3 tienen fallas A y C pero no B; 5 tienen fallan B y C pero no A y un artículo tiene las 3 fallas. Cuál es la probabilidad que un artículo producido en un día cualquiera a) No tenga falla tipo A b) Tenga falla tipo A ó B c) Tenga falla tipo A pero no tipo C d) Sólo tenga dos tipos de fallas
Problema 12 Dado un espacio muestral probabilidades son:
Ω
se consideran los sucesos A y B, cuyas
P(A) = 2/3 y P(B) = 1/2. a) ¿Pueden ser los sucesos A y B mutuamente excluyentes? ¿Por qué?
b) En caso de que su respuesta en (a) sea negativa, si la P(A) sigue siendo 2/3 ¿Cuánto debe ser la P(B) como máximo para que A y B sean mutuamente excluyentes? c) Suponiendo que P ( AC B C )
1 6
, calcule P ( A B) .
d) Suponiendo que A B , calcule P ( A B) .
Problema 13 Suponga que A y B son eventos que tienen las siguientes probabilidades: P(A) = x, P(B) = y y P(A ∩B) = z. Exprese cada una de las siguientes probabilidades en términos de x, y, z. a) ( ∪ ) b) ( ∩ ) c) ( ∪ ) d) ( ∩ )
Problema 1
Ejercicios propuestos para la semana 7
En un determinado hotel, se sabe que la probabilidad de satisfacer las exigencias de un cliente es 0.901, la de que un cliente vuelva al hotel es 0.91 y la probabilidad de satisfacer al cliente si éste ha vuelto al hotel, es de 0.99. Se pide: a) La probabilidad de que habiendo satisfecho al cliente, éste vuelva al hotel. b) La probabilidad de que no habiendo satisfecho al cliente, éste vuelva al hotel.
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Problema 2 Se les preguntó a los suscriptores de un periódico local si leían regularmente, ocasionalmente o nunca la sección de economía, y también si habían realizado operaciones en bolsa durante el año anterior. Las proporciones obtenidas en la encuesta figuran en la siguiente tabla.
ADQUISICIONES EN BOLSA
LECTURA DE LA SECCI N ECONOM A REGULARMENTE
OCASIONALMENTE
NUNCA
SI
0.18
0.10
0.04
NO
0.16
0.31
0.21
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar no lea nunca la sección de economía? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor elegido al azar haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que lee la sección de economía haya realizado operaciones en bolsa durante el año pasado? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que ha realizado operaciones en bolsa durante el pasado año no lea nunca la sección de economía? e) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor que no lee regularmente la sección de economía haya realizado operaciones en bolsa durante el pasado año?
Problema 3 En la última producción de un dispositivo para computadoras se encontraron dos tipos de defectos. El 10% de los dispositivos presentaron el primer tipo de defecto y el 5% de los dispositivos presentaron el segundo tipo de defecto. Si un dispositivo de este tipo se escogió aleatoriamente, se pide: a) Calcule la probabilidad de que no presente ambos tipos de defectos. b) Calcule la probabilidad de que presente algún tipo de defecto. c) Calcule la probabilidad de que presente solo un tipo de defecto. (Asuma independencia entre los tipos de defectos)
Problema 4 Una empresa de venta por correo considera tres posibles errores al enviarse un pedido: A: el artículo enviado no es el solicitado B: el artículo se extravía C : el artículo sufre desperfectos en el transporte
Suponga que el suceso A independiente de los sucesos B y C y que los sucesos B y C son mutuamente excluyentes. Las probabilidades de los sucesos individuales son P(A)=0.02, P(B)=0.01y P(C )=0.04. Calcule la probabilidad de que al menos uno de estos errores ocurra en un pedido escogido al azar.
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Problema 5 Un sistema consiste de tres componentes que funcionan en forma independiente. La probabilidad de que falle la primera componente es 0.02, la probabilidad de que falle la segunda componente es 0.01 y la probabilidad que falle la tercera componente es 0.015. a) Si para que el sistema funcione basta que funcionen dos de las componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? b) Si para que el sistema funcione tienen que funcionar las tres componentes. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?
Problema 6 Para la señalización de un aeropuerto se han instalado dos indicadores que funcionan independientemente. Cuando hay una avería en el aeropuerto, el indicador A se acciona con probabilidad 0.95 y el indicador B con probabilidad 0.9. Calcule la probabilidad de que: a) Durante una avería se accione solo un indicador. b) Durante una avería se accione a lo más un indicador.
Problema 7 Un Empresario invierte en 3 proyectos diferentes, por información anterior este empresario sabe que las probabilidades de éxito en estos proyectos son de 0.6, 0.7 y 0.9 respectivamente y además que estos proyectos son independientes. a) Calcule la probabilidad de que este empresario tenga éxito en solo uno de estos proyectos. b) Calcule la probabilidad de que este empresario tenga éxito como máximo en dos de estas empresas.
Problema 8 Tres personas juegan tiro al blanco. Las probabilidades de dar en el blanco son 0.3, 0.4 y 0.6 respectivamente. Si cada una realiza un tiro en forma independiente, se pide: a) Calcule la probabilidad de que por lo menos uno de ellos de en el blanco. b) Calcule la probabilidad de que exactamente uno de ellos de en el blanco.
Problema 9 Tres jugadores de baloncesto, tienen las probabilidades de encestar: 0.2, 0.3 y 0.5 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos puedan encestar y el otro no?
Problema 10 Un cazador dispara siete balas a un tigre enfurecido; si la probabilidad de que una bala mate al tigre es 0.7, calcule la probabilidad de que el cazador quede vivo. Considere que el tigre muere si recibe una bala.
Problema 11 Se tira un par de dados hasta que aparezca un cuatro o un siete como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba, calcule la probabilidad de que se obtenga cuatro antes de siete.
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Ejercicios propuestos para la semana 8 Problema 1 El dueño de una panadería obtiene sacos de harina de tres empresas nacionales A 1, A2 y A3. El 20% de los sacos proviene de A1, el 30% de A2 y el resto de A3. Además, el 30% de los sacos que recibe de A1, el 80% que recibe de A 2 y el 70% que recibe de A 3 son de buena calidad. Si un saco de harina es escogido aleatoriamente, a) Calcule la probabilidad de que sea de buena calidad. b) Se sabe que el saco es de buena calidad, calcule la probabilidad de que provenga de la empresa A3.
Problema 2 Antes de lanzar un producto al mercado, los analistas de una compañía hacen un estudio de mercado, posteriormente emiten un informe favorable o desfavorable. En el pasado tres de cada cuatro nuevos productos lanzados al mercado recibieron un informe favorable; además, el porcentaje de los productos que resultaron lucrativos en el mercado dado que recibieron un informe favorable fue 90%; asimismo, el porcentaje de los productos que resultaron lucrativos en el mercado dado que no recibieron un informe favorable fue 12%. Si el gerente de la compañía selecciona uno de estos productos, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto resulte lucrativo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto haya recibido un informe desfavorable si este resultó lucrativo?
Problema 3 Una compañía de seguros vendió cuatro tipos de seguros. El 40% de los seguros vendidos fueron del tipo A, el 20% del tipo B, el 30% del tipo C y el resto del tipo D. Según los registros de la compañía, se sabe que: De los asegurados con el tipo A, el 20% tuvo al menos un siniestro; de los asegurados con el tipo B, el 10% tuvo al menos un siniestro; de los asegurados con el tipo C, el 25% tuvo al menos un siniestro; y el 5% de los asegurados con el tipo D, tuvieron al menos un siniestro. a) Si un asegurado en esta compañía tuvo al menos un siniestro, calcule la probabilidad de que haya comprado el seguro tipo A. b) Si un asegurado en esta compañía no ha sufrido siniestro alguno, calcule la probabilidad de que no haya adquirido seguros del tipo C o D.
Problema 4 En cierta gasolinera, el 40% de sus clientes utilizan gasolina regular sin plomo, el 35% utilizan gasolina extra sin plomo y el 25% utilizan gasolina premium sin plomo. De los clientes que consumen gasolina regular, el 30% llenan sus tanques, de los que compran gasolina extra, el 60% llenan sus tanques, en tanto de los que compran gasolina premium, el 50% llenan sus tanques. Si un cliente llega a la gasolinera, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que llene su tanque? b) Si el cliente llena su tanque, ¿cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular? c) Si el cliente llena su tanque, ¿cuál es la probabilidad de que no pida gasolina extra?
Problema 5 La compañía Peugeot se ha presentado a una licitación automotriz. La probabilidad de que Peugeot gane la licitación es 0.8 si no se presenta la firma Fiat; mientras que, solo 0.1 si se presenta. Si se sabe que la probabilidad de que Fiat se presente es 0.6, se pide: 26
a) ¿Cuál es la probabilidad que Peugeot no gane la licitación? b) Si Peugeot gana la licitación, ¿cuál es la probabilidad que se haya presentado Fiat?
Problema 6 Si el restaurante BAMBU tiene un detector de billetes falsos cuya efectividad es 95% y la probabilidad que un cliente le entregue un billete falso es 0.005.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo del restaurante establezca que un billete es falso? b) El restaurante recibe un billete y el equipo detector disponible afirma que es billete falso, calcule la probabilidad de que se trate realmente de un billete falso.
Problema 7 Una pieza de repuesto puede ser producida por una cualquiera de tres máquinas. La máquina A necesita 3 minutos para terminar una pieza y produce el 5% de desechos, la máquina B necesita 1 minuto y 12 segundos para terminar una pieza y produce el 8% de desechos, la máquina C termina una pieza en 2 minutos y produce 4% de desechos. Si se selecciona una pieza al azar, se pide: a) Calcule la probabilidad de que la pieza sea buena. b) Si la pieza sea buena, calcule la probabilidad de que haya sido producida por la máquina A o C.
Problema 1
Ejercicios propuestos para la semana 9
Se convoca a una prueba de selección, que tiene como objetivo cubrir una gerencia del banco “Bank”. Se presenta n 12 postulantes de los cuales 8 son peruanos y 4 extranjeros. Suponga que se seleccionan al azar 3 candidatos de entre todos ellos para concederles las entrevistas finales. a) Determine la tabla de distribución de probabilidades y el valor esperado de la variable aleatoria X: número de candidatos peruanos entre los 3 finalistas. b) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos 2 candidatos peruanos entre los finalistas? c) Calcule e Interprete el “Valor esperado” y “Desviación Estándar” de la variable definida en (a).
Problema 2 Se venden 500 boletos de una rifa que consiste de un premio de $200, 4 premios de $50 y 10 premios de $5. Si cada boleto cuesta $1, y si usted adquiere un boleto, se pide: a) Halle la distribución de probabilidad de la utilidad. b) Halle la función de distribución. c) ¿Qué probabilidad hay de ganar algún juego?
Problema 3 Un fabricante de motores sabe que en un lote de 10 motores hay 2 defectuosos. Cada motor le cuesta 7500 soles y lo puede vender en 10000 soles. Al ofrecer el lote a una tienda le dicen que lo someterán a una prueba que consistirá, en seleccionar, al azar, dos motores y probar su funcionamiento. Si no se obtienen motores defectuosos, le compran el lote, en caso contrario se lo rechazan. a) Halle la distribución de probabilidad de la ganancia que deja el lote al fabricante. b) Calcule la ganancia esperada. 27
Problema 4 Una persona interviene en un juego sacando tres cartas en sucesión y sin reemplazamiento de un mazo bien barajado por lo cual paga un sol. Si obtiene un número impar de ases recibe 10 soles; en caso contrario, deberá pagar 3 soles más. a) Obtenga la función de distribución de la ganancia neta y, a partir de ella, calcular la probabilidad de que supere los cinco soles. b) Calcule la esperanza matemática.
Problema 5 Suponga que usted se encuentra en el siguiente dilema de inversión: dispone de $10,000 para invertir en tres opciones. Si coloca el dinero en el mercado de valores obtendría una ganancia anual fija del 13%, si invierte en un negocio en el extranjero la ganancia anual fija se estima en 8.5%. La tercera opción que se le presenta es un plan de inversión cuya
ganancia anual puede ser considerada una “variable aleatoria”, cuyos valores dependen de las condiciones económicas del momento actual. Así, después de un análisis minucioso se ha determinado que la ganancia anual podría ser: 20% con probabilidad 0.3, 25% con probabilidad 0.25, 15% con probabilidad 0.18 y ganancia 10% con probabilidad 0.27. Determine, analizando la utilidad esperada cuál es el plan de inversión que más conviene.
Problema 6 Suponga que una ferretería compra 3 galones de pintura a un precio de 24 soles por galón y lo revende a 30 soles. Después de la fecha de vencimiento, los galones que no se vendieron, se devuelven; por lo que, la ferretería recibe del distribuidor una cantidad igual a 3/4 del precio de compra por cada galón que no se vendió. Si la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X (número de galones que se vendieron) está dada por: X P(X)
0
1
2
3
1/k
1/k
2/k
2/k
a) Halle la función de probabilidad de la ganancia neta. b) Determine su valor esperado y su varianza.
Problema 7 Sea la variable aleatoria X con la siguiente distribución:
a) b) c) d)
xi
p(xi)
0
a/9
1
2a/9
2 3
5a/9 a/9
Calcule a. Calcule: E(x) y V(X). Calcule: E(Y) y V(Y), donde Y= 3X+4. Calcule P(Y>1).
28
Problema 8 Sea la siguiente función de cuantía:
x P ( x ) 15 0
x 1, 2, 3, 4,5 en otro lugar
Se pide: a) P(x 2) b) P(3 x < 6) c) P(x 4 / x 1) d) Calcule E(x) y V(x).
Ejercicios propuestos para la semana 10 Problema 1 El diámetro de cable eléctrico (en cierta unidad de medida) producido por una compañía es una variable aleatoria X con la siguiente función de densidad de probabilidad:
6 x(1 x), 0 x 1 f ( x) o, en otro lugar a) Calcule la probabilidad de que en un cierto día el diámetro de cable se mantenga mayor que 1 / 2. b) Calcule la esperanza y la varianza. Problema 2 La cantidad de tiempo (en horas) que una computadora funciona antes de fallar es una variable aleatoria X continua cuya función de densidad es: x 200 f ( x) c * e , x 0 0, c.c.
a) Determine el valor de c para que f(x) sea una función de densidad. b) Calcule la probabilidad de que la computadora funcione después de 100 horas.
Problema 3 Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:
cx,0 x 4 f(x)= 0, c.c. a) Calcule el valor de c, para que f(x) sea una función de densidad. b) Calcule P(X>2) y P(1≤X≤3). c) Calcule E(X) y V(X).
Problema 4 La duración de un componente electrónico (en meses) es una variable aleatoria continua X con la siguiente función de densidad:
29
1 - X2 e f ( X ) 2 0
, X 0 , X 0
Un componente electrónico se vende en $100 y se garantiza una duración de al menos un mes, en caso contrario el componente es reemplazado por otro nuevo. Si el costo de producción de un componente es $40. ¿Cuál es la utilidad esperada de un componente?
Problema 5 El tiempo de vida útil (en miles de horas) de un componente de los nuevos procesadores para PC se considera una variable aleatoria X con función de distribución de probabilidad acumulada dada por:
0, x 0 kx F ( X ) , 0 x 200 200 1, x 200 a) Calcule la probabilidad de que dicho componente dure más de 100,000 horas. b) Si un componente dura menos de 50,000 horas se considera defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el tercer componente instalado en el procesador sea defectuoso? Suponga que se ha determinado que la utilidad neta (en dólares) por componente instalado es una función tal que: se considera una pérdida de $20 si 0100, calcule la utilidad promedio.
Problema 1
Ejercicios propuestos para la semana 11 Distribuciones: Binomial, Poisson e Hipergeométrica.
El Europa Bank, recientemente inicia un nuevo programa de crédito de modo que, los clientes que cumplen con ciertos requisitos pueden obtener una tarjeta de crédito. Se sabe que los registros anteriores indican que 48% de los que solicitan una tarjeta de crédito son rechazados. Se toma una muestra aleatoria y con reemplazo de seis solicitudes de tarjetas de crédito presentadas al Banco. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos solicitudes de tarjetas de crédito sean rechazadas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que como máximo una solicitud de tarjeta de crédito sea Aceptada?
Problema 2 Un set de tornillos se entrega con diez de estos con una proporción de tornillos defectuosos del 10%. Si se seleccionan siete tornillos de un total de siete equipos con las mismas características, uno de cada equipo, se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún tornillo sea defectuoso? b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más dos tornillos sean defectuosos?
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Problema 3 Se tiene un mazo de cartas que no incluyen a las cartas J, Q y K, sea el experimento extraer una carta y observar si es as o no. Si se tienen extraen 4 cartas con reposición, se pide: a) Calcule la probabilidad de que todas sean ases. b) Calcule la probabilidad de obtener a lo más dos ases. c) Calcule la probabilidad de no obtener ases.
Problema 4 Según una encuesta realizada en estados Unidos, el 40% de los encuestados estuvieron de acuerdo sin lugar a dudas con la propuesta de que los negocios tienen mucho que ver sobre la forma de vida de los estadounidenses. Suponga que este porcentaje es representativo de la población estadounidense y que se tomó una muestra de 20 personas para conocer el papel de los negocios en sus vidas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos tres de estas personas piensen que los negocios tienen mucho que ver en la forma de vida de los estadounidenses. b) Se genera una nueva variable aleatoria Y en función de la anteriormente definida en la parte (a) a la que se llamó X, de tal manera que: Y = 2.5X + 15. Determine la desviación estándar de la nueva variable Y.
Problema 5 Un Hotel realiza operaciones comerciales con tres proveedores A, B y C. De los cuales recibe billetes en la siguiente proporción: De A recibe el 60% de todos los billetes, de B, el 30% y el resto de C. Se ha determinado que la proporción de billetes falsos que provienen de A es 0.001, de B, 0.002 y de C, 0.001. a) Si se elige un billete al azar ¿Cuál es la probabilidad de que este billete sea falso? b) Se elige un billete al azar y este resulto falso, ¿Cuál es la probabilidad de que ese billete provenga del proveedor C? c) Si se toma una muestra con reemplazo de 12 billetes, ¿cuál es la probabilidad de encontrar más de 1 billete bueno (No Falso)?
Problema 6 El señor SOTO, vendedor de seguros, sabe que la probabilidad de vender una póliza de seguros es mayor mientras más entrevistas realice con clientes potenciales. Si la probabilidad que un cliente compre una póliza después de una visita es 0.25 y cada visita es independiente, determine el número de clientes que se debe visitar para que la probabilidad de vender al menos 1 póliza sea 0.90
Problema 7 En un estudio sobre la efectividad de un insecticida contra cierto insecto se roció un área grande de tierra. Posteriormente, se examinó el área en relación con los insectos vivos, seleccionando metros cuadrados. Experiencias anteriores han demostrado que el número promedio de insectos vivos por metro cuadrado, después de haber rociado, es de 0,6. Si el número de insectos vivos por metro cuadrado se distribuye según Poisson. i) ¿Cuál es la probabilidad de que un metro cuadrado elegido al azar contenga: a) Exactamente un insecto vivo. b) Ningún insecto vivo. c) Tres o más insectos vivos. ii) ¿Cuál es la probabilidad de que, en tres metros cuadrados haya más de 5 insectos vivos?
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Problema 8 En promedio, cada rollo de 500 metros de acero laminado tiene dos defectos. Un defecto es una raspadura o alguna otra irregularidad que afectaría el uso de ese segmento de la hoja de acero en el producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que en un segmento específico de 100 metros no se halle defecto alguno?
Problema 9 Una máquina fabrica hilo de seda de modo que durante la producción la aparición de defectos en el hilo sigue un proceso de Poisson a razón de uno cada 40 metros. El hilo se vende en carretes de 50 metros y un carrete sólo es vendible si tiene menos de 3 defectos, en otro caso se desecha. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un carrete no sea vendible? b) Si fabricamos 10 carretes en la misma máquina y suponiendo independencia entre carretes producidos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 8 sean vendibles?
Problema 10 En una ciudad se registran un promedio de 7.5 peatones atropellados por automovilistas al día, calcule la probabilidad de que en un día cualquiera ocurran: a) Siete casos de personas atropelladas. b) Entre seis y ocho casos. c) Más de ocho casos.
Problema 11 Una caja registradora falla en promedio 1 vez cada 2500 horas, calcule la probabilidad de que: a) Ocurra más de una falla en las próximas 500 horas. b) No ocurran fallas en las próximas 5000 horas.
Problema 12 Un supervisor de empleados de limpieza de un hotel de cinco estrellas está preocupado por la habilidad de un empleado ya mayor para mantener el ritmo de trabajo. Adicionalmente de los descansos diarios obligatorios, este empleado toma en promedio 3.5 descansos por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el empleado tome por lo menos un descanso adicional en media hora? b) El supervisor ha decidido que si la probabilidad de que el empleado tome por lo menos 3 descansos adicionales en una hora resulta ser mayor que 0.60, entonces lo cambiara a una tarea diferente. ¿El Supervisor deberá cambiar al empleado a una tarea diferente?
Problema 13 Los pasajeros de aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de
documentación del aeropuerto internacional “Jorge Chávez”. La frecuencia promedio de llegadas es de 10 pasajeros por minuto. Determine: a) ¿Cuál es la probabilidad de que en medio minuto no llegue pasajero alguno? b) ¿Cuál es la probabilidad de al menos tres llegadas en el periodo de 15 segundos?
Problema 14 Basándose en registros de accidentes ocurridos hasta la fecha, según la dirección de tránsito de la municipalidad de Lima, el número promedio de accidentes automovilísticos es de 4.3 accidentes por día. Calcule la probabilidad de que haya: 32
a) Al menos dos accidentes un sábado cualquiera. b) Al menos dos pero no más de cuatro accidentes en un fin de semana (considere fin de semana los días: sábado y domingo)
Problema 15 Una empresa está preocupada por las devoluciones de un artículo electrónico debido a fallos en su funcionamiento. Se sabe que semanalmente (semana de 5 días laborables) se devuelven en promedio 12 artículos. Para llevar a cabo un control sobre las devoluciones, el día lunes se observó durante medio día el número de artículos devueltos, calcule la probabilidad de que en dicho período se devuelvan por lo menos dos artículos.
Problema 16 Supongamos que la central telefónica del pabellón central de la universidad recibe en promedio en un día congestionado, 180 llamadas por hora y puede hacer un máximo de 6 conexiones por minuto. a) Calcule la probabilidad de recibir nueve llamadas en un periodo de un minuto. b) Calcule la probabilidad que la central quede saturada en un periodo de un minuto.
Problema 17 La fábrica de jabones MOSA produce lotes de 40 jabones con 3 jabones defectuosos. El ingeniero RUIZ, supervisor de calidad del hotel FLORES, establece que para comprar estos jabones elegirá al azar y sin restitución 5 jabones; si encuentra 1 jabón defectuoso rechazará todo el lote. Determine: a) Probabilidad que el señor RUIZ encuentre 1 jabón defectuoso en la muestra que elige b) ¿Cuántos jabones defectuosos esperaría encontrar en la muestra el señor RUIZ?
Problema 18 Entre los 180 empleados de una Compañía, 144 son sindicalizados y el resto no lo son. Se debe seleccionar al azar a 5 empleados para prestar sus servicios en un comité del fondo de pensión. Use la distribución hipergeométrica para obtener la probabilidad de que tres de los cinco empleados seleccionados para el comité sean sindicalizados.
Problema 19 Como parte de una campaña de evaluación de la contaminación del aire un inspector de la Municipalidad de Lima debe examinar a los 24 camiones de una compañía, se sabe que cuatro de los camiones de la compañía emiten cantidades excesivas de contaminantes. La evaluación exige tomar una muestra aleatoria y sin reemplazo de 6 camiones. a) ¿Cuál es la probabilidad que por lo menos 3 de los camiones que resulten seleccionados emitan cantidades excesivas de contaminantes? b) ¿Cuál es la probabilidad que a lo más 2 de los camiones que resulten seleccionados no emitan cantidades excesivas de contaminantes?
Problema 20 Una urna contiene 12 bolas de las cuales 8 son blancas y 4 son verdes. Se extraen 3 bolas al azar y sin reemplazamiento. Hallar: a) la probabilidad de obtener tres bolas verdes. b) la probabilidad de obtener menos de dos bolas verdes.
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Problema 21 Una agencia automotriz recibe un embarque de 10 automóviles nuevos. Entre éstos, dos tienen defectos pero la agencia no lo sabe. Se decide seleccionar, aleatoriamente, dos automóviles de entre los 10 (sin reemplazo) y aceptar el embarque si ninguno de los dos vehículos seleccionados tiene defectos. a) Halle la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X: Número de autos defectuosos en dos automóviles extraídos al azar. b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se acepte el embarque? c) ¿Cuál es el número esperado de autos defectuosos en este embarque? d) ¿Cuál es la varianza de la variable aleatoria X?
Ejercicios propuestos para las semanas 12 y 13 Distribuciones: Exponencial, Weibull, Normal, T-Student, Chi-Cuadrado y F-Fisher Problema 1 Se sabe que la vida, en años, de una componente electrónica tiene una distribución exponencial con parámetro igual a 1 . Si usted adquiere una de estas componentes, 10 calcule la probabilidad de que la componente funcione al término de 10 años.
Problema 2 El tiempo de vida de una partícula, en segundos, tiene una distribución exponencial con parámetro igual a 5. Calcule la probabilidad de que una de estas partículas tenga un tiempo de vida mayor a 10 segundos.
Problema 3 Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de banco siguen una distribución exponencial con promedio de 3.2 minutos. Un cliente llega a la ventanilla a las 5:00 p.m.: a) Calcule la probabilidad que todavía esté allí a las 5:02 p.m. b) Calcule la probabilidad que todavía esté allí a las 5:04, dado que todavía estaba allí a las 5:02.
Problema 4 El contenido químico en cierta bebida energizante puede ser considerado como una variable aleatoria de distribución exponencial con promedio 20 miligramos por lata. a) Calcule la probabilidad de que en una lata elegida al azar, el contenido sea de al menos 17.5 mg y a lo más 22.5 mg. b) Un exceso en el contenido de este componente se considera adictivo. Determine el máximo valor permitido si se sabe que el 0.4% de bebidas tienen un exceso de contenido químico.
Problema 5 El tiempo, en horas, requerido para reparar una máquina es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro igual a
1 . 3
a) Calcule la probabilidad de que el tiempo de reparación sea de por lo menos tres horas. b) Calcule la probabilidad de que la reparación dure más de 8 horas si se sabe que su reparación es mayor a 6 horas
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Problema 6 Suponga que el tiempo de vida de un aparato electrónico sigue una distribución Weibull con parámetros β = 1.75 y = 7500 horas. a) Calcule la probabilidad de que uno de estos aparatos dure como mínimo 7000 horas. b) Calcule la probabilidad de que uno de estos aparatos dure entre 6500 y 7500 horas.
Problema 7 Suponga que la duración de un ventilador, en horas, sigue una distribución Weibull con parámetros β = 1.5 y = 8000. a) Calcule la probabilidad de que uno de estos ventiladores dure más de 6250 horas. b) Calcule la probabilidad de que uno de estos ventiladores dure menos de 5750 horas.
Problema 8 El tiempo de falla (en horas) de un rodamiento en una caja de velocidades sigue una distribución Weibull con parámetros β = 0.75 y = 4500. a) Calcule la probabilidad de que un rodamiento de este tipo dure entre 4000 y 6000 horas. b) Calcule la probabilidad de que un rodamiento de este tipo dure como máximo 6500 horas.
Problema 9 El consumo bimestral de energía eléctrica en una ciudad se distribuye según una distribución normal con una media de 59 Kwh y una desviación estándar de 6 Kwh. a) ¿Cuántos Kwh. tendría que consumir bimestralmente un consumidor como mínimo para pertenecer al 5% de la población que más consume? b) Si usted consume 45 Kwh. ¿Qué porcentaje de la población consume menos que usted?
Problema 10 La vida útil de una computadora marca ABC sigue una distribución normal con promedio de 10000 horas y una desviación estándar de 1000 horas. Cuantificar la probabilidad que para una computadora que acabamos de comprar: a) Su vida útil sea mayor a las 12000 horas b) La vida útil esté entre 8000 y 11000 horas
Problema 11 En una población de 1000 estudiantes, las puntuaciones de una prueba de inteligencia (CI) se distribuyen normalmente con media 100 puntos y desviación estándar de 10 puntos. a) ¿Cuántos alumnos obtuvieron entre 75 y 125 puntos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un CI de 90 puntos o menos? c) Si se diera una beca a los 50 estudiantes con mayores CI, ¿Cuál es el puntaje mínimo que debería establecerse para otorgar la beca?
Problema 12 Se conoce que al aplicarse la prueba de aptitud ABC a universitarios se generan calificativos que siguen una distribución normal con promedio 11 y varianza 4. Para cubrir las vacantes de vendedores en una feria se presentan 200 universitarios y se les aplica dicha prueba, se pide: 35
a) Determine la nota máxima para desaprobar si sólo hay 80 plazas vacantes. b) Determine la nota máxima para desaprobar si hay 120 plazas vacantes
Problema 13 Una embotelladora de gaseosas envasa su producto en botellas cuyo contenido neto sigue una distribución normal con media 12 onzas y varianza 0.0625 onzas 2. Especificaciones de calidad establecen que el contenido debe estar en el intervalo [11.75; 12.25]. a) Se elige una botella al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté fuera de estos límites? b) La empresa planea retirar el 10% de las botellas con menores contenidos. ¿Cuál es el contenido máximo de una botella para que sea retirada?
Problema 14 La vida útil de una computadora AKER tiene una distribución normal con promedio 10000 y desviación estándar 1000 horas: a) Se elige al azar una computadora AKER. ¿Cuál es la probabilidad que tenga una vida útil mayor a 10440 horas? b) Determine al percentil 33 que corresponde a la vida útil de estas computadoras. c) Se compran 3 computadoras AKER ¿Cuál es la probabilidad que más de una computadora tenga una vida útil mayor a 10440 horas?
Problema 15 Suponga que la demanda mensual de un bien de consumo se distribuye normalmente con una media de 650 kg. y una desviación estándar de 100 kg. a) ¿Qué probabilidad hay de que la demanda no supere los 500 kg.? b) ¿Qué cantidad del bien debe haber mensualmente a fin de satisfacer la demanda en el 89.8 % de los meses? NOTA: Satisfacer la demanda en el 89.8% de los meses, significa que la probabilidad de que la demanda sea menor o igual a la cantidad que se tiene es 0.898.
Problema 16 Algunos estudios muestran que el rendimiento de la gasolina en los autos compactos vendidos en USA se distribuye normalmente con una media de 25.5 mpg y una desviación estándar de 4.5 mpg. (mpg: millas por galón). a) ¿Qué porcentaje de autos compactos tiene un rendimiento de 30 mpg o más? b) Si un fabricante desea diseñar un auto compacto más económico que el 95% de los autos compactos actuales ¿cuál debe ser el rendimiento del nuevo auto?
Problema 17 El capital diario que necesita un hotel para funcionar sigue una distribución normal con promedio S/ 20000 y desviación estándar S/1000. ¿Cuál será el monto mínimo que usted recomendaría entregar a la administración del hotel para que la probabilidad que el hotel se quede sin dinero suficiente durante en día cualquiera sea sólo 0.01? Rpta. 22330 Nota: Observe que cualquiera que sea la cantidad entregada a la Administración, ésta se quedará sin dinero si los gastos de ese día son mayores a dicha cantidad, y el problema limita la probabilidad de que eso ocurra a solo 0.01.
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Problema 18 Suponga que una compañía envasa bolsas de detergente mediante la máquina A. El contenido neto de las bolsas de detergente sigue una distribución normal con media de 250 gramos y una desviación estándar de 25 gramos. a) Si en las bolsas entran 265 gramos como máximo, ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa se derrame? b) El jefe del área de control de calidad está interesado en adquirir una nueva máquina. Si en una muestra de 6 bolsas de detergente envasadas por la máquina A, más de 1 bolsa tienen un contenido menor de 240 gramos, entonces se hará la compra. Halle la probabilidad de que se adquiera la nueva máquina.
Problema 19 En una empresa harinera, el peso de los sacos de harina tiene una distribución normal con media 25 libras y desviación estándar de 0.5 libras. Si se toma al azar un saco: a) ¿Cuál es la probabilidad de que pese entre 24 y 26 libras? b) Si el control de calidad establece que solo el 80 % central de los sacos es adecuado para la venta, ¿Cuál es el peso mínimo y máximo para que un saco de harina se pueda vender? c) En un lote de 5 sacos de harina, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 pesen más de 24.5 libras?
Problema 20 Una pequeña ciudad es abastecida de agua cada 2 días. El consumo en volumen de agua (cada dos días) tiene distribución normal. a) Determine la media y varianza de la distribución si se sabe que el 0.62% del consumo es al menos de 22 500 litros y que el 1.79% del consumo es a lo más 17 900 litros. b) Hallar la capacidad del tanque de agua de la pequeña ciudad para que sea solo el 0.01 la probabilidad de que en el período de dos días el agua no sea suficiente para satisfacer toda la demanda.
Problema 21 “Servicio Automotriz Croacia” desea ofrecer un contrato especial de servicio que cubra
el costo total de cualquier reparación necesaria en automóviles. El gerente estima que los costos por servicio tienen una distribución normal con promedio $150 y desviación estándar $25. a) Si la empresa ofrece el contrato de servicio a clientes con un costo de $200. ¿Cuál es la probabilidad de que el costo en alguno de los clientes supere el precio de contrato? b) La empresa clasifica los costos de servicio según el siguiente criterio: Si el costo por servicio es menor a 120$ se clasifica como “Bajo”, si el costo por servicio es superior a 200$ se clasifican como “Altos” ; En cualquier otro caso los costos se clasifican como “Medio”. ¿Cuál es la proporción de ocurrencia para cada uno de estos tipos de costos por servicio? c) Si cconsideramos que el 20% de los menores costos por servicio se clasificaran como “Bajo” , el 65% de costos por servicio se clasificará como “Medio” y el 15% de los mayores costos por servicio se clasificara como “Alto”. ¿Cuáles serán los valores límite del costo por servicio para encontrarse en cada uno de estos tipos de costo por servicio propuesto? d) Si los costos por servicio no exceden a $110, las utilidades serían de $25,000; si los costos por servicio superan los $190 las utilidades serían $15,000; en cualquier otro caso, las utilidades generadas serán $18,000. Determine la utilidad esperada del
Servicio Automotriz 37
Problema 22 Supongamos que el diámetro de un cierto cable eléctrico se comporta como una variable aleatoria con distribución normal con media 0.8 y desviación estándar 0.02. Se considera que el cable es defectuoso si su diámetro se aparta de la media en más de k unidades. Una persona compra, en un día cualquiera, un cable de esta producción. Calcular el valor de k si la probabilidad de que el cable no sea defectuoso es de 0.7888.
Problema 23 Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución T –Student con 12 grados de libertad, calcule la probabilidad de que X sea menor o igual a 2.076.
Problema 24 Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución T –Student con 18 grados de libertad, calcule la probabilidad de que X sea por lo menos -2.101.
Problema 25 Si X sigue una distribución T-Student con 13 grados de libertad, calcule: a) P(X ≤ 1.899) b) P(X > 1.079) c) P(X ≥ −1.3502)
Problema 26 Si X sigue una distribución T-Student con r grados de libertad, calcule k: a) Si X ~ t y P(X ≤ k) = 0.995 b) Si X ~ t 4 y P(X > k) = 0.96 c) Si X ~ t y P(X > k) = 0.75
Problema 27 Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución Chi-Cuadrado con 15 grados de libertad, calcule la probabilidad de que X sea menor o igual a 10.307
Problema 28 Si X es una variable aleatoria continua que sigue una distribución Chi-Cuadrado con 24 grados de libertad, calcule la probabilidad de que X tome valores entre 12.401 y 33.196.
Problema 29 Si la variable aleatoria X sigue una distribución Chi-Cuadrado con 6 grados de libertad, calcule la probabilidad y grafique el área bajo la curva de: a) Que sea mayor que 7.231. b) Que sea menor que 5.348. c) Que sea menor que 10.645 y mayor que 3.070.
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Problema 30 Si X sigue una distribución F –Fisher con 10 y 25 grados de libertad, calcule el valor de X que deja a su derecha un área igual a 0.025.
Problema 31 En cada uno de los siguientes casos, calcule el valor que corresponde en la tabla de la distribución F-Fisher. a) F(,;
.) =
b) F(,;
.) =
c) F(,;
.) =
d) F(4,4;
.) =
Problema 1
Ejercicios propuestos para la semana 14 Ejercicios sobre distribuciones muestrales
La duración de las bombillas producidas por un fabricante tiene una media de mil doscientas horas y una desviación estándar de cuatrocientas horas. Considerando que la población sigue una distribución normal. Si se compran nueve bombillas, que pueden ser consideradas como una muestra aleatoria de la producción del fabricante. a) ¿Cuál es la media de la variable media muestral de las 9 bombillas seleccionadas de la población? b) ¿Cuál es la varianza de la variable media muestral? c) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de las bombillas sea menor que mil cincuenta horas?
Problema 2 Para comprar un determinado lote, que contiene cierto tipo de artículo un Jefe de Producción tiene la siguiente regla de decisión: Escoge al azar 25 artículos y calcula el peso promedio en esa muestra y, si este peso está entre 240 gramos y 260 gramos, entonces decide comprar el lote, en caso contrario no lo compra. Si realmente el lote en mención contiene artículos cuyos pesos tienen distribución normal con promedio 250 gramos y una desviación estándar de 30 gramos ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado?
Problema 3 La vida útil media de una máquina para hacer pasta es de siete años, con una desviación estándar de un año. Suponiendo que la vida útil de estas máquinas sigue aproximadamente una distribución normal, encuentre: a) La probabilidad de que la vida útil media de una muestra aleatoria de 9 de éstas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años. b) El valor de la media muestral a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño nueve.
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Problema 4 Los tiempos que demoran los empleados de una fábrica en realizar una tarea de ensamblaje se distribuyen normalmente con media de 12 minutos y desviación estándar de 6. Se toma una muestra de 10 empleados. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo promedio que usan los empleados para terminar la tarea de ensamblaje sea mayor de 15, pero menor de 17 minutos? b) Si los 10 empleados tardan en promedio menos de 9 minutos en terminar la tarea de ensamblaje, entonces la fábrica recibe un premio. ¿Cuál es la probabilidad de que esto ocurra?
Problema 5 Una máquina fabrica un determinado producto cuya longitud, en centímetros, tiene un promedio de 6 cm. y una desviación estándar de 1.2 cm. a) Si se toma una m.a. de tamaño 25 ¿Cuál será la probabilidad de que se obtenga un promedio muestral de a lo más 6.25 cm? b) Se sabe que el costo de fabricación, por unidad, está dado por C = 4.5X + 6.5, donde C es el costo unitario y está dado en soles. Si se toma una muestra aleatoria de tamaño 36 ¿Cuál es la probabilidad de que el costo promedio, en esta muestra, supere los 23.5 soles?
Problema 6 Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida útil de éstos sigue una distribución normal con media de 100 meses y desviación estándar de 20 meses. Determine el tamaño mínimo muestral que garantiza, con una probabilidad de 0.98 que la vida útil media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.
Problema 7 Una máquina automática que llena latas de sopa, está regulada para llenar latas con una media de 15.9 onzas y una desviación estándar de 0.5 onzas. Si se asume que la cantidad de sopa que se llena en una lata tiene distribución normal, ¿cuál debe ser el valor de “n” para que el contenido promedio muestral de las latas no difiera de la media poblacional en más de 0.2 onzas con una probabilidad de 0.7?
Problema 8 Se sabe que la vida de bombillas eléctricas es una variable aleatoria distribuida normalmente con media desconocida y = 200 horas. El precio de un lote de bombillas es
1 5
dólares. Un posible comprador propone tomar una muestra aleatoria de n
bombillas y pagar al productor
1 5
X dólares
por el lote de bombillas. ¿Cuál debe ser el
valor de n, para que la probabilidad de que comprador no sobrepague ni subpague al productor con más de 20 dólares, sea 0.95?
Problema 9 Un comerciante va a comprar un lote de lapiceros de una determinada marca del cual, le garantizaron que el 95% escribe correctamente. El comerciante para evitar ser sorprendido, decide seleccionar aleatoriamente 150 lapiceros de esa marca para probarlos antes de hacer la compra, de modo que si encuentra que en la muestra más del 4% que no escriben correctamente, no realizará la compra. 40
a) ¿Cuál es la media de la proporción muestral de lapiceros que no escriben correctamente? b) ¿Cuál es el varianza de la proporción muestral de lapiceros que no escriben correctamente? c) ¿Cuál es la probabilidad de que comerciante efectúe la compra?
Problema 10 El dueño de una tienda de discos ha comprobado que el 20% de los clientes que entran a su tienda realizan alguna compra. Cierta mañana entraron a su tienda 180 clientes los cuales pueden ser considerados como una muestra aleatoria de todos sus clientes. a) ¿Cuál será la media de la variable proporción muestral de clientes que realizaron alguna compra? b) ¿Cuál es la varianza de la proporción muestral de clientes que realizaron alguna compra? c) ¡Cuál es el error estándar de la proporción muestral? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea de a lo más 0.15?
Problema 11 Un comerciante va a comprar un lote de Televisores de la marca “TV -TV” del cual le garantizaron que el 98% funcionan correctamente. El comerciante, para evitar ser sorprendido, decide seleccionar aleatoriamente 60 televisores de un lote de tamaño 1000. Para probarlos antes de hacer la compra, de modo que si encuentra que en la muestra más del 5% no funcionan correctamente no realizará la compra. ¿Cuál es la probabilidad de que el comerciante efectúe la compra?
Problema 12 En cierta localidad se sabe que el 35% de amas de casa consumen el producto A, el 50% consumen el producto B y un 10% de amas de casa consumen ambos productos. Si al tomar una muestra aleatoria de tamaño n = 60 se encuentra a lo más 42 personas que consumen al menos uno de los productos se decide lanzar al mercado un nuevo producto C, en caso contrario no se lanza dicho producto. Teniendo en cuenta este criterio de decisión ¿Cuál es la probabilidad de lanzar el nuevo producto?. NOTA: Recuerde que “al menos uno” es sinónimo de “A o B”, y que: a lo más 42 personas en una muestra de 60 equivale a una proporción muestral de a lo más 0.7
Problema 13 Una firma comercializa sus productos sólo por correo, en sus clientes potenciales, para decidir acerca de la comercialización de un nuevo artículo, la firma selecciona una muestra de 100 personas y les ofrece el artículo. Si 30 o más de estos clientes están dispuestos a adquirirlo, procederá a su comercialización, en caso contrario no lo hará ¿Cuál es la probabilidad de que comercialice el artículo si en realidad el 20% de todos los clientes lo comprarían?.
NOTA: “…si en realidad 20% de todos los clientes lo comprarían”, significa que la proporción poblacional de clientes que lo comprarían es 0.20.
Problema 14 El gerente de crédito de una financiera ha informado que de todos los créditos otorgados el 15% tienen al menos una cuota de pago vencida y que los montos ( en miles de dólares) de los créditos otorgados por dicha financiera tienen una distribución normal con una media de 5.56 y una desviación estándar de 2.
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