Matemáticas. Ensayo General 2. Plan Anual.
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SOLUCIONARIO. 1) El resultado de ((1 − 2−1 )−1 + 1)−1 es igual a: A) 3 B) 3/2 C) 2/3 D) 1/3 E) 2 Lo que aparece en el paréntesis interior se puede reescribir como: 1 −1 ((1 − ) + 1) 2
−1
1 −1 = (( ) + 1) 2
−1
= (2 + 1)−1 = 3−1 =
1 3
2) Sean p y q números racionales no nulos. Si R es el cuádruplo de p, y S es el triple de q, entonces 𝑝 𝑆 el resultado de + es: 𝑅 𝑞 A) 13/4 B) 7 C) 7/12 D) 4/13 E) 12/7 La situación queda como. 𝑝 3𝑞 1 13 + = +3= 4𝑝 𝑞 4 4 3) Se tiene la siguiente igualdad: 𝑃 =
1 1−
1, 𝑄
donde Q es un número real positivo distinto de 1. ¿Para
cuál de los siguientes valores de Q se alcanza el máximo valor de P? A) 1/3 B) 1/4 C) 1/5 D) 1/6 E) 1/7
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Antes de comenzar, notar que el valor 1/Q siempre será mayor que 1 (en base a las alternativas), por lo que P resulta ser siempre un número negativo. Si se desea el máximo valor de P, el valor absoluto del denominador debe ser lo más grande posible. De esta forma: 1 1 |1 − | = − 1 = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑄 𝑄 Para que ocurra esto, Q debe tomar el mayor valor posible (todas las alternativas muestran fracciones propias, por lo que se realiza sólo 1 análisis). Así, Q = 1/7. 4) Al dividir (3 −
5
3
) por el recíproco de (1 − ) resulta:
2−7
4
A) 16 B) 8 C) 1/2 D) 1 E) -16 El dividendo es igual a: 3−
5 5 =3− =3+1=4 2−7 −5
El divisor es igual a: 3 −1 1 −1 (1 − ) = ( ) = 4 4 4 Por ende, el resultado de la división es, evidentemente, igual a 1. 5) Si √117 ≈ 10,8166538 …, entonces no es(son) falsa(s): I) √117 redondeado a la centésima es igual que √117 truncado a la centésima. II) √117 aproximado por exceso a la centésima es mayor que √117 truncado a la centésima. III) √117 redondeado a la centésima es mayor que el valor absoluto de, −√117 redondeado a la centésima. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) Sólo II y III
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I) El número, redondeado a la centésima es 10,82, pues la tercera cifra decimal es mayor o igual que 5. El mismo número, truncado a la centésima, es igual a 10,81. Por ende, esta aseveración es falsa. II) El número, aproximado por exceso a la centésima, es igual a 10,82, que es claramente mayor que 10,81. Esta aseveración es verdadera. III) El número negativo, redondeado a la centésima, es igual a -10,82, pues la cifra de la milésima es mayor o igual a 5. Así, 10,82 > |-10,82| = 10,82, generando que la aseveración sea falsa. 3
42 6) De acuerdo a la operatoria combinada cuyo resultado es una potencia, ¿cuál de las (26 )2 siguientes opciones no corresponde al posible exponente, si la base de la potencia resultado debe ser racional?
A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3 En primer lugar, se resuelve la operación antes de pasar al análisis. 3 (22 )8 216 42 48 = = = 12 = 24 = 16 (26 )2 212 212 2 Si se exige que la base sea un número racional, significa que al aplicarle una raíz de índice igual al exponente, debe ser exacta. De esta forma, no existe número racional que elevado a 3 resulte 16. 7) Tres jugadores de vóleibol se encuentran en 1 sector de la cancha realizando ensayos de saque. El sacador 1 ejecuta su servicio cada 6 segundos, el sacador 2, cada 8 segundos, y el sacador 3, cada 4 segundos. Si un cuarto jugador se suma al ensayo y su primer saque ocurre en simultáneo con sus tres compañeros, ¿Cuánto tiempo pasará para que vuelvan a sacar los 4 jugadores al mismo tiempo? A) 24 segundos B) 12 segundos C) 48 segundos D) 96 segundos E) Falta información Basta con una lectura completa y detenida, para detectar que se desconoce la frecuencia de saque del cuarto jugador. Por lo tanto, es imposible saber cuándo volverán a efectuar un saque los 4 jugadores en forma simultánea.
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8) Si 504 = a2bc3, con a, b, c números primos, entonces a – b – c es igual a: A) -2 B) -6 C) 2 D) -8 E) -10 Realizando una descomposición en factores, de forma de obtener los exponentes del enunciado: 504 = 252 ∗ 2 = 126 ∗ 22 = 63 ∗ 23 = 32 ∗ 7 ∗ 23 Así, a = 3, b = 7 y c = 2. Por lo tanto, 3 – 7 – 2 = -4 – 2 = -6. 9) El resultado de log 32 16 es: A) 1/2 B) 4/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/4 Una manera práctica de resolver este problema es llevarlo a una ecuación exponencial: 32𝑥 = 16 (25 )𝑥 = 24 25𝑥 = 24 5𝑥 = 4 4 𝑥= 5 10) Se disponen de 5 dígitos (2; 4; 5; 6 y 7), de tal forma que se construyen números de 2 dígitos, ambos distintos entre sí. ¿Cuál es el máximo número primo que se puede formar? A) 76 B) 75 C) 67 D) 57 E) 47 Todos los números primos son impares, excepto el 2. De esta forma, la estrategia inicial es que el máximo número termine en 5 o 7. Sin embargo, no puede finalizar en 5, pues todo número de 2 o más cifras que termina en 5 es divisible por 5. Así, los números más grandes que se pueden crear, y que terminen en 7 son: 67, 57 y 47, de los cuales sólo el 57 no es primo. El mayor es 67. Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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11) Sea z = a + bi, un número complejo, con a y b números naturales desconocidos. Es posible obtener el valor numérico de Re(z) si: (1) 𝐼𝑚(𝑧̅) = −3 (2) |z| = 5 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Se requiere una especial atención en que a y b son números naturales. Analizando (1), se tiene que el conjugado de z es igual a: a – bi. Si la parte imaginaria es -3, entonces: −𝑏 = −3 → 𝑏 = 3 Sin embargo, nada se sabe de la parte real u otra relación implícita para tener la información suficiente. Analizando (2), z puede tomar 4 posibles números: 3 + 4i; 4 + 3i; 5; 5i. Por lo tanto, no es posible determinar la parte real de z. Analizando ambas juntas, se llega a que sólo 1 número complejo cumple con tener módulo 5 y parte imaginaria igual a 3, que es 4 + 3i. Así, la parte real es igual a 4. 12) Sean “m” y “n” números enteros. Es(son) falsa(s): I) 𝑚2 𝑛3 + 𝑚𝑛 es siempre par cuando m es par. II) 𝑚2 𝑛3 + 𝑚𝑛 es siempre par. III) 𝑚2 𝑛3 + 𝑚𝑛 es impar, si n es impar. A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna Analizando la expresión de manera descompuesta: 𝑚2 𝑛3 + 𝑚𝑛 = 𝑚𝑛(𝑚𝑛2 + 1) Se sabe que si “mn” es impar, entonces tanto m como n son impares. En cambio, si “mn” es par, al menos uno de los factores es par. Si mn2 es impar, la expresión del paréntesis será par, y por ende, la expresión completa será par. Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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Si mn2 es par, la expresión del paréntesis será impar, e involucra que m o n es par. Así, “mn” es siempre par, por lo que la expresión completa es par. De otra forma, independiente de la naturaleza de m y n, la expresión completa siempre es par. Así, sólo III es falsa. 13) Si √5 − √3 es aproximadamente 1/2, entonces el valor que se aproxima mejor a √15 es: A) 31/8 B) 7/2 C) 15/4 D) 4 E) 61/16 Una buena estrategia consiste en elevar a dos el binomio: √5 − √3 ≈
1 2
1 4 1 5 − 2√15 + 3 ≈ 4 2
(√5 − √3) ≈
Se despeja la raíz de 15:
√15 ≈ 14) El resultado de 3
log3 5
1 8−4 2
≈
31 8
es:
A) 3 B) 5 C) 3/5 D) 5/3 E) log(3) Por simple inspección, este problema tiene la particularidad de que: “3 elevado a x es igual a 5”. Entonces, el exponente toma valor x, por lo que el resultado de la potencia es 5. De otra forma, al resultado de la potencia puede asignarle una variable, y aplicar logaritmo en base 3 (conveniente): 3log3 5 = 𝑥 log 3 5 ∗ log 3 3 = log 3 𝑥 log 3 5 = log 3 𝑥 Los argumentos deben ser iguales, por lo que el resultado de la potencia es 5. Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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15) El resultado de √(1 − √2) + √(3 − √2) es: A) 2 B) -4 C) -2 D) 4 − 2√2 E) Ninguna de las anteriores Se recuerda que, para raíces de índice par: √𝑥 2 = |𝑥| Entonces: 2
2
√(1 − √2) + √(3 − √2) = |1 − √2| + |3 − √2| Raíz de 2 tiene un valor entre 1 y 2, por lo que: |1 − √2| + |3 − √2| = −(1 − √2) + 3 − √2 = √2 − 1 + 3 − √2 = 2 16) ¿Cuántos números enteros están a una distancia mayor que 5 de -1, y a una distancia menor o igual que 3 de 6? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Para llegar a la solución se muestra la recta numérica: “Distancia mayor que 5 de -1”: Son todos los números mayores que 4 y menores que -6. “Distancia menor o igual que 3 de 6”: Son todos los números comprendidos desde 3 hasta 9.
De esta forma, sólo 5 números enteros cumplen las condiciones: el 5, 6, 7, 8 y 9. 17) Se desea preparar una solución de 1 litro de hipoclorito de sodio al 8% (por cada 100 ml totales, se tienen 8 ml de hipoclorito y 92 ml de agua). Sin embargo, por errores experimentales, la solución de 1 litro quedó al 10%. Para corregir, se dispone sólo de agua. ¿Cuánta agua, en ml, se debe añadir a la mezcla para que el porcentaje de hipoclorito disminuya hasta el 8% (no es de interés que el volumen final no sea 1 litro)? Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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A) 150 ml B) 200 ml C) 250 ml D) 400 ml E) 600 ml La solución inicial está gobernada bajo la razón: 100𝑚𝑙 𝑁𝑎𝐶𝑙𝑂 10 = 100𝑚𝑙 𝑁𝑎𝐶𝑙𝑂 + 900𝑚𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 100 Por lo tanto, si x es el volumen extra de agua a incorporar para que la razón sea 8/100: 100[𝑚𝑙]𝑁𝑎𝐶𝑙𝑂 8 = 100[𝑚𝑙]𝑁𝑎𝐶𝑙𝑂 + 900[𝑚𝑙]𝑎𝑔𝑢𝑎 + 𝑥[𝑚𝑙]𝑎𝑔𝑢𝑎 100 De donde x = 250 [ml]. 18) Sea la operatoria 𝑎∇𝑏 = −𝑎𝑏 , el valor de −2∇ − 2 es: A) 1/4 B) -4 C) 4 D) -1/4 E) 1/2 Reemplazando: −1 ∗ (−2)−2 = −1 ∗
1 1 =− 2 (−2) 4
19) Si z es un número complejo de la forma z = a + bi, se puede negar que: A) El conjugado del conjugado de z es igual a z. B) El módulo del conjugado de z es igual al módulo de z. C) Tanto z como su conjugado tienen idénticas partes reales. D) El recíproco de z es idéntico al recíproco del conjugado de z. E) Ninguna de las anteriores. a) Verdadero, se cambia de signo dos veces a la parte imaginaria, por lo que el resultado final sigue siendo z. b) Verdadero, sólo ocurre un cambio en el signo de la parte imaginaria, pero los módulos de Re(z) e Im(z) son idénticos, por lo que los módulos de los números complejos son iguales. c) Verdadero, sus partes reales no se modifican al conjugar z. d) Falso. Sólo son idénticos si b = 0. Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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20) El número de Biot relaciona las resistencias conductivas y convectivas en la transferencia de calor en un sólido mediante la fórmula: ℎ𝐿 𝐵𝑖 = 𝑘 Donde h es el coeficiente de convección relacionado con el exterior del sólido, L es el largo equivalente del sólido y k es la conductividad térmica del material. Si k se duplica y h se octuplica, entonces el nuevo número de Biot, comparado con el original: A) Es 3 veces mayor. B) Es mayor por 3 unidades. C) Es 4 veces menor. D) Es menor por 3 unidades. E) Es 4 veces mayor. Básicamente se replantea la fórmula con los cambios informados: 𝐵𝑖´ =
8ℎ ∗ 𝐿 ℎ𝐿 = 4∗ = 4 ∗ 𝐵𝑖 2𝑘 𝑘
Es 4 veces mayor. 21) Un recipiente A contiene 100 litros de ácido acético glacial (puro) y 200 litros de agua. Otro recipiente B contiene 120 litros del mismo ácido y 80 litros de agua. En ambos recipientes, los líquidos están mezclados de forma perfecta. Si un laboratorista necesita 80 litros de ácido y 80 litros de agua, ¿Cuánto volumen de cada recipiente debe extraer para cumplir su objetivo? A) A = 100 litros y B = 60 litros B) A = 90 litros y B = 70 litros C) A = 80 litros y B = 80 litros D) A = 70 litros y B = 90 litros E) A = 60 litros y B = 100 litros En este problema, al extraer volúmenes de los recipientes se asume mezcla perfecta, por lo que cada componente tiene una razón establecida respecto al total del recipiente. Así: Recipiente 1. Ácido: 1/3. Agua: 2/3. Recipiente 2. Ácido: 3/5. Agua: 2/5. El objetivo es establecer dos variables y plantear dos ecuaciones. Una de ellas es un balance global (necesita 160 litros), y el otro es un balance por componente. Sea V 1 y V2 los volúmenes extraídos de los recipientes 1 y 2: 𝐺𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙: 𝑉1 + 𝑉2 = 160 Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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1 3 𝑃𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒: ∗ 𝑉1 + ∗ 𝑉2 = 80 3 5 Se ha planteado respecto al ácido, donde cada monomio representa la cantidad de ácido que se extrae indirectamente de cada recipiente. Resolviendo el sistema se llega a que: V1 = 60 litros y V2 = 100 litros. 22) Si log(2) = a, entonces log(20) es igual a: A) a B) 2a C) a + 1 D) a + 2 E) Ninguna de las anteriores El objetivo es lograr que aparezca un log(2) al re-expresar log(20): log(20) = log(2 ∗ 10) = log(2) + log(10) = 𝑎 + 1 23) La ecuación de la recta perpendicular a L1: 2x + y + 4 = 0, y que pasa por el punto (1,0) es: 𝑥
A) 𝑦 = − 2 + 1 B) 𝑦 = 2𝑥 − 2 𝒙
𝟏
𝑥
1
C) 𝒚 = 𝟐 − 𝟐 D) 𝑦 = 2 + 2 E) Ninguna de las anteriores La pendiente de la recta L1 es -2, obtenido despejando y. (y = -2x – 4). Para que otra recta sea perpendicular a L1, su pendiente debe ser 1/2 (el producto de las pendientes es -1). De esta manera, la recta tiene la forma: 𝑥 𝑦 = +𝑛 2 Esta recta pasa por (1,0), con lo que es posible obtener el valor del coeficiente de posición: 0=
1 1 +𝑛 →𝑛 =− 2 2
24) Se tienen dos escaleras de 5 metros, cuyos extremos son apoyados en una misma pared, y en el suelo. Si una de las escaleras está apoyada al suelo a 4 metros de la pared, y la otra, a 3 metros de la pared, entonces la distancia entre el suelo y el punto de intersección de las escaleras es, truncado a la centésima: A) 1,70 metros Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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B) 1,71 metros C) 1,72 metros D) 1,73 metros E) 1,74 metros Este problema es posible resolverlo de dos formas: Mediante semejanza de triángulos o vía ecuación de la recta. Se asumirá que tanto el piso como la pared son los ejes OX y OY, respectivamente. Las escaleras tienen las siguientes ecuaciones: 4 𝑦1 = − 𝑥 + 4 3 3 𝑦2 = − 𝑥 + 3 4 Se desea obtener el valor de y al intersectar estas rectas: 4 3 − 𝑥+4 =− 𝑥+3 3 4 −16𝑥 + 48 = −9𝑥 + 36 7𝑥 = 12 12 𝑥= 7 Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones, se obtiene que y = 12/7 = 1,7142… Este valor, truncado a la centésima, es igual a 1,71. 25) La suma de las edades de A y B no superan los 90 años. Dentro de 3 años, la edad de B será el doble de la edad de A. ¿Cuál será la edad máxima de A en el presente? A) 28 años B) 32 años C) 31 años D) 30 años E) 29 años “La suma de las edades de A y B no supera los 90 años”, significa que A + B es menor o igual a 90. 𝐴 + 𝐵 ≤ 90 “Dentro de 3 años, la edad de B será el doble de la edad de A”: Planteado como: 𝐵 + 3 = 2(𝐴 + 3) De donde B = 2A + 3. Reemplazando en la inecuación: 𝐴 + 2𝐴 + 3 ≤ 90 3𝐴 ≤ 87 𝐴 ≤ 29 Por lo tanto, la edad máxima posible de A es 29 años. Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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26) ¿Cuál de los siguientes intervalos representa la situación: “Todos los números reales ubicados a una distancia mayor que 4 de 7, y a una distancia menor que 6 de cero”? A) ]0,3[∪]11, +∞[ B) ]3,6[ C) ] − 6,6[ D) ] − 𝟔, 𝟑[ E) [−6,3[ “Todos los números ubicados a una distancia mayor que 4 de 7”: Se representa como: ] − ∞, 3[∪]11, +∞[ “Todos los números ubicados a una distancia menor que 6 de cero”: Se representa como: ] − 6,6[ Al intersectar ambos intervalos se obtiene: ] − 6,3[ 27) El mejor planteo algebraico para la expresión: “El triple de, un número aumentado en 2 unidades, no es menor que el cuádruplo del mismo número” es: A) 3𝑥 + 2 > 4𝑥 B) 3𝑥 + 2 ≥ 4𝑥 C) 3(𝑥 + 2) > 4𝑥 D) 𝟑(𝒙 + 𝟐) ≥ 𝟒𝒙 E) Ninguna de las anteriores El triple de, un número aumentado en 2 unidades no es menor (es decir, es mayor o igual) que el cuádruplo del mismo número: 3(𝑥 + 2) ≥ 4𝑥 28) Si f(x + 2) = x2 + 4x + 2, entonces f(x) es igual a: A) x2 – 2 B) x2 – 4 C) x2 + 2 D) x2 + 4 E) x2 + 3x + 2 Una buena estrategia es expresar la función dada respecto a (x + 2): 𝑓(𝑥 + 2) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 2 = (𝑥 + 2)2 − 2 Entonces f(x) es igual a x2 – 2 (se sustituye el x + 2 por x). Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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29) Sea la función: 2𝑥 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑓(𝑥) = { 3 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2 5𝑥 2 − 17 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2 Entonces el valor de f(-1) + f(1) – f(2) es igual a: A) 1 B) -1 C) 3 D) 4 E) 0 𝑓(−1) = 2(−1) + 3 = 1 𝑓(1) = 3 𝑓(2) = 5 ∗ 22 − 17 = 3 Por lo tanto, 1 + 3 – 3 = 1. 30) Sea 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 8𝑥 + 5. ¿Para qué valor de x se alcanza el máximo valor de f(x)? A) 4 B) -4 C) 2 D) -2 E) 13 Se necesita determinar la ecuación del eje de simetría, que pasa por el vértice de la parábola: 𝑥=−
𝑏 8 =− =2 2𝑎 2 ∗ −2
31) El valor de k para que la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑘 sea tangente al eje x es: A) -1/4 B) -1/3 C) 1/3 D) 1/4 E) -12 Que la gráfica sea tangente al eje x significa que, como ecuación cuadrática, tiene sólo 1 solución real. En otras palabras, el discriminante es igual a cero. ∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 22 − 4 ∗ −3 ∗ 𝑘 = 0 4 + 12𝑘 = 0 → 𝑘 = −1/3 Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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32) Un microorganismo es capaz de triplicarse cada 2 horas. Si se tiene una muestra inicial de 5 microorganismos, ¿Cuántos se tendrán dentro de 50 horas? A) 5 ∗ 250 B) 350 C) 5 ∗ 349 D) 5 ∗ 350 E) Ninguna de las anteriores Si N representa la cantidad inicial de microorganismos, cada 2 horas se tendrán 3N, 9N, 27N, 81N… Entonces, es posible modelar una función: 𝑁(𝑇) = 𝑁0 ∗ 3𝑇 Donde T es el número de triplicaciones que han ocurrido. Dentro de 50 horas han ocurrido 25 triplicaciones: 𝑁(25) = 𝑁0 ∗ 325 La cantidad inicial es 5, por lo que: 𝑁(25) = 5 ∗ 325 33) Sea la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 5 + 𝑏𝑥 4 + 2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 + 1. Si los puntos (1,0) y (2,1) pertenecen a la curva de la función, entonces el producto entre a y b es: A) -5 B) -11 C) 55 D) -55 E) -6 El objetivo es el planteo de un sistema de ecuaciones: Punto (1,0): 𝑎 + 𝑏 + 2 − 3 + 6 + 1 = 0 → 𝑎 + 𝑏 = −6 Punto (2,1): 32𝑎 + 16𝑏 + 16 − 12 + 12 + 1 = 1 → 32𝑎 + 16𝑏 = −16 2𝑎 + 𝑏 = −1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a que a = 5 y b = -11. Finalmente, el producto es igual a -55. 34) Sea 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = |𝑥| y ℎ(𝑥) = 2𝑥, entonces (𝑓 𝑜 𝑔 𝑜 ℎ)(1) − (𝑓 𝑜 ℎ 𝑜 𝑔)(1) es igual a: A) 0 B) -8 C) 8 Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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D) -16 E) 16 (𝑔𝑜ℎ)(𝑥) = |2𝑥| (ℎ𝑜𝑔)(𝑥) = 2|𝑥| Estas expresiones son idénticas, por lo que (f o g o h)(x) = (f o h o g)(x). Así, el resultado es igual a cero. 35) La mejor representación para la función 𝑓(𝑥) = −√−3 − 𝑥 es: A)
B)
C)
D)
E) Ninguna de las anteriores Para determinar la gráfica se puede optar por dos vías: mediante análisis de dominio, o por traslación de funciones. El dominio de la función solicitada es: −3 − 𝑥 ≥ 0 −𝑥 ≥ 3 𝑥 ≤ −3 Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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Además, cualquier x admisible que se evalúe en la función arrojará una imagen negativa o cero, lo que se aprecia en la opción A. 36) Sea 𝑓: 𝐼𝑅 + → 𝐼𝑅 + definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , y 𝑔: 𝐼𝑅0− → 𝐼𝑅0− definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 3 . Es(son) verdadera(s): I) f es sobreyectiva en su dominio establecido. II) Si f se definiera como 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅, entonces f es sobreyectiva. III) Si h es una función por tramos que engloba a f y g, entonces h es continua en todo su dominio. IV) (f o g)(1) = 1 A) Sólo I y II B) Sólo I y IV C) Sólo I, II y IV D) Sólo I y III E) I, II, III y IV I) Verdadero, pues para todos los elementos del codominio (IR+) existe preimagen del dominio (IR+). II) Falso, pues los valores negativos del codominio no tienen preimagen del dominio. III) Verdadero, pues el x de conflicto es el cero, y ambas funciones, f y g, se conectan en el origen. IV) Si se evalúa ciegamente, es cierto, pero g(1) no se puede evaluar, pues el 1, que la función g lo admite, no es admisible debido al dominio establecido. 37) La función 𝑓(𝑥) = log(𝑙𝑜𝑔(√𝑥 + 9)) tiene como dominio a todos los x pertenecientes al conjunto de los reales: A) Mayores que -8 B) Mayores que -9 C) Mayores que 10 D) Mayores que 9 E) Mayores que 0 Se comienza con la raíz, pues es la primera notable operación que gobierna la función: 𝑥+9≥0 𝑥 ≥ −9 Ahora, el logaritmo de la raíz sólo acepta que el resultado de la raíz sea positivo, por lo que x debe ser obligatoriamente mayor que -9. Por último, el logaritmo más exterior no puede aceptar un argumento igual a cero, lo cual se logra con el resultado de la raíz igual a 1, lo cual ocurre cuando x = -8. Así, el dominio de la función son todos los x reales mayores que -8.
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SECCIÓN 2. GEOMETRÍA. 38) En la figura, AB // CD, I y J son puntos de intersección entre los segmentos AB y EF; y GH y CD, respectivamente. Si el ángulo EIB mide 56° y el ángulo HJC mide 44°, entonces el valor del ángulo JGF se puede determinar si: (1) El ángulo EFG mide 60°. (2) El ángulo EFG mide 12° más que el ángulo JGF. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
Con (1) es suficiente, pues los segmentos EF, FG y GH tendrán orientaciones únicas, logrando que el ángulo solicitado tenga medida única. Con (2) no es posible, pues no se puede determinar la posición real de G respecto a F. Si se trazan paralelas por F y G, se concluye que es imposible determinar el valor del ángulo solicitado. 39) Sea ABC un triángulo acutángulo. Se añaden los segmentos CD y AE, que se intersectan en F. Si AD : DB = 1 : 5, y CE = EB, entonces la razón entre el área achurada y el área del triángulo ABC es: A) 1/2 B) 2/3 C) 22/42 D) 20/42 E) 20/22
Para este problema conviene realizar un trazo auxiliar que conecte B y F. Así, El área del triángulo ACD es 5 veces menor que la del triángulo DCB. Por otro lado, los triángulos ACE y AEB son equivalentes. Si el área del triángulo FEB es A, y el del triángulo FDB es B, se tiene:
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Los triángulos AFD y DFB tienen la misma altura, pero distintas longitudes basales gobernadas por la razón 1 : 5. Los triángulos CFE y FEB son equivalentes (comparten altura relativa a bases iguales). Luego, el área del triángulo AFC es 6B/5, pues los triángulos CAE y AEB son equivalentes. Finalmente: 6𝐵 𝐵 5 ∗ ( + ) = 2𝐴 + 𝐵 5 5 7𝐵 = 2𝐴 + 𝐵 → 𝐴 = 3𝐵 Finalmente, la razón pedida es: 𝐴+𝐵 4𝐵 4 20 = = = 7𝐵 7𝐵 42 42 𝐴+𝐵+𝐴+ 7𝐵 + 5 5 5 40) ¿Cuántas diagonales diferentes se pueden trazar en total desde 2 vértices consecutivos en un heptágono regular? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 De 1 vértice se pueden trazar 4 diagonales diferentes. Del vértice contiguo también se pueden trazar 4 diagonales. En total se tienen 8 diagonales. 41) Desde un punto P, exterior a una circunferencia de centro O, se trazan dos tangentes a ella, de modo que los dos arcos generados tienen sus medidas en la razón 1 : 5. ¿Cuál es la medida del ángulo que forman las tangentes, cuyo vértice es P? A) 140° B) 120° C) 60° D) 150° E) 90° Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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Si los arcos están en razón 1 : 5, y suman 360°, entonces los ángulos miden 60° (el más cercano al ángulo exterior P) y 300° (el más lejano al ángulo exterior P). Así, el ángulo exterior P tiene una medida igual a la semirresta de los arcos: Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑃 =
300° − 60° = 120° 2
42) Se tiene una granja rectangular de animales que habitan las zonas achuradas de la figura (sectores circulares de radios 1, 2 y 3 metros). La granja tiene 5 metros de largo y 3 metros de ancho. Si el metro de malla cuesta $600, y considerando que 𝜋 ≈ 3, ¿Cuánto dinero se invertirá en cercar la granja, de modo que todos los animales queden encerrados? A) $6.300 B) $13.000 C) $6.750 D) $135.000 E) $13.500
2 =3 4 3 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐶𝐸 = 2𝜋 ∗ = 4,5 4 1 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐻𝐼 = 2𝜋 ∗ = 3 2 Perímetro total = 3 + 4,5 + 3 + 12 = 22,5 metros. Costo = 22,5 * 600 = 13500. 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑎𝑟𝑐𝑜 𝐸𝐹 = 2𝜋 ∗
43) Una cinta de 650 metros es cortada en 4 trozos bajo la razón 1 : 3 : 4 : 5. ¿Cuál es la diferencia entre la longitud del trozo más largo y el trozo más corto? A) 4 metros B) 150 metros C) 100 metros D) 250 metros E) 200 metros 𝑘 + 3𝑘 + 4𝑘 + 5𝑘 = 650 𝑘 = 50 Trozo más largo = 250 metros (5k) Trozo más corto = 50 metros (k). Diferencia = 200 metros.
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44) José eleva un volantín, para lo cual dispone de un carrete de 100 metros de hilo. Decide dejar el carrete en el suelo, de modo que la totalidad del hilo está en el aire, formando un segmento con ángulo de inclinación agudo respecto al suelo. José, que mide 1,50 metros, decide posicionarse de pie, de tal forma que su cabeza roza el hilo. Si José se encuentra a 2 metros del carrete, ¿A qué altura, respecto al suelo, se encuentra el volantín? A) 50 metros B) 60 metros C) 80 metros D) 40 metros E) 70 metros Situación:
Por Pitágoras se obtiene la hipotenusa 2,5, y por completación de los 100 metros de hilo, los 97,5 metros. Luego, se plantea la semejanza: 2,5 100 = → 𝑥 = 60 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 1,5 𝑥 45) En la circunferencia de centro O de la figura, los puntos A, B, C y D pertenecen a la circunferencia; DB y OC son segmentos. Se puede determinar la medida del ángulo ADB si: (1) El ángulo AOB mide 60° (2) El ángulo BOC mide 60° A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Con (1) es suficiente, los ángulos AOB y ADB subtienden el mismo arco de medida angular conocida. Por teorema del ángulo inscrito, el ángulo ADB mide 30°. Con (2) es imposible, pues el ángulo AOB tiene libertad de valor.
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46) Una figura de área inicial 4 sufre cuatro homotecias sucesivas de factores respectivos: 2 ; 1/2 ; -1 y 3. ¿Cuál será el área final de la figura? A) 12 B) 24 C) 16 D) 36 E) 81 El factor compactado de homotecia es igual al producto de cada factor: -3. El área final, por ende, será 9 veces mayor (el cuadrado de la razón de homotecia). 47) El cociente entre el volumen y el área de una misma esfera de radio R es: A) R/2 B) 2/R C) 3 D) 3/R E) R/3 4𝜋𝑅 3 3 𝐴 = 4𝜋𝑅 2 𝑉 𝑅 = 𝐴 3 𝑉=
48) En la figura se tiene una piscina de profundidad menor 1 metro y profundidad mayor 3 metros. ¿Cuál es el volumen de ella, en m3? A) 72 B) 84 C) 64 D) 96 E) 108
El volumen es igual al producto entre el área basal (conviene el área lateral) y una altura. Así: (3 + 1) ∗ 4 𝑉 = (2 ∗ 3 + ) ∗ 6 = 84𝑚3 2
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49) La siguiente figura sufre las siguientes transformaciones consecutivas: - Rotación en 90°. - Simetría central. - Rotación en -270°. ¿Cuál de las siguientes imágenes muestra correctamente el resultado final? A)
B)
C)
D)
E)
La simetría central es equivalente a una rotación en 180° o -180°. Sumando todas las rotaciones, el ángulo final es de 0°, es decir, la trompeta resultante no sufrió alteraciones tras las 3 secuencias. 50) Un punto (x,y) del plano cartesiano sufre las siguientes transformaciones consecutivas: - Rotación en 90° en torno al punto (1,3). - Rotación en 270° en torno al punto (0,0). Si el punto final tiene coordenadas (3,0), entonces las coordenadas del punto inicial son: A) (4,1) B) (2,1) C) (1,4) D) (4,3) E) Ninguna de las anteriores Para este documento se realizará el proceso contrario, es decir, de principio a fin: Si el punto inicial es (x,y), y es rotado en torno a (1,3), conviene restar los puntos y aplicar la rotación en torno al origen. Luego, si un punto (a,b) se rota en 90° en torno al origen, el punto resultante será (-b,a). (𝑥 − 1; 𝑦 − 3) → (3 − 𝑦; 𝑥 − 1) Luego, se suma el punto original de rotación, resultando: (4 − 𝑦; 𝑥 + 2) Finalmente, si un punto (a,b) se rota en 270° en torno al origen, el punto final será (b,-a): (4 − 𝑦; 𝑥 + 2) → (𝑥 + 2; 𝑦 − 4) Este punto es igual a (3,0), por lo que x = 1 e y = 4.
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51) En la figura se tienen los triángulos ABC y AFC, con AF bisectriz del ángulo BAC. BE = 3 [cm] y DF = 4 [cm]. La longitud del segmento CE, en [cm], es: A) 1 B) 5 C) 0,5 D) 4,5 E) No se puede determinar
Una buena estrategia es prolongar los segmentos CF y AB, generando un triángulo isósceles de ángulo distinto BAC. A la vez, es conveniente prolongar DF hasta la prolongación de AB, generando un triángulo congruente como CDF. De esta manera, la prolongación de DF mide 4 cm, logrando un total de 8 cm, misma longitud que el segmento paralelo CB. Así, CE medirá 5 cm. 52) Sean 𝐿1 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,2,1) + 𝜆(𝑎, 2,9) y 𝐿2 : (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (1,4,0) + 𝜆(2,1, 𝑎) dos rectas en el espacio. Al respecto, es verdadero: A) Si L1 ⊥ L2, entonces a = 2/11. B) El punto (3,5,7) pertenece a L2 siempre que a = 1/7. C) Los vectores directores podrían tener el mismo módulo. D) Si a = 0, entonces el punto (1,4,10) pertenece a L1. E) Ninguna de las anteriores. A) Si las rectas son perpendiculares, el producto punto de los vectores directores es cero. (𝑎, 2,9)°(2,1, 𝑎) = 2𝑎 + 2 + 9𝑎 = 11𝑎 + 2 = 0 → 𝑎 = −2/11 Aseveración falsa. B) (3,5,7) – (1,4,0) = (2,1,7). Para que pertenezca, lambda debe valer 1, y a debe valer 7. Aseveración falsa. C) √𝑎2 + 22 + 92 = √𝑎2 + 12 + 22 No existe valor de a que cumpla la igualdad. D) (1,4,10) – (1,2,1) = (0,2,9). Si a = 0, lambda debe tomar valor 1 para que el punto pertenezca a la recta. Aseveración verdadera, pues existe valor de lambda que cumpla el requisito. 53) Se tiene un triángulo ABC de vértices A(3,2,1), B(0,-1,1) y C(2,9,7). El punto A sufre una traslación según el vector (2,-1,0). El punto B sufre una simetría central en torno al origen. El punto C sufre una traslación según el vector (-2,-8,-6). El nuevo perímetro del triángulo es: A) √29 + 5 B) √29 + 2 C) √𝟐𝟗 + 𝟕 D) √29 + 9 Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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E) Otro valor A´ = (3,2,1) + (2,-1,0) = (5,1,1). B´ = (0,1,-1). C´ = (2,9,7) + (-2,-8,-6) = (0,1,1). 𝑑𝐴´𝐵´ = √(5 − 0)2 + (1 − 1)2 + (1 − −1)2 = √29 𝑑𝐴´𝐶´ = 5 𝑑𝐵´𝐶´ = 2 Perímetro = sqrt(29) + 5 + 2. 54) La Ilustre Municipalidad de Laja desea construir un tobogán de nieve como el de la figura (dimensiones en metros), pensando en las vacaciones de invierno de los niños. Para ello, contrata un camión con capacidad de 18 [m3], que realizará viajes continuos de ida y vuelta a Antuco hasta que el tobogán esté lleno de nieve. Si la distancia entre ambas ciudades es de 130 kilómetros, ¿Cuántos kilómetros recorrerá el camión en total? (Asumir que la nieve no se derrite). A) 780 kilómetros B) 1560 kilómetros C) 3120 kilómetros D) 390 kilómetros E) 1040 kilómetros
El volumen del tobogán es: 6 𝑉 = 6 ∗ ∗ 6 = 108𝑚3 2 Este volumen es equivalente a 6 viajes ida y vuelta, es decir, que los 130 km se recorren 12 veces, equivalente a un total de 1560 km. 55) En la figura, ∆𝐿𝐾𝐻 ≅ ∆𝑀𝑁𝐾. Los puntos N y H están contenidos en los segmentos respectivos LH y KM. La medida del ángulo KMN es: A) 30° B) 60° C) 45° D) Otro valor E) Falta información
La congruencia implica que los ángulos HLK y KMN tienen la misma medida, al igual que el par de ángulos NKH y KHL. Además, la congruencia otorga que el triángulo KHN sea isósceles de base HN. Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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Luego, los tres ángulos interiores del triángulo KHN miden lo mismo, generando un triángulo equilátero. Finalmente, el ángulo KMN mide 30°. 56) En el triángulo ABC de la figura, ∢ACD = 2∢CED. Es posible determinar la suma entre x e y si: (1) CD es altura sobre el lado AB. (2) z = 10° y DE es transversal de gravedad. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Con (1) por sí sola no es posible obtener un valor numérico de algún ángulo. Con (2) por sí sola tampoco es posible, pues la transversal de gravedad no genera un efecto conocido o deducible con los ángulos. Ambas juntas:
Si z = 10°, entonces t = 20°, x = 50° e y = 80°. Así, x + y = 130°. 57) El ángulo diedro entre las caras laterales de un prisma de base polígono regular es de 135°. ¿Cuántas aristas tiene el cuerpo geométrico? A) 16 B) 18 C) 21 D) 24 E) 27 El polígono regular con ángulo interior de 135° es el octágono. Así, el cuerpo tendrá 24 aristas (16 basales y 8 laterales).
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58) Es posible conocer el área de un triángulo rectángulo si: (1) Su inradio y circunradio están en la razón 1 : 2. (2) La hipotenusa del triángulo mide 8 cm. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Con (1) no es suficiente, pues no se pueden obtener valores concretos de longitudes. Con (2) tampoco es suficiente, pues se desconocen las longitudes de los catetos (basta con sólo conocer la longitud de 1 cateto). Ambas juntas. Se tiene la situación:
D es el circuncentro, con circunradios de longitud 4 (es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo ABC de hipotenusa 8). Si AC = a, CB = b y el inradio mide r (ya se sabe que mide 2), es posible plantear que: 𝑎+𝑏−8 = 2 → 𝑎 + 𝑏 = 12 (𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑛𝑐𝑒𝑙𝑒𝑡) 2 𝑎2 + 𝑏 2 = 82 (𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡á𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠) Si se eleva a dos la primera ecuación, y utilizando la segunda ecuación, se obtiene: 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 144 → 64 + 2𝑎𝑏 = 144 → 𝑎𝑏 = 40 Así, el área del triángulo se calcula como: 𝑎𝑏 𝐴= = 20 2 No fue necesario tener los valores exactos de a y b. El estudiante puede desplazar el vértice C en la semicircunferencia, obteniendo triángulos de distintas áreas. Sin embargo, el triángulo tiene área única, pues el producto de los catetos es específico. Es más, por Teorema de Euclides: Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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𝑎𝑏 = 8 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 → 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 5 Es un triángulo único. SECCIÓN 3: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA. 59) El siguiente gráfico muestra las preferencias de posición de juego en una cancha de vóleibol, donde cada encuestado sólo eligió 1 posición:
Al respecto, es(son) verdadera(s): I) 100 personas fueron encuestadas. II) La frecuencia relativa porcentual para la posición “5” es de un 20%. III) La zona defensiva (1, 5 y 6) fue la más preferida, comparado con la de ataque y armado (2, 3 y 4). A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III I) Por simple inspección, la frecuencia total es igual a 100. Aseveración verdadera. II) La posición 5 registró 20 preferencias, es decir, un 20% de la frecuencia total. Aseveración verdadera. III) Falso, la zona defensiva tuvo un total de 45 preferencias, menos de la mitad del total de encuestados.
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60) Un ladrillo es calentado con un soplete. El siguiente gráfico muestra las temperaturas medidas:
Temperatura [°C]
La desviación estándar de los datos es: A) 3/4 B) √3/4 C) 3/2 D) 1 E) √𝟑/𝟐
Temperaturas
773 772
771 770 769 0
1
2
3
4
5
6
7
8
N° Medición
El promedio de los datos, por simple inspección, es igual a 771°C, pues se ubica la misma cantidad de datos en 772 y 770. Así, la desviación estándar es igual a: 𝜎=√
2(771 − 771)2 + 3(770 − 771)2 + 3(772 − 771)2 6 3 √3 =√ =√ = 8 8 4 2
61) Javiera tiene las siguientes notas en Optimización: 70, 75 y 80. Para aprobar la asignatura, se deben cumplir 2 reglas: - El promedio de las 4 evaluaciones, truncado al entero, debe ser mayor o igual que 70. - Todas sus evaluaciones deben tener una nota igual o superior a 60. ¿Cuál es la nota mínima que debe obtener Javiera en su cuarta prueba para aprobar el curso? (Las notas están en la escala de 0 a 100) A) 55 B) 60 C) 61 D) 56 E) 70 Si el promedio truncado al entero exige como mínimo un 70, entonces la suma de todas las notas debe ser, como mínimo, 280. Descontando de las 3 evaluaciones con nota conocida, en la cuarta evaluación deberá obtener un 55. Sin embargo, con dicha nota reprueba el curso a causa de la segunda regla. Así, con un 60 es suficiente para aprobar, aunque su promedio final sea superior a 70. 62) Se tiene el siguiente set de datos (números positivos): 5 – 4 – 1 – 2 – 4 – 3 – 3 – 2 – 2 – 2. La frecuencia de la moda es igual a: A) 1 Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 La moda es igual a 2, con una frecuencia de 4. 63) Se realizó un muestreo aleatorio a 200 varones del Gran Concepción, registrando sus masas corporales: Masa [kg] [70 – 80[ [80 – 90[ [90 – 100[ [100 – 110[ [110 – 120[
Frecuencia Absoluta
Frecuencia Absoluta Acumulada
60
90
40 20
¿Cuántas personas se encuentran en el intervalo [90 – 100[? A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70 La última frecuencia acumulada de la tabla representa siempre a la frecuencia total: Masa [kg] Frecuencia Absoluta Frecuencia Absoluta Acumulada [70 – 80[ 30 30 [80 – 90[ 60 90 [90 – 100[ 50 140 [100 – 110[ 40 180 [110 – 120[ 20 200
64) Sea el set de datos: 3 , 10 , 2 , 8 , 4 , 7 , 9 , 6 , 7. El cuartil 1 es igual a: A) 2 B) 3 C) 3,5 D) 4 E) 2,25 Primero, se ordenan los datos de menor a mayor: 2 , 3 , 4 , 6 , 7 , 7 , 8 , 9 , 10. Número impar de datos. Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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Luego, el cuartil 1 está en la posición: 𝑘(𝑁 + 1) 9+1 = 1∗ = 2,5 4 4 Es decir, el cuartil 1, para efectos PSU, se encuentra entre el dato de posición 2 y el dato de posición 3, es decir, entre 3 y 4. Así, el cuartil 1 es igual a 3,5. 𝑄1 =
65) Sea la siguiente tabla de frecuencias: Xi
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10
Frec. Absoluta 1 1 2 3 3 4 1 2 2 1
Frec. Absoluta Acumulada 1 2 4 7 10 14 15 17 19 20
El valor del Percentil 70 es: A) 5 B) 6 C) 6,5 D) 7 E) 14,7 De semejante forma: 20 + 1 = 14,7 100 El percentil 70 se ubica entre la posición 14 y 15, es decir, entre Xi igual a 6 y 7. Así, el percentil 70 es igual a 6,5. 𝑃70 = 70 ∗
66) Se tiene el siguiente set de datos: 2; 0; 2; 0. Si el nuevo set de datos es 2; 1; 2; 1, ¿Cuál de los siguientes estadígrafos sufre la mayor variación? A) Rango B) Desviación Media C) Desviación Estándar D) Promedio E) Mediana Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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Por cuadro comparativo: Parámetro Rango DM Desv Estándar Promedio Mediana
Datos antiguos 2 1 1 1 1
Datos nuevos 1 0,5 0,5 1,5 1,5
Variación absoluta 1 0,5 0,5 0,5 0,5
67) Se lanza una moneda cargada, de modo que la probabilidad de que salga cara es el quíntuplo que la probabilidad de que salga sello. Si se lanza 2 veces consecutivas la misma moneda, ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos caras? A) 16/25 B) 1/25 C) 5/6 D) 4/5 E) 25/36 P(cara) = 5/6. P(sello) = 1/6. P(cara y cara) = 5/6 * 5/6 = 25/36. 68) En una urna hay X bolitas rojas, Y bolitas verdes y Z bolitas negras. Es posible conocer el total de bolitas si: (1) Al extraer una bolita al azar, la probabilidad de que sea roja o negra es 2/3. (2) Al extraer una bolita al azar, la probabilidad de que sea roja o verde es 1/2. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Por simple inspección, la opción correcta es E, pues no se informa nada acerca de números de bolitas, sólo muestra razones entre cantidad de bolitas, mediante probabilidades. 69) Un canal de comunicación transmite datos binarios (0 o 1). Por problemas de ruido, algunas veces, al emitir un 0, llega como 1 y viceversa. La probabilidad de que un 0 transmitido sea recibido como cero es de un 94%. La probabilidad de recibir un 1 dado que se envió un 1 es del 91%. La probabilidad de enviar un 0 es de un 45%. Entonces, la probabilidad de recibir un 1 es: A) 97% Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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B) 45% C) 52,75% D) 50,05% E) 2,7% Este problema se resuelve mediante probabilidad condicional y diagrama de árbol. P(recibir 1\envió 0) = 0,06 (el complemento de 0,94). P(recibir 1\envió 1) = 0,91. P(enviar 0) = 0,45, por ende, P(enviar 1) = 0,55. P(recibir 1) = P(enviar 0 y recibir 1) + P(enviar 1 y recibir 1). P(recibir 1) = P(recibir 1\envió 0)*P(enviar 0) + P(recibir 1\envió 1)*P(enviar 1) P(recibir 1) = 0,06*0,45 + 0,91*0,55 = 0,5275 = 52,75%. 70) Se lanzan dos monedas honestas en un juego de forma simultánea, de modo que cuando salen 2 caras, el jugador gana $600. Por otra parte, cuando sale 1 cara y 1 sello, el jugador gana $100. ¿Cuánto debe ser el monto de pérdida si salen 2 sellos, consiguiendo que el juego sea justo (beneficio esperado igual a cero)? A) $800 B) $600 C) -$600 D) -$800 E) $400 La esperanza matemática es igual a cero (juego justo): 1 2 1 0 = ∗ 600 + ∗ 100 + ∗ 𝑥 4 4 4 De donde x es el dinero perdido cuando salen 2 sellos, igual a $800. 71) En un determinado país, las placas patentes para vehículos tienen 3 vocales (de 5 disponibles) y 3 números (de 10 dígitos del 0 al 9). En otras palabras, la patente tiene la forma “XXX – 000”. Si el primer dígito del número no puede ser cero, y pueden aparecer vocales y números repetidos, ¿Cuántas patentes diferentes se pueden crear, si las dos primeras letras son la “A” y la “E”? A) 900 B) 5000 C) 4500 D) 2700 E) 3000 La tercera vocal puede ser cualquiera de las 5. Por otro lado, de los números se pueden crear 900 tríos distintos (9 posibles en posición 1, y 10 en los restantes). Por principio multiplicativo, el total de patentes creables será de 4.500. Coordinación de Matemáticas Preusm. E-mail:
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72) Carla se enfrenta a una prueba de 100 preguntas de estilo “Verdadero o Falso”, respondiendo de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte a 10 preguntas, si en total contestó 90? 1 10
A) ( ) 2
1 10
B) ( ) 2
1 10
C) ( ) 2
1 10
D) ( ) 2
1 80
∗( ) 2
1 90
∗( ) 2
1 80
∗( ) 2
∗ (100 ) 90
∗( ) 2
90 ∗ (100 ) ∗ (10 ) 90
1 90
E) Ninguna de las anteriores La cantidad de formas en que pudo contestar 90 preguntas de 100 viene dado por: 100 ( ) 90 De esas 90 preguntas, la cantidad de formas en que puede tener sólo 10 correctas es: 90 ( ) 10 El total de maneras en que pudo contestar la prueba viene dado por el producto de estos dos números combinatorios. Finalmente, la probabilidad de que acierte a 10 preguntas y falle 80 es (para 1 manera de contestar la prueba): 1 10 1 80 ( ) ∗( ) 2 2 Para todas las maneras: 1 10 1 80 90 100 ( ) ∗( ) ∗( )∗( ) 10 90 2 2 73) ¿Cuántos saludos diferentes ocurren en un reunión de 12 personas, si cada una saluda 1 vez a cada una de las otras? A) 132 B) 66 C) 33 D) 99 E) 55 El objetivo es determinar la cantidad de dúos espontáneos diferentes. Como no importa el orden de las personas (Si se saluda A con B, es lo mismo que se salude B con A), se tiene una combinación sin repetición entre 2 elementos de un total de 12. 12! 12 ∗ 11 ∗ 10! 12 )= = = 66 2 2! ∗ (12 − 2)! 2! ∗ 10!
𝐶12,2 = (
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74) ¿De cuántas maneras diferentes se puede escoger un comité compuesto por dos hombres y tres mujeres, de un grupo de 4 hombres y 5 mujeres? A) 30 B) 16 C) 40 D) 60 E) 120 La cantidad de maneras de generar duetos de hombres es: 4! 4∗3∗2 4 ( )= = =6 2 2! ∗ 2! 2∗2 La cantidad de maneras de generar tríos de mujeres es: 5! 5∗4∗3∗2 5 ( )= = = 10 3 3! ∗ 2! 3∗2∗2 Ahora, el comité puede generarse combinando estos grupos, por principio multiplicativo: 6 ∗ 10 = 60 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑡é𝑠 75) Sea la función de densidad de probabilidad en el I cuadrante: 𝑓(𝑥) = {
𝑎𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1 −𝑏𝑥 + 𝑐 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 2
Los valores numéricos de a, b y c, que son todos positivos, se pueden determinar si: (1) f(2) = 0; y cuando x = 1, se cumple que a = c – b. (2) f(1) = 1, y se cumple que a = c – b. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional La función de densidad de probabilidad tiene área bajo la curva igual a 1. Tanto en (1) como en (2) aparece que a = c – b. Esto significa que la función es continua cuando x = 1. (1) Si f(2) = 0, y además se tiene que f(0) = 0, cada tramo de la función tiene un área bajo la curva igual a 1/2, por lo que las rectas se pueden caracterizar. Así, con (1) es suficiente. (2) Si f(1) = 1, entonces a = 1, y el área bajo la curva es 1/2. De esta forma, el otro tramo, por obligación, tendrá área bajo la curva igual a 1/2, lo que obliga a que f(2) = 0, y en consecuencia, es posible determinar los valores de b y c.
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76) Se tiene una distribución normal de media 0 y varianza 1. ¿A cuántas desviaciones estándar de distancia respecto del eje de simetría se encuentra un dato, de tal forma que entre el mismo eje y el dato exista un área bajo la curva de 0,475? A) 1,96 B) 2,00 C) 2,03 D) 2,01 E) 1,98 Si el área entre el dato y el cero (eje de simetría) es 0,475, el área entre el dato y el opuesto del dato será 0,95. Para que esto suceda, el dato debe estar a una distancia de 1,96 desviaciones estándar del eje de simetría (z = 1,96 ó -1,96). 77) Una envasadora de pulpa de frutas registra un flujo medio de 238 [kg], con una desviación estándar de 1 [kg]. Si la distribución de las masas de los envases con pulpa es de tipo normal, ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un envase con pulpa, éste contenga al menos 236 [kg]? A) 2,5% B) 2,3% C) 97,5% D) 97,7% E) 95% 236, normalizado, es igual a -2. Entre 236 y 240 kg figura el 95,4% de probabilidades, por lo que cada cola de la distribución contribuye un 2,3%. La probabilidad de que la masa sea, al menos 236 kg contempla 1 cola, y el 95%, es decir, 97,7%. 78) La siguiente tabla muestra la función de distribución de probabilidad asociada a la variable aleatoria discreta X: X 1 2 3 4 5 6 P(X ≤ x) 0,100 0,210 0,340 0,600 0,720 1,000 Entonces, P (X = 5) es igual a: A) 0,72 B) 0,28 C) 0,12 D) 0,40 E) 0,26
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Notar que la tabla es acumulada. La tabla absoluta es: X 1 2 3 4 5 6 P(X = x) 0,100 0,110 0,130 0,260 0,120 0,280 79) En una fábrica, el 10% de las ampolletas fabricadas salen defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de 13 ampolletas defectuosas de una muestra de 100 artículos? A) 68% B) 16% C) 95% D) 97% E) 84% La probabilidad de éxito (que salgan defectuosas) es 0,10, por lo que la probabilidad de fracaso es 0,90. El total de la muestra es 100 (es mayor que 30). El problema se resuelve mediante distribución binomial transformada a distribución normal, pues se pregunta por un área de la densidad de probabilidad. Media: n*p = 100*0,10 = 10 Desviación estándar = sqrt(npq) = sqrt(100*0,1*0,9) = 3 Entonces, el problema pasa a una distribución normal de media 10 y varianza 9 (el número de muestras es mayor que 30, por lo que se puede aproximar la resolución a una distribución normal). El número 13 está a 1 desviación estándar de la media (z = 1). El área bajo la curva entre z = -1 y z = 1 es, aproximadamente, de un 68%, por lo que cada cola tiene un 16%. Así, P(z <=1) = 84%. 80) ¿Cuál será el valor z (normalización) del número 2125, si éste último se encuentra en una distribución normal de media 2130 y varianza 4? A) -1,25 B) 1,25 C) -2,50 D) 2,50 E) -5,00 Para normalizar se necesita de la media y la desviación estándar. Media: 2130. Desv Estándar: 2. 𝑥𝑖 − 𝑋̅ 2125 − 2130 𝑍= = = −2,50 𝜎 2
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