FORMULARIO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (VARIABLES DISCRETAS)
Formulario de la distribución binomial: ⎛n⎞ b( x; n, p) = ⎜ ⎟ p x qn − x , donde: ⎝ x ⎠ n = número de ensayos independientes; p = probabilidad individual de cada éxito; q = 1 − p = probabilidad individual de cada fracaso; x = número de éxitos en los n intentos. ( x = 0, 1, . . ., n). Media o valor esperado: µ = np. Varianza: σ 2 = npq ; desviación estándar: σ =
npq .
r
Distribución acumulada: B(r ; n, p) = ∑ b( x; n, p) (Se halla en tablas). x =0
p], si (n + 1) p p ∉ ; pero si (n + 1) p p ∈ , hay dos modas, a saber: Moda: mo = [(n + 1) p (mo)1 = (n + 1) p p; y (mo)2 = (n + 1) p − 1.
(El símbolo [r ] ] denota la parte entera de un número real r , por ejemplo [2.23] = 2).
En qué casos se usa: Se usa cuando se trata de de pruebas repetidas independientes con sólo dos resultados posibles (éxito y fracaso). Se identifica fácilmente porque se conoce un valor de probabilidad fijo ( p) para la ocurrencia de un éxito, y otro valor fijo (n) que representa el número de ensayos o pruebas independientes realizadas.
Formulario de la distribución binomial negativa : ⎛ x − 1⎞ p r qn−r , donde: b * ( x; r , p) = ⎜ ⎟ ⎝ r − 1 ⎠ r = = número ordinal de éxito deseado (también se suele denotar por la letra k ); ); p = probabilidad individual de cada éxito; q = 1 − p = probabilidad individual de cada fracaso; x = número de intentos (éxitos más fracasos) para lograr el r −ésimo éxito.
Media o valor esperado: µ = Distribución acumulada: Moda:
mo
r p
. Varianza: σ 2 =
rq p
n
r −1
x =r
x =0
2
;
desviación estándar: σ =
rq p
.
∑ b * ( x; r, p ) = 1 − ∑ b( x; n, p)
⎡ r − 1 + p ⎤ ⎡ r − 1 ⎤ =⎢ ⎥ = ⎢ p + 1⎥ (el corchete denota la parte entera). p ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Al igual que en la binomial, si la parte dentro del corchete ya fuese entera, entonces habría dos modas, que serían ese número y el anterior. trata de averiguar la En qué casos se usa: Cuando en una sucesión de ensayos de Bernoulli se trata probabilidad de que el r −ésimo éxito ocurra precisamente en el x−ésimo intento. Se identifica fácilmente por la presencia de adjetivos o pronombres ordinales (tercero, quinto, décimo, etc.). También puede verse como una espera discreta hasta lograr por fin r éxitos (junto con x − r 1 fracasos) en una sucesión de ensayos de Bernoulli . 1
Exactamente del mismo modo, la distribución gama (o Erlang), rige el tiempo (variable continua) de espera hasta que se acumulen r sucesos sucesos de Poisson.
1
Formulario de la distribución geométrica : g ( x; p) = pq
x −1
Media o valor esperado: µ = Moda:
mo
1
p
.
= 1.
Varianza: σ 2 =
q p
2
;
desviación estándar: σ =
Distribución acumulada:
q p
.
n
∑ g ( x; p) = 1 − q n .
x =1
En qué casos se usa: Cuando en una sucesión de ensayos de Bernoulli se trata de averiguar la probabilidad de que el primer éxito ocurra precisamente en el x−ésimo intento.
Formulario de la distribución hipergeométrica: ⎛ k ⎞⎛ N − k ⎞ ⎜ x ⎟⎜ n − x ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠, h( x; n, k , N ) = ⎛ N ⎞ ⎜n⎟ ⎝ ⎠ Las letras significan: N = tamaño de la población; n = tamaño de la muestra sin reposición; k = número de éxitos en la población; x = número de éxitos en la muestra.
Media o valor esperado: µ = n
k
N
=
np , donde p =
k N
⎡ (n + 1)(k + 1) ⎤ . Al igual que en la binomial y en la binomial negativa, si la parte Moda: mo = ⎢ ⎣ N + 2 ⎥⎦ dentro del corchete ya es entera, entonces hay dos modas, que son ese número y el anterior.
Varianza: σ 2 = n
⎛1 − k ⎞⎛ N − n ⎞ = npq ⎛ N − n ⎞ ; donde p = k y ⎜ N ⎟⎜ N − 1 ⎟ ⎜ N − 1 ⎟ N N ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ k
q = 1 − p
En qué casos se usa: La distribución hipergeométrica se aplica cuando se toma una muestra sin reposición de una población que tiene sólo dos tipos de objetos: éxitos y fracasos.
2
Formulario de la distribución de Poisson : e−λ λ x
℘( x; λ ) =
x !
Media o valor esperado: µ = λ . Moda:
mo
= [ λ ] . Si ocurre que λ es entero, entonces hay dos modas, a saber: λ y λ −1.
Varianza: σ 2 = λ ; desviación estándar: σ = λ . Distribución acumulada:
r
∑ ℘( x; μ ) . Con tablas. Se buscan r y μ en las tablas
x =0
En qué casos se usa: Es una distribución para eventos independientes poco probables. Puede verse como distribución límite de la binomial cuando n → ∞ y p → 0 . También se aplica en el flujo de sucesos de Poisson, que son eventos inesperados, independientes y poco probables, en los cuales λ es un promedio conocido de ocurrencias por unidad de tiempo, área o volumen.
Formulario para la distribución de Bernoulli: Si un experimento aleatorio tiene dos resultados posibles, éxito y fracaso, y sus probabilidades son, respectivamente, p y q = 1− p, entonces el número de éxitos (0 o 1) tiene una distribución de Bernoulli. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X con distribución de Bernoulli y parámetro p es, por tanto: − x
f ( x; p) = p (1− p)1 , para x = 0, 1. x
Media o valor esperado: µ = p. Varianza: σ 2 = p (1− p) = pq; desviación estándar: σ =
pq .
Formulario para la distribución discreta uniforme: Se dice que la variable aleatoria X tiene la distribución discreta uniforme si la función de densidad está dada por: xi pi
x1 x2 1 n
1 n
... xn ...
1 n
Esta variable tiene número finito de puntos xi que toma con probabilidades iguales a pi. La media y la varianza de la variable aleatoria con distribución discreta uniforme están dadas, respectivamente por: μ = E ( X ) =
1
n
∑ n =
xi ;
σ 2
= V ( X ) =
i 1
1
n
∑[ x − E ( X )] n = i
i 1
3
2
.