Funciones de producción Algunas características.
Repaso
En esta primer parte analizamos a la empresa y la hemos definido como cualquier entidad que utiliza factores económicos tales como tierra, trabajo y capital para producir bienes y servici servicios os que vende vende a las economías economías domést domésticas icas o a otras otras empres empresas. as. Su proble problema ma consiste en decidir cuánto se producirá y cuánto de los diversos factores se utilizará para alcanzar esta producción, dada la relación tecnológica entre la producción y los factores, dados los precios de los factores y de la producción.
Supusimos que utiliza dos insumos trabajo (l) y capital (k), los cuales son cantidades no negativas. Por otro lado, a cada combinación de capital y trabajo le corresponde un máximo de producción único dados estos factores. factores. Esta relación relación tecnológica tecnológica de producción producción y factores factores se denomina función de producción, en símbolos
Q = F(k;l) tal que Q es continuamente diferenciable.
Una vez definida definida la función de producción producción realizamos distintos experimentos. experimentos. Comenzamos viendo qué sucedía con la producción al cambiar en pequeñas cantidades uno solo de los insumo insumos. s. A esto esto lo llamam llamamos os product producto o margin marginal al (Pmg (Pmgh)i y repres represent entaa la product productivid ividad ad marginal de ese factor en un punto determinado. También descubrimos que a medida que aumentamos las cantidades de uno de los insumos, dadas las cantidades fijas de los otros, se llega a un punto donde comienza a descender la productividad productividad marginal marginal y a este fenómeno fenómeno lo llamamos llamamos “Ley de los rendimientos rendimientos decrecientes”. La función de producción se caracteriza en la región aplicable por los “rendimientos a escala” y las”posibilidades de sustitución”. Los rendimientos a escala se caracterizan por el comportamiento de la producción cuando todos los insumos varían en la misma proporción. Supongamos que una cierta combinación de insumos se multiplican por el factor escalar λ, siendo λ>0. La función de producción
muestr muestraa rendimi rendimiento entoss constan constantes tes a escala escala si la producc producción ión se increme incrementa nta en la misma misma proporción proporción que todos los los factores: factores:
F(λk;λl) = λF(k;l) De modo que, por ejemplo, doblando todos los factores se dobla la producción. Del mismo modo, la función de producción muestra rendimientos crecientes (decrecientes) a escala escala si la produc produccion ciones es increme incrementa nta en una propor proporció ción n mayor mayor (menor (menor)) que todos los factores:
F(λk;λl) > (<) λF(k;l)
Las funciones de producción pueden lógicamente presentar rendimientos constante a escala en algunas combinaciones de insumos y crecientes o decrecientes en otras combinaciones. Una medida local de los rendimientos a escala, definida en una combinación dada de insumos (k 0;l0), es la elasticidad de producción: producción:
ε
(k ; l ) =
Pmg ( k ; l ) F (k ; l ) (k ; l )
donde la elasticidad respecto a cada factor es igual a:
ε
(k ) =
Pmgk Pmek
y ε (l ) =
Pmgl Pmel
Donde se puede demostrar que:
ε
(k ; l ) = ε (k ) + ε (l )
De esta manera, la elasticidad de producción en cualquier punto de la región económicamente significativa es la suma de todas la elasticidades de producción con respecto a los diversos insumos en este punto.
Las posibil posibilidad idades es de sustit sustitució ución n caract caracteriz erizan an la función función de producc producción ión por diferent diferentes es combinaciones de factores que generan el mismo nivel de producción. Una medida local de la sustitución entre dos puntos de capital y trabajo, puede tomarse en un punto particular de la región aplicable mediante la elasticidad de sustitución entre los factores k y l y se define como:
σ kl
k k d ln( ) d ln( ) cambiorelat cambiorelativoen ivoen( k / l ) l l =− =− =− Pmg r cambiorelati cambiorelativoen voen( r / w) d ln( ) d ln( ) Pmg w k
l
Esto es como la variación porcentual del cociente de los factores dividido por la variación porcentual porcentual en el cociente de sus sus productividades productividades marginal marginales. es. El signo menos menos nos asegura asegura que σ kl
≥ 0 , por lo tanto nos encontramos en la región aplicable.
0 ≤ σ kl < ∞ ,
límite
σ kl
cuanto mayor σ , tanto mayor será la sustitubilidad entre los insumos. El caso
=0
kl
es donde donde los insum insumos os puede pueden n empl emplea ears rsee en una prop propor orci ción ón fija fija como como
complemento uno del otro. El caso límite
σ kl
→ ∞ , es aquel en el que los insumos son
perfectamente perfectamente sustitu sustitutivos tivos entre entre si. Pmg Las elasticidades de sustitución caracterizan la curvatura de las isocuantas, ya que − es Pmg k
l
la pendiente de la isocuanta.
Funciones de producción
σ kl
Tipo de función Lineal
Función de producción q = ak+bl
∞
Cobb-Douglas
q = A ka l b
1
Leontief
0 k l q = min( ; ); k ≥ aq; l ≥ bq a b
ESC
-B -h/B q = A[ak-B+(1-a)l ]
1/(1+B)
ε
Parámetros
1
a;b: Productividad física marginal del factor asociado. a+b A: Factor de escala a;b: elasticidades de la producción producción respecto respecto al factor factor asociado. 1 siempre a;b: cantidad del factor que k/a=l/b asociado necesaria para producir producir una unidad unidad de producción. producción. h A: parámetro de escala a: parámetro de distribución h: grado de homogeneidad B: parámetro de sustitución;
La función función de producc producción ión con elastic elasticidad idad de sustit sustitució ución n constant constantee (ESC), (ESC), para la cual
σ kl
=
1 1 + B
, y es el caso general del cual se desprenden las otras funciones de producción
vistas.
B → −1 ⇒ ESC → Lineal (σ → ∞) kl
B → 0 ⇒ ESC → Cobb − Douglas(σ → 1) kl
B → ∞ ⇒ ESC → Leontief (σ → 0) kl
podemos podemos caracterizar caracterizar las las isocuanta isocuanta de estas estas funciones funciones de la la siguiente siguiente forma: forma:
k Función Lineal. Elasticidad de sustitución infinita.
l k
Función Cobb Douglas. Elasticidad de sustitución unitaria.
l
k
Función Leontief. Elasticidad de sustitución nula.
l
Referencias
“Optimización matemática y teoría económica”, Michael D. Intriligator, Editorial Prentice
Hall Internacional.
“Métodos fundamentales de economía matemática”, Alpha C. Chiang, McGraW Hill.
i
h representa el insumo respecto al cual se lleva adelante el análisis.
