SECCIÓN 3.3 2. Indique al menos tres variables aleatorias discretas y tres variables aleatorias continuas. Especifique su rango de definición. Variables aleatorias discretas
Probabilidad de ganar la lotería o perder 0 pierde
1 gana Ran= {0,1}
El número de clientes que ingresas en un alm acén n=total de clientes
, , , … , , , , … ,
Ran= {
}
El número de visitantes de un parque de diversi ones N=número de visitantes Ran={
}
Variables aleatorias continuas
Tiempo que tarda en llegar a la meta en un maratón t=tiempos que se registraron
, , , … , , , , … , , , , … ,
Ran={
}
Estatura de los niños de una clase de primaria n=estatura de los niños de la clase Ran={
}
Masa de la comida chatarra consumida mensualmente n=número de medidas posibles Ran={
}
4. Determine la función de distribución de la variable aleatoria X que está definida por la ley que se presenta en la tabla.
√ 3 14 , 2 ≤ < 0 1112 , 0 ≤ < √ 3 1, ≥ √ 3 X
-2
0
p
1/4
2/3
1/12
6. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos; entre éstos, 2 tienen defectos. La agencia debe seleccionar, aleatoriamente, 3 automóviles de entre los 20
para venderlos. Forme la ley de distribución de la variable aleatoria <>. 0 68/95
1 51/190
2 3/190
8. Un apuesto príncipe visita a un rey que tiene cuatro hijas casaderas, con la intención de integrarse en la familia. Las probabilidades que tiene el príncipe de ser aceptado por cada una de las princesas son 0.6, 0.8, 0.2 y 0.4. El príncipe pide la mano de cada una de ellas de forma consecutiva y se casa con la primera que acepte. Sea X la variable aleatoria definida como X = i si se casa con la i-ésima hija (i - 1, ...,4) y X=0 si todas le rechazan. Calcule la ley de probabilidad de X y su función de distribución. 0 0.384
1 0.6
2 0.32
3 0.016
4 0.0256
10. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es 1,2,3,4,5
,
a) Encuentre el valor de k para que la función p(x) sea la función de probabilidad de X
∑ 1 =
5269 360036001 5269
Pr 1<≤4 Pr1 <≤4F4F1 Pr (1 1), 1,2,…,9 ∑ (1 1)1 = ∑ (1 1 ) 0.6088994 21 = b) Calcule
12. Una probabilidad aleatoria X se dice que sigue la ley de Benford si se cumple que
a) Verifique que es una función de probabilidad
b) Calcule la probabilidad de obtener números impares
c) Grafique la función de Probabilidad
14. Una variable aleatoria discreta X está definida según la ley
Pr 1, 0,1,2,… ∈0,1.
a) Verifique que es una función de probabili dad
∈0,1
Dado que tenemos que
podemos usar la fórmula para el caculo de progresiones geométricas, así
∑1 1 11 = 0, x<0 f =∑1 , x≥0 Pr >2, Pr ≥4,Pr P>21F r <3. 21 p 1 464 PrPr ≥4 4 <33Pr 333
b) Determine la función de distribución
c) Calcule:
16. Dada la función de distribución de una variable aleatoria X
0,1/4, 0≤<1 <0 21/3,/6,/3, 1≤<2 2≤<4 4≤<5 1, ≥5 Pr 1≤≤5 51Pr 13/4
Calcule las probabilidades a)
b)
c)
d)
Pr 2<≤4 Pr 0<<3 Pr 4≤<6
421/3 30Pr 31/4 641/3 0, ≤ 6 3 sin 3, 6 << 3 0, > 3 0, ≤ 6 cos3, 6 << 3 1, > 3 PrX0.2 PrX≤π/4PrPrX>π/3, P rπ/12≤X≤π Xπ 0. 203 √ 2 PrX≤π4cos( 4 ) 2 PrX> 31Pr≤ 30 Pr ≤X≤π101 0,1 , ∉[∈[00,,]] Pr≤ ∫−∞ 0 ∫ 1 + 1/8 1++ 11 1 2 2 2
18. La función de densidad de una variable aleatoria X está definida mediante
a) Halle la función de distribución F
Basta con integrar, de donde tenemos que
b) Determine:
,
,
20. Considere una variable aleatoria continua Z con densidad de probabilidad
a) Calcule los valores de los parámetros a y b sabiendo que
b) Encuentre la función de distribución de Z
0, <0 1,, >1 ∈[0,1] 0, <2 , 2≤≤2 1, >2 ∫ 221 − 24121 14 ∫ 1 1 − 4 4 14 2 14 12 0, ∉[ 2, 2 ] 14 , ∈[2,2] Pr <0 , Pr| | <1.5 , Pr||>1.2
22. Una variable aleatoria X tiene por función de distribución a
a) Determine los valores de a y b
b) Encuentre la densidad f
c) Halle:
24. Los registros de ventas diarias de una empresa que comercializa computadoras muestran que venderán 0, 1 o 2 computadoras de acuerdo con la siguiente tabla: Nº de ventas Probabilidad
0 1 2 0.7 0.2 0.1 a) Determine la distribución de probabilidad de x, el número de ventas
0, <0 0.0.791,,, 0≤<1 1≤<2 ≥2 Pr ≥11Pr <110. 7 0. 3
b) Calcule la probabilidad de que al menos se realice una venta en el día
26. Una empresa alquila el tiempo de cómputo de un tipo especial de computadora a una universidad. La empresa debe planear su presupuesto, por lo que ha estudiado el tiempo de empleo de la computadora. El tiempo semanal de alquiler (en horas) sigue la función de densidad dada por:
3 64 4 0,, 0≤≤4 0, <0 161 163 1,, >4 ∈[0,4] Pr >21Pr ≤212Pr 2 1 165 1116 189/256 PrPr≤3 3 ≤4 1 4 1 189256 ≈0,261 26.1%
a) Determine la función de distribución del tiempo de empleo de la computadora Integrando tenemos que
b) Calcule la probabilidad de que el tiempo de uso de la computadora, en una semana, sea mayor que dos horas
c) El presupuesto de la empresa solo cubre 3 horas de tiempo semanal de uso de la computadora. ¿Con qué frecuencia se rebasará ese límite de pr esupuesto?
d) ¿Cuánto tiempo de alquiler se debe presuponer por semana si ésta cifra solo se puede rebasar con una probabilidad de 0,1?
Pr ≥1 0. 131Pr < 16 ( ≈3,16 43)0.9 3 8 0,256 , [0,8] ∫ 38 81 ≈0.31641 256 256
28. La cantidad (en gramos) de fertilizante químico que una planta puede recibir es una variable aleatoria cuya función de densidad es
a) Halle la probabilidad de que la planta reciba menos de 3 gramos
b) Si la planta muere si recibe más de 6 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que muera por exceso de fertilizante?
Pr >61Pr ≤61∫ 32568 325 0.15625
c) Si se tratara de establecer una norma para la cantidad de fertilizante utilizada, ¿Cuál es la cantidad máxima recomendada utilizar para que solo se sobrepase esta cantidad el 35 % de las veces? 35%≈0.35
1-0.35=0.65
Pr 3 8 ≤0. 6 5 ∫ 256 0.65 364 2561 0,650 4.81 10,, ∈[∉[00,,11]] 0,<0 ,1, >1 ∈[0,1] 0≤≤1 ≤1 0≤0≤≤1 0, <0 1,, ∈[>10,1] Pr < < Pr << Pr(161 < < 19) 19 161 121 Pr(18 < < 56) 56 18 0.559
30. Una variable aleatoria X tiene densidad
a) Si
, halle la función de distribución de Y
b) Calcule las probabilidades:
y
32. Una variable aleatoria X tiene función de densidad
1 40,, ∉[∈[2,2,22]] Pr <1 Pr <1Pr|| <1Pr 1<<1 −∫ 14 12 −,− ≥
Halle la probabilidad
34. Una variable aleatoria X tiene densidad distribución y de densidad de la variable aleatoria
. Encuentre las funciones de
.
