MATA KULIAH: GEOMETRI TRANSFORMASI
KELAS
: VII C
KELOMPOK
: VIII
ANGGOTA
:
1.
IHSAN SUDIRMAN
206120579
2.
KAMARIAH
206120591
3.
IRAM IRAMAY AYAN ANT TI
2061 206120 2060 604 4
4.
MUSDALIFAH
206120615
5.
CHAIRUDDIN
204120253
Dosen Pembina : Dra. NURHAEDA P, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PAREPARE (UMPAR) 2009
1
PEMBAHASAN SIMILARITAS (KESEBANGUNAN)
A. Transformasi Transformasi Similaritas Dala Dalam m kehi kehidu dupa pan n seha sehari ri-h -hari ari bany banyak ak diju dijump mpai ai pasa pasang ngan an dua dua bend bendaa yang yang bangunannya sama hanya besarnya yang berbeda. Suatu bangun gedung dengan maket perencanaannya, suatu pesawat terbang dengan miniaturnya. Juga dalam bidang dijumpai pasfoto dari orang yang sama dalam beberapa ukuran. Mereka dikatakan saling sebangun atau atau simila similar. r. Membaw Membawaa dari dari satu satu gambar gambar kepasa kepasanga nganny nnyaa disebu disebutt memper memperbes besar ar atau atau memperkecil ukuran.
Gambar 3.1.1
Dalam geometri dikenal pula bahwa dua buah bujur sangkar selalu saling sebangun, juga dua buah segitiga dengan sudut-sudut berpasangan saling sama disebut sebangun. Tran Transf sfor orma masi si yang yang memb membaw awaa gamb gambar ar ke gamb gambar ar lain lain yang yang seba sebang ngun un dise disebu butt
kesebangunan atau similaritas. Definisi : Suatu tranformasi L adalah suatu similaritas bila terdapat bilangan positif k sehingga untuk setiap pasangan titik P dan Q dipenuhi P’Q’ = k.PQ dengan P’ = L (P) dan Q’ = L (Q).
Similaritas di atas disebut similaritas dengan faktor k dan dilambangkan dengan Lk. Bilangan k disebut faktor similaritas (faktor kesebangunan). Dari definisi jelas bahwa untuk k=1 similaritas akan merupakan isometri. Isometri adalah kejadian khusus similaritas. Jelas juga bahwa Lk mempunyai invers yang juga merupakan similaritas dengan faktor 1/k.
Dalil 3.1.1. Similaritas adalah suatu kolineasi.
Bukti (disingkat, sejalan dengan bukti pada isometri).
2
Diketahui similaritas Lk dan akan dibuktikan bahwa oleh garis lurus akan dibawa menjadi garis lurus lagi. Ambil sebarang garis t dengan dua titik A dan B padanya. Jika A’ = Lk (A) dan B’ = Lk (B) maka harus dibuktikan bahwa Lk (t) = A'B' a) Dengan kontrap kontraposisi osisi dan pertida pertidaksamaa ksamaan n segitiga segitiga dibuktikan dibuktikan bahwa bahwa untuk sebarang sebarang C pada t maka Lk (C) terletak pada A'B' , berarti Lk (t)
t
B
A
⊂ A'B'
B’
C
A’
Gambar 3.1.2
b) Dengan cara cara yang sama sama dengan diatas diatas dibuktika dibuktikan n bahwa untuk untuk sebarang sebarang titik D’ pada pada pasti ada D dengan D’ = Lk (D) yang terletak pada t, berarti A'B ' A'B' pasti
⊂t
dengan demikian terbukti bahwa Lk (t) = A'B' .
Dalil 3.1.2. Hasilkali similaritas similaritas Lk dan similaritas Lm adalah similaritas lagi lagi dengan faktor km.
Bukti Bukti untuk dalil ini dapat diturunkan langsung langsung dari definisi.
Dalil 3.1.3. Similaritas mempertahankan mempertahankan besar sudut.
Bukti : Ambil < ABC
C’
'
Misalka Misalkan n A = Lk(A Lk(A)) C
B' = Lk(B Lk(B))
B’
'
C =Lk(C)
A B Gambar 3.1.3
' ' maka A ' B' =k AB; B' C' =k BC; CA =k CA ' : ABC Darisifa Darisifatt kese keseba bang ngun unan an duasegitig duasegitigaa dipero diperole le h bahw bahwaa ∆ A' B' CΔ
sehingga m ∠A 'B 'C '
= m∠AB ABC.
Terbukti.
Akibat Similaritas mempertahankan mempertahankan ketegaklurusan. 3
A’
Catatan: Similaritas mempertahankan ketegaklurusan, artinya bahwa oleh similaritas L dua garis yang saling tegak lurus akan dibawa menjadi dua garis yang tegak lurus lagi.
Dalil 3.1.4 Similaritas mempertahankan kesejajaran. kesejajaran.
Bukti. Ambil dua buah garis t, r dengan t // r. titik P di luar t dan r. tarik dua garis melalui P yang memotong t di A dan di B, dan memotong r di C dan di D. Misalkan similaritas Lk membawa gambar ini menjadi gambar yang lain dengan: '
A =Lk(A); '
B = Lk (B) (B) ; '
C =Lk(C); '
D = Lk (D (D); ); '
P Lk (P) (P) '
'
P’
'
maka maka dari dari dalil dalil 3.1.1 3.1.1.. P ,A ,C akan seg seg '
'
'
P ,B ,D akan akan segaris segaris suuuu r '
'
P
'
A B =t ;
B
suuu r '
'
D
'
CD =r PA karena t // r m aka PC '
PA
'
kP A
PA
PB
A’
A
PB = PD kP B
'
'
PB
t
C
= = = = = ' ' ' ' PC kP C P C P D kP D P D
jadi
'
'
'
'
PA PC '
'
=
t’ B‘
r
'
r’ C’
D’
PB '
PD
'
Gambar 3.1.4
'
ber berar arti ti t // r (terb (terbuk ukti) ti)
Karena Karena besar besar sudut sudut tidak tidak berub berubah ah dan kesejaj kesejajara aran n tidak tidak beruba berubah, h, maka maka suatu suatu gambar akan dibawa ke gambar lain yang sebangun. Itulah maka transformasi ini disebut kesebangunan atau similaritas. Akibat Akibat.. Oleh Oleh simila similarit ritas as segitig segitigaa akan akan dibawa dibawa ke segiti segitiga ga lain lain yang yang sebang sebangun un dengan dengan segitiga yang pertama.
Kejadian khusus : Tarikan (Np, k)
Jika Jika dala dalam m himp himpun unan an isom isomet etri ri ada ada trans transfo form rmas asii yang yang menj menjad adii sent sentra rall iala ialah h pencerminan, maka dalam himpunan similaritas ada transformasi khusus yang menjadi kunci ialah tarikan. 4
Definisi. Untuk suatu titik P dan bilangan positif k, transformasi transformasi N p , k disebut tarikan terhadap P dengan faktor k bila
(i) N p,k (P) = P (ii) un u ntuk Q ≠ P, N p,k (Q) =Q = Q' di dipenuhi P Q' = k PQ PQ Bilangan k disebut faktor tarikan sedang p disebut pusat tarikan. Dengan mudah dibuktikan bahwa N ini adalah kejadian khusus dari similaritas dan kadang-kadang juga disebut juga similaritas radial.
R
Q
P Q’
R’
Gambar 3.1.5
Disimpulkan : Dalil 3.1.5. Tarikan merupakan suatu similaritas. Faktor tarikan merupakan faktor similaritas.
Catatan Catatan
Istilah ”tarikan”ad ”tarikan”adalah alah terjemahan terjemahan dari “stretch” “stretch” tetapi ternyata dalam bahasa bahasa
Inggrispun Inggrispun istilah ini belum baku. Beberapa Beberapa buku lain menggunaka menggunakan n ”dilation” ”dilation” ’radial transformation’ (’radial similarity’) dsb. Lepas dari itu, Bila k memungkinkan bernilai negatif (jadi asal k ≠ 0 ) maka transformasi terkait juga mendapatkan bermacam nama ‘ dilation’ ,’dilatation’, ‘similitude’ dsb. Dalam naskah ini transformasi tersebut terakhir ini tidak didefinisikan dan bila diperlukan dapat dianggap sebagai hasil kali tarikan N p ,k dan setengah putaran Hp.
Di sampin samping g itu ada lagi lagi transfo transforma rmasi si D yang yang memenu memenuhi hi sifat sifat D( g) // g untuk sebarang g. Untuknya ada yang memberi nama ‘dilation’ atau juga ‘homothecy’. Maka dua gambar sebangun yang pasangan garisnya saling sejajar disebut saling homotetik (seletak).
Gambar 3.1.6
5
Dalil 3.1.6 3.1.6. Untuk suatu garis gari s g dan g’ = Np, k (g) berlaku:
(i) (ii)
g’= g jika p terletak pada g
g'// g jik jikaa P di luar luar g.
(Buktikan sendiri).
Dalil 3.1.7 Paling banyak ada hanya satu similaritas yang membawa tiga titik tak segaris A, B, C ke tiga titik tak segaris lain A’, B’, C’, berturut-turut. berturut-turut.
Bukti Misalkan Misalkan ada ada dua similaritas similaritas L1 dan L2 yang memenuhi maka hasilkali L2L1-1akan membuat ketiga titik kembali ketempat semula, berarti bahwa L 1 = L2 (karena invers invers transformasi transformasi adalah tunggal), jadi paling paling banyak banyak hanya hanya ada satu similaritas similaritas membawa A ke A’, B ke B’, C ke C’
Terbukti.
Dalil Dalil 3.1.8. 3.1.8. Hasilkali Hasilkali suatu suatu tarikan tarikan dan suatu isometri isometri akan menghasilkan menghasilkan suatu similaritas. Sebaliknya, setiap similaritas selalu dapat dianggap sebagai hasilkali suatu tarikan dengan suatu isometri.
Bukti. a). suatu isometri U akan mempertahankan panjang jarak, suatu tarikan N p , k akan mengal mengalika ikan n jarak jarak tersebu tersebutt menjad menjadii k kali. kali. Jadi Jadi hasilk hasilkali alinya nya merupa merupakan kan suatu suatu similaritas Lk. b) b) dike diketa tahu huii suat suatu u L
dan dan tiga tiga titik titik tak segari segariss A’, A’, B’ , C’ karen karenaa L suatu suatu
transformasi, pasti adalah tiga titik A, B, C yang juga tak segaris sehingga L(A) = A’; L(B) = B’; L(C) = C’ dan ∆ ABC :∆
A' B'C'(liha 'C'(lihatt gam gambar3.1.7 ar3.1.7)) su uu u r
' Tentukan TentukanC' C''' pada pada A B' sehingga seh ingga A'C''=AC 'C''=AC
su uu u r
' Tentukan Tentukan B''pada A B' sehingga sehin gga A'B' B' =AB =AB
%ABCdan seh sehingg inggaa ∆A'B''C'' =∆
A'B' = k A' B" A'B'=kA'B" A'C'= k A'C"
A’
C”
B
B”
C’
C
A
B‘
6
Gambar 3.1.7
Maka (dalil 2.9.5) terdapat suatu suatu isometri isometri U untuk membawa membawa juga
terdapat
suatu
tarikan
N A,k
ialah
∆ ABC ABC keΔ A'B"C" A'B"C" yang
membawa
∆ A' B"C"keΔ B"C"keΔ A'B' B 'C', C ', sehi sehing ngga ga dapa dapatt ditu dituli liss Lk = U N A,k (Untuk Lk = N U buktinya sejalan dengan bukti diatas ) terbukti.
Dalil 3.1.9 3.1.9 Untuk sepasang segitiga yang saling sebangun
∆ABCΔA'B' C' :
terdapat tepat
BkeB' dan CkeC' CkeC' . satu similaritas L yang membawa A ke A', BkeB' Bukti lihat gambar 3.1.7. dianggap diketahui:
∆ABC:ΔA ABC:ΔA''B'C B'C 'akan dibukt dibuktika ikan n bahwa bahwa selalu selalu ada ada similari similaritas tasL L yang yang memenu memenuhi hi L(A)=A';L(B)=B';L(C)=C' su uu u r
karena m∠ BAC = m∠ B'A'C'ten 'tentuter tuterdapat B"pa "pada A ' B' sehing ingga A'B''= AB; su uu u r
juga juga terd terdap apat at c"pada c"pada A' C' sehi sehing ngga ga A'C'sehi C 'sehing ngg ga A'C' A'C''' = AC,m AC,maka aka ΔABC= ΔABC=± A'B"C" B "C".akh .akhirn irny ya suat suatu u tari tarika kan n dapa dapatt ditu dituru runk nkan an ialah ialah N A,k yang membawa A'B"C"keA' "keA'B B'C'de 'dengan k=
A'B' AB
.
Bahwa tidak lebih dari suatu similaritas yang memenuhi sudah dijamin oleh dalil 3.1.7 (terbukti).
Dalil 3.1.10 Himpunan similaritas menyusun grup.
(Buktikan sendiri) Dari Dari dalil dalil ini dapat dapat disimp disimpulk ulkan an bahwa bahwa himpun himpunan an simila similarit ritas as merupa merupakan kan grup grup bagian bagian dari himpunan kolineasi, kolineasi, sedang sedang himpunan himpunan isometri isometri menjadi menjadi himpunan himpunan bagian himpunan similaritas ini.
7
CONTOH-CONTOH 3.1 1.Lukis 1.Lukisla lah h sebara sebarang ng ΔAB ΔABCdan titikP titik P dilua diluarny rnyaa
.lukis .lukis Δ A'B'C 'B'C'= '= N p,2( ΔAB ΔABC)kemudi C)kemudian an
juga juga Δ A"B "B"C "C"" : Hp ( ΔA'B'C 'B'C'') perl perlih ihat atka kan n bahw bahwaa ha
silk silkal alii Hp N p,2
jawab: lihat lihat gam gambar3. bar3.1.8 1.8.daridefi .daridefinis nisii dansifat-s dansifat-sii
fat fat H dan dan N maka aka harus haruslah lah
A,A',A'' segaris B,B',B''segaris C,C',C''segaris sisi sisi berse bersesua suaiansali iansaling ngse seja jajar jarda dan n
Δ A'B A'B''C'' C''
ΔAB ΔABC denga dengan n faktor faktor2 2
:
su u u u r
bahwa HpN p ,2 , ambil∆A0 B0 C0 = Hp∆( ABC ), maka∈ A 0 su u u u r
suu r
suu u u r
suu r suu u u r
;B AA '' ∈ 0
suu r
dan Ao Bo // AB; Bo Co // BC; Co Ao// CA CA. karena A B0
0
su uu u r
' ;C BB '∈ 0
=Btetapi A" B" A
=A'
su u u u r
CC ''
B' =2 AB
jadiA "B "= 2AoB o , jad∆i A ''B 'C ' = '' N p∆ ,(2 A B0C0 )0sehinggaNp= H . terbukti , 2p HpNp , 2
C’
A’
C
B’ A B
B0 C0
B”
A0
C” A” 2. Lukislah bujur sangkar ABCD dengan panjang sisi 3, juga bujursangkar Gambar 3.1.8
A'B'C'D'
denga engan n sisi sisi 2 sepe sepert rtii
sehin ehingg ggaa
dala dalam m
gamb gambar ar 3.1 3.1.9. .9.
A'B' A'B'C' C'D' D'= = Lk (ABCD). (ABCD). Lukislah. 8
tent tentu ukan kan
simi simila lari rita tass
Lk
(diusahakan rangkaian yang sesingkat mungkin).
D D”
A C’
C
A”
D’
C” B = B” B’
A’
Gambar 3.1.9
Dari gambar terlihat bahwa Lk searah dan tidak dapat disusun dengan S N atau N S. maka haruslah Lk berupa R N atau N R. Pilih Lk = R N lukis bujursangkar
A''B'' B''C'' C''D'' D''= N B,2/3 (ABCD (ABCD)) hingga hingga bujurs bujursang angkar kar A''B'' B''C'' C''D'' D'' =%bujurs bujursan angka gkarr A'B' A'B'C' C'D' D'.. suuuu r
suuuu r
Carila Carilah h pusat pusat putara putaran n sebaga sebagaii titikpo titikpoton tong g sumbu sumbu A'A' A'A'' dansum dan sumbu bu B'B' B'B''' . Dengan Dengan demikian demikian putaran putaran tertentu. tertentu. 3.Diket 3.Diketah ahui uiΔA ΔABC BC : ΔA' ΔA'B'C'denga C 'dengan n arah arah sudu sudutt ter ter bali balik.ten k.tentuk tukan an L yang yang pali paling ng ringkas ringkas yang yang membawaΔ membawaΔABCke ABCke ΔA'B'C'. B'C'. jawab: kare karena na arah arah sudu sudutt terb terbal alik ik maka maka L haru haruss beru berupa pa M N atau atau N M.pi M.pili lih h yang ang MN. MN. untuk untuk ini lebih lebih mudah mudah bila bila lukisa lukisan n dikerj dikerjaakan mundur. mundur. su uu r su uu r
su uu r su uu r
1.Lu .Lukislah R (OA ,O'A'), maka ∠ (OA ,O'A')= ∠ DRC' 2.lukisl 2.lukislah ah garis garis g ialah ialah garis garis yang yang membag membagii dua samasu samasudut dut tadi tadi 3.Cermink 3.CerminkanΔ anΔA' A'B'C' B'C'ter terhad hadapsebar apsebaranggaris anggaris h , h // g.(disini g.(disini h diamb diambil il melal melalui ui C'). C'). terdapatΔA apatΔA'''B'' B''C'' C'' yang yangsud sudah ah homote homotetik tik dengan dengan ΔA BC, sehing sehingga ga pasti pasti ada tarika tarikan n yang menghubungkannya. menghubungkannya. suuu u r suuu r
4.Pusa 4.Pusatt tarik tarikan an P dite ditemu muka kan n seba sebaga gaii P (B"B (B"B ,A' ,A''A), seda sedang ng fakto faktorn rny ya k = sehingga L = Mp N p,2
9
A'B' AB
A” B” D
g
h
R C” = C’
A B
A’ C B’ Gambar 3.1.10
3.2. Rumus-rumus Similaritas
Rumus tarikan Agar penjabaran menjadi ringkas akan digunakan notasi vektor dan matrix. Misalkan titik P dibawa oleh N B , k menjadi P
Y X P X X
B B
0 Gambar 3.2.1
10
X
Dengan engancara caratulis tulisko kom mponen ponen
atau dengan cara tu tulisskalar
x x a 1 k − ( y =k y + ) b k a) x=kx+ −( 1 (8) y k y ( 1 k b ) = + −
(8)
jikarum jika rumus isometri(7) etri(7)disin disingk gkat atde deng ngan an X ' =VX+ H dandisu ndisusulkan kepada tari tarik kandiatasdi ndiatasdip perole role
h
X = V ( kX
+1( −k B))+ H =kVX+ V− (1k+B) H =kVX+ Q Q= V − + sH (1 )k B uat uve uvektorge rgeserba rbaru.
dengan
diperoleh rumusUm us Umumsimilaritas.
x' a b x y' = ± ± a y+ b 2 dengan a +b 2=k 2≠0
c d
(9)
Tanda atas untuk yang searah, tanda bawah untuk similaritas yang berlawanan.
Contoh 3.2 Buktikan secara analitis bahwa “Homothecy” (D dengan sifat D (g) // g) akan merupakan N atau , atau S atau hasilkali mereka. Jawab. Karena sifat D maka D pastilah berupa similaritas dan karena similaritas yang berlawanan tidak ada yang mau dipertahankan arah garis maka pasti D berupa similaritas searah. Rumusnya dapat ditulis sbb.
11
x' a y' = − b
b x
c + a y d atau X ' = ax + by + c X ' = − bx+ ay+ d Misa isalkan lkan g ' = D ( g ) de dengan ngan persa rsamaa maan px '+ qy '+ r = 0. persam samaan g me men njadi jadi p( ax+ by + c) + q (− bx + ay + d) + r = 0 atau ( ap − bq) x + ( bp + aq) y + cp + dq + r= 0 sy syara aratka tkan g' // g akan kan dapat b( p2 + q2 ) = 0 berarti b=0 seh sehin ingg gga a tran transf sfor orma masi si me menj njad adii X ' = ax+ c y' = ay+ d (i )untuk a > 0 bilaa bilaa = 1mak maka D merupa rupaka kan n suatu atu S bila bila a ≠ 1maka maka rumu rumuss dapa dapatt diub diubahmen ahmenja jadi di x' x e c 1 = + − a a ( ) y' y f de ngan e = 1 − a f =
d
1− a ini ini tida tidakk lain lain ad alah alah N p ,α (rumu rumuss g ) deng dengan an pusa pusatt P (e , f ). (ii) untu untukk a < 0, rumu rumuss dapa dapatt ditu dituli liss seba sebaga gaii
x x' = − a − y − y'
c/ a
d/ a
dan in ini ta tak la l ain ad adalah ha hasil kali Hp da d an No , m de dengan P −
c 2a
d dan m 2a
= −a > D
SOAL-SOAL3.1 3.2 1. Bukt Buktik ikan anla lah h dali dalill 3.1. 3.1.6 6 2. Buk Buktika tikan n bah bahwa wa N p, k
−1
= N p,1/ k
Nα ,t N p ,k
3. Buk Buktika tikan n bah bahwa wa
= =
s untuk N untuk
p, kl
=1kl =k1l
untuk kl ≠1bu 1buktikan bahwa P,Q, ,Q, R dan Fse Fsegaris kerjakan kerjakan lagisoal diatas secara secara analitis analitis bila diberikan diberikan sebagai sebagai berikut berikut P (P1, (P1, P2),Q P2),Q (q1, (q1, q2).dan q2).dan tentuk tentukan an koordi koordinat nat F.
4. Kemba Kembali lika kan n dari dari soal soal no.3 no.3 diat diatas as,b ,buk ukti tika kanb nbah ahwa wa seba sebara rang ng S AB selalu dapat ditulis ditulis sebagai Nα ,1/ k N A,k 5. Diketa Diketahui hui A (0,0). (0,0). B (0,-1 (0,-1), ), C (-1, (-1,0), 0), A ’ (2,1), B’ (4,3), C’ (0,3). Periksalah bahwa 12
ΔABC ΔABC ke ΔA'B'C' B'C' pertama pertama dengan gambar, keduanya dengan rumus. 6. Tuli Tuliss rum rumus us untu untuk k N o,k dan buktikan buktikan bahwa garis ax + by + c = 0akan dibawa kegaris kegaris yang sejajar dengan garis semula. Buktikan pula bahwa tarikan mempertahankan titik tengah ruas garis. 7. Buktikan Buktikan bahwa bahwa similar similaritas itas memperta mempertahank hankan an perbandin perbandingan gan garis. garis. 8. Buktikan Buktikan bahwa bahwa oleh oleh Lk Lk luas suatu daerah akan menjadi menjadi k 2 kalinya. 9. Buktikan Buktikan bahwa bahwa Lk mempertahan mempertahankan kan kelas irisan irisan kerucut, kerucut, artinya artinya misalnya misalnya elips elips akan tetap menjadi elips lagi dan bukan menjadi parabola atau hiperbola. (kenakan Lk pada persamaan umum irisan kerucut dan buktikan bahwa tanda determinan
D =
a11 a12 a21 a22
tidak berubah
10. Apa syaratnya syaratnya bahwa bahwa suatu suatu Lk berupa N pk dan tentuka koordinat P dan besar faktor K 11. Hasil Hasil kali kali R p,θ N p,k disebut similaritas spiral. Buktikan bahwa R p,θ N p,k
= Np,k
Rp,θ
12. Buktik Buktikan an bahwa bahwa similar similaritas itas searah searah akan akan berupa berupa atau atau simila similarita ritass spiral spiral atau suatu suatu geresan. 13. 13. Seba Sebagi gi akib akibat at dari dari sifa sifatt dalam dalam soal soal 12, 12, bila bila dibe diberi rika kan n
∆ A'B'C'. Searah Searah
∆ ABC
sebangun sebangun dengan dengan
dan tidak tidak seletak seletak,, temuka temukan n lewat lewat lukisa lukisan n simila similarita ritass spiral spiral yang yang
menghubungkannya.
13