ACADEMIAS
GEOMETRÍA Y MEDIDAS
TRIÁNGULOS TRIÁNGUL OS (PROPIEDADES Y LÍNEAS NOT NOTABLES) ABLES) COI2GM1A
DESARROLLO DEL TEMA
Triángulos
3. Triángulo equilátero
60°
Es aquella figura geométrica formada por tres puntos no colineales, los cuales son unidos por tres segmentos que tienen por extremos dichos puntos.
60°
60° A. Elementos
B
y
B. Según la medida medida de sus ángulos
q
c
a
c
a
b
b z Vértices: A, B, C Lados: a, b, c Perímetro: AB ∪ BC ∪ AC
1. Triángulo rectángulo
Posee un ángulo de 90º. x A 2. Triángulo oblicuángulo a. Acutángulo
B. Notación ∆ ABC:
Sus tres ángulos internos son agudos.
Se lee, triángulo de vértices A, B, C.
q
b, q, a <
C. Elementos asociados
Ángulos interiores: a, b, q. Ángulos exteriores: x, y, y, z.
90
b
a
b. Obtusángulo
Clasificación de los triángulos
Tiene un ángulo obtuso. 90° < a < 180°
A. Según sus lados a
1. Triángulo escaleno
Propiedades •
2. Triángulo isósceles
En todo triángulo la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180° b a + b + q =
a
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a
a
1
180°
q
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TRIÁNGULOS (PROPIEDADES Y LÍNEAS NOTABLES)
En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes.
•
Líneas notables Son segmentos, rayos o rectas asociadas al triángulo, algunas de ellas serán:
b
x = a + b
A. Ceviana
Segmento de recta cuyos extremos son un vértice del triángulo y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación. BD , BE y BF son "cevianas" del triángulo ABC. B
x
a
En todo triángulo la suma de las medidas de los tres ángulos exteriores es igual a 360°.
•
b a + b + q =
360° A
a
D
F
C
E
q
B. Altura
Propiedades Adicionales
(BH: altura, O: Ortocentro) Perpendicular que une un vértice y un punto del lado opuesto o de su prolongación. B A
A. Teorema de la existencia de triángulos
b
a c
Diferencia de < Lado < los otros lados b – a < c < a + b
A
a
a
H
C B,O
H
C
O
C. Bisectriz
Se asocia dos tipos de bisectrices al triángulo. AD es "Bisectriz Interior" del ángulo A. BF es "Bisectriz Exterior" del ángulo B. I: Incentro del ∆ ABC.
Si: a > b > c ⇒ b > a > q
b
c
C
O
Suma de los otros lados
B. Relación de correspondencia b
A
H
M
N
b
B
q q
C. Propiedades auxiliares
b
A
x = a +b +c a
D
I
c
a a
F
C
D. Mediana
Segmento cuyos extremos son un vértice y el punto medio del lado opuesto. G: Baricentro ∆ ABC B
x
b
a+b=x+y
a
y a
x
y
P
x + y = a + b
2y A
b
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2
2x zG
y x M
N 2z C
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TRIÁNGULOS (PROPIEDADES Y LÍNEAS NOTABLES)
B
E. Mediatriz
Es la recta perpendicular a un lado en su punto medio.
b
x
Circuncentro
B
x= a
Propiedad:
L
B
x
M
A
Q
3. Ángulo formado por las bisectrices exteriores.
C
b
Observación:
x = 90° –
Si ∆ ABC es isósceles: B
q
A F.
a H
a
q
b
2
x
Altura Bisectriz BH Mediatriz Mediana
aa
2
a
2. Ángulo formado por las bisectrices interiores. B b x = 90° + b 2
C
A
b
4. Ángulo formado por una bisectriz y una altura que parten en un mismo vértice.
C x = a – b 2
x
Propiedades asociadas a las líneas notables
1. Ángulo formado por una bisectriz interior y otra exterior.
b
a
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1
Dividiendo: x = 100°
Calcular x. B x
A
a a
P 140°
C
PUCP 2002 - I Nivel fácil
A. 100° B. 110°
Errores más comunes:
Método 2
b b
C. 90° D. 80°
Resolución Método 1
(1) Aplicando la propiedad de líneas notables: 140° = 90° + x 2
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A
x = 100°
B x a a
P 140°
Confundirse a la hora de aplicar la propiedad: x = 90° + 140° (ERROR) 2 b b
Respuesta: A. 100°
C Problema 2
(1) En el ∆ APC: a + b + 140° = 180° a + b = 40° ........(1)
En un triángulo la bisectriz exterior de uno de sus ángulos es paralela a uno de sus lados, el triángulo es: PUCP 2002 I
(2) En la región ABCP (propiedad): a + b + x = 140° ........(2) Reemplazando (1) en (2): 40 + x = 140°
3
Nivel intermedio
A. Isósceles B. Rectángulo
C. Escaleno D. Oblicuángulo
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TRIÁNGULOS (PROPIEDADES Y LÍNEAS NOTABLES)
Resolución
B
Problema 3
bisectriz
q q
a
Calcular el perímetro del triángulo mostrado si AB = 2 y la recta es bisectriz L del ángulo ABC. Nivel fácil
B
b
(1) Por ángulos correspondientes: a = q (2) Por ángulos alt. internos: b = q Concluimos: Si: a + b + q → a = b ∴ ∆: Isósceles Errores más comunes:
Trazar la bisectriz en la prolongación de un lado.
A
53°
C
98°
A. 8 B. 6
L
3k = 2 A
a a
4k 5k
53°
98° M
C L
(*) Del gráfico en el ∆ ABM 33° + a = 98° (Prop.) a = 45° → m ABC 90° =
C. 5 D. 4
∴ ABC (
aproximado: 37° y 53°) 2P : 12k = 4(3k) = 4(2) = 8
Resolución Respuesta: A. Isósceles
Respuesta: A. 8
Graficando y colocando los datos:
EJERCICIOS DE CLASE
A. 30° B. 50°
Nivel I 1. Calcular "x":
x
x
C. 60° D. 80°
Nivel II 5. En un triángulo ABC, se traza la
x
A. 20° B. 27°
C. 30° D. 36°
2. En un triángulo ABC se traza la
bisectriz interior BP tal que: BP = PC. Calcular m∠C, si m∠ A = 75°. A. 25° C. 35° B. 30° D. 40° 3. En la figura, calcular "x".
x
altura BH (H en AC). Si: AB + BC = 8, calcular el máximo valor entero de BH. A. 3 C. 5 B. 4 D. 6 6. En un triángulo ABC (AB = BC)
se traza la ceviana AD (D ∈ BC) y la altura BH (H ∈ AC). Si 3m∠DAC = 2m∠BAD y m∠ AFH = 64°; calcular m∠ ADC. (AD ∩ BH = F). A. 72° C. 89° B. 78° D. 91° 7. Calcular "x".
80 x
x
x x C. 144° D. 152°
A. 120° B. 135°
4. En la siguiente figura, calcular "x". q q
x
l
x
l
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a a
C. 18° D. 20°
9. Sabiendo que ABCD es un
x x
A. 10° B. 15°
x
A. 110° B. 120°
q q
cuadrado y CED es un triángulo equilátero, calcular y – x. C B x y E A
D
A. 15° B. 30°
10. Se tiene un triángulo isósceles,
se traza un segmento hacia al lado opuesto, tal que se forman 3 triángulos isósceles. Calcular el menor ángulo del triángulo. A. 30° C. 36° B. 45° D. 60° 11. En la figura: AB = BC = AD,
calcular "x". B x
C. 130° D. 140°
8. En un triángulo ABC se sabe que
m∠ A = m∠B = m∠C , calcular la 5 4 3 medida del ángulo formado por la altura y bisectriz trazadas desde B.
4
C. 45° D. 50°
A 60° A. 75° B. 80°
x C D C. 85° D. 90°
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TRIÁNGULOS (PROPIEDADES Y LÍNEAS NOTABLES)
12. En la figura, AB = BC, DEF es un
triángulo equilátero. Calcular la relación correcta entre "a", "b" y "c": B
D b
E c
A
a
F
A. a = b + c 2 B. a – b = c
100°
C. a = a – c 2 D. a = b – c 2
x b b
20° y
Nivel III C
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A. 1
13. En la figura, calcule " x ".
y
5
b
B. 1 3
q q
C. 1 2 D. 2
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