MATEMÁTICA MATEMÁTICA I
INGENIERÍA INDUSTRIAL INDUSTRI AL
OPERACIONES CON MATRICES MATRICES I.Construir la siguiente matriz:
j 2 − 2 j ; i ≠ j aij = i + j ; i = j
A = [aij ]2×2
tales que A = a i j
1. Halle la matriz
3 x 3
en cada caso
i + j ,
i= j
0,
i≠ j
ai j =
a)
i + j, ai j = i j , i × j,
i< j
i + j, i > j ai j = 0, i= j 2i − j, i < j
i= j i> j
b) ai j = 2 + 3 i
c)
j
d) II. Dadas las siguientes matrices.
2 −5 0 7
A =
3 1 / 2 1 −1
B =
5
3
2 −5 / 2 0 2 −3 0
C =
D = [ 7
3]
1 E = 2 0
1 0 0 F = 0 1 0 0 0 1 5 −3 10 1 0 G= 6 −5 2 2 Efectúe las Operaciones algebraicas que se piden o explique la razn de no poder efectuarlas.
MATEMÁTICA MATEMÁTICA I
INGENIERÍA INDUSTRIAL INDUSTRI AL
!"C
%&
C#!
'!"(C
!"$
MATEMÁTICA MATEMÁTICA I
INGENIERÍA INDUSTRIAL INDUSTRI AL
(C#!
*D&)!
%&
+.E
C#%&
A
D.&
3
B
2
!.C &.D !.$ !$"$E !"$ %& C#%& D.& !.C
III.,E&-I& -&/ /I+0IE12E/ O3E,&CIO1E/ CO1 4&2,ICE/.
D*&!) +.$
− a 22 a 11 − a 21 − 2 a12
2. 5. Dada la matriz: & 6
7 calcule: 8 6
8 −10 −3 A = −16 −3 9 −1 2 6
(./ea a la matr matriz iz:: 3. (./e
M
=
a13
a32
+
+
a22
−
. Calcu alcule le::
a23
9
alle la transpuesta de &. 1 2 − 1 3 B = A = 7 4 3 4 4. '. /i ; calcular %&<'! 9 '&!. ; donde : 5. =.Calcular: AB −BA , donde
[ ] 1
2
1
A = 2
1
2
1
2
3
[
B=
4 4
−
1
1
1
2
0
2
1
]
6. 7. 2 5 −1 A = 8 −4 9 1 −2 −7
M
=
a13
+
a32
a22
+
−
a23
8. %./ea la matriz: . Calcule: 1 2 − 1 3 B = A = 7 4 3 4 ; 9. . /i ; calcular =&<(! 9 &! 1 2 − 1 3 B = − 1 3 2 0
A =
10.
>./i
;
donde e : 11. ?.Calcular: AB + BA , dond
; calcular !(; &
[ ] 1
2
1
A = 2
1
2
1
2
3
1 −3 8 A = −2 0 −1 5 7 6
12.
@./e @./ean an las las matr matric ices es::
posible): A"B; A#B; ( A"B; ' A#%B; AB;
4
−
1
1
1
2
0
2
1
]
−2 8 1 B = 5 7 3 4 6 0 9
BA.
[
B=
4
. Calc Calcul ule e *si *si es
13.
1 −3 A = 4 0 , B = 3 0 , C = 1 2 3 3 1 5 −1 4 0 −1 5A./ean 5A./ean las matrices matrices
posible): A"B; C" A;
. Calcule *si es
BC; CB; AC; CA;
.
14. 15. 55.,ealice las siguientes multiplicaciones; si es posible; e indique el orden de la matriz producto:
2 − 1 2 3 2 1 − 1 × 3 2×3 1 3×1
3 1 − 1 2 2×2
[ 2 − 3] 1×2 × 16.
17.
a)
b) 1 2 3 1 0 5 2 AB = −3 −2 −1 2 3 1 − 4 0 1 −1 1 −4 7 0
c)
18. 19.
IV. Resuelve las s!ue"#es A$l%a%&"es %&" Ma#'%es
20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 5.0na cadena de tiendas de electrnica tiene dos distribuidoras en -ima. En 4a9o 4a9o las Bentas de teleBi teleBisor sores; es; cmara cmaras s fotogr fotogrc cas as 9 I3od I3od en los dos dos almacenes estuBieron dados por la siguiente
1. 5.
+s#',u*&' 1 9. +s#',u*&' 2
2. TV 6. (( 10. 5
3. C()a'as 7. '= 11. =A
4. IP&* 8. 5 12. (A
=
28. 29. 32.
30. 31.
/i la direccin establece Bentas netas para unio de un %AF de aumento sobre sobre las Bentas Bentas de 4a9o; 4a9o; escrib escriba a la matriz matriz que represe representa nta las Bentas pro9ectadas para unio.
33.
34.
(.-a economGa de una nacin en BGas de desarrollo se basa en productos agrGcolas; acero 9 carbn. 0na produccin de una tonelada de productos agrGcolas requiere un consumo de A.A5 toneladas de productos agrGcolas7 A;A( toneladas de acero 9 A;A% toneladas de carbn. 0na produccin de una tonelada de acero requiere un consumo de A;A5 toneladas de produccin agrG agrGco cola la77 A;5' A;5' tone tonela lada das s de acer acero o 9 A;5? A;5? tone tonela lada das s de carb carbn n.. 0na 0na produ producci ccin n de una tonela tonelada da de carb carbn n requi requier ere e de A;A5 A;A5 tonela toneladas das de productos agrGcolas7 A;(A toneladas de acero 9 A;A% toneladas de carbn. Escriba la matriz tecnolgica para esta economGa.
35. 36.
'.-a '.-a siguie siguiente nte infor informac macin in corres correspo ponde nde a la canti cantidad dad de libro libros s de la editorial & 9 ! ordenados por gnero 9 condicin; que una librerGa tiene a la Benta.
37.
E+ITORIA- A
38. /NERO 40. Te 41. A% 42. C 43. 39. CON+ICI ''&' %" )%as %%" N 44. E)$as#a*& 45. (= 46. A 47. 'A 48. A A
49. N& E)$as#a*&
50.
A
51.
=% A
A 'A
52.
A
A %A
53.
A
'A A
54. E+ITORIA-
55.
56. /NERO 58. Te 59. A% 60. C 61. 57. CON+ICI ''&' %" )%as %%" N 62. E)$as#a*& 63. (A 64. %A 65. 'A 66. %A A
67. N& E)$as#a*& 72.
68.
A =A
A
69.
A >A
A
70.
A 5(
A
71.
>A A
a) ,epres ,epresente ente esta informa informacin cin utiliza utilizando ndo matrices. matrices. b) Escriba Escriba la matriz que repres representa enta el total de libros libros que la librerGa librerGa tiene tiene por gnero 9 condicin en ambas editoriales.
73. 74. =.-os ingresos mensuales de una fbrica ensambladora de automBiles; se presenta en 10000 12000 13000
9000 11000
la
matriz:
1400
I6 7 indicando las columnas los modelos 45; 4( 9 4' que se ensamblan7 9 las las indican las plantas & 9 !; dedicadas a este proc proces eso7 o7 resp respec ecti tiBa Bame ment nte. e. /i los los cost costos os de prod produc ucci cin n mensu mensual ales es se
9000 9000 10000 7000 8000 11000 presentan en la matriz: C 6 . Halle la matriz 0; que represente las utilidades en cada planta; indicando la planta que genera la menor utilidad; asG como el modelo que genera la menor utilidad.
75. 76.
%. 0n encuestador polGtico obserBa una postulacin mu9 competida para la alcaldGa en una ciudad particular. particular. -a encuestas indican las preferencias de los Botantes Botantes en los seis distri distritos tos electora electorales les de la ciudad ciudad.. -a matriz matriz 3 muestra estas preferencias. preferencias. D!"#"$! 1
2
3
4
5
6
0%40 0%35 0%35 0%30 0%30 0%5 0%50 0%3 0%30 0%36 D&'( D&'()# )#**"* 0%40 P = 0%42 0%40 0%25 0%25 0%3 0%30 0%3 0%30 0%32 R&+ .)*/$ /$ 0%42 0%4 R&+--.)* 0%18 0%18 0%25 0%25 0%45 0%45 0%20 0%20 0%40 0%40 0%32 0%32 I/ I/&+ &+&/ &/ &/ &/"& "& 77.
78. Cada columna indica los porcentaes de Botantes en cada distrito que se espera que Boten por los diferentes candidatos a la alcaldGa. El número de ciudadanos en cada distrito est dado en la siguiente matriz . . D!"#"$! 1 V = [ 30 000
2 60 000
3 70 000
4 45 000
5
6
55 000
40 000 ]
79.
80. Determine la matriz que pronostique el resultado de la eleccin. 81. .-a empr empresa esa /ide /iderr 3erú erú en Cim Cimbo bote te quie quiere re prod produc ucir ir acer acero. o. /er /ern n 82. .-a necesarias; entre otras materias primas: ierro 9 carbn. -a siguiente tabla nos muestra las demandas *en toneladas) del ierro 9 carbn en un periodo de ' semanas: 83. 84. HIE 85. C&, ,,O !O1 *2) *2) 86. 1 87. @ 88. ?
e'a Se ) 89. 2 90. *a Se ) 92. 3 93. 'a Se )
%
91.
>
94.
=
95.
En la sigu siguie ient nte e tabl tabla a se mues muestra tran n los los cost costos os por por tone tonela lada da de materia prima para los tres proBeedores:
96. 97. 98. 99.
100.
101. V
104. IERRO 108. C ARO N
105.
102. 103. ARR AN AN 106. 107.
%=A
'A
109.
110. = 111.
=(A
5A
%'A ==A
112. 113. JCul es el proBeedor que ofrece ma9or benecioK 114. 115. >.3ara >.3ara las elecciones elecciones municipa municipales les de -ima un candidato candidato contrato contrato los serBicios de una empresa de relaciones públicas para dar a conocer sus propu propuest estas as 9 ganar ganar las elecci eleccione ones; s; median mediante te tres tres formas formas:: por telfo telfono; no; Bolantes a la casa 9 mediante cartas. El costo por cada contacto establecido se obtiene mediante la matriz: Costos por contrato contrato
116.
117.
0,40 TELEFONO 0,75 VOLANTE 0,25 CARTA
El número de contactos establecidos en dos distritos; se calcula mediante la matriz:
118.
TELEF TELEFON ONO O VOLA VOLANTE NTE
119.
200 140
150 300
CARTA CARTA
100 120
distrito ito distr ÷ distr ito distrito
A B
a) Halle la cantidad total que se gast en la ciudad & 120. 121. b) Halle la cantidad total que se gast en la ciudad ! 122. 123. ?.0na empresa usa cuatro diferentes materias primas M5; M(;
M' 9 M= en
la elaboracin elaboracin de su producto producto.. El número número de unidades unidades de M5; M(; M' 9 M= usadas por unidad del producto son =; '; ( 9 %; respectiBamente. El costo por unidad de las cuatro materias primas es de %; >; 9 ' nueBos soles; respectiBamente. Exprese el costo total de las materias primas por unidad del producto.
124. 125. @. -a compaLGa compaLGa de dulces dulces MN0E ,ICO ,ICO consta consta de dos locales locales;; uno en
Comas Comas 9 otro en Corrillos. Corrillos. N0E ,ICO recibi recibi un pedido pedido por %AA tortas 9 5AAA piononos. -a gerencia a decidido elaborar 'AA tortas 9 >AA piononos en su local de Comas 9 el resto del pedido en Corrillos. Cada torta requiere 'AA gramos de arina 9 5%A gramos de azúcar; mientras que cada pionono requiere 5AA gramos de arina 9 'A gramos de azúcar. -a arina cuesta ( soles el Pilogramo 9 el azúcar ';%A soles el Pilogramo.
Hacien endo do uso de oper operac acio ione nes s matr matric icia iale les; s; encue encuentr ntre e la matri matriz z que que a. Haci contenga la cantidad de insumos *arina 9 azúcar) que ser necesario utilizar en cada local para cumplir con el pedido. Hacien endo do uso de oper operac acio ione nes s matr matric icia iale les; s; encue encuentr ntre e la matri matriz z que que ,. Haci contenga el gasto; en soles; que cada local debe realizar para la compra de los insumos.
126. 127. 5A.0n ipermerc ipermercado ado quiere quiere ofertar ofertar tres clases clases de bandeas: bandeas: &; ! 9 C.
-a bandea & contiene =A g de queso mancego; mancego; 5A g de roquefort roquefort 9 ?A g de camembert7 camembert7 la bandea ! contiene 5(A g de cada uno de los tres tipos tipos de queso queso anteriores anteriores77 9 la bandea bandea C; contiene contiene 5%A g de de queso mancego mancego;; ?A g de roquefort 9 ?A g de camembert. /i se quiere sacar a la Benta %A bande bandeas as del del tipo tipo &; ?A de ! 9 5AA de C; obtn obtn matric matricial ialmen mente te la cantidad que necesitarn; en Pilogramos de cada una de las tres clases de quesos.
128. 129. 55.0 55.0na na fbr fbric ica a prod produc uce e dos dos mode modelo los s de laBa laBado dora ras; s; & 9 !; en tres tres
ter termina minaci cion ones es:: 1; - 9 /. 3rodu roduce ce del del mode modelo lo &: =AA =AA unid unidad ades es en la term termin inac aci in n 1; (AA (AA unida unidade des s en la term termin inac aci in n - 9 %A unida unidade des s en la terminacin /. 3roduce del modelo !: 'AA unidades en la terminacin 1; 5AA unidades en la terminacin - 9 'A unidades en la terminacin /. -a term termin inac aci in n 1 lleB lleBa a (% ora oras s de tall taller er 9 5 ora ora de admi admini nist stra raci cin n.. -a terminacin - lleBa 'A oras de taller 9 5.( oras de administracin. -a terminacin / lleBa '' oras de taller 9 5.' oras de administracin. a) ,epre ,epresentar sentar la la informac informacin in en dos dos matrices. matrices. b) Hallar Hallar una matriz matriz que expre exprese se las oras oras de taller taller 9 de adminis administra traci cin n empleadas para cada uno de los modelos.
