Inferencia Estadistica Para Economia y Empresa

INFERENCIA ESTADÍSTICA PARA ECONOMÍA Y EMPRESA

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José Agulló Candela Vicente Carratalá Pastor Joaquín Gimeno Aranda

INFERENCIA ESTADÍSTICA PARA ECONOMÍA Y EMPRESA (Teoría y ejercicios resueltos)

UNIVERSIDAD DE ALICANTE

José Agulló Candela, Vicente Carratalá Pastor y Joaquín Gimeno Aranda © de la presente edición Publicaciones de la Universidad de Alicante Campus de San Vicente s/n 03690 San Vicente del Raspeig Publicaciones @ ua.es http://publicaciones.ua.es Diseño de portada: Alfredo Candela Impresión: Compobell, S.L. Salón de Ruiz Hidalgo, bajo 9. Murcia I.S.B.N.: 84-7908-458-8 Depósito Legal: MU-2239-1999

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ÍNDICE GENERAL

PRÓLOGO

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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA 1. 2. 3. 4. 5.

Introducción Muestreo aleatorio simple Generación de una m.a.s. de una distribución conocida Definición de estadístico Distribución muestral de un estadístico 5.1. Distribución muestral de la media muestral 5.2. Corrección por población finita 5.3. Esperanza de la varianza muestral 6. Muestreo de una población normal 7. Teorema central del límite 8. Distribución de la proporción muestral Ejercicios

13 14 15 18 19 19 21 21 22 25 27 29

CAPÍTULO 2. ESTIMACIÓN PUNTUAL 1. 2. 3. 4. 5.

Introducción Insesgadez Criterio del error cuadrático medio Consistencia Método de los momentos 5.1. Introducción 5.2. Ejemplos de estimadores obtenidos por el método de los momentos. 5.3. Propiedades de los estimadores obtenidos por el método de los momentos

39 39 41 43 45 45 45 46

8

6. Método de la máxima verosimilitud 6.1. Introducción 6.2. Ejemplos de estimadores maximoverosímiles 6.3. Propiedades de los estimadores maximoverosímiles Ejercicios

índice

46 46 47 49 50

CAPÍTULO 3. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA 1. Introducción 2. Intervalos de confianza bajo normalidad 2.1. Problema de una muestra 2.1.1.Intervalo para la media poblacional, varianza conocida 2.1.2. Intervalo para la media poblacional, varianza desconocida 2.1.3.Intervalos para la varianza poblacional 2.2. El problema de dos muestras 2.2.1.Intervalo para la diferencia de dos medias, varianzas conocidas. 2.2.2.Intervalo para la diferencia de dos medias, varianzas desconocidas 2.2.3.Intervalo para la diferencia de dos medias, muestras apareadas 2.2.4.Intervalo para el cociente de varianzas 3. Intervalos de confianza para muestras grandes Ejercicios

63 66 66 66 67 67 68 68 68 69 69 70 72

CAPÍTULO 4. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 1. Introducción 2. Contrastes de hipótesis bajo normalidad 2.1. Problema de una muestra 2.1.1. Contrastes para la media poblacional, varianza conocida 2.1.2.Contrastes para la media poblacional, varianza desconocida.... 2.1.3.Contrastes para la desviación típica poblacional 2.2. El problema de dos muestras 2.2.1.Contraste para la igualdad de dos medias, varianzas conocidas 2.2.2.Contraste para la igualdad de dos medias, varianzas desconocidas 2.2.3.Contraste para la igualdad de dos medias, muestras apareadas 2.2.4. Contraste para el cociente de varianzas 2.3. Problema de k muestras 3. Contrastes de hipótesis para muestras grandes Ejercicios

83 90 91 91 94 97 100 100 102 103 103 106 109 111

CAPÍTULO 5. MÉTODOS ROBUSTOS Y NO PARAMÉTRICOS 1. Introducción 2. Métodos basados en la media recortada 2.1. Intervalos de confianza y contrastes para una muestra

135 137 137

índice

2.2. Contrastes e intervalos de confianza para dos muestras 2.3. Corrección de Satterthwaite para dispersiones desiguales 2.4. El problema de k muestras y el procedimiento FSD aplicado a medias recortadas 2.5. Una aplicación a diferencias apareadas 3. Uso de las transformaciones potencia para homogeneizar dispersiones .... 4. Métodos basados en la transformación rango 4.1. Rangos y un método para calcularlos 4.2. Una aplicación de la transformación rango para un problema de dos muestras 4.3. Un ejemplo de k muestras 4.4. Una aplicación a diferencias apareadas 4.5. Un método de diferencias apareadas basado en los rangos con signo Ejercicios

9

139 142 143 145 147 151 152 152 156 157 159 161

CAPÍTULO 6. BONDAD DE AJUSTE 1. Introducción 2. Test Ji-cuadrado 3. Test de Kolmogorov-Smirnov 4. Comparación de los contrastes Ejercicios

185 186 189 192 194

CAPÍTULO 7. CONTROL DE CALIDAD 1. Introducción 2. Control de calidad de fabricación por variables 2.1. Introducción 2.2. Parámetros conocidos 2.2.1.Límites de control para la media 2.2.2.Límites de control para la desviación típica 2.2.3.Límites de control para el rango 2.3. Parámetros desconocidos 2.4. Resumen 3. Control de calidad de fabricación por atributos 3.1. Cartas de control para la fracción de defectuosos 3.2. Cartas de control para el número de defectuosos 4. Control de calidad de fabricación por número de defectos Ejercicios

213 217 217 218 218 219 219 220 221 223 223 224 224 225


PRÓLOGO El presente libro proporciona material de apoyo para un curso cuatrimestral de Inferencia Estadística. Su nivel está adaptado al de los alumnos de los nuevos planes de estudio de las licenciaturas y diplomaturas en Economía y en Administración y Dirección de Empresas de las Facultades y Escuelas Universitarias de Ciencias Económicas y Empresariales. El libro presupone que el lector tiene conocimientos de Estadística descriptiva (incluyendo conceptos básicos de Estadística exploratoria tales como el gráfico tallo y hoja, el gráfico caja y el diagrama esquemático) y de teoría de la probabilidad. Cada capítulo del libro consta de dos partes. En la primera parte se presentan los resultados teóricos necesarios para la resolución de los ejercicios. Después de los resultados teóricos se presenta una colección de ejercicios resueltos. El libro comienza con una introducción a la Inferencia Estadística en la que se presentan los conceptos de muestreo aleatorio y distribuciones muéstrales de los estadísticos asociados al muestreo de poblaciones normales (capítulo 1). En el capítulo 2 se presentan los métodos de estimación puntual y en el capítulo 3 los métodos de estimación por intervalos de confianza. En el capítulo 4 se estudian los procedimientos clásicos de contraste de hipótesis basados en el supuesto de normalidad. En el capítulo 5 se recogen bajo el título de "métodos robustos y no paramétricos" un conjunto de técnicas inferenciales aplicables cuando el análisis exploratorio de la información muestral sugiere que los supuestos clásicos no son adecuados. El capítulo 6 describe los contrastes de bondad de ajuste basados en la distribución Ji-cuadrado y en el estadístico de Kolmogorov-Smirnov. Por último, el capítulo 7 introduce los conceptos básicos del control estadístico de la calidad. Los autores son profesores del Departamento de Fundamentos del Análisis Económico de la Universidad de Alicante y han acumulado una larga experiencia en la docencia de la Inferencia Estadística en la Facultad de Económicas y Empresariales de la citada universidad. Finalmente, los autores agradecen al profesor José Rodríguez Alejandre su paciencia y esmerada colaboración en las tareas técnicas.


CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA 1. INTRODUCCIÓN Si alguien está interesado, pongamos por caso, en evaluar las preferencias políticas de la población formada por todos los votantes españoles, entrevistará lógicamente a una muestra formada por algunos de tales votantes. Después usará la información muestral para sacar conclusiones relativas a la población, por ejemplo, estimar la fracción real de todos los votantes que son favorables a una determinada formación política. Dos preguntas importantes que surgen son cómo seleccionar los elementos de la muestra y cómo aproximar los valores de los parámetros de la distribución poblacional usando la información muestral. Y, si podemos contestar tales preguntas, ¿cómo calcular o hacernos una idea del grado de fiabilidad o precisión de tales estimaciones? Cualquier conclusión basada en una muestra está sujeta a incertidumbre, pues a partir de un subconjunto de la población no podemos sacar conclusiones verdaderas sobre la población sino conclusiones probables. Intuitivamente, podemos afirmar que cuanto mayor sea el número de votantes incluidos en la muestra, tanto mayor será la probabilidad de obtener una buena estimación de la fracción de todos los votantes que son favorables a una determinada formación política. Pero, para tener una estimación que esté cerca del parámetro, la muestra debe ser representativa de la población de la que procede. La muestra representativa ideal sería una en la que la distribución de frecuencias muestral coincidiese con la distribución de frecuencias poblacional, pero para seleccionarla necesitamos justamente la información que buscamos. Para garantizar la representatividad de las muestras, el muestreo ha de ser aleatorio, es decir, generado por algún mecanismo de azar. Si las muestras se extraen aleatoriamente, las observaciones muéstrales son variables aleatorias en el proceso de muestreo repetido. Los estadísticos son funciones de estas observaciones, así que son variables aleatorias también. Los estimadores son estadísticos y tienen, por tanto, distribuciones de probabilidad. Estas distribucio-

14

Introducción a la Inferencia Estadística

nes de probabilidad, llamadas distribuciones muéstrales de los estimadores, hacen posible la inferencia estadística. 2. MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Existen diferentes métodos de muestreo aleatorio pero en este libro sólo estudiaremos el prototipo fundamental llamado muestreo aleatorio simple. A menudo se omite el adjetivo simple, siempre que se haga referencia únicamente a este método de muestreo. El muestreo aleatorio simple es el proceso de seleccionar observaciones a partir de una población, de modo que toda observación de la población tiene la misma probabilidad de ser incluida en la muestra que cualquier otra (la observación tiene la distribución de probabilidad de la población) y además toda observación es independiente de cualquier otra (es decir, no afecta a otra selección ni se ve afectada por otra observación). Formalizando estas condiciones, vamos a caracterizar el muestreo aleatorio simple de una distribución de probabilidad. Denotemos por X la variable aleatoria (v. a.) objeto de estudio y supongamos que X tiene función de distribución F(x) y función de densidad f ( x } si es continua o función de masa de probabilidad P( X = x) si es discreta. Supongamos que se ha extraído una muestra de n observaciones de X y representemos los elementos de la muestra por X\,...,Xn. Decimos que X^,...,Xn es una muestra aleatoria simple (m.a.s.) de la distribución F si y solo si X{,...,Xn son v.a. independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución común F. Así pues, s i X { , . . . , X n es una m.a.s. de F, la función de distribución de cada X¡ es igual a F y, además, las X¡ son independientes. En consecuencia, la función de distribución conjunta de *„...,*„ es

Si F es continua, entonces la función de densidad conjunta deX¡,...,Xn es

mientras que si F es discreta, la función de masa de probabilidad conjunta de^,,...,^, 7 es

Ejemplo 2.1. Fiabilidad de componentes electrónicos. Para estudiar la fiabilidad de unos componentes electrónicos, el tiempo de vida X (en horas) de un componente dado puede suponerse que es una variable aleatoria con distribución exponencial de media 9. Entonces la función de densidad de X es , y cero en otro caso. Una muestra aleatoria de n

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componentes se somete a un test. Entonces, la distribución conjunta de la muestra X},...,Xn tiene función de densidad conjunta

si Xj > O,..., jcw > O , y cero en otro caso. En la práctica, el mejor método de conseguir una muestra aleatoria simple es emplear números aleatorios, como veremos en la siguiente sección. 3. GENERACIÓN DE UNA M.A.S. DE UNA DISTRIBUCIÓN CONOCIDA En ocasiones ocurre que las distribuciones de probabilidad de variables aleatorias de determinadas poblaciones son conocidas en su forma y parámetros. Vamos a ver cómo el conocimiento deductivo de lo que ocurrirá al tomar muestras aleatorias de distribuciones conocidas va a ser fundamental en el proceso de inferencia porque, aunque se conozcan las distribuciones de estas variables aleatorias, en ocasiones es difícil obtener las distribuciones de ciertas funciones de ellas. Estas distribuciones de probabilidad representan modelos para el comportamiento de las frecuencias relativas de las funciones en un muestreo repetitivo. Por ejemplo, la distribución de la diferencia de las variables aleatorias Xc = «radio del cilindro» y Xp= «radio del pistón» en el ejercicio 8 es difícil de obtener. Sin embargo podemos obtener m.a.s. simuladas de la distribución conjunta de Xc y Xp, y a partir de ellas aproximar la distribución de la diferencia Xc — Xp. Cuanto mayor sea el número de muestras simuladas que obtengamos, más se aproximarán la distribución de frecuencias muestral y la distribución de probabilidad real. Veamos cómo simular observaciones de una distribución conocida. Las tablas de dígitos aleatorios (o una simple calculadora científica) nos permiten obtener simulaciones de m.a.s. de una distribución uniforme en el intervalo [0,1]. Para obtener una m.a.s. de una distribución poblacional conocida, partimos de una m.a.s. de una distribución £7(0,1) y utilizamos un procedimiento basado en la llamada transformación integral de probabilidad. Si la distribución corresponde a una variable aleatoria continua, la transformación integral considera los valores simulados de una distribución £7(0,1) como si fueran valores de la función de distribución de la variable que queremos simular. Teorema 1.1. Teorema de la transformación integral de probabilidad Sea X una variable aleatoria continua con función de distribución F(x). Sea Y=F(X). Entonces Y ~ £7(0,1). Demostración Como F es monótona creciente por ser la función de distribución de una v.a. continua, la existencia de F"1 está garantizada. La función de distribución de Y, que denotamos por G(y), cumple

16


Así, G(y) es la función de distribución de una variable £7(0,1) y, por tanto, Y ~ £7(0,1). Además, el recíproco del teorema 1.1 también es cierto: Si F ~ £7(0,1) yF~l(Y) = X, entonces X tiene función de distribuciónF. En efecto, sea// la función de distribución de X. Entonces,

ya que Y ~ £7(0,1). Luego H=F. En este resultado se basa la simulación de variables aleatorias continuas. Si tenemos una m.a.s. yl,...,yn de una distribución £7(0,1), entonces el conjunto de valores xl = F~l(y}),...,xn =F~\yn) constituyen una m.a.s. de X. Por tanto, la transformación integral nos permite generar una m.a.s. de una variable continua cuya distribución es conocida. En resumen, el procedimiento para simular una m.a.s de tamaño n de una v.a. continua consiste en repetir n veces las siguientes etapas: a) Obtener un número aleatorio y entre O y 1. b) Considerar y como un valor de F(x) y tomar * = F~l(y) como observación de^T. Ejemplo 3.1. Sea X una v.a. continua con función de densidad

, y cero

en otro caso. Vamos a generar utilizando la transformación integral una m.a.s. de tamaño 3 de la variable aleatoria X usando la siguiente m.a.s de una distribución uniforme en el intervalo [0,1]: 0.408, 0.225, 0.063. La función de distribución de X Tomando

y = F(x),

obtenemos

• Así, los valores simulados de X para y respectivamente. La figura 4.1 proporciona la relación unívoca entre cada y¡ y su correspondiente x¡ a través de la representación gráfica de la función de distribución de X. Para simular una m.a.s. de tamaño n de una v.a. discreta se repiten n veces las siguientes etapas: a) Obtener un número aleatorio _y entre O y 1. b) Considerar y como un valor de la función de distribución F de la variable X que simulamos, y tomar como observación simulada el valor x más pequeño tal que F(x) > y , es decir, min

17

Figura 4.1.

Ejemplo 3.2 Sea X = «número de niñas en familias de 5 hijos» y supongamos que X ~ 5(5,1/2). La función de distribución de X es 0

si x < O

0.0312

siO
0.1875

sil
F(x) = < 0.5

si 2 < x < 3

0.8125

si3<*<4

0.9688

si 4 < x < 5

1

si x > 5

La representación gráfica de F(x) aparece en la figura 4.2.

Figura 4.2. La regla para encontrar una muestra simulada de X a partir de una m.a.s. de Y es

18


4. DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICO En la práctica solemos observar una función de la muestra. Cuando lanzamos una moneda n veces rara vez nos interesa el resultado de cada prueba. Más bien contamos el número de caras en n pruebas. Si Xl,...,Xn es una m.a.s., cualquier función observable de la muestra es un estadístico. Un estadístico al ser función de las v.a. observadas en el proceso de muestreo repetido es a su vez una v.a. y tiene, por tanto, su propia distribución de probabilidad. Dada una m.a.s. X\,...,Xn, un estadístico Tes cualquier función de dicha muestra que no depende de parámetros desconocidos. Así pues, el cálculo de un estadístico a partir de la muestra no requiere conocimiento de ningún parámetro desconocido de la población. Los estadísticos se utilizan para sacar conclusiones inferenciales sobre los parámetros poblacionales desconocidos. SeaX{,...,Xn una m.a.s. de una función de distribución F. Algunos estadísticos importantes son la media muestral y la desviación típica muestral, que se definen de la siguiente manera: Media muestral: desviacion tipion muestral:S

El cuadrado de la desviación típica muestral se llama varianza muestral y se denota por S2. Si ordenamos las observaciones muéstrales en orden creciente de magnitud y denotamos medianteX^,...,X^ las variables aleatorias ordenadas, entonces el vector(x (l) ,..., X^\ se llama vector de estadísticos ordenados. Los siguientes estadísticos se obtienen como función de los estadísticos ordenados: •

Mínimo: X(l) = min(X } ,..., Xn) .

•

Máximo: X(n) = max(X},...,Xn).

19 •

Rango:

(n)-X(l).

si n es impar

Mediana muestral: Msi n es par

Observamos que los estadísticos muéstrales son simplemente características numéricas de la muestra igual que los parámetros son características numéricas de la población. Sin embargo, los estadísticos muéstrales son variables aleatorias y varían de muestra a muestra, mientras que los parámetros son constantes fijas. La siguiente tabla resume algunos resultados sobre parámetros y estadísticos. Característica numérica

Población Parámetro (constante fija)

Muestra Estadístico (v.a.)

Media Varianza Desviación típica Momento de orden k

5. DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE UN ESTADÍSTICO Un estadístico T — T(X\,..., Xn), como una función de observaciones muéstrales que son v.a., es también una v.a. Su valor varía de muestra a muestra. El comportamiento de la variabilidad en sus valores viene dado por su distribución de probabilidad. La distribución de probabilidad de T se llama distribución muestral de T. La deducción teórica de la distribución muestral de T puede ser fácil o difícil (o quizá imposible). A veces, lo más que podemos hacer es obtener una distribución empírica de T mediante simulación. Dos estadísticos importantes en inferencia estadística son la media muestral X y la varianza muestral S2. En los siguientes apartados describimos algunas propiedades de sus distribuciones muéstrales. 5.1. Distribución muestral de la media muestral Supongamos que X\,...,Xn es una m.a.s. de una v.a. X con media// y varianzacr 9 . Recordamos que X— - —1 (X}+...+Xn). Usando resultados conocidos de teoría n

20


de la probabilidad podemos obtener la esperanza y la varianza de la distribución muestral de X, así como caracterizar la distribución muestral de X por su función generatriz de momentos. La esperanza y la varianza de la distribución de X se expresan fácilmente en términos de los momentos poblacionales. En efecto,

pues las X¡ están idénticamente distribuidas; y como las X¡ son incorrelacionadas dos a dos por ser independientes:

La distribución completa de X, definida por su función generatriz de momentos, puede expresarse mediante la distribución poblacional. Sea Mx (7) la función generatriz de momentos de X. La función generatriz de momentos de la media muestral es

(por ser X (por serX,,...,X

idénticamente distribuidas con función

generatriz de momentos común Mx ( t ) ) .

Ejemplo 5.1. Distribución de X cuando la población es normal Si X se distribuye N(jU,cr2) entonces M

Luego

Vemos que Mx(t) es la función generatriz de momentos de una distribución TV ¿u ,

y, por tanto, X se distribuye TV j u ,

21

Ejemplo 5.2. Distribución de X cuando la población es exponencial Si X se distribuye Exp(Á ) entonces/(je) = Ae go Mj (O = 1

. Lue-

yM

» Q116 es 1a función generatriz de momentos de una distribu-

cion gamma con media — = — y varianza

5.2. Corrección por población finita Si la población es finita y contiene N elementos, una m.a.s. de n elementos es una muestra elegida de modo que todas las combinaciones de n elementos tienen igual probabilidad de ser elegidas. Al ser un muestreo sin reemplazamiento, las variables X{,...,Xn no son independientes y, por tanto, para la distribución de X no es (en el desarrollo aparecen términos de covarianza). Para una m.a.s. de una población finita se cumple que V(X) = donde Aês el tamaño de la población y n es el tamaño de la muestra. El factor (N — n)¡( N — 1) se llama factor de corrección por población finita. Si n es pequeño comparado con N (por ejemplo, cuando n es inferior al 5% de N), entonces

— = 1, y el factor de corrección por población finita se

puede omitir. 5.3. Esperanza de la varianza muestral 'j

Como sabemos, la varianza muestral denotada por S se define mediante Para evaluar la esperanza de S2 observamos que 0=1,..., n) y, por tanto,

22


Tenemos así, que

6. MUESTREO DE UNA POBLACIÓN NORMAL Supongamos que X},...,Xn es una m.a.s. de una distribución normal con media ¡JL y varianza a2. Nuestro objetivo es obtener las distribuciones de algunos estadísticos que son funciones de X y S . Estos resultados forman la base de la inferencia en el muestreo de una población normal. En la sección 5 se ha demostrado que También hemos probado que X se distribuye por toanto, Z = -\íñ(X-jU)/<7 se distribuye W(0,l). Desde un punto de vista práctico o suele ser desconocido y resulta deseable reemplazar (7 por su estimación S. ¿Cuál es la distribución de la variable aleatoria ^(X-ju)/Sl Para responder esta y otras preguntas relevantes vamos a demostrar el siguiente resultado fundamental en Estadística. Teorema 6.1. Teorema fundamental de muestreo de una población normal Sea Xl,...,Xn,n>2, una m.a.s. de una distribución N(ju ,o ) . Entonces: 1. Z = Jñ(X-fi)/ase distribuye Af(0,l). 2. X y S2 son independientes. 3. (n-l)S21'a2 tiene una distribución Ji-cuadrado conw-1 grados de libertad UÍ-i). 4. *Jn(X-ju)/S

tiene una distribución t de Student con n-l grados de libertad

('«-i).

Demostración 1. Resultado probado en la sección anterior. 21_Vamos ajiemostrar que X es independiente de X¡ - X para todo /. Veamos que X y X¡ - X tienen una distribución normal bivariante. Entonces la solución es fácil: Basta comprobar que Cov(X,X¡ - X) = O .

23

La distribución conjunta de X y X,• - X es normal bivariante. En efecto, la distribución conjunta deX^...,Xn es una distribución normal «-variante con media ju ¡ y matriz de varianzas-covarianzas d 2 /, donde / denota la matriz identidad de rango n . X y Xi•,- X es un vector aleatorio bidimensional formado por dos combinaciones lineales deX\,...,X n y, por t a n t o , ( X , X t • , - X ) sigue una distribución normal bivariante. Hemos demostrado que X y X¡ — X son independientes, para / = !,...,«. Por n * ^

— ^

consiguiente, x y /.(X¡ — X) ¡=\ 3. Por otra parte,

—

<^

son independientes y también lo son X y S .

yaqu Enton bservamos que (X¡-f¿)/
son indepen

dientes, pues el primero depende sólo de S2 y no de X, el segundo depende sólo de teorema

se ha demostrado en la parte 2 que cumpliéndose la hipótesis del son independientes.

24


2

En conclusión, según el teorema de adición de la distribución X , el estadístico (n-T)S2/
Como hemos visto, sigue una distribución sigue 2

una distribución Xn-\ y ambas distribuciones son independientes. Por tanto, teniendo en cuenta la definición de la distribución t de Student, la v.a. T sigue una distribución tn_\. El teorema 6.1 puede generalizarse a la situación en que tenemos dos muestras independientes. Sean^f n ,...,X l n y X2l,...,X2n^ dos m.a.s. independientes de distribuciones A r (// 1 ,
entonces

tiene esperanza o . En efecto,

2 Además, tiene una distribución/tr«,+M2-2. Esto se deduce del teorema de adición de distribuciones Ji-cuadrado independientes ya que («, -1)5", /
/

9

sigue una distribución ¿ Además, teniendo en cuenta la definición de la distribución F de Fisher, se sigue que tiene una distribución F, En lo sucesivo, la función de densidad y la función de distribución de una distribución normal tipificada las denotaremos por 0(z) y O(z), respectivamente.

25

Para referirnos a los puntos críticos de las distribuciones que han aparecido en el muestreo de poblaciones normales, usaremos la siguiente notación. Para la distribución normal tipificada, denotaremos por za la abscisa que deja a la derecha un área a bajo la curva de densidad 0(z). Para la distribución t de Student, denotaremos por ta.v la abscisa que deja a la derecha un área a bajo la curva de densidad de la variable t con v grados de libertad. De forma análoga, denotaremos mediante Xa\v y â;v,,v 2 l°s puntos críticos que dejan a la derecha un área a bajo las curvas de densidad de la distribución Ji-cuadrado con v grados de libertad y de la distribución F de Fisher con (v,, V2) grados de libertad, respectivamente. 7. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE En la sección 5 se demostró que s\X\,...,Xn representa una m.a.s. de cualquier distribución con media ¿u y varianza
en

esta sección recordamos una aproximación para la distribución muestral de X, que se puede utilizar cualquiera que sea la distribución de la población de donde se toma la muestra con tal de que el tamaño muestral sea grande. Si se extrae la muestra de una población normal, entonces por el teorema fundamental de muestreo de una población normal resulta que X tiene una distribución muestral que es normal. Pero, ¿qué podemos decir de la distribución muestral de X si las X¡ no siguen una distribución normal? Si las X¡ son n v.a. independientes e idénticamente distribuidas con varianza finita, entonces para n suficientemente grande X sigue aproximadamente una distribución normal. El enunciado formal de este resultado constituye el teorema central del límite. Teorema 7.1. Teorema central del límite SeanX\,...,X n una secuencia de« v.a. i.i.d. con media ¿u y varianza cr2
. Entonces

). Es decir,

bajo las condiciones del teorema, Zn converge en distribución a una distribución ./V(0,l) • Podemos observar que Zn puede escribirse en términos de X como Si se cumplen las hipótesis del teorema se tiene que Z donde el símbolo —^—> se interpreta como «converge en distribución o en ley a». Este es un resultado de gran interés en inferencia estadística y se usará más adelante. A continuación ilustramos mediante dos ejemplos de simulación que cuando se muestrea una población binomial el comportamiento de la media muestral se puede aproximar muy bien mediante una distribución normal. Consideramos una v.a. X binomial con parámetros n - 5 y p = 0.3, es decir, X ~ 5(5,0.3). La media y la varianza de X son ju = 5 • 0.3 = 1.5 y o 2= 5 • 0.3 • 0.7 = 1.05, respectivamente. En conse-

26


cuencia, la media y la varianza de la distribución de la media muestral son E(X) = E(X) = 1.5 y o\ = <72/n = W5/n, respectivamente. Para estudiar el comportamiento empírico de la media muestral, primero consideramos n = 5. Simulamos 1000 m.a.s. de tamaño 5 de la población binomial, y calculamos para cada muestra la media muestral. De esta forma obtenemos 1000 medias muéstrales que representan una m.a.s. de tamaño 1000 de X. Después, el mismo experimento se repite con muestras simuladas de tamaño 10. La tabla 7.1 compara las medias y las varianzas de las muestras simuladas de X con las medias y las varianzas teóricas. Observamos que las medidas resumen de las muestras simuladas aproximan mucho los respectivos parámetros poblacionales, y además que la aproximación es mejor para n = 10 que para n = 5. Tabla 7.1. Resultados teóricos y cálculos empíricos de las 1000 muestras generadas para cada valor de n (5 y 10). Tamaño de la muestra

n =5 « = 10

Promedio de las Media poblacional medias muéstrales

1.4820 1.4882

1.5

1.5

Figura 7.1.

Varianza de las medias muéstrales

0.2065 0.1032

0.210 0.105

27

Figura 7.2.

Las figuras 7.1 y 7.2 presentan para n = 5 y n = 10, respectivamente, el histograma de frecuencias relativas de las medias muéstrales y la función de densidad de la distribución normal con media 1.5 y varianza 1.05/w . Observamos que para ambos tamaños muéstrales los histogramas son campaniformes y bastante simétricos. Vemos además que en cada caso la función de densidad normal aproxima bastante bien el histograma de frecuencias muéstrales de X . En resumen, el estudio empírico de simulación nos proporciona medias de las medias muéstrales y varianzas de las medias muéstrales que están bastante cerca de los valores teóricos esperados. Además cabe esperar que el histograma de frecuencias de la media muestral se aproxime cada vez más a la correspondiente función de densidad de la distribución normal conforme el tamaño muestral aumente. 8. DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL Sea X una v.a. Bernouilli con parámetro p, es decir, una variable categórica que toma sólo dos valores, codificados mediante O y 1, con probabilidad/» de tomar el valor 1. SeaX } ,...,X n una m.a.s. deX . Este modelo es aplicable, por ejemplo, a n lanzamientos de una moneda con probabilidad de cara p. Otras aplicaciones importantes son a muestras aleatorias simples de tamaño n de poblaciones infinitas para las que se requiere estimar la proporción poblacional p de alguna característica (proporción de no fumadores en una ciudad, de piezas defectuosas en la producción de una fábrica, etc.). El estimador que se utiliza para estimar p es la proporción muestral p que se define com donde

porción muestral se puede escribir como sigue una distribución B(n,p). En consecuencia, la distribu-

28

hIntroducción a la Inferencia Estadística

cion muestral de p puede basarse en la distribución B(n,p) para n pequeño. La esperanza y la varianza de p son

' respectivamente. Por

la

desigualdad

de

Chebichev

en

consecuencia

Vf>0

se

cumple esto

que es

cuando n aumenta, la probabilidad de que la proporción muestral se desvíe de la proporción poblacional menos de cualquier £ > O tiende a la unidad. Como Sn es la suma de n v.a. i.i.d. con varianza finita, el teorema central del límite garan

es decir, en terrninos de p

este resul

tado es básico para resolver los problemas inferenciales para variables categóricas mediante muestras grandes. Conviene observar que si el valor de p es desconocido, entonces la desviación típica
29

Ejercicios

EJERCICIOS 1. Una distribución utilizada con frecuencia para modelizar la distribución de las rentas en una comunidad es la distribución de Pareto, cuya función de densidad es/(jc) = aBa I'xa+l si x > /3, y cero en otro caso. Los parámetros a y B han de cumplir las restricciones a > 1 y B > 0. Si 0.378, 0.296 y 0.973 es una m.a.s. de tamaño 3 de una distribución uniforme en el intervalo [0,1], simular una muestra de 3 observaciones de la distribución de Pareto con a= 1.5 y B = 1. Solución La función de distribución de Pareto es

Si Y = F(X], entonces, por el teorema de la transformación integral, Y sigue una distribución uniforme en el intervalo [0,1]. Además, X = F~\Y) sigue una distribución de Pareto. El cálculo de F~l es el siguiente: De

8 = 1 resulta F~*(y) =

obtene-

^-. Para obtener la muestra simulada de X, sustituiré-

mos en F ( y ) cada uno de los valores de la m.a.s. de Y. La m.a.s. de X resulta:

2. El coste total X de producir una unidad de output es la suma de un coste fijo 6 y de un coste variable inobservable (de modo que 6 es un parámetro desconocido). Se sabe que el coste total Xse distribuye con función de densidad / (x) = exp{ -(x- Q}} six>0,y cero en otro caso. Si el coste fijo es 6 = 2, encontrar la muestra simulada correspondiente a la siguiente m.a.s. de la distribución t/(0,l): 0.457, 0.799, 0.878.

30

introducción a la Inferencia Estadística

Solución La función de distribución de X es

es decir, y = l-e (x G ) , de donde obtenemos quel-jy = e (x &). Tomando logaritmos obtenemos ln(l-j)=-(:c-6) y, despejando x tenemos que x = F~\y] = 0-ln(l-y). Luego la muestra simulada de X correspondiente a la m.a.s. y

3. Se sabe que el número de personas que llegan a una carnicería es una variable que sigue un proceso de Poisson de media 3.5. Obtuvimos, utilizando la transformación integral, una m.a.s. simulada de tamaño 4 de dicha variable con valores 1, 4, 3 y 8. Encontrar todos los números aleatorios del intervalo [0,1] que dan lugar a esta m.a.s. Solución Sean xl = 1, x2 = 4 , x3 = 3 y *4 = 8. Entonces los correspondientes números aleatorios del intervalo [0,1], que denotamos por ^ , y 2 , ^3 e>> 4 , han de cumplir respectivamente

donde F(JC) denota la función de distribución de una variable Poisson con media 3.5, es dec

] igual a la parte entera de.

4. Partiendo de una observación y procedente de una distribución U(0,1), indicar cómo se generaría una observación aleatoria de cada una de las siguientes distribuciones de probabilidad: a) La distribución uniforme entre - 10 y 40. b) La distribución uniforme de 25 a 75. c) La distribución de la v.a. X cuya función de densidad es f ( x ) = (x- 40)/200 si 40 < x < 60, y cero en otro caso. Solución a) Es fácil comprobar que si 7~í/(0,l) entonces 50-7-10 ~C/(-10,40). Por tanto, x = 50- y —10 es una observación simulada de una distribución U(—10,40). b) Si r ~ £7(0,1), entonces 50-7+25 ~ £7(25,75). En consecuencia, x = 50- y + 25 es una observación simulada de una distribución £7(25,75).

31

Ejercicios

c) La función de distribución de X es Luego de donde

Como 40 < je < 60, entonces x = 40 + 20 Jy es una observación simulada de X.

5. Generar tres observaciones aleatorias de una distribución normal con media 10 y desviación típica 5. Solución Sea X ~N(n,c>2} con // = 10 y (7 = 5. La función de distribución de X tanto, dado y, * se halla con una tabla de la distribución W(0,l). Por ejemplo, si y = 0.2 tenemos que O

= 0.2 y, por tanto,

=z

-0.84. Obtene-

mos finalmente x - 5.8. De igual modo se pueden generar las otras dos observaciones de X. 6. Generar cuatro observaciones aleatorias de una distribución normal con media O y desviación típica 1. Después emplear estas cuatro observaciones para generar dos observaciones de una distribución Ji-cuadrado con dos grados de libertad. Solución Si X ~ N(0,l) entonces la función de distribución de X es y - OO). Dada una m.a.s. (^,^2'^3'^4) de una distribución £7(0,1), obtenemos una m.a.s. de X haciendo x¡ = O"1 (>>,-). Como la suma de los cuadrados de dos normales tipificadas independientes sigue una distribución Ji-cuadrado con 2 grados de liberes una m.a.s. de tamaño 2 de una distribució tad 1. Generar cuatro observaciones aleatorias a partir de una distribución exponencial con media 1. Después emplear estas cuatro observaciones para generar una observación aleatoria que siga una distribución gamma con parámetros 4 y 1. Solución si Si X~Exp(l) entonces la función de distribución de :c>0- Despejando je tenemos que j = -ln(l-^). Luego si (^1,^2^3,^4) es una m.a.s de una distribución £7(0,1), entonces (xl,x2,x3,x4) es una m.a.s. de X y, por

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tanto, en virtud de la propiedad que afirma que si X¡ ~ Exp(Á) entonces sigue una distribución gamma con parámetros aleatoria de una distribución gamma con parámetros 4 y 1.

es una observación

8. Un producto fabricado por una compañía requiere que se perforen cilindros en un bloque metálico y que se inserten pistones en ellos. Es necesario que los pistones tengan un radio de 1.00 centímetro por lo menos y, hasta donde sea posible, muy poco más grande. La distribución de probabilidad del radio del pistón (en centímetros) tiene una función de densidad/ (*) = 400-exp{-400(jt-1.00)} s i x > 1.00, y cero en otro caso. De igual manera, la distribución de probabilidad del radio de los cilindros (en centímetros) tiene función de densidad fc(x) - 100 si 1.00 < x < 1.01, y cero en otro caso. El espacio libre entre el cilindro y el pistón es la diferencia entre sus radios. Como el cilindro y el pistón se seleccionan al azar, en ocasiones hay interferencia (es decir, espacio negativo) entre un cilindro y el pistón que va dentro. El objetivo es determinar con qué frecuencia ocurre esta interferencia en las distribuciones de probabilidad actuales. Describir cómo se realizaría un experimento de simulación para estimar la probabilidad de interferencia. Solución Es fácil comprobar que las inversas de las funciones de distribución para el radio del pistón y para el radio del cilindro son x

respec-

tivamente, donde y = F (x) e yc = Fc(x) siguen distribuciones uniformes en el intervalo [0,1]. A partir de dos observaciones aleatorias de una uniforme en el intervalo [0,1] obtenemos una observación aleatoria(x p ,x c ), de la cual se obtiene una observación aleatoria de la diferencia xc - xp . Repitiendo este proceso un número grande de veces obtendremos una muestra simulada de la variable diferencia. La frecuencia relativa de diferencias negativas en la muestra simulada proporciona una estimación de la probabilidad de interferencia. 9. Los amperímetros producidos por una compañía particular se venden en el mercado con la especificación de que la desviación estándar de las lecturas no es mayor que 0.2 amp. Se utilizó uno de estos amperímetros para efectuar 10 lecturas independientes en un circuito de prueba con corriente constante. Si la varianza de estas mediciones es 0.05 y suponiendo que las lecturas tienen una distribución normal, ¿indican los datos que el amperímetro que se utilizó no satisface las especificaciones del fabricante? Solución La especificación que figura en los amperímetros es <7< 0.2 o, de forma equivalente, o"2 < 0.04. Puesto que E(S2) = o2, S2 tomará valores próximos a cr2 con gran

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Ejercicios

probabilidad. Dicho de otra manera, la probabilidad de que S2 tome valores alejados de o"2 será pequeña. Por tanto, para decidir si el amperímetro satisface las especificaciones del fabricante, deberíamos calcular PÍS2 = 0.05 / 0.05 / a = 0.2 j (la probabilidad de obtener un valor de S2 al menos tan grande como 0.05, cuando cr=0.2). Si esta probabilidad es pequeña, concluiremos que 0.05 es un valor muy alejado del «centro» G . Este será un argumento en contra de la especificación ya que «nos negamos a pensar que algo tan improbable pueda observarse». Dicha probabilidad es

que no es una probabilidad muy pequeña (usualmente consideraremos que una probabilidad de este tipo es pequeña si es inferior o igual a 0.05). Por tanto, no podemos dudar de la especificación que figura en los amperímetros (no existe fuerte evidencia en contra del supuesto cr= 0.2). 10. De una población normal se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 10, obteniéndose los siguientes resultados: -0.2,0.3,0.2, -0.5,0.4,0.1,0.2, -0.1, -0.3,0.2. Calcular la probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional menos de 0.3. Solución La probabilidad de que la media muestral difiera de la media poblacional menos

11. Consideremos dos poblaciones independientes X e Y tales que X ~ N(l, a2) e Y ~ N(2,
34


Según las tablas de la distribución t de Student, esta probabilidad pertenece al intervalo (0.95,0.975). 12. Un economista desea estimar la renta media fi en un barrio de una gran ciudad. Decide usar la media muestral como una estimación de /x, y quiere asegurar que el error en la estimación es no mayor que 40000 pesetas con probabilidad 0.90. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra si sabe que la desviación típica es 400000 pesetas? Solución El economista desea que PÍ\X - ¿u < 40000] = 0.90. Suponiendo que el tamaño muestral buscado n es grande podemos usar el teorema central del límite de modo que

donde , de donde obtenemos n = 271. Como el ta-

maño muestral calculado es grande, el uso del teorema central del límite está justificado. 13. En una fábrica muy grande donde trabajan mujeres y varones el salario por hora tiene media 1000 pesetas y una desviación típica de 250 pesetas. Un grupo de mujeres de esta planta muestrea 36 trabajadores mujeres y encuentra que el salario medio muestral es 850 pesetas por hora. Suponiendo que la desviación típica del salario de los trabajadores mujeres es de 250 pesetas, ¿existe evidencia para sugerir que el salario medio por hora de los trabajadores mujeres es menor que el salario medio de la fábrica? Solución Denotemos el salario, en pesetas por hora, de los empleados mujeres mediante X_ y sea E( X) = JA . Que£emos decidir si n < 1000. Observamos que en la muestra, X - 850. Puesto que E(X) = // , X tomará valores próximos a (J. con gran probabilidad. Si la probabilidad P(X < 850/// = 1000) es pequeña, concluimos que 850 es un valor muy alejado de// = 1000 y, por tanto, este será un argumento en contra de ju = 1000. Utilizando el teorema central del límite (n = 36), dicha probabilidad es

Ejercicios

35

Como vemos, suponiendo// = 1000 la probabilidad de observar valores de la media muestral menores o iguales al valor muestral de X es muy pequeña. Luego, dudamos de que en la población de mujeres se cumpla que // = 1000, o lo que es lo mismo, sí hay evidencia de que el salario medio de las mujeres es menor que el de todos los trabajadores. 14. Un fabricante de automóviles anuncia que sus modelos compactos XYZ ofrecen en promedio un consumo de 4.35 litros por 100 km. Se sabe que la desviación típica poblacional es
= 0.9768, donde Z ~ N(0,1) aproximadamente. b) La media muestral es 4.48, de modo que la probabilidad de obtener una media muestral mayor o igual que la observada bajo el supuesto//= 4.35 como esta probabilidad es muy pequeña, dudamos de la afirmación del fabricante. 15. Una empresa produce pelotas de golf. De la producción diaria se inspecciona una muestra de 80 pelotas. Si la muestra contiene un 10% o más de pelotas defectuosas se detiene el proceso productivo y se reajusta. Si cierto día la máquina está produciendo realmente un 15% de pelotas defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que se detenga el proceso y se reajuste? Solución Sea p la proporción de pelotas defectuosas y denotemos por p la proporción muestral de pelotas defectuosas. La probabilidad de detener el proceso cuando p = 0.15 es P(p > 0.10 / p = 0.15). Utilizando la distribución asintótica de la proporción muestral (con corrección de continuidad), obtenemos que

36


16. La media y la desviación típica de la variable X = «renta en millones de pesetas» en la población formada por los 500 participantes de un congreso de economistas es // = 3.25 y <7 = 0.5, respectivamente. Si se extrae una muestra aleatoria simple de 60 participantes del citado congreso, encontrar la probabilidad de los siguientes sucesos:

Solución El tamaño de la población es jV = 500 y el tamaño muestral es n = 60, de modo que la fracción de muestreo es n/N =60/500 = 0.12 > 0.05 . Como la fracción de muestreo es mayor del 5%, en el cálculo de la desviación típica de la media muestral es necesario utilizar el factor de corrección por población finita, es decir, . Además, dado que n es grande, por el teorema central del límite la distribución de —.

es aproximadamente una normal tipificada. Este

resultado se usa a continuación para aproximar las probabilidades de interés.

17. Cuando una máquina está bajo control produce una media del 1 % de artículos defectuosos. Aproximar la probabilidad de que en 100 artículos producidos por la máquina bajo control existan 2 o más defectuosos. Comparar las aproximaciones Poisson y normal con la probabilidad exacta binomial bajo la hipótesis de independencia.

Ejercicios

37

Solución f 1 si el artículo / es defectuoso en otro caso LO número de artículos defectuosos en una m.a.s. de tamaño 100. Entonces, si la máquina está bajo control, X¡ ~ 5(1,0.01), por lo que Y ~ £(100,0.01). La v.a. Y tiene aproximadamente una distribución de Poisson de media A = n-p-100• 0.01 = 1. Por tanto, usando la aproximación Poisson, la probabilidad de que en 100 artículos producidos por la máquina existan 2 o más defectuosos es Con la aproximación normal con corrección de continuidad, la probabilidad es Sea X

La probabilidad binomial exacta es

Vemos que la aproximación Poisson proporciona una aproximación excelente, mientras que el error de aproximación de la aproximación normal es mayor de 0.04. 18. El número de accidentes automovilísticos en un fin de semana de 2 días en una determinada carretera puede modelizarse mediante una distribución de Poisson de media 3. Encontrar la probabilidad de que el número promedio de accidentes en 45 fines de semana de dos días en esta carretera a) sea mayor que 4. b) sea menor que 2.5. c) esté entre 2.8 y 3.5, ambos inclusive. Solución Sea X el número de accidentes automovilísticos en un fin de semana de 2 días en la citada carretera y denotemos por Y el número total de accidentes en 45 fines de semana de dos días. Como es grande, en virtud del teorema central del límite,

Además, como n - sigue aproximadamente

una distribución normal tipificada. a) La probabilidad de que el número promedio de accidentes en los fines de semana no festivos en esta carretera sea mayor que 4 es

38


b) La probabilidad de que el número promedio de accidentes en los fines de semana no festivos en esta carretera sea menor que 2.5 es

c) La probabilidad de que el número promedio de accidentes en los fines de semana no festivos en esta carretera esté entre 2.8 y 3.5, ambos inclusive, es

CAPITULO 2 ESTIMACIÓN PUNTUAL

1. INTRODUCCIÓN Sea X\,...,Xn una muestra aleatoria simple de una variable aleatoria X. Si la forma funcional de la función de distribución de X es conocida exceptuando los valores numéricos de un número finito de parámetros 9l,...,9k, entonces la familia de posibles distribuciones de X es una familia paramétrica. En este caso surge un problema de inferencia cuando queremos elegir el valor numérico de alguna(s) constante(s) 9 basándonos en la información de la m.a.s. de X. Como sabemos, con frecuencia los valores de 6 están restringidos por la naturaleza del problema. Al conjunto de valores admisibles para 6 le llamamos espacio paramétrico. Un estimador puntual 9 es un estadístico (función observable de la muestra) que sólo toma valores en el espacio paramétrico. El valor que toma el estimador para una muestra concreta se llama una estimación. La abundancia de estimadores de un parámetro hace necesaria la fijación de las propiedades deseables que ha de satisfacer un estimador para considerarlo un «buen estimador». Basándonos en estas propiedades deseables podremos elaborar algún criterio para elegir entre los posibles estimadores. En este tema estudiamos las propiedades de insesgadez y consistencia, y definimos criterios para comparar estimadores alternativos. También estudiamos dos métodos que permiten obtener «buenos estimadores»: el método de los momentos y el método de la máxima verosimilitud. 2. INSESGADEZ El comportamiento de un estimador en el proceso de muestreo repetido viene descrito por su distribución muestral. La calidad de un estimador depende de las propiedades de su distribución muestral. Intuitivamente es deseable que el «centro de gravedad» de la distribución muestral del estimador de 9 coincida con el parámetro 9, Los estimadores que cumplen esta propiedad se llaman insesgados. Formalmente, 9 es un estimador insesgado de

40

Estimación puntual

6 si y solo si E(9} = 6, V0e0, donde 0 denota el espacio paramétrico. Por otra parte, 6 es un estimador sesgado de 6 si E(9} ^ 9 para algún 0e 0. El sesgo de 9 como estimador de 0 se denota mediante b(9,9} y se define como b(9,9} = E(9)-9. El sesgo es un error sistemático (en la misma dirección). La insesgadez de 9 garantiza que 9 es correcto en promedio, esto es, que la media de la distribución de 9 es 9. Si tomamos un número grande de m.a.s. y para cada muestra calculamos el valor correspondiente de 9, entonces esta colección de valores de 9 tendrá una media aproximadamente igual a 9. Ejemplos de estimadores insesgados a) En el capítulo 1 se ha demostrado que E(X) = ju . Por tanto, la media muestral X es un estimador insesgado de la media poblacional ¡i. También se ha demostrado 9 9 . 9 que E(S ) = o . Por tanto, la varianza muestral S es un estimador insesgado para la varianza poblacional b) Si la media poblacional /í es conocida, entonces es un estimador insesgado para o1. En efecto,

Ejemplo de estimador sesgado Vamos a ver que sesgo es

es un estimador sesgado para acuyo En efecto,

y por tanto 9* es sesgado para
-, con lo

41

que S es un estimador sesgado para <7 y 6 =

S es un estimador

insesgado para 3. CRITERIO DEL ERROR CUADRÁTICO MEDIO ¿Es la insesgadez necesariamente una propiedad deseable de un estimador? Para responder esta pregunta veamos un ejemplo.Ên te figura 3.1 se han representado las funciones de densidad de dos estimadores 6\ y 92, donde 6\ es insesgado para O pero #2 es sesgado para 6. Observamos que la distribución de 9} tiene una dispersión respecto a 6 muy grande, mientras que la de 92 está concentrada alrededor de & (que es próximo a 6). Entonces el estimador sesgado 62 puede ser preferido al estimador insesgado 0\. Es necesario por tanto observar la variabilidad del estimador respecto a 6 para hacer una elección.

Figura 3.1.

La varianza de un estimador O mide la dispersión de O respecto a E(6}. Si 6 es insesgado, su varianza da una buena medida de su precisión. En cambio, si O es sesgado, la varianza de 9 no es una medida adecuada de su precisión y debemos considerar la variabilidad de 9 respecto a 9. Para medir esta variabilidad usamos el error cuadrática medio, denotado por ECM, y que se define como ECM(9}- E$9-9)1\. Se puede probar que el ECM es igual a la suma y el del sesgo, es decir, cuadrado de la varianza . En efecto,

yaque Menor ECM significa mayor precisión. Al comparar dos estimadores de 0, el criterio del error cuadrático medio implica elegir el que tenga menor ECM. Así, si

42

Estimación puntual

ECM(0$ < ECM(62), V#G 0, con desigualdad estricta para al menos un 6, entonces el estimador d{ es preferido a 62 • Con frecuencia esta comparación se efectúa mediante el cociente ECM(62}/ECM(6\), llamado eficiencia relativa de 0{ con respecto a #2 Y denotado por ER(6{,62} • Es obvio que, según el criterio del error cuadrático medio,0} es preferido a 92 si ET?^,^)^! con desigualdad estricta para al menos un 6. Si los estimadores 0l y 62 son insesgados para 6, entonces la eficiencia relativa de 9\ con respecto a 0~> es el cociente de varianzas, es decir, ER(6\,62) = V(d2)¡V(6\). En consecuencia, en la clase de estimadores insesgados para 6, el criterio ECM es equivalente al criterio de mínima varianza. Cuando se dispone de dos estimadores insesgados para un mismo parámetro, el criterio del error cuadrático medio conduce a elegir el estimador de menor varianza. /

\

1

y

,

y

\

l

r

y

/

v

i

-

'

Ejemplo 3.1. Estimación de la varianza de una población normal Sea Xl,...Xn una m.a.s. de una distribución normal con media // y varianza
Como , por tanto

Si hacemos w(c) = en c = c* que resuelve

tenemos que . Además el sesgo de

entonces el mínimo de ra(c) se alcanza en . Como

tenemos que c* =

. Entonces,

es el estimador que tiene el mínimo ECM en la clase de todos los estimadores Observamos que 2

de modo que 7

como estimador de
43

4. CONSISTENCIA A menudo deseamos estimar un parámetro O con un error menor que un valor prefijado e. Esto no puede cumplirse con certidumbre porque 6(x,,...,xn) es una variable aleatoria. Sin embargo, podemos calcular la probabilidad P\\0(x¡,...,xn)-0 < e\ como una función de 6, e y n, y usar esta probabilidad como una medida de la proximidad de 0 respecto a 9. Intuitivamente es deseable que cuando el tamaño muestral aumente, el sesgo disminuya. Esto no ocurre necesariamente a menos que la distribución de 0 tienda a concentrarse alrededor de O cuando el tamaño muestral aumenta. Esta propiedad se llama consistencia. Un estimador 0 es consistente para 9 si para todo e > O se cumple que cuand bv O cuando n —» oo , decimos que 9 converge en probabilidad a 9 y escribimos también plim# = 9). Hay que enfatizar que la consistencia es una propiedad de una secuencia de estimadores y es una propiedad de muestra grande. A continuación describimos algunos resultados que son útiles para comprobar si un estimador es consistente. Proposición 4.1. Si lim E(9

entonces 0n es consis-

tente para 9. En particular, si E(9n) = 0 (es decir, 9n es insesgado) y lim V(9n) = O, entonces 9 Demostración Según la desigualdad de Markov, cualquier variable aleatoria no negativa X para la que O < E(X) < °o , verifica la desigualdad P(X >Á)< E ( X ) / Á , VA > O. Para como

y, por tanto, 9 Ejemplo 4.1. Si X^...,Xn es una m.a.s. de una población X con media ¡JL y varianzacr (finita), entonces

satisface

consecuencia, X es un estimador consistente para /n, es decir, X necesitamos estimar el momento poblacional de orden

En >ju. Si usamos el

44

Estimación puntual

momento muestral de orden

que es consistente e insesgado para suponiendo

cs dccir

Proposición 4.2. 1. Sea g una función continua. Si 6n ——>6 entonces g(0n)—^—-»g(0). 2. Si 6 entonces:

entonces 0

es dicir

para todox en

que F es continua. La demostración de este resultado se omite. Sin embargo la utilidad del resultado se ilustra en los siguientes ejemplos. Ejemplo 4.2. Estimación de la varianza poblacional Sabemos que si X^,...,Xn es una m.a.s. de una población con varianza o1 1 n entonces la varianza muestral es un estimador insesgado de a . Supongamos E(X¡ ) < o o . Entonces, por la consistencia de los momentos muéstrales para los momentos poblacionales y la parte 2 de la proposición 4.2, tenemos que

En consecuencia, 52 es consistente para O" 2 . Por la parte 1 de la proposición 4.2 resulta que S es consistente para (7, aunque 5 no es insesgado para a. Observamos que

también es consistente par

Ejemplo 4.3. La variable aleatoria T converge en distribución a una normal Cuando muestreamos una población normal, sabemos que

tiene una

distribución t de Student con (n-l) grados de libertad y puede escribirse como Observamos que (X-ju)^n/(7 normal tipificada mientras S/G

tiene una distribución exacta

>1 (según el ejemplo anterior). Por tanto, la

45

parte 3 de la proposición 4.2 implica que T converge en distribución a una normal tipificada. Si las X¡ no son normales pero tienen varianza finita cr2 y E(Xf} < °°, entonces por el teorema central del límite se obtiene el mismo resultado. Ejemplo 4.4. Consistencia de la función de distribución empírica Sea X\,...,Xn una m.a.s. de una función de distribución F. La función de distribución empírica de la muestra se define por número de X¡ menores o iguales que F = «numero de X¡ meñores o iguales que x». Entonces Y sigue una distribución binomial con parámetros Por la consistencia de la media muestral para la media poblacional resulta que 5. MÉTODO DE LOS MOMENTOS 5.1. Introducción El método de los momentos es posiblemente el método de estimación más antiguo. Consiste en tomar como estimador de la característica numérica de la población (parámetro) la correspondiente característica numérica de la muestra (estadístico); por ejemplo, tomar como estimador de la media poblacional fj. la media muestral X, como 9 9 estimador de la varianza poblacional o la varianza muestral S , etc. Supongamos que se trata de estimar un vector de parámetros 9 = (9^...,9k] cuyas componentes son funciones de los momentos poblacionales:

Entonces, calculamos

los correspondientes momentos muéstrales y los sustituimos en el sistema de ecua-

ciones. Así obtenemos los estimadores por el método de los momentos de 61,62,...,0k. 5.2. Ejemplos de estimadores obtenidos por el método de los momentos a) Sea X\,...,Xn una m.a.s. de una distribución de Poisson con parámetroÁ desconocido. Como m\ = E(X} es A , tenemos que Á = m} y, por tanto, el estimador de A por el método de los momentos es

46

Estimación puntual

b) Sea X\,...,Xn una m.a.s. de una distribución uniforme en el intervalo [0,b] donde b es desconocido. Como w¡ = E(X] es b/2, tenemos que consecuencia, el estimador de b por el método de los momentos es c) Sea X¡,...,Xn una m.a.s. de una distribución normal con media JUQ y varianza
5.3. Propiedades de los estimadores obtenidos por el método de los momentos sabemos que

. Por tanto, si quere-

mos estimar los momentos poblacionales, el método de los momentos proporciona estimadores insesgados y consistentes. Además, en virtud del teorema central del límite, los estimadores de los momentos poblacionales obtenidos por el método de los momentos tienen una distribución asintótica normal. En general, si h es una función continua, el estimador por el método de los momentos 9 es consistente para d. Bajo algunas condiciones débiles sobre la función h, el estimador 9 es también asintóticamente normal. 6. MÉTODO DE LA MÁXIMA VEROSIMILITUD 6.1. Introducción Ya sabemos que la distribución conjunta de la muestra representa la probabilidad de obtener cada combinación de valores de las variables X¡. Más explícitamente, seaXuna v.a. y sea X},...,Xn una m.a.s. de X. La función de densidad conjunta es: si las X¡ son discretas si las x son continuas

Cuando 9 es conocido, esta función permite calcular la probabilidad de aparición de cada muestra particular. Pero en inferencia, en un problema de estimación se conoce un valor particular de la muestra Xl,...,Xn y 9 es desconocido. Como los valores muéstrales de X{,...,Xn son conocidos y Oes desconocido, podemos considerar la expresión de la función de densidad conjunta como una función de 9. Esta función se llama función de verosimilitud y la denotamos por L(9), es decir, L(9}- /(*],...,*„;#). Supongamos que tuviésemos que decidir entre dos valores posibles para B, 0, y 9r Si, por ejemplo, L(0,)>L(0 2 ) intuitivamente pensaríamos que, a la vista de los resultados muéstrales, el valor de 9} es «más plausible» o «más verosímil» que el de 9 . El método de estimación maximoverosímil (o de la máxima

47

verosimilitud) consiste en elegir como estimador de 6 aquel valor 6 que haga máxima la probabilidad de aparición de los valores muéstrales efectivamente observados o, lo que es lo mismo, que maximice la función de verosimilitud. En la práctica, para encontrar el estimador maximoverosímil conviene trabajar con el logaritmo neperiano de la función de verosimilitud denotado por In L. Como el logaritmo es una función monótona creciente, si L alcanza el máximo en 6 entonces In L también alcanza el máximo en 9. Diremos, por tanto, que 6^y es el estimador maximoverosímil de 6 (estimador MV de 6) si LÍ0MV;x{,...,xn} = sup L(6;x\,...,xn} o, equivalentemente, Si la función de verosimilitud es diferenciable en el espacio paramétrico 0, para obtener 9MV podemos resolver las ecuaciones de verosimilitud = O y comprobar que 6.2. Ejemplos de estimadores maximoverosímiles a) Estimación maximoverosímil de la media de una distribución Poisson El número de llamadas equivocadas recibidas en una centralita telefónica se modeliza con frecuencia mediante una distribución de Poisson. Sean X^,...,Xn el número de llamadas equivocadas en n días diferentes. Si suponemos que el número medio de llamadas equivocadas es el mismo, digamos A,, en cada día y que los sucesos son independientes, entonces

En consecuencia

proporciona el estimador maximoverosímil

b) Estimación de 6 para una distribución uniforme U(Q,0) Supongamos que un autobús llega a una parada entre la hora O y la hora 6 (inclusive) y que la probabilidad de llegada en cualquier subintervalo de tiempo es proporcional a la longitud del subintervalo. Entonces el tiempo X que tiene que esperar una persona que llega a la hora O sigue una distribución uniforme en el intervalo [0,0]. Para estimar 9 suponemos que tomamos una m.a.s. de n observacio-

48 nes

Estimación puntual

de

X.

La

función

de

verosimilitud

de

la

muestra

es

en otro caso Pero esta función no es diferenciable para todo 6 (no es continua para todo 0). Observando que Q
cuya representación gráfica aparece en la figura 6.1.

Figura 6.1.

El máximo de la función de verosimilitud se alcanza en Q=x{fl) y, por tanto, el estimador maximoverosímil de 6 es 0(Xl,...,Xn') = max{Jfj,...,X n } = X^, supuesto que Jf(w) * O . Este resultado se obtiene observando que L(6) es una función positiva para G>x^n) (y cero en el resto) y estrictamente decreciente para 0>*(w), de modo que el máximo de L(9) se alcanza en 0=Jt(M). Puede comprobarse que 0 es consistente para O pero no es insesgado. c) Estimación de la media y la varianza de una distribución normal Sea Xl,...,Xn una m.a.s. de una distribución normal con media ¿í y varianza o2 . Supongamos que fJ. y a1 son desconocidos, de modo que 6 = (//, cr 2 ). La función de verosimilitud es L(0',x\,...,xn) = modo que InL(0)

. Diferenciando In L(6)

49

con

respecto

a

//

y

obtenemos . Resolviendo simultáneamente las dos ecua-

cíones de verosim

d = O obtenemos los estimadores

máximo verosímiles Observamos que, aunque // es insesgado para //, cr es sesgado para
para ju y cr 2 , respectivamente. Si // es desconocido y L(6';x 1 ,...,x w ) = L[¿/(<9);A:1,...,Jcw].Portanto, el estimador maximoverosímil de d(6) es d(0). El uso de la propiedad de invarianza de los estimadores MV simplifica en algunas ocasiones el cálculo como se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 6.1. Estimación de p2 en una distribución Bernouilli Sea Xl,...,Xn una m.a.s. de una distribución Bernouilli con parámetro p. Supongamos que queremos estimar 6= p2. Observamos que#= d ( p ) = p1 es una función biyectiva de [0,1] en [0,1] con función inversa p = 01'2 . Es fácil comprobar que X es el estimador MV de p, de modo que por la propiedad de invarianza el estimador MV de 9 es X2.

50

Estimación puntual

EJERCICIOS 1. Se toma una m.a.s. de tamaño n de una población exponencial de media 6, de modo que la función de densidad poblacional es cero en otro caso. a) Obtener el estimador de 6 por el método de la máxima verosimilitud. ¿Es insesgado el estimador obtenido? b) Obtener un estimador maximoverosímil de 62. c) Determinar un estimador insesgado de 62 basado en el estimador maximoverosímil encontrado en b). Solución a) La

función

de

verosimilitud

de

la

muestra

es

y su logaritmo

v

neperiano es In L(6} = —n\n&

¡ . El valor de 0que maximiza esta función

se obtiene resolviendo para 9 la ecuación

= O y comprobando que, en el

punto solución, la segunda derivada de lnL(0) respecto a 6 es negativa. De obtenemos que 6=X. Por otra parte, . Por tanto, ^ = yV es el estimador

maximoverosímil de 6, y es insesgado porque sabemos que la media muestral es insesgada para la media poblacional. b) Como Q = X es el estimador maximoverosímil de 6, por la propiedad de invarianza de los estimadores máximo verosímiles, 62 = X2 es el estimador maximoverosímil de O 2 . c) La esperanza del estimador maximoverosímil de d2 es . Por tanto, X

es sesgado para B . Observamos que El

X

l- d , de modo que

es un estimador insesgado para 6 2 basado en el estimador maximoverosímil de 6. 2. El porcentaje X de un componente en un producto tiene una función de densidad cero en otro caso. a) Dada una m.a.s. de tamaño n, calcular el estimador de 6 por el método de los momentos y analizar su consistencia.

51

Ejercicios

b) Suponiendo que el tamaño muestral es uno, calcular el estimador maximoverosímil de 6 y comparar la eficiencia de los estimadores obtenidos por los métodos de la máxima verosimilitud y de los momentos. Solución a) El primer momento poblacional es

Por tanto, el parámetro 6 expresado como función del primer momento poblacional (¡u) es 9 = 3/1. Sustituyendo el primer momento poblacional por el primer momento muestral (X) obtenemos que el estimador por el método de los momentos de 9 es 6 = 3X . Analicemos la consistencia de este estimador usando la proposición 4.1. Por una n

parte, E(3X) = 3E(X) = 3E(X) = 3— = O, es decir, 3X es insesgado para 6. Por otra

parte,

como

E ( X 2 ) = ¡(

mos que

> O. Luego 3 X es consistente para 9.

b) Sea x el valor muestral obtenido. El logaritmo de la función de verosimilitud de la muestra es In

. El valor de O que maximiza esta fun-

ción se obtiene resolviendo para 9 la ecuación de verosimilitud este caso resulta

= O, es decir,

= O . En

= O, cuya solución es

9 = 2x . Por tanto, 0 = 2X es el estimador maximoverosímil de 9, mientras que el estimador de 9 por el método de los momentos para el caso particular n = 1 es 9 = 3X . Para comparar la eficiencia de estos dos estimadores usaremos el cociente ECM(6)/ECM(6), que mide la eficiencia relativa de 9 respecto a 0 . Para calcular ECM(0), primero observamos que E(9} = 2E(X) = — , de modo que el estimador por el método de la máxima verosimilitud es sesgado para 9 con varianza

Así,

ECM(0) = V(0) + (b(0,0)J

=

+— = — .

Por

otra

parte,

52

Estimación puntual

. Por tan Luego el estimador obtenido por el método de la máxima verosimilitud, 2 X , es más eficiente que el estimador obtenido por el método de los momentos, 3X. 3. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño n de una variable aleatoria X con función de densidad

y cero en otro caso. Los

parámetros a y fí cumplen las restricciones a) Suponiendo {$ conocido, encontrar un estimador de a por el método de los momentos y demostrar su consistencia. b) Suponiendo oc conocido, encontrar un estimador insesgado de ¡3 basado en el estimador maximoverosímil. Solución a) El primer momento poblacional es

Por tanto, el parámetro a expresado como función del primer momento poblacional es a =

TY1

— . Sustituyendo el primer momento poblacional por el primer ™\-P momento muestral obtenemos que el estimador por el método de los momentos de a Este estimador es consistente para a pues haciendo uso de la proposición 4.2 tenemos que phm b) Veamos cuál es la estimación maximoverosímil de a . La función de verosimilitud es L(fi) =

si x>/3( i = 1 , . . . , n), y cero en otro caso. Aquí el

dominio de definición de la función de verosimilitud depende de fi. Si inconscientes no. " diferenciamos lnL(/7) llegaríamos a — = O que da /? = °° . En casos como este, en los que el dominio de definición de la función de verosimilitud depende del parámetro, se necesita llevar mucho cuidado para encontrar el estimador maximoverosímil. Para escribir L(ff) sin la parte x .> ft (i = 1 , . . . , n) usamos una función indicador. Sea A un conjunto cualquiera. Definimos la junción indicador de A mediante . Las funciones indicador tienen propiedades simples, y la

53

Ejercicios

propiedad más útil que necesitamos es que I A ( x ) - I B ( x ) = IAl^B(x) . Usando la función indicador podemos reescribir L(P) como anBna Además es ¿(l)= > como equivalente a ;c (1) >/3, la función de verosimilitud también se puede escribir como Observamos que L(/3) es positiva para valores P iguales o menores que el mínimo valor observado de la muestra y cero para valores P mayores que el mínimo valor observado de la muestra. Como resulta que L(j3) es una función creciente con p. Por tanto, el dft p máximo de L(p) se alcanza en x (1) . Así, el estimador maximoverosímil de P es ¿ =*(!)•

Si queremos encontrar un estimador insesgado de P basado en el estimador P=X(V), calculamos la esperanza de X^. Para encontrar la esperanza de.Y(1) necesitamos la función de densidad de X(l}, que es de la forma

pues Asi, Luego

es un estimador insesgado de P basado en el estimador maxi-

moverosímil. 4. Se extrae una m.a.s. de tamaño n de una variable aleatoria X con función de densidad a) Demostrar que

y cero en otro caso. como estimador de 6 es insesgado y consistente.

b) Encontrar razonadamente otro estimador insesgado para 6. c) Calcular la eficiencia relativa del estimador insesgado obtenido en el apartado b) respecto al estimador insesgado obtenido en el apartado a).

54

Estimación puntual

Solución a) El estimador

es insesgado para 9 ya que

Por la parte 1 de la proposición 4.2, como nua, entonces

es conti, es decir, el estimador

es

consistente para d. b) La función de verosimilitud de la muestra es e

0
y cero en otro caso. El logaritmo neperiano de la parte

positiva de la función de verosimilitud es lnZ,(0) = «ln3+ ^Zln;*:,- -3«ln0. Como

=

< O, resulta que la parte positiva de la función de verosi-

militud es decreciente con 6. La función de verosimilitud se puede escribir como Observamos que L(9) es positiva para valores 9 iguales o mayores que el máximo valor observado de la muestra y cero para valores 9 menores que el máximo valor observado de la muestra. Por tanto, el máximo de L(9) se alcanza en x(n). Así, el estimador maximoverosímil de 9 es 9 = X(n}. Si queremos encontrar una estimador insesgado de 9 basado en el estimador Q = x(n), primero calculamos la esperanza de X(n). Para realizar este cálculo necesitamos la función de densidad de X^, que es de la forma

Así

Luego es otro estimador insesgado para 9. c) Vamos a comparar la eficiencia de los dos estimadores insesgados mediante el criterio de mínima varianza, considerando la eficiencia relativa de pecto a

res-

55

Ejercicios

El cálculo de las varianzas de estos estimadores se realiza de la siguiente manera.

con

donde

siendo Por

otra

con

parte, donde

En consecuencia,

y, portante, Entonces,

Por tanto, el estimador insesgado

basado en el estimador maximove-

rosímil de 6 es más eficiente que el estimador insesgado — X que se obtiene por el método de los momentos. 5. Sea Xl,...,Xn una m.a.s. de una variable aleatoria X con función de densidad

y cero en otro caso.

a) Encontrar por el método de la máxima verosimilitud un estimador para (a,B). b) Suponiendo 6 conocido, encontrar por el método de los momentos el estimador de a y demostrar su consistencia.

56

Estimación puntual

Solución a) La función de verosimilitud de la muestra es y cero en otro caso. El logaritmo neperiano de la función de verosimilitud es In

. Diferenciando con

v

respecto a a e igualando a O obtenemos

de donde se deduce que a

es el estimador

maximoverosímil de a. Diferenciando con respecto a 6 obtenemos

de modo que L(9) es una función decreciente con 9. Como x< O Vi= 1,... ,n es equivalente a jc(w) < 6, tenemos que L(0) es positiva para 6>X(n} y cero para (n). Entonces el máximo de L(0) se alcanza en X(ny Así, el estimador maximoverosímil de 6 es O = X (w) . Por tanto, el estimador maximoverosímil para (a,0)

b)

El

primer

momento

poblacional

es

6. Expresando a como función de Wj obtenemos « =

— . Sustituyendo el primer momento poblacional por el

primer momento muestral obtenemos que el estimador por el método de los momentos de d es

Este estimador es consistente para a pues haciendo uso de la proposición 4.2 tenemos que plim

57

Ejercicios

6. Sea Xl,...,Xn una muestra aleatoria simple de una población X con función de densidad f ( x ) = — exp{-O -//)/cr} si x > ¿u , y cero en otro caso.
a) Para facilitar la obtención de la esperanza de X observamos que Y = X - fj. sigue una distribución exponencial de media o y, por tanto, m} = E(X)=¡LL+ a. Por tanto, el parámetro ju expresado como función del primer momento poblacional es (JL= m,- cr. Igualando el primer momento poblacional al primer momento muestral obtenemos que el estimador por el método de los momentos de fJ. es // = X - o . b) La función de verosimilitud es Xj > ju, y cero en otro caso. El logaritmo de la parte positiva de la función de verosimilitud es In a w obtenemos

Diferenciando con respecto = — > O, es decir, L(a,
Como x¡ > ¡u Vi = !,...,« es equivalente a x(1) > //, tenemos que L(n,a) es positiva para / / < x(1) y cero para // > jc (1) . Entonces, el máximo de L(n,<3) se alcanza en X^ . Así, el estimador maximoverosímil de ¿u es ju = X(l). Diferenciando con respecto a <7 e igualando a O obtenemos

de donde se deduce que

es el estimador maximo-

verosímil de o. En definitiva, el estimador maximoverosímil para (/i,cr) es

7. Sea X una v.a. continua con función de densidad y cero en otro caso. Obtener el estimador de j3 por el método de los momentos para una m.a.s. de n observaciones y analizar la consistencia del estimador obtenido.

58

Estimación puntual

Solución El

primer

momento

poblacional

es

El parámetro 5 como función del primer momento poblacional es ¡3 = —//. Sustituyendo el primer momento poblacional por el primer momento muestral obtenemos que el estimador por el método de los momentos de /3 es /? = — X. Este estimador es consistente para fí pues haciendo uso de la proposición 4.2 tenemos que X

>//, por lo que

y, por tanto, 8

8. El coste total X de producir una unidad de output es la suma de un coste fijo Q y de un coste variable aleatorio inobservable, donde 6 es un parámetro desconocido. Se sabe que el coste total X se distribuye con una función de densidad. /(#) = exp{#- x] si *> 0, y cero en otro caso. Supongamos que se toma una m.a.s. de tamaño n de dicha variable aleatoria X. a) Encontrar un estimador maximoverosímil del coste fijo 9. b) Estimar el coste fijo O por el método de los momentos y analizar la consistencia del estimador obtenido. c) Obtener los estimadores insesgados del coste fijo Abasados en los estimadores encontrados en a) y b). d) Encontrar la eficiencia relativa de los dos estimadores insesgados obtenidos en c). Solución a) La función de verosimilitud de la muestra es

L(0) es positiva para 0^xü) (y cero para 0>*(1)) y creciente para 9>xw. Luego el máximo se alcanza en jc (1) . Por tanto, el estimador maximoverosímil de 0es 6 = X(^. b) El primer momento poblacional es

El parámetro 0como función del primer momento poblacional es d=[i-l. Sustituyendo el primer momento poblacional por el primer momento muestral obtenemos que el estimador por el método de los momentos de 6 es 6 — X — 1. Este estimador es consistente para 0pues haciendo uso de la proposición 4.2 tenemos que por lo que y, por tanto,

59

Ejercicios

c) Para facilitar la obtención de la esperanza de X(l) observamos que Y=X- 9~Exp(l), es decir, Y se distribuye con una función de densidad f ( y ) = exp{-^} si y > O , y cero en otro caso. Entonces, la función de densidad de

Por tanto, Y

tiene una distribución exponencial con media l/n, es decir,

asi

luego

consecuencia, X({) — es un estimador insesgado de 6. Por otra parte, Luego X -1 es otro estimador insesgado para 9. d) Vamos a comparar la eficiencia de los dos estimadores insesgados mediante el criterio de mínima varianza. La eficiencia relativa de X(]) — respecto a X-l es ER\X(])-- X-l =-r-

_ = __ = -7-3- = / i , que es mayor que la

unidad para n > 1. Luego el estimador insesgado basado en el estimador máximoverosímil es más eficiente que el estimador insesgado obtenido por el método de los momentos. 9. Sea X},...,Xn una m.a.s. de una distribución gamma con función de densidad cero en otro caso. a) Suponiendo que r y A son desconocidos, obtener por el método de los momentos los estimadores de r y A . b) Si r = 3, calcular el estimador de A por el método de los momentos. c) Si r — 3, obtener el estimador maximoverosímil de A . Solución a) Los dos primeros momentos de la distribución gamma con parámetros r y /I son

Resolviendo para los parámetros r y A

se obtienen las siguientes expresiones: A =

^ . Sustituyendo

el primer y segundo momentos poblacionales por los correspondientes momentos muéstrales obtenemos que los estimadores por el método de los momentos de A y r

60

Estimación puntual

son, respectivamente,

b) Como w1 = — , entonces A = — es el estimador de A por el método de los momentos. c) La función de verosimilitud es logaritmo neperiano es ln

el valor de

que maximiza esta función se obtiene resolviendo para A la ecuación que en este caso es

. Así, el estimador maximoverosímil de Á es

10. Sea X},...,Xn una m.a.s. de una población con función de densidad f ( x ) = 2x/62 si 0<;c< 9, y cero en otro caso. a) Encontrar un estimador de Q por el método de los momentos y estudiar si cumple las propiedades de insesgadez y consistencia. b) Obtener un estimador maximoverosímil de 6, calcular su sesgo y estudiar su consistencia. Solución a) El primer momento poblacional es Entonces el parámetro 9 como función del primer momento poblacional viene dado Sustituyendo el primer momento poblacional por el primer momento muestral obtenemos que el estimador por el método de los momentos de 9 es Este estimador es insesgado para Q pues Para estudiar si este estimador insesgado es consistente, comprobaremos si

61

Ejercicios

tenemos

como

que

Luego efectivamente 9 es consistente para 6. b) La función de verosimilitud de la muestra es , y cero en otro caso. El logaritmo neperiano de la parte positiva ;-2nln&

tenemos

=

. Diferenciando con respecto a 9 ob-

< 0 . En consecuencia, L(9) es una función decrecien-

Haciendo uso de una función indicador, la función de verosimilitud se puede escribir como

Es decir, L(0) es positiva para

valores 9 iguales o mayores que el máximo valor observado de la muestra, y cero para valores 9 menores que el máximo valor observado de la muestra. Por tanto, el estimador maximoverosímil de 9 es 9= X(n). Si queremos encontrar un estimador insesgado de 9 basado en el estimador 9 = Xw, calculamos la esperanza de XM . Para encontrar la esperanza de X(n) necesitamos la función de densidad de X ( n ^ . Como la función de distribución de X es

la función de densidad del máximo es de la

forma f caso.

cero en otro

Así, E(X

Para comprobar que el estimador maximoverosímil de 9 es consistente (usando la proposición 4.1), probaremos que lim E(X vemos que lim£'(^ sesgado

como

consistente para 9.

Primero

es decir, X(n) es asintóticamente intenemos que

62

Estimación puntual

11. Sea X{,...,Xn una muestra aleatoria simple de una población con función de densidad f ( x ) = (9 + \)xe si 0< x < 1, y cero en otro caso (siendo 0>-l). a) Obtener el estimador de 6 por el método de los momentos y demostrar que es consistente. b) Obtener el estimador maximoverosímil de 9. Solución a) El primer momento poblacional es

Por tanto, el parámetro 6 expresado como función del primer momento poblacional es 0

. Sustituyendo el primer momento poblacional por el primer

momento muestral obtenemos que el estimador por el método de los momentos de 6 es

. Este estimador es consistente para 9 pues por la proposición 4.2

tenemos que pli b) La función de verosimilitud es no es In obtiene resolviendo para 9 la ecuación que es equivalente a estimador maximoverosímil de

y su logaritmo neperiaEl valor de 9 que maximiza esta función se = O, es decir, . Por tanto, el

CAPITULO 3 ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

1. INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior hemos estudiado las propiedades que deben poseer los buenos estimadores puntuales y hemos expuesto dos métodos de estimación y las propiedades de los estimadores que producen. En cualquier situación, la elección de un estimador particular depende de factores estadísticos (tales como fiabilidad del proceso de muestreo, validez del modelo asumido, etc.) y de factores no estadísticos (implicaciones económicas, razones prácticas y facilidad de ejecución). Una estimación puntual tiene poco significado por si sola, ya que generalmente difiere del verdadero valor del parámetro. Es además necesario medir la precisión del estimador puntual y tener información sobre el posible error de estimación asociado a la estimación puntual. Para proporcionar esta información adicional, la estimación puntual se suele acompañar de un intervalo de estimación que indica un rango de valores del parámetro y una medida del grado de confianza que tenemos en que el intervalo de estimación incluya el valor verdadero del parámetro. Antes de formalizar el concepto de intervalo de confianza ilustramos las ideas subyacentes en el ejemplo siguiente. Ejemplo 1.1 Sea X ~ N(ju,(J2) con o1 conocido. Supongamos que disponemos de una m.a.s. de tamaño n de X y queremos estimar \i. Sabemos que en esta situación cumple

y, por tanto, para un valor prefijado a, 0
de

forma

equivalente

54

Estimación por intervalos de confianza

Esta última probabilidad la podemos escribir asimismo de la forma Es

decir,

el

intervalo

\ contiene el verdadero valor de // con una probabilidad 1-a. Un intervalo aleatorio tal como

se lama

intervalo de confianza para// con nivel de confianza 1-a. Simbólicamente,

Debe observarse que en el momento en que tomamos una m.a.s. y en el anterior intervalo sustituimos la v.a. X por su valor muestral, obtenemos un intervalo fijo (llamado intervalo de estimación) para el cual ya no tiene sentido hablar de la probabilidad de que ¡i esté contenido en él. Sin embargo, si extrajéramos muchas muestras y calculásemos para cada muestra el correspondiente intervalo de estimación, aproximadamente el (l - c¿] • 100% de dichos intervalos incluirían el verdadero valor de \i y el a-100% de dichos intervalos no contendrían ¡i. Es en este sentido en el que podemos decir que tenemos una confianza del (!-£*)• 100% de que un intervalo de estimación específico contenga el ¡JL verdadero. Por este motivo los intervalos de estimación también se llaman intervalos de «confianza». Estas ideas se ilustran en la figura 1.1. La parte superior de la figura 1.1 presenta la distribución muestral de la media muestral de n observaciones procedentes de la población normal del ejemplo 1.1. Como se ha visto, un intervalo de confianza para la media poblacional estará basado en el valor observado de la media muestral, es decir, en una observación extraída de la distribución muestral de X .La parte inferior de la figura muestra una sucesión de intervalos de confianza con nivel de confianza del (l-df)-100% obtenidos de muestras independientes de la población. Los centros de estos intervalos, que son simplemente los valores observados de la media muestral, estarán con frecuencia muy cerca de la media poblacional jU. Sin embargo, algunas medias muéstrales pueden estar sensiblemente alejadas de j u . No obstante, si se construye un número elevado de intervalos, el (l — o] • 100% de estos intervalos incluirá la media poblacional. Las consideraciones anteriores motivan la siguiente definición. Sea Xl,...,Xn una m.a.s. de una función de distribución F y sea 6=6(F) un parámetro numérico. Sean 6¡ y 6S dos estadísticos tales que P(6¡ <0<0s) = l-a, 0
65

Figura 1.1.

superior para 0 con nivel de confianza 1 - a, mientras que si P(6I < 0} - 1 - a , 9¡ es un límite de confianza inferior para 6 con nivel de confianza 1 - a. Cuando las distribuciones de 6¡ y 9S son discretas, no todos los niveles de confianza (1 -a) son alcanzables. En tales casos, sustituimos las igualdades anteriores por desigualdades «>» y hablamos de intervalo de confianza (o límite de confianza) con nivel «al menos» (1-a). La cantidad \-a es una medida del grado de confianza (credibilidad) del intervalo. En la práctica, el nivel de confianza 1 - a se suele fijar en valores que están próximos a 1, tales como 0.90, 0.95 ó 0.99. La amplitud de un intervalo de confianza se usa como una medida de su precisión. En general, deseamos que nuestros intervalos de confianza sean tan estrechos como sea posible. Como el intervalo de confianza es nuestro estimador de 6, para un nivel de confianza fijo cuanto menor sea la amplitud del intervalo más precisa es la información sobre 6. En la mayoría de problemas de estimación de parámetros los intervalos de confianza son preferibles a las estimaciones puntuales. Una estimación puntual da un solo valor numérico de 6 para cada muestra que es verdadero o falso, pero esto nunca lo sabemos porque 9 es desconocido. Por otra parte, un intervalo de estimación da un rango de valores posibles de 9 (para cada muestra). Podríamos preguntarnos si siempre será posible encontrar un intervalo de confianza tal y como hemos hecho en el ejemplo 1.1. Los pasos que hemos seguido hasta llegar al intervalo podremos repetirlos siempre que partamos de una variable aleatoria T(X\,...,Xn;6] que cumpla los siguientes requisitos: 1. Para cada 9 fijo del espacio paramétrico 0, T( X,,..., Xn; 9} es un estadístico.

66


2. Como función de 6, T(X},...,Xn;0) es una función estrictamente creciente o estrictamente decreciente para cada muestra. 3. La distribución de probabilidad de T( X},..., Xn; 9} no depende del parámetro 6. Si T(X{,...,Xn\d] cumple los anteriores requisitos siempre es posible encontrar dos valores, Á} y A2, no necesariamente únicos, que cumplen P(Á} l-a para todo 6e0 y que no dependen de a Por la monotonía de T respecto a O, las ecuaciones T(X{,...,Xn;9) = Á,¡ (i = 1,2) ofrecen cada una de ellas una solución única de 9 para cada muestra fija. Las dos soluciones obtenidas proporcionan los dos límites del intervalo de confianza para 9 con nivel de confianza 1 - a. Una v.a. T(X},...,Xn;9] cuya distribución de probabilidad no depende de O se llama pivote. Como el método para construir intervalos de confianza que acabamos de describir parte de un pivote se llama método del pivote. Es obvio que en cualquier situación concreta existirán múltiples intervalos de confianza de nivel I-a. El problema de construir un intervalo de confianza se reduce a encontrar un pivote. Sin embargo, debemos considerar además el estadístico en el que ha de estar basado el pivote, dado que la elección del estadístico afectará a la precisión del intervalo de confianza resultante. Generalmente, la mejor elección es usar un pivote basado en el estimador maximoverosímil. Como la amplitud de un intervalo de confianza mide su precisión, si es posible elegiremos un intervalo de confianza, basado en un estadístico T (por ejemplo, el estimador maximoverosímil de 9), que tenga la amplitud mínima entre todos los intervalos de confianza para 9 con nivel 1 - a. Si la distribución de T es simétrica respecto a 9, es fácil comprobar que la amplitud del intervalo de confianza basado en T se minimiza eligiendo un intervalo de confianza con colas iguales. Es decir, elegiremos /I, y A2 tales que P(T>Á2) = a/2 y P(T< /I,) = a/2 . A veces se eligen intervalos de confianza con colas iguales incluso cuando la distribución de T no es simétrica, sobre todo si el cálculo del intervalo más estrecho basado en T es difícil. En las siguientes secciones detallamos cómo construir intervalos de confianza para algunos parámetros importantes. 2. INTERVALOS DE CONFIANZA BAJO NORMALIDAD 2.1. Problema de una muestra En este apartado consideramos el problema de construir intervalos de confianza 2 para // y o al muestrear una población normal. Suponemos que X},...Xn es una m.a.s. de X, donde X ~ N(ju,(72). 2.1.1. Intervalo para la media poblacional, varianza conocida Si deseamos un intervalo de confianza para ¿u al nivel I-a sabemos que y cumple, además, todos los requisitos para aplicar el método

67

del pivote. Este caso es el que se ha desarrollado en el ejemplo 1.1. El intervalo de confianza para 2.7.2. Intervalo para la media poblacional, varianza desconocida Si deseamos un intervalo para la media poblacional y o es desconocido, usamos como pivote

. Para obtener el intervalo de confianza para f i ,

partimos de la igualdad

y obtenemos que un intervalo

de confianza para ¡i es 2.1.3. Intervalos para la varianza poblacional

Si nuestro objetivo es construir un intervalo de confianza para o2, entonces tenemos que considerar dos casos según que ¡JL sea o no conocido. Si jU es desconocido, entonces usamos el pivot n, podemos encontrar Á

- Dados a y

tales que

. Para

cada par ( A ] , Á2) obtenemos un intervalo de confianza para o1 con nivel 1 - a de la forma

. Como la distribución Ji-cuadrado no

es simétrica no podemos usar la simetría para elegir A, y A 2 (como hacemos en el cálculo del intervalo de confianza para jU). Aunque es posible encontrar numéricamente /!, y A 2 de modo que la amplitud del intervalo de confianza sea mínima, es más simple asignar igual probabilidad a cada cola y elegir Á{ = zl-\-\-a/2 Y A 2 = Xn-\-ai2 • Entonces el intervalo de confianza para
Este resultado se debe a que

son variables aleatorias norma-

les tipificadas independientes. En consecuencia, las variables

68


/=!,...,n, siguen distribuciones Ji-cuadrado con 1 grado de libertad y, como son 2 independientes, su suma es una variable Xn • Si deseamos un intervalo para la desviación típica poblacional d, éste se obtiene a partir de un intervalo para la varianza poblacional cr2 tomando la raíz cuadrada de sus límites. 2.2. El problema de dos muestras Supongamos que Xu,...,Xlfl y X2l,...,Y2^ son dos m.a.s. independientes de distribuciones normales X\ ~ ,/¥(//,,
De la igualdad P

= 1 — ex, se obtiene que un inter-

valo de confianza para //¡ -// 2 al nivel de confianza 1 -a es

2.2.2. Intervalo para la diferencia de dos medias, varianzas desconocidas Supondremos en este apartado que las varianzas de las dos poblaciones son 9 9 9 desconocidas pero iguales, es decir, cr, =a2. Denotaremos por cr el valor común de las varianzas poblacionales. Entonces, si queremos construir un intervalo para la diferencia de medias poblacionales, consideramos como pivote la v.a. , donde

. Como sabemos, T

sigue una distribución t de Student con n} + n2 - 2 grados de libertad. Por tanto, , de donde obtenemos que el intervalo para la diferencia de medias poblacionales es

69

2.2.3. Intervalo para la diferencia de dos medias, muestras apareadas Con frecuencia tenemos n pares independientes de observaciones procedentes de dos poblaciones X\ y X2 con medias //j y // 2 , donde las observaciones de cada par (Xu,X2i), ¿ = !,...,«, son dependientes. Supongamos que en esta situación deseamos un intervalo de confianza para ju\ -// 2 • Si la distribución de Xj - Jf2 es normal, podemos considerar D\ = Xu- X2l,...,Dn = Xln - X2n como una muestra aleatoria de tamaño n de una población normal D = X\ — X2 con media //£>=//! -// 2 y varianza cr^. Para obtener un intervalo de confianza para HD, aplicamos los métodos para obtener intervalos de confianza para ¿u. Sean respectivamente, la media y la varianza muéstrales de las n diferencias D¡ ,/=!,...,n. Entonces, usando el pivote T =

, obtenemos que

es un intervalo de confianza para //¡ - ]U2 con nivel 1 - a. 2.2,4. Intervalo para el cociente de varianzas 9 /

9

Para construir un intervalo de confianza para el cociente <7 2 / o\ al muestrear dos poblaciones normales independientes (cuando fj.\ y // 2 son desconocidos), usamos el pivote

. Sabemos que F sigue una distribución F de Fisher con

«, -1 grados de libertad en el numerador y «2 -1 grados de libertad en el denominador, es decir, F ~ Fn _\ n^_\ . Entonces, para 1 -a fijo, es posible encontrar/l, y tales que

Como la distribución F de Fisher es

asimétrica, usamos la versión de colas iguales que consiste en elegir Entonces

de donde obtenemos que el intervalo para

es


70

Un intervalo de confianza para el cociente de desviaciones típicas se obtiene tomando la raíz cuadrada de los límites del intervalo de confianza para

3. INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MUESTRAS GRANDES Sea X\,...,Xn una m.a.s. de una distribución con media // y varianza o . Sabemos que la media muestral X es un estimador insesgado de H y que la varianza muestral S es un estimador insesgado de a1 para todo n. Si n es pequeño, necesitamos hipótesis adicionales sobre la forma funcional de la distribución de las X¡ para construir un intervalo de confianza estrecho para ¿u (o
obtenemos que

es un intervalo de confian-

za con nivel al menos 1 - a para /u . Análogamente, G ^ccn es una estimación del error al estimar ¿u por X con probabilidad al menos 1 - a. Observamos que la precisión de X está medida por su varianza a2¡n que disminuye conforme n aumenta. En efecto, X es consistente para // de modo que X está cerca de // en probabilidad para n grande. Por el teorema central del límite sabemos que si n es grande la distribución de X está altamente concentrada alrededor de fJ. y es aproximadamente normal. Cuando n es grande, usando el teorema central del límite podemos obtener intervalos de confianza para // más estrechos que los obtenidos usando la desigualdad de Chebychev. Si n es grande, tenemos que DONDE

nemos que

ELIGICNDO

OBTE

es un intervalo de confianza para // con

nivel aproximado 1 - ce. Se puede comprobar que este intervalo es más estrecho que el basado en la desigualdad de Chebichev. Si
71

encontrar un estimador 6 de 6 que tiene distribución asintótica normal con media 6 y varianza
n

grande

>O(x) . En este caso, para y,

es un

por

tanto,

intervalo de confianza para 6con nivel

aproximado l-a. En la práctica,
^

U,j ¿,

fj

U/ ¿

£/ J

¿onde b\ es una estimación consistente de ft

A continuación presentamos intervalos de confianza en algunos casos particulares. Si la m.a.s. procede de una distribución Bernouilli con parámetro 6=p, entonces Para estimar
Para estimar . Por tanto, el

intervalo de confianza para 9=pl-p^ con nivel aproximado l - a es

72


EJERCICIOS 1. a) SeaXl,...,Xloo una muestra aleatoria simple de una población X con distribución Bernouilli de parámetro p. Encontrar un intervalo de confianza de colas iguales y con nivel de confianza aproximado del 95% para el parámetro 6 = —— . b) A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño 11 de una población normal con varianza o1, proponer un pivote adecuado para el parámetro v definido como v = I/o1 . Con el pivote propuesto, hallar un límite superior de confianza para v con un nivel de confianza 0.95. Solución a) Sabemos que un intervalo para p (con muestras grandes) se construye a partir del pivote Z =

valo para

Sabemos que P

Intentaremos, pues, obtener un inter-

l a partir de dicho pivote.

73

Ejercicios

b) Sabemos que

Luego el pivote parav

será ;

. Por tanto, para un nivel de confianza 0.95 podemos

POR TANTO

escribir

. Luego

el límite superior de confianza para v con un nivel de confianza del 95%

2. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 1 de una variable aleatoria X con función de densida

cero en otro caso. Construir

razonadamente un intervalo de confianza de colas iguales para ¡3 con nivel de confianza 0.95. Solución El estadístico

constituye un pivote para /?, ya que su función de densi, que es independiente de¡3. Por

dad es

tanto, dado un nivel de confianza 0.95, sean/1, y A 2 dos números tales que P(A, < T < Á2) - 0.95 . Si tomamos colas iguales tendremos que P(T > A 2 ) = 0.025 , es decir, otra parte,

, de donde obtenemos A , es decir,

obtenemos Luego P ^0.025 < —

. Por de donde l intervalo

de confianza de colas iguales para /3 es

3. Se extrae una muestra aleatoria simple de tamaño 1 de una variable aleatoria X con función de densidad

y cero en otro caso. Construir

razonadamente un intervalo de confianza de colas iguales para O con nivel de confianza 1 - a.

74


Solución El

estadístico

es

un

pivote

para

d

ya

que

que es independiente de 9. Luego, dado un nivel 1 - a, sean a y b tales que Entonces por tanto, el intervalo de confianza para 9 es Calculemos a y b para que el intervalo tenga colas iguales. Asignando una probabilidad al2 a la cola izquierda tenemos que decir,

es

3y dy = a = a/2 , de donde obtenemos a = ^]a/2 . Asignando igualmen-

te una probabilidad al 2 a la cola derecha tenemos que P(Y>b) = a/2, es decir, por tanto b

uego el intervalo de confianza

4. En una fábrica nacional y otra internacional se están haciendo zapatos con el mismo material. En cada fábrica se toma una muestra aleatoria simple de la variable «cantidad de caucho empleada en la fabricación de un par de zapatos», obteniéndose los siguientes resultados: Fábrica nacional: 128, 130, 130, 130, 131, 132, 132, 134. Fábrica internacional: 126, 128, 128, 130, 130, 130, 130, 131, 133, 134, 134. Suponemos que la cantidad de caucho empleada en la fabricación de un par de zapatos sigue una distribución normal. a) Hallar un intervalo de confianza para el cociente entre la desviación típica de la cantidad de caucho empleada en la fabrica nacional y la desviación típica de la cantidad de caucho empleada en la fábrica internacional con un nivel de confianza 0.90. b) Estimar mediante un intervalo con nivel de confianza 0.90 la diferencia entre las cantidades promedio de caucho empleadas en ambas fábricas justificando el intervalo elegido. Solución a) Para un cociente de desviaciones típicas, sabemos que el pivote es

(utilizamos el subíndice TV para

la «fábrica nacional» y el subíndice / para la «fábrica internacional»). De

Ejercicios

75

se obtiene que

Los estadísticos muéstrales son S, = 2.54. Por otra parte, tando finalmente b) Puesto que el intervalo de confianza anterior contiene a la unidad, podemos ES DECIR admitir G Por tanto, suponemos que las desviaciones típicas desconocidas son iguales. Entonces el intervalo para la diferencia de medias

con

de ambas fábricas

El intervalo de estimación que se obtiene es 5. El fabricante de cierto modelo de automóvil ha publicado que dicho modelo tiene un consumo medio de 5.2 litros a los 100 kilómetros con una desviación típica de 0.8 litros. Un estudio posterior realizado con 60 automóviles del mismo modelo ofreció, para la variable X (consumo en litros por cada 100 kilómetros), los resultados muéstrales X = 5.47 y S2 = 0.7 . Admitiendo que para dicho modelo de automóvil la variable X se distribuye normalmente, analizar utilizando intervalos de confianza (con un nivel de confianza del 95%) la veracidad de las afirmaciones del fabricante. Solución Suponemos que litros. El intervalo

intervalo

para

para

. El fabricante afirma que n = 5.2 litros y
de

confianza

es

de modo que el intervalo para Parece, por tanto, que deberíamos dudar de la afirmación del fabricante en

76


relación a la media ya que 5.2 £ /Jf % . Sin embargo, no podemos dudar de la afirmación respecto a a ya que 0.8 E I#5%. 6. En una muestra de n individuos con un plan de jubilación ZZZ se observa que la edad X en la que se contrató el plan de jubilación tiene una media muestral de 50 años y una desviación típica muestral de 6 años. a) Si se supone que la variable edad X tiene una distribución normal y el tamaño de la muestra es n = 19 , determinar un limite superior de confianza para la varianza poblacional de X con un nivel de confianza del 99%. b) Si se supone que la variable edad X tiene una distribución aproximadamente normal, construir razonadamente un intervalo de confianza para la varianza poblacional de X al nivel de confianza del 99% si n = 200 (utilizar el hecho de que la desviación típica muestral, para muestras grandes, tiene una distribución aproximadamente normal con media la desviación típica poblacional y varianza la varianza poblacional dividida por el doble del tamaño muestral). Solución a) Si

entonce

confianza (al 99% de confianza) para o

Por tanto,

n_\.

Llamando k al límite superior de

tendremos que P(o
de donde obtenemos que k -

b) Para n = 200 (muestra grande) sabemos que tanto,

por

j= ~ JV(0,1) . Luego dado un nivel de confianza 1-a, , en consecuencia,

Por tanto,

y el intervalo de confianza para a es

77

Ejercicios

El intervalo para la varianza es

y sustituyendo a=0.01, « = 200 y S = 6, obtenemos I99,% =[28.256,47.426].

7. En una encuesta efectuada entre los estudiantes de una universidad, 300 de 500 miembros de asociaciones estudiantiles están de acuerdo con la propuesta A. Por otra parte, 64 de 100 estudiantes no miembros de asociaciones estudiantiles también están de acuerdo con la propuesta A. a) Estimar mediante un intervalo de confianza la diferencia de proporciones a favor de la propuesta, fijando un límite de dos veces la desviación típica para el error de estimación. ¿Cuál es el nivel de confianza aproximado de dicho intervalo? b) Suponiendo que las dos muestras tienen igual tamaño, ¿cuántos estudiantes miembros y no miembros hay que incluir en una encuesta si se desea que la estimación de la diferencia de proporciones tenga un error máximo de 0.05 con una probabilidad de al menos 0.95? Considérese que en ambas poblaciones el máximo de p(\-p) es 0.25. Solución a) Las proporciones muéstrales son p\ = 300 / 500 = 0.60 y p2 = 64 /100 = 0.64. Para estimar la diferencia de proporciones fijando un límite de dos veces la desviación típica para el error de estimación tenemos que

Luego el nivel de confianza aproximado es 0.9545. Así, el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones es

b)

Buscamos

n\

y

«2 tales Sabiendo que

podemos realizar la acotación nos permite también acotar la probabilidad

que

n}=n2=n y para todo p,

que

78


Entonces, para que P(\p\ ~ Pi~ (P\ ~ P2 )| - 0-05) > 0.95 basta con seleccionar un tamaño muestral n tal que que verifique

, es decir, un tamaño muestral n Así obtenemos que

. Luego el

valor mínimo de n es 769. 8. En un estudio sobre la conservación del jamón se obtuvieron los siguientes datos sobre residuos de ácido sórbico en 8 lonchas de otros tantos jamones un día después de sumergirlo en la solución y a los 60 días: Loncha Un día después 60 días después

|

l | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 224 270 400 444 590 660 1400 680 116 96 239 329 437~ 597 689 576~

Suponiendo normalidad, contrastar mediante un intervalo de confianza de nivel 0.95 si se puede admitir que la reducción media de los residuos de ácido sórbico en los 60 días es 250. Solución Como se trata de una muestra apareada, sabemos que un intervalo de confianza para la media de las diferencias de las diferencias aparece en la siguiente tabla: Loncha Un día después 60 días después Diferencia

1 2 224 270 116 96 108 ~T74

La muestra

3 4 400 444 239 329 161 ~15 |

5 590 437 153

6 660 597 63 |

7 8 1.400 680 689 576 711 104

Los estadísticos resumen para la muestra de las diferencias son D = 198.625 y SD =210.165. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza obtenemos Este es, como vemos, un in-

79

Ejercicios

tervalo de gran amplitud y, por tanto, ofrece poca información sobre la reducción media. Dicho de otra forma, es un intervalo poco preciso. 9. Las varianzas muéstrales de dos poblaciones normales X\ y X2 independientes son 5? = 61.33 y S% = 76.8 , respectivamente. Los tamaños de las muestras son Wl =18 y «2 =121. a) Hallar un intervalo de confianza al 96% para la varianza poblacional a\ de X\. ¿Podemos admitir que la varianza poblacional es G\ = 50 al nivel de significación a=0.04? b) Suponiendo que las varianzas poblacionales de X{ y X2 son iguales, hallar un intervalo de confianza al 90% para la varianza poblacional común. Solución a) Si X\ sigue una distribución normal entonces (n{ -l)5?/<72 ~ %2n _j y, por tanto, un intervalo de confianza con nivel de confianza I-a para o\ es . Sustituyendo los resultados muéstrales y teniendo en cuenta que a/2 = 0.02, Z'om-M =31.3 y j£o.98;i7 =7.2, obtenemos el intervalo 7^.2% = [33.3,144.8]. A la vista del resultado, podemos admitir que d\ - 50 a un nivel de significación 0.04. b) Suponemos o\ = a\ = o1. Puesto que X} y X2 siguen sendas distribuciones normales, entonces

piedad

aditiva

porlapro-

de

la

distribución

Ji-cuadrado,

intervalo para . Sólo resta sustituir los datos muéstrales y usar la aproximación normal de la distribución Jicuadrado, obteniendo 10. Construir un intervalo de confianza al nivel 0.95 para la diferencia de medias poblacionales de las variables X e Y (basado en las medias muéstrales) suponiendo que X sigue una distribución uniforme en el intervalo (0,20), Y sigue una distribución exponencial de media Á , X e Y son independientes y los tamaños muéstrales son grandes y distintos.

gO


Solución Tenemos que los tamaños muéstrales m y n son grandes. Sabemos que Por el teorema central del límite (para m y n grandes), tenemos que aproximadamente

Por tanto, aproximadamente o, tipificando,

Puesto que

en la varianza de X — Y aparecen parámetros desconocidos, éstos deben ser sustituidos por estimadores consistentes. Sabemos que aproximadamente

._

por lo que

~ 7V(0,1). En consecuencia, para m y n gran-

y por tanto el intervalo de

des se cumple que P confianza asintótico para

11. Dos marcas de refrigeradores, A y B, tienen una garantía de un año. En una muestra aleatoria de 50 refrigeradores de la marca A, doce se averiaron antes de terminar el periodo de garantía. Una muestra aleatoria de 60 refrigeradores de la marca B presentó también doce averías durante el periodo de garantía. Contrastar mediante un intervalo de confianza de nivel 0.98 si la proporción de averías durante el periodo de garantía en ambas marcas de refrigeradores es la misma. Solución Tenemos que W teorema central

del

límite

se

cumple

. Por el aproximadamente que Y entonces Tipificando

la variable

obtenemos que aproximadamente

Luego

el

intervalo

de

confianza

asintótico

para

PA~PB

es

Usando los resultados muéstrales obtenemos que el intervalo de estimación para la diferencia de proporciones es

81

Ejercicios

de modo que, con un 98% de confianza, p lo contiene el cero se acepta que p

Como este interva-

2x 12. Sea X\,...,Xn una m.a.s. de una población con densidad /(*) = — si Q 0<;t< 6, y cero en otro caso. Para una muestra de tamaño 1, obtener un pivote para 9 y, a partir de él, construir un intervalo de confianza de colas iguales con nivel 1 - a para 6.

Solución Es fácil ver que Y = X/6 es un pivote para 6 ya que su función de densidad es

que no depende de 9. Además, para X fijo, X/d es una función estrictamente decreciente de 6. Luego, dado un nivel de confianza 1 - a, existirán dos valores a y b tales que P(a< Y
es decir,

y también

. Por tanto, el

intervalo de confianza para d es de la forma

si queremos que

este intervalo tenga colas iguales, se deberá cumplir que P(Y
, de donde a y obtenemos

ara obtener b , . Por tanto, el intervalo de

confianza para 6 (con colas iguales) es I

13. Los siguientes valores corresponden a la duración, en cientos de horas, de los elementos de una m.a.s. de 10 componentes electrónicos que operan en un sistema de control direccional de misiles: 0.637 1.601

1.531 0.152

0.733 1.826

2.256 1.868

2.364 1.126

La duración de un componente de este tipo se supone que sigue una distribución Weibull con función de densidad / en otro caso. Usando un nivel de confianza del 95%:

, y cero

82


a) Obtener un pivote para 6 y, a partir de él, construir razonadamente un intervalo de confianza de colas iguales para 6. (Recuérdese que el doble de la suma de n exponenciales independientes de media uno sigue una distribución Ji-cuadrado con 2/1 grados de libertad). b) Obtener un intervalo de confianza para la mediana poblacional. Solución a) Sea

La función de densidad de Y es

En consecuencia, Y ~ Exp(l), por lo que Entonces el pivote para 0es

• Dado

un nivel l-o, se cumple que

forma equivalente,

luego

el intervalo de confianza para 9 es

b) Denotemos la mediana poblacional por ^ 05 . Por la definición de la mediana debe cumplirse que cuencia,

decir, í

n conse-

con lo que In0.5

Del intervalo para 6 obtenido en el apartado anterior, se deduce que el intervalo para la mediana poblacional es

CAPITULO 4 CONTRASTES DE HIPÓTESIS

1. INTRODUCCIÓN Un modelo aleatorio está basado sobre ciertos supuestos. Cuando decimos que la variable aleatoria X puede modelizarse mediante una función de densidad f(x, 6), estamos expresando un supuesto teórico sobre el comportamiento de dicha variable aleatoria. Cualquier supuesto de este tipo es una hipótesis estadística. En los anteriores capítulos hemos usado términos tales como «las variables aleatorias son independientes», «las variables aleatorias se distribuyen idénticamente», «/es una función de densidad simétrica», «la moneda es correcta», «la resistencia eléctrica de un componente se distribuye normalmente con media 5 Ohm.», etc. Todos estos supuestos son ejemplos de hipótesis estadísticas. Sea (X\,...,Xn) un vector aleatorio con función de distribución conjunta F9, O E 0, donde 0 denota el espacio paramétrico. La familia F = {F0 19 G 0} puede ser paramétrica (en cuyo caso 9 es un vector numérico de dimensión finita) o no paramétrica (en cuyo caso F0 no puede caracterizarse por un vector de escalares de dimensión finita). En los capítulos anteriores hemos considerado el problema de inferencia estadística consistente en la estimación puntual (o por intervalo) de algún (algunos) parámetro(s) numérico(s) de la distribución poblacional de una v.a. En este tema vamos a considerar el problema del contraste de hipótesis en el que nos planteamos tomar una decisión sobre la verdad o falsedad de alguna afirmación respecto a un parámetro tal como «la media es no negativa», «la varianza es mayor o igual que O"^», o «la probabilidad de cara al lanzar una moneda es 1/2 ». Formalmente, sea 00c:0 y 0!=0-0 0 prefijados y sea F0 = [Fe 19 e 00} c F y F, = F - F0. El problema que vamos a considerar puede establecerse como sigue: Dado un vector de datos (X},..,,Xn), ¿la distribución verdadera de ( X } , . . . , X n ) pertenece a F0 o a Fj ? Antes de presentar las definiciones formales vamos a considerar algunos ejemplos.

84

Contrastes de hipótesis

Ejemplo 1.1. Supongamos que deseamos jugar a cara o cruz con una moneda que nos ofrece el adversario, pero antes queremos decidir si la moneda es correcta. De hecho, supondremos que la moneda es correcta hasta que exista evidencia en contra. Este supuesto es la hipótesis a contrastar que llamaremos hipótesis nula. La especificación de una hipótesis nula nos fuerza a pensar en la elección de una conjetura rival que aceptaremos en caso de que rechacemos la hipótesis nula. Como conjetura rival podemos considerar que la moneda no es correcta, que está sesgada a favor de caras o que está sesgada a favor de cruces. La conjetura rival se llama hipótesis alternativa y su especificación depende mucho del uso que deseamos asignar a la moneda. ¿Cómo contrastaremos la hipótesis nula de que la moneda es correcta? Supongamos que lanzamos la moneda n veces. Sea X¡ =1 si el /-ésimo lanzamiento ofrece cara, y Xi•.- O, en otro caso. Entonces X},...,Xn es una m.a.s. de una distribución Bernouilli con parámetro /'(cara) = p, p E 0 = [O, l]. La hipótesis nula se convierte en la afirmación HQ:p = 1/2 . La hipótesis alternativa de que la moneda no es correcta se convierte en la afirmación H}:p ¿ 1/2. Observamos que bajo HQ la distribución común de las X¡ está especificada completamente, mientras que bajo H} la distribución común está especificada salvo para el valor de p. El resultado muestral es un punto del espacio muestral E = [(*, ,...xn]/ x¡ = 1 o O, ! < / < « } ¿Bajo qué circunstancias rechazaremos //0 ? La teoría de la probabilidad nos permite calcular la probabilidad de observar la muestra bajo la hipótesis nula y bajo la hipótesis alternativa. En efecto, la probabilidad de observar el resultado muestral xl,...xn cuando P(X¡ = 1) = p es

Observamos que P

depende sólo de

x¡ , el número total

de caras en n lanzamientos. Esto significa que si queremos rechazar H0 cuando nuestra muestra es tal que >

x¡ = s, entonces desearemos rechazar H0 para toda

muestra donde el número total de caras es s con independencia de cuales sean las x¡ individuales. Supongamos que observamos una muestra que es muy improbable desde el punto de vista de H0. Es decir, supongamos que

es

«pequeña». Si a pesar de su pequeña probabilidad hemos observado realmente el resultado (x{,...xn] para el cual 2j. *, - s, entonces éste es un fuerte argumento contra H0 : Nos resulta difícil creer que algo tan improbable pueda ocurrir. Teniendo en cuenta que el cálculo de la probabilidad se ha hecho bajo la creencia de que H0 es verdadera, empezaremos a dudar sobre la base de nuestro cálculo (HQ) • Para ser más concretos tomemos @0 = {0.5} y 0] = {0.7}, y supongamos que lanzamos la moneda n = 6 veces. Entonces necesitamos elegir entre H0:p = 0.5 y H{:p = 0.7 en base a una m.a.s. de tamaño 6. Es fácil comprobar que

85

donde

es el número de caras observadas.

Por la teoría de la probabilidad sabemos que

sigue una distribu-

ción 5(6,0.5) bajo H0:p = 0.5 y una distribución 5(6,0.7) bajo //,:/? = 0.7. De modo que podemos calcular las probabilidades asociadas con los resultados s = 0,1,...,6 bajo HQ y H} . Estas probabilidades figuran en la siguiente tabla. Probabilidad del resultado Resultado 0 1 2 3 4 5 6

;? = 0.5 0.0156 0.0938 0.2344 0.3125 0.2344 0.0938 0.0156

/? = 0.7 0.0007 0.0102 0.0596 0.1852 0.3241 0.3026 0.1176

Una posible regla para decidir si //0 o Hl es verdadera es la siguiente: Elegir H0 si s es más probable bajo H0 que bajo H{, y elegir H} si s es más probable bajo H{ que bajo HQ . Esta regla es equivalente a la siguiente: Aceptar H0 si s < 3 y aceptar //, si s > 4. ¿Cuáles son las consecuencias de esta regla de decisión? Esto es, ¿cuál es el coste de equivocarse? Supongamos que s pertenece a C = {4,5,6} (C es la región crítica de la regla) de modo que rechazamos H0. En este caso la probabilidad de equivocarnos es Esta probabilidad es ^(rechazar H0 IH0 verdadera) y se llama probabilidad del error de tipo I. El error al rechazar H0 cuando H0 es verdadera es un error de tipo I. Existe otro error posible, llamado error de tipo I I , que ocurre al aceptar H0 cuando Hl es verdadera (y, por tanto, H0 es falsa). En el ejemplo, la probabilidad del error de tipo Es obvio que existen otras reglas de decisión razonables para el problema que nos estamos planteando. Una cuestión relevante es cómo elegir entre las diferentes reglas para el mismo problema. Es obvio que deseamos que las dos probabilidades de error sean lo más pequeñas posible. Desafortunadamente no es posible controlar simultáneamente ambas probabilidades para una muestra de tamaño fijo. El procedimiento usual consiste en controlar la probabilidad del error de tipo I en un nivel prefijado pequeño tal como 0.05 ó 0.01, y entonces encontrar una regla que minimice la probabilidad del error de tipo II. Ahora formalizaremos los conceptos introducidos en el ejemplo anterior. Sea un vector aleatorio con función de distribución conjunta


86

Una hipótesis estadística es una afirmación sobre la distribución conjunta de (Xl,...,Xn). La afirmación de que FQ e F0 = \Fe 16 e 00} que se quiere contrastar se llama la hipótesis nula, y la abreviaremos escribiendo //0: de 00. La afirmación rival que sospechamos que es verdadera en vez de //0 se llama la hipótesis alternativa y la abreviaremos escribiendo H\\ OE 0i=0-0 0 . La hipótesis a contrastar es no paramétrica si F0 es una familia no paramétrica de distribuciones, mientras que la hipótesis a contrastar es paramétrica si F0 es una familia paramétrica de distribuciones. Usualmente la hipótesis nula se elige de modo que corresponda al subconjunto 00 de 0 que es menor o más simple y es una afirmación de «no diferencia». En todos los casos consideramos la hipótesis nula de la forma 9- 00, 9> 60 o 9< 00. El signo de igualdad siempre aparece en la hipótesis nula, mientras que el signo de estricta desigualdad siempre aparece en la hipótesis alternativa. Si la distribución de (X\,...,Xn) está especificada completamente por una hipótesis, decimos que es una hipótesis simple; en otro caso, decimos que la hipótesis es una hipótesis compuesta. Así, cuando 00 o 0, consta exactamente de un punto, la hipótesis correspondiente es simple; en otro caso es compuesta. Sea E el conjunto de todos los valores posibles de (X},...,Xn). Entonces E cz R". Un test de H0 contra H} es una regla (de decisión) que especifica un subconjunto C de E tal que si (X¡,...,Xn}e C entonces rechazamos // 0 , y si (X{,...,Xn)£C entonces aceptamos //0 . C se llama la región crítica del test. Un estadístico de prueba es un estadístico que se usa en la especificación de C. Al usar un test de //0 contra //, podemos incurrir en dos tipos de errores. El error de tipo 1 consiste en rechazar H0 cuando H0 es verdadera. El error de tipo II consiste en aceptar H0 cuando //0 es falsa. La tabla siguiente ilustra los dos tipos de error. H0 verdadera //, verdadera

Rechazar 7/0 Error de tipo I Acción correcta

Rechazar //, Acción correcta Error de tipo II

La figura 1.1 representa las probabilidades de los dos tipos de error del contraste de una hipótesis nula simple H0: 6= 60 contra una hipótesis alternativa simple H\: 9= 9\ (0\ > OQ) usando una región crítica de la forma C = {T > k] , donde T denota el estadístico de prueba.

Figura 1.1.

87

El test ideal sería aquel para el que ambos tipos de error tienen probabilidad igual a cero, pero esta situación es imposible salvo en casos triviales. En la práctica tenemos que conformarnos con mantener estas probabilidades en un nivel pequeño aceptable. Se acostumbra a fijar la probabilidad del error de tipo I en un nivel (pequeño) prefijado a, 0< a< 1, y entonces se intenta minimizar la probabilidad del error de tipo II. Se dice que un test de la hipótesis nula H0: 6e 0Q contra //,: 0e @j tiene tamaño a, 0< a< 1, si sup Pe (Rechazar //0) = a. El tamaño elegido a es a veces inalcanza060,)

ble. De hecho, en varios problemas sólo son alcanzables una cantidad numerable de niveles a de [O, l]. En este caso tomamos el mayor valor menor que a que sea alcanzable. También decimos que una región crítica C es de nivel de significación a si Pe( C)
de C son ambos iguales a a. Por otra parte, si sup Pe(C) < a, entonces el tamaño de 6>e00

C es menor que su nivel de significación a. Con frecuencia el nivel de significación elegido es alcanzable. Si //0 es una hipótesis simple, entonces es obvio que ^//0(O es el tamaño de la región crítica C, pero PH (C) no es necesariamente igual al nivel de significación a prefijado. La elección de un valor específico para a es arbitraria. De hecho no es estrictamente un problema estadístico. La elección de a dependerá de consideraciones tales como las posibles consecuencias de rechazar H0 erróneamente, las implicaciones prácticas y económicas de rechazar // 0 , etc. A veces es posible usar un enfoque alternativo que consiste en indicar el llamado P-valor del estadístico de prueba observado. El P-valor es el mínimo nivel de significación a para el cual el estadístico muestral observado implica el rechazo de la hipótesis nula. Antes de dar una definición formal del P-valor, vamos a volver al ejemplo 1.1. Supongamos que el número observado de caras es 5 = 5. Entonces bajo HQ, P(S = 5) = 0.0938 . Sin embargo, la probabilidad de interés no es P(S = 5) sino P(S > 5) = 0.1094, ya que la probabilidad PH (S = 6) es incluso menor, y si rechazamos HQ cuando observamos s = 5 lo mismo debemos hacer cuando observamos un valor más extremo de 5. Esto motiva la definición del P-valor. Supongamos que la región crítica apropiada para contrastar H0 contra //, es unilateral. Esto es, supongamos que C es de la forma [T > c\} o \T < c2} , donde T es el estadístico de prueba. Entonces el P-valor es la probabilidad de observar bajo H0 un resultado muestral al menos tan extremo como el observado en la muestra. Si /o es el valor observado del estadístico de prueba y la región crítica es unilateral con rechazo por la derecha, es decir, C es de la forma {T > c } ] , entonces el P-valor es PH ( r > / 0 ) . Si la región crítica es unilateral con rechazo por la izquierda, es decir, C es de la forma {r
gg


En la mayoría de los problemas considerados en este libro el P-valor es una cantidad bien definida. Si la región crítica C es bilateral, es decir, si C es de la forma [Tc2}, entonces el P-valor se define como el doble de la probabilidad de una cola incluso cuando la distribución de T no es simétrica. En concreto, si C es bilateral y tQ es el valor observado del estadístico de prueba, el P-valor se calcula como 2• mi Cuando el P-valor está bien definido, puede interpretarse como el mínimo nivel de significación al que el valor observado del estadístico de prueba es significativo. Proporcionar un P-valor nos ofrece mucha más información que indicar si un valor de T es estadísticamente significativo al nivel a. En efecto, si el nivel a está prefijado y p0 es el P-valor asociado con tQ, entonces tQ es significativo al nivel a sip0
Figura 1.2.

89

Observamos que si 6E @ 1? entonces n(B) es 1 — P(error tipo II) y fí(9) es P(error tipo II). Así, la minimización de la probabilidad del error de tipo II es equivalente a la maximización de n(Q) (o minimización de /3(0)) para 0e Q{, sujeto a la restricción del nivel de significación: n(9)\-a) para 9e @0. Si 00 = {00} , entonces HQ es una hipótesis nula simple y n (00) es el tamaño del test. Si 0, ={#i}, entonces 7r(0,)=l-P(error tipo II) = 1-/3(0|) es la potencia del test. Usar la función de potencia o la función característica de operación es una cuestión de gusto. En algunas áreas de aplicación es más común la función característica de operación, mientras que en el trabajo teórico suele preferirse la función de potencia. La figura 1.2 muestra algunas funciones de potencia. Ejemplo 1.2. Vamos a volver al ejemplo 1.1 donde lanzamos una moneda 6 veces. Sea X\,... X6 una m.a.s. de tamaño 6 de una población Bernouilli con parámetro p . Supongamos 6 = [0,1], 00 = {0.5} y 0! = [0,0.5[ u ](X5,l]. La hipótesis nula H0:p = 0.5 es una hipótesis simple, mientras que la hipótesis alternativa H\.p± 0.5 es una hipótesis compuesta. Podemos usar la tabla del ejemplo 1.1 para calcular los P-valores asociados con los diversos resultados del estadístico de prueba S. Por ejemplo, si el número de caras observado es 1, el P-valor es 2-mm\PH (S>l),PH (S
p n(p)

I 0.9 I 0.8 I 0.7 I 0.6 I 0.5 I 0.4 I 0.3 I 0.2 I 0.1 0.531 0.262 0.118 0.051 0.031 0.051 0.118 0.262 0.531

Como puede esperarse, la potencia crece conforme aumenta la desviación P-QJ5 . Ejemplo 1.3. Supongamos que acaba de lanzarse al mercado un nuevo modelo de coche y el productor anuncia que consume un promedio de 5.8 litros por 100 kilómetros en carretera. Una agencia de protección al consumidor decide contrastar este anuncio. Toma una muestra de 15 coches. Se conduce cada coche sobre un tramo de carretera

90


y se encuentra que en la muestra el consumo tiene una media de 6.1 litros por 100 kilómetros y una desviación típica de 0.2 litros por 100 kilómetros. Observamos que el consumo medio muestral es superior al anunciado por el fabricante, pero ¿es suficientemente alto para dudar del anuncio del fabricante? ¿Puede que la diferencia entre el promedio anunciado y el promedio muestral observado sea debida al azar? Sea [i la media verdadera (desconocida) para el nuevo modelo de coche. Supongamos que el anuncio del fabricante es correcto de modo que la hipótesis que queremos contrastar es //0:// = 5.8 . La hipótesis alternativa es Hl:/¿> 5.8 . Sea X¡ el consumo del z'-ésimo coche (/' = !,...,!5) de la muestra. Sabemos que para una muestra de tamaño 15, la media muestral X es 6.1. Si el valor observado de X fuera menor o igual que 5^8 no habría razón para cuestionar la validez de H0 . Como el valor observado de_^ es 6.1, es natural preguntar cuál es la probabilidad de observar un valor de X tan grande como 6.1 en una m.a.s. de una población con ju = 5.8. (Sabemos que X es un buen estimador de //, así que esperamos menores valores de X bajo HQ que bajo Hv). Esta probabilidad es la que hemos llamado P-valor. Si el P-valor es «pequeño» la evidencia contra HQ es fuerte y si el P-valor es «grande» la evidencia contra H0 es débil. El cálculo del P-valor es equivalente a calcular PH (X>61). Para un cálculo exacto de esta probabilidad necesitamos conocer la distribución de X. Esto significa que tenemos que hacer ciertos supuestos sobre la distribución subyacente de las X¡. Si creemos que la familia de posibles distribuciones de X¡ es |jV(//,cr 2 ),//>0,(7 2 >OJ , entonces

Como el P-valor (probabilidad estimada de observar un valor de X mayor o igual que 6.1 bajo el supuesto //0:// = 5.8) es muy pequeño, la evidencia muestral en contra de HQ es fuerte. 2. CONTRASTES DE HIPÓTESIS BAJO NORMALIDAD En esta sección presentamos los contrastes de hipótesis relativos al muestreo de poblaciones normales. El supuesto de normalidad de la distribución poblacional ha jugado un papel muy importante en los procedimientos de contraste clásicos basados en muestras pequeñas. Primero describiremos los contrastes relativos a los parámetros de una distribución normal (problema de una muestra). Después estudiaremos contrastes relativos a los parámetros de dos poblaciones normales (problema de dos muestras). Por último consideraremos el contraste de igualdad de las medias de k poblaciones normales (problema de k muestras). Para cada contraste específico construiremos el estadístico de prueba e indicaremos la distribución del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula, que nos permitirá por una parte establecer la región crítica para que la

91

probabilidad del error de tipo I sea igual a a (usualmente 0.05 ó 0.01), y por otra parte obtener la expresión del P-valor. El contraste de hipótesis consistirá en rechazar la hipótesis nula cuando el valor muestral del estadístico de prueba pertenece a la región crítica o, de forma equivalente, rechazar la hipótesis nula cuando el P-valor asociado al valor del estadístico de prueba es menor o igual que a. También desarrollaremos la fórmula analítica para calcular la probabilidad del error de tipo II (y, por tanto, la potencia del contraste) en los casos en que este desarrollo sea fácil. Asimismo indicaremos cómo determinar el tamaño muestral (o los tamaños muéstrales) para que las probabilidades de los errores de tipo I y de tipo II del procedimiento de contraste sean aceptables para el usuario. 2.1. Problema de una muestra Sea X{,...,Xn una m.a.s. de una distribución NÍju ,cr J . En este apartado consideramos contrastes de hipótesis relativos a los parámetros ¡¿ y o. 2.1.1. Contrastes para la media poblacional, varianza conocida Consideremos el contraste bilateral de la hipótesis nula H0:¡u =// 0 contra la hipótesis alternativa

Q

. El estadístico de prueba es Z0 =

p-, que bajo

la hipótesis nula sigue una distribución jV(0,l). Como X es un estimador insesgado del parámetro ¡i, si la hipótesis nula es verdadera cabe esperar que el valor muestral de Z0 sea pequeño. Por tanto, dudaremos de HQ cuando el valor muestral de Z0 sea lo suficientemente grande. Si deseamos que la probabilidad del error de tipo I del contraste sea igual a «, la región crítica que debemos elegir es C = {Z 0 /Z 0 >z f f / 2 o Z 0 <-z a / 2 }. El P-valor es 2-P(z> z0|), donde Z ~ N(Q,\) y z0 es el valor muestral del estadístico de prueba. La regla de decisión consiste en rechazar //0 si Z0 e C y aceptar HQ si Z0 £ C. Esta regla es equivalente a rechazar H0 si el P-valor es menor o igual que a y aceptar HQ si el P-valor es mayor que a. Para el contraste unilateral de la hipótesis nula //0:// =¿/ 0 contra la hipótesis alternativa H^.ju > / / o > se utiliza el mismo estadístico de prueba Z0 que en el contraste bilateral. Dudaremos de HQ cuando el valor muestral de Z0 sea lo suficientemente grande. Para que la probabilidad del error de tipo I sea igual a a, la región crítica es El P-valor es El contraste unilateral de la hipótesis nula H0:ju = JUQ contra la hipótesis alternativa //,://
92


(ya que ¿u es el verdadero valor de la media), resulta que Z

Por

tanto, si suponemos H\ : ¡1=^^+8, la probabilidad de aceptar la hipótesis nula (error de tipo II) en el contraste bilateral es

La probabilidad del error de tipo II también se puede obtener gráficamente usando las curvas características de operación (curvas OC). Las curvas OC correspondientes a a=0.05 y a=0.01 aparecen en las figuras 4.1 y 4.2, respectivamente, y representan la probabilidad del error de tipo II contra d =

— = — para distin-

tos valores de n . En estas figuras se observa fácilmente que, para n y a dados, la probabilidad del error de tipo II disminuye según j¿ se aleja de // 0 , y que, para 8 y a dados, la probabilidad del error de tipo II disminuye según n aumenta. En el contraste unilateral //0:// = //0 frente a H\./n > / / 0 , la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando

En este contraste las figuras 4.3 y 4.4 representan las curvas características de operación para a=0.05 y a=0.01, respectivamente. La abscisa de estos gráficos corresponde a d = ——— = — como en el contraste bilateral. <7

En el contraste unilateral de H0:¿u = ¿UQ frente a //,://< // 0 , es fácil comprobar que la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando (¿=in0-S( ¿>>0) es la misma que en el otro contraste unilateral, es decir

Además, también se

pueden usar las curvas características de operación de las figuras 4.3 y 4.4, tomando como abscisa Si el experimentador tiene la oportunidad de seleccionar el tamaño muestral al inicio del experimento y desea simultáneamente tener una probabilidad del error de tipo I igual a a y aceptar la hipótesis nula cuando ^=/n0+8 con probabilidad igual a /?, el tamaño muestral necesario para cumplir los anteriores requisitos en el contraste bilateral se puede obtener analíticamente. En efecto, como la probabilidad del error se pe

93

quena comparada con /? se obtiene que P=Q>\za/2

, por lo que

-a/2

El cálculo del tamaño muestral, para a, S y /3 dados, también se puede realizar gráficamente usando los haces de curvas OC de las figuras 4.1 y 4.2. Para el procedimiento de contraste unilateral de la hipótesis nula H0:¿u = ju0 contra la hipótesis alternativa H[:ju> JUQ, el tamaño muestral requerido para tener simultáneamente una probabilidad del error de tipo I igual a a y una probabilidad del error de tipo II igual a /? cuando I¿=n0+ 8( £>0), también se puede calcular analíticamente. En efecto, como la probabilidad del error tipo II es entonces z Esta expresión para el tamaño muestral es también aplicable cuando la hipótesis alternativa es H^.ju < //0 • En los dos contrastes unilaterales, el tamaño muestral para a, 8 y {$ dados, también se puede calcular gráficamente usando los haces de curvas OC de las figuras 4.3 y 4.4.

Figura 4.1. Curvas OC para una prueba normal bilateral con a=0.05

Figura 4.2. Curvas O C para una prueba normal bilateral con a=0.01

94


Figura 4.3. Curvas OC para una prueba normal unilateral con a=0.05

Figura 4.4. Curvas OC para una prueba normal unilateral con «=0.01 2.7.2. Contrastes para la media poblacional, varianza desconocida Para realizar el contraste bilateral de la hipótesis nula H0:¿u = jU0 contra la hipótesis alternativa H\\n ^ JÜQ cuando la varianza poblacional
° . Suponiendo que HQ es verdadera,

el estadístico de prueba /0 sigue una distribución t de Student con n-\

grados de

libertad, es decir, tQ ~ tn_\. Como valores grandes de tQ favorecen la hipótesis alternativa, la región crítica de tamaño a es C = \t y el P-valor es igual a 2 Para contrastar //0:/¿/ = // 0 frente a la alternativa unilateral Hl:¿t> JUQ a un nivel de significación a la región crítica es C = ltQ /1()> ta.n_}\ y P-valor = P(t mientras que para el contraste unilateral //0:¿/ = // 0 frente a la región crítica es y P-valor

95

Para determinar la probabilidad de error de tipo II necesitamos conocer la distribución del estadístico de prueba t0 cuando H0 es falsa. Cuando /¿=[10+S, el estadístico de prueba es t0 = Z ~ #(0,1), W ~

donde

y las variables Z y W son independientes. La distribución

obtenida se denomina distribución t no central con w-1 grados de libertad y parámetro de no centralidad

<7

, y la denotaremos mediante t'n_\. En consecuen-

cia, para el contraste bilateral la probabilidad del error de tipo II es P = p(-tai2-n-\ ^'o ^ ta/2-n-i / $ * 0) = P(-/a/2;w-i ^ Ci ^ 'a/2; W -i) • Las curvas OC de las figuras 4.5 y 4.6 muestran (3 en función de un parámetro d para diferentes tamaños muéstrales n y corresponden respectivamente a a=0.05 y ce=0.01. El parámetro d se define como d —

Si el contraste es unilateral con

//,:/j>/í 0 se utilizan los haces de curvas OC de las figuras 4.7 y 4.8 haciendo mientras que si //,: ¿í<¿í 0 se utilizan estas mismas curvas OC con . Observamos que el parámetro d depende del valor de cr, que es desconocido. En la práctica, d se aproxima estimando o mediante la desviación típica muestral S.

Figura 4.5. Curvas OC para una prueba t de Student bilateral con a=0.05

96


Figura 4.6. Curvas OC para una prueba t de Student bilateral con a=0.01

0,90

Figura 4.7. Curvas OC para una prueba t de Student unilateral con a=0.05

Figura 4.8. Curvas OC para una prueba t de Student unilateral con ce=0.01

97

2.7.3. Contrastes para la desviación típica poblacional Si deseamos realizar el contraste bilateral de H0: <7=
~—. Suponiendo que H() es verdadera, el estadís-

tico de prueba sigue una distribución X de Pearson con n-\ grados de libertad, es decir, bajo H0 se cumple Xo~Xn-\- Por tanto, la región crítica tiene nivel de significanation P-valor se obtiene mediante P-valor = 2-min El mismo estadístico de prueba se emplea para los contrastes unilaterales. Para el contraste unilateral de //0: (70 la región crítica de tamaño a es > mientras que para el contraste unilateral de // 0 :<7=<7 0 contra H\:o
l estadístico de prueba cumple que ô ~ ^ ' /?T«-i > donde A2 = —r-. De esta forma, la probabilidad del error de tipo II en el contraste bilateral es

Esta expresión permite calcular ¡3 (o n dado j8) con las tablas de la distribución X2 si conocemos A . La expresión para calcular la probabilidad del error de tipo II en los contrastes con hipótesis alternativas unilaterales se puede obtener de forma similar. Las figuras 4.9 y 4.10 presentan las curvas OC del contraste bilateral para a=0.05 y a=0.01, respectivamente. Las figuras 4.11 y 4.12 muestran las curvas OC para el caso //,:<7>CT 0 , y las figuras 4.13 y 4.14 representan las curvas OC para //,: cr< <70. En todas estas curvas OC el parámetro del eje de abscisas es A=o/ CTO.

98

Contrasted de hipotesis

Figura 4.9. Curvas OCpara una prueba X

bilateral con OJ=0.05

Figura 4.10. Curvas OC para una prueba X

bilateral con a=0.01

Figura 4.11. Curvas OC para una prueba X unilateral de cola derecha (rechazo en a> a a) con a=0.05

99

Figura 4.12. Curvas OC para una prueba X unilateral de cola derecha (rechazo en a> O0) con a=0.01

Figura 4.13. Curvas OC para una prueba X unilateral de cola izquierda (rechazo en a< o(}) con a=0.05

Figura 4.14. Curvas OC para una prueba X unilateral de cola izquierda {rechazo en a< aa) con a=0.01

100


2.2. El problema de dos muestras En esta sección suponemos (salvo que se indique expresamente lo contrario) que X\ y X2 son dos poblaciones independientes tales que representan m. a. s. de respectivamente. 2.2.7. Contraste para la igualdad de dos medias, varianzas conocidas En

el

contexto

que

estamos

considerando

sabemos

que

y, portante, Si las varianzas poblacionales son conocidas y queremos contrastar la hipótesis nula HQ\H\ = jU2 contra la hipótesis alternativa bilateral H\.fa * jU2, el estadístico de prueba adecuado es Z0 = ,

'

2

Cuando la hipótesis nula es verdade-

ra, el estadístico de prueba Z0 sigue una distribución jV(0,l). Si deseamos que el nivel de significación del contraste sea a, la región crítica es C = \Z Si ZQ denota el valor muestral del estadístico de prueba, el P-valor es 2 • PÍZ > z0\\ El mismo estadístico de prueba Z0 se usa para contrastar las hipótesis alternativas unilaterales. Sin embargo, las expresiones para la región crítica y el P-valor son diferentes. Como la notación X¡ y X2 es arbitraria, denotando mediante X} la población que bajo Hl tiene mayor media poblacional, es suficiente con estudiar el contraste de H0:ji¿l = jU2 contra Hl:¿u] > jU2. Para este contraste la región crítica de tamaño a es C = {Z Para determinar la probabilidad del error de tipo II (o calcular la potencia del contraste), es necesario obtener la distribución del estadístico de prueba cuando la hipótesis alternativa es verdadera. Si suponemos que fi\-(j,2=8, el estadístico de prueba se puede expresar como Z

Por

tanto,

el

. En consecuencia,

estadístico

de

prueba

verifica

que

101 Si la hipótesis alternativa es bilateral, la probabilidad del error de tipo II es J3 = P( Aceptar

Tomando « =

, la expresión de la probabilidad

del error de tipo II se simplifica a

• Compa-

rando esta expresión de /3 con la del contraste bilateral de la media poblacional en un problema de una muestra (apartado 2.1.1), concluimos que en el contraste bilateral que estamos estudiando se pueden usar también las curvas OC de las figuras 4.1 y 4.2 tomando como abscisa \d\. Si la hipótesis alternativa es Hl:jul> ]U2, 1a probabilidad del error de tipo II cuando 5=/í,-/í 2 >0, es

La expresión permite calcular analíticamente la probabilidad del error de tipo II en los contrastes unilaterales. Para calcular gráficamente j3 se pueden usar las curvas OC de las figuras 4.3 y 4.4. Un problema interesante es determinar los tamaños muéstrales «¡ y «2 ê forma que simultáneamente la probabilidad del error de tipo I sea a y que la probabilidad del error de tipo II cuando ^-^=8 sea igual a j3. En el contraste bilateral los requisitos deseados se pueden expresar analíticamente como ft = OÍz de forma equivalente como z

En consecuencia

En el contraste unilateral, ¡3 = Oí z a

za -

dje donde

. Una vez calculado n, los tamaños muéstrales deseados n\ y n2 han de cumplir n =

. Una solución posible es n

102


2.2.2. Contraste para la igualdad de dos medias, varianzas desconocidas Supondremos en este apartado que las varianzas de las dos poblaciones son desconocidas pero iguales, es decir, o\ = 0\. Denotaremos mediante
2,

el estadístico de prueba es

. Cuando la

hipótesis nula es verdadera, el estadístico de prueba í0 sigue una distribución í de Student con «j + «2 - 2 grados de libertad. Luego la región crítica de tamaño a es y el P-valor es igual a Si la hipótesis alternativa es unilateral, el contraste de hipótesis usa el mismo estadístico de prueba tQ. Sin embargo, si la hipótesis alternativa es Hl:f¿l > ¿u-, la región crítica de tamaño a es C = {/o//o > /l a ;Wl + w ,-2J Y P-valor = P(t^+^_2 ^ ¿o) • Para determinar la distribución del estadístico de prueba cuando la hipótesis alternativa es verdadera, hemos de tener en cuenta que dado 2=

como ?

que

5, el estadístico de prueba se puede expresar

. En consecuencia,

suponemos además que w,1 = «29 = « , obtenemos

si

de

modo que í0 sigue aproximadamente una distribución t no central con 2 -2

= 2«-2 grados de libertad y parámetro de no centralidad

(Observar que 2n — 1, número que aparece dentro de la raíz, es igual al número de grados de libertad más uno). Este resultado sugiere que para los contrastes que consideramos en este apartado podemos usar las curvas OC construidas para los contrastes t de una muestra (apartado 2.1.2) con tal de que el parámetro del eje de abscisas sea d = 151/2(7 y que el tamaño muestral que aparece en las curvas OC se interprete como n* = 2n -1.

103 2.2.3. Contraste para la igualdad de dos medias, muestras apareadas Supongamos que ( X U , X 2 ¡ ) (/ = !,...,«) es una m.a.s. de ( X ¡ , X 2 ) de tamaño n, donde X{ y X2 son v.a. dependientes. Las diferencias D¡ = Xlf - X2¡ constituyen una m.a.s. de la v.a. D = X¡-X2. El contraste de contra H]:îl ^ ¿U2 es equivalente al contraste de HO:JL¿D = 0 contra donde JU D es la media poblacional de D. Si suponemos que es desconocida, las anteriores hipótesis se pueden contrastar usando el estadístico de prueba tQ =

r~r=-> donde D y SD son la

media y la varianza muéstrales de las diferencias. La región crítica de tamaño a es [ y el P-valo sis alternativas unilaterales es similar.

0|).

El tratamiento de las hipóte-

2.2.4. Contraste para el cociente de varianzas Sean X¡ y X2 dos poblaciones normales independientes tales que X¡ ~N(fj,^
Para contrastar H0 contra H\ podemos usar como estadístico de prueba que tiene una distribución F de Fisher con (n} -I,n2-1) grados de libertad si H0 es verdadera. Observamos que valores del estadístico de prueba F0 alejados de la unidad apoyan la hipótesis alternativa, lo cual sugiere que la hipótesis nula debe rechazarse para valores pequeños- y para valores grandes del estadístico de prueba. Para un nivel de significación ce la región crítica es El P-valor muestral es

104


Para contrastar las hipótesis alternativas unilaterales se emplea el mismo estadístico de prueba. Como la notación X\ y X2 es arbitraria, cosideraremos como X{ la variable que tiene mayor varianza según la hipótesis alternativa. Entonces basta considerar el contraste //0:0f = o\ contra H\.d\>o\. En este contraste, la región crítica de tamaño a es

y el P-valor es igual a

El estadístico de prueba cumple que Haciendo

obtenemos

> donde serultado que nos

proporciona la distribución del estadístico de prueba cuando la hipótesis alternativa es verdadera. De esta forma, en el contraste bilateral la probabilidad del error de tipo II cuando

Esta expresión permite calcular j3 analíticamente. Las figuras 4.15 y 4.16 presentan las curvas OC del contraste bilateral para a=0.05 y a=0.01, respectivamente. Estas curvas OC permiten calcular /? gráficamente cuando n}-n2. Si la hipótesis alternativa es unilateral de la forma H}\a\ > <7 2 , la probabilidad del error de tipo II cuando

Las curvas OC de las figuras 4.17 y 4.18 representan /3 como función de a=0.05 para respectivamente. Para determinar los tamaños muéstrales n\ y «2 (suponiendo n\=n2} dado fi, podemos utilizar las curvas OC.

105

Figura 4.15. Curvas OC para una prueba F bilateral con a=0.05

Figura 4.16. Curvas OC para una prueba F bilateral con a=0.01

Figura 4.17. Curvas OC para una prueba F unilateral con «=0.05

106


Figura 4.18. Curvas OC para una prueba F unilateral con «=0.01

2.3. Problema de k muestras Consideremos k poblaciones X\,...,Xk independientes tales que cada X¡ sigue una distribución normal con media fií y varianza (común) <7 . Supongamos que las medias //; (/ = !,...,&) y la varianza o1 son desconocidas. El problema de k muestras consiste en contrastar la igualdad de las k medias de las correspondientes poblaciones usando una m.a.s. de cada población. Las hipótesis consideradas en el problema de k muestras son //0:^¡ =// 2 = --- = /^/t ( ^ - 2 ) y //,: no HQ. El procedimiento para realizar el contraste esta basado en un método llamado análisis de la varianza. Veamos en qué consiste este método partiendo del caso particular de dos muestras. Como sabemos, para contrastar H0:ju\ ~ ^2 = 0 usamos el estadístico de prueba tQ =

es verdade-

ra, entonces t0 ~ tn +n _ 2 . Para generalizar el estadístico í0 Para fil caso de k muestras, partimos de

donde

107

Es

fácil

probar

que

donde

es la media muestral ponderada de todas las medias muéstrales. De esta forma, el estadístico ÍQ para dos muestras se puede expresar como

Bajo la distribución de ?0 es una distribución F con un grado de libertad en el numerador y «j + «2 — 2 grados de libertad en el denominador (observar que si t =

v

entonces

La generalización a & muestras conduce al estadístico de prueba

donde ahora X, =

. Se puede demostrar que bajo Hn'-¿i\ —...— jii

estadístico F0 para k muestras tiene una distribución F de Fisher con k-\ grados de libertad en el numerador y n — k grados de libertad en el denominador, donde n — nl+...+nk . (Debemos recordar que en la construcción del estadístico tQ para 2 muestras se supone que las varianzas poblacionales son iguales, es decir, a\ = o\ = o2. En la generalización a k muestras, el estadístico F0 tiene la distribución nula mencionada sólo cuando las varianzas poblacionales son iguales, es decir, Definimos las siguientes cantidades: : «Suma de cuadrados entre» (que mide la variabilidad «entre» las muestras). SSW dad «dentro» de las muestras).

«Suma de cuadrados dentro» (que mide la variabili-

108


«Suma de cuadrados total» (que mide la variabilidad

SST =

total). Es fácil demostrar que SST = SSB + SSW. Obsérvese que esta igualdad indica que la variabilidad total se puede descomponer como la suma de la variabilidad «dentro» y la variabilidad «entre». Definimos el «cuadrado medio entre» (MSB) como MSB = SSB/(k -1) y el «cuadrado medio dentro» (MSW) como MSW = SSW/(n-k). Según estas definiciones, el estadístico de prueba FQ se puede expresar en términos de las variabilidades como

. Es por este moti-

vo que el procedimiento de contraste que estamos describiendo se llama análisis de la varianza. Evidentemente F0 > O . Además observamos que cuanto mayor es el numerador MSB (y, por tanto, F0), mayor es la diferencia entre las medias muéstrales de las k muestras. Luego debe rechazarse la hipótesis nula //0://i = ^2 = ---~ l^k Para valores grandes del estadístico de prueba. En consecuencia, para un nivel de significación a , la región crítica es , mientras que el P-valor es P-valor Todos los cálculos necesarios para realizar el contraste se pueden disponer en la llamada tabla del análisis de la varianza o tabla ANOVA: Fuente

Grados

Suma de

Cuadrado

de

de

cuadrados

medio

variación

libertad

Entre

MSB

Dentro

MSW

Razón F

P-valor

Total

En el caso de que se rechace la hipótesis nula nos gustaría tener un procedimiento estadístico que nos permitiese agrupar en un mismo grupo las medias para las que no se detectan diferencias significativas y dejar en distinto grupo aquéllas para las que sí se detectan diferencias significativas. Existen varios métodos para realizar dicha agrupación. Aquí describiremos el método de la diferencia significativa mínima de Fisher (FSD). El método FSD considera el estadístico t0 para dos muestras

109

tomando S = ^ MSW . Entonces es fácil demostrar que baio la hipótesis nula //n://, = ¿ / , , el estadístico ín = —,

- sigue una distribución

t de Student con n - k grados de libertad. Por tanto, si tQ\>ta/2.n_k se rechazaría la hipótesis nula //, = jUj . Si suponemos X¡ > Xj , la desigualdad equivalente a la desigualdad X LSD¡j — ta/2.n^¡( •

La cantidad

se llama diferencia significativa mínima. Si

, entonces el procedimiento FSD concluye que jU¡ y ju¡ pertenecen a distinto grupo (considera que //, y ju son diferentes). En cambio, si X¡-X •
un estimador puntual de Abasado en una m. a.

Supongamos que 0 tiene distribución asintótica normal con media 6 y varianza es decir, d ~ jV(0,cr|) (si n—><*>). Este resultado puede utilizarse para contrastar hipótesis de la forma //0: 0= 00 contra cualquier alternativa unilateral o bilateral. El estadístico de prueba es

donde &g(&o) denota la desviación típica

IIQ


de 6 calculada bajo la hipótesis de que 6= Qü. Bajo HQ, el estadístico Z0 sigue aproximadamente una distribución jV(0,l) para n grande. Luego cuando la alternativa es bilateral, la región crítica con nivel de significación aproximadamente a es y el P-valor es igual a 2P(Z > z0|). Si la hipótesis alternativa es H\\ 6>00, entonces valores grandes de 9 apoyan 6>QQ de modo que valores grandes de Z() tienden a desacreditar //0: 0=00 frente a H¡: 0>00. Por tanto, si la alternativa es //,: 0> 00, la región crítica es C = (Z0/ Z0 > za] y el P-valor es igual a P(Z > z 0 ). El argumento para la otra alternativa unilateral es similar. A continuación presentamos el valor de
/

\

/

I

con

independencia del valor de 00. Si

6= (7, entonces # = S y suponiendo que la muestra procede de una población de

asi bajo

aproximadamente normal

modo que el estadístico de prueba adecuado es Z Si la m.a.s. procede de una distribución Bernouilli con parámetro 0=p, entonces . Si disponemos de dos m.a.s. de dos poblaciones Bernouilli independientes con parámetros p\ y p2 , respectivamente, y el parámetro de interés es 6=pt-p2, entonces 0= p} -p2 y Oo=Q- En consecuencia, como cr¿ =

, tenemos que bajo

. Como p es desconocido, debemos estimarlo de forma consistente. Se puede demostrar que la proporción muestral combinada donde X e Y son los números de «éxitos» de la primera y segunda muestra,

respectivamente,

es

consistente

para

p.

Por

tanto,

es el estadístico de prueba apropiado.

Ejercicios

\\\

EJERCICIOS

1. Un técnico agrícola desea comparar el rendimiento de dos variedades diferentes A y B de tomate. Para ello elige 15 invernaderos distintos y en cada uno de ellos siembra una parcela con la variedad A y otra con la variedad B. Las dos parcelas de un mismo invernadero tienen suelos similares y se someten a los mismos procesos de fertilización, mientras que las parcelas de distinto invernadero son diferentes. En la siguiente tabla se muestran, para cada invernadero, las producciones obtenidas: im

1

2

4 6 5 18.7 19.8 23.1

a

21.4

20.9

j 23.2

b

17.6

15.0

21.7 2.2 28.1 2:5

7

18,9

8

9

22.8 25.6

10 11 28.7 26.2

13.6 25.1 22.7 27.7

15 12 13 14 23.3 22.3 37.0 31.5

26.6 25.2 26.6

19.1

33.9

25.3

Se supone que las producciones siguen distribuciones normales. a) ¿A qué niveles de significación podemos aceptar la hipótesis de que ambas variedades tienen distinta producción? b) Si el técnico agrícola hubiera usado parcelas de distintos invernaderos y hubiera obtenido las mismas producciones anteriores, ¿sería la producción media de la variedad A mayor que la de la variedad B al nivel de significación a =0.05? Solución a) Tenemos 15 pares independientes de rendimientos procedentes de dos poblaciones XA y XB con medias juA y JUB, donde los rendimientos de cada par (XAi,XB¡) son dependientes. Suponiendo que la diferencia en rendimientos D= XA- XB es una v.a. normal, podemos construir un test para contrastar la hipótesis H0:¿uD = 0 frente a H\\nD ^ O . Las diferencias de los rendimientos son las siguientes: Inv

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

12

13

14

D

3.8

5.9

1.5

-2,5

1.7

1.6

5.3

-2.3

0.9

0.8

1

-3.3

3.6

3.1

Es fácil comprobar que D =1.82, SD = 2.94

y

15 6.2

el estadístico de prueba es

El P-valor muestral es P(|¿14 > 2.4). Por tanto, se acepta H} a niveles de significación mayores o iguales que

PÍlt^ >2.4). Como

2-0.01 < P(\tl4 > 2.4) < 2 • 0.025, se acepta la hipótesis de que ambas variedades tienen distinta producción a niveles de significación a>0.05. b) Tenemos ahora dos m.a.s. independientes de distribuciones normales con varianzas desconocidas. Si suponemos que son iguales, es 9 9 9 O decir, suponiendo oA — oE = cr y jUB es

112

n o na

Como í

Y suficiente evidencia para acep-

tar que la producción de la variedad A es mayor que la producción de la variedad B, al nivel de significación a=0.05. 2. Se sabe por larga experiencia que la resistencia de un casco de seguridad a una fuerza externa estándar sigue una distribución normal de media 1000 kg y varianza 1600 kg . Un ingeniero ha diseñado un nuevo tipo de casco y desea vender la patente a una fábrica de cascos. La fábrica comprará la patente si los nuevos cascos tienen una resistencia media, //, significativamente mayor que 1000 kg y una varianza de la resistencia, 1000 y fÍQ-.a2 > 1600 contra H(:o2 < 1600. La fábrica comprará la patente si se aceptan H^ y H{. Para contrastar HQ:JU< 1000 contra //,://> 1000 , el estadístico de prueba es tQ =—7-7=^- Si prefijamos a=0.05, entonces la región crítica es

. Como

= 4.04 > 1.76 , se acepta

que la resistencia media // es significativamente mayor que 1000 kg. Para contrastar //¿: 1600 contra H{:a2 < 1600, el estadístico de prueba es

y la región crítica para un nivel de significación del 5% es como

se acepta

113

Ejercicios

por tanto, la varianza de la resistencia del nuevo casco no es significativamente menor de 1600 kg 2 . En consecuencia, la patente del nuevo casco no se comprará debido a que H { no se acepta. b) En este apartado se trata de evaluar la probabilidad del error de tipo II en el contraste de //ó contra H{. Dicha probabilidad es

3. Sea X una v.a. continua con función de densidad /(je) = —- si Q
—-dx = — . Despejando obtenemos

k = 0.2. Luego la región crítica al nivel de significación 0.01 es b) La probabilidad del error de tipo II es

Observamos que la probabilidad de error de tipo II es muy grande y, por tanto, la potencia (probabilidad de detectar un valor de 6 igual a 1.5) es muy pequeña. Para disminuir la probabilidad de error de tipo II se debe de usar una muestra de mayor tamaño y basar la región crítica en el estimador maximoverosímil de 9. 4. Sea ^,...,^0 una m.a.s. de tamaño 10 de una población exponencial con función de densidad f ( x ) = Áe~ si x > O y cero en otro caso. Se desea contrastar la hipótesis nula //0: A = 1 contra la hipótesis alternativa //,: A = 2 al 5% de significación. Resolver los siguientes apartados utilizando que el doble de la suma de n exponenciales independientes de media uno sigue una distribución % con 2n grados de libertad. a) Determinar la región crítica. b) Calcular la potencia del contraste.

\ 14


Solución a) El estimador máximo verosímil de Á es l/X, de modo que un valor pequeño de X apoya la hipótesis de que A es grande. En consecuencia, la región crítica debe ser de la forma

cL Para que el nivel de significación

sea del 5%, k debe ser tal que P( C/ Á = l) = 0.05 . Como resulta que P( C / A = l) = P(Y < 2 • 1 • 10£) = P^xlo ^ 20^) • Entonces la ecuación 05 nos conduce a 2

°£ = #20:0.95 =10-9 Y» P°r tant0' ^ = °-545 • En consecuencia, la región crítica al 5% de significación es b) La potencia del contraste viene dada por la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis alternativa es verdadera. Por tanto, la potencia es igual a

5. En una fábrica nacional y otra internacional se están haciendo zapatos del mismo tipo y con el mismo material. En cada fábrica se toma una m.a.s. de zapatos y se mide la cantidad de caucho (en gramos) empleada en cada zapato, obteniéndose los siguientes resultados: Fábrica nacional: 126, 128, 128, 130, 130, 130, 130, 131, 133, 134, 134 Fábrica internacional: 128, 130, 130, 130, 131, 132, 132, 134. Se sabe que las cantidades de caucho empleadas en un zapato en ambas fábricas siguen distribuciones normales con varianzas iguales. Como la fábrica internacional vende los zapatos a un precio superior al de la fábrica nacional, una agencia de protección del consumidor desea investigar si la fábrica internacional emplea en promedio más caucho en cada zapato que la fábrica nacional. a) ¿Sugieren los resultados muéstrales que se emplea en promedio más cantidad de caucho en un zapato en la fábrica internacional que en la nacional? b) Suponiendo que la desviación típica poblacional en ambas fábricas es igual a 2.2 gramos, calcular razonadamente la potencia con que un contraste de igualdad de medias al 5% de significación detecta una diferencia de 2 gramos en las cantidades promedio de caucho empleadas en un zapato por la fábrica internacional y la fábrica nacional. Solución a) Denotemos por X e Y la cantidad de caucho empleada en un zapato por la fábrica nacional y la fábrica internacional, respectivamente. Para decidir si la fábrica internacional usa en promedio más cantidad de caucho en la elaboración de un zapato que la fábrica nacional, hay que contrastar la hipótesis nula contra la hipótesis alternativa

115

Ejercicios

Suponiendo que X e Y siguen distribuciones normales con la misma desviación típica, tenemos que el estadístico de prueba es í0 = —.

= , la región crítica

es de la forma C = [t0 < k] y el estadístico de prueba bajo la hipótesis nula sigue una distribución t de Student con nx +nY -2 grados de libertad. Por tanto, el P-valor es igual a P(t Para los datos muéstrales es fácil comprobar que «^=11, w

En consecuencia,

Usando una tabla de la distribución í de Student se puede comprobar que el P-valor pertenece al intervalo (0.3,0.4). Como el P-valor es grande, los resultados muéstrales sugieren que las medias poblacionales de X e Y son iguales y, por tanto, la media muestral de X no es significativamente menor que la media muestral de Y. b) Considerando las hipótesis H0 y H\ establecidas en el apartado a), y suponiendo ahora que la desviación típica común es conocida, el estadístico de prueba es La

región

crítica

de

tamaño

0.05 es

0 < -z0 05 = -1.64} . La probabilidad de detectar una diferencia JUY - JLI x = 2 es igual a . Como Z0 sigue

una distribución AM —

, 1 , entonces

Por tanto, la potencia con que el contraste de igualdad de medias al 5% de significación detecta una diferencia de 2 gramos en las cantidades promedio de caucho empleadas en un zapato por la fábrica internacional y la fábrica nacional es del 62.17%. 6. Un partido político realiza una encuesta a 1500 electores para decidir si en las próximas elecciones obtendrá al menos un 45% de votos. La regla de decisión tiene que cumplir que la probabilidad de concluir que la proporción de votos es menor del 45% cuando realmente es al menos del 45% ha de ser sólo del 5%. a) Plantear el contraste adecuado y especificar la región crítica. Si en la encuesta el partido político encuentra que 630 electores se manifiestan a su favor, ¿cuál es la decisión? Obtener el P-valor. b) Obtener la potencia del contraste cuando el verdadero porcentaje de votos a favor es del 43%.

116


Solución a) Seap la proporción de votantes a favor del partido político. Se desea contrastar la hipótesis nula H0:p> 0.45 frente a la hipótesis alternativa H\:p< 0.45 . Un buen estimador de p es la proporción muestral p. Como valores pequeños de p favorecen //!, la región crítica debe ser de la forma C = {p < k] , donde k se ha de elegir de manera que la probabilidad del error de tipo I no sea superior a 0.05. Como el tamaño muestral es grande, la distribución de la proporción muestral es aproximadamente normal, y se puede utilizar el estadístico de prueba y la región crítica C = {Z

Para la muestra

El valor observado

del estadístico

de prueba es

Como Z0 = -2.34 pertenece a la región crítica, se debe rechazar la hipótesis nula de que el porcentaje de votos a favor es al menos del 45% al nivel de significación del 5%. Por otra parte, como el P-valor del resultado de la encuesta es P(Z < -2.34) = 1 - 0.9904 = 0.0096, la hipótesis nula se debe rechazar para cualquier nivel de significación mayor o igual que 0.0096. b) Si p = 0.43, la potencia del contraste planteado en el apartado a) es la probabilidad de que se rechace H0 cuando p = 0.43 . Como la hipótesis nula se rechaza cuando el estadístico de prueba pertenece a la región crítica, la potencia pedida es #(0.43) = P(C / p = 0.43). La región crítica es

ASI,

Por tanto, la potencia aproximada del contraste es del 46.02%. 7. El contenido medio de sulfates de determinada agua mineral era de 13.8 mg/1 (miligramos por litro) en 1997. En la actualidad sospechamos que el contenido medio de sulfatos es diferente. Para verificar nuestra sospecha requerimos un procedimiento de contraste de hipótesis que asegure que si el contenido medio actual es el mismo que en 1997 el procedimiento estadístico llegue a una decisión contraria sólo el 5% de las veces. Además, exigimos una potencia de al menos 0.90 cuando el contenido medio de sulfatos es en realidad de 12 mg/1. Suponiendo que el contenido de sulfatos sigue una distribución normal:

117

Ejercicios

a) Plantear el contraste de hipótesis. Si la desviación típica es o = 2, obtener razonadamente el mínimo número de análisis necesarios para cubrir nuestros requisitos de riesgo. b) Para el mínimo número de análisis encontrado en a), ¿es aceptable el procedimiento para detectar que la media actual es 0.5 mg/1 mayor que la de 1997? c) Suponiendo ahora que G = 2.5 y que a partir de una m.a.s. de 21 análisis hemos obtenido X = 15.0 mg/1 y S = 2.1 mg/1, ¿a qué conclusión debemos llegar respecto del contenido medio de sulfates? Calcular el P-valor. Solución a) Denotemos por X el contenido actual de sulfates y por fj. la media poblacional de X. La hipótesis nula a contrastar es que la media poblacional de X es igual al contenido medio de sulfates de 1997, es decir, //0:// = 13.8. En caso de rechazar HQ aceptaremos la hipótesis alternativa //,://^13.8 . Los requisitos exigidos son que P(rechazar HQ/HO) = 0.05 y P(rechazar H0/fi = 12) > 0.90, es decir, a=0.05 y j8(12) < 1 - 0.90 = 0.10. Suponiendo que X sigue una distribución normal con media // y <7 = 2, la región crítica de H0 contra //, es de la forma La distribución del estadístico Z() es y la potencia cuando ¡u = 12 es

El requisito de que la potencia en // = 12 sea al menos 0.90 implica que Por tanto, el número n de análisis necesarios para cubrir nuestros requisitos ha de cumplir b) La probabilidad de detectar que ¡JL es diferente de 13.8 cuando // es igual a 13.8 + 0.5 = 14.3 coincide con la potencia en // = 14.3 . Considerando « = 13, la potencia en ¡i = 14.3 es

118


Por tanto, el procedimiento es poco potente para detectar una diferencia en la media de 0.5 mg/1. c) Si (7=2.5 y n = 21, el estadístico de prueba de //0 contra y la región crítica es C = j|Z0 > ¿0025 = 1-96} • Como X = 15.0 , el valor muestral del estadístico de prueba cumple que Z

Luego se

rechaza que el contenido medio de sulfates es 13.8. Una forma equivalente de tomar la decisión consiste en comprobar que el P-valor del resultado muestral no supera al nivel de significación del 5%. En efecto, P-valor = 2,P(Z > 2.2) = 0.027 < 0.05. 8. Sea X una v.a. discreta con la siguiente distribución de probabilidad X

-1

0

1

P(X = x)

(l-0)/4

1/2

(l+0)/4

donde 0e[-l,l]. Supongamos que se extrae al azar una observación de dicha distribución. a) Encontrar la región crítica para contrastar H(): 6=-3/4 contra H} : 6 > -3/4 al nivel de significación a=0.10. b) Para la región crítica encontrada en el apartado a), calcular la potencia en 6= 1/2. Solución a) Como valores grandes de X apoyan la hipótesis alternativa y, por tanto, la región crítica debe ser de la forma C = {X > £} . Para determinar la constante k imponemos el requisito de que la probabilidad del error de tipo I ha de ser no superior a 0.1, es decir, P(X > k / 9 - -3/4) < 0.1. La distribución de probabilidad de X bajo la hipótesis nula //0: 0=-3/4 cumple X

-1

0

1

P(X = x)

7/16

1/2

1/16

P(X>x}

1

9/16

1/16

En consecuencia, el valor de k ha de cumplir k > 1. Para k = 1 la región crítica es C - {X > 1} y la probabilidad del error de tipo I es igual a 1/16 = 0.0625, mientras que si k > 1 la región crítica es C = {X > 1} y la probabilidad de error de tipo I es cero. Ambas regiones críticas tienen tamaño no superior al 10% pero C = {X>l]

Ejercicios

119

tiene potencia positiva mientras que C = {X > 1} tiene potencia cero. Por tanto, preferimos la región crítica b) La potencia de la región crítica es

9. Actualmente la duración de las lámparas eléctricas fabricadas por una empresa tiene una media de 2000 horas y una desviación típica de 250 horas. Se está considerando la implantación de un nuevo proceso de fabricación. El proceso nuevo se implantará si la duración media de n lámparas fabricadas con dicho proceso es por lo menos un 10% mayor que la duración media poblacional del proceso actual. Se supone que la duración de las lámparas fabricadas mediante el nuevo proceso sigue una distribución normal con una desviación típica de 250 horas. a) Plantear el contraste de hipótesis que está considerando la empresa para decidir si implantará el nuevo proceso de fabricación. Suponiendo n = 6, ¿cuál es la probabilidad del error de tipo I? b) ¿Cuál debe ser el tamaño muestral mínimo para que exista un riesgo menor del 1 % de no implantar el nuevo proceso cuando dicho proceso proporciona lámparas con una duración media de 2250 horas? Solución a) Sea X la duración de las lámparas fabricadas con el nuevo proceso. Suponemos ^-7^(^,250). La empresa está considerando el contraste de la hipótesis nula H0:jLi = 2000 contra la alternativa //¡:// > 2000 . Aceptar el nuevo proceso es equivalente a aceptar //, . Como la regla de decisión adoptada consiste en aceptar el nuevo proceso si una muestra de tamaño 6 cumple X > 2000 H 2000, la región crítica del contraste es La probabilidad del error de tipo I es por definición la probabilidad de aceptar //! cuando H0 es verdadera, y para el procedimiento de la empresa es

b) El riesgo de no implantar el nuevo proceso cuando éste proporciona lámparas con una duración media de 2250 horas es la probabilidad del error de tipo II para H = 2250 .Si C = \X > 2200} , la probabilidad del error de tipo II para ju = 2250 es

Para que j3 sea menor del 1%, el tamaño muestral n ha de cumplir la desigualdad Observamos que esta desigualdad es equivalente a las siguientes desigualdades: Por tanto, el tamaño muestral mínimo exigido es n = 136.

120


10. El coste total X de producir una unidad de output es la suma de un coste fijo 6 y de un coste variable. El coste variable es inobservable de modo que 9 es un parámetro desconocido positivo. El coste total X se distribuye con una función de. densidad f(x) = exp(9-x) úx>9, y cero en otro caso. Una m.a.s. de 5 unidades de output ofreció los siguientes valores del coste total: 3.12, 2.80, 3.71, 2.07, 2.45. Se desea inferir si el valor del coste fijo 6 es 2 de modo que cuando el coste fijo 9 es realmente 2 se concluya (erróneamente) que el coste fijo 9 no es 2 con una probabilidad no superior a 0.10. a) Establecer el problema en términos estadísticos y encontrar una regla de decisión basada en el estimador maximoverosímil. b) ¿Cuál es el P-valor correspondiente a la muestra obtenida? ¿Qué decisión debemos tomar? c) Si el verdadero valor del coste fijo 9 es 2.5, ¿cuál es la probabilidad de concluir (erróneamente) que el coste fijo 9 es 2? Solución a) Para decidir si el valor del coste fijo 9 es 2 hay que considerar el contraste de la hipótesis nula H0: 9=2 contra la hipótesis alternativa H}: 9^2. El requisito de que el procedimiento concluya que el coste fijo 9 no es 2 cuando 9 es 2 con una probabilidad no superior a 0.10 es equivalente a que la probabilidad del error de tipo I sea a lo sumo del 10%, es decir, P(C/ HQ) < 0.1 -a. Es fácil comprobar que el estimador maximoverosímil de 9 es X^ y que T=Xw-9~Exp(n), de modo que Dudaremos de la hipótesis nula tanto para valores pequeños de Xw como para valores grandes de X^ , de modo que la región crítica debe ser de la forma Para determinar las constantes repartimos la probabilidad de error de tipo I máxima en partes iguales a cada una de las colas, es decir, Como

la constante k}

ha de cumplir que -5(k¡ - 2) = ln(l - 0.05), de donde Por otra parte,

Para que esta probabilidad sea igual a 0.05, se ha de cumplir que -5(&2 - 2) = In 0.05 y, en consecuencia, k

Así, la región crítica del contraste es de modo que la hipótesis nula debe rechazarse

Ejercicios

\2\

b) El valor muestral de X(]) es 2.07. Bajo la hipótesis nula,

y El P-valor es igual a 2(rom{P(X Como el P-valor es mayor que 0.10, se acepta HQ . c) La probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando 6=2.5 es

11. Un autobús pasa cada 9 minutos por una parada. Dos amigos, Pedro y Juan, que toman ese autobús en dicha parada, no conocen el valor de 6 y desean efectuar inferencias sobre 6. Saben que el tiempo que esperan el autobús sigue una distribución uniforme en el intervalo [O, 6]. Pedro cree que 6 es menor o igual que 00=30 minutos, mientras que Juan cree que 9 es mayor que 0 0 =30 minutos. Deciden contrastar si 9 < 30, de modo que cuando este supuesto es verdadero la probabilidad de sacar una conclusión equivocada sea a lo sumo 0.05. Si la primera vez que miden el tiempo de espera obtienen 25 minutos: a) Establecer la regla de decisión. Asociar los dos tipos de error con los riesgos de Pedro y Juan. ¿A qué amigo favorece el contraste elegido? b) Calcular el P-valor del resultado muestral. c) Calcular el tamaño del riesgo de Juan cuando 9 es 35. Solución a) Sea X el tiempo de espera. Se supone que X~ í/(0, 9) con 9 desconocido. El contraste que desean realizar Pedro y Juan considera la hipótesis nula H0: 9< 30 frente a la hipótesis alternativa H\: 9> 30. Obsérvese que H0 es la creencia de Pedro mientras que H} es la creencia de Juan. El riesgo de Pedro consiste en rechazar HQ cuando H0 es verdadera. Por tanto, el riesgo de Pedro está asociado con el error de tipo I. El riesgo de Juan consiste en aceptar //0 cuando su creencia ( H \ ) es verdadera, de modo que el riesgo de Juan está asociado con el error de tipo II. El tamaño del riesgo de Pedro será a lo sumo del 5% ya que han decidido fijar una probabilidad del error de tipo I a lo sumo del 5%, mientras que el tamaño del riesgo de Juan no está acotado de antemano. Por tanto, el contraste elegido favorece la creencia de Pedro ( H 0 ) . La hipótesis nula se debe rechazar cuando el tiempo de espera es lo suficientemente grande, y por tanto la región crítica debe ser de la forma Para que la probabilidad del error de tipo I sea a lo sumo 0.05, la constante k ha de

cumplir

0.05> P(C 19= 30) =

.

En

consecuencia,

122


k = 0.95-30 = 28.5 . Como el valor muestral de X es 25, el resultado muestral no pertenece a la región crítica y, por tanto, se debe aceptar la creencia de Pedro (// 0 ). b) El P-valor es la probabilidad de obtener el resultado muestral o un resultado más desfavorable a la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es verdadera. Como valores grandes del tiempo de espera apoyan la hipótesis alternativa, el P-valor es P( X > 25 / 6 = 30) =

—dx = 0.16 • Como el P-valor es mayor que la probabili-

dad del error de tipo I prefijada, no hay suficiente evidencia en contra de la hipótesis nula y debe aceptarse //0 . c) Cuando d es 35, el tamaño del riesgo de Juan es Obsérvese que mientras el contraste garantiza que el tamaño del riesgo de Pedro es a lo sumo del 5%, el tamaño del riesgo de Juan es mucho mayor para valores de d poco mayores que 30. 12. En una población de familias se quiere contrastar a un nivel de significación del 5% si un aumento de precio de un bien disminuye el número medio de unidades compradas. Para una m.a.s. de 10 familias se midieron las variables X e Y, número de unidades compradas la semana anterior y posterior al aumento respectivamente, obteniéndose los siguientes resultados: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X (antes)

40

16

30

28

20

18

36

12

60

30

Y (después)

25

16

20

20

22

20

28

16

45

19

Familia

a) Establecer las hipótesis nula y alternativa. Establecer los supuestos necesarios sobre las distribuciones para que el contraste a realizar sea válido. Calcular el P-valor muestral. ¿Cuál es la conclusión? b) ¿Cuál es la probabilidad aproximada de detectar una disminución media de 4.4 unidades? c) ¿Cuál debería ser el número de familias muestreadas si se deseara que la probabilidad del error de tipo II para una disminución media de 4.4 unidades fuera menor de 0.20? Solución a) El contraste a realizar considera la hipótesis nula H0:jux = JUY contra la hipótesis alternativa H\\nx > JUY . Como las observaciones muéstrales corresponden a una muestra apareada, las variables X e Fno se pueden considerar independientes. Sin embargo, si consideramos la variable diferencia D = X - Y y hacemos ¿UD = jux - jUY , las hipótesis nula y alternativa pueden reescribirse como H0:¿uD=0 y Hl:juD> O , respectivamente. Si suponemos que D sigue una distribución normal

123

Ejercicios

y que las variables prueba í

son independientes, el estadístico de sigue, bajo HQ , una distribución t de Student con n -1 grados

de libertad. Como debe dudarse de la hipótesis nula para valores grandes del estadístico de prueba, la región crítica de tamaño 5% es C - \ t0 > t005.9 = 1.83\ y el P-valor es igual a P(t9>t0}. Los resultados muéstrales ofrecen « = 10, Z)=5.9, SD = 7.2641 y tQ = 2.5685. Como el estadístico de prueba pertenece a la región crítica, concluimos a un nivel de significación del 5% que el aumento de precio del bien disminuye el número medio de unidades compradas. El mínimo nivel de significación que, dados los resultados muéstrales, conlleva el rechazo de la hipótesis nula HQ es el P-valor, que es P(t9 > 2.5685) € (0.01, 0.025). En consecuencia, concluimos que para niveles de significación mayores o iguales que el 2.5% la hipótesis nula es falsa. b) La probabilidad de detectar una disminución media de 4.4 unidades se puede calcular de forma aproximada utilizando el haz de curvas OC correspondiente a los contrastes t unilaterales a un nivel de significación a=0.05. Para « = 10 y se obtiene que la probabilidad del error de tipo II es p = 0.45 , y por tanto la probabilidad de detectar el cambio es I-/? E 0.55. c) Si se deseara que la probabilidad del error de tipo II para una disminución media de 4.4 unidades fuera menor de 0.20, el mínimo número de familias necesario se puede calcular haciendo uso del haz de curvas OC indicado en el apartado b). Para se obtiene « = 20. Luego « = 20 es el mínimo tamaño de muestra necesario. 13. La resistencia de los fusibles de 5 ohmios producidos por una empresa es una v.a. normal. Se desea contrastar la hipótesis nula de que la resistencia media es igual a 5 ohmios. Para la prueba se establecen los siguientes requisitos: Si la resistencia media es de 5 ohmios se desea rechazar la hipótesis nula con una probabilidad de 0.01, mientras que si la resistencia media se separa de 5 en 0.02 ohmios se quiere detectar tal cambio con probabilidad al menos de 0.80. a) Si una m.a.s. de 10 fusibles ofreció las siguientes resistencias en ohmios: 4.994, 4.984, 5.007, 5.009, 4.992, 4.946, 5.001, 5.015, 5.004, 5.017, ¿satisface esta muestra los requisitos establecidos? En caso negativo, ¿cuál es el número mínimo de fusibles adicionales que hay que tomar? b) Si una muestra cuyo tamaño es el mínimo necesario para satisfacer los requisitos proporciona los resultados P-valor muestral? ¿Debe aceptarse la hipótesis nula?

¿cuál es el

124


Solución a) Si denotamos la resistencia media de los fusibles por fJ., las hipótesis del contraste son H0:ju = 5 y //,:// ^ 5. Como se supone que la resistencia sigue una distribución normal y la desviación típica es desconocida, el contraste se debe realizar mediante un test t bilateral. Los requisitos establecidos exigen que la probabilidad del error de tipo I sea igual a 0.01 y que la potencia del contraste cuando ¿u = 5 + 0.02 sea al menos 0.80. Si denotamos por C la región crítica, los requisitos son P(C¡i¿ = 5) = 0.01 y P(C / \ju -5 = 0.02) > 0.8. Para saber si una m.a.s. de tamaño 10 satisface los requisitos usaremos el haz de curvas OC para el contraste t bilateral con nivel de significación del 1% (figura 4.6). Para que la muestra cumpla los requisitos es necesario que para d =J

=

, la probabilidad del error de

tipo II sea no superior al 20%. El valor aproximado de d se obtiene estimando cr mediante la desviación típica muestral S = 0.0206 , de modo que d = —:

= 1. Se

observa en la figura 4.6 que para d = 1 la probabilidad del error de tipo II es aproximadamente del 50% cuando n es 10 y aproximadamente del 20% cuando n es 15. Por tanto la muestra obtenida no cumple los requisitos establecidos y faltan al menos 15-10 = 5 observaciones adicionales. b) Suponiendo « = 15, la desviación típica muestral es 0.0249 y el valor del estadístico de prueba es Entonces P-valor= 2• P(t}á >0.6113)e (0.5,0.6). Como el P-valor es mayor que el nivel de significación «=0.01, se acepta la hipótesis nula de que la resistencia media es igual a 5 ohmios. 14. Se sospecha que la fábrica A produce más artículos diarios, en promedio, que la fábrica B. Las desviaciones típicas de sus producciones diarias son conocidas e iguales a a^ =10 y (75 =12. Se supone que las producciones diarias de las dos fábricas son independientes y se distribuyen normalmente. Para realizar el contraste se elige el nivel de significación 0.01 y si JUA—JUB =16 el procedimiento debe detectar esa diferencia con probabilidad 0.8. a) Plantear el contraste y determinar, analítica y gráficamente, el número de observaciones necesarias. b) Calcular el P-valor asociado a los resultados XA =1433.42, SA =9.37, XB = 1426.80 y SB = 12.02 , obtenidos a partir de dos muestras con los tamaños encontrados en a). c) Determinar analíticamente la potencia del contraste si JUA= 1338.7 y 05=1327.0.

125

Ejercicios

Solución a) Las desviaciones típicas son crA=10 y (7fi=12. El nivel de significación del contraste es a=0.01 y se quiere que /'(detectar nA>nB/fj.A-fiB= 16) = 0.8. Se desea comprobar si la diferencia en las medias muéstrales es significativa para concluir que la sospecha es cierta, o sea, para concluir fJLA > JLIB . Entonces se debe contrastar la hipótesis nula HQ:JUA = JUB contra la alternativa Como las producciones diarias de las dos fábricas son independientes y tienen distribuciones normales con desviaciones típicas conocidas, se trata de un contraste para la diferencia de medias poblacionales con varianzas conocidas. El estadístico de prueba es Z0

Se rec

azará la hipótesis nula si el estadísti-

co de prueba Z0 pertenece a la región crítica C = {Z0 >z 0 oi =2.33}. Se desea detectar H} cuando JUA-¡UB=16 con probabilidad 0.8, luego la probabilidad del error de tipo II debe ser j3=0.2 para jUA-juB=l6. El tamaño común de las muestras viene dado por

También podemos calcular el tamaño muestral haciendo uso del haz de curvas OC para los contrastes unilaterales basados en la normal con a=0.01. La abscisa es y la ordenada es /3=0.2. Observamos que por el punto (1, 0.2) pasa la curva OC correspondiente a « = 10. Por tanto, el número de observaciones necesarias para efectuar el contraste es nA = nB = 10. b) El valor muestral del estadístico de prueba es Como valores grandes del estadístico de prueba hacen dudar de HQ , el P-valor muestral es P(Z > 1.34) = 0.09 . Como el P-valor es mayor que el nivel de significación del contraste a=0.01, se debe aceptar que las producciones medias de las dos fábricas son iguales. c) Por definición, la potencia del contraste cuando es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es decir, P(Z Como bajo la hipótesis alternativa el estadístico de prueba Z0 sigue una distribución

la potencia es

126


15. Un adivino afirma que en el 90% de los casos predice con éxito el sexo de los niños antes del nacimiento. Se desea contrastar la veracidad de su afirmación mediante muestras de tamaño 15. a) Establecer las hipótesis del contraste. ¿Cuál debe ser la forma de la región crítica? ¿Por qué? b) Obtener la región crítica para un nivel de significación del 6%. ¿Cuál es el tamaño del contraste? c) Para la región crítica encontrada en b) determinar la probabilidad del error de tipo II. d) Si suponemos que los resultados muéstrales han sido E, A, A, E, E, A, A, E, A, A, A, E, A, E y A, donde A denota "acierto" y E "error", ¿cuál es el P-valor asociado a la muestra anterior? ¿Cuál es la conclusión respecto a la afirmación del adivino? Solución a) Se trata de efectuar un contraste relativo a p, proporción poblacional de aciertos. Como hipótesis nula se considera que el adivino acierta por azar, H0\p = l/2, y como hipótesis alternativa que el adivino acierta con probabilidad 0.9, H\:p = 0.9. Si denotamos por X el número de aciertos del adivino en 15 pruebas, entonces la regla de decisión debe rechazar HQ cuando X sea mayor que un determinado valor, es decir, rechazar //0 cuando el número de aciertos sea lo suficientemente grande. En consecuencia la región crítica C será de la forma C = {X>k}.

b) Si a=0.06, la región crítica se determina eligiendo el mínimo k tal que P(X > k I p = 0.5) < 0.06 .Si p = 05, entonces X ~ 5(15,0.5). Utilizando unas tablas de probabilidades binomiales se obtiene que P(X > 11 / p = 0.5) = 0.059 < 0.06 y P(X > IQ/p = 0.5) = 0.151 > 0.06. Por tanto, el mínimo k tal que C tiene nivel de significación del 6% es 11. El tamaño de la región crítica C = {X > 11} es 0.059. c) La probabilidad del error de tipo II es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando la hipótesis alternativa es verdadera. En nuestro caso, esta probabilidad esj8 = l - j P ( J f > l l / / ? = 0.9). Usando que la distribución de X cuando p = 0.9 es 5(15,0.9), obtenemos que j3 = 1-0.9873 = 0.0127 . d) El número de éxitos en la muestra ha sido 9, es decir, X - 9 . Por tanto, el P-valor muestral es P( X > 9 / p = 0.5) = 1 - 0.6964 = 0.3036. El P-valor es mayor que los niveles de significación usuales 0.05 y 0.01. En consecuencia, no existe suficiente evidencia para rechazar H0 , de modo que se debe aceptar H0 : el adivino acierta por azar. 16. El número de vehículos X que llegan al peaje de una autopista en un minuto sigue una distribución de Poisson con parámetro A . Se sabe que bajo condiciones normales de tráfico A es 0.5. La empresa responsable del peaje sospecha que

Ejercicios

127

durante los meses de verano A es 2. Para decidir si la sospecha es verdadera se toma durante los meses de verano una m.a.s. de cinco intervalos de minuto obteniéndose los siguientes valores de X : 1, 2, O, 2, 3. Suponiendo que la empresa asume un riesgo máximo del 5% de concluir que Á. es 2 cuando realmente es 0.5: a) Establecer el contraste de hipótesis, determinar la región crítica y calcular su tamaño. b) Calcular la potencia del contraste. c) Para la muestra observada, calcular el P-valor. ¿Cuál es la conclusión? Solución a) Sea X el número de vehículos que llegan al peaje de una autopista en un minuto. Se cumple que X~3P(A). Se trata de contrastar la hipótesis nula H0:A = 0.5 contra la hipótesis alternativa H\.X = 2. Para una muestra de 5 intervalos de minuto, X¡ denota el número de vehículos que llegan al peaje en el minuto /-ésimo. Sea

X¡ . Como la hipótesis alternativa favorece valores

grandes de T, la región crítica debe ser de la forma C = \T > k] . Bajo la hipótesis nula, la distribución de T es 3^(5-0.5). Como la empresa desea tener un riesgo de tipo I de tamaño no superior al 5%, el valor de k debe verificar que P(C I //0) < 0.05 , o de forma equivalente que P(T < k -1///0) > 0.95 . Consultando en las tablas de la distribución de Poisson, obtenemos que k -1 > 5 y, por tanto, la empresa debe elegir k - 6 porque de esa manera minimiza la probabilidad del error de tipo II sujeto a la restricción de que la probabilidad del error de tipo I no supere el 5%. Entonces la región crítica es C = {T>6] y el tamaño de C es X ( r > 6 / / / 0 ) = 0.042. b) La potencia del contraste es la probabilidad de rechazar H0 cuando //, es verdadera. Bajo //¡ , la variable T sigue una distribución de Poisson de parámetro X = 10 y P(T > 6) = 0.933. Por tanto, la potencia del contraste es 0.933. c) En la muestra T = 8 y el P-valor muestral es P(T>8/H0) = 0.0042. Puesto que el P-valor muestral es menor del 5%, se debe rechazar H0 . 17. Un mayorista frutero desea comprar una partida muy grande de melones si el 70% o más de los melones pesan más de tres kilos. Desea tener una probabilidad a lo sumo de 0.05 de equivocarse si rechaza la partida cuando realmente verifica la condición requerida. Después de pesar una muestra de 100 melones extraídos al azar de la partida, encuentra que 60 pesan más de 3 kg. a) Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Especificar la región crítica. Calcular el P-valor. ¿Qué decisión tomará el mayorista? b) Calcular la probabilidad de aceptar la partida cuando la proporción de melones que pesan más de tres kilos es del 50%. c) Si el mayorista quiere rechazar la partida cuando tiene un 60% de melones que pesan más de tres kilos con una probabilidad 0.90, determinar analíticamente el tamaño de muestra necesario.

128


Solución a) Sea p la probabilidad de que un melón pese más de tres kilos. El mayorista desea comprar la partida si p > 0.7 , de modo que el contraste a realizar considera la hipótesis nula HQ:p> 0.7 contra la hipótesis alternativa //,:/?< 0.7 . Como n = 100 es un tamaño muestral grande, se puede realizar un contraste asintótico para la proporción poblacional basado en el estadístico de prueba Z donde p es la proporción muestral y pQ = 0.7 . La hipótesis nula debe rechazarse si la proporción muestral de melones con peso mayor de 3 kilos es pequeña, o de forma equivalente cuando el valor del estadístico de prueba Z0 es menor que una constante k. Como el comportamiento bajo HQ del estadístico de prueba Z0 es aproximadamente normal, la región crítica de nivel de significación a aproximadamente igual a 0.05 Como la proporción muestral es p = 0.60, el valor muestral del estadístico de prueba es Zn = . '

'

=-2.182 y el

P-valor muestral es P(Z < -2.18) = 0.0146. Como el P-valor es menor que a=0.05, el mayorista frutero rechazará H0 , es decir, no comprará la partida. b) La probabilidad de aceptar la partida cuando la proporción de melones que pesan más de tres kilos es del 50% es igual a

c) La probabilidad de rechazar la partida cuando p = 0.6 es igual a

Si el mayorista desea que esta probabilidad sea igual a 0.90, el tamaño muestral n ha de cumplir z n i n = 1-28 =

,

, de donde operando obtene-

mos 1.28V0.6• 0.4 = -1.645-N/0/7-03+0.lV« y, en consecuencia, el tamaño muestral debe ser n =

\ 29

Ejercicios

18. Un proceso productivo genera componentes electrónicos cuya vida media es 50. En el departamento de investigación se ha descubierto un nuevo método que parece alargar la vida media de los componentes. El departamento de producción decide contrastar el nuevo método, para lo cual toma una muestra de 10 componentes fabricados por el nuevo método, obteniendo las siguientes vidas: 57, 69, 106, 121, 201, 51, 77, 87, 12, 230. Suponiendo que la vida de los componentes fabricados por el nuevo método sigue una distribución exponencial y teniendo en cuenta que el doble de la suma de n exponenciales independientes de media uno sigue una distribución X con 2n grados de libertad: a) Establecer las hipótesis nula y alternativa. Determinar la región crítica de tamaño 0.05. b) Para los resultados muéstrales obtenidos ¿es efectivo el nuevo método? Calcular el P-valor. c) Si el nuevo método consigue que la vida media de los componentes sea 100, ¿cuál es la potencia del contraste? Solución a) Sea X la vida de un componente electrónico producido por el nuevo método y ju la media de X. Suponemos que X ~ Exp(\¡'//). Para contrastar el nuevo método consideramos como hipótesis nula HQ: // < 50 y como hipótesis alternativa //,://> 50. Sabemos que el estimador maximoverosímil de ¿u es X. Como valores grandes de X apoyan H\, la región crítica debe ser de la forma C = \ X > k \. Para que el tamaño de la región crítica sea igual al 5%, k debe cumplir que P(CI 7/0) < 0.05.

Como P(C/// lor de k es k — 2.5-^0.05-20 =78.525 y la región crítica es C = |X > 78.525j . b) La media muestral es ^=101.1. Como 101.1 pertenece a C, se acepta H } , es decir, concluimos que el nuevo método es efectivo. El P-valor muestral es y cumple la acotación 0.001 < P-valor < 0.01. c) Si // es 100, la potencia del contraste (probabilidad de rechazar 7/0) es

Usando unas tablas de la distribución Ji-cuadrado se comprueba que 0.70 < n < 0.80. 19. Los siguientes datos son notas de un examen final de un curso de Estadística impartido por el mismo profesor durante un periodo de tres años. Año 1: 4.9, 3.1,4.1, 2.6, 5.2, 3.9, 4.6, 4.0, 3.7, 5.8,4.3, 3.4, 5.4, 2.8,4.8,4.0, 2.2, 3.2, 3.5, 4.5

130


Año 2: 5.4, 4.8, 3.6, 5.3,4.5, 3.1, 4.9, 4.2, 4.6, 4.4, 4.1, 5.1, 6.3,4.5, 5.9, 3.9, 5.0, 3.3, 4.7, 4.3, 5.7, 2.7, 3.7, 4.0, 4.6 Año 3: 5.9, 5.1, 5.8,4.5, 5.3, 4.1, 5.0, 4.4, 3.8, 5.6, 6.8, 4.7, 6.4, 3.2, 5.5, 5.0,4.2, 6.2, 3.6, 4.9 Se supone que las notas de los tres años siguen distribuciones normales con varianzas iguales. a) Contrastar, al 5% de significación, la igualdad de notas medias en los tres años. b) Aplicar, si procede, la etapa de agrupación de medias del procedimiento FSD. Solución a) Sean //,, // 2 Y ^3 las n°tas medias de los años 1, 2 y 3 respectivamente. Queremos contrastar H0:¿il = ¿U2 = //3 contra H}:no H0. Los estadísticos resumen de los datos multiplicados por 10 se muestran en la siguiente tabla: Año 1

Año 2

Año 3

X

40

45.04

50

s

9.6245

8.6626

9.6245

La tabla ANO VA es Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

1000.02

2

500.012

5.83

0.0048

Dentro

5320.96

62

85.8219

Total

6320.98

64

Como el P-valor muestral es 0.0048 < 0.05, rechazamos la hipótesis nula de igualdad de medias al 5% de significación, concluyendo que las medias (poblacionales) de las notas del examen son diferentes. El diagrama esquemático aparece en la figura 19.1.

Figura 19.1.

131

Ejercicios

b) Puesto que se rechaza la hipótesis nula al 5% de significación, procede aplicar la segunda etapa del procedimiento FSD. De la tabla ANOVA encontramos que la estimación de la desviación típica combinada es S = V MSW = V85.822 = 9.230 y los grados de libertad "dentro" son 62. El valor crítico bilateral 5% es /o 025-02 = 1-98. Los dos tamaños de muestra más grandes son 20 y 25. Por tanto, LSDmín =1.98-9.23-J

1

=5.483. Como los dos tamaños de muestra más pe-

queños son 20 y 20, tenemos que LSD Es fácil comprobar que las diferencias entre las medias muéstrales son Como las diferencias para los años 1 y 2 y los años 2 y 3 son ambas menores que LSDm-n, la media del año 1 y la del año 2 pertenecen al mismo grupo así como las de los años 2 y 3. Por otra parte, la diferencia para los años 1 y 3 excede LSDmax, de modo que la media del año 1 y la del año 3 pertenecen a distinto grupo. Se da, por tanto, la siguiente agrupación curiosa: { año 1, año2 } < { año2, año3 }. Este resultado se interpreta diciendo que existe evidencia insuficiente en las muestras para detectar una diferencia sobre un periodo de un año, pero la diferencia sobre el periodo de dos años es significativa. Por tanto, se detecta una posible mejora en la enseñanza del profesor sobre el periodo de los tres años de estudio pero no sobre un periodo más corto de tiempo. Las agrupaciones solapadas como la de este ejercicio son obviamente no deseadas porque dificultan la interpretación, pero a veces son inevitables. 20. Un agricultor quiere probar cuatro fertilizantes en su campo de tomates. Selecciona parcelas del mismo tamaño con suelo, drenaje y exposición al sol similares. Prueba los fertilizantes A, B, C y D sobre 6, 8, 9 y 7 parcelas respectivamente obteniendo los siguientes rendimientos: Fertilizante A B C D

Rendimiento 47, 42, 43, 46, 44, 42 51,58,62,49,53,51,50,59 37,39,41,38,39,37,42,36,40 42, 43, 42, 45, 47, 50, 48

Se supone que los rendimientos de los cuatro fertilizantes siguen distribuciones normales con varianzas iguales. a) ¿Existe diferencia significativa en los rendimientos medios? b) Aplicar, si procede, la etapa de agrupación de medias del procedimiento FSD. Solución a) Sean hipótesis nula

los rendimientos medios. Deseamos contrastar la contra la hipótesis alternativa de que no

132


todas las medias son iguales. Observamos que k = 4, nA = 6, nB = 8 , nc = 9 nD =1 y « = 30. Los estadísticos resumen aparecen en la siguiente tabla: Fertilizante

/

"/

X,

s}

A

1

6

44.000

4.400

B

2

8

54.125

23.554

C

3

9

38.778

3.944

D

4

7

45.286

9.905

Es fácil comprobar que la suma de cuadrados "entre" y la suma de cuadrados "dentro"

son,

respectivamente,

y

La tabla ANO VA es Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

1015.51

3

338.503

31.67

=0

Dentro

277.859

26

10.6869

Total

1293.37

29

Como la región crítica del contraste es C = ÍF0 / FQ > ^005-3 20} y F005.3 26 = 2.89 , rechazamos HQ al 5% de significación y concluimos que no todos los fertilizantes tienen el mismo rendimiento medio. El diagrama esquemático aparece en la figura 20.1.

Figura 20.1.

Ejercicios

133

b) Puesto que se rechaza la hipótesis nula al 5% de significación, procede aplicar la segunda etapa del procedimiento FSD. Las cantidades máxima y mínima de la diferencia significativa mínima son, respectivamente:

Es fácil comprobar que las diferencias entre las medias muéstrales son:

Luego los grupos son


CAPITULO 5 MÉTODOS ROBUSTOS Y NO PARAMÉTRICOS

1. INTRODUCCIÓN Existen dos criterios para juzgar o evaluar los procedimientos estadísticos inferenciales (tales como los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis): el criterio de validez y el criterio de sensibilidad. Para un intervalo de confianza, el requisito de validez exige que el intervalo de confianza contenga al parámetro de interés con una probabilidad al menos 1 - a. Sin embargo, en la práctica, este requisito puede no cumplirse cuando la distribución de probabilidad de las observaciones es desconocida. Por ejemplo, los intervalos de confianza bajo normalidad pueden dejar de ser válidos si la distribución de las observaciones no es normal. La sensibilidad de un intervalo de confianza se refiere a la precisión; y una medida de la precisión, como ya sabemos, es la amplitud del intervalo: cuanto menor es la amplitud del intervalo, mayor es su precisión. Para un contraste de hipótesis sabemos que la probabilidad del error de tipo I no debe superar el nivel de significación a prefijado. Este es un requisito de validez para todo contraste de hipótesis. En la práctica, si la distribución de la población no es normal, los contrastes clásicos (que suponen normalidad) pueden tener probabilidad del error de tipo I mayor que a. En estos casos decimos que dichos contrastes no son válidos. La sensibilidad de un contraste de hipótesis se mide mediante la potencia del test (o también la probabilidad del error de tipo II, que es uno menos la potencia). Gran sensibilidad del test es equivalente a gran potencia, es decir, gran probabilidad de rechazar HQ cuando HQ es falsa, o lo que es lo mismo, gran capacidad del test para distinguir el verdadero valor del parámetro especificado por //, del especificado por H0 . Los métodos clásicos de inferencia (vistos en capítulos anteriores) suponen normalidad e igualdad de las varianzas. Cuando se aplican a problemas reales pueden aparecer algunas dificultades (datos atípicos, diferencias en las dispersiones,...). Cuando estos problemas se detectaron en el pasado, la primera respuesta fue crear

136

Métodos robustos y no paramétricos

una colección nueva de métodos aparentemente distintos llamados métodos no paramétricos. A pesar de su atractivo teórico, los métodos no paramétricos carecen con frecuencia de la unidad de concepción propia de los métodos clásicos. Además, el problema contemplado por los métodos no paramétricos (la falta de validez) no es el problema principal de los métodos clásicos. Tukey en 1960 observó que cuando existen valores atípicos en los datos (situación muy frecuente en la práctica) los procedimientos clásicos tienen poca sensibilidad. Esta observación favoreció el desarrollo de unos procedimientos estadísticos nuevos llamados métodos robustos. Informalmente, un método estadístico es robusto cuando sus propiedades de sensibilidad y validez cambian poco si la distribución de las observaciones se desvía poco de la supuesta en la construcción del método (usualmente la distribución normal). Una característica atractiva de los métodos robustos que presentaremos aquí es que se obtienen modificando los métodos tradicionales de una manera intuitiva. Además, estas modificaciones están basadas en estimadores de cálculo fácil. Por ejemplo, la media recortada es simplemente una media ordinaria con algunas de las observaciones (entre ellas las observaciones atípicas) eliminadas. Por otra parte, los métodos basados en la transformación potencia o en la transformación rango consisten en transformar los valores muéstrales y después aplicar el procedimiento clásico a los valores transformados. Ejemplo 1.1. Ilustración de la baja sensibilidad de un procedimiento clásico Una muestra de rentas familiares de un barrio ofreció los siguientes resultados: Renta anual (en millones de ptas.)

5

4

2

8

6

4

2

5

40

17

0

3

Familia

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

En la figura 1.1 se presenta el gráfico caja para esta muestra.

Figura 1.1.

137

Para un nivel de confianza del 95%, el intervalo de confianza clásico para ¿u es 1.04 < ¡JL < 14.96 y en la siguiente sección veremos que el intervalo basado en la media recortada es 2.18 < // r < 7.06. Recordemos que para los intervalos de confianza buena sensibilidad significa intervalos estrechos. En este ejemplo el intervalo de confianza basado en la media muestral es mucho menos sensible que el intervalo basado en la media recortada. Como el atípico mayor es más atípico de lo que ordinariamente encontramos en la práctica, este ejemplo es algo extremo, pero el mismo fenómeno ocurre, en menor grado, en varios problemas prácticos y con frecuencia pasa desapercibido y, por tanto, no se corrige. En este caso, puede que los análisis efectuados resulten inútiles. En las secciones restantes estudiaremos las siguientes familias de métodos robustos: • Métodos basados en la media recortada • Métodos basados en las transformaciones potencia • Métodos basados en la transformación rango. 2. MÉTODOS BASADOS EN LA MEDIA RECORTADA En este apartado presentamos contrastes de hipótesis para los problemas de una, dos y k muestras, e intervalos de confianza para la media recortada y la diferencia de medias recortadas. El método de las medias recortadas consigue corregir los problemas causados por los atípicos, pero no es útil por sí mismo para tratar las diferencias en dispersión. Para mitigar el impacto de la desigualdad de dispersiones puede usarse la llamada corrección de Satterthwaite después de un análisis de medias recortadas o bien desde un principio si las muestras son razonablemente normales. 2.1. Intervalos de confianza y contrastes para una muestra Ilustraremos el cálculo de intervalos de confianza para la media recortada utilizando los datos de renta familiar del ejemplo 1.1. El gráfico tallo y hojas es el siguiente: O* 10.2(1 3 4 4 0 . 1 5 5 6[8] 1* I 1 .17 HII40 Como se ha visto en el capítulo de intervalos de confianza, los límites del intervalo de confianza clásico para la media son

. El intervalo de

confianza basado en la media recortada se calcula exactamente de la misma manera, pero reemplazando el tamaño muestral, la media y la desviación típica por el tamaño

138

Métodos robustos v no paramétricos

de la muestra recortada, la media recortada y la desviación típica recortada, respectivamente. Adoptaremos el criterio de seleccionar la fracción de recorte igual al menor múltiplo del 5% que elimina todos los datos atípicos identificados por el gráfico caja. Esta estrategia determina una fracción de recorte del 10% para los datos de la renta familiar. El número de observaciones que deben recortarse en cada cola es 0.10-12= 1.2 que redondeamos por exceso a 2. Las hojas correspondientes a las observaciones que se han de recortar están subrayadas en el anterior gráfico tallo y hojas. El tamaño de la muestra recortada es el número de observaciones que quedan después del recorte, nT = 8. La media recortada es la media aritmética de las observaciones de la muestra recortada, de modo que XT = 4.625 . Sin embargo, la desviación típica recortada no es la desviación típica de la muestra recortada, sino que se calcula usando la desviación típica de la muestra winsorizada. La muestra winsorizada se obtiene reemplazando los valores subrayados en el gráfico tallo y hojas (que son los valores que se eliminan en la muestra original para obtener la muestra recortada) por los números que aparecen recuadrados, que son el mínimo y el máximo de la muestra recortada. Así, O y 2 deben reemplazarse por 2 en la cola inferior, y 17 y 40 por 8 en la cola superior. Obsérvese que la muestra winsorizada es una muestra artificial que tiene el mismo tamaño que la muestra original. La desviación típica de la muestra winsorizada es Sw = 2.34 y la desviación típica recortada es

Los datos resumen nT, XT y ST sustituyen a n, X y S en el cálculo del intervalo de confianza. El punto crítico de la t recortada es taii;nT-\ •> de modo que para un nivel de confianza del 95% es ta/2.n _¡ ='0 025-8-1 =2.365. Por tanto, los límites del intervalo de confianza para la media recortada (al nivel de confianza del 95%) son

Concluimos con una confianza del 95% que la renta media del barrio está entre 2.18 y 7.06 millones de pts. Es fácil comprobar que los límites del intervalo de confianza clásico para la media al 95% son L = 1.04 y U = 14.96. Es obvio que el intervalo basado en la media recortada es mucho más útil para estimar el centro de la distribución de rentas que el intervalo de confianza clásico. Debe enfatizarse que los intervalos de confianza basados en la media muestral y en la media recortada son para dos parámetros de posición central diferentes: la media poblacional y la media recortada poblacional, respectivamente. Cuando la distribución poblacional es simétrica, estas medidas son iguales. Sin embargo, para distribuciones asimétricas pueden ser algo diferentes. No obstante, en distribuciones con colas largas, plantear intervalos de confianza para la media recortada viene

139 motivado por el hecho de que, en general, en estos casos la media recortada proporciona una medida de posición central más razonable que la media. Los contrastes de hipótesis basados en la media recortada se construyen como en el capítulo anterior reemplazando el estadístico t clásico por el estadístico recortado . Así, para el ejemplo anterior, un test bilateral de la hipótesis de que la renta media para el barrio es 11 millones de pesetas debe rechazar H cuando ce=0.05. El valor del estadístico recortado es . Como tr, > 2.365, al nivel de significación del 5% debemos rechazar la hipótesis de que la renta media es 11 millones de pts. 2.2. Contrastes e intervalos de confianza para dos muestras Ejemplo 2.1. Para medir las diferencias en intensidad entre las tormentas de verano ocurridas de junio a octubre y las ocurridas durante el resto del año, se apuntó para 12 veranos y 14 no-veranos el porcentaje de lluvia caída durante los primeros 5 minutos de la tormenta en períodos seleccionados al azar entre 1920 y 1995, obteniéndose los siguientes resultados: Verano: 18.2, 80.0, 8.6, 45.0, 28.6, 20.7, 50.0, 21.2, 60.7, 34.6, 40.7, 6.7. No-verano: 23.8, 10.5, 14.3, 40.0, 16.1, 11.1, 5.0, 3.4, 8.3, 66.7, 15.0, 11.8, 18.2, 26.3. Queremos, en primer lugar, contrastar la hipótesis nula de igualdad de porcentajes promedio de lluvia en verano y no-verano. Para ello, vamos a ignorar, en principio, los análisis exploratorios y usaremos directamente los contrastes de hipótesis clásicos. El método clásico para dos muestras necesita la siguiente información resumen: Verano

No-verano

n

12

14

X

34.5833

19.3214

S

21.8612

16.5916

El valor del estadístico tQ es tQ = 2.02. Para 24 grados de libertad, el P-valor para el test bilateral de no diferencia en medias es P-valor = 2 • P(t24 ^ 2.02). En las tablas de la distribución t de Student observamos que 0.025 < P(t24 > 2.02) < 0.05 . Por tanto, el P-valor pertenece al intervalo (0.05,0.10) y el contraste clásico no detecta diferencia en las medias para cualquier nivel de significación de los usados habitualmente. Este sería el punto final de cualquier estudio clásico. Vamos a ver que la conclusión de este análisis es discutible, cuando no, falsa. Como veremos, el

140


fallo en la detección de una diferencia en las medias es el resultado de usar el test t estándar cuando la información muestral sugiere que se violan las hipótesis sobre las que está basado. Es un fallo del análisis, no de los datos. Este problema puede evitarse efectuando un análisis exploratorio antes del análisis inferencial de los datos. En la figura 2.1 aparece el diagrama esquemático de las muestras bajo consideración. El atípico en la muestra de "no-verano" sugiere que el supuesto de normalidad no es razonable. Comparando las longitudes de las cajas (recorridos intercuartílicos), parece que el supuesto de dispersiones iguales de las dos poblaciones también es cuestionable. La estrategia usual para intentar detectar dispersiones poblacionales distintas consiste en efectuar un contraste de hipótesis para la igualdad de las desviaciones típicas, antes de realizar un test para las medias. Por desgracia, las dispersiones distintas están con frecuencia vinculadas con formas serias de no-normalidad tales como distribuciones de colas largas. En estos casos los tests clásicos para contrastar el cociente de varianzas (basados en la distribución F de Fisher) quedan afectados incluso más seriamente que los tests t.

Figura 2.1.

Es fácil comprobar que en nuestro ejemplo el test F para la igualdad de desviaciones típicas acepta la igualdad para todo nivel a aceptable (P-valor > 0.1). Esta conclusión se contradice con la que se deduce del diagrama esquemático y esto se debe casi totalmente al atípico de la muestra de "no-verano". La siguiente etapa en un análisis estándar de estos datos sería el uso del test t de dos muestras que conduciría al resultado mostrado antes. Los contrastes de igualdad de dispersiones deben usarse con mucho cuidado por su capacidad potencial de generar conclusiones que inducen a error. En todo caso, el análisis exploratorio basado en el diagrama esquemático constituye una herramienta de diagnosis más fiable. El test t de dos muestras basado en las medias recortadas se comporta mejor cuando las dispersiones, medidas por las longitudes de las cajas del diagrama esque-

141

mático, no son muy diferentes. Suponiendo que ocurre así en nuestro ejemplo, ilustraremos a continuación el procedimiento de contraste de igualdad de medias basado en las medias recortadas. Para abordar el problema de la desigualdad de dispersiones que se observa en las dos muestras, mejoraremos el procedimiento basado en las medias recortadas con la llamada corrección de Satterthwaite. Vamos a contrastar la hipótesis de que las intensidades medias de lluvia en los dos periodos del año son iguales usando como medida de posición central la media poblacional recortada con fracción de recorte del 5%. Obsérvese que el 5% es la mínima fracción de recorte (múltiplo del 5%) que elimina todos los atípicos indicados por el diagrama esquemático. Los gráficos tallo y hojas «espalda con espalda» para los valores muéstrales multiplicados por 10 son los siguientes: Verano 86,67

82 12,07 86 46 07 50 00 800. 607

No-verano

0* 0. 1* 1. 2* 2. 3* 3. 4* 4. 5* HI

34 50,83 05, 11, 18,43 50, 61, 82 38 63 00

667

En la muestra de verano el tamaño muestral es n = 12 y el número de observaciones recortadas en cada cola debe ser igual a 1 que es el resultado de redondear por exceso 0.05-12 = 0.6. Los valores a recortar están subrayados en el gráfico tallo y hojas. Para la muestra de no-verano, n ~ 14 y el número de valores recortados en cada cola es 0.05-14 = 0.7, que también redondearemos a 1. Los estadísticos resumen para las muestras recortadas son los siguientes: Verano

No-verano

nT

10

12

XT

32.83

16.7

ST

20.41

12.32

142


La expresión para la desviación típica (recortada) combinada es análoga a la del test t estándar de dos muestras, pero utiliza los estadísticos resumen recortados:

El valor del estadístico t de dos muestras es t Para 20 grados de libertad, el P-valor bilateral es P(\t2o - 2.29) y satisface las desigualdades 0.02 < P-valor < 0.05 . En consecuencia, la hipótesis de no diferencia en las intensidades medias de las tormentas debe rechazarse al 5% de significación, y debemos concluir que la intensidad media es mayor en verano que en no-verano. Para cuantificar la diferencia en las medias poblacionales podemos construir un intervalo de confianza para la diferencia de medias recortadas. La expresión del intervalo de confianza para la diferencia de medias puede aplicarse a los estadísticos resumen recortados para obtener un intervalo al 95% de confianza para la diferencia en las medias recortadas con fracción de recorte del 5%. La expresión del intervalo clásico es

Usando los estadísticos recortados obtenemos

donde O es la diferencia entre la media recortada poblacional de verano y la media recortada poblacional de no-verano. 2.3. Corrección de Satterthwaite para dispersiones desiguales Cuando las dispersiones de las dos poblaciones no son iguales es importante modificar el test t estándar porque en estos casos puede quedar afectada la sensibilidad del test y también puede resultar afectada su validez. Este efecto aumenta cuando los tamaños muéstrales son diferentes. Cuando el diagrama esquemático sugiere normalidad razonable pero dispersiones diferentes, puede aplicarse el método de este apartado para corregir el test t estándar y el intervalo de confianza estándar. Cuando el diagrama esquemático indica la existencia de atípleos, la corrección puede aplicarse al test t recortado y al intervalo de confianza recortado. El procedimiento de corrección consiste en reemplazar la expresión de la desviación típica (combinada) de la diferencia de medias muéstrales (en el denominador del estadístico t) por la versión «no combinada»

, y reempla-

143 zar los grados de libertad por otra expresión. Definiendo esviación típica es entonces SE = ^g\ + g libertad es v =

2

y la expresión para los grados de

.Si v no es un número natural, se re-

dondea al entero más próximo. En los contrastes de hipótesis se utiliza el estadístico de vprueba tn = —'

. Los intervalos de confianza se calculan usando los

límites corregidos, obteniéndose Vamos a aplicar la corrección de Satterthwaite a los estadísticos recortados del ejemplo 2.1 ya que el diagrama esquemático sugería desigualdad de dispersiones y, además, las desviaciones típicas recortadas son bastante diferentes. Asignando el subíndice 1 para denotar la muestra de verano y el subíndice 2 para la de no-verano obtenemos

La desviación típica co-

rregida es

y los grados de libertad corregidos son valor que debe redondearse a 14. El estadístico f_

recortado y corregido es entonces t

. Para 14 grados de liber-

tad, el P-valor bilateral de la hipótesis de igualdad de medias pertenece al intervalo (0.02,0.05). Por tanto, debemos rechazar la hipótesis de igualdad de medias al nivel de significación del 5%, pero no al nivel del 1%. Esta conclusión coincide con la que se obtuvo después de aplicar el test t recortado. Un intervalo al 95% de confianza para la diferencia de medias (recortadas al 5%) de intensidad de lluvia en verano respecto a no-verano tiene límites (32.83-16.7) + 2.14 -7.37, donde 7.37 = SE y 2.14 = Í0.o25;i4- Estos límites son 0.36 y 31.9. Así, con un 95% de confianza la intensidad media de las tormentas de verano excede a la de no-verano entre 0.36 y 31.9. 2.4. El problema de k muestras y el procedimiento FSD aplicado a medias recortadas El procedimiento FSD descrito en el capítulo 4 se puede aplicar a los datos resumen de las muestras recortadas. El procedimiento resultante es una extensión inmediata del procedimiento de dos muestras que presenta un comportamiento excelente al preservar la validez y mejorar la sensibilidad cuando las distribuciones poblacionales tienen colas más largas que las de una distribución normal.

144


Ejemplo 2.2. Una empresa productora de pequeños electrodomésticos quería comparar los tiempos promedio de montaje de un cierto modelo de electrodoméstico en cada una de sus tres factorías A, B y C. Para ello tomó una muestra de tiempos de montaje (en minutos) en cada factoría, obteniendo los siguientes datos: Factoría A: 7.8, 7.9, 8.0, 8.1, 8.3, 8.4, 8.4, 8.5, 9.5. Factoría B: 7.3, 7.9, 8, 8.1, 8.1, 8.2, 8.2, 8.6. Factoría C: 7.4. 8.2, 8.4, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6, 8.6, 8.8, 9.3. El análisis de la varianza basado en los supuestos de normalidad e igualdad de dispersiones obtiene los siguientes resultados: Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

0.828444

2

0.414222

1.97

0.1616

Dentro

5.05156

24

0.210481

5.88

26

Total

Por tanto, a un nivel de significación del 5% el contraste clásico de k muestras no detecta diferencias entre los tiempos promedio de montaje. No obstante, en la práctica los supuestos de normalidad e igualdad de dispersiones deben explorarse usando la información muestral antes de efectuar el análisis inferencial. La figura 2.2 muestra el diagrama esquemático de los tiempos de montaje en las tres factorías.

Figura 2.2.

Como vemos, la información muestral sugiere que las distribuciones poblacionales no cumplen el supuesto de normalidad. El supuesto de igualdad de dispersiones de las distribuciones poblacionales también es discutible, aunque las diferencias en los recorridos intercuartílicos muéstrales no son muy grandes. Para mitigar el problema de no normalidad, vamos a efectuar un análisis de la varianza basado en los estadísticos recortados.

145

Para una fracción de recorte del 5% los estadísticos recortados aparecen en la tabla siguiente: A

B

C

nT

7

6

8

XT

8.23

8.08

8.51

ST

0.288

0.151

0.242

La tabla del análisis de la varianza basada en los estadísticos recortados es la siguiente: Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

0.677

2

0.338

5.94

0.0104

Dentro

1.021

18

0.057

Total

1.698

20

Por tanto, al nivel de significación del 5% el análisis de k muestras basado en las medias recortadas detecta diferencias entre los tiempos promedio de montaje. Entonces es pertinente realizar la segunda etapa del procedimiento FSD para agrupar las factorías. El máximo y el mínimo de la diferencia significativa mínima son, respectivamente,

Calculando las diferencias entre las medias recortadas muéstrales, se obtiene la agrupación {A, B}<{C). Como vemos, el método basado en las medias recortadas ha detectado diferencias entre las medias, mientras que el método clásico, falto de la suficiente sensibilidad, concluye que las tres medias son iguales. 2.5. Una aplicación a diferencias apareadas El siguiente ejemplo ilustra la aplicación de las medias recortadas a las diferencias apareadas.

146


Ejemplo 2.3. Se desea comprobar si las medias de los consumos domésticos de agua (en m3) durante los meses de Julio y Agosto son iguales. Se tomó una muestra de 11 domicilios, resultando los siguientes datos de consumo: Domicilio

Julio

Agosto

Diferencia: (Julio-Agosto)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.60 2.56 0.60 0.28 1.32 0.76 0.28 0.88 1.92 0.00 0.20

1.00 1.12 1.12 2.56 1.12 0.44 0.24 0.92 1.76 0.04 0.00

-0.40 1.44 -0.52 -2.28 0.20 0.32 0.04 -0.04 0.16 -0.04 0.20

Por la forma de obtener los valores muéstrales, los consumos de agua en Julio y Agosto no se pueden suponer independientes pues corresponden al mismo domicilio. Contrastar la igualdad de medias de Julio y Agosto es equivalente a contrastar que la media de la diferencia de consumo entre Julio y Agosto es cero. El contraste clásico de la media de la diferencia supone normalidad de la variable diferencia y, por tanto, es conveniente explorar si este supuesto es válido en este ejemplo. El gráfico caja de las diferencias aparece en la figura 2.3.

Figura 2.3.

Los dos atípicos hacen conveniente un análisis robusto. Para una fracción de recorte del 5%, el intervalo al 95% de confianza para la media recortada poblacional

147

JUTD de la diferencia de consumo entre Julio y Agosto es -0.282 < ¿UTD < 0.264. Este resultado se obtiene_utilizando los datos resumen nT = 9, DT =-0.0089 y ST = 0.355 en vez de n , D y SD en el intervalo de confianza estándar. Usando los datos resumen n = 11, D = -0.0836 y SD = 0.8853 obtenemos que el intervalo de confianza usual para la media de las diferencias ¿UD (al 95% de confianza) es -0.68 < ¿ID < 0.51. Ambos intervalos de confianza contienen el cero. En consecuencia, un valor de cero para la media y la media recortada de la población de diferencias es consistente con los valores muéstrales. Así, en ambos casos concluimos que no existen diferencias entre los consumos medios de agua en los dos meses. Sin embargo se observa que el intervalo basado en la media recortada es más preciso ya que tiene menor amplitud. 3. USO DE LAS TRANSFORMACIONES POTENCIA PARA HOMOGENEIZAR DISPERSIONES Cuando los datos de las k muestras son positivos y la dispersión aumenta conforme aumentan las medianas de las muestras, un mecanismo efectivo para homogeneizar las dispersiones consiste en reexpresar los datos mediante una transformación potencia. La familia de transformaciones potencia está indexada por un parámetro real q. Dado q, el valor transformado de x es

Las transformaciones potencia son muy útiles por dos razones. En primer lugar porque son fáciles de implementar mediante el ordenador o la calculadora manual. En segundo lugar porque una característica observada con frecuencia en las distribuciones de datos positivos es que la variabilidad tiende a aumentar cuando el centro de la distribución aumenta. Un atractivo adicional de las transformaciones potencia es que con frecuencia suavizan los atípicos. Las transformaciones potencia con índice q < 1 (que son las que se usan cuando la dispersión aumenta con la mediana) disminuyen los valores grandes en mayor proporción que el resto de valores, de modo que cuanto mayor es el valor, más queda disminuido en comparación con los otros. Así, con frecuencia una transformación potencia acerca los atípicos al centro. La ordenación de los datos por magnitud no cambia en los datos transformados porque las transformaciones potencia son transformaciones monótonas crecientes. Una característica poco deseable de las transformaciones potencia es que dilatan la cola inferior de una distribución, creando algunas veces atípicos cuando previamente no existían. Si esto ocurre, o quedan atípicos en la cola derecha de la distribución, la transformación puede seguirse de un análisis de medias recortadas. Cuando la variabilidad se ha homogeneizado, la aplicación del método basado en las medias

148


recortadas funciona muy bien. Sin embargo, con frecuencia basta la transformación potencia para alcanzar suficiente sensibilidad. Para seleccionar el índice q de la transformación potencia usaremos un método de ajuste propuesto por Tukey. Este método es fácil de aplicar cuando disponemos de las medianas y los recorridos intercuartílicos muéstrales. Estas medidas resumen estarán disponibles porque se usan en el análisis exploratorio que se ha de realizar antes del análisis inferencial. El método de Tukey consiste en elegir como índice de la transformación q = 1 - b, donde b es la pendiente de una recta que ajuste bien el diagrama de dispersión de los puntos de coordenadas (xj,yi) = (\n(M¡),ln(IQRi)]. Aquí Mí y IQRj denotan, respectivamente, la mediana y el recorrido intercuartílico de la muestra / . El método más conveniente para encontrar la pendiente de la recta es el método de ajuste minimocuadrático. La pendiente de la recta minimocuadrática es Y está disponible en la mayoría de programas de ordenador y calculadoras manuales. Una vez elegido el índice de la transformación potencia, cada valor muestral será transformado mediante dicha transformación y entonces aplicaremos un análisis clásico de k muestras a los valores transformados. El siguiente ejemplo ilustra la aplicación del método de la transformación potencia para contrastar la homogeneidad de las distribuciones. Ejemplo 3.1. Para cada año, los valores del índice de crecimiento de la producción industrial de 6 países se pueden considerar como una muestra de una variable estadística. Durante el trienio 1992-94 se desea saber si el crecimiento medio anual es igual en los tres años. Tras un análisis estadístico se han obtenido los siguientes resultados:

19922 0 1

1 18 2 39 3 4 1 5 6 7 8

9 10 11

Gráficos tallo y hojas 1993 3 0 1 2 29 3 4 0 5 2 6 6 7

8

9 10 11 HI 14.1

1994 4 O 1 2 3 4 5 6

7 16

8 8 9 2

10 11 7 HI 20.8

149

Estadísticos resumen Año

n

X

M

1992

6

2.050

2.050

1.397 1.800

1993

6

5.833

4.600

4.347

1994

6

10.867

9.000

5.124 4.100

S

IQR

3.700

Suponiendo que se cumplen los supuestos de normalidad e igualdad en las dispersiones, el test de la diferencia significativa mínima de Fisher (para cc=0.05) nos ofrece la siguiente tabla ANOVA: Fuente

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

2

234.763

117.382

7.476

0.0056

Dentro

15

235.522

15.701

Total

17

470.285

La diferencia significativa mínima es

Las diferencias entre las medias muéstrales cumplen X Por tanto, los grupos LSD son A la vista del diagrama esquemático que se muestra en la figura 3.1 parece que son posibles tres grupos. Sin embargo, el análisis estándar no ha sido capaz de separar las medias de 1992 y 1993. Se observa igualmente en el diagrama esquemático que la variabilidad aumenta según aumenta el centro de la distribución, es decir, la longitud de las cajas aumenta con la mediana. Por tanto, es adecuado aplicar una transformación potencia a los datos de este ejemplo.

Figura 3.1.

150


En la siguiente tabla recogemos la información necesaria para aplicar dicha transformación potencia.

Año

M

IQR

ln(M)

ln(IQR)

1992

2.050

1.800

0.71784

0.58779

1993

4.600

3.700

1.5261

1.3083

1994

9.000

4.100

2.1972

1.411

El ajuste minimocuadrático de \n(IQR) sobre ln(M) conduce a una recta de pendiente b = 0.5677 . Entonces q -1 - b = 0.4323, de modo que q = 0.5. En consecuencia, la transformación potencia será T(x) = x°'5 = -Jx . Aplicando a los datos la anterior transformación, obtenemos los siguientes estadísticos resumen:

1992

1993

1994

w

6

6

6

X

1.32517

2.29843

3.23371

s

0.593887

0.812818

0.701254

Año

Al aplicar el procedimiento de la diferencia significativa mínima de Fisher a los datos transformados obtenemos la tabla ANO VA siguiente: Fuente

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

2

10.9289

5.46447

10.89

0.0012

Dentro

15

7.52565

0.50171

Total

17

18.4546

La diferencia significativa mínima es:

Las diferencias entre las medias muéstrales son X Por tanto, los

grupos

LSD

son

151

Como vemos, la transformación potencia ha logrado separar el grupo {1992,1993} que el contraste clásico, falto de sensibilidad, no es capaz de separar. La figura 3.2 muestra el diagrama esquemático para los datos transformados. Podemos observar que la transformación potencia elegida consigue homogeneizar las dispersiones.

Figura 3.2.

En este ejemplo, el atípico de la cola derecha podría haberse tratado mediante un análisis de medias recortadas en vez de un análisis estándar. Otra alternativa es el análisis de rangos, que estudiaremos en la siguiente sección. 4. MÉTODOS BASADOS EN LA TRANSFORMACIÓN RANGO La transformación rango es una transformación que resuelve simultáneamente varias formas de no-normalidad. Por esta propiedad, los métodos, basados en la transformación rango tienden a usarse como alternativas generales a los procedimientos clásicos. Aunque ésta es una estrategia segura desde el punto de vista de la robustez de validez, no es siempre la óptima en términos de sensibilidad. No obstante, los métodos basados en la transformación rango son los métodos robustos más fáciles de encontrar implementados en los programas de ordenador. El enfoque que daremos a los métodos basados en la transformación rango consistirá en aplicar los métodos de contraste clásicos a los rangos de los datos. Se ha comprobado que cuando el test t de dos muestras se aplica a los rangos, se obtiene un test equivalente esencialmente al test no paramétrico de rango-suma de Wilcoxon para dos muestras. El análisis de la varianza aplicado a los rangos proporciona una alternativa próxima al test de Kruskal-Wallis. Por último, el test t de diferencias apareadas aplicado a los rangos no tiene contrapartida no paramétrica pero su comportamiento es al menos tan bueno como el test de rango con signo de Wilcoxon.

152


4.1. Rangos y un método para calcularlos Se llama rango de un dato al número de orden (creciente) que ocupa en la muestra. Para aplicar la transformación rango disponemos los datos en orden creciente y les asignamos los rangos 1, 2, 3, ... desde el mínimo hasta el máximo. Por ejemplo, si los valores muéstrales originales son 45, 89, 44, 74 y 103, al número 44 se le asigna el rango 1, al 45 el rango 2, al 74 el rango 3, al 89 el rango 4 y al 103 el rango 5. El proceso de asignar rangos se efectúa fácilmente sobre un gráfico tallo y hojas. Dejando algo de espacio entre tallos, el rango de cada valor muestral se escribe en la parte superior derecha de su hoja (de la misma forma que se escribe un exponente de una potencia). Cuando una muestra contiene un valor repetido, a estas observaciones ligadas se les asigna la media de los rangos que recibirían si fueran diferentes. Por ejemplo, a los dos 44 del conjunto de datos 44, 89, 44, 89 y 89 se les asigna el rango (1 + 2) / 2 = 1.5 (abreviado por 1' en el siguiente gráfico tallo y hojas), mientras que a los tres 89 se les asigna el rango (3+ 4 +5)73 = 4. Obsérvese que si el número de observaciones ligadas es impar, el rango asignado es el valor central de los rangos posibles, mientras que si el número de observaciones ligadas es par se les asigna la media de los dos rangos centrales. 4 5 6 7 8

4r4r

4 9 949

4

4.2. Una aplicación de la transformación rango para un problema de dos muestras Para efectuar un test t de dos muestras sobre los rangos, las observaciones originales se combinan en un solo grupo y se asignan los rangos a los datos combinados. Después se separan los rangos en los mismos dos grupos que ocupaban los datos originales. Por ejemplo, si la observación que recibe el rango 1 procede del grupo 2, entonces 1 será asignado al grupo de rangos 2, etc. En consecuencia, se formarán dos nuevos grupos que contendrán los rangos de los datos que formaban los grupos originales. Un método conveniente para calcular los rangos manualmente sin perder la pista de los grupos se presenta en el siguiente ejemplo que utiliza los datos del ejemplo 2.1. Ejemplo 4.1. Vamos a efectuar un test t de dos muestras sobre los rangos de los porcentajes de lluvia caída en los periodos de verano y no-verano. Los datos originales aparecen en el siguiente gráfico tallo y hojas:

153

Verano

No-verano O* 0. 1* 1. 2* 2. 3* 3. 4* 4. 5* HI

86,67 82 12,07 86 46 07 50 00 800,607

34 50, 83 05,11,18,43 50,61,82 38 63 00

667

La transformación rango puede efectuarse directamente sobre este gráfico tallo y hojas. Sin embargo, vamos a colocar las observaciones en la forma de un gráfico tallo y hojas en paralelo para ilustrar un método útil en problemas de k muestras. Se coloca cada muestra en una columna y se asignan los rangos fila a fila. Cuando se completa el proceso, los rangos ya están en el grupo (columna) apropiado y los estadísticos resumen de los rangos se pueden calcular directamente de los gráficos tallo y hojas. Tallo

Verano

O* 0.

No-verano 34'

3

5

67 , 86

502, 834 056, II 7 , 188, 439

1* 1.

8212'

50'°, 61", 8212'

2*

0714,1215

3816

2.

8618

6317

3*

4619

3.

4*

0721

4.

5022

5*

OO23

HI

60724, 80026

OO20

66725

154


Puede comprobarse que los estadísticos resumen de los rangos son (recuérdese que 12'=12.5, etc.):

n

X

S

Verano

12

16.875

7.29298

No-verano

14

10.6071

6.92315

El valor del estadístico t0 de dos muestras basado en los rangos es

donde S

El P-valor del contraste bilateral de la hipótesis de igualdad de las intensidades medias de las tormentas es P-valor = 2 • P(t24 ^ 2.25). En las tablas de la t de Student encontramos que 0.01 < P(t24 > 2.25) < 0.025, de modo que 0.02 < P-valor < 0.05 . Por tanto, a un nivel de significación del 5%, debe rechazarse la hipótesis de igualdad de las intensidades medias de las tormentas y concluimos que la intensidad media en verano es mayor que en no-verano. Si efectuamos un análisis exploratorio de los datos originales resulta claro el motivo de usar un contraste robusto. El diagrama esquemático de las muestras originales aparece en la figura 4.1 y el de los rangos en la figura 4.2. Después de la transformación rango vemos que el diagrama esquemático de los rangos sugiere mayor normalidad y mayor igualdad de dispersiones que el diagrama esquemático de los valores muéstrales originales.

Figura 4.1.

155

Figura 4.2.

Como ya se ha analizado en el ejemplo 2.1, la aplicación del test t de dos muestras a los datos originales conduce a la aceptación de la hipótesis nula de igualdad de las intensidades promedio al nivel 0.05. Vemos pues que el contraste clásico concluye que la diferencia en las medias muéstrales no es lo suficientemente grande para considerar que las distribuciones son diferentes. Sin embargo, las muestras presentan información suficiente para detectar la diferencia en las distribuciones, pero esta diferencia debe medirse con sumo cuidado. Esto es, debemos utilizar un procedimiento como el basado en la transformación rango para que se cumplan las hipótesis subyacentes al test t. Las formas específicas de las hipótesis para rangos se han omitido por la siguiente razón. Hasta ahora, todas las hipótesis se referían a las medias poblacionales de los datos originales o, implícitamente, a las medias poblacionales de las variables transformadas. Sin embargo, esta convención no puede aplicarse a los rangos. No existe ninguna variable definida para todos los elementos de la población que al muestrear ofrezca los rangos observados en la muestra. El rango asignado a un elemento específico depende de los tamaños muéstrales y del valor original del elemento comparado con aquellos elementos muéstrales que le acompañan. Por tanto, no existe una media poblacional de rangos. No obstante, como estamos acostumbrados a considerar los cambios de distribuciones en términos de medias, conviene crear ficticiamente una media poblacional de rangos JUR para describir las hipótesis sobre rangos. De esta forma, la hipótesis de igualdad de las intensidades medias de las tormentas puede escribirse como HO:JURV = fJRNV. Esta convención es útil pero no debe incluirse en los informes. Puede concluirse que el resultado encontrado en el análisis es válido para el promedio de las poblaciones involucradas, sin especificar qué se entiende por «promedio». Esta estrategia proporcionará una imagen intuitiva de la naturaleza de las diferencias de las distribuciones.

156

Métodos robustos y no paratnétricos

4.3. Un ejemplo de k muestras En el siguiente ejemplo aplicaremos el análisis de rangos a los datos de tiempos de montaje del ejemplo 2.2. Ejemplo 4.2. La forma del gráfico tallo y hojas para realizar la transformación rango de los datos de tiempos de montaje es: Factoría A

Tallo

Factoría B 3

7*

Factoría C 42

1

7.

8394'

94'

8*

O6 I 9 3'4 416' 416'

O6' I 9 I 9 212 212

212 416' 416'

8. 9*

519'

622<

5,9' 622' 622' 622<

9.

27

gzs

326

5

Los estadísticos resumen para los rangos son: Factoría

n

X

S

A

9

12.944

7.85988

B

8

9.563

6.41671

C

10

18.500

7.22649

Aplicando el procedimiento de la diferencia significativa mínima de Fisher a los rangos obtenemos en la primera etapa que la tabla del análisis de la varianza es: Fuente

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

2

370.059

185.03

3.55

0.0448

Dentro

24

1252.44

52.185

Total

26

1622.5

Como P-valor < 0.05, se rechaza HQ (al 5% de significación). Procede entonces realizar la segunda fase del procedimiento FSD. La diferencia significativa mínima es

157

y sus valores máximo y mínimo son, respectivamente,

Las medias muéstrales de rangos son de forma

que

Luego los grupos LSD son: Vemos que existe solapamiento entre grupos. El motivo puede ser que en este caso la transformación rango no funciona demasiado bien ya que no logra normalizar las muestras (el diagrama esquemático de los rangos, mostrado en la figura 4.3, indica que los gráficos caja de los rangos siguen conteniendo atípicos). En este caso el método basado en la transformación rango es peor que el basado en la media recortada.

Figura 4.3. 4.4. Una aplicación a diferencias apareadas Cuando en un problema de muestras apareadas el análisis exploratorio de las diferencias detecta atípicos, puede aplicarse un procedimiento basado en los rangos para contrastar la igualdad de las distribuciones. Primero los datos apareados se combinan en un solo grupo y se les aplica la transformación rango. Después se forma un conjunto de rangos apareados reemplazando cada observación de la configuración apareada original por su rango. Por último se efectúa el análisis de diferencias apareadas sobre los rangos apareados. Vamos a aplicar este método a los datos de consumo de agua del ejemplo 2.3. Ejemplo 4.3. La transformación rango de los datos del ejemplo 2.3, en unidades por 100, se efectúa mediante la siguiente forma en paralelo del gráfico tallo y hojas. Observe-

158


mos que este proceso destruye el apareamiento, por lo que antes de continuar se debe volver a establecer el apareamiento original. Tallo

Julio

Agosto

O*

00'

OO1', 043

Ot

204,286', 286'

245 448

Of Os

609', 609', 76"

0.

8812

OO14, 12'6, 1216, 1216

1* ít

3218

If _

1.

9213

___

9220

2* 2t 2f

56^'

5621'

En la tabla siguiente aparecen los rangos reapareados y sus diferencias para cada familia. Por ejemplo, los rangos para la familia 1, que tenía un consumo en Julio de 0.60 y en Agosto de 1.00, son 9.5 y 14, respectivamente, y su diferencia D, es -4.5.

Familia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Julio Agosto 9 5 1 4 21.5 16 9 Í 5 1 6 6 Í 5 2 L 5 18 16 11 ~ 8 6^5 5 12 13 20 19 L5 3 4 1.5

Diferencias (£)•) ^45 5.5 ^5 -15.0 2Ü 3.0 L5 ^LO 1.0 ^L5 2.5

159 Los datos resumen para las diferencias de rangos (D¡) son « = 11, D = -1.182 y SD = 5.728. Por tanto, el valor del estadístico í0 de diferencias apareadas es . El P-valor bilateral para 11-1 = 10 grados de libertad es mayor del 50%. En consecuencia, concluimos como en el ejemplo 2.3 que no existe evidencia de una diferencia entre las medias de consumo de agua de los dos meses. 4.5. Un método de diferencias apareadas basado en los rangos con signo Una forma más tradicional de tratar los datos apareados es formar los rangos con signo de las diferencias. Un test t aplicado a los rangos signados es equivalente (aproximadamente) al test de rango con signo de Wilcoxon, que es un procedimiento no paramétrico clásico. Para formar los rangos signados partimos directamente de las diferencias muéstrales originales D = X\-X2- Se calculan los rangos de los valores absolutos de estas diferencias. Después se aplican a los rangos los signos de las diferencias originales. Así, por ejemplo, si D = 125-13.4 = -0.9 y el valor absoluto 0.9 tiene rango 3 entre los valores absolutos de las diferencias muéstrales, entonces la diferencia original se sustituye por -3 en la muestra de rangos signados. Finalmente se aplica a la muestra de rangos signados un test t estándar para contrastar H0:/j. - O. El método se ilustra en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4.4. Vamos a aplicar el método del rango signado a los datos de consumo de agua del ejemplo 2.3. Las diferencias muéstrales originales, sus valores absolutos y los rangos signados son: Diferencias muéstrales -0.40

Valor absoluto de las diferencias 0.40

Rango del valor absoluto de las dif. 8

Rangos signados -8

1.44

1.44

10

10

-0.52

0.52

9

-9

-2.28

2.28

11

-11

0.20

0.20

5.5

5.5

0.32

0.32

7

7

004

0.04

2

2

-0.04

0.04

2

-2

0.16

0.16

4

4

-0.04

0.04

2

-2

0.20

0.20

5.5

5.5

160


Observemos que este método y el método del apartado anterior son diferentes. En el apartado anterior se formaron los rangos de los datos originales y el conjunto de datos analizado era el de las diferencias de los rangos. Aquí, primero se calculan las diferencias de los datos originales y después se transforman las diferencias en "rangos signados". Compárese la última columna de la tabla anterior con la última columna de la tabla del ejemplo 4.3. Estos son los valores a los que se les aplica el test t en los dos métodos. Los datos resumen de los rangos signados son « = 11, ^=0.1818 y SR= 7.093. El valor del estadístico t es /

. El P-valor para el

test bilateral con 11-1 = 10 grados de libertad es mayor del 50%. La conclusión es la misma que la obtenida en el ejemplo 4.3.

161

Ejercicios

EJERCICIOS

1. En dos hospitales de una misma provincia se está probando la eficacia de un nuevo fármaco que según indica el fabricante baja la fiebre, en promedio, más de un grado centígrado media hora después de haber sido administrado a un paciente adulto. El medicamento ha de ser administrado cuando la temperatura es como mínimo de 38°C. Los dos hospitales prueban el nuevo fármaco en sus pacientes adultos obteniendo los siguientes resultados: Hospital General Paciente

Cuando se administra el fármaco

Media hora después

1 2 3 4 5 6 7 8

39.5 38.8 39.9 38.6 38.2 38.8 39.5 38.2

37.9 37.0 37.1 37.3 36.9 37.7 37.7 38.0

Hospital Comarcal Paciente

Cuando se administra el fármaco

Media hora después

1 2 3 4 5 6 7 8 9

38.4 38.7 38.6 38.5 38.3 38.4 38.9 39.2 38.6

37.0 37.2 36.9 36.9 37.0 37.2 38.0 37.1 37.2

a) Usando sólo los datos del hospital general y suponiendo que la variable diferencia de temperatura es normal, contrastar si la afirmación del fabricante es verdadera a un nivel de significación del 5%. b) Analizar exploratoriamente si se cumplen los supuestos clásicos en los dos hospitales. Contrastar, utilizando procedimientos robustos adecuados, si el promedio de bajada de la temperatura es el mismo en ambos hospitales.

162


Solución a) Las muestras del hospital general son muestras apareadas. Denotemos por D la variable (temperatura «antes»)-(temperatura «después»). Se quiere contrastar //0://D < 1 contra H{\nD>\. La muestra de las diferencias es: Paciente

1

2

3

4

5

6

7

8

D.

1.6

1.8

2.8

1.3

1.3

1.1

1.8

0.2

Los estadísticos resumen son: D = 1.4875 y SD = 0.7376 . El estadístico de prueba es /0 = zarse HQ

= 1.87. Para un nivel de significación del 5%, debe recha-

si el estadístico de prueba pertenece a la región crítica

Como el valor muestral del estadístico de prueba no pertenece a C, se acepta H0 . b) Usaremos el subíndice 1 para el hospital general y el subíndice 2 para el hospital comarcal. En consecuencia, D{ = (temperatura «antes»)-(temperatura «después») en el hospital general y D2 = (Temperatura «antes»)-(Temperatura «después») en el hospital comarcal. Se quiere contrastar HQ\/J.D =/J.D contra //¡:// , de forma equivalente, HQ:JUD¡ -/¿Dj =0 contra Las muestras de las diferencias son: H. General: 0.2, 1.1, 1.3, 1.3, 1.6, 1.8, 1.8, 2.8. H. Comarcal: 0.9, 1.2, 1.3, 1.4, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 2.1. El diagrama esquemático para estas muestras aparece en la figura 1.1.

Figura 1.1.

La aparición de atípicos con una frecuencia mayor de la que cabe esperar en distribuciones normales sugiere que las distribuciones poblacionales de las diferencias no son normales. Además, la desigualdad de los recorridos intercuartílicos

163

Ejercicios

muéstrales sugiere que las distribuciones poblacionales de las diferencias no tienen la misma dispersión. Parece adecuado aplicar un contraste basado en las medias recortadas con la corrección de Satterthwaite, o bien un contraste basado en la transformación rango. Consideremos primero el contraste basado en las medias recortadas. Comprobamos que una fracción de recorte del 5% es suficiente para eliminar los atípicos de las dos muestras. En efecto, para el hospital general el 5% de 8 es igual a 0.4, que redondeado por exceso es 1. Para el hospital comarcal el 5% de 9 es igual a 0.45, que redondeado por exceso es 1. Las muestras recortadas y las muestras winsorizadas para el hospital general y el hospital comarcal son las siguientes: Hospital General Muestra recortada Muestra winsorizada

1.1

1.1

1.3

1.3

1.6

1.8

1.8

1.1

1.3

1.3

1.6

1.8

1.8

1.8

Hospital Comarcal Muestra recortada Muestra winsorizada

1.2

1.2

1.3

1.4

1.4

1.5

1.6

1.7

1.2

1.3

1.4

1.4

1.5

1.6

1.7

1.7

Los estadísticos recortados de las dos muestras aparecen en la siguiente tabla: Hospital

XT

General

1.483

Comarcal

1.443

sw

ST

0.3105

0.3674

0.194

0.2244

nT 6 7

El estadístico de prueba (usando la corrección de Satterthwaite) es Suponiendo //o verdadera, /0 sigue aproximadamente una distribución t de Student con

gra-

dos de libertad. Usando los estadísticos recortados obtenemos t El P-valor muestral es 2- P(t% > 0.232), que es mayor que los niveles de significación habituales. Por tanto, se acepta //0 y concluimos que las medias de descenso de temperatura en los dos hospitales son iguales. Realicemos a continuación el contraste basado en la transformación rango. La siguiente tabla presenta la asignación de rangos a los valores muéstrales:

164

Métodos robustos y no paramétrícos

H. general

0.21

l.l 3

1.36

1.36

1.611-5

1.8R5 1.814-5 2.817

H. comarcal

0.92

1.24

1.36

1.48-5

1.48-5

1.510

1.6"-5

1.713

2.116

Los estadísticos resumen para las muestras de rangos son:

El

n

~X_

S

H. general

8

9.1875

5.9578

H. comarcal

9

8.83

4.4088

estadístico

de

prueba

es

con

Sustituyendo en estas fórmulas los estadísticos resumen

de los

rangos

obtenemos

o

El P-valor muestral es 2 • P(t\ * > 0.1417) que es muy grande. Luego de nuevo aceptamos HQ , es decir, concluimos que los dos hospitales registran el mismo descenso medio de temperatura. El diagrama esquemático para rangos se muestra en la figura 1.2. Este gráfico sugiere que no existen diferencias en los centros de las distribuciones de las diferencias, lo que está de acuerdo con la conclusión obtenida en el contraste basado en la transformación rango.

Figura 1.2.

Obsérvese que la transformación rango ha normalizado las muestras (no aparecen atípicos en los gráficos caja) aunque las dispersiones son algo diferentes. 2. Se quiere comparar la resistencia a la oxidación de 3 diferentes tipos de pintura industrial. Se aplicó la pintura en 15 trozos de 10 cm2 y se anotó en cada caso el

165

Ejercicios

tiempo hasta la oxidación, en horas, obteniéndose para los diferentes tipos de pintura los resultados siguientes: Tipo A: 484,841,484,676,900,961; Tipo B: 64,256,625,100,64; Tipo C: 576,1089,2116,784;

M = 758.5 M = 100.0 M = 936.5

/£?/? = 416.0 IQR = 192.0 IQR = 922.5

La tabla ANOVA para estos datos es: Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

1910375.1

2

955187.56

6.207

0.0141

Dentro

1846716.9

12

153893.07

Total

3757092.0

14

Los gráficos caja múltiples para los datos originales y para los datos transformados mediante rangos aparecen en las figuras 2.1 y 2.2, respectivamente.

Figura 2.1.

Figura 2.2.

166


Consideramos un nivel de significación del 1%. a) Suponiendo válidos los supuestos clásicos, ¿se pueden considerar iguales las medias de tiempo en los distintos tipos de pinturas? A la luz de los gráficos caja, ¿qué supuestos clásicos parecen violarse? ¿Es adecuado aplicar un método basado en la transformación rango? Proponer razonadamente un método de contraste alternativo al de la transformación rango. b) Aplicar el método escogido en el apartado anterior y poner de manifiesto (con métodos exploratorios) su validez. Realizar el procedimiento FSD. Solución a) Las hipótesis del contraste son H():/LIA = ¿UB = fj.c y //,:noH Q . En la tabla ANO VA se observa que P-valor > 0.01. En consecuencia, el contraste clásico no rechaza H() y, por tanto, considera iguales las medias poblacionales. El diagrama esquemático de las observaciones originales sugiere que se incumplen los supuestos de normalidad e igualdad de dispersiones. Aunque es adecuado aplicar un método basado en la transformación rango, no lo aplicaremos ya que, como vemos en el diagrama esquemático de los rangos, esta transformación no consigue igualar las dispersiones ni tampoco normaliza las muestras (sigue existiendo un atípico después de la transformación rango). Puesto que se observa en las muestras originales un aumento de la dispersión con la mediana, parece más adecuado el método de la transformación potencia. b) Los estadísticos resumen de los valores originales aparecen en la tabla siguiente: Tipo

M

IQR

ln(M)

\n(IQR)

A

758.5

416.0

6.631

6.031

B

100.0

192.0

4.605

5.257

C

936.5

922.5

6.842

6.827

La pendiente de la recta de regresión minimocuadrática de In(IQR) sobre ln( M) es 6 = 0.57. Por tanto, el parámetro de la transformación de potencia es q = 1 - b = 0.43 = 1 / 2 . En consecuencia, la transformación potencia que usamos convierte los valores originales en sus raíces cuadradas. Los datos transformados son: A: 22, 29, 22, 26, 30, 31 B: 8, 16, 25, 10, 8 C: 24, 33, 46, 28 El procedimiento de la diferencia significativa mínima de Fisher aplicado a los datos transformados, en su primera etapa, ofrece la siguiente tabla ANO VA: Fuente

Suma de Cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado Medio

Razón F

P-valor

Entre

910.45

2

455.225

9.66

0.0032

Dentro

565.283

12

47.1069

Total

1475.73

14

\ 67

Ejercicios

Como vemos, el P-valor es muy pequeño y conduce al rechazo de H0, lo que concuerda con el diagrama esquemático de los valores transformados (Fig. 2.3). Como se rechaza H0 , procede realizar la segunda etapa del procedimiento FSD para agrupar las medias. Los valores máximo y mínimo de la diferencia significativa mínima son, respectivamente,

_ Las medias muéstrales de los datos transformados son Jf = 32.75. Es fácil comprobar que la única diferencia menor que LSDmin es Además, LSDAE = LSDmm
Figura 2.3.

3. En las cuatro panaderías que tiene un pueblo pequeño se quiere comprobar si cierta marca de pan integral se vende por igual. Para ello hemos tomado muestras del número diario de paquetes vendidos de dicha marca, obteniendo los siguientes resultados: Panadería A: 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 18 Panadería B: 9, 11, 13, 13, 13, 15, 17 Panadería C: 8, 10, 12, 12, 12, 16, 18, 20, 20 Panadería D: 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14 Los estadísticos resumen de las muestras son los siguientes: Panaderías

X

S

Q}

M

Q3

IQR

A

12.6

2.6

10.5

12.5

13.5

3.0

B

13.0

2.6

12.0

13.0

14.0

2.0

C

14.2

4.4

12.0

12.0

18.0

6.0

D

12.3

1.2

11.0

12.0

13.0

2.0

168

Métodos robustos y no paramétñcos

a) Admitiendo que se cumplen los supuestos clásicos, analizar, para un nivel de significación del 5%, si se vende el mismo número medio de paquetes de pan integral en las cuatro panaderías. b) Resolver de nuevo el apartado a) utilizando métodos robustos. Solución a) La tabla del análisis de la varianza es: Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

19.44

3

6.48001

0.76

0.52

Dentro

255.531

30

8.51769

Total

274.971

33

Como el P-valor es mucho mayor que el 5%, el contraste clásico acepta //0, es decir, las cuatro panaderías venden el mismo número medio de paquetes de pan integral. b) La figura 3.1 presenta el diagrama esquemático de las muestras. Observamos que no hay atípicos pero sí que existe desigualdad de dispersiones. Sin embargo, no parece adecuado aplicar una transformación potencia ya que la dispersión no es creciente con la mediana. Parece, pues, que el único método aplicable es la transformación rango.

Figura 3.1.

169

Ejercicios

En la siguiente tabla se muestra la asignación de rangos a los valores muéstrales: 104

II8

12 14

13 2I

1321

8

13

2I

13

21

13

21

15

28

12

l4

12

l4

12

l4

16

29

A

104

B

9

2

C

8

1

10

D

II 8

II8

II

4

II8

12 l4

12 l4

12 14

14 26 17

18

I g 3..5

30

315

13 2I

20 335

20 335

13 21

14 26

14 26

La tabla ANO VA para los rangos es la siguiente: Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

78.7138

3

26.2379

0.25

0.8

Dentro

3122.79

30

104.093

Total

3201.5

33

Ahora el P-valor es más grande que en el contraste clásico. El contraste basado en la transformación rango acepta también la hipótesis nula de igualdad de las medias del número de paquetes vendidos en las cuatro panaderías. 4. Se desea saber si en tres zonas A, B y C de una ciudad los consumos medios de agua, en metros cúbicos, durante un mes son iguales. Para ello se eligen al azar nueve viviendas en cada una de las tres zonas y se mide el consumo de agua en m3 durante dicho periodo. Los resultados obtenidos aparecen en los siguientes gráficos tallo y hojas en paralelo: A 1 2 3 4 5 6 7 HI

568 O 1 28

B 1 2 3 4 5 6 7

69 1689 9 0 2

c 1 2 3 4 5 6 7

35567 0148

100

a) Analizar si se cumplen los supuestos clásicos para contrastar la igualdad de los consumos promedio. ¿Qué métodos robustos parecen adecuados en este caso? b) Efectuar un análisis de la varianza usando los datos reexpresados mediante rangos. Si procede, aplicar la segunda etapa del procedimiento FSD para agrupar las zonas según el consumo medio de agua.

170


Solución a) Los estadísticos resumen de cada muestra aparecen en la siguiente tabla: Zona

n

X

M

S

IQR

A

9

48.56

41.00

27.62

35.50

B

9

33.33

28.00

17.90

24.50

C

9

18.78

17.00

4.89

7.50

La figura 4.1 muestra el diagrama esquemático. Este diagrama sugiere que no se cumple el supuesto de normalidad por la existencia de valores atípicos en mayor proporción de la que cabe esperar en muestras normales. Tampoco parece cumplirse el supuesto de igualdad de dispersiones poblacionales dado que los recorridos intercuartílicos muéstrales son bastante diferentes. El diagrama esquemático sugiere que la dispersión crece con la mediana y que las distribuciones son asimétricas por la derecha. Los métodos de contraste que parecen más adecuados son el método de la transformación potencia y el método basado en la transformación rango.

Figura 4.1.

b) El siguiente esquema ilustra la asignación de rangos a los valores de la muestra combinada.

A

| B

| c

6 4.5

5 '2

6

13.5

Q 19 _

1

g 16

19.5

9 20

21

2 23

g 24

7 25

no27

Q22

2 26

97 6

13.5

31

^^7¡

Q8

52.5

I95

5 2.5

4"

6 4.5

8 16

?6

171

Ejercicios

La tabla ANOVA de los rangos es la siguiente: Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

811.722

2

405.861

11.85

0.0003

Dentro

822.278

24

34.2616

1634.0

26

Total

Como el P-valor es menor que los niveles de significación usados habitualmente, se debe rechazar la hipótesis nula de igualdad de los consumos medios. La figura 4.2 presenta el diagrama esquemático de los rangos. Observamos que la transformación rango ha funcionado muy bien porque ha normalizado las muestras y además las dispersiones de los rangos de las tres zonas son similares.

Figura 4.2.

Como se han detectado diferencias significativas en los consumos medios, procede aplicar la segunda etapa del procedimiento FSD para agrupar las zonas. Tomando un nivel de significación a=0.05, la diferencia significativa mínima es

Los rangos cumplen que XA = 20.06 , XE = 15.17 y Xc = 6.78 . Como XB - XA = 4.89 < LSD y

Xc - XB = 8.39 > LSD, la agrupación obtenida es

{A, B} > ÍCJ • Como vemos, el método robusto sugiere que la media de consumo de la zona C es menor que la de las zonas A y B, y que las zonas A y B tienen el mismo consumo medio.


172

5. Se quiere comparar la resistencia media al rozamiento de dos tipos de neumático de moto. Para evitar que el tipo de moto influya en los resultados se montó en cada moto un neumático de cada tipo (no se considera significativa la diferencia entre la rueda delantera y la rueda trasera). Una vez terminada la prueba se midió el grosor del neumático para evaluar el desgaste. Las medidas de desgaste en milímetros para 10 motos fueron: Moto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tipo A

10

11

14

17

18

16

14

12

30

12

TipoB

12

13

16

13

17

10

10

11

11

11

a) ¿Qué supuestos son necesarios para la validez del contraste clásico? Efectuar el contraste clásico y acotar el P-valor. b) Realizar el análisis exploratorio de las muestras e indicar qué supuestos clásicos parecen no cumplirse. Efectuar el contraste utilizando los métodos robustos adecuados. Solución a) Denotemos por XA el desgaste del neumático tipo A y por XB el desgaste del neumático tipo B. Por la forma de realizar el experimento, XA y XB son variables dependientes. Se trata de muestras apareadas y, por tanto, el contraste que debemos plantear es HQ./HD - O contra H{\/J.D * O , siendo jUD = / / A - / / B la media de la variable diferencia D - XA - XE . Suponiendo que D sigue una distribución normal, el estadístico de prueba para muestras apareadas es t Suponiendo que HQ es verdadera, í0 sigue una distribución t de Student con n -1 grados de libertad. Las diferencias muéstrales son: Moto Diferencias

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-2

-2

-2

4

1

6

4

1

19

1

Se puede comprobar que D = 3 y SD = 6.27 . Entonces el valor muestral del estadístico de prueba es t0 =

= 1.51 y el P-valor muestral es

2- P(t9 >L5l). Se puede comprobar usando las tablas de la distribución t que 0.1 < P-valor < 0.2. Como el P-valor es mayor que los niveles de significación habituales, se acepta la hipótesis nula.

173

Ejercicios

b) La figura 5.1 presenta el gráfico caja de las diferencias muéstrales. La existencia de un atípico sugiere que la población de diferencias no sigue una distribución normal. Los métodos robustos que parecen más adecuados son un método basado en la media recortada de las diferencias y un procedimiento para muestras apareadas basado en rangos.

Figura 5.1.

En primer lugar aplicaremos el procedimiento de la media recortada. Una fracción de recorte del 5% es suficiente para eliminar el atípico observado en el gráfico caja. El tamaño de la muestra recortada es n r =10-l-l = 8.La muestra recortada es -2, -2, 1, 1, 1, 4, 4, 6 y XT= 1.625. Para calcular la desviación típica recortada necesitamos la muestra winsorizada, que es -2, -2, -2, 1, 1, 1, 4,4, 6, 6. La varianza winsorizada es s'L =10.01 y la desviación típica recortada resulta Para la muestra recortada, el valor del

estadístico

de

prueba

es

Como

el contraste basado en las medias recortadas acepta la igualdad de las medias del desgaste en los dos tipos de neumático. Aplicaremos por último el procedimiento basado en la transformación rango. El siguiente esquema muestra la asignación de rangos para la muestra apareada.

174


Tipo A

Tipo B

2

10

102

102

II55

II55

II55

129

II55

129

12 9

13 " 5 13 " 5 1413.5

14 13.5

16 155

16 l 5 5

17 l 7 5

17 l7-5

18 l9

302() La siguiente tabla presenta la muestra apareada de rangos y las diferencias de rangos: Moto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tipo A

10

11

14

17

18

16

14

12

30

12

TipoB

12

13

16

13

17

10

10

11

11

11

Rangos A

2

5.5

13.5 17.5

19

15.5

13.5

9

20

9

Rangos B

9

11.5

15.5

11.5

17.5

2

2

5.5

5.5

5.5

D (Dif. Rangos)

-7

-6

-2

6

1.5

13.5

11.5

3.5

14.5

3.5

Es fácil comprobar que los estadísticos resumen de las diferencias de rangos son D = 3.9 y SD = 7.63 . El estadístico de prueba para el contraste basado en rangos es Se puede comprobar que el P - valor es superior a los niveles de significación utilizados habitualmente. Por tanto, el contraste basado en la transformación rango acepta que las medias de desgaste de los dos tipos de neumático son iguales. 6. Para comparar la eficacia académica de dos Institutos, A y B, se diseñó un experimento que requería el uso de diez pares de alumnos gemelos idénticos que hubieran terminado recientemente la EGB. Los gemelos de cada pareja habían pertenecido a la misma clase en cada uno de los cursos. Se eligió un alumno al azar de cada pareja y se asignó al Instituto A, mientras que el otro se asignó al Instituto B. Al terminar COU se aplicó a cada gemelo del experimento una prueba de aprovechamiento. Las puntuaciones obtenidas se muestran en la siguiente tabla:

175

Ejercicios

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Instituto A

75

80

65

70

86

50

63

81

86

60

Instituto B

59

75

90

55

74

52

56

72

89

47

Pareja de gemelos

Si la eficacia académica de cada Instituto se mide mediante la puntuación media de la prueba de aprovechamiento: a) Contrastar mediante un contraste clásico la hipótesis de igualdad de eficacia académica para los dos Institutos a un nivel de significación del 5%. Analizar exploratoriamente si se cumplen los supuestos requeridos por el contraste clásico efectuado. Si no se cumplen, ¿qué métodos de contraste parecen adecuados? ¿Por qué? b) Aplicar los procedimientos adecuados y comparar los resultados de los contrastes efectuados. ¿Cuál es la conclusión? Solución a) Se trata de una muestra apareada ya que las puntuaciones de cada par de gemelos son variables aleatorias dependientes. Planteamos, por tanto, la muestra de las diferencias. Sea D = (puntuación Instituto A)-(puntuación Instituto B). Queremos contrastar la hipótesis de igualdad de las medias de las puntuaciones, es decir, la hipótesis ¿uD=0. Por tanto, planteamos el contraste de // 0 :// D =0 contra H\.fJiD =É O . Los resultados muéstrales de la variable diferencia son los siguientes: Pareja de gemelos

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Diferencia

16

5

-25

15

12

-2

7

9

-3

13

Se puede comprobar que D = 4.7 y SD = 12.32. El valor muestral del estadístico de prueba es r

como

con

traste clásico acepta la hipótesis nula. La figura 6.1 presenta el gráfico caja de las diferencias. Este gráfico sugiere que la variable diferencia no sigue una distribución normal ya que existe un atípico. El estudio exploratorio sugiere que los métodos adecuados son el de la media recortada y el de la transformación rango, dado que estos métodos corrigen el problema de no normalidad.

Figura 6.1.

\ 76


Primero consideraremos el método de contraste basado en la media recortada. Una fracción de recorte del 5% es suficiente para eliminar el atípico observado en el gráfico caja. El tamaño de la muestra recortada es nT = 10-1-1 = 8 . La muestra recortada es -3, -2, 5, 7, 9, 12, 13 y 15, y XT = 1. Para calcular la desviación típica recortada necesitamos la muestra winsorizada, que es -3, -3, -2, 5, 7, 9, 12, 13, 15 y 15. La varianza winsorizada es S^ =53.1 y la desviación típica recortada resulta . Para la muestra recortada, el valor del et

como

estadístico de prueba es

contraste basado en las medias recortadas rechaza la igualdad de puntuaciones medias en los dos institutos. En segundo lugar, realizaremos el contraste basado en la transformación rango. En la siguiente tabla se muestra la asignación de rangos en la muestra combinada de puntuaciones de los dos Institutos.

| A

| B

4

47'

596, 554, 523, 56 5

2

5

50

6

659, 638, 607

7

75 135 , 70 10

75 13 - 5 , 74 12 , 72"

8

80 15, 86 175 , 81 l6, 86 175

89 l9 9020

9

En la siguiente tabla se presentan la muestra apareada de rangos y las diferencias de rangos, denotando los rangos de A mediante RA y los de B mediante RE . A

I

*A

I

B

75

13.5

59

80 65 70 86

15 9 10 17.5

75 90 55 74

50 63 81 86 60

2 8 16 17.5 7 |

52 56 72 89 47

I

I

RE

6

13.5 20 4 12

3 5 11 19 1

I

D = RA-RB

7.5

1.5 -11 6 5.5 -1 3 5 -1.5 6

177

Ejercicios

Es fácil comprobar que D =2.1 y SD = 5.53. El valor del estadístico de prueba para la muestra de las diferencias de rangos es t

Como

/o < ¿0.025-9 = 2-26, el contraste basado en la transformación rango acepta la igualdad de puntuaciones medias en los dos Institutos. En este ejercicio observamos que los dos contrastes aplicados conducen a conclusiones diferentes. El contraste basado en las medias recortadas detecta diferencia entre las puntuaciones medias, mientras que el contraste basado en rangos concluye que las puntuaciones medias son iguales. 7. Se desea saber si un alimento enriquecido para animales tiene mayor efecto sobre el incremento de peso medio que el alimento habitual. Para ello se administró a un grupo de 10 animales el alimento habitual (H) y a otro grupo de 8 animales el alimento enriquecido (E). El aumento de peso de cada animal en los dos grupos se da a continuación: Habitual

8

57

64

66

71

78

91

94

Enriquecido

4

88

90

105

119

132

152

176

99

118

a) ¿Qué conclusión se obtiene con un contraste clásico de igualdad de medias? b) ¿Qué problemas presentan estos datos para la validez de un contraste clásico de igualdad de medias? ¿Qué procedimientos de contraste son adecuados? ¿Por qué? c) Contrastar la igualdad de medias de aumento de peso con los dos alimentos usando los procedimiento adecuados elegidos en el apartado b). Comentar y comparar los resultados obtenidos en este ejercicio. Solución a) Queremos contrastar la hipótesis nula HO:JLIH = ]UE contra H^fi^ < fJ,E, que es equivalente a contrastar / / 0 : / / H - / / E = 0 contra / / 1 : / / H - / / E < O . E 1 contraste clásico supone que los aumentos de peso en las dos poblaciones siguen distribuciones normales con dispersiones iguales. Para efectuar este contraste, los estadísticos resumen necesarios se dan en la siguiente tabla: Alimento

n

X

S

H

10

74.60

29.96

E

8

108.2

51.8

El estadístico de prueba es í

sien-

178


e1 p valor

muestral es /*(/16 < -1.729) > 0.05 . Luego, al 5% de significación, el contraste clásico acepta la igualdad de los aumentos de peso medio de los dos alimentos. b) El diagrama esquemático se muestra en la figura 7.1. La presencia de valores atípicos en las dos muestras sugiere que las distribuciones poblacionales no son normales. Los recorridos intercuartílicos de las dos muestras son bastante diferentes, lo que sugiere que las dispersiones poblacionales son diferentes. Los contrastes robustos adecuados son el basado en las medias recortadas con la corrección de Satterthwaite y el basado en la transformación rango.

Figura 7.1.

c) Aplicaremos en primer lugar el contraste basado en las medias recortadas. Es suficiente aplicar una fracción de recorte del 5% para eliminar todos los atípicos. Las muestras recortadas son: H

57

64

66

71

78

91

E

88

90

105

119

132

152

94

99

Las muestras winsorizadas son: H

57

57

64

66

71

78

91

94

E

88

88

90

105

119

132

152

152

99

Los estadísticos resumen son: Alimento

nT

XT

Sw

ST

H

8

77.5

16.92

19.2

E

6

114.3

27.31

32.3

99

\ 79

Ejercicios

El estadístico de prueba con la corrección de Satterthwaite viene dado por la expresión í

El valor que toma dicho esta-

siendo

dístico para los estadísticos recortados es ?

. Bajo la

hipótesis nula, el estadístico í0 sigue aproximadamente una distribución t de Student con v =

= 7.62 = 8 grados de libertad (siendo Como valores pequeños

del estadístico de prueba apoyan la hipótesis alternativa, el P-valor muestral es P(tv
82

573

644

665

71 6

787

9110

9411

Enriquecido

4!

888

909

10513

11915

13216

152" 17618

9912

11814

El diagrama esquemático de los rangos aparece en la figura 7.2. Observamos que no existen atípleos y que las dispersiones son similares. Los estadísticos resumen de los rangos son: Alimento H

n 10

X S 7.40 4.12

E

8

12.13 5.77

El estadístico de prueba para los rangos es

siendo

El P-valor muestral es

y cumple 0.025 < P - valor < 0.05. Luego, al 5% de significación, el contraste basado en rangos rechaza la hipótesis nula de igualdad de medias y acepta que el alimento enriquecido logra un aumento de peso medio mayor que el alimento habitual.

180

Métodos robustos y no pararnétricos

Figura 7.2.

Los dos contrastes robustos detectan que el alimento enriquecido tiene mayor efecto sobre el incremento medio de peso que el alimento habitual. Esta conclusión está de acuerdo con lo que sugiere el diagrama esquemático de los valores originales (figura 7.1). Sin embargo, el contraste clásico, dada su falta de sensibilidad (motivada por el incumplimiento de los supuestos en que se basa), no consigue encontrar diferencias significativas en las medias de las dos muestras. 8. En un estudio sobre la conservación del jamón se quiere estudiar el contenido de residuos de ácido sórbico. Para ello, se tomó una muestra de 8 jamones tratados con una solución de ácido sórbico y se midió el contenido de residuos un día después de ser tratados y a los 60 días. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: Jamón

1

2

3

4

5

6

7

8

Un día después

224

270

400

444

590

660

1400

680

60 días después

116

96

239

329

437

597

689

576

Hallar un intervalo de confianza de nivel 0.95 para la reducción media de los residuos de ácido sórbico en los 60 días basado en el procedimiento robusto de la media recortada con la fracción de recorte oportuna. Comparar dicho intervalo con el intervalo «clásico», es decir, el intervalo construido suponiendo que se cumple el supuesto de normalidad en la variable diferencia. Solución La muestra de las diferencias (reducciones en los 60 días) es: Jamón Diferencia (X)

1_ 108

2

3

4

5

6

7

8

174

161

115

153

63

711

104

181

Ejercicios

Se puede comprobar fácilmente que la muestra de diferencias contiene un atípico mayor (el valor 711). Esto sugiere que la variable diferencia no es normal. Una fracción de recorte del 5% es suficiente para eliminar dicho atípico. Los estadísticos resumen de las diferencias son: Fracción de recorte

n

XT

Sw

ST

0%

8

198.62

210.17

210.17

5%

6

135.83

31.78

37.61

El intervalo para la media es Usando los estadísticos recortados al 5% obtenemos que el intervalo robusto es mientras que el intervalo clásico es

La mayor precisión del intervalo robusto con respecto al intervalo clásico se pone de manifiesto al comprobar que la amplitud del intervalo clásico es más de cuatro veces mayor que la del intervalo robusto. 9. Un empresario dispone de tres fábricas A, B y C para embotellar aceite. La etiqueta de las botellas indica que el contenido medio de aceite es 1000 mi. El empresario recibió una queja de una organización de consumidores que afirma que el contenido medio de aceite de sus botellas es menor de 1000 mi. Para investigar la veracidad de esta afirmación, el empresario invitó a los representantes de la organización a tomar una muestra de botellas en cada una de las fábricas. Los contenidos de aceite, en mi., de las botellas de las muestras fueron los siguientes: A: 989 995 996 996 997 997 998 B: 989 992 994 995 996 998 999 1000 1001 C: 993 994 997 998 998 999 999 1003 a) Analizar exploratoriamente las muestras de cada fábrica y realizar para cada una de ellas el contraste más adecuado para analizar la veracidad de la afirmación de los consumidores (utilizando un nivel de significación «=0.05). b) Supongamos que deseamos contrastar si en las tres fábricas se está llenando en promedio la misma cantidad de aceite. Analizar exploratoriamente los datos para efectuar dicho contraste. Plantear y realizar el contraste mediante el procedimiento más adecuado usando un nivel de significación del 5%.

182


Solución a) El contraste a realizar en cada fábrica considera como hipótesis nula H0:ju> 1000 y como hipótesis alternativa //,://< 1000 , donde ¡J. es el contenido medio de aceite. Los estadísticos resumen de las tres muestras aparecen en la siguiente tabla: |

A

|

B ~ 9

C 8

\

n

7

X

995.429

996

997.625

M

996

996

998

S

2.992

3.937

3.114

Q{

995.5

994

995.5

Q3

997

999

999

IQR

1.5

5

3.5

El diagrama esquemático se presenta en la figura 9.1. El gráfico caja de la muestra de la fábrica A presenta un atípico (el valor 989) que sugiere no normalidad en los contenidos de aceite de la fábrica A. Sin embargo, los gráficos caja para las fábricas B y C sugieren normalidad. En consecuencia efectuaremos en la fábrica A un contraste basado en la media recortada y en las fábricas B y C contrastes clásicos. Para el contraste de la fábrica A aplicaremos una fracción de recorte del 5%. La muestra recortada es 995, 996, 996, 997 y 997, y la muestra winsorizada es 995, 995, 996, 996, 997, 997 y 997. Los estadísticos recortados son nT = 5, XT = 996.2 Y El

estadístico

de

prueba

es

te para la fábrica A concluye que la media (recortada) es menor de 1000 mi. Para la fabrica B el estadístico de prueba es t Como media es menor de 1000 mi. Para la fabrica

el contraste para la fábrica B concluye que la Observamos que

de modo que en la fábrica C también se acepta la hipótesis alternativa. Luego la información muestral apoya la veracidad de la afirmación de la organización de consumidores en las tres fábricas.

183

Ejercicios

Figura 9.1.

b) Para decidir si los contenidos medios de aceite en las tres fábricas son iguales, consideramos el contraste de HQ\HA= ¡JLB- nc contra //j:no// 0 . El diagrama esquemático (figura 9.1) sugiere desigualdad de las dispersiones poblacionales, además de la no normalidad ya indicada para el contenido de la fábrica A, de modo que el análisis de la varianza clásico no es adecuado. En su lugar efectuaremos un análisis de la varianza de los rangos de los datos originales. La tabla ANOVA para los rangos es la siguiente: Fuente

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrado medio

Razón F

P-valor

Entre

85.4638

2

42.7319

0.85

0.4404

Dentro

1052.04

21

50.097

Total

1137.5

23

Observamos que el estadístico de prueba FQ = 0.85 < F0 05.2 21 = 3.47 y, por tanto, el contraste basado en la transformación rango acepta la igualdad de las medias de los contenidos de aceite en las tres fábricas.


CAPITULO 6 BONDAD DE AJUSTE

1. INTRODUCCIÓN El objetivo de los denominados contrastes no paramétricos es estudiar si son aceptables las hipótesis hechas sobre modelos de distribuciones poblacionales. Por ejemplo, se ha visto que para contrastar la igualdad de las medias de dos poblaciones se daban por supuestas algunas condiciones tales como normalidad, independencia, aleatoriedad de las muestras,... Estas hipótesis se pueden ratificar mediante técnicas de contraste llamadas no paramétricas. En este capítulo presentaremos contrastes no paramétricos que pueden usarse para probar una hipótesis relativa a una única población a partir de la información proporcionada por una muestra. Estas pruebas son de bondad de ajuste o conformidad de una distribución empírica a una distribución teórica. En el caso típico, con una muestra tomada al azar, contrastamos la hipótesis de que la muestra procede de una población con una distribución especificada. En tal caso, el contraste puede contestar preguntas como las siguientes: ¿Hay una diferencia significativa de posición (tendencia central) entre la muestra y la población? ¿Hay una diferencia significativa entre las frecuencias observadas en la muestra y las frecuencias teóricas calculadas en base a alguna hipótesis? ¿Hay una diferencia significativa entre las proporciones observadas y las esperadas? ¿Es razonable creer que la muestra procede de una población de forma o aspecto especificado? ¿Es razonable creer que la muestra es una muestra al azar de alguna población conocida? Presentaremos dos pruebas de bondad de ajuste para contrastar la validez de un modelo: el test Ji-cuadrado y el test de Kolmogorov-Smirnov. El método general, muy similar al estudiado en los contrastes paramétricos, se basa en elegir un estadístico de prueba que mida las diferencias entre los valores obtenidos en una muestra y los valores esperados bajo la hipótesis del modelo teórico poblacional. Después el valor muestral del estadístico de prueba se comparará con un punto crítico para decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis relativa al modelo poblacional.

186

Bondad de ajuste

2. TEST JI-CUADRADO 2

En esta sección presentamos el test de significación más antiguo, el test X de Karl Pearson para la bondad de ajuste, que apareció publicado en 1900. A pesar de su edad, este test todavía es importante hoy y se utiliza mucho en la práctica. El test Ji-cuadrado es aplicable tanto para v.a. continuas como para v.a. discretas pero requiere un tamaño muestral mayor que 30. En primer lugar consideramos una hipótesis nula //0 que especifica completamente la distribución poblacional. El test Ji-cuadrado primero agrupa los valores de la variable en k clases o categorías, y después para cada categoría compara la frecuencia absoluta muestral con la frecuencia esperada calculada suponiendo verdadera la hipótesis nula. Para ilustrar el funcionamiento de este test, consideramos un conjunto de datos que se utilizó como prueba en un caso real de tribunal. Los datos constituyen una muestra aleatoria de 1336 individuos del jurado de un distrito judicial grande. Se puso en tela de juicio la justicia de la representación de los distintos grupos de edad de los jurados. La estrategia consistió en discutir la representatividad del conjunto de individuos de los que se extraen los jurados, comparando la distribución de la edad en el jurado con la distribución de edad en el distrito (que es conocida a través de los datos censales). Como el número de individuos del jurado era grande, se tomó una muestra aleatoria para efectuar el estudio. Los valores de la edad se clasificaron en grupos. La siguiente tabla presenta la frecuencia observada y la proporción censal para cada grupo de edad. Grupo de edad (años)

Frecuencia observada

Proporción censal

18-19 20-24 25-29 30-39 40-49 50-64 65 o más

23 96 134 293 297 380 113

0.061 0.150 0.135 0.217 0.153 0.182 0.102

Total

1336

1

Para formular el problema en términos de un contraste de hipótesis, la hipótesis nula de no discriminación de edad puede expresarse como la hipótesis de que las proporciones (poblacionales) del jurado, denotadas por p-[,...,p1, son iguales a las proporciones censales correspondientes, es decir, HQ:/?] =0.061,p2 =0.150,...,p7 =0.120. La hipótesis alternativa que adoptamos aquí es que existe alguna diferencia entre las proporciones verdaderas y las proporciones hipotéticas, es decir, que al menos una de las igualdades especificadas por H0 es falsa. En consecuencia, la hipótesis alternativa es H¡: no HQ . Así, el test de

187

estas hipótesis debe ser capaz de detectar cualquier desviación entre las proporciones poblacionales verdaderas y las proporciones hipotéticas. El test Ji-cuadrado se basa en la idea de medir la «distancia» entre los valores de los parámetros reales y los valores de los parámetros hipotéticos mediante una suma de cuadrados. Si las proporciones hipotéticas se representan simbólicamente por pf para / = !,...,&, donde k es el número de categorías de la variable en cuestión (en el ejemplo, k = 7), entonces una medida de la diferencia entre los parámetros verdaderos y los hipotéticos es , donde las w¡ son pesos positivos y cada diferencia aparece elevada al cuadrado para evitar que signos contrarios compensen la medida global, ya que el interés se centra en la cuantía de la desviación y no en su dirección o signo. Esta suma ponderada de cuadrados es cero si y sólo si todas las proporciones poblacionales coinciden con las proporciones hipotéticas correspondientes. Así, la hipótesis nula HQ corresponde al valor cero de la suma de cuadrados y la hipótesis alternativa H\ a cualquier valor positivo. Como las proporciones poblacionales p¡ son desconocidas, éstas deben estimarse mediante la muestra. Si O¡ representa la frecuencia (absoluta) observada para la z-ésima categoría de la variable y n es el tamaño muestral, entonces la estimación natural de la proporción poblacional p¡ es la proporción muestral p¡ = O¡ / n . Esta estimación debe sustituir a p¡ en la anterior suma de cuadrados para construir el estadístico de prueba del contraste de HQ contra //, . Como valores grandes de la suma de cuadrados favorecen //(, la regla apropiada consiste en rechazar H0 si la suma de cuadrados excede alguna constante. Para seleccionar la constante, necesitamos conocer la distribución del estadístico de prueba bajo HQ o bien disponer de una buena aproximación a dicha distribución. Por costumbre y conveniencia el estadístico de prueba se escribe en términos de las frecuencias absolutas en vez de las frecuencias relativas. Esto se consigue multiplicando los términos de la suma de cuadrados por el tamaño muestral n. Los números resultantes E¡ = np® se llaman frecuencias esperadas y representan la frecuencia absoluta que esperamos encontrar, en promedio, en la categoría z-ésima (en una muestra de tamaño ri) suponiendo que H0 es verdadera. Fijando w. = n2 /E. se obtiene el estadístico de prueba

• Este estadístico se llama

estadístico Ji-cuadrado, ya que bajo H0 su distribución muestral puede aproximarse muy bien mediante una distribución Ji-cuadrado de Pearson. Los grados de libertad de la distribución Ji-cuadrado son iguales al número de categorías menos 1, es decir, v = k -1. El motivo de restar una unidad al número de categorías para obtener los grados de libertad es que las variables O¡ (/ = !,...,£) no son independientes al estar relacionadas por la restricción lineal Ol+...+Ok - n y, por tanto, solamente k -1 de dichas variables son independientes. El test Ji-cuadrado consiste en rechazar H0 si %^ > c, donde c se determina de modo que la probabilidad aproximada del error de tipo I sea igual al nivel de significación prefijado a. En consecuencia, c = %2a.v. Para el ejemplo del jurado,

188

Bondad de ajuste

como k = 1, tenemos v = 6. Para un nivel de significación del 5%, el valor de c es 2'o.os; 6 = 12.59 . Por tanto, el test Ji-cuadrado rechaza //0 si %Q > 12.59 . Es fácil -j comprobar que el valor del estadístico Ji-cuadrado es %Q = 231.26. Como este valor es mayor que 12.59, debemos rechazar HQ . Es decir, al 5% de significación concluimos que las verdaderas proporciones del jurado difieren de las del distrito. También se puede calcular el P-valor asociado al estadístico de prueba mediante la fórmula P-valor = P(%v > %Q). El P-valor indica el mínimo nivel de significación para el que se tendría que rechazar HQ. La demostración matemática de la distribución asintótica de %Q está fuera del alcance de este libro. Sin embargo, para k = 2, la distribución asintótica resultante se sigue fácilmente del teorema central del límite. En efecto, si k = 2, entonces O2 = n-Ol y Pi+p2 = I- Por tanto

De los resultados de la sección 8 del capítulo 1 se deduce que, bajo H0, el estadistico

madamente una distribución

normal estándar para n grande. Por tanto, bajo // 0 , %Q es aproximadamente una variable aleatoria Ji-cuadrado con un grado de libertad. Varios investigadores han sugerido reglas para garantizar que la distribución Ji-cuadrado aproxime bien la distribución del estadístico %Q bajo //0 . Una de estas reglas es que todas las frecuencias esperadas de las categorías deben ser mayores o iguales que 1. Nosotros emplearemos una regla más estricta (usada con frecuencia) que exige que todas las categorías tengan frecuencias esperadas mayores o iguales que 5. En caso de que la muestra no cumpla esta regla, para que la aproximación sea buena es necesario recurrir a la estrategia de combinar (agrupar) categorías, lo que al reducir el número de categorías implica una reducción del número de grados de libertad. En algunas aplicaciones la hipótesis nula HQ no especifica completamente la distribución y para determinar las frecuencias teóricas pf se requiere estimar algunos parámetros desconocidos a partir de la muestra. Si en estos casos se usa el método de estimación de la máxima verosimilitud, entonces se puede seguir utilizando el estadístico Ji-cuadrado pero hay que tener presente que cada parámetro estima-

189

do reduce un grado de libertad. Por tanto, v = k - r — 1, donde r es el número de parámetros estimados usando la información muestral. 3. TEST DE KOLMOGOROV-SMIRNOV El contraste de Kolmogorov-Smirnov es un test de bondad de ajuste cuya hipótesis nula especifica completamente la función de distribución teórica. Sin embargo, a diferencia del test Ji-cuadrado, el test de Kolmogorov-Smirnov compara la función de distribución teórica con la distribución de frecuencias acumuladas observada, sin necesitar agrupar los valores de la variable en categorías. El test de KolmogorovSmirnov es válido para v.a. continuas y es más conveniente que el test Ji-cuadrado pues no requiere ninguna elección arbitraria de clases o categorías en las que agrupar los valores de la variable. Además, tiene la ventaja de que se puede aplicar en muestras pequeñas. Para facilitar la descripción del test de Kolmogorov-Smirnov empezamos recordando algunas propiedades de la función de distribución empírica, función que describe el comportamiento de la distribución de frecuencias acumuladas muéstrales. La función de distribución empírica de una m.a.s. X¡,...,Xn se definió (sección 4, capitulo 2) como Fn(x)N =

número de X.menores o iguales que x . La función n

F W (JC) definida de esta manera se puede considerar como la función de distribución de una distribución discreta que asigna probabilidad 1 / n a cada observación muestral. Se probó que la proporción Fn(x) de observaciones de la muestra que son menores o iguales que x es un estimador consistente para F(x), Vx E R, donde F(x) denota la función de distribución poblacional. Esta propiedad expresa el hecho de que en cada punto x la función de distribución empírica Fn(x) converge en probabilidad a la verdadera función de distribución F(x) de la distribución de donde se seleccionó la muestra aleatoria. Intuitivamente, una versión suavizada de Fn(x) en la que se eliminen los saltos proporcionará una estimador razonable de F ( x ) . Supongamos que deseamos contrastar la hipótesis de que la muestra procede de una población de tipo continuo con función de distribución F0(x) frente a la alternativa general de que la verdadera función de distribución no es F 0 ( x ) . Bajo H0 , se espera que para cualquier valor de x, Fn(x) aproxime bien a FQ(x), es decir, las diferencias entre Fn(x) y F 0 ( x ) , para una muestra suficientemente grande, serán pequeñas. La prueba de Kolmogorov-Smirnov considera la mayor de estas diferencias entre Fn(x} y F O (JC) como estadístico de prueba. Específicamente, el estadístico de Kolmogorov-Smirnov es La distribución muestral de Dn bajo HQ es conocida e independiente de la distribución F0(x) que provisionalmente se ha atribuido a la población. Esto se debe a que por el teorema de la transformación integral si la v.a X es continua entonces Y=F(X) siempre tiene una distribución £7(0,1), con lo que

190

Bondad de ajuste

sup

sup

tiene la misma distribución de pro-

babilidad cualquiera que sea F Además, como consecuencia de la consistencia de la función de distribución empírica Fn(x) para la función de distribución teórica F(x), bajo HQ el estadístico Dn converge en probabilidad a 0. Esto es, el valor de Dn tenderá a ser pequeño si la hipótesis nula HQ es cierta y tenderá a ser grande si la verdadera función de distribución es distinta de F0(x). Por tanto, un procedimiento de contraste razonable para verificar la hipótesis nula de que la muestra procede de la distribución continua F0(x) al nivel de significación a consiste en utilizar la región crítica C = [Dn > c}, donde c es una constante apropiada tal que P(Dn >c/HQ) = a.Siel valor muestral del estadístico Dn pertenece a la región crítica C, se rechaza la hipótesis nula. Los valores críticos c para diferentes niveles de significación y distintos tamaños muéstrales se recogen en la tabla 3.1. Para aplicar el test de Kolmogorov-Smirnov en la práctica se siguen las siguientes etapas: 1) Se ordenan los valores de la muestra en orden creciente, obteniéndose 2) Se calcula la función de distribución empírica de la siguiente forma:

3) Se calcula el valor del estadístico

Para calcular Dn, se calcula para cada valor muestral

Entonces, D

4) Fijado el nivel de significación a, se busca en la tabla 3.1 el valor c para que P(Dn>c/HQ) = a. Si Dn >c, se rechaza H0 En la

figura 3.1 se ilustran gráficamente para un ejemplo las distancias . La mayor de estas dos distancias se denota median-

19]_ te D W (JC (/) ) en la descripción que hemos realizado de las etapas del test de Kolmogorov-Smirnov. El estadístico Dn se define como la mayor de las discrepancias Dn(x(¡}),i=l,...,n. Tabla 3.1. Puntos críticos del test de Kolmogorov-Smirnov Tamaño muestral n

Nivel de significación, a

0.20

|

0.15

|

0.10

|

0.05

|

0.01

1

0.900

0.925

0.950

0.975

0.995

2

0.684

0.726

0.776

0.842

0.929

3

0.565

0.597

0.642

0.708

0.828

4

0.494

0.525

0.564

0.624

0.733

5

0.446

0.474

0.510

0.565

0.669

6

0.410

0.436

0.470

0.521

0.618

7

0.381

0.405

0.438

0.486

0.577

8

0.358

0.381

0.411

0.457

0.543

9

0.339

0.360

0.388

0.432

0.514

10

0.322

0.342

0.368

0.410

0.490

11

0.307

0.326

0.352

0.391

0.468

12

0.295

0.313

0.338

0.375

0.450

13

0.284

0.302

0.325

0.361

0.433

14

0.274

0.292

0.314

0.349

0.418

15

0.266

0.283

0.304

0.338

0404

16

0.258

0.274

0.295

0.328

0.392

17

0.250

0.266

0.286

0.318

0.381

18

0.244

0.259

0.278

0.309

0.371

19

0.237

0.252

0.272

0.301

0.363

20

0.231

0.246

0.264

0.294

0.356

25

0.21

0.22

0.24

0.27

0.32

30

0.19

0.20

0.22

0.24

0.29

35

0.18

0.19

0.21

0.23

0.27

>35

1.07/V»

1.14/Vñ

1.22/Vw

1.36/Vw

1.63/V«

192

Bondad de ajuste

Figura 3.1.

4. COMPARACIÓN DE LOS CONTRASTES Hemos presentado dos procedimientos de contraste de la bondad del ajuste para una muestra. En esta sección comparamos estos dos procedimientos señalando las ventajas y desventajas de cada contraste en términos de los criterios de validez y sensibilidad. Para probar una hipótesis acerca de si la muestra procede de una distribución poblacional específica podemos usar uno de los dos tests de bondad de ajuste: el test Ji-cuadrado o el test de Kolmogorov-Smirnov. El test Ji-cuadrado se recomienda para modelos discretos (variables categóricas). Para modelos continuos, el P-valor del contraste Ji-cuadrado depende mucho de la elección de las clases o categorías en las que se agrupe la variable. En distribuciones continuas se recomienda utilizar el test de Kolmogorov-Smirnov ya que no requiere ninguna elección arbitraria de intervalos de clase pues trata las observaciones muéstrales separadamente. De esta manera el test de Kolmogorov-Smirnov, a diferencia del test Ji-cuadrado, no pierde información por la agrupación en intervalos de clase. Con una variable continua, si la muestra es pequeña y, por consiguiente, las categorías adyacentes deben combinarse para que la distribución del estadístico Ji-cuadrado pueda aproximarse apropiadamente, el test Ji-cuadrado tiene menor potencia (menor sensibilidad) que el test de Kolmogorov-Smirnov. Además, para muestras muy pequeñas, la prueba Ji-cuadrado no será adecuada, mientras que la de Kolmogorov-Smirnov sí lo es. El test Ji-cuadrado deberá usarse cuando los datos estén en categorías discretas y cuando las frecuencias esperadas sean suficientemente grandes. Cada frecuencia

193

esperada deberá ser 5 o mayor para que sea adecuada la aproximación Ji-cuadrado del estadístico de prueba bajo la hipótesis nula. El test de Kolmogorov-Smirnov deberá usarse cuando se puede suponer que la variable bajo consideración tiene una distribución continua. Sin embargo, si se usa cuando la distribución poblacional es discreta, el error de la aseveración resultante de probabilidad se dirige a la «seguridad». Es decir, si se usa la tabla de valores críticos del estadístico de Kolmogorov-Smirnov, que supone que la función de distribución de la población es continua, para probar una hipótesis acerca de una variable discreta, la prueba es conservadora: al rechazar la hipótesis nula con esta prueba podemos confiar plenamente en esa decisión. La distribución del estadístico de Kolmogorov-Smirnov no se conoce en el caso de ciertos parámetros desconocidos de la población cuya estimación se hace a partir de la muestra. Sin embargo, se ha comprobado que si en tales casos se aplica el test de Kolmogorov-Smirnov, el uso de los puntos críticos de la tabla 3.1 conduce a una prueba conservadora. Esto es, si el valor del estadístico de Kolmogorov-Smirnov es mayor que el punto crítico de la tabla 3.1, confiadamente podemos rechazar la hipótesis nula y concluir con gran seguridad que hay una diferencia significativa entre la distribución muestral y la teórica específica. En los casos donde deban estimarse algunos parámetros a partir de la muestra, el test Ji-cuadrado puede modificarse fácilmente reduciendo el número de grados de libertad. Sin embargo, como hemos indicado, para el test de Kolmogorov-Smirnov no se conocen modificaciones semejantes.

194

Bondad de ajuste

EJERCICIOS 1. En un experimento biológico se subdividió un milímetro cuadrado de cultivo de levadura en 400 cuadrados de la misma área, y se registró el número de células de levadura en cada cuadrado de la subdivisión. La tabla siguiente resume los resultados obtenidos: Número de células Frecuencia observada

0 129

1

2

137

83

3 38

4 10

5 2

6 1

>6 0

Se sabe que si las células de levadura estuvieran distribuidas aleatoriamente sobre el área examinada, el número de células por cuadrado seguiría una distribución de Poisson. Contrastar al nivel de significación a = 0.05 si el número de células por cuadrado sigue una distribución de Poisson. Solución Sea X la variable «número de células por cuadrado». Queremos contrastar la hipótesis nula H0: «X tiene distribución de Poisson con parámetro A» contra la alternativa //,: no HQ. Puesto que la hipótesis nula no especifica totalmente la distribución de X (A es desconocido), debemos estimar A. El estimador máximo ve- — 1 -r-a rosímil de A es Á= X = — > x, -O/ , donde k es el número de categorías. La información necesaria para estimar A se recoge en la siguiente tabla:

*/

0

1 2

3 4 5 6

Oi 129 137 83 38 10 2 1

ti'Oi

0 137 166 114 40 10 6

Es fácil comprobar que Á = 1.2 . La regla de adecuación para la aproximación a la distribución X del estadístico de prueba XQ , que exige que todas las frecuencias esperadas sean mayores o iguales que 5, nos obliga a combinar las categorías en las que x¡ es 4, 5, 6 o más. La siguiente tabla muestra para la nueva agrupación los cálculos necesarios para realizar el contraste.

195

Ejercicios

x

i

o,

0

1 2 3 4, 5, 6 o más

129 137

P? 0.3012 0.3614

E, 120.48 144.56

83 38

0.2169 0.0867

13

0.0338

86.76 34.68 13.52

(Oi-Ei)2/E¡ 0.60250996 0.39536248 0.16295067 0.3178316 0.02

A partir de estos datos obtenemos el valor del estadístico Ji-cuadrado =1.49865. Los grados de libertad son v = A - r - l = 5 - l - l = 3 y el P-valor es P(%1 > 1.49865) e (0.5,0.75). Como el P-valor es mayor que el nivel de significación a=0.05, se debe aceptar la hipótesis nula, es decir, el número de células por cuadrado sigue una distribución de Poisson. 2. Un departamento de policía municipal registró el número de accidentes de tráfico en los que hubo daños personales durante 60 mañanas de días laborables. Los resultados fueron los siguientes: Número de accidentes Frecuencia observada

0 17

1 17

2 16

3 7

4 2

5 1

>5 0

Contrastar la hipótesis de que la variable número de accidentes de tráfico en los que hay daños personales durante un día laborable sigue una distribución de Poisson. Usar un nivel de significación ce=0.05. Solución Sea X la variable «número de accidentes de tráfico en los que hay daños personales en una mañana laborable». Queremos contrastar la hipótesis nula HQ: «X tiene distribución de Poisson con parámetro A» contra la hipótesis alternativa Hl:noH0. Puesto que la hipótesis nula no especifica totalmente la distribución de X (A es desconocido), debemos estimar A. El estimador maximoverosímil de A es }:

, siendo k el número de categorías. La información necesaria

para estimar A se recoge en la siguiente tabla:

196

Bondad de ajuste

x

i

o¡

xrOi

0

3 4 5

17 17 16 7 2 1

>5

0

0 17 32 21 8 5 0

1 2

Es fácil comprobar a partir de aquí que /I = 1.4. En este caso es conveniente combinar las categorías 3, 4, y 5 o más para garantizar que la aproximación Ji-cuadrado es buena. Los cálculos necesarios para realizar el contraste son los siguientes:

x

i

o,

P?

0

17 17 16 10

0.2466

14.796

(Oi-Etf/E, 0.32830603

0.3452

20.712

0.66526381

0.2417

14.502

0.15473755

0.1665

9.99

1.001E-05

1 2 3, 4, 5 o más

Ef

A partir de aquí obtenemos que

Los grados de

libertad s o n v = £ - r - l = 4-l-l = 2 y P-valor = P(¿ > 1.1483) e (0.5,0.75). Como el P-valor es mayor que el nivel de significación a=0.05, se acepta que X sigue una distribución de Poisson. 3. El mismo departamento del ejercicio anterior registró también el número de personas lesionadas en accidentes de tráfico ocurridos en un día laborable con los siguientes resultados: Número de heridos Frecuencia observada

0 17

1

2

8

9

3 8

4 10

5 4

6 2

7

>7

2

0

Decidir si los datos proceden de una distribución Poisson a un nivel de significación del 5%.

197

Ejercicios

Solución Sea X la variable «número de personas lesionadas en accidentes de tráfico en una mañana laborable». Queremos contrastar la hipótesis nula 7/0: «X tiene distribución de Poisson con parámetro A» contra la alternativa //,: no H0 . Puesto que bajo HQ A es desconocido, debemos estimarlo. El estimador maximoverosímil de A es . La información necesaria para estimar A se recose en la siguiente tabla:

x

i

O;

0

17

*,..0/ 0

1

8

8

2

9

18

3

8

24

4

10

40

5

4

20

6

2

12

7

2

14

El estimador maximoverosímil de A es En este caso, después de combinar las categorías 5, 6, y 7 o más con el objeto de obtener que las frecuencias esperadas de todas las clases sean al menos 5, obtenemos los siguientes resultados:

o,

P? 0.10365713

2 3 4

17 8 9 8 10

0.26628365 0.20119209 0.11400885

6.84053099

1 .37325796 1.45927917

>5

8

0.07990213

4.79412776

2.14379285

*/

0

1

0.23495616

E, 6.21942772

14.0973695 15.9770188 12.0715253

El valor observado del estadístico de prueba es

(Oi-Eif/E¡ 18.6867255 2.63722354 3.04680062

IOS

grados de libertad son v= k-r-\ = 6-1-1 = 4 y el P-valor es P(z1 ^ 29.347) < 0.005. Como el P-valor es menor que el nivel de significación a=0.05, se rechaza la distribución de Poisson a dicho nivel de significación del 5%.

198

Bondad de ajuste

4. De los 83 accidentes registrados en el ejercicio 2, 22 ocurrieron en lunes, 13 en martes, 11 en miércoles, 12 en jueves y 25 en viernes. ¿Son coherentes estos resultados con la hipótesis de que los accidentes tienen la misma probabilidad de ocurrir en cualquier día de la semana laboral al nivel de significación ce=0.05? Solución Queremos contrastar la hipótesis nula H0:pf =1/5 (/' = 1,2,3,4,5), siendo pf la probabilidad de que ocurra un accidente el día /-ésimo (/ = 1 para lunes, etc.), contra la hipótesis alternativa //j: no H0. Los cálculos necesarios se recogen en la siguiente tabla:

o, 22

rf 0.2

E, 16.6

(Oi-E^/E, 1.75662651

13

13

0.2

16.6

0.78072289

Miércoles

11

11

0.2

16.6

1.88915663

Jueves

12

12

0.2

16.6

1.2746988

Viernes

25

25

0.2

16.6

4.25060241

Lunes

*/ 22

Martes

Obtenemos para el estadístico Ji-cuadrado un valor Los

grados

de libertad son v=k-\-5-1-4 y el P-valor es Como el P-valor es menor que el nivel de significación cc=0.05, los datos no son coherentes con la hipótesis nula.

5. Un experimento consiste en lanzar 6 veces una moneda y anotar el número de caras. La tabla siguiente muestra las frecuencias observadas en 210 repeticiones del experimento. Número de caras

0

1

2

3

4

5

6


3

19

49

580

57

22

2

Estudiar si los resultados están de acuerdo con la hipótesis de que las monedas están equilibradas al nivel de significación a =0.05. Solución Sea X la variable aleatoria «número de caras al lanzar 6 veces una moneda». Queremos contrastar la hipótesis nula H0: «La moneda está equilibrada», que es equivalente a H0:«X sigue una distribución binomial con parámetros n = 6 y p - 1/2 ». La hipótesis alternativa es H}:no H0. Los datos resumen, combinando

199

Ejercicios

las categorías O y 1 por un lado y las categorías 5 y 6 por otro lado, se recogen en la siguiente tabla: x

i

o¡

Oó 1 2 3 4 566

22 49 58 57 24

(0¡-Ei)2/E¡

E, 22.96875 49.21875 65.625 49.21875 22.96875

PÍ 0.109375 0.234375 0.3125 0.234375 0.109375

0.04085884 0.00097222 0.8859528 1.23017857 0.04630102

Obtenemos para el estadístico Ji-cuadrado un valor con grados de libertad v= £-1 = 5-1 = 4 y P-valor Como el P-valor es mayor que 0.05, se acepta que la moneda está equilibrada al nivel de significación a=0.05. 6. Se lanzaron 12 dados 26306 veces. Cada vez se anotó el valor de la variable X = «número de dados en los que salió un 5 o un 6». Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:

*/• o¡

0 185

1

2

3

4

5

6

7

1149 3265 5475 6114 5194 3067 1331

9

10

11

12

403 105

14

4

0

8

Contrastar que los dados están equilibrados al nivel de significación a=0.05. Solución Queremos contrastar la hipótesis nula //0:«Los dados están equilibrados», que es equivalente, si las pruebas son independientes, a H0:«X sigue una distribución binomial con parámetros n-\2 y /? = 1 / 3 » (siendo p la probabilidad de obtener 5 ó 6). La hipótesis alternativa es //,:no HQ. Combinando las categorías 10, 11 y 12, se obtienen los siguientes resultados:

200

Bondad de ajuste

*l

o¡

0

185 1149 3265 5475 6114 5194 3067 1331 403 105 18

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, 11 ó 12

rf 0.00770735 0.04624408 0.12717122 0.21195203 0.23844604 0.19075683 0.11127482 0.04768921 0.01490288 0.00331175 0.0005438

E,

(0¡-Eif/Ei

202.74946 1216.49676 3345.3661 5575.61016 6272.56143 5018.04915 2927.19533 1254.51229 392.03509 87.1189088 14.3053208

1.55385541 3.74502678 1.93064357 1.81547927 4.00820749 6.1694699 6.67715753 4.66346196 0.30667985 3.67008067 0.95423615

El estadístico Ji-cuadrado es ô = 35.49, con grados de libertad v = * - l = ll-l = 10y P-valor = P(x\Q > 35.49) < 0.005. Como el P-valor es menor que 0.05, se rechaza que los dados están equilibrados al nivel de significación del 5%. 7. Para los datos de altura de 60 niños, tenemos la siguiente distribución de frecuencia construida a partir de 8 intervalos de clase de igual amplitud: Intervalo de clase


Marca de clase

[16.35, 17.25[

4

16.8

[17.25, 18.15[

7

17.7

[18.15, 19.05[

12

18.6

[19.05, 19.95[

8

19.5

[19.95, 20.85[

6

20.4

[20.85, 21.75[

11

21.3

[21.75, 22.65[

9

22.2

[22.65, 23.55]

3

23.1

Contrastar si los datos proceden de una distribución normal al nivel de significación a=0.05.

201

Ejercicios

Solución Sea X la variable aleatoria «altura». Queremos contrastar la hipótesis nula //0: «X sigue distribución normal con media ¿u y varianza o2 » contra la alternativa H}: no H0. Puesto que // y
O, . Se puede

comprobar fácilmente que las estimaciones de /u y e2 son Jf = 19.935 y ó"2 =3.253. Los datos resumen, combinando las dos primeras categorías y las dos últimas, se recogen en la siguiente tabla:

Intervalos <18.15

0.1506579

19.95 , 20.85

0.1907084

20.85,21.75

0.1488320

0.1914851

0.1571317

(0¡-E,f/Eí

E¡

11 12 8 6 11 12

0.1611645

18.15 , 19.05 19.05 , 19.95

>21.75

o,

rf

9.6699

0.18296

9.0395

0.96961

11.4891

1.05960

11.4425

2.58867

8.9299

0.47987

9.4279

0.70171

con gra-

Obtenemos que el estadístico Ji-cuadrado es

dos de libertad v = £ - r - l = 6-2-l = 3y P-valor = P(%\ > 5.98) e (0.1,0.25). Come el P-valor es mayor que 0.05, se acepta que los datos proceden de una distribuciór normal al nivel de significación a=0.05. 8. El tiempo de vida de 80 motores tiene la siguiente distribución de frecuencias Tiempo hasta fallo (años)

[0,1)

U, 2)

[2,3)

[3,4)

4 o más

Frecuencia de fallos

34

26

8

6

6

¿Se puede asumir que el tiempo hasta el fallo sigue una distribución exponencial al nivel de significación a=0.05? (Asumir que el último intervalo es [4,5) al computar la media muestral). Solución Sea X la variable aleatoria «tiempo de vida». Queremos contrastar la hipótesis nula H0: «X sigue una distribución exponencial con media //» contra la alternativa

202

Bondad de ajuste

//!: no H0. Puesto que ju es desconocido, debe ser estimado a partir de la información muestral. El estimador maximoverosímil de // es

¡ , donde x¡

son las marcas de clase de cada intervalo. La estimación de ¿u resulta

Bajo la hipótesis nula, la función de distribución de la variable X es F(x) = 1 - e'xl^ . Sustituyendo // por su estimación, podemos aproximar las probabilidades hipotéticas p f . Por ejemplo, . Las demás probabilidades se calculan de la misma manera. Los datos resumen se recogen en la siguiente tabla: Intervalos

o,

0, 1 1, 2

34

0.47542207

38.0337659

(0,-Eif/E, 0.42781111

0.24939593

19.951674

1.83354273

2, 3 3, 4

26 8 6

0.1308276

10.4662078

0.58112556

0.06862927

5.4903416

0.04731066

4, 5

6

0.07572513

6.0580104

0.00055550

P?

E¡

Obtenemos para el estadístico Ji-cuadrado un valor con grados de libertad v = A:-r-l = 5-l-l = 3 y P-valor = P(zl ^ 2.89) e (0.25,0.50). En consecuencia, como el P-valor es mayor que 0.05, se acepta que los datos proceden de una distribución exponencial al nivel de significación a=0.05. 9. La distribución muestral de una variable X es la siguiente: Intervalos

Frecuencia

-0.2

1

0.2 - 0.4

7

0.4 - 0.6

10

0.6 - 0.8

18

0.8-1

14

0

Verifiqúese a un nivel de significación del 2% si la muestra procede de una población continua con función de distribución

203

Ejercicios

Solución Queremos contrastar la hipótesis nula //0: «X tiene función de distribución F(x)» contra la alternativa H\: no // 0 . Combinando las dos primeras categorías se obtienen los resultados mostrados en la siguiente tabla: Intervalos

o¡

0.0, 0.4

8

P? 0.16

E, 8

0.0000

0.4, 0.6

10

0.20

10

0.0000

0.6, 0.8

18

0.28

14

1.1429

0.8, 1.0

14

0.36

18

0.8889

El valor del estadístico Ji-cuadrado es ^

Los grados de

libertad son v= k -1 = 4 -1 = 3 y P-valor = P(%\ > 2.031) e (0.50,0.75). Como el P-valor es mayor que 0.02, al nivel de significación a=0.02 se acepta que la muestra procede de una población con función de distribución F(x) = x si O < x < 1. 10. Sea la siguiente muestra aleatoria de 25 observaciones (ordenadas de menor a mayor): -2.46, -2.11, -1.23, -0.99, -0.42, -0.39, -0.21, -0.15, -0.10, -0.07 , -0.02, 0.27, 0.4, 0.42, 0.44, 0.7, 0.81, 0.88, 1.07, 1.39, 1.4, 1.47, 1.62, 1 1.76. Incluir en una tabla los valores correspondientes de la función de distribución empírica y de la función de distribución normal tipificada. Contrastar la hipótesis de que dicha muestra aleatoria procede de una distribución normal tipificada frente a la alternativa de que la muestra aleatoria fue seleccionada de alguna otra distribución continua (usando el nivel de significación a=0.05). Solución Queremos contrastar la hipótesis nula de que la muestra procede de una distribución normal tipificada. Usamos el test de Kolmogorov-Smirnov. La información necesaria para realizar dicho contraste aparece en la siguiente tabla:

204

Bondad de ajuste

i

X¡

i/n

F0(X¡)

\i/n-FQ(X¡)\

\(i-l)/n-F0(X¡)\

1

-2.46

0.04

0.007

0.033

0.007

2

-2.11

0.08

0.017

0.063

0.023

3

-1.23

0.12

0.109

0.011

0.029

4

-0.99

0.16

0.161

0.001

0.041

5

-0.42

0.20

0.337

0.137

0.177

6

-0.39

0.24

0.348

0.108

0.148

7

-0.21

0.28

0.417

0.137

0.177

8

-0.15

0.32

0.440

0.120

0.160

9

-0.10

0.36

0.460

0.100

0.140

10

-0.07

0.40

0.472

0.072

0.112

11

-0.02

0.44

0.492

0.052

0.092

12

0.27

0.48

0.606

0.126

0.166

13

0.40

0.52

0.655

0.135

0.175

14

0.42

0.56

0.663

0.103

0.143

15

0.44

0.60

0.670

0.070

0.110

16

0.70

0.64

0.758

0.118

0.158

17

0.81

0.68

0.791

0.111

0.151

18

0.88

0.72

0.811

0.091

0.131

19

1.07

0.76

0.858

0.098

0.138

20

1.39

0.80

0.918

0.118

0.158

21

1.40

0.84

0.919

0.079

0.119

22

1.47

0.88

0.929

0.049

0.089

23

1.62

0.92

0.947

0.027

0.067

24

1.64

0.96

0.949

0.011

0.029

25

1.76

1.00

0.961

0.039

0.001

En esta tabla F0(x¡) es la función de distribución normal tipificada, es decir, F0(Xi) = &(Xi). Según la tabla de puntos críticos del test de Kolmogorov-Smirnov, para n = 25 y a=0.05 se obtiene un valor crítico c = 0.27. El valor del estadístico de prueba coincide con el máximo de los valores que aparecen en las dos últimas columnas de la tabla, y es Dn = 0.177. Como Dn es menor que c = 0.27, se acepta que la muestra procede de una distribución N(Q, 1) al nivel de significación a=0.05.

205

Ejercicios

11. Contrastar la hipótesis de que los 25 valores muéstrales siguientes constituyen una muestra aleatoria de una distribución uniforme sobre el intervalo (0,1) al nivel de significación a=0.05. 0.42 0.06 0.88 0.4 0.9 0.38 0.78 0.71 0.57 0.66 0.48 0.35 0.16 0.22 0.08 0.11 0.29 0.79 0.75 0.82 0.3 0.23 0.01 0.41 0.09 Solución La información necesaria para realizar el contraste de Kolmogorov-Smirnov aparece en la siguiente tabla: i

x,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ~ ^ > ~~21 ~Ü ~23 ~^4 25

0.01 0.06 0.08 0.09 Olí 0.16 O22 0.23 0.29 0.30 0.35 0.38 0.40 0.41 0.42 (X48 O57 0.66 O71 O 7 5 0/78 O79 O82 O88 0.90

' ' ' ' ' ' '

' ' ' '

0

i/n ~ ~ ~

~ ~

~ ~ ~

~

0.04 0.08 0.12 0.16 O20 0.24 O28 0.32 0.36 0.40 0.44 0.48 0.52 0.56 0.60 ( X 6 O68 0.72 O76 0.80 O84 0.88 O92 O96 1.00

F0(x¡)

\i/n-F0(X¡)\

\(i-l)/n-F0(X¡)\

0.01 0.03 O01 0.06 0.02 0.02 0.08 0.04 " 0.00 0.09 0.07 0.03 O Í 1 O 0 9 O05 ~0.16 0.08 0.04 O 2 2 O 0 6 OÓ2 0.23 0.09 " 0.05 0.29 0.07 " 0.03 0.30 0.10 ' 0.06 " 0.35 0.09 ~ 0.05 "~0.38 0.10 ' 0.06 "~0.40 0.12 ' 0.08 ~~0.41 0.15 ' 0.11 ~ 0.42 0.18 ' 0.14 4 O 4 8 0.16 0.12 O57 6 7 T I 0 . 0 7 ~ 0.66 0.06 0.02 0.71 0.05 ~ 0.01 ~ 0.75 0.05 0.01 0.78 0.06 ~ 0.02 ~ 0.79 ~ 0.09 ' 0.05 0.82 ~ 0.10 ~ 0.06 0.88 0.08 0.04 0.90 0.10 0.06

206

Bondad de ajuste

En esta tabla FQ(x¡) es la función de distribución de la distribución uniforme en el intervalo (0,1), es decir, FQ(X¡) = x¡. Para n = 25 y a=0.05, el valor del punto crítico del test de KolmogorovSmirnov es c = 0.27. Como Dn = 0.18 < c = 0.27 , se acepta que la muestra procede de una distribución U (0,1) al nivel de significación a=0.05. 12. Contrastar la hipótesis de que los 50 valores que aparecen a continuación constituyen una muestra aleatoria de una distribución normal con media 26 y varianza 4 al nivel de significación a=0.05. 25.088 25.996 26.560 24.432 26.303 24.317 29.263 28.478 24.078 24.466

26.615 26.516 25.844 23.593 23.016 29.778 27.924 23.896 27.228 25.153

25.468 28.240 26.964 24.644 27.378 29.585 21.579 26.020 27.433 25.893

27.453 25.980 23.382 26.849 25.351 22.147 25.320 23.750 23.341 26.796

23.845 30.432 25.282 26.801 23.601 28.352 28.129 24.904 28.923 24.743

Solución Los resultados necesarios para realizar el contraste de Kolmogorov-Smirnov aparecen en la siguiente tabla: i

x

i

1 21.579 2 22.147 3 23.016 4 23.341 5 23.382 6 23.593 7 23.601 8 23.750 9 23.845 10 23.896 ~TI24.078 12 24.317 13 24.432 ~~L424.466

i/" 0.02 O04 O06 (X08 OJO O12 0.14 O16 ~0.18 0.20 O22 ~0.24 ~0.26 (X28

ô(*í) 0.014 0.027 0.068 0.092 0.095 0.114 0.115 0.130 0.141 0.146 0.168 0.200 0.217 0.222

i/n-FQ(Xi)\

|(/-l)/H-F 0 (x,.)|

0.006 0.013 0.008 0.012 0.005 0.006 0.025 0.030 0.039 0.054 0.052 0.040 0.043 0.058

0.014 0.007 0.028 0.032 0.015 0.014 0.005 0.010 0.019 0.034 0.032 0.020 0.023 0.038

~

207

Ejercicios

15 24.473 16 24.644 ~~1724.904 18 25.088 19 25.153 20 25.282 ~~21 25.320 22 25.351 23 25.468 24 25.844 25 25.893 ~26 25.980 27 25.996 28 26.020 ~29 26.303 30 26.516 31 26.560 32 26.615 33 26.796 ~1$426.801 35 26.849 36 26.964 ~1$727.228 ~1$827.378 ~59 27.433 40 ~ 27.453 41 ~ 27.924 ~^2 28.129 ~^Í328.240 ~^4 28.352 ^5 28.478 ~~46 28.923 ~*ñ 29.263 ^8 29.585 ~49 29.778 ~~50 30.432

0.30 0.32 034 0.36 0.38 0.40 O42 0.44 O46 0.48 ~ 0.50 O52 O540. O56 O58 O600. 0.62 0.64 0.66 O68 0.70 0.72 ~ O74 O76 0/78 0.80 ~ 0.82 O84 O86 O88 O90 O92 O94 O96 O98 LOO

0.223 0.249 ~ 0.292 0.324 0.336 0.360 0.367 0.373 ~ 0.395 0.469 0.479 0.496 499 0.504 0.560 602 0.610 0.621 0.655 0.656 0.664 0.685 0.730 0.755 0.763 0.766 0.832 ~ 0.856 0.869 0.880 0.892 0.928 0.949 0.963 0.971 0.987

0.077 0.071 0.048 0.036 0.044 0.040 0.053 0.067 0.065 0.011 0.021 0.024 O041 0.056 0.020 0.002 0.010 0.019 0.005 0.024 0.036 0.035 0.010 0.005 0.017 0.034 0.012 0.016 0.009 0.000 0.008 0.008 0.009 0.003 0.009 0.013

~

~

"

"

~~

0.057 0.051 0.028 0.016 0.024 0.020 0.033 0.047 0.045 0.009 0.001 0.004 0.021 0.036 0.000 0.022 0.010 0.001 0.015 0.004 0.016 0.015 0.010 0.015 0.003 0.014 0.032 0.036 0.029 0.020 0.012 0.028 0.029 0.023 0.011 0.007

208

Bondad de ajuste

En esta tabla F0(jc7-) es la función de distribución de la distribución normal de media 26 y varianza 4 es decir

Para « = 50 y a=0.05, el valor del punto crítico del test de KolmogorovSmirnov es c = 0.192 . Como Dn = 0.077 < 0.192, se acepta que la muestra procede de una distribución jV(26,4) al nivel de significación a=0.05. 13. Una muestra de 26 observaciones extraídas al azar de una población ofreció los resultados siguientes: 0.5; 0.86; 0.56; 0.22; 0.38; 0.32; 0.21; 0.94; 0.1 0.92; 0.1; 0.48; 0.05; 0.46; 0.51; 0.38; 0.32; 0.02; 0.19; 0.32; 3.65; 0.56; 0.86; 0.39. Contrastar la hipótesis nula de que la distribución de la población es U(0,l) al nivel de significación a=0.05. Solución Los cálculos necesarios para realizar el contraste de Kolmogorov-Smirnov aparecen en la siguiente tabla: i

x

¡

l n

l

F x

v( ¡">

\i/n-F0(x¡)\

|(/-l)/«-F 0 O,)|

1

0.02

0.0385

0.02

0.018

0.020

2

0.05

0.0769

0.05

0.027

0.012

3

0.07

0.1154

0.07

0.045

0.007

4 5

0.10 0.14

0.1538 0.1923

0.10 0.14

0.054 0.052

0.015 0.014

6 7 8 9

0.19 0.21 0.22 0.24

0.2308 0.2692 0.3077 0.3462

0.19 0.21 0.22 0.24

0.041 0.059 0.088 0.106

0.002 0.021 0.049 0.068

10

0.32

0.3846

0.32

0.065

0.026

11

0.32

0.4231

0.32

0.103

0.065

12

0.32

0.4615

0.32

0.142

0.103

13

0.38

0.5000

0.38

0.120

0.082

14

0.38

0.5385

0.38

0.158

0.120

15

0.39

0.5769

0.39

0.187

0.148

16

0.46

0.6154

0.46

0.155

0.117

0.48 0.6538 0.48 | 0.50 | 0.6923 | 0.50

0.174 0.192

0.135 0.154

17 18

|

|

209

Ejercicios

19

|

0.51

0.7308 |

0.51

O221

0.182

20

0.56

0.7692

0.56

0.209

0.171

21

0.56

0.8077

0.56

0.248

0.209

22

0.65

0.8462

0.65

0.196

0.158

23

0.86

0.8846

0.86

0.025

0.014

24

0.86

0.9231

0.86

0.063

0.025

25

0.92

0.9615

0.92

0.042

0.003

26

0.94

1.0000

0.94

0.060

0.022

En esta tabla F(í(x¡) es la función de distribución de la distribución uniforme en el intervalo (0,1), es decir, F0(x¡) = x¡. Para n = 26 y a=0.05, el valor del punto crítico del test de Kolmogorov-Smirnov es c = 0.26. Como Dn = 0.248 < c = 0.26 , se acepta que la muestra procede de una distribución t/(0,l) al nivel de significación a=0.05. 14. Una muestra aleatoria de 20 observaciones proporcionó los valores siguientes: 0.46,0.14, 2.46, -0.32, -0.07, 0.29, -0.29, 1.3,0.24, -0.96,0.06, -2.53, -0.53, -0.19, 0.54, -1.56, 0.19, -1.19, 0.02, 0.53. Contrastar la hipótesis de que la muestra procede de una distribución normal tipificada al nivel de significación «=0.05. Solución Los datos resumen para realizar el contraste de Kolmogorov-Smirnov aparecen en la siguiente tabla: i

*/

//«

\i/n-F0(X¡)\

|(/-l)/«-F 0 (jf,.)|

1 2

-2.53 -1.56

0.05 0.10

0.006 0.059

0.044 0.041

0.006 0.009

3

-1.19

0.15

0.117

0.033

0.017

4

-0.96

0.20

0.169

0.031

0.019

5

-0.53

0.25

0.298

0.048

0.098

6

-0.32

0.30

0.374

0.074

0.124

7

-0.29

0.35

0.386

0.036

0.086

8

-0.19

0.40

0.425

0.025

0.075

9

_o.07

0.45

0.472

0.022

0.072

10

0.02

0.50

0.508

0.008

0.058

FoM

210

Bondad de ajuste

11 |

0.06 |

0.55

|

0.524

|

0.026

|

0.024

12

0.14

0.60

0.556

0.044

0.006

13

0.19

0.65

0.575

0.075

0.025

14

0.24

0.70

0.595

0.105

0.055

15

0.29

0.75

0.614

0.136

0.086

16

0.46

0.80

0.677

0.123

0.073

17

0.53

0.85

0.702

0.148

0.098

18

0.54

0.90

0.705

0.195

0.145

19

1.30

0.95

0.903

0.047

0.003

20

2.46

1.00

0.993

0.007

0.043

En esta tabla FQ(x¡) es la función de distribución de la distribución normal tipificada, es decir, F0(x¡) = O(jc,). Para « = 20 y «=0.05, el valor del punto crítico del test de KolmogorovSmirnov es c = 0.294. Como Dn = 0.195 < c = 0.294, se acepta que la muestra procede de una distribución ,/V(0,l) al nivel de significación a=0.05. 15. En un banco se registró el tiempo de servicio (en minutos) a 15 clientes elegidos al azar, y se obtuvieron los siguientes resultados: 7, 3, 2, 7, 5, 4, 9, 15, 6, 1, 6, 8, 10, 1, 2. Contrastar a un nivel de significación del 5% la hipótesis de que el tiempo de servicio es exponencial con media 5 minutos. Solución La siguiente tabla presenta los resultados de los cálculos necesarios para realizar el contraste de Kolmogorov-Smirnov. i

x,

1

1

0.0667

0.181

0.115

0.181

2

1

0.1333

0.181

0.048

0.115

3

2

0.2000

0.330

0.130

0.196

4

2

0.2667

0.330

0.063

0.130

5

3

0.3333

0.451

0.118

0.185

6

4

0.4000

0.551

0.151

0.217

7

5

0.4667

0.632

0.165

0.232

8

6

0.5333

0.699

0.165

0.232

9

6

0.6000

0.699

0.099

0.165

Un

F0(*,.)

\i/n-F0(X¡)\

[ |(/-l)//i-F0Qof

211

Ejercicios

10

7

0.6667

0.753

0.087

0.153

11

7

0.7333

0.753

0.020

0.087

12

8

0.8000

0.798

0.002

0.065

13

9

0.8667

0.835

0.032

0.035

14

10

0.9333

0.865

0.069

0.002

15

15

1.0000

0.950

0.050

0.017

En esta tabla FQ(x¡) es la función de distribución de la distribución exponencial con media 5, es decir, FQ(X¡) = 1 —exp(—x¡ /5). El valor del estadístico de prueba es Dn =0.232. Para n = 15 y a = 0.05, el valor del punto crítico del test de Kolmogorov-Smirnov es c = 0.338. Como Dn - 0.232 < c = 0.338 , se acepta que la muestra procede de una distribución Exp(\/5) al nivel de significación a=0.05. 16. El tiempo de fallo (en horas) de 10 pilas de transistor se registró con los siguientes resultados: 28.9, 15.2, 28.7, 72.5, 48.6, 52.4, 37.6, 49.5, 62.1, 54.5. Contrastar a un nivel de significación del 5% la hipótesis de que los tiempos de fallo proceden de una distribución exponencial con media 45 minutos. Solución Los datos resumen para realizar el contraste de Kolmogorov-Smirnov aparecen en la siguiente tabla: x

F

¡

iln

1

15.2

0.1

0.287

0.187

0.287

2

28.7

0.2

0.472

0.272

0.372

3

28.9

0.3

0.474

0.174

0.274

4

37.6

0.4

0.566

0.166

0.266

5

48.6

0.5

0.660

0.160

0.260

6

49.5

0.6

0.667

0.067

0.167

7

52.4

0.7

0.688

0.012

0.088

8

54.5

0.8

0.702

0.098

0.002

9

62.1

0.9

0.748

0.152

0.052

10

72.5

1.0

0.800

0.200

0.100

i

o(*/)

\iln-FQ(x¡}\

|(/-l)/«-F 0 (x ; .)|

En esta tabla F0(x¡) es la función de distribución de la distribución exponencial con media 45, es decir,

212

Bondad de ajuste

El valor del estadístico de prueba es Dn = 0.372. Para n = 10 y «=0.05, el valor del punto crítico del test de Kolmogorov-Smirnov es c = 0.410. Como Dn = 0.372 < c = 0.410, el test de Kolmogorov-Smirnov acepta que el tiempo de fallo sigue una distribución Exp(l/45) al nivel de significación del 5%.

CAPITULO 7 CONTROL DE CALIDAD

1. INTRODUCCIÓN En este capítulo estudiaremos el control estadístico de la calidad de un proceso de fabricación como aplicación inmediata de los capítulos de estimación y contraste de hipótesis. Las técnicas estadísticas de control de la calidad se desarrollaron inicialmente para procesos industriales. Si un proceso existe cuando se combinan unos elementos de entrada (inputs) para dar como resultado un elemento de salida (output), se entiende que cualquier actividad empresarial, tanto en el sector industrial como en el de servicios, es un proceso y por tanto se le pueden aplicar las técnicas estadísticas de control de calidad. Decimos que un producto tiene calidad si es adecuado para el uso. Una empresa produce productos de alta calidad si cumplen las demandas del mercado. Si los productos de una empresa son de calidad pobre la empresa sufrirá una pérdida de ventas. En un proceso de fabricación se puede observar que no todos los productos finales son iguales, aunque lo sean las condiciones iniciales. Esto sugiere modelizar un proceso de fabricación con una variable aleatoria que identifica la característica de calidad. Para controlar la variable de calidad se construye un gráfico de control (o carta de control), que es la representación gráfica en el tiempo del funcionamiento del proceso comparado con unos límites calculados estadísticamente. Se pueden construir varios tipos de cartas de control. Si la característica de calidad es una variable medible (variable cuantitativa), como por ejemplo la longitud, el peso, etc., el control de calidad se llama control por variables y usa gráficos de control para medidas de tendencia central (generalmente la media aritmética X) y de variabilidad (usualmente la desviación típica S o el rango R ), ya que la calidad de un producto frecuentemente puede resumirse en términos de estas dos medidas. Si la característica de calidad es una variable cualitativa (variable categórica), como ocurre cuando un artículo se clasifica como defectuoso o no defectuoso, el control de

214

Control de calidad

calidad se llama control por atributos y requiere un gráfico de control para controlar la fracción de defectuosos (/>). Finalmente, si la característica de calidad es el número de defectos c que aparecen en una unidad, el control de la calidad se llama control por número de defectos. Aún cuando el proceso de producción está funcionando correctamente son inevitables variaciones aleatorias en la calidad del producto. La variabilidad de una característica de calidad en un proceso de fabricación puede atribuirse a dos tipos de causas: no asignables y asignables. Las causas de variabilidad no asignables son aleatorias, imprevisibles e inevitables, y están siempre presentes, produciendo una variabilidad homogénea y estable que es predecible al ser constante. Por ejemplo, pequeños cambios en la materia prima, la vibración de las máquinas e instrumentos de medida, etc., producen una proporción de elementos defectuosos constante a largo plazo que no tiende a aumentar ni a decrecer. En cambio, las causas asignables son causas de variabilidad que pueden descubrirse y corregirse y que intervienen sólo en determinados momentos produciendo una variabilidad que no es constante: por ejemplo, el fallo de una máquina, un lote de materia prima mala, etc., dan como resultado un proceso inestable sobre el que no se puede predecir la variabilidad de las características de salida. Cuando un procedimiento de fabricación funciona libre de toda causa asignable se dice que está bajo control estadístico. Es decir, un proceso de producción está bajo control estadístico si la variabilidad de la característica de calidad es aleatoria al proceder sólo de causas no asignables, en cuyo caso la media no se desvía y la dispersión no aumenta ni disminuye en el transcurso del tiempo. Cuando el proceso no está bajo control estadístico es porque ha aparecido alguna causa asignable que puede dar lugar a variaciones importantes de la variable de calidad, siendo sus valores futuros impredecibles. Las situaciones de control estadístico y de no control estadístico se ilustran en la figura 1.1.

Figura 1.1.

215

Para detectar si existen causas asignables de variación que afectan a un proceso y poder identificarlas, se establece un esquema de control de calidad para dicho proceso. Este control requiere tomar, a lo largo del tiempo, una sucesión de pequeñas muestras del producto. Si la variable de calidad es una variable medible se suelen tomar muestras de 4 ó 5 observaciones, mientras que si la variable de calidad es cualitativa los tamaños muéstrales son más grandes. Para obtener un registro razonable del funcionamiento del proceso productivo y poder iniciar el control estadístico de la calidad es necesario disponer de 25 o más muestras. A partir de estas muestras se determinan un límite de control inferior y un límite de control superior para una medida resumen de la variable de calidad. Estos límites de control tienen como objetivo reflejar la variación de la medida resumen de calidad cuando la única variabilidad existente procede de causas no asignables, es decir, cuando el proceso está bajo control estadístico. Para facilitar el control, los límites de control se dibujan en un gráfico de control. Como es posible que en el momento de extraer alguna de las muestras el proceso estuviera fuera de control es importante no utilizar en el cálculo de los límites de control aquellas muestras afectadas por causas asignables.

Figura 1.2. Ejemplo de proceso fuera de control (arriba) y bajo control (abajo).

216

Control de calidad

En la figura 1.2 están representadas dos cartas de control, correspondientes a dos procesos de producción, construidas extrayendo 25 muestras en intervalos regulares de tiempo. En la primera carta de control se observa que la octava muestra se encuentra fuera de los límites de control. Cuando en una muestra hay, como en este ejemplo, cambios de la calidad fuera de lo normal, se considera muy probable la aparición de causas asignables, que hacen que el sistema quede fuera de control. Dicho de otro modo, este valor extremo es extremadamente extraño para un proceso que está bajo control y probablemente no es resultado de la variabilidad aleatoria sino que puede deberse a alguna causa asignable. Esta muestra se desecha y se calculan nuevos límites de control con el resto de muestras. Los nuevos límites de control calculados con las 24 muestras restantes pueden utilizarse, si ninguna de ellas cae fuera de los nuevos límites, para establecer si son correctas otras muestras tomadas de la línea de producción en el futuro. Así es posible controlar el proceso e identificar y eliminar las causas asignables que puedan aparecer. En la segunda carta de control de la figura 1.2 se observa un patrón de puntos distribuidos más o menos aleatoriamente alrededor de la línea central de la carta y generalmente alejados de los límites de control. Estas circunstancias sugieren que el proceso estaba bajo control en el momento de tomar todas las muestras. En este caso es posible establecer la capacidad del proceso de producción para cumplir las especificaciones de diseño. Si el proceso resulta ser capaz de producir bienes o servicios de acuerdo a los requisitos, entonces la producción puede continuar en su estado actual y debe controlarse regularmente mediante gráficos de control. Una vez determinados los límites de control se comienzan a tomar muestras a intervalos fijos de tiempo. Para cada muestra se calcula la medida resumen de la variable de calidad y el valor obtenido se representa en el gráfico de control. Si dicho valor está comprendido entre las líneas límites de control se concluye que el proceso está bajo control. En cambio si el valor del estadístico resumen se sale fuera de las líneas de control se concluye que ha aparecido alguna causa asignable (el proceso está fuera de control) y entonces se hace necesario revisar el proceso en busca de algún posible desajuste que se ha de corregir. La frecuencia con que deben tomarse las muestras depende de las características del proceso de producción. Al fijar una determinada frecuencia de muestreo, el objetivo es detectar la aparición de causas asignables de variabilidad tan pronto como sea posible para que puedan ser corregidas cuanto antes. Si la frecuencia del muestreo es muy alta, la rapidez en la detección de cambios en el proceso es mayor, pero también es mayor el coste de la inspección. En la práctica se debe establecer un equilibrio adecuado entre la frecuencia de muestreo y el coste de muestreo. En general, al comienzo del estudio del proceso se suelen tomar muestras a intervalos muy cortos con el fin de detectar posibles cambios o inestabilidades en el proceso. Una vez que el proceso se va estabilizando, el intervalo de toma de muestras puede ir aumentando. Pasado algún tiempo, cuando el proceso haya evolucionado, deben recalcularse los límites de control de los gráficos. También deben hacerse comprobaciones periódicas sobre la capacidad del proceso. El control de la calidad de un proceso de producción tiene como objetivos:

217

1) Descubrir las causas asignables que aparecen en el proceso lo antes posible. Este objetivo es equivalente a contrastar H0 : el proceso está bajo control, frente a //! : existe alguna causa asignable. 2) Medir la capacidad del proceso para producir artículos buenos. 3) Determinar las causas de variabilidad y de esta forma mejorar el proceso de producción reduciendo la variabilidad en la calidad del producto. 2. CONTROL DE CALIDAD DE FABRICACIÓN POR VARIABLES 2.1. Introducción Supongamos que la calidad de un producto en un proceso de fabricación está descrita por una característica medible X cuyo valor especificado de diseño es ¿u .El intervalo de tolerancia técnico, denotado como ju + L = \_LT\, LT2], es el rango de valores que son válidos para X. Los límites del intervalo de tolerancia técnico son establecidos por la dirección. Supongamos que el proceso se ajusta de manera que la distribución de X en la fabricación está centrada en ¿u. Supongamos además que cuando el proceso de fabricación está bajo control la característica de calidad sigue una distribución normal con media ¡u y desviación típica a. De este modo, bajo control, X ~ N(JU, a2). El objetivo del control estadístico de la calidad es mantener el proceso en estado de control comprobando que los parámetros que definen la distribución de la variable de calidad X permanecen constantes a lo largo del tiempo. Cuando el proceso está bajo control P(¡JL-?> a
218

Control de calidad

que no cumplen la especificación técnica. Un proceso con IC<\ no se considera aceptable pues no es capaz de cumplir las especificaciones fijadas. Lo deseable es que el intervalo de tolerancia natural caiga holgadamente dentro del intervalo de tolerancia técnico para poder decir entonces que el proceso de producción es capaz de cumplir las especificaciones. En este caso, cuando el proceso está bajo control al menos el 99.73% de la producción cumple las normas especificadas por el técnico. El criterio más utilizado es considerar que el proceso es aceptable sólo cuando IC> 1.33. Esto implica que la capacidad del proceso no debe ser mayor del 75% de la amplitud del intervalo de tolerancia técnico. Si IC < 1.33, entonces se deben tomar acciones apropiadas para reducir la variabilidad no asignable. Estas acciones se deben dirigir a cambiar el proceso o el producto con el fin de producir un producto que cumpla las especificaciones técnicas. Una vez determinada la capacidad del proceso y comprobado que es aceptable se establecen los gráficos para controlar el proceso en el futuro. Los gráficos de control por variables más usados son los diseñados para registrar las medidas de tendencia central (media) y de variabilidad (desviación típica o rango). El tamaño de las muestras suele ser n = 4 ó 5. La frecuencia de inspección por muestreo será menor cuanto mayor sea el índice de capacidad. Cada vez que alguna de las medidas resumen (media, desviación típica o rango) se sale de sus respectivos límites de control se considera que el proceso se ha desajustado por la aparición de alguna causa asignable. Es entonces fundamental revisar cuanto antes el proceso de fabricación en busca de causas asignables que deben ser eliminadas para que el proceso retorne al estado de control. 2.2. Parámetros conocidos Como se ha indicado, bajo control estadístico la característica de calidad X cumple que X ~ N(ju, <7 2 ). En este apartado se describen los límites de las cartas de control para la media, la desviación típica y el rango para el caso en que los parámetros n y cr son conocidos y, en consecuencia, la capacidad del proceso es conocida. 2.2.7. Límites de control para la media Si X ~ N(ju, cr 2 ), entonces la media muestral X de una m.a.s. de tamaño n cumple que

En otras pala-

bras, si el proceso está bajo control, entonces un promedio de sólo 27 por cada 10000 valores de testarán fuera del intervalo

Los límites de este

intervalo se llaman límites de control tapara la media. El límite inferior se llama límite de control inferior para X y se denota por LCL^ , mientras que el

219

límite superior Si

e llama límite de control superior y se denota por

entonces los límites de control para la media son

Para facilitar el control, los límites para la media muestral se representan en un gráfico similar a los gráficos de la figura 1.2. En este gráfico la escala vertical se asigna a los valores de las medias, dejando la escala horizontal para el tiempo entre las distintas tomas de datos. La línea central esta situada en \i y las dos líneas paralelas representan los límites de control. 2.2.2. Límites de control para la desviación típica Supongamos que en cada muestra la variabilidad de la característica de calidad se mide por la desviación típica muestral S. Si X ~ N(ju,a ) (el proceso está bajo control estadístico), puede comprobarse que la media y la desviación típica de la desviación típica muestral son, respectivamente,

El intervalo de control 3(7 para S es

con B Bajo control estadístico, (obsérvese que según la desigualdad de Chebichev esta probabilidad es mayor o igual que 0.89). En consecuencia, cuando el proceso está bajo control casi todas las muestras de tamaño n tendrán desviaciones típicas dentro de los límites de control para S. El hecho de que alguna desviación típica muestral se salga de sus límites de control constituye un fuerte indicio de que cuando se extrajo la muestra existía alguna causa asignable que afectaba a la variabilidad del proceso. En estos casos, el proceso debe ser revisado, y si se detectan causas asignables deben ser eliminadas. 2.2.3. Límites de control para el rango Supongamos que se decide controlar la variabilidad del proceso mediante el rango muestral R. Si X ~ N(ju,(72) (el proceso está bajo control estadístico), puede comprobarse que entonces la media y la desviación típica del rango muestral se pueden escribir, respectivamente, como E ( R } = d2oy cjR=dâ, donde d2 y d3 son constantes que dependen del tamaño muestral. Además, bajo control estadístico se cumple que P(E(R)-3&R < R < E(R) + 3<7R] = 1. En consecuencia, el intervalo de control 3cr para R es [LCLR,UCLR] = ff(d2 +3d3)=[2 = ¿/ 2 +3¿/ 3 .

220

Control de calidad

2.3. Parámetros desconocidos Cuando se decide implantar el control estadístico de la calidad en un proceso de fabricación lo más común es que los parámetros /z y
Para estimar la media del proceso se usa // = X = —!—^
. La estimación de

— . Otra manera de estimar

(7 consiste en usar el rango muestral. En este caso, la estimación de ¿Jes o = — con . Suponiendo que todas las muestras corresponden a situaciones de control estadístico, se puede comprobar que estos estimadores son insesgados para sus respectivos parámetros. Sin embargo, en la práctica no se sabe si todas las muestras se han obtenido en momentos de control, por lo que las estimaciones obtenidas usando todas las muestras se consideran como preliminares o provisionales. Si en las fórmulas de los límites de control para X y S (o R) descritas en el apartado de parámetros conocidos se sustituyen // y a por sus estimaciones provisionales ju y O se obtienen límites de control provisionales. Si la variabilidad se mide usando la desviación típica, entonces sustituyendo ¡i y respectivamente, obtenemos por una parte que los límites de control para la media muestral son

3S,

donde

por otra parte que el intervalo de control para la desviación típica es

donde B

221

De forma análoga, si la variabilidad se mide usando el rango, entonces sustiluyendo fi y
, respectivamente, encontramos que los límites de Además, el

intervalo de control 3apara R es

donde D Para decidir si las k muestras se han obtenido en momentos en que el proceso estaba bajo control se comprueba si cada X¡ y S¡ (o R.) está dentro de sus correspondientes límites de control provisionales. Si alguna medida resumen cae fuera de sus límites de control, entonces se eliminan las muestras correspondientes, se recalculan las estimaciones de fj y o (usando sólo las muestras no eliminadas) y con estas estimaciones se obtienen nuevos límites de control. Este proceso se repite tantas veces como sea necesario hasta que todas las medidas resumen de las muestras no eliminadas estén dentro de sus respectivos límites de control. Con las estimaciones finales de // y o se puede estudiar la capacidad del proceso y decidir si el proceso tiene el potencial suficiente para producir bienes o servicios de acuerdo a las especificaciones técnicas. Para estimar la capacidad del proceso se sustituye la desviación típica (7 por su estimación final. Una vez estimada la capacidad del proceso se comparan los límites de tolerancia natural con los límites de tolerancia técnica, se calcula el índice de capacidad y se selecciona la frecuencia de muestreo. Si la capacidad del proceso es aceptable, los límites de control provisionales calculados con las estimaciones finales de f¿ y o se convierten en límites de control definitivos y se usan para controlar el proceso en el futuro. Estos límites de control expresan el comportamiento de las medidas resumen de la variable de calidad cuando la única fuente de variación es debida a causas no asignables y permiten detectar la aparición de causas asignables de variación en el futuro. 2.4. Resumen Las expresiones para las líneas centrales y los límites de control de las cartas de control por variables se presentan en la tabla 2.1. Todas las constantes que aparecen en las diferentes expresiones de las cartas de control para medias, desviaciones típicas y rangos, se ofrecen calculadas para distintos tamaños de muestra en la tabla 2.2.

222

Control de calidad

Tabla 2.1. Tabla resumen del control por variables Parámetros conocidos

Parámetros desconocidos

Carta para

Línea central

Límites de control

Línea central

Límites de control

Medias

¡u

// + A a

X

=

Desviaciones típicas

c4<7

B5o,B6o

S

B3S,B4S

Rangos

d2a

Dô, D2a

R

D3R,D4R

X+A3S _ X+A2R

Tabla 2.2. Constantes usadas en las cartas de control 2

n Estimación de ff c4

Cartas de medias

Cartas de/?

4

Cartas de 5

0.798

4

5

6

0.886 0.921 0.940

7

8

9

10

15

20

25

0.952 0.959

0.965

0.969

0.973

0.982

0.987

0.990

í/2

1.128 1.693 2.059

2.326

2.534 2.704

2.847

2.970

3.078

3.472

3.735 3.931

¿3

0.853

0.864

0.848 0.833

0.820

0.808

0.797

0.755

0.729

A2

1.880 1.023 0.729

A3

2.659

A

2.121 1.732 1.500 1.342 1.225 1.134 1.061 1.000 0.949 O

A,

3.686

3D

O

D 3.267

0.888 0.880

0

0.483 0.419 0.373

O

0

B6

2.606

0.180

1.182 1.099 1.032 0.975

0.789

0.680

1.548

4.358 4.698

4.918 5.078 5.203

5.307

5.394

5.469

5.737

5.922

0

O

2.282

2.115 2.004 0

0

O 2.089

0

2.276 2.088

0.076

0.136 0.184 0.223

0.348

0.284

0.428

0.029 0.113 0.179 0.232

0.276

6.058

1.541

0.510 0.565

1.970 1.882 1.815 1.761 1.716 1.572 1.490 O

1.8

0.414 0.459

1.924 1.864 1.816 1.777 1.652 1.586

0.030 0.118 0.185 0.239

0.606

0.671 0.600

1.207

O

0.

0.775

0.687

2.568 2.266 O

0.223

0.546

0

0

0.308

0.387

0

B5

0

0.337

0.709

0.205

2.575

B 3.267

0.577

1.954 1.628 1.427 1.287

Dl

53 4

3

0.421 0.504

1.435 0.559

1.964 1.874 1.806 1.751 1.707 1.669 1,544 1.470 1.420

223

3. CONTROL DE CALIDAD POR ATRIBUTOS En esta sección suponemos que la característica de calidad es un atributo que un artículo puede o no poseer y que permite clasificarlo en correcto o defectuoso. En este caso la calidad se controla mediante una carta de control para la proporción de artículos defectuosos del proceso de fabricación. Suponemos que bajo control estadístico la proporción de artículos defectuosos es p. Entonces la capacidad del proceso para producir artículos no defectuosos se mide mediante la proporción de artículos no defectuosos fabricados en estado de control, de modo que la capacidad del proceso se define como 1 - p. Si p es conocido, el control de la calidad se realiza midiendo la fracción de artículos defectuosos en muestras de tamaño n elegidas al azar a intervalos fijos de tiempo. Denotemos por d el número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n. Entonces la fracción de artículos defectuosos, que denotamos por p, es , d p = — . El control de la calidad por atributos se puede realizar mediante una carta n de control para la fracción muestral de defectuosos o mediante una carta de control para el número de defectuosos.

3.1. Cartas de control para la fracción de defectuosos Bajo control estadístico, el número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n sigue una distribución B(n,p) y la fracción de artículos defectuosos cumple que E(p) - p y cr~ = ,/—

— . En consecuencia, si p es conocido los

límites de control 3cr para la fracción de defectuosos en una muestra de tamaño n «* Si p es desconocido, antes de iniciar el control de calidad se toman k muestras de tamaño n, donde k > 25 y n > 50. Entonces p se estima mediante con d¡ el número de defectuosos encontrados en la /-ésima muestra, i=l,...,k. Los límites de control tentativos para la proporción muestral de defectuosos son Si alguno de los valores cae fuera de los límites de control tentativos, entonces se supone que en el momento de extraer las muestras correspondientes a estos pi operaba alguna causa asignable, se eliminan estas muestras y se recalculan el estimador de p y los límites de control tentativos para p . El procedimiento se repite hasta que todos

224

Control de calidad

los pi usados para construir el gráfico de control caen dentro de los límites de control. A partir de ese momento los límites de control se convierten en definitivos y se usan para controlar el proceso en el futuro. 3.2. Cartas de control para el número de defectuosos Supongamos que en vez de controlar la calidad mediante un gráfico de control para p se decide usar un gráfico de control para el número de defectuosos d. Si p es conocido, los límites de control para d son , mientras que si p es desconocido los límites de control para d son LCL 4. CONTROL DE CALIDAD POR NÚMERO DE DEFECTOS Una aplicación habitual del control de calidad consiste en inspeccionar una unidad ya terminada y contar el número de defectos o imperfecciones de determinado tipo. En este caso la variable de calidad es el número de defectos (no conformidades) por unidad de inspección, que se denota por c. Supongamos que bajo control estadístico la variable de calidad c sigue una distribución de Poisson con media Á., es decir, c~P/>( Á.). La capacidad del proceso se mide por /I. Por tanto, bajo control estadístico se tiene que E(c) = Á y Por el teorema central del límite, c sigue aproximadamente una distribución N(A, A). Si A es conocido, el control de la calidad se realiza midiendo la variable c en unidades de inspección elegidas al azar a intervalos fijos de tiempo. Los límites de la carta de control para c son L Cuando el valor de c en una unidad de inspección se sale fuera de los límites de control, el proceso productivo se revisa en busca de alguna causa asignable. Si el valor de c está dentro de los límites, el proceso continúa sin revisión hasta que se toma la siguiente unidad de inspección. Si Á es desconocido, entonces es necesario estimar este parámetro. Para ello se toman k (&>25) unidades de inspección. Entonces A se estima mediante , con c¡ el número de defectos en la z'-ésima unidad de inspección, i=l,...,k. Suponiendo que el proceso estaba bajo control en el momento de tomar las k muestras, se tiene que E(c) = Á . En este caso, los límites de control para c son

Ejercicios

225

EJERCICIOS 1. En un determinado proceso productivo se quiere establecer una carta de control para la proporción de defectuosos utilizando muestras de tamaño 100 tomadas de hora en hora. El número de defectuosos encontrados en 20 muestras fue 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 3 (el número total de defectuosos fue 40). a) Obtener los límites de control 3crpara la proporción de defectuosos. ¿Está el proceso productivo bajo control estadístico? b) Si el proceso está bajo control cuando produce un 2% de defectuosos, calcular la probabilidad de concluir erróneamente que no lo está. c) Si el proceso se desajusta pasando a producir un 10% de defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de detectar el desajuste en a lo sumo las tres primeras muestras después de haberse producido? ¿Cuál es el tiempo medio necesario para detectar el desajuste? d) Si se sabe que bajo control estadístico la probabilidad de defectuoso p es menor de 0.05 y se quiere estimar p mediante la proporción muestral con un error menor que 0.01 y una confianza al menos de 0.99, ¿cuál es el número total de observaciones que se necesitan? Solución a) La estimación de la probabilidad de defectuoso es

donde d¡ es

el número de defectuosos en la muestra z, k es el número de muestras y n es el tamaño común de las muestras. Así,

y los límites de control

tentativos para la proporción de defectuosos son

Como p no puede ser negativa, Sea d = «número de defectuosos en muestras de tamaño 100». Los límites 3(7 para d son

Como todos los d¡ de las muestras para iniciar el control pertenecen a [0,6.2], aceptamos que el proceso productivo está bajo control estadístico, y tomamos los límites de control tentativos como válidos para controlar la calidad del proceso productivo.

226

Control de calidad

b) Sea S el suceso concluir que el proceso está fuera de control al tomar una muestra de tamaño 100. La probabilidad pedida es P(S/p = 0.02), probabilidad del error de tipo I del procedimiento estadístico. Como S es equivalente a d > 6.2 , donde d ~ 5(100, p), la probabilidad de concluir erróneamente que el proceso está fuera de control es P(S/p = 0.02) = P(d >6.2/p = 0.02) = P(d>l/p = 0.02). Utilizando que, cuando p = 0.02, d sigue aproximadamente una distribución de Poisson con parámetro A = 100-0.02 = 2 , obtenemos que

P(S/p = 0.02) = P(d>l/A = 2) = l-P(d< 6/A = 2) = 1-0.9955 = 0.0045.

c) Si el proceso se desajusta (se sale de control estadístico) deseamos que nuestro procedimiento nos lleve a descubrir el desajuste con alta probabilidad. El proceso productivo se para y revisa cuando la proporción muestral se sale de los límites de control para p. El suceso «detectar el desajuste en las tres primeras muestras» es equivalente a «detectar el desajuste en la primera muestra o en la segunda muestra o en la tercera muestra». La probabilidad de detectar el desajuste en una muestra es 0.87. En consecuencia, la probabilidad de detectar el desajuste en a lo sumo las tres primeras muestras es ^(detectar en la primera)+P(no detectar en la primera y detectar en la segunda)+P(no detectar en la primera y no detectar en la segunda y detectar en la tercera) = 0.87 + 0.13 • 0.87 + 0.13 • 0.13 • 0.87 = 0.998 . Como el número de muestras necesario para detectar el desajuste sigue una distribución geométrica con probabilidad de éxito 0.87, el número medio de muestras necesario es 1/0.87 = 1.149 . Teniendo en cuenta que las muestras se toman de hora en hora, el tiempo medio necesario para detectar el desajuste es 1.149 horas = 1 hora y 9 minutos, d) Por el teorema central del límite sabemos que para n grande se cumple que . Por tanto,

donde Z~#(0,l). Deseamos que P\ Z < 0.01 /

o,

equivalentemente,

> 0.99 . Puesto que p < 0.05, entonces p(\ -p)< 0.05 • 0.95 .

Luego

,

y

para

que

basta con elegir un tamaño muestral n tal que lo que conduce a

Ejercicios

227

de donde n > 0.05-0.95-2582 = 3161.79 . El tamaño de muestra necesario es, pues, 3162. 2. Para controlar la calidad de los fusibles fabricados por cierta empresa se decide inspeccionar diariamente 50 fusibles escogidos al azar de la producción durante un período inicial de 20 días. El número de fusibles defectuosos encontrados cada uno de los días fue: 2, 3, 7, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 3, 4, 1, 3, O, 1, 2, 1, 1, 2, 1. a) Utilizando los límites de control adecuados, ¿está previsiblemente el proceso bajo control estadístico? Si no lo está, estabilizar razonablemente el proceso y proponer una estimación de la proporción de fusibles defectuosos. ¿Qué límites son adecuados para extender el gráfico de control a períodos posteriores? b) Supongamos que el proceso está bajo control estadístico cuando los parámetros de la característica de calidad son los calculados en a). Si tras un desajuste en la máquina la fracción de defectuosos aumenta en 0.01, ¿qué probabilidad hay de que dicho cambio se detecte en la primera muestra tras el desajuste? Solución a) Con 20 muestras de tamaño 50 tenemos que « = 50, k = 20 y p = -^— = 0.045. 20-50 Los límites de la carta de control para el número de fusibles defectuosos son [LCLd,UCLd] = np + 3^np(l-p) - [0,6.65]. Observamos, pues, que el proceso parece no estar bajo control ya que en la tercera muestra se han observado 7 fusibles defectuosos y este valor está fuera de los límites de control. Por tanto, eliminamos esta muestra y recalculamos nuevos límites. Ahora « = 50, k = 19 y 38 p= = 0.04. Los nuevos límites de control para d-np serán 19-50 \LCLd,UCLd~\ = [0,6.157]. Ya que d toma valores enteros, los verdaderos límites para d serán [LCLj,UCLd] = [0,6] • Puesto que ninguna muestra cae fuera de estos límites, utilizaremos éstos para el posterior control estadístico del proceso. b) Si la fracción de defectuosos aumenta en 0.01, entonces p = 0.04 + 0.01 = 0.05 . Por tanto, d ~ 5(50,0.05) y con la aproximación de Poisson d~y>(2.5). La probabilidad de detectar este cambio será P(d > 7) = 0.0142 , que es una probabilidad pequeña. 3. En una fábrica de llantas se sabe que bajo control estadístico la proporción de llantas defectuosas es p = 0.07 . Se desea controlar la calidad de las llantas producidas en el futuro usando cada día una muestra de 50 llantas. a) ¿Cuáles son los límites 3
228

Control de calidad

b) Si el proceso pasa a producir un 8% de llantas defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que para advertir por primera vez este cambio se necesiten a lo sumo tres muestras? Solución a) Los límites para la carta de control de la proporción de llantas defectuosas son Usando la aproximación de Poisson a la binomial, . Por tanto, la probabilidad de concluir equivocadamente que el proceso está fuera de control es b) Si ahora p = 0.08, entonces ¿/~3a(4). Por tanto, la probabilidad de detectar el cambio en una muestra es P(p > 0.1781 p- 0.08) = P(d > 8.912 / A = 4) = 0.021. Detectar el cambio en a lo sumo tres muestras significa: «detectarlo en la 1a muestra» o «no detectarlo en la 1a y sí en la 2a» o «no detectarlo en la 1a ni en la 2a y sí en la 3a». Por tanto la probabilidad de detectar el cambio en tres muestras, a lo sumo, es 4. Para montar el control de calidad en una fábrica de ladrillos se tomaron 25 muestras de 5 ladrillos y se midió la resistencia a la presión, resultando que la media de las 25 medias muéstrales fue X = 210 y la media de las 25 desviaciones típicas muéstrales fue S = 15.8. a) Calcular los límites 3cr de las cartas de control para las medias muéstrales y para las desviaciones típicas muéstrales. Suponiendo que bajo control los parámetros del proceso son iguales a las estimaciones muéstrales, calcular la probabilidad de que se detecte una disminución en la resistencia media a la presión de 10 unidades. b) Si el sistema de fabricación está bajo control al nivel encontrado en el apartado a), ¿qué proporción de ladrillos verifica los límites de especificación técnica 200 + 45 ? Solución ) Tenemos que k = 25 y n = 5. Los límites para la carta de medias son para la carta de desviaLa probabilidad de que se ciones típicas son [ detecte una disminución en la resistencia media a la presión de 10 unidades es

b) La proporción de ladrillos dentro de la especificación técnica, suponiendo que el sistema está bajo control en

229

Ejercicios

5. Para controlar la calidad en la producción de tuercas, se establece un proceso de control que consiste en muestrear a determinada hora de la jornada laboral 100 tuercas de la producción y anotar cuántas son defectuosas (no cumplen los criterios de calidad exigidos por la normativa vigente). Los resultados de los 30 primeros días de muestreo fueron 1, 2, 1, O, 1, 2, 1, 1, 2, O, 1, 2, 5, 1, O, 2, 1, O, 1, 9, 2, 1, O, 2, 1, O, 8, 1, O, 1 (en total se encontraron 49 tuercas defectuosas). a) Llevar el proceso a control estadístico encontrando límites de control válidos para extender a períodos siguientes, y obtener una estimación de la proporción de tuercas defectuosas cuando este proceso es estable. b) Supongamos que el proceso es estable al nivel encontrado en el apartado a). Si el proceso se desajusta aumentando la proporción de defectuosos en 0.04 respecto del valor encontrado en el apartado a), ¿qué probabilidad hay de detectar el desajuste en los tres primeros días después de su ocurrencia? Solución a) Los límites de control para la carta de la proporción p son

luego de

control

para

el

número

de

tuercas

defectuosas

los

limites d

son

. Como vemos, los valores 9 y 8 están fuera de los límites de control. Eliminándolos y recalculando nuevos límites tenemos que p

. De nuevo el

valor 5 está fuera de los límites de control. Recalculando obtenemos . Luego los límites de control para d son [0,3] yy la estimación de p es b) Si p = 0.05, entonces d~y>(5) y, en consecuencia, la probabilidad de detectar el aumento en un día es P(d > 3) = 1- P(d < 3) = 0.735 y la probabilidad de detectarlo en los tres primeros días es 0.735 + 0.265 • 0.735 + 0.265 • 0.265 • 0.735 = 0.98. 6. En una empresa se llevan cartas de control para X y S relativas al límite de rotura de una pieza. Se tomaron 25 muestras de tamaño 4, obteniéndose Suponiendo que las muestras se tomaron cuando el proceso estaba bajo control:

230

Control de calidad

a) Calcular los límites 3(7 de las cartas para X y S. ¿Cuál es la estimación insesgada de
a) Tenemos que 4 tabla 2.2 obtenemos A

Los límites de

control para X son ICj =X+A3S= 273.6 T 1.628-14.3292 = [250.2721,296.9279]. Los límites de control para S son LC La estimación insesgada de b) La probabilidad de que un punto X caiga dentro de los límites de control es

Por tanto, la probabilidad de que un punto se salga fuera de los límites de control (probabilidad de detectar el cambio en una X fija) es 1 - 0.1949 = 0.8051. El suceso contrario de detectar en al menos una de tres muestras es no detectar en ninguna de las tres muestras. Por tanto, la probabilidad de detectar en al menos una de las tres muestras es 1-(0.1949)3 =0.9926. c) Se desea que P(\X - ¿u <4\ = 0.95, luego

y, por tanto,

= z0025 = 1.96 . Suponiendo que el proceso bajo control tenemos y entonces v

de modo que « = 58.1188.

Luego con n = 59 observaciones se logra lo que queremos.

231

Ejercicios

7. En un proceso de fabricación, bajo control estadístico de la calidad se tiene que ¿u = 24 y ¿7 = 5. Supongamos que la variable de calidad X es normal y se toman muestras de tamaño n = 5 para controlar la calidad. a) Calcular los límites de control 3<7 para la carta de medias y para la carta de desviaciones típicas. b) Una empresa compradora envía a un inspector con las siguientes instrucciones: si un punto de la carta de medias se sale fuera de sus límites o un punto de la carta de desviaciones típicas se sale los suyos, se rechaza toda la producción entre la toma de la muestra anterior y la presente. ¿Cuál es la probabilidad de que, de la producción de cuatro períodos sea aceptada la de dos de ellos y rechazada la de los otros dos? c) Suponiendo que
límites

de

control

para la carta de medias son • Los límites de control para la carta de

desviaciones típicas son b) Suponiendo que el proceso está bajo control estadístico, la probabilidad de que la media de una muestra caiga dentro de los límites de la carta de medias es P(jU- AG< X
Suponiendo que la variable de calidad sigue una distribución normal, los estadísticos X y S son independientes, y en consecuencia la probabilidad de que para una muestra tanto X como S caigan dentro de los límites de sus respectivas cartas es

Así, la probabilidad de que sea aceptada la producción de un período es 0.9929. Por tanto, la probabilidad de que de la producción de cuatro períodos sea aceptada la de dos de ellos y rechazada la de los otros dos es que

es

equivalente

a

En consecuencia,

232

Control de calidad

de donde se deduce que n > 29.9 , es decir, se necesitan 30 observaciones. 8. Para controlar la calidad de fabricación de tornillos por una máquina automática se toman muestras de 100 tornillos de la producción de las dos últimas horas, y para cada tornillo se prueba si cumple la tolerancia usando un calibrador fijo. El número de tornillos defectuosos encontrados en 20 muestras sucesivas tomó los siguientes valores: 1, 2, O, 1, 2, 5, 6, 3, 6, 2, 1, 1, O, O, 2, O, 3, 1, 4, O (el total de tornillos defectuosos fue 40). Suponiendo que todas estas muestras se obtuvieron cuando la máquina automática estaba bajo control estadístico y que se usan cartas de control 3a: a) ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que una muestra caiga fuera de los límites de control cuando la máquina está bajo control estadístico? b) Si la máquina se desajusta produciendo una proporción de tornillos defectuosos del 5%, ¿cuál es la probabilidad de que se requieran a lo sumo dos muestras para detectar el desajuste? ¿Cuál es el número medio de muestras requeridas para detectar el desajuste? c) Denotemos por p la probabilidad de tornillo defectuoso. Si se desea estimar p con un error de estimación menor que 0.01 y con una probabilidad de al menos 0.95, ¿cuántas muestras de 100 tornillos se requieren cuando sabemos que la probabilidad de tornillo defectuoso es inferior a 0.04? ¿Cuántas muestras se requieren cuando no se tiene información a priori sobre la probabilidad de tornillo defectuoso? Solución a) Para las 20 muestras, la estimación de p es p =

= 0.02 . Los límites de

control para la carta de p son Se observa que ninguna muestra cae fuera de los límites. Por lo tanto, si la máquina está bajo control estadístico, denotando por d el número de tornillos defectuosos en una muestra de tamaño 100, se tiene que d ~ 5(100,0.02) y, aproximadamente, J~9^(2). Luego la probabilidad de que una muestra caiga fuera de los límites de control es b) Si p = 0.05 , d sigue una distribución binomial con n = 100 y p = 0.05 y, de forma aproximada, d~'3P(5}. La probabilidad de detectar el desajuste es l-P(0
233

Ejercicios

c) Se desea que

. Esta desigualdad es aproximadamente

equivalente a

donde

de muestras de tamaño n. Por tanto mos

de donde deducisi

que

es el número

entonces

de donde se obtiene ue Si p es desconocido, debemos considerar que p(\ — p] < 1 / 4 para todo /?, es decir ^p(l-p) < l / 2 para todo p. Por tanto,

, de donde se

obtiene que 9. Una empresa fabrica pelotas de tenis y considera que una característica de calidad de las mismas es la altura que alcanzan después del rebote, en caída libre desde una altura determinada, sobre el suelo. Las especificaciones técnicas fijadas para dicha altura son de 55 + 10 cm. a) La empresa desea establecer un control de la calidad por dicha variable. Si para iniciar una gráfica de control para la media muestral se han tomado 20 muestras de tamaño 5 yJ se han obtenido los resultados ¿cuáles son los límites 3crpara dicha gráfica de control? Suponiendo que el proceso está bajo control, ¿qué porcentaje de pelotas puede fabricar el proceso dentro de las especificaciones? b) Si la empresa considera defectuosa toda pelota que no cumpla las especificaciones y quiere llevar a cabo un control estadístico de la calidad por el número de pelotas defectuosas tomando muestras de 100 pelotas cada día, ¿cuáles son los límites 3(7 de la carta de control suponiendo que el proceso está bajo control con una proporción de pelotas defectuosas del 0.5%? ¿Cuál es la probabilidad de detectar un aumento del 1 % en la proporción de pelotas defectuosas en la primera muestra que se tome después de haberse producido dicho aumento? Solución a) Los límites de control 3cr para la carta de medias son

Suponiendo que X sigue una distribución normal, el porcentaje de pelotas dentro de especificaciones es

234

Control de calidad

Luego el proceso puede fabricar un 97.93% de pelotas dentro de las especificacio-

nes. b) Los límites de control para el número de pelotas defectuosas en una muestra de tamaño n = 100 son Si p = 0.015, entonces d ~ 5(100,0.015) y aproximadamente d~3°(1.5). En consecuencia,

la probabilidad

de detectar

un

aumento

del

1% es

10. En dos cadenas de producción A y B de placas base de ordenador se establece un proceso de control de la calidad según la proporción de placas defectuosas. De la producción de un día se toma una muestra de 50 placas de cada cadena, encontrándose 2 placas defectuosas en la cadena A y 3 en la B. a) Contrastar a un nivel de significación del 5% si las dos cadenas están produciendo placas de la misma calidad. b) Si las cadenas de producción se encontraban bajo control en el momento en que se tomaron las muestras y se utilizan limites de control 3
un

contraste

asintótico.

El

estadístico

de

prueba

es

s la prOporción

de defectuosos en la muestra «combinada» (siendo dA el número de placas defectuosas de la muestra de A, dB el número de placas defectuosas de la muestra de B, y nA y nB los tamaños muéstrales respectivos). Sustituyendo los resultados muéstrales resulta

el contraste con-

cluye que las dos cadenas están produciendo la misma proporción de placas defectuosas.

235

Ejercicios

b) Si denotamos por p°A la proporción de placas defectuosas de la cadena A en estado de control, tenemos que p°A = 0.04 . Se desea que la probabilidad de detectar que A p = 0.05 sea 0.95,

Por tanto,

de donde se obtiene que

Luego

Inferencia Estadistica Para Economia y Empresa

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