Libro Estadistica Para La Administracion

Con el enfoque utilizado se busca que el lector alcance el proceso de comprensión–aprendizaje de manera simple, y para ello, lo reforzamos incluyendo en el libro un CD, el cual contiene ejemplos y ejercicios realizados en Excel, de tal modo que analice cómo se solucionaron los ejemplos y problemas, así como trabajar directamente sobre la hoja electrónica y ver las funciones de Excel utilizadas, seleccionando la celda de resultado.

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Estadística para Administración

La obra está estructurada de tal modo, que cada capítulo contiene una breve introducción, desarrollo teórico de los temas que lo componen, gráficas o cuadros estadísticos de análisis, según sea el caso, ejemplos resueltos con Excel y otros con el paquete estadístico SPSS, así como problemas a resolver (de los cuales, al final del libro se muestran sus respectivas respuestas).

Rodríguez Pierdant Rodríguez

Estadística para administración está dirigido a lectores interesados en los temas de estadística y probabilidad básicos porque comprende desde el uso de la aritmética en estadística (porcentajes, proporciones, razones, coeficientes e incrementos), elaboración de cuadros estadísticos, hasta temas un poco más complejos como las pruebas de hipótesis. De igual modo, es útil para estudiantes, profesores y profesionales en administración de empresas, contabilidad, economía, finanzas, marketing o para el personal que labora en la administración pública, y que requieran del uso de la estadística y la probabilidad para analizar de manera sencilla, pero objetiva, los problemas que se les presenten respecto a la toma de decisiones bajo incertidumbre.


Jesús Rodríguez Alberto Pierdant Cristina Rodríguez

Estadística para administración

Estadística para administración Jesús Rodríguez Franco Alberto Isaac Pierdant Rodríguez Elva Cristina Rodríguez Jiménez

PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

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Dirección editorial: Javier Enrique Callejas

Coordinadora editorial: Verónica Estrada Flores Diseño de interiores:Eliud Reyes

Diseño de portada: Juan Manuel Loyola Silva Revisión técnica:

M.C. Alex Polo Velázquez

Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco ( U.A.M. ) Estadística para Administración Derechos reservados:

© 2014, Jesús Rodríguez Franco, Alberto Isaac Pierdant Rodríguez, Elva Cristina Rodríguez Jiménez © 2014, GRUPO EDITORIAL PATRIA, S.A. DE C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca,

Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43

ISBN ebook: 978-607-438-861-9 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente

obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en México Printed in Mexico

Primera edición ebook: 2014


Dedicatorias

A mi familia Cristina, Katia, Jesús Miguel y a mis padres Martha Ester y Manuel. Jesús Rodríguez Franco

A mi familia María Irma y Alberto Isaac y a mi madre Raquel Rodríguez H. Alberto Isaac Pierdant Rodríguez

A Jesús, por su apoyo y motivación; a mis hijos: Katia y Jesús Miguel, por su perseverancia y constancia en el estudio y a mis padres Ángel y Angelina, por estar siempre presentes en mi mente y en mi corazón. Elva Cristina Rodríguez Jiménez


Acerca de los autores Jesús Rodríguez Franco Profesor-investigador del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (UAM-X) y profesor definitivo de asignatura “B” en Matemáticas Financieras y Estadística en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Estudió la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la maestría en ciencias en la especialidad de Bioelectrónica del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN), diplomados en: “Educación Superior” en la Universidad Autónoma Metropolitana – Xochimilco y de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas.” Facultad de Contaduría y Administración Universidad Nacional Autónoma de México. Tiene 28 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgado por la Secretaria de Educación Pública (SEP), es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en la UAM-X y es miembro de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM), es integrante de la Comisión Dictaminadora en Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM), también es representante ante el Consejo Académico de Departamento de Política y Cultura (UAM-X) y Colegiado de la División de Ciencias Sociales (UAM-X) ante el Colegio Académico de la Universidad Autónoma Metropolitana (periodo 2007-2009). Ha publicado un libro de matemáticas como coordinador y seis libros de matemáticas como coautor hasta ahora, también ha publicado 16 artículos de difusión enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana. Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional. Fue fundador y primer presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México de (noviembre de 1999 a junio 2004), Jefe del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (2003-2005), trabajó como ingeniero en electrónica en la Refinería 18 Marzo y en Dirección de Construcción y Obras de Petróleos Mexicanos (19841989), también ha sido profesor en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) del Instituto Politécnico Nacional, en el Instituto Tecnológico de Monterrey División de Preparatoria Campus Ciudad de México y en la Universidad Latina Campus Sur.

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Alberto Isaac Pierdant Rodríguez Profesor investigador del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (UAM-X) y socio director de Pierdant y Asociados, S.C. Estudió la carrera de Ingeniero Industrial en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la maestría en ingeniería en la especialidad de Planeación de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Ha participado en diversos cursos de actualización, entre los que destacan: “Evaluación Económica de Proyectos de Exploración Regional de Hidrocarburos I” en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Evaluación Económica de Proyectos de Exploración Regional de Hidrocarburos II” en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Petroleum Energy” en The Institutte of Energy Economics, Japan, Septiembre-Noviembre 1989, Tokio, Japón. Tiene 30 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgado por la Secretaría de Educación Pública (SEP), es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las ciencias Sociales” en la UAM-X. Ha publicado ocho libros de matemáticas, cuatro como autor y cuatro como coautor hasta ahora, también ha publicado más de 20 artículos científicos y de difusión enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana, ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional. Fue fundador y es actualmente director del despacho de consultoría Pierdant y Asociados, S.C. (1979). Dentro de la consultoría ha elaborado trabajos para diversas empresas y organismos como SHCP, el ISSSTE, la comisión Federal de Electricidad, Petróleos Mexicanos, Coca-Cola FEMSA, el INBA, entre otros.

Acerca de los Autores

Elva Cristina Rodríguez Jiménez Profesora de matemáticas del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (UAM-X) y profesora definitiva de asignatura Estadística I y Estadística II en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Estudió la licenciatura en Química Farmacobióloga con mención honorífica en la Facultad de Química de la Universidad Nacional Autónoma de México, los diplomados en “Matemáticas Aplicadas a la Economía” en la Facultad de Economía, el de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” en la Facultad de Contaduría y Administración, ambos en la Universidad Nacional Autónoma de México. Tiene 14 años de experiencia docente impartiendo diferentes cursos de matemáticas, es miembro de la “Academia de Matemáticas” en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM). Es coautora del libro didáctico “Fundamentos de Matemáticas”, producto PAPIME Fomento Editorial FCA-UNAM, 2005. También ha participado en diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional. Participó en la investigación para el desarrollo de un método Fotocolorímetro, para la Organización de Estados Americanos (OEA) y la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Química de la UNAM (1984). Ocupó el cargo de Jefe y subjefe del laboratorio de Gases, también como química analista en el laboratorio Analítico, experimental y de gases en la Refinería 18 de Marzo (1985-1991).

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Contenido PresentaciÓn . ................................................................................................................. XIII PrÓlogo ............................................................................................................................ XVI

capitulo 1. estadística descriptiva ............................................

1

¿Qué es la Estadística?.................................................................................................

2

En dónde se utiliza la Estadística............................................................................

7

Por qué se estudia Estadística..................................................................................

9

Variables............................................................................................................................

10

Escalas de medición......................................................................................................

14

Presentación y descripción de datos.....................................................................

19

Porcentajes, proporciones, razones, coeficientes e incrementos...........

28

Gráficas.............................................................................................................................

52

Otras representaciones gráficas...........................................................................

65

Problemas.........................................................................................................................

82

Respuestas........................................................................................................................

89

Capitulo 2. Estadística descriptiva. Parte 2............................... 99 Medidas descriptivas de los datos estadísticos muestrales....................... 100 Medidas de tendencia central y de posición....................................................... 101 Medidas de posición....................................................................................................... 126 Medidas de dispersión o de variabilidad................................................................ 133 Medidas de forma........................................................................................................... 150 Uso de las funciones estadísticas en Excel ....................................................... 156 El subprograma Estadística descriptiva de Excel............................................. 157 Problemas......................................................................................................................... 160 RESPUESTAS........................................................................................................................ 169

CAPÍTULO 3. Probabilidad............................................................... 177 Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades.............. 178 Asignación de probabilidades................................................................................... 187 Eventos y sus probabilidades................................................................................... 191 Leyes de la probabilidad.............................................................................................. 198 Teorema de Bayes........................................................................................................... 224 Problemas . ...................................................................................................................... 228 respuestas........................................................................................................................ 237

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Contenido

CAPÍTULO 4. Variable aleatoria y distribuciones discretas de probabilidad............................................................................. 241 Variable aleatoria.......................................................................................................... 242 Distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta.......... 244 Distribución de probabilidad binomial................................................................... 251 Distribución de probabilidad hipergeométrica.................................................. 257 Distribución de probabilidad de Poisson.............................................................. 261 Distribuciones discretas de probabilidad en Excel.......................................... 268 Problemas......................................................................................................................... 269 Respuestas........................................................................................................................ 276

CAPÍTULO 5. Distribuciones continuas de probabilidad ............. 279 Distribuciones continuas de probabilidad.......................................................... 280 Problemas......................................................................................................................... 297 RESPUESTAS........................................................................................................................ 301

CAPÍTULO 6. Muestreo y distribuciones muestrales . ................. 305 Muestreo y tipos de muestreo.................................................................................. 306 Técnicas de muestreo no probabilísticas............................................................ 307 Muestras probabilísticas........................................................................................... 308 Distribución muestral de la media aritmética ( X )............................................. 314 Elementos para el diseño de cuestionarios........................................................ 330 Problemas......................................................................................................................... 332 Respuestas........................................................................................................................ 333

CAPÍTULO 7. Estadística inferencial.............................................. 335 Estadística inferencial ............................................................................................... 336 Inferencia estadística en una muestra pequeña................................................ 352 Inferencia estadística para muestras grandes.................................................. 364 Problemas......................................................................................................................... 375 Respuestas........................................................................................................................ 381

CAPÍTULO 8. Pruebas de hipótesis................................................ 385 Elementos para elaborar una prueba de hipótesis.......................................... 386 Errores tipo I y II............................................................................................................. 388 Pasos de una prueba de hipótesis............................................................................ 389 Empleo del valor p en las pruebas de hipótesis................................................ 401 Pruebas con dos muestras........................................................................................ 405 Problemas......................................................................................................................... 420 Respuestas........................................................................................................................ 424

APÉNDICE ........................................................................................ 427


Presentación El libro Estadística para Administración está dirigido a personas interesadas en los temas de estadística y probabilidad básicos, ya que comprende desde el uso de la aritmética en estadística (porcentajes, proporciones, razones, coeficientes e incrementos), elaboración de cuadros estadísticos, hasta temas un poco más complejos como lo son las pruebas de hipótesis. Sus principales usuarios son los estudiantes, profesores y profesionales en administración de empresas, contabilidad, economía, finanzas, marketing, para el personal que labora en la administración pública, y que en una forma directa requieran del uso de la estadística y la probabilidad para analizar de manera sencilla, pero objetiva los problemas que se les presenten sobre la toma de decisiones bajo incertidumbre. Está estructurado en tal forma que cada capítulo de la obra, contiene una breve introducción del capítulo, el desarrollo teórico de los temas que lo forman, ejemplos, gráficas o cuadros estadísticos de análisis según sea el caso, ejemplos solucionados con EXCEL y otros con el paquete estadístico SPSS, así como, problemas a resolver, donde al final del libro se muestran sus respectivas respuestas. También podrán desarrollar las tablas de números aleatorios y las correspondientes a cada distribución probabilística con EXCEL. En el capítulo uno, se aborda el estudio de la estadística descriptiva, como es, el conocer y utilizar las técnicas estadísticas en una investigación, al igual que los elementos de las mismas. En estadística es importante la presentación y descripción de los datos, para lo cual se presentan los elementos básicos para la elaboración de cuadros estadísticos y de trabajo, como son: los cuadros de frecuencia para variables cualitativas y cuantitativas. En lo referente a la aritmética en estadística se estudia el cálculo y análisis de porcentajes, proporciones, razones, coeficientes e incrementos. El abordar el estudio y análisis de las escalas básicas de medición es una parte fundamental de este capítulo para construcción y análisis de los diferentes tipos de gráficas, en lo referente a la construcción se explica cuáles son los elementos básicos de una gráfica, por ejemplo, se analizan las gráficas de barras verticales, horizontales, de desviación, circulares, polígono e histograma de frecuencia, mapas estadísticos, pictóricas y otras. Se incluye también una guía rápida para elaborar gráficas en Excel. Los ejemplos que contiene el capítulo en algunos casos están elaborados en Excel. En el capítulo dos se estudian e interpretan con amplitud las diferentes medidas de resumen y análisis de los datos estadísticos descriptivos muestrales, como son las medidas de tendencia central y de posición (media aritmética, ponderada y geométrica, mediana, moda, cuartiles, deciles y percentiles), las medidas de variabilidad o variación (rango, desviación absoluta promedio, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación), las medidas de forma o sesgo (distribución de frecuencia

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Normal, Teorema Chebyshev, coeficiente de asimetría y de variación, la distribución asimétrica, con asimetría positiva y negativa) y la medida de curtosis. En este capítulo también se resuelven algunos casos en Excel, pero es importante indicar que se explica y ejemplifica cómo utilizar el subprograma Estadística Descriptiva de Excel. En el capítulo tres se estudia la forma de determinar un espacio muestral a partir de las técnicas de conteo para experimentos de etapas múltiples, permutaciones y combinaciones, en lo referente a la probabilidad básica se tratan diferentes métodos para el calculo de probabilidades de acuerdo al trabajo que se este realizando, como son: la frecuencia relativa, probabilidad de un suceso, de sucesos mutuamente excluyentes y no excluyentes, la probabilidad conjunta, también se trata la probabilidad clásica y axiomática. En una segunda etapa se estudia y analiza la ley de la multiplicación (probabilidad incondicional y la condicional), la ley general de la multiplicación de probabilidades, y la ley especial de la multiplicación. En la última etapa se trata del estudio de la probabilidad total y de la probabilidad de causas o Teorema de Bayes. Los conceptos estudiados en el capítulo anterior de probabilidad se asocian con los conceptos a estudiar en el capítulo cuatro. Éste inicia con el estudio de la variable aleatoria discreta, posteriormente se analizar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta y su representación gráfica, también se ve la forma de calcular el valor esperado, varianza y desviación estándar de ésta variable. En la segunda parte del capítulo se ve la distribución Binomial, Hipergeométrica, de Poisson y se explica la forma de calcular la media, varianza y desviación estándar de cada una de ellas. En el capítulo cinco se muestran los conceptos de variable aleatoria continua y a partir de ésta, la determinación de los intervalos de definición y medición. También se muestra la forma de calcular y analiza la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua y su representación gráfica, en especial se tratan las distribuciones Uniforme, Exponencial y Normal y se explica la forma de calcular la media, varianza y desviación estándar de cada una de ellas. En el capítulo seis se analizan los elementos básicos de la teoría del muestreo (población, censo y muestra), para que a partir de ellos se estudie la forma de seleccionar una muestra utilizando las técnicas de muestreo no probabilístico (juicio, trozo, cuota y bola de nieve), probabilístico (aleatorio simple, sistemático, estratificado y de conglomerados). En un segunda parte de éste, se estudia la distribución muestral de la media aritmética (media o valor esperado, varianza, desviación estándar y su gráfica), también se ven las tres características de la distribución muestral a partir del Teorema Central de Límite y la distribución muestral de proporciones (seleccionar el tamaño de muestra para la estimación de medias de una proporción poblacional). En la última parte del capítulo se ven los elementos para el diseño de un cuestionario. El capítulo siete se inicia viendo lo relacionado con el estudio de la estimación puntual y por intervalos, las características de un buen estimador (insesgabilidad, eficiencia, consistencia, suficiencia), también la estimación del intervalo de confianza para

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la media aritmética cuando la desviación estándar de la población es conocida y desconocida. En la segunda parte del capítulo se estudia la inferencia estadística cuando se tiene una muestra pequeña (distribución t de student, inferencia para la media de una población, el tamaño de la muestra para estimar la media poblacional, estimación del intervalo mediante la diferencia entre dos medias). En la segunda parte se estudia la inferencia estadística para muestras grandes, iniciando con la estimación del intervalo de una proporción de la población, de la media de una población, de la diferencia entre dos medias y la del parámetro de una población binomial. En el capítulo ocho, último de esta primera parte, se estiman los valores de los parámetros como se plantearon en el capítulo anterior. Este capítulo inicia conociendo los elementos para elaborar una prueba de hipótesis (hipótesis nula y alternativa), los errores del tipo I y II, también se plantean los pasos a seguir en una prueba de hipótesis. Con el conocimiento de los elementos planteados anteriormente, se estudia la prueba de hipótesis de la media cuando se conoce la desviación estándar de la población (para muestras grandes y pequeñas) y la prueba de hipótesis para proporciones (para muestras grandes). Se explica la metodología para probar hipótesis (con dos muestras grandes, para diferencias entre medias con muestras pequeñas, para diferencias entre proporciones con muestras grandes). Por otro lado, observamos que en nuestro país es una realidad la gran influencia que los avances tecnológicos tienen en la sociedad, uno de ellos lo representa la computadora, su manejo y el uso cotidiano de sus programas de cálculo, como la hoja electrónica EXCEL o el paquete estadístico SPSS. El uso de estas tecnologías ha permitido a los analistas estadísticos obtener resultados de manera más rápida y certera, logrando un máximo beneficio que se refleja comúnmente en una toma de decisiones más adecuada. Por esta razón, nos hemos preocupado por incluir en cada capítulo de la obra, problemas estadísticos que muestren una solución más práctica mediante el uso de la hoja electrónica y el paquete estadístico SPSS. El contenido y estructura de cada capítulo está enfocado para que el lector alcance el proceso de comprensión-aprendizaje en forma simple, y para ello, lo reforzamos incluyendo en el libro un disco, él cual contiene los ejemplos realizados en Excel de los ocho capítulos de la obra. En él, el lector podrá ver cómo se solucionaron los ejemplos y problemas, ya que éste le permite trabajar directamente sobre la hoja electrónica y ver las funciones de Excel utilizadas (seleccionando la celda de resultado). Este disco cuenta además con tres secciones más, la primera incluye algunos de los ejercicios a resolver de los diferentes capítulos, el segundo es un resumen de funciones de Excel, y en el último se incluye el formulario de todos los capítulos. Esperamos que nuestros lectores comprendan la estadística y la probabilidad que se presentan en el texto, y que, con su aprendizaje, les posibilite solucionar los problemas que se les presenten en su campo laboral. Los autores

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Prólogo La Estadística se ha vuelto esencial para prácticamente todas las ramas del saber humano. En Ingeniería, Física, Biología, Ciencias Sociales es una herramienta básica para sacar conclusiones de datos experimentales o información recabada. Prácticamente todas las ramas de la Ciencias Sociales hacen uso de la Estadística. En Administración, Economía, Finanzas, Negocios, Mercadotecnia como herramienta para la toma fundamentada de decisiones y en Psicología y Sociología para la establecer la validez de estudios realizados en una población. Incluso en nuestra vida diaria la Estadística siempre está presente. A diario escuchamos o leemos sobre encuestas, sobre todo respecto al apoyo a algún candidato en una campaña electoral o a algún proyecto gubernamental, que dicen tener un cierto grado de confiabilidad y con base en ellas se hacen afirmaciones. Pero siempre nos quedamos con la duda si los resultados de dichas encuestas son válidos, no sólo porque no tenemos la certeza de que esos datos sean reales, sino que de origen se hayan utilizado métodos estadísticos para la selección de las muestras y el análisis de los resultados. De aquí la importancia de la inclusión de la Estadística en la mayoría de los programas de las carreras a nivel Licenciatura, en particular, de las Ciencias Sociales. En este libro se tratan con la profundidad requerida los temas que normalmente se ven en la mayoría de los programas de Probabilidad y Estadística de las carreras de Ciencias Sociales a nivel licenciatura que generalmente se cubren en un año (dos semestres o tres trimestres según la institución educativa). En particular en la UAM Xochimilco cubre los programas de las materias. El orden de presentación de los temas y su cobertura permiten al estudiante apreciar con claridad la relación entre estas dos disciplinas y no ver a la Probabilidad como una materia aislada de la Estadística. La accesibilidad de las herramientas computacionales ha cambiado los métodos de enseñanza de muchas ciencias. En particular en Estadística son de gran utilidad programas tales como Excel y su herramienta de análisis de datos y el paquete SPSS. Para su uso completo y adecuado es necesario haber comprendido satisfactoriamente los conceptos. En este libro hay un equilibrio adecuado entre la presentación teórica y práctica de conceptos y el uso de herramientas computacionales para facilitar y agilizar el análisis estadístico de información sobre todo en el caso de volúmenes grandes. Otro de las características de este libro es el gran número de ejercicios tanto resueltos como propuestos, la mayoría de los cuales están relacionados con información real de instituciones o empresas nacionales. Esto es importante porque antiguamente, los ejemplos en los que se hacía énfasis, los estudiantes relacionaban la teoría combinatoria y la probabilidad con el lanzamiento de dados y combinaciones de cartas de baraja y la estadística con gráficas; de tal modo que perdían de vista la aplicación en el contexto de su carrera profesional. Por último, la exposición clara de los temas resultará útil no sólo para los estudiantes de las carreras de Ciencias Sociales, sino también para profesionales en activo que deseen repasar sus conocimentos de Probabilidad y Estadística e incluso para autodidactas.

M. en C. Alex Polo Velázquez UAM-Azcapotzalco

Capítulo 1

Estadística descriptiva


Introducción En la actualidad, las matemáticas han adquirido gran importancia en las ciencias exactas y en las ciencias sociales, ya que estas últimas recurren a la estadística como una herramienta para medir y cuantificar fenómenos sociales. El gobierno federal como el estatal, la iniciativa privada (fábricas, PyMES, etc.), la Economía, la Administración, la Demografía, la Sociología, la Comunicación, la Química, la Psicología, la Medicina, la Ciencia Política y muchas otras ciencias y disciplinas emplean los métodos estadísticos.

¿Qué es la Estadística? La Estadística es una ciencia relativamente nueva cuyo objetivo es la colección e interpretación de datos. Estas actividades se remontan a la época del viejo testamento y de los registros de los babilonios y los romanos acerca de la población. Los estudios de la población aparecen a finales del siglo xviii y principios del xix. Godofredo Achewald (1719–1772) introduce por primera vez el nombre de Estadística a la asignatura universitaria encargada de la descripción de las cosas del Estado; y Adolph Quetelet (1796– 1874) fue quien aplicó, por primera vez, métodos modernos al estudio de un conjunto de datos. La palabra estadística surge a partir de la interpretación de tres vocablos: • Status (latín): situación, posición, estado. • Statera (griego): balanza, ya que la estadística mide o pesa hechos. • Staat (alemán): se refiere al Estado como expresión de unidad política superior. Se conoció a la Estadística como la aritmética estatal, ya que ésta permitía al gobernante contar el número de habitantes, con el objeto de recaudar impuestos, así como la riqueza, o presupuestar una campaña de prevención social. En la actualidad, esta ciencia moderna puede interpretarse como: El método que permite organizar, sintetizar, presentar, analizar, cuantificar e interpretar una gran cantidad de datos, de tal forma que se puedan tomar decisiones, realizar generalizaciones y obtener conclusiones válidas (dar información) sobre los fenómenos o líneas de investigación en estudio.

Este concepto ha permitido a los especialistas en Estadística llegar a un acuerdo para clasificar a esta materia en dos grandes ramas, las cuales se definen como: Estadística descriptiva y Estadística inferencial. Ambas desempeñan funciones distintas pero complementarias en el análisis estadístico.

C. Meza, A. Morales y R. Magaña, Introducción al método estadístico, México, UAM-X, 1980.

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Capítulo 1 Estadística descriptiva

Estadística descriptiva Es aquella rama de la Estadística que se encarga mediante la aplicación de métodos y técnicas de obtener, organizar, presentar y describir los datos. Lo anterior se aplica exclusivamente a los datos que forman una muestra, la cual permitiría inferir o generalizar acerca de la totalidad de los elementos que constituyen la población de estudio, si esta muestra es representativa. El resumen de los datos puede realizarse en forma tabular, gráfica o numérica.

Ejemplos: • Un maestro de Estadística aplica un cuestionario a un grupo de estudiantes elegidos al azar, acerca de su edad, estatura, peso, talla y sexo. Estas estadísticas se pueden usar para analizar el promedio de edad, peso y talla de este grupo de estudiantes. Los resultados obtenidos pueden utilizarse para llegar a conclusiones válidas para este grupo y para realizar una inferencia en todos los grupos de la licenciatura, porque se sabe que la muestra es representativa de la población. • El jefe de personal de una empresa quiere conocer las aptitudes promedio de diez empleados. Para ello debe aplicar una prueba de aptitudes. El estadístico a utilizar es: la media aritmética, y el resultado obtenido es de 92 puntos, el cual sólo será válido para los diez cuestionarios aplicados. El jefe de personal no puede utilizar estos datos para una inferencia o generalización acerca de otros empleados de la empresa porque la muestra no es representativa, ello debido a que los empleados fueron elegidos a conveniencia del jefe de personal.

Estadística inferencial Es otra rama de la Estadística cuyos objetivos son generalizar o deducir a partir de estudios de muestras, el comportamiento de una población; con ello se pueden tomar decisiones útiles. La información que proporcionan las muestras se obtiene de la estadística descriptiva.

Ejemplos: • El ingeniero de control de calidad de una fábrica de hornos de microondas, al recibir un nuevo embarque de bases de vidrio, se pregunta si lo acepta o no, ya que el encargado del almacén le informa que en una caja de 50 bases, cuatro están defectuosas. • En el programa de prevención de incendios forestales se decide seleccionar dos técnicas diferentes de combate (“A” y “B”), para capacitar a campesinos en la quema de pastizales en forma segura. En el municipio se forman cuatro grupos de campesinos de características y habilidades semejantes; los dos primeros grupos emplean la técnica “A” y los dos últimos, la técnica “B”. Al terminar el curso de capacitación, se realiza un simulacro y los cuatro grupos participan. Se obtiene una calificación promedio con base en el desempeño y habilidades alcanzadas por cada grupo. El director del programa de capacitación se pregunta ¿puede evaluarse la efectividad relativa de las técnicas?


Las preguntas de los ejemplos anteriores implican tomar una decisión o elegir una alternativa ante una incertidumbre. La Estadística inferencial también se conoce como el conjunto de técnicas a emplear para poder tomar decisiones en situaciones de incertidumbre. La inferencia estadística constituye la base teórica del muestreo, es decir, permite conocer el todo con cierta aproximación a partir del estudio de una parte.

Ejemplo: • Un investigador quiere conocer en promedio cuántos refrescos consumen los alumnos de las secundarias de una delegación en el Distrito Federal. Éste debe entrevistar a todos los alumnos de las 16 secundarias de la delegación del turno matutino como el vespertino; pero realizar un censo sería imposible, por el tiempo y por los recursos humanos y económicos. Por tanto, decide tomar una muestra representativa de la población en forma aleatoria y utilizar la estadística inferencial para determinar el consumo promedio de refrescos de los alumnos de las secundarias de la delegación. Los datos de la muestra se utilizan para inferir (deducir) o llegar a conclusiones acerca de la población de la cual se toma la muestra. Es importante mencionar que, la descripción de un todo o población con base en los principios de la Estadística inferencial no da una certeza completa en sus medidas sumarias, ya que éstas están sujetas a un posible error a causa de que las unidades seleccionadas (muestra), más o menos numerosas, no hayan sido seleccionadas de acuerdo con ciertos procedimientos y que la variabilidad de las características de estudio sea más o menos grande. En las anteriores definiciones se utilizó una serie de conceptos estadísticos muy comunes, por eso es conveniente especificarlos para que ello permita dar una mayor comprensión y entendimiento de los mismos. Recolección de datos. Es la etapa de mayor importancia en un trabajo de investigación, porque una buena recolección de éstos lleva a tener una gran confianza en los mismos. Una excelente recolección se logra cumpliendo con reglas estrictas para la obtención de los datos. Dato. Es un número, una medida o una característica que ha sido recopilada como resultado de una observación. Los datos pueden ser producto de un conteo o una medición, por ejemplo: número de casas en un municipio, número de alumnos reprobados en una asignatura, el número de Pymes en un país, el peso de una computadora portátil, la temperatura que se registra en un día, el sexo y nombre de una persona, etcétera. En ocasiones, ya existe la información requerida; por ejemplo, en los archivos internos de una compañía, en el Archivo General de la Nación, en los discos duros de las computadoras, etcétera. Los datos se representan por medio de números y numerales, y se dividen en dos tipos: en cualitativos y cuantitativos.


• Los datos cualitativos son aquellos que se asocian con atributos o características (se representan con numerales); por ejemplo, género, nacionalidad, nivel social, color de ojos, etcétera. • Los datos cuantitativos son los resultados que se obtienen de una observación; se representan por medio de números que se asocian con una unidad de medida; por ejemplo, el peso de los estudiantes en un determinado salón de clases expresado en kilogramos, el ingreso per cápita en pesos, la estatura de los estudiantes expresada en metros, etcétera. Número. Es un símbolo (1, 2, 3,...) que representa una cantidad. Las cantidades pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Numerales. Son símbolos como: X, 10, 3X, CASA; en otras palabras, no representan cantidades y se utilizan para identificar un evento de otro, o como simples etiquetas para diferenciar un elemento o evento de otro. Con ellos, sólo se emplean las operaciones lógicas de: ., ,, 5, #, y $. Variable. Para obtener estadísticas se utilizan conjuntos que poseen un determinado o indeterminado número de unidades, como son: los objetos, las personas, los fenómenos, etcétera. Cada una de las unidades de estudio tienen determinadas características; por ejemplo, para un ciudadano del estado de Hidalgo, se puede estudiar: la edad, el estado civil, la estatura, el estrato social, el género, el grado de escolaridad, el lugar de nacimiento, el nivel máximo de estudio, la religión, el peso, la talla, etcétera. Todas y cada una de estas características, que adquieren diferentes valores en cada persona, lugar o cosa y que son susceptibles de una medición, reciben el nombre de variables. De esta manera, el estudio de los habitantes de una población requeriría, tal vez, del uso de variables como género, edad, estatura, peso, estrato social, ingreso, religión, etcétera. Como puede observarse, la variable es una construcción que el investigador genera para analizar una realidad. Población. Es el conjunto formado por un número determinado o indeterminado de unidades (personas, objetos, fenómenos, etc.) que comparten características comunes a un objeto de estudio. a) Población finita. Es aquella que está formada por un número finito de elementos que pueden contarse (del primero al último, de ser necesario); por ejemplo, los departamentos de una unidad habitacional (Tlaltelolco); el número de trabajadores de una Secretaría de Estado o el número de productos terminados por una compañía manufacturera. Los ejemplos anteriores deben referirse con una fecha específica para que tengan significado real. • En un estudio de las preferencias de los votantes en una elección presidencial, la población estaría formada por todas las personas registradas en un padrón electoral. • El total de empresas productoras de bolsas y maletas de piel en el estado de Guanajuato.


b) Población infinita. Ésta se forma por un número de elementos que no pueden listarse o enumerarse en su totalidad, ya que no se conoce nunca el último elemento que forma la población.

Ejemplos: • Los trabajadores de la industria de la construcción. • El número de plumas para escribir que se han vendido en la República Mexicana del año 2000 al 2007. Parámetro. Es la medida que cuantifica una característica que ha sido estudiada para una población. Este valor se considera verdadero, ya que su origen parte del estudio de cada uno de los datos que constituyen a la población. Por lo general, los parámetros se denotan con letras griegas; por ejemplo, la media de la población (µ), la varianza de la población (σ2), la desviación estándar de la población (σ). Un investigador de mercado, en ocasiones, quiere conocer el valor de un parámetro; por lo general, esto no es posible debido al tiempo y al dinero necesario para realizar un censo. Entonces el investigador debe tomar una muestra al azar de la población y calcular de la muestra un estadístico, lo que le permitirá inferir por estimación el valor del parámetro. Censo. Se conoce así al estudio de todos y cada uno de los elementos de una población; éste consiste en aplicar una encuesta a todos los elementos que integran una población; en otras palabras, es un estudio exhaustivo de esa población. Por ejemplo, los censos de población que se realizan cada 10 años en México. El censo es una buena opción cuando: • La población es pequeña. • Se requiere una exactitud completa. • El tamaño de la muestra es muy grande que se acerca al tamaño de la población. En la práctica, en ciertas ocasiones no es posible realizar un censo cuando: • La población es infinita. • Se requiere tener información rápidamente. • Hay escasez de recursos económicos o presupuestales, humanos y límites de tiempo. Encuesta. Es un instrumento organizado para conocer o encontrar hechos, es decir, proporciona datos que son necesarios para la investigación. Una encuesta no debe: • Ser larga, para que el entrevistado no pierda interés. • Omitir preguntas importantes. • Tener redacciones confusas. • Utilizar tecnicismos, sin haberse definido con anterioridad.


Muestra. Es cualquier subconjunto seleccionado de una población, que sigue ciertos criterios establecidos en la teoría del muestreo. La muestra es el elemento básico en el cual se fundamenta la posterior inferencia acerca de la población de donde procede. A los investigadores les resulta difícil levantar un censo para conocer los parámetros de una población, ya que se emplea demasiado tiempo y su costo es alto por la gran cantidad de datos a recolectar y presentar; por lo regular, es necesario contratar personal o equipo altamente capacitado. Al investigador le resulta más fácil tomar una muestra, pero para él es muy importante conocer el tamaño de la muestra (n), porque de ello depende la buena estimación de los parámetros de la población. La muestra al estar formada por una parte de los elementos de la población (N) en estudio debe cumplir ciertas condiciones como: tomarse de la población en estudio y ser la más pequeña (n), pero al mismo tiempo representativa de la población. – Calcular X para estimar Población parámetro m

Muestra – estimador X Seleccionar una muestra n en forma aleatoria Figura 1.1. Ciclo para estimar la media poblacional.

• Estadígrafo o estadístico. Es la medida que cuantifica una característica estudiada en una muestra. Se acostumbra denotarlas con letras romanas; por ejemplo, la media muestral (x), la varianza de la muestra (s2), la desviación estándar de la muestra (s). La diferencia entre parámetro y estadístico sólo es importante en la Estadística inferencial; por ejemplo, cuando un investigador de mercado toma una muestra al azar de una población y calcula un estadístico de la muestra (x).

Ejemplo: Tenemos una muestra que lista a 100 posibles clientes de un producto (chocolates en barra), y a éstos se les pregunta su opinión acerca del mismo. Si 60 de éstos lo prefieren, entonces tendremos, que la proporción muestral será 0.60, y ésta será, en consecuencia, un estadístico.

En dónde se utiliza la Estadística La Estadística, en la actualidad, tiene una infinidad de aplicaciones; por ejemplo, los diferentes gobiernos en el mundo la utilizan para generar las bases de datos de los nacimientos y de las defunciones. También, en economía (por medio del índice de precios al


consumidor, y del índice de producción industrial), así como en el aspecto financiero (las tasas de interés o las fluctuaciones en la bolsa de valores). Obviamente pueden también conocerse las tendencias demográficas, o las operaciones futuras de cualquier empresa. En economía, el uso de la estadística se emplea como una herramienta de predicción y de toma de decisiones en la investigación de mercados, de recursos financieros a largo y corto plazo, en recursos humanos, etcétera. En las ciencias exactas, la estadística se ha usado para obtener datos y probar hipótesis utilizando un método científico; por ejemplo, en ingeniería, física, control de calidad, comunicaciones, estudio de los semiconductores, etcétera. En biología y medicina, para determinar los posibles efectos secundarios o la efectividad de las medicinas; en genética, para determinar las características genéticas de los seres vivos; en agricultura, para determinar los efectos de los insecticidas y fertilizantes en los campos; y en medicina preventiva, para controlar enfermedades contagiosas. La gran aceptación que ha tenido la estadística en las diferentes ciencias y disciplinas, por utilizar gran cantidad de información que permite deducir comportamientos o características en una población, la ha llevado a ser un curso obligatorio en la mayor parte de las escuelas y universidades, ya que conlleva al uso de calculadoras y de computadoras, las cuales constituyen en la actualidad una herramienta fundamental en el proceso de tomar decisiones.

Abusos de la estadística Al utilizar la Estadística es importante cuidar la obtención, cuantificación y presentación de los datos para no dar un mal uso de ellos, porque ello puede hacer que las personas interpreten mal la información y, por tanto, el trabajo pierde validez. Cuando los datos obtenidos son numéricamente insuficientes nos lleva a conclusiones equivocadas; por ejemplo, en una encuesta que se realizó con respecto a un nuevo programa de televisión se informó que la mayor parte de las personas entrevistadas coincidía que la conductora tenía problemas sexuales o le interesaba mucho el tema. Un estudio más a fondo indicó que sólo se habían transmitido diez programas de sexo y temas afines en forma consecutiva, de un total de doscientos programas grabados con temas diferentes al sexo. Es conveniente saber primero el número total de casos que intervienen en el estudio para evitar una interpretación equivocada. En ocasiones, las conclusiones se basan en datos obtenidos de una muestra que no es representativa de la población; esto se puede deber a que el método que se utilizó para obtener los datos no sea el adecuado y deje de responder a una proporción adecuada entre muestra y población. Por otro lado, en la presentación de gráficas de diversos estudios estadísticos es muy frecuente que la construcción de las mismas sea inadecuada, lo que lleva a tener una


interpretación equivocada. El principal error que se comete es cuando no se utilizan las escalas adecuadas para presentarlas, pues se obtienen gráficas muy anchas o demasiado altas. Otro error común es omitir el punto de origen de los ejes cartesianos, el cero, y comenzar con otro valor diferente. Los conceptos expresados anteriormente sólo muestran algunos casos en los cuales la estadística se utiliza a conveniencia del investigador, pues se obtienen como ya se indicó, resultados equivocados; es decir, se ha abusado de ella. Para evitar estos abusos, el investigador deberá aplicar por un lado, sus principios éticos y, por otro, las técnicas estadísticas adecuadas; esto se mostrará en los diversos capítulos de este libro.

Por qué se estudia Estadística Las definiciones anteriores nos proporcionan una idea general de lo que realiza la Estadística como rama de las Matemáticas aplicadas. Este conjunto de técnicas que tienen aplicación en las más diversas disciplinas, en ocasiones no siempre son aceptadas por las personas encargadas de aplicarlas. Esta última aseveración dependerá del conocimiento adecuado que tenga acerca de esta herramienta estadística la persona que la usa. Las personas que por sus trabajos requieren elaborar estadísticas se preguntan, en muchas ocasiones, por qué se estudian estas técnicas. Como indica F. Holguín: “La Estadística proporciona los elementos básicos para fundamentar una investigación. • Cómo planear la obtención de los datos para que de ellos se puedan extraer conclusiones confiables. • Cómo analizar estos datos. • Qué tipo de conclusiones pueden obtenerse con los datos disponibles. • Cuál es la confianza que nos merecen los datos”. La Estadística, por medio de sus dos ramas, permite realizar estudios de tipo descriptivo y explicativo prácticamente en todas las áreas del conocimiento humano.

¿Cómo aplicar estas técnicas en una investigación? La respuesta es simple: siguiendo un método. Hay muchos métodos sugeridos por diferentes autores; a continuación se presenta un resumen muy sencillo elaborado con varios de estos métodos. Elementos para realizar una investigación: • Formulación del problema. Consiste en identificar y especificar adecuadamente un problema de investigación. En esta etapa es muy importante establecer con precisión la o las hipótesis, el o los objetivos del estudio, su alcance y la población de datos asociada con el mismo.

2 Fernando Holguín Quiñones, Estadística descriptiva aplicada a las ciencias sociales, México, UNAM, 1981, pp. 22 y s.

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• Diseño del experimento. En esta segunda etapa, el investigador debe seleccionar la técnica de recolección de datos (observación directa, entrevista, encuesta, investigación documental) que le permita obtener información a un mínimo costo (dinero y tiempo) posible. También debe definir el tamaño de la muestra, la calidad requerida y el tipo de datos que le permitan resolver el problema planteado de la manera más eficiente. • Recolección de datos. Es la etapa de mayor importancia en la investigación, ya que la calidad de los datos obtenidos depende de una óptima recolección; la cual debe sujetarse a reglas estrictas que permitan obtener la información deseada. • Proceso de datos y su descripción. Consiste en elaborar cuadros estadísticos de trabajo, cuadros estadísticos de referencia, gráficas y cálculos de medidas estadísticas apropiadas al proceso descriptivo o inferencial seleccionado. Esto es, se exponen los datos muestrales mediante representaciones tabulares, gráficas y medidas estadísticas con el objeto de hacer una descripción de los resultados. • Inferencia estadística y conclusiones. Esta etapa proporciona una contribución muy importante, ya que en ella se define el nivel de confianza y significación del proceso inferencial, lo cual sirve como orientación a quien o quienes deben tomar una decisión acerca del tema objeto de estudio. Esto último permite al investigador establecer una conclusión acerca del problema y, en algunas ocasiones, elaborar sugerencias para la solución del mismo. En Estadística, un investigador debe contar con elementos que le permitan probar sus hipótesis; estos elementos son las variables de la investigación. Formulación del problema

Diseño del experimento

Recolección de datos

Nuevo problema

Nuevo conocimiento

Proceso de datos y descripción

Inferencia estadística y conclusiones Figura 1.2. Elementos para realizar una investigación.

Variables Como se observa en la figura 1.2, la primera etapa en el desarrollo de una investigación estadística es la formulación del problema, en la cual debe señalarse la hipótesis o las hipótesis de investigación y, por tanto, la variable o variables de estudio que permitan


comprobarlas. Independientemente del área de la ciencia y de la terminología que en ella se utilice para describir a las variables, éstas son susceptibles de clasificarse de acuerdo con la taxonomía establecida para su uso estadístico. Por tanto, no sólo es importante identificarlas y clasificarlas, sino también deben definirse adecuadamente a partir del criterio establecido por el investigador. En estadística, las variables se clasifican en dos grandes grupos, los cuales se definen como variables cuantitativas o métricas y variables cualitativas o no métricas. Las variables cuantitativas o métricas son aquellas cuya determinación está asociada con una unidad de medida (se necesita un instrumento de medición); por ejemplo, la altura de un edificio (en metros); el peso de una persona (en kilogramos); el número de habitantes de una población (en número); el ingreso mensual de los obreros de una fábrica (en pesos), etcétera. Estas variables se subclasifican, a su vez, en variables discretas y continuas. • Variables discretas o discontinuas. Son aquellas que cuantifican la característica por medio de valores enteros y nunca mediante fracciones de los mismos; por lo regular, el resultado se obtiene de contar. Como ejemplo, el número de clientes de un restaurante, el número de facturas expedidas en la semana por una papelería, el número de clientes potenciales en las ventas por internet, el número de puestos en una empresa, el número de habitantes en edad de votar en una población rural, el número de camiones de transporte colectivo en una ciudad, etcétera. • Variables continuas. Son aquellas que pueden tomar cualquier valor numérico, es decir, un valor entero o fraccionario en un intervalo previamente especificado; por lo regular, el resultado se obtiene de medir. Por ejemplo, la variable temperatura (grados centígrados), la variable tiempo en una investigación podría medirse en intervalos de horas, o en horas y minutos, o bien, en horas, minutos y segundos, según sea el requerimiento de la misma. La variable distancia en una investigación podría medirse en intervalos de kilómetros, o en metros y centímetros, o bien, en centímetros y milímetros de acuerdo con los requerimientos. Las variables cualitativas o no métricas especifican y miden cualidades en los individuos, lugares o cosas a partir de su descripción con palabras. Por ejemplo, la variable calidad de un servicio (muy bueno, bueno, regular, malo, muy malo), la variable estatus social (alto, medio, bajo); la variable idioma (francés, inglés, portugués, español); la variable género (hombre, mujer); la variable religión (católico, cristiano, protestante, etc.), entre otros. A su vez, las variables cualitativas se subclasifican en nominales y ordinales. • Variables nominales. Son variables no métricas, las cuales se usan para describir una característica que no puede cuantificarse numéricamente (no emplean instrumento de medición); por ejemplo, el idioma, identificar a los jugadores de un equipo, el género de las personas en un grupo indígena, el nombre de una persona, religión, profesión, etcétera. A estas variables, en ocasiones, se les asignan símbolos numéricos (numerales) de acuerdo con una regla específica. Estos números sólo se emplean para diferenciar a los distintos objetos o categorías. Así, la variable género

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se clasifica mediante dos categorías: 1, para las mujeres; y 2, para los hombres. De esta manera, en una investigación todos los individuos 1 serán mujeres y los 2 serán hombres. Con respecto a la variable calidad de un servicio, si éste se clasifica en cinco categorías, obtendríamos: 1 para muy bueno, 2 para bueno, 3 para regular, 4 para malo y 5 para muy malo. Esta forma de numeración en las variables nominales no permite realizar ninguna operación aritmética o algebraica; reiteramos, sólo sirve para identificar o nombrar. • Variables ordinales. Son variables no métricas que permiten describir la característica de un individuo, lugar u objeto, a partir de realizar una diferencia, en diversas categorías establecidas en orden de supremacía o de acuerdo con un criterio jerárquico. La diferencia que se establece entre las diferentes categorías ordinales no tiene un significado cuantitativo, sólo indican que una situación es mejor que otra, pero nunca cuantifican (la valuación es subjetiva). Por ejemplo, la evaluación que un viajero puede realizar acerca del servicio en un aeropuerto; si el servicio fue: malo, regular, bueno y muy bueno. La evaluación realizada por el cliente es subjetiva porque la variable mide diversas categorías que han sido establecidas de acuerdo con un criterio, pero entre ellas no puede establecerse una cuantificación numérica. En el momento operacional de una variable nominal, ordinal, de intervalos o de razón, en su representación gráfica puede utilizarse como una variable discreta o continua, y en el momento de su análisis puede ser dependiente o independiente.

Desde el punto de vista de la Estadística, la clasificación de las variables mencionadas no es única, ya que cada disciplina científica crea su propia clasificación de variables. Por ejemplo, en las ciencias sociales es común establecer relaciones entre variables experimentales, las cuales se clasifican, desde el punto de vista metodológico, en variables dependientes y variables independientes. La variable dependiente es aquella cuyos valores están condicionados por los valores que toma la variable o las variables independientes con las que tiene relación. Variable independiente

Variable dependiente

Figura 1.3. Relación entre variables.

La variable o las variables independientes son la causa iniciadora de una acción, es decir, de acuerdo con sus valores condicionan a los valores de la variable dependiente. Recordemos, una variable es cada una de estas características: cualidad, rasgo, atributo o propiedad, que toma diferentes valores en cada persona, lugar o cosa y que es susceptible de una medición.


Ejemplo: • Un problema cotidiano de tipo económico es el comportamiento del ahorro de una persona en una ciudad; el ahorro nos permitirá establecer una relación con las variables. El modelo económico que explica el ahorro es: Ahorro = ingreso – gasto

En el modelo del ahorro, la variable dependiente, presentará una situación específica de acuerdo con el comportamiento que tengan las variables independientes de la relación. En el cuadro 1.1 se muestran cuatro escenarios del ahorro con base en el comportamiento del ingreso y gasto. Cuadro 1.1. Comportamiento del ahorro con base en el ingreso y gasto Ahorro 5 ingreso 2 gasto Ahorro ($)

Ingreso ($)

Gasto ($)

Tipo de ahorro

Observaciones

1000

1500

500

Alto

Ideal

300

1500

1200

Bajo

Mínimo recomendado

0

1500

1500

No hay

No recomendable

2450

1500

1950

No hay

Hay déficit cubierto con crédito

En la última etapa de la definición de variables que se usarán en una investigación, y de acuerdo con Hernández, Fernández y Baptista, su definición se establece en dos niveles, los cuales se especifican como nivel conceptual y nivel operacional. Nivel conceptual. Define el término o variable con otros términos. Por ejemplo, el término poder puede definirse como “influir más en los demás que lo que éstos influyen en uno”. Este tipo de definición es necesaria pero insuficiente para definir una variable, debido a que no nos relaciona directamente con la realidad, ya que como puede observarse, siguen siendo conceptos. Nivel operacional. Lo constituye un conjunto de procedimientos que describen las actividades que un observador realiza para recibir las impresiones sensoriales que indican la existencia de un concepto teórico (conceptual) en mayor o menor grado, es decir, consiste en especificar las actividades u operaciones necesarias que deben realizarse para medir una variable.

3 Hernández R, Fernández C y Baptista P, Metodología de la Investigación, México, McGraw-Hill, 1991, pp. 99102.

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Ejemplos: Variable

Nivel conceptual

Nivel operacional

Ausentismo a clases

El grado en el cual un estudiante no se presentó a clases a la hora en la que estaban programadas

Revisión de las listas de asistencia de las diferentes asignaturas durante el último mes

Género

Condición orgánica que distingue a “la hembra del macho”

Asignación de la condición orgánica: mujer u hombre

Variable

Cuantitativa (métrica)

Discreta

Continua

Nivel conceptual

Cuantitativa (no métrica)

Nominales

Ordinales

Nivel operativo

Figura 1.4. Clasificación de las variables desde el punto de vista de la Estadística.

Con estas dos definiciones, el investigador o estudiante tendrá ahora la posibilidad de acotar adecuadamente las variables para un uso estadístico adecuado en la realización de un estudio o una investigación. En esta etapa, se recomienda al investigador o estudiante especificar las variables que habrá de utilizar en su investigación, no sólo por su tipo desde el punto de vista estadístico, sino principalmente por su definición conceptual y operacional de tal manera que éstas queden perfectamente detalladas en la investigación que se está realizando. Con esto último ya definido, el investigador puede pasar a la etapa de recolección de datos, lo que le permitirá posteriormente llegar al procesamiento de datos y su descripción.

Escalas de medición Una vez que se han especificado y descrito a nivel conceptual las variables que se utilizarán en una investigación, es muy conveniente también establecer, en conjunto con el nivel operacional, la escala de medición, ya que ésta permite definir con gran precisión la forma en que el investigador medirá en la práctica sus variables. La escala es una sucesión ordenada de elementos distintos, pero de la misma especie. Otra forma de entender lo que es una escala es considerar un factor de proporcionalidad


entre una cantidad representada y el segmento que la representa. Y la medición es el resultado numérico de comparar una unidad de medida con respecto a cualquier objeto o evento, siguiendo un conjunto de reglas diferentes, que previamente fueron establecidas; por ejemplo, medir el largo del salón de clases con un metro, medir la temperatura del agua de una alberca. Los niveles de medición o escalas de medición están definidos mediante cuatro tipos generales de escalas: la escala nominal, la escala ordinal, la escala de intervalos y la escala de razón.

Escala nominal Es el tipo más limitado (más débil) de medición que puede tener una variable. Se utiliza para hacer referencia a los datos (representados por numerales) que sólo pueden clasificarse en categorías, es decir, se aplica a aquellas variables que no pueden medirse mediante escalas numéricas (sano o enfermo), sino únicamente por medio de contar cada una de las características (se realiza un conteo de datos). Lo anterior indica que en este nivel de medición no hay un orden particular para organizar a los distintos grupos que forman los valores de la variable. Estas categorías o grupos son mutuamente excluyentes, es decir, que un dato al clasificarse sólo puede pertenecer a un grupo de la clasificación. Por ejemplo, al preguntarle a un alumno de la universidad la carrera que está cursando, éste sólo puede responder Economía (u otra carrera), pero no puede respondernos que cursa las carreras de Economía y Derecho. En el caso de clasificar a un automóvil por marca, no puede ser al mismo tiempo Toyota y Mazda; se le clasifica sólo en una. En este tipo de escalas, los grupos o categorías deben ser exhaustivos, lo cual significa que todos los datos de la población o muestra a clasificar pueden incluirse en su grupo o categoría respectiva.

Ejemplos: • Número de instituciones de educación superior públicas y privadas en México, las categorías es por tipo de institución. Se muestra en el cuadro 1.2. Cuadro 1.2. México: número de instituciones de educación superior (por tipo de institución, 2003) Tipo Centros Colegios Escuelas Institutos Universidades Total

Públicas 112 21 255 333 324 1045

Privadas 383 57 229 441 429 1539

Fuente: Elaborado por el Centro de Investigación en Ciencias y Humanidades, UNAM (2003), con datos de ANUIES.

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• Los alumnos de la Facultad de Contaduría y Administración de la UNAM, deben de clasificarse para las carreras de Administración, Contaduría e Informática, como se muestra en el cuadro estadístico 1.3. Cuadro 1.3. Facultad de Contaduría y Administración de la UNAM, alumnos por carrera Carrera

Alumnos

Administración

4 250

Contaduría

3 750

Informática

970

Total

8 970

Fuente: Datos hipotéticos.

Escala ordinal La escala ordinal se caracteriza por presentar diferentes niveles de medida entre sus categorías, una mayor que otra; de tal manera que todas ellas tienen diferente valor subjetivo. Esta medida diferente tiene dos características importantes: 1. Consiste en que el valor que toma la variable es un valor subjetivo. 2. Es que obliga a clasificarla en las categorías establecidas, en un orden específico (o en orden jerárquico). La escala ordinal de medición presenta, del mismo modo que la escala nominal, las mismas características; es decir, sus categorías o grupos de clasificación son mutuamente excluyentes y exhaustivas.

Ejemplos: 1. Las personas pueden clasificarse por su nivel socioeconómico como: a) Bajo. b) Medio. c) Alto. 2. La inteligencia puede medirse por: a) Encima del promedio. b) En el promedio.

c) Debajo del promedio.

3. Un investigador desea medir la calidad del servicio que presta el transporte público “Metrobús” de la Ciudad de México, y para ello entrevista a una muestra de usuarios: ¿cómo considera usted la calidad del servicio del Metrobús de la Ciudad de México? b) Malo. c) Regular. d) Bueno. e) Muy Bueno. a) Muy malo. La clasificación de las respuestas sigue un orden de acuerdo con el valor que cada individuo le asigna en la muestra; así, un investigador podría mostrar sus resultados a la pregunta realizada (cuadros 1.4 y 1.5).


Cuadro 1.4. Calidad del servicio

Cuadro 1.5.

Respuestas

Muy bueno

50

Bueno

150

Regular Malo Muy malo Total Fuente: Datos hipotéticos.

Calidad del servicio Respuestas Muy malo

7

Malo

15

35

Regular

35

15

Bueno

150

7 257

Muy Bueno Total

50 257


Esta escala se utiliza cuando se desea diferenciar en orden jerárquico los objetos o características que forman la variable. Por otro lado, si se utilizan números, éstos sólo sirven para diferenciar una posición en un orden de acuerdo con el criterio jerárquico establecido con anticipación, por ejemplo: • 1º (primer) lugar de una carrera de maratón. • 5º (quinto) lugar en ser ocupado en una empresa de nueva creación.

Escala de intervalo En esta escala de medición, es posible establecer valores numéricos constantes en las diversas categorías, y por ello establecer medidas o cuantificaciones entre unas y otras. También puede conocerse la magnitud que hay entre dos medidas cualesquiera y es posible ordenar las mediciones. Para construir una escala de intervalos se debe conocer: la distancia unitaria y el punto de origen o de partida, el cual recibe el nombre de cero móvil o arbitrario.

Ejemplo: • La escala de temperatura es la medición de la temperatura ambiente. La temperatura normal para un determinado municipio de la costa del estado de Nayarit es de 29º centígrados a las 12 horas y cuando amanece (6 a.m.), la temperatura es entre 15º y 18ºC. Cuando se conoce la diferencia entre dos medidas se forma un intervalo entre 15ºC y 18ºC, entonces el incremento de temperatura es de tres grados. También puede considerarse el mismo incremento a las 10 a.m., pero ahora esta temperatura está entre 23ºC y 26ºC. Obsérvese que el cero (0ºC) en este tipo de escala es arbitrario, ya que 0º en el ambiente no significa que no haya temperatura sino sólo un determinado estado de frío. • La escala de intervalo que se muestra en el cuadro 1.6, califica la habilidad de los operarios para el armado de automóviles en una empresa de Ciudad Sahagún.

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Cuadro 1.6. Calificación de habilidad Puntuaciones

Obreros

101 – 110

75

91 – 100

45

81 – 90

26

71 – 80

17

60 – 70

9

Menos de 60 Total

3 175


En este ejemplo, un operario puede tener una habilidad de 71, otro de 75 y otro de 79. La diferencia de habilidad entre los operarios es cuantificable en cuatro unidades. Como puede observarse en el cuadro 1.6, el valor cero no tiene significado, ya que finalmente todos los operarios tienen algún grado de habilidad. Como se mostró en los ejemplos anteriores, la escala de intervalos es de tipo cuantitativa, esto permite ordenar las mediciones, realizar operaciones aritméticas así como operaciones lógicas.

Escala de razón Ésta es la de más alto nivel de medición y tiene las mismas características que la escala de intervalo, es decir, tiene una unidad de medida. Las categorías se especifican con números, el tamaño de éstas es conocido y constante; también son mutuamente excluyentes y exhaustivas. La diferencia de la escala de intervalo con respecto a la de razón es: el punto cero o punto de origen, el cual es fijo y es significativo; la razón o cociente entre dos números de la escala, también, es significativa. Para construir la escala de razón se debe conocer la unidad de medida, así como determinar la igualdad de las razones y fijar el punto cero; por ejemplo, se pueden medir las siguientes variables: peso, estatura, longitud, ingresos monetarios, gasto en transporte, etcétera. Ahora bien, si seleccionamos la variable gasto diario en transporte de un obrero a su centro de trabajo. Cuadro 1.7. Gasto diario en transporte Gasto ($)

Obrero

0 – 12

25

13 – 24

32

25 – 36

8

37 – 48

4


El obrero puede tener un gasto de $ 11.50 al día, pero también podría suceder que tenga un gasto de $ 0.00, lo que significa que camina diariamente a su centro de trabajo. En este caso, el cero tiene significado y la unidad de medida es el peso ($). Considere ahora un obrero que gasta $ 15.00 diarios en transporte y otro sólo $ 5.00. El primer obrero gasta el triple de lo que el segundo; es decir, el cociente entre ambas cantidades tiene un significado al realizar un análisis.

Presentación y descripción de datos Cuando el investigador ha diseñado el experimento, procede a determinar el tamaño de su muestra, y mediante un instrumento de recolección de datos (cuestionario, entrevista, observación, etc.) habrá realizado las mediciones de todas las unidades contenidas en la muestra. De esta manera se ha concluido la obtención de datos originales (datos en bruto), los cuales no son significativos. La etapa de agrupación de datos (tabulación) tiene como objetivo condensarlos en una primera fase antes de obtener las medidas estadísticas que los condensa aún más. La agrupación de datos, que en estadística se define como presentación tabular, consiste en agruparlos mediante la elaboración de cuadros estadísticos o tablas estadísticas. En la actualidad se cuenta con dos formas de tabulación: la manual y la de proceso electrónico. Independientemente de cuál alternativa se tome para agrupar los datos, se deberán realizar los pasos siguientes: • Primero se definen cuáles y cuántas clases o grupos se tienen en cada variable de la investigación (utilizar la definición operacional de variable). • Después, se procede al conteo y clasificación de cada dato en los grupos o clases determinados previamente. Por ejemplo: Característica Género

Estado civil

Categoría Mujer Hombre Soltero Casado Unión libre Viudo

Conteo

La característica género se establece en dos categorías o clases, las cuales se definen como hombre y mujer. Para la característica estado civil se establecen cuatro categorías soltero, casado, unión libre y viudo; una vez hecho esto, se deberá contar y clasificar a cada hombre o mujer; soltero o casado o en unión libre o viudo para cada persona entrevistada en el estudio.

Tabulación manual Se realiza el recuento mediante el uso exclusivo de papel y lápiz. Se elaboran hojas tabulares en donde se registrará el dato en la categoría correspondiente conforme éste se

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va tomando de la fuente (cuestionario, entrevista, observación, etc.). Se pueden utilizar dos sistemas: el de diagonales o rayas y el de cuadrados.

Diagonales (rayas)

Cuadros

|||| ||||

9 unidades

9 unidades

El sistema más recomendado de acuerdo con la experiencia es el de cuadros, porque presenta un menor número de errores en el conteo, ya que es más fácil percibir cuando se han completado cinco unidades; mientras que el sistema de diagonales da lugar a cometer un mayor número de errores, al registrar un mayor o un menor número de unidades en lugar de las cinco. En el cuadro 1.8. se muestra un ejemplo de esta tabulación a partir de la clasificación por género de 23 personas y por el estado civil de 14 hombres: Cuadro 1.8. Característica

Categoría

9

Hombre

14

Soltero

5

4

Mujer

Género

Casado

Estado civil (hombres)

Frecuencia

Conteo

Unión libre

4

Viudo

1

La tabulación manual, también, puede efectuarse mediante el traslado de los datos a hojas o cuadros de concentración. Estos cuadros permiten al investigador tener los datos a la vista, concentrados, en lugar de tenerlos dispersos en los cuestionarios, tarjetas, etcétera, y también facilitan realizar el conteo. La forma de registro en los cuadros de concentración se realiza mediante símbolos elementales como los siguientes: (•, 5, 3) y los totales se registran al pie de las columnas (cuadro 1.9). Cuadro 1.9. Género Cuestionario

1 2 3 4 5

H

M

Nacionalidad Mexicano

• • • •

• • •

Estado civil

Extranjero

Soltero

•

•

Casado

¿Trabaja?

Unión libre

Viudo

Sí

• •

•

•

• •

•

• •

A

A

A

A

A

Total

14

9

20

3

A 9

No

•

A

A

A

A

A

7

4

3

5

15

Fuente: Datos tomados de un grupo del semestre 2007-2 de la Maestría en Administración de Hospitales, FCAUNAM.


La tabulación manual es recomendable cuando el número de cuestionarios o datos recolectados no sea muy grande y las categorías o clases especificadas no sean numerosas. En estas condiciones, la tabulación manual es más ventajosa que la tabulación mediante el proceso electrónico.

Proceso electrónico de datos Este proceso es recomendado cuando las investigaciones a realizar requieran operaciones a gran escala, que sean complicadas o con un alto grado de repetición. El proceso electrónico es preferido con respecto al manual porque la computadora procesa los datos a gran velocidad y eficiencia, a pesar de estas ventajas, se requiere un trabajo preliminar en la elaboración del programa de computadora, así como en la captura de los datos para su proceso. El investigador, en el siglo xxi, cuenta con una gran variedad de programas de computadora (paquetes) que le permiten procesar los datos en forma rápida y eficientemente, algunos de los paquetes que pueden utilizarse son SPSS (Statistical Package for Social Science), SAS (Statistical Analysis System), Minitab, Excel, etcétera. Cuadro 1.10. ¿Trabaja actualmente en el turno vespertino?

Valid

Sí No Total

Frequency

Percent

Valid percent

4 1 5

80.0 20.0 100.0

80.0 20.0 100.0

Cumulative percent 80.0 100.0

Este cuadro es un ejemplo elaborado con el paquete SPSS. Cuadros estadísticos. En éstos se presentan los resultados del proceso de condensación o tabulación de datos. En estadística, esta presentación de la información recibe el nombre de cuadros estadísticos, también conocidos con el nombre incorrecto producto de la traducción inglesa, de tablas estadísticas. Los cuadros estadísticos tienen como objetivo ser el lugar donde se depositan los datos, o bien, el lugar que contiene datos ya procesados; es decir, la información que el investigador utiliza como una herramienta en sus análisis. Los cuadros estadísticos tienen como principales ventajas: • Presentar una gran cantidad de información. • La posibilidad de leer valores exactos. • La sencillez en su elaboración. El cuadro estadístico se clasifica en dos tipos: cuadros de trabajo y cuadros de referencia, con base en el uso que el investigador o el estudiante le dé.

21

22


Cuadros de trabajo. Son aquellos que contienen datos como producto de una tabulación. En otras palabras, son cuadros depositarios de datos. Éstos son utilizados por el investigador para obtener, a partir de ellos, las medidas estadísticas requeridas. Un ejemplo de este tipo se muestra en el cuadro 1.11. Cuadro 1.11. Producción para exportación del primer semestre de 2006, México. México fue el primer país que más automóviles produjo a nivel mundial Año

Chrysler

Ford

GM

Honda

Nissan

VW

Total

2000

371 516

234 751

325 422

7 277

153 978

340 054

1 432 998

2005

340 265

107 083

333 225

14 587

155 190

242 496

1 192 846

2006

174 566

159 445

199 638

8 545

91 295

148 225

781 714

Fuente: Asociación Mexicana de la Industria Automotriz.

En este cuadro se observa simplemente la presentación de los datos de la producción de automóviles para exportación en el año 2000, 2005 y 2006 (al mes de junio), como resultado de un conteo de la producción nacional de estos automóviles sin incluir en él ningún tipo de cálculo. Cuadros de referencia. Son aquellos que tienen como objetivo ayudar al investigador o al estudioso en el análisis formal de las interrelaciones que tienen las variables en estudio, es decir, contienen la información ya procesada de los cuadros de trabajo (proporciones, porcentajes, tasas, coeficientes, etc.). El cuadro 1.12 es un ejemplo del cuadro de referencia. Las instituciones bancarias “han realizado cuantiosas inversiones materiales y humanas para poner a disposición del público una amplia infraestructura de pagos y servicios que faciliten la vida diaria de las personas y las empresas, en un creciente número de poblaciones en todo el país”; en la actualidad se ha revolucionado el sistema de pagos, lo cual “ha implicado una migración de los medios basados en papel, como el efectivo, el cheque y el giro, a los medios electrónicos, como transferencias, domiciliaciones, cajeros automáticos y transferencias electrónicas con diversas repercusiones tanto para los usuarios como para los bancos”. Cuadro 1.12. Sistema de pago bajo valor en México (2005) Sistema

Volumen promedio diario (miles de operaciones)

Cheques TEF

2 310 764

Domiciliación

Porcentaje operaciones (%) 32.35 10.70

Importe promedio diario (millones de pesos)

Porcentaje importe (%)

39 577 55 817

39.75 56.06 0.20

146

2.04

204

Tarjetas en ATM

2 930

41.04

3 357

3.37

Tarjetas en TPV Totales

990 7 140

13.87 100

621 99 576

0.62 100

Fuente: Revista Ejecutivos de Finanzas, septiembre, año XXXV, No. 45, 2006, pp. 48.


El cuadro de referencia es un cuadro analítico en el cual se han transformado los datos absolutos (cuadro 1.12) a un cálculo de porcentaje, que permite comparar y analizar las variables de un estudio. Otro ejemplo para elaborar cuadros de referencia es el de la producción de oro y plata en México (cuadros 1.13 y 1.14). Cuadro 1.13. Producción de oro y plata en México

Año

Oro (toneladas)

Plata (toneladas)

2002

8.5

2 351.60

2003

8.9

2 223.60

2004

10.4

2 317.40

2005

11.1

2 415.80

2006

14.4

2 325.40

Fuente: Datos hipotéticos propuestos por los autores.

El cuadro 1.13 solamente presenta los datos de producción de oro y plata de 2002 a 2006 como resultado de un conteo de la producción nacional de estos metales, por tanto no incluye ningún cálculo. Cuadro 1.14. Producción de oro y plata en México Año 2002

Oro (toneladas) 8.5

Variación anual %

Plata (toneladas)

Variación anual %

20.8

2 351.60

2.0

2003

8.9

4.6

2 223.60

25.4

2004

10.4

16.5

2 317.40

4.2

2005

11.1

6.8

2 415.80

4.2

2006

14.4

29.4

2 325.40

23.7


El cuadro 1.14 es de referencia o cuadro analítico; en éste se han transformado los datos absolutos de variación anual, columnas 2 y 4 (cuadro 1.13), en sus respectivos porcentajes de crecimiento, los cuales se muestran en las columnas 3 y 5 del cuadro.

Elementos para elaborar cuadros estadísticos La construcción de cuadros estadísticos de trabajo o de cuadros de referencia requiere prácticamente de los mismos elementos para su elaboración, ya que ambos presentan las mismas características estructurales, por lo que los elementos que a continuación se describen deberán utilizarse en la conformación de éstos indistintamente. 4 El cálculo de la variación anual se explica detalladamente en el tema “Incrementos”. 5 El contenido de este subtema se ha tomado, con modificaciones, del propuesto por F. Holguín Quiñones, op. cit., pp. 44-46.

23

24


1. Número del cuadro. Es el primer elemento de todo cuadro estadístico. Tiene como objeto permitir una fácil y rápida referencia al mismo. 2. Título. Es el segundo elemento del cuadro estadístico. En él se indica el contenido del cuadro, su circunscripción espacial, el periodo o espacio temporal y las unidades en que están expresados los datos. 3. Nota en el título (encabezado). Elemento complementario del título. Se emplea sólo en aquellos cuadros en que se requiere proporcionar información adicional; incluso como un todo o relativa a la parte principal del mismo. 4. Casillas cabecera. Contienen la denominación de cada característica o variable que se clasifica. Por ejemplo, para los cuadros 1.13 y 1.14, las casillas de cabecera están formadas por oro, plata y variación anual en porcentaje. 5. Columnas. Son las subdivisiones verticales de las casillas cabeceras. Se incluyen tantas columnas en una casilla cabecera como categorías le correspondan a la variable. Por ejemplo, al clasificar la variable género en un cuadro estadístico, se tendría una columna para hombres y otra para mujeres. 6. Renglones. Son las divisiones horizontales que corresponden a cada criterio en que es clasificada una variable. Por ejemplo, en los cuadros 1.13 y 1.14, la producción de oro y plata es clasificada para cada año del periodo 2002 a 2006. 7. Espacio entre los renglones. Tienen por objeto hacer más clara la presentación de los datos, lo que facilita su lectura. Un ejemplo de esto se muestra en el cuadro 1.14. 8. Líneas de cabecera. Son las líneas que se trazan para dividir las casillas de cabecera de los renglones. 9. Cabeza del cuadro. Está formada por el conjunto de casillas cabeceras y encabezados de columnas. 10. Casillas. Es la intersección que forma cada columna con cada renglón en el cuadro. Las casillas contienen datos, o bien, los resultados de cálculos efectuados con ellos. 11. Cuerpo del cuadro. Está formado por todos los datos sin considerar la cabeza del cuadro y los renglones de totales. 12. Renglón de totales. Es un elemento opcional en los cuadros estadísticos. Se agrega el renglón de totales sólo en aquellos cuadros donde es posible sumar el contenido de las columnas. Esta característica del cuadro, también, es válida para las filas; es decir, es posible tener una columna de totales. 13. Línea final de cuadro. Es la línea que se traza al final del cuerpo del cuadro y, en su caso, al final del renglón de totales. Esta línea divide los datos y cálculos de la nota de cabecera, las notas al pie del cuadro y la fuente. 14. Notas al pie del cuadro. Se usan para calificar o explicar un elemento particular en el cuadro que presente una característica distinta de la clasificación. Por ejemplo, si en el cuadro 1.14, la producción de oro de 2006 fue obtenida durante el primer semestre del año, esto se deberá indicar en una nota al pie del cuadro. 15. Fuente. Es el último elemento en un cuadro estadístico. Tiene por objeto indicar el origen de los datos.


Para mostrar cada uno de los elementos que constituyen un cuadro estadístico se han elaborado, mediante una hoja electrónica de cálculo, tres ejemplos: un cuadro de trabajo del gasto federal en educación durante tres generaciones (figura 1.5); otro cuadro de trabajo (1.15) acerca del el número de empresas por tamaño y su participación en el total de establecimientos, empleos y del PIB (Producto Interno Bruto); y un cuadro de referencia (figura 1.6), en relación con el cuadro 1.15, acerca del gasto federal en educación durante tres generaciones en México. Para complementar la elaboración de cuadros estadísticos, el lector podrá consultar la siguiente dirección electrónica: http://www.geocities.com/aipierdant/cuadros/

Figura 1.5. Gasto federal en educación durante tres generaciones. Cuadro 1.15. Universo empresarial mexicano, número de empresas por tamaño y su participación en el total de establecimientos, empleos y del PIB Estrato Mipyme Micro Pequeñas Medianas Grandes Total

Número de empresas 3 400 000 1 3 276 473 2 132 866 2 30 661 2 6 814 2 3 406 814 2

Del total de empresas

Del total de empleos

99.8% 1 95.0% 1 3.9% 1 0.9% 1 0.2% 1 100%

70.0% 1 nd nd nd 30.0% 2 100.0%

Del total del PIB 50.0%1 nd nd nd 50.0% 2 100.0%

Notas: 1 Cifras publicadas. 2 Cifras estimadas con base en la información publicada. Fuente: Secretaría de Economía, elaborado y publicado en el Financiero (20 de julio 2006, p. 8), republicado por la revista Emprendedores, Núm. 102, p. 36. 6

Las hojas electrónicas de cálculo tienen su origen a la vez que las microcomputadoras, y no son más que programas diseñados para elaborar cuadros y gráficas, así como para realizar cálculos numéricos de diversos tipos (aritméticos, algebraicos, estadísticos, financieros, etcétera.).

25

26


Figura 1.6. Gasto federal en educación durante tres generaciones.

Cuadros estadísticos en Excel Las hojas electrónicas como Excel permiten la elaboración rápida de cuadros y gráficas estadísticas. En esta sección se describirá brevemente el procedimiento de construcción de cuadros estadísticos. Este proceso es similar al de cuadros de trabajo o de referencia. Los elementos considerados deberán utilizarse como una guía en la construcción de cualquier tipo de cuadro. Como ejemplo de construcción utilizaremos el cuadro de trabajo de la figura 1.5. • Seleccionar, en la hoja electrónica, el área de construcción del cuadro (columnas y renglones a utilizar). • Determinar el número de columnas y renglones requeridos. Considere que cada columna en el cuadro corresponde a una columna en la hoja, y así, respectivamente, para los renglones del mismo. • Ubicar el número de cuadro, título, subtítulo y unidades de medida en las celdas de la primera columna en su renglón correspondiente, como se indica en la figura 1.7. • Capturar en las columnas correspondientes, las casillas de cabecera (figura 1.7). • Agregar, en el renglón respectivo, las fórmulas o cálculos necesarios en el cuadro estadístico, tal como se indica en la figura 1.7. • Capturar en su caso las notas al pie y la fuente, dejando entre ambas una línea de separación (figura 1.7).

7 A. Pierdant, J. Rodríguez, Elementos de estadística para ciencias sociales, UAM-X, México 2007, pp. 35 y 36.


• Dar formato final al cuadro, e iniciar con la alineación de columnas del número de cuadro, título, subtítulo y unidades, y seleccionar el tipo de letra y tamaño. Posteriormente, dar formato (alineación, tipo de letra, tamaño de letra, etc.) a las casillas de cabecera y trazar las líneas respectivas. Como tercer paso en este punto, dar formato a los renglones de cuadro, así como al fondo de cada una de las filas. Finalmente, trazar la línea final de cuadro y dar formato a las notas al pie y a la fuente (figura 1.8). Si usted no tiene experiencia en el uso de la hoja electrónica de Excel le sugerimos revisar la amplia bibliografía elaborada acerca del tema.

Figura 1.7

Figura 1.8

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Porcentajes, proporciones, razones, coeficientes e incrementos La elaboración de cuadros estadísticos, y estadísticas en general, implica el uso de ciertos conocimientos aritméticos que permiten obtener medidas de comparación de los datos que han sido condensados. Estas herramientas que analizan las características de las variables clasificadas de un problema particular son los porcentajes, las proporciones, los coeficientes y las razones.

Porcentajes Un porcentaje es la relación que se establece entre un subconjunto “n” de un conjunto “N”, multiplicando esta relación por cien. El porcentaje se representa con el símbolo % (porcentaje o tanto por ciento). Por tanto, ese todo o total representa el 100 por ciento, y cada una de las relaciones obtenidas al dividir la parte entre el total y multiplicarla por cien representa un tanto de cien. Esto último se define como tanto por ciento. Entonces, para realizar el cálculo del porcentaje o tanto por ciento de un subconjunto “n” de “N”, se deberá cumplir que éste (subconjunto “n”) tendrá que ser mutuamente excluyente en relación con otros subconjuntos. El porcentaje se expresa matemáticamente de la siguiente forma:

 Número de elementos del subconjunto n  % del subconjunto n =   (100 )  Total de elementos del conjunto universal N  Por lo tanto, la suma del porcentaje de todos los subconjuntos mutuamente excluyentes (o exclusivos) que forman un universo será siempre igual a 100%.

Ejemplo: Una pequeña población de la sierra de Oaxaca está formada por 48 hombres y 72 mujeres. ¿Cuál es el porcentaje de hombres y de mujeres? Género

Habitantes

Mujeres Hombres Total

72 48 120

El cociente que resulta de dividir el número de mujeres en relación con el total de habitantes y multiplicado por cien, indica el número de mujeres por cada 100 habitantes que hay en esa población.  72  Porcentaje de mujeres 5  (100 ) 5 0.6 3100 5 60%  120   48  Porcentaje de hombres 5  (100 ) 5 0.4 3100 5 40%  120 


La interpretación de los datos obtenidos en este ejemplo es la siguiente: si la población hubiese estado formada por 100 habitantes, 60 serían mujeres y 40 hombres. En estadística, la principal utilidad del porcentaje es la comparación de los diferentes subconjuntos numéricos. Cuando se utilizan las cifras absolutas es muy difícil en ocasiones realizar comparaciones de una manera fácil y comprensible, en virtud de que se oscurecen (o enmascaran) las relaciones. Es posible poderlas comparar porque los números absolutos se reducen a una escala que es fácil de trabajar al realizar la multiplicación y división, y éstas transforman al conjunto que forma el número base (total de elementos del universo) en la cifra 100 que es fácilmente divisible y multiplicable por otros números, permitiendo la determinación de su magnitud relativa. Los porcentajes son útiles cuando se comparan dos o más conjuntos numéricos. Por ejemplo, en la figura 1.6, es posible comparar el gasto en educación por generación; obsérvese que sólo la educación superior ha incrementado sus recursos económicos en las últimas tres generaciones, al pasar de 13.1% en la generación 1977-1992 a 15.8% en la generación 1979-1994, a pesar de que el tamaño de matrícula ha disminuido de 6.9 a 6.5%, respectivamente. En estadística se acostumbra presentar los porcentajes en forma entera; en casos contados, podrán presentarse con un decimal y, muy pocas veces, con dos o más decimales. Es un error querer manipular los porcentajes como si fueran números absolutos, es decir, no pueden sumarse, promediarse o combinarse cuando se han obtenido de bases diferentes.

Ejemplo: Se quiere calcular el porcentaje del gasto promedio de la educación superior de las tres generaciones, con los datos de la figura 1.6. Sin embargo, si se quiere encontrar el porcentaje del gasto promedio en educación superior de las tres generaciones a partir de la figura 1.6, se estaría cometiendo un error, ya que este promedio representaría: 13.1% 1 14.5% 1 15.8% 5 14.46% 3 Cuando en realidad el gasto promedio en las tres generaciones es de:  20 930 1 23 224 1 25 350   159 253 1 160 029 1 160 274  (100 ) 5 14.49% Recordemos que sólo pueden sumarse, promediarse, etcétera, los números absolutos (no los porcentajes), por esta razón el resultado verdadero del porcentaje del gasto promedio de la educación superior de las tres generaciones es 14.49%.

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Cálculo de porcentajes en cuadros estadísticos Al elaborar cuadros estadísticos se busca generalmente establecer un tipo de relación entre dos o tres características objeto de una investigación; por ejemplo, comparar la afiliación a partido político y nivel de ingresos; delincuencia y zona de la ciudad; carrera universitaria y género; votación y género; trabajo y género, etcétera. En todos estos ejemplos se quiere saber si existe algún tipo de relación entre estas variables, o bien, establecer si no la hay. El investigador o el estudioso deben establecer, en primer término, independientemente de la relación objeto de estudio, el sentido en que se calcularán los porcentajes en el cuadro estadístico, y para ello deberá tomar en cuenta la siguiente regla: Los porcentajes deben calcularse en el sentido del factor que se considera como la causa.

Ejemplo: Si consideramos que el tipo de escuela (pública o privada) es la causa que da origen a la elección de un determinado tipo de institución de educación superior, entonces se calculan los porcentajes en el sentido del factor tipo de escuela (cuadro 1.16). Cuadro 1.16. Número de instituciones de educación superior por tipo de escuela, 2003, México Instituciones Centros Colegios Escuelas Institutos Universidades Total

Públicas 112 21 255 333 324 1 045

Privadas 383 57 229 441 429 1 539

Total 495 78 484 774 753 2 584

Fuente: Elaboración del Centro de Investigaciones Interdisciplinarias en Ciencias y Humanidades, UNAM (2003), con datos de ANUIES.

Los resultados del cálculo se muestran en el cuadro 1.17. Cuadro 1.17. Número de instituciones de educación superior por tipo de escuela, 2003, México. (%) Instituciones Centros Colegios Escuelas Institutos Universidades Total

Públicas 10.7 2.0 24.4 31.9 31.0 100

Privadas 24.9 3.7 14.9 28.6 27.9 100

Total 19.2 3.0 18.7 30.0 29.1 100



Al calcular los porcentajes en un sentido, la comparación debe hacerse en sentido contrario. En el cuadro 1.16 se calcularon los porcentajes en el sentido del factor tipo de escuela; entonces, la comparación debe hacerse en el sentido de la variable institución de educación superior. En el cuadro 1.17, las instituciones denominadas Centros de educación superior representan 10.7% de las escuelas públicas y 24.9% de las escuelas privadas; es decir, hay 14.2% más centros privados que públicos de este tipo. Del total de instituciones de educación superior 19.2% son centros. Comparaciones similares pueden realizarse para cada uno de los renglones del cuadro. Si los porcentajes se calculan en sentido horizontal (cuadro 1.18), es decir, por instituciones, deberán interpretarse por tipo de escuela, entonces podemos observar que en los Colegios, el 26.9% son públicos y 73.1% son privados, por lo que hay 46.2% más Colegios privados que públicos. Cuadro 1.18. Número de instituciones de educación superior por tipo de escuela, 2003, México. (%) Instituciones

Públicas

Privadas

Total

Centros

22.6

77.4

100

Colegios

26.9

73.1

100

Escuelas

52.7

47.3

100

Institutos

43.0

57.0

100

Universidades

43.0

57.0

100

Total

40.4

59.6

100


Al calcular los porcentajes en un cuadro estadístico en un sentido u otro proporciona no sólo diferentes resultados, sino también diferentes interpretaciones en las cifras. En este punto es muy importante mencionar que, no siempre es posible calcular los porcentajes en ambos sentidos (vertical y horizontalmente), ya que el analista deberá determinar siempre, en la realización de un análisis, cuál es el factor causal de la relación, de tal forma que éste se establezca proporcionando un sentido estrictamente lógico en el análisis. El cuadro 1.19 es otro ejemplo del cálculo de porcentajes del tipo de basura que daña el ambiente. Si el cálculo del porcentaje se hace en forma vertical, es decir, para el factor año, 2000 y 2005, su interpretación se realizará por tipo de desperdicios de papel, cartón y productos del papel, así como para los otros rubros considerados. En el año 2000, en el primer rubro, la basura dañina constituyó 13.7%, mientras que en el año 2005 el 14.4%. Si el cálculo se hiciera en sentido horizontal, estadísticamente esto no tendría ningún significado, ya que no tiene sentido sumar datos del 2000 y del 2005. Tendría sentido hacer el cálculo en forma horizontal si se conociera la cantidad de toneladas del año

31

32


2000, 2001, 2002, 2003, 2004 y 2005, porque al sumarlas se conocería la cantidad de toneladas de basura acumulas del 2000 al 2005. Cuadro 1.19. Basura que daña el ambiente Tipo de desperdicios

Año 2000 (%)

Año 2000 Miles de toneladas

Papel, cartón, productos de papel

4,324

Textiles

Año 2005 Miles de toneladas

Año 2005 (%)

5 276

14.4

13.7

458

1.5

531

1.5

Plásticos

1 346

4.3

2 162

5.9

Vidrios

1 813

5.7

2 261

6.2

Metales

891

2.8

1 185

3.2

Aluminio

504

1.6

619

1.7

Ferrosos

247

0.7

336

0.9

Otros ferrosos

152

0.5

230

0.6

Comida, jardines y materiales orgánicos similares Otro tipo de desperdicios Total

16 104

50.9

17 953

49.1

5 796

18.3

6 015

16.5

31 635

100

36 568

100

Fuente: Revista Encuesta, resultados, análisis y debate, junio 2007, No. 56, p. 8.

Proporciones Una proporción es la igualdad de dos razones, cuyo objetivo es establecer la relación entre una parte con respecto al todo. Las proporciones se escriben en tres formas: Cuadro 1.20. Primera

2 8 5 4 16

Segunda

Tercera

2 : 4 5 8 : 16

2:4 :: 8:16

La forma de leer la proporción es: 2 es a 4 como 8 es a 16, y en toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos (2 3 16 5 32) y (4 3 8 5 32). En las proporciones no se multiplica el cociente resultante por 100, ya que la relación se establece con respecto a la unidad. Los porcentajes y las proporciones ofrecen la misma información, aunque los primeros se emplean más por ser más fácil su comprensión. Matemáticamente, la proporción se define como: Proporción de n 5

Número de elementos de n Total de elementos en el universo N

1.2


Ejemplo: En una unidad habitacional de cuatro edificios de una colonia de Cuernavaca, Morelos, el total de personas que aparecen en el padrón electoral es de 80. Cuadro 1.21.

Mujeres

Número de personas en el padrón electoral 60

Hombres

20

Total

80

Sexo

Utiliza la definición de porcentaje y calcula las proporciones. número de mujeres 60 3 5 5 proporción mujeres 5 80 4 total de personas

En el cuadro 1.22 se muestra que del número de personas de la unidad habitacional que aparecen en el padrón electoral hay tres mujeres por cada cuatro habitantes, y un hombre por cada cuatro habitantes. Cuadro 1.22. Sexo Mujeres Hombres Total

Número de personas en el padrón electoral 60 20 80

Proporción

Fracción decimal

3/4 1/4 4/4

0.75 0.25 1.0


La suma de todas las proporciones de un conjunto universal suma uno, siempre y cuando los subconjuntos sean mutuamente excluyentes entre sí (cuadro 1.22) proporción de mujeres 1 proporción de hombres 5 1 0.75 1 0.25 5 1 Las proporciones se usan mucho en los cálculos estadísticos; sin embargo, al presentar un reporte preliminar o la presentación final de las cifras se acostumbra emplear porcentajes.

Razones La relación o razón de dos cantidades es el resultado de la comparación de éstas. Las cantidades pueden compararse de dos formas:

33

34


1. La razón aritmética o por diferencia consiste en saber cuántas veces excede una a la otra. Éstas se escriben de dos maneras: se separan las dos cantidades por el signo (2) o con un punto (·); por ejemplo, 14 2 11, o bien, 14 · 11, y se lee 14 es a 11. La equidiferencia se escribe de la siguiente manera: a 2 b 5 c 2 d y a ? b :: c ? d , se lee a es a b como c es a d; por ejemplo, una estudiante mujer cuando ingresa en la secundaria tiene la edad de once años, mientras que otro estudiante hombre ingresa en el bachillerato a los 15 años. Al terminar sus estudios de secundaria y bachillerato tienen la edad de 14 y 18 años, respectivamente. La diferencia de edades al iniciar y terminar sus estudio es la misma, tres años. 2. Cuando se habla de razones se supone que se trata de la razón geométrica o por cociente. Ésta consiste en encontrar cuántas veces contiene una cantidad a la otra. En estadística, la razón se conoce como la relación que se da entre dos subconjuntos o dos conjuntos. Ahora, si se consideran dos magnitudes y se establece entre ellas una proporcionalidad “f ”, como se indica en la figura 1.9. f

X1

f (X1)

f

X2

f (X2)

Figura 1.9.

f ( X1 ) 5 K se le denomina razón. f (X2 ) Si retomamos el ejemplo de la unidad habitacional de cuatro edificios de una colonia de Cuernavaca, Morelos, formada por 80 habitantes, entonces la razón existente de hombres a mujeres es 1 a 3; es decir, un hombre por cada tres mujeres. entonces, a esta relación

20 hombres 1 5 5 0.33 60 mujeres 3 También puede interpretarse con base en el número de habitantes, como se muestra en cuadro 1.23. Cuadro 1.23. Hombres 1 3.3 33 333

a a a a

Mujeres 3 10 100 1 000

La razón de hombres a mujeres se usa mucho en estudios de demografía, los cuales nos indican el número de hombres por cada 100 mujeres. Esta relación se conoce con los nombres de relación de masculinidad, índice de masculinidad, razón de masculinidad o sex ratio, y puede expresarse en forma matemática de la manera siguiente:


razón de masculinidad 5

Hx 5K Mx

1.3

donde: Hx 5 número de hombres de edad x ,

Mx 5 número de mujeres de edad x , K 5 una constante (generalmente 100 o 1000).

Las razones pueden multiplicarse o dividirse por un mismo número y no se alteran, lo cual permite expresarlas, en ocasiones, como números enteros.

Coeficientes Los coeficientes se conocen, también, como índices o tasas; en éstos, el numerador indica el número de veces que un evento específico ocurre durante un periodo particular, y el denominador expresa el número de veces que el evento está sujeto al riesgo de que ocurra. El coeficiente o tasa es multiplicado por un número que por lo regular es el número mil o diez mil o cien mil. Los coeficientes más conocidos son: delincuencia, natalidad, nupcialidad, mortalidad general, fertilidad general y específica, índice de estudiantes, índice de profesionistas, índice de afiliación a grupos políticos, entre otros.  Número de defunciones en un área    dada, durante un año determ minado  Tasa de mortalidad general 5  (1000 ) 1.4   Población del área en el   segundo semeestre del año    Defunciones en un área y tiempo determinado    en niños menores de 5 años de edad  (1000) 1.5 Tasa infantil 5    Número de nacidos vivos en el   área y tiempo del numerador   Los índices generales o coeficientes también se conocen como tasas brutas o crudas, debido a que aparece en el denominador la población (N) y no el riesgo de que acontezca un evento (n). Se pueden construir índices más específicos, lo que depende de las necesidades del investigador o del profesionista.

Ejemplos: En el cuadro estadístico 1.24 se muestra un tipo de coeficientes educativos que permiten analizar las diversas relaciones entre los actores que forman una universidad, por ejemplo, el coeficiente puede mostrar la relación: número de alumnos por profesor.

35

36


Cuadro 1.24. Recursos Humanos, Universidad Autónoma Metropolitana-Xochimilco Años

Población estudiantil1

Personal docente2

Personal administrativo

1974

948

213

Coeficientes Alumno/ docente

Alumno/ P. administrativo

P. administrativo/P. docente

167

4.5

5.7

0.8

1979

7 937

443

589

17.9

13.5

1.3

1984

10 348

897

1048

11.5

9.9

1.2

1989

10 745

955

1061

11.3

10.1

1.1

1994

11 916

973

930

12.2

12.8

1.0

Incluye a los alumnos de Licenciatura y Posgrado de los trimestres de otoño. Incluye personal docente de tiempo completo, medio tiempo y tiempos parciales. Fuente: Elaboración propia con datos del Informe de Actividades 1994-1995 de Jaime Kravzov Jinich, Rector UAM-X. Tomado de: A. Pierdant y J. Rodríguez, Elementos Básicos de estadística para ciencias sociales, UAM, 2006. 1 2

En el cuadro 1.24, se observa que en el año 1974 había 4.5 alumnos por profesor, mientras que 1994 esta relación es de 12.2 alumnos por profesor, la cual prácticamente ha permanecido casi constante sin cambios significativos a partir de 1994. Los índices no ponderados también se llaman simples, y representan el caso más elemental de índice. Éste describe básicamente el cambio porcentual en un artículo a lo largo de un periodo o intervalo de tiempo. El artículo puede ser una televisión, una radio, o la cantidad de personas empleadas en las empresas. El índice puede implicar precio, cantidad o valor de los artículos. La definición del índice no ponderado es el valor porcentual que describe un concepto en un periodo dado en comparación con un periodo base.

Ejemplo: Si se considera el precio y el volumen medio para un vendedor de camionetas nuevas con respecto a un tipo de modelo específico de la camioneta 434 básica de fábrica (los datos se muestran en el cuadro 1.25). Cuadro 1.25. Datos de volumen y precio de venta de camionetas Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

Precio promedio de venta ($) 300 000 330 000 390 000 450 000 450 000 480 000 495 000


Número de camionetas vendidas 60 63 60 66 72 75 66

Ingresos ($) 18 000 000 20 790 000 23 400 000 29 700 000 32 400 000 6 000 000 32 670 000


Los índices simples para el precio, cantidad y valor relativos se calculan mediante las expresiones siguientes: Precio relativo 5

Pn Po

1.6

Cantidad relativa 5

qn qo

1.7

pn qn po qo

1.8

Valor relativo 5 En donde: po 5 precio de un artículo en el año base. qo 5 cantidad de un artículo en el año base.

pn 5 precio de un artículo en un determinado año. qn 5 cantidad de un artículo en determinado año. Si se considera el año 2000 como año base. Esto significa que se deberá tomar en cuenta el precio de $ 300 000.00 como equivalente al 100%, y los precios de otros años se deberán medir en relación con ese precio. El volumen de ventas se medirá al considerar las 60 unidades vendidas en 2000 como 100%, y los ingresos se medirán al utilizar $ 18 000 000.00 como 100%. Los números índices (relativos) para el precio, cantidad y valor con respecto a las camionetas 2006 son: Precio relativo 5

P2006 495 000 3100 5 1.65 3100 5 165 3100 5 P2000 300 0000

Cantidad relativa 5 Valor relativo 5

q2006 66 3100 5 × 100 5 1.1 × 100 5 110 q2000 60

p2006 q2006 ( 495 000 ) ( 66) 32 670 000 3100 5 181.5 3100 5 3100 5 18 000 000 p2000 q2000 ( 300 000 ) ( 60 )

Estas cifras se interpretan de la manera siguiente: los precios de las camionetas aumentaron 65% entre 2000 y 2006; la cantidad vendida aumentó 10% y el ingreso aumentó 81.5%.

Incrementos En estadística, es muy común analizar el comportamiento que tienen los fenómenos a través del tiempo a partir del comportamiento de las variables asociadas con ellos, lo que permite determinar los cambios en éstos; es decir, determinar si crecen, decrecen o

37

38


permanecen estables, precisando al mismo tiempo la magnitud del incremento o decremento. Los cambios de comportamiento que sufre un fenómeno pueden expresarse mediante porcentajes, como se muestra en las siguientes expresiones:  valor del último dato 2 valor del dato base  Incremento porcentual 5   (100 ) valor del dato base   V 2 Vb  Incremento porcentual 5  u  (100 ) 1.9  Vb  Al realizar estos cálculos, es importante poner mucho cuidado con respetar los signos, especialmente cuando los incrementos son negativos, ya que éstos indican que hay un decremento en el fenómeno al pasar del periodo base al periodo de estudio. Los cálculos de los incrementos porcentuales dan, en ocasiones, resultados matemáticos correctos, pero valores estadísticamente muy pobres; ya que los valores altos, como 2300%, 550%, 1150%, etcétera, no permiten realizar una adecuada interpretación del incremento calculado. En estos casos es recomendable indicar los incrementos o decrementos en término de número de veces que se incrementó o se disminuyó un fenómeno, en lugar de expresar el resultado como un porcentaje.

Ejemplo: Si retomamos la información del cuadro 1.24 y comparamos la matrícula escolar de 1974 y 1994 en la UAM-X, ésta creció 1156.96% de 1974 a 1994; lo que indica que en 20 años, la matricula creció 11.56 veces con respecto a 1974.  V 2 Vb  Incremento porcentual 5  u  ( 100 )  Vb   11 916 2 948  Incremento % 5   (100 ) 5 1 156.96% 948 

Ejemplo:

Con la información estadística del cuadro de importación de corazones de lechuga y espinacas (figura 1.10), encontrar el cálculo de los incrementos anuales para las importaciones de estos productos.  V 2 Vb  Incremento porcentual 5  u  (100 )  Vb   3 914 123 2 3 449 998  Incremento % LECHUGA 2002-2003 5   (100 ) 5 1 3.5% 3 449 998 


En Excel 5 [(C102C9)/C9]*100

Figura 1.10. Cuadro de crecimiento de las importaciones de lechuga y espinaca.

En los resultados de la figura 1.10 puede apreciarse el decremento de las importaciones de corazones de lechuga de 2001 a 2002 en un 5.4%, para crecer nuevamente 13.5% del año 2002 al 2003. En el 2004, se observa un crecimiento importante con respecto a 2003 en las importaciones en corazones de lechuga de 65.2% y de espinacas de 63.9%. La forma de calcular incrementos promedio de los datos que se tienen para diferentes periodos no debe calcularse mediante un promedio aritmético, ya que esto es un error. Si se supone un crecimiento lineal, el promedio puede calcularse con la siguiente fórmula la cual permite obtener un valor aproximado:  V 2 V0   2 K  Incremento medio 5  1    V1 1 V0   n  donde:

1.10

V0 5 valor de la variable en el periodo base.

V1 5 valor de la variable en el último periodo.

n 5 número de periodos (años, semestres, bimestres, etc.).

K 5 una constante (por lo general es 100).

Ejemplo: El incremento medio de las importaciones de lechuga entre 2001 y 2005.

39

40


 7 833 925 2 3 648 226   2 (100 )  Incremento medio 5     7 833 925 1 3 648 226   4  Incremento medio = 18.23%

Distribución de frecuencias Se mencionó anteriormente que los datos analizados en estadística descriptiva se presentan comúnmente en tres formas básicas: en texto, en cuadros estadísticos y en gráficas. También en las secciones anteriores se proporcionaron los elementos necesarios para construir cuadros estadísticos y obtener de ellos ciertas medidas de comparación, como son los porcentajes, las razones, los incrementos, etc. Sin embargo, es oportuno formalizar la construcción de los cuadros estadísticos y las medidas de condensación que de ellos se pueden obtener mediante una distribución de frecuencias, o cuadros de frecuencias, la cual es la presentación en forma tabular de las frecuencias que ocurren en cada característica (subclase o categoría) en las que ha sido dividida una variable. Esta característica puede determinarse por un intervalo o cualidad. La construcción de un cuadro de frecuencia, o tabla de frecuencia, puede desarrollarse para una variable cuantitativa como para una variable cualitativa.

Distribución de frecuencias para variables cuantitativas Es muy importante recordar que las variables cuantitativas o métricas pueden ser de dos tipos: continuas o discretas. Primero se estudiará la construcción de una tabla de distribución de frecuencias con variables cuantitativas continuas, para ello se requiere aplicar un proceso simple y definir algunos conceptos. En el segundo caso, el proceso de construcción de una tabla de frecuencias es un proceso más sencillo. Distribución de frecuencias para variables cuantitativas continuas Recordemos que la mejor forma de organizar, presentar y examinar los datos es mediante la construcción de cuadros, tablas y gráficos. Cuando se tienen grandes cantidades de datos, se recomienda organizarlos en un cuadro de distribución de frecuencias con intervalos de clase; y siempre y cuando la variable sea continua, la construcción de un cuadro de frecuencia presenta como su primer paso la determinación del número de intervalos o clases que lo formarán. Un intervalo de clase es el elemento en la tabla que permite condensar un conjunto de datos en mayor grado, con el objetivo de hacer un resumen de ellos. La frecuencia del intervalo de clase está constituida por el número de casos o mediciones que quedan dentro de un intervalo y se denota generalmente como fi. La diferencia entre el extremo mayor y el extremo menor del intervalo de clase se llama longitud o ancho del intervalo.


Para construir un cuadro de distribución de frecuencias de una variable continua es recomendable utilizar los pasos siguientes: 1. Determinar el número de intervalos o clases que constituirán el cuadro; esto se realiza en función al número de datos a condensar, y para ello pueden utilizarse dos criterios de selección: a) Consiste en que el investigador selecciona el número de intervalos o clases con base en el número de datos a clasificar, para ello se emplea por ejemplo, el cuadro 1.26. Cuadro 1.26. Número de datos a clasificar De 10 a 100 De 100 a 1 000 De 1 000 a 10 000

Número de intervalos De 4 a 8 De 8 a 11 De 11 a 20

Como se observa en el momento de la construcción del cuadro de distribución de frecuencias, el número de intervalos de clase no debe ser menor que cuatro, ni mayor que 20 para poder obtener una óptima distribución. b) Por medio de la fórmula de Sturges, se calcula el número aproximado de intervalos (k) del cuadro de distribución de frecuencias. Esta forma de cálculo no siempre resulta muy adecuada, pero es una relación que se utiliza mucho como una aproximación. k 5 l 1 3.322log(n) 1.11

En donde n representa el número de datos a condensar en el cuadro. 2. Cuando se conoce el número de intervalos (k), se procede a calcular la longitud, ancho o tamaño que tendrá el intervalo i (ti). Esta longitud es la misma para todos los intervalos de clase que conforman el cuadro de frecuencia, esto se hace con la finalidad de facilitar los cálculos estadísticos mediante métodos simplificados. dato mayor 2 dato menor 1.12 k En la construcción de los intervalos de clase es importante tomar en cuenta los pasos siguientes:

ti 5

a) Cuando el valor de ti no es un número entero, se puede usar la fracción (redondear a décimas), o bien, redondear el inmediato superior. b) Se recomienda que los intervalos de clase no sean muy grandes, al grado que encubra la forma de la distribución, ni tan pequeños que no contribuyan a facilitar los cálculos. c) La diferencia entre el dato mayor y el menor del conjunto que se analiza recibe el nombre de rango o amplitud.

41

42


d) Cuando el investigador o estudiante decidan utilizar intervalos de clase con amplitudes desiguales, deberá considerarse que los cálculos serán más laboriosos, al no poder aplicar los métodos simplificados que son los empleados en este libro. e) Al conocer el número de intervalos (k) y su tamaño (ti ), el siguiente paso consiste en fijar el límite inferior (lInf ) del primer intervalo de clase, el cual puede ser un valor igual o ligeramente menor que el dato con el valor mínimo del conjunto de datos. f ) Se pueden construir dos tipos de intervalos de clase: no exactos (ficticios) o exactos (reales). Para el caso de los intervalos no exactos, la construcción del límite inferior y superior no considera el error mínimo y máximo permitido del dato. En los intervalos exactos, la elaboración del límite inferior y superior debe tomar en cuenta el error mínimo y máximo permitido del dato. Cuando la amplitud de la serie de datos es pequeña, se tendrán longitudes del intervalo de clase menores a la unidad, por lo que el error mínimo y máximo permitido es de 6 0.05, es decir se le resta 0.05 al límite inferior y se le suma 0.05 al límite superior, como se muestra en el cuadro 1.27.

Ejemplo: Cuadro 1.27. Intervalos de clase no exactos

Intervalos de clase exactos

4.2 - 4.8

4.15 - 4.85

4.9 - 5.5

4.85 - 5.55

5.6 - 6.2

5.555 - 6.25

Longitud del intervalo de clase 5 0.7 de unidad. Para construir los intervalos de clase con longitud menor a la unidad, en el ejercicio anterior puede observarse que al límite inferior se le sumó la longitud menos una décima (ti 2 0.1). lsup 5 linf 1 (ti 2 0.1)

lsup 5 4.2 1 (0.7 2 0.1) lsup 5 4.8

1.13

Como el límite superior del primer intervalo es 4.8 y el límite inferior del segundo intervalo de clase es 4.9, entonces hay un salto o interrupción de 0.1. Como ya se mencionó, al límite inferior del segundo intervalo de clase que inicia en 4.9, se le debe sumar (0.7 2 0.1 5 0.6) para encontrar el valor del límite superior de este intervalo; de esta misma manera, se continúa para encontrar los intervalos de clase siguientes.


En los casos en que la longitud del intervalo de clase sean mayores que la unidad, el error mínimo y máximo permitido del dato es 6 0.5; es decir, se le resta 0.5 al límite inferior y se le suma 0.5 al límite superior. Siendo la longitud del intervalo de clase de cinco unidades (cuadro 1.28), obtendríamos:

Ejemplo: Cuadro 1.28. Intervalos de clase no exactos

Intervalos de clase exactos

12 2 16

11.5 2 16.5

17 2 21

16.5 2 21.5

22 2 26

21.5 2 26.5

Para construir los intervalos de clase no exactos con longitudes mayores que la unidad, como se aprecia en el cuadro 1.28, al límite inferior se le suma la longitud menos una unidad (ti 2 1): lsup 5 linf 1 (ti 21) lsup 5 12 1 (5 21) lsup 5 16

Para construir el segundo intervalo, se sabe que el límite superior del primer intervalo es 16 y el límite inferior del segundo intervalo de clase es 17, entonces hay un salto o interrupción de unidad. Como se dijo al límite inferior del segundo intervalo de clase que inicia en 17, se le debe de sumar 4 (5 2 1 5 4) para encontrar el valor del límite superior de este intervalo, y así se continúa para encontrar los intervalos de clase siguientes. En los intervalos de clase exactos, se inicia la construcción del primer intervalo de clase con el dato más pequeño de la serie de datos, a éste se le resta el error mínimo permitido obteniendo el límite inferior, y para el límite superior del intervalo se le suma la longitud del intervalo. El límite superior del primer intervalo corresponde al límite inferior del segundo intervalo de clase, a éste se le suma la longitud y el resultado le corresponde al valor del límite superior, siguiendo este procedimiento se construyen los demás intervalos de clase que conforman el cuadro de distribución de frecuencias. Al utilizar esta técnica de construcción, siempre, el primer intervalo contiene al menor de los datos y el último intervalo al mayor. 3. Al tener establecidos todos los límites reales de clase en el cuadro, se efectúa la clasificación de los datos en cada intervalo para determinar así la frecuencia de cada clase ( fi ). 4. Por último se construye el cuadro de frecuencia definitiva, el cual contiene, en su primera columna, la clase; en la segunda, los intervalos reales de clase; y en la tercera, las frecuencias de clase (o frecuencias absolutas).

43

44


Ejemplo: Para construir un cuadro de distribución de frecuencias de una variable continua utilizaremos los datos de las calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico de Estadística para la maestría en Administración. Número de dato

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Calificación

6.5

7.4

6.4

7.9

6.7

7.3

7.7

8.7

6.8

10

11

12

13

14

15

16

17

18

7.0

5.4

7.5

8.1

8.9

6.6

5.8

7.1

7.2

19

20

21

22

23

24

25

26

27

5.7

6.1

8.0

8.5

5

6.9

7.8

9.7

8.2

Número de dato Calificación Número de dato Calificación

1. Para determinar el número de intervalos de clase se utilizará la fórmula de Sturges. k 5 11 3.322 log(n) k 5 11 3.322 log(27) k 5 11 3.322 (1.4431363) k 5 11 4.75499 k 5 5.755 Entonces: k = 6 2. Determinar el ancho de los intervalos. Dato mayor 5 9.7 Dato menor 5 5 ti 5

9.7 2 5 5 5 5 0.78 6 6

El tamaño del intervalo es de 0.8 3. Se construye el primer intervalo y los intervalos de clase sucesivos (intervalos ficticios), y se clasifican los datos de la variable en los intervalos correspondientes (cuadro 1.29). Cuadro 1.29. Intervalo De 5 a 5.7 De 5.8 a 6.5 De 6.6 a 7.3 De 7.4 a 8.1 De 8.2 a 8.9 De 9.0 a 9.7

Datos 5, 5.4, 5.7 5.8, 6.1, 6.4, 6.5 6.6, 6.7, 6.8, 6.9, 7.0, 7.1, 7.2, 7.3 7.4, 7.5, 7.7, 7.8, 7.9, 8.0, 8.1 8.2, 8.5, 8.7, 8.9 9.7

Límite inferior 5 5.8 6.6 7.4 8.2 9.0

Límite superior 5.7 6.5 7.3 8.1 8.9 9.7


4. Se construyen los intervalos de clase reales (o exactos), al restar y sumar 0.05 unidades, respectivamente, a cada límite de los intervalos ficticios (cuadro 1.30). Cuadro 1.30. Clase 1 2 3 4 5 6

Intervalos de clase reales 4.95 2 5.75 5.75 2 6.55 6.55 2 7.35 7.35 2 8.15 8.15 2 8.95 8.95 2 9.75

5. Determinamos la frecuencia correspondiente a cada intervalo real, tomando como base la clasificación previa en los intervalos ficticios (cuadro 1.29), y creamos el cuadro de distribución de frecuencias (cuadro 1.31). Cuadro 1.31. Clase

Intervalos de clase reales

Frecuencia absoluta ( fi )

1

4.95 2 5.75

3

2

5.75 2 6.55

4

3

6.55 2 7.35

8

4

7.35 2 8.15

7

5

8.15 2 8.95

4

6

8.95 2 9.75

1

El cuadro de distribución de frecuencias se complementa, generalmente, al realizar el cálculo de los elementos siguientes: • Marca de clase (mi ). Es el punto medio del intervalo de clase. Para calcularla es necesario sumar los dos límites del intervalo real, y dividir esta suma entre dos. mi 5

límite inferior real 1 límite superior reeal 2

1.15

• Frecuencia acumulada de la clase i (Fi ). Se conoce como frecuencia acumulada de la clase i al número resultante de sumar la frecuencia de la clase i con la frecuencia de las clases que la anteceden. La última clase o intervalo en la tabla de frecuencias contiene como frecuencia acumulada el total de los datos. Este cálculo tiene como objetivo informar del número de datos que se encuentran distribuidos en los intervalos que anteceden al intervalo i, incluido éste. • Frecuencia relativa de la clase i ( fR). Es el cociente entre la frecuencia absoluta de la clase i ( fi ) y el número total de datos (n).

45

46


fR 5

fi frecuencia en la clase i 5 total de datos n

1.16

La frecuencia relativa muestra la proporción del número de casos que se han presentado en el intervalo i respecto al total de casos en la investigación. Cuando a este cociente se le multiplica por 100, entonces, la frecuencia relativa para cada clase queda expresada en porcentaje, lo cual permite realizar un análisis del comportamiento de los datos. Con base en las definiciones de los elementos anteriores, se puede construir un cuadro de distribución de frecuencia más completo. Para ello, reestructuraremos el cuadro 1.31 de la forma siguiente: Cuadro 1.32. Calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración

Clase

Intervalos de clase

mi

fi

fR

fi (%)

Fi

Fi /n

Fi (%)

1

4.95 2 5.75

5.35

3

3/27

11.1

3

3/27

11.1

2

5.75 2 6.55

6.15

4

4/27

14.8

7

7/27

25.9

3

6.55 2 7.35

6.95

8

8/27

29.6

15

15/27

55.5

4

7.35 2 8.15

7.75

7

7/27

25.9

22

22/27

81.4

5

8.15 2 8.95

8.55

4

4/27

14.8

26

26/27

96.2

6

8.95 2 9.75

9.35

1

1/27

3.8

27

27/27

100.0

Fuente: De nuestra base de datos del semestre 2007-1.

Si utilizamos porcentajes de la columna 6, podemos observar que sólo 11.1% de los estudiantes reprobó el examen propedéutico de Estadística, y que 14.8% obtuvo una calificación prácticamente en el límite si se considera una escala aprobatoria de 6 a 10. Sin embargo, 74.1% de los estudiantes aprobó el examen. En el caso de los estudiantes aprobados, 29.6% obtuvo una calificación suficiente (6.55 a 7.35); 25.9% una calificación regular, entre (7.35 y 8.15); 14.8%, una buena calificación (8.15 a 8.95); y sólo 3.8% una calificación muy buena. Por otro lado, si usamos la última columna (9), la de la frecuencia acumulada relativa Fi (%), observaremos que 25.9% de los estudiantes (7) obtuvieron calificaciones de hasta 6.55 puntos en el examen, y 81.4% (22 estudiantes) de hasta 8.15 puntos.

Ejemplo: Considere los ingresos extras ganados (en pesos) por trabajadores de una compañía manufacturera en un día. Construir un cuadro de distribución de frecuencias con los datos siguientes:


Número de dato

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ingreso ($)

100

270

150

159

170

200

210

210

240

Número de dato

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Ingreso ($)

250

250

250

260

290

300

300

310

360

Número de dato

19

20

Ingreso ($)

370

399

1. Para determinar el número de intervalos de clase se utilizará la fórmula de Sturges. k 5 11 3.322 log(n) k 5 11 3.322 log(20) k 5 11 3.322 (1.3301029) k 5 11 4.322 k 5 5.322 Entonces: k 5 5 2. Determinar el ancho de los intervalos. Dato mayor 5 399 Dato menor 5 100 ti 5

399 2100 299 5 5 59.8 5 5

El tamaño del intervalo se redondea al inmediato superior, 60 unidades ($). 3. Se construye el primer intervalo y los intervalos de clase sucesivos (intervalos falsos). Cuadro 1.33. Intervalo

Datos

Límite inferior

Límite superior

De 100 a 159

100, 150, 159

100

159

De 160 a 219

170, 200, 210, 210

160

219

De 220 a 279

240, 250, 250, 250, 260, 270

220

279

De 280 a 339

290, 300, 300, 310

280

339

De 340 a 399

360, 370, 399

340

399

4. Se construyen los intervalos de clase reales (o exactos), al restar y sumar 0.5 unidades, respectivamente, a cada límite de los intervalos ficticios; después, clasificamos los datos en los intervalos reales, y creamos el cuadro de distribución de frecuencias (cuadro 1.34).

47

48


Cuadro 1.34. Intervalos de clase

mi

fi

fR

1

99.5 2 159.5

129.5

3

2

159.5 2 219.5

189.5

3

219.5 2 279.5

249.5

Clase

fi (%)

Fi

Fi /n

3/20

15

3

3/20

15

4

4/20

20

7

7/20

35

6

6/20

30

13

13/20

65

Fi (%)

4

279.5 2 339.5

309.5

4

4/20

20

17

17/20

85

5 Total

339.5 2 399.5

369.5

3 20

3/20 20/20

15 100

20

20/20

100

Si utilizamos los porcentajes de la columna 6, podemos observar que sólo 15% de los trabajadores recibió un ingreso extra muy bajo; 20% obtuvo un salario bajo, y 30% uno regular; sin embargo, 35% de los trabajadores alcanzó un ingreso extra alto. Por otro lado, 65% de los trabajadores (13) recibió un ingreso extra de hasta $ 279.50 (véase columnas 7 y 9). Distribución de frecuencias para variables cuantitativas discretas En la construcción de un cuadro de distribución de frecuencias con variables discretas se siguen los pasos establecidos para una variable continua con la ventaja de que en este tipo de cuadros no se construye la columna de intervalos de clase, ni la de marcas de clase (o punto medio); lo cual permite simplificar la construcción del mismo. En el cuadro de frecuencias para variables discretas se clasificará, en la primera columna, las subclases de la variable; en la siguiente se indicará los casos o frecuencias en ellas; en la tercera, se calculará la frecuencia relativa; en la cuarta, la frecuencia acumulada, y en la quinta, la frecuencia acumulada relativa.

Ejemplo: Una compañía aseguradora de automóviles tiene contratados 26 agentes de ventas, que se les pagan sus ganancias (en pesos) por comisiones cada semana. Las ganancias recibidas la semana pasada se muestran en la serie simple de datos siguiente: 300

390

300

170

230

130

260

170

300

260

260

170

300

300

390

90

100

260

440

100

300

390

230

130

230

420

Al presentarse en forma no organizada las cantidades cobradas por los agentes de ventas, es muy difícil su interpretación, pero al organizarlas en forma tabular, los datos son más fáciles de analizar y se pueden aplicar las estadísticas necesarias para su estudio. En ocasiones resulta útil, como primer paso, ordenar los datos originales en forma ascendente o descendente; este tipo de arreglo se conoce como arreglo ordenado de una serie simple de datos.


90

100

100

130

130

170

170

170

230

230

230

260

260

260

260

300

300

300

300

300

300

390

390

390

420

420

En la cuadro 1.35 se muestran las comisiones de los agentes de ventas organizados en una distribución de frecuencias de una serie simple. Cuadro 1.35. No.

Comisiones ($)

fi

fR

Fi

Fi /n

1

90

1

1/26

1

1/26

2

100

2

2/26

3

3/26

3

130

2

2/26

5

5/26

4

170

3

3/26

8

8/26

5

230

3

3/26

11

11/26

6

260

4

4/26

15

15/26

7

300

6

6/26

21

21/26

8

390

3

3/26

24

24/26

9

420

2

2/26

26

26/26

26

26/26

Total

Ejemplo: En el municipio de Magdalena del estado de Jalisco, la Secretaría de Salud del estado realizó una campaña de vacunación. La Secretaria recurre a consultar los archivos de la campaña de vacunación de hace 3 años, y encontró que el número de hijos por familia (350 familias) es el que se muestra en el cuadro 1.36. Datos (hijos por familia): 2, 4, 2, 3, 1, 3, 4, 2, 1, 3, 4, 4, 2, 1, 3, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 2, 4, … Cuadro 1.36. Número de hijos por familia en Santiago, Jalisco, 2007 Número de hijos por familia 1 2 3 4 Total

fi 20 120 200 10 350

fi / n

Fi

Fi / n

20/350 120/350 200/350 10/350 350/350

20 140 340 350

20/350 140/350 340/350 350/350


Es importante recordar que, las frecuencias relativas pueden expresarse como proporciones (como en el ejemplo) o como porcentajes.

49

50


Para la variable del cuadro 1.36 puede indicarse que, en una muestra de 350 familias, sólo 5.7% de ellas tiene un solo hijo; 34%, dos hijos; 57%, tres; y sólo 3%, cuatro hijos. Esto permite indicar que 97% de las familias muestreadas tienen tres hijos o menos. Como puede observarse de los ejemplos anteriores para variables continuas y discretas, el uso de cuadros de distribución de frecuencias no sólo permite condensar los datos, sino también desarrollar con ello una primera interpretación o análisis de los mismos.

Distribución de frecuencias para variables cualitativas Para construir cuadros de frecuencia para variables cualitativas sólo se requiere contar el número de elementos o individuos que entran dentro de una cualidad o en una determinada característica. Para datos cualitativos no hay intervalos de clase ni frecuencias acumuladas, ya que ello carecería de sentido; por tanto, para construir un cuadro de distribución de frecuencias para variables cualitativas se realizan los pasos siguientes: 1. En la primera columna se registran las características. 2. En la segunda se anotan las frecuencias absolutas. 3. En la tercera se registran las frecuencias relativas.

Ejemplo: Cuadro de distribución de frecuencias para datos cualitativos en empresas con inversión extranjera directa (IED) en el estado de Chihuahua. Cuadro 1.37. Inversión extranjera directa (IED) en Chihuahua Empresas

Participación

fi

fi

Juárez

509

509/677

75.2

Chihuahua

130

130/677

19.2

Municipio

Participación %

Hidalgo del Parral

5

5/677

0.7

Aldama

4

4/677

0.6

Cuauhtémoc

4

4/677

0.6

Ojinaga

4

4/677

0.6

Otros

21

21/677

3.1

Total

677

677/677

100.0

Fuente: Dirección General de Inversiones Extranjeras, SECOFI. Lerman A. A., Globalización-Regionalización, UAM-X, 1999, p. 86.


Ciudad Juárez es el lugar donde la inversión extranjera directa tiene mayor impacto: 75.2%; “esta concentración en la ciudad fronteriza se explica por la conjunción e incidencia de factores tanto nacionales como estadounidenses, entre otros destacan los incentivos otorgados a la industria maquiladora en el Tratado de Libre Comercio (TLC)”. Sin embargo, en los municipios de Aldama, Cuauhtémoc y Ojinaga es de 0.6%, por no estar cerca de la frontera.

Ejemplo: Cuadro de distribución de frecuencias para datos cualitativos. Empleo en empresas por tipo de actividad en Ciudad Juárez (cuadro 1.38). Cuadro 1.38. Empleo en Ciudad Juárez por el tipo de actividad Giro

Empleo

Participación

fi / n

Participación %

73 062

73062/172 782

42.3

Cupones

2 408

2408/172 782

1.4

Plásticos

3 043

3043/172 782

1.8

Computadoras

4 665

4 665/172 782

2.7

Textiles (costura)

5 228

5 228/172 782

3.0

Productos médicos

10 783

10 783/172 782

6.2

Electrónica

17 068

17 068/172 782

9.9

Teléfono - T. V.

20 067

20 067/172 782

11.6

Eléctrica

34 921

34 921/172 782

20.2

1 537

1 537/172 782

0.9

Automotriz

NE* Total

172 782

172 782/172 782

100.0

Fuente: Fomento Económico, Ciudad Juárez. Lerman A. A., Globalización-Regionalización,

UAM-X, 1999, p. 98.

* NE = No especificada.

En el cuadro 1.38 se observa que la manufactura del sector automotriz participa con 42.3% del total del empleo en Ciudad Juárez; le sigue el sector eléctrico con 20.2%; después, el de teléfono-televisión con 11.6%; la electrónica, 9.9%; y la de productos médicos, 6.2% en 1998.

8 A. Lerman A., Globalización-Regionalización, UAM-X, 1999, p. 86.

51

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Gráficas Las gráficas son una herramienta analítica de gran ayuda visual para el investigador o el analista, ya que permiten realizar la comparación entre magnitudes, tendencias y relaciones entre los valores que adquiere una variable o más variables, e incluso en algunas ocasiones se emplean para realizar cálculos. Además, son el complemento del análisis que realiza el investigador de las tablas de distribución de frecuencias, porque a partir de éstas hay la posibilidad de construir gráficas de diversos tipos que le permitirán explicar con mayor facilidad el comportamiento de los datos estudiados. Las gráficas permiten mostrar, explicar, interpretar y analizar los datos estadísticos de una manera clara, sencilla y efectiva. Éstas se presentan en diferentes formas, como son: las geométricas, las de volúmenes, las de áreas, las de puntos, las de líneas, las pictóricas, etcétera. Las gráficas, también, son de gran utilidad como medios de divulgación del análisis estadístico, ya que las relaciones visuales se captan con facilidad y resulta sencillo interpretarlas y recordarlas. Los elementos de una gráfica son: Encabezado. El encabezado contiene el número, el título y la nota de encabezado de una gráfica (los dos últimos por lo regular se colocan en la parte superior de ésta). El número de la gráfica la ubica dentro de una serie de gráficas; el título indica de manera breve el origen de los datos y sus características; y la nota del encabezado, la forma específica de clasificar los datos. Cuerpo. El cuerpo es la parte principal en donde se encuentran los datos y las partes que lo identifican, como son: la unidad de medida de los datos, la escala, los números de la escala, el eje horizontal, el eje vertical y la malla. Título. Es una barra en la que se utilizan palabras para identificar a la gráfica (Título: “Ingresos Nacionales de México”). Eje horizontal y vertical. Son las líneas que delimitan a la malla, y sobre éstas se anotan los números de la escala. Escala. Ésta especifica el nombre de las unidades de ésta y los números identifican las unidades (las magnitudes) de la escala. Malla. Es el área donde se traza la gráfica y está limitada al lado derecho por el eje de las ordenadas y abajo por el eje de las abscisas. Notas de pie y fuente. Éstas se colocan en el pie del cuerpo de la gráfica. Obsérvese aquí que varios de los elementos básicos que se usan para elaborar un cuadro estadístico (número de cuadro, título, fuente, etc.) son aplicables también en la elaboración de gráficas. Un ejemplo de una gráfica elaborada en Excel se muestra en la figura 1.11.


Figura 1.11. Gráfica de calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la materia de Administración.

Histogramas de frecuencias El histograma de frecuencias es un gráfico de rectángulos que tiene su base en el eje de las abscisas (eje horizontal o eje de las x). Los rectángulos del gráfico tienen la misma anchura cuando se representa el comportamiento de una variable cuantitativa (discreta o continua). La altura de los rectángulos se ubica en el eje de la ordenadas (eje vertical o de las y). La altura le corresponde a las frecuencias de los intervalos de clases, y el área de los rectángulos así formados es proporcional a las frecuencias de las clases. Los histogramas de frecuencias pueden construirse con frecuencias absolutas, frecuencias acumuladas y frecuencias relativas. Este último histograma recibe el nombre de histograma de frecuencias relativas, histograma de porcentajes o histograma de proporciones, según sea el caso. En los histogramas de frecuencia absoluta y frecuencia acumulada (figuras 1.12 y 1.13), se construyen considerando en el eje de las abscisas a los intervalos de clase, y en el eje de las ordenadas a la frecuencia absoluta o acumulada, respectivamente.

53

54


Gráfica 2 Calificaciones de estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración Frecuencia

Calificaciones

Fuente: Datos del cuadro 1.32. Nota: La escala de calificaciones es de cero a diez puntos.

Figura 1.12. Histograma de frecuencias.

Gráfica 3 Calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración Frecuencia acumulada

Calificaciones


Figura 1.13. Histograma de frecuencias acumuladas.

Para el caso de la construcción de un histograma de frecuencias relativas, con los datos del cuadro 1.32 (figura 1.14), en el eje de las ordenadas se ubica la frecuencia relativa, y en el eje de las abscisas los intervalos de clase, esto implica tener un histograma de frecuencias relativas.


Gráfica 4 Calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración Frecuencia relativa

Calificaciones


Figura 1.14. Histograma de frecuencia relativa.

Gráfica de columnas En un gráfico de columnas simples o de barras simples, la variable no presenta continuidad, por lo que las barras estarán separadas una de la otra y la distancia entre ellas será menor que la base del rectángulo, por tanto su gráfico no puede llamarse histograma. Las variables discretas y las variables cualitativas pueden representarse mediante gráficos de columnas o de barras y su escala es nominal u ordinal en el eje de las abscisas, según sea el caso. A continuación se muestra un gráfico con escala ordinal (figura 1.15) con los datos de la variable discreta del número de hijos por familia en una comunidad rural de Jalisco, México.

Familias

Gráfica 5

Número de hijos Fuente: Datos hipotéticos.

Figura 1.15. Número de hijos por familia en una comunidad rural de Jalisco, México.

Los histogramas, las gráficas de columnas y las gráficas de barras no tienen sólo como objetivo mostrar mediante una representación visual los datos, sino también fundamentalmente tres características importantes del comportamiento de la variable que se representa. Estas características son:

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1. En el histograma y gráficas de columnas o barras (depende de la variable), la forma o distribución que presenta se debe a la existencia de simetría o asimetría (derecha o izquierda) en la distribución de los datos. 2. Si hay algún intervalo o barra donde se acumulan los datos o aparece una tendencia posicional de los mismos. 3. El grado de dispersión o variabilidad de los datos, cuando se analiza el caso de variables cuantitativas continuas.

Gráfica 6 Distribución porcentual de calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración

Calificaciones Fuente: Datos del cuadro 1.32. Nota: La escala de calificaciones es de cero a diez puntos.

Figura 1.16. Histograma de porcentajes.

En el caso de las calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración, se observa en la gráfica 6 (figura 1.16), que 55.5% de los datos tiende a acumularse en los intervalos: 6.55 2 7.35

7.35 2 8.15

Esto indica que no hay una simetría en la distribución, sino un pequeño sesgo positivo hacia las calificaciones aprobatorias (derecha de la misma), por tanto la dispersión de los datos no es muy grande. En el ejemplo del número de hijos por familia en una comunidad rural del estado de Jalisco, es posible observar que los datos de la variable discreta se concentran en los casos de las familias con tres, cuatro y cinco hijos (figura 1.15). La variabilidad de estos datos tampoco es muy grande con respecto a los casos señalados. Construcción de histogramas en Excel Para elaborar un histograma en Excel se utilizan los pasos siguientes, y el asistente de gráficos:


1. Se utilizan dos columnas de la hoja electrónica, la primera deberá contener los datos del eje “X ” (intervalos de clase en formato de etiqueta) y la segunda los correspondientes al eje “Y ” (frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia acumulada o frecuencia acumulada relativa), según sea el tipo de histograma a construir (figura 1.17). 2. Se selecciona el conjunto de celdas de estas dos columnas (rango con la información de la gráfica), y se oprime el botón del asistente para gráficos, el cual permite (figura 1.17). crearlos

Figura 1.17.

3. Aparece el paso 1 del asistente para gráficos. En éste se selecciona la opción estándar, es decir, gráfica de columnas, subtipo de gráfica 1. Seleccione este tipo de gráfica y oprima el botón “Siguiente” para pasar al segundo paso del asistente (figura 1.17). 4. En este segundo paso, deberá seleccionarse la opción de “Filas” para mostrar los datos como un histograma. Posteriormente, en la categoría de series se debe dar un espacio en el rubro: “Rótulo del eje de las categorías (X )”. Oprimir “Siguiente” para pasar al paso 3. 5. En el paso 3 del asistente, se debe especificar el título de la gráfica, la etiqueta del eje equis (X ) y la del eje de las “Y ”. También pueden definirse aquí otras características de la gráfica como: poner o quitar líneas de división, leyendas a cada serie en la gráfica, rótulos (valores) a los datos y una tabla de datos (figura 1.18). Posteriormente, oprimir “Siguiente”.

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58


Figura 1.18.

6. En el paso 4 (último) del asistente, se debe indicar si queremos que el gráfico se agregue como un objeto en la misma hoja electrónica, o bien, se agregue en otra hoja nueva. En este momento oprimimos “Terminar” y con ello obtenemos un histograma como el de la figura 1.19.

Intervalos de clase

Figura 1.19. Histograma.

Polígono de frecuencias Es un gráf ico de línea que se construye sobre el sistema de coordenadas cartesianas, en el eje de las abscisas se colocan las marca de clase del intervalo (valor medio del intervalo) y un punto a la altura igual a la frecuencia absoluta asociada a ese intervalo de clase; después estos puntos se unen por segmentos de recta. Para que el polígono quede cerrado debe considerarse un intervalo f icticio al inicio y otro al final con frecuencias cero.


En la gráf ica 1.20 se muestra el polígono de frecuencias de las calif icaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración (cuadro 1.32).

Estudiantes

Gráfica 7 Calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración

Calificaciones promedio Fuente: Datos del cuadro 1.32. Nota: La escala de calificaciones es de cero a diez puntos.

Figura 1.20. Polígono de frecuencias.

En el polígono anterior, puede observarse que ocho estudiantes obtuvieron una calificación promedio de 6.95 puntos, y que cuatro obtuvieron 6.15 puntos, así como otros cuatro obtuvieron 8.55 puntos en promedio. Los polígonos de frecuencia, también pueden construirse utilizando las frecuencias relativas de una distribución de frecuencias. Estos gráficos se denominan polígonos de frecuencias relativas (figura 1.21).

Frecuencia relativa

Gráfica 8 Calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración

Calificaciones promedio Fuente: Datos del cuadro 1.32. Nota: La escala de calificaciones es de cero a diez puntos.

Figura 1.21. Polígono de frecuencias relativas.

59

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Si se expresan en porcentajes, entonces se denomina polígono de porcentaje o polígono porcentual como se muestra en la figura 1.22. Gráfica 9 Calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración

Calificación promedio Fuente: Datos del cuadro 1.32. Nota: La escala de calificaciones es de cero a diez puntos.

Figura 1.22. Polígono porcentual.

En este último polígono se observa que 30% de los estudiantes que presentaron el examen obtuvo una calificación promedio de 6.95 puntos y un poco más de 25% de ellos obtuvo en promedio 7.75 puntos. Construcción de los polígonos de frecuencias en Excel 1. Se construye el cuadro de distribución de frecuencias, el cual debe contener la frecuencia absoluta o la frecuencia relativa, de acuerdo con el polígono que se quiera construir. Al cuadro de distribución de frecuencias se le debe agregar una marca de clase antes de la primera clase con frecuencia cero, y otra más, al final, también con frecuencia cero. Esto último se hace con la finalidad de tener un gráfico cerrado. 2. Se selecciona el rango con la información de la gráfica (conjunto de celdas que forman la columna ƒi o ƒi (%) ), y se oprime el botón del asistente que permite crear gráficos .

Figura 1.23.


3. Aparece el primer paso del asistente de gráficas (figura 1.23). Seleccione la opción “Líneas”, subtipo de gráfica 1, 2, o bien, la 4. Oprimimos el botón “Siguiente” para pasar al segundo paso del asistente.

Figura 1.24.

4. En el segundo paso, deberá seleccionar la opción de “Serie”. Posteriormente; en la categoría de “Rótulos del eje de categorías (X )”, deberán seleccionarse las celdas que corresponden a las Marcas de clase de los intervalos de clase, como se muestra en la figura 1.25. Como último paso en esta etapa debemos oprimir “Siguiente”.

Figura 1.25.

61

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5. En el tercer paso del asistente, se debe especificar el título de la gráfica, la etiqueta del eje X (equis) y la del eje de las Y; después, desactivar líneas de división y leyendas. Posteriormente, oprimir, “Siguiente”.

Figura 1.26.

6. En el cuarto paso del asistente, se debe indicar si se quiere que el gráfico se agregue como un objeto en la misma hoja electrónica, o bien, se agregue en otra hoja nueva. En este momento se oprime “Finalizar”, y con ello obtenemos un polígono de frecuencias.

Ojivas La ojiva es un polígono abierto en el extremo superior, que se construye para una frecuencia acumulada o para una frecuencia acumulada relativa, o bien, para la frecuencia acumulada relativa expresada en porcentaje (ojiva porcentual). La ojiva se obtiene al unir por segmentos de recta, los puntos situados a una altura igual a la frecuencia acumulada o la frecuencia acumulada relativa de cada clase (eje Y ) con los límites reales superiores de éstas (eje X ). Para llevar a cabo su construcción, se requiere crear un primer intervalo ficticio (o falso) con frecuencia acumulada cero. Este gráfico nos permite analizar cuántas observaciones están por debajo de un determinado valor. Con los datos del cuadro 1.32 se construyen la ojiva (frecuencia acumulada) y la ojiva porcentual (frecuencia acumulada relativa por cien), como se muestra en las figuras 1.27 y 1.28, respectivamente. Para construir la ojiva con la frecuencia acumulada (figura 1.27), se debe crear un intervalo ficticio inicial (4.15 2 4.95) cuya frecuencia acumulada es cero, por lo que debajo


del límite real superior (4.95) del intervalo ficticio no hay acumulada ninguna calificación de los alumnos del examen propedéutico para la maestría en Administración. Debajo del segundo límite real superior (5.75) hay acumuladas tres calificaciones de alumnos; debajo del tercer límite real superior (6.55) hay acumuladas siete; debajo del cuarto límite real superior (7.35) hay 15; y, así sucesivamente, hasta el último intervalo debajo del cual se acumulan las veintisiete calificaciones. Gráfica 10 Calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración Estudiantes


Figura 1.27. Ojiva. Gráfica 11 Calificaciones de 27 estudiantes del examen propedéutico para la maestría en Administración


Figura 1.28. Ojiva porcentual.

La interpretación de estos gráficos es simple y muy útil; por ejemplo, de la ojiva (figura 1.27) puede observarse que 15 alumnos obtuvieron una calificación inferior o igual que 7.35. Con la ojiva de la figura 1.28 se interpreta que 56% de los alumnos del curso propedéutico para la maestría en Administración obtuvo resultados inferiores o iguales que 7.35 y sólo tres de ellos, 11% de los alumnos del examen propedéutico, obtuvieron una calificación inferior o igual que 5.75.

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Construcción de ojivas en Excel En Excel para la construcción de la ojiva se utilizan las frecuencias acumuladas o las frecuencias relativas acumuladas, según sea la ojiva deseada. Posteriormente, debemos realizar los pasos siguientes: 1. Se construye el cuadro de distribución de frecuencias, el cual debe tener la frecuencia acumulada o la frecuencia acumulada relativa, o bien, la frecuencia acumulada relativa expresada en porcentaje de acuerdo con la ojiva que se quiera construir. Al cuadro de distribución de frecuencias se le debe agregar un intervalo de clase antes de la primera clase con frecuencia cero. Esto último se hace con la finalidad de tener un gráfico que inicie del eje de las abscisas. 2. Se selecciona el rango con la información de la gráfica (conjunto de celdas que forman la columna Fi o FR), y se oprime el botón del asistente que permite crear gráficos.

Figura 1.29.

3. Aparece el primer paso del asistente de gráficos. Seleccionar la opción “Líneas”, subtipo de gráfica 1, 2, o bien, 4. Oprimimos el botón “Siguiente” para pasar al segundo paso del asistente. 4. En el segundo paso debe seleccionarse la opción de “Serie”. Posteriormente, en la categoría de “Rótulos del eje de categorías (X )”, deberán seleccionarse las celdas que corresponden a los límites reales superiores de los intervalos (figura 1.29). Como último paso en esta etapa se debe oprimir “Siguiente”.


5. En el tercer paso del asistente, se debe especificar el título de la gráfica, la etiqueta del eje X (equis) y la del eje de las Y; después, desactivar líneas de división y leyendas; posteriormente, oprimir “Siguiente”. 6. En el cuarto paso del asistente se debe indicar si se quiere que el gráfico se agregue como un objeto en la misma hoja electrónica, o bien, en otra hoja nueva. En este momento se oprime “Finalizar”, y con ello obtenemos una ojiva (figuras 1.27 y 1.28).

Otras representaciones gráficas En la presentación de los resultados de un estudio es muy común utilizar diferentes tipos de gráficas. Hasta aquí se han estudiado los histogramas, los polígonos de frecuencia y las ojivas, pero no sólo hay este tipo de gráficas, también se pueden presentar los datos y cálculos estadísticos en otras formas gráficas. A continuación se listan algunos tipos de estas representaciones gráficas. • Gráfica de barra o columna simple. • Gráfica de barras agrupadas. • Gráfica de barras de desviaciones. • Gráfica de sectores. • Mapas estadísticos. • Gráficas pictóricas

Gráficas de barras (columnas) simples para datos cualitativos Es la más sencilla de las gráficas, y consiste en representar datos mediante una barra o columna simple, la cual puede colocarse horizontal o verticalmente. En la construcción de este tipo de gráfico se utilizan las variables cualitativas y cuantitativas discretas. Algunas de las características de estas variables son que no tienen intervalos de clase por carecer de sentido, tampoco se calcula la frecuencia acumulada, no hay polígono de frecuencias ni ojivas para éstas. Por tanto, con las variables cualitativas sólo pueden construirse gráficas de barras (columnas) simples, tanto para las frecuencias absolutas de cada categoría como para las frecuencias relativas de éstas. La gráfica de barras simples para datos cualitativos está formada por rectángulos que representan a cada una de las categorías (o características) que forman la variable y cuya altura estará determinada por la frecuencia absoluta o la frecuencia relativa que presente la categoría. Los rectángulos se dibujan separados para resaltar que entre ellos hay una diferencia cualitativa y no cuantitativa. En la gráfica de barras, los rectángulos pueden trazarse en forma horizontal (barras) o verticalmente (columnas). Un ejemplo para la construcción de este tipo de gráficos se muestra con la información del cuadro 1.36 (número de hijos por familia en un municipio del estado de Jalisco). La figura 1.30 es una gráfica de columnas simples, cuya escala utilizada en el eje de las abscisas es de tipo ordinal, mientras que en el eje de las ordenadas la escala es de razón. En la figura 1.31 se muestra una gráfica de barras simples para la misma variable.

65


Familias

Gráfica 12 Número de hijos por familia en una comunidad rural de Jalisco, México


Número de hijos

Figura 1.30.

Gráfica 13 Número de hijos por familia en una comunidad rural de Jalisco, México

Número de hijos

66


Familias

Figura 1.31.

Con la información del cuadro estadístico 1.16 (número de instituciones de educación superior por tipo de escuela en el año 2003 en México) se construyen las gráficas de las figuras 1.32 y 1.33. En la figura 1.32 se muestra un gráfico de barras simples, con escala nominal en el eje de las ordenadas y en el eje de las abscisas la escala es de razón, mientras que la figura 1.33 muestra un gráfico de barras simples para la misma variable, en cuyo eje de las abscisas se presenta el porcentaje.


Gráfica 14 Instituciones de Educación Superior en México, 2003

Número Fuente: Elaborada por el Centro de Investigaciones Interdisciplinarias en Ciencias y Humanidades, UNAM (2003), con datos de ANUIES.

Figura 1.32.


Fuente: Elaborada por el Centro de Investigaciones Interdisciplinarias en Ciencias y Humanidades, UNAM (2003), con datos de ANUIES.

Figura 1.33.

El proceso de construcción de gráficas de barras o gráficas de columnas en Excel se efectúa mediante los pasos siguientes: 1. En la construcción de la gráfica de barras o columnas se utilizan dos columnas de la hoja electrónica; la primera deberá contener la frecuencia absoluta (ƒi ) o el porcentaje de acuerdo con el diagrama de barras que se quiera construir; y la segunda contiene la variable cualitativa o cuantitativa discreta.

67


2. Seleccionar el conjunto de celdas de la barra o columna con el rango de información de la gráfica (frecuencia absoluta o porcentaje), y oprimir el botón del asistente que permite crear gráficos . 3. Aparece una nueva ventana (primer paso) del asistente de gráficos. Se selecciona la opción de gráfica de barras y subtipo de gráfica 1, si lo que se quiere es construir un gráfico de barras o bien, se selecciona gráfica de columnas, subtipo de gráfica 1, si lo deseado es una gráfica de columnas; después de la selección, se oprime el botón “Siguiente” para pasar al segundo paso del asistente. 4. En el tercer paso del asistente, se especifica el título de la gráfica, la etiqueta del eje X (equis) y la del eje de las Y. Posteriormente, se oprime “Siguiente”. 5. Se debe indicar si queremos que el gráfico se agregue como un objeto en la misma hoja electrónica o otra hoja nueva. En este momento, oprimimos “Finalizar”. Un ejemplo de un gráfico de columnas se muestra en la figura 1.34.


Número

68


Figura 1.34.

Gráfica de barra o columna simple Este gráfico suele utilizarse cuando se comparan gráficamente las distribuciones de conceptos iguales en una sola barra o columna. También, permite comparar las proporciones que guardan cada una de las partes con respecto al todo, y se puede construir usando valores absolutos, proporciones, o bien, porcentajes. Con los datos del cuadro estadístico 1.16, el gráfico de barra simple con porcentajes se muestra en la figura 1.35, y en la figura 1.36 con valores absolutos.




Figura 1.35. Gráfica 18 Instituciones de Educación Superior en México, 2003

Número


Figura 1.36.

Gráfica de columnas apiladas (barras apiladas) Con la información de los votos de los ministros durante 2006 se construyó un gráfico de barras apiladas (figura 1.37). Estos gráficos permiten mostrar en una sola barra o columna varias características para una variable particular. Se coloca una característica encima de la otra, es decir, se apilan. En el ejemplo, en los procesos de votación del Pleno de la Corte, los ministros emitieron 230 votos particulares, concurrentes, minoritarios o adhesiones en la resolución de los asuntos revisados. De esos 230 votos, 130 9 “Observatorio judicial. El sistema de votación de la Suprema Corte y los asuntos en materia fiscal”, de la revista Este país tendencias y opiniones, Núm. 197, agosto 2007, p. 77.

69

70


fueron formulados por los ministros el día de la discusión y resolución, es decir, constituyen votos particulares, concurrentes o minoritarios. Los cien votos restantes corresponden a las adhesiones, que los ministros hicieron al conocer el voto particular, concurrente o minoritario de sus pares. El ministro con el mayor número de este tipo de votos cuenta con 51, de los cuales 20 son particulares, concurrentes o minoritarios, y 31 se tratan de adhesiones a los votos de sus colegas. El segundo ministro con más votos de esta índole tiene 49; de éstos son formulados (particulares, concurrentes o minoritarios) cuatro son adhesiones. Por otro lado, dos ministros de la Suprema Corte cuentan con tres votos cada uno con dos formulados y una adhesión, respectivamente. Gráfica 19

60 51 50 40

49

31 31

30

25

45 20 10

23 20

6

19

22 5 17

8 1

M5

M3

M6

M9

M7

14 8

13 5

6

8

M3

M3

Votos particulares, concurrentes o minoritarios que formuló

11 8

8

3

8 2

3 2

3 2

M4

M11

M2

M8

Votos a los que se adhirió

Nota: la nomenclatura utilizada responde al orden alfabético de los apellidos de los ministros: M1: Sergio Salvador Aguirre Anguiano; M2: Mariano Azuela Güitrón; M3: José Ramón Cossío Díaz; M4: Juan Díaz Romero; M5: Genaro David Góngora Pimentel; M6: José de Jesús Gudiño Pelayo; M7: Margarita Beatriz Luna Ramos; M8: Guillermo Ortiz Mayagoitia: M9: Olga María Sánchez Cordero; M10: Juan Nepomuceno Silva Meza; M11: Sergio Armando Valls Hernández. La gráfica presenta a los ministros ordenados de mayor a menor emisión de votos particulares, concurrentes, minoritarios o adhesiones.

Fuente: Observatorio Judicial, Primer reporte anual, 2006. Tomado de la revista Este país tendencias y opiniones, Núm. 197, agosto 2007, p. 77.

Figura 1.37. Totales de votos particulares, concurrentes, minoritarios y adhesiones de los ministros de la SCJN, Pleno, 2006.

Gráfica de sectores Este tipo de gráfica recibe también el nombre de gráfica circular o gráfica de pastel y se utiliza para mostrar la relación que hay entre los componentes de un todo, es decir, la proporción. Cada uno de los sectores del círculo representa una parte de un agregado o de un total. En la construcción de estos gráficos, el analista deberá contar con la proporción o el porcentaje de cada una de las partes del todo y multiplicarla por 360º o 3.6º, respectivamente; por ejemplo, una proporción de 0.55 ¿a cuánto equivale en grados en la gráfica circular? La respuesta es: 0.55 3 360 5 198º; ahora, si consideramos un dato de 25%, entonces éste equivale a 90 grados.


Como ejemplo en la construcción de un gráfico de sectores utilizaremos los datos del cuadro estadístico 1.39, el cual contiene información de la exportación de automóviles por plantas armadoras establecidas en la República Mexicana, de los años 2000, 2005 y el primer semestre de 2006 (hasta junio). Cuadro 1.39. Producción mexicana de automóviles para exportación (unidades) Compañía

2000

2005

20061

Daimler-Chrysler

371 516

340 265

174 566

Ford

234 751

107 083

159 445

General Motors

325 422

333 225

199 638

Honda

7 277

14 587

8 545

Nissan

153 978

155 190

91 295

Volskwagen

340 054

242 496

148 225

1 432 998

1 192 846

781 714

Total

Nota: 1 Acumulado a junio de 2006. México obtuvo la máxima producción a nivel mundial en este semestre. Fuente: Asociación Mexicana de la industria automotriz, publicado en la revista Ejecutivos de Finanzas el Poder de los Negocios, Núm. 45, 2006, p. 42.

El gráfico de sectores 20 (figura 1.38) muestra la participación de cada planta armadora en las exportaciones de automóviles para el periodo enero-diciembre de 2005.

Gráfica 20 Producción mexicana de automóviles para exportación 2005 Volkswagen 20%

Daimler-Chrysler 29%

Nissan 13% Ford 9%

Honda 1%

General Motors 28% Fuente: Elaborado con datos del cuadro 1.39 y de la Asociación Mexicana de la Industria Automotriz.

Figura 1.38

También pueden elaborarse gráficos similares con los datos del año 2000 y del primer semestre de 2006.

71

72


Ejemplo: La Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros es una institución que tiene un profundo contenido social, su principal característica es dar asesoría y defensorías gratuitas a los usuarios de las Instituciones Financieras, en los siguientes servicios: Ahorro, Bancos, Casas de Bolsa, Crédito, Cheques, Factoraje, Fianzas, Fondo de Inversión, Tarjetas, Seguros, Sofoles y otros. Con datos de 2005 se construyó el gráfico de sectores 21 (figura 1.39). (Fuente: www.conducef.gob.mx).

Gráfica 21

Defensorías gratuitas en la Condusef En 2005 las defensorías legales ante instituciones de crédito representaron más de las dos terceras partes del total

Seguros 20% Bancos y Sofoles 78%

Otros* 2%

*Incluye: Sistema de Ahorro para el Retiro, Fianzas, Organizaciones y Actividades Auxiliares de Crédito y Bursátil. Fuente: Revista de cultura financiera Proteja su dinero, Año 7, Núm. 73, abril 2006, p. 1.

Figura 1.39.

Gráfica de barras agrupadas Como su nombre lo indica están formadas por barras que se agrupan por categorías; las barras pueden presentarse en forma horizontal o vertical y se utilizan cuando se requiere comparar una variable que presenta diferentes categorías, o bien, cuando se desean comparar dos o más variables que, a su vez, se dividen en dos o más categorías.

Ejemplos: Con la información del cuadro 1.39, se muestra a continuación un gráfico de barras (columnas) agrupadas (figura 1.40), en el cual se aprecia el comportamiento de las exportaciones mexicanas de automóviles por planta armadora para el periodo enero-diciembre de 2000 y 2005.


Gráfica 22 Producción mexicana de automóviles para exportación 400.000 350.000

Unidades

300.000 250.000 200.000 150.000 100.000 50.000 0 DaimlerChrysler

Ford

General Honda Nissan Volkswagen Motors Compañía Fuente: Elaborado con datos del cuadro 1.39 y de la Asociación Mexicana de la Industria Automotriz.

Figura 1.40

Ejemplo:

Con base en las cifras del Banco de México (Banxico), el financiamiento externo e interno (bancario, no bancario, emisiones, el Instituto del Fondo Nacional de la Vivienda para los Trabajadores-Infonavit) del Producto Interno Bruto (PIB) del país durante el periodo de 1994-2004 ha disminuido de 61% a 29%, mientras que el financiamiento por parte de proveedores, empresa matriz o del grupo, recursos propios y otros pasivos se ha incrementado de 38% a 71%. En este sentido, la banca comercial ha disminuido su participación en el PIB de 39.5% a 10% durante el periodo referido. Las circunstancias a finales de los 90 justifican, en mayor medida, las acciones de la banca para capitalizarse y concentrarse en actividades que fuesen más rentables y sencillas de controlar; pero eso conllevó a que ciertos nichos de mercado fuesen desatendidos y, aunque hoy son potencialmente atractivos, los bancos no están preparados para atenderlos10. La figura 1.41 es otro ejemplo de gráfica de columnas agrupadas. Gráfica 23 Financiamiento del PIB en México 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0%

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

Proveedores empresa matriz o del grupo y otros. Financiamiento externo e interno (bancaria, emisiones, Infonavit).

Fuente: Banco de México. Publicado por la revista Ejecutivos de Finanzas, Septiembre, Año xxxv, Núm. 45, 2006, p. 25.

Figura 1.41. Financiamiento del PIB en México. El producto Interno Bruto (PIB) del país durante el periodo de 1994-2004 ha disminuido del 61 al 29%, mientras que el financiamiento por parte de proveedores, empresa matriz o del grupo, recursos propios y otros pasivos se ha incrementado de 38 a 71%. 10 Revista Ejecutivos de Finanzas, septiembre, Año XXXV, Núm. 45, 2006, p. 23.

73

74


Gráficas de barras de desviaciones Este tipo de gráficas permite la representación de una variable que contiene variaciones positivas y negativas; por ejemplo, en una empresa pueden analizarse las pérdidas y ganancias en el tiempo, los incrementos y decrementos de la producción, etcétera. El gráfico de barras se puede elaborar con la barra en forma vertical u horizontalmente. Este tipo de gráfico siempre tiene como referencia el valor cero, a partir del cual se construyen las barras: hacia arriba o hacia abajo, si el eje considerado es el vertical o hacia la derecha o izquierda si el eje es horizontal.

Ejemplo: La información del crecimiento promedio anual en el primer semestre, para la Industria Minero-Metalúrgica Mexicana de los años 1985 a 1995, es proporcionada por el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (cuadro 1.40). Cuadro 1.40. Crecimiento promedio anual del primer semestre de la Industria Minero-Metalúrgica Mexicana (%). 1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

5

1

9

7

27

4

-8

7

3

0.5

10.2

Fuente: INEGI. A. Pierdant, J. Rodríguez, Elementos básicos de estadística para ciencias sociales, UAM-X, 2007, p. 79.

La figura 1.42 es un ejemplo de gráfico de desviaciones, en el cual se muestra el crecimiento promedio anual del primer semestre de la Industria Minero-Metalúrgica Mexicana de 1985 a 1995.

Gráfica 24 Crecimiento promedio anual del primer semestre de la industria Minero-metalúrgica Mexicana

Fuente: Elaboración propia con datos del INEGI, cuadro 1.40.

Figura 1.42


Ejemplo: El siguiente artículo y gráfica se tomaron de la revista Expansión11, y en él se muestra una aplicación del gráfico de barra de desviaciones (figura 1.43). “Japón, peor que el peor pronóstico” El enorme deterioro de la confianza en los negocios, que excede con mucho el pronóstico –ya de por sí pesimista–, anticipa un receso aún mas extenso de la economía japonesa. La crisis bancaria, que continúa sin resolverse, y que es en realidad una crisis política provocada por los intentos de quitarle el poder al PLD, agudiza el problema, al igual que la reducción gradual de los precios de los activos. Los consumidores japoneses están muy deprimidos, con toda razón durante los últimos cinco años perdieron la mitad de su patrimonio –bienes raíces y valores–, además de que los activos que poseen en documentos de bancos y compañías de seguros tendrán que hacerlos efectivos mediante los recursos fiscales con los que se rescate a dichas instituciones. ¡No es hora de gastar! Lo mismo sucede con las empresas: han reducido sus planes de producción y generación de empleo, al igual que sus proyectos de inversión. Ante la desaceleración de la economía mundial, incluso el sector exportador se ve mal. 1998

Variación procentual del PIB �3 �2.5 �2 �2

�1.5

�1

�0.5

1999 0

0.5

1

The Economist FMI Goldman Sach JP Morgan Fuente: MIT. Publicado por la revista Expansión, 20 de enero-03 de febrero, 1999, p. 36.

Figura 1.43. Pronóstico de crecimiento en Japón.

Mapas estadísticos Los mapas estadísticos tienen como objetivo representar relaciones espaciales en mapas geográficos. Algunos de los tipos más usados de mapas estadísticos son: los sombreados, los punteados, los de isolíneas, los de gráficas sobrepuestas (barras, líneas, flujos, etc.), y los mapas combinados de dos o más de los anteriores tipos. • Los mapas sombreados con la intensidad de la sombra, indican la magnitud del fenómeno en el área. • Los mapas punteados recalcan las magnitudes absolutas. • Los mapas de isolíneas se emplean frecuentemente para mostrar la distribución de fenómenos meteorológicos, económicos y demográficos. 11

Parte del reportaje “Deteriorada la confianza en sus negocios, se anticipa un proceso más largo de la economía japonesa”, en revista Expansión, 20 de enero a 03 de febrero, 1999, p. 35.

75

76


• En los mapas de gráficas sobrepuestas es fácil representar las relaciones espaciales de variables, lo que permite una mejor comprensión de la representación de las magnitudes de las mismas.

Ejemplo: En el mapa de la República Mexicana (figura 1.44) se muestra la forma en que nuestro país fue dividido en cuatro regiones por los investigadores de BANAMEX, en 1987, para elaborar la II Encuesta Nacional sobre los Valores de los Mexicanos12. Éste es un claro ejemplo de mapa estadístico del tipo mapa sombreado. REGIONES Y CIUDADES MUESTREO DE CUOTAS II ENCUESTA NACIONAL SOBRE LOS VALORES DE LOS MEXICANOS 1997 TIJUANA

MEXICALI

CIUDAD JUAREZ

HERMOSILLO NORTE

CHIHUAHUA

CENTRO OCCIDENTE

CULIACAN

TORREÓN

SURESTE

MONTERREY

TAMPICO SAN LUIS POTOSI

LEÓN

OCÉANO PACÍFICO

Ejemplo:

GOLFO DE MÉXICO

MÉRIDA QUERÉTARO PACHUCA DF MORELOS VERACRUZ TOLUCA PUEBLA COATZACOALCOS VILLAHERMOSA ACAPULCO OAXACA TUXTLA GUTIÉRREZ

GUADALAJARA

Figura 1.44.

“Un vistazo estadístico”.13 En la región denominada Montaña, del estado de Guerrero, viven poco más de 293 mil personas cuya edad media se ubica en los 17 años. En esta región la presencia de población hablante de lengua indígena asciende a 57 % del total. El 61% de la población en un nivel de bienestar 1, en una escala en la que el valor más alto es 6, mientras que el índice de Desarrollo Humano (IDH) promedio de la región es de 0.57. En la montaña se encuentra el municipio más pobre de México: Metlatónoc, en donde la presencia indígena es de origen náhuatl, alcanza 88% de la población y de ésta, dos tercios no hablan español, en este municipio el IDH es de 0.39 centésimas. 12

A. Pierdant, y J. Rodríguez, Elementos básicos de estadística para ciencias sociales, UAM, 2007, p. 80.

13

En revista Emprendedores al servicio de la pequeña y mediana empresa, noviembre-diciembre 2006, Núm. 102, UNAM, p. 31.


ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA

Golfo de México

OC

ÉA

PA C

GUERRERO

ÍFI

CO

ESTADO DE MÉXICO BELIZE

NO

MICHOACÁN

PUEBLA

MORELOS

GUATEMALA

IGUALA TIERRA CALIENTE GUERRERO CHILPANCINGO

COSTA GRANDE

CENTRO

ZONA DE INFLUENCIA ZONA PRODUCTIVA

REGION MONTAÑA

REGION COSTA CHICA

ACAPULCO

LIMITE DE MICRORREGIONES SEDESOL

OAXACA

MARQUELIA

Nota: Xuahjim Me’ Phaa, A.C., Jamaica para todos, una organización indígena para el desarrollo. Fuente: Revista Emprendedores, noviembre-diciembre 2006, Núm. 102, UNAM, p. 31.

Figura 1.45.

Ejemplo: La producción total anual de la producción automotriz ha disminuido, México en lo que va de este año, ha producido, porcentualmente, más automóviles que China, teniendo un incremento de 35.8%. En torno a México, según datos de la Secretaría de Economía (SE), se prevé que las inversiones extranjeras directas en el sector sumen casi 5 mil millones de dólares, lo que representa un avance en relación con 2005. La inversión directa en nuevas plantas armadoras genera un impacto positivo en el PIB, y como resultado, un aumento en la generación de empleos y exportaciones. Capacidad de producción por planta: Ford. Produce 16 mil autos entre Focus, Zx3 Fusion, Milan 7 y Zephyr en Hermosillo, Sonora, Mientras que en Chihuahua, Chihuahua, desarrolla 435 mil motores. En su planta de Cuautitlán, Estado de México, produce su modelo Ikon y 159 camiones. Daimler Chrysler. En su planta de Ramos Arizpe, Coahuila, desarrolla motores, camiones y Pick up, en Toluca, Estado de México, produce 180 mil autos PT Cruiser y refacciones para sus diferentes modelos, en la planta de Saltillo, Coahuila, realiza estampado.

General Motors. Produce los modelos Cavalier, Chevy, Monza, Sunfire, Aztec y Rendezvous, así como motores y estampado en Ramos Arizpe, Coahuila. En Silao, Guanajuato produce 104 mil camiones y en Toluca, Estado de México camiones y motores.

Nissan. En Lerma, Estado de México, funde 193 mil 800 toneladas; en Cuernavaca, Morelos produce 108 mil autos Tsubame, 64 mil 800 Tsuru, además de camiones. En su planta de Aguascalientes, Aguascalientes, produce 660 mil unidades Sentra y Platina, 16 millones de motores, desarrolla al mismo tiempo estampados, 175 mil 200 transejes y defensas y la fundición de 11 mil 280 toneladas de aluminio. Volskwagen. Produce en Puebla, Puebla 200 mil autos Vétale, Beatle Cabrio, así como unidades del modelo Jetta y fabrica motores, hace estampado y fusión. Honda. En su planta del Salto, Jalisco produce 15 mil autos del modelo Accord. Toyota. Realiza el ensamblado de sus autos en Baja California Norte14.

Fuente: Tomado del artículo “Se prevé que las inversiones directas en el sector sumen casi 5 000 millones para el cierre 2006”, en revista Ejecutivos de finanzas, Septiembre, Año XXXV Núm. 45, 2006, p. 33. 14

“Se prevé que las inversiones directas en el sector sumen casi 5 000 millones para el cierre 2006”, en revista Ejecutivos de Finanzas, septiembre, Año XXXV, Núm. 45, 2006, p. 30.

77

78


Ford Ford Toyota Daimler Chrysler General Motors General Motors

GM tiene el índice más alto de producción, con

unidades al cierre de junio de 2006.

Nissan Volkswagen

Honda

Daimler Chrysler General Motors y Nissan

Nissan

Figura 1.46.

En los mapas de gráficas sobrepuestas pueden representarse las magnitudes de emigración e inmigración en los estados del país, al sobreponer dos gráficas de columnas en cada estado que indiquen dichas magnitudes.

Gráficas pictóricas Debido a que este tipo de gráficas son muy atractivas y fáciles de comprender por el público que carece de preparación en estadística se utilizan mucho, pero no es así en estudios formales. Las gráficas pictóricas se clasifican en dos tipos: 1. Gráficas con símbolos pictóricos de tamaño proporcional. En ellas las figuras deben tener una magnitud proporcional a los valores que representan. 2. Gráficas de unidades pictóricas. En estas gráficas cada símbolo representa un valor definido y uniforme.

Ejemplo: La construcción de casas en el fraccionamiento “Valle Dorado de Ixtapaluca”, Ixtapaluca, Estado de México. Si se considera a una unidad o símbolo y ésta representa 100 casas construidas, entonces dos símbolos representan 200, etcétera. La figura 1.47 muestra un ejemplo de este tipo de gráficas.


Gráfica 25

I

II

III

IV

V

Etapa


350 Casas construidas

Figura 1.47. Número de casas construidas en el fraccionamiento en sus cinco etapas.

Ejemplo: “¿Ambiciosa? Bueno”, ¿qué más podría esperarse de una compañía que globalmente, se atreve a definir sus objetivos más allá del sector refrescos y pretende atacar el mercado de bebidas sin más? En su último informe anual, The Coca-Cola Company establece que, si se considera que el consumo mínimo diario de líquido requerido por el ser humano es de 64 onzas, esta multinacional apenas satisface 2% de las necesidades de la población a la que da servicio. Un mercado importante. Miembro de un equipo de ejecutivos cuyo desafío principal durante los últimos cuatro años fue aumentar la rebanada del pastel para Coca-Cola en México. Reyes bien sabe de la importancia del mercado mexicano posee para la multinacional. Refresquero como pocos, el país mantuvo durante años la marca de mayor consumo per cápita de productos elaborados por la firma. Por causas de sobra conocidas, el año pasado descendió al segundo lugar, con 322 botellas por cada mexicano, contra 343 que en promedio se bebieron en Estados Unidos.15 15

“La verdadera Guerra de Coca-Cola”, en revista Expansión, junio 5, 1996, p. 43.

79

80


Las gráficas de las figuras 1.48 y 1.49 son dos ejemplos prácticos del uso de gráficas de unidades pictóricas.

El saldo de la crisis 306

México

México

343

333 Estados Unidos

303 Estados Unidos

Estados Unidos

310

322

México

Australia

250

Australia

274

Australia

292

Noruega Chile

236 205

Noruega Israel

256 222

Noruega Chile

256 248

Alemania Argentina

205 205

217 191

Chile Alemania

232 201

Israel Alemania

Canadá

205

Argentina

189

Canadá

181

España

205

Canadá

169

Argentina

179

Israel 0 Promedio 32 internacional 1993

España Promedio internacional

166

España Promedio internacional

35 1994

179 54 1995

Fuente: Tomado del artículo “La verdadera Guerra de Coca-Cola”, en revista Expansión, junio 5 de 1996, p. 44.

Figura 1.48. El consumo per cápita en México es de los más altos, aunque bajó en 1995 por la caída del poder adquisitivo.

La sultana sedienta Monterrey

685

DF

Toluca

351

189

Fuente: Tomado del artículo “La verdadera Guerra de Coca-Cola”, en revista Expansión, junio 5 de 1996, p. 47.

Figura 1.49. La distribución del consumo interno está lejos de ser parejo.


Guía rápida para elaborar gráficas en Excel En el cuadro 1.41 se muestra una guía rápida para elaborar algunas gráficas simples con la hoja electrónica de Excel. Cuadro 1.41. Asistente para gráficos Tipo de gráfica

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Barras simples horizontales Seleccionar rango de frecuencia absoluta o porcentaje, y oprimir Asistente para gráficos

Seleccionar gráfica de barras y subtipo de gráfica uno

Seleccionar la opción de “Columnas”. En la carpeta Serie “Rótulo del eje de categoría (X )” seleccionar rango de la variable cualitativa

Especificar el título de la gráfica, la etiqueta del eje X (equis) y la del eje de las Y

El gráfico se ubica como un objeto en la misma hoja electrónica

Barras simples verticales Seleccionar rango de frecuencia absoluta o porcentaje, y oprimir Asistente para gráficos

Seleccionar gráfica de columnas y subtipo de gráfica uno.

Seleccionar la opción de “Columnas” En la carpeta Serie y en “Rótulos del eje de categorías (X )” seleccionar el rango de la variable cualitativa



Barra de desviaciones de porcentajes Seleccionar rango de porcentaje, y oprimir Asistente para gráficos

Seleccionar gráfica de barras y subtipo de gráfica uno o con efecto 3D

Seleccionar la opción de “Columnas”. En la carpeta Serie en “Rótulos del eje de categorías (X )” dar un espacio con la barra espaciadora y después seleccionar la celda de la variable cualitativa para cada serie



Barra de desviaciones de valor absoluto Seleccionar rango de total (valor absoluto), y oprimir Asistente para gráficos

Seleccionar gráfica de barras y subtipo de gráfica uno, dos o con efecto 3D

Seleccionar la opción de “Columnas” En la carpeta Serie, en “Rótulos del eje de categorías (X )” dar un espacio con la barra espaciadora



De sectores (pie o pastel) Seleccionar rango de valores (valor absoluto) sin incluir el total, y oprimir Asistente para gráficos

Seleccionar gráfica circular y cualquiera de los seis subtipos de este tipo de gráfica

Seleccionar la opción de “Columnas” En la carpeta Serie, en “Rótulos de categorías” Seleccionar el rango de la variable cualitativa

Especificar el título de la gráfica, en la carpeta leyenda Seleccionar no “Mostrar serie”, en la carpeta “Rótulos de datos” seleccionar “Nombre de la categoría” y “Porcentaje”.


Histograma Seleccionar el rangos de valores de la columna (valor absoluto), y oprimir Asistente para gráficos

Seleccionar gráfica de columnas y subtipo de gráfica uno o con efecto 3D

Seleccionar la opción de “filas” En la carpeta Serie, en “Rótulos del eje de categorías (X )” con la barra de espacios dar un espacio Para cada valor de serie, especificar el intervalo o clase

Especificar el título de la gráfica, el eje X, el eje Y o Z según sea el caso


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82


Problemas 1.

¿En cuántas ramas se divide la Estadística? ¿Cuáles son?

2.

Se encarga del desarrollo y aplicación de técnicas para la presentación efectiva de información numérica. ¿A qué rama de la Estadística se refiere?

3.

Si se realizan deducciones y éstas pueden realizarse por razonamiento deductivo o inductivo, ¿A qué rama de la Estadística nos estamos refiriendo?

4.

Otro nombre que recibe la Estadística inferencial es Estadística descriptiva. ¿Es cierto o falso?

5.

En Estadística las variables, se clasifican en:

6.

Las variables cuantitativas a su vez se subclasifican en:

7.

Las variables nominales y ordinales son una rama de las variables:

8.

Clasifique las siguientes variables como: a) variables cualitativas o cuantitativas y b) variables nominales y ordinales o discretas y continuas. i. El número de llamadas recibidas en un despacho contable durante el día. ii. Las cantidades en pesos indicadas en la nómina de una pequeña empresa. iii. El orden en que llegaron a la meta los competidores en el maratón de la Ciudad de México. iv. El género de los empleados de la fábrica textil Gebara, S. A. v. La cantidad de puntos perdidos por la Bolsa Mexicana de Valores en un día determinado. vi. Las dieciséis Delegaciones del Distrito Federal. vii. La situación de los trabajadores como: empleados o desempleados.

9.

Clasifique las siguientes variables como: variables cualitativas o cuantitativas. a) Las rayas que marcan los grados de calentamiento del motor de un automóvil. b) El costo promedio del proceso de producción de una PyME.


c) La carrera que estudiaron los profesionistas de una determinada empresa. d) La tasa que cobran por utilizar una tarjeta de crédito. 10.

Es una encuesta completa en la cual se realizan observaciones acerca de una o más características de interés.

11.

El número de elementos censados de una población se denota mediante la letra C. ¿Es falso o verdadero?

12.

El conjunto de todas las posibles observaciones de una característica de interés específico se conoce como:

13.

¿Con qué se denota el número de elementos de una población? ¿Cuál es la letra?

14.

¿Cómo se denomina a un subconjunto de una población estadística?

15.

Es un estudio parcial en el cual se realizan observaciones acerca de una o más características de interés.

16.

Complete los espacios con el término correcto: El estudia todos y cada uno de los elementos de una población. El es la medida que cuantifica una característica que ha sido estudiada para una población. La medida que cuantifica una característi. ca estudiada en una muestra es el

17.

Indique si los siguientes símbolos son parámetros o estadísticos:

a) σ 18.

b) x

c) s2

d) µ

e) s

f ) σ2

Seleccione el par de símbolos que completen en forma correcta la siguiente es un parámetro y es un estadístico. oración: a) b) c) d)

N µ σ s x n Todos los anteriores

83

84


19.

Indique a qué tipo de población (finita o infinita) se refieren los casos siguientes: a) El dueño de un camión (chimecos) quiere saber cuántas personas transporta al día en el área metropolitana del Valle de México. b) Un centro de renta y venta de películas de video, quiere conocer el valor de su inventario. c) El número de alumnos que se titularon en la licenciatura de Contador en el semestre 2008-1. d) La Secretaría de Comunicaciones y Transportes quiere conocer cuántos camiones de carga circulan al día por las carreteras del país.

20. En el Parque Nacional Las Truchas se usan métodos para saber algo más acerca de la población de truchas. Se realiza un estudio con base en una muestra de 62 truchas. Este estudio se denomina Estadística inferencial. Conteste si este estudio es el adecuado o no para este caso. 21.

El sindicato de plomeros y azulejeros tiene 5 620 agremiados. El sindicato seleccionó e integró un grupo de 248 trabajadores para llevar un curso de capacitación, de los cuales 195 aprobaron el curso y el resto lo reprobó. a) ¿Cuál es la población del estudio? b) ¿Cuál es tamaño de la muestra del estudio?

22.

Una fábrica textil produce tela para mantel, que vende a un distribuidor del estado de Aguascalientes. El gerente de la fábrica le vende mantel a 60 distribuidores en todo el país. Para medir el grado de complacencia con el mantel por los contratistas, elaboró un cuestionario con una escala de agrado de 1 a 10. Se toma una muestra aleatoria de 15 de los 60 distribuidores, para contestar el cuestionario. Las calificaciones de complacencia de todos los cuestionarios aplicados se promediarán para encontrar la calificación media de agrado. a) ¿Cuál es la población del estudio? b) ¿Cuál será el parámetro en la investigación? c) ¿Cuál es tamaño de la muestra del estudio? d) ¿Cuál es el estadístico del estudio?

23. Determine qué es más recomendable realizar: un censo, una muestra o ambos (explicar en qué casos). a) El director de personal de una empresa quiere saber qué piensan los trabajadores con respecto a las relaciones laborales y para poderlas mejorar elabora un cuestionario, el cual debe aplicarse a los empleados de la empresa.


b) La Secretaría de Salubridad y Asistencia quiere conocer los efectos causados, si los hay, por el consumo de un determinado dulce que se está vendiendo afuera de las escuelas. c) Los tipos de carros que entran en un determinado estacionamiento, de las 9 a las 10 horas. 24.

Complete los espacios con el término correcto: Las variables son aquellas cuya determinación está asociada o discontinuas son con una unidad de medida. Las variables aquellas que cuantifican la característica solamente con valores enteros.

especifican y miden cualidades en los individuos, lu25. Las variables gares o cosas a partir de su descripción con palabras. Las variables son usadas para describir una característica, que no puede cuantificarse numéricamente. La variable no métrica que permite describir la característica de un individuo, lugar u objeto, a partir de realizar una diferencia, en diversas categorías establecidas en orden de supremacía o de acuerdo con un criterio jerárquico, . recibe el nombre de variable 26. De los siguientes enunciados conteste si es falso o verdadero. a) El número de automóviles infraccionados en la Ciudad de Monterrey es una variable discreta. ( ) b) El número de calculadoras vendidas en una papelería al inicio del ciclo escolar es una variable continua. ( ) c) El número del centro delantero del equipo de fútbol de la escuela es una variable cuantitativa. ( ) d) El primer lugar que ocupó Ana Guevara en los Juegos Panamericanos en el 2007 le corresponde a una variable ordinal. ( ) 27.

Complete los espacios con el término correcto:

es una sucesión ordenada de elementos distintos, pero de la misma especie. También se considera como un factor de proporcionalidad entre una cantidad representada y el segmento que la representa. es el resultado numérico de comparar una unidad de medida respecto a cualquier objeto o evento, siguiendo un conjunto de reglas diferentes, que previamente son establecidas.

85

86


28. Mencione el tipo de escalas estudiadas en el capítulo. 29. Complete los espacios con el término correcto: La escala se caracteriza por presentar diferentes niveles de medida entre sus categorías, una mayor que otra, de tal forma que todas ellas tienen diferente valor subjetivo. La escala de es la de más alto nivel de medición; ésta tiene todas las características de la escala de intervalo. 30. En esta escala de medición es posible establecer valores numéricos constantes en las diversas categorías, y por ello establecer medidas o cuantificaciones entre unas y otras. También se puede conocer la magnitud que hay entre dos medidas cualesquiera y es posible ordenar las mediciones. ¿Qué nombre recibe esta escala? 31.

Para construir una escala de intervalos debemos conocer la distancia unitaria y . el punto de origen o de partida, el cual recibe el nombre de

32. La diferencia de la escala de intervalo con respecto a la de razón es: el punto cero o el punto de origen es fijo. Lo anterior es falso o verdadero. 33. Elabore un cuadro estadístico que muestre la estructura de producción, en proporción y porcentaje, de los principales productores de algodón pluma en México del ciclo primavera/verano de 1996. La producción se da en toneladas y la fuente de esta información es la SAGAR. Baja California (55 760), Coahuila (19 332), Chihuahua (40 683), Sonora (82 530), Campeche (7 255). 34. Determine la participación en el mercado de las empresas de televisión restringida, Cablevisión y Multivisión, para los años 1993 y 1994. Los clientes de Cablevisión en 1993 fueron 158 000 y en 1994, 233 000. Los clientes de Multivisión fueron en 1993, 260 049 y en 1994, 418 033. 35. Determine el porcentaje de crecimiento de las contribuciones (impuestos) que recibió el Departamento del Distrito Federal (DDF) de 1995 a 1996 y de 1996 a 1997. Los datos proporcionados están dados en millones de pesos. Concepto Contribuciones Fuente: Secretaría de Finanzas del D.D.F.

1995 9 337

1996 11 488

1997 15 914


36. Determine el crecimiento de la población económicamente activa por género de 1999 a 2004. Población económicamente activa según el sexo1, 1999 a 2004. Año

Total

Hombres

Mujeres

1999

39 648 333

26 295 840

13 352 493

2000

40 161 543

26 418 355

13 743 188

2001

40 072 856

26 415 550

13 657 306

2002

41 085 736

26 888 135

14 197 601

2003

41 515 672

27 277 029

14 238 643

2004

43 398 755

28 013 539

15 385 216

Con el fin de ofrecer una serie anual amplia y comparable, este tabulado presenta información sólo del segundo trimestre de cada año. 1

Los datos de los demás trimestres, incluyendo los más recientes, pueden consultarse en los productos disponibles de esta encuesta. Fuente: INEGI-STPS. Encuesta Nacional de Empleo.

37.

Determine el porcentaje de votación obtenido por cada partido en la delegación de Coyoacán, según elección. Votación según elección en la Delegación de Coyoacán

Partido político PRI PRD PT APC (PAN-PV)1 PV Otros partidos CDPPN PCD PSN PARM PAS DSPPN CC Convergencia Otros partidos2 Votos BLANCOS Votos NULOS Votos CC Total

Jefe de gobierno 2000 76 822 129 843 5 973 122 475

1 046 2 754 414 979 556 12 631 2 569

1 351 3 685 143 155 504 253

Jefe delegacional 2000 85 798 132 215 8 715 105 030 22 477 1 592 4 493 619 1 722 811 10 734 2 506

2 274 3 853 150 951 533 790

Jefe delegacional 2003 26 759 111 042 4 179 61 976 15 538 16 265

607 698

3 364 11 596 2 241 6 256 260 521

En 2003 únicamente PAN. Otros partidos: MP, PLM, FC, CC3. Fuente: Elaboración propia con datos del “Atlas digital electoral 2005. Resultados 1999-2003”. Instituto Electoral del Distrito Federal, agosto 2005, México. 1 2

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88


38. Se obtuvo una muestra de 20 niños en la delegación de Tláhuac, y se les preguntó qué tiempo diario (en horas) ven la televisión. Los resultados que se obtuvieron son: 2.5, 3.0, 1.5, 1.5, 1.5, 3.5, 1.0, 2.5, 1.5, 1.0, 3.8, 1.5, 3.0, 3.5, 3.0, 2.0, 2.5, 2.0, 1.5, 3.0 Con estos datos construya una tabla de distribución de frecuencias, un histograma y un polígono porcentual. 39. En una prueba de habilidad psicomotora aplicado a niños de primaria en la Ciudad de Puebla resultaron las puntuaciones siguientes: 34, 28, 29, 22, 33, 30, 31, 32, 30, 24, 22, 25, 29, 24, 28, 25, 34, 28, 28, 30, 32, 35, 33, 22, 19, 24, 18, 23, 20, 20, 23, 21, 21, 30, 31, 32 Con estos datos construya una tabla de distribución de frecuencias, un histograma, un histograma porcentual y un polígono de frecuencias. 40. Las calificaciones en un examen de Estadística en la UAM-X se muestran en el cuadro de frecuencias siguiente. Clase

Intervalo real de clase

1

4.95 - 5.65

4

2

5.65 - 6.35

6

3

6.35 - 7.05

8

frecuencia (fi )

4

7.05 - 7.75

10

5

7.75 - 8.45

14

6

8.45 - 9.15

8

Construya un histograma porcentual, un polígono de frecuencias y una ojiva. 41.

Los ingresos anuales de las familias en una comunidad del estado de Oaxaca se muestran en el cuadro siguiente. No.

Intervalos

fi

mi

1

4 500

4 999

4 750

4

2

5 000

5 499

5 250

9

3

5 500

5 999

5 750

10

4

6 000

6 499

6 250

7

5

6 500

6 999

6 750

3

33

Total


Construya un histograma, un histograma porcentual, un polígono de frecuencias y una ojiva. 42.

El número de hermanos que tienen los alumnos del grupo SC05 en el trimestre 07-O se muestra en el cuadro siguiente. Número de hermanos

Frecuencia (fi )

0

2

1

4

2

6

3

7

4

3

5 o más

3

Construya con estos datos una gráfica de barras simples y una de sectores.

43. Se entrevistó a alumnos de Ciencias Sociales, con el fin de conocer su opinión acerca del nivel académico de sus cursos de Matemáticas. Las respuestas a esta variable de investigación se clasificaron como: bueno (1), regular (2) y bajo (3). Los resultados obtenidos en la entrevista son:

1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 4, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 2,1, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 2, 2 a) Elabore un cuadro de distribución de frecuencias para esta variable. b) Trace un gráfico de sectores y uno de barra simple.

Respuestas 1.

Estadística descriptiva y Estadística inferencial.

2.

Estadística descriptiva.

3.

Estadística Inferencial.

4.

Falso.

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90


5.

Cualitativas y cuantitativas.

6.

Discretas y continuas.

7.

Cualitativas.

8.

i. Cuantitativa discreta; ii. Cuantitativa discreta; iii. Cuantitativa discreta; iv. Cualitativa nominal; v. Cuantitativa continua; vi. Cualitativa nominal;

vii. Cualitativa nominal.

9.

Cuantitativa: b, d.

Cualitativa: a, c.

10.

Censo.

11.

Falso.

12.

Población.

13.

N.

14.

Muestra.

15.

Encuesta muestral.

16.

Censo, parámetro, estadístico.

17.

Parámetros a, d y f.

Estadísticos b, c y e.

18.

Respuesta: b.

19.

Infinita: a y d.

Finita: b y c.


20. Adecuado. 21.

a) 5 620

b) 248

22.

a) 60 distribuidores.

b) Calificación promedio de complacencia de la población de los distribuidores.

c) 15 distribuidores.

d) Calificación promedio de complacencia de la muestra de 15 distribuidores.

23. a) Si la empresa es grande se realiza una muestra; si es muy pequeña se realiza un censo.

b) Al ser una población finita se realiza una muestra.

c) Es recomendable realizar un censo.

24.

Cuantitativas, discretas.

25. Cualitativa, nominal, ordinal. 26. a) Verdadero, b) Falso, c) Falso, d) Verdadero 27.

Escala, medición.

28. Nominal, ordinal, intervalos y de razón. 29. Ordinal, razón. 30. Escala de intervalos. 31.

Cero móvil o arbitrario.

32. Verdadero.

91

92


33. Estructura de producción de los principales productores de algodón pluma en México primavera/verano 1996. Productor Baja California Coahuila Chihuahua Sonora Campeche

Producción (ton) 55 760 19 332 40 683 82 530 7 255

Proporción 0.271 0.094 0.198 0.402 0.035

(%) 27.1 9.4 19.8 40.2 3.5

Fuente: SAGAR.

34. En 1993, la participación en el mercado de Cablevisión fue de 37.8%, y la de Multivisión fue de 62.2%. En 1994, la participación en el mercado de Cablevisión fue de 35.8%, y la de Multivisión fue de 64.2%. De 1993 a 1994 Cablevisión perdió 2% del mercado, el cual fue absorbido por Multivisión. 35. De 1995 a 1996, las contribuciones crecieron 23.04%. Incremento95-96 5 [(11 488 2 9 337)/ 9 337](100) De 1996 a 1997, las contribuciones crecieron 38.53%. Incremento96-97 5 [(15 914 2 11 488)/11 488](100) 36. Año

Hombres

Incremento %

Mujeres

Incremento %

1999

26 295 840

2000

26 418 355

0.47

13 352 493 13 743 188

2.93

2001

26 415 550

-0.01

13 657 306

-0.62

2002

26 888 135

1.79

14 197 601

3.96

2003

27 277 029

1.45

14 238 643

0.29

2004

28 013 539

2.70

15 385 216

8.05


37.

38.

93

94


39.


40.

95

96


41.


42.

43. Calificación del nivel académico del curso de matemáticas

97

Capítulo 2

Estadística descriptiva Parte 2

100


Medidas descriptivas de los datos estadísticos muestrales En el capítulo anterior se estudió la manera de recopilar y realizar un resumen adecuado de los datos por medio de cuadros y gráficas. Con ello, el investigador o el estudiante puede ya hacer un análisis descriptivo de los mismos. En el presente capítulo se estudian ampliamente las diferentes medidas de resumen descriptivas de datos en un solo valor central, en cuyo alrededor se distribuyen todos los datos muestrales; estas medidas serán muy útiles para analizar e interpretar los datos cualitativos. También se muestran las expresiones matemáticas que más se usan en el cálculo de los valores de las diferentes medidas de resumen descriptivas de datos. En esta parte del análisis, los gráficos son de gran relevancia, ya que por medio de ellos se obtiene una mejor interpretación de las medidas descriptivas. Hasta aquí se han analizado los grupos de datos en bruto (serie simple), así como los que se agrupan en un cuadro de distribución de frecuencias (serie de frecuencias) o bien, en un cuadro de intervalos y frecuencias (serie de intervalos y frecuencias). Estos datos se construyen por medio de cálculos aritméticos básicos (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, proporciones, porcentajes, índices, etc.) o bien, a partir de observar su comportamiento en la gráfica, en la cual sólo se puede discernir sus tendencias o patrones de comportamiento. Esto nos lleva a la pregunta siguiente: ¿hay alguna medida que sea más exacta acerca del comportamiento de un conjunto de datos? La respuesta es afirmativa, ya que pueden utilizarse números individuales que permiten describir ciertas características de dicho conjunto. En estadística, éstos reciben el nombre de estadísticos descriptivos y puede definirse como: Aquellos que constituyen el resumen de la característica que se estudia, lo que permite tomar una decisión más rápida y satisfactoria sin la necesidad de consultar nuevamente todas las observaciones.

De acuerdo con sus características, los estadísticos se pueden clasificar en: 1. Medidas de tendencia central y de posición. 2. Medidas de variabilidad. 3. Medida de forma o sesgo. 4. Medida de curtosis. La posición es la característica más importante en la descripción de una serie de datos. La mayoría de la serie de datos tiende a reunirse alrededor de un determinado punto (medio o típico), o bien, a ubicarse (posición o localización) de manera específica dentro de una serie de datos; por ello, estas medidas reciben el nombre de tendencia central. Las medidas de variabilidad se refieren al esparcimiento o grado de dispersión que tienen los datos con respecto a una medida de posición, o bien, a sus datos extremos. Una dispersión pequeña indica un grado alto de uniformidad y una grande, muy poca uniformidad. La medida de sesgo o asimetría tiene por objeto mostrar si la distribución de frecuencias de un conjunto de datos es simétrica o asimétrica con respecto a una medida de posición.


Por último, la medida de curtosis es aquella que permite cuantificar el tamaño del pico o afilamiento que presenta una distribución de frecuencias, y su interpretación es más simple realizarla en forma gráfica. A continuación se analizarán cada una de estas medidas.

Medidas de tendencia central y de posición La características más importante de una serie de datos obtenidos de una muestra es la posición. Todas las series de datos tienden a reunirse o condensarse en un solo valor central (llamado promedio), en el cual se distribuyen todos los datos muestrales. Para comprender el significado del valor medio o central, es necesario recordar que una serie se forma por términos cuyos valores pueden ser iguales o diferentes, pero siempre hay uno con valor mínimo y otro con valor máximo; entonces, todo valor comprendido entre el valor mínimo del término y el máximo se conoce como valor medio.

Ejemplo 1: Al preguntar su edad a un grupo de personas que se encuentra en la parada de la ruta 3 del Puma-Bus, se obtuvo la serie siguiente: 18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 21, 21, 23, 25, 28 años Como puede apreciarse el valor mínimo de la serie es 18 y el máximo 28; por tanto, los valores comprendidos entre estas cifras son los valores medios de la serie. Se puede afirmar que el promedio aritmético de una serie de términos es un valor medio. Para esta serie, el promedio aritmético es de 21 años, porque al dar a cada valor de la serie el valor del promedio aritmético de 21, la suma es igual que la de los términos de la serie. Cuadro 2.1. Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Total

Serie 18 19 19 19 19 20 20 21 21 23 25 28 252

Promedio aritmético 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 252

101

102


El ejemplo anterior puede expresarse en términos generales de la siguiente manera: M � M � M �� M � a1 � a2 � a3 �� an ∴ nM � a1 � a2 � a3 �� an Al despejar n: M�

a1 � a2 � a3 �� an n

2.1 n

La suma de los términos de la serie puede expresarse como: ∑ a . Al usar este símbolo, la ecuación 2.1 queda de la siguiente forma:

i =1

i

n

M5

∑a i =1

i

n

2.2

A partir de la ecuación 2.2 puede afirmarse que, el promedio aritmético de una serie es igual que la suma de los valores de sus términos, dividida entre el número de ellos. Esta medida se conoce como de tendencia central o de posición. Como ya se indicó, estas medidas tienen por objeto encontrar el punto central, o bien, un punto específico en la distribución de un conjunto de datos. Éstas pueden clasificarse en: • Media aritmética. • Media ponderada. • Media geométrica. • Mediana. • Moda. • Cuartiles, deciles y percentiles.

Media aritmética En estadística es muy común utilizar las medidas de tendencia central; como es el caso de la media aritmética o simplemente media o promedio que se usa mucho para fines inferenciales. Por lo regular, el valor central de la media se calcula a partir de los datos de una muestra representativa de la población, y con base en este resultado se pueden realizar inferencias verdaderas acerca de la población. La media aritmética se define como la suma de los valores observados de una variable cuantitativa (discreta o continua), dividida por el número total de las observaciones; se simboliza con una X que tiene una raya en su parte superior, y se lee equis barra ( X ). De manera formal, se dice que, si x1, x2, x3, x4, x4,... xn, son n observaciones numéricas del fenómeno en estudio, entonces la media aritmética o promedio de estas n observaciones se expresa como: x � x 2 � x3 � x 4 � � � x n 2.3 X� 1 n


En donde: X 5 media aritmética de la muestra. n 5 tamaño de la muestra. xi 5 i-ésima observación de la variable cuantitativa. En estadística, esta media o promedio se llama media muestral (2.3), ya que su cálculo proviene precisamente de una muestra de la variable cuantitativa. Cuando las observaciones del fenómeno en estudio corresponden a los datos de una población (N), entonces la media aritmética se denomina media poblacional (2.4), la cual constituye un parámetro que se denota como: x1 � x 2 � x3 � x 4 � � � x n N

µ�

2.4

En donde: µ 5 media aritmética de la población (letra griega mu). N 5 tamaño de la población. xi 5 i-ésima observación de la variable cuantitativa. Si se utiliza la notación de sumatoria o, las ecuaciones 2.3 y 2.4 se especifican como: n

X5

∑x i51

i

2.3a

n

N

µ5

∑x i51

i

2.4a

N

Donde xi son todas las observaciones de la variable cuantitativa desde la primera x1 hasta la última xn o xN, según corresponda. Entonces se puede decir que la medida de tendencia central se utiliza para conocer un centro dentro de un conjunto de datos, lo que significa que los datos encontrados se condensan en un solo valor central, alrededor del cual se distribuyen todos los demás datos muestrales.

Ejemplo 2: En una agencia de ventas de productos de limpieza, se seleccionó una muestra de 25 agentes de ventas, a quienes se les preguntó cuánto habían ganado de comisiones la semana pasada, ya que se quiere conocer el promedio que obtuvieron de éstas:

103

104


300, 420, 300, 170, 230, 130, 260, 170, 300, 260, 260, 170, 300, 420, 70, 80, 260, 260, 440, 80, 300, 420, 230, 130, 230, 300 Para saber el promedio, es necesario calcular la media aritmética de la serie simple de datos. 25

X5

∑ i51

300 1 420 1 300 1165 1 230 1130 1 260 1170 1 300 1 2600 1 260 1170 1

300 1 420 1 70 1 80 1 260 1 440 1 80 1 300 1 420 1 230 1130 1 230 1 300

25

X�

6230 25

$ 249.20

Si se compara el resultado anterior con los datos originales: • Se puede observar que ningún agente de ventas obtuvo ganancias por $ 249.20. • También hay 11 agentes que ganaron comisiones menores y 14 mayores, respecto al valor de la media de $ 249.20. A partir de este análisis, puede deducirse que la media aritmética siempre se afectará por los valores extremos en la serie de observaciones obtenidas de una muestra; por tanto, puede afirmarse que la media siempre actuará como punto de equilibrio o balanceo, de tal modo que los valores de las observaciones mayores equilibran a las menores. También, deben estudiarse los datos que se encuentran alrededor o dispersos de la media, en especial los valores extremos de la serie; siendo para el ejemplo anterior de $ 70.00 el valor más bajo, mientras que el más alto de $ 440.00. Esta variabilidad siempre estará presente cuando se toma de una muestra y se quiera conocer la media aritmética de una serie de valores obtenidos de la variable cuantitativa. Esta dispersión es otro punto de análisis de la serie de datos, para poder realizar inferencias estadísticas a partir de los datos de la muestra. Esto se muestra claramente en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3: a) En la construcción de la presa el Cajón, en el estado de Nayarit, se toma una muestra de siete mandos medios de esta compañía, y se les pregunta, ¿cuánto les pagan al día por una jornada de ocho horas? La respuesta es de $ 120.00, y el valor de la media es: 7 7 120 ∑ X 5 i51 5 120 7 x Figura 2.1. 110 120 130


El valor de la media es de $ 120.00; siendo lo mismo para todos los mandos medios, y no hay dispersión en el salario. En este caso idealizado no fue necesario realizar el cálculo de la media aritmética. b) Se selecciona una muestra de siete trabajadores especializados y se les pregunta lo mismo. Se obtienen los siguientes resultados: 110, 110, 120, 120, 120, 130, 130 pesos El valor de la media es: X5

110 1110 1120 1120 1120 1130 1130 5 120 7

110

130 x 5 120 Figura 2.2.

También, la media es de 120 pesos, pero se encuentra una pequeña dispersión, ya que dos datos son de 110 y dos de 130. En la figura 2.2 se observa que hay equilibrio. c) Se selecciona una muestra de siete trabajadores (el rango de categorías de trabajadores se hace más amplia), a quienes se les realiza la misma pregunta. Los resultados son los siguientes: 100, 110, 110, 120, 120, 130, 150 pesos El valor de la media es: X5

100

100 1110 1110 1120 1120 1130 1150 5 120 7

110

130

150

x

x 5 120 Figura 2.3.

También, en este caso, la media es de 120 pesos, pero ahora se logra apreciar una dispersión mayor, al tener la serie de datos un valor en el extremo inferior de 100 y otro en el extremo superior de 150 pesos, y siendo los valores intermedios, dos de 110, dos de 120 y uno de 130. En la figura 2.3, los valores extremos influyen de tal modo que alcanzan una dispersión mayor, por tanto se puede apreciar con mayor claridad cómo la media actúa como punto de equilibrio (o valor de equilibrio). d) Se selecciona una muestra de siete trabajadores (desde obreros hasta directivos) y se les realiza la misma pregunta. Se obtienen los siguientes resultados: 90, 100, 110, 110, 120, 130, 180 pesos

105

106


90

100

110

130 x 5 120

180

x

El valor de la media es: X5

90 1100 1110 1110 1120 1130 1180 5 120 7 Figura 2.4.

La media es de 120 pesos y la dispersión es mayor, al tener la serie de datos un valor en el extremo inferior de 90 y otro en el extremo superior de 180 pesos, y siendo los valores intermedios, uno de 100, dos de 110, uno de 120 y uno de 130 pesos. La influencia de los valores extremos es muy importante, debido a que alcanza una dispersión muy grande; por consiguiente, se puede apreciar claramente la manera en que la media actúa como punto de equilibrio entre los valores bajos y los altos. Como se mencionó, la media aritmética es un número individual único que se obtiene de un conjunto de observaciones de una variable cuantitativa; sin embargo, este número que trata de representar a ese conjunto de datos, puede proporcionar al investigador información estadística falsa, cuando entre estos datos se encuentran los llamados valores extremos. Un dato extremo es aquél que sale fuera del ámbito normal del conjunto de datos que se analiza.

Ejemplo 4: Un profesor de Estadística pregunta a seis estudiantes, ¿cuánto gasta cada uno en transporte diariamente? Se obtuvo la siguiente respuesta: $ 6.00, $ 7.50, $ 8.50, $ 5.50, $ 10.50, $ 43.00 El último dato de la serie es $ 43.00. Este valor se sale del ámbito de los demás datos; por tanto, es un dato extremo. Con los datos del ejemplo 2, se describe a continuación cómo afectan los datos extremos el cálculo de una media aritmética. a) Media que incluye el dato extremo: X�

6.00 � 7.50 � 8.50 � 5.50 �10.50 � 43.00 6

X � $ 13.50


b) Media que no incluye el dato extremo: X�

6.00 � 7.50 � 8.50 � 5.50 �10.50 5

X � $ 7.60 En el primer caso, el valor extremo genera una media de gasto de $ 13.50 que no es representativa del conjunto de datos, es decir, sesga el resultado hacia el dato extremo. Mientras que en el segundo, la media es de $ 7.60, valor que sí es representativo del conjunto (el dato extremo quedó excluido); es decir, los estudiantes gastan en transporte diariamente un promedio de $ 7.60. De estos dos casos puede concluirse que los valores extremos sesgan el valor de la media, esto es, la media es sensible a los datos extremos en un conjunto de observaciones. Es muy importante que el investigador o estudiante tenga conciencia de ello al utilizar este estadístico. No se debe olvidar que la media aritmética presenta esta característica. La media aritmética tiene cuatro propiedades: 1. La suma de las desviaciones de cada valor con respecto a la media es de cero: n

∑ (x i =1

i

− X) 5 0

Cuadro 2.2. Primera y segunda propiedad de la media

( xi 2 X )2

Núm.

Dato

( xi 2 X )

1

100

100 2 120 5 220

400

2

110

110 2 120 5 210

100

3

110

110 2 120 5 210

100

4

120

120 2 120 5 0

0

5

120

120 2 120 5 0

0

6

130

130 2 120 5 10

100

7

150

150 2 120 5 30

900

Total

840

( xi − X ) = 0.0

1 500

2. La suma de las desviaciones al cuadrado de cada valor con respecto a la media da como resultado un valor mínimo: n

∑ (x i =1

i

− X )2 5 Valor mínimo

107

108


3. Se puede utilizar una multiplicación para estimar una cantidad total, en una población. Total 5 N X Donde: N 5 tamaño de la población. X 5 media aritmética de la muestra. Por ejemplo, si una empresa cuenta con 150 costureras y el pago promedio por hora es de 9.00 pesos, ¿cuál será el costo total por hora pagada por la compañía? Costo total 5 (150)(9) 5 $ 1350.00 hora Para un día, el costo total es de $ 10 800.00, y para una semana de 44 horas es de $ 59 400.00. 4. Se basa en observar y analizar cada dato de la muestra. Si un valor extremo es demasiado pequeño da como resultado un valor con una disminución considerable en la media y, por el contrario, si el valor extremo es demasiado grande, la media se incrementa considerablemente. Como se observa en el cuadro 2.2, la media es de 120 pesos. En la serie de datos, 100, 110, 110, 120, 120, 130, 150, se tiene un valor en el extremo inferior de 100 y otro en el extremo superior de 150 pesos, siendo los valores intermedios, dos de 110, dos de 120 y uno de 130. Si en la serie, el valor en el extremo inferior fuera de 72 en lugar de 100, la media tendría un valor de 116; ahora, si el valor extremo superior fuera de 248 en lugar de 150, la media tendría un valor de 134. Cálculo de la media aritmética en Excel Con la hoja electrónica de cálculo Excel se puede encontrar el valor de la media aritmética del conjunto de datos del ejemplo 2. • Seleccionar la celda donde se quiera que aparezca el valor de la media. • De la barra de fórmulas, seleccionar el icono de insertar función fx. • En la ventana de insertar función, hacer clic en Seleccionar una categoría, Estadísticas; después, en Seleccionar una función, Promedio (figura 2.5); y, por último, Aceptar.


Figura 2.5.

• Seleccionar el rango (se muestra en la figura 2.6).

Figura 2.6.

En la figura 2.5, se muestra que cada dato u observación se coloca en una celda, para posteriormente calcular la media muestral con la función ubicada en la celda E10, la cual se define como: 5PROMEDIO (B7:B31). También, hay otra forma de calcular la media aritmética. Se selecciona la celda en la que se desea obtener el resultado, y se escribe en la barra de fórmulas: = PROMEDIO (conjunto de celdas que contienen los datos)

Ejemplo 5: Para mostrar un ejemplo del cálculo de la media aritmética en el que se utilizan dos o más columnas de la hoja de cálculo, se tiene una muestra de 20 estaturas de estudiantes universitarios del grupo SB14.07/O.UAM-X.

109

110


Figura 2.7.

Esta función permite el cálculo de la media muestral o de una media poblacional para datos no agrupados en una tabla de distribución de frecuencias. La condición para aplicar estas funciones en Excel es que los datos se deben ordenar en celdas contiguas, así como evitar tener celdas intermedias en blanco. Con base en esta consideración, se sugiere usar dos o más columnas si el número de datos es par (figura 2.3) y un solo renglón o columna si el número de datos a analizar es impar (figura 2.1). Datos agrupados en frecuencias Si se tiene una cantidad considerable de datos, se recomienda que la variable en estudio se clasifique en un cuadro de distribución de frecuencias. La expresión matemática para el cálculo de la media aritmética muestral es la siguiente: m

X5

Ejemplo 6: Se retoman los datos del ejemplo 2.

∑ f (x ) k =1

k

n

k

2.5


Solución: Como primer paso se construye un cuadro de distribución de frecuencias; después se multiplica el dato que se encuentra en la columna 2 por la frecuencia (columna 3) del mismo renglón y se obtiene el producto (columna 4). Estos pasos se realizan para cada uno de los k renglones que conforman el cuadro (figura 2.8) y, por último, se obtiene la sumatoria de todos los resultados de la columna cuatro.

Figura 2.8.

Datos agrupados en intervalos de clase y frecuencia Cuando se tienen grandes cantidades de datos, se recomienda que la variable en estudio se clasifique en un cuadro de distribución de frecuencias con intervalos de clase. Media muestral para datos agrupados (2.6): m

X�

∑ f (x ) k =1

k

k

n

2.6

Media poblacional para datos agrupados (2.7): m

µ�

∑ f (x ) k =1

k

N

k

2.7

111

112


Los términos ƒk y xk significan: ƒk 5 frecuencias de cada clase o intervalo; en donde k 5 1, 2, 3, ..., n clase o intervalo. xk 5 marcas de clase de cada intervalo, en donde k 5 1, 2, 3, ..., n marca de clase de cada intervalo.

Ejemplo 7: Para calcular la media de datos agrupados, por medio de la hoja electrónica Excel, se retoman los datos de frecuencias de la figura 2.9, que muestra la clasificación de las calificaciones de 27 de alumnos del examen del curso propedéutico de Estadística, en la maestría de Administración. De la ecuación 2.6 y de la figura 2.9 se desprenden las siguientes operaciones: 1. El producto de cada marca de clase con su frecuencia respectiva. 2. La sumatoria de estos productos. 3. La división de la sumatoria entre el total de datos, es decir: Media =

(5.35) (3) + (6.15) (4) + (6.95) (8) + (7.75) (7) + (8.55) (4) + (9.35) (1) 27

Media 5 7.19 puntos

Figura 2.9.


Al calcular la media directamente a partir de los datos que dan origen al cuadro de la figura 2.9, se encuentra que dicho valor es: 7.2. Esta pequeña diferencia no es rara, y es a causa de que los datos no se distribuyen simétricamente en cada intervalo. Por tanto, el cálculo de la media para datos no agrupados así como agrupados diferirá siempre en una pequeña cifra.

Media ponderada Es el estadístico que permite obtener el promedio de un conjunto de datos, en el cual se toma en cuenta la importancia que tiene cada dato dentro del cálculo global.

Ejemplo 8: Cuando se realiza el cálculo de la media aritmética, se asigna el mismo peso a cada uno de los datos de la serie, como se muestra en los casos siguientes: a) Cada dato tiene un mismo peso (de 1) en el cálculo global. X�

6.00 � 7.50 � 8.50 � 5.50 �10.50 5

X � $ 7.60 b) En este caso, cada dato tiene un mismo peso (de 1/5) en el cálculo global. 1/5 de 6.0, 1/5 de 7.5, 1/5 de 8.50, 1/5 de 5.50 y 1/5 de 10.50

Entonces, la media aritmética puede calcularse así: X � 1 5 (6.0) �1 5 (7.5) �1 5 (8.5) �1 5 (5.5) �1 5 (10.50) � $ 7.60 La media ponderada, a diferencia de la media aritmética, permite asignar un ponderador o peso específico distinto de cada dato, según su importancia en el cálculo global; así, esta medida puede expresarse matemáticamente como: e

XW =

∑w

i

i =1

( xi )

e

∑w i =1

2.8

i

donde: X W 5 media ponderada. wi 5 peso asignado a cada elemento “i” en la media ponderada i 5 1, 2, 3, ... e. xi 5 cada uno de los elementos a ponderar, i 5 1, 2, 3, ... e.

113

114


Un buen ejemplo del uso de una media ponderada es el cálculo de la calificación final, que los profesores realizan a los alumnos en cada módulo, en la UAM-X.

Ejemplo 9: En la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Xochimilco, el sistema de estudio es modular. El módulo está compuesto de un Seminario de Teoría y uno o varios talleres de apoyo. Suponga que un estudiante de Administración del quinto módulo obtuvo las siguientes calificaciones en el trimestre: nueve en el Seminario, ocho en Matemáticas y siete en el Taller de Contabilidad. La media aritmética de estas calificaciones da como resultado ocho. En este caso, como el módulo consta de tres partes, entonces se ponderan con base en el siguiente criterio: 75%, el Seminario; 20%, los contenidos de Matemáticas; y 5%, el Taller de Contabilidad (cuadro 2.3). La escala de calificaciones es: “MB” (9–10); “B” (8 – 8.9); “S” (7 – 7.9); y “NA”. Con esto último se puede determinar que el alumno obtuvo una calificación de 8.7 puntos, la cual equivale a “B”. Cuadro 2.3. Seminario

Matemáticas

Contabilidad

Datos

9

8

7

Ponderaciones

75

20

5

XW 5

(75)(9) 1 (20)(8) 1 (5)(7) 5 8.7 75 1 20 1 5

La mayor dificultad que hay para aplicar este estadístico es determinar, precisamente, el valor que deben tener los ponderadores para cada elemento. La hoja electrónica de cálculo facilita considerablemente el cálculo de medias ponderadas, ya que permite probar diversos ponderadores en un mismo problema (figura 2.10).

1

Tomado con modificaciones de A. Pierdant y J. Rodríguez, Elementos básicos de estadística para Ciencias Sociales, UAM-X, 2007.


Figura 2.10.

En la figura 2.10, la ecuación de la media ponderada se ubica en la celda H9, la cual se define como: (D7*D6 1 E7*E6 1 F7*F6)/(D7 1 E7 1 F7); mientras que las ecuaciones de las otras medias ponderadas de los incisos b y c se ubican en las celdas H18 y H25, respectivamente. La construcción de estas últimas ecuaciones se realiza en forma similar que la de la celda H9. Finalmente, se observa que un cambio en los ponderadores genera medias ponderadas distintas.

Media geométrica Este estadístico se emplea cuando una variable presenta un comportamiento distinto en el tiempo; es decir, si se quiere evaluar un promedio de comportamiento para diferentes periodos, en su cálculo se conjugan dos factores: el valor de la variable y el tiempo. Para este caso, una media normal o una media ponderada no pueden medir dicho comportamiento con precisión. Definición: La media geométrica es la raíz n-ésima del producto de los valores que toma la variable en el tiempo, donde n es el número de factores empleados en el producto. Matemáticamente se expresa como: MG = n x1 • x 2 • x3 � x n

2.9

n 5 número de factores. x ?x ?x ... x datos en el tiempo usados en el cálculo de la media geométrica. 1

2

3

n

La media geométrica tiene sentido o es relevante cuando todos los datos son positivos; cuando algún dato es cero, el resultado de ésta será cero. Si en la serie de datos hay un

115

116


número negativo (o cantidad impar de ellos), entonces la media geométrica puede tener dos resultados: uno, ser negativa; y otro, que no exista en el conjunto de los números reales.

Ejemplo 10: Una aplicación de la media geométrica en el área de economía o de la administración, es el cálculo de una tasa promedio de interés. Suponga que un funcionario bancario quiere saber cuál fue el interés promedio generado con los Certificados de la Tesorería (CETES) del mes de febrero de 2007. Con base en los datos de los indicadores económicos proporcionados por el Banco de México para el mes de febrero de 2007, encontrar el valor de la media aritmética y geométrica. El emisor de los CETES es el Gobierno Federal, por medio del Banco de México. La garantía la extiende el Gobierno Federal. El monto de la emisión es variable. El valor nominal del CETE es de 10 pesos. El plazo en que se emiten habitualmente es de 28, 91, 182 y 364 días o más. Su rendimiento se deriva de la colocación bajo par; esto es, debajo de su valor nominal, su rendimiento se da por el diferencial entre su precio de compra bajo par y su valor de rendimiento o precio de venta. La amortización es única al vencimiento, su colocación es a través de una subasta pública a tasa única y múltiple. El depósito en administración está a cargo del Banco de México. La intermediación es en bancos y casa de bolsa, y los pueden adquirir personas físicas y morales de nacionalidad mexicana. Datos del mes de febrero: Cuadro 2.4. Fecha

SF43935

SF43936

01/02/2007

28

7.05

08/02/2007

28

7.05

15/02/2007

28

7.01

22/02/2007

28

7.01

Fuente: Banco de México, www.banxico.gob.mx

Media aritmética: X5

7.05 1 7.05 1 7.011 7.01 4

X 5 7.03 Media geométrica:

MG 5 4 7.05 ∗ 7.05 ∗ 7.01 ∗ 7.01 MG 5 7.02997


Como puede observarse, la tasa de rendimiento del mes de febrero de 2007 para los CETES (SF43935) a 28 días fue de 7.029%. Este valor es distinto del encontrado con error, cuando el cálculo de la tasa se obtuvo con la media aritmética. Cálculo de la media geométrica en Excel Este cálculo se realiza mediante la función: 5MEDIA.GEOM(dato1,dato2,dato3,...daton )

Ejemplo 11: Encontrar la media geométrica de los CETES (SF43936) a 28 días la función para el mes marzo. La función definida en una celda de la hoja de cálculo es:

=MEDIA.GEOM(7.05,7.05,7.04,7.03)

El valor de la media geométrica que aparece en la celda es: 7.04249

Mediana Otra de las medidas de tendencia central es la mediana, que es un estadístico cuyo valor es proporcionado por el elemento central de un conjunto de datos ordenados con respecto de la magnitud de los valores, sea en forma ascendente o descendente. Este elemento central divide al conjunto de datos en dos partes iguales: 50% de los datos se encuentra por debajo de este valor y el otro 50%, por arriba de él. También, la mediana se conoce como un promedio de posición, porque sólo se afectará por el número de observaciones y nunca por los valores de las observaciones. Cálculo de la mediana para variables cuantitativas Cuando se quiera conocer el valor de la mediana de una serie de datos no agrupados, primero se debe saber el número total de los datos de la serie; en este caso, sólo se tienen dos alternativas: el número n de observaciones puede ser non o par. Y, segundo, se debe ordenar la serie de datos en forma ascendente o descendente. a) Cuando el conjunto de datos ordenados contiene un número impar de elementos, entonces, el que está enmedio será la mediana. La relación que permite ubicar el dato en el conjunto es: U me 5

(n 11) 2

donde n es el número de datos en el conjunto.

2.10

117

118


Ejemplo 12: Considere el conjunto de datos siguiente: Cuadro 2.5. Conjunto de datos no ordenados Posición Dato

1 13

2 3

3 8

4 4

5 9

6 7

7 4

8 11

9 2

Primero, se ordena el conjunto en forma ascendente. Cuadro 2.6. Conjunto de datos ordenados en forma ascendente Posición Dato

1 2

2 3

3 4

4 4

5 7

6 8

7 9

8 11

9 13

Después, se calcula la ubicación (o posición) de la mediana: U Me 5

(9Datos + 1) 10 5 55 2 2

Se encuentra la posición cinco (5Dato) en el conjunto ordenado. En este caso, el valor que está ubicado en la posición cinco es el dato cuyo valor es siete, por tanto la mediana (Me) será: Me 5 7 El valor siete divide al conjunto exactamente en la mitad; es decir, 50% de los datos tiene un valor menor que siete y el otro 50%, mayor que éste. b) Si el conjunto de datos ordenados contiene un número par de elementos, entonces el que está enmedio será la mediana. La expresión que permite ubicar el dato en el conjunto es:

n n Posición   1 Posición  11  2 2  Me 5 2

2.11

Ejemplo 13: Considere el conjunto de datos del cuadro 2.7: Cuadro 2.7. Conjunto de datos no ordenados Posición Dato

1 4

2 18

3 5

4 9

5 7

6 8

Se ordena el conjunto en forma ascendente (cuadro 2.8).

7 3

8 11

9 10

10 14


Cuadro 2.8. Conjunto de datos ordenados Posición

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Dato

3

4

5

7

8

9

10

11

14

18

Se determinan los valores de: Posición (n/2) y Posición (n/2) 1 1  n n 1 Posición 11  2 2  Me 5 2  10   10  1 Posición 11 Posición  2  2  Me 5 2 Posición 5 1 Posición 6 Me 5 2 Posición

Se sustituyen los valores de la posición cinco y seis en la ecuación 2.11: Posición 5 1 Posición 6 2 8 1 9 17 Me 5 5 5 8.5 2 2 Me 5

El valor 8.5 divide al conjunto exactamente en la mitad, lo que indica que 50% de los datos tiene un valor menor que 8.5 y el otro 50%, un valor mayor que éste. Como puede observarse, el estadístico encuentra el punto central del conjunto de datos sin importar los valores que éstos tengan. Sin embargo, esto puede ser contradictorio al comparar su comportamiento ante la media aritmética.

Ejemplo 14: Ahora, si se calcula la media y la mediana del siguiente conjunto de datos: 1, 2, 3, 8, 11, los resultados que se obtienen son: media = 5 y mediana = 3. Si se cambia el quinto dato del conjunto de 11 a 16, entonces la mediana seguirá siendo igual que tres, pero la media será seis. Con este análisis se concluye que la mediana es un estadístico no sensible a los datos numéricos extremos, ya que no los toma en cuenta en su cálculo; mientras que la media es muy sensible a ellos, como ya se había indicado. Cálculo de la mediana para variables cualitativas Por otro lado, la mediana es un estadístico que tiene la ventaja de poder analizar datos no cuantitativos, a diferencia de la media aritmética, y de encontrar su punto central.

119

120


Ejemplo 15: Las opiniones de siete individuos acerca de un producto (en la escala: malo, regular y bueno) son: bueno, regular, malo, malo, bueno, malo, bueno; al ordenarlas en forma ascendente se tiene: Malo, malo, malo, regular, bueno, bueno, bueno

Por tanto, la mediana es regular; lo que indica que 50% de los individuos clasifica al producto por debajo de esta categoría y el otro 50% por arriba de ella. Cálculo de la mediana para datos agrupados en intervalos de clase En ocasiones para realizar el análisis estadístico, es necesario que el conjunto de datos esté agrupado en una tabla de distribución de frecuencias. El procedimiento de cálculo se debe realizar mediante una interpolación, que se lleva a cabo de la manera siguiente. 1. El intervalo de clase que contiene a la mediana se ubica mediante el cálculo del cociente del número de datos en la tabla (n) entre dos, n/2. 2. Se procede a encontrar el valor de las variables siguientes: Lin 5 límite real inferior del intervalo de clase que contiene la mediana. n 5 número total de datos en la tabla de frecuencias. Fac 5 frecuencia acumulada hasta el intervalo de clase que antecede al que contiene la mediana. f i 5 frecuencia absoluta del intervalo de clase que contiene a la mediana. ti 5 tamaño del intervalo de la clase que contiene la mediana. 3. La mediana se calcula mediante la relación de interpolación siguiente:  n 2F  ac   Me 5 Lin 1  2  ( ti ) f i    

2.12

Ejemplo 16: Encontrar el valor de la mediana de los ingresos por tiempo extra, de 20 trabajadores de una compañía manufacturera de celulares, en Ciudad Juárez, Chihuahua (cuadro 2.9).


Cuadro 2.9. Núm.

Ingresos

fi

Fac

1 2 3 4 5 6

7.5 – 12.5 12.5 – 17.5 17.5 – 22.5 22.5 – 27.5 27.5 – 32.5 32.5 – 37.5

2 3 3 5 4 2

2 5 8 13 17 19

7 Total

37.5 – 42.5

1 20

20

Se siguen los pasos descritos anteriormente: 1. Se ubica el intervalo de clase que contiene a la mediana: n 20 5 5 10 2 2 Aproximadamente, la mediana se ubica en el dato 10, el cual se localiza en la clase cuatro, intervalo de clase (22.5 2 27.5), en la intersección de la columna de frecuencia acumulada y la fila correspondiente del tercer intervalo, que sólo contiene hasta el dato ocho, y el cuarto intervalo comprende en frecuencia acumulada hasta el dato 13. 2. Se determinan las variables de la fórmula. Como la cuarta clase contiene la mediana, las variables de la fórmula toman los valores siguientes:

Lin 5 22.5

Fac 5 8

ƒ 5 5

ti 5 5

n 5 20

3. Calcular la mediana con la fórmula 2.12.  20 2 8    Me 5 22.5 1  2  (5) 5     Me 5 22.5 1(0.4)(5) Me 5 24.5 El valor encontrado indica que 50% de los trabajadores tiene un ingreso menor que 24.50 pesos y el otro 50%, mayor que 24.50 pesos.

121

122


Cálculo de la mediana de datos númericos no agrupados en Excel La función estadística que permite calcular la mediana de datos numéricos no agrupados en Excel se define como: = Mediana(rango de conjunto de datos)

Ejemplo 17: El conjunto de datos es: 1, 4, 7, 3, 5, 8, 6. Si éstos se ubican por columna en las celdas D1 a D11, la mediana podría calcularse en la celda G8 como:

Figura 2.11.

Moda Es una medida de tendencia central que no se calcula por medio de los procesos ordinarios de la aritmética; por tanto, esta medida es un estadístico muy útil cuando se quiere cuantificar las características de variables cualitativas.

Ejemplo 18: Los empleados de la Secretaría de Marina se clasifican en: género, estado civil, grado, estado donde nació, nivel máximo de estudios, etcétera. En este ejemplo, lo más importante es determinar la característica predominante del conjunto, es decir, la moda, ya que no tiene sentido encontrar el valor de la media o la mediana del género de los empleados, estado civil, etcétera. Definición: La moda (Mo) es la característica que más se repite dentro de un conjunto de datos.


La moda, a diferencia de la media y mediana, no puede ser única y puede no existir en el conjunto de datos. Para entender esto, observe los ejemplos siguientes: Cuadro 2.10. Datos

Moda (Mo)

a) Unimodales 2,3,4,5,5,5,6,7,8

Mo 5 5

b) Bimodales 2,3,4,4,5,5,6,7,8

Mo 5 4 y M0 5 5

c) Sin moda 2,3,4,5,6,7,8

Mo 5 0

En este último ejemplo, se expresa matemáticamente la ausencia de moda en la serie de datos como: Mo 5 0; esto es, la moda no es cero, sino ausencia de moda. En el caso de que haya más de dos datos que tengan la misma frecuencia se considera que no hay moda. Cálculo de la moda para datos agrupados Los datos agrupados se clasifican en agrupados por frecuencia y en intervalos de clase y frecuencia. Para calcular la moda a partir de un cuadro de distribución de frecuencias, se llevan a cabo los pasos siguientes: 1. Localizar la clase modal; ésta se identifica fácilmente porque es la que presenta mayor frecuencia absoluta. También se puede presentar el caso en que haya dos o más clases modales, o bien, que no haya ninguna (todas las clases tienen la misma frecuencia). 2. Una vez que se ubica la clase modal, se procede a tomar el valor de la frecuencia así como el de la moda.

Ejemplo 19: En una tienda de ropa para hombres se vendieron 20 playeras de diferente color; al dueño de la tienda le interesa saber cuál color tuvo mayor demanda, para con ello realizar el siguiente pedido. Cuadro 2.11. Color Camisetas (unitalla)

Azul 6

Gris 4

Marrón 8

Verde 2

El color con mayor demanda es el marrón, por tanto el valor de la moda es ocho.

Ejemplo 20: Encontrar el valor de la moda del cuadro 2.12 de distribución de frecuencias.

123

124


Cuadro 2.12. Clase

Dato

1

12

Frecuencia 1

2

13

3

3

14

5

4

15

8

5

16

10

6

17

12

7

18

9

8

19

7

9

20

5

10

21

4

11

22

2

12

23

1

Total

67

La clase modal es seis, la frecuencia absoluta es 12 y el valor de la moda es 17. Al realizar el cálculo de la moda a partir de los datos agrupados en intervalos de clase, es difícil determinar el valor exacto de ésta; sin embargo, hay diferentes métodos para poder determinarla en forma aproximada. A continuación se mencionan algunos de éstos: 1. Si la serie de datos está agrupada en intervalos de clase y la distribución de frecuencias presenta una simetría o asimetría moderada, se puede tomar como valor de la moda el punto medio del intervalo de clase que tenga la mayor frecuencia; esto se cumple siempre y cuando sea pequeño el tamaño del intervalo de clase. Cuando éste es grande, el valor del punto medio o marca de clase no se puede tomar como la moda. 2. Si el conjunto de datos está agrupado en un cuadro de distribución de frecuencias con intervalos de clase, se debe seguir el procedimiento siguiente. a) Localizar la clase modal; ésta se identifica fácilmente por ser la que presenta mayor frecuencia absoluta. También puede presentarse el caso en que haya dos o más clases modales, o bien, que no haya (todas las clases tienen la misma frecuencia). b) Una vez que se ubica la clase modal, se procede a calcular la moda por interpolación mediante la relación siguiente:

 d1  Mo 5 Lim 1   ( ti )  d1 + d 2 

2.13

donde: Lim 5 límite real inferior de la clase modal (la clase de mayor frecuencia absoluta).


d1 5 diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la que la antecede.

d2 5 diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la que le sigue.

t1 5 tamaño del intervalo de la clase modal.

Ejemplo 21: Se quiere calcular la moda de los ingresos por tiempo extra, de 20 trabajadores de una compañía manufacturera de celulares, en Ciudad Juárez, Chihuahua (cuadro 2.9). • La cuarta clase es la modal, ya que presenta la mayor frecuencia absoluta (f4 5 5). • Se calculan los valores de las variables de la ecuación de interpolación. Lim 5 22.5 d1 5 5 2 3 5 2

d2 5 5 2 4 5 1 ti 5 5 • Se calcula el valor de la moda.

 2  Mo 5 22.5 1  ( 5)  2 11  Mo 5 25.83

El dato con mayor frecuencia (cuadro 2.9) es 25.83 pesos. En ocasiones, cuando la distribución de frecuencias es bimodal o plurimodal es recomendable ampliar el tamaño de los intervalos de clase, de tal modo que la distribución de frecuencias se convierta en unimodal. En caso contrario, si en el cuadro de distribución de frecuencias aparece un intervalo de clase con frecuencia cero, se sugiere aumentar el tamaño de los intervalos de clase. 3. Otro método para calcular la moda es el llamado empírico, que sólo se utiliza cuando la distribución de frecuencias presenta una asimetría moderada (muy pequeña). Su cálculo es a partir de los valores de la media y la mediana.

(

)

Mo 5 X 2 3 X 2 Me 5 3 Me 2 2 X

2.14

Esta expresión indica que las distribuciones de frecuencia con poca asimetría presentan las siguientes características: la distancia que hay entre la media y la mediana es un tercio de la distancia que hay entre la media y la moda.

Ejemplo 22: Encontrar el valor de la moda de los datos agrupados (cuadro 2.9) de los ingresos (en pesos) por tiempo extra, de 20 trabajadores de una compañía manufacturera.

125

126


(

)

Mo 5 X 2 3 X 2 Me = 3 Me 2 2 X Mo 5 3 ( 24.5) 2 2 ( 24 ) Mo 5 25.5

Cálculo de la moda para datos no agrupados en Excel Al igual que en el caso de la media y la mediana hay una función en Excel que permite calcular la moda para datos no agrupados, la cual se define como: = MODA (rango usado por el conjunto de datos) Por ejemplo, el siguiente conjunto de datos: 3,3,4,5,6,7,8,9,1,3, se ubica en una columna de la hoja de cálculo, en las celdas C3 a C12, entonces su moda puede calcularse en E3 como: 5 MODA(C3:C12), cuyo resultado es tres. Cuando el conjunto tiene más de una moda (bimodal o polimodal), Excel sólo encuentra una de éstas, esto es, la primera que se halle en orden ascendente. Y en aquellos casos donde el conjunto no tenga moda, se observa el mensaje: #N/A, en la celda de cálculo.

Medidas de posición Además de las medidas de tendencia central ya estudiadas (media, mediana, moda, media geométrica y media ponderada) hay otras que son más útiles en ciertas situaciones en que el investigador o el estudiante no busca una ubicación central, sino una posición específica en la distribución de una serie de datos. Estas medidas de posición (o de dispersión de distancia) específica se conocen como: cuartiles, deciles y percentiles. Intervalos interfractílicos Los intervalos que miden las diferencias entre dos valores se llaman fractiles o percentiles. Cualquier valor de una serie de datos que se encuentre bajo de una proporción específica se conoce como fractil y el que esté bajo un porcentaje determinado, percentil. El fractil de 0.50 es el que corresponde a la mediana en una serie de datos; también, éste se conoce como quincuagésimo percentil (50%). En cierta forma, los cuartiles, los deciles y los percentiles son una extensión de la mediana.

Cuartiles En una serie de datos ordenados, los números que dividen a la serie en cuatro partes porcentualmente iguales se llaman cuartiles. Éstos son tres y se denotan como Q1, Q2 y Q3. El segundo cuartil (Q2) es el valor que coincide con el de la mediana. El primero es el valor por debajo del cual queda un cuarto (25%) de los valores de la serie ordenada, mientras que para el tercero es el valor del cual quedan tres cuartas partes por debajo (75%) de la serie de datos. Los cuartiles se utilizan en la construcción de gráficas de caja y de bigote.


1er. Mediana 3er. cuartil cuartil

Figura 2.12.

Para calcular la ubicación del cuartil se deben llevar a cabo los siguientes pasos: 1. Organizar los datos en forma ascendente. 2. Calcular la posición del cuartil. Las expresiones para calcular la posición del primer y tercer cuartil son:

donde:

25  Q15 P25 cuando n i 5  (n)  100 

2.15

75  Q35 P75 cuando n i =  (n)  100 

2.16

i 5 ubicación del cuartil.

n 5 número de datos de la serie.

P% 5 porcentaje del cuartil de interés.

Qk 5 cuartil de interés.

k 5 número de cuartil.

El uso del intervalo intercuartílico permite medir la extensión o dispersión de los datos. El rango intercuartílico es la diferencia entre el primero y el tercer cuartil. La expresión matemática para el cálculo del rango intercuartílico es: Rango intercuartílico 5 Q3 2 Q1

2.17

Observación más baja 1 1 de las de las 4 observaciones 4 observaciones

Observación más alta

1er. cuartil

Q1

2do. cuartil (mediana) Q2

Figura 2.13.

3er. cuartil

Q3

Observación más alta

127

128


Ejemplo 23: El dueño de la tortería Don Toño quiere saber cuál es el tiempo de entrega de pedidos, en su nueva sucursal de Av. División del Norte 3553-D, con un área de cobertura de 5 km. El día de hoy, en el turno matutino, se entregaron 11 pedidos. Cuadro 2.13. Pedido

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Tiempo (min)

13

14

15

16

17

18

19

21

23

25

28

1. ¿Cuál es el rango de entrega (intercuartílico) para estos datos? Se empieza por encontrar el valor del primer cuartil y después el del tercero.

 25  i5 (11) 5 2.75  100 

Q1 5 P25 cuando n 5 11

Como i no es un número entero, entonces P25 es el tercer término a partir de abajo, entonces: Q1 5 P25 5 15  75  Q3 5 P75 cuando n 5 11 i 5  (11) 5 8.25  100  Como i no es un número entero, entonces P75 es el octavo término desde abajo, entonces: Q3 5 P75 5 21 El rango intercuartílico es:

Q3 2 Q1 5 21215 5 6

El 50% de tiempo medio de entrega de pedidos tiene un rango de 18 minutos. 2. ¿Cuál es el tiempo medio de la entrega de un pedido de tortas? El segundo cuartil coincide con el valor de la mediana: Me 5 Q2 5 18 min Mediana Valor Mínimo

Valor Máximo Q1

13

15

Q3

18

21

28

Figura 2.14. Gráfica de caja, muestra que el 50% central de las entregas se hacen entre 15 y 21 minutos, con un rango intercuartílico de 6 minutos.


Esta medida adquiere mayor importancia cuando los datos se agrupan en una tabla de distribución de frecuencias. A continuación se muestra la fórmula de cálculo para estos casos. Los cuartiles se calculan con la fórmula:   n   ( k )  4  2 Fk  Qk 5 Lk 1 (T )   fk    

donde:

2.18

k 5 1, 2, 3 el número de cuartil a calcular.

Lk 5 límite real (exacto) inferior de la clase donde se ubica el cuartil k.

n 5 número de datos.

Fk 5 frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil k.

ƒk 5 frecuencia absoluta de la clase del cuartil k.

T 5 tamaño del intervalo de la clase del cuartil k.

La clase del cuartil k se determina de manera similar que en el caso de la mediana [(k) (n/4)].

Ejemplo 24: Con los datos del cuadro 2.14, acerca de ingresos extras a la semana de los trabajadores de una empresa manufacturera de Hermosillo, Sonora, se quiere conocer en dónde se ubica del primer cuartil. Cuadro 2.14.

1

Intervalos de clase 203.5 – 207.5

2

Núm.

ƒi

Cuartil

Fi

7

7

207.5 – 211.5

19

26

3

211.5 – 215.5

27

4

215.5 – 219.5

49

102

5

219.5 – 223.5

52

154

6

223.5 – 227.5

28

7

227.5 – 231.5

16

198

8

231.5 – 235.5

6

204

9

235.5 – 239.5

4

208

Total

208

Q1

Q3

53

182

129

130


1. Se ubica la clase que contiene el cuartil uno:  n  (1) (208) i 5(k)  5 5 52  4 4 Se busca el dato 52 con ayuda de la frecuencia acumulada. 2. El dato buscado, para este ejemplo, se ubica en la clase 3. 3. Se determinan las variables de la fórmula de cálculo del cuartil. L1 5 211.5, n 5 208, F1 5 26, f1 5 27, T 5 4 4. Se sustituyen los valores en la fórmula y se obtiene el valor del cuartil uno.  (1)(208 / 4) 2 26  Q1 5 211.5 1 (4)   27  Q1 5 215.35 Esto indica que 25% de los datos en esta muestra tiene un valor menor que 215.35. Para el tercer cuartil:  (3) (208 / 4) 2154  Q3 5 223.5 1 (4)   28  Q3 5 223.8 El intervalo intercuartílico más usado es la diferencia entre el tercer y primer cuartil de una serie de datos. Este intervalo contiene exactamente 50% de los datos. Cálculo de un cuartil de datos no agrupados en Excel La función que proporciona la hoja electrónica Excel para el cálculo de un cuartil de datos no agrupados, se define como: 5CUARTIL (rango de datos, número de cuartil deseado)

Ejemplo 25: Para calcular el cuartil 1 del siguiente conjunto de datos: 1,3,4,2,3,5,5,6,6,7 capturados por columna en las celdas C5 a C14, se usa la función de la celda E6, la cual es: = CUARTIL (C5:C14,1), que da como resultado tres, es decir, Q1 5 3; lo que significa que 25% de los datos es menor que tres.

Deciles Los deciles son números que dividen a una serie ordenada de datos en diez partes porcentualmente iguales, y no en cuatro como en el caso de los cuartiles. Los deciles pueden calcularse del decil uno (D1) al decil nueve (D9).


La fórmula para el cálculo de datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias es:

donde:

 k (n 10) 2 Fk  Dk 5 Lk 1   (T ) fk  

2.19

k 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 el número de decil a calcular.

Lk 5 límite real inferior de la clase que contiene el decil k.

La clase del decil k se determina de forma similar que el caso de la mediana (k(n/10).

n 5 número de datos.

Fk 5 frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil k.

ƒk 5 frecuencia absoluta de la clase del decil k.

T 5 tamaño del intervalo de la clase del decil k.

Con los datos del cuadro 2.14 del ejemplo 2.24, encuentre el decil seis. 1. Se ubica la clase que contiene el decil seis. K(n/10) 5 6(208/10) 5 dato 125 Con ayuda de la frecuencia acumulada se busca el dato 125. 2. El dato buscado se ubica en la clase cinco. 3. Se determinan las variables de la fórmula de cálculo del decil. L6 5 219.5, n 5 208, F65102, ƒ6552 y T 5 4 4. Se sustituyen los valores de las variables en la fórmula y se obtiene el valor del decil seis.  6 ( 208 10 ) 2102  D6 5 219.5 1   (4) 52   D6 5 221.25

Este estadístico indica que 60% de los trabajadores de la muestra tiene un ingreso extra inferior que 221.25 pesos.

Percentiles Es una medida estadística que se usa mucho cuando se quiere clasificar o ubicar características en las personas (peso, estatura, etc.). Estas medidas son números que dividen una sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Si los datos se encuentran agrupados en una tabla de frecuencias, entonces los percentiles se calculan mediante la fórmula:

131

132


 k (n 100) 2 Fk  Pk 5 Lk 1   (T ) fk  

2.20

donde: k 5 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 99 el número de percentil a calcular. Lk5 límite real inferior de la clase que contiene el percentil k. n 5 La clase del percentil k se determina de manera similar que en el caso de la mediana: (k(n/100)) número de datos. Fk 5 frecuencia acumulada de la clase que antecede a la del percentil k. ƒk 5 frecuencia absoluta de la clase del percentil k. T 5 tamaño del intervalo de la clase del percentil k. Con los datos del cuadro 2.14 del ejemplo 2.24, determine el percentil 70. 1. Se ubica la clase que contiene al percentil 70. k(n/100) 5 70 (208/100) 5 dato 145.6

Con ayuda de la frecuencia acumulada, se busca el dato 145.6.

2. El dato se ubica en la clase cinco. 3. Se determinan las variables de la fórmula de cálculo del percentil.

L70 5 219.5, n 5 208, F70 5 102, ƒ70 5 52 y T 5 4

4. Se sustituyen los valores en la fórmula y se obtiene el valor del percentil 70.  70 ( 208 100 ) 2102  P70 5 219.5 1   (4) 52   D7 5 222.85 El percentil calculado indica que 70% de los trabajadores de la muestra tiene un ingreso extra inferior que 222.85 pesos. Cálculo de un percentil de datos no agrupados en Excel La función para el cálculo de un percentil de datos no agrupados en Excel, se define como: 5PERCENTIL (rango de datos, número de percentil deseado en decimales)


Ejemplo 26: Si se tiene el siguiente conjunto de datos: 1, 3, 4, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7 capturados por columna en la celdas C6 a C15, entonces la función que se usa en la celda F5 para calcular el percentil 30 es: 5 PERCENTIL (C6:C15,0.30), que da como resultado tres, es decir, P30 5 3; lo que significa que 30% de los datos es menor que tres.

Medidas de dispersión o de variabilidad En el principio de este capítulo se estudió la primera característica de una serie de datos: las medidas de tendencia central, la cuales permiten ubicar una tendencia hacia el centro de la serie de datos. La segunda en importancia es aquélla que los investigadores estudian de una serie de datos como es: la dispersión (diseminación, variabilidad o variación), la cual permite conocer qué tan dispersas se encuentran las observaciones a cada lado del centro en una serie de datos, o bien que tan alejadas se encuentran de la medida de tendencia central. En el caso de las medidas de tendencia central, éstas no indican si la serie tiene datos extremos que sesguen los valores de los estadísticos hacia un lado o a hacia el otro de ésta. Por eso, todo análisis estadístico se inicia con el cálculo de las medidas de tendencia central, y se complementa con un análisis de la variabilidad o dispersión de los datos. Por tanto, una medida de variabilidad es un número que indica el grado de dispersión (esparcimiento) en un conjunto de datos con respecto a un estadístico de tendencia central (generalmente, la media aritmética). Si este valor es pequeño (con respecto de la unidad de medida), entonces hay una gran uniformidad de los datos; si el valor es grande, entonces indica poca uniformidad; y, finalmente, si el valor es cero, entonces indica que todos los datos son iguales. La variabilidad estudia o determina las distintas formas de la distribución, de acuerdo con el fin perseguido por el investigador o estudiante de Estadística. En esta sección se describen las diferentes medidas de variabilidad más comunes: • El rango (amplitud o recorrido). • La desviación absoluta promedio. • La varianza. • La desviación estándar. • La dispersión relativa: el coeficiente de variación.

Rango, amplitud o recorrido Es la medida más elemental de las medidas de variabilidad, también es fácil de entender y calcular. El rango se clasifica como una medida de distancia. El recorrido se puede conocer con facilidad a partir de una muestra ordenada de tamaño n, en donde el rango o recorrido es la diferencia que hay entre el valor máximo y el valor mínimo. Para el caso de una distribución de frecuencias se encuentra al considerar el valor del límite

133

134


real superior de la última clase menos el valor del límite real inferior de la primera clase (cuando la clasificación se realizó en forma ascendente en valor). Matemáticamente, el rango se define como:

R 5 Dma 2 Dme 2.21

R 5 Recorrido

donde: Dma 5 dato de mayor valor en el conjunto de datos. Dme 5 dato de menor valor en el conjunto de datos. Esta medida de variabilidad es muy útil cuando sólo se quiere conocer la diferencia entre los datos extremos de un conjunto.

Ejemplo 27: Encontrar el recorrido de la serie de datos: 2, 7, 8.5, 9.5, 9.5, 10. R 5 10 2 2 R58 Sin embargo, el recorrido presenta dos grandes problemas: 1. Como se analizan únicamente dos datos (el valor más grande y el valor más pequeño), no se obtiene información del comportamiento del resto que forma el conjunto (cómo se distribuyen los datos). 2. Como no considera ninguna medida de tendencia central, entonces no informa nada acerca del comportamiento de los datos con respecto al centro.

Ejemplo 28: Encontrar el valor del rango de los siguientes datos de peso (kg) de diez adultos: 55, 60, 45, 45, 68, 57, 80, 48, 70, 46. R 5 80 2 45 5 35 Como el rango en este problema es de 35 kg, esta medida muestra que entre el adulto de mayor peso y el de menor peso hay 35 kg de diferencia, pero no indica cuál es el comportamiento de variabilidad del resto de los datos, ni cuál es su comportamiento con respecto a un centro. Finalmente, el rango es un estadístico muy débil y sensible a los valores extremos en una serie de datos, por lo que su utilidad puede ser escasa en muchos casos prácticos e inadecuados si se utiliza el recorrido como medida de dispersión cuando el dato mayor o menor o ambos son valores extremos.


Ejemplo 29: Casos en que los valores son extremos (en negritas): a. 2, 7, 8.5, 9.5, 10 b. 7.0, 7.5, 8.5, 9.5, 9.5, 19 c. 2, 7, 8.5, 9.5, 9.5, 10, 20 Cálculo del rango en Excel Para su cálculo se le resta a la función que encuentra el valor máximo MAX(rango de datos), la función que encuentra el valor mínimo MIN(rango de datos) en ese mismo conjunto.

Ejemplo 30: Si los datos de peso de los diez adultos del ejemplo 2.28 se ubican en las celdas C5 a C14 en una hoja electrónica, la amplitud puede calcularse en la celda F9 con la fórmula: 5MAX(C5:C14) – MIN(C5:C14) y se obtiene como resultado 35. Como ya se mencionó, la variabilidad de cualquier serie de datos se analiza en términos de la desviación de cada valor observado individual (x) con respecto algún valor central, como µ o X . Ahora la pregunta es: ¿cuánto varía cada dato con respecto a la media? La respuesta es: si las desviaciones de todos los datos son pequeñas con respecto a la media, entonces los datos son menos variables o están menos dispersos, a diferencia de cuando las desviaciones son grandes. Entonces ( x − X ) proporciona información del grado de dispersión de una serie de datos. Para calcular la variabilidad es necesario establecer una fórmula con base en el promedio de las desviaciones de la serie de datos.

Ejemplo 31: Sea la serie 2, 3, 5, 5, 7, 8, y su media aritmética cinco. Cuadro 2.15. Núm.

Dato

di 5 ( xi 2 X )

1 2 3 4 5 6 Sumatoria

2 3 5 5 7 8 30

2 2 5 5 23 3 2 5 5 22 52550 52550 72552 82553 Cero

135

136


Encontrar el promedio: Promedio 5

( xi 2 X ) 0 5 50 n 6

Como se muestra, las desviaciones promedian cero. La única manera de solucionar este problema es tratar todas las desviaciones negativas y positivas como si no tuvieran signo (se tratan igual); esto es, obtener los valores absolutos de cada desviación como se muestra a continuación: Promedio 5

( xi − X ) 3 1 2 1 0 1 0 1 2 1 3 10 5 5 5 1.66 n 6 6

Desviación absoluta promedio Es una medida de dispersión promedio o desviación promedio, y es igual a la sumatoria de los valores absolutos de las desviaciones entre el total de datos. Las desviaciones se definen como la diferencia entre cada uno de los datos en el conjunto de estudio y el estadístico de tendencia central usado (media aritmética o mediana). Cuando el estadístico de posición es la media aritmética, la desviación absoluta promedio se define matemáticamente como: n

DAP 5

∑x i =1

n

i − X

n

5

∑d i =1

i

n

2.22

donde:

DAP 5 desviación absoluta promedio.

di 5 xi 2 X 5 valores absolutos de las desviaciones de cada dato x1 con respecto a la media aritmética.

n 5 número de datos en el conjunto.

Para el cálculo de la desviación absoluta promedio, cuando la mediana es preferida sobre la media, se puede demostrar que la suma de los valores absolutos de las desviaciones en relación con ésta es menor que la suma de las desviaciones con respecto de cualquier otro valor. En la práctica, las desviaciones se toman con respecto a la media aritmética. Si la distribución de la serie de datos (2, 3, 4, 5, 6) que se analiza es simétrica, entonces la media (4) es igual a la mediana (4), y se obtiene la misma desviación absoluta promedio (1.2). A continuación se muestra el procedimiento de cálculo de este estadístico.


Ejemplo 32: Calcular la desviación absoluta promedio del conjunto de datos: 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10. 1. Determinar la media aritmética del conjunto de datos: X 5 6.7. 2. Encontrar el valor absoluto de las desviaciones xi 2 X . 3 2 6.7 53.7

4 2 6.7 5 2.7

7 2 6.7 5 0.3

5 2 6.7 5 1.7

8 2 6.7 5 1.3

6 2 6.7 5 0.7

9 2 6.7 5 2.3

9 2 6.7 5 2.3

6 2 6.7 5 0.7

10 2 6.7 5 3.3

3. Calcular la media de las desviaciones cuyo resultado es la desviación absoluta promedio. DAP 5

3.7 1 2.7 1 0.7 1 0.7 1 0.3 11.3 1 2.2 1 2.3 1 3.3 19 5 5 1.9 10 10

Si la distribución de estos datos es normal y simétrica, entonces 68% de las observaciones queda comprendida entre  X 2 DAP  y  X 1 DAP  , es decir, entre 4.8 y 8.6. Prácticamente, en este conjunto, 5 de 10 datos (50%) quedan comprendidos en este intervalo, por lo que no hay una dispersión muy grande de los datos alrededor de la media aritmética. Observe que el cálculo de la desviación absoluta promedio involucra a todos y cada uno de los datos del conjunto en estudio, al ponderar por igual a cada elemento y al indicar a qué distancia de la media (o mediana) se encuentra en promedio de cada observación. Cuando los datos están en una tabla de distribución de frecuencias, la desviación absoluta promedio se calcula mediante la relación siguiente: k

DAP 5 donde:

∑ ( fi ) xi 2 X i =1

n

k

5

∑( f )

xi 5 marca de clase del intervalo i. X 5 media. ƒi 5 frecuencia absoluta del intervalo i. n 5 número total de datos en la tabla.

i =1

i

n

di

2.23

137

138


Cálculo de la desviación absoluta promedio de datos no agrupados en Excel Este cálculo se obtiene mediante la función: 5DESVPROM (rango de datos)

Ejemplo 33: Si el conjunto de datos del ejemplo 32 se captura en una hoja electrónica en las celdas C4 a C13, la desviación absoluta promedio puede calcularse en la celda F5 como 5DESVPROM(C 4:C13), cuyo resultado es: 1.9.

Varianza Ésta es un estadístico que se define como el promedio de las desviaciones con respecto a la media, elevadas al cuadrado, y es similar a la desviación absoluta promedio; sin embargo, en este caso se elimina el uso del valor absoluto y se reemplaza por otra alternativa matemática que consiste en elevar al cuadrado todas las desviaciones, esto da como resultado que todas éstas sean ahora positivas, lo que evita el uso del valor absoluto. Cuando se utiliza la varianza como medida de variabilidad, resulta que el promedio obtenido de las desviaciones elevadas al cuadrado siempre serán unidades cuadradas. Así, si el conjunto de datos está medido en kilogramos, la varianza de éstos se medirá en kilogramos al cuadrado (kg2); si es en años, la varianza se medirá en años al cuadrado. La varianza se simboliza matemáticamente con la letra griega s2 (sigma al cuadrado) para la población, y s2 para el caso de una muestra. Matemáticamente, la varianza se calcula para una muestra mediante la relación siguiente: n

s2 5

∑(x i =1

i

−X

)

n

2

n 21

5

∑ (d ) i =1

i

n 21

2

2.24

donde: (di )2 5 ( xi 2 X ) 2 5 desviaciones al cuadrado de cada dato x con respecto a la media i aritmética de la muestra. n 5 número total de datos en la muestra. n

∑(x 2X ) i =1

i

2

5 propiedad de los mínimos cuadrados de la media.

En este caso se utiliza n 2 1 debido a las propiedades de los grados de libertad, es decir si se conoce x se pierde un grado de libertad, por lo que sólo se necesita conocer n 2 1 de los n términos para determinar la observación restante con una resta. 2

Tomado con modificaciones de M. L. Berenson y D. M. Levin, Estadística para Administración y Economía, Chile, Mc Graw Hill, 1999, p. 81.


Cuando se quiere calcular la varianza considerando todos los datos de una población, entonces la relación a utilizar es: N

s2 5

N

∑ ( xi 2 µ ) 2 ∑ ( di ) 2 i =1

5

N

donde:

i =1

2.25

N

(di)2 5 (xi 2 µ) 2 5 desviaciones al cuadrado de cada dato xi con respecto a la media de la población (µ). N 5 número total de datos de la población. La ecuación 2.24 permite calcular la varianza de un conjunto de datos que forma parte de una muestra, mientras que la ecuación 2.25 calcula la varianza de los datos de toda una población. Si la muestra o la población que se analiza se agrupa en una tabla de distribución de frecuencias, entonces la varianza muestral se calcula con la ecuación 2.26, y la varianza poblacional con la ecuación 2.27. k

2

s 5

∑ ( f )(x i =1

i

i − X

)

k

2

n −1

5

k

2

s 5

∑ ( fi ) ( xi 2 µ ) 2 i =1

N

∑ ( f )(d ) i =1

i

i

2.26

n −1

k

5

2

∑ ( f )(d ) i =1

i

N

donde:

xi 5 la marca de clase del intervalo i.

ƒi 5 frecuencia absoluta del intervalo i.

X 5 media aritmética de la muestra.

µ 5 es la media aritmética de la población.

n 5 número total de datos en la muestra.

N 5 número total de datos en la población.

k 5 número total de clases o intervalos.

i

2

2.27

139

140


Ejemplo 34: Calcular la varianza del conjunto de datos del ejemplo 2.32 (3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10) de la desviación absoluta promedio. Como los datos pertenecen a una muestra se utiliza la ecuación 2.26: 1. Calcular la media de los datos. X 5 6.7 2. Se encuentra el valor de las desviaciones elevadas al cuadrado di 2 5 xi 2 X 2 .

(

)

Cuadro 2.16. Número

(xi 2 X ) 5 di

Dato

(xi 2 X )2 5 di2

1

3

3 2 6.7 5 23.7

13.69

2

4

4 2 6.7 5 2 2.7

7.29

3

5

5 2 6.7 5 2 1.7

2.89

4

6

6 2 6.7 5 2 0.7

0.49

5

6

6 2 6.7 5 2 0.7

0.49

6

7

7 2 6.75 0.3

0.09

7

8

8 2 6.75 1.3

1.69

8

9

9 2 6.7 5 2.3

5.29

9

9

9 2 6.7 5 2.3

5.29

10

10

10 2 6.7 5 3.3

10.89

Total

67

∑ (x 2 X ) 5 0

48.10

i

3. Se realiza el cálculo de la varianza (la media de las desviaciones elevada al cuadrado). 13.69 1 7.29 1 2.89 1 0.49 1 0.49 1 0.09 11.69 1 5.29 1 5.29 110.89 5 10 − 1 48.10 s2 5 5 5.34 unidades 2 9

s2 5

Esta medida indica que la dispersión de los datos con respecto a la media muestral es 5.34 unidades cuadradas. Físicamente, el estadístico no dice mucho acerca de la variabilidad de los datos; mientras la media aritmética se mide en unidades (lineales), la varianza se mide en unidades cuadradas.


Es importante hacer las observaciones siguientes: • Cuando el valor de la varianza de un conjunto de datos es grande, se dice que tiene mayor variabilidad. • Si la varianza de un conjunto de datos es pequeña, entonces la variabilidad es pequeña. Este conocimiento es útil cuando se comparan dos o más conjuntos de datos. • También es claro que a mayor variabilidad (mayor extensión de los datos) mayor será: el recorrido, el recorrido intercuartílico, la varianza y como consecuencia la desviación estándar. • Si se quiere describir la variabilidad de un solo conjunto de datos, la varianza no es de gran ayuda porque ésta no se expresa en las unidades originales, sino en unidades al cuadrado. • Cuando la varianza se usa como medida descriptiva, se puede considerar como un cálculo intermedio para obtener la desviación estándar (muestral o poblacional). Este paso intermedio es necesario para regresar a la unidad original, el cual se logra al obtener la raíz cuadrada del valor de la varianza. Cálculo de la varianza muestral o poblacional para datos no agrupados en Excel Este cálculo se obtiene mediante las funciones siguientes: Varianza muestral: 5VAR (rango de datos de la muestra) Varianza poblacional: 5VARP(rango de datos de la población)

Ejemplo 35: Si la muestra de los datos del ejemplo 2.32 se captura en una hoja electrónica en las celdas C4 a C13, la varianza muestral puede calcularse en la celda F7 como: 5VAR(C4:C13) cuyo resultado es 5.34 (varianza corregida o cuasivarianza).

Desviación estándar La desviación estándar es la medida de dispersión promedio más importante. Debido a la dificultad de poder medir con la varianza el grado de dispersión en un conjunto de datos, se puede crear este nuevo estadístico que es igual a la raíz cuadrada positiva de la varianza; es decir, en la desviación estándar, las unidades con que se mide este nuevo estadístico de dispersión serán las mismas que tienen las observaciones y la media aritmética de éstas. Se dice que la desviación estándar es la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de las desviaciones que hay de las observaciones con respecto a la media aritmética. En matemáticas, el cálculo de la desviación estándar S para una muestra y el de s (sigma) para una población se expresan en las ecuaciones 2.28 y 2.29, respectivamente:

141

142


n

∑ (x i =1

s5

−X

)

N

i =1

i

i

i =1

5

∑ (d )

2.28

2

i

i =1

5

2

n 21

N

− µ) 2

N

donde:

n

∑ (d )

2

n 21

∑ (x

s5

i

2.29

N

xi 5 observación i en la muestra o en la población. 5 media aritmética de la muestra. X µ 5 media aritmética de la población. n 5 número total de datos en la muestra. N 5 número total de datos en la población. d i 5 desviaciones de cada observación con respecto a la media muestral o a la media poblacional, respectivamente. Cuando los datos se agrupan en una tabla de distribución de frecuencias, el cálculo de la desviación estándar para una muestra o para una población se efectúa con las relaciones 2.30 y 2.31, según sea el caso. k

s5

∑ ( f )(x i =1

i

i

−X

s 5

∑ ( f )( x i =1

i

i

k

2

n 21

k

2

)

5

∑ ( f ) (d ) i

5

donde:

xi 5 marca de clase del intervalo i.



µ 5 media aritmética de la población.


N 5 número total de datos en la población.


2

∑ ( f ) (d ) i =1

2.30

n 21

k

− µ) 2

N

i =1

i

i

i

N

2

2.31


Para mostrar el procedimiento de cálculo de la desviación estándar, se usará el mismo conjunto de datos del ejemplo 2.32.

Solución: Como se trata de una muestra de datos no agrupados se utiliza la ecuación 2.30. Los pasos a seguir para encontrar el valor de la desviación estándar son: 1. Calcular la media aritmética de los datos ( X 5 6.7 ). 2. Encontrar el valor de la suma de las desviaciones elevadas al cuadrado, di2 5 ( xi 2 X )2 5 48.10 . 3. Calcular la varianza (la media de las desviaciones elevadas al cuadrado s2 5 5.34). 4. Encontrar el valor de la desviación estándar (raíz cuadrada de la varianza). Cuadro 2.17. Número

Dato

( xi 2 X ) 5 di

(di)2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Total

3 4 5 6 6 7 8 9 9 10 67

23.70 22.70 21.70 20.70 20.70 0.30 1.30 2.30 2.30 3.30 0

13.69 7.29 2.89 0.49 0.49 0.09 1.69 5.29 5.29 10.89 48.10

n

s5

∑ (x i =1

i

−X

n −1

)

2

5

48.10 5 2.31 9

Con el resultado de la desviación estándar pueden hacerse dos observaciones: 1. Las unidades en que está dada la desviación estándar son las mismas que la de los datos y la media aritmética. 2. Si la distribución de estos datos es normal y simétrica, entonces 68% de las observaciones debe quedar comprendida entre  X 2 s  y  X 1 s  ; es decir, entre 4.39 y 9.01. Desafortunadamente, la desviación estándar es una medida de dispersión absoluta, es decir, no indica qué tan grande o qué tan pequeña es la dispersión de los datos con respecto a la media aritmética, por lo que el analista deberá recurrir a una medida de dispersión relativa que le permita llegar a una conclusión. Una de estas medidas de dispersión relativa es el coeficiente de variación, el cual se estudiará en la siguiente sección.

143

144


Ejemplo 36: En la figura 2.15 se muestran las columnas que son necesarias para calcular el valor de la varianza y el de la desviación estándar.

Figura 2.15.

∑ ( f )( x k

s5

i =1

i

i

−X

)

2

n 21

701.85 5 27 21 s 5 5.2 s5

Cálculo de la desviación estándar muestral o poblacional en Excel Este cálculo se obtiene por medio de las funciones: Desviación estándar muestral: 5DESVEST (rango de datos de la muestra) Desviación estándar poblacional: 5DESVESTP (rango de datos de la muestra) También, la fórmula para calcular la desviación estándar muestral se modifica en el denominador de n a n21; es decir, esta desviación se calcula con la varianza corregida o cuasivarianza.


Para la muestra de datos del ejemplo 2.32, el cálculo de la desviación estándar de la muestra en una hoja electrónica que tiene los datos capturados en las celdas C4 a C13 es: =DESVEST (C4:C13) cuyo resultado en la celda F9 es 2.31. Distribución de frecuencia normal Cuando un conjunto de valores está normalmente distribuido, de acuerdo con la línea discontinua de la curva normal de la figura 2.16, se deben cumplir las siguientes características para que la curva tenga dicha forma: • La media, la mediana y la moda coinciden en el centro de la distribución y tendrán el mismo valor. • Es simétrica con respecto al valor central. • Tiene dos colas que se extienden: una hacia el lado derecho y otra hacia el izquierdo en forma indefinida desde el centro y se aproximan al eje de las abscisas, pero nunca lo tocan. • Los porcentajes de todos los valores de la población se encuentran en: 61, 62, 63, desviaciones estándar (s) de la media (µ). 99% 95% 68%

μ�3σ

μ�2σ

μ�σ

μ

μ�σ

μ�2σ

μ�3σ

Figura 2.16.

Cuando se describe una población estadística mediante la curva normal perfectamente simétrica, entonces puede utilizarse la regla empírica para expresar el porcentaje aproximado de los valores de la población que se encuentran dentro de un número determinado de desviaciones estándar desde la media de la población. La regla empírica se usa para 1s, 2s y 3s desviaciones estándar. Cuando los valores se encuentran distribuidos normalmente o en forma de campana, aproximadamente 68% de los valores se encuentra dentro de más menos una desviación estándar (61s) de la media (µ). Aproximadamente 95% está dentro de más menos dos desviaciones estándar, y casi todos los valores están dentro de más menos tres desviaciones estándar de la media. Cuadro 2.18. Distancia desde la media

Porcentaje dentro del intervalo

µ 6 1s µ 6 2s µ 6 3s

68.26% 95.44% 99.73%

145

146


Ejemplo 37: La estatura de los alumnos de una universidad se encuentra distribuida aproximadamente en forma normal, con una media de 1.68 m y una desviación estándar de 5 cm. Utilice la regla empírica. Cuadro 2.19. Distancia desde la media

Porcentaje dentro del intervalo

µ 1 1s 5 1.68 1 0.05 5 1.73 µ 1 1s 5 1.68 2 0.05 5 1.63 µ 1 2s 5 1.68 1 2(0.05) 5 1.78 µ 2 2s 5 1.68 2 2(0.05) 5 1.58 µ 1 3s 5 1.68 1 3(0.05) 5 1.83 µ 1 3s 5 1.68 2 3(0.05) 5 1.53

68 95 99.7

De los resultados anteriores se puede hablar de un buen grado de confianza: 68% de los alumnos tiene estaturas entre 1.63 y 1.73 m (µ 6 1s ), 95% entre 1.58 y 1.78 m µ 6 2s, y casi todos entre 1.53 y 1.83 m (µ 6 3s). Los valores de z representarán el número de desviaciones estándar que el valor xi está por arriba o debajo de la media de un conjunto de datos que se encuentra normalmente distribuido, matemáticamente se expresa: Población z 5

Muestra z 5

xi 2µ 2.29 s

xi 2 X s

2.30

El valor de z se interpreta como la transformación de la distancia de un valor original con respecto a la media, en unidades de desviación estándar (estandarizar un valor). Cuadro 2.20. Intervalo, entre:

z 5 21 y z 5 11 z 5 22 y z 5 12 z 5 23 y z 5 13

Porcentaje de valores que caen dentro del intervalo 68 95 99.7

Ejemplo 38: Se sabe que el conjunto de calificaciones del tercer examen departamental de Contaduría I se distribuye normalmente con una media muestral de 80 puntos y una desviación estándar de 10 puntos. Encontrar el valor de z para cuando x23 5 90.


z5

x 23 2 X 90 2 80 10 5 5 511 s 10 10

El valor de z 5 + 1 se interpreta como: la calificación de 90 está a una desviación estándar por arriba de la media; y en el caso de una calificación de 70 puntos, ésta se ubica a menos una desviación estándar por debajo de la media. El intervalo formado por las calificaciones entre 70 y 90 puntos indica que 68% de las calificaciones se encuentra dentro de éste, mientras que el resto de las calificaciones cae fuera de éste y representa el 32%. Teorema de Chebyshev La regla empírica sólo se utiliza cuando se sabe que los datos se distribuyen normalmente. Cuando no es así o se desconoce la forma de distribución se utiliza el teorema de Chebyshev. El teorema de Chebyshev indica que cualquiera que sea la forma de la distribución de frecuencias de una población, la proporción de observaciones que están dentro de k desviaciones estándar de la media es al menos: 12

1 k2

2.31

En donde los valores de k pueden ser mayores que uno.

Por lo menos 1� 12 k x � k�

k�

Figura 2.17.

El teorema expresa que por lo menos 12(1/k2) valores estarán dentro de 6k desviaciones estándar de la media, sin importar la forma de la distribución. El teorema especifica que al menos 75% de todos los valores está dentro de 6 2s de la media, porque si k 5 2, entonces 12(1/22) 5 3/4 5 0.75. Por otro lado, la regla empírica indica que si los datos están normalmente distribuidos, 95% de todos los valores estará dentro de µ 6 2s. Ahora, el porcentaje que está dentro de tres desviaciones estándar desde la media es de por lo menos 89% de todos los valores que se encuentran dentro de 6 3s; si k 5 3, entonces 12(1/32) 5 8/9 5 0.89. En el caso de la regla empírica es de 99.73%. 3

Este teorema fue planteado por el matemático Ruso Pafnuty L. Chebyshev (1821–1894).

147

148


Al utilizar una fórmula para el cálculo de las proporciones, el valor de k puede tomar valores mayores que uno (k > 1) (cuadro 2.21). Cuadro 2.21. Cálculo de k del teorema de Chebyshev Proporción mínima de observaciones dentro del límite µ 6 ks

Número de desviaciones estándar, k 1

12(1/12) 5 0.0

2

12(1/22) 5 3/4 5 0.75

3

12(1/32) 5 8/9 5 0.89

4

12(1/42) 5 15/16 5 0.94

5

12(1/52) 5 24/25 5 0.96

Ejemplo 39: Se toma una muestra de 20 bolillos de la primera producción del día para saber si la máquina automática pesa correctamente la masa. El peso promedio de un bolillo es de 100 gramos con una desviación estándar aceptada de 5 gramos. Se desconoce la distribución de la población, pero se sospecha que no tiene forma de campana. Como la distribución no es simétrica, entonces se debe utilizar la regla de Chebyshev, ya que la regla empírica sólo se usa cuando la distribución tiene forma de campana. Cuadro 2.22. Variación en porcentaje de los valores con respecto a la media Número de desviaciones estándar

Intervalo

k

Chebyshev para toda distribución µ 6 ks.

1

Al menos 0.0%

µ 6 1s

Aproximadamente 68%

2

Al menos 75%

µ 6 2s

Aproximadamente 95%

3

Al menos 88.89%

µ 6 3s

Aproximadamente 99.7%

Regla empírica para la distribución en forma de campana

Coeficiente de variación Como ya se mencionó, la desviación estándar es una medida de variación absoluta que no permite concluir qué tan grande o pequeña es la dispersión de los datos; sin embargo, combinada con la media aritmética da origen a una medida de dispersión relativa llamada coeficiente de variación. El coeficiente de variación (CV) es la medida relativa que permite darnos una idea general de la magnitud de la desviación estándar en relación con la magnitud de la media aritmética. Esta relación expresa la desviación estándar como porcentaje de la media aritmética, y sus unidades se miden en “por ciento”. Matemáticamente, puede expresarse como:


s  CV 5   ( 100) µ 

2.32

s CV 5   ( 100) X 

2.33

El coeficiente de variación es la medida de variabilidad que se utiliza principalmente para: 1. Comparar la variabilidad entre dos grupos de datos que tengan la misma unidad de medida, o bien, distinta. Por ejemplo, un conjunto medido en metros y otro en kilogramos. 2. Comparar el comportamiento de dos grupos de datos obtenidos por dos o más personas distintas. 3. Comparar dos grupos de datos que tienen distinta media aritmética. 4. Determinar si cierta media aritmética es consistente con cierta varianza.

Ejemplo 40: Se consideran los resultados de las calificaciones obtenidas en Estadística descriptiva de dos grupos distintos, del segundo trimestre, en el tronco divisional del área de Ciencias Sociales, en la UAM-X. Cuadro 2.23. Grupo

SB51B

SB55B

Media (promedio)

8.2

9.5

Desviación estándar

0.5

0.5

Si sólo se analiza la desviación estándar de los dos grupos se debe aceptar que la variabilidad de éstos en cuanto a las calificaciones obtenidas es la misma. Sin embargo, las medias son diferentes, lo que permite distinguir a cada grupo, es decir, nuestro primer análisis debe revisarse. Una forma de hacerlo es calcular el coeficiente de variación en ambos grupos. Grupo SB51B

CV 5 (0.5/8.2)100 5 6.1%

Grupo SB55B

CV 5 (0.5/9.5)100 5 5.2%

Como se sabe, en cualquier medida de variabilidad: a mayor valor, más variabilidad. En este ejemplo, el grupo SB51 presenta una variabilidad relativa mayor que la del grupo SB55; es decir, este último fue más homogéneo en cuanto a rendimiento que el grupo SB51.

149

150


Ejemplo 41: Una compañía papelera mandará hacer las cajas de carga para la nueva flotilla de camiones de tres toneladas. El jefe de embarques toma una muestra de 100 cajas y encuentra que la media del peso de las cajas es de seis kilogramos con una desviación estándar de 250 gramos; además, el volumen de éstas es de 0.5 m3, con una desviación estándar de 0.04 m3. Encontrar la variación de peso y volumen. CV 5

250 (100 %) 5 4.17 % 6000

CV 5

0.04 (100 %) 5 8% 0.5

En este caso, la relación de la media del volumen es más variable que el peso de la caja. Cálculo del coeficiente de variabilidad en Excel Éste se calcula al combinar la función de la media con la desviación estándar. Para cuando se trata de una muestra, el coeficiente se calcula de la manera siguiente: =(DESVEST (rango de datos) / PROMEDIO (rango de datos))*100 Para encontrar el resultado correcto con la función en Excel se debe considerar que el rango de datos para ambas funciones debe ser el mismo.

Medidas de forma Las medidas de forma son de gran utilidad para el investigador y el estudiante, ya que se puede describir la forma que toma una distribución de datos.

Sesgo (asimetría) Las curvas que se utilizan para representar las observaciones de una serie de datos pueden ser simétricas o asimétricas (sesgadas). Las curvas simétricas son aquéllas que trazan una línea vertical desde el punto más alto de ella (la cima) hasta el eje horizontal. El área total de esta curva será dividida exactamente en dos partes iguales, siendo la parte derecha espejo de la parte izquierda. Por ejemplo: una distribución simétrica es la curva de distribución normal o de campana (figura 2.18). Figura 2.18.


El sesgo permite comprender la relación de la media, la mediana y la moda, en una distribución de una sola cima o moda (unimodal). La media es el valor central o el que divide en dos partes iguales a la distribución. Cuando la distribución es simétrica (no tiene sesgo), la media, la mediana y la moda se ubicarán en el centro de la distribución. En este caso, éstas tienen el mismo valor X 5 Me 5 Mo , (figura 2.19).

Distribución simétrica (cero asimetría) x Media Mediana Moda

Figura 2.19.

Por otro lado, las curvas de las figuras 2.20 y 2.21 son curvas sesgadas porque los valores de sus distribuciones de frecuencias se concentran en el extremo inferior o en el extremo superior de la escala de medición situada sobre el eje de las abscisas, por tanto los valores no pueden tener una distribución igual (simétrica).

Distribución con asimetría positiva (a la derecha)

Moda Media Mediana

Distribución con asimetría negativa (a la izquierda)

x

Figura 2.20.

Media Moda Mediana

La curva de la figura 2.20 está sesgada a la derecha o con asimetría positiva, esto se debe a que disminuye gradualmente hacia el extremo superior de la escala. En esta curva, la moda es el punto más alto, la mediana es el punto medio, mientras que la media siempre tiende a ubicarse hacia la cola (derecha) de la distribución. Esto se debe a que la media siempre se afectará por los valores extremos. En este caso, la media, la mediana y la moda tienen diferentes valores ( X . Me . Mo ). 4 La moda es el punto más alto de la curva (el vértice).

151

152


Sucede lo contrario en la curva de la figura 2.21. Ésta tiene sesgo a la izquierda o asimetría negativa, ya que disminuye gradualmente hacia el extremo inferior de la escala. En esta curva, la moda es el punto más alto, la mediana es el medio, mientras que la media siempre tenderá a ubicarse hacia la cola (izquierda) de la distribución. En este caso, la media, la mediana y la moda tienen diferentes valores ( X , Me , Mo).

1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

Figura 2.21.

La medida estadística que cuantifica el sesgo de un conjunto de datos se llama coeficiente de sesgo (CS). El CS se define y se denota para datos no agrupados mediante la relación siguiente:

donde:

n   n  xi 2 X  CS 5   ∑  (n 21)(n 2 2)  i=1  s 

xi 5 observación (dato) i.



s 5 desviación estándar de la muestra.

3

2.34

Y en el caso de que los datos se agrupen en una tabla de distribución de frecuencias, la relación de cálculo de la asimetría será: k

∑ f (x 2 X ) i =1

CS 5 donde:

i

i

3

n s3

xi 5 marca de clase del intervalo i.



2.35


s 5 desviación estándar de la muestra.



En ambas relaciones de cálculo del coeficiente de sesgo, la interpretación debe realizarse de la siguiente manera: • Si CS 5 0, entonces los datos (de la curva) se distribuyen de manera simétrica (figura 2.19). • Si CS . 0, entonces los datos (de la curva) son sesgados a la derecha (figura 2.20). • Si CS , 0, entonces los datos (de la curva) son sesgados a la izquierda (figura 2.21). Cálculo del coeficiente de sesgo para datos no agrupados en Excel Éste se calcula mediante la función: 5COEFICIENTE.ASIMETRIA (rango de datos)

Ejemplo 42: Si el conjunto de datos es: 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 7 su coeficiente de sesgo se encuentra por medio de la función: 5COEFICIENTE.ASIMETRIA (3,4,5,2,3,4,5,6,4,7) o bien, si los datos ocupan las celdas C4 a C13: 5COEFICIENTE.ASIMETRIA (C4:C13) En ambos casos, el resultado es CS 5 0.359, con ello se muestra que los datos tienen un pequeño sesgo a la derecha.

Medida de curtosis (afilamiento) Es la medida estadística de un conjunto de observaciones, la cual permite determinar su grado de pico en la curva de distribución; es decir, las curvas de distribuciones de frecuencias que se construyen difieren, en muchos casos, sólo por el hecho de que una tiene un pico mayor que otra (figura 2.22). En esta figura, las dos B curvas (A y B) tienen la misma localización y dispersión, y amA bas son simétricas; sin embargo, presentan diferente grado de pico: tienen diferentes grados de curtosis. Figura 2.22.

1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

153

154


Normalmente en estadística se utilizan tres diferentes grados de curtosis. Cuando la curva se distribuye simétricamente de forma normal (figura 2.18) recibe el nombre de curva mesocúrtica. Una curva que tenga más pico (figura 2.23) se nombra curva leptocúrtica, y una que tenga menos pico (figura 2.24), curva platocúrtica.

1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Figura 2.23.

1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Figura 2.24.

En una curva de distribución, la curtosis se determina por medio del coeficiente de curtosis, el cual se denota como CC y se define de la manera siguiente: a) Para datos no agrupados:  n (n 11) CC 5   (n 21)(n 2 2)(n − 3)

 ( xi 2 X )  ∑   s i =1   n

 3 (n − 1)2  2    (n 2 2)(n 2 3) 

4

donde: xi 5 observación (dato) i. n 5 número total de datos en la muestra. X 5 media aritmética de la muestra. s 5 desviación estándar de la muestra. b) Para datos agrupados en una tabla de distribución de frecuencias:

2.36

155


k

∑ f (x 2 X ) i =1

CC 5 donde:

i

i

4

n s4

2.36

xi 5 marca de clase del intervalo i. f i 5 frecuencia absoluta del intervalo i. X 5 media aritmética de la muestra. s 5 desviación estándar de la muestra. n 5 número total de datos en la muestra. k 5 número total de clases o intervalos. En ambas relaciones, el coeficiente de curtosis se interpreta de la manera siguiente: • Si CC 5 3, entonces los datos (de la curva) se distribuyen de manera simétrica en forma de una curva de distribución normal estandarizada, como la que se muestra en la figura 2.18. El número tres se establece de manera teórica en estudios de Estadística matemática. • Si CC . 3, entonces los datos (de la curva) presentan un pico mayor que los de la curva de distribución normal estandarizada (figura 2.23), (curva leptocúrtica). • Si CC , 3, entonces los datos (de la curva) se presentan más aplanados que los de la curva distribución normal (figura 2.24), (curva platocúrtica). En la figura 2.25 se muestra una comparación de las tres curvas: simétrica, sesgo positivo y sesgo negativo.

Sesgo positivo

Moda

Media Mediana

Simétrica

x

Sesgo negativo

x Media Mediana Moda

Figura 2.25.

Cálculo del coeficiente de curtosis para datos no agrupados en Excel La función para este cálculo en Excel es: 5CURTOSIS (rango de datos)

Media Moda Mediana

x

156


Ejemplo 43: El conjunto de datos es: 3, 4, 5, 2, 3, 4, 5, 6, 4, 7. El coeficiente de curtosis se calcula con la función: 5CURTOSIS (3,4,5,2,3,4,5,6,4,7) o bien, si los datos ocupan las celdas C4 a C13: 5CURTOSIS (C4 : C13) En ambos casos, el resultado es CC 520.1518; con ello se muestra que los datos forman una curva platocúrtica.

Uso de las funciones estadísticas en Excel El cálculo de las medidas de estadística descriptiva en Excel es muy sencillo, ya que basta con capturar los datos de la variable (o variables) a analizar, y utilizar las funciones estadísticas adecuadas que permitan calcular las medidas de tendencia central y de posición (media, mediana, moda, cuartil, percentil); las medidas de dispersión (amplitud, desviación absoluta promedio, varianza, desviación estándar y coeficiente de variación); el coeficiente de sesgo; y el coeficiente de curtosis.

Ejemplo 44: En la figura 2.26 se muestran los datos de estatura de 20 alumnos del grupo SC17B. Estos datos se capturan en el área o rango de celdas indicadas. El rango se forma de la celda B8 a la C17. Puesto que las funciones estadísticas ya se definieron en la hoja a partir de la celda B8, Excel calcula inmediatamente los estadísticos solicitados para dichos datos.

Figura 2.26.


Para el investigador o estudiante, la tarea final será interpretar las medidas calculadas, realizando un análisis descriptivo de la variable o variables en estudio. En el cuadro 2.24 se resume el contenido por celda del modelo de la figura 2.26, y las funciones con respecto a la hoja electrónica de Excel. Cuadro 2.24. Celda F8 F9 F10 F11 F12 F16 F17 F18 F19 F20 F22 F23

Función = PROMEDIO (B8 : C17) = MEDIANA (B8 : C17) = MODA (B8 : C17) = CUARTIL (B8 : C17,1) = PERCENTIL (B8 : C17,0.35) = MAX (B8 : C17)2MIN (B8:C17) = DESVPROM (B8 : C17) = VAR (B8 : C17) = DESVEST (B8 : C17) = (F19/F8)*100 = COEFICIENTE.ASIMETRIA (B8 : C17) = CURTOSIS (B8 : C17)

El subprograma Estadística descriptiva de Excel En Excel, el subprograma que permite calcular estadísticos descriptivos sin necesidad de utilizar las funciones estadísticas recibe el nombre de Estadística Descriptiva. Con él, es posible calcular los estadísticos siguientes: Cuadro 2.25. Estadístico Media aritmética

Descripción La suma de datos dividida entre el número de datos que forman el conjunto (promedio)

Error estándar

El error estándar de la media del conjunto de datos

Mediana

El dato que divide al conjunto de datos ordenados, en forma ascendente (o descendente), en dos partes iguales

Moda

El dato que se repite más en el conjunto (dato de mayor frecuencia)

Desviación estándar La raíz cuadrada positiva de la varianza La suma de las desviaciones (cada dato menos la media aritmética) elevadas al Varianza cuadrado, divididas entre el número de datos menos uno El nivel de pico o afilamiento de la distribución de los datos Curtosis en comparación con la distribución normal Asimetría El grado de asimetría de la distribución de los datos alrededor de su media aritmética Rango o El dato más grande en el conjunto de datos, menos el dato más pequeño amplitud en el mismo conjunto Mínimo El dato de menor valor en el conjunto de datos Máximo El dato de mayor valor en el conjunto de datos Suma La suma de los valores de los datos del conjunto Cuenta El número de datos que forma el conjunto

157

158


Cuando se quiera calcular los estadísticos descriptivos de un conjunto de datos con este subprograma, es necesario realizar el procedimiento siguiente: • Capture en la hoja de Excel, en fila o columna, todos los datos que desea analizar mediante la estadística descriptiva. En el siguiente ejemplo se utiliza el subprograma de Estadística Descriptiva para las variables de edad, estatura y gasto diario de 28 alumnos de la universidad (figura 2.27). • Seleccione del menú de Herramientas la opción Análisis de datos (figura 2.27).

Figura 2.27.

• De las diferentes opciones del submenú Análisis de datos seleccionar: Estadística descriptiva. • Con el cursor ubicado en Rango de entrada, seleccionar el conjunto de datos a analizar. En el ejemplo (figura 2.28), el rango comprende de la celda C5 a E32. Observe que en el primer renglón se incluyen las etiquetas de las variables, por lo que deberá seleccionar la opción: Rótulos en la primera fila. • En la opción Rango de salida, se debe ubicar el cursor en la celda a partir de la cual se quiera obtener los resultados. Para este caso se ubica en la celda G4 (figura 2.28). • Seleccionar la casilla denominada Resumen de estadísticas (figura 2.28).


Figura 2.28.

• Oprimir Aceptar. Con ello se obtienen los cálculos que se muestran en la figura 2.29.

Figura 2.29.

En la figura 2.29 se observa que la estatura promedio (media aritmética) de los estudiantes ejemplo es de 1.69 m, la desviación estándar es de 0.06 m, es decir, 95.44% de las estaturas se encuentra entre: 1.57 m y 1.81 m. También puede observarse que el estudiante de mayor estatura en el grupo mide 1.80 m y el de menor 1.56 m. En la figura 2.29 se muestran los estadísticos calculados para nuestro ejemplo: una amplitud o rango entre estos datos es de 0.24 m, es decir, la diferencia de estatura entre el alumno más alto y el más bajo es de 24 centímetros.

159

160


El coeficiente de asimetría 20.46 indica asimetría negativa. Mientras que el coeficiente de curtosis 0.35 indica que la curva de distribución de estos datos está más aplanada que una curva normal, es decir, es una curva platocúrtica.

Problemas 1.

El gasto diario ($) de una muestra de 20 alumnos de la universidad es el siguiente: 10.00 12.50 12.00 11.50 13.00 12.00 11.00 14.00 15.00 14.50 12.50 12.00 12.40 10.50 12.00 14.00 13.00 12.00 15.00 12.30 a) Calcule el tercer cuartil, el 35 percentil y el decil tres. b) Calcule la media muestral y la desviación estándar muestral.

2.

En una prueba de habilidad aplicada a obreros en la ciudad de Toluca resultaron las puntuaciones siguientes: 34 28 29 22 33 30 31 32 30 24 22 24 29 24 28 24 34 28 29 30 32 35 33 22 19 24 18 23 20 20 22 21 a) Calcule el segundo cuartil y el 45 percentil. b) Calcule la media muestral, la mediana y la moda. c) Calcule el rango, la varianza y la desviación estándar muestral.

3.

4.

Los ingresos anuales en una comunidad del estado de Puebla se muestran en el cuadro siguiente. Determine el ingreso promedio y su dispersión mediante la desviación estándar, para finalmente emitir una conclusión. Clase

Ingreso anual ($)

Padres de familia

1

4 950 – 5 650

7

2

5 650 – 6 350

9

3

6 350 – 7 050

10

4

7 050 – 7 750

7

5

7 750 – 8 450

3

Determine la media y la desviación estándar de un examen de Historia de un grupo de 12 alumnos, y concluya en cuanto a su nivel de aprovechamiento. 7.5, 8.0, 7.0, 8.5, 7.5, 8.0, 7.0, 7.0, 9.0, 8.0, 8.5, 8.0


5.

En la siguiente muestra de 30 semanas se indica el peso de sacos de exportación de un producto industrial. Se quiere saber si la máquina llenadora de estos sacos opera adecuadamente. El llenado adecuado no debe exceder una dispersión de 1.5%. Analice estadísticamente la muestra mediante las medidas de posición y dispersión convenientes y construya un histograma y un polígono de frecuencias. Concluya e indique si la máquina de llenado opera convenientemente. 20.2 20.3 20.2 21.0 19.9 19.8 20.5 21.0 20.3 20.0 20.9 20.4 19.7 19.8 20.9 20.1 20.2 20.2 20.1 20.9 19.8 19.7 20.4 20.0 Sugerencia: calcule la media y la desviación estándar.

20.1 20.2 20.1

20.4 20.1 20.0

6.

El número de horas y el horario con mayor número de telespectadores son dos factores que influyen en la publicidad televisiva. Una muestra de 50 familias con el número de horas que ven televisión produjo los datos siguientes:

3.0 6.0 7.5 15.0 12.0 6.5 8.0 4.0 5.5 6.0 5.0 12.0 1.0 3.5 3.0 7.5 5.0 10.0 8.0 3.5 9.0 2.0 6.5 1.0 5.0 4.5 1.0 6.0 1.5 8.5 3.0 7.5 9.5 4.5 7.0 3.0 2.5 3.0 1.0 11.5 4.5 5.5 5.0 3.5 7.5 6.0 11.5 14.5 7.0 5.5 a) Construya una tabla de distribución de frecuencias. b) Elabore los histogramas y polígonos conocidos. c) Calcule la media muestral y la desviación estándar muestral. d) Concluya acerca del número de horas que ven la televisión las familias de la muestra.

7.

El ingreso mensual en pesos que reciben 15 contadores en la ciudad de Monterrey, se muestran a continuación: 10 000 10 500 9 900 11 000 11 500 10 500 10 300 11 000 11 500 11 400 11 500 10 000 11 000 10 300 11 100

Determine: a) El ingreso promedio mensual de estos ejecutivos. b) La desviación estándar de sus ingresos. 8.

De la siguiente serie de datos: 12, 11, 17, 13, 11, 12, 15, 12 a) Calcule la media, la mediana y la moda. b) Calcule la varianza y la desviación estándar.

161

162


9.

De la siguiente serie de datos: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 a) Calcule la media, la mediana y la moda. b) Calcule la varianza y la desviación estándar.

10.

Los ingresos mensuales ($) que reciben 15 ejecutivos medios en la ciudad de Guadalajara se muestran a continuación: 10 000, 10 500, 11 500, 10 500, 10 300, 10 000, 9 900, 11 000, 11 000, 11 000 10 500, 10 300, 11500, 11 400, 11 000 a) Encuentre el ingreso promedio mensual de los ejecutivos. b) Calcule la desviación estándar de sus ingresos. c) Calcule el cuartil uno y tres. d) Calcule el valor de curtosis y el coeficiente de asimetría para determinar el comportamiento de la serie de datos.

11.

De la siguiente serie de datos: 5.12, 5.37, 5.87, 5.87, 6.0, 6.25, 6.70, 6.75, 6.75, 7.0, 7.12, 7.5, 7.72, 7.72, 7.87, 8.0, 8.12, 8.32, 8.35, 8.35, 8.43, 8.67, 9.01, 9.02, 9.07 9.07, 9.25, 9.37, 9.50, 9.74, 10.0, 10.12, 10.25, 10.37, 10.50 a) Determine las medidas de tendencia central y de dispersión. b) ¿Qué porcentaje de datos es mayor que 7.45? c) ¿Qué porcentaje es menor que 9.85? d) ¿Qué porcentaje es mayor que 6.65, pero menor que 9.05? e) ¿Qué tipo de asimetría presenta?

12.

Un restaurante marca como política de atención al cliente en el horario del mediodía, un tiempo promedio de servicio de 15 minutos con una desviación estándar de 65 minutos; si las personas son atendidas dentro de los parámetros aceptados por el restaurante el servicio es bueno y eficiente; si no, debe cambiar su política de servicio. Con la intención de evaluar el cumplimiento de su política, un día específico toma una muestra de 30 personas que llegan al restaurante a la hora de la comida, y obtiene los siguientes resultados:


Cuadro 2.19 Tiempo en minutos

Número de personas

4.528.5

5

8.5212.5

7

12.5216.5

10

16.5220.5

4

20.5224.5

4

a) ¿Qué decisión debe tomar el restaurante? 13.

Se aplicó un examen de Estadística a un grupo de 35 alumnos y las calificaciones son las siguientes: 46, 63, 65, 73, 73, 73, 74, 75, 75, 75, 76, 78, 78, 78, 81, 81, 81, 82, 82, 84, 85, 86, 86, 86, 86, 86, 87, 89, 90, 90, 90, 92, 95, 101, 103 a) Calcule la media, la mediana y la moda. b) Calcule la varianza y la desviación estándar.

14.

De la siguiente serie de datos determine: 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19, 19, 22, 27, 28, 28 a) b) c) d) e) f ) g)

15.

La media, la mediana, la moda. La varianza y la desviación estándar. El coeficiente de curtosis. El coeficiente de variación. El primer y tercer cuartil. ¿Qué tipo de asimetría es? La desviación absoluta promedio.

En una empresa, el sueldo por hora es de $ 5.00 para 100 trabajadores, de $ 10.00 para 50 y de $ 15.00 para 10, ¿Cuál es el sueldo promedio? Núm.

W

X

1 2

100 50

5 10

3 Total

10 160

15

163

164


16.

17.

18.

Un restaurante vende refrescos de tres tamaños: pequeño, mediano y grande. El tamaño pequeño cuesta $ 0.50, el mediano $ 0.75 y el grande $ 1.00. Ayer se vendieron 20 pequeños, 50 medianos y 30 grandes, ¿cuál fue el precio ponderado por refresco? Núm.

W

X

1 2

20 50

0.5 0.75

3 Total

30 100

1

El Hospital Metropolitano emplea 200 personas en su equipo de enfermeras. de ese personal, 50 son ayudantes de enfermera, 50 enfermeras prácticas y 100 enfermeras tituladas. Las primeras reciben un sueldo de $ 8.00 por hora; las segundas ganan $ 10.00 por hora; y las terceras, $ 14.00 por hora, ¿Cuál es el valor medio ponderado del sueldo por hora? Núm.

W

X

1 2

50 50

8 100

3 Total

100 200

14

Un analista quiere saber cuál fue el interés promedio generado en 2006. Los datos son de los meses de enero a diciembre de 2003. Tasa de rendimiento neto (%) 16.72 13.85 17.73 13.68 17.47 13.71 16.17 13.13 15.04 14.38 15.50 11.78

19.

Las ganancias obtenidas por la empresa de construcción Akins en cuatro proyectos recientes fueron de: 3%, 2%, 4% y 6%, ¿Cuál fue la media geométrica de la ganancia?

20. Con los datos del cuadro: a) Construya un cuadro de distribución de frecuencias con intervalos de clase. b) Calcule la media, la mediana y la moda. c) Calcule la varianza y la desviación estándar.


21.

La empresa textil Blusas y Suéteres, S. A. tiene cinco zonas de distribución. Los agentes de ventas visitaron a seis clientes en la zona “A”; en la “B”, tres; en la “C”, cuatro; en la “D”, cinco; y en la “E”, siete. a) Encuentre el número medio de clientes visitados por cada representante de zona. 5 b) Compruebe que ∑ ( xi − µ ) 5 0 i =1

22.

En una empacadora de duraznos, la máquina automática que llena los frascos está presentando fallas. El ingeniero de control de calidad ordenó la verificación del peso de las latas, de lo cual se obtuvo lo siguiente: Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8

Peso (g) 130 – 140 141 – 150 151 – 160 161 – 170 171 – 180 181 – 190 191 – 200 201 – 210

Número de frascos 2 8 20 15 9 7 3 2

a) Encuentre el peso promedio del contenido de los frascos de duraznos. b) Calcule el peso mediano del contenido de los frascos. 23. Del siguiente cuadro, calcule la media aritmética y la mediana de los pagos mensuales realizados a las tarjetas de crédito del Banco Asoria. Núm. 1 2 3 4 5 6 7

Pago ($) 100 2 500 501 2 900 901 2 1 300 1 301 2 1 700 2 701 2 2 100 2 101 2 2 500 2 501 2 2 900

Número de frascos 1 9 11 23 11 4 1

24. Estadístico

Caso 1

Caso 2

Caso 3

Caso 4

Media

245.4

242.7

238.0

243.0

Mediana

249.2

240.0

240.0

243.0

Moda

249.9

239.2

241.4

243.0

4.5

3.8

3.1

0.3

Desviación estándar

165

166


a) ¿Cuál caso tiene sesgo positivo? b) ¿Cuál tiene más variación? c) ¿Cuál tiene una distribución en forma de campana? d) Con base en la regla empírica, 95% de los casos del caso dos, encuentre los valores del intervalo. e) ¿Cuál de los casos tiene sesgo negativo? f ) Determine el coeficiente de variación del caso uno. 25. De las edades de los alumnos del grupo SB-55B del Tronco Divisional de Ciencias Sociales y Humanidades UAM-X. a) Construya un cuadro de distribución de frecuencias, b) Calcule la media, la mediana y la moda. c) Calcule la varianza, la desviación estándar y la desviación media. d) Indique qué sesgo tiene. Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Total

Edad (años) 19 19 19 20 20 20 20 20 21 21 22 22 23 33 33 34 46 412

26. De las edades, estatura, peso y talla de los alumnos del grupo SB-55B del Tronco Divisional de Ciencias Sociales y Humanidades UAM-X, determine una distribución de frecuencias.


27.

Número

Edad (años)

Estatura (m)

Peso (kg)

1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Total

19 19 19 20 20 20 20 20 21 21 22 22 23 33 33 34 46 412

1.48 1.5 1.56 1.58 1.6 1.62 1.63 1.63 1.65 1.67 1.69 1.74 1.75 1.76 1.82 1.86 1.87 28.41

52 57.5 59 60 62 62 63 63 63 64 64 65 71 73 75 93 98 1 144.5

De las edades de los alumnos del grupo 1206 de la Facultad de Contaduría y Administración. UNAM. a) Calcule la media, la mediana y la moda. b) Calcule la varianza, la desviación estándar y la desviación media. c) Indique qué sesgo tiene. Núm.

Edad (años)

Frecuencia (fi)

1

18

25

2

19

11

3

20

2

4

21

3

5

22

2

6

23

1

Total

44

28. De la siguiente serie de datos construya un cuadro de distribución de frecuencia con intervalos de clase. Use la fórmula de Sturges.

167

168


Núm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Dato 9.0 7.5 8.0 7.0 8.0 7.0 6.3 9.0 6.0 5.0 8.0 8.0 6.5

Núm. 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Dato 6.0 8.0 8.0 7.0 7.4 8.4 7.6 5.5 9.0 7.2 9.0 7.4

29. Del siguiente cuadro de distribución de frecuencias: a) Calcule la media, la moda y la mediana. b) Calcule la varianza, la desviación estándar y la desviación media. c) Construya un polígono e histograma de frecuencias. 30. Del siguiente cuadro de calificaciones del primer examen del módulo Historia y Sociedad calcule: a) La media, la mediana y la moda. b) La varianza y la desviación estándar. c) Construya un polígono de frecuencias. d) Determine qué sesgo tiene el polígono de frecuencias. 31.

En el cuadro se muestran lo que gastan en transporte diario 20 trabajadores de los Laboratorios Clínicos Olaart. Calcule: a) La media, la mediana y la moda. b) El rango, la varianza y la desviación estándar. c) El coeficiente de curtosis y la asimetría. d) El nivel de confianza de 95 por ciento.


32. Del siguiente grupo de datos calcule: a) La media, la mediana y la moda. b) El rango, la varianza y la desviación estándar. c) El coeficiente de curtosis y la asimetría. d) El primer y tercer cuartil. 33. Del siguiente grupo de datos calcule: a) La media, la mediana y la moda. b) El rango, la varianza, la desviación estándar y la desviación promedio. c) El coeficiente de curtosis y la asimetría. d) El primer y tercer cuartil. 34. Se tomo una muestra para conocer el peso de 40 hombres y 40 mujeres, en un poblado en el estado de Chiapas. a) Calcule la media, la mediana y la moda. b) Calcule el rango, la varianza, la desviación estándar y la desviación promedio. c) Realice un análisis comparativo de las dos series de datos.

RESPUESTAS 1.

169

170


2.

3.

Solución en miles de pesos

4.

5.

Media 5 20.24; varianza 5 0.144; desviación estándar 5 0.379.

6.

7.

a) Promedio mensual 5 $ 10 766.67.

b) Varianza 5 342 380.95; desviación estándar 5 $ 585.13.


8.

Media 5 12.87; mediana 5 12; y moda 5 12.

Varianza 5 4.410; desviación estándar 5 2.1.

9.

Media 5 2.14; mediana 5 2; y moda 5 3

Varianza 5 0.81; desviación estándar 5 0.89.

10.

a) 10 766.67; b) 585.13; c)10 300, 11 250; d) 21.55, 20.12.

11.

a)

. ,

;

b) 68.6%; c) 85.7%; d) 60%; e) Negativa * Varias modas 1 2.

El valor de la media muestral es de 16.17 y está dentro del intervalo (10 a 20 min); por tanto, su política es buena y eficiente, y debe seguirla.

13. a) X � 81.29, Me � 82.0, Mo � 86 b) s 510.7, s2 5114.68 14.

a) b) c) d) e) f ) g)

15.

Media ponderada 5 7.19

16.

Media ponderada 5 $ 0.78

17.

Media ponderada 5 $ 11.50

18.

Media geométrica 5 14.83%

X 5 13.9, Me 5 12.0, 5 Mo 12.0. s 5 6.06, s2 5 36.8. 0.59 platocúrtica. 43.64 %. Cuartil: 1, 9.5; y 3, 16.5. Asimetría positiva. 4.60.

171

172


19.

Media geométrica 5 3.464%

20.

21.

a) Media 5 5. 5 b) ∑ ( xi 2) 5 (6 2 5) 1 (3 2 5) 1 (4 2 5) 1 (5 2 5) 1 (7 2 5) = 0 i =1

22.

a) Media 5 164.67 b) Mediana 5 162

23. a) Media 5 1 433; mediana 5 14 56.5 24.

25.

a) Caso 2. b) Caso 1. c) Caso 4. d) 235.1 2 250.3. e) Caso 1 y 3. f ) 1.83 %.


26. Número

Edad (porcentaje)

Estatura (porcentaje)

Peso (porcentaje)

1

4.61

5.21

4.54

2

4.61

5.28

5.02

1

4.61

5.49

5.16

2

4.85

5.56

5.24

3

4.85

5.63

5.42

4

4.85

5.70

5.42

5

4.85

5.74

5.50

6

4.85

5.74

5.50

7

5.10

5.81

5.50

8

5.10

5.88

5.59

9

5.34

5.95

5.59

10

5.34

6.12

5.68

11

5.58

6.16

6.20

12

8.01

6.20

6.38

13

8.01

6.41

6.55

14

8.25

6.55

8.13

15

11.17

6.58

8.56

Total

100.00

100.00

100.00

27. Media 5 Moda 5 Mediana 5 Varianza 5 Desviación estándar 5 Sesgo negativo o a la izquierda 28.

18.84 218.0 18.0 1.67 1.29

173

174


29.

30.


31.

32.

33.

34.

175

Capítulo 3

Probabilidad

178


Introducción La probabilidad surge de la necesidad de predecir cuánto se podría ganar o perder en los diferentes juegos de azar. Por esta razón, en un principio se acostumbra explicar los problemas de probabilidad utilizando esos juegos; sin embargo, no todos los ejemplos que utilizaremos para explicar las reglas de probabilidad han sido tomados de los juegos de azar. La probabilidad básica se utiliza para evaluar la probabilidad de ocurrencia de diferentes eventos o sucesos (fenómenos). Con la probabilidad básica pueden hacerse inferencias de una muestra hacia una población. En la vida cotidiana, el profesional se encuentra en situaciones de tomar decisiones cuando interviene la incertidumbre, cuya mejor forma de tratarla es empleando los diferentes métodos de la probabilidad.

Experimentos, reglas de conteo y asignación de probabilidades Experimentos Fenómeno aleatorio. Es aquel fenómeno o experimento cuyos posibles resultados conocemos , pero desconocemos qué resultado particular se presentará, es decir, el resultado del fenómeno se presenta al azar, o sea, sin ninguna intención o plan de elección. Fracción probabilística. Es cada uno de los posibles resultados de un fenómeno o experimento aleatorio, a los cuales puede asignarse una fracción probabilística o valor de probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, hay dos posibles resultados, lado “A” o lado “B”, y cada una tiene una probabilidad de ocurrencia. Unidad 5 1 moneda 1/2 lado A / lado B

1 2

Experimento (ε). Es un proceso mediante el cual se obtienen mediciones de un fenómeno (observaciones), las cuales pueden ser de tipo numérico o no numérico; a cada resultado del experimento se le llama punto muestra. Cuando se tienen todos los resultados posibles del experimento se habrá formado el espacio muestral.

Ejemplos: 1. Seleccionar a un profesional para ocupar el puesto de subdirector en la Secretaría de Turismo; se tienen tres opciones con base en el grado de estudios (doctorado, maestría o licenciatura).

Capítulo 3 Probabilidad

2. Registrar las ventas mensuales del supermercado de una pequeña población. 3. Registrar los resultados de lanzar un dado; los cuales son: 1, 2, 3, 4, 5, y 6. 4. Los resultados de un juego de fútbol son: ganar, empatar y perder. 5. Ventas por teléfono; el resultado: no compra o compra. Espacio muestral (S). Se define como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden obtenerse de un determinado experimento (e), por ejemplo: 1. El experimento ε1 consiste en seleccionar a un profesionista para ocupar el puesto de subdirector en la Secretaría de Turismo con base en el grado de estudios. El espacio muestral está formado por tres puntos muestrales: doctorado, maestría y licenciatura, S 5 {Doc., Mtro, Lic}. 2. El experimento ε2 consiste en seleccionar un paquete de facturas de los primeros seis meses del año 2007, de una tienda de ropa juvenil femenina del centro comercial Santa Cecilia. El espacio muestral estará formado por seis puntos muestrales, S 5 {ene., feb., marz., abr., may., jun.}. En este espacio , también puede representarse a cada punto muestral con numerales; por ejemplo, el 1 le corresponde al mes de enero, el 2 a febrero, el 3 a marzo y, así, sucesivamente, quedando la expresión como: S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La escala de los valores posibles de probabilidad se ubica siempre entre cero y uno. La probabilidad de cero significa que es difícil que el evento ocurra; cuando es de 0.5 indica que es probable que ocurra, o bien, que no ocurra. Si la probabilidad es de uno, entonces es seguro que el evento ocurrirá. Mayor probabilidad de ocurrencia

0

0.5

1

Es probable o no probable que ocurra Menor probabilidad de ocurrencia Figura 3.1. Probabilidad de ocurrencia de un evento.

Suceso o evento (A) El suceso está formado por un conjunto de puntos muestrales, que son todos los resultados posibles que puede contener el suceso. Los puntos muestrales (o resultados posibles) del suceso deben pertenecen al espacio muestral (S), el cual está a su vez asociado con un experimento (ε). En terminología de teoría de conjuntos, un suceso es un subconjunto del espacio muestral.

179

180


1. El experimento consiste en seleccionar en forma aleatoria un paquete de revistas de la bodega de la librería “Juan Rulfo”. ε3 – Seleccionar un paquete de revistas. Cuadro 3.1. Espacio muestral (S3) Numeral Paquete de revistas 1 2 3 4 5 6

Política y cultura Nuevo consultorio fiscal Veredas Emprendedores Contaduría y administración Argumentos

S35{1,2,3,4,5,6}

A1 que seleccione un paquete par. A1 5 {2,4,6}

A 2 que seleccione un paquete impar. A 2 5 {1,3,5}

A 3 que seleccione un paquete de números primos.

A 3 5 {1,2,3,5}

A 4 que seleccione el paquete seis.

A 4 5 {6}

Suceso simple. Es aquel que está formado por un solo punto muestral; del ejemplo anterior, A4 es un suceso simple: A 4 5 {6}

Suceso compuesto. Está formado por dos o más puntos muestrales y puede descomponerse en otros sucesos simples. Los sucesos A1 y A3 son ejemplos de sucesos compuestos de la librería Juan Rulfo. Cuadro 3.2 Sucesos Compuestos A1 5 {2,4,6} A3 5 {1,2,3,5}

Simples A11 5 {2}, A12 5 {4} y A13 5 {6} A31 5 {1}, A32 5 {2}, A33 5 {3} y A34 5 {5}

Suceso imposible (φ). Es aquel que está formado por resultados que no se consideran para el estudio, sin embargo pertenecen al espacio muestral; por ejemplo: ε se lanza una moneda.


Suceso imposible (φ) 5 {que caiga parada (o de canto), que no caiga, etcétera}. Suceso complemento (A’). Éste se define como el conjunto de todos los puntos muestrales del espacio muestral que no pertenecen a A y que se encuentran en éste. El suceso A’4 es un suceso complemento del suceso A4, en el ejemplo de la librería “Juan Rulfo”. S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} A4 5 {6} A’4 5 {1, 2, 3, 4 , 5} Suceso mutuamente excluyente o exclusivo. Este suceso se define al considerar dos sucesos, A y B, los cuales no pueden ocurrir o presentarse al mismo tiempo (simultáneamente); se expresa, en forma matemática, como A>B 5 φ. La intersección de A y B es el conjunto vacío.

Ejemplo: 1. El experimento es lanzar un dado S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} Los sucesos: A: que salga un número non A 5 {1,3,5} B: aparezca el número seis B 5 {6} entonces: A ∩ B5φ Los sucesos A y B son mutuamente excluyentes porque no tienen puntos muestrales en común. 2. En una plaza comercial, un fabricante de ropa deportiva instala una isla para vender sus productos. En este mes, están en promoción los pantalones cortos para hombre; si usted compra un pantalón, por el segundo sólo paga 25% más. Una persona selecciona un pantalón de hombre y otro de mujer, al pagar pide que le apliquen la promoción. ¿Será posible esto? S 5 { 380 pantalones de hombre, 313 pantalones de mujer } N 5 693

A : Pantalón corto de hombre en promoción B : Pantalón corto de mujer A ∩ B5φ

Al pasar las etiquetas de los dos pantalones por el escáner, la pantalla de la caja indica que esa operación no es posible porque es uno de hombre y otro de mujer. Por esta razón, podemos afirmar que los sucesos A y B son mutuamente excluyentes.

181

182


Sucesos mutuamente no excluyentes o exclusivos. Este suceso se define al considerar dos sucesos: A y B, los cuales ocurren o se presentan al mismo tiempo (en forma simultánea). Matemáticamente se representan como: A∩B ≠ φ. (La intersección de A y B no es el conjunto vacío.)

Ejemplo: Sea el experimento lanzar un dado S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} Los sucesos: A: B:

salga un número primo salga el número dos

A 5 {1,2,3,5} B 5 {2}

 ∩ B5{ 2 }

Entoonces :  ∩ B ≠ φ

Los sucesos A y B no son mutuamente excluyentes, ya que tienen el número dos en común. 2. Un tema importante es el relacionado con la percepción que tienen los ciudadanos del estado de Morelos acerca de los jueces y el sistema de impartición de justicia. Se realizó una encuesta en el estado para conocer el indicador de cultura cívica y la percepción que se tiene del tema mencionado. Sucesos: A: cultura cívica del ciudadano. B: valoración de los jueces y la impartición de justicia. A ∩ B: Opinión que tienen los ciudadanos con respecto a los jueces y la impartición de justicia. Cuadro 3.3. Indicador de cultura cívica por estratos y la percepción que tienen sobre los jueces y el sistema de impartición de justicia Valoración de los jueces y la justicia

Muy baja (%)

Baja (%)

Alta (%)

Muy alta (%)

Negativa

53.45

51.64

43.62

50.00

Positiva

34.48

44.26

53.69

45.71

No contestó

12.07

4.10

2.68

4.29

Fuente: Base de datos del proyecto de investigación titulado: “Percepción ciudadana en el estado de Morelos”, 2000.

De la encuesta (cuadro 3.3) se puede afirmar y cuantificar la percepción negativa que los ciudadanos tienen en relación con los jueces y el sistema de impartición de justicia, ya que los porcentajes van desde 53.45 en el estrato más bajo hasta 50 en el más alto; es decir, la mitad o más de la mitad de los ciudadanos hacen una valoración negativa.


De la información anterior puede decirse que el suceso A y el B son mutuamente no excluyentes. Sucesos colectivamente exhaustivos. Al realizar un experimento se obtiene el espacio muestral y éste puede estar formado por una lista de sucesos que son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos (la lista está completa). Todos los espacios muestrales son listas colectivamente exhaustivas porque contienen todos los puntos muestrales del experimento.

Ejemplo: 1. El experimento consiste en preguntar a 500 personas mayores de 50 años su estado civil. Espacio muestral: S = {soltero, casado, unión libre, divorciado, viudo}. Del espacio muestral anterior se observa que la lista de los sucesos simples son mutuamente excluyentes entre sí y colectivamente exhaustivos (la lista está completa).

Técnicas de conteo Para determinar el espacio muestral, es importante saber cuántos resultados posibles (o puntos muestrales) se obtienen del experimento. Cuando el experimento no se lleva a la práctica, entonces es necesario utilizar las técnicas de conteo. La notación ! significa factorial; por ejemplo, tres factorial es: 3! 5 3 3 2 3 1 5 6 Definición: Si n es un entero positivo; entonces puede definirse a n factorial como: n! 5 (n)(n 21)(n 2 2)..., y puede afirmarse que 0! 5 1. 1. Técnica de conteo para experimento de etapas múltiples La cantidad de resultados posibles que forman el espacio muestral se obtiene utilizando la técnica de conteo para experimento de etapas múltiples o de multiplicación. Se tiene un experimento que se describe como una sucesión de k etapas en las que hay n1 resultados posibles de la primera etapa, n2 en la segunda, n3 en la tercera, etc., obteniendo el total de resultados posibles del experimento como: (n1)(n2)(n3) ... (nk). Esta técnica consiste en considerar que hay n1 maneras de realizar una cosa y n2 maneras de hacer otra, de tal manera que hay n1 3 n2 maneras de hacer las dos cosas. El resultado de multiplicar n1 3 n2 es el número total de resultados posibles que tendrá el espacio muestral.

183

184


Ejemplos: 1. La cadena de pastelerías la Viga está por abrir cuatro sucursales más y hasta el día de hoy tiene vacantes en tres áreas de trabajo: cajeras, empacadoras y personal para limpieza. ¿Cuántos empleos hay disponibles? n1 = número de sucursales n2 = número de áreas de trabajo Número de empleos disponibles 5 n1 3 n2 Número de empleos disponibles 5 (4)(3) 5 12 2. Una agencia de automóviles compactos pone en promoción, en la compra de cualquiera de sus tres modelos (de dos, cuatro y cinco puertas), un radio con reproductor de disco compacto para tres discos o uno de cinco discos. ¿Cuántos arreglos diferentes puede ofrecer de modelos y radios reproductores de disco compacto? n1 = número de modelos de automóviles n2 = número de radios diferentes Número de modelos y radio reproductor CD 5 n1 3 n2 Número de modelos y radio reproductor CD 5 (3) (2) 5 6 2. Permutaciones La permutación es un arreglo ordenado que se interpreta del siguiente modo: es el número de maneras de arreglar en orden r objetos seleccionados de entre n objetos. En las permutaciones es muy importante considerar el orden. Las permutaciones pueden utilizarse en dos casos diferentes: a) Cuando n . r, el número de permutaciones de r objetos tomados de un conjunto de n objetos se presenta de la siguiente manera: P nr 5

n! (n 2r ) !

Ejemplos: 1. La cadena de pastelerías la Viga está por abrir cuatro sucursales; hasta el día de hoy tiene 10 aspirantes para las tres áreas de trabajo: cajeras, empacadoras y personal para limpieza. ¿De cuántas formas pueden contratarse para ocupar los tres empleos disponibles?

n 5 10 r 53 P 10 3 5 P 10 3 5

10 ! 10 ! 5 (10 2 3) ! 7 !

(10 × 9 × 8 ) 7 !

P 10 3 5 720

7!


2. Un profesor selecciona tres alumnos de un total de 50 de su grupo para participar en el Maratón de Estadística de este año (el orden de selección es importante). ¿Cuántos resultados posibles están asociados con esta selección?

n 5 50 r=4

P 50 3 5

50 ! 50 ! 5 ( 50 2 3) ! 47 !

P 50 3 5 117 600

b) Cuando n 5 r, el número de permutaciones de r objetos tomados de un conjunto de n objetos se presenta de la siguiente manera: P 5 n!

n r

Ejemplos: • El jefe del Departamento del Servicio de Limpieza de un municipio del Estado de México, asignará 10 choferes con sus respectivos camiones a 10 colonias (un chofer por colonia y viceversa). ¿De cuántas formas distintas pueden asignarse 10 choferes a las 10 colonias? r 5 10 n 5 10 n 10 10

P r 5 n!

P 10 5 10 !

P 10 5 3 628 800

• Un psicólogo compró un rompecabezas que consta de cinco piezas para utilizarlo en la terapia de niños de dos años. Estas piezas se pueden ensamblar poniéndolas en cualquier orden. El psicólogo considera que es importante estudiar el tiempo de cada uno de los ensamblajes resultantes, al tomar las piezas en distinto orden. ¿Cuántas mediciones tiene que realizar el psicólogo? r 55 n 55

n 5 5

P r 5 n!

P 5 5 5!

P 5 5 120

c) Cuando n , r. Este caso no existe.

185

186


3. Combinaciones La combinación es un arreglo de n objetos tomados r a la vez. En este arreglo, el orden de los objetos no se considera. n! r ! (n 2r ) ! De la expresión anterior se tiene r! permutaciones para cada combinación de n objetos tomados r a la vez. Entonces se tienen r! veces más permutaciones que combinaciones. C nr 5

Ejemplos: a) En el año 2005 se aplicó una encuesta en el estado de Morelos con el objetivo de analizar las preferencias electorales de la ciudadanía. El estado tiene 33 municipios, lo cual hace imposible estudiarlos a todos, por lo que se seleccionó una muestra de cuatro municipios, los cuales son: Numeral

Municipios del estado de Morelos

a

Cuernavaca

b

Jonacatepec

c

Puente de Ixtla

d

Temixco

¿De cuántas formas puede iniciarse la encuesta si se encuestarán dos municipios a la vez? Si del número de permutaciones de los numerales que identifican a los municipios, a, b, c y d, se toman dos a la vez, se obtiene un arreglo ordenado de 12 formas diferentes: {ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc} N 5 12 n54 r 52 P 42 5

4! 4! 5 ( 422 ) ! 2 !

P 42 512 formas

En el espacio muestral hay parejas semejantes, porque cambian en el orden en que aparecen las letras. Si el orden no se considerara y no hubiera diferencia entre ab y ba, entonces las dos parejas se tomarían como un solo arreglo, el cual recibe el nombre de combinación. n54 r 52 4! C 42 5 2 ! ( 4 2 2) ! C 42 5 6


Se obtiene como resultado seis combinaciones y como no es importante el orden, el espacio muestral sería: {(ab, ba), (ac, ca), (ad, da), (bc, cb), (cd, dc), (db, bd)}

N56

b) La Editorial Atlántida para su campaña de promoción de nuevos materiales en el mes de junio, cuenta con siete representantes para primaria y secundaria (PS) y cinco para bachillerato y licenciatura (BL), la compañía editorial desea formar un equipo de trabajo para la zona norte del país compuesta de tres promotores de PS y 2 de BL, ¿de cuántas formas puede estructurarse el equipo de trabajo, si: • Puede pertenecer a éste, cualquier PS y BL.    5! 7! C 52 ⋅ C 37 5     2 ! ( 5 2 2 ) !   3! ( 7 2 3) !  C 52 ⋅ C 37 5 350 formas

• No pueden pertenecer a éste dos BL determinados.    3! 7! C 32 ⋅ C 37 5     2 ! ( 3 2 2 )!   3! ( 7 2 3)!  C 32 ⋅ C 37 5105 formas

Asignación de probabilidades Cuadro 3.4. Analogía de la simbología de probabilidad y de teoría de conjuntos Probabilidad

Teoría de los conjuntos

Espacio muestral

5S

Conjunto universal

5U

Punto muestral

5s

Elemento

5a

Suceso o evento

5A

Subconjunto

5A

Suceso complemento 5 A` Suceso imposible

5φ

Conjunto complemento 5 A` Conjunto vacío

5φ

Probabilidad como frecuencia relativa El método de frecuencia se fundamenta en el uso de datos históricos para asignar probabilidades. Este método es de tipo experimental, por lo que es necesario, por un lado, conocer con precisión las características del experimento (ε) y, por otro, conocer el número de veces que se repetirá el experimento. El número de repeticiones es fijado por el investigador, y se representa con la letra “n”.

187

188


Definición La probabilidad de ocurrencia del suceso A es igual al número de repeticiones que este evento tuvo dividido entre el número total de veces que se repitió el experimento (ε). La frecuencia relativa f (A) se expresa como: n f ( A) 5 A n En donde nA representa el número de veces de ocurrencia del suceso A, de un total de n repeticiones. Propiedades de ƒ(A) 1. 0 , ƒ(A) , 1 2. ƒ(A) 5 1, si A ocurre cada vez en las “n” repeticiones. 3. ƒ(A) 5 0, si A no ocurre en las “n” repeticiones. 4. Si consideramos que los sucesos A y B son mutuamente excluyentes entonces se puede afirmar que ƒ(A o B) de la frecuencia relativa del suceso A < B. Por tanto: ƒ (A < B) 5 ƒ (A) 1 ƒ (B).

Ejemplo: • El experimento consiste en seleccionar 20 parejas y realizar una pregunta por cada una para saber quién de los dos responde primero. S = {H, M} A: Seleccionar a un hombre.

A = {H}

B: Seleccionar a una mujer.

B = {M}

El número de repeticiones del experimento es: n 5 20. Seleccionamos la primer pareja y le realizamos la pregunta, si responde primero el hombre, tenemos que: ƒ(A) 5 1/20; seleccionamos la segunda pareja y si responde otra vez el hombre, ƒ(A) 5 1/20 1 1/20; si en la tercera, responde primero la mujer, ƒ(B) 5 1/20. Así se continúa hasta completar las 20 parejas, obteniendo como resultado final: ƒ(A) 5 1/20 1 1/20 1 ... 1 5 11/20 ƒ(B) 5 1/20 1 1/20 1 ... 1 5 9/20 Si se repite el experimento con las mismas 20 parejas, encontraremos que los resultados de ƒ(A) y ƒ(B) serán diferentes de los obtenidos con anterioridad. Esto se debe a que el número de repeticiones del experimento es muy pequeño; pero si consideramos un número muy grande, digamos un millón o cien millones, entonces los resultados de ƒ(A) y ƒ(B) serán casi iguales. Ahora, si el número de repeticiones es muy grande que tiende al infinito, esto nos lleva a considerar que el resultado de ƒ(A) será igual al resultado de ƒ(B).


Entonces si n tiende a infinito, se obtiene como resultado que: ƒ(A) 5 ƒ(B) 5 1/2 Como los sucesos A y B son mutuamente excluyentes, la frecuencia relativa del suceso A o B es: f ( A ∪ B) 5 f ( A) 1 f ( B) f ( A ∪ B) 5 1 2 11 2 f ( A ∪ B) 5 1

Ejemplo:

La compañía telefónica Anatel pone a la venta su paquete de llamadas ilimitadas locales y de larga distancia: para las llamadas internacionales y a teléfono celular, 40 minutos al mes; también ofrece el servicio de Internet de banda ancha, los servicios digitales (identificador de llamadas, llamada en espera, etc.) y servicios de ayuda (servicio médico, servicio de grúa para automóvil, etc.). La compañía pondrá a la venta el paquete haciendo que sus vendedores hablen por teléfono a los probables clientes. Cada vez que hablen para ofrecer el paquete sólo se tendrán dos posibles resultados: compra (c) o no compra (d). Los resultados posibles del experimento son dos. N52 S 5 {Compra, no compra} Sucesos A: El cliente compra el paquete. A 5 {c} B: El cliente no compra el paquete. B 5 {d} Número de repeticiones del experimento. 5 750 llamadas. Se realiza la primer llamada y el cliente compra el paquete, es decir, ƒ(A) 5 1/750; al realizar la segunda también compran el paquete, entonces ƒ(A) 5 1/750 1 1/750; en la tercera no compran el paquete, ƒ(B) 5 1/750; así se continúa el experimento hasta completar las 750 llamadas, obteniendo como resultado final: ƒ(A) 5 1/750 1 1/750 1... 1 5 300/750 5 0.4 ƒ(B) 5 1/750 1 1/750 1... 1 5 450/750 5 0.6 En este caso, se utilizó la frecuencia relativa como una estimación de probabilidad de que un cliente realice la compra del paquete. De los resultados anteriores asignamos una probabilidad de compra del paquete de 0.4 o 40% y una de no compra del paquete de 0.6 o 60%. Es importante recordar que éstos son resultados experimentales, porque al repetir el experimento con el mismo número de llamadas (750) se observará que los resultados de ƒ(A) y ƒ(B) son diferentes de los obtenidos con anterioridad. Como los sucesos A y B son mutuamente excluyentes, la frecuencia relativa del suceso A o B es: f ( A ∪ B) 5 f ( A) 1 f ( B) f ( A ∪ B) 5 0.4 1 0.6 f ( A ∪ B) 5 1

189

190


Método subjetivo El método subjetivo se emplea cuando el método de frecuencia relativa y el método clásico no se pueden aplicar en todos aquellos casos donde se quiere evaluar probabilidades. • En donde los resultados experimentales no son equiprobables. En un juego de ajedrez, se tienen tres resultados posibles: ganar, perder o empatar; cada uno de los resultados no debe tener la misma probabilidad de ocurrencia. • En los casos en que no es posible tener datos de frecuencia relativa. En el juego de ajedrez los dos jugadores nunca antes se habían enfrentado, por lo que no se tienen antecedentes (no hay datos de frecuencia relativa). En los casos anteriores, debe recurrirse a una opinión subjetiva para estimar el valor de probabilidad.

Matriz de probabilidad La matriz de probabilidad es una herramienta muy utilizada en la solución de problemas de probabilidad. Esta matriz muestra las probabilidades marginales y las probabilidades conjuntas y se construye como una tabla o cuadro de dos dimensiones con una variable en cada lado del cuadro. A su vez, cada variable se divide en el número necesario de estratos o categorías que forman la investigación, después se sustituyen los valores reales correspondientes a la intersección de las dos variables para, finalmente, realizar la sumatoria de columna y renglón de cada estrato o categoría, dando como resultados los valores marginales (cuadro 3.5) Cuadro 3.5. Matriz de valores Planta automotriz Planta A

América

África

Zona geográfica Europa

Asia

Total

42

12

8

24

86

Planta B

40

9

27

19

95

Planta C

18

12

18

24

72

Total

100

33

53

67

253

A partir de la matriz de valores se encuentra el valor de probabilidad correspondiente a cada celda (cuadro 3.6). Cuadro 3.6. Matriz de probabilidad América

África

Zona geográfica Europa

Asia

Total

Planta “A”

0.17

0.05

0.03

0.10

0.35

Planta “B”

0.16

0.03

0.10

0.08

0.37

Planta “C”

0.07

0.05

0.07

0.09

0.28

Total

0.40

0.13

0.20

0.27

1.00

Planta automotriz


De la matriz de probabilidad es muy fácil leer un valor de probabilidad asociado con el experimento. Por ejemplo, qué probabilidad hay de que un automóvil seleccionado al azar, que se fabricó en la planta “B”, se esté vendiendo en Europa (0.10).

Símbolos lógicos que se utilizan en probabilidad En probabilidad es muy común encontrar preguntas como: ¿cuál es la probabilidad de que tres o menos empresas realicen 95% de sus ventas por internet? Los enunciados se deben traducir al leguaje matemático: En el cuadro 3.7 se muestran los casos más usuales: Cuadro 3.7. Enunciado

Símbolo

Representación

Dos o menos

#

x#2

A lo más dos Cuando más dos

#

x#2

Menos de dos Cuando menos dos

,

x,2

Dos o más

$ . $

Dos

5

x$2 x.2 x$2 x52

Por lo menos dos Más de dos

Eventos y sus probabilidades Probabilidad de un suceso Cuando se desea obtener la probabilidad de un suceso A sin recurrir a la experimentación, se considera la probabilidad del evento A como un número real P(A). Si no se realiza el experimento, se parte del supuesto que el suceso A ocurre, por tanto el número real P(A) tendrá un valor muy cercano al que se obtiene si se realizara el experimento (frecuencia relativa), siempre y cuando esta frecuencia sea obtenida de un número muy grande de repeticiones del experimento. Lo anterior es lo que permite emplear P(A) para medir la probabilidad de ocurrencia de A. Definición Sea ε un experimento y S un espacio muestral asociado con ε. Cada suceso A se asocia con un número real P(A) y conocido como probabilidad de que A satisfaga las siguientes propiedades. 1. 0 # P(A) # 1 2. P(S) 5 1 3. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, P(A < B) 5 P(A) 1 P(B)

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4. Si A1, A2, ... Aj son sucesos mutuamente excluyentes de par en par, entonces: la probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales del evento. P(A) 5 P1 1 P2 1 P3 ... 1 Pj En términos generales: n  n  P Ai  � ∑ P (Ai ) i�1  i �1 Teoremas 1. Si A es suceso imposible, entonces: P (φ ) 5 0

2. Si A' es el suceso complemento de A, entonces: P (A) 5 12 P (A') 3. La unión de sucesos de dos o más sucesos nos lleva a la probabbilidad de la adición: a) Sean los sucesos A y B mutuamente excluyentes, la probabilidaad de que A o B ocurran será igual a la suma de sus probabilidades. P (A o B) 5 P (A ∪ B) 5 P (A) 1 P (B) b) Sean los sucesos A y B mutuamente no excluyentes, la probabilidad de que A o B ocurran será igual a la suma de la probaabilidad de A más la probabilidad de B menoos la probabilidad de la intersección de A y B. P(A o B) 5 P(A ∪ B) 5 P(A) 1 P (B) 2 P(A ∩ B) c) Sean A, B y C tres sucesos entonces: P(A ∪ B ∪ C ) 5 P(A) 1 P(B) 1 P(C ) 2 P(A ∩ B) 2 P(A ∩ C ) 2 P(B ∩ C ) 1 P(A ∩ B ∩ C ) 4. Probabilidad de la intersección de sucesoss o probabilidad conjunta: a) Sean los sucesos A y B mutuamente excluyentes, la probabilidad de que A y B ocurra es nula. P (A y B) 5 P(A ∩ B) 5 P (φ ) 5 0

b) Sean los sucesos A y B mutuamente no excluyentes, la probabilidad de que A y B ocurran será igual a la probabilidad del nuevo suceso (A ∩ B). P (A y B) 5 P (A ∩ B) 5. Cuando A es subconjunto de B, entonces: P (A) # P(B)

Ejemplo: 1. Una agencia que se dedica a rentar locales comerciales de 100 a 300 m2, tiene información acerca de los locales comerciales que estarán vacíos para el próximo bimestre. La probabilidad de que un local esté desocupado se muestra en el cuadro 3.8. Esta probabilidad se obtuvo por el método subjetivo.


Cuadro 3.8. Local desocupado

Probabilidad

0 1 2 3 4

0.03 0.10 0.18 0.15 0.05

Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: A: Hay dos o menos locales comerciales vacíos (x # 2) P(A) 5 0.18 1 0.10 1 0.03 5 0.31 B: Cuando menos hay dos locales comerciales vacíos (x $ 2) P(B) 5 0.18 1 0.15 1 0.05 5 0.38 C: Hay menos de tres locales comerciales vacíos (x , 3) P(C) 5 0.18 1 0.10 1 0.03 = 0.31 D: No Hay un local comercial vacío (x 5 0) P(D) 5 0.03

Probabilidad del suceso complemento El complemento de un suceso A es aquel que está formado por todos los puntos muestrales que no están incluidos en a, pero que pertenecen al espacio muestral. El suceso complemento se representa A’. Se sabe: P(A) 1 P(A’) 5 1 El complemento del suceso A se encuentra al utilizar la siguiente expresión: P(A’) 5 12 P(A)

Ejemplo: 1. Un restaurante al entregar a sus clientes la cuenta del consumo les anexa un cuestionario para que lo contesten ellos mismos. El objetivo de éste es conocer la calidad del servicio que ofrece el restaurante. El mes pasado, 660 clientes contestaron el cuestionario de un total de 1100. ¿Cuál es la probabilidad de que los clientes no contesten el cuestionario? S 5 {Contestado, No contestado} N 5 2 Suceso A: El cliente contestó el cuestionario, y su probabilidad es: 660 5 0.60 1100 Suceso A’: El cliente no contestó el cuestionario, y la probabilidad es: P (A) 5

P(A’) 5 1 2 P(A) 5 1 2 0.60 5 0.40

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Regla de la suma Cuando se tienen dos sucesos A y B, y nos interesa conocer la probabilidad de ocurrencia del suceso A, o el suceso B, o ambos, se emplea la regla de la suma. En la unión de dos o más eventos, primero se debe analizar si los sucesos son mutuamente excluyentes entre sí o no lo son. 1. Sucesos mutuamente excluyentes Sean los sucesos A y B mutuamente excluyentes; al unir el suceso A y B, el nuevo suceso contiene todos los puntos muestrales que pertenecen a A o a B (se representa A < B), y no hay ningún punto muestral en común entre los dos sucesos (A > B 5 f); en donde f es el suceso imposible, el cual no tiene ningún punto muestral. El cálculo de la probabilidad de suceso A < B es: P(A < B) 5 P(A) 1 P(B)

Ejemplo 1: En un estado de la República se realizó una encuesta para clasificar a las personas de acuerdo con su género y afiliación a un partido político. Los resultados se muestran en el cuadro 3.9. Cuadro 3.9. Espacio muestral Género

Partido Político Verde Ecologista

PAN

PRI

PRD

PT

Convergencia

Total

Mujeres (M)

105

289

256

56

24

35

765

Hombres (H)

128

347

328

89

34

49

975

Total

233

636

584

145

58

84

1740


Sucesos: A: hombre. B: mujer. Con la regla de adición, calcule la probabilidad de que al seleccionar una persona de la muestra, ésta esté afiliada al partido político PT y sea hombre o mujer.

Ejemplo 2:

P (A o B) 5 P(A ∪ B) 5 P (A) 1 P (B) 89 56 P (A ∪ B) 5 1 1740 1740 145 5 0.083 P (A ∪ B) 5 1740

El periódico El Día lanza una campaña de suscripción sólo para los primeros diez días del mes de enero. Ésta consiste en entregar, en el domicilio del suscriptor, el periódico durante 365 días así como 12 ejemplares de la revista Progreso, todo por un costo $ 2 200 al año. La forma de suscripción y pago se muestra en el cuadro 3.10.


Cuadro 3.10. Espacio muestral Forma de suscripción Módulos Internet Bancos Total

Número de suscriptores 2 117 671 2 943 5 731

Tarjeta de crédito 512 469 417 1 398

Tarjeta de débito 350 202 1 546 2 098

Efectivo 1 355 0 980 2 335

Sucesos: A: forma de suscripción en módulos. B: forma de suscripción por internet. Con la regla de adición, calcule la probabilidad de que una persona seleccionada de la muestra haya realizado su suscripción en el módulo o por internet. P (A o B) 5 P (A ∪ B) 5 P (A) 1 P (B) 2117 6711 P (A ∪ B) 5 1 5731 5731 2788 5 0.49 P (A ∪ B) 5 5731 2. Sucesos mutuamente no excluyentes Sean los sucesos A y B mutuamente no excluyentes. Al unir el suceso A y B se forma un nuevo suceso A o B que contendrá todos los puntos muestrales que pertenecen a A y a B (se representa A < B). Al realizar la unión de los dos sucesos habrá una intersección entre éstos, entonces se forma el nuevo suceso A > B. En el cálculo de la probabilidad de suceso A < B cuando los sucesos son mutuamente no excluyentes, se obtiene la probabilidad del suceso A y B; pero se incluyen en dos ocasiones los elementos en común, una en la P(A) y otra en la P(B). Por esta situación, la probabilidad de la intersección P(A > B) debe restarse a las probabilidades de P(A) y P(B). La probabilidad de suceso mutuamente no excluyente A < B es: P(A < B) 5 P(A) 1 P(B) 2 P(A > B) En el caso de que sean tres sucesos, A, B y C, la probabilidad del suceso A < B < C es: P(A < B < C) 5 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 2 P(A > B) 2 P(A > C) 2 P(B > C) 1 P(A > B > C)

Ejemplo: Con el caso de la suscripción al periódico El Día, y con la regla de adición, calcule la probabilidad de que al seleccionar una persona, ésta haya realizado su suscripción pagando con tarjeta de débito o suscripción en módulo.

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Sucesos: A: suscripción en módulos. B: forma de suscripción con tarjeta de débito. P (A o B) 5 P (A ∪ B) 5 P (A) 1 P (B) 2 P (A ∩ B) 2117 2098 350 1 2 P (A ∪ B) 5 5731 5731 5731 4215 350 P (A ∪ B) 5 − 5731 5731 3865 5 0.67 P (A ∪ B) 5 5731 Probabilidad conjunta Cuando los sucesos son mutuamente no excluyentes, a la probabilidad de éstos se le denomina probabilidad conjunta. La probabilidad conjunta mide la posibilidad de que dos o más sucesos ocurran en forma simultánea. a) Sean los sucesos A y B mutuamente no excluyentes, la intersección que hay entre ellos se le denomina probabilidad conjunta, y se expresa como: P(A y B) 5 P(A > B).

Ejemplos: Del caso de suscripción al periódico El Día, y utilizando la probabilidad conjunta, calcular la probabilidad que una persona haya realizado su suscripción pagando con tarjeta de crédito y por internet. Sucesos: A: forma de pago con tarjeta de crédito. B: forma de suscripción por internet. C: forma de pago en efectivo. P (A y B) 5 P (A ∩ B) 469 P (A ∩ B) 5 = 0.08 5731 El resultado anterior indica que 469 personas compraron su suscripción pagando con tarjeta de crédito por medio de internet, de un total de 5 731 suscripciones. Calcular la probabilidad de que una persona haya realizado su suscripción pagando en efectivo y por internet (A: suscripción por internet, C: forma de pago en efectivo).


El suceso A > C 5 f, entonces:

P (A yC) 5 P (A ∩ C ) 0 P (A ∩ C) 5 5731 P (A ∩ C) 5 0 El resultado anterior indica que ninguna persona puede comprar su suscripción pagando en efectivo por medio de internet; esta operación no es posible realizarla. a. Cuando los sucesos son mutuamente excluyentes, y se quiere calcular la probabilidad conjunta de los sucesos, ésta será igual que cero, porque los dos o más sucesos no pueden ocurrir en forma simultánea o no tienen elementos en común. Sean los sucesos A y B mutuamente excluyentes; en este caso, no hay intersección entre ellos, por lo que la probabilidad conjunta es igual que cero. P(A y B) 5 P(A > B) 5 0

Ejemplo: Se tomó una muestra representativa de personas que viven en las cabeceras municipales y localidades más importantes en el estado de Morelos y se les aplicó un cuestionario para conocer el indicador de cultura cívica por grupos de edades. Los resultados se muestran en el cuadro 3.11: Cuadro 3.11. Espacio muestral

Grupos de edad (años)

Muy baja (%)

Baja (%)

Alta (%)

Muy alta (%)

18 229

14.52

27.41

32.80

25.27

30 – 44

11.56

23.13

31.29

34.01

44 o más

10.22

27.00

30.66

32.12

Fuente: Base de datos del proyecto de investigación titulado Percepción ciudadana en el estado de Morelos, 2000.

Sucesos: A: grupo de edad de 18 – 29. B: grupo de edad de 30 – 44. Calcular la probabilidad conjunta del suceso A y del suceso B. P(A y B) 5 P(A > B) P(A > B) 5 0

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Las personas entrevistadas en ese momento solamente pueden pertenecer al suceso A (grupo de edad de 18 y 29) y nunca al suceso B (grupo de edad de 30 – 44). Cuadro 3.12. Resumen de sucesos aleatorios Sucesos mutuamente excluyentes

Sucesos: A: precio del dólar en ventanilla B: precio del euro en ventanilla Sucesos:

mutuamente no excluyentes

Diagramas de Venn

Ejemplos S

A

S

A: facturas y su cobro en el mes de enero B: facturas y su cobro en el mes de febrero C: facturas y su cobro en el mes de marzo

B

A C

Sucesos: A: Pago de aguinaldo en el mes de diciembre (30 días) B: pago de aguinaldo en el mes de enero (10 días)

S

S

Unión

Sucesos: A: inflación en el primer bimestre del año B: inflación en el segundo bimestre del año

Intersección

Sucesos: A: pago de aguinaldo (30 días) y pago del mes de diciembre B: Pago de prima vacacional y pago del mes de diciembre

Complemento

B

A A’

A

B

S A

B

Leyes de la probabilidad Probabilidad clásica El método clásico de asignar probabilidades se basa en leyes y reglas. La probabilidad clásica incluye un experimento, del cual se obtienen los resultados posibles, de éstos se seleccionan los que le corresponden al suceso en estudio. Para encontrar el valor de la probabilidad por el método clásico es indispensable conocer el tamaño del espacio muestral. Este espacio debe ser finito, es decir, se conoce el último de sus elemento: S 5 {S1, S2,... Sj}, en donde i 5 1, 2, 3,... j. En el espacio muestral se considera a los “i” resultados posibles del experimento (ε) como igualmente probables (todos tienen la misma probabilidad de ocurrencia), entonces: cada punto muestral tiene un valor de probabilidad p1 5 1/n. Si cada punto muestral es mutuamente excluyente con respecto a los demás, pueden sumarse cada una de las probabilidades de los puntos muestrales que conforman el espacio muestral, lo que da como resultado una probabilidad con valor de uno. Probabilidad del espacio muestral:


P(S) 5 1 pi 5 p2 1 ... 1 pj 5 1

Ejemplo 24. Si el espacio muestral está formado por 10 elementos, entonces la probabilidad de cada punto muestral es de 1/10, si éstos son mutuamente excluyentes entre si, entonces la probabilidad del espacio muestral es igual a 1. P(S) 5 1/10 1 1/10 1... 1 1/10 5 1 Para calcular la probabilidad de un suceso A 5 {a1, a2, ..., ak }, éste está compuesto de un número “ i ” de puntos muestrales y a cada punto muestral le corresponde un valor de probabilidad “pi”. Definición La probabilidad de ocurrencia de un evento “A” se determina como la razón entre los puntos muestrales (nA) que forman el evento “A” y el número de puntos muestrales (N) del espacio muestral “S”. k

P (A) 5

∑p i =1

N

i

5

n A número de casos favorables del suceso A 5 N número total de resultados posibles de S

La expresión anterior solamente se puede aplicar cuando la probabilidad de todos los resultados posibles es la misma (equiprobables). A 5 { a1 , a2 ,..., ak }

P (A) 5 p1 1 p2 1 ... 1 pk

Ejemplo 25. Si el suceso A está formado por 8 elementos, entonces la probabilidad de cada punto muestral es de 1/8, si éstos son mutuamente excluyentes entre sí, entonces la probabilidad del suceso A será la suma de todos los puntos muestrales. P(A) 5 1/8 1 1/8 1... 1 1/8

Ejemplos: En el cuadro 3.13 se muestran los servicios públicos prioritarios que deben descentralizarse en el estado de Guanajuato hacia los municipios; los resultados se obtuvieron de un estudio realizado en el año 2007.

199

200


Cuadro 3.13. Prioritarios (A) Punto muestral Agua

Proceso iniciado (B)

Símbolo

Punto muestral

a

Campo

c

Salud

s

Comunicaciones y transportes

ct

Educación Festivales

Interés especial (C)

Símbolo

Punto muestral

Símbolo

e

Seguridad

Se

f

Procuración de Justicia Fiscal

Pj

Fuente: Base de datos de LAGEEM-UAM-X.

Sucesos: A: seleccionar el servicio de comunicaciones y transportes.

A = {ct}

nA = 1

B: seleccionar el servicio de educación y festivales.

B ={e,f}

nB = 2

C: seleccionar el servicio de seguridad y procuración de justicia.

C ={se,pj}

nC = 3

El espacio muestral está formado por ocho servicios públicos: S 5 {a, c, s, ct, e, f, se, pt} N 5 8 Conociendo el espacio muestral y el de los sucesos se procede a calcular las probabilidades. P (A) 5

nA N

5

número de casos favorables del suceso A

número total de resultados posibles de S

Calcular la probabilidad del suceso A: P(A) 5 nA/N 5 1/8 El resultado de la probabilidad del suceso A se interpreta como la probabilidad de seleccionar un solo servicio público de un total de ocho. El valor de la probabilidad de los sucesos B y C tiene el mismo resultado, y se interpreta como: la probabilidad de seleccionar dos servicios públicos de un total de ocho, para cada suceso. P(B) 5 nB /N 5 2/8 5 0.25

Ejemplo:

P(C) 5 nC /N 5 2/8 5 0.25

Se lanza un dado normal; encontrar la probabilidad de los sucesos A, B y C: Primero se encuentra el tamaño del espacio muestral; se sabe que un dado está formado por seis caras y cada una tiene un número, del uno al seis, que la identifica. Espacio muestral S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6} N 5 6


Sucesos: A: que aparezca el número cuatro.

A 5 {4}

nA 5 1

B: que aparezca un número mayor que cuatro.

B 5 {5,6}

nB 5 2

C: que aparezca un número menor que cuatro.

C 5 {1,2,3}

nC 5 3

Las probabilidades de los sucesos A, B, y C son: P(A) 5 nA/N 5 1/6 P(B) 5 nB/N 5 2/6 P(C) 5 nC/N 5 3/6 En el caso del suceso A, la probabilidad de que aparezca la cara identificada con el número uno de un total de seis caras posibles es de 0.1666. Para el suceso B, la probabilidad de aparezca la cara identificada con el número cinco o seis es de dos posibilidades de un total de seis (0.3333). En el suceso C, la probabilidad de aparezca la cara identificada con el número uno o dos o tres, es de tres posibilidades de un total de seis (0.5). Propiedades de la probabilidad clásica 1. P(A) > 0 2. P(B) > 0 3. Sean dos sucesos A y B mutuamente excluyentes, si la probabilidad: P(A o B) 5 P(A < B) entonces es igual a la suma de las probabilidades P(A) 1 P(B)

Probabilidad axiomática En la probabilidad axiomática, el espacio muestral debe ser finito (S 5 {s1, s2,..., si}, i = 1, 2, 3, ... j); éste tendrá un suceso simple por cada i resultado posible y cada suceso simple toma un valor de probabilidad pi. S 5 {s1, s2, ... sj} P(S) 5 p1 1 p2 1 ... 1 pj 5 1 En la probabilidad axiomática, el valor de probabilidad de cada suceso simple puede ser diferente al de los demás; en otras palabras, los sucesos simples no son equiprobables. La posibilidad de ocurrencia de cada suceso simple con respecto a otro, puede ser del doble, el triple, etcétera.

Ejemplo: La Secretaría de Comercio y Fomento Industrial fija los criterios de estratificación de las empresas (por número de empleados) en micro, pequeñas y medianas, publicado en el Diario Oficial de la Federación el 30 marzo de 1999, pp. 5 y 6.

201

202


Cuadro 3.14 Estratos

Tamaño de Empresa

Número de empleados

1

Micro

(mi)

0 2 30

2

Pequeña

(pe)

31 2 100

3

Mediana

(me)

101 2 500

Calcular la probabilidad de ocurrencia de cada estrato, considerando el número máximo de trabajadores contratados en cada estrato. Tamaño de empresa 5 {mi, pe, me}

N 5 630

Sucesos: Micro empresa 5 {30} Pequeña empresa = {100} Mediana empresa = {500} La probabilidad de que una empresa seleccionada al azar sea de tamaño pequeño: ppe 5 100/630 5 0.16 Tamaño de empresa = pmi 1 ppe 1 pme Tamaño de empresa 5

30 100 500 1 1 630 630 630

El valor de cada estrato no es equiprobable.

Ejemplo: Se lanza un dado cargado, siendo la cara con el número tres la que tiene el doble de posibilidades de ocurrir más veces que cualquiera de las demás caras. Encontrar la probabilidad de los siguientes sucesos: Espacio muestral S 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6,} N 5 6 A: que aparezca el número cuatro.

A = {4}

nA = 1

B: que aparezca un número mayor que cuatro

B = {5,6}

nB = 2

C: que aparezca un número menor que cuatro

C = {1,2,3}

nC = 3

El espacio muestral está formado por seis puntos muestrales mutuamente excluyentes entre sí; por tanto, se tienen seis resultados de probabilidad, de los cuales cinco son iguales y el tercero es el doble de los demás.


P(S) 5 p 1 p 1 2p 1 p 1 p 1 p 5 7p 5 1 \ p 5 1/7 Al sumar las probabilidades de cada punto muestral, éstas deben ser igual que uno, porque la probabilidad del espacio muestral es de uno. Como la suma de probabilidades es 7p y al igualarla a uno se forma una ecuación de primer grado con una incógnita p, al resolver la ecuación, el valor de p es igual que 1/7; a su vez, este valor se sustituye en la ecuación para continuar que P(S) 5 1. P(S) 5 1/7 1 1/7 1 2/7 1 1/7 1 1/7 1 1/7 1 1/7 P(S) 5 7/7 5 1 Cálculo de la probabilidad de los sucesos: P (A) � {p4 } P (A) � 1/7

P (B) � {p5 , p6}

P (B) � 1/7 �1/7 � 2/7 P (C ) � {p1 , p2 , p3}

P (C ) � 1/7 �1/7 � 2/7 � 4/7 Propiedades de la probabilidad axiomática 1. P(S) 5 1 2. Si el número real es pi, es llamada probabilidad de un punto muestral cualesquiera a) pi $ 0, i 5 1, 2,..., k b) pi 1 p2 1 ... 1 pk 5 1 3. Si todos los números real pi del espacio muestral, son mutuamente excluyentes entre sí, entonces:

k

∪ pi � 1

i� 1

i = 1, 2, ... , k

4. Sea el suceso A entonces su probabilidad es: 0 # P(A) # 1 5. Si todos los números reales pi del suceso A, son mutuamente excluyentes entre sí, entonces: j

P (A) � ∪ pi ≠ 0 i = 1, 2,..., j i� 1

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204


Ley de la multiplicación Como se sabe, la probabilidad de la intersección de dos sucesos (A > B) se conoce como probabilidad conjunta; entonces, la ley general de la multiplicación y la regla especial de la multiplicación también se emplean para encontrar esta probabilidad conjunta. Antes de estudiar la ley general de la multiplicación y la regla especial de la multiplicación, se estudiará la probabilidad incondicional y la probabilidad condicional.

Probabilidad incondicional Se tienen dos sucesos A y B; a la probabilidad de que ocurra un evento A sin considerar que ocurra el suceso B, se llama probabilidad incondicional. Esta probabilidad también es conocida como probabilidad marginal y los números base para su cálculo se encuentran en el margen del cuadro 3.15. Cuadro 3.15. Asignaturas Economía (E)

Administración (A)

Total

Promedio # 9

27

45

72

Promedio . 9

10

15

25

Total

37

60

97

El cálculo de probabilidades marginales con base en la tabla anterior es: Sucesos: A: el estudiante curse la asignatura de Economía

P ( A) 5

37 97

B: el estudiante curse la asignatura de Administración

P( B) 5

60 97

C: el estudiante tenga promedio mayor que 9

P (C ) 5

25 97

D: el estudiante tenga promedio menor o igual que 9

P( D ) 5

72 97

Probabilidad condicional Definición Sean los sucesos A y B asociados con un experimento (Ε); la probabilidad condicional del suceso B dado que el suceso A ya ocurrió, se expresa como: P (B/A)


La probabilidad condicional de B, dado que A ocurrió, es igual que la probabilidad de B ∩ A dividida entre la probabilidad de A (suceso que ocurrió); siempre y cuando la probabilidad del suceso “A” no sea de cero [P(A) ≠ 0]. P (A ∩ B) , si P(A) � 0 P(A) La recta vertical en P (B/A) se lee “dado que” o “dado”. La mayoría de los problemas de probabilidad condicional se identifican fácilmente, porque en su enunciado aparece la palabra dado o dado que. P(B /A) �

La probabilidad condicional también puede calcularse fácilmente en forma deductiva, si se considera que el espacio muestral (S) se reduce a un nuevo espacio muestral (A); éste nuevo espacio muestral es igual que el tamaño del suceso que ya ocurrió (suceso A). Propiedades de la probabilidad condicional 1. 0 # P (B/A) # 1 2. 0 , P (S/A) 5 1 3. P[(B1 < B2)/A] 5 P (B1/A) + P(B2/A) 1 ..., si B1 > B2 5 f 4. Si A 5 S, la probabilidad es, P(B/S) 5 P(B > S) 4 P(S) 5 P(B), porque la P(S) 5 1 y la (B > S) 5 B \ P(B > S) 5 P(B) 5. Si B es subconjunto de S y P(A) . 0 \ P(B) 5 P(B/A) 6. Cuando conocemos la P(B) y es no condicional, entonces para el suceso B subconjunto de S; podemos calcular la probabilidad de P(B/A), porque la probabilidad condicional está definida en términos de la probabilidad no condicional. P(B/A) = P(A > B)/P(A) Si A = S, P(S) = 1 y S > B \ P (B /A ) 5 P (B /S ) 5 \ P (B /S ) 5 P (B )

P (S ∩ B ) P (B ) 5 5 P (B ) P (S ) 1

Ejemplo: Se lanzan dos dados normales en forma simultánea. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a. A � {(x1 , x 2 ) / x1 � x 2 � 10}

b. B � {(x1 , x 2 ) / x1 � x 2 � número par} c. C � {(x1 , x 2 ) / x1 � x 2}

d. D � {(x1 , x 2 ) / x1 � x 2 � 5}

205

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Regla de conteo: m ? n 5 6 3 6 5 36 Espacio muestral (S) 1 2 1 1,1 1,2 2 2,1 2,2 3 3,1 3,2 4 4,1 4,2 5 5,11 5,2 6 6,1 6,2

3 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3

4 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

6 1,6 2,66 3,6 4,6 5,6 6,6

Número de elementos del espacio muestral es de: N 5 36

Primero, se encuentra el número de elementos que conforman los sucesos: Cuadro 3.16 Suceso

A 5 x1 + x2 5 10 A 5 {(5,5), (4,6), (6,4)}

Número de puntos muestrales

na 5 3

Probabilidad del suceso

P (A) �

3 36

B = x1 + x2 5 Número par B = {(1, 1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}

nb 5 18

P (B) �

18 36

nc 5 15

P (C ) �

15 36

nD 5 6

P (D) �

6 36

C = x1 > x2 C = {(2, 1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)} D 5 x1 + x2 , 5 D 5 {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)} A > C 5 {(6, 4)}

nA > C 5 1

B > D 5 {(1, 1), (1,3), (2,2), (3,1)}

nB > D 5 4

D > C 5 {(2, 1), (3,1)}

nD > C 5 2

C > A 5 {(6, 4)}

1 nC > A 5 2

D > B 5 {(1, 1), (1,3), (2,2), (3,1)}

nD > B 5 4

1 36 4 P (B ∩ D) 5 36 2 P(D ∩ C ) = 36

P( A ∩ C ) =

1 36 4 P (D ∩ B) = 36 P (C ∩ A) 5


a) Solución en forma deductiva. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras sumen el número 10 dado que la cara del dado uno es mayor que la cara del dado dos? El espacio muestral original (S ) se reduce al nuevo espacio muestral que es del tamaño del suceso que ya ocurrió (C ), él cual está compuesto de quince puntos muestrales. La probabilidad es: 1 P (A /C ) 5 15 Utilizando la fórmula: P (A /C) 5

1 P (A ∩ C ) 1 36 5 5 15 36 15 P (C )

b) En forma deductiva. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras sumen un número par dado que la suma de las dos caras de los dados sea mayor que cinco? P (B /D) 5 Con fórmula: P (B /D) 5

4 6

P (B ∩ D) 4 36 4 5 5 = 0.666 6 36 6 P (D)

c) En forma deductiva. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras sumen un número menor que cinco dado que la cara del dado uno es mayor que la cara del dado dos? 2 P (D /C ) 5 15 Con fórmula: P (D /C) 5

2 P (D ∩ C ) 2 36 5 5 = 0.133 15 36 15 P (C)

d) En forma deductiva. ¿Cuál es la probabilidad cuando la cara del dado uno es mayor que la cara del dado dos dado que la suma las dos caras sea menor que cinco? P (C /D) 5

2 6

Con fórmula: P (C /D) 5

P (C ∩ D) 2 36 2 5 5 = 0.333 6 36 6 P (D)

Ejemplo: Una cafetería quiere conocer la opinión de sus clientes con respecto al servicio prestado y la calidad de sus productos. A cada cliente se le entrega un cuestionario para que lo conteste. De este cuestionario se selecciono en forma aleatoria la pregunta de calidad

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del servicio. Los resultados obtenidos de la primera semana se muestran en el cuadro 3.17. Cuadro 3.17. Cuadro de valores o de contingencia Calidad del servicio Cliente

Bueno

Regular

Malo

Total

Hombre (H)

25

21

8

54

Mujer

(M)

20

18

6

44

Niño

(Ñ)

10

5

3

18

55

44

17

116

Total

A partir del cuadro de valores se construye el cuadro de probabilidad. Cuadro 3.18. Probabilidades Calidad del servicio Cliente Hombre (H) Mujer

(M)

Niño

(Ñ)

Total

Bueno

Regular

(B)

(R)

25 116 20 116 10 116 55 116

21 116 18 116 5 116 44 116

Malo (M)

8 116 6 116 3 116 17 116

Total

54 116 44 116 18 116 116 116

¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? Del cuadro 3.18 de probabilidades se busca en el renglón hombre, y en el margen del cuadro se encuentra el valor de la probabilidad de ser hombre P( H ) 5

54 = 0.47 116

¿Cuál es la probabilidad de que indique que el servicio es bueno dado que sea hombre? En el cuadro de probabilidades se conoce la probabilidad conjunta en la celda donde se cruza “hombre” y el servicio “bueno”. 25 25 P ( B / H ) 5 116 5 5 0.46 54 54 116


Ejemplo: Se tiene un lote de computadoras personales, el cual contiene 80 del tipo de procesador Intel y 20 del tipo Celeron. Si elegimos dos computadoras del lote: a) Con sustitución. b) Sin sustitución. Los sucesos son: A: elegimos en la primera selección una computadora Celeron. B: elegimos en la segunda selección una computadora Celeron. En este caso se debe resolver en forma deductiva, porque no se conoce la intersección de los sucesos A y B, para utilizar la fórmula. a) Con sustitución: Se tiene que P(A) 5 P(B) 5 20/100, porque al seleccionar la primera computadora y ver que es Celeron, se regresa de nuevo al almacén; y se selecciona la segunda computadora y también es Celeron. Es importante mencionar que el espacio muestral permaneció constante con 100 computadoras personales. b) Sin sustitución: En la primera selección la P(A) 5 20/100, el espacio muestral es de 100 computadoras. Al seleccionar la primera computadora y no regresarla al almacén, entonces el espacio muestral se reduce a 99 computadoras (80 Intel y 19 Celeron). La probabilidad del suceso B está condicionada a la primera selección de una computadora Celeron, para poder realizar la segunda selección consecutiva y que también sea una Celeron. La probabilidad de B dado que ya ocurrió A: P(B/A) 5 19/99

Ejemplo: Sea el experimento realizar una auditoría en una tienda de venta de muebles para oficina. El auditor le pide a su ayudante extraer dos facturas al azar del cajón uno, el cual contiene 35 facturas del primer bimestre del año, 10 pertenecen al mes de enero y el resto al mes de febrero. a) Con sustitución. b) Sin sustitución. Sean los sucesos: A: la primera selección sea una factura del mes de enero. B: la segunda selección sea una factura del mes de enero.

209

210


a) Con sustitución: Con sustitución se tiene que la P(A) 5 P(B) 5 10/35 b) Sin sustitución: En la primera selección la P(A) 5 10/35, el espacio muestral es de 35 facturas. Al seleccionar la primera factura y no regresarla al cajón uno, el espacio muestral se reduce a 34 facturas (la reducción es de una unidad del tamaño original); entonces: la probabilidad del suceso B está condicionada a la primera selección de una factura del mes de enero. Al realizar la segunda selección consecutiva, también debe ser una factura del mes de enero. La probabilidad del suceso B dado que ya ocurrió el suceso A es: P(B/A) 5 9/34 5 0.265

Ejemplo: En una oficina de la Tesorería del Distrito Federal hay 100 máquinas calculadoras. Unas son eléctricas de escritorio (A), mientras que otras son electrónicas de escritorio (B); unas son usadas (U) y otras son nuevas (N). La compañía que da mantenimiento preventivo a este equipo, al empezar su trabajo selecciona una máquina al azar y descubre que es nueva. Espacio muestral: Eléctricas (A)

Electrónicas (B)

Total

Nuevas (N)

40

30

70

Usadas (U)

20

10

30

Total

60

40

100

Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea nueva? P (N ) 5

nN 70 5 N 100

b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea eléctrica, dado que se escogió una nueva? P (A ∩ N ) 5 40 / 100 40 100 40 P (A ∩ N ) 5 5 5 0..57 70 100 70 P( N ) c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea nueva dado que se escogió una eléctrica? P (A /N ) 5

P(A) = 60/100 P(A>N)


P (N /A) 5

P (A ∩ N ) 40 100 40 5 5 5 0.67 60 100 60 P( A )

Como se puede observar en el inciso b y c, la probabilidad condicional no es conmutativa. No es lo mismo seleccionar una máquina eléctrica dado que se escogió una nueva, que seleccionar una nueva dado que se escogió una eléctrica. P (A /N ) ≠ P (N /A) 40 40 ≠ 70 60 d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea eléctrica dado que se escogió una usada? P(U) 5 30/100 P(A>U) 5 20/100 P (A /U ) 5

P (A ∩ U ) 20 100 20 5 5 5 0.67 30 100 30 P (U )

e) ¿Cuál es la probabilidad de que sea usada dado que se escogió una electrónica? P(B) 5 40/100 5 0.40 P (U /B) 5

P (B ∩ U ) 10 100 10 5 5 5 0.40 40 100 40 P (B)

Ejemplo: De los cuatro grupos del tercer trimestre del turno vespertino correspondiente al Tronco Divisional de Ciencias Sociales y Humanidades en la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Xochimilco, se encuentran inscritos un total de 97 alumnos. A partir del cuadro 3.19, calcular las probabilidades de los incisos a y b. Cuadro 3.19. Espacio muestral Economía (E)

Administración (A)

Total

Promedio # B

27

45

72

Promedio . B

10

15

25

Total

37

60

97

a) Si un estudiante tiene promedio mayor que “B”, ¿cuál es la probabilidad de que estudie la licenciatura en Administración?

211

212


P (x . B) 5

25 97

15 97 P (A ∩ x . B) 15 97 15 5 5 5 0.60 P (A /x . B) 25 97 25 P (x . B) P (A ∩ x . B) 5

b) ¿Calcular la probabilidad de que un estudiante tenga promedio menor o igual que “B”, dado que estudia la licenciatura en Economía? P (E ) 5

37 97

P (x # B / E ) 5 P (B # x / E) 5

27 97

P (B ≤ x ∩ E ) 27 97 27 5 5 5 0.73 37 97 37 P (E )

Ejemplo: De las siglas GDDF (Gobierno Del Distrito Federal), dado que su última letra es “F”, ¿cuál es la probabilidad de que aparezcan dos letras “D” juntas, al mezclar las letras? S = {GDDF, GDFD, GFDD, DGDF, DFGD, DFDG, DDGF, DDFG, FDDG, FDGD, FGDD, DGFD} 4! 4 × 3 × 2 × 1 Regla de conteo Pr 5 5 5 12 2 ×1 2! El suceso A: la última letra sea una “F”. A = {GDDF, DGDF, DDGF}

nA 5 3

P (A) 5

nA 3 5 N 12

El suceso B: dos letras “D” juntas. B = {GDDF, GFDD, DDGF, DDFG, FDDG, FGDD}

nB 5 6

P (B) 5

nB 6 5 N 12

Intersección de los sucesos A y B. A>B 5 {GDDF, DDGF}

nA>B5 2

Probabilidad condicional: P (B /A) 5

2 12 2 5 3 12 3

P (A ∩ B) 5

n A∩ B 2 5 N 12


Regla especial de la multiplicación Si dos eventos son independientes, A y B, la probabilidad de que ocurra A y B (A > B) se encuentra al multiplicar la probabilidad de A y de B, y se expresa como: P(A y B) 5 P(A) 3 P(B) En esta regla, al combinar probabilidades se supone que el segundo resultado no depende del primero. Para tres eventos independientes, A, B y C, la regla especial de multiplicación para calcular probabilidades de ocurrencia de tres sucesos se expresa como: P(A y B y C) 5 P(A) 3 P(B) 3 P(C) P(A y B) 5 P(A) • P(B) • P(C)

Ley general de la multiplicación de probabilidades El teorema de multiplicación de probabilidades se basa en calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos o más sucesos. Para los sucesos A y B, esta probabilidad se simboliza por P(A y B) o P(A>B). A partir de la expresión de probabilidad condicional se despeja la probabilidad conjunta P(B /A) 5

P(A ∩ B) , si P(A) . 0 P(A)

entonces la probabilidad conjunta queda expresada: P(A>B) 5 P(B/A) • P(A), si: P(A) ≠ 0 La expresión anterior indica que la probabilidad de ocurrencia conjunta P(A>B) es igual que la probabilidad condicional P(B/A) por la probabilidad simple o marginal P(A).

Ejemplo: Se retoma el problema de las 100 computadoras. El lote consta de 80 computadoras con microprocesador Intel y 20 computadoras Celeron. Se seleccionan dos computadoras y se espera que tengan microprocesador Celeron al azar, sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas computadoras tengan microprocesador Celeron? Sean los sucesos: A: la primera selección sea una computadora con microprocesador Celeron. B: la segunda selección sea una computadora con microprocesador Celeron. 19 20 La probabilidad de: P (A) 5 y P (B) 5 99 100 19 P (B /A) 5 99

213

214


3800 38  19   20  5 \ P (A ∩ B) 5 P(B/A)P(A) 5    5  99   100  9900 990 P (A ∩ B) 5

19 5 0.0384 495

Ley especial de la multiplicación Si los sucesos A y B son independientes puede emplearse la ley especial de multiplicación para encontrar la intersección de A y B; se expresa como: P(A>B) 5 P(B) • P(A), si: P(A) ≠ 0

Ejemplo: En la universidad se recibe un lote de 200 sillas; el encargado de compras supone que 190 sillas no tienen ningún defecto y 10 sí tienen alguno. El encargado del almacén manda a su ayudante a traer dos sillas de ese lote. Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: A: la primera silla tenga algún defecto. B: la segunda silla también tenga algún defecto. a) Seleccionar dos sillas con sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sillas sean defectuosas? 10 200 P (A ∩ B) 5 P (A)P (B) P (A) 5 P (B) 5

Ejemplo:

100  10   10  = P (A ∩ B) 5      200   200  40000 1 P (A ∩ B) 5 = 0.0025 400

Una tienda de ropa pone una rebaja de 20%, en el mes de enero, en 35 chalecos de hombre; hay tres tamaños diferentes (6 chicos, 13 medianos y 16 grandes) que presentan un defecto. Un cliente selecciona dos chalecos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos: A: que la primera selección sea una talla chica. B: que la segunda selección también sea talla chica. La selección de los chalecos debe realizarse sin reemplazo. Para poder seleccionar el segundo chaleco de talla chica, se necesita que la primera selección de chaleco haya sido talla chica. a) Seleccionar dos chalecos de talla chica con sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos chalecos sean de talla chica?


6 35 P (A ∩ B) � P (A)P (B) P (A) � P (B) =

 6  6  P (A ∩ B) �      35   35  P (A ∩ B) �

36 � 0.0294 1225

b) Seleccionar dos chalecos de talla chica sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos chalecos sean de talla chica? 6 P (A) = 35 5 P (B /A) = 34 Por último, calculamos la probabilidad de que ambos sean defectuosos: P (A ∩ B) 5 P (A)[(P (A /B)]

30  6  5  P (A ∩ B) 5     5  35   34  1190 P (A ∩ B) 5

3 5 0.0252 119

Ejemplo: La Secretaría de Seguridad Pública ha detenido a 250 personas que se dedicaban a robar tiendas de autoservicio o departamentales. Estas tiendas han sido robadas en varias ocasiones durante el mes anterior por supuestos compradores, por tal motivo se instaló un sistema de seguridad más eficiente, lo que dio como resultado haber logrado detener en el presente mes a 250 personas que estaban robando en las tiendas. En el cuadro 3.20 se muestra el espacio muestral: Cuadro 3.20. Sexo

Primer robo (PR)

Reincidente en robos (RR)

Total

Hombre (h)

88

38

126

Mujer

45

23

68

133

61

194

Total

(m)

Para procurar justicia se utiliza el sistema de asignación del juez en forma aleatoria (mediante medios electrónicos). Calcular las siguientes probabilidades de seleccionar

215

216


un expediente de una persona que ha robado en tiendas de autoservicio o departamentales: a) La probabilidad de que sea hombre. P (h) 5

126 =0.65 194

b) La probabilidad de que sea su primer robo, dado que el ladrón es hombre. P ( PR ∩ h) P (h) 88 194 P (PR /h) 5 126 194 P (PR /h) 5

P (PR /h) 5

88 5 0.698 126

c) La probabilidad de que sea mujer, dado que el ladrón ha cometido más robos. P (m /RR ) 5 P (m /RR ) 5 P (m /RR ) 5

P (m ∩ RR ) RR

23 194 61 194

23 5 0.377 61

d) La probabilidad de que sea mujer. P (m) 5

68 194

e) Si es mujer, ¿cuál es la probabilidad que sea su primer robo? P ( PR ∩ m ) P (m ) 45 194 P (PR /m ) 5 68 194 P (PR /m ) 5

Ejemplo:

P (PR /m ) 5

45 5 0.662 68

La Comisión de Aguas ha realizado un estudio, en un estado de la República Mexicana, acerca de las condiciones del tiempo que prevalecerán para el año entrante, y de esta manera poder proporcionar información fidedigna a ganaderos y agricultores. El estudio revela que para el periodo de lluvias las condiciones del tiempo en un día específico son:


Cuadro 3.21. Lluvia (LL) Sol Nublado Total

(S) (N) (%)

5 60 65

Sin lluvia (SL)

Total (%)

25 10 35

30 70 100

Sean los sucesos: Cuadro 3.22. Suceso

Estado del tiempo

A B

Un día con lluvia (LL) Un día nublado (N)

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un día lluvioso y nublado? P( LL ∩ N ) 5

60 5 0.60 100

b) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un día lluvioso, dado que sabemos que el día está nublado? ( L ∩ N ) 60 100 P (LL /N ) 5 L 5 (N) 70 100 60 P (LL /N ) 5 5 0.86 70 ¿Cómo saber cuando dos o más sucesos son independientes? Para encontrar la probabilidad de sucesos independientes, se parte de que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes (A>B) 5 f; si se cumple lo anterior, entonces la probabilidad del suceso B dado que el suceso A ocurrió es igual que cero [P(B/A) 5 0]. Esto se debe a que A impide la ocurrencia de B; en otras palabras, B no puede ocurrir si A ha ocurrido [P(A) ≠ 0].

Definición: Dado los sucesos A y B, se dice que el suceso A es independiente del suceso B si la probabilidad de ocurrencia de A no influirá de ninguna forma en la probabilidad de ocurrencia de B. P(B/A) 5 P(B)

o

P(A/B) 5 P(A)

Si el muestreo se realiza con sustitución, entonces para que el suceso A y el suceso B sean independientes, debe cumplirse:

217

218


P(A>B) 5 P(A)P(B)

o

P(A>B) 5 P(B) P(A)

Cuando el muestreo es sin sustitución, para que el suceso A y el suceso B sean independientes se debe cumplir: P(A>B) 5 P(B/A)P(A)

o

P(A>B) 5 P(A/B) P(B)

Ejemplo: En un grupo de estudiantes de la universidad formado por 35 mujeres y 15 hombres, se sabe que 14 mujeres y 6 hombres adeudan una asignatura. Calcular los siguientes sucesos: Sucesos:

A = un estudiante hombre adeude una asignatura (H). B = un estudiante elegido al azar adeude una asignatura dado que el estudiante es hombre (AA/H). C = los sucesos de que sea hombre y adeudar una asignatura son independientes. Cuadro 3.23. Espacio muestral Adeuda una asignatura (AA)

No adeuda asignatura (AN)

Total

Hombre (H)

6

9

15

Mujer (M)

14

21

35

Total

20

30

50

a) Si se elige al azar un estudiante de este grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea hombre? P (H ) =

15 5 0.30 50

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar adeude una asignatura dado que el estudiante es hombre? P (AA ∩ H ) P (AA /H ) 5 P (H ) 6 50 P (AA /H ) 5 15 50 P (AA /H ) 5

6 5 0.40 15


c) Demostrar que los sucesos de que es hombre y adeudar una asignatura son independientes. P (AA ∩ H ) � P (AA /H ) P (H )  6   15  P (AA ∩ H ) �      15   50  6 6 � 50 50

Los sucesos son independientes, ya que la probabilidad de que sea hombre y adeudar una asignatura P(A > H) es igual que el producto de las probabilidades de que sea hombre P(H) y adeudar una asignatura, dado que era hombre P(AA/H). Comprobar que son independientes los sucesos de que sea hombre y tener reprobada una asignatura, utilizando el producto de las probabilidades marginales. P (AA ∩ H ) � P (AA ) P (H )  15   20  P (AA ∩ H ) �      50   50  6 300 � 50 2500 6 6 � 50 50

Ejemplo: El Instituto Mexicano del Seguro Social (IMSS) realizó un estudio de grupo sanguíneo de los habitantes de tres municipios del estado de Tlaxcala, para tener en el banco de sangre del hospital regional la cantidad y el tipo de sangre necesaria para las operaciones de emergencia que se pudieran presentar para el próximo año. El resultado del estudio se muestra en el cuadro 3.24. Del siguiente grupo de personas que se les tomó la muestra de sangre y se determinó el grupo sanguíneo se podría pensar que: ¿el sexo y el grupo sanguíneo son independientes? Para dar respuesta a esta pregunta se debe calcular las probabilidades adecuadas para demostrar lo planteado. Cuadro 3.24. Espacio muestral Grupo sanguíneo

Hombre (H)

Mujer (M)

Total

O

313

591

904

A

203

303

506

B

75

95

170

AB

30

40

70

Total

621

1 029

1 650

219

220


Para demostrar que el sexo es independiente del grupo sanguíneo se puede tomar cualquier par de variables del espacio muestral; en este caso se toma el grupo sanguíneo B y que sea mujer. El primer paso es calcular la probabilidad de que sea mujer: P (M ) 5

1029 5 0.624 1650

Como segundo paso se calcula la probabilidad de pertenecer al grupo sanguíneo B dado que es mujer: 95 1650 95 P (B /M ) 5 5 5 0.0923 1029 1650 1029 Después se encuentra la probabilidad de que sea mujer y del grupo sanguíneo B: P (B ∩ M ) 5

95 5 0.0575 1650

Por último se demuestra que los sucesos sean independientes:  95   1029  P (B ∩ M ) 5 P (B /M ) ⋅ P (M ) 5   1029   1650  95 95 5 1650 1650

Del resultado anterior se afirma que el sexo y el grupo sanguíneo son sucesos independientes.

Probabilidad total Para calcular la probabilidad de un solo suceso A, se parte de considerar el espacio muestral dividido en los sucesos C1, C2, ... Cj; estos sucesos deben ser mutuamente excluyentes entre sí, de tal forma que al unir todos los sucesos (C1 hasta CJ) den como resultado el espacio muestral. Al calcular la probabilidad de uno de los sucesos (de uno y sólo de uno), su probabilidad debe ser mayor que cero, pero nunca igual que uno. Propiedades: a) Ci > Cj 5 f para toda i ≠ j j

b) � Ci = S i = 1

c) P(Ci) . 0 para toda i 5 1, 2, ..., j


C1 A ∩ C1

A C4

∩C4

A C2

A∩ C2

A

C5

C5

C3 A∩ C3

A

∩ C6

C6

Figura 3.2.

Ahora asociamos un suceso A con respecto al espacio muestral S y éste se encuentra dividido en C1, C2, ..., Cj sucesos. El tamaño del suceso A asociado con el espacio muestral se escribe de la forma siguiente: A = (A ∩ C1 ) ∪ (A ∩ C2 ) ∪ ... ∪(A ∩ C j )

(1)

Puede darse el caso de que algunos de los sucesos sean imposibles, lo que invalidaría la expresión anterior. Para conocer la probabilidad de A, a partir de la ecuación uno, se considera que los sucesos son mutuamente excluyentes entre sí. Como son mutuamente excluyentes se realiza la adición de todos los sucesos, quedando de la forma siguiente: P (A) 5 P (A ∩ C1 ) + P (A ∩ C2 ) 1 ... 1P (A ∩ C j )

(2)

Cada uno de los P(A > Ci) es la probabilidad de ocurrencia conjunta de sucesos. La ecuación dos puede representarse utilizando la probabilidad condicional, ya que la partición del espacio muestral en C1, C2, ..., Cj se obtuvo primero (ocurrió primero) y posteriormente se asoció el evento A. Lo anterior puede expresarse como: P (A) 5 P (A /C1 )P(C1 ) 1 P (A /C2 )P (C2 ) 1 ... 1 P (A /C j )P (C j )

(3)

221

222


La ecuación tres es la ecuación que permite calcular la Probabilidad total.

Ejemplo: Si al espacio muestral lo dividimos en cinco sucesos mutuamente excluyentes y posteriormente asociamos un suceso A. Encontrar la probabilidad de A. P (A ) 5 P (A /B1 )P (B1 ) 1 P (A /B2 )P (B2 ) 1 P (A /B3 )P (B3 ) 1 P (A /B4 )P (B4 ) 1 P (A /B5 )P (B5 )

Ejemplo: Cierto tipo de calculadoras aritméticas es utilizada para regalar en campañas publicitarias. Éstas son manufacturadas en tres fábricas diferentes, la primera está en Sudamérica (SA), la segunda en África (A) y la tercera en Europa (E). La de Sudamérica produce el doble de calculadoras que las de África y Europa; las dos últimas, producen el mismo número de calculadoras. También se sabe que 1% de las calculadoras defectuosas (D) son producidas por las fábricas de Sudamérica y África, mientras que 2% de las fabricadas en Europa son defectuosas. La compañía encargada de imprimir la publicidad en las calculadoras selecciona una calculadora al azar. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una calculadora defectuosa? Sucesos: D: Calculadoras defectuosas. SA: Artículo de la fábrica en Sudamérica. A: Artículo de la fábrica en África. E: Artículo de la fábrica en Europa. El primer paso es establecer el espacio muestral, y para ello hay que auxiliarse de un diagrama Venn. En él, la fábrica de Sudamérica ocupa la mitad del dibujo, ya que produce el doble que las otras dos fábricas; la mitad restante del diagrama se divide en dos partes iguales ya que la fábrica de África y la de Europa producen la misma cantidad de calculadoras.

SA 5

1 2

A 5 1/4 E 5 1/4 Figura 3.3. Espacio muestral.


Del espacio muestral se deduce que la probabilidad de seleccionar una calculadora producida por una de las tres fábricas es la siguiente (cuadro 3.25): Cuadro 3.25. Fábrica

Probabilidad

Sudamérica

P(SA) 5 1/2

África

P(A) 5 1/4

Europa

P(E) 5 1/4

El suceso D asociado con el espacio muestral representa las calculadoras defectuosas fabricadas por las tres fábricas. P(A) 5 1/4

P(SA ) 5 1/2

D

P(D/SA )

P(D/A ) P(D/E ) P(E) 5 1/4

Figura 3.4. Espacio muestral.

La probabilidad de seleccionar una calculadora defectuosa dado que se produjo por una fábrica determinada es (cuadro 3.26): Cuadro 3.26. Calculadora defectuosa fabricada en la planta de:

Probabilidad condicional

Sudamérica

P(D/SA) 5 0.01

África

P(D/A) 5 0.01

Europa

P(D/E) 5 0.02

Calcular la probabilidad total; en este ejemplo, está representada por el suceso D: P (D) 5 P (SA ) P (D /S A ) 1 P (A) P (D /A) 1 P (E ) P (D /E )

P (D) 5 (0.5)(0.01) 1 (0.25)(0.01) 1 (0.25)(0.02) P (D) 5 0.005 1 0.0025 1 0.005 P (D) 5 0.0125

223

224


Teorema de Bayes Este teorema también es conocido como fórmula para la probabilidad de causas, y se desarrolla a partir de la probabilidad condicional y la probabilidad simple (o marginal). Para encontrar el modelo para calcular el Teorema de Bayes se parte de las ecuaciones siguientes: P (A ∩ B) 5 P (B /A) P (A) (a) P (B ∩ A) 5 P (A /B) P (B) (b) Al igualar las dos ecuaciones se tiene: P (B /A) P (A) 5 P (A /B) P (B)

(c)

Al despejar en la ecuación (c) la probabilidad P(B/A) queda como: P (B /A) 5

P (A /B) P (B) P (A)

(d)

Si se aplica el teorema de probabilidad total a la ecuación (d), ésta queda expresada de la siguiente manera: P (B /A) 5

P (A /B) P (B) P (A /B1 ) P (B1 ) 1 P (A/B2 ) P (B2 ) 1 ... 1 P (A /B j ) P (B j )

(e)

Ejemplo: La empresa de Plásticos del Hogar tiene pensado introducir en el mercado una nueva línea de recipientes de plástico para horno de microondas. La experiencia que tiene la empresa al introducir en el mercado un nuevo producto es que 60% de las veces, éste tiene una excelente aceptación y 40% de las veces ha tenido una mediana aceptación. El gerente de la empresa decide hacer un estudio de mercado antes de fabricar y lanzar al mercado la nueva línea de recipientes de plástico para microondas y saber si es recomendable fabricarlo o no. En el pasado, 25% de los recipientes de plástico con aceptación media recibió del estudio de mercado un informe favorable, mientras que 65% de los recipientes de plástico con excelente aceptación recibió un resultado favorable. El gerente de mercadotecnia desea conocer la probabilidad de que la nueva línea de recipientes de plástico tendrá una aceptación excelente, dado que el estudio de mercado tiene un informe favorable. Sucesos: F: recibe informe favorable. A: línea de recipientes con aceptación excelente. B: línea de recipientes con aceptación media. El primer paso es establecer el espacio muestral, auxiliándose de un diagrama Venn. Del espacio muestral se deducen las probabilidades (cuadro 3.27):


Espacio muestral A 5 60%

B 5 40%

Figura 3.5. Cuadro 3.27. Línea de recipientes de plástico

Probabilidad

Excelente

P(A) 5 0.60

Media

P(B) 5 0.40

El suceso F asociado con el espacio muestral representa el informe favorable del estudio de mercado.

P(A) 5 0.60

P(B) 5 0.40

F P(F/A) P(F/B)

Figura 3.6.

La probabilidad de seleccionar un recipiente de plástico con aceptación excelente o media, dado que el estudio de mercado tiene un informe favorable. Cuadro 3.28. Resultado del estudio de mercado favorable


Aceptación media

P(F/B) 5 0.25

Aceptación excelente

P(F/A) 5 0.65

La probabilidad de que la nueva línea de recipientes de plástico tendrá una aceptación excelente, dado que el estudio de mercado tiene un informe favorable. La probabilidad se calcula utilizando el teorema de Bayes.

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226


P (A /F ) 5

( 0.60 ) ( 0.65) ( 0.60 ) ( 0.65) 1 ( 0.40 ) ( 0.25)

0.39 0.39 5 0.39 1 0.1 0.49 0 P (A /F ) 5 .796 P (A /F ) 5

Ejemplo: Una fábrica de no breaks tiene dos tiendas autorizadas para la venta y distribución de su producto: zona sur y zona norte. La proporción de ventas de las tiendas es de 3 a 1. Se sabe que 80% de los no breaks vendidos por la tienda sur y 60% de los no breaks de la tienda norte, están trabajando de acuerdo con las especificaciones exigidas. Se le pregunta al azar por teléfono a un comprador por el funcionamiento del no break y él responde que está trabajando de acuerdo con las normas especificadas, ¿cuál será la probabilidad de que haya sido vendido por la tienda del sur? Sucesos: A: cualquier no break recibido que trabaje de acuerdo con las especificaciones. B1: no break de la tienda sur. B2: no break de la tienda norte. El primer paso es establecer el espacio muestral, auxiliándose de un diagrama Venn.

B1 5 3/4

B2 = 1/4

Figura 3.7

Del espacio muestral se deducen las probabilidades: Cuadro 3.29. Tienda

Probabilidad

Sur

P (B1) 5 3/4

Norte

P (B2) 5 1/4

El suceso A asociado con el espacio muestral representa el informe favorable del estudio de mercado.


P(B1) 5 0.75

P(B2) 5 0.25

A P(A/B1)

P(A/B2)

Figura 3.8.

La probabilidad de seleccionar un no break que trabaje de acuerdo con las especificaciones, dado que se vendió por la tienda sur o norte. Cuadro 3.30. Trabaje de acuerdo con las especificaciones; vendido por la tienda


Sur

P(A/B1) = 0.80

Norte

P(A/B2) = 0.60

La probabilidad de seleccionar un no break que trabaje de acuerdo con las especificaciones, dado que se vendió por la tienda sur. La probabilidad se calcula utilizando el teorema de Bayes. P (A /B1 ) 5

( 0.80 ) ( 0.75) ( 0.75) ( 0.80 ) 1 ( 0.25) ( 0.60 )

0.6 0.6 5 0.6 1 0.15 0.75 P (A /B1 ) 5 0.80 P (A /B1 ) 5

Ejemplo: Una oficina de la Secretaria del Trabajo, en el Departamento de Capacitación tiene cuatro secretarias (Sofía, Marina, Karina y Tomasa), que trabajan los expedientes de las diferentes empresas que han mandado a capacitar a sus trabajadores. Cada una de ellas trata respectivamente 25, 55, 13 y 7% de los archivos del departamento. Con base en la experiencia del año pasado se sabe que las probabilidades de que estas secretarias traspapelen los expedientes son respectivamente iguales a: 0.05, 0.10, 0.10 y 0.05. Calcular la probabilidad de que se culpe a Sofía de haber traspapelado un expediente. La probabilidad se calcula utilizando el teorema de Bayes:

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(0.25)(0.05) (0.25)(0.05) 1 (0.55)(0.10) 1 (0.13)(0.10) 1 (0.07)(0.05) 0.00125 0.0125 5 P (S /A) 5 0.0125 1 0.055 1 0.013 + 0.0035 0.084 P((S /A) 5 0.15

P (S /A) 5

Cinco por ciento de los expedientes traspapelados los trabaja la secretaria número uno. Del total de los expedientes traslapados, 15% es su responsabilidad.

Problemas 1.

Se lanza un dado normal. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos: A) Salga un número par. B) Aparezca el número uno.

2.

Se lanza un dado. Encontrar la probabilidad de que resulte el número dos o cinco.

3.

Se lanza un dado normal dos veces. Encontrar la probabilidad de que aparezca el número (4, 5 o 6) en el primer lanzamiento; y en el segundo lanzamiento, el número (1, 2, 3) o 4.

4.

Se lanzan dos dados en forma simultánea. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos: A: La suma de las dos caras sea mayor que seis. B: La suma de las dos caras sea menor o igual que seis. C: Las dos caras tengan el mismo número.

5.

El experimento consiste en lanzar dos monedas; calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: A: Las monedas tengan la misma cara. B: Salgan dos soles.

6.

El experimento es lanzar una moneda y un dado normales, los sucesos son: A: Salga un sol y un número par. B: Salga águila y un número primo. C: Salga un número impar, sin importar el resultado de la moneda.


a) Calcular la probabilidad de (A o C). b) Calcular la probabilidad de (B y C). 7.

El experimento es lanzar tres monedas simultáneamente, y sean los sucesos: A: Dos águilas aparezcan consecutivamente. B: Las tres caras tengan el mismo resultado.

8.

Se extrae una bola en forma aleatoria de una caja que contiene: S 5 {10 rojas, 20 azules, 30 blancas y 15 de color naranja} N 5 75

Encontrar la probabilidad de los siguientes sucesos: A: Extraer una bola de color naranja o roja. B: Extraer una bola que no sea roja ni naranja. C: Extraer una bola que no sea blanca. D: Extraer una bola de color rojo, blanco o azul. E: Extraer una bola de color naranja.

9.

Calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Aparezca un as de espadas al sacar una carta de una baraja de 40 (diez por clase; un as de espadas, de oro, de bastos y de copas). b) Salga un as al sacar una carta de la baraja de 40 cartas.

10.

Determinar la probabilidad de obtener un as en una extracción de una carta de una baraja de 52 cartas (un as de corazones, de espadas, de trébol y de diamantes).

11.

Sean los dígitos del cero al nueve; calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: A: Seleccionar al azar un dígito, que resulte cero o múltiplo de tres. B: Seleccionar al azar un dígito, que resulte par o número primo.

12.

Se extrae una ficha de una caja que contiene 20 fichas numeradas del 1 al 20; calcular la probabilidad del suceso A. A: El número extraído es divisible entre tres o entre cuatro.

13.

Un experimento tiene cuatro sucesos simples con probabilidades de: P(A) 5 P(B) 5 P(C) 5 0.2; ¿cuál es la probabilidad de suceso D?

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230


14.

Un experimento tiene cuatro sucesos simples: P(A) 5 0.2; P(B) 5 0.15; P(C) 5 0.6 y P(D) 5 0.15. Es posible esta asignación de probabilidades, explique por qué.

15.

Un experimento tiene cuatro sucesos simples con probabilidades de: P(A) 5 0.4; P(B) 5 0.2; P(C) 5 2P(D); encontrar la probabilidad de P(C) y P(D).

16.

Un dado está cargado de tal manera que la probabilidad de que aparezca la cara con el número uno es el doble de cualquiera de las demás caras; calcular la probabilidad de los sucesos: A: Aparezca el número uno. B: Salga el número seis.

17.

Se lanza un dado cargado, además suponemos que las caras con el número tres y cuatro tienen el doble de probabilidades de ocurrir que cualquiera de las demás caras. Encontrar la probabilidad de los siguientes sucesos: A: Aparezca el número cuatro. B: Aparezca un número mayor que cuatro. C: Salga un número menor que cuatro.

18.

De 1250 robos a mano armada en cierta delegación del D.F., 213 fueron resueltos. Estimar la probabilidad de que un robo quede resuelto.

19.

De 842 robos a pequeños comercios en cierta delegación del D.F., 143 fueron resueltos. Calcular la probabilidad de que un robo quede resuelto.

20. En una inspección realizada a 446 autos detenidos en un bloqueo de una calle del centro de la Ciudad de México, solamente 67 de los conductores llevaban puesto el cinturón de seguridad. Calcular la probabilidad de que un conductor llevará puesto el cinturón de seguridad. 21.

De acuerdo con las estadísticas del departamento de tránsito, durante el año de 2007 hubo 12 005 accidentes viales, de los cuales 686 se debieron a exceso de velocidad. Si durante el primer mes de este año se reportaron 1050 accidentes, ¿cuántos se deben a exceso de velocidad?

22.

Los registros llevados por el hospital de especialidades Siglo XXI en el tratamiento del cáncer, reporta que de un grupo de 1500 pacientes que se les detectó la enfermedad en un estado poco avanzado, 980 sobrevivieren al menos diez


años. El hospital reporta que en la actualidad tiene internados a 520 enfermos en estas condiciones. a) ¿Cuántos de ellos se espera que sobrevivan al menos diez años? b) ¿Cuál es la probabilidad de morir antes de diez años? 23. Se lanzan dos dados normales en forma simultánea. Calcular: a) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras sumen el número 10, dado que la cara del dado uno es mayor que la cara del dado dos? b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras sumen un número par, dado que la suma de las dos caras de los dados sea mayor que cinco? c) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos caras sumen un número mayor que cinco, dado que la cara del dado uno es mayor que la cara del dado dos? d) ¿Cuál es la probabilidad cuando la cara del dado uno es mayor que la cara del dado dos, dado que la suma de las dos caras sea mayor que cinco? 24.

En una oficina hay 100 máquinas calculadoras. Algunas de éstas (40) son eléctricas (E), mientras que otras son manuales (M); además, algunas son nuevas 70 (N), mientras otras son usadas (30) (U). Calcular: a) Una persona entra en la oficina, escoge una máquina al azar y descubre que es nueva. b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea eléctrica, dado que se escogió una nueva? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea nueva dado que se escogió una eléctrica? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea eléctrica dado que se escogió una usada? e) ¿Cuál es la probabilidad de que sea usada dado que se escogió una mecánica?

25. A partir del cuadro de contingencia 3.19 para las variables: estudiantes de Economía y promedio mayor que 9; calcular: a) Un estudiante tiene promedio mayor que 9, ¿cuál es la probabilidad de que sea de otra materia? b) ¿Calcular la probabilidad de que un estudiante tenga promedio mayor que 9, dado que es de Economía? 26. Dado que la última letra de la palabra meet es una “t”, ¿cuál es la probabilidad de que aparezcan dos letras “e” juntas? 27.

En la heladería Santa Rosa se aplicó la semana pasada, un cuestionario de servicio y demanda de productos. Al analizar la pregunta qué sabor de helado se prefiere, los resultados se muestran en el cuadro de contingencias.

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Sabor

Fresa (F)

No Fresa (FN )

Total

Chocolate (CH)

285

165

450

No Chocolate (CHN )

96

255

351

Total

381

420

801

a) ¿Cuál es la probabilidad de que compre un barquillo con una bola de nieve de sabor fresa? b) ¿Cuál es la probabilidad de que compre un barquillo con una bola de nieve que no sea de sabor fresa y una bola que no sea de chocolote? c) ¿Cuál es la probabilidad de que compre un barquillo con una bola de nieve de sabor fresa o una de chocolote? e) ¿Cuál es la probabilidad de que compren un barquillo con una segunda bola de nieve sabor fresa, dado que la primer bola es de chocolote? 28. En la Secundaria Diurna No. 22 en la delegación Iztapalapa, los alumnos tienen cinco talleres para seleccionar uno: artes plásticas, carpintería, computación, electricidad y cocina. Un grupo de primer año está formado por 55 alumnos, de los cuales 35 son mujeres y 20 hombres. El taller de cocina sólo puede admitir 10, de los cuales uno es hombre; el taller de carpintería tiene 10 alumnos, de los cuales cuatro son mujeres; al taller de electricidad asisten siete hombres de un total de 12 alumnos; en el taller de artes plásticas, siete son mujeres; y el de computación tiene 15, de los cuales 10 son mujeres. Al entregar por primera vez las boletas a los alumnos, el tutor de grupo se pregunta: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre, si está en el taller de cocina? b) ¿Cuál es la probabilidad de que esté en el taller de electricidad dado que es mujer? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre o esté en el taller de carpintería? 29. En un curso de recuperación de Estadística I hay 60 estudiantes: 35 de tercer semestre, 15 del cuarto, seis del quinto y cuatro del séptimo. El número de hombres de este grupo de Estadística I son: cinco de tercer, 12 de cuarto, y tres de quinto y séptimo semestre. Calcular las siguientes probabilidades. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre, dado que es del séptimo semestre? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer, dado que es del quinto semestre? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y de tercer semestre? d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre o mujer? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante sea de tercero, cuarto o séptimo semestre?


30. Se observan las condiciones del tiempo en un día específico; sean los siguientes sucesos: A: se observa un día con lluvia; B: se observa un día nublado. Suponemos que 10% de todos los días son lluviosos y nublados P(A > B) 5 0.10; y 30% de los días sean nublados P(B) 5 0.30. a) ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un día lluvioso, dado que el día está nublado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un día lluvioso y nublado? 31.

En una tienda se exhiben 15 chalecos para señores de tres tallas diferentes (tres chicos, seis medianos y seis grandes). Si seleccionamos dos chalecos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambos chalecos sean chicos?

32. El minisuper, “Lo que necesita”, recibe un lote de 10 000 latas de atún empacadas en doscientas cajas de 50 latas cada una. Por experiencias anteriores se sabe que 10% de las latas está golpeada o desprendida la etiqueta y 90% está en buen estado. El encargado de recepcionar este lote selecciona dos cajas al azar y de cada caja seleccionada extrae una lata en forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas latas no sean defectuosas? 33. Un laboratorio farmacéutico del D.F. tiene contratadas 250 personas, a quienes les realizó una encuesta de hábitos. En la pregunta ¿fumas cigarrillo?, se obtuvo la información de que sí, en 130 empleados; por lo cual se les destinó a éstos un área especial al aire libre. En el laboratorio trabajan 150 hombres, de éstos 85 fuman. a) Construir un cuadro de contingencias o valores. b) Construir un cuadro de probabilidad. c) Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: d: El empleado fume cigarrillos. e: Que sea hombre y fume cigarrillos. f: Que sea hombre o fume cigarrillos. g: Si se encuentra con un empleado (hombre) caminando hacia el área de fumar, ¿cuál es la probabilidad de que fume? h: Demostrar que el fumar y el sexo de las empleados, son sucesos independientes. 34. En el Instituto de Política y Cultura hay 116 investigadores. Ochenta y cinco de ellos hablan inglés, 26 francés y 15 ni inglés ni francés. Cuadro de contingencia a) ¿Cuál es la probabilidad de que el investigador hable inglés? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés y francés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés o francés?

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d) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés dado que no hable inglés? e) Demostrar que el suceso de hablar inglés es independiente de que hable francés. 35. En un pueblo del estado de Chiapas de 4518 habitantes, 1723 son mujeres y el resto hombres. El número de mujeres menores de 18 años es 1234, y el total de personas mayores de edad 1056. La Secretaría de Salubridad y Asistencia del estado aplicará una campaña de vacunación contra el dengue a la población. a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y menor de 18 años? b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer, si es adulto? c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre o menor de 18 años? d. Demostrar que ser mujer o adulto son sucesos independientes. 36. El administrador de una boutique “Todo para su fiesta” desea conocer la relación del tipo de cliente y la forma de pago, para lo cual aplicó un cuestionario durante un mes a sus clientes obteniendo los siguientes datos: Cuadro de contingencia.

Cliente

Pago Crédito (C)

Contado (A)

Total

Frecuente (F) Eventual (E) Total

80 30 110

65 25 90

145 55 200

a. ¿Qué probabilidad es que sea cliente frecuente? b. ¿Qué probabilidad hay de que es cliente frecuente y paga a crédito? c. ¿Qué probabilidad de que sea un cliente eventual o pague a crédito? d. ¿Qué probabilidad hay de que sea cliente frecuente dado que paga a crédito? 37. La señora Silvia Pineda vende en su tienda virtual (por internet) dos tipos de línea de ropa; la primera, línea es económica y la otra es cara. La semana pasada recibió 2000 pedidos. En el siguiente cuadro de contingencia se muestra la línea de productos por el sexo de los compradores. Cuadro de contingencia.

Sexo

Línea de productos Económica (E) Cara (C) 89

Total

Hombres (H)

154

243

Mujeres (M)

708

49

757

Total

862

138

1000


a) ¿Cuál es la probabilidad de que el pedido sea de la línea económica y el comprador sea mujer? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el pedido sea realizado por una mujer? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el pedido sea de la línea económica? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el pedido sea de la línea económica, dado que el comprador es una mujer? e) Demostrar que ser comprador mujer y hacer un pedido de ropa económica son sucesos independientes. 38. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en la extracción de una carta de una baraja de 52 cartas a) un as? b) ¿Qué en dos extracciones consecutivas, salgan dos ases? 39. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en las dos primeras extracciones una carta que no sea as de una baraja de 52 cartas? 40. Se tiene un lote de automóviles que consta de 25 de dos puertas y 35 de cuatro puertas. El encargado de servicio toma al azar dos juegos de llaves y se las da al chofer para traer dos carros de dos puertas al servicio para entregarse a sus dueños a las cinco de la tarde; la forma de seleccionar las llaves fue sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo juego de llaves también sea un automóvil de dos puertas? 41.

En la frontera sur del país se instalaron hace dos años tres compañías maquiladoras de camisas de vestir para hombre; sean las fábricas A, B y C. Se sabe que la fábrica A produce el doble de artículos que la B, ésta y la C producen el mismo número de camisas. Con base en datos estadísticos de control de calidad se sabe que la producción de camisas defectuosas de la fábrica A es de 1.5%, de la B también 1.5% y la C 2%. Del lote total de camisas producidas por mes por las tres fábricas es vendido a la cadena de tiendas departamentales Puerto de Progreso, en ella el encargado de recepcionar la mercancía selecciona en forma aleatoria una camisa. a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa (D)? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea producida por la fábrica B, dado que es defectuosa?

42.

A una compañía de mantenimiento le interesa conocer cómo trabajan las bombas de agua instaladas en una unidad habitacional de 60 edificios. Las bombas han sido vendidas por dos compañías, B1 y B2; en proporción cuatro a dos instaladas

235

236


por B1 y B2. Se sabe que 85% de las bombas de la compañía B1 y 95% de la compañía B2, duran trabajando el tiempo promedio indicado en el instructivo antes de recibir su primer mantenimiento. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una bomba instalada en la unidad habitacional trabaje el tiempo promedio marcado en el instructivo de las bombas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea producida por la fábrica B, dado que es defectuosa? 43. El ingeniero de control de calidad de una fábrica de juegos inflables desea determinar en qué turno de producción se fabricó un juguete inflable que posteriormente se reventó. La fábrica tiene tres turnos: matutino, vespertino y nocturno. Al revisar las estadísticas anteriores, de los juguetes inflables producidos por la fábrica 40% salió del turno matutino, 40% del vespertino y 20% del nocturno. Cinco por ciento de los juguetes inflables producidos en el turno matutino se reventó, 10% del turno vespertino y 20% del nocturno. Encontrar la probabilidad de que el juguete inflable que se reventó haya sido producido en el turno matutino. 44. La constructora Urbitec, S. A. quiere determinar si debería presentar una oferta para una licitación de un centro plaza comercial. En el pasado, la principal competidora de Urbitec, la constructora Zab, S.A. ha presentado ofertas 10% del tiempo. Si la compañía Zab, S. A. de C. V. no cotiza en esta ocasión, la probabilidad de que Urbitec, S. A. obtenga la obra es de 50%; si Zab cotiza la obra, la probabilidad de que Urbitec obtenga la obra es de 25%. Encontrar las siguientes probabilidades: a) Si la constructora Urbitec, S.A. gana el contrato, ¿cuál es la probabilidad de que la constructora Zab, S. A. no haya cotizado? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la constructora Urbitec, S.A. gane el contrato? 45. Una fábrica maquiladora tiene tres máquinas, A, B y C. Todas producen al mismo tipo plumas PX y CX. De todas las plumas producidas, la máquina A produce 60%, la B 30% y la C 10%; además, 40% de todas las plumas hechas por la máquina A es pluma PX, 50 % por la B es PX, 70% por la C es PX. Una pluma producida por está fábrica es seleccionada aleatoriamente y se determina que es una PX. Con el conocimiento de que es una pieza PX, encuentre la probabilidad de que la pluma haya sido fabricada por la máquina A.


respuestas 1 6

1.

3 a) P ( A) 5 ; 6

2.

P(2 o 5) 5

3.

a) P(4, 6 o 5) 5

4.

a) P (A) 5

21 ; 36

b) P (B) 5

15 ; 36

5.

a) P ( A) 5

2 ; 4

b) P ( B) 5

1 4

6.

a) P ( A) 5

6 3 4 ; P ( B) 5 ; P (C ) 5 12 12 12

b) P ( A o C ) 5

7. a) P ( A) 5

2 6

b) P ( B) 5

3 ; 6

9 12

3 ; 8 25 ; 75

b) P(1, 2, 3 o 4) 5

c) P ( B ∩ C ) 5 b) P ( B) 5

8.

a) P ( N o R) 5

c) C 5 {30 Blancas} C 5

9.

a) P ( A) 5

1 4 ; b) P ( A) 5 40 40

10.

a) P ( A) 5

4 52

11. a) P ( A o A1 ) 5

4 ; 10

c) P (C ) 5

6 36

3 12

2 8

b) P ( N o R) 5 45 75

4 6

50 ; 75

d) P [ R( B o A) ] 5

b) P ( B1 ∪ B2 ) 5

8 10

60 15 ; e) P ( N ) 5 75 75

237

238


12. P ( A1 ∪ A2 ) 5

10 20

13. P(D) 5 0.4 14.

No es posible la asignación porque la suma de las probabilidades es mayor a la unidad.

15.

P(D) 5 0 .13, P(C) 5 0.27

2 1 P ( A) 5 ; P ( B) 5 7 7 2 4 2 17. a) P ( A) 5 ; b) P ( B) 5 ; c) P (C ) 5 8 8 8 213 18. P ( A) 5 5 0.1704 1250 143 5 0.1698 19. P ( A) 5 842 16.

20. P ( A) 5

67 5 0.15 446

21. x 5 60 accidentes 22. a) P ( A) 5

520 980 5 0.35 5 0.6533 ; b) P ( B) 5 1500 1500

340 enfermos 1 14 ; b) P ( B) 5 ; 36 36

23. a) P (A /B) 5

70 ; 100

24.

a) P (N ) 5

d) P (A /U ) 5

P (B /A) 5

2 3

40 ; 70

11 11 d) P (C /D) 5 36 36

c) P (N /A) 5

40 ; 60

20 10 ; e) P (U /M ) 5 30 30

25. a) P (O /x . 9) 5 26.

b) P (A /N ) 5

c) P (D /C ) 5

15 10 ; b) P (9 , x / E ) 5 97 37


381 5 0.476 ; 801

27.

a) P ( F ) 5

c) P ( F ∪ CH ) 5

28. a) P ( H / CO ) 5

285 5 0.356 801

285 546 5 0.748 5 0.682 ; d) P ( F / CH ) 5 381 801

1 ; 10

3 29. a) P ( H / S ) 5 ; 4

b) P ( F ∩ CH ) 5

d) P ( H ∪ M ) 5

5 ; 12

c) P ( H ∪ C ) 5

24 55

3 b) P ( M / Q) 5 ; 6

c) P ( H ∩ T ) 5

5 ; 60

b) P ( E / M ) 5

60 54 5 1 e) P (T ∪ C ∪ S ) 5 60 60

0 10 1 30. a) P ( A / B) 5 . 5 ; b) P ( A ∩ B) 5 0.10 0.30 3 31. a) Sin reemplazo P ( A ∩ B) 5

9 6 ; b) Con reemplazo P ( A ∩ B) 5 225 210

32. a) Sin sustitución P ( A ∩ B) 5 0.81; 33.

a) Cuadro de contingencia. Fumar Fuma No fuma (F) (FN)

Sexo Hombre (H) Mujer (M) Total

b) con sustitución P ( A ∩ B) 5 0.81

85 45 130

65 55 120

Total 150 100 250

b) Cuadro de probabilidad.

Sexo

Fuma (F)

Hombre (H) Mujer (M) Total

85/250 45/250 130/250

c) P ( A) 5

Fumar No fuma (FN) 65/250 55/250 120/250

Total 150/250 100/250 250/250

130 85 195 ; d) P ( H ∩ F ) 5 ; e) P ( H ∪ F ) 5 250 250 250

239

240


f) P ( F / H ) 5 85 ; g) Son sucesos independientes. 150 85 10 101 ; b) P ( I ∩ F ) 5 ; c) P ( I ∪ F ) 5 ; 116 116 116 16 d) P ( F / I N ) 5 ; e) Son independientes 31 2228 489 a) P ( H ∩ AM ) 5 ; b) P ( M / A) 5 ; 4518 1056 4029 c) P ( H ∪ AM ) 5 ; d) Son independientes 4518 145 80 135 a) P ( F ) 5 ; b) P ( F ∩ C ) 5 ; c) P ( E ∪ C ) 5 ; 200 200 200 80 d) P ( F / C ) 5 ; e) Son independientes 110 708 757 862 a) P ( M ∩ E ) 5 ; b) P ( M ) 5 , c) P ( E ) 5 ; 1000 1000 1000 708 d) P ( E / M ) 5 ; e) Son sucesos independientes 757

34. a) P ( I ) 5 35. 36. 37.

38. a) P(A) 4 / 52; 39.

b) P(as > as) 5 3 / 663

Q 5 (as > as) 5 564 / 663 5 0.8506

40. P(C) 5 0.169 o 16.9% 41.

a) P(D) 5 0.0162 o 1.62%; b) P(B/D) = 0.2315 o 23.15%

42.

a) P(D) 5 0.8833;

b) P(B/D) = 0.3584 o 35.84%

43. P(M/R) 5 0.02/0.10 5 0.20 44.

a) 0.4615; b) 0.325

45. a) 0.52

Capítulo 4

Variable aleatoria y distribuciones discretas de probabilidad

242


Introducción El concepto de una variable que es aleatoria se asocia directamente con los conceptos de probabilidad, revisados en el capítulo anterior; así que ampliaremos un poco esos conceptos en este capítulo.

Variable aleatoria Una variable aleatoria es aquella variable que toma diferentes valores numéricos, mediante un proceso de contar o medir, como producto de un experimento aleatorio. Esta variable es un valor o magnitud que cambia de una ocurrencia a otra sin seguir una secuencia predecible, es decir, en forma aleatoria. Recordemos que un experimento aleatorio es aquel del cual conocemos sus resultados (espacio muestral), pero no sabemos cuál de ellos (qué punto muestra) es el que sucederá; es decir, el resultado del experimento está libre de una determinación, es aleatorio. Por ejemplo, considere como experimento un partido de fútbol entre el equipo “A” y “B”, y la variable aleatoria asociada con este experimento mostrará los posibles resultados de este juego. Los posibles resultados del experimento son: gana “A”, gana “B”, hay empate. Sin embargo, no sabemos cuál de estos tres resultados se dará. La variable aleatoria tiene tres 2 gana “B”

1 gana “A”

3 empate

valores numéricos de probabilidad de ocurrencia. Por ejemplo, suponga que la variable aleatoria referida toma los valores de ocurrencia siguientes: Entonces, la variable aleatoria de este juego de fútbol tiene tres resultados posibles: Espacio muestral (juego de fútbol) 5 {gana “A”, gana “B”, empate}. La variable aleatoria del juego puede definirse como: VA (juego de fútbol) 5 {1, 2, 3} Formalmente, Hildebrand y Lyman proponen la siguiente definición de variable aleatoria:“Dado un espacio muestral S, una variable aleatoria es una regla (función) que asigna un valor numérico a cada resultado de S ”.

1

D. K. Hildebrand y O. T. Lyman, Estadística aplicada a la administración y economía, México, Addison Wesley Longman, 1998, pp. 128.

Capítulo 4 Variable aleatoria y distribuciones discretas de probabilidad

Por otro lado, dado que una variable aleatoria toma valores numéricos producto de un proceso de contar o bien de un proceso de medir, entonces, con base en ello estas variables se clasifican en variables aleatorias discretas o continuas. Las variables aleatorias discretas son aquellas que toman un número limitado de valores, generalmente números enteros que son producto de un conteo.

Ejemplo: Considere que en una oficina de la Tesorería del Gobierno del Distrito Federal (GDF) se está analizando el número de contribuyentes que son atendidos diariamente. Los registros de los últimos 80 días indican que el número de contribuyentes atendidos está entre 120 y 130, como se muestra en el cuadro estadístico 4.1. Cuadro 4.1. Número de Contribuyentes 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 Total

Días observados en este nivel 2 4 7 9 11 14 11 9 7 4 2 80

Como la variable aleatoria comprende valores numéricos enteros entre 120 y 130 contribuyentes, entonces ésta es una VA discreta.

Ejemplo: Una compañía que vende computadoras ha registrado sus ventas los últimos 90 días de operación en un cuadro estadístico (cuadro 4.2). Cuadro 4.2. Número de computadoras vendidas por día

Número de días con esa venta

7 8 9 10

10 18 39 23

243

244


Como la variable aleatoria comprende valores numéricos enteros entre 7 y 10 computadoras vendidas por día, entonces ésta es una VA discreta. Una variable aleatoria continua es aquella que toma cualquier valor numérico producto de una medición, el cuál está referido a un rango o intervalo de valores, es decir, es aquella variable, que puede tomar un valor entero, un entero y una fracción, o bien, una fracción de una unidad.

Ejemplo: Considere el gasto en fotocopias y libros en un trimestre de un grupo de 35 alumnos de una universidad (cuadro 4.3). Cuadro 4.3. 1150.25 872.37 1459.56 941.96 1013.27

1 352.67 1 126.57 1 252.01 767.37 1 402.59

983.45 1 184.17 373.91 1 598.57 1 069.32

1 365.11 1 046.35 1 047.4 1 598.66 1 108.94

942.71 1 110.5 1 064.46 1 343.29 1 326.19

1 577.77 1 050.86 1 018.23 1 617.73 1 074.86

330 851.6 996.92 1 300.76 975.86

Como puede observarse, esta variable, que es producto de una medición, toma valores de gasto desde $ 330.00 hasta $ 1617.73, es decir, cualquier valor dentro de este intervalo, por lo que ésta constituye una VA continua.

Ejemplo: Se realiza la medición de la estatura (m) de 20 empleados de una compañía farmacéutica. Los resultados de estas mediciones se muestran en el cuadro 4.4. Cuadro 4.4. 1.62 1.65 1.55 1.73

1.66 1.67 1.73 1.57

1.55 1.54 1.66 1.58

1.75 1.72 1.71 1.62

1.74 1.61 1.69 1.70

Las estaturas de estos empleados, producto también de una medición, están entre 1.54 m y 1.75 m, y como puede observarse toman cualquier valor, es decir, se trata de una variable aleatoria continua.

Distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta Una distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta es el conjunto de todos los posibles resultados numéricos de un experimento a los que podemos asignar un valor de ocurrencia o probabilidad. Este conjunto de resultados son mutuamente excluyentes y pueden expresarse mediante una fórmula, una gráfica o por medio de un cuadro estadístico (tabla).


Matemáticamente hablando, la distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta X es una función PX (x) que da un valor de probabilidad a cada valor x que forma la variable aleatoria X. Esta distribución de probabilidades de una variable aleatoria discreta X tiene las siguientes propiedades: • La probabilidad PX (x) de cada valor que presenta la variable X debe tomar un valor numérico en el intervalo 0 # PX (x) # 1 • La suma de las probabilidades para todos los valores (xi) de X es igual a 1(uno), es decir, n

∑ P (x ) 51

i = 1

X

i

para toda i 5 1, 2, 3, ..., n

• Como cada valor de X es un suceso mutuamente excluyente, sus probabilidades son aditivas, es decir: P ( X 5 x1 ∪ X 5 x 2 ) 5 PX ( x1 ) 1 PX ( x 2 ) Si retomamos el ejemplo de la Oficina de la Tesorería del Gobierno del Distrito Federal, a cada valor de la variable aleatoria le podemos asignar un valor numérico de ocurrencia (probabilidad) en la siguiente forma: Por ejemplo, la probabilidad de que se presenten 121 contribuyentes es: 4 5 0.05 80 Con el mismo procedimiento, se calcula la distribución de probabilidad de los valores numéricos que toma la variable aleatoria discreta. P ( X 5 121) 5

Cuadro 4.5. Número de Contribuyentes X

Días observados en este nivel

Probabilidad de que la variable aleatoria X se presente

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 Total

2 4 7 9 11 14 11 9 7 4 2 80

0.0250 0.0500 0.0875 0.1125 0.1375 0.1750 0.1375 0.1125 0.0875 0.0500 0.0250 1

245

246


Cuya representación gráfica (figura 4.1) es: 0.175 0.155 0.135 0.115 0.095 0.075 0.055 0.035 0.015

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

Número de contribuyentes Figura 4.1. Gráfica de distribución de probabilidades de la variable aleatoria X.

Como podrá observarse, la variable aleatoria discreta del número de contribuyentes cumple con las tres propiedades de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, que hemos propuesto previamente, es decir: • La probabilidad PX (121) de que la variable X tome el valor numérico de 121 contribuyentes está en el intervalo 0 # PX (121) # 1 • La suma de las probabilidades para todos los valores (xi) de X es igual a 1(uno), es decir, n

∑ P (120,121,122,...,130) 51 i =1

X

• Como cada valor de X es un suceso mutuamente excluyente, sus probabilidades son aditivas, es decir, P ( X 5 120 ∪ X 5 121) 5 PX (120) 1 PX (121) 5 0.075

Ejemplo: El administrador de una clínica del Instituto de Seguro Social al Servicio de los Trabajadores del Estado (ISSSTE) analiza el número de consultas médicas del servicio geriátrico que se proporcionan semanalmente. Los resultados de las últimas 40 semanas se muestran en el cuadro 4.6.


Cuadro 4.6. Número de servicios geriátricos por semana 70 71 72 73 74 75 Total

Número de semanas 5 7 9 8 6 5 40

Se calcula la distribución de probabilidades para esta variable aleatoria discreta y se elabora la gráfica (figura 4.2) de la distribución correspondiente.

Solución: Cuadro 4.7.

0.200 0.180 0.100 0.160 0.140 0.120 0.100

Número de servicios geriátricos por semana

Número de semanas


70

5

0.125

71

7

0.175

72

9

0.225

73

8

0.200

74

6

0.150

75

5

0.125

Total

40

1.0

70

71 72 73 74 Número de servicios por semana

75

Figura 4.2. Gráfica de distribución de probabilidades de los servicios geriátricos de una clínica del ISSSTE.

247

248


Valor esperado en la toma de decisiones Si el administrador de la Oficina de la Tesorería del Gobierno del Distrito Federal (GDF) se pregunta, ¿cuántos contribuyentes espero recibir en los próximos días?; responder a su pregunta le permitirá determinar el número de empleados que requerirá para seguir prestando un servicio de calidad. Entonces, este analista, deberá obtener un número estimado de contribuyentes para estos días (un promedio) y tomar una decisión. La herramienta requerida, en este caso, recibe el nombre de media o valor esperado de una distribución de probabilidad discreta. El valor esperado de una variable aleatoria discreta es una media ponderada de todos los resultados posibles que presenta esta variable aleatoria. En esta media ponderada, los ponderadores o pesos son las probabilidades que están relacionadas, como ya se dijo, con cada uno de los valores numéricos de la variable. Matemáticamente, este valor esperado se puede expresar como: n

µ � VE ( X ) � E ( X ) � ∑ X i P ( X i ), para toda i � 1, 2, 3, ..., n i �1

donde: Xi 5 i-ésimo valor numérico de la variable aleatoria discreta X. P(Xi ) 5 probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de la variable aleatoria discreta X. De la expresión matemática, se observa que para obtener el valor esperado de una VA discreta X se debe multiplicar cada valor que la variable toma por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego se suman los productos. Por ejemplo, si queremos obtener el valor esperado de contribuyentes que llegarán a la Oficina de la Tesorería del GDF, lo obtendríamos en la siguiente forma: Cuadro 4.8. Número de Contribuyentes X i

Días observados en este nivel

Probabilidad de que la variable aleatoria X i se presente

X i P(X i )

120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 Total

2 4 7 9 11 14 11 9 7 4 2 80

0.0250 0.0500 0.0875 0.1125 0.1375 0.1750 0.1375 0.1125 0.0875 0.0500 0.0250 1

3.000 6.050 10.675 13.838 17.050 21.875 17.325 14.288 11.200 6.450 3.250 125

VE(X) o E(X) 5 125 contribuyentes


Es decir, el analista, estaría esperando en los próximos días un promedio de 125 contribuyentes, lo cual le permite tomar una decisión acerca del número de empleados que se requerirán para atenderlos y ofrecer con ello un servicio de calidad.

Ejemplo: Una franquicia de helados lanza al mercado de la Ciudad de Puebla, en México, un nuevo helado sabor mandarina. El comportamiento de las ventas se muestra en el cuadro 4.9. ¿Qué cantidad de helados de este sabor espera vender esta franquicia en esta ciudad en los próximos días? Cuadro 4.9. Número de helados de mandarina por día

Número de días en que se observó esta venta

30

6

31

8

32

12

33

11

34

7

35

6

Total

50

Con base en la información anterior, se calcula el valor esperado de ventas para los próximos días en la siguiente forma. Cuadro 4.10. Número de helados de mandarina por día X i


Probabilidad de que la variable aleatoria X i se presente

X i P (X i )

30

6

0.120

3.60

31

8

0.160

4.96

32

12

0.240

7.68

33

11

0.220

7.26

34

7

0.140

4.76

35

6

0.120

4.20

Total

50

1.0

32.5

Esto último indica que el administrador de la franquicia esperará una venta de entre 32 y 33 helados de mandarina por día en los próximos días.

249

250


Varianza y desviación estándar de una variable aleatoria discreta La dispersión en el comportamiento de una variable aleatoria discreta puede medirse, también, mediante dos estadísticos de dispersión ya conocidos: la varianza y la desviación estándar. La varianza (s2) de una variable aleatoria discreta puede definirse como la media ponderada de los cuadrados de la diferencia entre cada valor numérico que toma la variable aleatoria (Xi) y su valor esperado [E(X)]. En donde los ponderadores de esta diferencia son precisamente los valores de probabilidad asociados con cada valor numérico de la variable aleatoria. Matemáticamente, la varianza de una variable aleatoria discreta puede expresarse como: 2

n

s 2 5 ∑ [ X i 2 E ( X ) ] P ( X i ) para toda i 5 1, 2, 3,..., n

i =1

donde:

Xi 5 i-ésimo valor numérico de la variable aleatoria discreta X.

E(X) 5 media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X. (Xi ) 5 probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de la variable aleatoria P discreta X. Como ya se indicó en los primeros capítulos de este libro, la varianza es un estadístico que mide la dispersión en unidades al cuadrado; por lo que para obtener una dispersión en las mismas unidades en que se mide la media o valor esperado de la variable aleatoria discreta, se debe obtener la raíz cuadrada de ella; con ello, se calcula la desviación estándar de la variable aleatoria discreta. Matemáticamente, la desviación estándar (s) de una variable aleatoria discreta se define como:

s5

2

n

∑ [ X 2 E ( X )] P( X ) i =1

i

i

para toda i 5 1, 2, 3,... , n

donde:

Xi 5 i-ésimo valor numérico de la variable aleatoria discreta X.

E(X) 5 media o valor esperado de la variable aleatoria discreta X. P(Xi ) 5 probabilidad de ocurrencia del i-ésimo resultado de la variable aleatoria discreta X.


Por ejemplo, si retomamos el ejemplo de la franquicia de helados de la ciudad de Puebla, en México, referente a las ventas de su helado de mandarina, obtendríamos una varianza y una desviación estándar de esta variable aleatoria discreta en la siguiente forma. Cuadro 4.11. Número de helados de mandarina por día Xi



Xi P(Xi )

[Xi 2 E(X)]2 P(Xi )

30

6

0.120

3.60

0.726192

31

8

0.160

4.96

0.341056

32

12

0.240

7.68

0.050784

33

11

0.220

7.26

0.064152

34

7

0.140

4.76

0.332024

35

6

0.120

4.20

0.774192

Total

50

1.0

32.5

2.2884

La varianza es: s2. 5 2.2884 helados2, y la desviación estándar: s 5 1.5 helados. Es decir, el administrador de esta franquicia esperaría vender un promedio de 32.5 helados de mandarina por día con una variación aproximada de este promedio de 1.5 helados; esto es, entre 31 y 34 helados de este sabor por día.

Distribución de probabilidad binomial Es una distribución de probabilidad de una gran cantidad de variables aleatorias discretas cuyos resultados experimentales son generados mediante un proceso conocido como de Bernoulli. Su nombre se establece en honor del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654–1705). Esta distribución de probabilidad se ocupa de experimentos en donde su resultado sólo puede tomar un solo valor de dos posibles, por lo que estos resultados son mutuamente excluyentes. Por ejemplo, considere usted la siguiente pregunta en una entrevista: ¿Trabajó usted la semana pasada? Sus posibles respuestas son: sí, o bien, no. Dos posibles resultados, es una binomial y, por tanto, un entrevistado sólo puede responder a una de ellas; es decir, las respuestas se excluyen mutuamente. Los resultados de este tipo de experimentos reciben normalmente los nombres de éxito y fracaso. Sin embargo, un éxito no significa necesariamente un resultado deseable como se muestra en algunos ejemplos (cuadro 4.12).

251

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Cuadro 4.12. Experimento

Resultados

Seleccionar un producto de una línea de producción

• El producto trabaja de manera correcta (éxito) • El producto no trabaja de manera correcta (fracaso) • No (éxito) • Sí (fracaso) • Sí (éxito) • No (fracaso)

¿Piensa usted casarse pronto? ¿Le gustó nuestro café orgánico? El nivel académico de esta universidad es bueno o malo

• Si la respuesta es bueno (éxito) • Si la respuesta es malo (fracaso)

Producir un artículo en color azul o rojo

• Si se produce en azul (éxito) • Si se produce en rojo (fracaso)

Un proceso de Bernoulli presenta las propiedades siguientes: 1. Cada experimento tiene solamente dos resultados posibles (éxito o fracaso). Estos resultados son, como ya observamos, mutuamente excluyentes. 2. Los resultados de cada experimento pueden obtenerse mediante dos métodos de muestreo. Cada observación puede seleccionarse, ya sea a partir de una población infinita sin reemplazo, o bien, a partir de una población finita con reemplazo. 3. La probabilidad de que un resultado se clasifique como éxito, recibe el nombre de p. Este valor de probabilidad es el mismo entre una observación y otra (población finita con reemplazo). Por tanto, 12 p, llamada la probabilidad de fracaso (q), también es constante en todas las observaciones. 4. Un resultado particular, ya sea éxito o fracaso, de cualquier experimento es independiente del resultado que se dé en cualquier otro experimento.

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial Si se conoce la probabilidad de que en un experimento determinado se producirá un éxito, entonces es posible determinar cuántos éxitos habrá en un número determinado de experimentos. Matemáticamente, un experimento que presenta un proceso de Bernoulli puede definirse mediante los siguientes símbolos: p 5 la probabilidad de tener un éxito. q 5 (12p) 5 la probabilidad de tener un fracaso. r 5 el número de éxitos deseados al realizar un proceso de Bernoulli. n 5 el numero total de ensayos o intentos utilizados (este número es fijo durante el experimento). Y calcularse con la relación: Pn, r 5

n! pr q n −r r !(n 2 r )!

(4.1)


Recordemos que el símbolo n!, significa n factorial. Por ejemplo, 3! 5 3 3 2 3 1 5 6, y que 0! 5 1.

Ejemplo: En un cuestionario acerca del empleo se pregunta: ¿Usted trabaja actualmente? Se ha considerado que el 65% de los entrevistados responderá que “Sí”. Se hicieron ocho cuestionarios del estudio. ¿Qué probabilidad hay de que en cinco de ellos respondan afirmativamente? P8 ,5 5

Solución: n 5 8, r 5 5, p 5 0.65 q 5 12 p 5 0.35

8! 0.655 0.358−5 5!(8 − 5)!

P8 ,5 5 56 (0.116029) (0.042875) P8 ,5 5 0.2786

La probabilidad de que en cinco de ellos respondan afirmativamente es: 0.2786 En la hoja electrónica de cálculo Excel podemos utilizar la función que permite calcular la probabilidad de una distribución binomial (ecuación 4.1) en la forma siguiente: 5DISTR.BINOM(r,n,p,) , para nuestro ejemplo, la probabilidad buscada se calcula con la función: 5DISTR.BINOM(5,8,0.65,) cuyo valor en la celda de la hoja es: P8,5 5 0.278585779.

Ejemplo: Para las próximas elecciones de jefe de Gobierno, se ha estimado que aproximadamente 30 % del electorado no votará. ¿Qué probabilidad hay de que 8 de 15 partidarios del PRI (Partido Revolucionario Institucional) empadronados en la colonia Tabacalera de la Ciudad de México no voten en las elecciones para elegir jefe de Gobierno?

Solución: n = 15, r = 8, p = 0.30 q = 12 p = 0.70

P15,8 5

15! 0.308 0.7015−8 8!(15 − 8)!

P15,8 5 5040 (0.00006561)(0.0823543) P15,8 5 0.03477

253

254


En Excel: 5DISTR.BINOM(8,15,0.30,), es decir: 0.03477

Ejemplo: En una planta de Colgate y Palmolive, una máquina que llena tubos de pasta dental, los llena correctamente 85% de las veces. Se quiere calcular la probabilidad de obtener exactamente seis tubos de doce (la mitad de una caja) llenos de manera correcta. 12! 0.856 0.1512−6 6!(12 − 6)! n 5 12, r 5 6, p 5 0.85 P12 ,6 5

Solución:

q 5 12 p 5 0.15 P 5 924 (0.377149515625)(0.0000113906) 12 ,6

P12 ,6 5 0.0039695

En Excel: 5DISTR.BINOM(6,12,0.85,), es decir: 0.0039695

Ejemplo: El dueño de una microempresa ha estado estudiando la llegada tarde de sus seis empleados. Con base en ello, ha determinado la probabilidad de una llegada tarde en 0.35. Para este problema se construye una distribución binomial en forma gráfica.

Solución: Se calcula la probabilidad de 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 llegadas tarde. Cuadro 4.13. Número de empleados que llegan tarde

Cálculo de la probabilidad con Excel

Probabilidad de llegar tarde

0

5 DISTR. BINOM (0,6,0.35,)

0.0754189

1

5 DISTR. BINOM (1,6,0.35,)

0.243661

2

5 DISTR. BINOM (2,6,0.35,)

0.3280052

3

5 DISTR. BINOM (3,6,0.35,)

0.2354909

4

5 DISTR. BINOM (4,6,0.35,)

0.0951021

5

5 DISTR. BINOM (5,6,0.35,)

0.0204835

6

5 DISTR. BINOM( 6,6,0.35,)

0.0018383


La figura 4.3 muestra la distribución binomial de este problema.

0.35 0.30 0.25 Probabilidad 0.20 de llegar tarde 0.15 0.10 0.05 0.00

6

0

1

2 3 4 Número de empleados

5

Figura 4.3. Distribución de probabilidad binomial de la llegada tarde de empleados de la microempresa.

En la figura 4.4 se muestran los ejemplos anteriores (1 a 4) mediante el uso de la función de distribución binomial de la hoja electrónica de cálculo Excel.

Figura 4.4. Distribución binomial en Excel.

255

256


Media y desviación estándar de una distribución binomial Como ya se indicó en el tema anterior, se cuenta con las fórmulas de cálculo de la media y la desviación estándar de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, por lo que en el caso de una distribución binomial, este cálculo se simplifica considerablemente dado que sólo tenemos dos posibles resultados. La media de una distribución binomial se calcula mediante (4.2): µ 5 VE ( X ) 5 E ( X ) 5 n p (4.2)

donde:

n = número total de ensayos o intentos utilizados en el experimento. p = la probabilidad de tener un éxito. Y la desviación estándar de una distribución binomial (4.3) se calcula como: s 5 n p (1 − p) s 5 n pq

(4.3)

donde: n = número total de ensayos o intentos utilizados en el experimento. p = la probabilidad de tener un éxito. q = la probabilidad de tener un fracaso.

Ejemplo: En la zona norte del Distrito Federal se ha realizado un estudio que muestra que un 70% de los hogares en la zona tienen servicio de internet. Si seleccionamos 50 hogares aleatoriamente. ¿Qué promedio de hogares en la muestra contará con el servicio de internet?

Solución: n = 50 hogares seleccionados p = 0.70 de contar con servicio de internet q = 0.30 de no contar con servicio de internet Por tanto: µ 5 50(0.70) 5 35 hogares en promedio en la zona cuentan con servicio de internet, con una desviación estándar de: s 5 50(0.70)(0.30) 5 3.24 hogares.


Ejemplo: Una máquina empacadora produce 15% de paquetes defectuosos. Si tomamos una muestra aleatoria de 45 paquetes, ¿cuál es la media y desviación estándar de esta distribución?

Solución: n 5 45 paquetes p 5 0.15 de que el paquete sea defectuoso q 5 0.85 de que el paquete no tenga defectos Por tanto, µ 5 45(0.15) 5 6.75(7) paquetes defectuosos en promedio se obtendrían en la muestra, con una desviación estándar de: s 5 45(0.15)(0.85) 5 2.4 paquetes defectuosos.

Distribución de probabilidad hipergeométrica Una de las características de la distribución binomial es que la probabilidad de éxito debe ser la misma para cada ensayo sucesivo, esto se debe a que se trata de un proceso en el que el número de ensayos es finito y con reemplazo de los elementos que forman el experimento. Por ejemplo, en un examen, la probabilidad de que un individuo adivine la respuesta correcta para una pregunta con dos opciones, “a” y “b”, es 0.50. Sin embargo, en la práctica, el muestreo se realiza sin reemplazo; es decir, los resultados no son independientes, en cada nueva observación se obtendrá un nuevo valor de probabilidad. Por ejemplo, si realizamos un experimento en 10 individuos, la probabilidad de seleccionar un individuo por primera vez es de 1/10. Si muestreamos nuevamente sin reemplazo, sólo nos quedan nueve individuos, por lo que la probabilidad de seleccionar un individuo en la segunda selección ahora es de 1/9. Si seguimos muestreando sin reemplazo, observaremos que en cada selección la probabilidad será distinta. En estos casos, por tanto, no podemos aplicar una distribución de probabilidad binomial, sino una distribución de probabilidad hipergeométrica. La distribución de probabilidad hipergeométrica surge al seleccionar una muestra sin reemplazo de una población finita conocida y que representa una proporción relativamente grande de la población, de tal forma que la probabilidad de éxito cambia de una selección a otra. Por lo que la distribución hipergeométrica determina la probabilidad de tener un determinado número de éxitos en una muestra que se obtuvo de una población con un determinado número de éxitos. En resumen, puede establecerse que una distribución de probabilidad se puede manejar como una distribución de probabilidad hipergeométrica si: • Se selecciona una muestra de una población finita sin reposición. • El tamaño de la muestra “n” es mayor que 5% del tamaño de la población (N).

257

258


La relación matemática que permite calcular una distribución de probabilidad hipergeométrica es: P( x ) �

y

Cx

N−y N

Cn− x

Cn

4.4

en donde:

C 5 símbolo de las combinaciones.

N 5 tamaño de la población.

n 5 tamaño de la muestra.

Y 5 número de éxitos en la población.

x 5 número de éxitos en la muestra.

N 2 y 5 número de fracasos en la población. n 2 x 5 número de fracasos en la muestra.

Ejemplo: El administrador del establo Santa Clara cuenta con diez vacas Holstein de alto rendimiento, pero cuatro de ellas al revisarlas el veterinario, se les detecta una enfermedad contagiosa. ¿Qué probabilidad hay de que en una muestra de tres vacas, dos de ellas presenten la enfermedad contagiosa?

Solución: N = 10 n = 3 y = 4 x = 2 y Cx N − y Cn− x P( x ) 5 N Cn C2

C3−2

P( x ) 5

4

P( x ) 5

(6) (6) 5 0.30 120

10 − 4 10

C3

La respuesta con el uso de las funciones en Excel se muestra en la figura 4.5 .


Figura 4.5. Distribución de probabilidad hipergeométrica.

Ejemplo: Una compañía automotriz fabrica a la semana 50 vehículos especializados todo terreno para una gran variedad de ejércitos en el mundo. El supervisor de calidad reporta 40 vehículos sin ningún problema y 10 que al menos presentaron algún defecto. El gerente de calidad selecciona al azar una muestra de cinco vehículos. ¿Qué probabilidad hay de que cuatro de ellos operen sin problemas? Observe que este muestreo se hace sin reemplazo y que el tamaño de la muestra es 5/50 = 0.10 o 10% de la población. Un tamaño mayor que el 5% establecido para una distribución hipergeométrica.

Solución: La probabilidad de que cuatro de ellos operen sin defectos es: 0.43134, como se muestra en la figura 4.6.

Figura 4.6. Distribución de probabilidad hipergeométrica.

259

260


Media y varianza de la distribución de probabilidad hipergeométrica La media en la distribución de probabilidad hipergeométrica se define como: ny ; donde y/N 5 p, la cual tiende al valor de la media en una distribución N binomial (µ 5 np) si el tamaño de la población (N) es muy grande con respecto al µ=

tamaño de la muestra (n). La varianza, por otro lado, está definida con la relación:  y   N − y  N − n s2 5 n     N   N   N − 1 

4.5

Ejemplo: Una compañía que vende carátulas para teléfonos celulares empaca su producción en cajas de 500 carátulas. La empresa produce las carátulas en color negro y gris claro. En una caja se empacan 300 negras y 200 gris claro. ¿Cuál es la probabilidad de obtener en una muestra de 12 carátulas, siete negras y cinco grises claro? Si extraemos 60 muestras de 12 carátulas de la caja, ¿cuál es el promedio de muestras que presenta esta composición (siete negras y cinco grises)?

Solución: La probabilidad de que la muestra se componga de siete carátulas negras y cinco carátulas grises es: y Cx N − y Cn− x P( x ) 5 N Cn P ( x ) 5 300

C7

500 −300

500 C12

C12−7

5DISTR.HIPERGEOM(7,12,300,500)

5 0.229801

Al extraer 60 muestras de tamaño 12, el promedio de muestras que presenta esta composición es de: µ 5 np µ 5 60(0.229801) µ 5 13.79 Aproximadamente 14 muestras presentarán esta característica.


Distribución de probabilidad de Poisson Es una distribución de probabilidad que se aplica para variables aleatorias discretas, ya que mide la frecuencia relativa de un evento en función a una unidad de tiempo, a una de espacio, o bien, a una de volumen. Esta distribución fue ideada por el matemático y físico francés Siméon Denise Poisson (1781–1840) quien la publicó en 1837. A esta distribución también se le conoce como la ley de eventos improbables, ya que a medida que sucedan más eventos por tiempo, espacio o volumen, es menor su probabilidad de ocurrencia. La distribución de Poisson permite describir el comportamiento de la probabilidad en problemas como: • Número de llegadas de clientes por hora a un banco, un restaurante, o bien, una tienda. • Número de accidentes por semana en una escuela, empresa o carretera. • El número de imperfecciones por centímetro2 en los toldos de las carrocerías de automóviles nuevos. • El número de bacterias por mililitro de agua en un depósito de agua potable de la ciudad. Esta distribución de probabilidades de Poisson es el resultado de las siguientes hipótesis: • Los eventos suceden uno a la vez, es decir, la probabilidad de que ocurran dos o más eventos en el mismo instante es cero. • La probabilidad de ocurrencia del evento de interés es constante para dos intervalos distintos de tiempo, espacio o volumen. • El número de eventos por tiempo, espacio o volumen permanece constante. Esto significa que, el número esperado de eventos en un lapso de tiempo, espacio o volumen es el mismo en cualquier otro lapso de tiempo, espacio o volumen. Por ejemplo, si a un banco llegan 12 clientes por hora, este mismo comportamiento se observa en cualquier hora laborable. • La ocurrencia de un evento de interés en un lapso de tiempo, espacio o volumen es independiente de su ocurrencia en algún otro lapso de tiempo, espacio o volumen. Con base en las hipótesis anteriores, la función de probabilidad de Poisson (4.6) puede expresarse como: P( x ) 5

l x e− l x!

(4.6)

P( x ) 5

lx x ! el

(4.6)

o bien, como:

261

262


en donde:

P(x) 5 probabilidad de x éxitos dado el valor de l

l 5 número promedio (valor esperado) de ocurrencias por unidad de tiempo, espacio o volumen.

e 5 2.71828, base de los logaritmos naturales o neperianos.

x 5 número de éxitos deseados por unidad de tiempo, espacio o volumen.

Sus valores (enteros positivos) varían de 0, 1, 2, 3, 4, 5, …∞

Ejemplo: La Dirección General de Administración de las escuelas de educación primaria en la Ciudad de México, ha observado que en los últimos seis meses del ciclo escolar, en la zona norte de la ciudad se presenta un promedio de cinco accidentes escolares por semana en las zonas de escaleras de estas escuelas. El administrador está preocupado, ya que no sabe si esto se deba a un mal diseño de los edificios escolares o, bien, se deba a otra causa. Por lo que decide calcular algunas probabilidades que le permitan estimar el comportamiento de los accidentes escolares de las próximas semanas. El administrador se pregunta ¿cuál es la probabilidad de tener exactamente 0, 1, 2, 3, 4 o 5 accidentes?¿Qué probabilidad hay de que sucedan menos de tres accidentes? Si la probabilidad de que sucedan más de tres accidentes es mayor que 0.65, el administrador presentará un proyecto para revisar el diseño de la infraestructura escolar ante el departamento de construcción de escuelas (CAPCE).

Solución: Las características de este problema permiten suponer que presenta una distribución de probabilidades de Poisson; entonces, para su solución se aplica la siguiente ecuación:

lx P( x ) 5 x ! el

(4.6)

Con ella, pueden calcularse las probabilidades solicitadas, ya que:

l 5 5 accidentes escolares/semana

La probabilidad de que no ocurran accidentes escolares es: 50 P (0) 5 0 ! e 5 1 5 (1)(148.4127) P (0) 5 0.0674


La probabilidad de que ocurra exactamente un accidente escolar es: P (1) 5 5

51 1! e5

5 (1)(148.4127)

P (1) 5 0.03369

La probabilidad de que ocurran exactamente dos accidentes escolares es: P (5) = =

55 2! e 5

25 (2)(148.4127)

P (2) = 0.8422 La probabilidad de que ocurran exactamente tres accidentes escolares es: P (3) 5 5

53 3! e5 125 (6)(148.4127)

P (3) 5 0.14037

La probabilidad de que ocurran exactamente cuatro accidentes escolares es:

P (4) 5 5

54 4! e5 625 (24)(148.4127)

P (4) 5 0.17547

263

264


La probabilidad de que ocurran exactamente cinco accidentes escolares es: 55 P (5) = 5! e5 =

3125 (120)(148.4127)

P (5) = 0.17547 Estos cálculos pueden desarrollarse con la función de probabilidad de Poisson que tiene la hoja electrónica de Excel (figura 4.7).

Figura 4.7.

Y cuya distribución de probabilidades se muestra en la figura 4.8.

0.1600 0.1200 Probabilidad

0.0800 0.0400 0.0000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número exacto de accidentes escolares

Figura 4.8. Gráfica de distribución de probabilidades de Poisson para el número de accidentes escolares por semana.


Con base en esta información se puede responder a la segunda pregunta del problema que planteó el administrador, ¿qué probabilidad hay de que sucedan menos de tres accidentes? Es decir, se busca la probabilidad de que no ocurran accidentes, ocurra uno, o bien, dos. P(x < 3) 5 P(0) 1 P(1) 1 P(2) 5 0.00674 1 0.03369 1 0.08422 5 0.12465 Por otro lado, la probabilidad de que ocurran más de tres accidentes puede calcularse en Excel con la función acumulada de Poisson en la siguiente forma: Función de probabilidad acumulada de Poisson: 5 Poisson(x, l, 1)

En esta función acumulada, los valores de probabilidad se acumulan hasta que la variable toma el valor x. Así, por ejemplo, para acumular los valores de que la variable sea igual que: 0, 1, 2 y 3, usamos 5 Poisson(3, l, 1).

5� Poisson(3,5,1)

5 0.26503

Por lo que si se quiere calcular la probabilidad de que sucedan más de tres accidentes, el procedimiento sería: ∞�) P(x > 3) 5 P(4) 1 P(5) 1 P(6) 1 … 1 P(�� P(x > 3) 5 12 POISSON(3,5,1) P(x > 3) 5 12 0.26503 P(x > 3) 5 0.73497 Debido a que el administrador no desea que dicha probabilidad exceda 0.65, éste concluye que la probabilidad de tener más de tres accidentes en la zona (0.73497) es alta, por lo que deberá reunir a las autoridades del CAPCE y analizar con ellos dicha problemática para obtener una solución que permita reducir esta probabilidad de accidentes escolares.

Ejemplo: Un estudio de ingreso económico en una zona marginada de la Ciudad de Guadalajara, México, mostró que el ingreso promedio de la población de esa zona es de 4.2 salarios mínimos por mes. El analista en jefe quiere realizar algunas estimaciones de probabilidad para reportarlas en el estudio. a) ¿Qué probabilidad hay de que al seleccionar un individuo de la muestra, éste reciba hasta dos salarios mínimos al mes? b) ¿Qué probabilidad hay de que al seleccionar un individuo de la muestra, éste reciba por lo menos cinco salarios mínimos al mes?

265

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c) ¿Qué probabilidad hay de que reciba exactamente ocho salarios mínimos al mes? d) Desea elaborar un gráfico que muestre el comportamiento de la probabilidad en la muestra.

Solución: a) P(x # 2) 5 P(0) 1 P(1) 1 P(2)

P( x # 2) 5

4.2 0 4.21 4.2 2 1 1 0 ! e 4.2 1! e 4.2 2 ! e 4.2

P ( x # 2 ) 5 12 0.01500 1 0.06298 1 0.13226 P ( x # 2 ) 5 0.21024 Con la distribución de probabilidad acumulada de Poisson en Excel: = POISSON(2,4.2,1) P(x # 2) 5 0.21024 b) P(x $ 5) 5 1 2 [P(0) 1 P(1) 1 P(2) 1 P(3) 1 P(4)]

4.20 4.21 4.22 P ( x � 2) � � � 0 ! e 4.2 1! e 4.2 2! e 4.2 P ( x � 2) � 0.01500 � 0.06298 � 0.13226 P ( x � 2) � 0.21024

Con la distribución de probabilidad acumulada de Poisson en Excel:

=POISSON(4,4.2,1) P(x $ 5) 5 1 2 POISSON(4,4.2,1) P(x $ 5) 5 1 2 0.58983 P(x $ 5) 5 0.41017 c) P(x = 8) 4.28 8! e 4.2 P ( x 5 8) 5 0.03601 P ( x 5 8) 5


d) A continuación se muestran el cálculo de las probabilidades del comportamiento de los salarios mínimos (figura 4.9) y la gráfica de distribución de probabilidades (figura 4.10).

Figura 4.9.

0.2000 0.1600 Probabilidad

0.1200 0.0800 0.0400 0.0000

0

1

2 3 4 5 6 7 8 9 Número exacto de salarios mínimos

10

Figura 4.10. Gráfica de distribución de probabilidades de Poisson para los salarios mínimos por mes.

Media y varianza de una distribución de probabilidad de Poisson Con base en la definición de la distribución de probabilidades de Poisson se establece que la media o valor esperado es igual que lambda (l). E(x) 5 l

4.7

267

268


La varianza para esta distribución de probabilidad también es igual que lambda (l). s2 5 l

4.8

Y la desviación estándar para esta distribución de probabilidad es igual que: s5 l

Ejemplo: En una sucursal del banco Aztek ubicada en el centro de la ciudad llega un promedio de seis clientes por minuto. Si se considera una distribución de Poisson, ¿qué desviación estándar de clientes se tiene en esta sucursal?

Solución: E(x) 5 l 5 6 clientes por minuto s2 5 6 clientes por minuto s5 l s 5 6 5 2.45 clientes por minuto Es decir, en promedio tenemos un arribo de seis clientes por minuto con una dispersión de más y menos 2.45 clientes. Esto es, en cada minuto se puede esperar la llegada de entre cuatro y ocho clientes.

Distribuciones discretas de probabilidad en Excel Las distribuciones discretas de probabilidad, pueden tratarse mediante el uso de funciones construidas para ellas en Excel.

Figura 4.11. Distribuciones discretas de probabilidad en Excel.


Problemas 1.

Una compañía hotelera del estado de Chiapas descuenta 5% a los clientes que pagan en efectivo en vez de hacerlo con tarjeta de crédito. Su experiencia indica que 30% de los clientes aceptan el descuento. Se obtiene una muestra de los próximos 20 clientes. a) Se supone una distribución binomial, ¿qué probabilidad hay de que exactamente cinco clientes en la muestra acepten el descuento? b) ¿Qué probabilidad hay de que cinco o menos clientes acepten el descuento? c) ¿Cuál es el número más probable de personas que acepten el descuento en la muestra?

2.

¿Qué probabilidad hay de que 8 de 15 perredistas empadronados en la colonia Tabacalera no voten en las elecciones preliminares para elegir jefe de gobierno del Distrito Federal? Una encuesta indica que un 25% de ellos no piensa votar.

3.

Sólo 60% de los empleados en una compañía portan su gafete de identificación personal. Si llegan 10 empleados, ¿cuál es la probabilidad de que el personal de seguridad de la compañía registre: a) ocho empleados con identificación?, b) cuatro empleados con identificación?, c) por lo menos cuatro empleados con identificación?, d) a lo más cinco empleados con identificación?, e) entre cuatro y siete empleados con identificación inclusive?

4.

En un cuestionario acerca de empleo se pregunta: ¿Usted trabaja actualmente? Mediante encuestas previas de este tipo, se ha considerado que 45% de los entrevistados responderá que sí. Se toman 15 cuestionarios. a) ¿Qué probabilidad hay de que en cinco de ellos se responda afirmativamente? b) ¿Qué en más de diez se responda afirmativamente?

5.

Se realizó un estudio en la Ciudad de Guadalajara en el que se encontró que 90% de las casas en la ciudad tienen un radio de “FM”. En una muestra de nueve casas, a) ¿cuál es la probabilidad de que todas tengan este tipo de radio?; b) ¿de que menos de cinco lo tengan?; c) ¿de que más de cinco lo tengan?; d) ¿de que por lo menos siete de estas casas lo tengan?

269

270


6.

Una máquina que fabrica focos incandescentes de 40W produce 10% de focos defectuosos. Si tomamos una muestra aleatoria de 50 focos, ¿cuál es la media de focos defectuosos y su desviación estándar?

7.

Un embarque de 10 computadoras HP ha sido enviado al centro de cómputo de la universidad. El proveedor de los equipos llama al departamento de compras de la universidad para avisar que tres de las computadoras están defectuosas y que han sido enviadas en el embarque por error. Servicios de cómputo decide probar dos de las diez computadoras. ¿Qué probabilidad hay de que ninguna esté defectuosa?

8.

Se crean cinco pequeñas empresas (PyMES), si la probabilidad de que sobrevivan es de 0.5, a) ¿cuál es la probabilidad de que tres de ellas sobrevivan hasta el quinto año?; b) ¿cuál es la probabilidad de que cuatro de ellas sobrevivan hasta el quinto año?; c) ¿cuál es la probabilidad de que cinco de ellas sobrevivan hasta el quinto año?

9.

Setenta por ciento de todos los tarjetahabientes de una institución financiera pagan a tiempo su crédito, ¿cuál es la probabilidad de que 20 tarjetahabientes paguen a tiempo su crédito, si la muestra tomada es de 30?

10.

Se sabe que 30% de la población no tiene credencial de elector. Si se selecciona una muestra aleatoria de 10 personas de esta población, a) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de ellas no tengan la credencial de elector?; b) ¿cuál es la probabilidad de que cuatro de ellas sí la tengan?

11.

Se sabe que 20% de la población de la ciudad de San Cristóbal recibe atención médica en instituciones privadas. Si seleccionamos una muestra en forma aleatoria de tamaño de 15 personas de la población, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar cinco personas que asisten a instituciones privadas?

12.

Se sabe que 90% de los estudiantes que toman un curso de actualización de Recursos Humanos en una universidad lo aprueba. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres estudiantes en un grupo de 15 alumnos no aprueben el curso?

13.

Un examen de Recursos Humanos contiene 20 preguntas y sus respuestas son de falso y verdadero. Si un estudiante las contesta adivinando, ¿cuál es la probabilidad de que conteste correctamente:


a) 10 preguntas?; b) cinco o menos? c) siete o más? 14.

Se sabe que 10% de todas las personas que permiten que un vendedor de libros los visite en su casa, termina comprando libros. En una unidad habitacional, 30 personas han permitido que el vendedor entre en sus casas. ¿Cuál es la probabilidad de que: a) exactamente 20 personas no compren libros?; b) más de cinco personas los compren?

15.

Se sabe que 90% de los estudiantes que toman un curso propedéutico de álgebra lo aprueba. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres estudiantes de un grupo de 15 alumnos no aprueben el curso?

1 6.

Treinta por ciento de todos los trabajadores que permiten que un vendedor de seguros los visite en su trabajo, terminará comprando un seguro de vida. Se supone que diez personas han permitido que las viste un vendedor en su trabajo. Calcule la probabilidad de que, a) ¿cuándo más de cuatro de ellas compren un seguro de vida?; b) ¿al menos cuatro personas lo compren?

17.

Una compañía manufacturera tiene un plan de muestreo para inspeccionar las partes que adquiere. Se seleccionan aleatoriamente 20 partes de un gran lote y se realizan las pruebas correspondientes. Si se encuentran dos o más partes defectuosas, el lote será rechazado y devuelto al proveedor; de lo contrario, será aceptado. En el caso de que el lote contenga exactamente 10% de partes defectuosas, a) ¿cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado?; y b) ¿cuál es la probabilidad de que el lote sea rechazado?

1 8.

El administrador de un laboratorio ordenó realizar un estudio acerca de la efectividad que tiene un nuevo medicamento lanzado al mercado. La compañía que contrata para realizar el estudio toma una muestra en forma aleatoria de 30 personas que consumieron el medicamento (pacientes). El estudio revela que el medicamento tiene una efectividad de 50%; es decir, en promedio de cada 100 pacientes que lo tomaron, 50 se curaron. Sea x el número de pacientes curados, ¿qué probabilidad hay de que: a) 20 o menos pacientes se curen?; b) 18 o más se curen?; c) más de 12, pero menos de 22 pacientes se curen?

271

272


19.

En el último semestre de la licenciatura en Informática en la FCA, 60% de los alumnos tiene un promedio de 8. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 10 alumnos seleccionados aleatoriamente del último semestre se encuentren a) cinco alumnos con promedio de 8?; b) más de cinco alumnos con promedio de 8?; c) al menos cinco alumnos con promedio de 8?; d) entre dos y siete alumnos con promedio de 8?

20. En un café internet se tienen 25 computadoras, cinco de ellas han estado fallando últimamente. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir tres para trabajar, ninguna esté defectuosa? 21.

En una empresa frutícola hay 25 empleados, 14 hombres y 11 mujeres, cinco de ellos faltaron el lunes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los ausentes sean mujeres? b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los ausentes sean hombres? c) ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean hombres? d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno sea hombre?

22.

En la fábrica de juguetes MAT se fabricaron 50 muñecas que caminan, 40 de ellas funcionaron perfectamente y 10 tuvieron defectos en el desplazamiento. Se seleccionó al azar una muestra de cinco de ellas, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro de las cinco funcionen perfectamente?

23. La compañía Sias recibió un embarque de 10 televisores. El fabricante informó que por descuido se enviaron televisores defectuosos. La compañía decidió probar dos de los 10 recibidos. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los dos esté defectuoso? 24.

Un profesor de Estadística tiene un conjunto de 15 preguntas de opción múltiple referentes a distribuciones probabilísticas. Cuatro de estas preguntas se relacionan con distribuciones probabilísticas de variable aleatoria continua. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de estas preguntas sobre variable aleatoria continua aparezca en el próximo examen?

25. Una microempresa de reparto de paquetería cuenta con 15 vehículos de reparto en la ciudad de Toluca. Seis de los chóferes de estos vehículos reportan problemas con el motor. El gerente selecciona cinco vehículos al azar para revisarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de los vehículos de reparto tengan problemas con el motor?


2 6. Una encuesta en una oficina pública revela que, de diez empleados hombres, siete de ellos tenían esposas que trabajaban. Se seleccionan tres trabajadores al azar. ¿Qué probabilidad hay de que cuando mucho uno de ellos tenga una esposa que trabaje? 2 7.

De quince ingenieros especializados en producción, se seleccionan doce para entrenarse en una nueva planta del corporativo en un nuevo proceso de producción. Ocho de estos ingenieros ya habían tomado un curso de capacitación previo. ¿Cuál es la probabilidad de que cinco de los enviados al nuevo curso hayan tomado el anterior?

2 8.

Rodríguez y Asociados Contadores realiza una auditoría en una empresa mediante una muestra de 10 de las 87 cuentas que tiene la compañía. El contador en jefe detecta que 13 de ellas tenían errores. ¿Qué probabilidad hay de que en la muestra se incluyan exactamente dos cuentas que presenten errores?

2 9. BanSur ha detectado que en 2 500 cuentas de ahorro juvenil, 125 de ellas han sido alteradas por medio de su portal en internet. Las alteraciones sólo pueden detectarse mediante una auditoría muy minuciosa. El auditor elige una muestra de 50 cuentas juveniles. ¿Qué probabilidad hay de que se descubra por lo menos una de las cuentas juveniles alterada? 3 0. Determine la media y la desviación estándar del número de cuentas alteradas descubiertas en la auditoría del problema 29. 3 1.

La pastelería el Globo elabora galletas con chispas de chocolate que aparentemente siguen una distribución de Poisson. Control de calidad ha determinado un promedio de ocho chispas por galleta. Un analista desea determinar: a) ¿Qué probabilidad hay de seleccionar una galleta sin chispas de chocolate? b) Si se considera que una galleta es aceptable cuando contiene al menos cinco chispas de chocolate, ¿qué porcentaje de galletas es aceptable?

32. Farmacéutica Nueva, S.A. está probando un nuevo medicamento que desea lanzar al mercado en dos meses. Selecciona una muestra de 1 000 pacientes. La probabilidad de que un paciente presente efectos colaterales es de 0.001. ¿Qué probabilidad hay de que ninguno de los pacientes presente efectos colaterales?

273

274


33. El gerente de crédito de la sucursal Taxqueña de un banco, por su experiencia de 10 años, estima que un cliente tiene una probabilidad de no pagar un crédito de 0.025. El gerente autoriza 40 créditos al mes. a) ¿Qué probabilidad hay de que tres préstamos no se paguen oportunamente? b) ¿Cuál es la probabilidad de que menos de cuatro créditos no se paguen a tiempo? 3 4. TRIBASA obtiene un contrato con el ayuntamiento de Puebla para dar mantenimiento a la vía Hermanos Serdán. Las vías recientemente pavimentadas por TRIBASA demostraron un promedio de dos defectos por kilómetro después de haber sido usadas un año. Si el municipio sigue con esta compañía, a) ¿cuál es la probabilidad de que se presenten tres defectos por kilómetro, en cualquier kilómetro de esta vía, después de haber tenido un año de tráfico?; b) ¿qué probabilidad hay de que no tenga defectos? 35. Una peligrosa intersección en la ciudad de Guadalajara muestra, según los registros policíacos, un promedio de siete accidentes mensuales. El Departamento de Tránsito desea saber primero, a) ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier mes se presente cero accidente?; b) ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier mes se presenten tres?; c) ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier mes se presenten cuatro?; d) ¿cuál es la probabilidad de que se presenten cinco o más en un mes? 36. En el conmutador de una universidad llegan llamadas en un promedio de tres por minuto y se sabe que se distribuyen de acuerdo con Poisson. Si la operadora se distrae por un minuto, a) ¿cuál es la probabilidad de que el número de llamadas no respondidas sea cero?; b) ¿cuál es la probabilidad de que el número de llamadas no respondidas sea entre tres y cinco, inclusive? 37.

Sony ha diseñado una nueva memoria USB de 1 GB que fabrica en una de sus plantas de China. El departamento de calidad envía algunas notas de inconformidad por la fabricación, ya que considera que éstas presentan algún defecto. En un lote de 500 memorias, cinco están defectuosas. Se selecciona una muestra de 300 memorias. a) ¿Qué probabilidad hay de que una esté defectuosa? b) ¿Qué probabilidad hay de que ninguna esté defectuosa?


3 8. La probabilidad de que un cajero de BANMEX se equivoque al dar un cambio es de 0.02. ¿Cuál es la probabilidad de que se equivoque cinco veces en 200? 3 9. En un centro comercial se determinó que 2% de los negocios instalados fracasaron. Si se estudian 70 de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que cuatro fracasen? 4 0. BANCOM recibe un promedio de tres cheques sin fondos por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en cierto día reciba cuatro o cinco cheques sin fondos? 4 1.

La compañía Wall realizó un estudio acerca de las cajas registradoras en un supermercado, y determinó que en un cierto periodo el número promedio de clientes es de cuatro. ¿Cuál es la probabilidad que durante ese periodo a) no haya clientes esperando?; b) haya cuatro clientes esperando?; c) haya cuatro o menos clientes esperando?

42.

La compañía DOLVA determinó que el número promedio de defectos en un rollo fotográfico de color es de 0.1 defectos/rollo. La distribución que se sigue para determinar el número de defectos es la de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier rollo fotográfico de color presente uno o más defectos?

4 3. Una impresora modelo CALCA-123C no imprime todas las páginas. En promedio, 1% sale en blanco. Si se sacan 100 copias, ¿cuál es la probabilidad de que una quede en blanco? 4 4.

El número promedio de computadoras que vende la compañía Sistemas de Cómputo, S. A. por día, se aproxima mediante el método de Poisson, con una media de 1.5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía venda por lo menos cuatro computadoras durante un periodo de dos días? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía venda por lo menos cuatro computadoras durante un periodo de tres días?

4 5. El número de automóviles que llegan por minuto a la caseta de cobro de la carretera México-Querétaro, tiene un comportamiento de una distribución probabilística de Poisson con una l 5 2.5. ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier minuto dado no lleguen automóviles?

275

276


Respuestas 1.

a) P(x 5 5) 5 0.1789; b) P(x # 5) 5 0.4164; c) seis personas

2.

P(x 5 8) 5 0.0131

3.

a) P(x 5 8) 5 0.1209; b) P(x 5 4) 5 0.1115; c) P(x > 3) 5 0.9452; d) P(x# 5) 5 0.3669; e) P(4# x# 7) 5 0.7779

4.

a) P(x 5 5) 5 0.1404; b) P(x . 10) 5 0.0255

5.

a) P(x 5 9) 5 0.3874; b) P(x < 5) 5 0.0009; c) P(x . 5) 5 0.9917; d) P(x $ 7) 5 0.947

6.

E(x) 5 5 focos, s 5 2.12 focos

7.

P(x 5 0) 5 0.4667

8.

a) P(x = 3) = 0.3125; b) P(x = 4) = 0.1563; c) P(x = 5) = 0.0313

9.

P(x 5 20) = 0.1416

10.

a) P(x 5 4) = 0.2001; b) P(x 5 4) = 0.0368

11.

P(x 5 5) = 0.1032

12.

P(x $ 3) = 0.1841

13.

a) P(x 5 10) = 0.1762; b) P(x # 5) 5 0.0207; c) P(x $ 7) 5 0.9423

14.

a) P(x 5 20) 5 0.00037; b) P(x # 50) 5 0.9268

15.

P(x $ 3) = 0.1841

16.

a) P(x # 4) 5 0.8497

17.

a) P(x # 1) 5 0.3918, b) P(x $ 2) 5 0.6083

b) P(x $ 4) 5 0.3504


1 8.

a) P(x # 20) 5 0.9786 b) P(x $ 18) 5 0.1808 c) P(12 , x , 22) 5 0.8111

19.

a) P(x 5 5) 5 0.2007; b) P(x # 5) 5 0.3669;

d) P(2 , x , 7) 5 0.6054

c) P(x $ 5) 5 0.8338

2 0. P(x 5 0) 5 0.4957 21.

a) P(x 5 2) 5 0.3768; b) P(x 5 2) 5 0.2826; c) P(x 5 5) 5 0.0377

d) P(x 5 0) 5 0.0087

2 2.

P(x 5 4) 5 0.4313

2 3. P(x 5 2) 5 0.4667 24.

P(x $ 1) 5 1 2 P(x 5 0) 5 0.8462

2 5. P(x 5 2) 5 0.4196 26. P(x , 2) 5 P(x 5 0) 1 P(x 5 1) 5 0.1833 27.

P(x 5 5) 5 0.1231

2 8. P(x 5 2) 5 0.2938 29. P(x $ 1) 5 1 2 P(x 5 0) 5 0.925 30. m 5 2.5 cuentas; s 5 1.526 cuentas 3 1.

a) P(x 5 0) 5 0.00034; b) 90.04 %

3 2. P(x 5 0) 5 0.3679 3 3. a) l 5 (40)(0.025) P(x 5 3) 5 0.0613; b) P(x , 4) 5 0.9810 3 4. a) P(x 5 3)5 0.1804; b) P(x 5 0) 5 0.1353

277

278


35. a) P(x 5 0) 5 0.0009; b) P(x 5 3) 5 0.0521; c) P(x 5 4) 5 0.0912; d) P(x $ 5) 5 0.8270 36. a) P(x = 0) = 0.0498; b) P(3 # x # 5) 5 0.4929 3 7.

a) l 5 300(5 / 500), P(x 5 1) 5 0.1494; b) P(x 5 0) 5 0.0498

38. l 5 200(0.02) 5 4, P(x 5 5) 5 0.1563 39. l 5 70(0.02) 5 1.4, P(x 5 4) 5 0.0395 40. P(x 5 4< x 5 5) 5 P(x 5 4) 1 P(x 5 5) = 0.1680 1 0.1008 5 0.2688 41.

a) P(x 5 0) 5 0.0183; b) P(x 5 4)5 0.1954; c) P(x # 4) 5 0.6289

4 2.

P(x $ 1) 5 1 2 P(x 5 0) 5 12 0.9048 5 0.0952

43. P(x 5 1) 5 0.3679 44.

a) l 5 1.5(2) 5 3, P(x $ 4) 5 1 2 P(x # 3) 5 1 2 0.6472 5 0.3528;

b) l = 1.5(3) 5 4.5, P(x $ 4) 5 1 2 P(x # 3) 5 1 2 0.3423 5 0.6577

45. P(x 5 0) 5 0.0821

Capítulo 5

Distribuciones continuas de probabilidad

280


Introducción Como indicamos en el capítulo anterior una variable aleatoria continua es aquella que toma cualquier valor numérico producto de una medición, el cuál está referido a un rango o intervalo de valores, es decir, es aquella variable que puede tomar un valor entero, un entero y una fracción, o bien, una fracción de una unidad en ese intervalo de medición. Con base en esta definición se puede indicar que una distribución de probabilidad continua es el conjunto de todos los posibles resultados que presenta una variable aleatoria continua junto con la probabilidad de cada resultado, en el rango o intervalo de valores en el que se ha hecho la medición de la variable.

Distribuciones continuas de probabilidad Hay una gran variedad de variables que tienen una distribución de probabilidad de este tipo, entre las que destacan están: • La distribución de probabilidad uniforme. • La distribución de probabilidad exponencial. • La distribución de probabilidad normal. • La distribución de probabilidad “X2”(Ji-cuadrada). • Distribución “t” de Student. En este capítulo se revisarán las tres primeras, y muy particularmente la distribución de probabilidad normal, tal vez la más importante de todas ellas.

Distribución de probabilidad uniforme Es la distribución continua de probabilidad en la cual todos los valores que toma la variable en el intervalo o rango que la define tienen el mismo valor de probabilidad. Un ejemplo clásico de esta distribución de probabilidad, lo representa el lanzamiento de un dado. En este experimento, el lado de valor 1 tendría una probabilidad de 1/6, el lado de valor 2 también 1/6, y así sucesivamente hasta el lado de valor 6, cuya probabilidad de ocurrencia también sería 1/6 . Al tratarse de una distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua, la medición de la probabilidad de ocurrencia de un valor específico (x) de la variable dentro de un intervalo de medición de la misma (Y12Y2), se define como: P (Y1 # x # Y2 ) 5

Y2 2Y1 intervalo de definición

Para explicar esta probabilidad, suponga una compañía que elabora vinos de mesa. Su producto principal es el vino de mesa de 125 ml, pero su línea de envasado, llena las botellas entre 120 y 130 ml. La compañía desea saber la probabilidad de que una sola botella (x) pueda contener entre 125 y 128 ml.

Capítulo 5 Distribuciones continuas de probabilidad

Para este ejemplo, la solución podría presentarse como:

Intervalo de definición 5 130 2 120 5 10 ml.

Intervalo de medición de la probabilidad: Y12Y2 5 128 2 125 5 3 ml. 128 2125 3 5 130 2120 10 P (125 # x # 128 ) 5 0.30 P (125 # x # 128 ) 5

En este problema puede observarse que la media de llenado es 125 ml, producto de sumar los límites del intervalo de definición de la variable y de dividirlo entre dos. Con base en ello, podemos establecer que la media (valor esperado) para una distribución de probabilidad uniforme se calcula mediante la siguiente relación: E(x) 5

a 1b 2

donde:

a 5 límite inferior del intervalo de definición

b 5 límite superior del intervalo de definición

Ejemplo 1: En forma gráfica (figura 5.1), se observaría una distribución de probabilidad uniforme.

0.12 1/(b�a) 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00

a 120

b 125

Figura 5.1. Distribución de probabilidad uniforme.

130

281

282


En esta distribución, el valor de la probabilidad es constante en el intervalo entre a y b, y cero en cualquier otro punto. Matemáticamente:  1  b 2 a , si a # x # b  P( x ) 5  0, en cualquier otro punto  

Ejemplo 2: Un agricultor compra fertilizante orgánico para sus terrenos de siembra, de tal manera que ello le permita obtener mayor cantidad de productos por hectárea. Este tipo de fertilizante se vende en sacos de 25 kg con un peso uniformemente distribuido que, según el catálogo del productor, éste puede variar de 23.5 a 26.5 kg. El agricultor necesita 23 kg para fertilizar un terreno de prueba, pero duda si comprar un solo saco por la variación en la cantidad que éstos presentan. Si compra un saco, ¿qué probabilidad habría de que éste contenga más de 25.5 kg?

Solución: Intervalo de definición = 26.5 – 23.5 = 3 kg Intervalo de medición = 26.5 – 25.5 = 1 kg 26.5 − 25.5 1 5 26.5 − 23.5 3 P (25.5 # x # 26.5 ) 5 0.33 P (25.5 # x # 26.5 ) 5

El agricultor no debe de preocuparse, ya que el peso mínimo de un saco es de 23.5 kg y él necesita 23 kg. Por otro lado, la probabilidad de que un saco pese más de 25.5 kg es de 0.33 (33%). Varianza y desviación estándar en una distribución de probabilidad uniforme La varianza en una distribución de probabilidad uniforme está definida como: Y su desviación estándar como:

s2 5

(b 2 a )2 12

(b 2 a )2 s5 12


Ejemplo 3: El tiempo de retraso del tren suburbano entre la Ciudad de México y Cuautitlan Izcalli está programado mediante una distribución de probabilidad uniforme entre 0 y 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tren llegue por lo menos ocho minutos de retraso? ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo de retraso de este tren suburbano? Intervalo de definición 5 10 2 0 5 10 minutos Intervalo de medición 5 10 2 8 5 2 minutos 10 2 8 2 5 10 2 0 10 P ( x $ 8 ) 5 0.20 P( x $ 8) 5

La probabilidad de que el tren suburbano llegue con al menos ocho minutos de retraso es de 0.20 o 20 por ciento. La desviación estándar del tiempo de retraso es:

s5

(b 2 a )2 (10 2 0 )2 , es decir, s 5 5 2.887 12 12

Distribución de probabilidad exponencial Mientras que la distribución de Poisson es una distribución discreta de probabilidad que mide el número de sucesos u ocurrencias sobre algún intervalo de tiempo o espacio, la distribución de probabilidad exponencial mide el paso del tiempo entre un suceso y otro, de ahí que esta última distribución sea una distribución de probabilidad continua. Por ejemplo, una distribución de Poisson describe la tasa de llegada de personas, vehículos, llamadas telefónicas, etcétera, dentro de algún periodo dado, y la distribución exponencial, el lapso de tiempo que se presenta entre tales arribos. La probabilidad de que un lapso de tiempo X sea menor que o igual que cierto valor x es: P ( X # x ) 5 12 e− µ t donde: e 5 la base de los logaritmos naturales (neperianos) 2.71828 µ 5 a la tasa promedio de ocurrencia de un suceso. t 5 el lapso de tiempo entre sucesos. En la figura 5.2 se muestra la curva de una distribución de probabilidad exponencial.

283


0.0700 0.0600 0.0500 P (x )

284

0.0400 0.0300 0.0200 0.0100 0.0000 6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x Figura 5.2. Distribución de probabilidad exponencial.

En la figura 5.2 puede observarse que a medida que pasa el tiempo, el valor de X aumenta y la probabilidad asociada disminuye.

Ejemplo 4: Los taxis del aeropuerto de la Ciudad de México están programados con una distribución de Poisson de 12 taxis por hora. Un ejecutivo que llega de Guadalajara debe de estar en el centro de la ciudad lo más pronto posible ¿Qué probabilidad hay de que deba esperar un máximo de cinco minutos para conseguir un taxi?

Solución: m 5 12 taxis por hora e 5 2.71828 t 5 5 min/60 min (llegada de taxis cada 5 minutos en una hora)

P ( X # 5 ) 5 12 e− (12 )( 5 /60 )

P ( X # 5 ) 5 12 e− 1 P ( X # 5 ) 5 12 0.3679 P ( X # 5 ) 5 0.6321

La probabilidad de que llegue un taxi dentro de los próximos cinco minutos es de 0.6321 (63.2%). En la hoja electrónica de Excel esta distribución de probabilidad puede calcularse con la función:


5DISTR.EXP(t, m, 1) donde: m 5 a la tasa promedio de ocurrencia de un suceso. t 5 el lapso de tiempo entre sucesos. 1 5 valor acumulado de la función exponencial. Para el ejemplo anterior, esta función queda definida como: 5DISTR.EXP(5,12/60,1) P(X # 5) 5 0.6321

Ejemplo 5: La supercomputadora de la universidad en un día de trabajo normal recibe un trabajo de proceso electrónico para una investigación de los diferentes institutos de investigación cada 1.5 minutos. Si los trabajos llegan aleatoriamente a lo largo del tiempo a una tasa esperada constante, entonces: ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de espera entre procesos se encuentre entre 1 y 4 minutos?

Solución: m 5 1 proceso/1.5 minutos P(1 # X # 4) 5 (1 2 e2m(4)) – (1 2 e2m(1)) P(1 # X # 4) 5 (1 2 e2(1/1.5) (4)) 2 (12 e2(1/1.5) (1)) P(1 # X # 4) 5 0.9305 – 0.4866 P(1 # X # 4) 5 0.4439 La probabilidad de que un trabajo espere entre uno y cuatro minutos es de 0.4439 (44.4%). En la figura 5.3 se muestra la gráfica de la distribución de probabilidad exponencial, así como las soluciones de los ejemplos 4 y 5.

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Figura 5.3. Distribución de probabilidad exponencial.

Media y varianza en una distribución de probabilidad exponencial La media o valor esperado de esta distribución es igual a: E(x) 5 µ

Y la varianza es igual a: Var(X) 5 µ2, de donde podemos observar que la desviación estándar para esta distribución es exactamente igual que su valor esperado. Desviación estándar 5

Var ( X ) 5 µ

Ejemplo 6: El rey de la hamburguesa atiende en promedio a un cliente cada cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de atender a un cliente en un tiempo inferior que los tres minutos? ¿Cuál es su promedio de atención y cuál es la desviación estándar de ésta en el restaurante?

Solución: µ 5 1 cliente cada cinco minutos 5 1/5 5 0.20. e 5 2.71828. t 5 3 minutos.

P ( X # 3) 5 12 e− ( 0.20 )( 3)

P ( X # 3) 5 12 e− 0.60 P ( X # 3) 5 12 0.5488 P ( X # 3) 5 0.4512 En Excel: 5DISTR.EXP(3,0.20,1) P(X # 3) 5 0.4512


La probabilidad de atender un cliente en menos de tres minutos es 0.4512 (45.12%). El valor esperado es: E(x) 5 m E(x) 5 0.20, es decir, un cliente cada cinco minutos Var(X) 5 m2 Var(X) 5 (0.20)2 5 0.04 Desviación estándar 5

0.04 5 0.20

Distribución de probabilidad normal La distribución de probabilidad continua más importante es la distribución de probabilidad normal. Esto se debe, por un lado, a que hay una gran variedad de fenómenos que se pueden modelar mediante esta distribución; por otro, a que esta distribución puede utilizarse para aproximar el comportamiento de las distribuciones de probabilidad discretas; y, finalmente, a que esta distribución de probabilidad es la base para la inferencia estadística clásica, debido a su relación con el teorema del límite central. Esta distribución de probabilidad es el resultado del trabajo de investigación de varios matemáticos, entre los cuales podemos contar al astrónomo y matemático Karl Gauss (siglo xviii). En honor a su trabajo, esta distribución de probabilidad también es conocida como distribución de probabilidad de Gauss o curva de Gauss (figura 5.4).

Figura 5.4. Distribución de probabilidad normal o curva de Gauss.

En el ejemplo 7 se muestra un fenómeno que puede modelarse como una distribución de frecuencias y de probabilidad normal.

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Ejemplo 7: Una empresa maquiladora ubicada en las orillas de la Ciudad de Puebla, cuenta con 295 trabajadoras. Se quiere conocer el comportamiento del gasto semanal en transporte de la ciudad a la planta y de ésta a la ciudad; para ello se le pregunta a cada una de ellas dicho gasto. Los resultados de este estudio se muestran en el cuadro 5.1. Cuadro 5.1. Gasto semanal de trabajadoras Gasto ($) 60 65 70 75 80 85 90 100 105 110 115 120 130 Total

Trabajadoras 2 6 11 21 35 47 51 47 35 21 11 6 2 295

% 0.68 2.03 3.73 7.12 11.86 15.93 17.29 15.93 11.86 7.12 3.73 2.03 0.68 100.0

Con base en estos resultados, un analista de la empresa construye el siguiente gráfico (figura 5.5) y observa que se trata de una distribución de frecuencias (probabilidad) normal. Éste se pregunta qué características tiene una distribución de este tipo. Trabajadoras 60 50 40 30 20 10 0 60

65

70

75

80

85 90 100 105 110 115 120 130 Gasto ($)

Figura 5.5. Gasto semanal en transporte de trabajadoras de la planta maquiladora de Puebla.

1 Con los datos del analista compruebe estos resultados en una hoja electrónica (por ejemplo, Excel).


Características de una distribución de probabilidad normal La distribución de probabilidad normal y su curva normal, como se muestra en la figura 5.5, tienen las siguientes características: 1. La curva normal tiene un perfil parecido al de una campana y tiene un solo pico en el centro exacto de la distribución. Por ello, en algunas ocasiones también es llamada campana de Gauss. 2. Si trazamos una línea vertical del pico a la base de la distribución, observaremos que ésta se divide en dos partes iguales (mitad 1 y mitad 2). Ésta es una distribución simétrica. 3. La media aritmética, la mediana y la moda son iguales en esta distribución de probabilidad y están ubicadas en el punto que la divide en dos partes iguales. 4. La curva normal decrece uniformemente en ambas direcciones a partir de su valor central. Es asintótica, lo que significa que ésta se aproxima cada vez más al eje X, pero nunca llega a tocarlo. Cada uno de estos extremos se llaman colas de la distribución. La ubicada a la derecha del centro es la cola derecha y crece a 1 ∞, mientras que la otra es la cola izquierda y crece a 2 ∞. En la figura 5.6 se muestran estas características.

Mitad 1 � Mitad 2

Mitad 1

Mitad 2

Cola izquierda

��

Cola derecha

Media aritmética, mediana y moda

��

Figura 5.6. Distribución de probabilidad normal o curva de Gauss.

Como puede observarse, no hay una distribución de probabilidad única, pues la que está en las gráficas anteriores es producto de los datos del ejemplo 7, por lo que otros problemas que puedan modelarse mediante esta distribución tendrán sus propias curvas normales. Es decir, la distribución de probabilidad normal está formada por una familia de estas curvas. Cada problema que pueda modelarse mediante esta distribución de probabilidad tendrá su propia curva normal, como se muestra en las figuras 5.7 y 5.8.

289

290


Planta de Guadalajara

Planta de Cuernavaca

Planta de Puebla

Figura 5.7.

Media � 90.77

Media � 62.4

Media � 22.69

Figura 5.8. Familia de curvas normales con diferente media.


Distribución normal La expresión matemática que representa una función de densidad de probabilidad de una normal se denota por el símbolo f(X) en la forma siguiente: f (X) 5

2 1 e−0.5[( X − µ )/s ] 2πs

donde: e 5 2.71828 p 5 3.14159 m 5 media de la población s 5 desviación estándar de la población X 5 cualquier valor de la variable aleatoria continua (2 ∞ , X , 1 ∞ ) De la expresión matemática anterior puede observarse que la probabilidad de la variable aleatoria X depende sólo de dos parámetros: la media de la población (m) y la desviación estándar de la población (s). Esto último significa que, cada que se especifica una combinación de media poblacional y desviación estándar poblacional se obtiene una distribución de probabilidad normal y, por tanto, una curva normal diferente (figuras 5.7 y 5.8). Los cálculos de la función de densidad de probabilidad de una distribución normal serían muy complicados por la infinidad de combinaciones de m y s, lo que implicaría construir una gran cantidad de tablas de probabilidad. Para evitar toda esta labor, se construye una sola tabla de probabilidades denominada distribución normal estándar. Ésta tiene como objetivo convertir cualquier variable aleatoria normal X a una variable aleatoria normal estándar Z mediante una fórmula de transformación. Distribución de probabilidad normal estándar Z Como ya se indicó, cada curva normal tiene su propia m y s; por tanto, el número de distribuciones normales es ilimitado. Para evitar el cálculo de cada distribución se utiliza una sola curva normal llamada curva normal estándar, cuya variable aleatoria Z siempre tiene una m 5 0 y una desviación estándar s 5 1. Para convertir el valor de cualquier variable aleatoria X a la curva normal estándar Z se utiliza la fórmula de transformación siguiente. X 2µ Z5 s Al sustituir esta expresión en la función de densidad de probabilidad de una normal, se obtiene la función de densidad de probabilidad de una normal estándar Z. 1 −0.5 Z 2 f (Z ) 5 e 2π

291

292


En esta forma, cualquier conjunto de datos que muestre un comportamiento normal siempre puede convertirse a su forma estandarizada y después determinar cualquier probabilidad deseada a partir de una tabla de distribución normal estándar, o bien, de una tabla de distribución normal estándar acumulada.

Construcción de una tabla de distribución de probabilidad normal estándar z en excel Para construir una tabla de distribución normal estándar Z en Excel, es necesario utilizar en la hoja electrónica la función: 5DISTR.NORM.ESTAND(valor Z)

por ejemplo:

Z = 0.22 es en la hoja, 5DISTR.NORM.ESTAND(B10+E7) – 0.50

Figura 5.9. Ésta es una función de la hoja que calcula la distribución normal estándar Z acumulada de 2 ∞ al valor de Z, por lo que es necesario, para calcular un área determinada, restar 0.50 que corresponde a la primera mitad de la curva.

5DISTR.NORM.ESTAND(Z) – 0.50


En este ejemplo de tabla se utilizó una aproximación a cuatro decimales, pero puede elaborarse una con los decimales que se requiera.

Ejemplo 8: Una microempresa de electrodomésticos tiene una producción diaria que se distribuye normalmente con una media de 158 unidades y una desviación estándar de cuatro unidades. Encuentre la probabilidad de que el número de unidades producidas por día: a) Sea menor que 163 unidades. b) Sea mayor que 164 unidades. c) Esté entre 150 y 165 unidades. d ) Esté entre 160 y 168 unidades.

Solución: µ 5 158 unidades. s = 4 unidades. x 5 163 unidades. a) Sea menor que 163 unidades. Es conveniente dibujar la gráfica para tener una idea clara de lo que se quiere calcular.

158 0

163 �1.25

x z

163 2158 5 1.25 4 El valor de Z se utiliza con dos dígitos después del punto decimal, para luego usar las tablas; para Z 5 1.25 la probabilidad es de 0.3944. Se estandariza el valor de la variable aleatoria Z 5

P(Z < 1.25) 5 P(x < 163) 5 0.5 1 0.3944 5 0.8944 En la hoja electrónica de Excel, esta distribución de probabilidad puede calcularse con la función:

293

294


5DISTR.NORM(x, µ, s, acum)

donde: m 5 media de la población.

s 5 desviación estándar de la población. X 5 cualquier valor de la variable aleatoria continua (2 ∞ , X , 1∞). 1 5 valor acumulado de probabilidad de la distribución normal. 5DISTR.NORM(163, 158,4,1)5 0.89435023 b) Sea mayor que 164 unidades.

158 0

Z5

164 �1.5

x z

164 2158 5 1.5 4

Para Z 5 1.5 la probabilidad es 0.4332. P(Z . 1.5) 5 P(x . 164) 5 0.5 2 0.4332 5 0.0668 En la hoja electrónica de Excel, esta distribución de probabilidad puede calcularse con la función: = 12 DISTR.NORM(164,158,4,1) = 0.0668072 P(x . 164) 5 1 2 0.9331928 5 0.0668072 c) Esté entre 150 y 165 unidades.

150 �2

158 0

165 �1.75

x z


Z1 5

150 2158 522 4

Z2 5

165 2158 5 1.75 4

Al buscar en la tabla los valores, la probabilidad para Z15 22 es de 0.4772, y para Z2 5 1.75 es de 0.4599; por tanto: P ( 2 2 < Z < 1.75 ) 5 P (150 < x < 165 ) 5 0.4772 1 0.4599 5 0.9371 En la hoja electrónica Excel: =DISTR.NORM(165,158,4,1) – DISTR.NORM(150,158,4,1) = 0.93719071 d ) Esté entre 160 y 168 unidades.

158 160 0 �0.5

Z1 5

160 2158 5 0.5 4

Z2 5

168 �2.5

x z

168 2158 5 2.5 4

Al buscar en la tabla los valores, la probabilidad para Z1 5 0.5 es de 0.1915, y para Z2 5 2.5 es de 0.4938; por tanto: P (0.5 , Z , 2.5 ) 5 P (160 , x , 168 ) 5 0.4938 2 0.1915 5 0.3023 En la hoja electrónica Excel: =DISTR.NORM(168,158,4,1) – DISTR.NORM(160,158,4,1) = 0.30232787

Ejemplo 9: El profesor Robles comunica a sus alumnos que calificará con la letra “E” el 10% de los resultados con más alta puntuación del examen final. El promedio de los resultados obtenidos por los alumnos en el examen final es de 75 puntos y la desviación estándar es de cinco puntos. ¿A partir de que puntuación calificará el profesor con la letra “E”? Las calificaciones se distribuyen normalmente.

295

296


Respuesta: Con la tabla de la normal estandarizada en forma inversa Z0.40 5 1.282, o bien, en Excel: 5DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.510.4), es igual que 1.28155157 (se agrega 0.5, ya que se trata de una función acumulativa).

0.5

0.4 0.1 1.282 Z

De la expresión:

X 2µ s Despejamos X, que corresponde al valor de la variable aleatoria. Z5

X 5 Zs 1 µ Sustituyendo: µ 5 75 s 5 5 Z0.40 5 1.282

X 5 1.282 (5) 1 75 5 81.41 puntos

Ejemplo 10: El despacho de arquitectos Uribe, S. A. gana una licitación para diseñar y construir un centro comercial en la zona poniente de la ciudad, ¿qué altura debe tener el acceso al estacionamiento para que pueda pasar 95% de los automóviles sin ningún problema? La altura de los automóviles sigue un comportamiento normal; se sabe que la altura promedio es de 220 cm, con una desviación estándar de 15 cm.

Respuesta: Con la tabla de la normal estandarizada en forma inversa Z0.45 5 1.645, o bien, en Excel: 5DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.510.45), es igual que 1.64485363 (se agrega 0.5, ya que se trata de una función acumulativa).


0.5

0.45

X 5 Zs 1 µ

1.645 Z

Sustituyendo: m 5 220 s 5 5 Z0.45 5 1.645 X 5 1.645(15) 1 220 5 244.68 cm

Problemas 1.

X se distribuye uniformemente entre un rango de valores de 35 a 41. a) ¿Cuál es la altura para esta distribución? b) Determine la media y desviación estándar de esta distribución. c) ¿Cuál es la probabilidad de (38 # X # 39.5)? d ) ¿Cuál es la probabilidad de (X , 40.8)? e) ¿Cuál es la probabilidad de (X $ 36.2)?

2.

Una encuesta realizada a los diferentes fabricantes de pan integral en rebanadas con empaque de bolsa de plástico reporta que el costo de fabricación está entre $ 7.35 y $ 7.90. Suponga que los costos están uniformemente distribuidos. a) ¿Cuál es el costo promedio y la desviación estándar de los costos en está distribución? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo sea mayor que $ 7.50?

3.

La compañía Vitayogurt llena en promedio la presentación de yogurt para beber con 250 gramos del producto. Suponga que la cantidad al llenarlos está entre 248 y 250.3 gramos uniformemente distribuida. a) ¿Cuál es la altura de esta distribución? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el yogurt seleccionado al azar contenga menos de 250 gramos?

297

298


c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de llenado esté entre 248.5 y 250.1 gramos? 4.

Una persona gasta en promedio $ 15 000.00 al año en el seguro de gastos médicos mayores. Suponga que las cifras se encuentran uniformemente distribuidas entre $ 10 000.00 y $ 20 000.00. a) ¿Cuál es la desviación estándar de esta distribución? b) ¿Qué proporción de personas gasta más de $ 12 500.00 al año en el seguro de gastos médicos mayores? c) ¿Entre $ 13 800.00 y $ 16 700.00?

5.

El tiempo para correr una muestra de gas licuado en un cromatógrafo de gases se ha programado mediante una distribución de probabilidad uniforme entre 4.35 y 5.12 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue una muestra de gas licuado y tarde por lo menos en correr 4.7 minutos? b) ¿Cuál es la desviación estándar del tiempo de corrimiento de la muestra?

6.

Una compañía embotelladora de jugos naturales cuenta con una máquina embotelladora que se comporta de acuerdo con una distribución uniforme. Su producto principal es el jugo de naranja en botellas de 150 ml, pero su línea de envasado, llena las botellas entre 145 y 158 ml. La compañía desea saber la probabilidad de que: a) una sola botella (x) pueda contener entre 145 y 151 ml; b) una sola botella (x) pueda contener entre 148 y 152 ml.

7.

El tren suburbano de la Ciudad de México que corre del Estado de México a Buenavista se estima que presentará un tiempo de retraso en su recorrido de entre 0 y 16 minutos. Este tiempo puede modelarse con una distribución uniforme. a) ¿Qué probabilidad hay de que éste llegue por lo menos con cinco minutos de retraso? b) Cuál es la desviación estándar del tiempo de retraso de este tren suburbano.

8.

El administrador de la clínica Solidaridad-Cuijingo que atiende emergencias del área rural que le corresponde, ha observado que el tiempo entre llegadas de emergencias sigue una distribución exponencial con media de 1.30 horas. El administrador se pregunta: a) ¿Qué probabilidad hay de que el tiempo entre llegadas sea mayor que una hora?


b) ¿Qué probabilidad hay de que el tiempo entre llegadas sea mayor que dos horas? 9.

En AEROMÉXICO, el tiempo requerido para atender a un pasajero que llega al mostrador del aeropuerto sin boleto electrónico sigue una distribución exponencial con una media de seis minutos. a) ¿Qué probabilidad hay de que un tiempo de atención sea menor que tres minutos? b) ¿Qué probabilidad hay de que el tiempo de atención sea mayor que 10 minutos?

10.

El salario promedio es de $ 223 pesos por día en un despacho contable, con una desviación estándar de $ 12.50 pesos. ¿Cuál debe ser su salario por día si desea ganar: a) más que 80% de todos los empleados? b) más que 30% de todos los empleados? c) ¿menos que 20% de todos los empleados?

11.

La empresa Sers, S.A. reporta que el número de días entre la facturación y el pago de las cuentas a crédito, tiene una distribución normal con una media de 15 días y una desviación estándar de tres días. ¿Qué porcentaje de las facturas será pagado a) entre 10 y 16 días? b) entre 17 y 20 días? c) en menos de 12 días? d) en más de ocho días?

1 2.

El señor Pérez obtuvo un puntaje de 125 en rendimiento. Él afirma ser uno de los empleados que están considerados en el 3% de los más eficientes de la fábrica donde trabaja, ¿es cierta su afirmación? Las puntuaciones del rendimiento de los trabajadores siguen una distribución normal. La puntuación promedio es de 110 con una desviación estándar de seis puntos.

13.

El tiempo requerido para instalar un motor nuevo en un carro, se considera que es una variable aleatoria normalmente distribuida; el tiempo promedio utilizado para instalar un motor es de seis horas con una desviación estándar de una hora. ¿Cuál es la probabilidad de que la siguiente instalación requiera: a) entre 4.5 y 7.3 horas? b) entre 6 y 8.1 horas?

299

300


c) más de 6.5 horas?; d ) menos de 5.4 horas? 14.

Una máquina produce caramelos con longitudes que se distribuyen normalmente, con una media de 8.5 cm y una desviación estándar de 0.38 cm. El intervalo aceptable de longitud de los caramelos es de 8.21 a 8.9 cm. ¿Qué porcentaje de la producción no es aceptable?

15.

En PEMEX se aplica una prueba a todos los ingenieros encargados de las plantas de procesamiento. La puntuación promedio fue de 500 y la desviación estándar es de 80. Si los trabajadores con el 30% de puntuación más alta han de recibir una capacitación especial para ocupar mejores puestos en las diferentes superintendencias, ¿cuál es la puntuación más baja aceptable para entrar en el programa de capacitación?

16.

Los costos por hora en la operación de una torre de destilación en una planta vinícola siguen una distribución normal, con una media de 3 500 dólares por hora y una desviación estándar de 150 dólares. ¿Cuál es el costo de operación en el 5% inferior de la torre de destilación?

17.

El tiempo promedio que emplea un suscriptor del periódico Reforma en leerlo es de 55 minutos, con una desviación estándar de 12 minutos. Los tiempos de lectura tienen una distribución normal. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tarde más de 60 minutos en leer el periódico? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tarde menos de 40 minutos en leer el periódico? c) Para los que pasan la mayor parte del tiempo leyendo el periódico están en el 10% superior, ¿cuál es tiempo en el que se inicia ese 10 por ciento?

18.

El salario promedio mensual de un trabajador de una compañía manufacturera en Ciudad Juárez, Chihuahua, es de $ 3 800.00 con una desviación estándar de $ 350.00. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador gane entre $ 3 250.00 y $ 4 100.00 mensuales? b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane entre $ 4 000.00 y $ 4 650.00 mensuales?


1 9.

De acuerdo con las estadísticas de BANMEX las cantidades solicitadas en los créditos hipotecarios tienen una distribución normal, con una media de $ 65 000.00 y una desviación estándar de $ 12 000.00. Se recibe una solicitud, ¿cuál es la probabilidad de que: a) la cantidad solicitada sea mayor que $ 50 100.00? b) la cantidad solicitada esté entre $ 65 000.00 y $ 72 300.00? c) la cantidad solicitada sea menor que $ 68 070.00? d) 70% de los créditos, por qué cantidad son? e) 20% de los créditos, por qué cantidad son?

2 0. La estación de radio FM 99.3, encontró que el tiempo promedio en que una persona sintoniza la estación es de 35 minutos, con una desviación estándar de 4.5 minutos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un oyente en particular sintonice durante menos de 23 minutos la estación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un oyente en particular sintonice entre 31 y 34.5 minutos la estación? c) Setenta por ciento de los radioescuchas, ¿por cuánto tiempo sintonizan la estación?

RESPUESTAS 1.

1 1 5 5 0.1666 b 2 a 412 35 b) E(x) 5 8, s 5 1.7321 a) h 5

c) P ( 38 # x # 39.5 ) 5 0.25 d ) P ( x , 40.8 ) 5 0.9666 e) P ( x $ 36.2 ) 5 0.8 2.

a) E ( X ) 5 7.625 , s = 0.1588 b) P ( x . 7.50 ) 5 0.7272

3.

a)

1 1 5 5 0.4348 b 2 a 250.3 2 248 b) P ( x , 250 ) 5 0.8696 c) P (248.5 # x # 250.1) 5 0.6957 h5

301

302


4.

a) s 5 $ 2 886.75 b) La proporción de personas que gasta más de $ 12 500.00 al año en el seguro es de 75 por ciento. c) La proporción que gasta entre $ 13 800.00 y $ 16 700.00 al año en el seguro es de 29 por ciento.

5.

a) P(x $ 4.7) 5 05454 b) s 5 0.2223

6.

a) 0.4615 b) 0.3077

7.

a) 0.6875 b) 4.619 minutos

8.

a) 0.4634 b) 0.2147

9.

a) 0.3935 b) 0.1889

10. a) Más de $ 233.52 b) Más de $ 216.45 c) Menos de $ 212.48 11.

a) 58.27% b) 20.47% c) 15.87% d ) 99.01%

12. Es cierta su afirmación, el puntaje donde inicia el 3% de los más eficientes es de 121.29, y el puntaje del señor Pérez es mayor que este valor.


1 3.

a) P(4.5 , x , 73) 5 0.8364 b) P(6 , x , 8.1) 5 0.4821 c) P(x . 6.5) 5 0.3085 d ) P(x , 5.4) 5 0.2743

14.

36.89%

1 5.

541.95 puntos

1 6.

3 253.27 dólares

17.

a) P(x . 60) 5 0.3385 b) P(x , 40) 5 0.1056 c) 70.38 minutos

18.

a) P(3 250 , x , 4 100) 5 0.7463

b) P(4 000 , x , 4 650) 5 0.2763

19.

a) P(x . 50 100) 5 0.8928 b) P(65 000 , x , 72 300) 5 0.2285 c) P(x , 68 070) 5 0.6009 d ) $ 71 292.80 e) $ 54 900.55

2 0. a) P(x , 23) 5 0.0038 b) P(31 , x , 34.5) 5 0.2687 c) x 5 zs 1 µ 5 (0.524)(4.5) 1 35 5 37.358 minutos

303

Capítulo 6

Muestreo y distribuciones muestrales

306


Introducción En muchas situaciones de la vida cotidiana aplicamos el muestreo, sin hacer conciencia de ello; por ejemplo: una ama de casa, al preparar la sopa y los guisados, prueba una pequeña porción de ellos para determinar si quedó bien el sazón o le falta algo; una persona, mientras ve el televisor, toma el control remoto y cambia de un canal a otro, prueba algunos minutos en cada uno hasta que, por fin, elige; un catador de vinos paladea cada bebida a fin de determinar sus características organolépticas y, con base en la prueba, describe el todo contenido en una barrica; cuando alguien entra a una librería y hojea los libros o lee el resumen de una contraportada, tiene la posibilidad de concluir si el libro le es de utilidad o interés.

Muestreo y tipos de muestreo A continuación se presenta un caso en el cual se analiza la conveniencia de efectuar un muestreo en un trabajo de investigación. Considere al conjunto de todas las empresas textiles que hay en México, denominado población de estudio. Nos interesa conocer el número total de trabajadores de dicha población registrados en cada compañía. Sin embargo, el registro de trabajadores que tienen las empresas no concuerda con la producción de la empresa. Para despejar esta incógnita, hay que estudiar el total de la población; para ello es preciso que los investigadores planteen lo siguiente: • Para realizar el estudio, ¿cuántas personas hay que contratar? • ¿Cuántos viajes deberán hacerse por toda la república? • ¿Cuántas visitas a cada empresa? • ¿Cuánto tiempo duraría el estudio? • ¿Cuál sería su costo total? La lista podría seguir creciendo, pero la pregunta más importante es: ¿en realidad hay que conocer el número exacto de empleados y obreros de las empresas textiles? La respuesta es no siempre. Se concluye esto ya que, con una parte de la población total es factible conocer el número preciso para efectuar el estudio, siempre que el margen de error no rebase un límite. Hay diversas técnicas de muestreo que pueden emplearse en la solución del problema; con ellas pueden obtenerse los mismos resultados que si se abarcara toda la población (lo cual se hace en un censo), en menor tiempo y con menos recursos financieros, humanos y materiales. Si se tiene una muestra que se considere representativa podrán hacerse inferencias para toda la población. En otras palabras, el objetivo principal del muestreo es realizar generalizaciones del total de elementos de la población sin tener que analizar a cada uno de ellos. Hay diferentes razones para hacer un muestreo; entre ellas podemos mencionar las siguientes: • Población infinita: Analizar a cada elemento no sería posible, ya que se desconoce cuál es el último.

Capítulo 6 Muestreo y distribuciones muestrales

• Limitaciones de tiempo: En ocasiones, efectuar un censo consume demasiado tiempo, de modo que, cuando se reportan los resultados, la población ya no existe. Por ejemplo, si la población está conformada por un contenedor de manzanas, con el paso de los días éstas maduran y, posteriormente, se pudren. • Costo: El estudiar a cada elemento de la población es un proceso costoso. • Exactitud: El número de personas que recopilan la información deben estar bien capacitadas y bajo una supervisión muy estricta. Mientras mayor sea el número de personas involucradas se tendrá menor control sobre ellas, lo cual acarrea un mayor número de errores. Sin embargo, no cualquier muestra será útil al investigador sino sólo aquella que pueda considerarse como muestra representativa de la población; ésta se define como: Aquella parte representativa de la población, que contiene a los elementos cuyas características influyen en las variables de interés que se desean estudiar.

Hay dos técnicas de selección que son útiles para elegir los elementos de una muestra: • Selección de la muestra no probabilística. • Selección de la muestra probabilística. Las muestras no probabilísticas son aquellas en las que se desconoce la probabilidad de cada elemento de la población a seleccionar y que formará parte de la muestra. Las razones para realizar el muestreo no probabilístico son: • La población no está disponible. • Se pone en peligro la integridad física, mental o anímica de una persona; en este caso sólo se incluyen voluntarios (p. ej., al experimentar con un nuevo medicamento para el SIDA, se solicita la ayuda de pacientes que presenten dicho sídrome). • La opinión sobre un tópico determinado es de sumo interés; entonces sólo participarán elementos que posean ciertas características especiales, además de conocimientos sobre el tema.

Técnicas de muestreo no probabilísticas Hay varios tipos de muestras no probabilísticas, que a continuación se describirán. • Trozo: Es un conjunto de elementos fácilmente agrupados, en cuyo proceso de selección no interviene el encuestador. Es una muestra a conveniencia del investigador (p. ej., El trozo es el cine, entonces, habrá que entrevistar a todos los espectadores que asisten a la función). • Juicio: El investigador selecciona, según su propio criterio, los elementos de la población que formarán parte de su muestra. • Cuota: Ciertas características preestablecidas limitan el proceso de selección (p. ej., sexo, edad, nacionalidad, religión, idioma, entre otras). • Bola de nieve: Los elementos de la muestra recomiendan o sugieren a otros que pueden integrarse también.

307

308


Las ventajas de las técnicas mencionadas son: • Los recursos humanos se reducen en forma considerable. • El costo del estudio es menor. • Se minimiza el tiempo requerido para el estudio. Sus desventajas son: • Las muestras no son representativas, por lo que es incorrecto utilizarlas para hacer inferencias acerca de la población. • Quedan fuera del proceso de selección zonas peligrosas, de alto índice delictivo, vecindarios pobres y lugares inaccesibles.

Muestras probabilísticas Las muestras probabilísticas son aquellas en las que se conoce la probabilidad de cada uno de los elementos de la población. Hay diversas técnicas de muestreo probabilístico, a continuación se mencionan las que se emplean con mayor frecuencia.

Muestreo aleatorio simple (mas) Su uso es el más sencillo y generalizado. El muestreo aleatorio simple utiliza dos técnicas básicas de selección de elementos: la urna y la tabla de números aleatorios. Urna A todos los elementos de la población se les identifica con un código establecido por el investigador. Se pueden utilizar objetos como esferas, tarjetas, entre otros. Estos objetos tienen que ser físicamente idénticos a fin de que todos los elementos tengan la misma probabilidad de ser seleccionados. De este modo, se dice que todos los objetos son equiprobables (que tienen la misma probabilidad), al ser seleccionados para tomar una muestra. Se extraen de la urna los objetos que formarán la muestra. Tabla de números aleatorios Las tablas de números aleatorios se obtienen mediante programas específicos (hojas de cálculo, programas SPSS, MATHEMATICA y otros) mismos que, al generar los números aleatorios, garantizan estadísticamente la aleatoriedad de los números encontrados. En estos programas es necesario indicar el tamaño elegido de la muestra a fin de que la selección se realice de forma aleatoria por medio de funciones ya establecidas y se obtengan los elementos que la conformarán. En la hoja electrónica de Excel se puede generar una tabla de números aleatorios usando la función, = Aleatorio.Entre(inferior, superior). Por ejemplo, imagine que una empresa cuenta con 378 empleados y que un investigador desea formar una muestra sólo con 15 empleados. Si asigna un número a cada uno de ellos, desde el trabajador 1 al 378, y después se genera una tabla de números aleatorios con la función de Excel ya mencionada, los empleados en la muestra serían los que se incluyen en la tabla siguiente:


Figura 6.1. Ejemplo de tabla de números aleatorios.

Si usted genera su propia tabla obtendrá empleados diferentes para su muestra. Si utiliza el SPSS, el investigador deberá tener un archivo con los 378 empleados. Posteriormente, en el menú Data, deberá seleccionar el submenú Select Cases y en éste la opción de selección de una muestra aleatoria, Random sample of cases, como a continuación se muestra (figura 6.2).

Figura 6.2. Pantalla Select Cases.

309

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En la opción Sample, deberá indicar el tamaño de la muestra con exactitud (Exactly). Para este ejemplo hay 15 empleados (figura 6.3).

Figura 6.3.

Con ello obtenemos nuestra muestra de 15 empleados (figura 6-4).

Figura 6.4. Ejemplo de tabla con una muestra de 15 empleados.

Hay dos técnicas que pueden utilizarse para efectuar un muestreo aleatorio simple: el muestreo con sustitución y el muestreo sin sustitución.


Muestreo con sustitución o con reemplazo En este caso, la probabilidad de seleccionar el primer elemento de la muestra es la misma que la del segundo, la del tercero, y así sucesivamente, hasta seleccionar el último elemento muestral. Esto es posible porque se conoce el número de elementos y nunca se modifica, ya que al seleccionar el primero, éste se registra con el código que tiene marcado y regresa al recipiente que contiene a todos los elementos de la población. La expresión matemática para conocer la probabilidad de cada elemento es la siguiente: p=

1 N

Muestreo sin sustitución o sin reemplazo Este muestreo se caracteriza porque el número de elementos de la población disminuye conforme se va realizando la selección de cada uno ya que, al seleccionar y registrar un elemento, éste ya no regresa al recipiente que contiene a todos. Entonces, al seleccionar el primer elemento, su probabilidad es: 1 p5 N La probabilidad del segundo es: p5

1 N 21

p5

1 N 22

la del tercero será:

y así sucesivamente.

Muestreo sistemático Para utilizar la técnica del muestreo sistemático es necesario que la población sea finita, formada por N elementos, de los cuales se van a obtener n, mismos que integrarán la muestra. A cada elemento se le identifica con un código; luego, se ordenan todos en forma ascendente o descendente; después se calcula el k-ésimo elemento de la población, de la siguiente manera: N k5 n en donde k representa el intervalo de selección de cada elemento. Si el valor de k no es un número entero, entonces se toma al entero más próximo a N/n. Después debe elegirse un elemento entre 1 y k en forma aleatoria, al cual se representa como p (que es el elemento base o inicial). A partir de él se inicia el muestreo sistemático. Una vez que se conoce p (el primer elemento seleccionado), se procede a elegir los demás con un intervalo k, del siguiente modo:

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312


p, p 1 k, p 12k, p 1 3k… hasta completar el tamaño de la muestra especificado (n). Este procedimiento permite cubrir a toda la población (figura 6.5). Calcular k5

N n

k es un número entero

k no es un número entero. Seleccione el entero más próximo a N/n

Los elementos de la muestra son: p, p 1 k, p 1 2k, p 1 3k,… Figura 6.5. Diagrama de selección de una muestra sistemática.

El muestreo sistemático es fácil de realizar, sólo hay que seleccionar en forma aleatoria en dónde se inicia, y después hay que avanzar a intervalos constantes.

Ejemplo: Una empresa que cuenta con 50 empleados desea obtener una muestra sistemática de tamaño 5. ¿Cuáles empleados formarán la muestra?

Solución: 1. Calcular k 5 N/n

k 5 50/5 5 10

2. Elegir un número aleatorio entre 1 y 10, por ejemplo: 3 3. Obtener la muestra. primer empleado de la muestra: 3 segundo empleado: 3 1 k 5 13 tercer empleado: 3 1 2k 5 23, etcétera.


Empleados de la compañía 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

La muestra se integrará con los empleados: 3, 13, 23, 33 y 43.

Este tipo de muestreo se emplea mucho en secretarías de Estado o en despachos contables (p. ej., cuando se llevarán a cabo auditorías) y en cualquier oficina o despacho (para seleccionar expedientes o tarjetas de los archivos).

Muestreo estratificado El muestro estratificado se efectúa a partir de una población finita, en la cual, la mayoría de los elementos son heterogéneos. A la población se le divide en grupos llamados estratos. Cada estrato es más homogéneo en su interior con respecto a las características que se estudian, pero heterogéneos entre sí. Su tamaño puede ser igual o diferente al de los otros y son mutuamente excluyentes. N N1

N2

N3

N4

…………

Nj

N 5 N1 ∪ N 2 ∪ ... ∪ N i N 5 N1 1 N 2 1 ... 1 N i

i 5 1, 2,..... j

De cada estrato se toma una muestra aleatoria y, al unirse todas las muestras obtenidas, se obtiene por fin la muestra representativa de la población. n 5 n1 ∪ n2 ∪ ... ∪ ni n 5 n1 1 n2 1 ... 1 ni

i 5 1, 2,..... j

Al utilizar el muestreo estratificado, surge de la siguiente cuestión importante ¿de qué tamaño debe ser la muestra que se tomará de cada estrato? El tamaño depende de cuán homogéneo o heterogéneo sea el estrato, entre más homogéneo éste, será menor el tamaño de la muestra (porque los elementos son tan parecidos que no es necesario tomar un gran número de ellos) la muestra será más grande, por lo cual es preciso tener un conocimiento previo de la población. En aquellos estratos que son más heterogéneos tienen mayor variabilidad. Otro criterio para decidir el tamaño es tomar una muestra proporcional al estrato: a mayor tamaño de éste, mayor número de elementos; si el estrato es pequeño, la muestra también lo será. Imagine que, en un estudio de opinión,

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la población objeto de estudio está formada por niñas y niños, los niños son un estrato y las niñas otro (internamente hay homogeneidad dentro de cada estrato). De cada uno se toma una muestra: si la población está formada por un 60% de niñas y 40% niños, la muestra representativa de la población se integrará con esa misma proporción. La desventaja del muestreo estratificado consiste en que es complejo y costoso, pero su gran ventaja es que permite obtener resultados efectivos.

Muestreo por conglomerados En la selección de la muestra por conglomerados, la población es finita y hay que dividirla de manera natural en grupos o conglomerados (los estratos ya se han identificado). Si tomamos como ejemplo a la Universidad Autónoma Metropolitana veremos que está dividida en cuatro conglomerados naturales: unidades Iztapalapa, Azcapotzalco, Xochimilco y Cuajimalpa. Si el estrato es pequeño, internamente será más heterogéneo; pero si es más grande, será más homogéneo en su interior. De la población se selecciona, de manera aleatoria, uno o más conglomerados (ello depende del estudio); después cada uno de ellos se analiza en su totalidad, es decir, se realiza un censo (entrevistar o contabilizar a todos los elementos del estrato o estratos). Cuando todos los elementos del (los) conglomerado(s) elegido(s) forman la muestra representativa de la población, se dice que es una muestra por conglomerados unietápica (suponga que se ha seleccionado en forma aleatoria la Unidad Xochimilco). Una vez hecho esto, hay posibilidad de hacer una segunda selección dentro de cada conglomerado elegido, es decir, de ellos se toman muestras aleatorias para llegar a un número aún más reducido de unidades muestrales. A la muestra obtenida de esta segunda etapa se le llama muestra por conglomerados bietápica (la unidad Xochimilco tiene tres divisiones: Ciencias Sociales y Humanidades, Ciencias Biológicas y de la Salud y Ciencias y Artes para el Diseño. En esta etapa se elige en forma aleatoria la División de Ciencias Sociales y Humanidades). Por último, si el estudio requiere 3 o más etapas, se le llama muestreo polietápico. La ventaja del muestreo por conglomerados es que evita al investigador la tarea de listar todos los elementos de la población, cosa que, en muchos casos, es imposible hacer. Su desventaja es que, al efectuar el muestreo en dos o más etapas, los errores muestrales de cada una se acumulan, lo cual deriva en mayor error respecto a los otros métodos.

Distribución muestral de la media aritmética ( X ) De una población se pueden obtener diferentes muestras aleatorias de igual tamaño; se esperaría que el valor de la media muestral de cada una de ellas sea distinto. Sin embargo los resultados pueden ser muy parecidos y la probabilidad de que sean iguales es mínima. Imagine que de 5 subdirecciones de una secretaria de Estado, se toman 5 muestras aleatorias de 20 empleados y se obtienen las siguientes medias muestrales de sus edades: 34, 36, 33, 35 y 37; la media general de las cinco muestras resulta de efectuar las operaciones que se observan en la siguiente expresión matemática:


Media de muestras 5

34 1 36 1 33 1 35 1 37 5 35 5

Entonces, la media de la población es: µ 5 35. Las diferencias o variabilidades entre las medias muestrales (lo que se obtiene) y la media de la población (lo que se espera) se conoce como error por muestreo debido al azar. El valor estadístico (la media muestral) calculado a partir de una muestra aleatoria, varía de una muestra a otra; por ello, es necesario estudiar la distribución de todos los valores de las medias muestrales. Esto es importante en la estadística inferencial porque a partir de los estadísticos muestrales se harán inferencias acerca de las poblaciones. Al analizar las distribuciones asociadas con los estadísticos muestrales, se podrá emitir una opinión en cuanto a la confiabilidad de un estadístico muestral como una herramienta para hacer inferencias sobre un parámetro poblacional desconocido. Los valores de las medias muestrales se pueden considerar como una variable aleatoria, y ésta debe relacionarse con su frecuencia correspondiente. La asociación de todos los valores posibles de la media muestral con su frecuencia, calculados a partir de muestras de igual tamaño, genera una distribución de medias muestrales. En la figura 6.6 se muestra cómo se genera una distribución de medias muestrales. X1

muestra 1

X1

muestra 2 .

X2

. . .

XK

muestra k

X2 XK Distribución de medias muestrales X1

Figura 6.6. Ejemplo de distribución de medias muestrales.

Ejemplo 1 Se supone una variable aleatoria (x) que tiene el siguiente conjunto de valores: 2, 4, 6, 8. Se eligen muestras aleatorias de tamaño 2 con reemplazo, encontrar: µx, media poblacional sx, desviación estándar poblacional µx, media de la distribución muestral de medias.

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sx, desviación estándar de la distribución muestral de medias Graficar la distribución probabilística de las medias muestrales.

Solución: a. Obtenga la media poblacional, que es: X

P (x)

2

¼

4

¼

6

¼

8

¼

Total

1

2 1 4 1 6 18 55 4 b. Luego, calcule la desviación estándar de la población, con la siguiente ecuación: E(x)= µ x 5

n   1  1  1  1  s x2 5 ∑ xi2 P( xi ) 2 µ 2x 5 ( 22 )   1 ( 4 2 )   1 ( 62 )   1 (82 )    − ( 5) 25 5  4  4  4  4   i =1

s x 5 5 5 2.236

c. En seguida, liste los elementos que forman las posibles muestras de tamaño 2 que se pueden tomar con reemplazo, a fin de elaborar la distribución muestral de la media y la correspondiente distribución probabilística de las medias muestrales. Muestra

x

(2, 2) (2, 4) (2, 6) (2, 8) (4, 2) (4, 4) (4, 6) (4, 8) (6, 2) (6, 4) (6, 6) (6, 8) (8, 2) (8, 4) (8, 6) (8, 8)

2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8


317

Distribución probabilística de las medias muestrales (media de cada muestra). x

frecuencia

P (x )

2

1

1/16

3

2

2/16

4

3

3/16

5

4

4/16

6

3

3/16

7

2

2/16

8

1

1/16

Total

16

1

Como siguiente paso, elabore la representación gráfica de la distribución de frecuencias de las medias muestrales, lo cual se muestra en la figura 6.7.

Frecuencia Relativa

Distribución de frecuencias de las medias muestrales

Medias muestrales Figura 6.7. Distribución de frecuencias de las medias muestrales.

La media de la distribución muestral de medias se obtiene de la siguiente expresión: n  3  4  3  2  1  1  2 µ x 5 E x 5 ∑ xi P ( xi ) 5 2   1 3   1 4   1 5   1 6   1 7   1 8   5 5  16   16   16   16   16   16   16  i51

()

d) La desviación estándar de la distribución muestral de medias es: n   2  1   1  2  3  4  3 s x2 5 ∑ xi2 P ( xi ) − µ 2x 5 ( 22   1( 32   1( 4 2   1(52   1 62   + 72   182    2( 5) 25 2.55     16            16 16 16 16 16 16 i =1 

)

sx =

s x 2.336 = = 1.5811 2 n

)

)

)

318


De lo anterior podemos deducir que la relación entre la desviación estándar poblacional y la desviación estándar muestral puede expresarse de la siguiente manera: sx =

s x 2.336 = = 1.5811 2 n

Como cualquier variable aleatoria, la distribución muestral de medias tiene una media o valor esperado, una varianza y una desviación estándar. Después de haber realizado el ejercicio anterior puede decirse que el Teorema central del límite proporciona información referente a las tres características de la distribución muestral de x . Si se extraen de la población todas las posibles muestras del mismo tamaño y se calcula su estadístico, se observaría que: a) La media poblacional es igual a la media de las medias muestrales. µx 5 µx b) El error típico de x es igual a la relación entre la desviación estándar poblacional y la raíz cuadrada de n: s sx 5 x n c) Si la población de la que se extraen las muestras es normal, la distribución muestral de medias será normal sin importar el tamaño de la muestra (figura 6.8).

Población “Distribución muestral de medias generadas con muestras de igual tamaño, obtenidas de una población”

Figura 6.8. Distribución muestral de medias generadas con muestras de igual tamaño.

Si la población no es normal, entonces el tamaño de la muestra debe ser mayor o igual que 30 (n $ 30) para que la distribución muestral tenga una forma de campana, por lo que mientras mayor sea el tamaño de la muestra, más cerca estará la distribución muestral de ser normal. Entonces, la fórmula para calcular la probabilidad del comportamiento del estadístico, en este caso la media muestral, queda expresada en la siguiente forma:


Z5

x − µx sx n

Para poblaciones finitas y muestreo con reemplazo la expresión es la siguiente: x − µx sx N − n n N −1 Se puede observar que en la fórmula está incluido el multiplicador de población finita: Z5

en donde:

N 2n N 21

N es el número de elementos de la población. n el número de elementos que forman la muestra. El multiplicador se utilizará si el resultado del cociente de la fracción muestral (n/N) es mayor a 0.05; en caso contrario no es necesario utilizarlo, debido a que el valor de este multiplicador tiene valor de 1, y cualquier cantidad multiplicada por 1 es igual a sí misma. Por ejemplo, suponga los datos siguientes: N 5 1,500 y n 5 20.

Solución:

20 n 5 5 0.013 N 1500 1500 2 20 N 2n 5 0.9936 ≅ 1 5 1500 21 N 21

La fracción muestral es menor que 0.05; por tanto, para este ejemplo no es necesario utilizar el multiplicador de población finita.

Ejemplo 2: BANCOMER estima que sus cuentas individuales de inversión tienen una distribución normal, con un promedio de $ 12 000.00 y una desviación estándar de $ 9 798.00. Si un empleado selecciona una muestra de 150 cuentas, a) ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre $ 11 300.00 y $ 13 400.00?

319

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b) ¿cuál es la probabilidad de que dicha media muestral esté entre $ 10 800.00 y $ 11 000.00? c) ¿de que sea mayor de $ 9 800.00? d) ¿de que sea mayor de $ 13 780.00 y menor de $ 9 650.00? Solución con Excel (figura 8.9):

Datos µ 5 $ 12 000.00

sx 5 $ 9 798.00

n 5 150

sx 5

sx 9798 5 5 800 n 150


Figura 6.9. Procedimiento para hallar la probabilidad de la media muestral de las cuentas individuales de BANCOMER usando Excel.

Ejemplo 3 Los salarios semanales de los vendedores de enciclopedias de Editorial Futuro tienen una media de $ 700.00 y una varianza de $ 15 129.00. El patrón de distribución de los salarios se desconoce, pero se sospecha que no es normal. Se selecciona una muestra de 64 vendedores; con esto se asegura que la distribución muestral tenga forma de campana. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor de $ 645.00? b) ¿De que sea mayor de $ 730.00? c) ¿De que sea menor de $ 735.00?

Datos

sx 123 5 5 15.375 n 64 En la figura 6.10 se muestra el procedimiento con Excel. µx 5 $ 700

s x 5 15129 5 123

n 5 64

sx 5

321

322


Figura 6.10. Procedimiento con Excel, ejemplo 3.

Ejemplo 4 El Estado de México tiene una población de 30 empresas artesanales del mismo tamaño; en todas hay cierto nivel de ausentismo. Un estudio indica que en una muestra de 8 empresas, la distribución de los días de ausentismo del personal en un año tiene una media de 18 días y una desviación estándar de 3 días. a) Calcule el error típico estándar de la distribución muestral de la media. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor de 16.5? c) ¿De que sea mayor de 18.25 y menor de 16.75?

Datos µx 5 18

N 5 30

n58

sx 5 3

8 n Y puesto que, 5 5 0.266 , entonces se debe utilizar el multiplicador de población N 30 finita.

Solución: s sx 5 x a) n

3 N 2n 5 N 21 8

30 2 8 5 0.924 30 21

En la figura 6.11 se muestra el procedimiento con Excel.


Figura 6.11. Procedimiento con Excel del ejemplo 4.

Distribución muestral de la proporción ( p ) Hay situaciones en las cuales la media muestral no es de interés, sino que se quiere analizar, por ejemplo, la proporción de mercancía defectuosa o de personas de la tercera edad que tienen la credencial del INSEN. Para esto, la distribución muestral de la proporción es la adecuada (figura 6.12). Ésta se genera del mismo modo que la distribución muestral de medias, con la diferencia que la población de donde se extraen las muestras tiene una proporción de éxitos determinada, por lo que las muestras extraídas también x la tienen. La proporción de éxitos de la población se expresa con P 5 , y la proporN x ción muestral se calcula con p 5 , en donde x es el número de éxitos o datos de interés n y n es el tamaño de la muestra. Población

p1

p1

p2

p2

muestra 1 muestra 2 • •

pK

pK

muestra k

Figura 6.12. Forma de construir la distribución de proporción.

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324


La fórmula para calcular la probabilidad de una distribución muestral de proporciones se basa en la aproximación de la distribución binomial a la distribución normal. La primera se puede aproximar a la segunda siempre que el tamaño de la muestra sea grande. La fórmula siguiente se utilizará para calcular la probabilidad de tener muestras de cierto tamaño que tengan una proporción de éxitos: Z5

p 2P

sp

P (12 P ) n Por lo que la expresión para una población infinita queda:

sP 5

Z5

p2P

P (12 P ) n Para una población finita se utiliza el multiplicador de población finita:

sP 5

P (12 P ) N 2 n n N 21

Con la expresión anterior, Z queda expresada de la siguiente manera: Z5

p2P

P (12 P ) N 2 n n N 21

Si la distribución muestral de proporciones se puede calcular con la aproximación a una distribución normal de probabilidades, hay que realizar una corrección por continuidad, que dará un resultado más exacto. Lo anterior es para compensar la estimación de una distribución de variable discreta con una de variable continua. El factor de corrección de continuidad es:  1  1     2 n Este factor de corrección se sumará o restará según sea el caso: I. Para la probabilidad de que al menos ($) x ocurra, se resta el factor. II. Para la probabilidad de que ocurra más que x, se suma el factor. III. Para la probabilidad de que x o menos ocurra, se suma el factor. IV. Para la probabilidad de que ocurra menos de x, se resta el factor.

Ejemplo 5 De una población de 2 000 vendedores de aparatos electrodomésticos, 40% piensa en aumentar sus pedidos de máquinas lavatrastes. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar


una muestra aleatoria de 400 vendedores con una proporción muestral de 46% o mayor que desea incrementar sus pedidos de máquinas lavatrastes?

Datos

P = 0.40 p 5 0.46 n 5 400 N 5 2000 , y puesto que: 400 n 5 5 0.2 este valor indica que sí se utiliza el multiplicador de población finita N 2000

sP 5

0.4 (12 0.4 ) 2000 2 400 P (12 P ) N 2 n 5 5 0.0219 400 2000 21 n N 21

1 1 1 1  Factor de corrección de continuidad:     =    = 0.00125  2   n   2   400  Z5

(

( 0.46 2 0.40 ) 2 0.00125 0.0219

5 2.68

)

P p $ 0.46 P 5 0.40 5 0.5 2 0.4963 5 0.0037 Se observa que hay aproximadamente 0.37 posibilidades en 100 de seleccionar muestras de tamaño 400, con una proporción muestral mayor o igual que 0.46, en una población en la que la proporción es 0.40. Elección del tamaño de la muestra Al elegir el tamaño de la muestra, la mejor opción implica un equilibrio entre el costo del muestreo y la precisión que se requiera. Las muestras grandes brindan más precisión pero son más costosas y analizarlas lleva más tiempo. Con frecuencia el presupuesto determina el tamaño, y con esto se olvida que éste debe ser lo suficientemente grande para obtener un nivel de exactitud. La heterogeneidad o variabilidad de los elementos de la población es otro factor que influye en el tamaño. Se recomienda que a mayor heterogeneidad mayor sea la muestra, pero esto último está supeditado al presupuesto del cual se disponga. Selección del tamaño de la muestra para la estimación de medias Durante el muestreo, siempre surge la pregunta, ¿cuántos elementos, casos u observaciones deberán formar la muestra? Para responder a esto, el analista deberá establecer con exactitud el objetivo de su investigación. Aquí se analizará, primero, cómo estimar una media poblacional. El número de observaciones necesarias para estimar una media poblacional (µ) que tengan un límite para el error de estimación (E), se puede obtener al establecer dos desviaciones estándar del estimador, igual al límite propuesto como error de estimación. El

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tamaño de una muestra para estos casos, desde el punto de vista matemático, se puede encontrar despejando n de la ecuación siguiente:

[2] cuya solución es: n5 donde:

n 5 tamaño de la muestra

N 5 tamaño de la población

s2 5 varianza poblacional

E 5 error de estimación

s 2  N − n   5E n  N −1 Ns 2 E2 ( N 21) 1s 2 4

Esta ecuación presenta un problema serio ya que, en la práctica, la varianza poblacional (s2) es desconocida. Para solucionar este problema, el investigador puede recurrir a una varianza muestral (S 2) que haya obtenido con un estudio previo y sustituirla en la ecuación anterior, obteniendo así la fórmula para conocer el tamaño de una muestra que permite estimar la media poblacional. n5

NS 2 E2 ( N 21) 1 S 2 4

Ejemplo 6 El contador general de una empresa de manufactura debe estimar el promedio de cuentas por cobrar de su empresa. Aunque no cuenta con los datos anteriores, un estudio previo demuestra que la varianza fue de $ 625 pesos2 (S2). El contador desea establecer el tamaño de muestra necesario para estimar la media poblacional, si sabe que hay 1 200 cuentas abiertas (N) y desea un error de estimación (E) de $ 5.00.

Datos N 5 1 200

S 2 5 625 y

E55

Solución n5

NS 2 E2 ( N 21) 1 S 2 4

n5

1200(625) 5 92.378 52 (1199) + 625 4


Es decir, hay que estudiar alrededor de 92 cuentas para estimar la media poblacional de cuentas por cobrar, con un error de estimación de $ 5.00. Selección del tamaño de muestra para la estimación de una proporción poblacional Cuando se realiza una encuesta por muestreo, casi siempre lo que interesa es estimar la proporción de la población que posee una característica específica: por ejemplo, en México, a un candidato a diputado local o federal quizá le interese determinar la proporción de votantes que hay en su distrito electoral, que se encuentren en un rango de 20-25 años de edad. A un pequeño empresario, tal vez le sea de utilidad conocer cuál porcentaje de las ventas corresponde a un producto particular que él fabrica, y así por el estilo. Los casos mencionados tienen las características de un experimento binomial, es decir, una observación puede o no pertenecer a la categoría de interés. Entonces, los elementos en una muestra de tamaño n que presentan la característica de estudio es: n

∑X i =1

i

Si se elige una muestra aleatoria simple de tamaño n, su proporción muestral, pˆ , es la fracción de elementos en la muestra que poseen las características de interés. Esto último puede expresarse en forma matemática como: n

pˆ 5

∑X i =1

i

5x n Es decir, pˆ es el promedio binomial de los valores 0 y 1 de la muestra. En el mismo sentido, la proporción poblacional es el promedio de los valores binomiales de la población (p 5 µ). Entonces, p es la proporción de éxitos en la muestra (recuerde que se trata de una binomial) y q la de fracasos. La relación que permite estimar una proporción poblacional mediante determinado tamaño de muestra (n) es: Npq n5 E2 ( N 21) 1 pq 4 donde: n 5 tamaño de la muestra N 5 tamaño de la población p 5 proporción de éxitos en la muestra q 5 proporción de fracasos en la muestra E 5 error de estimación

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Ejemplo 7 En una universidad pública, el director de una de sus facultades debe hacer una encuesta para determinar la cantidad de estudiantes que apoyarían la prohibición de fumar dentro de los edificios. La facultad cuenta con 3 000 estudiantes inscritos, por lo cual sería muy difícil efectuar entrevistas individuales. Si requiere obtener una muestra, ¿de qué tamaño debe de ser ésta? El error de estimación permitido es de 5%. No hay información previa disponible dado que se trata de una nueva disposición en el campus.

Datos En vista de que no hay información previa, hay que aproximar el tamaño de la muestra asignando a p y a q un valor de 0.5. Estos valores garantizan una muestra lo más grande posible. N = 3000 p = 0.5 q = 0.5 E = 0.05

Solución n5

Npq E2 ( N 21) 1 pq 4

3000(0.5)(0.5) 5 353.045 0.0025 (2999) 1 (0.5)(0.5) 4

n5

Es decir, el director deberá entrevistar a 353 estudiantes para saber qué proporción de ellos estarían a favor de la prohibición de fumar en edificios de la facultad. El error de estimación permitido sería de 0.05.

Cálculo del tamaño de muestra cuando se desconoce el tamaño de la población (N) Cuando el tamaño de una población (N) se desconoce y se supone que ésta presenta una distribución normal, la muestra para estimar una media se puede obtener a partir de las relaciones de los intervalos de confianza, especificando el nivel de confianza deseado (90%, 95% o 99%) y el error de estimación permitido (E). Tamaño de muestra para estimar una media poblacional n5

Z 2s 2 E2

donde: n 5 tamaño de la muestra Z 5 el valor Z estandarizado para el nivel de confianza especificado E 5 error de estimación permitido s2 5 varianza poblacional


Como ya se indicó, es muy probable que la varianza poblacional no se conozca en la práctica, por lo que deberá sustituirse por una varianza muestral (S 2) estimada.

Ejemplo 8 El Infonavit analiza una serie de quejas sobre la separación entre casa y casa. Ésta debe respetarse a fin de evitar a los vecinos molestias ocasionadas por el ruido. Sus peritos establecen en esta separación un error máximo (E) de 2 cm, es decir, se permite un espacio de 4 cm entre pared y pared. Si el Instituto desea establecer un intervalo de confianza (IC) de 95% para el tamaño promedio de separación entre las casas y una muestra piloto revela una desviación estándar (S) de 6 cm. ¿Qué tan grande deberá ser la muestra (n) que se seleccione para el estudio?

Datos N 5 ? E 5 2 cm. IC 5 95% S 5 6 cm

Solución

n5

Z 2s 2 E2

n5

(1.96)2 (6)2 5 34.574 (2)2

La muestra (n) que se tome para este estudio debe de ser de aproximadamente 35 casas. Tamaño de muestra para estimar una proporción poblacional La proporción poblacional en la que el tamaño de la población se desconoce (N) pero se supone que presenta una distribución normal, puede calcularse a partir del establecimiento de un nivel de confianza y un error de estimación de la proporción, con la relación siguiente: n5

Z 2 P (12 P ) E2

donde: n 5 tamaño de la muestra Z 5 el valor Z estandarizado para el nivel de confianza especificado E 5 error de estimación permitido P 5 es la proporción de la población El valor de P se podría estimar con base a una muestra preliminar, pero con frecuencia se establece como P = 0.5, ya que éste garantiza un tamaño de muestra lo más grande posible, al margen del nivel de confianza y el error deseado en la investigación.

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Ejemplo 9 Un candidato se está postulando para gobernar el Distrito Federal y desea estimar dentro de un punto porcentual la proporción de personas que votarían por él. Espera tener 90% de confianza en sus hallazgos. ¿Qué tan grande debe ser la muestra?

Datos N5?

E 5 1%

IC 5 90%

P 5 0.5

Z 2 P (12 P ) (1.64)2 (0.5)(1 − 0.5) n 5 5 6724 E2 (0.01)2 El candidato debe obtener una muestra de 6 724 votantes potenciales para su investigación si desea tener 90% de confianza y un error de estimación de 1%. n5

Elementos para el diseño de cuestionarios El cuestionario es un instrumento de recolección de datos, cuyo diseño, construcción y aplicación deben efectuarse de manera cuidadosa, ya que de ello depende la obtención de datos precisos y útiles que permitirán obtener información relevante. Cada cuestionario elaborado debe ser considerado “único, por definición” (Posner, 2002: 10). En este sentido, su diseño sólo podrá iniciarse si ya se cuenta con la especificación completa de las variables que se van a medir y con las escalas de medición que para ello se utilizarán. Se supone que dichas variables se han establecido con base en los objetivos y metas ya propuestos. No hay un procedimiento único que permita construir un cuestionario; por ello, aquí se proponen algunas ideas útiles para hacerlo. Primero, las variables de investigación deberán agruparse en módulos que brinden información sobre un tema específico; por ejemplo, podrán hacerse preguntas que reflejen un perfil mínimo de los encuestados (es decir, que permitan saber quién respondió). En cada módulo se harán las preguntas que respondan mejor a cada variable. Así, el investigador social debe definir los diversos módulos del cuestionario de acuerdo con los objetivos y metas de la encuesta. Tampoco hay un método con el cual sea posible definir con precisión cada una de las preguntas. Una guía útil en este sentido es la que se ha obtenido de los trabajos de William Foddy (1999) y A. N. Oppenheim (1997). Al diseñar las preguntas para cada módulo módulos del cuestionario es conveniente considerar lo siguiente:

1 Tomado con modificaciones de: Pierdant, Alberto I. y Rodríguez F., Jesús (2004). “Algunas consideraciones para el diseño de encuestas, cuestionarios y muestras en ciencias sociales”. En: Quehacer científico. Un panorama actual en la UAM-Xochimilco, Tomo I. México: Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (UAM-X).


• Evitar hacer preguntas basadas en hechos. • Utilizar un lenguaje adecuado para el entrevistado. • Establecer cada pregunta de la manera más clara posible. • Cuidar el formato de la pregunta. • No perder de vista el contexto cultural del entrevistado. • Hacer una secuencia de preguntas que genere interés en el entrevistado. • Establecer un balance entre preguntas abiertas y cerradas. • Diseñar de modo adecuado el área de respuestas. Todo cuestionario puede incluir tres tipos de preguntas: • Abiertas sin clasificación. Con ellas, el entrevistador intenta registrar la respuesta completa del entrevistado. • Abiertas con clasificación. El entrevistador usa una clasificación de respuestas, misma que no se lee al entrevistado. • Cerradas o de formato estructurado. Hay una clasificación definida para la respuesta. Oppenheim (1997, 112-115) enumera en forma adecuada las ventajas y desventajas que presenta cada una de las categorías mencionadas. Conocerlas permite al investigador social seleccionar el tipo de pregunta más apropiado para cada módulo. Para los especialistas de las ciencias sociales, las preguntas pueden diseñarse con la técnica de convergencia (también conocida como “del embudo”), que consta de cuatro etapas, 1. Inicie con una pregunta amplia sobre el tema (p. ej., ¿Cuál es su opinión sobre el café? o ¿Qué piensa usted de la gente que bebe café?). 2. Elabore preguntas más restringidas sobre el tema (¿Usted bebe café en ocasiones? o ¿Bebe usted café desde joven?). 3. Incluya preguntas todavía más restringidas (¿Usted cree que el café puede dañar en algún sentido? o ¿Qué desventajas hay al beber café?). 4. Haga preguntas acerca del tema de estudio pero sin plantearlas en una dirección específica hasta donde sea posible. (Algunas personas consideran que el café es malo para su organismo, pero otras dicen que esto no las afecta, ¿qué piensa usted al respecto?). Es posible utilizar preguntas filtro, las cuales pueden o no excluir al informante de un módulo particular. Como resultado de este proceso se obtiene un primer cuestionario que deberá someterse a una prueba piloto (en ocasiones, a más de una), en la cual se compruebe su validez y eficacia en la obtención de datos para el estudio, para el que ha sido diseñado. Finalmente, con la verificación del orden, vocabulario, contexto cultural y formato de cada pregunta, el investigador deberá efectuar las modificaciones pertinentes, obteniendo con ello el cuestionario definitivo.

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Problemas 1.

Las utilidades de las cajas de ahorro presentan una distribución de la población, con una media de $ 25 000.00 y una desviación estándar de $ 3 000.00. Si se obtiene una muestra aleatoria de 40 cajas de ahorro. ¿Cuál es la probabilidad de que sus utilidades promedien más de $ 25 750.00 al año?

2.

BANMEX estima que sus cuentas individuales de inversión presentan una distribución normal, con una media de $ 4 000.00 y una desviación estándar de $ 1 200.00. Si un empleado selecciona una muestra aleatoria de 200 cuentas. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio esté entre $ 3 900.00 y $ 4 050.00?

3.

Se selecciona una muestra de 36 vendedores ambulantes y se determinan sus ingresos semanales. Si dichos ingresos tienen una media poblacional de $ 3,500.00 y una desviación estándar de $ 1 020.00, a) ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral sea menor que $ 3 150.00? b) ¿cuál es la probabilidad de que dicha media sea mayor que $ 2 950.00 pero menor que $ 3 080.00?

4.

Las puntuaciones de un examen se distribuyen normalmente con un promedio de 70 y una desviación estándar de 16. Se selecciona una muestra aleatoria de 35 puntuaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio muestral sea menor de 75?

5.

En BANMEX se autorizó 35% de las solicitudes de crédito hipotecario para la compra de nuevas casas. Se seleccionó una muestra aleatoria de 400 clientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de las solicitudes autorizadas sea mayor que 0.3? b) ¿Cuál es la probabilidad de que dicha proporción esté entre 0.32 y 0.38, inclusive?

6.

De acuerdo con las estadísticas, 20% de los tarjetahabientes de la compañía Hermanos Vázquez incrementaron sus compras en el mes de agosto, durante la venta promocional “agosto al costo”. Se tomó una muestra aleatoria de 450 clientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de los tarjetahabientes de Hermanos Vázquez que incrementaron sus compras esté entre 0.24 y 0.26 en el mes de agosto? b) ¿Cuál es la probabilidad de la proporción muestral de tarjetahabientes de Hermanos Vázquez incrementaron sus compras en el mes de agosto en menos o igual a 0.18?


7.

Se estima que, de una población de 5 000 clientes de la empresa Salinas y Rocha, 40% de ellos pagan al contado. Se tomó una muestra aleatoria de 500 clientes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de clientes que pagan al contado sea mayor que 0.42? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de clientes que pagan al contado esté entre 0.35 y 0.37, inclusive?

8.

Según estudios estadísticos, 38% de una población ha recurrido a la medicina homeopática por los altos costos que ofrece la alópata, además de que brinda a la salud mayores beneficios. Se toma una muestra aleatoria de 400 personas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de las personas que recurren a la medicina homeopática esté entre 0.32 y 0.41, inclusive? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de personas que recurren a la medicina homeopática sea menor o igual que 0.45?

9.

En la colonia Campestre, en Puebla, por experiencia se sabe que la desviación estándar de los ingresos de 1000 familias es de $ 1500.00 al mes. ¿Qué tan grande debe ser la muestra que el Ayuntamiento debe seleccionar para estimar el ingreso medio mensual de las familias, si éste debe ser, más o menos, de $ 500.00? Se desea que el estudio tenga un nivel de confianza de 95%.

10.

En Guadalajara se propone una ley que prohíbe fumar en edificios públicos (restaurantes, tabernas y teatros). Sólo estará exenta la vivienda privada. El Ayuntamiento desea estimar la proporción de residentes que estarían de acuerdo con dicha ley. De inicio, se busca estimar el tamaño muestral adecuado para la consulta. Al encargado del estudio se le indica que el error no debe exceder de 2% y el nivel de confianza esperado debe ser de 95%.

Respuestas 1.

P(x . 25750) 5 0.5 2 0.4431 5 0.0569

2.

P(3900 , x , 4050) 5 0.3807 1 0.2222 5 0.6029

3.

a) P ( x < 3150) = 0.5 2 0.4802 5 0.0198 b) P (2950 < x < 3080) = 0.4994 2 0.4933 5 0.0061

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4.

P ( x , 75) = 0.9678 P ( x , 75) = 0.5 1 0.4678

5.

a) P ( p . 0.3) 5 0.982 b) P(0.32 # p # 0.38 / P 5 0.35) 5 0.7916

6.

a) P(0.24 , p , 0.26 / P 5 0.2) 5 0.0162 b) P( p # 0.18 / P 5 0.2) 5 0.1444

7.

a) P( p . 0.42 / P = 0.4) = 0.1807 b) P(0.35 , p , 0.37 / P 5 0.4) 5 0.0742

8.

a) P(0.32 , p , 0.41/ P 5 0.38) 5 0.8851 b) P( p # 0.45/P 5 0.38) 5 0.9980

9.

X ± ZsX

__

∧

∧

s X = 255,

∧

Z s X = 500

s = 255 n

∧

1.96 s X = 500

15000 = 255 n

n = 5.882 n = 34.6 ≈ 35 familias 10.

n=

(1.96)2 (0.5)(0.5) = 2 401 ciudadanos (0.02)2

Capítulo 7

Estadística inferencial

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Introducción Con la estadística se busca explicar muchos de los fenómenos o sucesos que se presentan en una población; por ejemplo, se quiere saber si en un mercado determinado un producto novedoso tendrá éxito o no, o bien, si un determinado medicamento que cura un malestar será efectivo para una población adulta mayor de 40 años. Sin embargo, establecer con precisión si el producto será novedoso para toda una población, o bien, si el medicamento será efectivo para esa población adulta será muy difícil, ya que ello implicaría estudiar todos y cada uno de los individuos que, por un lado, son compradores potenciales del producto novedoso, o bien, estudiar el impacto del medicamento propuesto en la población adulta mayor de 40 años que sufre ese padecimiento en una región, un país o en el mundo. Como se observa, la solución de estos problemas no es sencilla, por ello, en estadística, se les da una solución muy cercana a la que obtendríamos si estudiáramos cada una de esas poblaciones en su totalidad. Sin embargo, sólo se estudia parte de ellas; es decir, se obtiene una muestra de cada población, la cual se estudia, y con este estudio (de cada muestra), inferimos (deducimos) el comportamiento de su respectiva población; esto es, generalizamos el comportamiento de una población sólo con el estudio de una de sus muestras.

Estadística inferencial La inferencia estadística tiene como objetivo generalizar o inferir conclusiones útiles acerca de la totalidad de las observaciones; es decir, conclusiones que sean válidas para toda una población a partir del análisis de los datos coleccionados de una muestra de ella. La inferencia estadística constituye la base teórica del muestreo, esto es, permite conocer el todo (la población de interés) con cierta aproximación a partir del estudio de una parte (precisamente, esa parte es la muestra que se obtiene de esa población). Es importante mencionar que, la descripción de un todo o población con base en los principios de la estadística inferencial no da una certeza completa de las medidas que se desean conocer de ella, ya que éstas están sujetas a un posible error, a causa de que las unidades seleccionadas (muestra), más o menos numerosas, no hayan sido escogidas de acuerdo con ciertos procedimientos y que la variabilidad de las características de estudio sea más o menos grande. Sin embargo, la aproximación de las medidas de la población que se estudia, a partir de los datos de la muestra, es muy cercana a las medidas que se obtendrían si se estudiara toda la población. Observe que, estudiar toda una población es, en muchos casos, muy difícil, si no es que imposible. Por ejemplo, suponga que la compañía que lanzará el producto novedoso, el cual puede adquirirse por cualquier individuo (niño, joven, adulto o adulto mayor), desea venderlo en México. ¿Cuántos clientes potenciales tiene? (a la fecha hay más de 100 millones de éstos) y ¿cuántos de ellos lo comprarán? Éstas serían las dos primeras preguntas que se haría la compañía. Responderlas, como puede observarse, no es fácil, por lo que para ello requerimos de la inferencia estadística.

Capítulo 7 Estadística inferencial

Estimación Una de las primeras herramientas de análisis de una población que emplea la inferencia estadística es la estimación. La estimación consiste en determinar los parámetros desconocidos de una población a partir de los datos de una muestra que ha sido obtenida de ella. Los datos de la muestra permiten obtener estadísticos (media, mediana, desviación estándar, etcétera), los cuales se utilizan como estimadores de los parámetros de la población. Por ejemplo, la media aritmética de una muestra x , es un estimador de la media de la población µ, de donde ha sido obtenida esta muestra. La estimación se divide en: • Estimación puntual. • Estimación por intervalos.

Estimación puntual Es la herramienta de inferencia estadística más sencilla, ya que con ella sólo es necesario calcular un único valor o estadístico de los datos que se han obtenido de la muestra de una población. Este valor único o estadístico se convierte en el estimador del parámetro poblacional. Este tipo de estimación se conoce como estimación puntual o de punto, ya que mediante un solo valor o punto se caracteriza el parámetro de la población en estudio. Para poder utilizar este tipo de estimación, es necesario suponer que la población de estudio se comporta como una distribución normal; de aquí que, la media aritmética de una muestra será el estimador de la media poblacional, la mediana muestral será un estimador de la mediana poblacional, la desviación estándar muestral será un estimador de la desviación estándar poblacional, y la proporción en una muestra podrá utilizarse como un estimador de la proporción de la población. Un valor específico calculado para una muestra (es decir, un estadístico de la muestra) es para nosotros una estimación del parámetro de la población.

Ejemplo 1: El programa de apoyo a jubilados en el Distrito Federal permite realizar descuentos en el pago mensual del servicio de agua. Se toma una muestra de 35 pagos (en pesos) hechos por los jubilados. Se quiere obtener una estimación puntual de la media y la desviación estándar del pago que hace un jubilado por este servicio en el Distrito Federal.

1 Recordemos que un parámetro es una estadística que se obtiene de una característica particular de una población, al estudiar todos los elementos que la forman.

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Solución: Capturamos los datos en Excel, y con el uso de las funciones estadísticas (que se mencionaron en el capítulo 2) obtenemos la estimación de lo que paga en promedio un jubilado por este servicio (figura 7.1). Pago promedio 5 $ 101.83 Desviación estándar del pago 5 $ 6.08 Con base en ello, estimamos que los jubilados en el Distrito Federal pagan en promedio $ 101.83 gracias a este programa de apoyo. En este ejemplo se incluye una estimación de la mediana poblacional ($ 100.00).

Figura 7.1.

Ejemplo 2: El Foro Sol de la Ciudad de México estudia la posibilidad de ampliar su capacidad (asientos disponibles) y necesita conocer el promedio de asistencia a los eventos que organiza, así como la variabilidad de asistencia. Se toma como referencia para este análisis: 15 eventos (conciertos de rock, conciertos de artistas internacionales, eventos especiales, etc.) seleccionados al azar. Los datos están dados en miles de asistentes.


Elabore una estimación de asistencia a este foro. 8.8, 14.0, 21.3, 7.9, 12.5, 20.6, 16.3, 14.1, 13.0, 9.1, 11.2, 20.4, 19.5, 21.2, 18.0

Solución: Capturamos los datos en Excel y obtenemos los estimadores de asistencia (figura 7.2).

Figura 7.2.

Como puede observarse, este recinto recibe un promedio de 15 193 asistentes por evento con una dispersión de 4 770 asistentes. Si el estimador que queremos utilizar es la mediana, entonces la asistencia mediana sería de 14 100 asistentes. Solución con SPSS Capture los datos de los ejemplos 1 y 2 en el editor del SPSS. Seleccione del menú “Analyze”, la opción “Descriptive Statistics”, y de ésta “Descriptives”. Finalmente, seleccione las variables acerca de las cuales se quiere obtener una estimación puntual (como se muestra en la figura 7.3).

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Figura 7.3.

Seleccione el comando OK; con ello se obtienen los mismos resultados que en Excel.

Ejemplo 3: El departamento de control de calidad de un laboratorio farmacéutico recibe un lote de 100 cajas especiales para guardar un medicamento. Al revisar el lote se observó que siete de ellas tienen algún defecto. Con esta información, estime la proporción de cajas defectuosas que recibe este laboratorio.

Solución: n = 100 cajas (muestra); cajas defectuosas = 7 Proporción muestral = 7/100 = 0.07 cajas dañadas en la muestra. Se usa la proporción muestral como un estimador de la proporción poblacional; así que, para el ejemplo, la proporción de cajas defectuosas que recibe el laboratorio es de 0.07.


Criterios para seleccionar un estimador En los ejemplos anteriores hemos observado que pueden calcularse varios estimadores para determinar un parámetro poblacional; entonces, la pregunta que seguiría a esos cálculos sería: ¿cuál de los estimadores calculados es el mejor? En estadística hay cuatro criterios que nos permiten seleccionar un estadístico como el mejor estimador de un parámetro: insesgabilidad, eficiencia, consistencia y suficiencia. Insesgabilidad (sin sesgo, insesgado). Este término indica que un estimador, p. ej., la media aritmética de una muestra, es un estimador insesgado de la media de la población, debido a que si se calcula la media de la distribución de las medias de las muestras tomadas de la misma población se obtendría la media de esa población. Entonces, un estadístico es un estimador no sesgado o insesgado, si en promedio, éste tiende a tomar la misma cantidad de valores que están tanto arriba como por abajo del parámetro de la población. Eficiencia. Un estimador es eficiente para un problema específico si presenta el error estándar más pequeño de todos los estimadores insesgados posibles de calcular para dicho problema. Por ejemplo, seleccionamos una muestra de tamaño “n”, y lo que queremos saber es si la media aritmética o la mediana es el mejor estadístico para estimar la media poblacional. Para ello, calculamos la desviación estándar (es un estimador del error estándar) de la media de la muestra, cuyo resultado es 1.09; posteriormente, calculamos la desviación estándar de la mediana de la muestra (también es un estimador del error estándar), cuyo resultado es 1.35. Entonces, concluiríamos que la media aritmética de la muestra es un estimador más eficiente de la media poblacional, ya que su error estándar es menor. Consistencia. Decimos que un estadístico (p. ej, la media aritmética) es un estimador consistente de un parámetro de la población (la media aritmética poblacional) si al auN) se tiene mucha certeza de que el valor del mentar el tamaño de la muestra (n estadístico se aproxima mucho más al valor del parámetro poblacional (media aritmética muestral > media aritmética poblacional). Suficiencia. Se dice que un estimador (la media muestral, p. ej) es suficiente si utiliza tanta información que ningún otro estimador (la mediana) pueda extraer acerca del parámetro poblacional que se está estimando.

Estimación por intervalos La estimación puntual que se obtiene con un estadístico muestral como la media aritmética, cambia de valor de muestra en muestra, debido a que depende de los elementos que hayan sido seleccionados de la población para formar una muestra particular. Entonces, tendríamos una infinidad de muestras y estimaciones puntuales del parámetro de una población (figura 7.4). Calcular todos los estimadores para decidir cuál es el mejor es un problema muy complejo de tiempo y recursos. Una solución a esto consiste en desarrollar un estimador de intervalo.

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Muestra 1 X1 Población de estudio

Muestra 2 X2

Muestra 3 X3 Muestra n Xn

Figura 7.4.

Un estimador de intervalo consiste en expresar dentro de un rango de valores (o amplitud) el valor que probablemente tenga un parámetro poblacional. A este intervalo o rango de valores dentro del cual se espera que esté el parámetro poblacional buscado recibe el nombre de intervalo de confianza. Este intervalo tendrá especificada la confianza o probabilidad de que la estimación del valor verdadero del parámetro de la población sea la correcta. Se puede calcular una estimación por intervalo para cualquier valor de probabilidad (60%, 70%, 83%, etc.), pero en la práctica los intervalos de confianza calculados son de 90%, 95% y 99%. La probabilidad que asociamos con una estimación de intervalo recibe el nombre de nivel de confianza. Esta probabilidad indicará, por tanto, qué tanta confianza tenemos de que la estimación de intervalo incluya al parámetro de la población. Como en la práctica, para un problema de estimación por intervalo únicamente se toma una sola muestra y se desconoce el valor del parámetro de la población, nunca se sabe con seguridad si el intervalo específico obtenido con esos datos incluye el parámetro buscado de ésta. Sin embargo, sí podemos afirmar que se tiene una confianza de porcentaje (x%), por ejemplo, el 90% de una selección de una muestra cuyo intervalo incluye el parámetro poblacional buscado. Estimación del intervalo de confianza para la media aritmética cuando la desviación estándar de la población (s) es conocida Como ya se indicó previamente, en estadística inferencial se parte de los datos de una muestra para encontrar el valor del parámetro de una población; es decir, si se estima el valor de la media aritmética de una población debemos contar con una muestra y sus datos, ya que la estimación del intervalo de confianza se calcula con la relación:


m6Z ( donde:

s ) n

(7.1)

µ 5 media aritmética poblacional (el parámetro buscado). Z 5 nivel de confianza (valor estandarizado a una distribución de probabilidad normal). s 5 desviación estándar poblacional (conocida). n 5 número de observaciones (datos) que forman la muestra. Pero, ¿cómo estimar el intervalo de confianza, si precisamente desconocemos la media poblacional (µ)?; es entonces que usamos un estimador puntual, la media aritmética de __ la muestra ( X ), para obtener dicho intervalo. __ s (7.2) X6Z ( ) n donde: __

X 5 media aritmética de la muestra. Z 5 nivel de confianza (valor estandarizado a una distribución de probabilidad normal). s 5 desviación estándar poblacional (conocida). n 5 número de observaciones (datos) que forman la muestra. Sin embargo, aquí se presenta un nuevo problema, ¿de qué muestra de la población debemos tomar la media muestral que permita calcular el intervalo? Para ilustrar el problema planteado, suponga que se cuenta con el gasto en fotocopias al trimestre de los alumnos de la universidad (en pesos). Se toman cuatro muestras de 35 alumnos cada una. Por estudios previos, se sabe que la desviación estándar poblacional es de $ 25.00 y que este gasto sigue una distribución normal. ¿Cuál es el intervalo de confianza de 95% para el gasto de estos alumnos en fotocopias al trimestre? La muestra 1 tiene un promedio de gasto de $ 240.00; la 2, de $ 255.00; la 3, de $ 260.00; y la 4, de $ 258.00. __ s Es decir, los intervalos de confianza para cada muestra serían: X 6 Z ( ) n donde: __

X 5 media aritmética de la muestra. Z 5 1.96 (con base en la normal, valor estandarizado que corresponde a 0.475 o 47.5% de probabilidad). s 5 25 n 5 35

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Para la muestra 1: __ σ X ± Z( ) n 25 240 � 1.96 ( ) 35 240 2 8.28 y 240 1 8.28 231.72 # µ # 248.28 Para la muestra 2: 246.72 # µ # 263.28 Para la muestra 3: 251.72 # µ # 268.28 Para la muestra 4: 249.72 # µ # 266.28 Si suponemos que la media de la población (µ) es de $ 253.00 (recuerde que éste es el parámetro desconocido de la población, por lo que en realidad no lo conocemos), entonces los intervalos quedarían distribuidos como se muestra en la figura 7.5:

$ 253.00 $ 231.72

$ 248.28 $ 246.72 $ 251.72 $ 249.72

Figura 7.5.

$ 263.28 $ 268.28 $ 266.28


Como puede observarse, el intervalo de la primera muestra no incluye al parámetro poblacional (µ); sin embargo, las muestras 2, 3 y 4 si lo incluyen. Entonces, ¿cuál muestra seleccionar para establecer nuestro intervalo de gasto en fotocopias? En la práctica, sólo se obtiene una muestra y se desconoce la media poblacional (µ); por tanto, nunca sabremos con seguridad si el intervalo especificado en la muestra seleccionada incluya el parámetro (µ), en cambio sí podemos afirmar, que se tiene una confianza de 95% de que se seleccionó una muestra cuyo intervalo incluye a la media de la población. Una estimación de un intervalo de 95% de confianza (como el del ejemplo anterior) se debe interpretar de la manera siguiente: si tomamos todas las muestras posibles del mismo tamaño (n) y se calculan sus medias muestrales, 95% de ellas incluyen la media poblacional (µ) en algún punto del intervalo de confianza que ha sido calculado para cada una de estas muestras, y sólo 5% de ellas no la incluyen. Cuanto mayor sea un intervalo de confianza, más confianza habrá que el intervalo contenga realmente el valor del parámetro. Por otra parte, cuanto mayor sea el intervalo, menor será la información que se obtenga para ese mismo parámetro. Como la longitud del intervalo de confianza mide la precisión de la estimación, se observa que esta precisión es inversamente proporcional al nivel de confianza, es decir: Intervalo de 99% de confianza —intervalo mayor– menor precisión. Intervalo de 95% de confianza —intervalo menor– más precisión. Intervalo de 90% de confianza —intervalo mucho menor– mayor precisión. El nivel o grado de confianza se denota por: 100(1- a)%, donde a se llama nivel de significancia.

El nivel de significancia representa la probabilidad de que una estimación sea equivocada. La proporción en la cola derecha de la distribución que no incluye a la estimación es a/2; y la proporción en la cola izquierda que tampoco incluye a la estimación es a/2.

Ejemplo 4 El departamento de mantenimiento de la Secretaría de Salubridad y Asistencia (SSA) quiere estimar la vida media de los limpiadores de los parabrisas de las ambulancias de la dependencia. Se ha estimado que la desviación estándar de la vida útil de esta población es de seis meses. Se selecciona una muestra aleatoria de 95 limpiadores, y se obtiene para ella una vida útil promedio de 22 meses. ¿Cuál es el intervalo de 90% de confianza para la vida media útil de estos limpiadores, si se supone una distribución normal para su duración?

345

346


Solución:

__

Muestra 5 95 limpiadores; X 5 22 meses; y s 5 6 meses. __

X 6 Z(

s ) n

6 ) 95 22 meses 6 1.01 meses

22 meses 6 1.64 (

22 meses

20.9 meses

23.01 meses

20.9 meses # µ # 23.01 meses Estos limpiadores tienen una vida útil aproximada de entre 21 y 23 meses. Estamos 90% seguros de que su vida útil promedio se encuentra dentro de este intervalo. Estimación del intervalo de confianza para la media aritmética cuando la desviación estándar de la población (s) no es conocida En la práctica, como ya se indicó, no conocemos la media poblacional (µ) así como tampoco la desviación estándar de la población (s) (recordemos que ambas son parámetros desconocidos); así que, lo que se debe hacer es construir un intervalo de confianza utilizando los estimadores puntuales que se obtienen a partir de una muestra; por lo que nuestra relación de intervalo de confianza quedaría expresada como: __

X 6 Z( donde:

S ) n

(7.3)

__

X 5 media aritmética de la muestra. Z 5 nivel de confianza (valor estandarizado a una distribución de probabilidad normal, o bien, a la distribución de probabilidad seleccionada). S 5 la desviación estándar muestral. n 5 número de observaciones (datos) que forman la muestra. Con base en la ecuación 7.3, podemos establecer un intervalo de confianza para la media de 90 %, 95 %, 99% u otro porcentaje, con únicamente los datos de una muestra tomada de la población de estudio.

Ejemplo 5: Se desea estimar el gasto ($) semestral en fotocopias de los alumnos de una universidad en México. Se toma una muestra de gasto de 35 alumnos.


1 151.25 862.30

1 352.65 1 126.55

983.45 1 184.10

1 365.10 1 046.35

942.70 1 110.50

1 577.75 1 050.85

335.50 851.60

1 459.55

1 252.00

373.90

1 057.40

1 064.45

1 018.25

996.90

941.95

767.35

1 598.55

1 598.65

1 343.25

1 617.70

1 300.75

1 013.25

1 402.55

1 069.35

1 108.95

1 326.15

1 074.85

975.85

La estimación deberá incluir un intervalo de confianza de 95% del gasto promedio en fotocopias que tiene esa población estudiantil.

Solución: Con base en la información proporcionada, se observa que no se tiene idea del valor de la media poblacional de gasto, así como tampoco de la desviación estándar de ese gasto. Por tanto, sólo nos queda elaborar una estimación puntual para ambos parámetros con los datos de la muestra. Media aritmética de la muestra 5 $ 1 122.92 Desviación estándar de la muestra 5 $ 295.47 $ 295.47 5 $ 49.94 35 Con base en la ecuación 7.3, es decir, si consideramos que la distribución del gasto se comporta como una normal, entonces, establecemos el intervalo de confianza para el 95% como: __ S X � Z( ) n $ 295.47 $ 1,122.92 � 1.96 ( ) 35 Error estándar =

$ 1122.92 6 $ 97.88 $ 1 025.04

$ 1 122.92

$ 1 220.80

Pero si consideramos que el gasto se comporta con una distribución de probabilidad t, la cual revisaremos más adelante, el intervalo de confianza para 95% sería: __ S X � t(α ,gl ) ( ) n t(a ,gl ) 5 valor crítico de la distribución t (estandarizado) con: a 5 0.025 nivel de significancia (área en la cola derecha de la distribución) gl 5 n 2 1 5 34

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348


t(a ,gl ) 5 2.0322 (valor crítico de t en tablas o calculado con la función t de Excel). Y nuestro intervalo de confianza sería: __

X � t(α ,gl ) (

S ) n

$ 1122.92 6 2.0322 ( $ 1 122.92 6 101.50 $ 1 021.42

$ 1 122.92

$ 295.47 ) 35

$ 1 224.42

Observe que con una distribución t, el intervalo es mayor que con una distribución normal, ello debido a que la distribución es más abierta en sus extremos (las colas). Sin embargo, el intervalo de solución es muy similar. Solución en Excel: En Excel se utiliza la distribución t para establecer los niveles de confianza, esto se debe a que dicha distribución de probabilidad permite usar muestras pequeñas (n , 30) y muestras grandes (n $ 30) al realizar una estimación de parámetros. Cuando las muestras son grandes, esta distribución se comporta como una distribución normal. Para el ejemplo 5, primero capturamos en Excel los datos de la muestra. Posteriormente, utilizamos el subprograma de Excel: “Estadística descriptiva ”, como se muestra en la figura 7.6.

Figura 7.6.

2 Este subprograma se obtiene del menú: Herramientas Análisis de datos Estadística descriptiva. El subprograma “Análisis de datos”, deberá activarse en muchos casos, ya que no se instala automáticamente al instalar Excel. Para ello utilice el menú: Herramientas Complementos Herramientas para análisis.


En el subprograma, deberán proporcionarse los datos del problema y solicitar en la sección de cálculo: Resumen de estadísticas y Nivel de confianza para la media (95%), como se muestra en la figura 7.7.

Figura 7.7.

Al solicitar “Aceptar”, obtenemos los resultados del proceso (se muestra en la figura 7.8).

Figura 7.8.

349

350


Con los datos calculados se construye el intervalo de confianza de 95% para nuestro problema de gasto en fotocopias: $ 1 122.92 6 $ 101.50 $ 1 021.42

$ 1 122.92

$ 1 224.42

$ 1 021.42 # µ # 1 224.42 Esto significa que el promedio del gasto verdadero en fotocopias de esta población estudiantil se ubicará entre $ 1 021.42 y $ 1 224.42. Esta afirmación la podemos hacer con un nivel de confianza de 95 por ciento. La estimación de un intervalo de 95% de confianza, como el mostrado en el ejemplo anterior, debe interpretarse de la siguiente manera: si tomamos todas las muestras posibles del mismo tamaño (35) y se calculan sus medias muestrales, 95% de ellas incluyen la media poblacional (µ) en algún punto del intervalo de confianza que ha sido calculado para cada una de estas muestras, y sólo 5% de ellas no la incluyen. Solución con SPSS: Se capturaron los datos del ejemplo 5 (variable gcopias) en la sección vista de datos (Data View) del editor del paquete SPSS (figura 7.9).

Figura 7.9.

Para obtener una estimación por intervalo debemos solicitar en el menú “Analyze” la rutina de cálculo “Compare Means” y, finalmente, la prueba t para una sola muestra (One-Sample T Test). Seleccionar la variable de la que se quiere obtener una estimación (gcopias), con un valor de prueba igual que cero (Test Value = 0) (figura 7.10).


Figura 7.10.

Se obtienen los mismos resultados que en Excel:

$ 1 021.42

$ 1 122.92

$ 1 224.42

351

352


Inferencia estadística con una muestra pequeña Al realizar la estimación por intervalos es muy importante determinar con anterioridad el tamaño que presenta la muestra de la que obtendremos la inferencia. En general, se considera que una muestra es pequeña cuando tiene menos de 30 elementos o datos y se considera muestra grande cuando es igual o mayor que 30 datos o elementos; sobre todo, en este último caso, cuando es varias veces mayor que 30 datos. Esta clasificación actual se debe a los estudios realizados, en 1908, por William S. Gosset (1876-1937), quien trabajaba como experto cervecero en la Guinnes Breweries en Dublín, Irlanda. Gosset realizaba un dictamen acerca de la calidad media de varias cervezas, pero las muestras proporcionadas para este dictamen eran muy pequeñas. Por otro lado, al usar el estadístico Z para muestras pequeñas y sustituir la desviación estándar poblacional (s) por la desviación estándar muestral (S) observó que se había subestimado la variabilidad en el estadístico. Entonces, resolvió derivar la distribución muestral para n , 30, y concluyó que sólo para n $ 30 era recomendable sustituir (S) por (s) en la estimación. En esa época, la compañía cervecera para la que trabajaba Gosset no permitía a sus empleados publicar sus trabajos con su nombre, así que éste lo publicó con el seudónimo de Student; de ahí que a esta distribución de probabilidad se le conozca como distribución t de Student o simplemente distribución t. La distribución t de Student se utiliza cuando se cumplen tres condiciones: • La muestra es pequeña (n , 30). • La desviación estándar poblacional (s) es desconocida. • La población es normal o casi normal. En aquellos casos en donde la muestra es pequeña, pero la desviación estándar poblacional (s) es conocida, se debe utilizar Z para elaborar la estimación. Por otro lado, si la muestra original del estudio es pequeña y se puede aumentar su tamaño (n $ 30), entonces también debe utilizarse Z, pero si esto no es posible, entonces se debe confiar en las pruebas no paramétricas.

Distribución t de Student La distribución de probabilidad t de Student presenta características muy similares a la distribución normal estandarizada (Z), siendo éstas: 1. La distribución “t” es simétrica con respecto a la media (µ 5 0) y toma valores entre 2` y 1 `. Es más aplanada en el centro y más dispersa en los extremos (debido a que presenta mayor variabilidad), como se muestra en la figura 7.11.


Z � 30

Distribución t n = 15

��

��

µ=0 Figura 7.11.

2. Su distribución es mayor que uno, a diferencia de la distribución normal estandarizada donde el valor es igual que uno (s2 5 1). En la distribución t, su varianza se define como: n 21 s2 5 (7.4) n 23 3. La distribución t es una familia de curvas diferentes, cada una de ellas con su propia varianza. Si tomamos una muestra aleatoria de una población que tiene una distribución normal, el estadístico t quedaría definido como: __

X2m t5 S n

(7.5)

con n-1 grados de libertad (gl = n 21) donde:

__

X 5 media aritmética de la muestra (media muestral).

µ 5 media aritmética de la población (media poblacional).

S n 5 error estándar de la media muestral. En esta relación (7.5) se observa que, a medida que n se incrementa (es decir, los grados de libertad aumentan), la distribución t se aproxima a la distribución normal estandarizada (Z).

353

354


Los grados de libertad (gl) representan el número de valores que podemos elegir libremente en una muestra, y que nos permiten encontrar el valor de un parámetro. Por ejemplo, supongamos que tenemos una muestra de tres datos cuyo promedio es 18. Es decir: (a 1 b 1 c) / 3 5 18. Si elegimos que “a” toma un valor de 10, “b” de 4, entonces “c” ya no es libre de tomar cualquier valor, ya que sólo le queda 4; o bien, si a 5 6 y b 5 7, entonces c sólo puede tomar el valor 5. Entonces, tenemos que: gl 5 n 2 1 grados de libertad

(n 5 número de elementos en la muestra).

gl representa el número de valores o datos que podemos elegir libremente en una muestra para encontrar un parámetro. Para nuestro ejemplo, gl 5 3 2 1 5 2; es decir que, podemos seleccionar libremente dos datos de la población para formar la muestra (el tercero ya no es libre de seleccionarse), y con ello encontrar el valor del promedio (18). Similarmente, una muestra de 20 datos nos daría 19 grados de libertad. Es decir, en esta muestra de 20, 19 datos se eligen libremente para formar la muestra y encontrar el valor del parámetro buscado. Con base en estas características de la distribución t se pueden realizar estudios de inferencia estadística para muestras pequeñas. Los valores de la distribución t pueden obtenerse a partir de una tabla similar a la de la normal estandarizada, sólo que ésta es más compacta y muestra áreas y valores de t únicamente para algunos porcentajes. La tabla de la distribución t no se concentra en la probabilidad de que el parámetro de la población que se está estimando se encuentre dentro del intervalo de confianza; en lugar de ello, mide la probabilidad de que este parámetro no esté dentro de nuestro intervalo de confianza [mide la probabilidad de que esté fuera, nivel de significancia (a)]. Del mismo modo que con la tabla de la distribución normal estandarizada, se puede construir esta tabla en la hoja electrónica de Excel con la función: =DISTR.t.INV(% del nivel de significancia, grados de libertad) Por ejemplo, t(a, gl) para a 5 0.05 y gl = 10 para dos extremos (colas) permite obtener una estimación por intervalo. t(0.05, 10) 5 2.2281 5DISTR.t.INV(0.05,10) 5 2.2281 La tabla de la distribución t que se muestra en la figura 7.12 se elaboró en Excel para dos extremos (colas).


Figura 7.12.

Sin embargo, cuando el problema de análisis se realiza para sólo un extremo (una cola), se debe multiplicar el valor del extremo por dos y usar la misma tabla (figura 7.13). Por ejemplo, t(a ,gl ) para a 5 0.05 y gl 5 20 para un extremo (una cola): t(0.05.20) 5 1.7247 Se multiplica el nivel de significancia por dos [recuerde que la tabla se elaboró para dos extremos (dos colas)], (a 5 0.10), y se busca en el renglón correspondiente a 20 grados de libertad, con lo cual obtenemos el valor buscado t(0.05.20) (figura 7.13).

t(0.05,20) 5 1.7247

Figura 7.13.

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356


Inferencia para la media de una población con muestras pequeñas Cuando se quiere estimar la media aritmética (µ) en una población que presenta un comportamiento normal o casi normal y la desviación estándar de la población se conoce (s), debemos aplicar la ecuación 7.2 para obtener el intervalo de confianza deseado, aunque el tamaño de la muestra sea pequeño (n , 30).

s ) (7.2) n Pero en aquellos casos donde la muestra es pequeña (n < 30) y la desviación estándar de la población se desconoce, entonces, debemos utilizar para el cálculo del intervalo la distribución de probabilidad t en la forma siguiente: __

X 6 Z(

__

X 6 t(a ,gl ) ( donde:

S ) n

__

X 5 media aritmética de la muestra (media muestral). t(a, gf ) 5 valor crítico de la distribución t (estandarizado) con: a 5 nivel de significancia (área en la cola derecha de la distribución). gl 5 n – 1 grados de libertad.

S 5 la desviación estándar de la muestra.

n 5 número de elementos en la muestra.

Ejemplo 6: Se piensa que los contribuyentes que asisten a la Oficina de la Tesorería en Tlalpan para pagar sus contribuciones esperan en una fila única más de siete minutos, por lo que se tiene un proyecto de abrir una nueva caja cuyo costo promedio anual de operación representaría $ 80 000.00 para el erario público. El administrador de esta oficina decide analizar la situación, y para ello toma una muestra de 14 personas. Analiza una sola persona por día. Su análisis consiste en tomar el tiempo que espera, el quinto contribuyente que llega a la fila, en pasar a alguna de las dos cajas actuales. Los tiempos de espera de estas personas en minutos (cronómetro en mano) fueron: 4.7

5.8

2.0

6.1

5.8

4.7 5.7

9.4

5.1

4.2

5.9

8.7

2.7

4.8

El administrador quiere estimar un intervalo de confianza de 95% para la media del tiempo de espera del contribuyente, lo que le permitirá determinar si se debe o no realizar la inversión en una tercera caja.

Solución: Se calcula la media muestral y la desviación estándar de la muestra.

X = 5.4; S = 1.956; n = 14; y gl = 13


Dado que n , 30 y a que se desconoce la desviación estándar poblacional (s), se usa la distribución t para obtener el intervalo buscado. t (0.05, 13) = 2.1604 (de la tabla de distribución t de la figura 6.12). __ S X 6 t(a ,gl ) ( ) n 5.4 6 2.1604 ( 4.27

1.956 ) 14

5.4

6.53

4.27 # m # 6.53 El administrador está 95% seguro de que el verdadero tiempo promedio de espera en la fila única es entre 4.27 y 6.53 minutos, por lo que no será necesario instrumentar una nueva caja en esta oficina. La solución a este problema con la rutina de “Estadística descriptiva” se muestra en la figura 7.14.

Figura 7.14

Ejemplo 7: Los trabajadores de una empresa ubicada en el Distrito Federal quieren obtener un incremento al apoyo que reciben de $ 45.00 semanales para gasto de transporte. El representante sindical de los 250 trabajadores de la empresa indica a la gerencia que el promedio de gasto en transporte es mayor en la actualidad. La gerencia lo sabe, por lo que toma una muestra aleatoria de 16 trabajadores para determinar el nuevo nivel de gasto y proponer así un incremento de ese apoyo. Los datos de gasto ($) de estos trabajadores fueron: 60 64 65 58 64 58 57 65 59 63 61 64 59 51 63 62

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La gerencia quiere proponer un incremento con base en un intervalo de confianza de 90%. ¿Qué puede proponer la gerencia al sindicato?

Solución: Se calcula el gasto promedio y la desviación estándar de dicho gasto. __

X 5 $ 60.81; S 5 $ 3.75; n 5 16; y gl 5 15 Dado que n , 30 y que se desconoce la desviación estándar poblacional (s), ya que la empresa no quiere hacer un censo del gasto, se usa la distribución t para obtener el intervalo buscado. t(0.10,15) 5 1.7531 (de la tabla de distribución t de la figura 7.12). En los casos en que se conoce el tamaño de la población, es necesario utilizar el multiplicador de población finita. N 2n El multiplicador de población finita no se usa cuando la fracción muestral N 21 n   es menor que 0.05, debido a que el valor del multiplicador tiende a un valor de   N uno, y cualquier cantidad multiplicada por la unidad es igual que esa cantidad. En este caso, la fracción muestral se debe usar. __

X 6 t(a ,gl ) (

S N 2n ) n N 21

60.81 6 1.7531 ( $ 59.22

16 es igual que 0.06, y como es mayor que 0.05 sí 250

3.75 ) 16

$ 60.81

250 216 250 21 $ 62.40

$ 59.22 # µ # $ 62.40 La empresa puede proponer un incremento al apoyo en transporte a $ 61.00, ya que está 90% segura de que el verdadero gasto de sus trabajadores se encuentra entre $ 59.22 y $ 62.40. La solución de este problema en Excel se muestra en la figura 7.15.


Figura 7.15.

Tamaño de la muestra para estimar la media poblacional ( m ) Una de las aplicaciones más importantes de la estimación de los intervalos de confianza es poder determinar el tamaño requerido para una muestra que permita obtener un grado de precisión determinado. Esta precisión se definirá por el nivel de confianza y la amplitud del intervalo. Se retoma la ecuación del intervalo de confianza (7.2): __ σ X � Z( ) n

s ) recibe el nombre de margen de error, y como su nombre lo indica pern mite determinar el error de muestreo (E).

En ella, Z (

s (7.6) ) n De la ecuación del error (7.6) se conocen los valores de Z y s, así que podemos determinar el tamaño de la muestra necesario para cualquier error muestral especificado. De la ecuación (7.6) se despeja n y obtenemos: E5Z(

Z 2s 2 (7.7) E2 Con este tamaño de muestra (n) se obtiene el margen deseado de error con el nivel de confianza que se ha seleccionado. Normalmente este nivel de confianza es de 95%, por lo que el valor de Z0.025 5 1.96. n5

Por otro lado, la ecuación (7.7) requiere el valor de la desviación estándar poblacional (s), el cual normalmente es desconocido, por lo que suele aplicarse un criterio para la

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360


selección de este parámetro que permita utilizar la ecuación del tamaño de muestra. Algunos autores proponen utilizar los siguientes criterios de selección: 1. Utilice la desviación estándar de una muestra preliminar, o bien, la desviación estándar de algún problema parecido al que se pretende solucionar. 2. Obtenga una muestra piloto preliminar (n . 30) y calcule su desviación estándar. Utilice esta desviación como el valor del parámetro en la ecuación. 3. Utilice su juicio y experiencia para determinar el valor del parámetro (s) buscado. Los autores citados proponen elaborar una estimación de éste de la manera siguiente: determine el valor máximo y mínimo que presentarán los datos, calcule la amplitud y divídala entre cuatro, con ello obtendrá un valor aceptable para el parámetro, lo que permitirá utilizarlo en la ecuación del tamaño de la muestra.

Ejemplo 8: El departamento de ingeniería del INFONAVIT analiza una serie de quejas acerca de la separación que debe haber entre casa y casa para evitar ruidos y molestias entre vecinos, en las unidades habitacionales que este instituto construye. Sus técnicos establecen un error máximo en esta separación de 2 cm, es decir, se permite un intervalo de 4 cm entre pared y pared. Si el instituto quiere establecer un intervalo de confianza de 95% para el tamaño promedio de separación entre casas, y una muestra piloto revela una desviación estándar de 6 cm, ¿qué tan grande deberá ser la muestra que tome el departamento de ingeniería para realizar este estudio?

Solución: Z 5 1.96. s 5 6 cm (de la muestra piloto). E 5 2 cm.

n5

Z 2s 2 E2

n5

(1.96)2 (6)2 (2)2

n 5 34.57 separaciones.

3 Anderson, Sweeney y Williams, Estadística para Administración y Economía, vol. II, 19.


El departamento de ingeniería debe tomar una muestra de 35 separaciones para poder obtener un intervalo de confianza de 95%.

Ejemplo 9: Retome el ejemplo 7, y determine el tamaño de muestra que debe tomar la gerencia de la empresa si se quiere un intervalo de confianza de 95% para el gasto en transporte y un error no mayor que $ 1.25. Recuerde que la desviación estándar poblacional no se conoce (s) y que la empresa cuenta con 250 trabajadores.

Solución: Z 5 1.96 S 5 $ 3.75, como se desconoce s se utilizará S, de la muestra que tomó inicialmente la gerencia. E = $ 1.25 n5

Z 2s 2 E2

n5

(1.96)2 (3.75)2 (1.25)2

n = 34.57 trabajadores Al considerar el tamaño de la población, el tamaño de la muestra queda expresado de la siguiente manera: n0 N n5 n0 1 N 21 En este caso n 5 34.57, y este valor se sustituye en la expresión anterior, n5

34.57(250 ) 5 30.47 34.57 1 250 21

La empresa debe tomar una muestra de 30 trabajadores para obtener un intervalo de confianza de 95% y un error no mayor que $ 1.25 en su estimación. Observe que, en este último ejemplo, se usó el valor de Z y no el valor de la distribución t como se había utilizado para los 16 trabajadores de la muestra original del estudio. La razón de esto último es que se desconocen los (n21) grados de libertad requeridos

361

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para usar la distribución t y que se supone que n sea mayor o igual a 30, por lo que es conveniente usar la distribución normal.

Estimación de intervalos de confianza mediante la diferencia entre dos medias En algunas ocasiones, el analista enfrenta el hecho de que cuenta con dos muestras de tamaño pequeño (n1 y n2 , 30) para un mismo problema y quiere compararlas mediante una diferencia entre ellas. Esto le permite establecer un intervalo de confianza de dicha diferencia para poder obtener una primera conclusión acerca de dichas muestras. La estimación de intervalos de confianza mediante la diferencia entre dos medias se fundamenta en los supuestos siguientes: • Las muestras se seleccionan aleatoriamente y de manera independiente cada una. • Las muestras seleccionadas presentan una distribución normal o casi normal. • Las varianzas de las poblaciones de donde se obtienen dichas muestras son iguales ( s 12 5 s 22 ). El intervalo de confianza de la diferencia entre dos medias muestrales pequeñas puede calcularse con la relación (7.8): __

__

(X 1 2 X 2 ) 6 ta S donde:

1 1 1 n1 n2

(7.8)

__

X 1 5 media aritmética de la muestra 1 __

X 2 5 media aritmética de la muestra 2

ta 5 el valor t para a con (n1 1 n2 2 2) grados de libertad S5

(n1 2 1)S12 1 (n2 2 1)S22 , estimador ponderado de s2 n1 1 n2 2 2

Ejemplo 10: Los trabajadores administrativos de una universidad pública en México se someterán a un programa de capacitación en un nuevo sistema de información presupuestal que les permitirá solucionar cualquier problema de esta índole. La capacitación se realiza mediante dos métodos: un método estándar y un método multimedia. La administración de la universidad quiere saber si estos programas influyen en el tiempo de respuesta que da un trabajador a un problema presupuestal. El tiempo de capacitación en cada programa es de 30 horas. Se obtienen dos muestras de nueve trabajadores por cada método de capacitación, y se les aplica un problema administrativo con el nuevo sistema presupuestal para conocer el tiempo que tardan en darle una solución. La administración quiere encontrar una estimación por intervalo para la diferencia entre el promedio de respuesta de los dos métodos (µ1 2 µ2) para un nivel de confianza de


95%. Los resultados obtenidos por los grupos de trabajadores de cada muestra para resolver el problema con el nuevo sistema de presupuesto se resumen en el cuadro 7.1. Cuadro 7.1. Método estándar de capacitación (tiempo en minutos de solución del problema)

Método multimedia de capacitación (tiempo en minutos de solución del problema)

31 36 34 27 40 43 35 32 33

35 31 28 26 33 41 28 31 30

La solución en Excel del cálculo de los estadísticos descriptivos de cada muestra y del estimador ponderado de la varianza se presenta en la figura 7.16: Al sustituir los valores en la ecuación 7.8 se obtiene:

Figura 7.16.

t(a , n1 +n2 −2 ) 5 2.1199

(X 1 2 X 2 ) 6 ta S

(34.56 2 31.44) 6 (2.1199)(4.64)

__

__

1.52

1 1 + n1 n2

3.12

1 1 1 9 9

7.76

363

364


Observe que la amplitud del intervalo es mayor que la diferencia entre medias, lo que nos indica que tenemos un intervalo muy grande de tiempo. Con esta última observación se aconseja aumentar el tamaño de las muestras y calcular nuevamente el intervalo. Por tanto, con estas muestras no es posible concluir si hay diferencia entre los métodos de capacitación relativos al tiempo que se requiere para solucionar un problema con el nuevo sistema presupuestal de esta universidad.

Inferencia estadística para muestras grandes Estimación del intervalo de una proporción de la población Como se indicó antes, una estimación puntual para una proporción de la población se obtiene al dividir el número de éxitos que se observan en la muestra entre el total de elementos muestreados ( p ). Esta proporción muestral es un estimador insesgado de una proporción poblacional ( p), y que cumple para el caso de muestras grandes (n . 30), con que la distribución muestral de p se pueda aproximar con una distribución de probabilidad normal. El empleo de la distribución normal como aproximación de la distribución muestral de p se fundamenta en la condición de que se cuenta con una muestra grande y de que los productos np y n(12 p) valen cinco o más. En estos casos, el error de muestreo se calcula como el valor absoluto de la diferencia entre p y p, es decir, p − p . Como el tamaño de la muestra es grande, entonces hay una probabilidad de (12 a) de que el valor de la proporción poblacional provoque un error muestral igual que Zs p o menos. Este margen de error permite establecer el intervalo de confianza para una proporción de la población mediante la ecuación siguiente: p � Zσ p (7.9) donde: ( s p ) 5 error estándar de la proporción, el cual se define como: p (12 p ) n por lo que el intervalo de confianza para una proporción de la población puede obtenerse también mediante la ecuación (7.10):

sp 5

p � Z p (1� p ) n

(7.10)


Ejemplo 11: Rodríguez y Rodríguez Asociados, una compañía consultora en auditoría contable quiere determinar para uno de sus clientes la frecuencia de error que presenta su contabilidad con respecto a los tipos de errores que contiene la facturación y que violan las políticas de control del área administrativa de la empresa. En una muestra de 80 facturas, ocho contienen algún error administrativo (tachaduras, modificaciones de fecha, cambio de cantidades, etc.). El auditor quiere desarrollar un intervalo de confianza de 90% de la proporción de la población de facturas que violan las normas administrativas establecidas en esa compañía.

Solución: p 5 8/80 5 0.1 12 p 5 0.9 Z0.90 5 1.64 El intervalo estará dado por: p 6 Z 0.1 (0.9) 80

0.1 6 (1.64)

p (12 p ) n

0.1 6 0.055 0.045

0.10

0.155

0.045 # p # 0.155 Esto significa que con 90% de confianza, el auditor puede afirmar que las facturas que violan las normas administrativas de esa compañía está entre un 4.5% y 15.5%.

Ejemplo 12: El ingeniero en jefe del departamento de producción de Imprenta México, S. A. quiere determinar la proporción de revistas mal impresas (borrosas, mal paginadas, páginas duplicadas, etc.) de una publicación muy conocida (PlayGame). Éste toma una muestra aleatoria de 180 revistas del último tiraje y encuentra que 27 de ellas presenta algún tipo de error de impresión. También, quiere elaborar una estimación de la proporción verdadera de la población de las revistas defectuosas, por lo que utiliza un intervalo de confianza de 95%.

Solución: p 5 27/180 5 0.15 12 p 5 0.85 Z0.95 5 1.96

365

366


El intervalo estará dado por: p ± Z 0.15 � (1.96)

0.15 (0.85) 180

p (1� p ) n

0.15 6 0.052 0.098

0.15

0.202

El ingeniero en jefe del área de producción puede estar 95% seguro de que entre 9.8% y 20.2% de las revistas fabricadas tiene algún error. Estos porcentajes son elevados, por lo que deberá analizar más a fondo la problemática que presenta la línea de producción de esa empresa. Tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional (p) Otra aplicación de la estimación es determinar el tamaño requerido de una muestra para estimar la proporción poblacional ( p), el cual permite obtener un grado de precisión deseado; la precisión estará definida por el nivel de confianza. De la ecuación: Z5

p2 p p(12 p) n

En donde el error de muestreo corresponde a la diferencia entre p y p, y se expresa: E 5p2 p Se sustituye en la formula el error muestral: E p(12 p) n Despejamos n, y la expresión para determinar el tamaño de muestra de una proporción es: 2  Z n 5    p (12 p )   E Z5

Con este tamaño de muestra (n) se obtiene el margen deseado de error con el nivel de confianza que se ha seleccionado. Por otro lado, la ecuación requiere el valor de la proporción real de éxitos ( p), el cual puede estimarse con base en datos anteriores de los archivos o experiencias, y en caso de no tenerlos, se debe usar p 5 0.5. En el asunto de querer ser lo más conservador para estimar p, se usa un valor de p que hace a p(12p) lo más grande posible, por lo que cuando p 5 0.5, entonces p(12p) está a su máximo valor.


Ejemplo 13: El presidente de México quiere que se estime la proporción poblacional que está de acuerdo con su política económica actual. También, que esa estimación esté dentro de una aproximación de 62% de la proporción verdadera, con un nivel de confianza de 95%. El secretario de Gobernación estimó que la proporción que apoya la política económica es de 0.7. a) ¿Qué tan grande debe ser la muestra? b) ¿Qué tan grande debe ser la muestra si el secretario de Gobernación no realizara esa estimación?

Solución: Z = 1.96 E = 2% = 0.02 a) P 5 0.7  1.96  n 5 [ 0.7 (12 0.7)]  0.02  2

n = 2 017 personas La presidencia debe tomar una muestra de 2 017 personas para poder obtener una estimación de la proporción real de personas que están de acuerdo con su política económica, con una confianza de 95%. b) Sin la estimación del secretario de Gobernación, p = 0.5; por tanto, el tamaño de la muestra es:  1.96  n 5 [ 0.5 (12 0.5)]  0.02  2

n 5 2 401 personas

Estimación de la media de una población cuando la muestra es grande Cuando se quiere elaborar una estimación por intervalo y la muestra que se ha tomado de la población es mayor o por lo menos igual que 30 datos, se podrá suponer, aunque siempre se presentan casos raros, que la media aritmética ( X ) de ésta tendrá aproximadamente una distribución normal, y que la desviación estándar muestral S proporcionará una aproximación adecuada a la desviación estándar poblacional (s). Con base en lo anterior, se puede estimar un intervalo para la media poblacional (µ); para ello, se debe considerar que se ha tomado de la población una muestra grande (n $ 30) y que la desviación estándar poblacional (s) se conoce. La ecuación que permite estimar este intervalo es la ecuación 7.2 que se definió previamente.

367

368


__

X 6 Z( donde:

s ) n

(6.2)

__

X 5 media aritmética de la muestra. Z 5 nivel de confianza (valor estandarizado a una distribución de probabilidad normal). s 5 desviación estándar poblacional (conocida). n 5 número de observaciones (datos) que forman la muestra.

Ejemplo 14: El gasto semanal en transporte de un grupo de 100 universitarios mostró un promedio de gasto en una semana ordinaria de $ 85.00. El área administrativa de la universidad cuenta con información de estudios previos, en los cuales se indica que la desviación estándar de la población estudiantil (10 000 estudiantes) es de $ 15.50. Se quiere hacer una estimación del gasto promedio semanal en transporte para un nivel de confianza de 90% y, también, para 99%.

Solución: Para un nivel de confianza de 90%: __

X 5 $ 85.00; Z 5 1.64; __

X 6 Z(

s 5 $ 15.50;

y n 5 100

s ) n

85 ± (1.64)(

15.50 ) 100

El intervalo de gasto será de: $ 82.46

$ 85.00

$ 87.54

Para un nivel de confianza de 99%: __

X = $ 85.00; Z = 2.58; s 5 $ 15.50; y n = 100 __ s X 6 Z( ) n 15.50 85 6 (2.58)( ) 100 El intervalo de gasto será de: $ 81.00 $ 85.00

$ 89.00

$ 81.00 # µ # $ 89.00 Sin embargo, en la práctica, la desviación estándar poblacional (s) se desconoce en la mayoría de los casos, por lo que la estimación deberá hacerse sustituyendo la desviación


estándar de una muestra (S) de esa población en la ecuación 7.2, con ello se obtendría la ecuación 7.3: __ S X � Z( ) (7.3) n donde: __

X 5 media aritmética de la muestra. Z 5 nivel de confianza (valor estandarizado a una distribución de probabilidad normal). S 5 desviación estándar muestral. n 5 número de observaciones (datos) que forman la muestra. La ecuación 7.3 nos permite estimar un intervalo de la media poblacional para el caso en el que se toma una muestra grande de la población (n $ 30), y la desviación estándar poblacional (s) se estima con la desviación estándar de la muestra (S ).

Ejemplo 15: Una compañía que vende helados cuenta con más de 3 000 distribuidores en la zona norte de la República Mexicana. Se toma una muestra aleatoria de las ventas semanales de 49 distribuidores en esa zona. Las ventas de la semana pasada en cada una de las distribuidoras de la muestra se resumen en el cuadro 7.2. La dirección general de la empresa quiere estimar un intervalo de ventas semanales para la zona norte de la república con un nivel de confianza de 95%. Cuadro 7.2. Ventas semanales ($) de 49 distribuidores de helado en la zona norte de la República Mexicana 13 081

10 510

13 253

14 629

15 202

10 197

10 491

11 620

11 583

13 366

12 865

10 293

15 774

12 296

11 022

10 305

12 476

15 610

10 943

12 952

14 733

15 385

11 140

14 162

12 790

13 924

10 036

10 437

13 045

13 119

12 583

11 368

12 763

11 525

15 786

10 293

14 037

12 255

10 681

11 329

11 436

12 051

11 950

15 949

10 535

14 734

11 872

14 452

15 570

Solución: Se calculan los estimadores de la muestra en la hoja electrónica de Excel (figura 7.17). __

X 5 $ 12 620.57; Z = 1.96; S 5 $ 1 796.37; Lo sustituimos en la ecuación (7.3):

y n 5 49

369

370


__

X � Z(

S ) n

1796.37 ) 49 El intervalo de ventas promedio semanales de helado en la zona norte es de: 12 620.57 6 (1.96)(

$ 12 117.59

$ 12 620.57

$ 13 123.55

$ 12 117.59 # µ # $ 13 123.55 La dirección general de la empresa puede estar 95% segura de que la verdadera media de ventas semanales en la zona norte de la república se encuentra entre $ 12 117.59 y $ 13 123.55.

Figura 7.17.

Ejemplo 16: Un programa gubernamental de apoyo a las personas de la tercera edad analiza establecer un bono que permita a estas personas reducir su gasto en el consumo mensual de agua. Se toma una muestra aleatoria de gasto en agua del último mes en las oficinas de la Tesorería de 36 personas. El gasto observado se muestra en el cuadro 7.3. La dirección desea determinar un intervalo del gasto medio mensual con un nivel de confianza de 90%. Cuadro 7.3. Gasto mensual ($) en agua de las personas de la tercera edad 150 125 98 117 117 148

129 105 120 88 95 107

105 143 147 113 122 122

141 119 143 102 108 133

149 142 117 139 139 125

82 148 125 126 135 89


Solución: Calculamos los estimadores de la muestra en la hoja electrónica de Excel (figura 7.18). __

X 5 $ 122.58; Z 5 1.64; S 5 $ 19.12; y n 5 36 Sustituimos en la ecuación 7.3:

__

X 6 Z(

S ) n

122.58 6 (1.64)(

19.12 ) 36

El intervalo de gasto medio mensual en agua es: $ 117.35

$ 122.58

$ 127.81

$ 117.35 # µ # $ 127.81 La dirección puede estar 90% segura de que el verdadero gasto medio mensual de agua de las personas de la tercera edad se encuentra entre $ 117.35 y $ 127.81.

Figura 7.18

Estimación de la diferencia entre dos medias (muestras grandes) Otro problema de interés en el ámbito de la estimación es la comparación de dos medias poblacionales por medio de su diferencia (µ1 2 µ2). Esta comparación permite analizar mediante dos muestras independientes el comportamiento de un fenómeno que está sometido a dos condiciones diferentes. Por ejemplo, el comportamiento de la producción promedio en una empresa donde la materia prima la suministra dos proveedores distintos, y se desea saber si esta diferencia en el suministro causa una diferencia en el promedio de la producción. La estimación de intervalos de confianza mediante la diferencia entre dos medias se fundamenta en los supuestos siguientes:

371

372


• Las muestras se seleccionan aleatoriamente y de manera independiente cada una. • Las muestras seleccionadas presentan una distribución normal o casi normal. La diferencia entre las medias muestrales ( X 1 2 X 2 ) es un estimador puntual insesgado de la diferencia entre las medias poblacionales (µ1 2 µ2). Es decir, la media y la desviación estándar de esta diferencia pueden calcularse con: E ( X 1 2 X 2 ) 5 m1 2 m 2

s ( X 12X 2 ) 5

s 12 s 22 1 n1 n2

Con ello podemos obtener un intervalo de confianza de x% (90,95 o 99%) para la diferencia de medias poblacionales en el caso de muestras grandes con la ecuación siguiente: __ __ s2 s2 (X 12 X 2 ) 6 Z 1 1 2 (7.11) n1 n2 Sin embargo, puede observarse que las varianzas poblacionales s 12 y s 22 se desconocen en la mayoría de los casos, por lo que pueden utilizarse las varianzas muestrales S12 y S22 para estimarlas, con lo que se obtendría la ecuación 7.12, la cual permite obtener un intervalo de confianza para la diferencia entre medias con la condición de que el tamaño de las muestras sea grande. __

S12 S22 + n1 n2

__

(X 1 − X 2 ) ± Z

(7.12)

Ejemplo 17: En el área de capacitación de una gran compañía se aplican dos métodos de capacitación distintos (“A” y “B”) para los empleados del área administrativa. Se evalúa a cada grupo mediante un examen diagnóstico único para determinar si se utilizan adecuadamente las nuevas técnicas administrativas enseñadas con ambos métodos. Los resultados por grupo (40 empleados en cada uno) se muestran en los cuadros 7.4 y 7.5. La gerencia de capacitación quiere estimar si el promedio en el aprendizaje muestra diferencias al utilizar un método u otro, y para ello establece un nivel de confianza de 95%. Cuadro 7.4. Calificaciones en el grupo capacitado con el método “A” 6

7

6

5

6

6

9

5

8

8

6

5

10

8

6

8

7

6

5

7

9

5

5

9

8

6

5

6

10

7

6

9

6

7

8

8

5

8

4

10


Cuadro 7.5. Calificaciones en el grupo capacitado con el método “B” 4

7

7

5

4

10

4

5

5

4

4 7 8

6 5 10

9 8 6

5 9 10

6 8 5

9 4 8

8 8 9

5 5 4

6 5 5

10 4 7

Solución: Con ayuda de Excel se calculan los estadísticos descriptivos de cada muestra (método “A” y “B”) (figura 7.19).

Figura 7.19.

Se sustituyen los valores encontrados en la ecuación 7.12. __

__

(X 12 X 2 ) 6 Z

S12 S22 + n1 n2

(6.9 2 6.5) 6 (1.96)

2.6 4.2 1 40 40

0.4 6 0.81 20.41

0.4

1.21

La diferencia entre los promedios de calificaciones de la evaluación diagnóstica es de 20.41 puntos a 1.21 puntos, lo que indica un intervalo muy grande; es decir, la verdadera diferencia de promedios podría estar por debajo de 20.41, o bien, por arriba de 1.21 puntos. Por tanto, si la gerencia de capacitación quiere obtener una conclusión acerca de la diferencia en los métodos, no podrá establecerlo con estos dos grupos, para ello requerirá incrementar los tamaños de las muestras.

373

374


Estimación del parámetro de una población binomial Recordemos que una distribución de probabilidad binomial es aquella que se ocupa de experimentos en los que su resultado sólo puede tomar un solo valor de dos posibles, por lo que estos resultados son mutuamente excluyentes. Los resultados de este tipo de experimentos reciben normalmente los nombres de éxito (p) y fracaso (q). Sin embargo, como ya se indicó en el capítulo 4, un éxito no significa necesariamente un resultado deseable. El mejor estimador del parámetro poblacional ( p) en los problemas que presentan este tipo de distribución, es aquel que puede establecer el analista o investigador con su propio criterio; es decir, un estimador de este parámetro poblacional puede calcularse con: x n donde x representa el número de éxitos y n, el número total de pruebas en el experimento. Como con ello se establece el mejor estimador, esto indica que ˆp se trata de un estimador insesgado con varianza mínima. pˆ 5

La media y la desviación estándar de la distribución muestral de ˆp pueden calcularse con:

E ( pˆ ) 5 p y s pˆ =

pq , donde q 5 12p n

Con base en ello, el intervalo de confianza de x % (90, 95 o 99%) se obtiene, cuando el tamaño de la muestra es grande, con:

pˆ 6 Z

ˆ ˆ (7.13) pq n

Para poder establecer el intervalo de confianza con la ecuación 7.13 deberá tenerse una muestra lo suficientemente grande, de tal manera que la distribución de muestreo de ˆp sea una normal o se aproxime mucho a una normal.

Ejemplo 18: Una muestra aleatoria de 100 proveedores de Wall Mark planea aumentar sus ventas con esta cadena de tiendas el año que entra. Cincuenta y siete de ellos ya han manifestado su interés por este aumento a la gerencia. La gerencia quiere estimar, por un lado, la proporción de proveedores que quieren incrementar sus ventas y, por otro, establecer un intervalo de confianza de 95% para la población que forma el total de los proveedores de la cadena de supermercados y que esperan aumentar sus ventas el próximo año.


Solución: La estimación de la proporción de proveedores que incrementarán sus ventas el año próximo será: 57 x 5 0.57 pˆ 5 , al sustituir pˆ 5 100 n es decir, se espera que 57% de sus proveedores aumente sus ventas. Por otro lado, el intervalo de confianza de 95% para ˆp será: ˆˆ (0.57)(0.43) pq , y al sustituir tenemos, 0.57 6 (1.96) 100 n

pˆ 6 Z

0.57 6 0.097 0.473

0.57

0.667

0.473 # p # 0.667 Es decir, la gerencia puede estar 95% segura de que la verdadera proporción de los proveedores que incrementarán sus ventas el año siguiente estará entre 47.3% (0.473) y 66.7% (0.667).

Problemas 1.

El consumo semanal de papel para fotocopiado de cinco áreas de una empresa (administración, contabilidad, finanzas, recursos humanos y producción) se ha muestreado durante 20 semanas. El área de compras quiere tener un estimado promedio de consumo semanal (calcule una media y una mediana) y un estimador de dispersión del promedio de consumo (desviación estándar). Cuadro 7.6. Consumo de papel 3 146 5 052

2.

3 317 5 113

3 871 3 830

3 465 4 945

3 906 4 224

3 560 5 009

4 602 3 845

4 551 4 035

4 242 3 145

3 455 3 794

Las ventas mensuales ($) de los últimos 30 meses de una compañía se muestran en el cuadro 7.7. Se quiere obtener los principales estimadores puntuales para estas ventas (media, mediana, moda, desviación estándar y varianza). Cuadro 7.7. Ventas mensuales ($)

169 144 159 486 191 351

295 285 202 588 158 538

235 031 254 852 249 388

281 602 140 364 275 347

247 108 159 203 225 981

288 898 179 361 202 343

107 865 143 658 255 561

189 642 108 419 103 324

113 577 228 713 196 287

291 043 228 339 174 315

375

376


3.

El Auditorio Nacional quiere estimar un promedio de asistentes, así como una medida de variabilidad de esta asistencia (se sugiere usar la desviación estándar), para ello cuenta con una muestra de asistencia de los últimos 16 eventos, los cuales se muestran en el cuadro 7.8. Cuadro 7.8. Número de asistentes por evento

4.

17 961

14 032

15 680

12 081

13 596

4 312

7 443

17 955

8 366

13 477

8 538

14 376

4 677

10 925

5 634

15 888

Se obtuvo una muestra aleatoria de 24 niños que cursan la primaria en escuelas públicas en la delegación de Coyoacán. Se les preguntó por el número de horas diarias que ven televisión en la tarde. El encargado de primarias de la zona está preocupado porque piensa que los niños ven en promedio demasiada televisión. Estime con base a la muestra una media, una mediana, una moda, la varianza y la desviación estándar del número de horas que los niños ven televisión. Emita una conclusión. Cuadro 7.9. Número de horas diarias ante la televisión

5.

2

2

3

3

5

4

4

6

4

3

5

5

3

6

5

4

5

1

5

5

5

3

6

3

Estime el ingreso promedio y la dispersión (con la desviación estándar) de éste, para los profesores de nivel primaria en la zona metropolitana de Guadalajara. Se tomó una muestra aleatoria de 32 profesores cuyos salarios mensuales en pesos se muestran en el cuadro 7.10. Cuadro 7.10. Salario mensual ($) de profesores de la zona metropolitana de Guadalajara 5 793 2 678 3 476 5 359

6.

5 066 5 005 3 048 4 768

4 123 6 639 5 065 3 454

2 936 6 082 4 828 2 024

6 791 5 265 3 322 3 431

3 372 3 470 6 546 4 347

2 243 4 663 3 396 5 362

6 485 4 063 5 792 5 782

El comisionado de la reconstrucción de Tapachula está interesado en estimar el ingreso medio de las familias que viven en una sección de cuatro manzanas al sur de la ciudad. Un estudio realizado el año pasado con una muestra aleatoria de


50 familias presentó un promedio de ingreso anual de $ 11800. El inegi calculó un estimador para la desviación estándar poblacional en esa ciudad de $ 950.00. El comisionado quiere establecer un intervalo del ingreso promedio con 90% de confianza. 7.

La Comisión Nacional Bancaria y de Seguros realiza un estudio para conocer el intervalo de endeudamiento de los usuarios de tarjetas de crédito en el estado mexicano de Nuevo León. Se toma una muestra de 100 tarjetahabientes, la cual muestra un adeudo promedio de $ 5 950.00. Un estudio preliminar mostró para el estado una desviación estándar de $ 755.50. La comisión quiere establecer el intervalo medio de endeudamiento con un nivel de confianza de 95%.

8.

Con los datos del problema 5, salario mensual ($) de los profesores en la zona metropolitana de Guadalajara, establezca un intervalo de confianza del salario promedio mensual de 90% y otro de 95% .

9.

Las ventas diarias en boletos de avión de una nueva aerolínea de bajo costo se muestran en el cuadro 7.11. Establezca un intervalo de confianza de 95% y de 99% para estas ventas promedio diarias. La muestra en el cuadro representa las ventas diarias en los últimos 40 días. Cuadro 7.11. Ventas diarias de boletos de una aerolínea de bajo costo 1 278

2 534

2 665

1 521

3 478

2 485

2 200

2 408

1 464

1 656

2 643

1 750

1 198

2 615

1 692

3 467

1 864

3 838

2 781

3 367

2 611

2 248

2 807

3 950

2 693

3 935

1 719

2 892

2 397

1 404

3 880

2 069

3 424

1 470

3 656

3 689

3341

3 940

3 914

1 375

10.

Con los datos de consumo semanal de papel para fotocopiado del problema 1, determine un intervalo de confianza para el consumo promedio semanal de 90% y otro para 95%. Recuerde que su muestra es menor que 30 datos.

11.

Con los datos de asistencia a eventos del problema 3, determine un intervalo de confianza para la asistencia promedio a eventos al Auditorio Nacional para 95% y 99%. Observe que se trata de 16 observaciones.

12.

Un nuevo programa de capacitación mediante el uso de tecnología de multimedia permite capacitar al personal especializado en el manejo de tornos de producción en un promedio de 54 horas y una desviación estándar de siete horas. Se obtuvo el promedio y la desviación estándar del tiempo de capacitación requerido con una muestra de 15 técnicos especializados. El gerente de capacitación

377

378


quiere obtener un intervalo de confianza de 95% para el tiempo promedio de capacitación en estos tornos de producción. 13.

En la colonia Campestre de la Ciudad de Veracruz (3 000 familias), por experiencia, se sabe que la desviación estándar de los ingresos de éstas es de $ 1 500.00 al mes. ¿Qué tan grande debe ser la muestra que debe tomar el ayuntamiento para estimar el ingreso medio mensual de las familias, si el error permitido es menos de $ 500.00? Se desea que el estudio tenga un nivel de confianza de 95%.

14.

Un estudio de mercado que llevaron a cabo las compañías de rentas de autos en la Ciudad de México demostró que el costo promedio de renta diaria de un auto es de $ 550.00 y una desviación estándar de $ 96.50. El director que revisa el estudio especifica que el costo promedio de renta de autos de la población (habitantes del D.F. y turistas) se debe estimar con un margen de error de $ 20.00 y un nivel de confianza de 90%. ¿De qué tamaño debe ser la muestra del nuevo estudio que propone el director?

15.

El consumo diario de Kw/hr (kilowats por hora) en dos hornos eléctricos (“A” y “B”) con proceso de fabricación diferente para producir tubería que conduce gas se muestra en el cuadro 7.12. La administración de la empresa quiere encontrar una estimación por intervalo para la diferencia entre el promedio de consumo de electricidad de los dos métodos (µ12µ2) para un nivel de confianza de 95%. Cuadro 7.12. Consumo diario en Kw/hr Horno “A”

310

360

340

270

400

430

350

320

330

Horno “B”

350

310

280

260

330

410

280

310

300

16.

Teléfonos de México ha realizado una encuesta nacional con 900 clientes para medir el nivel de atención a quejas del servicio telefónico que presta. Trescientos noventa y cinco de estos clientes estuvieron satisfechos con la atención recibida a su queja. Con base en esta muestra, la gerencia de servicios a clientes quiere estimar la proporción de la población de clientes (más de 10 millones en telefonía fija) que están satisfechos con la atención recibida a sus quejas. El nivel de confianza que se quiere para la estimación es de 90 o 95%.

17.

Una encuesta de la Secretaría de Economía a los directores de 400 empresas medianas en México encontró que 65% de ellos considera el flujo de efectivo como el indicador más importante de la salud financiera de su compañía. Suponga que esta muestra es válida para todas las empresas medianas en México. Determine un intervalo de confianza de 95% y otro de 99% para la proporción de directivos


que consideran al flujo de efectivo como el indicador más importante de la salud financiera de su compañía. 18.

Se obtuvo una muestra de 56 familias en las que se midió su ingreso semanal en una comunidad de la sierra de Chiapas. Los datos de ingreso semanal se muestran en el cuadro 7.13. Se desea estimar un intervalo de confianza de 90% y otro de 95% para el ingreso medio semanal de esa comunidad. Cuadro 7.13. Ingreso semanal ($) por familia en una comunidad de Chiapas

19.

1 228

775

1 251

1 297

1 082

1 191

969

770

1 416

757

1 341

782

1 241

1 149

700

1 210

1 407

716

1 015

837

1 230

1 152

1 135

1 356

1 066

1 449

1 223

1 288

1 346

1 159

1 235

1 490

1 461

1 064

1 223

817

902

998

1 044

821

1 032

1 358

942

1 355

809

1 283

919

1 116

1 116

1 192

1 119

1 161

1 033

1 168

736

1 257

Una muestra de 85 trabajadores de una zona industrial mostró que su gasto diario en comida tenía un promedio de $ 59.50 y una desviación estándar de $ 4.50. Los empresarios de la zona quieren invertir en un comedor industrial, por lo que desean estimar un intervalo del gasto promedio en este rubro al 95% y al 99% de nivel de confianza. Si el precio estimado de venta para su plato económico es de $ 62.00, ¿convendrá colocar el comedor industrial?

20. En el área de Matemáticas de una universidad en México se aplican dos métodos de enseñanza distintos (“A1” y “B1”) en la carrera de Administración. Se evalúa a cada grupo mediante un examen diagnóstico único para determinar si usan adecuadamente los conceptos de matemáticas enseñados con ambos métodos. Los resultados por grupo (50 alumnos en cada grupo) se muestran en el cuadro 7.14. La coordinación de Matemáticas desea estimar si el promedio en el aprendizaje muestra diferencias al utilizar un método u otro, y para ello establece un nivel de confianza de 90%. Cuadro 7.14. Grupo

Media de calificación (puntos)

Desviación estándar (puntos)

“A1”

8.5

1.2

“B1”

7.9

1.0

379

380


21.

En una muestra aleatoria de 130 clientes potenciales de un producto, 69 han manifestado que comprarían el producto. Mercadotecnia desea estimar un intervalo para la proporción de compradores potenciales del producto con un nivel de confianza de 95%.

22.

Una cadena de restaurantes quiere analizar a sus clientes para determinar si cuidan su alimentación y prefieren la comida Light. Se tomó una muestra aleatoria de 50 clientes y proporcionó la siguiente información: 1. 18 clientes ordenaron platillos Light. 2. Gastaron en promedio: x = 35.45 dólares; S = 5.65 dólares. a) Estimar un intervalo de confianza de 90% para el gasto promedio de los clientes que concurren a esa cadena de restaurantes. b) Estimar un intervalo de confianza de 90% para la proporción poblacional de clientes que prefieren la comida Light.

23. BANCOMER tiene interés en estimar la cantidad promedio de los depósitos mensuales que realizan sus clientes en el banco. ¿Qué tan grande debe tomarse la muestra para tener una aproximación de 6 $ 250.00 del promedio real con un 98% de confianza? Por la base de datos de los depósitos realizados en los meses anteriores, el banco sabe que la desviación estándar de los depósitos mensuales para todos los clientes es de $ 800.00. 24.

El Partido Acción Ciudadana quiere estimar el promedio real de votantes que apoyan a su partido. El presidente del partido quiere que la estimación sea de 630 del promedio real con una confianza de 90%. El secretario del partido estimó una desviación estándar poblacional de 380 votantes, ¿qué tan grande debe ser la muestra?

25. El director de personal de una compañía que tiene 2 500 empleados quiere analizar el ausentismo entre los trabajadores del área de producción, durante el presente año. ¿Qué tamaño de muestra necesita el director si quiere una confianza de 95% de estar en lo correcto, con una aproximación de 62 días, y supone que la desviación estándar poblacional sea de 4.5 días? 26. Los sueldos de los egresados de la licenciatura en Contaduría pueden llegar a tener una desviación estándar de aproximadamente $ 1 500.00. Se quiere un estimado de 90% de confianza para el promedio del sueldo real. ¿De qué tamaño debe tomarse la muestra si el margen de error es de $ 150.00, y si el total de egresados de la licenciatura en Contaduría son 5 000?


27 .

BANAMEX quiere estimar la proporción de tarjetahabientes que tienen un saldo diferente de cero al final de cada mes, y por lo cual tienen que pagar intereses. El margen de error deseado es de 3% con una confiabilidad del 98%. a) ¿De qué tamaño se debe seleccionar una muestra si se cree que 65% de los tarjetahabientes tienen un saldo distinto de cero al final de mes? b) Si el número de tarjetahabientes es 10 000, ¿cuál será el tamaño de la muestra para estimar la proporción poblacional?

28. Los datos acerca de la asistencia a los conciertos de Luis Miguel indicaron que 75% son mujeres. Se quiere determinar la proporción real de mujeres que asisten a los conciertos de Luis Miguel, con una confianza de 95%. a) ¿Cuál debe ser el tamaño de muestra para un margen de error de 2%? 29. La Federación Mexicana de Fútbol llevó a cabo una encuesta con una muestra de 850 futbolistas, para analizar como se les trata en el campo de fútbol. Se encontró que 258 futbolistas están satisfechos con los arbitrajes, 325 están de acuerdo con los reglamentos de la Federación y 267 no están de acuerdo con el reglamento. a) Determinar el intervalo de confianza de 90% de la proporción real de jugadores que están satisfechos con los arbitrajes. b) Determinar el intervalo de confianza de 90% de la proporción real de jugadores que están de acuerdo con el Reglamento de la Federación. c) Determinar el intervalo de confianza de 90% de la proporción real de jugadores que no están de acuerdo con el Reglamento de la Federación con una confianza de 90%. 30. Un investigador de mercado de una compañía de electrodomésticos quiere determinar la proporción real de la población que los adquiere. ¿Qué tamaño de muestra necesita si quiere una confianza de 90% de que está dentro de 6 2.5% de la proporción real de los que compran aparatos electrodomésticos, si no dispone de estimaciones anteriores?

Respuestas 1.

Media 5 4 055 hojas; mediana 5 3 889 hojas; y desviación estándar 5 640.55 hojas.

381

382


2.

Media 5 $ 201 887.10; mediana 5 $ 199 315.00; no hay moda; desviación estándar 5 $ 58 568.17; varianza 5 3 430 230 302 pesos al cuadrado.

3.

Media 5 11 559 asistentes; mediana 5 12 779 asistentes; no hay moda; desviación estándar 5 4 556 asistentes; varianza 5 20 761 348 asistentes al cuadrado.

4.

Media 5 cuatro horas; mediana 5 cuatro horas; moda 5 cinco horas; desviación estándar 5 1.4 horas; varianza 5 1.9 horas al cuadrado. El número de horas promedio (4) casi igual al número de horas que los niños asisten a clase (4.5), por lo que la preocupación parece confirmarse.

5.

Media 5 $ 4 521.10; desviación estándar 5 $ 1 347.30

6.

Intervalo de ingreso medio (90%): $ 11 579.67 # µ # $ 12 020.33

7.

Intervalo de endeudamiento promedio (95%): $ 5 801.92 # µ # $ 6 098.08

8.

Intervalo de salario medio (90%): $ 4 130.50 # µ # $ 4 911.70 Intervalo de salario medio (95%): $ 4 054.28 # µ # $ 4 987.92

9.

Intervalo de ventas promedio de boletos (95%): 2 332 # µ # 2 884. Intervalo de ventas promedio de boletos (99%): 2 245 # µ # 2 971.

10.

Intervalo de consumo medio de papel (90%): 3 807 hojas # µ # 4 303 hojas. Intervalo de consumo medio de papel (95%): 3 755 hojas # µ # 4 355 hojas.

11.

Intervalo de asistencia promedio (95%): 9 131 # µ # 13 987. Intervalo de asistencia promedio (99%): 8 203 # µ # 14 915.

12.

Intervalo de tiempo medio de capacitación (95%): 50 horas # µ # 58 horas.

13.

Se debe tomar una muestra de 35 familias.

14.

Se debe tomar una muestra de 63 clientes que rentan auto.

15. La diferencia de medias de consumo tiene un intervalo de: 215.3 Kw/hr 31.12 Kw/hr 77.5 Kw/hr Demasiado amplio, se requiere muestrear más días.


16.

Intervalo de la proporción de clientes satisfechos (90%): 0.4118 # p # 0.466 Intervalo de la proporción de clientes satisfechos (95%): 0.4065 # p # 0.4713

17.

Intervalo de proporción de directivos que consideran el flujo efectivo como la medida de salud financiera más importante: al (95%) 0.6033 # p # 0.6967; al (99%) 0.5885 # p # 0.7115.

18.

Intervalo de ingreso medio semanal (90%): $ 1 063.38 # µ # $ 1 157.65. Intervalo de ingreso medio semanal (95%): $ 1 054.19 # µ # $ 1 166.85.

19.

Intervalo de gasto promedio en comida (95%): $ 58.54 # µ # $ 60.46. Intervalo de gasto promedio en comida (99%): $ 58.24 # µ # $ 60.76. El precio del plato económico está fuera de los intervalos; parece que no conviene poner el comedor industrial.

20. La diferencia de medias de calificaciones tiene un intervalo de: 0.24 puntos 0.6 puntos 0.68 puntos No parece haber diferencia en el aprendizaje al usar los dos métodos (“A1” y “B1”). 21.

Intervalo para la proporción de compradores potenciales (95%): 0.444 # p # 0.616.

22.

Intervalo para el gasto promedio de los clientes (90%): 34.14 # µ # 36.76. Intervalo para la proporción poblacional de clientes (90%): 0.248 # p # 0.472

23. Se debe tomar una muestra de 55 clientes. 24.

Se debe tomar una muestra de 434 personas.

25. Se debe tomar una muestra de 19 empleados. 26. Se debe tomar una muestra de 257 egresados de la licenciatura en Contaduría. 27.

a) Se debe tomar una muestra de 1 369 tarjetahabientes. b) Se debe de tomar una muestra de 1 204 tarjetahabientes.

28. Se debe tomar una muestra de 1 801 personas.

383

384


29. Intervalo de la proporción real de jugadores que están satisfechos con el arbitraje (90%): Intervalo de la proporción real de jugadores que están de acuerdo con el Reglamento de la Federación: 0.354 # p # 0.409. Intervalo de la proporción real de jugadores que no están de acuerdo con el Reglamento de la Federación: 0.288 # p # 0.340. 30. Se debe tomar una muestra de 1 082 personas.

Capítulo 8

Pruebas de hipótesis

386


Introducción En estadística hay dos formas para realizar inferencias acerca de los parámetros de una población. La primera consiste en estimar los valores de los parámetros, como se planteó en el capítulo 6; y la segunda, en plantear hipótesis acerca de su comportamiento para poder tomar alguna decisión con respecto a éste. De acuerdo con las circunstancias que se presenten en la situación práctica que se quiera resolver, se utilizará una de las dos formas. Por ejemplo, una universidad pública en México quiere ofrecer a sus empleados (profesores y trabajadores) de mayor antigüedad (más de 20 años de trabajo en la universidad) un programa de retiro voluntario; para ello, debe conocer la proporción de empleados que aceptarán dicho programa. En este caso se debe obtener una estimación de la proporción poblacional de los empleados de la universidad que lo aceptarán, con un error de estimación especificado. Por otro lado, esa misma universidad tiene dos planes de retiro voluntario. Por lo que debe efectuar un muestreo entre sus empleados en edad de retiro para determinar qué plan quieren tomar y escoger aquél que tenga la mayor proporción de aceptación. En este caso se deberá tomar una decisión acerca de la diferencia entre las dos proporciones de aceptación de los planes que se proponen. En este capítulo se analizará el segundo caso; es decir, se plantearán hipótesis para poder tomar alguna decisión acerca del comportamiento de los parámetros de la población.

Elementos para elaborar una prueba de hipótesis Una prueba de hipótesis es una prueba estadística que se utiliza para decidir si cierta propiedad supuesta para una población es confirmada por la observación de una muestra. El procedimiento estadístico de decisión consiste en formular una hipótesis acerca de la población, en elegir la prueba estadística adecuada para contrastar dicha hipótesis y en aplicar la prueba sobre la muestra observada. La decisión se tomará en función de los resultados obtenidos. En una prueba de hipótesis, el primer paso consiste en proponer una hipótesis tentativa, que recibe el nombre de hipótesis nula, la cual es la afirmación o el enunciado tentativo que se realiza acerca del valor del parámetro poblacional que se quiera estudiar. En general, esta afirmación se lleva a cabo al asignar un valor específico al parámetro. La hipótesis nula se designa mediante H0, y se lee H subcero o H cero. La letra “H” significa hipótesis y el subíndice “0,” que “no hay diferencia”. Esta hipótesis siempre será la del estado actual o la que asegure que no hay diferencia. Por ejemplo, si se quiere estudiar el comportamiento de una media poblacional (µ) mediante una muestra de la misma, la hipótesis nula se expresa como: H0 : µ 5 valor muestral

Capítulo 8 Pruebas de hipótesis

Lo que significa que la media poblacional buscada y la media de una muestra de esa población son iguales, es decir, no hay diferencia entre ellas. Posteriormente se define una segunda hipótesis, que se llama hipótesis alternativa, la cual representa lo contrario a lo que se afirma en la hipótesis nula, ya que describe lo que se considerará si se rechaza la hipótesis nula. También, a menudo se denomina hipótesis de investigación y se designa H1 (H subuno o H uno). Esta hipótesis se aceptará si los datos muestrales proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa. Para el ejemplo anterior, la hipótesis alternativa para el estudio de la media poblacional (µ) se expresa como: H1 : µ ? valor muestral Es decir, la hipótesis alternativa indica que la media poblacional y la media muestral son diferentes.

Ejemplo 1: Un análisis elaborado en el año anterior indica que un alumno en una universidad gasta al semestre $ 1 150.00 en fotocopias. Con los efectos de la inflación, se piensa que este gasto ha cambiado. Se quiere elaborar una prueba estadística para esta variable con una muestra de 35 estudiantes y un nivel de significancia de 0.05. Plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa del problema.

Solución: H0 : µ 5 $ 1 150.00 en gasto H1 : µ ? $ 1 150.00 en gasto La hipótesis nula supone que el gasto en fotocopias no ha cambiado a pesar de los efectos de la inflación, mientras que la hipótesis alternativa indica que hay un cambio de más de $ 1 150.00, o bien de menos de $ 1 150.00. Si en el ejemplo anterior se indicara que se piensa de los efectos de la inflación han aumentado el gasto en fotocopias de los alumnos, entonces las hipótesis deben plantearse como: H0 : µ # $ 1 150.00 en gasto H1 : µ . $ 1 150.00 en gasto Por otro lado, si se piensa que los efectos de la inflación han disminuido el gasto en fotocopias de los alumnos, entonces las hipótesis deben plantearse como: H0 : µ $ $ 1 150.00 en gasto H1 : µ , $ 1 150.00 en gasto

387

388


Si se considera X como un valor numérico específico en las hipótesis nula y alternativa, se pueden resumir las formas que presentan estas hipótesis como se indica en el cuadro 8.1. Cuadro 8.1. No hay diferencia entre el parámetro y el valor de una muestra

El valor de la muestra es mayor que el parámetro poblacional

El valor de la muestra es menor que el parámetro poblacional

H0 : µ 5 X

H0 : µ # X

H0 : µ $ X

H1 : µ ? X

H1 : µ . X

H1 : µ , X

Errores tipo I y II En un problema de prueba de hipótesis puede suceder que la hipótesis nula sea verdadera, o bien la hipótesis alternativa sea la verdadera, pero no ambas. En el caso ideal, generalmente una prueba de hipótesis conduce a la aceptación de la hipótesis nula (H0) cuando ésta es verdadera y a su rechazo en el caso de que la hipótesis alternativa (H1) sea la verdadera. Desafortunadamente, el investigador no siempre llega a las conclusiones correctas y hay, por tanto, una posibilidad de error. Estos errores que se generan al realizar una prueba de hipótesis se llaman error tipo I y error tipo II. Cuando en una prueba se rechaza la hipótesis nula y debió haberse aceptado, se comete un error denominado tipo I. Un error tipo I (a) es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula (H0), cuando en realidad es verdadera. Un error tipo II (b) es la probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. El cuadro 8.2 muestra las posibles situaciones a que se enfrenta un analista o investigador al cometer un error al realizar una prueba de hipótesis. Cuadro 8.2. Hipótesis nula

El investigador o analista acepta H0

El investigador o analista rechaza H0

Si H0 es verdadera

Decisión correcta

Error tipo I

Si H0 es falsa

Error tipo II

Decisión correcta

Del cuadro 8.2 se observa que: 1. Si H0 es verdadera y el investigador o analista acepta H0, la decisión es correcta. 2. Si H0 es verdadera y el investigador o analista rechaza H0, se comete un error tipo I. 3. Si H0 es falsa y el investigador o analista acepta H0, se comete un error tipo II. 4. Si H0 es falsa y el investigador o analista rechaza H0, la decisión es correcta.


Pasos de una prueba de hipótesis Como ya se indicó, una prueba de hipótesis es una prueba estadística que se utiliza para decidir si cierta propiedad supuesta para una población es confirmada por la observación de una muestra. El procedimiento estadístico de decisión que comprende una prueba de hipótesis puede resumirse en los pasos siguientes: 1. Establecer las hipótesis nula y alternativa. 2. Establecer el nivel de significancia. Es decir, indicar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. El nivel de significancia es el riesgo que se asume de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad debe aceptarse por ser verdadera. Éste se denota mediante la letra griega a (alfa). 3. Seleccionar el valor estadístico de prueba. Éste es un valor determinado a partir de la información muestral, el cual se utiliza para aceptar o rechazar la hipótesis nula. Hay una gran variedad de estadísticos de prueba: el desvío normal o valor Z, la prueba t, la prueba F y la Ji cuadrada. 4. Establecer la regla de decisión. Ésta es una afirmación acerca de la condición en que se acepta o se rechaza la hipótesis nula. La zona o área de rechazo define la ubicación de todos los valores, que son demasiado grandes o demasiado pequeños, por lo que la probabilidad de que ocurran según una hipótesis nula verdadera es muy remota. 5. Tomar una decisión. El último paso en una prueba de hipótesis es tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Pruebas con una sola muestra A continuación se describen las pruebas de hipótesis que se realizan con una sola muestra. En el tipo de prueba de hipótesis se especificará si se trata de una muestra grande (n $ 30) o bien de una pequeña (n , 30).

Prueba de hipótesis de media cuando se conoce la desviación estándar de la población (s) y cuando ésta se desconoce (estimación con s) En la realización de pruebas de hipótesis, los procedimientos de prueba para la media como para una proporción son muy similares. En esta sección del capítulo se hablará de las pruebas de hipótesis para una media poblacional (µ) para muestras grandes (n $ 30) como para pequeñas (n , 30), en el supuesto de que se conoce la desviación estándar poblacional (s). En caso de que este parámetro poblacional (s) se desconozca, deberá estimarse mediante la desviación estándar de una muestra (S).

389

390


Prueba de hipótesis para una media poblacional en muestras grandes (n $ 30) Como ya se indicó, el supuesto en esta prueba es que se conoce la desviación estándar poblacional; por tanto, la prueba puede resumirse en los pasos siguientes: 1. Establecer las hipótesis nula y alternativa. H0 : µ 5 X, donde: X es un valor supuesto de la media poblacional. Las hipótesis alternativas pueden ser la prueba de dos extremos (bilateral o de dos colas): H1 : µ ? X, o bien, la prueba de un extremo (unilateral o de una cola): H1 : µ . X, o bien, H1 : µ , X 2. Establecer el nivel de significancia (a). Es decir, indicar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. 3. Seleccionar el valor estadístico de prueba. Dado que n . 30, se supone una distribución normal, por lo que el estadístico de prueba es:

Z=

X−X X−X = σ σX n

Pero en la práctica, la desviación estándar poblacional (s) se desconoce, por lo que ésta se estima por medio de la desviación estándar muestral (S ); por ello, para estos casos, nuestro estadístico de prueba se calcula con: Z5

X 2X S n

Como ya se indicó, la estadística de prueba Z tiene una distribución de probabilidad normal estandarizada, lo que nos permite usar la tabla de esta distribución para hallar el valor de Z con un nivel de significancia de a/2 para pruebas de hipótesis de dos extremos (bilaterales o de dos colas), y de a para pruebas de hipótesis de un extremo (unilaterales o de una cola). 4. Establecer la regla de decisión. Como ya se mencionó, ésta es simplemente una afirmación acerca de las condiciones en que se acepta o se rechaza la hipótesis nula. 5. Tomar una decisión. El último paso en una prueba de hipótesis es tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula.


Ejemplo 2: La producción industrial diaria en una pequeña planta petroquímica registra en los últimos 35 días una producción promedio de 370 toneladas de productos petroquímicos y una desviación estándar de 18 toneladas. El gerente de la planta quiere probar, con un nivel de significancia de 0.05, la hipótesis de que la producción diaria en su planta tiene una media de 365 toneladas.

Solución: Paso 1:

X 5 365 toneladas (valor supuesto de la media poblacional).

H0 : µ 5 365 (la producción diaria es de 365 toneladas). H1 : µ ? 365 (la producción diaria es distinta de 365 toneladas; puede ser de más de 365, o bien de menos de 365 toneladas). Prueba de hipótesis de dos extremos, bilateral o de dos colas. Paso 2: a 5 0.05, y para la muestra: X � 370, S � 18, n � 35 Paso 3: El valor estadístico de prueba será:

Z5

370 − 365 X − X , es decir, Z5 5 1.643 18 S 35 n

Paso 4: Establecer la regla de decisión. Con a 5 0.05 se busca en las tablas de la distribución normal estandarizada el valor Z para una probabilidad de 0.95. La región de rechazo será: Z . 1.959, o bien Z , 21.959. Se calcula en Excel con: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.5 1 0.475).

0.95 0.025

Zona de aceptación

0.025 1.643

�1.96 Zona de rechazo

1.96 Zona de rechazo

Figura 8.1. 1 Recuerde que esta función calcula Z acumulando el área (probabilidad) desde 2`.

391

392


Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de aceptación, el gerente deberá aceptar la hipótesis nula; es decir, en la planta se elaboran en promedio 365 toneladas de productos químicos diariamente. No hay evidencia estadística de que esto no sea cierto. En el ejemplo 2 se observa que no se cuenta con la desviación estándar poblacional (s), por lo que ésta se estima con la desviación estándar de la muestra (S).

Ejemplo 3: Una empresa que elabora paquetes de galletas de 30 gramos está sujeta a una inspección de llenado de éstos por parte de la Secretaría de Economía en México. Si el llenado promedio de su producción es menor que 30 gramos la Secretaría impondrá una sanción a la empresa; en caso contrario, avalará el contenido marcado en la etiqueta. La dirección de pesas y medidas toma una muestra de 36 paquetes y determina un promedio de llenado de 28.9 gramos, con una desviación estándar de 2.1 gramos. El nivel de confianza deseado para la prueba es de 99%. ¿Deberá la Secretaría multar a la empresa?

Solución: Paso 1:

X 5 30 gramos (valor supuesto de la media poblacional).

H0 : µ $ 30 (el paquete contiene al menos 30 gramos o más). H1 : µ , 30 (el paquete contiene menos de 30 gramos). Prueba de hipótesis de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2: a 5 0.01, y para la muestra: X � 28.9, S � 2.1, n � 36 . Paso 3: El valor estadístico de prueba será: Z5

X 2X 28.9 − 30 , es decir, Z 5 523.143 S 2.1 n 36

Paso 4: Establecer la regla de decisión. Con a 5 0.01 se busca en las tablas de la distribución normal estandarizada el valor Z para una probabilidad de 0.99. La región de rechazo será: Z , 22.326. Se calcula en Excel con =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.5 1 0.49).


0.99 Zona de aceptación

Zona de rechazo 0.01 �3.14

�2.33

Figura 8.2.

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo, la Secretaría deberá rechazar la hipótesis nula, es decir, la empresa entrega al consumidor menos producto que el marcado en la etiqueta. La Secretaría deberá multar a la empresa.

Ejemplo 4: Una compañía de publicidad que elabora anuncios en televisión para la población infantil, realizó un estudio en 60 niños que habitan zonas urbanas cuyas edades son de cuatro a siete años. Ésta observó que los niños ven la televisión en promedio 25.5 horas a la semana. Un investigación publicada por la Secretaría de Educación indica que los niños en ese intervalo de edad ven la televisión 23.5 horas en promedio a la semana, con una desviación estándar poblacional (s) de 6.1 horas. La compañía publicitaria deberá rechazar los resultados de la investigación de la Secretaría de Educación si desea como nivel de significancia un valor de 0.05.

Solución: Paso 1: X 5 23.5 horas (valor supuesto de la media poblacional).

H0 : µ # 23.5

(los niños ven televisión 23.5 horas o menos a la semana).

H1 : µ . 23.5

(los niños ven más de 23.5 horas de televisión a la semana).

Prueba de hipótesis de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2: a 5 0.05, para la muestra: X � 25.5, n � 60 , y para la población: s 5 6.1. Paso 3: El valor estadístico de prueba será:

Z5

X 2 X , es decir, Z 5 25.5 2 23.5 5 2.539 6.1 s 60 n

393

394


Paso 4: Establecer la regla de decisión. Con a 5 0.05, se busca en las tablas de distribución normal estandarizada el valor Z para una probabilidad de 0.95. La región de rechazo será: Z > 1.645. Se calculó en Excel con: 5DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.5 1 0.45).

0.95 Zona de rechazo 0.05

Zona de aceptación

1.645

2.54

Figura 8.3.

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo (figura 8.3) la compañía publicitaria deberá rechazar los resultados de la investigación de la Secretaría de Educación (H0), ya que hay evidencia estadística de que el número de horas promedio que estos niños ven televisión a la semana es mayor. Pruebas de hipótesis acerca de la media de una población, en el caso de muestras pequeñas (n < 30) Del mismo modo que en el caso anterior, el supuesto en esta prueba también considera que la desviación estándar poblacional se conoce; con base en ello, la prueba de hipótesis para la media en el caso de muestras pequeñas (n , 30) se puede resumir en los pasos siguientes: Paso 1: Establecer la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. H0 : µ 5 X, donde X es un valor supuesto de la media poblacional. Las hipótesis alternativas pueden ser: Prueba de dos extremos (bilateral o de dos colas): H1 : µ ? X, o bien, prueba de un extremo (unilateral o de una cola): H1 : µ . X, o bien, H1 : µ , X Paso 2: Establecer el nivel de significancia (a). Es decir, indicar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.


Paso 3: Seleccionar el valor estadístico de prueba. Dado que n , 30, se supone que la muestra se seleccionó aleatoriamente de una población distribuida normalmente y, así como lo demostró W. Gosset, no es conveniente utilizar una distribución normal cuando la muestra es pequeña; por tanto, en estos casos, la distribución de probabilidad a utilizar debe ser la distribución de probabilidad t, cuyo estadístico de prueba es: t5

X 2X X 2X 5 s sX n

pero en la práctica, la desviación estándar poblacional (s) no se conoce, por lo que ésta se estima mediante la desviación estándar muestral (S). Por consiguiente, en estos casos, el estadístico de prueba t se calcule con: t5

X 2X S n

Como ya se indicó, la estadística de prueba t tiene una distribución t de probabilidad con n-1 grados de libertad, lo que permite usar la tabla de esta distribución para hallar el valor de t con un nivel de significancia de a/2 en pruebas de hipótesis de dos extremos (bilaterales o de dos colas), y de a en pruebas de hipótesis de un extremo (unilaterales o de una cola). Paso 4: Establecer la regla de decisión. Se recuerda que, una regla de decisión simplemente es una afirmación acerca de las condiciones en que se acepta o se rechaza la hipótesis nula. Paso 5: Tomar una decisión. El último paso en una prueba de hipótesis es tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo 5: La rectoría de una universidad pública quiere determinar la calidad del servicio de su cafetería central para compararla con los niveles de calidad de otras universidades públicas. Según la última clasificación de la asociación de universidades públicas, una calificación promedio superior de siete indica una calidad superior en los servicios de una cafetería universitaria. La universidad toma una muestra de 12 estudiantes que califican ese servicio, las cuales son: 7, 9, 9, 8, 7, 8, 6, 7, 7, 9, 8 y 8. Se supone que las calificaciones de calidad en el servicio de la cafetería para la población universitaria de esta universidad se pueden aproximar con una distribución de probabilidad normal. Se podría afirmar que esta cafetería ofrece un servicio superior, si el nivel de significancia deseado para la prueba es de 0.05.

395

396


Solución: Se calculan los estadísticos descriptivos de la muestra (en Excel): X 5 7.75 y S 5 0.965 Paso 1: X 5 7 (valor supuesto de la media poblacional). H0 : µ # 7 (la calificación de calidad es igual o menor que siete). H1 : µ . 7 (la calificación de calidad es mayor que siete, lo que indica una cafetería de calidad superior). Prueba de hipótesis de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2: a 5 0.05, para la muestra: X 5 7.75, S 5 0.965 y n 5 12 Paso 3: El valor estadístico de prueba será:

t5

7.75 − 7 X 2X t5 5 2.692 , es decir, 0.965 S 12 n

Paso 4: Establecer la regla de decisión. Se debe buscar en las tablas de la distribución t el valor ta,(n21) para pruebas de un extremo: t0.05,11 5 1.7959. Por tanto, la región de rechazo será: t . 1.796. Se calcula en Excel con: 5DISTR.t.INV(2*0.05,11), ya que se trata de una prueba de un extremo.

t0.05,11 � 1.7959 Zona de rechazo

Zona de aceptación 0.05 1.796

2.692

Figura 8.4.

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo (figura 8.4), la universidad deberá aceptar la hipótesis alternativa (H1), ya que hay evidencia estadística de que la calificación promedio de la calidad del servicio de la cafetería es mayor y, por tanto, se trata de una cafetería de calidad superior.

Ejemplo 6: El proceso de producción en ICI Pinturas llena botes de pintura de 19 litros (según etiqueta). La gerencia de ventas pide a producción que por favor verifique el proceso de llenado, ya que varios clientes han manifestado descontento porque sus botes al parecer


no contienen la cantidad indicada en la etiqueta. El departamento de control de calidad selecciona periódicamente muestras de ocho botes de la línea de producción para realizar pruebas de llenado. La última muestra presenta los valores siguientes: 19.02, 19.22, 18.82, 18.92, 19.22, 19.32, 19.12 y 18.92. Si el nivel de significancia seleccionado por calidad es de 0.05, ¿qué deberá indicar producción a ventas?

Solución: Se calculan los estadísticos descriptivos de la muestra (en Excel ): X 519.07 litros de pintura por bote y S 5 0.177 litros. Paso 1: X 5 19 litros (valor supuesto de la media poblacional). H0 : µ 5 19 (los botes se llenan en promedio con 19 litros). 1 : µ ? 19 (los botes no se llenan con 19 litros; éstos pueden contener más o H menos pintura). Prueba de hipótesis de dos extremos, bilateral o de dos colas. Paso 2: a 5 0.05, para la muestra: X 5 19.07, S 5 0.177 y n 5 8 . Paso 3: El valor estadístico de prueba será:

t5

X−X 19.07 − 19 , es decir, t 5 5 1.118 S 0.177 n 8

Paso 4: Establecer la regla de decisión. Se debe buscar en las tablas de la distribución t el valor ta,(n21) para pruebas de dos extremos: t0.05,7 5 2.365. Por tanto, la región de rechazo será: t . 2.365 o bien t , 22.365 (figura 8.5). Se calcula en Excel con: 5DISTR.t.INV(0.05,7), ya que se trata de una prueba de dos extremos.

Zona de rechazo 0.025 �2.365

Zona de rechazo

Zona de aceptación

0.025 1.118

2.365

Figura 8.5

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de aceptación, producción deberá aceptar la hipótesis nula (H0), ya que hay evidencia estadística de que el proceso de llenado trabaja adecuadamente y los botes contienen en promedio la cantidad marcada en la etiqueta. Las quejas en ventas han sido fortuitas.

397

398


Prueba de hipótesis para proporciones (muestras grandes) Las pruebas de hipótesis para una proporción se fundamentan en la diferencia entre la proporción de la muestra ( pm ) y la proporción supuesta de una población ( px ). Los métodos empleados anteriormente para probar hipótesis de la media se pueden aplicar aquí, con la única diferencia que se usa la proporción de la muestra ( pm ) y su desviación estándar (sm ) para determinar el estadístico de prueba. A continuación se resumen los pasos de la prueba de hipótesis para una proporción. 1. Establecer las hipótesis nula y alternativa. H0: pp 5 px, donde px es un valor supuesto de la proporción poblacional y pp la verdadera proporción poblacional. Las hipótesis alternativas pueden ser: a) Prueba de dos extremos (bilateral o de dos colas): H1 : pp ? px, o b) prueba de un extremo (unilateral o de una cola): H1 : pp . px, o bien, H1 : pp , px 2. Establecer el nivel de significancia (a). Es decir, indicar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera. 3. Seleccionar el valor estadístico de prueba. Dado que n . 30, y si npx y n(1 2 px) son mayores o iguales que cinco, se puede suponer una distribución normal, por lo que el estadístico de prueba es:

Z5

pm 2 px p (12 px ) , donde s m 5 x n sm

Como ya se dijo, la estadística de prueba Z tiene una distribución de probabilidad normal estandarizada, lo que permite usar la tabla de esta distribución para hallar el valor de Z con un nivel de significancia de a/2 para pruebas de hipótesis de dos extremos (bilaterales o de dos colas), y de a para pruebas de hipótesis de un extremo (unilaterales o de una cola). 4. Establecer la regla de decisión. Se recuerda que, una regla de decisión simplemente es una afirmación acerca de las condiciones en que se acepta o se rechaza la hipótesis nula. 5. Tomar una decisión. El último paso en una prueba de hipótesis es tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo 7: Una compañía que renta vehículos en el aeropuerto internacional de Cancún, México, observa que en los últimos meses, 20% de sus clientes es mujer. La compañía elabora


una promoción de vehículos de renta con la finalidad de aumentar el número de mujeres que renten automóvil en esta plaza. Después de un periodo de esta promoción, se toma una muestra de 500 clientes, y se observa que 375 son hombres y 125 mujeres. La gerencia cree que la proporción de mujeres que rentan auto ha crecido con la promoción, por lo que para probarlo, establece realizar una prueba de hipótesis para la proporción de clientes mujeres, con un nivel de significancia de 0.05.

Solución: Paso 1:

px = 0.20 son clientes mujeres (valor supuesto de la proporción poblacional).

H0 : pp # 0.20 (20% o menos es cliente mujer). H0 : pp . 0.20 (más de 20% de los clientes es mujer). Prueba de hipótesis de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2:

a 5 0.5, para la muestra: pm 5 125 500 5 0.25, n 5 500 y

sm 5

0.20(12 0.20) px (12 px ) , sm 5 5 0.0179 500 n

Paso 3: Dado que n . 30, npx 5 100 y n(1 2 px) 5 400 mayor o igual que cinco, se puede suponer normalidad. p 2 px 0.25 2 0.20 , es decir, Z 5 Z5 m 5 2.79 sm 0.0179 Paso 4: Establecer la regla de decisión. Con a 5 0.5, se busca en las tablas de la distribución normal estandarizada el valor Z para una probabilidad de 0.95. La región de rechazo será: Z . 1.645. Se calcula en Excel con: =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.510.45).


Zona de aceptación

1.645

Figura 8.6

2.79

399

400


Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo, la compañía deberá rechazar la hipótesis nula (H0), ya que hay evidencia estadística de que la proporción de clientes mujeres ha crecido con la promoción.

Ejemplo 8: El departamento de control de calidad de una empresa sabe por experiencia que uno de cada diez productos presenta algún defecto de fabricación, por lo que éste tiene que ser reenviado a la línea de producción para su corrección y lograr así pasar la inspección de calidad. Para cambiar esta situación, la gerencia implanta modificaciones a la línea de producción. Después de una semana, toma una muestra de 400 productos, y calidad detecta que 22 necesitan nuevamente regresar a la línea. Sin embargo, la gerencia quiere determinar si hay evidencia de que la proporción de productos defectuosos disminuyó con la modificación en la línea. Para ello, elabora una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.05.

Solución: Paso 1: px 5 0.10 son productos con defectos (valor supuesto de la proporción poblacional). H0 : pp $ 0.10 (10% o más es producto con algún defecto). H0 : pp , 0.10 (menos de 10% de los productos presenta defecto con la modificación de la línea). Prueba de hipótesis de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2:

a 5 0.05, para la muestra: pm 5 22 y 400 5 0.055, n 5 400

sm 5

0.10(1 � 0.10) px (12 px ) � 0.015 , σm � 400 n

Paso 3: Dado que n . 30, npx 5 40 y n(1 2 px) 5 360 mayor o igual que cinco, se puede suponer normalidad. Z5

pm 2 px , es decir, Z 5 0.055 2 0.10 5 −3.0 sm 0.015

Paso 4: Establecer la regla de decisión. Con a 5 0.05 se busca en las tablas de la distribución normal estandarizada el valor Z para una probabilidad de 0.95. La región de rechazo será: Z , 21.645. Se calcula en Excel con: 5DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.5 1 0.45).


Zona de rechazo

0.95

0.05

�3.0

Zona de aceptación

�1.645

Figura 8.7.

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo, la gerencia deberá rechazar la hipótesis nula (H0) y aceptar la hipótesis alternativa (H1 ), ya que hay evidencia estadística de que la proporción de productos con algún defecto ha disminuido gracias a las modificaciones realizadas a la línea de producción. Finalmente, cabe mencionar que las pruebas de hipótesis para proporciones poblacionales de muestras pequeñas (n , 30) no se describirán en este texto; por un lado, porque la distribución de probabilidad se aproxima más a una distribución binomial y no a una distribución normal y, por otro, que en la práctica casi nunca se realizan pruebas de hipótesis para proporciones poblacionales con muestras pequeñas (n , 30).

Empleo del valor p en las pruebas de hipótesis Con el uso de los paquetes estadísticos para computadoras, apareció el concepto del valor p: un nuevo enfoque que permite probar hipótesis. El valor p es la probabilidad de obtener un estadístico de prueba igual o más extremo que el resultado obtenido a partir de los datos muestrales, dado que la hipótesis nula H0 es cierta. En otras palabras, el valor p es el nivel más bajo de significancia (a) al cual se puede rechazar la hipótesis nula. Comprende el área en la cola que está más allá del valor del estadístico para la muestra. A medida que el estadístico de la prueba se adentra en la región de rechazo, ello indica una mayor evidencia para rechazar la hipótesis nula, y se observa que el valor de p se hace más pequeño. Al suponer que la hipótesis nula H0 sea cierta, un valor de p muy pequeño es una fuerte evidencia para rechazar la hipótesis nula, ya que indica que el dato observado es muy poco probable que se presente. También, el valor p se conoce como el nivel observado de significancia. Por tanto, la regla para rechazar una hipótesis nula mediante el uso del valor p es: Rechace H0 si el valor p , a

401

402


Independientemente del tipo de prueba de hipótesis a que se haga referencia, esta regla es válida para pruebas de hipótesis de dos extremos, o bien de un extremo.

Ejemplo 9: Si se retoman los datos del ejemplo 2 y se realiza la prueba de hipótesis utilizando el valor p, se obtendría:

Solución: Paso 1:

X 5 365 toneladas (valor supuesto de la media poblacional).

H0 : µ 5 365 (la producción diaria es de 365 toneladas). H1 : µ ? 365 (la producción diaria es distinta de 365 toneladas; podría ser de más de 365 toneladas, o bien de menos de 365 toneladas). Prueba de hipótesis de dos extremos, bilateral o de dos colas. Paso 2: a 5 0.05, y para la muestra: X 5 370, S 5 18, n 5 35. Paso 3: El valor estadístico de prueba será: 370 2 365 X 2X 5 1.643 , es decir, Z 5 18 S 35 n El área comprendida entre la media de la población y el valor estandarizado se pueden calcular en Excel con la función (5DISTR.NORM.ESTAND()), o bien con la tabla de la distribución normal estandarizada (capítulo 5): 5DISTR.NORM.ESTAND(1.643) 2 0.50; es decir, 0.4498 Z5

Por lo que el valor p se puede calcular como: 0.5 2 0.4498 5 0.0502 para un solo extremo; pero como se trata de una prueba de dos extremos, su valor es: 0.1004, resultado de multiplicar el valor p por 2 (2 3 0.0502).

valor p

0.4498

0.0502

valor p

0.4498

0.0502 1.643

�1.643

Figura 8.8.


Paso 4: Establecer la regla de decisión. Rechace H0 si el valor p , a. Para el ejemplo: 0.1004 > 0.05, por lo que no se puede rechazar la hipótesis nula. Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de p es mayor que el de a, el gerente deberá aceptar la hipótesis nula, es decir, la planta en promedio elabora 365 toneladas de productos químicos diariamente. Se confirma que no hay evidencia estadística de que esto no sea cierto.

Ejemplo 10: Con los datos del ejemplo 3, elaborar una prueba de hipótesis mediante el uso del valor p.

Solución: Paso 1: X = 30 gramos (valor supuesto de la media poblacional). H0 : µ $ 30 (el paquete contiene al menos 30 gramos o más). H1 : µ , 30 (el paquete contiene menos de 30 gramos). Prueba de hipótesis de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2: a 5 0.01, y para la muestra: X 5 28.9, S 5 2.1, n 5 36. Paso 3: El valor estadístico de prueba será:

Z5

28.9 2 30 X 2X ; es decir, Z 5 523.143 2.1 S 36 n

El área comprendida entre la media de la población y el valor estandarizado pueden calcularse en Excel con la función (5DISTR.NORM.ESTAND()), o bien con la tabla de la distribución normal estandarizada (capítulo 5): 5DISTR.NORM.ESTAND(3.143) 2 0.50; es decir, 0.4992 Por lo que el valor p se puede calcular como: 0.5 2 0.4992 5 0.0008

valor p 0.0008

23.143

0.4992

Figura 8.9.

403

404


Paso 4: Establecer la regla de decisión. Rechace H0 si el valor p , a. Para el ejemplo: 0.0008 , 0.05, por lo que se debe rechazar la hipótesis nula. Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de p es menor que el valor de a, la Secretaría deberá rechazar la hipótesis nula; es decir, la empresa entrega al consumidor menos producto que el marcado en la etiqueta. Por lo que se confirma la decisión: la Secretaría deberá multar a la empresa.

Ejemplo 11: Con los datos del ejemplo 4, elaborar una prueba de hipótesis mediante el uso del valor p.

Solución: Paso 1:

X 5 23.5 horas (valor supuesto de la media poblacional).

H0 : µ # 23.5 (los niños ven 23.5 horas de televisión a la semana o menos). H1 : µ . 23.5 (los niños ven más de 23.5 horas de televisión a la semana). Prueba de hipótesis de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2: a 5 0.05, para la muestra: X 5 25.5, n 5 60 , y para la población: s 5 6.1. Paso 3: El valor estadístico de prueba será: Z5

X 2X 25.5 2 23.5 , es decir, Z 5 5 2.539 s 6.1 n 60

En Excel se puede calcular el área comprendida entre la media de la población y el valor estandarizado con la función (5DISTR.NORM.ESTAND()), o bien con la tabla de la distribución normal estandarizada (capítulo 5): 5DISTR.NORM.ESTAND(2.539) 2 0.50; es decir, 0.4944 Por lo que el valor p puede calcularse como: 0.5 2 0.4944 5 0.0056 Paso 4: Establecer la regla de decisión. Rechace H0 si el valor p , a. Para el ejemplo: 0.0056 , 0.05, por lo que debemos rechazar la hipótesis nula.


0.4944

valor p 0.0056 2.539

Figura 8.10

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de p es menor que el valor de a, entonces se debe rechazar la hipótesis nula; con ello se confirma que la compañía publicitaria deberá rechazar los resultados de la investigación de la Secretaría de Educación (H0), ya que hay suficiente evidencia estadística de que el número de horas promedio que estos niños ven televisión a la semana es mayor.

Pruebas con dos muestras La metodología para probar hipótesis con dos muestras es muy similar a la empleada en aquellos casos donde se desea probar hipótesis para una muestra. El principal cambio en el método de prueba es que, en estos casos, las pruebas se realizan mediante la comparación de las diferencias que presentan dos muestras independientes de las poblaciones que se quieran analizar. Para ello, primeramente, estas pruebas estadísticas se dividen en: muestras grandes (n1 $ 30 y n2 $ 30) y en muestras pequeñas (n1 , 30 y n2 , 30).

Prueba de hipótesis para diferencias entre medias: muestras grandes (n1 $ 30 y n2 $ 30) Considere que se quiere comparar las medias poblacionales, µ1 y µ2, de dos poblaciones. La hipótesis inicial para estas poblaciones es que entre ellas no hay diferencia entre sus medias; es decir, la hipótesis nula se expresa como: H 0 : µ 1 5 µ 2,

o bien,

H0 : µ1 2 µ2 5 0;

es decir, no hay diferencia entre las medias poblacionales. Con esta hipótesis nula, la hipótesis alternativa (H1) se expresa como: H1 : µ1 ? µ2,

o bien,

H1 : µ1 2 µ2 ? 0;

es decir, sí hay diferencia entre las medias poblacionales. Ahora, la pregunta sería, ¿esta diferencia es mayor o menor que un valor? Para ello se deben obtener dos pruebas más de hipótesis para la diferencia entre medias, las cuales serían de un solo extremo, unilaterales o de una cola. En el cuadro 8.3 se muestra un resumen de las pruebas de hipótesis para diferencias entre medias cuando las muestras son grandes (n1 $ 30 y n2 $ 30).

405

406


Cuadro 8.3. No hay diferencia entre los parámetros de las poblaciones

El valor de la diferencia es menor que cero

El valor de la diferencia es mayor que cero

H 0 : µ1 5 µ 2 H1 : µ1 ? µ2

H0 : µ1 2 µ2 # 0 H1 : µ1 2 µ2 . 0

H0 : µ1 2 µ2 $ 0 H1 : µ1 2 µ2 , 0

Para probar las hipótesis establecidas en el cuadro 8.3 se utiliza el estadístico de prueba Z, el cual se define con la ecuación siguiente: Z5 donde:

( X 1 2 X 2 ) 2 ( µ1 2 µ2 )

s 12 s 22 1 n1 n2

X 1 5 media de muestra 1 con n1 elementos X 2 5 media de muestra 2 con n2 elementos µ1 5 supuesta media poblacional de la población 1 µ1 5 supuesta media poblacional de la población 2 s1 5 desviación estándar conocida de la población 1 s2 5 desviación estándar conocida de la población 2 En la práctica, las desviaciones estándar de la población 1 y 2 (s1 y s2) no se conocen, por lo que se sustituyen en la ecuación con las desviaciones estándar calculadas de las muestras de ambas poblaciones (S1 y S2), y se obtiene el siguiente estadístico de prueba Z: Z5

( X 1 2 X 2 ) 2 ( µ1 2 µ2 ) S12 S22 1 n1 n2

Finalmente, otra consideración importante para este tipo de pruebas de hipótesis consiste en suponer que las muestras se obtienen en forma independiente de dos poblaciones que se distribuyen normalmente. Los pasos para la realización de esta prueba de hipótesis son similares a los de las pruebas de hipótesis para una sola muestra, pero con la consideración de que el estadístico de prueba es una distribución de probabilidad normal estandarizada Z, la cual se define para probar la diferencia entre medias poblacionales mediante dos muestras grandes.


Ejemplo 12: El área de capacitación de una gran empresa aplica un examen de evaluación a dos grupos de empleados de la gerencia de ventas que han sido capacitados en el mismo programa de marketing, pero con proveedores de capacitación diferentes. La evaluación mostrará si hay diferencia en la capacitación que proporcionan estos proveedores. El nivel de significancia de esta prueba es de 0.05. Las calificaciones de los empleados obtenidas con el proveedor Educa y el proveedor Mercado son: Cuadro 8.4. Educa, S.A. 9.7

8.3

9.1

9.0

8.4

8.7

9.3

7.7

7.2

8.0

8.2

9.2

7.8

8.5

6.3

8.8

8.5

7.3

8.4

9.1

8.8

8.9

7.2

8.8

7.6

8.6

7.4

8.3

7.1

7.3

Cuadro 8.5. Mercado, S.A. de C.V. 6.5 8.7 9.2 6.6

6.7 8.5 8.2 8.2

9.1 6.4 7.9 7.9

8.4 7.1 6.2 9.8

8.5 9.2 6.9 7.9

8.3 8.3 7.6 8.0

7.8 7.3 8.4 7.6

8.5 8.2 9.1 5.8

7.2 8.9 8.0 6.5

7.4 6.0 7.9 7.5

Solución: Calcular los estadísticos descriptivos de cada proveedor. Educa, S.A.: X 1 5 8.25, S1 5 0.805 y n1 5 30 . Mercado, S.A. de C.V. : X 2 5 7.805, S2 5 0.969 y n2 5 40 . Paso 1: H0 : µ1 5 µ2, no hay diferencia en la capacitación de ambos proveedores (µ1 2 µ2 5 0). H1 : µ1 ? µ2, hay diferencia en la capacitación (µ1 2 µ2 ? 0). Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos medias de dos extremos, bilateral o de dos colas. Paso 2: a 5 0.05, para la muestra 1: X 1 5 8.25, S1 5 0.805 y n1 5 30 ; para la muestra 2: X 2 5 7.805, S2 5 0.969 y n2 5 40 .

Paso 3: El valor estadístico de prueba es: ( X 1 2 X 2 ) 2 ( µ1 2 µ2 )

Z5

Z 5 2.096

2 1

2 2

S S 1 n1 n2

, es decir, Z 5

(8.25 2 7.805) 2 (0)

(0.805)2 (0.969)2 1 30 40

407

408


Paso 4: Establecer la regla de decisión. Se debe buscar en las tablas de la distribución normal estandarizada el valor Z para una probabilidad de 0.95, ya que a 5 0.05. La región de rechazo será: Z . 1.9599, o bien, Z , 21.9599. Se calculó en Excel con: 5DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.5 1 0.475).


0.025 �1.96 Zona de rechazo

Zona de rechazo 0.025

1.96 2.096

Figura 8.11.

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo, el encargado de capacitación deberá rechazar la hipótesis nula; es decir, la capacitación proporcionada por estos proveedores es distinta.

Ejemplo 13 El Departamento de Recursos Humanos de la Secretaría de Economía recibe una queja de su sindicato. La queja consiste en que el salario medio de los empleados de la Ciudad de México (D.F.) es mayor que el de los de Guadalajara. La Secretaría asegura al sindicato que no hay diferencia en los salarios. El sindicato realiza una investigación cuyos resultados se muestran en el cuadro 8.6: Cuadro 8.6. Ciudad

Salarios medios por día

Desviación estándar de la muestra

Tamaño de la muestra

Guadalajara

$ 89.50

$ 4.00

200

Distrito Federal

$ 91.20

$ 7.00

175

Los analistas del sindicato quieren realizar una prueba de hipótesis para la diferencia de salarios entre las dos ciudades con un nivel de significancia de 0.05. ¿Deberá la Secretaría revisar los salarios medios de sus empleados en estas dos ciudades?

Solución: Paso 1: H0 : µ1 # µ2, no hay diferencia en los salarios medios de los empleados en estas dos ciudades (µ1 2 µ2 5 0).


H1 : µ1 . µ2, los salarios medios en el D.F. son mayores a los de la Ciudad de Guadalajara. Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos medias de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2: a = 0.05, para la muestra 1: X 1 5 91.20, S1 5 7.00 y n1 5 175 , y para la muestra 2: X 2 5 89.50, S 5 4.00 y n 5 200. 2 2 Paso 3: El valor estadístico de prueba es: ( X 1 2 X 2 ) 2 ( µ1 2 µ2 )

Z5

Z = 2.833

2 1

2 2

S S 1 n1 n2

; es decir, Z 5

(91.20 2 89.50) 2 (0) (7.00)2 (4.00)2 1 175 200

Paso 4: Establecer la regla de decisión. Se debe buscar en las tablas de la distribución normal estandarizada el valor Z para una probabilidad de 0.95, ya que a = 0.05. La región de rechazo es: Z . 1.6448 (figura 8.12). Se calcula en Excel con: 5DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.5 1 0.45). Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de rechazo, el sindicato deberá rechazar la hipótesis nula propuesta por la Secretaría; es decir, los salarios medios deberán ser revisados, ya que los empleados en el D.F. ganan más que los de la Ciudad de Guadalajara.

0.95 Zona de rechazo

Zona de aceptación 0.95

0.05

1.645

2.833

Figura 8.12.

Prueba de hipótesis para diferencias entre medias: muestras pequeñas (n1 , 30 y n2 , 30) Las pruebas de hipótesis para la diferencia entre medias de dos poblaciones (µ1 y µ2) de las que se han obtenido dos muestras pequeñas (n1 , 30 y n2 , 30) requieren para su desarrollo dos modificaciones. Una de ellas es la forma de calcular el error estándar estimado de la diferencia entre estas dos medias muestrales, y la segunda es aquélla que se refiere al cambio de distribución de probabilidad que se emplea en estas pruebas. Los demás elementos que forman la prueba de hipótesis son similares a los que se mostraron en el punto anterior.

409

410


En este tipo de prueba se debe suponer que las varianzas de las poblaciones que se estudian son desconocidas pero iguales; es decir, s 12 5 s 22 . Por otro lado, como ya se indicó en el capítulo 7, al tener muestras pequeñas (n1 , 30 y n2 , 30) para probar una hipótesis, no es conveniente utilizar la distribución normal estandarizada; por tanto, en estos casos, se utiliza la distribución t de Student, propuesta por William S. Gosset, en 1908. Para calcular el error estándar estimado de la diferencia entre dos medias muestrales, se debe suponer que las varianzas de las poblaciones son desconocidas pero iguales ( s 12 5 s 22 ), por lo que se utilizarán las varianzas muestrales ( S12 y S22 ) como estimadores de las varianzas poblacionales. Con ellas se calcula un promedio ponderado, en donde los pesos del promedio son el número de grados de libertad de cada muestra. Este promedio ponderado se conoce con el nombre de estimación conjunta de la varianza ( Sc2 ), la cual se define como:

Sc2 5

( n1 2 1) S12 1 ( n2 2 1) S22 n1 1 n2 2 2

Con base en la ecuación anterior, se obtiene la nueva relación que permite calcular el error estándar para la diferencia entre dos medias muestrales, con muestras pequeñas y varianzas de población iguales: 1 1 s X 1 − X 2 5 Sc + n1 n2 Debido a que se usan las varianzas muestrales para estimar el valor desconocido de la varianza poblacional, esta prueba de hipótesis estará fundamentada, como ya se indicó, en una distribución de probabilidad t. En el cuadro 8.7, se muestra un resumen de las diferentes pruebas de hipótesis que pueden realizarse para diferencias entre medias cuando las muestras son pequeñas (n1 , 30 y n2 , 30): Cuadro 8.7. No hay diferencia entre los parámetros de las poblaciones



H 0 : µ1 5 µ 2 H1 : µ1 ? µ2

H 0 : µ1 2 µ 2 # 0 H1 : µ1 2 µ2 . 0

H0 : µ1 2 µ2 $ 0 H1 : µ1 2 µ2 , 0

Para probar estas hipótesis (cuadro 8.7) se utiliza el estadístico de prueba t, el cual se define con la ecuación siguiente: t5

( X 1 2 X 2 ) 2 ( µ1 2 µ2 ) , donde s X1− X 2


s X 1 − X 2 5 Sc Sc �

1 1 1 , y Sc es, n1 n2

( n1 − 1) S12 � ( n2 − 1) S22 n1 � n2 − 2

Los pasos para la realización de esta prueba de hipótesis, como ya se dijo, son similares a los que se muestran en las pruebas de hipótesis anteriores; sin embargo, en este caso, se considera que el estadístico de prueba a emplear es una distribución de probabilidad t, la cual se define para una diferencia entre medias poblacionales cuando las muestras son pequeñas.

Ejemplo 14: En la planta de ensamble de una empresa automotriz de la Ciudad de Toluca, México, se capacitará al personal de la línea de armado de motores en un nuevo procedimiento que requiere aproximadamente tres semanas de entrenamiento. Se quiere comparar el anterior método de capacitación con el nuevo. Para ello se entrenaron a dos grupos de diez operarios cada uno, durante tres semanas, en cada uno de estos métodos. Se registraron los tiempos de armado de los motores, en minutos, para cada operario después del entrenamiento. Los resultados del tiempo de armado de un motor se muestran en el cuadro 8.8. Las gerencias de producción y capacitación quiere saber si el nuevo método requiere menor tiempo para el armado del motor que el anterior. Se quiere probar esta hipótesis con un nivel de significancia de 0.05. Cuadro 8.8. Método viejo (minutos) 31 38 34 29 41 44 34 32 34 31

Método nuevo (minutos) 31 35 28 26 34 40 28 31 30 32

Solución: Calcular los estadísticos descriptivos de cada muestra (en Excel ): Método anterior: X 1 5 34.8, S1 5 4.779 y n1 5 10.

Método nuevo: X 2 5 31.5, S2 5 4.062 y n2 5 10.

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Paso 1: H0 : µ1 # µ2, no hay diferencia entre los métodos de capacitación. El tiempo de armado del motor es el mismo (µ1 2 µ2 5 0). H1 : µ1 . µ2 , el método nuevo de capacitación reduce el tiempo de armado del motor (µ1 2 µ2 . 0). Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos medias de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2: a 5 0.05, para la muestra 1: X 1 5 34.8, S1 5 4.779 y n1 5 10 ; para la muestra 2: X 2 5 31.5, S2 5 4.062 y n2 5 10 . Paso 3: El valor del estadístico de prueba es: t5 Sc 5

( X 1 2 X 2 ) 2 ( µ1 2 µ2 ) , donde s X1− X 2

(10 − 1)( 4.779)2 + (10 − 1)( 4.062)2 5 4.435 10 + 10 − 2

s X 1 − X 2 5 Sc s X 1 − X 2 5 4.435 t5

1 1 + ; es decir, n1 n2 1

10

1

1

10

5 1.983 , y t es:

(34.8 2 31.5) 2 (0) 1.983

5 1.664

Paso 4: Establecer la regla de decisión. Se debe buscar en las tablas de la distribución t el valor ta,(n 1n 22) para pruebas de un extremo: t0.05,(18)5 1.7341. 1

2

La región de rechazo será: t . 1.7341. Se calcula en Excel con: 5DISTR.t.INV(2*0.05,18), ya que se trata de una prueba de un extremo.

Zona de rechazo

Zona de aceptación 0.05 1.664

Figura 8.13

1.7341


Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de aceptación, las gerencias deben aceptar la hipótesis nula, ya que no hay suficiente evidencia de que con el método nuevo de capacitación se disminuya el tiempo de armado de un motor.

Ejemplo 15: El administrador de la Oficina de la Tesorería, en Coyoacán, establece dos sistemas de cobro de impuestos y servicios, los cuales se denominan sistema “A” y sistema “B”. Este administrador quiere saber si hay diferencia en el tiempo de atención a cada contribuyente dependiendo del sistema que éste utilice para realizar sus pagos. Cronómetro en mano, toma los tiempos de atención al contribuyente en cada uno de los sistemas. Debido a que debe realizar más actividades administrativas, sólo logra obtener dos muestras pequeñas, cuyos resultados se muestran en el cuadro 8.9. Cuadro 8.9. Sistema “A” (minutos)

Sistema “B” (minutos)

3 3 8 4 2

2 8 4 9 4 3

El administrador se pregunta: ¿Hay diferencia entre los tiempos medios de atención al contribuyente entre estos sistemas? Si utiliza un nivel de significancia de 0.10, qué respuesta obtiene a su pregunta.

Solución: Calcular los estadísticos descriptivos de cada muestra (en Excel ): Sistema “A”: X 1 5 4, S1 5 2.345 y n1 5 5.

Sistema “B”: X 2 5 5, S2 5 2.828 y n2 5 6.

Paso 1: H0 : µ1 5 µ2, no hay diferencia entre los sistemas de atención al contribuyente (µ1 2 µ2 5 0). H1 : µ1 ? µ2, hay diferencia entre los sistemas de atención al contribuyente. Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos medias de dos extremos, bilateral o de dos colas.

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Paso 2: a 5 0.10, para la muestra 1: X 1 5 4, S1 5 2.345 y n1 5 5 ; para la muestra 2: X 2 5 5, S2 5 2.828 y n2 5 6 Paso 3: El valor del estadístico de prueba es: ( X 1 2 X 2 ) 2 ( µ1 2 µ2 ) , donde s X1− X 2

t5 Sc =

(5 � 1)(2.345)2 � (6 � 1)(2.828)2 = 2.624 5�6�2

s X 1 − X 2 5 Sc

1 1 , es decir, + n1 n2

s X 1 − X 2 = 2.624 t�

(4 � 5) � (0) 1.5889

1

5

+

1 6

= 1.5889 , y t es:

� � 0.6294

Paso 4: Establecer la regla de decisión. Buscar en las tablas de la distribución t el valor ta,(n 1n 2 2) para pruebas de dos extremos: t0.010,(9) 5 1.833. 1

2

La región de rechazo es: t . 1.833 o t , 2 1.833. Se calcula en Excel con: 5DISTR.t.INV(0.10,9), ya que se trata de una prueba de dos extremos (figura 8.14).

Zona de rechazo

0.05

0.05 �1.833

Zona de rechazo

Zona de aceptación

�0.6294

1.833

Figura 8.14.

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba se encuentra dentro de la zona de aceptación, el administrador deberá aceptar la hipótesis nula, la cual indica que no hay suficiente evidencia de que los tiempos medios de atención sean diferentes entre estos dos sistemas.

Prueba de hipótesis para diferencia entre proporciones: muestras grandes Esta prueba permite comparar las proporciones poblacionales desconocidas de dos poblaciones (P1 y P2 no se conocen) mediante las proporciones de dos muestras (p1 y p2), una de cada población. Las muestras tomadas de cada población binomial son independientes y lo suficientemente grandes (n1 $ 30 y n2 $ 30), lo que permite suponer que sus distribuciones de probabilidad se pueden aproximar mediante una distribución normal.


Para que este último supuesto sea válido y ello permita realizar una prueba de hipótesis para la diferencia entre proporciones, se debe cumplir que: n1 p1 $ 5, n1(12 p1) $ 5, n2 p2 $ 5 y n2(12p2) $ 5 donde: n1 5 tamaño de la muestra aleatoria simple de la población 1 (n1 $ 30) n2 5 tamaño de la muestra aleatoria simple de la población 2 (n2 $ 30) p1 5 proporción de éxitos en la muestra aleatoria de la población 1. p2 5 proporción de éxitos en la muestra aleatoria de la población 2. Si se cumplen todos los productos señalados, entonces, la distribución de probabilidad de la diferencia entre proporciones (p12p2) se puede aproximar, como ya se indicó, por medio de una distribución normal de probabilidad. La hipótesis indica que las dos muestras son independientes, por lo que puede estimarse su varianza como:

s (2p1 − p2 ) 5 y su error estándar como:

s ( p1 − p2 ) 5

p1 (12 p1 ) p2 (12 p2 ) 1 n1 n2 p1 (12 p1 ) p2 (12 p2 ) 1 n1 n2

Este método de estimación es una aproximación de una distribución binomial a una distribución normal, por lo que el estadístico que permite probar la diferencia entre dos proporciones se fundamenta en el estadístico Z de la distribución normal estandarizada, el cual se define como: Z5 donde:

( p1 2 p2 ) 2 ( P1 2 P2 ) p1 (12 p1 ) p2 (12 p2 ) 1 n1 n2

n1 5 tamaño de la muestra aleatoria simple de la población 1 (n1 $ 30) n2 5 tamaño de la muestra aleatoria simple de la población 2 (n2 $ 30) p1 5 proporción de éxitos en la muestra aleatoria de la población 1 p2 5 proporción de éxitos en la muestra aleatoria de la población 2 P1 5 proporción de éxitos en la población 1 (valor desconocido) P2 5 proporción de éxitos en la población 2 (valor desconocido) Pero como la hipótesis nula es H0: P1 5 P2 , lo que indica que las dos poblaciones tienen la misma proporción de éxitos, entonces el estimador de la diferencia entre proporciones

415

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( p ) se puede escribir como un promedio ponderado en la forma siguiente: p 5 n1 p1 1 n2 p2 n1 1 n2 Al sustituir este valor ( p ) en el error estándar del estadístico de prueba, se obtiene el estadístico Z de la distribución normal estandarizada para esta prueba: Z5

( p1 2 p2 ) 2 ( P1 2 P2 ) 1 1 p (12 p )  1   n1 n2 

En el cuadro 8.10 se muestra un resumen de las diferentes pruebas de hipótesis que pueden realizarse para diferencias entre proporciones cuando las muestras son grandes (n1 $ 30 y n2 $ 30). Cuadro 8.10. No hay diferencia entre los parámetros de las poblaciones



H0 : p1 5 p2 H0 : p1 ? p2

H0 : p1 2 p2 # 0 H0 : p1 2 p2 . 0

H0 : p1 2 p2 $ 0 H0 : p1 2 p2 , 0

Los pasos para realizar esta prueba de hipótesis son similares a los de las pruebas de hipótesis anteriores; sin embargo, en este caso, el estadístico de prueba es una distribución de probabilidad normal estandarizada (Z), la cual se define para probar la diferencia entre proporciones poblacionales con dos muestras grandes.

Ejemplo 16: Una compañía lanza al mercado un producto novedoso en las áreas metropolitanas de la Ciudad de México y Toluca, en México. La publicidad empleada en este lanzamiento en la Ciudad de México se fundamenta por completo en anuncios en la televisión abierta en los canales 2, 7 y 11; mientras que en la Ciudad de Toluca, la campaña publicitaria es una mezcla equilibrada de anuncios en televisión, radio y periódicos. Un mes después del inicio de la campaña, se realiza una encuesta para determinar el conocimiento del producto en estos mercados (cuadro 8.11). Cuadro 8.11. Ciudad

Personas encuestadas

Personas que conocen el producto

México

1 216

784

Toluca

1 054

826


El director de la campaña publicitaria considera que el conocimiento del producto en estos mercados es similar con ambas formas de publicitarlo, y para ello desea realizar una prueba de hipótesis, con un nivel de significancia de 0.05.

Solución: Paso 1: H0 : p1 5 p2, no hay diferencia en la proporción de personas que conocen el producto en ambas ciudades (p1 2 p2 5 0). H1 : p1 ? p2, hay diferencia en la proporción de personas que conocen el producto en ambas ciudades. Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos proporciones. Prueba de dos extremos, bilateral o de dos colas. Paso 2: a 5 0.05, como la hipótesis nula es H0 : P1 5 P2 5 0, se debe calcular el estimador de la diferencia entre proporciones ( p ). p1 5 784 / 1 216 5 0.6447

p2 5 826 / 1 054 5 0.7837 p 5 n1 p1 1 n2 p2 ; es decir, n1 1 n2

p 5 (1216)(0.6447) 1 (1054)(0.7837) 5 0.7092 1216 11054 Paso 3: El valor del estadístico de prueba. Para aplicar el valor estadístico de prueba Z deberá cumplirse que: n1 p1 $ 5, n1 (12 p1) $ 5, n2 p2 $ 5 y n2 (12 p2) $ 5; es decir, 1 216(0.6447) $ 5, 1 216(0.3553) $ 5, 1 054(0.7837) $ 5 y 1 054(0.2163) $ 5 Como todas las condiciones se cumplen, entonces el estadístico de prueba es: Z5

Z5

( p1 2 p2 ) 2 ( P1 2 P2 ) 1 1 p (12 p )  1   n1 n2 

; es decir,

(0.6447 2 0.7837) 2 (0) (0.7092)(12 0.7092)

1   1 1  12166 1054

Z 5 27.273

417

418


Paso 4: Establecer la regla de decisión. En las tablas de la distribución Z, se debe buscar el valor correspondiente a 0.475 (Z 5 1.959) dado que a 5 0.05. Se calcula en Excel con: 5DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.5 1 0.475) (figura 8.15). La región de rechazo es: Z . 1.96 o Z , 2 1.96.


0.025 �1.96 Zona de rechazo

0.025 1.96 Zona de rechazo

Figura 8.15.

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba (27.273) se encuentra dentro de la zona de rechazo, el director de la campaña debe rechazar la hipótesis nula, la cual indica que hay suficiente evidencia de que las proporciones acerca del conocimiento del producto son diferentes en estos mercados, tal vez producto de las diferentes campañas publicitarias.

Ejemplo 17: El SAT (Sistema de Administración Tributaria) realiza un estudio para determinar si las proporciones de errores al hacer la declaración anual de impuestos de las personas físicas son mayores en una oficina regional que en la oficina central. Se toman dos muestras para detectar si el llenado de la declaración tiene errores. Los resultados del muestreo se resumen en el cuadro 8.12: Cuadro 8.12. Oficina

Declaraciones anuales de impuestos revisadas

Declaraciones anuales de impuestos con errores

Regional

250

38

Central

300

27

El jefe de auditoría considera que la proporción de errores en la oficina regional es mayor que la que se presenta en la oficina central. Si el nivel de significancia deseado para el estudio es de 0.05, a que conclusión llegará el jefe de auditoría.

Solución: Paso 1: H0 : p1 2 p2 # 0, no hay diferencia en la proporción de errores al llenar la declaración anual de impuestos en ambas oficinas (p1 2 p2 5 0).


H1 : p1 2 p2 . 0, hay más errores en la proporción de llenado de las declaraciones correspondientes a la oficina regional. Prueba de hipótesis para la diferencia entre dos proporciones. Prueba de un extremo, unilateral o de una cola. Paso 2: a 5 0.05, como la hipótesis nula es H0 : P1 2 P2 5 0, se debe calcular el estimador de la diferencia entre proporciones ( p ). p1 5 38/250 5 0.152 p2 5 27/300 5 0.09 p5

n1 p1 1 n2 p2 ; es decir, n1 1 n2

p 5 (250)(0.152) 1 (300)(0.09) 5 0.1182 250 1 300 Paso 3: El valor del estadístico de prueba. Para aplicar el valor estadístico de prueba Z se debe cumplir que: n1 p1 $ 5, n1 (12 p1) $ 5, n2 p2 $ 5 y n2 (12 p2) $ 5; es decir, 250(0.152) $ 5 ,250(0.848) $ 5 ,300(0.09) $ 5 y 300(0.91) $ 5 Como todas las condiciones se cumplen, entonces el estadístico de prueba es:

Z5

Z5

( p1 2 p2 ) 2 ( P1 2 P2 ) 1 1 p (12 p )  1   n1 n2 

; es decir,

(0.152 2 0.09) 2 (0) (0.1182)(12 0.1182)

1   1 1  250 3000 

Z = 2.2425 Paso 4: Establecer la regla de decisión. En las tablas de la distribución Z, se debe buscar el valor correspondiente a 0.45 (Z 5 1.6448) dado que a 5 0.05. Se calcula en Excel con: 5DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.5 1 0.45) (figura 8.16). La región de rechazo será: Z . 1.645

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420



Zona de aceptación

1.645

2.2425

Figura 8.16.

Paso 5: Tomar la decisión. Como el valor de prueba (2.2425) se encuentra dentro de la zona de rechazo, el jefe de auditoría debe rechazar la hipótesis nula, ya que hay suficiente evidencia de que la proporción de errores en el llenado de las declaraciones anuales son mayores en la oficina regional que las que se llenan en la oficina central.

Problemas 1.

La refinación diaria en una pequeña refinería de Centroámerica registra, en los últimos 50 días, una producción promedio de 971 toneladas de productos petroquímicos y una desviación estándar de 21 toneladas. El gerente de planta quiere probar, con un nivel de significancia de 0.05, la hipótesis de que la producción diaria en su planta tiene una media de 980 toneladas.

2.

Una máquina llenadora de cereal trabaja con sacos de 20 kg. El jefe de producción ha notado que algunos sacos pesan más del llenado estándar de la máquina, por lo que toma una muestra de 100 sacos, de la cual obtiene un peso promedio de 20.35 kg y una desviación estándar de 1.6 kg. Si éste considera un nivel de significancia de 0.05, ¿está en lo correcto y deberá ajustar la máquina?

3.

Un estudiante en la Ciudad de México gasta en promedio diariamente $ 16.00 (con base en un estudio realizado dos años antes). Por otro lado, el Banco de México indica que tiene un control muy estricto sobre la inflación y los precios. Un economista tiene la hipótesis de que si esto es cierto, el gasto promedio del estudiante ha disminuido. Decide tomar una muestra aleatoria de 35 estudiantes. El promedio de gasto diario en esa muestra fue de $ 15.50 y una desviación estándar de $ 1.65. Si la hipótesis se prueba con un nivel de significancia de 0.10, tendrá razón el economista.


4.

La Secretaría de Salubridad y Asistencia (SSA) hace pruebas de un medicamento genérico que contiene 100 cm3. La acción de éste es tal que el cuerpo soporta dosis excesivas sin sufrir daño. Una dosis insuficiente no produce el efecto médico deseado. La SSA ha adquirido este medicamento durante varios años y sabe que la desviación estándar de la población es de 2 cm3. Control de calidad revisa, aleatoriamente, 50 dosis de un pedido grande, y encuentra que la media de contenido es de 99.75 cm3. Si la SSA establece un nivel de significancia de 0.10. ¿Las dosis que han sido recibidas en almacén son demasiado pequeñas?

5.

El director regional del Sistema de Ahorro para el Retiro (SAR) para el EDOMEX considera que los empleados afiliados en el Estado tienen en promedio un ahorro de $ 31 000.00 en sus cuentas de pensiones. Al tomar una muestra de 100 empleados, el director encuentra una media de $ 31 366.00 y una desviación estándar muestral de $ 1 894.00. Si el nivel de significancia es de 0.05, el director piensa que tal vez el ahorro a la fecha sea mayor.

6.

Una compañía que produce alimento vitaminado para perro, indica que su paquete económico contiene cinco kilogramos. El supervisor de producción considera que se están entregando paquetes con más producto. Toma una muestra de seis paquetes y encuentra que los pesos son de: 4.6, 6.1, 5.2, 4.8, 5.7 y 5.4 kg. Si prueba su hipótesis con un nivel de significancia de 0.05, ¿el supervisor tiene la razón?

7.

El inventario en una embotelladora de refrescos no debe de exceder de 3 000 cajas diarias. El encargado del almacén considera que éste se encuentra dentro del parámetro establecido y reporta a la gerencia que se manejan menos cajas al día. La gerencia toma una muestra de ocho días, y encuentra los niveles de inventario siguientes: 2 925, 2 705, 2 835, 3 065, 2 890, 3 010, 2 830 y 2 610 cajas. Si la gerencia realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.05, tendrá razón el encargado del almacén.

8.

La Procuraduría Federal del Consumidor (PROFECO), en México, revisa las quejas de algunos consumidores de refrescos. Algunos consumidores dicen que la presentación pequeña contiene 250 mililitros de producto, mientras que otros afirman que tiene más. El laboratorio de PROFECO toma una muestra de 25 refrescos y encuentra que en promedio contienen 230 mililitros con una desviación estándar de 60 mililitros. Si el nivel de significancia que usa la PROFECO en sus pruebas es de 0.05, ¿a qué conclusión llega el laboratorio?

9.

Una compañía de computadoras lanzará al mercado un notebook científico, ya que considera que 60% de sus clientes realiza actividades orientadas a la ciencia y la tecnología. Una muestra de 800 clientes muestra que 492 de ellos se dedican

421

422


a alguna de estas actividades. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿se puede afirmar que la proporción de clientes estimada por la compañía es correcta? 10.

La gerencia de capacitación de un banco debe garantizar que al menos 75% de los empleados en las sucursales ha concluido un curso avanzado de “buen trato al cliente”. Se toma una muestra aleatoria de 1 200 empleados, de la cual se observa que 875 de ellos ya tomó el curso de capacitación. Con un nivel de significancia de 5%, la gerencia de capacitación puede confirmar lo que ha estimado.

11.

La Greenpeace preocupada por la contaminación ambiental al norte de la ciudad afirma, en una audiencia pública, que “menos de 60% de las industrias de la zona cumple con los estándares de cuidado ambiental”. Un funcionario de la Dirección General de Protección al Ambiente asiste a la reunión y cree que 60% de la planta industrial sí cumple con la norma. Decide probar esta hipótesis al nivel de significancia de 0.02; para ello, muestrea 60 plantas en una zona que tiene 10 000 y encuentra que 33 de ellas cumplen con el estándar de cuidado ambiental. ¿Es válido lo que afirma Greenpeace?

12.

La Secretaría de Energía evalúa a sus empleados para llevar a cabo ascensos. El director de Recursos Humanos dice al Subsecretario de Administración que, aproximadamente 80% de los empleados de la Secretaría es apto para un ascenso. El subsecretario reúne un comité especial para evaluar la capacidad de ascenso. Este comité hace entrevistas a fondo con 150 empleados y estima que, a su juicio, sólo 70% de la muestra está calificado para tal ascenso. El Subsecretario desea probar, con un nivel de significancia de 0.05, la hipótesis de que 80 % de los empleados es apto para el ascenso.

13.

Con el estadístico p, solucione el problema 1.

14.

Solucione el problema 8, con el estadístico p.

15.

Solucione el problema 10, con el estadístico p.

16.

Transportes del Norte tiene dos rutas de entrega de mercancías de Chiapas a Monterrey. La ruta que va por la Ciudad de Querétaro emplea, según una muestra de 100 camiones, 17.1 horas con una desviación estándar de 5.2 horas, mientras que la ruta por Guadalajara muestreada con 75 camiones emplea en promedio 19.3 horas y una desviación estándar de 4.4 horas. Pruebe la hipótesis de que la ruta de Querétaro requiere menos horas de transportación, con un nivel de significancia de 0.05.


17.

Una universidad prueba un programa de postgrado en dos de sus campus. El director del programa considera que a pesar de las diferencias con que se trata el postgrado en cada campus, no hay oposiciones entre ellos y los egresados obtienen la misma preparación académica. El campus 1 aplica una prueba de competencia a 45 de sus egresados; el promedio fue de 81 puntos, con una desviación estándar de 13.5 puntos. El campus 2 aplica la misma prueba a 40 egresados; el promedio fue de 83 puntos y una desviación estándar de 9.5. Si se quiere probar la hipótesis del director del programa a un nivel de significancia de 0.01, éste tendrá la razón.

18.

En una cafetería de comida rápida, una máquína automática vende café en tazas de papel reciclado. Una muestra de 15 tazas da una media de 153 ml con una varianza de 35 ml. El encargado observa que las tazas no se llenan correctamente y realiza un ajuste a la máquina. Después, toma una muestra de 10 tazas, cuyo promedio fue de 171 ml y una varianza de 39 ml. Con este ajuste se puede suponer, con un nivel de significancia de 0.05, que la máquina entrega más café a los clientes.

19.

Las calificaciones de un examen de Estadística en una universidad pública mixta fueron las siguientes: Hombres

7.2

6.9

9.7

6.7

8.4

7.7

7.9

Mujeres

8.0

6.8

9.0

7.7

8.2

7.9

7.7

8.0

7.7

El profesor del curso tiene la hipótesis de que la calificación media de las mujeres es más alta que la de los hombres, y para ello utiliza un nivel de significancia de 0.01. 20. Una Secretaría de Estado quiere probar si la sensibilidad del empleado con los ciudadanos después de tomar un nuevo programa de capacitación es significativamente mayor que la adquirida con el programa anterior. Los resultados de ambos programas son: Programa muestreado Nuevo Programa Programa anterior

Sensibilidad media después Número de del programa empleados observados (%) 92 84

12 15

Desviación estándar de la sensibilidad (%) 15 19

El nivel de significancia con que se quiere probar la hipótesis acerca de la sensibilidad es de 0.05.

423

424


21.

La compañía de perfumes Abon quiere lanzar en el mercado mexicano un nuevo perfume dirigido a mujeres jóvenes y adultas. Se realiza una prueba de fragancia en 100 mujeres jóvenes y 28 de ellas respondió que ésta les agradaba. Se realizó la misma prueba con 200 mujeres adultas, y 85 de ellas respondieron que la fragancia les agradaba. La compañía quiere probar a un nivel de 0.05 de que la proporción de mujeres jóvenes y adultas es la misma en cuanto al gusto por esta fragancia. ¿La compañía está en lo correcto?

22.

Una compañía que vende aluminio prueba dos máquinas de corte. La máquina Acme especifica en su catálogo menos errores en el corte que una máquina de marca Mexcort. Se prueban ambas cortadoras de aluminio. Una muestra de 200 piezas cortadas con la máquina Acme produjo 28 piezas defectuosas, mientras que la máquina Mexcort produjo sólo 18 piezas defectuosas en una muestra de 100 cortes. En un nivel de significancia de 0.10, la proporción de cortes con error es menor con la máquina Acme.

Respuestas 1.

H0 : µ = 980; H1 : µ ? 980; Z 5 23.03. En tablas: 61.96. Rechazar la hipótesis nula.

2.

H0 : µ # 20; H1 : µ . 20; Z 5 2.188. En tablas: 1.645. Rechazar la hipótesis nula. Deberá ajustar la máquina.

3.

H0 : µ $ 16; H1 : µ , 16; Z = 21.793. En tablas: 21.282. Rechazar la hipótesis nula. El economista tiene razón.

4.

H0 : µ $ 100; H1 : µ , 100; Z = 20.884. En tablas: 21.282. Aceptar la hipótesis nula. El medicamento está dentro de la norma.

5.

H0 : µ # 31 000; H0 : µ . 31 000; Z = 1.93. En tablas: 1.645. Rechazar la hipótesis nula. Los ahorros de los empleados parecen tener promedios mayores que el estimado por el director.

6.

H0 : µ # 5; H1 : µ . 5; t 5 1.316. En tablas: 2.015. Aceptar la hipótesis nula. No hay suficiente evidencia de que los paquetes contengan más de cinco kilogramos.

7.

H0 : µ $ 3 000; H1 : µ , 3 000; t 5 22.662. En tablas: 1.895. Rechazar la hipótesis nula. El encargado de almacén tiene razón.


8.

H0 : µ 5 250; H1 : µ ? 250; t 5 21.667. En tablas: 62.064. Aceptar la hipótesis nula. El contenido promedio de los envases de refrescos es de 250 mililitros.

9.

H0 : pp 5 0.60, H1 : pp ? 0.60; Z = 0.866. En tablas: 61.96. Aceptar la hipótesis nula. La proporción estimada de clientes es correcta.

10.

H0 : pp $ 0.75; H1 : pp , 0.75; Z 5 21.667. En tablas: 21.645. Rechazar la hipótesis nula. La proporción estimada de empleados capacitados es menor.

11.

H0 : pp $ 0.60; H1 : pp , 0.60; Z 5 20.791. En tablas: 22.054. Aceptar la hipótesis nula. La proporción estimada por Greenpeace está equivocada.

12.

H0 : pp 5 80; H1 : pp ? 80; Z 5 23.062. En tablas: 61.96. Rechazar la hipótesis nula. La proporción estimada para el ascenso de empleados no es de 80%; está equivocada.

13.

Valor p 5 0.002445. Dado que p < a se debe rechazar H0.

14.

Valor p 5 0.1085. Dado que p > a se debe aceptar H0.

15.

Valor p 5 0.04775. Dado que p , a se debe rechazar H0.

16.

H0 : µ1 2 µ2 5 0; H1 : µ1 2 µ2 , 0. Valor Z 5 23.026. En tablas:21.645. Rechazar la hipótesis nula. Se está 95% seguros de que la ruta de Querétaro requiere menos tiempo de transporte.

17.

H0 : µ1 2 µ2 5 0; H1 : µ1 2 µ2 ? 0. Valor Z 5 20.7964. En tablas: 62.576. Aceptar la hipótesis nula. No hay diferencia entre los programas de postgrado de ambos campus. El director del programa tiene razón.

18.

H0 : µ1 2 µ2 # 0; H1 : µ1 2 µ2 . 0. Valor t 5 27.2915 . En tablas: 2 1.7139. Rechazar la hipótesis nula. La máquina entrega más café con el ajuste.

19.

H0 : µ1 2 µ2 # 0; H1 : µ1 2 µ2 . 0. Valor t 5 20.2472. En tablas: 2 2.6245. Aceptar la hipótesis nula. El profesor está en un error.

20. H0 : µ1 2 µ2 # 0; H1 : µ1 2 µ2 . 0. Valor t 5 1.1903. En tablas: 1.7081. Aceptar la hipótesis nula. Los niveles de sensibilidad logrados por los dos programas parecen ser iguales.

425

426


21.

H0 : p1 2 p2 5 0; H1 : p1 2 p2 ? 0. Valor Z 5 22.4433. En tablas: 21.96. Rechazar la hipótesis nula. Las proporciones de preferencia por la fragancia del perfume son distintas entre jóvenes y adultas.

22: H0 : p1 2 p2 # 0; H1 : p1 2 p2 . 0. Valor Z 5 20.9064. En tablas: 21.282. Aceptar la hipótesis nula. Las proporciones de errores en el corte son similares en ambas máquinas.

APÉNDICE

Tablas

428

Estadística descriptiva Tabla E-1. Tabla de números aleatorios

Columna Hilera

00000 12345

00001 67890

11111 12345

11112 67890

22222 12345

22223 67890

33333 12345

33334 67890

01 02 03

66194 78240 00833

28926 43195 88000

99547 24837 67299

16625 32511 68215

45515 70880 11274

67953 22070 55624

12108 52622 32991

57846 61881 17436

04 05

12111 47189

86683 99951

61270 05755

58036 03834

64192 43782

90611 90599

15145 40282

01748 51417

06 07 08 09 10

76396 46409 74626 34450 36327

72486 17469 22111 81974 72135

62423 32483 87286 93723 33005

27618 09083 46772 49023 28701

84184 76175 42243 58432 34710

78922 19985 68046 67083 49359

73561 26309 44250 36876 50693

52818 91536 42439 93391 89311

11 12 13 14 15

74185 12296 90822 72121 95268

77536 41623 60280 79152 41377

84825 62873 88925 96591 25684

09934 37943 99610 90305 08151

99103 25584 42772 10189 61816

09325 09609 60561 79778 58555

67389 63360 76873 68016 54305

45869 47270 04117 13747 86189

16 17 18 19 20

92603 18813 38840 05959 85141

09091 90291 26903 33836 21155

75884 05275 28624 53758 99212

93424 01223 67157 16562 32685

72586 79607 51986 41081 51403

88903 95426 42865 38012 31926

30061 34900 14508 41230 69813

14457 09778 49315 20528 58781

21 22 23 24 25

75047 30752 22986 99439 20389

59643 95260 82575 86692 93029

31074 68032 42187 90348 11881

38172 62871 62295 66036 71685

03718 58781 84295 48399 65452

32119 34143 30634 73451 89047

69506 68790 66562 26698 63669

67143 69766 31442 39437 02656

26 27 28 29 30

39249 96777 04860 41613 17930

05173 33605 32918 42375 00794

68256 29481 10798 00403 53836

36359 20063 50492 03656 53692

20250 09398 52655 77580 67135

68686 01843 33359 87772 98102

05947 35139 94713 86877 61912

09335 61344 28393 57085 11246

31 32 33 34 35

24649 79899 76801 36239 07392

31845 34061 49594 63636 64449

25736 54308 81002 38140 17886

75231 59358 30397 65731 63632

83808 56462 52728 39788 53995

98917 58166 15101 06872 17574

93829 97302 72070 38971 22247

99430 86828 33706 53363 62607

36 37 38 39 40

67133 77759 85992 79553 41101

04181 31504 72268 75952 17336

33874 32832 42920 54116 48951

98835 70861 20810 65553 53674

67453 15152 29361 47139 17880

59734 29733 51423 60579 45260

76381 75371 90306 09165 08575

63455 39174 73574 85490 49321

41 42 43 44 45

36191 62329 14751 48462 29435

17095 63898 13151 59278 88105

32123 23268 93115 44185 59651

91576 74283 01437 29616 44391

84221 26091 56945 76537 74588

78902 68409 89661 19589 55114

82010 69704 67680 83139 80834

30847 82267 79790 28454 85686

46 47 48 49 50

28340 02167 17864 79675 72335

29285 58940 00991 80605 82037

12965 27149 39557 60059 92003

14821 80242 54981 35862 34100

80425 10587 23588 00254 29879

16602 79786 81914 36546 46613

44653 34959 37609 21545 89720

70467 75339 13128 78179 13274

Apéndice Tabla E-1. Tabla de números aleatorios (Continuación)

Columna 51 52 53 54 55

00000 12345 49280 61870 43898 62993 33850

00001 67890 88924 41657 65923 93912 58555

11111 12345 35779 07468 25078 30454 51438

11112 67890 00283 08612 86129 84598 85507

22222 12345 81163 98083 78496 56095 71865

22223 67890 07275 97349 97653 20664 79488

33333 12345 89863 20775 91550 12872 76783

33334 67890 02348 45091 08078 64647 31708

56 57 58 59 60

55336 70543 89382 37818 60430

71264 29776 93809 72142 22834

88472 10087 00796 67140 14130

04334 10072 95945 50785 96593

63919 55980 34101 22380 23298

36394 64688 81277 16703 56203

11095 68239 66090 53362 92671

92470 20461 88872 44940 15925

61 62 63 64 65

82975 39087 55700 14756 32166

66158 71938 24586 23997 53251

84731 40355 93247 78643 70654

19436 54324 32596 75912 92827

55790 08401 11865 83832 63491

69229 26299 63397 32768 04233

28661 49420 44251 18928 33825

13675 59208 43189 57070 69662

66 67 68 69 70

23236 45794 09893 54382 94750

73751 26926 20505 74598 89923

31888 15130 14225 91499 37089

81718 82455 68514 14523 20048

06546 78305 46427 68479 80336

83246 55058 56788 27686 94598

47651 52551 96297 46162 26940

04877 47182 78822 83554 36858

71 72 73 74 75

70297 85157 11100 36871 23913

34135 47954 02340 50775 48357

53140 32979 12860 30592 63308

33340 26575 74697 57143 16090

42050 57600 96644 17381 51690

82341 40881 89439 68856 54607

44104 12250 28707 25853 72407

82949 73742 25815 35041 55538

76 77 78 79 80

79348 92074 06873 12478 57175

36085 54641 21440 37622 55564

27973 53673 75593 99659 65411

65157 54421 41373 31065 42547

07456 18130 49502 83613 70457

22255 60103 17972 69889 03426

25626 69593 82578 58869 72937

57054 49464 16364 29571 83792

81 82 83 84 85

91616 78025 27587 16690 70183

11075 73539 67228 20427 58065

80103 14621 80145 04251 65489

07831 39044 10175 64477 31833

59309 47450 12822 73709 82093

13276 03197 86687 73945 16747

26710 12787 65530 92396 10386

73000 47709 49325 68263 59293

86 87 88 89 90

90730 10934 82462 27463 02979

35385 93242 30166 10433 52997

15679 13431 79613 07606 09079

99742 24590 47416 16285 92709

50866 02770 13389 93699 90110

78028 48582 80268 60912 47506

75573 00906 05085 94532 53693

67257 58595 96666 95632 49892

91 92 93 94 95

46888 53638 82433 35766 10853

69929 83161 61427 31672 42581

75233 08289 17239 50082 08792

52507 12639 89160 22795 13257

32097 08141 19666 66948 61973

37594 12640 08814 65581 24450

10067 28437 37841 84393 52351

67327 09268 12847 15890 16602

96 97 98 99 00

20341 54458 26337 34314 28603

27398 90542 66530 23729 10708

72906 77563 16687 85264 68933

63955 51839 35179 05575 34189

17276 52901 46560 96855 92166

10646 53355 00123 23820 15181

74692 83281 44546 11091 66628

48438 19177 79896 79821 58599

Hilera

FUENTE: Extractada parcialmente de The Rand Corporation, A Million Random Digits with 100 000 Normal Deviates (Glencoe, I11.: The Free Press, 1955).

429

430


Tabla E-2. Distribución normal estandarizada

La entrada representa el área bajo la distribución normal estandarizada desde la media hasta Z.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

.00 .0000 .0398 .0793 .1179 .1554 .1915 .2257 .2580 .2881 .3159

.01 .0040 .0438 .0832 .1217 .1591 .1950 .2291 .2612 .2910 .3186

.02 .0080 .0478 .0871 .1255 .1628 .1985 .2324 .2642 .2939 .3212

.03 .0120 .0517 .0910 .1293 .1664 .2019 .2357 .2673 .2967 .3238

.04 .0160 .0557 .0948 .1331 .1700 .2054 .2389 .2704 .2995 .3264

.05 .0199 .0596 .0987 .1368 .1736 .2088 .2422 .2734 .3023 .3289

.06 .0239 .0636 .1026 .1406 .1772 .2123 .2454 .2764 .3051 .3315

.07 .0279 .0675 .1064 .1443 .1808 .2157 .2486 .2794 .3078 .3340

0

Z .08 .0319 .0714 .1103 .1480 .1844 .2190 .2518 .2823 .3106 .3365

.09 .0359 .0753 .1141 .1517 .1879 .2224 .2549 .2852 .3133 .3389

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

.3413 .3643 .3849 .4032 .4192 .4332 .4452 .4554 .4641 .4713

.3438 .3665 .3869 .4049 .4207 .4345 .4463 .4564 .4649 .4719

.3461 .3686 .3888 .4066 .4222 .4357 .4474 .4573 .4656 .4726

.3485 .3708 .3907 .4082 .4236 .4370 .4484 .4582 .4664 .4732

.3508 .3729 .3925 .4099 .4251 .4382 .4495 .4591 .4671 .4738

.3531 .3749 .3944 .4115 .4265 .4394 .4505 .4599 .4678 .4744

.3554 .3770 .3962 .4131 .4279 .4406 .4515 .4608 .4686 .4750

.3577 .3790 .3980 .4147 .4292 .4418 .4525 .4616 .4693 .4756

.3599 .3810 .3997 .4162 .4306 .4429 .4535 .4625 .4699 .4761

.3621 .3830 .4015 .4177 .4319 .4441 .4545 .4633 .4706 .4767

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

.4772 .4821 .4861 .4893 .4918 .4938 .4953 .4965 .4974 .4981

.4778 .4826 .4864 .4896 .4920 .4940 .4955 .4966 .4975 .4982

.4783 .4830 .4868 .4898 .4922 .4941 .4956 .4967 .4976 .4982

.4788 .4834 .4871 .4901 .4925 .4943 .4957 .4968 .4977 .4983

.4793 .4838 .4875 .4904 .4927 .4945 .4959 .4969 .4977 .4984

.4798 .4842 .4878 .4906 .4929 .4946 .4960 .4970 .4978 .4984

.4803 .4846 .4881 .4909 .4931 .4948 .4961 .4971 .4979 .4985

.4808 .4850 .4884 .4911 .4932 .4949 .4962 .4972 .4979 .4985

.4812 .4854 .4887 .4913 .4934 .4951 .4963 .4973 .4980 .4986

.4817 .4857 .4890 .4916 .4936 .4952 .4964 .4974 .4981 .4986

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

.49865 .49903 .49931 .49952 .49966 .49977 .49984 .49989 .49993 .49995

.49869 .49906 .49934 .49953 .49968 .49978 .49985 .49990 .49993 .49995

.49874 .49910 .49936 .49955 .49969 .49978 .49985 .49990 .49993 .49996

.49878 .49913 .49938 .49957 .49970 .49979 .49986 .49990 .49994 .49996

.49882 .49916 .49940 .49958 .49971 .49980 .49986 .49991 .49994 .49996

.49886 .49918 .49942 .49960 .49972 .49981 .49987 .49991 .49994 .49996

.49889 .49921 .49944 .49961 .49973 .49981 .49987 .49992 .49994 .49996

.49893 .49924 .49946 .49962 .49974 .49982 .49988 .49992 .49995 .49996

.49897 .49926 .49948 .49964 .49975 .49983 .49988 .49992 .49995 .49997

.49900 .49929 .49950 .49965 .49976 .49983 .49989 .49992 .49995 .49997

FUENTE: Elaboración propia con las funciones de Microsoft Excel.

Apéndice Binomial

Las anotaciones en la tabla son valores de

( )p q n x

x

n− x

n=5

X 0 1 2 3 4 5

.1 .59049 .32805 .07290 .00810 .00045 .00001

.2 .32768 .40960 .20480 .05120 .00640 .00032

.3 .16807 .36015 .30870 .13230 .02835 .00243

.4 .07776 .25920 .34560 .23040 .07680 .01024

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.1 .34868 .38742 .19371 .05740 .01116 .00149 .00014 .00001 .00000 .00000 .00000

.2 .10737 .26844 .30199 .20133 .08808 .02642 .00551 .00079 .00007 .00000 .00000

.3 .02825 .12106 .23347 .26683 .20012 .10292 .03676 .00900 .00145 .00014 .00001

.4 .00605 .04031 .12093 .21499 .25082 .20066 .11148 .04247 .01062 .00157 .00010

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.1 .20589 .34315 .26690 .12851 .04284 .01047 .00194 .00028 .00003 .00000

.2 .03518 .13194 .23090 .25014 .18760 .10318 .04299 .01382 .00345 .00067

.3 .00475 .03052 .09156 .17004 .21862 .20613 .14724 .08113 .03477 .01159

.4 .00047 .00470 .02194 .06339 .12678 .18594 .20660 .17708 .11806 .06121

.5 .03125 .15625 .31250 .31250 .15625 .03125 n = 10 .5 .00098 .00977 .04395 .11719 .20508 .24609 .20508 .11719 .04395 .00977 .00098 n = 15 .5 .00003 .00046 .00320 .01389 .04166 .09164 .15274 .19638 .19638 .15274

.6 .01024 .07680 .23040 .34560 .25920 .07776

.7 .00243 .02835 .13230 .30870 .36015 .16807

.8 .00032 .00640 .05120 .20480 .40960 .32768

.9 .00001 .00045 .00810 .07290 .32805 .59049

.6 .00010 .00157 .01062 .04247 .11148 .20066 .25082 .21499 .12093 .04031 .00605

.7 .00001 .00014 .00145 .00900 .03676 .10292 .20012 .26683 .23347 .12106 .02825

.8 .00000 .00000 .00007 .00079 .00551 .02642 .08808 .20133 .30199 .26844 .10737

.9 .00000 .00000 .00000 .00001 .00014 .00149 .01116 .05740 .19371 .38742 .34868

.6 .00000 .00002 .00025 .00165 .00742 .02449 .06121 .11806 .17708 .20660

.7 .00000 .00000 .00001 .00008 .00058 .00298 .01159 .03477 .08113 .14724

.8 .00000 .00000 .00000 .00000 .00001 .00010 .00067 .00345 .01382 .04299

.9 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00003 .00028 .00194

10 .00000

.00010

.00298

.02449

.09164

.18594

.20613

.10318

.01047

11 12 13 14 15

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00001 .00000 .00000 .00000 .00000

.00058 .00008 .00001 .00000 .00000

.00742 .00165 .00025 .00002 .00000

.04166 .01389 .00320 .00046 .00003 n = 20 .5 .00000 .00002 .00018 .00109 .00462 .01479

.12678 .06339 .02194 .00470 .00047

.21862 .17004 .09156 .03052 .00475

.18760 .25014 .23090 .13194 .03518

.04284 .12850 .26689 .34315 .20589

X 0 1 2 3 4 5

.1 .12158 .27017 .28518 .19012 .08978 .03192

.2 .01153 .05765 .13691 .20536 .21820 .17456

.3 .00080 .00684 .02785 .07160 .13042 .17886

.4 .00004 .00049 .00309 .01235 .03499 .07465

.6 .00000 .00000 .00000 .00004 .00027 .00129

.7 .00000 .00000 .00000 .00000 .00001 .00004

.8 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.9 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

431

432


X 6 7 8 9 10

.1 .00887 .00197 .00036 .00005 .00001

.2 .10910 .05455 .02216 .00739 .00203

.3 .19164 .16426 .11440 .06537 .03082

Binomial (Continuación) n = 20 .4 .5 .6 .12441 .03696 .00485 .16588 .07393 .01456 .17971 .12013 .03550 .15974 .16018 .07099 .11714 .17620 .11714

11 12 13 14 15

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00046 .00009 .00001 .00000 .00000

.01201 .00386 .00102 .00022 .00004

.07099 .03550 .01456 .00485 .00129

.16018 .12013 .07393 .03696 .01479

.15974 .17971 .16588 .12441 .07465

.06537 .11440 .16426 .19164 .17886

.00739 .02216 .05455 .10910 .17456

.00005 .00036 .00197 .00887 .03192

16 17 18 19 20

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00001 .00000 .00000 .00000 .00000

.00027 .00004 .00000 .00000 .00000

.00462 .00109 .00018 .00002 .00000

.03499 .01235 .00309 .00049 .00004

.13042 .07160 .02785 .00684 .00080

.21820 .20536 .13691 .05765 .01153

.08978 .19012 .28518 .27017 .12158

.7 .00022 .00102 .00386 .01201 .03082

.8 .00000 .00001 .00009 .00046 .00203

.9 .00000 .00000 .00000 .00000 .00001

n = 25 X 0 1 2 3 4 5

.1 .07179 .19942 .26589 .22650 .13841 .06459

.2 .00378 .02361 .07084 .13577 .18668 .19601

.3 .00013 .00144 .00739 .02428 .05723 .10302

.4 .00000 .00005 .00038 .00194 .00710 .01989

.5 .00000 .00000 .00001 .00007 .00038 .00158

.6 .00000 .00000 .00000 .00000 .00001 .00005

.7 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.8 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.9 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

6 7 8 9 10

.02392 .00722 .00180 .00038 .00007

.16335 .11084 .06235 .02944 .01178

.14717 .17119 .16508 .13363 .09164

.04420 .07999 .11998 .15108 .16116

.00528 .01433 .03223 .06089 .09742

.00023 .00092 .00312 .00884 .02122

.00000 .00002 .00008 .00035 .00132

.00000 .00000 .00000 .00000 .00001

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

11 12 13 14 15

.00001 .00000 .00000 .00000 .00000

.00401 .00117 .00029 .00006 .00001

.05355 .02678 .01148 .00422 .00132

.14651 .11395 .07597 .04341 .02122

.13284 .15498 .15498 .13284 .09742

.04341 .07597 .11395 .14651 .16116

.00422 .01148 .02678 .05355 .09164

.00006 .00029 .00117 .00401 .01178

.00000 .00000 .00000 .00001 .00007

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000. .00000 .00000

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00035 .00008 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00884 .00312 .00092 .00023 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000

.06089 .03223 .01433 .00528 .00158 .00038 .00007 .00001 .00000 .00000

.15108 .11998 .07999 .04420 .01989 .00710 .00194 .00038 .00005 .00000

.13363 .16508 .17119 .14717 .10302 .05723 .02428 .00739 .00144 .00013

.02944 .06235 .11084 .16334 .19601 .18668 .13577 .07083 .02361 .00378

.00038 .00180 .00721 .02392 .06459 .13841 .22650 .26589 .19941 .07179

Apéndice

Binomial (Continuación) n = 30 X 0 1 2 3 4 5

.1 .04239 .14130 .22766 .23609 .17707 .10230

.2 .00124 .00928 .03366 .07853 .13252 .17228

.3 .00002 .00029 .00180 .00720 .02084 .04644

.4 .00000 .00000 .00004 .00027 .00120 .00415

.5 .00000 .00000 .00000 .00000 .00003 .00013

.6 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.7 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.8 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.9 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000

6 7 8 9 10

.04736 .01804 .00576 .00157 .00037

.17946 .15382 .11056 .06756 .03547

.08293 .12185 .15014 .15729 .14156

.01152 .02634 .05049 .08227 .11518

.00055 .00190 .00545 .01332 .02798

.00001 .00004 .00017 .00063 .00200

.00000 .00000 .00000 .00001 .00003

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

11 12 13 14 15

.00007 .00001 .00000 .00000 .00000

.01612 .00638 .00221 .00067 .00018

.11031 .07485 .04442 .02312 .01057

.13962 .14737 .13604 .11013 .07831

.05088 .08055 .11153 .13543 .14446

.00545 .01294 .02687 .04894 .07831

.00013 .00046 .00150 .00425 .01057

.00000 .00000 .00001 .00004 .00018

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

16 17 18 19 20

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00004 .00001 .00000 .00000 .00000

.00425 .00150 .00046 .00013 .00003

.04894 .02687 .01294 .00545 .00200

.13543 .11153 .08055 .05088 .02798

.11013 .13604 .14737 .13962 .11518

.02312 .04442 .07485 .11031 .14156

.00067 .00221 .00638 .01612 .03547

.00000 .00000 .00001 .00007 .00037

21 22 23 24 25

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00001 .00000 .00000 .00000 .00000

.00063 .00017 .00004 .00001 .00000

.01332 .00545 .00190 .00055. .00013

.08227 .05049 .02634 .01152 .00415

.15729 .15014 .12185 .08293 .04644

.06756 .11056 .15382 .17946 .17228

.00157 .00576 .01804 .04736 .10230

26 27 28 29 30

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00000 .00000 .00000 .00000 .00000

00000 .00000 .00000 .00000 .00000

.00003 .00000 .00000 .00000 .00000

.00120 .00027 .00004 .00000 .00000

.02084 .00720 .00180 .00029 .00002

.13252 .07853 .03366 .00928 .00124

.17706 .23609 .22765 .14130 .04239

433

434

Estadística descriptiva Tabla E-3. Valores críticos de t

Para un número particular de grados de libertad, la entrada representa el valor crítico de t correspondiente a un área especificada para la cola superior.

α 0

Grados de libertad

Áreas de cola superior .05 .025 .01

.25

.10

1 2 3 4 5

1.0000 0.8165 0.7649 0.7407 0.7267

3.0777 1.8856 1.6377 1.5332 1.4759

6.3138 2.9200 2.3534 2.1318 2.0150

12.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706

31.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649

63.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322

.005

6 7 8 9 10

0.7176 0.7111 0.7064 0.7027 0.6998

1.4398 1.4149 1.3968 1.3830 1.3722

1.9432 1.8946 1.8595 1.8331 1.8125

2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281

3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638

3.7074 3.4995 3.3554 3.2498 3.1693

11 12 13 14 15

0.6974 0.6955 0.6938 0.6924 0.6912

1.3634 1.3562 1.3502 1.3450 1.3406

1.7959 1.7823 1.7709 1.7613 1.7531

2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315

2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025

3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467

16 17 18 19 20

0.6901 0.6892 0.6884 0.6876 0.6870

1.3368 1.3334 1.3304 1.3277 1.3253

1.7459 1.7396 1.7341 1.7291 1.7247

2.1199 2.1098 2.1009 2.0930 2.0860

2.5835 2.5669 2.5524 2.5395 2.5280

2.9208 2.8982 2.8784 2.8609 2.8453

21 22 23 24 25

0.6864 0.6858 0.6853 0.6848 0.6844

1.3232 1.3212 1.3195 1.3178 1.3163

1.7207 1.7171 1.7139 1.7109 1.7081

2.0796 2.0739 2.0687 2.0639 2.0595

2.5177 2.5083 2.4999 2.4922 2.4851

2.8314 2.8188 2.8073 2.7969 2.7874

26 27 28 29 30

0.6840 0.6837 0.6834 0.6830 0.6828

1.3150 1.3137 1.3125 1.3114 1.3104

1.7056 1.7033 1.7011 1.6991 1.6973

2.0555 2.0518 2.0484 2.0452 2.0423

2.4786 2.4727 2.4671 2.4620 2.4573

2.7787 2.7707 2.7633 2.7564 2.7500

31 32 33 34 35

0.6825 0.6822 0.6820 0.6818 0.6816

1.3095 1.3086 1.3077 1.3070 1.3062

1.6955 1.6939 1.6924 1.6909 1.6896

2.0395 2.0369 2.0345 2.0322 2.0301

2.4528 2.4487 2.4448 2.4411 2.4377

2.7440 2.7385 2.7333 2.7284 2.7238

36

0.6814

1.3055

1.6883

2.0281

2.4345

2.7195 2.7154

37

0.6812

1.3049

1.6871

2.0262

2.4314

38

0.6810

1.3042

1.6860

2.0244

2.4286

2.7116

39

0.6808

1.3036

1.6849

2.0227

2.4258

2.7079

40

0.6807

1.3031

1.6839

2.0211

2.4233

2.7045

41 42 43 44 45

0.6805 0.6804 0.6802 0.6801 0.6800

1.3025 1.3020 1.3016 1.3011 1.3006

1.6829 1.6820 1.6811 1.6802 1.6794

2.0195 2.0181 2.0167 2.0154 2.0141

2.4208 2.4185 2.4163 2.4141 2.4121

2.7012 2.6981 2.6951 2.6923 2.6896

t(α, dƒ)

t

Apéndice Tabla E-3. Valores críticos de t (Continuación) Grados de libertad 46 47 48 49 50

.25

Áreas de cola superior .025 .01

.10

.05

0.6799 0.6797 0.6796 0.6795 0.6794

1.3002 1.2998 1.2994 1.2991 1.2987

1.6787 1.6779 1.6772 1.6766 1.6759

2.0129 2.0117 2.0106 2.0096 2.0086

2.4102 2.4083 2.4066 2.4049 2.4033

2.6870 2.6846 2.6822 2.6800 2.6778

.005

51 52 53 54 55

0.6793 0.6792 0.6791 0.6791 0.6790

1.2984 1.2980 1.2977 1.2974 1.2971

1.6753 1.6747 1.6741 1.6736 1.6730

2.0076 2.0066 2.0057 2.0049 2. 0040

2.4017 2.4002 2.3988 2.3974 2.3961

2.6757 2.6737 2.6718 2.6700 2.6682

56 57 58 59 60

0.6789 0.6788 0.6787 0.6787 0.6786

1.2969 1.2966 1.2963 1.2961 1.2958

1.6725 1.6720 1.6716 1.6711 1.6706

2.0032 2.0025 2.0017 2.0010 2.0003

2.3948 2.3936 2.3924 2.3912 2.3901

2.6665 2.6649 2.6633 2.6618 2.6603

61 62 63 64 65

0.6785 0.6785 0.6784 0.6783 0.6783

1.2956 1.2954 1.2951 1.2949 1.2947

1.6702 1.6698 1.6694 1.6690 1.6686

1.9996 1.9990 1.9983 1.9977 1.9971

2.3890 2.3880 2.3870 2.3860 2.3851

2.6589 2.6575 2.6561 2.6549 2.6536

66 67 68 69 70

0.6782 0.6782 0.6781 0.6781 0.6780

1.2945 1.2943 1.2941 1.2939 1.2938

1.6683 1.6679 1.6676 1.6672 1.6669

1.9966 1.9960 1.9955 1.9949 1.9944

2.3842 2.3833 2.3824 2.3816 2.3808

2.6524 2.6512 2.6501 2.6490 2.6479

71 72 73 74 75

0.6780 0.6779 0.6779 0.6778 0.6778

1.2936 1.2934 1.2933 1.2931 1.2929

1.6666 1.6663 1.6660 1.6657 1.6654

1.9939 1.9935 1.9930 1.9925 1.9921

2.3800 2.3793 2.3785 2.3778 2.3771

2.6469 2.6459 2.6449 2.6439 2.6430

76 77 78 79 80

0.6777 0.6777 0.6776 0.6776 0.6776

1.2928 1.2926 1.2925 1.2924 1.2922

1.6652 1.6649 1.6646 1.6644 1.6641

1.9917 1.9913 1.9908 1.9905 1.9901

2.3764 2.3758 2.3751 2.3745 2.3739

2.6421 2.6412 2.6403 2.6395 2.6387

81 82 83 84 85

0.6775 0.6775 0.6775 0.6774 0.6774

1.2921 1.2920 1.2918 1.2917 1.2916

1.6639 1.6636 1.6634 1.6632 1.6630

1.9897 1.9893 1.9890 1.9886 1.9883

2.3733 2.3727 2.3721 2.3716 2.3710

2.6379 2.6371 2.6364 2.6356 2.6349

86 87 88 89 90

0.6774 0.6773 0.6773 0.6773 0.6772

1.2915 1.2914 1.2912 1.2911 1.2910

1.6628 1.6626 1.6624 1.6622 1.6620

1.9879 1.9876 1.9873 1.9870 1.9867

2.3705 2.3700 2.3695 2.3690 2.3685

2.6342 2.6335 2.6329 2.6322 2.6316

FUENTE: Donald B. Owen, Handbook of Statistical Tables, ® 1962, Addison- Wesley, Reading, Massachusetts. Extractada de la tabla 2-1. Reimpresa con permiso del U.S. Department of Energy.

435

436


Tabla E-3. Valores críticos de t (Continuación)

91 92 93 94 95

.25 0.6772 0.6772 0.6771 0.6771 0.6771

.10 1.2909 1.2908 1.2907 1.2906 1.2905

Áreas de cola superior .05 .025 .01 1.6618 1,9864 2.3680 1.6616 1.9861 2.3676 1.6614 1.9858 2.3671 1.6612 1.9855 2.3667 1.6611 1.9853 2.3662

.005 2.6309 2.6303 2.6297 2.6291 2.6286

96 97 98 99 100

0.6771 0.6770 0.6770 0.6770 0.6770

1.2904 1.2903 1.2902 1.2902 1.2901

1.6609 1.6607 1.6606 1.6604 1.6602

1.9850 1.9847 1.9845 1.9842 1.9840

2.3658 2.3654 2.3650 2.3646 2.3642

2.6280 2.6275 2.6269 2.6264 2.6259

102 104 106 108 110

0.6769 0.6769 0.6768 0.6768 0.6767

1.2899 1.2897 1.2896 1.2894 1.2893

1.6599 1.6596 1.6594 1.6591 1.6588

1.9835 1.9830 1.9826 1.9822 1.9818

2.3635 2.3627 2.3620 2.3614 2.3607

2.6249 2.6239 2.6230 2.6221 2.6213

112 114 116 118 120

0.6767 0.6766 0.6766 0.6766 0.6765

1.2892 1.2890 1.2889 1.2888 1.2886

1.6586 1.6583 1.6581 1.6579 1.6577

1.9814 1.9810 1.9806 1.9803 1.9799

2.3601 2.3595 2.3589 2.3584 2.3578

2.6204 2.6196 2.6189 2.6181 2.6174

122 124 126 128 130

0.6765 0.6765 0.6764 0.6764 0.6764

1.2885 1.2884 1.2883 1.2882 1.2881

1.6574 1.6572 1.6570 1.6568 1.6567

1.9796 1.9793 1.9790 1.9787 1.9784

2.3573 2.3568 2.3563 2.3558 2.3554

2.6167 2.6161 2.6154 2.6148 2.6142

132 134 136 138 140

0.6764 0.6763 0.6763 0.6763 0.6762

1.2880 1.2879 1.2878 1.2877 1.2876

1.6565 1.6563 1.6561 1.6560 1.6558

1.9781 1.9778 1.9776 1.9773 1.9771

2.3549 2.3545 2.3541 2.3537 2.3533

2.6136 2.6130 2.6125 2.6119 2.6114

142 144 146 148 150

0.6762 0.6762 0.6762 0.6762 0.6761

1.2875 1.2875 1.2874 1.2873 1.2872

1.6557 1.6555 1.6554 1.6552 1.6551

1.9768 1.9766 1.9763 1.9761 1.9759

2.3529 2.3525 2.3522 2.3518 2.3515

2.6109 2.6104 2.6099 2.6095 2.6090

–

0.6745

1.2816

1.6449

1.9600

2.3263

2.5758

Grados de libertad

Apéndice

437

Tabla E-4. Valores críticos de X2

Para un número particular de grados de libertad, la entrada representa el valor crítico de X2 correspondiente a un percentil o área de cola inferior especificados (1 – ∞)

α

1 �∞ 0

x2(α, dƒ )

x2

Grados de libertad 1 2 3 4 5

.005

.01

.025

.05

.10

.25

.75

.90

.95

.975

.99

.995

0.010 0.072 0.207 0.412

0.020 0.115 0.297 0.554

0.001 0.051 0.216 0.484 0.831

0.004 0.103 0.352 0.711 1.145

0.016 0.211 0.584 1.064 1.610

0.102 0.575 1.213 1.923 2.675

1.323 2.773 4.108 5.385 6.626

2.706 4.605 6.251 7.779 9.236

3.841 5.991 7.815 9.488 11.071

5.024 7.378 9.349 11.143 12.833

6.635 9.210 11.345 13.277 15.086

7.879 10.597 12.838 14.860 16.750

6 7 8 9 10

0.676 0.989 1.344 1.735 2.156

0.872 1.239 1.646 2.088 2.558

1.237 1.690 2.180 2.700 3.247

1.635 2.167 2.733 3.325 3.940

2.204 2.833 3.490 4.168 4.865

3.455 4.255 5.071 5 899 6.737

7.841 9.037 10.219 11.389 12.549

10.645 12.017 13.362 14.684 15.987

12.592 14.067 15.507 16.919 18.307

14.449 16.013 17.535 19.023 20.483

16.812 18.475 20.090 21.666 23.209

18.548 20.278 21.955 23.589 25.188

11 12 13 14 15

2.603 3.074 3.565 4.075 4.601

3.053 3.571 4.107 4.660 5.229

3.816 4.404 5.009 5.629 6.262

4.575 5.226 5.892 6.571 7.261

5.578 6.304 7.042 7.790 8.547

7.584 8.438 9.299 10.165 11.037

13.701 14.845 15.984 17.117 18.245

17.275 18.549 19.812 21 .064 22.307

19.675 21 .026 22.362 23.685 24.996

21.920 23.337 24.736 26.119 27.488

24.725 26.217 27.688 29.141 30.578

26.757 28.299 29.819 31.319 32.801

16 17 18 19 20

5.142 5.697 6.265 6.844 7.434

5.812 6.408 7.015 7.633 8.260

6.908 7.564 8.231 8.907 9.591

7.962 8.672 9.390 10.117 10.851

9.312 10.085 10.865 11.651 12.443

11.912 12.792 13.675 14.562 15.452

19.369 20.489 21.605 22.718 23.828

23 .542 24.769 25.989 27.204 28.412

26.296 27.587 28.869 30.144 31.410

28.845 30.191 31.526 32.852 34.170

32.000 33.409 34.805 36.191 37.566

34.267 35.718 37.156 38.582 39.997

21 22 23 24 25

8.034 8.643 9.260 9.886 10.520

8.897 9.542 10.196 10.856 11.524

10.283 10.982 11.689 12.401 13.120

11.591 12.338 13.091 13.848 14.611

13.240 14.042 14.848 15.659 16.473

16.344 17.240 18.137 19.037 19.939

24.935 26.039 27.141 28.241 29.339

29.615 30.813 32.007 33.196 34.382

32.671 33.924 35.172 36.415 37.652

35.479 36.781 38.076 39.364 40.646

38.932 40.289 41.638 42.980 44.314

41.401 42.796 44.181 45.559 46.928

26 27 28 29 30

11.160 11.808 12.461 13.121 13.787

12.198 12.879 13.565 14.257 14.954

13.844 14.573 15.308 16.047 16.791

15.379 16.151 16.928 17.708 18.493

17.292 18.114 18.939 19.768 20.599

20.843 21.749 22.657 23.567 24.478

30.435 31.528 32.620 33.711 34.800

33.563 36.741 37.916 39.087 40.256

38.885 40.113 41.337 42.557 43.773

41.923 43.194 44.461 45.722 46.979

45.642 46.963 48.278 49.588 50.892

49.290 49.645 50.993 52.336 53.672

31 32 33 34 35

14.458 15.134 15.815 16.501 17.192

15.655 16.362 17.074 17.789 18.509

17.539 18.291 19.047 19.806 20.569

19.281 20.072 20.867 21.664 22.465

21.434 22.271 23.110 23.952 24.797

25.390 26.304 27.219 28.136 29.054

35.887 36.973 38.058 39.141 40.223

41.422 42.585 43.745 44.903 46.059

44.985 46.194 47.400 48.602 49.802

48.232 49.480 50.725 51.966 53.203

52.191 53.486 54.776 56.061 57.342

55.003 56.328 57.648 58.964 60.275

Áreas de cola inferior (percentiles)

438

Estadística descriptiva Tabla E-4. Valores críticos de X2 (Continuación)

Grados de libertad

Áreas de cola inferior (percentiles)

36 37 38 39 40

.005 17.887 18.586 19.289 19.996 20.707

.01 19.233 19.960 20.691 21.426 22.164

.025 21.336 22.106 22.878 23.654 24.433

.05 23.269 24.075 24.884 25.695 26.509

.10 25. 643 26.492 27.343 28.196 29.051

.25 29.973 30.893 31.815 32.737 33.660

.75 41.304 42.383 43.462 44.539 45.616

.90 47.212 48.363 49.513 50.660 51.805

.95 50.998 52.192 53.384 54.572 55.758

.975 54.437 55.668 56.896 58.120 59.342

.99 58.619 59.892 61.162 62.428 63.691

.995 61.581 62.883 64.181 65.476 66.766

41 42 43 44 45

21.421 22.138 22.859 23.584 24.311

22.906 23.650 24.398 25.148 25.901

25.215 25.999 26.785 27.575 28.366

27.326 28.144 28.965 29.787 30.612

29.907 30.765 31.625 32.487 33.350

34.585 35.510 36.436 37.363 38.291

46.692 47.766 48.840 49.913 50.985

52.949 54.090 55.230 56.369 57.505

56.942 58.124 59.304 60.481 61.656

60.561 61.777 62.990 64.201 75.410

64.950 66.206 67.459 68.710 69.957

68.053 69.336 70.616 71.893 73.166

46 47 48 49 50

25.041 25.775 26.511 27.249 27.991

26.657 27.416 28.177 28.941 29.707

29.160 29.956 30.755 31.555 32.357

31.439 32.268 33.098 33.930 34.764

34.215 35.081 35.949 36.818 37.689

39.220 40.149 41.079 42.010 42.942

52.056 53.127 54.196 55.265 56.334

58.641 59.774 60.907 62.038 63.167

62.830 64.001 65.171 66.339 67.505

66.617 67.821 69.023 70.222 71.420

71.201 72.443 73.683 74.919 76.154

74.437 75.704 76.969 78.231 79.490

51 52 53 54 55

28.735 29.481 30.230 30.981 31.735

30.475 31.246 32.018 32.793 33.570

33.162 33.968 34.776 35.586 36.398

35.600 36.437 37.276 38.116 38.958

38.560 39.433 40.308 41.183 42.060

43.874 44.808 45.741 46.676 47.610

57.401 58.468 59.534 60.600 61.665

64.295 65.422 66.548 67.673 68.796

68.669 69.832 70.993 72.153 73.311

72.616 73.810 75.002 76.192 77.380

77.186 78.616 79.843 81.069 82.292

80.747 82.001 83.253 84.502 85.749

56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

32.490 33.248 34.008 34.770 35.534 36.300 37.068 37.838 38.610 39.383

34.350 35.131 35.913 36.698 37.485 38.273 39.063 39.855 40.649 41.444

37.212 38.027 38.844 39.662 40.482 41.303 42.126 42.950 43.776 44.603

39.801 40.646 41.492 42.339 43.188 44.038 44.889 45.741 46.595 47.450

42.937 43.816 44.696 45.577 46.459 47.342 48.226 49.111 49.996 50.883

48.546 49.482 50.419 51.356 52.294 53.232 54.171 55.110 56. 050 56.990

62.729 63.793 64.857 65.919 66.981 68.043 69.104 70.165 71.225 72.285

69.919 71.040 72.160 73.279 74.397 75.514 76.630 77.745 78.860 79.973

74.468 75.624 76.778 77.931 79.082 80.232 81.381 82.529 83.675 84.821

78.567 79.752 80.936 82.117 83.298 84.476 85.654 86.830 88.004 89.177

83.513 84.733 85.950 87.166 88.379 89.591 90.802 92.010 93.217 94.422

36.994 88.236 89.477 90.715 91.952 93.186 94.419 95.649 96.878 98.105

66 67 68 69 70

40.158 40.935 41.713 42.494 43.275

42.240 43.038 43.838 44.639 45.442

45.431 46.261 47.092 47.924 48.758

48.305 49.162 50.020 50.879 51.739

51.770 52.659 53.548 54.438 55.329

57.931 58.872 59.814 60.756 61.698

73.344 74.403 75.461 76.519 77.577

81.085 82.197 83.308 84.418 85.527

85.965 87.108 88.250 89.391 90.531

90.349 91.519 92.689 93.856 95.023

95.626 96.828 98.028 99.228 100.425

99.330 100.554 101.776 102.996 104.215

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

44.058 44.843 45.629 46.417 47.206 47.997 48.788 49.582 50.376 51.172

46.246 47.051 47.858 48.666 49.475 50.286 51.097 51.910 52.725 53.540

49.592 50.428 51.265 52.103 52.942 53.782 54.623 55.466 56.309 57.153

52.600 53.462 54.325 55.189 56.054 56.920 57.786 58.654 59.522 60.391

56.221 57.113 58.006 58.900 59.795 60.690 61.586 62.483 63.380 64.278

62.641 63.585 64.528 65.472 66.417 67.362 68.307 69.252 70.198 71.145

78.634 79.690 80.747 81.803 82.858 83.913 84.968 86.022 87.077 88.130

86.635 87.743 88.850 89.956 91.061 92.166 93.270 94.374 95.476 96.578

91.670 92.808 93.945 95.081 96.217 97.351 98.484 99.617 100.749 101.879

96.189 97.353 98.516 99.678 100.839 101.999 103.158 104.316 105.473 106.629

101.621 102.816 104.010 105.202 106.393 107.583 108.771 109.958 111.144 112.329

105.432 106.648 107.862 109.074 110.286 111.495 112.704 113.911 115.117 116.321

81 82 83 84 85

51.969 52.767 53.567 54.368 55.170

54.357 55.174 55.993 56.813 57.634

57.998 50.845 59.692 60.540 61.389

61.261 62.132 63.004 63.876 64.749

65.176 66.076 66.976 67.876 68.777

72.091 73.038 73.985 74.933 75.88l

89.184 90.237 91.289 92.342 93.394

97.680 98.780 99.880 100.980 102.079

103.010 104.139 105.267 106.395 107.522

107.783 108.937 110.090 111.242 112.393

113.512 114.695 115.876 117.057 118.236

117.524 118.726 119.927 121.126 122.325

Apéndice

439

Tabla E-4. Valores críticos de X2 (Continuación) Grados de libertad 86 87 88 89 90

.005 55.973 56.777 57.582 58.389 59.196

.01 58.456 59.279 60.103 60.928 61.754

.025 62.239 63.089 63.941 64.793 65.647

.05 65.623 66.498 67.373 68.249 69.126

Áreas de cola inferior (percentiles) .10 .25 .75 .90 69.679 76.829 94.446 103.177 70.581 77.777 95.497 104.275 71.484 78.726 96.548 105.372 72.387 79.675 97.599 106.469 73.291 80.625 98.650 107.565

.95 108.648 109.773 110.898 112.022 113.145

.975 113.544 114.693 115.841 116.989 118.136

.99 119.414 120.591 121.767 122.942 124.116

.995 123.522 124.718 125.913 127.106 128.299

91 92 93 94 95

60.005 60.815 61.625 62.437 63.250

62.581 63.409 64.238 65.068 65.898

66.501 67.356 68.211 69.068 69.925

70.003 70.882 71.760 72.640 73.520

74.196 75.100 76.006 76.912 77.818

81.574 82.524 83.474 84 .425 85.376

99.700 100.750 101.800 102.850 103.899

108.661 109.756 110.850 111.944 113.038

114.268 115.390 116.511 117.632 118.752

119.282 120.427 121.571 122.715 123.858

125.289 126.462 127.633 128.803 129.973

129.491 130.681 131.871 133.059 134.247

96 97 98 99 100

64.043 64.878 65.694 66.510 67.328

66.730 67.562 68.396 69.230 70.065

70.783 71.642 72.501 73.361 74.222

74.401 75.282 76.164 77.046 77.929

78.725 79.633 80.541 81.449 82.358

86.327 87.278 88.229 89.181 90.133

104.948 105.997 107.045 108.093 109.141

114.131 115.223 116.315 117.407 118.498

119.871 120.990 122.108 123.225 124.342

125.000 126.141 127.282 128.422 129.561

131.141 132.309 133.476 134.642 135.807

135.433 136.619 137.803 138.987 140.169

102 104 106 108 110

68.965 70.606 72.251 73.899 75.550

71.737 73.413 75.092 76.774 78.458

75.946 77.672 79.401 81.133 82.867

79.697 81.468 83.240 85.015 86.792

84.177 85.998 87.821 89.645 91.471

92.038 93.944 95.850 97.758 99.666

111.236 113.331 115.424 117.517 119.608

120.679 122.858 125.035 127.211 129.385

126.574 128.804 131.031 133.257 135.480

131.838 134.111 136.382 138.651 140.917

138.134 140.459 142.780 145.099 147.414

142.532 144.891 147.247 149.599 151.948

112 114 116 118 120

77.204 78.862 80.522 82.185 83.852

80.146 81.836 83.529 85.225 86.923

84.604 86.342 88.084 89.827 91.573

88.570 90.351 92.134 93.918 95.705

93.299 95.128 96.958 98.790 100.624

101.575 103.485 105.396 107.307 109.220

121.699 123.789 125.878 127.967 130.055

131.558 133.729 135.898 138.066 140.233

137.701 139.921 142.138 144.354 146.567

143.180 145.441 147.700 149.957 152.211

149.727 152.037 154.344 156.648 158.950

154.294 156.637 158.977 161.314 163.448

122 124 126 128 130

85.520 87.192 88.866 90.543 92.222

88.624 90.327 92.033 93.741 95.451

93.320 95.070 96.822 98.576 100.331

97.493 99.283 101.074 102.867 104.662

102.458 104.295 106.132 107.971 109.811

111.133 113.046 114.961 116.876 118.792

132.142 134.228 136.313 138.398 140.482

142.398 144.562 146.724 148.885 151.045

148.779 150.989 153.198 155.405 157.610

154.464 156.714 158.962 158.209 165.453

161.250 163.546 165.841 168.133 170.423

165.980 168.308 170.634 172.957 175.278

132 134 136 138 140

93.904 95.588 97.275 98.964 100.655

97.163 98.878 100.595 102.314 104.034

102.089 103.848 105.609 107.372 109.137

106.459 108.257 110.056 111.857 113.659

111.652 113.495 115.338 117.183 119.029

120.708 122.625 124.543 126.461 128.380

142.566 144.649 146.731 148.813 150.894

153.204 155.361 157.518 159.673 161.827

159.814 162.016 164.216 166.415 168.613

165.696 167.936 170.175 172.412 174.648

172.711 174.996 177.280 179.561 181.840

177.597 179.913 182.226 184.538 186.847

142 144 146 148 150

102.348 104.044 105.741 107.441 109.142

105.757 107.482 109.209 110.937 112.668

110.903 112.671 114.441 114.212 117.985

115.463 117.268 119.075 120.883 122.692

120.876 122.724 124.574 126.424 128.275

130.299 132.219 134.140 136.061 137.983

152.975 155.055 157.134 159.213 161.291

163.980 166.132 168.283 170.432 172.581

170.809 173.004 175.198 177.390 179.581

176.882 179.114 181.344 183.573 185.800

184.118 186.393 186.666 190.938 193.208

189.154 191.458 193.761 196.062 198.360

200 250 300 400 500

152.241 196.161 240.663 330.903 422.303

156.432 200.939 245.972 337.155 429.388

162.728 208.098 253.912 346.482 439.936

168.279 214.392 260.878 354.641 449.147

174.835 221.806 269.068 364.207 459.926

186.172 234.577 283.135 380.577 478.323

213.102 264.697 316.138 418.697 520.950

226.021 279.050 331.789 436.649 540.930

233.994 287.882 341.395 447.632 353.127

241.058 295.689 349.874 457.305 563.852

249.445 304.940 359.906 468.724 576.493

255.264 311.346 366.844 476.606 585.207

600 700 800 900 1000

314.529 607.380 700.725 794.475 888.564

522.365 615.907 709.897 804.252 898.912

534.019 628.577 723.513 818.756 914.257

544.180 639.413 735.362 831.370 927.594

556.056 652.497 749.185 846.075 943.133

576.286 622.988 644.800 658.094 474.413 724.861 748.359 762.661 772.669 826.604 851.671 866.911 871.032 928.241 954.782 970.904 969.484 1029.790 1057.724 1074.679

669.769 775.211 880.275 985.032 1089.531

683.516 789.974 895.984 1001.630 1106.969

692.982 800.131 906.766 1013.036 1118.948

Fuente: Donald B. Owen, Handbook of Statistical Tables, Addison Wesley. Reading. Massachusetts, 1962. �� Extractada de la tabla 3-1. Reimpresa con permiso del U.S. Department of Energy.

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