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▼ 2014 (1) ▼  junio (1) MATEMATI CAS  APLICA DAS

miércoles, 4 de junio de 2014

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MATEMATICAS APLICADAS

Mafe Gomez Seguir

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MARÍA FERNANDA FERNANDA GOMEZ CAMACH CAMACHO O PAOLA ANDREA MORALES CASTRO

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA FACULTAD DE CIENCIAS ADMNISTRATIVAS Y CONTABLES MATEMÁTICAS APLICADAS DOCENTE: HUGO ANTONIO LOPEZ FUSAGASUGA 2014

OBJETIVO GENERAL Proporcionar información Proporcionar información clara y concisa sobre temas de matemática matemática básica y   aplicada aplicada a la administración administración y economía, facilitando así el aprend aprendizaje izaje de los los estudiantes por medio de ejemplos, definiciones y ejercicios propuestos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS * Brindar información consisa de temas que se requieren en la matematica básica y aplicada :como sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3, ecuaciones, ejercicios numéricos y aplicados.

* Motivar al estudiante estudiante para realizar los los ejercicios propuestos propuestos dándole como herramienta, herra mienta, definición ejemplos ejemplos numéricos y aplicados.  

JUSTIFICACIÓN

Este blog es creado para dar a conocer los diferentes temas de la matemática aplicada de una manera manera educativ a, debido a las falenc falencias ias de informac información ión sobre dichos temas que perjudican perjudican el aprendizaje aprendizaje del estudiante en dicha materia.

SISTEMAS SISTE MAS DE ECUAC ECUACIONES IONES LINEALES

DEFINICION: llamamos sistemas de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.  Ejemplo: * x+y+2=4 * 2x+y=6 * 3x-y=14 Se llama grado del sistema de ecuaciones al mayor exponente al que se encuentre elevada alguna incógnita del sistema. SISTEMAS DE 2X2 DEFINICION  Un sistema de solución 2x2 se caracteriza por dos variables (x, y) ordenadas para encontrar un conjunto solución del sistema. CLASES DE SISTEMAS LINEALES 2X2 * IGUALACIÓN: El IGUALACIÓN: El método de igualación se puede entender como un caso particular  del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. PASOS PARA PARA RESOLVE RESOLVER R UN SIS TEMA LINEAL POR EL MÉTODO DE DE IGUALACIÓN:  Se despeja una variable en ambas ecuaciones y se igualan Pasos: 1 despejamo despejamoss (x) en ambas ambas ecuaciones Ejemplo : 2x-4y=6 -------> (1) x+2y= -1-------> (2) Despejamos (x) en la ecuación (1) 2x= 6+4y x= 6+4y / 2

x= 3+2y

Despejamos (x) en la (2) ecuación x= -1-2y Igualamos ambas expresione expresioness  3+2y = -1-2y 2y+2y = -1-3 4y= -4 y= -4/4 y= -1  Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación x= 3+2 (-1)

x= 3-2 x= 1 Solución del sistema: x=1, y= -1 EJERCICIOS: 1)

SUSTITUCIÓN: El método de sustitución consiste en despejar en una de las SUSTITUCIÓN: El ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. PASOS PARA PARA RESOLVE RESOLVER R UN SIS TEMA LINEAL POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: 1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. EN UN EJERCICIO:

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

EJERCICIOS: 1)

2)

REDUCCIÓN:  Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones, de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. PASOS PARA RESOLVER UN SIS TEMA LINEAL POR EL MÉTODO DE REDUCCIÓN: 1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. EN UN EJERCICIO:

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

EJERCICIOS: 1)

2)

3)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) 8x-7y=15 X+6y = -5 2) 4x -5y = -2 3x+2y =10 1) 3x+2y=4

5x -2y=4 2) 2x+5y= 11 4x-3y= -4 3) X+6y= -4 3x-5y =11 1) x + 2y _=4 3x +6y - 8 = 0 2) 2x - y = 3 X2 + y2 = 5 • APLICACIÓN EJERCICIOS El costo anual de operación de un automóvil nuevo es C = F+C*M donde F es el costo fijo (de apreciación, seguros, impuestos, etc) y C es el costo de operación por  kilometro y M el número de kilómetros recorridos. El costo total por 10.000 km es 2000 dólares y el costo por 15000 km es 2600 dólares. Encontrar el costo fijo y el costo por kilometro. Solución: F+C*M = C F= costo fijo C= costo de operación* km M= número de kilómetros 1) F+C* 10.000 km = 2000 dólares 2) F+C*15000 km= 2600 dólares F+ 10.000 C = 2000 (-1) F+ 15000 C = 2600 -X – 10.000 Y = - 2000 X + 15000 Y = 2600 ----------------------------5000 y = 600 Y= 600 / 5000 = 6 / 50

X+ 10.000 (6/50) = 2000 dólares X+ 1200 = 2000 X = 2000 -1200 X= 800 800+15000 (6/50) = 2600 800+1800 = 2600 2600= 2600

 (Mezclas) La tienda El Sol, que se especializa en todo tipo de frituras, Vende cacahuates a $0.70 la libra y almendras a $1.60 la libra. Al final de un mes, El propietario se entera de que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar  Cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1.00 la libra. ¿Cuántas libras de cacahuates y de almendras deberá mezclar para Mantener los mismos ingresos? Solución   Sea x las libras de cacahuates que la mezcla contiene y y las libras correspondientes De almendras. Dado que el peso total de la mezcla es de 45 libras, x + y = 45 El ingreso de x libras de cacahuates a $0.70 la libra es de 0.7x dólares y el ingreso de y libras de almendras a $1.60 la libra es de 1.6y dólares. El ingreso obtenido de la mezcla de 45 libras a $1.00 por libra será de $45. Dado que el ingreso de la mezcla deberá ser el mismo que el de las frutas separadas, tenemos la siguiente Ecuación: Ingreso de los cacahuates + Ingreso de las almendras = Ingreso de la mezcla 0.7x + 1.6y = 45 7x + 16y = 450 De esta manera, llegamos al sistema de ecuaciones lineales siguiente: x + y = 45 7x + 16y =450 De la primera ecuación, obtenemos que x =45-y. Luego sustituimos este valor de X en la ecuación de abajo y despejamos y. 7(45 -y) +16y =450 315 - 7y + 16y =450 9y =450 - 315 =135 y =15 Por tanto, x = 45 - y = 45 - 15 = 30.

En consecuencia, 30 libras de cacahuates deberán mezclarse con 15 libras de  Almendras para formar la mezc la. APLICACIONES PROPUESTAS Una empresa fabrica dos productos, A y B. Cada producto tiene que ser procesado por dos máquinas, I y II. Cada unidad del tipo A requiere 1 hora De procesamiento de la máquina I y 1.5 horas por la máquina II y cada unidad del tipo B requiere de 3 horas en la máquina I y 2 horas en la máquina II. Si la máquina I está disponible 300 horas al mes y la máquina II 350 horas, ¿cuántas unidades de cada tipo podrá fabricar al mes si utiliza El tiempo total que dispone en las dos máquinas? Una persona invierte un total de $25,000 en tres diferentes inversiones al 8, 10 y 12%. Los intereses totales al cabo de un año fueron de $2440 y los intereses por  Las inversiones al 8 y 12% fueron iguales. ¿Cuánto invirtió  Cada tasa? SISTEMAS 3X3 Un sistema de 3x3 es un sistema de 3 incógnitas y de 3 ecuaciones. Se llama 3x3 porque se suelen usar matrices para resolverlas, y se forma 3 filas y tres columnas ( y una cuarta columna para las soluciones). Ejercicios resueltos

1)X+y+z=-1 3x+y+z=1 4x-2y+2z=0 X+y+z=-1(-3) 3x+y+z=1

-3x-3y-3z= 3x+y+z=1   -2y-2z=4 X+y+z=-1(-4) 4x-2y+2z=0 -4x-4y-4z=4 -4x-2y+2z=0  -6y-2z=4 -2y-2z=4(-6) -6y-2z=4(2) 12y+12z=-24 -12y-4z=8 8z= -16   ------8 Z=2 -2y-2z=4 -2y-2(-2)=4 -2y+4=4 -2y=4-4 -2y=0 Y=0 -------2 Y=0 2)  5x-7y+4z=2 3x+2y-2z=3 2x-y+3z=4 3x+2y-2z=3(-2) 2x-y+3z=4(3) 6x-4y+4z=-6  6x -3y+9z=12 7y+13z=6 5x-7y+4z=2(-3) 3x+2y-2z=3(5)

-15x+21y-12z=-6 15x+10y-10z=15   31y-22z=9 -7y+13z=6(31) 31y-22z=9(7) -217y+403z=186 217y+154z=63 249z= 249 Z=249   -----249 Z=1 -7y+13z=6 -7y+13(1)=6 -7y+13=6 -7y=6-13 -7y=-7 Y=-7 ------7 Y=-1

2x-y+3z=4 2x-1+3(-1)=4 2x-1-3=4 2x=4+4 2x=8 X=8 ------2 X=4 3)

z=1 − y + 4 •1 = −2 x + 6 −1 = 1

4)

y=6 x = −4

EJERCICIOS APLICADOS: 1) El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con impuestos sea de 592.4 €, calcular  la cantidad invertida en cada tipo de bebida. x = Importe en € de los refrescos. x=120 € y = Importe en € de la cerveza. y=160 € z = Importe en € del vino. z=220 €

2) Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:  Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%) Mina A 1 2 3 Mina B 2 5 7 Mina C 1 3 1 ¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro? x = nº de toneladas de la mina A. x=200 t y = nº de toneladas de la mina B. y=100 t z = nº de toneladas de la mina C. z=300 t

La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos? x = Edad actual del padre. y = Edad actual del hijo mayor. z = Edad actual del hijo menor. Relación actual: x = 2(y + z) Hace y − z años: x − (y − z) = 3[y − (y − z) + z − (y − z)] Dentro de y + z: x + (y + z) + y + (y + z) + z + (y + z) = 150

3) Al nacer los hijos, el padre tenía 35 y 40 años, respectivamente. Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. Cada volumen de trigo se vende por 4 €,

el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de cada especie se venden? x = Volumen de trigo. y = Volumen de cebada. z = Volumen de mijo.

Considerando que las tres variables son números naturales, y que su suma es 100, obtenemos las siguientes soluciones:  S1 S2 S3 S4 S5 x 1 4 7 10 13 y 31 24 17 10 3 z 68 72 76 80 84

EJERCICIOS PROPUESTOS • Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. 1Representar esta información en dos matrices.  2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos−tamaño de estantería. • Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.   1 Representar la información en dos matrices.  2 Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método 3x3 • 2x+3y-5z= -13 4x+5y-2z = 3 -6x -2y -3z = -12

• 4x+y+2z =10 3x+2y+z=5 2x+3y+2z =10 • X+y+z = -1 3x+y+z = 4x-2y+2z = 0 • 5x-7y+4z =2 3x+2y-2z = 3 2x-y +3z =4 • 2x+y+6z=3 X –y+4z=1 3x+2y-2z=2

OFERTA Y DEMANDA

Las ecuaciones de oferta y demanda.

Para establecer el punto de equilibrio es necesario determinar las ecuaciones de oferta y demanda, las cuales tienen la siguiente forma:  

(Oferta)

 

(Demanda)

De donde: p: es el precio del producto q: la cantidad de unidades a ofrecer o demandar, según sea el caso (oferta o demanda) m: la pendiente es una constante positiva en el caso de la oferta y negativa para el caso de la demanda. DEMANDA: Es la voluntad y capacidad de un individuo o consumidor para adquirir un bien o servicio en un periodo de tiempo y lugar determinado. Si un individuo solo tiene voluntad o solo capacidad para adquirir un bien o servicio, entonces no está demandado. ECUACIÓN DE DEMANDA   La ecuación de demanda es una ecuación que expresa la relación que existe entre q y p, donde q es la cantidad de artículos que los consumidores están dispuestos a comprar a un precio p. Es Normal que si los precios bajan los consumidores estarán dispuestos a comprar más artículos, así la Gráfica de la ecuación suele ser decreciente de izquierda a derecha. Esta gráfica también es conocida Como curva de demanda. Ella se dibuja sólo para valores de p y q positivos. Los economistas suelen Representar p en el eje de las y y q en el eje de las x. OFERTA: La cantidad ofrecida de un bien es la cantidad que los productores esta dispuestos a vender en un periodo dado a un precio en particular. La cantidad ofrecida no es la que a una empresa le gustaría vender, sino la que en definitivamente esta dispuesta a vender. ECUACION DE OFERTA La ecuación de oferta da la relación entre el precio que pueda tener un artículo y la cantidad de  Artículos que los proveedores o f abricantes estén dis puestos a colocar en el mercado a ese precio. Normalmente si el precio es alto los proveedores colocarán muchos artículos en el mercado, sin embargo si el precio es bajo disminuirá los artículos ofrecidos por los proveedores.  INGRESO: Cualquier partida u operación que afecte los resultados de una empresa aumentando las utilidades o disminuyendo las pérdidas. El término ingreso tiene básicamente dos acepciones: • las cantidades que recibe una empresa por la venta de sus productos o servicios (ingresos empresariales, en inglés revenue), y • el conjunto de rentas recibidas por los ciudadanos (en inglés income). COSTOS COSTO FIJO: Los costos fijos o costes fijos (sólo en España) son aquellos costos

que no son sensibles a pequeños cambios en los niveles de actividad de una empresa, sino que permanecen invariables ante esos cambios. La antitésis de los costos fijos son los costos variables. COSTO VARIABLE: él costo variable hace referencia a los costos de producción que varían dependiendo del nivel de producción. Todo aquel costo que aumenta o disminuye según aumente o disminuya la producción, se conoce como costo variable. Un ejemplo claro de costo variable es la materia prima, puesto que entre más unidades se produzcan de un bien determinado, más materia prima se requiere, o caso contrario, entre menos unidades se produzcan, menos materia prima se requiere. UTILIDAD: En economía, la utilidad es una medida de la satisfacción. Asumiendo la validez de esta medida, se puede hablar con sentido de aumentar o disminuir la utilidad, y por lo tanto explicar el comportamiento económico en términos de los intentos de aumentar la utilidad. A menudo se modela utilidad como siendo afectada por el o dependiendo del consumo de varios bienes y servicios, la posesión de la riqueza y el gasto de tiempo libre. APLICACIONES RESUELTAS Un fabricante vende un producto a $ 8 por unidad vendiendo todo lo que produce. El costo fijo es de $ 5000 y el variable por cada unidad es de 22/9. Encontrar la producción y el ingreso total en el punto de equilibrio. a) Encontrar la utilidad cuando 1800 unidades son producidas. b) Encontrar las perdidas cuando 450 unidades. c) Encontrar la producción requerida para obtener una utilidad de $10.000. Solución CF = costo fijo = $ 5000 CV= costo variable = 22/9 CT= costo total =? CT= 22/9Q + 5000 P= 8 I = P*Q I = 8* Q 8Q = 22/9Q +5000 8Q – 22/9Q = 5000 72Q – 22Q /9 = 5000 50Q= 5000*Q 50Q= 45.000 Q= 900 I= 900*8 = 7200 a) U= I – CT U= 8 (1800) – ((22/9 (1800)+ 5000)) 8 (1800) -39600/9 +5000/1 14400 – (4400+5000) 14400-9400 U=5000 b) 8(450)-(22/9 (450)+5000) 3600-1100-5000 = -2500 c) 10.000=8q-(22/9+5000) 10.000-5000=8q/1 – 22/9q 5000= 72q-22q/9 5000=50/9q 5000=450q 5000/ 450q

• Encontrar el punto de equilibrio si las ecuaciones de oferta y demanda de un producto son: P= q/40+10 y P= 8000/q P= Q/40-8000/Q= -10 Q ^2 – 320.000 /40Q = -10 Q ^2 -320.000= -10*40Q Q ^2+400Q -320.000=0 (Q+800) (Q- 400) Q +800=0 U Q-400=0 Q= -800 Q= 400

P= 400Q/40+10/1 P= 400Q+400/40 P=20

Un comerciante puede vender 20 rasuradoras eléctricas al día al precio de $25 cada una, pero puede vender 30 si les fija un precio de $20 a cada rasuradora eléctrica. Determine la ecuación de demanda, suponiendo que es lineal. Solución Considerando la cantidad x demandada como la abscisa (o coordenada x) Y el precio p por unidad como la ordenada (o coordenada y) los dos puntos sobre la curva de demanda tienen coordenadas. x =20, p = 25 y x = 30, p = 20 De modo que los puntos son (20, 25) y (30, 20). Dado que la ecuación de demanda es lineal, está dada por la ecuación de una línea recta que pasa por los puntos

EJERCICIOS RESUELTOS: • TR= 3Q TR= 2Q+4500 3Q= 2Q+4500 3Q-2Q=4500 Q=4500 2(4500)+4500 9000+4500 13500 3Q 3(2000)=6000

• TR= 0.05 TC= 0.85Q+600 0.05Q= 0.85Q+600 0.05Q-0.85Q=600 -0.8Q=600 Q=600/-0.8 =-750 0.05 (-750) -37.5

EJERCICIOS PROPUESTOS

• TR= 0.25Q

TC=0.16Q+360

• Oferta =35Q-2P+250=0 Demanda= 65Q+P-537.5=0 • Oferta = 246P- 3.25Q-2460=0 Demanda = 410P +3Q-14.452.5=0 • Oferta P = 3/100Q+2 Demanda P= -7/100Q+12

• El costo variable de fabricar una mesa es de $7 y los costos fijos son de $150 al día. Determine el costo total yc de fabricar x mesas al día. ¿Cuál es el Costo de fabricar 100 mesas al día? • Suponga que un fabricante de zapatos colocara en el mercado 50 (miles de pares) cuando el precio es de $ 35 (dólares por par) y 35 pares cuando cuestan $ 30. Determinar la ecuación de oferta, suponiendo que el precio P y la cantidad Q están relacionados linealmente • Un fabricante vende todo lo que produce su ingreso total es dado por Ytr= 7Q y el costo total es Ytc =6Q+800 donde Q representa el número de unidades producidas y vendidas a) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio y dibuje el diagrama de equilibrio b) Encuentre el nivel de producción en el punto de equilibrio si el costo total es incrementado un 5% • Los costos fijos por fabricar cierto artículo son de $300 a la semana y los costos totales por fabricar 20 unidades a la semana son de $410. Determine La relación entre el costo total y el número de unidades producidas, suponiendo que es lineal. ¿Cuál será el costo de fabricar 30 unidades a la semana? • A un precio de $10 por unidad, una compañía proveería 1200 unidades de su producto, y a $15 por unidad, 4200 unidades. Determine la relación de la Oferta, suponiendo que sea lineal. PUNTO DE EQUILIBRIO

Un punto de equilibrio es usado comúnmente en las empresas u organizaciones para determinar la posible rentabilidad de vender un determinado producto. Es el punto en donde los ingresos totales recibidos se igualan a los costos asociados con la venta de un producto (IT = CT). Para calcular el punto de equilibrio es necesario tener bien identificado el comportamiento de los costos; de otra manera es sumamente difícil determinar la ubicación de este punto. Sean IT los ingresos totales, CT los costos totales, P el precio por unidad, Q la cantidad de unidades producidas y vendidas, CF los costos fijos, y CV los costos variables, entonces: Si el producto puede ser vendido en mayores cantidades de las que arroja el punto de equilibrio tendremos entonces que la empresa percibirá beneficios. Si por el contrario, se encuentra por debajo del punto de equilibrio, tendrá pérdidas. La relación entre costos, ventas y el punto de equilibrio generalmente se representa de manera visual mediante una Gráfica de Equilibrio:

Si el costo total yc de producción excede al de los ingresos yI obtenidos por las

ventas, Entonces el negocio sufre una pérdida. Por otra parte, si los ingresos sobrepasan los costos, existe una utilidad. Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos por las ventas, no hay utilidad ni pérdida, de modo que el negocio está en el punto de equilibrio. El número de unidades producidas y vendidas en este caso se denomina punto de equilibrio.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio de las leyes De la oferta y la demanda siguientes: D: p = 25 -2x (1) S: p = 3x + 5 Solución Igualando los dos valores de p en las ecuaciones (1) y (2), tenemos que 3x +5 = 25 - 2x Fácilmente se ve que la solución es x _ 4. Sustituyendo x _ 4 en la ecuación (1), Resulta p =25 - 8 =17 En consecuencia, el precio de equilibrio es 17 y la cantidad de equilibrio es de 4 unidades. Las gráficas de las curvas de la oferta y la demanda aparecen en la siguiente Figura.

Si las ecuaciones de la demanda y la oferta son, respectivamente, D: 3p + 5x = 22 (3) S: 2p - 3x = 2x (4) Determine los valores de x y p en el punto de equilibrio del mercado. Solución Las ecuaciones (3) y (4) forman un sistema de ecuaciones lineales en las variables x y p. Resolvamos este sistema por el método de eliminación. Multiplicando ambos lados de la ecuación (3) por 3 y los dos miembros de la ecuación (4) por 5, obtenemos 9p _+15x = 66 10p - 15x = 10 Enseguida sumamos estas dos ecuaciones y simplificamos. 9p + 15x +10p - 15x = 66 + 10 19p = 76  Así que, p = 4. Sustituyendo est e valor de p en la ecuación (3), obtenemos 3(4) + 5x = 22 Por tanto, x = 2. El punto de equilibrio del mercado ocurre cuando p =4 y x = 2

EJERCICIOS APLICADOS • La demanda para los bienes producidos por una industria están dados por la ecuación p2 + x2 = 169, en donde p es el precio y x es la cantidad demandada. La oferta está dada por p = x + 7. ¿Cuáles son el precio y la cantidad del punto de equilibrio? • El costo variable de producir cierto artículo es de 90¢ por unidad y los costos Fijos son de $240 al día. El artículo se vende por $1.20 cada uno. ¿Cuántos artículos deberá producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas? • Los costos fijos por producir cierto artículo son de $5000 al mes y los costos variables son de $3.50 por unidad. Si el productor vende cada uno a $6.00, responda a cada uno de los incisos siguientes: a) Encuentre el punto de equilibrio. b) Determine el número de unidades que deben producirse Y venderse al mes para obtener una utilidad de $1000 Mensuales. c) Obtenga la pérdida cuando sólo 1500 unidades se producen y venden cada mes. FUNCION LINEAL Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. Cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.  Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma: Cuando b es distinto de cero. Ejemplo Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma: Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y. En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes: En esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2. En la ecuación: La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.

ECUACIONES

PENDIENTE DE LA RECTA De una línea recta se define como la razón de la elevación al recorrido. Por lo regular, se denota con la letra m.

Debe observarse que la pendiente de una línea es la misma, no importando las Posiciones de los puntos P y Q sobre la línea. Si la pendiente m de una línea es positiva, la línea asciende hacia la derecha. Cuanto más grande sea el valor de m, la inclinación de la línea será mayor con respecto a la horizontal. Si m es negativa, la línea desciende hacia la derecha. Si m =0, la línea es horizontal.

EJERCICIO S RESUELTOS : 1) Determine las pendientes de las líneas que unen cada pareja de puntos • (4,1) y (7,10) m = 10-1 / 7-4 = 9/3 =3 • (-3,11) (2,1) m= 1-11/ 2- (-3) = -10 /5 = -2 • ( 0, -6) ( 3,0) m= 0-(-6) / 3-0 = 6/3 = 2 • (1, -6) (1,0) m= 0-(-6) / 1-1 = 6/0

ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE Y= m(x-x1)+y1

EJEMPLO

EJERCICIOS RESUELTOS • ( 2,8) m=6 Y= m(x-x1)+y1 Y= 6(x-2)+8 Y= 6x-12+8 Y=6x-4 • (-2,5) m= -1/4 Y= -1/4(x-(-2)+5 Y= -1/4x-2/4+5 Y= -1/4x+18/4 • (0,0) m= -5 Y= -5 (x-0)+0 Y= -5X+0+0 Y= -5 Dadas las ecuaciones indicar la pendiente y la ordenada al origen Y= 3x +5 m=3 b=5 3x+5y=6 5y= 6-3x

Y= 6-3x /5 Y= -3x/5 + 6/5 m= -3/5 b= 6/5 Representación Y = 3x+5 x 0 1 2 -1 y 5 8 11 2 APLICADOS

DEPRECIACIÓN

EJERCICIOS PROPUESTOS 2) Determine las pendientes de las líneas que unen cada pareja de puntos • (2,1) y (5,7) • (5,7) y (1,6) • (3,2) y ( 3.,4) • (1,2)y (1,5) 3) Encuentre la ecuación de las líneas rectas que satisfacen las condiciones de cada uno de los siguientes ejercicios, dibuje la grafica en cada caso. • Pasa a través del punto (2, 1) y tiene pendiente 5 • Pasa a través del punto (3, 4) y tiene pendiente cero • Pasa a través de los puntos (3, _2) y (3, 7) • Pasa por (1, 3) y es paralela a la recta 2x _ y _ 3 _ 0 • Pasa por (3, 4) y es perpendicular a la recta x _ 2 • Pasa por (0, _1) y es paralela a la recta determinada por (2, 2) y (3, 1)

• Ejercicios aplicados Suponga que los clientes demandaran 40 unidades de un producto cuando el precio es $ 12 por unidad y 25 unidades, cuando el precio es de $ 18 cada una. Encontrar la ecuación de demanda suponiendo que es lineal y el precio por unidad cuando 3 unidades son requeridas. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Dos rectas con pendientes m1 y m2 son paralelas si m1 = m2. Dos rectas son perpendiculares si m1 m2= -1. Esto significa que: • Dos rectas paralelas tienen pendientes iguales. • El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a = -1 • Dos rectas son paralelas si tiene la misma pendiente ejercicios resueltos 3x +5y +6 =0 5y = -3x-6 Y= -3x-6/5 Y= -3/5 x -6/5 Y= -3/5x +2 • Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es ( -1) es decir m1*m2 = -1 m 1 = -1 /m2 -3x+5y=2 5y = 2+3x Y= 3x +2 /5 Y =3/5x +2/5 Y = -5/3x+6 Son perpendiculares pues = -5/3 *3/5 = -1 4) Determine si los s iguientes pares de rectas s on paralelas, Perpendiculares o de ninguno de estos tipos. • 2x + 3y =6 y 3x – 2 y= 6 • y = x y x +y = 1 • 3x +4y =1 y 3x -4y =1 • 2x- 5 = 0 y 3-x = 0 • Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y es perpendicular a la recta x + 2y - 6 =0. • pasa por (2, -1) y es paralela a la recta 3x + y - 2 = 0 • Pasa por (3, 4) y es perpendicular a la recta x =2

FUNCIÓN CUADRATICA Una función de la forma f (x) =ax2 + bx + c (a ≠ 0) Con a, b y c constantes, se denomina función cuadrática. El dominio de f (x) es El conjunto de todos los números reales. La función cuadrática más simple se obtiene haciendo b y c iguales a cero, en Cuyo caso obtenemos f (x) = ax2. Las gráficas comunes de esta función en los casos en que a es positiva o negativa aparecen en la figura

 Vértice Puntos de corte eje x, y Eje de simetría: Eje de simetría es una línea de referencia imaginaria que al dividir una forma cualquiera en dos partes, sus puntos opuestos son equidistantes entre sí, es decir, quedan simétricos

EJERCICIOS DE APLICACIÓN El señor Alonso es propietario de un edificio de departamentos con 60 habitaciones. Él puede alquilarlas todas si fija un alquiler mensual de $200 por habitación. Con un alquiler más alto, algunas habitaciones quedarán vacías En promedio, por cada incremento de alquiler de $5, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine la relación funcional entre el ingreso mensual total y el número de habitaciones vacías. ¿Qué alquiler mensual maximizaría el ingreso total? ¿Cuál es este ingreso máximo? Solución Sea x el número de unidades vacías. El número de departamentos alquilados es entonces 60 _ x y el alquiler mensual por habitación es (200 + 5x) dólares. Si I denota el ingreso mensual total (en dólares), se sigue que I = (Renta por unidad) (Número de unidades rentadas) = (200 + 5x) (60 - x) = -5x2 +100x + 12,000 El ingreso mensual total I es una función cuadrática de x con a =- 5, b = 100 y c= 12,000 La gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo (dado que a < 0) y su vértice es el punto máximo. El vértice está dado por 

La función de demanda para un producto es igual P= 1000- 2Q donde P es el precio por unida y

donde Q es demanda por los productores, encontrar el nivel de producción que maximizara el ingreso total del producto y determinar ese ingreso I= P*Q I= (1000-2Q)*Q 1000Q -2Q^2 = 0 Q (1000-2Q) =0 Q=0 o 1000-2Q =0 1000/2= Q 500= Q

= -1000/-4 X= 250 V= (250,125.000)

La demanda mensual x de cierto artículo al precio de p dólares por unidad está dada por la relación x =1350 - 45p El costo de la mano de obra y del material con que se fabrica este producto es de $5 por unidad y los costos fijos son de $2000 al mes. ¿Qué precio por unidad p deberá fijarse al consumidor con la finalidad de obtener una utilidad máxima mensual?

Solución El costo total C (en dólares) de producir x unidades al mes es C =Costos variables +Costos fijos =5x + 2000 La demanda x está dada por  x = 1350 - 45p Sustituyendo este valor de x en C, resulta que C _ 5(1350 - 45p) + 2000 = 8750 -225p El ingreso I (en dólares) obtenido por vender x unidades a p dólares por unidad es I _ Precio por unidad _ Número de unidades vendidas  px = p(1350 - 45p) = 1350p - 45p2 La utilidad U (en dólares) está dada entonces por la diferencia entre el ingreso y el Costo. U=I-C U = 45p2 + 1350p _-(8750 - 225p) =45p2 + 1575p - 8750

La utilidad U es una función cuadrática de p. Puesto que a = -45 < 0, la gráfica Es una parábola que se abre hacia abajo y la utilidad máxima se alcanza en el vértice. En este caso, tenemos que a = -45, b = 1575 y c = -8750 El vértice de la parábola está dado por  p = - b/2a = 1575/ 2(-45)= 1575/90= 17.5 En consecuencia un precio de p = $17.50 por unidad debe fijarse al consumidor con El propósito de obtener una máxima utilidad. Entonces la utilidad máxima será U= -45(17.5)2 + 1575(17.5) -8750 = 5031.25 o $5031.25 al mes. EJERCICIOS RESUELTOS

De directriz y = 4, de vértice (0, 0).

De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

VERTICE DE UNA PARABOLA El vértice de una parábola es el punto donde la parábola cruza su eje. Si el coeficiente del término x2 es positivo, el vértice será el punto más bajo en la gráfica, el punto en la parte baja de la forma “U”. Si el coeficiente del término x2 es negativo, el vértice será el punto más alto en la gráfica, el punto en la parte alta de la forma “U”.

Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es:

• Puntos de corte con el eje OX. En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OY. En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a• 0² + b• 0 +c = c (0,c)

Representar la función f(x) = x² - 4x + 3 1. Vértice x v = - (-4) / 2 = 2 y v = 2² - 4• 2 + 3 = -1 V(2, -1) 2. Puntos de corte con el eje OX. x² - 4x + 3 = 0

(3, 0)

(1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY. (0, 3)

Traslaciones de parábolas También podemos representar parábolas a partir de las traslaciones de la función: y = x². x y = x²

00 11 24

1. Traslación vertical y = x² + k Si K > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si K < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k). El eje de simetría x = 0.

y = x² +2 y = x² -2

2. Traslación horizontal y = (x + h)² Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (-h, 0). El eje de simetría es x = -h.

y = (x + 2)²y = (x - 2)²

3. Traslación oblicua

y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (-h, k). El eje de simetría es x = -h. y = (x - 2)² + 2 y = (x + 2)² − 2 DETERMINE LOS VÉRTICES DE LAS SIGUIENTES PARÁBOLAS. Para la parábola y= f(x) = -4x^2+8x+7 a) Encontrar el vértice b) El vértice corresponde al punto más bajo o más alto de la grafica F(x)= -4x^2+8x+7   a = -4 b=8 c=7 -b/2a -8/2(-4)=1 -4(-1)^2 +8(-1)+7 =11 V= (1,11) -x^2 corresponde al vértice más alto en la grafica que forma “u” Y= f(x) = 8x^2+4x-1 -b/2a a = 8 b=4 -4/2(8) = -0.25 8(0.25)^2+4(-0.25)-1 = -1.5 x^2 corresponde al vértice más bajo en la grafica de forma “u” Y= x^2-6x+5 a = 1 b= -6 c =5 -b/2a = -(-6)/2(1)= 6/2=3 (3) ^2-6(3)+5 =-4 V=( 3, -4) Y = (0,5) x= (1,0) (5,0)

Y= g(x) = -2x^2-6x a= -2 b=-6

-b/2ª= -(-6)/2(-2)= 6/-4=-1.5 G(-1.5)= -2(-1.5) ^2-6(-1.5) = 4.5 Y=(0,0) x= ( -3,0) (0,0)

v= (-1.5,4.5)

APLICACIÓNES PROPUESTAS La utilidad p(x) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por  p(x) = 60x -x2 Determine el número de unidades que deben producirse y Venderse con el objetivo de maximizar la utilidad. ¿Cuál es esta utilidad máxima?

El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por R(x) 12x - 0.01x2 dólares. Determine el número de unidades Que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar  El ingreso. ¿Cuál es el correspondiente ingreso máximo? La demanda del mercado de cierto producto es de x unidades cuando el precio Fijado al consumidor es de p dólares, en donde 15p +2x = 720 El cost o (en dólares) de producir x unidades está dado por C(x) = 200 + 6x. ¿Qué precio p por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima? Determine los vértices de las siguientes parábolas 1. Y _ 2X2 - 3 2. Y = -1 -X2 3. Y = X2 + 2X + 2 4. Y =X2 - 3X - 3 5. Y = 2 - X -2X2 6. Y = -2X - X2 Halle el vértice y el punto más bajo o alto de la grafica Y= f(x) = x^2+2x-8 Y= f(x) = 3+x-2x^2 f (x) = 2x - 5x2 f (x) =1 - x - x2 Hallar el vértice de la parábola, los puntos de corte en x, y y el eje de simetría Y= f(x) = -3x^2 Y= f(x) = x^2-1 S= h(t) = 2t^2+3t-2 Bosqueje las siguientes parábolas y determine sus vértices. y = 2x2 + 3x – 1 y = 4x - x2 y = 3 -x - 3x2

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial es del tipo: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x • • Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx

, donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno. Propiedades de la función exponencial Dominio: . Recorrido: . Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a >1. Decreciente si a < 1. Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY. Y= f(x) = 4^x Y= f(x) = 2(1/4) ^x Y = f(x)3^ x+2 Interés compuesto El interés compuesto representa la acumulación de intereses devengados por un capital inicial (CI) o principal a una tasa de interés (r) durante (n) periodos de imposición de modo que los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.  Aplicaciones resueltas: S= monto total P= principio (1+i—interes) ^ n tiempo Una suma de $200 se invierte a un interés compuesto anual del 5%. Calcule el valor  de la inversión después de 10 años. Solución En este caso R =5 e i =R/100 = 0.05. Después de n años, el valor de La inversión es P (1 + i) ^n = 200(1.05) ^n Cuando n = 10, esto es 200(1.05) ^10 = 200(1.628895) = 325.78 El valor de esta inversión es por tanto $325.78. • $ 4000 durante 7 años al 6% compuesta anualmente S= 4000 (1+6/100) ^7 = 6.014.52 • $ 5000 durante 20 años al 5% compuesto anualmente S= 5000 (1+5/100) ^20 =13.266.488 • $ 900 durante 11 años al 10% compuesto trimestralmente S=4000 (1+8.5/100^4) ^15*4 = 14.124.486 • 500 durante 5 años al 11% compuesto semestralmente S=500(1+9/100^12) ^2.5*12 = 6.256.358 (Ingresos) Una empresa tiene un ingreso total de $500 al día sin considerar  El precio de su producto. Determine la relación de la demanda y grafique la Curva de demanda. Solución Si p denota el precio (en dólares) por unidad del producto y x es el número De unidades que pueden venderse al precio p, entonces con el propósito de obtener  $500, debemos tener que 500 = Precio por unidad x Número de unidades vendidas = px

p =500/x

¿Cuál es la tasa de interés nominal requerida Para duplicar el valor de una inversión en 5 años, con composición cada 3 Meses? Solución En 5 años hay 5 * 4 = 20 periodos de interés. Una inversión de P aumenta a 2P, de modo que tenemos la ecuación Valor después de 20 periodos = P(1 + i)20 = 2P O (1 + i) ^20 = 2 Por tanto, (1 +i) _ 2i/20 =1.03526* De modo que i = 0.03526. Pero, i = R/100k = R/ (100 * 4) = R/400, donde R es La tasa nominal anual. Por consiguiente, R = 400i = 400(0.03526) = 14.11. Una tasa de interés nominal de 14.11% anual es la requerida. APLICACIONES PROPUESTAS • Construya las gráficas de las siguientes funciones exponenciales Y= f(x)=2^ -x Y= 3^x-1 -1 Y= 3/2 x Y= - 3^-x

Se tiene 1000.000 puesto a un interés compuesto del 5% a los 10 años indicar cuál es el momento al cabo de los 10 años y cuanto se genero en interés  Como varia el interés si este se fija mensualmente, bimestralmente, trimestralmente, semestralmente • $ 5000 durante 2.5 años al 9% compuesto mensualmente • $8000 durante 3 años al 6.25% compuesto diariamente ( suponga que hay 365 días en un año) • $900 durante 11 años al 10% compuesto trimestralmente • Un certificado de $ 6000 de depósito es comprado en $ 6000 y es conservador  durante 7 años si el certificado gana un 8% compuesto cada trimestre ¿cuál es su valor al cabo de un trimestre? • Una suma de $200 se invierte a un interés compuesto Anual del 5%. Calcule el valor  de la inversión después de 10 años. • ¿Qué es mejor para un inversionista, 12% compuesto mensualmente O 12.2% compuesto trimestralmente?

FUNCIÓN LOGARITMICA Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que: loga x = b  ab = x.

LIMITES A TROZOS Cálculo del límite en una función definida a trozos En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del límite. Si no coinciden, el límite no existe.  . En x = −1, los límites laterales son: Por la izquierda: Por la derecha: Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1. En x = 1, los límites laterales son: Por la izquierda: Por la derecha: Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1. Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial , dado que: loga x = b  ab = x.

Limites a trozos En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del límite. Si no coinciden, el límite no existe.  . En x = −1, los límites laterales son: Por la izquierda: Por la derecha: Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1. En x = 1, los límites laterales son: Por la izquierda: Por la derecha: Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1. EJERCICIOS RESUELTOS Evalué: • 10^4= 10.000  log10 10.000=4 • 2= log12 144 -> 12^2 = 144 • Log2 64 =6 - 2^6 = 64 • 8 ^2/3 =4 - log8 4 = 2/3 • Log100 = 2  10^2=100 • e^5x=4  ln4 = 5x - ln4/5=x • Y= f(x) = log3 x  3^y =x derive ojo • Y= f(x) = log1/4x  ¼ ^y = x derive ojo • Y= log 1/2x derive ojo • Log3x -> 3y =x derive ojo • Y= (1/3) ^x

 Algunas propiedades de los logaritmos En la definición de logaritmo, tomemos x _ 0. Entonces, y = ax = a0 =1 Por tanto, la proposición log a y = x adquiere la forma Log a 1 = 0 Por tanto la proposición loga y = x se transforma en Log a a = 1 De modo que el logaritmo de cualquier número positivo con la misma base siempre es igual a 1.

APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS

Crecimiento de la población En 1980, la población de cierta ciudad era de 2 millones de habitantes y estaba creciendo a una tasa del 5% anual. ¿Cuándo rebasará la población la marca de los 5 millones, suponiendo que la tasa de crecimiento es constante? Solución  A una tasa de crecimiento del 5% , la población se multiplica por un factor  De 1.05 cada año. Después de n años, a partir de 1980, el nivel de la población es 2(1.05) ^n millones Buscamos el valor de n para el cual este nivel sea de 5 millones, de modo que tenemos 2(1.05) ^n = 5 o (1.05) ^n = 2.5 Observe que en esta ecuación, la cantidad desconocida n aparece como exponente. Podemos resolverla tomando logaritmos en ambos lados. No importa qué base usemos, pero es más conveniente la de los logaritmos comunes. Obtenemos log (1.05) ^n = log 2.5 o bien, usando la propiedad 4 de los logaritmos, n log 1.05 = log 2.5

Aplicaciones propuestas (Inversión) Cuando la composición se hace de manera continua, ¿qué Tasa nominal de interés da el mismo crecimiento en un año completo que una tasa de interés anual del 10%? Las ganancias de cierta compañía han ido aumentando en 12% anual en promedio entre 1975 y 1980. En 1980, fueron $5.2 millones. Suponiendo Que esta tasa de crecimiento continúe, encuentre las ganancias En 1985.

Evalué: • 8^ 2/3 = • Log2 64 =6 • Log7 7 = • Log6 36= • Log 3x =2 • Log5x=3 Grafique: • Y= f(x) = 2^-x • Y= log 3x • Y= 1/3 x

LIMITES DE FUNCIONES

DEFINICIÓN: Sea f(x) una función que está definida para todos los valores de x Cerca de c, con la excepción posible de c mismo. Se dice que L es el límite de f(x) Cuando x tiende a c, si la diferencia entre f(x) y L puede hacerse tan pequeña como se desee con sólo restringir a x a estar lo suficientemente cerca de c. En símbolos, escribimos

• f(x)= 2x+1 x 1 derive • f(x) = x^2-16/ (x-4) - (x-4) (x+4) / (x-4) = 4+4 =8 derive • f (x)= x^3-8/ x-2 = (x-2) (x^2+2x+4)/(x-2) = 12 derive

EVALÚE LOS SIGUIENTES LÍMITES

.

LIMITES LATERALES Para analizar el límite de una función en un punto es necesario acercarse a ese punto tanto por derecha como por izquierda, a esta forma de acercarse al punto analizado por los lados de le conoce como limites laterales y se simboliza por: Lim f(x) = l1 limites por la derecha x-> 0^+

Lim f(x) = l2 limites por la izquierda x-> 0^De hecho para decir que el límite en un punto existe, se debe verificar que el limite f(x) por la izquierda sea igual al límite f(x) por la derecha, el límite de una función en un punto existe si es única.

Limites a trozos

Una función definida a trozos es aquella en la que para cada valor de x que se le pueda asignar, la función puede variar,como en el siguiente ejemplo: , en el que si x es menor o igual que 1, la función que usaremos es la primera, mientras que si x es mayor que 1, usaremos las segunda.  A c ontinuación, veremos cómo se c alculan los límites para este t ipo de funciones. En este caso, suponemos que nos piden el siguiente enunciado: - Calcula el límite de la función definida a trozos cuando x tiende a 0, 1 y 3. Empezaremos por el límite de 0, que no presenta ningún problema aparente, ya que aparece la indeterminación 0/0, que se puede resolver factorizando y sustituyendo:

El siguiente paso es hacer el límite de 1: En este caso en concreto, es obligatorio hacer los límites laterales, ya que en esta función definida a trozos, el número en el cual cambia la expresión que se tiene que utilizar coincide con el límite que tenemos que calcular, y así lo hacemos:

Como era de esperar, observamos que los límites laterales son diferentes, ya que las funciones son diferentes. Por último, calculamos el límite cuando x tiende a 3, que no presenta problema alguno:

Operaciones con función es f(x)+g(x) EJERCICIOS RESUELTOS

Sea la función f(x) = 5/ x-2 (elaborar grafica completar tablas y analizar preguntas) ¿Qué se puede concluir del límite de la función dada cuando el valor de x tiende a 2? F(x) = 5/ x-2 ≠ 2 • izquierda X 1 1.5 1.9 1.95 1.99 1.999 F(x) -5 -10 -50 -100 -500 -5000 • derecha x 3 2.4 2.1 2.04 2.01 2.0055 F(x) 5 12.5 50 125 500 909.0 El valor de f(x) tiende a -∞ cuando x se acerca a 2 por la izquierda El valor de f(x) tiende ∞ cuando se acerca a 2 por la derecha Por consiguiente se puede concluir que los dos acercamientos no coinciden y por  tanto el límite no existe Derive grafico Ejercicio propuesto  Sea la función f(x)= x^2-1/ x-1 realice el mismo procedimiento anterior y concluya si existe o no el limite cuando el valor de x tiende a 1

LIMITES INDETERMINADOS

Se llaman límites indeterminados a los que presentan alguna de estas formas: Contra lo que se pudiera pensar, un límite de la forma ¥ - ¥ no da, en general, como

resultado cero, tampoco un límite de la forma 1¥ da siempre como resultado uno. Por  esta razón se les llama límites indeterminados y se requiere hacer un estudio particular para cada caso.

EJERCICIOS:

INCREMENTO DE UNA FUNCION

[El incremento D  x de una variable  x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x 0 a otro x = x 1 de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento D  x a la variable x , (es decir, si x pasa de x =  x 0 a  x = x 0 + D x ), la función y = f ( x ) se verá incrementada en D y  = f ( x 0 + D x ) - f ( x 0 ) a partir del valor y = f ( x 0 ) . El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x 0 a  x = x 0 + D x .

EJERCICIOS:

1) Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por  C=0.001x 3-0.3x 2+40x+1000 Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60. Debemos calcular ΔC= C2- C1 Hallamos C1, hacemos x=50 C1=0.001(50) 3-0.3(50) 2+40(50)+1000 C1=125-750+2000+1000=2350 Hallamos C2, hacemos x=60 C2=0.001(60) 3-0.3(60) 2+40(60)+1000 C2=216-1080+2400+1000=2536 Remplazando en: ΔC= C2- C1 = 2536 -2350 = 186 Si las unidades se incrementan de 50 a 60 el costo de producción se incrementa en 186 Unidades monetarias

DERIVADA

Sea x una variable con un primer valor x1 y un segundo valor x2. Entonces, El cambio en el valor de x, que es x2 – x1, se denomina el incremento de x y Se denota por x.

Usamos la letra griega (delta) para denotar un cambio o incremento de cualquier  Variable. X denota el cambio de la variable x p indica el cambio de la variable p q denota el cambio de la variable q

REGLAS DE DERIVACIÓN Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada  de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro. Derivada de una funcion de grado n Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por y su derivada es

.

Derivada de una suma Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una. Es decir,

o

.

Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función: Derivada de un producto La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma: "La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar." Y matemáticamente expresado por la relación

. Derivada de un cociente

La derivada de un cociente  se determina por la siguiente relación:

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede

escribir así: Es decir:

"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el

denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado". Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Regla de la cadena La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f  y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta  f  g en términos de las derivadas de  f  y g. Por ejemplo , la regla de la cadena de f  g ( x ) ≡ f  [g ( x )] es ∘

∘

o escrito en notación de Leibniz

EJERCICIOS: 1)Determinar la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.   

2) Calcula las derivadas de las funciones:

BIBLIOGRAFIA

 Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía quinta edición Jagdish C. Arya Robin W. Lardner QUINTA EDICIÓN VERSIÓN IMPRESA, 2009 QUINTA EDICIÓN E-BOOK, 2009

CIBERGRAFIA Función lineal http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal http://www.vitutor.com/fun/2/c_3.html http://www.x.edu.uy/lineal.htm Rectas paralelas http://www.ditutor.com/geometria/rectas_paralelas.html http://www.ecured.cu/index.php/Rectas_Paralelas