22. Dada la función f ( x, y )=
x 2 + xy x − y
a) Estúdiese su homogeneidad, determinando, en su caso, el grado. b) Determínese cuánto vale: ∂ f
x
∂ x
+ y
∂ f ∂ x
Solución: a) En general, una función f ( x ) se dice que es homogénea homogénea de grado r ( ( r ∈ ℜ) si, ara cualquier x en el dominio de f de f , ! ara cualquier λ > > ", se verifica que λ . x ertenece
al dominio ! se da la relación (#): f (λ x ) = λ r f ( x )
En nuestro e$emlo, f ( x , y ) es una función de dos varia%les or tanto su dominio será será un su%c su%con on$u $unt nto o de ℜ&. 'l ser ser un coci cocien ente te,, su deno denomi mina nado dorr no se de%e de%e anul anular ar,, x − y ≠ "
, ! adem además ás el nume numerad rador or tien tienee una una raí raí cuad cuadra rada da,, lo que que iml imlica ica que que el
radicando tiene que ser ositivo x & + xy ≥ ", con lo que el dominio de la función estará formado or los untos que verifiquen: x ( x + y ) ≥ " D = ( x , y ) ∈ ℜ x ≠ y Es evidente, que si ( x , y ) ∈ D ! λ > > ", entonces el unto (λ x , λ y ) tam%ién es un unto del dominio. na ve analiada la rimera condición, veamos entonces la segunda: f ( λ x , λ y ) =
(λ x ) & + (λ x)(λ y ) λ x − λ y
&
=
λ
( x & + xy )
λ ( x −
=
λ
y )
( x & + xy ) λ ( x −
y )
"
= λ f ( x
, y )
or lo que f que f es es homogénea de grado ". b) 'licando el *eorema de Euler ara funciones homogéneas (#), tenemos garantiada la
siguiente relación x
(#)
∂ f ∂ x
+ y
+éase a%allero, -onále ! *riguero ág./"/
∂ f ∂ x
= " f ( x , y ) = "
