Tema I REGLA DE TRES SIMPLE
Desde la antigüedad se ha usado el reloj del Sol para saber la hora gracias al movimiento aparente del Sol. Consiste en una varilla que proyecta su sombra sobre una superficie en que se hallan señaladas las horas. Para que la sombra se desplace regularmente, la varilla tiene que ser paralela al eje de la Tierra. Las líneas marcadas en la superficie para señalar las horas han de tener menor separación en las horas del mediodía. Con un aparato portátil como el que muestra el dibujo también se puede saber la hora. La sombra de la superficie vertical ha de ser proyectada sobre la superficie horizontal en la que se han marcado separaciones que indican las horas de la mañana o de la tarde, según la orientación del aparato. Sol Rayo de luz
lado, con los siguientes resultados: con la estaca de 2 metros de alto se midieron 3 metros de sombra en tierra y para una estaca de 3,5 metros se midieron 12 metros de sombra en tierra. Para el entendimiento del estudiante, mostraremos el siguiente dibujo: 2m 3m 3,5
12 m
Es un procedimiento práctico ideado para ciertos problemas de proporcionalidad. Se llama regla de tres simple porque intervienen solo dos magnitudes. Se pueden clasificar en: Cuando las dos magnitudes son directamente proporcionales.
10 h
Sean las magnitudes “A” y “B” que son
directamente Sombra
proporcionales,
tal
que
cuando la magnitud “A” tiene el valor “a1”, provoca en “B” un valor “b 1”,
Sol
entonces cuando “A” tome el valor de “a2”, ¿qué valor tendrá la magnitud “B”? A
17 h
D.P.
B
a1
b1
a2
X
X=
a2
×
b1
a1
* Ejemplo: Este detalle de la sombra que produce el Sol se aprovecha para resolver el siguiente problema: Hallar el ancho de un río, sabiendo que para medirlo se usan dos estacas colocadas en una orilla de él y se mide las sombras que hacen en tierra en el otro
Una casa pertenece a dos hermanos, la parte del primero es los 5/13 de la casa y está valorizada en 1 530 000 soles. Hallar el valor de la parte del otro hermano.
1er. hermano:
2do. hermano: 1 -
5 = 13
5 13
1 530 000
8 13
X
8 1 530 000 2 448 000 soles X 13 5 13
Cuando las dos magnitudes son inversamente proporcionales. Método de solución: Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales se plantea: A a1
I.P.
a2
B b1
X=
X
a1 × b1 a2
Ejemplo: Un depósito tiene cinco conductos de desagüe de igual diámetro. Abiertos tres de ellos, se vacía el depósito en 5 horas 20 minutos. Abiertos los cinco, ¿en cuánto tiempo se vaciará? N° de conductos 3 5
X
Tiempo
--------------- 5h 20min --------------X 3.(5h 20min) 3h 12min 5
Practicando
1. Si de 250 kg de caña se pueden extraer 30 kg de azúcar, ¿cuántos kg de caña serán necesarios para obtener 1 500 kg de azúcar? 2. Un barco tiene provisiones para alimentar a 400 pasajeros durante 6 meses. ¿Cuántos meses durarían estas provisiones, si los pasajeros fuesen 1 600? 3. Un caño vierte 630 litros de agua en 10 minutos. ¿Cuántos litros vierte en 75 minutos?
4. Para una fiesta de matrimonio se preparan 14 mesas para 9 invitados cada una. ¿Cuántas mesas se deben preparar, si éstas son para 6 invitados cada una? 5. Quince barriles contienen 240 litros de vino. ¿Cuántos barriles son necesarios para almacenar 21 200 litros de vino? 6. Una pieza de tela tiene 32 m por 75 cm. ¿Cuál será la longitud de otra pieza de la misma superficie, cuyo ancho es 80 cm? 7. La capacidad de un tanque de agua es de 6 400 litros y el desagüe lo desaloja en 64 minutos. Estando lleno el tanque, ¿cuántos litros de agua quedan después de 30 minutos de funcionamiento del desagüe? 8. Una mesa tiene 5,2 m de largo y 2,4 m de ancho, ¿en cuánto se debe aumentar la longitud para que sin variar la superficie, el ancho sea de 2m? 9. Trece hombres tienen víveres para un viaje de 4 meses. Si se quiere que los víveres duren 10 días más, ¿cuántos hombres no podrán viajar? 3
10. Un hombre tarda 12 5 días en hacer 7/12 de una obra. ¿Cuántos días necesitará para terminar la obra? 11. Dos personas alquilan un terreno de cultivo. El primero siembra los 8/15 del terreno y paga S/.24 000 de alquiler anual. ¿Cuánto paga mensualmente el segundo? 12. Si para pintar 64 m2 de superficie son necesarios 24 galones de pintura, ¿cuántos serán necesarios para pintar 18 m2? 13. Para pintar un cubo de 10 cm de lado se gastó S/.124. ¿Cuánto se gastará para pintar un cubo de 5 cm de lado? 14. Sabiendo que un burro atado a una cuerda de 3 m de largo, tarda 5 días en comerse todo el pasto a su alcance, ¿cuántos días tardaría, si la cuerda fuera de 6 m?
15. Si trabajando 10 h/d una cuadrilla de obreros demoran 18 días para terminar una obra. Trabajando 6 h/d, ¿en cuántos días terminarán la misma obra?
Homework
1. Si 48 m de zanja se pueden hacer en 36 días, ¿cuántos días se emplearán para hacer 32 m de zanja? 2. Si media docena de una mercadería cuesta S/.32, ¿cuánto costaron 18 objetos? 3. En una hora un automóvil recorre 120
6. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más, ¿para cuántos días alcanzará la ración anterior? 7. Una oveja sujeta a una estaca por medio de una cuerda de 3,6 m demora 24 minutos en comer el pasto que está a su alcance. ¿Cuánto demoraría si la cuerda fuese de 5,4 m?
km. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 5
1
horas, si la velocidad es constante? 4. Cien obreros pueden hacer una obra en 15 días. Si se quiere emplear 75 obreros menos, ¿en cuántos días más acabarán la obra? 4
5. En una plaza hay 1 500 hombres provistos de víveres para 6 meses. ¿Cuántos habrá que despedir, para que los víveres duren dos meses más, dando a cada hombre la misma ración?
8. Si Armando es el triple de rápido que Carlos y Carlos hace una obra en 30 días, ¿qué parte haría Armando de esa obra en 1 día? 9. Un barco tiene víveres para 78 tripulantes durante 22 días, pero sólo viajan 66 personas. ¿Qué tiempo durarán los víveres? 10. Una caja de tres docenas de naranjas cuestan S/.27. ¿Cuánto se pagará por 5 cajas de 16 naranjas cada una?
Tema II REGLA DE TRES COMPUESTA
Es aquella en la cual intervienen más de dos magnitudes proporcionales.
(44) (12 10) (24) (X 8) 440 2 1,25 200 3 1
1. El n° de obreros es directamente proporcional a la cantidad de obra que hacen, es decir: (n° de obreros) D.P. (obra)
X = 15 días Pero la pregunta es cuánto tiempo más: 15 - 12 = 3 días más Nota: En la obra se reemplazó el producto de (largo × ancho × profundidad); es decir el volumen de la zanja.
2. El n° de obreros es inversamente proporcional al tiempo que emplean en hacer la obra, es decir: (n° obreros) I.P. (tiempo) Por lo tanto:
1. Seis monos comen 6 plátanos en 6 minutos, ¿cuántos plátanos comerán 60 monos en media hora?
(n° obreros) × (tiempo) (obra)
= K
Donde “K” es la constante de proporcionalidad.
* Ejemplos: 1. Diez peones demoran 15 días de 7 horas de trabajo en sembrar 50 m 2. ¿Cuántos días de 8 horas de trabajo demorarán en sembrar 80 m2, 15 peones doblemente hábiles? Resolución: Reemplazando los datos: (10) (15 7) (2 15) (X 8) 50 80
de donde: X = 7 días Nota: En el tiempo se reemplazó el producto (días × hora) 2. Se sabe que 44 obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 12 días para hacer una zanja de 440 m de largo, 2 m de ancho y 1,25 m de profundidad. ¿Cuánto tiempo más emplearán 24 obreros trabajando 8 horas diarias para abrir otra zanja de 200 m de largo, 3 m de ancho y 1 m de profundidad? Resolución:
2. Diez campesinos se demoran 12 días de 8 horas de trabajo en sembrar un terreno rectangular de 40 m × 90 m. ¿Cuántos días de 10 horas de trabajo se demorarán en sembrar un terreno cuadrado de 60 m de lado, 12 campesinos doblemente hábiles? 3. Si 45 obreros pueden cavar una zanja de 40 m de largo, 3 m de ancho y 1,5 m de profundidad en 24 días, ¿cuántos días necesitarán 60 obreros 20% más eficientes para cavar una zanja de 50 m de largo, 2 m de ancho y 1,2 m de profundidad en un terreno cuya dureza es 2,5 veces la del terreno anterior? 4. Una embotelladora posee 3 máquinas de 80% de rendimiento y envasa 1 200 botellas cada 5 días de 12 horas diarias de trabajo. Si se desea envasar 3 000 botellas en 4 días trabajando 10 horas diarias, ¿cuántas máquinas de 75% de rendimiento se necesitaría? 5. Un automóvil emplea 4 horas en recorrer 1/3 de su camino, viajando a 60 km/h. Si aumenta su velocidad en 20 km/h, ¿qué tiempo empleará en recorrer 1/4 de su camino? 6. Quince obreros trabajando 6 horas diarias durante 8 días han realizado 3/5 de una obra. Si se retiraron 3 obreros y ahora trabajan 8 horas diarias, ¿en cuántos días acabarán lo que falta de la obra?
7. Dieciséis obreros realizan los 4/9 de una obra en 6 días. Si se retiran seis obreros, ¿cuántos días emplearán los restantes para terminar la obra? 8. Nueve máquinas empaquetadoras trabajando 10 horas diarias durante 6 días puede empaquetar 900 pedidos. Si sólo 4 de estas máquinas trabajaran 2 horas diarias más durante 8 días, ¿cuántos pedidos podrían realizar? 9. Una empresa constructora puede pavimentar 1 200 m de carretera en 48 días de 8 horas diarias y con 30 obreros. ¿Cuántos días empleará la empresa para pavimentar 900 m de carretera en un terreno de doble dificultad, trabajando 1 hora diaria más y 10 obreros más? 10. Siete albañiles realizan los 2/5 de una obra en 8 días. Si se retiran dos albañiles y los que quedan aumentan su rendimiento en 1/5, ¿en qué tiempo se realizó toda la obra? 11. Un grupo de 24 obreros pueden construir una zanja de 80 m de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad en 16 días trabajando 6 h/d. ¿En cuántos días 20 obreros trabajando 8 h/d pueden hacer una zanja cuyo ancho sea 0,5 m menos, 1 m de profundidad y 40 m más de largo? 12. Si 36 peones en 15 días de 8 h/d pueden sembrar rosas en un terreno cuadrado de 240 m de lado, ¿en cuántos días, 24 peones trabajando 10 h/d podrán sembrar en un terreno cuadrado de 180 m de lado cuya dureza a la cava es los 4/3 del anterior?
13. Ocho obreros pueden preparar una cancha de fulbito de 12 m de ancho y 25 m de largo en 5 días trabajando 10 h/d. Si 4 de los obreros aumentaran su rendimiento en 25%, ¿en qué tiempo podrán hacer otra cancha de fulbito de 18 m de ancho y 24 m de largo trabajando 2 h/d menos cada día? 14. Para plantar rosas en un terreno rectangular de 20 m × 30 m, seis jardineros demorarán 8 días de 6 horas de trabajo diario. ¿Cuántos días de 8 horas diarias emplearán cuatro jardineros un cuarto más hábiles que los anteriores en plantar un terreno de 1 000 m2? 15. La empresa Casagrande S.A. trabajando 15 días de 8 horas diarias fabrican 42 000 latas de leche empleando 6 máquinas que trabajan a un 70% de rendimiento. Si por renovación de maquinaria adquieren 5 máquinas de 90% de rendimiento que reemplazan a las anteriores, ¿cuál será su nueva producción en 10 días de 9 horas diarias de trabajo?.
Homework
1. En 16 días, 9 obreros han hecho los 2/5 de una obra. Si se retiran 3 obreros, ¿cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?
6. Carlos inventa 50 problemas de geometría en 4 días, dedicándole 5 horas diarias. ¿Cuántos días necesita para inventar 80 problemas, si pretende trabajar en ellos 2 horas por día?
2. En 24 horas, 15 obreros han hecho 1/4 de una obra. ¿Cuántas horas empleará otra cuadrilla de 30 hombres doblemente hábiles para terminar la obra?
7. Cincuenta hombres tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. Si las raciones disminuyen 1/3 y se aumentan 10 hombres, ¿cuántos días durarán los víveres?
3. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días; 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas de carbón se requieren para mantener trabajando 9 horas diarias durante 85 días, a 3 hornos más?
8. Si 60 hombres pueden cavar una zanja de 800 m3 en 50 días, ¿cuántos días necesitarán 100 hombres 50% más eficientes para cavar una zanja de 1 200 m3 cuya dureza es 5 veces la anterior?
4. Cuarenta obreros en 12 días, pueden fabricar 600 artículos trabajando a razón de 8 horas diarias con un rendimiento del 90%. ¿Cuántos artículos podrán hacer 20 obreros en 18 días laborando 6 horas diarias con un rendimiento del 60%? 5. Diez obreros que trabajan en la construcción de un puente hacen 3/5 de la obra en 9 días. Si se retiran 6 hombres, ¿cuántos días emplearon los restantes para terminar la obra?
9. Si 20 peones se demoran 21 días de 5 horas diarias de trabajo en sembrar un terreno cuadrado de 20 m de lado, ¿cuántos días de 8 horas diarias de trabajo demorarán en sembrar un terreno cuadrado de 40 m de lado y de una dureza 3 veces más que el terreno anterior con 30 peones doblemente hábiles? 10. Una compañía posee 3 máquinas de 70% de rendimiento para producir 1 600 envases cada 6 días de 8 h/d de trabajo. Si se desea producir 3 600 envases en 4 días trabajando 7 h/d, ¿cuántas máquinas de 90% de rendimiento se requieren?
Tema III TANTO PORCIENTO I
El “astro del día” parece encontrarse, a primera vista, a la misma distancia que la Luna; en realidad, está unas 400 veces más lejos, a 150 millones de km de nosotros. El disco del Sol y el de la Luna tienen una dimensión aparente muy parecida. Sin embargo, esta gigantesca esfera gaseosa es mucho mayor: tiene un diámetro de 1 400 000 km (109 veces el de la Tierra; 1 300 000 veces su volumen). Si el Sol fuese un balón de fútbol, la Tierra sería un granito de arena, girando a su alrededor a 25 m de distancia. En su mayor parte (98%), es una mezcla de hidrógeno (75%) y de helio (23%). El 2% restante está formado por elementos que abundan en la Tierra: Carbono, Nitrógeno, Oxígeno, etc. Como notarás la utilización del porcentaje se da mucho en la vida cotidiana y nos muestra resultados claramente entendibles por todas las personas.
De 100 tomamos “a” Luego, de “N” tomamos “x”
Por regla de tres:
x
a N 100
* Ejemplos: 24
1. El 24% de 120 es: 100 × 120 = 28,8 32 100
2. El 32% de 180 es: × 180 = 57,6 3. El 18,4% de 52,5 es: 18,4 100 ×
52,5 = 9,66
a% de N ± b% de N = (a ± b) % de N
Ejemplos: 1. 2. 3. 4. 5.
20% de N + 35% de N = 55% de N 42% de X + 64% de X= 106% de X 72% P - 18% P = 54% P X + 37% X = 137% X X - 39% X = 61% X
Es el número de partes que se toma, de cien partes en que se divide una cantidad. a × b 100 100
Es decir, el círculo representa una cantidad, la cual se dividió en 100 partes.
a% × b% =
“a” partes
a×b % 100
* Ejemplos: 8
9
25
50
18 = 72 32 × 1250 100 100 32% × 18% =
32 × 18 % = 5,76% 100
1. El “a” por ciento está representado como se muestra, de 100 partes tomamos “a”
45% × 16% =
partes.
2.
Notación:
9
4
20
25
45 × 16 = 36 500 100 100 45 × 16 % = 7,2% 100
“a” por ciento = a% a
“a” por ciento =
100
a a% 100
Entonces, ¿cómo calculamos el a% de “N”?
Se refieren a las variaciones o cambios en forma de porcentaje que experimentan algunas magnitudes. Veamos algunos ejercicios que expliquen mejor la idea. * Ejemplos:
1. Si “x” aumenta en 15%, ¿en qué porcentaje aumenta “x 2”? Practicando Si “x” aumenta 15% de su valor,
entonces será:
1. Hallar el 28% de 3 000.
x + 15% x = 115% x
2. ¿De qué número es 168 el 14%?
A “x2” le corresponde un aumento de: (115%x)2 =
= = 132,25% x2
El aumento será:132,25-100 = 32,25%
Área del triángulo =
base altura 2
Anulamos el dos que divide porque es constante y no interviene en el análisis de la variación porcentual, luego: Área = base × altura
Ahora: Base = 100% después base = 130% Altura= 100% después altura = 150% 130% 150%
Área=100%después área = =
5%
más de qué número?
5. ¿368 es el 54% menos de qué número? 6. ¿De qué número es 570 el 14% más?
2. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y su altura en 50%, ¿en qué porcentaje aumenta el área?
3
4. ¿264 es el 5 115 115 2 100 % x
3. ¿Qué porcentaje de 1 400 es 350?
115% 115% x 2
130 150 100 %
=195%
El aumento es: 195 - 100 = 95%
7. ¿De qué número es 16 el 5%? 8. Hallar el 15% del 50% del 25% de 680. 9. Si el peso de Lucho aumenta en 30%, entonces va a ser igual al peso de Giancarlo. ¿Qué porcentaje del peso de Giancarlo es lo que aumentó Lucho? 10. El precio de un artículo aumenta en 30% y las ventas disminuyen en 10%. ¿Cuál es la variación de los ingresos? 11.
En la expresión: ab2c, si “a”, “b” y
“c” disminuyen en 20%, entonces el
valor de la expresión disminuye en:
12. ¿Cuánto de agua debo añadir a 10 litros de alcohol que es 95% puro, para obtener una solución que sea 50% puro? 13. Un fabricante reduce en 4% el precio de venta de cada artículo que fabrica. Para que aumente en 8% el total de sus ingresos, ¿en cuánto tendrá que aumentar sus ventas? 14. En una reunión el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? 15. Una tela al lavarse se encoge el 10% en el ancho y el 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 m de ancho, ¿qué longitud debe comprarse si se necesitan 36 m2 de tela después de lavado?
Homework
1. Hallar el 28% de 5 000. 2. Hallar el 25% de 80. 3. ¿De qué número es 124 el 31%? 4. El a% de 300 es “b” y el b% de 30 es 27. ¿Cuál es el valor de “a”?
7. Tres descuentos sucesivos del 10; 30 y 50% equivalen a un único descuento de: 8. El largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%, entonces el área del rectángulo varía en 160 m2. ¿Cuál era el área inicial?
5. Tomás le dio a un mendigo S/.30 que representa el 57% de sus ahorros. ¿Cuánto era el total de sus ahorros?
9. Si el 60% de “2x - 3” es igual a “x + 8”; Calcular el valor de: M = x2 - 42x + 10
6.
10. Un basquetbolista debe lanzar 160 veces al cesto. Si ya ha convertido 40, ¿cuántas veces más debe convertir para tener una eficiencia del 70%?
Una mezcla de alcohol contiene 27 litros de alcohol y 63 litros de agua, ¿cuál es la concentración de esta mezcla? (La concentración es el porcentaje de alcohol en la mezcla).
Tema IV TANTO POR CIENTO II
P.v.: Precio de Venta
a) Pv = Pc + G P.c.: Precio de costo G : Ganancia b) Pv = Pc - P P.: Pérdida
GN = GB – G GB : Ganancia GN : Ganancia Neta Bruta G : Gastos
precio de lista es de $ 140.00 Ejemplo 2 Wong tiene su promoción, por la compra de un producto, el segundo tiene una rebaja increíble del 40%. ¿Cuál es el precio de un primer producto, si por el segundo pago S/. 120? (ambos productos son idénticos)
Ejemplo 3 Saga por su aniversario. Saga-Falabella Premium (7 años), repotencia sus productos haciendo un descuento del 30% sobre el precio de lista. ¿Decir cuál es el precio de venta, sabiendo que aun haciendo la rebaja anunciada la tienda gane el 40% del precio de costo? Practicando
1. ¿A cómo hay que vender lo que ha costado S/ 2100 para ganar el 30%? PF = PL = PM PF : Precio fijado PL : Precio de lista PM : Precio de marca
Para el punto I en “a”, este precio de venta es cuando existe ganancia y en “b” cuando existe perdida. Para el punto II la ganancia neta es el saldo neto descontando todos los gastos originados. En el punto III generalmente el precio fijado, el precio de lista y el precio marcado son iguales. Metro anuncia su rebaja increíble 30% en el precio de cualquier producto. Decir cuál es el precio de venta, de una bicicleta que su
2. Un comerciante compró una bicicleta a 1200 soles y la vendió ganando el 20% del costo. ¿A cuánto la vendió? 3. Un comerciante dice haber obtenido un 20% de ganancia sobre el precio de venta. Calcular el porcentaje de ganancia con respecto al costo. 4. Un libro que costo 140 soles se vende ganando el 20% del precio de venta. ¿En cuánto se vendió? 5. Dos televisores se han vendido en 9600 soles, ganando en uno el 20% del precio de costo y en el otro perdiendo el 20% del precio de costo. ¿Se ganó o perdió y cuánto? 6. Un comerciante vende las dos últimas bicicletas que le quedan en S/. 1200 cada una. En una ganó el 25% en la otra perdió el 25% ¿qué afirmación es correcta?
hacer sobre el precio de venta para no perder?
a) no gano ni perdió b) ganó S/. 160 c) perdió S/. 160 d) perdió S/. 200 e) N.A.
a) 20% c) 30% e) 25%
7. Un comerciante posee 2 refrigeradoras iguales vende el primero perdiendo el 20% del precio de venta. Diga que porcentaje del precio de venta debe ganar en la segunda para recuperar su dinero. a) 14,18% d) 15
b) 14,28 e) 13,28
c) 13,18
8. Un comerciante rebaja en 18% el precio de su mercadería. Diga en que porcentaje deberá aumentar el volumen de sus ventas para que su ingreso bruto aumente en un 23%. a) 20% d) 40%
b) 30% e) 60%
c) 50%
9. Un objeto se ofrece con el 20% de recargo y luego se descuenta el 20% por factura. El descuento es del: a) 0% d) 4%
b) 5% e) 10%
c) 6%
10. Un artículo se ha vendido en S/. 5400 donde se está ganando el 35% del costo. ¿A cómo se debió vender el mismo artículo para ganar el 20% del precio de venta? a) S/. 4000 c) S/.4500 e) S/. 5000
b) S/.3500 d) S/. 4800
11. Si el precio de un objeto se le recarga el 20% y resulta igual al precio de otro descontado en un 30%. Si el primero cuesta S/. 17500. ¿Cuál es el precio del segundo? a) S/. 20 000 b) 24000 c) 25000 d) 30 000 e) 28 000 12. El precio de un objeto se recarga en el 25%. ¿Cuál es el mayor porcentaje de rebaja que se podrá
b) entre 15% y 20% d) más de 20%
13. -A vende un objeto a B ganando el 20% -B vende el objeto a C ganando el 25% -C vende el objeto a D perdiendo el 10% y -D vende el objeto a E ganando el 40% si E pago S/. 1134 por el objeto. ¿Cuánto ganó A en la venta de dicho objeto?. a) S/. 100 d) S/. 135
b) S/. 120 e) S/. 200
c)S/. 150
14. Para fijar el precio de un artículo un comerciante aumento su costo en el 75% pero el vendedor hizo al cliente dos descuentos del 20% más 20% ¿Qué porcentaje del costo resultó ganando el comerciante? a) 12% d) 15%
b) 40% e) N.A.
c) 16%
15. En una tienda se le hace al cliente 2 descuentos sucesivos del 10% y 20% y aún ganan el 40% del costo. Si el departamento de compras de dicha tienda compro un artículo en S/. 3600, diga qué precio debe fijar para su venta. a) S/. 4500 b) 5600 d) 6000 e) 4800
c) 7000
16. Un comerciante vendió el 40% de los artículos que compró ganando el 40% del precio de costo, el 20% del resto perdiendo el 20%, la cuarta parte de lo que quedaba la regalo y el resto lo vendió sin ganar ni perder. Si en toda la venta ganó S/. 480 ¿cuántos artículos compró si cada uno le costó S/. 10? a) S/. 3000 b) 2000 d) 200 e) 4000
c) 300
17. El costo de un artículo consta básicamente de dos componentes: materia prima y mano de obra, hubo una alza de precios en los dos componentes, por lo que la materia prima aumentó en un 40% y la mano de obra aumenta en un 100% por lo que el costo del producto aumento en un 50%. Calcular la relación de costos de la materia prima y la mano de obra iniciales. a) 5 : 1 b) 3 : 5 c) 4 : 7 d) 5 : 2 e) 1 : 5
18. Qué precio se debe fijar a un artículo para que al hacer un descuento equivalente al 70% de los gastos se obtenga una ganancia neta del 10% del precio de venta, los gastos y el precio de compra están en la relación de 1 a 17 y la ganancia bruta es S/. 540? a) S/. 3940 b) 3654 c) 3726
Homework
1. Se compró un nintento en S/. 600 y luego se vendió perdiendo el 25% del precio de costo. ¿En cuánto se vendió? a) S/. 520 b) 450 c) 380 d) 460 e) N.A. 2. Luego de hacer dos descuentos sucesivos de 20% y 10% un artículo costo S/. 288 ¿cuál era su precio? a) S/. 600
b) 500
c) 400
d) 300
e) N.A.
3. ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en S/. 180 habiéndose hecho un descuento del 20%? a) S/. 225
b) 226
c) 224
d) 220
e) N.A.
4. Alva compra 50 botellas de gaseosa a S/. 1 cada una. Si decide venderlas ganando el 40% en cada botella. ¿Cuál es el monto obtenido por la venta de las botellas? a) S/. 1,4 b) 20 c) 70 d) 60 e) 120 5. Mafalda vende una revista a S/. 28 ganando el 40% del precio de compra ¿Cuánto le costó la revista a Mafalda? a) S/. 12 6.
d) 21
e) 23
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 15%
Un DVD es vendido a S/. 320 ganando el 25% del precio de compra. ¿Cuál fue la ganancia obtenida? a) S/. 220
8.
c) 20
Un televisor me costó S/. 450 y lo vendí a S/. 600. ¿Qué porcentaje del precio de venta gane? a) 100/3%
7.
b) 18
b) 250
c) 54
d) 60
e) 64
Pamela vende un florero a S/. 80 con una pérdida del 30% de su precio de venta. ¿Cuál fue el precio de compra? a) S/. 56
b) 104
c) 100
d) 80
e) 98
Tema V REGLA DE MEZCLA I
Es la unión íntima de varias sustancias homogéneas. Estos tipos de ejercicios lo podemos dividir en tres casos:
Se tiene dos sustancias que se mezclan entre sí, luego se retiran fracciones de la mezcla y se rellena con cualquiera de las sustancias puras.
medio, los precios unitarios y la cantidad total.
Ejemplo Se mezcla un vino de 43 soles el litro, con otro de 27 soles el litro, resultando en total 128 litros a 32 soles el litro. ¿Qué cantidad se tomó de cada uno? a lts. de S/. 43 b lts, de S/. 27
Consiste en determinar el precio medio de la mezcla, conociendo los precios unitarios (calidades) y las proporciones (cantidades) de cada uno de los ingredientes.
Por dato:
a + b = 128
Como:
Pn
Cantidad
Reemplazando:
Precios
Costo
(S/.)
(S/.)
36
15
540
22
12
264
42
30
1260
100 kg.
C1 x P1
C2 x P2
C1
C2
Pero:
100
a x 43 C1
16 a 5
= S/. 20.64 a = 40 lts.
11a 5
a
= 128
b = 88 lts
43
32 – 27 = 5
Precios unitarios: P1, P2, ……… Pn Es decir:
P =
Costo Total
32
Canti dad Total
Consiste en hallar las cantidades de cada ingrediente, conociendo el precio
b
C2
= 128
En general: Cantidades: C1, C2 ………… Cn
b x 27
a +
Si 100 kg. Cuestan 2064 soles 1 kg. costará
32 =
32a + 32b = 43a + 27b 5b = 11a a + b = 128
2064
2064
=
27
43 – 32 = 11
Se cumple: a
b
5
a
11 5
d) 1/13
a
5
b
11
;
128
16
a
5
Finalmente: a = 40 lts.
7.
b = 88 lts.
Practicando
1. Martha prepara una deliciosa y refrescante naranjada mezclando 2 vasos de zumo de naranja y 8 vasos de zumo de naranja y 8 vasos de agua. 2. Una
señora
mezclando
prepara 1
1
tazas
2
evaporada con
el
2
3 4
leche
tazas de agua
hervida. Sirve a su esposo media taza de esta mezcla. ¿Cuánto de leche evaporada hay disuelta en la taza? a) 3/17 b) 4/15 c) 2/11 d) 5/9 e) N.A. 3. En un depósito hay 4 lt. de leche y 2 lt. de agua en otro depósito hay 3 lt. de leche y 5 de agua. Si del primer depósito pasan al segundo 3 lt. de la mezcla. ¿Cuántos litros de leche hay ahora en el segundo depósito? 4. En un depósito hay 18 lt. de agua y 12 lt. de leche. Se retiran 8 litros de la mezcla. ¿Cuántos litros de leche salen? a) 4,8 b) 4,2 c) 3,2 d) 3,6 e) 5,4 5. Un auto llena su tanque con 12 galones de gasolina con aditivos donde los aditivos representan 1/6 de la mezcla. ¿Cuántos galones de gasolina se debe añadir para que los aditivos representen 1/9 de la mezcla? 6. En un depósito que tiene 48 tazas de agua se agregan 4 tazas de cloro (lejía). ¿Qué parte de la mezcla resultante es agua? a) 1/25
b) 1/26
c) 2/25
Un barman prepara una deliciosa sangría, mezclando dos medidas de vino, 19 medidas de gaseosa y 2 medidas de jugo de naranja. ¿Qué parte o fracción de dicho preparado, representa el vino?
8. Se mezclan en una jarra 5 tazas de agua con 1/2 taza de zumo de limón. ¿Qué parte de la mezcla resultante es agua? a) 10/11 d) 1/9
desayuno de
e) 12/13
b) 1/11 c) 3/8 e) 2/9
9. En un depósito se mezcla 20 litros de agua y 60 litros de leche, luego se extrajo 16 litros de la mezcla y se reemplaza con la misma cantidad de agua. Se vuelve a extraer 20 litros de esta mezcla. ¿Cuántos litros de leche salen en total? 10. En un recipiente hay 32 litros de leche pura; se consume la mitad y se completa con agua. Se vuelve a consumir la mitad de la mezcla y se vuelve a completar con agua. ¿Cuántos litros de leche pura quedan en el recipiente? 11. Un radiador de 16 litros se llena con agua, luego se sacan 4 litros y se reemplaza con líquido refrigerante puro; después se sacan 4 litros de la mezcla y se reemplazan con el mismo líquido. Esta operación se repite por tercera y cuarta vez; la fracción de agua que queda en la mezcla final es: a) 1/4 d) 45/128 12.
b) 81/256 e) N.A.
c) 27/64
En un barril se colocan 50 litros de vino A y 50 litros de vino B, si cada litro de vino A cuesta S/. 10 y cada litro de vino B cuesta
5. ¿Cuánto cuesta 36 litros de
la mezcla
13. En un costal se colocan 20 kg. de arroz tipo A de S/. 3 el kg. y 30 kg. de arroz de tipo B de S/. 2 el kg. ¿Cuánto
costarán 25 kg. de dicha mezcla de arroz? a) S/. 30 d) 60
b) 40 e) 20
c) 50
14. Un comerciante desea obtener 180 litros de vinagre a S/. 4 el litro mezclando cantidades convenientes de dos calidades cuyos precios por litro son S/. 3,6 y S/. 4,2. Hallar la diferencia entre las cantidades de los dos tipos de vinagre que se han mezclado. 15. Se han mezclado dos tipos de aceites de precios S/. 5 y S/. 8 el litro, resultando un precio medio de S/. 5,9. Hallar la proporción de la mezcla. a) 2/3 d) 2/9
b) 3/7 e) N.A.
1. Se tienen 80 litros de una solución de H2SO4 y H2O donde los 3/4 son agua. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse para que el H2SO4 represente los 2/9 de la mezcla? a) 10 litros b) 40 c) 20 d) 30 e) 25 2. Se tienen 80 litros de una solución de HCL, donde los 3/5 son agua. ¿Cuántos litros de HCL debe agregarse para que el agua solo represente 1/5 de la mezcla? b) 120 e) N.A.
6. Un depósito está lleno con leche se extrae la sexta parte, y se rellena con agua, luego se saca la mitad y se resuelve a reemplazar con agua. ¿Cuánto de leche pura queda? a) 2/11 b) 3/4 c) 5/7 d) 9/12 e) N.A.
c) 5/7
Homework
a) 30 d) 160
5. De un depósito de 64 litros de vino y 16 litros de agua; se extraen 20 litros de la mezcla y se reemplazan con agua y nuevamente se sacan 20 litros de la mezcla y son reemplazados por agua. ¿Cuántos litros de vino hay en la última mezcla? a) 36 litros b) 44 c) 50 d) 30 e) 27
c) 80
3. En una taza con café, la esencia representa 1/6 de la taza. Si la taza tiene capacidad de 1/3 de litro. ¿Qué cantidad de esencia de café hay en la taza? a) 1/20 litros b) 1/9 c) 4/5 d) 1/5 e) 1/18 4. En un recipiente se mezclan 45 litros de un líquido A y 80 litros de un líquido B. Se retira 3/5 de esta mezcla. ¿Cuántos litros de líquido A quedan en el recipiente? a) 15 b) 18 c) 12 d) 9 e) 10
7. De un tonel que contiene 100 litros de vino se sacan 40 litros que se reemplazan por agua. Se hace lo mismo con la mezcla por 2da., 3era. y 4ta. vez. ¿Qué cantidad de vino queda en el tonel después de la cuarta operación? a) 12 litros b) 13 c) 14 d)
12
24 25
e) 16
8. De un depósito que contiene aceite se sacan las 2/3 partes de su contenido menos 40 litros, en una segunda operación se sacan los 2/5 del resto y por último se sacan los 84 litros restantes. Determinar la capacidad del depósito. a) 280 litros b) 260 c) 300 d) 250 e) 290 9. ¿A cómo sale el litro de una mezcla de 10 litros de vino de S/. 8,40, con 8 litros de S/. 9 y con 12 litros de S/. 12? a) 10 b) 15 c) 12 d) 18 e) N.A. 10. Un comerciante tiene 12 litros de vino que cuesta S/. 5 el litro, se agrega cierta cantidad de agua y se obtiene un precio medio de S/. 4 el litro. Calcular la cantidad de agua que se agregó. a) 5 litros b) 4 c) 3 d) 2 b) 8
Tema VI REGLA DE MEZCLA II 1. Se realiza una mezcla de vino de S/.7 el litro y de S/.6 el litro con agua, cada litro de mezcla cuesta S/.5. Si la cantidad de agua es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.6, ¿en qué relación está la cantidad de agua a la cantidad de vino de S/.7? 3
1
a)
2
b)
5
d) 4
5
4
c)
5
5
e)
3
2. Se desea preparar el famoso licor que tiene 50% de pureza. Indicaciones: - Mezclar 60 litros de 20º con 40 litros de 70º. - Extraer “n” litros de la preparación anterior en otro recipiente y mezclarlo con igual cantidad de alcohol puro. - Juntar los dos preparados; batir por un tiempo de 3 minutos y servir acompañado de una rodaja de naranja con 2 gotas de limón. Calcular el valor de “n”.
a) 15 d) 30
b) 20 e) 35
c)
25
3. Se mezclan 18 litros y 20 litros de 50º y 10º de pureza respectivamente con cantidades convenientes de alcohol puro y agua; por error dichas cantidades se intercambiaron, motivo por el cual los 50 litros resultantes tuvieron 28º de pureza. Calcular el grado de pureza si no se cometía el error. a) 40º b) 25º c) 30º d) 42º e) 28º 4. Un comerciante tiene dos tipos de vino, uno de 5,5 soles el litro y otro de 4 soles el litro. ¿Cuántos litros del segundo se deberán mezclar con 24 litros del primero para que agregando un litro de agua por cada 5 litros de esa mezcla se obtenga otra mezcla que cueste S/.3 la botella de 0,75 litros? a) 66 b) 45 c)30 d) 21 e) 18
5. Se mezclan 70 litros de alcohol de 93º con 0,50 hectolitros de 69º; a la mezcla se le extrae 4,2 decalitros y se le reemplaza por alcohol de grado desconocido, resultando una mezcla que tiene 28,8 litros de agua. Determinar el grado desconocido. a) 43º b) 38º c) 58º d) 63º e) 69º 6. Se mezclan dos clases de avena en proporción de 51,93 a 34,62 y se vende ganando el 10% del precio de costo; luego se mezcla en proporción de 14,80 a 22,20 ganando el 15%. Resulta que ambos precios de venta son iguales. Si los dos precios de costo por kg suman S/.13,50; ¿a cómo se debe vender un kg del más caro si se desea ganar el 20% del costo? a) S/.6 b) 9 c)12 d) 13 e) 8 7. Se mezcla café de $1,6 y $2,4 por kg obteniendo un total de 50 kg de café que deberá venderse ganando $28 lo cual representa el 25% del precio de venta. Hallar las cantidades que se mezclaron inicialmente. a)10 y 40 kg 45 d)18 y 32
b)15 y 35
c)5 y
e)20 y 30
8. Se mezcla 15 kg de café crudo de S/.20 el kg con 35.kg de S/.24 el kg y 30 kg de S/.19 el kg. Si al ser tostado el café pierde el 5% de su peso, ¿a cómo se debe vender el café tostado para ganar el 20%? a) S/.22 b) 17 c)32 d) 27 e) 30,60 9. Un comerciante vende una mezcla de 3 sustancias formada por 66 litros de S/.35 el litro; 165 litros de S/.24 el litro y 209 litros de S/.20 el litro. Si al vender 124 litros de la mezcla recibe S/.3 534, ¿cuántos litros debe vender para ganar S/.646? a) 92 b) 144 c) 136 d) 125 e) 132
10. Se han mezclado 180 kg de una sustancia a S/.12 el kg con otra cuyo peso representa el 25% del peso total de la mezcla y se ha obtenido como precio promedio S/.11,4. ¿Cuál es el precio por kg de esta última sustancia? a) S/.9, 00 b) 9,10 c)9,50 d) 8,75 e) 9,60 11. Un depósito contiene una mezcla de 180 litros de alcohol y 20 litros de agua. ¿Qué cantidad de alcohol debe añadirse para que la mezcla sea de 98% de pureza de alcohol? a) 700 litros d) 640
b) 980 e) 1 000
c) 800
12. Se han mezclado 50 litros de alcohol de 96º de pureza, con 52 litros de alcohol de 60º de pureza y 48 litros de otro alcohol. ¿Cuál es la pureza de este último alcohol, si los 150 litros de mezcla tiene 80º de pureza? a) 80º b) 85º c) 86º d) 90º e) 88º 13. Se han mezclado 80 kg de una sustancia con 70 kg de otra. Las sustancias cuestan 3 soles y 5 soles respectivamente el kg. ¿Qué cantidad tendrá que entrar de una tercera sustancia de 4 soles el kg para que el precio medio de la mezcla resulte 3,95 soles el kg? a) 30 kg b) 40 c) 45 d) 50 e) 55 14. Un comerciante ha comprado 480 litros de aguardiente a S/.1,25 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para poder vender el litro a S/.1,20 para ganar el 20%? a) 160 litros b) 140 c) 120 d) 100 e) 180 15. Un comerciante vende vinos de dos precios, de 90 y 75,60 soles el litro. Los mezcla en la proporción de cinco partes del más barato por siete partes del más caro. Si quiere ganar un 25% en la mezcla, ¿a cómo debe vender el litro?
a) S/.105 d) 112
b) 100 e) 124
c) 108
Homework
1. ¿A cómo debe venderse el litro de vino que resulta de mezclar 40 litros de S/.2,50 el litro con 30 litros de S/.3,00 el litro y 30 litros de S/.4,00 el litro, sin ganar ni perder? a) S/.3,50 d) 3,8
b) 3,2 e) 3,7
c)
3,1
2. Si Paty mezcla 150 kg de arroz S/.4,00 el kg con 250 kg de arroz S/.3,60 el kg y 100 kg de arroz S/.4,50 el kg. ¿Cuál es el precio de kilogramo de arroz de esta mezcla? a) S/.3,90 b) 3,60 c) 3,20 d) 4,10 e) 4,20
de de de un
3. En un tonel, Jesús mezcla 15 litros de alcohol de 80°, 20 litros de alcohol de 90° y 25 litros de alcohol de 72°. ¿Cuál es el grado de pureza de la mezcla? a) 75° b) 78° c) 80° d) 84° e) 87° 4. Gerson quiere preparar una mezcla de 120 litros de vino, para lo cual tiene vinos de dos calidades, cuyos precios por litro son S/.19 y S/.29. Si queremos que el precio por litro de mezcla sea S/.25, ¿cuántos litros de cada clase debe emplear Gerson? a) 40 y 80 b)48 y 72 c)45 y 75 d) 30 y 90 e)20 y 100 5. En una bodega venden dos tipos de café, uno a S/.6,50 el kilogramo y otro a S/.9,00. Si Anita quiere preparar una mezcla de 45 kg que tenga un precio promedio de S/.7,50 el kilogramo, ¿cuántos kilogramos de cada uno debe emplear? a) 24 y 21 b)30 y 15 c)25 y 20 d) 27 y 18 e) 32 y 13 6. Si Fernando echa en un recipiente 20 litros de alcohol de 82°; 30 litros de alcohol de 75°; 10 litros de alcohol puro y 15 litros de agua, ¿cuál será el grado de su mezcla? a) 71,3° b) 65,2° c) 60,5° d) 72° e) 63° 7. Desiré mezcla 90 litros de aceite de S/.5 el litro con 60 litros de aceite de mayor precio. Obteniendo una mezcla con un precio promedio de S/.6. Hallar
el precio del litro de aceite de mayor precio. a) S/.7,00 d) 8,00
b) 7,20 e) 8,50
c) 7,50
