2
N 1 = número de veces que le punto ( −1, j0)del plano L(s) está encerrado por la traza de Nyquist correspondiente a Γ s1 . N 2 = número de veces que le punto ( −1, j0)del plano L(s) está encerrado por la traza de Nyquist correspondiente a Γ s2 . Con referencia a las trayectorias de la figura 2, y con el criterio de Nyquist, tenemos que: N 1 = Z
(1)
− P
traza de Nyquist a lo largo del semicírculo con radio infinito es siempre cero. Al añadir y reemplazar las ecuaciones anteriores, es decir al adicionar la ecuación 7 a la ecuación 8 y al emplear las ecuaciones 5 y 6, se tiene: Φ1 + Φ 2 = 4Φ11 = (2Z
N 2 = Z
− P − P
ω
(2)
Φ1 y Φ2 representan los angulos netos recorridos, con respecto al punto (−1, j0)que corresponde a Γs1 y Γs2 , entonces:
× 360°
(3)
− P )360°
(4)
× 360°
(5)
− P − P )360°
(6)
Φ1 = N 1 Φ1 = (Z
Φ2 = N 2 Φ2 = (Z
ω
Cada trayectoria Γs1 y Γs2 , está compuesta por tres porciones: 1) La porción desde s = − j ∞hasta + j ∞ a lo largo del semicírculo con radio infinito. 2) La porción a lo largo del eje jω , excluyendo los pequeños círculos, 3) Todos los pequeños semicírculos sobre el eje j ω. Como se puede ver en la figura 2, las trayectorias son simétricas con respecto al eje real en el plano s, por lo que los valores de los ángulos recorridos son idénticos para valores positivos como negativos de ω . Por lo tanto podemos escribir Φ1 y Φ 2 como: Φ1 = 2Φ11 + Φ 12 + Φ 13
(7)
Φ2 = 2Φ11
(8)
−Φ
12
+ Φ 13
− 2P − p
ω
(9)
)360°
Resolviendo Φ 11 se tiene Φ11 = (Z
− P − 0.5P )180° ω
(10)
Z = el número de ceros de 1+L(s) en el semiplano derecho del plano s . P =número de polos de L(s) en el semiplano derecho del plano s . P ω = numero de polos L(s) sobre el eje j ω . La ecuación 10 establece el ángulo total recorrido por el fasor del punto (−1, j0)a la traza de Nyquist de L(s), correspondiente a la porción del eje jω positivo del plano s , excluyendo los semicírculos pequeños en caso de existir. Por lo tanto el criterio de estabilidad de Nyquist se puede llevar a cabo solo mediante la construcción de la traza de Nyquist que corresponde a la porción desde s = j ∞ hasta s = 0 de la misma trayectoria. Si el sistema en lazo cerrado es inestable, podemos conocer el numero de raíces de la ecuación característica que están en el semiplano derecho del plano s, conociendo los valores de Φ11 ,P ω , y P , utilizando la ecuación 10. Para que el sistema en lazo cerrado sea estable, Z debe ser igual a cero. Por tanto, el criterio de Nyquist para la estabilidad del sistema en lazo cerrado es: Φ11 =
− (0.5P + P )180° ω
(11)
Los valores de P ω y P no pueden ser negativas, por lo tanto la ecuación 11, nos indica que: Si la fase recorrida por la traza de Nyquist de L( jω) cuando ω varía desde ∞ a 0, Φ11 es positiva con respecto al punto (−1, j0), por lo tanto el sistema el lazo cerrado es inestable. Cuando la variación del angulo descrito en la ecuación 11, es positivo corresponde a que el punto (−1, j0) , esta encerrado. Sin embargo, el punto (−1, j0)no esta encerrado por la traza de Nyquist para que el sistema sea estable, la variación del angulo Φ 11 aun debería satisfacer la ecuación 10.
donde: Φ11 = ángulo recorrido por la traza de Nyquist de L(s) con respecto al punto ( −1, j0) correspondiente al eje j ω positivo o negativo del plano s , excluyendo los pequeños semicírculos. Φ12 =ángulo recorrido por la traza de Nyquist de L(s) con respecto al punto ( −1, j0) correspondiente a los pequeños A. Sistema con función de transferencia de lazo de fase semicírculos sobre el eje j ω de Γs1 . mínima. Φ13 = ángulo recorrido por la traza de Nyquist de L(s) con Si L(s)es de fase mínima, P = 0 y P ω denota el numero de respecto al punto ( −1, j0) correspondiente al semicírculo con polos que estan en el origen, por lo tanto se tiene: radio infinito sobre las trayectorias de Nyquist. Cuando existe un función de transferencia L(s) que no Φ11 = (Z − 0.5P ω )180° (12) tiene más ceros que polos, la traza de L(s)que corresponde Para la estabilidad en lazo cerrado, Z = 0 al semicírculo finito debe ser un punto el eje real o una trayectoria al rededor del origen del plano L(s), por lo tanto el anguloΦ13 recorrido por el fasor desde le punto (−1, j0) a la Φ11 = −P ω × 90° (13)
