Rangkuman Matematika 1. OPERASI BILANGAN REAL Bilangan
: sesuatu yang abstrak dan dapat memberi keterangan tentang banyaknya anggota suatu himpunan.
Bilangan Kardinal Bilangan Ordinal
: menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan. : menyatakan tingkatan atau kelas.
Macam-macam bilangan : o
o
o
Bilangan Asli Himpunan semua bilangan asli Bilangan Cacah
A: {1, 2, 3, 4, . . .}
Himpunan semua semua bilangan bilangan cacah
C: {0, 1, 2, 2, 3, 4, . . .}
Bilangan Bulat Himpunan semua semua bilangan bilangan bulat
o
B: {. . .-3, -2, -1, -1, 0, 1, 2, 2, 3, . . .}
Bilangan Rasional Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
, dengan a dan b adalah
bilangan bulat dan b ≠ 0. Himpunan bilangan rasional o
Bilangan Irasional (bukan Irasional (bukan bilangan Rasional) Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan. Bilangan berbentuk
akar
(misal , e dan
o
),
berbentuk
logaritma
.
Bilangan Real (R) Merupakan gabungan himpunan Bilangan Rasional dan Bilangan Irasional.
o
Bilangan Kompleks Pada penasihan akar, mungkin juga menghasilkan bilangan yang tidak nyata (imaginasi atau khayal). Misal
,
,
, . . . dst.
Notasi bilangan Khayal : i2 = (
)2 = -1
i3 = i2 x i = -1 x i = -i . . .dst
1
Rangkuman Matematika Gabungan bilangan Nyata dan bilangan Khayal membentuk bilangan Kompleks. Dinyatakan dengan :
x+yi
Keterangan : x: bilangan nyata
y: bilangan khayal
A. Operasi Bilangan Bulat Penjumlahan
Pengurangan Jika a dan b bil. Bulat,
Jika a dan b bil. Asli, (-a) + (-b) = - (a + b) a + (-b) = a – b , dengan a > b (-a) + b = - (a – b) , dengan a > b a + (-b) = - (b – a) , dengan a < b (-a) + b = b – a , dengan a < b
a – b = a + (-b)
Sifat – sifat pengurangan : pengurangan : a – b = (a + c ) – (b + c) a – (b +c) = (a – b) – c
Sifat komutatif : : a + b = b + a Sifat asosatif c)
: (a + b) +c = a + (b +
(a +b) – c = a + (b – c)
Memiliki unsur identitas 0 (nol) Perkalian
Pembagian Jika a dan b bilangan bulat dan
Jika a dan b bil. Asli, axb=bxa a x (-b) = - ( a x b ) (-a) x b = - ( a x b ) (-a) x (-b) = a x b
b ≠ 0, maka
a:b=n a
=bxn
Sifat komutatif : a x b = b x a Sifat asosiatif : : a x ( b x c ) = (a x b) x c Sifat distributif : : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Tertutup Memiliki unsur identitas 1 (satu)
2
Rangkuman Matematika Gabungan bilangan Nyata dan bilangan Khayal membentuk bilangan Kompleks. Dinyatakan dengan :
x+yi
Keterangan : x: bilangan nyata
y: bilangan khayal
A. Operasi Bilangan Bulat Penjumlahan
Pengurangan Jika a dan b bil. Bulat,
Jika a dan b bil. Asli, (-a) + (-b) = - (a + b) a + (-b) = a – b , dengan a > b (-a) + b = - (a – b) , dengan a > b a + (-b) = - (b – a) , dengan a < b (-a) + b = b – a , dengan a < b
a – b = a + (-b)
Sifat – sifat pengurangan : pengurangan : a – b = (a + c ) – (b + c) a – (b +c) = (a – b) – c
Sifat komutatif : : a + b = b + a Sifat asosatif c)
: (a + b) +c = a + (b +
(a +b) – c = a + (b – c)
Memiliki unsur identitas 0 (nol) Perkalian
Pembagian Jika a dan b bilangan bulat dan
Jika a dan b bil. Asli, axb=bxa a x (-b) = - ( a x b ) (-a) x b = - ( a x b ) (-a) x (-b) = a x b
b ≠ 0, maka
a:b=n a
=bxn
Sifat komutatif : a x b = b x a Sifat asosiatif : : a x ( b x c ) = (a x b) x c Sifat distributif : : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) Tertutup Memiliki unsur identitas 1 (satu)
2
Rangkuman Matematika B. Operasi Bilangan Pecahan Penjumlahan
o
Definisi :
Untuk semua bilangan pecahan p, q dan r berlaku :
sifat-sifat penjumlahan (komutatif dan asosiatif),
sifat identitas dengan elemen identitas p + 0 = 0 + p
untuk setiap bilangan pecahan p terdapat bilangan rasional –p sehingga, p + (-p) = 0, disebut sebagai invers penjumlahan. penjumlahan.
Pengurangan
o
Penyelesaian
pengurangan
bilangan-bilangan
pecahan
dapat
dilakukan dengan : (a + b) – (c + d) = (a – c) + (b – d)
Perkalian
o
dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0
untuk setiap p, q dan r bilangan pecahan maka berlaku :
Sifat-sifat perkalian ( komutatif, distributif dan asosiatif)
Sifat identitas dengan elemen identitas identitas 1 (satu) : p x 1 = 1 x p
Berlaku
untuk setiap bilangan rasional p rasional p ≠ 0
CATATAN KHUSUS !
Beberapa bentuk perkalian: 2
2
(a + b) = a + 2ab + b 2
2
3
3
2
2
3
a – b = (a – b) (a + b) 2
2
2
2
3
2
2
2
a – b = (a – b) (a + ab + b )
a + b = (a + b) (a - ab + b ) 2
2
(a - b) = a - 2ab + b
4 4 2 2 2 2 a – b = (a – b ) (a + b )
2
(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac 2
2
2
2
(a - b - c) = a + b + c - 2ab - 2bc - 2ac
3
Rangkuman Matematika o
Pembagian
Contoh Soal 1. (2x – 3)(4x + 5) = 8x2 + 10x – 12x – 15 = 8x2 - 2x – 15
2. (3a + 4b)(3a – 4b) = 9a2 – 12ab + 12ab – 16b2 = 9a2 – 16b2
3. =
-
4.
C. Konversi Bilangan
Pecahan Pecahan Biasa
Pecahan Desimal ,
,
Persen
...
Contoh pecahan biasa
:
Contoh pecahan desimal Contoh persen
: 0,256 , 0,24 , 0,1 , 0,000067 . . . : 25%, 77%, . . .
Menkonversi pecahan ke desimal
:
1. Mengkonversi pecahan ke persen 1.
2. : 2.
Mengkonversi desimal atau persen ke pecahan biasa :
1.
4
Rangkuman Matematika 2. 3. 0,8% =
CATATAN KHUSUS! o o
o
Rasional jika b = 0, maka tdk terdefinisi, ex:
,
=
∞
Rasional dinyatakan desimal jika dibelakang koma angka berulang. Irrasional angka dibelakang tdk berulang (selalu berubah)
2. PERBANDINGAN DAN SKALA
CATATAN! Perbandingan pada
1. Perbandingan (rasio)
umumnya dinyatakan dengan harga yang
Membandingkan dua besaran yang sejenis.
terkecil.
Misal : Ex :
Membandingkan ukuran dari 2 pipa Membandingkan luas lahan pertanian
Jika satuan besaran tidak sama, harus disamakan
dapat dinyatakan dengan :
terlebih dulu.
a:b
Ex : satuan meter diubah
menjadi centimeter agar
a lawan b
kedua satuan panjang sama.
a) Perbandingan senilai Menyatakan dua perbandingan yang nilainya sama. Misal : Waktu
2
3
9
N
Jarak
40
60
180
N x 20
Sehingga berlaku
.
b) Perbandingan berbalik nilai Menyatakan dua perbandingan yang nilainya saling berkebalikan.
5
Rangkuman Matematika Misal :
dan
Sehingga dinyatakan dengan a.b = konstan
2. Skala Skala perbandingan ini dapat merupakan pengecilan atau pembesaran ukuran yang sebenarnya. Misal : Tentukan ukuran sebenarnya pada persegi panjang dengan panjang 3 cm dan lebar 2 cm jika skala 1: 100 ! Panjang sebenarnya = panjang gmbar : skala = 3 :
= 3 x 100 = 300 cm Lebar sebenarnya = lebar gambar : skala =2: = 2 x 100 = 200 cm
Contoh Soal 1. Seorang pemborong perbaikan jalan memperhitungkan dengan tenaga 14 orang per hari suatu pekerjaan akan selesai dalam waktu 48 hari. Tetapi setelah dikerjakan selama 18 hari, karena sesuatu hal, pekerjaan itu berhenti selama 9 hari. Untuk merampungkan pekerjaan tepat pada waktunya, pemborong
tersebut
harus
menambah
tenaga
kerjanya.
Berapakah
tambahnya pekerja per hari? Jawab : Jumlah pekerja 14 x
Waktu pengerjaan 48-18=30 30-9=21
= 20 orang
3. OPERASI BILANGAN BERPANGKAT
6
Rangkuman Matematika Merupakan operasi pangkat berdasarkan perkalian berganda. Secara umum :
a : bilangan pokok
n
a =
n : pangkat (eksponen) n
a : bilangan berpangkat
Sifat-sifat bilangan berpangkat : Contoh persamaan bilangan eksponen :
1. x = 2. : = 3. ( = 4. = 5. =1
=1 = 20 x – 1 = 0 x=1
x
Contoh Soal 1.
272x+6
= 9x-3
2.
16 -2x - 4=
24 (-2x -4) = (3x)2x+6 = (32)x-3 2 -8x -16 = 2 -5 (x+2) 36x+18 = 32x – 6 -8x - 16 = -5x – 10 6x +18 = 2x – 6 -8x + 5x = -10 + 16 6x – 2x = -18 – 6 -3x = 6 4xBILANGAN = -24 IRASIONAL 4. OPERASI x = -2 x = -6 Bilangan akar, contohnya
:
Bukan bentuk akar, contohnya
:
Bilangan bentuk akar bukan merupakan bilangan Rasional, melainkan bilangan Irasional. Operasi penjumlahan & pengurangan bilangan bentuk akar :
=
Contoh Soal
7
Rangkuman Matematika 1. 2. 3.
3
+
=
4.
Misal
P
P2 = P2 = 3P P=3
5. 6. (
7.
)4 = (
)4 =( )4 = 43 = 64
=
=d
=d
=d
5. OPERASI LOGARITMA Operasi inversi/ kebalikan dari operasi perpangkatan.
8
Rangkuman Matematika Mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga Hasilnya sesuai dengan yang telah . a
log b = c
a : absis
b : numerus
0
a>0
Catatan :
a ≠ 1
b>0
1.
c=+/-
0
2.
a log
= n . a log p
log a = 1 , 1
= a log p
a log q
a
a log p a = a = sebab
a log p . q = a log p + a log q = a log p
log 1 = 0 ,
sebab a = 1
a) Sifat – sifat Logaritma
a log
a
a log
p = b log p / b log a
aalog b = b
a log p × p log q = a log q
Contoh Soal 1. 3log 33 +3log 18 - 3log 22 = 3log (
)
= 3log 27 =3 2. 5log 32 + 2log 125=
×
=
×
=
×
=5×3 = 15
a. Penggunaan daftar logaritma Logaritma dengan bilangan pokok 10 adalah logaritma biasa / logaritma briggs.
9
Rangkuman Matematika Untuk menentukan nilai suatu logaritma > dgn DAFTAR LOGARITMA. Karakteristik : banyaknya angk a bulat di depan koma dikurangi 1 Mantise : bilangan desimal dari hasil pengambilan logaritma
Misal : Log 4 => di depan koma 1 angka (5) lalu dikurangi 1 Jadi, karakterstiknya = 0, . . . Mantise = 6021 Hasil = 0, 6021 Lihat daftar logaritma Log 19 => di depan koma 2 angka (5 dan 0) lalu dikurangi 1 Jadi, karakterstiknya = 1, . . . Mantise = 2788 Hasil = 1, 2788 Lihat daftar logaritma Log 2,345 => didepan koma 1 angka (2) lalu dikurangi 1 Kemudian lihat daftar Buat 3 angka dari depan = 234 Sisanya =5 Cara melihat daftar : 200 ... 234
0 3010 ... 3692
1 3012 3694
2 3015 ... 3096
3 3017 ... 3698
4 3019 ... 3700
5 3021 ... 3701
Jadi, hasilnya adalah 0,3701 c. Mencari logaritma bilangan yang kurang dari 1 (satu) Indeknya ditentukan oleh banyaknya angka nol (0). Contoh : 1. Berapakah nilai dari log 0,2345? Penyelesaian : Log 0,2345 bahwa banyaknya 0 adalah 1, maka indeknya adalah -1. Sehingga log 0,2345 = 0, . . . . -1 Sedangkan mantise-nya didapat dari daftar logaritma pada baris 234 kolom 5 yaitu 3701. Sehingga log 0,2345 = 0,3701 -1 = - 0,6299 d. Mencari hasil anti logaritma Merupakan proses kebalikan dar mencari harga logaritma. Contoh : Untuk karateristik positif o
10
Rangkuman Matematika Letak koma ditentukan oleh besarnya karakteristik ditambah satu (1) Contoh : Log X = 0,3786 0 —> sebagai karakteristik 3786 —> sebagai mantise Berada di baris 239 kolom 1 digabungkan menjadi 2391. Karena karakterstiknya 0, maka bubuhkan koma (,) di belakang 1 angka. Jadi X = 2,391
o
Untuk karakteristik negatif Bentuknya bilangan 0 (nol) sesuai dengan besarnya karakteristik. Contoh : Log x = -0,0328, tentukanlah nilai x? Penyelesaian : Log x = -0,0328 = -0,0328 + 1 – 1 = 0,9672 – 1 Karakteristik adalah -1, maka banyaknya 0 di depan koma adalah 1. Sehngga bila log x = -0,0328, maka di baris 927, kolom 2 dan digabungkan menjadi 9272 Jadi log x = -0,0328 = 0,9672 – 1 Maka nilai x = 0,9672
e. Penggunaan operasi logaritma dalam operasi hitung Dalam operasi hitung bilangan, dapat menggunakan berdasar atas sifat-sifat logaritma dan dapat diselesaikan dengan bantuan daftar logaritma. Contoh : 1. Tentukan nilai x = 87,5 × 4,76 ! 2. Tentukan nilai x = (32,6)4 Penyelesaian : Penyelesaian : Log x = log 87,5 + log 4,76 Log x = log (32,4)4 Log x = 1,9420 + 0,6776 Log x = 4 × log (32,4) Log x = 2,6196 Log x = 4 × 1,5132 x = 416,5 Log x = 6,0528 x = 1129000
f.
Logaritma napier Yaitu logaritma dengan bilangan pokok / e (epsilon) dimana e = 2,7182 sehngga
11
Rangkuman Matematika elog
x= 2,7182 log x = ln x
Bila e diperoleh dari bentuk ( 1 + ) n, dengan n
A
Sehingga bila n mendekati tak hingga, maka akan diperoleh e = 2,7182 Hal ini dapat dituliskan bahwa :
Sifat-sifat logaritma napier : ln p . q = ln p + ln q
ln
ln
= ln p
ln q
= a . ln p
a log
p × p log q = a log q = ln a
ln a =
, karena elog e = ln e = 1
Contoh : 1. ln 5 ln 5 ln 5
= 2,303 . log 5 = 2,303 . 0,6990 = 1, 60898
2. ln (345,67) 1,25= 1,25 × ln 345,67 ln (345,67) 1,25= 1,25 (2,303 log 345,67) ln (345,67) 1,25= 1,25 (2,303 x 2,5386) x = 1,25 x 2,303 x 2,5386 log x = 1,25 x 2,303 x 2,5386
12
Rangkuman Matematika 1. PENGERTIAN MENGUKUR & MEMBILANG Kegiatan membilang hanyalah ada 1 kebenaran Contoh : menghitung jumlah buah, pensil, buku Sementara hasil dari kegiatan mengukur tidak hanya 1 Contoh : mengukur panjang & lebar suatu tanah, yang dilakukan pembulatan o
Pengukuran hasil dari kegiatan mengukur tidaklah tepat, tetapi hanya merupakan hasil pembulatan (pendekatan) terdapat 3 jenis aturan pembulatan : a. Pembulatan ke satuan ukur terdekat Contoh : 5678, 974950 meter = 5678, 97495 = 5678, 9750 = 5678, 975 = 5678, 98 = 5677, 0 = 5677 = 5680 = 5700 = 6000 b. Pembulatan ke banyaknya tempat desimal Arti dari banyaknya tempat desimal adalah banyaknya angka di belakang tanda desimal (koma). Contoh : 4, 879657 = 4, 87966 = 4, 8797 = 4, 880 = 4, 88 = 4, 9 c. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan (bermakna) Yang bisa dinyatakan signifikan : 1. Setiap angka bukan nol (ex : 345,6 , 7890 , 999 ) 2. Setiap angka nol diantara 2 angka signifikan(ex : 60,097 , 7078 , 801) 3. Angka nol dibelakang koma yang didahului angka bukan nol (ex : 34,093 )
13
Rangkuman Matematika Yang dinyatakan tidak signifikan, jika : 1. angka nol terletak di depan angka bukan nol pada sebuah bilangan. (ex : 0345 , 0,004578 ) 2. angka nol di depan angka bukan nol meskipun berada setelah koma ( ex : 0,034 ) 3. angka nol di belakang angka bukan nol yang tidak di beri tanda / garis bawah. (ex : 80000) o
o
o
Mengukur Menurut cara melakukannya, mengukur dapat dibagi menjadi 3 jenis : a. Pengukuran langsung : membandingkan sesuatu yang akan diukur dengan sebuah standar yang dipakai sebagai alat ukurnya. b. Pengukuran tidak langsung : dengan alat ukur, misal : penggaris, amperemeter c. Pengukuran dengan perhitungan : pengukuran berdasarkan pad hasilhasil pengukuran yang dilakukan sebelumnya. Galat Dapat disimpulkan, galat dapat dikelompokkan menjadi 3 macam : a. Galat bawaan (inherent error) Besarnya kesalahan dalam pengukuran yang dapat disebabkan oleh kesalahan kecil pengukuran, kesalahan data awal, dll. b. Galat pemotongan (truncation of error) Berkaitan dengan metode numerik yang dipakai, karena adanya pemotongan deret tak berhingga yang menyangkut perhitungan suatu fungsi atau nilai desimal, & karena penghentian proses penghitungan. c. Galat pembulatan (rounding of error) Berkaitan dengan penggunaan sejumlah terbatas angka signifikan. Kesalahan dalam pengukuran Satuan Ukuran Terkecil (SUK) Contoh : 120 kg = 10 kg 421 m = 1 m 5000 l = 1000 l Salah Mutlak (SM) SM = × SUK Contoh : Satuan Ukuran Terkecil dari 25 m adalah 1 m. maka SM = × 1 m = 0,5 m
Salah Relatif (SR)
14
Rangkuman Matematika SR =
Presentase kesalahan (PK) Contoh : hasil pengukuran suatu tali adalah 1,25 m, maka . . . SUK
= 0,01 m
SM
= × SUK = × 0,01 = 0,005 m
SR
=
PK
= SR × 100% = 0,004 × 100% = 0,4 %
o
=
= 0,004 m
Toleransi Selisih dari batas atas dan batas bawah hasil pengukuran yang dapat diterima. Batas atas (BA)
: hasil pengukuran + SM
Batas bawah (BB)
: hasil pengukuran – SM
Contoh : Hasil pengukuran berat suatu benda 34,3 kg, berapa toleransinya? SUK = 0,1 m SM
o
= × SUK = × 0,1 = 0,05 m
BA = hasil pengukuran + SM = 34,3 + 0,05 = 34,35 kg BB = hasil pengukuran – SM = 34,3 - 0,05 = 33,25 kg Toleransi = BA – BB = 34,35 - 33,25 = 0,1 Operasi pada Aproksimasi a. Penjumlahan b. Selisih Jml max = BA + BA Jml min = BB + BB
Selisih max = BA1 – BB 2 Selisih max = BB1 – BA 2
c. Hasil Kali HK.max = BA x BA HK.min = BB x BB
15
Rangkuman Matematika 1. PERSAMAAN Adalah kalimat yang mempunyai hubungan “sama dengan”. Contoh : a. 2x + 3y = 45 b. 3x2 – 4 = 6 2. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN DARI PERSAMAAN LINIER a. Persamaan Linear 1 Variabel Mengandung 1 peubah Bentuk umum Contoh : 3(4 – 5p) 12 – 15p 12 12 P
=
a x + b = 0
= 8p = 8p = 8p + 15p = 23p =
b. Persamaan Linear 2 Variabel langkah menyelesaikannya adalah dengan menentukan beberapa nilai peubah pertama atau peubah kedua untuk menentukan nilai peubah yang lainnya. Bentuk umum
=
a x + b y + c = 0 Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 2x – y = 8 jika x = -1 ! Jawab : 2 (-1) – y = 8 -2 – y = 8 y = -2 – 8 y = -10 c. Pertidaksamaan linear Kalimat yang dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan ( < , > , ≤ , ≥ ) dengan peubah berderajat satu.
16
Rangkuman Matematika Contoh : 3x + 4 ≥ 2 3x ≥ 2 – 4 x
≥
d. Persamaan Kuadrat Persamaan yang peubahnya berpangkat 2. Bentuk umum =
a x 2 + b x + c = 0
Cara penyelesaian : Pemfaktoran Memfaktorkan / mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian Contoh : x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4) ( x + 2) = 0 x = 4 atau x = -2 Melengkapi Kuadrat Sempurna Bentuk kuadrat sempurna : ( x + p )2 = q Langkah :
Jadikan koefisien x2 menjadi 1 Pindahkan bilangan konstan ke ruas kanan Ruas kiri diubah menjadi bentuk kuadrat x 2 + 2xp +p 2 (dengan cara ditambah dengan kuadrat
1/ 2
koefisien x)
sehingga dapat ditulis menjadi bentuk kuadrat sempurna ( x + p ) 2. Contoh : 4x2 – 5x – 6 = 0 (koefisien x 2 menjadi 1) x2 - x -
=0
x2 - x = x2 - x +
= +
x-
=± x
= ±
x = 2 atau
x =
( x - )2 = + ( x - )2 = x-
=
17
Rangkuman Matematika e. Rumus Kuadrat Persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0, a ≠ 0, dapat diselesaikan dengan rumus :
f.
Jenis dan sifat akar persamaan kuadrat Dapat ditentukan dari nilai diskriminan (D) dimana : D = o
Jika D > 0, maka akarnya NYATA DAN BERBEDA
o
Jika D ≥ 0, maka akarnya NYATA DAN SAMA
o
Jika D < 0, maka akarnya TIDAK NYATA / KHAYAL
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat, jika X 1 dan X2 akar-akar dari a x 2 + b x + c = 0, maka : X1 + X2 = -
X1 . X2 =
X 1 - X2 =
<0
o
Jika akarnya berlawanan, maka
o
Jika akarnya bertanda sama, maka
o
Jika akarnya berkebalikan, maka a = c
>0
Contoh Soal 1. Jika α dan β akar persamaan 2x 2 – 3x + 4 = 0, tentukan
a.
+
b. α2 + β2
Penyelesaian : 2x2 – 3x + 4 = 0
α+β=-
a.
=-
+
=
=
= b. α2 + β2 = ( α + β )2 – 2. α . β
α . β = = = 2
= =
)2 – 2(2)
- 4 = -1
18
Rangkuman Matematika g. Sistim Persamaan Linier dua peubah Bentuk umum : Ax + by = c
cx + dy = q
a, b, c, d, p, q
Cara menyelesaikan : Eliminasi o Subtitusi o Campuran o Determinan (cocok untuk angka besar dan pecahan) o ELIMINASI (menghilangkan salah satu variabel ) Contoh : Selesaikan persamaan 2x – 5y = 16 dan 3x + 2y = 5 Jawab : 2x – 5y = 16 [ x3 ] 6x – 15y = 48 3x + 2y = 5 [ x2 ] 6x + 4y = 10 __
2x – 5y = 16 [ x2 ] 4x – 10y = 32 3x + 2y = 5 [ x5 ] 15x + 10y = 25 +
-19y = 38 y=
19x=57 = -2
x= 3
jadi penyelesaiannya adalah (3, -2) SUBTITUSI ( penggantian salah satu peubah dengan peubah yang lain) Contoh : Selesaikan persamaan 2x – 5y = 16 dan 3x + 2y = 5, x dan y ϵ R Jawab : 2x – 5y = 16 2x = 16 + 5y x =8+
y
3x + 2 = 5 3(8 + y) + 2y = 5 24 +
y + 2y = 5 y = -19
x =8+
y
x
= 8 + (-2)
x
=3
y = -2 Jadi penyelesaiannya adalah (3, -2) CAMPURAN ( gabungan antara eliminasi dan subtitusi) Contoh : Selesaikan persamaan 2x – 5y = 16 dan 3x + 2y = 5, x dan y ϵ R Jawab :
19
Rangkuman Matematika 2x – 5y = 16 [ x3 ] 6x – 15y = 48 3x + 2y = 5 [ x2 ] 6x + 4y = 10 __ -19y = 38 y=
= -2
2x – 5y = 16 2x – 5 (-2) = 16 2x + 10 = 16 2x = 16 – 10 2x = 6 x =3
Jadi penyelesaiannya adalah (3, -2) DETERMINAN (mengubah ke bentuk matriks) Ax + by = p ditulis menjadi
Cx + dy = q
Maka x =
=
dan y =
= ad – bc
Dengan D =
= dp – bq
Dx =
= aq – cp
Dy =
Contoh : Selesaikan sistem persamaan 2x – 5y = 16 dan 3x + 2y = 5 ! Jawab :
= Sehinga : D= Dx = Dy =
= 2 . 2 – 3. -5 = 19 = 16 . 2 – 5. -5 = 37
Maka x =
=
Maka y =
=
=3 = -2
= 2 . 5– 3. 16 = -38
Jadi penyelesaiannya adalah (3, -2) h. Sistem Persamaan Linier 3 Peubah Persamaan yang mengandung masing-masing derajat 1 Rumus umum :
a x + b y + c z= 0
20
Rangkuman Matematika Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x + 2y – 6z = 12, 5x – 4y +2z = 0, 6x + z = 26 ! Jawab : ( Cara Campuran ) 3x + 2y – 6z = 12 | x2 | 6x + 4y – 12z = 24
6x + z = 26
5x – 4y +2z = 0
11x – 10z = 24 | x1 | 11x – 10z = 24 +
| x1 | 5x – 4y +2z 11x – 10z
=0 +
| x10| 60x + 10z = 260 71x = 284
= 24
x=4
3x + 2y – 6z = 12
11x – 10z = 24
3(4) + 2y – 6(2) = 12
11 (4) – 10z= 24 -10z = 24 – 44
2y = 12 y =6
z =
=2
Jadi Himpunan Penyelesaiannya adalah {(4, 6, 2)} i.
Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan yang variabelnya berderajat 2 Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x 2 – 6x +5 =0 Jawab : x2 – 6x +5 = 0 (x – 5) (x – 1) = 0 x = 5 atau x = 1 dibuat garis bilangan
- - -
+++++ -1
+++++ -5
Jadi HP nya {x | x < -1 atau x > 5, x ϵ R
21
Rangkuman Matematika A. Pengertian
Nama
MATRIKS
menggunakan
o
Susunan bilangan-bilangan
o
Berbentuk persegi/ persegi panjang,
o
Terdiri dari baris dan kolom
o
Elemen ditulis dengan huruf kecil
o
Dibatasi tanda kurung.
o
Ukuran = baris x kolom
o
huruf besar
B. Macam-macam Matriks
1. Matriks Baris
Terdiri dari 1 baris Contoh : A =
B=
2. Matriks Kolom
Terdiri dari 1 kolom Contoh : A =
B=
3. Matriks Persegi
Banyak baris = banyak kolom Contoh : A =
B=
4. Matriks nol
Elemennya nol Contoh : A =
B=
5. Matriks Identitas
Matriks persegi yang diagonal utamanya berelemen 1 dan yang lainnya berelemen nol Contoh : A =
B=
Syarat : aij = 0 untuk i < j atau i > j
aij = 1 untuk i = j
6. Matriks Simetri
Matriks persegi yang diagonal utamanya menjadi sumbu simetri Contoh : A=
B=
a12 = a21
b12 = b21
b31 = b13
22
Rangkuman Matematika C. Operasi Matriks
1. Kesamaan matriks Dikatakan sama jika :
Ordonya sama Elemen yang seletak sama Contoh : A=
B=
=
2. Matriks Transpose t
A m x n → A n x m Misal : t
A 2 x 3 =
= A 3 x 2 =
Keterangan : Baris matriks A menjadi kolom di matrik A
t
Kolom matriks A menjadi baris di matrik A
t
3. Penjumlahan dan Pengurangan Syarat
> baris & kolomnya sama
Cara
> elemen yang seletak di jumlah / di kurangkan
Contoh : 1. A + C =
+
NOTE :
=
A . B ≠ B . A (tidak komutatif) 4. Perkalian Skalar
(A . B) . C = A ( B . C) (asosiatif)
Contoh :
A.I=I.A 2
=
5. Perkalian 2 Matrik Syarat
> kolom matriks = 1, baris matrik = 2
Cara
> matriks A dilihat barisnya Matriks B dilihat kolomnya Penjumlahan ( baris x kolom )
Contoh : A= A.B=
B= =
=
D. Determinan Matriks Persegi
1. Matriks 2x2 A=
---→ det A = a.d – b.c = |A|
Contoh :
23
Rangkuman Matematika -----→ det P = |P| = 2.1 – 4.7 = 2 – 28 = -26
P=
= 3.5 – 2.4 = 15 – 8 = 7 2. Matriks 3x3
Cara Sarrus (menambah 2 kolom) Contoh :
→
B=
det B = aei + dhc + gbf – ceg – fha – ibd
Cara menghilangkan baris dan kolom → det B = x
B=
-y
+z
E. Invers Matriks
1. Matriks 2x2
NOTE :
A=
A-1 . B-1 ≠ B-1 . A-1 A-1 . B-1 = ( B . A)-1
-1
Invers MatrikS A = A =
B-1 . A-1 = ( A . B)-1
2. Matriks 3x3 Misal :
A . A-1 = A-1 . A = I
B= Cara mencari invers : -
Determinan
-
Minor (determinan setelah baris & kolom di hapus)
-
Kofaktor
( -1 )ij . mij
dimana i = baris
j = kolom
m ij =
minor atau Adjoin (transpose dari matriks yang terdiri dari
→
-1
A =
kofaktor faktor)
. Adjoin
Contoh :
R=
24
Rangkuman Matematika Det R = = 2.2.1 + 3.2.0 + 4.9.-1 – 0.2.4 – 2.2.-1 – 1.9.3 = 4 + 0 + (-36) – 0 – (-4) – 27 = - 63 = 2.1 – 2.-1 = 4
mi2 =
= 9.-1 – 0.2 = -9
mi4 =
= 9.1 – 2.0 = 9
mi3 =
F. Persamaan Perkalian Matriks
Misal A & B matriks yang sudah diketahui elemennya x matriks yang akan di cari, -
Persamaan
A.X=B
-
-1
Persamaan
X.A=B
-1
X.A.A =B.A
-1
-1
X.I=B.A
-1
-1
A .A.X=A .B I.X=A .B -1
X=A .B
X=B.A
-
G. Sistem Persamaan Linear 2 Peubah & 3 Peubah ax + by = p cx + dy = q
Dapat diubah menjadi persamaan perkalian matriks, = Matriks Koefisien A
Matriks variabel X
-1
Cara 1 → X = A
Matriks konstanta B
.B
Cara 2 → determinan ax + by = p
D=
D x =
Dy =
cx + dy = q
x =
Y=
25
Rangkuman Matematika P. Salah
Kalimat Terbuka
Kalimat terbuka
Pernyataan
P. Faktual
Bukan Pernyataan
P. Benar
: kalimat yang belum ditentukan nilai kebenarannya
Contoh : dia adalah anak yang cantik, 5 – x = 2, dll. Pernyataan
: dapat ditentukan nilai kebenarannya Contoh : 2 + 3 = 4, Indonesia merdeka tanggal 17 Agustus 1945
a. Operasi pada logika
Negasi (kebalikan) → { ~ , -… } Mengingkari dengan menggunakan kata “tidak benar” atau o “bukan”. Lambangnya “ -p” atau “ ~p” P B S
Misal : p = Anta pergi ke sekolah bersepeda -p = tidak benar Anta pergi ke sekolah bersepeda
~P S B
Konjungsi { ^ } o
Jika dua buah pernyataan p dan q dihubungkan dengan operasi
konjungsi yang dilambangkan “^” di tulis p ^ q dengan kata hubung yang artinya “ ^ = dan “
P B B S S
Misal : P = ibu memasak nasi Q = ayah mencuci mobil P ^ Q = ibu memasak nasi dan ayah mencuci mobil
Q B S B S
P^Q B S S S
Disjungsi { v } o
Jika 2 buah pernyataan p dan q dihubungkan oleh operasi
disjungsi yang dilambangkan “v” di tulis p v q, kata hubung “ v = atau” Misal : P = 1+1 = 2 Q = 2 adalah bilangan genap
P B B S S
Q B S B S
PvQ B B B S
26
Rangkuman Matematika P v q = 1+1= 2 atau 2 adalah bilangan genap
Implikasi (→ ) Adalah pernyataan majemuk yang di susun dari 2 buah
o
pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p maka q”, ditulis p → q Dalam penerapan yang lain, p → q dapat dibaca ; P hanya jika, q jika p, p syarat cukup bagi q, q syarat cukup bagi p. P B B S S
P → Q B S B B
Q B S B S
Bi-implikasi (↔ ) o
Dua buah pernyataan p dan q dikenakan operasi biimplikasi
dengan lambang “↔” yg artinya “ …jika dan hanya jika…”. Misal : p ↔ q maka dibaca, -
P jika dan hanya jika q
-
Jika p maka q dan jika q maka p
-
P syarat perlu dan cukup bagi q
-
Q syarat perlu dan cukup bagi p
P B B S S
Q B S B S
P ↔ Q B S S B
P B B S S
Q B S B S
PUQ B B B S
P B B S S
Q B S B S
P Ṵ Q S B B S
Disjungsi Inklusif (mencakup) Misal : Jika pernyataan 2 x 3 = 6 (p) 6 adalah bilangan genap (q) P U Q = 2 x 3 = 6 dan 6 adalah bilangan genap
Disjungsi Eksklusif ( memisah ) Misal : P>2x2=4 Q>2x2=5 P Ṵ Q = 2 x 2 = 4 atau 2 x 2 = 5 b. Kalimat berkuantor
Kuantor umum / universal ( ɏ ) di baca ; semua, seluruh, setiap. Kuantor khusus / ekseternal ( Ǝ ), di baca ; “ sebagian, beberapa, ada. ~ɏ =Ǝ c. Implikasi, invers, konvers & kontraposisi
Implikasi : p → q Invers
: ~q → ~p
konvers
: q → p
kontraposisi
: ~q → ~p
27
Rangkuman Matematika p
q
~p
~q
p→q
~q → ~p
q→p
~q → ~p
B
B
S
S
B
B
B
B
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
S
B
B
B
B
B
B
Di dapat =>
p
q = ~q
~p
q
p = ~p
~q
Contoh : p = saya makan
q = saya kenyang
implikasi
= jika saya makan, maka saya kenyang
invers
= jika saya tidak makan, maka saya tidak tenang
konvers
= jika saya kenyang, maka saya makan
kontraposisi
= jika saya tidak kenyang, maka saya tidak makan
d. Penarikan kesimpulan 1. Prinsip Modus Ponens
Jika p→q benar dan p benar maka q benar (~p ^ q) (p~q) q
p
p
q
~p
~q
~p → q
p → ~q
(~p--_q) → (p→~q)
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
B
B
B
S
S
B
B
S
B
B
2. Prinsip Modus Tolens
Jika p→q benar dan ~q benar maka ~p benar ~q p
28
Rangkuman Matematika 3. Prinsip Silogisme
Jika p→q benar dan q→r maka p→r benar (~p ^ q)
(p v ~q)
p
q
~p
~q
~p ^ q
p v ~q
(~p ^ q)
(p v ~q)
B
B
S
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
S
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
B
S
29
Rangkuman Matematika A. SUDUT
Derajat (…ɏ)
g Gone / Centisimal (… )
Radian (…rad)
1ɏ = 1 jam = 60’ = 3600” g 1ɏ = 0,017 rad = 1,1
1 rad
g
= 57,3 = 63,69
g
1 = 0,94 ɏ = 0,016 rad
B. BANGUN DATAR BERATURAN 1. Segitiga L=
xaxb=
K = jumlah seluruh sisi
S = keliling
a = sisi pertama
b = sisi kedua
c=sisi ketiga
2. Persegi panjang L=pxl K = 2(p + l) 3. Persegi / bujur sangkar L=sxs K = 4s 4. Jajar genjang L=axt K = 2 (a + b) 5. Belah ketupat L = x diagonal1 x diagonal2 K = 4s 6. Layang-layang L = x diagonal1 x diagonal2 K = 2 (a+b) 7. Trapesium L = x tinggi x jumlah sisi sejajar K = a +b +c +d 8. Lingkaran L= r
2
K=2 r 9. Segi n beraturan
L=
tan
K = n.s 10. Ellips L = ab K=
(a+b)
30
Rangkuman Matematika C. BANGUN DATAR TAK BERATURAN
31
Rangkuman Matematika
4. DENGAN LUAS PERSEGI
L≈m+ n m = banyak persegi utuh n = banyak persegi tak utuh
5. DIKETAHUI TITIK KOORDINATNYA
L
ABC = { Xa (Yb-Yc) + Xb ( Yc-Ya) + Xc (Ya-Yb)}
32
Rangkuman Matematika L ABCD = { Xa (Yb-Yd) + Xb ( Yc-Ya) + Xc (Yd-Yb) + Xd (Ya- Yc)}
L segi n = {( X1 Y2 + X2 Y1)+( X2 Y3 + X3 Y2) + … + (Xn-1 Yn + Xn Yn-1) }
D. REFLEKSI (PENCERMINAN) Pencerminan terhadap sumbu x Pencerminan terhadap y = k
P(x, y)
P’ (x, -y) P(x, y)
P’ (x, 2k-y)
Pencerminan terhadap sumbu y Pencerminan terhadap garis y = x
P(x, y)
P’ (-x, y) P(x, y)
P’ (y, x)
Pencerminan terhadap x = k Pencerminan terhadap garis y = -x
P(x, y)
P’ (2k-x, y) P(x, y)
E.
P’ (-y, -x)
TRANSLASI (PERGESERAN)
Pergeseran titik/ bangun menurut arah & jarak tertentu Dilambangkan dengan
, a: komponan x , b: komponan y
P(x, y)
Translasi
P’(x + a, y + b)
dilanjutkan dengan translasi
Komposisi 2 translasi dilambangkan dengan T 1 o T2 (T1 bundaran T2)
P(x, y)
P’(x’, y’)
P’’(x’’, y’’)
33
Rangkuman Matematika F.
ROTASI (PERPUTARAN)
P(x, y)
P’ (-y, x) P(x, y)
P(x, y)
P’ (y, -x)
P’ (-x, -y)
G. DILATASI (PERKALIAN)
Jika titik P di dilatasikan dengan pusat O dan skala K maka,
OP.K=OP’ ↔ K =
Suatu bangun di dilatasikan dengan faktor skala K maka, 2
Luas Bayangan = K X Luas Bangun Asal
P(x, y)
P’ (Kx, Ky) dimana O= pusat dilatasi, K = Faktor Skala
Contoh Soal 1. Jawab :
2.
Tentukan luas bangun di samping !
34
Rangkuman Matematika
SUDUT
0
Sin
0
1
Cos
1
0
Tan
0
Cosec sec cotg
30
45
60
90
1 2
1
1
2 1
Perbandingan Trigonometri di berbagai Kuadran
35
Rangkuman Matematika A = K. 90ɏ ± , K = Kelipatan 1, 2, 3, 4 K = 1, 3 SIN hasilnya COS , COS hasilnya SIN , TAN hasilnya COTG K = 2, 4 SIN tetap SIN , COS hasilnya COS , TAN hasilnya TAN Sudut Periodik Untuk SIN & COS
A = K. 360° +
Sudut Negatif (- )
Sin (- ) = sin (360 ɏ -
) = - sin
Cos (- ) = cos (360 ɏ -
) = cos
Tan (- ) = tan (360 ɏ -
) = - tan
Untuk TAN
A = K. 180° + Aturan SiN
*Aturan sin digunakan jika diketahui sisi & sudut hadapnya Aturan Cos
*Aturan cos digunakan jika diketahui sisi, sudut dan sisi Jumlah & Selisih 2 Sudut
36
Rangkuman Matematika
Sudut Rangkap
=1-
α
= 2
-1
Identitas Trigonometri
Sudut Tengahan
Rumus Perkalian
37
Rangkuman Matematika Rumus Penjumlahan
Persamaan Bentuk
Contoh Soal Nyatakan sebagai sudut lancip ! 1. 2. 3. Hitunglah ! 1. 2. 3.
4.
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan !
Jadi HP =
38
Rangkuman Matematika A. Barisan & Deret Aritmatika a. Barisan Aritmatika Bentuk -------> Beda -------> Suku 1 -------> Suku 2 ------> Suku 3 ------> Suku ke-n -------> b. Deret Aritmatika Bentuk -------> Barisan yang di jumlah. Rumus
------->
c. Barisan Aritmatika Bentuk Kuadrat Rumus -------> d. Sisipan Barisan Aritmatika Rumus
------->
B. Barisan & Deret Geometri a. Barisan Geometri Rasio -------> Rumus -------> b. Deret Geometri Rumus
----->
untuk r > 1 untuk 0 > r > 1 untuk r < 1 n
c. Sisipan 2 Jika diantara 2 suku barisan geometri a, ar, ar …(1) kita sisipkan 3 suku sehingga membentuk geometri sebagai berikut:
C. Notasi Sigma Bentuk ------->
Sifat :
39
Rangkuman Matematika
Contoh Soal
A. FUNGSI DAN GRAFIK a. Relasi dan Fungsi Product Cartesius adalah pasangan berurutan pada setiap dinyatakan dalam bentuk himpunan.
dan
dengan
Contoh : Himpunan A={1, 2, 3, 4} dan B={a, b}, maka A x B = {(1, a) (1, b) (2, a) (2, b) (3, a) (3, b)} B x A = {(a, 1) (a, 2) (a, 3) (b, 1) (b, 2) (b, 3)}
40
Rangkuman Matematika Suatu dikatakan fungsi jika relasi antara anggota A dan B setiap anggota himpunan A mempunyai kawan 1 anggota himpunan B. Fungsi F atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B ditulis : Jika dinyatakan pada bidang koordinat fungsi F yang menyatakan setiap X ke Y ditulis : Dengan f(x) = rumus fungsi F x = variabel bebas y = variabel terikat (y merupakan bayangan dari x) Relasi : sembarang himpunan bagian dari produk cartesius A x B Contoh :
Pada relasi dapat diebutkan bahwa : - Himpunan ordinat pertama dari pasangan terurut disebut daerah asal (domain) - Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) - Himpunan bagian dari B yang memiliki pasangan di himpunan A disebut daerah hasil (range) Pemetaan relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi/pemetaan jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan tepat hanya dengan satu unsur dalam himpunan B. b. Macam-Macam Fungsi i. Fungsi Khusus 1. Fungsi Konstan Fungsi F yang memetakan setiap x pada sumbu nilai (konstanta), ditulis : atau dirumuskan k = konstanta
Grafiknya
f (x) = 2 F = {x|x
R)
2. Fungsi Linear Fungsi F yang memetakan anggota himpunan riil ke himpunan riil, ditulis :
41
Rangkuman Matematika Dirumuskan atau Contoh : f (x) = y = 2x + 5 atau f(x) = 2x + 5, atau y = 2x + 5, jika maka m = gradien k = konstanta 3. Fungsi Kuadrat Fungsi F yang memetakan anggota himpunan bilangan riil ke himpunan bilangan riil, ditulis : dirumuskan 4. Fungsi Identitas Fungsi F yang memetakan anggota himpunan bilangan riil ke himpunan bilangan riil, ditulis : dirumuskan Grafiknya F (-2) = -2 F (-1) = -1 F (0) = 0 F (1) = 1 F (2) = 2
ii. Fungsi Genap Dan Fungsi Ganjil - Fungsi F disebut fungsi genap jika memenuhi :
-
Fungsi F disebut fungsi ganjil jika memenuhi :
iii. Fungsi Modulus (Fungsi Harga Mutlak) , terdefinisi untuk
Contoh :
iv. Fungsi Tangga (Fungsi Nilai Bulat Terbesar)
1. Untuk 2. Untuk 3. Untuk
42
Rangkuman Matematika c. Sifat-Sifat Fungsi i. Fungsi subjektif ( onto / kepada) lebih dari 1 pasangan lainnya adalah fungsi yang bersifat into/ ke dalam Onto range = kodomain into range bagian dari kodomain
ii. Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu ) tanpa sisa
iii. Fungsi objektif (fungsi satu-satu) tepat 1 pasangan di domain
B. FUNGSI LINEAR Menentukan persamaan linear : Jika diketahui 2 buah titik (X 1 , Y1) dan (X2 , Y2 )
Jika diketahui sebuah titik (X1 , Y1) dan gradien
a. Hubungan Dua Buah Garis
43
Rangkuman Matematika Karena sudut yang dibentuk untuk 2 garis tersebut pada kuadran 1) i. Jika (kedua garis sejajar)
ii. Jika
(kedua garis berpotongan)
iii. Jika
(kedua garis tegak lurus)
---->
(selalu positif di
--->
b. Invers Fungsi Linear Invers fungsi ditulis atau Langkah menentukan invers fungsi : 1. Memisahkan menjadi Y 2. Menyatakan X ke dalam Y 3. Mengganti X menjadi dan Y menjadi X Contoh :
Penyelesaian :
C. FUNGSI KUADRAT
Menentukan persamaan fungsi kuadrat : a. Jika Grafik Melalui 3 Titik (X 1 , Y1) (X2 , Y2) (X3, Y3) Rumus : b. Jika Grafik Melalui Titik Puncak(P, Q) dan 1 titik sembarang (X, Y) Rumus : c. Jika Grafik Melalui Titik (X1, 0) dan (X2 , 0) serta titik (X, Y) Rumus :
44
Rangkuman Matematika Catatan : Jika nilai grafik parabola akan terbuka ke atas Jika nilai grafik parabola akan terbuka ke bawah Titik puncak pada parabola baik maksimal maupun minimal ditentukan oleh :
Sumbu simetri Nilai ekstrim Titik potong sumbu Titik potong sumbu D. FUNGSI EKSPONEN Definisi dan Rumus Dimana, a = bilangan pokok b = bilangan pangkat Keterangan 1. Pada dengan , bilamana maka disebut “Fungsi monoton naik” 2. Pada dengan , bilamana maka disebut “Fungsi monoton turun”. Penyelesaian soal terapan : Masalah kenaikan suhu, perkembangan bakteri, diselesaikan dengan menggunakan fungsi eksponen Masalah penurunan suhu, pelarutan zat, diselesaikan dengan menggunakan fungsi eksponen E. FUNGSI LOGARITMA alog x atau y = alog x Bentuk umum Dengan atau , , Langkah menentukan invers fungsi logaritma : 1. Memisahkan menjadi Y 2. Menyatakan X ke dalam Y 3. Mengganti X menjadi dan Y menjadi X F. FUNGSI TRIGONOMETRI Grafik Fungsi
45
Rangkuman Matematika i. Grafik Fungsi
ii. Grafik Fungsi Grafik dasar iii. Grafik Fungsi Grafik dasar iv. Grafik Fungsi Grafik
Grafik Fungsi
, misal digeser sejauh α ke kiri , misal digeser sejauh α ke kanan , sedemikian hingga absisnya
(sin, cos) (tan) Bentuk umum
, nilai a menunjukkan amplitudo nilai maximum dan minimum
G. NILAI EKSTRIM DAN TITIK POTONG GRAFIK DENGAN SUMBU Grafik fungsi trigonometri akan memotong sumbu x dan sumbu y, dan mempunyai titik ekstrim a. Syarat titik potong dengan sumbu y x = 0 b. Syarat titik potong dengan sumbu x y = 0 c. Nilai maksimum untuk d. Nilai minimum untuk Sehingga
46
Rangkuman Matematika Contoh Soal
atau
!
-3 -2 -1 0 1
8 4 2 1
2 3
47
Rangkuman Matematika Program linier salah satu cara untuk memecahkan masalah tertentu, dengan menggunakan model matematika yang terdiri atas pertidaksamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian. Dari semua penyelesaian yang mungkin, satu atau lebih memberikan penyelesaian yang baik/ penyelesaian optimum. Himpunan penyelesaian ditunjukkan oleh daerah yang tidak diarsir/ daerah bersih dalam grafik Cartesius (disebut juga Daerah Penyelesaian) A. Menentukan Daerah penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier Dua Variabel Bentuk umum :
, dengan Langkah-langkah : Gambarlah grafik Tentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan tersebut, dengan mengarsir daerah yang tidak memenuhi pertidaksamaan Daerah bersih merupakan penyelesaian pertidaksamaan B. Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linier jika diketahui Himpunan Penyelesaian Tentukan terlebih dahulu persamaan garisnya 1. Persamaan garis melalui 2 titik A(x1, y1) dan B (x2, y2)
2. Persamaan garis melalui titik (x, y) dan gradien m
(
)
3. Persamaan garis melalui sumbu koordinat yaitu (a, o) dan (o, b) Menentukan nilai optimum dengan menggunakan garis selidik Cara lain untuk menentukan nilai maksimum (optimum) adalah dengan menggunakan garis selidik dengan persamaan yang terletak paling jauh Garis sejajar garis dengan titik pangkal menyebabkan bentuk menjadi maksimum
48
Rangkuman Matematika Garis yang sejajar garis dekat dengan titik pangkal menjadi minimum.
yang terletak paling menyebabkan bentuk
Contoh Soal !
X Y
X Y
0 4
0 3
4 0
8 0
2.
X Y
0 25 25 0
X Y
0 28 21 0
49
Rangkuman Matematika
Rumus n! = 1 x 2 x 3
x4x5x…xn
Secara umum :
Contoh :
Rumus : Permutasi yang memuat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama dan seterusnya. Dapat ditentukan dengan rumus :
Contoh : 10 unsur yang memuat 3 unsur yang sama, 5 unsur yang sama dan 2 unsur yang sama. Permutasi Siklis Rumus
Rumus :
o
Ruang sampel : kumpulan dari kejadian-kejadian yang terjadi
o
Titik sampel : kejadian yang terjadi
o
Kejadian tunggal : kejadian yang hanya memiliki 1 anggota
o
Kejadian majemuk : memiliki lebih dari 1 anggota
o
Peluang memiliki kisaran nilai
50
Rangkuman Matematika kepastian
o
kemustahilan
o
o
Rumus : N (A) : banyak anggota A N(A) : banyak anggota ruang sampel
51
Rangkuman Matematika b. Rumus
, n = banyak percobaan
Rumus
,
= peluang komplemen
Rumus Contoh : Pelemparan sebuah dadu. Tentukan peluang munculnya mata dadu prima atau genap. Penyelesaian : Mata dadu prima : {2,3,5} Mata dadu genap : {2,4,6}
Rumus
Rumus Keterangan : = peluang kejadian A & B yang saling bebas = peluang kejadian A = peluang kejadian B
2 buah kejadian A & B disebut kejadian bersyarat jika kejadian B terjadi dipengaruhi oleh kejadian A, atau sebaliknya. Rumus : atau Keterangan : peluang kejadian A dan kejadian B
52
Rangkuman Matematika peluang kejadian A peluang kejadian B setelah kejadian A
Contoh Soal 1. Dalam suatu pertemuan yang dihadiri 3 orang Cina, 2 orang Arab dan 4 orang Belanda. a. Apabila duduk mengelilingi meja bundar, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut? b. Apabila duduk mengelilingi meja bundar, orang Belanda harus selalu berdampingan, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut? Apabila duduk mengelilingi meja bundar dan orang Cina harus selalu berdampingan, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut? Jawab : a. Orang Cina = 3 Orang Arab = 2 Orang Belanda = 4 Banyak cara = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40.320 b. Orang Belanda harus berdampingan -> dihitung 1 P(s) = (6-1)! = 5! Mutasi susunan orang Belanda
c. Orang Cina harus duduk berdampingan dihitung 1
53
Rangkuman Matematika
a. Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari A Persamaan :
Titik P(x, y) dikatakan : o
Terletak pada lingkaran, jika
o
Terletak di dalam lingkaran, jika
b. Lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari A Persamaan :
Titik Q(x, y) dikatakan : Terletak pada lingkaran jika
Terletak di dalam lingkaran jika
Terletak di luar lingkaran jika Dari persamaan diperoleh :
54
Rangkuman Matematika a. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada lingkaran dengan pusat (0, 0) di titik (x, y)
Jika terdapat P di (a, b) maka
Jika terdapat P di (0, 0) maka
b. Persamaan garis singgung di titik P(x, y) pada lingkaran dengan pusat (0, 0)
c. Persamaan garis singgung di titik Q(x1, y1) pada lingkaran dengan pusat P(a, b) yaitu lingkaran
55
Rangkuman Matematika
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik (fokus) dan garis tertentu (direktris) a. Persamaan Parabola i. Jika
fokus
direktrisnya
F(p,
0)
x=-p,
dan maka
persamaan parabola adalah :
Titik O(0, 0) adalah puncak parabola
dan
sumbu
x
sebagai sumbu simetri
ii. Jika
fokus
direktrisnya
F(-p, x=p,
0)
dan maka
persamaan parabola adalah :
56
Rangkuman Matematika
iii. Jika
fokus
direktrisnya
F(0, y=-p,
p)
dan maka
persamaan parabola adalah :
iv. Jika fokus F(0, -p) dan direktrisnya y=p, maka persamaan parabola adalah :
b. Persamaan Garis Singgung pada Parabola
i. Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada parabola adalah :
57
Rangkuman Matematika ii. Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada parabola adalah :
iii. Persamaan garis singgung dengan gradien
m
pada parabola
Titik singgungnya : iv. Persamaan garis singgung dengan gradien
pada parabola
m
Titik singgungnya :
A. Persamaan Elips dengan pusat O(0, 0)
Keterangan :
A1A2= sumbu panjang B1B2= sumbu pendek
atau
58
Rangkuman Matematika Sifat-sifat Elips : Eksentrisitetnya Persamaan garis direktrisnya
dan
Panjang latus rectum Titik puncak
dan
B. persamaan Garis Singgung Elips
a. Persamaan garis singgung di titik P(x1, y1) pada elips adalah
Jika
elipsnya
adalah
,
maka
garis
singgungnya adalah
b. Persamaan garis singgung dengan gradien
pada elips
m
adalah
Jika
elipsnya
adalah
,
maka
garis
singgungnya adalah
a. Persamaan Hiperbola i. Hiperbola dengan pusat O(0, 0)
59
Rangkuman Matematika Hiperbola
dengan
fokus
memotong sumbu x di
dan mempunyai
persamaan
Sifat-sifat : Jarak kedua fokus = 2c Jarak antara kedua puncak = 2a Eksentrisitet = Persamaan direktris : Asimtut :
dan
dan
Bila fokus
; serta
dan
adalah puncak, maka persamaan hiperbola adalah
ii. Hiperbola dengan pusat Hiperbola dengan pusat
dan sumbu-sumbu simetrinya
sejajar dengan sumbu x dan sumbu y, mempunyai persamaan
Sifat-sifat : Asimtut Persamaan direktrisnya : Koordinat fokus : b. Persamaan Garis Singgung pada Hiperbola i. Persamaan garis singgung di P(x1, y1) pada hiperbola adalah
60
Rangkuman Matematika Jika hiperbola adalah
, maka garis
singgungnya adalah
ii. Persamaan garis singgung dengan gradien hiperbola
, pada
m
adalah
Jika hiperbolanya adalah
, maka garis
singgungnya adalah
Contoh Soal 1. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, persamaan sumbu simetri dan persamaan direktrik pada parabola
!
Jawab :
2. Tentukan persamaan parabola dengan ketentuan fokusnya di (-4, 6) dan persamaan garis direkriknya adalah
!
Jawab :
61
Rangkuman Matematika
62
Rangkuman Matematika Kubus dibatasi oleh 6 bidang persegi yang kongruen
ABFE = bidang frontal (bidang yang terletak pada bidang gambar) Garisnya disebut Garis Frontal
BCGF = bidang ortogonal Garisnya disebut Garis Ortogonal (garis yang tegak lurus bidang gambar.
EB = Diagonal Sisi EC = Diagonal Ruang
VOLUME
LUAS PERMUKAAN
VOLUME
Diag. sisi
LUAS PERMUKAAN
Diag. Ruang
Diag. Ruang
Diagonal Sisi
Alas
VOLUME
Depan
samping
LUAS PERMUKAAN
LUAS SEGI n
V. Terpancung
LUAS PERMUKAAN
63
Rangkuman Matematika
64
Rangkuman Matematika VOLUME
LUAS PERMUKAAN
Limas segitiga = bidang empat Limas segi empat = beralas segi empat
VOLUME
LUAS PERMUKAAN
A
: Luas alas atas
D
: Luas alas bawah
L.selimut : jumlah luas bidang tegak
VOLUME
VOLUME
LUAS PERMUKAAN
LUAS PERMUKAAN
LUAS SELIMUT
LUAS SELIMUT
65
Rangkuman Matematika
VOLUME
LUAS PERMUKAAN
VOLUME
LUAS SELIMUT
LUAS PERMUKAAN
LUAS SELIMUT
66
Rangkuman Matematika
adalah bangun ruang yang dibatasi segi n tak terhingga, bila dipotong melalui bidang pada titik tengah maka penampang akan berbentuk lingkaran. VOLUME
LUAS PERMUKAAN
Tembereng Bola
Jika bola dipotong menjadi dua bagian menurut bidang datar. Juring Bola
Bangun ruang yang terdiri dari kerucut dan tembereng bola yang berimpit bidang lingkarannya. Keratan Bola
Bangun ruang yang dibatasi oleh dua lingkaran sejajar dan oleh bidang lengkung bola antara dua lingkaran tersebut. Cincin bola
Bangun ruang yang dibatasi bagian luar oleh keratan bola dan bagian dalam oleh kerucut terpancung dan lingkarannya daling berimpit.
Contoh Soal Perbandingan panjang, lebar dan tinggi sebuah balok adalah 3:2:1. Volume balok 162 cm3. Hitunglah luas balok! Jawab :
67
Rangkuman Matematika p:l:t=3:2:1 v = 162 cm3 p = 3x l = 2x t=x
Sebuah kawat berukuran p=2l, t= p. jika lebar kotak = panjang rusuk kubus yang volumenya 64 cm3 . tentukan luas dan volume balok! Jawab : V kubus = 64 cm2 Sisi = Lebar balok = sisi kubus = 4 cm P = 2l = 8 cm T= p=
cm
Vektor adalah kwantitas (besaran) yang mempunyai besaran sekaligus arah. (besaran yang tidak memiliki arah disebut besaran skalar) Ruas Garis :
68
Rangkuman Matematika ruas garis adalah suatu garis yang mempunyai panjang tertentu. Secara geometris diwakili ruas garis berarah
jika
disebut dengan vektor satuan dari VEKTOR YANG SAMA
VEKTOR YANG BERLAWANAN
Sama besar
Sama besar
Searah
Berlawanan arah
A. VEKTOR dalam BENTUK KOMPONEN
B. VEKTOR dalam BENTUK POLAR
69
Rangkuman Matematika C. VEKTOR dalam KOORDINAT CARTESIUS
-
D. Penjumlahan dan Pengurangan VEKTOR a. Metode Segitiga Langkah menjumlahkan :
Satukan ujung dan Buat vektor baru dari pangkal ke ujung Vektor baru inilah yang disebut b. Metode Jajar Genjang
E. VEKTOR dalam PERBANDINGAN RUAS GARIS
70
Rangkuman Matematika
F. Perkalian Vektor dengan Bilangan Real Jika pengalinya
vektor hasil kali searah
Jika pengalinya
vektor hasil kali searah
G. Penulisan Vektor a. Jika koordinat ujung vektor
adalah
maka
disebut bentuk koordinat vektor . b. Jika vektor dinyatakan dalam bentuk komponen
dan k
bilangan real maka c. Jika vektor dan
dan
dinyatakan dalam bentuk komponen
maka
H. Vektor Posisi, Besar Vektor dan Vektor Satuan a. Vektor Posisi adalah vektor yang pangkalnya titik (0, 0). Bila titik A
dan B
posisi titik A dan
, maka
disebut vektor
disebut vektor posisi titik B.
71
Rangkuman Matematika b. Bila vektor
Bila A
c. Bila vektor
, maka panjangnya adalah
dan B
, maka besak vektor AB adalah :
, maka vektor satuan dari
I. Vektor Pada Bangun Ruang a. Sistem Koordinat dalam ruang
Setiap titik dalam ruang berdimensi tiga berpadanan dengan tripel bila terurut (x, y, z) koordinat ruang b. Vektor Satuan dalam Ruang Koordinat vektor-vektor
,
dan
dimana masing-masing panjangnya adalah satu satuan, sehingga vektor-vektor tersebut disebut vektor basis dalam ruang. Jika
maka vektor basisnya adalah :
Vektor yang arahnya sama dengan
dan panjangnya satu
satuan disebut vektor satuan dari
dilambangkan dengan :
72
Rangkuman Matematika c. Penjumlahan Vektor dalam Ruang
maka
d. Pengurangan Vektor dalam Ruang
maka e. Pembagian Ruas Garis di R 3 dalam bentuk vektor
f. Pembagian ruas garis R 3 dalam bentuk koordinat Jika
,
dan
Diperoleh rumus :
g. Perkalian Skalar dua Vektor Perkalian titik antara dua vektor didefinisikan : dengan
adalah sudut terkecil yang
dibentuk vektor a dan vektor b. Dari rumus tersebut, maka
sehingga karena
, maka
73
Rangkuman Matematika h. Besar Vektor
Selanjutnya untuk titik dan
, maka
i. Perkalian Vektor dua Vektor s = vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor a dan b
74
Rangkuman Matematika J. Bilangan Kompleks Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dimana a dan b bilangan real dan (bil (bilan anga gan n imaj imajin iner er i=j= i=j=
atau
). Jadi Jadi bila bilang ngan an komp komple leks ks
merupakan gabungan dari bilangan real dan bilangan imajiner. K. Bilangan Kompleks dalam Bidang Koordinat Untuk menggambarkan bilangan kompleks a + jb bukanlah penjumlahan aljabar, tetapi jumlah besaran yang saling tegak lurus.
L. Konversi Bilangan Kompleks ke bentuk polar Bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk polar (kutub), yaitu dengan menggunakan jarak titik terhadap titik polar dan sudut yang dibentuk dengan dengan sumbu polar.
M. Operasi Bilangan Kompleks a. Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks
b. Perkalian dan pembagian bilangan kompleks
75
Rangkuman Matematika Pada pembagian bilangan kompleks pada prinsipnya adalah seperti merasionalkan penyebut jadi penyebutnya diubah menjadi bentuk real dengan cara mengalikan dengan bentuk sekawannya penyebut yang secara umum dapat ditulis :
N. Phasor Kedudukan sesaat dari vektor yang berputar pada pangkalnya. Notasi : dengan r panjang (besar) phasor dan adalah sudut yang dibentuk phasor dengan sumbu positif. Phasor dapat juga dinyatakan dalam bentuk siku.
O. Penjumlahan Pengurangan Phasor Jika phasor dinyatakan dalam bentuk siku maka penjumlahan/ pengurangan phasor prinsipnya sama seperti pada bilangan kompleks.
Jika phasor dinyatakan dalam bentuk polar maka penjumlahan/ pengurangan phasor harus diubah terlebih dahulu menjadi bentuk siku : kemudian dijumlahkan/ dikurangkan dan hasilnya dikembalikan lagi dalam bentuk polar P. Perkalian dan Pembagian Phasor Jika phasor diberikan dalam bentuk siku maka perkalian/ pembagian phasor prinsipnya seperti pada bilangan kompleks.
76
Rangkuman Matematika Jika phasor diberikan dalam bentuk polar maka perkalian dan pembagian phasor dapat dirumuskan menjadi: a. b.
Contoh Soal 1. Jika panjang vektor a dan b masing-masing 5 dan 6 satuan sudut antara kedua vektor adalah . Hitunglah perkalian titik antara vektor a dan b! Jawab :
2. Ditentukan titik
,
dan
terletak pada satu garis lurus. Tentukanlah nilai p! Jawab :
Dari persamaan di atas diperoleh
sehingga :
3.
77
