ÍND ICE
Capítulo
Pág.
I. Psicotécnico ............................................................................................ 161 II. Fracciones .............................................................................................. 167 III. Ecuaciones I ............................................................................................ 173 IV. Ecuaciones II ........................................................................................... 179 V. Operaciones matemáticas arbitrarias ......................................................... 187 VI. Criptaritmos ............................................................................................ 193
Departamento de Publicaciones
TRILCE ACTUNE3NLIRMCC09.p65
Psicotécnico
Capítulo I
ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE -
Aspectos elementales
* Test espacial
Debemos tener en cuenta a la Lógica y a la Matemática como ciencias pilares del saber humano. Nuestro estudio lo dividiremos en dos partes:
Debe observarse la figura plana con todas sus características y al doblar mentalmente formando una figura espacial deben de coincidir. Así:
* Test mentales (ingenio y rapidez) * Figuras (rapidez visual) Veamos algunos ejemplos : * Acertijo lógico
+
+
+
Se encuentran Julio César y Fernando, el primero dice: "Yo estoy sin nada" y el segundo dice: "Yo tengo nada". ¿Quién tiene más? ... El que está sin nada.
• Esta figura forma un cubo que debe tener en una línea las tres cruces.
* Acertijo auditivo
Un caballero va en su caballo y después va a pata. ¿Cómo se llama el perro?
... ¿ ? * Test de dominó • NO es correcto porque los tres en blanco deben estar en una línea.
¿Qué números falta?
+
• NO es correcto porque las tres cruces no deben ir separadas, sino en línea.
Se observa que en la serie central falta el número 6 para completar los números del 1 al 6 y en la serie exterior se repiten dos veces cada número; lo que indica que falta el 5. Academia TRILCE
16
Rpta.:
• SÍ puede ser porque las dos cruces que faltan no pueden verse pero estarían en línea.
16
Tercer año de secundaria
Razonamiento Matemático
Nivelación Escolar
* Test de comprensión mecánica ¿Cuál de las dos lunas dará más vueltas alrededor del planeta?
A
a)
b)
d)
e)
c)
4. Si: B
es a
como
es a:
... La Luna "A" • Además observaremos casos de razonamiento en el plano. Problemas para la clase Bloque I
a)
b)
d)
e)
5. Si:
Te toca demostrar tu rapidez y tu ingenio en estos problemas sencillos.
es a
1. ¿En qué mes hablan menos las mujeres? 2. Al huir un ladrón de la casa, el balazo salió por la ventana, ¿cómo se llama el detective?
c)
como : a)
es a
b)
es a
c)
es a
d)
es a
e)
es a
3. Indicar los números que completan la figura.
6. Señale la figura que no tiene relación con las demás:
Psicotécnico 1
2
3
4
5
7. Señale la figura que no tiene relación con las demás:
13.Señale la figura que corresponde a la incógnita: es a
1
2
3
4
como
es a?
5
8. Señale la figura que no tiene relación con las demás:
1
2
3
4
5
14.Señale la figura que no tiene relación con las demás: 1
2
3
4
9. Señale la figura que no tiene relación con las demás:
1
2
3
4
5
6
15.Señale la figura que no tiene relación con las demás: 1
2
3
4
10.Señale la figura que no tiene relación con las demás: 1
1
2
3
4
5
11.Señale la figura que corresponde a la incógnita:
como: T es a ?
1
2
T
T
T
es a
T
3
4
4
5
Aunque no lo creas, ya estás capacitado para resolver sin dificultad los siguientes problemas. ¡SUERTE! 1. Tres osos van en fila india por un camino, adelante va el oso, le sigue la osa y luego el osito. ¿Cuál de los tres puede decir, me siguen dos osos? Rpta.: 2. Indicar la figura que continúa en:
,
a) 1
3
Bloque II
12.Señale la figura que no tiene relación con las demás:
2
2
3
,
b)
,
c)
, ...
d) 4
5
7
8
6
9
e)
3. ¿Qué figura completa la sucesión?
8. Señale la figura que corresponde a la incógnita:
;
8
como
es a
; ...
es a ?
+
;
8
;
+
+
b)
c)
+
a)
d)
8
+ 2
8
+ 1
3
4
e) 9. Señale las dos figuras que no tienen relación con las demás:
4. Señale la figura que no tiene relación con las demás:
2
1
1
2
3
4
5
como:
2
es a ?
3
7
10.Señale la figura que corresponde a la incógnita:
+
+
es a ?
como
es a
1
4
6
5
5. Señale la figura que corresponde a la incógnita:
es a
3
4
6. Señale la figura que no tiene relación con las demás:
1
2
3
4
11.Señale la figura que corresponde a la incógnita: 1
2
3
4
5
es a
como
es a?
7. Señale la figura que corresponde a la incógnita: 1
como:
es a
es a ?
2
2
3
4
4
5
12.Señale la figura que corresponde a la incógnita:
es a 1
3
como
es a?
1
2
3
4
5
13.Señale la figura que corresponde a la incógnita:
ACERTIJOS LÓGICOS 1. Se podrá formar un triángulo con dos rectas únicamente.
es a
como
es a?
2. Si usted tiene ocho soles y compra cinco soles de pan, ¿cuánto recibe de vuelto? 1
2
3
4
5
14.Si Jorgito ha entrado tres veces al local de Miraflores, ¿cuántas veces ha tenido que salir? a) 0 d) 3
b) 1 e) F.D.
c) 2
3. Cuando Jorge iba a la ciudad se cruzó por el camino con Fernando, quien tenía ocho esposas y cada esposa siete hijas. ¿Cuántos iban a la ciudad?
15.Escoge la figura indicada. 4. El profesor es peruano y la cocinera, ¿de qué nacionalidad es la cocinera?
5. Si encima de una mesa hay siete moscas y usted mata dos, ¿cuántas quedan?
¿? ¿?
6. ¿Cuál es el principio de Arquímedes?
a)
b)
d)
e)
c)
7. ¿Qué se encuentra en el centro de la gravitación?
8. ¿Cuántas parejas de animales metió Moisés al arca?
16.Señale la figura que corresponde a la incógnita: 9. Puede escribir Lima sin L. es a
como
es a?
10.¿En qué lugar se conserva las armaduras del Quijote de la Mancha?
1
2
3
4
5
Tarea domiciliaria
7.
?
1. A continuación observa bien cada grupo y determina cuántos puntos le corresponden a la ficha que está en blanco.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
8.
? 2. Dos pilotos se encuentran volando uno por Piura y el otro por Tacna. ¿Cómo se llaman dichos pilotos? 3. ¿Qué es aquello que se repite una vez en un minuto, dos veces en un momento y ninguna vez en una hora?
(a)
(b)
(c)
(d)
9.
?
4. ¿Cuántos árboles tendrá un campo triangular que tiene un árbol en cada vértice y seis árboles en cada lado? 5.
Un caracol quiere subir a un palo de 30 metros, durante la mañana sube tres metros y durante la noche baja dos metros. ¿Cuántos días debe pasar para lograr su objetivo?
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
10.
* ¿Qué figura continúa?
?
6.
?
(a) (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)
Fracciones
Capítulo II
ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE -
Introducció n
¿Crees que has entendido? ¡Demuéstralo! ¿Cuáles de las siguientes son fracciones?
La idea de fracción es bastante antigua, esta palabra deriva del vocablo latín "fractum", que significa "roto". Existen vestigios que demuestran la utilización de símbolos para indicar fracciones, ya en el siglo III a.n.e. estos símbolos se utilizaban como elementos de cálculo, y aquellos que se encargaban de ello eran un grupo muy selecto dentro del reino. Los egipcios, tenían una forma peculiar de escribir las fracciones (1 800 a.n.e.) 1 1 ó 2 4 1
En Babilonia la fracción
La aparición de las fracciones nace debido a la necesidad de hacer una división equitativa en un grupo de individuos.
-
Al mayor
6
, al segundo
2
6
2°
4 2
*
7 4
5 7
*
*
*
No
7 3
a) ¿Qué fracción del cuadrado representa la región sombreada?
y al último lo que quede.
Para hacer el reparto debe dividirse el terreno en partes iguales (¿cuántas?) 1°
*
*
Sí
2. Representación gráfica
Veamos el siguiente caso: Un padre antes de morir dejó a sus hijos una porción de tierra como herencia, con las siguientes condiciones: 3
No
En esta clase le daremos mucha importancia a la representación gráfica con fracciones y las operaciones respectivas.
se representaba como 2 una
copa hasta su mitad.
*
Sí
1 5
2 3
Partes sombreadas
7 16
Total de partes
b) ¿Cuál es la fracción que representa la figura sombreada?
3°
1. Definición de fracción Una fracción es una manera de expresar que una cantidad ha sido dividida en cierto número de partes iguales.
3. Operaciones básicas
El numerador indica el número de partes tomadas, y el denominador el número de partes en que se ha dividido la cantidad en cuestión.
3.1
De manera general, al número fraccionario que presente sus dos términos positivos se les llamará fracción, veamos: 1 7
1 7
1 7
Academia TRILCE
Complétalo tú!
Adición y sustracción
43 5 2 Multiplicaci
16
3 7
Nunca olvides que al hablar de fracción, las partes deben ser iguales.
16
2 5 3 7
Tercer año de secundaria
Razonamiento Matemático 3.3
División
Problemas para la clase 2
1° forma:
5
3
2
2
2
5
Bloque I
3
* ¿Qué fracción es la que presenta la figura sombreada?
2 2 3 5 3 5 2 2
2° forma: 3.4
Nivelación Escolar
No olvides que es necesario que la figura, esté divida en partes iguales, si no es así, efectúa los trazos convenientes. ¡Tú puedes!
En mixtos
1.
Recuerda que: 5
2 3
5
2 3
Rpta.: 2
2.
1 5 2
Desarrollemos lo siguiente: 7 3
1° forma: 7 9
2
3
5
1
73
2
2
5
1
10 10
2
10
Rpta.:
9
10
3.
2° forma: Los transformo en números fraccionarios: +
7
2 37 5 5
y
3
1 7 2 2 Rpta.:
* Los sumo: 37 5
7 2
109 10
109 10 9 10
10 9 10
4.
Rpta.: 5.
Rpta.:
* Efectuar:
3.
6. 3 1 8 5
7.
Rpta.: 3 1 - 8 5
4.
8. 3 1 8 5
9.
Rpta.: 3 8
1 5
5.
10. 3 8 1 5
Rpta.: 6.
11. 3 2 5 12.
Rpta.: 3 8 5
7.
Bloque II * En los siguientes figuras adjuntas, ¿qué parte del área total está sombreada? Rpta.:
1. 8. 3
1
5 2 2 1 3 4
Rpta.: 2.
9. 5
2 2 Rpta.:
1 2 3
1 8
10. 5
Tarea domiciliaria
2 1 2 1 1 2 4
1. Indique qué parte representa del total la región sombreada en el gráfico:
11. 1
3 3
1 1
1 3
a) 1
12. 5 1 1 6 3 5 3
d)
1
b)
6
1 15
c) 1 2
3
e) 1
5
* En cada caso efectuar: 2. 3
13.
4
2 3 1 1 25 40 1 6 0 1 1 8 12
a) 1 d)
14.
1 4 5 9 1 5 12 3 1 6 1 2
3 20
15 16
2 5
b) 17
c) 11 20
20 7
e)
8
3. 5
-
7
d)
15. Calcular:
b)
35
35
2 35
5
c) 1
a) 1
3
35
3
e) 4
35
4. 1 1 1 1 1 1 1 D 2 6 12 20 30 42 56
5 7
a)
2 5
d) 1 5
2 5
14 4
b) 1 7
2 5
c)
e) 7 5
5. 7
3
1 35
2
5
a) 21 10
d)
21 13
c) 35
b) 35 9
6
e) 10 7
• En cada caso, obtener la fracción pedida. (En función al gráfico adjunto)
8.
1 7
9.
1 12
6.
1-
1 1 1 12
10.Si: a) - 1 d) 1 2
c) 1 2
b) 1 e)
P
1 3
1 1 1
1 1 1 2 a) 8 5
b) 5
d) 1 8
e) 3
8
5
1 ; 13
Q
2 1
1 3
hallar "P . Q"
7.
1
1
c) 3 8
a) 9 2
b) 9 4
d) 7 2
e) 12 5
c) 1
Ecuaciones I
Capítulo III
ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE -
Planteo de ecuaciones
5.
Resolver una ecuación no es adivinar un resultado, es s eg ui r un p ro ce so l óg ic o y m a te m á ti co b a s a d o fundamentalmente en las propiedades de adición, sustracción, multiplicación, división, etc., cuyo objetivo principal va a ser hallar el valor de la incógnita (la incógnita se representa con cualquier variable: x, y, z,...). Antes de empezar a plantear las ecuaciones resolvamos algunas ecuaciones a manera de práctica.
9x 45 7 Resolución:
6. 3x 5 8 8
Resolución:
En cada uno de los siguientes ejemplos, calcular “ x ”: Bloque I 1. x + 9 = 18 Resolución:
7.
2x 6 4
3x 7 5
Resolución : 2. 3( x - 2 ) = 27 Resolución :
8. 3. 5 (x + 8) + 4 ( x - 6 ) = 71
x 2
x 3
1
Resolución:
Resolución:
9. Academia TRILCE
17
2x 3
x 1 6
4
4. 3 (2x + 14) + 20 = 6 (3x - 5) - 28
Resolución:
Resolución:
17
Tercer año de secundaria
Ecuaciones I
10.
2x 9 7
3x 4
2x
2
14.
3
2x 3
x 4
Resolució n:
12.
3x 2
x 5
15.
13. 3x
5
Resolució n:
3
4x
3
3
4
4 2x 1 x 5 3 5 3
Resolución:
x 10
12
16.
Resolució n:
2x
2x
Resolución:
x 134 5
4
Resolució n:
11.
5
x 10
7x 5 3x 2 12 7 12 7 Resolución:
7
17.
3x 4
2x 3
1 8
4
Resolución:
5 6
18.
4x 7x 5 13x 3 4 8
7x 4 y 5
Resolució n:
19.
8x 11 10x 9
22.
9x 8y 13
Resolución:
3
7x 5 4
Resolución:
23.
5x 6y 20
4 x 3y 33
Resolución :
20. 2x 1 x 13 3x 5(x 1) 3
24
8
Resolución: 24.
7x 9y 42 12x 10y 4 Resolución:
Bloque II 21.Resolver los sistemas, en cada vaso: x 2y 12 x 2y 10 Resolución:
25.
15x 11y 87 12x 5y 27 Resolución:
2. Si:
10x 9y 8
26.
x 2 x 4
8x 15y 1
calcular :
a) 1 ; 1 2 4
b) 1 ;
d) 1 ; 1 2 4
e) 1 ; 1
c) 1 ; 1
1
3
2
2
2
3
1.
b) 2; 3 e) -1; -2
c) 1; -4
a) 7,5 10,5 d) 9,5
2x 3 x y 4
3 a) 1; 4
b) 3; -4
1
d) 2; -1
e) 3; -2
c) 3; 4
a) 1
b) 2
2
e) 3
d)
9
3.
29. 3(2x y) 2(y x) 4(y 7) 3(2y 3x) 20 53 b) -1; -4 e) 3; -2
30.
d)
2 3
b) 2
1
c) 3 5
c)
5 3
c)
12 5
e) 1 7
3
x 1 2 2 x x 3 3 2 3
4. 2 xy 7 xy 8x y 1 2 xy2
c)
14x - (3x - 2) - [5x + 2 - (x - 1)] = 0
a) -1
c) 1; 3
b) 8,5 e) 11,5
2 - [x + 3x - (x + 6) - 3] = 3
3
a) 2; 5 d) 3; 2
c) 5
3(2x + 3) + 4x = 12 (x - 1)
2.
3x (4 y 6) 2y (x 18)
b) 4 e) 8
* Hallar el valor de "x" en:
28.
2
Tarea domiciliaria
9x 6y 33
a) -1; -4 d) 3; -2
a) 3 d) 7
5
8x 5y 28
27.
(x - 1)
a) -3; -7 d) -5; -9
b) -5; 9 e) 3; -9
a) -6
b) -7
d) 7
e) 8
c) -5; 8
- {3,6x - [(x + 1,3) - (x - 1,7)]} = 4,2
5.
PROBLEMAS RETO a)
1 Si: 3 x 2 y 2 9x 4y 16 calcular :
9x + 4y
2 7
d)
b) 2 5
2 3
e)
c) 1 3
1 9
a) 34 d) 37
b) 35 e) 38
c) 36
9.
7x 1 5 2x 4x 3 1 4x 3 2 4 3
6.
a) 31 10 27
d)
12
b) 29 12 e)
xy xy 3 2 5
c) 32 11
2x
24 13
a) 2; 4 d) 4; 6
* Hallar los valores de "x" e "y" respectivamente:
b) 3; 3 e) 5; 3
3
2
6
5x = -2y + 1
x 2y 13
3x y 11
b) 3; 8 e) 1; 5
a) -3; 7 d) 2; 3
c) 12;
8. 3x 2y 30
4 x 3y 23
a) 16; 6 d) 15; 2
c) 6; 4
2(x y )3(x 2)1
10.
7.
a) 5; 4 5 d) 3; 6
3y 6 2
b) 18; 6 e) 13; 5
c) 8; 3
Academia TRILCE
177
b) -3; 8 e) -3; 6
c) 2; 8
Ecuaciones II
Capítulo IV
ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE -
Plantear una ecuación es transformar enunciados, conjunto de oraciones o formas verbales a formas matemáticas o simbólicas. Form a verba l
Forma matemáti ca
plante o
(palabras)
• El triple de la diferencia de un número con 6. Lenguaje matemático:
• Los patos exceden a las gallinas en 9.
(constantes y variables)
• El doble de la suma de un número con 5. Traducir a lenguaje matemático o simbólico los siguientes enunciados: • Un número desconocido. Lenguaje matemático:
• El doble de un número. Lenguaje matemático:
• El triple de un número. Lenguaje matemático:
• El doble de un número aumentado en 7. Lenguaje matemático:
• El triple de un número, disminuido en 8. Lenguaje matemático:
• 20 disminuido en un número. Lenguaje matemático:
Lenguaje matemático:
Lenguaje matemático:
• El exceso de un número sobre 10 es 30. Lenguaje matemático:
• La suma de dos números pares consecutivos es 26. Lenguaje matemático:
• El producto de tres números consecutivos es 24. Lenguaje matemático:
• La suma de dos números impares consecutivos es 36. Lenguaje matemático:
• La edad de Vivian hace cinco años. Lenguaje matemático:
• La edad de Piero dentro de ocho años. Lenguaje matemático:
• La mitad de un número. Lenguaje matemático:
Razonamiento Matemático
Nivelación Escolar
• La tercera parte de un número.
2.
Lenguaje matemático:
En un parque hay cierta cantidad de bicicletas, tal que su doble disminuida en 12 nos da 38. ¿Cuántas bicicletas hay? Número de bicicletas tal que
• Un número aumentado en su cuarta parte.
su doble
Lenguaje matemático:
disminuida en 12 nos da 38 Resolución:
Problemas para la clase A continuación se presentan un grupo de problemas en los que traduciremos el enunciado paso a paso y luego resolveremos la ecuación planteada. Bloque I 1. Hallar un número que aumentado en 15 nos da 24.
Un número aumentado en
3. El doble de la suma de un número con 7 es 30. Hallar el mencionado número.
15 nos da
un número
24
el doble de la suma del número con 7
Resolución:
es 30 Resolución:
18
Tercer año de secundaria
4. El triple de la diferencia de un número con 5 es 48. Hallar dicho número.
6. Hallar la edad de Katia, si sabemos que al restarle 12 años obtenemos el triple de dicha edad disminuida en 48 años.
Un número
La edad de
el triple de la diferencia del número con 5
Katia si al
es
12 años
48
obtenem
Resolución :
restarle
os el triple de dicha edad disminuida en 48 Resolución:
5. Hallar un número tal que sus cinco veces disminuido en 8 equivale al cuádruple de la suma de él con 16. un número
7. ¿Cuál es el número, cuyo doble disminuido en 200 nos da el mismo número aumentado en 300?
tal que sus cinco
¿Cuál es el
veces disminuido
número cuyo
en 8 equivale
doble
al cuádruple de la suma de él con 16
disminuido
Resolución:
200
en
nos da el mismo número aumentado en 300? Resolución:
8. Hallar la longitud de un puente. Si sabemos que el cuádruple de dicha longitud disminuida en 80 metros es equivalente al triple de dicha longitud disminuida en 70 metros. Longitud
de
un
puente
si
el
cuádruple de ella disminuida en 80 metros equivale al triple de dicha longitud disminuida en metros
70
Resolució n:
9. Hallar la edad de Juan, si sabemos que al multiplicarla por 5 y añadirle 14, para luego a dicha suma dividirla entre 4, obtendremos finalmente 21 años. Hallar la edad de Juan al multiplicarla por 5 y añadirle 14 la suma dividirla entre 4 obtenemos 21 años Resolució
n:
10. Hallar un número, tal que ocho veces el número disminuido en 20 equivale a su séxtuplo aumentado en 140. Hallar un número tal que ocho veces el número disminuido en 20 equival e a su séxtuplo aumentado en 140 Resolución:
11.La suma de dos números consecutivos es 31. Hallar el menor de ellos. Dos números consecutivos la suma de ellos es 31 Resolución:
12.Se tiene cuatro números consecutivos cuya suma es igual a 102. Hallar el mayor de ellos. Cuatro números consecutivos cuya suma es igual a 102 Resolución:
14.Hallar tres números consecutivos, tales que si al séxtuplo del menor le disminuimos el cuádruplo del intermedio y le agregamos el mayor obtendremos 241. Hallar tres números consecutivos tales que si al séxtuplo del menor le disminuimos el cuádruplo del intermedio y le agregamos el mayor obtendremos 241 Resolución:
13.Hallar dos números consecutivos , tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23. Hallar dos números consecutivos el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23 Resolución:
15.Hallar cuatro números consecutivos, tales que si al triple de la suma de los dos mayores le disminuimos el doble de la suma de los dos menores resultaría 53. Hallar cuatro números conse- cutivos tales que si al triple de la suma de los dos mayores le disminuimos el doble de la suma de los dos menores resultaría 53 Resolución:
Bloque II 16.Hallar el número de hojas de un libro sabiendo que si arrancamos 25 quedará la mitad de hojas que si el libro tuviera 50 hojas más. El número de hojas del libro si arrancamos 25 hojas
18.La edad de Michell dentro de 20 años sumada con la edad que tuvo hace 12 años es el cuádruplo de la edad que tuvo hace seis años, aumentada en 2, ¿cuál es su edad? dentro de 20 años
Edad de Michell =
hace 12 años hace 6 años
La edad de Michell
quedaría
su edad dentro de 20 años sumada con la que tuvo hace 12 años
la mitad de hojas si el libro tuviera 50 hojas más
es el cuádruple de la que tuvo hace seis años
Resolución:
aumentada en 2 Resolución:
17. Si ganara S/. 300 tendría el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido S/. 300. ¿Cuánto tengo?
19.Si Ever ganara $ 600 tendría entonces el triple de lo que le quedaría si hubiera perdido $ 50, más $ 350, ¿cuánto tiene Ever?
Tengo
Si ganara $ 600
si ganara S/.
Dinero de Ever =
300 tendría
Si perdiera $ 50
Lo que tiene Ever
el triple de lo que me quedaría si hubiera perdido
si ganara $ 600 tendría
S/. 300
el triple de lo que le quedaría si hubiera perdido $ 50
Resolució n:
más $ 350 Resolución :
184
Tercer año de secundaria
20.Si se matricularan 20 alumnos más en el salón del 2°B de Miraflores habría entonces el triple de las que quedaría si se hubieran ido cuatro alumnos. Si se matricularan 20 más:
Númer o de alumnos=
Si se retiraran 4:
El número de alumnos del 2°B de Miraflores
a) 35 d) 30
Resolución:
Bloque III 1. Si subo una escalera de cuatro, en cuatro escalones, doy tres pasos más que subiendo de cinco en cinco escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? c) 58
2. Jorge le dice a Fernando: dame cinco de tus canicas y tendremos tanto el uno como el otro. Fernando le contesta: mejor dame 10 de los tuyos y tendré el triple de los que te quedan. ¿Cuántas canicas tienen entre los dos? a) 25 d) 50
b) 35 e) 80
b) 2 e) 5
c) 3
5. Benjamín en su granja tiene pollos, patos y pavos, teniendo en total 75 aves. Si tuviera 12 pavos más, cuatro patos más y siete pollos menos, tendría la misma cantidad de aves de cada especie. Encontrar el número de patos.
el triple de los que que- daría si se hubieran ido cuatro alumnos
b) 61 e) 120
4. Sebastián lanza tres dados simultáneamente. El triple del resultado del primer dado, más el doble, del resultado del segundo dado, más el resultado del tercer dado suman diez. ¿Cuántos posibles resultados pudieron darse? a) 1 d) 4
si se matricularan 20 alumnos más habría entonces
a) 20 d) 60
3. En una granja se observa 40 animales y 100 patas, entre cerdos y gallinas. ¿Cuál es la diferencia del número de animales de cada especie? a) 10 b) 30 c) 40 d) 20 e) 60
c) 60
b) 24 e) 28
c) 16
6. Si dividimos un número entre 7; 5 y 3, la suma de los cocientes es igual a los 2/3 del número más 1. ¿Cuál es el número?
Tarea domiciliaria 1. La suma de dos números es 120 y su diferencia 40. Encontrar el mayor número. a) 60 d) 87
b) 80 e) 90
a) 107 d) 111
b) 97 e) 101
a) $ 1 800 000 000 c) 1 400 000 600 000 e) 1 500 000
c)
b) 36 e) 38
c) 34
4. Dentro de 12 años la edad de un hombre será el doble de la edad que tenía hace cuatro años. ¿Cuál es la edad actual?
a) 32 años d) 24
b) 30 e) 20
c) 26
5. Si a un número se le suma su tercera parte y a este resultado se le resta el mismo número aumentado en 5, se obtiene 1. ¿Cuál es dicho número?
a) 16 d) 21
b) 15 e) 24
c) 18
b) 1 200 d) 1
8. Juan ha gastado la tercera parte de su dinero en un libro y la décima parte del resto en ir al cine. Si al final queda con $ 180, ¿cuánto dinero tenía al principio? a) $ 320 b) 300 c) 360 d) 270 e) 420
3. La suma de tres números pares consecutivos es 102. ¿Cuál es el número mayor? a) 32 d) 30
c) 105
7. Se han pagado $ 3 000 000 por una casa y un terreno. ¿Cuánto se abonó por la casa, si el terreno cuesta las dos terceras partes de la casa?
c) 84
2. La suma de cuatro números naturales consecutivos es 402. ¿Cuál es el menor número? a) 98 100 d) 99
b) 102 e) 120
9. De un saco de café se han vendido 3/7 de su peso durante la mañana y 1/5 del resto por la tarde. ¿Cuántos kilos tenía el saco si quedan 32 kg? a) 56 kg b) 91 c) 84 d) 80 e) 70
10.De una avenida, se ha inaugurado 1/3 de su longitud; 1/4 de la misma está en construcción y quedan aún 1 200 m. ¿Cuál será la longitud total de la avenida? a) 3 620 m b) 2 880 c) 8 000 d) 4 600 e) 5 500
18
Tercer año de secundaria
Operaciones matemáticas arbitrarias
Capítulo V
ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE -
¿Qué es una operación matemática?
Operadores matemáticos que vamos a conocer:
Es un proceso mediante el cual se transforma una o más cantidades en otra cantidad (llamada resultado) teniendo en cuenta ciertas reglas de definición.
*
¿Qué es un operador?
#
Un operador matemático es un símbolo que representa una operación matemática. Ejemplo: operador 3 x 4 =
@ . . . Forma general: a * b = 3a + 4b
12 operación llamada multiplicación
-
Las operaciones matemáticas pueden ser: • Operaciones con regla de definición universal. • Operaciones con regla de definición arbitraria.
Operaciones con regla de definición universal En este grupo tenemos todas las operaciones conocidas, como por ejemplo: La adición ......................... +
)
La
(
sustracción
...................
(
-
)
La
multiplicación ................ (
)
La división .........................
(
) La potenciación ................. (
)
La
..................... (
radicación )
Operaciones con regla de definición arbitraria
Estas operaciones surgen cuando establecemos una regla de definición distinta a la tradicional, a la que llamaremos "arbitraria" la cual está representada por un símbolo cualquiera como por ejemplo: *, , , ...etc., que será su operador matemático.
Ejemplos: 1. Si: a b = 5a 7b hallar: 8 2 Resolución:
2. Si: x = 4x2 + 1 hallar: 3 Resolución:
Razonamiento Matemático q 2 2 p q 3
3. Si: 2p @
Nivelación Escolar 6. Si: * 1 2 3 4
hallar: 10 @ 4 Resolución:
1 3 4 2 1
2 4 3 1 2
3 1 2 3 4
4 2 1 4 3
hallar: (2 * 3) * (4 * 1) Resolución :
4. Si: m = m 5 hallar:
27
Resolución: Problemas para la clase
Bloque I 1. Si: a * b = 4a + 5b calcular: 2 * 3 a) 21 d) 25 5. Si: a3
2 a = 4 a 2
hallar: 7 6
; si : "impar. a" es
b) 23 e) 26
c) 19
2. Si: m # n = m2 + n2 calcular: 1 # 5 a) 21 d) 26
; si : " a" es par.
b) 18 e) 15
c) 12
3. Si "" es un operador, de tal modo que: x y = x2 +
Resolución:
5y calcular: 2 5 a) 21 d) 20
b) 29 e) 17
c) 27
4. Si: a # b = (a + b) (a - b) calcular: 7 # 2
18
Tercer año de secundaria
Operaciones matemáticas arbitrarias a) 46 42 d) 45
Academia TRILCE
18
b) 44 e) 49
c)
5. Si: m * n = (m + n)(m2 - mn + n2)
12.Se define:
calcular: 2 * 1 a) 6 18 d) 3
b) 5 e) 9
c)
*
2
3
4
2
4
3
2
3
2
4
3
4
3
2
4
6. Si: a @ c = 3a2 + 2c3 calcular el valor de: (2 @ 1) @ (1 @ 0) a) 542 642 d) 480
b) 510 e) 417
c)
Calcular (3 * 4) * (2 * 4) : (2 * 3) * (3 * 4) a) 1
b) 0,5
d) 3
e)
7. Si: x = 5x +
b) 3 e) 17
c)
8. Sabiendo que: m = 2m + 3 hallar: 5 a) 11 16 d) 15
b) 13 e) 19
1
2
*
3
4
1
2
1
3
4
3
2
1
2
4
3
4
3) (4 2)
c)
m @ n = 5m2 2n3 calcular el valor de: 1 @ 0 b) 5 e) 0
4) . (1 *
a) 2
b) 1
d) 4
e)
14.Si: a b =
1 2
a b
c)
a) 5
b) 7
c) 8 d)
e) 6
5
15.Siendo: x* = x2 - 3 *
hallar: (2*) + 3
b) 18 e) 11
c)
a) 4 d) 2
b) 5 e) 3
11.Si: 5
6
5
6
5
6
5
6
Bloque II 16.Si: a*b
calcular: (5 # 6) # (6 # 6) a) 6
b) 5
c) 3
Calcular: ( 4 1 ) . ( 9 81 )
10.Sabiendo que: a = 2a + 5 hallar el valor de: 3 + 1 a) 13 15 d) 16
*
Calcular: (2 * 1) + (4
9. Si se conoce que:
a) 6 10 d) 1
1 3
13.Se define:
1 calcular: 2 a) 8 15 d) 11
c) 4
c)
4a 5b
11 d) 65
6
e) 56
c) 1
hallar: 10 * 2 a) 4 7
b) 5 c) 6 d) e) 8
17. Si: xy=
x 3 y
23.Se sabe que: x+1 =
2
hallar: 25 9
x
3
x
hallar: 65
a) -1 d) 1
b) 2 e) -2
18.Si:
c) 3 a) 5 d) 9
m # n = mn nm
b) 4 e) 8
24.Se define:
hallar: 3 # 2 a) -1 d) 2
b) 0 e) 1
H
KH8 2
=
hallar "x", en:
b=
2
a b
2
hallar: (3 4) 12 a) 13 d) 12
K
c) 3
19.Sabiendo que: a
c) 6
b) 17 e) 15
c) 19
x
a) 9 d) 11
9
= 13
b) 10 e) 12
c) 8
25.Sabiendo que:
20.Se define:
n = 2m + 3n
p * q = 4p 5q r t = 7r - 3t
hallar "x", en:
hallar: ( 3 * 2 ) ( 4 * 3 ) a) 10 b) 9 d) 11 e) 6
5 c) 15
a) 5 d) 6
x = 19
b) 2 e) 3
c) 4
21.Si: 3p
q
=p+
pq
a) 36 d) 35
26.Definimos:
2
hallar: 15 3 b) 40 e) 38
c) 32
22.Si:
a) 15 d) 18
a) 9 d) 8
7
b) 19 e) 17
a
2a 1; 3a 1;
hallar: 8
=x+ 3 hallar:
Bloque III
c) 16
27. Si:
si : " a" es par. si : " a" es impar
9 b) -8 e) -9
c) -7
3a b
; si: a b 4 b= 2a b ; si: a b 3
a
hallar: (5
1)
7
a) 2 7
b) 3 7
d) 1 4
e) 4 9
c) 1 3
b) 6 e) -6
a) 2 d) -3
c) -2
32.Si:
28.Si: * 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 3 4 1
Además: n = n + 5 . Hallar: 3
4 4 1 2 3
3 3 4 1 2
a) 4 d) 2 33.Se sabe que:
hallar: (3 * 4) * (2 * 1) a) 1 d) 4
b) 2 e) 2 ó 3
1 3 5 2 4 1
2 4 3 1 5 2
Hallar: [(3 5) (4 2)] a) 1 d) 4
3 5 4 3 2 4
4 1 2 5 4 3
5 2 1 4 3 5
1
a) 10 d) 11
b) 12 e) 17
x+3 = 3x + 1 Además: x - 2 = 3x
a b c d b c a b d a
c) 15
34.Sabiendo que:
c) 3
30.Definimos la siguiente operación "" mediante la siguiente tabla:
a b c d
m = m(m + 2) Hallar: 10
b) 2 e) 5
d b a d c
m = m2 - 1
c) 3
29.Dada la siguiente tabla: 1 2 3 4 5
c) 5
c a d c b
2
-2
Hallar: 2 a) 12 d) 23
b) 25 e) 18
c) 16
35.Se definen los siguientes operadores: x+1 =x-1
Según esto, hallar "x" en:
a) a d) d
(x a) d = (d b) (c a) b) b c) c e) a o b
= 3x + 5
Hallar el valor de:
31.Si:
hallar " x ", en:
x+3
a b = a2 ab
5 E=
(x+2) (x-1)= 4x
a) 9
b) 10
+
4
c) 11
d) 12
e) 13
Tarea domiciliaria
6. Si: a = a b+ cb c
1. Si: m n = (m2 + n2)2
hallar :
3 3
a) 8
25
25
A
7. Si: A B
AB
= 2A -
+
4 2 -3
b) 82 e) 52
5
2
A
B B B
1
c)
1 ; si: A >
; si: A < B
A
hallar: (48 6) (2 34)
hallar: 2 + 3 3 a) 6 715 d) 3 107
b) 1 012 e) 178
a) 6 d) 17
c) 26
b) 3 e) 8
c) 9
8. Si: m # = 2m3 ; m > 0 m # = 3m2 ; m<0
3. Si: a * b = 2a + bmn=m2n
hallar: (9 - 7)# - (5 - 6)# + (193 - 192)#
hallar: [5 * (2 3)] * [6 2] a) 14 d) -16
2 1 2 3 5
a) 17 106 d) 48
c) 3
e) 1 5
3
2. Si: 5
5 2 b) 64
5
d)
hallar:
b) -12 e) 8
a) 12 15 d) 9
c) 6
b) 11 e) 18
c)
9. Si:
4. Si:
a b = ad bc c d
hallar:
a b = 3a - 2b + c c 1 2 3 2 3 1 3 2 1
hallar "x" en: 5 3 x -1 =2 2 8 4 2 a) 6
b) 3 2
d) 13 2
e)
5. Si:
c) 7 3
5
a) 9 d) 10
3
b) 8 e) 18
c) 12
10.Se define: ab
a* ba b
a*b=a+ 2b
calcular
19
* 1 2 1 2 1 2 1 2 :
x 3 4 3 4 3 4 3 4
Tercer año de secundaria
(2 * 1) (4 3) hallar :
84 2 1
(4 4) . (1 * 2) a) 2
a) 3 d) 1
b) 5 e) 2
c) 4
Academia TRILCE
d) 4
19
b) 1 1 e) 2
c) 3
Criptaritmos
Capítulo VI
ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE - ACADEMIA TRILCE -
Aspectos básicos
Resolución:
1. Criptaritmos
• En la columna de
"Cripto" significa o cul to , y hace referencia a las operaciones matemáticas, donde las cifras (todas o algunas) se han "ocultado" por medio de una letra, un asterisco o cualquier símbolo.
unidades: Observo: C + A
Este tema permite revalorar las operaciones básicas como adición, sustracción, multiplicación y división.
• Reemplazando tendría:
=9C=5 Además: C - A = 1 A = 4
4B5 +B54 789
2. Principios • Letras diferentes ocultan cifras diferentes.
• de lo que puedo hallar: B = 3
• La suma de dos cifras no puede ser mayor que 18. • Dado que: A B C ...B
AC
10
un número que ter min e en cero
Ejemplos: a.
b.
38+ 43 52 133 A7+ 6B 22 132
• Luego: A + B + C = 12 2. Si:
3
5 20
además: = operación.
+ 3. Reconstruye la
Resolución:
donde: 8 + 2 = 10
• ¿Qué pasaría si: = 3 ? Tendríamos: 33
¿Cuál será el valor de
35 20
¡ No sería posible !
"B"? • ¿Qué pasaría si: = 2 ?
Se concluye que: 7 + B = 10
31 Tendríamo s:
B=3 32
Problemas resueltos 1. Si:
ABC +BCA 789
además: C - A = 1. Calcular: A + B + C
25 20
• Pero si: Tendríamo s:
= 1
15 20
¡No sería posible !
31
15 3 0 1
20
Razonamiento Matemático
• Además, si: 4
= 1
3 1 4 15 3 0 20 14
Nivelación Escolar
= 1 + 3 =
-
Quedaría así:
2
1 2
1 E D 8 5 7 x 3 E D 8 5 7 1
Sería la operación.
- En la cuarta columna, aplicando la regla práctica, tendríamos que: D = 2
3. Si: 1 E D C B A x 3 E D C B A 1
- Quedaría así: 2
1 2
1 E 2 8 5 7 x 3 E 2 8 5 7 1
calcular: A + B + C + D + E Resolución: • Al observar la primera columna:
- Observo que en la quinta columna "no se está llevando nada", es decir debo buscar directamente: 3 x ¿E? termine en 2.
1 E D C B A x 3 E D C B A 1
* Es decir: E = 4
• Debo buscar 3 x ¿A? termine en 1.
-
Reconstruyendo la operación:
- Sencillo no? claro! 3 x 7 = ..1
1
2
1
2
1 4 2 8 5 7 x 3 4 2 8 5 7 1
Es decir: A = 7 • Quedaría así : - Me piden:
2
1 E D C B 7 x 3 E D C B 7 1 • Ahora debo buscar 3 x ¿B? + 2 -
A+B+C+D+E=7+5+8+2+4 = 26
termine en 7.
Pero muchas veces esta búsqueda demora, así que usaremos una regla práctica:
* Restaremos : "lo de abajo" - "lo que llevo" así: 7 - 2 = 5
Bloque I 1. Hallar "A x B" en: AAB +BA A 1352
* Entonces lo que debo buscar es 3 x ¿B? termine en 5. ¿más fácil no? claro!: B = 5 a) 35 d) 32
* Quedaría así: 1
Problemas para la clase
b) 42 e) 24
c) 36
2
1 E D C 5 7 x
3
19
Tercer año de secundaria
Criptaritmos E
2. Si:
D C 5 7 1
A 5 6 +B A B D 1 9 4
- En la tercera columna, aplico la regla práctica:
hallar "A + B + D"
- Entonces: 5 - 1 = 4 3 x ¿C? termine en 4
a) 11 d) 12
* Es decir: C = 8
Academia TRILCE
19
b) 15 e) 13
c) 14
3. Si:
8. Si: A B 4 + 5 3 A C 2 6 C
hallar "A + B + C" a) 15 b) 12 d) 11 e) 10
A 3 B B x 8 4 B A 7 6
c) 9
a) 12 d) 9
b) 13 e) 11
c) 7
9. Hallar "a2 + b2"
4. Si: A7 B2 AB 122
si: abc 9 ...124
hallar "(A + 1)(B + 1)" a) 18 20 d) 27
hallar "A + B"
b) 24 e) 30
c)
a) 13 d) 10
b) 12 e) 16
c) 25
10.Si: (a + b + c)2 = 144 5. Si:
hallar "B + 2C" a) 20 15 d) 18
calcular " 2abc 1cab bca "
C B C + B 3 5 1 C C 7
a) 4 392 d) 4 432
b) 3 332 e) 2 342
c) 4 332
11.Si se sabe que: b) 13 e) 24
c)
+ +
120 -
6. Si:
160 A 6 B +B 5 3 C 7 C A
calcular: W =
-
230
-
6 1 C B
a) 120 d) 110
hallar A B : C a) 4 d) 8
b) 2 e) 6
c) 1
c) 80
12.Si: ABC CBA 888 ; y además: A - C = 4 hallar "A + B x C"
7. Reconstruir: 5
b) 100 e) 130
1 2 8 0 7 0 0 9 1
Indicar la suma de cifras de los espacios en blanco. a) 19 b) 20 c) 21 d) 23 e) 17
a) 20 d) 26
b) 24 e) 14
c) 16
13.Si: A M I G A +I M 1 M G I G 6 2
hallar "A + M + I + G + A"; M 0 a) 24 d) 29
b) 26 e) 30
c) 18
14.Si:
5. Si: 1 C A B L E x 3 C A B L E 1
hallar "C
x
A+B
a) 286 288 d) 312
x
L
x
A 8 5 2 3 6 3 6 B 3 A B 2 5 B 0 8 B 7 2 B A A - 2 8
E"
b) 270 e) 144
c) hallar "A . B"
15.Si: a
7
a) 4 d) 9
aba
b) 16 e) 24
A 0 I G I G I G UGD 8 I D A ; "0" es cero U L G U L G
c) 12
Bloque II 1. Sabiendo que: a + b + c = 23
hallar "(G + I)(U + A)"
calcular " aaa bbb ccc " a) 3 552 d) 1 551 2. Si: (P + E +
c) 7
6. Si:
calcular " a . b " a) 6 d) 20
b) 8 e) 12
a) 20 d) 36
b) 1 553 e) 2 333
b) 25 e) 28
c) 40
c) 2 553
L)2
= 144 ; además: I =1
calcular " PIEL IELP ELPI LPIE " a) 14 443 b) 15 553 c) 16 663 d) 12 223 e) 18 883
7. Si: A A BC hallar "A + B + C"
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
8. Si: B B MAC hallar "C + A + M + A" 3. Si: MM II LL MIL
a) 18 21 d) 22
hallar "M . I . L" a) 18 d) 76
b) 81 e) 72
c) 45
b) 20 e) 16
9. Calcular la suma de las tres últimas cifras del resultado de la siguiente suma:
4. Si: 68 68 65
c)
5 37
hall ar " + x
"
55 555 5555 ........ ......... 55......55
sumandos
.......x y z
a) 3 d) 8
b) 4 e) 18
20
c) 6 a) 6 d) 9
b) 7 e) 5
c) 8
10.Hallar "m + n + p " , si se cumple que:
a) 5 d) 8
4. En la multiplicación: 8 * * * * * * * 7 * 6 * *
k1k k2k k3k ... k7k mnp1 b) 6 c) 7 e) 9
Bloque III
a) 16 d) 24
b) 73 e) F.D.
c)
* * * * * - * 3 * * - * * -
b) 36 e) 16
*
b) 7 e) 10
Sin usar el número 6, ni el 2, calcular "D + O+ S"
7 2 * *
a) 12 d) 20
8 * -
c) 32
c) 8
Academia TRILCE
c) 23
SEIS x 2 DOCE
3. Si: A A 2 BCA hallar "A + B + C" a) 6 d) 9
b) 18 e) 17
5. Efectúe:
2. Hallar la suma de las cifras del dividendo:
a) 24 d) 18
3
calcular la suma de los asteriscos.
1. Si: UU PP UPC CC calcular "U + P x C" a) 80 72 d) 18
* x * *
19
b) 14 e) 21
c) 16
Tarea domiciliaria
7. Si: UN
1. Si: AA BB 121 ; hallar "A + B" a) 8 d) 12
b) 10 e) 7
S
c) 11
* En cada caso, determinar "A + B + C". 2.
y la letra "O" representa el número 4; hallar la suma de cifras del resultado. UNTRES cero a) 11 d) 16
342 ABC
b) 13 e) 12
c) 15
8. Si:
755 a) 5 d) 8
OTRE
ABC
b) 6 e) 9
C
c) 7
2331 hallar "A + B + C"
3.
a) 13 16 d) 17
BA5 CC8
b) 15 e) 18
c)
9. Si:
ACB
6+ a) 9 d) 17 4.
A
A
a) 11 d) 10
b) 10 e) 12 BCD
b) 13 e) 8
hallar "x y + z" + a) 9 b) 10 d) 12 e) 13
1 3A B 5 x
C70 402 4C90
10 sumandos
. 66 ... 666 ...xyz z
c) 14
5.
a) 12 d) 15
66 666 . .
c) 8
c) 11
10.Si: c) 14
b) 13 e) 16
6. Si: A5 B3 10 CD 80C hallar "A + B + C + D" a) 14 b) 15 d) 17 e) 18
hallar "
x
a) 180 d) 120
c) 16
" b) 150 e) 160
c) 130
ACADEMIA
TRILCE
Nivelación Escolar
Claves Tarea Domiciliaria Tarea 1 6 7 8 9 10
Tarea 2
a a a a a
1 2 3 4 5
Tarea 4
1 2 3 4 5
b d b e c
6 7 8 9 10
b a e a c
6 7 8 9 10
Tarea 3 a b * * b
Tarea 5 c a b e b
1 2 3 4 5
b b a d d
6 7 8 9 10
1 2 3 4 5
c b e c e
6 7 8 9 10
b a c c b
Tarea 6 b b c d b
c d d a b
6 7 8 9 10
d d c c e