RM pamer

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO TEMA 0

INTRODUCCIÓN AL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

SNII2RM0

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Si una persona sufre un golpe y reprime la expresión de dolor porque la gente la está mirando, se puede decir que A) realiza una acción deliberada. B) no tuvo registro del estímulo. C) carece de la capacidad de razonar. D) fallaron sus circuitos neuronales. E) reacciona de manera espontánea. UNMSM 2014–I

Resolución: El comportamiento que corresponde por haber sufrido un golpe es el de expresar dolor pero si un individuo se reprime porque hay personas observando significa que hay un pensamiento que hace evitar la demostración del dolor y ello es parte del proceso cognitivo en consecuencia sería un acto deliberado

Respuesta: Realiza una acción deliberada Problema 2 El producto de las edades de José, Julio y Carlos es 36. La suma de estas edades es el menor número primo de dos dígitos. José es mayor que Julio, pero menor que Carlos. Halle la suma de las edades de Julio y José. A) 3 B) 6 C) 4 D) 5 E) 7 UNMSM 2014–I

Resolución: José: x Julio: y Carlos: z • x . y . z = 36

• x + y + z = 11 • z > x > y

•

Bruno y el médico estudiaron en el mismo colegio con Erick. Franco es primo del ingeniero. El escritor es vecino de Erick. El abogado es amigo de Luis y del ingeniero. Bruno es escritor.

• • • Menor número primo de dos dígitos

Descomponiendo al número 36 en tres factores diferentes: 36 = 1 × 2 × 18 36 = 1 × 3 × 12 36 = 1 × 4 × 9 Este es el caso en el que 36 = 2 × 3 × 6 los factores suman 11 Conclusiones:

•

¿Quién es el abogado y qué profesión tiene Erick? A) Franco – ingeniero B) Franco – abogado C) Franco – escritor D) Franco – médico E) Bruno – ingeniero UNMSM 2014–I

Resolución:

z>x>y

Médico

Escritor

Abog.

Ing.

6>3>2

Bruno

x



x

x

x=3 y=2 z=6

Franco

x

x



x



x

x

x

x

x

x



∴2+3=5

Wil

Respuesta: 5 Problema 3 En una reunión, se encuentra un médico, un escritor, un abogado y un ingeniero. Ellos se llaman Bruno, Franco, Luis y Erick aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que:

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

11

Erick

Conclusiones: ∴ El abogado es Franco y Erick es ingeniero.

Respuesta: Franco – Ingeniero

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 0

INTRODUCCIÓN AL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

PROBLEMAS DE CLASE 1. ¿Qué número es tanto más del cuadrado de la mitad de 20 como tanto menos de la mitad del cuadrado de 20? A) 150 B) 300 C) 200 D) 250 E) 100 2. Si subo una escalera de 3 en 3 escalones doy 6 pasos más que subiendo de 4 en 4. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? A) 52 B) 72 C) 92 D) 122 E) 32 3. El aula de selección del centro preuniversitario consta de 12 alumnos a los cuales se les toma un examen. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? A) 3 B) 1320 C) 120 D) 256 E) 310 4. ¿Cuál es el máximo valor de la siguiente expresión? R=

A) 1 D) 1 2

2 1 + (x – 1)2 (x + 3)2 B) 2 E) 0

C) 2 3

5. En la figura distribuir los números del 1 al 12 de modo que la suma de los números que se hallan en cada lado del cuadrado sea 22.

TEMA 0

Da como respuesta la suma de los números que van en los vértices, (a + b + c + d) a

b

A) Aumenta 72% B) Disminuye 28% C) Disminuye 30% D) Aumenta 28% E) Disminuye 72% 9. Calcula el valor de S. S=

d A) 12 D) 16

c B) 22 E) 18

C) 10

6. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de cinco hombres y cuatro mujeres de un grupo de diez hombres y siete mujeres? A) 8820 B) 8640 C) 8528 D) 8476 E) 1260 7. El número 256 se descompone en 4 sumandos, de tal manera que añadiendo 7 al primero, restando 7 al segundo, multiplicando por 7 al tercero y dividiendo entre 7 al cuarto se obtienen cantidades iguales. ¿Cuánto suman la mayor y la menor de las cuatro partes? A) 196 B) 208 C) 200 D) 208 E) 182 8. Si la base de un triángulo aumenta 20% y la altura disminuye 40%, ¿en qué porcentaje varía su área?

RAZ. MATEMÁTICO

22

1 2 3 4 + 2 + 3 + 4 + ... 3 3 3 3

A) 3/5 C) 3/4 E) 5/3

B) 4/3 D) 1/2

10. El doble del número de fichas que tiene Ángel, más 6, no es menor que 90. En cambio, el triple de fichas que tiene, disminuido en 4, es menor que 125. ¿Cuántas fichas tiene Ángel? A) 45 B) 42 C) 33 D) 41 E) 40 11. Si: an= n2 + 3 100

Calcula: ∑ (ai+3 – ai+2) i=1

A) 10800 C) 12800 E) 10900

B) 10600 D) 11500

12. Alejandro adquirió cuadernos de tres tipos distintos que cuestan s/.2, s/.4 y S/.5. Si en total compró 35 cuadernos y gastó S/.118. Halla el máximo número de cuadernos de S/.5 que pudo comprar. A) 8 B) 18 C) 16 D) 13 E) 14



ORDEN DE INFORMACIÓN SNII2RM1

DESARROLLO DEL TEMA I. ORDEN DE INFORMACIÓN

De acuerdo con los datos del problema, se puede realizar un gráfico o un esquema.

A. Ordenamiento horizontal Cuando los elementos se ubican en línea, uno al lado del otro.

C. Ordenamiento circular Cuando los elementos se ubican alrededor de un círculo o un polígono regular.

D. Cuadro de doble entrada Cuanto existe una correspondencia entre elementos. Por ejemplo, si consideremos a Alberto, Beatriz y Carlos de 15, 17 y 22 años, respectivamente.

B. Ordenamiento vertical Cuando los elementos forman una línea vertical, y además, se compara su magnitud. Observación: Se puede comparar su altura o los puntajes obtenidos en sus exámenes por ejemplo.

15

17

22

A

ü





B



ü



C





ü

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1

Roberto

Pedro es más alto que

Según el esquema:

Pedro

Mario; Daniel, es más

Respuesta: B) Roberto

Mario

bajo que Alfredo y más

Alfredo

alto que Luis; Alfredo, más bajo que Mario; y

Daniel

Pedro es más bajo que

Luis

Roberto. ¿Quién es el más alto? SAN MARCOS NIVEL FÁCIL

A) Daniel C) Mario E) Pedro

Resolución:

B) Roberto D) Alfredo

Problema 2 Cinco amigos (A, B, C, D y E) se sientan alrededor de una mesa circular. Se sabe lo siguiente: • A se sienta junto a B. • D no se sienta junto a C. Es posible afirmar como verdaderas las siguientes proposiciones: I. D se sienta, junto a A. II. E se sienta junto a C. III. B se sienta junto a D.


11

A) FFF C) FVF E) FFV

B) VVF D) VVV SAN MARCOS NIVEL INTERMEDIO

Resolución: Una posibilidad es la siguiente: C

E

A

D B

Respuesta: C) FVF

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 1

ORDEN DE INFORMACIÓN

Problema 3 Seis amigos se ubican alrededor de una fogata: • Toño no está sentado al lado de Nino ni de Pepe • Félix no está sentado al lado de Raúl ni de Pepe • Nino no está al lado de Raúl ni de Félix • Daniel está junto a Nino, a su derecha.

¿Quién está sentado a la izquierda de Félix? A) Raúl C) Félix E) Daniel

Raúl

B) Pepe D) Nino

Toño Félix

Pepe

izquierda SAN MARCOS

Nino

NIVEL DIFÍCIL

Daniel derecha

Resolución: Según los datos, Nino no está al lado de Toño ni de Raúl ni de Félix.

Respuesta: E) Daniel

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Cinco personas compararon sus estaturas y se dieron cuenta que: • K tiene 2 cm. menos que N. • N tiene 2 cm. menos que M. • P tiene 4 cm. más que N. • K tiene 4 cm. más que R. ¿Cuál sería el orden si consideramos sus estructuras de manera creciente? A) R, K, P, M, N B) R, P, K, N, M C) R, M, N, K, P D) R, K, N, M, P E) R, K, N, P, M 2. Un profesor indica a sus alumnos: X, Y y Z que debe realizar cada uno cinco tareas: A, B, C, D, E. Se sabe que: • C debe hacerse después de B. • E debe hacerse antes de B. • D debe hacerse después de A. • E debe hacerse después de D. Si “X” realizó la tareas en el orden: AEBDC, “Z” hizo ADEBC e “Y” hizo EDABC. ¿Quién o quienes respetaron el orden de las tares? A) X B) Y C) Z D) X, Y E) X, Z 3. A, B, C, D, y E se sientan alrededor de una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente. Y sabe que: • A se sienta junto y a la izquierda de B. • D no se sienta junto a C ni a B. • E no se sienta junto a C ni a A. ¿Adyacente a quienes está el lugar vacío?

TEMA 1

A) E y D B) A y B C) E y C D) D y C E) E y C o D y C 4. Se • • •

sabe que: Claudia es mayor que Sonia. Lucero es menor que Ana. Sonia es mayor que Paola y que Ana. • Eliana es mayor que Sonia. Si Claudia no es la mayor. ¿Quién es la mayor? A) Sonia B) Claudia C) Lucero D) Paola E) Eliana

5. Pepe, Enrique, Rafael, Álvaro y Juan son amigos, se sabe que: • Enrique es mayor que Pepe, pero menor que Rafael. • Álvaro es mayor que Enrique, pero menor que Juan. • Juan es mayor que Álvaro, pero menor que Rafael. Si lo ubicamos por edades de mayor a menor. ¿Quién ocupa la posición intermedia? A) Juan B) Enrique C) Pepe D) Álvaro E) Rafael

PROFUNDIZACIÓN 6. Seis amigas, Ana, Bety, Celia, Doris, Eva y Lili viven en un edificio de seis pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que:

RAZ. MATEMÁTICO

22

• Eva vive entre Bety y Doris. • Lili no vive en el último piso. • El cuarto piso está ocupado por Ana. • Ana vive entre Doris y Lili. Se puede afirmar que: I. Celia vive en el sexto piso. II. Bety vive en el tercer piso. III. Doris no vive en el tercer piso. IV. Bety vive en el primer piso. A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo I y IV E) Solo I, II y III

7. Se sabe que July es más alta que Mary pero más baja que Katy, Mily es más baja que Katy pero más alta que Patty y que esta última es más alta que Taty, quien a su vez no es más baja que Mary. Podemos afirmar con certeza que: I. Katy es la más baja. II. Mily no es la más alta. III. No es cierto que Taty y Paty tengan la misma estatura. A) I B) II y III C) I y III D) I E) Todas 8. Del enunciado de la pregunta 7. Si tiene estaturas diferentes, entonces es imposible que: A) Taty sea la más alta. B) Mary sea la más baja. C) Patty sea más alta que Mary. D) Mily sea más alta que Taty. E) Katy puede ser un cm más alta que Mily.


ORDEN DE INFORMACIÓN

9. Se colocan seis tarjetas de colores sobre una mesa, formando una fila. Se sabe que: • La tarjeta roja está la derecha de la verde y la azul. • La tarjeta marrón está a la izquierda de las demás y junto a la tarjeta amarilla. • Entre las tarjetas amarilla, verde y roja no hay dos de ellas que están juntas. Si las contamos de izquierda a derecha, ¿qué tarjeta ocupa el cuarto lugar? A) Roja B) Azul C) Amarillo D) Verde E) Marrón

SISTEMATIZACIÓN 10. El día sábado salen del puerto Callao 5 barcos de transporte de pasajeros en el siguiente horario 03:00 h, 07:00 h, 12:00 h, 17:00 h y 22:00 h; se dirigen a Alemania, Estados Unidos, Panamá, Francia y Brasil. Los barcos son: Atlantic, Horse, Andrea, Graceline y Corver • El barco que se dirige a Estados Unidos sale a las 12:00 h. • Andrea lleva 520 pasajeros.

• El número de pasajeros que llevan los barcos es: 400, 480, 520, 600 y 620. • El Horse se dirige a Alemania. • El que se dirige a Francia parte a las 17:00 h. • Los 620 se dirigen a Brasil. • El Corver partió a las 7:00 h • A EE.UU. llegaron 480 pasajeros • A las 03:00 h partió u barco con 400 pasajeros • A Francia llegaron 600 pasajeros

¿A qué país se dirigió el barco Horse, cuántos pasajeros trasladó y a qué hora salió? A) Alemania – 400 pasajeros – 17:00 h B) Alemania – 480 pasajeros – 12:00 h C) Panamá – 520 pasajeros – 22:00 h D) Brasil – 620 pasajeros – 07:00 h E) Alemania – 400 pasajeros – 03:00h

11. Cuatro amigos: Juan, Luis, Pedro y Carlos se sientan alrededor de una mesa circular ubicándose simétricamente. Se sabe que:


33

• Los cuatro usan gorro de diferente color (azul, rojo, verde y blanco). • Juan está frente al que usa gorro rojo. • Pedro no se sienta junto a Juan. • Carlos, el de gorro azul y el de gorro verde viven en la misma calle. ¿Quién está frente a Luis y qué color de gorro usa? A) Juan - rojo B) Carlos - blanco C) Carlos – azul D) Pedro – verde E) Juan - azul

12. Mateo, Lucas, Pedro y Jesús están sentado en 4 sillas numeradas del 1 al 4, Alan los mira y dice “Mateo está entre Lucas y Pedro. Pero sucede que cada afirmación que hizo Alan fue falsa. En realidad Lucas está en la silla N° 3. Indica la verdad (V) o falsedad (F) en: ( ) Es falso que Mateo está al lado de Lucas. ( ) En la silla N° 4 está sentado Jesús. ( ) Pedro está sentado en la silla N° 1. A) FVF B) FVV C) FFV D) VVF E) FFF

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 1


CUATRO OPERACIONES SNII2RM2

DESARROLLO DEL TEMA Las cuatro operaciones fundamentales son el instrumento matemático más antiguo utilizado por el hombre, y nos permiten resolver problemas de carácter comercial y de la vida diaria. El objetivo principal de este capítulo es que el alumno utilice adecuadamente las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división). Ejemplo 1 Un comerciante compra cierta cantidad de agendas a S/. 1424 y las vende todas a S/. 2492, ganando así S/. 1.50 por agenda. ¿Cuántas agendas compró y cuánto le costó cada una? Resolución: Precio de costo total: S/. 1424 Precio de venta total: S/. 2492 Entonces: Ganancia total = S/. 1068 Como ganancia en cada agenda es S/. 1.50 Entonces: Nº de agendas = 1068/1.50 = 712 Ejemplo 2 Un sastre pensó confeccionar 100 camisas en 20 días, pero tardó 5 días más por trabajar 2,5 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó por día? Resolución: El sastre perdió 2,5 horas por día, durante 20 días; es decir: Perdió: 2,5 x 20 = 50 horas las que recupera en cinco días, a 50h razón de: = 10h/d 5d Métodos Operativos El propósito de este tema es mostrar los "métodos" usados con mayor frecuencia, que han demostrado su eficacia frente a otros procedimientos; aunque es necesario reconocer en que casos se deben aplicar.

que se comparan en dos oportunidades originando, generalmente, en un caso sobrante o ganancia y en el otro caso un faltante o pérdida.

Resolución: Si compro a S/. 15 c/kg

(Método del rectángulo) Es un método que se aplica a problemas donde participan dos cantidades excluyentes, una mayor que la otra, las


11

falta

S/. 400

sobra S/. 8 c/kg Du = S/. 7 c/kg ⇒ Cantidad (Kg) =

S/. 160 Dt = S/. 560

Dt S/. 560 = = 80 Du s/. 7

∴ Dinero disponible = 80 kg x S/. 8 + S/. 160 = S/. 800 Ejemplo 2

Para ganar $ 28 en la rifa de una filmadora se hicieron 90 boletos, vendiéndose únicamente 75 boletos y originando así una pérdida de $ 17. Calcular el costo de cada boleto y el valor de la filmadora.

Resolución: Si vendiera 90 boletos gana

$ 28

pierde

I. MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS

Ejemplo 1 Un comerciante analiza: si compro a S/. 15 el kilo de carne me faltaría S/. 400; pero si solo compro de S/. 8 el kilo me sobraría S/. 160. ¿Cuántos kilogramos necesita comprar y de qué suma dispone?

75 boletos

$ 17

∆ = 15bol

∆ = $45

⇒ Costo c/boleto =

$45 = $3 15bol

∴ Valor de filmadora = 90 × 3 – 28

= $ 242

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 2

CUATRO OPERACIONES

II. MÉTODO DE LAS OPERACIONES INVERSAS

todos es de 4020 kg. ¿En cuánto excede el número de mujeres al de los varones, si en total son 60?

(Método del cangrejo)

Es un método utilizado en problemas donde interviene una variable a la cual se realiza una serie de operaciones directas hasta llegar a un resultado final. Se denomina "método inverso", porque a partir del dato final se realizan las operaciones inversas hasta llegar al valor inicial. Ejemplo 1 Al preguntarle a "Pepito" por su edad, el contestó con evasivas diciendo lo siguiente: "Si le agregas 10, al resultado lo multiplicas por 5 y enseguida le restas 26 para luego extraerle la raíz cuadrada y por último lo multiplicas por 3, obtendrás 24". ¿Cuál es la edad de "Pepito"? Resolución: Considerando la edad de Pepito: E; y aplicando las operaciones consecutivamente, como lo indicado por "Pepito", tenemos:

E + 10 × 5 – 26

Resolución: Aplicando el método de la falsa suposición: Supongamos que los 60 alumnos pesan 75 kg c/u. ⇒ Peso de todos los alumnos sería (Valor supuesto) = 60 × 75 = 4500 kg. Este valor excede al real en: 4500 – 4020 = 480 kg Este exceso es por que asumimos que todos eran varones, por lo que dimos un valor agregado a cada alumna de: 75 – 60 = 15 kg 480 ⇒ Nº de alumnas = = 32 15 Nº de alumnos = 60 – 32 = 28

∴ ∆ = 32 – 28 = 4

Las operaciones efectuadas en la solución de este problema se pueden resumir en: 75 – x

× 3 = 24

Aplicando operaciones inversas, tenemos: E = 8 años

Ejemplo2 El nivel del agua de un tanque en cada hora desciende 2m por debajo de su mitad, hasta quedar vacío el tanque luego de 3 horas. Qué volumen de agua se ha utilizado, sabiendo que el tanque tiene una base circular de 5m2. Resolución: Considerando el nivel inicial del agua: H Del problema deducimos que, en cada hora, queda la mitad menos dos metros de agua. Entonces, en tres horas, queda: H ÷ 2 – 2 ÷ 2 – 2 ÷ 2 – 2 = 0 Aplicando operaciones inversas, a partir del final, tenemos: H = 0 + 2 × 2 + 2 × 2 + 2 × 2 H = 28 m Teniendo en cuenta que el volumen de un tanque circular es: V = Área de la base x altura. ⇒ V = 5m2 × 28 m = 140 m3

III. MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN (Regla del Rombo)

Se aplica cuando en un problema participan un número de elementos divididos en dos grupos cuyos valores unitarios (o características) se conocen y además nos proporcionan el valor total, que es la resultante de sumar todos los valores unitarios.

RAZ. MATEMÁTICO

4020

60 60 × 75 – 4020 Nº alumnas = = 32 75 – 60 Esta es la regla práctica del método de la falsa suposición, llamada REGLA DEL ROMBO, que consiste en ubicar la información del problema en los cuatro vértices del rombo, de la siguiente manera: M –

x

–

NE

VT

m

donde: NE: Número total de elementos. M: Mayor valor unitario. m: menor valor unitario. VT: Valor total. Si se desea calcular el número de elementos que tienen el menor valor unitario, se procede de la siguiente manera: N.° =

NE × M – VT M–m

Ejemplo 2 En una billetera hay 24 billetes que hacen un total de 560 soles. Si solamente hay billetes de 50 y 10 soles, ¿cuántas eran de cada clase?

Resolución: x

Ejemplo 1 En el salón de clase el peso promedio de cada alumno es de 75 kg y de cada alumna 60 kg, si el peso total de

TEMA 2

–

60

E = 24 ÷ 3 ↑ 2 + 26 ÷ 5 – 10

24

50 –

– 560

10

22


CUATRO OPERACIONES

24 × 50 – 560 Nº billetes (S/.10) = 50 – 10 = 16 N.° billetes (S/.50) = 24 – 16 = 8

Ejemplo Si 4 soles equivale a una libra esterlina; 3 yenes equivale a 2 libras esterlinas; 5 marcos equivale a 6 yenes; y 9 marcos equivale a 6 pesetas. ¿Cuántas pesetas equivale a 16 soles?

IV. REGLA CONJUNTA

Resolución:

S/. 4

Es un método que nos permite determinar la equivalencia de dos elementos. Procedimiento: 1. Coloca la serie de equivalencias formando columnas. 2. Procura que en cada columna no se repitan los elementos; si se repiten cambiar el sentido de equivalencia. 3. Multiplica los elementos de cada columna. 4. Despeja la incógnita.

<>

1 libra esterlina

2 libra esterlina

<>

3 yenes

6 yenes

<>

5 marcos

9 marcos

<>

6 pesetas

x pesetas

<>

S/. 16

_______________________________________ 4.2.6.9.x

= 1.3.5.6.16

=

x

10/3

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Un granjero tiene cierta cantidad de gallinas. Vende 30 docenas, luego obsequia la cuarta parte de las que quedaban y, finalmente, adquiere 180 gallinas. Si en granja hay 909 gallinas, ¿cuántas había inicialmente? SAN MARCOS 2012 - II NIVEL INTERMEDIO

B) 729 D) 1332

SAN MARCOS 2012 - II NIVEL INTERMEDIO

A) 30 D) 18

Resolución: Inicio: x Obsequia la cuarta parte

Vende 30 docenas

Adquiere 180

3 [x–30(12)]+180=909 4

x – 360 + 60 = 303 4 x = 972 + 360 x = 1332 Había 1332 gallinas

1332 +360

+180

×3/4 972

729 ×4/3

C) 12

909

Resolución: Número de paquetes: x Número de lapiceros: Color: 7x 10x Tinta brillante: 3x

–180

138 = 12 11,5

Número de lapiceros de tinta brillante: 12(3) = 36

33

Egresos

Ingresos=1500×4×2+7750=12 000+7750 =19 750 N.° de trimestres en un año

Egresos = S/.8750 + S/.830 + S/.200 = S/.9780 Ganancia = Ingresos – Egresos =S/.9970 1442443 1442443 19750 9780

Respuesta: 36

Respuesta: 1332


NIVEL INTERMEDIO

A) S/. 9790 B) S/. 9700 C) S/. 9890 D) S/. 9900 E) S/. 9970

N.° de años

Método práctico Gasto por paquete: 7(1) + 3(1,5) = 11,5 Número de paquetes:

SAN MARCOS 2012 - II

Resolución: Auto: S/.8750 Llantas: S/.830 Afinamiento: S/.200

1(7x)+1,5(3x) = 138 11,5x = 138 x = 12 2(3)=36 lapiceros de tinta brillante

Método práctico –30(12)

B) 24 E) 36

Problema 3 Milagros pagó S/. 8750 por un automóvil, S/.830 por el cambio de llantas y S/.200 por afinarlo. Después lo alquiló durante dos años a razón de S/.1500 por trimestre, y luego lo vendió por S/.7750. ¿Cuánto ganó Milagros?

1442443

A) 972 C) 1233 E) 927

Problema 2 En una librería, venden lapiceros de colores a S/.1 la unidad y otros de tinta brillante a S/. 1,5 la unidad. La librería los vende en paquetes de 10, de los cuales tres son de tinta brillante. Si un día, por este concepto, se obtiene un ingreso de S/. 138. ¿Cuántos lapiceros de tinta brillante vendió?

RAZ. MATEMÁTICO

Respuesta: 9970

TEMA 2

CUATRO OPERACIONES

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN 1. Por un melón me dan 4 naranjas por 6 naranjas solo recibo 8 chirimoyas. ¿Cuántos melones debo dar para recibir 16 chirimoyas? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. Luis y Miguel van de shopping llevando entre ambos 620 soles. Luis gasto 240 soles y Miguel 160 soles. Si quedaron con la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tenían cada uno inicialmente? A) S/.300 y S/.320 B) S/.360 y S/.260 C) S/.350 y S/.270 D) S/.280 y S/.340 E) S/.250 y S/.370

pedazos de un metro cada uno. Si para hacer cada corte se demora 6 segundos, el tiempo que demorará en cortar la totalidad de la tela es: A) 8,5 min B) 8,6 min C) 8,4 min D) 8,7 min E) 8,3 min

PROFUNDIZACIÓN 6. Cada vez que Leo se encuentra con Carla, este le duplica el dinero a Carla, en agradecimiento Carla le da 1 sol. Si en un día se han encontrado dos veces, luego de los cuales Carla tiene 9 soles. ¿Cuántos tenía inicialmente Carla? A) S/.1 B) S/.2 C) S/.3 D) S/.4 E) S/.5

3. Angie compró 100 relojes a $9 cada uno. Luego vende cierto número en $600, a $15 cada uno. ¿A cómo tendrá que vender el resto para no perder ni ganar? A) $8 B) $5 C) $4 D) $10 E) $6

7. Leo y Anthony tienen 250 y 150 soles respectivamente. Se ponen a jugar dados a 5 soles la partida y al final la primera persona que ha ganado todas las partidas tiene el triple de lo que tiene la segunda. ¿Cuántas partidas jugaron? A) 10 B) 5 C) 20 D) 6 E) 15

4. Un depósito lleno de gasolina cuesta 275 soles. Si se saca de él 85 litros ya no cuesta más que 150 soles, ¿cuántos litros contenían el depósito? A) 85 B) 125 C) 127 D) 289 E) 187

8. Cuando compro, me regalan 3 libros por cada 13 y cuando vendo regalo 2 libros por cada 15. ¿Cuántos libros debo comprar para regalar 32? A) 272 B) 221 C) 224 D) 262 E) 240

5. Un sastre tiene una tela de 86m de longitud que desea cortarla en

9. Se tienen 31 colillas de cigarro. Si con 7 colillas se puede formar un

TEMA 2

RAZ. MATEMÁTICO

44

cigarro y fumar, después de formar el mayor número de cigarros, el número de colillas que quedan es: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SISTEMATIZACIÓN 10. Un ómnibus va de un punto “A” a otro “B” y en uno de los viajes cobro un total de 228 soles. El precio único del pasaje es de 6 soles, cualquiera que sea el punto donde el pasajero suba o baje del ómnibus. Cada vez que bajo un pasajero subieron 3, y el ómnibus llegó a “B”, con 27 pasajeros. Se desea saber el número de pasajeros que lleva el ómnibus al salir de “A”. A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 11. Un comerciante compra libros a S/.50 cada uno. Por cada docena le obsequian un libro, obteniendo en total 780 libros. Si decide regalar 30 libros, ¿A qué precio debe vender cada libro para ganar S/.6000? A) S/.54 B) S/.60 C) S/.62 D) S/.56 E) S/.58 12. Un gusano se encuentra en la base de un poste de 59 cm de altura y cada día sube 7 cm y baja 3 cm. ¿En qué día llegará el gusano a la parte más alta del poste? A) 13 B) 16 C) 15 D) 12 E) 14



PLANTEO DE ECUACIONES I SNII2RM3

DESARROLLO DEL TEMA Observamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frases u oraciones traducidas del lenguaje literal al lenguaje matemático: LENGUAJE LITERAL (ENUNCIADOS) 1.

LENGUAJE MATEMÁTICO (SÍMBOLOS) x + (x + 1) + (x + 2) = 153 ó (x – 1) + x + (x + 1) = 153

La suma de tres números consecutivos es 153.

Ángel 2.

La edad de Ángel es dos veces la edad de Beatriz.

Beatriz x años

2x años

3. La edad de Ángel es dos veces más que la edad de Beatriz.

Ángel

Beatriz x años

3x años Yo

Tú

Él

x

2x

6x

4.

Yo tengo la mitad de lo que tú tienes, y él tiene el triple de lo que tú tienes.

5.

El triple de un número, aumentado en 10.

3x + 10, donde x es el número

6.

El triple, de un número aumentado en 10.

3(x + 10), donde x es el número

7.

A excede a B en 50. El exceso de A sobre B es 50. B es excedido por A en 50.

A – B = 50

8. En una reunión hay tantos hombres como el doble del número de mujeres. 9. He comprado tantas camisas como soles cuesta cada una.

Hombres

Mujeres

2x

x 

Gasto total: S/.x2  Compro x camisas  Cada una cuesta S/. x  Jorge

10. Jorge tiene S/.50 más que Javier.

S/. (x + 50)

Javier S/. x

A B  A = 2K =  2 5  B = 5K

11. La relación que hay entre 2 números es de 2 a 5. 12. Tres números son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente.

A = 3K; B = 4K; C = 5K

Lo que se ha mostrado son ejemplos de cómo se puede representar simbólicamente en el lenguaje matemático un fragmento de enunciado.


11

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 3

PLANTEO DE ECUACIONES I

Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras. El estudiante debe proceder según requerimientos de cada problema en particular.

2. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones: •

Ya que para encontrar la respuesta a un problema se debe resolver una o más ecuaciones, es necesario que el estudiante haya aprendido plenamente a resolver ecuaciones en sus diferentes formas.

• •

Observación: Para resolver un sistema de ecuaciones; es conveniente recordar que existen varios métodos, por ejemplo: • Método de reducción • Método de sustitución • Método de igualación • Método de determinantes

•

    

x + y = 18 2x – y = 6

    

2x + 3y = 20 x + 2y = 12

    

3x – 4y = 8 2x + 3y = 11

 x + y + z = 12   x + 4y + z = 3   3z + 5y + z = 9

Por lo tanto, antes de resolver los problemas que se presentan a continuación conviene primero resolver, a manera de práctica los siguientes ejercicios:

3. Resuelve: • x2 – 12x + • 3x2 + 5x – • 4x2 + 4x – • x2 – 49x +

1.

4.

Halla x en: N J1 • 1 K (x–1)+2O + 1 = 4 3 2 L P •

27 = 0 84 = 0 15 = 0 600 = 0

Halla el valor entero y positivo de x en • x(x + 2) = 168 • (x – 2)(x + 2) = 96 • (x – 1)(x)(x + 1) = 504 • (x – 2)(x)(x + 2) = 192

30 30 + = 4,5; x ∈ N x+2 x–1

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Si anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy, y lo que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que fue S/. 50 menos que anteayer, ¿cuántos soles debo agregar a mi dinero para poder comprar un pantalón que cuesta S/. 60? A) S/.40 B) S/.50 C) S/.60 D) S/.70 E) S/.80

de 5 en 5 escalones, ¿cuántos escalones tiene la escalera? A) 20 B) 40 C) 60 D) 10 E) 50 UNMSM 2001 NIVEL INTERMEDIO

Resolución:

UNMSM 1998 NIVEL DIFÍCIL

A) 20 D) 35

UNMSM 1999 NIVEL FÁCIL

Resolución: Según el enunciado, se tiene: Anteayer Ayer Hoy 1442443 123 123 6x x 2x Por dato: 6x – x = 50 → x = 10 Luego, hoy tengo: 2(10) = S/. 20 \ debo agregar 60 – 20 = S/. 40

Respuesta: S/. 40 Problema 2 Si al subir una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más que subiendo

TEMA 3

Problema 3 Un niño le dice a su amigo: "Dame 5 de tus canicas, y tendremos tanto el uno como el otro". Este le responde: "Dame 10 de las tuyas, y tendré dos veces más de las que te queden". ¿Cuántas canicas tiene el niño?

5

4 4

5

x escalones

N° de pasos =

x 4

x escalones

N° de pasos =

x 5

En el primer caso, se dieron 3 pasos más que en el segundo caso; por lo tanto:

B) 25 E) 40

C) 30

Resolución: De lo que dice el niño: a+5=b–5 ⇒ a + 10 = b ......(I) De lo que dice el amigo: 3(a – 10) = b + 10 ......(II) Reemplazando (I) en (II):

x x = +3 4 5

⇒ 3(a – 10) = a + 10 + 10

Resolviendo: x = 60

Resolviendo:

\ la escalera tiene 60 escalones.

∴ el niño tiene 25 canicas.

RAZ. MATEMÁTICO

Respuesta: 60

22

a = 25

Respuesta: 25


PLANTEO DE ECUACIONES I

PROBLEMAS DE EJERCICIOS

EJERCITACIÓN

1. En un taller hay 25 vehículos entre autos y motos. Si tienen 70 ruedas en total, ¿cuántos son autos? A) 15 B) 18 C) 20 D) 17 E) 10 2. Un padre reparte S/. 53 entre sus 3 hijos. El mayor recibe S/. 4 más que el menor, y el menor S/. 1 menos que el intermedio. ¿Cuánto recibió el mayor? A) S/.20 B) S/. 16 C) S/. 17 D) S/. 24 E) S/. 30 3. En un corral el número de gallos es el cuádruple del número de gallinas. Si se venden 4 gallos y 4 gallinas, entonces el número de gallos es 6 veces el número de gallinas. ¿Cuántas aves había inicialmente? A) 33 B) 63 C) 40 D) 50 E) 95 4. Un padre tiene 2 hijas y 3 hijos; si a cada hija le da 2 caramelos más que a cada hijo y en total ha repartido 24 caramelos, ¿cuántos caramelos recibió cada hija? A) 4 B) 8 C) 5 D) 3 E) 6 5. Un apostador tenía S/. 300 y jugó 3 veces. En cada juego perdió S/. 50 más que en el anterior. ¿Cuánto perdió en el juego final, si se quedó sin dinero? A) S/. 50 B) S/. 100 C) S/. 150 D) S/. 200 E) S/. 2

PROFUNDIZACIÓN 6. Un cilindro de 1,80 m de altura pesa vacío 15 kg y lleno de petróleo

95 kg. ¿A qué altura deberá llenarse para que su peso sea exactamente igual a su altura expresada en centímetros? A) 10 B) 25 C) 12 D) 15 E) 27 7. Mis amigos Juan y Pablo, con nuestros hijos Julio, José y Luis, disparamos con dardos sobre una diana con número en cada casilla. Cada uno marcó en cada tiro tantos puntos como tiros hizo. Cada padre se anotó 45 puntos más que su hijo. Yo disparé 7 tiros más que Luis y Julio 15 más que Pablo ¿cómo se llama mi hijo? ¿Quién es el hijo de Juan? A) Luis – José B) José –Julio C) Julio – José D) José – Julio E) Luis – Juan 8. Adolfo se dirige al mercado y compra la misma cantidad en dinero de plátanos naranjas y manzanas, comprando en total 55 frutas. El precio de una naranja excede en S/. 1 al precio de un plátano, el precio de una manzana excede en S/. 1 al precio de una naranja. Si el número de naranjas excede al número de manzanas en tantos plátanos, como se pueden comprar con S/. 5. Calcule el número de cada fruta. Dé como respuesta la diferencia entre plátanos y manzanas. A) 15 B) 20 C) 25 D) 5 E) 12 9. Sean a y b números de dos dígitos donde b > a, además a + b menor que 100, el producto de los números tiene cuatro cifras y empieza con 1. Si se borra el 1 lo que queda es a + b. ¿Cuánto vale a? Dé como respuesta la suma de sus cifras


33

A) 14 D) 13

B) 15 E) 5

C) 10

SISTEMATIZACIÓN 10. Se tiene dos cirios de igual tamaño, pero de diferente calidad, el primero se consume en a horas y el segundo en b horas (a > b). Si se encienden simultáneamente ¿dentro de cuánto tiempo la altura del más lento será n veces la altura del más rápido? ab(n – 1) ab(n – 1) A) B) an – b n–b C)

b(n – 1) an – b D) n–b ab(n – 1)

E)

b(n – 1) an – b

11. Con las tablas que sirven para construir una cerca de 40 metros se desea delimitar un jardín de forma rectangular donde uno de sus lados sea la pared de la casa y que el área sea máxima ¿qué dimensiones debe tener dicho jardín? A) 24 y 8m B) 26 y 12m C) 25 y 7,5m D) 20 y 10m D) 22 y 9m 12. Un agricultor desea dividir un terreno de forma rectangular en pequeñas parcelas cuadradas, para ello debe colocar cierto número de estacas en hileras igualmente espaciados tanto a lo largo como a lo ancho y el número de ellas deben estar en la relación de 3 a 2. Hace un primer intento y le faltan 174 estacas, se decide entonares colocar 3 menor en el largo y dos menos en el ancho con lo cual le sobran 96 estacas, calcule el número de estacas disponibles. A) 3120 B) 3200 C) 3000 D) 2844 E) 2780

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 3


PROBLEMAS SOBRE EDADES – MÓVILES

SNII2RM4

DESARROLLO DEL TEMA

PROBLEMAS SOBRE EDADES I. CALENDARIOS

se solucionaría omitiendo 3 años bisiestos cada 400 años: los años de fin de siglo, acabados en dos ceros, solo serían bisiestos en el caso que fuesen divisibles por 400. El 1900, por lo tanto no es bisiesto, pero el 2000 sí.

Actualmente usamos el calendario gregoriano. Este calendario suponía que cada año dura 365 días y 1/4, por lo que la adición de un día extra cada cuatro años es suficiente en su teoría. Sin embargo, ya entonces se sabía que la duración real de un año es algo más corta. Hoy en día se cifra en 365,24219 días. La diferencia entre este valor y 365,25 no es muy grande: 0,00781 días, que equivalen a unos 11 minutos y 1/4. Pero se acumulan a lo largo del tiempo: al cabo de mil años es de 0,00781 x 100 = 7,8 días. En la iglesia católica se habló sobre la necesidad de reformar el calendario durante más de 300 años. Mes

Cantidad de días

Enero

31

Febrero

28 ó 29

Marzo

31

Abril

30

Mayo

31

Junio

30

Julio

31

Agosto

31

Setiembre

30

Octubre

31

Noviembre

30

Diciembre

31

Año actual –1; si la Año Nacimiento + Edad Actual = persona aún no cumple años

Nota: Para reconocer un año bisiesto debes recordar que las o 2 últimas cifras del año debe ser: 4 Ejemplos: 19 20 , 19 84 , 20 04 , 20 08 , más no 19 86 , Si sus 2 últimas cifras terminan en cero, las 2 cifras o iniciales deben ser: 4 Ejemplos: 16 00 , 20 00 , 24 00 , mas no 19 00

II. SUJETOS

Finalmente, en 1582, el Papa Gregorio, tras asesorarse con matemáticos y astrónomos, decretó que el problema


actual; si la Año Nacimiento + Edad Actual = Año persona ya cumplió años

11

Son los protagonistas, generalmente personas, y, en algunos problemas, animales, plantas, etc.

Ejemplo: Pamela es 5 años menor que Juan, pero 3 años mayor que Katy.

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 4

PROBLEMAS SOBRE EDADES -– MÓVILES

III. TIEMPOS

Es uno de los más importantes puntos, pues si se interpreta inadecuadamente el texto en un tiempo equivocado, se iría complicando la resolución. Veamos:

EXPRESIONES

TIEMPO

Tiempo Presente: Existe un solo presente. Se identifica por las expresiones:

– tengo ................. – mi edad actual es................ – tienes ................. – ect. – tenemos.............. – hoy la edad .........

Tiempo Pasado: Puede darse en el problema uno o más, se reconocesn por:

– – – –

hace 8 años ............... tenias ................. cuando yo tenía .............. etc .........

– – – –

dentro de ............... tu dendrás ................. nosotros tendremos .............. etc .........

Tiempo Futuro: Al igual que el tiempo pasado pueden darse uno o más. Pueden identificarse por:

IV. EDAD

Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en años pero puede darse en días o meses.

PROBLEMAS SOBRE MÓVILES I. CONSIDERACIONES PREVIAS

A. Tiempo de encuentro

• En esta parte estudiaremos el movimiento desarrollado por un cuerpo cuando éste lleva una rapidez constante. • Recordaremos que la velocidad es aquella magnitud vectorial cuyo módulo (V) nos indica la rapidez con que se mueve un cuerpo. • Si la rapidez de un móvil (cuerpo) es, por ejemplo, 5 metros por segundo (5 m/s); significa que cada segundo recorre una distancia de 5 m. En general, si la rapidez de un móvil es V m/s significa que en cada segundo recorre una distancia V metros. Si quisiéramos determinar el tiempo (t) que emplearía este móvil en recorrer una cierta distancia (d), entonces podemos emplear plantear una regla de tres simple directa: diferencia (m) V d

Dos móviles separados 180 m, con rapideces de 4 m/s y 2 m/s van al encuentro uno del otro en direcciones contrarias. ¿En cuánto tiempo se encontrarán? V1 = 2m/s V2 = 4m/s

=//=//=//=//=//=//=//=//=//=// d = 180 m A) 10 s D) 40 s

Resolución: En cada segundo los móviles se aproximan: (2 + 4) = 6 metros. Pero, para que se encuentren deben aproximarse en total 180 m; lo que significa que el tiempo a emplear será: 180 = 30 s 2+4

d=Vxt

recorrido

Respuesta: C Generalizando:

rapidez tiempo

TEMA 4

RAZ. MATEMÁTICO

C) 30 s

tiempo (s) 1 t

B) 20 s E) 50 s

22

te =

d V1 + V2



B. Tiempo de alcance (ta)

Adolfo persigue a Angélica, separada de él 200 m, si Adolfo lleva una rapidez de 30 m/s y Angélica 10 m/s. ¿En cuánto tiempo la alcanzará? V1 = 30m/s

Vtren Puente

V2 = 10m/s =//=//=//=//=//=//=//=//=//=/ Ltúnel

Ltren =//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//= Angélica Adolfo d = 200 m A) B) C) D) E)

Lcruce=

5 s 10 s 20 s 15 s 8s

Ltren + Ltúnel Vtren

C. Relación entre la rapidez y el tiempo para espacios iguales

Resolución: Según las rapideces, por cada segundo, Adolfo descontará: 30 – 10 = 20 m; luego el tiempo total para alcanzarla será:

Dos autos van a recorrer 200 km. Uno lo hace en 8 horas y el otro en 20 horas. Veamos como se relacionan la proporción de rapidez y la proporción de tiempos empleados. V1

t1 = 4h

200 = 10 s 30 – 10

Respuesta: B

=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//

Generalizando: ta =

200 km d V1 – V2 =//=//=//=//=//=//

t2 = 10 h

V2

Nota: Sabemos que: V =

Una persona parada

e t

En movimiento

Vtren

Entonces:

=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//

200 km = 50 km / h 4h 200 km V2 = = 20 km / h 10 h V1 =

Apreciamos entonces, que la relación de rapidez es:

Ltren

Lcruce=

V1 50 5 = <> V2 20 2

Ltren

y la relación de tiempos es:

Vtren


t1 4 2 = <> t 2 10 5

33

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 4

PROBLEMAS SOBRE EDADES -– MÓVILES

Vemos que la relación de rapidez es inversa a la relación de tiempos cuando la distancia es constante.

En tres segundos el niño recorrerá: d1 = 10 × 3 = 30 m V2= 15 m/s

D. Relación entre la rapidez y el espacio recorrido para un mismo tiempo

3s

Dado el siguiente gráfico: V1 = 10 m/s

=//=//=//=//=//=//=//=//=//=//=// d2 automóvil En los mismo tres segundos el automóvil recorrerá: d2 = 15 × 3 = 45 m Se observa que la relación de distancias es la misma que la relación de rapideces, cuando el tiempo es constante, es decir: V d 10 30 = → 1 = 1 15 45 V2 d2

3s

=//=//=//=//=//=//=//=//=//=// niño d1

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Juan triplica en edad a Pedro. Cuando Pedro tenga el doble de la edad que tiene. ¿Cuál será la relación entre las edades de Juan y Pedro?

A) 20 m D) 45 m

Haciendo un esquema tendremos:

Futuro

Juan

3x

4x

Pedro

x

2x

=//=//=//=//=//=//=//=// Panadería Casa d → d = 2(t + 12)

Erorres más comunes: No aplican correctamente las edades en los tiempos específicos y el criterio de la suma en aspa.

Respuesta: 2 a 1 Problema 2 Juancito desea calcular la distancia que hay entre su casa y la panadería; observa que si va a una rapidez de 2 m/s emplea 12 segundos más que si va a 5 m/s. ¿Cuál es la distancia? NIVEL FÁCIL

TEMA 4

C) 20 s

V1 d 10 5 = = = 1 V2 6 d2 12 V1 = 10 m/s

5 m/s =//=//=//=//=//=//=//=//

(t + 12)s

La suma en aspa son iguales Entonces Juan = 4x = 2 2x 1 Pedro ∴ será de 2 a 1.

B) 15 s E) 25 s

Como el tiempo es el mismo, la relación de distancias recorridas es la misma que la relación de rapidez.

(t + 12)s

A) 10 s D) 30 s

Resolución:

2 m/s

B) 4 a 3 C) 6 a 5 E) 10 a 9

Presente

después de cierto tiempo uno está 20 m adelante del otro. ¿Cuál es este tiempo? NIVEL INTERMEDIO

NIVEL FÁCIL

Resolución:

C) 40 m

Resolución:

UNMSM 2005–II

A) 2 a 1 D) 8 a 7

B) 30 m E) 50 m

=//=//=//=//=//=//=//=// Panadería Casa d

V2= 12 m/s

→ d = 5t

Luego: 2(t + 12) = 5t t=8 ∴ d = 5(8) = 40 m La distancia entre su casa y la panadería es 40 m.

Respuesta: 40 m Problema 3 Dos móviles con rapidez de 10 m/s y 12 m/s parten de un mismo punto,

RAZ. MATEMÁTICO

d1 = 5 k

44

=//=//=//=//=//=//=//=// 20 m d2 = 6 k Del gráfico: 5k + 20 = 6k k = 20 El tiempo es: d1 = 5 ( 20 ) m = 10 s V1 10 m / s

Respuesta: 10 s



PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

1. Yo tenia 18 años y dentro de 20 años tendré el doble de la edad que tengo. ¿Cuántos años tengo? A) 28 B) 20 C) 19 D) 22 E) 23 2. Tú tienes 16 años, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 44 años. ¿Qué edad tengo? A) 20 B) 16 C) 18 D) 22 E) 19 3. A Carlos le preguntaron por su edad, este aficionado a los números respondió: "Si al triple de la edad que tendré dentro de tres años, le restan el triple de la edad que tuve hace tres años, obtendrán mi edad". ¿Cuántos años tiene Carlos? A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 18 4. Juana se dirige desde su casa a la academia, en bicicleta, empleando un tiempo de 30 minutos; para volver, aumenta su velocidad inicial en 4m/min, demorándose esta vez 6 minutos menos. ¿Cuál es la distancia que recorrió en total? A) 960 m B) 920 m C) 860 m D) 880 m E) 940 m 5. Do s t ra ns bo rda do res, c uya s longitudes son 120 y 180 m, se desplazan con velocidades de 7 y 23 m/s, respectivamente. ¿Cuánto tiempo demoran en cruzarse?

A) 13 s D) 35 s

B) 10 s E) 30 s

C) 23 s

PROFUNDIZACIÓN 6. Alex y Luisa discuten acaloradamente en una de las esquinas de la avenida Arequipa, de pronto dan por terminada su relación partiendo en direcciones perpendiculares con velocidades de 16 y 12 m/s, respectivamente. ¿Después de qué tiempo estos personajes estarán una distancia de 90 m, lamentando su decisión? A) 4 s B) 5 s C) 6 s D) 4,5 s E) 7 s 7. Dos trenes de igual longitud se desplazan con rapidez constante y tardan 6 segundos en cruzarse cuando viajan en sentidos contrarios. Si el de mayor rapidez tarda 8 segundos en pasar totalmente al otro cuando van en el mismo sentido, la relación entre las rapideces de los trenes es: A) 1/7 B) 3/7 C) 5/7 D) 3/5 E) 1/5 8. Carolina tuvo a su primer hijo a los 18 años y 3 años después tuvo a su segundo hijo. Si en 1995 las edades de los tres sumaban 51 años. ¿En qué año nació Carolina? A) 1965 B) 1970 C) 1981 D) 1950 E) 1956 9. Cinco alumnos se reúnen a las 15 h un día del año 1992, suman todas sus edades más todos sus años de


55

nacimiento obteniendo 9957. Diga usted. ¿Cuántos faltan cumplir años? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SISTEMATIZACIÓN 10. Víctor tiene 32 años su edad es el cuadrúple de la edad que tenía Juan cuando Víctor tenía la tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tiene Juan? A) 36 años B) 26 años C) 29 años D) 30 años E) 28 años 11. Dos atletas están separados 150m. Si corren al encuentro uno del otro, este se produce al cabo de 10 segundos; pero si corren el uno en pos del otro, el alcance se produce a los 30 segundos. Calcular la velocidad del atleta que da alcance al otro. A) 15 m/s B) 16 m/s C) 18 m/s D) 10 m/s E) 20 m/s 12. Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que 3, 4 y 5. Si dentro de 2 años será como 5, 6 y 7. ¿Qué edad tiene el mayor? A) 12 B) 10 C) 16 D) 14 E) 20

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 4


RAZONAMIENTO INDUCTIVO SNII2RM5

DESARROLLO DEL TEMA I. RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Es el tipo de razonamiento que en base a experiencias sencillas nos permite llegar a conclusiones generales. Es decir, mediante el análisis de situaciones sencillas pero con las mismas características del problema original, llegamos a conclusiones con amplia probabilidad de certeza.

Caso 1

Caso 2

Caso n

Caso 3

INDUCCIÓN

... 14444444444244444444443 Casos particulares

144424443 Caso general

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Calcula el valor de "A" y dar como respuesta la suma de su cifras. 2

A = 333 ... 333 144424443 20 cifras

A) 180 D) 220

B) 190 E) 310

C) 200

33 2 = 1089 → ∑cifras = 18 = 9(2) 123 2 cif. 333 2 = 110889 → ∑cifras = 27 = 9(3) 123 3 cif. 33332 = 11108889 → ∑cifras = 36 = 9(4) 123 4 cif.

NIVEL FÁCIL

Observa que el cálculo que nos piden se complica solo porque el número de la base tiene muchas cifras. Entonces aplicando inducción, analizaremos casos sencillos con menos cifras en la base y realizamos el cálculo.

Resolución: 3 2 = 9 → ∑cifras = 9 = 9(1) 123 1 cif. 33 2 = 1089 → ∑cifras = 18 = 9(2) 123 2 cif.

Se observa que la suma de cifras en cada caso tiene una forma repetida, "9" por la cantidad de cifras de la base. Luego: Nota: 2 33...33 → ∑cifras = 9(20) = 180 Los =casos particulares deben 14243 ser 3 como mínimo y con 20 cif. forma semejante, el objetivo es percibir la secuencia formada Respuesta: A) 180 por los casos particulares. Problema 2 ¿Cuántos palitos tiene el siguiente arreglo?


11

A) 2050 B) 2405 C) 2450 D) 2626 E) 2525

1 2 3 4 47 48 49 50 NIVEL INTERMEDIO

Resolución: Veamos casos sencillos: 1

2

1 2 3

⇒ #palitos = 2 = 1 x 2 ⇒ #palitos = 6 = 2 x 3

⇒ #palitos = 12 = 3 x 4 1 2 3 4 Observa que en cada caso sencillo se obtiene el número de palitos, multiplicando los dos últimos números de cada figura. Entonces concluimos que para la figura del problema:

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 5

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

#palitos = 49 × 50 = 2450

Respuesta: 2450 Problema 3 Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar

B) 81

D) 83

E) 84

C) 82

(111111111) 144424443 9 cifras

11112 = 123 4 321 → ∑cifras = 16 = 4

2

Luego: NIVEL DIFÍCIL

Resolución: Por inducción: 2

1 = 1 → ∑cifras = 1 = 1

(111111111)2 = 12345678987654321 144424443 9 cifras → ∑cifras = 92

2

2

112 = 1 2 1 → ∑cifras = 4 = 2

2

A) 80

1112 = 12 3 21 → ∑cifras = 9 = 3

= 81

Respuesta: 81

2

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Si: (a + b + c)2 = a25 Calcular: M = ab3 + c2b + 4ac + bca A) 1475 B) 1685 C) 2088 D) 1575 E) 1988 2. Calcular: (A – M – N)1997 si se sabe que: 1A + 2A + 3A + ... + 9A = MN1 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 3. Si: UNO = (U + N + O)3; 0 ≠ cero

NO

Calcule: U A) 1 B) 5 D) 32 E) 23

C) 3

10. Calcular la suma de los términos de la fila 50.

P = 2222...22 × 9999...998 1442443 1442443

103 cifras

A) 760 D) 740

104 cifras

B) 730 E) 750

C) 720

Fila 2 →

7. En la figura se muestra una sucesión de rumas formadas por fichas numeradas. ¿Cuál es la suma de todos los números de la ruma T12? 12

6

2

10 8

; 2 4 ; 2 4 4 ; T1 T2 T3

20 16 18 14 12 10 2 4 6 8

T4

; ...

A) 8372 B) 6162 C) 4422 D) 7024 E) 3080

100 cifras

A) 100 D) 400

100 cifras

B) 200 E) 80

C) 50

PROFUNDIZACIÓN 6. Halle la suma de cifras del producto P.

TEMA 5

2

A) 277 D) 243

3

22 23 24 B) 87 E) 324

C) 906

9. En una circunferencia se ubican 30 puntos distintos. ¿Cuántos arcos se pueden formar con dichos puntos? A) 435 B) 870 C) 380 D) 465 E) 930

RAZ. MATEMÁTICO

22

7

Fila 4 →

5 9 11

13 15 17 19

A) 9750 C) 25 000 E) 125 000

B) 12 500 D) 75 200

SISTEMATIZACIÓN 11. Halle la suma de todos los números del siguiente arreglo:

1

1

3

Fila 3 →

8. ¿Cuántos palitos hay en total en la siguiente figura?

4. Determinar: P + U + C, si: PUC + CUP = 888 Además: P – C = 4 A) 10 B) 14 C) 11 D) 13 E) 12 5. Calcule la suma de cifras del resultado de: M = 5555...5562 – 4444...4552 144424443 1442443

1

Fila 1 →

2 2

3 3 3

4 4 4 4

15 16 17 18 5 6 29 5 7 6 18 5 17 16 15

A) 2375 B) 2350 C) 2250 D) 3475 E) 3375 12. Un total de 28 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Suponiendo que todos los presentes se estrecharon la mano una vez, el número de personas fue: A) 28 B) 14 C) 56 D) 8 E) 74



SUCESIONES SNII2RM6

DESARROLLO DEL TEMA NOCIÓN DE SUCESIÓN

Se entiende por sucesión a un conjunto ordenado de elementos de acuerdo a una ley de formación o también una característica común.

II. SUCESIÓN LITERAL

Una sucesión de letras se puede construir a partir de 3 criterios generales

1. Según el alfabeto

Ejemplos: Sucesión gráfica: ,

,

,

, ...

Sucesión Literal: A, C, E, ....

C

D

E

F

I

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

¿Qué letra continúa?

1, 5, 13, 29, ....

A, D, I, O, ....

I. SUCESIÓN GRÁFICA

B H

Ejemplo:

Sucesión Numérica:

A G

Una sucesión de figuras se forma de acuerdo a un "criterio de movimiento" de sus elementos. Se debe percibir el desplazamiento ó giro.

Solución: De acuerdo al alfabeto a cada letra le corresponde un número: A, D, I, O, . . . .

Ejemplo: ¿Qué figura continúa?

1 4 9 16 12 22 32 42 ⇒ Son los cuadrados perfectos Continúa 52 = 25 y en el alfabeto es la letra "X".

,

,

, ...

2. Son iniciales de nombres con un orden dado.

Solución: • Se observa que cada figura es una vista del siguiente sólido. giro

Por lo tanto la siguiente vista será:


11

Ejemplos: U , D , T , C ,...

L , M , M , J ,...

u n o

l u n e s

d o s

t r e s

c u a t r o

RAZ. MATEMÁTICO

m a r t e s

m i e r c o l e s

j u e v e s

TEMA 6

SUCESIONES

3. Completan una palabra o frase Ejemplos: S, A, N, M, A, R, C, O, . . . → La "S" completaría SAN MARCOS

Ejemplo: ¿Qué número continúa? 0, 1, 5, 23, . . . Solución:

O, N, M, U, L, . . . → la "A" completaría ALUMNO en orden inverso.

III. SUCESIÓN NUMÉRICA

Consideremos al conjunto numérico:

1, 2, 3, 4, 5, . . . , n

Como los números "ordinales" es decir aquellos que indican el lugar del término de una sucesión.

a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an

Nota: Es importante considerar siempre a las sucesiones notables porque a partir de ellas se forman nuevas sucesiones.

Cada uno de los términos de la sucesión posee un número ordinal que indica su posición y el número de términos hasta dicho término.

Ejemplo:

¿Qué número continúa?

1, 4, 27, 256, . . .

Entonces: 0, 1, 5, 23 , ... 1!–1 2!–1 3!–1 4!–1

Solución:

Se puede reemplazar cada número por una expresión que esta en función de su ordinal. 1 , 4 , 27 , 256 , ... ↓ ↓ ↓ ↓ 11 22 33 44 ...

Recordamos la sucesión de los factoriales.

1, 2, 6, 24 , 120 , ... 1 1×2 1×2×3 1×2×3×4 1×2×3×4×5

Por lo tanto el número que continúa es: 5! – 1 = 119.

Por lo tanto continúa 55 = 3 125

B. Sucesión Lineal Se le llama también sucesión de 1º orden o Progresión Aritmética, se forma cuando a partir del primer término siempre agregamos una misma cantidad llamada Razón Aritmética.

A. Sucesiones Notables Ordinal

1

2

3

4

5

...

n

Sucesión

a1

a2

a3

a4

a5 ...

an

Naturales

1

2

3

4

5

...

n

Pares

2

4

6

8

10 ...

2n

Impares

1

3

5

7

9

...

4

9

16

25 ...

n

Rectangulares

2

6

12

20

30 ...

n(n+1)

15 ...

n(n+1) 2

Triangulares

1

3

6

1

Cubos

1

8

27

64 125 ...

Fibonacci

1

1

2

3

5

...

an=an-1+an-2

Primos

2

3

5

7

11 ...

Solo poseen 2 divisores

Polinomial

–1

–1

1

5

11 ...

n2 – 3n +1

Geométrica

5

15

45 135 405 ...

Factorial

1

2

6

+5 +5

...

+5

...

100, 98, 96, 94, . . . , (–2n + 102) –2

n3

–2

–2

...

¿Como podríamos hallar an? a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an

+r

+r

+r

+r ...

Por inducción: a1 = a1 a2 = a1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a2 + 3r

5 × 3(n–1) n!

RAZ. MATEMÁTICO

+4

6, 11, 16, 21, . . . , (5n + 1)

2

1

TEMA 6

+4 +4

2n–1

Cuadrados

24 120 ...

Ejemplos: 5, 9, 13, 17, . . . , (4n + 1)

22

h


SUCESIONES

Entonces:

an = a1 + (n – 1)r

a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an +r

+r

an = rn + a0 Ejemplo: Calcula el vigésimo término de la sucesión. 2, 11, 20, 29, . . .

c = a0

–9

–9

Calcular el vigésimo término de la sucesión siguiente:

9, 13, 19, 27, 37, . . .

Solución:

Buscamos las diferencias sucesivas y hallamos los

–9

Nos piden:

Es aquella sucesión en donde "a n" tiene forma de

Reemplazando en an = an2 + bn + c an = n2 + n + 7

polinomio: P(n).

El grado del polinomio determina el orden de la sucesión.

Ejemplos:

a20 = 202 + 20 + 7 = 427

También se le llama progresión geométrica y es aquella en donde a partir del primer término siempre se multiplica por una misma cantidad llamada razón geométrica.

Ejemplos:

5, 7, 9, 11, . . . , (2n + 3) –2 –2

–2

• 7, 14, 28, 56, . . .

2.° Orden: 2

3, 3, 5, 9, . . . , (n – 3n + 5) –0 –2

+2

–4

+2

...

19

12

35

18 6

×2

...

×2

×3

×3

...

×3

• 120, 60, 30, 15, . . .

0, 7, 26, 63, 124, . . . , (n3 – 1) 7

×2

• 9, 27, 81, 243, . . .

...

3.er Orden:

Nos piden:

VI. SUCESIÓN GEOMÉTRICA

1.er Orden:

1 2

×

1 2

×

1 2

...

En general:

a2, a3, a4, . . . , an ×q ×q ×q Por inducción: a1 = a1 a2 = a1 × q a3 = a2 × q2 a4 = a3 × q3 an = a1 × qn–1 Entonces:

24 6

Es toda sucesión polinomial en donde:

an = an2 + bn + c ¿Como hallar an en forma práctica?


×

a1,

61

V. SUCESIÓN DE 2.° ORDEN

c = 7 9, 13, 19, 27, 37, . . . a+b=2 +4 +6 +8 +10 2a = 2 +2 +2 +2

Entonces: a = 1; b = 1; c = 7

IV. SUCESIÓN POLINOMIAL

a=

Entonces:

términos que estarían antes que los primeros.

a20 = 9(20) – 7 = 173

...

Ejemplo:

2, 11, 20, 29, . . . an = 9n – 7

–7

+r

Solución:

+r

r 2 b = b0 – a

+r ...

+b1 +b2 +b3

r

+r

a1, a2, a3, a4, a5, . . .

b0

También:

a0

Sea la sucesión a0

33

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 6

SUCESIONES

Ejemplo:

Calcule el vigésimo término de la P.G. siguiente:

Propiedades Sea la P.G. a1, a2, a3, a4, a5, . . .

5, 10, 20, 40, . . . .

1. Si tomamos 3 términos consecutivos cualquiera a2 =

a1 × a3

Solución:

a3 =

a2 × a4

5, 10, 20, 40, . . .

a4 = h

a3 × a5

×2

×2

×2

...

a1 × an

2. Si "n" es impar: acentral = n–1

Sabemos que: an = a1 × q

3. El producto de términos extremos es siempre el mismo: a1 × an = a2 × an–1 = a3 × an–2 = ...

19

Entonces: a20 = 5 × 2

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Los primeros términos de dos progresiones aritméticas que tienen igual número de términos son 26 y –10 respectivamente y sus razones respectivas son 7 y 5. ¿Cuántos términos tiene cada una, si el último término de la primera progresión es el triple del último termino de la segunda progresión? A) 7 B) 12 C) 9 D) 15 E) 8

Problema 2 Un obrero ahorra cada día S/. 5 más de lo que ahorra el día anterior, el último día se da cuenta que el número de días que estuvo ahorrando hasta ese día era la séptima parte de lo que ahorro ese día; sabiendo que lo que ahorró el quinto día y lo que ahorró el penúltimo día, totalizan S/. 290. ¿Cuánto ahorró el primer día? A) 60 B) 55 C) 65 D) 52 E) 78

NIVEL INTERMEDIO

NIVEL INTERMEDIO

Resolución: Sean las progresiones: 26, 33, 40, . . . 7n + 19 –10, –5, 0, . . .

#días 1° 2° 3° ... n° ahorro x+5 x+10 x+15 x+5n 1 n = (x + 5n) ⇒ x = 2n 7

5n – 15

Del dato: (2n + 25) + (2n + 5n – 5) = 290

+5 +5

Del dato:

Reemplazando: x = 2n

7n + 19 = 3 (5n – 15) 7n + 19 = 15n – 45

(2n + 25) + (2n + 5n – 5) = 290

64 = 8n

9n + 20 = 290

\n=8

n = 30

RAZ. MATEMÁTICO

sucesión: 3, 5, 9, 15, .............. 144444424444443 50 términos A) 145

B) 194

D) 133

E) 117

C) 154

NIVEL INTERMEDIO

Hallamos "an" c=3

3, 5, 15, . . .

a + b = 0 +2 +4 +6 2a = 2 +2 +2 an = n2 – n + 3 3,5,9,15,...,93,113,...,995,1059,... 1 2 3 1442443 1442443 1442443 3×1 8×2 21×3 18×4 # de cifras = 154

Respuesta: 8

TEMA 6

Cuántas cifras se ha utilizado en la

Resolución:

Resolución:

+7 +7

Problema 3

Respuesta: 65

44

Respuesta: 154


SUCESIONES

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

PROFUNDIZACIÓN

1. Halle “x – y” en la siguiente sucesión: –12, –1, x, –10, –14, –19, –15, y A) 12 B) –2 C) 13 D) 14 E) 15

6. Halle el segundo término negativo de la siguiente sucesión: 213; 207; 201; 195; ... A) –11 B) –3 C) –9 D) –12 E) –8

2. En la sucesión: 4, 10, 16, 22, ..., 178 Calcule el número de términos A) 31 B) 28 C) 30 D) 35 E) 32

7. En una sucesión lineal creciente de 5 términos el producto del primer término y el quinto término es 325 y la suma de ellos es 38. Halla la suma del tercer y cuarto término. A) 37 B) 38 C) 39 D) 41 E) 42

3. Hallar la cantidad de términos de la sucesión: 3, 6, 12, 24, ..., 12288 A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 4. Hallar el valor de "n" en la siguiente sucesión: (a+3); (a+7)3; (a+11)5; (a+15)7; ...; (a+118–n)n A) 29 B) 19 C) 39 D) 25 E) 45 5. ¿Cuál es el octavo término de la sucesión? 2, 6, 12, 20, 30, ... A) 56 B) 70 C) 72 D) 54 E) 74

8. Juan le dice a Robert: “Si ordeno los números 3, 7 y 1 en forma ascendente, y a cada uno le sumo una misma cantidad obtengo una progresión geométrica". Hallar la suma de cifras del cuarto término de dicha progresión. A) 9 B) 7 C) 5 D) 6 E) 4 9. Un obrero que entra a laborar en un fábrica se le pide aumentar diariamente su productividad en 4 unidades. Si lo producido el último día es igual al cuádruplo del número de días que ha estado trabajando.


55

¿Cuántas tienen en A) 44 D) 36

unidades producidas se el décimo segundo día? B) 48 C) 32 E) 40

SISTEMATIZACIÓN 10. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión termina en cifra 5? 13; 22; 31; 40; ...; 904 A) 9

B) 10

D) 12

E) 13

C) 11

11. En la sucesión: 2 5 10 17 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ...

Calcula la suma de los términos de la fracción que ocupa el lugar veinte A) 301

B) 310

D) 217

E) 480

C) 240

12. De un libro de 300 páginas se han arrancado cierto número de páginas del principio observándose que en las páginas que quedan se utilizaron 641 cifras para su numeración. ¿Cuántas hojas se arrancaron? A) 40

B) 42

D) 38

E) 36

RAZ. MATEMÁTICO

C) 44

TEMA 6

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO tema 7

SERIES i SnIi2rm7

DESARROLLO DEL TEMA i. El invento del ajedrez

Veamos

El rey de la India, en reconocimiento al ingenioso invento por Lahur Sessa, decidió darle una repompensa, para lo cual mandó llamar al inventor. El invento constaba de un tablero de 64 cuadrículas y 32 piezas, el inventor de dicho juego pidió que se le diese 1 grano por el 1er casillero y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad anterior, hasta terminar con los 64 casilleros. El Rey ordenó que se le entregue lo pedido por Lahur Sessa. Al cabo de un tiempo los calculistas del palacio comunicaron al rey que tal pedido era imposible.

Para conseguir dicho volumen se afirma que la tierra converida de norte a sur en un sembrado con una cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad, y que si por siemple pasatiempo, contáramo los granos de trigo del montón a razón de 5 granos, contando día y noche sin parar dedicarí9amos a esta tarea 1 170 millones de siglos. Series es un tema que está estrechamente relacionado con el tema de sucesiones. Esto significa que el estudiante, hasta aquí, debe haber aprendido, por ejemplo cómo reconocer una sicesión polinomial del 1er orden, 2do orden, 3er orden, así también reconocer una progresión geométrica. Además de reconocer el tipo de sucesión, también debe saber hallar su respectivo término enésimo (tn) y el número de términos de la sucesión (en caso de ser ésta una sucesión infinita)

Es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Al resultado de dicha adición se le llama valor de la serie.

san marcos REGULAR 2014 – Ii

Sucesiones

Series

Forma abreviada de representar a una serie: t1 + t 2 + t 3 + ... + tn =

n

∑ tk

k=1

S: Sumatoria

∑ tk :"Sumatoria de los término de la roma tk"

n

k =1

desde k = 1 hasta k = n Una serie puede ser finita o infinita, dependiendo si el número de términos de ésta es limitado o ilimitado. Ejemplo: Dada la siguiente sucesión: 3, 6, 9, 12, 15 donde: tn = 3n; 1 ≤ n ≤ 5 Entonces la serie es:  3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45 En forma abreviada: 3 + 6 + 9 + 12 + 15 =

valor de la serie 5

∑ (3k)

k =1

Ejemplo Dada la siguiente sucesión: 2, 5, 10, 17, 26, ..., 401 donde: tn = n2 + 1; 1 ≤ n ≤ 20

Entonces la serie es: 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 401 = 2 890

valor de la serie

En forma abreviada: 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 401 =

iI. ¿Qué es una serie numérica?

t1 , t 2 , t 3 ,..., tn t1+ t 2+ t 3+ ... + tn  

11

20

∑ ( k 2 + 1)

k=1

IiI. Serie aritmética

Una serie aritmética es la adición indicada de los términos de una sucesión aritmética.

RAZ. MATEMÁTICO

Tema 7

SERIES i

Ejemplo: Calcula el valor de la siguiente serie aritmética. S=2 + 5 + 8 + ... + 53 + 56 + 59  Solución:

20 términos

20 términos  S = 2 + 5 + 8 + ... + 53 + 56 + 59 S = 59 + 56 + 53 + ... + 8 + 5 + 2 + 61 + 61 +  ⇒ 2S = 61 ... + 61 + 61 + 61  

multiplicamos por 3 miembro a miembro luego restamos ambas series:

20 términos

En general: En general:

Ejemplo: Calcula el valor de la siguiente serie: S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...99   

Ejemplo: Halla el valor de la siguiente serie: S = 17 + 21 + 25 + 20 + ...  

Solución:

25 términos

20 cifras Solución: S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...99   

20 cifras S = 10 – 1 + 102 – 1 + 103 – 1 + 104 – 1+...+ 1020 –1

S = 10 (111 ... 11) – 20  20 cifras S = (111 ... 1110 ) – 20  21 cifras S = (111 ... 1090 )  21 cifras

B. Serie geométrica decreciente infinita

III. Serie geométrica

(0 <

Una serie geométrica es la adición indicada de los términos de una sucesión geométrica. Las series geométricas pueden ser:

q < 1)

Calcula el valor de la siguiente serie: 1 S + 9 + 3 + 1 + + ... 3

A. Serie geométrica finita Calcula el valor de la siguiente serie: Solución:

Solución:

Multiplicamos por

Tema 7

RAZ. MATEMÁTICO

22

miembro a miembro.


SERIES i

Ejemplo: Calcula el valor de la siguiente serie 2 4 8 S =1 + + + + ... 3 9 27

Restamos ambas series:

Solución:

En general:

Nota: A la suma de una serie decreciente infinita también se le conoce como "suma límite".

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Un comerciante compra el día de hoy 21 cajas de tomates y ordena que cada día que transcurra se compre una caja más que el día anterior. ¿Cuántas cajas compró en total, si el penúltimo día, se compraron 39 cajas? A) 106 B) 305 C) 610 D) 61 E) 6 100

San Marcos 2004–I Nivel difícil

Problema 3 La suma de los 20 términos de una P.A. creciente es 650. Si el producto de

Resolución: Por inducción sobre el número de equipos. Nº total de partidos: 39(4) = 156

los términos extremos es 244, halla la razón. A) 23

B) 9

D) 13

E) 3

C) 33

San Marcos 2007–II Nivel intermedio

San Marcos 2001–II

Resolución:

Nivel fácil

Resolución:

Dato : t1 + t 2 + ... + t 20 = 650

Nº días : 1º 2º 3º (n – 1)º nº Nº cajas : 21; 22; 23; ...; 39; 40

 t + t 20  Es decir :  1  2  

S = 21 + 22 + 23 + ... + 39 + 40    40–21+1=20 sumandos

⇒ t1 + t 20 = 65... (1)

 21 + 40  S=  20 2   ∴ S + 610

además : t1 × t 20 = 244... ( 2 ) Re solviendo (1) y ( 2 ) :

Respuesta: C) 610 Problema 2 Un campeonato va a durar 39 días, si cada día se juegan 4 partidos, ¿cuántos equipos participan sabiendo que se jugarán 2 ruedas? (Todos contra todos). A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

t1 = 4

  como t 20 = t1 + 19r t 20 = 61  ( n – 1) n  ∴ 156 = 2   2   Así n = 13


⇒ 61 = 4 + 19r

Respuesta: B) 13

33

∴r =3

RAZ. MATEMÁTICO

Respuesta: E) 3

Tema 7

SERIES i

Problemas de clase ejercitación

espacio recorrido por la pelota

1. Calcule el valor de la suma limite, de la siguiente serie geométrica decreciente: 1 1 1 1 1 S =1 – + – + – + ... 3 9 27 81 243

alcanzo luego del primer rebote.

A) 1/2 D) 3/4

es de 3200 cm, halle la altura que

B) 1/3 E) 4/5

C) 2/3

2. Un tren salió de su paradero inicial con 7 pasajeros y en cada parada suben dos pasajeros más de los que hay. Si al llegar a su paradero final se contaron 574 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 3. Por su buen comportamiento, Benito recibe propinas semanales durante 12 semanas consecutivas, recibiendo en total 122885 soles. Si la propina recibida a partir de la segunda semana es siempre el doble de la recibida en cada semana transcurrida, entonces, la cantidad de soles que recibió Benito en la quinta semana es : a) 36 b) 48 c) 12 d) 18 e) N.A 4. Se lanza al aire una pelota la cual cae sobre el mismo sitio y al rebotar pierde 3/4 de la altura anterior. Si este proceso se repite hasta que la pelota queda en reposo y el

Tema 7

a) 1200 cm

b) 300 cm

c) 160 cm

d) 400 cm

e) 980 cm 5. Calcular:

k = 2 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... a) 2.85

b) 2.25

d) 4.99

e) 3.25

c) 2.65

A) 6675 B) 6645 C) 6895 D) 6915 E) 6924 9. Hallar la suma de los términos de la siguiente progresión aritmética: 2 +... + 17 + ... +44 Si se sabe que el numero de términos que existen entre 2 y 17 es la mitad del numero de términos que existen entre 17 y 44. a) 345 b) 346 c) 347 d) 348 e) 349

profundización

sistematización

6. Efectuar:

10. Calcular el valor de “S”.

S = 4 + 44 + 444 + ... + 444...44   " n" cifras

A)

4 (10n – 9n – 1) 81

B)

4 (10n – 9n – 10) 81

C)

4 (10n+1 – 9n – 10) 81

D)

1 (10n+1 – 9n – 10) 81

E)

40 (10n+1 – n – 10) 81

11. Calcula el valor de la suma. S = 2 + 5/3 + 7/6 + 9/12 + 11/24 + 13/48 + ... ∞ a) 10/3 b) 4 c) 14/3 d) 6 e) 20/3

8. Calcule el valor de la siguiente serie: S = 5 + 6 + 7 + 9 + 9 + 12 + 11 + 15... 

RAZ. MATEMÁTICO

44

1 1 1 1 + + + ... + 4 28 70 1720

A) 17/40 B) 14/43 C) 53/35 D) 47/74 E) 11/17

7. La suma de los 20 primeros términos de una P.A creciente es de 650.si el producto de los términos extremos es 244. Hallar el valor de la razón. a) 3.5 b) 3 c) 2.5 d) 4 e) 5

100 sumandos

S=

12. En un trabajo de reforestación, laboran 5 personas. Cada día plantan 3 árboles más que el día anterior. El último día plantaron tantos árboles como el quíntuplo del número de días que estuvieron trabajando. ¿Cuántos árboles plantaron el segundo día, sabiendo que los plantados el primer día y el último día totalizan 143? A) 46 B) 49 C) 43 D) 40 E) 20


razonamiento matemático tema 8

series ii SnIi2RM8

DESARROLLO DEL TEMA I. SERIES Y SUMAS NOTABLES

n

n

1.

( ) ∑ k = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n n2+ 1 k =1

2.

+ 4 + 6+ 8 + ... +  2n = n(n + 1) ∑ (2k) = 2

"n" términos

n

3.

+ 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1) = n2 ∑ (2k − 1) = 1

k =1 n

4.

∑ k2 =

"n" términos

12 + 22 + 32 + 4 2 + ... + n2 =

k =1

n ( n + 1) ( 2n + 1) 6

∑ (2k)2 = 22 + 42 + 62 + 82 + ... + (2n)2 =

k =1

)  ( ∑ k 3 = 13 + 23 + 33 + 43 + ... = n3 =  n n2+ 1  k =1 n

7.

Ejemplo:

Sea la siguiente sucesión numérica: donde: tn = 2n

Entonces la serie respectiva es: 2 + 4 + 6+ 8 + 10 + 12    = 42

k =1

En forma abreviada:

n =1

n(n + 1)(n + 2) 3

∑ k(k + 1)(k + 2) = 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ...n(n + 1)(n + 2)

k =1

Ejemplo: Sea la sucesión: 2, 5, 10, 17, 26, ..., 401 donde: tn = n2 + 1 Entonces la serie respectiva es: 2 + 5 + 10 + 17 + 26 + ... + 401 En forma abreviada:

n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4

2 + 5 + 10 + 17 + ... + 401 =

20

∑ (n2 + 1)

n =1

ii. sumatorias

valor de la serie

6

k =1

∑ k(k + 1) = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ...n(n + 1) =

2, 4, 6, 8, 10, 12

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = ∑ (2n) 2

=

2

n

9.

Una serie puede ser finita o infinita, dependiendo si el número de términos de ésta es limitado o ilimitado.

serie

∑ (2k)3 = 23 + 43 + 63 + 83 + ... + (2n)3 = 2 [n ( n + 1) ] n

8.

: sumatoria de los términos de la forma tk. desde k = 1, hasta "n".

2n ( 2n + 1) ( 2n + 2 ) 6

n

6.

k =1

n

5.

∑ tk

n

k =1

Se lee:

Si queremos representar la serie numérica en forma abreviada, usaremos el operador matemático sumatoria S (S es la letra sigma del alfabeto griego).

A. Número de términos de la sumatoria m

n

∑ ai

t1 + t 2 + t 3 + t 4 + ... + tn = ∑ tk

i= n

k =1


iii. propiedades

11

# términos = m – n + 1

raz. matemático

Tema 8

series ii

Ejemplo: Halle el número de términos de la siguiente sumatoria:

E. Desdoblando la sumatoria i = n; n + 1; n + 2; n + 3; ...; n + p; n + p + 1; ...m

# términos = 80 – 23 + 1 = 58

m

∑ k . ai = k∑ ai

=i n=i n

Ejemplo: 7

7

∑ 2i = 2∑ i

C. ai; bi son términos que dependen de la variable "i" m

m

∑ (ai ± bi)= ∑ ai ± ∑ bi

=i n

∑ ( 3i + i

=i n

i=n

i=n

i=n − p −1

2

)=

4

4

Luego:

∑ 3i +∑ i

2

=i 1=i 1

n =1

S=

D. Sumatoria de una constante. K = cte.

∑ k=

20

∑ (2n2 + n + 1)

= S

m

ai

tn = 2n2 + n + 1

=i n=i n

Ejemplo: 4

m

Resolución: S = 4 + 11 + 22 + 37 + 56 + ... 7 11 15 19 4 4 4

= k n=i 4

m

n−p

Suma de términos de una serie polinomial conociendo su término enésimo Ejemplo: Calcule la suma de los 20 primeros términos de: S = 4 + 11 + 22 + 37 + 56 + ...

B. Si k es un valor constante m

m

= ai ∑ ai + ∑ ∑

20

20

n 1 =

n 1= n 1 =

20

S= 2 ∑ n2 +

k (# términos)= k(m − n + 1)

i= n

20

∑ 2n2 + ∑ n + ∑ 1 20

20

∑ n + ∑1

n 1 = n 1= n 1 =

Ejemplo: 8

∑ 10=

S = 2× 10(8 − 4 + 1)= 50

20 × 21 × 41 20 × 21 + + 1 × 20 6 2 S = 5 970

i= 4

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Calcula S. = S

1 1 1 1 + + + ... + 5 × 10 10 × 15 15 × 20 100 × 105

A) 4/21 D) 1/525

B) 4/105 C) 21/100 E) 20/21

Resolución: Multiplicaremos la expresión por 5 (¿por qué?) = 5S

4 ∴S = 105

5 5 5 5 + + + ... + 5 × 10 10 × 15 15 × 20 100 × 105

          1 1 1 1 1 1 1 1 5S = − + − + − + ... + − 5 10 10 15 15 20 100 105

Cancelando términos semejantes nos queda: 1 1 5S= − 5 105   5S =

Tema 8

20 105

S=

Respuesta: B) 4/105

4S = 1+

1 2 3 4 5 + + + + + ... 5 52 53 54 55 1 1 1 1 1 + + + + + ... 5 52 53 54 55

Problema 2 Calcula: 1 2 3 4 5 S = + 2 + 3 + 4 + 5 + ... 5 5 5 5 5 A) 5/16 D) 1/5

B) 5/36 E) 1/16

Multiplicamos por 5 a la expresión dada, restaremos de este producto la serie original y tendremos. 2 3 4 5 6 + + + + + ... 5 52 53 54 55

raz. matemático

22

1 1−

1 5

5 ∴S = 16

C) 1/4

Resolución:

5S = 1+

4S =

Respuesta: A) 5/16 Problema 3 Calcula la suma límite de: 1 2 1 2 1 2 A = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... 7 7 7 7 7 7 A) 7/64

B) 7/36

D) 1/16

E) 1/7

C) 3/16


series ii

Resolución:

1 1 1 1 ⇒ A= 9  2 + 4 + 6 + 8 + ...  7 7 7 7 

Agrupamos en parejas y homogenizamos sus denominadores: A=

7 72

+

7 7 2 2 2 + 4 + 4 + 6 + 6 + ... 2 7 7 7 7 7

 1  2 A = 9 7 1− 1  72 

9 9 9 + + + ... 72 7 4 76

A=

9 ⇒A= 48 3 ∴A = 16

     

Respuesta: C) 3/16

PROBLEMAS de clase

EJERCITACIÓN

50 49 49

1. ¿Cuántos asteriscos hay en total?

48 48 48

F1 → * * *

47 47 47 47

F2→ * * * * *

h

F3→ * * * * * * * i

h

h

h

j

1 1 1 1 1

j

F50 → * * * * ... * * * * *

a) 29 000 b) 28 100 c) 22 100

a) 2048 b) 2350 c) 2785

d) 24 100 e) 23 100

d) 2250 e) 2600 2. Calcula el valor de ” M.” M = 1x5 + 2x6 + 3x7 + ... + 20x24 a) 2870 b) 3710 c) 3530 d) 3830 e) 3500

PROFUNDIZACIÓN

2 8 14

10 16

d) 1640 e) 1340

12 20

……………………...........

10. E n l a s f i g u ra s s e m u e s t ra n círculos tangentes entre sí, unas sombreadas y otras sin sombrear. ¿Cuántos círculos sombreados existen en la figura 99?

7. Calcular la suma de los términos del siguiente arreglo numérico:

6 18

Hallar: S1 + S2 + S3 + ... + S20 A) 1440 b) 1550 c) 1540

3. Dado el siguiente arreglo numérico: 4

SISTEMATIZACIÓN

6. Si: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n

9. Matías ingresa a trabajar en una tienda con la condición de que se le pagara por cada artículo que vende,una cantidad de soles igual a S/.8 más que la cantidad de artículos vendidos. Si el primer día vendió un artículo y cada día vende un articulo más que el día anterior. ¿Cuántos soles cobrará por los 32 días que trabajo? a) 15 664 b) 15 667 c) 15 660 d) 15 670 e) 13 980

Halla la suma de las 10 primeras filas A) 3080 b) 3090 c) 3800 d) 2870 e) 4560

20 20 j i 4 4 3 3 4 2 1 2 4 3 3 4 4 20i j20 A) 5470 B) 5740 C) 5739

4. Resolver:

D) 5741 E) 5742

10

∑ (7k² − 3k + 2)

k =1

a) 2500 b) 2600 c) 2550 d) 2480 e) 2050 5. Halla la suma total del siguiente arreglo:

8. Si Sn = n2 – 4n

Calcula: S5 + S6 + S7 + ... + S15 a) 1620 b) 1240 c) 1720 d) 1690 e) 750


33

figura 1

,

figura 2

,

figura 3

,

figura 4

, ...

a) 2750 b) 2752 c) 2756 d) 2760 e) 2754 11. El mayor numero natural “P” para el cual la sumatoria. n=p   1 ∑  n ( n+1)   n =1 

Satisface que es menor o igual que 66/71 es: a) 12 b) 10 c) 11 d) 13 e) 14

12. Calcular:

19

∑ ( 2X-1)

2

x=1

A) 10 660 b) 9139 c) 7770 d) 9149 e) 10 109

raz. matemático

Tema 8


OPERADORES MATEMÁTICOS SnIi2rm9

DESARROLLO DEL TEMA Calcular:

I. OPERADORES MATEMÁTICOS

Es una correspondencia o relación mediante la cual uno

E=7i4

o más números se les hace corresponder otro llamado resultado, sujeto a ciertas reglas o leyes perfectamente

Reemplazando en la definción:

definidas.

E = 7 i 4 = 3(7) + 5(4) – 2(7)(4) + 8

Dichas reglas o leyes pueden ser descritas mediante palabras, pero por razones de simplificación se les

E = 21 + 20 – 56 + 8 = – 7

representa mediante símbolos llamados "operadores matemáticos".

Ejemplo:

Los tipos de problemas que se presentaran con las operaciones matemáticas arbitraria son: • Con fórmulas explícitas

La operación tiene su regla de definición que sólo depende de operaciones matemáticas universalmente definidas.

• Con fórmulas implícitas

La operación tiene su regla de definición dependiente de otras operaciones arbitrarias o también de la misma definición original.

En este capítulo el alumno aprenderá a interpretar una

• Con cuadro de tabla entrada

operación matemática arbitaria, y hacer el uso correcto de su respectiva regla de definición para obtener el resultado solicitado. Dicha reglas de definición estarán definidas por símbolos arbitrarios como por ejemplo: ...


11

raz. matemático

Tema 9

OPERADORES MATEMÁTICOS

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1

Problema 2

Si: a ∆ b = a + 3 b + a × b

Si: a e 3 b = a + b + a a–b b Calcular:

Calcular: E = 9 i 8

Problema 3 a = ba – b ; Calcule: Si: b 4 = 34 – 3 = 31 = 3 3

M=3e 2

A) 89

A) 9/8

B) 94

B) 3/2

C) 77

C) 8/9

D) 17

D) 145/8

E) 70

E) 8/145

A) 2

B) 3

D) 5

E) 6

Resolución: Desarrollando el casillero superior: 4 = 34 – 3 = 31 = 3 3

Resolución:

Resolución: Reemplazando en la definición:

Dándole forma según la definición: M=3e 2= 9 e

3

E = 9 ∆ 8 = 9 + 8 + 8×9

∴M=

∴E = 3 + 2 + 71 = 77

C) 4

Respuesta: C) 77

3

Reemplazando

8

9 + 8 9 145 + = 9–8 8 8

4 3 2

=

3 = 23 – 2 = 21 = 2 2

Respuesta: A) 2

Respuesta: D) 145/8

PROBLEMAS de clase EJERCITACIÓN 1. Se define el operador en los reales

(2xx – 1) # (3yy + 1) = x2 + y2

Entonces el valor de: 128 # 243 a) 4

b) 5

d) 10

e) 9

c) 6

a

= a(a + 2)

Calcular: 8 – a) 1 d) 0

Tema 9

b) 5 e) 4

2

27 64

Hallar: 2 ℜ 3 A) 81 D) 64

B) 80 E) 15

C) 72

3

4. Si: x = (x + 1)2 Hallar “n”: n

2. Sabiendo que a = a2 – 1;

Calcular:

1 2 3. Si:  B  ℜ A = A – 2B  

a) 24 d) 9

B) 2 + 1 D) 2

a2

raz. matemático

b

c) 16

6. Si: x + 3 = x2 + 6x – 1

Hallar:

5. Si se cumple que: c) 6

b) 36 e) 12

PROFUNDIZACIÓN

= 100

A) 2 C) 2 – 1 E) 4

1 2

6 6 = (a ) × ( b)

22

6 + A) –5 D) –3

B) 4 E) –9

5 C) –4


OPERADORES MATEMÁTICOS

9. Se define: x = (x – 6)x + 1 Calcular:

7. Sabiendo que:

x

= 4x – 1

x

=

x +4 9

5 B) -1

D) 2

E) -2

C) 0

8. Se define la operación “a @ b” como: el triple del exceso del inverso de “a” sobre el inverso de “b”; calcule: 3 @ 9. A) 2/3 D) 1/3

B) 1/2 E) 1/5

C) 2

Calcular: 100

4

b) 1 c) 25 e) 12581

SISTEMATIZACIÓN

601 A) 750 D)


576 601

2

4

A) 900

E)

33

576 567

C) 960

b

=x

Además: b = ax Calcular:

2∆ 4 4

501 B) 576

B) 930

D) 8100 E) 3600

12. Si: a

10. Si: xm ix = m2 + 1 Calcular el valor de: 4

+ ...

4 +4 +3 +1 30 operadores

a) 0 d) 3

Calcular:

A) 1

2

1

A=

3

11. Si: x2 – 2x + 3 = 2x2 – 4x

601 C) 576

9

4

8

2

A) 1/3

B) 1/2

D) 3

E) 2

raz. matemático

4

9 C) 1

Tema 9


máximos y mínimos I SnIi2rm10

DESARROLLO DEL TEMA i. CERTEZAS

Los problemas son generalmente así; se tiene un recipiente (caja) con objetos, del cual se debe extraer al azar la cantidad mínima de objetos para estar completamente seguros (es decir tener la certeza) de conseguir algo. La estrategia a utilizar en estos problemas es asumir que ocurre el peor de los casos.

ii. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS

–B 2A

Luego, el valor máximo o mínimo de la expresión E se obtiene evaluando E(x0).

Además sabemos que gráficamente, la expresión cuadrática E(x), es una parábola:

a) Si A > 0

Sea la expresión:

E(x) = Ax2 + Bx + C

x0 =

Emín

;A≠0

La cual puede tener un valor máximo o un valor mínimo, esto depende del signo del coeficiente A. Si A es positivo entonces E(x) tiene un valor mínimo; pero si A es negativo, E(x) tiene un valor máximo. Para ambos casos el valor de "x" que maximiza o minimiza a E(x) se calcula así:

b) Si A < 0

Emín

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 En la figura, AB = 20 km, AP = 3 km, y BQ = 12 km. Una persona ubicada en el punto P debe llegar a un punto de AB y luego dirigirse al p unto Q. ¿Cuál es la longitud del mínimo recorrido? B Q

UNMSM 2003

B

A) 21 km

b

B) 24 km C) 25 km

R

D) 28 km

a

E) 26 km

Resolución: A

P

Q

Nivel fácil

A Se pide: (a+b) min

Planteo:


P

11

raz. matemático

Tema 10

máximos y mínimos I

Análisis: Para que el recorrido sea mínimo no sabemos dónde debe estar ubicado el punto R de AB. Pero sí sabemos que el menor recorrido se logra con un segmento recto que une el punto de partida (P) con el punto de llegada (Q). Estrategia de solución: La estrategia es usar el segmento AB como un eje de simetría como si fuera un "espejo". 12 B eje de Q simetría (espejo) b R P'

3 A 3

b R

a P' 3 A 3

P

Se forma un triángulo rectángulo y luego se calcula: P'Q = (a + b) = 25 ∴ La longitud del recorrido mínimo es 25 km.

Respuesta: 25 km Problema 2 Se tiene 13 fichas numeradas del 1 al 13, todas con las caras que indican su valor contra la superficie de la mesa como se muestra en la figura. ¿Cuántas fichas como mínimo se debe voltear al azar para tener la certeza de que la suma de

Tema 10

unmsm 2005

A) 2 B) 4 C) 3

A) 6 B) 5 C) 7 D) 8 E) 9

D) 6 E) 5

Resolución:

Resolución: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Ejecución: Entonces el recorrido mínimo se obtiene con el segmento recto P'Q, así: 3 B 12 Q

platillos y pesas de 3 kg, 5 kg y 7 kg, una de cada una. ¿Cuántas veces como mínimo utilizará las pesas para vender exactamente 26 kg de papas? Nivel difícil

P

Pasos: • Se prolonga PA hasta P' de modo que P'A = AP = 3 km. • Luego P'R = PR = a. • Del gráfico se observa que el recorrido es el mismo si parte del punto P o si parte del punto P'.

20

unmsm 2008–I Nivel intermedio

Se tiene 13 fichas con los números:

a

a

los valores de todas las fichas volteadas sea mayor que 21?

Nos piden: El número mínimo de fichas a voltear, tal que la suma de sus valores sea mayor que 21. Para conseguir que las fichas volteadas sumen más de 21, las fichas que se volteen deberían ser los de mayor valor y de esa manera voltearíamos la menor cantidad de fichas. Pero como es al azar, nada nos garantiza que así será y que tengamos certeza. Estrategia: Sabemos que para tener certeza nos debemos poner en el peor de los casos. Es decir, primero se voltean las fichas de menor valor. En el peor caso, las fichas volteadas son: 1, 2, 3, 4, 5, 6 ⇒ suma = 21 Luego volteando una ficha más del resto (7, 8, 9, 10, 11, 12, 13), cualquiera, se obtiene con certeza una suma mayor que 21.

Análisis: Usando las tres pesas puede pesar: 3 + 5 + 7 = 15 kg. Le faltaría sólo 11 kg para completar los 26 kg. Estrategia: Como no dispone de otras pesas el comerciante puede utilizar las papas que ya ha pesado, como si fuera una nueva pesa. De esa manera hará menos pesadas con la balanza. Ejecución: 1ra. pesada: papa 15 3

5

7

2da. pesada: papa 11 3

Respuesta: C) 7 Problema 3 Pa ra v e n d e r s u s p r o d u c t o s , u n comerciante mayorista de tubérculos sólo dispone de una balanza con dos

22

Nos piden: Número mínimo de veces que utilizará las pesas para vender 26 kg de papas.

papa 15

(# fichas volteadas =6+1=7 como mínimo)

raz. matemático

Dispone solo de pesas de 3, 5 y 7 kg, una de cada una, y de una balanza de 2 platillos.

7

De esta manera se obtiene: 15 + 11 = 26 kg de papas ∴ Las pesas se utilizan 2 veces como mínimo.

Respuesta: 2


máximos y mínimos I

PROBLEMAS de clase EJERCITACIÓN 1. Dentro de una urna depositamos 12 esferas rojas, 15 blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes, ¿cuántas esferas hay que sacar como mínimo para estar seguro de haber extraído 12 de uno de los colores? a) 50 b) 55 c) 56 d) 102 e) 58 2. Cesitar tiene en una urna de 12 fichas numeradas del 1 al 12, ¿cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la certeza de haber obtenido 3 fichas numeradas consecutivas? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9 3. Si un kilogramo de huevos contiene de 12 a 16 huevos. ¿Cuál es el mayor peso que pueden contener 40 docenas de huevos? a) 60 kg b) 45 kg c) 25 kg d) 40 kg e) 30 kg 4. De un juego de 52 naipes (13 de cada palo). ¿Cuántos naipes hay que extraer para tener la certeza de haber sacado ___________. I. 2 corazones. II. Por lo menos 6 de cada palo. III. Dos caras que sumadas den 10. Da como respuesta la suma de los resultados. A) 120 B) 123 C) 119 D) 110 E) 118 5. La figura muestra una red de caminos mediante la cual se va de A a B pasando a lo más una vez por las otras ciudades. Si los números representan los días que demora

en ir de una ciudad a otra. ¿Cuál es la diferencia entre el máximo y el mínimo número de días que se tomará ir de A a B? 9 1

2 4

A 3

a) 5 d) 8

3

4 12

5

b) 6 e) 9

B

10

c) 7

9. Se tiene dos cajas con canicas. En la primera hay 3 verdes, 4 azules y 5 rojas; en la segunda hay 3 blancas, 4 verdes y 5 azules. De la primera caja se extrae al azar una cantidad mínima de canicas tal que entre ellas con certeza una es verde, y luego son introducidas en la segunda caja. ¿Cuántas canicas como mínimo debemos extraer al azar de la segunda caja, para tener la certeza de haber extraído entre ellas una canica blanca? A) 18 B) 22 C) 21 D) 20 E) 23

PROFUNDIZACIÓN

SISTEMATIZACIÓN

6. Si un kilo de naranjas contiene desde 8 hasta 12 naranjas, ¿cuál es el menor peso que pueden tener 6 decenas de naranjas? a) 6 kg b) 7 kg c) 5 kg d) 10 kg e) 16 kg

10. Karina tiene una colección de libros de "T" tomos. Si el más ancho tiene "x" cm, de espesor y el más delgado tiene "y" cm de espesor, ¿cuál debe ser la mínima longitud de un estante en el cual quepan todos sus libros, si por los menos hay uno de cada espesor? a) T B) Ty – x c) Ty – y + x D) Tx – x + y e) Tx1543 11. En una urna hay cierta cantidad de esferas numeradas con los términos de la sucesión: 2, 5, 8, 11, ..., 95. ¿Cuántas esferas hay que extraer, como mínimo, para tener la certeza de haber obtenido 3 esferas cuya numeración sea impar? A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) 21

7. Al adquirir cierto vehículo, un comprador recibe 5 llaves, a saber: de la puerta, el encendido, la guantera, la maletera, el tanque de gasolina, ¿cuántas veces tendrá que probar las llaves como mínimo para saber con certeza la correspondencia entre llaves y chapas? a) 5 b) 15 c) 10 d) 8 e) 14 8. Un grupo de 456 personas va a elegir un presidente. Si se presentan 5 candidatos para el puesto, ¿cuál es el menor número de votos que puede obtener uno de ellos y obtener así más que cualquiera de los otros 4? a) 90 b) 229 c) 92 d) 24 e) 16


33

12. Se dispone de pesas de 1, 3, 9, 27, 81, ..., kg dos de cada una de ellas. ¿Cuál será el mínimo número de pesas necesarias para equilibrar un peso de 393 kg? A) 7 B) 5 C) 9 D) 8 E) 6

raz.matemático

Tema 10


MÁXIMOS Y MÍNIMOS II SNII2RM11

DESARROLLO DEL TEMA I. RECORRIDOS MÍNIMOS

Si queremos recorrer del punto "A" hacia el punto "B", el menor recorrido es el segmento recto que une dichos puntos. Así:

B. Caso (II) a + b = k ; k = cte entonces el k producto (a.b) es máximo cuando a = b = . 2 Es decir: Si tenemos

1 A

2(min) 3

2

( a.b )max = k2 . k2 = k4

B

C. Caso (III) Si tenemos a . b = k , k = cte, entonces la suma (a + b) es mínima cuando a = b = k.

4

Se observa que, de todos los recorridos, el recorrido mínimo es el número 2.

II. CASOS ESPECIALES

Es decir:

( a + b )min =

k + k =2 k

D. Caso (IV)

1  Si "x" es positivo entonces  x +  ≥ 2 . x  1 Luego el mínimo valor de x + es 2 y ocurre x cuando x = 1.

A. Caso (I) Si tenemos una suma constante: a + b + c + d = k ; k = cte

E. Caso (V)

Entonces: • "a" es máximo cuando b, c y d son mínimos. • "a" es mínimo cuando b, c y d son máximos.

Sabemos que: (número real)2 ≥ 0 En consecuencia: (número real)2min = 0

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1

Resolución:

Las dimensiones en metros de un rectángulo de área máxima, cuyo perímetro es 48 metros, son:

Análisis e interpretación:

UNMSM 2003

Se deben hallar los lados de un rectángulo de perímetro de 48 metros y de área máxima.

NIVEL FÁCIL

A) 12 C) 14 E) 32

B) 13 D) 22

Estrategia de solución:

S=a×b


S es máxima; a = ?, b = ?

Se formará una ecuación cuadrática expresando el valor de "S" en función de "a" y "b". Pasos a seguir: • Sumar los lados e igualar al perímetro dado. • Despejar "b".

11

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 11

MÁXIMOS Y MÍNIMOS II

• Formar la ecuación cuadrática expresando "S" en función de "a". • Hallar el máximo valor de "a". • Hallar el valor de "b" para el valor calculado de "a". Ejecución de la solución: 2a + 2b = 48

B) 9 kilos

Resolución:

C) 12 kilos

D) 15 kilos

Análisis e interpretación:

E) 10 kilos

Se debe hallar el máximo valor de la expresión, lo cual sucederá cuando el denominador sea mínimo.

Resolución: Análisis e interpretación: Se debe determinar el mayor peso en kilos que pueden tener 30 naranjas, sabiendo cuantas naranjas pueden venir en 3 kilos.

a + b = 24

A) 6 kilos

b = 24 – a

Expresando "S" en función de los lados del rectángulo: S = a (24 – a) S = 24a – a2

Pasos a seguir:

Para que "S" sea máxima:

• El número de naranjas que vienen en 3 kilos.

aMAX =

–24 = 12 ⇒ b = 12 2(–1)

Se completarán cuadrados en el denominador para hallar su mínimo valor, lo cual permitirá calcular el máximo valor de toda la expresión.

Estrategia de solución: Para obtener la mayor cantidad de kilos se debe comprar los grupos de 3 kilos en los cuales vienen menos naranjas.

S=a×b

Estrategia de solución:

• Aplicar una regla de tres para hallar la solución.

∴ a = 12; b = 12

Pasos a seguir: • Completa cuadrados en el denominador.

• Halla el mínimo valor del denominador, igualando a cero el binomio formado en el denominador.

• Determina el máximo valor de la expresión.

Ejecución de la solución: Método práctico:

Ejecución de la solución:

Sea: a + b = constante

32 x2 – 6x + 13

Si queremos que a x b sea máximo, entonces "a" y "b" deben ser cantidades bastantes cercanas, en el caso ideal deberían ser iguales.

Completando cuadrados:

⇒ como: a + b = 24

32 (x – 3)2 + 4   

∴ Son 9 kilos

⇒ a = 12; b = 12

=0

Respuesta: 9 kilos

Errores comunes del alumno: • No conocen como calcular el máximo o mínimo de una ecuación cuadrática. • No conocen la propiedad mencionada como método práctico.

Valor máximo = Problema 3 Determina el máximo valor que alcanza la expresión:

Respuesta: 12 A) 8

B) 16

En tres kilos de naranjas vienen de 10 a 15 naranjas, entonces el máximo peso de 30 naranjas será:

C) 4

D) 3

Errores comunes del alumno: • Se equivocan al completar cuadrados.

32 2 x – 6x + 13

Problema 2

TEMA 11

32 =8 4

• No analizan la expresión para calcular el mínimo o máximo según sea el caso.

E) 6

UNMSM 2008

UNMSM 2001–I

NIVEL INTERMEDIO

NIVEL DIFÍCIL

RAZ. MATEMÁTICO

22

Respuesta: 8


MÁXIMOS Y MÍNIMOS II

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIÓN

A) 20s

B) 25s

C) 40s

D) 31s

1. ¿Cuál es el máximo valor de la siguiente expresión? 2 R= 1 + (x – 1)2 (x + 3)2

E) 30s

B) 2 D) 1/2

2. Hallar el mínimo valor de: F(x) = x2 + 5x + 2 A) –9/4 B) –17/6 C) –17/4 D) –15/4 E) –1 3. Calcule el máximo valor de: 97 F(x) = 25 2 x – x+ 4 A) 97/6 C) 12 E) 89/6

B) 78/11 D) 8

4. Se tienen las siguientes pesas de: 1g, 3g, 9g, 27g, y 81g (uno de cada peso), además tenemos una balanza de 2 platillos, ¿Cuántas pesas se deben utilizar, como mínimo, para poder pesar un objeto que pesa 64g? A) 2 B) 3 C) 1 D) 5 E) 4 5. Para trasladar los 5 discos, a cualquiera de las clavijas (ver figura), se mueven los discos uno por uno, con la condición de que un disco grande no puede ir sobre uno pequeño. Halle el menor número de movimientos que deben realizarse para trasladar dichos discos a la clavija indicada.

B) 15 D) 32

PROFUNDIZACIÓN 6. Halle el área máxima de un rectángulo que tiene 12 m de perímetro. A) 8 m2 B) 9 m2 2 C) 16 m D) 18 m2 2 E) 12 m 7. Una compañía ha encontrado que su utilidad está dada por: m(x) = 24x – x2. En miles de soles, donde “x” representa el número de unidades vendidas. Halle la máxima utilidad. A) 164 000 B) 144 000 C) 124 000 D) 154 000 E) 134 000 8. Un juego consiste en lanzar una pelota desde el lugar indicado y hacer que esta golpee la pared "A" y luego la pared "B" hasta llegar a tumbar la lata. ¿Qué tiempo empleará como mínimo para lograrlo, si la pelota debe salir con rapidez constante de 3m/s? 30 m A 20 m

A) 1 C) 2/3 E) 0

A) 30 C) 31 E) 35

B


C 16 m 18 m

Lata

33

9. Se desea medir 6 litros de vino disponiendo de dos baldes n u m e ra d o s d e 9 y 4 l i t r o s respectivamente. ¿Cuántas mediciones como máximo, se harán para obtener lo pedido? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

SISTEMATIZACIÓN 10. ¿Cuál es menor semiperímetro que puede tener un rectángulo de área 357, si la medida de sus lados, en centímetros, son números enteros? A) 58

B) 51

C) 17

D) 28

E) 38 11. Calcule el mínimo valor de:

E = x2 + y2 + 4x – 6y + 18 A) 10

B) 18

C) 4

D) 5

E) 3 12. Se tiene un cubo de madera de 9cm de arista que tiene pintada solamente la cara superior de color blanco. Si cortamos en cubos de 3cm de arista, entonces, el número de cubos que no tiene ninguna cara pintada, es: A) 8

B) 6

C) 12

D) 18

E) 1

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 11


ecuaciones diofánticas SnIi2rm12

DESARROLLO DEL TEMA Problema

Cinco hombres y un mono naufragan en una isla desierta, los hombres pasan todo el primer día recogiendo cocos. Por la noche uno de ellos despierta y desconfiado, decide separar su parte. Dividió los cocos en 5 montones y como sobraba un coco, se lo dio al mono. Poco después el segundo naufrago despierta y hace lo mismo. Al dividir los cocos en cinco montones volvió a sobrar un coco y también se lo dio al mono: Uno tras otro el tercero, cuarto y quinto náufragos hacen lo mismo. Por la mañana, al día siguiente, dividieron los cocos en cinco montones sin que sobrara ninguno. ¿Cuántos se habían recolectado inicialmente?

II. ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL

La ecuación diofántica ax + by = c tiene solución en los enteros si y sólo si d = mcd (a,b) es un divisor de c. Para resolver una ecuación diofántica se utilizan diversos criterios desde un simple tanteo hasta criterios de multiplicidad.

III. Multiplicidad A. Si N es múltiplo de n Si

° N = n ⇒ N = nk; k∈Z

° se lee múltiplo de n n Ejemplo: ° Si N = 5 N = 5k = {... –15, –10, –5, 0, 5, 10, 15, ...} ° Si N = 8 N = 8k = {... –24, –16, –8, 0, 8, 16, 24, ...}

B. Si N no es múltiplo de n ° ° N = n + rd ó N = n – re

I. ECUACIÓN DIOFÁNTICA

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros (Z) o los números naturales (n), es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros. Un ejemplo de ecuación diofántica es: x+y=5 Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo las ecuaciones que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución. Por ejemplo en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x,y): (1,4), (2,3), (3,2), (4,1).


11

donde: rd + re= n rd: residuo por defecto re: residuo por exceso Ejemplo: °) 20 no es múltiplo de 6 (20 ≠ 6 20 6 20 6 24 4 18 3 -4 2 ° + 2 ⇒ 20 = 6 °–4 ⇒ 20 = 6 Donde: 2 + 4 = 6 Aplicación:

°–6 °+3⇒N=9 Si N = 9 ° + 11 ° – 1 ⇒ N = 12 Si N = 12

raz. matemático

Tema 12

ecuaciones diofánticas

iv. PRINCIPIO DE Multiplicidad

Ejemplos: ° =7 ° • 2(7) ° = 10 ° • 8( 10)

°+n °+n ° +... + n °=n ° 1. n Ejemplos:

°+8 °+8 ° • 8 ° + 15 ° + 15 ° + 15 ° = 15 ° • 15

V. PRINCIPIO DE Arquímedes

°–n ° = n ° 2. n

Ejemplos:

°–7 °=7 ° • 7 ° – 14 ° = 14 ° • 14

° Sea A × B = n ° Si A ≠ n ⇒ B = °⇒A= Si B ≠ n

° n ° n

Ejemplos: ° 4x = 5 °⇒x=° 4 ≠ 5 5

° = n; ° k∈Z 3. kn

PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Un grupo de 20 caminantes entre hombres, mujeres y niños descubren un naranjo cuando ya la sed empezaba a hacerse sentir. El árbol tenía 37 naranjas que se reparten así: cada hombre come 6 naranjas, cada mujer una naranja y cada niño media naranja. ¿Cuántos niños había en el grupo? A) 5 niños B) 4 niños C) 6 niños D) 7 niños E) 9 niños San Marcos 2003 Nivel intermedio

Resolución: Sean: # de hombres # de mujeres

# de niños

b

a

c

c/u:6 naranjas c/u:1 naranja c/u:1/2 naranja

Como en total eran 20 los caminantes: a + b + c = 20 ... (I) Además el árbol tenía 37 naranjas: 1 6a + 1b + c = 37 .... (II) 2 Restando (I) de (II): 5a –

(×2)

1 c = 17 2

La primera solución es la que debemos tomar y las demás descartar debido a que el total de personas es 20.

Como en total se repartieron 973 diplomas:

∴ En el grupo había 6 niños

Se observa que: 77a + 35b + 18c = 973 123 123 123 ° ° ° 7 7 7

Respuesta: 6 niños

Entonces: "c" debe ser múltiplo de 7

Problema 2 En el último congreso internacional sobre educación se observó que algunos ponentes eran varones, otras mujeres y algunos niños, quienes plantearon algunos temas sobre dicha realidad; al finalizar la reunión se entregaron diplomas de diferentes instituciones a cada expositor: 77 diplomas a cada uno de los varones, 35 a cada mujer y 18 a cada niño por lo que se repartieron en total 973 diplomas. Se desea saber el número de expositores mujeres, si el número de ponentes en la reunión es el mínimo posible. A) 12

B) 11

C) 6

D) 9

+1 +1

Tema 12

⇒ b=10 +10

5

16

6

26

+10

77a + 35b + 18c = 973 ↓ Reemplazando: ⇒ 11a + 5b = 121 11

5b

–5

... esta solución no se

toma porque deben

+11 haber mujeres 6

11

E) 15

Respuesta: 11 mujeres Pre San Marcos 2008 Nivel difícil

6

Como se quiere que el número de expositores sea el menor posible, "a" debe tomar el mayor valor, "b" y "c" deben ser pequeños. Entonces tomamos c = 7.

∴ Asistieron 11 mujeres

⇒ 10a – c = 34 4

77a + 35b + 18c = 973

Resolución: Sean:

# de varones # de mujeres

# de niños

a

b

c

c/u: 77 diplomas

c/u: 35 diplomas

c/u: 18 diplomas

raz. matemático

22

Problema 3 Al comprar peras y manzanas a 4 y 7 soles respectivamente, nuestro gasto fue de 125 soles en total. Determine el número de frutas que se compró, si el producto del número de peras con el número de manzanas es el mayor posible.



A) 26

B) 24

C) 30

D) 25

E) 29

125 4 1 31

Pre San Marcos 2009 Nivel difícil

Resolución: Sean: # de peras

# de manzanas

a

c/u: S/.7

Como el gasto fue de 125 soles: 4a + 7b = 125

–7

° 4a + (4a + 3b) = 4 +1

–7

° 4 ° ° 4 + + 3b = 4 + 1

–7

b=

b =

26

3

19

7

12

11

+4 +4

+4 5 15 Como se quiere que el producto del número de peras con el número de manzanas sea el mayor posible, eso ocurre cuando: a = 19; b = 7 ∴ Número de frutas = 19 + 7 = 26

° 3b = 4 + 1

b

c/u: S/.4

4a + 7b = 125

Trabajemos con múltiplos para encontrar una solución:

° 4 +1 3 ° 8 +1 =3 3

Respuesta: 26 frutas

Entonces:

PROBLEMAS de clase EJERCITACIÓN 1. Arturo compró un libro de S/.13, pero solo tiene monedas de S/.5 y el vendedor solo tiene monedas de S/.2 para dar vuelto. ¿De cuántas maneras diferentes podrá efectuar el pago si Arturo solo tiene 100 monedas? A) 46 B) 49 C) 50 D) 51 E) 47 2. Un grupo de personas conformado por adultos, jóvenes y niños gastó un total de 56 soles en la compra de entradas al teatro. Si el costo de las entradas es S/.5 por cada adulto, S/.2 por cada joven y S/.1 por niño, ¿cuántas personas como mínimo conformaban el grupo? A) 17 B) 16 C) 15 D) 13 E) 14 3. Si dos números suman 49 y uno es múltiplo de 5 y el otro de 6, halle el mayor de los dos números. A) 23 B) 24 C) 25 D) 30 E) 38

4. Si tengo una deuda de S/.100 y pago con monedas de S/.5 y S/.7, ¿cuántas monedas tengo? Considere que hay más monedas de S/.5 que de S/.7 A) 15 B) 18 C) 26 D) 20 E) 16 5. En un paseo escolar compuesto por 20 personas, entre profesoras y alumnos, se contaba con 37 soles, que se repartieron de la siguiente manera: cada profesor toma 6 soles; cada profesora, un sol y cada alumno, medio sol. ¿Cuántos alumnos fueron de paseo? A) 4 B) 6 C) 10 D) 8 E) 12

PROFUNDIZACIÓN 6. Con 88 soles se compran 39 frutas, ¿Cuántas manzanas se compró si cada manzana cuesta 2,4 soles, cada plátano 1,5 soles y cada naranja 3,2 soles? a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 16


33

7. En una reunión de dos países asistieron 700 personas; se observa que del primer país los 2/5 son médicos, los 2/7 abogados y la onceava parte ingenieros. Determine con cuántas personas se presentó el otro país. A) 305 B) 315 C) 405 D) 415 E) 425 8. A un Congreso Internacional de Medicina asistieron 225 médicos entre europeos y americanos; se observó que entre los americanos los 3/8 eran cardiólogos, los 5/12 mujeres y los 2/15 peruanos. ¿Cuántos europeos asistieron a dicho congreso? A) 95 B) 125 C) 115 D) 90 E) 105 9. Rocío le debe S/.59 a Patricia, pero no tiene dinero, solo dispone de 40 tarjetas de recarga cuyo valor es de S/.12 cada una. Patricia acepta el pago con tarjetas pero solo tiene monedas de S/.5, exactamente 90 monedas, para dar vuelto.

raz. matemático

Tema 12


¿De cuántas maneras distintas Rocío puede pagar su deuda? A) 5 B) 9 C) 7 D) 8 E) 6

SISTEMATIZACIÓN 10. Alicia, al acercarse a pagar su cuenta que ascendía a S/.26, lo hace con monedas de S/.5 (solo tiene de este tipo) y le dan vuelto solo con monedas de S/.2. Si Alicia no tiene más de S/.100 y la cantidad de monedas de S/.2 que

Tema 12

tiene el vendedor no supera 30, ¿de cuántas maneras distintas puede realizarse la compra? A) 13 B) 10 C) 6 D) 8 E) 7 11. Un granjero gastó S/.1000 en comprar 100 animales entre cerdos, patos y pollos. Cada cerdo le costó S/.100; cada pato, S/.30; y cada pollo, S/.5. ¿Cuántos animales de cada clase compró el granjero? Dé como respuesta la mayor de dichas cantidades.

raz. matemático

44

A) 92 C) 93 E) 94

B) 96 D) 95

12. En una familia, todos los hijos tienen fechas de cumpleaños distintas, pero ocurre una situación peculiar para cada fecha: el triple del número del día aumentado en el quíntuplo del número del mes es igual a 100. ¿Cuántos hijos, como máximo, hay en dicha familia? A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2


RAZONAMIENTO MATEMÁTICO tema 13

ANÁLISIS COMBINATORIO I SnIi2RM13

DESARROLLO DEL TEMA 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

I. INTRODUCCIÓN

Una hormiga se introduce en un panal en búsqueda de un poco de miel, la miel se encuentra en el fondo del panal. ¿De cuántas maneras diferentes puede la hormiga llegar a la miel, teniendo en cuenta que no debe retroceder?

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40 320 9! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 362 880 10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3 628 800 Nota: Por convención 0! = 1

III. Desarrollo parcial de un factorial

Miel

II. FACTORIAL DE UN NÚMERO

Se define factorial de un número n al producto de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n inclusive. Se denota por: n! Se lee: "Factorial de n" o "n factorial"

( 23 ) ! no existe; (–5)! no existe = = = = = =

1 1 1 1 1 1

× × × × ×

2 2 2 2 2

Si una actividad A ocurre de n maneras diferentes y otra actividad B ocurre de m diferentes, entonces A o B ocurren de m + n maneras diferentes. En el principio de adición, o bien se realiza una actividad o bien se realiza la otra, más nunca puede realizarse simultáneamente.

B. Principio de multiplicación

=2 ×3=6 × 3 × 4 = 24 × 3 × 4 × 5 = 120 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720


A. Principio de adición

Ejemplo: 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 20! = 1 × 2 × 3 ×...× 19 × 20

1! 2! 3! 4! 5! 6!

n! = n(n – 1)! n! = n(n – 1) (n – 2)!

IV. Principios fundamentales del conteo

n! = 1×2×3×4×...×(n–1)n ∀n∈ c +

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 7! 14444444244444443 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 1444442444443 6! 8! = 8 × 7! 8! = 8 × 7 × 6!

11

Si una actividad A se puede realizar de m maneras y para cada una de estas maneras otra actividad B se puede realizar de maneras. En el principio de multiplicación las actividades se realizan una a continuación de otra o simultáneamente.

RAZ. MATEMÁTICO

Tema 13

ANÁLISIS COMBINATORIO I

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 ¿Cuántos números de 4 cifras existen, tal que el producto de sus cifras sea par? A) 8375 B) 8374 C) 8373 D) 8372 E) 8371

↓↓↓↓

1111 3333 5555 7777

unmsm 2001–II

Resolución: Se deduce que para que un número tenga como producto de sus cifras a un número par, basta que una de ellas sea par, entonces el total de números de 4 cifras le restamos el total de números de 4 cifras que tienen todas sus cifras impares, luego obtendremos como resultado la cantidad de números que tienen como producto de sus cifras a un número par. abcd

Número de V35 × 2 = 120 posibilidades:

abcd

Respuesta: 120 manera

9999 5.5.5.5 = 625

Respuesta: 8375 números Problema 2 4 personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo 2 saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse? A) 110 B) 120 C) 140 D) 125 E) 130 unmsm 2004–I

↓↓↓↓

1000 2111 3222 333 9 999 9.10.10.10 = 9000 9000 – 658 = 8375

Resolución: timón

Problema 3 ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con todas las letras de la palabra "PANAJAJA"? A) 800 B) 785 C) 840 D) 795 E) 850 unmsm 2007–II

Resolución: Estamos frente a una permutación con elementos repetidos, ya que "A" se repite 4 veces y la "J" 2 veces.

8 = P(4,2)

Total de letras 8! = 840 arreglos 4! 2!

Posibles ubicaciones de las 3 personas

1444444444442444444444443 Como interesa el orden aplicamos variación

Respuesta: 840 arreglos

problemas de clase EJERCITACIÓN 1. ¿De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas? Sabiendo que ambos premios: I. No se pueden conceder a una misma persona. II. Se pueden conceder a la misma persona. a) 72; 90 b) 36; 100 c) 90; 100 d) 48; 48 e) 90; 48 2. ¿De cuántas maneras diferentes se puede pintar un casillero de “A” de color rojo y dos casilleros de “B” uno de color verde y otro de azul?

Tema 13

(A) a) 72 d) 5!

(B) b) 84 e) 5(3!)

c) 144

3. Cierto recibo se puede pagar únicamente en 3 bancos. En el primero se puede pagar en 10 cajeros, el segundo en 7 cajeros y el tercero en 2 cajeros. ¿De cuántas maneras se puede pagar dicho recibo? a) 10 b) 12 c) 140 d) 120 e) 19

RAZ. MATEMÁTICO

22

4. José tiene cuatro camisas de distinto color, tres pantalones diferentes y cuatro pares de zapatos distintos. Si la camisa blanca solo puede usarse con el pantalón azul y el pantalón negro solo con los zapatos negros o con los zapatos blancos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir? A) 22 B) 46 C) 24 D) 34 E) 35 5. Indique de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse tres monedas de diferente denominación en tres de los casilleros de la figura mostrada (una por casilla).


ANÁLISIS COMBINATORIO I

A) 69 C) 101 E) 91 A) 5940 B) 11!×3! C) 450 D) 810 E) 990

PROFUNDIZACIÓN 6. La Municipalidad de Lima a ordenado que los moto taxis sean amarillos y tengan las placas 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 números). ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar? (considerar 26 letras del alfabeto) A) 203×103 B) 262×102 3 3 C) 26 ×10 D) 26×103 E) 26×25×24 7. Hallar el total de recorridos de A a B sin pasar 2 o más veces por un mismo tramo. A

B

puede ir por un mismo camino? A) 380 B) 120 C) 240 D) 400 E) 360

B) 38 D) 96

8. Para el menú de un comedor se presentan 3 entradas, 5 platos diferentes como segundo y 4 postres distintos. Si cada comensal debe elegir una entrada, un segundo y un postre, ¿de cuántas maneras diferentes podrá elegir Juan una alternativa diferente, si cada vez que come cebiche en la entrada elige invariablemente una jalea como segundo? A) 38 B) 40 C) 42 D) 44 E) 56 9. Para ir de Comas al Cercado de Lima se tiene 5 caminos diferentes y para ir del Cercado de Lima a San Gabriel alto se tiene 4 caminos diferentes. Si se quiere ir de Comas a San Gabriel alto y luego regresar a Comas siempre pasando por el Cercado de Lima, ¿de cuántas maneras diferentes se puede realizar, si de regreso no se


33

SISTEMATIZACIÓN 10. Se cumple que: a(b!) = 3(4!) + 21(5!) + 12(4!) Halle en cuántos ceros termina. [12a + b2]! a) 14 b) 16 c) 20 d) 18 e) 19 11. Halle el valor de: 1 3 5 + + S= 1 2 × 1! 22 × 2! 23 × 3! 7 + 4 + ... 2 × 4! A) 1 D) 2

B) 1/2 E) 3

C) 3/2

12. E n c u á n t o s c e r o s t e r m i n a el resultado de la siguiente multiplicación: L = 80×81×82×83× ... ×198 a) 47 b) 18 c) 31 d) 29 e) 27

RAZ. MATEMÁTICO

Tema 13


ANÁLISIS COMBINATORIO II SNII2RM14

DESARROLLO DEL TEMA I. VARIACIONES

A

B C

A

C B

B

A C

B

C A

C

A B

C

B A

6 formas

Se da cuando los elementos son todos diferentes y se arreglan u ordenan en línea recta. Recordemos el caso anterior: A

B C

A

C B

B

A C

B

C A

C

A B

C

B A

n!

n

A. Variaciones lineales

En general, el número de variaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k", se calcula así:

Vk = (n – k)!

Se observa que en la primera y la segunda forma, los que están sentados son B y C. Pero ambas formas se consideran diferentes porque B y C están ubicados en orden diferente. (B a la izquierda de C en el primer caso y B a la derecha de C en el segundo caso). Luegos las variaciones son: Los diferentes arreglos u ordenaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto. Una variación se diferencia de otra si tiene al menos un elemento diferente o si sus elementos tienen un orden diferente.

3!

3

V2 = (3 – 2)!

¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse 3 personas en una banca de 2 asientos?

; 0
dígitos disponibles 4

V2 =

6 formas

4! 4×3×2! = = 12 (4 × 2)! 2! tomados de 2 en 2

Observación: Sabemos que una variación es un ordenamiento que se puede formar con una parte o todos los elementos de un conjunto. En el caso que se tomen todos los elementos del conjunto para ordenarlos, dicha variación recibe el nombre de PERMUTACIÓN.

II. CASOS PARTICULARES DE LAS VARIACIONES

También podemos calcular de la siguiente forma:

A. Permutación lineal

Asientos

Si:

3 formas de ocupar este 2 formas de ocupar asiento (cualquier de este asiento (cualquier los 3) de los 2 quedan)

Total = 3 × 2 = formas "Hemos ordenado a 3 personas tomándolas de 2 en 2". 3 3 × 2 × 1 3! 3! =3×2 = = = V 2 1 1! (3 2)! –


Resolución:

11

k=n ⇒

n

Vn = Pn = n!

Y se dice que la variación lineal es una permutación lineal de n elementos.

Ejemplo: En una carrera participan 5 atletas, ¿de cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta?

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 14

ANÁLISIS COMBINATORIO II

Resolución:

V

5 = P5 5

Ejemplo: ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden realizar con todas las letras de la palabra MAMÁ?

= 5! = 120 maneras

B. Permutación circular

Resolución: MAMA MAAM MMAA AMAM AMMA AAMM

Se da cuando los elementos son distintos y se arreglan u ordenan alrededor de un objeto o forman una línea cerrada. Ejemplo: Si permutamos linealmente 3 personas nos deben resultar P(3) = 3! = 6 maneras {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}. Pero si analizamos estas 6 maneras en forma circular: B A A C C B A A C A CC C A B B B B

Las 3 son idénticas porque a la derecha de A está C y a su izquierda está B.

Jorge

Novia

H1

H3

Estos elementos funcionan como un solo elemento.

n!

n

Pk ,k ,k ... = k1 !xk 2 !xk 3 !x... 1

2

3

Ejemplo: Un niño tiene 3 cubos rojos, 2 cubos blancos y 1 cubo amarillo. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila?

\Solo son 2 formas.

Ejemplo: Jorge, su novia y los 3 hermanos de su novia se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo si Jorge y su novia desean estar juntos? Resolución:

"Hemos permutado 4 elementos donde 2 se repiten y otros 2 también se repiten (las letras M)" 4 24 4! P2,2 = 6 = 4 = 2!x2!

En general:

Las 3 son idénticas porque A tiene a su derecha a B y a su izquierda está C.

Se observa que ordenando circularmente no importa el lugar que ocupa cada persona sino su posición relativa respecto a los demás. Para encontrar las diferentes permutaciones circulares debemos tomar un elemento de referencia y permutar a los demás. "Hemos permutado circularmente a 3 personas". Pc(3) = 2 = 2! = (3 – 1)! Pc(3) = (3 – 1)! En general las permutaciones circulares de n elementos será:

6 formas

Resolución:

Rojos Amarillo Blancos Como existen elementos que se repiten aplicamos: 6 6! P3R,2B = 3!× 2! = 60

\Se colocan de 60 maneras diferentes.

III. COMBINACIONES

Ejemplo: Armando está parado frente al buffet el cual consta de arroz con pollo, cebiche, papa a la huancaina y chanfainita. Armando es aficionado a los "combinados". ¿De cuántas maneras diferentes se puede preparar un "combinado" de tres comidas? Resolución: Chanfainita

Arroz con pollo

Cebiche

Papa a la huancaina

Supongamos que para encontrar los "combinados" debemos realizar permutaciones con las 4 comidas tomándolas de 3 en 3.

H2

Primero ordenamos por separado y luego todos juntos en forma circular: La pareja y Todos juntos 2

x

circular

P4

= 2 × (4 – 1)! = 12 maneras

\ Existen 12 maneras

C. Permutaciones con elementos repetidos

Se da cuando los elementos a ordenar no son distintos, es decir, hay un elemento o más de uno que se repite.

TEMA 14

RAZ. MATEMÁTICO

22

Solo estos 4 combinados son diferentes porque difieren en al menos una comida. Entonces los combinados (combinaciones) de 4 comidas tomadas de 3 en 3 son solo 4.



4! 4! 4 P (4 – 3)! C 3 = 4 = 6 = 3! = 3!(4 – 3)! 4 3

C

4 3

A. Sucesión cuadrática

4! = 3!(4 – 3)!

t1; t2; t 3; t4; ...

En general las combinaciones de n elementos tomados de K en K.

n!

n

Ck = k !(n – k)!

6

2. n

C3 =

9

5

C3 =

5x4x3 = 10 6

10

C3

=

10x9x8 = 120 6

1;

2;

5;

1

3 2

tn = 1 + 1C1

10; ... 5

2

n –1

+ 2C2

(n – 1)(n – 2) 2

tn = 1 + 1(n – 1) + 2x tn = n2 – 2n + 2

t1; t2; t3; t 4; t5; ......

4

C1 = 4

Ejemplo: 4. n = 1

Cn

C

5 =1 5

a2 b1

11 = 1 11

C

5. n n Ck = Cn–k 10 10 10 Ejemplo: C 8 = C10 – 8 = C 2 6. n +

a1

7

C1 = 7

n + 2

Ejemplo:

C

C

C

2

1

1

1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

b1 r

n –1

tn = t1 + a1 C1

C

C C C

15 = 15 –12

C

15 3

C

n –1

+ b1 C 2

n –1

+ rC 3

Ejemplo:

Halle el tn de la siguiente sucesión:

1; – 1 = 15

9 8 6 n –1

t1 = 1 + 1C1 tn = 1 + 1(n – 1) + 8

23 14

0 C0 1 1 C0 C1 2 2 2 C0 C1 C2 3 3 3 3 C0 C1 C2 C3 4 4 4 4 4 C0 C1 C2 C3 C4 5 5 5 5 5 5 C0 C1 C2 C3 C4 C5


2; 11; 34; 77; ... 1

IV. TRIÁNGULO DE PASCAL 1

b1

a4

15 = 12

n n + ... + n = 2n – 1 3 4 4 4 4 + 2 + 3 + 4 = 24 1

C1 C

a3

r

Ejemplo:

Resolución:

B. Sucesión cúbica

C1 = n

1

Halla el tn de la siguiente sucesión: 1, 2, 5, 10, ...

3. n

1

9x8 = 36 2

n –1

+ rC 2

Ejemplo

n –1

C2 =

a3 r

n –1

n(n – 1)(n – 2) 6

Ejemplo:

6x5 = 15 2

a2 r

tn = t1 + a1 C1

Observaciones: 1. n n(n – 1) C2 = 2

C2 =

a1

0≤k ≤n

Las COMBINACIONES son las diferentes formas de agrupar a los elementos de un conjunto, tomando una parte de ellos o todos a la vez. En una combinación el orden de los elementos no determina una forma diferente. Una combinación se diferencia de otra si posee al menos un elemento diferente. Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede formar un equipo de fulbito, si se dispone de 8 jugadores?

Ejemplo:

Calculo de Tn para las sucesiones cuadráticas y cúbicas

43 20

6 n –1

+ 8C 2

n –1

+ 6C 3

(n – 1)(n – 2) (n – 1)(n – 2)(n – 3) +6 2 6 tn = n3 – 2n2 + 2

33

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 14


PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Con las frutas: plátano, papaya, melón, piña y mamey. ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? NIVEL FÁCIL

A) 35 C) 31 E) 18

B) 22 D) 20

Problema 2 Un equipo de béisbol consta de 6 jardineros, 7 jugadores de cuadra, 5 lanzadores y 2 receptores (entre titulares y suplentes). ¿De cuántas formas diferentes se puede elegir un equipo de 9 jugadores, sabiendo que debe haber 3 jardineros, 4 jugadores de cuadra, un lanzador y un receptor? NIVEL INTERMEDIO

Resolución: Como el jugo de plátano y papaya tienen el mismo sabor que de papaya y plátano (no importa el orden), entonces podemos formar jugos de: 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5

C 2 sabor: C 3 sabor: C 4 sabor: C 5 sabor: C

1 sabor:

5

5

Por propiedad

5

2

4

1

1

C

C

C xC

6 x 3

7 x 4

5 1

B) 70 D) 51

ó

}

5

7

3

}

5

6

}

5

A) 50 C) 18 E) 75

Hay en total 12 preguntas. Por condición solo hay que contestar 10. Como de las 6 primeras se debe contestar al menos 5 entonces se puede responder 5 o 6 de estas preguntas y de las 6 últimas hay que elegir 5 o 4 preguntas, respectivamente. Luego los casos serían:

Resolución:

+ C 2 + C 3 + C 4 + C 5 = 2 –1 C 1   

NIVEL DIFÍCIL

Resolución:

}

5

A) 5000 B) 7000 C) 3000 D) 2000 E) 1500

Problema 3 Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las 6 primeras preguntas debe contestar por lo menos 5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante?

2 =7000 1

31

Número = 6 de casos C 5

x C 65 + C 66 x C 64

Número = 6 x 6 + 1 x 15 = 51 de casos

Respuesta: B) 7000 formas

Respuesta: D) 51 posibilidades

distinguibles. Se desea escoger 7 libros al azar de tal manera que 4 sean de álgebra y 3 de aritmética. ¿De cuántas maneras se puede escoger los 7 libros? A) 1890 B) 2400 C) 2520 D) 2680 E) 2800

5. ¿Cuántos números pares de tres

Respuesta: C) 31 formas

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Un árbitro ante el reclamo de 5 jugadores al cobrar un penal, muestra 3 tarjetas amarillas y 2 rojas. ¿De cuántas maneras podrá mostrar dicho castigo? A) 10 B) 5 C) 20 D) 120 E) 24 2. ¿De cuántos modos se pueden distribuir en 9 hoyos, 7 esferas blancas iguales y 2 esferas negras iguales? A) 289 575 B) 289 475 C) 289 585 D) 289 945 E) 289 535 3. En un estante hay 15 libros: 9 de álgebra y 6 de aritmética, no

TEMA 14

4. Dos brasileños, 4 argentinos y 3 peruanos contrataron un palco especial de 9 asientos, para asistir al mundial de Sudáfrica 2010. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? A) 864 B) 684 C) 1728 D) 1278 E) 1200

RAZ. MATEMÁTICO

44

cifras se podrán formar con los dígitos del 1 al 7, no repitiéndose ningún dígito? A) 480

B) 420

C) 360

D) 240

E) 512

PROFUNDIZACIÓN 6. Tenemos la palabra COTORRA. ¿Cuántas palabras podrán formarse con todas las letras de esta palabra, de tal manera que empiecen con "C" o "T" o con la "A"? A) 480

B) 180

C) 360

D) 540

E) 1080



7. ¿De cuántas formas se pueden sentar cinco amigos alrededor de una mesa circular, si Benito y Toño no deben estar juntas? A) 24 B) 36 C) 12 D) 18 E) 10 8. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse 8 amigos en una carpeta con capacidad para 3 si Alex estará siempre sentado en la carpeta? A) 120 B) 112 C) 126 D) 144 E) 96 9. ¿Cuántos números de cinco cifras existen tal que el producto de sus cifras sea 72?

A) 260 D) 150

B) 180 E) 170

C) 200

SISTEMATIZACIÓN 10. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 10 fichas numeradas desde 1 hasta 10, si las fichas con números pares van en los círculos oscuros?

A) 5!(6!) C) 48 E) 5!2


B) 6!2 D) 288

55

11. El número de combinaciones de "x" objetos tomados de 3 en 3, es al número de permutaciones de los mismo objetos, tomados de 2 en 2, en la relación de 1 a 2. Calcular del valor de "x". A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15 12. C a l c u l e e l n ú m e r o t o t a l d e ordenaciones diferentes que se puede formar con todas las letras, a la vez, de la palabra "KATTII", de manera que las vocales iguales estén juntas. A) 120 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 14


problemas sobre fracciones

SnIi2rm15

DESARROLLO DEL TEMA I. Número Racional

Está representado por la división indicada de dos números enteros, donde el divisor es diferente de cero. Se denota: a = / a ∈  ∧ b ∈  – {0} b

{

II. Representación gráfica de una fracción

Se debe considerar lo siguiente:

}

f:

Fracción

Todos los número racionales que cumplen las siguientes condiciones, se denomina fracción.

a b

# de partes que se consideran de la unidad # de partes iguales en que se dividen la unidad o total

Nota:

Ejemplo: ¿Cuáles de las siguientes expresiones representan a una fracción? 2 −8 π 0 7 6 4 8 ; ; ; ; ; ; ; 3 5 4 3 5 −4 3 2 De la definición: representan una fracción. ; ;

I. a es una fracción propia, si a < b b a es una fracción impropia, si a > b b a es una fracción irreductible si a y b son PESI b II. Sean las fracciones irreductibles a y c se cumplen b d que a + c = k; k∈ → b = d b d III. Sean las fracciones irreductibles se sabe que a ; c , e b d f se sabe que  a c e  MCD(a;c;e) MCD  ; ;  =  b d f  MCM(b;d; f)

 a c e  MCM(a;c;e) MCM  ; ;  =  b d f  MCD(b;d; f)

Nota: Podemos ayudarnos graficando.

A. Fracciones equivalentes Dos o más fracciones son equivalentes, cuando con términos distintos expresan la misma parte de la unidad o total.

Principales tipos de fracción Fracción Propia

1 3

Fracción Impropia

27 , 9 , 12 , 18 , 15 , 8 , 5 , 21 , 7 , 14 100 10 20 30 25 6 4 8 3 9 F. Decimal

F. Reductible

2 6

F. Irreductible

3 9

Fracción Ordinaria


11

x3 xk x2 3 1k 1 2 <> <> <> ... <> 9 3k 3 9 x3 xk x2

raz. matemático

Tema 15


Fracción equivalente a a aK a ;K ∈  ∧ : fracción irreductible = b bK b

Nota:

B Fracción de fracción Es una fracción tomada de otra fracción respecto de la unidad. Ejemplo: Determina la mitad de la tercera parte de la mitad de un todo. Resolución: 1

1 de [todo] 2

1 total 2

Los números decimales pueden ser:

Ejemplo Fracción generatriz 25  0.25 → 100 1. Decimal exacto  10,137 → 10137  1000

C. Relación parte todo La relación parte-todo viene a ser una comparación de una parte respecto de un todo mediante una fracción.

IV. Reducción a la unidad de tiempo

Nos piden: Ejemplo: Julián tenía 300 chapitas, luego de jugar con sus

En estos casos se trata de homogenizar lo hecho por cada objeto (caños, grifos) o personajes ya sean en "un minuto"; "un día", etc. Si nos dicen María Pía hace todo un trabajo en 5 horas, entonces en 1 hora hará 1/5 de la obra y visceversa.

Ejemplo: Se desea fabricar 60 carpetas en 1 día.

amigos pierde y gana alternadamente en cuatro 1 3 3 1 juegos: ; ; y de lo que iba quedando ¿cuánto 5 4 7 3 le quedó al final?

 4  4  7  4         de 300  = S /. 320  3  7  4  5 

Decimal periódico mixto

135-1  0,153→ 990 274-27  0,274→ 900 2561-25  2,561→ 990

2. Decimal Inexacto

Ejemplo: ¿Qué parte del área de la región no sombreada es el área de la región sombreada en la siguiente figura?

2S S S S S 2S S 2S 2S S S S

Decimal periódico puro

32 99 245  0,245→ 999 342-3  3,42→ 99  0,32→

1 1 de [ todo] 3 2

En un día

Carpintero A →

se demora

Carpintero B →

se demora

Juntos harán

tiempo =

=

Nota:

III. Fracción generatriz de un número decimal

Total de la obra El tiempo se = calcula Lo realizado en cada unidad de tiempo

Nuestra escritura decimal es consecuencia directa de la utilización de fracciones decimales (con denominador 10 o potencia de 10). Durante bastante tiempo se utilizaron fundamentalmente fracciones sexagesimales (de denominador 60). En 161, en la traducción al inglés de la obra del escocés John Napler (1550 – 1617), las fracciones decimales aparecen tal como las escribimos hoy, con una coma decimal para separar la parte entera de la decimal. Naplar propuso un punto o una coma como signo de separación decimal.

Tema 15

raz. matemático

• Cuando reducimos a la unidad lo que tratamos de averiguar es lo que realiza un obrero en una unidad de tiempo. • Si sabemos por ejemplo lo que avanza en un día sabremos lo que avanzará en 4 o 7 días, dependiendo del problema.

22



PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió 1/2 de lo que quedaba, repitió lo mismo por tercera vez y una cuarta vez después de lo cual le quedaron 6 soles. ¿Cuánto dinero tenía al comenzar el juego?. A) S/. 84 B) S/. 72 C) S/. 94 D) S/. 96 E) S/. 86 Resolución: Inicio: x 1 1 1 ↓ 2 ↓2 ↓2

A) 120 L C) 140 L E) 160 L

B) 130 L D) 150 L

¿Cuánto se le debe sumar a ambos términos de la fracción original para que sea igual a ? A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 13

Resolución: Graficando los datos.

capacidad: 120 litros

Resolución: Sea: a/b la fracción propia (a < b) e irreductible.

2/3 No lleno 72 L (24) <> 1era condición: 1/5 a 1k No extrae Extrae <> ⇒ 2a= b + 3 60 L 1 (12) 5 (12) < > b+3 2k 1/2 a+4 C ⇒a+4 = b No c <>40 L 2da condición: b 1 (20) 2 (20) 1/3 Luego: 2a = (a + 4) + 3 ⇒ a = 7 <>30 L   

Lleno 2 (24) 3

1 ↓2

Queda: 1 1 1 1 2 . 2 . 2 . 2 (x) = 6 x = 96 ∴ Tenía 96 soles

b

Respuesta: D) 96 Problema 2 De un bidón de agua mineral que está lleno 2/3 de lo que no está lleno, se extrae 1/5 de lo que no se extrae, luego de lo que queda se consume la mitad de lo que no se consume y finalmente se pierde 1/3 de lo que no se pierde, quedando al final sólo 30 litros. ¿Cuál es la capacidad total del bidón?

Luego: Se procede a acomodar los datos desde abajo hacia arriba.

Respuesta: A) 120 L Problema 3 Si al denominador de una fracción propia e irreductible se le añade 3, se volvería equivalente a 1/2; en cambio si al numerador se le suma 4 unidades; ambos términos se hacen iguales.

b = 11

 hay que sumar x a Para obtener 0, 81 cada término: 7+x  81 = 0, = 81 11 + x 99 7(99) + 99x = 11(81) + 81x 18x = 198 x = 11

Respuesta: D) 11

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. Si me deben una cantidad igual a los 5/9 de 720 y me pagan los 5/8 de lo que me deben, ¿cuánto me deben aún? a) S/. 150 B) S/. 100 C) S/. 125 d) S/. 200 e) S/. 120 2. Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2/5 a 1/3. ¿Cuántos litros había que añadir para llenar el tanque?

a) 32 000 c) 24 000 e) 12 000

b) 48 000 d) 16 000

3. Betty distraída, como siempre, perdió 2/7 del dinero que le encargaron. ¿Qué parte de lo que queda servirá para reponer lo perdido? a) 2/3 b) 3/5 c) 2/7 d) 2/5 e) 5/7 4. ¿Cuál es el quebrado cuyo valor es menor que 1/6 pero mayor que


33

1/7? Se sabe que su denominador es 84. a) 11/84 b) 13/84 c) 15/84 d) 12/84 e) 14/84 5. El denominador de una fracción excede al numerador en 6. Si el denominador aumenta en 4, el valor de la fracción sería 1/6. Entonces dicha fracción es: a) 3/9 b) 2/8 c) 8/14 d) 4/10 e) 5/11

raz. matemático

Tema 15


PROFUNDIZACIÓN 6. Un barril contiene vino, se extrae la cuarta parte y se reemplaza por agua, luego se extrae la quinta parte de vino y se le vuelve a reemplazar por agua. ¿Cuál es la relación final de agua y vino? A) 2/5 B) 2/3 C) 3/8 D) 5/9 E) 6/11 7. Hallar la suma de los términos de una fracción tal que si al numerador se le resta 2 y al denominador se le suma 5, la fracción resultante es 1/2; y si a cada término de la fracción original se le suma 4, el denominador de la nueva fracción es igual a su numerador aumentado en 8. A) 35 B) 40 C) 42 D) 45 E) 50 8. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador?

Tema 15

a) 1/4 b) 2/13 c) 1/5 d) 5/13 e) 2/9

de la primera calidad. El número de litros que se extrae de cada recipiente es: A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) 38

9. Si el largo de un rectángulo disminuye en un quinto y el ancho aumenta en su mitad, ¿qué parte es el área inicial respecto del área final? a) 1/4 b) 2/3 c) 5/6 d) 4/5 e) 5/8

SISTEMATIZACIÓN 10. Dos clases de vino están mezclados en 3 recipientes. En el primero en la razón 1:1, en el segundo en la razón 1:2; y en el tercero en la razón 1:3. Si se saca el mismo volumen de todos los recipientes para formar una mezcla que contenga 39 litros

raz. matemático

44

11. Un pastor vende los 2/5 de su rebaño a un vecino, después vende los 3/4 del resto a un primo, y del nuevo resto regala los 9/10 a un hermano, quedándose con tres ovejas. ¿Cuántas ovejas tenía el rebaño? A) 300 B) 150 C) 100 D) 400 E) 200 12. Un vendedor de frutas debía vende 600 naranjas a 3 por un sol y otras 600 a cuatro por un sol. Las vendió todas a 8 por dos soles. ¿Cuántos soles ganó o perdió? A) Ganó 30 B) Perdió 60 C) Ganó 80 D) Perdió 50 E) Perdió 65



problemas sobre PORCENTAJES

SnIi2rm16

DESARROLLO DEL TEMA I. regla del tanto por ciento

Nos indica una relación entre una parte y la unidad que ha sido dividida en 100 partes iguales. Es decir: Unidad

1

1

1

100

100

100

....

Operaciones con porcentaje

•

20% A + 30% A = 50% A

•

70% B – 30% B = 40% B

•

m + 10%m = 100%m    + 10%m = 110%m 1

1

1

100

100

• N – 30% N = 70% N

•

2% + 10% A = 210% A

•

5% menos = 95%

A. Relación par de todo Ejemplo: ¿Qué tanto por ciento de 40 es 12? x/100 x 40 = 12 x = 30%

100 partes iguales

Luego: 1 parte < > 1/100 = 1% (uno por ciento) 2 partes < > 2/100 = 2 % (dos por ciento)

¿Que porcentaje es 25 de 80% x/100 x 80 = 25 x = 31.25%

Observamos que: 1% =

B. Descuentos e incrementos sucesivos

1 a → a% = 100 100

100% =

Principio: todo lo que tiene en un determinado momento constituye 100%.

100 = 1 100

Observación: • El 7 por 40 < > 7/40 • El 20 por 45 < > 20/45

Tanto por ciento de tanto por ciento • El 20% del 10% de 40% es: 20/100 . 10/100 . 40% = 8/10% = 0,8% • El 50% del 30% de 60% es: 50/100 . 30/100 . 60% = 9%

Tanto por ciento de una cantidad • El 20% de 30 = 20/100 . 30 = 6 • El 60% del 10% de 500 es: = 60/100 . 10/100 . 500 = 30


Tengo

Constituye

Hoy

S/. 100

100%

Mañana

S/. 150

100%

Ejemplo 1: Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a qué único descuento equivale? Resolución: Cantidad inicial = x (es mi 100%)

Descuento equivalente = 52%

11

raz. matemático

Tema 16


C. Variaciones porcentuales Principio: Todo lo que es constante se elimina todo

x2

x

Inicio 100% 100%

número que multiplica o divide o bien una variable que por dato no modifica su valor es constante.

Final

120%

Ejemplo 1: Si x aumenta 20%. ¿Qué ocurre con x2?

J 20 J2 144 × 100% = 144% K K L100 L 100

x aumenta 44%

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1 Un descuento del 10% seguido de un aumento del 10%. ¿A qué descuento o incremento equivale?

Resolución: Área triángulo = se elimina)

b×h (2 es constante, 2

Área = b x h 120 80 x x 100% (todo valor Área = 100 100 inicial se considera como 100%)

Resolución: Cantidad inicial: 100% 90 110 x x100% = 99% 100 100 Ha habido un descuento equivalente

queda: a 1%

Problema 2 Si la base de un triángulo aumenta 20% y la altura disminuye 20%, ¿qué ocurre con el área?

Bailan

No bailan

18k

22k

30 (60k) 100

42 k

Hombres = Mujeres

40k 60k

Área = 96% El área disminuye 4% Problema 3 En una reunión los hombres representan el 40% del total de personas. Si en cierto momento se encuentran bailando el 30% de las mujeres. ¿Qué porcentaje de los reunidos no está bailando?

Total: 100k

∴

64k (100) = 64% 100k

PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN 1. ¿Qué tanto por ciento representa 1/11 de los 3/8 de 11 veces la mitad del cuádruple de 1/3 respecto del cuadrado de la inversa de 40? a) 40% b) 16,6% c) 16,8% d) 25% e) 15,6% 2. Los descuentos sucesivos de 30%, 50%, 20% y 10% de una cantidad son equivalentes a un descuento único de: a) 81,8% b) 25,2% c) 74,8% d) 62,25 e) 72,6%

Tema 16

3. Oliver gana el 50% más que Lucho y Bruno el 30% de lo que gana Oliver. ¿Cuántos soles ganan los tres juntos, si Bruno gana 18 soles? a) S/. 118 b) S/. 200 c) S/. 154 d) S/. 136 e) S/. 112

5. El 80% de las latas de leche que hay en una caja, es vendida a 4 personas, dándoles a cada una la misma cantidad. ¿Qué fracción del total de latas se le ha vendido a cada persona?

4. Edmundo tiene 2000 soles y quiere tener una entrada anual de 385 soles ganando el 14% en 800 soles, el 16% en 300%, que porcentaje debe cobrar por lo restante del dinero. a) 15% b) 40% C) 25% d) 60% e) 50%

PROFUNDIZACIÓN

raz. matemático

22

a) 1/5

b) 2/8

c) 3/5

d) 4/5

e) 2/5

6. Se tiene 20 litros de una mezcla de agua y sal al 15% de sal. Para obtener una mezcla al 60% de sal.

¿Qué cantidad de agua se debe evaporar? a) 12 L

b) 15 L

c) 10 L

d) 8 L

e) 13 L



7. Una señora lleva 2000 vasos de vidrio al mercado y encuentra que el 10% estaba astillado, y sólo pudo vender el 60% de los buenos. ¿Cuántos quedaron sin vender? a) 970 b) 920 c) 720 d) 780 e) 1080 8. En una reunión de jóvenes, el 40% son mujeres. Si el número de mujeres aumenta en 30% y el de los hombres en 20%, ¿en qué porcentaje aumentó el total de los alumnos? a) 10% b) 12% c) 18% d) 24% e) 20% 9. En una reunión, el 40% son hombres y el resto son mujeres. Después ingresan 70 hombres y salen 20 mujeres, entonces el número de hombres es el 60% del nuevo total.

¿Qué porcentaje del nuevo total de damas son las personas que ingresaron después? a) 65% b) 60% c) 72% d) 75% e) 70%

10. Se tiene 10 litros de solución alcohólica al 40% de pureza. Para obtener una solución al 60% de pureza. ¿Qué volumen de solución al 70% de pureza se debe agregar? a) 10 L b) 18 L c) 15 L d) 24 L e) 20 L

SISTEMATIZACIÓN 11. Si la longitud de una circunferencia disminuye 30%, ¿En qué porcentaje disminuye el área de su círculo?. a) 64% b) 30% c) 70% d) 51% e) 49%


33

12. De la mesa de un laboratorio se toma un recipiente que contiene 40 litros de alcohol al 10% y se vierte todo el contenido en un segundo recipiente que contenía 10 L de alcohol al 20%. Si luego se agregó 38 litros de alcohol puro.

¿Qué tanto por ciento de la mezcla final no es alcohol puro? a) 48%

b) 64%

c) 40%

D) 54%

e) 50% 13. Una rueda de caucho tiene un diámetro exterior de 25 pulgadas cuando el radio disminuye en un cuarto de pulgada. Entonces el número de revoluciones que la rueda dará en una milla... a) Se aumenta en 2%. b) Se aumenta en 20%. c) Se aumenta en 1%. d) Se aumenta en 1/2%. e) Permanece constante.

raz. matemático

Tema 16

RM pamer

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