Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Matematika SMA Kelas XII Semester 1 Kurikulum 2013 Topik : Induksi Matematika
Disusun oleh: Nur Ayu Istiqomah Mahasiswa PPP 2015 Pendidikan Matematika Universitas Negeri Surabaya
DINAS PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN SMA NEGERI 7 SURABAYA 2015
0
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : XII/I Materi Pokok : Induksi Matematika Alokasi Waktu : 12 JP (6 Pertemuan)
I.
Kompetensi Inti
KI 1
Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya
KI 2
Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.
KI 3
Memahami, menerapkan, menganalisis dan mengevaluasi pengetahuan faktual, konseptual, procedural dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
KI 4
Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri secara efektif dan kreatif, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.
II.
Kompetensi Dasar
1.1
Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
2.1
Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual.
3.5
Mendekripsikan prinsip induksi matematika dan menerapkannya dalam membuktikan rumus jumlah deret persegi dan kubik.
4.5
Mengidentifikasi, menyajikan model matematika dan menyelesaikan masalah induksi matematika dalam membuktikan rumus jumlah deret persegi dan kubik.
III. Indikator 1.1.1
Menjawab salam sebelum dan sesudah pembelajaran dimulai.
2.1.1
Menunjukkan perilaku kritis dalam mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat selama proses pembelajaran.
1
2.1.2
Menunjukkan perilaku disiplin selama proses pembelajaran.
3.5.1
Mengamati dan menemukan pola induksi matematis.
3.5.2
Menyebutkan dan menggunakan prinsip induksi matematis dengan tepat
3.5.3
Menyebutkan dan menggunakan prinsip induksi matematis kuat dengan tepat
4.5.1
Membuktikan suatu pernyataan menggunakan induksi matematis.
IV.
Materi Ajar Induksi Matematika
V.
VI.
Pembelajaran Pendekatan
: Saintifik (Scientific Approach)
Model
: Pembelajaran Kooperatif
Sumber Pembelajaran Buku Siswa Matematika SMA/MA Kelas XII Semester 1 Kurikulum 2013 (2015) Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
VII. Langkah-langkah Kegiatan Pembelajaran Pertemuan ke-1 Pembelajaran Kooperatif Tipe TPS (Think Pair Share) Kegiatan
Deskripsi Kegiatan
Alokasi Waktu 5 menit
1. Guru memberikan salam kepada siswa. 2. Guru mengecek kehadiran siswa. Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa 3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan dapat dicapai siswa. Pendahuluan 4. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya mempelajari induksi matematika. Ilustrasi : Penalaran induktif dan deduktif adalah dua cara mengambil kesimpulan. Jika penalaran deduktif berangkatnya dari sesuatu yang berlaku secara umum ke sesuatu yang khusus, penalaran induktif justru sebaliknya. Penalaran induktif diperoleh dari menyimpulkan kasus-kasus. Penalaran 2
induktif biasanya digunakan untuk mengembangkan pengetahuan yang bersifat empiris, dan penalaran deduktif biasanya digunakan untuk mengembangkan pengetahuan yang bersifat abstrak. Namun demikian, dua cara ini perlu dimiliki siswa yang sedang belajar, termasuk belajar matematika. Dengan penalaran induktif, siswa akan sampai pada suatu pernyataan yang dikenal dengan istilah konjektur (dalam bahasa Inggris disebut conjecture) yang belum tentu benar secara mutlak. Dengan penalaran deduktif, kebenaran yang diperoleh merupakan kebenaran mutlak. Bagaimana dengan induksi matematis, apakah ini termasuk penalaran induktif atau deduktif? Mari kita perhatikan contoh-contoh berikut.
Fase 2. Menyajikan Informasi 5. Siswa diajak untuk mengamati Contoh 3.1, Contoh 3.2, Contoh 3.3, dan Contoh 3.4 pada buku siswa. (Mengamati) 6. Siswa diminta untuk mencatat hal-hal penting dalam masing-masing contoh khususnya terkait dengan penalaran induktif. Siswa juga diajak untuk mengenali induksi matematis sebagai salah satu penalaran deduktif. 7. Dari hasil pengamatan siswa diminta untuk membuat beberapa pertanyaan yang berkaitan dengan induksi matematis. (Think)
Kegiatan Inti
Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompokkelompok Belajar 8. Siswa diminta berpasangan dengan teman sebangkunya. (Pair) 9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan yang telah mereka buat. 10. Beberapa kelompok diminta untuk menyampaikan pertanyaan-pertanyaan yang telah mereka diskusikan. 11. Pertanyaan-pertanyaan yang dibuat siswa ditulis di papan tulis kemudian pertanyaan-pertanyaan tersebut diarahkan ke pertanyaan-pertanyaan berikut Apa sebenarnya induksi matematis itu? Apa bedanya induksi matematis dengan penalaran induktif yang biasa kita kenal itu? Ada berapa macam prinsip induksi matematis? Untuk hal yang bagaimana induksi matematis itu digunakan?
75 menit
3
Mengapa induksi matematis bisa diterima sebagai prinsip pembuktian yang valid dalam matematika (penalaran deduktif)? Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar 12. Setiap pasangan diminta untuk berdiskusi dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan yang telah mereka buat, khususnya dalam menjawab apa itu induksi matematis dengan membaca buku siswa halaman 135-136. (Mengeksplorasi) 13. Siswa dibimbing dalam memahami bahwa cara kerja induksi matematis secara intuisi sesungguhnya bekerja pada semua bilangan asli n. 14. Setelah mendapatkan informasi cara kerja induksi matematis, siswa diminta untuk berdiskusi dengan pasangannya mengenai pertanyaan pada kegiatan Ayo Menalar pada buku siswa. (Mengasosiasi) 15. Guru meminta siswa menuliskan hasil diskusinya pada selembar kertas dan mengumpulkannya setelah selesai mengerjakannya. Fase 5. Evaluasi 16. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain dipersilahkan untuk menanggapinya. (Mengkomunikasikan) (Share) 17. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga diperoleh kesimpulan yang seragam. 18. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap. Fase 6. Memberikan Penghargaan 19. Guru meminta siswa untuk memberika apresiasi berupa tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan hasil diskusinya.
Penutup
20. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah dipelajari. 21. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan selanjutnya yaitu tentang “Prinsip Induksi Matematika”
10 menit
Pertemuan ke-2 4
Pembelajaran Kooperatif Kegiatan
Alokasi Waktu
Deskripsi Kegiatan 1. Guru memberikan salam kepada siswa. 2. Guru mengecek kehadiran siswa.
5 menit
Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa 3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan dapat dicapai siswa. Pendahuluan 4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah dipelajari di pertemuan sebelumnya. 5. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya mempelajari prinsip induksi matematika.
Fase 2. Menyajikan Informasi 6. Siswa diajak untuk mengamati dan memahami Contoh 3.5, Contoh 3.6 dan Contoh 3.7 pada buku siswa. (Mengamati) 7. Dari hasil pengamatan siswa diminta untuk membuat beberapa pertanyaan yang berkaitan pembuktian pernyataan yang menggunakan prinsip induksi matematis. Salah satu pertanyaan yang diharapkan muncul dari siswa adalah “bagaimana langkah – langkah pembuktian dalam induksi matematis?” (Menanya)
Kegiatan Inti
Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompokkelompok Belajar 8. Siswa diminta untuk membentuk kelompok-kelompok dengan anggota masing-masing kelompok 3-4 orang.
75 menit
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar 9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan yang telah mereka buat. 10. Siswa diajak untuk memahami prinsip induksi matematis, maupun prinsip induksi matematis yang diperluas berdasarkan contoh yang diberikan sebelumnya. (Mengeksplorasi) 11. Untuk lebih memperjelaskan tentang prinsip induksi matematis, siswa diajak untuk mencermati ilustrasi prinsip induksi matematis melalui gambar kartu remi pada buku siswa halaman 145. (Mengeksplorasi) 12. Setiap kelompok diminta untuk mendiskusikan pertanyaan: (Mengasosiasi)
a. Bagaimana
langkah-langkah
suatu
bukti
dengan 5
menggunakan prinsip induksi matematis bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n? b. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m, untuk suatu bilangan asli m? 13. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam diskusi kelompok. Fase 5. Evaluasi 14. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain dipersilahkan untuk menanggapinya. (Mengkomunikasikan) 15. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga diperoleh kesimpulan yang seragam. 16. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap. Fase 6. Memberikan Penghargaan 17. Guru meminta siswa untuk memberika apresiasi berupa tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan hasil diskusinya.
Penutup
18. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah dipelajari. 19. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan selanjutnya yaitu tentang “Penerapan Induksi Matematis”
10 menit
Pertemuan ke-3 Pembelajaran kooperatif TPS (Think Pair Share) Kegiatan
Deskripsi Kegiatan 1. Guru memberikan salam kepada siswa. 2. Guru mengecek kehadiran siswa.
Alokasi Waktu 5 menit
Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa Pendahuluan 3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan dapat dicapai siswa. 4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah dipelajari di pertemuan sebelumnya. 5. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya 6
mempelajari penerapan induksi matematis.
Fase 2. Menyajikan Informasi 6. Siswa diajak mengamati langkah-langkah pembuktian dengan prinsip induksi matematis pada Contoh 3.8, 3.9, dan 3.10 pada buku siswa. (Mengamati) 7. Siswa dipandu membuat pertanyaan yang berkenaan dengan langkah-langkah pembuktian dalam penerapan induksi matematis dalam pembutian. (Menanya) (Think) Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompokkelompok Belajar 8. Siswa diminta untuk berpasangan dengan teman sebangkunya. (Pair) 9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan – pertanyaan yang telah mereka buat.
Kegiatan Inti
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar 10. Siswa dipandu dalam mengumpulkan informasi dengan memberikan soal dan buktinya. (Mengeksplorasi) (Lampiran 5) 11. Siswa diminta untuk mengerjakan kegiatan “Ayo Menalar” di buku siswa. (Mengasosiasi) 12. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam diskusi kelompok.
75 menit
Fase 5. Evaluasi 13. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain dipersilahkan untuk menanggapinya. (Mengkomunikasikan) (Share) 14. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga diperoleh kesimpulan yang seragam. 15. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap. 16. Guru memberikan tes tulis individu kepada siswa. Fase 6. Memberikan Penghargaan 17. Setelah pengerjaan tes tulis selesai, guru mengumumkan hasil diskusi kelompok terbaik. 18. Guru meminta siswa untuk memberika apresiasi berupa tepuk tangan kepada kelompok terbaik.
7
Penutup
19. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah dipelajari. 20. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan selanjutnya yaitu tentang “Prinsip Induksi Matematis Kuat”
10 menit
Pertemuan ke-4 Pembelajaran Kooperatif TPS (Think Pair Share) Kegiatan
Deskripsi Kegiatan
Alokasi Waktu
1. Guru memberikan salam kepada siswa. 2. Guru mengecek kehadiran siswa. Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa 3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan dapat dicapai siswa. 4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah dipelajari di pertemuan sebelumnya. 5 menit Pendahuluan 5. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya mempelajari induksi matematika. Ilustrasi : Prinsip induksi matematis kuat ini perlu dikembangkan karena ternyata, dengan prinsip induksi matematis yang ada tersebut, terdapat beberapa pernyataan benar yang tidak bisa dibuktikan.
Fase 2. Menyajikan Informasi 6. Siswa diminta untuk mengamati tentang prinsip induksi matematis kuat pada contoh 3.11 di buku siswa. (Mengamati) 7. Siswa dipandu membuat pertanyaan yang berkenaan dengan induksi matematis kuat. (Menanya) (Think) Kegiatan Inti
Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompokkelompok Belajar 8. Siswa diminta untuk berpasangan dengan teman sebangkunya. (Pair) 9. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan – pertanyaan yang telah mereka buat.
75 menit
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar 10. Siswa diminta untuk membaca informasi tentang prinsip induksi matematis kuat dan induksi matematis kuat yang 8
diperluas. Selanjutnya juga diminta untuk membaca langkah-langkah dimana ditunjukkan secara induktif bahwa induksi matematis kuat ekuivalen dengan induksi matematis, yaitu diperoleh kesimpulan yang sama bahwa P(n) benar untuk semua bilangan asli n. (Mengeksplorasi) 11. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan pada kegiatan “Ayo Menalar” di buku siswa. (Mengasosiasi) 12. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam diskusi kelompok. Fase 5. Evaluasi 13. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain dipersilahkan untuk menanggapinya. (Mengkomunikasikan)(Share) 14. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga diperoleh kesimpulan yang seragam. 15. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap. Fase 6. Memberikan Penghargaan 16. Guru meminta siswa untuk memberikan apresiasi berupa tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan hasil diskusinya.
Penutup
17. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah dipelajari. 18. Guru meminta siswa untuk mempelajari materi pertemuan selanjutnya yaitu tentang “Penerapan Prinsip Induksi Matematis Kuat”
10 menit
Pertemuan ke-5 Pembelajaran Kooperatif Kegiatan
Deskripsi Kegiatan
Alokasi Waktu
1. Guru memberikan salam kepada siswa. 2. Guru mengecek kehadiran siswa. Fase 1. Menyampaikan tujuan dan memotivasi siswa Pendahuluan 3. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang diharapkan 5 menit dapat dicapai siswa. 4. Guru memberikan apersepsi terkait materi yang telah dipelajari di pertemuan sebelumnya. 5. Guru memberikan motivasi kepada siswa terkait perlunya 9
mempelajari penerpan prinsip induksi matematis kuat.
Fase 2. Menyajikan Informasi 6. Siswa diajak mengamati penerapan induksi matematis kuat pada Kegiatan 3.2.1 dan 3.2.2. Siswa diminta mengamati langkah-langkah perbuktian yang dilakukan, dan membandingkan dengan langkah-langkah pada induksi matematis. (Mengamati) Fase 3. Mengorganisasikan Siswa dalam Kelompokkelompok Belajar 7. Siswa diminta untuk membentuk kelompok yang masingmasing terdiri dari 3-4 siswa. 8. Setiap kelompok diminta untuk membuat pertanyaan yang berhubungan dengan induksi matematis dan induksi matematis kuat. (Menanya) 9. Pertanyaan yang telah dibuat siswa ditulis di papan tulis dan diarahkan agar pertanyaan berhubungan tentang perbedaan prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis kuat.. Kegiatan Inti
Fase 4. Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar 10. Siswa diajak untuk membandingkan prinsip induksi matematis dan prinsip induksi matematis kuat. Khususnya pembuktian pada langkah induksi. (Mengeksplorasi) 11. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam membandingkan kedua prinsip induksi tersebut. 12. Selanjutnyadengan membandingkan kedua prinsip induksi tersebut dan dengan melihat penggunaan prinsip induksi tersebut dalam menyelesaikan soal, siswa diajak untuk memperoleh informasi kapan prinsip induksi kuat digunakan dalam pembuktian suatu pernyataan. (Mengeksplorasi) 13. Siswa diminta untuk mendiskusikan pertanyaan-pertanyaan pada kegiatan “Ayo Menalar” di buku siswa. (Mengasosiasi) 14. Guru membantu siswa apabila mengalami kesulitan dalam diskusi kelompok.
75 menit
Fase 5. Evaluasi 15. Beberapa kelompok diminta untuk memamaparkan kesimpulan yang diperoleh dan siswa dari kelompok lain dipersilahkan untuk menanggapinya. (Mengkomunikasikan) 16. Guru membantu siswa dalam diskusi kelas sehingga diperoleh kesimpulan yang seragam. 10
17. Pada diskusi kelompok maupun diskusi kelas, guru melakukan pengamatan untuk melakukan penilaian sikap. 18. Guru memberikan tes tulis kepada siswa. Fase 6. Memberikan Penghargaan 19. Guru meminta siswa untuk memberikan apresiasi berupa tepuk tangan kepada kelompok yang telah memaparkan hasil diskusinya.
20. Guru membimbing siswa menyimpulkan materi yang telah dipelajari. 21. Guru meminta siswa untuk mempersiapkan ulangan harian di pertemuan selanjutnya.
Penutup
10 menit
Pertemuan ke-6 Ulangan harian A. Penilaian 1. Teknik penilaian Lembar Pengamatan Penilaian Sikap, Tes Tertulis. 2. Prosedur penilaian Nmr.
Aspek yang dinilai
Teknik penilaian
Waktu penilaian Sebelum dan sesudah pelajaran
Spiritual: Menjawab Salam
Pengamatan
2
Sikap : Kritis dan Disiplin
Pengamatan
Kegiatan inti
3
Pengetahuan matematika
Lembar Kerja Siswa
Kegiatan inti
4
Keterampilan matematka
Tes Tertulis
Kegiatan inti
1
3. Instrumen penilaian a. Instrumen Penilaian Spiritual Lembar Pengamatan (Lampiran 1) b. Instrumen Penilaian Sikap Lembar Pengamatan Penilaian Sikap (Lampiran 2) c. Instrumen penilaian pengetahuan matematika Pertemuan ke-1 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 3) 11
Pertemuan ke-2 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 4) Pertemuan ke-3 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 6) Pertemuan ke-4 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 8) Pertemuan ke-5 : Kegiatan ayo menalar (lampiran 9) d. Instrumen penilaian keterampilan matematika Pertemuan ke-3 : tes tulis (lampiran 7) Pertemuan ke-5 : tes tulis (lampiran 10)
Surabaya,……………….2015
Mengetahui, Kepala SMAN 7 Surabaya
Guru Mapel Matematika
(Drs. R. Achmad Djunaidi, M.Pd.)
( …………………………… )
NIP. 196412111989031014
NIP.
12
Lampiran 1 LEMBAR PENGAMATAN SPIRITUAL Spiritual (Menjawab salam Sebelum dan Sesudah Proses Pembelajaran) Indikator sikap spiritual adalah sebagai berikut SB
= Menjawab salam secara lengkap sebelum dan sesudah pembelajaran
B
= Menjawab salam sebelum dan sesudah pembelajaran
C
= Menjawab salam sebelum atau sesudah pembelajaran saja
KB
= Tidak menjawab salam sama sekali
Bubuhkan tanda cek (√) pada kolom berikut Nmr.
Keterangan Sangat Baik Baik Cukup Kurang
Nama Siswa
SB
B
C
KB
= (SB) = (B) = (C) = (K)
13
Lampiran 2 LEMBAR PENGAMATAN SIKAP Sikap yang dikembangkan dalam proses pembelajaran adalah kritis dan disiplin. Indikator penilaian terhadap sikap kritis. Skor 4
jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat lebih dari 2 kali
Skor 3
jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat 2 kali
Skor 2
jika mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat 1 kali
Skor 1
jika tidak pernah mengajukan pertanyaan dan/atau menyampaikan pendapat sama sekali.
Indikator penilaian terhadap sikap disiplin. Skor 4
jika datang ke kelas tepat waktu dan mengumpulkan tugas tepat waktu
Skor 3
jika datang ke kelas tepat waktu atau mengumpulkan tugas tepat waktu
Skor 2
jika datang ke kelas tidak tepat waktu dan mengumpulka tugas tidak tepat waktu
Skor 1
jika tidak hadir dan tidak mengumpulkan tugas.
Berilah tanda cek (√) pada kolom berikut sesuai hasil pengamatan Nmr.
Nama Siswa
4
Kritis 3 2
1
4
Disiplin 3 2
1
Keterangan: Sangat Baik (SB)
: Skor 4
Baik (B)
: Skor 3
Cukup (C)
: Skor 2
Kurang (K)
: Skor 1
14
Lampiran 3 Pertemuan ke-1
Pedoman Penskoran dan Alternatif Jawaban Pernyataan P(n) benar untuk semua bilangan asli n, apabila pernyataan P(n) yang berkenaan dengan semua bilangan asli n, dan memenuhi dua sifat: (Skor 1) a. P(1) benar (Skor 1) b. Untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar. (Skor 2)
15
Lampiran 4 Pertemuan ke-2 Diskusikan jawaban dari pertanyaan berikut dengan kelompokmu! a. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n? b. Bagaimana langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m, untuk suatu bilangan asli m? Alternatif jawaban dan pedoman penskoran : Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut: 1. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 2) 2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 2) 3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 2) Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah sebagai berikut: 1. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 2) 2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 2) 3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m. (Skor 2) Nilai =
16
Lampiran 5 Pertemuan ke-3 Contoh soal dibuktikan bersama siswa
17
Lampiran 6 Pertemuan Ke-3
Alternatif jawaban Terdapat 3 langkah yang digunakan dalam pembuktian itu, yaitu 1. Langkah Dasar, 2.angkah Induksi, dan 3. Kesimpulan a. Langkah Pertama (Dasar), membuktikan bahwa P(1) benar untuk induksi matematis atau P(m) benar untuk induksi matematis yang diperluas. (Skor 3) b. Langkah Kedua (Induksi) Untuk induksi matematis, membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. Untuk induksi matematis yang diperluas, membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar. (Skor 3) c. Kesimpulan Untuk induksi matematis, menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan asli n Untuk induksi matematis yang diperluas, menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan asli n m untuk suatu bilangan asli m. (Skor 3) Nilai =
18
Lampiran 7 Pertemuan ke-3 Tes tulis
19
ALTERNATIF JAWABAN DAN PEDOMAN PENSKORAN TES TULIS PERTEMUAN KE-3 Nmr. Jawaban 1. Generalisasi a. Banyak persegi - Banyak persegi terbesar (4×4) =1 - Banyak persegi (3 × 3) = 4 - Banyak persegi (2×2) = 9 - Banyak persegi (1×1) = 16 Jadi banyak pesergi yang ditemukan = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 b. Banyak persegi panjang - Banyak persegi panjang (4×4) =1 - Banyak persegi panjang (4×3 atau 3×4) = 4 - Banyak persegi panjang (4×2 atau 2×4) = 6 - Banyak persegi panjang (4×1 atau 1×4) = 8 - Banyak persegi panjang (3×3) = 4 - Banyak persegi panjang (3×2 atau 2×3) = 12 - Banyak persegi panjang (3×1 atau 1×3) = 16 - Banyak persegi panjang (2×2) = 9 - Banyak persegi panjang (2×1 atau 1×2) = 24 - Banyak persegi panjang (1×1) = 16 Jadi banyak persegi panjang = 1 + 4 + 6+ 8 + 4 + 12 + 16 + 9 + 24 + 16 = 70. 2.
a. Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar. Artinya 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k = k(k + 1). Akan ditunjukkan P(k + 1) benar. Perhatikan bahwa 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1) + (k + 2). Jadi P(k + 1) benar. b.Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar. Artinya 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2k-1 = 2k - 1. Akan ditunjukkan P(k + 1) benar. Perhatikan bahwa 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2k-1 + 2(k-1)-1 = 2k -1 + 2k = 2.2k -1 = 2k-1 -1 Jadi P(k + 1) benar. c.Langkah Induksi Untuk setiap bilangan asli k, misalkan P(k) benar.
Skor
20
20
20
20
20
20
Artinya 12 + 22 + 32 + ... + k2 = Akan ditunjukkan P(k + 1) benar. Perhatikan bahwa 12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 =
=
(k+2)(2k+3) =
Jadi P(k + 1) benar. Skor total
100
Nilai =
21
Lampiran 8 Pertemuan Ke-4
Alternatif jawaban dan pedoman penskoran Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut: 1. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3) 2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, jika P(1), P(2), …, P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3) 3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3) Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat yang diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah sebagai berikut: 1. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 3) 2. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n m, apabilaP(m), P(m+1), …, P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3) 3. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3) Nilai = 22
Lampiran 9 Pertemuan Ke-5
Alternatif Jawaban dan Pedoman Penskoran 1. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3) b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, apabila P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3) c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3) Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis yang diperluas bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa P(m) benar (Skor 3) b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k m, apabila P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3) c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m. (Skor 3) 2. Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat bahwa suatu pernyataanP(n) benar untuk setiap bilangan asli n adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa P(1) benar. (Skor 3) b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli k, jika P(1), P(2), …,P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3) c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3) Langkah-langkah suatu bukti dengan menggunakan prinsip induksi matematis kuat yang diperluas, bahwa suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n m adalah sebagai berikut: a. Membuktikan bahwa P(m) benar. (Skor 3) 23
b. Membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n m, apabila P(m), P(m+1), …, P(k) benar, maka P(k+1) juga benar. (Skor 3) c. Menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. (Skor 3) 3. Induksi matematis kuat digunakan apabila dalam langkah pembuktian pernyataan P(k+1) benar tidak hanya memerlukan kebenaran P(k) tetapi juga kebenaan P(n) untuk n sebelum k. Sedangkan induksi matematis digunakan apabila dalam langkah pembuktian pernyataan P(k+1) benar hanya memerlukan kebenaran P(k). (Skor 4)
Nilai =
24
Lampiran 10 Pertemuan ke-5 Tes Tulis
25
Lampiran 11 Tabel Konversi Nilai
Nilai Ketuntasan Pengetahuan dan Keterampilan Rentang Angka 3,85 – 4,00 3,51 – 3,84 3,18 – 3,50 2,85 – 3,17 2,51 – 2,84 2,18 – 2,50 1,85 – 2,17 1,51 – 1,84 1,18 – 1,50 1,00 – 1,17
Huruf A AB+ B BC+ C CD+ D
26
