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CALCULO III SERIE 4 SEMESTRE: 04-2

Página 1 Fecha límite de entrega: -----

La presente serie de ejercicios ha sido estructurada con la finalidad de apoyar tanto a profesores como a alumnos alumnos en la impartición impartición y el el aprendizaje aprendizaje de la asignatura asignatura Cálculo Cálculo III. Estamos conscientes cons cientes de que qu e puede haber errores, por lo que agradeceremos agradeceremos el que nos hagan llegar sus observaciones a [email protected] o en la coordinación.

La recopilación, captura y solución de esta serie fue realizada por el Ing. Enrique Arenas Sánchez, por lo cual agradeceremos su colaboración y reconocemos su esfuerzo.

Atentamente. Coordinación de Cálculo III

http://dcb.fi-c.unam.mx/users/enriqueas/index.htm http://dcb.fi-c.unam.mx/users/enriqueas/ index.htm http://dcb.fi-c.unam.mx/deptos/deptos.html



9991A1AE Expresar por medio de notación de conjuntos y representar gráficamente la región 1) limitada por las curvas: 2 2 4 4 y = x + 4 ; y = x - 1 ; y = - x + 2 ; y = - x - 8 3 3 3 3 SOLUCION R = R1 ∪ R 2 donde 10 3 3 3   ≤ y ≤ 0 ; - y - 6 ≤ x ≤ y + R1 =  ( x , y ) |  3 4 2 2   14 3 3 3   ; y - 6 ≤ x ≤ - y + R 2 =  ( x , y ) | 0 ≤ y ≤  3 2 4 2   Grafica a criterio del profesor.

9991C2AE Expresar por medio de notación de conjuntos y representar gráficamente la región 2) 16 2 2 interior a x 2 + y = 25 y localizada a la izquierda de y = x 3

SOLUCION R = R1 ∪ R2 ∪ R3 donde

{

R1 = ( x , y ) | - 5 ≤ x ≤ 0 ; -



R 2 =  ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 3 ; 4

  R3 =  ( x , y ) | 0 

≤

x ≤ 3 ; -

25 - x2 ≤ y ≤ x 3

≤

y ≤

25 - x 2

}



25 - x 2 

25 - x 2 ≤ y ≤ - 4

 x 3

  

Grafica a criterio del profesor.

9991C4AE Expresar por medio de notación de conjuntos y representar gráficamente en el plano 3) 7 u v ,la región limitada por las curvas u v = 2 , u v = - 2 , u 2 - v 2 = 1 , u 2 - v2 = en el 2 primer y cuarto cuadrante. cuadrante.



SOLUCION

R = R1 ∪ R2 ∪ R3 donde



R1 =  ( u , v ) | -

1

≤

v ≤

1

; -

1 + v2 ≤ u ≤

2 2  1 1  2 ≤ v ≤ 1 ; 1+ v ≤ u ≤ R 2 =  ( u , v ) | v 2  1  ; 1 + v2 ≤ u ≤ R3 =  ( u, v ) | - 1 ≤ v ≤ 2 

 7 + v2  2 

   -

1   v 

Grafica a criterio del profesor.

0991A1AE

4)

au h h 0 0

Calcular ∫ ∫

2

v

2

a u - v2 d v du 2 h

SOLUCION 3 a h

12

9991A5AE Expresar por medio de notación de conjuntos las regiones limitadas por las curvas cuyas cuyas 5) ecuaciones en coordenadas polares se dan, y representar gráficamente la región limitada por las curvas en el plano ρ θ .

a) ρ = a , ρ = 2 a cos θ ; exte xterior ior a ρ = a e interior a ρ = 2 a cos θ b) ρ = a , ρ = a cos θ ; interior a ρ = a y extrerior a ρ = a cos θ



SOLUCION

a)

 

R′ =  ( ρ , θ ) | -

π

≤

3

θ ≤

π 3

 

; a ≤ ρ ≤ 2 a cos θ 

b)

   R′2 =  ( ρ , θ ) |   R′3 =  ( ρ , θ ) | 

R′1 =  ( ρ , θ ) | 0 ≤ θ ≤

π 2

 

; a cos θ ≤ ρ ≤ a 

π 3 π ≤ θ ≤ ; 0 ≤ ρ ≤ a 2 2 -

π

≤

    

θ ≤ 0 ; a cos θ ≤ ρ ≤ a 

2 Graficas a criterio del profesor.

9991C0AE

6)

π

4

3

Calcular ∫0 ∫ π 2 ρ cos2 θ d θ d ρ 2

SOLUCION 32 π

9991C7AE Expresar por medio de notación de conjuntos y representar gráficamente la región del 7) 2

2

2

2

primer cuadrante limitada por las curvas de ecuación x 2 + y = a 2 , x 3 + y 3 = a 3 (hipocicloide de cuatro puntas)

SOLUCION

 R =  ( x , y ) | 0 

≤

x ≤ a ;

Gráfica a criterio del profesor.

9991C8AE

8)

1

2

Calcular ∫0 ∫ 0 x y dy dx

3 2   a 2 - x 3   

3

≤

y ≤

 

2 2 a - x 



SOLUCION 1

9991C9AE

9)

π

3 cos θ

Calcular ∫03 ∫1 + cos θ ρ d ρ d θ

SOLUCION π

2

2011A3AE

10)

Evaluar la integral doble ∫ ∫ R x 2

9 - x 2

d A , donde R es la región circular limitada

2

por la circunferencia x2 + y = 9

SOLUCION

27 2

2011C3AE

11)

Calcular el valor de ∫ ∫ R e x

2

+ y

2

d A donde R es la región del plano X Y localizada 2

2

entre las circunferencias de ecuaciones x 2 + y = 1 , x 2 + y = 9

SOLUCION π ( e9 - e )

3021A3AE 12) Utilizar integrales doble para calcular el área de la región del plano X Y localizada en el 2

2

primer octante y limitada por las curvas de ecuaciones ecuaciones 16 ( x - 1 ) = y , 8 x = y .



SOLUCION 16 2 u 3

3991C3AE 13) Calcular el área de la región del plano " x y" , interior a las curvas de ecuaciones 2

2

2 2 x + y = 9 , x + y - 6 x = 0 .

SOLUCION 11.055 u 2

9991A2AE medio de de la integral doble, doble, calcular el área de la región del primer cuadrante, cuadrante, limitada 14) Por medio 2

2

por las curvas de ecuaciones 2 y = x - 2 , x 2 - 4 y = 4 , x = 4 SOLUCION

2 3 - Ln ( 2 +

3 ) -

4 3

u

2

9991A3AE medio de de la integral doble, doble, calcular el área de la región del primer cuadrante, cuadrante, limitada 15) Por medio

por

las

curvas

de

ecuaciones

x = 2 ,

x = 6 ,

2

y = x 2 - 10 x + 26 ,

2

y = x 2 - 10 x + 30 . SOLUCION 3.8795

9991A4AE de la región localizada entre las curvas curvas de 16) Por medio de la integral doble, calcular el área de 2 2 ecuación x - 14 x - 5 y + 59 = 0 , x - 14 x + 5 y - 11 = 0



SOLUCION 200 2 u 3

9991A7AE medio de de la integral doble, doble, calcular el área de la región del primer cuadrante, cuadrante, limitada 17) Por medio por las curvas x y = 1 , x y = 4 , y = 2 x , x = 2 y . SOLUCION Ln 8 u 2

3031C5AE 18) Calcular el volumen de la región localizada por arriba del plano X Y , interior al 2

2

paraboloide paraboloide z = 9 - ( x 2 + y ) , exterior al cilindro x 2 + y = 4 .

SOLUCION 25 π u 3 2

4031A6AE

19)

2

2

Determinar el volumen de la región limitada por las superficies superficies a z = y , x2 + y = r 2 , z = 0 , donde a y r son constantes.

SOLUCION π r 4 3 u 8 4041A5AE 20) Calcular el volumen de la región que es limitada por las superficies S 1 y S 2

representadas por: S 1 : x 2 + z 2 = 4 - y , S 2 : y + 5 = 0



SOLUCION

81 2

π u 3

4011A6AE 21) Calcular la masa de una lámina de espesor unitario, cuya densidad está dada por ρ ( x , y ) = k ( a - y ) y donde k es constante y si dicha lámina lá mina tiene la forma de

la región limitada por las curvas de ecuaciones y =

2 2 a - x , y = 0 .

SOLUCION π 2 2 u 4

6001A5AE 22) Utilizar integración doble para calcular el área de la región del primer cuadrante interior a la curva cuya ecuación polar es ρ = 3 sen 4 θ SOLUCION 9 π 2 u 8

7001A5AE 23) Utilizar integración doble para calcular el área de la región interior a la curva cuya ecuación polar es ρ = 6 cos θ SOLUCION 9 π u 2

8001A5AE 24) Calcular el área de la región exterior a la circunferencia cuya ecuación polar es ρ = 3 e interior a la cardioide de ecuación polar ρ = 3 ( 1 + cos θ ) .



SOLUCION 9 π 2 18 + u 4

3041A3AE 25) Calcular el área de la región limitada por la lemniscata cuya cuya ecuación en coordenadas 2

polares es es ρ = 4 cos 2 θ

SOLUCION 4 u2

5041A5AE 26) Calcular el área de un pétalo de la rosa cuya ecuación polar es ρ = cos 4 θ . SOLUCION π 2 u 16 9991A6AE 27) Por medio de la integral doble, calcular el área de la región interior a la curva de ecuación polar ρ = 2 a ( 1 + cos θ ) donde a es una constante. SOLUCION 6 a 2 π u 2

3021C3AE 28) Calcular el área de la región del plano X Y , limitada por las curvas de ecuaciones, x y = 1 , x y = 4 , x 2 y = 1 , x 2 y = 4

SOLUCION Ln 64 u 2



3031A3AE

29)

Calcular ∫ ∫ R ( x 2 + y ) d x d y siendo R la región del primer cuadrante limitada por las 2

2

2

curvas x y = 1 , x y = 8 , x 2 - y = 3 , x 2 - y = 6 Sugerencia: Hacer el cambio de variable u =

y , v = x 2 - y

2

SOLUCION

42 6041A6AE

30)

2

Comprobar el Teorema de Green, considerando el campo vectorial v = x y i + y j y la trayectoria cerrada que se muestra en la figura

SOLUCION A criterio del profesor.



6001A4AE 31) Utilizar el teorema de Green en el plano para calcular mediante integrales de línea, el área de la región mostrada en la figura.

SOLUCION 5 2 u 3

5011A5AE 32) Utilizar el teorema de Green para calcular el área de la región mostrada en la figura.

SOLUCION 27 2 u 6



3031C3AE

33)

2

Utilizar el teorema de Green para calcular el valor de ∫ C 4 x y d x + ( y + 2 x 2 ) d y a lo largo de la trayectoria cerrada mostrada en la figura

Comentar el resultado.

SOLUCION 0 Comentario a criterio del profesor. 5031A5AE 34) Haciendo uso del teorema de Green determinar x = a ( 2 cos t - cos 2 t ) y = a ( 2 sen t - sen 2 t)

el

área

del

cardioide

SOLUCION 6 π u 2 6031A5AE 35) Mediante el teorema de Green, calcular el valor de la integral ∫C F • d r , donde 2

F ( x , y ) = - 4 x y i + 6 e y ; y C es C es la trayectoria mostrada en la figura: SOLUCION

1 3



7031A5AE 36) Haciendo uso del teorema de Green determinar x = a ( 2 cos t - cos 2 t ) y = a ( 2 sen t - sen 2 t)

el

área

del

cardioide

SOLUCION 6 a 2 π u 2 5041A4AE región cerrada cerrada que es limitada por 37) Utilizar el Teorema de Green para calcular el área de la región 2

la elipse de ecuación 9 x 2 + 4 y = 36 . SOLUCION 6 π u 2 3991A3AE

38)

Utilizar el Teorema de Green en el plano, para calcular ∫ ∫ R ( x 2 + y ) d x d y siendo R 2

la región del plano " x y" donde

x

2

a

2

+

y

2

b

2

≤ 1,

siendo a y b constantes.

SOLUCION π a b ( a 2 + b2 ) 4

5991A6AE 39) Mediante integrales de línea, calcular el área de la región del plano x y limitada por las

curvas x 2 = 4 y , x - 2 y = 0

SOLUCION 1 2 u 3



3021C5AE

40)

2

Calcular el área de la porción de cilindro cilindro de ecuación ecuación x 2 + y = 8 y interior a una esfera con centro en el origen de radio 8 .

SOLUCION 256 u 2

3041A4AE 41) Calcular el área de la superficie z = 2 x + 2 y , comprendida en el primer octante e 2

2

2

interior al cilindro de ecuación ( x 2 + y ) = 4 ( x 2 - y )

SOLUCION 3 u2

5011A6AE 42) Calcular el área de la porción de plano de ecuación x + z = 4 interior a la elipse 2

2 2 x + 2 y + z = 16

SOLUCION

4 2 π u 2

5021A6AE

43)

2

Cálcular el área de la porción de superficie x 2 + y = R 2 localizada locali zada por arriba del plano plano X Y comprendida entre los planos z = m x , z = n x donde m > n > 0

SOLUCION 2 ( n - m ) R2 u 2



4031A7AE

44)

Calcular Calcul ar el área de la porsión del plano de ecuación

x a

+

y

+

b

z c

= 1 , comprendida entre

los planos coordenados.

SOLUCION

1 2

2 2 2 2 2 2 2 a b + b c + c a u

5031A7AE

45)

2

Obtener el área de la superficie z = x 2 + y delimitada superiormente por primer octante.

= y en el

SOLUCION 3 π   17 2 - 1   24  6001A6AE

46)

2

Calcular el área de la porción de cono de ecuación x 2 + y - z 2 = 0 , interior al cilindro 2

de ecuación x 2 - 6 x + y = 0 SOLUCION

9

2 π u 2

7001A6AE

47)

2

Calcular Calcul ar el área de la porción de paraboloide de ecuación z = 9 - x 2 - y localizado por arriba del plano y

SOLUCION π ( 37 37 - 1 ) u 2 6 8001A6AE

48)

2

Calcular el área de la porción de esfera de ecuación x 2 + y + z 2 = 25 localizada entre los planos de ecuación = 2 y z = 4



SOLUCION 20 π u 2 2011A4AE

49)

2

Determinar el área de la porción de esfera x 2 + y + z 2 = 4 interior al paraboloide 2

2 x + y = 1 y ubicada en el primer octante.

SOLUCION

4 π ( 2 -

3 ) u 2

3021A5AE

50)

2

Calcular el área de la porción de superficie de ecuación 4 - z = x 2 + y localizada por arriba del plano X Y .

SOLUCION 3 π ( 17 2 - 1 ) u 2 6 3991C4AE

51)

2

Calcular el área de la porción de superficie de ecuación z = x 2 - y , localizada en el 2

primer octante dentro del cilindro x2 + y = 4 .

SOLUCION 3 π ( 17 2 - 1 ) u 2 48 4991A5AE

52)

2

Calcular el área de la porción del hemisferio de la esfera x 2 + y + z 2 = 2 , y ≥ 0 interior al cilindro x 2 +

SOLUCION

( 4 - 2 2 ) π u 2

2

= 1



6991A5AE 2

53)

Calcular el área de las porciones del cilindro y + z 2 = a 2 que están dentro del cilindro 2

2 2 x + y = a .

SOLUCION 8 a2 9991A0AE 2

54)

Calcular el área de la porción de cono x 2 = y + z 2 , que se encuentra dentro de la esfera 2

2 2 x + y + z = 9 .

SOLUCION

9

2 π u 2

9991C6AE

55)

2

Calcular el área de la porción de esfera x 2 + y + z 2 = 25 localizada entre los planos z = 2 y z = 4 .

SOLUCION 20 u 2

2011C5AE

56)

2

2

Sea S la S la superficie superficie x 2 + y + z 2 = 1 y f es la función f ( x, y, z ) = x 2 + y + z 2 . Calcular ∫ ∫ S ∇ f • nˆ d S

SOLUCION 8 π

4011A7AE 57) Calcular

la

integral

de

superficie

F = x 3 i + x 2 y j + x 2 z k , donde 2

∫ ∫ S F

•

nˆ d S

del

campo

S S es la superficie lateral del cilindro

2 2 x + y = a , limitado por los planos z = 0 y z = 5 .



SOLUCION 5 π a4

3031A4AE

58)

Utilizar integración doble para calcular el área de la porción del cono z 2 = x 2 + y comprendida entre los planos z = 1 y z = 4

2

SOLUCION

15 2 π u 2 3031C4AE partir de la ecuación vectorial de la superficie 59) A S : r ( θ , z ) = a cos θ i + a sen θ j + z k donde 0 ≤ θ ≤ 2 π y 0 ≤ z ≤ h , calcular el área de S

SOLUCION 2 π a h u 2 7031A3AE 2

60)

Para el cono x 2 + y - z 2 = 0 obtener una ecuación vectorial de la superficie en coordenadas cilíndricas así como su correspondiente diferencial de área.

SOLUCION r ( ρ , θ ) = ρ eˆ ρ + ρ eˆ z

d S = ρ 2 d ρ d θ 5041A6AE 2

61)

Calcular el área de la parte de la esfera x 2 + y + z 2 = 1 que está comprendida entre 2

2

los conos x 2 + y = z 2 y 3 x 2 + 3 y = z 2 . SOLUCION

2 π

(

3 -

2

)u

2



3991A4AE 62) Se sabe que el m2 de mosaico ya colocado cuesta $150.00 . Calcular el costo de 2 ( x2 + y ) recubrimiento recubri miento de la cúpula de la I. de S. A., que tiene por por ecuación z = 50 9 , para z ≥ 14 donde x , y , están en metros. SOLUCION $ 439,549.00 9991A9AE 63) Utilizar integrales dobles para calcular el área de la superficie de un hemisferio de esfera 2

2 2 2 x + y + z = a

SOLUCION 2 π a 2 u 2

4041A6AE

64)

( )

Determinar el flujo del campo F ( x, y, z ) = ( x 2 y ) i + y j + ( x z ) k a través de la superficie S S formada por los planos coordenados y los planos de ecuaciones x = 2 , y = 2 y = 2 2

SOLUCION

40 u. f. 9991C1AE

65)

2

z + 1

Calcular la integral ∫0 ∫0

SOLUCION 12 64 20 3 + 5 15 3

∫0

5 = 6.4835

4 - z - (y - 1)

d x d y d z



6021A6AE XY se obtuvieron las integrales 66) Para calcular el área de una región del plano XY se 0

9

2

9

A = ∫ 2 d x ∫ 3-3 x d y + ∫0 d x ∫ 3 x d y 3

a) Cambie el orden de integración, de modo que el área ár ea se obtenga con una sola integral doble. b) Obtenga el área de dicha región. región.

SOLUCION a) A criterio del profesor. 32  2  b)  24 u 3 Ln 3  

3021A4AE 67) Calcular volumen del sólido limitado por las superficies de ecuaciones x2 + y + z = 4 , x - 2 y - 3 z = 12

2

= 9,

SOLUCION 90 π u 3

3021C4AE 68) Calcular el volumen de la región localizada por arriba del plano X Y , interior a cilindro 2

2

2 2 x + y = 2 x y limitada por el paraboloide z = x + y .

SOLUCION 3 π 3 u 2



3031A5AE Utili zar integración integra ción triple tripl e para determinar el volumen del tetraedro acotado por los planos 69) Utilizar coordenados y el plano 3 x + 6 y + 4 z - 12 = 0

SOLUCION

4 u3 3041A6AE 70) Utilizar integrales triples para calcular el volumen del sólido limitado por la superficie 2

2 x + y = 4 - z y el plano 2 y + z = 4

SOLUCION π 3 u 2

6041A5AE 71) Calcular el volumen de la región limitada por las superficies S 1 y S 2 , donde 2

2

2 2 S 1 : x + y = 4 y S 2 : y + z = 4

SOLUCION 128 3 u 3

9991A8AE

72)

2

Calcular el volumen de la región interior al paraboloide z = 2 x 2 + y , limitado por los planos coordenados y los planos x = 1 , y = 2 , z = 6 .

SOLUCION 8 u3



5021A7AE 73) En un cuerpo de forma semiesférica de radio a , la densidad en un punto varía proporcionalmente con su distancia al origen. Calcular su centro de gravedad.

SOLUCION 2 a    0 , 0 ,  5  

2011A5AE

74)

Determinar el volumen de la región localizada entre los conos z =

z =

2

2 x + y

2

y

2

y

2

3 ( x 2 + y ) interior a la esfera x 2 + y + z 2 = 16 y donde z ≥ 0

SOLUCION 64 ( 2 - 1 ) π u 3 3

2011A5AE

75)

Determinar el volumen de la región localizada entre los conos z =

z =

2

2 x + y

2

3 ( x 2 + y ) interior a la esfera x 2 + y + z 2 = 16 y donde z ≥ 0

SOLUCION 64 ( 2 - 1 ) π u 3 3

4021A8AE

76)

Calcular el volumen de la región interior tanto a la esfera x 2 + y 2

cono z 2 = x 2 + y ; con z ≥ 0 .

2

+ z 2 = 4 como al



SOLUCION 16 π 2 - 1 u3 3 2

(

)

5031A6AE 77) Determinar el volumen dentro del cono que está sobre el plano 2

y entre las esferas

2

2 2 2 2 x + y + z = 1 y x + y + z = 4

SOLUCION

14 π u 3 3 6031A6AE

78)

Calcular

la

integral

triple

3

∫ ∫ ∫V e

( x 2 + y

2

+ z 2 )2

d x d y d z

donde

2

V = { ( x , y , z ) / x 2 + y + z 2 ≤ 1 } SOLUCION 4 π ( e - 1 ) 3 3991A5AE 79) Mediante integración triple, calcular el volumen del sólido localizado en el primer 2

octante, limitado por las superficies de ecuaciones: z 2 = 3 x 2 + 3 y , x = 0 , y = 0 , z = 2 . SOLUCION 2 π 3 u 9

3991C5AE 80) Mediante integración triples en coordenadas esféricas, calcular el volumen del sólido 2

limitado superiormente por el cono z 2 = x 2 + y , e inferiormente por la esfera 2

2 2 x + y + z - 4z = 0 .



SOLUCION 8 π 2 u 3

2011A6AE 81) Utilizar el teorema de Stokes para calcular el valor de ∫C F • d r 2 2  z = + y x  a lo largo de la curva C :   x2 + y 2 + ( z + 2 )2 = 10 2

donde F ( x, y, z ) = y i - 3 x j + y z k

SOLUCION - 4 π

4021A7AE 82) Sea el campo de fuerzas F

( x , y , z ) = x

i - z j + y k . Emplear el teorema de

Strokes para determinar el trabajo que realiza el campo F para mover una partícula una  z = 2 x + 3 y vuelta completa a lo largo de la curva C de ecuaciones  . 2 2  x + y = 16 SOLUCION - 32 π u. t.

3021A6AE 83) Calcular

el 2

flujo

de

campo

F ( x , y , z ) = ( z 2 - y - x ) i + ( x 2 z 2 - x z ) j + ( z 2 - x y ) k que atraviesa la superficie cerrada S determinada por las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas cilíndricas son ρ = 4 ( 1 + cos θ ) , z = - 2 , z = 2 .



SOLUCION - 96 π u. f.

2011C6AE 84) Utilizar el teorema de la divergencia para calcular

∫ ∫ S F • nˆ d S , donde

superfici e cerrada que envuelve a la región interior F = 2 x i + 3 y j + 4 z k y S es la superficie 2

a la esfera x2 + y + z 2 = 25 localizada por encima del plano X Y .

SOLUCION 750 π

5011A7AE

85)

2

Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 2 x + y ) i + ( x 2 z - 4 y ) j + ( x y + z ) k . Calcular el valor de ∫ ∫ S F • nˆ d S sobre la superficie cerrada que envuelve a la región en el primer octante limitada por el plano 2 x + y + 6 z = 12 .

SOLUCION - 24

3021C6AE 86) Calcular el flujo ψ del campo vectorial 2

2

F ( ρ , φ , θ ) = ( ρ senφ ) eˆ ρ + ( ρ sen θ ) eˆφ + ( ρ sen φ ) eˆθ 2

que atraviesa la superficie de la esfera de ecuación x 2 + y + z 2 = 25 NOTA: El campo F está referido al sistema esférico.

SOLUCION 125 π 2 u. f.



6021A7AE 87) Utilizar el tteorema de la divergencia de Gauss para calcular ∫ ∫ S F • nˆ d S , donde 3

F = x 3 i + y j + z3 k y S es la superficie cerrada que rodea al sólido limitado por el 2

paraboloide x 2 + y = 4 - z , 0 ≤ z ≤ 4 y el disco x 2 + y

2

≤

4 , z = 0

SOLUCION 96 π u. f.

3031A6AE 88) Utilizar

el

teorena

F ( x , y , z ) =

de

Gauss,

para

calcular

el

flujo

del

campo

2

2 2 x + y + z ( x i + y j + z k ) que atraviesa la superficie de la

2

esfera x2 + y + z 2 = 2

SOLUCION 16 π u. f. 3041A5AE 89) Por medio del teorema de Gauss, calcular ∫ ∫ S F • nˆ d S para el campo vectorial 2

F ( x , y , z ) = x2 i + y j + z 2 k y la esfera S con centro en el origen y radio igual a 1

SOLUCION 0

3991A6AE

90)

3

Utilizar el teorema de Gauss para calcular el flujo del campo F = x3 i + y j + z3 k a 2

través de la superficie x 2 + y + z 2 = 9 .



SOLUCION 2916 π u. f. 5

3991C6AE 91) Utilizar el teorema de la divergencia de Gauss para calcular ∫ ∫ S F • nˆ d S donde 2

F = ( x 2 - e y ang tan z ) i + ( x + y ) j - ( 2 y z + x10 ) k y S es la superficie cerrada que rodea al solido del primer octante limitado por z = 1 -

2

, z = 0 , z = 2 - y , y = 0 .

SOLUCION 3

2

4991A6AE 92) Calcular el flujo del campo V ( x , y , z ) = x y i - z j + x 2 k a través de la superficie 2

cerrada que envuelve al sólido limitado por las superficies de ecuaciones y = 8 x , x = 0 , y = 4 , z = 0 , z = 6 .

SOLUCION 48 u. f.

5991A7AE 93) Utilizar el teorema de la Divergencia de Gauss para calcular ∫ ∫ S F • nˆ d S , donde

F = ( x 2 - 2 x z ) i + ( 2 y z ) j + ( x - y ) k y S la superficie cerrada que envuelve a la región del primer octante limitada por los planos de ecuaciones x = 0 , y = 0 , z = 0 , 2 x + y + z = 2 . SOLUCION 1

3



6991A6AE 94) Determinar el flujo de F , 2

F ( x , y , z ) = ( x 2 + z 2 ) i + ( y - 2 x y ) j + ( 4 z - 2 y z ) k a través de la superficie S definida por la frontera de la región re gión acotada por el semicono

x =

2

y + z 2

y el plano x = 9 .

SOLUCION 243 π u. f.

9991C5AE 95) Calcular ∫ ∫ S A • nˆ dS sobre la superficie cerrada S que encierra al sólido limitado por 2

el cilindro x 2 + y = 9 y los planos y = 8 , x = 0 , y = 0 , z = 0 , siendo A = 6 z i + ( 2x + y ) j - x k y nˆ el vector unitario normal a S . SOLUCION 18 π

serie4_c3_042 095

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