SISTEMAS AXIOMÁTICOS AXIOMÁTICOS Durante los dos últimos siglos el sistema axiomático ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas fueron provistas de los que parecían ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado de opinión opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del pensamiento matemático podían ser dotados de unos conjuntos de axiomas susceptiles de desarrollar sistemáticamente la infinita totalidad de proposiciones verdaderas suscitadas en el campo sujeto a investigación. !e denomina sistema axiomático al procedimiento mediante el cual las ciencias formales" teniendo en cuenta el aspecto dinámico que involucra la formulación de axiomas y la justificación de ciertos enunciados que se otienen a partir de los axiomas mediante procedimientos de transformación. !i en camio se consideran estáticamente los resultados de la aplicación del m#todo" es decir" su aspecto estructural" se estaría analizando deductivos o formales. $l sistema axiomático consiste en aceptar sin pruea ciertas proposiciones como axiomas o postulados" y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema" en calidad ya de teoremas. %os axiomas constituyen los &cimientos& del sistema' los teoremas son las &superestructuras&" y se otienen a partir de los axiomas sirvi#ndose" exclusivamente" de los principios de la lógica. %a principal característica de un sistema axiomático es que si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas" quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. %o característico del sistema axiomático como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se otienen todas las demás afirmaciones de la teoría" las cuales se llaman teoremas. ( las fórmulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados. $l conjunto de axiomas" más la definición de enunciado o fórmula del sistema )definición que precede al enunciado de los axiomas* y el conjunto de las reglas para la otención de teoremas a partir de los axiomas )reglas de transformación* constituyen la ase primitiva del sistema. +ristóteles llama axiomas a las proposiciones indemostrales" evidentes en sí mismas )inmediatamente verdaderas* que sirven de principios a los teoremas )verdades deducidas o mediatas* de una teoría científica. ,oy se entiende por axioma" más simplemente" una fórmula del sistema convencionalmente elegida como postulado" que viene del latín postulare" pedir" porque le &pedimos& al interlocutor que acepte provisionalmente su verdad. !e puede decir entonces que los axiomas axiomas no -definen unos entes concretos" unos conceptos -primitivos concretos" sino toda una serie de entes o de conceptos -primitivos. %os axiomas no versan sore nada concreto" sore nada definido explícitamente" sino sore una -vaguedad de conceptos -primitivos restringidos exclusivamente por las propiedades que los axiomas enuncien. $sta astracción progresiva de las matemáticas y de los sistemas axiomáticos hizo exclamar a /ertrand 0ussell1 -%a matemática es la ciencia en la que no se sae de qu# se hala ni siquiera si lo que se dice es verdadero.
Tipos de sistemas axiomáticos 1. Sintácticos %lamados tami#n cálculos o sistemas no interpretados" que se caracterizan por el hecho de que sus expresiones carecen de significado" están compuestos por fórmulas entendidas como meras sucesiones de signos. %os axiomas y teoremas son consecuentemente fórmulas vacías" puesto que contienen signos que no tienen referencia.
2. Semánticos 2ami#n conocidos como 3nterpretados los cuales están formados por enunciados" es decir" oraciones que poseen significados y valores de verdad.
3. Formal 4na axiomatización formal usa un lenguaje formal y en #l cada axioma es una cadena finita de signos en el alfaeto del lenguaje formal" siguiendo reglas cominatorias que hacen de la secuencia una fórmula ien formada.
. In!ormal 4na axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no amiguas" los liros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.
Componentes de los sistemas axiomáticos 1. "os t#rminos primiti$os o al!a%eto %ásico !on un listado de signos que no selo definen dentro del sistema y que podrán ser utilizados para definir otros. +demás se pueden dividir en signos propios o impropios.
2. Si&nos propios !on aquellos que al ser interpretados o se les asigna significados se refieren a ojetos específicos de la teoría. 5ueden ser constantes )se refiere a entidades determinadas* y 6ariales )se refiere a lugares que puedan ser ocupados por distintas entidades que constituyen el dominio de la variale*
3. "os si&nos impropios !on aquellos que pertenecen a la lógica suyacente presupuesta en los sistemas matemáticos y explicitados en los sistemas lógicos.
. Mor!olo&'a $n todo sistemas se estalecen explícita o implícitamente las formas en que pueden cominarse los signos en la formula" siendo #sta una sucesión finita de t#rminos.
(. "as de!iniciones 5ermiten introducir en los sistemas axiomáticos signos nuevos a partir de los t#rminos primitivos" que serían los t#rminos definidos. 7%os axiomas constituyen un conjunto de
fórmulas ien formadas que se adoptan como punto de partida o fórmulas iniciales" las cuales se aceptan sin demostración.
). "as re&las de in!erencias !on reglas cuya función principal es la de generar nuevas fórmulas a partir de los axiomas. !on en general procedimientos para otener fórmulas nuevas a partir de otras fórmulas y se denominan regla de transformación y es todo lo que se necesita si se adopta una concepción sintactista de los sistemas axiomáticos.
*. +na demostraci,n $s una secuencia de fórmulas ien formadas donde cada una de ellas es o ien un axioma o ien se ha otenido a partir de fórmulas anteriores mediante la aplicación de reglas de inferencias.
-. +n teorema $s la última fórmula de una demostración
Eemplo/ + fines del siglo 838" 5eano intentó sistematizar axiomáticamente las verdades conocidas tradicionalmente sore los números naturales" sus propiedades y operaciones ásicas. $jemplo1 algunos componentes del sistema axiomático construido1
T#rminos primiti$os/ 9: Número natural. 9; 9ero. 9< $l siguiente de.
Axiomas/ +: !i un ojeto es número natural" el siguiente tami#n lo es. +; $l cero es un número natural. +< $l cero no es el siguiente de ningún número natural. += Dos ojetos con el mismo siguiente son el mismo número natural. +> !i el cero tiene una propiedad ? y el que un número natural sea ? implica que su siguiente tami#n es ?" entonces todo número natural tiene ?. )+> es considerado un sistema axiomático ya que tiene una variale ?*
Teoremas/ 2: $l siguiente del siguiente de cero es un número natural. 2; $l siguiente del siguiente de cero no es el siguiente de cero. 2< 9ero no es el siguiente del siguiente de cero.
0e!iniciones/ D: 4no es el siguiente de cero. D; Dos es el siguiente de uno.
ropiedades de los sistemas axiomáticos 1. Consistencia !e pretende la exigencia de coherencia" es decir" que en un sistema axiomático no puede inferirse dos teoremas contradictorios a partir de los axiomas. 5artiendo de los axiomas no dee ser posile deducir o demostrar un teorema y su negación. $s decir" el sistema no dee suponer contradicciones. $jemplo1 !i se deduce el teorema 2 en el sistema axiomático !" no puede inferirse tami#n el teorema no@2 en el mismo sistema. $ste requisito de consistencia es el más importante en lo que dee satisfacer un sistema axiomático.
2. Completitd !ignifica que no es posile aAadir al sistema una fórmula ien formada que no sea teorema sin que el sistema se vuelva inconsistente. !e llama completo a un sistema !" si dada una fórmula ien formada f" de !" o esta fórmula o su negación )no@f * es un teorema de ! .2odo enunciado ien formulado que no sea deducile de sus axiomas tiene que estar en contradicción con una tesis del sistema. $s decir1 !ea % un !istema +xiomático cualquiera" es decidile o completo si y sólo si" dada una fórmula f cualquiera de dicho lenguaje %" hay un medio para averiguar con seguridad deductiva si f es verdadero o falso en %.
3. Independencia %os axiomas o fórmulas iniciales del sistema son independientes cuando ninguno de ellos pueden ser teoremas en el mismo sistema. $s decir" ninguno de los axiomas puede ser deducido" demostrado a partir de los demás" cada axioma dee ser independiente de los otros.
Axiomatiaci,n de la l,&ica !ormal %a metodología de las ciencias formales es hoy una ciencia deductiva1 se ocupa de investigar y analizar las teorías deductivas en lógica y en matemáticas" los signos que las componen" las relaciones semánticas que se estalecen entre esas expresiones" el estudio de las propiedades de estas estructuras" etc. %a semiótica )con el deslinde de sus dimensiones sintácticas" semánticas y pragmáticas* aporta un andamiaje conceptual útil para esta disciplina. $l grado de desarrollo alcanzado ha servido para tomar nuevas precauciones al estalecer los límites de los lenguajes formales" al reali zar afirmaciones asolutas respecto de la verdad o falsedad de sus enunciados.
4A5O6AMIE6TOS %a lógica es la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación" donde por medios de procesos metódicos se determina la aceptación de dicho razonamiento. !e dice que un razonamiento es un conjunto de proposiciones donde las primeras son llamadas premisas y la final llamada conclusión y está última deriva de la primera. $xisten razonamientos válidos y no válidos' para determinar la validez de un argumento se realiza una proposición condicional cuyo antecedente son las premisas y cuyo consecuente es la conclusión" luego se lleva dicha proposición a la tala de verdad y si da una tautología entonces la proposición será válida pero si da una contingencia el razonamiento será no válido" según la tala de verdad del condicional existe una sola posiilidad de que el argumento sea no válido" y es cuando las premisas siendo verdaderas tengan una conclusión falsa. $l razonamiento es un conjunto de proposiciones relacionadas de tal manera que la proposición final denominada conclusión se deriva de la o las proposiciones iniciales llamadas premisas" oteni#ndose un conocimiento nuevo que reasa al expresado en las premisas. $ste es el acto mediante el cual progresamos en el conocimiento con la ayuda de lo que ya se conoce. %as proposiciones que predican de lo que ya conocemos se denominan premisas" y el conocimiento que se infiere de ellas sería la conclusión.
Eemplo/ @ %os planetas son redondos
Premisa
@ %a 2ierra es un planeta
@ 5or lo tanto la 2ierra es redonda
Conclusión
$l razonamiento es el siguiente1 si todos los planetas son redondos" y la tierra es un planeta" se dice como conclusión de ello un conocimiento nuevo &la tierra es redonda&. 4n proceso en el que dadas unas proposiciones premisas verdaderas o supuestamente verdaderas se pasa a afirmar una nueva conclusión" que se fundamenta en las premisas.
Eemplo/ @ Ni esta soleado ni esta nulado
Premisas
@ No esta nulado
@ 5or lo tanto esta soleado
Conclusión
!iendo una secuencia o serie de proposiciones en la que una de ellas" llamada conclusión" se otiene o desprende de las restantes" llamadas premisas.
Eemplo/ !i el mercurio es un metal" entonces el mercurio es uen conductor de la electricidad. $l mercurio es un metal. $l mercurio es un uen conductor de la electricidad. %as dos primeras proposiciones son las premisas de las que se desprende u otiene la tercera proposición" que es la conclusión.
4aonamientos $alidos !e hace necesaria la oservación para no caer en amigBedades1 se dice que los razonamientos pueden ser1 o válidos )correctos* o no válidos )inválidos" incorrectos" no correctos*' mientras las proposiciones pueden ser1 o verdaderos o falsas. 4n razonamiento es válido cuando su forma lógica es válida" independientemente del contenido informativo de las premisas y de la conclusión. 4na forma lógica es válida cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas. 0esumiendo" se puede decir que la validez de un argumento depende únicamente de su forma lógica1 ya que hay razonamientos válidos que tienen conclusiones falsas y razonamientos no correctos que tienen conclusiones verdaderas. %o mismo se puede afirmar de las premisas. $n general" se puede afirmar que la validez de un argumento es independientemente de la verdad o falsedad tanto de las premisas como de la conclusión.
Eemplo/ •
2odos los homres son venezolanos.
•
2odos los venezolanos son honestos'
%uego" todos los homres son honestos. $ste razonamiento es válido porque su forma lógica es válida" aunque tanto las premisas como la conclusión son falsas. %a validez de un razonamiento consiste en que no ocurra que siendo verdaderas las premisas de las que partimos" sea falsa la conclusión a la que llegamos' es decir" un argumento es no válido sí1 siendo verdaderas las premisas" es falsa la conclusión" y en todos los demás casos es válida el razonamiento" o sea" cuando tanto las premisas como la conclusión son verdaderas" cuando las premisas son falsas y la conclusión verdadera y cuando tanto las premisas como la conclusión son falsas.
Eemplo/ 2odo pájaro tiene alas. Ningún pájaro es gato. 5or tanto" ningún gato tiene alas.
$ste razonamiento es no válido" aunque tiene premisas verdaderas y conclusión verdadera.
Eemplo/ 2odo homre tiene sangre. Ningún caallo es homre. %uego" ningún caallo tiene sangre. $ste razonamiento es inválido" ya que tiene premisas verdaderas y conclusión falsa.
Falacias $s un error en el razonamiento" o con mayor precisión" un fallo cometido en el proceso que arranca desde las premisas de un argumento a su conclusión. 9omo consecuencia de esta falacia" las premisas dejan de justificar la conclusión. 9ae seAalar en lógica una distinción entre falacias formales e informales. 4na falacia formal es aquella en que el argumento viola una norma del sistema lógico del que el argumento es parte. %as falacias formales pueden producirse por distintos motivos. $n argumentos donde la primera premisa es una proposición hipot#tica puede darse la falacia de afirmar el consecuente. 5or ejemplo" puede decirse que si una persona es astronauta es que esa persona está entonces muy ien entrenada. No ostante" si se dijera que porque Cernando entrena muy a conciencia ha de seguirse de ello que es un astronauta" entonces se incurriría en la falacia de afirmar el argumento consecuente. $n aquellos juicios en los que la primera premisa es una disyuntiva )del tipo o esto o aquello*" se puede cometer la falacia de afirmar la disyunción. 5or ejemplo" supongamos que se dice que o ien 9arla o ien /erta acudirán a la cita. 9arla irá )con lo que afirmamos una de las partes de la disyunción de la premisa inicial*. 5or tanto" /erta no irá. )!i se procediera de este modo y para que fuera válido el argumento" la premisa mayor deería haer dicho1 &o una o la otra' pero no amas&" eliminando así la amigBedad de la proposición disyuntiva al sustituirla con otra proposición más contundente que denominamos disyunción exclusiva. %a lógica tradicional aristot#lica se centra en los razonamientos silogísticos. !on #stos una forma de argumentos deductivos que constan de una premisa mayor" otra premisa menor y una conclusión. 4n ejemplo de silogismo es el siguiente1 todas las virtudes son dignas de elogio' la generosidad es una virtud" luego la generosidad es digna de elogio. !on varias las reglas que rigen las inferencias del silogismo correcto' si se viola se comete una falacia formal. %as falacias informales no son en la práctica errores en la estructura formal de un argumento. 9on todo" se asan o ien en un fallo evidente que resulta relevante en la conclusión o ien en alguna amigBedad lingBística. $ntre las falacias informales cae mencionar las que defienden la validez de una conclusión apelando a la fuerza" a la piedad" a la autoridad o a las creencias populares. 3nquirir por lo que se pregunta o asumir en las premisas lo que ha de ser demostrado es tami#n una de las falacias informales que deen destacarse. %as falacias de amigBedad incluyen conclusiones
erróneas asadas en un uso equívoco del lenguaje. 9onsid#rese el siguiente argumento1 todas las leyes son el resultado de una actividad legislativa' Neton descurió algunas leyes' por tanto" Neton descurió algunos resultados de la actividad legislativa. $sta conclusión errónea está asada en el uso equívoco de la palara ley que aparece en las dos premisas. !mith Earl divide las falacias en otros tipos en donde no incorpora los t#rminos formales e informales sino que dice que existen la falacia de afirmación del consecuente" la falacia negación del antecedente y el esquema de cadena falso.
Eemplo/ !i una persona lee periódico 2imes" entonces está ien informada. $sta persona está ien informada. 5or lo tanto esta persona lee el 2imes. 9onsiderando la tala de la verdad asociada" se puede analizar la validez del argumento1 p
q
FG)p ) q* ) qH ) pI
6
6
6
6 6 6
6
6
6
6
C
6
C C
C
C
6
6
6
6
C
6 6 6
6
C
C
6
C
C
6 C
C
6
C
C
9omo puede oservarse el resultado no siempre es verdadero' así que el argumento es no válido )o ien" no es válido*1 si p ) q se reemplaza por q ) p" el argumento del ejemplo anterior sería válido. $sto es" el argumento sería válido si la proposición directa y la recíproca tuvieran iguales valores de verdad" lo cual no sucede en general. 5or esta razón el argumento se llama a veces falacia de la recíproca. + menudo se puede demostrar que un argumento dado es no válido hallando un contraejemplo. $n el ejemplo anterior se otuvo o se encontró un contraejemplo examinando la tala de verdad. $l valor presente en el tercer renglón es falso" así que puede demostrarse que el argumento es falso en el caso en el que p sea falsa y q verdadera. $n t#rminos de #ste ejemplo" podría ser que una persona nunca leyera el periódico times )p falsa* y todavía estar ien informada leyendo el periódico 2riune )q verdadera*.
Eemplo/ !i una persona es alcohólica" entonces ingiere alcohol. $sta persona ingiere alcohol. 5or lo tanto esta persona es alcohólica.
5uesto que este argumento es de la misma forma que el primer ejemplo" vemos que corresponde a un caso de razonamiento no válido.
Eemplo/ !i una persona va a la universidad" llagará a ganar mucho dinero. 2ú vas a la universidad. 5or lo tanto" tú llegarás a ganar mucho dinero.
4e!erencias 7i%lio&rá!icas/ /iedma" J.);KKL*.!istema axiomático, recuperado de http://flosoayciudadana.blogspot.com/2009/0/sistema!a"iomatico! ormal.html Altillo.com.#20$0%. Sistemas axiomáticos, recuperado de
http1MM.altillo.comMexamenesMuaMuaxxiMipcMipc;K:Krescapitulo=.asp
&ei'as, (.#200)%.*lementos y tipos de ra+onamientos, recuperado de http1MM.monografias.comMtraajos;Melementos@tipos@razonamientoMelementos@
[email protected]