SISTEMAS AXIOMÁTICOS Durante los dos últimos siglos el sistema sis tema axiomático ha ido adquiriendo fuerza y vigor crecientes. Nuevas y viejas ramas de las matemáticas fueron provistas de los que parecían ser unos adecuados conjuntos de axiomas. Nació así un estado de opinión en el que se admitía tácitamente que todos los sectores del pensamiento matemático podían ser dotados de unos conjuntos de axiomas susceptibles de desarrollar sistemáticamente la infinita totalidad de proposiciones verdaderas s uscitadas en el campo sujeto a investigación. Se denomina sistema axiomático al procedimiento mediante el cual las ciencias formales, teniendo en cuenta el aspecto dinámico que involucra la formulación de axiomas y la justificación de ciertos enunciados que se obtienen a partir de los axiomas mediante procedimientos de transformación. Si en cambio se consideran estáticamente los resultados de la aplicación del método, es decir, su aspecto estructural, se estaría analizando deductivos o formales. El sistema axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados, y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema; los teoremas son las "superestructuras", y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios de la lógica. La principal característica de un sistema axiomático es que si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas. Lo característico del sistema axiomático como realización de la idea de cálculo consiste en disponer de un conjunto de enunciados o fórmulas que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones de la teoría, las cuales se llaman teoremas. Y las fórmulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados. El conjunto de axiomas, más la definición de enunciado o fórmula del sistema y el conjunto de las reglas para la obtención de teorem as a partir de los axiomas o reglas de transformación constituyen la base primitiva del sistema. Aristóteles llama axiomas a las proposiciones indemostrables, evidentes en sí mismas que son inmediatamente verdaderas que sirven si rven de principios a los teoremas verdades deducidas o mediatas de una teoría cientí fica. Hoy se entiende por axioma, más simplemente, una fórmula del sistema convencionalmente elegida como postulado, que viene del latín postulare, pedir, porque le "pedimos" al inte rlocutor que acepte provisionalmente su verdad. Se puede decir entonces que los axiomas no “definen” unos entes concretos, unos conceptos “primitivos” concretos, sino toda una serie de entes o de conceptos “primitivos”. Los axiomas no versan sobre nada concreto, sobre nada definido explícitamente, sino sobre una “vaguedad” de conceptos “primitivos” restringidos exclusivamente por las propiedades que los axiomas enuncien.
Tipos de sistemas axiomáticos 1. Sintácticos Llamados también cálculos o sistemas no interpretados, que se caracterizan por el hecho de que sus expresiones carecen de significado, están compuestos por fórmulas entendidas como meras sucesiones de signos. Los axi omas y teoremas son consecuentemente fórmulas vacías, puesto que contienen signos que no tienen referencia.
2. Semánticos También conocidos como Interpretados los cuales están formados por enunciados, es decir, oraciones que poseen significados y valores de verdad.
3. Formal Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada.
4. Informal Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.
Componentes de los sistemas axiomáticos 1. Los términos primitivos o alfabeto básico Son un listado de signos que no se los definen dentro del sistema y que podrán ser utilizados para definir otros. Además se pueden dividir en signos propios o impropios.
2. Signos propios Son aquellos que al ser interpretados o se les asigna significados y se refieren a objetos específicos de la teoría. Pueden ser constantes que se refiere a entidades determinadas y Variables que se refiere a lugares que puedan ser ocupados por distintas entidades que constituyen el dominio de la variable
3. Los signos impropios Son aquellos que pertenecen a la lógica subyacente presupuesta en los sistemas matemáticos y explicitados en los sistemas lógicos.
4. Morfología En todo sistemas se establecen explícita o implícitamente las formas en que pueden combinarse los signos en la formula, siendo ésta una sucesión finita de términos.
5. Las definiciones Permiten introducir en los sistemas axiomáticos signos nuevos a partir de los términos primitivos, que serían los términos definidos.
6. Los axiomas Constituyen un conjunto de fórmulas bien formadas que se adoptan como punto de partida o fórmulas iniciales, las cuales se aceptan sin demostración.
7. Las reglas de inferencias Son reglas cuya función principal es la de generar nuevas fórmulas a partir de los axiomas. Son en general procedimientos para obtener fórmulas nuevas a pa rtir de otras fórmulas y se denominan regla de transformación y es todo lo que s e necesita si se adopta una concepción sintactista de los sistemas axiomáticos.
8. Una demostración Es una secuencia de fórmulas bien formadas donde cada una de ellas es o bien un axioma o bien se ha obtenido a partir de fórmulas anteriores mediante la aplicación de reglas de inferencias.
9. Un teorema Es la última fórmula de una demostración
Ejemplo: A fines del siglo XIX, Peano intentó sistematizar axiomáticamente las verdades conocidas tradicionalmente sobre los números naturales, sus propiedades y operaciones básicas. Ejemplo: algunos componentes del sistema axiomático construido:
Términos primitivos: C1 Número natural. C2 Cero. C3 El siguiente de.
Axiomas: A1 Si un objeto es número natural, el siguiente también lo es. A2 El cero es un número natural. A3 El cero no es el siguiente de ningún número natural. A4 Dos objetos con el mismo siguiente son el mismo número natural. A5 Si el cero tiene una propiedad Ø y el que un número natural sea Ø implica que su siguiente también es Ø, entonces todo número natural ti ene Ø. (A5 es considerado un sistema axiomático ya que tiene una variable Ø)
Teoremas: T1 El siguiente del siguiente de cero es un número natural. T2 El siguiente del siguiente de cero no es el siguiente de cero. T3 Cero no es el siguiente del siguiente de cero.
Definiciones: D1 Uno es el siguiente de cero. D2 Dos es el siguiente de uno.
Propiedades de los sistemas axiomáticos 1. Consistencia Se pretende la exigencia de coherencia, es de cir, que en un sistema axiomático no puede inferirse dos teoremas contradictorios a partir de los axiomas. Partiendo de los axiomas no debe ser posible deducir o demostrar un teorema y su negación. Es decir, el sistema no debe suponer contradicciones. Ejemplo: Si se deduce el t eorema T en el sistema axiomático S, no puede inferirse también el teorema no-T en el mismo sistema. Este requisito de consistencia es el más importante en lo que debe satisfacer un sistema axiomático.
2. Completitud Significa que no es posible añadir al sistema una f órmula bien formada que no sea teorema sin que el sistema se vuelva inconsistente. Se llama completo a un sistema S, si dada una fórmula bien formada f, de S, o esta fórmula o su negación no-f es un teorema de S .Todo enunciado bien formulado que no sea deducible de sus axiomas tiene que estar en contradicción con una tesis del sistema. Es decir: Sea L un Sistema Axiomático cualquiera, es decidible o completo si y sólo si, dada una fórmula f cualquiera de dicho lenguaje L, hay un medio para averiguar con seguridad deductiva si f es verdadero o falso en L.
3. Independencia Los axiomas o fórmulas iniciales del sistema son independientes cuando ninguno de ellos pueden ser teoremas en el mismo sistema. Es decir, ninguno de los axiomas puede ser deducido, demostrado a partir de los demás, cada axioma debe ser independiente de los otros.
Axiomatización de la lógica formal La metodología de las ciencias formales es hoy una ciencia deductiva: se ocupa de investigar y analizar las teorías deductivas en lógica y en matemáticas, los signos que las componen, las relaciones semánticas que se establecen entre esas expresiones, el estudio de las propiedades de estas estructuras, etc. La semiótica con el deslinde de sus dimensiones sintácticas, semánticas y pragmáticas aporta un andamiaje conceptual útil para esta disciplina. El grado de desarrollo alcanzado ha servido para tomar nuevas precauciones al establecer los límites de los lenguajes formales, al real izar afirmaciones absolutas respecto de la verdad o falsedad de sus enunciados.
RAZONAMIENTOS La lógica es la ciencia que trata de los principios válidos del razonamiento y la argumentación, donde por medios de procesos metódicos se determina la aceptación de dicho razonamiento. Se dice que un razonamiento es un conjunto de proposiciones donde las primeras son llamadas premisas y la final llamada conclusión y está última deriva de la primera. Existen razonamientos válidos y no válidos; para determinar la validez de un argumento se realiza una proposición condicional cuyo antecedente son las premisas y cuyo consecuente es la conclusión, luego se lleva dicha proposición a la tabla de verdad y si da una tautología entonces la p roposición será válida pero si da una contingencia el razonamiento será no válido, según la tabla de verdad del condicional existe una sola posibilidad de que el argumento sea no válido, y es cuando las premisas siendo verdaderas tengan una conclusión falsa. El razonamiento es un conjunto de proposiciones relacionadas de tal manera que la proposición final denominada conclusión se deriva de la o las proposiciones iniciales llamadas premisas, obteniéndose un conocimiento nuevo que rebasa al expresado en las premisas. Este es el acto mediante el cual progresamos en el conocimiento con la ayuda de lo que ya se conoce. Las proposiciones que predican de lo que ya conocemos se denominan premisas, y el conocimiento que se infiere de el las sería la conclusión.
Ejemplo: - Los planetas son redondos
Premisa
- La Tierra es un planeta
- Por lo tanto la Tierra es redonda
Conclusión
El razonamiento es el siguiente: si todos los planetas son redondos, y la tierra es un planeta, se dice como conclusión de ello un conocimiento nuevo "la tierra es redonda". Un proceso en el que dadas unas proposiciones premisas verdaderas o supuestamente verdaderas se pasa a afirmar una nueva conclusión, que se fundamenta en las premisas.
Ejemplo: - Ni esta soleado ni esta nublado
Premisas
- No esta nublado
- Por lo tanto esta soleado
Conclusión
Siendo una secuencia o serie de proposiciones en la que una de ellas, llamada conclusión, se obtiene o desprende de las restantes, llamadas premisas.
Ejemplo: Si el mercurio es un metal, entonces el mercurio es buen conductor de la electricidad. El mercurio es un metal. El mercurio es un buen conductor de la electricidad. Las dos primeras proposiciones son las premisas de las que se desprende u obtiene la tercera proposición, que es la conclusión.
Razonamientos validos Se hace necesaria la observación para no caer en ambigüedades: se dice que los razonamientos pueden ser: o válidos, correctos o no válidos, inválidos, incorrectos, no correctos; mientras las proposiciones pueden ser: o verdaderos o falsas. Un razonamiento es válido cuando su forma lógica es válida, independientemente del contenido informativo de las premisas y de la conclusión. Una forma lógica es válida cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Resumiendo, se puede decir que la validez de un argumento depende únicamente de su forma lógica: ya que hay razonamientos válidos que ti enen conclusiones falsas y razonamientos no correctos que tienen conclusiones verdaderas. Lo mismo se puede afirmar de las premisas. En general, se puede afirmar que la validez de un argumento es independientemente de la verdad o falsedad tanto de las premisas como de la conclusión.
Ejemplo:
Todos los hombres son ecuatorianos.
Todos los ecuatorianos son honestos;
Luego, todos los hombres son honestos. Este razonamiento es válido porque su forma lógica es válida, aunque tanto las premisas como la conclusión son falsas. La validez de un razonamiento consiste en que no ocurra que siendo verdaderas las premisas de las que partimos, sea falsa la conclusión a la que llegamos; es decir, un argumento es no válido sí: siendo verdaderas las p remisas, es falsa la conclusión, y en todos los demás casos es válida el razonamiento, o sea, cuando tanto las premisas como la conclusión son verdaderas, cuando las premisas son falsas y la conclusión verdadera y cuando tanto las premisas como la conclusión son falsas.
Ejemplo: Todo pájaro tiene alas. Ningún pájaro es gato.
Por tanto, ningún gato tiene alas. Este razonamiento es no válido, aunque tiene premisas verdaderas y conclusión verdadera.
Ejemplo: Todo hombre tiene sangre. Ningún caballo es hombre. Luego, ningún caballo tiene sangre. Este razonamiento es inválido, ya que tiene premisa s verdaderas y conclusión falsa.
Falacias Es un error en el razonamiento, o con mayor precisión, un fallo cometido en el proceso que arranca desde las premisas de un argumento a su conclusión. Como consecuencia de esta falacia, las premisas dejan de justificar la conclusión. Cabe señalar en lógica una distinción entre falacias formales e informales. Una falacia formal es aquella en que el argumento viola una norma del sistema lógico del que el argumento es parte. Las falacias formales pueden producirse por distintos motivos. En argumentos donde la primera premisa es una proposición hipotética puede darse la falacia de afirmar el consecuente. Por ejemplo, puede decirse que si una persona es astronauta es que esa persona está entonces muy bien entrenada. No obstante, si se dijera que porque Fernando entrena muy a conciencia ha de seguirse de ello que es un astronauta, entonces se incurriría en la falacia de afirmar el argumento consecuente. En aquellos juicios en los que la primera premisa es una disyuntiva del tipo o esto o aquello, se puede cometer la falacia de afirmar la disyunción. Por ejemplo, supongamos que se dice que o bien Carla o bien Berta acudirán a la cita. Carla irá con lo que afirmamos una de las partes de la disyunción de la premisa inicial. Por tanto, Berta no irá. Si se procediera de este modo y para que fuera válido el argumento, la premisa mayor debería haber dicho: "o una o la otra; pero no ambas", eliminando así la ambigüedad de la proposición disyuntiva al sustituirla con otra proposición más contundente que denominamos disyunción exclusiva. Las falacias informales no son en la práctica errores en la estructura formal de un argumento. Con todo, se basan o bien en un fallo evidente que resulta relevante en l a conclusión o bien en alguna ambigüedad lingüística. Entre las falacias informales cabe mencionar las que defienden la validez de una conclusión apelando a la fuerza, a la piedad, a la autoridad o a las creencias populares. Inquirir por lo que se pregunta o asumir en las premisas lo que ha de ser demostrado es también una de las falacias informales que deben destacarse. Las falacias de ambigüedad incluyen conclusiones erróneas basadas en un uso equívoco del lenguaje. Considérese el siguiente argumento: todas las leyes son el resultado de una actividad legislativa; Newton descubrió algunas leyes; por tanto, Newton descubrió algunos resultados de la actividad legislativa. Esta
conclusión errónea está basada en el uso equívoco de la palabra ley que aparece en las dos premisas.
Ejemplo: Si una persona lee periódico Times, entonces está bien informada. Esta persona está bien informada. Por lo tanto esta persona lee el Times.
Ejemplo: Si una persona es alcohólica, entonces ingiere alco hol. Esta persona ingiere alcohol. Por lo tanto esta persona es alcohólica. Puesto que este argumento es de la misma forma que el primer ejemplo, vemos que corresponde a un caso de razonamiento no válido.
Ejemplo: Si una persona va a la universidad, llagará a ganar mucho dinero. Tú vas a la universidad. Por lo tanto, tú llegarás a ganar mucho dinero.
Referencias Bibliográficas: Biedma, J.(2009).Sistema axiomático, recuperado de http://filosofayciudadana.blogspot.com/2009/05/sistema-axiomatico-formal.html Altillo.com.(2010). Sistemas axiomáticos, recuperado de
http://www.altillo.com/examenes/uba/ubaxxi/ipc/ipc2010rescapitulo4.asp Seijas, L.(2003).Elementos y tipos de razonamientos, recuperado de
http://www.monografias.com/trabajos72/elementos-tipos-razonamiento/elementostipos-razonamiento.shtml
Conclusión En los sistemas axiomáticos se dispone de un conjunto de enunciados o fórmulas que en principio se admiten pero sin demostración alguna y de las cuales se puede obtener otras afirmaciones de la teoría, las cuales las podemos llamar como teoremas, y por otro lado las formulas o enunciados que son aceptados sin discusión son axiomas o postulados entonces tenemos que la unión del conjunto de axiomas más la definición del enunciado o una formula adjunto el conjunto de reglas para la obtención de teoremas a partir de los axiomas forman la base del sistema axiomático. El razonamiento es un conjunto de proposiciones relacionadas de tal mane ra que la proposición final denominada conclusión se deriva de la o las proposiciones iniciales llamadas premisas, obteniéndose un conocimiento nuevo que rebasa al expresado en las premisas. Para el razonamiento valido se puede decir que su validez no depende de su conclusión, ya sea falsa o verdadera, sino de cómo sea su forma lógica. En cuanto a la falacia no es más que un fallo en el sistema axiomático que se puede dar al haber ambigüedad en las premisas las que pueden provocar que la conclusión sea incierta o una falacia.
