Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas M´ etodos Estad´ısticos de la Ingenier´ıa Curso 2007-2008 Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO. Universidad de Vigo
2 de abril de 2008
Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Esquema Variables Aleatorias Continuas Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ısticas Principales Distribuciones Continuas Distribuci´on Uniforme Distribuci´on Exponencial Distribuci´on Normal Relaciones entre las distribucines Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Introducci´on En el Tema 2 se ha definico una variable aleatoria como una funci´on que asigna a cada suceso elemental de un experimento aleatorio un n´umero. Una variable aleatoria es continua si toma valores en uno o en varios intervalos de la recta real. Ejemplos de variables aleatorias continuas son :
Duraci´on de una llamada telef´onica.
Peso o altura de una persona.
Longitud de una pieza, ...
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Funci´ on de distribuci´on
La funci´on de distribuci´on F de una v.a. continua X se define de igual modo que para las variables discretas. F:
R
x
−→ −→
[0,1] F (x) =
P (X
≤ x)
La funci´on F asigna a cada valor x de la recta real la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que dicho valor.
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejemplo Consid´ erese la variable aleatoria X consistente en el sorteo de un n´umero en el intervalo [1,6] con igual probabilidad de ocurrencia en cualquier zona del intervalo. 1 Esta variable se dir´a que sigue un distribuci´on Uniforme en el intervalo [1, 6], y se denotar´a por X
1
∈ Uniforme [1, 6]
En Excel es posible obtener valores de esta variable usando la funci´ on = 1+ALEATORIO()*5
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Para esta variable se verifican las siguientes probabilidades: 1. La probabilidad de n´umeros menores que 1 es nula. P (X
≤ x) = 0 si x < 1
2. La probabilidad de que la v.a. X tome valores en un subintervalo de [1, 6] es proporcional a la longitud de dicho intervalo, y consecuentemente p(X
≤ x) = P (1 ≤ X ≤ x) = x −5 1 si 1 ≤ x ≤ 6
3. La v.a. X nunca toma valores mayores que 6. p(X
≤ x) = p(X ≤ 6) = 55 = 1 si x > 6
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
La funci´on de distribuci´on de X viene dada por 1.0 0.8
F (x) =
0
x−1 5
1
si x < 1 si 1 x si x > 6
≤ ≤6
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) x = 0.6 < (X p 0.4
0.2 0.0 -1 0 1
2
3
4
5 x
6
7
8
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Propiedades de la Funci´on de Distribuci´on Las propiedades de la funci´on de distribuci´on F de una variable aleatoria continua son las mismas que en el caso discreto: 1. 0
≤ F (x) ≤ 1
2. F es no decreciente l x→∞ F (x) = 1 3. ´ım
4. ´ım l x→−∞ F (x) = 0 Sin embargo, 5 La funci´on F es una funci´on es continua,
mientras que la funci´on de distribuci´on de una v.a. discreta es una funci´on discontinua con forma de escalera.
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
En el siguiente gr´afico se comparan las funciones de distribuci´on de v.a. con distribuci´on
uniforme discreta en los valores 1,2,3,4,5,6, y
uniforme continua en el intervalo [1,6]. Un ifo rm e[ 1, 6]
Un ifo rme Di sc re ta {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }
1.0 0.8 ) 0.6 x = < X ( p 0.4
0.2 0.0 -1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejemplo Supongamos que estamos interesados en estudiar la variable X Uniforme [1, 6] para valores cercanos al punto x = 4.
∈
La probabilidad de encontrar valores de X en un intervalo de la forma [4 h, 4 + h] es proporcional a la longitud 2h del intervalo.
−
Espec´ıficamente P (4
− h ≤ X ≤ 4 + h) = F (4 + h) − F (4 − h) = 4+h−1 4−h−1 2h − = 5 5 5
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Este resultado permite obtener varias conclusiones: 1. La probabilidad de que que la X tome exactamente el valor x = 4 es cero.
En variables continuas la probabilidad de un punto es cero, por lo que no tiene sentido definir la funci´ on de masa de probabilidad.
2. La probabilidad de encontrar valores de X en el intervalo [4 h, 4 + h] dividada entre la longitud del intervalo es constantemente igual a 1/5 para valores peque˜ nos de h.
−
f (4) =
P (4
− h ≤ X ≤ 4 + h) = 1/5
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2h
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Utilizando este mismo razonamiento, la probabilidad de encontrar valores de X por unidad de longitud alrededor de un punto cualquiera x viene dada por
f (x) =
P (x
− h ≤ X ≤ x + h) = F (x + h) − F (x − h) 2h
2h
Por lo tanto: 1. Si x
∈ [1, 6] ⇒ f (x) =
x+h+1 5
− x−h+1 5
2. Si x > 6
⇒ f (x) = (1 − 1) /2h = 0
3. Si x < 1
⇒ f (x) = (0 − 0) /2h = 0
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/2h =
1 5
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Se llamar´a funci´on de densidad de X funci´on
∈ Uniforme [1, 6] a la
0.2
f (x) =
0 1 5
0
si x < 1 si 1 x si x > 6
≤ ≤6
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) (x f
0.1
0.0 -1 0
1
2
3
4
5 x
6
7
8
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
N´otese que la funci´on de densidad es a las v.a. continuas lo que la funci´on de masa de probabilidad a las v.a. discretas. 0.2 0.167
0. 1 6 7
0 . 16 7
0. 1 6 7
0 . 1 67
0.167
0.2 d a d il i
) (x f
b 0.1 a b o r p
0.1
0.0
0.0
-1 0
123456
1
2
3
4
5 x
6
7
8
Figura: Funci´on de masa de probabilidad de una distribuci´on Uniforme Discreta en Figura: Funci´on de densidad de una v.a. X Uniforme [1, 6] los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
∈
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Funci´ on de Densidad
Si X es una v.a. continua con funci´on de distribuci´on F , se define la funci´on de densidad f como el siguiente l´ımite f (x) = hl´→ ım0 P (x
− h ≤2hX ≤ x + h)
o de forma equivalente f (x) = l´ım
F (x + h)
h →0
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− F (x − h)
2h
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Relaciones entre las Funciones de Distribuci´on y Densidad 1. El l´ımite anterior coincide con la derivada de la funci´on de distribuci´on, lo que permite establecer la relaci´on
f
F
x F x
f (x) = F (x) siendo F la derivada de F . 2 Rec´ıprocamente, la funci´on de distribuci´on F , se obtiene mediante la integral F (x) =
f
F x
x
x
f x dx
f (t)dt
−∞
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0 -3.0
-2.0
-1.0
0.0
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1.0 x
2.0
3.
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Propiedades de la Funci´on Densidad 1. f (x)
≥0
∞
2. −∞ f (t)dt = 1 f
F
f t dt
1
NOTA: Al contrario de la funci´on de distribuci´on, la densidad f nontiene por qu´ e ser continua ni sus valores est´an restringidos al intervalo [0, 1] Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Las probabilidades relacionadas con la v.a. X se calculan a partir de integrales definidas de la funci´on de densidad f . Tal y como se indica en el gr´afico, la probabilidad P (a X b) es el ´area que queda limitada por la funci´on de densidad en el intervalo [a, b]
≤ ≤
f
p a X b 3.0
-2.0
a -1.0
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0.0
b
a
f t dt
1.0 b
2.0
3.
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejercicio 1 Dada la v.a. X con funci´on de densidad kx2 se 0 < x < 1 0 en otro caso
f (x) =
1. ¿Para que valor de k es f una funci´on de densidad?. 2. ¿Cu´ al es la correspondiente funci´on de distribuci´on? Representarla gr´aficamente. 3. Calcular a) P (X = 0,5), b) P (0,3 P (X 0,5)
≥
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≤ X ≤ 0,7), c)
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
1. Para que f sea funci´on de densidad tiene que verificarse que 1
1
x3 k 1= kx dx = k = k=3 3 0 3 0 2. La funci´on de distribuci´on de X viene dada por
2
0
x
si x 3
F (x) = −∞ f (x)dx =
3
⇒
x 1
si si
1
Densidad
≤0 0≤x≤1 x≥0
Distribución
0.8 2 0.6 0.4
1
0.2 0 - 0. 1
0 0 .1
0 .3
0 .5
0 .7
0 .9
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1 .1
- 0. 1
0. 1
0 .3
0. 5
0. 7
0. 9
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1. 1
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3
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
a) P (X = 0,5) = 0 b) P (0,3
≤ X ≤ 0,7) =
0,7 0,3
3x2 dx = 0,73
− 0,3
3
= 0,316
o de forma equivalente P (0,3 c) P (X
3
≤ X ≤ 0,7) = F (0,7) − F (0,3) = 0 ,7 − 0,3
≥ 0,5) =
1 0,5
3x2 dx = 13
− 0,5
3
3
= 0,316
= 0,875
de forma equivalente P (X
≥ 0,5) = 1 − F (5) = 1 − 0,5
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3
= 0,875
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejercicio 2 Una empresa fabrica rodamiento tales que su di´ ametro (en mm.) es una variable aleatoria con funci´on de densidad 2 25 (x
f (x) =
− 5)
se 5 < x < 10
0 en otro caso Se consideran defectuosos los rodamientos con di´ametro fuera del intervalo (6 mm, 9 mm).
1. Calcular el porcentaje de rodamientos defectuosos. 2. Manteniendo como di´ametro m´ımio admisible 6 mm, ¿cu´ al deber´ıa ser el di´ ametro m´aximo admisible para que el porcentaje de rodamientos defecturosos fuese del 10 %?
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1. P(defectuoso)=1 1 2. 0,9 = P (6 2 25
t2 2
−
− P (6 ≤ X ≤ 9) = 1 − 2 x2 25 2
− 5x t 2 6 25
≤ X ≤ t) =
− 5t
t=
5
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
− 2 25
62 2
9
=1 6
(x
9 2 6 25
(x
− 5) =
− 0,6 = 0,40
− 5) dt =
⇒
− 30
0,5t2
± √25 − 4 · 0,5 · 0,75 = 2 · 0,5
− 5t + 0,75 = 0 t = 9,85 t = 0,15
Por lo tanto el di´ametro m´aximo admisible ser´ıa de 9.85 mm. Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejercicio 3 Para la curaci´on de una determinada enfermedad se aplican dos tipos de medicamentos: f´armaco 1 y f´armaco 2. El tiempo, en d´ıas, requerido para la curaci´on de dicha enfermedad por los f´armacos 1 y 2 son aleatorias X e Y , con funciones de densidad f y variables g definidas por: f (x) =
50−x 50
si 40 x 50 en otro caso
g(y) =
60−y 200
si 40 y 60 en otro caso
0
0
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≤ ≤
≤ ≤
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Si en un hospital el 40 % de los m´edicos aplican el f´armaco 1, mientras que el 60 % restante prefiere el f´armaco 2. 1. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el tiempo de curaci´ on de un paciente sea superior a 45 d´ıas? 2. Si el tiempo de curaci´on de un paciente ha sido superior a 45 d´ıas ¿cu´ al es la probababilidad de que se le hubiese recetado el f´armaco 1?
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Soluci´on Sean los sucesos I=”aplicar el f´armaco 1” II=”aplicar el f´armaco 2”, y T=”tiempo de curaci´on superior a 45 d´ıas”. Se sabe que P(I)=0.40 y P(II)=0.60. Adem´ as, se obtienen las probabilidades condicionadas P (T /I ) = y
P (T/II ) =
50 45
60 45
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50 x dx = 0,25 50
−
60 y dy = 0,56 200
−
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
1. Utilizando probabilidades totales se obtiene que la probabilidad de que el tiempo de curaci´on de un paciente sea superior a 45 d´ıas es P (T ) = P (T /I )P (I ) + P (T/II )P (II ) = 0,25 0,40 + 0,56 0,6 = 0,44 2. Utilizando el teorema de bayes se obtiene la probabilidad de que se haya recetado el f´armaco 1 a un paciente que se sabe que ha tardado m´as de 45 d´ıas en curarse.
·
p(I/T ) =
·
P (T /I )P (I ) 0,25 0,40 = = 0,23 P (T ) 48
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·
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Media o Esperanza Matem´atica La media o esperanza matem´ atica de una v.a. continua X con funci´on de densidad f viene dada por la integral µ = E (X ) =
∞
xf (x)dx
−∞
Propiedades (an´alogas al caso discreto): 1. E (aX + b) = aE (X ) + b (a e b constantes) 2. E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
Ejemplo: La media de la v.a. X µ=
1
6
∈ Uniforme [1, 6] es 6 x2 62 − 1 = = 3,5
1 x dx = 5 10
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1
10
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Varianza y Desviaci´on T´ıpica La varianza de una v.a. continua X se define como 2
σ = V ar(X ) =
∞
(x
−∞
− µ)2f (x)dx
Propiedades (an´alogas al caso discreto): 1. V ar(aX + b) = a 2 V ar(X ) (a e b constantes) 2. C´ alculo alternativo: V ar(X ) =
∞
x2 f (x)dx
−∞
− µ2
La desviaci´ on t´ıpica de X es la ra´ız cuadrada de la varianza DT (X ) = Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
√
σ2
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejemplo: La varianza de la v.a. X 2
σ = 3
6
x 1
21
5
dx
−
∈ Uniforme [1, 6] es
x3 3,5 = 15 2
6
−
3,52 =
1
6 15 1
− − 3,52 = 215 − 12,25 = 2 ,08 15
La desviaci´on t´ıpica es DT (X ) =
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2,08 = 1 ,44
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejercicio 1 (continuaci´on) Sea la v.a. X con funci´on de densidad f (x) =
3x2 se 0 < x < 1 0 en otro caso
Calcular la media, varianza y desviaci´on t´ıpica de X .
Soluci´ on: E [X ] =
0
V ar[X ] =
1
4
3x dx 0
−
1
x4 3x dx = 3 4 3
x5 0,75 = 3 5 2
DT [X ] =
1
= 0
3 = 0,75 4
1
−
0,752 =
0
3 0,752 = 0,0375 5
−
0,0375=0.194
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Tipificaci´on de Variables Aleatorias Una variable aleatoria se dice que est´a tipificada o estandarizada si la media es 0 y su varianza es 1
Propiedad: Si X es una variable aleatoria con media µ y desviaci´on t´ıpica σ entonces la variable aleatoria transformada Z=X
−µ
σ
es una variable aleatoria tipificada. E [Z ] = E
− − − X
µ
σ
V ar[Z ] = V ar
X σ
=E
X
µ
σ
E
= V ar
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µ E [X ] = σ σ
− µσ = µσ − µσ = 0
X V ar[X ] σ2 = = =1 σ σ2 σ2
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejercicio
Las calificaciones medias obtenidas en dos pruebas distintas A y B son respectivamente µA = 6,2 y µB = 5,2 con desviaciones t´ıpicas σA = 2,0 y σB = 1,0. Si un alumno ha obtenido una puntuaci´on de 6.8 en la primera prueba y de 6.25 en la segunda ¿en qu´e prueba ha obtenido mejor resultado respecto de los dem´as alumnos?
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Soluci´on:
Si su resultado en la primera prueba es 6.8, calculamos el valor estandarizado 6,8 6,2 ZA = = 0,3
−
2,0 En el segundo caso su resultado es 6.25 y ZB =
6,25 5,2 = 1,05 1,0
−
Luego hace mucho mejor en la segunda prueba con respeto a sus compa˜ neros.
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Moda y Mediana
La moda, M o, de una v.a. continua es el valor que maximiza la funci´on de densidad. No tiene por qu´ e ser u ´nica La mediana de una v.a. continua es el valor que divide a la distribuci´on en dos partes de igual probabilidad. Por lo tanto ser´ a el valor M e que verifica que F (M e) =
Me
f (x)dx = 0,5
−∞
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Relaci´on entre Media, Mediana y Moda
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejercicio 4 Calcular la media, la mediana, la varianza, y la desviaci´ on t´ıpica de una v.a. X con funci´on de distribuci´on 0
√x
F (x) =
1
si x 0 si 0 < x se x > 1
≤
1
≤
Para calcular la mediana de X se resuelve la ecuaci´on 0,5 = F (M e) =
√
Me
obteni´endose M e = 0,52 = 0,25 Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Para el c´alculo de la media, varianza y desviaci´on t´ıpica de X es necesario calcular previamente la funci´on de densidad de X . f (x) = F (x) =
1.00 7906 7670 7454 7255 0.75 7071 901 742 0.50 594 455 325 202 0.25 086 5976 5872 5774 0.00 5680 - 0.25 5590 5505
Distribución
0
√1 2 x 0
si x 0 si 0 < x se x > 1
≤
≤1
Densidad 2.0
1.0
0.0 0
0. 25
0. 5 x
0. 75
1
1. 25
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-0. 25
0
0.2 5
0. 5 x
0. 75
1
1. 25
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
La media, varianza y desviaci´on t´ıpica de X son E [X ] =
V ar[X ] =
0
1
x2
1 0
x
√ dx = 0,5 2 x
√ dx 2 x
− 1 3
DT [X ] =
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x3/2 3/2
2
= 0,5
1
= 0
x5/2 5/2
1
0
1 = 0,333 3
− 19 = 454 = 0,089
4 = 0,298 45
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Cuantiles
Los cuantiles son generalizaciones de la mediana. El cuantil de orden p es el valor xp que verifica P (X
≤ xp ) = p
o equivalentemente F (xp ) =
xp
f (x)dx = p
−∞
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Cuartiles Los cuantiles de orden 0.25, 0.50 e 0.75 se llaman cuartiles
primer cuartil: Q1 = x0,25 segundo cuartil:Q2 = x 0,50 tercer cuartil:Q3 = x 0,75
2
Los cuartiles Q1 , Q3 y Q3 dividen a la poblaci´on en regiones de igual probabilidad. Se define el rango intercuart´ılico como la diferencia Q3
2
− Q1
El segundo cuartil Q2 coincide con la mediana M e
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejercicio 4 (continuaci´on) Calcular los cuartiles y rango intercuart´ılico de la v.a. X con funci´on de distribuci´on dada en el Ejercicio 4.
Soluci´ on: El cuantil de orden p se obtiene resolviendo la ecuaci´on 2
p = F (xp ) = xp xp = p Por lo tanto, los cuartiles de X vienen dados por
√ ⇒
Q1 = 0,252 = 0,06 Q2 = 0,502 = 0,25 Q3 = 0,752 = 0,56 El rango intercuart´ılico es R.I. = Q 3
− Q1 = 0,56 − 0,06 = 0 ,5
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Ejercicio 5 La variable X representa la duraci´on, en minutos, de las llamadas desde un tel´efono y tiene por densidad f (x) =
1 −x/2 2e
0
si x > 0 si x 0
≤
1. Calcular la probabilidad de que el tiempo de duraci´ on de una llamada est´ e entre 5 y 10 minutos. 2. Calcular la media y la mediana de la variable X . Comentar los valores obtenidos. 3. Si el coste en de una llamada viene dado por Y = 0,25 + 0,05X calcular la media y la mediana de Y . Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
4 Determinar el coste por debaj o del cual se encuentran el 10 % de las llamadas. 5 Obtener un intervalo donde se encuentren el 95 % de los costes centrales de las llamadas. 6 Si se ha registrado la duraci´on de 10 llamadas ¿cu´al es la probabilidad de que al menos 5 hayan tenido una duraci´ on inferior a 1 minuto?
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
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Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ ısticas
Independencia entre variables aleatorias
Dos variables aleatorias X e Y son independientes si verifican que P (X
≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y)
para cualquier x e y.
3
N´ otese que dos sucesos A y B son independientes si se verifica que
P (A ∩ B ) = P (A)P (B ) Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
3
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Variables Aleatorias Continuas Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ısticas Principales Distribuciones Continuas Distribuci´on Uniforme Distribuci´on Exponencial Distribuci´on Normal Relaciones entre las distribucines Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Distribuci´on Uniforme Una variable aleatoria X sigue una distribuci´on Uniforme en el intervalo [a, b], y se denota por X Uniforme [a, b], si tiene la siguiente funci´on de densidad
∈
f (x) =
1 b−a
0
se a x b en otro caso
≤ ≤
Caracter´ısticas: E (X ) =
a+b 2
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V ar(X ) =
(b
− a)2 12
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Proceso de Poisson
En el Tema 2 (Variables Aleatorias Discretas) se ha definido el proceso de Poisson como un experimento en el que se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo verificando: 1. La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo es proporcional a la longitud de dicho intervalo. 2. Los sucesos ocurren de forma independiente. El n´ umero de sucesos que ocurren en un intervalo es independiente del n´umero de sucesos que ocurren en otro intervalo. Es decir, el proceso de Poisson no tiene memoria.
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Distribuci´on Exponencial En el proceso de Poisson
El n´umero de sucesos ocurridos en un intervalos sigue una distribuci´on de Poisson,
y el tiempo entre sucesos consecutivos sigue una distribuci´ on Exponencial.
La distribuci´on exponencial se puede utilizar para modelizar:
tiempo entre llamadas a una central telef´ onica.
tiempo de vida ´util de una componente.
tiempo entre llegadas de coches a un sem´ aforo, ...
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Sea λ el n´umero medio de sucesos por unidad de tiempo. La v.a. X =”n´ umero de sucesos por unidad de tiempo” sigue una ditribuci´on X
∈ Pois (λ). Adem´as, la v.a.
Xt =”n´ umero de sucesos en el intervalo [0, t0 ]” 0
sigue una ditribuci´on Xt probabilidad
0
∈ Pois (λt0) con funci´on de masa de
e−λt (λt0 )x P (Xt = x) = , x = 0, 1, 2,... x! 0
0
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Consid´ erese ahora la v.a. T=”tiempo hasta el primer suceso” La funci´on de distribuci´on de T viene dada por F (t) = P (T t) = 1 P (T > t) = 1 P (cero sucesos en [0, t]) =
−
1
≤
−
− P (Xt = 0) = 1 − e−λt para t ≥ 0
y la funci´on de densidad es f (t) = F (t) = λe −λt para t
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≥0
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
El tiempo medio entre dos sucesos es E [T ] =
∞
tf (t)dt =
0
∞ 0
λte−λt dt =
1 λ
Es decir,
si el n´umero medio de sucesos por unidad de tiempo es entonces el tiempo medio entre sucesos consecutivos es λ1
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λ,
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Distribuci´on Exponencial Se dice que la variable X = “tiempo transcurrido hasta la ocurrencia de un evento” tiene distribuci´on Exponencial de par´ametro λ, y se denota por X Exp(λ) , si su funci´on de densidad es
∈
f (x) =
λe−λx 0
si x 0 si x < 0
≥
Caracter´ısticas: E (X ) =
1 1 y V ar(X ) = 2 λ λ
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
La funci´on de distribuci´on de X F (x) =
x −λx dx 0 λe 2593 0.97975809 4357 0.98500442 0.988891 8205 0.99177025 1833 0.99390325 9449 0.99548342 5568 0.99665403 1.5 1293 0.99752125 4787 0.9981637 1683 0.99863963 5436 0.99899221 7628 0.99925341 8225 0.99944692 1.0 5809 0.99959027 7763 0.99969646 0442 0.99977513 9319 0.99983341 8891 0.99987659 0.5 4384 0.99990858 7025 0.99993227 1659 0.99994983 0325 0.99996283 5248 0.99997246 0.0 8342 0.9999796 1 2 3 4 5 6 12540 0.99998489 5403 0.9999888
=
∈ Exp(λ) es 1 − e−λx si x ≥ 0 0
si x < 0
−e−λx x0 = −e−λx − (−e0 ) = 1 − e−λx 1.0
2.0 0078
Exp(0.5) Exp(1) 0.8 Exp(0.5)
Exp(2)
Exp(1)
0.6
Exp(2)
densidad
0.4
distribución 0.2
0.0 0123456 x
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x
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Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Ejercicio 6 Las roturas de una pieza se producen de forma estable e independiente. Por t´ ermino medio se produce una rotura cada minuto. ¿Cu´ al es la probabilidad de que pasen m´as de 3 minutos entre dos roturas consecutivas?
Soluci` on: La v.a. X=’tiempo entre dos roturas consecutivas” sigue una distribuci´on X ∈ Pois (1). La probabilidad de que no haya roturas en 3 minutos es P (X > 3) = 1
− P (T ≤ 3) = 1
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−
e−λx = e−3 = 0,05
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Comentarios La distribuci´on exponencial no tiene memoria P (X > x + t / X > x ) = P (X > t)
Demostraci´ on:
P (X > x + t / X > x ) =
P (X > x + t X > x) = P (X > x)
∩
− −e−λ(x+t) − (−e−λx)
1 P (X > x + t) 1 F (x + t) = = 1 F (x) 1 P (X > x)
−
−
e−λ(x+t) = e −λ(x+t−x) = e−λt = P (X > t) e−λx Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
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=
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Comentarios
Es decir, la probabilidad de que no ocurra ning´ un suceso al tiempo x + t , sabiendo que no se ha producido ning´un suceso al instante x , es la misma que la probabilidad de que no ocurra ning´un suceso al tiempo t . O lo que es lo mismo, la probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo, s´olo depende de la longitud de dicho intervalo.
La distribuci´on exponencial se caracteriza por tener ”la tasa de fallo” constante: la probabilidad de fallar en cualquier intervalo no depende de la vida anterior.
Es, por tanto, adecuada para describir la aparici´on de fallos, no debidas a desgaste o deterioro.
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Ejercicio 6 (continuaci´on)
Si no ha habido roturas en 4 minutos, ¿cu´ al es la probabilidad de que no haya roturas en los pr´oximos 3 minutos?
Soluci´ on: P (X > 4 + 3/X > 4) = p(X > 3) = e−3 = 0,05
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Distribuci´on Normal
Entre las variables aleatorias de tipo continuo destaca por su importancia la llamada Distribuci´on Normal o distribuci´on de Gauss.
La distribuci´on Normal describe la mayor´ıa de los fen´omenos observados en la naturaleza.
En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal
Es la base para la inferencia estad´ıstica (como se ver´a en Temas posteriores)
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Distribuci´on Normal Una v.a. X sigue una distribuci´on Normal de media µ y desviaci´on t´ıpica σ, y se denota por X N (µ, σ), si su funci´on de densidad es
∈
f (x) =
√1
2πσ 2
Normal (0,1)
e−0,5(
x−µ σ
2
) ,
Normal (3,1)
x
∈R
Normal (0,1)
Normal (0,0.3)
0.4 1.2 0.3 0.9 0.2
0.6
0.1
0.3
0
0 -3 - 2 -1
0
1
2
3
4
5
6
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-3
-2
-1
0
1
2
3
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Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
A pesar de la gran utilidad de la ley de probabilidad gaussiana, la funci´on e−0,5x no posee primitiva conocida lo que tiene importantes implicaciones. 2
Por ejemplo, la funci´on de distribuci´on x
F (x) = o la probabilidad P (a
−∞
≤ X ≤ b) =
2
√1
2πσ 2
b
e−0,5(
√1
Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
µ
) dx
e−0,5(
2πσ 2 no podr´an ser calculadas de manera exacta. a
− σ
x
x−µ σ
2
) dx
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Tablas de la Distribuci´on Normal Afortunadamente, existen t´ecnicas de c´ alculo num´ erico que permiten aproximar las integrales anteriores con tanta precisi´on como se quiera. Por ejemplo Excel dispone de funciones que permiten obtener aproximaciones de la funci´on de distribuci´on de cualquier normal. Adem´ as, existen ciertas tablas con los valores de F (x) (con varios decimales de precisi´on) para una serie limitada de valores dados. Habitualmente F se encuentra tabulada para la variable N (0, 1), que se denomina Normal Tipificada, y se representa por Z . Su funci´on de densidad es Φ(z) =
√12π e−0,5z ,
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2
z
∈R
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Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
La tabla que se utiliza en esta materia muestra para valores de z entre 0 y 4.9 la funci´on de distribuci´on Φ(z). Esta tabla permite calcular para Z N (0, 1) probabilidades como las que siguen:
∈
1. P (Z < 1,5) = 0 , 9332 2. P (Z > 3.
−1,5) = P (Z > 1,5) (por simetr´ıa) = 0,9332 P (−1,5 < Z < 1,5) = P (Z < 1,5) −P (Z < −1,5) = P (Z < 1,5) - P (Z > 1,5) = P (Z < 1,5) -(1 − P (Z < 1,5)) = 2P (Z < 1,5) − 1 = 2 · 0,9332 − 1 = 0,8664
4. P (1 < Z < 2) = P (Z < 2) - P (Z < 1) = 0,9772 - 0,8413 = 0,1359
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Tipificaci´on Si X N (µ, σ) entonces la transformaci´on Y = a + bX siendo a y b constantes sigue la distribuci´on
∈
Y
N (a + bµ,b )
∈ ∈
En particular, para cualquier X N (µ, σ)la transformaci´on Z = Xσ−µ sigue una distribuci´on normal est´andar. X
∈ N (µ, σ) ⇒ Z = X σ− µ ∈ N (0, 1)
Por lo tanto,las probabilidades relacionadas con cualquier distribuci´on normal podr´an ser obtenidas directamente a partir de la tabla de la normal estandarizada. Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Ejemplo Sea X
∈ N (2, 3)
La probabilidad de que X sea menor que 4 es X
P (X < 4) = P
−2 < 4−2 3
3
= P (Z < 0,666) = 0 ,7475
La probabilidad de que X tome valores en [ 1, 3,5] es
P ( 1 < X < 3,5) = P
−
− −
1 2 3,5 2
P ( 1 < Z < 0,5) = P (Z < 0,5)
−
0,6915
−
−
− P (Z < −1) =
− 0,1587 = 0 ,5328
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=
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Ejercicio 7 El sistema de empaquetado de una determinada marca de arroz est´ a ajustado para colocar una media de un Kg en cada caja. La desviaci´on t´ıpica del peso es de 0.1 Kg. y se sabe que los pesos siguen una distribuci´on normal. Calcular la probabilidad de que una caja elegida al azar contenga entre 980 gr. y 1020 gr. Soluci´ on: La v.a. X=”peso en gramos de una caja” sigue una distribuci´on X N (1000, 100). Por lo tanto
∈
P (980
− 1000 ≤ Z ≤ 1020 − 1000 ) = ≤ X ≤ 1020) = P ( 980 100 100
P ( 0,2
− ≤ Z ≤ 0,2) = 2 P (Z ≤ 0,2) − 1 = 2 · 0,579 = 0,159
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Ejercicio 8 Una v.a. X sigue la distribuci´on X N (µ, 25) con media µ desconocida. Se sabe que la probabilidad de que X exceda de 150 es de 0.9. Calcular la media de X .
∈
Soluci´ on: Se sabe que 0,9 = P (X > 150) = P (Z < 150 µ ) 25 Adem´ as si Z N (0, 1) el valor 1,29 verifica que
−
∈
0,9 = P (Z < 1,29)
Por lo tanto, resolviendo la ecuaci´on 150 µ = 1,29 25 se obtiene el valor de µ
−
µ = 150 + 25 1,29 = 182 ,25 Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
·
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Sumas y Diferencias de Normales Si X N (µX , σX ) e Y N (µY , σY ) son independientes, entonces la distribuci´on de la suma o diferencia de ambas variables es tambi´ en normal.
∈
∈
X +Y
N
σ12 + σ22
µ1 + µ2 ,
∈ X − Y ∈ N µ1 − µ2 , σ12 + σ22 De forma general, Si Xi ∈ N (µi , σi ) (independientes) y ai una constante i = 1,...,n , entonces n
i=1
n
a i Xi
∈N
i=1
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n
ai µi ,
a2i σi2
i=1
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Ejercicio 9
La demanda mensual de un producto A sigue una distribuci´ on XA N (200, 40). La demanda de otro producto B tambi´ en sigue
∈
una distribuci´on normal XB N (230, 80) 1. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la demanda total supere las 550 unidades?
∈
2. ¿Cu´ al es la probabilidad de que la demanda de A supere a la de B?
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
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Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Soluci´on
1. La demada total sigue una distribuci´on
T = XA +XB por lo tanto
∈N
200 + 230,
P (T > 550) = P 1
402 + 802 = N (430, 89,44)
550 430 Z> 89,44
−
=
− P (Z ≤ 1,342) = 1 − 0,91 = 0 ,09
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
2 La distribuci´on de la diferencia de demandas D = X A D = X A XB
−
obteni´ endose
∈N
200
402 + 802 = N ( 30, 89,44)
− 230,
−
P (XA > XB ) = P (D > 0) = P 1
− XB es
30 Z> 89,44
− P (Z ≤ 0,3354) = 1 − 0,631 = 0,3707
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
=
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Intervalos de Normalidad Los intervalos de normalidad (IN) son intervalos de extremos sim´ etricos respecto a la media µ entre los que se encuentra un determinado porcentaje de datos. Por ejemplo, 95 %, 99 %, ... Para Z N (0, 1) el IN al (1 100 % es
∈
IN =
−
− α)
z1−α/2 , z1−α/2
1
donde zp denota el cuantil de orden p de Z . a
El cuantil zp se calcula directamente a partir de las tablas. a
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.0
2
z1
2
0
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
z1
2 2
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Distribuci´ on Exponencial Distribuci´ on Normal
Intervalos de Normalidad Si X
∈ N (µ, σ) el IN al
(1
− α) 100 % viene dado por
−
IN = µ
z1−α/2 σ, µ + z1−α/2 σ
Ejemplo: Construir IN para X=”peso en Kgs. de ni˜ nos varones de 5 a˜nos” sabiendo que X a) al 95%
∈ N (25, 5).
IN 95% = (25 b) al 99%
− 5 · z0,975, 25 + 5 · z0,975) = (25 − 5 · 1,96, 25 + 5 · 1,96) = (15,2, 34,8)
IN 99% = (25
− 5 · z0,995, 25 + 5 · z0,995) = (25 − 5 · 2,58, 25 + 5 · 2,58) = (12,1, 37,9)
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Variables Aleatorias Continuas Funci´ on de Distribuci´on Funci´ on de Densidad Caracter´ısticas Principales Distribuciones Continuas Distribuci´on Uniforme Distribuci´on Exponencial Distribuci´on Normal Relaciones entre las distribucines Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Aproximaci´ on mediante la Distribuci´on Normal A continuaci´on se representan las funciones de masa de probabilidad de las v.a. X=”n´umero de cruces en n lanzamientos de una moneda” ( X Bin(n, 0,5)) para distintos valores de n.
∈
Bin (5,0.5)
Bin (20,0.5)
0.4
0.2
0.3
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0 012345
0
5
10
Bin (50,0.5)
15
20
Bin (100,0.5)
0.15
0.10
0.10 0.05 0.05
0.00
0.00 0
5
10 15 2 0
25 30 3 5 40 4 5
50
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0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 1 00
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Aproximaci´ on mediante la Distribuci´on Normal Como se puede ver en los gr´aficos anteriores, para valores de n elevados, la funci´on de probabilidad binomial tiene una forma parecida a la densidad de la normal. Bin (100,0.5)
0.10
aproximación normal
0.05
0.00 30
40
Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
50
60
70
Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Aproximaci´ on Binomial-Normal Si X
∈ Binomial(n, p) con
1. n > 30, y 2. np
≥ 5 y n(1 − p) ≥ 5
se obtiene la aproximaci´on X np np(1 p)
−
−
≈ N (0, 1)
Si np o n(1 p) es peque˜no (< 5) la aproximaci´on Poisson funciona mejor.
−
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Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
Variables Aleatorias Continuas Principales Distribuciones Continuas Relaciones entre las distribucines
Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Ejercicio 10 Determinar la probabilidad de que en 100 lanzamientos de una moneda se obtengan menos de 45 caras.
Soluci´ on: La v.a X=”n´umero de caras en 100 lanzamientos” sigue una distribuci´on X ∈ Bin(100, 0,5) p(X < 45)
≈P
Z<
45 100 0,5 100 0,5 (1 0,5)
− · · · −
= 0,1587
La probabilidad exacta es P (X < 45) = P (Bin(100, 0,5) < 45) = 0 ,1841 por lo que la aproximaci´on no es del todo buena, pero se puede mejorar. Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
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Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Correcci´ on por continuidad En la aproximaci´on de la Binomial por la normal es preferible considerar las siguientes correciones de continuidad p(X
P (x1
≤ x) = P (X < x + 0,5)
p(X ≥ x) = P (X > x − 0,5) ≤ X ≤ x2) = P (x1 − 0,5 < X < x 2 + 0,5)
Ejercicio 10 (continuaci´on): Usando la corecci´on de continuidad se obtiene p(X < 45) = P (X < 45,5) ≈ P
Z<
45,5 100 0,5 100 0,5 (1 0,5)
·
−
·
· −
= 0,1841
La aproximaci´on es mejor usando la correcci´on de continuidad. Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
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Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Aproximaci´ on Poisson-Normal En los siguientes gr´aficos se presenta la funci´on de masa de probabilidad de una distribuci´on de Poisson para distintos valores de λ. 0.20
Poisson (5)
aproximación normal
Poisson (10)
0.15
aproximación normal
Poisson (20)
0.10
aproximación normal
0.15 0.10 0.10
0.05 0.05
0.05
0.00
0.00 0
Si X
10
0.00 0
10
20
0
10
20
∈ Poiss (λ) con λ grande ( λ > 5) entonces √ X ≈ N λ, λ
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30
40
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Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Ejercicio 11 En unos grandes almacenes se estima que en media se venden diariamente 3 art´ıculos defectuosos. Calcular la probabilidad de que en 20 d´ıas sean vendidos como mucho 70 art´ıculos defectuosos.
Soluci´ on: La v.a. X=”n´umero de art´ıculos defectuosos en 20 d´ıas” sigue una distribuci´on X ∈ Pois (20 · 3) = P ois(60). Por lo tanto P (X
≤ 70) = P (X < 70,5) ≈ P
Z<
70,5
√ − 60 60
= 0,9124
La soluci´on exacta utilizando la distribuci´on de poisson es P (X
≤ 70) = P (Pois (60) ≤ 70) = 0,9098
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Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Teorema Central del L´ımite La distribuci´on binomial y la Poisson no son las ´unicas distribuciones que se puede aproximar a la distribuci´on normal. Cualquier variable que se obtenga como una suma de variables independientes e igualmente distribuidas se puede aproximar por una distribuci´on normal. Sean X1 ,...,X n variables aleatorias independientes y con la misma distribuci´on, con media µ y varianza. σ 2 . Si n es grande se obtiene la aproximaci´on (X1 + . . . + Xn ) σ n
√
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− nµ ≈ N (0, 1) Tema 3. Variables Aleatorias Continuas
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Ejercicio En un proceso de producci´on en cadena se necesitan 50 subprocesos para elaborar el producto final. Si el tiempo en minutos en cada puesto sigue una distribuci´ on uniforme en el intervalo [2,4] determinar: 1. El tiempo medio de elaboraraci´on del producto final. 2. La probabilidad de que se tarde m´as de 155 minutos en elaborar el producto. 3. Determinar el tiempo debajo del cual est´an el 75 % de los tiempos totales de producci´on. 4. Encontrar un intervalo temporal (centrado en el tiempo medio) donde se encuentren el 95 % de los tiempos totales de producci´ on. Javier Roca Pardi˜nas. Dpto. Estad´ıstica e I.O. UVIGO.
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Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Soluci´on El tiempo total de producci´on viene dado por T = T1 + . . . + T50 siendo Ti Uniforme [2, 4] el tiempo empleado en el subproceso esimo.La media y la varianza de cada Ti son i -´
∈
E (Ti ) = 0,5(2 + 4) = 3 y V ar(Ti ) =
(4
− 2)2 = 0,333 12
obteni´ endose por el T.C.L. la aproximaci´ on
· 3 = T − 150 ≈ N (0, 1) √T50−·500,333 4,082
o de forma equivalente
T
≈ N (150, 4,082)
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Aproximaci´ on Binomial-Normal Aproximaci´ on Poisson-Normal Teorema Central del L´ımite
Soluci´on 1. El tiempo medio es de E [T ] = 150 minutos. 2. P (T > 155)
≈P
Z>
155−150 4,082
= 0,1103
3. El tiempo debajo del cual est´an el 75 % de los tiempos totales de producci´on corresponde con el tercer cuartil de T , que es T0,75 = 150 +
4,082z0,75 = 1 50 + 2,0204 0,6745 = 151,3627
·
4. Los l´ımites del intervalo pedido son respectivamente los cuantiles 0.025 y 0.975 de T : I = (T0,025 , T0,975 ) = (146 ,04, 153,96)
T0 025 = 150 + 2 ,0204 ( 1,96) = 146 ,04 T0 975 = 150 + 2 ,0204 1,96 = 153 ,96 ,
,
·− ·
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Ejercicio 12 Un agricultor utiliza un sistema autom´atico para el llenado de los sacos de ma´ız, garantizando un contenido de 50 kg porsaco. Debido a las fluctuaciones aleatorias del mecanismo de llenado, el peso de los50.25 sacoskgesyuna variable aleatoria conkg. distribuci´ on normal de media desviaci´on t´ıpica 0.25 1. Obtener la probabilidad de que un saco elegido al azar no llegue al peso m´ınimo garantizado. 2. Se seleccionan aleatoriamente 10 sacos. ¿Cu´al es la probabilidad de que exactamente 2 sacos pesen m´ as de 50.5 Kg.?
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Ejercicio 12
3 De una remesa de 2000 sacos ¿cu´al es la probabilidad de que como mucho 300 no lleguen al peso garantido? 4 Si se desea que la probabilidad de que un saco no alcance el peso garantido sea 0.01, ¿cu´al deber´ıa ser la media del peso de los sacos? (manteniendo σ = 0,25). Sol.: 1) 0.1587; 2) 0.2844; 3) 0.1446; 4) 50.5825
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