ANALISIS DE ESTRUCTURAS CON ELEMENTOS TIPO CABLE
Prof. Gabriela Guzmán
GENERALIDADES: Los cables fabricados en acero son altamente flexibles y tienen una resistencia a la tracción de 4 o 5 veces la resistencia del acero estructural. La elevada relación resistencia/peso permite plantear los cables como solución para estructuras de grandes luces, tales como puentes colgantes, puentes atirantados, techos en estadios y espacios que requieren grandes luces. Aspectos a tener en cuenta: cu enta: 1- Controlar y prevenir los elevados desplazamientos y oscilaciones por la carga variable aplicada en estas estructuras, cuya dirección y magnitud varían en el tiempo. (Ver ejemplo del puente Tacoma Narrow) 2- Proporcionar anclaje suficiente a las grandes fuerzas que serán desarrolladas por los cables. En este tipo de estructuras la creatividad del ingeniero es un factor importante para dar solución a la transmisión de la solicitaciones con adecuados miembros que las resistan.
ó ó
En la cubierta mostrada se plantea un sistema auto balanceado con miembros sometidos a carga axial pura. El sistema resultante es eficiente bajo cargas gravitacionales, donde únicamente se requiere soporte vertical en el perímetro. Fuente: Libro Fundamentos de Análisis Estructural.
BC Place stadium (Canadá) Fuente: http://www.freyssinet.com
Puy du Fou stadium (France) Fuente: http://www.freyssinet.com
Verdun-sur-Garonne bridge (France) Fuente: http://www.freyssinet.com
Haliç Bridge (Turkey) Fuente: http://www.freyssinet.com
ACERO UTILIZADO EN CABLES: = 18900 / = 1.83 ∙ 10 /
(/) 18900
− 270
− 60 4200 2000
− 40
0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
Curvas de esfuerzo deformación para el acero.
PUNTOS A CONSIDERAR EN EL ANALISIS ESTRUCTURAL: •
•
•
Posición de los apoyos extremos Magnitud de las cargas aplicadas Elevación de otro punto del eje del cable casi siempre la flecha a mitad de la luz.
Con base a los parámetros anteriores, el calculista podrá determinar las reacciones en los extremos aplicando la teoría de cables. Así, como: •
•
•
Reacciones en los extremos Fuerza interna en todos los puntos del cable Y la posición de otros puntos a lo largo del eje del cable.
La distancia vertical
ℎ entre la cuerda y el cable se
D.C.L. de un segmento de cable, aunque la fuerza T en los extremos varia, la proyección horizontal es
PUNTOS A CONSIDERAR EN EL ANALISIS ESTRUCTURAL: Puede demostrarse que en cualquier punto del cable la tensión puede calcularse como:
= cos
Dado que en el DCL de una sección del cable no hay fuerzas que generen una variación en la componente horizontal.
cos0° = 1, y por lo tanto =
En los puntos en los que el cable es horizontal, se tiene
Finalmente es importante recordar, que por lo anterior el máximo valor de T en el cable se presenta en el apoyo donde la pendiente del cable es mayor.
¿A QUE LLAMAMOS CONFIGURACION FUNICULAR EN ESTRUCTURAS?
ENTENDIENDO LA CONFIGURACION FUNICULAR:
@seproinca Cuando un cable, con peso despreciable y ninguna rigidez a la flexión, es sometido a cargas verticales, el resultado es una configuración llamada polígono funicular.
Puente Golden Gate (San Francisco)
El miembro mostrado es un miembro determinado, Se dispone de 4 ecuaciones de equilibrio para calcular las 4 reacciones en los apoyos: •
3 Ecuaciones de equilibrio estático aplicadas al cuerpo libre del cable.
•
1 ecuación adicional de condición
σ = 0 puesto que el momento es nulo en
cualquier sección del cable. La ecuación se podrá plantear siempre que se conozca la la flecha del cable, es decir la distancia vertical entre el cable y su cuerda.
ℎ
EJEMPLO: Para el siguiente ejemplo, el peso del cable se considera despreciable respecto a las cargas aplicadas, por lo que no será considerado. Así mismo, se ha fijado la flecha en el punto B, como flecha máxima de acuerdo al uso que tendrá el cable y a los espacios que se deben respetar en la parte inferior del mismo.
ℎ =2
1) Se dermina con la sumatoria de momentos alrededor del punto A.
= 0 −9 ∙ 6 − 9 + 12 ∙3 + 9 + 12 + 9 ∙ = 0 = . = 0 → − 6 − 3 + = 0 → = .
Por sumatoria de fuerzas en y, se obtiene
3) Sumando momentos alrededor de B a la izaquierda se obtiene el valor de
= 0 9 ∙ 5.1 −9∙ + ℎ ∙ = 0 → = 2 = .
ℎ
4) Una vez obtenido el valor de es posible determinar el valor de la flecha en C. de modo que se cumpla que la sumatoria de momentos es igual a 0 en ese punto. Esto ultimo corresponde al comportamiento de un cable y a la configuración funicular que tendrá al someterse a las cargas verticales.
= 0 → 9 ∙ − ℎ ∙ = 0 9 ∙ ℎ = → = .
Si se desea conocer la fuerza axial de diseño para el cable en cada tramo, se calculan las tensiones de acuerdo al ángulo que forma el cable con la horizontal y a la componente conocida.
2 = 9 = 12.52° = 22.95 → = . = cos( ) cos(12.52°) 2−1.53 = 12 = 2.24° 22.95 = cos( ) = cos(2.24°) → = .
= 1.53 9 = 9.65° = 22.95 → = . = cos( ) cos(9.65°)
TEOREMA GENERAL DE CABLES: Con base al ejemplo anterior, puede observarse que ciertos pasos son parecidos al análisis de una viga simplemente apoyada, con la luz horizontal del cable y sometida a las mismas fuerzas verticales tal como se muestra a continuación. Puede observarse que las expresión de sumatoria de momentos igual a cero alrededor del punto A es idéntica para esta viga y para el cable planteado en el ejemplo anterior, así como la sumatoria de fuerzas en y.
También puede observarse que el diagrama de momento flector de esa viga simplemente apoyada tiene una distribución similar a la geometría del cable.
ENUNCIADO DEL TEOREMA GENERAL DE CABLES: “En cualquier punto de un cable que soporta cargas verticales, el producto de la flecha del cable y la componente horizontal de la tensión del cable es igual al momento flector en el mismo punto de una viga simplemente apoyada que soporta las mismas cargas en la misma posición del cable. La luz de esta viga es igual a la del cable”
Si se plasma el enunciado en una ecuación se tiene:
∙ ℎ = Donde, Componente horizontal de la tensión del cable. Flecha del cable en el punto , donde se calcula Momento en el punto z de una viga simplemente apoyada que soporta las cargas que se aplican al cable.
= ℎ = =
Dado que es constante en todas las secciones, la expresión anterior muestra que la flecha del cable , es proporcional a las ordenadas del diagrama de momentos.
ℎ
VERIFICACIÓN DEL TEOREMA GENERAL DE CABLES:
= .
22.95∙2 22.95∙1.53
Cuando los extremos del cable se encuentran a diferentes elevaciones, la distancia vertical entre los dos apoyos se expresa en términos de que es la pendiente de la cuerda del cable y la luz del cable de la siguiente manera:
= ∙ tan()
Para resolver un problema como este se presenta el siguiente ejemplo:
Puede observarse: •
•
La distancia entre las cargas es igual tanto para el cable como para la viga S.A. La sección escogida Z se encuentra a una distancia x del extremo izquierdo de ambos elementos.
Se inicia la solución:
= 0 − ∙ − σ + ∙ ∙ tan = 0 La anterior la llamaremos ecuación 1. Donde,
σ =representa el momento alrededor del apoyo B de todas las cargas verticales (de a )
Dado que y son incógnitas, del problema debe generarse una segunda ecuación para encontrar la solución al sistema:
Para ello se realizara sumatoria de momentos a la izquierda de la sección z, recordemos que en un cable, en cualquier sección debe cumplirse que la sumatoria de momentos es igual a cero.
= 0 − ∙ − ∙ ∙ tan − ℎ − = 0 La anterior la llamaremos Ecuación 2.
Donde,
σ = el momento alrededor de z de las cargas a la izquierda del punto z. Despejando en la ecuación 1, tenemos: σ + ∙ ∙ tan = Sustituyendo en la ecuación 2 y resolviendo, nos queda: ∙ ℎ = ∙ σ − σ …. (Ec. 3)
Por otro lado se tiene que el momento flector en el punto z de la viga es:
= − ∙ + σ …(Ec. 4) Para encontrar el valor de se realiza sumatoria de momentos alrededor del punto B.
Dado que la ubicación de las cargas es exactamente igual que en el cable se tiene:
= 0 0 = − ∙ + σ σ = Sustituyendo en Ec. 4 nos queda, = ∙ σ − σ … ( Ec. 5)
En resumen, dado:
∙ ℎ = ∙ σ − σ …. (Ec. 3) = ∙ σ − σ … ( Ec. 5) Puede decirse que:
∙ ℎ =
Se verifica el teorema de los cables para el caso de apoyos con diferencia de elevación.
