BAB I TRANSFORMASI
A. Pengertian Transformasi Definisi 1.1 Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi bijektif dari V ke V. V.
Sehi Sehing ngga ga dalam dalam penul penulisa isan n yang yang lain, lain, dapa dapatt diny dinyata ataka kan n T : V → V merupakan transformasi jika T merupakan merupakan fungsi bijektif, dengan V = {(x, y! x,y ∈ "# $erkenaan dengan definisi transformasi yang merupakan fungsi bijektif, perlu terlebih dahulu ditegaskan tentang pengertian fungsi, fungsi bijektif (satu%satu, fungsi surjektif (pada!onto. Definisi 1.2 Suatu fungsi f dari himpunan himpunan & kedalam (into himpunan himpunan $, adalah suatu penga'anan yang memasangka memasangkan n setiap himpunan himpunan & dengan dengan tepat satu anggota $. engan notasi notasi matematika dapat dituliskan f : & → $ merupakan fungsi, jika a,b di & dan a = b maka f(a = f(b. Definisi 1.3 )ungsi f : & → $ disebut fungsi injektif (satu%satu, jika untuk sebarang a, b di & dengan f(a = f(b, maka a = b Definisi 1.4 )ungsi f : & → $ disebut fungsi surjektif (pada!onto, jika untuk setiap b di $ terdapat a di & sedemikian sehingga f(a = b Definisi 1.5 )ungsi f : & → $ disebut fungsi bijektif jika f merupakan merupakan fungsi injektif dan surjektif. → Seringkali f : & $ fungsi bijektif maka dikatakan terdapat korespondensi satu%satu antara & dengan $.
B. Beberaa Isti!a" #a!am Transformasi 1. *nsur tetap Definisi 1.$ Suatu titik & di V disebut titik tetap dari transformasi transformasi T jika T(& = &. +emudian +emudian suatu garis l disebut garis tetap dari transformasi T jika T(l = l 2. +olineasi Definisi 1.% Suatu transformasi T disebut punya sifat kolineasi jika T memetakan garis menjadi garis lagi
Geometri Transformasi
3. -dentitas Definisi 1.& Suatu transformasi T disebut transformasi identitas jika T(& = & untuk setiap & di V. Selanjutnya Selanjutnya transformasi identitas dinotasikan dengan -. 4. -sometri Definisi 1.' Transf ansfor orma masi si T dise disebu butt iso isometr metri, i, jik jika untuk tuk seti setiap ap &,$ di V berla erlaku ku AB
T ( AT ( B
A B
= = , jika jika T(& T(& = A dan T($ T($ = B . alam alam istil istilah ah lain lain,, seringkali suatu transformasi disebut isometri jika mempertahankan jarak.
5. -n/olusi Definisi 1.1( Suatu transformasi V merupakan in/olusi, in/olusi, jika V tidak sama dengan - dan berlaku 0 % V = - . -ni berarti V = V 1ontoh : . 1. 2erka'anan T: V → V dengan T(x,y = (0x, x3y untuk setiap (x,y di V merupakan transformasi, tunjukkan4 5a'ab: itunjukkan bah'a: i) T fungsi dari V ke V &mbil &, $ di V dengan & = $. &kan ditunjukkan T(& = T($ 6isal & = (x, y dan $ = (u, ( u, /. & = $ berarti berart i x = u dan y = /. Sehingga Sehingga 0x = 0u dan x 3 y = u 3 /. &kibatnya &kibatnya T(& = (0x, x 3 y = (0u, u 3 / = T($ Terbukti T(& = T($.
ii) T fungsi injektif (satu%satu &mbil &, $ di V dengan T(& = T($. &kan ditunjukkan & = $ 6isal & = (x, y dan $ = (u, /. +arena T(& = T($ dan T(& = (0x, x 3 y, T($ = (0u, u 3 / maka persamaan ini diperoleh x = u dan y = /. 5adi & = $ iii) T fungsi surjektif (pada &mbil sebarang $ di V. &kan &kan ditunjukkan terdapat & di V sedemikian sehingga x x T(& = $. 6isal $ = (x, y. 2ilih & = ( 0 , y % 0 . x x x x x iperoleh T(&=T( 0 , y % 0 = (0. 0 , 0 3( y % 0 = (x, y x x 5adi terdapat & = ( 0 , y % 0 di V sedemikian sehingga T(& = $ 5adi T surjektif. x y
= 7 x y .
2. iberikan transformasi T dengan aturan T itanyakan: a. &pakah T suatu koloneasi8 b. &pakah T suatu isometri8 c. &pa terdapat titik tetap atau garis tetap dari T8
Geometri Transformasi
0
5a'ab: a. &kan diselidiki apakah T suatu koloneasi &mbil sebarang garis l pada bidang V, V, misal l: ax 3 by 3 9 =
y
2eta 2eta dari garis garis l yaitu yaitu l dapat ditemukan dengan mensubstitusikan x = 7 dan y = x pada pada pers persam amaa aan n ax 3 by 3 9 = . ipe ipero role leh h pers persam amaa aan n y l : a 7 3 b x 3 9 = atau b x 3 7 a y 3 9 = atau 7b x 3 a y 3 79 = , yang merupakan persamaan garis. 5adi 5 adi T suatu koloneasi.
b. &kan diselidiki apakah T suatu isometri &mbil titik &(, dan $(,. A =T(&=T(, = (, 7. = (,7 dan B =T($= T(, = (, 7. = (, . AB iperoleh A (.7 dan B =(,. =
(: − 0
+ ( − : 0 =
0
dan
A B
=
( − :) 0 + ( : − 7) 0 = ; . 5adi terdapat dua titik yang jarak titik tersebut tidak sama dengan jarak kedua petanya. 5adi T bukan isometri. bukan isometri.
c. *ntuk menyelidiki keberadaan titik tetap dapat dilakukan sebagai berikut. 1) 6isal 2(a,b merupakan titik tetap dari T, maka T(2 = 2 atau (b, 7a = (a, b. Sehingga diperoleh persamaan b = a dan 7a = b. -ni hanya dipenuhi oleh titik (,. 5adi titik tetapnya adalah titik (, Sedangkan untuk menyelidiki menyelidiki keberadaan garis tetap dilakukan dilakukan sebagai sebagai 2) Sedangkan berikut: 6isal sal l: ax 3 by 3 9 = merup rupakan garis teta etap, maka aka berlaku aku 7b a 7c l = T(l = 7bx 3 ay 3 79 = . Sehingga diperoleh persamaan : a ari perbandingan ini menghasilkan : 7b a ( a 7b
=
=
b
⇔
a0
= 7b 0 ⇔ a = ± 0b
= = b
c
dan
7c
c ⇔ 7b9 = 7a9 ⇔ 7b9 < 7a9 = ⇔ (b % a9 = (0 a *ntuk (0 kemungkinan : (i) *ntuk a ≠ b diperoleh 9 = . -ni menghasilkan garis tetap 0x 3 y = dan %0x 3 y = (ii) *ntuk 9 ≠ , diperoleh a = b. Tetapi berlaku juga a = ± 0b yang berarti a = b = . -ni tidak mungkin. 5adi hanya terdapat dua garis tetap yaitu y = ± 0x
Geometri Transformasi
)ati"an 1
1. iberikan suatu pemetaan dengan definisi : 9. T((x,y = (%x, %y a. T((x,y = (0x, 0y d. T((x,y =(x, %y b. T((x,y = (x, iantara pemetaan tersebut manakah yang merupakan transformasi8 5elaskan. 2. iketahui suatu transformasi T((x, y = (0x 3 , y % x a. $uktikan bah'a T merupakan koloneasi b. Tentukan peta 2(%, 7 c. Tentukan peta y = x 0 x y 3.
= 0 x y iberikan transformasi T dengan aturan T . itanyakan: a. &pakah T suatu koloneasi8 b. &pakah T suatu isometri8 c. &pa terdapat titik tetap atau garis tetap dari T8
4. $uktikan transformasi dengan rumus: x = ! > − 7 ! > x
= − 7 ! > − = ! > y y T
merupakan suatu isometri.
5. $uktikan bah'a transformasi T((x, y = (0x3y, x%0y merupakan suatu kolineasi. 6. iketahui suatu transformasi T((x, y = (ay, x!b. Tentukan nilai a dan b sedemikian sehingga T suatu in/olusi.
Geometri Transformasi
7
BAB II TRANS)ASI *P+R,+S+RAN-
A. Pengertian Translasi merupakan transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan arah dan jarak tertentu
Translasi dapat di'akili oleh sebuah /ektor yang dapat dinyatakan dengan bentuk ruas a
b PQ garis berarah (misal atau matriks kolom . 2erhatikan gambar berikut. A
(, b 2(x,y
a
@
a b Translasi T = memindahkan titik 2(x, y ke titik P ( x , y sehingga diperoleh x x a x + a = y + b = y + b y hubungan : atau dalam bentuk persamaan : x = x 3 a? y = y 3 b
B. Menent/an Ba0angan sat Titi/ o!e" Trans!asi 1ontoh 0. iketahui titik &(, 7 dan $ (, %. Tentukan bayangan titik & dan $ oleh translasi T
− = = 5a'ab :
Geometri Transformasi
>
A = T(& = T(,7 = ( 3 , 7 3 (% = (0, B = T($ = T(, %= ( 3 , % 3 (% = (, %B
C. Menent/an Ba0angan sat ra o!e" Trans!asi 1ontoh 0.0 iketahui persamaan garis 0x < y = 7
− = Tentukan persamaan garis bayangan oleh translasi T = 5a'ab: T (x, y = ( x , y x x
x + = + y − = = y − = y ⇔ x = x 3 ⇔ x = x %
y = y % y y = 3 Substitusi ke persamaan garis 0x < y = 7 ⇔ 0( x < < ( y 3 = 7
⇔ 0 x < 0 < y ⇔ 0 x < y = C
% =7
5adi persamaan garis bayangan adalah 0x < y = C 1ontoh 0. iketahui titik%titik &(0, %0 dan $(, 7 dan g : y 3 0x = 7. 5ika T adalah translasi yang di'akili oleh ruas garis berarah AB . a. Tentukan T(2 jika 2 = (x, y b. Tentukan jika T( = (, a. Tulislah persamaan bayangan garis g oleh translasi T b. 5a'ab: a.
= − 0 B 7 ( 0 − − = Vektor AB = B T = AB = , berarti T(2 = T(x, y = ( x3, y 3B
b. 6isal (x, y dari T( = , = (x 3 , y 3B diperoleh, x 3 = dan y 3 B = . Sehingga x = dan y = %. 5adi (, % ( x , y c. T(x, y =
x x + = y + B y
Geometri Transformasi
B
⇔ x = x 3 ⇔
x = x % y = y % B
y = y 3 B Substitusi ke persamaan garis y 3 0x = 7 ⇔ ( y % B 3 0( x < = 7
⇔ ⇔
y % B 3 0 x < 0 = 7 y 3 0 x = 0
5adi persamaan bayangan garis g adalah y 3 0x = 0 )ati"an 2
1. Suatu segitiga &$1 dengan &(, 0, $(7, % dan 1(B, % ditranslasi 0
dengan T=
− = .
a. Tentukan koordinat bayangannya A C AB AC A B b. Tentukan , , dan 9. Tentukan luas segitiga &$1 dan luas segitiga A B C
2.
a b Suatu translasi T=
memetakan titik &(, 0 ke A (%, >. a. Tentukan nilai a dan b b. engan menggunakan translasi di atas tentukan bayangan dari segitiga 2D" jika 2(, , D(0, B dan "(, 7
c. &pakah
PQ
=
P Q
dan
PR
=
P R
8 mengapa8
3. iketahui persamaan garis 0x 3 y < = . Tentukan persamaan bayangannya oleh translasi : 0 − 0
− 0 a. T=
7 b. T=
9. T=
4. iketahui persamaan lingkaran x0 3 y 0 = 7. Tentukan persamaan bayangannya oleh translasi : 0 −
a. T=
= b. T=
− 7 9. T=
5. iketahui titik%titik &(%, dan $(>, ; dan g : y % x = B. 5ika T adalah translasi yang di'akili oleh ruas garis berarah AB . a. Tentukan T(2 jika 2 = (x, y b. Tentukan 1 jika T(1 = (0, 7 c. Tulislah persamaan bayangan garis g oleh translasi T
Geometri Transformasi
;
BAB III R+F)+SI *P+N+RMINAN-
A. Pengertian Definisi 3.1 2en9erminan terhadap garis s, dilambangkan dengan 6 s adalah suatu pemetaan yang memenuhi : untuk sebarang & di bidang V berlaku : 6s(& = &, jika & pada s = $, sedemikian sehingga s adalah sumbu &$, jika & tidak di s
& $ == 6s($
s
= 6s(& 2erhatikan 9ontoh berikut. &
1ermin s 2
D
$
"
1
& A , $ B dan 1 C tegak lurus dengan 9ermin
AP = PA
,
BQ
= QB
dan
CR
= RC
B. Penerminan ter"a#a Smb oor#inat 1
2en9erminan terhadap sumbu @
Geometri Transformasi
E
A 2(x,y
y
x
%y
@ (,
2erhatikan gambar, bah'a 2(x, y di9erminkan terhadap sumbu @ mendapatkan bayangan P ( x , y , dimana : x = x y = % y
⇔
x = . x 3 .y y = .x 3 (%.y
x . x + :. x + y ⇔ =
(−. y :. y
x x − y y ⇔ = − 2
dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pen9erminan terhadap sumbu @ dan dinyatakan dengan 6x
2en9erminan terhadap sumbu A A (,
y
2(x,y
%x
x
@
2erhatikan gambar, bah'a 2(x, y di9erminkan terhadap sumbu A mendapatkan bayangan P ( x , y , dimana : x = %x y = y
Geometri Transformasi
C
⇔ x = (%.x 3 y = x
.y
.x 3 .y (−. x + :. y
:. x + . y y ⇔ = x − x y y ⇔ = −
dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pen9erminan terhadap sumbu A dan dinyatakan dengan 6y C. Penerminan ter"a#a ,aris 0 6 #an 0 7 6
a. 2en9erminan terhadap garis y = x A yF= x
(, y=x 2(x, y
y
xF= y
x
@
2erhatikan gambar, bah'a 2(x, y di9erminkan terhadap garis y = x mendapatkan y x P bayangan ( , , dimana : x = y y = x
⇔
x = .x 3 .y y = .x 3 .y
x :. x + . y ⇔ y = . x + :. y x : x : yA y ⇔ = : y = y : %x dinamakan matriks
2(x, y
yang bersesuaian dengan pen9erminan terhadap garis y = x dan dinyatakan dengan 6 y=x
b. 2en9erminan terhadap garis y = %x
%y
@
Geometri Transformasi
(,
x
%x
2erhatikan gambar, bah'a 2(x, y di9erminkan terhadap garis y = % x mendapatkan bayangan P ( x , y , dimana : x = % y y = % x.
⇔
x = .x 3 (%.y y = (%.x 3 .y
.
x :. x + (−. y (−. x + :. y y ⇔ = x : − x − : y y ⇔ = : − : −
dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pen9erminan terhadap garis y = % x dan dinyatakan dengan 6 y = %x
1ontoh . iketahui &(0, % dan $ (, 7. Tentukan koordinat bayangan oleh pen9erminan terhadap : b. garis y = x a. Sumbu @ 5a'ab : a. A = 6x(& = 6x (0, % = (0, B = 6x($ = 6x (, 7 = (, %7 b. Silahkan dikerjakan untuk latihan4
Geometri Transformasi
1ontoh .0 iketahui persamaan garis 0x < y % = Tentukan persamaan bayangan oleh pen9erminan terhadap : a. Sumbu @ b. garis y = x 5a'ab : a. 6x(x, y = ( x , y x
x − y y ⇔ = x x ⇔ y = − y ⇔ x = x y = % y
⇔
x
x=
y = % y Substitusi ke persamaan garis 0x < y % = didapat : 0 x < (% y % = 0 x 3 y < = 5adi persamaan bayangannya adalah 0x 3 y < =
b. 6y=x(x, y = ( x , y x : x
: y y ⇔ = x y ⇔ y = x ⇔ x = y. y = x x = y
⇔
y = x
y Substitusi ke persamaan garis 0x < y % = didapat 0 < x < =
5adi persamaan bayangannya adalah 0y < x < =
D. Penerminan ter"a#a ,aris 0ang Se8a8ar Smb oor#inat a. 2en9erminan terhadap garis x = h x=h A$
y
1& 2(x,y
Geometri Transformasi
x
h
$
(,
&
$
0 @
2erhatikan gambar :
Titik 2(x,y di9erminkan terhadap garis x = h mendapatkan bayangan P ( x , y y = y
x = G
= G& 3 & = 1$ 3 $ P = (12 3 2$ 3 $ P ( karena & = $ P = 12 3 02$ = x 3 0 (h
( karena 2$ = $ P , mengapa 8
5adi 2(x, y karena pen9eminan terhadap garis x = h, bayangannya P ( 0h % x, y b. 2en9erminan terhadap garis y = k
1oba tunjukkan bah'a titik 2(x,y karena pen9erminan terhadap garis y = k bayangannya adalah P (x, 0k < y 4 1ontoh . iketahui titik &(%,7 dan $(0,>. Tentukan koordinat bayangan oleh pen9erminan terhadap garis : a. x = > b. y = B 5a'ab : a. A = 6x=> (& = 6 x=> (%, 7 = (0.> < (%, 7 = ( , 7 B = 6x=> ($ = 6x=> (0,>= ( 0.>%0, > = (E, > b. Silahkan dikerjakan untuk latihan4
1ontoh .7 iketahui persamaan garis 0y < x = 7. Tentukan persamaan bayangan oleh pen9erminan terhadap garis : a. x = > b. y = % 5a'ab : a. 6x=>(x, y = ( x , y dimana : x = 0.> < x = < x
⇔
x = < x y = y
y = y Substitusi ke persamaan garis 0y < x = 7, didapat :
Geometri Transformasi
0 ( y % ( < x = 7 0 y < 3 x = 7
0 y 3 x = 7 5adi persamaan bayangannya adalah 0y 3 x = 7 b. 6y=%(x, y = ( x , y ⇔ x = x dimana : x = x y = 0.(% < y y = %B < y Substitusi ke persamaan garis 0y < x = 7 didapat : y 0(%B < < x = 7 %0 < 0 y < x = 7 y 0 3 x = %B
5adi persamaan bayangannya adalah 0y 3 x = % B
)ati"an 3
1. Tentukan bayangan titik &(7, dan $(%0, > oleh pen9erminan terhadap : a. Sumbu @ b. Sumbu A 2. Tentukan bayangan titik &(0, % dan $(>, %0 oleh pen9erminan terhadap : a. Haris y = x b. Haris y = %x 3. Tentukan bayangan titik &(, 7 dan $(%0, oleh pen9erminan terhadap : a. Haris x = %B b. Haris y = E 4. iketahi titik P (%0, , Q (B, 0 dan R (7, B. 5ika P Q R adalah bayangan segitiga 2D" oleh pen9erminan terhadap garis x = , tentukan koordinat segitiga 2D". 5. Iayang%layang &$1 → A B C D oleh pen9erminan terhadap garis y = x. 5ika &(, , $(B, , 1(;, dan (B, %. a. Tentukan koordinat titik A , B , C , dan D . b. Tentukan luas layang%layang &$1 dan layang%layang A B C D
6. iketahui persamaan garis 0x 3 y < > = . Tentukan persamaan bayangan jika : a. di9erminkan terhadap garis y = x
Geometri Transformasi
7
b. di9erminkan terhadap sumbu A c. Haris x = %> d. Haris y = 7 7. iketahui persamaan parJbola y = 0x 0 < E. Tentukan persamaan bayangan jika : a. di9erminkan terhadap garis y = % x b. di9erminkan terhadap sumbu @ c. Haris x = d. Haris y = %0
BAB I9 ROTASI *P+RP:TARAN-
A. Pengertian Definisi 4.1
R Suatu perputaran terhadap titik 2 dengan sudut θ , dilambangkan dengan P ,θ adalah suatu pemetaan yang memenuhi, untuk sebarang & di bidang R P ,θ
= A , dengan
A, untuk A = P PA
= PA
dan m(< APA , untuk A ≠ P &F
2
&
Selanjutnya 2 disebut pusat rotasi dan θ disebut sudut rotasi θ K jika arah putar berla'anan dengan arah jarum jam.
B. Rotasi #engan Psat O*(;(-
Geometri Transformasi
>
2erhatikan gambar berikut. A
(,
y
2(x,y
G
x
@
"otasi dengan titik pusat G(,, dengan rotasi sebesar θ ( o L θ L Bo dan arah perputaran berla'anan dengan arah jarum jam, titik 2(x, y dipetakan ke P ( x , y 6isal : L @G2 = α dan L 2G P = θ maka L @G P = α 3 θ G2 = G P = r 6aka x = r 9os α y = r sin α MMMM
x = r 9os ( α 3 θ y = r sin ( α 3 θ
⇔
x = r(9os α 9os θ % sin α sin θ y = r(sin α 9o s θ 3 9os α sin θ
⇔
x = r 9os α 9os θ % r sin α sin θ y = r sin α 9o s θ 3 r 9os α sin θ
⇔
x = x 9os θ % y sin θ y = y 9os θ 3 x sin θ
⇔
x = x 9os θ % y sin θ y = x sin θ 3 y 9os θ
x x 9os θ − y sin θ = x sin θ + y 9os θ y ⇔
Geometri Transformasi
B
x 9os θ − sin θ x = sin θ 9osθ y y ⇔ 9osθ − sin θ θ θ sin 9os
dinamakan matriks yang bersesuaian dengan rotasi pusat G(, R sebesar θ dan dinyatakan dengan O ,θ
9os C: o − sin C: : − o o sin C: 9os C: = 6isal : " G, Co = = − 0 0 o o 9os =: − sin =: = o o sin =: 9os =: 0 o 0 " G, = = C. Menent/an Ba0angan sat Titi/ o!e" Rotasi #engan Psat O*(; (1ontoh 7. Tentukan bayangan dari titik & (0 ,7 dan $(%, sebesar C
oleh rotasi dengan pusat G(,
5a'ab : RO ,C:o
9os C: o − sin C: : − o o sin C: 9os C: = = &
maka :
$
− 7 − = x − 0 − − 0 y = 7 = = A
B
5adi koordinat bayangan adalah A (% 7, 0 dan B (% , %
D. Menent/an Ba0angan sat ra o!e" Rotasi #engan Psat O*(; (1ontoh 7.0 iketahui persamaan garis 0x < y = 7. Tentukan persamaan garis bayangan oleh rotasi dengan pusat G(, sebesar 7>o 5a'ab :
Geometri Transformasi
;
9os 7>o − sin 7> : 0 o o RO, 7> sin 7> 9os 7> 0 = = 0 − 0 0 0 x x y 0 0 0 0 y =
0 0
o
x y =
0.
0
0 − (−
0
0
0 .
0
0
−
0
0
0
. 0 − 0
0
0
.
0. .
0 0
x 0 y 0
(-ngat &@ = $ maka @ = &% $
x y =
0
+
0
0 − 0
x y =
x= 0 y=
0 − 0
−
0 x+
0 x +
0
0
0 x +
0
0 x+
0
0 x+
0 x+
0
0 y
0 y
0 y
0 y
0
0 y
0 y
0
Substitusi ke persamaan garis 0x < y = 7, didapat : − 0 x+ 0 y 0 x + 0 y ⇔0(0 0 0 <( 0 =7 ⇔ 0 x 3 0 y 3 0 0 x < 0 0 y = 7 = ⇔ 0 0 x 3 0 0 y = 7
⇔
0 x 3
0 y = E
5adi persamaan garis bayangan adalah : 0 x 3
0 y = E atau x 3 0y = 7 0
E. Rotasi #engan Psat P*a;b6isalkan kita mempunyai suatu sistem koordinat tegak lurus yang berpangkal di 2(a,b dengan sumbu X dan yang berturut%turut sejajar dengan sumbu @ dan sumbu A.
Geometri Transformasi
E
Nubungan antar dua sumbu koordinat ini adalah, jika suatu titik 1 mempunyai R koordinat 1( x , y dan C = P ,θ (1 mempunyai koordinat C ( x , y , maka dengan rumus rotasi terhadap pusat koordinat diperoleh :
x 9os θ − sin θ x y = sin θ 9osθ y +emudian jika terhadap sistem koordinat @GA titik 1 mempunyai koordinat (x, y dan C mempunyai koordinat ( x , y , maka terdapat hubungan sebagai berikut. 2erhatikan gambar di ba'ah. (, (F,F A
y
1(,
b
2
a
x x a x − a − b = y − b = y y dan
x
@
x x a x − a = − = y − b y y b
Sehingga diperoleh rumus rotasi terhadap 2(a, b adalah : x−a 9os θ − sin θ x − a ( x − a 9os θ − ( y − b sin θ
= sin θ − y b
9os θ
y − b ( x − a sin θ + ( y − b 9os θ =
&tau dapat diubah menjadi :
x ( x − a 9os θ − ( y − b sin θ a 9osθ − sin θ x " + b = sin θ 9osθ y + ! = ( x − a sin θ + ( y − b 9osθ y dengan p = % a 9os θ 3 b sin θ 3 a O = %a sin θ % b 9os θ 3 b
1ontoh 7.
Geometri Transformasi
C
Tentukan bayangan dari titik & (0 ,7 dan $(%, 0 oleh rotasi dengan pusat (0, sebesar C 5a'ab : (1) *ntuk titik &(0, 7
9os C: o − sin C: : − o o RO ,C: sin C: 9os C: = = x 9osθ − sin θ x " y + ! = sin θ 9osθ y o
p = %a 9os θ 3 b sin θ 3 a = %0 9os C 3 sin C 3 0 = 3 3 0 = > O = %a sin θ % b 9os θ 3 b = %0 sin C < 9os C 3 = %0 < 3 = sehingga : x : − 0 > − 7 > −
= y
:
7 + = = 0 3 =
5adi koordinat bayangan titik & adalah A (%
(2) *ntuk titik $(%, 0 1oba kerjakan sebagai latihan4
1ontoh 7.7 iketahui persamaan garis 0x < y = 7. Tentukan persamaan garis bayangan oleh rotasi dengan pusat (, 0 sebesar Eo 5a'ab :
9osE: o − sin E: : − : o o RO ,E: sin E: 9osE: : − = = x 9osθ − sin θ x " y + ! = sin θ 9osθ y o
p = %a 9os θ 3 b sin θ 3 a = % 9os E 3 0 sin E 3 = 3 3 = 0 O = %a sin θ % b 9os θ 3 b = % sin E < 0 9os E 3 0 = 3 0 3 0 = 7 sehingga : x −
: x 0 − x 0 − x + 0 = y + 7 − y : − y − + 7 y 7 = 3 = ⇔ x = % x 3 0 ⇔ x = 0 % x
y = < y 3 7 y y=7% Substitusi ke persamaan garis 0x < y = 7, didapat : ⇔ 0 (0 % x < (7 % y = 7
⇔ 7 % 0 x % 7 3 y = 7 ⇔ % 0 x 3 y = 7
Geometri Transformasi
0
5adi persamaan garis bayangan adalah % 0x 3 y = 7
)ati"an 4
1. iketahui titik &(, , $( 0 , 0 dan 1(%0, 0 0 . Tentukan koordinat bayangan oleh rotasi dengan pusat G(, sebesar : b. C 9. > d. %C a. 7> 2. iketahui segitiga &$1 dengan &(,0, $(% , % dan 1( , %. Tentukan 0 π C = koordinat A , B , dan oleh rotasi terhadap G(, sebesar . 3. iketahui persamaan garis y = 0x < B. Tentukan persamaan bayangan oleh rotasi dengan pusat G(, sebesar : a. B b. C 9. > d. % C , = RO ,θ 0 0 7. iketahui suatu rotasi yang memetakan titik &(, ke A ( . Tentukan θ 5. iketahui segitiga 2D" dengan 2(, %, D(7, dan "(%, 0. Tentukan koordinat bayangan segitiga 2D" oleh rotasi dengan pusat 2(>, sebesar E . 6. iketahui titik &(, , $( 0 , 0 dan 1(%0, 0 0 . Tentukan koordinat bayangan oleh "otasi dengan pusat 2(%, 0 sebesar : b. C 9. > d. %C a. 7> 7. iketahui persamaan garis y = 0x < B. Tentukan persamaan bayangan oleh rotasi dengan pusat 2(0, sebesar : a. B b. C 9. > d. % C
BAB 9 DI)ATASI *P+RA)IAN-
A. Pengertian Definisi 5.1
6isal 2 suatu titik tertentu dan k 2 dengan faktor skala k, jika: D a. P ,k (2 = 2
Geometri Transformasi
≠ . Transformasi D P ,k disebut suatu dilatasi terhadap
0
≠ 2, D P ,k (D = Q dengan
b. *ntuk sebarang titik D
PQ
=k
PQ
Q dan pada 2D
untuk k K kemudian Q pada 2!D untuk k L . 2!D adalah sinar garis yang berla'anan arah dengan arah 2D atau sinar dari 2 menjauhi D. $ilangan k disebut faktor dilatasi dan 2 disebut titik pusat dilatasi.
B. Di!atasi #engan Psat P*a; b2erhatikan gambar berikut. A
$ (, &(x,y 2(a,b
@
Hambar di atas menunjukkan dilatasi dengan pusat 2(a,b dan faktor skala tertentu (k. ilatasi dengan titik pusat 2(a,b dan faktor skala k ditulis dengan k ≠
D P ,k
atau P2(a,b, kQ,
2ersamaan dilatasi dapat ditulis dalam bentuk /ektor, sebagai berikut : *ntuk titik &(x, y didilatasi dengan pusat 2(a, b dengan faktor skala k didapat :
2 A = k 2&
x−a x − a y − b − y b = k atau
x x − a a y − b b y = k 3
atatan :
5ika 2usat dilatasi G(, maka
Geometri Transformasi
x x kx ky y y = k = x k x k y y =
atau
00
k
k dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi pusat G(, dengan faktor skala k
C. Menent/an Ba0angan Titi/ #an ra o!e" sat Di!atasi 1ontoh >. Tentukan koordinat bayangan titik &(%, 7 dan $(0, oleh dilatas i dengan faktor skala 0 dan titik pusat dilatasi : a. G(, b. 2(, 0 5a'ab :
a. *ntuk &( %,7 A ( x , y = D[O , 0 ] ( −=,7
x x y = k y x − = − B E y 7 ⇔ = 0 = 5adi bayangan titik &(%,7 adalah A (%B, E
2) *ntuk $ (0,, dikerjakan untuk latihan4 b. *ntuk &(%, 7 A ( x , y = D [ (, 0 , 0 ] (−=,7
x x − a y − b y = k 3
a x − = − y 0 − b 7 0 ⇔ = 0 3 x − E ⇔ y = 7 3 0 x − ; B y ⇔ =
5adi bayangan titi &(%,7 adalah A (%;,B
0 *ntuk $ (0,, dikerjakan untuk latihan4 1ontoh >. 0 iketahui persamaan garis x < 0y = B. Tentukan persamaan bayangan oleh dilatasi dengan faktor skala 0 dengan pusat dilatasi : a. 2 (, b. 2 (0,
Geometri Transformasi
0
5a'ab : a. iketahui 2 (, , k = 0 x , y = D[O , 0 ] ( x, y ( x x
y = k y x x ⇔ y = 0 y x 0 x 0 y y ⇔ = ⇔ x = 0x y = 0y
⇔
x = 0 x y = 0 y
Substitusi ke persamaan garis x < 0y = B, didapat : 0 x %0. 0 y = B
x % 0 y = 0 5adi persamaan bayangan adalah x < 0y = 0
b. iketahui 2(0,, k = 0 x , y = D[ ( 0,=, 0 ] ( x, y ( x x − a a
y − b b y = k 3 x x − 0 0 y − = y ⇔ = 0 3 x 0 x − 7 0 0 y − B y ⇔ = 3 x 0 x − 0 0 y − y ⇔ = ⇔
x = 0x % 0
Geometri Transformasi
07
y = 0y %
⇔
x = 0 x 3 = y = 0 y 3 0
Substitusi ke persamaan garis x < 0y = B, didapat :
=
( 0 x 3 < 0( 0 y 3 0 = B x 3 0 % 0 y < B = 0
x % 0 y = B 5adi persamaan bayangan adalah x < 0y = B
)ati"an 5
1. Tentukan bayangan titik &(B, %0 jika didilatasikan oleh: d. P(,0, 0Q a. PG,0Q b. PG, % 0 Q
e. P(0,, %Q
c. PG, %Q
f. P(7,E, 0 Q
2. iketahui titik &(>,7 dan titik 2(,0. Tentukan nilai k pada dilatasi P2, kQ, jika bayangan yang terjadi adalah : a. A (, E b. A (, 9. A (%;, %0 3. iketahui persamaan garis y 3 0x < > = . Tentukan persamaan bayangan jika : a. didilatasikan oleh PG, 0Q b. didilatasikan oleh P(,0, %Q 4. iketahui persamaan parabola y = x0 < 7. Tentukan persamaan bayangan jika : a. didilatasikan oleh PG, % 0Q b. didilatasikan oleh P(0, , %Q 5. iketahui segitiga &$1 dengan titik sudut &(0,, $(7, dan 1(0,. Gleh karena dilatasi yang pusatnya G(, dengan fa9tor skala , segitiga &$1 ditransformasikan ke segitiga A B C . a. 1arilah koordinat A , B dan C b. 1arilah luas segitiga &$1 dan luas segitiga A B C 9. Tunjukkan hubungan antara luas segitiga &$1 , fa9tor skala dan luas segitiga A B C d. *ntuk memperjelas, ulangi untuk faktor skala 0.
Geometri Transformasi
0>
BAB 9I OMPOSISI TRANSFORMASI
A. Pengertian Seperti pada komposisi fungsi, komposisi dua fungsi f dan g terhadap x dapat dinyatakan dengan (fog(x yang artinya dioperasikan dulu fungsi g dilanjutkan dengan fungsi f, demikian pula untuk komposisi tr ansformasi. Transfromasi T dilanjutkan dengan transformasi T0 terhadap suatu titik & dapat ditulis (T0 o T(& = T0(T(&. Sebaliknya T o T0 berarti dikerjakan dulu T 0 kemudian dilanjutkan dengan T .
B. omosisi Da Trans!asi Berrtan 1ontoh B.
> − 0 7 iketahui titik &(, dan translasi T = , T0 = Tentukan : a. T0 o T terhadap & b. T o T0 terhadap & 5a'ab : a. (T0 o T ( & = T 0 (T( & A = T( & = T (, = ( 3 >, 3 0 = (E, A = T0 (T( &= T0( A = T0 (E, = (E 3 (%, 3 7 = (;,;
b. (T o T0 (& = T (T0 (& A = T0 ( & = T 0 (, = ( 3 (%, 3 7 = (0,> A = T (T0 (&= T ( A = T(0,> = (0 3 >, > 3 0 = (;,; Ternyata dari hasil di atas, T0 o T = T o T0, berarti komposisi dua translasi berurutan bersifat komutatif Transformasi tngga! 0ang e/ia!en #engan #a trans!asi berrtan
ari 9ontoh di atas ternyata A (;, ;.
bah'a
> − 7 7 B 0 3 = atau
(T0 o T (&(, = (T o T0(&(, yaitu
− > 0 7 3
7 B =
T 3 T0 = T0 3 T = 6aka A =(T0 o T( &= (T0 o T (, = ( 3 7, 3 B = (;, ;
Geometri Transformasi
0B
5adi operasi tunggal yang eki/alen dengan T0 o T atau T0 3 T atau T 3 T0 C. omosisi Da Ref!e/si Berrtan
T o T0 adalah operasi
1. omosisi #a ref!e/si berrtan ter"a#a smb7smb se8a8ar A
x=m
x=n
2(x,y y
@
x
2erhatikan gambar di atas.
•
$ayangan titik 2(x, y jika di9erminkan terhadap garis x = m adalah P ( x , y dimana : x = 0m < x dan y = y, 5adi P ( 0m < x, y
•
Selanjutnya bayangan titik P ( x , y di9erminkan terhadap garis x = n adalah P ( x , y dimana : x = 0n < x = 0n < (0m < x = 0n < 0m 3 x = 0( n < m 3 x y = y = y
5adi P (0(n < m 3 x, y
• •
ari gambar didapat bah'a jarak antara titik 2 dengan P adalah 0(n < m. 6engapa 8 1oba buktikan 4 Tunjukkan bah'a jika titik 2(x, y direfleksikan terhadap garis y = h
dilanjutkan refleksi terhadap y = k bayangannya adalah P (x, 0(k
Geometri Transformasi
0;
a. (60 o 6 (& = 60 ( 6 (& A = 6 (& = 6(, = (0..7 < , = ( >, A =60 (6 (& =6( A = 6 (>, = (0.; < >, = (C, 2enyelesaian di atas dapat dikerjakan sebagai berikut :
0(; − 7 B : = 60 o 6 eki/alen dengan translasi Sehingga A = (60 o 6 (& = (60 o 6(, ( 3 B, 3 = (C,
b. ikerjakan untuk latihan4 1ontoh B. iketahui 6 adalah pen9erminan terhadap garis y = dan 60 adalah pen9erminan terhadap garis y = %0. Tentukan bayangan titik &(0,> oleh : a. 60 o 6 b. 6 o 60 5a'ab : a. (60 o 6 (& = 60 ( 6 (& A = 6 (& = 6(0,> = (0, 0.%> = (0, A = 60 ( 6 (& = 60( A = 60(0, = (0, 0.(%0 % = (0, %> 2enyelesaian di atas dapat dikerjakan sebagai berikut :
: : − : 0 ( 0 = − − =
60 o 6 eki/alen dengan translasi Sehingga A = (60 o 6 (& = (60 o 6 (0,> = (0 3 , > 3 (% = (0, %> b. ikerjakan untuk latihan4
2. omosisi #a ref!e/si berrtan ter"a#a #a smb 0ang sa!ing tega/ !rs a. Per"ati/an gambar beri/t<
A
(,
%x
(, Geometri Transformasi
y
&(x,y
G
x
@
%y 0E
6isal
@ = refleksi terhadap sumbu @ A = refleksi terhadap sumbu A
" G,Eo = rotasi dengan pusat G(, sebesar Eo, dengan arah berla'anan dengan arah putar jarum jam 2erhatikan gambar di atas.
(1) (@ o A (& = @(A(& A = A(& = A(x,y = ( x , y = ( % x, y
A = @(A(&= @( A = @(%x, y = ( x , y = (%x, %y
RO,E:o A =
− : − : =
RO ,E:o
R o (& = O ,E: (x,y = ( x , y xR − : x − x
y − y : − y R = imana : = 5adi A (%x, %y
Sehingga : @ o A =
RO ,E:o
(2) 1oba kerjakan untuk : (A o @ (&4 &pa yang dapat kamu simpulkan dari hasil pekerjaan kamu8
b. Per"ati/an gambar beri/t.
y=x
x
y=x
y
&(x,y
%x
G
(,
%y
Geometri Transformasi
y
x
@
0C
2erhatikan gambar. 6isal : 6 = refleksi tehadap garis y = x 60 = refleksi terhadap garis y = %x RO,E:o = rotasi dengan pusat G(, sebesar Eo, dengan arah berla'anan dengan arah putar jarum jam A ( x , y = (6 o 6 &(x,y = (%x, %y 0
R A ( x , y = ( O,E:o &(x,y = (%x, %y
5adi 60 o 6 =
RO,E:o
0 A ( x , y = (6 o 60 &(x,y = (%x, %y
R A ( x , y = ( O,E:o &(x,y = (%x, %y
5adi 6 o 60 =
RO ,E:o
Sehingga : "efleksi terhadap dua sumbu yang berpotongan tegak lurus 6 = refleksi terhadap sumbu 60 = refleksi terhadap sumbu -2 = titik potong sumbu - dan sumbu -6aka
60 o 6 = 6 o 60 =
RO ,E:o
dengan pusat titik 2
3. omosisi #a ref!e/si berrtan ter"a#a berotongan
#a smb 0ang sa!ing
A (, 60 (, 6 y Geometri Transformasi
G
2(x,y
x
@
2ada gambar di atas dua sumbu 6 dan 60 saling berpotongan di titik G(, dan membentuk sudut α . 6 = refleksi terhadap sumbu G6 60 = refleksi terhadap sumbu G60 P ( x , y adalah bayangan titik 2(x,y oleh refleksi terhadap 6 dan P ( x , y adalah bayangan titik P ( x , y oleh refleksi terhadap 6 . 0
Transformasi tunggal yang ekivalen dengan dua refleksi berurutan terhadap dua
sumbu yang saling berpotongan.
y x P $ayangan titik 2(x,y oleh refleksi 6 dilanjutkan refleksi 6 0 adalah ( , atau P = (6 o 6 (2 = ( x , y 0
2erhatikan gambar. 6isal : ∠ 6G60 = α , ∠ 2G6 = α , ∠ P G 60 = α 0 , sehingga α = α 3 α 0 RO,θ = "otasi dari 2 ke P sebesar θ ( θ = sudut 2G P θ = sudut 2G P
θ = sudut 2G P 3 sudut P G P θ = 0 α 3 0 α 0 (6engapa 8 θ = 0( α 3 α 0 θ = 0 α R $erarti : 60 o 6 eki/alen dengan O , 0α dengan pusat G(, engan : G(, titik potong dua sumbu G6 dan G60, α = sudut antara 6 dan 60, dengan arah putar dari 6 ke 60 1atatan : R Dengan ara 0ang sama berarti M 1 o M2 e/ia!en #engan O, −0α 1ontoh B.7 Tentukan bayangan titik berikut jika di9erminkan terhadap garis y = x kemudian dilanjutkan terhadap sumbu A. a. &(7, b. $(0, % 9. 1(>, o 5a'ab:
Geometri Transformasi
Haris y = x dan sumbu A berpotongan di titik G(, dan membentuk sudut 7> o. 1oba tunjukkan 4 6isal : 6 = pen9erminan terhadap garis y = x 60 = pen9erminan terhadap sumbu A Sudut (6 , 60 = 7>o R R o o 60 o 6 = O , 0.7> = O ,C:
9os C:o − sin C:o − o o sin C: 9os C: = = a. A =
RO,C:o
x y
(&
− 7 − 7 = =
5adi A (%, 7
b. ikerjakan untuk latihan R o R o 9. C = O ,C: (1 = O ,C: (>, o = (>, 0o 1ontoh B.> Tentukan bayangan titik berikut jika di9erminkan terhadap garis y = x kemudian dilanjutkan terhadap sumbu @. a. &(7, b. $(0, % 9. 1(>, o 5a'ab: Haris y = x dan sumbu @ berpotongan di titik G(, dan membentuk sudut (% 7> o 1oba tunjukkan 4 6isal : 6 = pen9erminan terhadap garis y = x 60 = pen9erminan terhadap sumbu @ Sudut (6 , 60 = (%7>o . RO ,−C:
− =
60 o 6 = R a. A = O, −C: (&
x y
. − =
7
= − 7
5adi A (, %7 b. ikerjakan untuk latihan 9. ikerjakan untuk latihan
D. omosisi Da Rotasi Berrtan 0ang Sesat 1ontoh B.B o Bo Titik 2(>, (>, dirotasikan dengan titik pusat G(, sebesar o, kemudian hasilnya A dirotasikan lagi sebesar 0o. Tentukan letak bayangan terakhir . 5a'ab : (>, 7o 2erhatikan gambar berikut. 0o
2 (>, o 0
Geometri Transformasi
G
@
P = " G,.o (2 = " G,.o (>, o = (>, o 3 o = (>, 7 o P = " G,0o ( P =" G,0o (>, 7o = (>, 7 o 3 0o = (>, B o 1ontoh B.; 5ika " = rotasi pusat G(, sebesar 0> , " 0 = rotasi pusat G(, sebesar > Tentukan : a. (" o " 0 & (B, 0 b. ("0 o " &(B, 0 5a'ab : a. (" o " 0 & (B, 0 = " P" 0 (&(B,0 Q = " P A (B, 0 3 >Q
= " P A (B, >>Q = A (B, >> 3 0>
= A (B, E
b. (" 0 o " & (B, 0 = " 0 P" (&(B,0 Q = " 0 P A (B, 0 30>Q
= " 0 P A (B, 7>Q = A (B, 7> 3 >
= A (B, E Transformasi tunggal yang eki/alen dengan dua rotasi yang berurutan . Jika R P,α = rotasi pusat P sebesar α dan R P, β = rotasi pusat P sebesar β maka R P, α o R P, β = R P, ( α + β )
)ati"an $
1. iketahui segitiga &$1 dengan &(,, $(, dan 1(0,7.
Geometri Transformasi
a. Tentukan bayangan segitiga &$1 0
0 karena translasi T= dilanjutkan dengan
− = T0 =
translasi b. Tentukan pula bayangan segitiga &$1 karena translasi T 0 dilanjutkan dengan T. c. +esimpulan apakah dari hasil di atas 8
2. Tentukan bayangan titik 2(7, %> oleh pen9erminan berturut%turut terhadap : a. x = 0 dilanjutkan dengan x = > b. x = 0 dilanjutkan dengan x = % c. y = 0 dilanjutkan dengan y = 7 d. y = %7 dilanjutkan dengan y = %E e. x = dilanjutkan dengan y = f. x = %0 dilanjutkan dengan y = B . T adalah pen9erminan terhadap sumbu @ dan T0 adalah terhadap sumbu A. a. Transformasi tunggal apakah yang eki/alen dengan T0 o T8 Tulislah matriksnya . b. &pakah peta dari &(a,b karena transformasi di atas8 c. Tulislah matriks 6 dan 60 yang berkaitan dengan T dan T04 d. 2eriksalah benar tidaknya 60 x 6 merupakan matriks yang berkaitan dengan T0 oT dan 6 x 60 dengan T o T04 (Petn8/ : tentukan bayangan titik &(a,b oleh transformasi T dilanjutkan T0, kemudian bandingkan hasilnya dengan menentukan bayangan titik &(a,b oleh transformasi matriks 60 x 6 7. iketahui titik &(0, 7 dan $ (, 0 direfleksikan terhadap:
. Tentukan bayangan titik & dan $ jika
a. Sumbu @ dilanjutkan dengan garis y = x = b. Haris y = = x dilanjutkan dengan sumbu A = = 9. Haris y = x dilanjutkan dengan garis y = x d. Sumbu A dilanjutkan dengan garis y =
x
e. Haris y = %0x dilanjutkan garis y = 0 x f. Haris y < x = dilajutkan garis y 3 x = >. iketahui titik &(B, %E. Tentukan bayangan titik & oleh rotasi yang dinyatakan dengan : a. " G,o o " G,>o b. " G,;>o o " G,(% B. iketahui titik 2(0, % dan D(,. Tentukan bayangan titik 2 dan D jika dirotasi sebesar E dengan pusat :
Geometri Transformasi
7
a. &( ,7
b. $(%, >
E. Menent/an Matri/s Transformasi #ari omosisi Transformasi *ntuk menentukan matriks transformasi dari komposisi transformasi, kerjakan soal% soal berikut. )ati"an %
1. iketahui &(0,, T adalah transformasi yang matriksnya 6 = :
= 60 =
−
dan
. T0 adalah transformasi yang matriksnya a. Tentukan bayangan titik & dengan transformasi T o T0. b. Tentukan matriks 6 x 60 c. Tentukan bayangan titik & oleh transformasi matriks 6 x 60 d. &pa yang kamu dapat simpulkan dari hasil a dan 9 4 2. *langi seperti soal nomor , untuk T 0 o T 4 a b
3. 6isal : 6
c = " r =
d adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T !
s adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T 0 60 Tentukan matriks yang bersesuaian dengan transformasi : a. T0 o T b. T o T0
4. T adalah transformasi yang menyatakan dilatasi yang pusatnya G(, dengan fa9tor skala k dilanjutkan dengan pen9erminan terhadap sumbu A. 1arilah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T
F.
Menent/an Ba0angan Titi/; ra ata Bangn o!e" Transformasi
omosisi Da
1ontoh B.E
0 Tentukan persamaan bayangan garis 0x 3 y < = karena translasi T = kemudian − 7 > dilanjutkan dengan T0 = . 5a'ab :
0 − 7 − 0 > E T 3 T0 = 3 = x x − 0 y E y 6aka = 3
Geometri Transformasi
>
⇔
x = x % 0 y = y 3 E
⇔
x = x 3 0 y = y % E
Substitusi ke persamaan garis 0x 3 y < = , didapat : 0( x 3 0 3 ( y % E < = y x 0 3 7 3 % E < = 0 x 3 y % ; =
5adi persamaan garis bayangan adalah 0x 3 y < ; = 1ontoh B.C Tentukan persaman bayangan garis 0x 3 y < = karena refleksi terhadap garis y = %x dilanjutkan dengan rotasi dengan pusat G(, sebesar 0 π
5a'ab : 6isal T = refleksi terhadap garis y = %x maka
: − : − 6 =
T0 = rotasi dengan pusat G(, sebesar 0 π maka x
y (T0 o T(x,y = 60 x 6 − : − − : = 60 x 6 = x x − y y = x x y = − y
− 60 =
−
x = x y = %y x = x y = % y
Substitusi ke persamaan garis 0x 3 y < = didapat : 0 x 3 (% y < = 0 x < y < =
Geometri Transformasi
B
5adi persamaan garis bayangan adalah 0x % y < =
)ati"an &
1. Tentukan persamaan bayangan garis y = 7x % karena translasi T 0
− = =
B . kemudian dilanjutkan dengan T 0 =
2. Tentukan persamaan bayangan garis y = 0x 3 karena translasi dilanjutkan dengan pen9erminan terhadap garis y = x
0 kemudian
3. Tentukan persamaan bayangan garis 0x < y 3 = karena refleksi terhadap sumbu 0
=
7 . @ kemudian dilanjutkan dengan transformasi matriks 4. Tentukan persamaan bayangan garis x < 0y 3 7 = karena dirotasi dengan pusat G(, sebesar 0 π kemudian dilanjutkan refleksi dengan garis Sumbu A
5. Tentukan bayangan kur/a y = x 3 jika ditransformasikan oleh matriks kemudian dilanjutkan oleh pen9erminan terhadap sumbu @.
:
0
,
6. Tentukan persamaan bayangan kur/a y = x 0 < oleh refleksi terhadap garis y = %x dilanjutkan dilatasi dengan pusat G (, faktor skala 0. 7. Tentukan persamaan bayangan garis y = %Bx 3 karena transformasi oleh matriks 0 : 0
− − − 0 0 kemudian dilanjutkan dengan matriks .
8. T adalah putaran dengan pusat G (, dan sudut putar 0; o dan dilanjutkan dengan pen9erminan terhadap sumbu A. 1arilah bayangan segitiga &$1 oleh transformasi T, dimana & (,, $(, dan 1(B, 9. Titik A (, 7 dan B (, B merupakan bayangan titik &(0, dan $(%7, oleh
T
transformasi
a = :
b
yang diteruskan
T 0
: = −
. $ila koordinat peta titik 1
oleh transformasi T 0 oT adalah C (%>, %B, tentukan koordinat titik 1.
10. iketahui transformasi%transformasi berikut. " (G,Co = rotasi dengan pusat G(, dan sudut putar Co PG,Q = dilatasi dengan pusat G (, dan faktor skala
Geometri Transformasi
;