Ecuaciones simultaneas:
La existencia de diferentes relaciones de causa efecto entre las variables variables estimadas no solamente solamente se dan en un sentido, como es el supuesto en los modelos uniecuacionales, sino que la misma puede estar en ambos sentidos e incluso de forma simultaneas; por tanto en tales modelos hay más de una ecuación n: una para cada variable mutuamente o conjuntamente dependientes o endógenas; por tanto en estos modelos no es posible estimar los parámetros de una ecuación aisladamente o sin tener en cuenta la información proporcionada por las demás ecuaciones del sistema. Por tanto el método de estimación de dichas ecuaciones cambian, ¿Qué sucede si se emplean los MCO?, recuérdese que el supuesto clave bajo el que se sustenta la estimación de este tipo es que las variables explicativas son no estocásticas y están distribuidas independientemente del termino de perturbación estocástico, si ninguna de estas condiciones se cumple los estimadores por MCO serán sesgados e inconsistentes, esto se puede observar en el siguiente modelo:
Como se puede apreciar no existen variables exógenas en el modelo, por ejemplo en la ecuación 1 la variable explicativa es la variable explicada de la ecuación, esto implica que la variable Yt está esta correlacionada con el error de la ecuación 2, lo que viola uno de los supuestos mencionados con anterioridad; por otro lado la ecuación 2 tiene como variable explicativa a Yt, por tanto Zt esta correlacionada con el error u2, por lo que igualmente viola el mismo supuesto, cualquier estimación de estas ecuaciones sin considerar esto llevara a estimaciones sesgadas e inconsistentes. Los problemas que causan los modelos multiecuacionales surgen por dos razones:
Incorrecta especificación del modelo: Dado que la estimación de una de las ecuaciones depende de la información que pueda proporcionar las otras ecuaciones del modelo, una incorrecta especificación de la misma puede llevara a estimaciones inadecuadas, a esto se debe de considerar la mala medición de las variables Variables omitidas, es decir la no consideración del resto de variables que afectan a la ecuación estimada.
Ambos problemas han llevada a la necesidad de crear otras variables, las variables instrumentales, estas variables se emplean para resolver el problema de endogeneidad del modelo, por tanto debe de cumplir con dos características: exogeneidad del instrumento, en el contexto de las variables omitidas, la exogeneidad del instrumento significa que z no debe tener ningún efecto parcial sobre y (después de que x y las variables omitidas se han controlado), y z no debe estar correlacionada con las variables omitidas, es decir con el error estocástico; por otro lado la relevancia de la variables es decir que esta debe de estar altamente correlacionada con la variable explicativa que esta reemplazando en el análisis.
Por otro lado se encuentran las variables proxys es la solución a los errores de mala medición o para las variables que que difícilmente se pueden observar y medir medir en la realidad realidad además de la omisión de una variable explicativa , por tanto esta debe de estar altamente correlacionada con el error y con la variable que está reemplazando. No siempre es posible recoger datos sobre la variable que afecta realmente el comportamiento económico, cuando se usa una medida imprecisa de una variable económica en un modelo de regresión, regresión, entonces el modelo contiene contiene errores de medida. En el caso de las variables proxies buscamos una variable que esté asociada con la variable inobservada. Normalmente no nos interesa su efecto parcial, sino el de otras variables. En el caso de errores de medida, la variable que no observamos tiene un signi.cado cuantitativo bien de. Nido, pero nuestras medidas pueden contener errores. Además generalmente estamos interesados en el efecto marginal de esta variable. En los sistemas mutiecuaciones las ecuaciones toman dos formas que son:
Ecuaciones estructurales: muestran la estructura de una economía o el comportamiento de un agente económico. Ecuaciones en forma reducida: Es aquella que expresa únicamente una variable endógena en términos de variables predeterminadas o estocásticas (exógenas).
Identificación:
El problema de la identificación hace referencia a la posibilidad o no de calcular los parámetros estructurales de un modelo de ecuaciones ecuaciones simultaneas simultaneas a partir de los parámetros de la forma reducida asociada, los cuales sí se podían estimar mediante MCO. • Diremos que una ecuación está no identificada cuando no tengamos suficiente información para
estimar los parámetros de la forma estructural de la ecuación. • Diremos que una ecuación está sobreidentificada cuando haya más de una combinación posible de
valores estimados para los parámetros de la forma estructural.
• Finalmente, una ecuación estará exactamente identificada cuando sólo sea posible obtener una
única estimación de los parámetros estructurales. • Dado un modelo multiecuacional en forma estructural, diremos que es un sistema exactamente identificado cuando todas sus ecuaciones lo sean. Condición de orden:
Sean: N1 = nº de variables exógenas del sistema no incluidas en una determinada ecuación N2 = nº de variables endógenas de dicha ecuación
Dada una ecuación identificada, • Si N1 = N2 – 1, entonces la ecuación está exactamente identificada. • Si N1 > N2 – 1, entonces la ecuación está sobreidentificada.
Si N1
hecho de que se cumpla N1 ≥ N2 – 1 no implica de por sí que la ecuación esté identificada), en la gran mayoría de los casos proporciona la respuesta correcta al problema de la identificación sin necesidad de recurrir a la condición de rango. Ejemplo: considere el siguiente modelo de determinación de la oferta y demanda de un bien:
Condición de equilibrio: Podríamos decir que ambas ecuaciones están no identificadas, pues no excluyen ninguna variable exógena, e incluyen dos endógenas, Q y P . Por otro lado si se incluyeras más información a la demanda por ejemplo atraves de la inclusión del ingreso se obtendría:
Se puede observar que la ecuación 2 esta identifica pues la misma posee al menos una variable explicativa en el sistema pero que no está en la ecuación dos por tanto esta identificada, sin embargo la ecuación 1 sigue estando no identificada hasta que se agrega información adicional a la ecuación 2 que permita observar su comportamiento. Condición de rango: La aplicación de esta condición requiere obtener la matriz de coeficientes de la forma estructural, denominada (A) y, a partirse ella se calcula una su matriz(A*), de rango inferior, realizada tomando para cada variable cero de una ecuación, los parámetros que tenga esa variable en las demás ecuaciones. Posteriormente se comprueba la condición de rango
Rg (A*)<(m1)
No inidentificable
Rg (A*)=(m1)
Inidentificable
Rg (A*)>(m1)
Sobreindentificable
Siendo m las variables endógenas del modelo Métodos de ecuaciones simultaneas: Métodos de mínimos cuadrados indirectos:
Consiste en estimar por MCO los coeficientes de la forma reducida y luego recuperar los estimadores de los parámetros de la forma estructural vía un sistema de ecuaciones. Sólo es aplicable cuando las ecuaciones del modelo están exactamente identificadas, ya que sólo en éste caso se puede obtener valores únicos para los coeficientes de la forma reducida. Los estimadores de los parámetros así obtenidos heredan todas las propiedades de los estimadores de la forma reducida, asegurándonos así de que sean consistentes (y pueden ser eficientes si las perturbaciones se distribuyen normalmente) pero no gozan de éstas propiedades para muestras pequeñas. Ejemplo: la tabla siguiente refleja los datos de precios en $, cantidades del consumo de gasolina súper en Nicaragua, durante los meses de enero a diciembre del año 2006, de igual forma se incluyen el ingreso de los consumidores como una aproximación del gasto en este bien.
Meses del año
Ingreso
Precio
Consumo
Observación
Ene-06
1
12,676,989.22 0.87
14,599,140.26
F
2
12,138,227.06 0.84
14,530,616.87
M
3
14,347,663.36 0.9
15,999,815.73
A
4
14,463,404.99 1.01
14,330,770.21
M
5
15,198,788.90 1.01
14,992,792.07
J
6
14,521,180.08 1.06
13,731,230.23
J
7
14,955,149.82 1.04
14,369,881.01
A
8
14,765,553.80 1.06
13,868,118.04
S
9
12,233,759.48 0.87
14,081,001.63
O
10
12,793,324.05 0.83
15,498,847.70
N
11
12,363,889.42 0.84
14,709,795.21
D
12
14,547,833.74 0.86
16,830,522.81
El modelo en du forma estructural es 1:
Condición de equilibrio: A partir de esto se deduce matemáticamente que las ecuaciones en forma reducida son:
Por tanto:
Sustituyendo P en la función de demanda u oferta se obtiene que: 1
Realice los cálculos matemáticos correspondientes para llegar a las respuestas planteadas.
Dado que la función de oferta es l única que se encuentra exactamente identificada se procede a encontrar sus parámetros estructurales, para ello despeje de los parámetros de la ecuación estructural:
Se estiman las ecuaciones en su forma reducida: Dependent Variable: P Method: Least Squares Date: 06/07/11 Time: 09:38 Sample: 2006M01 2006M12 Included observations: 12
:
Variable
Coefficie nt Std. Error
t-Statistic
Prob.
C I
0.062444 0.208400 6.33E-08 1.51E-08
0.299636 4.189234
0.7706 0.0019
R-squared 0.637019 Adjusted R-squared 0.600721
Mean dependent var S.D. dependent var
S.E. of regression
0.059589
Akaike info criterion
Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
0.035509 17.91006 1.490317
Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
0.932500 0.094304 2.651677 2.570859 17.54968 0.001860
Dependent Variable: Q Method: Least Squares Date: 06/06/11 Time: 23:56 Sample: 2006M01 2006M12 Included observations: 12 Variable
Coefficie nt Std. Error
t-Statistic
Prob.
C I
1374472 3 3327177. 0.076396 0.241142
4.131047 0.316811
0.0020 0.7579
R-squared
0.009937 Adjusted R-squared 0.089069 S.E. of regression 951361.1 Sum squared resid 9.05E+12 Log likelihood 181.1211 Durbin-Watson stat 1.479123
Mean dependent var
1479521 1
S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion
911628.0 30.52019 30.60100
F-statistic Prob(F-statistic)
0.100369 0.757902
Encontrándose que:
Por tanto:
-794518.39
Si se introduce el comando se encuentra: . reg3( var1 var2 var3)( var2 var1) Equation is not identified -- does not
meet order conditions
Equation var1: var1 var2 var3 Exogenous variables: var3
Dado que solo una de las ecuaciones esta exactamente especificada, por tanto no se pueden calcular mediante este método. Mínimos cuadrados en dos etapas:
El método de mínimos cuadrados en dos etapas (MC2E) permite obtener estimadores consistentes para los parámetros estructurales en el caso de ecuaciones sobreidentificadas o exactamente identificadas. El método MC2E consiste en: • Para cada variable endógena explicativ a de la ecuación, hallar la ecuación de regresión de ésta
sobre todas las variables exógenas del sistema. • Con las ecuaciones de regresión obtenidas, hallar los valores estimados para cada variable
endógena, y realizar la regresión de la variable endógena dependiente sobre las variables explicativas usando dichos valores estimados (en lugar de los valores observados). Ejemplo: Se parte de un modelo de dos ecuaciones simultáneas. Cigs= b0+b1log (salarios)+b2educ+b3edad+b4edad2+b5log (prepag)+b6rest Log (salarios)=α0+α1cigs+α2educ+α3edad+α4edad2
Para la estimación de estas dos ecuaciones se utilizara el método de mínimos cuadrados de dos etapas, el objeto de este método es logar la selección de una variable que actúe como instrumento lo que permita depurar el problemas de simultaneidad entre las dos ecuaciones del sistema, se les llama bietapicos porque consiste en utilizar el proceso de mínimos cuadrados ordinarios 2 veces. El presente método solo se puede emplear en ecuaciones que han sido identificadas y especialmente en aquellas sobreidentificadas, sin embargo esto no limita si uso para ecuaciones exactamente identificadas, siendo los resultados muy parecidos que con el método de mínimos cuadrados indirectos Primera etapa: esta etapa tiene por objeto la búsqueda de esa variable instrumento que permita depurar el problema de simultaneidad en el sistema y la estimación de al menos de unas de las ecuaciones del mismo.
Una vez generada esta variable y obtenidos todos los datos a emplear, se procederá a estimar la variable instrumental que utilizaremos en la ecuación sobre identificada para su estimación, esta variable será obtenida a partir de la siguiente ecuación en forma reducida:
Digesto= п0+п1educ+п2edad+п3edad2+п4log (prepag)+п6rest
Con: Quick-estímate ecuación
Se obtiene a partir de esto la siguiente regresión:
Lo importante que se debe de notar en la regresión es el valor del coeficiente de determinación puesto que apartar del mismo podemos determinar si esta variables será un buen estimador de la verdadera CIGS, de lo que al final dependerá la cercanía entre los estimadores MCO y MC2O, cuanto mas se acerque a uno mayor será la cercanía entre estos resultados, por tanto se podría considerar la no utilización de MC2O puesto que a veces estos son congruentes con MCO, sin embargo siempre será necesaria su aplicación. Se estiman los valores de CIGS: en la ventana de la regresión se selecciona forecast
Segunda etapa: una vez obtenida la variable instrumental a utilizar se sustituye esta variable en la ecuación sobreindetificada del modelo y se procede a estimar mediante MCO, dado que a través de estas variables estimada se ha resuelto los problemas de simultaneidad: Log (salarios)=α0+α1cigsesti+α2educ+α3edad+α4edad2
Se obtiene la siguiente salida:
Como se puede observar el coeficiente de determinación es bajo una conclusión que ya era inferible desde el R2 de la primera etapa. El problema de este método es que los errores obtenidos en la segunda etapa no son los verdaderos errores estándares, por tanto estos deben de ser transformados a través de la siguiente fórmula: Errores estándares corregidos=errores obtenidos *(varianza de segunda etapa/varianza de MCO)
2
Considérese el siguiente modelo: Partimos del archivo modelos_de_ecuaciones_simultaneas.wf1 que contiene datos de la economía española para el periodo 1977-1995 de las variables tipo de interés (R), Oferta Monetaria (M), Producto Nacional Bruto a precios de mercado (Y) e Inversión (Inv). Se trata de estimar el siguiente modelo de dos ecuaciones: Rt = 1M t + 2 Yt + u1t Yt = 1 + 2R t + 3 Invt + u2t
2
Observar calculo en tabla adjunta de Excel: “ejercicios de ecuaciones simultaneas”
Existen otras formas de resolver MC2 en ewiews, siempre y cuando ambas ecuaciones estén exactamente especificadas o sobre identificadas. Ahora diseñamos el sistema de ecuaciones. Mediante el siguiente procedimiento, Object — New Object – System y le damos el nombre de SYS1 y pulsamos Ok
Luego escribimos las ecuaciones del sistema. A continuación pulsamos el botón Estimate y en el campo Method de la pantalla System Estimation elegimos Two Stage Least Squares . Y pulsamos Ok.
Y aparecerá la siguiente ventana con la estimación por MC2E de las dos ecuaciones del sistema de ecuaciones simultáneas.
System: SIS1 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Date: 06/07/11 Time: 11:04 Sample: 1977 1995 Included observations: 19 Total system (balanced) observations 38
C(1) C(2) C(3) C(4) C(5)
Coefficient Std. Error
t-Statistic
Prob.
-0.001024 6.94E-07 34996715 -1030960. 1.786928
-8.228325 18.13914 6.117930 -3.903060 5.339368
0.0000 0.0000 0.0000 0.0004 0.0000
0.000125 3.83E-08 5720352. 264141.5 0.334670
Determinant residual covariance 3.42E+12 Equation: R=C(1)*M+C(2)*Y Instruments: C M INV Observations: 19 R-squared 0.503011 Adjusted R-squared 0.473777 S.E. of regression 2.109722 Durbin-Watson stat 1.496218
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid
14.18579 2.908307 75.66576
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid
3399358 8 4987010. 6.16E+13
Equation: Y=C(3)+C(4)*R+C(5)*INV Instruments: C M INV Observations: 19 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Durbin-Watson stat
0.862299 0.845087 1962839. 2.021569
El sistema estimado será el siguiente: Rt = 0.001024M t + 000000694Yt + u1t Yt = 34, 996,715 - 1, 030,960 R t + 1.786928 Invt + u2t
Variables instrumentos:
El método de variables instrumentales (VI) permite obtener estimadores consistentes para los parámetros estructurales en el caso de ecuaciones sobreidentificadas o exactamente identificadas. Es un caso particular del método de MC2E y se utiliza cuando el número de instrumentos es igual al número de variables endógenas explicativas. Un instrumento resulta válido cuando está correlacionado con una de las variables endógenas y no con el término perturbación. El método VI consiste en: • Seleccionar tantas variables instrumentales cuantas hay variables endógenas explicativas
(correlacionadas con término de perturbación) y variables predeterminadas (no correlacionadas con término de perturbación) . • Estimar el modelo en el cual regresamos la variable dependiente sobre las variables explicativas
(endógenas y predeterminadas), utilizando las variables instrumentales para corregir la endogeneidad de los regresores. Pruebas de simultaneidad y exogeneidad:
¿Por qué aplicar una prueba de simultaneidad? La prueba de simultaneidad permite averiguar si una regresora (endógena) esta correlacionada con el termino de error. De este modo si se quiere obtener buenos estimadores debe considerarse lo siguiente:
Cuando No Existe problema de simultaneidad
Si se estima por MCO → Los Estimadores son Consistentes y Eficientes
Cuando Existe problema de Simultaneidad
Si se estima por MCO → Los Estimadores no son ni si quiera consistentes. Pero si se usan Métodos Alternativos como VI, o MC2E; Los Estimadores → Si son Consistentes y Eficientes
¿Qué p pasa si se a pl i ic a V I o MC 2E cuand o no hay si mul t ta nei d da d ? ? Los estimadores que se obtienen son Consistentes pero no Eficientes
Prueba de Especificación de Hausman
Dado el siguiente sistema de ecuaciones, se desea saber si existe o no el problema de la simultaneidad:
Donde:
(1) CONSt = β0 + β1Y t + β2IMPt + µ1t
CONS = Consumo
(2) IMPt = α0 + α1SALt + α2CONSt + µ2t
IMP = Impuesto
Y = Ingreso SAL = Salarios
Para realizar la prueba de simultaneidad puede procederse siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1: Obtener las ecuaciones en forma reducida.
(3) CONSt = Π0 + Π1Y t + Π2SALt + W 1 (4) IMPt = Π3 + Π4SALt + Π5Y t + W 2
Paso 2: Estimar por MCO la Ec(3) y obtener CONS_EST y W 1.
Para obtener CONS_EST, de la estimación antes mencionada se efectúa lo siguiente: -
Clic en Forecast
-
Escribir “CONS_EST” que es el nombre
de los datos correspondiente al consumo estimado. Para obtener W1 que es el error debe de copiarse los datos que aparecen en la casilla que dice “resid”, para agregarlos en la tabla de datos con el nombre “ERROR” De esta forma se obtiene: (5) CONSt = CONS_EST t + W 1
Paso 3: Sustituir Ec(5) en Ec(2) y estímese por MCO . (6) IMPt = α0 + α1SALt + α2CONS_EST t + α3W 1 + µ2t
Paso 4: Efectuar prueba de hipótesis individual para el ERROR de la Ec (6). IMPt = -2001.04 + 1.082SALt + 0.1709CONS_EST t - 0.1461W 1 t est = (-3.98) Prob = (0.0002)
(12.24) (0.000)
(1.62)
(-1.05)
(0.1106)
(0.2957)
H 0: No Hay Simultaneidad H 1: Si hay simultaneidad No se puede rechazar la hipótesis nula por tanto se asume que no hay simu lt aneidad.
Prueba de Exogeniedad
La prueba de Exogeniedad sirve para comprobar si determinadas variables son endógenas en el sistema, y de esta manera poder estar seguros de que método de estimación usar. Dado el siguiente sistema de ecuaciones: (1) IPC t = α0 + α1IPC t-1 + α2M1t + α3TCOt + α4OILPRt + µ1t (2) M1t = β0 + β1PIBt + β2IPC t +M1t-1 + µ2t (3) TCOt = λ0 + λ1EXPt + λ2RINt + λ3IPC t + µ3t Donde:
IPC = Índice de precios M1 = Cantidad de dinero. TCO = Tipo de cambio OILPR = Precios del petróleo PIB = Ingreso EXP = Exportaciones RIN
=
Reservas
Internacionales
netas
De este modo: M1, IPC , TCO se supone son variables endógenas, PIB, M1t-1 , IPC t-1, OILPR, EXP, RIN son variables exógenas.
De acuerdo a lo anterior: ¿C ómo pu pued e est abl ecer se si T i T C CO y M y M1 son r eal ment e end ógenas en l a E c ( 1 ) ?
Para ello se efectúa la prueba de exogeneidad, para la cual pueden seguirse los siguientes pasos: Paso 1: Obtener las ecuaciones en forma reducida (4) IPC t = Π0 + Π1IPC t-1 + Π2OILPRt + Π3PIBt + Π4M1t-1 + Π5EXPt + Π6RINt + W 1 (5) M1t = Π7 + Π8PIBt + Π9M1t-1 + Π10IPC t-1 + Π11OILPRt + Π12EXPt + Π13RINt + W 2 (6) TCOt = Π14 + Π15EXPt + Π16RINt + Π17 IPC t-1 + Π18OILPRt + Π19PIBt + Π20M1t-1 + W 3
Paso 2: Estimar por MCO la Ec (5) y Ec (6), para obtener M1_EST , TCO_EST
Para obtener M1_EST, y TCO_EST, efectúese el mismo procedimiento (usando forecast) que en la prueba de simultaneidad
(5.1) M1t = M1_EST t + W 2 (6.1) TCOt = TCO_EST t + W 3
Paso 3: Estimar Ec (1) por MCO , añadiendo M1_EST, TCO_EST
(7) IPC t = α0 + α1IPC t-1 + α2M1t
+
α3TCOt
+
α4OILPRt
+M1_EST
+
TCO_EST + µ1t
Paso 4: Efectuar prueba de Hipótesis global a la Ec ( 7). IPC t = 12.41 + 0.002M1t + 0.89IPC t-1 + 0.69TCOt +0.18OILPRt + 0.0005M1_EST 0.74TCO_EST t est = (2.04)
(0.96)
Prob = ( 0.046) (0.340) (0.415)
(21.46)
(0.000)
(0.87)
(0.383)
(5.29)
(0.28)
(0.000)
F- est = 6 7 72 3.47 Prob =0.000
H 0: Las variables son Exógenas H 1: Las variables son Endógenas Se rechaza la hipótesis nula, por tanto, se asume que las variables M1 y TCO son endógenas en la Ec(1).
(0.778)
(-0.82)
